Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải

Giới thiệu Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải
A – KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Nguyên hàm NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K nếu F ‘ ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ K . Định lí: 1) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G= ( x ) F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K . 2) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( x ) trên K đều có dạng F ( x ) + C , với C là một hằng số. Do đó F ( x ) + C , C ∈  là họ tất cả các nguyên hàm của ) dx ∫ f ( x= f ( x ) trên K . Ký hiệu F ( x) + C . 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1: ) dx ( ∫ f ( x ) dx )′ = f ( x ) và ∫ f ‘ ( x= f ( x) + C Tính chất 2: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k là hằng số khác 0 . Tính chất 3: ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) d x 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số sơ cấp ∫ dx= α = ∫ x dx 1 ∫ e dx= x
Trang chủ
α = ∫ u du 1 ∫ e du= ex + C u +C 1 α +1 u + C (α ≠ −1) α +1 du ∫ u= ln x + C ax ∫ a dx = ln a + C ( a > 0, a ≠ 1) x ∫ du= x+C 1 α +1 x + C (α ≠ −1) α +1 dx ∫ x= Nguyên hàm của hàm số hợp (u = u ( x )) u ln u + C eu + C au ∫ a du = ln a + C ( a > 0, a ≠ 1) u − cos x + C ∫ sin xdx = = ∫ cos xdx 1 ∫ cos 2 2 = ∫ cos udu sin x + C 1 = dx tan x + C x ∫ cos dx = − cot x + C ∫ sin 1 ∫ sin − cos u + C ∫ sin udu = x 2 du tan u + C = u 1 2 sin u + C u du = − cot u + C B – BÀI TẬP Câu 1. DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên [ a; b ] đều có đạo hàm trên [ a; b ] . (2): Mọi hàm số liên tục trên [ a; b ] đều có nguyên hàm trên [ a; b ] . (3): Mọi hàm số đạo hàm trên [ a; b ] đều có nguyên hàm trên [ a; b ] . (4): Mọi hàm số liên tục trên [ a; b ] đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ a; b ] . Câu 2. B. 3 . C. 1 . D. 4 . A. 2 . Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . B. ∫  f ( x ) .g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx . C. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx . D. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k ≠ 0;k ∈  ) . A. Câu 3. Cho f ( x ) , g ( x ) là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx . B. ∫ 2 f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx . ∫  f ( x ) + g ( x ) dx =∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . ∫  f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx . C. Câu 4. Câu 5. D. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k ∈  . B. ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx với f ( x ) ; g ( x ) liên tục trên  . C. ∫x D. (∫ 1 α +1 x với α ≠ −1 . α +1 ′ f ( x ) dx = f ( x ) . α dx = ) Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) là hàm số liên tục, có F ( x ) , G ( x ) lần lượt là nguyên hàm của f ( x ) , g ( x ) . Xét các mệnh đề sau: ( I ) . F ( x ) + G ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) + g ( x ) . ( II ) . k .F ( x ) là một nguyên hàm của k . f ( x ) với k ∈  . ( III ) . F ( x ) .G ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) .g ( x ) . Các mệnh đề đúng là
Trang chủ
A. ( II ) và ( III ) . Câu 6. B. Cả 3 mệnh đề. C. ( I ) và ( III ) . D. ( I ) và ( II ) . Mệnh đề nào sau đây sai? A. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx , với mọi hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên  . ) dx f ( x ) + C với mọi hàm số f ( x ) có đạo hàm trên  . ∫ f ′ ( x= C. ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx , với mọi hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên  . D. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f ( x ) liên tục trên  . B. Câu 7. Cho hàm số f ( x ) xác định trên K và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f ′ ( x ) = F ( x ) , ∀x ∈ K . B. F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K . C. F ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K . Câu 8. D. F ′ ( x ) = f ′ ( x ) , ∀x ∈ K . Cho hàm số f ( x ) xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G= ( x ) F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K . B. Nếu f ( x ) liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số F ( x ) được gọi là một nguyên hàm của f ( x ) trên K nếu F ′ ( x ) = f ( x ) với mọi x∈K . D. Nếu hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì hàm số F ( − x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K . Câu 9. DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM. 1 Cho f ( x ) = , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: x+2 A. Trên ( −2; +∞ ) , nguyên hàm của hàm số f ( x ) là F ( x )= ln ( x + 2 ) + C1 ; trên khoảng ( −∞; −2 ) , nguyên hàm của hàm số f ( x ) là F ( x )= ln ( − x − 2 ) + C2 ( C1 , C2 là các hằng số). B. Trên khoảng ( −∞; −2 ) , một nguyên hàm của hàm số f ( x ) là G ( x )= ln ( − x − 2 ) − 3 . C. Trên ( −2; +∞ ) , một nguyên hàm của hàm số f ( x ) là F = ( x ) ln ( x + 2 ) . D. Nếu F ( x ) và G ( x ) là hai nguyên hàm của của f ( x ) thì chúng sai khác nhau một hằng số. Câu 10. Khẳng định nào đây sai? A. ∫ cos x dx = − sin x + C . C. ∫ 2 x d= x x2 + C . Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau x4 + C A. ∫ x3dx = . 4 C. ∫ sin xdx= C − cos x . Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. ∫ dx= x + 2C ( C là hằng số). C. ∫ 0dx = C ( C là hằng số).
Trang chủ
1 dx ∫ x= D. ∫ e d= x B. x ln x + C . ex + C . 1 dx ln x + C . ∫ x= D. ∫ 2e= dx 2 ( e + C ) . B. x x x n +1 dx + C ( C là hằng số; n ∈  ). B. ∫ x= n +1 D. ∫ e x d= x e x − C ( C là hằng số). n Câu 13. Tìm nguyên hàm F ( x ) = ∫ π 2 dx . A. F (= x) π 2x + C . B. F (= x ) 2π x + C . π 2 x2 π3 +C . C. F ( x= ) 3 D. F= ( x) A. F ( x ) = e x + sin x + 2018 x + C . B. F ( x ) = e x − sin x + 2018 x + C . e x + sin x + 2018 x . C. F ( x ) = e x + sin x + 2018 + C . D. F ( x ) = 2 e x + cos x + 2018 là Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = +C . x ) 2 x3 − 9 là: Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f (= 1 4 1 B. 4 x 4 − 9 x + C . C. x 4 + C . x − 9x + C . 4 2 e x ) e.x + 4 là Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f (= D. 4 x 3 − 9 x + C . x e +1 + 4x + C . B. e .x + C . C. A. 101376 . e +1 Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 5 x 4 − 6 x 2 + 1 là e.x e +1 + 4x + C . D. e +1 A. 2 e −1 A. 20 x 3 − 12 x + C . C. 20 x 5 − 12 x 3 + x + C . Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai? B. x5 − 2 x3 + x + C . x4 + 2×2 − 2x + C . D. 4 x5 1 + C . C. ∫ = dx ln x + C . D. ∫ e x d= x ex + C . 5 x 1 Câu 19. Nguyên hàm của hàm số y = x 2 − 3 x + là x 3 2 x3 3x 2 1 x 3x − + 2 +C . − − ln x + C . A. B. 3 2 x 3 2 3 2 3 2 x 3x x 3x − + ln x + C . − + ln x + C . C. D. 3 2 3 2 a b Câu 20. Cho hàm số f ( x ) = 2 + + 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x x A. ∫ 0 dx = C . 1 ∫ f ( x ) dx= B. 4 ∫ x d=x 2 − 3ln 2 . Tính T= a + b . 1 2 B. T = 2 . A. T = −1 . D. T = 0 . C. T = −2 . Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 5 là A. F ( x ) = x 3 + x 2 + 5 . B. F ( x ) = x3 + x + C . C. F ( x ) = x 3 + x 2 + 5 x + C . D. F ( x ) = x3 + x 2 + C . Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f (= x) A. = F ( x) C. F ( x ) ( 3x + 1) 6 +8. 18 ( 3x + 1) =
Trang chủ
18 6 . B. = F ( x) D. F ( x ) ( 3x + 1) 6 −2. 18 ( 3x + 1) = 6 ( 3x + 1) 6 . 5 ? Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A. − x4 + x2 + 3 +C . 3x B. 1 1 − x 2 − là 2 3 x −2 − 2x + C . x2 Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )= 7 x 6 + C. − x4 + x2 + 3 +C . 3x D. − x3 1 x − − +C . 3 x 3 1 1 + − 2 là x x2 1 A. x 7 + ln x − − 2 x . x 1 C. x 7 + ln x + − 2 x + C . x Câu 25. Nguyên hàm của f ( x ) = x 3 − x 2 + 2 x là: 1 − 2x + C . x 1 D. x 7 + ln x − − 2 x + C . x B. x 7 + ln x + 1 4 4 3 B. x − x3 + x +C . 4 3 1 2 3 D. C. x 4 − x 3 + x +C . 4 3 Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f = ( x ) 3 x + x 2018 là A. 1 4 1 3 4 3 x − x + x +C. 4 3 3 1 4 1 3 2 3 x − x + x +C. 4 3 3 x 2019 x 2019 +C . +C. B. 2 x3 + 2019 673 1 1 x 2019 + 6054 x 2017 + C . C. D. + +C . 2 x x 673 x e + tan x + C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào Câu 27. Hàm số F ( x) = 1 1 A. f ( x= B. f ( x= ) ex − 2 ) ex + 2 sin x sin x −x   1 e C. f = D. f ( x= ( x) e x 1 + ) ex + 2  2 cos x  cos x  1 Câu 28. Nếu ∫ f ( x ) dx =+ ln 2 x + C với x ∈ ( 0; +∞ ) thì hàm số f ( x ) là x 1 1 1 A. f ( x ) = B. f ( = − 2+ . x) x+ . x x 2x 1 1 1 C. f ( x= D. f ( x ) = − 2+ . ) 2 + ln ( 2 x ) . x x 2x 2 x − x +1 Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . x −1 1 x2 1 +C . + ln x −1 + C . D. x 2 + ln x − 1 + C . A. x + B. 1 + . C. + C 2 x −1 2 ( x − 1) A. x+ A. F ( x ) = 3 x − tan x + C . 1 là sin 2 x B. F ( x ) = 3 x + tan x + C . C. F ( x ) = 3 x + cot x + C . D. F ( x ) = 3 x − cot x + C . Câu 30. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x )= 3 − Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số = f ( x ) 3cos x + A. −3sin x +
Trang chủ
1 +C . x B. 3sin x − 1 +C . x 1 trên ( 0; + ∞ ) . x2 1 C. 3cos x + + C . x D. 3cos x + ln x + C . Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f (= x ) 3 x 2 + sin x là A. x 3 + cos x + C . B. x3 + sin x + C . C. x3 − cos x + C . x) 3 x 2 + 8sin x . Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số f (= 6 x 8cos x + C . ∫ f ( x ) dx =− C. ∫ f ( x ) dx = x − 8cos x + C . A. 3 D. 3 x 3 − sin x + C . 6 x 8cos x + C . ∫ f ( x ) dx =+ D. ∫ f ( x ) dx = x + 8cos x + C . B. 3 x Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2   2 A. ∫ f ( x ) dx =+ B. x sinx + C . C. x 1 + sinx + C . ∫ f ( x ) dx = 2 2 x sinx + C . ∫ f ( x ) dx =− x 1 D. ∫ f ( x ) dx = − sinx + C . 2 2 Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x )= x + cos x . A. C. Câu 36. ∫ x2 f ( x ) dx = + sin x + C . 2 B. ∫ f ( x ) dx = x sin x + cos x + C . D. ∫(x 2 + 2 x3 ) dx có dạng 1 − sin x + C . ∫ f ( x ) dx = ∫ x2 f ( x ) dx = − sin x + C . 2 a 3 b 4 x + x + C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: 3 4 B. 1 . C. 9 . D. 32 . A. 2 . 1 a 4 b 6 1+ 3 5  Câu 37. ∫  x3 + x + x + C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a x  dx có dạng 12 6 5 3  bằng: 36 A. 1 . B. 12 . C. D. Không tồn tại. 1+ 3 . 5 Câu 38. ∫ ( ( 2a + 1) x3 + bx 2 ) dx , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng ( ∫ ( ( 2a + 1) x 3 + bx 2 ) dx= A. 1; 3 . ) 3 4 x + x3 + C . Giá trị a, b lần lượt bằng: 4 1 B. 3; 1 . C. − ; 1 . 8 D. 1 1 x sin 2 x − cos 2 x 4 2 π  2 x − 3cos x, F   = 3 Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) thỏa mãn điều kiện: f ( x ) = 2 A. F ( x) = x 2 − 3sin x + 6 + π2 4 π2 x 3sin x + C. F ( x) =− 4 2 Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x= ) 2x + π2 −cotx + x − A. F( x) = 16 2 −cotx + x 2 C. F( x) =
Trang chủ
x 2 3sin x − B. F ( x) =− π2 4 D. F ( x) = x − 3sin x + 6 − 2 π2 4 π 1 thỏa mãn F( ) = −1 là: 2 sin x 4 π2 B. F( x)= cotx − x + 16 π2 2 2 −cotx + x − D. F( x) = 16 Câu 41. Nếu e sin ∫ f ( x)dx =+ x 2 A. e x + cos 2 x x + C thì f ( x) là hàm nào? B. e x − sin 2 x C. e x + cos 2 x x3 − 1 Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của f ( x) = 2 biết F(1) = 0 x 2 x 1 1 − + B. F ( x) = A. F ( x) = 2 x 2 x2 1 1 − − C. F ( x) = D. F (x) = 2 x 2 2 3 x) + là : Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f (= x x A. 4 x + 3ln x + C . ( Câu 44. C. 4 x ) ∫( Tính 4 x 2 + )dx x 3 −1 D. e x + sin 2 x x2 1 3 + + 2 x 2 x2 1 3 + − 2 x 2 B. 2 x + 3ln x + C . D. 16 x − 3ln x + C . + 3ln x + C . 33 5 x − 4 ln x + C . 5 5 3 C. 3 x 5 + 4 ln x + C . D. 3 x 5 + 4 ln x + C . 3 5 3 2 Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) = 4 x − 3 x + 2 x − 2 thỏa mãn F(1) = 9 là: A. − 33 5 x + 4 ln x + C . 5 B. A. F( x) = x 4 − x3 + x 2 − 2 . B. F( x) = x 4 − x3 + x 2 + 10 . C. F( x) = x 4 − x3 + x 2 − 2 x . D. F( x) = x 4 − x3 + x 2 − 2 x + 10 . y (2 x + 1)5 là: Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số= 1 1 A. B. (2 x + 1)6 + C . (2 x + 1)6 + C . 6 12 1 C. (2 x + 1)6 + C . D. 10(2 x + 1) 4 + C . 2 Câu 47. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 2 x 2 + x 3 − 4 thỏa mãn điều kiện F ( 0 ) = 0 là 2 3 x4 x + − 4x . C. x 3 − x 4 + 2 x . 3 4 = F ’ ( x ) 4 x3 – 3 x 2 + 2 và F ( −1) = 3 Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng A. 2 x 3 − 4 x 4 . B. A. F (= x ) x 4 – x3 − 2 x − 3 x ) x 4 – x3 − 2 x + 3 C. F (= D. Đáp án khác. B. F ( x ) x 4 – x 3 +2x + 3 = D. F ( x ) = x 4 + x3 + 2 x + 3 Câu 49. Hàm số f ( x ) xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là f ′ ( x )= x − 1 . Biết rằng f ( 0 ) = 3 . Tính f ( 2 ) + f ( 4 ) ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 11 . Câu 50. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f ′ ( x )= x + sin x và f ( 0 ) = 1 . Tìm f ( x) . x2 A. f ( x ) = − cos x + 2 . 2 x2 + cos x . C. f ( x= ) 2
Trang chủ
x2 B. f ( x ) = − cos x − 2 . 2 x2 1 D. f ( x ) = + cos x + . 2 2 Câu 51. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x )= 3 − 5cos x và f ( 0 ) = 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f ( x ) =+ 3 x 5sin x + 2 . B. f ( x ) =− 3 x 5sin x − 5 . C. f ( x ) =− 3 x 5sin x + 5 . D. f ( x ) =+ 3 x 5sin x + 5 . Câu 52. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của của hàm số f ( x ) = sin x và đồ thị hàm số y = F ( x ) đi π  qua điểm M ( 0;1) . Tính F   . 2 π  π  π  π  B. F   = −1 . C. F   = 0 . D. F   = 1 . A. F   = 2 . 2 2 2 2 2 Câu 53. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x − 2 x + 3 thỏa mãn F ( 0 ) = 2 , giá trị của F (1) bằng A. 4 . B. 13 . 3 C. 2 . Câu 54. Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = ax + F (1) = 4 , f (1) = 0 D. 11 . 3 b 1, ( x ≠ 0 ) , biết rằng F ( −1) = x2 . 3x 2 3 7 + + . A. F ( x ) = 4 2x 4 3x 2 3 7 − − . B. F ( x ) = 4 2x 4 3x 2 3 7 3x 2 3 1 − − . + − . D. F ( x ) = 2 2x 2 2 4x 4 Câu 55. Biết hàm số y = f ( x ) có f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 x − m + 1 , f ( 2 ) = 1 và đồ thị của hàm số C. F ( x ) = y = f ( x ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −5 . Hàm số f ( x ) là A. x3 + x 2 − 3 x − 5 . B. x3 + 2 x 2 − 5 x − 5 . Câu 56. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f (= x) C. 2 x3 + x 2 − 7 x − 5 . ( 2 x − 3) 2 D. x3 + x 2 + 4 x − 5 . 1 thỏa mãn F ( 0 ) = . Giá trị của biểu 3 thức log 2 3F (1) − 2 F ( 2 )  bằng A. 10 . B. −4 . C. 4 . D. 2 . 3 Câu 57. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x + 2 ( m − 1) x + m + 5 , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của f ( x ) biết rằng F (1) = 8 và F ( 0 ) = 1 là: A. F ( x ) = x 4 + 2 x 2 + 6 x + 1 B. F ( x ) = x 4 + 6 x + 1 . C. F ( x ) =x 4 + 2 x 2 + 1 . D. Đáp án A và B
Trang chủ
C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên [ a; b ] đều có đạo hàm trên [ a; b ] . (2): Mọi hàm số liên tục trên [ a; b ] đều có nguyên hàm trên [ a; b ] . (3): Mọi hàm số đạo hàm trên [ a; b ] đều có nguyên hàm trên [ a; b ] . (4): Mọi hàm số liên tục trên [ a; b ] đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ a; b ] . B. 3 . A. 2 . C. 1 . Hướng dẫn giải D. 4 . Chọn B Khẳng định (1): Sai, vì hàm số y = x liện tục trên [ −1;1] nhưng không có đạo hàm tại x = 0 nên không thể có đạo hàm trên [ −1;1] Khẳng định (2): đúng vì mọi hàm số liên tục trên [ a; b ] đều có nguyên hàm trên [ a; b ] . Khẳng định (3): Đúng vì mọi hàm số có đạo hàm trên [ a; b ] thì đều liên tục trên [ a; b ] nên đều có nguyên hàm trên [ a; b ] . Khẳng định (4): Đúng vì mọi hàm số liên tục trên [ a; b ] đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ a; b ] . Câu 2. Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . B. ∫  f ( x ) .g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx . C. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx . D. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k ≠ 0;k ∈  ) . A. Câu 3. Hướng dẫn giải Chọn B Cho f ( x ) , g ( x ) là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx . B. ∫ 2 f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx . ∫  f ( x ) + g ( x ) dx =∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . ∫  f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx . C. Câu 4. D. Hướng dẫn giải Chọn A Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm. Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k ∈  . ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx với f ( x ) ; g ( x ) liên tục trên  . 1 α C. ∫ xα dx = x với α ≠ −1 . α +1 B. +1 D. ( ∫ f ( x ) dx )′ = f ( x ) .
Trang chủ
Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k ∈  sai vì tính chất đúng khi k ∈  {0} . Câu 5. Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) là hàm số liên tục, có F ( x ) , G ( x ) lần lượt là nguyên hàm của f ( x ) , g ( x ) . Xét các mệnh đề sau: ( I ) . F ( x ) + G ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) + g ( x ) . ( II ) . k .F ( x ) là một nguyên hàm của k . f ( x ) với k ∈  . ( III ) . F ( x ) .G ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) .g ( x ) . Các mệnh đề đúng là A. ( II ) và ( III ) . C. ( I ) và ( III ) . B. Cả 3 mệnh đề. D. ( I ) và ( II ) . Hướng dẫn giải Chọn D Theo tính chất nguyên hàm thì ( I ) và ( II ) là đúng, ( III ) sai. Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai? A. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx , với mọi hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên  . ) dx f ( x ) + C với mọi hàm số f ( x ) có đạo hàm trên  . ∫ f ′ ( x= C. ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx , với mọi hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên  . D. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f ( x ) liên tục trên  . B. Chọn D Mệnh đề: Hướng dẫn giải ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f ( x ) liên tục trên  là mệnh đề sai vì khi k = 0 thì ∫ kf ( x ) dx ≠ k ∫ f ( x ) dx . Câu 7. Cho hàm số f ( x ) xác định trên K và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f ′ ( x ) = F ( x ) , ∀x ∈ K . B. F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K . C. F ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K . D. F ′ ( x ) = f ′ ( x ) , ∀x ∈ K . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx , ∀x ∈ K ⇒  F ( x )  = f ( x ) , ∀x ∈ K . Cho hàm số f ( x ) xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? ′ Câu 8. A. Nếu hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G= ( x ) F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K . B. Nếu f ( x ) liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số F ( x ) được gọi là một nguyên hàm của f ( x ) trên K nếu F ′ ( x ) = f ( x ) với mọi x∈K . D. Nếu hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì hàm số F ( − x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K . Hướng dẫn giải Chọn D Dựa theo định lí 1 trang 95 SGK 12 CB suy ra khẳng định A đúng.
Trang chủ
Dựa theo định lí 3 Sự tồn tại nguyên hàm trang 97 SGK 12 CB kết luận B đúng. Và C đúng dựa vào định nghĩa của nguyên hàm.
Trang chủ
Câu 9. DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM. 1 , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: Cho f ( x ) = x+2 A. Trên ( −2; +∞ ) , nguyên hàm của hàm số f ( x ) là F ( x )= ln ( x + 2 ) + C1 ; trên khoảng ( −∞; −2 ) , nguyên hàm của hàm số f ( x ) là F ( x )= ln ( − x − 2 ) + C2 ( C1 , C2 là các hằng số). B. Trên khoảng ( −∞; −2 ) , một nguyên hàm của hàm số f ( x ) là G ( x )= ln ( − x − 2 ) − 3 . C. Trên ( −2; +∞ ) , một nguyên hàm của hàm số f ( x ) là F = ( x ) ln ( x + 2 ) . D. Nếu F ( x ) và G ( x ) là hai nguyên hàm của của f ( x ) thì chúng sai khác nhau một hằng số. Hướng dẫn giải Chọn D D sai vì F = ( x ) ln ( x + 2 ) và G ( x )= ln ( − x − 2 ) − 3 đều là các nguyên hàm của hàm số f ( x ) nhưng trên các khoảng khác nhau thì khác nhau. Câu 10. Khẳng định nào đây sai? C. ∫ 2 x d= x x2 + C . 1 dx ∫ x= D. ∫ e d= x A. ∫ cos x dx = − sin x + C . B. x ln x + C . ex + C . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ∫ cos x= dx sin x + C ⇒ A sai. Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau x4 + C A. ∫ x3dx = . 4 C. ∫ sin xdx= C − cos x . 1 dx ln x + C . ∫ x= D. ∫ 2e= dx 2 ( e + C ) . B. x x Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 1 dx ∫ x= ln x + C . Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. ∫ dx= x + 2C ( C là hằng số). C. ∫ 0dx = C ( C là hằng số). x n +1 + C ( C là hằng số; n ∈  ). n +1 D. ∫ e x d= x e x − C ( C là hằng số). B. n dx ∫ x= Hướng dẫn giải Chọn B Đáp án B sai vì công thức trên chỉ đúng khi bổ sung thêm điều kiện n ≠ −1 . Câu 13. Tìm nguyên hàm F ( x ) = ∫ π 2 dx . A. F (= x) π 2x + C . C. F ( x= ) π3 +C . 3 Chọn A Ta có F (= x) dx ∫π = 2 B. F (= x ) 2π x + C . D. F= ( x) Hướng dẫn giải π 2 x + C (vì π 2 là hằng số). e x + cos x + 2018 là Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
Trang chủ
π 2 x2 2 +C . A. F ( x ) = e x + sin x + 2018 x + C . B. F ( x ) = e x − sin x + 2018 x + C . C. F ( x ) = e x + sin x + 2018 x . D. F ( x ) = e x + sin x + 2018 + C . Hướng dẫn giải Chọn A Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f (= x ) 2 x3 − 9 là: A. 1 4 x − 9x + C . 2 1 4 x +C . 4 Hướng dẫn giải B. 4 x 4 − 9 x + C . C. D. 4 x3 − 9 x + C . Chọn A x4 x4 ∫ ( 2 x − 9 )dx= 2. 4 − 9 x + C = 2 − 9 x + C . Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f (= x ) e.x e + 4 là 3 x e +1 + 4x + C . e +1 Hướng dẫn giải B. e 2 .x e −1 + C . A. 101376 . C. D. e.x e +1 + 4x + C . e +1 Chọn D e.x e +1 + 4x + C . ∫ e +1 Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 5 x 4 − 6 x 2 + 1 là f ( x ) d= x Ta có e ∫ ( e.x + 4 ) d=x A. 20 x3 − 12 x + C . B. x5 − 2 x3 + x + C . x4 + 2×2 − 2x + C . D. 4 Hướng dẫn giải C. 20 x 5 − 12 x 3 + x + C . Chọn B Ta có ∫ ( 5 x 4 − 6 x 2 + 1) dx = x5 − 2 x 3 + x + C . Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai? A. ∫ 0 dx = C . B. 4 ∫ x d=x x5 1 + C . C. ∫ = dx ln x + C . 5 x Hướng dẫn giải D. ∫ e x d= x ex + C . Chọn C Ta có: 1 dx ∫ x= ln x + C ⇒ C sai. Câu 19. Nguyên hàm của hàm số y = x 2 − 3 x + x3 3x 2 − − ln x + C . A. 3 2 x3 3x 2 − + ln x + C . C. 3 2 1 là x x3 3x 2 1 − + 2 +C . B. 3 2 x 3 2 x 3x − + ln x + C . D. 3 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 x3 3x 2  Áp dụng công thức nguyên hàm ta có ∫  x 2 − 3 x +  dx = − + ln x + C . x 3 2 
Trang chủ
Câu 20. Cho hàm số f ( x ) = 1 ∫ f ( x ) dx= a b + + 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x2 x 2 − 3ln 2 . Tính T= a + b . 1 2 A. T = −1 . B. T = 2 . D. T = 0 . C. T = −2 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 Ta có ∫ 1 2 1 1 2 2  a   a b  f ( x ) dx = ∫  2 + + 2  dx = − + b ln x + 2 x  = a + 1 + b ln 2 . x  x 1  1 x Theo giả thiết, ta có 2 − 3ln 2 = a + 1 + b ln 2 . Từ đó suy ra a = 1 , b = −3 . Vậy T =a + b =−2 . Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 5 là A. F ( x ) = x 3 + x 2 + 5 . B. F ( x ) = x3 + x + C . C. F ( x ) = x 3 + x 2 + 5 x + C . D. F ( x ) = x3 + x 2 + C . Hướng dẫn giải Chọn C Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 5 là F ( x ) = x 3 + x 2 + 5 x + C . Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f (= x) A. = F ( x) C. F ( x ) ( 3x + 1) 6 B. = F ( x) +8. 18 ( 3x + 1) = 6 18 D. F ( x ) . Hướng dẫn giải ( 3x + 1) 5 ? 6 −2. 18 ( 3x + 1) = 6 ( 3x + 1) 6 . Chọn D 1 ( ax + b ) Áp dụng ∫ ( ax + b )= + C với α ≠ −1 và C là hằng số. dx a α +1 Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề. 1 1 Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 − x 2 − là x 3 4 2 −x + x + 3 x4 + x2 + 3 − x3 1 x −2 +C . + C . D. − − +C . A. B. 2 − 2x + C . C. − 3x 3x 3 x 3 x Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 x3 x  −2  1 2 2 x ∫  x − x −  dx =− − − + C . Ta có ∫  2 − x −  d= x 3 3 3 3  x 1 1 Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )= 7 x 6 + + 2 − 2 là x x 1 1 A. x 7 + ln x − − 2 x . B. x 7 + ln x + − 2 x + C . x x α
Trang chủ
α +1 C. x 7 + ln x + 1 − 2x + C . x 1 D. x 7 + ln x − − 2 x + C . x Hướng dẫn giải Chọn D 1 = x 7 + ln x − − 2 x + C . x Câu 25. Nguyên hàm của f ( x ) = x 3 − x 2 + 2 x là: ∫ f ( x ) dx 1 4 4 3 x − x3 + x +C . 4 3 1 2 3 C. x 4 − x 3 + x +C . 4 3 A. Ta có: ∫(x 3 ) − x 2 + 2 x dx= 1 4 1 3 4 3 x − x + x +C. 4 3 3 1 1 2 3 D. x 4 − x3 + x +C. 4 3 3 Hướng dẫn giải B. 1 4 1 3 4 3 x − x + x +C . 4 3 3 Chọn A Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f = ( x ) 3 x + x 2018 là x 2019 +C. 673 1 x 2019 C. + +C . x 673 A. x+ B. 2 x3 + D. 1 2 x Hướng dẫn giải x 2019 +C . 2019 + 6054 x 2017 + C . Chọn B Ta có: 3  12 x 2019 x 2 x 2019 3 2018  2018 = 2 x + +C . = + + C 3. = + 3 x x d x 3 x + x d x  ∫ ∫  3 2019 2019  2 x e + tan x + C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào Câu 27. Hàm số F ( x) = 1 1 A. f ( x= B. f ( x= ) ex − 2 ) ex + 2 sin x sin x −x   1 e D. f ( x= C. f = ( x) e x 1 + ) ex + 2  2 cos x  cos x  Hướng dẫn giải 1 Ta có: ( e x + tan x + C )′ =e x + . cos 2 x Chọn D 1 x ∈ ( 0; +∞ ) f ( x) Câu 28. Nếu ∫ f ( x ) dx =+ ln 2 x + C với thì hàm số là x 1 1 1 A. f ( x ) = B. f ( = − 2+ . x) x+ . x x 2x 1 1 1 C. f ( x= D. f ( x ) = − 2+ . ) 2 + ln ( 2 x ) . x x 2x Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ∫ f ( x ) d= x F ( x ) + C ⇒ F ′ ( x= ) f ( x) (
Trang chủ
) 1 ( 2 x )′ 1 1 1 ′  1 ′ ′= Do đó f ( x ) = + ln 2 x = + ln 2 x − + = − 2 + với x ∈ ( 0; +∞ ) . )     ( 2 x 2x x x x  x 2 x − x +1 Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . x −1 1 x2 1 +C . + ln x −1 + C . D. x 2 + ln x − 1 + C . A. x + B. 1 + . C. + C 2 x −1 2 ( x − 1) Hướng dẫn giải Chọn C x2 − x + 1 1 = x+ x −1 x −1 2 x ⇒ ∫ f ( x ) dx = + ln x − 1 + C . 2 Ta có f ( x )= A. F ( x ) = 3 x − tan x + C . 1 là sin 2 x B. F ( x ) = 3 x + tan x + C . C. F ( x ) = 3 x + cot x + C . D. F ( x ) = 3 x − cot x + C . Câu 30. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x )= 3 − Hướng dẫn giải Chọn C 1 là F ( x ) = 3 x + cot x + C . sin 2 x 1 Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số = f ( x ) 3cos x + 2 trên ( 0; + ∞ ) . x 1 1 1 A. −3sin x + + C . B. 3sin x − + C . C. 3cos x + + C . x x x Hướng dẫn giải Chọn B b 1  1  Ta có ∫ f ( x ) = dx ∫  3cos x + 2  = dx 3sin x − + C . x  x a Nguyên hàm của hàm số f ( x )= 3 − D. 3cos x + ln x + C . Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f (= x ) 3 x 2 + sin x là B. x3 + sin x + C . C. x3 − cos x + C . Hướng dẫn giải A. x3 + cos x + C . D. 3 x 3 − sin x + C . Chọn C x ) 3 x 2 + sin x là x3 − cos x + C . Họ nguyên hàm của hàm số f (= x) 3 x 2 + 8sin x . Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số f (= 6 x 8cos x + C . ∫ f ( x ) dx =− C. ∫ f ( x ) dx = x − 8cos x + C . A. 3 Chọn C Ta có: ∫ f ( x= ) dx ∫ ( 3x 2 6 x 8cos x + C . ∫ f ( x ) dx =+ D. ∫ f ( x ) dx = x + 8cos x + C . B. 3 Hướng dẫn giải x 3 − 8cos x + C . + 8sin x ) dx = x Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2   2 A. ∫ f ( x ) dx =+ B. x sinx + C .
