Bài tập phương pháp quy nạp toán học – Lê Bá Bảo

Giới thiệu Bài tập phương pháp quy nạp toán học – Lê Bá Bảo

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và quý thây cô Bài tập phương pháp quy nạp toán học – Lê Bá BảoChương Tổ hợp và Xác Xuất.

Tài liệu môn Toán 11  và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán.

Text Bài tập phương pháp quy nạp toán học – Lê Bá Bảo
Chuyên : DÃY S – C P S Chuyên Ch : 1: DÃY S PH C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 – C P S C NG – C P S —————– NHÂN NG PHÁP QUY N P TOÁN H C I- LÝ THUY T: ch ng minh m t m nh úng v i m i n ∈ * b ng ph ng pháp quy n p toán h c, ta th c hi n các b c sau: B c 1: Ki m tra m nh úng v i n = 1 . B c 2: Gi s m nh úng v i n = k ≥ 1 (gi thi t quy n p) B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n = k + 1 . Chú ý: Trong TH ph i ch ng minh m t m nh úng v i m i s t nhiên n ≥ p ( p là s t nhiên) thì thu t toán là: B c 1: Ki m tra m nh úng v i n = p . B c 2: Gi s m nh úng v i n = p ≥ 1 (gi thi t quy n p) B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n = k + 1 . II- BÀI T P MINH H A: D ng toán 1: CH NG MINH NG TH C- B T NG TH C Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n ∈ N * thì 1 + 3 + 5 + … + ( 2n − 1) = n 2 (1) Bài gi i: Ki m tra khi n = 1 : m nh (1) tr thành: 1 = 12 = 1 ( úng) Gi s m nh (1) dúng khi n = k ≥ 1 , t c là: S k = 1 + 3 + 5 + … + ( 2k − 1) = k 2 (gi thi t quy n p) C n ch ng minh m nh (1) úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: 2 S k +1 = 1 + 3 + 5 + … + ( 2k − 1) + 2 2 ( k + 1) − 1 = ( k + 1) Th t v y: S k +1 = S k + 2 ( k + 1) − 1 = k 2 + 2k + 1 = ( k + 1) V y m nh (1) úng v i m i n ∈ Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n ∈ * 2 . * thì 2 + 5 + 8 + … + ( 3n − 1) = n ( 3n + 1) 2 (2) Bài gi i: Ki m tra khi n = 1 : m nh (2) tr thành 2 = 2 ( úng) Gi s m nh (2) dúng khi n = k ≥ 1 , t c là: k (3k + 1) S k = 2 + 5 + 8 + … + ( 3k − 1) = (gi thi t quy n p) 2 C n ch ng minh m nh (2) úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: ( k + 1) 3 ( k + 1) + 1 S k +1 = 2 + 5 + 8 + … + ( 3k − 1) + 3 ( k + 1) − 1 = 2 k ( 3k + 1) 3k 2 + 7 k + 4 Th t v y: S k +1 = S k + 3 ( k + 1) − 1 = + 3 ( k + 1) − 1 = 2 2 Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S – C P S C NG- C P S NHÂN 4 3 ( k + 1) k + ( k + 1) 3 ( k + 1) + 1 3 = = 2 2 * V y m nh (1) úng v i m i n ∈ . Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ≥ 2 thì: 3n > 3n + 1 Bài gi i: Ki m tra v i n = 2 : 9 > 7 ( úng) Gi s b t ng th c úng v i n = k ( k ≥ 2 ) , t c là: 3k > 3k + 1 Ch ng minh b t ng th c úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh b t 3k +1 > 3 ( k + 1) + 1 i s và Gi i tích 11 ng th c: Th t v y: 3k > 3k + 1 ⇔ 3k +1 > 9k + 3 ⇔ 3k +1 > 3k + 3 + 6k + 1 − 1 ⇔ 3k +1 > 3 ( k + 1) + 1 + 6k − 1 V i k ≥ 2 , khi ó 6k − 1 > 0 nên: 3k +1 > 3 ( k + 1) + 1 . V y 3n > 3n + 1 v i m i n ≥ 2, n ∈ N * . Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ≥ 3 ta có: 3n > n 2 + 4n + 5 Bài gi i: Ki m tra v i n = 3 : 27 > 26 ( úng) Gi s b t ng th c úng v i n = k ≥ 3 , ngh a là: 3k > k 2 + 4k + 5 (gi thi t quy n p) C n ch ng minh b t ng th c úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: 2 3k +1 > ( k + 1) + 4 ( k + 1) + 5 Th t v y: 3k > k 2 + 4k + 5 ⇔ 3k +1 > 3k 2 + 12k + 15 ⇔ 3k +1 > ( k 2 + 2k + 1) + ( 4k + 4 ) + 2k 2 + 6k + 5 + 5 2 ⇔ 3k +1 > ( k + 1) + 4 ( k + 1) + 5 + 2k 2 + 6k + 5 2 V i k ≥ 3 , khi ó 2k 2 + 6k + 5 nên: 3k +1 > ( k + 1) + 4 ( k + 1) + 5 V y: 3n > n 2 + 4n + 5 v i n ≥ 3 Bài t p 5: V i giá tr nào c a s nguyên d ng n ta có: n > n + n Bài gi i: d) n > n + n Ta th v i n = 1: 3 > 2 + 7 (Sai), n = 2 : 9 > 4 + 14 (Sai), n = 3 : 27 > 8 + 21 (Sai) n = 4 : 81 > 16 + 28 ( úng), n = 5 : 243 > 32 + 35 ( úng) D oán: n > n + n ∀n ≥ . Ch ng minh b ng qui n p toán h c. Ki m tra v i n = 4 : 81 > 16 + 28 ( úng) Gi s b t ng th c úng v i n = k ≥ 4 , ngh a là: k > k + k (gi thi t quy n p) C n ch ng minh b t ng th c úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: k+ > k+ + (k + ) Th t v y: 3k > 2k + 7 k ⇔ 3k +1 > 3 ( 2k + 7 k ) = 3.2k + 21k Xét 3.2k + 21k > 2k +1 + 7 ( k + 1) ⇔ 2k + 14k − 7 > 0 ∀k ≥ 4 (2) Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S – C P S C NG- C P S T (1) và (2) suy ra: k + > k + + ( k + ) V y: n > n NHÂN i s và Gi i tích 11 + n ∀n ≥ Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n > 1 , ta có: 1 1 1 13 (1) + + … + > n +1 n + 2 2n 24 Bài gi i: 1 1 7 13 + = > ( úng) 3 4 12 24 1 1 1 13 Gi s (1) úng v i n = k > 1 , t c là: S k = + + … + > (gi thi t quy n p) k +1 k + 2 2k 24 C n c/m (1) úng v i n = k + 1 , t c là c n c/m: 1 1 1 1 1 13 S k +1 = + + … + + + > k +2 k +3 2k 2k + 1 2 ( k + 1) 24 Ki m tra (1) v i n = 2 : Th t v y: S k +1 = 1 1 1 1 1 + + … + + + 2k 2k + 1 2 ( k + 1) k +2 k +3 1 1 1 1 1 1 1 + + + … + + + − k +1 k + 2 k + 3 2k 2k + 1 2k + 2 k + 1 1 1 1 13 1 1 1 = Sk + + − > + + − 2k + 1 2k + 2 k + 1 24 2k + 1 2k + 2 k + 1 13 2 ( k + 1) + 2k + 1 − 2 ( 2k + 1) > + 24 2 ( k + 1)( 2k + 1) = > 13 1 13 + > 24 2 ( k + 1)( 2k + 1) 24 ( k > 1) . 