Bài tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Diệp Tuân

Giới thiệu Bài tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Diệp Tuân

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bài tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Diệp Tuân CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Bài tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Diệp Tuân

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Bài tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Diệp Tuân

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Bài tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Diệp Tuân
Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 3 NGUYÊN HÀM BÀI 1. A-L THU T 1. Định nghĩa. Cho hàm số f  x  xác định trên khoảng K . Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  nếu F ‘  x   f  x  với mọi x  K . Ví dụ 1. a). Tính đạo hàm của hàm số F  x   sin x  x cos x  C , với C là hằng số. b). Từ đó suy ra  x sin xdx. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Ví dụ 2. a). Tính đạo hàm của hàm số F  x   ln x  x 2  1  C , với C là hằng số. b). Từ đó suy ra  dx x2  1 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 2. Nhận xét. Nếu F  x  là một nguyên hàm của f  x  thì F  x   C ,  C   cũng là nguyên hàm của f  x  .  f  x  dx  F  x   C . Ký hiệu: 3. Tính chất.   f  x  dx  /  f  x .  K . f  x  dx  K . f  x  dx  K  , K  0  .   f  x   g  x dx   f  x  dx   g  x  dx . 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Bảng nguyên hàm Nguyên hàm cơ bản  kdx  kx  C , k là hằng số   x dx  x 1  C   1  1 1  x dx  ln x  C  e dx  e  C x x ax C ln a  cos xdx  sin x  C x  a dx   sin xdx   cos x  C 1  cos 2 1  sin 2 dx  tan x  C x x dx   cot x  C Nguyên hàm mở rộng 1  ax  b    ax  b  dx  a .   1  C 1 1  ax  b dx  a ln ax  b  C 1 ax b ax  b  e dx  a e  C a mx  n mx  n a d x  C  m.ln a 1  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C 1  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C 1 1  cos2  ax  b  dx  a tan  ax  b   C  1  1 1  sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   C 2 Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số y  x 2  3x  1 là x Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số F  x     2 x  1 dx , biết F 1  5 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. B. PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA DẠNG 1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm cơ bản. 1. Phương pháp.  Áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm.  Áp dụng định nghĩa để chứng minh F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  : F ‘  x   f  x  với mọi x  K .  Nếu bài toán cho điều kiện F  a   b thì ta thay a, b vào họ nguyên hàm vừa tìm được để tìm hằng số C. 2. Bài tập minh họa. Bài tập 1.Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a). f  x   3x 2  1 b). f  x   2 x  sin 2 x d). f  x   cos 2 x f). f  x   2 1 1  x2  2 x 3 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân e). f ( x)   3x  1 5 g).  sin  2016 x  2017 dx c). f ( x)  3x d). f  x   x 2  2 x  1 h).  1 dx. cos  2 x  3 2 Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 2 1  Bài tập 2. Tìm hàm số f  x  biết rằng f ‘  x    2 x   và f 1  2 . x  Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 3. Chứng minh rằng hàm số: e x e x ; x0 ; x0 F  x   2 là một nguyên hàm của hàm số f  x    trên . x x 1 ; x  0 2 x  1 ; x  0 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 4. Tìm số thực m để hàm số F  x   mx3   3m  2  x 2  4 x  3 là một nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  10 x  4 . 3 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 5. Cho hàm số f  x   x 2 .e x . Tìm a, b, c để F  x    ax 2  bx  c  .e x là một nguyên hàm của hàm số f  x  . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 3. Câu hỏi trắc nghiệm. Mức độ 1. Nhận biết Câu 1.(Đề Chính Thức 2018) Nguyên hàm của hàm số f x A. x 4  x 2  C . B. 3x 2  1  C . x3 x là C. x3  x  C . D. 1 4 1 2 x  x C . 4 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 2.(THPT Nguyễn Huệ-Huế2019) Nguyên hàm của hàm số y  x 2  3x  x3 3x 2 1 x3 3x 2 x3 3x 2   2 C .   ln x  C . D.   ln x  C C. 3 2 x 3 2 3 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. A. x3 3x 2   ln x  C . 3 2 1 là x B. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 3.(THPT Trần Phú 2018) Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   5 x 4  6 x 2  1 là A. 20 x3  12 x  C . B. x5  2 x3  x  C . C. 20 x5  12 x3  x  C . D. x4  2 x2  2x  C 4 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 4 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 4.(THPT Phan Chu Trinh 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x  2018 là: A. F  x   e x  sin x  2018 x  C . B. F  x   e x  sin x  2018 x  C . C. F  x   e x  sin x  2018 x . D. F  x   e x  sin x  2018  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 5.(THPT Đức Thọ 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x 2018 , ( x  ) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. F ( x)  2017.x 2018 x 2019  C , (C  ) . B. F ( x)  2019 D. F ( x)  2018.x 2017  C , (C  ) .  C , (C  ) . C. F ( x)  x 2019  C , (C  ) . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 6.(SGD Bắc Giang 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2cos 2 x là A. 2sin 2x  C . B. sin 2x  C . C. 2sin 2x  C . D. sin 2x  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 7.(Sở GD-ĐT Quãng Nam 2018) Tìm A. 1 x 2 dx  1 C . x B. 1 x 2 1 x 2 dx . 1 dx    C . x C. 1 x 2 dx  1 C . 2x D. 1 x 2 dx  ln x 2  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 8.(THPT Năng Khiếu TP HCM 2018) Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x   F  0   2 thì F 1 bằng. 1 và x 1 B. 2  ln 2 . A. ln 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 9.(THPT Trần Nhân Tông 2018) Tìm nguyên hàm của hàm số y  sin  2 x  1 . A. 1 cos  2 x  1  C . 2 B.  cos  2 x  1  C . 1 C.  cos  2 x  1  C . 2 1 D.  sin  2 x  1  C 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 10.(SGD Đồng Tháp 2018) Hàm số nào sau đây không là một nguyên hàm của f  x   3 x trên  0;   ? A. F1  x   5 3 3 x4 1. 4 B. F3  x   Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân 4 3 3x 3 x 3. C. F4  x   x 3  4 . 4 4 Lời giải D. F2  x   3 4 x3 2. 4 Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 11.(THPT Chuyên Lê Quý Đôn 2018) Nguyên hàm của hàm số y  e 3 x 1 là 1 1 A. e3 x 1  C . B. 3e3 x 1  C . C.  e3 x 1  C . D. 3e3 x 1  C . 3 3 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 12.(Chuyên Hùng Vương 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   5x  1 . 5x  xC . ln 5 A. B. 5x  x  C . C. 5x ln x  x  C . D. 5x  x  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 13.(THPT Hải Hậu A 2018) Tìm 1 ln  2 x  1  C . 2 A. B.  dx  2x 1 2  2 x  1 2 C . C. ln 2 x  1  C . D. 1 ln 2 x  1  C . 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 14.(THPT Trần Kỳ Phong 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3sin 2 x  2cos x  e x là A. 6cos 2 x  2sin x  e x  C . 3 C. cos 2 x  2sin x  e x  C . 2 B. 6cos 2 x  2sin x  e x  C . 3 D. cos 2 x  2sin x  e x  C . 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 15.Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  x 2018 là x 2019 x C. 673 1 x 2019 1 x 2019  6054 x 2017  C . C .   C . D. A. B. 2 x  C. 2019 2 x x 673 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 3 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 2 . 4x  3 2dx 1 3  ln 2 x   C . B.  4x  3 2 2 2dx 1 D.   ln 4 x  3  C . 4x  3 4 Câu 16.(Lương Văn Chánh 2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2dx  3  3 A.  4 x  3  2 ln  2 x  2   C . C.  4 x  3  2 ln  2 x  2   C . 2dx 1 Lời giải 6 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 1 là 1 2x f  x  dx  2 ln 1  2 x  C . Câu 17.(THPT Chuyên Lương Thế Vinh 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   A.  f  x  dx  2 ln 1  2 x  C . C.  f  x  dx   2 ln 1  2 x  C .  D.  f  x  dx  ln 1  2 x  C . B. 1 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 18.(Sở GD -ĐT Hậu Giang 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   7 x 6  1 A. x 7  ln x   2 x . x 1 C. x 7  ln x   2 x  C . x 1 1   2 là x x2 1  2x  C . x 1 D. x 7  ln x   2 x  C . x B. x 7  ln x  Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 19.(THPT Chuyên ĐHSP 2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  x 2 . Giá trị của biểu thức F   4  là A. 2 . B. 4 . C. 8 . D. 16 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Mức độ 2. Thông Hiểu Câu 20.(Sở GD-ĐT Sóc Trăng 2018) Cho F  x   cos 2 x  sin x  C là nguyên hàm của hàm số f  x  . Tính f  π  . A. f  π   3 . B. f  π   1 . C. f  π   1 . D. f  π   0 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 21.(SGD Đồng Tháp 2018) Cho hàm số f  x   2 x  e x . Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  thỏa mãn F  0   0 . A. F  x   x 2  e x  1 . B. F  x   x 2  e x . C. F  x   e x  1 . D. F  x   x 2  e x  1 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 7 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng x Câu 22.(THPT Nguyễn Khuyến 2019)Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  e thỏa mãn F  0   2019 . Tính F 1 A. e  2019 . B. e  2018 . C. e  2018 . D. e  2019 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 23.(Chuyên ĐH Vinh 2019) Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   e x  x biết F  0   2 x2 x2 x2 1 . C. F  x   e x   1 . D. F  x   e x   1 2 2 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. A. F  x   e x  x2 1 . 2 B. F  x   e x  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 24.(THPT Ninh Giang 2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   e3 x thỏa mãn F  0   1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 2 1 A. F  x   e3 x  . B. F  x   e3 x . 3 3 3 1 C. F  x   e3 x  1 . 3 1 4 D. F  x    e3 x  . 3 3 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 25.(THPT Chuyên Hà Tỉnh 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  sin x thỏa mãn F  0   0 . Tìm F  x  ? A. F  x   e x  cos x  2 . B. F  x   e x  cos x . C. F  x   e x  cos x  2 . D. F  x   e x  cos x  2 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 27.(THPT Thuận Thành 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   F  0   1 . Giá trị của F  2  bằng 1 A. 1  ln 3 . 2 1 B. 1  ln 5 . 2 C. 1  ln 3 . D. 1 , biết 2x 1 1 1  ln 3 . 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 8 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng  2018e  x  Câu 28.(TH Tuổi TRẻ 6-2018) Tính nguyên hàm của hàm số f  x   e  2017  . x5   2018 504,5 A.  f  x  dx  2017e x  4  C . B.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x 504,5 2018 C.  f  x  dx  2017e x  4  C . D.