Bài tập phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam 3 §BÀI 1. Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp PP QUY NẠP – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG, NHÂN PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A. LÝ THUYẾT 1. Nguyên lý quy nạp toán học: Giả sử P  n  là một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n . Nếu cả hai điều kiện  i  và  ii  dưới đây được thỏa mãn thì P  n  đúng với mọi n  m (m là số tự nhiên cho trước). i   ii  P  m  đúng. Với mỗi số tự nhiên k  m, nếu P  k  1 đúng. Phương pháp chứng minh dựa trên nguyên lý quy nạp toán học gọi là phương pháp quy nạp toán học( hay gọi tắt là phương pháp quy nạp). Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n  1 nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với n  1  1  2. Vì nó đúng với n  2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với n  2  1  3,… Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  * . 2. Phương pháp giải toán. Để chứng minh một mệnh đề P  n  phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n  m ( m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau: Bước 1: Chứng minh rằng P  n  đúng khi n  1 . Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy ý, k  m .  Giả sử P  n  đúng khi n  k , ta sẽ chứng minh P  n  cũng đúng khi n  k  1 .  Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng P  n  đúng với mọi số tự nhiên n  m. B. PHÂN DẠNG VÀ CÁC BÀI TẬP MINH HỌA. DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 1. Bài tập minh họa: Bài tập 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n , ta có: a). 1.4  2.7    n  3n  1  n  n  1 b). 2 n  n  3 1 1 1      1.2.3 2.3.4 n  n  1 n  2  4  n  1 n  2  Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 1 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: n  4n 2  1 2 2 2 2 1  3  5     2n  1  1 3 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 2 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Bài tập 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 22  42  62     2n   2 2n  n  1 2n  1 1 3 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: n 2  n  1 1  2  3    n  4 3 3 3 3 2 1 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 1.2  2.3  3.4    n(n  1)  n(n  1)(n  2) 3 (1) Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 3 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 6. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 1.2  2.5  3.8    n  3n  1  n2  n  1 (1) Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 1.2.3  2.3.4  3.4.5    n  n  1 n  2   n  n  1 n  2  n  3 4 (1) Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 1.2  2.3  3.4     n  1 n  2 4 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân 3 4 2 n  n 2  1  3n  2  12 , n  2 (1) Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 9. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 1  1  n 1  1  1  , n  2 (1) 1   1    1   … 1  2    4   9   16   n  2n Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 10. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 1 1 1 1 2n  1      n  n (1) 2 4 8 2 2 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 5 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 11. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 1 2 3 n 3 2n  3      n   1 3 9 27 3 4 4.3n Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… DẠNG 2. CHỨNG MINH CHIA HẾT 1. Bài tập minh họa: Bài tập 12. Chứng minh rằng n  * ta có: n3  11n chia hết cho 6. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 13. Chứng minh rằng n  * ta có: n3  3n2  5n chia hết cho 3 Lời giải. 6 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 14. Chứng minh rằng n  * ta có: n3  n chia hết cho 3 . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 15. Chứng minh rằng n  * ta có: 2n3  3n2  n chia hết cho 6 . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 16. Với mỗi số nguyên dương n , gọi un  9n  1 . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì un luôn chia hết cho 8 . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 7 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 17. Chứng minh rằng n  * ta có: 13n  1 chia hết cho 6 . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 18. Chứng minh rằng n  * ta có: 4n  15n  1 chia hết cho 9 . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 19. Chứng minh rằng n  * ta có: 4n  6n  8 chia hết cho 9 . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 20. Chứng minh rằng n  * ta có: 7.22 n 2  32 n 1 chia hết cho 5 . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 8 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Bài tập 21. Chứng minh rằng n  * ta có: 32 n1  2n 2 chia hết cho 7 . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 22. Chứng minh rằng n  * ta có: 11n1  122 n1 chia hết cho 133 . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 23. Chứng minh n  * thì 16n  15n  1 chia hết cho 225. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… thì 4.32 n 2  32n  36 chia hết cho 32 . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 24. Chứng minh n  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 9 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Bài tập 25. Chứng minh rằng n  * ta có: 33n 3  26n  27 169, n  * Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 26. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2 , ta luôn có: 2n 1  2n  3 (*) Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… DẠNG 3. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1. Bài tập minh họa: Bài tập 27. Chứng minh rằng n  * , ta có: 3n1  n  n  2  (*)n  4, n  . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 28. Chứng minh rằng n  * , ta có: 3n  n 2  4n  5 (*), n  3 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 10 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Bài tập 29. Chứng minh rằng n  * , ta có: 2n  2n  1 (*)n  3, n  . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 30. Chứng minh rằng n  * , ta có: 2n  n 2 , n  5, n  Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 1 1 1 13      * , n  2, n  n 1 n  2 n  n 24 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 31. Chứng minh rằng n  * , ta có: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 11 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 32. Chứng minh rằng n  * , ta có: n n   n  1 n 1 * n  * Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 33. Chứng minh rằng n  * , ta có:  n !  n n * n  * 2 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… n5 n 4 n3 n Bài tập 34. Chứng minh luôn là số nguyên với mọi n  *    5 2 3 30 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 12 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 1 1 1 1       2 n 1 2 3 4 n Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 35. Chứng minh rằng n  * , ta có: 1  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 1 1 là số nguyên. Chứng minh: x n  n là số nguyên n  N * x x Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 36. Cho x  R 0 và x  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 13 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM. Câu 1. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A  n  đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng: A. n  1. B. n  p. C. n  p. D. n  p. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 2. Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A  n  đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A  n  đúng với n  k . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. k  p. B. k  p. C. k  p. D. k  p. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 3. Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A  n  đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:  Bước 1, kiểm tra mệnh đề A  n  đúng với n  p.  Bước 2, giả thiết mệnh đề A  n  đúng với số tự nhiên bất kỳ n  k  p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n  k  1. Trogn hai bước trên: A. Chỉ có bước 1 đúng. C. Cả hai bước đều đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng. D. Cả hai bước đều sai. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 4. Một học sinh chứng minh mệnh đề ”8n  1 chia hết cho 7, n  * ” * như sau:  Giả sử * đúng với n  k , tức là 8  1 chia hết cho 7. k  Ta có: 8k 1  1  8  8k  1  7 , kết hợp với giả thiết 8k  1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8k 1  1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức * đúng với mọi n  * . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Học sinh trên chứng minh đúng. B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp. C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp. D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp. Lời giải. 14 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 1 1 1 1 với n  * . Mệnh đề nào sau đây đúng?    …  1 2 2  3 3  4 n.  n  1 1 1 2 1 A. S3  . B. S2  . C. S2  . D. S3  . 12 6 3 4 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 5. Cho Sn  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 1 1 1 1 với n  * . Mệnh đề nào sau đây đúng?    …  1 2 2  3 3  4 n.  n  1 n 1 n n 1 n2 A. Sn  B. Sn  C. Sn  D. Sn  . . . . n n 1 n2 n3 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 6. Cho Sn  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 1 1 1 với n  * . Mệnh đề nào sau đây đúng?   …  1 3 3  5  2n  1   2n  1 n 1 n n n2 A. Sn  B. Sn  C. Sn  D. Sn  . . . . 2n  1 2n  1 3n  2 2n  5 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 7. Cho Sn  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 15 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 1  1  1   Câu 8. Cho Pn  1  2  1  2  … 1  2  với n  2 và n  . Mệnh đề nào sau đây đúng?  2  3   n  n 1 n 1 n 1 n 1 A. P  B. P  C. P  D. P  . . . . n2 2n n 2n Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 9. Với mọi n  * , hệ thức nào sau đây là sai? n  n  1 A. 1  2  …  n  B. 1  3  5  …   2n  1  n2 . 2 n  n  1 2n  1 2n  n  1 2n  1 2 C. 12  22  …  n 2  D. 22  42  62    2n   . 6 6 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 10. Xét hai mệnh đề sau: I) Với mọi n  * , số n3  3n2  5n chia hết cho 3. 1 1 1 13 II) Với mọi n  * , ta có .   …   n 1 n  2 2n 24 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Không có. D. Cả I và II. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 16 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam §BÀI 2. Chương III-Bài 2. Dạy Số DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa. Một hàm số u xác định trên tập * được gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số): u : *   n  u n Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là một số hạng của dãy số,  u 1 được gọi là số hạng thứ nhất ( hay số hạng đầu),  u  2  được gọi là số hạng thứ hai… Người ta thường kí hiệu các giá trị u 1 , u  2  …tương ứng bởi u1 , u2 ….. Ta thường kí hiệu dãy số u  u  n  bởi  un  và gọi un là số hạng tổng quát của dãy số đó. Ta cũng thường viết dãy số  un  dưới dạng khai triển: u1 , u2 ,…, un . Chú ý:  Người ta cũng gọi một hàm số u xác định trên tập hợp gồm m số nguyên dương đầu tiên ( m tùy ý thuộc * ) là một dãy số.  Rõ ràng, dãy số trong trường hợp này chỉ có hữu hạn số hạng ( m số hạng: u1 , u2 ,…, um ).  Vì thế, người ta còn gọi nó là dãy số hữu hạn, u1 gọi là số hạng đầu và u m là số hạng cuối.  Ví dụ 1. Hãy viết ba số hạng đầu của dãy số  un  cho bởi 2n 2  1 a). un  2 . n 1 n   1 b). un  . 2n  1 n c). un  n  cos2 n . d). un   n  1! . 2n Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Ví dụ 2. Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số  un  cho bởi u1  2  a).  . 1 u  u  1   n  1 n  3 u  15, u2  9 c).  1 . un  2  un  un 1 u1  0  b).  2 . u  n  1 2  un  1  u  1, u2  2 d).  1 . un  2  un 1  2un Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 17 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Ví dụ 3. a). Cho dãy số  un  b). Cho dãy số  un  1  22 n 1  7 u1  có  với . Chứng minh rằng với n  1. u  n  1 3 n 3 un 1  4un  7 u  2 có  1 với n  1. Chứng minh rằng un  3n  n với n  1. un 1  3un  2n  1 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 2. Cách cho một dãy số. Có 3 cách thông dụng Cách 1. Cho bằng công thức tổng quát un .  Ví dụ 4. cho dãy số  un  có un  n  cos2 n hoặc un  2n2  3n  2. u  … Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay quy nạp):  1 un 1  theo un  Cho số hạng thứ nhất u1 ( hoặc một vài số hạng đầu).  Với n  2 cho một công thức tính  un  nếu biết un 1 (hoặc vài số hạng đứng ngay trước nó). u1  2 u1  1   Ví dụ 5. Cho dãy số  un  xác định bởi  n  1. hoặc  1 3 un 1  un  n un 1  3  un  1 Cách 3. Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.  Ví dụ 6. Cho đường tròn  O  bán kính R . Cho dãy  un  với un là độ dài cung tròn có số đo là 2 của đường tròn  O  n 3. Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số  un  được gọi là dãy số tăng  un 1  un với n  *  un 1  un  0 với n  * u  n 1  1 với n  * và  un  0  . un Dãy số  un  được gọi là dãy số giảm  un 1  un với n  *  un 1  un  0 với n  * u  n 1  1 với n  * và  un  0  . un 18 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số  Ví dụ 7. Xét tính tăng giảm của các dãy số  un  sau: 1). Dãy số với un  2n3  5n  1 un  2). Dãy số  un  với un  3n  n. 3). Dãy số  un  với 3n 2n 1 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Nhận xét: Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu . Tính chất tăng, giảm của một dãy số được gọi chung là tính chất đơn điệu của dãy số đó. 4. Dãy số bị chặn Dãy số  un  được gọi là bị chặn trên  M  : un  M , n  * . Dãy số  un  được gọi là bị chặn dưới  m  Dãy số  un  được gọi là bị chặn : un  m , n   m, M   Ví dụ 8. Chứng minh rằng dãy số  un  , với un  * . : m  un  M , n  * . n2  1 là một dãy số bị chặn. 2n 2  3 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… B. PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA. 19 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số DẠNG 1. Thiết lập công thức tính số hạng tổng quát  un  theo n . 1. Phương pháp. n Nếu  un  có dạng un  a1  a2  …  ak  …  an (kí hiệu un   ak ) thì biến đổi ak thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn  un  . k 1 Nếu dãy số  un  được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u1 , u2 ,…, um ), từ đó dự đoán công thức tính  un  theo n , rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu un 1  un dựa vào đó để tìm công thức tính  un  theo n.  an  . 2. Bài tập minh họa. n  Bài tập 1. Cho dãy số đặt un   ak . Tính u1 , u2 , u3 , u4 và xác định công thức tính un theo n k 1 trong các trường hợp sau: 1 a). ak  k  k  1 b). ak  1 k  k  4 c). ak  1 4k 2  1 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 20 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài tập 2. Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát un theo n của các dãy số sau : u  3 u  2 a).  1 b).  1 un 1  2un . un 1  un  2 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… u1  1 n  1.  Bài tập 3. Dãy số  un  được xác định bằng cộng thức:  3 un 1  un  n a). Tìm công thức của số hạng tổng quát. b). Tính số hạng thứ 100 của dãy số. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 21 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài tập 4. Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số  un  , dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng qui nạp u  1 a).  1 . un 1  2un  3 u1  3 b).  . 2 u  1  u  n 1 n 5  u1  4 c).  . u  1 n u   n 1 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 3. Bài tập rèn luyện. 22 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số  Bài 1. Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  2 và un 1  5un với mọi n  1. a). Hãy tính u2 , u4 và u6 . b). Chứng minh rằng un  2.5n1 với mọi n  1. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài 2. Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  1 và un 1  un  7 với mọi n  1 a). Hãy tính u2 , u4 và u6 . b). Chứng minh rằng: un  7n  6 1 với mọi n  1 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài 3. Cho dãy số  un  với u1  1 và un 1  3un  10 với mọi n  1. Chứng minh rằng: un  2.3n  5 n  1. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài 4. Cho dãy số  un  , biết u1  3, un 1  1  un2 với n  1, n  a). Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số. b). Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. 23 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài 5. Cho tổng Sn  1 1 1 1      1.2 2.3 3.4 n  n  1 a). Tính S1 , S 2 , S3 . b). Dự đoán công thức tính tổng S n và chứng minh bằng quy nạp. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài 6. Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát un theo n của các dãy số sau : u1  1 u1  1  a).  b).  với n  1, n  un ,n  * u  u  u  3 n  1 n  1 n   1  un  Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 24 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 3 5  Bài 7. Cho dãy số  un  xác định bởi: un  1 và un 1   un2  un  1 n  1. 2 2 u , u u a). Hãy tính 2 3 và 4 b). Chứng minh rằng: un  un 3 với mọi n  1. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài 8. Cho dãy số  un  với un1  5.4n1  3. a). Chứng minh rằng: un 1  4un  9 với mọi n  1. b). Dựa vào kết quả câu a) , hãy cho dãy số  un  bởi hệ thức truy hồi. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 25 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số u  11 Bài 9. Cho dãy số  un  xác định bởi  1 . Tìm số hạng tổng quát un . un 1  10un  1  9n, n  Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 4. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 1. Cho dãy số  un  , biết un  n . Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số n 1 nào dưới đây? 1 2 3 4 5 A.  ;  ;  ;  ;  . 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 C. ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 B.  ;  ;  ;  ;  . 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 D. ; ; ; ; . 3 4 5 6 7 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 2. Cho dãy số  un  , biết un  nào dưới đây? 1 1 1 A. ; ; . 2 4 8 B. n . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số 3 1 n 1 1 3 ; ; . 2 4 26 C. 1 1 1 ; ; . 2 4 16 D. 1 2 3 ; ; . 2 3 4 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… u1  1 Câu 3. Cho dãy số  un  , biết  với n  0 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt un 1  un  3 là những số nào dưới đây? A. 1; 2;5. B. 1; 4;7. C. 4;7;10. D. 1;3;7. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 2n 2  1 . Tìm số hạng u5 . Câu 4. Cho dãy số  un  , biết un  2 n 3 1 17 7 A. u5  . B . u5  . C. u5  . 4 12 4 Lời giải. 26 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân D. u5  71 . 39 Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 5. Cho dãy số  un  , biết un   1 .2n. Mệnh đề nào sau đây sai? n A. u1  2. B. u2  4. C. u3  6. D. u4  8. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 6. Cho dãy số  un  , biết un   1 . n 8 A. u3  . 3 B. u3  2. 2n . Tìm số hạng u3 . n C. u3  2. 8 D. u3   . 3 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… u1  2  Câu 7. Cho dãy số  un  xác định bởi  . Tìm số hạng u4 . 1 u  u  1   n  1 n  3 5 2 14 A. u4  . B . u4  1. C. u4  . D. u4  . 9 3 27 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… u1  3  Câu 8. Cho dãy  un  xác định bởi  . Mệnh đề nào sau đây sai? un un 1  2  2 5 15 31 63 A. u2  . B. u3  . C. u4  . D. u5  . 2 4 8 16 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… n 1 8 . Số là số hạng thứ mấy của dãy số? 2n  1 15 A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 9. Cho dãy số  un  , biết un  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 27 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 2n  5 7 là số hạng thứ mấy của dãy số? . Số 5n  4 12 A. 8. B. 6. C. 9. D. 10. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 10. Cho dãy số  un  , biết un  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 11. Cho dãy số  un  , biết un  2n. Tìm số hạng un 1. A. un1  2n.2. C. un1  2  n  1 . B. un1  2n  1. D. un1  2n  2. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 12. Cho dãy số  un  , biết un  3n. Tìm số hạng u2 n 1. A. u2 n1  32.3n  1. B. u2 n1  3n.3n1. D. u2 n1  32 n1. C. u2 n1  32 n  1. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 13. Cho dãy số  un  , với un  5n1. Tìm số hạng un 1. A. un1  5n1. C. un1  5.5n1. B. un1  5n. D. un1  5.5n1. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  n 1  Câu 14. Cho dãy số  un  , với un     n 1  n 1  A. un 1     n 1  2 n 1  3 2 n 3  n 1  . B. un 1     n 1  . Tìm số hạng un 1. 2 n 1  3 .  n  C. un 1    n2 2 n 3 .  n  D. un 1    n2 2 n 5 . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 1 2 3 4 Câu 15. Dãy số có các số hạng cho bởi: 0; ; ; ; ; . có số hạng tổng quát là công thức nào 2 3 4 5 dưới đây? n2  n n 1 n n 1 . A. un  B. un  C. un  D. un  . . . n 1 n n 1 n Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 16. Dãy số có các số hạnh cho bởi: 1;1; 1;1; 1; . có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? n 1 n A. un  1. B. un  1. C. un   1 . D. un   1 . 28 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 17. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0; 2; 4;6; . Số hạng tổng quát của dãy số này là công thức nào dưới đây? A. un  2n. B. un  n  2. C. un  2  n  1 . D. un  2n  4. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… u1  2 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng Câu 18. Cho dãy số  un  , được xác định  un 1  2un nào dưới đây? A. un  nn1. B. un  2n. C. un  2n1. D. un  2. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 1  u1  Câu 19. Cho dãy số  un  , được xác định  . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng 2 un 1  un  2 nào dưới đây? 1 1 1 1 A. un   2  n  1 . B. un   2  n  1 . C. un   2n. D. un   2n. 2 2 2 2 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… u1  2 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số Câu 20. Cho dãy số  un  , được xác định  un 1  un  2n  1 hạng nào dưới đây? 2 2 2 A. un  2   n  1 . B. un  2  n2 . C. un  2   n  1 . D. un  2   n  1 . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 29 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… u1  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số Câu 21. Cho dãy số  un  , được xác định  2 un 1  un  n hạng nào dưới đây? n(n  1)(2n  1) n(n  1)(2n  2) A. un  1  B. un  1  . . 6 6 n(n  1)(2n  1) n(n  1)(2n  2) C. un  1  D. un  1  . . 6 6 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… u1  2  Câu 22. Cho dãy số  un  , được xác định  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số un 1  2  u n  hạng nào dưới đây? n  1 n 1 n 1 n A. un  B. un  C. un   D. un   . . . . n n n n 1 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… u1  1 Câu 23. Cho dãy số  un  , được xác định  2 n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số un 1  un   1 hạng nào dưới đây? 2n A. un  1  n. B. un  1  n. C. un  1   1 . D. un  n. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 24. Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát là un  2  3n  với n  * . Công thức truy hồi của dãy số đó là: u1  6 . A.  un  6un 1 , n  1 u1  6 u1  3 u1  3 . . . B.  C.  D.  un  3un 1 , n  1 un  3un 1 , n  1 un  6un 1 , n  1 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 30 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… a1  3  Câu 25. Cho dãy số  an  , được xác định  . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 a  a , n  1 n  1 n  2 93 3 9 3 A. a1  a2  a3  a4  a5  . B. a10  D. an  n . . C. an 1  an  n . 16 512 2 2 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… VẤN ĐỀ 2. TÍNH TĂNG GIẢM CỦA DÃY SỐ. 1. Phương Pháp. Cách 1: Khi chưa biết dãy số  un  dương hay âm thì ta xét dấu của biểu thức un 1  un . Nếu un 1  un  0 với n  * thì  un  là dãy số tăng; Nếu un 1  un  0 thì  un  là dãy số giảm. Dấu hiệu nhận biết: thường hàm đa thức, phân thức hữu tỉ. u Cách 2: Khi n  * và  un  0  thì có thể so sánh n 1 với 1 . un u Nếu  n 1  1 thì  un  là dãy số tăng; un u Nếu  n 1  1 thì  un  là dãy số giảm. un Dấu hiệu nhận xét: thường hàm căn thức, hàm mũ. u1  … Cách 3: Nếu dãy số  un  được cho bởi một hệ thức truy hồi  thì ta có thể sử dụng un 1  theo un phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh un 1  un (hoặc un 1  un ) Chú ý: Nếu k   : un1  uk thì dãy số  un  không giảm. Nếu k   : un1  uk thì dãy số  un  không tăng. 2. Bài tập minh họa.  Bài tập 5. Xét tính tăng giảm của các dãy số  un  sau: 1). Dãy số  un  với un  n . 2 n 1 31 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân 2). Dãy số  un  với un  3n 2  2n  1 n 1 Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam n2  n  1 2n 2  1 n 1 1 với un  n 3). Dãy số  un  với un  5). Dãy số  un  Chương III-Bài 2. Dạy Số 4). Dãy số  un  với un  n  n 2  1 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 32 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số  Bài tập 6. Xét tính tăng giảm của  un  các dãy số sau: 1). Dãy số  un  với un  3n 2). Dãy số  un  với un  2 n n 2n Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài tập 7. Xét tính tăng giảm của dãy số  un  biết: a). un  1 2 n b). un  n 1 n 1 c). un  (1) n  2n  1 e). un  2n  4n 2  1 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 33 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài tập 8. Xét tính tăng giảm của các dãy số  un  được cho bởi hệ thức truy hồi sau: u2  2 a).   un 1  2un  3, n  N u1  3  b).  2un un 1  3  u n  Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… u1  5  Bài tập 9. Cho dãy số  un  xác định bởi:  un 1  un  3n  2. a). Tìm công thức của số hạng tổng quát. b). Chứng minh dãy số tăng. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 34 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài tập 10. Cho dãy số  un  biết un  a).  un  là dãy số giảm. t.2n 2  1 , với t là tham số thực. Xác định t để n2  3 b).  un  là dãy số tăng. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… a.n 4  2 ; n  N * . Định a để dãy số (un ) tăng.  Bài tập 11. Cho dãy số (un ) định bởi: un  4 2n  5 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 3. Bài tập rèn luyện.  