Bài tập thể tích khối lăng trụ xiên có lời giải chi tiết

Giới thiệu Bài tập thể tích khối lăng trụ xiên có lời giải chi tiết

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bài tập thể tích khối lăng trụ xiên có lời giải chi tiết CHƯƠNG Khối Đa Diện.

Tài liệu môn Toán và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Bài tập thể tích khối lăng trụ xiên có lời giải chi tiết

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán.

Text Bài tập thể tích khối lăng trụ xiên có lời giải chi tiết
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN Câu 1. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt  ′BC= 30° . Thể tích khối chóp A.CC ′B′ là: phẳng ( BCC ′B′ ) vuông góc với đáy và B a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 . B. . C. . D. . 12 6 18 2 Câu 2. Cho lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 6 , AD = 3 , A′C = 3 và mặt phẳng ( AA′C ′C ) vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng ( AA′C ′C ) , ( AA′B′B ) tạo với A. 3 . Thể tích khối lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ bằng? 4 A. V = 6 . B. V = 8 . C. V = 12 . D. V = 10 . Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là điểm trên cạnh SD sao cho 5SH = 3SD , mặt phẳng (α ) qua B, H và song song với đường thẳng AC cắt hai cạnh SA, SC lần V lượt tại E, F. Tính tỉ số thể tích C .BEHF . VS . ABCD 1 3 6 1 . . A. . B. C. D. . 20 6 7 35 Câu 4. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt  ′BC= 30° . Thể tích khối chóp A.CC ′B′ là: phẳng ( BCC ′B′ ) vuông góc với đáy và B nhau góc α thỏa mãn tan α = a3 3 . 6 ABC= 60° Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A . cạnh BC = 2a và   . Biết tứ giác BCC ′B′ là hình thoi có B′BC nhọn. Biết ( BCC ′B′ ) vuông góc với ( ABC ) và A. a3 3 . 2 B. a3 3 . 12 ( ABB′A′) tạo với ( ABC ) góc a3 A. . 3 7 C. a3 3 . 18 D. 45° . Thể tích của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng a3 B. . 7 3a 3 C. . 7 6a 3 D. . 7 ABC= 30° . Điểm M là trung điểm Câu 6. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,  cạnh AB , tam giác MA′C đều cạnh 2a 3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là 72 2a 3 24 2a 3 24 3a 3 72 3a 3 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Câu 7. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. A′B ′C ′D ′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và thể tích bằng 3a 3 . Tính chiều cao h của lăng trụ đã cho. a A. h = 9a . B. h = . C. h = a . D. h = 3a . 3 Câu 8. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là A. V = B 2 h . B. V = Bh . 1 3 C. V = Bh . D. V = π Bh . Câu 9.Cho hình lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60o . Đỉnh A′ cách đều các đỉnh A, B, C , D . Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị thể tích của hình lăng trụ nói trên?
Trang chủ
a3 6 a3 6 a3 3 a3 6 . B. . C. . D. . 3 9 2 2 Câu 10.Tính thể tích V của khối lăng trụ có diện tích mặt đáy bằng 3 3 cm 2 và chiều cao bằng 6 cm . A. A. V = 9 2 ( cm3 ) . B. V = 12 2 ( cm3 ) . ( ) 9 2 D. V = 3 2 cm3 . cm3 ) . ( 2 Câu 11.Cho lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có AB′ = 3cm và đường thẳng AB′ vuông góc với đường thẳng BC ′ . Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng 9 27 6 7 6 A. B. 2 3cm3 . C. D. cm3 . cm3 . cm3 . 2 16 4 Câu 12. Cho hình lăng trụ ABC. A B C  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm cạnh BC . Góc giữa BB  và mặt phẳng  ABC  bằng 60 C. V = . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A B C  . 2a 3 3 a3 3 3a 3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 4 ′A A= ′B A= ′C a . Câu 13. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , biết A= Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ ? a3 2 a3 3a 3 a3 3 . B. . C. . D. . A. 4 4 4 4 Câu 14. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có diện tích tứ giác ABCD bằng 12 , khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ABCD ) và ( A′B′C ′D′ ) bằng 2 . Tính thể tích V của khối hộp. B. V = 8 . C. V = 24 . D. V = 72 . A. V = 12 . Câu 15. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh AB = 2a 2 . Biết AC ′ = 8a và tạo với mặt đáy một góc 45° . Thể tích khối đa diện ABCC ′B′ bằng 16a 3 6 8a 3 6 16a 3 3 8a 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 16. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Gọi E là trọng tâm tam giác A′B′C ′ và F là trung điểm BC . Tính tỉ số thể tích giữa khối B′.EAF và khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 8 5 4 Câu 17. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu của A′ trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm cạnh BC . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( ABA′ ) và ( ABC ) bằng 45° . Tính thể tích V của khối chóp A.BCC ′B′ . 3 2 3a 3 A. a 3 . B. V = a 3 . C. a 3 3 . D. . 2 3 Câu 18. Cho khối lăng trụ có thể tích V , diện tích đáy là B và chiều cao h. Tìm khẳng định đúng? 1 A. V = 3Bh . B. V = Bh . C. V = Bh . D. V = Bh . 3 Câu 19. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,  ACB = 60 , BC = a, AA′ = 2a . Cạnh bên tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 30 . Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. a 3 3 . 3 6 2 Câu 20.Cho ( H ) là khối lăng trụ có chiều cao bằng 3a, đáy là hình vuông cạnh a. Thể tích của ( H ) bằng. A. 4a 3 .
Trang chủ
B. 2a 3 . C. 3a 3 . D. a 3 . ABC = 120° . Góc giữa cạnh Câu 21.Cho hình lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình thoi cạnh bằng a và  bên AA′ và mặt đáy bằng 60° , điểm A ‘ cách đều các điểm A , B , D . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 6 2 3 Câu 22. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ‘ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ‘ và BC bằng A. a3 3 . 3 a 3 . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là 4 a3 3 a3 3 B. . C. . 24 6 D. a3 3 . 12 Câu 23. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng a 3 . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 3 24 6 Câu 24. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng a, b, c . Thể tích của khối hộp đó là A. V = abc. B. V = a + b + c. AA′ và BC bằng C. V = D. V = (b 2 + c 2 − a 2 )( c 2 + a 2 − b 2 )( a 2 + b 2 − c 2 ) 8 2 2 2 2 2 ( b + c − a )( c + a − b2 )( a 2 + b2 − c 2 ) . . 8 Câu 25. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng a 3 . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 24 36 12 6 Câu 26. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , đáy ABC là tam giác đều cạnh x . Hình chiếu của đỉnh A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm ∆ABC , cạnh AA′ = 2 x . Khi đó thể tích khối lăng trụ là: AA′ và BC bằng x3 39 x3 3 x3 11 x3 11 A. . B. . C. . D. . 2 12 8 4 Câu 27. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình chữ nhật với = AB = 3, AD 7 và cạnh bên bằng 1 . Hai mặt bên ( ABB′A′ ) và ( ADD′A′ ) lần lượt tạo với đáy các góc 45° và 60° . Thể tích khối hộp bằng A. 3 3 B. 7 7 C. 7 D. 3 Câu 28. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là 1 6 A. V = Bh .
