Bài tập Toán 9 học kì 1 – Trần Quốc Nghĩa

Tài liệu học tập Toán 9

Giới thiệu Bài tập Toán 9 học kì 1 – Trần Quốc Nghĩa

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bài tập Toán 9 học kì 1 – Trần Quốc Nghĩa.

Tài liệu môn Toán sẽ luôn được cập thường xuyên từ nguồn đóng góp của quý bạn đọc và hoctoanonline.vn sưu tầm, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán mới nhất nhé.

Hơn nữa, Hoctoanonline.vn còn cung cấp file WORD Tài liệu môn Toán miễn phí nhằm hỗ trợ thầy, cô trong quá trình dạy học, biên soạn đề thi.

Tài liệu Bài tập Toán 9 học kì 1 – Trần Quốc Nghĩa

Tải xuống

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm nhé

Text Bài tập Toán 9 học kì 1 – Trần Quốc Nghĩa

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Mục lục

Phần 0. Ôn tập

Phần 0. Ôn tập …………………………………………………………………………………… 1
Biểu diễn nghiệm trên trục số …………………………………………………………. 1
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ……………………………………………. 2
Bất phương trình tích, thương. Bất phương trình bậc hai. Bất phương trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối. ………………………………………………………………. 4
Phần 1. Đại số ……………………………………………………………………………………. 9
Chương 1 CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA……………………………………….. 9
A – Căn bậc hai ……………………………………………………………………………. 9
B – Căn thức bậc hai. Hằng đẳng thức A2 | A | ……………………………… 12
C – Khai phương một tích. Nhân các căn thức bậc hai. ……………………… 17
D – Khai phương một thương. C hia các căn thức bậc hai ………………….. 17
E – Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai …………………………………………… 23
F – Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai ……………………………….. 29
G – Căn bậc ba …………………………………………………………………………… 33
H – Ôn tập chương 1……………………………………………………………………. 34
Chương 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT ……………………………………………………. 41
A – Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số ……………………………… 41
B – Hàm số bậc nhất y = ax + b (a  0) ………………………………………….. 45
C – Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a  0) ……………………………. 45
D – Ôn tập chương 2……………………………………………………………………. 53
Phần 2. Hình học ……………………………………………………………………………… 57
Chương 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG…………. 57
A – Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ………….. 57
B – Tỉ số lượng giác của góc nhọn …………………………………………………. 62
C – Bảng lượng giác và máy tính bỏ túi…………………………………………… 66
D – Hệ thức giữa các cạnh và các góc trong một tam giác vuông ………… 67
E – Ôn tập chương 1 ……………………………………………………………………. 69
Chương 2 ĐƯỜNG TRÒN …………………………………………………………….. 73
A – Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn ………… 73
B – Đường kính và dây cung của đường tròn……………………………………. 76
C – Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây ………………………… 78
D – Các công thức về vuông cân tam giác đều và nửa tam giác đều …… 81
E – Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Dấu hiệu nhận biết
tiếp tuyến của đường tròn. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau…… 82
F – Đường tròn nội tiếp – bàng tiếp tam giác …………………………………… 89
G – Vị trí tương đối của hai đường tròn ………………………………………….. 91
H – Ôn tập chương 2……………………………………………………………………. 94
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 104

Biểu diễn tập nghiệm BPT trên trục số
Thông thường một bất phương trình có vô số nghiệm nên không thể kiệt
kê hết được. Người ta chọn cách thể hiện tập nghiệm bằng cách biểu diễn
trên trục số (phần không bị xóa). Sau đây là các trường hợp thường gặp:

[

(1)

{x / x a}

{x / x a}

]

(3)

{ x / x b}

]

(6)

{x / a ≤ x ≤ b}

(9)

(

)

{x / a < x < b} a b ] (7) ) (4) { x / x b} [ (5) ( (2) [ (8) b ) ( {x / x ≤ a hoặc x ≥ b} {x / x < a hoặc x > b}

x  R (vô số nghiệm)

(10)

x   (vô số nghiệm)

 Chú ý: Tại a, biểu diễn ngoặc vuông “[, ]” tức trong tập nghiệm có
x = a, còn ngược lại biểu diễn ngoặc đơn “(, )” khi x = a không
thuộc tập nghiệm.
O.1

Biểu diễn các tập nghiệm sau lên trục số:
a) S  {x / x  5}
b) S  {x / x  2}
d) S  {x / x  1}

c) S  {x / x  1}

e) S  {x / 1  x  2}

f) S  {x / x  2 hoac x  1}
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 1

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Mục lục

Phần 0. Ôn tập

Trang 104

[

(1)

{x / x a}

{x / x a}

]

(3)

{ x / x b}

]

(6)

{x / a ≤ x ≤ b}

(9)

(

)

{x / a < x < b} a b ] (7) ) (4) { x / x b} [ (5) ( (2) [ (8) b ) ( {x / x ≤ a hoặc x ≥ b} {x / x < a hoặc x > b}

x  R (vô số nghiệm)

(10)

x   (vô số nghiệm)

Biểu diễn các tập nghiệm sau lên trục số:
a) S  {x / x  5}
b) S  {x / x  2}
d) S  {x / x  1}

c) S  {x / x  1}

e) S  {x / 1  x  2}

f) S  {x / x  2 hoac x  1}
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 1

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Bài tập Toán 9

Học kì 1

c) Gọi O là trung điểm của AH. Chứng minh OOIM là hình thang cân.
d) G là trọng tâm của ABC. So sánh diện tích của AOG và AHG.

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
 Dạng 1: A = B (1)
(với B là một số thực không chứa biến)
 Nếu B < 0 : phương trình vô nghiệm  Nếu B > 0 : (1)  A = B hoặc A = – B
 Dạng 2: A = B (2)
(với B là một biểu thức có chứa biến)
 Cách 1: Dùng định nghĩa bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
 Nếu A  0  x …
(*)
(2)  A = B  x = … (đem nghiệm này so với điều kiện (*) nếu
thỏa thì lấy)
Chú ý: Trường hợp phương trình A = B có VSN thì phương trình
(2) có nghiệm là (*).
 Nếu A < 0  x … (**) (2)  – A = B  x = … (đem nghiệm này so với điều kiện (**) nếu thỏa thì lấy) Chú ý: Trường hợp ph/trình – A = B có VSN thì phương trình (2) có nghiệm là (**). Vậy nghiệm của phương trình là: (lấy nghiệm của hai trường hợp trên).  Cách 2: Dùng công thức: B  0  A  B   A  B  A  B   Dạng 3: A = B A = B  A = B hoặc A = – B (giải hai phương trình này tìm nghiệm nếu có). 2.148 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tia tiếp tuyến Ax. Từ M trên Ax, kẻ tiếp tuyến MC tới nửa đường tròn (C  (O)). Đường thẳng BC cắt tia Ax tại D. a) Chứng minh: MA = MD. b) Kẻ CH  AB, BM cắt CH tại I. Chứng minh: I là trung điểm của CH. c) Kẻ tia Oy  OM, tia này cắt MC tại N. Chứng minh: NB là tiếp tuyến của nửa (O). 2.149 Cho hai đường tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Bán kính của (O) là R = 5cm, bán kính của (O) là r = 3cm. Một đường thẳng qua A hợp với OO một góc 300 cắt (O) tại B, cắt đường tròn (O) tại C.   và OC // OB. a) Chứng minh: AO ‘C = AOB b) Chứng minh: tiếp tuyến của (O) tại B và tiếp tuyến của (O) tại C song song với nhau. c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt đường thẳng OO tại D. Tính CD và OD. d) Đường thẳng CD cắt đường thẳng BO tại E. Tính diện tích ABE. 2.150 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Lấy điểm C ngoài đường tròn sao cho B là trung điểm của OC. Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM, CN đến (O) với M, N là hai tiếp điểm. a) Chứng minh: AMN cân. Tính CM và AM theo R. b) Chứng minh: tứ giác AMCN là hình thoi. Tính SAMCN theo R. c) Gọi I là trung điểm của CM. Đường thẳng AI cắt OM tại K. Chứng minh: K là trung điểm của AI. d) Tính diện tích AKB theo R.  Dạng 4: A  0 ( a ) B  0 ( b )  A + B + … + N= 0 (1)   …  N  0 ( n ) Nghiệm của (1) là nghiệm chung của các phương trình (a), (b), … (n). Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 2 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 103 Bài tập Toán 9 Học kì 1 Bài tập Toán 9 Học kì 1 c) Gọi O là trung điểm của AH. Chứng minh OOIM là hình thang cân. d) G là trọng tâm của ABC. So sánh diện tích của AOG và AHG. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối  Dạng 1: A = B (1) (với B là một số thực không chứa biến)  Nếu B < 0 : phương trình vô nghiệm  Nếu B > 0 : (1)  A = B hoặc A = – B
 Dạng 2: A = B (2)
(với B là một biểu thức có chứa biến)
 Cách 1: Dùng định nghĩa bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
 Nếu A  0  x …
(*)
(2)  A = B  x = … (đem nghiệm này so với điều kiện (*) nếu
thỏa thì lấy)
Chú ý: Trường hợp phương trình A = B có VSN thì phương trình
(2) có nghiệm là (*).
 Nếu A < 0  x … (**) (2)  – A = B  x = … (đem nghiệm này so với điều kiện (**) nếu thỏa thì lấy) Chú ý: Trường hợp ph/trình – A = B có VSN thì phương trình (2) có nghiệm là (**). Vậy nghiệm của phương trình là: (lấy nghiệm của hai trường hợp trên).  Cách 2: Dùng công thức: B  0  A  B   A  B  A  B   Dạng 3: A = B A = B  A = B hoặc A = – B (giải hai phương trình này tìm nghiệm nếu có). 2.148 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tia tiếp tuyến Ax. Từ M trên Ax, kẻ tiếp tuyến MC tới nửa đường tròn (C  (O)). Đường thẳng BC cắt tia Ax tại D. a) Chứng minh: MA = MD. b) Kẻ CH  AB, BM cắt CH tại I. Chứng minh: I là trung điểm của CH. c) Kẻ tia Oy  OM, tia này cắt MC tại N. Chứng minh: NB là tiếp tuyến của nửa (O). 2.149 Cho hai đường tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Bán kính của (O) là R = 5cm, bán kính của (O) là r = 3cm. Một đường thẳng qua A hợp với OO một góc 300 cắt (O) tại B, cắt đường tròn (O) tại C.   và OC // OB. a) Chứng minh: AO ‘C = AOB b) Chứng minh: tiếp tuyến của (O) tại B và tiếp tuyến của (O) tại C song song với nhau. c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt đường thẳng OO tại D. Tính CD và OD. d) Đường thẳng CD cắt đường thẳng BO tại E. Tính diện tích ABE. 2.150 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Lấy điểm C ngoài đường tròn sao cho B là trung điểm của OC. Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM, CN đến (O) với M, N là hai tiếp điểm. a) Chứng minh: AMN cân. Tính CM và AM theo R. b) Chứng minh: tứ giác AMCN là hình thoi. Tính SAMCN theo R. c) Gọi I là trung điểm của CM. Đường thẳng AI cắt OM tại K. Chứng minh: K là trung điểm của AI. d) Tính diện tích AKB theo R.  Dạng 4: A  0 ( a ) B  0 ( b )  A + B + … + N= 0 (1)   …  N  0 ( n ) Nghiệm của (1) là nghiệm chung của các phương trình (a), (b), … (n). Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 2 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 103 Bài tập Toán 9 Học kì 1 2.144 Cho 2 đường tròn ngoài nhau (O; R) và (O; r) với R > r, AB là tiếp tuyến
chung ngoài (A là là tiếp điểm trên (O), B là tiếp điểm trên (O)). Từ O
vẽ OC  OA.
a) Chứng tỏ ABOC là hình chữ nhật.
b) Chứng tỏ OC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R = R – r.
c) Suy ra cách dựng đường t/tuyến chung ngoài AB khi cho trước 2
đường tròn (O; R) và (O; r).
d) Tương tự, dựng tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn (O; R) và
(O; r).
e) Tính độ dài của tiếp tuyến chung ngoài và tiếp tuyến chung trong và
khoảng cách hai tâm d = OO theo hai bán kính.
2.145 Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định với OI = R/2. AB là dây cung
quay quanh I.
a) Tìm vị trí C, D của A (hay B) tương ứng lúc độ dài IA (hay IB) dài
nhất, ngắn nhất.
b) Chứng tỏ tập hợp các trung điểm M của dây cung AB là một đường
tròn, tìm tâm và bán kính đường tròn này.
c) Gọi EF là vị trí giới hạn của dây cung AB lúc M tiến dần đến I. C/m:
i. EF  CD.
ii. EF là độ dài ngắn nhất của dây cung AB và CD là độ dài lớn nhất
của AB.
d) Chứng minh CEF đều, tính chu vi và diện tích tam giác này theo R.
2.146 Cho (O; R) và (O; R) tiếp xúc ngoài nhau tại E. Gọi AB là tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn (A  (O), B  (O)).
a) Tính diện tích tứ giác AOOB theo R và R.
b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. C/minh: B, E, D thẳng hàng.
c) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và đường tròn
đường kính OO.
2.147 Cho ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn tâm I đường kính BC cắt AB tại F,
cắt AC tại E, BE cắt CF tại H.
a) Trong ABC điểm H gọi là gì ?
b) Gọi K là điểm đối xứng của H qua I và M là điểm đối xứng của H qua
BC. Chứng minh 5 điểm A, B, K, M, C cùng thuộc một đường tròn.
Xác định tâm và bán kính của đường tròn này.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 102

Bài tập Toán 9

Học kì 1

 Dạng 5: Phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
 Tìm giá trị của ăn để biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối bằng 0. Các
giá trị này khi biểu diễn lên trục số sẽ chia trục số thành nhiều khoảng
giá trị của ẩn.
 Cho ẩn lấy giá trị trên từng khoảng, trên từng khoảng đó dấu của biểu
thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối sẽ âm hoặc dương. Dựa vào đó mà
bỏ dấu trị tuyệt đối.
 Giải phương trình, giá trị tìm được phải nằm trong khoảng đang xét
mới nhận làm nghiệm.
 Nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm vừa tìm được trên từng
khoảng.
O.2 Giải các phương trình sau:
1. a) x – 5 = 3
c) x + 6 = 1
e) x – 5 =  2

b) 2x – 5 = 4
d) 3 – 7x = 0
f) 8x – 5x = 2

2. a) x  7 = 2x + 3
c) x + 3 = 3x – 1
e) 3x – 1 = 3x + 2

b) x + 4 = 2x – 5
d) 9 + x = 2x
f) x + 6 = 2x + 9

3. a) 2x – 3 = 2x – 3
c) 2x + 3 = 2x + 2
e) x2 – 3x + 3 =  x2 + 3x – 1

b) 5x – 4 = 4 – 5x
d) 5x – 3 = 5x – 5
f) x2 – 9 = x2 – 9

4. a) 5x  3x – 2 = 0
e) 3 – x+ x2 – (4 + x)x = 0

b) x – 5x +  2x 3 = 0
f) (x – 1)2 + x + 21 x2 – 13 = 0

5. a) 2 – x=2x – 3
c) 2x – 1 = 2 – 3x
e) x(x + 1) = 3 – x

b) x + 3 = 5 – x
d) 2x = x(x – 2)
f) 3x – 12x + 3 = 0

6*. a) x – 1+2  x = 3
c) x  2x – 1 + 3x – 2 = 4

b) x + 3+x – 5 = 3x – 1
d) x – 1+x+2+x – 3 = 14

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 3

Bài tập Toán 9

Học kì 1

2.144 Cho 2 đường tròn ngoài nhau (O; R) và (O; r) với R > r, AB là tiếp tuyến
chung ngoài (A là là tiếp điểm trên (O), B là tiếp điểm trên (O)). Từ O
vẽ OC  OA.
a) Chứng tỏ ABOC là hình chữ nhật.
b) Chứng tỏ OC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R = R – r.
c) Suy ra cách dựng đường t/tuyến chung ngoài AB khi cho trước 2
đường tròn (O; R) và (O; r).
d) Tương tự, dựng tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn (O; R) và
(O; r).
e) Tính độ dài của tiếp tuyến chung ngoài và tiếp tuyến chung trong và
khoảng cách hai tâm d = OO theo hai bán kính.
2.145 Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định với OI = R/2. AB là dây cung
quay quanh I.
a) Tìm vị trí C, D của A (hay B) tương ứng lúc độ dài IA (hay IB) dài
nhất, ngắn nhất.
b) Chứng tỏ tập hợp các trung điểm M của dây cung AB là một đường
tròn, tìm tâm và bán kính đường tròn này.
c) Gọi EF là vị trí giới hạn của dây cung AB lúc M tiến dần đến I. C/m:
i. EF  CD.
ii. EF là độ dài ngắn nhất của dây cung AB và CD là độ dài lớn nhất
của AB.
d) Chứng minh CEF đều, tính chu vi và diện tích tam giác này theo R.
2.146 Cho (O; R) và (O; R) tiếp xúc ngoài nhau tại E. Gọi AB là tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn (A  (O), B  (O)).
a) Tính diện tích tứ giác AOOB theo R và R.
b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. C/minh: B, E, D thẳng hàng.
c) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và đường tròn
đường kính OO.
2.147 Cho ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn tâm I đường kính BC cắt AB tại F,
cắt AC tại E, BE cắt CF tại H.
a) Trong ABC điểm H gọi là gì ?
b) Gọi K là điểm đối xứng của H qua I và M là điểm đối xứng của H qua
BC. Chứng minh 5 điểm A, B, K, M, C cùng thuộc một đường tròn.
Xác định tâm và bán kính của đường tròn này.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 102

Bài tập Toán 9

Học kì 1

b) 2x – 5 = 4
d) 3 – 7x = 0
f) 8x – 5x = 2

2. a) x  7 = 2x + 3
c) x + 3 = 3x – 1
e) 3x – 1 = 3x + 2

b) x + 4 = 2x – 5
d) 9 + x = 2x
f) x + 6 = 2x + 9

3. a) 2x – 3 = 2x – 3
c) 2x + 3 = 2x + 2
e) x2 – 3x + 3 =  x2 + 3x – 1

b) 5x – 4 = 4 – 5x
d) 5x – 3 = 5x – 5
f) x2 – 9 = x2 – 9

4. a) 5x  3x – 2 = 0
e) 3 – x+ x2 – (4 + x)x = 0

b) x – 5x +  2x 3 = 0
f) (x – 1)2 + x + 21 x2 – 13 = 0

5. a) 2 – x=2x – 3
c) 2x – 1 = 2 – 3x
e) x(x + 1) = 3 – x

b) x + 3 = 5 – x
d) 2x = x(x – 2)
f) 3x – 12x + 3 = 0

6*. a) x – 1+2  x = 3
c) x  2x – 1 + 3x – 2 = 4

b) x + 3+x – 5 = 3x – 1
d) x – 1+x+2+x – 3 = 14

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 3

Bài tập Toán 9

Bất

Học kì 1

phương trình tích, thương. Bất phương trình bậc hai.
Bất

phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Bài tập Toán 9

Học kì 1

c) Đường tròn (K) cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ IE, IF là hai tiếp tuyến
của (O). Suy ra cách dựng tiếp tuyến vẽ từ I đến (O).
d) Chứng tỏ: AB > CD  OM < ON. Nói rõ vị trí tương đối của 2 cát tuyến IAB và ICD lúc AB = CD. e) Trường hợp dây cung AB = R 3 . Tính các góc và diện tích của AOB theo R. 1. Bất phương trình tích Dạng 1. Dạng 2. 2.141 Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. AC và BD là hai dây cung song song với nhau. a) Chứng minh: AC = BD, suy ra CD là đường kính của (O). b) Chứng tỏ ACBD là hình chữ nhật.  A( x )  0  A( x )  0 A( x ).B( x )  0   hoặc   B( x )  0  B( x )  0  A( x )  0 A( x ).B( x )  0   hoặc  B( x )  0  A( x )  0   B( x )  0  A( x )  0 A( x ).B( x )  0   hoặc  B( x )  0  A( x )  0 A( x ).B( x )  0   hoặc  B( x )  0  A( x )  0   B( x )  0 c) Chứng tỏ rằng nếu dây cung AC = R 2 thì ACBD là hình vuông và ngược lại.  = 300. d) Tính diện tích ACBD trong trường hợp BAC 2.142 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; R) có R = 8, R = 6 và OO = 10. a) Chứng tỏ (O; R) và (O; R) cắt nhau tại 2 điểm A và B và OOlà đường trung trực của AB. b) Chứng minh AO là tiếp tuyến của (O) và AO là tiếp tuyến của (O). c) Gọi I là giao điểm OO và AB. Tính độ dài của IA, IO. d) Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn qua 4 điểm A, O, B, O. e) Tìm điều kiện về bán kính của đường tròn (O) sao cho đường tròn này không có điểm chung nào với (O; R).  A( x )  0   B( x )  0 2. Bất phương trình thương Dạng 1. Dạng 2.  A( x )  0  A( x )  0 A( x ) 0  hoặc  B( x )  B( x )  0  B( x )  0  A( x )  0 A( x ) 0  hoặc B( x )  B( x )  0  A( x )  0   B( x )  0  A( x )  0 A( x ) 0  hoặc B( x )  B( x )  0  A( x )  0   B( x )  0  A( x )  0 A( x ) 0  hoặc B( x )  B( x )  0  A( x )  0   B( x )  0 2.143 Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, gọi (I) là đường tròn tâm I, đường kính OA. a) Chứng tỏ (O) và (I) tiếp xúc trong nhau. b) Cho C là điểm bất kì  (O) (C khác A, B), AC cắt (I) tại K. C/minh: i. ABC và AOK vuông. ii. K là trung điểm của AC và OK = BC/2 iii. IOK và OBC đồng dạng. c) Gọi EF là đường kính của (O) qua K, chứng tỏ B, C, E, F là 4 đỉnh của hình thang cân.  = 600. Tính các cạnh, diện tích của ABC và của hình d) Cho BOC 3. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối  x  a   a  x  a (với a ≥ 0)  x  a  x   a hoặc x  a (với a ≥ 0)  Một số bất phương trình đặc biệt:  |a| ≥ 0  a  R  |a| > 0  a ≠ 0
 |a| ≤ 0  a = 0
 |a| < 0  a   Gv: Trần Quốc Nghĩa thang cân BCEF. Trang 4 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 101 Bài tập Toán 9 Bất Học kì 1 phương trình tích, thương. Bất phương trình bậc hai. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bài tập Toán 9 Học kì 1 c) Đường tròn (K) cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ IE, IF là hai tiếp tuyến của (O). Suy ra cách dựng tiếp tuyến vẽ từ I đến (O). d) Chứng tỏ: AB > CD  OM < ON. Nói rõ vị trí tương đối của 2 cát tuyến IAB và ICD lúc AB = CD. e) Trường hợp dây cung AB = R 3 . Tính các góc và diện tích của AOB theo R. 1. Bất phương trình tích Dạng 1. Dạng 2. 2.141 Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. AC và BD là hai dây cung song song với nhau. a) Chứng minh: AC = BD, suy ra CD là đường kính của (O). b) Chứng tỏ ACBD là hình chữ nhật.  A( x )  0  A( x )  0 A( x ).B( x )  0   hoặc   B( x )  0  B( x )  0  A( x )  0 A( x ).B( x )  0   hoặc  B( x )  0  A( x )  0   B( x )  0  A( x )  0 A( x ).B( x )  0   hoặc  B( x )  0  A( x )  0 A( x ).B( x )  0   hoặc  B( x )  0  A( x )  0   B( x )  0 c) Chứng tỏ rằng nếu dây cung AC = R 2 thì ACBD là hình vuông và ngược lại.  = 300. d) Tính diện tích ACBD trong trường hợp BAC 2.142 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; R) có R = 8, R = 6 và OO = 10. a) Chứng tỏ (O; R) và (O; R) cắt nhau tại 2 điểm A và B và OOlà đường trung trực của AB. b) Chứng minh AO là tiếp tuyến của (O) và AO là tiếp tuyến của (O). c) Gọi I là giao điểm OO và AB. Tính độ dài của IA, IO. d) Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn qua 4 điểm A, O, B, O. e) Tìm điều kiện về bán kính của đường tròn (O) sao cho đường tròn này không có điểm chung nào với (O; R).  A( x )  0   B( x )  0 2. Bất phương trình thương Dạng 1. Dạng 2.  A( x )  0  A( x )  0 A( x ) 0  hoặc  B( x )  B( x )  0  B( x )  0  A( x )  0 A( x ) 0  hoặc B( x )  B( x )  0  A( x )  0   B( x )  0  A( x )  0 A( x ) 0  hoặc B( x )  B( x )  0  A( x )  0   B( x )  0  A( x )  0 A( x ) 0  hoặc B( x )  B( x )  0  A( x )  0   B( x )  0 2.143 Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, gọi (I) là đường tròn tâm I, đường kính OA. a) Chứng tỏ (O) và (I) tiếp xúc trong nhau. b) Cho C là điểm bất kì  (O) (C khác A, B), AC cắt (I) tại K. C/minh: i. ABC và AOK vuông. ii. K là trung điểm của AC và OK = BC/2 iii. IOK và OBC đồng dạng. c) Gọi EF là đường kính của (O) qua K, chứng tỏ B, C, E, F là 4 đỉnh của hình thang cân.  = 600. Tính các cạnh, diện tích của ABC và của hình d) Cho BOC 3. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối  x  a   a  x  a (với a ≥ 0)  x  a  x   a hoặc x  a (với a ≥ 0)  Một số bất phương trình đặc biệt:  |a| ≥ 0  a  R  |a| > 0  a ≠ 0
 |a| ≤ 0  a = 0
 |a| < 0  a   Gv: Trần Quốc Nghĩa thang cân BCEF. Trang 4 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 101 Bài tập Toán 9 Học kì 1 b) Gọi (I) là đường tròn tâm I có đường kính AB, đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại C và D, cắt đường tròn (I) tại E và F. Chứng tỏ C, D, E và F cách đều A và B. c) Chứng minh: AEBF là hình vuông. d) So sánh 2 tích IE . IF và IC . ID e) Biết OI = R/2, tính độ dài các cạnh và diện tích của ACD và hình vuông AEBF theo R. Bài tập Toán 9 4. Bất phương trình bậc hai a) Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có các dạng: (1): ax2 + bx + c > 0
(2): ax2 + bx + c ≥ 0
(3): ax2 + bx + c < 0 (4): ax2 + bx + c ≤ 0 (trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0)  Một số bất phương trình đặc biệt:  a2 ≥ 0  a  R  a2 > 0  a ≠ 0
 a2 ≤ 0  a = 0
 a2 < 0  a   2.138 Cho đường tròn (O; R), H là điểm bên trong (O) (H khác O), CD là đường kính qua H (HC > HD), AB là dây cung vuông góc với CD tại H.
a) Chứng tỏ CD là đường trung trực của AB.
 = CBD
 = 900.
b) Chứng minh: CAD

b) Cách giải:
 Cách 1: Đưa về bất phương trình tích bằng cách phân tích vế trái
thành nhân tử.

c) Chứng minh: HA . HB = HC . HD theo 2 cách:
i. Dùng 2 tam giác đồng dạng.
ii. Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
d) Trường hợp OH = R/2, chứng minh ABC đều và cạnh có độ dài là

 Cách 2: Đưa về bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

R 3 . Suy ra cách vẽ tam giác đều có 3 đỉnh nằm trên đường tròn
(O; R) cho trước.
2.139 Cho ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi I và K lần lượt là tâm của
2 đường tròn có đường kính HB và HC.
a) Chứng tỏ 2 đường tròn (I) và (K) tiếp xúc ngoài nhau và tiếp xúc trong
với đường tròn qua 3 điểm A, B, C.
b) Đường tròn (I) cắt AB tại D, đường tròn (K) cắt AC tại E. Chứng minh
ADHE là hình chữ nhật và AD . AB = AE . AC. Suy ra ABC đồng
dạng với AED.
c) Chứng tỏ tứ giác BDEC có các góc đối bù nhau.
d) Cho AH = 4 và HB = 3. Tính diện tích của tứ giác BDEC bằng 2 cách:
i. Diện tích của nhiều tam giác.
ii. Diện tích của 2 tam giác.
2.140 Từ điểm I ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD (không
qua O). Gọi M, N lần lượt là 2 trung điểm của 2 dây cung AB, CD.
a) Chứng minh: OMAB, ONCD, OM + ON  2R, CD<2R, AB < 2R. b) Chứng tỏ có 1 đường tròn qua 4 điểm O, I, M, N. Xác định tâm K của đường tròn này. Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 100 Học kì 1  X 2  A2  X  A   A  X  A  X 2  A2  X  A  X   A hoặc X  A  Cách 3: Xét dấu (Học ở lớp 10) O.3 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số: a) x(x – 1) < 0 b) (x – 2)(x – 5) > 0 c) (x + 5)(7 – 2x) > 0
d) (2x + 1)(x – 3) < 0 e) x2 – 6x < 0 f) (2 – x)(x + 3) > 0
x2
x2
x 1
g)
0
h)
0
i)
1
x 3
x 5
x3
2x
x 1
x2  1
j)
 1
k)
0
l)
0
3x  1
x2
x3

O.4

Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:
a) x2 – 4 < 0 b) x2 + x – 6  0 c) x2 – x – 6 > 0
d) x2 – 3x – 10 ≥ 0
e) x2 – 6x < 0 f) –x2 + 4x – 3  0 2 2 g) x – 10x + 16 ≥ 0 h) – x + 7x – 10 < 0 i) x2 – 15x + 50 > 0
j) – x2 + 3x + 4 > 0
k) x2 – 6x + 5 ≥ 0
l) x2 – x – 20  0
m) x2 – 6x + 8 < 0 n) – x2 + 12x – 32 > 0 o) x2 + 6x + 8  0

O.5

Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:
a) x  4

b) x  7

c) 2x  1  3

d) x  1  2

e) 2 x  3  x  6

f) 1  2x  x  1

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 5

Bài tập Toán 9

Học kì 1

b) Gọi (I) là đường tròn tâm I có đường kính AB, đường thẳng OI cắt
đường tròn (O) tại C và D, cắt đường tròn (I) tại E và F. Chứng tỏ C,
D, E và F cách đều A và B.
c) Chứng minh: AEBF là hình vuông.
d) So sánh 2 tích IE . IF và IC . ID
e) Biết OI = R/2, tính độ dài các cạnh và diện tích của ACD và hình
vuông AEBF theo R.

