Bài tập Bất đẳng thức

Chuyên đề Bất đẳng thức BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SUY RỘNG Lời mở đầu Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình toán học phổ thông, song nó lại luôn có sức hấp dẫn, thu hút sự tìm tòi, óc sáng tạo của những người yêu toán. Dạng toán về bất đẳng thức thường có mặt trong các kì thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi hay các kì thi Olympic. Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức ,mỗi phương pháp lại có những vẻ đẹp và sự độc đáo riêng .Ngay cả khi áp dụng cùng một phương pháp thì cái hay của bài toán lại phụ thuộc vào kĩ thuật linh hoat của từng người sử dụng. Do vậy , khó có thể nói rằng một phương pháp chứng minh bất đẳng thức nào đó đă chiếm vị trí độc tôn trong toán học . Nhưng khi nói về những bất đẳng thức cơ bản ,chúng ta phải nhắc tới bất đẳng thức Cô si . Đây là bất đẳng thức vô cùng quan trọng và rất thiết thực trong chương trình Toán học phổ thông. Bất đẳng thức Cô si được áp dụng để chứng minh nhiều bài toán ,từ đơn giản đến phức tạp . Các em học sinh Trung học cơ sở cũng có thể hiểu và vận dụng vào các bài toán hai biến .Nhưng , cũng có những bài toán trở thành những thách thức lớn trong giới chuyên môn. Trong khuôn khổ của bài tập này,em không có tham vọng trình bày tất cả những vấn đề liên quan tới bất đẳng thức Cô si, chỉ xin đưa ra một số cách chứng minh và những bất đẳng thức suy rộng của nó . Hi vọng vốn kiến thức nhỏ bé này sẽ đem lại chút kiến thức bổ ích cho các bạn trong lớp ,nhất là trong thời điểm chúng ta sắp xuống trường phổ thông thực tập. Em xin chân thành cảm ơn Phó giáo sư,Tiến sĩ Nguyễn Minh Tuấn đã giảng dạy nhiệt tình cho chúng em về chuyên đề Bất đẳng thức ,giúp em học hỏi thêm nhiều kiến thức và tự tin hoàn thành bài tập này . 1 Chuyên đề Bất đẳng thức PHẦN NỘI DUNG §1. Bất đẳng thức Côsi. Trong mục này chúng ta giới thiệu bất đẳng thức Côsi và một số ví dụ minh họa. Trước hết chúng ta xét trường hợp đơn giản n  2 1. Với a, b  R : a2  b2  ab . 2 Giải. a2  b2  ab  a 2  b 2  2ab  a 2  b 2  2ab  0  (a  b) 2  0 .(Đúng). 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b 2. Với a, b  0 : ab  ab . 2 Giải ab  ab  ( a ) 2  ( b ) 2  2 ab  ( a  b ) 2  0. (Đúng). 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  a  b . Ví dụ 1. Với a, b, c  0 , chứng minh rằng abc 3  abc 3 (I.1.1) Giải (I.1.1)  a  b  c  3 3 abc  a  b  c  3 abc  4 3 abc Ta có a  b  c  3 abc  2 ab  2 c3 abc  2 2 ab 23 bac  43 abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 Chuyên đề Bất đẳng thức ab      c  3 abc  a b c. 2 ab  2 c3 abc Từ bất đẳng thức (I.1.1) ta thu được các bất đẳng thức sau : Với a, b, c  0 , ta có: a) ( abc 3 )  abc . 3 a3  b3  c3 b)  abc . 3 Ví dụ 2.Với a1 , a 2 ,…, a n là các số thực không âm, chứng minh rằng 1 n 1 n ai ) n  ai  ( n i 1 i 1 n Trong đó a i 1 i  a1  a 2  …  a n n a (I.1.2) i  a1 .a 2 …..a n i 1 Giải Cách 1. (Dùng phương pháp quy nạp) n  1,2 . (I.1.2) hiển nhiên đúng. Giả sử (I.1.2) đúng với n  k (k  2) . Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n  k  1. Ta có S k 1  1 k 1  ai  k  1 i 1 k( 1 k  ai )  a k 1 k i 1 k 1 Theo giả thiết quy nạp thu được k S k 1  1 k ( ai ) k  a k 1 i 1 k 1 3 Chuyên đề Bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  k  1 ta cần chứng minh 1 k k k ( ai )  a k 1 i 1 k 1 Kí hiệu  k 1 k 1  ( ai ) 1 k 1 i 1 1 k k  ( ai ) ,  k 1  a k 1 i 1 Ta thu được k . k 1   k 1  (k  1). k .  k . k (   )   (  k   k )  0   (   )(   )  (    (   ) (        (   ) k k   (  k 1   k  2  …   k 1 )  0 k 2 k k 1 k k 2 k 1 k 1   )  …  ( k   k 1 )  0  )   ( k  2  . k 3   …   k  2 )  …   k 1  0 Bất đẳng thức đúng vì  ,   0 . Vậy (I.1.2) được chứng minh. Cách 2. (Dùng quy nạp kiểu Côsi). n  1,2 . (I.1.2) hiển nhiên đúng. Giả sử (I.1.2) đúng với n số không âm ta chứng minh (I.1.2) đúng với 2n số không âm. 1 2n 1 1 n 1 n  a  a  a n i     i i  2n i 1 2  n i 1 n i 1  n  1 n 1 2n  ( a )  ( a n i ) a    i i  2  i 1 2n i 1 i 1  1 2n 1 2n  ( ai ) 2 n . a  i  2n i 1 i 1 Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng với n  2 k . Ta chứng minh (I.1.2) đúng với n  k thì đúng với n  k  1 .Thật vậy: k 1 1 k 1 ai  ( ai ) k 1  k  1 i 1 i 1 1 4 Chuyên đề Bất đẳng thức k 1 k 1 i 1 i 1   ai  ( ai ) 1 k 1 k 1  k ( ai ) 1 k 1 i 1 Theo giả thiết quy nạp k 1 k 1 i 1 i 1 1 k 1 k 1 i 1 i 1 1 1  ai  ( ai ) k 1  k ( ai ( ai ) k 1 ) k  k 1 k 1 i 1 i 1 1 k 1 1  ai  ( ai ) k 1  k ( ai ) k 1 . (đpcm). i 1 Cách 3: ( Ph­¬ng ph¸p hµm låi ) XÐt hµm sè f(x) = lnx; víi x > 0 Ta cã f’(x) =1/x; f’’(x) = – 1 < 0. VËy f(x) lµ hµm låi khi x > 0 x2 Theo bÊt ®¼ng thøc Jenxen, ta cã  x1  x 2  …x n  1   (f(x1) + f(x2) + . . . + f(xn); n   n f  ln x1  …  x n ln x1  …  ln x n  n n Do y = lnx ®ång biÕn, suy ra x1  x 2  …  x n  n n x1 .x 2 ….x n ,  xi > 0, i = 1, n DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi x1 = x2 = . . . = xn XÐt n sè a1, a2, … , an  0 chØ cã 2 kh¶ n¨ng i > nÕu ai > 0  i = 1, n theo (5) Ta cã a1  a 2  …  a n  n n a1 .a 2 …a n (6) ii) NÕu tån t¹i ak = 0, th× hiÓn nhiªn (5) ®óng vµ (6) ®óng. VËy bÊt ®¼ng thøc ®­îc chøng minh. 5 Chuyên đề Bất đẳng thức Ví dụ 3. Cho ai  0(i  1, n); i (i  1, n) là các số hữu tỉ dương; n  i 1 i  1 ; chứng minh rằng  1 a1   2 a 2  …   n a n  a11 a 2 2 …a n n . (I.1.3) Giải Vì  i (i  1, n) là các số hữu tỉ dương và i  n  i 1 i  1 nên ta có thể viết Pi (i  1, n) N Suy ra  Pi  0, (i  1, n)  n    Pi  N  i 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có Pn P1 P2       a1  a1  …  a1  a 2  a 2  …  a 2  …  a n  a n  …  a n P1  P2 … Pn P1 P2  a1 a 2 …a nPn P1  P2  …  Pn P P P n 1 2 P P P  1 a1  2 a 2  …  n a n  a1N a 2N …a nN N N N   1 a1   2 a 2  …   n a n  a11 a 2 2 …a n n .(đpcm). Ví dụ 4. Với ai  0(i  1, n); mi (i  1, n) là các số hữu tỉ dương; chứng minh rằng m1 a1  m2 a 2  …  mn a n m1  m2 … mn m1 m2 mn  a1 a 2 …a n m1  m2  ..  mn (I.1.4) Giải Đặt mi   i ; từ giả thiết của bài toán ta suy ra  i (i  1, n) là các số m2  m2  …  mn n hữu tỉ dương và  i 1 i  1 . Khi đó (I.1.4)   1 a1   2 a 2  …   n a n  a1 a 2 …a n . (đúng). 1 2 n ( theo bất đẳng thức (I.1.3). 