Trang chủ
x sinx + C . ∫ f ( x ) dx =− C. 1 x + sinx + C . ∫ f ( x ) dx = 2 2 D. x 1 − sinx + C . ∫ f ( x ) dx = 2 2 Lời giải Chọn C x 1  1 + cos x  + sin x + C .  dx = 2  2 2 Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x )= x + cos x . Ta có A. C. ∫ ∫ f ( x ) dx = ∫  x2 f ( x ) dx = + sin x + C . 2 ∫ f ( x ) dx = B. x sin x + cos x + C . 1 − sin x + C . ∫ f ( x ) dx = x2 D. ∫ f ( x ) dx = − sin x + C . 2 Hướng dẫn giải Chọn A x2 d cos d f x x = x + x x = + sin x + C . ( ) ( ) ∫ ∫ 2 a b Câu 36. ∫ ( x 2 + 2 x3 ) dx có dạng x3 + x 4 + C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: 3 4 A. 2 . B. 1 . C. 9 . D. 32 . Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm ∫ ( x 2 + 2 x3 ) dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: ∫(x 2 1 1 + 2 x3 ) dx = x3 + x 4 + C . 3 2 Suy ra để ∫(x 2 + x3 ) dx có dạng a 3 b 4 x + x + C thì= a 1,= b 2. 3 4 Chọn B Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào lấy đạo hàm của a 3 b 4 x + x + C . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta 3 4 a 3 b 4 x + x +C . 3 4 Ví dụ: A. Thay a = 2 vào 2 b a 3 b 4 2 b x + x + C ta được x3 + x 4 + C . Lấy đạo hàm của x3 + x 4 + C 3 4 3 4 3 4 : 2 3 b 4 ′ 2 3 x + x + C   = 2 x + bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 3 4   2 3 2 x + 2 x= 2 x + bx3 , ∀x ∈  nên ta loại đáp án A 1 b 1 b a b B. Thay a = 1 vào x 3 + x 4 + C ta được x3 + x 4 + C . Lấy đạo hàm của x3 + x 4 + C 3 4 3 4 3 4 : 1 3 b 4 ′ 2 3 2 3 2 3 x x C + +   =x + bx , vì tồn tại số hữu tỉ b sao cho x + 2 x= 2 x + bx , ∀x ∈  ( cụ 4 3  thể b= 2 ∈  ) nên ta nhận đáp án B
Trang chủ
C. Thay a = 9 vào b a 3 b 4 b x + x + C ta được 3 x 3 + x 4 + C . Lấy đạo hàm của 3 x 3 + x 4 + C : 4 3 4 4  3 b 4 ′ 2 3 sao cho  3 x + x + C  = 9 x + bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b 4   3 9 x 2 + 2 x= 2 x 2 + bx3 , ∀x ∈  nên ta loại đáp án C a 3 b 4 32 3 b 4 D. Thay a = 32 vào x + x + C ta được x + x + C . Lấy đạo hàm của 3 4 3 4 32 3 b 4 x + x +C : 3 4  32 3 b 4 ′ 2 3 x + x + C   = 32 x + bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 3 4   2 3 2 32 x + 2 x= 2 x + bx3 , ∀x ∈  nên ta loại đáp án D Chú ý: Ta chỉ cần so sánh hệ số của x 2 ở 2 vế của đẳng thức x 2 + 2 x3 = 2 x 2 + bx 3 ; 9 x 2 + 2 x3 = 2 x 2 + bx 3 ; 32 x 2 + 2 x3 = 2 x 2 + bx 3 và có thể loại nhanh các đáp án A, C, D Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị của b . Nên khoanh đáp ánA. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau: 2 3 3 4 ∫ ( x + 2 x ) dx = 3x + 8 x + C . Vì thế, a = 9 để ∫(x 2 + 2 x3 ) dx = 3 x3 + 8 x 4 + C có dạng a 3 b 4 x + x +C . 3 4 Học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau: 2 3 3 4 ∫ ( x + 2 x ) dx = 3x + 8 x + C . Học sinh không đọc kĩ yêu cầu đề bài nên tìm giá trị b . a b Để ∫ ( x 2 + 2 x3 ) dx có dạng x3 + x 4 + C thì b = 32 . 3 4 Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm. 1 a 4 b 6 1+ 3 5  Câu 37. ∫  x3 + x + x + C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a x  dx có dạng 12 6 5 3  bằng: 36 A. 1 . B. 12 . C. D. Không tồn tại. 1+ 3 . 5 Hướng dẫn giải Cách 1: 1 1+ 3 5  Theo đề, ta cần tìm ∫  x3 + x  dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . 5 3  Ta có: (
Trang chủ
)  1 3 1+ 3 5  1 4 1+ 3 6 x + x +C. ∫  3 x + 5 x  dx = 12 30   1 1+ 3 a 4 b 6 1+ 3 5  1 ∈ , b = ∉ . Suy ra để ∫  x3 + x + x + C thì a = x  dx có dạng 5 12 6 5 3  Chọn D Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ. a b Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào x 4 + x 6 + C . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta 12 6 a 4 b 6 lấy đạo hàm của x + x + C . 12 6 Ví dụ: a 4 b 6 1 4 b 6 A. Thay a = 1 vào x + x + C ta được x + x + C . Lấy đạo hàm của 12 6 12 6 1 4 b 6 x + x +C: 12 6  1 4 b 6 ′ 1 3 5 x x C + +   = x + bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 6  12  3 1 3 1+ 3 5 1 3 x + x= x + bx5 , ∀x ∈  nên ta 3 5 3 loại đáp ánA. b b a 4 b 6 B. Thay a = 12 vào x + x + C ta được x 4 + x 6 + C . Lấy đạo hàm của x 4 + x 6 + C : 12 6 6 6  4 b 6 ′ 3 5 sao cho  x + x + C  = 4 x + bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b 6   1 3 1+ 3 5 x + x= 4 x3 + bx5 , ∀x ∈  nên ta loại đáp án B 3 5 C. Loại đáp án C 36 Ta có thể loại nhanh đáp án C vì 1 + 3 ∉  và a ∈  . 5 Vậy đáp án chính xác là đáp án D Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên sau khi tìm được giá trị của a ( không tìm giá trị của b ).Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. B. Đáp án B sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của a như sau: ( ) ( ) 6 1+ 3 6  1 3 1+ 3 5  1 4 1+ 3 6 4 x + x dx = 3 ⋅ x + 6 ⋅ x + C = x + x +C.  ∫  3 5 3 5 5   ( ) 6 1+ 3 6 1 1+ 3 5  a 4 b 6 x  dx = x4 + x + C có dạng Vì thế, a = 12 để ∫  x3 + x + x +C . 3 5 5 12 6   Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của b do không đọc kĩ yêu cầu bài toán:
Trang chủ
( ) 6 1+ 3 6  1 3 1+ 3 5  1 4 1+ 3 6 4 x x dx 3 x 6 x C x x +C. + = ⋅ + ⋅ + = +   ∫ 3  5 3 5 5   Vì thế, = b ( 36 1+ 3 5 ) để ( ) 6 1+ 3 6  1 3 1+ 3 5  4 x + x dx = x + x +C   ∫ 3  5 5   có dạng a 4 b 6 x + x +C. 12 6 Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. Câu 38. ∫ ( ( 2a + 1) x3 + bx 2 ) dx , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng ∫ ( ( 2a + 1) x 3 + bx 2 ) dx= 3 4 x + x3 + C . Giá trị a, b lần lượt bằng: 4 1 B. 3; 1 . C. − ; 1 . 8 A. 1; 3 . 1 1 x sin 2 x − cos 2 x 4 2 Cách 1: Ta cần tìm ∫ ( ( 2a + 1) x D. Hướng dẫn giải 3 + bx 2 ) dx . Ta có: ∫ ( ( 2a + 1) x + bx 2 ) dx = 1 1 ( 2a + 1) x 4 + bx3 + C . 4 3 3 4 1 1 Vì ta có giả thiết ∫ ( ( 2a + 1) x3 + bx 2 ) dx= x + x3 + C nên ( 2a + 1) x 4 + bx3 + C có dạng 4 3 4 3 4 x + x3 + C . 4 3 1 2a + 1) = (  a = 1 1 1 3 4 4 Để ( 2a + 1) x 4 + bx 3 + C có dạng x 4 + x 3 + C thì  , nghĩa là  . 4 3 4 b = 3 1 b = 1  3 Vậy đáp án chính xác là đáp ánA. Cách 2: Ta loại nhanh đáp án C vì giá trị a ở đáp án C không thỏa điều kiện a ∈  . 3 Tiếp theo, ta thay giá trị a, b ở các đáp án A, B vào ∫ ( ( 2a + 1) x Ta có: ∫ ( 3 x 3 + bx 2 ) dx . 3 + 3 x 2 ) dx= ∫ ( ( 2a + 1) x 3 + bx 2 ) dx và tìm 3 4 x + x 3 + C nên đáp án chính xác là đáp ánA. 4 Chú ý: Giả sử các giá trị a, b ở các đáp án A, B, C không thỏa yêu cầu bài toán thì đáp án chính xác là Chọn D. Sai lầm thường gặp: B. Đáp án B sai. Một số học sinh không chú ý đến thứ tự sắp xếp nên học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ: Ta có:
Trang chủ
∫ ( ( 2a + 1) x 3 + bx 2 ) dx = ( 2a + 1) x 4 + bx 3 + C . ∫ ( ( 2a + 1) x Vì ta có giả thiết 3 + bx 2 ) dx= 3 4 x + x3 + C nên ( 2a + 1) x 4 + bx 3 + C có dạng 4 3 4 x + x3 + C . 4 3  1 1 3 3 4 ( 2a + 1) = 4 3 Để ( 2a + 1) x + bx + C có dạng x + x + C thì  4, 4 3 4 b = 1 1  a = − nghĩa là  8.  b = 1 π  2 x − 3cos x, F   = 3 Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) thỏa mãn điều kiện: f ( x ) = 2 A. F ( x) = x 2 − 3sin x + 6 + π2 4 x 2 3sin x − B. F ( x) =− π2 x 3sin x + C. F ( x) =− 4 π2 4 D. F ( x) = x − 3sin x + 6 − 2 2 Hướng dẫn giải 2 Ta có: F ( x ) = x 3sin x + C ∫ ( 2 x − 3cos x ) dx =− π2 4 π π π  π  F   =3 ⇔   − 3sin + C =3 ⇔ C =6 − 2 4 2 2 2 2 Vậy F ( x) = x 2 − 3sin x + 6 − π2 4 Chọn D Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x= ) 2x + 1 π thỏa mãn F( ) = −1 là: 2 4 sin x π2 B. F( x)= cotx − x + 16 π2 −cotx + x 2 − D. F( x) = 16 π2 −cotx + x − A. F( x) = 16 2 2 −cotx + x 2 C. F( x) = Hướng dẫn giải 1   2 Ta có: F ( x ) = ∫  2 x + sin 2 x  dx =x − cot x + C π π π  π  F   =−1 ⇔   − cot + C =−1 ⇔ C = 4 16 4 4 2 2 π2 −cotx + x − Vậy F( x) = 16 2 Chọn A Câu 41. Nếu ∫ f ( x)dx =+ e x sin 2 x + C thì f ( x) là hàm nào? A. e x + cos 2 x B. e x − sin 2 x C. e x + cos 2 x Hướng dẫn giải Ta có: ( e x + sin 2 x + C )′ =e x + sin 2 x Chọn D
Trang chủ
D. e x + sin 2 x Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của f ( x) = x3 − 1 biết F(1) = 0 x2 x2 1 1 − + 2 x 2 x2 1 1 − − C. F ( x) = 2 x 2 x2 1 3 + + 2 x 2 x2 1 3 + − D. F (x) = 2 x 2 Hướng dẫn giải 3 x −1 x2 1 1   Ta có: F ( x ) = ∫ 2 dx = ∫  x − 2  dx = + +C x x  2 x  12 1 −3 F (1) = 0 ⇔ + + C = 0 ⇔ C = 2 1 2 2 x 1 3 + − Vậy F (x) = 2 x 2 Chọn D 2 3 x) + là : Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f (= x x A. 4 x + 3ln x + C . B. 2 x + 3ln x + C . A. F ( x) = ( C. 4 x ) −1 B. F ( x) = D. 16 x − 3ln x + C . + 3ln x + C . Hướng dẫn giải  2 3 Ta có: ∫  +  dx =4 x + 3ln x + C .  x x Chọn A 4 Câu 44. Tính ∫ ( 3 x 2 + )dx x 3 33 5 A. − B. 3 x 5 − 4 ln x + C . x + 4 ln x + C . 5 5 5 3 C. 3 x 5 + 4 ln x + C . D. 3 x 5 + 4 ln x + C . 3 5 Hướng dẫn giải 4 3 3 x5  Ta có: ∫  3 x 2 +  dx = + 4 ln x + C . x 5  Chọn D Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) = 4 x3 − 3 x 2 + 2 x − 2 thỏa mãn F(1) = 9 là: A. F( x) = x 4 − x3 + x 2 − 2 . B. F( x) = x 4 − x3 + x 2 + 10 . C. F( x) = x 4 − x3 + x 2 − 2 x . D. F( x) = x 4 − x3 + x 2 − 2 x + 10 . Hướng dẫn giải 3 2 Ta có: F ( x ) = ∫ ( 4 x − 3 x + 2 x − 2 ) dx = x 4 − x3 + x 2 − 2 x + C F (1) = 9 ⇔ 14 − 13 + 12 − 2.1 + C = 9 ⇔ C =10 ⇒ F( x) = x 4 − x3 + x 2 − 2 x + 10 . Chọn D y (2 x + 1)5 là: Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số= 1 A. (2 x + 1)6 + C . 12
Trang chủ
B. 1 (2 x + 1)6 + C . 6 C. 1 (2 x + 1)6 + C . 2 Ta có: ∫ ( 2 x + 1) D. 10(2 x + 1) 4 + C . Hướng dẫn giải 1 ( 2 x + 1) 1 6 = . ( 2 x + 1) + C . 2 6 12 6 5 dx = Chọn A Câu 47. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 2 x 2 + x 3 − 4 thỏa mãn điều kiện F ( 0 ) = 0 là 2 3 x4 A. 2 x − 4 x . B. x + − 4 x . C. x 3 − x 4 + 2 x . 3 4 Hướng dẫn giải 3 2 x x4 2 3 + − 4x + C Ta có: F ( x ) = ∫ ( 2 x + x − 4 ) dx = 3 4 3 4 2.0 0 2 x4 F ( 0) =0 ⇔ + + C = 0 ⇔ C = 0 ⇒ F ( x ) = x3 + − 4 x . 3 4 3 4 Chọn D = F ’ ( x ) 4 x3 – 3 x 2 + 2 và F ( −1) = Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng 3 3 4 x ) x 4 – x3 − 2 x − 3 A. F (= D. Đáp án khác. = B. F ( x ) x 4 – x 3 +2x + 3 D. F ( x ) = x 4 + x3 + 2 x + 3 C. F (= x ) x 4 – x3 − 2 x + 3 Hướng dẫn giải Ta có: F ( x ) = ∫ F ′ ( x )dx = ∫ ( 4x − 3x 2 + 2 ) dx = x 4 − x3 + 2x + C 3 F ( −1) = 3 ⇔ ( −1) − ( −1) + 2. ( −1) + C = 3 ⇔ C = 3 4 3 = F ( x ) x 4 – x 3 +2x + 3 Vậy Chọn B f ( x) f ′ ( x )= x − 1 Câu 49. Hàm số xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là . Biết rằng f ( 0) = 3 f ( 2) + f ( 4) . Tính ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 11 . Hướng dẫn giải Chọn B khi x ≥ 1  x −1 Ta có f ′ ( x ) =  . − ( x − 1) khi x < 1 T 7 1 x2 − x + C1 . 2  x2  Khi x < 1 thì f ( x ) = − ∫ ( x − 1) dx = −  − x  + C2 .  2  Khi x ≥ 1 thì f ( x ) = ∫ ( x − 1) dx =  x2  ⇒ f ( x) = − − x + 3 C =3  2  Theo đề bài ta có f ( 0 ) = 3 nên 2 khi x < 1 . 17T Mặt khác do hàm số T 7 1 f ( x ) liên tục tại = f ( x ) lim = f ( x ) f (1) x = 1 nên lim − + x →1 x →1  x  x     1 1  − 1 + C1 ⇔ C1 = 4. ⇔ lim−  −  − x = + 3 lim+  − x  + C1  ⇔ −  − 1 + 3= x →1 2 2    x →1  2    2  x2 − x + 4 ⇒ f ( 2) + f ( 4) = 12 . Vậy khi x ≥ 1 thì f ( x ) = 2 2 https://toanmath.com/ 2 f ( x) f ′ ( x )= x + sin x f ( 0) = 1 Câu 50. Cho hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Tìm f ( x) . x2 x2 A. f ( x ) = − cos x + 2 . B. f ( x ) = − cos x − 2 . 2 2 2 1 x2 x + cos x . C. f ( x= D. f ( x ) = + cos x + . ) 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A x2 2. Ta có f ′ ( x )= x + sin x ⇒ f ( x ) = − cos x + C ; f ( 0 ) = 1 ⇔ −1 + C =1 ⇔ C = 2 x2 Vậy f ( x ) = − cos x + 2 . 2 Câu 51. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x )= 3 − 5cos x và f ( 0 ) = 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 x 5sin x + 2 . A. f ( x ) =+ 3 x 5sin x − 5 . B. f ( x ) =− C. f ( x ) =− 3 x 5sin x + 5 . D. f ( x ) =+ 3 x 5sin x + 5 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có f ( x ) = 3 x 5sin x + C . ∫ ( 3 − 5cos x ) dx =− Lại có: f ( 0 ) =5 ⇔ 3.0 − 5sin 0 + C =5 ⇔ C =5 . Vậy f ( x ) =− 3 x 5sin x + 5 . Câu 52. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của của hàm số f ( x ) = sin x và đồ thị hàm số y = F ( x ) đi π  qua điểm M ( 0;1) . Tính F   . 2 π  π  π  A. F   = 2 . B. F   = −1 . C. F   = 0 . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A * Ta có F ( x ) = − cos x + C , với C là hằng số tùy ý. π  D. F   = 1 . 2 * Đồ thị hàm số y = F ( x ) đi qua điểm M ( 0;1) nên π  1= − cos 0 + C ⇔ C = 2 ⇒ F ( x) = − cos x + 2 . Do đó F   = 2 . 2 Câu 53. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x + 3 thỏa mãn F ( 0 ) = 2 , giá trị của F (1) bằng A. 4 . B. 13 . 3 C. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B x3 − x 2 + 3x + C . Ta có: ∫ x − 2 x + 3dx = 3 2. F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) có F ( 0 ) = 2 ⇒ C = 2 Vậy F ( x ) = https://toanmath.com/ x3 13 − x 2 + 3x + 2 ⇒ F (1) = . 3 3 D. 11 . 3 Câu 54. Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = ax + F (1) = 4 , f (1) = 0 . 3x 2 3 7 + + . A. F ( x ) = 4 2x 4 C. F ( x ) = b 1, ( x ≠ 0 ) , biết rằng F ( −1) = x2 3x 2 3 7 + − . 2 4x 4 3x 2 3 7 − − . B. F ( x ) = 4 2x 4 D. F ( x ) = 3x 2 3 1 − − . 2 2x 2 Hướng dẫn giải Chọn A . b  ax 2 bx −1 ax 2 b  −2 d d ax + x = ax + bx x = + + C = − +C ) ∫ ∫  x 2  ∫ ( 2 2 x −1 3 a  + = + = b C a 1   2 1 2  F ( −1) =   3x 2 3 7 3 a  + + . Ta có:  F (1) =4 ⇔  − b + C =4 ⇔ b =− . Vậy F ( x ) = 2 2 4 2 4 x     f (1) = 0 0 7 a + b =   C = 4   F ( x )= f ( x ) dx= Câu 55. Biết hàm số y = f ( x ) có f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 x − m + 1 , f ( 2 ) = 1 và đồ thị của hàm số y = f ( x ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −5 . Hàm số f ( x ) là B. x3 + 2 x 2 − 5 x − 5 . C. 2 x3 + x 2 − 7 x − 5 . Hướng dẫn giải A. x3 + x 2 − 3 x − 5 . Chọn A Ta có f ( x ) = ∫ ( 3x 2 D. x3 + x 2 + 4 x − 5 . + 2 x − m + 1) dx = x3 + x 2 + (1 − m ) x + C . 1 m = 4  f ( 2 ) = 1 2 (1 − m ) + C + 12 = Theo đề bài, ta có  ⇒ ⇒ ⇒ f ( x ) = x3 + x 2 − 3x − 5 C = −5  f ( 0 ) = −5 C = −5 . 1 2 Câu 56. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f (= x ) ( 2 x − 3) thỏa mãn F ( 0 ) = . Giá trị của biểu 3 thức log 2 3F (1) − 2 F ( 2 )  bằng A. 10 . B. −4 . C. 4 . Hướng dẫn giải D. 2 . Chọn D Ta có: 1 2 2 0 1 3F (1) − 2 F ( 2 )= 3  F (1) − F ( 2 )  + F ( 2 ) − F ( 0 ) + F ( 0 ) = 3∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + = 4 . 3 ⇒ log 2 3F (1) − 2 F ( 2 )  = log 2 4 =2 . Câu 57. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x 3 + 2 ( m − 1) x + m + 5 , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của f ( x ) biết rằng F (1) = 8 và F ( 0 ) = 1 là: A. F ( x ) = x 4 + 2 x 2 + 6 x + 1 https://toanmath.com/ B. F ( x ) = x 4 + 6 x + 1 . C. F ( x ) =x 4 + 2 x 2 + 1 . D. Đáp án A và B Hướng dẫn giải Ta có: 3 4 2 ∫ 4 x + 2 ( m − 1) x + m + 5dx = x + ( m − 1) x + ( m + 5) x + C . Lại có:  F ( 0 ) = 1 C 1= = C 1 ⇔ ⇔  +C 8 = 1 + m − 1 + m + 5= m 1  F (1) = 8 Vậy F ( x ) = x 4 + 6 x + 1 . Chọn B xn dx ? x 2 x3 xn 1 + x + + + ... + 2! 3! n! 2  x xn  A. T = x.n !+ n !ln 1 + x + + ... +  + C . 2! n!   Câu 58. Tìm T = ∫  x2 xn  B. T = x.n !− n !ln 1 + x + + ... +  + C . 2! n!    x2 xn  C.= T n !ln 1 + x + + ... +  + C . n!  2!   x2 xn  D.= T n !ln 1 + x + + ... +  − x n .n !+ C . 2! n!   Hướng dẫn giải 2 3 4 x x x xn x 2 x3 x n −1 Đặt g ( x ) =+ 1 x + + + + ... + ⇒ g ′ ( x ) =+ 1 x + + + ... + n! 2! 3! 4! 2! 3! ( n − 1)! xn ⇒ x n = n !( g ( x ) − g ′ ( x ) ) n! ′ n !.  g ( x ) − g ( )   g′( x)   x2 xn  ⇒ T= ∫  dx= n ! ∫ 1 − dx = n !. x − n !ln = n ! x − n !ln 1 + x + + ... +   +C g ( x) 2! n!    g ( x)  Chọn B Ta có: g ( x ) − g ′ ( x ) = https://toanmath.com/ DẠNG 3:NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ P( x) f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x) = Q( x) – Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). 1 A B = + Chẳng hạn: ( x − a )( x − b) x − a x − b 1 A Bx + C , vôùi ∆= b 2 − 4ac < 0 = + 2 2 ( x − m)(ax + bx + c) x − m ax + bx + c 1 A B C D = + + + 2 2 2 ( x − a ) ( x − b) x − a ( x − a) x − b ( x − b) 2 BÀI TẬP 5 + 2x4 . Khi đó: Câu 59. Cho hàm số f ( x) = x2 2 x3 5 − +C A. ∫ f ( x)dx= 3 x 3 2x 5 + +C C. ∫ f ( x)dx= x 3 5 2 x3 − + C x 3 2x f ( x)dx = + 5ln x 2 + C 3 B. ∫ f ( x)dx= D. ∫ 2  x2 + 1  Câu 60. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =   là hàm số nào trong các hàm số sau?  x  x3 1 x3 1 − + 2x + C . + + 2x + C . A. F ( x) = B. F ( x) = 3 x 3 x x3 +x C. = F ( x) 3 2 + C . x 2 2x4 + 3 Câu 61. Nguyên hàm của hàm số y = là: x2 2 x3 3 3 − +C. A. B. −3x 3 − + C . C. 3 x x  1  Câu 62. Tính nguyên hàm ∫   dx  2x + 3  1 1 A. ln 2 x + 3 + C . B. ln ( 2 x + 3) + C . C. 2 2 1 Câu 63. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = , biết 2x +1 1 A. F= B. ( x ) 2 ln 2 x + 1 − . 2 1 C. F= D. ( x ) ln 2 x + 1 + 1 . 2 https://toanmath.com/ 3  x3   +x D. F ( x)  3 2  + C . =  x     2  2 x3 3 + +C . 3 x D. 2 ln 2 x + 3 + C . D. ln 2 x + 3 + C .  e −1  3 F  = là:  2  2 F= ( x ) 2 ln 2 x + 1 + 1 . F (= x ) ln 2 x + 1 + 1 . 2 x3 3 − +C . 3 x 1 và F ( 2 ) = 1 . Tính F ( 3) . x −1 1 7 C. F ( 3) = . D. F ( 3) = . 2 4 Câu 64. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A. F (= 3) ln 2 − 1 . B. F (= 3) ln 2 + 1 . Câu 65. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) = B. 2 + ln 2 . A. ln 2 . Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. −1 2 (3 + 2x ) 2 +C . B. 1 và F ( 0 ) = 2 thì F (1) bằng. x +1 C. 3 . D. 4 . 2 là : (3 − 2 x)3 1 4 (3 − 2x ) +C . C. 2 (3 − 2x ) 2 +C . Câu 67. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 − x −1 . x +1 1 ∫ x( x − 3)dx Câu 68. Tính . 1 x +C . A. ln 3 x −3 A. B. x2 + x −1 . x +1 C. 1 x+3 ln +C. 3 x C. x2 + x + 1 . x +1 D. 1 2 (3 − 2x ) 2 +C . x(2 + x) ( x + 1) 2 D. x2 . x +1 1 x 1 x −3 ln +C. +C . D. ln 3 x+3 3 x 1 b Câu 69. F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f (= . Biết F ( 0 ) = 0 , F (1)= a + ln 3 x ) 3x 2 + c 2x +1 b trong đó a , b , c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức c a + b + c bằng. A. 4 . B. 9 . C. 3 . D. 12 . 2 x + 2x Câu 70. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . 2 ( x + 1) B. x2 − x −1 x2 + x −1 x2 + x + 1 x2 . B. F2 ( x ) = . C. F3 ( x ) = . D. F4 ( x ) = . x +1 x +1 x +1 x +1 2 x − 13 = dx a ln x + 1 + b ln x − 2 + C . Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 71. Cho biết ∫ ( x + 1)( x − 2) 8. 8. 8. 8. A. a + 2b = B. a + b = C. 2a − b = D. a − b = 2x +1 Câu 72. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = thỏa mãn F (2) = 3 . Tìm F ( x ) 2x − 3 : A. F ( x) = x + 4 ln 2 x − 3 + 1 . B. F ( x) = x + 2 ln(2 x − 3) + 1 . A. F1 ( x ) = C. F ( x) = x + 2 ln 2 x − 3 + 1 . 1 Câu 73. Tích phân = I ∫ 0 ( x − 1)= dx 2 x2 + 1 a ln b + c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a + b + c ? A. 3 . B. 0 . 1 Câu 74. Tính ∫ 2 dx , kết quả là: x − 4x + 3 https://toanmath.com/ D. F ( x) =x + 2 ln | 2 x − 3 | −1 . C. 1 . D. 2 . A. 1 x −1 ln +C . 2 x −3 Câu 75. Nguyên hàm ∫x 2 B. 1 x−3 ln +C . 2 x −1 C. ln x 2 − 4 x + 3 + C . D. ln x −3 +C . x −1 1 dx là: − 7x + 6 1 x −1 +C . ln 5 x−6 1 C. ln x 2 − 7 x + 6 + C . 5 1 x−6 ln +C . 5 x −1 1 D. − ln x 2 − 7 x + 6 + C . 5 1 , biết F ( 0 ) = 1 . Giá trị của F ( −2 ) Câu 76. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2x +1 bằng 1 1 1 A. 1 + ln 3 . B. 1 + ln 5 . C. 1 + ln 3 . D. (1 + ln 3) . 2 2 2 1 Câu 77. Tìm nguyên hàm I = ∫ dx. 4 − x2 1 x+2 1 x−2 = + C. ln = ln + C. A. I B. I 2 x−2 2 x+2 1 x−2 1 x+2 = ln + C. = + C. ln C. I D. I 4 x−2 4 x+2 x+3 Câu 78. Tìm nguyên hàm ∫ 2 dx . x + 3x + 2 x+3 A. ∫ 2 = dx 2 ln x + 2 − ln x + 1 + C . x + 3x + 2 x+3 B. ∫ 2 = dx 2 ln x + 1 − ln x + 2 + C . x + 3x + 2 x+3 C. ∫ 2 = dx 2 ln x + 1 + ln x + 2 + C . x + 3x + 2 x+3 D. ∫ 2 dx= ln x + 1 + 2 ln x + 2 + C . x + 3x + 2 2 x3 − 6 x 2 + 4 x + 1 dx là: Câu 79. Nguyên hàm ∫ x 2 − 3x + 2 x −1 1 x−2 +C . +C. A. x 2 + ln B. x 2 + ln 2 x −1 x−2 x−2 1 x −1 +C. +C . C. x 2 + ln D. x 2 + ln x −1 2 x−2 3x + 3 Câu 80. Nguyên hàm ∫ 2 dx là: −x − x + 2 A. 2 ln x − 1 − ln x + 2 + C . B. −2 ln x − 1 + ln x + 2 + C . A. B. C. 2 ln x − 1 + ln x + 2 + C . D. −2 ln x − 1 − ln x + 2 + C . Câu 81. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. F ( x ) = x2 2 13 +x+ − . 2 x +1 6 https://toanmath.com/ x3 + 3x 2 + 3x − 1 1 khi biết F (1) = là 2 x + 2x +1 3 2 x 2 13 +x+ + . B. F ( x ) = 2 x +1 6 C. F ( x ) = x2 2 +x+ . 2 x +1 x2 2 +x+ + C. 2 x +1 D. F ( x ) = ax + b ( 4a − b ≠ 0 ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) x+4 2 và thỏa mãn: 2 f= ( x )  F ( x ) − 1 f ′ ( x ) . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a = 1 , b = 4 . B. a = 1 , b = −1 . C. a = 1 , b ∈  {4} . D. a ∈  , b ∈  . Câu 82. Biết luôn có hai số a và b để F ( x ) = DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số f (= x) x + 3 x 3 x 2 là : 5 x x 27 x 2 3 x 2 + +C . 3 8 2 x x 9 x2 3 x2 D. + +C . 3 8 2 x 3 x 9 x x2 + +C . 4 8 2x x 9x2 3 x − +C. C. 3 5 B. A. Câu 84. Nguyên hàm của f ( x ) = 1 2 + 3 + 3 là: x x A. 2 x + 3 3 x 2 + 3 x + C . 1 x + 3 3 x 2 + 3x + C . 2 dx Câu 85. Tính ∫ thu được kết quả là: 1− x C A. B. −2 1 − x + C 1− x C. Câu 86. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x )= F ( 3) = 6 là: 2 3 2 C. F (= x) 3 1 1 + . x 3 1 1 3 ( x + 1) − − . x 3 dx = a (x + 2) x + 2 + b(x + 1) Câu 87. Cho ∫ x + 2 + x +1 1 −2 A. . B. . 3 3 x −1 Q=∫ dx x + 1 Câu 88. Tìm ? A. F (= x) A. Q= ( x + 1) 3 − x 2 − 1 + ln x + x 2 − 1 + C . C. Q= ln x + x 2 − 1 − x 2 − 1 + C . https://toanmath.com/ 43 2 x + 3x + C . 3 1 4 D. x + 3 x 2 + 3x + C . 2 3 B. 2 x + 2 +C D. 1 − x + C 1− x 1 x + 1 − 2 . Nguyên hàm của f ( x ) biết x C. 2 3 2 D. F (= x) 3 B. F (= x) 1 1 + . x 3 1 1 3 ( x + 1) + − . x 3 ( x + 1) 3 + x + 1 + C . Khi đó 3a + b bằng: C. 4 . 3 B. Q= D. 2 . 3 x 2 − 1 − ln x + x 2 − 1 + C . D. Cả đáp án B,C đều đúng. Câu 89. Biết F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f= ( x) F ( 3) = 7 . Khi đó, giá trị của tham số m bằng 1 + m − 1 thỏa mãn F ( 0 ) = 0 và 2 x +1 A. −2 . B. 3 . C. −3 . D. 2 . Câu 90. Hàm số F ( x ) = ( ax + b ) 4 x + 1 ( a, b là các hằng số thực) là một nguyên hàm của 12 x . Tính a + b . 4x +1 A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . 2 Câu 91. Biết F ( x )= ( ax + bx + c ) 2 x − 3 ( a, b, c ∈  ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 20 x 2 − 30 x + 11 3  trên khoảng  ; +∞  . Tính T = a + b + c . f ( x) = 2x − 3 2  A. T = 8 . B. T = 5 . C. T = 6 . D. T = 7 . DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 92. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 cos 2 x là B. sin 2x + C . C. 2sin 2x + C . A. −2sin 2x + C . Câu 93. Họ nguyên hàm của hàm số f= ( x ) sin 5 x + 2 là D. sin 2x + C . 1 1 B. − cos 5 x + 2 x + C . C. cos 5 x + 2 x + C . D. cos 5 x + 2 x + C . 5 5 Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x= ) 2 x + sin 2 x là A. 5cos 5x + C . 1 1 A. x 2 − cos 2 x + C . B. x 2 + cos 2 x + C . C. x 2 − 2 cos 2 x + C . D. x 2 + 2 cos 2 x + C . 2 2 Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 2 2 x là: 1 cos 4 x x cos 4 x 1 cos 4 x x cos 4 x A. + B. − C. − D. + +C . +C. +C . +C . 2 8 2 8 2 2 2 2 π  f ( x ) cos  3 x +  . Câu 96. Tìm nguyên hàm của hàm số= 6  π 1  π  dx 3sin  3x +  + C . − sin  3 x +  + C . A. ∫ f ( x )= B. ∫ f ( x ) dx = 6 3  6  π 1 π  dx 6sin  3 x +  + C . C. ∫ f ( x )= D. ∫ f ( x= ) dx sin  3x +  + C . 