Bài tập Toán 9

4. Bất phương trình bậc hai
a) Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có các dạng:
(1): ax2 + bx + c > 0
(2): ax2 + bx + c ≥ 0
(3): ax2 + bx + c < 0 (4): ax2 + bx + c ≤ 0 (trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0)  Một số bất phương trình đặc biệt:  a2 ≥ 0  a  R  a2 > 0  a ≠ 0
 a2 ≤ 0  a = 0
 a2 < 0  a   2.138 Cho đường tròn (O; R), H là điểm bên trong (O) (H khác O), CD là đường kính qua H (HC > HD), AB là dây cung vuông góc với CD tại H.
a) Chứng tỏ CD là đường trung trực của AB.
 = CBD
 = 900.
b) Chứng minh: CAD

b) Cách giải:
 Cách 1: Đưa về bất phương trình tích bằng cách phân tích vế trái
thành nhân tử.

 Cách 2: Đưa về bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

O.4

O.5

Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:
a) x  4

b) x  7

c) 2x  1  3

d) x  1  2

e) 2 x  3  x  6

f) 1  2x  x  1

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 5

Bài tập Toán 9

Học kì 1

O.6

CMR: các bất phương trình sau đây vô nghiệm:
a) x2 + 1 < 1 b) x2 + 2x < 2x c) x2 – 2x + 3 <  2x + 3 2 2 d) x + 2x + 2  0 e) 4x  4x + 5  0 f) x2 + x + 1  0 O.7 CMR: mọi số thực x đều là nghiệm của các bất phương trình sau: a) 2×2  4x + 5 > 0
b) 3×2 + 2x + 1  0
c)  x2 + 6x  10 < 0 2 x  4x  5 6  2x  x 2 d)  x2 + 3x  3 < 0 e) 0 f) 0 2 x2 1 O.8 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = 2×2 + 20x – 43 b) B = x2 + 2x + 2 2 c) C = x – x +1 d) D = 4×2 + 4x + 3 e) E = x2 – 20x + 101 f) F = x2 + xy + y2 + 1 g) G = (x – 3)(x + 5) + 40 h) H = (x – 2)(x + 4) – 10 O.9 d) Chứng minh: BC = 2 RR ‘ . 2.135 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau ở A và B. Gọi C và lần lượt là điểm đối xứng của A qua O và O. Một đường thẳng (d) bất kì qua A cắt (O) và (O) tại M và N. a) Chứng minh: C, B, D thẳng hàng. b) AC cắt (O) tại E, AD cắt (O) tại F. Chứng minh: C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. c) Chứng minh: trung trực của MN luôn đi qua trung điểm của CD khi (d) thay đổi. Suy ra trung điểm của MN luôn di động trên một đường tròn cố định. d) Định vị trí của đường thẳng (d) để MN có độ dài lớn nhất. O.11 Tìm giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên: b) 3 x2 c) 3x 3  4x 2  x  1 x4 d) 3x 2  x  1 3x  2 O.12 Chứng minh rằng: a)  8x  7 x  2  x3   1  2  0 (x  1, x  – 1) x  1  2x  2  2x  2 b)  3x 2  14x  3 1  x2  x2   1   0 (x  0, x  – 3) x  x3  x 2  3x Gv: Trần Quốc Nghĩa 2.133 Cho đoạn thẳng AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia bất kì Ax và By song song với nhau. Một đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại C, với Ax tại D, với By tại E. a) Nêu cách dựng đường tròn tâm M. b) Chứng minh: AD + BE không phụ thuộc vào vị trí của Ax và By. c) Chứng minh: E, M, D thẳng hàng. d) Chứng minh: M thuộc một đường tròn cố định khi Ax và By thay đổi. b) Gọi D là điểm đối xứng của C qua O. C/minh: B, A, D thẳng hàng. c) Chứng minh: BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO. O.10 Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 6 1 a) A = b) B = 2x 2  3  x 2  2x  6 7 24 c) C = d) D = 2 2 10x  x  3 x  2x  3 21 2013 e) E = f) F = 2 2  x  4x  5 x  6x  11 2 x3 Học kì 1 2.134 Cho hai đường tròn (O ; R) và (O; R) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (B  (O)).  = 900. a) Chứng minh: BAC Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = – 2×2 + 5x – 17 b) B = – x2 + 4x – 5 c) C = – 4×2 – 4x – 2 d) D = – 6 – 8x – 16×2 2 e) E = – 3x + 12x – 11 f) F = – 2×2 + 5x – 17 a) Bài tập Toán 9 2.136 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C, D là các tiếp điểm khác H). a) Chứng minh: C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của (O). b) Chứng minh: Khi M di chuyển trên AB thì tổng AC + BD không đổi. c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh: OH . OI không đổi. 2.137 Cho đường tròn (O; R) và điểm I trong (O) (I khác O). a) Hãy vẽ dây cung AB qua I và nhận I làm trung điểm. Trang 6 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 99 Bài tập Toán 9 Học kì 1 O.6 CMR: các bất phương trình sau đây vô nghiệm: a) x2 + 1 < 1 b) x2 + 2x < 2x c) x2 – 2x + 3 <  2x + 3 2 2 d) x + 2x + 2  0 e) 4x  4x + 5  0 f) x2 + x + 1  0 O.7 CMR: mọi số thực x đều là nghiệm của các bất phương trình sau: a) 2×2  4x + 5 > 0
b) 3×2 + 2x + 1  0
c)  x2 + 6x  10 < 0 2 x  4x  5 6  2x  x 2 d)  x2 + 3x  3 < 0 e) 0 f) 0 2 x2 1 O.8 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = 2×2 + 20x – 43 b) B = x2 + 2x + 2 2 c) C = x – x +1 d) D = 4×2 + 4x + 3 e) E = x2 – 20x + 101 f) F = x2 + xy + y2 + 1 g) G = (x – 3)(x + 5) + 40 h) H = (x – 2)(x + 4) – 10 O.9 d) Chứng minh: BC = 2 RR ‘ . 2.135 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau ở A và B. Gọi C và lần lượt là điểm đối xứng của A qua O và O. Một đường thẳng (d) bất kì qua A cắt (O) và (O) tại M và N. a) Chứng minh: C, B, D thẳng hàng. b) AC cắt (O) tại E, AD cắt (O) tại F. Chứng minh: C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. c) Chứng minh: trung trực của MN luôn đi qua trung điểm của CD khi (d) thay đổi. Suy ra trung điểm của MN luôn di động trên một đường tròn cố định. d) Định vị trí của đường thẳng (d) để MN có độ dài lớn nhất. O.11 Tìm giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên: b) 3 x2 c) 3x 3  4x 2  x  1 x4 d) 3x 2  x  1 3x  2 O.12 Chứng minh rằng: a)  8x  7 x  2  x3   1  2  0 (x  1, x  – 1) x  1  2x  2  2x  2 b)  3x 2  14x  3 1  x2  x2   1   0 (x  0, x  – 3) x  x3  x 2  3x Gv: Trần Quốc Nghĩa 2.133 Cho đoạn thẳng AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia bất kì Ax và By song song với nhau. Một đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại C, với Ax tại D, với By tại E. a) Nêu cách dựng đường tròn tâm M. b) Chứng minh: AD + BE không phụ thuộc vào vị trí của Ax và By. c) Chứng minh: E, M, D thẳng hàng. d) Chứng minh: M thuộc một đường tròn cố định khi Ax và By thay đổi. b) Gọi D là điểm đối xứng của C qua O. C/minh: B, A, D thẳng hàng. c) Chứng minh: BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO. O.10 Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 6 1 a) A = b) B = 2x 2  3  x 2  2x  6 7 24 c) C = d) D = 2 2 10x  x  3 x  2x  3 21 2013 e) E = f) F = 2 2  x  4x  5 x  6x  11 2 x3 Học kì 1 2.134 Cho hai đường tròn (O ; R) và (O; R) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (B  (O)).  = 900. a) Chứng minh: BAC Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = – 2×2 + 5x – 17 b) B = – x2 + 4x – 5 c) C = – 4×2 – 4x – 2 d) D = – 6 – 8x – 16×2 2 e) E = – 3x + 12x – 11 f) F = – 2×2 + 5x – 17 a) Bài tập Toán 9 2.136 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C, D là các tiếp điểm khác H). a) Chứng minh: C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của (O). b) Chứng minh: Khi M di chuyển trên AB thì tổng AC + BD không đổi. c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh: OH . OI không đổi. 2.137 Cho đường tròn (O; R) và điểm I trong (O) (I khác O). a) Hãy vẽ dây cung AB qua I và nhận I làm trung điểm. Trang 6 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 99 Bài tập Toán 9 Học kì 1 2.129 Cho đường tròn (O ; R) và đường thẳng xy cố định ở ngoài (O). Từ điểm M bất kì trên xy kẻ hai tiếp tuyến MB, MC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). a) Xác định tâm O của đường tròn đi qua M, B, O, C. b) Chứng minh: (O) luôn đi qua một điểm cố định H khác O. c) Dây cung BC cắt OH tại I vad cắt OM tại K. Chứng minh: OI.OH = OK.OM = R2. Suy ra khi M thay đổi trên xy thì BC luôn đi qua một điểm cố định. 2.130 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A, B). Đường thẳng (d) tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt trung trực của đoạn AB tại I. Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng (d) tại C và D (D nằm trong góc BÔM). a) Chứng minh: OC, OD là các tia phân giác của các góc AÔM và BÔM. b) Chứng minh: CA và DB vuông góc với AB. c) Chứng minh: AC . BD = R2. d) AM cắt BD tại F, BM cắt AC tại E. Chứng minh: SABM = SEFM. e) Xác định vị trí của M sao cho diện tích hình thang ABCD nhỏ nhất. 2.131 Cho đường tròn (O) và dây BC cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC. Gọi M là trung điểm của dây AC. Vẽ đường kính BD của (O). a) Chứng minh: M thuộc một đường tròn cố định. Xác định tâm I của đường tròn này. b) Gọi K là trung điểm của BC, đường tròn (I) cắt CD tại J. Chứng minh: K, I, J thẳng hàng. c) Gọi H là hình chiếu của M trên AB, chứng tỏ đường thẳng HM luôn đi qua trung điểm của dây CD khi A thay đổi. d) C/minh: khi A di động thì H luôn di động trên một đường tròn cố định. 2.132 Cho đường tròn (O ; R) và đường thẳng (d) cắt đường tròn tại E, F. Từ điểm A bất kì trên (d) và ở ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của EF và BC cắt OA, OH lần lượt tại I, K. Chứng minh: a) 5 điểm A, B, C, O, H thuộc một đường tròn. b) OI . OA = OH . OK = R2. c) Khi A thay đổi, đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. d) I luôn thuộc một đường tròn cố định khi A thay đổi. e) KE, KF là các tiếp tuyến của (O; R). Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 98 Bài tập Toán 9 Học kì 1 O.13 Chứng minh rằng: 2 2 2  1   x 1   x 1 a)  :   2    1   1 (x  0, x  – 1) x  1  x   x   x b) x x 2  3x  x  3 x    2  2   1 (x  0, x  3, x  –3/2) x  3 2x  3  x  3x x  9  c) 1 x2  x  x 1   2  2  2   1 (x   1) x  1 x  1  x  2x  1 x  1  x  6  2x  6 x  x d)  2  2   1 (x  0 và x   6) : 2  x  36 x  6x  x  6x 6  x O.14 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) a) x 2  4x  12 d) 2x 2  10x  8 2. a) 2x 4  x 2  6 d) 4x 4  7x 2  3 3. a) x  5 x  6 d) 2x  3 x  5 b) 6x 2  7x  1 c) 2x 2  4x  6 e) 10x 2  4x  6 f) x 2  2x  15 b) x 4  6x 2  8 c) x 4  5x 2  14 e) 6x 4  7x 2  2 f) x 4  8x 2  15 b) x  9 x  18 c) 3x  5 x  8 e) 4x  x  3 f) x  2 x  3  x2 6 1   10  x 2  O.15 Cho biểu thức:  3   : x  2     x2   x  4x 6  3x x  2   a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị dương. 2 2 x2  2  4x x  3x  1 O.16 Cho biểu thức:    3 :  x 1  x 1 3x  3x a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị âm.   x   x 2 1 2x  1 O.17 Cho biểu thức:  x 2 1  2  x x  x  x 1   2   x  x 1  a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị dương. Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 7 Bài tập Toán 9 Học kì 1 2.129 Cho đường tròn (O ; R) và đường thẳng xy cố định ở ngoài (O). Từ điểm M bất kì trên xy kẻ hai tiếp tuyến MB, MC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). a) Xác định tâm O của đường tròn đi qua M, B, O, C. b) Chứng minh: (O) luôn đi qua một điểm cố định H khác O. c) Dây cung BC cắt OH tại I vad cắt OM tại K. Chứng minh: OI.OH = OK.OM = R2. Suy ra khi M thay đổi trên xy thì BC luôn đi qua một điểm cố định. 2.130 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A, B). Đường thẳng (d) tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt trung trực của đoạn AB tại I. Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng (d) tại C và D (D nằm trong góc BÔM). a) Chứng minh: OC, OD là các tia phân giác của các góc AÔM và BÔM. b) Chứng minh: CA và DB vuông góc với AB. c) Chứng minh: AC . BD = R2. d) AM cắt BD tại F, BM cắt AC tại E. Chứng minh: SABM = SEFM. e) Xác định vị trí của M sao cho diện tích hình thang ABCD nhỏ nhất. 2.131 Cho đường tròn (O) và dây BC cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC. Gọi M là trung điểm của dây AC. Vẽ đường kính BD của (O). a) Chứng minh: M thuộc một đường tròn cố định. Xác định tâm I của đường tròn này. b) Gọi K là trung điểm của BC, đường tròn (I) cắt CD tại J. Chứng minh: K, I, J thẳng hàng. c) Gọi H là hình chiếu của M trên AB, chứng tỏ đường thẳng HM luôn đi qua trung điểm của dây CD khi A thay đổi. d) C/minh: khi A di động thì H luôn di động trên một đường tròn cố định. 2.132 Cho đường tròn (O ; R) và đường thẳng (d) cắt đường tròn tại E, F. Từ điểm A bất kì trên (d) và ở ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của EF và BC cắt OA, OH lần lượt tại I, K. Chứng minh: a) 5 điểm A, B, C, O, H thuộc một đường tròn. b) OI . OA = OH . OK = R2. c) Khi A thay đổi, đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. d) I luôn thuộc một đường tròn cố định khi A thay đổi. e) KE, KF là các tiếp tuyến của (O; R). Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 98 Bài tập Toán 9 Học kì 1 O.13 Chứng minh rằng: 2 2 2  1   x 1   x 1 a)  :   2    1   1 (x  0, x  – 1) x  1  x   x   x b) x x 2  3x  x  3 x    2  2   1 (x  0, x  3, x  –3/2) x  3 2x  3  x  3x x  9  c) 1 x2  x  x 1   2  2  2   1 (x   1) x  1 x  1  x  2x  1 x  1  x  6  2x  6 x  x d)  2  2   1 (x  0 và x   6) : 2  x  36 x  6x  x  6x 6  x O.14 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) a) x 2  4x  12 d) 2x 2  10x  8 2. a) 2x 4  x 2  6 d) 4x 4  7x 2  3 3. a) x  5 x  6 d) 2x  3 x  5 b) 6x 2  7x  1 c) 2x 2  4x  6 e) 10x 2  4x  6 f) x 2  2x  15 b) x 4  6x 2  8 c) x 4  5x 2  14 e) 6x 4  7x 2  2 f) x 4  8x 2  15 b) x  9 x  18 c) 3x  5 x  8 e) 4x  x  3 f) x  2 x  3  x2 6 1   10  x 2  O.15 Cho biểu thức:  3   : x  2     x2   x  4x 6  3x x  2   a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị dương. 2 2 x2  2  4x x  3x  1 O.16 Cho biểu thức:    3 :  x 1  x 1 3x  3x a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị âm.   x   x 2 1 2x  1 O.17 Cho biểu thức:  x 2 1  2  x x  x  x 1   2   x  x 1  a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị dương. Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 7 Bài tập Toán 9 Học kì 1 2.125 Cho đường tròn (O ; R) AB. Vẽ dây CD của (O) vuông góc với OA tại trung điểm của M của OA. Gọi E là trung điểm của BC. d) Chứng minh: O, M, C, E cùng thuộc một đường tròn. a) Tính BC theo R. b) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt OE tại N. C/m: NC là tiếp tuyến của (O). c) Chứng minh: NA chia MC hai phần bằng nhau. d) Chứng minh: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4R2. 2 2 x2  2  4x x  3x  1 O.19 Cho biểu thức:    3 :  x 1  x 1 3x  3x a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị âm.  = 900, (AB < AC) nội tiếp (O ; R), có đường cao AH. 2.126 Cho ABC có A Gọi M là trung điểm AC. a) Chứng minh: A, M, O, H cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này. b) Chứng minh: (O) và (I) tiếp xúc nhau. c) Đường tròn (I) cắt AB tại N. Chứng minh: I, M, N thẳng hàng. 4x 3  6x 2  8x O.20 Cho biểu thức: 2x  1 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị không âm. 8  2x x  x  20 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị âm. 2 O.22 Cho biểu thức: M   x2  x2  4   4  3 x2  x  a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức M. Rút gọn M. b) Tìm x để biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.  x 2  x 2  6x  4  1   x  x2 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức N. Rút gọn N. b) Tìm x để biểu thức N đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. O.23 Cho biểu thức: N  (x  2) 2 x  ( A  B )2  A2  2 AB  B 2  ( A  B )2  A2  2 AB  B 2  A2  B 2  ( A  B )( A  B )  ( A  B )3  A3  3A2 B  3AB 2  B 3  ( A  B )3  A3  3A2 B  3AB 2  B 3 Gv: Trần Quốc Nghĩa  A3  B 3  ( A  B )( A2  AB  B 2 )  A3  B 3  ( A  B )( A2  AB  B 2 ) Học kì 1 c) C luôn luôn thuộc một đường tròn cố định khi B thay đổi.  1  2x x 2x 2  24  12x O.18 Cho biểu thức:     2   4  2x 3x  6 12  3x  6  13x a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị dương. O.21 Cho biểu thức: Bài tập Toán 9 Trang 8 2.127 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Lấy điểm M  (O). Gọi P, Q theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và tiếp tuyến Ax của (O). gọi I là trung điểm của của PQ. a) Chứng minh: A, I, M thẳng hàng. Suy ra I thuộc một đường tròn cố định và tính theo R bán kính của đường tròn này. b) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt tiếp tuyến Ax ở N. Chứng minh: O, I, N thẳng hàng và MA là phân giác các góc OMQ, NMP. c) Đường trung trực của đường kính AB cắt MB tại K. Chứng minh: NK = R. d) Xác định vị trí của M để AMN đều. 2.128 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Lấy điểm C ngoài đường tròn sao cho B là trung điểm của OC. Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM và CN đến đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). a) Chứng minh: AMN là tam giác cân. Tính CM và AM theo R. b) Chứng minh: tứ giác AMCN là hình thoi. Tính SAMCN theo R. c) Gọi I là trung điểm của CM, AI cắt OM tại K. Chứng minh: K là trung điểm của AI. d) Tính diện tích AKB theo R. Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 97 Bài tập Toán 9 Học kì 1 2.125 Cho đường tròn (O ; R) AB. Vẽ dây CD của (O) vuông góc với OA tại trung điểm của M của OA. Gọi E là trung điểm của BC. d) Chứng minh: O, M, C, E cùng thuộc một đường tròn. a) Tính BC theo R. b) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt OE tại N. C/m: NC là tiếp tuyến của (O). c) Chứng minh: NA chia MC hai phần bằng nhau. d) Chứng minh: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4R2. 2 2 x2  2  4x x  3x  1 O.19 Cho biểu thức:    3 :  x 1  x 1 3x  3x a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị âm.  = 900, (AB < AC) nội tiếp (O ; R), có đường cao AH. 2.126 Cho ABC có A Gọi M là trung điểm AC. a) Chứng minh: A, M, O, H cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này. b) Chứng minh: (O) và (I) tiếp xúc nhau. c) Đường tròn (I) cắt AB tại N. Chứng minh: I, M, N thẳng hàng. 4x 3  6x 2  8x O.20 Cho biểu thức: 2x  1 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị không âm. 8  2x x  x  20 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị âm. 2 O.22 Cho biểu thức: M   x2  x2  4   4  3 x2  x  a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức M. Rút gọn M. b) Tìm x để biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.  x 2  x 2  6x  4  1   x  x2 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức N. Rút gọn N. b) Tìm x để biểu thức N đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. O.23 Cho biểu thức: N  (x  2) 2 x  ( A  B )2  A2  2 AB  B 2  ( A  B )2  A2  2 AB  B 2  A2  B 2  ( A  B )( A  B )  ( A  B )3  A3  3A2 B  3AB 2  B 3  ( A  B )3  A3  3A2 B  3AB 2  B 3 Gv: Trần Quốc Nghĩa  A3  B 3  ( A  B )( A2  AB  B 2 )  A3  B 3  ( A  B )( A2  AB  B 2 ) Học kì 1 c) C luôn luôn thuộc một đường tròn cố định khi B thay đổi.  1  2x x 2x 2  24  12x O.18 Cho biểu thức:     2   4  2x 3x  6 12  3x  6  13x a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị dương. O.21 Cho biểu thức: Bài tập Toán 9 Trang 8 2.127 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Lấy điểm M  (O). Gọi P, Q theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và tiếp tuyến Ax của (O). gọi I là trung điểm của của PQ. a) Chứng minh: A, I, M thẳng hàng. Suy ra I thuộc một đường tròn cố định và tính theo R bán kính của đường tròn này. b) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt tiếp tuyến Ax ở N. Chứng minh: O, I, N thẳng hàng và MA là phân giác các góc OMQ, NMP. c) Đường trung trực của đường kính AB cắt MB tại K. Chứng minh: NK = R. d) Xác định vị trí của M để AMN đều. 2.128 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Lấy điểm C ngoài đường tròn sao cho B là trung điểm của OC. Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM và CN đến đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). a) Chứng minh: AMN là tam giác cân. Tính CM và AM theo R. b) Chứng minh: tứ giác AMCN là hình thoi. Tính SAMCN theo R. c) Gọi I là trung điểm của CM, AI cắt OM tại K. Chứng minh: K là trung điểm của AI. d) Tính diện tích AKB theo R. Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 97 Bài tập Toán 9 Học kì 1 Bài tập Toán 9 Học kì 1 c) Chứng minh: 4 điểm I, O, M, B cùng thuộc một đường tròn. Phần 1. Đại số 2.120 Cho hai đường tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D  (O), E  (O). Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của OI và AE. a) Tứ giác AMIN là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh: IM . IO = IN . IO c) Chứng minh: OO là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE. d) Biết OA = 5cm, OA = 3,2cm. Tính DE. 2.121 Cho ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh: a) EBF cân. b) HAF cân. c) HA là tiếp tuyến của (O). 2.122 Cho (O) đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O) có đường kính CB. a) Hai đường tròn (O) và (O) có vị trí tương đối như thế nào với nhau ? b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì ? Vì sao ? c) Gọi K là giao điểm của DB và (O). Chứng minh: ba điểm E, C, K thẳng hàng. d) Chứng minh: KH là tiếp tuyến của (O). Chương 1 CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA  A – Căn bậc hai 1. Định nghĩa: Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x2 = a. 2. Ký hiệu:  a > 0: 

a : Căn bậc hai của số a

  a : Căn bậc hai âm của số a
 a = 0: 0  0
3. Chú ý: Với a  0: ( a )2  (  a )2  a
4. Căn bậc hai số học:

 Với a  0: số a được gọi là CBHSH của a
 Phép khi phương là phép toán tìm CBHSH của số a không âm.
5. So sánh các CBHSH: Với a  0, b  0: a  b  a  b

2.123 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; R) tiếp xúc ngoài tại A (R > R). Vẽ
các đường kính AOB, AOC. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với
BC tại trung điểm K của BC.
a) Chứng minh: tứ giác BDCE là hình thoi.
b) Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O). Chứng minh: ba điểm D,
A, I thẳng hàng.
c) Chứng minh: KI là tiếp tuyến của (O).

1.1

Điền vào ô trống trong bảng sau:
x
11
12
13
14
2
x

1.2

2.124 Cho đường tròn (O; R) và tiếp tuyến xy tại điểm A cố định trên đường
tròn. Từ điểm B tùy ý trên (O) (khác A), kẻ BH  xy. Đường phân giác
trong của góc AÔB cắt BH tại C và cắt xy tại M. Chứng minh:
a) BA là tia phân giác của OBH.
b) MB là tiếp tuyến của (O; R).

Tìm căn bậc hai số học rồi suy ra căn bậc hai của các số sau:
a) 121
b) 144
c) 169
d) 225
e) 256
f) 324
g) 361
h) 400
i) 0,01
j) 0,04
k) 0,49
l) 0,64
m) 0,25
n) 0,81
o) 0,09
p) 0,16

1.3

Tính:
a) 0,09

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 96

16

0, 25. 0,16

( 4).( 25)

Trang 9

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Bài tập Toán 9

Học kì 1

c) Chứng minh: 4 điểm I, O, M, B cùng thuộc một đường tròn.

