Bài tập Mặt cầu – Khối cầu – Nguyễn Đăng Dũng

Giới thiệu Bài tập Mặt cầu – Khối cầu – Nguyễn Đăng Dũng

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bài tập Mặt cầu – Khối cầu – Nguyễn Đăng Dũng CHƯƠNG MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU.

Bài tập Mặt cầu – Khối cầu – Nguyễn Đăng Dũng

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Bài tập Mặt cầu – Khối cầu – Nguyễn Đăng Dũng

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Bài tập Mặt cầu – Khối cầu – Nguyễn Đăng Dũng
BÀI GIẢNG 1. MẶT CẦU, KHỐI CẦU …..PHẦN 1… Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng Bài toán 1. Xác định mặt cầu Phương pháp:  Muốn chứng minh nhiều ểm cùng thuộc một mặt cầu ta chứ ổi. cách ều một ểm O cố ịnh một kho ng R  0 khô  Muốn chứng minh một d (O, D)  R . m h các ểm ó cù ờng thẳng D tiếp xúc với một mặt cầu S (O; R) , ta chứng minh  Muốn chứng minh một mặt phẳng ( P) tiếp xúc với một mặt cầu S (O; R) , ta chứng minh d (O,( P))  R .  Tập hợp các ểm M tro khô là mặt cầu ờng kính AB . Ví dụ 1: Cho hình chóp a hì oạn thẳng AB cố ị h d ới một góc vuông đáy là nửa hình lục giác đều, AB  2a,BC  CD  DA  a , SA   ABCD , SA  h . Mặt phẳng qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. S. ABCD có Chứng minh rằng các điểm A,B,C,D, B’,C’,D’ cùng thuộc một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó Giải Ta có các điểm B ‘, C ‘, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC, SD . Do ABCD là nửa lục giác đều với AB  2a,BC  CD  DA  a , nên nếu gọi O là trung điểm của AB thì OA  OB  OC  OD 1 Suy ra ACB vuông tại C, ADB vuông tại D. Vì BC  SA, BC  AC  BC   SAC   BC  AC ‘ Mặt khác AC ‘  SC  AC ‘   SBC   AC ‘  BC ‘ Tương tự ta cũng có AD ‘  BD ‘ Do đó AB ‘ B vuông tại B ‘  OA  OB  OB ‘  2 AC ‘ B vuông tại C ‘  OA  OB  OC ‘  3 AD ‘ B vuông tại D ‘  OA  OB  OD ‘  4 Từ (1), (2), (3), (4) ta có OA  OB  OC  OD  OB ‘  OC ‘  OD ‘  a Vậy rằng các điểm A,B,C,D, B’,C’,D’ cùng thuộc một mặt cầu tâm O bánh kính bằng a. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều , cạnh a, nội tiếp đường tròn tâm (O) chứa trong mặt phẳng (P). Vẽ đường kính AD của đường tròn (O) , dựng SD   P  và SD  a. 1) Chứng minh rằng SAC và SAB vuông. 2) Xác định tâm mặt cầu đi qua 5 điểm S , A, B, C, D . Giải 1) Do AD là đường kính của (O) nên DCA  900  CA  DC Mà SD   ABC   SD  CA  CA   SDC   CA  SC SAC là tam giác vuông tại C. Tương tự ta có  AB  BD  AB   SDB   AB  SB   AB  SD  SAB là tam giác vuông tại B. (đpcm) 2). Gọi K là trung điểm cuả SA Theo chứng minh câu 1 ta có SAC là tam giác vuông tại C  KA  KS  KC SAB là tam giác vuông tại B  KA  KS  KB SAD là tam giác vuông tại D  KA  KS  KD  KA  KA  KC  KD  KS Vậy K là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S Bài tập 1. Cho hình chóp đều S.ABC , cạnh đáy AB  a , cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Đáp số : R  2a . 3 2. Cho mặt cầu đường kính AB  2R Cắt mặt cầu bằng một mặt phẳng vuông góc với AB sao cho AH  x (0  x  2R) ta được thiết diện là đường tròn (T ) . Gọi MNPQ là hình vuông nội tiếp đường tròn (T ) . a) Tính theo R và x bán kinh đường tròn (T ) , cạnh của hình vuông MNPQ và các đoạn thẳng AM , BM .Đáp số: Cạnh hình vuông : 2. 2xR  x2 , AM  2 xR ; BM  4R 2  2xR . b) Tính thể tích của khối đa diện tạo bởi hai hình chóp AMNPQ và BMNPQ . Tính x để thể tích này đạt giá trị lớn nhất. V  R  2 xR  x 2  ; VMax  R3  x  R. 4 3 4 3 3. Trong mặt phẳng ( P) cho hình thang cân ABCD với AB  2a , BC  CD  DA  a . Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng ( P) ta lấy một điểm di động S . Một mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với SB cắt SB, SC, SD tại P, Q, R theo thứ tự đó. a) CMR 7 điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính diện tích mặt cầu đó.Đáp số: Mặt cầu ờng kính AB và S  4 a2 . b) CMR tứ giác CDRQ là một tứ giác nội tiếp và đường thẳng QR luôn đi qua một điểm cố định khi S chạy trên nửa đường thẳng Ax . c) Cho SA  a 3 . Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S. APQR và diện tích của tứ giác APQR .Đáp số: R  a 3 45 7a 2 . , S APQR  4 224 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB  2a, AD  DC  a , SA  (ABC ), SA a . a) Tìm tâm mặt cầu ( S ) qua 4 điểm S , A, C, D . Tìm chu vi đường tròn giao tuyến của ( SAB) với mặt cầu ( S ) .Đáp số: P   a 2 . b) Chứng minh (SBC )  (SAC ) . c) Chứng minh AD tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC . BÀI GIẢNG 1. MẶT CẦU, KHỐI CẦU …..PHẦN 2… Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng Bài toán 1: Diện tích và thể tích khối cầu Phương pháp:  Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4 R2 . 4 3  Khối cầu bán kính R có thể tích là: V :  R3 . Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có cạnh AB  đều bằng a Giải Trong mặt phẳng  BCD  gọi K là trung điểm CD, G là trọng tâm của BCD Do BCD và ACD đều nên BK  CD, AK  CD  CD   ABK  Trong mặt phẳng  ABK  dựng AH  BK  AH   BCD  Qua G dựng đường thẳng d / / AH  d   BCD  Dựng đường trung trực của AB cắt d tại I Khi đó I là tâm mặt cầu Tam giác BCD đều cạnh a, BK là đường cao  BK  a 3 2 Tam giác ACD đều cạnh a, AK là đường cao a 3 và các cạnh còn lại 2  AK  a 3 2  ABK đều cạnh MK  a 3 2 3 3 3 . a a 2 2 4 a 3 1 1 a 3 a 3 GK  BK  .  ; BG  2GK  3 3 2 6 3 KBM BM MK BM .GK KIG    GI   GI GK MK a 3 a 3 . 4 6 a 3 6 a 4 2  a 3   a 2 13a 2 a 13  BI  BI  BG  IG        36 6  3  6 2 2 2 Vậy khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm I,bán kính R  BI  2a .Khối cầu có thể tích là 3 3 4 4  a 13  13 13 3  a  dvtt  V   R3   .    3 3  6  162 Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD . Biết AM  CN . Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD Giải Do AM  CN AS  AB CS  CD . 0 2 2 AS .CS  AB.CS  AS .CD  AB.CD  0 1  AM .CN  0  Đặt x  SA  SB  SC  SD , ta có 1  x 2cosASC  ax cos SCD  ax cos SAB  a 2  0  x 2 cosASC  2ax cos   a 2  0  2   SAB  SCD  Xét ASB có SB 2  AS 2  AB 2  2 AS . AB.cos SAB  x 2  x 2  a 2  2ax.cos SAB  3  a 2  2ax.cos SAB Xét ASC có SC 2  AS 2  AC 2  2 AS . AC.cos SAC  2a 2  2 x 2  2ax.cos SAC  x 2 cos SAC  x 2  a 2  4 Từ (2), (3), (4) ta có x  a 3 Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD thì I là giao điểm của SO với mặt phẳng trung trực của SD. Nghĩa là I  SO, IN  SD Ta có SIN đồng dạng với SDO  SI SN  SD SO 1 SD.SD SN .SD 2 3a 2  SI     SO SO 2 SD 2  OD 2 3a 2 2 3a 2  a 2 2  3 2a 2 5 Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I và bánh kính R  SI  3 2a 2 5 2  3 2a  18 2 Diện tích mặt cầu là S  4 R  4.     a  dvdt  5 2 5   2 3 4 4  3 2a  9 2 3 Thể tích khối cầu là V   R3  .   