6 Chuyên đề Bất đẳng thức k 1 k 1 i 1 i 1 k 1 1 1   ai  ( ai ) k 1  k ( ai ) k 1 . (đpcm). i 1 §2.Các dạng trung bình và các bất đẳng thức liên quan . a   b  ) là trung bình bậc  . Một số trường hợp đặc biệt 2 1 Ta gọi (   1: ab gọi là trung bình cộng. 2 ab gọi là trung bình nhân.   1 : 2ab gọi là trung bình điều hòa. ab Trong mục này chúng ta quan tâm tới các bất đẳng thức được chứng minh nhờ các tính chất của các dạng trung bình như; 1. Trung bình nhân. 2. Trung bình căn. 3. Trung bình điều hòa. 4. Mối liên hệ giữa các dạng trung bình. I. Trung bình nhân. Chúng ta có các kết quả cơ bản sau: Ví dụ 1. Với ai , bi (i  1, n) là những số thực dương. Chứng minh rằng 1  n n ( ai )  ( bi )   (ai  bi ) i 1 i 1  i 1  1 n n n 1 n (I.2.1) Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với n 1 1 n ai bi P  ( ) n  ( )n  1. a  b a  b i 1 i 1 i i i i Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được P 1 n ai 1 n ai    n i 1 ai  bi n i 1 ai  bi 7 Chuyên đề Bất đẳng thức P  1 . (đpcm) Ví dụ 2.Với aij (i  1, n, j  1, m) là các số thực dương, chứng minh rằng 1 1 n  n m n ( a )  ( a )   ij   ij  j 1 i 1  i 1 j 1  n m (I.2.2) Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với m P   ( j 1 1 n aij ) 1 m a j 1 ij Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được m 1 m n aij 1 P   m  n j 1 i 1 n  aij n  i 1 j 1  j 1 aij  m a j 1 1 n 1  1 .(đpcm). n i 1 ij Ví dụ 3.(Bất đẳng thức Côsi dạng tích). Với ai (i  1, n) là các số thực dương, chứng minh rằng 1 n   (1  ai )  1  ( ai ) n   i 1 i 1   n n (I.2.3) Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với 1 n  n n ( 1  a )  1  ( ai ) n   i   i  1 i  1   1 1 1 n a 1 n  P  ( )  ( i ) n  1 1  ai i 1 1  a i Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được P P 1 n 1 1 n ai    n i 1 1  ai n i 1 1  ai 1 n 1  1. (đpcm). n i 1 8 Chuyên đề Bất đẳng thức Ví dụ 4.Với ai , bi (i  1, n) là những số thực dương,chứng minh rằng 1   1 n n n 1  ( a ) n  ( b )  ( 1  a  b )     i i i i   i 1 i 1 i 1   n n (I.2.4) Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với 1 1 n n n  n n n ( 1  a  b )  1  ( a )  ( bi )   i i  i  i 1 i 1  i 1  1 1 1 1 n ai bi 1  P  ( ) n  ( ) n  ( )n 1 1  ai  bi 1  a  b 1  a  b i 1 i i i i Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được ai bi 1 n 1 1 n 1 n      n i 1 1  ai  bi n i 1 1  ai  bi n i 1 1  ai  bi P P 1 n 1  1. (đpcm). n i 1 Ví dụ 5.(Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacopski) Với ai , bi , ci (i  1, m) là những số thực dương, chứng minh rằng m m m 1.( ai   bi )   (ai  bi ) m m m i 1 i 1 m m m m i 1 i 1 i 1 i 1 (I.2.5.1) i 1 2.( ai   bi   ci ) m   (ai  bi  ci ) m m m (I.2.5.2) Giải Ta chứng minh bất đẳng thức (2.5.2) Đặt Ai  ai m , Bi  bi m , Ci  ci m 1 1 1 Suy ra Ai m  ai , Bi m  bi , Ci m  ci ta thu được 1 m m m 1 m m 1 m m (2.5.2)  ( Ai )  ( Bi )  ( Ci )  ( Ai  Bi  Ci ) i 1 i 1 m  P  ( i 1 i 1 1 m i 1 m m Ai Bi Ci )  ( )  ( ) 1 Ai  Bi  C i i 1 Ai  Bi  C i i 1 Ai  Bi  C i 9 Chuyên đề Bất đẳng thức Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được Ai Bi Ci 1 m 1 m 1 m      m i 1 Ai  Bi  C i m i 1 Ai  Bi  C i m i 1 Ai  Bi  C i P 1 m Ai  Bi  C i  1 .(đpcm).  