Phần 1. Đại số

2.120 Cho hai đường tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài A. Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài DE, D  (O), E  (O). Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE ở I.
Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của OI và AE.
a) Tứ giác AMIN là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh: IM . IO = IN . IO
c) Chứng minh: OO là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE.
d) Biết OA = 5cm, OA = 3,2cm. Tính DE.
2.121 Cho ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh: a) EBF cân. b) HAF cân. c) HA là tiếp tuyến của (O). 2.122 Cho (O) đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O) có đường kính CB. a) Hai đường tròn (O) và (O) có vị trí tương đối như thế nào với nhau ? b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì ? Vì sao ? c) Gọi K là giao điểm của DB và (O). Chứng minh: ba điểm E, C, K thẳng hàng. d) Chứng minh: KH là tiếp tuyến của (O). Chương 1 CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA  A – Căn bậc hai 1. Định nghĩa: Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x2 = a. 2. Ký hiệu:  a > 0: 

a : Căn bậc hai của số a

  a : Căn bậc hai âm của số a
 a = 0: 0  0
3. Chú ý: Với a  0: ( a )2  (  a )2  a
4. Căn bậc hai số học:

1.1

Điền vào ô trống trong bảng sau:
x
11
12
13
14
2
x

1.2

Tìm căn bậc hai số học rồi suy ra căn bậc hai của các số sau:
a) 121
b) 144
c) 169
d) 225
e) 256
f) 324
g) 361
h) 400
i) 0,01
j) 0,04
k) 0,49
l) 0,64
m) 0,25
n) 0,81
o) 0,09
p) 0,16

1.3

Tính:
a) 0,09

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 96

16

0, 25. 0,16

( 4).( 25)

Trang 9

Bài tập Toán 9

e)
1.4
1.5

1.6

Học kì 1

4
25

6 16
5 0, 04

Trong các số sau, số nào có căn bậc hai:
a) 5
b) 1,5
c)  0,1

d)  9

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có căn bậc hai:
a) (x – 4)(x – 6) + 1
b) (3 – x)(x – 5) – 4
2
c)  x + 6x – 9
d)  5×2 + 8x – 4
e) x(x – 1)(x + 1)(x + 2) + 1
f) x2 + 20x + 101
So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a) 1 và 2
b) 2 và 3
d) 7 và

2 1

e) 2 và

g) 2 31 và 10

3 và 12

j) 2 5 và

3 và

m) 2 +
p)

37  14 và 6– 15

f) 1 và

3 1

i) 5 và  29

n) 7 – 2 2 và 4

6 và 5

c) 6 và

2 3 và 3 2

15 + 8 và 7

17  26  1 và

1.7

Dùng kí hiệu
viết nghiệm của các phương trình đưới đây, sau đó dùng
máy tính để tính chính xác nghiệm với 3 chữ số thập phân.
a) x2 = 2
b) x2 = 3
c) x2 = 3,5
d) x2 = 4,12
e) x2 = 5
f) x2 = 6
g) x2 = 2,5
h) x2 = 5

1.8

Giải các phương trình sau:
a) x2 = 25
b) x2 = 30,25
d) x2 – 3 = 2
e) x2  5 = 0
g) x2 =

j) x2 = (1 –
1.9

c) x2 = 5
f) x2 + 5 = 2

h) 2×2+3 2 =2 3

3
3 )2

k) x2 = 27 – 10 2

9
16
2
l) x + 2x =3 –2 3

i) (x – 1)2 = 1

Giải phương trình:
a)

x = 3

x =

b)
2

1.10 Trong các số: (7) ,
hai số học của 49 ?

5
2

x = 0

c)
2

(7) ,  7 ,  (7)

d)
2

x = 2

thì số nào là căn bậc

1.11 Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng:
a) Nếu a > b thì a  b
b) Nếu a  b thì a > b
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Học kì 1

2.116 Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Gọi N
là điểm đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao
điểm của AC và BM.
a) Chứng minh: NE  AB.
b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh: FA là tiếp tuyến
của (O).
c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

0,36  0,49

Bài tập Toán 9

Trang 10

2.117 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và (d) la tiếp tuyến của (O) tại A.
M là điểm di động trên (d). Kẻ tiếp tuyến MC đến (O) (C là tiếp điểm
khác A). Tia BC cắt (d) tại K và kẻ CH vuông góac với AB tại H.
a) Chứng minh: OM // BK.
b) BM cắt CH tại I. Chứng minh: I là trung điểm của CH.
c) Gọi N là trực tâm của AMC. Chứng minh: tứ giác AOCN là hình
bình hành. Từ đó suy ra N di động trên đường cố định, chỉ rõ đường cố
định đó ?
d) Cho OM = 2R. Chứng minh: AMC đều và tính AM, SAMC theo R.
2.118 Cho đường tròn (O ; R) và hai điểm A, B thuộc đường tròn. Tiếp tuyến tại
A và B của (O) cắt nhau tại C. Tia CO cắt (O) tại E và F (E  OC). Gọi I
là trung điểm của AB.
 = 1200.
a) Cho biết AOB
i. Tính OI theo R và chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định
 luôn có số đo bằng 1200.
khi A, B di động trên (O) sao cho AOB
ii. Lấy K  AC (AK < AC). Vẽ đường tròn đường kính OK cắt cung AB của (O) tại M (M khác A). Tia KM cắt BC tại H. Chứng minh: KH là tiếp tuyến của (O).  = 600 (A, T nằm khác phía đối với OK). iii. Lấy T  AB sao cho KOT Chứng minh: O, T, H thẳng hàng. b) Chứng minh: EI . FC = FI . EC. 2.119 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và dây AC = R. Vẽ đường kính CD của (O). a) Tính theo R độ dài đoạn AD và SACD . b) Gọi xy là tiếp tuyến tại B của (O). Tia AC và AD cắt xy tại E và F. Gọi M là trung điểm của EF, đường thẳng (d) qua C và song song với AM. Đoạn thẳng AM cắt CD tại I. Chứng minh: (d) tiếp xúc (O). Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 95 Bài tập Toán 9 e) 1.4 1.5 1.6 Học kì 1 4 25 f) 6 16 5 0, 04 Trong các số sau, số nào có căn bậc hai: a) 5 b) 1,5 c)  0,1 d)  9 Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có căn bậc hai: a) (x – 4)(x – 6) + 1 b) (3 – x)(x – 5) – 4 2 c)  x + 6x – 9 d)  5×2 + 8x – 4 e) x(x – 1)(x + 1)(x + 2) + 1 f) x2 + 20x + 101 So sánh hai số sau (không dùng máy tính): a) 1 và 2 b) 2 và 3 d) 7 và 47 2 1 e) 2 và g) 2 31 và 10 h) 3 và 12 j) 2 5 và k) 3 và m) 2 + p) 19 37  14 và 6– 15 q) 41 f) 1 và 3 1 i) 5 và  29 2 n) 7 – 2 2 và 4 6 và 5 c) 6 và l) 2 3 và 3 2 o) 15 + 8 và 7 17  26  1 và 99 1.7 Dùng kí hiệu viết nghiệm của các phương trình đưới đây, sau đó dùng máy tính để tính chính xác nghiệm với 3 chữ số thập phân. a) x2 = 2 b) x2 = 3 c) x2 = 3,5 d) x2 = 4,12 e) x2 = 5 f) x2 = 6 g) x2 = 2,5 h) x2 = 5 1.8 Giải các phương trình sau: a) x2 = 25 b) x2 = 30,25 d) x2 – 3 = 2 e) x2  5 = 0 g) x2 = j) x2 = (1 – 1.9 c) x2 = 5 f) x2 + 5 = 2 h) 2×2+3 2 =2 3 3 3 )2 k) x2 = 27 – 10 2 9 16 2 l) x + 2x =3 –2 3 i) (x – 1)2 = 1 Giải phương trình: a) x = 3 x = b) 2 1.10 Trong các số: (7) , hai số học của 49 ? 5 2 x = 0 c) 2 (7) ,  7 ,  (7) d) 2 x = 2 thì số nào là căn bậc 1.11 Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: a) Nếu a > b thì a  b
b) Nếu a  b thì a > b
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Học kì 1

0,36  0,49

Bài tập Toán 9

Trang 10

2.117 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và (d) la tiếp tuyến của (O) tại A.
M là điểm di động trên (d). Kẻ tiếp tuyến MC đến (O) (C là tiếp điểm
khác A). Tia BC cắt (d) tại K và kẻ CH vuông góac với AB tại H.
a) Chứng minh: OM // BK.
b) BM cắt CH tại I. Chứng minh: I là trung điểm của CH.
c) Gọi N là trực tâm của AMC. Chứng minh: tứ giác AOCN là hình
bình hành. Từ đó suy ra N di động trên đường cố định, chỉ rõ đường cố
định đó ?
d) Cho OM = 2R. Chứng minh: AMC đều và tính AM, SAMC theo R.
2.118 Cho đường tròn (O ; R) và hai điểm A, B thuộc đường tròn. Tiếp tuyến tại
A và B của (O) cắt nhau tại C. Tia CO cắt (O) tại E và F (E  OC). Gọi I
là trung điểm của AB.
 = 1200.
a) Cho biết AOB
i. Tính OI theo R và chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định
 luôn có số đo bằng 1200.
khi A, B di động trên (O) sao cho AOB
ii. Lấy K  AC (AK < AC). Vẽ đường tròn đường kính OK cắt cung AB của (O) tại M (M khác A). Tia KM cắt BC tại H. Chứng minh: KH là tiếp tuyến của (O).  = 600 (A, T nằm khác phía đối với OK). iii. Lấy T  AB sao cho KOT Chứng minh: O, T, H thẳng hàng. b) Chứng minh: EI . FC = FI . EC. 2.119 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và dây AC = R. Vẽ đường kính CD của (O). a) Tính theo R độ dài đoạn AD và SACD . b) Gọi xy là tiếp tuyến tại B của (O). Tia AC và AD cắt xy tại E và F. Gọi M là trung điểm của EF, đường thẳng (d) qua C và song song với AM. Đoạn thẳng AM cắt CD tại I. Chứng minh: (d) tiếp xúc (O). Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 95 Bài tập Toán 9 Học kì 1 2.112 Cho (O; R) và (O; r) ở ngoài nhau. AB là một trong các tiếp tuyến chung ngoài, EF là một trong các tiếp tuyến chung trong (A và E thuộc đường tròn (O)). EF cắt AB tại C. a) Chứng minh: OC  OC. b) Chứng minh: AC . BC = R.r c) Tính AB, EF theo R, r và OO = d. 2.113 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Dây AD của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm của I của OO, E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh: a) AB  KB b) Bốn điểm A, C, E, D nằm trên một đường tròn. H – Ôn tập chương 2 Học kì 1 1.12 Cho số dương a. Chứng minh rằng: a) Nếu a > 1 thì a  b
b) Nếu a < 1 thì a b 1.13 Cho số dương a. Chứng minh rằng: a) Nếu a > 1 thì a > a
b) Nếu a < 1 thì a < a Một số tính chất bất đẳng thức 1. abba 2. a  b  ac b  c 3. a  b  a  c  b  c (cộng 2 vế với c)  = 600 và BC = 2a. Vẽ đường kính AB và 2.114 Cho ABC vuông tại A có B đường tròn (F) đường kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là H. a) Chứng minh: B, H, C thẳng hàng. b) Chứng minh: AC tiếp xúc (E) và EF  AH tại K. c) Tính theo a diện tích AKF. d) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: A, E, H, M, F cùng thuộc một đường tròn. 2.115 Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC và CB. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D. DA, DB cắt nửa đường tròn có đường kính AC, CB theo thứ tự tại M, N. a) Tứ giác DMCN là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh: DM . DA = DN . DB c) Chứng minh: MN là tiếp tuyến chung của nửa đường tròn có đường kính AC và CB. d) Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất ? Gv: Trần Quốc Nghĩa Bài tập Toán 9 Trang 94  a  c  b  a  b  c (cộng 2 vế với – c)  a  b  a  b  0 (cộng 2 vế với – b)  a  b  a  b  0 (cộng 2 vế với – b) 4. a  b acbd c  d 5. a  b  a.c  b.c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều)

a  b  a.c  b.c (nếu c < 0: đổi chiều) 6. a  b  0   a.c  b.d c  d  0 7. a  b  0  a n  b n ( n   * ) 8. a  b  0  Gv: Trần Quốc Nghĩa 1 1  a b Trang 11 Bài tập Toán 9 Học kì 1 2.112 Cho (O; R) và (O; r) ở ngoài nhau. AB là một trong các tiếp tuyến chung ngoài, EF là một trong các tiếp tuyến chung trong (A và E thuộc đường tròn (O)). EF cắt AB tại C. a) Chứng minh: OC  OC. b) Chứng minh: AC . BC = R.r c) Tính AB, EF theo R, r và OO = d. 2.113 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Dây AD của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm của I của OO, E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh: a) AB  KB b) Bốn điểm A, C, E, D nằm trên một đường tròn. H – Ôn tập chương 2 Học kì 1 1.12 Cho số dương a. Chứng minh rằng: a) Nếu a > 1 thì a  b
b) Nếu a < 1 thì a b 1.13 Cho số dương a. Chứng minh rằng: a) Nếu a > 1 thì a > a
b) Nếu a < 1 thì a < a Một số tính chất bất đẳng thức 1. abba 2. a  b  ac b  c 3. a  b  a  c  b  c (cộng 2 vế với c)  = 600 và BC = 2a. Vẽ đường kính AB và 2.114 Cho ABC vuông tại A có B đường tròn (F) đường kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là H. a) Chứng minh: B, H, C thẳng hàng. b) Chứng minh: AC tiếp xúc (E) và EF  AH tại K. c) Tính theo a diện tích AKF. d) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: A, E, H, M, F cùng thuộc một đường tròn. 2.115 Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC và CB. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D. DA, DB cắt nửa đường tròn có đường kính AC, CB theo thứ tự tại M, N. a) Tứ giác DMCN là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh: DM . DA = DN . DB c) Chứng minh: MN là tiếp tuyến chung của nửa đường tròn có đường kính AC và CB. d) Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất ? Gv: Trần Quốc Nghĩa Bài tập Toán 9 Trang 94  a  c  b  a  b  c (cộng 2 vế với – c)  a  b  a  b  0 (cộng 2 vế với – b)  a  b  a  b  0 (cộng 2 vế với – b) 4. a  b acbd c  d 5. a  b  a.c  b.c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều)

a  b  a.c  b.c (nếu c < 0: đổi chiều) 6. a  b  0   a.c  b.d c  d  0 7. a  b  0  a n  b n ( n   * ) 8. a  b  0  Gv: Trần Quốc Nghĩa 1 1  a b Trang 11 Bài tập Toán 9 Học kì 1 Bài tập Toán 9 Học kì 1 b) Gọi I là giao điểm của BC và OO. Tính OI. B – Căn thức bậc hai. Hằng đẳng thức A 2  A 1. Căn thức bậc hai:  Nếu A là một biểu thức đại số thì A gọi là căn thức bậc hai của A. A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. A( x ) có nghĩa  A(x)  0  1 có nghĩa  A( x ) A(x) > 0

2.109 Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Đường thẳng (d) tiếp xúc với nửa
đường tròn tại C. Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên
(d). Chứng minh:
a) C là trung điểm của DE.
b) (A; AD) và (B; BE) tiếp xúc ngoài nhau tại một điểm H thuộc đường
kính AB.

b) Với M > 0, ta có:
 X 2  M 2  X  M  M  X  M


X 2  M 2  X  M  X   M hoặc X  M

2. Hằng đẳng thức

2.110 Cho ABC vuông tại A. Vẽ các đường tròn (O) và (I) đi qua A và tiếp
xúc với BC tại các điểm B và C. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng
minh:
a) Các đường tròn (O) và (I) tiếp xúc với nhau.
b) AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (I).
c) OMI vuông.
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OMI.

( A)  A

khi a  0
a
a2  a  
a khi a  0
 Chú ý: Tổng quát, với A là một biểu thức đại số, ta cũng có:
khi A  0
A
A2  A  
 A khi A  0

 Định lí: Với mọi số a, ta có:

1.14 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
1. a)  2x  3

 5x

 3x  7

3x  7

x
3

 5x

4x

1  x2

Gv: Trần Quốc Nghĩa

c) Tính AB.
2.108 Cho ABC vuông tại A, có AB = a, BC = 2a. Các đường tròn đường kính
AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai là D.
a) Chứng minh: B, C, D thẳng hàng.
b) Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng của D qua AB và AC.
Chứng minh: E, A, F thẳng hàng.
c) Tính theo a khoảng cách từ trung điểm O của BC đến EF.
d) Tính theo a diện tích tứ giác BCEF.

 A các định (có nghĩa) khi A  0
 Chú ý:
a) Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:
 A(x) là một đa thức  A(x) luôn có nghĩa.
A( x )

có nghĩa 
B(x)  0
B( x )


2.107 Cho (O; 48cm) và (O; 14cm), khoảng cách tâm là d = 50cm.
a) Chứng minh: (O) và (O) cắt nhau tại A và B.
’ .
b) Tính OAA

2.111 Cho (O; R) và (O; r) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung
ngoài của hai đường tròn (B(O), C(O)). Tiếp tuyến chung trong của
(O) và (O) cắt BC tại I.
 và OIO
’ là góc vuông.
a) Chứng tỏ các góc BAC
b) Kẻ đường kính BD của (O). Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng.
c) Tính theo R và r độ dài BC, BA, CA.
d) Kẻ đường kính CE của (O). Chứng minh: SABC = SADE.
Trang 12

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 93

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Bài tập Toán 9

Học kì 1

b) Gọi I là giao điểm của BC và OO. Tính OI.

B – Căn thức bậc hai. Hằng đẳng thức

 A

1. Căn thức bậc hai:
 Nếu A là một biểu thức đại số thì A gọi là căn thức bậc hai của A.
A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

A( x ) có nghĩa 

A(x)  0



1
có nghĩa 
A( x )

A(x) > 0

b) Với M > 0, ta có:
 X 2  M 2  X  M  M  X  M


X 2  M 2  X  M  X   M hoặc X  M

2. Hằng đẳng thức

( A)  A

khi a  0
a
a2  a  
a khi a  0
 Chú ý: Tổng quát, với A là một biểu thức đại số, ta cũng có:
khi A  0
A
A2  A  
 A khi A  0

 Định lí: Với mọi số a, ta có:

1.14 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
1. a)  2x  3

 5x

 3x  7

3x  7

x
3

 5x

4x

1  x2

Gv: Trần Quốc Nghĩa

2.107 Cho (O; 48cm) và (O; 14cm), khoảng cách tâm là d = 50cm.
a) Chứng minh: (O) và (O) cắt nhau tại A và B.
’ .
b) Tính OAA

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 93

Bài tập Toán 9

Học kì 1

2.99 Cho (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Gọi I là trung điểm của OO. Qua A
vẽ đường thẳng vuông góc với IA, cắt (O) và (O) tại C và D (khác A).
Chứng minh: AC = AD.
2.100 Cho hai đường tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Vẽ hai đường
kính AOB và AOC Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn,
D  (O), E  (O). Gọi M là giao điểm của BD và CE.
.
a) Tính DAE
b) Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao ?
c) Chứng minh: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Bài tập Toán 9

5
x 6

2
x2

1
1 x

4
x3

4x 2

 3x 2

x 2  2x  1

 x 2  2x  1

 x 2  4x  5
1

x 2  2x  2
1

2. a)
c)

2.101 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B, trong đó O nằm trên
(O). Kẻ đường kính OOC của đường tròn (O).
a) Chứng minh: CA, CB là các tiếp tuyến của (O).
b) Đường vuông góc với AO tại O cắt CB ở I. Đường vuông góc với
AC tại C cắt đường thẳng OB ở K. Chứng minh O, I, K thẳng hàng.
2.102 Cho hai đường tròn đồng tâm O. Gọi AB là dây bất kì của đường tròn
nhỏ. Đường thẳng AB cắt đường tròn lớn ở C và D (A nằm giữa B và C).
So sánh AC và BD.
2.103 Cho I là trung điểm của của đọan thẳng AB. Vẽ các đường tròn (I; IA) và
(B; BA).
a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (I) và (B).
b) Đường thẳng qua A cắt các đường tròn (I) và (B) theo thứ tự tại M và
N. So sánh AM và MN.
2.104 Cho hai đường tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn (C  (O), D  (O)).
.
a) Tính CAD
b) Tính CD biết OA = 4,5cm và OA = 2cm.
2.105 Cho hai đường tròn đồng tâm O. Một đường tròn (O) cắt đường tròn nhỏ
tại A và B, cắt đường tròn lớn tại C và D. Chứng minh rằng AB // CD.
2.106 Cho đường tròn (O; 3cm) và đường tròn (O; 1cm) tiếp xúc ngoài nhau tại
A. Vẽ hai bán kính OB và OC song song với nhau và thuộc cùng một nửa
mặt phẳng có bờ OO.

a) Tính BAC

Học kì 1

e)
3. a)

4x 2  12x  9
1

x 2  8x  15
x  3  x2  9

2
 5  2x
x 9
4x
e)
 9  x2
x 1

4. a)
c)

d)
f)
b)

x2  x  1
1
3x 2  7x  20
1
x2 
x5

2x  4  8  x

x2  4  2 x  2

( x  1)(x  3)

2x
5x

4
x3
x 1
x2

1.15 Tính
a) 5 (2) 4
c) 5
e)

(5) 8

( 0,1) 2

g)  (1,3) 2

b)  4 (3) 6
d)  0, 4 ( 0,4) 2
f)

(0,3) 2

h) 2 (2) 4 + 3 (2) 8

1.16 Chứng minh rằng:
a) 9  4 5  ( 5  2) 2

9  4 5  5  2

c) 23  8 7  ( 4  7 ) 2

17  12 2  2 2  3

1.17 Rút gọn biểu thức:
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 92

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 13

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Bài tập Toán 9

5
x 6

2
x2

1
1 x

4
x3

4x 2

 3x 2

x 2  2x  1

 x 2  2x  1

 x 2  4x  5
1

x 2  2x  2
1

2. a)
c)

Học kì 1

e)
3. a)

4x 2  12x  9
1

x 2  8x  15
x  3  x2  9

2
 5  2x
x 9
4x
e)
 9  x2
x 1

4. a)
c)

d)
f)
b)

x2  x  1
1
3x 2  7x  20
1
x2 
x5

2x  4  8  x

x2  4  2 x  2

( x  1)(x  3)

2x
5x

4
x3
x 1
x2

1.15 Tính
a) 5 (2) 4
c) 5
e)

(5) 8

( 0,1) 2

g)  (1,3) 2

b)  4 (3) 6
d)  0, 4 ( 0,4) 2
f)

(0,3) 2

h) 2 (2) 4 + 3 (2) 8

1.16 Chứng minh rằng:
a) 9  4 5  ( 5  2) 2

9  4 5  5  2

c) 23  8 7  ( 4  7 ) 2

17  12 2  2 2  3

1.17 Rút gọn biểu thức:
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 92

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 13

Bài tập Toán 9

Học kì 1

(4  3 2) 2

(4  2 )2

d) 2 3  (2  3 ) 2

(2  3 ) 2

(2  5 ) 2

( 3  1) 2  ( 3  2) 2

(2  5 ) 2  ( 5  1) 2

62 5

74 3

12  6 3

17  12 2

22  12 2

10  4 6

1. a)

2. a)

2  11  6 2

62 5  5

3. a)
c)



3 5

11  6 2  6  4 2

11  6 3  13  4 3

82 7

62 42 3

3  48  10 7  4 3

x2  5
5. a)
x 5

3 5

2. Tính chất đường nối tâm:
a. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau
qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của
dây chung.
b. Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường
nối tâm.
c. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với
cả hai đường tròn. Có hai loại: tiếp tuyến chung trong (cắt đoạn
nối tâm) và tiếp tuyến chung ngoài (không cắt đoạn nối tâm).

3 5

11  6 2  3  2

2  11  6 2

1. Vị trí tương đối của hai đường tròn:
Cho (O ; R) và (O; r) với R > r và OO = d.
 (O) và (O) cắt nhau
 R–rR+r
 (O) và (O) đựng nhau
 d 4
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Học kì 1

G – Vị trí tương đối của hai đường tròn

42 3  3

e) ( 3  4) 19  8 3
g)

(2  5) 2

Bài tập Toán 9

2.98 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Kẻ các đường kính
AOC và AOD. Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB  CD.
Trang 14

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 91

Bài tập Toán 9

Học kì 1

(4  3 2) 2

(4  2 )2

d) 2 3  (2  3 ) 2

(2  3 ) 2

(2  5 ) 2

( 3  1) 2  ( 3  2) 2

(2  5 ) 2  ( 5  1) 2

62 5

74 3

12  6 3

17  12 2

22  12 2

10  4 6

1. a)

2. a)

2  11  6 2

62 5  5

3. a)
c)



3 5

11  6 2  6  4 2

11  6 3  13  4 3

82 7

62 42 3

3  48  10 7  4 3

x2  5
5. a)
x 5

3 5

11  6 2  3  2

2  11  6 2

Học kì 1

G – Vị trí tương đối của hai đường tròn

42 3  3

e) ( 3  4) 19  8 3
g)

(2  5) 2

Bài tập Toán 9

2.98 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Kẻ các đường kính
AOC và AOD. Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB  CD.
Trang 14

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 91

Bài tập Toán 9

1 1
1
1
 

r h1 h 2 h 3

Học kì 1

(với h1, h2, h3 là các đường cao của ABC)

2.89 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Đường tròn (O; r),
(O; r1), (O; r2) theo thứ tự là đường tròn nội tiếp các ABC, ABH,
ACH. Chứng minh rằng:
a) AB + AC – BC = 2r.
b) R + r1 + r2 = AH.
c) r 2  r12  r22
2.90 Cho ABC có BC = a, CA = b, AB = c và đường tròn bàng tiếp trong góc
A tiếp xúc với BC tại D, tiếp xúc với phần kéo dài của AC và AB tại E và
F. Tính theo a, b, c độ dài AE, BD, CD.
2.91 Cho ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp và O là tâm đường tròn bàng
tiếp trong góc A. gọi D và F lần lượt là tiếp điểm của (I) và (O) trên BC.
Chứng minh rằng BD = CF.
2.92 Tính cạnh huyền của một tam giác vuông, biết r là bán kính đường tròn
nội tiếp và R là bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc vuông.
2.93 Cho ABC đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là các điểm đối xứng của
H qua AB và AC. Đường thẳng EF cắt AB ở I và cắt AC ở K. C/m:
a) A là tâm đường tròn bàng tiếp HIK.
b) BK và CI là các đường cao của ABC.

Bài tập Toán 9

2. a) A =
c) C =
e) E =

Học kì 1

1  4a  4a 2  2a
5 x

x 2  10 x  25
x 2  6x  9
x 3

4x 2  12 x  9  2 x  1
x 1
( x  1) 2 
2
x  2x  1

b) B =
d) D =

f) F = x 2  x 4  8x 2  16

1.19 Chứng tỏ: x  2 2x  4  ( 2  x  2 ) 2 với x  2
Áp dụng rút gọn biểu thức sau:
x  2 2x  4  x  2 2x  4 với x  2

1.20 Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):
a)

x4 x4

b) x  2  2 x  3

với x  4
với x  3

x  2 x 1  x  2 x 1

với x  1

x  2 x 1  x  2 x 1

với x  0

1.21 Với giá trị nào của a và b thì:
1
1
a)

?
2
2
ba
a  2ab  b

a2 ( b 2  2 b  1)  a(1  b) ?

1.22 So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a) 9 và 6 + 2 2
b)
2 + 3 và 3
c) 16 và 9 + 4 5

11  3 và 2

1.23 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
1
3

a) A  9x 2  12x  4  1  3x

tại x 

b) B  2x 2  6x 2  9

tại x  3 2

1.24 Giải phương trình:

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 90

9 x 2 = 2x + 1

x4  7

x 2  6x  9  3x  1

x2  7

x2   8

1  4x  4x 2  5

x4  9

(x  2) 2  2x  1

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 15

Bài tập Toán 9

1 1
1
1
 

r h1 h 2 h 3

Học kì 1

(với h1, h2, h3 là các đường cao của ABC)

Bài tập Toán 9

2. a) A =
c) C =
e) E =

Học kì 1

1  4a  4a 2  2a
5 x

x 2  10 x  25
x 2  6x  9
x 3

4x 2  12 x  9  2 x  1
x 1
( x  1) 2 
2
x  2x  1

b) B =
d) D =

f) F = x 2  x 4  8x 2  16

1.19 Chứng tỏ: x  2 2x  4  ( 2  x  2 ) 2 với x  2
Áp dụng rút gọn biểu thức sau:
x  2 2x  4  x  2 2x  4 với x  2

1.20 Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):
a)

x4 x4

b) x  2  2 x  3

với x  4
với x  3

x  2 x 1  x  2 x 1

với x  1

x  2 x 1  x  2 x 1

với x  0

1.21 Với giá trị nào của a và b thì:
1
1
a)

?
2
2
ba
a  2ab  b

a2 ( b 2  2 b  1)  a(1  b) ?

1.22 So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a) 9 và 6 + 2 2
b)
2 + 3 và 3
c) 16 và 9 + 4 5

11  3 và 2

1.23 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
1
3

a) A  9x 2  12x  4  1  3x

tại x 

b) B  2x 2  6x 2  9

tại x  3 2

1.24 Giải phương trình:

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 90

9 x 2 = 2x + 1

x4  7

x 2  6x  9  3x  1

x2  7

x2   8

1  4x  4x 2  5

x4  9

(x  2) 2  2x  1

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 15

Bài tập Toán 9

Học kì 1

x 2  6x  9  5

4x 2  12x  9  x  3

4x 2  4x  1  x 2  2x  1

4x 2  12x  9  9x 2  24x  16

1.25 Phân tích thành hân tử:
a) x2 – 7
b) x2  3
d) x2 – 3

e) x2 – 2 2 x + 2

c) x2 – 2 13 x + 13
f) x2 + 2 5 x + 5

1.26 Với n là số tự nhiên, chứng minh:

1.27 Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
1
1 1
1 1 1
 2 2   
2
a
b
c
a b c
1  20132 

Học kì 1

F – Đường tròn nội tiếp – bàng tiếp tam giác
1. a. Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của  gọi là đường tròn nội
tiếp tam giác.
b. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân
giác trong của tam giác.
2. a. Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và các phần kéo
dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp của tam giác.
b. Tâm của đường tròn bàng tiếp của tam giác là giao điểm của
phân giác trong và hai phân giác ngoài của hai góc còn lại.

( n  1) 2  n 2  (n  1) 2  n 2
Viết đẳng thức trên khi n là 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.

1.28 Tính:

Bài tập Toán 9

2.84 Cho ABC vuông cân tại A nội tiếp (O; R). Gọi (I; r) là đường tròn nội
tiếp ABC. Tính độ dài AB và r theo R.

20132 2013

.
20142 2014

2.85 Cho ABC đều có cạnh 8cm.
a) Tính bán kính đường tròn (I) nội tiếp ABC.
b) Một tiếp tuyến của (I) cắt AB, AC theo thứ tự ở M và N.
Cho biết MN = 3cm. Tính SABC.

1.29 Chứng minh bất đẳng thức Côsi (Cauchy):
x + y  2 xy
Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?
Áp dụng: Chứng minh rằng với x, y, z là các số dương, ta có:
1 1 1
1
1
1
  


x y z
xy
yz
zx

2.86 Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến
đường tròn (O). OA cắt (O) tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn
nội tiếp của ABC.

Chuyện vui Toán học: Câu chuyện số 1
Một chủ doanh nghiệp đi về quê chơi cùng 1 người bạn là dân toán.
Họ thấy một đàn bò rất lớn trên một đồng cỏ.
Anh doanh nghiệp nói:
– Nhiều bò quá, tôi chưa bao giờ thấy nhiều thế này, có lẽ phải
hàng nghìn con.
Anh bạn toán học trả lời :
– Đúng đấy, có cả thẩy 2428 con.
– ‘Trời, làm sao mà anh lại đếm được nhanh thế? – Anh chủ DN hỏi.
Anh toán học trả lời:

2.87 Cho (I; r) nội tiếp ABC vuông tại A. Các tiếp điểm trên AC, AB theo
thứ tự là D, E.
a) Tứ giác ADOE là hình gì ? Vì sao ?
b) Tính chu vi và diện tích tứ giác ADOE theo r.
c) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC.
Chứng minh: AB + AC = 2(R + r).
2.88 Cho đường tròn (I ; r) nội tiếp ABC. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu
của I trên các cạnh BC, CA, AB. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Chứng
minh:
a) S = p.r
(với S là diện tích và p là nửa chu vi của ABC)
b) AE = p – a; BF = p – b; CD = p – c.

– À, tôi đếm tất cả chân rồi chia cho 4 là xong!
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 16

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 89

Bài tập Toán 9

Học kì 1

x 2  6x  9  5

4x 2  12x  9  x  3

4x 2  4x  1  x 2  2x  1

4x 2  12x  9  9x 2  24x  16

1.25 Phân tích thành hân tử:
a) x2 – 7
b) x2  3
d) x2 – 3

e) x2 – 2 2 x + 2

c) x2 – 2 13 x + 13
f) x2 + 2 5 x + 5

1.26 Với n là số tự nhiên, chứng minh:

1.27 Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
1
1 1
1 1 1
 2 2   
2
a
b
c
a b c
1  20132 

Học kì 1

( n  1) 2  n 2  (n  1) 2  n 2
Viết đẳng thức trên khi n là 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.