Trang chủ
1 3 B. V = Bh . 1 2 C. V = Bh . D. V = Bh . Câu 29. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại C , cạnh AC = 5a . Hình chiếu vuông góc của A1 lên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AC , góc giữa mặt phẳng ( AA1 B1 B ) với ( AA1C1C ) bằng 30o , cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích V của lăng trụ ABC. A1 B1C1 ? a3 a3 3.a 3 3.a 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 8 24 8 24 Câu 30.Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60° . Tính thể tích khối lăng trụ. 27 3 9 3 3 3 a . B. V = C. V = a 3 . D. V = A. V = a 3 . a . 8 4 2 4 Câu 31. Khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30° Hình chiếu của đỉnh A′ trên mặt phẳng đáy ( ABC ) trùng với trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho. a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 4 3 12 8 Câu 32. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh AC = 2 2 . Biết AC ′ tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 60° và AC ′ = 4 . Tính thể tích V của khối đa diện ABCB′C ′ . 16 8 8 3 16 3 . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 3 3 Câu 33. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có thể tích bằng 30 . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của AA′, BB′, CC ′ . Tính thể tích V của tứ diện CIJK . 15 A. V = . B. V = 12 . C. V = 6 . D. V = 5 . 2 Câu 34. Khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều, a là độ dài cạnh đáy. Góc giữa cạnh bên và đáy là 30° . Hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt ( ABC ) trùng với trung điểm của BC . Thể A. V = tích của khối lăng trụ đã cho là A. a3 3 . 8 B. a3 3 . 3 C. a3 3 . 4 D. a3 3 . 12 ABC = 120° . Góc giữa Câu 35. Cho lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và  cạnh bên AA′ và mặt đáy bằng 60° . Đỉnh A′ cách đều các điểm A , B , D . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 3 a3 3 3a 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = a 3 3 . 2 6 2 Câu 36. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình chữ nhật với = AB = 3, AD 7 và cạnh bên bằng 1 . Hai mặt bên ( ABB′A′ ) và ( ADD′A′ ) lần lượt tạo với đáy các góc 45° và 60° . Thể tích khối hộp bằng B. 7 7 C. 7 D. 3 A. 3 3 ′ ′ ′ Câu 37. Cho hình lăng trụ ABCA B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng ( ) AA′ và BC bằng
Trang chủ
a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCA′B ′C ′. 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 B. V = C. V = D. V = . . . . 3 12 24 6 Câu 38. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên AA′ = a , góc giữa AA′ và mặt phẳng đáy bằng 30° . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 8 4 24 Câu 39. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường AA′ A. V = a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 24 3 6 Câu 46. Cho hình lăng trụ ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có đáy là tam giác đều cạnh 3a , hình chiếu của A ‘ trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Cạnh AA ‘ hợp với mặt phẳng đáy và BC bằng một góc 45° . Thể tích của khối lăng trụ ABC. A ‘ B ‘ C ‘ tính theo a bằng. 9a 3 27 a 3 3a 3 27 a 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 6 Câu 47. Khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a , đường cao bằng a 3 có thể tích bằng a3 3 a3 3 . B. . C. a 3 3 . D. 2a 3 3 . 6 3 Câu 48. Cho lăng trụ ABCA1 B1C1 có diện tích mặt bên ABB1 A1 bằng 4 ; khoảng cách giữa cạnh CC1 và mặt A. phẳng ( ABB1 A1 ) bằng 7. Tính thể tích khối lăng trụ ABCA1 B1C1 . 28 14 C. D. 28 3 3 Câu 49. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh AA′ , BB′ , CC ′ AM 1 BN 2 sao cho = , = và mặt phẳng ( MNP ) chia lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng AA′ 2 BB′ 3 CP nhau. Khi đó tỉ số là CC ′ 1 5 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 12 3 2 3a Câu 50. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , AA′ = . Biết rằng hình chiếu 2 vuông góc của A′ lên ( ABC ) là trung điểm BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó. A. 14 B. 3 3a 3 2a 3 A. V = a . B. V = . C. V = . D. V = a 3 . 2 3 4 2 Câu 51. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB . Góc giữa cạnh bên của 3 lăng trụ và mặt phẳng đáy bằng 30o . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a . a3 a3 a3 3a 3 A. B. C. D. 4 24 4 8 Câu 52. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác vuông cân ở C . Cạnh BB′ = a và tạo với đáy một góc bằng 60° . Hình chiếu vuông góc hạ từ B′ lên đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là:
Trang chủ
A. 9 3a 3 . 80 B. 9a 3 . 80 C. 3 3a 3 . 80 D. 3a 3 . 80 Câu 53. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA′ và BC bằng A. a3 3 . 6 a 3 . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là 4 a3 3 a3 3 B. . C. . 24 3 D. a3 3 . 12 = 60°, AC = a 7, BD = a 3, AB > AD ,đường chéo BD′ Câu 54.Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có BCD hợp với mặt phẳng ( ADD′A′ ) góc 30° . Tính thể tích V của khối hộp ABCD. A′B′C ′D′ . 39 3 B. 2 3a 3 . C. 3 3a 3 . D. 39a 3 . a. 3 Câu 55. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng A. a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 6 3 24 Câu 56. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của mặt phẳng 3 ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là a 3 . Khoảng 4 cách giữa hai đường thẳng AB′ và BC là: 2a 4a 3a 3a A. . B. . C. . D. . 3 2 4 3 Câu 57. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13 , 14 , 15 cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 30° và có chiều dài bằng 8 . Khi đó thể tích khối lăng trụ là. B. 336 . C. 274 3 . D. 124 3 . A. 340 . AA′ và BC bằng Câu 58. Cho lăng trụ tam giác ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có đáy ABC là đều cạnh AB = 2a 2 . Biết AC ‘ = 8a và tạo với mặt đáy một góc 450 . Thể tích khối đa diện ABCC ‘ B ‘ bằng 16a 3 6 8a 3 3 8a 3 6 16a 3 3 A. B. C. D. . . . . 3 3 3 3 Câu 59. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a , AA′ = b và AA′ tạo với mặt đáy một góc 60° . Tính thể tích khối lăng trụ. 3 3 1 3 2 A. a 2b . B. a 2b . C. D. a 2b . a b. 4 8 8 8 Câu 60. Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có thể tích bằng 30 (đơn vị thể tích). Thể tích của khối tứ diện AB′C ′C là: A. 5 (đơn vị thể tích). B. 10 (đơn vị thể tích). C. 12,5 (đơn vị thể tích). D. 7,5 (đơn vị thể tích).  = 1200 . Hình chiếu vuông Câu 61.Cho lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ với đáy ABCD là hình thoi, AC = 2a , BAD góc của điểm B trên mặt phẳng ( A′B′C ′D′ ) là trung điểm cạnh A′B′ , góc giữa mặt phẳng ( AC ′D′ ) và mặt đáy lăng trụ bằng 60o . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ . A. V = 3a 3 . B. V = 6 3a 3 . C. V = 2 3a 3 . D. V = 3 3a 3 .