6 3  6  F ( x ) = cos 2 x − sin x + C f ( x) f (π) Câu 97. Cho là nguyên hàm của hàm số . Tính . A. f ( π ) = −3 . B. f ( π ) = 1 . C. f ( π ) = −1 . D. f ( π ) = 0 . dx Câu 98. ∫ Tính: 1 + cos x A. 2 tan x +C. 2 B. tan x +C . 2 C. 1 x tan + C . 2 2 https://toanmath.com/ cos 3 x 2 + . 3 3 1 x tan + C . 4 2 2 . 3 cos 3 x B. F ( x ) = 3x 2 − −1. 3 Câu 99. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x= ) 6 x + sin 3x , biết F ( 0 ) = A. F ( x ) = 3x 2 − D. cos 3 x + 1. 3 Câu 100. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = tan 2 x là: A. cot x − x + C . B. tan x − x + C . C. F ( x ) = 3x 2 + D. F ( x ) = 3x 2 − cos 3 x +1. 3 C. − cot x − x + C . D. − tan x − x + C . 1 Câu 101. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = − và F ( 0 ) = 1 . Khi đó, ta có F ( x ) là: cos 2 x A. − tan x . B. − tan x + 1 . C. tan x + 1 . D. tan x − 1 . 4 Câu 102. Cho hàm số f ( x ) = sin 2 x . Khi đó: A. 1 1  1 1  ∫ f ( x ) dx = 8  3x + sin 4 x + 8 sin 8 x  + C . 1 1  1 1  B. ∫ f ( x ) dx =8  3x − cos 4 x + 8 sin 8 x  + C D. ∫ f ( x ) dx = 8  3x − sin 4 x + 8 sin 8 x  + C . C. ∫ f ( x ) dx =8  3x + cos 4 x + 8 sin 8 x  + C . . 1 Câu 103. Biết rằng F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f= ( x ) sin (1 − 2 x ) và thỏa mãn F   = 1. 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 3 A. F ( x ) = B. F= − cos (1 − 2 x ) + . ( x ) cos (1 − 2 x ) . 2 2 1 1 C. F ( x )= cos (1 − 2 x ) + 1. D. F ( x= ) cos (1 − 2 x ) + . 2 2 Câu 104. Nguyên hàm ∫ ( sin 2 x + cos x ) dx là: 1 cos 2 x + sin x + C . B. − cos 2 x + sin x + C . 2 1 C. − cos 2 x + sin x + C . D. − cos 2 x − sin x + C . 2 Câu 105. Nguyên hàm ∫ sin ( 2 x + 3) + cos ( 3 − 2 x )  dx là: A. A. −2 cos ( 2 x + 3) − 2sin ( 3 − 2 x ) + C . B. −2 cos ( 2 x + 3) + 2sin ( 3 − 2 x ) + C . C. 2 cos ( 2 x + 3) − 2sin ( 3 − 2 x ) + C . D. 2 cos ( 2 x + 3) + 2sin ( 3 − 2 x ) + C . Câu 106. Nguyên hàm ∫ sin ( 3x + 1) + cos x dx là: 2 1 B. x − 3sin ( 6 x + 2 ) + sin x + C . x − 3sin ( 6 x + 2 ) + sin x + C . 2 1 1 C. x − 3sin ( 3 x + 1) + sin x + C . D. x − 3sin ( 6 x + 2 ) − sin x + C . 2 2 Câu 107. Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của ∫ ( sin 3 x + cos3 x ) dx ? A. 3 sin 2 x ( sin x − cos x ) + C . 2 π π   C. 3 2 sin 2 x sin  x −  + C . D. 3 2 sin x.cos x.sin  x −  + C . 4 4   Câu 108. Cho hàm số f ( x ) = cos 3 x.cos x . Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) bằng 0 khi x = 0 là: A. 3cos x.sin 2 x − 3sin x.cos 2 x + C . A. 3sin 3 x + sin x https://toanmath.com/ B. sin 4 x sin 2 x + 8 4 B. C. sin 4 x sin 2 x + 2 4 D. cos 4 x cos 2 x + 8 4 f ( x ) = cot 2 x của hàm số là: B. − cot x − x + C C. cot x + x + C D. tan x + x + C sin 4 x π  Câu 110. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = thỏa mãn F   = 0 . Tính F ( 0 ) . 2 1 + cos x 2 A. F ( 0 ) =−4 + 6 ln 2 . B. F ( 0 ) =−4 − 6 ln 2 . C. F ( 0 )= 4 − 6 ln 2 . D. F ( 0 )= 4 + 6 ln 2 . Câu 109. Họ nguyên hàm A. cot x − x + C F ( x) π   π Câu 111. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan 2 x và F   = 1 . Tính F  −  . 4  4  π π  π π  π π  π −1 . A. F  −  = − 1 . B. F  −  = − 1 . C. F  −  = D. F  −  = + 1 .  4 2  4 4  4 2  4 2  π  3π Câu 112. Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x )= (1 + sin x ) biết F   = 2 4 3 1 3 1 A. F ( x ) =x + 2 cos x − sin 2 x. B. F ( x ) =x − 2 cos x − sin 2 x. 2 4 2 4 3 1 3 1 C. F ( x ) =x − 2 cos x + sin 2 x. D. F ( x ) =x + 2 cos x + sin 2 x. 2 4 2 4 −3sin 3 x + 2 cos 3 x Câu 113. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . 5sin 3 x − cos 3 x 17 7 17 7 B. − x − ln 5sin 3 x − cos 3 x + C . A. − x + ln 5sin 3 x − cos 3 x + C . 26 78 26 78 17 7 17 7 C. D. x + ln 5sin 3 x − cos 3 x + C . x − ln 5sin 3 x − cos 3 x + C . 26 78 26 78 a a 2 Câu 114. Biết ∫ ( sin 2 x − cos 2 x ) dx = là phân x + cos 4 x + C , với a , b là các số nguyên dương, b b số tối giản và C ∈  . Giá trị của a + b bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Câu 115. Tính I = ∫ 8sin 3 x cos xdx = a cos 4 x + b cos 2 x + C . Khi đó, a − b bằng A. 3 . B. −1 . C. 1 . D. 2 . Câu 116. F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = 2sin x cos 3 x và F ( 0 ) = 0 , khi đó cos 2 x cos 4 x 1 − − . 4 8 8 cos 2 x cos 4 x 1 cos 4 x cos 2 x 1 C. F ( x ) = D. F ( x ) = − − . − + . 2 4 4 4 2 4 Câu 117. Cho α ∈  . Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x . A. F = ( x ) cos 4 x − cos 2 x . A. F1 ( x ) = − cos x . B. F2 ( x ) = 2sin x  x  −2sin  α +  sin  α −  . C. F3 ( x ) = 2  2  B. F ( x ) = x +α x −α . sin 2 2 D. F4 ( x ) = 2 cos α+x 2 sin α−x 2 . 1 Câu 118. Tìm họ nguyên hàm của hàm số = f ( x ) tan 2 2 x + . 2 1 1 x   dx 2 tan 2 x − 2 x + C . dx tan 2 x − + C . A. ∫  tan 2 2 x + = B. ∫  tan 2 2 x + = 2 2 2   1 1 tan 2 x x   dx tan 2 x − x + C . dx − +C . C. ∫  tan 2 2 x + = D. ∫  tan 2 2 x + = 2 2 2 2   https://toanmath.com/ Câu 119. Hàm số= F ( x ) ln sin x − 3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây? sin x − 3cos x − cos x − 3sin x . B. f ( x ) = . sin x − 3cos x cos x + 3sin x cos x + 3sin x C. f ( x ) = . D. f = ( x ) cos x + 3sin x . sin x − 3cos x 7 cos x − 4sin x  π  3π Câu 120. Hàm số f ( x ) = có một nguyên hàm F ( x ) thỏa mãn F   = . Giá trị cos x + sin x 4 8 A. f ( x ) = π  F   bằng? 2 3π − 11ln 2 3π A. . B. . 4 4 sin x I =∫ dx sin x + cos x ? Câu 121. Tìm 1 A. I = ( x + ln sin x + cos x ) + C . 2 C. 3π . 8 D. 3π − ln 2 . 4 B. I = x + ln sin x + cos x + C . 1 D. I = ( x − ln sin x + cos x ) + C . 2 s inx  cos x − s inx  I ∫ dx = ∫ A+ B Câu 14. Biết= dx . Kết quả của A, B lần lượt là cos x + s inx  cos x + s inx  1 1 1 1 1 1 A. A= B= B. A = B = − . C. A = D. A = , B = − . . − ,B = . 2 2 2 2 2 2 4 cos x I =∫ 4 dx sin x + cos 4 x ? Câu 122. Tìm  2 + sin 2 x    2 + sin 2 x  1 1 1 A. I = B. I = ln  x− ln   x −   + C . +C . 2 2 2  2 − sin 2 x   2 2  2 − sin 2 x   2 + sin 2 x    2 + sin 2 x  1 1 1 C. I = D. I = ln  x− ln   x +   + C . +C . 2 2 2  2 − sin 2 x   2 2  2 − sin 2 x  Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = −3sin 2 x + 2 cos x − e x là C. I = x − ln sin x + cos x + C . B. 6 cos 2 x − 2sin x − e x + C . 3 D. cos 2 x + 2sin x − e x + C . 2 π  Câu 124. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0; π ]   thỏa mãn f ′ ( x ) = tan x , 2  π 5π   π  π   2π  ∀x ∈  − ;    , f ( 0 ) = 0 , f (π ) = 1 . Tỉ số giữa f   và f   bằng:  4 4  2  3  4 1(1 + ln 2 ) A. 2 ( log 2 e + 1) . B. 2 . C. . D. 2 (1 − log 2 e ) . 2 + ln 2 A. −6 cos 2 x + 2sin x − e x + C . 3 C. cos 2 x − 2sin x − e x + C . 2 DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT Câu 125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 52 x . https://toanmath.com/ 2x A. ∫ 5= dx 2. 52 x +C . ln 5 2x 2x C. = ∫ 5 dx 2.5 ln 5 + C . Câu 126. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 .e 2018 x + C = f ( x ) dx ∫ 2018 . A. 25 x +C . 2 ln 5 25 x +1 x +C . D. ∫ 52= dx x +1 x B. ∫ 52= dx f ( x ) = e 2018 x . f ( x= ) dx e2018 x + C . B. ∫ = f ( x ) dx 2018e 2018 x + C f ( x ) dx e 2018 x ln 2018 + C = C. ∫ . D. ∫ . 2x F ( x) f ( x) = e F ( 0) = 1 Câu 127. Tìm nguyên hàm của hàm số , biết . 2x e 1 x) + . A. F ( x ) = e 2 x . B. F (= C. F = ( x ) 2e2 x − 1 . D. F ( x ) = e x . 2 2 Câu 128. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) = e3 x thỏa mãn F ( 0 ) = 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 3x 2 e + . 3 3 1 C. F= ( x ) e3 x + 1 . 3 A. F= ( x) 1 B. F ( x ) = e3 x . 3 1 4 D. F ( x ) = − e3 x + . 3 3 Câu 129. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x= ) e x + 2 x thỏa mãn F ( 0 ) = 3 . Tìm F ( x ) . 2 5 1 . B. F ( x ) = 2e x + x 2 − . 2 2 3 1 C. F ( x ) = e x + x 2 + . D. F ( x ) = e x + x 2 + . 2 2 x Câu 130. Cho hàm số f ( x ) thỏa= mãn f ′ ( x ) 2018 ln 2018 − cos x và f ( 0 ) = 2 . Phát biểu nào sau A. F ( x ) = e x + x 2 + đúng? A. f ( x ) = 2018 + sin x + 1 . x 2018 x − sin x + 1 . ln 2018 3x 2 ∫ (2 + e ) dx C. f ( x= ) Câu 131. Tính 2018 x + sin x + 1 . B. f ( x= ) ln 2018 D. f ( x ) = 2018 x − sin x + 1 . 4 1 A. 3 x + e3 x + e6 x + C 3 6 4 1 C. 4 x + e3 x − e6 x + C 3 6 4 5 B. 4 x + e3 x + e6 x + C 3 6 4 1 D. 4 x + e3 x + e6 x + C 3 6 x −x x) e (1 − e ) và F (0) = 3 thì F ( x) là? Câu 132. Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f (= A. e x − x B. e x − x + 2 C. e x − x + C D. e x − x + 1 ) e x − e − x là : Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x= A. e x + e − x + C . B. e x − e − x + C . C. −e x + e − x + C . D. e x + e x + C . Câu 134. Hàm số F ( x) =e x + e − x + x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? https://toanmath.com/ A. f ( x) = e − x + e x + 1 C. f ( x) =e x − e − x + 1 x) e 2 x − e −3 x Câu 135. Họ nguyên hàm của hàm số f ( = 1 2 x 2 1 D. f ( x) =e x + e − x + x 2 2 là : B. f ( x) =e x − e − x + e3 x e −2 x + +C. B. 3 2 e3 x e −3 x + +C . C. D. 2 2 x) 32 x − 2−3 x là : Câu 136. Họ nguyên hàm của hàm số f ( = A. e 2 x e −3 x + +C . 2 3 e −2 x e3 x + +C. 3 2 32 x 2−3 x − +C . B. 2.ln 3 3.ln 2 3−2 x 23 x − +C . D. 2.ln 3 3.ln 2 32 x 2−3 x + +C . A. 2.ln 3 3.ln 2 3−2 x 23 x + +C . C. 2.ln 3 3.ln 2 Câu 137. Hàm số y = f ( x) có một nguyên hàm là F ( x ) = e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số . f ( x) + 1 B. dx =e x − e − x + C . ex f ( x) + 1 C. ∫ D. dx = 2e x + e − x + C . x e Câu 138. Tìm nguyên hàm của hàm số f (= x ) e x (1 + e − x ) . A. ∫ ∫ f ( x ) d=x e C. ∫ f ( x ) dx =e A. −x x ∫ ∫ f ( x) + 1 dx = 2e x − e − x + C . ex f ( x) + 1 1 dx = e x − e − x + C . x e 2 ∫ f ( x ) dx = D. ∫ f ( x ) d= x +C . B. + e− x + C . f ( x) + 1 ex ex + x + C . ex + C . Câu 139. F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = xe x . Hàm số nào sau đây không phải là F ( x ) ? 2 ( ) 1 x2 e +2. 2 1 2 C. F ( x ) = − ex + C . 2 B. F= ( x) 12 x 2 x x − +C . A. F ( x ) = ln12 3 2 2 x  3x x x  C. = F ( x) −  . ln 2  ln 3 4 x  B. F ( x ) =12 x + x x + C . 1 x2 e +5 . 2 2 1 D. F ( x ) = − 2 − ex . 2  x Câu 140. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số = f ( x ) 22 x  3x − x  . 4   A. F= ( x) ( ) 22 x  3x x x ln 4  D. = F ( x) −   . ln 2  ln 3 4x   2018e − x  Câu 141. Tính nguyên hàm của hàm số = f ( x ) e x  2017 − . x5   2018 504,5 A. ∫ f ( x ) dx= 2017e x + 4 + C . B. ∫ f ( x ) dx = 2017e x + 4 + C . x x 2018 504,5 C. ∫ f ( x ) dx = 2017e x − 4 + C . D. ∫ f ( x ) dx= 2017e x − 4 + C . x x https://toanmath.com/ 22 x.3x.7 x dx Câu 142. Tính ∫ 22 x.3x.7 x 84 x +C +C A. B. ln 84 ln 4.ln 3.ln 7 e 2 x +1 − 2 Câu 143. Nguyên hàm ∫ dx là: 3 x e 5 53 x +1 2 − 3x − e +C . A. e 3 3 5 5 x +1 2 x C. e 3 − e 3 + C . 3 3 C. 84 x + C D. 84 x ln 84 + C 5 53 x +1 2 3x + e +C . B. e 3 3 5 5 x +1 2 − x D. e 3 + e 3 + C . 3 3 1 1 Câu 144. Cho F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x và F ( 0 ) = − ln 4 . Tập nghiệm S của 3 e +3 x phương trình 3F ( x ) + ln ( e + 3) = 2 là A. S = {2} . B. S = {−2; 2} . C. S = {1; 2} . D. S = {−2;1} . 1 3 x +1 e ( 9 x 2 − 24 x + 17 ) + C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây. 27 A. f ( x ) = ( x 2 + 2 x − 1) e3 x +1 . B. f ( x ) = ( x 2 − 2 x − 1) e3 x +1 . Câu 145. Hàm số= F ( x) C. f ( x ) = (x 2 − 2 x + 1) e3 x +1 . Câu 146. Cho hai hàm số F ( x ) = (x 2 D. f ( x ) = (x 2 − 2 x − 1) e3 x −1 . + ax + b ) e − x và f ( x ) =− ( x 2 + 3x + 6 ) e− x . Tìm a và b để F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . B. a = −1 , b = −7 . C. a = −1 , b = 7 . D. a = 1 , b = 7 . A. a = 1 , b = −7 . n x F = ∫ x e dx Câu 147. Tìm ? n −1 n x  n A. F= e x − nx n −1 + n ( n − 1) x n − 2 + ... + n !( −1) x + n !( −1)  + x n + C .   n −1 n x  n n −1 n−2 B. F= e x − nx + n ( n − 1) x + ... + n !( −1) x + n !( −1)  + C .   x C.= F n !e + C . D. F = x n − nx n −1 + n ( n − 1) x n − 2 + ... + n !( −1) n −1 x + n !( −1) + e x + C . n Câu 148. Giả sử ∫ e 2 x (2 x3 + 5 x 2 − 2 x + 4)dx= (ax 3 + bx 2 + cx + d )e 2 x + C . Khi đó a + b + c + d bằng A. -2 C. 2 D. 5 −x  2018e  Câu 149. Tính nguyên hàm của hàm số = f ( x ) e x  2017 − . x5   2018 504,5 A. ∫ f ( x ) dx= 2017e x + 4 + C . B. ∫ f ( x ) dx = 2017e x + 4 + C . x x 2018 504,5 C. ∫ f ( x ) dx = 2017e x − 4 + C . D. ∫ f ( x ) dx= 2017e x − 4 + C . x x 2x 3 2 3 2 2x Câu 150. Giả sử ∫ e (2 x + 5 x − 2 x + 4)dx= (ax + bx + cx + d )e + C . Khi đó a + b + c + d bằng A. -2 Câu 151. Cho F ( x )= B. 3 B. 3 C. 2 2x ( x) ( ax + bx − c ) e là một nguyên hàm của hàm số f= 2 D. 5 ( 2018x 2 − 3x + 1) e2 x trên khoảng ( −∞; +∞ ) . Tính T =a + 2b + 4c . A. T = −3035 . https://toanmath.com/ B. T = 1007 . C. T = −5053 . D. T = 1011 . Câu 152. Biết F ( x )= ( ax 2 + bx + c ) e − x là một nguyên hàm của hàm số f ( x )=  . Tính giá trị của biểu thức f  F ( 0 )  . B. 20e 2 . A. −e −1 . ( 2x 2 − 5 x + 2 ) e − x trên D. 3e . 1 Câu 153. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x , thỏa mãn F ( 0 ) = . Tính giá trị ln 2 biểu thức = T F ( 0 ) + F (1) + F ( 2 ) + ... + F ( 2017 ) . A. T = 1009. https://toanmath.com/ 22017 + 1 . ln 2 B. T = 22017.2018 . C. 9e . C. T = 22017 − 1 . ln 2 D. T = 22018 − 1 . ln 2 HƯỚNG DẪN GIẢI 5 + 2x . Khi đó: x2 5 − +C x 5 + +C x Câu 59. Cho hàm số f ( x) = 2 x3 3 2 x3 f ( x)dx= 3 4 5 2 x3 − + C x 3 2x C. ∫ D. ∫ f ( x)dx = + 5ln x 2 + C 3 Hướng dẫn giải 4 5 + 2x 2 x3 5  5 2 Ta có: ∫ dx= ∫  2 + 2 x  dx= − +C . x2 x 3 x  Chọn A A. ∫ f ( x)dx= B. ∫ f ( x)dx= 2  x2 + 1  Câu 60. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =   là hàm số nào trong các hàm số sau?  x  x3 1 x3 1 − + 2x + C . + + 2x + C . A. F ( x) = B. F ( x) = 3 x 3 x 3  x3   +x D. F ( x)  3 2  + C . =  x     2  Hướng dẫn giải x3 +x F ( x) 3 2 + C . C. = x 2 2  x2 + 1  Ta có: ∫   dx =  x  Chọn A x 4 + 2x 2 + 1 ∫ x 2 dx = 1  x3 1  2 x + 2 + = + 2x − + C . 2  ∫  x  3 x 2x4 + 3 là: x2 x3 3 2 x3 3 2 x3 3 3 − +C . + +C . − +C. A. B. −3x 3 − + C . C. D. 3 x 3 x 3 x x Hướng dẫn giải 4 2x + 3 2 x3 3  2 3 Ta có: ∫ 2 dx x dx = + = − +C .  ∫  3 x2 x2  x Chọn A  1  Câu 62. Tính nguyên hàm ∫   dx  2x + 3  1 1 A. ln 2 x + 3 + C . B. ln ( 2 x + 3) + C . C. 2 ln 2 x + 3 + C . D. ln 2 x + 3 + C . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1  1  1  1  = + 3) ln 2 x + 3 + C Ta có: ∫   dx   d ( 2x = ∫ 2  2x + 3  2  2x + 3  1  e −1  3 Câu 63. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = , biết F   = là: 2x +1  2  2 1 A. F= B. F= ( x ) 2 ln 2 x + 1 + 1 . ( x ) 2 ln 2 x + 1 − . 2 Câu 61. Nguyên hàm của hàm số y = https://toanmath.com/ C. F= ( x) 1 ln 2 x + 1 + 1 . 2 D. F ( = x ) ln 2 x + 1 + Hướng dẫn giải 1 . 2 Chọn C Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng 1 1 F ( x) = ∫ = dx ln 2 x + 1 + C . 2x +1 2 1 3  e −1  3  e −1  1. Mà F   = ⇔ ln 2   +1 + C = ⇔ C = 2 2  2  2  2  1 và F ( 2 ) = 1 . Tính F ( 3) . Câu 64. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x −1 1 7 3) ln 2 − 1 . 3) ln 2 + 1 . A. F (= B. F (= C. F ( 3) = . D. F ( 3) = . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có: F ( x= ) ∫ dx= ln x − 1 + C . x −1 Theo đề F ( 2 ) =1 ⇔ ln1 + C =1 ⇔ C =1 . Vậy F (= 3) ln 2 + 1 . 1 và F ( 0 ) = 2 thì F (1) bằng. x +1 B. 2 + ln 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Câu 65. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) = A. ln 2 . Chọn B 1 F ( x= ) ∫ x + 1 dx= ln x + 1 + C mà F ( 0 ) = 2 nên F ( x= ) ln x + 1 + 2 . Do đó F (1)= 2 + ln 2 . Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. −1 2 (3 + 2x ) 2 +C . B. 2 là : (3 − 2 x)3 1 +C . 4 (3 − 2x ) C. 2 (3 − 2x ) 2 +C . D. 1 2 (3 − 2x ) Hướng dẫn giải Ta có: 2 1 dx ∫ ( 3= − 2x) 2 (3 − 2x ) 3 2 +C . Chọn D Câu 67. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 + x −1 x2 + x + 1 . C. . x +1 x +1 Hướng dẫn giải 1 1 2 1 −1 1 −1 x + 2x + ′ 2 0 1 0 1 1 1  x + x −1  x2 + 2x + 2 Ta có:  . = =  2 2 + x 1 x + 1 x + 1 ( ) ( )   Chọn B A. x2 − x −1 . x +1 x(2 + x) ( x + 1) 2 https://toanmath.com/ B. D. x2 . x +1 2 +C . 1 ∫ x( x − 3)dx Câu 68. Tính . 1 x +C . A. ln 3 x −3 1 x+3 1 x 1 x −3 ln +C. +C . +C. C. ln D. ln 3 x 3 x 3 x+3 Hướng dẫn giải 1 1  1 1 1 x −3 Ta có: ∫ dx = −  dx = .ln +C .  ∫ x ( x − 3) 3  x −3 x  3 x Chọn D 1 b Câu 69. F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f (= . Biết F ( 0 ) = 0 , F (1)= a + ln 3 x ) 3x 2 + 2x +1 c b trong đó a , b , c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức c a + b + c bằng. A. 4 . B. 9 . C. 3 . D. 12 . Hướng dẫn giải Chọn A 1  1 3 = Ta có F ( x ) ∫  3x 2 +  dx = x + ln 2 x + 1 + C . 2x +1  2  1 Do F ( 0 ) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ F ( x ) = x3 + ln 2 x + 1 . 2 1 4. Vậy F (1) = 1 + ln 3 ⇒ a = 1; b = 1; c = 2 ⇒ a + b + c = 2 x2 + 2x Câu 70. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . 2 ( x + 1) B. x2 − x −1 . A. F1 ( x ) = x +1 x2 + x −1 x2 x2 + x + 1 B. F2 ( x ) = . C. F3 ( x ) = . D. F4 ( x ) = . x +1 x +1 x +1 Hướng dẫn giải Chọn C ( F ( x ) )′ = x 1 2 + 2x ( x + 1) 2 , đáp án A là nguyên hàm của f ( x ) . x2 + 2x + 2 ′ , đáp án B không phải là nguyên hàm của f ( x ) . F x = ( 2 ( )) 2 ( x + 1) ( F ( x ) )′ = x 3 2 + 2x ( x + 1) 2 , đáp án C là nguyên hàm của f ( x ) . x2 + 2x ′ , đáp án D là nguyên hàm của f ( x ) . ( F4 ( x ) ) = 2 ( x + 1) Câu 71. Cho biết 2 x − 13 dx ∫ ( x + 1)( x − 2) = 8. A. a + 2b = Chọn D Ta có https://toanmath.com/ a ln x + 1 + b ln x − 2 + C . Mệnh đề nào sau đây đúng? 8. B. a + b = 8. C. 2a − b = Hướng dẫn giải 8. D. a − b = 2 x − 13  5 3  1 1 −= dx ∫  dx − 3 ∫ d= x  dx 5 ∫ ∫ ( x + 1)( x −= 2) x +1 x −1  x +1 x − 2  a = 5 ⇒ a −b = 8. Vậy  b = −3 Câu 72. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 5ln x + 1 − 3ln x − 2 + C . 2x +1 thỏa mãn F (2) = 3 . Tìm 2x − 3 : A. F ( x) = x + 4 ln 2 x − 3 + 1 . B. F ( x) = x + 2 ln(2 x − 3) + 1 . C. F ( x) = x + 2 ln 2 x − 3 + 1 . D. F ( x) =x + 2 ln | 2 x − 3 | −1 . F ( x) Hướng dẫn giải Chọn C 4  2x +1  dx = ∫ 1 +  dx = x + 2 ln 2 x − 3 + C . 2x − 3  2x − 3  1. 3 ⇔C= Lại có F (2) = 3 ⇔ 2 + 2 ln 1 + C = Ta có F ( x ) = ∫ 1 Câu 73. Tích phân = I ∫ ( x − 1)= dx 0 2 x2 + 1 biểu thức a + b + c ? A. 3 . a ln b + c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của B. 0 . C. 1 . Hướng dẫn giải D. 2 . Chọn D ( x − 1) 2 ( 2x   2 1 − 2 dx =x − ln x + 1 2 ∫ x +1 x +1  0 0 Khi đó a = −1 , b = 2 , c = 1 . 2. Vậy a + b + c = 1 Câu 74. Tính ∫ 2 dx , kết quả là: x − 4x + 3 1 I =∫ 1 d= x 1 x −1 +C . ln 2 x −3 ) 1 = 1 − ln 2 . 0 1 x−3 x−3 ln +C . +C . C. ln x 2 − 4 x + 3 + C . D. ln 2 x −1 x −1 Hướng dẫn giải dx dx 1  1 1  1 x −3 = ∫ = ∫ − +C . Ta có: ∫ 2  dx = ln x − 4x + 3 2 x −1 ( x − 1)( x − 3) 2  x − 3 x − 1  Chọn B 1 Câu 75. Nguyên hàm ∫ 2 dx là: x − 7x + 6 1 x −1 1 x−6 +C . +C . A. ln B. ln 5 x−6 5 x −1 1 1 C. ln x 2 − 7 x + 6 + C . D. − ln x 2 − 7 x + 6 + C . 5 5 Hướng dẫn giải Ta có: 1 1 1  1 1  1 1 x−6 dx ∫ = dx − dx ln x − 6 − ln x − 1 ) += C ln +C (  = ∫ x 2 − 7 x + 6= ∫ 5  x − 6 x −1  5 5 x −1 ( x − 1)( x − 6 ) . A. https://toanmath.com/ B. Chọn B Câu 76. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 , biết F ( 0 ) = 1 . Giá trị của F ( −2 ) 2x +1 bằng 1 A. 1 + ln 3 . 2 1 B. 1 + ln 5 . 2 C. 1 + ln 3 . D. Hướng dẫn giải 1 (1 + ln 3) . 2 Chọn A 1 ln 2 x + 1 + C . 2 1 1 1 F ( 0 ) = 1 ⇔ ln1 + C = 1 ⇔ C = 1 ⇒ F ( x ) = ln 2 x + 1 + 1 ⇒ F ( −2 ) = 1 + ln 3 . 2 2 2 1 Câu 77. Tìm nguyên hàm I = ∫ dx. 4 − x2 1 x+2 1 x−2 = + C. ln = ln + C. A. I B. I 2 x−2 2 x+2 1 x−2 1 x+2 = + C. ln ln = + C. C. I D. I 4 x+2 4 x−2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1  1 1  1 x+2 Ta có I = −∫ dx = − ∫ − ln + C.  dx = 4  x−2 x+2 4 x−2 ( x − 2 )( x + 2 ) Ta có F= ( x) dx ) dx ∫ = ∫ f ( x= 2x +1 Câu 78. Tìm nguyên hàm ∫x x+3 = dx + 3x + 2 x+3 B. ∫ 2 = dx x + 3x + 2 x+3 C. ∫ 2 dx = x + 3x + 2 x+3 D. ∫ 2 dx= x + 3x + 2 A. ∫x 2 2 x+3 dx . + 3x + 2 2 ln x + 2 − ln x + 1 + C . 2 ln x + 1 − ln x + 2 + C . 2 ln x + 1 + ln x + 2 + C . ln x + 1 + 2 ln x + 2 + C . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ∫x 2 x+3 = dx + 3x + 2 x+3  2 1  − x dx ∫   d= ∫ ( x + 1)( x += 2)  x +1 x + 2  2 ln x + 1 − ln x + 2 + C . 2 x3 − 6 x 2 + 4 x + 1 dx là: Câu 79. Nguyên hàm ∫ x 2 − 3x + 2 1 x−2 x −1 +C . +C. A. x 2 + ln B. x 2 + ln x −1 2 x−2 x−2 1 x −1 +C . +C. C. x 2 + ln D. x 2 + ln 2 x−2 x −1 Hướng dẫn giải Ta có: https://toanmath.com/ 2 x3 − 6 x 2 + 4 x + 1 1 1 1  x−2    2 ∫ x 2 − 3x + 2 dx = ∫  2 x + x 2 − 3x + 2  dx = ∫  2 x + x − 2 − x − 1  dx = x + ln x − 1 + C Chọn D 3x + 3 Câu 80. Nguyên hàm ∫ 2 dx là: −x − x + 2 B. −2 ln x − 1 + ln x + 2 + C . A. 2 ln x − 1 − ln x + 2 + C . D. −2 ln x − 1 − ln x + 2 + C . C. 2 ln x − 1 + ln x + 2 + C . Hướng dẫn giải Ta có: 3x + 3 3x + 3 1   2 ∫ − x 2 − x + 2 dx =∫ (1 − x )( x + 2 ) dx =∫  1 − x − x + 2  dx =−2 ln x − 1 − ln x + 2 + C . Chọn B Câu 81. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 2 13 +x+ − . 2 x +1 6 2 x 2 +x+ . C. F ( x ) = 2 x +1 A. F ( x ) = x3 + 3x 2 + 3x − 1 1 khi biết F (1) = là 2 x + 2x +1 3 2 x 2 13 +x+ + . B. F ( x ) = x +1 6 2 2 2 x +x+ + C. D. F ( x ) = 2 x +1 Hướng dẫn giải Chọn A  2  2 x2 1 d x x + − = +x+ + C= F ( x ) . 2  ∫  ( x + 1)  2 x +1 x2 2 13 1 1 1 13 +x+ − . nên F ( x ) = Mà F (1) = ⇔ + 1 + 1 + C = ⇔ C = − x +1 6 2 3 2 3 6 ax + b Câu 82. Biết luôn có hai số a và b để F ( x ) = ( 4a − b ≠ 0 ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) x+4 2 và thỏa mãn: 2 f= ( x )  F ( x ) − 1 f ′ ( x ) . Ta có x3 + 3x 2 + 3x − 1 ∫ x 2 + 2 x + 1 dx= Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a = 1 , b = 4 . B. a = 1 , b = −1 . C. a = 1 , b ∈  {4} . D. a ∈  , b ∈  . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có F ( x ) = f ′( x) = 2b − 8a ( x + 4) 3 Do đó: 2 f= ( x) 2 ax + b x+4 ′( x) f ( x ) nên = f ( x ) F= là nguyên hàm của . ( F ( x ) − 1) f ′ ( x ) ⇔ 2 ( 4a − b ) 2  ax + b  2b − 8a = − 1  3  x+4  ( x + 4) ( x + 4) ⇔ 4a − b =− ( ax + b − x − 4 ) ⇔ ( x + 4 )(1 − a ) = 0 ⇔ a = 1 (do Với a = 1 mà 4a − b ≠ 0 nên b ≠ 4 . Vậy a = 1 , b ∈  {4} . Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau: https://toanmath.com/ 4 x+4≠0) 4a − b ( x + 4) 2 và + Vì 4a − b ≠ 0 nên loại được ngay phương án A: a = 1 , b = 4 và phương án D: a ∈  , b ∈  . + Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy b = 0 , a = 1 . Khi đó, ta có x 8 4 , f ( x) = , f ′( x) = − . F ( x) = 3 2 x+4 ( x + 4) ( x + 4) 2 Thay vào 2 f= ( x) Chọn C https://toanmath.com/ ( F ( x ) − 1) f ′ ( x ) thấy đúng nên DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số f (= x) 2 x 3 x 9 x x2 + +C . 4 8 2 x x 9 x2 3 x − +C. C. 3 5 x + 3 x 3 x 2 là : B. A. Ta có: ∫( ) x + 3 x 3 x 2 dx = 5 x x 27 x 2 3 x 2 + +C . 3 8 2 x x 9 x2 3 x2 + +C . 3 8 Hướng dẫn giải D. 2 x3 3 3 x8 2 x x 9 x2 3 x2 C + 3. += + +C . 3 8 3 8 Chọn D Câu 84. Nguyên hàm của f ( x ) = 1 2 + 3 + 3 là: x x 43 2 x + 3x + C . 3 1 4 D. x + 3 x 2 + 3x + C . 2 3 Hướng dẫn giải A. 2 x + 3 3 x 2 + 3 x + C . C. B. 2 x + 1 x + 3 3 x 2 + 3x + C . 2 Ta có: 1 2 1 −  − 12  2  1  3 2 3 2 ∫  x + 3 x + 3 dx = ∫  x + 2 x + 3 dx = 2 x + 3x 3 + 3x + C = 2 x + 3 x + 3x + C . Chọn A dx Câu 85. Tính ∫ thu được kết quả là: 1− x C 2 +C A. B. −2 1 − x + C C. D. 1 − x + C 1− x 1− x Hướng dẫn giải dx =−2 1 − x + C . Chọn B Ta có: ∫ 1− x 1 Câu 86. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x )= x + 1 − 2 . Nguyên hàm của f ( x ) biết x F ( 3) = 6 là: 2 3 2 C. F (= x) 3 A. F (= x) 1 1 + . x 3 1 1 3 ( x + 1) − − . x 3 ( x + 1) 3 Ta có: 1  2  dx ∫  x + 1 − x 2 = 3 − 2 3 2 D. F (= x) 3 Hướng dẫn giải B. F (= x) 1 1 + . x 3 1 1 3 ( x + 1) + − . x 3 ( x + 1) 1 + +C . x 2 1 1 3 Theo đề bài, ta lại có: F ( 3) = 6 ⇔ ( 3 + 1) + + C = 6 ⇔ C = . 