Bài tập trắc nghiệm tích phân có đáp án và lời giải

Giới thiệu Bài tập trắc nghiệm tích phân có đáp án và lời giải

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bài tập trắc nghiệm tích phân có đáp án và lời giải CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Bài tập trắc nghiệm tích phân có đáp án và lời giải

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Bài tập trắc nghiệm tích phân có đáp án và lời giải

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Bài tập trắc nghiệm tích phân có đáp án và lời giải
TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số F (b) − F (a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x), b kí hiệu là ∫ f ( x)dx. a Ta dùng kí F (= x) a F (b) − F (a ) b hiệu để chỉ hiệu F (b) − F (a ) . số Vậy b )dx ∫ f ( x= F (= x) a F (b) − F (a ) . b a Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi b ∫ f ( x)dx b hay a ∫ f (t )dt. Tích phân a đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân b ∫ f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox và hai đường a b thẳng= x a= , x b. Vậy S = ∫ f ( x)dx. a 2.Tính chất của tích phân b a 1. ∫ f ( x)dx = 0 2. 3. ∫ a a a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b c c b a b b a a ∫ k. f ( x)dx ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ( a < b < c )4.= 5. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = a b b a a b k .∫ f ( x)dx (k ∈ ) a ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx . B. BÀI TẬP ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục trên [ a; b ] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. B. b a a b ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx . b b a a ∫ xf ( x ) dx = x ∫ f ( x ) dx . a C. ∫ kf ( x ) dx = 0 . a b D. ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = a Câu 2: b ∫ a Khẳng định nào sau đây sai? https://toanmath.com/ b f ( x ) dx + ∫ g ( x ) d x . a A. C. Câu 3: b b b a a a ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . b a a b ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . b f ( x ) dx B. ∫= a D. b c c a ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . b b a a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt . Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên K , a, b ∈ K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? b A. ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = a C. b b b a a a f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . B. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx . ∫ a b b b a a a ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx . b ∫  f ( x ) − g ( x ) dx = a Câu 4: b b ∫ a D. b f ( x ) dx − ∫ g ( x ) d x . a Cho hai số thực a , b tùy ý, F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên tập  . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? b A. ) dx ∫ f ( x= f (b) − f ( a ) . b B. a b C. ) dx ∫ f ( x= F (b) − F ( a ) . a F ( a ) − F (b) . b D. ) dx ∫ f ( x= F (b) + F ( a ) . a a Câu 5: ) dx ∫ f ( x= Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [ a; b ] và c ∈ [ a; b ] . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. C. c b a a c b b c c a c ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . ∫ a Câu 6: D. c b a a c b a b c c ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . ∫ a f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K và a, b, c ∈ K . Mệnh đề nào sau đây sai? b A. ∫ a b C. ∫ a Câu 7: f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . B. b b c f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . c b B. a a a f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx . ∫ b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt . a a D. b ∫ f ( x ) dx = 0 . a Cho hàm số f ( t ) liên tục trên K và a, b ∈ K , F ( t ) là một nguyên hàm của f ( t ) trên K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. b A. F ( a ) − F ( b ) = ∫ f ( t ) dt . b B. a b C. ∫ a https://toanmath.com/ b a . a b   f ( t ) dt =  ∫ f ( t ) dt  .  a ∫ f ( t ) dt = F ( t ) b D. ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt . a Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây sai? b A. ∫ a b B. ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt . a a f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx . b b dx k ( a − b ) , ∀k ∈  . C. ∫ k= a b f ( x ) dx D. ∫= a Câu 9: c b a c ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx , ∀c ∈ ( a; b ) . Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng định nào sau đây sai? a A. ∫ f ( x ) dx = 1 . B. a C. b a a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx . c b b b b a c a a a ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx= ∫ f ( x ) dx, c ∈ ( a; b ) . D. ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt . Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. b a a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx . b c b a a c f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx , ∫= B. ∀c ∈  . b C. ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .D. a a ∫ f ( x ) dx = 0 . a Câu 11: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Khi đó hiệu số F ( 0 ) − F (1) bằng 1 A. ∫ f ( x ) dx . 0 1 B. ∫ − F ( x ) dx . 0 1 C. ∫ − F ( x ) dx . 0 1 D. ∫ − f ( x ) dx . 0 Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] , có đồ thị y = f ′ ( x ) như hình vẽ sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? b A. ∫ f ′ ( x ) dx là diện tích hình thang ABMN . B. a https://toanmath.com/ b ∫ f ′ ( x ) dx a là dộ dài đoạn BP . b b C. ∫ f ′ ( x ) dx là dộ dài đoạn MN . D. a Câu 13: Cho hai tích phân f ( x ) dx = m và ∫ −a là: A. m − n . định. a là dộ dài đoạn cong AB . ∫ −a ∫  f ( x ) − g ( x )dx −a C. m + n . b = f ( x ) dx m và I 2 ∫= a là: A. m + n . định. a g ( x ) dx = n . Giá trị của tích phân B. n − m . Câu 14: Cho tích= phân I1 ∫ f ′ ( x ) dx a a B. m − n . D. Không thể xác a b c c f ( x ) dx n . Tích phân I = ∫ f ( x )dx có giá trị ∫= C. −m − n . D. Không thể xác b Câu 15: Tích phân ∫ f ( x )dx được phân tích thành: a A. C. b a c c b a c c ∫ f ( x ) + ∫ − f ( x )dx . ∫ f ( x ) + ∫ f ( x )dx . 1 B. a ∫ f ( x ) − ∫ − f ( x )dx . c c b a c c D. − ∫ f ( x ) + ∫ f ( x )dx . f ( x ) dx = 3 . Tính tích= phân I ∫ Câu 16: Cho b 1 ∫ 2 f ( x ) − 1 dx . −2 −2 A. −9 . B. −3 . C. 3 . D. 5 . Câu 17: Cho hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 2;3] đồng thời f ( 2 ) = 2 , f ( 3) = 5 . Tính 3 ∫ f ′ ( x ) dx 2 bằng A. −3 . ∫ Câu 18: Cho b a B. 7 . C. 10 D. 3 . f ′ ( x ) dx = 7 và f ( b ) = 5 . Khi đó f ( a ) bằng A. 12 . B. 0 . C. 2 . D. −2 . Câu 19: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] và f ( a ) = −2 , f ( b ) = −4 . Tính T 7 4 T 7 4 b T = ∫ f ′ ( x ) dx . a A. T = −6 . B. T = 2 . C. T = 6 . D. T = −2 . Câu 20: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và f (1) − f ( 0 ) = 2 . Tính tích phân 1 ∫ f ′ ( x ) dx . 0 A. I = −1 . https://toanmath.com/ B. I = 1 . C. I = 2 . D. I = 0 . Câu 21: Cho hàm số y = f ( x) thoả mãn điều kiện f (1) = 12 , f ′ ( x) liên tục trên  và ∫ 4 1 f ′ ( x)dx = 17 . Khi đó f (4) bằng A. 5 . C. 19 . B. 29 . D. 9 . Câu 22: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ −1;3] và thỏa mãn f ( −1) = 4 ; f ( 3) = 7 . 3 Giá trị của I = ∫ 5 f ′ ( x ) dx bằng −1 B. I = 3 . A. I = 20 . C. I = 10 . D. I = 15 . a b Câu 23: Cho hàm số f ( x ) = 2 + + 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x x . Tính T= a + b . A. T = −1 . B. T = 2 . 3 0 5 B. I = log . 2 4581 . 5000 22018 ∫ Câu 25: Tính tích phân I = 1 1  2 − 3ln 2 1 2 D. T = 0 . C. T = −2 . 1 ∫  2 x + 1 + 3 0 C. I = ln 5 . 2 D. I = − 21 . 100 dx . x = A. I 2018.ln 2 − 1 . Câu 26: = Tính I ∫ f ( x ) dx= dx . x+2 Câu 24: Tính tích phân I = ∫ A. I = 1 B. I = 22018 . C. I = 2018.ln 2 . C. I = 2018 . C. 2 + ln 3 . D. 1 + ln 3 .  x  dx .  B. 4 + ln 3 . A. 2 + ln 3 . 1 I = Tính tích phân Câu 27: ∫ x (1 + x ) dx 2018 0 = I A. 1 1 + . 2018 2019 = I B. 1 1 + . 2020 2021 = I C. 1 1 1 1 = + + I . D. 2019 2020 2017 2018 . 3 x 2 khi 0 ≤ x ≤ 1 = y f= Câu 28: Cho hàm số . Tính tích phân ( x)  4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2 A. 7 . 2 B. 1 . C. 2 ∫ f ( x ) dx . 0 5 . 2  2 khi 0 ≤ x ≤ 1 = y f= Câu 29: Cho hàm số . Tính tích phân ( x )  x + 1 2 x − 1 khi 1 ≤ x ≤ 3 A. 6 + ln 4 . B. 4 + ln 4 . C. 6 + ln 2 . https://toanmath.com/ D. 3 . 2 3 ∫ f ( x ) dx . 0 D. 2 + 2 ln 2 . 3 x 2 khi 0 ≤ x ≤ 1 = y f= Câu 30: Cho hàm số . Tính ( x)  4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2 A. 7 . 2 B. 1 . C. 2 ∫ f ( x )dx . 0 5 . 2 D. 3 . 2 4 6 x 2 khi x ≤ 0 = = y f x Câu 31: Cho hàm số và I = ∫ f ( x )dx . Hỏi có tất cả bao nhiêu số ( )  2 a − a x khi x ≥ 0 −1 nguyên a để I + 22 ≥ 0 ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . b Câu 32: Biết 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? ∫ ( 2 x − 1) dx = a 1. A. b − a = I = Câu 33: Đặt 1. B. a 2 − b 2 = a − b − 1 . C. b 2 − a 2 = b − a + 1 . D. a − b = 2 ∫ ( 2mx + 1) dx ( m là tham số thực). Tìm m để I = 4 . 1 A. m = −1 . Câu 34: Cho B. m = −2 . C. m = 1 . 3 3 2 0 2 0 D. m = 2 . ∫ f ( x)dx = a , ∫ f ( x)dx = b . Khi đó ∫ f ( x)dx bằng: A. −a − b . B. b − a . Câu 35: Giá trị nào của b để C. a + b . D. a − b . C. b = 5 hoặc b = 0 . D. b = 1 hoặc b = 5 . b 0? ∫ ( 2 x − 6 ) dx = 1 A. b = 0 hoặc b = 3 . B. b = 0 hoặc b = 1 a Câu 36: Có bao nhiêu giá trị thực của AD để có a−4 ∫ ( 2 x + 5) dx = 0 B. 0 . A. 1 . C. 2 . D. Vô số. m Câu 37: Xác định số thực dương m để tích phân ∫ ( x − x ) dx có giá trị lớn nhất. 2 0 A. m = 1 . C. m = 3 . B. m = 2 . D. m = 4 2 Câu 38: Cho a là số thực thỏa mãn a < 2 và 4 . Giá trị biểu thức 1 + a ∫ ( 2 x + 1) dx = 3 bằng. a A. 0 . B. 2 . C. 1 . D. 3 . C. I = 3. D. I = 4. C. I = 3. D. I = 4. 2 Câu 39: Tích phân I = ∫ 2 x.dx có giá trị là: 1 A. I = 1. B. I =2. 1 Câu 40: Tích phân I= ∫ (x 3 + 3 x + 2 ) dx có giá trị là: −1 A. I = 1. https://toanmath.com/ B. I = 2. −1 1 Câu 41: Cho gá trị của tích phân I1 =∫ ( x + 2 x )dx =a , I 2 = ∫ ( x 2 + 3 x )dx =b . Giá trị của 4 3 −1 A. P = − 4 . 65 B. P = 0 Câu 42: Tích phân I= ∫ (x −2 12 . 65 C. P = − 12 . 65 D. P = 4 . 65 a là: b + ax + 2 )dx có giá trị là: 3 −1 A. I= 7 a − . 4 2 B. I= 1 = I Câu 43: Tích phân ∫ ( ax 2 9 a − . 4 2 C. I= 7 a + . 4 2 D. I= 9 a + . 4 2 C. I= a b + . 2 2 D. I= a b + . 3 2 + bx )dx có giá trị là: 0 A. I= a b + . 2 3 B. I= a b + . 3 3  + 2 x dx có giá trị là:  2 3 1 1 1 A. I =− − + a 2 . B. I =− − + a 2 . 2 a 2 a a I = Câu 44: Tích phân  1 ∫  x 2 5 1 C. I =− − + a 2 . 2 a 7 1 D. I =− − + a 2 . 2 a 2 = I Câu 45: Tích phân ∫x − x dx có giá trị là: 2 −1 A. I = 3 . 2 B. I = 1 . 6 C. I = − 3 . 2 1 D. I = − . 6 C. I = − 4 . 3 D. I = − 1 . 2 D. I = − 17 . 6 1 I Câu 46: Tích phân = ∫x 3 + x 2 − x − 1dx có giá trị là: −1 A. I = 4 . 3 B. I = −1 Câu 47: Tích phân I = ∫ x3 − 3x + 2 x −1 −2 7 A. I = − . 6 ∫ −2 −1 B. I = −2 ln 3 .  ∫  2ax −2 15a − + ln 2 . A. I = 16 https://toanmath.com/ 17 . 6 C. I = 7 . 6 x2 − x − 2 dx có giá trị là: x −1 A. I = 3 − 2 ln 3 . Câu 49: Tích phân = I dx có giá trị là: B. I = 2 Câu 48: Tích phân I = 1 . 2 3 1 + dx có giá trị là: x 15a I − ln 2 . B.= 16 C. I = 3 + 2 ln 3 . I C.= 15a + ln 2 . 16 D. I = 3 − 3ln 2 . 15a − − ln 2 . D. I = 16 2 1 = I1 Câu 50: Biết tích phân 2 xdx ∫= I2 a . Giá trị của= 17 . 3 B. I 2 = b = I Câu 51: Cho tích phân ∫(x 2 2 + 2 x )dx là: a 0 A. I 2 = ∫(x 19 . 3 C. I 2 = 16 . 3 D. I 2 = 13 . 3 + 1) dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a b A. I = b I B.= 1 3 1 b + b − a3 − a . 3 3 D. Chỉ có A và C đúng. a C. I= b 2 2 ∫ ( x + 1) dx = ∫ x dx + ∫ dx . a (x 3 + x) . b a a 0 với a = Câu 52: Số nghiệm nguyên âm của phương trình: x3 − ax + 2 = 3e 1 ∫ x dx là: 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 1 0 , với a = ∫ 2 xdx , a và b là các số hữu tỉ Câu 53: Số nghiệm dương của phương trình: x 3 + ax + 2 = 0 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. k Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có 4 lim ∫ ( 2 x − 1) dx = x →0 1 k = 1 A.  . k = 2 k = 1 B.  .  k = −2  k = −1 C.  .  k = −2 x +1 −1 . x  k = −1 D.  . k = 2 Câu 55: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 + x − 1 − x trên tập  và thỏa mãn F (1) = 3 . Tính tổng F ( 0 ) + F ( 2 ) + F ( −3) . A. 8 . B. 12 . C. 14 . 2 Câu 56: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn ∫ (1 − n 2 D. 10 . + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + ... + nx n −1 ) dx = −2 0 ? A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 . Câu 57: Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây https://toanmath.com/ Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) trên đoạn [ −2;1] và [1; 4] lần lượt bằng 9 và 12 . Cho f (1) = 3 . Giá trị biểu thức f ( −2 ) + f ( 4 ) bằng B. 9 . A. 21 C. 3 . 2 2 J ∫ ( 2 x − x − m ) dx và= I Câu 58: Cho= 0 1 ∫(x 2 − 2mx ) dx . Tìm điều kiện của m để I ≤ J . 0 B. m ≥ 2 . A. m ≥ 3 . C. m ≥ 1 . f ( x ) = ax 2 + bx + c thỏa mãn Câu 59: Biết rằng hàm số D. 2 . 1 ∫ 0 3 ∫ f ( x ) dx = 0 3 4 . B. P = − . 4 3 TÍCH PHÂN HỮU TỈ 1 2 ∫ f ( x ) dx = −2 và 0 13 (với a , b , c ∈  ). Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c . 2 A. P = − Câu 60: Biết 7 f ( x ) dx = − , 2 D. m ≥ 0 . x −5 ∫ 2 x + 2 dx= C. P = 4 . 3 D. P = 3 . 4 a + ln b với a , b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 A. ab = 8 . 81 7 B. a + b = . 24 1 Câu 61: Tích= phân I 2ax dx ∫= x +1 C. ab = 9 . 8 3 D. a + b = . 10 ln 2 . Giá trị của a là: 0 A. a = ln 2 . 1 − ln 2 B. a = ln 2 . 2 − 2 ln 2 C. a = ln 2 . 1 + ln 2 D. a = ln 2 . 2 + 2 ln 2 1 1 Câu 62: Cho I = ( a b ) ln 2 + b ln 3 . Giá trị a + b là: ∫0 3 + 2 x − x 2 dx =− A. 1 . 4 B. 1 . 2 C. 1 . 6 D. 1 . 3 2 Câu 63: Biết x2 S 2a + b , giá trị của S thuộc khoảng nào sau đây? a + ln b ( a, b ∈  ) . Gọi = ∫0 x + 1 dx = B. ( 6;8 ) . A. ( 8;10 ) . 2 = I Câu 64: Tích phân  ∫  x 1 2 + D. ( 2; 4 ) . x   dx có giá trị là: x +1  10 A. I = + ln 2 − ln 3 . 3 10 I = + ln 2 + ln 3 . 3 https://toanmath.com/ C. ( 4; 6 ) . 10 10 B. I = − ln 2 + ln 3 . C. I = − ln 2 − ln 3 . D. 3 3 Câu 65: Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm 2  1  = I + 2 x  dx có giá trị là:  2 ∫ tra mà Tích phân x  1 A. I = 5 . 2 B. I = 1 = I Câu 66: Tích phân  ax 7 . 2  ∫  x + 1 − 2ax  dx C. I = 9 . 2 D. I = 11 . 2 có giá trị là: 0 A. I = −a ln 2 . B. I = −2 ln 2 . a a Câu 67: Tích phân= I C. I = 2 ln 2 . D. I = a ln 2 . x ∫  x + a  dx ,với a ≠ 0 có giá trị là: 1 = A. I a ln a + a2 + 1 . 2a = I a ln a + B. a2 + 1 . 2a = C. I a ln a + a2 −1 . 2a = I a ln a + D. a2 −1 . 2a a2 x2 + 2x dx có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là: ax 2 3 Câu 68: Tích phân I = ∫ A. 2 5 . B. 2 = I Câu 69: Tích phân  ∫  ax 2 1 I A.= = I Câu 70: Tích phân  ∫  ax I 3a − b ln 2 . B. = 3 + −1 A. I = −b ln 3 . Câu 71: Tích phân I = ∫ e 1 . 5 D. 5. I C.= 7 a + b ln 2 . 3 I 3a + b ln 2 . D. = C. I= a + b ln 3 . 2 D. I = b ln 3 . b  dx có giá trị là: x+2 B. I= e2 C. b +  dx có giá trị là: x 7 a − b ln 2 . 3 1 2 . 5 a − b ln 3 . 2 x +1 dx có giá trị là: x2 1 1 A. I =1 − + 2 . e e 1 1 B. I =1 − − 2 . e e 1 Câu 72: Giá trị của tích = phân I x dx ∫= x +1 1 1 C. I =1 + + 2 . e e 1 1 D. I =1 + − 2 . e e P 2a − 1 có giá trị là: a . Biểu thức = 0 A. P = 1 − ln 2 . B. P= 2 − 2 ln 2 . e2 = Câu 73: Giá trị của tích phân I 1 1 e + e2 + e4 . A. P = 2 2 https://toanmath.com/ C. P = 1 − 2 ln 2 . D. P= 2 − ln 2 .  1 + x + x2  = ∫e  x dx a . Biểu thức P= a − 1 có giá trị là: 1 1 B. P =−e + e 2 + e 4 . 2 2 1 1 1 1 e + e2 − e4 . C. P =−e − e 2 + e 4 . D. P = 2 2 2 2 3x 2 + 5 x − 1 2 I ∫ dx a ln + b , với a, b∈  . Tính giá trị a + 2b . = = Câu 74: Biết 3 x−2 −1 0 A. 30 . B. 40 . 2 Câu 75: Tính tích phân: I = ∫ 1 B. I = 2 ln 2 . 1 0 4 ∫x 3 ∫x 1 2 0 C. S = −2 . 2 D. S = 0. 3 dx = a ln 5 + b ln 2 ( a, b ∈ Z ) . Mệnh đề nào sau đây đúng? + 3x 0. A. a + 2b = ∫x D. I = ln 6 2 . dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5, với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c. +x B. S = 2 . 2 1 C. I = ln 2 . 6 7 . 4 2 5 Câu 79: Giả sử D. I = 2 1 1 B. I = − ln . 6 2 A. S = 6 . Câu 78: Biết rằng C. I = 1 + ln 2 . dx . x −9 1 1 A. I = ln . 6 2 Câu 77: Biết I = D. 60 . x +1 dx . x A. I = 1 − ln 2 . Câu 76: Tính tích phân I = ∫ C. 50 . 0. C. a − b = 0. B. 2a − b = 0. D. a + b = x −1 dx = a ln 5 + b ln 3; a, b ∈  . Tính P = ab . + 4x + 3 B. P = −6 . A. P = 8 . x2 + 2x 2, b = −3 I1 ∫= Câu 80: Cho giá trị của tích phân a = = , I2 dx a= x +1 1 2 thức P= a − b là: 7 A. P = + ln 2 − ln 3 . 2 5 C. P = + ln 2 − ln 3 . 2 D. P = −5 . C. P = −4 . e2 1 dx ∫= x b . Giá trị của biểu e 3 B. P = + ln 2 − ln 3 . 2 1 D. P = + ln 2 − ln 3 . 2 x3 − 3x 2 + 2 Câu 81: Giá trị của tích phân I = ∫ 2 dx gần nhất với gái trị nào sau đây? x + x−2 −1 0 A. − ln 2 . 2 B. ln 2 − 1 . 2 Câu 82: Tích phân = I ∫x 1 A. a = 1 . 5 https://toanmath.com/ 2 C. 3 − ln 4 . 2 D. − ln 3 . 3 ax + 1 3 4 3 2 = dx ln + ln . Giá trị của a là: + 3x + 2 5 3 5 3 B. a = 2 . 5 C. a = 3 . 5 D. a = 4 . 5 1 7 x2 + 1 = ∫1 x3 + 3xdx 3 ln 2 . Giá trị của a là: a Câu 83: Tích phân I = B. a = 2 . A. a = 1 . Câu 84: Biết x +1 dx ∫ ( x − 1)( 2 − x )= . 1. A. a + b = ∫x D. a = 4 . a.ln x − 1 + b.ln x − 2 + C , a, b ∈  . Tính giá trị của biểu thức a + b 5. B. a + b = C. a + b =−1 . D. a + b =−5 . a 5 3x − 1 a = dx 3ln − , trong đó a, b là hai số nguyên dương và là phân số tối + 6x + 9 b 6 b 1 Câu 85: Biết C. a = 3 . 2 0 giản. Tính ab ta được kết quả. A. ab = −5. B. ab = 27. C. ab = 6. D. ab = 12. x 2 − 3x + 2 a 2b 2 + 3c3 . ∫2 x 2 − x + 1 dx = a ln 7 + b ln 3 + c với a , b , c ∈  . Tính T =+ 3 Câu 86: Biết B. T = 6 . A. T = 4 . C. T = 3 . D. T = 5 . 3x 2 + 5 x − 1 2 dx a.ln + b . Khi đó giá trị a + 2b là: ∫−1 x − 2 = 3 0 Câu 87: Giả = sử I A. 30. B. 40. 5 ∫x Câu 88: Biết rằng 1 2 2 2 B. P = 7 . A. P = 1 . 3 Câu 90: Cho ∫x 0. B. 2a − b = 0. D. a + b = x+2 P 2a − b là dx = a ln 5 + b ln 3 + 3ln 2 ( a, b ∈  ) thì giá trị của = − 3x + 1 3 ∫ 2x D. 60. 3 = dx a ln 5 + b ln 2 ( a, b ∈  ) . Mệnh đề nào sau đây đúng? + 3x 0. A. a + 2b = 0. C. a − b = Câu 89: Nếu C. 50. 2 1 C. P = − 15 . 2 x+3 dx = m ln 2 + n ln 3 + p ln 5 , với m , n , + 3x + 2 p D. P = 15 . 2 là các số hữu tỉ. Tính S = m + n + p2 . 2 A. S = 6 . B. S = 4 . C. S = 3 . D. S = 5 . 2 x2 dx= a + ln b với a , b ∈  , b > 0 . Hỏi giá trị 2a + b thuộc khoảng nào sau Câu 91: Biết rằng ∫ x +1 0 đây? A. ( 8;10 ) . 4 Câu 92: Biết I = ∫x 3 B. ( 6;8 ) . C. ( 4; 6 ) . D. ( 2; 4 ) . dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c +x 2 A. S = 6 .
Trang chủ
B. S = 2 . C. S = −2 . D. S = 0 . 2 ∫ 4x Câu 93: Biết 1 2 dx 1 1 = + , với a , b là các số nguyên thuộc khoảng ( −7;3) thì a và b là − 4x +1 a b nghiệm của phương trình nào sau đây? 0. B. x 2 + 4 x − 12 = A. 2 x 2 − x − 1 =0 . 0. C. x 2 − 5 x + 6 = 0. D. x 2 − 9 = x2 + x + 1 b dx= a + ln với a , b là các số nguyên. Tính S= a − 2b . Câu 94: Biết ∫ x +1 2 3 5 B. S = 5 . A. S = −2 . 3 Câu 95: Biết 47T T 7 4 T 7 4 C. S = 2 . D. S = 10 . dx ∫ ( x + 2 )( x + 4 ) = a ln 2 + b ln 5 + c ln 7 , ( a, b, c ∈  ) . Giá trị của biểu thức 2a + 3b − c 0 bằng A. 5 . B. 4 . T 7 4 4 Câu 96: Tìm giá trị của a để D. 3 . C. 2 . 1 ∫ ( x − 1)( x − 2 ) dx = ln a . 3 A. 12 . 1 Câu 97: Cho B.  1 4 . 3 1  a ln 2 + b ln 3 ∫  x + 1 − x + 2  dx = C. 1 . 3 D. 3 . 4 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây 0 đúng ? 2. A. a + b = 3 Câu 98: Biết ∫x 2 5 x + 12 dx = a ln 2 + b ln 5 + c ln 6 . Tính S = 3a + 2b + c . + 5x + 6 B. −14 . 2 ∫x 0. D. a + 2b = 2 A. 3 . Câu 99: Cho C. a + b =−2 . 0. B. a − 2b = 2 1 C. −2 . D. −11 . 1 dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a , b , c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới + 5x + 6 đây đúng? 4. A. a + b + c = B. a + b + c =−3 . 2. C. a + b + c = 6. D. a + b + c = x2 + 1 m n p dx = ln ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) + C . Tính 4 ( m + n + p ) . Câu 100: Biết ∫ 3 2 x − 6 x + 11x − 6 A. 5 . B. 0 . C. 2 . D. 4 . 3 Câu 101: Cho ∫x 2 2 x +8 = dx a ln 2 + b ln 5 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng? + x−2 3. A. a + b = 11 . B. a − 2b = x3 + 2 x 2 + 3 1 3 ∫0 x + 2 dx= a + b ln 2 1 Câu 102: Biết ab ∫ 8 (k dx < lim x →+∞ https://toanmath.com/ 2 + 1) x + 2017 x + 2018 . 5. C. a − b = ( a, b > 0 ) tìm các 11 . D. a + 2b = giá trị của k để A. k < 0 . B. k ≠ 0 . TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ C. k > 0 . D. k ∈  . C. 4 . D. 2 = I Câu 103: Tính tích phân ∫ 4 x + 1 dx . 0 A. 13 . B. ( 1 13 . 3 4 . 3 ) a 3 Câu 104: Biết rằng I1 =∫ x + x + 1 dx = + b 2 . Giá trị của a − b là: 6 4 0 A. – 1. B. – 2. 2 Câu 105: Tích phân I = ∫ 0 A. I = 1 − 1 Câu 106: Cho C. – 3. D. – 4. 1 dx bằng 2 x+2 1 . 2 B. I = 2 2 . 1 . 2 C. I= 2 − D. I= 2 − 2 . dx 8 2 =a b − a + , ( a, b ∈ * ) . Tính a + 2b . 3 3 x + 2 + x +1 ∫ 0 7. A. a + 2b = 8. B. a + 2b = 5. D. a + 2b = x a+b 3 dx = với a , b là các số thực. Tính tổng T= a + b 9 3x + 1 + 2 x + 1 1 ∫ Câu 107: Biết tích phân −1 . C. a + 2b = 0 . A. T = −10 . B. T = −4 . D. T = 8 . C. T = 15 . a ∫x = I Câu 108: Tích phân x + 1dx có giá trị là: 0 A. I = C. I = 2 ( a + 1) + 5 2 ( a + 1) 5 1 Câu 109: Tích phân I = ∫ −1 = I A. 5 4 2 + 2. 3 5 + 2 ( a + 1) 3 3 2 ( a + 1) 3 3 4 + . 15 4 − . 15 B. I = 2 ( a + 1) 5 5 ( a + 1) D. I = 2 = I C. 4 2 −1 . 3 5 − 2 − 2 5 ( a + 1) 3 3 ( a + 1) A. 39 .
Trang chủ
4 . 15 − 4 . 15 3 3 x dx có giá trị là: x +1 −1 = I B. 4 2 −2. 3 I = D. 4 2 +1 . 3 x2 − x + 2 a−4 b = . Với a , b , c là số nguyên dương. Tính a + b + c . ∫3 x + x − 2 dx c 4 = Câu 110: Biết rằng I + B. 27 . C. 33 . D. 41 . dx = a + b − c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính 1 x x + 2 + ( x + 2) x P = a+b+c . A. P = 2 . B. P = 8 . C. P = 46 . D. P = 22 . ∫ Câu 111: Biết 2 2 ∫ ( x + 1) Câu 112: Biết I = 1 dx = x + x x +1 a − b − c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính P = a+b+c . A. P = 24 . B. P = 12 . TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC C. P = 18 . D. P = 46 . 2 C. − . 3 D. C. I = 0 . D. I = 1 . π Câu 113: Tính tích phân ∫ sin 3 xdx . T 9 1 19T 0 1 A. − . 3 B. 1 . 3 2 . 3 π Câu 114: Tính tích = phân I 2 π  ∫ sin  4 − x  dx . 0 A. I = π 4 B. I = −1 . . π 3 Câu 115: Tích phân I = ∫ π dx bằng? sin 2 x 4 A. cot π π − cot . 3 4 B. cot π 3 + cot π 4 . C. − cot π π + cot . 3 4 D. − cot π π − cot . 3 4 π 2 = 2a + 6b . Câu 116: Biết ∫ cos xdx= a + b 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính T π 3 A. T = 3 . B. T = −1 C. T = −4 . D. T = 2 . m π π − cot + cot các số nguyên thỏa mãn ∫ cos 2 x dx = 0 là Câu 117: Số = 3 4 0 A. 643 . B. 1284 . C. 1285 . D. 642 . C. I = −1 . D. Cả A, B, C đều π 2 Câu 118: Tích phân I = ∫ sin xdx có giá trị là: 0 A. I = 1 . sai. B. I = 0 . b Câu 119: Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng (π ;3π ) sao cho ∫ 4 cos 2 xdx = 1 ? π A. 8 .
Trang chủ
B. 2 . C. 4 . D. 6 . π 2 ∫π ( sin x − cos x ) dx có giá trị là: Câu 120: Tích phân I = − 2 B. I = 2 . A. I = 1 . D. I = −1 . C. I = −2 . π 6 Câu 121: Tích= phân I ∫π ( sin 2 x − cos 3x ) dx có giá trị là: − A. I = 2 2 . 3 B. I = 3 . 4 C. I = − π 2 Câu 122: Kết quả của tích phân ∫ ( 2 x − 1 − sin x ) dx 3 . 4 D. I = − 2 . 3 được viết ở dạng a , b ∈  . Khẳng định nào sau 0 đây là sai? 8. A. a + 2b = 5. B. a + b = 2. C. 2a − 3b = 2. D. a − b = π 2 Câu 123: Cho tích phân cos 2 x ∫ 1 + sin x dx= a + bπ với a, b ∈  . Tính P =1 + a 3 + b 2 0 B. P = 29 . A. P = 9 . D. P = −25 . C. P = 11 . π 2 Câu 124: Cho tích phân dx ∫ ( 4 x − 1 + cos x ) = 0 A. −3 π 1 −  + c , ( a, b, c ∈  ) . Tính a − b + c  a b π C. −2 . B. 1 . D. 1 . 3 π 6 Câu 125: Biết aπ − ∫ ( 3 + 4sin x ) dx = 6 b 2 c 3 , trong đó a , b nguyên dương và 0 . A. 8 . B. 16 . C. 12 . D. 14 . π 3 Câu 126: Cho giá trị của tích phân I1 = ∫π − a tối giản. Tính a + b + c b π 3 ( sin 2 x + cos x ) dx = a , I 2 = ∫π ( cos 2 x + sin x ) dx = − 2 b . Giá trị 3 của a + b là: A. P= 3 + 3. 4 3 3 + . 4 2 B. P= C. P= 2π 3 3 − 3. 4 Câu 127: Cho giá trị của tích phân I1 = ∫ ( sin 3 x + cos 3 x ) dx =a , I 2 = − π 1 1 ∫  x + x e 2 − C. 10 . 3 3 − . 4 2 1   dx= b . Giá x +1  3 trịa.b gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 8 . B. 16 .
