Bài giảng trọng tâm Toán 12

LỚP TOÁN THẦY CƯ‐ TP HUẾ CS 1: P5, Dãy 14 tập thể xã tắc. Đường Ngô Thời Nhậm CS 2: Trung Tâm Cao Thắng – 11 Đống Đa (BẢN FULL ĐÁP ÁN CHI TIẾT DÀNH CHO GIÁO VIÊN) TÀI LIỆU DÀNH RIÊNG HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ‐ TP HUẾ MỤC LỤC NỘI DUNG Trang CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1 PHẦN 1: GIẢI TÍCH Dạng 1: Cho hàm số y  f  x  . Tìm các khoảng đồng biến và nghịc biến của hàm số 4 Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm s 6 Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  hoặc y  f   x  . Tìm các khoảng đồng biến, 7 nghịch biến của hàm số Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên tập xác định 9 Dạng 5: Tìm tham số m để hàm số đông biến và nghịch biến trên tập con của  BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cho hàm số y  f  x  . Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực đại giá trị cực 12 13 tiểu Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị 14 Dạng 3: Dựa vào bảng xét dấu của f   x  , bảng biến thiên của đồ thị hàm số f  x  . Tìm các 15 điểm cực trị của hàm số Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số có cực trị 20 Dạng 5: Cho hàm số f   x  hoặc đồ thị hàm số f   x  . Tìm các điểm cực trị của hàm số 22 BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 25 Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên  a, b 25 Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số y  f  x  . Tìm GTLN, GTNN 30 Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN trên khoảng hoặc nửa khoảng 35 BÀI 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 39 Dạng 1: Dựa vào định nghĩa tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 40 Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số tìm các đường tiệm cân 42 Dạng 3: Cho hàm số y  f  x  . Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 46 Dạng 4: Bài toán tìm tham số m liên quan đến đường tiệm cận 50 BÀI 5. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 53 Dạng 1 : Cho đồ thị hàm số. Tìm hàm số 54 Dạng 2: Cho bảng biến thiên. Yeu cầu tìm hàm số 61 Dạng 3: Cho bảng biến thiên, đồ thị hàm số . Tìm các tham số thuộc hàm số y  f  x  64 BÀI 6. TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ VÀ TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ 68 Dạng 1: Tương giao của hai đồ thị 68 Dạng 2: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên biện luận số nghiệm của phương trình 71 Dạng 3: Dựa vào bảng biến thiên. Biện luận số nghiệm của phương trình 72 Dạng 4: Phương trình tiếp tuyến tại điểm 76 Dạng 5 : Tiếp tuyến có hệ số góc 77 Dạng 6 : Phương trình tiếp tuyến đi qua 81 CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 83 BÀI 1. LŨY THỪA 83 Dạng 1: Tính, rút gọn và biến đổi biểu thức 84 Dạng 2: So sánh đẳng thức và bất đẳng thức đơn giản 87 BÀI 2. HÀM SỐ LŨY THỪA 91 Dạng 1. Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số 93 Dạng 2: Tính đạo hàm 96 Dạng 3. Sự biến thiên và nhận dạng đồ thị hàm số 98 BÀI 3. LOGARIT 105 Dạng 1. Tính toán về logarit 107 Dạng 2. So sánh hai số logarit 111 Dạng 3 : Đẳng thức logarit 114 BÀI 4. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 120 Dạng 1. Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số 121 Dạng 2. Tính đạo hàm và giới hạn 123 Dạng 3. So sánh, Đẳng thức, bất đẳng thức 125 Dạng 4. GTLN và Gtnn của hàm số 129 Dạng 5. Nhận dạng đồ thị 132 BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 139 Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số 139 Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ 142 Dạng 3. Phương pháp logarit hóa, mũ hóa 146 Dạng 4: Sử Dụng Tính Đơn Điệu Hàm Số 148 BÀI 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 148 Dạng 1: Đưa về cùng cơ số 149 Dạng 2: Phương pháp mũ hóa và logarit hóa 153 Dạng 3: Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ 158 CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 163 BÀI 1. NGUYÊN HÀM Dạng 1: Nguyên Hàm Đa Thức Dạng 2: Nguyên Hàm Phân Thức Dạng 3: Nguyên Hàm Căn Thức Dạng 4: Nguyên Hàm hàm số lượng giác Dạng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga 163 164 168 172 176 178 Dạng 6: Nguyên Hàm Từng Phần 179 BÀI 2.TÍCH PHÂN Dạng 1: Tích Phân Hữu Tỉ 183 186 Dạng 2. Tích phân vô tỉ 190 Dạng 3: Tích Phân Lượng Giác 195 Dạng 4: Tích Phân Từng Phần 197 Dạng 5: Tích Phân Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối Dạng 6: Tích Phân Hàm Hợp Hàm Ẩn BÀI 3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TÍCH PHÂN 203 205 208 Dạng 1: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi 1 Đồ Thị Dạng 2: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi 2 Hai Đồ Thị Dạng 3: Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay Dựa Vào Định Nghĩa Dạng 4: Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay Khi Quay Hình Phẳng Giới Hạn Bởi 1 Đồ Thị Dạng 5: Ứng Dụng Tích Phân Trong Vật Lý CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC 242 BÀI 1. SỐ PHỨC 242 BÀI 2. CỘNG, TRÙ, NHÂN SỐ PHỨC 242 BÀI 3. PHÉP CHIA SỐ PHỨC 242 Dạng 1. Phần Thực – Phần Ảo & Các Phép Toán Dạng 2: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện Dạng 3. Biểu diễn số phức Dạng 4. Tập hợp BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Dạng 1 : Phương trình bậc hai hệ số thực Dạng 2 : Phương trình quy về phương trình bậc hai 243 247 248 254 262 262 263 PHẦN 2: HÌNH HỌC CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN 267 BÀI 1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN 280 BÀI 2. KHÁI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 287 BÀI 3. KHÁI NIỆM VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 288 Dạng 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Dạng 2 : Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy Dạng 3: Khối chóp đều 294 296 299 Dạng 4: Khối chóp có hình chiếu lên mặt phẳng đáy Dạng 5: Một số dạng khác 300 300 Dạng 6. Thể tích lăng trụ đứng, lăng trụ đều Dạng 7. Thể tích lăng trụ xiên 301 305 CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ KHỐI TRỤ BÀI 1. MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN 308 BÀI 2. MẶT TRỤ_HÌNH TRỤ_ KHỐI TRỤ 315 BÀI 3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU 321 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 328 BÀI 2. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 344 BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 356 BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. 1) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K  Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng K thì f ‘ ( x ) ³ 0, “x Î K.  Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng K thì f ‘ ( x ) £ 0, “x Î K. 2) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K  Nếu f ¢ ( x ) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K .  Nếu f ¢ ( x ) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K .  Nếu f ' ( x ) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x ) không đổi trên K (hàm số y = f ( x ) còn gọi là hàm hằng trên K ). 3) Định lý mở rộng Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên K . Nếu f ' ( x ) ³ 0 ( f ' ( x ) £ 0 ), "x Î K và f ' ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K . Chú ý: f ¢ ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm. Tuy nhiên một số hàm số có f ' ( x ) = 0 tại vô hạn điểm nhưng các điểm rời rạc thì hàm số vẫn đơn điệu. Ví dụ: Hàm số y = 2 x - sin 2 x . Ta có y ' = 2 - 2 cos 2 x = 2 (1 - cos 2 x ) ³ 0, "x Î . y ¢ = 0  1 - cos 2 x = 0  x = k p (k Î  ) có vô hạn điểm làm cho y ' = 0 nhưng các điểm đó rời rạc nên hàm số y = 2 x - sin 2 x đồng biến trên . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Cho hàm số y  f  x  . Tìm các khoảng đồng biến và nghịc biến của hàm số 1. Phương pháp: 2. Các ví dụ Câu 1: Cho hàm số y = 2 x -1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x -1 A. Hàm số đã cho đồng biến trên  . B. Hàm số đã cho nghịch biến trên  . C. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định. D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định Lời giải Chọn D Tập xác định: D =  \ {1} . Đạo hàm: y / = -1 2 ( x -1) < 0, "x ¹ 1. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥;1) và (1;+¥) . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 1 Câu 2: Cho hàm số y = x3 - x 2 + x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3 A. Hàm số đã cho đồng biến trên  . B. Hàm số đã cho nghịch biến trên (-¥;1) . C. Hàm số đã cho đồng biến trên (1;+¥) và nghịch biến trên (-¥;1) . D. Hàm số đã cho đồng biến trên (-¥;1) và nghịch biến (1;+¥) . Lời giải Chọn A Đạo hàm: y / = x 2 - 2 x + 1 = ( x - 1)2 ³ 0, "x Î  và y / = 0  x = 1 . Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên  . Câu 3: Hàm số y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + m nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới đây? A. (-1;3) B. (-¥;-3) hoặc (1;+¥) . C.  D. (-¥;-1) hoặc (3;+¥ ) . Lời giải Chọn A Ta có: y / = 3 x 2 - 6 x - 9. Ta có y / £ 0  3 x 2 - 6 x - 9 £ 0  -1 £ x £ 3 . Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-1;3) . Câu 4: Hàm số y = 2 x 4 + 1 đồng biến trên khoảng nào? æ 1ö A. ççç-¥;- ÷÷÷ è 2ø æ 1 ö C. ççç- ; +¥÷÷÷ B. (0;+¥) è 2 ø D. (-¥;0 ) Lời giải Chọn B Ta có y ' = 8 x 3 > 0  x > 0 . Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;+¥) . Câu 5: Cho hàm số y = 2 x 4 – 4 x 2 . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (-¥;-1) và (0;1) . B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-¥;-1) và (1;+¥) . C. Trên các khoảng (-¥;-1) và (0;1) , y ‘ < 0 nên hàm số đã cho nghịch biến. D. Trên các khoảng (-1;0 ) và (1;+¥) , y ' > 0 nên hàm số đã cho đồng biến. Lời giải Chọn B éx = 0 Ta có y ‘ = 8 x 3 – 8 x = 8 x ( x 2 -1); y ‘ = 0  êê ë x = 1 . Vẽ phác họa bảng biến thiên và kết luận được rằng hàm số ● Đồng biến trên các khoảng (-1;0 ) và (1;+¥) . ● Nghịch biến trên các khoảng (-¥;-1) và (0;1) . Câu 7: Cho hàm số y = 2 x -1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x +2 A. Hàm số đã cho đồng biến trên . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 2 B. Hàm số đã cho đồng biến trên  \ {-2}. C. Hàm số đã cho đồng biến trên (-¥;0 ). D. Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +¥). Lời giải Chọn D Tập xác định: D =  \ {-2}. Đạo hàm y ¢ = 5 2 ( x + 2) > 0, “x ¹ -2. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; -2 ) và (-2; +¥) . Suy ra hàm số đồng biến trên (1; +¥). Chọn D Bình luận: Hàm số đồng biến trên tất cả các khoảng con của các khoảng đồng biến của hàm số. Cụ thể trong bài toán trên:  Hàm số đồng biến trên (-2; +¥) ;  (1; +¥) Ì (-2; +¥) . Suy ra hàm số đồng biến trên (1; +¥ ). Câu 8: Cho hàm số y = 1 – x 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên [0;1] . B. Hàm số đã cho đồng biến trên toàn tập xác định. C. Hàm số đã cho nghịch biến trên [0;1] . D. Hàm số đã cho nghịch biến trên toàn tập xác định. Lời giải Chọn C Tập xác định D = [-1;1] . Đạo hàm y ‘ = -x 1- x 2 ; y’=0  x =0. Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên [0;1] . Câu 9: Cho hàm số y = x – 1 + 4 – x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên (1; 4 ). æ 5ö B. Hàm số đã cho nghịch biến trên ççç1; ÷÷÷. è 2ø æ5 ö C. Hàm số đã cho nghịch biến trên ççç ;4 ÷÷÷. è2 ø D. Hàm số đã cho nghịch biến trên . Lời giải Chọn C Tập xác định: D = [1; 4 ]. Đạo hàm y ‘ = 1 – 1 . 2 x -1 2 4 – x ìï x Î (1; 4 ) 5 Xét phương trình y ‘ = 0  x -1 = 4 – x  íï ¾¾  x = Î (1; 4 ) . ïï x – 1 = 4 – x 2 î æ5 ö Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng ççç ;4 ÷÷÷. è2 ø LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 3 Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 1. Phương pháp: 2. Các ví dụ Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau: Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai? I. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-¥; -5) và (-3; -2 ) . II. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥;5) . III.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-2; +¥) . IV.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥; -2 ) . A. 1 B. 2 C. 3 Lời giải D. 4 Chọn A Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥; -2 ) ; nghịch biến trên khoảng (-2; +¥) . Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng. Ta thấy khoảng (-¥; -3) chứa khoảng (-¥; -5) nên I Đúng. Vậy chỉ có II sai. Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-2; +¥) và (-¥; -2 ). B. Hàm số đã cho đồng biến trên (-¥; -1) È (-1;2 ). C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;2 ). D. Hàm số đã cho đồng biến trên (-2;2 ) . Lời giải Chọn C Vì (0;2 ) Ì (-1;2 ) , mà hàm số đồng biến trên khoảng (-1;2 ) nên suy ra C đúng. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 4 Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng? æ 1ö A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ççç-¥;- ÷÷÷ và (3; +¥ ). è 2ø æ 1 ö B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ççç- ; +¥÷÷÷. è 2 ø C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; +¥). D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥;3) . Lời giải Chọn C Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số æ æ 1 ö 1ö ● Đồng biến trên các khoảng ççç-¥;- ÷÷÷ và ççç- ;3÷÷÷ . è è 2 ø 2ø ● Nghịch biến trên khoảng (3;+¥ ) . Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục trên  \ {- 2} và có bảng biến thiên như hình dưới đây A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (- 3; – 2 ) È (- 2; -1). B. Hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng -3. C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-¥; – 3) và (-1; + ¥ ). D. Hàm số đã cho có điểm cực tiểu là 2. Lời giải Chọn C Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét sau Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 3; – 2 ) và (- 2; -1)  A sai (sai chỗ dấu È ). Hàm số có giá trị cực đại yC Đ = – 2  B sai. Hàm số đồng biến khoảng (-¥; – 3) và (-1; +¥)  C đúng. Hàm số có điểm cực tiểu là -1  D sai. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 5 Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) hoặc y = f ‘( x ) . Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số đồng biến trên (1; + ¥). B. Hàm số đồng biến trên (-¥; -1) và (1; + ¥). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1). D. Hàm số đồng biến trên (-¥; -1) È (1; +¥). Lời giải Giải Chọn D Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên (-¥;-1) và (1;+¥) , nghịch biến trên (-1;1) nên các khẳng định A, B, C đúng. Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) thì khẳng định D sai. Ví dụ: Ta lấy -1,1 Î (-¥; -1), 1,1 Î (1; +¥) : -1,1 < 1,1 nhưng f (-1,1) > f (1,1). Câu 2: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên (-¥;0 ) và (0;+¥) . B. Hàm số đồng biến trên (-1;0 ) È (1; +¥). C. Hàm số đồng biến trên (-¥; -1) và (1; + ¥). D. Hàm số đồng biến trên (-1;0 ) và (1; + ¥). Lời giải Chọn D Từ dáng điệu của đồ thị ta nhận thấy trong khoảng (-1;0);(1; +¥) dáng điệu của hàm số là đi lên nên hàm số đồng biến trên (-1;0 );(1; + ¥). Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) thì khẳng định B sai. Câu 3 : Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ‘ ( x ) xác định, liên tục trên  và f ‘ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 6 y O 1 3 -1 x -4 A. Hàm số đồng biến trên (1; +¥). B. Hàm số đồng biến trên (-¥;-1) và (3; +¥). C. Hàm số nghịch biến trên (-¥; -1). D. Hàm số đồng biến trên (-¥; -1) È (3; +¥). Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị của hàm số f ‘ ( x ) , ta có nhận xét:  f ‘ ( x ) đổi dấu từ ”+ ” sang ”- ” khi qua điểm x = -1.  f ‘ ( x ) đổi dấu từ ”- ” sang ”+ ” khi qua điểm x = 3. Do đó ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy B đúng. Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên tập xác định 1. Phương pháp: 2. Các ví dụ Câu 1: Tìm tất các các giá trị thực của tham số tập xác định A. m £ 1. B. m ³ 3. m để hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m đồng biến trên C. -1 £ m £ 3. Lời giải D. m < 3. Chọn B TXĐ: D =  . Đạo hàm y ' = 3 x 2 + 6 x + m . ì ì ïa > 0 ï3 > 0 ï  m ³ 3. í ï ïD ‘ £ 0 ï ï9 – 3m £ 0 î î Ycbt  y ‘ ³ 0, “x Î  ( y ‘ = 0 có hữu hạn nghiệm)  ïí Chọn B Cách giải trắc nghiệm. Quan sát ta nhận thấy các giá trị m cần thử là:  m = 3 thuộc B & C nhưng không thuộc A,D.  m = 2 thuộc C & D nhưng không thuộc A,B. ● Với m = 3  y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 3  y ‘ = 3 x 2 + 6 x + 3 = 3 ( x + 1)2 ³ 0, “x Î  . Do đó ta loại A và D. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 7 ● Với m = 2  y = x 3 + 3 x 2 + 2 x + 2  y ‘ = 3 x 2 + 6 x + 2 . Phương trình y ‘ = 0  3 x 2 + 6 x + 2 = 0 có D > 0 nên m = 2 không thỏa nên loại C. Câu 2: 1 3 Cho hàm số y = x 3 – mx 2 + (4 m – 3) x + 2017 . Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực hàm số đã cho đồng biến trên  . A. m = 1 . B. m = 2 . C. m = 4 . Lời giải m để D. m = 3 . Chọn D Tập xác định D =  . Đạo hàm y ‘ = x 2 – 2mx + 4 m – 3 . Để hàm số đồng biến trên   y ‘ ³ 0, “x Î  ( y ‘ = 0 có hữu hạn nghiệm)  D ‘ = m 2 – 4m + 3 £ 0  1 £ m £ 3 . Suy ra giá trị lớn nhất của tham số Câu 3: m thỏa mãn ycbt là m = 3. Cho hàm số y = -x 3 – mx 2 + (4 m + 9 ) x + 5 với của m m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên để hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥; +¥) ? A. 4. B. 6. C. 7. Lời giải D. 5. Chọn C TXĐ: D =  . Đạo hàm y ‘ = -3 x 2 – 2mx + 4 m + 9. Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-¥; +¥) thì  y ‘ £ 0, “x Î  ( y ‘ = 0 có hữu m Î hạn nghiệm)  D ‘ £ 0  m 2 + 3 (4 m + 9 ) £ 0  -9 £ m £ -3 ¾¾¾  m = {-9; -8;…; -3}. Sai lầm hay gặp là ” Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-¥; +¥) thì  y ‘ < 0, "x Î  '' . Khi đó ra giải ra -9 < m < -3 và Chọn D Câu 4: m 3 x - 2 x 2 + (m + 3) x + m . Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để hàm số 3 Cho hàm số y = đồng biến trên  A. m = -4 B. m = 0 C. m = -2 Lời giải D. m = 1 Chọn D TXĐ: D =  . Đạo hàm: y ' = mx 2 - 4 x + m + 3 . Yêu cầu bài toán  y ' ³ 0, "x Î  ( y ' = 0 có hữu hạn nghiệm): TH1. ● m = 0 thì y ' = -4 x + 3 ³ 0  x £ ìa = m > 0 ï TH2. ● ïí 2 ï ï îD ‘ y ‘ = -m – 3m + 4 £ 0 Suy ra giá trị Câu 5: m 3 4 (không thỏa mãn).  m ³ 1. nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là m = 1. Cho hàm số y = (m + 2) x3 – (m + 2 ) x 2 + (m – 8) x + m 2 -1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số 3 thực m để hàm số nghịch biến trên . A. m < -2 . B. m > -2 . C. m £ -2 . Lời giải D. m ³ -2 . Chọn C Ta có y ‘ = (m + 2 ) x 2 – 2 (m + 2 ) x + m – 8 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 8 Yêu cầu bài toán  y ‘ £ 0, “x Î  ( y ‘ = 0 có hữu hạn nghiệm): TH1 ● m + 2 = 0  m = -2 , khi đó y ‘ = -10 £ 0, “x Î  (thỏa mãn). ìïa = m + 2 < 0 ìïm + 2 < 0  ïí  m < -2 . TH2 ● íï ïïD ' = (m + 2 )2 - (m + 2 )(m - 8) £ 0 ï îï10 (m + 2 ) £ 0 î Hợp hai trường hợp ta được m £ -2. Dạng 5: Tìm tham số m để hàm số đông biến và nghịch biến trên tập con của  . 1. Phương pháp: 2. Các ví dụ Câu 1: Cho hàm số y = x 3 - (m + 1) x 2 - (2 m 2 - 3m + 2 ) x + 2 m (2 m - 1) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên éë 2; +¥ ) là A. m < 5 B. -2 £ m £ 3 2 C. m > -2 D. m < 3 2 Lời giải Chọn B Ta có y / = 3 x 2 - 2 (m + 1) x - (2 m 2 - 3m + 2 ). Xét phương trình y / = 0 có D/ = (m +1) + 3(2m 2 - 3m + 2) = 7 (m 2 - m +1) > 0, “m Î . 2 Suy ra phương trình y / = 0 luôn có hai nghiệm x1 < x 2 với mọi m . Để hàm số đồng biến trên éë 2; +¥)  phương trình y / = 0 có hai nghiệm x1 < x 2 £ 2 ìï( x1 - 2 ) + ( x 2 - 2 ) < 0 ìï x1 + x 2 < 4  ïí  ïí ïï( x1 - 2 )( x 2 - 2 ) ³ 0 ïï x1 x 2 - 2 ( x1 + x 2 ) + 4 ³ 0 î î ì 2 (m + 1) ï ï <4 ìïm < 5 ï ï ï 3 3 ï í  ïí 3  -2 £ m £ . 2 ï ï 2 2 m £ £ + 2 m 3 m 2 ( ) 2 (m + 1) ï ïï ï 2 î - 2. +4 ³0 ï ï 3 3 ï î Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = x 3 - 3 (m + 1) x 2 + 3m (m + 2 ) x nghịch biến trên đoạn [0;1]. A. m £ 0. B. -1 < m < 0. C. -1 £ m £ 0. Lời giải D. m ³ -1. Chọn C Đạo hàm y ¢ = 3 x 2 - 6 (m + 1) x + 3m (m + 2 ) = 3. éëê x 2 - 2 (m + 1) x + m (m + 2 )ùûú . Ta có D ' = (m + 1)2 - m (m + 2 ) = 1 > 0, “m Î  . Do đó y ¢ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x = m, x = m + 2. Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số nghịch biến trên [0;1]¬¾ [0;1] Ì [m ; m + 2 ] LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 9 ïìm £ 0  ïí  -1 £ m £ 0. ïïîm + 2 ³ 1 Câu 3: 1 3 Biết rằng hàm số y = x 3 + 3 (m -1) x 2 + 9 x + 1 (với m là tham số thực) nghịch biến trên khoảng ( x1 ; x 2 ) và đồng biến trên các khoảng giao với ( x1 ; x 2 ) bằng rỗng. Tìm tất cả các giá trị của m để x1 – x 2 = 6 3. ? A. m = -1 B. m = 3 C. m = -3 , m = 1 . Lời giải D. m = -1 , m = 3 Chọn D Ta có y / = x 2 + 6 (m -1) x + 9 . Yêu cầu bài toán  y ‘ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thỏa mãn x1 – x 2 = 6 3 ìïD/ > 0 ìï / ïïï ïíD > 0 / í   D/ = 27 ïï x1 – x 2 = 2 D = 6 3 ïï D/ = 3 3 ïî ïï a î ém = 3 2 2 .  9 (m – 1) – 9 = 27  (m -1) = 4  ê ê m = -1 ë Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m giảm trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 1 ? A. m = – 9 4 B. m = 3 C. m £ 3 D. m = 9 4 Lời giải Chọn D Ta có y ‘ = 3 x 2 + 6 x + m . Yêu cầu bài toán  y ‘ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thỏa mãn x1 – x 2 = 1 ïïìD ‘ = 9 – 3m > 0 ìïm < 3 ì m <3 ï ï ï 9 ïï ï ï  í D' í í 9 m= 9 - 3m ïï2 ï ï =1 4 m = =1 ï ï2. ïï ïî 4 3 ï îï î a Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m . để hàm số y = x -1 nghịch biến trên khoảng x -m (-¥;2 ) ? B. m ³ 1 A. m > 2 C. m ³ 2 Lời giải D. m > 1 Chọn C Ta có y ‘ = -m + 1 2 (x – m ) . Với -m + 1 < 0  m > 1 thì y ‘ < 0, "x ¹ m  hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng (-¥;m ) và (m ; +¥) . Ycbt  (-¥;2 ) Ì (-¥; m )  m ³ 2 : (thỏa mãn). Cách 2. Ta có y ' = -m + 1 2 (x - m ) . ìï-m + 1 < 0 ïì y ' < 0, "x < 2 ìïï-m + 1 < 0 ïìm > 1 í  ïí  ïí  m ³ 2. ï ï ï ¹ -¥ Î +¥ m ;2 m 2; ¹ x m ( ) [ ) ïîïm ³ 2 îï îï îï Ycbt  ïí LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 10 Câu 6: Cho hàm số y = nguyên của A. 5 m mx – 2m – 3 với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị x -m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S B. 4 C. Vô số. D. 3 Lời giải Chọn D Ta có y ‘ = -m 2 + 2 m + 3 2 (x – m ) . Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì y ‘ > 0, “x ¹ m m Î  -m 2 + 2 m + 3 > 0  -1 < m < 3 ¾¾¾  m = {0;1;2}. m Î Sai lầm hay gặp là cho y ' ³ 0, "x ¹ m  -1 £ m £ 3 ¾¾¾  m = {-1;0;1;2;3}. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 11 BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) ( a có thể là -¥ , b có thể là +¥ ) và x 0 Î (a; b) . 1. Định lí 1 Nếu tồn tại số h sao cho f ( x ) < f ( x 0 ) với mọi x Î ( x 0 - h; x 0 + h ) và x ¹ x 0 thì ta nói hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x 0 . Khi đó:  x 0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f ( x ).  f ( x 0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f ( x ).  Nếu tồn tại số h sao cho f ( x ) > f ( x 0 ) với mọi x Î ( x 0 – h; x 0 + h ) và x ¹ x 0 thì ta nói hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x 0 . Khi đó:  x 0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x ).  f ( x 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f ( x ). Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập xác định K. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị). 2. Chú ý Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x 0 ) của hàm số f nói chung không phải là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập xác định K mà f ( x 0 ) chỉ là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a, b) Ì K và (a, b) chứa x 0 . Nếu f ¢ ( x ) không đổi dấu trên tập xác định K của hàm số f thì hàm số f không có cực trị. Nếu x 0 là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại điểm x 0 và điểm có tọa độ ( x 0 ; f ( x 0 )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f . 3. Định lý 2 ì ï f ‘(x0 ) = 0 ¾¾  x 0 là điểm cực đại của f ( x ) . ● ïí ï ï î f ” ( x 0 ) < 0 ìï f ' ( x 0 ) = 0 ¾¾  x 0 là điểm cực tiểu của f ( x ) . ● ïí ïï f '' ( x 0 ) > 0 î 4. Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d là y = mx + n , trong đó mx + n là dư thức trong phép chia LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 12 f (x ) cho f ‘ ( x ) . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Cho hàm số y  f  x  . Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực đại giá trị cực tiểu 1. Phương pháp 2. Các ví dụ Câu 1: Giá trị cực đại yCD của hàm số y = x 3 – 3 x + 2 là? A. yCD = 4 . B. yCD = 1 . C. yCD = 0 . D. yCD = -1. Lời giải. Chọn A é x = -1  y = 4 Ta có y ‘ = 3 x 2 – 3 = 0  êê ëx = 1  y = 0 . Do đó giá trị cực đại của hàm số là yCD = 4 . Câu 2: Tìm điểm cực trị x 0 của hàm số y = x 3 – 5 x 2 + 3 x + 1 . 1 3 A. x 0 = -3 hoặc x 0 = – . C. x 0 = 0 hoặc x 0 = – B. x 0 = 0 hoặc x 0 = 10 . 3 10 . 3 1 3 D. x 0 = 3 hoặc x 0 = . Lời giải. Chọn D éx = 3 ê 2 2 ê = + =  + =  ‘ 3 10 3; ‘ 0 3 10 3 0 y x x y x x Ta có 1. . êx = 3 ëê Câu 3: Tìm điểm cực đại x 0 của hàm số y = x 3 – 3 x + 1 . A. x 0 = -1 . B. x 0 = 0 . C. x0 = 1 . D. x 0 = 2 . Lời giải. Chọn A é x = -1  y (-1) = 3 Ta có y ‘ = 3 x 2 – 3 = 3 ( x 2 -1); y ‘ = 0  êê êë x = 1  y (1) = -1 . Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 . Câu 4: Tìm các điểm cực trị của đồ thị của hàm số y = x 3 – 3x 2 . A. (0;0 ) hoặc (1; -2 ) . B. (0;0 ) hoặc (2;4 ) . C. (0;0 ) hoặc (2; -4 ) . D. (0;0 ) hoặc (-2; -4 ) . Lời giải. Chọn C éx = 0  y = 0 .. ë x = 2  y = -4 Ta có y ‘ = 3 x 2 – 6 x = 3 x ( x – 2 ); y ‘ = 0  êê Câu 5: Biết rằng hàm số y = x 3 + 4 x 2 – 3x + 7 đạt cực tiểu tại x CT . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 3 A. x CT = . B. x CT = -3 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 1 3 C. x CT = – . D. x CT = 1 . 13 Lời giải. Chọn A é x = -3 ê Ta có y ‘ = 3 x + 8 x – 3; y ‘ = 0  ê 1 . êx = êë 3 2 1 3 Vẽ bảng biến thiên, ta kết luận được x CT = . Câu 6: Gọi yCD , yCT lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = x 3 -3x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3 2 A. yCT = 2 yCD . B. yCT = yCD . C. yCT = yCD . D. yCT = -yCD . Lời giải. Chọn D é x = 1  y (1) = -2 Ta có y ‘ = 3 x 2 – 3; y ‘ = 0  êê êë x = -1  y (-1) = 2 Câu 7: . Do đó yCT = -yCD . Gọi y1 , y2 lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = x 3 – 3 x 2 – 9 x + 4 . Tính P = y1 .y2 . A. P = -302 . B. P = -82 . C. P = -207 . Lời giải. D. P = 25 . Chọn C é x = 3  y (3) = -23 Ta có y ‘ = 3 x 2 – 6 x – 9; y ‘ = 0  êê êë x = -1  y (-1) = 9 . Suy ra P = y1 . y 2 = 9. (-23) = -207 . Câu 8: Cho hàm số y = -x 4 + 2 x 2 + 3 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. B. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại. C. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại. Lời giải. Chọn D éx = 0 ê Ta có y ‘ = -4 x + 4 x = -4 x ( x -1); y ‘ = 0  êê x = 1 . ê ë x = -1 3 2 Vẽ phát họa bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại. ìa = -1 ï ¾¾  ab < 0 ¾¾  đồ thị hàm số có ba điểm cực trị. Cách 2. Ta có íï ï ï îb = 2 Vì a = -1 < 0 nên đồ thị có dạng chữ M. Từ đó suy ra đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị 1. Phương pháp 2. Các ví dụ LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 14 Câu 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = -2 x 3 + 3x 2 +1 . A. y = x -1. B. y = x + 1. C. y = -x +1. D. y = -x -1. Lời giải. Chọn B éx = 0  y = 1 . ëx = 1  y = 2 Ta có y ¢ = -6 x 2 + 6 x ; y ¢ = 0  êê Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là A (0;1) và B (1;2 ) . Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có phương trình y = x + 1. Cách 2. Lấy y chia cho y' , ta được 1æ 1ö  y = çç x - ÷÷÷ y ¢ + x + 1 . 3 çè 2ø Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là phần dư trong phép chia, đó là y = x +1 . Câu 2: Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - 9 x + m . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. A. y = -8 x + m . B. y = -8 x + m - 3 . C. y = -8 x + m + 3 . D. y = -8 x - m + 3 . Lời giải. Chọn B é x = -1  y = 5 + m Ta có y ' = 3 x 2 - 6 x - 9; y ' = 0  êê ë x = 3  y = -27 + m . Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A (-1;5 + m ) và B (3;-27 + m ) . Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm A, B có phương trình y = -8 x + m - 3 . Câu 3: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = (2 m - 1) x + 3 + m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 - 3x 2 +1 . 1 2 A. m = - . 3 2 1 4 B. m = . 3 4 C. m = . D. m = . Lời giải. Chọn D é x = 0  y (0 ) = 1  y ¢ = 0  êê Xét hàm y = x 3 - 3x 2 +1 , có y ¢ = 3 x 2 - 6 x ¾¾ êë x = 2  y (2 ) = - 3 . Suy ra A (0;1), B (2; - 3) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.   Suy ra đường thẳng AB có một VTCP là AB = (2; - 4 ) ¾¾  VTPT n AB = (2;1).  Đường thẳng d : y = (2 m - 1) x + 3 + m có một VTCP là nd = (2 m - 1; - 1).   3 4 Ycbt  n AB .nd = 0  2. (2m -1) -1 = 0  m = . Dạng 3: Dựa vào bảng xét dấu của f '  x  , bảng biến thiên của đồ thị hàm số f  x  . Tìm các điểm cực trị của hàm số 1. Phương pháp 2. Các ví dụ LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 15 Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  với bảng xét dấu đạo hàm như sau: Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. Chọn A Nhận thấy B. 1. y' D. 0. đổi dấu khi qua x = -3 và x = 2 nên hàm số có 2 điểm cực trị. ( x = 1 không phải là điểm cực trị vì Câu 2: C. 3. Lời giải. y' không đổi dấu khi qua x = 1 ). Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên sau: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có ba giá trị cực trị. C. Hàm số có hai điểm cực trị. B. Hàm số có ba điểm cực trị. D. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1. Lời giải. Chọn B Dựa vào đồ thị hàm số, ta có các nhận xét sau:  Hàm số có ba điểm cực trị, gồm các điểm x = -1, x = 1, x = 0 vì đạo hàm y ¢ đổi dấu đi qua các điểm đó.  Hàm số đạt cực đại tại x = 0 , đạt cực tiểu tại x = 1. (đáp án A sai vì hàm số chỉ có hai giá trị cực trị là yCD = -3 và yCT = -4 . Nói đến đồ thị hàm số thì khi đó mới có ba điểm cực trị là A (0; -3), B (-1;4 ), C (1; -4 ). . Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục tại x 0 và có bảng biến thiên sau: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu. B. Hàm số có một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 16 C. Hàm số có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu. D. Hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu. Lời giải. Chọn D ● Tại x = x 2 hàm số y = f ( x ) không xác định nên không đạt cực trị tại điểm này. ● Tại x = x1 thì dễ thấy hàm số đạt cực đại tại điểm này. ● Tại x = x 0 , hàm số không có đạo hàm tại x 0 nhưng liên tục tại x 0 thì hàm số vẫn đạt cực trị tại x 0 và theo như bảng biến thiên thì đó là cực tiểu. Vậy hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu. Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  \ {x1 } , có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại. B. Hàm số đã cho không có cực trị. C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. D. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. Lời giải. Chọn A Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy  f ¢ ( x ) đổi dấu từ " + " sang " - " khi đi qua điểm x 1 nhưng tại x1 hàm số f ( x ) không xác định nên x 1 không phải là điểm cực đại.  f ¢ ( x ) đổi dấu từ "- " sang "+ " khi đi qua điểm x 2 suy ra x 2 là điểm cực tiểu của hàm số. Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. . B. 3. . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 C. 4. . Lời giải. D. 2. 17 Chọn B Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất và đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị. Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. B. 1. C. 3. Lời giải. D. 2. Chọn D Dễ nhận thấy hàm số có một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại x = 1. Xét hàm số f ( x ) trên khoảng æ 1 1 ö÷ çç- ; ÷ , çè 2 2 ÷ø æ 1 ö æ 1ö x Î çç- ;0 ÷÷÷ È çç0; ÷÷÷ . çè 2 ø çè 2 ø ta có f ( x ) < f (0 ) với mọi Suy ra x = 0 là điểm cực đại của hàm số. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Câu 7: Hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 2 . C. 1 . Lời giải. Chọn A Dễ nhận thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua D. 0 . Oy. Vấn đề nằm ở chỗ là điểm có đồ thị gấp khúc có phải là điểm cực trị của đồ thị hàm số hay không? Câu trả lời là có (tương tự lời giải thích như câu 25). Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị, gồm 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại. Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 18 y 2 ‐1 A. 2. B. 3. O 1 x C. 4. Lời giải. D. 5. Chọn D Theo định nghĩa cực trị thì từ đồ thị ta nhận thấy hàm số có 5 điểm cực trị. Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? y ‐1 1 O x -1 -2 A. 2. B. 3. C. 4. Lời giải. D. 5. Chọn D Theo định nghĩa cực trị thì từ đồ thị ta nhận thấy hàm số có 5 điểm cực trị. Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên đoạn [-2;2] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? A. x = -2 . B. x = -1 . C. x = 1 . Lời giải. D. x = 2. Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 19 Theo định nghĩa điểm cực đại thì hàm số đạt cực đại tại x = -1 . Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số có cực trị 1. Phương pháp 2. Các ví dụ Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 6mx + m có hai điểm cực trị. A. m Î (0;2 ) . B. m Î (-¥;0 ) È (8; +¥) . C. m Î (-¥;0) È (2; +¥) . D. m Î (0;8) . Lời giải. Chọn C Ta có y ' = 3 x 2 - 6 mx + 6 m = 3 ( x 2 - 2 mx + 2 m ) . Để hàm số có hai điểm cực trị  x 2 - 2 mx + 2 m = 0 có hai nghiệm phân biệt ém < 0  D ' = m 2 - 2m > 0  ê .. êm > 2 ë Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = m 3 x + x 2 + x + 2017 có cực trị. 3 A. m Î (-¥;1] . B. m Î (-¥;0 ) È (0;1) . C. m Î (-¥;0) È (0;1] . D. m Î (-¥;1) . Lời giải. Chọn D Nếu m = 0 thì y = x 2 + x + 2017 : Hàm bậc hai luôn có cực trị. Khi m ¹ 0 , ta có y ‘ = mx 2 + 2 x +1 . Để hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình mx 2 + 2 x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt ìïm ¹ 0  ïí  0 ¹ m < 1. ïïîD ' = 1 - m > 0 Hợp hai trường hợp ta được m < 1 . Nhận xét. Sai lầm thường gặp là không xét trường hợp m = 0 dẫn đến chọn đáp án Câu 3: Tìm các giá trị của tham số A. m = 3 . m B. để hàm số y = (m - 3) x 3 - 2 mx 2 + 3 không có cực trị. B. m = 0 , m = 3 . C. m = 0 . Lời giải. D. m ¹ 3 . Chọn C ● Nếu m = 3 thì y = -6 x 2 + 3 . Đây là một Parabol nên luôn có một cực trị. ● Nếu m ¹ 3 , ta có y ' = 3 (m - 3) x 2 - 4 mx . Để hàm số có không có cực trị khi y ' = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm  D ' = 4 m 2 £ 0  m = 0. Câu 4: 1 3 1 2 Cho hàm số y = x 3 - (3m + 2) x 2 + (2m 2 + 3m + 1) x - 4 . Tìm giá trị thực của tham số hàm số có hai điểm cực trị là x = 3 và x = 5 . A. m = 0 . B. m = 1 . C. m = 2 . Lời giải. Chọn C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 m để D. m = 3 . 