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. x …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 29.(THPT Kim Liên 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   1   1   A.  f  x  dx   2 tan  x  4   C . C.  f  x  dx   2 tan  x  4   C . 1  sin x  cos x  1   1   2 B.  f  x  dx  2 tan  x  4   C . D.  f  x  dx  2 tan  x  4   C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 30.(Chuyên Phan Bội Châu 2019) Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số 1 ? f  x  2x 1 1 A. F  x   ln 2 x  1  1 . B. F  x   ln 2 x  1  2 . 2 1 1 C. F  x   ln 4 x  2  3 . D. F  x   ln  4 x 2  4 x  1  3 . 2 4 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….  2018e  x  Câu 31. (THTT số 6-489 2018) Tính nguyên hàm của hàm số f  x   e  2017  . x5   2018 504,5 A.  f  x  dx  2017e x  4  C . B.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x 504,5 2018 C.  f  x  dx  2017e x  4  C . D.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x Lời giải x 9 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Mức độ 3. Vận dụng Câu 32.(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên)Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số b  x  0  , biết rằng F  1  1, F 1  4, f 1  0 . x2 3x 2 3 7 3x 2 3 7 A. F  x   B. F  x     .   . 2 4x 4 4 2x 4 3x 2 3 7 3x 2 3 1 C. F  x   D. F  x     .   . 4 2x 4 2 2x 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. f  x   ax  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 33.(Sở Phú Thọ 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   1 trên khoảng 1;   x 1 thỏa mãn F  e  1  4 . Tìm F  x  . A. 2ln  x  1  2 . B. ln  x  1  3 . C. 4ln  x  1 . D. ln  x  1  3 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 34.(Cụm 8 trường chuyên) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   F 1  2 . Giá trị của F  2  là 1 2 A. F  2   ln 3  2 . B. F  2   ln 3  2 . C. F  2   2ln 3  2 . 1 . Biết 2x 1 1 2 D. F  2   ln 3  2 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 35. (Liên Trường Nghệ An) Cho hàm số f  x   2 x 2e x  2  2 xe 2 x , ta có 3  f  x  dx  me A. 1 . 3 10 B. 2 . Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân x3  2  nxe 2 x  pe 2 x  C . Giá trị của biểu thức m  n  p bằng C. 13 . 6 D. 7 . 6 Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 36.(THPT Đoàn Thượng 2019)Biết hàm số y  f  x  có f   x   3x 2  2 x  m , f  2   1 và đồ thị của hàm số y  f  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Hàm số f  x  là: B. 2 x3  x 2  7 x  5 . C. x3  x 2  3x  5 . D. x3  x 2  4 x  5 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. A. x3  2 x 2  5 x  5 . …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 37.(Tạp Chí Toán Học)Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x , thỏa mãn 1 . Tính giá trị biểu thức T  F  0   F 1  …  F  2018   F  2019  . ln 2 22019  1 22019  1 22020  1 A. T  1009. . B. T  22019.2020 . C. T  . D. T  . ln 2 ln 2 ln 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. F  0  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 4 2 Câu 38.(THPT Thăng Long 2019)Cho F  x   x  2 x  1 là một nguyên hàm của hàm số f   x   4 x . Hàm số y  f  x  có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 . B. 1 . C. 0 . D. 3 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 11 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Câu 39.(Sở Quảng Ninh)Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  x 3  4 x  . Hàm số 2 F ( x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 3. C. 2. D.4. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 40. (THTT lần5)Cho hàm số f  x  có đạo hàm với mọi x  và f   x  2 x 1 . Giá trị f  2  f 1 bằng A. 4. B. 1 . C. 2. D. 0. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 41.(Nam Tiền Hải Thái Bình)Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 2 x và     F    1 . Tính F   . 4 6   1 A. F    . 6 2   5 B. F    . 6 4   C. F    0 . 6   3 D. F    . 6 4 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 42.(THPT Kim Liên 2019) Cho hai hàm số F  x    x 2  ax  b  e x , f  x    x 2  3x  4  e x . Biết a, b là các số thực để F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên . Tính S  a  b . A. S  6 . B. S  12 . C. S  6 . D. S  4 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 43.(Cụm 8 trường chuyên)Biết F  x    ax 2  bx  c  e  x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2 x 2  5 x  2  e  x trên A. 12 1 . e . Giá trị biểu thức f  F  0   bằng : B. 3e . Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân C. 20e2 . D. 9e . Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 44.(THPT chuyên Thái Nguyên)Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  x 3  4 x  2 .Hàm số F  x 2  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6. B. 5. C. 3. D. 4. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 45.(Chuyên ĐH Vinh) Biết rằng x e x là một nguyên hàm của f   x  trên khoảng  ;   . Gọi F  x  là một nguyên hàm của f   x  e x thỏa mãn F  0   1 , giá trị của F  1 bằng A. 7 . 2 B. 5e . 2 C. 7e . 2 D. 5 . 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 13 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 46(THPT chuyên Bắc Giang)Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của  f  x   2019 x 4  x 2 A.3. B. 4.  x 2   3x  2 . Khi đó số điểm cực trị của hàm số F  x  là C. 2. D. 5. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 47.(Sở GD và ĐT Quảng Ninh)Cho hàm số F ( x)  (ax 2  bx  c)e 2 x là một nguyên hàm của hàm số f ( x )  (2018 x 2  3 x  1)e 2 x trên khoảng (; ) . Tính T  a  2b  4c . A. T  1011 . B. T  3035 . C. T  1007 . D. T  5053 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 48.(Trường Chuyên Hùng Vương 2018) Hàm số F  x    ax  b  4 x  1 ( a, b là các hằng số 12 x . Tính a  b . 4x 1 A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. thực) là một nguyên hàm của f  x   …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 14 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Câu 49.(THPT Đoàn Thượng 2018) Hàm số F  x   hàm số nào dưới đây. A. f  x    x 2  2 x  1 e3 x 1 . C. f  x    x 2  2 x  1 e3 x 1 . 1 3 x 1 e  9 x 2  24 x  17   C là nguyên hàm của 27 B. f  x    x 2  2 x  1 e3 x 1 . D. f  x    x 2  2 x  1 e3 x 1 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 50.(Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên thỏa mãn f   x   2 x  1 và f 1  5 . Phương trình f  x   5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng S  log 2 x1  log 2 x2 . A. S  1 . B. S  2 . C. S  0 . D. S  4 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….  ax  b  ce x x 2  1  Câu 51.(THPT Lê Quý Đôn)Cho    dx  9 x 2  1  2 ln x  x 2  1  5e x  C . 2   x 1   Tính giá trị biểu thức M  a  b  c . A. 6 . B. 20 . C. 16 . D. 10 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….   …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. DẠNG 2. Sử dụng các kỹ thuật đặc biệt để tìm họ nguyên hàm của các hàm phức tạp. 1. Phương pháp.  Dấu hiệu: Một số hàm không có dạng cơ bản như hàm chứa tích các đa thức, hàm chứa căn thức, tích các hàm lượng giác, Phân thức hữu tỉ….  Cách tìm: ta sử dụng các kỹ thuật sau để tìm họ nguyên hàm: Kỹ thuật 1. Nhân đa thức để tìm họ nguyên hàm có dạng tích của các đa thức . 15 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng 2. Bài tập minh họa. Bài tập 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:  1 x  b). f  x     .  x  2 1  1   a). f  x    x  2    2 x 2  . x  x   Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 3. Câu hỏi trắc nghiệm. Mức độ 1. Nhận biết Câu 52. (THPT Chuyên Quốc Học Huế) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x  A.  C.  1 f  x  dx  3   C . x 1 f  x  dx  3x   C . x x B.  D.  1 . x2 3x 1 f  x  dx   C . ln 3 x 3x 1 f  x  dx   C . ln 3 x Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….  x Câu 53.(PTNK-ĐHQG TP HCM 2018) Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   22 x  3x  x  . 4   12 x 2 x x A. F  x   B. F  x   12 x  x x  C .  C . ln12 3 2x x 2  3 x x 22 x  3x x x ln 4  C. F  x   D. F  x    x  .    . ln 2  ln 3 4  ln 2  ln 3 4 x  Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 2 1  Câu 54.(THPT Nguyễn Trãi Đà Nẵng 2018) Tính   x   dx . x 2 208 196 305 A. . B. . C. . 17 15 16 Lời giải 4 16 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân D. 275 . 12 Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 55.(Sở Vĩnh Phúc) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x    x  1 x  2  . A.  C.  x3 3 2 f  x  dx   x  2 x  C . 3 2 x3 2 f  x  dx   x 2  2 x  C . 3 3 B. D.  f  x  dx  2 x  3  C .  f  x  dx  x3 2 2  x  2x  C . 3 3 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 56.(THPT Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên F  x  của hàm số f  x    x  1 x  2  x  3 ? x4 11  6×3  x2  6x  C . 4 2 4 x 11 C. F  x    2 x 3  x 2  6 x  C . 4 2 B. F  x   x 4  6 x 3  11x 2  6 x  C . A. F  x   D. F  x   x 3  6 x 2  11x 2  6 x  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. m Kỹ thuật 2. Sử dụng công thức lũy thừa n x m  x n  x  0  để tìm họ nguyên hàm căn thức. 1. Bài tập minh họa. Bài tập 7. Tìm các nguyên hàm sau: a). x2  x x  3 x dx . b).  x x x dx . x2 c).  x  x 1 dx . 3 x d).  x x x 1 dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 17 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 2. Câu hỏi trắc nghiệm. Mức độ 1. Nhận biết Câu 57.(Trường BDVH218LTT 2018)Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  3 2 A.  f  x  dx  3  2 x  3 C.  f  x  dx   3  2 x  3 1 1 2x  3  C . B.  f  x  dx  3  2 x  3 2x  3  C D.  f  x  dx  2 1 2x  3  C . 2x  3  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 58.(Chuyên Đại Học Vinh) Tất cả các nguyên hàm của hàm f  x   1 là 3x  2 2 2 C.  D. 2 3 x  2  C . 3x  2  C . 3x  2  C . 3 3 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. A. 2 3 x  2  C . B. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 59.(Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f x x 1 trên 0; ? A. F x C. F x 2 3 x 3 1 . 2 x x 2. B. F x D. F x 1 2 x 23 2 x 3 x. x 1. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 18 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng 1 x2 3 3 1 B.  f  x  dx  x  C . 2 x 1 D.  f  x  dx  3 x3   C . x Câu 60.(THPT Kim Liên 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  1 C . x 1 f  x  dx  3 x3   C . x A.  f  x  dx  2 C.  x3  Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 61.(THPT Ngô Quyền Hà Nội) Nguyên hàm của f  x    x C . 2 A. B. 2 x C . C. 2 x 1 là x x C . D. x C . 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 62.(THPT Quỳnh Lưu) Nguyên hàm của hàm số f  x   3x  2 là 2  3 x  2  3x  2  C . 3 2 C.  3x  2  3x  2  C . 9 1  3x  2  3x  2  C . 