Trang chủ
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN Câu 1.Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt  ′BC= 30° . Thể tích khối chóp A.CC ′B′ là: phẳng ( BCC ′B′ ) vuông góc với đáy và B a3 3 . 6 A. B. a3 3 . 18 Hướng dẫn giải a3 3 . 12 C. Chọn A D. a3 3 . 2 Gọi H là hình chiếu của B′ trên BC . Từ giả thiết suy ra: B′H ⊥ ( ABC ) . 1 1  ′BC BB′.BC = .sin B 4a.a.sin 30° = a 2 . 2 2 2 S BB′C 2a 2 1 Mặt khác: S BB′C = B′H .BC ⇒ B′H = = = 2a . 2 BC a 2 3 a 3 a 3 VLT = B′H .S ABC = 2a. . = 4 2 1 1 2 1 1 a3 3 a3 3 VA.CC ′B′ = V= = . V V . = . = A.CC ′B′B LT LT 2 2 3 3 3 2 6 Câu 2. Cho lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 6 , AD = 3 , A′C = 3 và mặt phẳng ( AA′C ′C ) vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng ( AA′C ′C ) , ( AA′B′B ) tạo với S BB′C = 3 . Thể tích khối lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ bằng? 4 B. V = 8 . C. V = 12 . D. V = 10 . Hướng dẫn giải nhau góc α thỏa mãn tan α = A. V = 6 . T 6 1 Chọn B T 6 1 B’ A’ D’ M C’ H A B K I C D Từ B kẻ BI ⊥ AC ⇒ BI ⊥ ( AA′C ′C ) . T 6 1 T 6 1 T 6 1 16T
Trang chủ
T 6 1   HI . Từ I kẻ IH ⊥ AA′ ⇒ ( ( AA′C ′C ) , ( AA′B′B ) ) = B AB.BC = 2. Theo giải thiết ta có AC = 3 ⇒ BI = AC 4 2  = BI ⇔ IH =BI Xét tam giác vuông BIH có tan BHI ⇔ IH = .  IH 3 tan BHI 2 AB Xét tam giác vuông ABC có AI . AC = AB 2 ⇒ AI = = 2. AC Gọi M là trung điểm cả AA′ , do tam giác AA′C cân tại C nên CM ⊥ AA′ ⇒ CM // IH . AH 1 AI AH 2 AH 2 Do = = . ⇒ = ⇒ = AM 3 AC AM 3 AA′ 3 4 2 Trong tam giác vuông AHI kẻ đường cao HK ta có HK = ⇒ chiều cao của lăng trụ 9 4 2 ABCD. A′B′C ′D′ là h = 3HK = . 3 4 2 = 8. Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ là VABCD. A′B′C ′D′ = AB. AD.h = 6 3 3 Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là điểm trên cạnh SD sao cho 5SH = 3SD , mặt phẳng (α ) qua B, H và song song với đường thẳng AC cắt hai cạnh SA, SC lần lượt tại E, F. Tính tỉ số thể tích A. 1 . 7 B. VC . BEHF . VS . ABCD 3 . 20 6 . 35 Hướng dẫn giải Chọn B – Đặt VS . ABCD = V – Trong tam giác SOD ta có: IS BO HD IS SI SE SF 3 . . = 1⇒ =⇒ 3 = = =. IO BD HS IO SO SA SC 4 V 3V SH 3 – Ta có: S .HBC = = ⇒ VS . HBC =. 10 VS . DBC SD 5 V 3V CF 1 – Mặt khác: C .FHB = = ⇒ VC . FHB =. 40 VC .SHB CS 4
Trang chủ
C. D. 1 . 6 V 6V 3 – Mà: VC .BEHF = 2VC . FHB = ⇒ C . BEHF =. VS . ABCD 20 40 Câu 4. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt  ′BC= 30° . Thể tích khối chóp A.CC ′B′ là: phẳng ( BCC ′B′ ) vuông góc với đáy và B A. a3 3 . 2 B. a3 3 . 12 Chọn D a3 3 . 18 Hướng dẫn giải C. B’ D. a3 3 . 6 C’ A’ 4a B C H a A Gọi H là hình chiếu của B′ trên BC . Từ giả thiết suy ra: B′H ⊥ ( ABC ) . 1 1  ′BC .sin B BB′.BC = 4a.a.sin 30° = a 2 . 2 2 2 S BB′C 2a 2 1 ′ ′ Mặt khác: S BB′C = B H .BC ⇒ B H = = = 2a . 2 BC a 2 3 a 3 a 3 VLT = B′H .S ABC = 2a. . = 4 2 1 1 2 1 1 a3 3 a3 3 . = V V VA.CC ′B′ = V= . = = . LT LT A.CC ′B′B 2 2 3 3 6 3 2 Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A . cạnh BC = 2a và   ′BC nhọn. Biết ( BCC ′B′ ) vuông góc với ABC= 60° . Biết tứ giác BCC ′B′ là hình thoi có B S BB′C = ( ABC ) và ( ABB′A′) tạo với ( ABC ) góc A. a3 . 3 7 Chọn C
Trang chủ
B. a3 . 7 45° . Thể tích của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng 3a 3 . 7 Hướng dẫn giải C. D. 6a 3 . 7 A’ C’ B’ A C 2a 2a K 60° H B ABC= 60° nên AB = a , AC = a 3 . Do ABC là tam giác vuông tại A, cạnh BC = 2a và   ′BC nhọn) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B′ lên BC ⇒ H thuộc đoạn BC (do B ⇒ B′H ⊥ ( ABC ) (do ( BCC ′B′ ) vuông góc với ( ABC ) ). Kẻ HK song song AC ( K ∈ AB ) ⇒ HK ⊥ AB (do ABC là tam giác vuông tại A ).  ′KH= 45° ⇒ B′H= KH ⇒ ( ABB′A′ ) , ( ABC ) = B   (1) Ta có ∆BB′H vuông tại H ⇒ BH = 4a 2 − B′H 2 (2) BH HK HK .2a Mặt khác HK song song AC ⇒ = ⇒ BH = (3) BC AC a 3 12 B′H .2a a Từ (1), (2) và (3) suy ra 4a 2 − B′H 2 = ⇒ B′H = . 7 a 3 ′ Vậy V= S= ABC . A ‘ B ‘ C ′ ABC .B H 1 3a 3 . AB.= AC.B′H 2 7 ABC= 30° . Điểm M là trung Câu 6. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,  điểm cạnh AB , tam giác MA′C đều cạnh 2a 3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là 72 2a 3 72 3a 3 24 2a 3 24 3a 3 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải Chọn A
Trang chủ
A’ C’ B’ A C H M B Gọi H là trung điểm của MC .  A′H ⊥ MC  ⇒ A′H ⊥ ( ABC ) . Ta có ( A′MC ) ⊥ ( ABC )  ′ MC ( A MC ) ∩ ( ABC ) =   MC = 2a 3 Tam giác MA′C đều cạnh 2a 3 ⇒    A′H = 3a  BC = 2 x  ABC= 30° ⇒  Đặt AC= x > 0 , tam giác ABC vuông tại A có    AB = x 3 Áp dụng công thức tính độ dài trung tuyến ta có CA2 + CB 2 AB 2 x 2 + 4 x 2 3x 2 4a 3 2 CM = − ⇔= − = ⇔x 12a 2 . 2 4 2 4 7 1 1 12a 4a 3 24a 2 3 . . = . = AB. AC 2 2 7 7 7 72a 3 3 ′ Do đó V= . A = H . S ABC . A′B′C ′ ABC 7 Suy= ra S ABC Câu 7. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. A′B ′C ′D ′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và thể tích bằng 3a 3 . Tính chiều cao h của lăng trụ đã cho. a A. h = 9a . B. h = . C. h = a . D. h = 3a . 3 Hướng dẫn giải Chọn D VABCD. A′B′C ′D′ 3a 3 Ta có: VABCD. A′B′C ′D′ = S ABCD .h ⇔ h = = 2 = 3a . S ABCD a Câu 8. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là A. V = B 2 h .