3 3 3 2 1 1 3 F (= x) ( x + 1) + + . 3 x 3 Chọn B https://toanmath.com/ ( x + 1) 3 3 + . dx = a (x + 2) x + 2 + b(x + 1) x + 1 + C . Khi đó 3a + b bằng: x + 2 + x +1 −2 1 4 2 . B. . C. . D. . A. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C dx 2 2 ∫ x + 2 + x + 1= ∫ ( x + 2 − x + 1) dx= 3 (x + 2) x + 2 − 3 (x + 1) x + 1 + C 2 2 ⇒a=; b= − 3 3 4 ⇒ 3a + b = 3 x −1 Q=∫ dx x +1 ? Câu 88. Tìm Câu 87. Cho ∫ A. Q= x 2 − 1 + ln x + x 2 − 1 + C . C. Q= ln x + x 2 − 1 − x 2 − 1 + C . B. Q= x 2 − 1 − ln x + x 2 − 1 + C . D. Cả đáp án B,C đều đúng. Hướng dẫn giải x ≥ 1 x −1 ≥0⇔ x +1  x < −1 Trường hợp 1: Nếu x ≥ 1 thì 1 x −1 x −1 x Q= ∫ dx= ∫ dx= ∫ dx − ∫ dx= x 2 − 1 − ln x + x 2 − 1 + C 2 2 2 x +1 x −1 x −1 x −1 Trường hợp 2: Nếu x < −1 thì x −1 1− x 1 x Q= ∫ dx= ∫ dx= ∫ dx − ∫ dx= ln x + x 2 − 1 − x 2 − 1 + C 2 2 2 x +1 x −1 x −1 x −1 Chọn D 1 + m − 1 thỏa mãn F ( 0 ) = 0 và Câu 89. Biết F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f= ( x) 2 x +1 F ( 3) = 7 . Khi đó, giá trị của tham số m bằng Điều kiện: A. −2 . B. 3 . C. −3 . Hướng dẫn giải D. 2 . Chọn B Ta có= F ( x)  ∫  2 1  + m − 1  dx = x +1  x + 1 + ( m − 1) x + C .  F ( 0 ) = 0 C = −1 C + 1 =0 Theo giả thiết, ta có  . ⇔ ⇒ 8 m = 3 C + 3m =  F ( 3) = 7 Vậy F ( x ) = x +1 + 2x −1. Câu 90. Hàm số F ( x ) = ( ax + b ) 4 x + 1 ( a, b là các hằng số thực) là một nguyên hàm của f ( x) = 12 x . Tính a + b . 4x +1 https://toanmath.com/ A. 0 . B. 1 . D. 3 . C. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B 2x 6ax + a + 2b = . 4x +1 4x +1 = 6a 12 a 2 6ax + a + 2b 12 x= = Để F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) thì ⇔ ⇔ 0 −1 4x +1 4x +1 a + 2b = b = . 1. Do đó a + b = Câu 91. Biết F ( x )= ( ax 2 + bx + c ) 2 x − 3 ( a, b, c ∈  ) là một nguyên hàm của hàm số x ) a 4 x + 1 + ( ax + b ) . Ta có F ′ (= 20 x 2 − 30 x + 11 trên khoảng 2x − 3 A. T = 8 . B. T = 5 . f ( x) = 3   ; +∞  . Tính T = a + b + c . 2  C. T = 6 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có F ′ ( x ) = f ( x ) . Tính F ′ ( x= ) = ( 2ax + b ) 2 x − 3 + ( ax 2 + bx + c ) . ( 2ax + b )( 2 x − 3) + ax 2 + bx + c 2x − 3 2 5ax + ( 3b − 6a ) x − 3b + c = 1 2x − 3 2 5ax + ( 3b − 6a ) x − 3b + c 2x − 3 20 x 2 − 30 x + 11 2x − 3 2x − 3 2 2 ⇒ 5ax + ( 3b − 6a ) x − 3b += c 20 x − 30 x + 11 Do đó = 5a = 20 a = 4   7. ⇒ 3b − 6a = −30 ⇒ b = −2 ⇒ T = −3b + c =  11 c = 5  https://toanmath.com/ . D. T = 7 . DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 92. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 cos 2 x là A. −2sin 2x + C . B. sin 2x + C . C. 2sin 2x + C . Hướng dẫn giải D. sin 2x + C . Chọn B 1 2. sin 2 x + = C sin 2 x + C . 2 Câu 93. Họ nguyên hàm của hàm số f= ( x ) sin 5 x + 2 là Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ 2 cos 2 x d=x A. 5cos 5x + C . 1 1 B. − cos 5 x + 2 x + C . C. cos 5 x + 2 x + C . D. cos 5 x + 2 x + C . 5 5 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 1 − cos 5 x + 2 x + C . ∫ f ( x ) dx = ∫ ( sin 5 x + 2 ) dx = 5 Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x= ) 2 x + sin 2 x là 1 A. x 2 − cos 2 x + C . 2 1 B. x 2 + cos 2 x + C . C. x 2 − 2 cos 2 x + C . 2 Hướng dẫn giải D. x 2 + 2 cos 2 x + C . Chọn A Ta có 1 x − cos 2 x + C . )dx ∫ ( 2 x + sin 2 x )dx = ∫ f ( x= 2 2 Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 2 2 x là: 1 cos 4 x x cos 4 x 1 cos 4 x x cos 4 x A. + B. − C. − D. + +C . +C . +C . +C. 2 8 2 2 2 2 2 8 Hướng dẫn giải x sin 4 x  1 + cos 4 x  + +C . Ta có: ∫ cos 2 2 x.dx = ∫  2  dx = 2 8 Chọn D π  f ( x ) cos  3 x +  . Câu 96. Tìm nguyên hàm của hàm số= 6  π 1  π  dx 3sin  3x +  + C . − sin  3 x +  + C . A. ∫ f ( x )= B. ∫ f ( x ) dx = 6 3  6  π 1 π  dx 6sin  3 x +  + C . C. ∫ f ( x )= D. ∫ f ( x= ) dx sin  3x +  + C . 6 3  6  Hướng dẫn giải Chọn D 1 Áp dụng công thức: ∫ cos ( ax + b= ) dx sin ( ax + b ) + C . a F ( x ) = cos 2 x − sin x + C f ( x) f (π) Câu 97. Cho là nguyên hàm của hàm số . Tính . A. f ( π ) = −3 . B. f ( π ) = 1 . C. f ( π ) = −1 . D. f ( π ) = 0 . Hướng dẫn giải Chọn B −2sin 2 x − cos x Ta có: f ( x ) = F ′ ( x ) ⇒ f ( x ) = Do đó: f ( π ) = 1 . https://toanmath.com/ dx Câu 98. ∫ Tính: 1 + cos x x 1 x C. tan + C . +C . 2 2 2 Hướng dẫn giải dx dx x Ta có: ∫ = = tan + C . 1 + cos x ∫ 2 cos 2 x 2 2 Chọn B A. 2 tan x +C. 2 B. tan D. 1 x tan + C . 4 2 2 . 3 cos 3 x B. F ( x ) = 3x 2 − −1. 3 cos 3 x D. F ( x ) = 3x 2 − +1. 3 Hướng dẫn giải Câu 99. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x= ) 6 x + sin 3x , biết F ( 0 ) = cos 3 x 2 + . 3 3 cos 3 x C. F ( x ) = 3x 2 + + 1. 3 A. F ( x ) = 3x 2 − Chọn D Ta có:  ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 6 x + sin 3x ) dx = 3x 2 − cos 3 x + C = F ( x) . 3 1 2 2 1. ⇔ 0 − .1 + C = ⇔ C = 3 3 3 cos 3 x Vậy F ( x ) = 3x 2 − +1. 3 Câu 100. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = tan 2 x là: A. cot x − x + C . B. tan x − x + C . C. − cot x − x + C . Hướng dẫn giải Ta có: ∫ tan 2 xdx = ∫ ( tan 2 x + 1 − 1) dx = tan x − x + C .  F ( 0) = D. − tan x − x + C . Chọn B 1 và F ( 0 ) = 1 . Khi đó, ta có F ( x ) là: cos 2 x B. − tan x + 1 . C. tan x + 1 . D. tan x − 1 . Hướng dẫn giải Câu 101. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = − A. − tan x . dx Ta có: F ( x ) = − tan x + C . Mà F ( 0 ) = 1 ⇔ − tan 0 + C = 1 ⇔ C = 1 ∫ − cos2 x = Vậy F ( x ) = − tan x + 1 . Chọn B Câu 102. Cho hàm số f ( x ) = sin 4 2 x . Khi đó: A. 1 1  1 1  ∫ f ( x ) dx = 8  3x + sin 4 x + 8 sin 8 x  + C . 1 1  1 1  B. ∫ f ( x ) dx =8  3x − cos 4 x + 8 sin 8 x  + C D. ∫ f ( x ) dx = 8  3x − sin 4 x + 8 sin 8 x  + C . C. ∫ f ( x ) dx =8  3x + cos 4 x + 8 sin 8 x  + C . . https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải 1 1 2 Ta có: ∫ sin 4 2x.dx = ∫ (1 − cos 4x ) dx = ∫ (1 − 2 cos 4 x + cos 2 4 x ) dx 4 4 1 1 1  = ∫ ( 3 − 4 cos 4 x + cos8 x ) dx =  3 x − sin 4 x + sin 8 x  + C . 8 8 8  Chọn D 1 Câu 103. Biết rằng F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f= ( x ) sin (1 − 2 x ) và thỏa mãn F   = 1. 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 3 A. F ( x ) = B. F= − cos (1 − 2 x ) + . ( x ) cos (1 − 2 x ) . 2 2 1 1 D. F ( x= C. F ( x )= cos (1 − 2 x ) + 1. ) cos (1 − 2 x ) + . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 F ( x) = ∫ f ( x ) dx =∫ sin (1 − 2 x ) dx =− 2 − cos (1 − 2 x ) + C =2 cos (1 − 2 x ) + C . 1 1 1 1 1 1 1  Mà F   =1 ⇔ cos 1 − 2.  + C =1 ⇔ + C =1 ⇔ C = ⇒ F ( x ) = cos (1 − 2 x ) + . 2 2 2 2 2 2 2  Câu 104. Nguyên hàm ∫ ( sin 2 x + cos x ) dx là: 1 cos 2 x + sin x + C . B. − cos 2 x + sin x + C . 2 1 C. − cos 2 x + sin x + C . D. − cos 2 x − sin x + C . 2 Hướng dẫn giải Ta có: 1 − cos 2 x + sin x + C . ∫ ( sin 2 x + cos x ) dx = 2 Chọn C Câu 105. Nguyên hàm ∫ sin ( 2 x + 3) + cos ( 3 − 2 x )  dx là: A. A. −2 cos ( 2 x + 3) − 2sin ( 3 − 2 x ) + C . B. −2 cos ( 2 x + 3) + 2sin ( 3 − 2 x ) + C . C. 2 cos ( 2 x + 3) − 2sin ( 3 − 2 x ) + C . D. 2 cos ( 2 x + 3) + 2sin ( 3 − 2 x ) + C . Hướng dẫn giải Ta có: ∫ sin ( 2 x + 3) + cos ( 3 − 2 x ) dx =−2 cos ( 2 x + 3) − 2sin ( 3 − 2 x ) + C . Chọn A Câu 106. Nguyên hàm ∫ sin ( 3x + 1) + cos x dx là: 2 1 x − 3sin ( 6 x + 2 ) + sin x + C . 2 1 C. x − 3sin ( 3 x + 1) + sin x + C . 2 A. Ta có: https://toanmath.com/ B. x − 3sin ( 6 x + 2 ) + sin x + C . 1 x − 3sin ( 6 x + 2 ) − sin x + C . 2 Hướng dẫn giải D. 1 − cos ( 6 x + 2 )  1 1  + cos x dx = − cos ( 6 x + 2 ) + cos x dx ∫  2 2 2   ∫ sin ( 3x + 1) + cos x dx = ∫  2 1 x − 3sin ( 6 x + 2 ) + sin x + C 2 Chọn A Câu 107. Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của = A. 3cos x.sin 2 x − 3sin x.cos 2 x + C . π  C. 3 2 sin 2 x sin  x −  + C . 4  ∫ ( sin 3 x + cos3 x ) dx ? 3 sin 2 x ( sin x − cos x ) + C . 2 π  D. 3 2 sin x.cos x.sin  x −  + C . 4  Hướng dẫn giải B. Ta có: 3 3 2 2 ∫ ( sin x + cos x ) dx= 3cos x.sin x − 3sin x.cos x + C 3 3 2 π  sin 2 x ( sin x − = cos x ) + C sin 2 x sin  x −  + C 2 2 4  Chọn C Câu 108. Cho hàm số f ( x ) = cos 3 x.cos x . Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) bằng 0 khi x = 0 là: = sin 4 x sin 2 x sin 4 x sin 2 x cos 4 x cos 2 x C. D. + + + 8 4 2 4 8 4 Hướng dẫn giải 1 1 1 Ta có: F ( x ) = ∫ cos 3 x.cos.dx = ∫ ( cos 2 x + cos 4 x ) dx = sin 4 x + sin 2 x + C 2 8 4 1 1 F ( 0 ) = 0 ⇔ sin 0 + sin 0 + C = 0 ⇔ C = 0 8 4 cos 4 x cos 2 x Vậy = F ( x) + 8 4 Chọn D F ( x) f ( x ) = cot 2 x Câu 109. Họ nguyên hàm của hàm số là: A. cot x − x + C B. − cot x − x + C C. cot x + x + C D. tan x + x + C Hướng dẫn giải 2 2 Ta có: ∫ cot xdx =∫ ( cot x + 1 − 1) dx =− cot x − x + C . A. 3sin 3 x + sin x B. Chọn B sin 4 x π  thỏa mãn F   = 0 . Tính F ( 0 ) . 2 1 + cos x 2 B. F ( 0 ) =−4 − 6 ln 2 . C. F ( 0 )= 4 − 6 ln 2 . D. F ( 0 )= 4 + 6 ln 2 . Câu 110. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A. F ( 0 ) =−4 + 6 ln 2 . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1. Ta có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx . sin 4 x dx = F ( x= ) ∫ 1 + cos 2 x https://toanmath.com/ 2sin 2 x.cos 2 x dx ∫= 1 + cos 2 x 1+ 2 4sin 2 x.cos 2 x dx ∫= 3 + cos 2 x −2.cos 2 x. ( 3 + cos 2 x ) dx ∫ 3 + cos 2 x ' = −2 ∫ ( 3 + cos 2 x ) − 3 d  −2 ∫ 1 − ( 3 + cos 2 x ) = 3 + cos 2 x = −2 ( 3 + cos 2 x ) + 6 ln 3 + cos 2 x + C .  3   d ( 3 + cos 2 x ) 3 + cos 2 x  π  Do F   = 0 ⇔ −2 ( 3 + cos π ) + 6 ln 3 + cos π + C = 0 ⇔ C = 4 − 6 ln 2 . 2 ⇒ F ( 0 ) =−2 ( 3 + cos 0 ) + 6 ln 3 + cos 0 + 4 − 6 ln 2 =−4 + 6 ln 2 . Cách 2: π π sin 4 x π  2 = d x F x F   − F ( 0) = = −F ( 0) . ( ) ∫0 1 + cos2 x 0 2 2 π 2 sin 4 x dx ≈ 0,15888 . ⇒ F ( 0) = −∫ 1 + cos 2 x 0  π π  Câu 111. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan 2 x và F   = 1 . Tính F  −  .  4 4  π π  π π  π  π π −1 . A. F  −  = − 1 . B. F  −  = − 1 . C. F  −  = D. F  −  = + 1 .  4 2  4 4  4  4 2 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 ∫ tan xd=x ∫ ( tan x + 1) − 1 d=x tan x − x + C . π π π π  Do F   =1 ⇔ tan − + C =1 ⇔ C = ⋅ 4 4 4 4  π  π  π π π Vậy F  −  =tan  −  −  −  + = − 1 .  4  4  4 4 2  π  3π biết F   = 2 4 3 1 B. F ( x ) =x − 2 cos x − sin 2 x. 2 4 3 1 D. F ( x ) =x + 2 cos x + sin 2 x. 2 4 Hướng dẫn giải Câu 112. Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x )= 3 1 A. F ( x ) =x + 2 cos x − sin 2 x. 2 4 3 1 C. F ( x ) =x − 2 cos x + sin 2 x. 2 4 (1 + sin x ) 2 Chọn B Ta có 1 − cos 2 x   2 dx = 1 + 2sin x + sin x dx = 1 + 2sin x + ( )  dx ∫ ∫ 2  3 1 =x − 2 cos x − sin 2 x + c 2 4 3π π 1 3π  π  3π F  = ⇔ − 2 cos + sin π + c= ⇔ c= 0 . 22 2 4 4 2 4 3 1 Vậy F ( x ) =x − 2 cos x − sin 2 x . 2 4 −3sin 3 x + 2 cos 3 x Câu 113. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . 5sin 3 x − cos 3 x ∫ (1 + sin x ) 2 https://toanmath.com/ 17 7 17 7 B. − x − ln 5sin 3 x − cos 3 x + C . x + ln 5sin 3 x − cos 3 x + C . 26 78 26 78 17 7 17 7 C. D. x + ln 5sin 3 x − cos 3 x + C . x − ln 5sin 3 x − cos 3 x + C . 26 78 26 78 Hướng dẫn giải Chọn A −3sin 3 x + 2 cos 3= x A ( 5sin 3 x − cos 3 x ) + B (15cos 3 x + 3sin 3 x ) A. − −17  A= −3  5 A + 3B = 26 ⇒ ⇒ 2  7 − A + 15 B = B=  78 a a là phân dx = x + cos 4 x + C , với a , b là các số nguyên dương, b b số tối giản và C ∈  . Giá trị của a + b bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 2 x ∫ (1 − 2sin 2 x cos 2 x ) d= Ta có ∫ ( sin 2 x − cos 2 x ) d= x + cos 4 x + C . x ∫ (1 − sin 4 x ) dx = 4 a = 1 a 2 ⇒ a+b = 5. Mà ∫ ( sin 2 x − cos 2 x ) dx = x + cos 4 x + C nên  b b = 4 Câu 115. Tính I = ∫ 8sin 3 x cos xdx = a cos 4 x + b cos 2 x + C . Khi đó, a − b bằng Câu 114. Biết ∫ ( sin 2 x − cos 2 x ) 2 B. −1 . A. 3 . C. 1 . Hướng dẫn giải D. 2 . Chọn C − cos 4 x − 2 cos 2 x + C ⇒ a =−1, b =−2 . I = ∫ 8sin 3 x= cos xdx 4 ∫ ( sin 4 x + sin 2 x ) dx = Câu 116. F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = 2sin x cos 3 x và F ( 0 ) = 0 , khi đó = A. F ( x ) cos 4 x − cos 2 x . C. F ( x ) = cos 2 x cos 4 x 1 − − . 2 4 4 cos 2 x cos 4 x 1 − − . 4 8 8 cos 4 x cos 2 x 1 D. F ( x ) = − + . 4 2 4 Hướng dẫn giải B. F ( x ) = Chọn C cos 4 x cos 2 x 1 Ta = có y sin 4 x − sin 2 x ⇒ F ( x ) = − + + C , vì F ( 0 ) = 0 nên C = − . 4 4 2 cos 2 x cos 4 x 1 Nên F ( x ) = − − . 2 4 4 Câu 117. Cho α ∈  . Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x . A. F1 ( x ) = − cos x . B. F2 ( x ) = 2sin x +α x −α . sin 2 2 x  x α+x α−x  −2sin  α +  sin  α −  . C. F3 ( x ) = D. F4 ( x ) = 2 cos . sin 2  2 2 2  Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ Ta có ∫ sin xdx = − cos x + C . Đáp án A là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x . x +α x −α sin = cos α − cos x . Đáp án B là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x . 2 2 x  x  −2sin  α +  sin  α −=  cos ( 2α ) − cos x . Đáp án C là nguyên hàm của hàm số 2  2  f ( x ) = sin x . 2sin α−x .sin = sin α − sin x . Đáp án D không phải là nguyên hàm của hàm số 2 2 f ( x ) = sin x . 2 cos α+x 1 Câu 118. Tìm họ nguyên hàm của hàm số = f ( x ) tan 2 2 x + . 2 1 1 x   dx tan 2 x − + C . dx 2 tan 2 x − 2 x + C . A. ∫  tan 2 2 x + = B. ∫  tan 2 2 x + = 2 2 2   1 tan 2 x x 1   − +C . dx dx tan 2 x − x + C . C. ∫  tan 2 2 x + = D. ∫  tan 2 2 x + = 2 2 2 2   Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 tan 2 x x   1 dx ∫  − = dx − +C . Ta có: ∫  tan 2 2 x + = 2 2 2 2   cos 2 x 2  F ( x ) ln sin x − 3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau Câu 119. Hàm số= đây? sin x − 3cos x . cos x + 3sin x cos x + 3sin x C. f ( x ) = . sin x − 3cos x A. f ( x ) = Chọn C B. f ( x ) = − cos x − 3sin x . sin x − 3cos x D. f = ( x ) cos x + 3sin x . Hướng dẫn giải cos x + 3sin x F′( x) = Ta có f ( x ) = . ( ln sin x − 3cos x )′ =sin x − 3cos x 7 cos x − 4sin x  π  3π Câu 120. Hàm số f ( x ) = có một nguyên hàm F ( x ) thỏa mãn F   = . Giá trị cos x + sin x 4 8 π  F   bằng? 2 3π 3π − 11ln 2 3π 3π − ln 2 A. . B. . C. . D. . 4 8 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A 3 11 ( sin x + cos x ) + ( − sin x + cos x ) 3 11 − sin x + cos x 2 Ta có f ( x ) = 2 = + . cos x + sin x 2 2 cos x + sin x 3 11 − sin x + cos x  3 11 − sin x + cos x  x dx x+∫ . ⇒ F ( x) = dx ∫  + .  d= ∫ f ( x )= 2 2 cos x + sin x  2 2 cos x + sin x  3 11 1 3 11 = x+ ∫ d ( cos x + sin x ) = x + ln cos x + sin x + C . 2 2 cos x + sin x 2 2 https://toanmath.com/ 11 3π 11 3π  π  3π Mà F   = − ln 2 ⇒ + ln 2 + C = ⇒ C = 4 8 2 8 4 8 3π 11  π  3π +C = − ln 2 . Do đó F   = 4 4 2 4 sin x I =∫ dx sin x + cos x ? Câu 121. Tìm 1 A. I = ( x + ln sin x + cos x ) + C . B. I = x + ln sin x + cos x + C . 2 1 C. I = D. I = ( x − ln sin x + cos x ) + C . x − ln sin x + cos x + C . 2 Hướng dẫn giải cos x Đặt: T = ∫ dx sin x + cos x sin x cos x sin x + cos x dx + ∫ dx = ∫ dx = x + C1 ⇒ I +T = ∫ (1) sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x Ta lại có: sin x cos x sin x − cos x = I −T ∫ dx − ∫ = dx ∫ = dx sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x d ( sin x + cos x ) ⇔ I − T =− ∫ =− ln sin x + cos x + C2 ( 2) sin x + cos x 1  I = ( x − ln sin x + cos x ) + C  I T x C + = +  1  2 Từ (1) ; ( 2 ) ta có hệ:  ⇒ − ln sin x + cos x + C2  I − T = T =1 ( x + ln sin x + cos x ) + C  2 Chọn D s inx  cos x − s inx  I ∫ dx = ∫ A+ B Câu 14. Biết= dx . Kết quả của A, B lần lượt là cos x + s inx  cos x + s inx  1 1 1 1 1 1 A. A= B= B. A = B = − . C. A = D. A = , B = − . − ,B = . . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: sin x  cos x − s inx  A ( cos x + s inx ) + B ( cos x − s inx ) A+ B = = cos x + sin x cos x + s inx  cos x + s inx  ⇒ s inx =A ( cos x + s inx ) + B ( cos x − s inx ) = ( A + B) cos x + ( A − B) s inx 1   A = 2 0 A + B = Do đó:  ⇔ 1 A − B = B = − 1  2 cos 4 x I =∫ 4 dx sin x + cos 4 x ? Câu 122. Tìm https://toanmath.com/  2 + sin 2 x   1 1 A. I = ln   x −  + C . 2 2 2  2 − sin 2 x    2 + sin 2 x  1 B. I = x− ln  +C . 2 2  2 − sin 2 x   2 + sin 2 x    2 + sin 2 x  1 1 1 C. I = D. I = ln  x− ln   x +   + C . +C . 2 2 2  2 − sin 2 x   2 2  2 − sin 2 x  Hướng dẫn giải 4 sin x dx Đặt: T = ∫ 4 sin x + cos 4 x cos 4 x sin 4 x sin 4 x + cos 4 x ⇒ I +T = ∫ 4 dx + dx = ∫ sin 4 x + cos4 x ∫ sin 4 x + cos4 xdx = x + C1 (1) sin x + cos 4 x Mặt khác: cos 4 x sin 4 x cos 4 x − sin 4 x I −T ∫ 4 dx dx = − = ∫ sin 4 x + cos4 x ∫ sin 4 x + cos4 xdx sin x + cos 4 x cos 2 x − sin 2 x cos 2 x dx ∫ dx = ⇔ I −T ∫ = 2 2 1 2 1 − 2sin x.cos x 1 − sin x 2  2 + sin 2 x  2 cos 2 x 1 ln  dx = ⇔ I −T ∫ = ( 2)  + C2 2 2 − sin 2 x 2 2  2 − sin 2 x  Từ (1) ; ( 2 ) ta có hệ:   2 + sin 2 x   1 1 ln  I =  x +  + C  I + T = x + C1 2 2 2  2 − sin 2 x      2 + sin 2 x  ⇒ 1  =  2 + sin 2 x    I − T 2 2 ln  2 − sin 2 x  + C2  1 1 ln   x −     + C  T = 2 − x 2 2 2 sin 2     Chọn C Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = −3sin 2 x + 2 cos x − e x là A. −6 cos 2 x + 2sin x − e x + C . 3 C. cos 2 x − 2sin x − e x + C . 2 B. 6 cos 2 x − 2sin x − e x + C . 3 D. cos 2 x + 2sin x − e x + C . 2 Hướng dẫn giải Chọn D ) dx ∫ ( −3sin 2 x + 2 cos x − e = 3 cos 2 x + 2sin x − e x + C . 2 π  Câu 124. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0; π ]   thỏa mãn f ′ ( x ) = tan x , 2  2π  π   π 5π   π  ∀x ∈  − ;    , f ( 0 ) = 0 , f (π ) = 1 . Tỉ số giữa f   và f   bằng:  3   4 4  2 4 1(1 + ln 2 ) A. 2 ( log 2 e + 1) . B. 2 . C. . D. 2 (1 − log 2 e ) . 2 + ln 2 Hướng dẫn giải Chọn A x https://toanmath.com/  − ln cos x + C1 Ta có f ( x ) = ∫ tan x dx =−ln cos x + C = − ln ( − cos x ) + C 2  f ( 0 ) =0 ⇒ C1 =0 và f (π ) =⇒ 1 C2 = 1. π  khi 0 ≤ x < − ln cos x 2 . Khi đó f ( x ) ==  π − ln ( − cos x ) + 1 < x ≤π khi  2 π  1  2π  Suy ra f  =  ( ln 2 + 1) và f   = ln 2 . 4 2  3  Vậy tỉ số cần tìm là 2 ( log 2 e + 1) https://toanmath.com/ khi 0 ≤ x < π 2 . π < x ≤π khi 2 DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT Câu 125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 52 x . 52 x +C . A. ∫ 5= dx 2. ln 5 25 x +C . B. ∫ 5 = dx 2 ln 5 25 x +1 x +C . D. ∫ 52= dx x +1 Hướng dẫn giải 2x 2x 2x 2x C. = ∫ 5 dx 2.5 ln 5 + C . Chọn B 25 x 25 x +C = +C . ln 25 2 ln 5 f ( x ) = e 2018 x . Câu 126. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 .e 2018 x + C f ( x ) dx = ∫ 2018 A. . B. x Ta có ∫ 52 x dx = ∫ 25= dx 19T ) dx ∫ f ( x= = f ( x ) dx D. ∫ T 9 1 C. T 9 1 f ( x ) dx ∫= 2018e 2018 x +C . e 2018 x + C e 2018 x . ln 2018 + C Hướng dẫn giải . T 9 1 Chọn A Theo công thức nguyên hàm mở rộng. f ( x ) = e2 x F ( 0) = 1 F ( x) Câu 127. Tìm nguyên hàm của hàm số , biết . 2x e 1 x) + . A. F ( x ) = e 2 x . B. F (= C. F = ( x ) 2e2 x − 1 . D. F ( x ) = e x . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 1 2x x Ta có: F= dx e +C . ( x ) ∫ f ( x= ) dx ∫ e2= 2 e2 x 1 1 + . x) Theo giả thiết: F ( 0 ) =1 ⇒ C = . Vậy F (= 2 2 2 Câu 128. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) = e3 x thỏa mãn F ( 0 ) = 1 . Mệnh đề nào sau đây là T 9 1 T 9 1 đúng? 1 3x 2 e + . 3 3 1 C. F= ( x ) e3 x + 1 . 3 1 B. F ( x ) = e3 x . 3 1 4 D. F ( x ) = − e3 x + . 3 3 Hướng dẫn giải A. F= ( x) Chọn A Ta có F= ( x) dx ∫e= 3x Lại có F ( 0 ) =1 ⇔ 1 3x e +C . 3 1 2 + C =1 ⇔ C = 3 3 Câu 129. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x= ) e x + 2 x thỏa mãn F ( 0 ) = 5 . 2 3 C. F ( x ) = e x + x 2 + . 2 A. F ( x ) = e x + x 2 + https://toanmath.com/ 1 . 2 1 D. F ( x ) = e x + x 2 + . 2 B. F ( x ) = 2e x + x 2 − 3 . Tìm F ( x ) . 2 Hướng dẫn giải Chọn D F ( x ) = ∫ ( e x + 2 x ) dx = e x + x 2 + C . 1 3 3 ⇔ e0 + C = ⇔ C =. 2 2 2 1 F ( x ) = ex + x2 + . 2 Câu 130. Cho hàm số f ( x ) thỏa= mãn f ′ ( x ) 2018 x ln 2018 − cos x và f ( 0 ) = 2 . Phát biểu nào sau F ( 0) = đúng? A. f ( x ) = 2018 + sin x + 1 . x C. f ( x= ) 2018 x − sin x + 1 . ln 2018 Chọn D Ta có f ( x ) = ∫ ( 2018 x 2018 x + sin x + 1 . B. f ( x= ) ln 2018 D. f ( x ) = 2018 x − sin x + 1 . Hướng dẫn giải ln 2018 − cos x ) dx = 2018 x − sin x + C 1 Mà f ( 0 ) = 2 ⇔ 20180 − sin 0 + C = 2⇔C= Vậy f ( x ) = 2018 x − sin x + 1 . Câu 131. Tính ∫ (2 + e3 x ) 2 dx 4 1 A. 3 x + e3 x + e6 x + C 3 6 4 3x 1 6 x C. 4 x + e − e + C 3 6 4 5 B. 4 x + e3 x + e6 x + C 3 6 4 3x 1 6 x D. 4 x + e + e + C 3 6 Hướng dẫn giải 2 4e3 x e6x + +C. Ta có: ∫ ( 2 + e3x ) dx =∫ ( 4 + 4e3x + e6x ) dx =4x + 3 6 Chọn D x) e x (1 − e − x ) và F (0) = 3 thì F ( x) là? Câu 132. Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f (= A. e x − x B. e x − x + 2 C. e x − x + C Hướng dẫn giải −x x x Ta có: F ( x ) = ∫ e . (1 − e ) dx = ∫ ( e − 1) dx = e x − x + C D. e x − x + 1 F ( 0 ) = 3 ⇔ e0 − 0 + C = 3 ⇔ C = 2 Vậy F ( x ) = e x − x + 2 Chọn B ) e x − e − x là : Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x= A. e x + e − x + C . B. e x − e − x + C . C. −e x + e − x + C . D. e x + e x + C . Hướng dẫn giải −x −x x x Ta có: ∫ ( e − e ) dx =e + e + C . Chọn A Câu 134. Hàm số F ( x) =e x + e − x + x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? https://toanmath.com/ 1 2 x 2 1 C. f ( x) =e x − e − x + 1 D. f ( x) =e x + e − x + x 2 2 Hướng dẫn giải Ta có: ∫ ( e x + e − x + 1) dx = e x − e − x + x + C . A. f ( x) = e − x + e x + 1 B. f ( x) =e x − e − x + Chọn C x) e 2 x − e −3 x là : Câu 135. Họ nguyên hàm của hàm số f ( = e3 x e −2 x + +C. A. 3 2 e3 x e −3 x + +C . C. 2 2 Ta có: ∫ (e 2x e 2 x e −3 x + +C . B. 2 3 e −2 x e3 x + +C. D. 3 2 Hướng dẫn giải − e −3 x ) dx = e 2 x e −3 x + +C . 2 3 Chọn B x) 32 x − 2−3 x là : Câu 136. Họ nguyên hàm của hàm số f ( = 32 x 2−3 x + +C . 2.ln 3 3.ln 2 3−2 x 23 x + +C . C. 2.ln 3 3.ln 2 32 x 2−3 x − +C . 2.ln 3 3.ln 2 3−2 x 23 x − +C . D. 2.ln 3 3.ln 2 Hướng dẫn giải A. Ta có: B. −3 x 2x ∫ ( 3 − 2 ) dx = 32 x 2−3 x + +C . 2.ln 3 3.ln 2 Chọn A Câu 137. Hàm số y = f ( x) có một nguyên hàm là F ( x ) = e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số . A. ∫ C. ∫ f ( x) + 1 dx =e x − e − x + C . ex f ( x) + 1 dx = 2e x + e − x + C . x e f ( x) + 1 ex f ( x) + 1 dx = 2e x − e − x + C . ex f ( x) + 1 1 D. ∫ dx = e x − e − x + C . x e 2 Hướng dẫn giải B. ∫ Chọn B Vì hàm số y = f ( x) có một nguyên hàm là F ( x ) = e 2 x nên ta có:= f ( x) F ( x ) )′ (= f ( x) + 1 2e 2 x + 1 d x = dx ∫ ( 2e x + e − x ) dx = 2e x − e − x + C . ∫ ex ∫ ex = Câu 138. Tìm nguyên hàm của hàm số f (= x ) e x (1 + e − x ) . Khi đó: ∫ f ( x ) d=x e C. ∫ f ( x ) dx =e A. −x x Chọn B Ta có ∫ f ( x ) dx = https://toanmath.com/ +C . ∫ f ( x ) dx = D. ∫ f ( x ) d= x B. + e− x + C . Hướng dẫn giải ∫ (e x + 1) dx = e x + x + C . ex + x + C . ex + C . 2e 2 x . Câu 139. F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = xe x . Hàm số nào sau đây không phải là F ( x ) ? 2 1 x2 e +2. 2 1 2 C. F ( x ) = − ex + C . 2 ( ) 1 x2 e +5 . 2 2 1 D. F ( x ) = − 2 − ex . 2 Hướng dẫn giải A. F= ( x) B. F= ( x) ( ) Chọn C 2 2  1 2 ′ Ta thấy ở đáp án C thì  − e x + C  = − xe x ≠ xe x nên hàm số ở đáp án C không là một  2  nguyên hàm của hàm y = xe x . 2  x Câu 140. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số = f ( x ) 22 x  3x − x  . 4   12 x 2 x x − +C . A. F ( x ) = ln12 3 2 2 x  3x x x  C. = F ( x) −  . ln 2  ln 3 4 x  B. F ( x ) =12 x + x x + C . 