3 3 1 C. D. 2 3x  2 A. B. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 63.(Chuyên Nguyễn Du Đăk Lăk)Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  x 2019 là A. 2 3 x  2019 x 2018  C . C. 2 x x  B. 2020 x C. 2020 3 2 x  2019 x 2018  C . D. 3x x  x 2020 C. 2020 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 64.(THPT Kim Liên 2017)Tìm hằng số a để hàm số f  x   F  x   a ln A. a  2 .   1 có một nguyên hàm là x x x 1  5 . B. a  3 . C. a  1 . D. a  1 . 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 19 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Câu 65.(Chuyên Tiền Giang 2018) Tìm hàm số F  x  biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x và F 1  1 . 2 A. F  x   x x . 3 1 1  . C. F  x   2 x2 2 2 1 x x . 3 3 2 5 D. F  x   x x  . 3 3 B. F  x   Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 66.(Chuyên Vĩnh Phúc-2018) Một nguyên hàm của hàm số f  x   1  2 x là: 3  2 x  1 1  2 x . 2 3 C.  2 x  1 1  2 x . 4 A. 3 1  2 x  1  2 x . 2 1 D.  1  2 x  1  2 x . 3 B.  Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 67.(Sở GD & ĐT Cần Thơ 2018) Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   1  m 1 2 x 1 thỏa mãn F  0   0 và F  3  7 . Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. 2 . B. 3 . C. 3 . D. 2 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 1 sin ax cos bx  [sin(a  b) x  sin(a  b) x] 2 1 Kỹ thuật 3. Sử dụng công thức cộng lượng giác sin ax sin bx  [cos(a  b) x  cos(a  b) x] để tìm 2 1 cos ax cos bx  [cos( a  b) x  cos( a  b) x] 2 họ nguyên hàm của tích của các hàm lượng giác. 20 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng 2. Bài tập minh họa. Bài tập 8. Tìm các nguyên hàm sau: a).  sin 3x cos 5 xdx . b).   8cos 2 2 x  1 sin 2 xdx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 9. Tìm các nguyên hàm sau: a).   cos x  sin 2 x  2 cos 3x cos x  dx . b).  sin 5 x cos 7 xdx. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 3. Câu hỏi trắc nghiệm. Mức độ 1. Nhận biết Câu 68.(THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Tìm  sin 5 x.cos x dx . 1 cos 5 x  C. 5 1 C.  cos 5 x  C. 5 A. 1 1 B.  cos 4 x  cos 6 x  C. 8 12 1 1 D. cos 4 x  cos 6 x  C. 8 12 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 69.(THPT Kim Liên) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x cos 2 x là 1 1 x  sin 4 x  C . 4 16 1 1 C. x  sin 4 x  C . 8 8 A. 21 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân 1 1 x  sin 4 x . 8 32 1 1 D. x  sin 4 x  C . 8 32 B. Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 70.(THPT Quỳnh Lưu)  sin x cos xdx bằng A. cos 2 x C . 4 B.  sin 2 x C . 2 C. sin 2 x C . 2 D. cos 2 x C . 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 71.(THPT Chuyên Quốc Học Huế 2018) Tìm họ của nguyên hàm f  x   tan 2 x .   1 C.  tan 2 x dx  1  tan 2 x   C . 2 A.  tan 2 x dx  2 1  tan 2 2 x  C . 2 B.  tan 2 x dx   ln cos 2 x  C . 1 D.  tan 2 x dx   ln cos 2 x  C . 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 72.(THPT Yên Lạc 2019) F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  2sin x cos3x và F  0   0 , khi đó A. F  x   cos 4 x  cos 2 x . C. F  x   cos 2 x cos 4 x 1   . 2 4 4 cos 2 x cos 4 x 1   . 4 8 8 cos 4 x cos 2 x 1 D. F  x     . 4 2 4 B. F  x   Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 22 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Câu 73.(KonTum 12) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2sin x.cos 2 x là 1 A.  cos 3x  cos x  C . 3 1 C. cos 3x  cos x  C . 3 B. 1 cos 3x  cos x  C . 3 D.  cos3x  cos x  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 74.(THPT Thanh Chương Nghệ An)Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin x.cos x  1 là x 1 B. F  x   4cos 2 x  ln x  1  C . 1 A. F  x   cos 2 x  ln x  1  C . 4 1 C. F  x    cos 2 x  ln  x  1  C . 4 1 D. F  x    cos 2 x  ln x  1  C . 4 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 1 1  cos 2 x  2 Kỹ thuật 4. Sử dụng công thức hạ bậc để tìm họ nguyên hàm của các hàm 1 2 cos x  1  cos 2 x  2 lượng giác có mũ bậc chẵn. sin 2 x  1. Bài tập minh họa. Bài tập 10. Tìm các nguyên hàm sau: a).  4 cos 2 xdx . b).  1  2sin x  dx . 2 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 23 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 11. Tìm các nguyên hàm sau: 1 a).  2 dx . sin x cos 2 x b).  1 dx . 4 cos x  4 cos 2 x  1 4 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 12. Tìm các nguyên hàm sau: a).   3  cos 2 x  dx . 2 2 5   b).   sin x   dx . sin x   Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 13. Tìm các nguyên hàm sau: a).  sin 2 x tan xdx . b).  tan 2 xdx. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 24 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Bài tập 14. Tìm các nguyên hàm sau: a).  sin 3 2 xdx . b).  sin 4 xdx. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 2. Câu hỏi trắc nghiệm. Mức độ 1. Nhận biết x Câu 75.(Trường BDVH218LTT 2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 2   2 A.  f  x  dx  x  sinx  C . B.  f  x  dx  x  sinx  C . C. x 1  f  x  dx  2  2 sinx  C . D. x 1  f  x  dx  2  2 sinx  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 76. (TT Diệu Hiền-Cần Thơ 2018) Trong các hàm số sau: (I) f  x   tan 2 x  2 . 2 . cos 2 x (III) f  x   tan 2 x  1 . (II) f  x   Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số g  x   tan x ? A. Chỉ (II). B. Chỉ (III). C. Chỉ (II), (III). D. (I), (II), (III). Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 25 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Câu 77.(Sở GD & ĐT Cần Thơ 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   4 x  sin 2 x là 4x 1  sin 2 x  C . ln 4 4 sin 3 x x C . C. 4 ln x  3 sin 3 x C . 3 4x x 1   sin 2 x  C . D. ln 4 2 4 B. 4 x ln x  A. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 78.(THPT Chuyên Hà Tỉnh) Cho hàm số f  x   4m   sin 2 x . Giá trị của tham số để nguyên    hàm F  x  của hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện F  0   1 và F    là: 4 8 4 3 3 4 A. m   . B. m  . C. m   . D. m   . 3 4 3 4 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 79.(THPT Chuyên Hà Tỉnh) Biết A. 1 . B. 1 . 1 x S  a  b là C. 2 . D. 2 .  1  cos x dx  a.tan b  C . Giá trị của Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 26 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Kỹ thuật 5. Sử dụng kỹ thuật tách hạng tử, nhóm hạng tử, thêm bớt hạng tử để tìm họ nguyên hàm P  x của các hàm hữu tỉ  dx , với P  x  và Q  x  là những đa thức. Q  x 1. Phương pháp.  Nếu bậc của P  x  lớn hơn hoặc bằng bậc của Q  x  thì ta tách hoặc lấy P  x  chia cho Q  x   Nếu bậc của P  x  nhỏ hơn bậc của Q  x  PP lấy nguyên hàm cơ bản. Ta xét hai bài toán cơ bản sau: Bài toán 1. Mẫu là nhị thức bậc nhất Q  x   ax  b,  a  0  . Suy ra P  x  là hằng số. Khi đó tích phân cần tính có dạng A 1 1  ax  b dx  A. ax  b dx  A. a ln ax  b 2. Bài tập minh họa. Bài tập 15. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1  5 x  3x 2  x 4 3×3  x 2 2  5 x  3 a). f  x   . b). . f x    2 x3 x3 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 16. Tìm các nguyên hàm sau: 3x 2  7 x  1 dx . a).  3x  2 b). x3  1  x  1 dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 27 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài toán 2. Mẫu là tam thức bậc hai Q  x   ax 2  bx  c,  a  0  . Suy ra P  x  là hằng số hay hàm số bậc nhất. 1. Phương pháp.  Trường hợp ax 2  bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thì phân tích P  x Q  x  A B  x  x1 x  x2 Sau đó dùng phương pháp hệ số bất định để tìm A và B . P  x P  x b   Trường hợp ax 2  bx  c  0 có nghiệm kép x0 thì với x0   . 2 Q  x  a  x  x0  2a A 1 A  1  dx  .   . 2  a a x  x   x  x   0   0 0 Ax  B 1 A  x  x0   B  Ax0 dx   dx ▪ Nếu P  x  là hàm bậc nhất thì  2 2 a a  x  x0   x  x0  ▪ Nếu P  x  là hằng số thì A  ax  x  2 dx    1 1 1 dx   B  Ax0  . dx  .  A. 2 a  x  x0  x  x0   2. Bài tập minh họa. Bài tập 17. Tìm các nguyên hàm sau: 1 a).  2 dx . x  5x  6 b). x 2 x dx .  5x  6 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 28 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 18. Tính các tích phân sau: 5x  1 a). I   2 dx . x  x2 b). I   x3 dx . x2 1 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 19. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 16 x 4  9 1 a). f  x   . b). f  x   2 . x  4x  5 2x  3 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 29 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 20. Tìm các nguyên hàm sau: a).  x 4  x 4  2 dx . x3 b).  1 dx . x 1  x 1 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 21. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 e3 x  8 a). f  x   x . b). f  x    3x  4x  . e 2 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 30 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 22. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: b). f  x   a). f  x   3cos x  2 x 1 . e5 x  22 x.3x.5 x . e2 x Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 23. Tìm các nguyên hàm sau: b).  a).  102 x dx . 2x  1 dx . ex Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 2. Câu hỏi trắc nghiệm. Mức độ 1. Nhận biết Câu 80.(THPT Trần Quốc Tuấn 2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   thỏa mãn F (2)  3 . Tìm F  x : A. F ( x )  x  4ln 2 x  3  1 . B. F ( x )  x  2ln(2 x  3)  1 . C. F ( x )  x  2ln 2 x  3  1 . D. F ( x )  x  2ln | 2 x  3 | 1 . 2x  1 2x  3 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 31 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Câu 81. Một nguyên hàm của hàm số f  x    f  x  dx  x  ln x  1  1 . C.  f  x  dx  x  ln  x  1 . x . x 1 A. B.  f  x  dx  ln x  1  x  1 . D. x  ln  x  1 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 82.(SGD Đồng Tháp 2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   mãn F  0   1 .Tính F  1 A. F  1   ln 2 . B. F  1  2  ln 2 . 2×2  2 x 1 thỏa x 1 C. F  1  ln 2 . D. F  1  2  ln 2 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 83.(Sở GD-ĐT Sóc Trăng 2018) Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   F  0   2018 . Tính F  2  . A. F  2  không xác định. B. F  2   2 . C. F  2   2018 . D. F  2   2020 . x2  x  1 và x 1 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 84.(Chuyên Lê Thánh Tôn 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số F  x  của hàm số x3  3x 2  3x  1 . x2  2 x  1 2 C . A. F  x   1  2  x  1 f  x  C. F  x   B. F  x   x2 2 x C . 2 x 1 x2 2 x C . 2 x 1 D. F  x   1  2  x  1 2 C . Lời giải 32 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. e2 x  6 Câu 85.(THPT Thuận Thành Bắc Ninh) Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   , ex biết F  0   7 . Tính tổng các nghiệm của phương trình F  x   5 . A. ln 5 . C. 5 . B. ln 6 . D. 0 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 86.