1.28 Tính:

Bài tập Toán 9

2.84 Cho ABC vuông cân tại A nội tiếp (O; R). Gọi (I; r) là đường tròn nội
tiếp ABC. Tính độ dài AB và r theo R.

20132 2013

.
20142 2014

– À, tôi đếm tất cả chân rồi chia cho 4 là xong!
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 16

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 89

Bài tập Toán 9

Học kì 1

2.83 Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng xy tại A. Trên tia Oz
song song với đường thẳng xy lấy điểm I. Từ I vẽ các tiếp tuyến với (O)
cắt xy tại E và F.
a) Chứng minh: I là tâm đường tròn ngoại tiếp OEF.

Bài tập Toán 9

Học kì 1

C – Khai phương một tích. Nhân các căn thức bậc hai.
D – Khai phương một thương. C hia các căn thức bậc hai

b) Cho OI = R 2 , tính chu vi IEF.

Với A  0, B  0:

AB  A B

Với A  0, B > 0:

A
A

B
B

1.30 Tính:
0,09.64

2 4.(7) 2

12,1.360

2 2.34

45.80

75.48

90.6,4

2,5.14,4

2. a)

7. 63

2,5. 30 . 48

0,4 . 6,4

2,7 . 5. 1,5

10. 40

5. 45

52. 13

2 . 162

132  12 2

17 2  8 2

117 2  108 2

313 2  312 2

6,82  3,2 2

21,82  18,2 2

146,52  109,52  27.256

1. a)

3. a)

4. a)

2  3. 2  3
3 2 

c) (
5. a)
d)
6. a)
d)

Trang 88

3  2 )2

3 2  2 3. 3 2  2 3

d) (1  2  3 ).(1  2  3 )

9
169

25
144

7
81

0,0025

3,6.16,9

12500
500

12,5
0,5

18
65
3

2 .3
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Gv: Trần Quốc Nghĩa

15
735
2300
23

9
16

Trang 17

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Bài tập Toán 9

Học kì 1

C – Khai phương một tích. Nhân các căn thức bậc hai.
D – Khai phương một thương. C hia các căn thức bậc hai

b) Cho OI = R 2 , tính chu vi IEF.

Với A  0, B  0:

AB  A B

Với A  0, B > 0:

A
A

B
B

1.30 Tính:
0,09.64

2 4.(7) 2

12,1.360

2 2.34

45.80

75.48

90.6,4

2,5.14,4

2. a)

7. 63

2,5. 30 . 48

0,4 . 6,4

2,7 . 5. 1,5

10. 40

5. 45

52. 13

2 . 162

132  12 2

17 2  8 2

117 2  108 2

313 2  312 2

6,82  3,2 2

21,82  18,2 2

146,52  109,52  27.256

1. a)

3. a)

4. a)

2  3. 2  3
3 2 

c) (
5. a)
d)
6. a)
d)

Trang 88

3  2 )2

3 2  2 3. 3 2  2 3

d) (1  2  3 ).(1  2  3 )

9
169

25
144

7
81

0,0025

3,6.16,9

12500
500

12,5
0,5

18
65
3

2 .3
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Gv: Trần Quốc Nghĩa

15
735
2300
23

9
16

Trang 17

Bài tập Toán 9

7. a)

1652  124 2
164

149 2  76 2
457 2  384 2

1,44.1,21  1,44.0, 4

32  50  8
2

2 12  3 27  5 3
3

2.79 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ trung điểm I của bán kính OB
vẽ dây cung CD vuông góc với OB.
a) So sánh IC và ID.
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt đường thẳng AB tại M. Chứng minh:
i) COM = DOM.
ii) MD là tiếp tuyến của (O) .
c) Tính độ dài đoạn MC theo R.

Với m, n > 0 thỏa m + n = A và m . n = B
ta có: A  2 B  m  n  2 m .n  ( m  n ) 2
8  2 15  6  2 5

17  2 72  19  2 18

12  2 32  9  4 2

29  2 180  9  4 5

4 7  4 7  2

6  11  6  11  3 2

8  2 15  7  2 10

10  2 21  9  2 14

83 7  4 7

5  21  5  21

93 5  93 5

l) ( 10  2) 4  6  2 5

2. a)

b) ( 3  2)( 6  2 )

( 4  2 3 )(13  4 3)

c) (3  5 )( 10  2 ) 3  5

2.80 Cho (O ; 3cm) và điểm A sao cho OA = 5cm. Kẻ cac tiếp tuyến AB, AC
với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
a) Tính độ dài OH.
b) Qua điểm M bắt kì thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn,
cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E. Tính chi vi ADE.
2.81 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các
tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). C/m:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

3 2

d) (4  15 )( 10  6 ) 4  15

4  15  4  15  2 3  5

4  8. 2  2  2 . 2  2  2

2.82 Cho (O ; R), và điểm A sao cho OA = R 2 , kẻ các tiếp tuyến AB, AC
với (O). (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M bắt kì thuộc cung nhỏ BC,
kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E.
a) Tứ giác ABOC là hình gì ? Vì sao ?
.
b) Tính số đo góc DOE

g) (5  4 2 ).(3  2 1  2 ).(3  2 1  2 )
h)
3*. A 

2  3. 2  2  3 . 2  2  2  3 . 2  2  2  3

7 52

7  4 1

B  4  3  6 3  15 
Gv: Trần Quốc Nghĩa

ĐS: A 

3

5
2

Học kì 1

2.78 Cho đường tròn (O) đường kính BC và 1 điểm A nằm trên đường tròn (A
khác B và C). Qua O, kẻ tia Ox song song với AC, tia Ox cắt AB tại D.
a) Chứng minh: OD  AB và từ đó suy ra D là trung điểm của AB.
b) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt tia Ox tại E.
Chứng minh: EA cũng là tiếp tuyến của (O)
c) Tia CA cắt tia BE tại F. Chứng minh: tia CE đi qua trung điểm I của
của đường cao AH của ABC.

1.31 Tính:

1. a)

Bài tập Toán 9

c) Gọi H là giao đểm của AO và MN. Chứng minh: OH . OA = R2.

9 4
1 .5 .0,01
16 9

8. a)

Học kì 1

2( 7  1 )
2

ĐS: B 

c) Đoạn OA cắt (O) tại K. Chứng minh: K là tâm đường tròn nội tiếp
ABC. Tính bán kính của đường tròn này.
d) Tính độ dài BK theo R.

6
2

Trang 18

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 87

Bài tập Toán 9

7. a)

1652  124 2
164

149 2  76 2
457 2  384 2

1,44.1,21  1,44.0, 4

32  50  8
2

2 12  3 27  5 3
3

Với m, n > 0 thỏa m + n = A và m . n = B
ta có: A  2 B  m  n  2 m .n  ( m  n ) 2
8  2 15  6  2 5

17  2 72  19  2 18

12  2 32  9  4 2

29  2 180  9  4 5

4 7  4 7  2

6  11  6  11  3 2

8  2 15  7  2 10

10  2 21  9  2 14

83 7  4 7

5  21  5  21

93 5  93 5

l) ( 10  2) 4  6  2 5

2. a)

b) ( 3  2)( 6  2 )

( 4  2 3 )(13  4 3)

c) (3  5 )( 10  2 ) 3  5

3 2

d) (4  15 )( 10  6 ) 4  15

4  15  4  15  2 3  5

4  8. 2  2  2 . 2  2  2

g) (5  4 2 ).(3  2 1  2 ).(3  2 1  2 )
h)
3*. A 

2  3. 2  2  3 . 2  2  2  3 . 2  2  2  3

7 52

7  4 1

B  4  3  6 3  15 
Gv: Trần Quốc Nghĩa

ĐS: A 

3

5
2

Học kì 1

1.31 Tính:

1. a)

Bài tập Toán 9

c) Gọi H là giao đểm của AO và MN. Chứng minh: OH . OA = R2.

9 4
1 .5 .0,01
16 9

8. a)

Học kì 1

2( 7  1 )
2

ĐS: B 

c) Đoạn OA cắt (O) tại K. Chứng minh: K là tâm đường tròn nội tiếp
ABC. Tính bán kính của đường tròn này.
d) Tính độ dài BK theo R.

6
2

Trang 18

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 87

Bài tập Toán 9

Học kì 1

a) Chu vi MPQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
1
  2DOE
.
b) BOC
c) DE < (AB  AC) 2 2.74 Cho đường tròn (O; 5cm) có đường kính AB và dây cung CD. Kéo dài AB và CD cắt nhau tại M. Gọi N là trung điểm của dây cung CD. a) Chứng minh: MNO là tam giác vuông. b) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt đường thẳng CD tại Q. Chứng minh: MN . MQ = MO . MB c) Tia ON cắt (O) tại E. Tính độ dài dây cung EC nếu độ dài dây cung CD = 6 cm 2.75 Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi D là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại D cắt Ax và By theo thứ tự tại M và N. a) Tứ giác AMNB là hình gì ? Vì sao ? b) Tính số đo góc MÔN. c) Chứng minh: MN = AM + BN. d) Chứng minh: AM . BN = R2. e) Đường tròn đường kính MN tiếp xúc với AB tại O. f) AN và BM cắt nhau tại Q, DQ cắt AB tại H. Chứng minh: DQ  AB và QH = QD. g) Tìm vị trí của D để tứ giác AMNB có chu vi nhỏ nhất. h) Cho R = 2cm. Tìm vị trí của M và N để chu vi tứ giác AMNB có chu vi bằng 14cm. 2.76 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và 1 là điểm C nằm trên đường tròn. Đường thẳng song song với AC kẻ từ O cắt tiếp tuyến tại C của (O) tại D. Chứng minh:   BOD . a) COD b) DB cũng là tiếp tuyến tại B của (O). 2 c) AC . OD = 2R . 2.77 Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN của (O) (M, N là hai tiếp điểm). a) AMN là  gì ? Vì sao ? b) Đường thẳng vuông góc với OM tại O cắt đường thẳng AN tại P. Chứng minh: AP = PO. Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 86 Bài tập Toán 9 Học kì 1 C  1  2 5 5  11  D 52 2( 5  1) 2 ĐS: C  1  2 27 2  38  5  3 2 ĐS: D  1 3 2 4   E   5  2 2 2  2  2  1   1.32 Phân tích thành tích số: a) 1  2  3  6 2 1 b) ĐS: E  2 6  55  10  33 1.33 Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối): x 4 (3  x) 2 với x  3 0,36 x 2 với x < 0 b) c) 27.48(1  x ) 2 với x > 1

4.(x  3) 2 với x  3

9.(x  2) 2 với x < 2 g) x 2 .(x  1) 2 với x > 0

x 2 (x  1) 2 với x < 0 i) 2 x 3x . với x  0 3 8 j) 13x k) 5x . 45x  3x với x bất kỳ l) (3  x ) 2  0,2 . 180 x 2 , x 1. a) 2. a) c) e) 63y 3 với y > 0

45mn 2
với m > 0, n > 0
20 m
x x2
với x > 0, y  0

y y4

1
. x 4 (x  y) 2 a, b > 0
xy

48x 3
3x 5

52
với x > 0
x

với x > 0

16 x 4 y 6
128x 6 y 6

f) 2y 2 

x4
với y < 0 4y 2 g) 5xy  25x 2 với x < 0, y > 0
y6

h) 0,2 x 3y 3 

i) xy 2 

3
với x < 0, y  0 2 4 x y j) Gv: Trần Quốc Nghĩa với x < 0 và y  0 16 với x  0, y  0 x4y8 27(x  3) 2 với x > 3
48
Trang 19

Bài tập Toán 9

Học kì 1

4.(x  3) 2 với x  3

9.(x  2) 2 với x < 2 g) x 2 .(x  1) 2 với x > 0

x 2 (x  1) 2 với x < 0 i) 2 x 3x . với x  0 3 8 j) 13x k) 5x . 45x  3x với x bất kỳ l) (3  x ) 2  0,2 . 180 x 2 , x 1. a) 2. a) c) e) 63y 3 với y > 0

45mn 2
với m > 0, n > 0
20 m
x x2
với x > 0, y  0

y y4

1
. x 4 (x  y) 2 a, b > 0
xy

48x 3
3x 5

52
với x > 0
x

với x > 0

16 x 4 y 6
128x 6 y 6

f) 2y 2 

x4
với y < 0 4y 2 g) 5xy  25x 2 với x < 0, y > 0
y6

h) 0,2 x 3y 3 

i) xy 2 

3
với x < 0, y  0 2 4 x y j) Gv: Trần Quốc Nghĩa với x < 0 và y  0 16 với x  0, y  0 x4y8 27(x  3) 2 với x > 3
48
Trang 19

Bài tập Toán 9

Học kì 1

2.67 Cho ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm B, bán kính BA, đường tròn này cắt AH tại điểm thứ hai là D. a) Chứng minh: CD tiếp xúc với đường tròn (B ; BA). b) Gọi I là đối xứng của B qua AH, đường thẳng AI cắt CD tại E. Chứng minh: A, H, E, C cùng thuộc một đường tròn. Suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn này. 9  12 x  4x 2 với x >1,5 và y<0 y2 1.34 Chứng minh: l) b) 9  17 . 9  17  8 c) ( 2014  2013) . ( 2014  2013) =1 2.68 Cho đường tròn đường kính AB. Gọi C là điểm bắt kì trên đường tròn và H là hình chiếu của C trên AB. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến AD và BE đến đường tròn (C ; CH). Chứng minh: a) D, C, E thẳng hàng. b) DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. c) Xác định vị trí của điểm C để diện tích tứ giác ABED lớn nhất. d) 2 2 ( 3  2)  (1  2 2 ) 2  2 6  9 1.35 Rút gọn các biểu thức sau: 1. a) 2. a) 6  14 2 3  28 x  2 x 1 với x  0 x  2 x 1 b) b) 2  3  6  8  16 2 3 4 2 x  1 (y  2 y  1) ,x1,y1,y>0
( x  1) 4
y 1

1. a)

4(1  6 x  9x 2 ) 2

tại x =  2

9a2 ( b 2  4  4 b)

tại a = 2, b =  3

x 3  2x 2
x2

1. a)

4(1  6 x  9x 2 ) 2

tại x =  2

9a2 ( b 2  4  4 b)

tại a = 2, b =  3

x 3  2x 2
x2

( x  2) 4 x 2  1
(với x < 3)  x3 (3  x) 2 15. 17 c) 16 và 1.38 So sánh 2.71 Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là hai tiếp điểm). a) Chứng minh: OA  MN. b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh: MC // AO. c) Tính độ dài các cạnh của AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm. tại x =  2 tại x = 0,5 1.37 So sánh hai số sau (không dùng máy tính): a) 2 + 3 và 10 b) 3 + 2và 2.72 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C nằm trên đường tròn (C khác A và B). Gọi D là trung điểm của AC. a) Tính số đo ODA và chứng tỏ rằng OD song song với BC. b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt tia OD tại E. Chứng minh: EC là tiếp tuyến của (O). c) Đường thẳng BC cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại điểm M. d) Chứng minh rằng OE là trung tuyến của AOM. 2 6 d) 8 và 15 + 17 2012  2014 và 2. 2013 1.39 Giải phương trình: 16 x  8 b) 4x  5 c) 4( x 2  2x  1)  6  0 d) 9(x  1) x  21 e) x5 3 f) x  10  2 1. a) Gv: Trần Quốc Nghĩa 2.69 Cho góc xÔy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng (I) tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên Oy. 2.70 Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d. 1.36 Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau: 2. a) 4x  8  Học kì 1 c) EF cắt OM tại K và cắt OI tại H. C/minh: OM . OK = OH . OI = R2. xy k) (x  y)  với x < y, y < 0 (x  y) 2 a) (2  3) (2  3 )  1 Bài tập Toán 9 2.73 Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B và C là hai tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng Trang 20 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 85 Bài tập Toán 9 Học kì 1 2.58 Cho ABC cân tại A, có O là trung điểm của BC và BC = 2a. Đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại H và K. Qua D trên cung nhỏ HK, kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AB và AC ở M và N. a) Chứng minh: A, H, O, K cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh: MÔN = ABC. c) Tính tích BM . CN theo a. d) Định vị trí của MN sao cho BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất. 2.59 Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O). 2.60 Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn (O) đi qua A và B, nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến. 2.61 Cho ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B ; BA) và đường tròn (C ; CA), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). C/minh CD là tiếp tuyến của (B). 2.62 Cho ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh: a) Điểm E nằm trên đường tròn (O). b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 2.63 Cho điểm M trên (O; R) đường kính AB. Gọi H là trung điểm của BM, OH cắt (O) tại I và cắt tiếp tuyến tại B của (O) ở điểm D. Gọi N là hình chiếu của I trên AM. Chứng minh: NI và DM là các tiếp tuyến của (O). 2.64 Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB. Một tiếp tuyến tại M của (O) cắt hai tiếp tuyến Ax, By theo thứ tự tại C và D. Chứng minh: đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB. 2.65 Trên tiếp tuyến tại A của (O; R) lấy điểm B với AB = R. Từ A kẻ đường vuông góc với OB tại H, cắt (O) tại C. OB cắt cung nhỏ AC tại I. a) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Tính theo R độ dài BH, IH và AI. Bài tập Toán 9 Học kì 1 g) 2x  1  5 h) 4  5x  12 2. a) 4x 2  x  5 b) ( x  3) 2  2 x  1 3x  6 d) 7(x  1)  21 2 .x  50  0 b) 2 x 8 0 b) 4x  3  3 và x 1 c) 3. a) 1.40 Giải các phương trình: 2x  3 2x  3 a)  2 và 2 x 1 x 1 1.41 Cho hai biểu thức: A  x  2 . x  3 và B  ( x  2)(x  3) a) Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa. b) Với giá trị nào của x thì B có nghĩa còn A không có nghĩa. c) Với giá trị nào của x thì A = B. 2x  3 2x  3 B . x 3 x 3 a) Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa. b) Với giá trị nào của x thì B có nghĩa còn A không có nghĩa. c) Với giá trị nào của x thì A = B. 1.42 Cho hai biểu thức: và A  1.43 Cho a  1 5 1 5 vaø b  . Tính a2 + b2 và a5 + a5. 2 2 1.44 Cho a  4  10  2 5 vaø b  4  10  2 5 . Tính a2 + b2 và ab. Suy ra giá trị của a + b. 1.45 Thực hiện phép tính: a) A  12  3 7  12  3 7 b) B  7 5  7 5  3 2 2 7  11 c) C  8  2 10  2 5  8  2 10  2 5 2.66 Từ điểm I bên ngoài (O; R) vẽ hai cát tuyến IAB và ICD (không qua tâm O). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai dây AB và CD. a) Chứng minh: O, I, M, N cùng thuộc một đường tròn. b) Đường tròn (OIMN) cắt (O) tại E và F. Chứng minh: IE, IF là hai tiếp tuyến của (O). 1.46 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau: Gv: Trần Quốc Nghĩa Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 84 4x  3 3 x 1 A  10a 2  12a 10  36 với x = x  1.47 Cho hai số a và b với a > 0, b > 0. Chứng minh:

2
5

5
2

a b  a  b .
Trang 21

Bài tập Toán 9

Học kì 1

2.58 Cho ABC cân tại A, có O là trung điểm của BC và BC = 2a. Đường tròn
(O) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại H và K. Qua D trên cung nhỏ HK, kẻ
tiếp tuyến với (O) cắt AB và AC ở M và N.
a) Chứng minh: A, H, O, K cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: MÔN = ABC.
c) Tính tích BM . CN theo a.
d) Định vị trí của MN sao cho BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất.
2.59 Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và
compa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và
AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
2.60 Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d.
Dựng đường tròn (O) đi qua A và B, nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến.
2.61 Cho ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B ; BA) và đường tròn (C ; CA),
chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). C/minh CD là tiếp tuyến của (B).
2.62 Cho ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường
tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh:
a) Điểm E nằm trên đường tròn (O).
b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
2.63 Cho điểm M trên (O; R) đường kính AB. Gọi H là trung điểm của BM,
OH cắt (O) tại I và cắt tiếp tuyến tại B của (O) ở điểm D. Gọi N là hình
chiếu của I trên AM. Chứng minh: NI và DM là các tiếp tuyến của (O).
2.64 Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB. Một tiếp tuyến tại M của (O) cắt
hai tiếp tuyến Ax, By theo thứ tự tại C và D. Chứng minh: đường tròn
đường kính CD tiếp xúc với AB.
2.65 Trên tiếp tuyến tại A của (O; R) lấy điểm B với AB = R. Từ A kẻ đường
vuông góc với OB tại H, cắt (O) tại C. OB cắt cung nhỏ AC tại I.
a) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Tính theo R độ dài BH, IH và AI.

Bài tập Toán 9

Học kì 1

2x  1  5

4  5x  12

2. a)

4x 2  x  5

( x  3) 2  2 x  1

3x  6

7(x  1)  21

2 .x  50  0

2 x 8 0

4x  3
 3 và
x 1

c)
3. a)

1.40 Giải các phương trình:
2x  3
2x  3
a)
 2 và
2
x 1
x 1

1.41 Cho hai biểu thức: A  x  2 . x  3 và B  ( x  2)(x  3)
a) Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa.
b) Với giá trị nào của x thì B có nghĩa còn A không có nghĩa.
c) Với giá trị nào của x thì A = B.
2x  3
2x  3
B
.
x 3
x 3
a) Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa.
b) Với giá trị nào của x thì B có nghĩa còn A không có nghĩa.
c) Với giá trị nào của x thì A = B.

1.42 Cho hai biểu thức: và A 

1.43 Cho a 

1 5
1 5
vaø b 
. Tính a2 + b2 và a5 + a5.
2
2

1.44 Cho a  4  10  2 5 vaø b  4  10  2 5 .
Tính a2 + b2 và ab. Suy ra giá trị của a + b.
1.45 Thực hiện phép tính:
a) A  12  3 7  12  3 7
b) B 

7 5  7 5

 3 2 2

7  11

c) C  8  2 10  2 5  8  2 10  2 5

2.66 Từ điểm I bên ngoài (O; R) vẽ hai cát tuyến IAB và ICD (không qua tâm
O). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai dây AB và CD.
a) Chứng minh: O, I, M, N cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường tròn (OIMN) cắt (O) tại E và F. Chứng minh: IE, IF là hai tiếp
tuyến của (O).

1.46 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau:

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 84

4x  3
3
x 1

A  10a 2  12a 10  36 với x = x 

1.47 Cho hai số a và b với a > 0, b > 0. Chứng minh:

2
5

5
2

a b  a  b .
Trang 21

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Áp dụng: So sánh

25  9 và

Áp dụng: So sánh

25  9 và

a  b  ab .

25  9

 D
  900 ), AB = 4cm, BC= 13cm, CD = 9cm.
2.53 Cho hình thang ABCD ( A
a) Tính độ dài AD.
b) Chứng minh rằng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC.

1.49 Với n là số tự nhiên, chứng minh:





n  1  n  (2 n  1) 2  (2n  1) 2  1
Viết đẳng thức trên khi n là 1; 2; 3; 4.
1.50 Cho hai số a  0, b  0. Chứng minh:
ab
a b
a b
a)
 ab
b)

2
2
2
1.51 Chứng minh:
a) 3 là số vô tỉ.
b) 5 2 và 3 + 2 đều là số vô tỉ.
1.52 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:
a) x  2
b) x  3

Chuyện vui Toán học: Câu chuyện số 2
Có 2 nguời bạn đang đi chơi trên khinh khí cầu (KKC), họ bị lạc
hướng nên phải hạ thấp xuống để hỏi đường.
Khi thấy một anh ở dưới, một người hỏi :
– “Chúng tôi đang ở đâu đấy?”.
Anh chàng dưới đất trả lời:
– “Các anh đang ở trên một cái KKC”.
Người trên KKC hỏi tiếp:
– “Anh là dân Toán à?”.
– “Đúng rồi”.
Nguời bạn kia ngạc nhiên hỏi:
– “Sao anh biết người ta là dân toán?”.
Anh bạn này bảo:
– “Thì đấy, họ trả lời bao giờ cũng rất chính xác, nhưng lại
không giúp được gì cả!”

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Học kì 1

2.52 Cho đường tròn (O; 2cm). Một đường thẳng đi qua điểm A nằm bên
ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại B và C, trong đó AB = BC. Kẻ
đường kính COD. Tính AD.

25  9

1.48 Cho hai số a và b với a > b > 0. Chứng minh:

Bài tập Toán 9

Trang 22

2.54 Cho (O; R), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA.
a) Tứ giác OCAD là hình gì ? Vì sao ?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA
tại I. Tính CI.
2.55 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qu điểm C thuộc nửa đường
tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các
đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ
từ C đến AB. Chứng minh rằng:
 . c) CH2 = AE . BF
a) CE = CF. b) AC là tia phân giác của BAE
2.56 Cho đường tròn (O ; R) có đường kính AB và hai tiếp tuyến Ax, By. Một
tiếp tuyến khác tại điểm M cắt Ax ở C và cắt By ở D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD.
b) Chứng minh: COD vuông.
c) Chứng minh: AB2 = 4AC . BD.
d) AM cắt OC tại I, BM cắt OD tại K. Tứ giác OIMK là hình gì ? Định vị
trí của M để OIMK là hình vuông.
e) AM cắt By tại F, BM cắt Ax tại E. Chứng minh:
i. C là trung điểm của AE
ii) SABM = SEFM.
2.57 Cho đường tròn (O ; R) và đoạn thẳng OA = 2R. Từ A kẻ hai tiếp tuyến
AB, AC đến đường tròn (O).
a) Chứng minh: OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
b) Chứng minh: ABC đều.
c) Tính theo R độ dài BC và diện tích ABC.
d) Đoạn OA cắt (O) tại D. Tứ giác OBDI là hình gì ? Vì sao ?
e) BO cắt AC kéo dài tại I. Tính theo R độ dài các cạnh của ABI.
f) Từ O kẻ đường vuông góc với OC cắt AB tại K. Tính khoảng cách từ
K đến OA.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 83

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Áp dụng: So sánh

25  9 và

Áp dụng: So sánh

25  9 và

a  b  ab .

25  9

 D
  900 ), AB = 4cm, BC= 13cm, CD = 9cm.
2.53 Cho hình thang ABCD ( A
a) Tính độ dài AD.
b) Chứng minh rằng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC.