m i 1 Ai  Bi  C i P Bất đẳng thức (I.2.5.1) là trường hợp riêng của bất đẳng thức (I.2.5.2) II. Trung bình căn. Ta có tính chất: tổng trung bình căn lớn hơn hoặc bằng trung bình căn của tổng . Ví dụ 6. Với ai , bi (i  1, n) là các số thực dương bất kỳ, chứng minh rằng n  n n i 1 i 1 ai  bi  ( ai ) 2  ( bi ) 2 2 i 1 2 Giải Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n  2 a1  b1  2 a 2  b2  (a1  a 2 ) 2  (b1  b2 ) 2 2 2 2 Bình phương hai vế ta nhận được a1  b12  a 22  b22  2 (a12  b12 )(a 22  b22 )  (a1  a 2 ) 2  (b1  b2 ) 2 2  (a12  b12 )(a22  b22 )  a1 a 2  b1b2  (a12  b1 )(a 22  b22 )  (a1 a 2  b1b2 ) 2 2  (a1b2  a 2 b1 ) 2  0. Đúng. Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k k  i 1 k k i 1 i 1 ai  bi  ( ai ) 2  ( bi ) 2 2 2 Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n  k  1 . Ta có k 1  i 1 k 1  i 1 ai  bi  2 2 ai  bi  2 2 k  ai  bi  a k21  bk21 2 i 1 2 k k i 1 i 1 ( ai ) 2  ( bi ) 2  a k21  bk21 10 (I.2.6) Chuyên đề Bất đẳng thức k 1 k 1 i 1 i 1  ( ai ) 2  ( bi ) 2 .(đpcm). Ví dụ 7. Với ai , bi (i  1, n) là các số thực dương bất kỳ, chứng minh rằng n  3 i 1 n n i 1 i 1 ai3  bi3  3 ( ai ) 3  ( b1 ) 3 (I.2.7) Giải Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n  2 a13  b13  3 a 23  b23  3 (a1  a 2 ) 3  (b1  b2 ) 3 3 Lập phương hai vế bất đẳng thức ta thu được 3 (a13  b13 ) 2 (a 2  b2 )  3 (a13  b13 )(a 23  b23 ) 2  a12 a 2  a1 a 22  b12 b2  b1b22 3 3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng (tính chất trung bình nhân) ta thu được 3 (a13  b13 ) 2 (a2  b2 )  a1 a1 a 2  b1b1b2  a12 a2  b12b2 3 (a13  b13 )(a23  b23 ) 2 3 3  a1 a 2 a 2  b1b2 b2  a1 a 2  b1b2 2 2 Cộng từng vế của hai bất đẳng thức trên ta thu được điều phải chứng minh. Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n  k 1 k 1  k 3 i 1 ai3  bi3   3 ai3  bi3  3 a k31  bk31 i 1 k 1  i 1 k 3 k ai3  bi3  3 ( ai ) 3  ( b1 ) 3  i 1 i 1 k 1 k 1 i 1 i 1  3 ( ai ) 3  ( b1 ) 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. III. Trung bình điều hòa Ta xét các bất đẳng thức cơ bản sau Ví dụ 8. Cho ai , bi  0(i  1, n) ,chứng minh rằng 11 3 ak31  bk31 Chuyên đề Bất đẳng thức n a i 1 ai bi  i  bi n n i 1 n i 1 n ( ai )( bi ) (I.2.8)  a  b i i 1 i i 1 Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với n n i 1 n i 1 n ( ai )( bi )  ai bi   bi     i 1  a i  bi  n  a  b i 1 i n   bi i 1 i i 1 n n  i 1 bi2 ai  bi ( bi ) 2  i 1 n n i 1 i 1  ai   bi Ta có n n i 1 i 1 ( bi ) 2  ( bi ai  bi ai  bi ) 2 n n bi2  ( ai   bi ) . (đpcm). i 1 ai  bi i 1 i 1 n Ví dụ 9.Với a, b, c  0 , chứng minh rằng P a 2b 3c 6( a  b  c )    a 1 2  b 3  c 6  a  b  c (I.2.9) Giải Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương với a 2b 3c 6( a  b  c ) 1 2 3 6 a 1 2b 3c 6abc N 1 4 9 36    1 a 2  b 3  c 6  a  b  c Ta có 36  6 2  ( 1 1 a 1 a  2 2b Suy ra 12 2b  3 3c 3  c )2 Chuyên đề Bất đẳng thức 36  N (6  a  b  c) 36 .(đpcm). 6abc N IV. Các bất đẳng thức liên hệ giữa các dạng trung bình Ví dụ 10.Với a, b là các số thực dương, chứng minh rằng 2ab ab  ab   ab 2 a2  b2 2 (I.2.10) Giải Ta có 2ab ab  ab   ab  ( a  b ) 2  0 .Đúng. ab 2 ab  2 a2  b2 ( a  b) 2 a 2  b 2    (a  b) 2  0. Đúng. 2 4 2 Suy ra 2ab ab  ab   ab 2 a2  b2 .(đpcm) . 