(THPT Ninh Bình 2019)Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   1 A. F  x    ln | x |   C . x 1 C. F  x   ln | x |   C . x x 1 . x2 1 B. F  x   ln | x |   C . x 1 D. F  x    ln | x |   C . x Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 87.(Tạp Chí Toán Học)Cho biết 2 x  13   x  1 x  2 dx  a ln x  1  b ln x  2  C . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  2b  8 . B. a  b  8 . C. 2a  b  8 . D. a  b  8 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 88.(Tạp Chí Toán học)Cho biết 4 x  11  x 2  5 x  6dx  a ln x  2  b ln x  3  C . Tính giá trị biểu thức: P  a 2  ab  b 2 . A. 12. B. 13. C. 14. D. 15. Lời giải 33 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 89.(Tạp Chí Toán Học) Cho biết Tính giá trị biểu thức: P  2a  b . A. 0. 1  x3  xdx  a ln  x  1 x  1  b ln x  C . B. -1. C. 1 . 2 D. 1. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 90.(Sở GD và ĐT Thanh Hóa 2019) Cho hữu tỷ. Khi đó a  b bằng A. 1 . B. 0 . x 1 dx  a ln x  1  b ln x  1  C , với a , b là các số 1 2 C. 2 . D. 1 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 91.(Sở Quảng Ninh)Cho hàm số f  x  xác định trên R 1 thỏa mãn f ‘  x   f  0   2017 , f  2   2018 . Tính S  f  3  f  1 . A. S  ln 4035 . B. S  4 . C. S  ln 2 . 34 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân 1 , x 1 D. S  1 . Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 92.(SGD Nam Định 2018) F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  1 . Biết 2x 1 b b F  0   0 , F 1  a  ln 3 trong đó a , b , c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi c c đó giá trị biểu thức a  b  c bằng. A. 4 . B. 9 . C. 3 . D. 12 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 93.(THPT Tứ Kỳ Hải Dương 2018) Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   1 thỏa mãn 2x 1  e 1  3 F   là:  2  2 1 A. F  x   2 ln 2 x  1  . 2 1 C. F  x   ln 2 x  1  1 . 2 B. F  x   2ln 2 x  1  1 . 1 D. F  x   ln 2 x  1  . 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 35 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Câu 94.(THPT Lục Ngạn Bắc Giang 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên 1    thỏa mãn 3 3 2 , f  0   1 và f    2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3 bằng 3x  1 3 A. 5ln 2  3 . B. 5ln 2  2 . C. 5ln 2  4 . D. 5ln 2  2 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. f  x  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 95.(Sở GD-ĐT Gia Lai 2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   F  5  2 và F  0   1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. F  1  2  ln 2 . B. F  2   2  2ln 2 . C. F  3  1  ln 2 . 1 thỏa mãn x 1 D. F  3  2 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 96.(Chuyên Quốc Học Huế) Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số 2 cos x  1 trên khoảng  0;   . Biết rằng giá trị lớn nhất của F  x  trên khoảng  0;   là sin 2 x 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. f  x    A. F    3 3  4 . 6 36  2 B. F   3 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân 3    . C. F     3 .  3  2 Lời giải  5  D. F    3  3 .  6  Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 97.(THPT Yên Khánh 2019)Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   trên khoảng  0;  thỏa mãn F 1  2x 1 x  2 x3  x 2 4 1 . Giá trị của biểu thức 2 S  F 1  F  2   F  3  …  F  2019  bằng A. 2019 . 2020 B. 2019.2021 . 2020 C. 2018 1 . 2020 D.  2019 . 2020 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 98.(Sở GD và ĐT Phú Thọ 2018) Biết F  x    ax 2  bx  c  2 x  3  a, b, c  20 x 2  30 x  11 hàm của hàm số f  x   trên khoảng 2x  3 A. T  8 . B. T  5 . 37 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân  là một nguyên 3   ;   . Tính T  a  b  c . 2  C. T  6 . D. T  7 . Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 99.(Sở GD và ĐT Phú Thọ 2018)Cho hàm số f  x  xác định trên 1;1 thỏa mãn 2  1 1 , f  2   f  2   0 và f     f    2 . Tính f  3  f  0   f  4  được kết quả x 1  2 2 6 6 4 4 A. ln  1 . B. ln  1 . C. ln  1 . D. ln  1 . 5 5 5 5 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. f  x  2 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 38 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM CƠ BẢN BÀI 2. 0 ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong phần đạo hàm ta tính các đạo hàm chứa tích các đa thức, thương các đa thức, đạo hàm chứa căn thức, đạo hàm của các hàm hợp ta thường sử dụng các quy tắc và bảng đạo hàm hợp. Tuy nhiên, trong phần nguyên hàm và tích phân ta không thể sử dụng các quy tắc tích, thương và các hàm hợp. Do đó, để tính các nguyên hàm trên ta phải sử dụng hai phương pháp: đổi biến số (đặt ẩn phụ), phương pháp từng phần. A. LÝ THUYẾT. I. Phương pháp đổi biến số 1. Phương pháp. Nếu  f  x  dx  F  x   C thì  f u  x  .u ‘  x  dx  F u  x   C . Trong thực hành: Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích f  x   g  u  x   u ‘  x  thì ta thực hiện phép đổi biến số t  u  x  , suy ra dt  u ‘  x  dx . Khi đó ta được nguyên hàm  g  t  dt  G  t   C  G u  x   C. 2. Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t  u  x  . 3. Ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm sau: I   3x 7  3x 2 dx Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau: 5  x3  a). I   x   1 dx .  18  2 b). I   x 2 dx  x  3 10 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. II. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần 39 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng 1. Phương pháp. Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn  a; b và có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b . Khi đó 2. Trong thực hành để tính nguyên hàm  udv  uv   vdu. *  f  x  dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1. Chọn u , v sao cho f  x  dx  udv (chú ý dv  v ‘  x  dx ). Sau đó tính v   dv và du  u ‘.dx . Bước 2. Thay vào công thức * và tính  vdu . 3. Chú ý. Thứ tự đặt u như sau: nhất log arit , nhì đa (đa thức), tam lượng (lượng giác), tứ mũ . Ta thường gặp các dạng sau sin x  Dạng 1. I   P  x    dx , trong đó P  x  là đa thức. cos x  u  P  x   Với dạng này, ta đặt  sin x  . d v   cos x  dx    ax  b Dạng 2. I   P  x  e dx , trong đó P  x  là đa thức. u  P  x  Với dạng này, ta đặt  . ax  b dv  e dx Dạng 3. I   P  x  ln  mx  n  dx , trong đó P  x  là đa thức. u  ln  mx  n  Với dạng này, ta đặt  . dv  P  x  dx sin x  x Dạng 4. I     e dx . cos x   sin x  u    Với dạng này, ta đặt  cos x  .  x dv  e dx 4. Ví dụ minh họa. Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm sau: a). I    x  1 sin xdx . b). I   x 2 cos xdx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 40 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm : x a). I1   dx 1  cos 2 x b). I 2   cos 2 x.e3 x dx c). I 3    2 x  1 ln 2 xdx Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. B. PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA DẠNG 1. Phương pháp đổi biến số. 1. Phương pháp. 41 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng  f u  x  .u ‘  x  dx  F u  x   C .  Khi gặp hàm số chứa căn thức f  x  , hàm hợp f  u  x   …thì ta thực hiện phép đổi biến số  Nếu  f  x  dx  F  x   C thì Bước 1: đặt t  u  x  , suy ra dt  u ‘  x  dx . Bước 2. Rút thế biến x theo biến t , hoặc tách, thêm, bớt. Bước 3. Tìm nguyên hàm cơ bản và trả lại biến x .  g  t  dt  G  t   C  G u  x   C.  Chú ý: Đối với nguyên hàm của hàm lượng giác thì lẻ cos thì đặt sin , lẻ sin thì đặt cos . 2. Bài tập minh họa. Bài tập 1. Tìm các nguyên hàm sau: 5  x3  a). I   x   1 dx .  18  2 b). I   x 2 dx  x  3 10 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 2. Tìm các nguyên hàm sau: a). I   3x 7  3x 2 dx . b). I   x3 x 2  9dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 42 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 3. Tìm các nguyên hàm sau: 1 a). I   dx . 2 x 1 x   b). I   x x  1dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 4. Tìm các nguyên hàm sau: a). I   sin 4 x cos xdx . c). I1   sin 5 x cos3 xdx d). I 2   b). I   x cos  x 2  dx . d). I1   1 dx cos x sin 2 x cos x dx sin x  5sin x  6 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 43 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 5. Tìm các nguyên hàm sau: 1 dx . a). I   cos 4 x b). I   1 dx . 1  sin x Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 44 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 6. Tìm các nguyên hàm sau: tan x a). I   dx . cos3 x b). I    4 cos x  5 sin x cos 2 x  3cos x  2 dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 7. Tìm các nguyên hàm sau: ln x dx . a). I   x b). I   x ln  x 2  1 x2  1 dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 45 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 8. Tìm các nguyên hàm sau: 2 ln x  3 a). I   dx . x b). I    ln 2 x x 1  ln x  1  dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 9. Tìm các nguyên hàm sau: a). I   xe x dx . 2 b). I   x e x dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 10. Tìm các nguyên hàm sau: a). I   esin x cos xdx . b). I   dx . e  e x  2 x Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 46 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 3. Bài tập rèn luyện. Bài 1. Tìm các nguyên hàm sau: a). I   x3  3x x 2  1 3  x  1 dx . b). I   2017  3x  1  x  1 dx I  2012  3x  1 2015 dx . 2010 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau: a). I   x x 2  4dx . 47 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân b). I   x3 x2  3 dx . Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau: a). I   sin 5 x 1  sin 2 x  cos xdx . b). I   dx cos x  tan x  2  2 3 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài 4. Tìm các nguyên hàm sau: ln x a). I   dx . x  ln x  1 b). I   ln 2  ln x  x ln x ln  ln x   1 dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 48 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài 5. Tìm các nguyên hàm sau: eln x dx . a). I   x e tan x dx . b). I   cos 2 x Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài 6. Tìm nguyên hàm: dx a). I1   1 x  3 1 x dx c). I 3   x x2  1 b). I 2   x 2 . x 2  9dx d). I 4   xdx 1 x  2 1  x  . 