Trang chủ
2e D. P= D. 1 . π 2 ∫π ( sin ax + cos ax ) dx , với a ≠ 0 có giá trị là: Câu 128: Tích= phân I − 2 A. I = 2  π π  π π  sin  a −  − sin  a +   .  a   2 4  2 4  B. I = 2  π π  π π  sin  a −  + sin  a +   .  a   2 4  2 4  C. I = 2  π π  π π  sin  a −  + sin  −a +   .  a   2 4 2 4   D. I = 2  π π  π π  − sin  a −  + sin  a +   .  a   2 4  2 4  Câu 129: Biết = I π 2 x + x cos x − sin 3 x π2 b ∫0 1 + cos x d=x a − c . Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số b tối giản. Tính T = a 2 + b 2 + c 2 . c A. T = 16 . B. T = 59 . f ( x ) a sin 2 x − b cos 2 x thỏa mãn f ‘  π  = −2 và Câu 130: Cho hàm số= 2 bằng: A. 3. B. 4. 0 Câu 131: Cho tích phân ∫π cos 2 x cos 4 xdx= − D. T = 50 . C. T = 69 . b ∫ adx = 3 . Tính tổng a + b a C. 5. D. 8. a + b 3 , trong đó a , b là các hằng số hữu tỉ. Tính 3 e + log 2 b . a B. −3 . A. −2 . Câu 132: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = C. B. P = 0 . D. 0 . 1  −π  + kπ , k ∈   , biết với ∀x ∈   1 + sin 2 x  4   π   11π F ( 0 ) = 1 ; F (π ) = 0 . Tính P =F  −  − F   12   12 A. P= 2 − 3 . 1 . 8  .  C. Không tồn tại P . D. P = 1 . = f ( x ) M .sin πx + N .cos πx thỏa mãn f (1) = 3 và Câu 133: Cho M , N là các số thực, xét hàm số 1 2 ∫ f ( x ) dx = − 0 A. 5π 2 . 2
Trang chủ
1 1 . Giá trị của f ′   bằng π 4 B. − 5π 2 . 2 C. − π 2 . 2 D. π 2 . 2 π 2 ∫ ( cos x − 1) cos Câu 134: Tích phân I = 2 xdx có giá trị là: 0 π 1 − . 4 3 A. I= B. I = − π 4 − 2 . 3 π 1 + . 4 3 C. I= D. I = − π 4 + 2 . 3 π Câu 135: Biết tích = phân I1 2 sin xdx a . Giá trị của= I2 ∫= π x2 + 1 dx b ln 2 − c ln 5 . Thương số giữa b ∫a x3 + = x 1 3 và c là: A. – 2. B. – 4. C. 2. D. 4. π Câu 136: Cho I= ∫ ( sin 3x + cos x ) dx= ( a cos 3x + bx sin + c sin 2 x ) 3 2 π 6 0 . Giá trị của 3a + 2b + 4c là: 0 A. – 1. B. 1. C. – 2. D. 2. Câu 137: Cho I n = ∫ tan n xdx với n ∈  . Khi đó I 0 + I1 + 2 ( I 2 + I 3 + … + I 8 ) + I 9 + I10 bằng 9 A. ∑ ( tan x ) r =1 r 9 +C . r B. ∑ ( tan x ) r =1 r +1 r +1 +C . 10 C. ∑ ( tan x ) r =1 r r +C . 10 D. ∑ ( tan x ) r =1 r +1 r +1 . TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT 1 Câu 138: Tích phân ∫e −x dx bằng 0 A. e − 1 . B. 1 −1. e C. e −1 . e D. C. 22018 . ln 2 D. 22018 . 1 . e 2018 Câu 139: Tích phân I = ∫ 2 x dx bằng 0 A. 22018 − 1 . B. 4 1 Câu 140: Biết ∫ f ( x)dx = và. 2 −1 22018 − 1 . ln 2 −1 = I ∫−1 f ( x)dx = 2 . Tính tích phân 0 B.= I 4e8 − 2 . A. I = 2e8 . 4 ∫ 4e 2x + 2 f ( x)  dx . 0 C. I = 4e8 . D.= I 2e8 − 4 . C. F ′ ( 2 ) = 4e16 . D. F ′ ( 2 ) = e 4 . x2 Câu 141: Cho F ( x ) = ∫ et dt . Tính F ′ ( 2 ) . 2 0 A. F ′ ( 2 ) = 4e 4 . Câu 142: Cho hàm số g ( x ) = B. F ′ ( 2 ) = 8e16 . x2 1 ∫ ln t dt với x > 0 . Đạo hàm của g ( x ) là x A. g ′ ( x ) = x −1 . ln x
Trang chủ
B. g ′ ( x ) = 1− x . ln x C. g ′ ( x ) = 1 . ln x D. g ′ ( x ) = ln x . +C Câu 143: ⇔ 3π 2 6 .Gọi S là ∫π f ( x ) dx = tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn 3 − 2 2 kx ∫ e dx < 1 2018.e k − 2018 . Số phần tử của tập hợp S bằng. k A. 7 . B. 8 . C. Vô số. D. 6 . e − nx dx với n ∈  . −x + 1 e 0 1 Câu 144: Cho I n = ∫ Đặt un = 1. ( I1 + I 2 ) + 2 ( I 2 + I 3 ) + 3 ( I 3 + I 4 ) + ... + n ( I n + I n +1 ) − n . Biết lim un = L . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. L ∈ ( −1;0 ) . https://toanmath.com/ B. L ∈ ( −2; −1) . C. L ∈ ( 0;1) . D. L ∈ (1; 2 ) . C . HƯỚNG DẪN GIẢI ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục trên [ a; b ] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. B. b a a b ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx . b b a a ∫ xf ( x ) dx = x ∫ f ( x ) dx . a C. ∫ kf ( x ) dx = 0 . a D. Câu 2. b b b a a a ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . Hướng dẫn giải Chọn B Dựa vào tính chất của tích phân, A, C, D đúng nên B sai. Khẳng định nào sau đây sai? b A. ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = a b C. b ∫ a b b a a f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . B. ∫= f ( x ) dx a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . a D. b b ∫ c b b a a c f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt . Hướng dẫn giải Câu 3. Chọn C Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên K , a, b ∈ K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? b A. ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = a b C. b ∫ a b b b a a a f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . B. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx . b b ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx . a a D. a b b b a a a ∫  f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx . Câu 4. Hướng dẫn giải Chọn C Cho hai số thực a , b tùy ý, F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên tập  . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? b A. ∫ f ( x= ) dx f ( b ) − f ( a ) . b B. a b C. ) dx ∫ f ( x= a ) dx ∫ f ( x= F ( a ) − F (b) . b D. ) dx ∫ f ( x= a Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ F (b) − F ( a ) . a F (b) + F ( a ) . b Theo định nghĩa, ta có ) dx ∫ f ( x= F (b) − F ( a ) . a Câu 5. Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [ a; b ] và c ∈ [ a; b ] . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. c A. b a c b b c c a a c ∫ a C. b f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . B. ∫ a ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . D. c b f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . a c b a b a c c ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . Hướng dẫn giải Chọn D b ∫ a Câu 6. a b c c f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) + F ( a ) − F= ( c ) F ( b ) − F ( c ) = ∫ f ( x ) dx . Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K và a, b, c ∈ K . Mệnh đề nào sau đây sai? b A. ∫ a C. b c b f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . c B. a b a a b ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt . a a ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx . D. ∫ f ( x ) dx = 0 . a Hướng dẫn giải Chọn A b Mệnh đề đúng là: ∫ a Câu 7. c c b a f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . Cho hàm số f ( t ) liên tục trên K và a, b ∈ K , F ( t ) là một nguyên hàm của f ( t ) trên K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. b b A. F ( a ) − F ( b ) = ∫ f ( t ) dt . B. a b b Theo định nghĩa ta có: b D. ∫ a (t ) ∫ f ( t ) dt = F = b a a . b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt . a F ( b ) − F ( a ) . Suy ra phương án A sai. a Câu 8. b a   C. ∫ f ( t ) dt =  ∫ f ( t ) dt  . a  a Bài giải Chọn A b ∫ f ( t ) dt = F ( t ) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây sai? b A. ∫ a B. b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt . a b a a b ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx . b dx k ( a − b ) , ∀k ∈  . C. ∫ k= a b f ( x ) dx D. ∫= a https://toanmath.com/ c b a c ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx , ∀c ∈ ( a; b ) . Hướng dẫn giải Chọn C b Ta có: ∫ kdx = kx = b a kb − = ka k ( b − a ) . a Câu 9. Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng định nào sau đây sai? a A. ∫ f ( x ) dx = 1 . B. a c C. ∫ a b f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx= c b ∫ b a a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx . f ( x ) dx, c ∈ ( a; b ) . D. a b ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt . a Hướng dẫn giải Chọn A a Ta có: ∫ f ( x ) dx = F ( a ) − F ( a ) = 0 . a Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. b a a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx . b c b a a c f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx , ∫= B. ∀c ∈  . b C. ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .D. a a ∫ f ( x ) dx = 0 . a Câu 11. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Khi đó hiệu số F ( 0 ) − F (1) bằng 1 A. ∫ f ( x ) dx . 0 1 B. ∫ − F ( x ) dx . 0 1 C. ∫ − F ( x ) dx . 0 1 D. ∫ − f ( x ) dx . 0 Hướng dẫn giải Chọn D 1 Ta có: 1 = −  F (1) − F (= 0 )  F ( 0 ) − F (1) . − f x x = − F x d ) ( ( ) ∫0 0 Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] , có đồ thị y = f ′ ( x ) như hình vẽ sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? b A. ∫ f ′ ( x ) dx là diện tích hình thang ABMN . B. a ∫ f ′ ( x ) dx a ∫ f ′ ( x ) dx b là dộ dài đoạn MN . D. ∫ f ′ ( x ) dx a Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ là dộ dài đoạn BP . a b C. b là dộ dài đoạn cong AB . Chọn B b x) ∫ f ′ ( x ) dx = f (= f ( b ) − f (= a ) BM − PM = BP . b a a a Câu 13. Cho hai tích phân ∫ f ( x ) dx = m và −a là: A. m − n . định. a a −a −a ∫ g ( x ) dx = n . Giá trị của tích phân ∫  f ( x ) − g ( x )dx C. m + n . B. n − m . D. Không thể xác Hướng dẫn giải a Cho hai tích phân ∫ f ( x ) dx = m và −a a a −a −a ∫ g ( x ) dx = n . Giá trị của tích phân ∫  f ( x ) − g ( x )dx là: a a a −a −a −a m−n. ∫  f ( x ) − g ( x )dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = Ta có ngay kết quả: Chọn A b = f ( x ) dx m và I 2 ∫= Câu 14. Cho tích= phân I1 b c c f ( x ) dx n . Tích phân I = ∫ f ( x )dx có giá trị ∫= a là: A. m + n . định. a B. m − n . C. −m − n . D. Không thể xác Hướng dẫn giải a b f ( x ) dx ∫= Cho tích= phân I1 b f ( x ) dx ∫= = m và I 2 n . Tích phân I = ∫ f ( x )dx có giá trị c a c là: b b a c a c m+n. Quy tắc “nối đuôi” cho ta: I = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = Chọn A b Câu 15. Tích phân ∫ f ( x )dx được phân tích thành: a A. C. b a c c b a ∫ f ( x ) + ∫ − f ( x )dx . ∫ c f ( x ) + ∫ f ( x )dx . c b B. a ∫ f ( x ) − ∫ − f ( x )dx . c c b a c c D. − ∫ f ( x ) + ∫ f ( x )dx . Hướng dẫn giải b Tích phân ∫ f ( x )dx được phân tích thành: a b Ta có: ∫ a b c b a c a c c f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x )dx . Chọn A 1 Câu 16. Cho ∫ f ( x ) dx = 3 . Tính tích= phân I −2 A. −9 . https://toanmath.com/ B. −3 . 1 ∫ 2 f ( x ) − 1 dx . −2 C. 3 . Hướng dẫn giải D. 5 . Chọn C 1 1 1 −2 −2 −2 Ta có I = 6 x −2 = 3. x ) − 1 dx 2 ∫ f ( x ) dx − ∫ dx =− ∫ 2 f (= 1 Câu 17. Cho hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 2;3] đồng thời f ( 2 ) = 2 , f ( 3) = 5 . Tính 3 ∫ f ′ ( x ) dx 2 bằng A. −3 . B. 7 . C. 10 Hướng dẫn giải D. 3 . Chọn D 3 x) 2 ∫ f ′ ( x ) dx = f (= Ta có f ( 3) − f ( 2 ) = 3 . 3 2 ∫ Câu 18. Cho f ′ ( x ) dx = 7 và f ( b ) = 5 . Khi đó f ( a ) bằng b a B. 0 . A. 12 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. −2 . Chọn D ∫ b a f ′ ( x ) dx = 7 ⇔ f ( b ) − f ( a ) = 7 ⇔ f ( a ) =f ( b ) − 7 =−2 . Câu 19. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] và f ( a ) = −2 , f ( b ) = −4 . Tính T 7 4 T 7 4 b T = ∫ f ′ ( x ) dx . a A. T = −6 . B. T = 2 . C. T = 6 . Hướng dẫn giải D. T = −2 . Chọn D b Ta có: T = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f (b) − f ( a ) = −2 . b a a Câu 20. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và f (1) − f ( 0 ) = 2 . Tính tích phân 1 ∫ f ′ ( x ) dx . 0 A. I = −1 . B. I = 1 . C. I = 2 . Hướng dẫn giải D. I = 0 . Chọn C 1 Ta có: 1 ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) 0 = f (1) − f ( 0 ) = 2 . 0 Câu 21. Cho hàm số y = f ( x ) thoả mãn điều kiện f (1) = 12 , f ′ ( x ) liên tục trên  và 4 ∫ f ′ ( x ) dx = 17 . Khi đó f ( 4 ) bằng 1 A. 5 . B. 29 . C. 19 . Hướng dẫn giải D. 9 . Chọn B 4 Ta có ∫ f ′ ( x ) dx = 17 ⇔ f ( x ) 4 1 = 17 ⇔ f ( 4 ) − f (1) = 29 . 17 ⇔ f ( 4 ) = 1 Câu 22. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ −1;3] và thỏa mãn f ( −1) = 4 ; f ( 3) = 7 . 19T 3 Giá trị của I = ∫ 5 f ′ ( x ) dx bằng −1 https://toanmath.com/ B. I = 3 . A. I = 20 . T 9 1 C. I = 10 . Hướng dẫn giải D. I = 15 . Chọn D 3 I = ∫ 5 f ′ ( x ) dx = 5 f ( x ) −1= 5 f ( 3) − 5 f ( −1= ) 5.7 − 5.4 = 15 . 3 T 9 1 −1 a b + + 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x2 x Câu 23. Cho hàm số f ( x ) = . Tính T= a + b . A. T = −1 . B. T = 2 . C. T = −2 . Hướng dẫn giải 1 ∫ f ( x ) dx= 2 − 3ln 2 1 2 D. T = 0 . Chọn C 1 Ta có ∫ 1 2 1  a   a b  f ( x ) dx = ∫  2 + + 2  dx = − + b ln x + 2 x  = a + 1 + b ln 2 . x  x 1  1 x 1 2 2 Theo giả thiết, ta có 2 − 3ln 2 = a + 1 + b ln 2 . Từ đó suy ra a = 1 , b = −3 . Vậy T =a + b =−2 . 3 dx Câu 24. Tính tích phân I = ∫ . x+2 0 A. I = 5 5 B. I = log . C. I = ln . 2 2 Hướng dẫn giải 4581 . 5000 D. I = − 21 . 100 Chọn C 3 Ta có: I = ∫ 0 dx = ln x + 2 x+2 2 2018 Câu 25. Tính tích phân I = ∫ 1 3 = ln 0 5 . 2 dx . x = A. I 2018.ln 2 − 1 . B. I = 22018 . C. I = 2018.ln 2 . Hướng dẫn giải C. I = 2018 . Chọn C = ln ( 22018 ) − ln1 = 2018.ln 2 . Ta có: I = ln x1 22018 1 Câu 26. = Tính I  1 ∫  2 x + 1 + 3 0  x  dx .  B. 4 + ln 3 . A. 2 + ln 3 . T 9 1 T 9 1 C. 2 + ln 3 . Hướng dẫn giải Chọn A  1  = += 3 x  dx T a có I ∫  2x +1  0 1 T 9 1 1 1 1 1 ∫0 2 x + 1 dx + 3∫0 xdx 1 1 2 1 = ln 2 x + 1 + 3. x = x ln 3= + 2 ln 3 + 2 . 2 3 2 0 0 1 = I Tính tích phân Câu 27. https://toanmath.com/ ∫ x (1 + x ) dx 2018 0 D. 1 + ln 3 . = I A. 1 1 + . 2018 2019 1 1 + . 2020 2021 = I B. . 1 1 1 1 + = I + . D. 2019 2020 2017 2018 = I C. Hướng dẫn giải Chọn C = Ta có: I 1 1 1 x ) dx ∫ ( x ∫ x (1 += 2018 2018 +x 2019 0 0  x 2019 x 2020  1 1 . + ) dx =   = +  2019 2020  0 2019 2020 3 x 2 khi 0 ≤ x ≤ 1 = y f= ( x)  Câu 28. Cho hàm số . Tính tích phân 4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2 7 5 A. . B. 1 . C. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 2 ∫ f ( x ) dx . 0 D. 3 . 2 2 2  7 3x3 x2  = + = x x + − x x f x x f x x 3 d 4 d d d f x d x 4 x = + − ) ) ) ( ( ( ) (   = = . ∫0 ( ) ∫1 ∫0 ∫1 ∫0 2 3 1  2 1  2 3 khi 0 ≤ x ≤ 1  = y f= Câu 29. Cho hàm số . Tính tích phân ∫ f ( x ) dx . ( x)  x +1 0 2 x − 1 khi 1 ≤ x ≤ 3 1 2 2 1 2 2 A. 6 + ln 4 . C. 6 + ln 2 . Hướng dẫn giải B. 4 + ln 4 . D. 2 + 2 ln 2 . Chọn A 3 f ( x ) dx Ta có: ∫= 0 1 ∫ 0 1 3 3 2 dx + ∫ ( 2 x − 1) dx f ( x ) dx + ∫ f ( x ) d= x ∫ x +1 0 1 1 = 2 ln x + 1 0 + ( x 2 − x= ) ln 4 + 6 . 3 1 1 3 x 2 khi 0 ≤ x ≤ 1 y f= = Cho hàm số . Tính ( x)  4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2 Câu 30. A. U U 7 . 2 2 ∫ f ( x )dx . 0 5 . 2 Hướng dẫn giải B. 1 . C. D. 3 . 2 Chọn A 1 Ta có, ∫ 0 1  x2  2 5 7 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =∫ 3 x dx + ∫ ( 4 − x ) dx =x +  4 x −  =1 + = . 0  2 1 2 2 1 0 1 2 1 2 2 3 4 6 x 2 khi x ≤ 0 y f= = Câu 31. Cho hàm số và I = ∫ f ( x )dx . Hỏi có tất cả bao nhiêu số ( x)  2 a − a x khi x ≥ 0 −1 nguyên a để I + 22 ≥ 0 ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có U U 4  a2 x2  2 I =∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx =∫ 6 x dx + ∫ ( a − a x )dx =2 x +  ax −  =2 + 4a − 8a . −1 2  0 −1 0 −1 0 0 4 0 4 2 https://toanmath.com/ 2 3 0 3 a∈ I + 22 ≥ 0 ⇔ 2 + 4a − 8a 2 + 22 ≥ 0 ⇔ 2a 2 − a − 6 ≤ 0 ⇔ − ≤ a ≤ 2  → a ∈ {−1;0;1; 2} . 2 Vậy có 4 giá trị nguyên của a thỏa mãn. b 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? ∫ ( 2 x − 1) dx = Câu 32. Biết a 1. A. b − a = 1. B. a 2 − b 2 = a − b − 1 . C. b 2 − a 2 = b − a + 1 . D. a − b = Hướng dẫn giải Chọn C b Ta có: 2 ∫ ( 2 x − 1) dx =( x − x ) a = b2 − b − ( a 2 − a ) . b a b Mà 1⇔b ∫ ( 2 x − 1) dx = 2 − b − a2 + a = 1 ⇔ b2 − a 2 = b − a + 1 . a 2 ∫ ( 2mx + 1) dx = I Câu 33. Đặt ( m là tham số thực). Tìm m để I = 4 . 1 B. m = −2 . A. m = −1 . C. m = 1 . Hướng dẫn giải D. m = 2 . Chọn C 2 Ta= có I ) dx ( mx ∫ ( 2mx + 1= 2 + x) = 2 ( 4m + 2 ) − ( m + 1= ) 1 1 3m + 1 . 1. I = 4 ⇔ 3m + 1 =4 ⇔ m = 3 3 2 0 2 0 ∫ f ( x)dx = a , ∫ f ( x)dx = b . Khi đó ∫ f ( x)dx bằng: Câu 34. Cho A. −a − b . B. b − a . C. a + b . Hướng dẫn giải D. a − b . Chọn D 3 f ( x)dx Do ∫= 0 2 3 2 3 3 2 2 0 0 2 0 a −b ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ⇔ ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx ⇔ ∫ f ( x)dx = 0 Câu 35. Giá trị nào của b để A. b = 0 hoặc b = 3 . b 0? ∫ ( 2 x − 6 ) dx = 1 B. b = 0 hoặc b = 1 C. b = 5 hoặc b = 0 . Hướng dẫn giải D. b = 1 hoặc b = 5 . Chọn D b Ta có ∫ ( 2 x − 6 ) dx = 1 (x 2 − 6 x ) = ( b 2 − 6b ) − (1 − 6 ) = b 2 − 6b + 5 . b 1 b = 1 Theo bài ra, có b 2 − 6b + 5 = 0 ⇔  . b = 5 a Câu 36. Có bao nhiêu giá trị thực của AD để có a−4 ∫ ( 2 x + 5) dx = 0 B. 0 . A. 1 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. Vô số. Chọn A a Ta có a − 4 ⇔ (x ∫ ( 2 x + 5) dx = 0 https://toanmath.com/ 2 y + 5x ) = a − 4 ( H )= a 0 x −1 m Câu 37. Xác định số thực dương m để tích phân ∫ ( x − x ) dx có giá trị lớn nhất. 2 0 B. m = 2 . A. m = 1 . C. m = 3 . Hướng dẫn giải D. m = 4 Chọn A m  x 2 x3  m 2 m3 = P ∫ ( x − x )= dx  − = . − 2 3 0  2 3 0 m 2 m 2 m3 0 hoặc m = 1 − ⇒ f ′( m) = m − m2 ⇒ f ′ ( m ) = 0⇔m= 2 3 Lập bảng biến thiên = Đặt f ( m ) Vậy f ( m ) đạt GTLN tại m = 1 . 2 Câu 38. Cho a là số thực thỏa mãn a < 2 và 4 . Giá trị biểu thức 1 + a ∫ ( 2 x + 1) dx = 3 bằng. a A. 0 . B. 2 . C. 1 . Hướng dẫn giải D. 3 . Chọn B 2 Ta có: ∫ ( 2 x + 1) dx =( x a 2  a < 2 2 ⇒a= 1. + x ) =6 − a 2 − a . Theo đề:  2 a 4 6 − a − a = 2. Vậy 1 + a 3 = 2 Câu 39. Tích phân I = ∫ 2 x.dx có giá trị là: 1 A. I = 1. B. I =2. C. I = 3. Hướng dẫn giải D. I = 4. 2 Tích phân I = ∫ 2 x.dx có giá trị là: 1 2  x2  2 x.dx 2.= x . dx 3. = Cách 1: I ∫=  2.=  ∫1  2 1 1 Chọn C Cách 2: Kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách 1. 2 2 1 Câu 40. Tích phân I= ∫ (x 3 + 3 x + 2 ) dx có giá trị là: −1 A. I = 1. B. I = 2. 1 Tích phân I= ∫ (x 3 C. I = 3. Hướng dẫn giải + 3 x + 2 ) dx có giá trị là: −1 1 3 1  Cách 1: I= ∫ ( x + 3 x + 2 ) dx=  x 4 + x 2 + 2 x  = 4 . 2 4  −1 −1 1 3 https://toanmath.com/ D. I = 4. Chọn D Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. −1 1 Câu 41. Cho gá trị của tích phân I1 =∫ ( x + 2 x )dx =a , I 2 = ∫ ( x 2 + 3 x )dx =b . Giá trị của 4 3 −1 4 A. P = − . 65 −2 12 B. P = . 65 C. P = − Hướng dẫn giải 1 −1 −1 −2 12 . 65 D. P = a là: b 4 . 65 Cho gá trị của tích phân I1 =∫ ( x 4 + 2 x3 )dx =a , I 2 = ∫ ( x 2 + 3 x )dx =b . Giá trị của a là: b Ta có: 1 1  2 2 1 I1 = ∫ ( x + 2 x )dx =  x 5 + x 4  = ⇒ a = . 2  −1 5 5 5 −1 1 4 3 −1 −1 13 13 1 3 3 2 I 2 =∫ ( x + 3 x )dx =  x + x  =− ⇒ b =− . 2  −2 6 6 3 −2 a 12 ⇒P== − . b 65 Chọn C 2 0 Câu 42. Tích phân I= ∫ (x 3 + ax + 2 )dx có giá trị là: −1 A. I= 7 a − . 4 2 B. I= 0 Tích phân I= ∫ (x 3 9 a 7 a − . + . C. I= 4 2 4 2 Hướng dẫn giải D. I= 9 a + . 4 2 D. I= a b + . 3 2 + ax + 2 )dx có giá trị là: −1 0 a 7 a 1  I = ∫ ( x + ax + 2 )dx = x 4 + x 2 + 2 x  = − . 2 4  −1 4 2 −1 Chọn A 0 3 1 = I Câu 43. Tích phân ∫ ( ax 2 + bx )dx có giá trị là: 0 A. I= a b + . 2 3 B. I= 1 = I Tích phân ∫ ( ax 2 a b a b + . + . C. I= 3 3 2 2 Hướng dẫn giải + bx )dx có giá trị là: 0 Ta có: 1 a b a 3 b 2 I=  x + x  =+ . ∫0 ( ax + bx )dx = 2 0 3 2 3 Chọn D a  1  Câu 44. Tích phân = I ∫  2 + 2 x dx có giá trị là: x  2 5 1 1 1 3 1 A. I =− − + a 2 . B. I =− − + a 2 . C. I =− − + a 2 . 2 a 2 a 2 a Hướng dẫn giải 1 2 https://toanmath.com/ 7 1 D. I =− − + a 2 . 2 a a Tích phân = I  1 ∫  x 2 2  + 2 x dx , với a ≠ 0 có giá trị là:  Ta có: a 1 7  1   1  I =∫  2 + 2 x dx = − + x 2  =a 2 − − . x a 2   x 2 2 Chọn D a 2 Câu 45. Tích phân I = ∫x 2 − x dx có giá trị là: −1 3 A. I = . 2 B. I = 1 . 6 C. I = − Hướng dẫn giải 3 . 2 1 D. I = − . 6 2 = I Tích phân ∫x 2 − x dx có giá trị là: −1 Ta có: x2 − x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 .  f ( x) Từ bảng xét dấu ta được: 0 2 1  1  3 1  1 I ∫ x − x dx = = ∫ ( x − x )dx + ∫ ( − x + x )dx =  x3 − x 2  +  − x3 + x 2 = . 2  −1  3 2 0 2 3 0 −1 −1 Chọn A 2 0 2 2 2 2 1 I Câu 46. Tích phân = ∫x 3 + x 2 − x − 1dx có giá trị là: −1 4 A. I = . 3 B. I = 1 . 2 C. I = − Hướng dẫn giải 4 . 3 D. I = − 1 . 2 1 Tích phân = I ∫x 3 + x 2 − x − 1dx có giá trị là: −1 Ta có: 2 2 x3 + x − x − 1 = 0 ⇔ ( x − 1)( x + 1) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −1  f ( x) Từ bảng xét dấu ta được: 1 1 1 4 1  I =∫ x + x − x − 1dx =− ∫ ( x + x − x − 1)dx =−  x 4 + x 3 − x 2 − x  = . 3 2 4  −1 3 −1 −1 Chọn A −1 x3 − 3x + 2 Câu 47. Tích phân I = ∫ dx có giá trị là: x −1 −2 7 17 7 17 A. I = − . B. I = . C. I = . D. I = − . 6 6 6 6 Hướng dẫn giải −1 x3 − 3x + 2 dx có giá trị là: Tích phân I = ∫ x −1 −2 Ta có: 1 1 3 2 https://toanmath.com/ 3 2 3 x +2 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x + 2 ) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −2 . x3 −  2 f ( x) Từ bảng xét dấu ta được: −1 −1 −1 1 7 x3 − 3x + 2 1  I ∫ dx = = ∫ ( x 2 + x − 2 )dx =  x3 + x 2 − 2 x  = . 2 x −1 3  −2 6 −2 −2 Chọn C 2 x2 − x − 2 dx có giá trị là: Câu 48. Tích phân I = ∫ x −1 −2 A. I = 3 − 2 ln 3 . 0 Tích phân I = ∫ −2 B. I = −2 ln 3 . C. I = 3 + 2 ln 3 . Hướng dẫn giải 2 x −x−2 dx có giá trị là: x −1 D. I = 3 − 3ln 2 . Ta có: x2 − x − 2 ⇒ f ( x ) =0 ⇔ x =−1 ∨ x =2 ∧ x ≠ 1 x −1 Từ bảng xét dấu ta được: 0 0 −1  x2 − x − 2  x2 − x − 2 x2 − x − 2 I == dx dx − + ∫ x −1 ∫  x − 1  −∫1 x − 1 dx . −2 −2  f ( x) = −1 −1 −1  x2 − x − 2   x2  2  5  I1 = − ∫  dx x dx = − − − = −   − 2 ln x − 1  = + 2 ln 2 − 2 ln 3 .   ∫ x −1  x −1   2  −2 2 −2  −2  0  x2 − x − 2   x2  1 == − 2 ln x − 1  =− 2 ln 2 . I2 = dx ...    ∫−1  x − 1   2  −1 2 ⇒ I = I1 + I 2 = 3 − 2 ln 3 . Chọn A −1 1  Câu 49. Tích phân I ∫  2ax3 + dx có giá trị là: = x −2  15a 15a 15a I − ln 2 . I + ln 2 . − + ln 2 . A. I = B.= C.= 16 16 16 Hướng dẫn giải −1 1  = I ∫  2ax3 + dx có giá trị là: Tích phân x −2  Ta có: 0 15a − − ln 2 . D. I = 16 −1 −1 1 15a  a 4  3 I= − − ln 2 .  x + ln x  = ∫−2  2ax + x dx = 16 2  −2 Chọn C 1 = I1 Câu 50. Biết tích phân 2 xdx a . Giá trị của= I2 ∫= 0 A. I 2 = 17 . 3 https://toanmath.com/ B. I 2 = 19 . 3 2 ∫(x 2 + 2 x )dx là: a C. I 2 = Hướng dẫn giải 16 . 3 D. I 2 = 13 . 3 2 1 2 xdx ∫= = I1 Biết tích phân ∫(x I2 a . Giá trị của= 2 + 2 x )dx là: a 0 Ta có: 1 I1 =∫ 2 xdx =( x 2 0 ) 2 2 0 2 16 1  =1 ⇒ I 2 =∫ ( x + 2 x ) dx =∫ ( x + 2 x ) dx = x3 + x 2  = . 3 1 3 1 a 2 1 2 Chọn C b = I Câu 51. Cho tích phân ∫(x 2 + 1) dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a b A. I = ∫(x b 2 a C. I= b + 1) dx = ∫ x 2 dx + ∫ dx . a b ∫(x (x 3 + x) . b a a 1 3 1 b + b − a3 − a . 3 3 = I Cho tích phân I B.= 2 D. Chỉ có A và C đúng. Hướng dẫn giải + 1) dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a Ta có: b 1 1 1  I= ∫ ( x + 1) dx=  x3 + x  = b3 + b − a 3 − a . 3 3 a 3 a Phát biểu (A): đúng. Phát biểu (B): sai. Phát biểu (C): đúng. Phát biểu (D): đúng. Chọn B b 2 0 với a = Câu 52. Số nghiệm nguyên âm của phương trình: x − ax + 2 = 3 3e 1 ∫ x dx là: 1 A. 0. B. 1. C. 2. Hướng dẫn giải D. 3. 0 với a = Số nghiệm nguyên âm của phương trình: x − ax + 2 = 3 3e 1 ∫ x dx là: 1 3e Ta có: a = 3e 1 2 dx = ln x = 3 ⇒ x3 − 3 x + 2 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x + 2 ) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −2 . ( ) ∫1 x 1 Chọn B 1 0 , với a = ∫ 2 xdx , a và b là các số hữu tỉ Câu 53. Số nghiệm dương của phương trình: x 3 + ax + 2 = 0 là: A. 0. B. 1. C. 2. Hướng dẫn giải D. 3. 1 0 , với a = ∫ 2 xdx là: Số nghiệm dương của phương trình: x + ax − 2 = 3 0 1 2 3 2 Ta có: a = ∫ 2 xdx = ( x ) = 1 ⇒ x + x − 2 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x + x + 2 ) = 0 ⇔ x = 1 . 0 Chọn B https://toanmath.com/ 1 0 x +1 −1 . x k Câu 54. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có 4 lim ∫ ( 2 x − 1) dx = x →0 1 k = 1 . B.   k = −2 k = 1 . A.  k = 2  k = −1 . C.   k = −2 Hướng dẫn giải  k = −1 . D.  k = 2 Chọn D k 2 k ( 2 x − 1)= ( 2k − 1) k 1 dx 1) Ta có: ∫ ( 2 x − 1)= ( 2 x − 1) d ( 2 x −= 2 ∫1 1 x +1 −1 Mà 4= lim 4 lim x →0 x →0 x ( )( 4 4 1 ) 2 − 1 4 x +1 −1 x +1 +1 1 lim 2 = 4= x →0 x +1 +1 x x +1 +1 ( ) x +1 −1 ( 2k − 1) − 1 =2 ⇔ 2k − 1 2 =9 ⇔  k = 2 . ⇔ x − 1) dx 4 lim Khi đó: ∫ ( 2= ( )  x →0 x 4  k = −1 1 Câu 55. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 + x − 1 − x trên tập  và thỏa mãn 2 k F (1) = 3 . Tính tổng F ( 0 ) + F ( 2 ) + F ( −3) . A. 8 . B. 12 . D. 10 . C. 14 . Hướng dẫn giải Chọn C Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: x Ta có: −∞ −1 1 +∞ 1+ x − 0 + | + 1− x + | + 0 − f2 ( x ) 2x 2 −2 f x d x = F 2 − F 1 = F 2 − ( ) ( ) ( ) 3 mà ∫ ( ) 1 ∫ f ( x= ) dx 1 2dx ∫= 1 dx ∫ 2 x= dx F (1) − F ( 0 ) = 3 − F ( 0 ) mà ∫ f ( x )= ∫ f ( x ) dx = 0 0 ∫ f ( x ) dx =F ( 0 ) − F ( −1) =2 − F ( −1)  2 nên F ( 2 ) = 5 . 2 1 x= 1 nên F ( 0 ) = 2 . 0 0 0 0 mà −1 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ 2 xdx = −1 F ( −1) = 3.  2 1 1 1  2 x2 0 −1 = −1 nên −1 −1 −1 −1 −3 −3 −3 −4 nên F ( −3) = 7. ∫ f ( x ) dx =F ( −1) − F ( −3) =3 − F ( −3) mà ∫ f ( x ) dx = ∫ −2dx = Vậy F ( 0 ) + F ( 2 ) + F ( −3) = 2 + 5 + 7 = 14 . 2 Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn ∫ (1 − n 2 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + ... + nx n −1 ) dx = −2 0 ? A. 1 . Chọn C https://toanmath.com/ B. 2 . C. 0 . Hướng dẫn giải D. 3 . 2 Ta ∫ (1 − n có: 2 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + ... + nx n −1 ) dx = −2 0 ⇔ ( x − n 2 x + x 2 + x3 + x 4 + ... + x n ) = −2 2 0 ⇔ 2 − 2n + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = −2 ⇔ 1 + 2 + 22 + ... + 2n −1 = n 2 + 1 ⇔ 2n − 1 = n 2 + 1 ⇔ 2n − n 2 − 2 = 0 . Thử với các giá trị n ∈ {1; 2;3; 4} đều không thỏa mãn. 2 2 3 4 n Với n ∈  , n ≥ 5 ta chứng minh 2n > n 2 + 2 (1) . Dễ thấy n = 5 thì (1) đúng. Giả sử (1) đúng với n = k với k ∈  , k ≥ 5 . Khi đó 2k > k 2 + 2 . Khi đó: 2k +1 > 2 ( k 2 + 2 ) = k 2 + k 2 + 2 + 2 > k 2 + 2k + 1 + 2 = ( k + 1) + 2 . (1) đúng. 2 Do đó (1) đúng với n= k + 1 . Theo nguyên lý quy nạp thì Vậy không tồn tại số nguyên n . Câu 57. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) trên đoạn [ −2;1] và [1; 4] lần lượt bằng 9 và 12 . Cho f (1) = 3 . Giá trị biểu thức f ( −2 ) + f ( 4 ) bằng B. 9 . A. 21 C. 3 . Hướng dẫn giải D. 2 . Chọn C 1 Theo giả thiết ta có ∫ 4 f ′ ( x ) dx = 9 và ∫ f ′ ( x ) dx = 12 . −2 Dựa vào đồ 1 1 thị ta 1 f ′ ( x ) dx =− ∫ f ′ ( x ) dx =− f ( x ) −2 =− f ( −1) + f ( −2 ) ∫ có: −2 ⇒ − f (1) + f ( −2 ) =9 . 1 −2 Tương tự ta có − f ( 4 ) + f (1) = 12 . Như vậy  − f (1) + f ( −2 )  −  − f ( 4 ) + f (1)  =−3 ⇔ f ( −2 ) + f ( 4 ) − 2 f (1) = −3 ⇔ f ( −2 ) + f ( 4 ) − 6 =−3 ⇔ f ( −2 ) + f ( 4 ) = 3. 2 I Câu 58. Cho= 2 J ∫ ( 2 x − x − m ) dx và= 0 A. m ≥ 3 . 1 ∫(x B. m ≥ 2 . 2 − 2mx ) dx . Tìm điều kiện của m để I ≤ J . 0 C. m ≥ 1 . Hướng dẫn giải Chọn A 2  2 x3 x 2  10 I ∫ ( 2 x − x − m ) dx=  − 2m . Ta có= − − mx = 2 0  3 0 3 2 2
Trang chủ
D. m ≥ 0 . 1  x3  1 = J ∫ ( x − 2mx ) = dx  − mx 2  = −m. 0  3 0 3 10 1 Do đó I ≤ J ⇔ − 2m ≤ − m ⇔ m ≥ 3 3 3 1 2 Câu 59. Biết rằng hàm số f ( x ) = ax 2 + bx + c thỏa mãn 1 ∫ 0 3 ∫ f ( x ) dx = 0 A. P = − 7 f ( x ) dx = − , 2 2 ∫ f ( x ) dx = −2 và 0 13 (với a , b , c ∈  ). Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c . 2 3 . 4 B. P = − 4 . 3 C. P = Hướng dẫn giải 4 . 3 D. P = 3 . 4 Chọn B d d Ta có ∫ 0 b a b a  f ( x ) dx =  x3 + x 2 + cx  = d 3 + d 2 + cd . 2 2 3 0 3 1 7 7 a b  ∫ f ( x ) dx = − + + c =−  2  0 3 2 2 a = 1   2  4 8 Do đó:  ∫ f ( x ) dx = −2 ⇔  a + 2b + 2c = 3 . Vậy P =a + b + c =− −2 ⇔ b = 3 0  3 16 9 13 3 c = −  13 3   ∫ f ( x ) dx = 9a + 2 b + 3c = 2  2  0 TÍCH PHÂN HỮU TỈ 1 x −5 Câu 60. Biết ∫ dx= a + ln b với a , b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2x + 2 3 A. ab = 9 7 B. a + b = . C. ab = . 8 24 Hướng dẫn giải 8 . 81 3 D. a + b = . 10 Chọn A 1 1 1 1 4 1 x −5 1  6  dx = Ta có: ∫ 1 −  dx =2 ( x − 6 ln x + 1 ) 1= 2 1 − 6 ln 2 − 3 + 6 ln 3  ∫ 2 1  x +1    1 2x + 2 1 3 3 3 1 8 1 8 8 + ln . Vậy= ab = . . 3 27 3 27 81 1 2ax dx ln 2 . Giá trị của a là: Câu 61. Tích= phân I ∫= x +1 0 = A. a = ln 2 . 1 − ln 2 1 Tích= phân I
Trang chủ
2ax dx ∫= x +1 0 Ta có: B. a = ln 2 ln 2 . C. a = . 2 − 2 ln 2 1 + ln 2 Hướng dẫn giải ln 2 . Giá trị của a là: D. a = ln 2 . 2 + 2 ln 2 1 2ax 1   I= ∫ dx = 2a ∫ 1 −  dx = 2a ( x − ln x + 1 ) 0 = 2a (1 − ln 2 ) . x +1 x +1  0 0 1 1 Mà I= ln 2 ⇔ 2a (1 − ln 2 )= ln 2 ⇔ a= ln 2 . 2 − 2 ln 2 Chọn B 1 1 Câu 62. Cho I = ( a b ) ln 2 + b ln 3 . Giá trị a + b là: ∫0 3 + 2 x − x 2 dx =− A. 1 . 4 B. 1 . 2 1 . 6 Hướng dẫn giải C. D. 1 . 3 1 1 Cho I = ( a b ) ln 2 + b ln 3 . Giá trị a + b là: ∫0 3 + 2 x − x 2 dx =− Ta có: 1   1 1  4  1 1 1 1 1 1 + 4  = ( ln x + 1 − ln x − 3 ) = ln 3 ⇒ a = b = ⇒ a + b = I=∫ dx = ∫  2 0 x +1 3 − x  4 3 + 2x − x 4 4 2 0 0   . Chọn B 2 x2 S 2a + b , giá trị của S thuộc khoảng nào sau đây a + ln b ( a, b ∈  ) . Gọi = Biết ∫0 x + 1 dx = Câu 63. 1 ? A. ( 8;10 ) . B. ( 6;8 ) . C. ( 4; 6 ) . Hướng dẫn giải D. ( 2; 4 ) . Chọn D Ta có 2  x2  a = 0 1   x − 1 + d x = ⇒S = 3.  − x + ln ( x + 1)  = ln 3 = a + ln b ⇒   ∫0  x +1  b = 3  2 0 Vậy S ∈ ( 2; 4 ) . 2 x2 ∫0 x + 1 dx = 2 x   dx có giá trị là: x +1  1 10 10 10 A. I = + ln 2 − ln 3 . B. I = − ln 2 + ln 3 . C. I = − ln 2 − ln 3 . D. 3 3 3 10 I = + ln 2 + ln 3 . 3 Hướng dẫn giải 2 x   = I ∫  x2 + Tích phân  dx có giá trị là: x +1  1 2 = I Câu 64. Tích phân  ∫  x 2 + 2 2  x3  1  x   2  2 1 = I ∫ x + = dx x + − = dx  + x − ln x + 1     ∫ x +1  x +1  3 1 1 1 Ta có: 8 1  10 = + 2 − ln 3 −  + 1 − ln 2  = + ln 2 − ln 3 3 3  3 Chọn A 2
Trang chủ
Câu 65. Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm 2  1  tra mà Tích phân = I ∫  2 + 2 x  dx có giá trị là: x  1 11 5 7 9 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 2  1  I ∫  2 + 2 x  dx có giá trị là: = Tích phân x  1 2 7  1   1  Cách 1: I =∫  2 + 2 x  dx = − + x 2  = . x   x 1 2 1 Chọn B Cách 2: DÙng máy tính cầm tay. 1  ax  = − 2ax  dx có giá trị là: I ∫ Câu 66. Tích phân x +1  0 A. I = −a ln 2 . B. I = −2 ln 2 . C. I = 2 ln 2 . Hướng dẫn giải 1  ax  = − 2ax  dx có giá trị là: I ∫ Tích phân x +1  0 2 D. I = a ln 2 . 1 1 x  ax  I =∫  − 2ax  dx =a ∫ dx − 2a ∫ xdx =a ( x − ln x + 1 ) − a ( x 2 ) =a (1 − ln 2 ) − a =−a ln 2 0 0 x +1 x +1  0 0 0 . Chọn A a a x Câu 67. Tích phân= I ∫  +  dx ,với a ≠ 0 có giá trị là: x a 1 2 a2 + 1 a +1 A. I a ln a + . B. . = I a ln a + = 2a 2a a2 −1 a2 −1 C. I a ln a + . D. . = I a ln a + = 2a 2a Hướng dẫn giải a a x Tích phân= I ∫  +  dx , với a ≠ 0 có giá trị là: x a 1 Ta có: 1 1 1 a  x2  a 1 a2 −1 a x . I ∫  + = dx  a ln x + = a ln a a ln a = + − = +  2a  1 2 2a 2a x a  1 Chọn C 3 2 2 a x + 2x Câu 68. Tích phân I = ∫ dx có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là: ax 2 2 1 A. 2 5 . B. . C. . D. 5 . 5 5 Hướng dẫn giải 3 2 2 a x + 2x Tích phân I = ∫ dx có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là: ax 2 Ta có: a
Trang chủ
3 2 5a 2 a2 x2 + 2x  a 2 2  I=  x + x = + ∫2 ax dx = ∫2  ax + a  dx = a 2 2 a 2 3 3 Vì a là số thực dương nên I = 5a 2 5a 2 + ≥2 . = 2 5. 2 a 2 a Chọn A  2 Câu 69. Tích phân I = ∫  ax 2 1 I A.= 7 a − b ln 2 . 3  2 I = Tích phân ∫  ax 1 b +  dx có giá trị là: x I 3a − b ln 2 . B. = I C.= Hướng dẫn giải 2 7 a + b ln 2 . 3 I 3a + b ln 2 . D. = b +  dx có giá trị là: x Ta có: 2 7a  2 b a 3  I=  x + b ln x  = + b ln 2 . ∫1  ax + x  dx = 3 3 1 Chọn C 1 b   = I ∫  ax 3 + Câu 70. Tích phân dx có giá trị là: x+2 −1  a a − b ln 3 . + b ln 3 . A. I = −b ln 3 . B. I= C. I= 2 2 Hướng dẫn giải 1 b   Tích phân = I ∫  ax 3 + dx có giá trị là: x+2 −1  Ta có: 2 D. I = b ln 3 . 1 b   a 4  I = ∫  ax 3 + dx =  x + b ln x + 2  = b ln 3 . x+2 4  −1 −1  Chọn D 1 e2 Câu 71. Tích phân I = ∫ e x +1 dx có giá trị là: x2 1 1 A. I =1 − + 2 . e e e2 Tích phân I = ∫ e e2 1 1 1 1 B. I =1 − − 2 . C. I =1 + + 2 . e e e e Hướng dẫn giải 1 1 D. I =1 + − 2 . e e x +1 dx có giá trị là: x2 e2 e2 x +1 1 1 1 1 1   I = ∫ 2 dx = ∫  + 2  dx = ln x −  =1 + − 2 . x x x  xe e e  e e  Chọn D 1 x P 2a − 1 có giá trị là: dx a . Biểu thức = Câu 72. Giá trị của tích = phân I ∫= x +1 0 A. P = 1 − ln 2 .