Bài 10. Xét tính tăng, giảm của các dãy số  un  cho bởi a). un  n2  n  1 . n2  1 35 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân b). un  4n  1 . 4n  5 Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam u1  3  c).  2un . un 1  u  3 n  Chương III-Bài 2. Dạy Số u1  6 d).  . un 1  6  un Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài 11. Xét tính tăng, giảm của các dãy số  un  cho bởi a). un  n  3  n . b). un  n  11 . n Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 4. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 26. Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng? A. 1; 1; 1; 1; 1; 1; C. 1; 3; 5; 7; 9; 1 1 1 1 ; B . 1;  ; ;  ; 2 4 8 16 1 1 1 1 D. 1; ; ; ; ; 2 4 8 16 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 36 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 27. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. un  1 . 2n 1 B. un  . n C. un  n5 . 3n  1 D. un  2n  1 . n 1 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 28. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. un  2 . 3n 3 B. un  . n D. un   2  . n C. un  2n. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 29. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. un  1 . 2n B. un  3n  1 . n 1 D. un  n  2. C. un  n2 . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 30. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. un  sin n. B. un  n2  1 . n C. un  n  n  1. D. un   1 .  2n  1 . n Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 31. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 A. Dãy số un   2 là dãy tăng. n 37 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân B. Dãy số un   1  2n  1 là dãy giảm. n Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam C. Dãu số un  n 1 là dãy giảm. n 1 Chương III-Bài 2. Dạy Số D. Dãy số un  2n  cos 1 là dãy tăng. n Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 32. Mệnh đề nào sau đây sai? 1 n A. Dãy số un  là dãy giảm. n B. Dãy số un  2n2  5 là dãy tăng. n  1 C. Dãy số un  1   là dãy giảm.  n D. Dãy số un  n  sin 2 n là dãy tăng. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… DẠNG 3. Dãy số bị chặn. 1. Phương pháp. n  Nếu un   ak . thì: k 1 Thu gọn un , dựa vào biểu thức thu gọn để chặn un . n Ta cũng có thể chặn tổng a k 1 k bằng một tổng mà ta có thể biết được chặn trên, chặn dưới của nó.  Nếu dãy số  un  cho bởi một hệ thức truy hồi thì: Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương pháp chứng minh quy nạp. Ta cũng có thể xét tính đơn điệu ( nếu có) sau đó giải bất phương trình un 1  un dựa vào đó chặn  un  . 2. Bài tập minh họa.  Bài tập 12. Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số : un  2n  1 ;n N * n3 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 38 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 7n  5 là một dãy số tăng và bị chặn. 5n  7 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài tập 13. Chứng minh dãy số  un  , với un  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài tập 14. Cho dãy số  un  với un  1   n  1 .2n a). Viết 5 số hạng đầu của dãy số. b). Tìm công thức truy hồi. c). Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 39 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài tập 15. Cho dãy số  un  với un  n2  4n  3. a). Viết công thức truy hồi của dãy số. b). Chứng minh dãy số bị chặn dưới. c). Tính tổng n số hạng đầu của dãy số đã cho. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài tập 16. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 1 1 1   …  a). un  1.2 2.3 n  n  1 1 1 1   …  c). un  1.3 2.5  2n  1 2n  1 1 1 1 1  2  2  …  2 2 1 2 3 n 1 1 1   …  d). un  1.4 2.5 n  n  3 b). un  Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 40 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… u1  1   Bài tập 17. Cho dãy số  un  định bởi  2 un 1  3 un  5 a). Chứng minh un  15, n  N * . n  N * b). Chứng minh dãy số  un  tăng và bị chặn dưới Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài tập 18. Xét tính đơn điệu của dãy số U n  với U n   0,3 .n; n  N * n Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài tập 19. Cho U n  1  1 1 1  5  …  5 n  N *. Chứng minh U n  bị chặn trên. 5 2 3 n Lời giải. 41 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 2  u1  a  Bài tập 20. Cho a  2 . Xét dãy U n  xác định bởi  . Xét tính đơn điệu 2 u  u  a  n  N *    n  n 1 của dãy U n  Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………  Bài tập 21. Cho dãy số  an  0  an  1; n  N *  định bởi:  1 an 1 1  an   ;  n  N*   4 1 1  , n  N * 1 2 2n b). Xét tính đơn điệu của dãy số  an  . a). Chứng minh: an  Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 42 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… n  1  Bài tập 22. Xét tính bị chặn của dãy số: un  1   ; n  N *  n Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 5. Câu hỏi trắc nghiệm. 