2 3 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 49 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài 7. Tìm nguyên hàm : x3  3x a). I1   dx 3 2  x  1 d). J 3   h). K 3   50 x2 dx x2  4 xdx x2  x2  2 b). I 3   1  x2 dx, x  0 x4  x2  1 e). K1   dx x 3 x k). J 6   x Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân 3x  9 x 2  1 x3 c). J 2   x2  3 f). K 2   dx l). J1   dx dx x  x 4  1 x dx 1 2x 1 Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 51 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài 8. Tìm nguyên hàm: a). I1   tan 2 xdx c). J1   tan 3 xdx 1 dx cos 4 x 5sin x  2sin 2 x dx d). J 2   cos 2 x  6cos x  5 b). I 2   Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 52 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài 9. Tìm nguyên hàm: cos5 x a). I1   dx 1  sin x 1 sin 4 x  2  I  sin x  b). I 2   c). dx 3   dx  2 1  cos 2 x  cos x  Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 53 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 4. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 1.(THPT Đô Lương)Tìm họ nguyên hàm F  x    A. F  x   C. F  x   1  2 x  1 3 dx . 3 C . B. F  x   2 C . D. F  x   4  2 x  1 1 4  2 x  1 1 1 4 C . 2 C . 8  2 x  1 1 6  2 x  1 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 2.(Sở GD và ĐT Bắc Ninh)Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 .e x f  x  dx  x3 x3 1 .e  C . 3 A.  C.  f  x  dx e x3 1 C. B.  f  x  dx 3e D.  f  x  dx  3 e 1 x3 1 3 1 . C . x3 1 C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 3.(THTT-2018) Hàm số F  x  nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y  3 x  1 ? 4 3  x  1 3  C . 8 3 C. F  x    x  1 3 x  1  C . 4 A. F  x   43 4  x  1  C . 3 3 3 D. F  x   4  x  1  C . 4 B. F  x   Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 54 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Câu 4.(THPT Ninh Giang-2018) Xét I   x3  4 x 4  3 dx . Bằng cách đặt: u  4 x 4  3 , khẳng định 5 nào sau đây đúng? 1 A. I   u 5du . 16 B. I  1 5 u du . 12  C. I   u 5du . D. I  1 5 u du . 4 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 5.(THPT Kim Liên 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e2cos x .sin x . A.  f  x  dx  2e C.  f  x  dx  2 e 1 2cos x 2cos x C . B.  f  x  dx  2e C . D.  f  x  dx   2 e 1 2cos x C . 2cos x C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 6.(Sở GD Và Đào Tạo Bắc Ninh) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1 là A.  C. 1  2 x  1 2 x  1  C . 3 1 2x 1  C . 2 1 D.  2 x  1 2 x  1  C . 3 B. 2  2 x  1 2 x  1  C . 3 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 7.(Sở GD và Đào Tạo Đà Nẵng) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. 1 2 ln x  ln x  C . 2 B. 1 2 ln x  C . 2 C. ln 2 x  C . ln x là x D. ln  ln x   C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 8.(Sở GD và Đào Tạo Quảng Nam) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;   . Khi đó A.  1 f 2 f  x dx bằng: x  xC. B. f  xC . C. 2 f  xC . D. 2 f  xC . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 55 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 9.(THPT Nghèn) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x2 x3  1 là 2 3 1 3 2 C. D. x  1  C. x  1  C.  C. 3 3 3 3 x 1 3 x 1 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. A. 1 3  C. B. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 10.(THPT Thạch Thành 2019)Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3   ;   là? 2  A.  4 x 2  2 x  1 2 x  3  C . C.  3x 2  2 x  1 2 x  3 20 x 2  30 x  7 trên khoảng 2x  3 B.  4 x 2  2 x  1 2 x  3 . D.  4 x 2  2 x  1 2 x  3  C . . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 11.(Chuyên Đại Học Vinh) Cho Tính giá trị của biểu thức 12 A  7 B . 23 241 A. . B. . 252 252  2 x  3x  2  6 dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A, B, C  8 C. 52 . 9 7 D. . 7 . 9 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 56 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 12. (Chuyên Hoàng Văn Thụ 2019) Biết  x  2 x  1 100  2 x  1 dx  Giá trị của hiệu a  b bằng A. 4 . B. 2 . 102 a  2 x  1  101 b  C , a, b  . C. 1 . D. 0 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 13.(Sở GD và ĐT Thanh Hóa) Tìm các hàm số f  x  biết f   x   A. f  x   sin x  2  sin x  C. f  x    2 C. 1 C. 2  sin x cos x  2  sin x  B. f  x   1 C . 2  cos x D. f  x   sin x C. 2  sin x 2 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 14.(Chuyên Nguyễn Huệ Hà Nội) Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f ( x)  mãn F  2   0 . Khi đó phương trình F  x   x có nghiệm là: A. x  0 . B. x  1. C. x  1 . x 8  x2 thỏa D. x  1  3 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 57 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….  x  1 1  x  1   x  12019 dx  a .  x  1c  C 2017 Câu 15.(Chuyên Nguyễn Du-Đăk Lăk) Cho nguyên. Giá trị a  b  c bằng A. 4.2018 . B. 2.2018 . b với a , b , c là các số D. 5.2018 . C. 3.2018 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 16.(THPT Quỳnh Lưu) Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x     Tập nghiệm S của phương trình F  x   ln e x  1  2 là: A. S  3 . B. S  2;3 . C. S  2;3 . 1 và F  0    ln 2e . e 1 x D. S  3;3 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 17.(THPT Thanh Miện -2018) Khi tính nguyên hàm được nguyên hàm nào? A.  2u  u 2  4 du . B.  u 2  4 du .  x3 dx , bằng cách đặt u  x  1 ta x 1 C.  2  u 2  4 du . D.  u 2  3du . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 58 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 18.(THPT Chuyên Hạ Long 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   A.  f  x dx  2 1 2x 1  C . B.  f  x dx  C.  f  x dx  2 2x 1  C . D.  f  x dx   2 x  1 1 . 2 2x 1 2x 1  C . 1 2x 1 C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 19.(Tạp Chí Toán Học 2018) Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số y  2sin x.2cos x  cos x  sin x  ? 2sin x.2cos x 2sin x  cos x C . . C. y  ln 2.2sin x  cos x . D. y   ln 2 ln 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. A. y  2sin x  cos x  C . B. y  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 20.(THPT Hồng Bàng 2018) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin 3 x.cos x và   F  0    . Tính F   . 2   A. F     . 2   B. F     . 2 1   C. F       . 4 2   1 D. F      . 2 4 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 59 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 21.(Chuyên Hùng Vương 2019) Giả sử  2 x  3 dx 1  x  x  1 x  2  x  3  1   g  x   C ( C là hằng số). Tính tổng các nghiệm của phương trình g  x   0 . A. 1 . B. 1 . C. 3 . D. 3 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 22.(THPT Lương Văn Chánh 2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   thỏa mãn F  0   10 . Tìm F  x  .    1 2e  3 x  1 ln 5 1 x  ln  2e x  3  10  . B. F  x   x  10  ln  2e x  3 . 3 3 3 1 3  1 3  ln 5  ln 2   C. F  x    x  ln  e x     10  ln 5  ln 2 . D. F  x    x  ln  e x     10  . 3 2  3 2  3   Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. A. F  x   …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 23.(THPT Chuyên Hạ Long-2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan 5 x . 1 1 1 x  tan 2 x  ln cosx  C . B.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C 2 4 2 1 1 1 1 C.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . D.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C 4 2 4 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. A. 1  f  x  dx  4 tan 60 4 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 24.(THPT Chuyên Quốc Học-Huế 2019) Biết rằng F  x  là một nguyên hàm trên số f  x   2017 x x 2 1 A. m   . 2  1 2018 của hàm thỏa mãn F 1  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của F  x  . B. m  1  22017 . 22018 C. m  1  22017 . 22018 D. m  1 . 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 3  Câu 25.(THPT Chuyên Hạ Long-2018) Biết rằng trên khoảng  ;    , hàm số 2  2 20 x  30 x  7 f  x  có một nguyên hàm F  x    ax 2  bx  c  2 x  3 ( a , b , c là các số 2x  3 nguyên). Tổng S  a  b  c bằng A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 6 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 61 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 26.(Chuyên Phan Bội Châu-2018) Hàm số f  x      3   thỏa mãn F    . Giá trị F   bằng? 4 8 2 3  11ln 2 3 A. . B. . 4 4 C. 7 cos x  4sin x có một nguyên hàm F  x  cos x  sin x 3 . 8 D. 3  ln 2 . 4 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….  ax  b  ce x x 2  1  Câu 27.(THPT Lê Qúy Đôn) Cho    dx  9 x 2  1  2 ln x  x 2  1  5e x  C . 2   x 1   Tính giá trị biểu thức M  a  b  c . A. 6 . B. 20 . C. 16 . D. 10 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….   …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 62 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 28.(THPT Chuyên Quang Trung) Cho f ( x)  2 x 1 x 2  x 2  1  5 , biết F  x  là một nguyên 3 hàm của hàm số f  x  thỏa F  0   6 . Tính F   . 4 123 125 126 127 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 29.(THPT Chuyên KHTN) Nguyên hàm 1  x2 A.   C. 33  x  1   x  2 10   x  112 dx bằng. 1  x2 1 x2 1  x2 B.  C.  D.    C .  C .  C . 11  x  1  3  x 1  11  x  1  Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 11 11 11 11 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. dx . 1  ex B. I  x  ln 1  e x  C . C. I   x  ln 1  e x  C . D. Câu 30.(THPT Nguyễn Tất Thành) Tìm nguyên hàm I   A. I  x  ln 1  e x  C . I  x  ln 1  e x  C Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 63 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. DẠNG 2. Phương pháp từng phần. 1. Phương pháp.  Phương pháp. Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn  a; b và có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b . Khi đó  udv  uv   vdu.  Trong thực hành để tính nguyên hàm *  f  x  dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1. Chọn u , v sao cho f  x  dx  udv (chú ý dv  v ‘  x  dx ). Sau đó tính v   dv và du  u ‘.dx . Bước 2. Thay vào công thức * và tính  vdu .  Chú ý. Thứ tự đặt u như sau: nhất log arit , nhì đa (đa thức), tam lượng ( lượng giác), tứ mũ 2. Bài tập minh họa. u  P  x  sin x   Loại 1 I   P  x   dx trong đó P  x  là đa thức. Với dạng này, ta đặt  sin x  .  cos x  dv  cos x  dx    Bài tập 11. Tìm các nguyên hàm sau: a). I    x  1 sin xdx . b). I   x 2 cos xdx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 12. Tìm các nguyên hàm sau: a). I1    2 x  1 cos xdx . 64 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân b). I1   x sin 2 xdx . Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. u  P  x  Loại 2. I   P  x  e ax b dx , trong đó P  x  là đa thức. Với dạng này, ta đặt  . ax  b dv  e dx Bài tập 13. Tìm các nguyên hàm sau: a). I   xe x dx . b). I    x 2  x  1 e x dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 14. Tìm các nguyên hàm sau: a). I 2    2 x  1 e  x dx b). I   x3e x dx Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 65 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. u  ln  mx  n  Loại 3. I   P  x  ln  mx  n  dx , trong đó P  x  là đa thức. Với dạng này, ta đặt  . dv  P  x  dx Bài tập 15. Tìm các nguyên hàm sau: a). I   x3 ln  2 x  dx . b). I    2 x  1 ln  x  1 dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 16. Tìm các nguyên hàm sau: a). I 3    x ln x  x 2  1 x 1 2 dx. .   