2 Các bất đẳng thức mở rộng: Bài 1. Với a, b  0 , chứng minh rằng 3 a3  b3 4 a 4  b4  2 2 (I.2.11) Giải : Lũy thừa 12 cả hai vế bất đẳng thức trên ta nhận được (a 3  b 3 ) 4  2(a 4  b 4 ) 3 Áp dụng kết quả của bất đẳng thức (I.2.5.1) (a 3  b 3 ) 4  (1.a.a.a  1.b.b.b)  (14  14 )(a 4  b 4 )  2(a 4  b 4 ) 3 .(đpcm). Bài 2. Với a, b, c  0 , chứng minh rằng 13 Chuyên đề Bất đẳng thức 5 a5  b5  c5 6 a 6  b6  c6  3 3 (I.2.12) Giải Lũy thừa 30 cả hai vế ta thu được (a 5  b 5  c 5 ) 6  3(a 6  b 6  c 6 ) 5 Áp dụng kết quả của bất đẳng thức (I.2.5.2) ta có (a 5  b 5  c 5 ) 6  (1.a.a.a.a.a  1.b.b.b.b.b  1.c.c.c.c.c) 6  (16  16  16 )(a 6  b 6  c 6 ) . (đpcm). Bài 3. Với a, b, c  0 , chứng minh rằng (1  a 3 ) (1  b 3 ) (1  c 3 )  (1  ab 2 ) (1  bc 2 ) (1  ca 2 ) ( 1  a 3 ) Hướng dẫn Ta có (1  a 3 ) (1  b 3 ) (1  c 3 )  (1  ab 2 ) 3 (1  a 3 ) (1  b 3 ) (1  c 3 )  (1  bc 2 ) 3 (1  a 3 ) (1  b 3 ) (1  c 3 )  (1  ca 2 ) 3 Nhân các vế của 3 bất đẳng thứctrên ta thu được đpcm. Bài 4. Với a, b, c  0 , chứng minh rằng (1  a 3  b 3 ) (1  b 3  c 3 ) (1  c 3  a 3 )  (1  2abc) 3 Hướng dẫn Sử dụng (1  a1  b1 ) (1  b1  c1 ) (1  c1  a1 )  (1  3 a1 a 2 a3  3 b1b2 b3 ) 3 Bài 5. Với a, b, c  0 , chứng minh rằng 1  a 2  1  b 2  1  c 2  9  (a  b  c) 2 Hướng dẫn Sử dụng 14 Chuyên đề Bất đẳng thức a12  b12  b12  c12  c12  a12  (a1  a 2  a3 ) 2  (b1  b2  b3 ) 2 Chọn a1  a 2  a3  1; b1  a, b2  b, b3  c ta thu đpcm. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SUY RA TỪ BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI §1.Các bất đẳng thức suy ra từ các dạng trung bình I. Ta có các kết quả sau Ví dụ 1.Với A  B  0 ,chứng minh rằng : B 2 AB  A B AB  A B A 2 (II.1.1) Giải Áp dụng kết quả của bất đẳng thức (I.2.10) ta có 2 AB A B  AB  A B 2 Ta chứng minh B 2 AB A B  B ( A  B )  2 AB  BA  B 2  2 AB  B 2  AB B ( A  B )  0 .Đúng.( B  0 , A  B ) Ta chứng minh A B A 2  A  B  2A  B  A .Đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 15 Chuyên đề Bất đẳng thức Ví dụ 2. Với A  B  0 ,chứng minh rằng 1 A  B   A  B   B( ) ( ) A 2 2 1 Giải B( Dễ thấy A  B ) 2 1  A  B   ( ) A 2 1 Ta chỉ cần chứng minh A  B  A  B   ( ) ( ) 2 2 1 1  1   Đặt A  a, B  b  A  a , B  b    1    A  a ,B  b   Khi đó A  B  A  B   ) ( ) 2 2 1 1 (     1 ab a b  ( ) ( ) 2 2 1     a  b  a  b ( )  2 2 Đặt    . Do     1    1   ( Đặt t  a  b ab  ( ) 2 2 a  b  1 ) ( )  2.( )  ab ab 2 a b   1 t ab ab (0  t  1) 1  t   (1  t )   2.( )  2 16 (1     ) (II.1.2) Chuyên đề Bất đẳng thức Xét f (t )  t   (1  t ) , (0  t  1) f ‘ (t )  t  1   (1)(1  t )  1  t  1   (1  t )  1 f ‘ (t )  0  t  1 2 Bảng biến thiên t 1 2 0 f ‘ (t ) – 0 1 + f (t ) 1 2( )  2 1 2 1 2 Suy ra f (t )  f ( )  2( )  .(đpcm). Các bất đẳng thức mở rộng: Bài 1. Với a, b, c  0 , chứng minh rằng 2 (ab  bc  ca)  a 4  b 4  c 4  3(a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 )  2abc(a  b  c)  2 (a 2  b 2  c 2 ) Giải Ta có a 2  b 2  2ab b 2  c 2  2bc c 2  a 2  2ca Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca Suy ra 17 Chuyên đề Bất đẳng thức ab  bc  ca   (a 2  b 2  c 2 ) 2  (ab  bc  ca) 2  a2  b2  c2 2 2 (ab  bc  ca)  a 4  b 4  c 4  3(a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 )  2abc(a  b  c)  2 (a 2  b 2  c 2 ) Bài 2. Với a, b, c  0 , chứng minh rằng 2(a  b  c)  ab  bc  ca  a  b  c Giải Ta chứng minh bổ đề sau a  b  c  3 abc ( a  b  c ) 2  (1  1  1)(a  b  c)  3(a  b  c) Ta có a  b  c  3 abc Vậy Suy ra a b c  ( a  b  c )2  ( 3 a  b  c )2 2  a b c  4(a  b  c)  2( ab  bc  ca ) 2  2(a  b  c)  ab  bc  ca  a  b  c §2. Các bất đẳng thức suy ra từ bất đẳng thức Cô si nhờ hằng đẳng thức Xuất phát từ ý tưởng đơn giản : Nếu có A  B thì bất đẳng thức (1   )( A  B )  0 (0    1) mạnh hơn tùy thuộc vào độ gần 1 của  . Chúng ta xây dựng một số BĐT nhờ việc đưa tham số vào bất đẳng thức và các trường hợp đặc biệt của nó. Ví dụ 1. Với 0   ,  ,   1 , chứng minh rằng a) a 2  b 2  2ab   (a  b) 2 (II.2.1.1)  2 b) a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  (a  b) 2  Giải 18   (b  c) 2  (c  a ) 2 2 2 (II.2.1.2) Chuyên đề Bất đẳng thức a 2  b 2  2ab   (a  b) 2 a)  (a 2  b 2  2ab)   (a  b) 2  0  (a  b) 2 (1   )  0 b) Áp dụng kết quả của câu a ta có : a 2  b 2  2ab   (a  b) 2 b 2  c 2  2bc   (b  c) 2 c 2  a 2  2ca   (c  a ) 2 Công vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca     (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a ) 2 2 2 2 Ví dụ 2. Với a, b, c  0;0   ,  ,   1 , chứng minh rằng a2 b2 c2       (a  b  c)  (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a ) 2 b c a b c a (II.2.2) Giải Ta chứng minh a2   b  2a  ( a  b) 2 b b  a 2  b 2  2ab   (a  b) 2 .Đúng.( theo II.2.1.1). Cộng từng vế của các bất đẳng thức a2   b  2a  ( a  b) 2 b b b2   c  2b  (b  c) 2 c c c2   a  2c  ( c  a ) 2 a a Ta thu được a2 b2 c2       (a  b  c)  2(a  b  c)  (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a ) 2 b c a b c a a2 b2 c2       (a  b  c)  (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a ) 2 .(đpcm). b c a b c a 19 Chuyên đề Bất đẳng thức Ví dụ 3. Với m, n là các số tự nhiên; a, b, c  0 , chứng minh rằng a mn  b mn  1 m  (a  b m )(a n  b n )  (a m  b m )(a n  b n ) 2 2 (II.2.3) trong đó 0    1 Giải Ta chứng minh bổ đề sau : Với m, n là các số tự nhiên ; a, b  0 thì (a m  b m )(a n  b n )  0 Thật vậy: am  bm  Nếu a  b thì n n   (a m  b m )(a n  b n )  0 . Đúng. a b  Nếu a  b thì am  bm   (a m  b m )(a n  b n )  0 . Đúng. n n  a b  Áp dụng kết quả của bổ đề ,ta có (II.2.3)  (1   )(a m  b m )(a n  b n )  0 .Đúng. Ví dụ 4. Với a, b  0; m, n là các số tự nhiên, chứng minh rằng a m n  b m n a  b mn  m ( )  (a  b m )(a n  b n ) 2 2 4 Giải Áp dụng bất đẳng thức (II.2.3) ta có a mn  b mn  1 m  (a  b m )(a n  b n )  (a m  b m )(a n  b n ) 2 2 Suy ra a m n  b m n a  b mn  m ( )  (a  b m )(a n  b n ) .(đpcm). 2 2 4 (Do 1 m a  b mn ). (a  b m )(a n  b n )  ( ) 4 2 Ví dụ 5. Với a, b  0;0    1 , chứng minh rằng 20 (II.2.4) Chuyên đề Bất đẳng thức a 3  b 3  ab(a  b)  2 2 (a  b 2 )(a  b) 3 (II.2.5) Giải Áp dụng bất đẳng thức (II.2.4) với m  2, n  1 ta có a3  b3 ab 3  2 ( )  (a  b 2 )(a  b) 2 2 4  4(a 3  b 3 )  a 3  b 3  3ab(a  b)  2 (a 2  b 2 )(a  b)  a 3  b 3  ab(a  b)  2 2 (a  b 2 )(a  b) .(đpcm). 3 Ví dụ 6. Với a, b, c  0;0   ,  ,   1 , chứng minh rằng a3 b3 c3 2 2 2    ab  bc  ca  (a  b)(a 2  b 2 )  (b  c 2 )(b  c)  b c a 3b 3c  2 2 (c  a 2 )(c  a ) . 