22 x  3x x x ln 4  D. = F ( x) −   . ln 2  ln 3 4x  Hướng dẫn giải Chọn A  x Ta có f ( x ) =22 x  3x − x  =12 x − x 4   ( ) 12 x 2 x x − +C . Nên F ( x ) =∫ 12 x − x dx = ln12 3  2018e − x  Câu 141. Tính nguyên hàm của hàm số f ( x ) e x  2017 − = . x5   2018 504,5 B. ∫ f ( x ) dx = 2017e x + 4 + C . A. ∫ f ( x ) dx= 2017e x + 4 + C . x x 504,5 2018 C. ∫ f ( x ) dx = 2017e x − 4 + C . D. ∫ f ( x ) dx= 2017e x − 4 + C . x x Hướng dẫn giải Chọn B 504,5 x −5 x ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 2017e − 2018 x ) dx = 2017e + x 4 + C . 22 x.3x.7 x dx Câu 142. Tính ∫ 84 x 22 x.3x.7 x +C +C A. B. C. 84 x + C D. 84 x ln 84 + C ln 84 ln 4.ln 3.ln 7 Hướng dẫn giải x 84 x x dx ∫ 84= dx +C . Ta có: ∫ 22 x.3x.7= ln 84 Chọn A e 2 x +1 − 2 Câu 143. Nguyên hàm ∫ dx là: 3 x e https://toanmath.com/ 5 53 x +1 2 − 3x e − e +C . 3 3 5 5 x +1 2 x C. e 3 − e 3 + C . 3 3 5 53 x +1 2 3x e + e +C . 3 3 5 5 x +1 2 − x D. e 3 + e 3 + C . 3 3 Hướng dẫn giải A. B. Ta có: ∫ e 2 x +1 − 2 3 ex  e 2 x +1 2 dx = ∫  x − x e3  e3 x x  −  −   2 x +1− 3x  53 x +1 5 53 x +1 2 − 3x 3 3 dx = e e dx e e dx e 2 2 − = − = + e +C   ∫ ∫   3 3    . Chọn D Câu 144. Cho F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = phương trình 3F ( x ) + ln ( e x + 3) = 2 là A. S = {2} . B. S = {−2; 2} . 1 1 và F ( 0 ) = − ln 4 . Tập nghiệm S của 3 e +3 x C. S = {1; 2} . D. S = {−2;1} . Hướng dẫn giải dx 1  e  1 Ta có: F ( x ) = ∫ x = ∫ 1 − x x − ln ( e x + 3) + C .  dx = e +3 3  e +3 3 1 1 Do F ( 0 ) = − ln 4 nên C = 0 . Vậy F ( x ) = x − ln ( e x + 3) . 3 3 x Do đó: 3F ( x ) + ln ( e + 3) = 2 ⇔ x = 2 x ( ) ( ) Chọn A 1 3 x +1 e ( 9 x 2 − 24 x + 17 ) + C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây. 27 B. f ( x ) = ( x 2 − 2 x − 1) e3 x +1 . A. f ( x ) = ( x 2 + 2 x − 1) e3 x +1 . Câu 145. Hàm số= F ( x) C. f ( x ) = (x 2 − 2 x + 1) e3 x +1 . D. f ( x ) = (x 2 − 2 x − 1) e3 x −1 . Hướng dẫn giải Chọn C   1 ′ 1  3 x +1 3.e ( 9 x 2 − 24 x + 17 ) + e3 x +1 ( 9 x 2 − 24 x + 17 )′  F ′ ( x )  e3 x +1 ( 9 x 2 − 24 x= = + 17 )    27  27   1 1 3.e3 x +1 ( 9 x 2 − 24 x + 17 ) + e3 x +1 (18 x − 24 e3 x +1 ( 27 x 2 − 54 x + = 27 ) e3 x +1 ( x 2 − 2 x + 1) = = )  27 27 . Câu 146. Cho hai hàm số F ( x ) = ( x 2 + ax + b ) e − x và f ( x ) =− ( x 2 + 3x + 6 ) e− x . Tìm a và b để F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . A. a = 1 , b = −7 . B. a = −1 , b = −7 . C. a = −1 , b = 7 . Hướng dẫn giải D. a = 1 , b = 7 . Chọn B Ta có F ′ ( x ) = Câu 147. Tìm (−x + (2 − a) x + a − b) e F = ∫ x n e x dx 2 −x 2 − a =3 a =−1 . ⇔ =f ( x ) nên  a − b =6 b =−7 ? n −1 n A. F= e  x − nx n −1 + n ( n − 1) x n − 2 + ... + n !( −1) x + n !( −1)  + x n + C .   x https://toanmath.com/ n B. F= e x  x n − nx n −1 + n ( n − 1) x n − 2 + ... + n !( −1) x + n !( −1)  + C .   x C.= F n !e + C . n −1 n D. F = x n − nx n −1 + n ( n − 1) x n − 2 + ... + n !( −1) x + n !( −1) + e x + C . n −1 Hướng dẫn giải x x ) ′ e x . f ( x ) + e x . f ′ ( x )= + C e x  f ( x ) + f ′ ( x )  + C e f ( = Lưu ý: ta luôn có điều sau ∫ e ( x = F x n n + n.x n −1 ) − n ( x n −1 + ( n − 1) x n − 2 ) + n ( n − 1) ( x n − 2 + ( n − 2 ) x n −3 ) + ... + n !( −1) n −1 ( x + 1) + n !( − n −1 n ⇔ F= e x  x n − nx n −1 + n ( n − 1) x n − 2 + ... + n !( −1) x + n !( −1)    Chọn B Câu 148. Giả sử ∫ e 2 x (2 x3 + 5 x 2 − 2 x + 4)dx= (ax 3 + bx 2 + cx + d )e 2 x + C . Khi đó a + b + c + d bằng A. -2 B. 3 Chọn B Ta ( (ax 3 ∫e có 2x C. 2 Hướng dẫn giải D. 5 (2 x3 + 5 x 2 − 2 x + 4)dx= (ax 3 + bx 2 + cx + d )e 2 x + C nên + bx 2 + cx + d )e 2 x + C )=' (3ax 2 + 2bx + c)e 2 x + 2e 2 x (ax 3 + bx 2 + cx + d ) = ( 2ax 3 + (3a + 2b) x 2 + (2b + 2c) x + c + 2d ) e 2 x = (2 x 3 + 5 x 2 − 2 x + 4)e 2 x = 2a 2= a 1 3a = b 1  + 2b 5 =  3. Do đó  . Vậy a + b + c + d = ⇔ 2 b + 2 c = − 2 c = − 2   c= d 3 + 2d 4 =  2018e − x Câu 149. Tính nguyên hàm của hàm số = f ( x ) e x  2017 − x5  2018 +C. x4 504,5 f ( x ) dx = 2017e x − 4 + C . x A. ∫ f ( x ) dx= C. ∫  .  504,5 +C . x4 2018 D. ∫ f ( x ) dx= 2017e x − 4 + C . x Hướng dẫn giải 2017e x + B. ∫ f ( x ) dx = 2017e x + Chọn B ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 2017e Câu 150. Giả sử ∫ e (2 x + 5 x 2x 3 A. -2 B. 3 Chọn B Ta ( (ax 3 − 2018 x −5 ) dx = 2017e x + 504,5 +C . x4 2 − 2 x + 4)dx= (ax 3 + bx 2 + cx + d )e 2 x + C . Khi đó a + b + c + d bằng x có ∫e 2x C. 2 Hướng dẫn giải D. 5 (2 x3 + 5 x 2 − 2 x + 4)dx= (ax 3 + bx 2 + cx + d )e 2 x + C + bx 2 + cx + d )e 2 x + C )=' (3ax 2 + 2bx + c)e 2 x + 2e 2 x (ax 3 + bx 2 + cx + d ) = ( 2ax 3 + (3a + 2b) x 2 + (2b + 2c) x + c + 2d ) e 2 x = (2 x 3 + 5 x 2 − 2 x + 4)e 2 x https://toanmath.com/ nên = 2a 2= a 1 3a = b 1  + 2b 5 =  3. Do đó  . Vậy a + b + c + d = ⇔ + = − = − 2 b 2 c 2 c 2   c= d 3 + 2d 4 = ( ax Câu 151. Cho F ( x )= 2 + bx − c ) e 2 x là một nguyên hàm của hàm số f= ( x) ( 2018x 2 − 3 x + 1) e 2 x trên khoảng ( −∞; +∞ ) . Tính T =a + 2b + 4c . B. T = 1007 . C. T = −5053 . Hướng dẫn giải A. T = −3035 . Chọn A Vì F ( x )= ( ax 2 D. T = 1011 . + bx − c ) e 2 x là một nguyên hàm của hàm số f= ( x) ( 2018x 2 − 3 x + 1) e 2 x trên khoảng ( −∞; +∞ ) nên ta có: ( F ( x ) )′ = f ( x ) , với mọi x ∈ ( −∞; +∞ ) . ⇔ ( 2ax 2 + x ( 2b + 2a ) − 2c + b )= e2 x ( 2018x 2 − 3 x + 1) e 2 x , với mọi x ∈ ( −∞; +∞ ) .  a = 1009 2a = 2018  2021   ⇔ 2b + 2a = −3 ⇔ b = . − 2 −2c + b =  1  2023  c = − 4  2021   2023  Vậy T =a + 2b + 4c = 1009 + 2.  −  + 4.  −  = −3035 . 2  4    Câu 152. Biết F ( x )= ( ax 2 + bx + c ) e − x là một nguyên hàm của hàm số f ( x )= ( 2x 2 − 5 x + 2 ) e − x trên  . Tính giá trị của biểu thức f  F ( 0 )  . A. −e −1 . B. 20e 2 . C. 9e . D. 3e . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có F ′ ( x )= ax 2 + bx + c ′ e − x + ax 2 + bx + c e − x ′= ( 2ax + b ) e − x − ax 2 + bx + c e − x ( ) )( ) ( ( F ′ ( x ) =  −ax 2 + ( 2a − b ) x + b − c  e − x Vì F ( x )= ( ax 2 + bx + c ) e − x là một nguyên hàm của hàm số f ( x )= nên: −x F′(= x ) f ( x ) , ∀x ∈  ⇔  −ax 2 + ( 2a − b ) x + b − c  e= ( 2x 2 ) ( 2x 2 − 5 x + 2 ) e − x trên  − 5 x + 2 ) e − x , ∀x ∈  −a =2 a =−2   ⇔ 2a − b =−5 ⇔ b =1 . b − c =2 c =−1   Như vậy F ( x ) =( −2 x 2 + x − 1) e − x ⇒ F ( 0 ) =( −2.02 + 0 − 1) e −0 =−1 . Bởi vậy f  F ( 0 )  = f ( −1) = ( 2.1 2 + 5.1 + 2 ) e = 9e . Câu 153. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x , thỏa mãn F ( 0 ) = T F ( 0 ) + F (1) + F ( 2 ) + ... + F ( 2017 ) . biểu thức = https://toanmath.com/ 1 . Tính giá trị ln 2 A. T = 1009. 22017 + 1 . ln 2 B. T = 22017.2018 . C. T = Hướng dẫn giải 22017 − 1 . ln 2 Chọn D x) Ta có: F (= ∫ f ( x )= dx x dx ∫2= 2x +C . ln 2 1 1 2x 1 ⇒ +C = ⇒ C =0 ⇒ F ( x ) = Mà F ( 0 ) = . ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 Khi đó: T F ( 0 ) + F (1) + F ( 2 ) + ... + F ( 2017 ) = 20 2 22 22017 1 1 − 22018 22018 − 1 = + + + ... + = . = ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 − 2 ln 2 https://toanmath.com/ D. T = 22018 − 1 . ln 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN Câu 1. 2x . Khi đó: x +1 f ( x )dx= 2 ln (1 + x 2 ) + C . Cho hàm số f ( x ) = ∫ C. ∫ f ( x )dx= A. Câu 2. 2 ∫ f ( x )dx= 3ln (1 + x ) + C . D. ∫ f ( x )dx = ln (1 + x ) + C . 2 B. 4 ln (1 + x 2 ) + C . 2 Cho hàm số f = ( x ) x ( x 2 + 1) . Biết F(x) là một nguyên hàm của f ( x) đồ thị hàm số y = F ( x ) 4 đi qua điểm M (1;6 ) . Khi đó F(x) là: A. = F ( x) C. = F ( x) Câu 3. Câu 4. (x (x 2 + 1) 4 2 − . 5 4 2 + 1) 5 + 15 . 8 10 −2 x Tính ∫ dx thu được kết quả là: 1 − x2 1+ x A. +C. 1− x 1 C. +C . 1− x Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. 2 ln x 2 + x + 4 + C . C. Câu 5. ln x 2 + x + 4 2 B. = F ( x) D. F ( x= ) B. https://toanmath.com/ 5 1 2 14 x + 1) + . ( 10 5 x +C . 1− x 2+ x là : x + 4x − 4 B. ln x 2 + 4 x − 4 + C . D. 4 ln x 2 + 4 x − 4 + C . 2x là: x +4 2 ln x 2 + 4 +C 2 D. 4 ln x 2 + 4 + C B. C. ln x 2 + 4 + C A. 3ln x3 + 4 + C 15 . 8 2 A. 2 ln x + 4 + C Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 10 − D. 4 ln x 2 + x + 4 + C . 2 Câu 7. 5 2x +1 là: x +x+4 B. ln x 2 + x + 4 + C . 1 .ln x 2 + 4 x − 4 + C . 2 C. 2 ln x 2 + 4 x − 4 + C . Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = + 1) 2 A. Câu 6. 2 D. ln 1 − x 2 + C . +C . Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = (x 3x 2 là: x3 + 4 B. −3ln x3 + 4 + C D. − ln x3 + 4 + C C. ln x 3 + 4 + C Câu 8. Một nguyên hàm của f ( x) = A. Câu 9. B. 2 ln ( x 2 + 1) 1 ln x + 1 2 Tính F ( x) = ∫ x là: x +1 2 A. − ln cos x − 3 + C 1 ln x 4 − 1 + C 4 1 D. F= ( x) ln x 4 − 1 + C 3 ln cos x − 3 2 +C sin x là: cos x − 3 B. 2 ln cos x − 3 + C D. 4 ln cos x − 3 + C sin x π  và F   = 2 . Tính F ( 0 ) . 1 + 3cos x 2 1 2 2 A. F ( 0 ) = − ln 2 + 2 . B. F ( 0 ) = − ln 2 − 2 . D. − ln 2 + 2 . C. F ( 0 ) = 3 3 3 1 F ( 0) = − ln 2 − 2 . 3 Nguyên hàm của hàm số: y = sin 2 x.cos 3 x là: 1 1 1 1 A. sin 3 x − sin 5 x + C . B. − sin 3 x + sin 5 x + C . 3 5 3 5 3 5 3 5 C. sin x + sin x + C . D. sin x − sin x + C . 3 Nguyên hàm của hàm số: y = sin x.cosx là: 1 1 1 A. cos 4 x + C . B. sin 4 x + C . C. sin 3 x + C . D. − cos 2 x + C . 4 4 3 2 cos x.sin x.dx Tính ∫ 3sin x − sin 3 x 3cos x − cos 3 x A. B. +C +C 12 12 sin 3 x +C C. D. sinx .cos 2 x + C 3 1 Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = là: sin x x x A. ln cot + C B. ln tan + C 2 2 x C. − ln tan + C D. ln sin x + C 2 Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan x là: Câu 11. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = Câu 12. Câu 13. Câu 14. Câu 15. Câu 16. D. ln( x 2 + 1) B. F= ( x) 1 ln x 4 − 1 + C 2 Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = C. − 1 ln( x 2 + 1) 2 x3 dx x4 −1 A. F ( = x) ln x 4 − 1 + C C. F= ( x) C. A. ln cos x + C https://toanmath.com/ B. − ln cos x + C C. tan 2 x +C 2 D. ln ( cos x ) + C Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A. ∫ f ( x ) dx= C. ln 1 + sin 2 x + C . ∫ f ( x ) dx = 1 − 2sin 2 x . π 2 2sin  x +   4 ln sin x + cos x + C . Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 ln sin x + cos x + C . 2 1 f ( x ) dx = ln 1 + sin 2 x + C . 2 B. ∫ f ( x ) d=x D. ∫ ex là: ex + 3 B. 3e x + 9 + C D. ln e x + 3 + C A. −e x − 3 + C C. −2 ln e x + 3 + C Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x 2 x là: 1 1 x2 A. B. +C .2 + C x2 ln 2 ln 2.2 2 Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 xe x là: 2 −e x +C . A. 2 C. −e x + C . Câu 21. x.e Tính ∫ A. e x C. 2 +1 x 2 +1 D. ln 2.2 x + C 2 +C dx 1 x2 e +C . 2 1 2 D. e x −1 + C . 2 B. Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ) dx ∫ f ( x= C. ∫ f ( x )= dx ln x . x x ) dx ∫ f (= D. ∫ f ( x ) d= x ln 2 x + C . A. B. ln x + C Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. ln 2x + C . ln 2 2 x +C . C. 2 ∫ 1 2 ln x + C . 2 ex + C ln 2 x là : x 1 + ln x dx ( x > 0 ) bằng x 1 2 B. x + ln 2 x + C . ln x + ln x + C . 2 dx Câu 25. Tính F ( x) = ∫ x 2 ln x + 1 A. = F ( x) 2 2 ln x + 1 + C
Trang chủ
2 x2 2 1 x2 +1 e +C . 2 A. ln 2 ex +C . B. 2 2 D. e x + C . +C . Câu 24. Nguyên hàm C. B. ln 2 x + C . ln x D. +C . 2 C. ln 2 x + ln x + C . B. F= ( x) 1 D. x + ln 2 x + C . 2 2 ln x + 1 + C C.= F ( x) 1 2 ln x + 1 + C 4 Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = D.= F ( x) ln x là: x ln 2 x +C C. 2 B. ln x + C A. ln x + C 2 Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 2 ln x + 1 + C 2 D. ln x +C 2 2x ln( x 2 + 1) là: x +1 2 1 2 2 ln ( x + 1) + C 2 1 C. ln 2 ( x 2 + 1) + C 2 dx Câu 28. Tính ∫ x.ln x A. ln x + C C. ln(lnx) + C B. ln( x 2 + 1) + C A. D. 1 2 2 ln ( x + 1) + C 2 B. ln | x | +C D. ln | lnx | + C 2 Câu 29. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = thỏa mãn F ( 5 ) = 7 . 2x −1 A. F= B. F (= x) 2 2x −1 +1 . ( x) 2 2x −1 . C. F ( x= ) D. F ( x= ) 2x −1 + 4 . Câu 30. Họ nguyên hàm ∫ x. 3 2 x − 1 − 10 . x 2 + 1dx bằng 3 1 3 3 2 C. . 3 ( x 2 + 1) 4 + C. D. . 3 ( x 2 + 1) 4 + C. . ( x + 1) + C. 8 8 8 1   Câu 31. Biết ∫ f ( = x ) dx 2 x ln ( 3 x − 1) + C với x ∈  ; +∞  3  Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. ∫ f ( 3= B. ∫ f ( 3= x ) dx 6 x ln ( 3 x − 1) + C . x ) dx 2 x ln ( 9 x − 1) + C . A. 1 3 2 . ( x + 1) + C. 8 C. x ) dx ∫ f ( 3= B. 6 x ln ( 9 x − 1) + C . D. x ) dx ∫ f ( 3= 3 x ln ( 9 x − 1) + C . PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 32. Cho ∫ f ( x= )dx F ( x) + C. Khi đó với a ≠ 0, ta có 1 F (a x + b) + C 2a 1 C. F (a x + b) + C a ) x(1 − x)10 có nguyên hàm là: Câu 33. Hàm số f ( x= A. ( x − 1)12 ( x − 1)11 − +C . 12 11 ( x − 1)11 ( x − 1)10 + +C . C. 11 10 A. F ( x) =
Trang chủ
∫ f (a x + b)dx bằng: B. a.F (a x + b) + C D. F (a x + b) + C ( x − 1)12 ( x − 1)11 + +C. 12 11 ( x − 1)11 ( x − 1)10 ( ) F x = − +C . D. 11 10 B. F ( x) = dx thu được kết quả là: (1 + x 2 ) x Câu 34. Tính ∫ A. ln x ( x 2 + 1) + C . B. ln x 1 + x 2 + C . x x2 1 +C . D. .ln 2 1 + x2 C. ln +C . 1 + x2 Câu 35. Tính ∫ x ( x + 1) dx là : 3 A. ( x + 1) 5 5 ( x + 1) + 4 4 +C B. x5 3x 4 x2 3 + + x − +C C. 5 4 2 Câu 36. Tìm nguyên hàm ∫ x( x 2 + 7)15 dx A. 16 1 2 x + 7) + C . ( 2 . ∫ x ( 4x Câu 37. = Xét I 3 4 B. − ( x + 1) 5 5 ( x + 1) − 4 4 +C x5 3x 4 x2 3 + − x + +C D. 5 4 2 16 16 1 2 1 2 x + 7 ) + C . C. x + 7) + C . ( ( 32 16 D. 16 1 2 x + 7) + C ( 32 u 4 x 4 − 3 , khẳng định nào sau đây đúng? − 3) dx . Bằng cách đặt:= 5 1 1 1 B. I = ∫ u 5du . C. I = ∫ u 5du . D. I = ∫ u 5du . u 5du . ∫ 16 4 12 6 8 7 Câu 38. Cho ∫ 2 x ( 3 x − 2 ) dx= A ( 3 x − 2 ) + B ( 3 x − 2 ) + C với A , B ∈  và C ∈  . Giá trị của A. I = biểu thức 12 A + 7 B bằng 23 241 A. . B. . 252 252 Câu 39. Giả sử ∫ x (1 − x ) 2017 2a − b bằng: A. 2017 . (1 − x ) dx = a a C. (1 − x ) − b 52 . 9 D. 7 . 9 b + C với a, b là các số nguyên dương. Tính B. 2018 . x Câu 40. Nguyên hàm của ∫ 2 dx là: x +1 A. ln t + C , với = t x2 + 1. C. 2019 . 1 t x2 + 1. ln t + C , với = 2 2x Câu 41. Tính ∫ dx là: 4 2 ( x + 9) 1 D. − ln t + C , với = t x2 + 1. 2 C. A. − C. − 1 5 ( x + 9) 2 (x 4 2 + 9) 5 5 +C +C D. 2020 . B. − ln t + C , với = t x2 + 1. B. − D. − 1 3( x + 9) 2 (x 1 2 + 9) 3 3 +C +C ( 7 x − 1) dx ? Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của K = ∫ 2019 ( 2 x + 1) 2018 2018 2018 18162 ( 2 x + 1) + ( 7 x − 1) 1  7x −1  A. B. . .  . 2018 18162  2 x + 1  18162 ( 2 x + 1) 2017 Câu 42.
Trang chủ
C. −18162 ( 2 x + 1) + ( 7 x − 1) 2018 18162 ( 2 x + 1) 2018 2018 . D. Câu 43. Với phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm A. 1 2 t +C . 2 Câu 44. Giả sử B. ( 2 x + 3) dx 1 t +C . 2 18162 ( 2 x + 1) 2018 − ( 7 x − 1) 18162 ( 2 x + 1) ∫x 1 . 2018 1 dx bằng: +1 2 D. t + C . C. t 2 + C . − +C ∫ x ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) + 1 = g ( x) 2018 ( C là hằng số). Tính tổng các nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 . A. −1 . D. −3 . C. 3 . B. 1 . HÀM CHỨA CĂN THỨC Câu 45. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f = ( x) 2x + 3 1 2 B. ∫ f ( x ) d= x x 2x + 3 + C . ( 2 x + 3) 2 x + 3 + C . 3 3 2 C. ∫ f ( x ) d= D. ∫ f ( x ) d= x 2x + 3 + C . x ( 2 x + 3) 2 x + 3 + C . 3 Câu 46. Hàm số F ( x ) nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số = y 3 x +1 ? A. ) dx ∫ f ( x= F ( x) = 4 3 ( x + 1) 3 + C 8 . 43 4 ( x + 1) + C . 3 3 3 3 C. F ( x= D. F ( x= ) ( x + 1) 3 x + 1 + C . ) 4 ( x + 1) + C . 4 4 Câu 47. Tìm hàm số F ( x ) biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x và F (1) = 1 . A. B. F ( x= ) 2 1 x x+ . 3 3 2 5 D. = F ( x) x x− . 3 3 1 Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . 2 2x +1 1 A. ∫ f ( x= B. 2x +1 + C . )dx 2 2 x x. 3 1 1 = + . C. F ( x) 2 x2 2 A. F ( x ) = C. dx ∫ f ( x )= B. = F ( x) 2 2x +1 + C . ∫ f ( x )d=x D. ∫ f ( x )dx = Câu 49. Một nguyên hàm của hàm số: f (= x) x 1 + x 2 là: 3 1 A. F= B. F= ( x) 1 + x2 ( x) 3 2 x2 F ( x) 1 + x2 C. = D. F= ( x) 2 ) ( ( ) Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số = f ( x) 2 x x 2 + 1 là: 3 2 A. B. −2 x 2 + 1) + C ( 3
Trang chủ
1 3 1 2 (x 2 ( ( 2x +1 + C . 1 ( 2 x + 1) ) 1+ x ) 1 + x2 2 + 1) + C 3 2 2 2x +1 +C . (x C. 2 + 1) + C 3 D. −1 3 (x 2 + 1) + C 3 Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f= ( x) 2 x 1 − x 2 là: 3 3 1 A. B. − (1 − x 2 ) + C 1 − x2 ) + C ( 3 3 3 2 D. − C. 2 (1 − x 2 ) + C 1 − x2 ) + C ( 3 3 Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số = f ( x) x 3 x − 1 là: 1 3 1 1 3 1 7 5 6 4 A. B. ( 3x − 1) + 3 ( 3x − 1) + C . ( 3x − 1) + 3 ( 3x − 1) + C . 21 15 18 12 1 1 3 1 3 4 D. C. 3 ( 3 x − 1) + 3 ( 3 x − 1) + C . ( 3x − 1) + 3 ( 3x − 1) + C . 9 12 3 3 Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số f= ( x) 2 x 1 − 2 x là: A. − C. 3 3 (1 − 2 x ) 6 ∫x Câu 54. = Cho I = I ∫ (u ∫ (u 4 4 3 3 − 3 3 (1 − 2 x ) 6 12 3 3 (1 − 2 x ) +C B. − 6 12 +C u x 2 + 5dx , đặt= D. 3 3 (1 − 2 x ) + 8 3 3 (1 − 2 x ) C. = I 4 8 − 3 3 (1 − 2 x ) 14 3 3 (1 − 2 x ) 14 7 +C 7 +C ∫ (u 4 − 5u 3 )du. D. + 5u 3 )du. ∫x u 1 + 2 x dx và= 2 x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 3 A. I = 4 x 2 + 5 khi đó viết I theo u và du ta được B. I = ∫ u 2 du. − 5u 2 )du. 4 Câu 55. Cho = I + 6 3 3 (1 − 2 x ) A. = I 3 3 1 2 2 x ( x − 1) dx . 2 ∫1 B. I = 3 A. ∫ 2u ( u 2 − 4 )du . Câu 57. = Cho f ( x) 2 2 − 1) du . 3 D. I = ∫ (2 x +1 x 2 1 1  u5 u3  C. I =  −  . 2  5 3 1 Câu 56. Khi tính nguyên hàm ∫ u (u 1 2 2 u ( u − 1) du . 2 ∫1 x −3 dx , bằng cách đặt = u x + 1 ta được nguyên hàm nào? x +1 B. ∫ ( u 2 − 4 )du . C. ∫ 2 ( u 2 − 4 )du . D. ∫ ( u 2 − 3)du . ) x 2 + 1 + 5 , biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thỏa 3 F ( 0 ) = 6 . Tính F   . 4 125 126 123 127 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 5 dx = I a ln 3 + b ln 5 . Tổng a + b là Câu 58. Tính tích phân: I = ∫ được kết quả 3 1 x x + 1 A. 2 . B. 3 . C. −1 . D. 1 . 3 x Câu 59. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = là: 1 − x2
Trang chủ
1 2 x + 1) 1 − x 2 + C ( 3 1 D. − ( x 2 + 2 ) 1 − x 2 + C 3 1 2 x + 2) 1 − x2 + C ( 3 1 2 C. ( x + 1) 1 − x 2 + C 3 B. − A. Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x x2 + 1 là: x2 + 1 + C A. B. 2 x2 + 1 +C D. 4 x 2 + 1 + C C. 2 x 2 + 1 + C Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. −2 4 − x 2 + C . C. − 1 4 − x2 +C . 2 4x 4 − x2 là: B. 4 4 − x 2 + C . D. −4 4 − x 2 + C . Câu 62. Với phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm I = ∫ 1 dx bằng: −x + 2x + 3 A. sin t + C . B. −t + C . C. − cos t + C . D. t + C . 2 20 x − 30 x + 7 3  Câu 63. Biết rằng trên khoảng  ; + ∞  , hàm số f ( x ) = có một nguyên hàm 2x − 3 2  F ( x )= ( ax 2 + bx + c ) 2 x − 3 ( a , b , c là các số nguyên). Tổng S = a + b + c bằng 2 A. 4 . B. 3 . C. 5 .  a 4 1 1+ 3 b 1 1+ 3  x+ Câu 64. ∫  x3 + x + 1 + 2 +  dx có dạng x − + 4 x 2 3 x 2   là hai số hữu tỉ. Giá trị b, a lần lượt bằng: A. 2; 1. B. 1; 1. C. a, b ∈∅ dx T =∫ n +1 n xn + 1 ( ) Câu 65. Tìm ?  1  A. T =  n + 1 x  − ( 1 n ) C. T = x n + 1 B. C. D.
Trang chủ
( +C ( ) 3 D. 1; 2 . 1 +C ) x + 1 + C , trong đó a, b  1 n B. T =  n + 1 + C x  1 D. T = x n + 1 n + C . 1 2− x dx ? x2 2 + x 1 tan 2t 1 1 + sin 2t x R= − + ln + C với t = arctan   . 2 2 4 1 − sin 2t 2 tan 2t 1 1 + sin 2t 1 x − − ln + C với t = arctan   . R= 2 2 4 1 − sin 2t 2 1 tan 2t 1 1 + sin 2t x R =+ ln + C với t = arctan   . 2 2 4 1 − sin 2t 2 tan 2t 1 1 + sin 2t 1 x R =− ln + C với t = arctan   . 2 2 4 1 − sin 2t 2 Câu 66. Tìm R = ∫ A. − 1 n D. 6 . HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số= với t cos = x, u sin x , nguyên hàm của I = ∫ ( tan x + cot x ) dx là: A. − ln t + ln u + C . B. ln t − ln u + C . C. ln t + ln u + C . D. − ln t − ln u + C . π  F  Câu 68. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 3 x.cos x và F ( 0 ) = π . Tính  2  . π  F   = −π A.  2  . Câu 69. Tìm nguyên hàm A. ∫ π  B. F   = π . 2 sin 2 x dx . Kết quả là 1 + sin 2 x 1 π  C. F   =− + π . 4 2 π  1 +π . D. F  = 2 4 B. 1 + sin 2 x + C . C. − 1 + sin 2 x + C . D. 2 1 + sin 2 x + C . 1 + sin 2 x +C . 2 π  Câu 70. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin 2 2 x.cos3 2 x thỏa F   = 0 là 4 1 1 1 1 1 1 A. F ( x ) = sin 3 2 x − sin 5 2 x + . B. F ( x ) = sin 3 2 x + sin 5 2 x − . 6 10 15 6 10 15 1 3 1 1 1 1 4 C. F ( x ) = sin 2 x − sin 5 2 x − . D. F ( x ) = sin 3 2 x + sin 5 2 x − . 6 10 15 6 10 15 Câu 71. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan 5 x . 1 1 tan 4 x − tan 2 x + ln cosx + C . 4 2 1 1 B. ∫ f ( x ) dx = tan 4 x + tan 2 x − ln cosx + C . 4 2 1 1 C. ∫ f ( x ) dx = tan 4 x + tan 2 x + ln cosx + C . 4 2 1 1 D. ∫ f ( x ) dx = tan 4 x − tan 2 x − ln cosx + C . 4 2 A. ∫ f ( x ) dx = Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm của I = ∫ A. 2 3 t + C . B. 6 3 t + C . C. 3 3 t + C . 2sin x + 2 cos x dx là: 3 1 − sin 2 x D. 12 3 t + C . HÀM MŨ –LÔGARIT Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 e x 3 +1 1 1  A. ∫  −t −5 + 2t −3 −  dt= t −4 − t −2 − ln t + C . t 4  1 x3 +1 C. ∫ f (= x ) dx e +C . 3 dx Câu 74. Tìm nguyên hàm I = ∫ . 1 + ex
Trang chủ
B. ) dx ∫ f ( x= D. f= ( x ) dx ∫ 3e x +1 + C . 3 x3 x3 +1 e +C . 3 A. I =x − ln 1 − e x + C . B. I =x + ln 1 + e x + C . C. I =− x − ln 1 + e x + C . D. I =x − ln 1 + e x + C . Câu 75. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 thỏa mãn F ( 0 ) = 10 . Tìm F ( x ) 2e + 3 x . ( ) ( ) 1 ln 5 1 . B. F ( x )= x − ln ( 2e x + 3) + 10 + x + 10 − ln ( 2e x + 3) . 3 3 3 1 3   C. F ( x )=  x − ln  e x +   + 10 + ln 5 − ln 2 . D. 3 2   A. F ( x )= F ( x )= 1 3  ln 5 − ln 2  . x − ln  e x +   + 10 −  3 2  3  Câu 76. Với phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm ∫ ln 2x dx bằng: x 1 2 B. t 2 + C . C. 2t 2 + C . D. 4t 2 + C . t +C . 2 Câu 77. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm = của hàm số y 2sin x.2cos x ( cos x − sin x ) ? A. 2sin x.2cos x B. y = . ln 2 sin x + cos x = +C . A. y 2 C. y = ln 2.2sin x + cos x . D. 2sin x + cos x y= − +C . ln 2 Câu 78. Cho hàm số f ( x) = 2 A. F (= x) 2 x ( x ln 2 . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x) ? x ( x) 2 2 B. F (= +C . C. F (= x) 2 2 x ) +1 + C . Câu 79. Nguyên hàm của f ( x ) = D. F= ( x) 2 1 + ln x là x.ln x 1 + ln x dx ln ln x + C . = x.ln x 1 + ln x C. ∫ dx = ln x + ln x + C . x.ln x A. Câu 80. ∫ ∫ ( ( x + 1) e x 2 −5 x + 4 ) e x ( 3x − 2 ) + x − 1 ( ) x −1 ex . x −1 + 1 ( D. ⋅ e7 x −3 + cos 2 x dx có dạng hữu tỉ. Giá trị a, b lần lượt bằng: A. 3; 1 . B. 1; 3 . Câu 81. Tìm I = ∫ B. ) a ( x +1)2 e 6 ) +C . ln x 2 .ln x + C . 1 + ln x = dx ln x.ln x + C . x.ln x b + sin 2 x + C , trong đó a, b là hai số 2 ∫ D. 6; 1 . dx ? Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( ) B. I = x − ln e x . x − 1 + 1 + C . ( C. I ln e x . x − 1 + 1 + C . =
Trang chủ
1 + ln x dx ∫= x.ln x ) −1 + C . C. 3; 2 . A. I = x + ln e x . x − 1 + 1 + C . ( x +1 x ) D. I ln e x . x − 1 − 1 + C . = ln (1 + x ) 2 x + 2017 x x ln ( e.x 2 + e )  2 +1   ? A. ln ( x 2 + 1) + 1008ln ln ( x 2 + 1) + 1 . B. ln ( x 2 + 1) + 2016 ln ln ( x 2 + 1) + 1 . 1 ln ( x 2 + 1) + 2016 ln ln ( x 2 + 1) + 1 . 2 1 D. ln ( x 2 + 1) + 1008ln ln ( x 2 + 1) + 1 . 2 2 x 2 + (1 + 2 ln x ) .x + ln 2 x Câu 83. Tìm G = ∫ dx ? 2 2 ln x x x + ( ) C. 1 −1 A. G =− +C . x x + ln x 1 1 C. G = − +C . x x + ln x 1 1 B. G = − +C . x x + ln x 1 1 D. G = + +C. x x + ln x 1 − ln x Câu 84. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của h ( x ) = 1− n ? x .ln x. ( x n + ln n x ) 1 1 ln x − ln x n + ln n x + 2016 . n n 1 1 C. − ln x + ln x n + ln n x + 2016 . n n A.