b). K1   ln x  x 2  1 dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 66 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….  sin x  sin x  x u    Loại 4. I    e dx . Với dạng này, ta đặt  cos x  .  cos x   x dv  e dx Bài tập 17. Bài 14. Tìm các nguyên hàm sau: a). I   sin xe x dx . c). I 2   cos 2 x.e3 x dx b). I   cos 2 xe3 x dx . d). I   sin 2 x.e x dx. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 67 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Loại 5. Đổi biển rồi từng phần Bài tập 18. Tìm các nguyên hàm sau: a). I   x 3e x dx . 2 b). I   e 3 x 9 dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 68 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài tập 19. Tìm các nguyên hàm sau: a). I   1  2 x  e x  x dx. 3 2 b). I   xe x dx. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 3. Bài tập rèn luyện. Bài 10. Tìm các nguyên hàm sau: a). I    2 x  1 cos xdx . b). I   x 2 cos 2 xdx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 69 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài 11. Tìm các nguyên hàm sau:   a). I   ln x  x 2  1 dx . b). I   e x ln  e x  1 dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Bài12. Tìm các nguyên hàm sau: x4 a). I 4   dx 3 4 x  1   b). I   ln 2 xdx. c). I 5   x8  x4  1 3 dx Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 70 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 4. Câu hỏi trắc nghiệm. Câu 31. (Sở GD và Đào Tạo Quãng Bình 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x.sin 2 x là: 1 1 cos 2 x  sin 2 x . 2 4 1 1 cos 2 x  sin 2 x  C . C. 2 4 A. x 1 cos 2 x  sin 2 x  C 2 4 x 1 D. cos 2 x  sin 2 x . 2 4 B. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 71 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Câu 32. (Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x cos x .  f  x  dx  x sin x  cos x  C . C.  f  x  dx   x sin x  cos x  C . A.  f  x  dx  x sin x  cos x  C . D.  f  x  dx   x sin x  cos x  C . B. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 33.(Sở GD và ĐT Lạng Sơn 2019) Cho hàm số y  f  x  . x Biết hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức  f  x  sin xdx =  f  x  cos x    cos xdx . Hỏi hàm số y  f  x  là hàm số nào trong các hàm số sau? A. f  x    ln  . x x B. f  x   . ln  C. f  x    ln  . x x D. f  x    . ln  Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 34. (Trường Thực Hành Cao Nguyên 2019) Hàm số f  x    x  1 e x có một nguyên hàm F  x  là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x  0 ? A. F  x    x  1 e x . B. F  x    x  1 e x  1 . C. F  x    x  2  e x . D. F  x    x  2  e x  3 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….  x2  2  Câu 35.(Chuyên Trần Đại Nghĩa) Giá trị của I     ln xdx bằng  x  x2 x2 x2 x2 A. I  2 ln 2 x  ln x   c . B. I   ln 2 x  ln x   c . 2 4 2 4 2 2 2 2 2 x x ln x x x  ln x   c . C. I  ln 2 x  ln x   c . D. I  2 4 2 2 4 72 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 36.(THPT Chuyên-Sơn La 2019)Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 1  sin x  là x2  x sin x  cos x  C . 2 x2 C.  x cos x  sin x  C . 2 A. x2  x cos x  sin x  C . 2 x2 D.  x sin x  cos x  C . 2 B. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 37.(THPT Lý Nhân Tông) Một nguyên hàm  ( x  2)sin 3xdx   thì tổng S  a  b  c bằng A. S  3 B. S  15 ( x  a) cos 3x 1  sin 3x  2017 b c C. S  10 D. S  14 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 38.(THPT Triệu Thái Vĩnh Phúc) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x  x  cos3x  là : A. x3  x sin 3x  cos 3x C . 3 C. x3  x sin 3x  cos 3x  C . 73 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân cos 3x C . 3 cos 3x C . D. x3  x sin 3x  3 B. x3  x sin 3x  Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 39.(THPT Hải Hậu) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 1  2sin x  là: 2 A. x   2 x  2  sinx  C . C. B. x 2  2 x cos x  2sin x  C . 1 2 x  2 x cos x  2sin x  C . 2 D. 1 2 x  2 x cos x  2sin x  C 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 2 Câu 40.(Sở GD và Đào Tạo Quảng Nam) Biết  x ln  x 2  1dx  a ln 5  b ln 2  c với a , b , c là các số 1 hữu tỉ. Tính P  a  b  c . A. P  3 . B. P  0 . C. P  5 . D. P  2 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 74 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng x2  2 ln x là x x2 x2 B. ln 2 x  ln x   C . 2 4 2 2 ln x x x2 D.  ln x   C . 2 2 4 Câu 41.(THPT TX Quãng Trị 2019) Nguyên hàm của hàm số f  x   x2 x2 ln x   C . 2 4 2 2 x x C. ln 2 x  ln x   C . 2 2 A. 2 ln 2 x  Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 42.(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  xe x là 1 5 1 x   x  1 e x  C . C. x5  xe x  C . D. 4 x3   x  1 e x  C . 5 5 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. A. 1 5 x   x  1 e x  C . 5 B. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 43. (THPT Gia Lộc Hải-Dương 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  1 e x là A.  2 x  3 e x  C . B.  2 x  3 e x  C . C.  2 x  1 e x  C . D.  2 x  1 e x  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 75 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 44. (Cụm Trần Kim Hưng 2019) Tìm họ các nguyên hàm x2 1 2 x 1 2 x A.  x.e  e  C . 2 2 4 2 x 1 2x 1 2x  x.e  e  C . C. 2 2 4  x 1  e  d x 2x x2 1 B.  x.e 2 x  e 2 x  C . 2 2 2 x  x.e 2 x  e 2 x  C . D. 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 45. (THPT Chuyên Quang Trung 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  0   0, f   x   Họ nguyên hàm của hàm số g  x   4 x. f  x  là A.  x 2  1 ln  x 2   x 2  C . C.  x 2  1 ln  x 2  1  x 2  C . x . x 1 2 B. x 2 ln  x 2  1  x 2 . D.  x 2  1 ln  x 2  1  x 2 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 46. (THPT Chuyên Phan Bội Châu) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x.e2 x là 1 1  A. F  x   e 2 x  x    C . 2 2  C. F  x   2e2 x  x  2   C . 1 B. F  x   e2 x  x  2   C . 2 1  D. F  x   2e 2 x  x    C . 2  Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 76 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 47. (THPT Chuyên Phan Bội Châu) Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x)  x ln 2 x là 1 1 A. x 2  2 ln 2 x  2 ln x  1  C . B. x 2  2 ln 2 x  2 ln x  1  C . 4 4 1 2 1 C. x  2ln 2 x  2ln x  1  C . D. x 2  2 ln 2 x  2 ln x  1  C . 2 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 48. (THPT Chuyên Phan Bội Châu) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  e3 x  1 là: 1 x2  3x  1 e3 x   C . 9 2 1 x2 C.  3x  1 e3 x   C . 9 2 A. 1 x2  3x  1 e3 x   C . 9 2 1 x2 D.  3x  1 e3 x   C . 9 2 B. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 49. (THPT Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  sin x  1 là A. x 2  2 x cos x  2sin x  C . B. x 2  x  cos x   C . C. x 2  2 x cos x  2sin x  C . D. x 2  2 x cos x  2sin x  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 77 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 50. (THPT Nguyễn-Đức Cảnh Thái Bình) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  e x  sin x  là A.  x  1 e x  x cos x  sin x  C . B.  x  1 e x  x cos x  sin x  C . C.  x  1 e x  x cos x  sin x  C . D.  x  1 e x  x cos x  sin x  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 1 1 Câu 51. (THPT Hai Bà Trưng 2019)Cho biết F ( x)  x3  2 x  là một nguyên hàm của 3 x x f ( x)  2  a x2 2 . Tìm nguyên hàm của g ( x)  x cos ax. 1 1 x sin 2 x  cos 2 x  C . 2 4 1 1 D. x sin 2 x  cos 2 x  C . 2 4 A. x sin x  cos x  C . B. C. x sin x  cos x  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 52. (THPT Hàm Rồng) Biết  x cos 2 x dx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C với a , b là các số hữu tỉ. Tính ab ? 1 A. ab   . 8 1 B. ab  . 8 C. ab  1 . 4 1 D. ab   . 4 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 78 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 53.(THPT Nguyễn Huệ 2019) Cho hàm số f  x  , biết f   x   xe x  1 và f  0   1 . Khi đó f 1 bằng A. e + 1 . B. 2. C. e + 2 . D. 3. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 54. (Chuyên Thái Bình 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  sin 2 x là: 1 A. x 2  cos 2 x  C . 2 B. x 2  2cos 2 x  C . 1 C. x 2  cos 2 x  C . 2 D. x 2  2cos 2 x  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. x 3 Câu 55.(THPT Phúc Trạch Hà Tĩnh 2019) Tính F  x   xe dx . Chọn kết quả đúng.  x 3 A. F  x   3  x  3 e  C . C. F  x   x  3 3x e C . 3 x 3 B. F  x    x  3 e  C . D. F  x   x  3 3x e C . 3 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 56. (Sở GD và Đào Tạo Phú Thọ) Họ nguyên hàm của hàm số y  3x( x  cos x) là: A. x 3  3( x sin x  cos x)  c . B. x 3  3( x sin x  cos x)  c . C. x 3  3( x sin x  cos x)  c . 79 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân D. x 3  3( x sin x  cos x)  c . Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. x 2 ln x x 2  là một nguyên hàm của hàm số a b f  x   x ln x , trong đó a, b là các hằng số thực. Giá trị 3a  b bằng A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 5 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 57. (Chuyên Nguyễn Du-Đăk Lăk) Cho F  x   …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 58.(Sở GD và Đào Tạo Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  2  e3 x  là 1 A. x 2  e3 x  3x  1  C . 9 1 C. 2 x 2  e2 x  x  1  C . 3 1 B. x 2  e2 x  x  1  C . 9 1 D. x 2  e3 x  3x  1  C . 9 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 59. (Tạp Chí Toán Học ) Tìm họ nguyên hàm F  x     x 2  x  1e x dx .  C. F  x    x  A. F  x   x 2  3 e x  C 2  3x  4  e x  C  D. F  x    x  B. F  x   x 2  x  4 e x  C 2  3x  4  e x  C Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 80 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 60. (Chuyên Hùng Vương Bình Phước) Cho F ( x)   f ( x) . Tìm nguyên hàm của hàm số f ‘( x)ln x . x ln x 1 A.  f ‘( x) ln xdx  3  5  C . x 5x ln x 1 C.  f ‘( x) ln xdx  3  3  C . x 3x B.  D.  1 là một nguyên hàm của hàm số 3×3 ln x 1  C . x3 3×3 ln x 1 f ‘( x) ln xdx  3  5  C . x 5x f ‘( x) ln xdx   Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 61.(THPT Chuyên Hà Tỉnh) Cho hàm số y  e x sin x . Họ nguyên hàm của hàm số trên là 1 1 1 1 A. e x cos x  e x sin x  C . B.  e x cos x  e x sin x  C . 2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 C. e cos x  e sin x  C . D.  e cos x  e x sin x  C . 2 2 2 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 62. (Sở GD và ĐT Hà Nam) Họ nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  3 ln x là x2  3x  C . 2 x2 C.  x 2  3x  ln x   3 x  C . 2 x2  3x  C . 