Trang chủ
B. V = Bh . 1 3 C. V = Bh . D. V = π Bh . Hướng dẫn giải Chọn B Thể tích khối lăng trụ: V = B.h . Câu 9.Cho hình lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60o . Đỉnh A′ cách đều các đỉnh A, B, C , D . Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị thể tích của hình lăng trụ nói trên? a3 6 a3 6 a3 6 a3 3 A. . B. . C. . D. . 9 2 3 2 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi O là tâm hình vuông ABCD .Từ giả thiết A′ cách đều các đỉnh A , B , C ta suy ra hình chiếu của A′ trên mặt phẳng ABCD là O hay A′O là đường cao của khối lăng trụ. Trong tam giác A′OA vuông tại A và  A′OA = 60 , ta có: a a 6 . = A′O OA.tan = 60 = . 3 2 2 Diện tích đáy ABCD là S ACDD = a 2 . ′O Thể tích của khối lăng trụ là = V B= .h S ABCD . A= Vậy V = a3 6 . 2 a3 6 . 2 . Câu 10.Tính thể tích V của khối lăng trụ có diện tích mặt đáy bằng 3 3 cm và chiều cao bằng 2 A. V = 9 2 ( cm3 ) . B. V = 12 2 ( cm3 ) . C. V = Hướng dẫn giải 9 2 cm3 ) . ( 2 6 cm . D. V = 3 2 ( cm3 ) . ChọnA Thể tích khối lăng trụ: = V S= .h 3 3. = 6 9 2 ( cm3 ) . Câu 11.Cho lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có AB′ = 3cm và đường thẳng AB′ vuông góc với đường thẳng BC ′ . Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng 9 7 6 27 6 A. B. 2 3cm3 . C. D. cm3 . cm3 . cm3 . 2 16 4 Hướng dẫn giải Chọn D
Trang chủ
A’ C’ B’ N C A M B Gọi M là trung điểm của BC . Suy ra AM ⊥ ( BCC ′B′ ) ⇒ AM ⊥ BC ′ . Mà BC ′ ⊥ AB′ ⇒ B′M ⊥ BC ′ . a 2b a   ′BC ′ = cot BB ′M ⇒ = . Đặt AB = a , AA′ = b . Ta có tan B ⇒ b= b a 2 a2 =3 ⇒ a = 6 . 2 2 3 9 3 ′.S ABC Thể tích khối lăng = trụ là V AA = 3. = 6 . cm . 4 2 Câu 12. Cho hình lăng trụ ABC. A B C  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm cạnh BC . Góc giữa BB  và mặt phẳng  ABC  bằng Mà AB′ = 3 ⇒ AB 2 + AA′2 = 3 ⇒ a2 + 60 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A B C  . a3 3 2a 3 3 . B. . A. 8 8 a3 3 . 4 Hướng dẫn giải Chọn D C. D. C’ A’ B’ C H A 60° B Gọi H là trung điểm cạnh BC . Theo đề ra: A H   ABC  . AB 3 a 3 AB 2 3 a 2 3 . SABC    đvdt  . 2 2 4 4      AA ‘,  ABC   A ‘ AH  Ta có:  A ‘ AH  60 .      AA ‘, ABC  BB ‘, ABC  60         AH 
Trang chủ
. 3a 3 3 . 8 3 2 Xét A AH vuông tại H : A H  AH .tan 60  a . 3a 3 3 đvtt  . 8 ′A A= ′B A= ′C a . Câu 13. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , biết A= Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ ? a3 3 a3 2 3a 3 a3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B Vậy VABC . AB C   A H .SABC  A’ B’ C A H B Gọi H là trọng tâm tam giác ABC . Theo giả thiết ta có ABC là tam giác đều cạnh bằng a và ′A A= ′B A= ′C a nên A′. ABC là tứ diện đều cạnh a ⇒ A′H ⊥ ( ABC ) hay A′H là đường A= cao của khối chóp A′. ABC . a 6 . Xét tam giác vuông A′HA ta có= A′H A′A2 − AH 2 = 3 1 a2 3 Diện tích tam giác ABC= là S ABC . a.a.sin 60° = 2 4 a 2 3 a 6 a3 2 Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là VABC . A′B′C ′ = . = 4 4 3 Câu 14. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có diện tích tứ giác ABCD bằng 12 , khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ABCD ) và ( A′B′C ′D′ ) bằng 2 . Tính thể tích V của khối hộp. A. V = 12 . B. V = 8 . C. V = 24 . Hướng dẫn giải D. V = 72 . Chọn B = 24 . Ta có V = S ABCD .d ( A′, ( ABCD ) ) = S ABCD .d ( ( A′B′C ′D′ ) , ( ABCD= ) ) 12.2 Câu 15. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh AB = 2a 2 . Biết AC ′ = 8a và tạo với mặt đáy một góc 45° . Thể tích khối đa diện ABCC ′B′ bằng 8a 3 3 16a 3 6 16a 3 3 8a 3 6 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A
Trang chủ
C’ A’ H B’ C A B VA. A′B′C ′ + VABCC ′B′ ⇔ VABCC ′B′ = VABC . A′B′C ′ − VA. A′B′C ′ . Ta có VABC= . A′B′C ′ 1 Mặt khác VA. A′B′C ′ = VABC . A′B′C ′ nên ⇔ VABCC ′B′ = VABC . A′B′C ′ − VA. A′B′C ′ = 2VA. A′B′C ′ . 3 Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng ( A′B′C ′ ) khi đó góc giữa AC ′ và mặt phẳng đáy ( A′B′C ′) là góc  AC ′H= 45° . AC ′H= 45° nên AH = 4a 2 . Xét tam giác vuông AHC ′ có AC ′ = 8a và  2 1 1 1 8a 3 6 Thể tích khối chóp A. A′B′C ′ là VA. A= . = S AH . 2 a 2 .sin 60 .4 a 2 ° = ′B′C ′ A′B′C ′ 3 3 2 3 3 16a 6 2VA. A′B′C ′ = Vậy thể tích khối đa diện ABCC ′B′ là ⇔ VABCC ′B′ = . 3 Câu 16. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Gọi E là trọng tâm tam giác A′B′C ′ và F là trung điểm BC . Tính tỉ số thể tích giữa khối B′.EAF và khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . 1 1 1 1 B. . C. . D. . A. . 5 6 8 4 Hướng dẫn giải Chọn C ( B A C B’ A’ E C’ Ta có
Trang chủ
F M ) 1 S AA′MF và d ( B′, ( AA′MF ) ) = d ( B′, ( AEF ) ) . 2 1 2 = VABF . A′B′M − VB′. ABF VABF . A′B′M − VABF . A′B′M = VABF . A′B′M Vì V = B′. AA′MF 3 3 1 1 2 1 1 1 Suy ra VB′EAF = VB′. AA′MF = . .VABF . A′B′M = . .VABC . A′B′C ′ = .VABC . A′B′C ′ . 2 2 3 3 2 6 ′ ′ ′ Câu 17. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu của A′ trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm cạnh BC . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( ABA′ ) và ( ABC ) bằng 45° . Tính thể tích V của khối chóp A.BCC ′B′ . 3 2 3a 3 B. V = a 3 . C. a 3 3 . D. . A. a 3 . 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B 2a C’ B’ M là trung điểm của B′C ′ khi đó S EAF = A’ C B 45° M K I A V + = V V Ta có : VABC= . A′B′C ′ A′. ABC + VA′. BCC ′B′ . A. A′B′C ′ A. BCC ′B′ VA′. ABC . Mà VA′.BCC ′B′ = VA. BCC ′B′ ⇒ VA. A′B′C ′ = Gọi M là trung điểm của BC , I là trung điểm của AB và K là trung điểm của IB . Khi đó : A′M ⊥ ( ABC ) . MK // CI   ⇒ MK ⊥ AB . CI ⊥ AB  MK ⊥ AB , A′M ⊥ AB ⇒ A′K ⊥ AB . Góc giữa hai mặt phẳng ( ABA′ ) và ( ABC ) chính là góc giữa A′K và KM và bằng Mặt khác :  A′KM= 45° nên tam giác A′KM vuông cân tại M . 1 1 2a 3 a 3 = CI . = . 2 2 2 2 a 3 ′M MK Trong tam giác vuông cân A′KM : A= . = 2 1 VA′. ABC = .VABC . A′B′C ′ . 3 1 2 2 2 a 3 = a3 . ⇒ VA′. BCC ′B′ = VABC . A′B′C ′ − VABC . A′B′C ′ = VABC . A′B′C ′ = .S ∆ABC . A′M = .a 2 3. 3 3 3 3 2 Trong tam giác ABC : MK =
Trang chủ