1 1 1 13 + + … + > úng v i m i n > 1. n +1 n + 2 2n 24 D ng toán 2: BÀI TOÁN CHIA H T V y Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n ∈ Bài gi i: t An = n3 − n Ki m tra v i n = 1 , A1 = 0 3 ( úng) * thì n3 − n chia h t cho 3. Gi s m nh An úng khi n = k ≥ 1 , t c là: Ak = k 3 − k 3 (gi thi t quy n p) C n ch ng minh m nh An úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh m nh : 3 Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) 3 3 Th t v y: Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 − k − 1 = ( k 3 − k ) + 3 ( k 2 + k ) = Ak + 3 ( k 2 + k ) 3 V y n3 − n 3 v i m i n ∈ * . Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n ∈ Giáo viên: LÊ BÁ B O * thì n 7 − n chia h t cho 7. T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S – C P S C NG- C P S Bài gi i: t An = n 7 − n B1: Ki m tra v i n = 1: A1 = 0 7 ( úng) NHÂN i s và Gi i tích 11 Ak úng khi n = k ≥ 1 , t c là: Ak = k 7 − k 7 (gi thi t quy n p) B2: Gi s m nh B3: C n ch ng minh m nh An úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh m nh : 7 Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) 7 Th t v y: 7 Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) = k 7 + 7 k 6 + 21k 5 + 35k 4 + 21k 3 + 21k 2 + 7 k + 1 − k − 1 = ( k 7 − k ) + 7 ( k 6 + 3k 5 + 5k 4 + 5k 3 + 3k 2 + k ) 7 V y n7 − n 7 v i m i n ∈ * . Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n ∈ Bài gi i: t An = 7 n − 1 Ki m tra v i n = 1: A1 = 6 6 ( úng) Gi s m nh * thì 7 n − 1 chia h t cho 6. Ak úng khi n = k ≥ 1 , t c là: Ak = 7 k − 1 6 (gi thi t quy n p) C n ch ng minh m nh An úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: Ak +1 = 7 k +1 − 1 6 Th t v y: Ak +1 = 7 k +1 − 1 = 7 ( 7 k − 1) + 6 6 V y 7n − 1 6 v i m i n ∈ * . M TS BÀI TOÁN 1 1 1 1 + + + … + 1.3 3.5 5.7 ( 2n − 1)( 2n + 1) a) Tính S1 , S 2 , S3 , S 4 . b) Hãy d oán công th c tính S n và ch ng minh b ng ph Bài t p 5: Cho t ng S n = ng pháp quy n p. Bài gi i: 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 4 a) S1 = = , S2 = + = , S3 = + = , S4 = + = . 1.3 3 3 3.5 5 5 5.7 7 7 7.9 9 n b) T k t qu câu a) ta d oán: S n = (1) . Ta ch ng minh công th c (1) b ng ph ng 2n + 1 pháp quy n p. 1 Ki m tra v i n = 1: S1 = ( úng) 3 k Gi s bi u th c (1) úng v i n = k ≥ 1 , t c là: S k = 2k + 1 k +1 C n ch ng minh bi u th c (1) úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: S k +1 = 2 ( k + 1) + 1 Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S – C P S C NG- C P S NHÂN 1 1 Th t v y: S k +1 = S k + = Sk + 2 ( k + 1) − 1 2 ( k + 1) + 1 ( 2k + 1)( 2k + 3) i s và Gi i tích 11 ( k + 1)( 2k + 1) 1 2k 2 + 3k + 1 k = + = = 2k + 1 ( 2k + 1)( 2k + 3) ( 2k + 1)( 2k + 3) ( 2k + 1)( 2k + 3) = k +1 2 ( k + 1) + 1 n ∀n ∈ * ) . ( 2n + 1 Bài t p 5: Gi s x1 , x2 ,…xn ∈ R + và x1.x2 ….xn = 1 . Ch ng minh x1 + x2 + … + xn ≥ n V y Sn = Bài gi i: V i n = 1: x1 = 1 . M nh úng . úng v i n = k ( k ≥ 1) Gi s m nh ⇔ x1 + x2 + x3 + …. + xk ≥ k ∨ x1 x2 x3 ..xk = 1 (*) N u v i m i xk = 1 thì hi n nhiên : x1 + x2 + .. + xk + xk +1 ≥ k + 1 . N u trong k + 1 s có ít nh t m t s l n h n 1, thì t ph i có s nh h n 1. Không gi m tính t ng quát , gi s xk > 1 và xk +1 < 1 , khi ó ta có: (1 − xk +1 )( xk − 1) > 0 ⇔ xk + xk +1 > 1 + xk xk +1 (1) Do ó: x1 + x2 + … + xk + xk +1 > x1 + x2 + … + xk −1 + xk xk +1 + 1 ( 2 ) Theo gi thi t quy n p , ta suy ra t k s v ph i: x1 + x2 + … + xk −1 + ( xk xk +1 ) ≥ k ( 3) T (2) và (3) suy ra : x1 + x2 + … + xk + xk +1 > k + 1 . an + bn a+b Bài t p 5: Ch ng minh : ≥ 2 2 Bài gi i: V i n = 1 . M nh úng Gi s m nh n * v i : a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ a k + bk a+b úng v i n = k ( k ≥ 1) : ⇔ ≥ 2 2 k (1) k +1 a k +1 + b k +1 a+b Ta ph i ch ng minh : ≥ 2 2 a+b Th t v y, ta nhân hai v c a (1) v i , ta có : 2 a k + bk a + b a+b ⇔ . ≥ 2 2 2 k a+b a+b . = 2 2 a k +1 + a k b + ab k + b k +1 a+b ⇔ ≥ 4 2 k +1 k +1 ( 2) Nh ng v i a > 0, b > 0 thì : ( a k − b k ) ( a − b ) ≥ 0 ⇔ a k +1 + b k +1 ≥ a k b + ab k Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S – C P S C NG- C P S NHÂN a k +1 + a k b + ab k + b k +1 a k +1 + b k +1 Suy ra: ≤ ( 3) 4 2 So sánh (2) và (3) ta c i u ph i ch ng minh . i s và Gi i tích 11 n Bài t p 1: Cho s th c a > −1 . Ch ng minh r ng: (1 + a ) ≥ 1 + na ( ∀n ∈ * ) Bài gi i: 1 V i n = 1: (1 + a ) ≥ 1 + a ( úng) Gi s m nh k úng v i n = k ( k ≥ 1) : ⇔ (1 + a ) ≥ 1 + ka (1) Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: (1 + a ) k Th t v y, ta có: (1 + a ) ≥ 1 + ka ⇔ (1 + a ) n V y (1 + a ) ≥ 1 + na ( ∀n ∈ * )( k +1 k +1 ≥ 1 + ( k + 1) a ≥ (1 + a )(1 + ka ) = 1 + ( k + 1) a + ka 2 ≥ 1 + ( k + 1) a .p.c.m) Bài t p 1: Cho n s th c x1 , x2 , x3 ,…, xn ∈ ( 0;1) . Ch ng minh r ng ( ∀n ≥ 2 ) : (1 − x1 )(1 − x2 ) …(1 − xn ) > 1 − x1 − x2 − … − xn Bài gi i: V i n = 2 : (1 − x1 )(1 − x2 ) = 1 − x1 − x2 + x1 x2 > 1 − x1 − x2 ( úng) úng v i n = k ( k ≥ 2 ) : ⇔ (1 − x1 )(1 − x2 ) … (1 − xk ) > 1 − x1 − x2 − … − xk (1) Gi s m nh Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: ⇔ (1 − x1 )(1 − x2 ) … (1 − xk )(1 − xk +1 ) > 1 − x1 − x2 − … − xk − xk +1 Th t v y, ta có: (1 − x1 )(1 − x2 ) … (1 − xk ) > 1 − x1 − x2 − … − xk ⇔ (1 − x1 )(1 − x2 ) … (1 − xk )(1 − xk +1 ) > (1 − x1 − x2 − … − xk )(1 − xk +1 ) = (1 − x1 − x2 − … − xk ) − xk +1 (1 − x1 − x2 − … − xk ) = 1 − x1 − x2 − … − xk +1 + ( x1 xk +1 + x2 xk +1 + … + xk xk +1 ) > 1 − x1 − x2 − … − xk +1 V y (1 − x1 )(1 − x2 ) … (1 − xn ) > 1 − x1 − x2 − … − xn ( ∀n ≥ 2 ) ( .p.c.m) Bài t p 1: Xác ( un ) : nh công th c t ng quát un c a các dãy ( un ) sau: u1 = u1 = −1 ( un ) : un +1 = 2un + 1 ( n ≥ 1) 5 4 un +1 = un + 1 ( n ≥ 1) 2 Bài gi i: a) ( un ) : u1 = −1 un +1 = 2un + 1 ( n ≥ 1) . Ta có: u2 = −1, u3 = −1, u4 = −1 . D oán: un = −1 ( ∀n ≥ 1) . Ch ng minh b ng qui n p toán h c. V i n = 1: u1 = −1 ( úng) Gi s m nh úng v i n = k ( k ≥ 1) : uk = −1 Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S – C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: uk +1 = −1 Th t v y, ta có: uk +1 = 2uk + 1 = 2. ( −1) + 1 = −1 V y un = −1 ( ∀n ≥ 1) . (y.c.b.t) u1 = b) ( un ) : 5 4 . un + 1 un+1 = ( n ≥ 1) 2 9 23 + 1 24 + 1 33 25 + 1 Ta có: u2 = = 3 , u3 = 4 , u4 = = 5 ,… . D 8 2 2 32 2 Ch ng minh b ng qui n p toán h c. 5 V i n = 1: u1 = ( úng) 4 2k +1 + 1 Gi s m nh úng v i n = k ( k ≥ 1) : uk = k +1 2 Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t uk + 1 2k +1 + 1 1 Th t v y, ta có: uk +1 = = +1 . k +1 2 2 2 oán: un = 2n+1 + 1 ( ∀n ≥ 1) . 2n +1 2k + 2 + 1 c là c n ch ng minh: uk +1 = k + 2 2 k +2 2 +1 = k +2 2 2n+1 + 1 V y un = n+1 ( ∀n ≥ 1) . (y.c.b.t) 2 Bài t p 1: Xác nh công th c t ng quát un c a các dãy ( un ) sau: un = 2 + 2 + 2 + … + 2 ( n ≥ 1) n Bài gi i: Ta có: u1 = 2 = 2cos , u2 = 2 + 2 = 2 + 2cos = 2 1 + cos = 2 2cos 2 = 2cos . 4 4 4 8 8 ( ∀n ≥ 1) . 2n+1 Ch ng minh b ng qui n p toán h c. D oán: un = 2cos V i n = 1: u1 = 2cos Gi s m nh 4 = 2 ( úng) úng v i n = k ( k ≥ 1) : uk = 2cos 2k +1 Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: uk +1 = 2cos 2k + 2 Th t v y, ta có: uk +1 = 2 + 2 + 2 + … + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + … + 2 +1 Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S – C P S C NG- C P S = 2 + uk = 2 + 2cos ( ∀n ≥ 1) . (y.c.b.t) 2n+1 III- BÀI T P T LUY N: Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n ∈ 2 k +1 NHÂN = 2 2cos 2 i s và Gi i tích 11 2k +1 = 2cos 2k + 2 V y un = 2cos * , ta có các ng th c: n 1 1 1 1 2 −1 1) + + + … + n = n 2 4 8 2 2 2 5) 1.4 + 2.7 + 3.10… + n ( 3n + 1) = n ( n + 1) 9) 1 4 1− 1 9 1− 2 2 2) 1 + 3 + 5 + … + ( 2n − 1) = n ( 4n 2 − 1) 3 n ( 3n − 1) 4) 1 + 4 + 7 + … + ( 3n − 2 ) = 2 2 6) 1 + 3 + 5 + … + ( 2n − 1) = n 3) 1.2 + 2.5 + … + n ( 3n − 1) = n 2 ( n + 1) 7) 1 − 2 2 1 1 n+2 … 1 − = 2 16 2 ( n + 1) ( n + 1) 8) 1 + 3 + 9 + … + 3n−1 = 3n − 1 2 1 1 1 1 n + + + … + = 1.4 4.7 7.10 ( 3n − 2 )( 3n + 1) 3n + 1 10) 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n ( n + 1) = n ( n + 1)( n + 2 ) . 