2 x2 D.  x 2  3x  ln x   3 x  C . 2 A.  x 2  3 x  ln x  B.  x 2  3x  ln x  Lời giải 81 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 63.(Sở GD và ĐT Phú Thọ) Họ nguyên hàm của hàm số y  3x  x  cos x  là A. x3  3  x sin x  cos x   C . B. x3  3  x sin x  cos x   C . C. x3  3  x sin x  cos x   C . D. x3  3  x sin x  cos x   C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. x trên khoảng x  (0;  ) sin 2 x B.  x cot x  ln(sin x)  C D.  x cot x  ln(sin x)  C Câu 64.(Chuyên ĐH Vinh) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   A.  x cot x  ln(sin x)  C C. x cot x  ln(sin x)  C Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. x   trên khoảng  0;  là 2 cos x  2 x tan x ln cos x C. Câu 65.(Chuyên ĐH Vinh) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. F x x tan x ln cos x C. B. F x C. F x x tan x ln cos x C. D. F x x tan x ln cos x C. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 82 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 66.(THPT Ngô Quyền Hà Nội) Cho F  x   x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  .e2 x . Khi đó  f   x  .e 2x dx bằng A.  x 2  2 x  C . B.  x 2  x  C . C. 2 x 2  2 x  C . D. 2 x 2  2 x  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….   Câu 67. (Chuyên ĐH Vinh) Tìm một nguyên hàm của hàm số x tan 2 x trên  0;  .  2 2 x x2 A.  x tan 2 x dx  x tan x  ln cos x   C . B.  x tan 2 x dx  x tan x  ln cos x   C . 2 2 2 x x2 C.  x tan 2 x dx  x tan x  ln cos x   C . D.  x tan 2 x dx   x tan x  ln cos x   C . 2 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 68.(THPT Nguyễn Khuyến)Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   ln  x  3 thỏa x2 mãn F  2   F 1  0 và F  1  F  2   a ln 2  b ln 5 , với a , b là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a  6b bằng A. 4 . B. 5 . C. 0 . D. 3 . Lời giải 83 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 69.(Trung Tâm Thanh Tường) Họ nguyên hàm của hàm số x2 A.  x  x  1 ln x   x  C . 2 x2 C.  x 2  x  1 ln x   x  C . 2 2  2x y 2  x  ln x  1 x là x2 B.  x  x  1 ln x   x  C . 2 x2 D.  x 2  x  1 ln x   x  C . 2 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 84 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 70.(THPT Lê Qúy Đôn) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  2  ln x  là 3 2 5 5 C. x 2  x 2 ln x . D. x 2  x 2 ln x  C . x  x 2 ln x  C . 2 2 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. A. 3 2 x  x 2 ln x . 2 B. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 70.(THPT Chuyên Quốc Học-Huế 2018) Cho a là số thực dương. Biết rằng F  x  là một nguyên 1  1 hàm của hàm số f  x   e x  ln  ax    thỏa mãn F    0 và F  2018  e2018 . Mệnh đề nào sau x  a đây đúng ? 1    1  ;1 . A. a   B. a   0; . C. a  1; 2018 . D. a   2018;   .  2018   2018  Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 85 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Câu 71. (THPT Gia Lộc 2019) Cho hàm số f  x  xác định trên 2 thoả mãn f   x   f  0   1 và f  4   2 . Giá trị của biểu thức f  2   f  3 bằng A. 12 . C. 10  ln 2 . B. ln 2 . 3x  1 , x2 D. 3  20ln 2 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. DẠNG 3. Phương pháp lấy nguyên hàm hai vế (Tích phân hàm ẩn). 1. Phương pháp chung. Khi gặp nguyên hàm của hàm f  x  và cho dưới dạng hàm f   x  như: f ( x)  p ( x). f n ( x)  0 hoặc f ( x). f n ( x)  p( x) hoặc u ( x) f ( x)  u( x) f ( x)  h( x) hoặc f ( x)  f ( x)  h( x) hoặc f ( x)  f ( x)  h( x) thì ta nghỉ đến kỹ thuật lấy nguyên hàm hai vế. Loại 1. f ( x)  p ( x). f n ( x)  0 (thương) 2. Phương pháp. Bước 1. Chia hai vế của biểu thức cho f n  x  ta được Bước 2. Lấy nguyên hàm hai vế ta được f  ( x) f  ( x)  p ( x )  0    p ( x) f n ( x) f n ( x) f ( x) dx    p( x)dx . n ( x) f Bước 3. Đặt t  f  x   dt  f   x  dx Bước 4. Tìm nguyên hàm dt t n    p( x)dx theo biến t rồi trả lại biến x. 3. Bài tập minh họa. Câu 72.(Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số y  f  x  xác định trên x  , thỏa mãn f  x   0 , và f   x   2 f  x   0 . Tính f  1 biết rằng f 1  1 . A. e4 . B. e3 . C. e4 . D. e2 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 86 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 73.(THQG 2018)Cho hàm số f   x  thỏa mãn f  2    x  . Giá trị của f 1 bằng? 41 1 A. . B. . 100 10 C. 2 1 và f   x   4 x3 .  f  x  với mọi 25 391 . 400 D. 1 . 40 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 74.(Đề Chính Thức 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2    mọi x  . Giá trị của f 1 bằng A.  4 . 35 B.  71 . 20 C.  79 . 20 2 1 và f   x   x3  f  x  với 5 4 D.  . 5 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 75.(THPT Lê Xoay 2018) Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  . 3x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 87 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam A. 2  f  5  3 . B. 1  f  5  2 . Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng C. 4  f  5  5 . D. 3  f  5  4 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 76.(Đề Chính Thức 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2    mọi x  . Giá trị của f 1 bằng A.  35 . 36 B.  2 . 3 C.  19 . 36 2 2 và f   x   2 x  f  x   với 9 D.  2 . 15 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 77.(THPT Đặng Thúc Hứa) Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện f   0   1 và  f   x   f   x  . Đặt T  f 1  f  0  , hãy chọn khẳng định đúng? A. 2  T  1 . B. 1  T  0 . C. 0  T  1 . D. 1  T  2 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 2 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 88 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 78. (THPT Yên Định 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên f  x   0 , x  . Biết f  0   1 và f ‘ x f  x và thỏa mãn  2  2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m có hai nghiệm thực phân biệt. C. 0  m  e . D. 1  m  e . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. A. m  e . B. 0  m  1 . …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 79. Cho hàm số f  x  liên tục trên 0; 1 , thỏa mãn x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x với mọi x  0; 1 và f 1  2ln 2. Biết f  2   a  b ln 3 với a, b  1 A. P  . 2 3 B. P  . 4 C. P  13 . 4 , tính P  a 2  b2 . 9 D. P  . 2 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 89 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Câu 80.Cho hàm số f  x  liên tục, không âm trên  0;3 , thỏa f  x  . f   x   2 x f 2  x   1 với mọi x  0;3 và f  0   0. Giá trị của f  3 bằng A. 0. B. 1. C. 3. D. 3 11. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….   Câu 81.Cho hàm số f  x  liên tục, không âm trên 0;  , thỏa f  x  . f ‘  x   cos x 1  f 2  x  với  2     mọi x   0;  và f  0   3. Giá trị của f   bằng  2 2 A. 0. B. 1. C. 2. D. 2 2. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 82.(THPT Lý Thường Kiệt Hà Nội) Giả sử hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên , nhận giá trị dương trên khoảng  0;   và thỏa mãn f 1  1, f  x   f ‘  x  3x  1 với mọi x  0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 4  f  5  5. B. 1  f  5  2. C. 3  f  5  4. D. 2  f  5  3. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 90 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 83.(THPT Thuận Thành) Cho hàm số f ( x)  0 ; f   x    2 x  1 . f 2  x  và f 1  0,5 . Biết tổng f 1  f  2   f  3  …  f  2017   a ; a  ;b  b  với a tối giản. Chọn khẳng định b đúng. A. a  1. b B. a  b  1 . C. b  a  4035 . D. a  b  1 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 84. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;   , biết f ‘  x    2 x  3 f 2  x   0, 1 f  x   0 với mọi x  0 và f 1  . Tính P  1  f 1  f  2   …  f  2018 . 6 1009 2019 3029 4039 . . . . A. P  B. P  C. P  D. P  2020 2020 2020 2020 Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 91 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 85.(THPT Quỳnh Lưu) Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f   x    2 x  3 f 2  x  và 1 a f  0    . Biết rằng tổng f 1  f  2   f  3  …  f  2017   f  2018  với  a  , b  *  và 2 b a là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? b a a A.  1. B.  1 .C. a  b  1010 . D. b  a  3029 . b b Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 86.(THPT Yên Phong) Cho hàm số f  x  liên tục trên tập thỏa mãn f   x  x 2  1  2 x f  x   1 và f  x   1 , f  0   0 . Tính f A. 3 . B. 9. C. 3.  3 . D. 0. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 92 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng   Câu 87.(THPT Hoàng Hoa Thám-2018) Cho hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn  0;  , thỏa  2   mãn f  0   3 và f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x  , x   0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị  2    lớn nhất M của hàm số f  x  trên đoạn  ;  . 6 2 5 21 5 A. m  , M  2 2 . B. m  , M  3 . C. m  , M 3. D. m  3 , M  2 2 . 2 2 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 88.(THPT Kinh Môn 2018) Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương trên f  x f  x   x . Khi đó hiệu T  f 2 2  2 f 1 thuộc khoảng x 1 2 A.  2;3 93  ; thỏa mãn f  0   1 và B.  7;9  . Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân C.  0;1 D.  9;12  Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 89.(Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;    , biết f   x    2 x  1 f 2  x   0 , x  0 và f  2   P  f 1  f  2   …  f  2019  . A. 2021 . 2020 B. 2020 . 2019 C. 1 . Tính giá trị của biểu thức 6 2019 . 2020 D. 2018 . 2019 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 90.(THPT Chuyên Thái Bình) Cho hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   ; y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f  3  2 2 và  f ‘  x     x  1 . f  x  . Mệnh đề nào 3 dưới đây đúng? A. 2613  f 2 8  2614 . B. 2614  f 2 8  2615 . C. 2618  f 2 8  2619 . D. 2616  f 2 8  2617 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 94 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 91.Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn 1 và f   x    2 x  4  f 2  x   0 . Tính f 1  f  2   f  3 . 15 7 11 11 7 A. . B. . C. . D. . 15 15 30 30 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. f  2  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Loại 2. f ( x). f n ( x)  p( x) (tích) 1. Phương pháp. Bước 1. Lấy nguyên hàm hai vế ta được Bước 2. Đặt t  f  x   dt  f   x  dx f n ( x). f ( x)dx    p( x)dx . Bước 3. Tìm nguyên hàm  t n dt    p( x)dx theo biến t rồi trả lại biến x. 2. Bài tập minh họa. 4 2 Câu 92.(THPT Đoàn Thượng) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f   x  . f  x   x  x . Biết f  0   2 . 2 Tính f  2  . A. f 2  2   313 . 15 B. f 2  2   332 . 15 C. f 2  2   324 . 