Câu 18. Cho khối lăng trụ có thể tích V , diện tích đáy là B và chiều cao h. Tìm khẳng định đúng? 1 A. V = 3Bh . B. V = Bh . C. V = Bh . D. V = Bh . 3 Hướng dẫn giải Chọn D Theo công thức tính thể tích khối lăng trụ ta có V = Bh Câu 19. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,  ACB = 60 , BC = a, AA′ = 2a . Cạnh bên tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 30 . Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng a3 3 A. . 6 B. a3 3 . 3 a3 3 . 2 Hướng dẫn giải D. a 3 3 . C. Chọn C A’ C’ 2a B’ A 30° 60° H C a B = ° Trong tam giác ABC vuông tại B ta có: tan 60 AB ⇒ AB = BC. = 3 a 3 BC 1 a2. 3 . = AB.BC 2 2 Gọi H là hình chiếu của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) . Góc giữa cạnh bên AA′ và đáy là  A′AH= 30° . Diện tích đáy: = S ABC 1 ′H AA′.sin = 30° 2a= . a Trong tam giác vuông A′HA ta có: A= 2 a 2 3 a3. 3 Thể tích lăng trụ= là: V A′H . S ABC a= . = 2 2 Câu 20.Cho ( H ) là khối lăng trụ có chiều cao bằng 3a, đáy là hình vuông cạnh a. Thể tích của ( H ) bằng. A. 4a 3 . Chọn C = V B= .h 3a.= a 2 3a 3 . B. 2a 3 . C. 3a 3 . Hướng dẫn giải D. a 3 . ABC = 120° . Góc giữa Câu 21.Cho hình lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình thoi cạnh bằng a và  cạnh bên AA′ và mặt đáy bằng 60° , điểm A ‘ cách đều các điểm A , B , D . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 12 Hướng dẫn giải
Trang chủ
Chọn C B’ C’ A’ D’ D C I G A B Ta có điểm A′ cách đều các đỉnh A , B , D cho nên điểm A′ sẽ nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABD . ABC = 120° nên  ABD= 60° ⇒ tam giác ABD là tam giác đều Ta có  Vậy ta có A′G ⊥ ( ABD ) với G là trọng tâm tâm tam giác ABD . Dễ thấy  ( A′A= , ( ABCD ) ) = A′AG= 60° . ( A′A, GA)  a 3 2 3 ( I AC ∩ BD ) ⇒ AI = ;= . Tam giác ABD đều, AI là trung tuyến = AG = AI a 3 3 2 a 3 AG 3 Ta có = A′G = = a. . 1 cot 60° 3 1 3 ′G.S ABCD A= ′G.2S ABD a.2. .a.a.sin 60° = a 3 Thể tích khối lăng trụ V A= . = 2 2 Câu 22. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ‘ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ‘ và BC bằng a3 3 A. . 3 Chọn D
Trang chủ
a 3 . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là 4 a3 3 a3 3 B. . C. . 6 24 Hướng dẫn giải a3 3 D. . 12 Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC Suy ra A ‘ H ⊥ ( ABC ) . Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với BC. Ta có Ax / / BC ⇒ d ( A ‘ A, BC ) = d ( BC , ( A ‘ Ax ) ) = d= ( M , ( A ‘ Ax ) ) 3 d ( H , ( A ‘ Ax ) ) 2  BC ⊥ AM Kẻ HK ⊥ AA ‘ ta có   BC ⊥ A ‘ H ⇒ BC ⊥ ( A ‘ AM ) ⇒ BC ⊥ HK a 3 6 Mà HK ⊥ AA ‘ ⇒ HK ⊥ ( A ‘ Ax ) ⇒ HK = a2 3 a3 3 1 1 1 a = ⇒= V A ‘ H .S ABC = Ta có mà S ABC . = + ⇒ HA ‘ = 4 12 HK 2 HA2 HA ‘2 3 Câu 23. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA′ và BC bằng A. V = a3 3 . 12 a 3 . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . 4 a3 3 a3 3 a3 3 B. V = . C. V = . D. V = . 3 24 6 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có A′G ⊥ ( ABC ) nên A′G ⊥ BC ; BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ ( MAA′ )
Trang chủ
a 3 4 AG GH 2 2 a 3 a 3 Kẻ GH ⊥ AA′ , ta có = = ⇔ GH = . = AM IM 3 3 4 6 a 3 a 3 . 1 1 1 AG.HG 3 6 = a ′ A G = + ⇔ = = 2 2 2 3 HG A′G AG AG 2 − HG 2 a2 a2 − 3 12 Kẻ MI ⊥ AA′ ; BC ⊥ IM nên d ( AA′; BC = = ) IM a a2 3 a2 3 . = . 3 4 12 Câu 24. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng a, b, c . Thể tích của khối hộp đó là B. V = a + b + c. A. V = abc. ′G.S ABC V= A= ABC . A′B′C ′ C. V = V= (b 2 + c 2 − a 2 )( c 2 + a 2 − b 2 )( a 2 + b 2 − c 2 ) 8 2 2 2 2 2 2 2 2 ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c 2 ) 8 . D. . Hướng dẫn giải Chọn C B C x a A y D b c z B’ C’ A’ D’ Giả sử hình hộp chữ nhật có ba kích thước: x, y, z .  x2 + y 2 = a2  y 2 = a2 − x2  y 2 = a2 − x2    Theo yêu cầu bài toán ta có  y 2 + z 2 = c 2 ⇔  y 2 + z 2 = c 2 ⇔ a 2 − x 2 + b 2 − x 2 = c 2  x2 + z 2 = b2  z 2 = b2 − x2  z 2 = b2 − x2    2 2 2  2 a −b +c y = 2  2 a 2 + c2 − b2 a 2 + b2 − c2 b2 + c2 − a 2  2 a + b2 − c2 = ⇔ x = ⇒V 2 8  2 2 2  2 b +c −a z = 2  Câu 25. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường ( thẳng AA′ và BC bằng
Trang chủ
)( )( a 3 . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là 4 ) A. a3 3 . 24 B. a3 3 . 12 Chọn B a3 3 . 36 Hướng dẫn giải C. A’ D. a3 3 . 6 B’ C’ N H A B G M C Gọi G là trọng tâm của ∆ABC , M là trung điểm của BC . ⇒ A′G ⊥ ( ABC ) .  BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ ( AA′G ) ⇒ BC ⊥ MN . Trong ( AA′M ) dựng MN ⊥ AA′ , ta có:   BC ⊥ A′G a 3 ⇒ d ( AA′, BC ) = MN = . 4 Gọi H là hình chiếu của G lên AA′ . 2 GH AG 2 a 3 Ta có: GH / / MN ⇒ . MN = = = ⇒ GH = 3 MN AM 3 6 Xét tam giác AA′G vuông tại G , ta có: a 1 1 1 27 1 1 1 1 1 . ⇒ = − = 2 . ⇒ GA′ = = + = − 2 2 2 2 2 2 2 2 GA′ GH GA 3a 3 GH GA GA′ a 3 a 3      6   3  a 2 3 a a3 3 Vậy thể tích của khối lăng trụ là: V = S ABC . A′G = . . = 12 4 3 Câu 26.-2017]Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , đáy ABC là tam giác đều cạnh x . Hình chiếu của đỉnh A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm ∆ABC , cạnh AA′ = 2 x . Khi đó thể tích khối lăng trụ là: A. x3 11 . 12 B. x3 39 . 8 x3 3 . 2 Hướng dẫn giải C. D. x3 11 . 4 ChọnA Gọi H là hình chiếu vuông góc của A′ lên ( ABC ) . Do ∆ABC đều nên H là trọng tâm tam giác ∆ABC . Ta có AM = x 3 2 x 3 ⇒ AH= AM= . 3 3 2 x 33 . 3 1 2 3 x2 3 x 2 3 x 33 x3 11 S ∆ABC = x. ⋅ = VABC . A′B′C′ = = . 4 3 4 2 2 4 Xét tam giác vuông ∆AA′H , có A′H =
Trang chủ
AA′2 − AH 2 = Câu 27. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình chữ nhật với = AB = 3, AD 7 và cạnh bên bằng 1 . Hai mặt bên ( ABB′A′ ) và ( ADD′A′ ) lần lượt tạo với đáy các góc 45° và 60° . Thể tích khối hộp bằng A. 3 3 B. 7 7 D. 3 C. 7 Hướng dẫn giải Chọn D B’ C’ D’ A’ O C B K H A L D Gọi H là hình chiếu của A′ trên ( ABCD ) và K , L là hình chiếu của H trên AB, AD . A′KH= 45° và  A′LH= 60° . Ta có các góc  x 3 Đặt A′H = x suy ra = . HK x= ; HL 3 7 x2 3 x2 =1 ⇒ x = Do đó AA′2 = AH 2 + A′H 2 = x 2 + + x 2 ⇒ . 3 7 3 3 3 7. = 3 . 7 Câu 28. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là V B= .h AB. AD. A′= H Thể tích khối hộp bằng = 1 6 A. V = Bh . 1 3 B. V = Bh . 1 2 C. V = Bh . Hướng dẫn giải D. V = Bh . Chọn D Ta có thể tích khối lăng trụ V = Bh . Câu 29. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại C , cạnh AC = 5a . Hình chiếu vuông góc của A1 lên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AC , góc giữa mặt phẳng ( AA1B1B ) với ( AA1C1C ) bằng 30o , cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích V của lăng trụ ABC. A1 B1C1 ? A. V = 3.a 3 . 8 Chọn A
Trang chủ