Trang chủ
1 1 ln x + ln x n + ln n x + 2016 . n n 1 1 D. − ln x − ln x n + ln n x − 2016 . n n B. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN 2x Cho hàm số f ( x ) = 2 . Khi đó: x +1 A. ∫ f ( x )dx= 2 ln (1 + x 2 ) + C . B. ∫ f ( x )dx= 3ln (1 + x 2 ) + C . C. 4 ln (1 + x 2 ) + C . ∫ f ( x )dx= D. ∫ f ( x )dx = ln (1 + x ) + C . 2 Hướng dẫn giải d ( x + 1) 2x.dx 2 = 2 ∫ x + 1 ∫ x 2 + 1= ln x + 1 + C . Chọn D 4 Cho hàm số f = ( x ) x ( x 2 + 1) . Biết F(x) là một nguyên hàm của f ( x) đồ thị hàm số y = F ( x ) 2 Ta có: Câu 2. đi qua điểm M (1;6 ) . Khi đó F(x) là: A. = F ( x) C. = F ( x) (x 2 (x 2 + 1) 4 2 − . 5 4 + 1) 10 B. = F ( x) 5 + 15 . 8 D. F ( x= ) (x 2 + 1) 10 5 − 15 . 8 5 1 2 14 x + 1) + . ( 10 5 Hướng dẫn giải 4 5 1 1 2 Ta có F (= x ) ∫ x ( x 2 + 1) = dx x 2 + 1) d ( x 2 += 1) x + 1) + C ( ( ∫ 2 10 5 1 14 1 2 14 5 M (1;6 ) ∈ (C ) : y = F ( x) ⇔ 6 = ⇒ F ( x) = x + 1) + (1 + 1) + C ⇔ C = ( 10 5 10 5 Chọn D −2 x Tính ∫ dx thu được kết quả là: 1 − x2 1+ x x A. B. +C. +C . 1− x 1− x 1 C. D. ln 1 − x 2 + C . +C . 1− x Hướng dẫn giải 2 d (1 − x ) −2 x.dx Ta có: ∫ = ∫ = ln 1 − x 2 + C . 2 1− x 1 − x2 Chọn D 2x +1 Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 là: x +x+4 A. 2 ln x 2 + x + 4 + C . B. ln x 2 + x + 4 + C . 4 Câu 3. Câu 4. C. ln x 2 + x + 4 Ta có: 2 ∫x +C . D. 4 ln x 2 + x + 4 + C . Hướng dẫn giải 2x +1 dx = +x+4 2 Chọn B
Trang chủ
d ( x + x + 4) = ln x 2 + x + 4 + C . 2 x +x+4 2 ∫ Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2+ x là : x + 4x − 4 2 1 .ln x 2 + 4 x − 4 + C . 2 C. 2 ln x 2 + 4 x − 4 + C . B. ln x 2 + 4 x − 4 + C . A. D. 4 ln x 2 + 4 x − 4 + C . Hướng dẫn giải x+2 1 d ( x + 4x + 4) 1 Ta có: ∫ 2 = = .ln x 2 + 4 x − 4 + C . dx ∫ . 2 x + 4x − 4 2 x + 4x + 4 2 Chọn A 2x Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 là: x +4 ln x 2 + 4 2 A. 2 ln x + 4 + C B. +C 2 C. ln x 2 + 4 + C D. 4 ln x 2 + 4 + C 2 Câu 6. Hướng dẫn giải Ta có: ∫x 2x = +4 2 d ( x + 4) = ln x 2 + 4 + C 2 x +4 2 ∫ Chọn C Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x 2 là: x3 + 4 A. 3ln x3 + 4 + C B. −3ln x3 + 4 + C C. ln x 3 + 4 + C D. − ln x3 + 4 + C Hướng dẫn giải 2 3 x .dx ∫ x3 + 4= Chọn C Ta có: Câu 8. Một nguyên hàm của f ( x) = A. Câu 9. d ( x + 4) 3 ∫ x3 + 4 = ln x + 4 + C 3 1 ln x + 1 2 x là: x +1 2 B. 2 ln ( x 2 + 1) 1 ln( x 2 + 1) 2 Hướng dẫn giải C. D. ln( x 2 + 1) 2 x.dx 1 d ( x + 1) 1 Ta có: ∫= = ln ( x 2 + 1) x2 + 1 2 ∫ x2 + 1 2 Chọn C x3 Tính F ( x) = ∫ 4 dx x −1 A. F ( = x) ln x 4 − 1 + C 1 ln x 4 − 1 + C 4 1 D. F= ( x) ln x 4 − 1 + C 3 B. F= ( x) 1 ln x 4 − 1 + C 2 x3 1 d ( x 4 − 1) 1 = dx ln x 4 − 1 + C Ta có: ∫ 4 = 4 ∫ x −1 4 x −1 4 Hướng dẫn giải C. F= ( x)
Trang chủ
x3 1 d ( x 4 − 1) 1 = dx ln x 4 − 1 + C ∫ x 4 − 1 4 ∫ x 4 −= 1 4 Chọn B sin x Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = là: cos x − 3 B. 2 ln cos x − 3 + C A. − ln cos x − 3 + C Ta có: C. − ln cos x − 3 2 +C D. 4 ln cos x − 3 + C Hướng dẫn giải −d ( cos x − 3) sin x dx = ∫ cos x − 3 ∫ cos x − 3 =− ln cos x − 3 + C Chọn A sin x π  và F   = 2 . Tính F ( 0 ) . Câu 11. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 + 3cos x 2 1 2 2 A. F ( 0 ) = − ln 2 + 2 . B. F ( 0 ) = − ln 2 − 2 . D. − ln 2 + 2 . C. F ( 0 ) = 3 3 3 1 F ( 0) = − ln 2 − 2 . 3 Hướng dẫn giải Chọn B sin x 1 d (1 + 3cos x ) 1 dx = − ∫ = − ln 1 + 3cos x + C . Ta có: ∫ 1 + 3cos x 3 1 + 3cos x 3 π 2   2 C =⇒ 2 F ( 0) = − ln 2 + 2 . Do F   =⇔ 3 2 2 Câu 12. Nguyên hàm của hàm số: y = sin x.cos 3 x là: 1 1 1 1 A. sin 3 x − sin 5 x + C . B. − sin 3 x + sin 5 x + C . 3 5 3 5 3 5 3 5 C. sin x + sin x + C . D. sin x − sin x + C . Hướng dẫn giải 3 Ta có: ∫ sin 2 x.cos .dx ∫ ( sin 2 x − sin 4 x ) .cos x.dx = Ta có: sin 3 x sin 5 x = ∫ ( sin x − sin x ).d ( sin x ) = − +C. 3 5 Chọn A Câu 13. Nguyên hàm của hàm số: y = sin3 x.cosx là: 1 1 1 A. cos 4 x + C . B. sin 4 x + C . C. sin 3 x + C . D. − cos 2 x + C . 4 3 4 Hướng dẫn giải sin 4 x x.dx ∫ sin 3 x.d ( sin = x) +C . Ta có: ∫ sin 3 x.cos= 4 Chọn B cos x.sin 2 x.dx Câu 14. Tính ∫ 3sin x − sin 3 x 3cos x − cos 3 x A. B. +C +C 12 12 sin 3 x +C C. D. sinx .cos 2 x + C 3 2
Trang chủ
4 Hướng dẫn giải sin 3 x 2 2 cos x .sin = x . dx sin x . d sin = x +C Ta có: ∫ ( ) ∫ 3 Chọn C 1 Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = là: sin x x x A. ln cot + C B. ln tan + C 2 2 x C. − ln tan + C D. ln sin x + C 2 Hướng dẫn giải d ( cos x ) 1 cos x − 1 dx sin x.dx − sin x.dx Ta có: = = = ln +C 2 2 ∫ sin x ∫= ∫ ∫ 1 − cos x cos x − 1 cos 2 x − 1 2 cos x + 1 Chọn B Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan x là: B. − ln cos x + C A. ln cos x + C C. tan 2 x +C 2 D. ln ( cos x ) + C Hướng dẫn giải d ( cosx ) sin x.dx −∫ = − ln cos x + C Ta có: ∫ tan x.dx = ∫ cos x = cos x Chọn B 1 − 2sin 2 x ( ) Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f x = . π 2 2sin  x +   4 A. ∫ f ( x ) dx= C. ln 1 + sin 2 x + C . ∫ f ( x ) dx = ln sin x + cos x + C . 1 ln sin x + cos x + C . 2 1 D. ∫ f ( x ) dx = ln 1 + sin 2 x + C . 2 Hướng dẫn giải B. ∫ f ( x ) d=x Chọn A π  Áp dụng công thức 1 − 2sin 2 x =cos 2 x =cos 2 x − sin 2 x và 2sin 2  x + = 4  cos x − sin x Hàm số được rút gọn thành f ( x ) = sin x + cos x d ( sin x + cos x ) Nguyên hàm ∫ f ( x ) dx = ∫ = ln sin x + cos x + C sin x + cos x ex Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x là: e +3 A. −e x − 3 + C B. 3e x + 9 + C C. −2 ln e x + 3 + C D. ln e x + 3 + C Hướng dẫn giải ex ∫ e x + 3 dx= Chọn D Ta có:
Trang chủ
d ( e + 3) = ln e x + 3 + C ex + 3 x ∫ ( sin x + cos x ) 2 Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x 2 x là: 1 ln 2 1 x2 A. B. C. x2 + C .2 + C 2 +C x ln 2 ln 2.2 2 Hướng dẫn giải 2 2 2 1 1 1 x2 x Ta có: ∫ 2 x= .2 x dx 2 x.2= .ln 2 = d 2x .2 + C ∫ ∫ ln 2 ln 2 ln 2 Chọn B 2 Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 xe x là: 2 D. ln 2.2 x + C 2 ( ) −e x +C . A. 2 C. −e x + C . Ta có: ∫ 2 x.e 2 x2 dx = ∫ d ( e =) x2 ex +C . B. 2 2 D. e x + C . Hướng dẫn giải ex + C . 2 Chọn D 2 x.e x +1dx ∫ Câu 21. Tính A. e x C. 2 +1 1 x2 e +C . 2 1 2 D. e x −1 + C . 2 Hướng dẫn giải +C . B. 1 x2 +1 e +C . 2 Ta = có: I dx ∫ xe = x 2 +1 2 1 1 x2 +1 d (= e x +1 ) e +C . ∫ 2 2 Chọn C Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ) dx ∫ f ( x= C. ∫ f ( x )= dx A. ln 2 x + C . ln x + C ln x . x x ) dx ∫ f (= D. ∫ f ( x ) d= x B. 1 2 ln x + C . 2 ex + C Hướng dẫn giải Chọn B 1 2 ln x + C . 2 ln 2 x Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = là : x A. ln 2x + C . B. ln 2 x + C . ln 2 2 x ln x +C . C. D. +C . 2 2 Hướng dẫn giải ln 2 x ln 2 2 x dx ∫ ln 2 x.d ( ln 2x) = +C . Ta có: ∫ = 2 x Chọn C 1 + ln x Câu 24. Nguyên hàm ∫ dx ( x > 0 ) bằng x 1 A. ln 2 x + ln x + C . B. x + ln 2 x + C . C. ln 2 x + ln x + C . 2 Ta có ln x ) ∫ f ( x ) dx = ∫ ln xd (=
Trang chủ
1 D. x + ln 2 x + C . 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 + ln x Ta có ∫ dx = x F ( x) = ∫ 1 ∫ x dx + ∫ ln x 1 1 dx = dx + ∫ ln xd ( ln x ) = ln x + ln 2 x + C . ∫ x x 2 dx x 2 ln x + 1 Câu 25. Tính A. = F ( x) 2 2 ln x + 1 + C 1 C.= F ( x) 2 ln x + 1 + C 4 Ta có: F= ( x) ∫ d( 2 ln x= + 1) B. F= ( x) 2 ln x + 1 + C D.= F ( x) 1 2 ln x + 1 + C 2 Hướng dẫn giải 2 ln x + 1 + C . Chọn B Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = B. ln x + C A. ln 2 x + C ln x dx ∫ x= Chọn C Ta có: = ) ∫ ln x.d ( lnx ln x là: x ln 2 x +C 2 Hướng dẫn giải C. D. ln 2 x +C 2 Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x ln( x 2 + 1) là: x +1 2 1 2 2 ln ( x + 1) + C 2 1 C. ln 2 ( x 2 + 1) + C 2 B. ln( x 2 + 1) + C C. F ( x= ) D. F ( x= ) A. 1 2 2 ln ( x + 1) + C 2 Hướng dẫn giải 2x 1 2 2 Ta có: ∫ 2 ln( x 2 + 1)= 1)) ln ( x + 1) + C dx ∫ ln( x 2 + 1) d(ln( x 2 += 2 x +1 Chọn D dx Câu 28. Tính ∫ x.ln x A. ln x + C B. ln | x | +C C. ln(lnx) + C D. ln | lnx | + C Hướng dẫn giải d ( ln x ) dx Ta có: ∫ = ∫ = ln ln x + C x.ln x ln x Chọn D 2 Câu 29. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = thỏa mãn F ( 5 ) = 7 . 2x −1 A. F= B. F (= x) 2 2x −1 +1 . ( x) 2 2x −1 . 2x −1 + 4 . D. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ∫ d ( 2 x − 1) 2 = 2 2x −1 + C ; dx = 2 ∫ 2x −1 2 2x −1
Trang chủ
2 x − 1 − 10 . ln x +C 2 7 ⇒C = 1. Do F ( 5 ) = 7 nên 6 + C = ∫ x. Câu 30. Họ nguyên hàm A. 1 3 2 . ( x + 1) + C. 8 3 x 2 + 1dx bằng B. 3 3 3 2 C. . 3 ( x 2 + 1) 4 + C. . ( x + 1) + C. 8 8 Hướng dẫn giải D. 1 3 2 . ( x + 1) 4 + C. 8 Chọn C 1 4 4 1 3 2 33 2 2 2 3 Ta có ∫ x. x + 1dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1)= ( x + 1) 3 + C = x + 1) + C . ( 8 2 8 1  Câu 31. Biết ∫ f ( = x ) dx 2 x ln ( 3 x − 1) + C với x ∈  ; +∞  3  Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. B. ∫ f ( 3= A. ∫ f ( 3= x ) dx 2 x ln ( 9 x − 1) + C . x ) dx 6 x ln ( 3 x − 1) + C . 3 C. 2 x ) dx ∫ f ( 3= 6 x ln ( 9 x − 1) + C . D. x ) dx ∫ f ( 3= 3 x ln ( 9 x − 1) + C . Lởi giải Chọn A Cách 1: x ) dx ∫ f (= 2 x ln ( 3 x − 1) + C ⇒ = 2 x ln ( 9 x − 1) + C 1 f ( 3 x ) d ( 3x ) ∫ f ( 3 x ) dx = 3 ∫ = 1 2. ( 3 x ) ln ( 3.3 x − 1) + C 3 Cách 2: Ta có x ) dx ∫ f (= f ( x) 2 x ln ( 3 x − 1) + C ⇒= C )′ ( 2 x ln ( 3x − 1) + = 2 ln ( 3 x − 1) + 18 x . 9x −1 18 x  2    d= x 2 ∫ ln ( 9 x − 1) dx + ∫  2 + 3 x ) dx ∫  2 ln ( 9 x − 1) +  dx ∫ f (=  9 x − 1 9x −1    2 2 = + C 2 ln ( 9 x − 1) + C . ( 9 x − 1) ln ( 9 x − 1) − 9 x  + 2 x + ln ( 9 x − 1) = 9 9 Khi đó f (= 3 x ) 2 ln ( 9 x − 1) +
Trang chủ
6x . 3x − 1 PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ Nếu ) dx ∫ f ( x= F ( x ) + C thì Giả sử ta cần tìm họ u ‘ ( x ) dx F u ( x )  + C . ∫ f u ( x ) .= nguyên hàm I = ∫ f ( x ) dx , trong đó ta có thể phân tích f ( x ) = g ( u ( x ) ) u ‘ ( x ) thì ta thực hiện phép đổi biến số t = u ( x ) , suy ra dt = u ‘ ( x ) dx . ∫ g ( t ) d=t G ( t ) + C= G u ( x )  + C. Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u ( x ) . Khi đó ta được nguyên hàm: HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 32. Cho ∫ f ( x= )dx F ( x) + C. Khi đó với a ≠ 0, ta có 1 F (a x + b) + C 2a 1 C. F (a x + b) + C a B. a.F (a x + b) + C A. Ta= có: I D. F (a x + b) + C Hướng dẫn giải ∫ f ( ax + b ) dx Đặt: t = ax + b ⇒ dt = adx ⇒ ∫ f (a x + b)dx bằng: 1 dt = dx . a 1 1 f= ( t ) dt F ( t ) + C ∫ a a 1 Suy ra: = I F ( ax + b ) + C a Chọn C ) x(1 − x)10 có nguyên hàm là: Câu 33. Hàm số f ( x= Khi= đó: I ( x − 1)12 ( x − 1)11 − +C . A. F ( x) = 12 11 ( x − 1)11 ( x − 1)10 + +C . C. 11 10 ( x − 1)12 ( x − 1)11 + +C. B. F ( x) = 12 11 ( x − 1)11 ( x − 1)10 − +C . D. F ( x) = 11 10 Hướng dẫn giải 10 = Ta có: I ∫ x. (1 − x ) .dx . Đăt: t = 1 − x ⇒ −dt = dx , x = 1 − t . 1 1 Khi đó I =∫ ( t − 1) .t10 .dt =∫ (t11 − t10 ).dt = t12 − t11 + c 12 11 1 1 12 11 Suy ra I = (1 − x ) − (1 − x ) + C . 12 11 Chọn A dx Câu 34. Tính ∫ thu được kết quả là: (1 + x 2 ) x A. ln x ( x 2 + 1) + C . C. ln x 1 + x2
Trang chủ
+C . B. ln x 1 + x 2 + C . 1 x2 .ln +C . 2 1 + x2 Hướng dẫn giải D. dx xdx ∫ (1 + x ) x = ∫ (1 + x ) x Ta có: 2 2 2 . Đặt: t =+ 1 x2 ⇒ 1 dt =x.dx , x 2 =− t 1. 2 1 1 1 t −1 1 x2 dt .ln C⇒I ln += + C. ∫ 2 . t. ( t = 2 2 1 + x2 t − 1) Khi= đó: I Chọn D 3 x ( x + 1) dx ∫ Câu 35. Tính là : A. ( x + 1) 5 5 ( x + 1) + 4 +C 4 B. ∫ x ( x + 1) 3 5 5 ( x + 1) − 4 4 +C x5 3x 4 x2 3 + − x + +C D. 5 4 2 Hướng dẫn giải x5 3x 4 x2 3 + + x − +C C. 5 4 2 = I Ta có: ( x + 1) dx Đặt: t = x + 1 ⇒ dt = dx , x = t − 1  t5 t4  Khi đó: I = ∫ ( t − 1) .t .dt = ∫ ( t − t ) dt =  −  + C 5 4 3 Suy ra: ( x + 1) I= 5 Chọn B Câu 36. Tìm nguyên hàm A. 5 4 ( x + 1) − 4 +C 4 ∫ x( x 16 1 2 x + 7) + C . ( 2 2 3 + 7)15 dx B. − 16 16 1 2 1 2 x + 7 ) + C . C. x + 7) + C . ( ( 32 16 . D. 16 1 2 x + 7) + C ( 32 Hướng dẫn giải Chọn D 1 dt 2 1 15 1 t16 1 2 2 15 x t d= t . +C = x +7 Ta có ∫ x( x + 7) d= ∫ 2 2 16 32 Đặt t = x 2 + 7 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx = ( ∫ x ( 4x Câu 37. = Xét I A. I = 3 ) 16 +C . u 4 x 4 − 3 , khẳng định nào sau đây đúng? − 3) dx . Bằng cách đặt:= 5 4 1 u 5du . ∫ 16 B. I = 1 C. I = ∫ u 5du . u 5du . ∫ 12 Hướng dẫn giải D. I = 1 5 u du . 4∫ Chọn A u= 4 x 4 − 3 ⇒ du= 16 x3dx ⇒ 1 du= x3dx . 16 1 ⇒ I = ∫ u 5du . 16 Câu 38. Cho ∫ 2 x ( 3 x − 2 ) dx= A ( 3 x − 2 ) + B ( 3 x − 2 ) + C với A , B ∈  và C ∈  . Giá trị của biểu 6 thức 12 A + 7 B bằng 23 A. . 252 Chọn D
Trang chủ
8 B. 241 . 252 7 52 . 9 Hướng dẫn giải C. D. 7 . 9 t+2 1 t 3 x − 2 ⇒ x = ⇒ dt = Đặt = dx . 3 3 2 t8 4 t7 2 2 t+2 6 1 4 8 7 C Ta có: ∫ . ( 3x − 2 ) + . ( 3x − 2 ) + C . .t dt = ∫ ( t 7 +2t 6 ) dt = . + . + = 9 8 9 7 36 63 9 3 3 1 4 1 4 7 Suy ra A = , B = , 12. + 7. = . 36 63 36 63 9 Câu 39. Giả sử ∫ x (1 − x ) 2017 (1 − x ) dx = a bằng: A. 2017 . a (1 − x ) − b b B. 2018 . + C với a, b là các số nguyên dương. Tính 2a − b C. 2019 . Hướng dẫn giải D. 2020 . Tacó: ∫ x (1 − x ) dx = ∫ ( x − 1 + 1)(1 − x ) 2017 2017 ( dx = ∫ (1 − x ) Vậy = a 2019,= b 2018 ⇒ 2a −= b 2020 . Chọn D x Câu 40. Nguyên hàm của ∫ 2 dx là: x +1 A. ln t + C , với = t x2 + 1. C. 1 t x2 + 1. ln t + C , với = 2 (x 4 2 + 9) 5 +C − (1 − x ) 2018 ) (1 − x ) dx = − B. − ln t + C , với = t x2 + 1. B. − D. − 1 3( x + 9) 2 (x 1 2 + 9) 3 3 +C +C Hướng dẫn giải Ta có: I = ∫ 2x ( x2 + 9) 4 dx Đặt: t = x 2 + 9 ⇒ dt = 2 x.dx dt 1 −4 Khi đó: I = − 3 +C ∫ t4 = ∫ t .dt = 3t 1 Suy ra: I = − +C 2 3( x + 9) Chọn B ( 7 x − 1) dx ? K =∫ 2019 ( 2 x + 1) 2017 Câu 42. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của
Trang chủ
2018 2018 1 D. − ln t + C , với = t x2 + 1. 2 Hướng dẫn giải Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx . x 1 1 1 ⇒∫ 2 dx = … == dt ln t + C . ∫ x +1 2 t 2 Chọn C 2x ∫ x 2 + 9 4 dx ( ) là: Câu 41. Tính 1 A. − +C 5 2 5 ( x + 9) C. − 2017 (1 − x ) + 2019 2019 +C 1  7x −1  A. .  18162  2 x + 1  C. −18162 ( 2 x + 1) 18162 ( 2 x + 1) 2018 . 2018 B. + ( 7 x − 1) 18162 ( 2 x + 1) . + ( 7 x − 1) 18162 ( 2 x + 1) 18162 ( 2 x + 1) 2018 2018 2018 D. 2018 2018 . 2018 − ( 7 x − 1) 18162 ( 2 x + 1) 2018 2018 Hướng dẫn giải 2017 7 x − 1) (= 1  7x −1  ∫ ( 2 x + 1)2019 dx ∫  2 x + 1  . ( 2 x + 1)2 dx 2017 Ta có: K = Đặt= t 7x −1 ⇒ dt = 2x +1 9 dt dx ⇔ = 9 ( 2 x + 1) 2 1 ( 98 x + 1) t 2018 1 2017 1  7 x −1  ⇒= += K t = dt C .  ∫ 9 18162 18162  2 x + 1  Chọn D 2 2018 +C Câu 43. Với phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm A. 1 2 t +C . 2 B. 1 t +C . 2 dx ∫x 1 dx bằng: +1 2 C. t 2 + C . D. t + C . Hướng dẫn giải 1  π π x tan t , t ∈  − ;  ⇒= dx dt . = Ta đặt: cos 2 t  2 2 1 ⇒∫ 2 dx = … = t +C. ∫ dt = x +1 Chọn D ( 2 x + 3) dx 1 Câu 44. Giả sử ∫ = − + C ( C là hằng số). x ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) + 1 g ( x) Tính tổng các nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 . A. −1 . D. −3 . C. 3 . Hướng dẫn giải B. 1 . Chọn D Ta có x ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) + 1 =( x 2 + 3 x )( x 2 + 3 x + 2 ) + 1 = ( x 2 + 3 x ) + 1 . Đặt = dt ( 2 x + 3) dx . t x 2 + 3 x , khi đó = 2 Tích phân ban đầu trở thành Trở lại biến x , ta có dt ∫ ( t + 1) 2 1 = − +C . t +1 ( 2 x + 3) dx 1 − +C . ∫ x ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) + 1 = x + 3x + 1 2 Vậy g ( x ) = x 2 + 3 x + 1 . −3 + 5 −3 − 5 hoặc x = . 2 2 Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng −3 . g ( x ) = 0 ⇔ x 2 + 3x + 1 = 0 ⇔ x =
Trang chủ
. HÀM CHỨA CĂN THỨC Câu 45. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f = ( x) 2x + 3 A. ) dx ∫ f ( x= B. 1 ∫ f ( x ) d=x 3 ( 2 x + 3) C. ∫ D. ∫ f ( x ) d=x 2 x 2x + 3 + C . 3 2 f ( x ) d= x ( 2 x + 3) 2 x + 3 + C . 3 Chọn B Xét = I ∫ ( 2x + 3 + C . 2x + 3 + C . Hướng dẫn giải ) 2 x + 3 dx . 2x + 3 = t ⇔ t 2 = 2 x + 3 ⇔ 2tdt = 2dx . 3 1 1 1 3 x 2 x + 3 + C ⇔ ∫ f ( x ) d= t += C = I ∫= t.tdt ∫ t 2 = dt ( 2 x + 3) 2 x + 3 + C . 3 3 3 Câu 46. Hàm số F ( x ) nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số = y 3 x +1 ? 4 3 F ( x ) = ( x + 1) 3 + C 4 4 8 A. . B. F ( x= ) 3 ( x + 1) + C . 3 3 3 3 D. F ( x= C. F ( x= ) ( x + 1) 3 x + 1 + C . ) 4 ( x + 1) + C . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: = I ∫ 3 x + 1dx . Đặt t Đặt:= ( ) x + 1 ⇒ t 3 = x + 1 ⇒ 3t 2 dt = dx . 3 3 3 4 2 3 3 t 4 + C= ⇒I= dt ( x + 1) + C= ( x + 1) 3 x + 1 + C . ∫ t.3t dt = ∫ 3t = 4 4 4 3 Vậy F ( x= ) ( x + 1) 3 x + 1 + C . 4 F ( x) F ( x) F (1) = 1 f ( x) = x Câu 47. Tìm hàm số biết là một nguyên hàm của hàm số và . 2 2 1 A. F ( x ) = x x . B. = F ( x) x x+ . 3 3 3 1 1 2 5 = + . D. = C. F F ( x) x x− . ( x) 3 3 2 x2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: F ( x ) = ∫ x dx 3 18T Đặt t = x suy ra t 2 = x và dx = 2dt . Khi đó= I dt ∫ t.2t= 1 2 1 Vì F (1) = 1 nên C = .Vậy = F ( x) x x+ . 3 3 3 1 Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . 2 2x +1 1 A. ∫ f ( x= B. 2x +1 + C . )dx 2
Trang chủ
2 3 2 t +C ⇒ = I x x +C . 3 3 ∫ f ( x )d=x 2x +1 + C . C. dx ∫ f ( x )= 2 2x +1 + C . D. ∫ f ( x )dx = 1 ( 2 x + 1) 2x +1 Hướng dẫn giải Chọn A t ⇒ 2x +1 = tdt . Đặt 2 x + 1 = t 2 ⇒ dx = 1 1 tdt 1 1 1 Khi đó ta có ∫ 2x +1 + C . 2 x + 1dx = ∫ = = ∫ dt = t += C 2 2 2 2 t 2 Câu 49. Một nguyên hàm của hàm số: f (= x) x 1 + x 2 là: 3 1 A. F= B. F= ( x) 1 + x2 ( x) 3 2 x2 1 + x2 F ( x) C. = D. F= ( x) 2 Hướng dẫn giải ) ( ) ( Ta có: = I ∫x 1 3 ( ( ( ) 1+ x ) 1 + x2 2 1 + x2 ∫ t.t.dt= 2 ∫ t dt= ) +C 3 Chọn A Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số = f ( x) 2 x x 2 + 1 là: 3 2 A. B. −2 x 2 + 1) + C ( 3 3 −1 C. ( x 2 + 1) + C D. 3 Hướng dẫn giải Ta có: I = ∫ 2x (x 2 (x 2 + 1) + C 3 + 1) + C 3 x 2 + 1dx Đặt: t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇒ 2tdt = 2 xdx . 2t 3 2 dt ∫ 2t .= dt +C Khi đó:= I ∫ t.2t.= 3 3 2 Suy ra:= I x 2 + 1) + C . ( 3 Chọn A Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f= ( x) 2 x 1 − x 2 là: 3 3 1 A. B. − (1 − x 2 ) + C 1 − x2 ) + C ( 3 3 3 2 C. 2 (1 − x 2 ) + C D. − 1 − x2 ) + C ( 3 Hướng dẫn giải Ta = có: I ∫ 2 x 1 − x 2 dx Đặt: t = 1 − x 2 ⇒ t 2 = 1 − x 2 ⇒ −2tdt = 2 xdx . 2t 3 2 t . − 2 t . dt = − 2 t . dt = − +K Khi đó: I = ∫ ( ) ∫ 3
Trang chủ
2 2 1 + x 2 dx Đặt: t = 1 + x 2 ⇒ t 2 =1 + x 2 ⇒ t.dt =x.dx Khi đó: I= Suy ra: I = 1 3 1 2 t3 +C 3 +C . 3 2 Suy ra: I = − 1 − x2 ) + C . ( 3 Chọn D Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số = f ( x) x 3 3 x − 1 là: 1 3 1 1 3 1 7 5 6 4 A. B. ( 3x − 1) + 3 ( 3x − 1) + C . ( 3x − 1) + 3 ( 3x − 1) + C . 18 12 21 15 13 1 1 3 4 3 C. D. ( 3x − 1) + 3 ( 3x − 1) + C . ( 3x − 1) + 3 ( 3x − 1) + C . 9 12 3 Hướng dẫn giải Ta= có: I ∫ x 3 3 x − 1dx . Đặt: t = 3 3 x − 1 ⇒ t 3 = 3 x − 1 ⇒ t 2 .dt = dx t3 +1 2 1 6 4 1  t7 t5  Khi đó: I = ∫ .t.t .dt = ( t + t ) dt = 3  7 + 5  + C 3 3∫   11 3 1 7 5 Suy= ra I ( 3x − 1) + 3 ( 3x − 1)  + C .  3 7 5  Chọn A Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số f= ( x) 2 x 3 1 − 2 x là: A. − C. 3 3 (1 − 2 x ) 3 + 6 3 3 (1 − 2 x ) 3 − 6 ∫ 2x Ta = có: I 3 3 3 (1 − 2 x ) 6 3 3 (1 − 2 x ) B. − +C 12 6 +C 12 D. 3 3 (1 − 2 x ) + 8 3 3 (1 − 2 x ) Hướng dẫn giải 4 8 4 − 3 3 (1 − 2 x ) 14 3 3 (1 − 2 x ) 14 1 − 2 xdx 3 ∫x Câu 54. = Cho I A. = I = I ∫ (u ∫ (u 4 4 u x 2 + 5dx , đặt= 3 − 5u 2 )du. x 2 + 5 khi đó viết I theo u và du ta được B. I = ∫ u 2 du. C. = I ∫ (u 4 − 5u 3 )du. D. + 5u 3 )du. Hướng dẫn giải. Chọn A Đặt= u x 2 + 5 ⇒ u 2 = x 2 + 5 ⇒ udu = xdx Khi đó: I = ∫x 4 Câu 55. Cho = I ∫x 0
Trang chủ
3 x 2 + 5dx = ∫ x .x. u 1 + 2 x dx và= 2 x 2 + 5dx = ∫ (u 2 − 5 ) .u.u= du ∫ (u 2 x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 4 +C 7 3 1 − 2 x ⇒ t 3 = 1 − 2 x ⇒ − t 2 .dt = dx . 2 3 Mặt khác: 2 x = 1 − t 3 3 3  t4 t7  Khi đó: I = − ∫ (1 − t 3 )t t 2 .dt = − ∫ (t 3 − t 6 )dt = −  − +C 2 2 2 4 7  4 7  3 (1 − 2 x )  3  3 (1 − 2 x ) Suy ra: I = − − +C .  2 4 7   Chọn B Đặt: t = 7 − 5u 2 ) du +C 3 3 1 2 2 x ( x − 1) dx . 2 ∫1 A. I = B. I = ∫ u (u 2 2 − 1) du . 1 3 1  u5 u3  C. I =  −  . 2  5 3 1 3 D. I = 1 2 2 u ( u − 1) du . 2 ∫1 Hướng dẫn giải Chọn B 4 I = ∫x 1 + 2 x dx 0 u Đặt= 2 x + 1 ⇒= x 1 2 u du , đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 , x = 4 ⇒ u = 3 . ( u − 1) ⇒ dx = 2 3 1 u 2 − 1) u 2 du . ( ∫ 21 x −3 dx , bằng cách đặt = u x + 1 ta được nguyên hàm nào? Câu 56. Khi tính nguyên hàm ∫ x +1 A. ∫ 2u ( u 2 − 4 )du . B. ∫ ( u 2 − 4 )du . C. ∫ 2 ( u 2 − 4 )du . D. ∫ ( u 2 − 3)du . Khi= đó I Hướng dẫn giải Chọn C u Đặt = dx = 2u du x + 1 , u ≥ 0 nên u 2= x + 1 ⇒  . x u2 −1 = u2 −1 − 3 x −3 .2= u du ∫ 2 ( u 2 − 4 )du . dx = ∫ Khi đó ∫ u x +1 x 2 x 2 + 1 + 5 , biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thỏa Câu 57. = Cho f ( x) 2 x +1 3 F ( 0 ) = 6 . Tính F   . 4 125 126 123 127 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 Hướng dẫn giải Chọn A ( Đặt = t ) x 2 + 1 ⇒ td= t xdx . x 2 2 = ∫ f ( x)dx ∫ x 2 + 1 2 x + 1 + 5 dx = ∫ ( 2t + 5)dt = t + 5t + C= F (0) =6 ⇒ C =0 .  3  125 Vậy F   = .  4  16 ( 5 Câu 58. Tính tích phân: I = ∫ 1 A. 2 . Chọn D 5 I =∫ 1 dx x 3x + 1
Trang chủ
) (x 2 + 1) + 5 x 2 + 1 + C . dx = I a ln 3 + b ln 5 . Tổng a + b là được kết quả x 3x + 1 B. 3 . C. −1 . D. 1 . Hướng dẫn giải u2 −1 1 3x + 1 → x = → dx =2udu 3 3 Đổi cận: x =1 → u =2 x = 5 → u = 4 4 4 4 u + 1 − ( u − 1) 2 u −1 3 1 Vậy I = ∫ 2 du = ∫ du = ln = ln − ln = 2 ln 3 − ln 5 5 3 u −1 u + 1)( u − 1) u +1 2 2 2 ( 1. Do đó a = 2; b = −1 → a + b = x3 Câu 59. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = là: 1 − x2 1 1 A. ( x 2 + 2 ) 1 − x 2 + C B. − ( x 2 + 1) 1 − x 2 + C 3 3 1 2 1 D. − ( x 2 + 2 ) 1 − x 2 + C C. ( x + 1) 1 − x 2 + C 3 3 Hướng dẫn giải 3 x Ta có : I = ∫ dx 1 − x2 u Đặt= Đặt t = 1 − x 2 ⇒ t 2 = 1 − x 2 ⇒ −tdt = xdx (1 − t 2 ) t3 2 tdt =∫ (t − 1)dt = − t + C . Khi đó: I =− ∫ t 3 2 3 ( 1− x ) 1 Thay = t 1 − x 2 ta được I = − 1 − x2 + C = − ( x2 + 2) 1 − x2 + C . 3 3 Chọn D 2x Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = là: x2 + 1 1 +C B. A. x 2 + 1 + C 2 x2 + 1 C. 2 x 2 + 1 + C Ta có: I = ∫ D. 4 x 2 + 1 + C Hướng dẫn giải 2x x2 + 1 dx Đặt: t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇒ 2t.dt = 2 x.dx . 2t.dt Khi đó: I= ∫ = 2t + C t Suy ra:= I 2 x2 + 1 + C . Chọn C Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. −2 4 − x 2 + C . C. −
Trang chủ
là: D. −4 4 − x 2 + C . Hướng dẫn giải 4x 4− x 4 − x2 B. 4 4 − x 2 + C . 4 − x2 +C . 2 Ta có: I = ∫ 4x 2 dx . Đặt: t = 4 − x 2 ⇒ t 2 = 4 − x 2 ⇒ −4tdt = 4 xdx . Khi đó: I =∫ −4tdt =−4t + C ⇒ I = =−4 4 − x 2 + C . t Chọn D Câu 62. Với phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm I = ∫ A. sin t + C . Ta biến đổi: I = ∫ 1 dx bằng: −x + 2x + 3 B. −t + C . C. − cos t + C . D. t + C . Hướng dẫn giải 1 dx . 2 4 − ( x − 1) 2  π π x − 1 2sin t , t ∈  − ,  ⇒ = dx 2 cos tdt . Đặt =  2 2 ⇒ I =∫ dt =t + C . Chọn D 20 x 2 − 30 x + 7 3  Câu 63. Biết rằng trên khoảng  ; + ∞  , hàm số f ( x ) = có một nguyên hàm 2x − 3 2  F ( x )= ( ax 2 + bx + c ) 2 x − 3 ( a , b , c là các số nguyên). Tổng S = a + b + c bằng 17T 17T B. 3 . A. 4 . C. 5 . Hướng dẫn giải D. 6 . Chọn B Đặt t = 2 x − 3 ⇒ t 2 = 2 x − 3 ⇒ dx = tdt 2 Khi đó  t2 + 3   t2 + 3  20 30 −    +7 2  2  20 x 2 − 30 x + 7   tdt = ∫ 2 x − 3 dx = ∫ t ( 2 x − 3) + 5 ( 2 x − 3) + 7 2 x − 3 + C 2 = ( 2 x − 3) 2 x − 3 + 5 ( 2 x − 3) 2 x − 3 + 7 2 x − 3 + C= ( 4 x 2 − 2 x + 1) Vậy F ( x )= ( 4 x 2 − 2 x + 1) 2 x − 3 . Suy ra S = a + b + c = 3 . = t 5 + 5t 3 + 7t + = C Câu 64. 5 ∫ ( 5t 4 + 15t 2 + 7 ) dt 3 2x − 3 + C 3  3 a 4 1 1+ 3 b 1 1+ 3  x − + x + x + + C , trong đó a, b 1 có dạng + + + + x x 1 dx   ∫ 4 x 2 3 x2 2   là hai số hữu tỉ. Giá trị b, a lần lượt bằng: A. 2; 1 . B. 1; 1 . C. a, b ∈∅ D. 1; 2 . Hướng dẫn giải Cách 1:  1 1+ 3  Theo đề, ta cần tìm ∫  x 3 + x + 1 + 2 +  dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . x 2   Ta có:  3  3 1 1+ 3  1 1+ 3  ∫  x + x + 1 + x 2 + 2  dx= ∫  x + x 2 + 2  dx + ∫ x + 1 dx .      1 1+ 3  Để tìm ∫ 2 x x 2 + 1 + x ln x dx ta đặt I1= ∫  x3 + 2 + I 2 ∫ x + 1 dx và tìm  dx và= x 2   I1 , I 2 . ( (
Trang chủ
) )  3 1 1+ 3  ∫  x + x 2 + 2  dx .    1 1+ 3  1 4 1 1+ 3 I1= ∫  x3 + 2 + x − + x + C1 , trong đó C1 là 1 hằng số.  dx= x x 2 4 2   *Tìm= I 2 ∫ x + 1 dx . *Tìm I1= Dùng phương pháp đổi biến. x + 1, 2tdt = dx . Đặt t = x + 1, t ≥ 0 ta được t 2 = 3 2 2 Suy ra I 2 = ∫ x + 1 dx = ∫ 2t 2 dt = t 3 + C2 = x + 1 + C2 . 3 3 3  3 1 1+ 3  1 4 1 1+ 3 2 1 4 1 1+ 3 1 1 x x dx I I x x C x x − + x+ + + + + = + = − + + + + + C2=   1 2 1 2 ∫  x 2  4 x 2 3 4 x 2  3  a 4 1 1+ 3 b 1 1+ 3  x+ x + 1 + C thì Suy ra để ∫  x3 + x + 1 + 2 +  dx có dạng x − + 4 x 2 3 x 2   a= 1 ∈ , b = 2 ∈ . Vậy đáp án chính xác là đáp án D Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. 3 a 1 1+ 3 b x+ x + 1 + C . Sau đó, với Ta thay giá trị của a, b ở các đáp án vào x 4 − + 4 x 2 3 3 a b 1 mỗi a, b ở các đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm của x 2 + 1 + x 2 ln x − x 2 + C . 3 2 4 Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không chú ý đến thứ tự b, a nên học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. B. Đáp án B sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: *Tìm= I 2 ∫ x + 1 dx . ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) Dùng phương pháp đổi biến. x + 1, tdt = dx . Đặt t = x + 1, t ≥ 0 ta được t 2 = 3 1 1 Suy ra I 2 = ∫ x + 1 dx = ∫ t 2 dt = t 3 + C2 = x + 1 + C2 . 3 3 3  3 1 1+ 3  1 4 1 1+ 3 1 1 4 1 1+ 3 x + x + 1 + + dx = I + I = x − + x + C + x + 1 + C2= x − + x+   1 2 1 2 ∫  x 2  4 x 2 3 4 x 2  3  a 4 1 1+ 3 b 1 1+ 3  x+ x + 1 + C thì Suy ra để ∫  x 3 + x + 1 + 2 +  dx có dạng x − + 4 x 2 3 x 2   a= 1 ∈ , b = 1 ∈ . Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: *Tìm= I 2 ∫ x + 1 dx . ( ) ( ) ( I2 = ∫ x + 1 dx =