1.49 Với n là số tự nhiên, chứng minh:





Gv: Trần Quốc Nghĩa

Học kì 1

25  9

1.48 Cho hai số a và b với a > b > 0. Chứng minh:

Bài tập Toán 9

Trang 22

Trang 83

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Bài tập Toán 9

E – Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Học kì 1

E – Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
 A B
A2 B  A B  
 A B

khi

A0

khi

A0

(B0)

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
 Với A  0, ta có: A B  A2 B ( B  0 )

1. Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng cách O một khoảng d.
d > R  a và (O) không có điểm chung
d = R  a và (O) tiếp xúc nhau (có một điểm chung)
d < R  a và (O) cắt nhau (có hai điểm chung)  Với A < 0, ta có: A B   A2 B ( B  0 ) 2. Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng cí điểm chung duy nhất với đường tròn (điểm chung đó gọi là tiếp điểm) a. Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. b. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. 3. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: a. Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. b. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. c. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm. 2.49 Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I(–3 ; 2). Nếu vẽ đường tròn tâm I bán kính bằng 2 thì đường tròn đó có vị trí tương đối như thế nào đối với cac trục tọa độ ? 2.50 Cho đường thẳng a. Tâm I của tất cả các đường tròn có bán kính 5cm và tiếp xúc với đường thẳng a nằm trên đường nào ? 2.51 Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm. Vẽ đường tròn (A ; 13cm). a) Chứng minh đường tròn (A) có hai giao điểm với đường thẳng xy. b) Gọi hai giao điểm nói trên là B và C. Tính độ dài BC. 3. Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn: A A.B A.B   với A.B  0, B  0 2 B B B 4. Trục căn thức ở mẫu:  Phân tích tử và mẫu thành nhân tử tồi rút gọn cho nhân tử chung chứa căn thức (nếu có).  Trường hợp mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số: A A C  ( B  0;C  0 ) B.C B C  Nếu mẫu là một biểu thức dạng tổng có chứa căn, nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu:  C C( A  B )  A  B2 AB  C C( A  B )  A B A B 1.53 Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn: 1. a) 54 c) 0,1 20000 2. a) c) Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 82 với A  0 , A  B2 với A  0, B  0, A  B2 b) 108 d)  0,05 28800 7x 2 với x>0

48y 4

25x 3 với x > 0

8y 2 với y > 0

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 23

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Bài tập Toán 9

E – Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Học kì 1

E – Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
 A B
A2 B  A B  
 A B

khi

A0

khi

A0

(B0)

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
 Với A  0, ta có: A B  A2 B ( B  0 )

48y 4

25x 3 với x > 0

8y 2 với y > 0

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 23

Bài tập Toán 9

Học kì 1

1.54 Đưa nhân tử vào trong dấu căn:
c) 2 2

D – Các công thức về tam giác vuông cân
tam giác đều và nửa tam giác đều

d) 3 2

2
xy
3

b) x 5 với x  0

1. Tam giác vuông cân:
Cho ABC vuông cân tại A:
BC = AB. 2 = a. 2
BC
AB  AC 
2

2
d) x
với x > 0
x

c) x 13 với x < 0 1.55 So sánh hai số sau (không dùng máy tính): a) 3 3 và 12 b) 20 và 3 5 1 1 54 và 150 3 5 5 3 e) và 13 3 7 5 2 c) d) 2012  2014 và 2 2013 h) 2014  2013 và 30  29 vaø 29  28 b) 3 6 , 3 3 , 4 7 , 2 14 1.57 Rút gọn các biểu thức sau: c) 75  48  300 b) 9a  16 a  49 a (a  0) d) 2. a) 3 2  4 18  2 32  50 c) c) ( 28  12  7 ) 7  2 21 4. a) 2 40 12  2 160 b  2 40b  3 90 b (b0) b) 5 48  4 27  2 75  108 c) ( x  y )(x  y  xy ) 6. a) (4 x  2 x )( x  2x ) Gv: Trần Quốc Nghĩa b) (5 2  2 5 ) 5  250 d) ( 99  18  11) 11  3 22 75  3 5 48 b) 2 80 3  2 5 3  3 20 3 5. a) (1  x )(1  x  x ) A a A B a B h H C C h a A B 98  72  0,5 8 125  2 20  3 80  4 45 d) 2 28  2 63  3 175  112 3. a) (2 3  5 ) 3  60 a 3. Nửa tam giác đều: ABC: Â = 900, B = 600, C = 300 BC BC 3 AB = ; AC = ; 2 2 BC 2 3 AC = AB. 3 ; S  8 2013  2012 1.56 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: a) 2 5 , 2 6 , 29 , 3 5 C 2. Tam giác đều: Cho ABC đều cạnh a, chiều cao h, diện tích S. a 3 2h 3 a2 3 h ; a ; S 2 3 4 1 1 6 và 6 2 2 f) g) 1. a) Học kì 1 b)  5 2 1. a) 3 5 2. a)  Bài tập Toán 9 b) ( x  2)(x  2 x  4) d) (x  y )( x 2  y  x y ) b) (2 x  y )(3 x  2 y ) Trang 24 2.46 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp: a) Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. b) Tam giác đều cạnh bằng a. 2.47 Cho đường tròn (O ; R) có hai bán kính OA, OB với góc AÔB = 1200. Đường cao OI của AOB cắt (O) tại C. a) Chứng tỏ tứ giác OACB là hình thoi. b) Kẻ đường kính CD của (O). Chứng tỏ ABD đều. 2.48 Cho đường tròn (O ; R) có hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Tia phân giác của AÔB cắt (O) ở C. Lấy điểm bất kì trên cung BC và hạ đường vuông góc DH xuống OA, đường này cắt OC ở E. a) Tính theo R khoảng cách từ C đến OA. b) Chứng minh: HD2 + HE2 không đổi khi D thay đổi. Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 81 Bài tập Toán 9 Học kì 1 1.54 Đưa nhân tử vào trong dấu căn: c) 2 2 D – Các công thức về tam giác vuông cân tam giác đều và nửa tam giác đều d) 3 2 2 xy 3 b) x 5 với x  0 1. Tam giác vuông cân: Cho ABC vuông cân tại A: BC = AB. 2 = a. 2 BC AB  AC  2 2 d) x với x > 0
x

c) x 13 với x < 0 1.55 So sánh hai số sau (không dùng máy tính): a) 3 3 và 12 b) 20 và 3 5 1 1 54 và 150 3 5 5 3 e) và 13 3 7 5 2 c) d) 2012  2014 và 2 2013 h) 2014  2013 và 30  29 vaø 29  28 b) 3 6 , 3 3 , 4 7 , 2 14 1.57 Rút gọn các biểu thức sau: c) 75  48  300 b) 9a  16 a  49 a (a  0) d) 2. a) 3 2  4 18  2 32  50 c) c) ( 28  12  7 ) 7  2 21 4. a) 2 40 12  2 160 b  2 40b  3 90 b (b0) b) 5 48  4 27  2 75  108 c) ( x  y )(x  y  xy ) 6. a) (4 x  2 x )( x  2x ) Gv: Trần Quốc Nghĩa b) (5 2  2 5 ) 5  250 d) ( 99  18  11) 11  3 22 75  3 5 48 b) 2 80 3  2 5 3  3 20 3 5. a) (1  x )(1  x  x ) A a A B a B h H C C h a A B 98  72  0,5 8 125  2 20  3 80  4 45 d) 2 28  2 63  3 175  112 3. a) (2 3  5 ) 3  60 a 3. Nửa tam giác đều: ABC: Â = 900, B = 600, C = 300 BC BC 3 AB = ; AC = ; 2 2 BC 2 3 AC = AB. 3 ; S  8 2013  2012 1.56 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: a) 2 5 , 2 6 , 29 , 3 5 C 2. Tam giác đều: Cho ABC đều cạnh a, chiều cao h, diện tích S. a 3 2h 3 a2 3 h ; a ; S 2 3 4 1 1 6 và 6 2 2 f) g) 1. a) Học kì 1 b)  5 2 1. a) 3 5 2. a)  Bài tập Toán 9 b) ( x  2)(x  2 x  4) d) (x  y )( x 2  y  x y ) b) (2 x  y )(3 x  2 y ) Trang 24 2.46 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp: a) Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. b) Tam giác đều cạnh bằng a. 2.47 Cho đường tròn (O ; R) có hai bán kính OA, OB với góc AÔB = 1200. Đường cao OI của AOB cắt (O) tại C. a) Chứng tỏ tứ giác OACB là hình thoi. b) Kẻ đường kính CD của (O). Chứng tỏ ABD đều. 2.48 Cho đường tròn (O ; R) có hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Tia phân giác của AÔB cắt (O) ở C. Lấy điểm bất kì trên cung BC và hạ đường vuông góc DH xuống OA, đường này cắt OC ở E. a) Tính theo R khoảng cách từ C đến OA. b) Chứng minh: HD2 + HE2 không đổi khi D thay đổi. Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 81 Bài tập Toán 9 Học kì 1 1 a) Chứng minh: SAMBN  AB . MN 2 b) Định vị trí của MN để diện tích tứ giác AMBN lớn nhất. Bài tập Toán 9 7. a) b) 2.43 Cho đường tròn (O) và dây BC cố định. Điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Gọi M là trung điểm của AC và H là hình chiếu của M trên AB. Kẻ CD  BC. Chứng minh: a) B, O, D thẳng hàng. b) MH luôn đi qua một điểm cố định. 2.44 Cho hình vuông ABCD cạnh a, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M là trung điểm của OB, N là trung điểm của CD. a) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABN. b) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp AON và E là trung điểm của ON. Chứng minh: KIE và AND đồng dạng. c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp AON.  = 900 và AN > MD.
d) Chứng minh AMN
2.45 Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm bên trong đường tròn và không
cùng thuộc một đường kính. Dựng hai dây song song và bằng nhau sao
cho điểm A nằm trên một dây, điểm B nằm trên dây còn lại.

Học kì 1

2
5x 2 (1  2x ) 2 với x > 0,5
2x  1
3( x  y) 2
với x, y > 0 và x  y
2

2
2
x  y2

1.58 Rút gọn các biểu thức sau:
1 1
a) 5

20  5
5 2
c) 20  45  3 18  72





6 5



28  2 3  7

 120



1
 4,5  12,5
2
20  45  3 18  72

7  84

1
2
f) 72  5  4,5 2  2 27
3
3
1
1
h)
48  2 75  54  5 1
2
3

1.59 Rút gọn các biểu thức sau (biết a > 0, b > 0):
a) 5 a  3 25a 3  2 36 ab 2  2 9a
b)

64ab 3  3 12 a 3 b 3  2ab 9ab  5b 81a 3 b

c) 2 3a  75a  a

13,5 2

300a 3
2a
5

1.60 Thực hiện các phép tính sau:
1. a)

13 2  4 6
24  4 3

45  2
5 2

2. a) A 

3. a)
c)

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 80

2 3
2

32 2

17  12 2
5 2

3 5 3 2

b) B 

6  35
2

9 6  12 3
3 6 3 3
34 3
6 2 5

c) C 

15  5 5  2 5

3 1
2 5 4

3 1
3 1

3 1
3 1

2 8  12
5  27

18  48
30  2

3 3
3 3

2 3 1 2 3 1

Gv: Trần Quốc Nghĩa

8  15
30  2

Trang 25

Bài tập Toán 9

Học kì 1

1
a) Chứng minh: SAMBN  AB . MN
2
b) Định vị trí của MN để diện tích tứ giác AMBN lớn nhất.

Bài tập Toán 9

7. a)
b)

2.43 Cho đường tròn (O) và dây BC cố định. Điểm A di chuyển trên cung lớn
BC. Gọi M là trung điểm của AC và H là hình chiếu của M trên AB. Kẻ
CD  BC. Chứng minh:
a) B, O, D thẳng hàng.
b) MH luôn đi qua một điểm cố định.
2.44 Cho hình vuông ABCD cạnh a, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi
M là trung điểm của OB, N là trung điểm của CD.
a) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABN.
b) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp AON và E là trung điểm của ON.
Chứng minh: KIE và AND đồng dạng.
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp AON.
 = 900 và AN > MD.
d) Chứng minh AMN
2.45 Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm bên trong đường tròn và không
cùng thuộc một đường kính. Dựng hai dây song song và bằng nhau sao
cho điểm A nằm trên một dây, điểm B nằm trên dây còn lại.

Học kì 1

2
5x 2 (1  2x ) 2 với x > 0,5
2x  1
3( x  y) 2
với x, y > 0 và x  y
2

2
2
x  y2

1.58 Rút gọn các biểu thức sau:
1 1
a) 5

20  5
5 2
c) 20  45  3 18  72





6 5



28  2 3  7

 120



1
 4,5  12,5
2
20  45  3 18  72

7  84

1
2
f) 72  5  4,5 2  2 27
3
3
1
1
h)
48  2 75  54  5 1
2
3

1.59 Rút gọn các biểu thức sau (biết a > 0, b > 0):
a) 5 a  3 25a 3  2 36 ab 2  2 9a
b)

64ab 3  3 12 a 3 b 3  2ab 9ab  5b 81a 3 b

c) 2 3a  75a  a

13,5 2

300a 3
2a
5

1.60 Thực hiện các phép tính sau:
1. a)

13 2  4 6
24  4 3

45  2
5 2

2. a) A 

3. a)
c)

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 80

2 3
2

32 2

17  12 2
5 2

3 5 3 2

b) B 

6  35
2

9 6  12 3
3 6 3 3
34 3
6 2 5

c) C 

15  5 5  2 5

3 1
2 5 4

3 1
3 1

3 1
3 1

2 8  12
5  27

18  48
30  2

3 3
3 3

2 3 1 2 3 1

Gv: Trần Quốc Nghĩa

8  15
30  2

Trang 25

Bài tập Toán 9

e)
g)

Học kì 1

2
3 1

3 1



3 1 1

3 1 1

2 3  4 2 2 1 1 6
5
5


h)

3 1
2 1
2 3
12(2 5  3 2 ) 12(2 5  3 2 )
1

4. a)
b)



11  4 7
1

32  10 7
1
1


12  140
8  60
10  84
1
2
3
4



3 2
7 5
7  2 10
10  2 21

c) C 

23 2
2  14  5 3



3 2
2  14  5 3

1.63 Chứng tỏ rằng các số sau là số hữu tỉ:
2
2
a)

b)
7 5
7 5

2.39 Cho đường tròn (O), các bán kính OA, OB. Trên cung nhỏ AB lấy các
điểm M và N sao cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng
AM và BN. Chứng minh rằng:
.
a) OC là tia phân giác của AOB
b) OC  AB.
2 2
2 2
1
 1
3
3
C
2 2
2 2
1
 1
3
3

2.40 Cho (O; R) và một điểm A cố định với OA = R/2. Một dây cung MN
quay quanh A.
a) Chứng minh: trung điểm của MN thuộc một đường tròn cố định.
b) Xác định vị trí của MN để độ dài MN ngắn nhất ? Dài nhất ? Tính độ
dài ngắn nhất, dài nhất đó của MN.
2.41 Cho ABC vuông tại A, M là điểm di động trên cạnh huyền BC. Gọi (O)
là đường tròn đường kính AM.
a) Chứng minh: (O) luôn đi qua hai điểm cố định.
b) (O) cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Định vị trí của M sao cho độ dài
EF nhỏ nhất.

7 5
7 5

7 5
7 5

1.64 Các số sau đây có căn bậc hai không ?


3 1   3 1
a) A   1 
 2
 : 

2   2



Gv: Trần Quốc Nghĩa

2.35 Cho đường tròn (O), dây AB bất kỳ không đi qua tâm. Trên cung nhỏ AB
lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho D nằm trên cung nhỏ AC và
AD = BC. Chứng minh: CD // AB.

 B
 C
 . Gọi OH, OI, OK
2.38 Cho ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có A
lần lượt là khoảng cách từ O đến BC, AC và AB. So sánh các độ dài OH,
OI, OK.

2 3 2 3  2  3 2 2
2 3
3 1

b) B 

2.34 Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD (AB = CD) cắt nhau tại I nằm bên
trong đường tròn. Chứng minh:
a) OI là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB và CD.
b) I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một.

2.37 Cho đường tròn (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây
AB  OI tại I. Chứng minh rằng AB là dây cung ngắn hơn mọi dây cung
khác đi qua I.



1.62 Chứng minh các số sau đây là số dương:
2 3
2 3
a) A 

2  2 3
2 2 3

Học kì 1

2.36 Cho đường tròn (O; 5cm), hai dây AB, CD (AB // CD), biết AB = 8cm,
CD = 6cm. Tính khoảng cách giữa hai dây.

1.61 Chứng minh các số sau đây là số nguyên:
3 32 2
6 6
a) A 

3 2
6 1
 15
4
12 
b) B  


 6  11
6 2 3 6 
 6 1



Bài tập Toán 9

2.42 Cho đường tròn (O) và dây AB cố định. M và N là hai điểm di động lần
lượt trên cung lớn và cung nhỏ AB.

Trang 26

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 79

Bài tập Toán 9

e)
g)

Học kì 1

2
3 1

3 1



3 1 1

3 1 1

2 3  4 2 2 1 1 6
5
5


h)

3 1
2 1
2 3
12(2 5  3 2 ) 12(2 5  3 2 )
1

4. a)
b)



11  4 7
1

32  10 7
1
1


12  140
8  60
10  84
1
2
3
4



3 2
7 5
7  2 10
10  2 21

c) C 

23 2
2  14  5 3



3 2
2  14  5 3

1.63 Chứng tỏ rằng các số sau là số hữu tỉ:
2
2
a)

b)
7 5
7 5

7 5
7 5

7 5
7 5

1.64 Các số sau đây có căn bậc hai không ?


3 1   3 1
a) A   1 
 2
 : 

2   2



Gv: Trần Quốc Nghĩa

2.35 Cho đường tròn (O), dây AB bất kỳ không đi qua tâm. Trên cung nhỏ AB
lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho D nằm trên cung nhỏ AC và
AD = BC. Chứng minh: CD // AB.

2 3 2 3  2  3 2 2
2 3
3 1

b) B 

2.37 Cho đường tròn (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây
AB  OI tại I. Chứng minh rằng AB là dây cung ngắn hơn mọi dây cung
khác đi qua I.



1.62 Chứng minh các số sau đây là số dương:
2 3
2 3
a) A 

2  2 3
2 2 3

Học kì 1

2.36 Cho đường tròn (O; 5cm), hai dây AB, CD (AB // CD), biết AB = 8cm,
CD = 6cm. Tính khoảng cách giữa hai dây.

1.61 Chứng minh các số sau đây là số nguyên:
3 32 2
6 6
a) A 

3 2
6 1
 15
4
12 
b) B  


 6  11
6 2 3 6 
 6 1



Bài tập Toán 9

2.42 Cho đường tròn (O) và dây AB cố định. M và N là hai điểm di động lần
lượt trên cung lớn và cung nhỏ AB.

Trang 26

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 79

Bài tập Toán 9

Học kì 1

C – Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
1. Trong một đường tròn:
a. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
2. Trong hai dây của một đường tròn:
a. Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

2.28 Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB = 40cm. Vẽ dây CD song
song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.
2.29 Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC  OA
tại A. Vẽ dây EF bất kỳ đi qua A và không vuông góc với OA. So sánh
BC và EF .
2.30 Cho đường tròn tâm O có các dây cung AB và CD bằng nhau và vuông
góc với nhau tại I. Biết IC = 2cm, ID = 14cm. Tính khoảng cách từ O đến
mỗi dây.
2.31 Cho (O) có các dây cung AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt
nhau tại E nằm nên ngoài đường tròn. Gọi H và K lần lượt là trung điểm
của của AB và CD. Chứng minh:
a) EH = EK
b) EA = EC.
2.32 Cho đường tròn (O), dây AB và CD (AB < CD) cắt nhau tại K nằm bên ngoài đường tròn. Đường tròn (O ; OK) cắ KA và BC lần lượt tạo M và N. So sánh KM và KN. 2.33 Cho đường tròn (O), dây AB và CD (AB > CD) cắt nhau tại M. Gọi H và
K lần lượt là trung điểm của AB và CD. So sánh MH và MK (Chú ý: xét 2
trường hợp của điểm M).

Trang 78

Học kì 1

 6 2
5 
1
b) B  

:

5 5 2
 1 3
2
2
2 5
1
c) C 



3
3
3 12
6

1.65 Tìm x biết:
a) 25x  35

b) 3 x  12

4x  162

d) 2 x  10

2.27 Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB = 8cm.
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và
vuông góc với AB. Chứng minh CD = AB.

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Bài tập Toán 9

1.66 Giải các phương trình sau:
1. a) 2 3x  4 3x  27  3 3x
2. a)

x2  9  3 x  3  0

b) 3 2x  5 8x  7 18x  28
b)

x2  4  2 x  2  0

1.67 Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn (giả thiết rằng các biểu thức đã
cho có nghĩa):
a)

1
;
600

11
;
540

a
;
b

a b
;
b a

b) ab
c)

x2
;
5

2
;
3

(1  3 ) 2
27

3
;
50

5
;
98

1 1

;
b b2

9a 3
;
36 b

3
;
x

x2 

x2
;
7

3xy

2
xy

3xy

2
xy

1.68 Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau (giả thiết rằng các biểu thức đã
cho có nghĩa):
yb y
5
1
5
2 2 2
a)
;
;
;
;
3 3
2 5
10
5 2
b y
b)
c)
d)
e)

3
;
3 1
3
3 1

;

3
10  7

5 3
26
;
;
2
52 3
1
;
3  2 1

Gv: Trần Quốc Nghĩa

2 3
;
2 3

2
;
3 1

;

b
;
3 b
2ab

1
;
x y
2 10  5
;
4  10
1
5 32

a b

p
2 p 1
.

92 3
.
3 6 2 2
.

Trang 27

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Trang 78

Học kì 1

 6 2
5 
1
b) B  

:

5 5 2
 1 3
2
2
2 5
1
c) C 



3
3
3 12
6

1.65 Tìm x biết:
a) 25x  35

b) 3 x  12

4x  162

d) 2 x  10

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Bài tập Toán 9

1.66 Giải các phương trình sau:
1. a) 2 3x  4 3x  27  3 3x
2. a)

x2  9  3 x  3  0

b) 3 2x  5 8x  7 18x  28
b)

x2  4  2 x  2  0

1.67 Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn (giả thiết rằng các biểu thức đã
cho có nghĩa):
a)

1
;
600

11
;
540

a
;
b

a b
;
b a

b) ab
c)

x2
;
5

2
;
3

(1  3 ) 2
27

3
;
50

5
;
98

1 1

;
b b2

9a 3
;
36 b

3
;
x

x2 

x2
;
7

3xy

2
xy

3xy

2
xy

1.68 Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau (giả thiết rằng các biểu thức đã
cho có nghĩa):
yb y
5
1
5
2 2 2
a)
;
;
;
;
3 3
2 5
10
5 2
b y
b)
c)
d)
e)

3
;
3 1
3
3 1

;

3
10  7

5 3
26
;
;
2
52 3
1
;
3  2 1

Gv: Trần Quốc Nghĩa

2 3
;
2 3

2
;
3 1

;

b
;
3 b
2ab

1
;
x y
2 10  5
;
4  10
1
5 32

a b

p
2 p 1
.

92 3
.
3 6 2 2
.

Trang 27

Bài tập Toán 9

Học kì 1

1.69 Phân tích thành nhân tử:
a) ab  b a  a  1
1.70 Giải phương trình:
a) 2x  3  1  2

b)
b)

x  y  x y  xy

x 1  5  3

3x  2  2  3

Bài tập Toán 9

Học kì 1

b) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M,
N sao cho AM = BN. Qua M và N kẻ các đường thẳng song song với
nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt tại C và D.
Chứng minh: MC  CD và ND  CD.
2.25 Cho đường tròn (O ; R) và điểm M nằm bên trong đường tròn.
a) Hãy nêu cách dựng AB nhận M làm trung điểm.
b) Tính AB, biết R = 5cm, OM = 1,4cm.

1.71 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:
a) x  2  3
b) x  2  3
1
1.72 Với n là số tự nhiên, chứng minh: n  1  n 
n 1  n
1
1
1
Áp dụng tính:


2 1
3 2
4 3

2.26 Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn, điểm B nằm bên
ngoài đường tròn sao cho trung điểm I của AB nằm bên trong đường
tròn.Vẽ dây CD  OI tại I. Tứ giác ACBD là hình gì ? Vì sao ?

1.73 Cho các biểu thức :
1
1
1
1
A



;
1 2
2 3
3 4
24  25
1
1
1
1
B



1
2
3
24
a) Tính giá trị của A.
b) Chứng minh rằng B > 8.
1.74 Rút gọn các biểu thức sau:
1
1
1
1
a) A 



1 2
2 3
3 4
n 1  n
1
1
1
1
b) B 



1 2
2 3
3 4
24  25

Danh ngôn học tập

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi
đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi
còn gấp bội.
Do not worry about your difficulties in Mathematics.
I can assure you mine are still greater.
Albert Einstein

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 28

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 77

Bài tập Toán 9

Học kì 1

1.69 Phân tích thành nhân tử:
a) ab  b a  a  1
1.70 Giải phương trình:
a) 2x  3  1  2

b)
b)

x  y  x y  xy

x 1  5  3

3x  2  2  3

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Danh ngôn học tập

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 28

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 77

Bài tập Toán 9

Học kì 1

B – Đường kính và dây cung của đường tròn

Bài tập Toán 9

Học kì 1

F – Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai
Cho x  0, y  0. Ta có các công thức biến đổi sau:
1. x  ( x )2 ; x x  ( x )3

1. Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. Từ đó
suy ra nếu AB là một dây cung bất kì của (O ; R) thì AB  2R.
2. a. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi
qua trung điểm của dây ấy.
b. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây
không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

2. x  x  x( x  1 )
3. x y  y x  xy( x  y )
4. x  y  ( x  y )( x  y )
5. x  2 xy  y  ( x  y )2

2.19 Cho đường tròn (O) có bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn
vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính BC.
2.20 Cho ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh:
a) Bốn điểm B, E, D và C cùng nằm trên một đường tròn.
b) DE < BC. xy  y ) 1.75 Chứng minh các đẳng thức sau: a) 2.21 a) Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh: CH = DK. b) Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh: CH = DK. D   900 . 2.22 Tứ giác ABCD có B a) Chứng minh: bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. b) So sánh AC và BD. Nếu AB = CD thì tứ giác ABCD là hình gì ? 2.23 Cho đường tròn (O) có đường kính AD = 2R. Vẽ cung tròn tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) ở B và C. a) Tứ giác OBDC là hình gì ? Vì sao ? b) Tính các góc CBD, CBO, OBA. c) Chứng minh: ABC đều. 2.24 a) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt AB ở M và N. Chứng minh: AM = BN. Gv: Trần Quốc Nghĩa 6. x x  y y  ( x )3  ( y )3  ( x  y )( x  Trang 76 b) x3  1  x  x  1 với x > 0, x  1
x 1
( x y  y x )( x  y )
xy

 x  y với x, y > 0

1.76 Rút gọn:
x  2 3x  3
a) A 
x x 3 3
b) B 
c) C 
d) D 

x x y y
x y

a  b  2 ab
ab

a b
a b
( a  1)(a  ab)( a  b)
(a  b)(a a  a)

a 1
1
: 2
a a a  a a  a
 x y
xy 
xy  1
f) F  

 :
 xy
x y x y

x
y
xy
g) G 


xy  y
xy  x
xy
e) E 

Gv: Trần Quốc Nghĩa

với x  0
với x  0, y  0 và x  y
(với a  0, b  0, a  b)
(với a > 0, b  0, a  b)
(với a > 0)
(với x  0, y  0, x  y)
(với xy  0, x  y)
Trang 29

Bài tập Toán 9

Học kì 1

B – Đường kính và dây cung của đường tròn

Bài tập Toán 9

Học kì 1

F – Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai
Cho x  0, y  0. Ta có các công thức biến đổi sau:
1. x  ( x )2 ; x x  ( x )3

2. x  x  x( x  1 )
3. x y  y x  xy( x  y )
4. x  y  ( x  y )( x  y )
5. x  2 xy  y  ( x  y )2

 x  y với x, y > 0

1.76 Rút gọn:
x  2 3x  3
a) A 
x x 3 3
b) B 
c) C 
d) D 

x x y y
x y

a  b  2 ab
ab

a b
a b
( a  1)(a  ab)( a  b)
(a  b)(a a  a)

a 1
1
: 2
a a a  a a  a
 x y
xy 
xy  1
f) F  

 :
 xy
x y x y

x
y
xy
g) G 


xy  y
xy  x
xy
e) E 

Gv: Trần Quốc Nghĩa

với x  0
với x  0, y  0 và x  y
(với a  0, b  0, a  b)
(với a > 0, b  0, a  b)
(với a > 0)
(với x  0, y  0, x  y)
(với xy  0, x  y)
Trang 29

Bài tập Toán 9

Học kì 1

h) H 
i) I 

ab
a b



a 3  b3
a b

( x  y) 2  4 xy


j) J  


k) K  


l) L  


m) M 

x y



(với a  0, b  0, a  b)
xy

(với x  0, y  0, x  y)

x y

Bài tập Toán 9

Học kì 1

2.14 Cho ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường
tròn (O) ở D.
a) Chứng minh: AD là đường kính của đường tròn (O).
.
b) Tính ACD
c) Cho BC = 24cm, AC = 20cm. Tính AH và bán kính của (O).

x 1  
x 1 

 :  1 

x 1
x 1 
x  1 
x
1   1
2 


 : 

x 1 x  x  1  x x 1

x 1

(với x > 0, x  1)
(với x > 0, x  1)

a 2
a  2 
1 

  1 

a 1 a  2 a  1  
a

(với a > 0, a  1)

x 1
2 x
25 x


4x
x 2
x 2

(với x  0, x  4)

x x y y
 x  y 
n) N  
 xy 
 x y
 x  y 




(với x  0, y  0, x  y)
2

a b b a a a b b   a b 
o) O  

:
 (với a  0, b  0, a  b)
a  b   a  b 
 a b
 2x  1
 x x  1

x
p) P  

 x
(với x  0, x  1)

 x x  1 x  x  1 


 x  1

 x y
x  y  x  xy
q) Q  
(với x > 0, y > 0, xy  1)

:
 1  xy
1  xy  1  xy

x x y y x yy x 
2
r) R  

: x  y (với x  0, y  0, x  y)

 x y
x  y 

 x 1
x  1  x x  2x  4 x  8
s) S  

(với x > 0, x  4)
 
x
 x4 x4 x 4
x x  2x  28
x 4
x 8
t) T 


(với x  0, x  16
x3 x 4
x 1 4  x





2.15 Cho ABC có đường cao AH. Từ một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, kẻ
MD  AB và ME  AC. Chứng minh: năm điểm A, D, H, M và E cùng
nằm trên một đường tròn.
2.16 Cho ABC. Điểm I di động trên cạnh BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu
của I trên AB và AC. Lấy M đối xứng với A qua D, lấy N đối xứng với A
qua E. Chứng minh:
a) I là tâm đường tròn đi qua ba điểm A, M, N.
b) Đường tròn (I) nói trên đi qua một điểm cố định khác A.
2.17 Cho ABC nhọn có ba đỉnh thuộc đường tròn (O ; R). Gọi H là trực tâm
của ABC. Vẽ đường kính AD.
a) Tứ giác BHCD là hình gì ? Vì sao ?
b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh: AH = 2OI.
c) Gọi G là trọng tâm của ABC. Chứng minh: O, H, G thẳng hàng.
d) So sánh diện tích của hai tam giác AHG và AOG.
2.18 Ba đường cao AD, BE, CF của ABC gặp nhau tại H. Gọi I, K, L lần lượt
là trung điểm của AB, BC, CA và M, N, P lần lượt là trung điểm của HA,
HB, HC. Chứng minh:
a) Các tứ giác INPL và MLKN là các hình chữ nhật.
b) 9 điểm D, E, F, L, I, K, M, N và P cùng nằm trên một đường tròn.
(đường tròn Euler)

1.77 Cho 16  2 x  x 2  9  2x  x 2  1 .
Tính A  16  2 x  x 2  9  2x  x 2
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 30

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 75

Bài tập Toán 9

Học kì 1

h) H 
i) I 

ab
a b



a 3  b3
a b

( x  y) 2  4 xy


j) J  


k) K  


l) L  


m) M 

x y



(với a  0, b  0, a  b)
xy

(với x  0, y  0, x  y)

x y

Bài tập Toán 9

Học kì 1

x 1  
x 1 

 :  1 

x 1
x 1 
x  1 
x
1   1
2 


 : 

x 1 x  x  1  x x 1

x 1

(với x > 0, x  1)
(với x > 0, x  1)

a 2
a  2 
1 

  1 

a 1 a  2 a  1  
a

(với a > 0, a  1)

x 1
2 x
25 x


4x
x 2
x 2

(với x  0, x  4)

x x y y
 x  y 
n) N  
 xy 
 x y
 x  y 




(với x  0, y  0, x  y)
2





1.77 Cho 16  2 x  x 2  9  2x  x 2  1 .
Tính A  16  2 x  x 2  9  2x  x 2
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 30

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 75

Bài tập Toán 9

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8
2.9

Học kì 1

Chứng minh định lí sau:
a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp  vuông là trung điểm của cạnh huyền.
b) Nếu một  có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì 
đó là  vuông.
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo,

Bài tập Toán 9

Học kì 1

1.78 Rút gọn các biểu thức sau:
a)

a
a b
 ab  
với a > 0 và b > 0
b
b a

m
4m  8mx  4mx 2

với m > 0 và x > 1
1  2x  x 2
81

OA  2 cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2cm. Hãy xác định vị trí của
năm điểm A, B, C, D, O so với đường tròn

1.79 Rút gọn rồi so sánh giá trị của biểu thức sau với 1:

Cho ABC nhọn. Vẽ (O) có đường kính BC, nó cắt các cạnh AB, AC
theo thứ tự ở D và E.
a) Chứng minh: CD  AB và BE  AC.
b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh: AK  BC.