Trang chủ
B. P= 2 − 2 ln 2 . C. P = 1 − 2 ln 2 . Hướng dẫn giải D. P= 2 − ln 2 . 1 Giá trị của tích = phân I x dx ∫= x +1 P 2a − 1 có giá trị là: a . Biểu thức = 0 Tacó: 1 x 1   = − = − + = I= dx 1 dx x ln x 1 1 − ln 2 ⇒ a = 1 − ln 2 ⇒ P = 2a − 1 = 1 − 2 ln 2 ) (   ∫0 x + 1 ∫0  x + 1  0 1 1 . Chọn C e2  1 + x + x2  = ∫e  x dx a . Biểu thức P= a − 1 có giá trị là: 1 1 1 1 e + e 2 + e 4 . B. P =−e + e 2 + e 4 . A. P = 2 2 2 2 1 2 1 4 1 2 1 4 e+ e − e . C. P =−e − e + e . D. P = 2 2 2 2 Hướng dẫn giải e2 2  1+ x + x  = Giá trị của tích phân I ∫=  dx a . Biểu thức P= a − 1 có giá trị là: x   e Ta có: = Câu 73. Giá trị của tích phân I e2 e2 2 e  1 + x + x2   x2  e2 e4 1  I = ∫ dx = ∫  + 1 + x dx =  ln x + x +  = 1 − e + + . 2 e 2 2 x x    e  e  1− e + ⇒a= e2 e4 e2 e4 e2 e4 + ⇔ a −1 = −e + + ⇔ P = −e + + . 2 2 2 2 2 2 Chọn B 3x 2 + 5 x − 1 2 dx a ln + b , với a, b∈  . Tính giá trị a + 2b . ∫−1 x − 2 = 3 A. 30 . B. 40 . C. 50 . D. 60 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta 0 Câu 74. Biết = I 3x 2 + 5 x − 1 ∫ x − 2 d=x −1 0 = I 40. Vậy a + 2b = 2 Câu 75. Tính tích phân: I = ∫ 1  3x 2  21  2 19  + + = + 11x + 21ln x − 2  = 21.ln + . 3 x 11 d x   ∫−1  x−2 3 2  2  −1 0 x +1 dx . x A. I = 1 − ln 2 . B. I = 2 ln 2 . C. I = 1 + ln 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 Ta có I = ∫ 1 x +1 d= x x 1 Câu 76. Tính tích phân I = ∫ 0
Trang chủ
có: 0  1 ∫ 1 + x  dx= ( x + ln x ) 2 1 dx . x −9 2 2 1 = 1 + ln 2 . D. I = 7 . 4 1 1 A. I = ln . 6 2 1 1 1 B. I = − ln . C. I = ln 2 . 6 2 6 Hướng dẫn giải D. I = ln 6 2 . Chọn A 1 1  1 1  1 1 dx 1 x −3  1 1 ln . = = I= − Ta có: I = ∫ 2  ln − ln1=   dx = ln ∫ 6 0  x −3 x +3 x −9 6 x+3 0 6 2  6 2 0 1 1 4 Câu 77. Biết I = ∫x 3 dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5, với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c. +x 2 B. S = 2 . A. S = 6 . C. S = −2 . Hướng dẫn giải D. S = 0. Chọn B 4 dx 1 1 1 1 I =∫ 2 = − . . Ta có: 2 = x +x x + x x( x + 1) x x + 1 3 Khi đó: 4 4 dx 1  1 4 I= ∫ 2 = ∫ −  dx = ( ln x − ln( x + 1) ) |3 = (ln 4 − ln 5) − (ln 3 − ln 4) = 4 ln 2 − ln 3 − ln 5. x + x x x + 1  3 3 4, b = −1, c = −1. Vậy S = 2. Suy ra: a = 5 3 dx = a ln 5 + b ln 2 ( a, b ∈ Z ) . Mệnh đề nào sau đây đúng? + 3x 1 0. 0. 0. 0. A. a + 2b = B. 2a − b = C. a − b = D. a + b = Hướng dẫn giải Chọn D 5 5 5 3 1  1 1 và b = −1 . = d x ∫1 x 2 + 3x ∫1  x − x + 3  dx =( ln x − ln x + 3 ) 1 = ln 5 − ln 2 ⇒ a = 0. Ta có: a + b = 2 x −1 a ln 5 + b ln 3; a, b ∈  . Tính P = ab . dx = Câu 79. Giả sử ∫ 2 x + 4x + 3 0 Câu 78. Biết rằng ∫x 2 A. P = 8 . B. P = −6 . U D. P = −5 . C. P = −4 . Hướng dẫn giải U Chọn B BN M R 2 x −1 x −1 2   −1 = = + = − + + + = 2 ln 5 − 3ln 3 x x x x x d d d ln 1 2 ln 3 ( )   ∫0 x 2 + 4 x + 3 ∫0 ( x + 1)( x + 3) ∫0  x + 1 x + 3  0 2 2 2 Suy ra:. Do đó: P = ab = −6 . x2 + 2x 2, b = −3 I1 ∫= dx a= Câu 80. Cho giá trị của tích phân a = = , I2 x +1 1 thức P= a − b là: 7 3 A. P = + ln 2 − ln 3 . B. P = + ln 2 − ln 3 . 2 2 5 1 C. P = + ln 2 − ln 3 . D. P = + ln 2 − ln 3 . 2 2 Hướng dẫn giải 2
Trang chủ
e2 1 dx ∫= x e b . Giá trị của biểu x2 + 2x = dx = a , I2 Cho giá trị của tích phân I1 ∫= x +1 1 có giá trị là: Ta có: 2 e2 1 dx ∫= x b . Giá trị của biểu thức P= a − b e 2 2  x2  1  5 5 x2 + 2x  I1 =∫ dx =∫  x + 1 − dx =  + x − ln x + 1  = + ln 2 − ln 3 ⇒ a = + ln 2 − ln 3  2 x +1 x +1   2 1 2 1 1 2 . e2 e2 1 I 2 = ∫ dx =( ln x ) =1 ⇒ b =1 . x e e P = a −b = 3 + ln 2 − ln 3 . 2 Chọn B x3 − 3x 2 + 2 Câu 81. Giá trị của tích phân I = ∫ 2 dx gần nhất với gái trị nào sau đây? x + x−2 −1 ln 2 3 ln 3 A. − . B. ln 2 − 1 . C. − ln 4 . D. − . 2 2 3 Hướng dẫn giải 0 3 2 x − 3x + 2 dx gần nhất với gái trị nào sau đây? Giá trị của tích phân I = ∫ 2 x + x−2 −1 Ta có: 0 x3 − 3x 2 + 2 I=∫ 2 dx + − x x 2 −1 0 0 0 ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 2 ) x2 − 2 x − 2 6   ∫−1 ( x − 1)( x + 2 ) dx= −∫1 x + 2 dx= −∫1  x − 4 + x + 2  dx= 0 = 0  x2  9  − 4 x + 6 ln x + 2  = 6 ln 2 − 2  2  −1 Chọn A ax + 1 3 4 3 2 dx ln + ln . Giá trị của a là: = 5 3 5 3 + 3x + 2 1 1 2 3 A. a = . B. a = . C. a = . 5 5 5 Hướng dẫn giải 2 ax + 1 3 4 3 2 Tích phân = I ∫ 2 = dx ln + ln . Giá trị của a là: x + 3 x + 2 5 3 5 3 1 Ta có: 2 2 2 ax + 1 x 1 = I ∫= dx a ∫ 2 dx + ∫ 2 dx . 2 x + 3x + 2 x + 3x + 2 x + 3x + 2 1 1 1 2 I = Câu 82. Tích phân ∫x 2 D. a = 2 1  x  2 I1 a ∫ 2 dx a ∫  = = − = dx a ( 2 ln x + 2 − ln x + 1 ) 1 x + 3x + 2 x + 2 x +1 1 1 Xét . 4 2 = a ( 2 ln 4 − 3ln 3 + ln 2 )= 2a ln + a ln 3 3 2 2 1 4 2 dx =( ln x + 1 − ln x + 2 ) =− ln − ln . Xét I 2 =∫ 2 1 x + 3x + 2 3 3 1 2
Trang chủ
2 4 . 5 4 2 ⇒ I = I1 + I 2 = ( 2a − 1) ln + ( a − 1) ln 3 3 3 4 3 2 4 I a ln + ln ⇒= Theo đề bài:= . 5 3 5 3 5 Chọn D a x2 + 1 1 7 Câu 83. Tích phân I ∫= dx ln . Giá trị của a là: = 3 3 2 x + 3x 1 A. a = 1 . B. a = 2 . C. a = 3 . D. a = 4 . Hướng dẫn giải a 2 x +1 1 7 Tích phân I ∫= dx ln . Giá trị của a là: = 3 3 2 x + 3x 1 Ta có: a a3 + 3 a a3 + 3 a 1 1 1 1 a 3 + 3a x2 + 1 ln ln I= ∫ 3 dx ⇒ dt = t = t x3 + 3x . , với = ( ) ∫ 4 3 3 3 3 4 x + x t 1 4 Theo đề bài: Chọn B Câu 84. Biết 1 a 3 + 3a 1 7 ln = ln ⇔ a 3 + 3a − 14 = 0 ⇔ ( a − 2 ) ( a 2 + 2a + 7 ) = 0 ⇔ a = 2 . 3 4 3 2 x +1 dx ∫ ( x − 1)( 2 − x )= . 1. A. a + b = a.ln x − 1 + b.ln x − 2 + C , a, b ∈  . Tính giá trị của biểu thức a + b 5. C. a + b =−1 . B. a + b = Hướng dẫn giải: U U D. a + b =−5 . Chọn C −x −1 A B = + . ( x − 1)( x − 2 ) x − 1 x − 2 1 A ( x − 2 ) + B ( x − 1) . ⇔ − x −= 2 −1 A + B = A = ⇔ ⇔ . −1  B = −3 −2 A − B = 3  x +1  2 dx ∫  = − Nên: ∫ dx . ( x − 1)( 2 − x )  x −1 x − 2  = 2 ln x − 1 − 3ln x − 2 + C . Vậy a = 2 , b = −3 . Vậy a + b =−1 . 1 3x − 1 a 5 a = dx 3ln − , trong đó a, b là hai số nguyên dương và Câu 85. Biết ∫ 2 là phân số tối x + 6x + 9 b 6 b 0 giản. Tính ab ta được kết quả. A. ab = −5. B. ab = 27. C. ab = 6. D. ab = 12. Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 3x − 1 3x − 1 d x = ∫0 x 2 + 6 x + 9 ∫0 ( x + 3)2 dx U Đặt t = x + 3 ⇒ dt = dx; x = t − 3 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3; x = 1 ⇒ t = 4 Khi đó:
Trang chủ
U 4 3 ( t − 3) − 1 10  4  3 10   K= ∫0 ( x + 3)2 dx =∫3 t 2 dt =∫3  t − t 2  dt = 3ln t + t  3 1 3x − 1 4 5 4 5 = 3ln − ⇒ a = 4, b = 3 ⇒ a.b =12 . 6 3 6 3 2 x − 3x + 2 a 2b 2 + 3c3 . dx = a ln 7 + b ln 3 + c với a , b , c ∈  . Tính T =+ Câu 86. Biết ∫ 2 x − x +1 2 A. T = 4 . B. T = 6 . C. T = 3 . D. T = 5 . Hướng dẫn giải Chọn A = 3ln 4 − 3ln 3 − 2x −1  x 2 − 3x + 2  2 ∫2 x 2 − x + 1 dx =∫2 1 − x 2 − x + 1  dx = x − ln x − x + 1 3 ( 3 ) 3 2 a = −1  =− ln 7 + ln 3 + 1 , suy ra b = 1 . c = 1  4. a + 2b 2 + 3c3 = Vậy T = 0 2 3x + 5 x − 1 2 dx a.ln + b . Khi đó giá trị a + 2b là: = Câu 87. Giả = sử I ∫ 3 x−2 −1 A. 30. B. 40. C. 50. D. 60. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 0 0   3x 2 0 3x 2 + 5 x − 1 21  2 19 = = + 11x + 21ln x − 2  = 21ln + d= d I ∫ x ∫  3 x + 11 + x   −1 x−2 x−2 3 2   2  −1 −1 5 Câu 88. 3 = dx a ln 5 + b ln 2 ( a, b ∈  ) . Mệnh đề nào sau đây đúng? + 3x 1 0. 0. A. a + 2b = B. 2a − b = 0. 0. C. a − b = D. a + b = Hướng dẫn giải: Chọn D 5 5 3 1  1 d x = ∫1 x 2 + 3x ∫1  x − x + 3  dx Biết rằng ∫x 2 =( ln | x | − ln | x + 3 |) 1 =ln 5 − ln 2 . 5 Vậy a = 1, b = −1 . x+2 P 2a − b là dx = a ln 5 + b ln 3 + 3ln 2 ( a, b ∈  ) thì giá trị của = − 3x + 1 2 15 15 A. P = 1 . B. P = 7 . C. P = − . D. P = . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 3 Câu 89. Nếu ∫ 2x 2
Trang chủ
1 4x − 3 11 1 x+2 = ∫2 2 x 2 − 3x + 1 dx 4 ∫2 2 x 2 − 3x + 1 dx + 4 ∫2 2 x 2 − 3x + 1 dx 3 3 3 3 3 1 1 11 1 = d ( 2 x 2 − 3 x + 1) + ∫ dx 2 ∫ 4 2 2 x − 3x + 1 4 2 ( x − 1)( 2 x − 1) 3 1 11  1 2  = ln 2 x 2 − 3 x + 1 + ∫  −  dx 4 4 2  x −1 2x −1  2 3 3 1 11 2 1 1 11 x −1 = ln 2 x 2 − 3 x + 1 + ln = ( ln10 − ln 3) +  ln − ln  4 5 3 4 4 2x −1 2 4 2 3 1 10 11 6 1 11 5 5 ln + ln = − ln 5 + ln 3 + 3ln 2 . ( ln 5 + ln 2 − ln 3) + ( ln 2 + ln 3 − ln 5) = 4 3 4 5 4 2 2 4 15 5 5 Do đó a = − , b = , P = − . 2 2 2 3 x+3 dx = m ln 2 + n ln 3 + p ln 5 , với m , n , p là các số hữu tỉ. Tính Câu 90. Cho ∫ 2 3 2 x x + + 1 = S = m2 + n + p 2 . A. S = 6 . B. S = 4 . D. S = 5 . C. S = 3 . Hướng dẫn giải Chọn A 3 3 2 x + 4 − ( x + 1) x+3 x+3 = x d = dx dx ∫ Ta có ∫ 2 ∫ + + x x 1 2 x + 1 x + 2 3 2 x x + + ) ( )( ( )( ) 1 1 1 3 = 3  1  3 = 2x + 4 x +1  ∫  ( x + 2 )( x + 1) − ( x + 2 )( x + 1)  dx  2 3 1 2 ln ( x + 1) 1 − ln ( x + 2 ) 1 = 2 ln 4 − 2 ln 2 − ( ln 5 − ln 3) ∫ x + 1 dx − ∫ x + 2 dx= 1 3 3 1 m = 2 2 4  2 = 2 ln   − ln 5 + ln 3 = 2 ln 2 + ln 3 − ln 5 ⇔ n = 1 ⇔ S = 2 + 1 + ( −1) = 6 . 2   p = −1 2 x2 dx= a + ln b với a , b ∈  , b > 0 . Hỏi giá trị 2a + b thuộc khoảng nào sau Câu 91. Biết rằng ∫ x +1 0 đây? A. ( 8;10 ) . B. ( 6;8 ) . C. ( 4; 6 ) . Hướng dẫn giải D. ( 2; 4 ) . Chọn D 2 Ta có: x2 ∫0 x + 1 d=x 2  x2  1   1 d ln 1 x − + = x − x + x + = ln 3     ∫0  2 x +1   0 2 ⇒a= 0, ⇒ 2a + b = 3. 4 dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c Câu 92. Biết I = ∫ 2 x +x 3 A. S = 6 . Chọn B
Trang chủ
B. S = 2 . C. S = −2 . Hướng dẫn giải D. S = 0 . b=3 Cách 1: 4 1 dx = I= ∫ 2 x +x 3 4 4 1 4 3 x ∫3 x ( x + 1) dx = ln x + 1 3 = ln 5 − ln 4 = 4 ln 2 − ln 3 − ln 5 . 2. Suy ra a = 4, b = c = −1 ⇒ S = Cách 2: Ta có: 4 4 4 4 1 1 1 1 I=∫ 2 dx = ∫ dx = ∫ d x − ∫ dx = ln 4 − ln 3 − ln 5 + ln 4 = 4 ln 2 − ln 3 − ln 5 x +x x ( x + 1) x x +1 3 3 3 3 2. Suy ra a = 4, b = c = −1 ⇒ S = 2 dx 1 1 = + , với a , b là các số nguyên thuộc khoảng ( −7;3) thì a và b là − 4x +1 a b 1 nghiệm của phương trình nào sau đây? 0. 0. 0. A. 2 x 2 − x − 1 =0 . B. x 2 + 4 x − 12 = C. x 2 − 5 x + 6 = D. x 2 − 9 = Hướng dẫn giải Chọn B ∫ 4x Câu 93. Biết 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 dx dx −2 + . = =∫ Ta có ∫ 2 ( 2 x − 1) d ( 2 x − 1) =− 2 ⋅ 2 x − 1 =− + = 2 ∫ 6 2 −6 2 21 4 x − 4 x + 1 1 ( 2 x − 1) 1 1 a = −6 a = 2 0. Suy ra  hoặc  và a , b là nghiệm của phương trình x 2 + 4 x − 12 = b = 2 b = −6 5 2 x + x +1 b dx= a + ln với a , b là các số nguyên. Tính S= a − 2b . Câu 94. Biết ∫ x +1 2 3 A. S = −2 . B. S = 5 . C. S = 2 . Hướng dẫn giải D. S = 10 . Chọn C 5 x2 + x + 1 1  25 9 3  1 2  dx = ∫  x + Ta có ∫  dx =  x + ln x + 1  = + ln 6 − − ln 4 = 8 + ln . x +1 x +1  2 2 2 3 2 3 3 Vậy a = 8 , b = 3 . Suy ra S =a − 2b =8 − 2.3 =2 . 3 dx = a ln 2 + b ln 5 + c ln 7 , ( a, b, c ∈  ) . Giá trị của biểu thức 2a + 3b − c Câu 95. Biết ∫ x + 2 )( x + 4 ) 0 ( 5 47T T 7 4 5 T 7 4 bằng A. 5 . T 7 4 B. 4 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. 3 . Chọn D 3 3 3 1  1 1  dx 1 1 1 1 = − d x = ln x + 2 − ln x + 4 = ln 5 − ln 7 + ln 2 . ( )   ∫0 ( x + 2 )( x + 4 ) 2 ∫0  x + 2 x + 4  0 2 2 2 2 1 1 1 Khi đó: 2a + 3b − c = 2. + 3. + = 3 . 2 2 2 4 1 dx = ln a . Câu 96. Tìm giá trị của a để ∫ x − 1)( x − 2 ) 3 ( T 7 4 T 7 4 A. 12 . Chọn B
Trang chủ
B. 4 . 3 1 . 3 Hướng dẫn giải: C. D. 3 . 4 4 1  2 1 4 x−2  1 2 2 dx ∫  − = ln − ln = ln  .  = ln = ln a  dx = ln ∫3 ( x − 1)( x −= 2) x − 2 x −1  3 2 3 x −1 3 3 1 3 4 ⇒a= 3 1 1   1 − a ln 2 + b ln 3 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây Câu 97. Cho ∫   dx = x + x + 1 2   0 đúng ? 2. 0. 0. A. a + b = B. a − 2b = C. a + b =−2 . D. a + 2b = Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 1 dx dx = ln x + 2 = ln 3 − ln 2 = ln x + 1 = ln 2 và ∫ Ta có: ∫ 0 0 x+2 x +1 0 0 4 1 4 1   1 2 , b = −1 . − Do đó ∫   dx =ln 2 − ( ln 3 − ln 2 ) =2 ln 2 − ln 3 ⇒ a = x +1 x + 2  0 0. Vậy a + 2b = 3 5 x + 12 Câu 98. Biết ∫ 2 dx = a ln 2 + b ln 5 + c ln 6 . Tính S = 3a + 2b + c . 5 6 x x + + 2 A. 3 . B. −14 . C. −2 . D. −11 . Hướng dẫn giải Chọn D 5 x + 12 5 x + 12 A B ( A + B ) x + 3 A + 2B . = = + Ta có: 2 = x + 5 x + 6 ( x + 2 )( x + 3) x + 2 x + 3 x2 + 5x + 6 1 = A + B 5 = A 2 ⇔ .  2 B 12 = 3 A += B 3 3 3 3 3 3 2 3 5 x + 12 dx + ∫ dx= 2 ln x + 2 2 + 3ln x + 3 2 dx ∫ Nên ∫ 2 = x+2 x+3 x + 5x + 6 2 2 2 = 3ln 6 − ln 5 − 2 ln 4 = −4 ln 2 − ln 5 + 3ln 6 . Vậy S =3a + 2b + c =−11 . 2 1 dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a , b , c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới Câu 99. Cho ∫ 2 x + 5x + 6 1 đây đúng? 4. 2. 6. A. a + b + c = B. a + b + c =−3 . C. a + b + c = D. a + b + c = Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 2 1 −1   1 Ta có: ∫ 2 d= x ∫ x ( ln x + 2 − ln x + 3 ) +  d= 1 x + 5x + 6 x+2 x+3 1 1 = ( ln 4 − ln 5 ) − ( ln 3 − ln 4 )= 2 ln 4 − ln 3 − ln 5= 4 ln 2 − ln 3 − ln 5 . Vậy a + b + c = 4 + ( −1) + ( −1) = 2 . x2 + 1 m n p ∫ x3 − 6 x 2 + 11x − 6 dx = ln ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) + C . Tính 4 ( m + n + p ) . A. 5 . B. 0 . C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D Câu 100. Biết
Trang chủ
x2 + 1 x2 + 1 A B C = = + + Ta có: 3 2 x − 6 x + 11x − 6 ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) x − 1 x − 2 x − 3 ⇔ A ( x − 2 )( x − 3) + B ( x − 1)( x − 3) + C ( x − 1)( x − 2 ) x2 + 1 = ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) ⇔ x 2 + 1= A ( x − 2 )( x − 3) + B ( x − 1)( x − 3) + C ( x − 1)( x − 2 ) A+ B +C 1 = = A 1   ⇒ −5 A − 4 B − 3C =0 ⇔  B =−5 . 6 A + 3 B = C 5 + 2C 1 =   Suy ra 1 1 1 x2 + 1 ∫ x3 − 6 x 2 + 11x − 6 dx =∫ x − 1 dx − 5∫ x − 2 dx + 5∫ x − 3 dx = ln ( x − 1)( x − 2 ) −5 ( x − 3) 5 +C. Vậy 4 ( m + n + p ) = 4. x +8 dx a ln 2 + b ln 5 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng? = + x−2 2 3. 11 . 5. 11 . A. a + b = B. a − 2b = C. a − b = D. a + 2b = Hướng dẫn giải Chọn B 3 3 3 3 x +8 2   3 Ta có ∫ 2 = 2 2 7 ln 2 − 2 ln 5 . dx ∫  −  dx= 3ln x − 1 2 − 2 ln x += x + x−2 x −1 x + 2  2 2 a = 7 ⇒ a − 2b = 11 . Suy ra  b = −2 3 Câu 101. Cho ∫x 2 x3 + 2 x 2 + 3 1 3 ∫0 x + 2 dx= a + b ln 2 1 Câu 102. Biết (k ab ∫ dx < lim 2 x + 2018 x →+∞ 8 + 1) x + 2017 A. k < 0 . ( a, b > 0 ) tìm các giá trị . B. k ≠ 0 . C. k > 0 . Hướng dẫn giải D. k ∈  . Chọn B x3 + 2 x 2 + 3 = dx Ta có: ∫ x+2 0 1 9 ab ab Mà ∫ 8 (k dx < lim x →+∞ 1 1 3 1 3 3   2 ∫0  x + x + 2  dx =3 x + 3ln x + 2 0 =3 + 3ln 2 1 a = 3 ⇒ ∫ dx = ∫ dx =1 ⇒ b = 3 8 8 2 + 1) x + 2017 x + 2018 (k ⇒ 1 < lim x →+∞ 2 + 1) x + 2017 x + 2018 + 1) x + 2017 = k 2 +1 . x →+∞ x + 2018 2 ab ( k + 1) x + 2017 thì 1 < k 2 + 1 ⇒ k 2 > 0 ⇒ k ≠ 0 . Vậy để ∫ dx < lim x →+∞ x + 2018 8 Mặt khác ta có https://toanmath.com/ (k lim 2 của k để TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 2 = I Câu 103. Tính tích phân ∫ 4 x + 1 dx . 0 A. 13 . B. 13 . 3 C. 4 . D. Hướng dẫn giải 4 . 3 Chọn B 2 Ta = có I ∫ 0 2 2 3 1 2 13 4 x + 1= dx ∫ ( 4 x + 1= ) dx . ( 4 x + 1) 2 = . 4 3 3 0 0 1 ( 1 2 ) a 3 Câu 104. Biết rằng I1 =∫ x + x + 1 dx = + b 2 . Giá trị của a − b là: 6 4 0 A. – 1. B. – 2. C. – 3. Hướng dẫn giải 1 a 3 Biết rằng I1 =∫ x + x + 1 dx = + b 2 . Giá trị của a − b là: 6 4 0 Ta có: U ) (  x2 2 I1 =∫ x + x + 1 dx = +  2 3 0 1 ( D. – 4. U ) 1  1 4 2 4 3 ⇒ a =−1, b = ⇒ a − b =−2 . ( x + 1)  =− + 6 3 3 4 0 3 Chọn B 2 Câu 105. Tích phân I = ∫ 0 1 A. I = 1 − . 2 1 dx bằng 2 x+2 B. I = 2 2 . C. I= 2 − Hướng dẫn giải 1 . 2 D. I= 2 − 2 . Chọn D 2 Ta có: I =∫ 0 2 1 dx = x + 2 =2 − 2 . 0 2 x+2 1 dx 8 2 =a b − a + , ( a, b ∈ * ) . Tính a + 2b . 3 3 x + 2 + x +1 0 7. 8. −1 . A. a + 2b = B. a + 2b = C. a + 2b = Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 dx 2 = x Ta có ∫0 x + 2 + x + 1 ∫0 x + 2 − x + 1 d= 3 Câu 106. Cho ∫ ( ) 5. D. a + 2b = ( ( x + 2) 3 − ( x + 1) 3 ) 1 0 8 2 2+ . 3 3 8. Do đó a = 2 , b = 3 , a + 2b = 1 x a+b 3 dx = Câu 107. Biết tích phân ∫ với a , b là các số thực. Tính tổng T= a + b 9 3x + 1 + 2 x + 1 0 . A. T = −10 . B. T = −4 . C. T = 15 . D. T = 8 . Hướng dẫn giải Chọn D =2 3 − https://toanmath.com/ 1 Ta có ∫ 0 1 x = dx 3x + 1 + 2 x + 1 ∫ x ( 3x + 1 − 2 x + 1 x 0 ) ∫( ) 1 = dx 3 x + 1 − 2 x + 1 dx 0 1 1 1 3 3 1   2  = ∫ ( 3 x + 1) 2 − ( 2 x + 1) 2  dx=  ( 3 x + 1) 2 − ( 2 x + 1) 2  3  9 0 0  1 17 − 9 3  16   2 1  17 . = − 3− −  = − 3 = 9 9   9 3 9 a ∫x I = Câu 108. Tích phân x + 1dx có giá trị là: 0 A. I = C. I = 2 ( a + 1) 5 + 5 2 ( a + 1) 5 5 + 2 ( a + 1) 3 3 2 ( a + 1) 3 3 4 + . 15 4 − . 15 B. I = ( a + 1) 2 D. I = 5 5 ( a + 1) 2 5 Hướng dẫn giải ( a + 1) − 2 − 2 5 3 3 ( a + 1) + 4 . 15 − 4 . 15 3 3 a ∫x = I Tích phân x + 1dx có giá trị là: 0 Ta có: a I= ∫ x x + 1dx = 0 a ∫ ( x + 1) 0 a a x + 1dx − ∫ x + 1dx = 0 a 5 3 2 2 5 2  2  =  ( x + 1) 2  −  ( x + 1) 2  = ( x + 1) − 3 5  0 3 0 5 Chọn B 1 x Câu 109. Tích phân I = ∫ dx có giá trị là: x +1 −1 −1 I = A. 4 2 + 2. 3 1 ∫ Tích phân I = −1 = I B. a a 3 1 ∫ ( x + 1) 2 dx − ∫ ( x + 1) 2 dx 0 0 ( x + 1) 3 + 4 15 4 2 4 2 −2. I = −1 . C. 3 3 Hướng dẫn giải 4 2 +1 . 3 I = D. x dx có giá trị là: x +1 −1 Ta có: x = x +1 −1 Chọn A 1 x + 1 + 1 ⇒ I= ∫ −1 x dx= x +1 −1 ∫( 1 −1 1 ) 3 4 2 2  x + 1 + 1 dx=  ( x + 1) 2 + x  = + 2. 3 3  −1 x2 − x + 2 a−4 b = . Với a , b , c là số nguyên dương. Tính a + b + c . ∫3 x + x − 2 dx c B. 27 . C. 33 . D. 41 . Hướng dẫn giải 4 = Câu 110. Biết rằng I A. 39 . Chọn A 4  x2 2 x2 − x + 2 Ta có ∫ dx = ∫ x − x − 2 dx =  − x−2  2 3 3 x+ 3 39 . Suy ra a = 25 , b = 8 , c = 6 . Vậy a + b + c = 4 https://toanmath.com/ ( ) ( 4  25 − 8 2 25 − 4 8 x−2  = = 6 6 3 ) 3 dx = a + b − c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính 1 x x + 2 + ( x + 2) x P = a+b+c. A. P = 2 . B. P = 8 . C. P = 46 . D. P = 22 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ∫ Câu 111. Biết ∫ 2 1 2 ( ) x+2− x 2 2 dx dx =∫ = ∫1 2 x x + 2 dx 1 x x + 2 + ( x + 2) x x x+2 x+2+ x ( ) ( ) 2 1  1  = x − x + 2 = 2 + 3 −3. d x −   ∫1  2 x 2 x + 2  1 Vậy a = 2 ; b = 3 ; c = 3 nên P = a + b + c = 8 . 2 dx = a − b − c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính Câu 112. Biết I = ∫ x + x + x x + 1 1 ( ) 1 2 = P = a+b+c. A. P = 24 . B. P = 12 . C. P = 18 . Hướng dẫn giải D. P = 46 . Chọn D Ta có: x + 1 − x ≠ 0 , ∀x ∈ [1; 2] nên: 2 I =∫ ( x + 1) 1 2 dx dx =∫ x + x x + 1 1 x ( x + 1) x + 1 + x ( =∫ x ( x + 1) ( x + 1 − x dx 2 x +1 + 1 1   1 ∫1  x − x + 1  dx = 2 = ) x )( ( (2 2 x +1 − x x − 2 x +1 ) ) 2 =∫ ( 1 ) ) x + 1 − x dx x ( x + 1) = 4 2 −2 3−2 = 32 − 12 − 2 . 1 a = 32  a − b − c nên b = 12 . Suy ra: P = a + b + c = 32 + 12 + 2 = 46 . c = 2  Mà I = TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC π Câu 113. Tính tích phân ∫ sin 3 xdx . 19T 19T 0 1 A. − . 3 B. 1 . 3 2 C. − . 3 Hướng dẫn giải Chọn D π 1 1 2 π Ta có ∫ sin 3 xdx = − cos 3 x 0 =− ( −1 − 1) = . 3 3 3 0 π = I Câu 114. Tính tích phân 2 0 https://toanmath.com/ π  ∫ sin  4 − x  dx . D. 2 . 3 A. I = π 4 C. I = 0 . B. I = −1 . . D. I = 1 . Hướng dẫn giải Chọn C π π π 2  π π  π  = I ∫ sin  − = x  dx cos  − x  = cos  −  − cos   = 0 . 4 0  4 4 4  0 2 π 3 Câu 115. Tích phân I = ∫ π dx bằng? sin 2 x 4 π π A. cot − cot . 3 4 B. cot π 3 + cot π . C. − cot 4 Hướng dẫn giải π π + cot . 3 4 D. − cot π π − cot . 3 4 Chọn C π 3 Ta có I = ∫ π π dx = − cot x sin 2 x 4 3 . π 4 π 2 = 2a + 6b . Câu 116. Biết ∫ cos xdx= a + b 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính T π 3 A. T = 3 . B. T = −1 C. T = −4 . Hướng dẫn giải D. T = 2 . Chọn B π π 2 Ta có: ∫ cos xdx = sin x π = π 2 3 1− 3 . Vậy 2a + 6b =2 − 3 =−1 . 2 3 m π π − cot + cot các số nguyên thỏa mãn ∫ cos 2 x dx = 0 là Câu 117. Số = 3 4 0 A. 643 . B. 1284 . C. 1285 . Hướng dẫn giải. D. 642 . Chọn B Ta có m 1 1 kπ ∫0 cos 2 x dx =0 ⇔ 2 sin 2 x 0 =0 ⇔ 2 sin 2m =0 ⇔ sin 2m =0 ⇔ 2m =kπ ⇔ m = 2 , k ∈  m . kπ 4043 < 2017 ⇔ 0 < k < ≈ 1284, 06 . π 2 Vì k ∈  ⇒ có tất cả 1284 số nguyên của m . Vì m ∈ ( 0; 2017 ) ⇒ 0 < π 2 Câu 118. Tích phân I = ∫ sin xdx có giá trị là: 0 A. I = 1 . sai. https://toanmath.com/ B. I = 0 . C. I = −1 . Hướng dẫn giải D. Cả A, B, C đều π 2 Tích phân I = ∫ sin xdx có giá trị là: 0 π π 2 1. Cách 1: I = ( − cos x ) 02 = ∫ sin xdx = 0 Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. Câu 119. Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng (π ;3π ) sao cho b ∫ 4 cos 2 xdx = 1 ? π A. 8 . B. 2 . D. 6 . C. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C  b = 1 b ⇔ 2sin 2 x = 1 ⇔ sin 2b = ⇔ Ta có: ∫ 4 cos 2 xdx = 1 π 2 π = b  Do đó, có 4 số thực b thỏa mãn yêu cầu bài toán. b π + kπ 12 . 5π + kπ 12 π 2 ∫π ( sin x − cos x ) dx có giá trị là: I = Câu 120. Tích phân − A. I = 1 . 2 B. I = 2 . π D. I = −1 . C. I = −2 . Hướng dẫn giải 2 ∫π ( sin x − cos x ) dx có giá trị là: Tích phân I = − 2 π π 2 Cách 1 m ∈ ( 0; 2017 ) : I = −2 . ( − cos x − sin x ) 2π = ∫ ( sin x − cos x ) dx = − − π 2 2 Chọn C Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. π 6 ∫π ( sin 2 x − cos 3x ) dx có giá trị là: Câu 121. Tích= phân I − A. I = 2 2 . 3 B. I = π 3 . 4 C. I = − Hướng dẫn giải 3 . 4 6 ∫π ( sin 2 x − cos 3x ) dx có giá trị là: Tích= phân I − π 2 π 1 3  1 6 − . Cách 1: I =  − cos 2 x − sin 3 x  π = ∫π ( sin 2 x − cos 3x ) dx = 3 4  2 − − 6 2 Chọn C https://toanmath.com/ 2 D. I = − 2 . 3 Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. π 2 Câu 122. Kết quả của tích phân ∫ ( 2 x − 1 − sin x ) dx được viết ở dạng a , b ∈  . Khẳng định nào sau 0 đây là sai? 8. A. a + 2b = 5. B. a + b = 2. C. 2a − 3b = Hướng dẫn giải 2. D. a − b = Chọn B π π π 1 − 1= π  −  − 1 . 0 4 2  4 2 0 6 . Vậy B sai. Vậy a = 4 , b = 2 . Suy ra a + b = 2 ∫ ( 2 x − 1 − sin x ) dx= ( x2 − x + cos x ) 2= π2 − π π 2 Câu 123. Cho tích phân cos 2 x ∫ 1 + sin x dx= a + bπ với a, b ∈  . Tính P =1 + a 3 + b 2 0 B. P = 29 . A. P = 9 . D. P = −25 . C. P = 11 . Hướng dẫn giải Chọn D π π 2 π cos 2 x 1 − 2sin x ∫0 1 + sin x dx = ∫0 1 + sin x dx = 2 2 2   1 ∫  −2sin x + 2 − 1 + sin x  dx 0     1  dx . = = ∫  −2sin x + 2 − π  0 1 + cos  − x    2   π 2 π ( 2 cos x + 2 x ) π 2 0 2 −∫ 0 1 dx π 2 x 2 cos  −  2 4 π 1 x π =−2 + π − .2 tan  −  2 =−3 + π . 2 2 4 0 −3, b = 1. Vậy a = P= 1 + a3 + b2 = −25 . π 2 Câu 124. Cho tích phân dx ∫ ( 4 x − 1 + cos x ) = 0 A. −3 B. 1 . π 1 −  + c , ( a, b, c ∈  ) . Tính a − b + c  a b 1 C. −2 . D. . 3 Hướng dẫn giải π Chọn B π π π 1 2 − x + sin x )= π  −  + 1. 0  2 2 0 1. Suy ra a = 2 , b = 2 , c = 1 nên a − b + c = ∫ ( 4 x − 1 + cos x ) d=x ( 2 x 2 Ta có 2 π 6 Câu 125. Biết aπ − ∫ ( 3 + 4sin x ) dx = 6 b 2 c 3 , trong đó a , b nguyên dương và 0 . A. 8 . https://toanmath.com/ B. 16 . C. 12 . Hướng dẫn giải a tối giản. Tính a + b + c b D. 14 . Chọn D Ta có: π π π 6 6 6 0 0 x ∫ ( 5 − 2 cos 2 x ) dx ∫ ( 3 + 4sin x ) dx = ∫ 3 + 2 (1 − cos 2 x ) d= 2 0 5π 3 3 − . 6 6 Suy ra a = 5 , b = 6 , c = 3 . 14 . Vậy a + b + c = = π ∫ ( sin 2 x + cos x ) dx = Câu 126. Cho giá trị của tích phân I1 = − của a + b là: 3 A. P= + 3. 4 b . Giá trị 3 3 3 3 + . C. P= − 3. 4 2 4 Hướng dẫn giải D. P= 3 3 − . 4 2 π 3 ∫ ( sin 2 x + cos x ) dx = − ∫π ( cos 2 x + sin x ) dx = − 2 π 3 a , I2 = π B. P= Cho giá trị của tích phân I1 = π 3 3 a , I2 = π ∫π ( cos 2 x + sin x ) dx = − 2 b . Giá trị 3 của a + b là: Cách 1: Ta có: π π 3 3 3 3  1 3 I1 = ∫ ( sin 2 x + cos x ) dx =  − cos 2 x + sin x  = + ⇒a= + . 4 2  2  −π 4 2 π 3 − 2 2 π π 1 3 I 2 = ∫ ( cos 2 x + sin x ) dx=  sin 2 x − cos x  = 2  −π π − 3 3 . 2 3 3 ⇒ P = a+b = 3 ⇒ b= 2 3 + 3. 4 Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay vì các giá trị rất quen thuộc học sinh có thể nhận ra. 2π 3 Câu 127. Cho giá trị của tích phân I1 = ∫ ( sin 3 x + cos 3 x ) dx =a , I 2 = − π 2e 1 e 2 − 1   dx= b . Giá x +1  3 trịa.b gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 8 . B. 16 . C. 10 . Ta có: 2π 3 2π 3 3 1 2 2  1  3 cos 3 sin 3 I1 =∫ ( sin 3 x + cos 3 x ) dx =− x + x − ⇒a= − .   π = 3 3 3  3 − π − https://toanmath.com/ 1 ∫  x + x D. 1 . 2e 1  1 1 1 1 1   I 2= ∫  + 2 −  dx=  ln x − − ln x + 1  = ln 2 − + − ln ( 2e + 1) + ln ( e + 1) x x x +1  x 2e e  e e  1 1 ⇒ b =− + + ln 2 − ln ( 2e + 1) + ln ( e + 1) 2e e ⇒ a.b ≈ −0, 2198 . Chọn D 2e π Câu 128. Tích= phân I 2 ∫π ( sin ax + cos ax ) dx , với a ≠ 0 có giá trị là: − 2 A. I = 2  π π  π π  sin  a −  − sin  a +   .  a   2 4  2 4  B. I = 2  π π  π π  sin  a −  + sin  a +   .  a   2 4  2 4  2  π π  π π  sin  a −  + sin  −a +   .  a   2 4 2 4   2  π π  π π  − sin  a −  + sin  a +   .  a   2 4  2 4  Hướng dẫn giải C. I = D. I = π Tích= phân I 2 ∫π ( sin ax + cos ax ) dx − có giá trị là: 2 Ta có: π π π 1  1  I=  − cos ax + sin ax  π ∫π ( sin ax + cos ax ) dx = a  a − 2 − 2 2 2  2 π  2  sin  ax −   =  4  π   a − 2 . 2  π π  π π  sin  a −  + sin  a +    a   2 4  2 4  Chọn B = Câu 129. Biết = I π 2 x + x cos x − sin 3 x π2 b = − . Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số x d ∫0 1 + cos x a c b tối giản. Tính T = a 2 + b 2 + c 2 . c A. T = 16 . B. T = 59 . C. T = 69 . Hướng dẫn giải Chọn C π 2 Ta có I = ∫ 0 π π 2 2 π x + x cos x − sin x d= x 1 + cos x 3  sin 3 x  x − ∫0  1 + cos x  dx 2 π 2 π  1 π2 1 2  − . = ∫ xdx − ∫ (1 − cos x ) sin xdx = +  cos x − cos x = 8  2 8 2 0 0 0 Như vậy a = 8 , b = 1 , c = 2 . Vậy T = a 2 + b 2 + c 2 = 69 . https://toanmath.com/ 2 D. T = 50 . f ( x ) a sin 2 x − b cos 2 x thỏa mãn f '  π  = −2 và Câu 130. Cho hàm số= 2 bằng: B. 4. C. 5. A. 3. Hướng dẫn giải Chọn C f ' ( x ) 2a cos 2 x + 2b sin 2 x = b ∫ adx = 3 . Tính tổng a + b a D. 8. π  f '   =−2 ⇔ −2a =−2 ⇔ a =1 2 b ∫ adx = a b ∫ dx = 3 ⇔ b − 1 = 3 ⇔ b = 4 1 Vậy a + b =1 + 4 =5. 0 Câu 131. Cho tích phân ∫π cos 2 x cos 4 xdx= − a + b 3 , trong đó a , b là các hằng số hữu tỉ. Tính 3 e + log 2 b . a B. −3 . A. −2 . 1 . 8 Hướng dẫn giải C. D. 0 . Chọn A 0 1 0 11 1  1 cos 2 x )dx sin 6 x + sin 2 x  = Ta có: ∫ π cos 2 x cos 4 xdx = ∫ π ( cos 6 x + = 3.  − 26 2 2 −3  −π 8 3 0 3 1 1 Do đó ta có a = 0 , b = − . Vậy e a + log 2 b = e0 + log 2 = −2 . 8 8 1  −π  + kπ , k ∈   , biết Câu 132. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = với ∀x ∈   1 + sin 2 x  4   π   11π  F ( 0 ) = 1 ; F (π ) = 0 . Tính P =F  −  − F  .  12   12  B. P = 0 . A. P= 2 − 3 . C. Không tồn tại P . Hướng dẫn giải D. P = 1 . Chọn D   −π   11π   π    11π F −  F ( 0 ) − F  −   +  F (π ) − F  Ta có P = −F =  12   12   12     12  0 π 1 1 = −∫ dx + ∫ dx + 1 . π 1 + sin 2 x 11π 1 + sin 2 x − 12 1 Ta= có 1 + sin 2 x https://toanmath.com/ 12 1 1 nên = 2 ( sin x + cos x ) 2 cos 2  x − π  4     + F ( 0 ) − F (π )  0 ∫π − 0 1 1 1 π  dx= tan  x −  = −1 + 3 ; 1 + sin 2 x 2 4  −π 2  ( ) 12 12 π π 1 ∫π 1 + sin 2 x dx= 11 12 1 π 1  tan  x −  = −1 + 3 . 2 4  11π 2  ( ) 12 Vậy P = 1 . Câu 133. Cho M , N là các số thực, xét hàm số = f ( x ) M .sin πx + N .cos πx thỏa mãn f (1) = 3 và 1 2 ∫ f ( x ) dx = − 0 A. 1 1 . Giá trị của f ′   bằng π 4 5π 2 . 2 B. − 5π 2 . 2 π 2 . 2 Hướng dẫn giải C. − D. π 2 . 2 Chọn A 3⇔N = −3 . Ta có f (1) = 3 ⇔ M .sin π + N .cos π = 1 2 Mặt khác ∫ f ( x ) dx = 0 − 1 2 1 1 ⇔ ∫ ( M .sin πx − 3.cos πx ) dx = − π π 0 1 3 1 3 M 1  M 2 ⇔  − cos πx − sin πx  =− ⇔ − + 2. =− ⇔M = π π π π π  π 0  1  5π 2 Vậy= f ( x ) 2sin πx − 3cos πx nên = f ′ ( x ) 2π cos πx + 3π sin πx ⇒ f ′   =. 2 4 π Câu 134. Tích phân I = 2 ∫ ( cos x − 1) cos 2 xdx có giá trị là: 0 A. I= π 1 − . 4 3 B. I = − π Tích phân I = π 4 − π 1 2 . C. I= + . 4 3 3 Hướng dẫn giải D. I = − π 4 + 2 . 3 2 ∫ ( cos x − 1) cos 2 xdx có giá trị là: 0 Ta đổi: biến π π π π 1  t3  1 1 2 2 π − = − − = I= cos x 1 cos xdx cos x 1 sin x dx cos xdx ( ) ( ) ∫  t −  −  x + sin 2 x  =− ∫0 ∫0 2 0 3 4  3 0 2 0 , với t = sin x . Chọn D 2 2 2 2 2 2 π Câu 135. Biết tích = phân I1 2 sin xdx a . Giá trị của= I2 ∫= π x2 + 1 dx b ln 2 − c ln 5 . Thương số giữa b ∫a x3 + = x 1 3 và c là: A. – 2. https://toanmath.com/ B. – 4. C. 2. Hướng dẫn giải D. 4. π 2 sin xdx a . Giá trị của= I2 ∫= Biết tích = phân I1 π x2 + 1 dx b ln 2 − c ln 5 . Thương số giữa b ∫a x3 + = x 1 3 và c là: Ta có: π I1 = π 2 sin xdx ( cos x) π = ∫= π 2 3 1 . 2 3 2 x2 + 1 x2 + 1 1 4 1 4 1 b dx =∫ 3 dx = ( ln t ) 5 = ln 2 − ln 5 ⇒ b = , c =− ⇒ =−4 . ⇒ I 2 =∫ 3 x +x 3 3 3 3 3 c 8 1 x + x a 1 1 2 Chọn B π Câu 136. Cho I= π 2 ∫ ( sin 3x + cos x ) dx= 3 ( a cos 3x + bx sin + c sin 2 x ) 06 . Giá trị của 3a + 2b + 4c là: 0 A. – 1. B. 1. C. – 2. Hướng dẫn giải π Cho I= D. 2. π 2 ∫ ( sin 3x + cos x ) dx= 3 ( a cos 3x + bx sin + c sin 2 x ) 06 . Giá trị của 3a + 2b + 4c là: 0 Ta có: π π π 1 + cos 2 x  1 1   1 3 2 I1 = cos 3 x + x + sin 2 x   ∫0 ( sin 3x + cos x ) dx =∫0  sin 3x + 2  dx =− 2 4  3 0 3 3 1 1 1 ⇒a= − , b =, c =⇒ 3a + 2c + 4c = 1 3 2 4 Chọn B Câu 137. Cho I n = ∫ tan n xdx với n ∈  . Khi đó I 0 + I1 + 2 ( I 2 + I 3 + ... + I 8 ) + I 9 + I10 bằng 9 A. ∑ ( tan x ) r =1 r r +C . 9 B. ∑ ( tan x ) r =1 . r +1 r +1 +C . 10 C. ∑ ( tan x ) r =1 r r +C . 10 D. ∑ ( tan x ) r =1 Hướng dẫn giải Chọn A = In tan x.tan xdx ∫ tan ∫= n−2 2 n−2  1  tan n − 2 x. ( tan x )′ dx − I n − 2 − 1 dx = x.  2 ∫ cos x   tan n −1 x − I n−2 + C n −1 tan n −1 x I n−2 ⇒ In + = +C . n −1 I 0 + I1 + 2 ( I 2 + I 3 + ... + I 8 ) + I 9 + I10 = ( I10 + I 8 ) + ( I 9 + I 7 ) + ... + ( I 3 + I1 ) + ( I 2 + I 0 ) = tan 9 x tan 8 x tan 2 x + + .... + + tan x+C = 9 8 2 TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT = 1 Câu 138. Tích phân ∫e 0 https://toanmath.com/ −x dx bằng tan r x +C. ∑ r r =1 9 r +1 r +1 +C A. e − 1 . B. e −1 . e Hướng dẫn giải 1 −1. e C. D. 1 . e Chọn C 1  1  e −1 = −  − 1 = . 0 e e  1 Ta có: ∫ e − x dx = −e − x 0 2018 Câu 139. Tích phân I = ∫ 2 x dx bằng 0 A. 22018 − 1 . B. 22018 − 1 . ln 2 22018 . ln 2 Hướng dẫn giải D. 22018 . C. Chọn D 2018 2x 22018 − 1 . 2 dx = ∫0= ln 2 0 ln 2 2018 = I x 4 Câu 140. Biết ∫ 1 và. 2 f ( x)dx = −1 0 ∫ f ( x)dx = −1 A. I = 2e8 . −1 . Tính tích phân = I 2 4 ∫ 4e 2x + 2 f ( x)  dx . 0 B.= C. I = 4e8 . I 4e8 − 2 . Hướng dẫn giải D.= I 2e8 − 4 . Chọn A 4 4 −1 e2 x 4 2x   Ta có I = 4e 2 ( ) d 4. 2 d 2 f x x f x x + = + + ∫0  ∫0 ( ) ∫−1 f ( x ) dx .  2 0 1 1 ⇔= I 2 ( e8 − 1) + 2. + 2. = 2.e8 . 2 2 x2 Câu 141. Cho F ( x ) = ∫ et dt . Tính F ′ ( 2 ) . 2 0 B. F ′ ( 2 ) = 8e16 . A. F ′ ( 2 ) = 4e 4 . C. F ′ ( 2 ) = 4e16 . D. F ′ ( 2 ) = e 4 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 Gọi G ( x ) là nguyên hàm của hàm số et . ⇒ F ( x ) = G ( x2 ) − G ( 0) ⇒ F′( x) = 2 x.G′ ( x 2 ) = 2 x.e x . 4 ⇒ F ′ ( 2) = 4.e16 Câu 142. Cho hàm số g ( x ) = x2 1 ∫ ln t dt với x > 0 . Đạo hàm của g ( x ) là x A. g ′ ( x ) = x −1 . ln x B. g ′ ( x ) = 1− x 1 . C. g ′ ( x ) = . ln x ln x Hướng dẫn giải Chọn A Giả sử F ( t ) là một nguyên hàm của hàm số Khi đó F ′ ( t ) =
Trang chủ
1 1 hay F ′ ( x ) = . ln x ln t 1 . ln t D. g ′ ( x ) = ln x . Ta có g ( x ) = x2 1 dt ∫ ln= t F ( x2 ) − F ( x ) . x ( x ) )′ ( F ( x ) − F= g′ ( x) Suy ra = 2 F ′ ( x 2 ) −= F′( x) 1 1 x −1 . .2 x − = 2 ln x ln x ln x  v( x ) ′ Chú ý: ta có công thức =  f ( t ) dt  v′ ( x ) . f v ( x )  − u ′ ( x ) . f u ( x )   u (∫x )    Câu 143. ⇔ 3π 2 6 .Gọi S là ∫π f ( x ) dx = tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn 3 − 2 2018.e k − 2018 . Số phần tử của tập hợp S bằng. ∫1 e dx < k A. 7 . B. 8 . C. Vô số. Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 e2k − ek  1 kx  kx Ta có: ∫ e dx =  e  = . k  k 1 1 2 kx 2 kx ∫ e dx < 1 D. 6 . 2018.e k − 2018 e 2 k − e k 2018.e k − 2018 ⇔ < k k k ⇔ e k ( e k − 1) < 2018 ( e k − 1) (do k nguyên dương). ⇔ ( e k − 1)( e k − 2018 ) < 0 ⇔ 1 < e k < 2018 ⇔ 0 < k < ln 2018 ≈ 7.6 . Do k nguyên dương nên ta chọn được k ∈ S (với S = {1; 2;3; 4;5;6;7} ). Suy ra số phần tử của S là 7 . 1 e − nx Câu 144. Cho I n = ∫ dx với n ∈  . 1 + e− x 0 Đặt un = 1. ( I1 + I 2 ) + 2 ( I 2 + I 3 ) + 3 ( I 3 + I 4 ) + ... + n ( I n + I n +1 ) − n . Biết lim un = L . Mệnh đề nào sau đây là đúng? B. L ∈ ( −2; −1) . A. L ∈ ( −1;0 ) . C. L ∈ ( 0;1) . D. L ∈ (1; 2 ) . Hướng dẫn giải Chọn A e − nx .e − x e −( n +1) x Với n ∈  , I n +1 = ∫ = dx dx = ∫ 1 + e− x 1 + e− x 0 0 1 1 ⇒ I n= +1 ∫e − nx 1 dx − I n ⇒ I n +1 + I n = 0 e − nx dx ∫0 e dx − ∫0 1 += e− x 1 − nx 1 1 (1 − e− n ) n Do đó un = (1 − e −1 ) + (1 − e −2 ) + (1 − e −3 ) + ... + (1 − e − n ) − n ⇒ un = −e −1 − e −2 − e −3 − ... − e − n https://toanmath.com/ 1 ∫e 0 − nx dx − I n 1 Ta thấy un là tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = −e −1 và q = , nên e −1 −e −1 ⇒ L ∈ ( −1;0 ) . lim un = ⇒L= 1 − e 1 1− e https://toanmath.com/ TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 y = f ( x) Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và α ≤ u ( x) ≤ β . Giả sử có thể viết f ( x) g (u ( x))u '( x), x ∈ [a;b], với g liên tục = trên đoạn [α ; β ]. Khi đó, ta có b u (b ) a u(a) f ( x)dx ∫= = I ∫ g (u )du. Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Có 1 Có (ax + b) n 2 3 4 t= f ( x) Có a Có Có e dx 6 Có sin xdx 3 0 x dx . Đặt= t x +1 1 ∫0 x( x + 1) = I 2016 x +1 dx . Đặt t= x − 1 π 4 0 e tan x +3 dx . Đặt t tan x + 3 = cos 2 x e ln xdx I =∫ . Đặt= t ln x + 1 1 x (ln x + 1) I =∫ t = f ( x) t = ln x hoặc biểu thức chứa ln x x 5 I =∫ f ( x) = t ax + b f ( x) dx và ln x x Ví dụ 3 t = e x hoặc biểu thức= I x chứa e ln 2 2 x ∫0 e = t 3e x + 1dx . Đặt 3e x + 1 π t = cos x I = ∫ 2 sin 3 x cos xdx . Đặt t = sin x 0 t = sin xdx sin 3 x dx Đặt t 2cos x + 1 = 0 2cos x + 1 π π 1 1 4 (1 + tan 2 x ) = I ∫4 = dx dx ∫ 4 0 cos x 0 cos 2 x Đặt t = tan x 7 Có cos xdx 8 Có dx cos 2 x t = tan x 9 Có dx sin 2 x I t = cot x= I =∫ π π ecot x 4 = ∫π 1 − cos 2 x dx 6 ∫ ecot x dx . Đặt t = cot x 2sin 2 x BÀI TẬP Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a, b ] . Giả sử hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ a, b] và u ( x ) ∈ [α , β ] ∀x ∈ [ a, b] , hơn nữa f ( u ) liên tục trên đoạn [α , β ] . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x = a A. a a u(a) u(b ) b b a a ∫ f u ( x ) u′ ( x ) dx = ∫ f ( u ) du . ∫ f u ( x )  u ′ ( x ) dx = a ∫ f ( u ) du . u( a) HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ 3 Câu 2: b b b C. u(b ) b = I Tính tích phân ∫ x ( x − 1) 1000 1 https://toanmath.com/ dx. B. D. ∫ f u ( x )  u ′ ( x ) dx = ∫ f ( u ) du . a ∫ f u ( x ) u′ ( x ) dx = ∫ f ( x ) du . A. I = 2003.21002 . 1003002 B. I = 1502.21001 . 501501 C. I = 3005.21002 . 1003002 D. I = 2003.21001 . 501501 100 Câu 3: Giá trị của tích phân ∫ x ( x − 1) ... ( x − 100 ) dx bằng 0 A. 0 . 2 Câu 4: Tích phân ∫x 2 0 A. Câu 5: 1 7 log . 2 3 B. ln Tích phân I = ∫ 0 A. 2 1 x 5 dx (1 + x ) ∫x −1 C. 1 7 ln . 2 3 dx 5 = a ln + b . Khi đó a + 2b bằng 3 x +x 8 5 5 B. C. 8 4 2 3 D. 1 3 ln . 2 7 D. 5 16 D. 4 17 = I a ln 2 − b . Giá trị a+b là: được kết quả B. Tích phân I = 7 . 3 5 3 16 0 Câu 7: ∫ 5 2 1 Câu 6: D. một giá trị khác. x dx bằng +3 Cho tích phân = I A. C. 100 . B. 1 . 13 16 C. 14 17 2x dx có giá trị là: +1 2 A. I = ln 3 . B. I = − ln 2 . C. I = − ln 3 . D. I = ln 2 . 1 Câu 8: Cho 1 x2 ∫0 x3 + 1 dx = 3 ln a ,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: A. 2. B. 3. 0 Câu 9: Tích phân I = C. 4. D. 5. ax dx ,với a ≠ −2 có giá trị là: 2 +2 ∫ ax −1 ln 2 − ln a + 2 . 2 2 − ln 2 + ln a + 2 − ln 2 − ln a + 2 C. I = . D. I = . 2 2 A. I = ln 2 + ln a + 2 . B. I = 5 Câu 10: Giả sử 5 dx dx ∫3 x 2 − x = a ln 5 + b ln 3 + c ln 2.(a, b, c ∈ ) ∫3 x 2 − x = a ln 5 + b ln 3 + c ln 2. Tính giá trị biểu thức S =−2a + b + 3c 2 . A. S = 3. B. S = 6. C. S = 0. D. S = −2. 2 x 2 + 3x + 3 2 2 ∫0 x 2 + 2 x + 1 dx= a − ln b với a , b là các số nguyên dương. Tính P= a + b . 1 Câu 11: Biết A. 13 . https://toanmath.com/ B. 5 . C. 4 . D. 10 . b Câu 12: Tính I = ∫ a A. I = a − x2 (a + x ) 2 2 dx (với a , b là các số thực dương cho trước). 2b . a + b2 B. I = 2 b . a + b2 C. I = ( a − 1)( b − 1) . D. ( a + b2 ) ( a + 1) I= π Câu 13: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và các tích phân 4 ∫ f ( tan x ) dx = 4 và 0 1 ∫ 0 b . a +b 2 x2 f ( x ) dx = 2 . x2 + 1 1 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 0 B. I = 2 . A. I = 6 . D. I = 1 . C. I = 3 . Câu 14: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hình bên. Tính tích phân 2 I = ∫ f ′ ( 2 x − 1) dx . 1 4 3 2 2 -1 O 1 3 -1 2 B. I = −1 . A. I = −2 . HÀM VÔ TỈ 1 Câu 15: Cho tích phân ∫ 3 C. I = 1 . t 1 − xdx , với cách đặt = 3 D. I = 2 . 1 − x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 sau đây? 1 1 1 A. 3∫ tdt . 0 0 1 2 t t − 1dt . 2 ∫1 3 B. 2 ∫ 4 1 0 0 2 ∫x C. ∫ ( t + 1) t dt . 3 t t − 1dt x t Câu 17: Nếu ∫ dx = ∫ f (t )dt , với = 0 1+ 1+ x 1 D. 3∫ t 3dt . 2 = Câu 16: Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với I A. 1 C. 3∫ t dt . B. ∫ t dt . 3 2 1 2 0 3 x 2 − 1dx D. ∫ (x 3 1 2 ) + 1 x 2 dx . 1 + x thì f (t ) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây ? t ) 2t 2 + 2t A. f (= https://toanmath.com/ ) t2 − t B. f (t = ) t2 + t C. f (t = t ) 2t 2 − 2t D. f (= 4 1 dx bằng 2x +1 ∫ Câu 18: Kết quả của 0 B. 5 . A. 4 . 1 0 A. 4 . 3 B. 3 Câu 20: Cho ∫ 4+2 x 0 A. S = 3. 5 Câu 22: Tính tích phân A. 4 . 4 Câu 23: Cho tích phân I= ∫ 3+ 0 x 2 + 1dx = 1 ( dx ∫= x x +4 2 5 ( 0 2 ∫ 1 ) C. 3 2. D. 2 2. C. 1. D. 2. 4 − x2 b dx= a − ln . Giá trị của tính abc là : x c B. −2 3 1 D. a = 3b . 1 5 ln , a > 5 . Khi đó giá trị của số thực a là 4 3 = dx a 2 + b . Giá trịa.b là: x2 + 1 B. – 2. 3 3. D. a + b = x Câu 27: Với a, b, c ∈ R . Đặt I= ∫ C. a = b . B. 2 5. 1 D. S = 7. ) A. 2 3. 3 5. C. a + b = B. a < b . a ∫ D. 9 . 2 a − b , với a, b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng. 3 A. a = 2b . A. – 1. C. S = 5. 5. B. a − b = 3 Câu 26: Cho = I 2 . 3 dx 2 = a + b ln với a, b ∈  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 2x +1 3. A. a − b = Câu 25:= Cho I D. dx = I a ln 3 + b ln 5 . Giá trị a 2 + ab + 3b 2 là được kết quả 3x + 1 B. 5 . C. 1 . D. 0 . ∫x 1 Câu 28: Cho C. 7 . B. S = −3. ∫x 1 . 3 1 dx= a + b ln 2 với a, b là số nguyên. Tính S= a + b . 2x +1 − 5 ∫ 0 A. C. B. 2 . 4 Câu 24: Biết 3 . 2 a dx =+ b ln 2 + c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c 3 x +1 bằng A. 1 . Câu 21: Biết I= D. 3 . dx bằng 3x + 1 ∫ Câu 19: Tích phân C. 2 . C. 2 3 D. − 3 x2 + 1 c+ d với c nguyên dương và a , b , c , d , e là các số dx =a − b + ln x e nguyên tố. Giá trị của biểu thức a + b + c + d + e bằng. https://toanmath.com/ C. 10 . B. 17 . A. 14 . 7 ∫ Câu 29: Giá trị của I = x3dx D. 24 . được viết dưới dạng phân số tối giản 1 + x2 dương). Khi đó giá trị của a − 7b bằng A. 2 . B. 1 . 3 0 64 1 A. −17 . b 1 + x2 1  = b  với a, b, c ∈  ; 1 ≤ a, b, c ≤ 9 . Tính giá trị của biểu dx a a − 4 x c b+c  2 ∫ Câu 31: Giả sử 1 thức C b−a 2a+c . A. 165 . B. 715 . Câu 32: Tập hợp nghiệm của bất phương trình C. 5456 . x ∫ 0 A. ( −∞; +∞ ) . 7 Câu 33: Cho biết ∫ 3 t t2 +1 1 + x2 dx = A. 0 . ∫ 3x + 1 x 9x −1 2 dt > 0 (ẩn x ) là: D. ( 0; +∞ ) . m m với là một phân số tối giản. Tính m − 7 n . n n B. 1 . 2 D. 35 . C. ( −∞; +∞ ) {0} . B. ( −∞;0 ) . x3 0 Câu 34: Biết D. −1. C. 0 . dx 2 = a ln + b với a, b là số nguyên. Tính giá trị a − b . 3 3 x+ x B. 5 . C. −5 . D. 17 . ∫ Câu 30: Giả = sử I a ( a , b là các số nguyên b C. 2 . D. 91 . dx = a + b 2 + c 35 với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P = a + 2b + c − 7 . 1 A. − . 9 B. 86 . 27 C. −2 . D. 67 . 27 2 Câu 35: Biết dx ∫1 x x + 1 + ( x + 1) x = a − b − c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính P = a+b+c. A. P = 44 . C. P = 46 . B. P = 42 . 1 2×2 + 4x + 1 au 4 + bu 2 + c du , trong x ∫0 2 x + 1 d= 2 ∫1 3 4 Câu 36: Giả sử a , b , c là các số nguyên thỏa mãn u 2 x + 1 . Tính giá trị S = a + b + c . đó= A. S = 3 . B. S = 0 . 1 Câu 37: Tích phân I = ∫ a 2 x 3 + ax 0 A. I = a ( a − 2) . 4
Trang chủ
ax 2 + 1 D. P = 48 . C. S = 1 . ( ) D. S = 2 . dx , với a ≥ 0 có giá trị là: B. I = a ( a − 2) . 2 C. I = a ( a + 2) . 4 D. I = a ( a + 2) . 2 3 1 Câu 38: Tích phân I = ∫ x2 + 9 0 A. I = − ln 3+ 2 3 . 3 1 Câu 39: Tích phân I = ∫ 0 A. I = a 3 x 2 + 12 A. a = 5 . 2 1 x2 + 1 B. I = − dx = ln B. 3 Câu 42: Tích phân I = 7 ∫ 0 3×5 3 8 − x3 87 . 5 5 . 2 C. 2 . 3 D. 3 . 2 dx có gái trị là: B. I = 67 . 5 C. I = 77 . 5 D. I = 57 . 5 ∫ 2x + 3 0 B. T = 2 . A. T = 4 . 3 Câu 44: Biết D. a = 8 . 2 x + 1dx 5 = a + b ln 2 + c ln ( a, b, c ∈  ) . Tính T = 2a + b + c . 3 2x +1 + 3 4 Câu 43: Biết a 1+ 5 . ln 2 3 2+ a a ,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị là: b 1+ b 2 . 5 A. I = −3 + 2 3 . 3 dx có giá trị là: = dx 2 3 − 1 . Giá trị nguyên của a là: ax 2 − 4 x B. a = 6 . C. a = 7 . 1 A. D. I = ln ax − 2 ∫ Câu 40: Tích phân= I 1 −3 + 2 3 3+ 2 3 . C. I = ln . 3 3 a a 1− 5 1+ 5 . D. I = . ln ln 2 2 3 3 2 ∫ B. I = − ln a 1− 5 . ln 2 3 C. I = − Câu 41: Cho dx có giá trị là: C. T = 1 . ( dx D. T = 3 . ) 1 = a 3 + b 2 + c + ln 3 2 − 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Tính 2 2 1+ x ∫ 1+ x + 1 P = a+b+c. A. P = 1 . 2 1 ∫ Câu 45: Biết rằng bằng A. 3 . 0
Trang chủ
B. P = −1 . 1 C. P = − . 2 D. P = 5 . 2  2+ a  = 2 ln   x + 4x + 3  1 + b  với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a + b dx 2 B. 5 . C. 9 . D. 7 . 2  a 1 1 1  a Câu 46: Biết ∫  3 x − 2 + 2 3 8 − 11  dx =3 c , với a, b, c nguyên dương, tối giản và c < a . Tính  b x x x  b 1 S = a+b+c A. S = 51 . B. S = 67 . C. S = 39 . D. S = 75 . ( 2 ) dx = ln 2 + 5 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x2 + k 0 1 1 3 B. 0 < k ≤ . C. < k ≤ 1 . D. 1 < k ≤ . 2 2 2 Câu 47: Cho số thực dương k > 0 thỏa 3 . 2 HÀM LƯỢNG GIÁC A. k > ∫ Câu 48: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 1 1 1 A. ∫ sin (1 − x ) dx = ∫ sin xdx . 0 0 0 π π 1 B. ∫ cos (1 − x ) dx = − ∫ cos xdx . 0 π π 2 x C. ∫ cos dx = ∫ cos xdx . 2 0 0 2 x D. ∫ sin dx = ∫ sin xdx . 2 0 0 π 3 sin x dx . cos3 x 0 Câu 49: Tính tích phân I = ∫ A. I = 5 . 2 B. I = 3 . 2 C. I= π 9 . + 3 20 D. I = 9 . 4 π I Câu 50: Cho= 3 ∫ sin 0 2 b x tan xdx = ln a − . Chọn mệnh đề đúng: 8 2 B. a − b = 4 A. a + b = C. ab = 6 0 1 Câu 51: = Biết rằng I1 ∫= dx a và I = π 1 + cos 2 x − 0 ∫ −1 3 3 x + 2dx = b 3 2 − , a và b là các số hữu tỉ. 4 4 Thương số giữa a và b có giá trị là: 1 1 A. . B. . 3 2 Câu 52: Cho I = π a D. a b = 4 cos 2x dx ∫= 1 + 2sin 2x 0 A. 3 C. 3 . 4 D. 2 . 3 1 ln 3 . Tìm giá trị của a là: 4 B. 2 C. 4 π D. 6 1 1  3  Câu 53: Biết I1 = a và I 2 = ∫0 (1 + tan x ) dx = ∫0 x + x dx = bx + cx 3  , a và b là các số hữu tỉ. Giá 0 1 4 2 trị của a + b + c là: A. 1.