Trang chủ
1 + C2 . 2 x +1 ) Suy  3 1 1+ 3  + + + + x x 1   dx 2 ∫ x 2   ra không thể có dạng 3 a 4 1 1+ 3 b x − + x+ x + 1 + C , với a, b ∈  . 4 x 2 3 Nên không tồn tại a, b thỏa yêu cầu bài toán. Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. dx T =∫ n +1 n xn + 1 ( ) ? Câu 65. Tìm (  1  A. T =  n + 1 x  − ( 1 n ) C. T = x + 1 n − 1 n ) 1  1 n B. T =  n + 1 + C x  +C ( ) 1 n D. T = x + 1 + C . +C n Hướng dẫn giải Ta có: T = ∫ dx = n +1 n xn + 1 ( ) dx = ∫ n +1 1   n +1 n x .  n + 1 x  x − n −1 dx 1 ∫ = 1+ n  1   n + 1 x   − n −1  1 ∫ x  x n + 1 1 n Đặt: t = n + 1 ⇒ dt =− n +1 =−nx − n −1 x x −1 −1 1 −1− 1n  1 n t n +C = ⇒T = − ∫ t dt =  n + 1 + C n x  Chọn A 1 2− x R=∫ 2 dx x 2+ x ? Câu 66. Tìm 1 tan 2t 1 1 + sin 2t x − + ln + C với t = arctan   . A. R = 2 2 4 1 − sin 2t 2 tan 2t 1 1 + sin 2t 1 x − − ln + C với t = arctan   . B. R = 2 2 4 1 − sin 2t 2 1 tan 2t 1 1 + sin 2t x + C với t = arctan   . C. R =+ ln 2 2 4 1 − sin 2t 2 tan 2t 1 1 + sin 2t 1 x + C với t = arctan   . D. R =− ln 2 2 4 1 − sin 2t 2 Hướng dẫn giải  π Đặt x = 2 cos 2t với t ∈  0;   2 dx = −4sin 2t.dt  Ta có:  2 − x 2 − 2sin 2t 4sin 2 t sin t = = =  2 + 2 cos 2t 4 cos 2 t cos t  2+ x 1 sin t 2sin 2 t 1 − cos 2t ⇒R= −∫ . .4sin 2t.dt = −∫ dt = −∫ dt 2 2 4 cos 2t cos t cos 2t cos 2 2t 1 1 tan 2t 1 1 + sin 2t ⇔R= −∫ dt + ∫ dt = − + ln +C 2 cos 2t cos 2t 2 4 1 − sin 2t
Trang chủ
−1− 1 n dx Chọn A HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số= với t cos của I = x, u sin x , nguyên hàm= là: A. − ln t + ln u + C . B. ln t − ln u + C . C. ln t + ln u + C . D. − ln t − ln u + C . ∫ ( tan x + cot x ) dx Hướng dẫn giải sin x cos x Ta có: ∫ ( tan x + cot x ) dx = ∫ dx + ∫ dx . cos x sin x sin x 1 Xét I1 = ∫ cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I1 = − ∫ dt = − ln t + C1 . dx . Đặt t = cos x t cos x 1 Xét I 2 = ∫ dx . Đặt u= sin x ⇒ du= cos xdx ⇒ I 2= ∫ du= ln u + C2 . sin x u ⇒ I =I1 + I 2 =− ln t + ln u + C Chọn A π  F  F ( x) F ( 0) = π f ( x ) = sin x.cos x Câu 68. Biết là một nguyên hàm của hàm số và . Tính  2  . π  F   = −π 1 π  1 π  π  +π . A.  2  . B. F   = π . C. F   =− + π . D. F  = 4 2 4 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D cos xdx . Đặt t = sin x ⇒ dt = t4 sin 4 x = +C . +C t F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ sin 3 x cos xdx = ∫ t 3d= 4 4 sin 4 π sin 4 x +C = π ⇔C= +π . π ⇒ F ( x) = F ( 0) = π ⇒ 4 4 π sin 4 π  2= 1 + π . F = 4 4 2 sin 2 x dx . Kết quả là Câu 69. Tìm nguyên hàm ∫ 1 + sin 2 x 3 T 6 4 A. 1 + sin 2 x +C . 2 B. 1 + sin 2 x + C . C. − 1 + sin 2 x + C . D. 2 1 + sin 2 x + C . Hướng dẫn giải. Chọn D t Đặt = 1 + sin 2 x ⇒ t 2 =1 + sin 2 x ⇒ 2tdt =sin 2 xdx ⇒ = ∫ 2dt = 2t + C = 2 1 + sin x + C ∫ sin 2 x 1 + sin x 2 dx = ∫ 2t dt t 2 π  Câu 70. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin 2 2 x.cos3 2 x thỏa F   = 0 là 4
Trang chủ
1 1 1 A. F ( x ) = sin 3 2 x − sin 5 2 x + . 6 10 15 1 3 1 1 C. F ( x ) = sin 2 x − sin 5 2 x − . 6 10 15 1 1 1 B. F ( x ) = sin 3 2 x + sin 5 2 x − . 6 10 15 1 3 1 4 D. F ( x ) = sin 2 x + sin 5 2 x − . 6 10 15 Hướng dẫn giải Chọn C 2.cos 2 xdx ⇒ Đặt t = sin 2 x ⇒ dt = 1 dt = cos 2 xdx . 2 Ta có: 3 2 xdx F ( x ) = ∫ sin 2 2 x.cos= 1 1 1 2 1 2 t 2 − t 4 ) dt = t 3 − t 5 + C dt t . (1 − t= ) ( ∫ ∫ 2 6 10 2 1 1 = sin 3 2 x − sin 5 2 x + C . 6 10 1 π 1 π 1 π  F   = 0 ⇔ sin 3 − sin 5 + C = − . 0 ⇔C= 15 6 2 10 2 4 1 1 1 Vậy F ( x ) = sin 3 2 x − sin 5 2 x − . 6 10 15 Câu 71. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan 5 x . 1 1 tan 4 x − tan 2 x + ln cosx + C . 4 2 1 1 B. ∫ f ( x ) dx = tan 4 x + tan 2 x − ln cosx + C . 4 2 1 1 C. ∫ f ( x ) dx = tan 4 x + tan 2 x + ln cosx + C . 4 2 1 1 D. ∫ f ( x ) dx = tan 4 x − tan 2 x − ln cosx + C . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn D sin 5 x = I ∫= f ( x ) dx ∫= tan 5 xdx ∫ dx cos5 x (1 − cos2 x ) .(1 − cos2 x ) .s inx dx sin 2 x.sin 2 .s inx = ∫= d x ∫ cos5 x cos5 x 2 (1 − t 2 ) .(1 − t= ) −dt 1 − 2t 2 + t 4 −dt − sin xdx I ∫ cos x ⇒ dt = Đặt t = = ( ) ∫ ( ) t5 t5 1 1  1 2 1  = ∫  − 5 + 3 −  dt = ∫  −t −5 + 2t −3 −  dt= t −4 − t −2 − ln t + C 4 t  t t t  1 1 1 1 = cos x −4 − cos x −2 − ln cos x + C = . − − ln cos x + C 4 4 4 cos x cos x 2 2 1 = . ( tan 2 x + 1) − ( tan 2 x + 1) − ln cos x + C 4 1 tan 4 x + 2 tan 2 x + 1) − ( tan 2 x + 1) − ln cos x + C = ( 4 1 1 1 = tan 4 x − tan 2 x − ln cos x + + C 4 2 4 1 1 = tan 4 x − tan 2 x − ln cos x + C . 4 2 A. ∫ f ( x ) dx =
Trang chủ
Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm của I = ∫ A. 2 3 t + C . B. 6 3 t + C . Ta có: 2sin x + 2 cos x = I ∫= dx 3 1 − sin 2 x ∫ Đặt t= sin x − cos x ⇒ dt= ⇒ I= ∫ 2 3 t2 dt= 2. C. 3 3 t + C . Hướng dẫn giải 2 ( sin x + cos x ) 2sin x + 2 cos x dx là: 3 1 − sin 2 x D. 12 3 t + C . dx . ( sin x − cos x ) ( sin x + cos x ) dx . 2 3 1 1 t 3 + C= 6 3 t + C .  2 1+  −   3 Chọn B HÀM MŨ –LÔGARIT Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 e x 3 +1 3 1 1  A. ∫  −t −5 + 2t −3 −  dt= t −4 − t −2 − ln t + C . B. ∫ f ( x= ) dx 3e x +1 + C . t 4  x3 x3 +1 1 x3 +1 x x e +C . d C. ∫ f (= D. ∫ f = x ) dx e +C . ( ) 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t = x3 + 1 ⇒ dt = 3 x 2 dx 3 1 1 1 3 Do đó, ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ x 2 e x +1dx = ∫ et . dt = et + C = e x +1 + C . 3 3 3 1 x3 +1 x ) dx e +C . Vậy ∫ f (= 3 dx Câu 74. Tìm nguyên hàm I = ∫ . 1 + ex A. I =x − ln 1 − e x + C . B. I =x + ln 1 + e x + C . D. I =x − ln 1 + e x + C . C. I =− x − ln 1 + e x + C . Hướng dẫn giải Chọn D dx = I ∫= 1 + ex e x dx ∫ e x (1 + e x ) . Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx e x dx dt 1 1  x x x I=∫ x =∫ = ∫ −  = ln t − ln t + 1 + C = ln e − ln e + 1 + C = x − ln e + 1 + C x t (1 + t ) e (1 + e )  t t +1  1 thỏa mãn F ( 0 ) = 10 . Tìm F ( x ) . 2e + 3 1 B. F ( x )= x + 10 − ln ( 2e x + 3) . 3 Câu 75. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A. F ( x )= ( ) 1 ln 5 . x − ln ( 2e x + 3) + 10 + 3 3
Trang chủ
x ( ) 1 3   x − ln  e x +   + 10 + ln 5 − ln 2 . D.  3 2   C. F ( x )= F ( x )= 1 3  ln 5 − ln 2  . x − ln  e x +   + 10 −  3 2  3  Hướng dẫn giải Chọn A = F ( x) f ( x ) dx ∫= 1 dx x ∫ 2e= +3 ex ∫ ( 2e x + 3) e x dx . Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx . Suy ra t 1 1 1  ex  1 + C= F ( x )= ∫ x − ln ( 2e x + 3) + C . dt= ln ln  x  + C= 3 2t + 3 3  2e + 3  3 ( 2t + 3) t 1 ln 5 Vì F ( 0 ) = 10 nên 10 = ( 0 − ln 5 ) + C ⇔ C = 10 + . 3 3 1 ln 5 Vậy F ( x )= . x − ln ( 2e x + 3) + 10 + 3 3 ln 2x Câu 76. Với phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm ∫ dx bằng: x 1 A. t 2 + C . B. t 2 + C . C. 2t 2 + C . D. 4t 2 + C . 2 Hướng dẫn giải 1 1 Đặt t= ln 2 x ⇒ dt= 2. dx ⇒ dt= dx . 2x x ln 2 x 1 2 … = dx = tdt = t +C . ⇒∫ ∫ 2 x Chọn A Câu 77. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm = của hàm số y 2sin x.2cos x ( cos x − sin x ) ? ( ) ( sin x + cos x = +C . A. y 2 B. y = 2sin x + cos x y= − +C . ln 2 Chọn B Ta có: I = ∫2 ) sin x 2sin x.2cos x . ln 2 C. y = ln 2.2sin x + cos x . D. Hướng dẫn giải .2cos x ( cos = x − sin x ) dx = t sin x + cos x ⇒ d= Đặt: t ∫2 sin x + cos x ( cos x − sin x ) dx . ( cos x − sin x ) dx . 2t 2sin x + cos x 2sin x.2cos x ⇒ I= ∫ 2 dt= = +C +C = +C . ln 2 ln 2 ln 2 2sin x.2cos x Vậy hàm số đã cho có 1 nguyên hàm là hàm số: y = . ln 2 ln 2 Câu 78. Cho hàm số f ( x) = 2 x . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x) ? x t A. F (= x) 2 x ( C. F (= x) 2 2 x ( x) 2 2 B. F (= +C . ) +1 + C . D. F= ( x) 2 Hướng dẫn giải
Trang chủ
x +1 x ) −1 + C . +C . Chọn A Cách 1: Đặt t = x ⇒ 2dt = F ( x)= ∫ 1 dx . x 2 x ln 2 ∫ x dx= f ( x)dx= Ngoài ra: + D đúng vì F= ( x) 2.2 + B đúng vì F (= x) 2.2 ∫ 2 2.ln 2dt= t x +C . x C 2.2 − 2 += x 2.2t + C= 2.2 x + C nên A sai. + C′ . + C đúng vì F (= x) 2.2 x + 2 += C 2.2 x + C ′ . Cách 2: Ta thấy B, C, D chỉ khác nhau một hằng số nên theo định nghĩa nguyên hàm thì chúng phải là nguyên hàm của cùng một hàm số. Chỉ còn mình A “ lẻ loi” nên chắc chắn sai thì A sai thôi. Cách 3: Lấy các phương án A, B, C, D đạo hàm cũng tìm được A sai. 1 + ln x f ( x) = x.ln x là Câu 79. Nguyên hàm của 1 + ln x 1 + ln x B. ∫ = A. ∫ = dx ln ln x + C . dx ln x 2 .ln x + C . x.ln x x.ln x 1 + ln x 1 + ln x C. ∫ D. ∫ = dx = ln x + ln x + C . dx ln x.ln x + C . x.ln x x.ln x Hướng dẫn giải Chọn D 1 + ln x Ta có I ∫= dx . f ( x ) dx ∫ = x.ln x 1 + ln x 1 dt . Khi đó ta có I = ∫ dt ln t + C dx = ∫ = Đặt x ln x = t ⇒ ( ln x + 1) dx = t x.ln x = ln x.ln x + C Câu 80. ∫ ( ( x + 1) e x 2 −5 x + 4 ) ⋅ e7 x −3 + cos 2 x dx có dạng tỉ. Giá trị a, b lần lượt bằng: A. 3; 1 . B. 1; 3 . Cách 1: Theo đề, ta cần tìm Ta có: ∫ ( ( x + 1) e x 2 −5 x + 4 ∫ ( ( x + 1) e 2( x +1) a ( x +1)2 b + sin 2 x + C , trong đó a, b là hai số hữu e 6 2 C. 3; 2 . Hướng dẫn giải D. 6; 1 . ) + cos 2 x dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . ) 2 ( x 2 − 5 x + 4 ) + ( 7 x − 3) x +1 ⋅ e7 x −3 + cos 2 x dx =∫  ( x + 1) e + cos 2 x  dx =∫ ( x + 1) e( ) dx + ∫ cos 2 x dx   .  x + 1 e( x2 −5 x + 4) ⋅ e7 x −3 + cos 2 x  dx ta đặt = I1  ∫  ( )  và tìm I1 , I 2 . Để tìm *Tìm= I1 ( x +1) ∫ ( x + 1) e ( x +1) ∫ ( x + 1) e 2 dx và I 2 = ∫ cos 2 x dx 2 dx . 2 Đặt t = ( x + 1) ; dt = 2 ( x + 1)( x + 1)′ dx = 2 ( x + 1) dx . I1 = ( x +1) ∫ ( x + 1) e
Trang chủ
2 dx = 1 t 1 t 1 ( x +1)2 e dt = e + C = e + C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. 1 ∫2 2 2 *Tìm I 2 = ∫ cos 2 x dx . I2 = 1 sin 2 x + C2 . 2 2 x dx ∫ cos= ∫ ( ( x + 1) e ) 1 x +1 2 1 1 x +1 2 1 ⋅ e7 x −3 + cos 2 x dx = I1 + I 2 = e( ) + C1 + sin 2 x + C2 = e( ) + sin 2 x + C. 2 2 2 2 2 2 a ( x +1) b Suy ra để ∫ ( x + 1) e x −5 x + 4 ⋅ e7 x −3 + cos 2 x dx có dạng e + sin 2 x + C thì 6 2 a= 3 ∈ , b = 1 ∈ . Chọn A Cách 2: Sử dụng phương pháp loại trừ bằng cách thay lần lượt các giá trị a, b ở các đáp án vào a ( x +1)2 b e + sin 2 x + C và lấy đạo hàm của chúng. 6 2 Sai lầm thường gặp B. Đáp án B sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ không để ý đến thứ tự sắp xếp b, a nên khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ: Tìm I 2 = ∫ cos 2 x dx . x 2 −5 x + 4 ( I2 = x dx ∫ cos 2= ∫ ( ( x + 1) e ) sin 2 x + C2 . ) 1 ( x +1)2 1 ( x +1)2 e e + C1 + sin 2 x + C2 = + sin 2 x + C. 2 2 2 a ( x +1)2 b Suy ra để ∫ ( x + 1) e x −5 x + 4 ⋅ e7 x −3 + cos 2 x dx có dạng e + sin 2 x + C thì 6 2 a= 3 ∈ , b = 2 ∈ . D. Đáp án D sai. Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ: x 2 −5 x + 4 ⋅ e7 x −3 + cos 2 x dx = I1 + I 2 = ( Tìm= I1 ( x +1) ∫ ( x + 1) e ) 2 dx . 2 Đặt t = ( x + 1) ; dt =( x + 1)( x + 1)′ dx =( x + 1) dx . I1 = ∫ ( x + 1) e( x +1) dx = ∫ et dt =et + C1 =e( x +1) + C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. 2 2 1 sin 2 x + C2 nên ta được: 2 Học sinh tìm đúng = I2 ∫ ( ( x + 1) e ) 2 1 1 x 1 e( + ) + sin 2 x + C. + C1 + sin 2 x + C2 = 2 2 2 2 a b x 1 Suy ra để ∫ ( x + 1) e x −5 x + 4 ⋅ e7 x −3 + cos 2 x dx có dạng e( + ) + sin 2 x + C thì 6 2 a= 6 ∈ , b = 1 ∈ . x 2 −5 x + 4 I1 + I 2 = e( ⋅ e7 x −3 + cos 2 x dx = ( I =∫ ( ) x −1 ex . x −1 + 1 dx Câu 81. Tìm ? x A. I = x + ln e . x − 1 + 1 + C . ( 2 ) e x ( 3x − 2 ) + x − 1 ( x +1) ) ) C. I ln e x . x − 1 + 1 + C . = ) ( ) D. I ln e x . x − 1 − 1 + C . = Hướng dẫn giải
Trang chủ
( B. I = x − ln e x . x − 1 + 1 + C . I = ∫ e x ( 3x − 2 ) + x − 1 ( dx = ) x −1 ex . x −1 + 1 ( ) x − 1 e x . x − 1 + 1 + e x ( 2 x − 1) dx = x −1 ex . x −1 + 1 ∫ ( ) ∫ dx + ∫ e x ( 2 x − 1) ( e x ( 2 x − 1)  ex  Đặt:= t e x . x − 1 + 1 ⇒= dt  dx dx + e x x − 1 = 2 x −1  2 x −1  Vậy e x ( 2 x − 1) 1 ⇒ I = ∫ dx + ∫ dx = x + ∫ dt = x + ln t + C = x + ln e x . x − 1 + 1 + C t x −1 ex x −1 + 1 ( ( ) Chọn A ln (1 + x 2 ) + 2017 x ) x Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A. ln ( x 2 + 1) + 1008ln ln ( x 2 + 1) + 1 . ln ( e.x 2 + e )  x 2 +1   ? B. ln ( x 2 + 1) + 2016 ln ln ( x 2 + 1) + 1 . 1 ln ( x 2 + 1) + 2016 ln ln ( x 2 + 1) + 1 . 2 1 D. ln ( x 2 + 1) + 1008ln ln ( x 2 + 1) + 1 . 2 Hướng dẫn giải C. ln (1 + x 2 ) + 2017 x x Đặt I = ∫ +Ta x ln ( e.x 2 + e )  2 +1   ln (1 + x ) + 2017 x = ∫  2 x2 +1  dx ln ( e.x + e )    2 x I + Đặt: = t ln (1 + x 2 ) + 1 ⇒ dt= dx x ln (1 + x 2 ) + 2017 x dx ∫ ( x 2 += 1) ln (1 + x 2 ) + lne  x ln (1 + x ) + 2017  có: 2 ∫ (x 2 + 1) ln (1 + x 2 ) + 1 dx 2x dx 1 + x2 t + 2016 1  2016  1 ⇒I= ∫ dt = t + 1008ln t + C 1 +  dt = ∫ t  2t 2  2 1 1 1 ⇔ = +C I ln ( x 2 + 1) + + 1008ln ln ( x 2 + 1) + 1= ln ( x 2 + 1) + 1008ln ln ( x 2 + 1) + 1 + C 2 2 2 Chọn D 2 x 2 + (1 + 2 ln x ) .x + ln 2 x G=∫ dx 2 x 2 + x ln x ) ( Câu 83. Tìm ? 1 1 1 −1 A. G =− B. G = − +C . +C . x x + ln x x x + ln x 1 1 1 1 C. G = D. G = − +C . + +C. x x + ln x x x + ln x Hướng dẫn giải Ta có:
Trang chủ
) x −1 ex . x −1 + 1 dx G 2 x 2 + (1 + 2 ln x ) .x + ln 2 x dx 2 ∫= ( x 2 + x ln x )  x 2 + 2 x ln x + ln 2 x  + x + x 2 dx 2 ∫ = x 2 ( x + ln x )  1  −1 x +1 x +1 1 ⇔G= +   ∫  x 2 x ( x + ln x )2  dx =− x + ∫ x ( x + ln x )2 dx =x + J   x +1 Xét nguyên hàm: J = ∫ dx 2 x ( x + ln x ) 1 x +1 = x x 1 −1 −1 ⇒ J = ∫ 2 dt = +C = +C t t x + ln x −1 −1 1 Do đó: G = +J = − +C x x x + ln x Chọn A ( x + ln x ) + x ( x + 1) ∫ x 2 ( x + ln x )2 dx 2   x +1 dx J =  ∫ x ( x + ln x )2     + Đặt: t =x + ln x ⇒ dt =1 + Câu 84. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của h ( x ) = 1 1 ln x − ln x n + ln n x + 2016 . n n 1 1 C. − ln x + ln x n + ln n x + 2016 . n n A. Ta 1 − ln x = L ∫= dx 1− n x .ln x. ( x n + ln n x ) Đặt: t = 1 − ln x ? x .ln x. ( x n + ln n x ) 1− n 1 1 ln x + ln x n + ln n x + 2016 . n n 1 1 D. − ln x − ln x n + ln n x − 2016 . n n Hướng dẫn giải B. 1 − ln x 1 dx ∫ x2 . = − n −1 x .ln x. ( x n + ln n x ) ln x 1 − ln x ⇒ dt = dx= ⇒L x x2 dt ∫ t (= t n + 1) có: 1 − ln x 1 ∫ x 2 . ln x  ln n x  dx 1 + n  x  x  t n −1dt ∫ t n ( t n + 1) + Đặt u = t n + 1 ⇒ du = n.t n −1dt 1 1  1 1 1 1 du u −1 . ln u − 1 − ln u  + C= .ln ⇒ L= = −  du= +C  ∫ ∫ n u ( u − 1) n  u − 1 u  n n u ln n x n 1 1 1 ln n x tn .ln n = .ln nx = .ln n = ⇔L +C +C +C ln x ln x + x n n t +1 n n +1 xn Chọn A
Trang chủ
PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [ a; b ] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a; b ] . Khi đó: ∫ ud= v uv − ∫ vdu. (*) Để tính nguyên hàm ∫ f ( x ) dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1. Chọn u , v sao cho f ( x ) dx = udv (chú ý dv = v ‘ ( x ) dx ). Sau đó tính v = ∫ dv và du = u ‘.dx . Bước 2. Thay vào công thức (*) và tính ∫ vdu . Chú ý. Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân ∫ vdu dễ tính hơn ∫ udv . Ta thường gặp các dạng sau sin x  ● Dạng 1. I = ∫ P ( x )   dx , trong đó P ( x ) là đa thức. u cos x  u = P ( x )  Với dạng này, ta đặt  sin x  . dv = cos x  dx    ● Dạng 2. I = ∫ P ( x ) e ax +b dx , trong đó P ( x ) là đa thức. u =P ( x ) Với dạng này, ta đặt  . ax + b dv = e dx ●= Dạng 3. I ∫ P ( x ) ln ( mx + n ) dx , trong đó P ( x ) là đa thức. = u ln ( mx + n ) . Với dạng này, ta đặt  d v = P x d x ( )  sin x  x ● Dạng 4. I = ∫   e dx . cos x   sin x  u =   Với dạng này, ta đặt  cos x  .  x  dv = e d x BÀI TẬP DẠNG 1. Câu 1. Tìm ∫ x sin 2 xdx ta thu được kết quả nào sau đây? A. x sin x + cos x + C C. x sin x + cos x Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x sin x là: A. F ( x ) = − x cos x − sin x + C .
Trang chủ
1 1 x sin 2 x − cos 2 x + C 4 2 1 1 D. x sin 2 x − cos 2 x 4 2 B. B. F ( x )= x cos x − sin x + C . C. F ( x ) = − x cos x + sin x + C . Câu 3. Biết ∫ x cos 2 xdx = D. F ( x )= x cos x + sin x + C . ax sin 2 x + b cos 2 x + C với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 A. ab = . 8 B. ab = 1 . 4 1 C. ab = − . 8 1 D. ab = − . 4 x2 + a ) ( 1 3 1 Cho biết F ( x ) = . Tìm nguyên hàm x + 2 x − là một nguyên hàm của f ( x ) = 3 x x2 của g ( x ) = x cos ax . 2 Câu 4. 1 1 x sin 2 x − cos 2 x + C . 2 4 1 1 D. x sin 2 x + cos 2 x + C . 2 4 A. x sin x − cos x + C . B. C. x sin x + cos x + C . Câu 5. Nguyên hàm của I = ∫ x sin 2 xdx là: Câu 6. 1 2 x 2 − x sin 2 x − cos 2 x ) + C . ( 8 1 1  C.  x 2 − cos 2 x − x sin 2 x  + C . 4 2  Tìm nguyên hàm= I ∫ ( x − 1) sin 2 xdx A. = A. I B. 1 1 cos 2 x + ( x 2 + x sin 2 x ) + C . 8 4 D. Đáp án A và C đúng. (1 − 2 x ) cos 2 x + sin 2 x += ( 2 − 2 x ) cos 2 x + sin 2 x + C . C. B. I 2 (1 − 2 x ) cos 2 x + sin 2 x += C. = C. I D. I 4 Câu 7. Tìm nguyên hàm ∫ sin xdx A. = ∫ sin xdx Câu 8. Câu 9. 1 2 ( 2 − 2 x ) cos 2 x + sin 2 x + C . 4 cos x + C . 2 x C. ∫ sin= xdx cos x + C . B. ∫ sin xdx = − cos x + C . 1 A. I1 =− x cos3 x + t − t 3 + C , t =sin x . 3 1 C. = I1 x cos3 x + t − t 3 += C , t sin x . 3 x Một nguyên hàm của f ( x ) = là : cos 2 x A. x tan x − ln cos x 2 B. I1 =− x cos3 x + t − t 3 + C , t =sin x . 3 2 D. = I1 x cos3 x + t − t 3 += C , t sin x . 3 C. x tan x + ln cos x D. x tan x − ln sin x Nguyên hàm của I = ∫ x sin x cos 2 xdx là: Câu 10. Một nguyên hàm của f ( x ) = x là : sin 2 x D. ∫ sin xdx = −2 x cos x + 2sin x + C . B. x tan x + ln ( cos x ) A. x cot x − ln sinx B. − x cot x + ln ( sin x ) C. − x tan x + ln cos x D. x tan x − ln sin x
Trang chủ
x  π π trên  − ;  và F ( x ) là một nguyên hàm của xf ′ ( x ) thỏa mãn 2 cos x  2 2  π π F ( 0 ) = 0 . Biết a ∈  − ;  thỏa mãn tan a = 3 . Tính F ( a ) − 10a 2 + 3a .  2 2 1 1 1 A. − ln10 . B. − ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 4 2 2 Câu 11. Cho f ( x ) = DẠNG 2. Câu 12. Họ nguyên hàm của ∫ e x (1 + x ) dx là: B. I =+ ex A. I =e x + xe x + C . 1 x xe + C . 2 1 x D. I = 2e x + xe x + C . e + xe x + C . 2 Câu 13. Biết ∫ xe 2 x dx = axe 2 x + be 2 x + C ( a, b ∈  ) . Tính tích ab . C. I = 1 A. ab = − . 4 B. ab = 1 . 4 1 C. ab = − . 8 1 D. ab = . 8 1 2x e ( ax + b ) + C , trong đó a, b ∈  và C là hằng số bất kì. Mệnh đề 4 nào dưới đây là đúng. 0. 0. A. a + 2b = B. b > a . C. ab . D. 2a + b = x x x ) ( ax + b ) e là nguyên hàm của hàm số= y ( 2 x + 3) e .Khi đó a + b là Câu 15. Biết F (= Câu 14. Cho biết dx ∫ xe= 2x A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 1 Câu 16. Biết ∫ ( x + 3) .e −2 x dx = S m2 + n2 . − e −2 x ( 2 x + n ) + C , với m, n ∈  . Tính = m A. S = 10 . B. S = 5 . C. S = 65 . D. S = 41 . −x Câu 17. Tìm nguyên hàm = I ∫ ( 2 x − 1) e dx . A. I = − ( 2 x + 1) e − x + C . B. I = − ( 2 x − 1) e − x + C . C. I = − ( 2 x + 3) e − x + C . D. I = − ( 2 x − 3) e − x + C . Câu 18. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f (= x) Câu 19. ( 5 x + 1) e x và F ( 0 ) = 3 . Tính F (1) . B. F (1)= e + 3 . C. F (1)= e + 7 . D. F (1)= e + 2 . A. F (= 1) 11e − 3 . x x F (= x ) ( mx + n ) e ( m, n ∈  ) f (= x ) ( 2 x − 3) e Cho hàm số . Nếu là một nguyên hàm của f ( x) thì hiệu m − n bằng A. 7. B. 3. C. 1 . D. 5. 3 x Câu 20. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e và F ( 0 ) = 2 . Hãy tính F ( −1) . 15 . e DẠNG 3. A. 6 − Câu 21. Kết quả của ∫ ln xdx là: B. 4 − 10 . e A. x ln x + x + C C. x ln x + C Câu 22. Nguyên hàm của I = ∫ x ln xdx bằng với:
Trang chủ
C. 15 −4. e B. Đáp án khác D. x ln x − x + C D. 10 . e 1 x2 x2 ln x − ∫ xdx + C . ln x − ∫ xdx + C . B. 2 2 2 1 C. x 2 ln x − ∫ xdx + C . D. x 2 ln x − ∫ xdx + C . 2 f ( x ) x ln ( x + 2 ) . Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số = A. x2 x2 + 4 x ln x + 2 − +C . ( ) ∫ 2 4 x2 − 4 x2 − 4 x ln ( x + 2 ) − +C . B. ∫ f= ( x ) dx 2 4 x2 x2 + 4 x ln ( x + 2 ) − +C . C. ∫ f ( x = ) dx 2 2 x2 − 4 x2 + 4x x d x ln x + 2 − +C . D. ∫ f= ( ) ( ) 2 2 A. f ( x= ) dx Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của g ( x ) = − ln 2 x − x ln 2 x + ln + 1999 . x +1 x +1 ln x x − ln + 2016 . C. x +1 x +1 ln ( cos x ) dx là: Câu 25. Họ nguyên hàm của I = ∫ sin 2 x A. cot x.ln ( cos x ) + x + C . A. C. cot x.ln ( cos x ) − x + C . ln x ( x + 1) 2 ? − ln x x − ln + 1998 . x +1 x +1 ln x x + ln + 2017 . D. x +1 x +1 B. B. − cot x.ln ( cos x ) − x + C . D. − cot x.ln ( cos x ) + x + C . Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln x . 1 32 f= ( x ) dx x ( 3ln x − 2 ) + C . 9 2 3 f= ( x ) dx x 2 ( 3ln x − 1) + C . 9 2 32 A. ∫ B. ∫ f= ( x ) dx x ( 3ln x − 2 ) + C . 3 2 3 C. ∫ D. ∫ f= ( x ) dx x 2 ( 3ln x − 2 ) + C . 9 ln ( x + 3) Câu 27. Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) = sao cho F ( −2 ) + F (1) = 0 . Giá trị x2 của F ( −1) + F ( 2 ) bằng A. 10 5 ln 2 − ln 5 . 3 6 B. 0 . C. 7 ln 2 . 3 D. 2 3 ln 2 + ln 5 . 3 6  4 − x2  Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 3 ln  ? 2   4+ x   4 − x2   x 4 − 16   4 − x 2  2 A. x 4 ln  . B. − 2 x − 2×2 .   ln  2  2  + 4 x 4 4 x +        4 − x2  C. x 4 ln  + 2×2 . 2   4+ x  x 2 dx Câu 29. Tìm H = ∫ ? 2 ( x sin x + cos x )
Trang chủ
 x 4 − 16   4 − x 2  D.  + 2×2 .  ln  2   4   4+ x  x + tan x + C . cos x ( x sin x + cos x ) x = − tan x + C . B. H cos x ( x sin x + cos x ) A. H = C. H = −x + tan x + C . cos x ( x sin x + cos x ) D. H = −x − tan x + C . cos x ( x sin x + cos x ) Câu 30. ∫( ) 2 x x 2 + 1 + x ln x dx có dạng a 3 ( ) 3 x2 + 1 + b 2 1 x ln x − x 2 + C , trong đó a, b là hai số 6 4 hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1 . f ( x) 1 Câu 31. Cho F ( x) = 2 là một nguyên hàm của hàm số . Tính x 2x D. Không tồn tại. e ∫ f ′( x) ln xdx bằng: 1 e −3 2−e e −2 3 − e2 I = I = I = . B. . C. . D. . 2e 2 e2 e2 2e 2 a 1 + ln x Câu 32. Cho = F ( x) ( ln x + b ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 , trong đó a , b ∈  . x x Tính S= a + b . A. S = −2 . B. S = 1 . C. S = 2 . D. S = 0 . a Câu 33. Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số= f ( x) + bxe x với mọi x khác −1 . 3 ( x + 1) A. I = 2 2 Biết f ′ ( 0 ) = −22 và 2 1 ∫ f ( x ) dx = 5 . Tính a + b ? 0 A. 19 . B. 7 . C. 8 . D. 10 . Câu 34. Cho a là số thực dương. Biết rằng F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số 1 1  = f ( x ) e x  ln ( ax ) +  thỏa mãn F   = 0 và F ( 2018 ) = e 2018 . Mệnh đề nào sau đây x a  đúng? 1    1  ;1 . A. a ∈  B. a ∈  0; . C. a ∈ [1; 2018 ) . D. a ∈ [ 2018; +∞ ) .  2018   2018  DẠNG 4: Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. ∫ e x sin = xdx e x cos x − ∫ e x cos xdx. . C. ∫ e x sin = xdx e x cos x + ∫ e x cos xdx. . Câu 36. Tìm J = ∫ e x .sinxdx x
Trang chủ
D. ∫ e x sin xdx = −e x cos x − ∫ e x cos xdx. ? e ( cos x − sin x ) + C . 2 ex C. J= ( sin x − cos x ) + C . 2 J A. = B. ∫ e x sin xdx = −e x cos x + ∫ e x cos xdx. . ex ( sin x + cos x ) + C . 2 ex = J D. ( sin x + cos x + 1) + C . 2 B. J= HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. DẠNG 1. Tìm ∫ x sin 2 xdx ta thu được kết quả nào sau đây? 1 1 x sin 2 x − cos 2 x + C 4 2 1 1 D. x sin 2 x − cos 2 x 4 2 Hướng dẫn giải A. x sin x + cos x + C B. C. x sin x + cos x Ta có: I = ∫ x sin 2 xdx Câu 2. du = dx u = x  Đặt:  ⇒ 1 dv = sin 2 xdx v = − cos 2 x  2 1 1 1 1 Khi đó: I = uv − ∫ vdu = − x cos 2 x + ∫ cos 2 xdx = − x cos 2 x + sin 2 x + C 2 2 2 4 Chọn B Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x sin x là: − x cos x − sin x + C . A. F ( x ) = B. F ( x )= x cos x − sin x + C . C. F ( x ) = − x cos x + sin x + C . D. F ( x )= x cos x + sin x + C . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: I = f ( x ) dx ∫ x sin x dx . ∫= du = dx u = x Đặt  Ta có  . v = − cos x dv = sin x dx I= − x cos x + ∫ cos x dx = − x cos x + sin x + C . ∫ f ( x ) dx = ∫ x sin x dx = Câu 3. Biết ∫ x cos 2 xdx = 1 A. ab = . 8 ax sin 2 x + b cos 2 x + C với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? B. ab = 1 . 4 1 C. ab = − . 8 Hướng dẫn giải 1 D. ab = − . 4 Chọn A du = dx u = x  Đặt  ⇒ 1 d v = cos 2 xdx v = sin 2 x 2  1 1 1 1 Khi đó ∫ x cos = 2 xdx x sin 2 x − ∫ sin 2 xdx = x sin 2 x + cos 2 x + C 2 2 2 4 1 1 ⇒ a =, b = . 4 2 1 Vậy ab = . 8 x2 + a ) ( 1 3 1 Cho biết F ( x ) = . Tìm nguyên hàm x + 2 x − là một nguyên hàm của f ( x ) = 3 x x2 của g ( x ) = x cos ax . 2 Câu 4.