1.80 Giải các phương trình sau:

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi M, N, P,
Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. C/m: bốn điểm M, N, P
và Q cùng nằm trên một đường tròn.
Cho ABC đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.
Chứng minh rằng bốn điểm B, C, P và M cùng nằm trên một đường tròn.
Cho ABC đều có độ dài cạnh là a (cm). Tính bán kính của đường tròn
ngoại tiếp ABC.

2.10 Cho (O ; 4cm) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Dây
AM của (O) cắt bán kính OC tại I. Cho biết OI = 3cm. Tính AM và đường
cao MH của AMB.
2.11 Cho hình vuông ABCD cạnh a.
a) Chứng minh: bốn đỉnh A, B, C và D của hình vuông trên cùng nằm
trên một đường tròn.
b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
2.12 Cho ABC cân tại A, BC = 12cm, đường cao AH = 4cm. Tính bán kính
của đường tròn ngoại tiếp ABC.
2.13 Cho ABC cân tại A, đường cao BE. Gọi D, F lần lượt là trung điểm của
BC và AB.
a) Chứng minh: 4 điểm A, B, D và E cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh: C không thuộc đường tròn trên.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 74

1 
a 1
 1
với a > 0 và a  1
M

:
a 1 a  2 a 1
a a

1. a)
b)
c)
d)

4
9x  45  6
3
15 x  1
25x  25 
 6  x 1
2
9
1
4 x  20 
9 x  45  x  5  4
3
16x  16  9x  9  4x  4  16  x  1 .
4 x  20  3 5  x 

1  x2  x  1

x 2  4x  4  x  2

2x 2  7  2  x

x 2  4x  3  x  2

x2  4  2  x  0

x 2  4x  4  2x  1

(2 x  4)( x  1)  x  1

2x 2  4x  1  x  2 .

2x  9  5  4 x

2x  1  x  1

x3  x3

x2  x  3  x

x 2  3x  1  x  1

2x 2  3  4 x  3

x2  x  6  x  3

9x 2  4 x  2x  3 .

2. a)

3. a)

4. a)

x4 x4 5

x  2 x 1  x  2 x 1  2

x24 x2  x76 x2 1

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 31

Bài tập Toán 9

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8
2.9

Học kì 1

Bài tập Toán 9

Học kì 1

1.78 Rút gọn các biểu thức sau:
a)

a
a b
 ab  
với a > 0 và b > 0
b
b a

m
4m  8mx  4mx 2

với m > 0 và x > 1
1  2x  x 2
81

OA  2 cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2cm. Hãy xác định vị trí của
năm điểm A, B, C, D, O so với đường tròn

1.79 Rút gọn rồi so sánh giá trị của biểu thức sau với 1:

1.80 Giải các phương trình sau:

Trang 74

1 
a 1
 1
với a > 0 và a  1
M

:
a 1 a  2 a 1
a a

1. a)
b)
c)
d)

1  x2  x  1

x 2  4x  4  x  2

2x 2  7  2  x

x 2  4x  3  x  2

x2  4  2  x  0

x 2  4x  4  2x  1

(2 x  4)( x  1)  x  1

2x 2  4x  1  x  2 .

2x  9  5  4 x

2x  1  x  1

x3  x3

x2  x  3  x

x 2  3x  1  x  1

2x 2  3  4 x  3

x2  x  6  x  3

9x 2  4 x  2x  3 .

2. a)

3. a)

4. a)

x4 x4 5

x  2 x 1  x  2 x 1  2

x24 x2  x76 x2 1

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 31

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Chương 2
ĐƯỜNG TRÒN

d) x  2  3 2 x  5  x  2  3 2 x  5  2 2 .

x 2  3x  5  x 2  3x  7

5. a)



b) 5 x  5x  28  x  5x  4

A – Sự xác định đường tròn.

c) 2 2 x 2  3x  5  2 x 2  3x  6

2x 2  3x  9  2 x 2  3x  33

Tính chất đối xứng của đường tròn

1.81 Chứng minh đẳng thức sau:



2. a)  x 

x



2x
1
 6x  : 6x  2 với x > 0
3
3


1. Tập hợp các điểm M cách đều điểm O cho trước một khoảng không đổi
bằng R là đường tròn tâm O bán kính R. Kí hiệu (O ; R) hoặc (O).

OM = R  M  (O ; R)oooo

 1 a a
  1 a 
  1 với a > 0 và a  1
b) 
 a   

 1 a
  1 a 
c)

2. a. Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường
tròn.
b. Đường tròn qua 3 đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại
tiếp tam giác đó. Khi đó tam giác được gọi là nội tiếp đường tròn.
Tâm của đường tròn này là giao điểm của hai hay ba đường trung
trực của tam giác đó.

a b
a2 b 4

 a với a + b > 0 và b  0
b2
a 2  2ab  b 2

1.82 Cho biểu thức:

P

x 1 2 x
25 x


4x
x 2
x 2

3. a. Tâm của đường tròn ngoại tiếp  vuông là trung điểm cạnh huyền.
b. Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại
tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

a) Rút gọn P nếu x  0 và x  4.
b) Tìm x để P = 2.
1.83 Cho biểu thức:

4. Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Đó là tâm của đường tròn đó.

 1
1   a 1
a 2

Q  

 : 


a

1
a
a

2
a

1

 


5. Đường tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đường kính nào của
đường tròn.

a) Chứng tỏ rằng Q xác định với a > 0, a  4 và a  1.
b) Tìm giá trị của a để Q dương.
1.84 Cho biểu thức: Q 

x 2
x 3



x 1
x 2

3

x 1

Cho hình chữ nhật ABCD.
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc một đường tròn.
b) Cho AB = 10cm và BC = 6cm. Tính bán kính của đường tròn trên.

2.2

Cho hình thang cân ABCD. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C và D
nằm trên một đường tròn.

2.3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí của mỗi điểm A(1 ; –1),

x5 x 6

1. Tập hợp các điểm M cách đều điểm O cho trước một khoảng không đổi
bằng R là đường tròn tâm O bán kính R. Kí hiệu (O ; R) hoặc (O).

OM = R  M  (O ; R)oooo

 1 a a
  1 a 
  1 với a > 0 và a  1
b) 
 a   

 1 a
  1 a 
c)

a b
a2 b 4

 a với a + b > 0 và b  0
b2
a 2  2ab  b 2

1.82 Cho biểu thức:

P

x 1 2 x
25 x


4x
x 2
x 2

a) Rút gọn P nếu x  0 và x  4.
b) Tìm x để P = 2.
1.83 Cho biểu thức:

4. Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Đó là tâm của đường tròn đó.

 1
1   a 1
a 2

Q  

 : 


a

1
a
a

2
a

1

 


5. Đường tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đường kính nào của
đường tròn.

a) Chứng tỏ rằng Q xác định với a > 0, a  4 và a  1.
b) Tìm giá trị của a để Q dương.
1.84 Cho biểu thức: Q 

x 2
x 3



x 1
x 2

3

x 1

Cho hình chữ nhật ABCD.
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc một đường tròn.
b) Cho AB = 10cm và BC = 6cm. Tính bán kính của đường tròn trên.

2.2

Cho hình thang cân ABCD. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C và D
nằm trên một đường tròn.

2.3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí của mỗi điểm A(1 ; –1),

x5 x 6

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q <  1. c) Tìm các giá trị của x  Z sao cho 2Q  Z. 1.85 Với 3 số a, b, c không âm. Chứng minh: a  b  c  ab  bc  ca B(2 ; 1) và C(– 3 ; 3 ) với đường tròn tâm O bán kính 2 (với O là gốc tọa độ). Hãy mở rộng kết quả trên cho trường hợp 4 số, 5 số không âm. Gv: Trần Quốc Nghĩa 2.1 Trang 32 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 73 Bài tập Toán 9 Học kì 1 Bài tập Toán 9 Học kì 1   600 có cạnh 1.88 Cho ABC đều, gọi O là trung điểm của cạnh BC, xOy Ox, Oy luôn cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh : a) OBM  NOC suy ra OB2 = BM . CN  và b) OBM  ONM suy ra MO, NO lần lượt là tia phân giác BMN . CNM c) BM . CN = 1 BC2. 4 G – Căn bậc ba 1. Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a 2. Tính chất: a) a  b  3 a  3 b b) 1.89 Cho ABC cân tại A có H là trung điểm của BC. Gọi I là hình chiếu của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh : a) BIC  AOH b) AO  BI 1.90 Cho ABC cân tại A có đường cao AH, BK. Chứng minh : 1 1 1   . BK 2 BC2 4AH 2 3 ab  3 a .3 b c) Với b  0, ta có 1.86 Tính: a) 3 512 ; b) 3  343 ; 3 a 3a  b 3b 3  729 ; 3 0,064 ; 3 0,216 ; 3  0,008 . 3 0,027 ; 3 1,331 ; 3  0,512 ; 3 125 . 1.87 So sánh: a) 5 và 3 123 c) 23 3 và Giải bài toán như thế nào? – Phần 4 3 b) 53 6 và 63 5 d) 33 và 33 1333 23 1.88 Giải các phương trình sau: 3 – Giải bài toán: a) 3 x  1,5 b) 3 x  5  0,9 1.89 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:  Thực hiện lời giải mà bạn đã đề ra. a)  Bạn có nghĩ rằng các bước là đúng? 3 x 2 b) 3 x  1,5 1.90 Chứng minh rằng với a, b kất kỳ thì:  Bạn có thể chứng minh nó đúng? a) 4 – Khai thác bài toán: 3 a3  a  Bạn có nghĩ ra một hướng khác để giải bài toán? Lời giải có ngắn hơn, đặc sắc hơn.  Bạn đã áp dụng cách giải đó cho bài toán nào chưa?  Bạn có thể áp dụng bài toán này để giải các bài toán khác đã biết? b)  a 3 3 a c) 3 a 3 b  a3 b Danh ngôn học tập Trong cách học, phải lấy tự học làm cốt. Hồ Chí Minh (Hết) Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 72 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 33 Bài tập Toán 9 Học kì 1 Bài tập Toán 9 Học kì 1   600 có cạnh 1.88 Cho ABC đều, gọi O là trung điểm của cạnh BC, xOy Ox, Oy luôn cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh : a) OBM  NOC suy ra OB2 = BM . CN  và b) OBM  ONM suy ra MO, NO lần lượt là tia phân giác BMN . CNM c) BM . CN = 1 BC2. 4 G – Căn bậc ba 1. Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a 2. Tính chất: a) a  b  3 a  3 b b) 1.89 Cho ABC cân tại A có H là trung điểm của BC. Gọi I là hình chiếu của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh : a) BIC  AOH b) AO  BI 1.90 Cho ABC cân tại A có đường cao AH, BK. Chứng minh : 1 1 1   . BK 2 BC2 4AH 2 3 ab  3 a .3 b c) Với b  0, ta có 1.86 Tính: a) 3 512 ; b) 3  343 ; 3 a 3a  b 3b 3  729 ; 3 0,064 ; 3 0,216 ; 3  0,008 . 3 0,027 ; 3 1,331 ; 3  0,512 ; 3 125 . 1.87 So sánh: a) 5 và 3 123 c) 23 3 và Giải bài toán như thế nào? – Phần 4 3 b) 53 6 và 63 5 d) 33 và 33 1333 23 1.88 Giải các phương trình sau: 3 – Giải bài toán: a) 3 x  1,5 b) 3 x  5  0,9 1.89 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:  Thực hiện lời giải mà bạn đã đề ra. a)  Bạn có nghĩ rằng các bước là đúng? 3 x 2 b) 3 x  1,5 1.90 Chứng minh rằng với a, b kất kỳ thì:  Bạn có thể chứng minh nó đúng? a) 4 – Khai thác bài toán: 3 a3  a  Bạn có nghĩ ra một hướng khác để giải bài toán? Lời giải có ngắn hơn, đặc sắc hơn.  Bạn đã áp dụng cách giải đó cho bài toán nào chưa?  Bạn có thể áp dụng bài toán này để giải các bài toán khác đã biết? b)  a 3 3 a c) 3 a 3 b  a3 b Danh ngôn học tập Trong cách học, phải lấy tự học làm cốt. Hồ Chí Minh (Hết) Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 72 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 33 Bài tập Toán 9 Học kì 1 H – Ôn tập chương 1 1.91 Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp: 25 16 196 1 14 34 a)   b) 3  2  2 81 49 9 16 25 81 640  34,3 c) d) 21,6. 810. 112  52 567 1.92 Rút gọn các biểu thức sau: a)   8  3 2  10 . 2  3 0,4  1 1 3 1 4 4  8 1   2 2  2 3  5 5  : 15 8   c)  f) 15  6 6  33  12 6   g) 5 200  3 450  2 50 : 10 62 h) i) 2  12  18  128 6 2  1  7  2 10  k) 5( 6  1) :    1 : 10  2  2  1.86 Các đường cao của ABC có ba góc nhọn cắt nhau tại H. Trên các đoạn   ANB   900 . HB, HC lấy điểm M và N sao cho AMC  2 1 2 Chứng minh : AM = AN. 2 3 2 1.87 Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh: a) cot A.cot B  cot B.cot C  cot C.cot A  1 b) t anA  tan B  tan C  t anA.tan B.tan C 1 c) SABC  AB.AC.sin A 2 2 3 2 l) 2 10  30  2 2  6 2 : 2 10  2 2 3 1 Gv: Trần Quốc Nghĩa e) AH = BC.sinB.cosB. f) BE CH  CF BH  AH BC g) Cho AH = 4 cm; BC = 10 cm. Tính SBEFC.  D   900 ). Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ 1.85 Cho hình thang ABCD ( A MK  BC tại K. Biết AB = 9cm, BC = 25cm, CD = 16cm. a) Tính AD, MB, MC. b) Chứng minh : MBC vuông tại M. c) Tính MK và diện tích MKC. 2 3  3  13  48 j)  1.82 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE  AB tại E và HF  AC tại F. Chứng minh: AB2 HB AB3 BE a)  và  . b) BC = AB.sinC + AC.cosB. AC2 HC AC3 CF c) AH3=BC.BE.CF=BC.AE.AF. d) AH2 = AB.AC.sinB.cosB. 1.84 Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB = 10cm, AH = 8cm. a) Tính BC và diện tích ABC. b) Gọi I là trung điểm của AC. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng HI tại K. Chứng minh: AKCH là hình chữ nhật. c) Đường thẳng BI cắt AH tại G và cắt CK tại M. Cmrằng : i. BGH  BMC ii. BG . BC = BM . BH 2 2 2 d) Chứng minh : BG + AH = AC + GH2. d) 2 ( 2  3) 2  2(3) 2  5 (1) 4 (2  3 ) 2  2 4  2 3 Học kì 1 1.83 Cho ABC nhọn (AB > AC) có đường cao AH và đường trung tuyến
AM. Chứng minh:

HAC
HC
  cot B  cot C
a) tan MAH
b) tan

2
2
AH  AC

b) 0, 2 (10) 2 .3  2 ( 3  5) 2

Bài tập Toán 9

Trang 34

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 71

Bài tập Toán 9

Học kì 1

H – Ôn tập chương 1
1.91 Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:
25 16 196
1 14 34
a)
 
b) 3  2  2
81 49 9
16 25 81
640  34,3
c)
d) 21,6. 810. 112  52
567
1.92 Rút gọn các biểu thức sau:
a)





8  3 2  10 . 2  3 0,4



1 1 3 1 4 4  8 1

 2 2  2 3  5 5  : 15 8



c) 

15  6 6  33  12 6





g) 5 200  3 450  2 50 : 10

62

2  12  18  128

6 2


 7  2 10


5( 6  1) :




 1 :
10  2 
2



1.86 Các đường cao của ABC có ba góc nhọn cắt nhau tại H. Trên các đoạn
  ANB
  900 .
HB, HC lấy điểm M và N sao cho AMC



2 1

Chứng minh : AM = AN.

2 3 2

1.87 Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh:
a) cot A.cot B  cot B.cot C  cot C.cot A  1
b) t anA  tan B  tan C  t anA.tan B.tan C
1
c) SABC  AB.AC.sin A
2

2 3 2
l)

2 10  30  2 2  6
2
:
2 10  2 2
3 1

Gv: Trần Quốc Nghĩa

e) AH = BC.sinB.cosB.
f) BE CH  CF BH  AH BC
g) Cho AH = 4 cm; BC = 10 cm. Tính SBEFC.

 D
  900 ). Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ
1.85 Cho hình thang ABCD ( A
MK  BC tại K. Biết AB = 9cm, BC = 25cm, CD = 16cm.
a) Tính AD, MB, MC.
b) Chứng minh : MBC vuông tại M.
c) Tính MK và diện tích MKC.

2 3  3  13  48

j) 

1.82 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE  AB tại E và HF  AC
tại F. Chứng minh:
AB2 HB
AB3 BE
a)

và

.
b) BC = AB.sinC + AC.cosB.
AC2 HC
AC3 CF
c) AH3=BC.BE.CF=BC.AE.AF.
d) AH2 = AB.AC.sinB.cosB.

1.84 Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB = 10cm, AH = 8cm.
a) Tính BC và diện tích ABC.
b) Gọi I là trung điểm của AC. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC
cắt đường thẳng HI tại K. Chứng minh: AKCH là hình chữ nhật.
c) Đường thẳng BI cắt AH tại G và cắt CK tại M. Cmrằng :
i. BGH  BMC
ii. BG . BC = BM . BH
2
2
2
d) Chứng minh : BG + AH = AC + GH2.

d) 2 ( 2  3) 2  2(3) 2  5 (1) 4

(2  3 ) 2  2 4  2 3

Học kì 1

1.83 Cho ABC nhọn (AB > AC) có đường cao AH và đường trung tuyến
AM. Chứng minh:

HAC
HC
  cot B  cot C
a) tan MAH
b) tan

2
2
AH  AC

b) 0, 2 (10) 2 .3  2 ( 3  5) 2

Bài tập Toán 9

Trang 34

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 71

Bài tập Toán 9

Học kì 1

  900 , AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH.
1.77 Cho ABC có A
a) Tính độ dài BC, AH, BH.
b) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H. Vẽ hình bình hành ADCE.
Chứng minh: ABCE là hình thang cân.
c) Tính diện tích hình thang cân ABCE.
1.78 Cho ABC có đường cao AH. Từ H vẽ HM  AB tại M, HN  AC tại N.
Biết HA = 15cm, HC = 36cm, BC = 56cm.
a) Tính AB, AC.
b) Chứng minh: AB.AM = AC.AN và ABC  ANM.
c) Chứng minh: AB.AM = AC.BN
d) Chứng minh: ABN  ACM.
1.79 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH.
 , tan ACB
.
a) Biết 3AB = 2AC. Tính sin ACB

b) Vẽ đường phân giác CK của AHC. Biết AH = 2,4 cm; BH = 1,8 cm.
.
Tính CH, AC, CK, cosHCK
c) Lấy M  BC. Kẻ ME  AB tại E và MF  AC tại F. Chứng minh
MB.MC = EA.EB + FE.FC
1.80 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường thẳng vuông góc với AC
tại C cắt tia AH tại D.
a) Chứng minh: BC.CH = AD.AH = AB.CD.

b) Chứng minh: S
S
.tan 2 ACB
ABC

m)
n)

Học kì 1

(5  2 6 )(49  20 6 )  5  2 6
9 3  11 2

8  2 10  2 5  8  2 10  2 5

o) (4  15 )( 10  6 ) 4  15
p) ( 5  3)( 10  2 ) 3  5
1.93 Phân tích thành nhân tử (với x, y, a, b dương và a > b)
a) 3 + x + 9 – x
b) xy + y x + x + 1
c)

xa  by  bx  ay

a  b  a2  b2

1.94 Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:

 9a  9  12 a  4a 2 với a =  9
3m
b) 1 
m 2  4m  4 với m < 0 m2 a) c) 1  10a  25a 2  4a với a = 2 d) 4x  9x 2  6x  1 với x =  3 1.95 Rút gọn các biểu thức sau:  x 2 1   10  x  a) A =    : x  2    x4 2 x  x 2  x 2  CAD x x y y  2 y  xy  : x  y    x y  x y   c) Kẻ HE  AB tại E. Chứng minh BE = BC.cos3B. AB2 .AC d) Chứng minh: EH  . BC 2 e) Gọi F là hình chiếu của H lên AC. C/m: SBEFC b) B =    SABC .(1  tan ACE) 2 AB 3  và AH = 12 cm. Tính AB, AC, BH, KH. AC 4 1.81 Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh: a) EF = AH.sinA S S S b) HBC  HAC  HAB t anA t anB t anC c) SDEF  (1  cos2 A  cos2 B  cos2 C).SABC f) Biết Gv: Trần Quốc Nghĩa Bài tập Toán 9 Trang 70  x c) C =  1   1 x d) D =   x 3 2 x x 2     :     x  2 3 x x 5 x 6  a  x2 a  x2 2 a  2 a x x với a > 0, x > 0.

1.96 Giải các phương trình sau:
a)
c)

5
1
15x  15x  11 
15x
3
3

(2x  1) 2  3

Gv: Trần Quốc Nghĩa

b)
d)

3 x 1
7 x 5



8
15

2  x  8  4x  3
Trang 35

Bài tập Toán 9

Học kì 1

m)
n)

Học kì 1

(5  2 6 )(49  20 6 )  5  2 6
9 3  11 2

8  2 10  2 5  8  2 10  2 5

o) (4  15 )( 10  6 ) 4  15
p) ( 5  3)( 10  2 ) 3  5
1.93 Phân tích thành nhân tử (với x, y, a, b dương và a > b)
a) 3 + x + 9 – x
b) xy + y x + x + 1
c)

xa  by  bx  ay

a  b  a2  b2

1.94 Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:

1.96 Giải các phương trình sau:
a)
c)

5
1
15x  15x  11 
15x
3
3

(2x  1) 2  3

Gv: Trần Quốc Nghĩa

b)
d)

3 x 1
7 x 5



8
15

2  x  8  4x  3
Trang 35

Bài tập Toán 9

Học kì 1

1.97 Chứng minh các đẳng thức sau:
2 3 6
216  1
1. a) 

 1,5

 82
3  6

 14  7
15  5 
1
b) 

 2
 :
1 3  7  5
 1 2
c)

4
(2  5)



3
2


e)   6  2 

4
(2  5) 2

1.71 Cho ABD có AB = 15cm, AD = 20cm, BD = 25cm. Vẽ AM  BD.
a) Chứng minh : ABD vuông. Tính AM, BM, MD.
b) Kẻ tia Bx // AD, vẽ AM  BD cắt Bx tại C. C/m : AB2 = AD.BC
c) Kẻ CE  AD cắt BD tại I. Chứng minh : BM2 = MI . MD.
d) Chứng minh : SAMB = SMCD.

8

2
3   3
2
3 
4
  6  2
 4
 2

3
2  2
3
2 

a b b a
1
:
 a  b (với a, b > 0 và a  0)
ab
a b
 a a   a a
b)  1 
  1 
  1  a (với a > 0 và a  1)
a  1  
a  1 

a b
a b
2b
2 b
c)



(với a, b > 0 và a  b
2 a 2 b 2 a 2 b ba
a b
 a a   a a
d)  1 
  1 
  1  a (với a, b > 0 và a  b)

a  1  
a  1 


2. a)

1.98 Tìm x nguyên để

x 1
nhận giá trị nguyên.
x 3

1.99 a) Chứng tỏ: x  4 x  4  ( x  4  2) 2
b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn:

A  x4 x4  x4 x4
1.100 Cho các biểu thức:
A  x  x  1 và B 
a) Tìm điều kiện xác định của A và B.
b) Chứng tỏ A  1 và B  5
c) Tìm x để A = 1, B = 2.

x  4  x 1

1.101 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Học kì 1

E – Ôn tập chương 1

2 3  2 3  6

Bài tập Toán 9

Trang 36

1.72 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD  AB, HE  AC,
AK  DE. Gọi I là giao điểm của AH và DE, biết AI2 = AD . AE.
Chứng minh : AI2 = DE . AK.
1.73 Cho ABC, một đường thẳng song song BC cắt AB tại D, cắt AC tại E
thỏa điều kiện DC2 = BC . DE.
a) Chứng minh : DEC  CDB.
b) Chứng minh : AD2 = AC . AE và AC2 = AB . AD
1.74 Cho ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh :
a) AF.AB = AH.AD = AE.AC
b) DH.DA = DB.DC
c) BF.BA = BH. BE = BD.BC
d) HB.HE = HC.HF = HA.HD
e) BH.BE + CH.CF = BC2
f) DB.DC = DH.DA
1.75 Cho ABC. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. Các
đường trung trực của cạnh BC và AC cắt nhau tại O. Gọi H là trực tâm và
G là trọng tâm của ABC. Chứng minh:
a) AHB  MON.
b) AHG  MOG.
c) Ba điểm H, G, O thẳng hàng. (đường thẳng Euler)
1.76 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BC = 5cm;
BH = 1,8cm. Gọi M là trung điểm của BC, đường trung trực của BC cắt
AC tại D.
a) Tính AB, AH.
b) Tính tỉ số diện tích của DMC và ABC.
1
c) Chứng minh : AC . DC = BC2.
2
d) Tính diện tích tứ giác ADMB.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 69

Bài tập Toán 9

Học kì 1

4
(2  5)



3
2


e)   6  2 

4
(2  5) 2

8

2
3   3
2
3 
4
  6  2
 4
 2

3
2  2
3
2 

2. a)

1.98 Tìm x nguyên để

x 1
nhận giá trị nguyên.
x 3

1.99 a) Chứng tỏ: x  4 x  4  ( x  4  2) 2
b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn:

x  4  x 1

1.101 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Học kì 1

E – Ôn tập chương 1

2 3  2 3  6

Bài tập Toán 9

Trang 36

Trang 69

Bài tập Toán 9

Học kì 1

1.67 Cho ABC vuông tại B, dựng tam giác ACD (B và D nằm khắc phía đối
  540 , ACD
  740 , AC = 8cm, AD = 9,6 cm. Hãy
với AC). Biết ACB
.
tính: AB và ADC

a) A =

Học kì 1

1
x  x 1

c) C = 1   9x 2  6x

1.68 Cho ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết HB = 2cm, HC = 64cm. Tính
, C
.
B
  600 , C
  400 .
1.69 Cho ABC có BC = 12cm, B
a) Tính chiều cao CH và AC. b) Tính SABC.

Giải bài toán như thế nào? – Phần 3
2 – Tìm tòi lời giải bài toán:

b) B =

4 x  x 2  21

d) D =

x2  4x

b) B =

2x 2  4x  5

1.102 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = 4 x 2  4 x  2
c) P =

1.70 Một con thuyền với vận tốc thực 2km/h vượt qua một khúc sông nước
chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một
góc 700. Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông ? Nếu có thể
hãy tính chính xác đến mét.

x3

d) Q = x – 2 x  2 .

x 1  2

1.103 Cho biểu thức: A 

1.104 Cho Q 

4 x 2  4x  1
. Chứng tỏ A = 0,5 với x  0,5.
4x  2


a
  1 
a2  b 2 
a2  b2
a


b
:
với a > b > 0

2
2
a

a

b


a) Rút gọn Q
b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b.