Trang chủ
B. 2. ( 2 ) C. 3. D. 0. π 3 sin 2 x dx có giá trị là: cos x + cos 3 x 0 Câu 54: Tích phân I = ∫ A. I = 1  2 −2 2 −1  + ln  ln . 2 2 2+2 2 + 1  B. I = 1  2 −2 2 +1  − ln  ln . 2 2 2+2 2 − 1  C. I = 1  2 −2 2 −1  − ln  ln . 2 2 2+2 2 + 1  D. I = 1  2+2 2 −1  − ln  ln . 2 2 2 −2 2 + 1  π 2 Câu 55: Tích phân I = ∫ π 2 x + cos x dx có giá trị là: x 2 + sin x 4 π2 π2  2 A.= − 1 − ln  + I ln  . 2   4   16 π2 π2  2 B.= I ln  + 1 − ln  + . 2   4   16 π2 π2  2 C.= − 1 + ln  + I ln  . 2   4   16 π2 π2  2 D.= I ln  + 1 + ln  + . 2   4   16 π 4 aπ + b ln 2 + c với a , b , c là các số hữu tỉ. Tính T = 1 + 1 − c Câu 56: Cho ∫ sin 2 x ln ( tan x + 1) dx = a b 0 . A. T = 2 . C. T = 6 . B. T = 4 . D. T = −4 . π 2 Câu 57: Xét tích phân I = ∫ 0 sin 2 x t dx . Nếu đặt = 1 + cos x 4t 3 − 4t ∫ t dt. 2 1 A. I = 1 + cos x , khẳng định nào dưới đây là đúng? −4t 3 + 4t C. I 4 ∫ ( t 2 − 1) dt. ∫ t dt. = 1 2 2 1 B. I = D. 2 I= −4 ∫ ( t 2 − 1) dt. 1 π 6 Câu 58: Cho ∫ sin n x.cos= x dx 0 1 ( n ∈  ) . Tìm giá trị n . 64 A. n = 3 . B. n = 4 . π 2 Câu 59: Cho tích phân sin x dx = ∫ π cos x + 2 C. n = 5 . D. n = 6 . a ln 5 + b ln 2 với a, b ∈ . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 0. A. 2a + b = 0. B. a − 2b = 0. C. 2a − b = π 2 Câu 60: Tích phân I = ∫ π 3
Trang chủ
cos x − sin x dx có giá trị là: ( e cos x + 1) cos x x 0. D. a + 2b = π π  π   π  e3 e3 − 2 e3 e3 + 2   .   . B. I = ln A. I = ln 2π 2π e 3 −2 e 3 −2 π π  π   π  e3 e3 − 2 e3 e3 + 2   .   . D. I = ln C. I = ln 2π 2π e 3 +2 e 3 +2 π sin 3 x dx có giá trị là: cos x 6 Câu 61: Tích phân I = ∫ π 3 A. I = 19 + 17 3 . 2 B. I = 19 + 17 4 3 . 2 C. I = −19 + 17 3 . 2 D. I = 19 − 17 4 3 . 2 π 3 ∫π Câu 62: Tích phân I = − A. I = 3 ( sin x cos x + 3 sin x ) 2 dx có gái trị là: 3  3+2  3 ln  + . 16  − 3 + 2  8 B. I = 3  3+2  3 C. I = ln  − + . 8  − 3 + 2  8 3  3+2  3 ln  + . 8  − 3 + 2  8 3  3+2  3 D. I = ln  − + . 16  − 3 + 2  8 π 4 1 dx có giá trị là: 9 cos x − sin 2 x 0 Câu 63: Tích phân I = ∫ 2 1 A. I = ln 2 . 3 1 B. I = ln 2 . 2 a Câu= 64: Tích phân I sin x + cos x dx ∫= ( sin x − cos x ) 2 0 A. a = − π 2 B. a = − . π 2 Câu 65: Tích phân I = ∫ π 3 π A. I =+ ln 12 ( π 4 ) . 3 +1 π + ln . 12 4  3 +1  ln   2  π 3 +1 π  I + ln C. = D. = . I − 12 2 12 2 .
Trang chủ
D. I = ln 2 . 1+ 3 . Giá trị của alà: 1− 3 sin x dx có giá trị là: sin x + cos x I 3 + 1 . B. = 1 C. I = ln 2 . 6 C. a = π 3 . D. a = π 6 . π 4 Câu 66: Cho biết cos x = ∫ sin x + cos x dx aπ + b ln 2 với a và b là các số hữu tỉ. Khi đó a bằng: b 3 . 8 3 . 4 0 A. 1 . 4 B. C. 1 . 2 D. π Câu 67: Biết x sin 2018 x πa d x = P 2a + b . trong đó a , b là các số nguyên dương. Tính = ∫0 sin 2018 x + cos2018 x b A. P = 8 . B. P = 10 . π Câu 68: Cho tích phân I = ∫ 0 A. 2. sin xdx 1 − 2α cos x + α 2 B. α 2 C. P = 6 . D. P = 12 . (với α > 1 ) thì giá trị của I bằng: . C. 2α . D. Câu 69: Có bao nhiêu giá trị của tham số m trong khoảng ( 0; 6π ) thỏa mãn m 2 α . sin x 1 ∫ 5 + 4 cos x dx = 2 ? 0 A. 6 . B. 12 . C. 8 . D. 4 . π 2 Câu 70: Cho ∫ sin 0 2 cos x 4 = dx a ln + b, tính tổng S = a + b + c . x − 5sin x + 6 c A. S = 1 . B. S = 4 . C. S = 3 . D. S = 0 . π x 2 + ( 2 x + cos x ) cos x + 1 − sin x c Câu 71: Cho tích phân I= ∫ dx= aπ 2 + b − ln với a , b , c là các số x + cos x π 0 2 hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức = P ac 3 + b. 5 B. P = . A. P = 3 . 4 C. P = 3 . 2 D. P = 2 . π 2 Câu 72: Cho ∫ ( cos x ) 0 4 = dx a ln + b , với a , b là các số hữu tỉ, c > 0 . Tính tổng c − 5cos x + 6 sin x 2 S = a+b+c. B. S = 0 . A. S = 3 . C. S = 1 . D. S = 4 . π 2 Câu 73: Cho a c ln 2 − , trong đó a , b , c ∈  ∫ ( 4 cos 2 x + 3sin 2 x ) ln ( cos x + 2sin x ) dx = b * , 0 số tối giản. Tính T = a + b + c . A. T = 9 . B. T = −11 . π 3 Câu 74: Biết ∫π − sin x 1 + x 6 + x3 3 a+b+c+d .
Trang chủ
dx = C. T = 5 . a là phân b D. T = 7 . π3 3π 2 + + cπ + d 3 với a, b, c, d là các số nguyên. Tính a b 28 . A. a + b + c + d = a+b+c+d = 22 . 16 . B. a + b + c + d = 14 . C. a + b + c + d = D. π 6 x cos x ∫π Câu 75: Biết − 1 + x2 + x dx =a + π2 b 6 A. M = 35 . C. M = −37 . B. M = 41 . D. M = −35 . π 1 2 Câu 76: Cho 3π với a , b , c , d là các số nguyên. Tính M = a − b + c . c + ∫ f ( x ) dx = 2018 0 A. I = 1009 . 2 12 . Tính ∫ cos 2 x. f ( sin 2 x ) dx 0 B. I = 1009 . . C. I = 4036 . D. I = 2018 . π Câu 77: Cho f là hàm số liên tục thỏa 1 2 0 0 ∫ f ( x ) dx = 7 . Tính I = ∫ cos x. f ( sin x ) dx . B. 9 . A. 1 . C. 3 . Câu 78: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và 2π 3 1 ∫ f ( x ) dx = 12 , ∫ f ( 2 cos x ) sin xdx bằng π 3 −1 A. −12 . D. 7 . D. −6 . C. 6 . B. 12 . Câu 79: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn 9 ∫ f ( x ) dx = 4 và π /2 x 1 ∫ f ( sin x ) cos xdx = 2. 0 3 Tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng 0 A. I = 2 . B. I = 6 . HÀM MŨ – LÔGARIT 1 Câu 80: Cho I = ∫ xe1− x dx . Biết rằng I = 2 0 C. I = 4 . ae − b . Khi đó, a + b bằng 2 B. 0 . A. 1 . Câu 81: Nguyên hàm của 2 A. sin x.e sin 2 x −1 1 Câu 82: Biết rằng ∫ 3e 1+ 3 x 0 A. T = 6 . C. 2 . f ( x ) = sin 2 x.esin +C. dx = 2 là sin 2 x +1 e +C. B. sin 2 x + 1 ln 5
Trang chủ
esin x −1 +C . D. sin 2 x − 1 2 C. e sin 2 x +C . a 2 b b c e + e + c ( a, b, c ∈  ). Tính T = a + + . 5 3 2 3 B. T = 9 . ∫ D. 4 . x ln12 Câu 83: Tích phân = I D. I = 10 . e x + 4dx có giá trị là: C. T = 10 . D. T = 5 . 2 ln 3 + ln 5 . A. I =− 2 − 2 ln 3 + ln 5 . C. I = 2 − 2 ln 3 + 2 ln 5 . B. I = 2 ln 3 − 2 ln 5 . D. I =− Câu 84: Tìm tất cả các giá trị dương của tham số m sao cho A. m 2250 2500 − 2 . = 3 Câu 85: Cho ∫ e B. = m 21000 + 1 . ∫ m 0 xe x 2 +1 dx = 2500.e m2 +1 . C. m 2250 2500 + 2 . D. = = m 21000 − 1 . dx = a.e 2 + b.e + c . Với a , b , c là các số nguyên. Tính S = a + b + c . x +1 x +1 0 B. S = 2 . A. S = 1 . π 2 C. S = 0 . D. S = 4 . sin x sin x cos3 xdx . Nếu đổi biến số t = sin 2 x thì: Câu 86: Cho tích phân I = ∫ e 2 0  1 t t  ∫ e dt + ∫ te dt  . 2 0 0  1 A. I = 1 B. I = 1 1  C. I 2  ∫ et dt + ∫ tet dt  . = 0 0  n +1 Câu 87: Tính A. −1 . 1 1  D. I 2  ∫ et dt − ∫ tet dt  . = 0 0  dx ∫ 1+ e lim x →+∞ 1 1  1 t t e d t te d t − ∫ ∫0  . 2 0 x . n B. 1 . C. e . D. 0 . 2017 C. I = 2 . 2018 D. I = 2 . 2 Câu 88: Tính tích phân I = x 2016 ∫ e x + 1 dx. −2 2018 B. I = 2 . A. I = 0 . 2017 1 x 2e x ∫ ( x + 2) Câu 89: Cho biết 2 = dx 0 ln 6 ∫ 1+ 0 2018 a a .e + c với a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và là b b phân số tối giản. Tính a − b + c . A. 3 . B. 0 . Câu 90: Biết tích phân 2017 ex e +3 x C. 2 . D. −3 . dx = a + b ln 2 + c ln 3 , với a , b , c là các số nguyên. Tính T = a+b+c. B. T = 0 . A. T = −1 . 9 4 3 Câu 91: Giá trị I = ∫ x 2 sin (π x3 ) e ( ) cos π x3 C. T = 2 . D. T = 1 . dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: 1 3 6 A. 0, 046 . 1 Câu 92: Cho ∫ 0 (x 2 B. 0, 036 . + x ) ex x + e− x
Trang chủ
C. 0, 037 . D. 0, 038 . a.e + b ln ( e + c ) với a , b , c ∈  . Tính P =a + 2b − c . dx = 1 Câu 93: Biết ∫ 0 (x C. P = 0 . B. P = −1 . A. P = 1 . 2 + 5x + 6) ex x+2+e −x dx = ae − b − ln D. P = −2 . ae + c với a , b , c là các số nguyên và e là cơ số của 3 logarit tự nhiên. Tính S = 2a + b + c . A. S = 10 . B. S = 0 . C. S = 5 . D. S = 9 . 1 1 e  π x3 + 2 x + ex3 .2 x  ln  p + +  với m , n , p là các số nguyên dương. Tính ∫0 π + e.2 x dx = e +π  m e ln n  1 Câu 94: tổng S = m + n + p . B. S = 5 . A. S = 6 . D. S = 8 . C. S = 7 . Câu 95: Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c, ( a, b, c ∈ , a ≠ 0 ) có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 . Tính tích phân I = A. I= x1 − x2 . ∫ ( 2ax + b ) e x2 x1 B. I = u Câu 96: Với cách đổi biến = ax 2 + bx + c dx . x1 − x2 . 4 1 + 3ln x thì tích phân C. I = 0 . e ∫x 1 2 2 A. 2 u 2 − 1) du . ( ∫ 31 e Câu 97: Biết ∫ 1 A. B. ( x + 1) ln x + 2 d= x 1 + x ln x 1 . 2 Câu 98: Tính tích phân I = ∫ 1 Câu 99: Biết ∫ 3x 2 1 + x ln x a + b + c bằng A. 6 . e Câu 100: Biết I =∫ 1 2 ( ) C. 2 ∫ u 2 − 1 du . 1 1 + 3ln x dx bằng cách đặt = t x 2 B. I = ∫ tdt . 31 ( 3x + 1) = dx ln x dx trở thành 1 + 3ln x C. 3 . 2 2 2 A. I = t 3 . 9 1 x1 − x2 . 2 2 u2 −1 du . 9 ∫1 u 2 D.  e +1  a a.e + b ln   trong đó a , b là các số nguyên. Khi đó tỉ số là b  e  B. 1 . e 2 2 u 2 − 1) du . ( ∫ 91 D. I = D. 2 . 1 + 3ln x , mệnh đề nào dưới đây sai? 2 2 C. I = ∫ t 2dt . 31 D. I = 14 . 9 ln b   ln  a +  với a , b , c là các số nguyên dương và c ≤ 4 . Tổng c   C. 7 . B. 9 . D. 8 . ln x 3 dx =a ln + b, ( a, b ∈ Q ) . Mệnh đề nào sau đây đúng? x ( ln x + 2 ) 2 A. a − b = 1. B. 2a + b = 1.
Trang chủ
( ) dx có giá trị là: e ln x 2 ln 2 x + 1 + 1 1 x Câu 101: Tích phân I = ∫ C. a 2 + b 2 = 4. D. a + 2b = 0. A. I = 4 2 +3 . 3 B. I = e Câu 102: Tích= phân I ∫ x ( ln 4 2 +1 . 3 C. I = 4 2 +5 . 3 D. I = 4 2 −3 . 3 x + ln x ) dx có giá trị là: 2 1 A. I = −2e . 1   ln 3 x + 3 x  ln 2 x + x  2 3   dx= x 9 1 ∫ Câu 103: Biết = I B. I = −e . 0 Giá trị của a là: A. 9. e 1 Câu 105: Tính I = ∫ A. B. I = (1 − ln x ) B. Câu 106: Cho tích phân I = ∫ 1 1 . 3 e Câu 107: Biết 1 C. I = C. D. 6. 2 2 −2 . 3 5 . 3 D. I = 2 2+2 . 3 B. I = 2 t dt . 3 ∫1 D. 4 . 3 1 + 3ln x . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 2 2 2 t dt . 3 ∫1 ∫ 4 2+2 . 3 1 + 3ln x t dx , đặt = x e e C. – 9. dx được kết quả là 13 . 3 A. I = ) 1 + ae + 27e 2 + 27e3 − 3 3 , a là các số hữu tỉ. 2 x e D. I = 2e . 2 ln x ln 2 x + 1 dx có gái trị là: x 4 2 −2 . 3 e2 ( B. – 6. Câu 104: Tích phân I = ∫ A. I = C. I = e . C. I = 2 2 t dt . 3 ∫1 e D. I = 2 tdt . 3 ∫1 a −b c 3 + ln x dx = , trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c < 4 . Tính giá x 3 trị S = a + b + c . A. S = 13 . e Câu 108: Cho I = ∫ 1 B. S = 28 . ln x x ( ln x + 2 ) 2 C. S = 25 . D. S = 16 . dx có kết quả dạng= I ln a + b với a > 0 , b ∈  . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2ab = −1 . 2 Câu 109: Biết ∫x 1 2 B. 2ab = 1 . C. −b + ln 3 1 =− . 2a 3 D. −b + ln 3 1 =. 2a 3 x +1 = dx ln ( ln a + b ) với a , b là các số nguyên dương. Tính P = a 2 + b 2 + ab . + x ln x B. 8 . A. 10 . Câu 110: Cho tích phân = I
Trang chủ
∫ e2 e (x 2 C. 12 . D. 6 . + 1) ln x + 1 ae 4 + be 2 = dx + c + d ln 2 . Chọn phát biểu đúng nhất: x ln x 2 A. a= b= c= d 2 B. = a b= 2018 Câu 111: Tính tích phân I = ln (1 + 2 x ) ∫ (1 + 2 ) log −x 0 4e = c 1 d C. A và B đúng D. A và B sai dx . A. I =ln (1 + 22018 ) − ln 2 . B. I = ln 2 (1 + 22018 ) − ln 2 2 . C. I = ln 2 (1 + 22018 ) − ln 4 . D. I =ln 2 (1 + 2−2018 ) − ln 2 2 . Câu 112: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn e ∫ 1 1 A. B. 0 e4 Câu 113: Biết ∫ e e 1 ∫ f ( x ) dx = 1. f ( ln x ) dx = e. Mệnh đề nào sau đây đúng? x ∫ f ( x ) dx = e. C. e ∫ f ( x ) dx = 1. D. 0 0 ∫ f ( x ) dx = e. 0 4 1 f ( ln x ) dx = 4 . Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx . x 1 B. I = 16 . A. I = 8 . C. I = 2 . D. I = 4 . PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α ; β ](*) sao cho= ,ϕ ( β ) b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọi t ∈ [α ; β ]. Khi đó: ϕ (α ) a= b ∫ β f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ‘(t )dt. α a Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng  π π đặt x | a | sin t ; t ∈  − ;  1. a 2 − x 2 :=  2 2 |a|  π π = x ; t ∈  − ;  {0} 2. x 2 − a 2 : đặt sin t  2 2  π π 3. x 2 += a 2 : x | a | tan t ; t ∈  − ;   2 2 a+x a−x 4. hoặc : đặt x = a.cos 2t a−x a+x Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính 3 ∫ tích phân I = 0 x 2 dx x2 + 1 thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I = ∫ 0 3 x3 dx x2 + 1 thì nên đổi biến dạng 1. 2 = I Câu 114: Khi tính ∫ 4 − x 2 dx, bằng phép đặt x = 2 sin t , thì được 0 π π 2 A. ∫ 2 (1 + cos 2t )dt . 0
Trang chủ
2 B. ∫ 2 (1 − cos 2t )dt . 0 2 C. ∫ 4 cos 2 tdt . 0 2 D. ∫ 2 cos 2 tdt . 0 2π 4 − x 2 dx = + a . Khi đó a bằng: 3 1 Câu 115: Biết rằng ∫ −1 2. A. B. 1 . Câu 116: Cho tích phân I = 1 2 3. C. 1 dx ∫= 1− x D. 2 . aπ ,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 2 0 A. 1 . 2 B. 3 ∫ Câu 117: Giá trị của 0 1 . 3 C. 1 . 4 D. 1 . 6 a a là phân số tối giản. Tính giá trị của 9 − x 2 dx = π trong đó a, b ∈  và b b biểu thức T = ab . A. T = 35 . C. T = 12 . B. T = 24 . Câu 118: Đổi biến x = 2sin t thì tích phân 1 dx ∫ 4 − x2 0 A. trở thành π π π 6 3 6 ∫ tdt . B. 0 Câu 119: Biết rằng ∫ tdt . C. 1 ∫ dx = − x2 + 6 x − 5 . Tổng a + b bằng B. 7 . A. 5 . 4 ∫ 0 0 a+ b π 6 D. T = 36 . π 6 dt . t D. ∫ dt . 0 trong đó a , b là các số nguyên dương và 4 < a + b < 5 D. 6 . C. 4 . 3 Câu 120: Tích phân I = ∫ ( x − 1)( 3 − x )dx có giá trị là: 5 2 A. I= π 3 − . 6 4 1 Câu 121: Tích phân I = ∫ 0 B. I= 3 + 4x 3 + 2 x − x2 7π A. I = − 4 3 + 8 . 6 7π C. I = + 4 3 − 8 . 6 Câu 122: Tích phân I = 1 2 ∫ −1 A. I = 5π . 3 https://toanmath.com/ π 3 − . 3 8 C. I= π 3 − . 6 8 D. I= π 3 − . 3 8 dx có giá trị là: 7π B. I = − 4 3 − 8 . 6 7π D. I = + 4 3 + 8 . 6 4x − 3 5 + 4 x − x2 dx có giá trị là: B. I = 5π . 6 C. I = − 5π . 3 D. I = − 5π . 6 1 2 2 Câu 123: Cho I = ∫ 1 − 2 x 1 − x dc =aπ + b với a, b ∈ R . Giá trị a + b gần nhất với 0 A. 1 10 B. 1 1 Câu 124: Tích phân I = ∫ 0 A. I = π 2 C. 1 5 D. 2 1 dx có giá trị là: x +1 2 . B. I = π 3 C. I = . π 4 D. I = . π 6 . 1 Câu 125: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn f ( tan x ) = cos x , ∀x ∈  . Tính I = ∫ f ( x ) dx 4 0 . A. π +2 8 . B. 1 . C. 2+π . 4 D. π . 4 Câu 126: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ −6;5] , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như 5 hình vẽ. Tính giá trị I = ∫  f ( x ) + 2 dx . −6 y −4 −6 I 2π + 35 . A. = 3 5 x O −1 I 2π + 33 . C. = I 2π + 34 . B. = 1 Câu 127: Khi đổi biến x = 3 tan t , tích phân I = ∫ 0 dx trở thành tích phân nào? x +3 2 π π π 3 6 6 A. I = ∫ 3dt . 0 https://toanmath.com/ B. I = ∫ 0 3 dt 3 I 2π + 32 . D. = C. I = ∫ 3tdt . 0 π 6 1 D. I = ∫ dt . t 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. 19T y = f ( x) a, b u = u ( x) Cho hàm số liên tục trên [ ] . Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên [ a, b] và u ( x ) ∈ [α , β ] ∀x ∈ [ a, b] , hơn nữa f ( u ) liên tục trên đoạn [α , β ] . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x = a T 9 1 19T A. C. b b a a b u(b ) u(b) ∫ f u ( x ) u′ ( x ) dx = ∫ f ( u ) du . ∫ f u ( x )  u ′ ( x ) dx = a B. b f ( u ) du . ∫ u( a) ∫ u(a) D. ∫ a b f u ( x )  u ′ ( x ) dx = ∫ f ( u ) du . a b f u ( x )  u ′ ( x ) dx = ∫ f ( x ) du . a Hướng dẫn giải Chọn C Đặt u ( x ) = t ⇒ u ′ ( x ) dx = dt . Đổi cận Khi x = a thì t = u ( x ) ; khi x = b thì t = u ( b ) . Do đó b u(b ) u(b) a u( a) u(a) ∫ f u ( x ) u′ ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( u ) du . HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ 3 Câu 2. = I Tính tích phân ∫ x ( x − 1) 1000 dx. 1 1002 3005.21002 1502.21001 . . B. I = C. I = 501501 1003002 Hướng dẫn giải 2003.2 . A. I = 1003002 2003.21001 . D. I = 501501 Đặt x − 1 =t , khi x = 1 ⇒ t = 0; x = 3 ⇒ t = 2.  t1002 t1001  ∫0 ( t + 1) t d ( t + 1) = ∫0 ( t + t ) dt =  1002 + 1001  21002 21001 2 1  1502.21001 1001  = + =2  + . = 1002 1001 501501  1002 1001  Chọn B 2 Do đó I = 2 1000 1001 2 1000 0 100 Câu 3. Giá trị của tích phân ∫ x ( x − 1) ... ( x − 100 ) dx bằng 0 A. 0 . C. 100 . Hướng dẫn giải B. 1 . D. một giá trị khác. T 9 1 Chọn A T 9 1 100 Tính I = T 9 1 T 9 1 ∫ x ( x − 1) ... ( x − 100 ) dx . 0 t 100 − x ⇒ dx = −dt . Đặt= Đổi cận: Khi x = 0 thì t = 100 ; khi x = 100 thì t = 0 . Do x ( x − 1) ... ( x − 100 )= (100 − t )( 99 − t ) ... (1 − t )( −t ) = −t ( t − 1) ... ( t − 99 )( t − 100 ) nên 100 I= ∫ 0 100 0⇔I= 0. x ( x − 1) ... ( x − 100 ) dx = − ∫ t ( t − 1) ... ( t − 100 ) dt = −I ⇔ 2I = https://toanmath.com/ 0 2 Câu 4. Tích phân ∫x x dx bằng +3 2 0 A. 1 7 log . 2 3 B. ln 7 . 3 1 7 ln . 2 3 Hướng dẫn giải C. D. 1 3 ln . 2 7 D. 5 16 Chọn C 2 2 2 1 1 x 1 1 7 2 Ta có: = + 3) ln x 2 + 3 = ln . ∫0 x 2 + 3 dx 2 ∫0 x 2 + 3 d ( x= 2 2 3 0 2 dx 5 Câu 5. Cho tích phân = I ∫ 5= a ln + b . Khi đó a + 2b bằng 1 x + x3 8 5 5 5 A. B. C. 2 8 4 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 2 2 dx dx x I ∫= dx = = 5 3 ∫ ∫ 3 2 4 1 x + x 1 x . ( x + 1) 1 x . ( x 2 + 1) 1 dt = xdx . 2 Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2, x = 2 ⇒ t = 5 . 51 1 Suy ra I = ∫ . dt . 2 2 2 ( t − 1) .t Đặt = t x 2 + 1 , suy ra dt = 2 xdx ⇔ Ta cần tách tiếp Câu 6. 1 ( t − 1) 2 về dạng .t ( t − 1) 2 + k để có thể lấy nguyên hàm được. Dễ dàng tìm t được m, n, k bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Ta tìm được m = 2, k = 1. −1, n = Suy ra 5 5 5 1 5 1 2 − t  1 1 1 1 1 5 1 1  1 1 5 3 = + = − ln t − 1= I dt ln x − . ln − .  − 1 − ln= 4 ln +   2 ∫ 2 2  t ( t − 1)  2 2 t −1 2 2 2 2 2 4  2 2 8 8 2 2 1 3 5 Suy ra a = , b = ⇒ a + 2b = . 2 8 4 Ta chọn phương án B. 1 5 x dx = I a ln 2 − b . Giá trị a+b là: Tích phân I = ∫ được kết quả 3 2 0 (1 + x ) A. 3 16 B. Chọn A đặt t= ( ) Tích phân I = A. I = ln 3 . https://toanmath.com/ 13 16 14 17 Hướng dẫn giải C. D. 4 17 1 1 2 1  1 5 dt ln 2 − .  − 2 + 3 = ∫ 2 1t t t  2 16 2 I 1 + x 2 ⇒= 0 Câu 7. mt + n ∫x −1 2x dx có giá trị là: +1 B. I = − ln 2 . C. I = − ln 3 . Hướng dẫn giải 2 D. I = ln 2 . Ta nhận thấy: ( x 2 + 1) ' = 2x . Ta đặt: t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx . 1 Câu 8. Câu 9. 1 1  x =−1 ⇒ t =2 . ⇒ I =∫ dt = Đổi cận:  ( ln t ) =− ln 2 . t x = 0 ⇒ t = 1 2 2 Chọn B 1 x2 1 Cho ∫ 3 dx = ln a ,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 3 x +1 0 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải 1 x2 1 Cho ∫ 3 dx = ln a . Giá trị của a là: 3 x +1 0 Ta có: 1 2 2 x2 1 1 1 dx = ... = ∫0 x3 + 1 ∫1 3t dt = 3 ( ln t ) 1 = 3 ln 2 ⇒ a = 2 . Chọn A 0 ax Tích phân I = ∫ 2 dx ,với a ≠ −2 có giá trị là: ax + 2 −1 ln 2 + ln a + 2 ln 2 − ln a + 2 . B. I = . A. I = 2 2 − ln 2 − ln a + 2 − ln 2 + ln a + 2 C. I = . D. I = . 2 2 Hướng dẫn giải 0 ax Tích phân I = ∫ 2 dx , với a ≠ −2 có giá trị là: ax + 2 −1 Ta nhận thấy: ( ax 2 + 2 ) ' = 2ax . Ta dùng đổi biến số. Đăt t= ax 2 + 2 ⇒ dt= 2axdx . x = 0 ⇒ t = 2 Đổi cận  .  x =−1 ⇒ t =a + 2 2 2 1 1 1 dt= ( ln t ) = ( ln 2 − ln a + 2 ) . a + 2 2t 2 2 a+2 Chọn B 5 5 dx dx = a ln 5 + b ln 3 + c ln 2.(a, b, c ∈ ) ∫ 2 = a ln 5 + b ln 3 + c ln 2. Tính giá trị Câu 10. Giả sử ∫ 2 x −x x −x 3 3 I= ∫ biểu thức S =−2a + b + 3c 2 . A. S = 3. B. S = 6. C. S = 0. Hướng dẫn giải D. S = −2. Chọn B 5 4 2 dx dx dx dx x −1 ∫3 x 2 − x = ∫3 x ( x − 1) = ∫3 x − 1 − ∫3 x = ln x 3 = ln 5 − ln 3 = ln 4 − ln 5 − ln 2 + ln 3 = ln 2 + ln 3 − ln 5 suy ra a = −1; b = 1; c = 1 Vậy S = 2 + 1 + 3 = 6. 5 5 https://toanmath.com/ 5 5 2 x 2 + 3x + 3 2 2 ∫0 x 2 + 2 x + 1 dx= a − ln b với a , b là các số nguyên dương. Tính P= a + b . 1 Câu 11. Biết A. 13 . B. 5 . D. 10 . C. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 x 2 + 3x + 3 Ta có I = ∫ 2 dx x + 2x +1 0 1 dt = dx Đặt t = x + 1 ⇒  suy ra x = t −1 x = 0 ↔ t = 1  x = 1 ↔ t = 2 2 2 2 ( t − 1) + 3 ( t − 1) + 3 2t 2 − t + 2 2  1 2  dt = ∫  2 − + 2  dt = 2t − ln t −  = dt ∫ Khi đó I ∫= 2 2 t t  t t 1 t  1 1 1 = 3 − ln 2 . Suy ra P = 32 + 22 = 13 . b a − x2 Câu 12. Tính I = ∫ dx (với a , b là các số thực dương cho trước). 2 2 a (a + x ) 2 2 A. I = 2b . 2 a + b2 2 B. I = b . a + b2 C. I = ( a − 1)( b − 1) . D. ( a + b2 ) ( a + 1) I= b . a +b 2 Hướng dẫn giải Chọn C a −1 x2 = dx . I =∫ x d 2 ∫ 2 2 a   a + x a a ( )  + x x  a a a   Đặt t= + x ⇒ dt = − 2 + 1 dx . Đổi cận: x = a ⇒ t = 1 + a ; x = b ⇒ t = + b b x  x  b a − x2 Khi đó: I = b a +b b ∫ 1+ a a +b2 +b ( a − b )( b − 1) 1 b −1 1b 1 b = == t d = − 2 2 t t 1+ a t 1+ a a + b 1 + a ( a + b 2 ) ( a + 1) a ⇔k= 1. π Câu 13. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và các tích phân 4 ∫ f ( tan x ) dx = 4 và 0 1 ∫ 0 x2 f ( x ) dx = 2 . x2 + 1 1 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 0 B. I = 2 . A. I = 6 . C. I = 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt t = tan x ⇒ dt = (1 + tan 2 x ) dx ⇒ Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0 và x = π Đó đó: 4 ∫ π 4 1 f ( tan x ) dxdx = 4 ⇒ ∫ 0 https://toanmath.com/ 0 dt = dx 1 + t2 ⇒t = 1 1 f ( t ) dt f ( x ) dx = 4 ⇒ = 4 2 ∫ 1+ t 1 + x2 0 D. I = 1 . 1 ∫ Nên 0 1 f ( x ) dx 1 x 2 f ( x ) dx + = 4 + 2 ⇔ ∫0 1 + x 2 ∫0 f ( x ) dx = 6 1 + x2 Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hình bên. Tính tích phân 2 = I ∫ f ′ ( 2 x − 1) dx . 1 4 3 2 2 -1 O 1 3 -1 2 B. I = −1 . A. I = −2 . C. I = 1 . Hướng dẫn giải D. I = 2 . Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) đi qua các điểm ( −1; −1) , ( 0;3) , ( 2; −1) , ( 3;3) nên hàm số y =f ( x ) =x3 − 3 x 2 + 3 . 2 Ta= có: I ∫ 1 https://toanmath.com/ f ′ ( 2 x − 1) dx= 2 1 2 1 1 f ′ ( 2 x − 1) d ( 2= x − 1) f ( 2= x − 1) 1  f ( 3) − f (1)  = 1 ∫ 21 2 2 HÀM VÔ TỈ 1 ∫ Câu 15. Cho tích phân 3 t 1 − xdx , với cách đặt = 3 1 − x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 sau đây? 1 1 1 B. ∫ t 3dt . A. 3∫ tdt . 0 0 1 D. 3∫ t 3dt . C. 3∫ t 2 dt . 0 0 Hướng dẫn giải Chọn D 3 1 t ⇒ dx =−3t dt , đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 , x = 1 ⇒ t = 0 . Đặt t = 1 − x ⇒ x =− 3 Khi đó ta có 1 ∫ 0 2 1 3 1 − x dx = 3∫ t 3dt . 0 A. 1 2 t t − 1dt . 2 ∫1 Đặt t = B. ∫ I= 1 1 3 t t − 1dt 2 1 2 0 3 x 2 − 1dx D. ∫ (x 3 1 2 ) + 1 x 2 dx . Hướng dẫn giải. x − 1 ⇒ t = x − 1 ⇒ tdt = xdx 2 2 2 x =1⇒ t = 0 , x = 2 ⇒ t = 2 ∫ 4 2 ∫x C. ∫ ( t + 1) t dt . = Câu 16. Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với I x 3 x 2 − 1dx= ∫ (t 3 3 2 0 ) + 1 t 2 dt Chọn C 3 Câu 17. Nếu 2 x ∫0 1 + 1 + x dx = ∫1 f (t )dt , với =t đây ? t ) 2t 2 + 2t A. f (= 1 + x thì f (t ) là hàm số nào trong các hàm số dưới ) t2 − t ) t2 + t B. f (t = C. f (t = Hướng dẫn giải t ) 2t 2 − 2t D. f (= Chọn D t 1 + x , suy ra t 2 = 1 + x , 2tdt = dx Đặt = 3 2 2 2 2 x t −1 Ta có ∫ dx = .2tdt = (t − 1).2tdt = (2t 2 − 2t )dt ∫ ∫ ∫ 1+ t 0 1+ 1+ x 1 1 1 4 Câu 18. Kết quả của ∫ 0 A. 4 . 1 dx bằng 2x +1 B. 5 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. 3 . Chọn C Đặt t = 2 x + 1 ⇒ t 2 = 2 x + 1 ⇒ 2tdt = 2dx ⇒ tdt = dx . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 , x = 4 ⇒ t = 3 . 4 3 3 tdt 1 3 Khi đó, ta có ∫ d= x ∫ = ∫ d= t t= 2. 1 t 2x +1 0 1 1 1 Câu 19. Tích phân ∫ 0 A. 4 . 3 https://toanmath.com/ dx bằng 3x + 1 B. 3 . 2 1 . 3 Hướng dẫn giải C. D. 2 . 3 Chọn D T 9 1 3 x + 1 ⇒ t 2 = 3 x + 1 ⇒ 2tdt = 3dx ⇒ t = Đặt Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = 2 Khi đó 2 2 2 dx 2 1 2 = ∫ .tdt = ∫ dt = t = . 31 3 1 3 3x + 1 3 1 t ∫ 0 Cách khác: Sử dụng công thức 3 Câu 20. Cho 2 2 1 2t dt = dx 3 ∫ 4+2 x 0 ∫ dx 2 = ax + b + C thì ax + b a 1 ∫ 0 1 dx 2 2 3x + 1 = . = 3 3x + 1 3 0 a dx =+ b ln 2 + c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c 3 x +1 bằng A. 1 . B. 2 . C. 7 . Hướng dẫn giải D. 9 . Chọn A t x + 1 ⇒ t 2 =x + 1 ⇒ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2tdt . Đặt= Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2 ; x = 3 ⇒ t = 4 . Khi đó: t 2 −1 ∫1 4 + 2t .2tdt = 2 t3 − t ∫1 t + 2 dt = 2 2  t3 2  6  7  2 ∫1  t − 2t + 3 − t + 2  dt =  3 − t + 3t − 6 ln t + 2  = 3 − 12 ln 2 + 6 ln 3 1 2 a = 7  1. Suy ra b = −12 ⇒ a + b + c = c = 6  4 Câu 21. Biết I= ∫ 0 A. S = 3. 1 dx= a + b ln 2 với a, b là số nguyên. Tính S= a + b . 2x +1 − 5 B. S = −3. C. S = 5. D. S = 7. Hướng dẫn giải: Chọn B t = 2 x + 1 ⇒ t 2 = 2 x + 1 ⇒ 2tdt = 2dx x = 0 ⇒ t = 1 x = 4 ⇒ t = 3  4 3 3 3 1 t 5   I= d x = d t = 2 5ln 2. ( t 5ln t − 5 ) 1 =− ∫0 2 x + 1 − 5 ∫1 t − 5 ∫1 1 + t − 5  dt =+ Suy ra: a =2; b =−5 ⇒ S =a + b =−3. 5 Câu 22. Tính tích phân ∫x 1 A. 4 . dx = I a ln 3 + b ln 5 . Giá trị a 2 + ab + 3b 2 là được kết quả 3x + 1 B. 5 . C. 1 . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn B t 2 −1 2tdt . ⇒ dx = 3 3 Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2; x = 5 ⇒ t = 4. Khi đó Đặt t = 3x + 1 ⇒ t 2 = 3x + 1 ⇒ x = https://toanmath.com/ a = 2 1  t −1  1 − d t = ln = 2 ln 3 − ln 5 . Suy ra .    ∫2  t − 1 t + 1  t +1 2 b = −1 Do đó a 2 + ab + 3b 2 = 5. 4 dx 2 Câu 23. Cho tích phân I= ∫ = a + b ln với a, b ∈  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 2x +1 0 3+ 3. 5. 5. 3. A. a − b = B. a − b = C. a + b = D. a + b = Hướng dẫn giải Chọn C 2 x + 1 ⇒ t 2 = 2 x + 1 ⇒ dx = t = tdt . Đặt Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 4 ⇒ t = 3 3 3 4 3 3  tdt dx 2  = ∫ = ∫ 1 − Khi đó I = ∫ t 3ln t + 3 ) =+ 2 3ln (  dt =− 1 3+t 1  t +3 3 1 0 3 + 2x +1 5. Do đó a + b = 4 4 4 2 I = ∫ 2= dt t 1 − 2 3 ∫x Câu 24. Biết x 2 + 1dx = 1 A. a = 2b . ( ) 2 a − b , với a, b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng. 3 B. a < b . C. a = b . D. a = 3b . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇒ tdt = xdx . Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2; x = 3 ⇒ t = 2 . 3 2 t3 x x + 1dx = ∫ t dt = 3 2 ∫ Khi đó 2 1 a dx ∫= x x +4 Câu 25.= Cho I 2 2 5 ( ) 2 4 − 2 . Vậy a = 2b. 3 = 2 2 ( ) 1 5 ln , a > 5 . Khi đó giá trị của số thực a là 4 3 A. 2 3. B. 2 5. C. 3 2. Hướng dẫn giải D. 2 2. Chọn A Đặt t = a I = ∫ 5 1 = 4 x 2 + 4 ⇒ t 2 = x 2 + 4 ⇒ tdt = xdx. Đổi cận: x= a2 + 4 xdx = x2 x2 + 4 a2 + 4 ∫ 3 dt = ∫3 t 2 − 4 a2 + 4 ∫ 3 1  1 t −2  1 −   dt = ln 4 t+2 t −2 t +2 5 ⇒ t= 3, x = a ⇒ t = dt (t − 2)(t + 2) a2 + 4 3 1  a2 + 4 − 2  = ln  5 ⋅ . 4  a 2 + 4 + 2  1 5 1  a2 + 4 − 2  1 5 Ta có, I = = ln ⇔ ln  5 ⋅ ln , a > 5 ⇔ = 4 3 4  a 2 + 4 + 2  4 3 ( ⇔3 ( ) a2 + 4 − 2= 1 Câu 26. Cho I = ∫ 0 A. – 1. ) a2 + 4 − 2 1 = a +4+2 3 2 a 2 + 4 + 2 ⇔ a= 2 3 . x dx a 2 + b . Giá trịa.b là: = x2 + 1 B. – 2. C. 1. Hướng dẫn giải
Trang chủ
a2 + 4 . D. 2. 1 Cho I = x ∫ dx a 2 + b . Giá trịa.b là: = x2 + 1 0 Ta có: x = 0 ⇒ t = 1 Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx . Đổi cận  . x =1 ⇒ t = 2 2 1 1 ⇒I= ∫ dt = 2 − 1 ⇒ a =1, b =−1 ⇒ a.b =−1 . 21 t Chọn A 2 4 − x2 b Câu 27. Với a, b, c ∈ R . Đặt I= ∫ dx= a − ln . Giá trị của tính abc là : x c 1 B. −2 3 3 A. D. − 3 C. 2 3 Hướng dẫn giải Chọn D Đây là dạng toán tính tích phân để tránh tình trạng bấm máy tính nên chúng ta cần phải nhớ phương pháp làm. Có hai cách để làm bài toán này là chuyển về lượng giác hoặc phá căn. Dưới đây là một cách Đặt t =4 − x 2 ⇒ t 2 =− 4 x 2 ⇒ tdt = − xdx  t (−tdt ) t2 t −2  4   = I=  t ln t + 2  ∫ 4 − t 2 ∫ t 2 − 4 dt = ∫ 1 + t 2 − 4  dt =+   3 3 3 0 0 0 0 = − 3 − ln 3 2− 3 2+ 3 Suy ra abc = − 3(2 − 3)(2 + 3) = − 3 3 ∫ Câu 28. Cho 1 x2 + 1 c+ d với c nguyên dương và a , b , c , d , e là các số dx =a − b + ln x e nguyên tố. Giá trị của biểu thức a + b + c + d + e bằng. B. 17 . C. 10 . A. 14 . Hướng dẫn giải Chọn C 3 ∫ I= 1 x2 + 1 dx = x 3 ∫ 1 D. 24 . x2 + 1 xdx . x2 2 xdx ⇒ t dt = xdx . x + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇒ 2t dt =  x = 1 ⇒ t = 2 Đổi cận:  . 3⇒t =2 x = 2 2 2 2 1  1 1  1   1 1 t2 dt + ∫  − 1+  − I= ∫ 2 dt =  dt   dt =  ∫ ∫ 2 2  t −1 t +1  2  t − 1 t + 1  t −1 2 2 2 Đặt = t = t 2 2 2 1 t −1 + ln 2 t +1 2 3+ 8 1 1 1 =2 − 2 + ln − ln 3 − 2 2 =2 − 2 + ln 3 2 3 2 ( 2 ) 1+ 2 . 3 10 . Vậy a + b + c + d + e = =2 − 2 + ln 7 Câu 29. Giá trị của I = ∫ x3dx được viết dưới dạng phân số tối giản 1+ x dương). Khi đó giá trị của a − 7b bằng 0
Trang chủ
3 2 a ( a , b là các số nguyên b A. 2 . B. 1 . D. −1. C. 0 . Hướng dẫn giải Chọn B 7 Cách 1: Tính I = ∫ 0 x 3 dx 3 1 + x2 3 Đặt u = 3 1 + x 2 ⇒ u 2 du = xdx . Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 ; x = 2 3 2 2 2 3 ( u − 1) u 3 141 du = u 4 − u ) du = Vậy I = . ( ∫ ∫ 21 u 21 20 Suy ra: a = 141 , b = 20 . 1. Vậy a − 7b = 7 ∫ I Cách 2: Dùng MTCT= 0 7 ⇒ u= 2 . x3dx 141 = 7.01 = . 3 2 20 1+ x Suy ra: a = 141 , b = 20 . 1. Vậy a − 7b = 64 dx 2 = a ln + b với a, b là số nguyên. Tính giá trị a − b . Câu 30. Giả = sử I ∫ 3 3 x+ x 1 A. −17 . B. 5 . C. −5 . D. 17 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt x = t ⇒ x = 6t 5dt . t 6 ⇒ dx = Với x = 1 ⇒ t = 1 , x = 64 ⇒ t = 2 . 6 Khi đó = I 2 2 6t 5 1   2 ∫1 t 3 + t 2 d=t 6∫1  t − t + 1 − t + 1 d=t ( 2t 3 2 − 3t 2 + 6t − 6 ln t + 1 ) = 6 ln 1 2 + 11 . 3 ⇒a= 6 , b = 11 .Vậy a − b =−5 . 2 1 + x2 1 b  Câu 31. Giả sử ∫ dx b  với a, b, c ∈  ; 1 ≤ a, b, c ≤ 9 . Tính giá trị của biểu = a a − 4 x c b+c  1 b−a thức C2 a + c . A. 165 . B. 715 . C. 5456 . D. 35 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 +1 2 2 2 2 1+ x x = I ∫= dx ∫ dx x4 x3 1 1 Đặt t 2 = 1 + 1 2 1 ⇒ 2tdt = − 3 dx ⇒ −tdt = 3 dx 2 x x x 5 2 2 1 5 1 3  = 2 2− 5 . Ta được I = − ∫ t 2 dt = t  5 3 5+3  3 2 2 3 a Vậy a = 2 , b = 5 , c = 3 , suy ra C2ba−= 35 . C= 7 +c Câu 32. Tập hợp nghiệm của bất phương trình A. ( −∞; +∞ ) .