B. V = a3 . 24 C. V = Hướng dẫn giải a3 . 8 D. V = 3.a 3 . 24 . 5 3 0 O  Gọi G là trung điểm của AC ⇒ A1G ⊥ ( ABC ) ⇒ A a. Ta 1 AG = 60 ⇒ A1G = AG.tan 60 = 2 có BC ⊥ ( AA1C1C ) . Câu 30.Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60° . Tính thể tích khối lăng trụ. 3 27 3 9 3 3 a . A. V = a 3 . B. V = C. V = a 3 . D. V = a . 2 8 4 4 Hướng dẫn giải ChọnA A’ F’ B’ E’ C’ D’ A F B E H C D Ta có ABCDEF là lục giác đều nên góc ở đỉnh bằng 120° . ABC là tam giác cân tại B , DEF là tam giác cân tại E . a2 3 1 . S= S = a a = ° . .sin120 ABC DEF 2 4 AC = AB 2 + BC 2 − 2. AB.BC.cos B =  1 a 2 + a 2 − 2.a.a.  −  = a 3 .  2 S= AC= . AF a= 3.a a 2 3 . ACDF S ABCDEF = S ABC + S ACDF + S DEF =
Trang chủ
. a2 3 a 2 3 3a 2 3 . + a2 3 + = 4 4 2 a 3  . ‘ BH= 60° ⇒ B ‘ H= BB ‘.sin 60°= B 2 9a 3 Suy ra V = . 4 Câu 31. Khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30° Hình chiếu của đỉnh A′ trên mặt phẳng đáy ( ABC ) trùng với trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho. a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 4 3 8 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi H là hình chiếu của A′ trên ( ABC ) ⇒ A′H ⊥ BC . Dễ thấy AH ⊥ BC (Vì ∆ABC đều).   ; ( ABC ) A′A= = A′A; AH A′AH (1). ⇒  ) ( ( Vì ∆ABC đều ⇒ AH = ) a 3 . 2 ′H AH .tan 30 Trong ∆A′AH vuông, ta có A= = ° a 3 1 a . ⋅= 2 3 2 a a 2 3 a3 3 Vậy VABC . A′B′C ′ = ⋅ = . A′H .S ∆ABC = 2 4 8 Câu 32. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh AC = 2 2 . Biết AC ′ tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 60° và AC ′ = 4 . Tính thể tích V của khối đa diện ABCB′C ′ . A. V = 16 3 . 3 B. V = 16 . 3 C. V = 8 3 . 3 8 D. V = . 3 Hướng dẫn giải Chọn A Phân tích: Tính thể tích của khối đa diện ABCB′C ′ bằng thể tích khối của lăng trụ ABC. A′B′C ′ trừ đi thể tích của khối chóp A. A′B′C ′ . Giả sử đường cao của lăng trụ là C ′H . C B A 4 B C 2 2 600 H A  ′AH= 60° . Khi đó góc giữa AC ′ mặt phẳng ( ABC ) là góc C Ta có:
Trang chủ
C ′H ′H 2 3; S ∆= 4 ⇒ C= ABC AC ′ 2 1 ′H .S ∆ABC 2 3. = = . 2 2 8 3. VABC . A′B′C ′ C= 2 1 1 8 3 . .VABC . A′B′C ′ = VA. A′B′C ′ = C ′H .S ∆ABC = 3 3 3 8 3 16 3 . = VABB′C ′C =VABC . A′B′C ′ − VA. A′B′C ′ =8 3 − 3 3 Câu 33. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có thể tích bằng 30 . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của AA′, BB′, CC ′ . Tính thể tích V của tứ diện CIJK . 15 B. V = 12 . C. V = 6 . D. V = 5 . A. V = . 2 Hướng dẫn giải Chọn D sin 60 = ° ( ) . Nhận thấy: ( IJK )  ( ABC )  ( A′B′C′ ) ⇒ d ( C, ( IJK ) ) d ( C, ( A′B′C′ ) ) CK 1 . = = CC ′ 2 1 1 1 1 = . .d ( C, ( A′B′C′ ) ) .S A= .30 5 . d ( C, ( IJK ) ) .= S IJK ′B′C′ 3 3 2 6 Câu 34. Khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều, a là độ dài cạnh đáy. Góc giữa cạnh bên và đáy là 30° . Hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt ( ABC ) trùng với trung điểm của BC . Thể tích của khối lăng trụ đã cho là V= CIJK A. a3 3 . 8 B. a3 3 . 3 Chọn A C. Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm của cạnh BC ⇒ A′H ⊥ ( ABC ) ⇒ A′AH= 30° ⇒ tan 30°=
Trang chủ
A′H = AH a3 3 . 4 1 . 3 D. a3 3 . 12 AB 3 a 3 a = ⇒ A′H = 2 2 2 3 a 1 a 3 a 3 = ⇒ V A′H= .S ABC . . = .a . 2 2 2 8 Cạnh AH = ABC = 120° . Góc Câu 35. Cho lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và  giữa cạnh bên AA′ và mặt đáy bằng 60° . Đỉnh A′ cách đều các điểm A , B , D . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 3 a3 3 3a 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = a 3 3 . 2 6 2 Hướng dẫn giải Chọn A = 60° ⇒ ∆ABD đều cạnh a . Do AB = AD = a và BAD ′A A= ′B A′D . Suy ra A′. ABD là chóp đều nên A′ có hình chiếu vuông góc là tâm Mặt khác: A= H của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD .  AA′, ( ABCD ) ) = A′AH = 60° . ⇒ AH là hình chiếu vuông góc của AA′ lên đáy ( ABCD ) ⇒ ( 3 2 S= 2= S ABD 2. = a ABCD 4 3 2 a . 2 3 a. 3 3 = A′H AH = tan 60° = a. 3 a . Tam giác A′AH vuông tại H nên: 3 3 3 ′H .S ABCD a . Vậy, thể tích khối lăng= trụ là: V A= 2 Câu 36. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình chữ nhật với = AB = 3, AD 7 và cạnh bên bằng 1 . Hai mặt bên ( ABB′A′ ) và ( ADD′A′ ) lần lượt tạo với đáy các góc 45° và 60° . Thể tích khối hộp bằng A. 3 3 B. 7 7 C. 7 D. 3 Hướng dẫn giải Chọn D Tam giác ABD đều cạnh a nên AO =
Trang chủ
3 a ⇒ AH = 2 B’ C’ D’ A’ O C B K H A L D Gọi H là hình chiếu của A′ trên ( ABCD ) và K , L là hình chiếu của H trên AB, AD . A′LH= 60° . A′KH= 45° và  Ta có các góc  x 3 . 3 7 x2 3 x2 =1 ⇒ x = . Do đó AA′2 = AH 2 + A′H 2 = x 2 + + x 2 ⇒ 3 7 3 Đặt A′H = x suy ra = HK x= ; HL 3 3 7. = 3 . 7 ′ ′ ′ Câu 37. Cho hình lăng trụ ABCA B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng V B= .h AB. AD. A′= H Thể tích khối hộp bằng = ( ) AA′ và BC bằng A. V = a3 3 . 6 Chọn C a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCA′B ′C ′. 4 B. V = a3 3 a3 3 C. V = . . 24 12 Hướng dẫn giải A’ C’ H B’ C A G M B ( ) M là trung điểm của BC thì BC ⊥ AA′M . Gọi MH là đường cao của tam giác A′AM thì MH ⊥ A′A và HM ⊥ BC nên HM là khoảng cách AA′ và BC . a 3 a 3 a2 2 ′ ′ ′ ′ = A A A A − . Ta có A = A.HM A G .AM ⇔ 4 2 3
Trang chủ
D. V = a3 3 . 3  a2  4a 2 4a 2 2a ⇔ A′A2 =4  A′A2 −  ⇔ 3A′A2 = ⇔ A′A2 = ⇔ A′A = .   3  3 9 3  Đường cao của lăng trụ là A′G = 4a 2 3a 2 a − = . 9 9 3 a 3a 2 a 3 3 . = . 3 4 12 Câu 38. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên AA′ = a , góc giữa AA′ và mặt phẳng đáy bằng 30° . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 8 4 12 24 Hướng dẫn giải Chọn A Thể tích = VLT Kẻ A′H ⊥ ( ABC ) , H ∈ ( ABC ) . Khi đó góc giữa AA′ và mặt phẳng đáy bằng góc giữa AA′ và A′AH= 30° . AH bằng  a  A′H A′A.sin= A′AH a.sin 30° ⇔ A′H = Trong ∆A′AH vuông tại H , có= . 2 a2 3 a a3 3 ′ Ta có V= . = S A H . . V ⇔ = ABC . A′B′C ′ ABC ABC . A′B′C ′ 4 2 8 Câu 39. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường AA′ a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . 4 a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . 12 3 24 Hướng dẫn giải Chọn B và BC bằng
Trang chủ