 Bạn đã gặp bài toán nào tương tự thế này chưa? Hay ở một dạng hơi
khác?
 Bạn có biết một định lý, một bài toán liên quan đến bài toán này
không?
 Hãy xét kỹ cái chưa biết, và thử nhớ xem có bài toán nào có cùng cái
chưa biết không?
 Đây là bài toán mà bạn đã có lần giải nó rồi, bạn có thể áp dụng
được gì ở nó? Phương pháp? Kết quả? Hay phải đưa thêm yếu tố phụ
vào mới áp dụng được?
 Hãy xét kỹ các khái niệm có trong bài toán và nếu cần hãy quay về
các định nghĩa.
 Nếu bạn chưa giải được bài toán này, hãy thử giải một bài toán phụ
dễ hơn có liên quan, một trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn?
Hãy giữ lại một phần giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng
mực nào? Từ các điều đó bạn có thể rút ra được điều gì có ích cho
việc giải bài toán? Với giả thiết nào thì bạn có thể giải được bài toán
này?
 Bạn đã tận dụng hết giả thiết của bài toán chưa?
(Xem tiếp ở trang 72) 

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Bài tập Toán 9

Trang 68

1.105 Cho biểu thức: A 

( a  b ) 2  4 ab
a b



a bb a
ab

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b) Khi A có nghĩa, chứng tỏ giá trị A không phụ thuộc vào a.
1.106 Cho biểu thức:


 2x  1
 1  x 3
x
 với x  0 và x  1

Q  


x

3


 x  1 x  x  1  1  x

a) Rút gọn Q.
b) Tìm giá trị của x để Q = 3.
1.107 Cho biểu thức:


x
x  9  3 x 1 1 
:

C  

  x  3 x  x  với x  0 và x  9.
9

x
3

x

 

a) Rút gọn C
b) Tìm giá trị của x để C <  1. 1.108 Cho biểu thức: A  6 x 2  5x y  y . a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử. Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 37 Bài tập Toán 9 Học kì 1 1.67 Cho ABC vuông tại B, dựng tam giác ACD (B và D nằm khắc phía đối   540 , ACD   740 , AC = 8cm, AD = 9,6 cm. Hãy với AC). Biết ACB . tính: AB và ADC a) A = Học kì 1 1 x  x 1 c) C = 1   9x 2  6x 1.68 Cho ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết HB = 2cm, HC = 64cm. Tính , C . B   600 , C   400 . 1.69 Cho ABC có BC = 12cm, B a) Tính chiều cao CH và AC. b) Tính SABC. Giải bài toán như thế nào? – Phần 3 2 – Tìm tòi lời giải bài toán: b) B = 4 x  x 2  21 d) D = x2  4x b) B = 2x 2  4x  5 1.102 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = 4 x 2  4 x  2 c) P = 1.70 Một con thuyền với vận tốc thực 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc 700. Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông ? Nếu có thể hãy tính chính xác đến mét. x3 d) Q = x – 2 x  2 . x 1  2 1.103 Cho biểu thức: A  1.104 Cho Q  4 x 2  4x  1 . Chứng tỏ A = 0,5 với x  0,5. 4x  2  a   1  a2  b 2  a2  b2 a  b : với a > b > 0

2
2
a

a

b


a) Rút gọn Q
b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b.

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Bài tập Toán 9

Trang 68

1.105 Cho biểu thức: A 

( a  b ) 2  4 ab
a b



a bb a
ab

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b) Khi A có nghĩa, chứng tỏ giá trị A không phụ thuộc vào a.
1.106 Cho biểu thức:


x
x  9  3 x 1 1 
:

C  

  x  3 x  x  với x  0 và x  9.
9

x
3

x

 

a) Rút gọn C
b) Tìm giá trị của x để C <  1. 1.108 Cho biểu thức: A  6 x 2  5x y  y . a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử. Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 37 Bài tập Toán 9 Học kì 1 Bài tập Toán 9 2 b b) Tính giá trị của A khi x   , y  . 3 4 7 x3 1.109 Cho biểu thức: B  x 1  2 D – Hệ thức giữa các cạnh và các góc . trong một tam giác vuông a) Tìm điều kiện xác định của B. b) Rút gọn B. 6x x x 3 1. Các hệ thức: 56 c) Tính giá trị của B khi x = 10 – d) Tìm giá trị nhỏ nhất của B. 1.110 Cho biểu thức: C  A 1) 2) 3) 4) . a) Tìm điều kiện xác định của C. b) Rút gọn B. c) Tìm giá trị lớn nhất của C. 1 1.111 Cho biểu thức: P  x 1  x    a) b) c) d)  1 x 1  x  x3  x x 1 . 53   350 ; c) a = 20 cm, B 92 7 a) b) c) d)  x   1 2 x : .    x  1   x  1 x x  x  x  1  a2  a a  a 1  a C d) c = 21 cm, b = 18 cm; 1.62 Cho ABC nhọn có đường cao AH và đường trung tuyến AM. Biết   57 0 , AB = 9 cm, AC = 12 cm. Giải tam giác ABC và tính AM. B 1.63 Một cây cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc của tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.   700 , C   500 . Tính 1.64 Cho ABC có đường cao AH. Biết AB = 25 cm, B độ dài AH và BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) 2a  a a 1.65 Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang đươực bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu ?  1. Rút gọn A. Biết a > 0, hãy so sánh A vớiA
Tìm a để A = 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Gv: Trần Quốc Nghĩa

1.61 Giải tam giác vuông ABC biết rằng Â = 900 và :
  300 ;
  450 ;
a) b = 10 cm, C
b) c = 10 cm, C

Tìm điều kiện xác định của Q.
Rút gọn Q.
Tính giá trị của Q khi x = 4 + 2 3
Giải bất phương trình : Q > 1.

1.113 Cho biểu thức: A 

2. Giải tam giác vuông:
Giải tam giác vuông là tìm tất cả các yếu tố còn lại của một tam giác
vuông khi biết trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và
không kể góc vuông).

d) Giải phương trình : P = 16.
1.112 Cho biểu thức: Q  1 

b = a.sinB = a.cosC
c = a.sinC = a.cosB
b = c.tanB = c.cotC
c = b.tanC =b.cotB
B

a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn P.
c) Tính giá trị của P khi x 

Học kì 1

  380 , ACB
  300 . Gọi điểm N
1.66 Cho ABC, trong đó AB = 11 cm, ABC
là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính: AN và AC.

Trang 38

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 67

Bài tập Toán 9

Học kì 1

Bài tập Toán 9

2
b
b) Tính giá trị của A khi x   , y 
.
3
4 7

x3

1.109 Cho biểu thức: B 

x 1  2

D – Hệ thức giữa các cạnh và các góc

trong một tam giác vuông

a) Tìm điều kiện xác định của B.
b) Rút gọn B.

6x x
x 3

1. Các hệ thức:

c) Tính giá trị của B khi x = 10 –
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
1.110 Cho biểu thức: C 

1)
2)
3)
4)

a) Tìm điều kiện xác định của C.
b) Rút gọn B.
c) Tìm giá trị lớn nhất của C.

1.111 Cho biểu thức: P 

x 1  x





a)
b)
c)
d)



1
x 1  x



x3  x
x 1

  350 ;
c) a = 20 cm, B

92 7

a)
b)
c)
d)


x   1
2 x
:
.



x  1   x  1 x x  x  x  1 

a2  a
a  a 1



d) c = 21 cm, b = 18 cm;

1.62 Cho ABC nhọn có đường cao AH và đường trung tuyến AM. Biết
  57 0 , AB = 9 cm, AC = 12 cm. Giải tam giác ABC và tính AM.
B
1.63 Một cây cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc của tia
sáng mặt trời tạo với mặt đất.
  700 , C
  500 . Tính
1.64 Cho ABC có đường cao AH. Biết AB = 25 cm, B
độ dài AH và BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

2a  a
a

1.65 Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng
nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang đươực bờ bên kia.
Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu ?

 1.

Rút gọn A.
Biết a > 0, hãy so sánh A vớiA
Tìm a để A = 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Gv: Trần Quốc Nghĩa

1.61 Giải tam giác vuông ABC biết rằng Â = 900 và :
  300 ;
  450 ;
a) b = 10 cm, C
b) c = 10 cm, C

Tìm điều kiện xác định của Q.
Rút gọn Q.
Tính giá trị của Q khi x = 4 + 2 3
Giải bất phương trình : Q > 1.

1.113 Cho biểu thức: A 

d) Giải phương trình : P = 16.
1.112 Cho biểu thức: Q  1 

b = a.sinB = a.cosC
c = a.sinC = a.cosB
b = c.tanB = c.cotC
c = b.tanC =b.cotB
B

a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn P.
c) Tính giá trị của P khi x 

Học kì 1

  380 , ACB
  300 . Gọi điểm N
1.66 Cho ABC, trong đó AB = 11 cm, ABC
là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính: AN và AC.

Trang 38

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 67

Bài tập Toán 9

Học kì 1


  3
 1  a  : 
 1 .
 1 a
  1  a2

3



C – Bảng lượng giác và máy tính bỏ túi
1.55 Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tính
sau đây:
a) sin40012
b) cos52054
c) tan63036
e) sin39013
f) cos52018
g) tan13020
i) sin70013
j) cos25032
k) tan43010

Bài tập Toán 9

1.114 Cho biểu thức: B  

các tỉ số lượng giác
d) cot25018
h) cot10017
l) cot32015

1.56 Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tính số đo của góc x (làm
tròn kết quả đến phút):
a) sinx  0,2368
b) cosx  0,6224
c) tanx  2,154
d) cotx  3,163
e) sinx  0,5446
f) cosx  0,4444
g) tanx  1,1111
h) cotx  0,7813
i) sinx  0,3495
j) cosx  0,5427

a) Tìm điều kiện xác định của B.
b) Rút gọn B.
c) Tính giá trị của B khi a 
d) Tìm giá trị của a để :

2 3
B  B.



a
b
 
 1 :
.
2
2
a2  b 2  a2  b 2
a

a

b

a

1.115 Cho biểu thức: M 
a) Rút gọn M.

b) Tìm giá trị của M nếu

a 3

b 2

c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1. 2  x 2 x  2  1  x    .  x 1 x  2 x 1 2   1.57 So sánh các tỉ số lượng giác (không dùng bảng và máy tính): a) sin200 và sin700 b) cos250 và cos63015’ c) tan73020’ và tg450 d) cot20 và cot37040’ 0 0 e) tan45 và cos45 f) cot320 và cos320 g) tan250 và sin250 h) cot600 và sin300 1.116 Cho biểu thức: P   a) b) c) d) 1.58 Không dùng bảng và máy tính hãy, tính: sin 250 a) b) tan580 – cot320 cos650 Tìm điều kiện xác định của P. Rút gọn P. Tính giá trị lớn nhất của P. Chứng minh: nếu 0 < x < 1 thì P > 0.

1.117 Cho biểu thức: Q 

1.59 Hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần (không dùng
bảng và máy tính).
a) sin780, cos140, sin470, cos870
b) tan730, cot250, tan620, cot380
1.60 Hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần (không dùng
bảng và máy tính).
a) tan420, tan560, cot30, cot180
b) sin130, cos470, tan460, cot20

a)
b)
c)
d)

2 x 9
x5 x 6

x 3
x 2



2 x 1
3 x

1.118 Cho biểu thức:

 xy
x3  y3
Q

 x y
yx

c) So sánh Q với

Trang 66



Tìm điều kiện xác định của Q.
Rút gọn Q.
Tìm các giá trị của x để Q < 1 Tìm x  Z sao cho Q  Z. a) Tìm điều kiện xác định của Q. Gv: Trần Quốc Nghĩa 3 Gv: Trần Quốc Nghĩa Q  :    x y  2  xy x y . b) Rút gọn Q. d) Chứng minh Q  0. Trang 39 Bài tập Toán 9 Học kì 1 Học kì 1    3  1  a  :   1 .  1 a   1  a2  3  C – Bảng lượng giác và máy tính bỏ túi 1.55 Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tính sau đây: a) sin40012 b) cos52054 c) tan63036 e) sin39013 f) cos52018 g) tan13020 i) sin70013 j) cos25032 k) tan43010 Bài tập Toán 9 1.114 Cho biểu thức: B   các tỉ số lượng giác d) cot25018 h) cot10017 l) cot32015 1.56 Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tính số đo của góc x (làm tròn kết quả đến phút): a) sinx  0,2368 b) cosx  0,6224 c) tanx  2,154 d) cotx  3,163 e) sinx  0,5446 f) cosx  0,4444 g) tanx  1,1111 h) cotx  0,7813 i) sinx  0,3495 j) cosx  0,5427 a) Tìm điều kiện xác định của B. b) Rút gọn B. c) Tính giá trị của B khi a  d) Tìm giá trị của a để : 2 3 B  B.   a b    1 : . 2 2 a2  b 2  a2  b 2 a  a  b  a 1.115 Cho biểu thức: M  a) Rút gọn M. b) Tìm giá trị của M nếu a 3  b 2 c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1. 2  x 2 x  2  1  x    .  x 1 x  2 x 1 2   1.57 So sánh các tỉ số lượng giác (không dùng bảng và máy tính): a) sin200 và sin700 b) cos250 và cos63015’ c) tan73020’ và tg450 d) cot20 và cot37040’ 0 0 e) tan45 và cos45 f) cot320 và cos320 g) tan250 và sin250 h) cot600 và sin300 1.116 Cho biểu thức: P   a) b) c) d) 1.58 Không dùng bảng và máy tính hãy, tính: sin 250 a) b) tan580 – cot320 cos650 Tìm điều kiện xác định của P. Rút gọn P. Tính giá trị lớn nhất của P. Chứng minh: nếu 0 < x < 1 thì P > 0.

1.117 Cho biểu thức: Q 

a)
b)
c)
d)

2 x 9
x5 x 6

x 3
x 2



2 x 1
3 x

1.118 Cho biểu thức:

 xy
x3  y3
Q

 x y
yx

c) So sánh Q với

Trang 66



Tìm điều kiện xác định của Q.
Rút gọn Q.
Tìm các giá trị của x để Q < 1 Tìm x  Z sao cho Q  Z. a) Tìm điều kiện xác định của Q. Gv: Trần Quốc Nghĩa 3 Gv: Trần Quốc Nghĩa Q  :    x y  2  xy x y . b) Rút gọn Q. d) Chứng minh Q  0. Trang 39 Bài tập Toán 9 1.119 Cho biểu thức: M  Học kì 1 3x  9x  3 x x 2 x 1  x 2 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn M 1.120 Cho biểu thức: P  x 2 1 x x2 x 3  3 x 2 1 x a) Tìm điều kiện xác định của P  2 x 3 3 x . b) Rút gọn P. 1 2 d) So sánh P với 2 . 3 1.122 Cho biểu thức: M  x 1  x x 1  2 x  x 1 . 1.52 Biết sin   b) Chứng minh: M  1. 2 x  x x  x 1 Hãy rút gọn A = 1 – x  x x  x 1 5 . Tính M  1.53 Hãy tìm cos và tan, nếu: 3 a) sin   5 2  2 . 1.54 Hãy tìm sin và cos, nếu: 1 a) tan   3 N  x 1. 2sin   cos 3sin   4cos  sin 2   sin .co s   cos 2  D 2sin .cos  B C  sin 2   2sin .cos  3cos 2  b) Tìm x để Q < 1. 3 a) Rút gọn M. 1.123 Cho biểu thức: N  7 . Hãy tìm sin, cos, tan. 3 1.51 Biết tanB = 2. Tính : sin B  cos B A sin B  cos B x3 x   9x x 3 2 x 3 . Q    1 :     x  9 x  x  6 x  2 x  3     1 1.50 a) Cho cos = 0,8. Hãy tìm sin, tan, cot. 3 b) Cho tan = . Hãy tìm sin, cos, cot. 4 c) Cho cot = 1.121 Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q Học kì 1  1.49 Cho ABC có đường cao AH. Biết HB = 20cm, HC = 21cm, B  450 . Tính AC. . b) Tìm x  Z sao cho M  Z. 15 x  11 c) Giải phương trình P =  Bài tập Toán 9 2 tan   10cos 5cos   4cot  b) sin   40 41 b) cot   3 4 Giải bài toán như thế nào? – Phần 2 1 – Tìm hiểu bài toán:  Đâu là ẩn? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? có thể thỏa mãn điều kiện bài toán? điều kiện có đủ để xác định ẩn? Hay là thừa, hay còn thiếu? Hay có mâu thuẫn?  Vẽ hình.  Sử dụng các kí hiệu thích hợp, có thể biểu diễn các điều kiện, dữ kiện thành công thức được không? Phân biệt rõ các phần của điều kiện. (Xem tiếp ở trang 68)  Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 40 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 65 Bài tập Toán 9 1.119 Cho biểu thức: M  Học kì 1 3x  9x  3 x x 2 x 1  x 2 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn M 1.120 Cho biểu thức: P  x 2 1 x x2 x 3  3 x 2 1 x a) Tìm điều kiện xác định của P  2 x 3 3 x . b) Rút gọn P. 1 2 d) So sánh P với 2 . 3 1.122 Cho biểu thức: M  x 1  x x 1  2 x  x 1 . 1.52 Biết sin   b) Chứng minh: M  1. 2 x  x x  x 1 Hãy rút gọn A = 1 – x  x x  x 1 5 . Tính M  1.53 Hãy tìm cos và tan, nếu: 3 a) sin   5 2  2 . 1.54 Hãy tìm sin và cos, nếu: 1 a) tan   3 N  x 1. 2sin   cos 3sin   4cos  sin 2   sin .co s   cos 2  D 2sin .cos  B C  sin 2   2sin .cos  3cos 2  b) Tìm x để Q < 1. 3 a) Rút gọn M. 1.123 Cho biểu thức: N  7 . Hãy tìm sin, cos, tan. 3 1.51 Biết tanB = 2. Tính : sin B  cos B A sin B  cos B x3 x   9x x 3 2 x 3 . Q    1 :     x  9 x  x  6 x  2 x  3     1 1.50 a) Cho cos = 0,8. Hãy tìm sin, tan, cot. 3 b) Cho tan = . Hãy tìm sin, cos, cot. 4 c) Cho cot = 1.121 Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q Học kì 1  1.49 Cho ABC có đường cao AH. Biết HB = 20cm, HC = 21cm, B  450 . Tính AC. . b) Tìm x  Z sao cho M  Z. 15 x  11 c) Giải phương trình P =  Bài tập Toán 9 2 tan   10cos 5cos   4cot  b) sin   40 41 b) cot   3 4 Giải bài toán như thế nào? – Phần 2 1 – Tìm hiểu bài toán:  Đâu là ẩn? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? có thể thỏa mãn điều kiện bài toán? điều kiện có đủ để xác định ẩn? Hay là thừa, hay còn thiếu? Hay có mâu thuẫn?  Vẽ hình.  Sử dụng các kí hiệu thích hợp, có thể biểu diễn các điều kiện, dữ kiện thành công thức được không? Phân biệt rõ các phần của điều kiện. (Xem tiếp ở trang 68)  Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 40 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 65 Bài tập Toán 9 Học kì 1 Bài tập Toán 9 Học kì 1 1.41 Tính giá trị của x (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3) trong mỗi trường hợp sau. Biết tanB  1,072; cosE  0,188. A x E Chương 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT D 16  63 x B (a) C A – Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số (b ) F 1.42 Cho MNP vuông ở M, đường cao MQ chia cạnh huyền NP thành hai đoạn NQ = 3, PQ = 6. Hãy so sánh cotN và cotP. Tỉ số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần. 1. Hàm số f từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một qui tắc cho tương ứng mỗi giá trị x  X với một và chỉ một giá trị y  Y mà ta kí hiệu f(x), x là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số tại x. 1.43 Biến đổi tỉ số lượng giác của các góc sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 450: sin600, cos750, sin52030, cot820, tan800. 2. Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x thuộc R. Xét hai giá trị bất kì x1, x2  R:  x1 < x2  f(x1) < f(x2) : hàm số đồng biến trên R.  x1 < x2  f(x1) > f(x2) : hàm số nghịch biến trên R.

1.44 Dựng góc nhọn , biết:
2
a) sin  
b) cos = 0,5
3

3
c) tan  
4

3
d) cot  
2

1.44 Dựng góc nhọn , biết:
2
a) sin  
b) cos = 0,5
3

3
c) tan  
4

3
d) cot  
2

1.45 Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh
rằng: Với góc nhọn  tùy ý, ta có:
a) sin < 1, cos < 1 sin  cos  b) tan   , cot   , tan . cot = 1 cos  sin  c) sin2 + cos2 = 1 3. Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm M(x ; y) trên mặt phẳng tọa độ thỏa y = f(x). Gọi (C) là đồ thị của hàm số f, ta có:  A(xA ; yA)  (C)  yA = f(xA).  B(xB ; yB)  (C)  yB  f(xB). 2.1 Hãy biểu diễn các điểm sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ: A(0 ; –3) B(2 ; 0) C(1 ; 3) D(–2 ; 4) F(–3 ; –2) G(2 ; –4) H(0 ; 2 ) I(– 3 ; 0) J(– 2 ; 3 ) K(– 2 ;– 3 ). 2.2 Trong các bảng sau ghi các giá trị tương ứng của x và y. Bảng nào xác định y là hàm số của x ? Vì sao ? 0 1.46 Cạnh huyền của một tam giác vuông có một góc bằng 60 là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 600. 0 1.47 Cạnh góc vuông kề với góc 60 của một tam giác vuông bằng 3. Hãy tìm cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại (sử dụng bảng lượng giác của các góc đặc biệt). 1.48 Đường cao BD của tam giác nhọn ABC bằng 6, đoạn thẳng AD bằng 5. a) Tính diện tích ABD. 3 4 b) Tính AC, dùng các thông tin sau đây nếu cần: sin   , cos C  . 5 5 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 64 2.3 x 1 2 4 5 7 8 x 3 4 3 5 8 y 3 5 9 11 15 17 y 6 8 4 8 16 2 x. 5 1 Tính: f(–2) ; f(–1) ; f(0) ; f   ; f(1); f(2); f(3) 2 2 b) Cho hàm số y = g(x) = x + 3 5 a) Cho hàm số y = f(x) = Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 41 Bài tập Toán 9 Học kì 1 1 Tính: g(–2); g(–1); g(0); g   ; g(1); g(2); g(3) 2 c) Có nhận xét gì về giá trị của hai hàm số đã cho ở trên khi biến x lấy cùng một giá trị ? 2.4 Cho hàm số y = f(x) = Tính : f(–3) ; 2.5 3 x. 4 1 f(–2) ; f(–1) ; f (0) ; f   ; f(a) ; f(a + 1) 2 2 x + 3. 5 a) Tính giá trị tương ứng của y theo các giá trị của x rồi điền vào bảng: Cho hàm số y = f(x) = x y= –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 2 x+3 5 b) Hàm số đã cho là hàm đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao ? 2.6 2.7 2.8 Cho hai hàm số y = 3x và y = – 3x. a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho. b) Trong hai hàm số trên, hàm số nào đồng biến ? Hàm số nào nghịch biến ? Vì sao ? Bài tập Toán 9 Học kì 1 4. Một số hệ thức giữa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn: Cho góc nhọn , ta có: sin  1) sin 2   cos 2  1 2) tan   cos co s  3) cot   4) tan.cot = 1 sin 5. So sánh các tỉ số lượng giác:  Khi góc nhọn  tăng dần thì sin và tan tăng, còn cos và cot giảm  Với cùng một góc nhọn  thì: sin < tan; cos < cot. 1.34 Cho ABC vuong tại A, đường cao AH. Tính các tỉ số lượng giác của các góc B từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C, nếu biết: a) AB = 16cm; BC = 12 cm b) AB = 13 cm; BH = 5 cm c) BH = 16 cm; CH = 9 cm d) AB = 6 cm; AC = 8 cm 1.35 Lập tỉ số lượng giác của góc 340 bằng cách vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 340. 1.36 Cho ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,90m, BC = 1,20m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A. Cho hai hàm số y = x và y = 0,25x. a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho. b) Đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ là 4 lần lượt cắt các đường thẳng y = x và y = 0,25x tại A và B. Tìm tọa độ của các điểm A, B và tính chu vi, diện tích của OAB theo đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét. 1.37 Cho hình bên: 3 Biết tan   . Hãy tính: 4 a) Cạnh AC. b) Cạnh BC. Cho hai hàm số y = 2x và y = 2x + 3. a) Tính giá trị y tương ứng của mỗi hàm số theo giá trị của biến x rồi điền vào bảng sau:  1.38 Cho ABC vuông tại A, B  300 , BC = 8cm. Hãy tính cạnh AB (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba). Biết cos300  0,866. x – 2,25 –1,5 –1 0 1 1,5  A 2,25 1.39 Cho ABC vuông tại A, Chứng minh rằng: y = 2x y = 2x + 3 b) Có nhận xét gì về các giá trị tương ứng của hai hàm số khi biến x lấy cùng một giá trị ? Gv: Trần Quốc Nghĩa C Trang 42 6 cm B AC sin B  . AB sin C 1.40 Cho ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Tính sinB, sinC, biết: a) AB = 13cm, BH = 5cm. b) BH = 3cm, CH = 4cm. Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 63 Bài tập Toán 9 Học kì 1 1 Tính: g(–2); g(–1); g(0); g   ; g(1); g(2); g(3) 2 c) Có nhận xét gì về giá trị của hai hàm số đã cho ở trên khi biến x lấy cùng một giá trị ? 2.4 Cho hàm số y = f(x) = Tính : f(–3) ; 2.5 3 x. 4 1 f(–2) ; f(–1) ; f (0) ; f   ; f(a) ; f(a + 1) 2 2 x + 3. 5 a) Tính giá trị tương ứng của y theo các giá trị của x rồi điền vào bảng: Cho hàm số y = f(x) = x y= –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 2 x+3 5 b) Hàm số đã cho là hàm đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao ? 2.6 2.7 2.8 Cho hai hàm số y = 3x và y = – 3x. a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho. b) Trong hai hàm số trên, hàm số nào đồng biến ? Hàm số nào nghịch biến ? Vì sao ? Bài tập Toán 9 Học kì 1 4. Một số hệ thức giữa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn: Cho góc nhọn , ta có: sin  1) sin 2   cos 2  1 2) tan   cos co s  3) cot   4) tan.cot = 1 sin 5. So sánh các tỉ số lượng giác:  Khi góc nhọn  tăng dần thì sin và tan tăng, còn cos và cot giảm  Với cùng một góc nhọn  thì: sin < tan; cos < cot. 1.34 Cho ABC vuong tại A, đường cao AH. Tính các tỉ số lượng giác của các góc B từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C, nếu biết: a) AB = 16cm; BC = 12 cm b) AB = 13 cm; BH = 5 cm c) BH = 16 cm; CH = 9 cm d) AB = 6 cm; AC = 8 cm 1.35 Lập tỉ số lượng giác của góc 340 bằng cách vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 340. 1.36 Cho ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,90m, BC = 1,20m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A. Cho hai hàm số y = x và y = 0,25x. a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho. b) Đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ là 4 lần lượt cắt các đường thẳng y = x và y = 0,25x tại A và B. Tìm tọa độ của các điểm A, B và tính chu vi, diện tích của OAB theo đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét. 1.37 Cho hình bên: 3 Biết tan   . Hãy tính: 4 a) Cạnh AC. b) Cạnh BC. Cho hai hàm số y = 2x và y = 2x + 3. a) Tính giá trị y tương ứng của mỗi hàm số theo giá trị của biến x rồi điền vào bảng sau:  1.38 Cho ABC vuông tại A, B  300 , BC = 8cm. Hãy tính cạnh AB (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba). Biết cos300  0,866. x – 2,25 –1,5 –1 0 1 1,5  A 2,25 1.39 Cho ABC vuông tại A, Chứng minh rằng: y = 2x y = 2x + 3 b) Có nhận xét gì về các giá trị tương ứng của hai hàm số khi biến x lấy cùng một giá trị ? Gv: Trần Quốc Nghĩa C Trang 42 6 cm B AC sin B  . AB sin C 1.40 Cho ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Tính sinB, sinC, biết: a) AB = 13cm, BH = 5cm. b) BH = 3cm, CH = 4cm. Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 63 Bài tập Toán 9 Học kì 1 Bài tập Toán 9 2.9 B – Tỉ số lượng giác của góc nhọn 2. 3. 4. sin   doi AB  huyen BC co s   2.11 Cho hàm số y = f(x) = – A ke AC  huyen BC doi tan    ke ke cot    doi Cho hàm số y = f(x) = 5x. Cho x hai giá trị bất kì x1, x2 sao cho x1 < x2. Hãy chứng minh f(x1) < f(x2) rồi rút ra kết luận hàm số đã cho đồng bến trên R. 2.10 Cho hàm số y = f(x) = – 2x. Cho x hai giá trị bất kì x1, x2 sao cho x1 < x2. Hãy chứng minh f(x1) > f(x2)
rồi rút ra kết luận hàm số đã cho nghịch bến trên R.

1. Định nghĩa:
1.

Học kì 1

nghịch biến trên R.

AB
AC
AC
AB

2.12 Chứng minh hàm số y = 2x – 1 đồng biến trên R.
2.13 Cho hàm số y = f(x) = x .
a) Tìm ĐKXĐ và chứng minh rằng hàm số đồng biến với ĐKXĐ đó.
b) Trong các điểm A(4 ; 2), B(2 ; 1), C(9 ; –3), D(8 ; 2 2 ) điểm nào
thuộc và điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số trên ?


C

2.14 Tìm điều kiện xác định của các hàm số sau:
a) y = – x + 5
b) y = 2×2

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau (có tổng số đo bằng 900):
A

1) sin = cos

c) y = 3
e) y 

3) tan = cot



4) cot = tan


C

3. Bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:



300

450

600

sin

1
2

2
2

3
2

cos

3
2

2
2

1
2

tan

3
3

cot

3
3

x 1
x 2  2x  3
5x
f) y 
x 1

d) y =

2) cos = sin

Gv: Trần Quốc Nghĩa

2
x + 3 với x  R. Chứng minh rằng hàm số
5

3x
7x  10  x 2

g) y  x  2x  1

h) y  x  5  3  x

i) y  2  x  2 1  x

j) y =

x 2  3x  2

2.15 Cho hàm số y = f(x) =  x 2  3x  2 .
a) Tìm ĐKXĐ của hàm số.
5
7
b) Hãy so sánh f   và f   .
4
4
1
c) Tìm x, biết f(x) =
2
x 1
2.16 Cho hàm số y = f(x) =
.
x 1
a) Tìm ĐKXĐ của hàm số.
b) Tính f(4 – 2 3 ); f(a2) với a < –1. c) Tìm giá trị x để f(x) = 3 d) Tìm giá trị x để f(x) = f(x2). Trang 62 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 43 Bài tập Toán 9 Học kì 1 Bài tập Toán 9 2.9 B – Tỉ số lượng giác của góc nhọn 2. 3. 4. sin   doi AB  huyen BC co s   2.11 Cho hàm số y = f(x) = – A ke AC  huyen BC doi tan    ke ke cot    doi Cho hàm số y = f(x) = 5x. Cho x hai giá trị bất kì x1, x2 sao cho x1 < x2. Hãy chứng minh f(x1) < f(x2) rồi rút ra kết luận hàm số đã cho đồng bến trên R. 2.10 Cho hàm số y = f(x) = – 2x. Cho x hai giá trị bất kì x1, x2 sao cho x1 < x2. Hãy chứng minh f(x1) > f(x2)
rồi rút ra kết luận hàm số đã cho nghịch bến trên R.