Trang chủ
B. ( −∞;0 ) . x ∫ 0 t t +1 2 dt > 0 (ẩn x ) là: C. ( −∞; +∞ ) {0} . D. ( 0; +∞ ) . Hướng dẫn giải Chọn C x x t ∫ Ta có dt > 0 ⇔ t2 +1 0 ( ) x 1 1 2 2 t + > ⇔ t + > 0 ⇔ x2 + 1 −1 > 0 d 1 0 1 0 2 ∫0 t 2 + 1 ⇔ x2 + 1 > 1 ⇔ x2 > 0 ⇔ x ≠ 0 7 Câu 33. Cho biết ∫ x3 3 0 1+ x 2 dx = A. 0 . m m với là một phân số tối giản. Tính m − 7 n . n n B. 1 . C. 2 . D. 91 . Hướng dẫn giải Chọn B 3t 2 dt Đặt t =3 1 + x 2 ⇒ t 3 =1 + x 2 ⇒ 3t 2 dt =2 xdx ⇒ xdx = . 2 Đổi cận: khi x = 0 ⇒ t = 1 ; khi x= 7 ⇒ t= 2 2 2 t 3 − 1 3t 2 3 3  t5 t2  141 4 . d x = . d t = . t − t d t = . −  = ( ) ∫0 3 1 + x 2 ∫1 t 2 ∫ 2 1 2  5 2  1 20 ⇒ m − 7 n = 141 − 7.20 = 1 . 2 x dx = a + b 2 + c 35 với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P = a + 2b + c − 7 Câu 34. Biết ∫ 2 3 x + 9 x − 1 1 . 1 86 67 A. − . B. . C. −2 . D. . 27 27 9 Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 2 x 2 dx = ∫ x 3 x + 9 x − 1 dx = ∫ 3 x 2 − x 9 x 2 − 1 dx Cách 1: Ta có ∫ 2 1 1 3x + 9 x − 1 1 7 2 x3 T 9 1 T 9 1 T 9 1 ( 19T 2 2 1 1 ) 2 2 1 1 ( ) =∫ 3 x 2 dx − ∫ x 9 x 2 − 1dx = 7 − ∫ x 9 x 2 − 1dx . x3 + ∫ x 9 x 2 − 1dx = 2 1 2 ∫x Tính 9 x 2 − 1dx . 1 tdt 9×2 −1 = t ⇒ 9 x 2 − 1 =t 2 ⇒ xdx =. 9 Khi x = 1 thì t = 2 2 ; khi x = 2 thì t = 35 . Đặt 2 35 35 35 16 t dt t 3 − 1dx = Khi đó ∫ x 9 x = t = 35 − 2. ∫ 9 27 2 2 27 27 1 2 2 2 2 35 16 16 35 d x = 7 − 35 + 2 ⇒a= 7, b = , c= − . ∫1 3x + 9 x 2 − 1 27 27 27 27 32 35 1 Vậy P = a + 2b + c − 7 =7 + − − 7 =− . 27 27 9 2 2 1 3 2 1 1 35 35 16 2 2 2 2 2 2 1dx 9 x − 1) d ( 9= x − 1) Cách 2: ∫ x 9 x −= 9 x −= 1) 2 − ( ( ∫ 18 1 27 27 27 1 1 Vậy T 9 1 T 9 1
Trang chủ
x 2 x 35 16 35 16 dx = 7− 35 + 2 ⇒a= 7, b = , c= − . 2 27 27 27 27 1 3x + 9 x − 1 32 35 1 Vậy P = a + 2b + c − 7 =7 + − − 7 =− . 27 27 9 2 dx = a − b − c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính Câu 35. Biết ∫ 1 x x + 1 + ( x + 1) x P = a+b+c. B. P = 42 . C. P = 46 . D. P = 48 . A. P = 44 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 dx dx Đặt I ∫= ∫ . = 1 1 x x x x + + + ( ) 1 1 x x x x + + + ( ) 1 1 ⇒∫ T 9 1 19T 19T T 9 1 19T T 9 1 T 9 1 ( T 9 1 Đặt t= x + x + 1 ⇒ dt= 2 ∫ 1 2 x ( x + 1) dx x ( x + 1) dx ⇔ t 2 + 1 , khi x = 2 thì= t Khi x = 1 thì= I= x +1 + x ( x + x +1 3+ 2 ) = 2 ∫ 2 +1 T 9 1 T 9 1 ) dx dt = 2 . t x ( x + 1) 3+ 2 . dt 1 = −2 2 t t 3+ 2 2 +1 1 1   = −2  −  2 +1   3+ 2 = 4 2 − 2 3 − 2 = 32 − 12 − 4 ⇒ a = 32 , b = 12 , c = 4 Vậy P = a + b + c = 48 3 4 1 2×2 + 4x + 1 au 4 + bu 2 + c ) du , trong Câu 36. Giả sử a , b , c là các số nguyên thỏa mãn ∫ d= x ( ∫ 21 2x +1 0 u 2 x + 1 . Tính giá trị S = a + b + c . đó= A. S = 3 . B. S = 0 . C. S = 1 . Hướng dẫn giải Chọn D udu = dx  2 = u 2x +1 ⇒ u = 2x +1 ⇒  u2 −1 x =   2 D. S = 2 . 2  u2 −1   u2 −1  2 + 4 3     +1 3 4 2 2 1 2×2 + 4x + 1     u 4 + 2u 2 − 1 .du Khi đó ∫ dx = ∫ u.du= ∫ 21 u 2x +1 0 1 Vậy S = a + b + c = 1 + 2 − 1 = 2 . 1 2 3 a x + ax Câu 37. Tích phân I = ∫ dx , với a ≥ 0 có giá trị là: ax 2 + 1 0 a ( a − 2) a ( a − 2) a ( a + 2) a ( a + 2) A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải 1 2 3 a x + ax Tích phân I = ∫ dx , với a ≥ 0 có giá trị là: ax 2 + 1 0 (
Trang chủ
) ax ( ax 2 + 1) dx ∫0 ax= 2 +1 a 2 x 3 + ax Ta biến đổi: I ∫ = = dx ax 2 + 1 0 1 1 ) ∫ ( ax 1 ax 2 + 1 dx . 0 Ta nhận thấy: ( ax 2 + 1) ‘ = 2ax . Ta dùng đổi biến số. Đặt t= ax 2 + 1 ⇒ dt= 2axdx . x = 0 ⇒ t = 1 . Đổi cận  x =1 ⇒ t = a +1 a +1 a +1 1 1 1  = I ∫= tdt  t 2= a ( a + 2) .  2 4  4 1 1 Chọn C 3 1 Câu 38. Tích phân I = ∫ dx có giá trị là: 2 x +9 0 A. I = − ln 3+ 2 3 . 3 3 Tích phân I = ∫ 0 B. I = − ln 1 −3 + 2 3 3+ 2 3 . C. I = ln . 3 3 Hướng dẫn giải ∫ ⇒ I= 3 du = u ( ln u ) ( 3+ 3 2 3 udx x2 + 9 ) = ln 1 + 2 . Chọn C 1 Câu 39. Tích phân I = ∫ 0 A. I = a 3 x + 12 2 dx có giá trị là: a 1− 5 . ln 2 3 C. I = − B. I = − a 1− 5 . ln 2 3 D. I = 1+ 5 a . ln 2 3 a 1+ 5 . ln 2 3 Hướng dẫn giải 1 Tích phân I = ∫ 0 a 3 x 2 + 12 dx có giá trị là: Ta có: 1 = I a dx ∫0= 3 x 2 + 12 1 a 1 dx . ∫ 3 0 x2 + 4 Đặt u = x + x 2 + 4 ⇒ du = 1+ 5 I = a 1 du = ∫ 3 2 u
Trang chủ
−3 + 2 3 . 3 dx có giá trị là: x2 + 9  x  x + x2 + 9 = dx dx = Đặt u = x + x 2 + 9 ⇒ du = 1 +  x2 + 9  x2 + 9   x = 0 ⇒ u = 3 Đổi cận  .  x = 3 ⇒ u = 3 + 3 2 3+ 3 2 D. I = ln x + x2 + 4 x +4 2 1+ 5 a = ( ln u ) 3 2 dx ⇒ du dx . = u x2 + 4 a 1+ 5 . ln 2 3 ⇒ du = u dx x2 + 9 . Chọn D ax − 2 2 Câu 40. Tích phân= I ∫ = dx 2 3 − 1 . Giá trị nguyên của a là: 2 ax − 4 x 1 A. a = 5 . B. a = 6 . C. a = 7 . Hướng dẫn giải 2 ax − 2 Tích phân= I ∫ = dx 2 3 − 1 . Giá trị của a là: 2 ax − 4 x 1 2 Ta có: ( ax − 4 x ) =’ 2ax − 4= 2 ( ax − 2 ) . D. a = 8 . 1 2ax − 4 ⇒ I =∫ dx . 2 1 ax 2 − 4 x Đặt t = ax 2 − 4 x ⇒ dt = ( 2ax − 4 ) dx . 2  x = 2 ⇒ t = 4a − 8 . Đổi cận  x =1 ⇒ t = a − 4 4 a −8 4 a −8 1 1 = = = 4a − 8 − a − 4 I dt t a−4 2 a∫− 4 t ( ) I 2 3 − 1 ⇔ 4a − 8 − a − = 4 2 3 − 1 ⇔ ….. ⇔ = a 5. Theo đề bài: = 2+ a a ,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị là: b 1+ b x2 + 1 1 2 5 2 A. . B. . C. . 5 2 3 Hướng dẫn giải 2 1 a a Cho ∫ . Giá trị là: dx = ln 2 b b x +1 1 dt dx . Ta đặt: t = x + x 2 + 1 ⇒ = t x2 + 1 2 Câu 41. Cho ∫ 1 dx = ln D. 3 . 2  x = 1 ⇒ t = 1 + 2 Đổi cận  .  x = 2 ⇒ t = 2 + 5 2+ 5 2+ 5 dt 2+ 5 . = ( ln t ) ln 1+ 2 t + 1 2 1+ 2 Chọn B ∫ 3 Câu 42. Tích phân I = 7 ∫ 3×5 3 0 A. I = 8 − x3 87 . 5 B. I = 3 Tích phân I = dx có gái trị là: 7 ∫ 0 3x 3 67 . 5 C. I = Hướng dẫn giải 77 . 5 5 8 − x3 dx có gái trị là: Cách 1: Ta nhận thấy: ( 8 − x3 ) ‘ = −3 x 2 . Ta dùng đổi biến số. Đặt t = 8 − x3 ⇒ dt = −3 x 2 dx .
Trang chủ
D. I = 57 . 5  x = 0 ⇒ t = 8 Đổi cận  .  x= 3 7 ⇒ t= 1 7 7 −3 x 2 ( 8 − t ) 3×5 −3 x 2 .x 3 I = dx = − dx = − Ta có: ∫0 3 8 − x3 ∫0 3 8 − x3 ∫0 3 8 − x3 dx 3 3 7 3 1 1 2 −   23  3 53  87 3 ∫8  t − 8.t dt=  5 t − 12t 3 = 5 . 8 t −8 ⇒= = I ∫ 3 dt t 8 1 1 Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay, tuy nhiên chờ máy giải cũng khá mất thời gian. 4 2 x + 1dx 5 = a + b ln 2 + c ln ( a, b, c ∈  ) . Tính T = 2a + b + c . Câu 43. Biết ∫ 3 0 2x + 3 2x +1 + 3 B. T = 2 . A. T = 4 . Chọn C 2 x + 1dx = I ∫= 0 2x + 3 2x +1 + 3 4 4 = ∫ 0 ∫ 0 4 2dx ( 4 2x +1 + 2 −∫ ) ( 0 ( dx ) ( ∫ ( 2 x + 1 + 1)( ) 2 x + 1dx = 2x +1 +1 2x +1 + 2 )( ) 2x +1 +1 D. T = 3 . C. T = 1 . Hướng dẫn giải 4 2 ( 2x +1 +1 − 0 ) 2x + 1 + 2) 2 x + 1 + 2 dx . 2 x + 1 ⇒ ud= u dx . Với x = 0 ⇒ u = 1 , với x = 4 ⇒ u = 3 . .3 .3 .3 .3 2udu udu 4  1    I = − = 2 − d u − Suy ra ∫1 u + 2 ∫1 u + 1 ∫1  u + 2  ∫1 1 − u + 1 du 3 5 = ( u − 4 ln u + 2 + ln u + 1 ) = 2 − 4 ln + ln 2 1 3 ⇒a= 2 , b = 1 , c = 1 ⇒ T= 2.1 + 1 − 4= 1 . u Đặt = 3 Câu 44. Biết ( dx 1 P = a+b+c. 1 A. P = . 2 Ta có dx ∫ 1+ x + 1 = 1 C. P = − . 2 Hướng dẫn giải B. P = −1 . Chọn C 3 ) 1 = a 3 + b 2 + c + ln 3 2 − 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Tính 2 1 + x2 ∫ 1+ x + 1 + x2 3 = ∫ 1 (1 + x − ) 1 + x 2 dx 2x D. P = 3 1  1 =  ln x + x  − 2 1 2 1 3 −1 −I ln 3 + 2 2 3 Xét I = ∫ 1 x 1 + x 2 dx 2 x2 Đặt t = 1 + x 2 ⇒ tdt = xdx 2 2 2 t 2 dt 1 1  1 1   1  1 t − 1 I=∫ = − t t + ∫   d= 2 t + 2 ln t + 1  2 2 2 1 1 t − t + 2 t − 1   ( )   2 2 2  
Trang chủ
3 ∫ 1 5 . 2 x 1 + x 2 dx . 2 x2 1 1 1 1 2 − 1  2 − 2 + ln − ln  2 2 3 2 2 + 1 2 1 1 1 1 2 − 2 − ln 3 − ln = 2 2 ln 3 ln 2 1 = − − − −   2 2 2  2 = ( ) ( ) 2 −1   1 3 −1 1  = − 2 − 2 − ln 3 − ln 2 − 1  ln 3 + 2  2 2 2 1 + x 1 1 1 3 1 3+ 2 − + ln 3 2 − 3 = 2 2 2 2 1 Vậy P =a + b + c =− . 2 1  2+ a  dx = 2 ln   ∫0 x 2 + 4 x + 3 1 + b   Câu 45. Biết rằng với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a + b bằng A. 3 . B. 5 . C. 9 . D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 dx dx Ta có ∫ =∫ 2 x + 4 x + 3 0 ( x + 1)( x + 3) 0 2 ( dx ∫ 1+ x + Vậy ) ( T 9 1 20 19T T 9 1 0 2 T 9 1 T 9 1 19T ) 19T T 9 1 T 9 1 T 9 1 T 9 1 T 9 1 T 9 1 T 9 1 T 9 1 T 9 1 T 9 1 T 9 1 T 9 1 19T Đặt t = T 9 1 x + 3 + x +1 T 9 1 = ⇒ dt 1 1 1  1  x +1 + x + 3    + d x ⇔ = t d  2  x + 3 2  ( x + 1)( x + 3)  x +1    1 ⇔ dt = 2   2dt dx  dx ⇔ = . t ( x + 1)( x + 3) ( x + 1)( x + 3)  t T 9 1 Khi x = 0 thì t = 1 + 3 ; khi x = 1 thì t= 2 + 2 . 1 ∫ 0 2+ 2 dx x2 + 4x + 3 =2 ∫ 1+ 3 dt = 2 ln t t 2+ 2 1+ 3 = 2 ln a = 2 2+ 2 ⇒ ⇒ a+b = 5. 1+ 3 b = 3 2  a 1 1 1  a Câu 46. Biết ∫  3 x − 2 + 2 3 8 − 11  dx =3 c , với a, b, c nguyên dương, tối giản và c < a . Tính  b x x x  b 1 S = a+b+c A. S = 51 . B. S = 67 . C. S = 39 . D. S = 75 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2  1  2 1 1 1  Ta có ∫  3 x − 2 + 2 3 8 − 11  dx =∫ 3 x − 2 1 + 3  dx .  x  x  x x x  1 1 Đặt t = 3 x − 1 1 2  ⇒ t 3 = x − 2 ⇒ 3t 2 dt =+  1 3  dx . 2 x x  x  3 7 4 7  3 4 4 21 3 1 1 1  3 Khi đó: ∫  3 x − 2 + 2 3 8 − 11  dx = ∫= = t 14 . 3 t d t  4 0 32 x x x  0 1 Vậy S = 67 . 2 https://toanmath.com/ 3 ) dx = ln 2 + 5 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x2 + k 0 1 1 3 B. 0 < k ≤ . C. < k ≤ 1 . D. 1 < k ≤ . 2 2 2 Hướng dẫn giải Câu 47. Cho số thực dương k > 0 thỏa A. k > ( 2 3 . 2 ∫ Chọn C x 1+ 2 1 Đặt t = ln x + x 2 + k ⇒ dt = x + k dx ⇔ dt = dx 2 2 x+ x +k x +k 2 2 2 dx 2 Ta có ∫ = ∫ dt = t 0 ⇔ ln x + x 2 + k = ln 2 + 5 0 x2 + k 0 0 ) ( ) ( ( ) ( ) ⇔ ln 2 + 4 + k − ln k = ln 2 + 5 ⇔ ln ⇔ ( 2+ 4+k = ln 2 + 5 k ( 2+ 4+k = 2+ 5 k ( ⇔ 2+ 4+k = 2+ 5 2  k > 2 + 5 ⇔ 4 + k = 2 + 5  2  k > 2 + 5  ⇔ k = 0   k = 1 (
Trang chủ
) ) ) k ⇔ 4+4+k +4 4+k = (2 + 5 ) 2 ) ( 2  k > 2 + 5 ⇔ 2 2  2 + 5 2 k2 − 9 + 4 5 k = 0 k +4−4 2+ 5 k  ( ) ( ) ( ) k ⇔ 4+k = 2+ 5 k −2 ) HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 48. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 1 1 0 0 1 1 0 0 B. ∫ cos (1 − x ) dx = − ∫ cos xdx . A. ∫ sin (1 − x ) dx = ∫ sin xdx . π π 2 x C. ∫ cos dx = ∫ cos xdx . 2 0 0 D. π π 2 x x = sin d ∫0 2 ∫0 sin xdx . Hướng dẫn giải Chọn A 1 Xét tích phân ∫ sin (1 − x ) dx 0 t dx =−dt . Khi x = 0 ⇒ t = 1 ; Khi x = 1 ⇒ t = 0 . Đặt 1 − x =⇒ 1 0 1 1 1 0 0 ∫ sin t ( −dt ) = ∫ sin tdt = ∫ sin xdx . Do đó ∫ sin (1 − = x ) dx 0 π 3 sin x dx . cos3 x 0 Câu 49. Tính tích phân I = ∫ 47T A. I = 47T 47T 5 . 2 B. I = 3 . 2 C. I= Hướng dẫn giải π 9 . + 3 20 D. I = 9 . 4 Chọn B − sin xdx . Đặt t = cos x ⇒ dt = π 1 1; x = ⇒ t = . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3 2 1 2 1 −1 −1 Khi đó: I = ∫ 3 dt = ∫ 3 dt = 2 t 2t 1 t 1 1 2 1 1 2 1 3 =− + 2 = . 2 2 π I Câu 50. Cho= 3 ∫ sin 0 2 b = ln a − . Chọn mệnh đề đúng: x tan xdx 8 2 B. a − b = 4 A. a + b = Chọn C u cos x ⇒ −= du sin xdx Đặt= π 1   x= u=  Đổi cận  3⇒ 2   u = 1 x = 0 1 2 C. ab = 6 Hướng dẫn giải (1 − u ) ( −du ) =  1 − u du =ln u − u I= ∫ 1 2 u
Trang chủ
1 ∫  u 1 2     1  3 =ln 2 −  2 1 8 2 2 D. a b = 4 0 1 Câu 51. = Biết rằng I1 ∫= dx a và I = π 1 + cos 2 x − ∫ 3 −1 3 x + 2dx = b 3 2 − , a và b là các số hữu tỉ. 4 4 Thương số giữa a và b có giá trị là: 1 1 A. . B. . 3 2 3 . 4 Hướng dẫn giải C. 0 1 Biết rằng I1 ∫= = dx a và I = π 1 + cos 2 x − 0 0 ∫ −1 3 D. 2 . 3 3 x + 2dx = b 3 2 − . Thương số giữa a và b có giá 4 4 trị là: Ta có: 0 1 1 ∫π 1 + cos 2 x dx= 2 I1= − 4 0 ∫π − 0 1 1 1 , với t = tan x . dx= …= tdt= 2 ∫ cos x 2 −1 2 4 0 0 3 3 3 3 4 ( x + 2 )  = 3 2 − . ∫−1   −1 2 4 4 1 3 a 1 ⇒ a = ,b = ⇒ = . b 3 2 2 Chọn B I= 3 x + 2dx = Câu 52. Cho I = π a cos 2x dx ∫= 1 + 2sin 2x 0 A. 3 1 ln 3 . Tìm giá trị của a là: 4 B. 2 C. 4 Hướng dẫn giải D. 6 Chọn C 1+ 2 sin 2π 1 Đặt t = 1 + 2 sin 2 x đưa đến I = 4 ∫1 suy ra 1 + 2 sin 2 / a = 3 suy ra a = 4. a dt 1 1 = lnt| 11+ 2 sin 2π / a = ln3 t 4 4 π 1 1  3  Câu 53. Biết I1 = a và I 2 = ∫0 (1 + tan x ) dx = ∫0 x + x dx = bx + cx 3  , a và b là các số hữu tỉ. Giá 0 trị của a + b + c là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Hướng dẫn giải 1 4 2 ( 2 ) π 1 1  3  3 Biết I1 = và + = 1 tan x dx a I = x + x dx = bx + cx ( )   . Giá trị của a + b + c là: 2 ∫0 ∫0  0 Ta có: 1 4 2 π ( 2 ) π 1 1 I1 = … = 1 , với t = tan x . ∫0 (1 + tan x ) dx = ∫0 cos2 x dx = ∫0 tdt = 4 4 2 1  1 3 2 13  I 2 =∫ x + x dx = x + x  . 3 0 3 0 1 2 ⇒ a = 1, b = , c = ⇒ a + b + c = 2 . 3 3 1 ( 2
Trang chủ
) Chọn B π 3 sin 2 x dx có giá trị là: cos x + cos 3 x 0 Câu 54. Tích phân I = ∫ 1  2 −2 2 −1  1  B. I + ln  ln  ln  . = 2 2  2 2 2+2 2 +1  1  2 −2 2 −1  1  C. I D. I = − ln  ln  . =  ln 2 2 2+2 2 +1 2 2  Hướng dẫn giải A. I = 2 −2 2 +1  − ln . 2+2 2 − 1  2+2 2 −1  − ln . 2 −2 2 + 1  π 3 sin 2 x dx có giá trị là: cos x + cos 3 x 0 Tích phân I = ∫ π π π 3 3 3 sin 2 x I= ∫ dxI= cos x + cos 3 x 0 Ta biến đổi: = sin x ∫0 cos 2 x dx= 1 sin x 1  2t − 1  2 dx … ln = =   ∫0 2 cos2 x − 1 2 2  2t + 1  1 , 1  2 −2 2 −1  − ln  ln  2 2 2+2 2 + 1  với t = cos x . Chọn C π 2 Câu 55. Tích phân I = ∫ π 2 x + cos x dx có giá trị là: x 2 + sin x 4 π2 π  2 A.= − 1 − ln  + I ln   . 16 2  4    2 2 π π  2 C.= − 1 + ln  + I ln   . 16 2  4    π2 π2  2 B.= + 1 − ln  + I ln   . 16 2  4    2 2 π π  2 D.= + 1 + ln  + I ln   . 16 2  4    Hướng dẫn giải 2 π 2 Tích phân I = ∫ π 2 x + cos x dx có giá trị là: x 2 + sin x 4 π π2 +1 4 π2 π2  2 x + cos x 1 2 Ta có: I = ∫ 2 t x 2 + sin x . + 1 − ln  + dx = … = ∫ dt = ln   , với = t 2  π x + sin x  4   16 π2 2 + 2 4 16 2 Chọn B π 4 aπ + b ln 2 + c với a , b , c là các số hữu tỉ. Tính T = 1 + 1 − c Câu 56. Cho ∫ sin 2 x ln ( tan x + 1) dx = a b 0 . A. T = 2 . B. T = 4 . C. T = 6 . D. T = −4 . Hướng dẫn giải Chọn B
Trang chủ
π π 14 = − + ln ( tan x + 1) d ( cos 2 x ) sin 2 x ln tan x 1 d x ( ) ∫0 2 ∫0 4 Ta có π π 1 = − cos 2 x ln ( tan x + 1) 2 14 + ∫ cos 2 xd ln ( tan x + 1)  20 4 0 π π = 1 4 cos 2 x − sin 2 x 1 1 1 1 = . dx cos 2 . . d x x 2 ∫ ∫ 2 0 sin x + cos x cos 2 x 20 tan x + 1 cos x cos x 4 π = = 1 1  sin x  x = 1 −  dx ∫ 2 0  cos x  2 4 π π 4 0 + 14 1 d ( cos x ) 2 ∫0 cos x π π 1 + ln cos x 8 2 4 = 1 1 π − ln 2 ⇒ T = 8 − 4 + 0 = 4 . 8 4 0 π 2 Câu 57. Xét tích phân I = ∫ 0 sin 2 x t dx . Nếu đặt = 1 + cos x 4t 3 − 4t ∫ t dt. 2 1 A. I = 1 + cos x , khẳng định nào dưới đây là đúng? −4t 3 + 4t C. I 4 ∫ ( t 2 − 1) dt. ∫ t dt. = 1 2 2 1 B. I = D. 2 I= −4 ∫ ( t 2 − 1) dt. 1 Hướng dẫn giải Chọn C − sin x sin x −2dt dx ⇒ dx = Đặt t =1 + cos x ⇒ dt = 2 1 + cos x 1 + cos x ⇒ t 2 =1 + cos x ⇒ cos x =t 2 − 1 Đổi cận x = 0 ⇒ t = π 2 ∫ = ⇒I 0 2; x = π 2 ⇒ t = 1. π sin 2 x dx = 1 + cos x 2 2 cos x sin xdx ∫0 1 + cos x = 1 1 2 2 2 1 2 2 2 ∫ 2(t − 1)(−2)d=t −4 ∫ (t − 1)d=t 4 ∫ (t − 1)dt. π 6 Câu 58. Cho ∫ sin n x.cos= x dx 0 1 ( n ∈  ) . Tìm giá trị n . 64 A. n = 3 . B. n = 4 . C. n = 5 . Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] Đặt t= sin x ⇒ dt= cos xdx . Với x = 0 ⇒ t = 0 ; x = π 1 2 6 ⇒t = 1 . 2 n +1 1  t n +1  12 1 1 1 1 n ⇔ = (1) ⇔ = = = t dt | . sin x . c osxd x =   0     ∫0 ∫0 32 n +1  2  64 64 2  n + 1 6 Vậy π D. n = 6 . n
Trang chủ
n +1 n n 1 Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của y =   là một hàm số giảm trên 2 n +1 1  y′ > 0  là một hàm số tăng trên  . = 32  32  Vậy phương trình (1) có tối đa 1 nghiệm. y  và =  1  3 +1 ( đúng). Với n = 3 thay vào phương trình (1) ta được:   = 32 2 3 Vậy n = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) . [Phương pháp trắc nghiệm] π 6 Thay n = 3 vào bấm máy tính: ∫ sin 3 x.cos xdx = 1 . Ta chọn đáp ánA. 64 0 π 2 Câu 59. Cho tích phân 0. A. 2a + b = sin x = dx ∫ π cos x + 2 3 a ln 5 + b ln 2 với a, b ∈ . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0. 0. B. a − 2b = C. 2a − b = Hướng dẫn giải Chọn A − sin xdx = t cos x + 2 ⇒ dt = Đặt 5 π π Đổi cận x = ⇒t = , x= ⇒t = 2 3 2 2 π 2 2 3 2 5 2 5 sin x 1 1 5 2 d x = ln t = = − dt dt = ln − ln= 2 ln 5 − 2 ln 2 ∫π cos x + 2 ∫5 t ∫2 t 2 2 Vậy ta được a = 1; b = −2 . π 2 Câu 60. Tích phân I = ∫ π cos x − sin x dx có giá trị là: ( e x cos x + 1) cos x 3 π  π  e3 e3 + 2  . A. I = ln 2π e 3 −2 π  π  e3 e3 − 2   . B. I = ln 2π e 3 −2 π  π  e3 e3 + 2  . C. I = ln 2π e 3 +2 π  π  e3 e3 − 2   . D. I = ln 2π e 3 +2 Tích phân I = ∫ π (e 3
Trang chủ
Hướng dẫn giải 2π 3 x cos x − sin x dx có giá trị là: cos x + 1) cos x 0. D. a + 2b = π e x . ( cos x − sin x ) 2 Ta biến đổi: I = ∫ (e π cos x + 1) e x cos x x dx . 3 Đặt = t e cos x ⇒= dt e x ( cos x − sin x ) dx . x  π 1 π3 x t e = ⇒ =  3 2 Đổi cận  . 2π  x =2π ⇒ t =− 1 e 3 3 2  I= 1 − e 2 2π 3 1 ∫ t ( t + 1) dt = π 1 3 e 2 1 − e 2  t   ln t + 1  π   1e3 2π 3 2 π  π3  e e + 2 e e3   . = ln 2π − ln π = ln 2π e 3 −2 e3 + 2 e 3 −2 2π 3 π 3 Chọn A π sin 3 x dx có giá trị là: cos x 6 Câu 61. Tích phân I = ∫ π 3 A. I = 19 + 17 3 . 2 B. I = π 19 + 17 4 3 −19 + 17 3 . C. I = . 2 2 Hướng dẫn giải sin 3 x dx có giá trị là: cos x 6 Tích phân I = ∫ π 3 Ta nhận thấy: ( cos x ) ‘ = − sin x . T dùng đổi biến số. cos x ⇒ dt = − sin xdx . Đặt t = π 1   x = 3 ⇒ t = 2 Đổi cận  . x = π ⇒ t = 3  6 2 π π sin 3 x = I ∫= dx cos x π 2 2 ∫ 2 cos x π 3 ⇒= I (1 − cos x ) sin x dx 3 3 2 ∫ 1 2 t 2 −1 dt = t 3 2 3 2 1  32 − 12   2 52  19 − 17 4 3 2 t − t dx = t − t = 2     ∫1  2  5 1 2 2 Chọn D π Câu 62. Tích phân I = 3 ∫π −
Trang chủ
3 sin x ( cos x + 3 sin x ) 2 dx có gái trị là: D. I = 19 − 17 4 3 . 2 3  3+2  3 ln  + . 8  − 3 + 2  8 3  3+2  3 D. I = − ln  + . 16  − 3 + 2  8 Hướng dẫn giải 3  3+2  3 ln  + . 16  − 3 + 2  8 3  3+2  3 C. I = − ln  + . 8  − 3 + 2  8 B. I = A. I = π 3 ∫π Tích phân I = − 3 ( sin x cos x + 3 sin x ) 2 dx có gái trị là: Ta có: π π 3 3 sin x I ∫= dx = 2 π cos x + 3 sin x − 3 ( ) Đặt u = x + π 6 ⇒ x =u − π 6 ∫π − 3 π sin x dxI = 2 1  3 4  cos x + sin x  2 2  − 6 π ∫π − 3 sin x   π  4 sin  x +   6    2 ⇒ dx = du . π π  − ⇒u = −  x = 3 6 Đổi cận  x = π ⇒ u = π  3 2 π π π  π π − sin cos u  2 sin  u − 2 sin u.cos 1 6  6= 6 I ∫= du ∫ du = 2 2 4sin u 4sin u 8 π π − 3 6 π 2 ∫π − 3.sin u − cos u du sin 2 u 6 π   2 1  2 3 sin u cos u  du − ∫ du  = ∫ 2 2 8  π 1 − cos u π sin u  − 6 −6  π 2 Xét I1 = 3 sin u du . 2 u ∫π 1 − cos − 6 Đặt t = − sin udu . cos u , u ∈ [ 0; π ] ⇒ dt =  π 3 u =− ⇒ t = 6 2 . Đổi cận  π u = ⇒t = 0  2 0 3dt 3 ⇒ I1 = ∫ 1 − t 2 =2 3 2 2 π Xét I 2 = 1  3  t +1   1 ∫  1 − t + 1 + t dt =2  l n t − 1  3 0 2 cos u du . 2 u ∫π sin − 6
Trang chủ
0 = − 3 2 3  3+2  ln  . 2  − 3 + 2  dx .  π π = t sin u , u ∈  − ;  ⇒ = dt cos udu . Đặt  2 2 π 1  u =− 6 ⇒ t =− 2 Đổi cận  . π u = ⇒t = 1  2 1 1 3  3+2  3  1 . = − = − I2 = du 3 ⇒ = − = − I I I ln  ) ( + . 1 2   ∫1 t 2 t  −1 8 16  − 3 + 2  8  − 2 1 1 2 Chọn D π 4 1 dx có giá trị là: 2 − 9 cos x sin x 0 Câu 63. Tích phân I = ∫ 2 1 A. I = ln 2 . 3 1 1 B. I = ln 2 . C. I = ln 2 . 6 2 Hướng dẫn giải π D. I = ln 2 . 4 1 dx có giá trị là: 9 cos x − sin 2 x 0 Tích phân I = ∫ 2 π π 4 4 1 Ta biến đổi: I ∫= dx = 2 9 cos x − sin 2 x 0 1 ∫ cos x ( 9 − tan x ) dx . 2 2 0 1 . Ta dùng đổi biến số. cos 2 x 1 Đặt t= tan x ⇒ dt= dx . cos 2 x x = 0 ⇒ t = 0  Đổi cận  . π  x = 4 ⇒ t = 1 Nhận thấy: ( tan x ) ‘ = 1 1 1  1 1   1 3+t  1 I= ∫ dt = ∫  + = ln 2 .  dt =  ln  2 9−t 6 0  3−t 3+t   6 3−t  0 6 0 Chọn C a sin x + cos x 1+ 3 Câu= 64. Tích phân I ∫= . Giá trị của alà: dx 2 − 1 3 x − x sin cos ( ) 0 1 1 A. a = − π 2 B. a = − . π 4 . C. a = π 3 . D. a = Hướng dẫn giải sin x + cos x 1+ 3 Tích phân I ∫= . Giá trị của alà: = dx 2 − 1 3 x − x sin cos ( ) 0 a Ta có: a I= ∫ 0 sin a − cos a sin x + cos x ( sin x − cos x )
Trang chủ
2  1 dx = −   t  −1 1 = − 1, t = sin x − cos x . cos a − sin a π 6 . π 1 1 + 3 casio . = −1  = →a cos a − sin a 3 1− 3 Theo đề bài, ta có: Chọn C π 2 Câu 65. Tích phân I = ∫ π sin x dx có giá trị là: sin x + cos x 3 π A. I =+ ln 12 ( ) 3 +1 .  3 +1  ln   2  π  C. = I − 12 2 . 2 π π 3 +1 + ln . 12 4 I D. = 3 +1 π + ln . 12 2 Hướng dẫn giải π Tích phân I = ∫ I B. = sin x dx có giá trị là: sin x + cos x 3 π 2 Xét I1 = ∫ π cos x dx sin x + cos x 3 π  2  = + = I I I 1+ 3 1 ∫ dx  2 ln π − I I π  2 , t = sin x + cos x . 3 Ta có:  ⇒I= 2 3 = − 1 2 12 2  1 = − = I I I dt  3 1 ∫ t 1 3  +  2 2 Chọn C π 4 Câu 66. Cho biết cos x = ∫ sin x + cos x dx aπ + b ln 2 với a và b là các số hữu tỉ. Khi đó a bằng: b 3 . 8 3 . 4 0 1 A. . 4 B. 1 . 2 Hướng dẫn giải C. D. Chọn C π π 4 4 cos x sin x dx ; I 2 = ∫ dx sin x + cos x sin x + cos x 0 0 Xét I1 = ∫ π ⇒ I1 + I 2= 4 ∫ dx= 0 π ; 4 π π π cos x − s inx = I1 −= I2 ∫ dx sin x + cos x 0 4 4 d (sin x + cos x) 1 ln(sin x + cos x= ) ln 2 ∫0 sin x + cos = x 2 0 4 π 1 a 1 1 1 ⇒ I1 = + ln 2 ⇒ a = ; b = ⇒ = . 8
Trang chủ
4 8 4 b 2 π Cách giải khác:Đặt x= 4 π −t x sin 2018 x πa d x = P 2a + b . Câu 67. Biết ∫ 2018 trong đó a , b là các số nguyên dương. Tính = sin x + cos 2018 x b 0 A. P = 8 . B. P = 10 . C.. P = 6 . D. P = 12 . Hướng dẫn giải Chọn A π x sin 2018 x dx. Xét tích phân I = ∫ 2018 sin x + cos 2018 x 0 Đặt x =π − t ⇒ d x =− d t . Khi x = 0 thì t = π . Khi x = π thì t = 0 . 0 π π − t ) sin 2018 (π − t ) π − x ) sin 2018 x ( ( dx d t = ∫ 2018 Ta có I = − ∫ 2018 sin x + cos 2018 x (π − t ) + cos 2018 (π − t ) 0 π sin π π sin 2018 x x sin 2018 x d x π ∫ 2018 − ∫0 sin 2018 x + cos2018 x d x sin x + cos 2018 x 0 π sin 2018 x dx−I . 2018 2018 + x x sin cos 0 π∫ ππ sin 2018 x dx. Suy ra I = ∫ 2018 2 0 sin x + cos 2018 x π Xét tích phân J = ∫ π sin 2018 x dx. sin 2018 x + cos 2018 x 2 π Đặt x = − u ⇒ d x =− d u . 2 Khi x = π 2 thì u = 0 . Khi x = π thì t = − π 2 . π  sin 2018  − u  0 cos 2018 x 2  du = ∫ Nên J = − ∫ dx. 2018 2018 π π     sin x + cos x 2018 2018 π 0 sin −  − u  + cos  − u  2 2  2  cos 2018 x Vì hàm số f ( x ) = là hàm số chẵn nên: sin 2018 x + cos 2018 x − π 2 π 0 ∫π − 2018 2 cos x cos 2018 x dx = ∫ 2018 dx sin 2018 x + cos 2018 x sin x + cos 2018 x 0 2 Từ đó ta có:  π2  π π sin x sin 2018 x sin 2018 x π  I == dx d x + ∫ 2018 d x 2018 2018 2018 2018 2018 ∫ ∫  2 0 sin x + cos x 2  0 sin x + cos x x + cos x  π sin 2   π