3n  1 . Dãy số  un  bị chặn trên bởi số nào dưới đây? 3n  1 1 1 A. . B. 1. C. . D. 0. 2 3 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 33. Cho dãy số  un  , biết un  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 34. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn trên? A. un  n2 . B. un  2n. 1 C. un  . n D. un  n  1. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 35. Cho dãy số  un  , biết un  cos n  sin n. Dãy số  un  bị chặn trên bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1. C. 2. D. Không bị chặn trên. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 36. Cho dãy số  un  , biết un  sin n  cos n. Dãy số  un  bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? 43 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số C.  2. D.Không bị chặn dưới. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… B. 1. A. 0. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 37. Cho dãy số  un  , biết un  3 cos n  sin n. Dãy số  un  bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số m và M nào dưới đây? 1 1 1 A. m  2; M  2. B. m   ; M  3  1. C. m   3  1; M  3  1. D. m   ; M  . 2 2 2 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 38. Cho dãy số  un  , biết un   1 .52 n 5. Mệnh đề nào sau đây đúng? n A. Dãy số  un  bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số  un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số  un  bị chặn. D. Dãy số  un  không bị chặn. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 39. Cho dãy số  un  , với un  1 1 1   …  , n  1; 2; 3 . Mệnh đề nào sau đây 1.4 2.5 n  n  3 đúng? A. Dãy số  un  bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số  un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số  un  bị chặn. D. Dãy số  un  không bị chặn. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 1 1 1  2  …  2 , n  2; 3; 4; 2 2 3 n bị chặn trên và không bị chặn dưới. Câu 40. Cho dãy số  un  , với un  A. Dãy số  un  44 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân . Mệnh đề nào sau đây đúng? Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số B. Dãy số  un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số  un  bị chặn. D. Dãy số  un  không bị chặn. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 41. Trong các dãy số  un  sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn? A. un  n 2  1. 1 B. un  n  . n C. un  2n  1. D. un  n . n 1 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 42. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn? A. un  1 . 2n C. un  n  1. B. un  3n. D. un  n2 . Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… u1  6 Câu 43. Cho dãy số  un  , xác định bởi  . Mệnh đề nào sau đây đúng? * un 1  6  un , n  5 A. 6  un  . B. 6  un  3. C. 6  un  2. D. 6  un  2 3. 2 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 44. Cho dãy số  un  , với un  sin  n 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Số hạng thứ n  1 của dãy là un 1  sin B. Dãy số  un  là dãy số bị chặn.  n 1 . C. Dãy số  un  là một dãy số tăng. D. Dãy số  un  không tăng không giảm. Lời giải. 45 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 2. Dạy Số …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Câu 45. Cho dãy số  un  , với un   1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? n A. Dãy số  un  là dãy số tăng. B. Dãy số  un  là dãy số giảm. C. Dãy số  un  là dãy số bị chặn. D. Dãy số  un  là dãy số không bị chặn. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… BÀI TẬP TỔNG ÔN TẬP  Bài 12 . Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số  un  cho bởi a). un  2n  3 . n2 n 2  2n d). un  2 . n  n 1 b). un  e). un  1 . n  n  1 n c). un  n2  4 . . f). un   1 cos n  . 2n n  2n  n Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 2 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………