1. Định nghĩa:
1.

Học kì 1

nghịch biến trên R.

AB
AC
AC
AB


C

2.14 Tìm điều kiện xác định của các hàm số sau:
a) y = – x + 5
b) y = 2×2

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau (có tổng số đo bằng 900):
A

1) sin = cos

c) y = 3
e) y 

3) tan = cot



4) cot = tan


C

3. Bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:



300

450

600

sin

1
2

2
2

3
2

cos

3
2

2
2

1
2

tan

3
3

cot

3
3

x 1
x 2  2x  3
5x
f) y 
x 1

d) y =

2) cos = sin

Gv: Trần Quốc Nghĩa

2
x + 3 với x  R. Chứng minh rằng hàm số
5

3x
7x  10  x 2

g) y  x  2x  1

h) y  x  5  3  x

i) y  2  x  2 1  x

j) y =

x 2  3x  2

2.15 Cho hàm số y = f(x) =  x 2  3x  2 .
a) Tìm ĐKXĐ của hàm số.
5
7
b) Hãy so sánh f   và f   .
4
4
1
c) Tìm x, biết f(x) =
2
x 1
2.16 Cho hàm số y = f(x) =
.
x 1
a) Tìm ĐKXĐ của hàm số.
b) Tính f(4 – 2 3 ); f(a2) với a < –1. c) Tìm giá trị x để f(x) = 3 d) Tìm giá trị x để f(x) = f(x2). Trang 62 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 43 Bài tập Toán 9 Học kì 1 2.17 Cho hai hàm số y = f(x) = 6×2 và y = g(x) = 5x. a) Hãy chứng tỏ f(–x) = f(x) và g(–x) = – g(x). b) Tìm số a sao cho f(a) = g(a) Bài tập Toán 9 Học kì 1 a) AB.AD = AC.AE b) AB2 BH  AC2 CH c) AB3 BD  AC3 CE d) AH 3  BC.BD.CE e) Biết BC = 10 cm, AH = 4 cm. Tính HB, HC và SADHE, SBDEC. 2.18 Cho 2 hàm số y  f (x)  x 2  4 và y  g(x)  x 2  4 . 1.32 Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm giữa B và C. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DB, DC lần lượt tại I và N. Chứng minh: 1 1 1 a) IB2 + ID2 = 2IA2. b)   2 2 AB AM AN 2 1 1   Hãy tính f  a   + g  a   với a > 0.
a
a



1.33 Cho ABC. Từ một điểm M bất kỳ trong tam giác kẻ MD  BC,
ME  AC, MF  AB.
Chứng minh rằng: BD2 + CE2 + AF2 = DC2 + EA2 + FB2.

Giải bài toán như thế nào? – Phần 1
G. Polya là một nhà Toán học, nhà sư phạm nổi
tiếng người Mỹ, nếu bạn là một người quan tâm
nhiều đến Toán học cũng như các vấn đề liên quan
chắc hẳn bạn đã từng đọc qua hoặc ghe nói đến
bộ sách 3 quyển của ông được dịch ra tiếng Việt
– Ba trong số hững tác phẩm tâm huyết nhất của ông bàn về quá
trình giải Toán, sáng tạo, tìm tòi các vấn đề Toán “Giải bài toán
như thế nào?”, “Sáng tạo Toán học” và “Toán học và những suy
luận có lý”.

Đây là bài viết tóm lược những ý chính trong quyển
sách “Giải bài toán như thế nào?” – cũng cần nói thêm ở đây rằng
từ “Giải bài toán” theo G. Polya không đơn thuần chỉ dừng lại ở
việc tìm ra đáp số, như nhiều học sinh thậm chí cả sinh viên vẫn
thường hay hiểu, “Giải bài toán” ở đây bao quát toàn bộ quá trình
suy ngẫm, tìm tòi lời giải cũng như lý giải nguyên nhân phát sinh
bài toán, và cuối cùng là phát triển bài toán vừa làm được, hoặc ít
ra nêu ra những hướng đi mới trên cơ sở đã hiểu nguồn gốc từ đâu
bài toán phát sinh.
(Xem tiếp ở trang 65) 

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 44

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 61

Bài tập Toán 9

Học kì 1

2.17 Cho hai hàm số y = f(x) = 6×2 và y = g(x) = 5x.
a) Hãy chứng tỏ f(–x) = f(x) và g(–x) = – g(x).
b) Tìm số a sao cho f(a) = g(a)

Bài tập Toán 9

Học kì 1

a) AB.AD = AC.AE

AB2 BH

AC2 CH

AB3 BD

AC3 CE

d) AH 3  BC.BD.CE
e) Biết BC = 10 cm, AH = 4 cm. Tính HB, HC và SADHE, SBDEC.

2.18 Cho 2 hàm số y  f (x)  x 2  4 và y  g(x)  x 2  4 .

1.32 Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm giữa B và C. Đường thẳng AM
cắt đường thẳng DB, DC lần lượt tại I và N. Chứng minh:
1
1
1
a) IB2 + ID2 = 2IA2.
b)


2
2
AB
AM
AN 2

1
1


Hãy tính f  a   + g  a   với a > 0.
a
a



1.33 Cho ABC. Từ một điểm M bất kỳ trong tam giác kẻ MD  BC,
ME  AC, MF  AB.
Chứng minh rằng: BD2 + CE2 + AF2 = DC2 + EA2 + FB2.

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 44

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 61

Bài tập Toán 9

Học kì 1

b) Kẻ Bx // AC cắt AH ở D. Tính HD và c/m: AB2 = AC . BD.
c) Kẻ DE  AC (E  AC), DE cắt BC ở F. C/minh: BH2 = HF . HC
d) Chứng minh: SABH = SCDH. (Không cần tính diện tích)
1.27 Cho ABC vuông ở A có AB = 12cm, AC = 16cm.
a) Tính độ dài trung tuyến AM.
b) Kẻ đường cao AH. Tính chu vi ABH.
c) Tia phân giác của góc AMB và góc AMC cắt AB, AC lần lượt ở D và
E. Chứng minh: ABC và ADE đồng dạng.
d) Tính: SBDEC và SDME.
1.28 Cho ABC vuông tại A, đường cao AD. Đặt BC = a, AB = c, AC = b,
AD = h.
a) Chứng minh rằng số đo độ dài h; b + c; a + h là độ dài ba cạnh của
một tam giác vuông.
b) Chứng minh: EA.EB + FE.FB = DB.DC
c) C/minh hệ thức trên đúng với mọi vị trí của D bất kì trên cạnh BC.
d) Kẻ DE  AB tại E, DF  AC tại F. Chứng minh rằng:
b2 c
bc 2
AE  2 2 và AF  2
b c
b  c2
BF c3
e) Chứng minh rằng:

CF b3
1.29 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 9cm, BD = 5cm,
AC = 12cm.
.
a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Tính DBE
b) Tính diện tích hình thang ABCD.
1.30 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD  AB, HE  AC,
AK  DE (D  AB, E  AC, K  DE). Gọi I là giao điểm của AH và
DE. Biết AI2 = AD.AE.
a) Chứng minh: AI2 = DE.AK.

b) Tính AIK . Tính các góc của ABC.
c) AK cắt BC ở N. Chứng minh: N là trung điểm của BC.
1.31 Cho ABC vuông tại A (AB < AC) với đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh: Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 60 Bài tập Toán 9 Học kì 1 B – Hàm số bậc nhất y = ax + b (a  0) C – Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a  0) 1. Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trước và a  0. 2. Hàm số bậc nhất xác định với mọi x  R và có tính chất sau:  Đồng biến trên R khi a > 0.
 Nghịch biến trên R khi a < 0. 3. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a  0) là một đường thẳng:  Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. (b gọi là tung độ gốc của đường thẳng)  Song song với đường thẳng y = ax, nếu b  0, trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0. 4. Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b ta chỉ cần xác định dược hai điểm phân biệt nào đó thuộc đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó. Ta thường xác định hai điểm đặc biệt là giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ. 5. Hệ số a của đường thẳng y = ax + b gọi là hệ số góc của đường thẳng. Còn b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng. 6. Cho 2 đường thẳng: (d) : y =ax + b và (d) : y = ax + b(với a, a  0):  (d)  (d)  a = a và b = b  (d) // (d)  a = a và b  b  (d) cắt (d)  a  a  (d)  (d)  a . a= –1  (d) cắt (d) tại một điểm trên trục tung  a  a và b = b 2.19 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất ? Hãy xác định các hệ số a, b của chúng và xét xem hàm số bậc nhất đó đồng biến hay nghịch biến ? a) y = 1 – 5x b) y = – 0,5x c) y = 2 (x – 1) + 3 d) y = 2×2 + 3 e) y = 3 x – g) y = –1,5x Gv: Trần Quốc Nghĩa 2 (2 – x) f) y = 3 – 0,5x h) y = 5 – 2×2 Trang 45 Bài tập Toán 9 Học kì 1 b) Kẻ Bx // AC cắt AH ở D. Tính HD và c/m: AB2 = AC . BD. c) Kẻ DE  AC (E  AC), DE cắt BC ở F. C/minh: BH2 = HF . HC d) Chứng minh: SABH = SCDH. (Không cần tính diện tích) 1.27 Cho ABC vuông ở A có AB = 12cm, AC = 16cm. a) Tính độ dài trung tuyến AM. b) Kẻ đường cao AH. Tính chu vi ABH. c) Tia phân giác của góc AMB và góc AMC cắt AB, AC lần lượt ở D và E. Chứng minh: ABC và ADE đồng dạng. d) Tính: SBDEC và SDME. 1.28 Cho ABC vuông tại A, đường cao AD. Đặt BC = a, AB = c, AC = b, AD = h. a) Chứng minh rằng số đo độ dài h; b + c; a + h là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. b) Chứng minh: EA.EB + FE.FB = DB.DC c) C/minh hệ thức trên đúng với mọi vị trí của D bất kì trên cạnh BC. d) Kẻ DE  AB tại E, DF  AC tại F. Chứng minh rằng: b2 c bc 2 AE  2 2 và AF  2 b c b  c2 BF c3 e) Chứng minh rằng:  CF b3 1.29 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 9cm, BD = 5cm, AC = 12cm. . a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Tính DBE b) Tính diện tích hình thang ABCD. 1.30 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD  AB, HE  AC, AK  DE (D  AB, E  AC, K  DE). Gọi I là giao điểm của AH và DE. Biết AI2 = AD.AE. a) Chứng minh: AI2 = DE.AK.  b) Tính AIK . Tính các góc của ABC. c) AK cắt BC ở N. Chứng minh: N là trung điểm của BC. 1.31 Cho ABC vuông tại A (AB < AC) với đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh: Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 60 Bài tập Toán 9 Học kì 1 B – Hàm số bậc nhất y = ax + b (a  0) C – Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a  0) 1. Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trước và a  0. 2. Hàm số bậc nhất xác định với mọi x  R và có tính chất sau:  Đồng biến trên R khi a > 0.
 Nghịch biến trên R khi a < 0. 3. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a  0) là một đường thẳng:  Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. (b gọi là tung độ gốc của đường thẳng)  Song song với đường thẳng y = ax, nếu b  0, trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0. 4. Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b ta chỉ cần xác định dược hai điểm phân biệt nào đó thuộc đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó. Ta thường xác định hai điểm đặc biệt là giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ. 5. Hệ số a của đường thẳng y = ax + b gọi là hệ số góc của đường thẳng. Còn b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng. 6. Cho 2 đường thẳng: (d) : y =ax + b và (d) : y = ax + b(với a, a  0):  (d)  (d)  a = a và b = b  (d) // (d)  a = a và b  b  (d) cắt (d)  a  a  (d)  (d)  a . a= –1  (d) cắt (d) tại một điểm trên trục tung  a  a và b = b 2.19 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất ? Hãy xác định các hệ số a, b của chúng và xét xem hàm số bậc nhất đó đồng biến hay nghịch biến ? a) y = 1 – 5x b) y = – 0,5x c) y = 2 (x – 1) + 3 d) y = 2×2 + 3 e) y = 3 x – g) y = –1,5x Gv: Trần Quốc Nghĩa 2 (2 – x) f) y = 3 – 0,5x h) y = 5 – 2×2 Trang 45 Bài tập Toán 9 Học kì 1 i) y + 2 = x – k) y = j) y = 3 2x  1 3 Bài tập Toán 9 Học kì 1  cắt đường chéo AC 1.16 Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của B 2 5 thành hai đoạn 4 m và 5 m . Tính các kích thước của hình chữ nhật. 7 7 1 x l) y = 5 x  2 . 2.20 Cho các hàm số y = (m – 2)x + 3 và y = (m + 1) + 5. Tìm các giá trị của m để mỗi hàm số: a) Là hàm số bậc nhất b) Là hàm số nghịch biến c) Là hàm số đồng biến. 2.21 Một hình chữ nhật có các kích thước là 15cm và 25cm. Người ta tăng thêm mỗi kích thước của hình đó thêm x (cm) được hình chữ nhật mới có chu vi là y (cm). Hãy lập công thức tính y theo x. 2.22 Một hình chữ nhật có các kích thước là 30cm và 40cm. Người ta giảm bớt mỗi kích thước của hình đó x (cm). Gọi S và P thứ tự là diện tích và chu vi của hình chữ nhật mới theo x. a) Hỏi rằng các đại lượng S và P có phải là hàm số bậc nhất của x không? Vì sao ? b) Tính giá trị tương ứng của P khi x nhận các giá trị (tính theo đợ vị cm) sau: 0; 1; 1,5; 2,5; 3,5. 2.23 Chứng minh rằng hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi a > 0 và
nghịch biến khi a < 0. 2.24 Cho hàm số y = ax + 5. Tìm hệ số a, biết rằng khi x = 1 thì y = 2. 2.25 Với giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất ? m 1 1 3 a) y = 5  m (x – 1) b) y = x + 3,5 c) y = x– m 1 m2 4 2.26 Cho hàm số y = (1 – 5 )x – 1. a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao ? b) Tính giá trị của y khi x = 1 + 5 1.17 Cho ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của ABH là 30cm và ACH là 40cm. Tính chu vi của ABC. 1.18 Cho ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN. 1.19 Cho ABC vuông ở A, AB = 30cm, AC = 40cm, đường cao AH, trung tuyến AM. a) Tính BH, HM, MC. b) Tính AH. 1.20 Cho ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Biết HM = 15cm, HN = 20cm. Tính HB, HC, AH. 1.21 Cho ABC cân ở A, đường cao BK. Biết AK = 7cm, KC = 2cm. Tính BC. 1.22 Cho ABC vuông ở A có AC = 20cm, chiều cao AH = 12cm. Tính diện tích ABC. 1.23 Cho hình vuông ABCD, gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia cắt CB cắt nhau ở K. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với DI để đường thẳng BC tại M. a) Chứng minh: IDM cân. 1 1 b) Chứng minh:  không đổi khi I di chuyển trên cạnh AB. 2 DI DK 2 5.  D   900 ) có hai đường chéo AC và 1.24 Cho hình thang vuông ABCD ( A BD vuông góc với nhau tại H. Biết HD = 18 cm, HB = 8 cm. tính diện tích hình thang ABCD. 2.27 Cho hàm số y = (3 – 2 )x + 1. a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao ? b) Tính giá trị của y khi x nhận các giá trị: 0; 1; 2 ; 3 + 2 ; 3 – 2 c) Tính giá trị của x khi y nhận các giá trị: 0; 1; 8; 2 + 2 ; 2 – 2 . 1.25 Cho ABC cân tại A, kẻ đường cao AH và CK. Biết AH = 7,5 cm; CK = 12 cm. Tính BC, AB. c) Tính giá trị của x khi y = 2.28 Tìm trên mặt phẳng tọa độ tất cả các điểm : a) Có tung độ bằng 6; b) Có hoành độ bằng – 3 ; Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 46 1.26 Cho ABC có đường cao AH (H nằm giữa B và C). AH = 12cm, HB = 9cm, BC = 25cm. a) Chứng minh: ABC vuông tại A. Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 59 Bài tập Toán 9 Học kì 1 i) y + 2 = x – k) y = j) y = 3 2x  1 3 Bài tập Toán 9 Học kì 1  cắt đường chéo AC 1.16 Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của B 2 5 thành hai đoạn 4 m và 5 m . Tính các kích thước của hình chữ nhật. 7 7 1 x l) y = 5 x  2 . 2.20 Cho các hàm số y = (m – 2)x + 3 và y = (m + 1) + 5. Tìm các giá trị của m để mỗi hàm số: a) Là hàm số bậc nhất b) Là hàm số nghịch biến c) Là hàm số đồng biến. 2.21 Một hình chữ nhật có các kích thước là 15cm và 25cm. Người ta tăng thêm mỗi kích thước của hình đó thêm x (cm) được hình chữ nhật mới có chu vi là y (cm). Hãy lập công thức tính y theo x. 2.22 Một hình chữ nhật có các kích thước là 30cm và 40cm. Người ta giảm bớt mỗi kích thước của hình đó x (cm). Gọi S và P thứ tự là diện tích và chu vi của hình chữ nhật mới theo x. a) Hỏi rằng các đại lượng S và P có phải là hàm số bậc nhất của x không? Vì sao ? b) Tính giá trị tương ứng của P khi x nhận các giá trị (tính theo đợ vị cm) sau: 0; 1; 1,5; 2,5; 3,5. 2.23 Chứng minh rằng hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi a > 0 và
nghịch biến khi a < 0. 2.24 Cho hàm số y = ax + 5. Tìm hệ số a, biết rằng khi x = 1 thì y = 2. 2.25 Với giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất ? m 1 1 3 a) y = 5  m (x – 1) b) y = x + 3,5 c) y = x– m 1 m2 4 2.26 Cho hàm số y = (1 – 5 )x – 1. a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao ? b) Tính giá trị của y khi x = 1 + 5 1.17 Cho ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của ABH là 30cm và ACH là 40cm. Tính chu vi của ABC. 1.18 Cho ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN. 1.19 Cho ABC vuông ở A, AB = 30cm, AC = 40cm, đường cao AH, trung tuyến AM. a) Tính BH, HM, MC. b) Tính AH. 1.20 Cho ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Biết HM = 15cm, HN = 20cm. Tính HB, HC, AH. 1.21 Cho ABC cân ở A, đường cao BK. Biết AK = 7cm, KC = 2cm. Tính BC. 1.22 Cho ABC vuông ở A có AC = 20cm, chiều cao AH = 12cm. Tính diện tích ABC. 1.23 Cho hình vuông ABCD, gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia cắt CB cắt nhau ở K. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với DI để đường thẳng BC tại M. a) Chứng minh: IDM cân. 1 1 b) Chứng minh:  không đổi khi I di chuyển trên cạnh AB. 2 DI DK 2 5.  D   900 ) có hai đường chéo AC và 1.24 Cho hình thang vuông ABCD ( A BD vuông góc với nhau tại H. Biết HD = 18 cm, HB = 8 cm. tính diện tích hình thang ABCD. 2.27 Cho hàm số y = (3 – 2 )x + 1. a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao ? b) Tính giá trị của y khi x nhận các giá trị: 0; 1; 2 ; 3 + 2 ; 3 – 2 c) Tính giá trị của x khi y nhận các giá trị: 0; 1; 8; 2 + 2 ; 2 – 2 . 1.25 Cho ABC cân tại A, kẻ đường cao AH và CK. Biết AH = 7,5 cm; CK = 12 cm. Tính BC, AB. c) Tính giá trị của x khi y = 2.28 Tìm trên mặt phẳng tọa độ tất cả các điểm : a) Có tung độ bằng 6; b) Có hoành độ bằng – 3 ; Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 46 1.26 Cho ABC có đường cao AH (H nằm giữa B và C). AH = 12cm, HB = 9cm, BC = 25cm. a) Chứng minh: ABC vuông tại A. Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 59 Bài tập Toán 9 Học kì 1 1.4 Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh của  vuông này. 1.5 Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5, còn đường cao ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này. 1.6 1.7 1.8 1.9 Cho một tam giác vuông. Biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền. AB 5 Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết  , đường cao AH = 30 cm. AC 6 Tính BH, HC. AB 3 Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết  , đường cao AH = 42 cm. AC 7 Tính BH, HC. Cho h.vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Tính độ dài đường chéo theo a. 1.10 Hãy tính đường cao của tam giác đều cạnh a. 1.11 Cho ABC cân tại A. Gọi H là hình chiếu của B trên cạnh AC. Tính cạnh đáy BC của tam giác, biết rằng AH = 7, HC = 2. 1.12 Hãy tìm tam giác vuông trong các tam giác có độ dài 3 cạnh sau: a) IJ = 6 JK = 10 KI = 8; b) RS = 7 ST = 24 TR = 25; 1 1 1 c) AB = BC = AC = ; 3 4 5 d) MN = 6,5 ML = 3,3 LN = 5,6. Học kì 1 c) Có tung độ bằng 0 ; d) Có hoành độ bằng 0 ; e) Có hoành độ và tung độ bằng nhau ; f) Có hoành độ và tung độ đối nhau. 2.29 Cho hai điểm A(xA ; yA) và B(xB ; yB). Chứng minh công thức tính khoảng cách giữa hai điẩm A và B là : AB  (x B  x A ) 2  (yB  yA ) 2 Áp dụng : Tính khoảng cách giữa hai điểm, biết rằng: a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) b. M(–2 ; 2) và B(3 ; 5) 2.30 a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = x + 3 và y = 2x + 3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Gọi giao điểm của đường thẳng y = x + 3 với trục Oy, Ox theo thứ tự là A, B và giao điểm của đường thẳng y = 2x + 3 với các trục Oy, Ox theo thứ tự là C, D. Tính các góc của ABC (dùng máy tính bỏ túi) 2.31 a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = x + 1 và y = –x + 3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Hai đường thẳng trên cắt nhau tại C và cát trục Ox theo thứ tự tại A và B. Tìm toạ độ các điểm A, B, C. c) Tính chu vi và diện tích ABC (đơn vị các trục là xentimét) 2.32 a) Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số sau: 2 2 y = 2x ; y = 2x + 5 ; y = – x và y = – x + 5 3 3 b) Bốn đường thẳng trên cắt nhau tạo thành tứ giác OABC (O là gốc tọa độ). Tứ giác OABC có phải là hình bình hành không ? Vì sao ? 2.33 Cho hàm số y = (m – 3)x a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến ? Nghịch biến ? b) Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 2). c) Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm B(1 ; –2). d) Vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị của m tìm được ở các câu b và c. 1.13 Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5, 12, 13. Tìm góc của tam giác đối diện với cạnh có độ dài 13. 1.14 Trong tam giác ABC, biết AB = 10cm, BC = 17cm. Vẽ đường cao BD với D thuộc cạnh AC và BD = 8cm. Tính AC. 1.15 Cho ABC, đường cao AH. a) Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH. b) Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH. Gv: Trần Quốc Nghĩa Bài tập Toán 9 2.34 Cho hàm số y = ax + 3 có đồ thị (d) cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ bằng 3. a) Tìm giá trị của a. b) Xét tính biến thiên (đồng biến hay nghịch biến) của hàm số. c) Gọi B là giao điểm của (d) với trục tung. Tính khoảng cách từ O đến AB. 2.35 Cho hàm số y = (a – 1)x + a. a) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 + 1 Trang 58 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 47 Bài tập Toán 9 Học kì 1 1.4 Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh của  vuông này. 1.5 Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5, còn đường cao ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này. 1.6 1.7 1.8 1.9 Cho một tam giác vuông. Biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền. AB 5 Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết  , đường cao AH = 30 cm. AC 6 Tính BH, HC. AB 3 Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết  , đường cao AH = 42 cm. AC 7 Tính BH, HC. Cho h.vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Tính độ dài đường chéo theo a. 1.10 Hãy tính đường cao của tam giác đều cạnh a. 1.11 Cho ABC cân tại A. Gọi H là hình chiếu của B trên cạnh AC. Tính cạnh đáy BC của tam giác, biết rằng AH = 7, HC = 2. 1.12 Hãy tìm tam giác vuông trong các tam giác có độ dài 3 cạnh sau: a) IJ = 6 JK = 10 KI = 8; b) RS = 7 ST = 24 TR = 25; 1 1 1 c) AB = BC = AC = ; 3 4 5 d) MN = 6,5 ML = 3,3 LN = 5,6. Học kì 1 c) Có tung độ bằng 0 ; d) Có hoành độ bằng 0 ; e) Có hoành độ và tung độ bằng nhau ; f) Có hoành độ và tung độ đối nhau. 2.29 Cho hai điểm A(xA ; yA) và B(xB ; yB). Chứng minh công thức tính khoảng cách giữa hai điẩm A và B là : AB  (x B  x A ) 2  (yB  yA ) 2 Áp dụng : Tính khoảng cách giữa hai điểm, biết rằng: a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) b. M(–2 ; 2) và B(3 ; 5) 2.30 a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = x + 3 và y = 2x + 3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Gọi giao điểm của đường thẳng y = x + 3 với trục Oy, Ox theo thứ tự là A, B và giao điểm của đường thẳng y = 2x + 3 với các trục Oy, Ox theo thứ tự là C, D. Tính các góc của ABC (dùng máy tính bỏ túi) 2.31 a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = x + 1 và y = –x + 3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Hai đường thẳng trên cắt nhau tại C và cát trục Ox theo thứ tự tại A và B. Tìm toạ độ các điểm A, B, C. c) Tính chu vi và diện tích ABC (đơn vị các trục là xentimét) 2.32 a) Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số sau: 2 2 y = 2x ; y = 2x + 5 ; y = – x và y = – x + 5 3 3 b) Bốn đường thẳng trên cắt nhau tạo thành tứ giác OABC (O là gốc tọa độ). Tứ giác OABC có phải là hình bình hành không ? Vì sao ? 2.33 Cho hàm số y = (m – 3)x a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến ? Nghịch biến ? b) Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 2). c) Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm B(1 ; –2). d) Vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị của m tìm được ở các câu b và c. 1.13 Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5, 12, 13. Tìm góc của tam giác đối diện với cạnh có độ dài 13. 1.14 Trong tam giác ABC, biết AB = 10cm, BC = 17cm. Vẽ đường cao BD với D thuộc cạnh AC và BD = 8cm. Tính AC. 1.15 Cho ABC, đường cao AH. a) Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH. b) Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH. Gv: Trần Quốc Nghĩa Bài tập Toán 9 2.34 Cho hàm số y = ax + 3 có đồ thị (d) cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ bằng 3. a) Tìm giá trị của a. b) Xét tính biến thiên (đồng biến hay nghịch biến) của hàm số. c) Gọi B là giao điểm của (d) với trục tung. Tính khoảng cách từ O đến AB. 2.35 Cho hàm số y = (a – 1)x + a. a) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 + 1 Trang 58 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 47 Bài tập Toán 9 Học kì 1 Bài tập Toán 9 b) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ – 3 c) Vẽ đồ thị của hàm số ứng với a tìm được ở câu a). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó. Phần 2. Hình học 2.36 Cho hàm số y = (m2 – 5m)x + 3. a) Với giá trị nào của m thì hàm số là hàm số bậc nhất ? b) Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến ? c) Xác định m khi đồ thị của hàm số qua điểm A(1 ; –3). Chương 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 2.37 Cho hàm số y = (a – 1)x + a. a) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. b) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –3. c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a vừa tìm được ở các câu a và b trên cùng hệ trục tọa độ Oxy và tìm giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ được. 2.38 a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = x và y = 2x + 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Gọi A là giao điểm của hai đồ thị của hàm số nói trên, tìm tọa độ của điểm A. c) Vẽ qua điểm B(0 ; 2) một đường thẳng song song với Ox, cắt đường thẳng y = x tại C. Tìm tọa độ của điểm C rồi tính diện tích ABC (đơn vị các trục là xentimét) 2.39 a) Biết rằng với x = 4 thì hàm số y = 3x + b có giá trị là 11. Tìm b. Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị của b vừa tìm được. b) Biết rằng đồ thị của hàm số của hàm số y = ax + 5 đi qua điểm A(–1 ; 3). Tìm a. Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị của a vừa tìm được. 2.40 Vẽ đồ thị của hàm số y = 5x+  A – Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông BC 2  AB 2  AC 2 AC 2  CH .BC AB 2  BH .BC AH 2  HB.HC AH .BC  AB.AC 1 1 1 6)   2 2 AH AC AB 2 1) 2) 3) 4) 5) 2.42 Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau : a) y = –2x + 3 ; b) y = x + 2 ; c) y = 0,5x – 3 d) y = x – 3 ; e) y = 1,5x – 1 ; f) y = 0,5x + 3 Trang 48 c b h b’ c’ B H a a2 = b2 + c2 b2 = a.b c2 = a.c h2 = b.c h.a = b.c 1 1 1 6)  2 2 2 h b c 1) 2) 3) 4) 5) A C 1.1 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Trong các đoạn thẳng sau: AB, AC, BC, AH, BH, CH hãy tính độ dài các đoạn thẳng còn lại nếu biết: a) AB = 15cm; BC = 25 cm b) BH = 18 cm; CH = 32 cm c) AB = 6 cm; BH = 3,6 cm d) AC = 12 cm; AH = 7,2 cm e) AH = 7,2 cm; CH = 9,6 cm f) BC = 25cm; AH = 12cm (AB