Trang chủ
2018 π  π2  2018 2 sin x cos 2018 x π  d x + ∫ 2018 d x 2018 2018 2018 ∫  2  0 sin x + cos x sin x + cos x  0   π = π π 2 sin 2018 x + cos 2018 x π 2 dx = dx = 2 ∫0 sin 2018 x + cos 2018 x 2 ∫0 π2 4 . Như vậy a = 2 , b = 4 . Do đó P = 2a + b = 2.2 + 4 = 8 . π sin xdx (với α > 1 ) thì giá trị của I bằng: Câu 68. Cho tích phân I = ∫ 1 − 2α cos x + α 2 0 A. 2. B. α 2 . C. 2α . D. Hướng dẫn giải 2 α . Chọn D 1 − 2α cos x + α 2 ⇒ t 2 = 1 − 2α cos x + α 2 ⇒ Đặt t = Vậy I = 1 t α dt = sin xdx α +1 tdt 1 α +1 2 .t = = ∫ α α −1 t α α −1 α Câu 69. Có bao nhiêu giá trị của tham số m trong khoảng ( 0; 6π ) thỏa mãn m sin x 1 ∫ 5 + 4 cos x dx = 2 ? 0 A. 6 . B. 12 . Chọn A 1 Ta có = 2 m C. 8 . Hướng dẫn giải D. 4 . m sin x 1 ∫0 5 + 4 cos x dx = −∫0 5 + 4 cos x d ( cos x ) m 1 1 1 d ( 5 + 4 cos x ) = = − ∫ − ln 5 + 4 cos x 4 0 5 + 4 cos x 4 Mà 5 + 4 cos x ≥ 5 − 4 > 0 ⇒ 1 1 =− ln ( 5 + 4 cos x ) 2 4 m . 0 m 0 1 5 + 4 cos m =− ln 4 9 5 + 4 cos m 5 + 4 cos m 9e −2 − 5 =−2 ⇔ =e −2 ⇔ cos m = 9 9 4 −2 9e − 5 ⇔m= ± arccos + k 2π ( k ∈  ) . 4  0 k = 9e −2 − 5   arccos 4 + k 2π ∈ ( 0;6π ) ⇒  k =1   k = 2 Theo đề bài m ∈ ( 0;6π ) ⇒  . 1 = k   −2  − arccos 9e − 5 + k 2π ∈ 0;6π ⇒  k = 2 ( )   4  k = 3  ⇒ ln Với mỗi giá trị k trong hai trường hợp trên ta được một giá trị m thỏa mãn. Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Trang chủ
π 2 Câu 70. Cho ∫ sin 2 0 cos x 4 dx a ln + b, tính tổng S = a + b + c . = x − 5sin x + 6 c B. S = 4 . A. S = 1 . C. S = 3 . Hướng dẫn giải Chọn B π Đặt t= sin x ⇒ dt= cos xdx . x = 0 ⇒ t = 0 , x = 2 D. S = 0 . ⇒ t = 1. π 1 2 cos x 1 dt ∫0 sin 2 x − 5sin x + 6 dx = ∫0 t 2 − 5t= +6 1 t −3 1  3 4  1 ∫0  t − 3 − t − 2  dt = ln t − 2=0 ln 2 − ln 2 = ln 3 1 ⇒ a = 1, b = 0, c = 3 ⇒ S = a + b + c = 4 . π x 2 + ( 2 x + cos x ) cos x + 1 − sin x c Câu 71. Cho tích phân I= ∫ dx= aπ 2 + b − ln với a , b , c là các số x + cos x π 0 2 hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức = P ac 3 + b. 5 3 A. P = 3 . B. P = . C. P = . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn D D. P = 2 . π π 2 x + ( 2 x + cos x ) cos x + 1 − sin x ( x + cos x ) + 1 − sin x dx Ta có I = ∫ dx = ∫ x + cos x x + cos x 0 0 2 2 2 π π  x2  2 π2 1 − sin x  2 π π2  =∫  x + cos x + d x = + + + sin x ln x cos x = + 1 − ln 1 ln = + +    x + cos x  π 8 8 2  2 0 0 1 1 P ac 3 += b ⇒ a =, b = 1 , c = 2 . = .8 + 1 = 2 . 8 8 2 π 2 Câu 72. Cho 47T T 7 4 ∫ ( cos x ) 0 S = a+b+c. A. S = 3 . 4 dx a ln + b , với a , b là các số hữu tỉ, c > 0 . Tính tổng = c − 5cos x + 6 sin x 2 T 7 4 T 7 4 T 7 4 T 7 4 T 7 4 T 7 4 T 7 4 47T B. S = 0 . C. S = 1 . Hướng dẫn giải D. S = 4 . Chọn D − sin xdx . Đặt t = cos x ⇒ dt = 1; x = Đổi cận: x = 0 ⇒ t = π 2 ⇒t = 0 Ta có: π 2 0 1 dt ∫0 ( cos x )2 − 5cos x + 6 dx = − ∫1 t 2 − 5t = +6 4 4 a ln + b . == ln c 3 sin x
Trang chủ
1 1  t −3 3  1 ∫0  t − 3 − t − 2  dt = ln t − 2=0 ln 2 − ln 2 1 T 7 4 a = 1  Do đó:  c = 3 . b = 0  Vậy S = a + b + c = 4 . π 2 a c ln 2 − , trong đó a , b , c ∈  ∫ ( 4 cos 2 x + 3sin 2 x ) ln ( cos x + 2sin x ) dx = b Câu 73. Cho * , 0 số tối giản. Tính T = a + b + c . A. T = 9 . B. T = −11 . a là phân b D. T = 7 . C. T = 5 . Hướng dẫn giải Chọn A π 2 I= ∫ ( 4 cos 2 x + 3sin 2 x ) ln ( cos x + 2sin x ) dx 0 π 2 = ∫ 2 ( cos x + 2sin x )( 2 cos x − sin x ) ln ( cos x + 2sin x ) dx . 0 = t cos x + 2sin x ⇒ dt =− Đặt ( sin x + 2 cos x ) dx . Với x = 0 thì t = 1 . π Với x = 2 thì t = 2 . 2 2 1 1 = td ( t 2 ) Suy ra I = ∫ 2t ln tdt = ∫ ln 2 2 2 3 t2 2 t .ln t − t d t 4 ln 2 − . ( ) 1 ∫= 4 ln 2 −= 2 21 1 a = 3  Vậy b = 2 ⇒ T = a + b + c = 9 . c = 4  π 3 sin x ∫π Câu 74. Biết − 1 + x 6 + x3 dx = 3 a+b+c+d . 28 . A. a + b + c + d = a+b+c+d = 22 . 16 . B. a + b + c + d = = I ∫π − sin x 1+ x + x 3 6 3 d= x 14 . C. a + b + c + d = π 3 ∫π − 3 ( ) 1 + x 6 − x3 sin x 1+ x − x 6 6 d= x π 3 ∫π ( − 3 π π   x =− 3 ⇒ t =3 Đặt t =− x ⇒ dt =−dx . Đổi cận  .  x =π ⇒ t =− π  3 3
Trang chủ
D. Hướng dẫn giải ChọnA. π 3 3π 2 π3 + + cπ + d 3 với a, b, c, d là các số nguyên. Tính a b ) 1 + x 6 − x3 sin xdx . − π 3 I =∫ π 3 π 3 ) ( 1 + t 6 + t 3 sin ( −t )( −dt ) = −∫ − π 3 ( π 3 π 3 ) ( 1 + t 6 + t 3 sin tdt = −∫ − π 3 ( ) 1 + x 6 + x3 sin xdx π 3 ) Suy ra 2 I =∫ −2 x3 sin x dx ⇔ I =− ∫ x3 sin xdx . π − 3 − π 3 x3 (+) + sin x 3x 2 (–) − cos x 6x (+) − sin x 6 (–) + cos x 0 + sin x π 3π 2 − 2π + 6 3 − 27 3 3 27, b = −3, c = −2, d = 6 . Vậy a + b + c + d = 28 . Suy ra: a = I = ( x cos x − 3 x sin x − 6 x cos x + 6sin x ) 3π = 3 2 π3 − π 6 Câu 75. Biết x cos x ∫π − 1 + x2 + x π2 dx =a + + b 3π với a , b , c , d là các số nguyên. Tính M = a − b + c . c 6 A. M = 35 . B. M = 41 . C. M = −37 . Hướng dẫn giải D. M = −35 . Chọn A π π 0 6 x cos x dx Ta có ∫= 2 1 x x + + π − ∫π − 6 0 Xét I = ∫π − x cos x 1+ x + x 2 1+ x + x 2 6 x cos x dx + ∫ 1 + x2 + x 0 dx = I + J 6 dx . Đặt t = − x ( Cm ) ; Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x =− x cos x Suy ra I = ∫= dx 2 1 x x + + π − 6 π π 6 6 x cos x dx ∫π = 2 + + 1 x x − ∫ 0 0 ∫ π 6 π −t cos ( −t ) 6 1 + ( −t ) − t 2 ( − dt ) = ∫ 0 6 1+ t2 − t dt = ∫ 0 − x cos x 1+ x − x 2 6 dx + ∫ 0 x cos x 1 + x2 + x dx 6 π   1 1 ∫0 x cos x  1 + x 2 + x − 1 + x 2 − x  dx= 6 6 π ∫π − x cos x 1 + x2 + x ∫ −2 x 2 cos x dx . 0 π 6 π2 0 −36 dx = 2+ ( −2 x sin x − 4 x cos x + 4sin x ) = 2 6 Khi đó a = 2 ; b = −36 ; c = −3 . Vậy M = a − b + c = 35 . π 1 2 Câu 76. Cho π ⇒t = . 6 6 π −t cos t π π 6 π 6 0 Khi đó x cos x ∫ f ( x ) dx = 2018 0
Trang chủ
12 . Tính ∫ cos 2 x. f ( sin 2 x ) dx 0 . + π 3 −3 . − x cos x 1 + x2 − x dx . A. I = 1009 . 2 B. I = 1009 . C. I = 4036 . D. I = 2018 . Hướng dẫn giải Chọn B π 12 Xét I = ∫ cos 2 x. f ( sin 2 x ) dx . 0 u sin 2 x ⇒ d= u 2 cos 2 xdx . Đặt = Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0 và x = 1 2 π 1 ⇒u= . 12 2 1 2 1 1 1 = f ( u ) du = f ( x ) dx= .2018 1009 . ∫ ∫ 20 20 2 Khi đó I = π 1 Câu 77. Cho f là hàm số liên tục thỏa ∫ 0 B. 9 . A. 1 . 2 f ( x ) dx = 7 . Tính I = ∫ cos x. f ( sin x ) dx . 0 C. 3 . Hướng dẫn giải D. 7 . Chọn D π Đặt t= sin x ⇒ dt= cos xdx . Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0 , x = 2 ⇒ t = 1. π Ta có I = 2 = x ) dx ∫ cos x. f ( sin 0 1 f ( t ) dt ∫= 0 Câu 78. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và 1 f ( x ) dx ∫= 7. 0 2π 3 1 ∫ f ( x ) dx = 12 , ∫ f ( 2 cos x ) sin xdx bằng π 3 −1 A. −12 . B. 12 . D. −6 . C. 6 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 cos x ⇒ dt = −2sin xdx . Đặt t = Đổi cận 2π 3 ∫ = f ( 2 cos x ) sin xdx π −1 ∫ 1 1 1  1 f ( t )  −  dt = = f ( t ) dt f ( x ) dx 6 . = ∫ 2 −1 2 −∫1  2 1 1 3 Câu 79. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn 9 ∫ 1 f ( x ) dx = 4 và x π /2 ∫ f ( sin x ) cos xdx = 2. 0 3 Tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng 0 A. I = 2 . Chọn C
Trang chủ
B. I = 6 . C. I = 4 . Hướng dẫn giải D. I = 10 . 9 f 1 Đặt t = x ⇒ dt = dx ⇒ ∫ 2 x 1 Đặt t= sin x ⇒ dt= cos dx ⇒ ( x ) dx =2 x 3 ∫ 1 π /2 1 3 0 0 1 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 2 + 2 = 4.
Trang chủ
1 1 ∫ f ( sin x ) cos xdx= ∫ f ( t ) dt= 0 3 3 f ( t ) dt =4 → ∫ f ( t ) dt =2. 0 2. HÀM MŨ – LÔGARIT 1 Câu 80. Cho I = ∫ xe1− x dx . Biết rằng I = 2 0 ae − b . Khi đó, a + b bằng 2 B. 0 . A. 1 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. 4 . Chọn C 2 2 1 e −1 1 1 1− x 2 − ∫ e1− x d 1 − x 2 = − e1− x = Ta có I = ∫0 xe dx = 0 20 2 2 ae − b ⇒= 2. Vì I = a 1;= b 1 . Vậy a + b = 2 2 f ( x ) = sin 2 x.esin x là Câu 81. Nguyên hàm của sin 2 x +1 2 2 e +C. A. sin 2 x.esin x −1 + C . B. C. esin x + C . 2 sin x + 1 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 ( ) esin x −1 +C . D. sin 2 x − 1 2 sin x 2 +C Ta có ∫ sin 2 x.esin x dx = ∫ esin x d ( sin= x) e 2 1 Câu 82. Biết rằng ∫ 3e 1+ 3 x 2 2 dx = 0 A. T = 6 . a 2 b b c e + e + c ( a, b, c ∈  ). Tính T = a + + . 5 3 2 3 B. T = 9 . C. T = 10 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t = 1 + 3 x ⇒ t 2 =1 + 3 x ⇒ 2tdt =3dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 , x = 1 ⇒ t = 2 1 ⇒ ∫ 3e 0 ( ) ( D. T = 5 . ) t = dx 2 ∫ te= dt 2 tet − ∫ et = dt 2 tet − et= 2 ( 2e 2 − e − e 2 += e ) 2e 2 . 2 1+ 3 x 1 2 2 1 1 2 2 1 1 a = 10 10 nên câu C đúng. ⇒ ⇒T = b= c= 0 ln12 Câu 83. Tích phân = I ∫ e x + 4dx có giá trị là: ln 5 2 − 2 ln 3 + 2 ln 5 . B. I = 2 ln 3 − 2 ln 5 . D. I =− Hướng dẫn giải 2 ln 3 + ln 5 . A. I =− 2 − 2 ln 3 + ln 5 . C. I = ln12 Tích phân = I ∫ e x + 4dx có giá trị là: ln 5 Đặt: t = e x + 4 ⇔ t 2 = e x + 4 ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx = 2tdt . t2 − 4  x= ln 5 ⇒ x= 3 Đổi cận  . x ln12 ⇒ = x 4 = 4  2t 2 t+2  = I= 2  t − 2 ln 2 − 2 ln 3 + 2 ln 5 . ∫3 t 2 − 4 dt = t − 2  3  Chọn B 4 Câu 84. Tìm tất cả các giá trị dương của tham số m sao cho
Trang chủ
∫ m 0 xe x 2 +1 dx = 2500.e m2 +1 . A. m 2250 2500 − 2 . = B. = m C. m 2250 2500 + 2 . D. 21000 + 1 . = = m Hướng dẫn giải Chọn C ∫ Ta có m 0 x 2 +1 xe 1 m Theo bài ra ∫ ⇔ m 2 += 1 (2 3 Câu 85. Cho ∫ e dx = ∫ m2 +1 0 x 2 +1 xe ( te te = dt t dx = 2500.e m 2 +1 t −e t ) m 2 +1 1 = ( +1 ⇔ 2500.e m= 2 ) m2 + 1 − 1 e ( m 2 +1 ) m2 + 1 − 1 e m 2 +1 ⇔ 2500 = 0 A. S = 1 . + 1) ⇔ m 2 = 21000 + 2501 2500 ( 2500 + 2 ) = ⇒ m 2250 2500 + 2 . = 2 500 Chọn C dx 1 ; đặt u= x + 1 ⇒ du= dx . x +1 2 x +1 0 Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 ; x = 3 ⇒ u = 2 2 2 = ⇒ I ∫ eu= 2du 2eu = 2e 2 − 2e ⇒ a = 2 , b = −2 , c = 0 , S = a + b + c = 0 . 1 1 Xét I = ∫ e x +1 π 2 sin x sin x cos3 xdx . Nếu đổi biến số t = sin 2 x thì: Câu 86. Cho tích phân I = ∫ e 2 0  1 t t A. I =  ∫ e dt + ∫ te dt  . 2 0 0  1 1 1  1 t t B. I =  ∫ e dt − ∫ te dt  . 2 0 0  1 1 1  C. I 2  ∫ et dt + ∫ tet dt  . = 0 0  1 1   = I 2  ∫ et dt − ∫ tet dt  . 0 0  D. Hướng dẫn giải Chọn B = Ta có I π 2 ∫e sin 2 x 3 sin x cos = xdx 0 π 2 ∫e sin 2 x . (1 − sin 2 x ) sin x.cos xdx . 0 Đặt = t sin 2 x ⇒ d= t 2sin x cos xdx ⇒ sin x cos xd= x Đổi cận x 0 1 dt . 2 π 2 01 1 1 1  1 t 1 t t Vậy = 1 d d d I e − t = t e t − te t ( )  ∫0  . 2 ∫0 2  ∫0 t n +1 lim x →+∞ Câu 87. Tính A. −1 . m2 + 1 − 1 dx = a.e 2 + b.e + c . Với a , b , c là các số nguyên. Tính S = a + b + c . x +1 B. S = 2 . C. S = 0 . D. S = 4 . Hướng dẫn giải x +1 3 21000 − 1 . dx ∫ 1+ e n
Trang chủ
x . B. 1 . C. e . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn D n +1 n +1 dx = Tính I ∫= 1 + ex n ∫ n e x dx . e x (1 + e x ) Đặt t = e ⇒ dt = e dx . Đổi cận: x = n ⇒ t = e n , x = n + 1 ⇒ t = e n +1 . x x en+1 Khi đó I = ∫ en en+1 dt 1 1  = ( ln t − ln ( t + 1) ) en  −  dt = ∫ t ( t + 1) en  t t + 1  en+1 1  1+ n  dx e = lim I = lim 1 + ln Suy ra lim ∫ x x →+∞ x →+∞ x →+∞ 1 + e 1 n  e+ n e  2 2016 x dx. Câu 88. Tính tích phân I = ∫ x e + 1 −2 n +1 2018 B. I = 2 . A. I = 0 . 2017 1 en . = 1 + ln 1 e+ n e 1+    = 1−1 = 0 .   2017 C. I = 2 . Hướng dẫn giải. 2018 D. I = 2 . 2017 2018 Chọn C Đặt x =−t ⇒ dx =−dt . Đổi cận: Với x =2 ⇒ t =−2; x =−2 ⇒ t =2 −2 −t 2016 = dt Khi đó: I ∫= −t + e 1 2 1 Câu 89. Cho biết x 2e x ∫ ( x + 2) 2 = dx 0 2 x 2016 e x dx ra 2 I ∫−2 1 + e x , suy= 2 2 22018 x 2017 22017 = d = x x . ⇒I= ∫−2 2017 −2 2017 2017 2016 a a .e + c với a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và là b b phân số tối giản. Tính a − b + c . A. 3 . B. 0 . D. −3 . C. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t = x + 2 ⇒ dt = dx , đổi cận x = 0 ⇒ t = 2 , x = 1 ⇒ t = 3 . 1 Ta có I = ∫ 0 3 x 2e x ( x + 2) 2 dx = ∫ 3 2 (t − 2) t 2 2 et − 2  4 4 2 dt dt = ∫ 1 − + 2  et −= t t  2 3 3 ∫e 2 t −2  4 4 dt + ∫  − + 2  et − 2 dt t t  2 3 + Tính I1 = ∫ et − 2 dt = et − 2 = e − 1 . 3 2 2 3 4  t −2 e dt . 2   2 4 4 Đặt u =⇒ du = v et − 2 dt ⇒= v et − 2 − 2 dt , d= t t 3 3 3 3 4 t −2 4 t −2 4 t −2 4  4 4 + ∫ 2 e dt ⇒ I 2 = ∫  − + 2  et − 2 dt = Ta có ∫ e dt = .e − e+2. t t t  t t 3 2 2 2 2 −1 3. −1 , b = 3 , c = 1 . Vậy a − b + c = Suy ra= I e +1 ⇒ a = 3 + Tính I 2 =  4 ∫  − t + t
Trang chủ
ln 6 ∫ 1+ Câu 90. Biết tích phân 0 T = a+b+c. A. T = −1 . ex a + b ln 2 + c ln 3 , với a , b , c là các số nguyên. Tính dx = e +3 x B. T = 0 . D. T = 1 . C. T = 2 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t = e x + 3 ⇒ t 2 = e x + 3 ⇒ 2tdt = e x dx . = 6 t 3  x ln= ⇒ Đổi cận  . =  x 0= t 2 3 ln 6 3 3 2  ex 2tdt  =∫  2 − dt = 2t − 2 ln t + 1 ) = ( 6 − 2 ln 4 ) − ( 4 − 2 ln 3) Suy ra ∫ dx = ∫ (  2 x 1+ t 2  1+ t  0 1+ e + 3 2 a = 2  = 2 − 4 ln 2 + 2 ln 3 ⇒ b = −4 . c = 2  Vậy T = 0 . 9 4 3 Câu 91. Giá trị I = ∫ x 2 sin (π x3 ) e ( ) cos π x3 dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: 1 3 6 A. 0, 046 . B. 0, 036 . C. 0, 037 . Hướng dẫn giải D. 0, 038. Chọn C 1 Đặt u = cos (π x 3 ) ⇒ d u = − du . −3π x 2 sin (π x3 ) d x ⇒ x 2 sin (π x 3 ) d x = 3π 3 1 Khi x = 3 thì u = . 2 6 2 9 Khi x = 3 thì u = . 2 4 2 2 1 Ta có I = − 3π 1 Câu 92. Cho ∫ (x 0 2 3 2 + x) e x + e− x u B. P = −1 . 1 Ta có: I = ∫ 0 (x 2 + x ) ex x + e− x Đặt= t xe + 1 ⇒ dt= x   ≈ 0, 037 .  a.e + b ln ( e + c ) với a , b , c ∈  . Tính P =a + 2b − c . dx = A. P = 1 . Chọn D 2 2 2 2 x 3 1  23 1 u 2 ∫ e d u = 3π e =2 3π  e − e 2  2 1 ∫ e d u = 3π 3 u 1 dx = ∫ 0 C. P = 0 . Hướng dẫn giải ( x + 1) e x xe x dx xe x + 1 . (1 + x ) e x dx . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = e + 1 . e +1 e +1 e +1 t −1  1 dt ∫ 1 −  dt= ( t − ln t ) = Khi đó: I = ∫ = e − ln ( e + 1) . 1 t t   1 1
Trang chủ
D. P = −2 . Suy ra: a = 1 , b = −1 , c = 1 . Vậy: P =a + 2b − c =−2 . 1 x2 + 5x + 6) ex ( ae + c Câu 93. Biết ∫ với a , b , c là các số nguyên và e là cơ số của dx = ae − b − ln −x x+2+e 3 0 logarit tự nhiên. Tính S = 2a + b + c . A. S = 10 . B. S = 0 . C. S = 5 . D. S = 9 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 x2 + 5x + 6) ex ( x + 2 )( x + 3) e 2 x ( Ta có : I ∫= = dx ∫ dx . x + 2 + e− x ( x + 2) ex + 1 0 0 Đặt = t ( x + 2 ) e x ⇒ dt = ( x + 3) e x dx . Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 2 , x = 1 ⇒ t = 3e . 3e 1  3e + 1 tdt  ∫2 t + 1 = ∫2 1 − t + 1  dt = ( t − ln t + 1 ) 2 = 3e − 2 − ln 3 . 9. Vậy a = 3 , b = 2 , c = 1 ⇒ S = 1 3 3 x x 1 1 e  π x + 2 + ex .2  Câu 94. ∫ dx = ln  p + +  với m , n , p là các số nguyên dương. Tính x e +π  π + e.2 m e ln n  0 tổng S = m + n + p . A. S = 6 . B. S = 5 . C. S = 7 . D. S = 8 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1  3 2x  1 2x 1 π x3 + 2 x + ex3 .2 x = + = + +J. d d dx = x x x Ta có ∫  x x  x ∫ ∫ 4 0 π + e.2 4 π + e.2 π + e.2  0 0 3e 3e I= 1 2x 1 dx . Đặt π + e.2 x = dt 2 x dx = dt . t ⇒ e.2 x ln 2dx =⇔ x π + e.2 e.ln 2 0 Tính J = ∫ Đổi cận: Khi x = 0 thì t= π + e ; khi x = 1 thì t= π + 2e . 1 π + 2e π + 2e 2x 1 1 1 1 e  J ∫ = x = d = dt = ln t π + e ln 1 + x ∫ π + e.2 e ln 2 π + e t e ln 2 e ln 2  e + π 0 1 1 e π x3 + 2 x + ex3 .2 x  Khi đó ∫ dx = ln 1 + + x 4 e ln 2  e + π π + e.2 0 1  .   4 , n = 2 , p = 1 . Vậy S = 7 . ⇒m=  Câu 95. Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c, ( a, b, c ∈ , a ≠ 0 ) có hai nghiệm thực phân biệt ∫ ( 2ax + b ) e x2 x1 , x2 . Tính tích phân = I A. I= x1 − x2 . x1 B. I = Chọn C Đặt t = ax 2 + bx + c ⇒ dt= ax 2 + bx + c dx . x1 − x2 . C. I = 0 . 4 Hướng dẫn giải D. I = x1 − x2 . 2 ( 2ax + b ) dx  x = x1 ⇒ t = ax12 + bx1 + c = 0 x2 0 2 Khi  . Do đó I = et dt = 0. ( 2ax + b ) eax +bx +c dx = ∫ ∫ 2 x1 0  x = x2 ⇒ t = ax2 + bx2 + c = 0 e ln x dx trở thành u 1 + 3ln x thì tích phân ∫ Câu 96. Với cách đổi biến = x 1 + 3ln x 1
Trang chủ
2 A. 2 2 ( u 2 − 1) du . 3 ∫1 B. Chọn B 2 2 ( u 2 − 1) du . C. 2∫ ( u 2 − 1) du . 9 ∫1 1 Hướng dẫn giải 2 u2 −1 du . 9 ∫1 u 2 D. u2 −1 dx 2u 1 + 3ln x ⇒ u 2 =+ 1 3ln x ⇒ ln x = ⇒ =du . 3 3 x = u u2 −1 2 2 ln x 2u 3 x = u 2 − 1 du . d Khi đó ∫ =∫ du ∫ 91 u 3 1 x 1 + 3ln x 1 e ( x + 1) ln x + 2 d=  e +1  a x a.e + b ln  Câu 97. Biết ∫ là  trong đó a , b là các số nguyên. Khi đó tỉ số 1 + x ln x b  e  1 1 B. 1 . C. 3 . D. 2 . A. . 2 Hướng dẫn giải Chọn B e e e e d (1 + x ln x ) ( x + 1) ln x + 2= 1 + x ln x + 1 + ln x dx ∫ = dx ∫ dx + ∫ Ta có: ∫ 1 + x ln x 1 + x ln x 1 + x ln x 1 1 1 1 e +1 . = x 1e + ln (1 + x ln x ) 1e = e − 1 + ln (1 + e ) = e + ln e a Suy ra a= b= 1 . Vậy = 1 . b e e Câu 98. Tính tích phân I = ∫ 1 2 2 A. I = t 3 . 9 1 ) ( 2 1 + 3ln x dx bằng cách đặt = t x 1 + 3ln x , mệnh đề nào dưới đây sai? 2 2 B. I = ∫ tdt . 31 C. I = 2 2 2 t dt . 3 ∫1 D. I = 14 . 9 Hướng dẫn giải Chọn B e 1 + 3ln x dx , đặt = t x I =∫ 1 3 x 1 + 3ln x ⇒ t 2 =1 + 3ln x ⇒ 2tdt = dx ⇒ 2t dx . dt = 3 x Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = e ⇒ t = 2. 2 2 2 14 2t 2 dt = t 3 = . 9 1 9 3 1 I =∫ ( 3x + 1) = dx 2 Câu 99. Biết ∫ 3x 1 2 + x ln x a + b + c bằng A. 6 . ln b   ln  a +  với a , b , c là các số nguyên dương và c ≤ 4 . Tổng c   B. 9 . C. 7 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1  x dx . Đặt = t  3 +  dx t 3 x + ln x , d= Ta có ∫ 2 dx = ∫ x 3 x + x ln x 3 x + ln x  1 1 Đổi cận x = 1 ⇒ t = 3 , x = 2 ⇒ t = 6 + ln 2 . 2 ( 3x + 1)
Trang chủ
2 3+ D. 8 . 1 6 + ln 2 ln 2  dt 6 + ln 2  x dx = ln 3 ln  2 +  ∫1 3x + ln x ∫3 t = ln t 3 = ln ( 6 + ln 2 ) − = 3   2 , b = 2 , c = 3 . Vậy tổng a + b + c = 7. ⇒a= e ln x 3 Câu 100. Biết I =∫ dx =a ln + b, ( a, b ∈ Q ) . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 x ( ln x + 2 ) 1 2 3+ B. 2a + b = C. a 2 + b 2 = 4. 1. Hướng dẫn giải A. a − b = 1. D. a + 2b = 0. Chọn D 1 x Đặt= t ln x + 2 , suy ra dt = dx . Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2 x= e⇒t = 3 2 3 3 t −2 dt= ( t − 2 ln t ) 2 = 1 + 2 ln = 1 − 2 ln . 3 2 t 2 Vậy a = 1 , nên a + 2b = −2; b = 0. 3 Khi đó, I = ∫ ln x 2 ln 2 x + 1 + 1 1 x Câu 101. Tích phân I = ∫ A. I = 4 2 +3 . 3 B. I = ) dx có giá trị là: ( ln x 2 ln 2 x + 1 + 1 1 x ) ( ln x 2 ln 2 x + 1 + 1 = I ∫ = dx x 1 e 4 2 +1 4 2 +5 . C. I = . 3 3 Hướng dẫn giải e Tích phân I = ∫ Ta có: ) dx có giá trị là: ( e 2 ln x ln 2 x + 1 ln x dx + ∫ dx . ∫1 x x 1 e e 2 ln x ln 2 x + 1 dx . x 1 2 ln x Đặt= t ln 2 x + 1 ⇒ dt = dx . x e Xét I1 = ∫ x =1 ⇒ t =1 Đổi cận  . ⇒= I1 x = e ⇒ t = 2 2 ∫ 1 2 4 2 −2 2 3 . tdt =  t = 3 3 1 e ln x dx . x 1 Xét I 2 ∫ 1 dx . x x =1 ⇒ t = 0 Đổi cận  . ⇒ I2 = x = e ⇒ t = 1 Đặt t = ln x ⇒ dt = ⇒ I = I1 + I 2 = Chọn B
Trang chủ
4 2 +1 . 3 1 ∫ dt = 0 1. D. I = 4 2 −3 . 3 e Câu 102. Tích= phân I ∫ x ( ln 2 A. I = −2e . B. I = −e . e Tích= phân I x + ln x ) dx có giá trị là: 1 ∫ x ( ln 2 C. I = e . Hướng dẫn giải D. I = 2e . x + ln x ) dx có giá trị là: 1 e 2 ∫ x ( ln x + ln x ) dx = Ta biến đổi: I = 1 Đặt t= x ln x ⇒ dt= ( ln x + 1) dx . e ∫ x ln x ( ln x + 1) dx . 1 e x =1 ⇒ t = 0 Đổi cận  . ⇒ I= ∫ dt= e . x = e ⇒ t = e 0 Chọn C 1   ln 3 x + 3 x  ln 2 x + x  1 2 3   Câu 103. Biết = I ∫ dx= 1 + ae + 27e 2 + 27e3 − 3 3 , a là các số hữu tỉ. x 9 0 Giá trị của a là: A. 9. B. – 6. C. – 9. D. 6. Hướng dẫn giải 1   ln 3 x + 3 x  ln 2 x + x  e 2 3   Biết = I ∫ dx= 1 + ae + 27e 2 + 27e3 − 3 3 . Giá trị của a là: x 9 1 Ta có: 1   ln 3 x + 3 x  ln 2 x + x  e e ln 3 x + 3 x ( 3ln 2 x + x ) 1 3   I ∫= dx dx x x 3 ∫1 1 3 2 Đặt t= ln 3 x + 3 x ⇒ dt= ln x + 1 x x =1 ⇒ t = 3 Đổi cận  .  x = e ⇒ t = 1 + 3e 1+ 3e I ⇒= ∫ tdt = 3 2 3 ( ) = 23 ( 1+ 3e t3 ( ) ( ) (1 + 3e ) 3 ) 92 ( 1 + 9e + 27e + 27e − 3 3 ) ⇒=a − 3 3= 3 2 3 . Chọn A e Câu 104. Tích phân I = ∫ 1 A. I = 4 2 −2 . 3 2 ln x ln 2 x + 1 dx có gái trị là: x B. I = 4 2+2 2 2 −2 . C. I = . 3 3 Hướng dẫn giải 2 ln x ln 2 x + 1 dx có gái trị là: x 1 2 ln x Ta nhận thấy: ( ln 2 x + 1) ‘ = . Ta dùng đổi biến số. x e Tích phân I = ∫
Trang chủ
D. I = 2 2+2 . 3 9 2 ln x dx . x Đặt= t ln 2 x + 1 ⇒ dt = x =1 ⇒ t =1 Đổi cận  . x = e ⇒ t = 2 2  2 32  4 2 −2 . = I ∫= tdx  = t  3  3 1 1 Chọn A 2 e2 Câu 105. Tính I = ∫ (1 − ln x ) dx được kết quả là x e A. 2 13 . 3 B. 1 . 3 5 . 3 Hướng dẫn giải C. D. 4 . 3 Chọn B 1 dx . Với x = e ⇒ t = 1 ; x = e 2 ⇒ t = 2 x Đặt t = ln x ⇔ dt = e2 I=∫ (1 − ln x ) 2 x e 2 dx =∫ (1 − t ) dt =− 2 1 e Câu 106. Cho tích phân I = ∫ 1 e 2 A. I = ∫ t 2 dt . 31 1 1 1 3 2 (1 − t ) 1 = − 0 = 3 3 3 1 + 3ln x t dx , đặt = x 1 + 3ln x . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 2 2 2 B. I = ∫ tdt . C. I = ∫ t 2 dt . 31 31 Hướng dẫn giải U U e 2 D. I = ∫ tdt . 31 Chọn C Đặt t =1 + 3ln x ⇒ 2 1 tdt = dx . Đổi cận x = e ⇒ t = 2; x = 1 ⇒ t = 1 3 x 2 Do đó I = 2 2 t dt 3 ∫1 . a −b c 3 + ln x dx = , trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c < 4 . Tính giá x 3 1 trị S = a + b + c . A. S = 13 . B. S = 28 . C. S = 25 . D. S = 16 . Hướng dẫn giải Chọn C dx t 3 + ln x ⇒ 2tdt = Đặt= . x Đổi: Với x = 1 ⇒ t = 3 ; x = e ⇒ t = 2 . e Câu 107. Biết ∫ 3 + ln x 2 32 16 − 6 3 2 ⇒I= ∫1 x dx = 2 ∫ t dt = 3 t 3 = 3 . 3 e 2 ⇒a= 16 , b = 6 , c = 3 ⇒ S = a + b + c = 25 . e ln x dx có kết quả dạng= I ln a + b với a > 0 , b ∈  . Khẳng định nào sau Câu 108. Cho I = ∫ 2 1 x ( ln x + 2 ) đây đúng?