a  dvtt    3 3  2 5  5 5 Bài tập Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SH  3R , nội tiếp mặt cầu (O; R) . Gọi M , N 2 lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SC . a) Tìm giao tuyến của ( BMN ) và ( ABCD) . Chứng minh giao tuyến này tiếp xúc với mặt cầu (O; R) . b) Chứng minh 6 điểm A, B, C, D, M , N cùng thuộc một mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu này.Đáp số: S  3 a 2 . c) Mặt phẳng ( ) vuông góc với SB tại S , cắt khối cầu (O; R) . Tính diện tích thiết diện thu được.Đáp số: S   R2 4 . d) Tìm tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S. ABC . Bài toán 2: Tiếp tuyến của mặt cầu Phương pháp: 1) Đ ều kiện cầ v ủ ể ờng thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S (O; R) tạ vuông góc với bán kính OH tạ ểm H . ểm H là  2) Đ ờng thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S (O; R)  d (O, )  R . 3) Tro tr ờng hợp ểm A nằm ngoài mặt cầu thì:  Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu, chúng nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu A .  Độ d các oạn thẳng nối A với các tiếp  Tập hợp các tiếp ểm là một ểm ều bằng nhau. ờng tròn nằm trên mặt cầu. Ví dụ 1: Cho hình cầu  S  tâm O bán kính R  5 . Tam giác ABC với ba cạnh BC  13, CA  14, AB  15 , trong đó cả ba cạnh cùng tiếp xúc với mặt cầu. Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng  ABC  Giải Giả sử AB, BC, CA lần lượt tiếp xúc với mặt cầu tại N, M, P. Như vậy ta có ON  AB, OM  BC, OP  CA . Kẻ OH   ABC  . Theo định lí ba đường vuông góc ta có HM  BC, HN  BC, HP  CA Vì OM  ON  OP  R  HM  HN  HP Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với bán kính r  HM Áp dụng công thức r  Ta có p  S . p 13  14  15  21 2 Theo công thức Hê-rông ta có S  p  p  a  p  b  p  c   21.8.7.6  84 Từ đó ta có r  4 . Do vậy theo định lí Pitago thì khoảng cách từ O tới  ABC  là OH  52  42  3 Ví dụ 2: Giải Bài tập 1. Cho khối cầu tâm O bán kính R và đường kính SS ‘ . Một mặt phẳng vuông góc với SS ‘ cắt khối cầu theo một đường tròn tâm H . Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn này. Đặt SH  x (0  x  2R) . a) Tính các cạnh của tứ diện S.ABC theo R và x .Đáp số: SA  SB  SC  2xR b) Xác định x để S. ABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và CMR S ‘ A, S ‘ B, S ‘ C đôi một vuông góc.Đáp số x  4R . 3 2. Cho mặt cầu S (O; R) và ( P) cách O một khoảng cách h (0  h  R) . Gọi ( L) là giao tuyến của mặt cầu ( S ) và ( P) . Lấy A là một điểm cố định thuộc ( L) . Một góc vuông xAy trong ( P) quay quanh điểm A . Các cạnh Ax, Ay cắt ( L) ở C và D . Đường thẳng đi qua A là vuông góc với ( P) cắt mặt cầu ở B . a) CMR BC 2  AD2 và BD2  AC 2 luôn không đổi. b) Với vị trí nào của CD là diện tích BCD lớn nhất? c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng CD . CMR H luôn thuộc một đường tròn cố định. 3. Trên nửa đường tròn đường kính AB  2R , lấy điểm C tùy ý. Kẻ CH  AB ( H thuộc đoạn AB ). Gọi I là trung điểm CH . Trên nửa đường thẳng Ix  ( ABC ) tại I , lây điểm S sao cho ASB  90 . a) CMR CAB  SAB . b) CMR khi C chạy trên nửa đường tròn đó thì ( SAB) cố định. c) Cho AH  x . Tính thể tích tứ diện S.ABCD theo R, x . Tìm x để thể tích ấy đạt giá trị lớn nhất. Đáp số: V  6 3 3 R  x  R. Rx  2R  x  , VMax  3 6 d) CMR khi C chạy trên nửa đường tròn đó thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABI thuộc một đường thẳng cố định.
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top