D. V = a3 3 . 6 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Vì A′G ⊥ ( ABC ) và tam giác ABC đều nên A′ABC là hình chóp đều. Kẻ EF ⊥ AA′ và BC ⊥ ( AA′E ) nên d ( AA′, BC = = ) EF a 3 . Đặt A′G = h 4 2 a 3 ′A Ta có A= h +   .  3  Tam giác A′AG đồng dạng với tam giác EAF nên 2 2 a 3 a 3 a . h 2 +  ⇔ h=  . 3  3  4 A′A AG A′G a 3 ⇒ A′G.EA= A′A.FE ⇔ h. = = = 2 EA FA FE ′ là V AG Thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C = = .S ABC x H ′B = x. Đặt A′H =⇒ Ta có K là trọng tâm tam giác AA′B′ a a 2 3 a3 3 . = . 3 4 12 2 2 2 a2 2 2 2 ′ KB = AB x + ; KA Suy ra= AH ′ x + a2 . = = 3 3 4 3 3 vuông tại K ∆KAB 2 4 5a  a 2 a 2 ⇔ 8 x 2 + 5a 2 = 9a 2 ⇔ x = . KB 2 + KA2 = AB 2 ⇔  2 x 2 + = 9 4  2 nên a 2 3 a 2 a3 6 . = . 8 4 2 Câu 46. Cho hình lăng trụ ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có đáy là tam giác đều cạnh 3a , hình chiếu của A ‘ trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Cạnh AA ‘ hợp với mặt phẳng Vậy V = S ABC . A′H = đáy một góc 45° . Thể tích của khối lăng trụ ABC. A ‘ B ‘ C ‘ tính theo a bằng. 9a 3 3a 3 27 a 3 27 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi AI là đường cao, H là tâm của tam giác ABC ⇒ A′H ⊥ ( ABC ) . A  AA′ ∩ ( ABC ) = Vì  ⇒ góc giữa AA′ và ( ABC ) là  A′AH ⇒  A′AH = 45° . ′  A H ⊥ ( ABC ) 3a 3 2 Ta có:= AI ,= AH = AI a = 3 , S ABC 2 3 A′= H AH .tan 45 = ° AH = a 3. Thể tích của lăng trụ là:
Trang chủ
3a ) 3 (= 2 4 9a 2 3 . 4 9a 2 3 27 a 3 ′H .S ABC a 3. . V A= = = 4 4 A’ B’ C’ A B H I C . Câu 47. Khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a , đường cao bằng a 3 có thể tích bằng a3 3 . A. 6 a3 3 B. . 3 C. a 3 3 . D. 2a 3 3 . Hướng dẫn giải Chọn C V Bh = a 2 .a 3 = a 3 3 . Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ ta có = Câu 48. Cho lăng trụ ABCA1 B1C1 có diện tích mặt bên ABB1 A1 bằng 4 ; khoảng cách giữa cạnh CC1 và mặt phẳng ( ABB1 A1 ) bằng 7. Tính thể tích khối lăng trụ ABCA1 B1C1 . A. 14 B. 28 3 14 3 Hướng dẫn giải D. 28 C. Chọn A A1 C1 B1 A B C Gọi thế tích lăng trụ ABCA1 B1C1 là V . Ta chia khối lăng trụ thành ABCA1 B1C1 theo mặt phẳng ( ABC1 ) được hai khối: khối chóp tam giác C1. ABC và khối chóp tứ giác C1. ABB1 A1 1 2 Ta có VC1 . ABC = V ⇒ VC1 . ABB1 A1 = V 3 3 1 1 28 28 3 Mà VC1 . ABB . Vậy V = . = 14 .S ABB1 A1 .d ( A; ( ABB1= .4.7 = A1 ) ) = 1 A1 3 3 3 3 2
Trang chủ
Câu 49. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh AA′ , AM 1 BN 2 = , = và mặt phẳng ( MNP ) chia lăng trụ thành hai phần có thể BB′ , CC ′ sao cho AA′ 2 BB′ 3 CP tích bằng nhau. Khi đó tỉ số là CC ′ 1 5 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 12 3 2 Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức : VABC .MNP 1  AM BN CP  =  + + . VABC . A′B′C ′ 3  AA′ BB′ CC ′  Ta có : VABC .MNP = VABC . A′B′C ′ ⇔ 1 ′ 2 ′  BB AA  1 1 2 CP 1  AM BN CP  1 ⇔  +3 + nên  + + = =  3  AA′ BB′ CC ′  2 3  AA′ BB′ CC ′  2   CP 1 . = CC ′ 3 3a . Biết rằng hình 2 chiếu vuông góc của A′ lên ( ABC ) là trung điểm BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó. Câu 50. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , AA′ = A. V = a 3 . Chọn C B. V = 2a 3 . 3 C. V = Hướng dẫn giải B′ 3a 3 . 4 2 C′ A′ H C B A
Trang chủ
D. V = a 3 3 . 2 Gọi H là trung điểm BC . Theo giả thiết, A′H là đường cao hình lăng trụ và A′H = AA′2 − AH 2 = a 6 . 2 a 2 3 a 6 3a 3 2 . . = 4 2 8 Câu 51. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB . Góc giữa cạnh bên ′ Vậy, thể tích khối lăng= trụ là V S= ΔABC . A H của lăng trụ và mặt phẳng đáy bằng 30o . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a . 3a 3 a3 a3 a3 A. B. C. D. 4 8 4 24 Hướng dẫn giải Chọn D a 3 a 3 A′AH = 30o ⇒ A′H = Ta có AH là hình chiếu của A′A trên ( ABC ) ⇒  . = 2 3 6 3 2 a 3 a 3 a V = A′H .S ABC = = . . 8 6 4 ′ ′ Câu 52. Cho hình lăng trụ ABC. A B C ′ có đáy là tam giác vuông cân ở C . Cạnh BB′ = a và tạo với đáy một góc bằng 60° . Hình chiếu vuông góc hạ từ B′ lên đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là: 9 3a 3 A. . 80 Chọn A 9a 3 B. . 80 Hướng dẫn giải Gọi P là trọng tâm của ∆ABC ⇒ B′P ⊥ ( ABC )
Trang chủ
3 3a 3 C. . 80 3a 3 D. . 80  ′BP =° 60 ⇒ ( BB′, ( ABC ) ) = B′BP ) ⇒ B (   3 B′P a 3 ′P = ° = sin 60  B= 2 ⇒ 2 BB′ ⇒  BP 1 a cos 60  BP = ° = =  2 BB′ 2  3 3a Gọi K = BP ∩ AC ⇒ BK = BP = 2 4 2 2 3a 5 1   3a  ⇒ BC 2 +  BC  =   ⇒ BC= 10 2   4  2 a 3 1  3a 5  9a 3 3 . = ⇒ V B′P.= . . = S ABC  2 2  10  80 Câu 53. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA′ và BC bằng A. a3 3 . 6 Chọn D a 3 . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là 4 a3 3 a3 3 B. . C. . 24 3 Hướng dẫn giải B’ D. a3 3 . 12 C’ A’ H B M C G A Do ∆ABC đều trọng tâm G và A′G ⊥ ( ABC ) nên A′. ABC là hình chóp đều. a 3 a 3 ⇒ AG = . 2 3 Gọi H là hình chiếu của M trên AA′ . Khi đó do BC ⊥ ( AA′M ) ⇒ BC ⊥ HM nên HM là Gọi M là trung điểm của BC , khi đó AM = đường vuông góc chung của hai đường thẳng AA′ và BC . Do đó HM = ′B A= ′C x , khi đó A= ′G =′ A= Đặt AA a2 . 3 a 3 a2 a 3 2a . x2 − = .x ⇒ x = . 2 3 4 3 a a2 3 a3 3 , A′G = ⇒ VABC . A′B′C ′ = A′G.S ∆ABC = . = 3 12 4 ′G. AM MH . AA′ ⇒ 2 S ∆AA′M A= Do = Do S ∆ABC x2 −
Trang chủ
a 3 . 4 = 60°, AC = a 7, BD = a 3, AB > AD ,đường chéo BD′ Câu 54.Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có BCD hợp với mặt phẳng ( ADD′A′ ) góc 30° . Tính thể tích V của khối hộp ABCD. A′B′C ′D′ . A. 39 3 a. 3 B. 2 3a 3 . C. 3 3a 3 . D. 39a 3 . Hướng dẫn giải Chọn C D’ C’ 30° A’ B’ x D y O A C B  Đặt = x CD = ; y BC ( x > y )  Áp dụng định lý hàm cos và phân giác trong tam giác BCD 3a 2 = x 2 + y 2 − xy và x 2 + y 2 = 5a 2 y a = ⇒ x 2a;=  = 60 → BD ⊥ AD → BD  x 2= y 2a và C  Với = 3a ‘;(ADD’A’) = 30 → DD ‘ = S ABCD xy = .sin 60 a 2 3 =  Vậy V hình hộp = a3 3 3 Câu 55. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA′ và BC bằng A. V = a3 3 . 12 Chọn A
Trang chủ
a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . 4 a3 3 a3 3 a3 3 B. V = . C. V = . D. V = . 3 24 6 Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm của BC . Vẽ MH ⊥ AA′ ( H ∈ BC ) . MH . Ta có AM ⊥ BC , A′G ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( A′AG ) ⇒ BC ⊥ MH ⇒ d ( AA′, BC ) = = AH 2 = AM 2 − MH 3a 2 3a 2 3a − . = 4 16 4 MH A′G MH . AG  ⇒ A′G = Ta có = = tan GAH = AH AG AH a 3 a 3 . 4 3 = a. 3a 3 4 a 2 3 a a3 3 . . = 12 4 3 Câu 56. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của mặt phẳng a3 3 ABC ABC . trùng với trọng tâm của tam giác Biết thể tích của khối lăng trụ là . Khoảng ( ) 4 cách giữa hai đường thẳng AB′ và BC là: 3a 3a 2a 4a A. . B. . C. . D. . 4 2 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C Vậy V = S ABC . A′G = . Phương pháp: Dựng hình vẽ như giả thiết bài toán. + phương pháp phổ biến nhất để tìm khoảng cách giữa 2 đường thẳng: tìm một mặt phẳng chứa 1 đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại.