15 D. f 2  2   323 . 15 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 95 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 93. Cho hàm số f  x  thỏa f  x  f   x   3×5  6 x 2 . Biết rằng f  0   2, tính f 2  2  . A. f 2  2   64. B. f 2  2   81. C. f 2  2   100. D. f 2  2   144. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 94.Cho hàm số f  x  có đạo hàm f ‘  x  liên tục và nhận giá trị không âm trên 1;   , thỏa f 1  0, e 2 f  x .  f   x   4 x 2  4 x  1 với mọi x  1;   . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1  f   4   0. 2 B. 0  f   4   1. C. 1  f   4   2. D. 2  f   4   3. Lời giải. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 95.(Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên đoạn  1;0 , đồng thời thỏa mãn điều kiện f   x    3x 2  2 x  e  f  x  , x   1;0 . Tính A  f  0   f  1 . A. A  1. 96 1 B. A  . e Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân C. A  1. D. A  0. Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Loại 3. Sử dụng đạo hàm của tích khi biểu thức có dạng u ( x) f ( x)  u( x) f ( x)  h( x) hoặc u ( x) f ( x)  u( x) f ( x)  h( x ) f 2  x 1. Phương pháp. Bước 1. Biến đổi biểu thức về dạng u ( x) f ( x)  u( x) f ( x)  h( x)  [u ( x) f ( x)]  h( x) Bước 2. Khi đó lấy nguyên hàm hai vế [u ( x) f ( x)]  h( x)   [u ( x) f ( x )]dx   h( x )dx  u ( x) f ( x)   h( x)dx Bước 3. Tìm hàm f  x  .  u  x   u ( x) f ( x)  u( x) f ( x) Chú ý:  h( x )     h  x f 2  x  f  x   2. Bài tập minh họa. Câu 96.(Sở Ninh Bình 2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (1)  3 và x(4  f ‘( x))  f ( x)  1 với mọi x  0 . Tính f (2) . A. 6 . B. 2 . C. 5 . D. 3 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 97.(Đặng Thành Nam)Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên 3 và f 1  1 . Giá trị của f   bằng 2 1 1 A. . B. . 96 64 C. 1 . 48 0 thỏa mãn f   x   D. f  x  x2 x 1 . 24 Lời giải 97 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 98.(Chuyên Đại Học Vinh) Cho hàm số f  x  thỏa mãn 2  f  x  . f   x   15 x 4  12 x , và f  0   f   0   1 Giá trị của f 2 1 bằng: x  A.  f   x  9 . 2 B. 5 . 2 C. 10 . D. 8 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 99.(Cầu Giấy Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trên  0;   thỏa mãn 2 xf   x   f  x   x 2 x cos x, x   0;   ; f  4   0 . Giá trị biểu thức f  9  là: A. 0 . B. 3  . C.   . D. 2  . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 98 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Câu 100.(THPT Chuyên ĐH Vinh 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 1; 2 thỏa mãn f 1  4 và f  x   xf   x   2 x3  3x 2 . Tính f  2  A. 5 . B. 20 . C. 10 . D. 15 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 101.(KHTN Hà Nội Lần 3)Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;4 thỏa mãn  f  x   2 f   x  f  x      f   x   và f  x   0 với mọi x   0;4 . Biết rằng f   0   f  0   1 , giá 3  2 x  1 2 trị của f  4  bằng A. e2 . B. 2e . C. e3 . D. e 2  1 . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 99 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng Loại 4. f ( x)  u ( x). f ( x)  h  x  (thương) 1. Phương pháp. u ( x )dx u ( x )dx u ( x )dx p ( x )dx Bước 1. Nhân hai vế của biểu thức với e  ta được f ( x)e  u ( x).e  . f ( x)  e  h  x Bước 2. Từ đó suy ra f ( x)e  u ( x )dx u ( x )dx  u ( x )dx   f ( x)e   e h  x    u ( x )dx  e h  x dx  Bước 3. Tìm nguyên hàm để tìm hàm số f  x  . Đặt biệt:   f ( x)  f ( x)  h( x)  e x . f  ( x)  e x . f ( x)  e x .h( x)  e x . f ( x)   e x .h( x) (nhân với e x )   f ( x)  f ( x)  h( x)  e x . f  ( x)  e x . f ( x)  e x .h( x)  e x . f ( x)   e x .h( x) (nhân với e x 2. Bài tập minh họa. Câu 102.(Chuyên ĐH Vinh) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e x , x  và f  0   2 . 2x Tất cả các nguyên hàm của f  x  e là A.  x  2  e x  e x  C . B.  x  2  e 2 x  e x  C . x C.  x  1 e  C . x D.  x  1 e  C . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 103. (Chuyên ĐH Vinh) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   2 xf  x   2 xe  x , x  2 và f  0   1 . Tất cả các nguyên hàm của x. f  x  e x là 2 2 2 2 2 2 1 2 1 x  1 e x  C . C.  x 2  1 e x  C . D.  x 2  1  C .  2 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. A.  x 2  1  C . 2 B. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 100 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Nguyên Hàm-Tích phân -Ứng Dụng …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 104.(Chuyên Thái Bình)Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên thỏa mãn f  x   f   x   x, x  và f  0  1 . Tính f 1 . 2 . e A. B. 1 . e C. e . D. e . 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Câu 105. Biết rằng x e x là một nguyên hàm của f   x  trên khoảng  ;   . Gọi F  x  là một x nguyên hàm của f   x  e thỏa mãn F  0   1 , giá trị của F  1 bằng A. 7 . 2 B. 5e . 2 C. 7e . 2 D. 5 . 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 101 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Tích Phân TÍCH PHÂN BÀI 3 . 0 ĐẶT VẤN ĐỀ: Nếu cần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng ta chỉ việc chia hình phẳng đó thành các hình quen thuộc như hình tam giác, hình vuông, hình chữ nhật… là những hình đã biết cách tính diện tích. Nhưng bây giờ ta cần tính diện tích hình phẳng mà đường bao của nó là các đoạn cong. Người ta cũng chia hình phẳng đó thành các hình nhỏ hơn, chúng bao gồm một số hình chữ nhật, hình tam giác… và các hình thang cong. Tích phân giúp ta tính diện tích hình thang cong đó. A. LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH TÍCH PHÂN CƠ BẢN. 1. Định nghĩa Cho f  x  là hàm số liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K . Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì hiệu số F  b   F  a  được gọi là tích phân của f  x  từ a đến b và kí b  hiệu là f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  . b a Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: 2 1 a). I    x3  x  1 dx . 0 b). I   x  x  3 dx . 2 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 2. Tính các tích phân sau: 1   a). I   x3  x x dx . 0 2 b). I      x  1 x  x  1 dx . 1 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 102 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Tích Phân …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 3. Tính các tích phân sau: 2  1 1 a). I    2  3 dx . x x  1 1 1   b). I    x   2  x 2  dx . x x  1 e Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 4. Tính các tích phân sau: 1 7 x2  x  5 dx . a). I   x 1 0 2 x2  5x  4 dx . b). I   2 x  4x  4 0 1 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 2. Tính chất a  Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là  f  x  dx  0 . a  Đổi cận thì đổi dấu, tức là b a a b  f  x  dx   f  x  dx .  Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là b b a a  kf  x  dx  k  f  x  dx ( k là hằng số).  Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân, tức là b b b a a a   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . b  Tách đôi tích phân, tức là  a 103 c b a c f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Tích Phân b Chú ý: Tích phân  f  x  dx chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào a biến số x , tức là b b a a  f  x  dx   f  t  dt 2 Ví dụ 5. Cho biết  f  x  dx  4 , 1 5 a).  5  . f  x  dx  6 và 1 5  g  x  dx  8 . Hãy tính 1 2 f  x  dx . b).  3 f  x  dx . 2 5 1 5 c).   f  x   g  x   dx . d).   4 f  x   g  x   dx . 1 1 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến số loại 1 b Giả sử cần tính I   f  x  dx ta thực hiện các bước sau a Bước 1. Đặt x  u  t  (với u  t  là hàm có đạo hàm liên tục trên  ;  , f u  t   xác định trên  ;  và u    a, u     b ) và xác định  ,  .     Bước 2. Thay vào, ta có I   f u  t   .u ‘  t  dt   g  t  dt  G  t     G     G   . Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số loại 1 104 Dấu hiệu Cách chọn a2  x2      x  a sin t t    2 ; 2      x  a cos t t   0;   Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Tích Phân  a x  sin t   a x  cos t  x2  a2    t    ,  0  2 2   t   0,     2    t   ;   2 2 x  a tan t x2  a2 Ví dụ 6. Tính các tích phân sau: 8 a). I   3 16  x 2 dx. b). I  0 x 1 1 2 4  x2 dx. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 2. Phương pháp đổi biến số loại 2. Tương tự như tìm nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau: b Để tính tích phân I   f  x  dx nếu f  x   g u  x   .u ‘  x  , ta thực hiện phép đổi biến như sau: a  x  a  t  u a Bước 1. Đặt t  u  x   dt  u ‘  x  dx . Đổi cận:  . x  b  t  u b     Bước 2. Thay vào ta có I  u (b ) u b u (a) ua  g  t  dt  G t  . Ví dụ 7. Tính các tích phân sau: 105 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam 1 a). I   0 Chương III-Bài 3. Tích Phân 3 x dx. 2 x 1 b). I   0 x2  x  1 3 2 dx. Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 3. Phương pháp tích phân từng phần a).Phương pháp: Cho hai hàm số u và v liên tục trên  a; b và có đạo hàm liên tục trên  a; b . b b a a  udv  uv Khi đó: b   vdu. a Một số tích phân các hàm số d phát hiện u và dv  Dạng 1    Dạng 2   Dạng 3 f  x  ln  g  x  dx sin ax    f  x  cos ax dx e ax   e  ax sin ax   cos ax dx   u  ln  g  x   Đặt  dv  f  x  dx u  f  x   sin ax   Đặt    dv  cos ax  dx  e ax    sin ax  u    Đặt  cos ax   ax dv  e dx Ưu tiên đặt u theo quy tắc ” nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ ” . Tức là trong hàm số dưới dấu tích phân hợp bởi 2 trong 4 hàm số trên thì ta đặt u theo thứ tự ưu tiên như trên, còn lại thì đặt là dv . Ví dụ 8. Tính các tích phân sau: 2 1 ln x a). I   3 dx. b). I    x  1 e x dx. x 0 1 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 106 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Tích Phân …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… B. PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA DẠNG 1. Tính tích phân cơ bản. 1. Phương pháp. Đê tích một tích phân bản ta tiến hành hai bước. Bước 1. Tính nguyên hàm dựa vào các kỹ thuật tìm nguyên hàm. b Bước 2. Áp dụng công thức tính tích phân  f  x  dx  F  x  b a  F b   F  a  . a 2. Bài tập minh họa. Bài tập 1. Tính các tích phân sau: 1 a). I   e 3 2 x 1 dx . 0 b). I    e x  x  dx . 0 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 2. Tính các tích phân sau: ln 2 a). I   0 e2 x 1  1 dx . ex 1 b). I   0 2  x 2 ex 9 dx . Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… 107 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 3. Tích Phân …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… Bài tập 3. Tính các tích phân sau:  2 a). I    2sin x  3cos x  x  dx .  3  2     b). I    2sin  x    3x 1  dx. 6     3 Lời giải …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………