3a Giải Áp dụng bất đẳng thức (II.2.5) ta có a 3  b 3  ab(a  b)  2 2 (a  b 2 )(a  b) 3 Suy ra a3 2 2  b 2  a 2  ab  (a  b 2 )(a  b) b 3b b3 2 2  c 2  b 2  bc  (b  c 2 )(b  c) c 3c c3 2 2  a 2  c 2  ca  (c  a 2 )(c  a ) a 3a Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta thu được a3 b3 c3 2 2 2    ab  bc  ca  (a  b)(a 2  b 2 )  (b  c 2 )(b  c)  b c a 3b 3c  2 2 (c  a 2 )(c  a ) 3a 21 .(đpcm). (II.2.6) Chuyên đề Bất đẳng thức Ví dụ 7. Với a, b, c  0;0   ,  ,   1 ; m, n là các số tự nhiên , chứng minh rằng 1  a m  n  b m  n  c m  n  (a m  b m  c m )(a n  b n  c n )  (a m  b m )(a n  b n )  3 3   m  (a  c m )(a n  c n )   (b m  c m )(b n  c n ) . 3 3 (II.2.7) Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với (1  )(a m  b m )(a n  b n )  (1   )(a m  c m )(a n  c n )  (1   )(b m  c m )(b n  c n )  0 . (Đúng). Ví dụ 8. Với a, b, c  0;0   ,  ,   1 ; m, n là các số tự nhiên , chứng minh rằng a mn  b mn  c mn a  b  c mn  m  ( )  (a  b m )(a n  b n )  (a m  c m )(a n  c n )  3 3 9 9   m (b  c m )(b n  c n ) . 9 (II.2.8) Giải Vì am  bm  cm abc m ( ) 3 3 an  bn  cn abc n ( ) 3 3 Nên bất đẳng thức (II.2.8) được suy trực tiếp từ bất đẳng thức (II.2.7). Ví dụ 9. Với a, b, c  0;0   ,  ,   1 ; chứng minh rằng a2 b2 c2 a b c      2     2 (a  b) 2  2 (b  c) 2  2 (c  a ) 2 2 2 b c a b b c a c a Giải Áp dung kết quả của bất đẳng thức (II.2.2.1) a 2  b 2  2ab   (a  b) 2 Ta suy ra 22 (II.2.9) Chuyên đề Bất đẳng thức a2 a   1  2  2 ( a  b) 2 2 b b b b2 b   1  2  2 (b  c) 2 2 c c c c2 c   1  2  2 (c  a ) 2 2 a b a Ta cũng có a b c   3 b c a Cộng vế với vế của 4 bất đẳng thức trên ta thu được a2 b2 c2 a b c      2     2 (a  b) 2  2 (b  c) 2  2 (c  a ) 2 2 2 b c a b b c a c a (đpcm). Ví dụ 10. Với a, b, c  0;0   ,  ,   1 ; chứng minh rằng a3 b3 c3 a2 b2 c3 2 2  2  2     2 (a  b)(a 2  b 2 )  2 (b 2  c 2 )(b  c)  2 b c a 3b b c a 3c  2 2 (c  a 2 )(c  a ) . 2 3a Giải Áp dụng bất đẳng thức (II.2.5) ta có a 3  b 3  ab(a  b)  2 2 (a  b 2 )(a  b) 3 Suy ra a3 a2 2  b   a (a  b)(a 2  b 2 ) 2 2 b b 3b b3 b2 2  c   c (b  c)(b 2  c 2 ) 2 2 c 3c c c3 c2 2 a  c (c  a )(c 2  c 2 ) 2 2 a a 3a Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được 23 (II.2.10) Chuyên đề Bất đẳng thức a3 b3 c3 a2 b2 c3 2 2       2 (a  b)(a 2  b 2 )  2 (b 2  c 2 )(b  c)  2 2 2 b c a 3b b c a 3c  2 2 (c  a 2 )(c  a ) .(đpcm). 2 3a Ví dụ 11. Với 0    1 , a, b  0 ; chứng minh rằng 1 1 4  8 4    a b ab ab (II.2.11) Giải Áp dụng bất đẳng thức (II.2.1.1) ta có 1 1   a b 2 ab ( 1 a  1 b )2 a  b  ab   ( a  b ) 2 Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta thu được 1 1 2 1 1 2 1 1 2 (  )(a  b)  4  ( a  b ) 2  2 ab (  )  2(  ) ( a  b)2 a b ab a b a b Suy ra 1 1 4 (  )(a  b)  4  ( a  b)2 a b ab 1 1 4  (  )(a  b)  4  (a  b  2 ab ) a b ab 1 1 4  (  )(a  b)  4  8  ( a  b) a b ab Thu được 1 1 4  8 4 .(đpcm).    