Trang chủ
A. 2ab = −1 . B. 2ab = 1 . C. −b + ln Hướng dẫn giải 3 1 =− . 2a 3 D. −b + ln 3 1 =. 2a 3 Chọn A 1 dx = dt . x Đổi cận: khi x = 1 thì t = 2 ; khi x = e thì t = 3 . t−2 ⇒ t ⇔ ln x = Đặt ln x + 2 = 3  a=  t −2 2 3 1  1 2   2 dt ∫  − 2= . Khi đó I = ∫ 2 = ln − ⇒  dt  ln t + =  t t  t t 2 2 3  2 2 b = − 1  3 Vậy 2ab = −1 . 2 x +1 = dx ln ( ln a + b ) với a , b là các số nguyên dương. Tính P = a 2 + b 2 + ab . Câu 109. Biết ∫ 2 x + x ln x 1 B. 8 . C. 12 . D. 6 . A. 10 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 x +1 x +1 dx = ∫ Ta có ∫ 2 dx . x + x ln x x x + ln x ( ) 1 1 3 3 3 x +1  1 Đặt t= x + ln x ⇒ dt = 1 +  dx = dx . x  x Khi x = 1 ⇒ t = 1 ; x = 2 ⇒ t = 2 + ln 2 . 2 + ln 2 2 + ln 2 a = 2 dt = ln = t1 Khi đó I = ∫ . ln ( ln 2 + 2 ) . Suy ra  t b = 2 1 Vậy P = 8 . 2 e2 ( x + 1) ln x + 1 ae 4 + be 2 Câu 110. Cho tích phân = I ∫ = dx + c + d ln 2 . Chọn phát biểu đúng nhất: e x ln x 2 1 2 A. a= b= c= d B. = C. A và B đúng D. A và B sai a b= c = d Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 2 e2 ( x + 1) ln x + 1 e2 x ln x + 1 + ln x = I ∫= dx ∫ dx e e x ln x x ln x e2  e2  e2 1 1  1 1 = ∫ x+ + = ∫  x +  dx + ∫ dx  dx e e e x x ln x  x x ln x   e2  x2  e4 − e2 1  +1 Xét M =∫  x +  dx = + ln x  = e x 2   2 e e2 1 1 Xét N = ∫ dx , đặt t = ln x , suy ra dt = dx . e x ln x x 2 Đối cận x = e ⇒ t = 1 và x = e ⇒ t = 2 ta được 2 dt 2 N= ∫ = ( ln t ) = ln 2 − ln1 = ln 2 . 1 1 t e2
Trang chủ
e4 − e2 + 1 + ln 2 . 2 Do đó a =−b =c =d =1 . Ta chọn phương án 2018 ln (1 + 2 x ) Câu 111. Tính tích phân I = ∫ dx . −x 0 (1 + 2 ) log 4 e = I Vậy A. I =ln (1 + 22018 ) − ln 2 . B. B. I = ln 2 (1 + 22018 ) − ln 2 2 . D. I =ln 2 (1 + 2−2018 ) − ln 2 2 . C. I = ln 2 (1 + 22018 ) − ln 4 . Hướng dẫn giải Chọn B 2018 Ta có I = ∫ 0 2018 2018 x ln (1 + 2 x ) x 2 ln 2 = dx =2 ∫ ln (1 + 2 x ) d ln (1 + 2 x )  dx 2 ∫ ln (1 + 2 ) x −x 1+ 2 (1 + 2 ) log 4 e 0 0 Do đó = I ln 2 (1 + 2 x ) = ln 2 (1 + 22018 ) − ln 2 2 . 2018 0 Câu 112. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn e ∫ 1 1 1 A. ∫ f ( x ) dx = 1. B. 0 f ( ln x ) dx = e. Mệnh đề nào sau đây đúng? x e e ∫ f ( x ) dx = e. C. 0 ∫ f ( x ) dx = 1. 0 D. ∫ f ( x ) dx = e. 0 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t = ln x ⇒ dt = e ∫ 1 1 dx. Cận: x = 1 ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = 1 x 1 1 f ( ln x ) dx = f t d t = e ⇔ e. ∫0 ( ) ∫0 f ( x ) dx = x e4 4 1 ∫e f ( ln x ) x dx = 4 . Tính tích phân I = ∫1 f ( x ) dx . B. I = 16 . C. I = 2 . A. I = 8 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 Đặt t = ln x ⇒ dt =dx . x Câu 113. Biết x t e4 ∫ e e4 4 e 1 4 4 1 f ( ln x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx . x 1 1 4 = Suy ra I f ( x ) dx ∫= 1
Trang chủ
4. D. I = 4 . PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α ; β ](*) sao cho= ϕ (α ) a= ,ϕ ( β ) b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọi t ∈ [α ; β ]. Khi đó: b ∫ β f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ‘(t )dt. α a Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng  π π 1. a 2 − x 2 := đặt x | a | sin t ; t ∈  − ;   2 2 |a|  π π = x ; t ∈  − ;  {0} 2. x 2 − a 2 : đặt sin t  2 2  π π 3. x 2 += a 2 : x | a | tan t ; t ∈  − ;   2 2 a+x a−x 4. hoặc : đặt x = a.cos 2t a+x a−x Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính 3 ∫ tích phân I = x 2 dx thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I = ∫ x2 + 1 0 0 3 x3 dx x2 + 1 thì nên đổi biến dạng 1. 2 ∫ I Câu 114. Khi tính= 4 − x 2 dx, bằng phép đặt x = 2 sin t , thì được 0 A. π π 2 2 ∫ 2 (1 + cos 2t )dt . B. 0 ∫ 2 (1 − cos 2t )dt . 0 2 2 C. ∫ 4 cos tdt . D. ∫ 2 cos 2 tdt . 2 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A x 2sin t ⇒ d= x 2 cos tdt Đặt = Đổi cận x= 0⇒t = 0 x= 2⇒t = π 2 π π 2 2 2 Khi đó I = ∫ 4 − 4sin t .2costdt = ∫ 4 cos tdt. 2 0 1 Câu 115. Biết rằng ∫ −1 A. 0 2π 4 − x 2 dx = + a . Khi đó a bằng: 3 2. C. 3 . Hướng dẫn giải B. 1 . Chọn C x 2sin t ⇒ d= x 2 cos tdt . Đặt = 1 Khi đó : ∫ −1 = ( 2t + sin 2t )
Trang chủ
π 6 π − 6 2π = + 3. 3 π 6 4 − x dx = ∫ 4 cos t cos t dt = 2 π − 6 D. 2 . π π 6 6 tdt ∫ ( 2 + 2 cos 2t ) dt ∫π 4 cos = π 2 − 6 − 6 Câu 116. Cho tích phân I = 1 2 1 dx ∫= 1− x 2 aπ ,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 0 A. 1 . 2 B. Cho tích phân I = 1 2 1 . 3 1 dx ∫= 1− x 2 1 . 4 Hướng dẫn giải C. D. 1 . 6 aπ . Giá trị của a là: 0 Ta có:  π π x sin t , t ∈  − ;  ⇒= dx cos tdt . Đặt=  2 2 x = 0 ⇒ t = 0  Đổi cận  1 π. x t = ⇒ =  2 6 π I= 6 ∫ dt = 0 π ⇒a= 6 1 . 6 Chọn D 3 a a là phân số tối giản. Tính giá trị của π trong đó a, b ∈  và 9 − x 2 dx = b b 0 biểu thức T = ab . A. T = 35 . B. T = 24 . C. T = 12 . D. T = 36 . Hướng dẫn giải Chọn D Câu 117. Giá trị của ∫ Đặt x= 3sin t ⇔ dx= 3cos tdt . Đổi cận: x = 0 → t = 0; x = 3 → t = ⇒ I= π π π 2 2 2 ∫ 0 9 − ( 3sin t ) .3cos tdt = ∫ 9 cos 2 td= t 2 0 Câu 118. Đổi biến x = 2sin t thì tích phân 1 dx ∫ 4 − x2 0 A. ∫ 9. 0 π π 3 6 0 π 6 dt . t 0 Hướng dẫn giải ∫ tdt . ∫ C. 0 D. ∫ dt . 0 Chọn D x = 0 ⇒ t = 0 Đặt x = 2sin t , khi đó dx = 2 cos tdt . Đổi cận  x =1⇒ t = π 6  1 I =∫ 0 dx 4 − x2
Trang chủ
π π π 6 6 6 =∫ 0 2 cos t 4 − 4sin 2 t dt = ∫ 0 . trở thành 6 B. 2 1 + cos 2t 9 π . Vậy = d= t T 9.4 = 36 . 2 4 π ∫ tdt . π 2 cos t 4 cos 2 t dt = ∫ 0 π 6 2 cos t dt = ∫ dt . 2 cos t 0 a+ b 1 ∫ Câu 119. Biết rằng dx = −x + 6x − 5 4 . Tổng a + b bằng A. 5 . B. 7 . 2 π 6 trong đó a , b là các số nguyên dương và 4 < a + b < 5 D. 6 . C. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D a+ b ∫ Ta có a+ b 1 − x2 + 6 x − 5 4 dx = 1 ∫ 4 − ( x − 3) 4 2 dx . π π 2sin t , t ∈  − ;  , dx = 2 cos tdt . Đặt x − 3 =  2 2 π a + b −3 a + b ⇒ t arcsin Đổi cận x = 4 ⇒ t = , x== = m. 6 2 m m π m 2 cos t ∫π 4 − 4sin 2 t dt = π∫ dt= t π6= m − 6 . 6 6 Theo đề ta có m − π π = ⇔ arcsin 6 6 6. Do đó a = 3 , b = 3 , a + b = a + b −3 3 a + b −3 π ⇔ a+ b= ⇒ = = 2 2 2 3 3 + 3. 3 Câu 120. Tích phân I = ∫ ( x − 1)( 3 − x )dx có giá trị là: 5 2 A. I= π 3 − . 6 4 B. I= π 3 − . 3 8 C. I= Hướng dẫn giải π 3 − . 6 8 D. I= π 3 − . 3 8 3 Tích phân I = ∫ ( x − 1)( 3 − x )dx có giá trị là: 5 2 Ta có: 3 I= 3 3 ∫ ( x − 1)( 3 − x )dx= ∫ 5 2 −3 − x + 2 xdx= 2 5 2 ∫ 1 − ( x − 2 ) dx . 2 5 2  π π − 2 sin t , t ∈  − ;  ⇒= dx cos tdt . Đặt x =  2 2 5 π   x = 2 ⇒ t = 6 Đổi cận  . π x = 3 ⇒ t =  2 ⇒I= π π π 2 2 π 2 ∫ cos tdt = π 1 + cos 2t 1 1 3 2 π dt = x + sin 2 t .  π = − ∫π 2 2 2 6 8  6 6 6 ∫ 1 − sin 2 t .cos tdt = Chọn C 1 Câu 121. Tích phân I = ∫ 0 https://toanmath.com/ 3 + 4x 3 + 2 x − x2 π 2 dx có giá trị là: 6 7π B. I = − 4 3 − 8 . 6 7π D. I = + 4 3 + 8 . 6 Hướng dẫn giải 7π A. I = − 4 3 + 8 . 6 7π C. I = + 4 3 − 8 . 6 1 Tích phân I = ∫ 0 3 + 4x 3 + 2 x − x2 dx có giá trị là: Ta có: ( 3 + 3 x − x 2 ) ' =3 − 2 x và 3 + 4 x =9 − 2 ( 3 − 2 x ) 1 1 1 7 − 2 ( 2 − 2x) 2 ( 2 − 2x) 3 + 4x 7 dx ∫ = dx ∫ dx − ∫ dx . = ⇒I ∫ = 3 + 2 x − x2 3 + 2 x − x2 3 + 2x − x2 3 + 2 x − x2 0 0 0 0 1 1 7 7 Xét I1 ∫= = dx ∫ dx . 2 2 3 + 2x − x 0 0 4 − ( x − 1) 1  π π = x − 1 2sin t , t ∈  − ;  ⇒ dx 2 cos tdt . Đặt =  2 2 π   x =0 ⇒ t =− Đổi cận  6.  x = 1 ⇒ t = 0 0 14 cos t 7π . dt = ⇒ I1 ∫ = 6 4 − 4sin 2 t π − 6 1 Xét I 2 = ∫ 2 ( 2 − 2x) dx . 3 + 2 x − x2 Đặt t =3 + 2 x − x 2 ⇒ dt =( 2 − 2 x ) dx . 0 x = 0 ⇒ t = 3 Đổi cận  . x =1 ⇒ t = 4 4  1 2 ⇒ I2 = ∫ dt = 4  t 2  = 4 2 − 3 . t  3 3 7π I = I1 − I 2 = + 4 3 −8. 6 Chọn C 4 Câu 122. Tích phân I = A. I = 5π . 3 1 2 ∫ −1 ( 4x − 3 5 + 4 x − x2 dx có giá trị là: B. I = 7 2 Tích phân I = ∫ 1 2 4x − 3 5 + 4 x − x2 ) 5π . 6 C. I = − Hướng dẫn giải dx có giá trị là: Cách 1: Ta có: ( 5 + 4 x − x 2 ) ' =4 − 2 x và 4 x − 3 = 5 − 2 ( 4 − 2 x ) . https://toanmath.com/ 5π . 3 D. I = − 5π . 6 7 2 7 2 4x − 3 = I ∫= dx 5 + 4x − x2 1 ∫ 1 2 2 7 2 5 + 4x − x2 7 2 5 2 1 2 dx − ∫ 1 2 5 dx ∫ ∫= 5 + 4x − x = Xét I1 7 2 5 9 − ( x − 2) 1 2 2 2 ( 4 − 2x) 5 + 4 x − x2 dx . dx .  π π = x − 2 3sin t , t ∈  − ;  ⇒ dx 3cos tdt . Đặt =  2 2 7 π   x = 2 ⇒ t = 6 Đổi cận  .  x =1 ⇒ t =− π  2 6 π = ⇒ I1 6 ∫π − 6 7 2 Xét I 2 = ∫ 5.3cos t 5π = dt . 2 3 9 − 9sin t 2 ( 4 − 2x) 1 2 5 + 4 x − x2 dx . Đặt t =5 + 4 x − x 2 ⇒ dt =4 − 2 x . 1 27   x = 2 ⇒ t = 4 Đổi cận  ⇒ I2 = 0. 7 27 x = ⇒ t =  2 4 5π ⇒I= . 3 Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. 1 2 2 Câu 123. Cho I = ∫ 1 − 2 x 1 − x dc =aπ + b với a, b ∈ R . Giá trị a + b gần nhất với 0 A. 1 10 1 5 Hướng dẫn giải B. 1 C. D. 2 Đáp án: C Cũng như câu 25, câu 26 cũng là một câu tích phân đòi hỏi khả năng biến đổi của các thí sinh. Đối với câu này, chúng ta sử dụng phương pháp đưa về lượng giác.  π π Đặt= x sin t , t ∈  − ;  . I được viết lại là  2 2 π 6 π 6 π 6 I= ∫ 1 − 2sin t cos t .cos tdt =− ∫ ( cos t sin t ) .cos tdt = ∫ (cos t − sin t ) cos tdt 0 2 0 π 6 π 6 0 0 ⇔ − ∫ sin t cos tdt = + ∫ cos 2 tdt https://toanmath.com/ 0 π 6 π 6 −1 1 sin 2td (2t ) + ∫ (cos 2t + 1)d (2t ) ∫ 4 0 40 π cos 2t ⇔I= 4 π sin 2t + 2t + 4 6 0 π 6 = 0 π 12 3 −1 8 + 3 −1 ≈ 0,175 . 12 8 Nhận xét: Hai bài toán trên chính là cách hướng có thể ra đề để tránh tình trạng sử dụng máy tính Casio. Thí sinh hiểu bản chất và cách làm thực sự sẽ không gặp khó khăn nhiều khi giải quyết các bài toán này. 1 1 Câu 124. Tích phân I = ∫ 2 dx có giá trị là: x +1 0 Suy ra A. I = π 2 + B. I = . 1 π 3 C. I = . Hướng dẫn giải π 4 D. I = . π 6 . 1 dx có giá trị là: x +1 Tích phân I = ∫ 2 0 Ta có: 1 I =∫ 0 1 dx . Ta dùng đổi biến số. x +1 2 1  π π x tan t , t ∈  − ;  ⇒= dx dt . Đặt= cos 2 t  2 2 x = 0 ⇒ t = 0  Đổi cận  π.  x = 1 ⇒ t = 4 π π 4 ∫ dt = t 04 = ⇒I= 0 π 4 . Chọn C 1 Câu 125. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn f ( tan x ) = cos x , ∀x ∈  . Tính I = ∫ f ( x ) dx 4 0 . A. π +2 8 . 2+π . 4 Hướng dẫn giải B. 1 . C. D. π . 4 Chọn A Đặt t = tan x . Ta có 1 = I f ( x ) dx ∫= 0 1 ∫ 0 1 = 1 + tan 2 x = 1 + t 2 ⇒ cos 4 = x 2 cos x 1 (1 + x ) 2 2 1 (1 + t ) 2 2 1 ⇒ f ( t= ) (1 + t ) 2 2 dx . π π  −π Đặt x tan u ,  = < x <  ⇒ dx = 1 + tan 2 u du ; đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0 ; x =1 ⇒ u = . 4 2  2 ( π 4 π 4 ) π π 4 1 + tan u 1 1 1 1  4 2+π 2 I= = u = u u = u + u du . d cos d sin 2   = ∫0 1 + tan 2 u 2 ∫0  1 2 cos2 u ∫0 2 4 8  0 ( )   2  cos u  https://toanmath.com/ 2 Câu 126. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ −6;5] , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như 5 ∫  f ( x ) + 2 dx . hình vẽ. Tính giá trị I = −6 y −4 −6 3 5 x O −1 I 2π + 34 . I 2π + 33 . B. = C. = Hướng dẫn giải I 2π + 35 . A. = I 2π + 32 . D. = Chọn D 1 khi − 6 ≤ x ≤ −2 2 x + 2  f ( x ) = 1 + 4 − x 2 khi − 2 ≤ x ≤ 2 2 1  x− khi 2 ≤ x ≤ 5 3  3 Ta có . 5 5 ∫  f ( x ) + 2 d=x = I ∫ −6 −2 5 −6 f ( x ) dx + 2 ∫ dx −6 ) ( 1 1  2 = ∫  x + 2  dx + ∫ 1 + 4 − x 2 dx + ∫  x −  dx + 22 2 3 3  −6  −2 2 2 −2 5 5 x 1  1 =  x 2 + 2 x  + J +  x 2 −  + 22 = J + 28 . 32 4  −6 3 ∫ (1 + ) 2 Tính J = 4 − x 2 dx −2 Đặt x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt . Đổi cận: Khi x = 2 thì t = − 2 ) ( π π ; khi x = 2 thì t = . 2 2 π π 2 2 J =∫ 1 + 4 − x 2 dx =4 + 4 ∫ cos 2 tdt =4 + 2 ∫ (1 + cos 2t ) dt =4 + 2π . Vậy = I 32 + 2π . −2 − π − 2 π 2 1 dx Câu 127. Khi đổi biến x = 3 tan t , tích phân I = ∫ 2 trở thành tích phân nào? x + 3 0 π π π 3 6 6 A. I = ∫ 3dt . 0 Chọn B Đặt x = 3 tan t ⇒= dx B. I = ∫ 0 3 C. I = ∫ 3tdt . dt 3 0 Hướng dẫn giải 3 (1 + tan 2 t ) dt . Khi x = 0 thì t = 0 ; Khi x = 1 thì t = https://toanmath.com/ π 6 . π 6 1 D. I = ∫ dt . t 0 π 1 dx = Ta có I = ∫ 2 x +3 0 https://toanmath.com/ 6 3 (1 + tan 2 t ) ∫ 3 (1 + tan t ) 2 0 π dt = 6 ∫ 0 3 dt . 3 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: b ∫ P( x ).e x b b a a a ∫ P( x ).cos xdx dx a u dv b P(x) ∫ P( x ).sin xdx P(x) cos xdx x e dx P(x) sin xdx ∫ P( x ).l n xdx lnx P(x) BÀI TẬP DẠNG 1: π Câu 1. = Tích phân I 2 ∫ x sin axdx, a ≠ 0 có giá trị là: π 3 A. I = π +6−3 3 . 6a B. I = π +3−3 3 . 6a C. I = π +6+3 3 . 6a D. I = π +3+3 3 . 6a π 4 Câu 2. Biết 1 π + ( a, b ∫ (1 + x ) cos 2 xdx = a b là các số nguyên khác 0 ). Tính giá trị ab . 0 C. ab = 4 . D. ab = 12 . 2 u = x Tính tích phân I = ∫ x 2 cos 2 xdx bằng cách đặt  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? dv = cos 2 xdx 0 A. ab = 32 . B. ab = 2 . π Câu 3. A. I = π 1 2 x sin 2 x π0 − ∫ x sin 2 xdx . 2 0 π π 1 2 D. I = x sin 2 x π0 + ∫ x sin 2 xdx . 2 0 1 2 C. I = x sin 2 x π0 + 2 ∫ x sin 2 xdx . 2 0 Câu 4. I = Biết π π 2 2 π π 6 6 π 1 2 x sin 2 x π0 − 2 ∫ x sin 2 xdx . 2 0 B. I = 2 xdx aπ 3 + b ∫ sin 2 xdx , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của ∫ x cos = a là: b 1 1 1 B. . C. − . D. − . 24 12 24 1 1 (a sin 2 + b cos 2 + c) với a, b, c ∈  . Mệnh đề nào sau đây là đúng? Biết rằng ∫ x cos 2 xdx= 4 0 1 A. . 12 Câu 5. A. 2a + b + c =−1 . Câu 6. 0. B. a + 2b + c = 0. 1. C. a − b + c = D. a + b + c = ( x − 2) cos 3 x − + b sin 3x + C . Tính M= a + 27b . Tính nguyên hàm I = ∫ ( x − 2) sin 3xdx = a Chọn đáp án đúng: A. 6 B. 14 C. 34 D. 22 π 2 Câu 7. Biết m là số thực thỏa mãn ∫ x ( cos x + 2m ) dx= 0 B. 0 < m ≤ 3 . A. m ≤ 0 . π Câu 8. Tính tích phân π 2 − 1 . Mệnh đề nào sau dưới đây đúng? C. 3 < m ≤ 6 . aπ + bπ . Tính tích ab: ∫ x ( x + sin x ) dx = 3 0 https://toanmath.com/ 2π 2 + D. m > 6 . A. 3 B. 1 3 C. 6 D. 2 3 D. 1 2 π −π . 4 π Câu 9. Tích phân ∫ ( 3x + 2 ) cos 2 x dx bằng 0 A. 3 2 π −π . 4 B. 3 2 π +π . 4 C. 1 2 π +π . 4 π 2m ∫ x.cos mxdx = Câu 10. Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn π −2 2 0 . Hỏi số m thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?  1  0;  B.  4  . 7  A.  ; 2  . 4   6 1;  C.  5  . 5 8  ;  D.  6 7  . 1 I = ∫ f ( x ) dx 2 x 2 + x khi x ≥ 0 −π Câu 11. Cho hàm số f ( x ) =  . Tích tích phân x .s i n x k hi x ≤ 0  1 7 2 2 A. I= B. I= C. I =− + 3π . D. I= +π . +π . + 2π . 3 3 6 5 π Câu 12. Tính ∫ x (1 + cos x ) dx . Kết quả là 0 A. π 2 2 −2. B. π2 3 + 3. C. π2 3 −3. D. π2 2 π 3 x ∫ cos Câu 13. Tính tích phân 0 2 x dx = aπ + b . Phần nguyên của tổng a + b là ? A. 0 B. -1 x 4 π C. 1 D. -2 π2 Câu 14. Cho I = khi đó tổng a + b bằng ln b − ∫0 x tan xdx =− a 32 A. 4 B. 8 C. 10 2 D. 6 π 4 x dx có giá trị là: 1 + cos x 0 Câu 15. Tích phân I = ∫ π  − 2 ln  cos  . 4 8 8  π π π  = tan − 2 ln  cos  . C. I 4 4 8  = A. I π tan π π  + 2 ln  cos  . 4 8 8  π π π  = tan + 2 ln  cos  . D. I 4 4 8  = B. I π tan π π 4 Câu 16. Tích phân x ∫ 1 + cos 2 x d=x aπ + b ln 2 , với a , b là các số thực. Tính 16a − 8b 0 A. 4. B. 5. π 4 Câu 17. Tích phân I = ∫ 0
Trang chủ
2 x − sin x dx có giá trị là: 2 − 2 cos x C. 2. D. 3. +2. A. I =  1 2π 3 + 4 ln 2 + ln 2  .  −π + 2 3  B. I =  1 2π 3 + 2 ln 2 − ln 2  .  −π + 2 3  C. I =  1 2π 3 + 4 ln 2 − ln 2  .  −π + 2 3  D. I =  1 2π 3 + 2 ln 2 + ln 2  .  −π + 2 3  π 2 Câu 18. Tích phân I = ∫ (x + 2 x ) cos x + x cos 2 x 3 cos x π dx có giá trị là: 6 5π 2π 2 π 3 5π 4 2π 2 π 3 − + − + + − . B. I= . 324 9 4 2 324 9 4 2 5π 4 2π 2 π 3 5π 4 2π 2 π 3 + + + + − − C. I= . D. I= . 324 9 4 2 324 9 4 2 2 a a π  x  Câu 19. Cho 0 < x < và ∫ x tan xdx =m Tính I = ∫   dx theo a và m. 2 cos x  0 0 = A. I a tan a − 2m . B. I = C. I a 2 tan a − 2m . = D. I a 2 tan a − m . −a 2 tan a + m . = 4 A. I= π ∫ ( x + sin x ) cos xdx . Kết quả là 2 Câu 20. 2 Tính 0 A. π + 2 2 . 3 B. Câu 21. Cho tích phân= I ∫ π2 0 Chọn đáp án đúng: A. 7 π − 2 2 . 3 C. π 3 − 2 . 3 D. π 2 − 2 . 3 x .sin xdx = aπ 2 + b . Tính A= a − b B. 10 C. 6 D. 2 n I Câu 22. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu = I n ∫ x 2 (1 − x 2 ) dx . Tính lim n +1 . n →+∞ I n 0 1 A. 1 . DẠNG 2: B. 2 . C. 3 . D. 5 . C. 2 . D. e . a Câu 23. Cho x 1 ( a ∈  ) . Tìm a ? ∫ xe d= x 0 B. 1 . A. 0 . 1 Câu 24. Cho= I ∫ xe 2x = dx ae 2 + b ( a, b là các số hữu tỷ). Khi đó tổng a + b là 0 A. 0 . B. 1 . 4 C. 1 . D. 1 . 2 1 a + b.e , tích ab bằng: ∫ ( 2 x + 1) e dx = x Câu 25. Biết rằng tích phân 0 B. −1 . A. 1 . 1 Câu 26. Biết = I x ∫ ( 2 x + 3) e d= C. −15 . D. 20 . ae + b , với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề x 0 đúng? 2. A. a − b = B. a 3 + b3 = 28 . a Câu 27. Tìm a sao cho I = x.e dx ∫= 0 https://toanmath.com/ x 2 C. ab = 3 . 4 , chọn đáp án đúng 1. D. a + 2b = A. 1 B. 0 C. 4 D. 2 1 Câu 28. Cho tích phân I =∫ ( x + 1) ( e x − 3) dx . Kết quả tích phân này dạng I = e − a . Đáp án nào sau 0 đây đúng? 9 A. a = 2 B. a = 9 4 C. a = 9 5 D. a = 8 3 1 15 1 1 2 2x = A ab ( a + b ) Câu 29. Tính tích phân I = e . Tính ∫0 ( a − x ) ( b + e ) dx =+ 12 4 4 Chọn đáp án đúng: A. 27 B. 30 C. 16 D. 45 1 e ∫ ( mx + 1) e dx = x Câu 30. Tìm m để ? 0 A. 0 B. -1 m Câu 31. Cho = I ∫ ( 2 x − 1) e 2x C. 1 2 D. 1 dx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I < m là khoảng ( a; b ) 0 . Tính P= a − 3b . A. P = −3 . B. P = −2 . C. P = −4 . D. P = −1 . x ( x + 1) e = Câu 32. Biết rằng tích phân ∫ dx ae 4 + b . Tính T= a 2 − b 2 2x +1 0 5 3 B. T = 2 . C. T = . D. T = . A. T = 1 . 2 2 12 1 c 1  x+ a d  Câu 33. Cho tích phân I= ∫ 1 + x −  .e x .dx= .e , trong đó a , b , c , d là các số nguyên dương x b 1  4 12 a c và các phân số , là các phân số tối giản. Tính bc − ad . b d 1 A. 24 . B. . C. 12 . 6 DẠNG 3. e a.e 2 + b Câu 34. Cho I = ∫ x ln xdx = với a , b , c ∈  . Tính T = a + b + c . c 1 A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 1 . D. 6 . 1 Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân ∫ ln ( 2 x + 1) dx được biểu diễn dạng a.ln 3 + b , khi đó giá trị 0 3 của tích ab bằng A. 3. B. 1 Câu 36. Cho ∫ ln ( x + 1) dx = a + ln b , 3 . 2 ( a, b ∈  ) 3 D. − . 2 C. 1. ( a + 3) . Tính b . 0 A. 25 . B. 2 Câu 37. Biết tích phân C. 16 . D. a ln 2 + b với a , b ∈ Z . Tổng 2a + b bằng ∫ ( 4 x − 1) ln xdx = 1 https://toanmath.com/ 1 . 7 1 . 9 A. 5. 3 Câu 38. Biết C. A (1; − 2;1) B. 8. 3 + ln x ∫ ( x + 1) 2 D. 13. a + ln b − ln c với a , b , c là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức 4 dx = 1 P = a + b + c bằng? A. 46 . B. 35 . D. 48 . C. 11 . 2 Câu 39. Giả sử ∫ ( 2 x − 1) ln xdx =a ln 2 + b, ( a; b ∈  ) . Khi đó a + b ? 1 A. 5 . 2 B. 2. I = Câu 40. Tính tích phân A. I = ∫ (x 2 2 1 2 ln 2 + 6 . 9 C. 1. D. − 1) ln x dx . B. I = 6 ln 2 + 2 . 9 C. I = 2 ln 2 − 6 . 9 3 . 2 D. I = 6 ln 2 − 2 . 9 a Câu 41. Tích phân I = ∫ x ln xdx có giá trị là: 1 a 2 ln a 1 − a 2 a ln a 1 − a 2 . B. . + = I − 2 4 2 4 a 2 ln a 1 − a 2 a 2 ln a 1 − a 2 = + − C. I .= D. I . 2 4 2 4 2 A. I = Câu 42. Kết quả tích phân ∫ ( 2 x + ln ( x + 1) )dx = 3ln 3 + b . Giá trị 3 + b là: 2 0 B. 4 A. 3 C. 5 2 Câu 43. Tính tích phân I = 7 ln a + b . Tính sin ∫ (4 x + 3).ln xdx = ( a + b)π 4 1 A. 1 B. -1 Câu 44. Cho tích phân = I 1 ∫ 3x 0 2 C. 0 D. 7 : D. 1 2 I b ln a − c với a,b,c là = − 2 x + ln(2 x + 1) dx . Xác định a biết các số hữu tỉ A. a=3 B. a=-3 3 Câu 45. Cho = I 3 + ln x ∫ ( x + 1) 2 C. a = 2 3 2 3 D. a = − . = 4a + 2b dx = a (ln 3 + 1) + ln b với a,b∈R. Tính giá trị biểu thức T 1 A. 4 B. 7 C. 5 D. 6  3 ln ( sin x ) = dx a ln Câu 46. Cho tích phân I ∫π3 = = A log 3 a + log 6 b  3  − bπ . Tính cos 2 x 6  4 Chọn đáp án đúng: A. − 3 B. 2 C. − 1 D. 1 e ln x Câu 47. Biết ∫ = dx a e + b với a, b ∈  . Tính P = a.b . x 1 A. P = 4 . B. P = −8 . C. P = −4 . D. P = 8 . π 2 Câu 48. Biết ∫ 2 x ln ( x + 1) dx = a.ln b , với a, b ∈ * , b là số nguyên tố. Tính 6a + 7b . 0 A. 33 . https://toanmath.com/ B. 25 . C. 42 . D. 39 . a 2 ln 2 − bc ln 3 + c 1   x = d Câu 49. Cho ∫ x ln ( x + 2 ) + với a , b , c ∈  . Tính T = a + b + c .  x + 2 4  0  A. T = 13 . B. T = 15 . C. T = 17 . D. T = 11 . 1 3 ( ) S a.b + c Câu 50. Biết ∫ ln x3 − 3 x + 2 dx= a ln 5 + b ln 2 + c , với a, b, c ∈  . Tính = 2 A. S = 60 . B. S = −23 . C. S = 12 . D. S = −2 . −7 Câu 51. Cho biết tích phân I =∫ ( x + 2 ) ln ( x + 1) dx =a ln 2 + trong đó a , b là các số nguyên b 0 dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. a = b . B. a < b . C. a > b . D. a= b + 3 . 2 x + ln x a 1 = I ∫ = dx ln 2 − 2 b c 1 ( x + 1) Câu 52. Cho với a , b , m là các số nguyên dương và là phân số tối giản. a+b S= c . Tính giá trị của biểu thức 2 1 1 5 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 3 6 2 1 Câu 53. Cho a > b > −1 . Tích phân = I b ∫ ln ( x + 1) dx bằng biểu thức nào sau đây? a ( x + 1) ln ( x + 1) a − a + b . b A. I = B. I = b 1 C. I = . ( x + 1) a b D. I= x ln ( x + 1) a + ∫ b a ( x + 1) ln ( x + 1) a − b + a . b x dx . x +1 e2 Câu 54. Biết 1  ae 2 + be+c  1 , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của d x − = ∫e  ln 2 x ln x  2 a 2 + b 2 + c 2 bằng A. 5 . 3 Câu 55. Biết ∫ x ln ( x 0 2 B. 3 . + 16 ) dx = a ln 5 + b ln 2 + C. 4 . D. 9 . c trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của 2 biểu thức T = a + b + c . A. T = 2 . B. T = −16 . C. T = −2 . D. T = 16 . 2 1  2018  Câu 56. Tính tích phân I ∫  2019 log 2 x + =  x dx . ln 2  1 B. I = 22019 . C. I = 22018 . D. I = 22020 . A. I = 22017 . 3 3 + ln x Câu 57. Biết I = ∫ dx =a (1 + ln 3) − b ln 2 , ( a, b ∈  ) . Khi đó a 2 + b 2 bằng 2 1 ( x + 1) 16 7 25 3 A. a 2 + b 2 =. B. a 2 + b 2 =. C. a 2 + b 2 = . D. a 2 + b 2 =. 16 9 16 4 2 ln x b b Câu 58. Biết ∫ 2= dx a ln 2 + (với a là số hữu tỉ, b , c là các số nguyên dương và là phân số x c c 1 tối giản). Tính giá trị của S = 2a + 3b + c . A. S = 4 . B. S = −6 . C. S = 6 . D. S = 5 .
Trang chủ
2 Câu 59. Biết rằng ∫ ln ( x + 1) dx = a ln 3 + b ln 2 + c với a , b , c là các số nguyên. Tính S = a + b + c A. S = 0 . 1 B. S = 1 . C. S = 2 . D. S = −2 . 5 Câu 60. Tính tích phân I = ∫ ( x + 1) ln ( x − 3) dx ? 4 B. 10 ln 2 + A. 10 ln 2 . 19 . 4 C. 19 − 10 ln 2 . 4 3 Câu 61. Biết rằng ∫ x ln x dx = m ln 3 + n ln 2 + p , trong đó m , n , D. 10 ln 2 − 19 . 4 p ∈  . Khi đó số m là 2 9 A. . 2 B. 18 . 4 ∫ x ln ( x Câu 62. Biết 2 C. 9 . 27 . 4 D. + 9 ) dx = a ln 5 + b ln 3 + c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu 0 thức T = a + b + c là A. T = 10 . Câu 63. Tích phân= I ∫ ln ( 0 A. I= 2 − 1 + ln ( C. I =− 2 + 1 + ln ) D. T = 11 . 1 + x 2 − x dx có giá trị là: ) B. I= 2 −1 . ( C. T = 8 . B. T = 9 . 1 ) 2 −1 . 2 − 1 − ln ( D. I =− 2 + 1 − ln ) 2 −1 . ( ) 2 −1 . 1  Câu 64. Cho tích phân I = ae 2 + b , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a − 3b là: ∫1  x + x  ln xdx = 13 13 13 13 A. . B. . C. − . D. − 2 4 4 2 π /4 ln(sin x + cos x) Câu 65. Tính tích phân ∫ dx , ta được kết quả cos 2 x 0 e A. − π 1 + ln 2. 4 2 B. π 3 − ln 2. 4 2 C. − π 3 + ln 2. 4 2 D. − π 3 − ln 2. 4 2 4 ln x + 1 = dx a ln 2 2 + b ln 2 , với a, b là các số hữu tỷ. Khi đó tổng 4a + b bằng. x 1 B. 5 C. 7 . D. 9 . A. 3 . 1000 2 ln x dx. Câu 67. Tính tích phân I = ∫ 2 1 ( x + 1) 2 Câu 66. Giả sử ∫ ln 21000 2 A. I = − + 1000 ln . 1000 1+ 2 1 + 21000 ln 21000 2 C. I = − 1000 ln . 1000 1+ 2 1 + 21000
Trang chủ
1000 ln 2 21001 B. I = − + ln . 1 + 21000 1 + 21000 1000 ln 2 21000 D. I = − ln . 1 + 21000 1 + 21000 HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: π Câu 1. = Tích phân I 2 ∫ x sin axdx, a ≠ 0 có giá trị là: π 3 A. I = π +6−3 3 . 6a B. I = π +3−3 3 . 6a Hướng dẫn giải π = Tích phân I C. I = π +6+3 3 . 6a D. I = π +3+3 3 . 6a 2 ∫ x sin axdx, a ≠ 0 có giá trị là: π 3 du = dx u = x  Đặt  . ⇒ 1 dv = sin axdx v = − cos x a  π π 2 2 2 3 3 3 π π 1  −1   −1  1  2 π +6−3 3 = ⇒ I  x cos x  + = cos xdx  x cos x  + = sin x  . ∫ 6a  a π aπ  a π a π 3 Chọn A π 4 Câu 2. Biết 1 π + ( a, b ∫ (1 + x ) cos 2 xdx = a b là các số nguyên khác 0 ). Tính giá trị ab . 0 A. ab = 32 . B. ab = 2 . C. ab = 4 . Hướng dẫn giải D. ab = 12 . Chọn A π π sin 2 x cos 2 x  4 1 π 1 π  ∫0 (1 + x ) cos 2 xdx = (1 + x ) 2 + 4  0 = 4 + 8 = a + b . 4 ⇒ a = 4; b = 8 ⇒ ab = 32 . π u = x 2 Tính tích phân I = ∫ x 2 cos 2 xdx bằng cách đặt  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? = d v cos 2 x d x  0 π π 1 2 1 2 π π A. I B. I = x sin 2 x 0 − ∫ x sin 2 xdx . x sin 2 x 0 − 2 ∫ x sin 2 xdx . = 2 2 0 0 Câu 3. π 1 2 C. I = x sin 2 x π0 + 2 ∫ x sin 2 xdx . 2 0 π 1 2 D. I = x sin 2 x π0 + ∫ x sin 2 xdx . 2 0 Hướng dẫn giải Chọn A du = 2 xdx u = x 2  . Ta có:  ⇒ 1 dv = cos 2 xdx v = sin 2 x  2 π π 1 2 2 π Khi đó: I = ∫= x sin 2 x 0 − ∫ x sin 2 xdx . x cos 2 xdx 2 0 0 Câu 4. I = Biết π π 2 2 π π 6 6 2 xdx aπ 3 + b ∫ sin 2 xdx , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của ∫ x cos =
Trang chủ
a là: b A. 1 . 12 I = Biết 1 . 24 B. π π 2 2 2 xdx ∫ x cos = π 1 . 12 Hướng dẫn giải C. − aπ 3 + b ∫ sin 2 xdx . Giá trị của π 6 D. − 1 . 24 a là: b 6 Ta có: Câu 5. 1  a= −  1 π 3 1 a 1  1  24 ⇒ = I= ∫π x cos 2 xdx = 2 x sin 2 x  π − 2 π∫ sin 2 xdx =− 24 − 2 π∫ sin 2 xdx ⇒  b 12 b = − 1 6 6 6 6  2 . Chọn A 1 1 (a sin 2 + b cos 2 + c) với a, b, c ∈  . Mệnh đề nào sau đây là đúng? Biết rằng ∫ x cos 2 xdx= 4 0 π π π π 2 2 2 2 A. 2a + b + c =−1 . 0. 0. B. a + 2b + c = C. a − b + c = Hướng dẫn giải 1. D. a + b + c = Chọn C du = dx u = x  Đặt  ⇒ sin 2 x . dv = cos 2 xdx v = 2  1 1 x sin 2 x 1 1 1 x |0 − ∫ sin 2 xd= x Khi đó ∫ x cos 2 xd= ( 2sin 2 + cos 2 − 1) . 2 20 4 0 0. Vậy a − b + c = Câu 6. ( x − 2) cos 3 x − + b sin 3 x + C . Tính M= a + 27b . Tính nguyên hàm I = ∫ ( x − 2) sin 3xdx = a Chọn đáp án đúng: A. 6 B. 14 C. 34 D. 22 Hướng dẫn giải Chọn A du = dx u= x − 2  Đặt  .ta được:  cos 3 x dv = sin 3 xdx v = − 3 Do đó: ( x − 2 ) cos 3x 1 ( x − 2 ) cos 3x 1 1 3; b = 6 I= − + ∫ cos 3 xdx = − + sin 3 x + c ⇒ a = ⇒m= 3 3 3 9 9 π 2 Câu 7. Biết m là số thực thỏa mãn ∫ x ( cos x + 2m ) dx= 2π 2 + 0 A. m ≤ 0 . π π π 2 2 2 0 0 0
Trang chủ
2 − 1 . Mệnh đề nào sau dưới đây đúng? B. 0 < m ≤ 3 . C. 3 < m ≤ 6 . Hướng dẫn giải Chọn D = ∫ x ( cos x + 2m ) dx π ∫ x.cos xdx + ∫ 2mxdx= I + J D. m > 6 . π 2 +) I = ∫ x.cos xdx 0 = u x= du dx ⇒ Đặt  xdx v sin x = = dv cos π π Khi đó I x.sin x = 2 0 2 π 2 0 0 sin xdx x.sin x − ∫= π π 2 +) J = ∫ 2mxdx = mx 2 π2 = 2 4 0 0 π + cos x 2= 0 π 2 −1 . m. π 2 ∫ x ( cos x + 2m ) dx= Suy ra π2 4 0 Theo giả thiết ta có π2 4 π Câu 8. Tính tích phân m+ π 2 m+ π 2 −1 − 1= 2π 2 + π 2 8. −1 ⇒ m = aπ + bπ . Tính tích ab: ∫ x ( x + sin x ) dx = 3 0 A. 3 B. 1 3 C. 6 D. Hướng dẫn giải 2 3 Chọn B π x3 π 2 2 sin cos I= x dx x xdx x dx xd x + = − = − ( x cos x ) + ∫ cos xdx ( ) ∫0 ∫0 ∫0 ∫0 0 0 3 0 π = π3 3 π + π + sin x π π 0 = π π 1 3 π +π 3 π Câu 9. Tích phân ∫ ( 3x + 2 ) cos 2 x dx bằng 0 A. 3 2 π −π . 4 B. 3 2 π +π . 4 1 2 π +π . 4 Hướng dẫn giải C. D. 1 2 π −π . 4 Chọn B π ∫ ( 3x + 2 ) cos Đặt = I 2 x dx . Ta có: 0  I= π π  1 1 1 3 x 2 d x = + + 3 x + 2 1 + cos 2 x d x ( ) ( 3x + 2 ) cos 2 x dx  = ( I1 + I 2 ) . ( )( ) ∫ ∫ ∫ 2 0 20 0  2 π π π 3 3   I1 = ∫ ( 3 x + 2 ) dx =  x 2 + 2 x  = π 2 + 2π . 2 0 2 0  I2 = π ∫ ( 3x + 2 ) cos 2 x dx . Dùng tích phân từng phần 0 du = 3dx u 3x + 2 =  ⇒ Đặt  . 1 dv = cos 2 x dx v = sin 2 x  2
Trang chủ
π π π 1 3 3 0 + ( cos 2 x ) = 0. Khi đó I 2 = ( 3x + 2 ) sin 2 x − ∫ sin 2 x dx = 2 20 4 0 0 13 2  3 2  π + 2π  = π + π . 22  4 Vậy I = π 2m ∫ x.cos mxdx = Câu 10. Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn 0 các khoảng dưới đây?  1  0;  7  A.  ; 2  . B.  4  . 4  π −2 2 T 4 T 4 T 4 . Hỏi số m thuộc khoảng nào trong  6 1;  C.  5  . 4T 5 8  ;  D.  6 7  . Hướng dẫn giải Chọn D  du = dx u = x  . Đặt  ⇒ 1 dv = cos mxdx v = sin mx m  π 2m ∫ Suy ra 0 π π 2m 1 x .cos mxdx sin mx − x= m m 0 2m ∫ 0 π π 2m 1 π −2 1 sin mxdx = + 2 .cos mx =  . 2 . 2 2m m  2  m 0 T 4 π −2 1 π −2 ⇔m= ±1 . Theo giả thiết ta có  . 2 = 2  2  m 5 8 m = 1∈  ;  6 7. Vì m là số hữu tỷ dương nên 4T 1 2 x 2 + x khi x ≥ 0 I = f ( x ) dx f ( x) =  ∫ .s n k i 0 hi x x x ≤  −π . Tích tích phân Câu 11. Cho hàm số 7 2 1 2 A. I= B. I= C. I =− + 3π . D. I= + 2π . +π . +π . 3 5 6 3 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: lim+ f= ( x ) lim− f= ( x ) f= ( 0 ) 0 nên hàm số liên tục tại x = 0 . Do đó hàm số liên tục x →0 trên đoạn [ −π ;1] . x →0 1 Ta có: I = 0 1 0 1 ∫π f ( x ) dx = ∫π f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫π x.sin xdx + ∫ ( 2 x − − − 0 0 0 • I1 = ∫ x.sin xdx −π u = x du = dx Đặt  ⇒ dv = sin xdx v = − cos x I1 = ( − x cos x ) −π + 0 0 π. ( − x cos x ) −π + sin x −π = ∫ cos xdx = 0 −π 1  2 x3 x 2  • I 2 ∫ ( 2 x + x= = ) dx  3 + 2  = 76 .  0 0 1 2
Trang chủ