Trang chủ
1 1 x sin 2 x − cos 2 x + C . 2 4 1 1 D. x sin 2 x + cos 2 x + C . 2 4 Hướng dẫn giải A. x sin x − cos x + C . B. C. x sin x + cos x + C . Chọn C 2 1 ( x + a) Ta có F ′ ( x ) = x + 2 + 2 = . Suy ra a = 1 . x x2 Khi đó ∫ g ( x ) dx = ∫ x cos xdx = ∫ xd sin x = x.sin x − ∫ sin xdx = x.sin x + cos x + C . 2 2 Câu 5. Nguyên hàm của I = ∫ x sin 2 xdx là: 1 2 x 2 − x sin 2 x − cos 2 x ) + C . ( 8 1 1  C.  x 2 − cos 2 x − x sin 2 x  + C . 4 2  A. B. 1 1 cos 2 x + ( x 2 + x sin 2 x ) + C . 8 4 D. Đáp án A và C đúng. Hướng dẫn giải biến đổi: 1 1 1 2 1  1 − cos 2 x  2 I= xdx − ∫ x cos 2 xdx = x − ∫ x cos 2 xdx + C1 ∫ x sin xdx = ∫ x  2  dx = ∫ 2 2 4 2  Ta I1 I1 = ∫ x cos 2 xdx . Câu 6. du = dx u = x  Đặt  ⇒ . 1 dv = cos 2 x v = sin 2 x  2 1 1 1 1 = ⇒ I1 ∫ x cos= 2 xdx x sin 2 x − ∫ sin= 2 xdx x sin 2 x + cos 2 x + C . 2 2 2 4 1 2 1 1  ⇒= I C 2 x 2 − 2 x sin 2 x − cos 2 x ) + C (  x − cos 2 x − x sin 2 x  += 4 2 8  . 1 1 2 = − cos 2 x + ( x + x sin 2 x ) + C 8 4 Chọn C Tìm nguyên hàm= I ∫ ( x − 1) sin 2 xdx = A. I (1 − 2 x ) cos 2 x + sin 2 x += ( 2 − 2 x ) cos 2 x + sin 2 x + C . C. B. I 2 2 2 − 2 x cos 1 − 2 x cos 2 x + sin 2 x ( ) ( ) 2 x + sin 2 x + C . = += C. C. I D. I 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D  du = dx u= x − 1  Đặt  ⇒ 1 dv = sin 2 xdx v = − cos 2 x 2  Khi 1 1 1 1 I= − ( x − 1) cos 2 x + ∫ cos 2 xdx = − ( x − 1) cos 2 x + sin 2 x + C ∫ ( x − 1) sin 2 xdx = 2 2 2 4 Câu 7. Tìm nguyên hàm ∫ sin xdx
Trang chủ
đó A. = ∫ sin xdx 1 B. ∫ sin xdx = − cos x + C . cos x + C . 2 x C. ∫ sin= xdx cos x + C . D. ∫ sin xdx = −2 x cos x + 2sin x + C . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t = x , ta có ∫ sin xdx = ∫ 2t sin tdt du = 2dt u = 2t Đặt  ta có  v = − cos t dv = sin tdt ∫ 2t sin tdt =−2t cos t + ∫ 2 cos tdt =−2t cos t + 2sin t + C =−2 x cos x + 2sin x + C Câu 8. Nguyên hàm của I = ∫ x sin x cos 2 xdx là: 1 2 A. I1 =− x cos3 x + t − t 3 + C , t =sin x . B. I1 =− x cos3 x + t − t 3 + C , t =sin x . 3 3 1 2 C. D. = I1 x cos3 x + t − t 3 += C , t sin x . = I1 x cos3 x + t − t 3 += C , t sin x . 3 3 Hướng dẫn giải Ta đặt: = u x= du dx . ⇒  2 3 du = sin x cos x u = − cos xdx ⇒ I =∫ x sin x cos 2 xdx =− x cos3 x + ∫ cos3 xdx + C1 .   I1 Xét I1 = = xdx ∫ cos x (1 − sin x ) dx . ∫ cos 3 2 Đặt t= sin x ⇒ dt= cos xdx . 1 ⇒ I1 =∫ (1 − t 2 ) dt =t − t 3 + C2 . 3 Câu 9. 1 ⇒I= − x cos3 x + I1 = − x cos3 x + t − t 3 + C . 3 Chọn A x Một nguyên hàm của f ( x ) = là : cos 2 x A. x tan x − ln cos x B. x tan x + ln ( cos x ) C. x tan x + ln cos x D. x tan x − ln sin x Hướng dẫn giải x Ta có: I = ∫ dx cos 2 x u = x du = dx  Đặt:  ⇒ 1 dv = cos 2 x dx v = tan x Khi đó: I = uv − ∫ vdu = x tan x − ∫ tan xdx = x tan x + ln cos x + C Chọn C Câu 10. Một nguyên hàm của f ( x ) = A. x cot x − ln sinx
Trang chủ
x là : sin 2 x B. − x cot x + ln ( sin x ) C. − x tan x + ln cos x D. x tan x − ln sin x Hướng dẫn giải x Ta có: I = ∫ 2 dx sin x u = x du = dx  Đặt:  ⇒ 1 dv = sin 2 x dx v = − cot x Khi đó: I = uv − ∫ vdu = − x cot x + ∫ cot xdx = − x cot x + ln sin x + C Chọn B x  π π trên  − ;  và F ( x ) là một nguyên hàm của xf ′ ( x ) thỏa mãn 2 cos x  2 2  π π F ( 0 ) = 0 . Biết a ∈  − ;  thỏa mãn tan a = 3 . Tính F ( a ) − 10a 2 + 3a .  2 2 1 1 1 A. − ln10 . B. − ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: F ( x ) = ∫ xf ′ ( x ) dx = ∫ xd f= ( x ) xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx Câu 11. Cho f ( x ) = Ta lại có: x ∫ f ( x ) dx = ∫ cos 2 x dx = ∫ xd ( tan = xdx x tan x − ∫ x ) x tan x − ∫ tan= sin x dx cos x 1 d ( cos x ) =x tan x + ln cos x + C ⇒ F ( x ) = xf ( x ) − x tan x − ln cos x + C cos x 0 , do đó: F ( x ) = xf ( x ) − x tan x − ln cos x . Lại có: F ( 0 ) = 0 ⇒ C = = x tan x + ∫ ⇒ F ( a ) = af ( a ) − a tan a − ln cos a Khi đó f (a) = a = a (1 + tan 2 a ) = 10a 2 cos a và 1 1 = 1 + tan 2 a = 10 ⇔ cos 2 a = 2 10 cos a 1 ⇔ cos a = . 10 Vậy F ( a ) − 10a 2 + 3a= 10a 2 − 3a − ln 1 1 − 10a 2 + 3a = ln10 . 2 10 DẠNG 2. Câu 12. Họ nguyên hàm của ∫ e x (1 + x ) dx là: A. I =e x + xe x + C . C. I = 1 x e + xe x + C . 2 B. I =+ ex D. I = 2e x + xe x + C . Hướng dẫn giải Ta có: I = ∫ e x (1 + x ) dx = ∫ e x dx + ∫ e x xdx = e x + C1 + ∫ xe x dx .  I1 Xét I1 = ∫ e x xdx . = u x= du x Đặt  . ⇒  x x = dv e = dx v e  
Trang chủ
1 x xe + C . 2 ⇒ I1 = xe x − ∫ xe x dx ⇒ I1 = ⇒ I = ex + 1 x xe + C2 . 2 1 x xe + C . 2 Chọn B Câu 13. Biết ∫ xe 2 x dx = axe 2 x + be 2 x + C ( a, b ∈  ) . Tính tích ab . 1 A. ab = − . 4 B. ab = 1 . 4 1 C. ab = − . 8 Hướng dẫn giải 1 D. ab = . 8 Chọn C du = dx u = x  Đặt  ⇒ 1 2x 2x dv = e dx v = e  2 1 1 1 2x 1 2x 2x Suy ra: ∫ xe= xe 2 x − ∫ e 2 x dx = dx xe − e + C 2 2 2 4 1 1 1 Vậy: a = ; b = − ⇒ ab = − . 2 4 8 1 2x 2x Câu 14. Cho biết ∫ xe= e ( ax + b ) + C , trong đó a, b ∈  và C là hằng số bất kì. Mệnh đề dx 4 nào dưới đây là đúng. 0. 0. A. a + 2b = B. b > a . C. ab . D. 2a + b = Hướng dẫn giải Chọn A Đặt u =x ⇒ du =dx , e2 x 2x d= v e dx ⇒= v . 2 xe 2 x e2 x xe 2 x e 2 x e2 x x −∫ dx = − + C = Ta có ∫ xe 2= dx ( 2 x − 1) + C . Suy ra a = 2 , b = −1 . 2 2 2 4 4 x ) ( ax + b ) e x là nguyên hàm của hàm số= y ( 2 x + 3) e x .Khi đó a + b là Câu 15. Biết F (= A. 2. B. 3. C. 4. Hướng dẫn giải Ta có: ∫ ( 2x+3) e x dx = ( ax+b ) e x , nghĩa là: D. 5. ( ax+b ) e x  ‘ = ( 2x+3) e x ⇔ a.e x + e x ( ax + b ) = ( 2x+3) e x ⇔ e x ( ax + a + b ) = ( 2x+3) e x Đồng nhất hệ số ta được: a=2 và b =1 3. Vậy a + b = Chọn B 1 Câu 16. Biết ∫ ( x + 3) .e −2 x dx = S m2 + n2 . − e −2 x ( 2 x + n ) + C , với m, n ∈  . Tính = m A. S = 10 . B. S = 5 . C. S = 65 . D. S = 41 . Hướng dẫn giải Chọn C  du = dx u= x + 3  ⇒ Đặt  1 −2 x −2 x dv = e dx v = − e  2
Trang chủ
1 1 1 1 dx = − .e −2 x ( x + 3) − e −2 x + C − e −2 x ( x + 3) + ∫ e −2 x dx = 2 4 2 2 1 −2 x 1 −2 x =− e . ( 2 x + 6 + 1) + C =− e ( 2 x + 7 ) + C ⇒ m = 4; n = 7 . 4 4 S = m 2 + n 2 = 65. Câu 17. Tìm nguyên hàm = I ∫ ( 2 x − 1) e − x dx . Khi đó ∫ ( x + 3) .e −2 x A. I = − ( 2 x + 1) e − x + C . B. I = − ( 2 x − 1) e − x + C . C. I = − ( 2 x + 3) e − x + C . D. I = − ( 2 x − 3) e − x + C . Hướng dẫn giải Chọn A 2x −1 2dx u = du = Đặt  . ⇒ −x −x dv = e dx v = −e Ta có I = − ( 2 x − 1) e − x + ∫ 2.e − x dx = − ( 2 x − 1) e − x − 2e − x + C = − ( 2 x + 1) e − x + C . Câu 18. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f (= x) 1) 11e − 3 . A. F (= B. F (1)= e + 3 . ( 5 x + 1) e x và F ( 0 ) = 3 . Tính F (1) . C. F (1)= e + 7 . D. F (1)= e + 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có F= ( x) ∫ ( 5 x + 1) e dx . x u 5 x + 1 du = 5dx = Đặt  . ⇒ x x dv = e dx  v=e F ( x ) =( 5 x + 1) e x − ∫ 5e x dx = ( 5 x + 1) e x − 5e x + C =( 5 x − 4 ) e x + C . 7. Mặt khác F ( 0 ) = 3 ⇔ −4 + C =3 ⇔ C = ⇒ F ( x ) =( 5 x − 4 ) e x + 7 . Vậy F (1)= e + 7 . x) Câu 19. Cho hàm số f (= x ) ( mx + n ) e x ( m, n ∈  ) ( 2 x − 3) e x . Nếu F (= là một nguyên hàm của f ( x) thì hiệu m − n bằng A. 7. B. 3. C. 1 . Hướng dẫn giải: D. 5. Chọn A Tính ∫ ( 2 x − 3) e x dx . Đặt u = 2 x − 3 ⇒ du = 2dx; dv = e x dx ⇒ v = e x . Suy ra: ∫ ( 2 x − 3) e dx =( 2 x − 3) e x x − 2 ∫ e x dx + C = ( 2 x − 3) e x − 2e x + C =( 2 x − 5 ) e x + C 7. Suy ra: m = 2 ; n = −5 Vậy m − n = F ( 0) = 2 F ( −1) f ( x) = e x là một nguyên hàm của hàm số và . Hãy tính . 15 10 10 15 A. 6 − . B. 4 − . C. D. . −4. e e e e Hướng dẫn giải Chọn C Câu 20. Cho F ( x) 3 T 7 1 = Ta có I f ( x ) dx ∫=
Trang chủ
x ∫ e dx . 3 Đặt 3 x =t ⇒ x =t 3 ⇒ dx = đó I 3t 2 dt khi= e x dx 3∫ et t 2 dt . ∫= 3 t 2 = u 2tdt = du Đặt  t 3et t 2 − 6 ∫ et tdt . ⇒ t ⇒= I 3 et t 2 − 2 ∫ et td= t e dt = dv e = v Tính ∫ et tdt . ( ) = t u=  dt d u Đặt  t ⇒ ∫ e t t dt = tet − ∫ et dt = te t − e t . ⇒ t = v e v e dt d= Vậy ⇒ = x ) 3e I 3et t 2 − 6 ( et t − et ) + C ⇒ F (= Theo giả thiết ta có ⇒ F ( −1) = 3 x 3 ( x2 − 6 e F ( 0 ) =⇒ 2 C= −4 3 x 3 x −e ⇒ F (= x ) 3e 3 3 x 3 x )+C . x − 6 (e 2 15 −4. e DẠNG 3. Câu 21. Kết quả của ∫ ln xdx là: A. x ln x + x + C C. x ln x + C Ta có: I = ∫ ln xdx B. Đáp án khác D. x ln x − x + C Hướng dẫn giải dx  u = ln x du = Đặt:  ⇒ x dv = dx v = x  Khi đó: = I uv − ∫ vdu = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C Chọn D Câu 22. Nguyên hàm của I = ∫ x ln xdx bằng với: x2 ln x − ∫ xdx + C . 2 1 C. x 2 ln x − ∫ xdx + C . 2 A. Ta đặt: B. D. x 2 ln x − ∫ xdx + C . Hướng dẫn giải 1  du = dx  u = ln x  x . ⇒  2 dv = xdx v = x  2 x2 1 ⇒ = I ∫ x ln xdx = ln x − ∫ xdx . 2 2 Chọn B Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số = f ( x ) x ln ( x + 2 ) . x2 x2 + 4 x ln x + 2 − +C . A. ∫ ( ) 2 4 x2 − 4 x2 − 4 x ln ( x + 2 ) − +C . B. ∫ f= ( x ) dx 2 4 f ( x= ) dx
Trang chủ
x2 1 ln x − ∫ xdx + C . 2 2 3 x 3 x −e 3 x )−4 x2 x2 + 4 x ln x + 2 − +C . ( ) ∫ 2 2 x2 − 4 x2 + 4x d ln 2 x x x + − +C . D. ∫ f= ( ) ( ) 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B dx  = u d = u ln ( x + 2 )  x+2 Đặt  ⇒ 2 dv = xdx v = x  2 x2 1 x2 ln ( x + 2 ) − ∫ dx suy ra ∫ f ( x = ) dx ∫ x ln ( x + 2= ) dx 2 2 x+2 x2 x2 − 4 x2 − 4x 1  4  = = + − +C . x x ln ( x + 2 ) − ∫  x − 2 + d ln 2 ( )  x+2 2 2  2 2 ln x Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của g ( x ) = ? 2 ( x + 1) C. f ( x= ) dx − ln 2 x − x ln 2 x + ln + 1999 . x +1 x +1 ln x x − ln + 2016 . C. x +1 x +1 A. − ln x x − ln + 1998 . x +1 x +1 ln x x + ln + 2017 . D. x +1 x +1 Hướng dẫn giải B. 1  u = ln x du = dx    x 1 Đặt  ⇒ dv = dx 2  v = −1 ( x + 1)   x +1 S ⇒ = 1 1  1 dx − ln x − ln x − lnx 1 dx +∫ = + ∫ − = + + ∫ dx − ∫  dx x +1 x ( x + 1) x +1 x +1 x x +1  x x +1  x − ln x − ln x S C ⇔= + ( ln x − ln x + 1 ) + = + ln +C x +1 x +1 x +1 Chọn A ln ( cos x ) dx là: Câu 25. Họ nguyên hàm của I = ∫ sin 2 x A. cot x.ln ( cos x ) + x + C . B. − cot x.ln ( cos x ) − x + C . C. cot x.ln ( cos x ) − x + C . Ta đặt: u = ln ( cos x ) du = − tan xdx  ⇒ .  dx v = − cot x dv = 2 sin x  D. − cot x.ln ( cos x ) + x + C . Hướng dẫn giải ⇒I= − cot x.ln ( cos x ) − ∫ dx = − cot x.ln ( cos x ) − x + C . Chọn B Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln x .
Trang chủ
. A. ∫ C. ∫ 1 32 x ( 3ln x − 2 ) + C . 9 2 32 f= x d x x ( 3ln x − 1) + C . ( ) 9 f= ( x ) dx Chọn A I ∫= f ( x ) dx = Đặt: t = ∫ 2 32 x ( 3ln x − 2 ) + C . ∫ 3 2 32 x d x x ( 3ln x − 2 ) + C . D. ∫ f= ( ) 9 Hướng dẫn giải B. f= ( x ) dx x ln x.dx . x ⇒ dt = 1 dx ⇒ 2tdt = dx . 2 x 2 = ⇒ I 2 ∫ t= ln t 2 .dt 4 ∫ t 2 ln t.dt . 1  du = dt  = u t ln   t Đặt:  . ⇒ 2 3 dv = t dt v = t  3 1 2  1 3 1 1  2 3 = ⇒ I 2  t 3 ln t − = t dt  2  t 3 ln t − t= +C t ( 3ln t − 1) + C ∫ 3 9 3  3  9 2 32 = x 3ln x − 1 + C 9 1 32 = x ( 3ln x − 2 ) + C . 9 ln ( x + 3) sao cho F ( −2 ) + F (1) = Câu 27. Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) = 0 . Giá trị x2 của F ( −1) + F ( 2 ) bằng ( A. ) 10 5 ln 2 − ln 5 . 3 6 B. 0 . 7 ln 2 . 3 Hướng dẫn giải C. D. 2 3 ln 2 + ln 5 . 3 6 Chọn A Cách 1: Ta có hàm số f ( x ) liên tục trên các khoảng ( −3;0 ) và ( 0; +∞ ) . Tính ∫ ln ( x + 3) dx . x2 1  = u ln ( x + 3) du = dx 1   x+3 Đặt  (Chọn C = − ) ⇒ dx 1 1 x+3 3 dv = 2 v = − − = − x   3x x 3 ln ( x + 3) x+3 1 x+3 1 Suy ra: F ( x ) = ∫ x 2 dx =− 3x ln ( x + 3) + ∫ 3x dx =− 3x ln ( x + 3) + 3 ln x + C . 1 2 •Xét trên khoảng ( −3;0 ) , ta có: F ( −2= ) ln 2 + C1 ; F ( −1=) ln 2 + C1 3 3 •Xét trên khoảng ( 0; +∞ ) , ta có: 4 8 5 1 F (1) = − ln 4 + C2 = − ln 2 + C2 ; F ( 2 ) = − ln 5 + ln 2 + C2 3 3 6 3 7 1   8  0 ⇔  ln 2 + C1  +  − ln 2 + C2  =0 ⇔ C1 + C2 =ln 2 . Suy ra: F ( −2 ) + F (1) = 3 3   3 
Trang chủ
2 5 1 Do đó: F ( −1) + F= ( 2 )  ln 2 + C1  +  − ln 5 + ln 2 + C2  3 3   6  2 5 1 7 10 5 ln 2 − ln 5 . = ln 2 − ln 5 + ln 2 + ln 2 = 3 6 3 3 3 6 Cách 2: (Tận dụng máy tính) •Xét trên khoảng ( −3;0 ) , ta có: F ( −1) − = F ( −2 ) ln ( x + 3) dx ≈ 0, 231 → A (lưu vào A ) (1) x2 −2 −1 −1 ( x ) dx ∫ ∫ f= −2 •Xét trên khoảng ( 0; +∞ ) , ta có: F ( 2) − F = (1) 2 ln ( x + 3) dx ≈ 0, 738 → B (lưu vào A ) ( 2 ) x2 1 2 dx ∫ ∫ f ( x )= 1 •Lấy (1) cộng ( 2 ) theo vế ta được: F ( −1) + F ( 2 ) − F ( −2 ) − F (1) = A + B ⇔ F ( −1) + F ( 2 ) = A + B ≈ 0,969 . So các phương án ta Chọn A  4 − x2  Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 3 ln  ? 2   4+ x   4 − x2   x 4 − 16   4 − x 2  2 A. x 4 ln  . B. − x 2 − 2×2 .   ln  2  2   4+ x   4   4+ x   4 − x2  C. x ln  + 2×2 . 2   4+ x  4  x 4 − 16   4 − x 2  D.  + 2×2 .  ln  2   4   4+ x  Hướng dẫn giải x   4 − x 2  du = 16 4  u = ln   x − 16 2  Đặt:   4+ x ⇒  4 4  v = x − 4 = x − 16 3 dv = x dx  4 4 2 4  4− x   x − 16   4 − x 2   x 4 − 16   4 − x 2  4 ⇒ ∫ x= = − − 2×2 + C ln  dx ln 4 xdx      ln  2  2  2  ∫ + + + 4 x 4 4 x 4 4 x           Chọn B x 2 dx Câu 29. Tìm H = ∫ ? 2 ( x sin x + cos x ) A. H = x + tan x + C . cos x ( x sin x + cos x ) B. H = x − tan x + C . cos x ( x sin x + cos x ) −x + tan x + C . cos x ( x sin x + cos x ) −x D. H = − tan x + C . cos x ( x sin x + cos x ) Hướng dẫn giải 2 x x cos x x Ta có: H ∫= dx ∫ . dx = 2 2 ( x sin x + cos x ) ( x sin x + cos x ) cos x = C. H
Trang chủ
x  x sin x + cos x  du = dx u = cos x    cos 2 x Đặt  ⇒ d ( x sin x + cos x ) x cos x 1 dv = v = − = dx 2 2  x sin x + cos x  ( x sin x + cos x ) ( x sin x + cos x ) x 1 1 −x ⇒H = − . +∫ dx = + tan x + C 2 cos x x sin x + cos x cos x cos x ( x sin x + cos x ) Chọn C 3 a b 1 Câu 30. ∫ 2 x x 2 + 1 + x ln x dx có dạng x 2 + 1 + x 2 ln x − x 2 + C , trong đó a, b là hai số 3 6 4 hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm Ta có: ∫ ( 2x ∫ ( 2x ∫ 2x * I1 = ∫ ( 2x ) x 2 + 1 + x ln= x dx Để tìm ) ( ) ( ) x 2 + 1 + x ln x dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . ∫ 2x ) x 2 + 1 dx + ∫ x ln x dx . đặt I1 x 2 + 1 + x ln x dx ta= ∫ 2x x 2 + 1 dx và I 2 = ∫ x ln x dx và tìm I1 , I 2 . x 2 + 1 dx . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t = Suy ra: I1 = x 2 1, xdx = tdt . x 2 + 1, t ≥ 1 ta được t 2 =+ 2 ∫ 2 x x + 1 dx = 2 ∫ 2t dt = 2 3 2 t + C1 = 3 3 ( ) 3 x 2 + 1 + C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. * I 2 = ∫ x ln x dx . Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần. 1  du = dx  = u ln x   x , ta được: Đặt  ⇒ dv = xdx v = 1 x 2  2 I= 2 ∫ x ln x dx= ∫ udv= uv − ∫ vdu . 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 x ln x − ∫ x 2 ⋅ dx = x ln x − ∫ xdx = x ln x − x 2 + C2 2 2 x 2 2 2 4 3 2 1 2 1 2 2 2 ∫ 2 x x + 1 + x ln x dx = I1 + I 2 = 3 x + 1 + C1 + 2 x ln x − 4 x + C2 . 3 2 1 2 1 2 2 = x + 1 + x ln x − x + C 3 2 4 3 1 a b Suy ra để ∫ 2 x x 2 + 1 + x ln x dx có dạng x 2 + 1 + x 2 ln x − x 2 + C 3 6 4 a= 2 ∈ , b = 3 ∈ . Chọn B Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. = ) ( ( ) ) (
Trang chủ
( ) ( ) thì ( ∫ 2x * I1 = a 3 ( ) 3 b 2 1 x ln x − x 2 + C . Sau đó, với mỗi a 2 4 3 a b 1 của các đáp án ta lấy đạo hàm của x 2 + 1 + x 2 ln x − x 2 + C . 3 2 4 Không khuyến khích cách này vì việc tìm đạo hàm của hàm hợp phức tạp và có 4 đáp án nên việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn. Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên chỉ tìm giá trị của b . Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào x2 + 1 + ) x 2 + 1 dx . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t = Suy ra: x 2 + 1, tdt = 2 xdx . x 2 + 1, t ≥ 1 ta được t 2 = ) ( 3 1 3 1 t + C1 = x 2 + 1 + C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. 3 3 1 2 1 Học sinh tìm đúng = I2 x ln x − x 2 + C2 theo phân tích ở trên. 2 4 3 1 1 2 1 2 2 2 ∫ 2 x x + 1 + x ln x dx = I1 + I 2 = 3 x + 1 + C1 + 2 x ln x − 4 x + C2 . 3 1 1 2 1 2 2 = x + 1 + x ln x − x + C 3 2 4 3 a b 1 Suy ra để ∫ 2 x x 2 + 1 + x ln x dx có dạng x 2 + 1 + x 2 ln x − x 2 + C thì= a 1,= b 3 3 6 4 . Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: I1 = 2 ∫ 2 x x + 1 dx = 2 ∫ t dt = ) ( ) ( ( ∫ 2x * I1 = ) ( ) ( ) x 2 + 1 dx . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t = Suy ra: x 2 + 1, tdt = 2 xdx . x 2 + 1, t ≥ 1 ta được t 2 = ) ( 3 1 3 1 t + C1 = x 2 + 1 + C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. 3 3 1 2 1 Học sinh tìm đúng = I2 x ln x − x 2 + C2 theo phân tích ở trên. 2 4 3 1 1 1 2 2 2 x x + 1 + x ln x dx = I + I = x + 1 + C1 + x 2 ln x − x 2 + C2 1 2 ∫ 3 2 4 . 3 1 1 1 2 2 2 = x + 1 + x ln x − x + C 3 2 4 3 a b 1 Suy ra để ∫ 2 x x 2 + 1 + x ln x dx có dạng x 2 + 1 + x 2 ln x − x 2 + C 3 6 4 1 a= 1 ∈ , b = ∉ . 3 Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm do tính sai giá trị của b . I1 = 2 ∫ 2 x x + 1 dx = 2 ∫ t dt = ) ( ( ) ) (
Trang chủ
( ) ( ) thì Câu 31. Cho F ( x) = A. I = 1 f ( x) là một nguyên hàm của hàm số . Tính 2 x 2x e −3 . 2e 2 2 B. I = e ∫ f ′( x) ln xdx bằng: 1 2−e e −2 . C. I = 2 . 2 e e Hướng dẫn giải 2 2 D. I = 3 − e2 . 2e 2 Chọn A Do F ( x) = e Tính I = ∫ 1 f ( x) 1 1 f ( x)  1 ′ là một nguyên hàm của hàm số nên − 2. =  2  ⇔ f ( x) = 2 x x 2x x  2x  1 ln x = u  dx = du ⇒ x . f ′( x) ln xdx . Đặt   f ′ ( x ) dx = dv  f ( x ) = v  e e f ′( x) e2 − 3 1 1 Khi đó I f ( x ) .ln ( x ) 1 − ∫ . = dx = − 2 .ln ( x ) − 2 = 2e 2 x x 2x 1 1 1 a 1 + ln x Câu 32. Cho = F ( x) ( ln x + b ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 , trong đó a , b ∈  . x x Tính S= a + b . B. S = 1 . C. S = 2 . D. S = 0 . A. S = −2 . Hướng dẫn giải Chọn B  1 + ln x  = f ( x ) dx ∫  Ta có I ∫=  dx . 2  x  1 u 1 + ln x =  x dx = du  Đặt  1 khi đó ⇒ 1 d d x = v − =  x 2 v  x 1 1 1 1 1 I= − (1 + ln x ) + ∫ 2 dx = − (1 + ln x ) − + C = − ( ln x + 2 ) + C ⇒ a = −1; b = 2. x x x x x Vậy S = a + b = 1 . a Câu 33. Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số= f ( x) + bxe x với mọi x khác −1 . 3 ( x + 1) e Biết f ′ ( 0 ) = −22 và e 1 ∫ f ( x ) dx = 5 . Tính a + b ? 0 A. 19 . B. 7 . Chọn D Ta có f ′ (= x) −3a ( x + 1) 4 C. 8 . Hướng dẫn giải + be x + bxe x nên f ′ ( 0 ) =−3a + b =−22 (1) . 1 1  a  dx x + bx x e d = a + b xe x dx = aI + bJ .   3 3 ∫ ∫ ∫ + x 1 x + 1 ( ) ( )   0 0  0 0  1 1 3 1 dx Tính I = ∫ . = − = 2 3 2 ( x + 1) 0 8 0 ( x + 1) 1 f ( x ) dx ∫= 1 = u x=  du d x Tính J = ∫ xe x dx . Đặt  . ⇒  x = dx v e x dv e= 0 1
Trang chủ
D. 10 . 1 1 1 Khi đó J = ( xe x ) 0 − ∫ e x dx =e x − e x 0 =1 . Suy ra 83 a + b =5 ( 2 ) . 0 −3a + b =−22 a = 8  10 . Từ (1) và ( 2 ) ta có  3a . Vậy a + b = ⇔ b = 2 + = b 5   8 Câu 34. Cho a là số thực dương. Biết rằng F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số 1  1 = f ( x ) e x  ln ( ax ) +  thỏa mãn F   = 0 và F ( 2018 ) = e 2018 . Mệnh đề nào sau đây x  a đúng? 1    1  ;1 . A. a ∈  B. a ∈  0; . C. a ∈ [1; 2018 ) . D. a ∈ [ 2018; +∞ ) .  2018   2018  Hướng dẫn giải Chọn A 1 ex  x d e ln d = I ∫ e x  ln ( ax ) + = x ax x + ( )  ∫ ∫ x dx (1) x   Tính ∫ e x ln ( ax ) dx : 1  ln ( ax ) du = dx ex u = x x ⇒ = − e ln ax d x e ln ax Đặt  ⇒ x ) ( ) (  ∫ ∫ x dx x x dv = e dx v = e  = F ( x ) e x ln ( ax ) + C .  Thay vào (1), ta được:  1  a1 C = 0 e F  a  = 0  0 . Với     e .ln1 + C = a=  2018 ln ( a.2018 ) = 1  F ( 2018 ) = e 2018 e 2018 ln ( a.2018 ) + C = e 2018   1  ;1 .  Vậy a ∈   2018  DẠNG 4: Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. ∫ e x sin = xdx e x cos x − ∫ e x cos xdx. . C. ∫ e x sin = xdx e x cos x + ∫ e x cos xdx. . B. ∫ e x sin xdx = −e x cos x + ∫ e x cos xdx. . D. ∫ e x sin xdx = −e x cos x − ∫ e x cos xdx. Hướng dẫn giải Chọn B Đặt u = e x du = e x dx ⇒   dv = sin xdx v = − cos x x ⇒ ∫ e sin xdx = −e x cos x + ∫ e x cos xdx. . Câu 36. Tìm J = ∫ e x .sinxdx x ? e ( cos x − sin x ) + C . 2 ex C. J= ( sin x − cos x ) + C . 2 J A. =
Trang chủ
ex ( sin x + cos x ) + C . 2 ex = J D. ( sin x + cos x + 1) + C . 2 Hướng dẫn giải B. J= x u e= du e x .dx = Đặt:  1 ⇒ 1 dv1 = sin x.dx v1 = − cos x ⇒J= −e x cos x + ∫ e x cos xdx = −e x cos x + T (T = ∫ e .cos xdx ) x Tính T = ∫ e x .cos xdx : ⇒ = T e x sin x − ∫ e x sin xdx = e x sin x − J ex ⇒J= −e cos x + e sin x − J ⇔ 2 J = e ( sin x − cos x ) ⇔ J = ( sin x − cos x ) + C 2 Chọn C x
Trang chủ
x x
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top