a b ab ab §3. Các bất đẳng thức suy ra từ bất đẳng thức Côsi nhờ thay thế các biểu thức đối xứng. Ví dụ 1. Với a, b, c là các số thực, chứng minh rằng a2  b2  b2  c2  c 2  a 2  2 (a  b  c)  2 ( ab  bc  ca ) Giải 24 Chuyên đề Bất đẳng thức Ta chứng minh a2  b2  2 ( a  b) 2 Nếu (a  b)  0 bất đẳng thức đúng. Nếu (a  b)  0 bất đẳng thức  (a 2  b 2 )  1 ( a  b) 2 2  2(a 2  b 2 )  a 2  b 2  2ab  a 2  b 2  2ab  a 2  b 2  2ab  0  (a  b) 2  0 . (Đúng). Vậy a2  b2  2 ( a  b) 2 b2  c2  2 (b  c) 2 c2  a2  2 (c  a ) 2 Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta thu được a2  b2  b2  c2  c 2  a 2  2 (a  b  c) .(đpcm). Hiển nhiên 2 (a  b  c)  2 ( ab  bc  ca ) Ví dụ 2. Với a, b, c là các số thực, chứng minh rằng a 2  b 2  ab  b 2  c 2  bc  Giải Ta chứng minh 25 c 2  a 2  ca  3 (a  b  c) Chuyên đề Bất đẳng thức a 2  b 2  ab  3 ( a  b) 2 Nếu (a  b)  0 bất đẳng thức đúng. Nếu (a  b)  0 bất đẳng thức  (a 2  b 2  ab)  3 ( a  b) 2 4  4(a 2  b 2  ab)  3(a 2  b 2  2ab)  a 2  b 2  2ab  a 2  b 2  2ab  0  (a  b) 2  0 . (Đúng). Vậy a 2  b 2  ab  3 ( a  b) 2 b 2  c 2  bc  3 (b  c) 2 c 2  a 2  ca  3 (c  a ) 2 Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta thu được a 2  b 2  ab  b 2  c 2  bc  c 2  a 2  ca  3 (a  b  c) .(đpcm). Ví dụ 3. Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng a 2  b 2  3ab  b 2  c 2  3bc  c 2  a 2  3ca  5 (a  b  c) Giải Ta chứng minh a 2  b 2  3ab   (a 2  b 2  3ab)  5 ( a  b) 2 5 ( a  b) 2 4  4(a 2  b 2  3ab)  5(a 2  b 2  2ab)  a 2  b 2  2ab 26 Chuyên đề Bất đẳng thức  a 2  b 2  2ab  0  (a  b) 2  0 . (Đúng). Vậy a 2  b 2  3ab  5 ( a  b) 2 b 2  c 2  3bc  5 (b  c) 2 c 2  a 2  3ca  5 (c  a ) 2 Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta thu được a 2  b 2  3ab  b 2  c 2  3bc  c 2  a 2  3ca  5 (a  b  c) .(đpcm). Ví dụ 4. Với a, b, c là các số thực,  2    2 , chứng minh rằng a 2  b 2  ab  b 2  c 2  bc  c 2  a 2  ca  2   (a  b  c) Giải Ta chứng minh a 2  b 2  ab  2  ( a  b) 2 Nếu (a  b)  0 bất đẳng thức đúng. Nếu (a  b)  0 bất đẳng thức  (a 2  b 2  ab)  2  ( a  b) 2 4  4(a 2  b 2  ab)  (2   )(a 2  b 2  2ab)  (2   )(a 2  b 2 )  (2   )2ab  (2   )(a 2  b 2  2ab)  0  (2   )(a  b) 2  0 . (Đúng). Vậy a 2  b 2  ab  2  ( a  b) 2 27 Chuyên đề Bất đẳng thức b 2  c 2  bc  2  (b  c) 2 c 2  a 2  ca  2  (c  a ) 2 Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta thu được a 2  b 2  ab  b 2  c 2  bc  c 2  a 2  ca  2   (a  b  c) . (đpcm). Ví dụ 5. Với a, b, c là các số thực, chứng minh rằng 2a 2  b 2  ab  2b 2  c 2  bc  2c 2  a 2  ca  4 (a  b  c) Giải Ta có 2a 2  b 2  ab  (a 2  b 2  ab)  a 2  2a 2  b 2  ab  3 1 ( a  b) 2  ( a  b) 2  a 2 4 4 Suy ra 2a 2  b 2  ab  3 ( a  b) 2  a 2 4 2  3   2a  b  ab   (a  b)  a 2  2  2 2 2   1  3  2a  b  ab   (a  b)  a 2  ( 3 ) 2  12 4  4    2  2  2a 2  b 2  ab  1 3  ( a  b)  a   4 2  1 5 3   2a  b  ab   a  b  4 2 2  2  2 2 2 2a 2  b 2  ab   2a 2  b 2  ab  1 5 3 a b 2 2 2 1 5 3 ( a  b) 2 2 2 Vậy 28  Chuyên đề Bất đẳng thức 2a 2  b 2  ab  1 5 3 ( a  b) 2 2 2 2b 2  c 2  bc  1 5 3 ( b  c) 2 2 2 2c 2  a 2  ca  1 5 3 ( c  a) 2 2 2 Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta thu được 2a 2  b 2  ab  2b 2  c 2  bc  2c 2  a 2  ca  4 (a  b  c) . (đpcm). Lời kết Mặc dù đã có nhiều cố gắng song chắc hẳn bài làm không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được những lời góp ý ,nhận xét quý báu của thầy giáo và các bạn . Em xin chân thành cảm ơn . 29 Chuyên đề Bất đẳng thức 30