0 2 I1 I 2 . + x ) dx =+ 7 Vậy I = I1 + I 2 = + π . 6 π Câu 12. ∫ x (1 + cos x ) dx . Kết quả là Tính 0 A. π 2 2 −2. B. π2 3 + 3. C. π2 3 Hướng dẫn giải −3. D. π2 2 +2. Chọn A = u x=  du d x Đặt  ⇒ (1 + cos x)dv v = x + sin x dv = π Khi đó: I = x ( x + sin x ) 0 π π  x2  π2  π2 − ∫ ( x + sin x ) dx =π −  − cos x  = π 2 −  + 1 + 1= −2  2  2  2 0 0 2 π 3 Câu 13. Tính tích phân x ∫ cos 0 2 x dx = aπ + b . Phần nguyên của tổng a + b là ? A. 0 B. -1 C. 1 Hướng dẫn giải D. -2 Chọn B Đối với bài toán này, chúng ta sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần. du dx =  u x=    Đặt  sin x dx ⇒  x = = dv cos 2 x = v tan cos x π Áp dụng công π thức tích phân từng π d ( cos x ) = ( x tan x ) 3 + ∫ ⇔ I= cos x 0 0 3 ( x tan x ) π phần ta= có: I π 3 + ln ( cos x ) 3 = 0 0 π 3 π 3 sin xdx x tan x − ( )3 ∫ cos x 0 0 − ln 2 1 ; b = − ln 2 . 3 1 Tổng a += b − ln 2 ≈ −0,1157969114 3 Lưu ý khái niệm phần nguyên của x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, vậy đáp án đúng là đáp án B. Nhận xét: Bài toán trên đòi hỏi khả năng biến đổi của thí sính và nhắc lại kiến thức về khái niệm phần nguyên, sẽ có thí sinh khi đi thi đã tìm ra kết quả phân tích nhưng lúng túng trong việc lựa chọn đáp án vì không nhớ rõ khái niệm phần nguyên. Suy ra a = x 4 π π2 2 khi đó tổng a + b bằng Câu 14. Cho I = ln b − ∫0 x tan xdx =− a 32 A. 4 B. 8 C. 10 Hướng dẫn giải Chọn D
Trang chủ
D. 6 π π  1  I ∫ x = − 1=  dx 2 cos x   0 4 π 4 4 1 . x dx − ∫0 cos2 x ∫0 xdx π π π 4 xdx ∫= π2 4 = 0 2 32 0 π 4 I1 = ∫ x. 0 1 dx . cos 2 x u = x du = dx  Đặt  dx ⇒  v = tan x dv = cos 2 x π π I1 = x tan x π 4 − ∫ tan xdx = + ln cos x 4 0 4 0 π 4 0 π = − ln 2 4 π π2 Vậy I =− ln 2 − 4 32 π 4 x dx có giá trị là: 1 cos x + 0 Câu 15. Tích phân I = ∫ π  − 2 ln  cos  . 4 8 8  π π π  = tan − 2 ln  cos  . C. I 4 4 8  = A. I π tan π π  + 2 ln  cos  . 4 8 8  π π π  = tan + 2 ln  cos  . D. I 4 4 8  Hướng dẫn giải = B. I π π tan π 4 x dx có giá trị là: 1 + cos x 0 Tích phân I = ∫ π π 4 x 1 4 x Ta= biến đổi: I ∫= dx I dx . 1 + cos x 2 ∫0 cos 2 x 0 2 = u x= du dx   Đặt  ⇒ x. 2 x dx v 2 tan = = dv cos 2 2  π π x   π   4 4 sin 4 x x  1π 1  π 2 dx  dx  = ⇒I =  tan − 2 ∫  2 x tan  − 2 ∫ tan  x  2  20 2 2 2 8 0 0 cos     2 . π cos π = tan + 4 2 8 Chọn B π ∫ 1 8 1 π π π  dt = tan + 2 ln  cos  t 4 8 8  π 4 Câu 16. Tích phân x ∫ 1 + cos 2 x d=x 0
Trang chủ
aπ + b ln 2 , với a , b là các số thực. Tính 16a − 8b A. 4. B. 5. C. 2. Hướng dẫn giải D. 3. Chọn A u = x  du = dx   Đặt  . Ta có ⇒ dx 1 dv = 1 + cos 2 x v = 2 tan x π π 1 1 π 1 1 π 1 π 1 1 π 1 I = x tan x 4 − ∫ 4 tan xdx = + ln cos x 4 = + ln = − ln 2 ⇒ a = , b = − 2 2 0 8 2 8 2 8 4 2 8 4 0 0 4. Do đó, 16a − 8b = π 4 Câu 17. Tích phân I = ∫ 0 2 x − sin x dx có giá trị là: 2 − 2 cos x A. I =  1 2π 3 + 4 ln 2 + ln 2  .  −π + 2 3  B. I =  1 2π 3 + 2 ln 2 − ln 2  .  −π + 2 3  C. I =  1 2π 3 + 4 ln 2 − ln 2  .  −π + 2 3  D. I =  1 2π 3 + 2 ln 2 + ln 2  .  −π + 2 3  Hướng dẫn giải π 2 Tích phân I = ∫ π 2 x − sin x dx có giá trị là: 2 − 2 cos x 3 π π 2 x − sin x dx Ta= biến đổi: I ∫ = π 2 − 2 cos x 4 3 π π 2 1 2 sin x x dx − ∫ dx . ∫ 2 π 1 − cos x π 1 − cos x 3 3 π x 12 x dx dx . = ∫ 2 π∫ sin 2 x π 1 − cos x 3 3 2 u = x du = dx   1 Đặt dv = x. dx ⇒  v = −2 cot 2 x   sin  2  2 π π   2  1  2π 3 x 2 x  1 ⇒ I1 = + 4 ln 2  .  −π +  −2 x.cot  π + 2 ∫ cot dx  =  2  2 2 2 3 π    3 3  Xét I1 = 2 π Xét I 2 = 1 2 sin x dx . 2 π∫ 1 − cos x 3 Đặt t =1 − cos x ⇒ dt =sin xdx . π 1   x = 3 ⇒ t = 2 Đổi cận  . x = π ⇒ t = 1  2
Trang chủ
1 1 2 1 2 1 1 1 1 ⇒= I2 = dt ln t = ln 2 . ( ) ∫ 21t 2 2 I = I1 − I 2 =  1 2π 3 + 4 ln 2 − ln 2  .  −π + 2 3  Chọn C π 2 Câu 18. Tích phân I = ∫ (x + 2 x ) cos x + x cos 2 x 3 cos x π dx có giá trị là: 6 5π 2π 2 π 3 + + − . 324 9 4 2 5π 4 2π 2 π 3 + − − C. I= . 324 9 4 2 5π 4 2π 2 π − + − 324 9 4 4 2 5π 2π π + + + D. I= 324 9 4 Hướng dẫn giải 4 A. I= π 2 Tích phân I = ∫ (x B. I= + 2 x ) cos x + x cos 2 x 3 cos x π 3 . 2 3 . 2 dx có giá trị là: 6 Ta có: π 2 ( x3 + 2 x ) cos x + x cos2 x π cos x I =∫ π π π 2 π 2 2 2 6 6 6 6 1  dx =∫ ( x3 + 2 x ) dx + ∫ x cos xdx = x 4 + x 2  + ∫ x cos xdx . 4 π π π π 6 π 2 Xét I1 = ∫ x cos xdx . π 6 = u x= du dx Đặt  . ⇒ = = xdx v sin x dv cos π π 2 π 6 π 4 ⇒ I1 = ( x sin x ) π2 − ∫ sin xdx = − 3 . 2 6 π 5π 4 2π 2 π 3 1 2 ⇒ I=  x 4 + x 2  + I= + + − . 1 324 9 4 2 4 π 6 Chọn A π a 2  x  Câu 19. Cho 0 < x < và ∫ x tan xdx =m Tính I = ∫   dx theo a và m. 2 cos x  0 0 = A. I a tan a − 2m . a B. I = C. I a 2 tan a − 2m . = D. I a 2 tan a − m . −a 2 tan a + m . = Hướng dẫn giải Chọn C u = x 2 du = 2 xdx  Đặt  ⇒ 1 dx v = tan x  dv = cos 2 x  https://toanmath.com/ 2 a  x  I= x 2 tan x − ∫ 2 x tan xdx = a 2 tan a − 2m. ∫0  cos x  dx = 0 0 a a π ∫ ( x + sin x ) cos xdx . Kết quả là 2 Câu 20. 2 Tính 0 π A. 2 + 2 . 3 B. π 2 − 2 . 3 C. π − 3 Hướng dẫn giải 2 . 3 D. π 2 − 2 . 3 Chọn D π 2 ∫ ( x + sin Ta có:= I 2 x) cos xdx 0 π = 2 ∫ ( x cos x + sin 2 x cos x)dx 0 π π 2 2 0 0 2 I1 + I2 = ∫ x cos xdx + ∫ sin x cos xdx = u = x Tính I1 : Đặt  ⇒ dv = cos xdx  du = dx .  v = sin x π 2 Nên I1 = ∫ x cos xdx 0 π π π 2 π π = + cos x |02 = −1 ( x sin x ) |02 − ∫ sin xdx = 2 2 0 Tính I 2 : Đặt u = sin x. Ta có du = cos xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0; x = π 2 ⇒ u = 1. π I2 ⇒= 2 2 ∫ sin x cos xd=x 0 Câu 21. Cho tích phân= I ∫ Chọn đáp án đúng: A. 7 π2 0 1 2 = ∫ u du 0 1 31 1 π 2 u = . Vậy I = I1 + I 2 = − . 3 0 3 2 3 x .sin xdx = aπ 2 + b . Tính A= a − b B. 10 C. 6 Hướng dẫn giải Chọn B * Đặt u =t 2 ⇒ du =2tdt ; dv =sin tdt chọn v = − cos t π   π 2  −t 2 cos t + 2 ∫ t cos tdt  Vậy I = 0 0   Đặt u =⇒ t du = dt dv = cos tdt chọn v = sin t π π π π I1 = t sin tdt = t sint − sin tdt = cost = −2 ∫0 0 ∫0 0   π * Do đó: I =2  −t 2 cos t − 4  =2π 2 − 8 ⇒ a =2; b =−8 ⇒ A =10 0   https://toanmath.com/ D. 2 Câu 22. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu = In 1 ∫ x (1 − x ) 2 n 2 I n +1 . n →+∞ I n D. 5 . dx . Tính lim 0 A. 1 . C. 3 . Hướng dẫn giải B. 2 . Chọn A Cách 1. Tự luận: 1 ∫ x (1 − x ) Xét In = 2 n 2 0 I= n − x (1 − x 2 ) n +1 1 1 + n +1 du = dx u = x  n +1 ⇒ dx . Đặt  − (1 − x 2 ) . n  2 v x (1 − x ) dx v = d= 2 ( n + 1)  1 n +1 n +1 1 1 x 1 − x 2 ) d= 1 − x 2 ) dx ( ( ∫ ∫ 2 ( n + 1) 0 2 ( n + 1) 0 0 1 = ⇒ I n +1 = ⇒ I n +1 n +1 1 1 − x 2 )(1 − x 2 ) dx ( ∫ 2 ( n + 2) 0 1 1  n +1 1 2 n +1 1 − x d x − x 2 (1 − x 2 ) dx  ( ) ∫ ∫ 2 ( n + 2)  0 0  I I 2n + 1 1 ⇒ lim n +1= 1 .  2 ( n + 1) I n − I n +1  ⇒ n +1= 2n + 5 n→+∞ I n In 2 ( n + 2) Cách 2. Trắc nghiệm: Ta thấy 0 ≤ (1 − x 2 ) ≤ 1 với mọi x ∈ [ 0;1] , nên = ⇒ I n +1 1 I n +1 = 2 2 ∫ x (1 − x ) 0 suy ra n +1 1 1 2 2 2 2 dx = x 2 ) dx I n , ∫ x (1 − x ) (1 − x ) dx ≤ ∫ x (1 −= 0 n n 0 I I n +1 ≤ 1 , nên lim n +1 ≤ 1 . Dựa vào các đáp án, ta chọnA. In In https://toanmath.com/ DẠNG 2: a x 1 ( a ∈  ) . Tìm a ? ∫ xe d= Câu 23. Cho x 0 B. 1 . A. 0 . D. e . C. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B a ∫ xe dx = 1 ⇔ ( x − 1) e x x a 0 = ( a − 1) e a + 1 = 1 ⇔ a = 1 . 0 1 Câu 24. Cho= I ∫ xe 2x dx ae 2 + b ( a, b là các số hữu tỷ). Khi đó tổng a + b là = 0 A. 0 . B. 1 . 4 C. 1 . D. Hướng dẫn giải 1 . 2 Chọn D du = dx  .  1 v = e2 x   2 1 1 1 2x 1 1 2x 1 2 1 2x 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2x Vậy I= ∫ xe dx= xe − ∫ e dx= e − e = e − e + = e + . 0 20 0 2 2 2 4 4 4 4 4 0 u = x Đặt  ta có 2x  d v = e dx 1  a = 4 1 ⇒ a + b =. Suy ra  2 b = 1  4 1 a + b.e , tích ab bằng: ∫ ( 2 x + 1) e dx = x Câu 25. Biết rằng tích phân 0 B. −1 . A. 1 . C. −15 . Hướng dẫn giải D. 20 . Chọn A 2 x + 1 du = 2dx u = ⇒ Đặt  .  x dx v e x = dv e= 1 1 x x x x e 1. ∫ ( 2 x + 1) e dx =( 2 x + 1) e 0 − 2∫ e dx =( 2 x − 1) e 0 =+ Vậy 1 0 1 0 Suy ra a = 1; b =⇒ 1 ab = 1. 1 Câu 26. Biết = I x ∫ ( 2 x + 3) e d= ae + b , với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề x 0 đúng? 2. A. a − b = B. a 3 + b3 = C. ab = 3 . 28 . Hướng dẫn giải 1. D. a + 2b = Chọn D 1 = I 1 dx ∫ ( 2 x + 3 ) d ( e ) = ( 2 x + 3) e ∫ ( 2 x + 3) e= x x x 1 0 0 0 1. Vậy a = 3, b = −1 nên a + 2b = a Câu 27. Tìm a sao cho I = 0 https://toanmath.com/ x x.e 2 dx 4 , chọn đáp án đúng ∫= 1 − 2 ∫ e x dx = 5e − 3 − 2e + 2= 3e − 1 . 0 A. 1 B. 0 C. 4 Hướng dẫn giải D. 2 Chọn D = x u x= du dx 2 Ta có: I = ∫ x.e dx . Đặt  ⇒ x x 2 0 dv e= dx v 2.e 2 = a ⇒ I= 2 x.e x a 2 0 a x 2 x a 2 a 2 a 2 − 2 ∫ e dx= 2ae − 4.e = 2 ( a − 2 ) e + 4 0 0 a 2 Theo đề ra ta có: I = 4 ⇔ 2 ( a − 2 ) e + 4 = 4 ⇔ a = 2 1 Câu 28. Cho tích phân I =∫ ( x + 1) ( e x − 3) dx . Kết quả tích phân này dạng I = e − a . Đáp án nào sau 0 đây đúng? 9 A. a = 2 B. a = 9 4 C. a = Hướng dẫn giải Chọn A du = dx u= x + 1 ⇒   x x x dv =( e − 3) dx v =∫ ( e − 3) dx =( e − 3 x ) ⇒I= 9 5 D. a = ( x + 1) ( e x − 3x ) 0 − ∫0 ( e x − 3x ) dx 1 1 1 3 9 = e ( x + 1) ( e − 3x ) 0 −  e x − x 2  =− 2 0 2  x 1 1 15 1 1 2 2x = A ab ( a + b ) Câu 29. Tính tích phân I = e . Tính ∫0 ( a − x ) ( b + e ) dx =+ 12 4 4 Chọn đáp án đúng: A. 27 B. 30 C. 16 D. 45 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt du = −dx u= a − x  ⇒  1 2x v bx + e 2 x dv= ( b + e ) dx = 2 b 1 1 1 1 1 1 1    I = ( a − x )  bx + e 2 x  10 =  ab − b − a + −  +  ( a − 1) +  e 2 = + e 2 2  2 2 4 2 4 4 4   1 b 1 1  ab − b − a + − =  2 2 4 4 a = 1 45 ⇒ ⇒ A=  1 1 1 2 b =   ( a − 1) + =  2 4 4 1 e ∫ ( mx + 1) e dx = x Câu 30. Tìm m để 0 A. 0 Chọn D https://toanmath.com/ ? B. -1 1 2 Hướng dẫn giải C. D. 1 8 3 Ta có 1 1 ∫ ( mx + 1) e dx =∫ ( mx + 1) dx(e ) =( mx + 1) e x x 0 0 x 1 0 1 − m ∫ e d ( mx + 1) =( mx + 1) e x x 1 0 0 1 − m ∫ e x dx 0 = ( mx + 1) e  −  me  = ( m + 1) e − 1 − me + m = e + m − 1 0 0 x 1 x 1 m Câu 31. Cho I = ∫ ( 2 x − 1) e 2x dx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I < m là khoảng ( a; b ) 0 . Tính P= a − 3b . A. P = −3 . B. P = −2 . D. P = −1 . C. P = −4 . Hướng dẫn giải Chọn A m = I ∫ ( 2 x − 1) e 2x dx 0 du = 2dx u 2x −1 =  Đặt  ⇒ e2 x . 2x = v x d e d  v =  2 m ( 2 x − 1) e2 x m − m e2 x dx= 2x − = I= x x 2 1 e d ( ) ∫0 0 ∫0 2 I < m ⇔ me 2m −e 2m + 1 < m ⇔ ( m − 1) ( e 2m ( 2m − 1) e2 m + 1 − 1 e2 x 2 2 2 m = me m − e 2 m + 1 0 − 1) < 0 ⇔ 0 < m < 1 . Suy ra a =0, b =⇒ 1 a − 3b =−3 . 4 Câu 32. Biết rằng tích phân ∫ ( x + 1) e x = dx 2x +1 0 A. T = 1 . ae 4 + b . Tính T= a 2 − b 2 C. T = B. T = 2 . Hướng dẫn giải 3 . 2 D. T = 5 . 2 Chọn B 4 4 4  x +1 x 1 2x + 2 x 1 ex x = e dx e dx 2 1. x e dx dx  . = + + ∫ ∫0 2 x + 1 ∫ ∫ 2 0 2x +1 20 2x +1  0 4 x e Xét I1 = ∫ dx . x + 2 1 0 4 Ta có I = du = e x dx u = e x  1   + x 2 1 )2 dx 1 ( Đặt  dx ⇒= v = = . dv =   ∫ 2x +1 2 1 2x +1    2 4 2x +1 4 Do đó = I1 e . 2 x + 1 − ∫ e x . 2 x + 1dx . x 0 0 3e − 1 9 1 3 −1 . Khi đó= ⇒T = − = 2. ,b a = 2 4 4 2 2 12 1 c 1  x+ a d  Câu 33. Cho tích phân I= ∫ 1 + x −  .e x .dx= .e , trong đó a , b , c , d là các số nguyên dương x b 1  Suy ra I = 4 12 a c và các phân số , là các phân số tối giản. Tính bc − ad . b d https://toanmath.com/ A. 24 . B. 1 . 6 C. 12 . D. 1 . Hướng dẫn giải Chọn A 1  x + 1x  - Ta có: I= ∫ 1 + x −  .e .d= x x 1  12 12 12 - Tính J = ∫ e 1 x+ x 12 ∫e x+ 1 12 1 x 1  x + 1x  .dx + ∫  x −  e .dx= J + K x 1  12 12 .dx . 1 12 1  1  x + 1x  x+  x du= 1 − 2  e .dx Đặt u = e ⇒  x  v = x dv = dx   x+ 1  = ⇒ J  x.e x    ⇒I = J +K = 12 1 12 145 12 1 145 143 145 1  x+ 1  12 .e 12 − K −K − ∫  x −  .e x .dx =12.e 12 − .e= 12 12 x  1  12 145 12 143 .e 12 . a dc a c - Theo giả thiết: I = .e với a , b , c , d là các số nguyên dương và , là các phân số b b d c 145 a 143 ⇒a= 143 , b = 12 , c = 145 , d = 12 . tối giản nên = và = d 12 b 12 24 . Vậy bc − ad = DẠNG 3. e a.e 2 + b Câu 34. Cho I = ∫ x ln xdx = với a , b , c ∈  . Tính T = a + b + c . c 1 A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn D 1  d u = dx  u = ln x x Ta có:  nên  . 2 dv = xdx v = x  2 a = 1 e e e x2 1 e2 + 1  I = ∫ x= ln xdx 1. . ⇒ b = ln x − ∫ xdx = 2 21 4 1 c = 4 1  Vậy T = a + b + c = 6 . 1 Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân ∫ ln ( 2 x + 1) dx được biểu diễn dạng a.ln 3 + b , khi đó giá trị 0 3 của tích ab bằng A. 3. B. Hướng dẫn giải Chọn D. https://toanmath.com/ 3 . 2 C. 1. 3 D. − . 2 2  = dx u ln ( 2 x + 1) du = Đặt  ⇒ 2x +1 . dv = dx v = x 1 2x 1   dx = ln 3 − ∫ 1 −  dx 2x +1 2x +1  0 0 1 1 Ta có I = ∫ ln ( 2 x + 1) dx = x ln ( 2 x + 1) 0 − ∫ 1 0 1 1 3   = ln 3 −  x − ln 2 x + 1  = ln 3 − 1 . 2  0 2 3 3 Khi đó a = ; b = −1 . Vậy ab3 = − . 2 2 b 1 a, b ∈  ) a + 3) ( ( . Tính . Câu 36. Cho ∫ ln ( x + 1) dx = a + ln b , 0 A. 25 . B. 1 . 7 C. 16 . D. Hướng dẫn giải: 1 . 9 Chọn C . 1  = dx u ln ( x + 1) du = Đặt  ⇒ x +1 . dv = dx v= x + 1 1 = I 1 1 dx ( x + 1) ln ( x + 1) − ∫ ( x + 1) . dx = ∫ ln ( x + 1)= x +1 1 0 0 2 ln 2 − = x 0 2 ln 2 = − 1 −1 + ln 4 . 1 0 16 ⇒a= −1, b = 4 ⇒ ( a + 3) =. b 2 Câu 37. Biết tích phân a ln 2 + b với a , b ∈ Z . Tổng 2a + b bằng ∫ ( 4 x − 1) ln xdx = 1 A. 5. C. A (1; − 2;1) B. 8. D. 13. Hướng dẫn giải Chọn C 1  u = ln x ⇒ du = dx Đặt  x . = dv ( 4 x − 1) dx. 2 Ta có 2 x ( 2 x − 1) ln x 1 − ∫ ( 2 x − 1) dx= 6 ln 2 − ( x 2 − x ) = 6 ln 2 − 2 . ∫ ( 4 x − 1) ln xdx= 2 1 2 1 1 10 . Vậy 2a + b = 3 3 + ln x a + ln b − ln c Câu 38. Biết ∫ với a , b , c là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức dx = 2 4 1 ( x + 1) P = a + b + c bằng? A. 46 . B. 35 . D. 48 . C. 11 . Hướng dẫn giải Chọn A 3 + ln x 1  1  − ∫ ( 3 + ln x ) d  − +∫ d ( 3 + ln x ) = ∫1 ( x + 1)2 dx = x +1 1 1 x +1  x +1  1 3 Ta có 3 + ln x 3 3 3 + ln 3 3 1 1 3 − ln 3 1  3 − ln 3 x 1 + +∫ .= dx + ∫ − dx + ln = 4 2 1 x +1 x 4 x x +1 4 x +1 1 3 = − 3 https://toanmath.com/ 3 3 1 3 − ln 3 3 1 3 − ln 3 3 − ln 3 2 + ln − ln = + ln 3 − ln 4 + ln= + ln 3 − ln 2 4 4 2 4 4 a = 3 3 + 3ln 3 − 4 ln 2 3 + ln 27 − ln16  = = ⇒ b = 27 ⇒ P = 46 . 4 4 c = 16  = 2 ∫ ( 2 x − 1) ln xdx =a ln 2 + b, ( a; b ∈  ) . Khi đó a + b ? Câu 39. Giả sử 1 5 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D B. 2. A. C. 1. D. 3 . 2 1  u = ln x du = dx Đặt  ⇒ x . dv ( 2 x − 1) dx  = 2 v x −x = 2 Ta có ∫ ( 2 x − 1) ln xdx = ( x 1 2 2 − x ) ln x − ∫ ( x − 1) dx 2 1 1 2  x2  1 = 2 ln 2 −  − x  = 2 ln 2 − . 2  2 1 1 3 Khi đó a = 2; b = − . Vậy a + b = . 2 2 ∫ (x 2 = I Câu 40. Tính tích phân A. I = 2 1 2 ln 2 + 6 . 9 Chọn B Cách = 1: I ∫ (x 2 − 1) ln x dx . B. I = 6 ln 2 + 2 . 9 C. I = Hướng dẫn giải 2 1 2 ln 2 − 6 . 9 D. I = 6 ln 2 − 2 . 9 − 1) ln x dx dx  du = u ln x =    x Đặt  ⇒ 2 3 v ( x − 1) dx  x d=  v = −x  3  2 2 2 2  x3   x2   x3   x3  6 ln 2 + 2 − − − = − + x x x x x ln 1 d ln . Do đó I =        − x = ∫ 3 3 9 9  3        1 1 1 1 Cách 2: 2 2  x3   x3   x3  − = − = − − − x x x x x x x x 1 ln d ln d ln ( )      ∫1 ∫1  3   3  ∫1  3  d ( ln x ) 1 2 2 2 2 2  x2   2 2  x3 2 + 6 ln 2 = ln 2 − ∫  − 1 dx = −  − x  = . 3 3 3 9 9  1 1 a Câu 41. Tích phân I = ∫ x ln xdx có giá trị là: 1 https://toanmath.com/ a 2 ln a 1 − a 2 a 2 ln a 1 − a 2 . = B. I . + − 2 4 2 4 a 2 ln a 1 − a 2 a 2 ln a 1 − a 2 = + − C. I .= D. I . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải A. I = a Tích phân I = ∫ x ln xdx có giá trị là: 1 1  du = dx  u = ln x  x Đặt  . ⇒ 2 dv = xdx v = x  2 a a a a a 2 ln a 1 − a 2  x2   x2   x2  x . = ⇒ I  .ln x  = − ∫ dx  .ln x  −= +   2 4  2 1 1 2  2 1  4 1 Chọn C Câu 42. Kết quả tích phân ∫ ( 2 x + ln ( x + 1) )dx = 3ln 3 + b . Giá trị 3 + b là: 2 0 B. 4 A. 3 C. 5 Hướng dẫn giải D. 7 Chọn C I= A B ∫ ( 2 x + ln ( x + 1) ) dx =+ 2 0 Tính= A Tính = B 2 2 2 0 2 0 = x= 4 ∫ 2 xdx ∫ ( ln ( x + 1) )dx 0 dx  = u ln ( x + 1) du = Xem:  ta chọn được  x +1 dv = dx v= x + 1 Dùng công thức tích phân từng phần 2 2 x +1 2 2 B= ∫ ( ln ( x + 1) ) dx= ( x + 1) .ln ( x + 1) 0 − ∫ dx= 3ln 3 − x 0 = 3ln 3 − 2 0 0 x +1 Vậy: I = ∫ ( 2 x + ln ( x + 1) )dx = 3ln 3 + 2 2 0 2 Câu 43. Tính tích phân I = 7 ln a + b . Tính sin ∫ (4 x + 3).ln xdx = 1 A. 1 B. -1 C. 0 Hướng dẫn giải ( a + b)π 4 : D. 1 2 Chọn B 1  u = ln x du = dx Đặt  . Khi đó ⇒ x dv ( 4 x + 3) dx  = 2 = v 2 x + 3 x 2 2 2 2 x 2 + 3x 2 2 2 I ( 2 x + 3 x ) ln x − ∫ dx ( 2.2 + 3.2 ) ln 2 − ( 2.1 + 3.1) ln 1− ∫ ( 2 x + 3) dx = = 1 1 x 1 2 = 14 ln 2 − 0 − ( x 2 + 3 x ) = 14 ln 2 − 0 − ( 22 + 3.2 ) − (12 + 3.1)  = 14 ln 2 − (10 − 4 ) = 14 ln 2 − 6 1 https://toanmath.com/ 1 ∫ 3x Câu 44. Cho tích phân = I 0 2 = I b ln a − c với a,b,c là − 2 x + ln(2 x + 1) dx . Xác định a biết các số hữu tỉ A. a=3 C. a = B. a=-3 Hướng dẫn giải 2 3 2 3 D. a = − . Chọn A 1 I = ∫ 3 x 2 − 2 x + ln(2 x + 1) dx = 0 1 1 0 0 2 ∫ 3x − 2 x  dx + ∫ ln(2 x + 1) dx = I1 + I 2 u ln(2 x + 1) = dv = dx Giải I 2 bằng phương pháp từng phần  3 ln 3 − 1 ⇒= a 3 2 = I 3 Câu 45. Cho = I 3 + ln x ∫ ( x + 1) 2 = 4a + 2b dx = a (ln 3 + 1) + ln b với a,b∈R. Tính giá trị biểu thức T 1 A. 4 B. 7 C. 5 Hướng dẫn giải D. 6 Chọn A Ở bài toán này máy tính dường như không giúp được nhiều trong việc giải quyết bài toán, đây là bài toán sử dụng phương pháp tích phân thành phần ở mức độ vận dung. Đặt dx  u= 3 + ln x u=    x dx ⇔   = v −1 x  = v += 1 ( x + 1) 2   x +1 x +1 b b Áp dụng công thức tính tích phân thành phần ∫ udv = uv a − ∫ vdu thì ta được b a = I a dx (3 + ln x) x (3 + ln x) x 3 − ∫= − ln( x + 1) 1 x +1 1 1 x +1 x +1 1 3 3 3  3 ( 3 + ln 3) 3  I  = −  − ( ln 4 − ln 2 ) 4 2  3 3 1 = (ln 3 + 1) − ln= 2 (ln 3 + 1) + ln   4 4 2 3 1 Vậy a = ; b = ⇒ T = 4a + 2b = 3 + 1 = 4 4 2 v Nhận xét: Điểm mấu chốt để xử lí nhanh bài toán nằm ở việc đặt = I thí sinh chọn đáp án B vì khi làm đến= −1 x += 1 . Một số x +1 x +1 3 (ln 3 + 1) − ln 2 không để ý dấu nên suy ra luôn 4 3 = ; b 2 dẫn đến kết quả sai. 4 π  3 ln ( sin x ) = dx a ln  3  − bπ . Tính Câu 46. Cho tích phân I ∫π3 = = A log 3 a + log 6 b 2 cos x 4 6   = a https://toanmath.com/ Chọn đáp án đúng: A. − 3 C. − 1 Hướng dẫn giải B. 2 D. 1 Chọn C = u ln ( sin x ) ⇒= du Đặt dv = cosx dx sin x dx chọn v = tan x cos 2 x π π 3 ln ( sin x ) 3   tan .ln sin dx x x x = − ( ) ∫ 2   π ∫ dx π cos x π 6 π 3 Vậy I = 6 6 e ln x dx a e + b với a, b ∈  . Tính P = a.b . = x 1 A. P = 4 . B. P = −8 . C. P = −4 . Hướng dẫn giải Chọn B dx  u = ln x  du = x Đặt  dx →   dv = x dv = 2 x   Câu 47. Biết ∫ D. P = 8 . e e e a = −2 ln x dx . dx 2 x ln x − 2 ∫= 2 x ln x − 4 = x −2 e + 4 ⇒  ∫1 x= 1 1 1 = b 4 x  1 Vậy P = ab = −8 . e e Suy ra 2 Câu 48. Biết ∫ 2 x ln ( x + 1) dx = a.ln b , với a, b ∈ * , b là số nguyên tố. Tính 6a + 7b . 0 A. 33 . B. 25 . C. 42 . Hướng dẫn giải D. 39 . Chọn D 1  = u ln ( x + 1) dx du = Xét I ∫ 2 x ln ( x + 1) dx = 6 . Đặt  = ⇔ x +1 .  dv = 2 xdx 0 = v x2 −1 2 2 2  x2  x2 −1 Ta có I = ( x − 1) ln ( x + 1) − ∫ dx = 3ln 3 − ∫ ( x − 1) dx = 3ln 3 −  − x  = 3ln 3 . 0 x +1  2 0 0 0 39 . Vậy a = 3 , b = 3 ⇒ 6a + 7b = 1 1  a 2 ln 2 − bc ln 3 + c  d x = Câu 49. Cho ∫ x ln ( x + 2 ) + với a , b , c ∈  . Tính T = a + b + c .  x 2 4 +  0  2 A. T = 13 . 2 2 B. T = 15 . C. T = 17 . Hướng dẫn giải Chọn A 1  du = = u ln ( x + 2 )  x+2 ⇒ Đặt  . 2 dv = xdx v = x − 4  2 1 1 1 1  x2 − 4 x−2 x  x ln x + 2 + d x = ln x + 2 − d x + dx ( ) ( ) ∫0  ∫ ∫  x + 2 + 2 2 x 2 0 0 0 1 https://toanmath.com/ D. T = 11 . 1 1  3 −3 −3 1  x2 ln 3 + 2 ln 2 + + 1 − 2 ( ln 3 − ln 2 ) = ln 3 + 2 ln 2 −  − 2 x  + ( x − 2 ln ( x + 2 ) ) = 0 2 4 2 2 2 0 −14 ln 3 + 16 ln 2 + 7 . Suy ra: = 4 a = 4  b = 2 . c = 7  Vậy T = a + b + c = 13 . 3 ( ) S a.b + c Câu 50. Biết ∫ ln x3 − 3 x + 2 dx= a ln 5 + b ln 2 + c , với a, b, c ∈  . Tính = 2 A. S = 60 . B. S = −23 . C. S = 12 . Hướng dẫn giải D. S = −2 . Chọn B 3 ( ) ( dx x.ln x3 − 3 x + 2 Ta có ∫ ln x3 − 3 x + 2 = 2 3 = 3ln 20 − 4 ln 2 − ∫ x ( 3 x 2 − 3) 3 ) − ∫ xd ln ( x 3 2 3 − 3x + 2 ) 2 dx ( x − 1) ( x + 2 ) 3 3 3 x ( x + 1) 3 ( x − 1)( x + 2 ) + 6 = 3ln 20 − 4 ln 2 − ∫ dx = 3ln 5 + 2 ln 2 − ∫ dx x − 1)( x + 2 ) ( x − 1)( x + 2 ) 2 ( 2 2 2 3 3 3 1   1 = 3ln 5 + 2 ln 2 − ( 3 x ) 2 − 2∫  −  dx = 3ln 5 + 2 ln 2 − 3 − 2 ln x − 1 2 + 2 ln x + 2 2 x −1 x + 2  2 = 5ln 5 − 4 ln 2 − 3 . Suy ra a = 5; b = −4; c = −3 . Do đó S =ab + c =−23 . 1 −7 Câu 51. Cho biết tích phân I =∫ ( x + 2 ) ln ( x + 1) dx =a ln 2 + trong đó a , b là các số nguyên b 0 dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: B. a < b . C. a > b . D. a= b + 3 . A. a = b . Hướng dẫn giải Chọn A 1  du = x + 1 dx = u ln ( x + 1) ⇒ Đặt  . x2 v ( x + 2 ) dx  d= = v + 2x  2 3 1 1 1  x 2   1 x2 + 4 x 5 1  3  I =  + 2 x  ln ( x + 1)  − ∫ d= x ln 2 − ∫  x + 3 −  dx 2 0 x +1 2 2 0 x +1    2  0 1  −7 5 1  x2 = ln 2 −  + 3 x − 3ln ( x + 1= ) 4 ln 2 + . 4 2 2 2 0 Suy ra a = 4 , b = 4 . Vậy a = b . 2 x + ln x a 1 = I ∫ = dx ln 2 − 2 b c 1 ( x + 1) Câu 52. Cho với a , b , m là các số nguyên dương và là phân số tối giản. a+b S= c . Tính giá trị của biểu thức T 7 1
Trang chủ
A. S = T 7 1 T 7 1 2 . 3 B. S = 17T 17T 5 . 6 1 . 2 C. S = T 7 1 T 7 1 Hướng dẫn giải 1 D. S = . 3 T 7 1 T 7 1 Chọn B T 7 1 2 I =∫ 1 Tính x + ln x ( x + 1) dx 2 . T 7 1 1 + x dx = du u  x + ln x =  x  ⇒  1 dx = dv − 1 = v  ( x + 1)2  x + 1 Đặt  . T 7 1 2 x + ln x 1 1+ x 1 1 1 1 = − + + I= x x x x d ln . d ( ) = − 2 + ln 2 + + dx ( ) ∫1 ( x + 1)2 ∫ ∫ x +1 x x +1 1 3 2 x 1 1 Khi đó 2 1 1 2 1 = − ( 2 + ln 2 ) + + ln x 1 = ln 2 − 3 2 3 6 a+b 5 S ⇒= = a 2;= b 3;= c 6 c 6. Vậy= 2 2 2 T 7 1 T 7 1 Câu 53. Cho a > b > −1 . Tích phân = I b ∫ ln ( x + 1) dx bằng biểu thức nào sau đây? a ( x + 1) ln ( x + 1) a − a + b . b A. I = B. I = b 1 C. I = . ( x + 1) a b D. I= x ln ( x + 1) a + ∫ b a ( x + 1) ln ( x + 1) a − b + a . b x dx . x +1 Hướng dẫn giải Chọn B 1  = dx u ln ( x + 1) du = Đặt  ⇒ x +1 dv = dx v= x + 1 Do = đó I b a a = b ∫ ln ( x + 1) dx =( x + 1) ln ( x + 1) − ∫ dx =( x + 1) ln ( x + 1) b b a −xa b a ( x + 1) ln ( x + 1) a − b + a b e2 Câu 54. Biết 1  ae 2 + be+c  1 , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của − d x = ∫e  ln 2 x ln x  2 a 2 + b 2 + c 2 bằng A. 5 . B. 3 . C. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A e2 Xét tích phân: 1 ∫ ln x dx . e Đặt= u 1 1 ⇒ ; du = − dx . dv = dx chọn v = x . ln x x ln 2 x e2 e2 e2 2 e 1 x 1 1  −e 2 + 2e  1 Khi đó ∫ = . dx + ∫ 2 dx ⇔ ∫  2 − d x =  ln x ln x e e ln x ln x ln x  2 e e 
Trang chủ
D. 9 . a = −1  Do đó b = 2 . c = 0  2 Vậy a + b 2 + c 2 = 5 3 Câu 55. Biết ∫ x ln ( x 2 + 16 ) dx = a ln 5 + b ln 2 + 0 biểu thức T = a + b + c . A. T = 2 . B. T = −16 . c trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của 2 C. T = −2 . Hướng dẫn giải D. T = 16 . Chọn B 2x  u = d dx 2  = u ln ( x + 16 )  x + 16 Đặt  . ⇒ 2 x + 16 dv = xdx v =  2 3 3 2 3 3 x + 16 x 2 + 16 x2 2 2 2 Ta có: ∫ x ln ( x + 16 = x x d ln 16 x + − ) dx 2 ln ( x + 16 ) 0 −= ( ) ∫0 2 2 0 0 2 3 0 25 9 9 −16 . ln 25 − 8ln16 −= 25ln 5 − 32 ln 2 − . Do đó a = 25, b = −32, c = −9 ⇒ T = 2 2 2 2 1  2018  Câu 56. Tính tích phân I ∫  2019 log 2 x + =  x dx . ln 2  1 A. I = 22017 . B. I = 22019 . C. I = 22018 . D. I = 22020 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 2 1 1  2018 1  2018 2018 I2 . dx 2019 I1 + = I ∫  2019 log = x= 2 x+  x dx 2019 ∫ x log 2 xdx + ∫ ln 2 ln 2  ln 2 1 1 1 = 2 22019 − 1 x 2019 = Trong= đó I 2 ∫= . x dx 2019 2019 1 1 2 2018 1  d dx u =  u = log 2 x x.ln 2 2018 và I1 = ∫ x log 2 xdx . Đặt  . ⇒ 2019 2018 x d v = x d x  1 v =  2019 2 2  x 2019  22019 − 1 22019 1 22019 − 1 22019 1 = − = − . . Khi đó I1  = .log 2 x  − I2 2019 20192.ln 2 2019 2019.ln 2 2019  2019  1 2019.ln 2 Vậy I = 22019 . 3 3 + ln x Câu 57. Biết I = ∫ dx =a (1 + ln 3) − b ln 2 , ( a, b ∈  ) . Khi đó a 2 + b 2 bằng 2 1 ( x + 1) 7 A. a 2 + b 2 = . 16 Chọn C
Trang chủ
16 25 B. a 2 + b 2 = . C. a 2 + b 2 = . 9 16 Hướng dẫn giải 3 D. a 2 + b 2 =. 4 1  u= 3 + ln x du = dx    x dx ⇔  Đặt:  dv = 2  v = − 1 ( x + 1)  x +1  3 3 + ln 3 3 1  3 + ln x 1 1 − + + ∫ − I= − +∫ dx =  dx 4 2 1  x x +1 x + 1 1 1 x ( x + 1) 3 Khi = đó: 3 3 3 − ln 3 + ( ln x − ln x + 1 ) 1 4 3  25 3 3 − ln 3 a = 2 2 = + ln 3 − ln 4 + ln 2 = (1 + ln 3) − ln 2 ⇒  4 ⇒ a +b = . 16 4 4 b = 1 2 ln x b b = dx a ln 2 + (với a là số hữu tỉ, b , c là các số nguyên dương và là phân số 2 x c c 1 tối giản). Tính giá trị của S = 2a + 3b + c . A. S = 4 . B. S = −6 . C. S = 6 . D. S = 5 . Hướng dẫn giải Chọn A 1  = u d dx u = ln x   x . Đặt  ⇒ 1 1 d v = d x v = −  x2  x Khi đó, ta có: 2 2 2 2 1 1 ln x ln x 1 1 1 = − ln 2 + . − ln 2 − = − + ∫ 2 dx = ∫1 x 2 dx = 2 2 2 x1 x 1 1x 1 Từ giả thiết suy ra a = − , b = 1 , c = 2 . 2 Vậy giá trị của S = 4 . Câu 58. Biết ∫ 2 Câu 59. Biết rằng ∫ ln ( x + 1) dx = a ln 3 + b ln 2 + c với a , b , c là các số nguyên. Tính S = a + b + c A. S = 0 . 1 B. S = 1 . C. S = 2 . Hướng dẫn giải Chọn A 1  = u ln ( x + 1) dx  du = Đặt  ⇒ x +1 dv = dx v = x 2 2 2 x Khi đó, ta có: ∫ ln ( x + 1) dx= x ln ( x + 1) − ∫ dx 1 1 x +1 1 2 1   = 2 ln 3 − ln 2 − ∫ 1 −  dx= 2 ln 3 − ln 2 − ( x − ln x + 1 ) 1 x +1  1 = 2 ln 3 − ln 2 − ( 2 − ln 3 − 1 + ln 2 ) = 3ln 3 − 2 ln 2 − 1 . 2 Suy ra S = a + b + c = 3 − 2 − 1 = 0 . 5 Câu 60. Tính tích phân I = ∫ ( x + 1) ln ( x − 3) dx ? 4
Trang chủ
D. S = −2 . B. 10 ln 2 + A. 10 ln 2 . 19 19 . C. − 10 ln 2 . 4 4 Hướng dẫn giải D. 10 ln 2 − 19 . 4 Chọn D 1  du = dx = u ln ( x − 3)  x −3 . Đặt  ⇒ 1 dv= x + 1 2 v = x +x  2 1 2 5 5 5 5 2x +x 1 2  35 1 x2 − 9 + 9 x −3+3 I =  x + x  ln ( x − 3) − ∫ dx = ln 2 − ∫ dx − ∫ dx 4 − x 2 3   2 2 4 x −3 x −3 4 4 = 35 19 19  ln 2 −  + 3 + 9 ln 2  − (1 + 3ln 2 ) 10 ln 2 − . = 2 22 4  3 Câu 61. Biết rằng ∫ x ln x dx = m ln 3 + n ln 2 + p , trong đó m , n , p ∈  . Khi đó số m là 2 A. 9 . 2 B. 18 . C. 9 . D. Hướng dẫn giải Chọn A 27 . 4 du = dx u = ln x  Đặt  ⇔ x2 = d v x d x  v =  2 3 3 3 9 x3 x2 x2 ln x − ∫ dx = ln 3 − 2 ln 2 − ⇒ ∫ x ln x dx = 2 2 2 6 2 2 2 Vậy m = 2 9 . 2 4 Câu 62. Biết 3 9  m = 2  9 19 ⇒ n = −2 = ln 3 − 2 ln 2 − 2 6  19 p = − 6  ∫ x ln ( x 2 + 9 ) dx = a ln 5 + b ln 3 + c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu 0 thức T = a + b + c là A. T = 10 . B. T = 9 . C. T = 8 . Hướng dẫn giải D. T = 11 . Chọn C 2x  du = 2 dx  u ln ( x + 9 ) x + 9) = (  Đặt  ⇔ x2 + 9  dv = xdx v =  2 2 4 x2 + 9 x2 + 9 2 x Suy ra ∫ x ln ( x = + 9 ) dx ln ( x 2 + 9 ) − ∫ . dx = 25ln 5 − 9 ln 3 − 8 . 2 2 x2 + 9 0 0 0 4 2 Do đó a = 25 , b = −9 , c = −8 nên T = 8 .
Trang chủ
4 ∫ ln ( ) 1 Câu 63. Tích phân= I 0 A. I= 2 − 1 + ln ( C. I =− 2 + 1 + ln 1 + x 2 − x dx có giá trị là: ) 2 −1 . ( ∫ ln ( B. I= ) 2 −1 . ( D. I =− 2 + 1 − ln ) 2 −1 . ( ) 2 −1 . Hướng dẫn giải ) 1 Tích phân= I 2 − 1 − ln 1 + x 2 − x dx có giá trị là: 0 ( ) ( ( )) −1  2 = dx u ln 1 + x − x du = ⇒ Đặt  1 + x2 . dv = dx v = x  1 1 x 2 = ⇒I x.ln x + 1 − x +∫ dx . 2 0 x +1 0 1 x Xét I1 = ∫ dx . x2 + 1 0 Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx . x = 0 ⇒ t = 1 . Đổi cận  x =1 ⇒ t = 2 2 ⇒ I1 = 1 1 dt = 2 ∫1 t ( ( ⇒ I = I1 + x.ln ( t) 2 = 2 −1. 1 x2 + 1 − x )) 1 = 2 − 1 + ln 0 ( ) 2 −1 . Chọn A 1  Câu 64. Cho tích phân I = ae 2 + b , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a − 3b là: ∫1  x + x  ln xdx = 13 13 13 13 A. . B. . C. − . D. − 4 2 4 2 Hướng dẫn giải e 1  Cho tích phân I = ae 2 + b . Giá trị của 2a − 3b là: ∫1  x + x  ln xdx = Ta có: e e e e e 1  x2  1 1 x e2 5  I =∫  x +  ln xdx =∫ x ln xdx + ∫ ln xdx = ln x  − ∫ dx + ∫ dt = + , với t = ln x . x x 4 4  2 1 1 2 1 1 1 0 1 5 13 ⇒ a = , b = ⇒ 2a − 3b = − . 4 4 4 Chọn C π /4 ln(sin x + cos x) Câu 65. Tính tích phân ∫ dx , ta được kết quả 2 cos x 0 e A. − π 1 + ln 2. 4 2 B. π 3 − ln 2. 4 2 C. − π 3 + ln 2. 4 2 D. − Hướng dẫn giải Chọn C Trắc nghiệm bấm máy tính tích phân trừ cho từng đáp án ta được đáp án
Trang chủ
π 3 − ln 2. 4 2 C. π /4 Tự luận: ∫ 0 π /4 ln(sin x + cos x) = dx cos 2 x π /4 ln(cos x) = ∫0 cos2 x dx + π /4 ∫ 0 ∫ 0 ln ( cos x.(1 + tan x) ) = dx cos 2 x π /4  ln(cos x) ln(1 + tan x)  +  dx cos 2 x cos 2 x  ∫  0 ln(1 + tan x) dx = I+J . cos 2 x sin x  − ln cos x ⇒ du = dx u = x cos Đặt  . 1  = dv = dx , v tan x  cos 2 x π /4 π /4 π π π π ln(cos x) 1 2 4 + 4 + ( − x + tan x ) 4 =− I =∫ d x tan x .ln(cos x ) tan x d x tan x .ln cos x ln 2 = = − +1 2 ∫ 0 0 0 cos x 2 4 0 0 π /4 J= ∫ 0 1 ln(1 + tan x) dx. Đặt t =1 + tan x ⇒ dt = 2 dx. 2 cos x cos x Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = π ⇒t = 2 4 1  2 u = lnt ⇒ du = dt J = ∫ ln t dt . Đặt  J t ⇒= 1  = t , v t dv d= π /4 Vậy ∫ 0 2 ∫ ln t d=t ( t ln t − t )= 2 1 2 ln 2 − 1 1 ln(sin x + cos x) π 3 dx = − + ln 2. 2 cos x 4 2 4 ln x + 1 = dx a ln 2 2 + b ln 2 , với a, b là các số hữu tỷ. Khi đó tổng 4a + b bằng. x 1 B. 5 C. 7 . D. 9 . A. 3 . Hướng dẫn giải 2 2 2 2 2 2 4 ln x + 1 1  4 ln x 1  2 2 ∫1 x dx = ∫1  x + x  dx = 4∫1 ln xd ( ln x ) + ∫1 x dx = 2 ln x 1 + ln x 1 = 2 ln 2 + ln 2 . Chọn D 2 Câu 66. Giả sử ∫ 21000 Câu 67. Tính tích phân I = ln x ∫ ( x + 1) 2 dx. 1 ln 21000 2 A. I = − + 1000 ln . 1000 1+ 2 1 + 21000 ln 21000 2 C. I . = − 1000 ln 1000 1+ 2 1 + 21000 21000 1000 ln 2 21001 B. I = − + ln . 1 + 21000 1 + 21000 1000 ln 2 21000 D. I = − ln . 1 + 21000 1 + 21000 Hướng dẫn giải 21000 1000 ln x 1 ln x 2 dx = − ln xd = − + Ta có I = ∫1 ( x + 1)2 ∫1 x +1 x +1 1 ln 21000 = − + 1 + 21000 21000 ∫ 1 1 1 1000 ln 2 . dx = − + x +1 x 1 + 21000 1000 ln 2 = − + ( ln x − ln x + 1 ) 1 + 21000 Chọn B
Trang chủ
21000 1 21000 ∫ 1 21000 1 d ( ln x ) x +1 ∫ 1 1  1  −  dx  x x +1  1000 ln 2 x = − + ln 1000 1+ 2 x +1 21000 1 1000 ln 2 21001 = − + ln . 1 + 21000 1 + 21000
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top