3 Bài t p 2: Ch ng minh r ng: V i m i n ∈ N*: n 2 ( n + 1) 2) 1 + 2 + 3 + + n = 4 2 4) 1 + 3 + 5 + … + ( 2n − 1) = n n(n + 1) 1) 1 + 2 + 3 + … + n = 2 3) 2 + 4 + 6 + + 2n = n ( n + 1) 5) 1 1 + + 1.2 2.3 + 3 1 n = n ( n + 1) n + 1 6) 3 3 2 3 1 1 1 + + + 3 32 33 + 1 1 3n − 1 = . 3n 2 3n n+ 1 2 n 3 2n + 3 − n 7) + 2 + … + n = − 8) + + + … + = n 3 3 3 4 4.3 n ( 3n − 1) n ( 3n + 1) 9) 1 + 4 + 7 + + ( 3n − 2 ) = 10) 2 + 5 + 8 + … + ( 3n − 1) = 2 2 n ( n + 1)( 2n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) 11) 12 + 22 + 32 + + n 2 = 12) 22 + 42 + 62 + + (2n) 2 = 6 3 Bài t p 3: Ch ng minh r ng: V i m i n ∈ N * : n− n n ≥ n + ∀n ≥ > n ∀n ≥ nn ≥ ( n + ) ∀n ≥ n > n + n + ∀n ≥ sin n + cos n ≤ ∀n ≥ n! > n− n− n+ ∀n ≥ > n(n + ) ∀n > ∀n ≥ Bài t p 4: Ch ng minh r ng n u ∆ABC vuông t i A, có s m i s t nhiên n ≥ , ta có b t ng th c : b n + c n ≤ a n . Bài t p 5: V i giá tr nào c a s nguyên d Giáo viên: LÊ BÁ B O > n+ o các c nh là a, b, c thì v i ng n , ta có: T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S – C P S n+ >n + n n C NG- C P S NHÂN n > n+ n > n + n+ Bài t p 6: Ch ng minh r ng s Bài t p 7: Cho t ng S n = > n i s và Gi i tích 11 + n !ng chéo c a m t a giác l”i n c nh là 1 1 1 + + + 1.2 2.3 3.4 + n ( n − 3) . 2 1 , v i n ∈ N *. n ( n + 1) a) Tính S1 , S 2 , S3 , S 4 . b) Hãy d oán công th c tính S n và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p. 1 1 1 1 + + + + Bài t p 8: Cho t ng S n = , v i n ∈ *. 1.5 5.9 9.13 ( 4n − 3)( 4n + 1) a) Tính S1 , S 2 , S3 , S 4 . b) Hãy d oán công th c tính S n và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p. Bài t p 9: Cho n s th c a , a , a ,…, an th a − < ai ≤ (i = , n) . Ch ng minh r ng: ∀n ∈ * ta có: ( + a )( + a ) ...( + an ) ≥ + a + a + ... + an Bi t p 10: Ch ng minh r ng v i các s th c a , a , a ,..., an ( ∀n ∈ * ), ta có: a + a + ... + an ≤ a + a + ... + an Bài t p 11: Ch ng minh r ng ∀n ∈ N * : n −n n + n n + n− n+ + + n− n n+ n −n n− + n+ n + n + n − n +n n+ Bài t p 13: Cmr s ( un ) : ( un ) : >n + n − n + Bài t p 12: V i giá tr nào c a s nguyên d Bài t p 14: Xác n n . n− + n− ng n ta có: n > n+ n >n + n+ !ng chéo c a m t a giác l”i n c nh ( n ≥ 4 ) là n ( n − 3) . 2 nh công th c t ng quát un c a các dãy ( un ) sau: u1 = 1 un +1 = un + 5 ( n ≥ 1) u1 = −1, u2 = 3 un+ 2 = 5un+1 − 6un− 2 ( n ≥ 3) u1 = 1 ( un ) : ( un ) : u un +1 = n ( n ≥ 1) un + 1 ( un ) : u1 = 1 un +1 = 5un ( n ≥ 1) u1 = 1 un +1 = un + 5 ( n ≥ 1) áp s : Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n Chuyên : DÃY S – C P S C NG- C P S NHÂN 1 u n = 5n − 4 un = un = 5n−1 un = 5.3n − 6.2n n Giáo viên: LÊ BÁ B O i s và Gi i tích 11 un = ( n + 2 ) .2n−1 T Toán THPT Phong i n
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top