Trang chủ
Cách giải: Gọi F là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra A′F là đường cao của hình lăng trụ 1 3 2 S ∆ABC = a.a.sin 600 a . = 2 4 Suy ra A′F = a . AA′ song song với mặt phẳng ( BCC ′B′ ) nên khoảng cách giữa AA′ và BC chính là khoảng cách giữa AA′ và ( BCC ′B′ ) và cũng bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng này. BC vuông góc với ( FOE ) . Dựng FK vuông góc với OE nên EF = d ( F , ( BCC ‘) ) . 2 3 a = OE . 3 Xét hình bình hành AOEA′ : d ( A, ( ABCD ) ) = khoảng cách hình chiếu của A lên OE . Tính AA′ = ( A′F ) 2 + ( AF ) = 2 3 a. 4 Câu 57. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13 , 14 , 15 cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 30° và có chiều dài bằng 8 . Khi đó thể tích khối lăng trụ là. A. 340 . B. 336 . C. 274 3 . D. 124 3 . Hướng dẫn giải Chọn B .d S= AO.= A ‘ F OE = AOEA A’ C’ B’ C A O a H B = Ta có: S∆ABC . 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 84 . Gọi O là hình chiếu của A′ trên ( ABC ) . ′.sin 30° 4 . ∆A′AO vuông tại O cho= ta: A′O AA= Vậy: VABC . A= = 336 . 84.4 ′B′C ′ Câu 58. Cho lăng trụ tam giác ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có đáy ABC là đều cạnh AB = 2a 2 . Biết AC ‘ = 8a và tạo với mặt đáy một góc 450 . Thể tích khối đa diện ABCC ‘ B ‘ bằng 8a 3 3 16a 3 3 8a 3 6 16a 3 6 A. B. C. D. . . . . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D
Trang chủ
B 2a 2 A C 8a B’ A’ H C’ Gọi H là hình chiếu của A lên mp ( A ‘ B ‘ C ‘)  ‘A= 450 ⇒ HC ⇒ ∆AHC ‘ vuông cân tại H. ⇒ AH = AC ‘ 8a = = 4a 2. 2 2 ( ) ( ) 2 2a 2 . 3 16a 3 6 2 2 2 NX: = VA.BCC ‘ B ‘ = VABC . A ‘ B ‘C ‘ = AH .S ABC .4a 2. = . 3 3 3 4 3 Gọi H là hình chiếu của A lên mp ( A ‘ B ‘ C ‘)  ⇒ HC ‘A= 450 ⇒ ∆AHC ‘ vuông cân tại H. ⇒ AH = AC ‘ 8a = = 4a 2. 2 2 2 2a 2 . 3 16a 3 6 2 2 2 NX: .4a 2. = . = VA.BCC ‘ B ‘ = VABC . A ‘ B ‘C ‘ = AH .S ABC 3 3 3 4 3 Câu 59. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a , AA′ = b và AA′ tạo với mặt đáy một góc 60° . Tính thể tích khối lăng trụ. 3 1 3 3 2 B. a 2b . C. D. a 2b . A. a 2b . a b. 8 8 4 8 Hướng dẫn giải Chọn B C’ A’ B’ A C H B Kẻ A′H ⊥ ( ABC ) tại H A′AH= 60° Suy ra góc giữa AA′ và đáy bằng 
Trang chủ
A′H = A′A 3 3 b 3 . ⇒ A′H= A′A= 2 2 2 3a 2b b 3 1 2 ′ = A H . S Do đó VABC . A′B= . = a ° . sin 60 ′C ′ ABC 8 2 2 Câu 60. Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ‘ B ‘ C ‘ có thể tích bằng 30 (đơn vị thể tích). Thể tích của khối tứ diện AB′C ′C là: A. 5 (đơn vị thể tích). B. 10 (đơn vị thể tích). C. 12,5 (đơn vị thể tích). D. 7,5 (đơn vị thể tích). Hướng dẫn giải Chọn B Ta có. 60° ⇒ sin = C B A C A . Khi đó ta có thể so sánh trực tiếp cũng được, tuy nhiên ở đây ta có thể suy luận nhanh như sau: Khối B′ABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh B’ đến đáy ( ABC ) và chung đáy ABC với hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Do vậy VB′ABC VABC . A′B′C ′ 1 = . 3 1 1 VA. A′B′C ′ 1 10 . = , khi đó VA. A′B′C ′ = .VABC . A′B′C ′ ⇒ VA. A′B′C ′ = .30 = 3 3 VABC . A′B′C ′ 3  = 1200 . Hình chiếu Câu 61.Cho lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ với đáy ABCD là hình thoi, AC = 2a , BAD vuông góc của điểm B trên mặt phẳng ( A′B′C ′D′ ) là trung điểm cạnh A′B′ , góc giữa mặt phẳng Tương tự ta có ( AC ′D′ ) và mặt đáy lăng trụ bằng A. V = 3a 3 . Chọn B 60o . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ . B. V = 6 3a 3 . C. V = 2 3a 3 . Hướng dẫn giải D. V = 3 3a 3 . Gọi H là trung điểm A′B′ , suy ra BH ⊥ ( A′B′C ′D′ ) .  ′A= ′D′ 120o ⇒ ∆A′B′C ′ là tam giác đều cạnh 2a . Vì A′B′C ′D′ là hình thoi và B
Trang chủ
C ′D′ ( AC ′D′ ) ∩ ( A′B′C ′D′ ) =   ′H = 60o . BC ⇒ ( Ta có:  HC ′ ⊥ C ′D′ ( AC ′D′ ) , ( A′B′C ′D′ ) ) =  BC ′ ⊥ C ′D′  C ′H Có ∆A′B′C ′ đều cạnh 2a nên= 3 = .2a 2 Xét tam giác BHC ′ vuông tại H có: tan 60o = 3a . BH ⇒ BH = C ′H tan 60o = 3a . C ′H 3 2 .= ( 2a ) 2 3a 2 . 4 Vậy, VABCD = = BH a.2 3a 2 6 3a 3 . .S A′B′C ′ 3= . A′B′C ′D′ S= S A′B′C ′ 2. 2= A′B′C ′D′
Trang chủ
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top