20 Ta có y ' = x 2 - (3m + 2 ) x + (2 m 2 + 3m + 1) . Yêu cầu bài toán  y ' = 0 có hai nghiệm x = 3 hoặc x = 5 2 ì ì ï2m 2 - 6 m + 4 = 0 ïï9 - 3 (3m + 2 ) + (2 m + 3m + 1) = 0  ïí  ïí 2 m =2. 2 ïîïï25 - 5 (3m + 2 ) + (2 m + 3m + 1) = 0 ïîï2m -12m + 16 = 0 Câu 5: Biết rằng hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx (a ¹ 0 ) nhận x = -1 là một điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. a + c = b . B. 2a - b = 0 . C. 3a + c = 2b . Lời giải. D. 3a + 2b + c = 0 . Chọn C Ta có y ' = 3ax 2 + 2bx + c . Hàm số nhận x = -1 là một điểm cực trị nên suy ra y ' (-1) = 0  3a - 2b + c = 0  3a + c = 2b . Câu 6: Biết rằng hàm số y = 3x 3 - mx 2 + mx - 3 có một điểm cực trị x1 = -1 . Tìm điểm cực trị còn lại x 2 của hàm số. 1 3 1 4 A. x 2 = . 1 3 B. x 2 = . C. x 2 = - . D. x 2 = -2m - 6. Lời giải. Chọn B Ta có y ' = 9 x 2 - 2mx + m . Để hàm số có hai điểm cực trị  y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ém < 0  D ' = m 2 - 9m > 0  ê . (*) êm > 9 ë Theo giả thiết: y ‘ (-1) = 0  9 + 3m = 0  m = -3 (thỏa mãn (*) ). é x = -1 ê 1 .. êx = êë 3 Với m = -3 thì y ‘ = 9 x 2 + 6 x – 3; y ‘ = 0  ê Câu 7: 1 3 Cho hàm số y = x 3 – mx 2 + (m 2 – 4 ) x + 5 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = -1 . A. m = 1. . B. m = -3 . C. m = 1 , m = -3 . Lời giải. Chọn B Ta có y ‘ = x 2 – 2 mx + (m 2 – 4 ) . m D. – 3 £ m £ 1. ém = 1  y ‘ (-1) = 0  m 2 + 2m – 3 = 0  ê Vì x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số ¾¾ ê ëm = -3 Thử lại ta thấy chỉ có giá trị m = -3 thỏa mãn Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số điểm x = -2. A. m = -9. B. m = 2. m y’ . đổi dấu từ ”- ” sang ”+ ” khi qua x = -1 . để hàm số y = 4 x 3 + mx 2 -12 x đạt cực tiểu tại C. m = 9. Lời giải. D. Không có m. Chọn D LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 21 Đạo hàm f ‘ ( x ) = 12 x 2 + 2 mx – 12 và f ” ( x ) = 24 x + 2 m . ì ï f ‘ (-2 ) = 0 Riêng hàm bậc ba, yêu cầu bài toán tương đương với ïí ï ï î f ” (-2 ) > 0 ì12.4 – 4 m -12 = 0 ì ï ïm = 9 : vô nghiệm. «ï «ï í í ï ï ï-48 + 2m > 0 ïm > 24 î î Cách trắc nghiệm. Thay ngược đáp án nhưng lâu hơn cách tự luận. Câu 9: Gọi x1 , x 2 là hai điểm cực trị của hàm số y = x 3 – 3mx 2 + 3 (m 2 – 1) x – m 3 + m . Tìm các giá trị của tham số m để x12 + x22 – x1 x2 = 7. A. m = 0 . 9 2 1 2 B. m =  . C. m =  . D. m = 2 . Lời giải. Chọn D Ta có y ‘ = 3 x 2 – 6mx + 3 (m 2 -1) = 3 éêë x 2 – 2mx + (m 2 -1)ùúû . Do D ‘ = m 2 – m 2 + 1 = 1 > 0, “m Î  nên hàm số luôn có hai điểm cực trị x1 , x 2 . ìï x + x = 2 m Theo định lí Viet, ta có ïí 1 2 2 . ïï x1 x 2 = m – 1 î Yêu cầu bài toán  ( x1 + x 2 ) – 3×1 x 2 = 7  4m 2 – 3(m 2 -1) = 7  m 2 = 4  m = 2 . 2 Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số cực trị trái dấu. A. m = -1 , m = 0 . C. -1 < m < 0 . m để hàm số f ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2 - m có các giá trị B. m < 0 , m > -1. D. 0 £ m £ 1. Lời giải. Chọn C é x = 0  f (0 ) = -m Ta có f ‘ ( x ) = 6 x 2 – 6 x ; f ‘ ( x ) = 0  êê êë x = 1  f (1) = -m -1 . Yêu cầu bài toán  m (m + 1) < 0  -1 < m < 0 . Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số cực trị. A. m = 0. . B. m > 0. . để hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m có ba điểm m C. m < 0. . Lời giải. D. m ¹ 0. Chọn C éx = 0 Ta có y ' = 4 x 3 + 4 mx = 4 x ( x 2 + m ); y ' = 0  êê 2 ë x = -m . Để hàm số có ba điểm cực trị  y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt  -m > 0  m < 0. . Dạng 5: Cho hàm số f '  x  hoặc đồ thị hàm số f '  x  . Tìm các điểm cực trị của hàm số 1. Phương pháp 2. Các ví dụ Câu 1: 2 3 5 Biết rằng hàm số f ( x ) có đạo hàm là f '( x ) = x ( x -1) ( x - 2) ( x - 3) . Hỏi hàm số f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị? LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 22 A. 4 . B. 3 . C. 2 . Lời giải. D. 1 . Chọn B é x = 0, x = 1 Ta có f ' ( x ) = 0  êê ë x = 2, x = 3 thì . Tuy nhiên lại xuất hiện nghiệm kép tại x = 1 (nghiệm kép y' qua nghiệm không đổi dấu) nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị. Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và hàm số y = f ¢ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại điểm x = -1. . B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x = 1. . C. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x = - 2. . D. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại điểm x = - 2 . Lời giải. Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢ ( x ) , ta có các nhận xét sau:  f ¢ ( x ) đổi dấu từ "- " sang "+ " khi đi qua điểm x = - 2 suy ra x = - 2 là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x ).  f ¢ ( x ) không đổi dấu khi đi qua điểm x = -1, x = 1 suy ra x = -1, x = 1 không là các điểm cực trị của hàm số y = f ( x ). Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = - 2. . Câu 3: Hàm số f  x  có đạo hàm f   x  trên khoảng K . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f   x  trên khoảng K . Hỏi hàm số f  x  có bao nhiêu điểm cực trị? LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 23 A. 0. . B. 1. . C. 2. . Lời giải. D. 4. Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f ' ( x ) = 0 chỉ có một nghiệm đơn (cắt trục hoành tại một điểm) và hai nghiệm kép (tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm) nên f ' ( x ) chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn. Do đó suy ra hàm số f ( x ) có đúng một cực trị. Nhận xét. Đây là một dạng toán suy ngược đồ thị. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 24 BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa Cho hàm số. xác định trên tập D.  Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f ( x ) trên tập D , nếu f ( x ) £ M với "x Î D và tồn tại [-1;1]. sao cho f ( x 0 ) = M . Kí hiệu: 0.  Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f ( x ) trên tập 90 . , nếu f ( x ) ³ m với 91 "x Î D và tồn tại x 0 Î D sao cho f ( x 0 ) = m . Kí hiệu: m = min f ( x ). x ÎD 2. Định lý Hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [a; b]  tồn tại max f ( x ) , min f (x ) . [a ;b] [ a ;b ] 3. Cách tìm GTLN – GTNN trên một đoạn Bước 1: Tìm các điểm x1 , x 2 ,..., x n trên [a; b] mà tại đó f ' ( x ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định. Bước 2: Tính f (a), f ( x1 ), f ( x 2 ), ..., f ( x n ), f (b) . Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất trong các số trên thì m ìï M = max f ( x ) ïï [ a ;b ] . í ïïm = min f ( x ) [ a ;b ] ïî B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên  a, b Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f  x   x3  2 x 2  4 x  1 trên đoạn 1;3. f (x ) = A. max [1;3] 67 . 27 B. max f ( x ) = -2. 1;3 [ ] C. max f ( x ) = -7. 1;3 [ ] D. max f ( x ) = 7. 1;3 [ ] Lời giải. Chọn B é x = 2 Î [1;3] ê . Đạo hàm f ' ( x ) = 3 x - 4 x - 4  f ' ( x ) = 0  êê 2 ê x = - 3 Ï [1;3] ë ìï f (1) = -4 ïï f ( x ) = -2. Ta có ïí f (2) = -7  max [1;3] ïï ïï f (3) = -2 î 2 Cách 2. Sử dụng chức năng MODE 7 và nhập hàm f ( X ) = X 3 - 2 X 2 - 4 X + 1 với thiết lập Start 1, End 3, Step 0, 2 . Quan sát bảng giá trị F ( X ) ta thấy giá trị lớn nhất F ( X ) bằng -2 khi X = 3. . Câu 2: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 -1 trên é êë 1ù 2 úû đoạn ê-2; - ú . Tính P = M - m . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 25 A. P = -5 . B. P = 1 . C. P = 4 . Lời giải. D. P = 5 . Chọn D é é 1ù ê x = 0 Ï ê-2; - ú ê 2 ûú ëê . Đạo hàm f ' ( x ) = 6 x 2 + 6 x  f ' ( x ) = 0  êê é ê x = -1 Î ê-2; - 1 ùú ê 2 ûú ëê ë ì ï ï ì ï f (-2) = -5 ï m = min f ( x ) = -5 ï ï é 1ù ï ï ê-2;- ú ï ï 2 ûú ëê ï ¾¾  P = M - m = 5. . Ta có í f (-1) = 0  ïí ï ï M f (x ) = 0 = max ï ï é 1ù ï æ 1ö 1 ï ê-2;- ú êë 2 úû ïï f çç- ÷÷÷ = îïï ï ç 2 ï î è 2ø Câu 3: Biết rằng hàm số f ( x ) = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 28 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;4 ] tại x 0 . Tính P = x 0 + 2018. A. P = 3. B. P = 2019. C. P = 2021. Lời giải. D. P = 2018. Chọn C é x = -1 Ï [0;4 ] . êë x = 3 Î [0;4 ] Đạo hàm f ' ( x ) = 3 x 2 - 6 x - 9  f ' ( x ) = 0  êê ì ï f (0 ) = 28 ï ï ï f ( x ) = 1 khi x = 3 = x 0  P = 2021. . Ta có í f (3) = 1  min [0;4 ] ï ï ï ï î f (4 ) = 8 Câu 4: 4 3 Xét hàm số f ( x ) = - x 3 - 2 x 2 - x - 3 trên [-1;1] . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x = -1 và giá trị lớn nhất tại x = 1 . B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và giá trị lớn nhất tại x = -1 . C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x = -1 nhưng không có giá trị lớn nhất. D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại x = 1 . Lời giải. Chọn B Đạo hàm f ' ( x ) = -4 x 2 - 4 x - 1 = -(2 x + 1)2 £ 0, "x Î . Suy ra hàm số f ( x ) nghịch biến trên đoạn [-1;1] nên có giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và giá trị lớn nhất tại x = -1 . Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f  x   x4  2 x2  5 trên đoạn  2;2 . A. max f ( x ) = -4. . -2;2 [ ] B. max f ( x ) = 13. -2;2 [ ] C. max f ( x ) = 14. -2;2 [ ] D. max f ( x ) = 23. -2;2 [ ] Lời giải. Chọn B é x = 0 Î [-2;2 ] ê Đạo hàm f ' ( x ) = 4 x 3 - 4 x  f ' ( x ) = 0  êê x = 1 Î [-2;2 ] . ê êë x = -1 Î [-2;2 ] LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 26 ìï f (-2) = ïï Ta có ïí f (-1) = ïï ïï f (0) = 5 î Câu 6: f (2 ) = 13 f (1) = 4  max f ( x ) = 13. . [-2;2 ] Cho hàm số f ( x ) = -2 x 4 + 4 x 2 + 10 . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn [0;2 ]. A. M = 10; m = -6. C. M = 10; m = -8. B. M = 12; m = -6. D. M = 12; m = -8. Lời giải. Chọn B é x = 0 Î [ 0;2 ] ê ê Đạo hàm f ' ( x ) = -8 x + 8 x  f ' ( x ) = 0  ê x = 1 Î [0;2 ] . ê êë x = -1 Ï [0;2 ] 3 ì f (0 ) = 10 ï ï ï ï f ( x ) = 12; m = min f ( x ) = -6. . Ta có í f (1) = 12  M = max [0;2 ] [0;2] ï ï ï 2 = 6 f ( ) ï î Câu 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = A. min f (x ) = 6 . [2;4 ] x2 +3 trên đoạn [2;4 ] . x -1 B. min f ( x ) = -2 . [2;4 ] C. min f ( x ) = -3 . [2;4 ] f (x ) = D. min [2;4 ] 19 . 3 Lời giải. Chọn A Đạo hàm f ' ( x ) = Ta có x 2 - 2x -3 2 ( x -1) é x = -1 Ï [ 2;4 ]  f ' ( x ) = 0  êê . êë x = 3 Î [2;4 ] ì ï ï ï f (2 ) = 7 ï ï ï ï f ( x ) = 6. í f (3) = 6  min [2;4 ] ï ï ï 19 ï f (4 ) = ï ï 3 ï î Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7). Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7. Bước 2: Nhập f ( X ) = X 2 +3 . X -1 ìStart = 2 ï ï ï Sau đó ấn phím = (nếu có g ( X ) thì ấn tiếp phím = ) sau đó nhập ïíEnd = 4 . ï ï ï ï îStep = 0.2 (Chú ý: Thường ta chọn Step = End - Start ) 10 Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy min f ( x ) = f (3) = 6. . [2;4 ] Câu 8: Tập giá trị của hàm số f  x   x  A. P = 6 . B. P = 13 2 9 với x   2;4 là đoạn  a; b . Tính P  b  a . x . C. P = 25 . 4 1 2 D. P = . Lời giải. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 27 Chọn D Đạo hàm f ' ( x ) = 1 - Ta có é x = 3 Î [2;4 ] x2 -9 9 =  f ' ( x ) = 0  x 2 - 9 = 0  êê . 2 2 x x êë x = -3 Ï [2;4 ] ì 13 ï ï f (2 ) = ï ï 2 ï 13 ï ï  min f ( x ) = 6; max f ( x ) = í f (3) = 6  ¾¾ [2;4 ] [2;4 ] ï 2 ï ï 25 ï f 4 = ï ï ( ) 4 ï î é 13 ù 13 1  [a; b] = ê 6; ú  P = b - a = - 6 = . . êë 2 úû 2 2 Câu 9: Cho hàm số f ( x ) = 2 x 2 + x +1 . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số x +1 trên đoạn [0;1]. A. M = 2; m = 1. C. M = 1; m = -2. B. M = 2; m = 1. D. M = 2; m = 2. Lời giải. Chọn B Đạo hàm f ' ( x ) = ì ï f ' ( x ) ³ 0, "x Î [0;1] . Ta có ïí . ï ( x + 1) ï î f '(x ) = 0  x = 0 2x 2 + 4x 2 Suy ra hàm số f ( x ) đồng biến trên đoạn [0;1] . ìï M = max f ( x ) = f (1) = 2 ï Vậy ïí [0;1] ïïm = min f ( x ) = f (0 ) = 1 [0;1] ïî Câu 10: Cho hàm số f ( x ) = . 3 x -1 . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên x -3 đoạn [0;2 ]. 1 3 1 3 A. M = 5; m = . B. M = - ; m = -5. 1 3 1 3 C. M = ; m = -5. D. M = 5; m = - . Lời giải. Chọn C Đạo hàm f ' ( x ) = -8 2 ( x - 3) . Ta có f ' ( x ) < 0, "x Î (0;2 ) . Suy ra hàm số f ( x ) nghịch biến trên đoạn [0;2 ] . Vậy ì 1 ï ï M = max f ( x ) = f (0 ) = ï [0;2 ] ï 3.. í ï ï m = min f x = f 2 = 5 ( ) ( ) ï [0;2 ] ï î 2 với x Î [3;5] . x é 38 142 ù é 29 127 ù B. T = ê ; ú . C. T = ê ; ú . ëê 3 5 ûú ëê 3 5 ûú Câu 11: Tìm tập giá trị T của hàm số f ( x ) = x 2 + é 38 526 ù ú. ; ëê 3 15 ûú A. T = ê é 29 526 ù ú. ; ëê 3 15 ûú D. T = ê Lời giải. Chọn C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 28 2 ( x - 1) 2 = > 0, “x Î (3;5) . 2 x x2 3 Đạo hàm f ‘ ( x ) = 2 x – f ( x ) = f (3) = Suy ra hàm số đồng biến trên [3;5] nên min [3;5] 29 127 ; max f ( x ) = f (5) = . [3;5] 3 5 é 29 127 ù ú. ; êë 3 5 úû Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn ê Câu 12: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x ) = x – 2 + 4 – x . A. M = 1. . B. M = 2. . C. M = 3. . D. M = 4. Lời giải. Chọn B TXĐ: D = [2; 4 ] . Đạo hàm f ( x ) = 1 2 x -2 – 1 2 4-x  f ‘ ( x ) = 0  x = 3 Î [ 2;4 ]. ì ï f (2 ) = 2 ï ï ï ï Ta có í f (3) = 2  M = 2. . ï ï ï ï ï î f (4 ) = 2 Câu 13: Cho hàm số f ( x ) = 2 x + 14 + 5 – x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = -7. B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 2 6. C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1. D. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3. Lời giải. Chọn D TXĐ: D = [-7;5] . Đạo hàm f ( x ) = Ta có 1 2 x + 14 – 1 2 5- x  f ‘ ( x ) = 0  x = 1 Î [-7;5]. ìï f (-7 ) = 2 3 ïï ïï f ( x ) = f (-7 ) = 2 3. . í f (5) = 2 6  min [-7;5] ïï ïï f (1) = 6 ïî Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất A. M = 2; m = 0. C. M = 2; m = -2. m của hàm số f ( x ) = x 4 – x 2 . B. M = 2; m = – 2. D. M = 2; m = 0. Lời giải. Chọn C TXĐ: D = [-2;2 ]. Đạo hàm f ‘ ( x ) = 4 – x 2 – x2 4-x2 = 4 -2x 2 4-x2 é x = 2 Î [-2;2 ]  f ‘ ( x ) = 0  4 – 2 x 2 = 0  êê . êë x = – 2 Î [-2;2 ] LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 29 ì f (-2 ) = 0 ï ï ï ï ï ï f – 2 = -2  M = 2; m = -2. . Ta có ïí ï f = 2 2 ï ï ï ï ï ï î f (2 ) = 0 ( ) ( ) Câu 15: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( x ) = x + 2 – x 2 . A. m = – 2. B. m = -1. C. m = 1. Lời giải. D. m = 2. Chọn A x TXĐ: D = éëê- 2; 2 ùúû . Đạo hàm f ¢ ( x ) = 1 2- x2 ìx ³ 0 ï = 1  2 – x 2 = x  ïí  x = 1 Î éê- 2; 2 ùú . 2 2 ë û ï 2-x ï î2 – x = x x  f ¢(x ) = 0  ( 2 ) ì ï f – 2 =- 2 ï ï ï ï  m = – 2. . Ta có í f (1) = 2 ï ï ï f 2 = 2 ï ï î ( ) Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số y = f ( x ) . Tìm GTLN, GTNN Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên sau: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2. B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1. C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1. D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1 và 1. Lời giải. Chọn A Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy: ● f ( x ) £ 2, “x Î  và f (0 ) = 2 nên GTLN của hàm số bằng 2. ● f ( x ) ³ -1, “x Î  và vì xlim f ( x ) = – 1 nên không tồn tại x 0 Î  sao cho f ( x 0 ) = 1 , do -¥ đó hàm số không có GTNN. Có thể giải thích cách khác: y ‘ đổi dấu qua x = 0 và tồn tại y (0 ) = 2 nên giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 . Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 30 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có đúng một cực trị. B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 . C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1 . D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 . Lời giải. Chọn D A sai vì hàm số có 2 điểm cực trị. B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 . C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  . D Đúng. Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có hai điểm cực trị. B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -4. . C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng -3. . D. Hàm số có một điểm cực tiểu. Lời giải. Chọn B A sai vì hàm số có ba điểm cực trị là x = -1; x = 0; x = 1. C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất. D sai vì hàm số có hai điểm cực tiểu là x = -1 và x = 1. . Câu 4: Cho hàm số y  f  x  và có bảng biến thiên trên  5;7  như sau: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 31 Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. min f ( x ) = 2 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên [-5;7 ) . [-5;7 ) B. max f ( x ) = 6 và min f (x ) = 2 . -5;7 [-5;7 ) [ ) C. max f ( x ) = 9 và min f ( x ) = 2 . -5;7 [-5;7 ) [ ) D. max f ( x ) = 9 và min f ( x ) = 6 . -5;7 [-5;7 ) [ ) Lời giải. Chọn A Dựa vào bảng biến thiên, ta nhận thấy: ● Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2 , đạt tại x = 1 Î [-5;7 ) . ì ï ï f ( x ) £ 9, “x Î [-5;7 ) . Mà 7 Î/ [-5;7 ) nên không tồn tại x 0 Î [-5;7 ) sao cho ● Ta có ïí ï ï lim f ( x ) = 9 ï îx 7- f (x0 ) = 9 . Do đó hàm số không đạt GTLN trên [-5;7 ). Vậy min f ( x ) = 2 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên [-5;7 ) . [-5;7 ) Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị trên đoạn [-2; 4 ] như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [-2;4.] A. M = 2. B. M = f (0 ) . C. M = 3. D. M = 1. Lời giải. Chọn C Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) trên đoạn [-2; 4 ] ta suy ra đồ thị hàm số f ( x ) trên [-2; 4 ] như hình vẽ. Do đó max f ( x ) = 3 tại x = -1. -2;4 [ Câu 6: ] Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [-2;3 ] bằng: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 32 A. 2. . B. 3. . C. 4. . D. 5. Lời giải. Chọn C Nhận thấy trên đoạn [-2;3] đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ (3; 4 ).  Câu 7: giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [-2;3] bằng 4. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  , có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [-2;2 ] . A. m = -5, M = 0. C. m = -1, M = 0. B. m = -5, M = -1. D. m = -2, M = 2. Lời giải. Chọn B Nhận thấy trên đoạn [-2;2 ] ● Đồ thị hàm số có điểm thấp nhất có tọa độ (-2; -5) và (1; -5)  giá trị nhỏ nhất của hàm số này trên đoạn [-2;2 ] bằng -5. ● Đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ (-1; -1) và (2; -1)  Câu 8: giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [-2;2 ] bằng -1. é êë 3ù 2 úû Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ê-1; ú và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 m é êë 3ù 2 ûú của hàm số f ( x ) trên ê-1; ú là 33 7 2 7 M = , m = -1. 2 A. M = 4, m = 1. B. M = , m = -1. C. M = 4, m = -1. D. Lời giải. Chọn C Theo định nghĩa max min của hàm số ta suy ra được điều này Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên  và có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số có hai điểm cực trị. B. Hàm số có GTLN là 2 và GTNN là -2. C. Hàm số đồng biến trên (-¥;0 ) và (2; +¥). D. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị (0;2 ) & (2; -2 ). Lời giải. Chọn B Dựa vào đồ thị suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Chú ý. Học sinh thường nhầm tưởng giá trị cực đại là giá trị lớn nhất, giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất nên chọn B Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình sau: (I). Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) . (II). Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;2 ) . (III). Hàm số có ba điểm cực trị. (IV). Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 34 Trong các mệnh đề đã cho có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải. Chọn B Xét trên (0;1) ta thấy đồ thị đi xuống (từ trái sang phải) nên hàm số nghịch biến. Do đó (I) đúng Xét trên (-1;2 ) ta thấy đồ thị đi lên, rồi đi xuống, rồi đi lên. Do đó (II) sai. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy có ba điểm cực trị. Do đó (III) đúng. Hàm số không có giá trị lớn nhất trên  . Do đó (IV) sai. Vậy có 2 mệnh đề đúng. Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN trên khoảng hoặc nửa khoảng Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( x ) = x + A. m = 2. B. m = 0. 1 trên khoảng (0; +¥). x C. m = 2. Lời giải. D. m = 1. Chọn A Đạo hàm f ‘ ( x ) = 1- 1 x2 2 x+ 1 x = é x = -1 Ï (0; +¥) ¾¾  f ‘ ( x ) = 0  êê . 1 êë x = 1 Î (0; +¥) x+ x x 2 -1 2x 2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số là f (1) = 2 . Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất m A. m = 1. của hàm số f ( x ) = x 2 + B. m = 2. 2 trên khoảng (0; +¥ ). x C. m = 3. Lời giải. D. m = 4. Chọn C 2 ( x – 1) 2 =  f ¢ ( x ) = 0  x = 1 Î (0; +¥). 2 x x2 3 Đạo hàm f ¢ ( x ) = 2 x – Lập bảng biến thiên & dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f ( x ) = f (1) = 3. . (0;+¥) Câu 3: Gọi yCT là giá trị cực tiểu của hàm số f ( x ) = x 2 + đúng? y. . A. yCT > (min 0;+¥) y. . B. yCT = 1 + (min 0;+¥) 2 trên (0;+¥) . Mệnh đề nào sau đây là x y. . C. yCT = (min 0;+¥) y. D. yCT < (min 0;+¥) Lời giải. Chọn C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 35 Đạo hàm f ' ( x ) = 2 x - 2 2x 3 -2 =  f ' ( x ) = 0  x = 1 Î (0; +¥). x2 x2 Qua điểm x = 1 thì hàm số đổi dấu từ ''- '' sang ''+ '' trong khoảng (0;+¥) . Suy ra trên khoảng (0;+¥) hàm số chỉ có một cực trị và là giá trị cực tiểu nên đó cũng y. . chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vậy yCT = (min 0;+¥) Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x ) = x - 1 trên (0;3]. x 8 3 A. M = 3. . 3 8 B. M = . C. M = . . D. m = 0. Lời giải. Chọn B Đạo hàm f ¢ ( x ) = 1 + 1 > 0, “x Î (0;3). x2 Suy ra hàm số f ( x ) đồng biến trên (0;3] nên đạt giá trị lớn nhất tại x = 3 và 8 max f ( x ) = f (3) = . . (0;3] 3 Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Câu 1: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) = -x 2 + 4 x – m có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;3] bằng 10. A. m = 3. . B. m = -6 . C. m = -7 . Lời giải. D. m = -8 . Chọn B Đạo hàm f ‘ ( x ) = -2 x + 4  f ‘ ( x ) = 0  x = 2 Î [-1;3]. ì f (-1) = -5 – m ï ï ï ï f ( x ) = f (2 ) = 4 – m . Ta có í f (2) = 4 – m  max [-1;3] ï ï ï ï î f (3) = 3 – m Theo bài ra: max f ( x ) = 10  4 – m = 10  m = -6 . [-1;3] Câu 2: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = A. 1+ m2 . 2 x -m2 trên đoạn [0;1] bằng x +1 B. -m 2 . C. 1- m 2 . 2 D. m 2 . Lời giải. Chọn C Đạo hàm f ‘ ( x ) = 1+ m2 2 ( x + 1) > 0, “x Î [ 0;1] .  max f ( x ) = f (1) = Suy ra hàm số f ( x ) đồng biến trên [0;1] ¾¾ [0;1] Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = A. m 2 -1 . 2 1- m 2 .. 2 x + m2 trên đoạn [-1;0 ] bằng x -1 B. -m 2 . C. 1- m 2 . 2 D. m 2 . Lời giải. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 36 Chọn B Đạo hàm y ‘ = -1 – m 2 2 ( x -1) < 0, "x Î [-1;0 ] . Suy ra hàm số f ( x ) nghịch biến trên [-1;0 ]  min f ( x ) = f (0 ) = -m 2 . [-1;0 ] Câu 4: Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f ( x ) = -x 3 - 3 x 2 + a có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;1] bằng 0. A. a = 2. . B. a = 6 . C. a = 0 . Lời giải. D. a = 4 . Chọn D é x = 0 Î [-1;1] Đạo hàm f ' ( x ) = -3 x 2 - 6 x  f ' ( x ) = 0  êê . êë x = -2 Ï [-1;1] ì f (-1) = a - 2 ï ï ï ï  min f ( x ) = f (1) = a - 4. Ta có í f (0) = a [-1;1] ï ï ï ï î f (1) = a - 4 Theo bài ra: min f ( x ) = 0  a - 4 = 0  a = 4. . [-1;1] Câu 5: Cho hàm số f ( x ) = x 3 + (m 2 + 1) x + m 2 - 2 với m m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;2 ] bằng 7. A. m = 1 . B. m =  7 . C. m =  2 . Lời giải. D. m = 3 . Chọn D Đạo hàm f ' ( x ) = 3 x 2 + m 2 + 1 > 0, “x Î  . Suy ra hàm số f ( x ) đồng biến trên [0;2 ]  min f ( x ) = f (0 ) = m 2 – 2. [0;2 ] Theo bài ra: min f ( x ) = 7  m 2 – 2 = 7  m = 3. . [0;2 ] Câu 6: Cho hàm số f ( x ) = x -m2 với m là tham số thực. Tìm giá trị lớn nhất của m để hàm số x +8 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng -2. A. m = 4 . B. m = 5 . C. m = -4 . Lời giải. D. m = 1 . Chọn A Đạo hàm y ‘ = 8 + m2 2 ( x + 8) > 0, “x Î [ 0;3] . f ( x ) = f (0 ) = Suy ra hàm số f ( x ) đồng biến trên đoạn [0;3]  min [0;3] f ( x ) = -2  Thao bài ra: min [0;3] Câu 7: Cho hàm số y = m2 . 8 m2 = -2  m = 4  giá trị m lớn nhất là m = 4. . 8 x +m 16 y + max y = (với m là tham số thực) thỏa mãn min . Mệnh đề 1;2 1;2 [ ] [ ] 3 x +1 nào dưới đây là đúng? A. 0 < m £ 2 . B. 2 < m £ 4 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 C. m £ 0 . Lời giải. D. m > 4 . 37 Chọn D Đạo hàm f ¢ ( x ) = 1- m 2 ( x + 1) . Suy ra hàm số f ( x ) là hàm số đơn điệu trên đoạn [1;2 ] với mọi m ¹ 1 . y + max y = f (1) + f (2 ) = Khi đó min [1;2 ] [1;2 ] m + 1 m + 2 16 5m 25 + =  = m =5. 2 3 3 6 6 Vậy m = 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m > 4 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 38 BÀI 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Khái niệm tiệm cận Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C ) . Điểm M Î (C ) , MH là khoảng cách từ M đến đường thẳng d . Đường thẳng d gọi là tiệm cận của đồ thị hàm số nếu khoảng cách MH dần về 0 khi x  +¥ hoặc x  x0 . 2. Định nghĩa tiệm cận đứng (TCĐ), tiệm cận ngang (TCN) a. Tiệm cận ngang Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +¥), (-¥; b) hoặc (-¥; +¥) ). Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f ( x ) = y0 ; x +¥ y lim f ( x ) = y0 x -¥ (C) M y0 H O 1 xM x Chú ý : f ( x ) = lim f ( x ) =  thì ta viết chung là lim f ( x ) = .  Nếu xlim +¥ x -¥ x ¥  Hàm số có TXĐ không phải các dạng sau: (a; +¥), (-¥; b) hoặc (-¥; +¥) thì đồ thị không có tiệm cận ngang. b. Tiệm cận đứng Đường thẳng x = x 0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f ( x ) = +¥; x  x0- lim f ( x ) = +¥; x  x0+ LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 lim f ( x ) = -¥; x  x0- lim f ( x ) = -¥ x  x0+ 39 y (C) H O M x0 xM Chú ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y = x ax + b (c ¹ 0; ad – bc ¹ 0 ) cx + d luôn có tiệm cận ngang là y = a c d c và tiệm cận đứng x = – . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Dựa vào định nghĩa tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Câu 1: f ( x ) = 1 và lim f ( x ) = -1 . Khẳng định nào sau đây là Cho hàm số y = f ( x ) có xlim +¥ x -¥ khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = -1 D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 1 và x = -1 . Lời giải Chọn C Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có: lim f ( x ) = 1 ¾¾  y = 1 là TCN, lim f ( x ) = – 1 ¾¾  y = – 1 là TCN. x +¥ Câu 2: x -¥ f ( x ) = 0 và lim f ( x ) = +¥ . Khẳng định nào sau đây là Cho hàm số y = f ( x ) có xlim +¥ x -¥ khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm sốnằm phía trên trục hoành. C. Đồ thị hàm sốcó một tiệm cận ngang là trục hoành. D. Đồ thị hàm sốcó một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0. Lời giải Chọn C f ( x ) = 0 ¾¾  y = 0 là TCN. Ta có xlim +¥ ìïæ 1 öx ïïç ÷÷ ïïççè 2 ø÷ Đáp án B sai vì chọn hàm y = ïí ïï æ 1 öx ïï-çç ÷÷ ïïî çè 2 ø÷ LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 ; x £ -1 . Vậy ta chỉ có đáp án C đúng. ; x ³1 40 Câu 3: f ( x ) = 0 và lim f ( x ) = +¥ . Khẳng định nào sau đây là Cho hàm số y = f ( x ) có xlim +¥ x  0+ khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng. B. Trục hoành và trục tung là hai tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho. C. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0 . D. Hàm số đã cho có tập xác định là D = (0, +¥) . Lời giải Chọn B Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có: lim f ( x ) = 0 ¾¾  y = 0 là TCN, lim+ f ( x ) = +¥ ¾¾  x = 0 là TCĐ. x +¥ Câu 4: x 0 Cho hàm số y = f ( x ) có xlim f ( x ) = -1 và lim f ( x ) = +¥ . Khẳng định nào sau đây là -¥ x 1+ khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = -1 và tiệm cận đứng x = 1. D. Đồ thị hàm số haitiệm cận ngang là các đường y = -1 và y = 1. Lời giải Chọn C Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có: lim f ( x ) = -1 ¾¾  y = -1 x -¥ Câu 5: là TCN, lim f ( x ) = +¥ ¾¾  x = 1 là TCĐ. x  1+ Cho hàm số y = f ( x ) có xlim f ( x ) = 1 và lim f ( x ) = lim f ( x ) = 10. Khẳng định nào sau ¥ x  2- x  2+ đây là đúng? A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 1 và đường thẳng x = 2 không phải là tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = 2. C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = 10. D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang nhưng có một tiệm cận đứng x = 2. Lời giải Chọn A Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có: lim f ( x ) = 1 ¾¾  y =1 x ¥ là TCN. lim f ( x ) = lim- f ( x ) = 10 ¾¾  x = 0 không phải là TCĐ. x  2+ Câu 6: x 2 Cho hàm số f ( x ) có tập xác định là D = (-3;3) \ {-1;1} , liên tục trên các khoảng của tập D và có LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 41 lim + f ( x ) = -¥; x (-3) lim f ( x ) = +¥; x 1- lim – f ( x ) = -¥; x (-1) lim f ( x ) = +¥; x 1+ lim + f ( x ) = -¥; x (-1) lim f ( x ) = +¥. x  3- Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số có đúng hai TCĐ là các đường thẳng x = -3 và x = 3 . B. Đồ thị hàm số có đúng hai TCĐ là các đường thẳng x = -1 và x = 1 . C. Đồ thị hàm số có đúng bốn TCĐ là các đường thẳng x = 1 và x = 3 . D. Đồ thị hàm số có sáu TCĐ. Lời giải Chọn C Câu 7: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: f ( x ) = 1 và A. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiệm cận ngang y = 1 khi và chỉ khi xlim +¥ lim f ( x ) = 1 x -¥ B. Nếu hàm số y = f ( x ) không xác định tại x 0 thì đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiệm cận đứng x = x 0 C. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiệm cận đứng x = 2 khi và chỉ khi lim f ( x ) = +¥ và x  2+ lim f ( x ) = +¥ . x  2- D. Đồ thị hàm số y = f ( x ) bất kì có nhiều nhất hai đường tiệm cận ngang. Lời giải Chọn D A saivì chỉ cần một trong hai giới hạn xlim f ( x ) = 1 hoặc lim f ( x ) = 1 tồn tại thì đã suy ra x +¥ -¥ được tiệm cận ngang là y = 1 . B sai,ví dụ hàm số y = x 3 – 1 không xác định tại x = -2 nhưng lim f ( x ) và lim f ( x ) – x  (-2 ) không tiến đến vô cùng nên x = -2 + x  (-2 ) không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. C saivì chỉ cần tồn tại một trong bốn giới hạn sau: lim f ( x ) = -¥, lim- f ( x ) = +¥, lim+ f ( x ) = -¥, lim+ f ( x ) = +¥ . x  2- x 2 x2 x2 f ( x ), lim f ( x ) . D đúngvì chỉ có hai giới hạn xlim -¥ x +¥ Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số tìm các đường tiệm cân Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  \ {-1} , có bảng biến thiên như sau: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 42 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y = -1 và tiệm cận ngang x = -2. B. Đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận. C. Đồ thị hàm số có ba tiệm cận. D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang y = -2. Lời giải Chọn D Từ bảng biến thiên, ta có: ì ï lim – f ( x ) = +¥ ï x (-1) ï ï ¾¾  x = -1 í ï lim + f ( x ) = -¥ ï ï x (-1) ï î Câu 2: ì ï lim y = -2 ï là TCĐ. ïíx -¥ ï lim y = -2 ï ï îx +¥ ¾¾  y = -2 là TCN. Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên  \ {-1}, có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận. B. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. C. Đồ thị hàm số có hai TCN y = 2, y = 5 và một TCĐ x = – 1. D. Đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận. Lời giải Chọn C Từ bảng biến thiên, ta có: ì ï lim + f ( x ) = +¥ ï x  (-1) ï ï ¾¾  x = -1 í ï lim – f ( x ) = -¥ ï ï ï î x (-1) lim f ( x ) = 5 ¾¾  y=5 x -¥ Câu 3: là TCĐ. f ( x ) = 2 ¾¾  y = 2 là TCN. là TCN và xlim +¥ Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Kết luận nào sau đây đầy đủ về đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f ( x ) ? LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 43 A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1 . B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1 . C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1 , tiệm cận đứng D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1 , tiệm cận đứng x = – 1. x = – 1. Lời giải Chọn A f ( x ) = 2 ¹ ¥ nên đồ thị hàm số không có TCĐ. Ta có xlim -1  y = 1 là TCN. Ta có xlim f ( x ) = – 1 ¾¾  y = – 1 là TCN; lim f ( x ) = 1 ¾¾ x +¥ -¥ Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên  \ {0} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng. B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. C. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2. D. Hàm số không có cực trị. Lời giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét như sau:  x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. A đúngvì lim f ( x ) = lim f ( x ) = -¥ ¾¾ x  0+ B saivì tại x=0 x  0- hàm số không xác định. C saivì hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 trên khoảng (0;+¥) mà không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (-¥ ;0) . D saivì đạo hàm y ¢ đổi dấu từ ” + ” sang “- ” khi đi qua điểm x = 1 ¾¾  x = 1 là điểm cực đại của hàm số. Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 44 Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -3. B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 3. C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0. D. Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận. Lời giải Chọn D Từ bảng biến thiên, ta có: lim y = 0 ¾¾  y=0 x ¥ là TCN; ïìï lim + y = -¥ ïx  (-3) ¾¾  x = -3 là TCĐ; í ïï lim y = +¥ ïïîx  (-3) ì lim+ y = -¥ ï ï ïí x  3 ¾¾  x =3 ïï lim y = +¥ 3 x  îï là TCĐ. Vậy đồ thị hàm số có tất cả ba đường tiệm cận. Do đó D sai. Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? A. 1. B. 2. C. 3. Lời giải D. 4. Chọn C Từ bảng biến thiên, ta có:  x = -2 là TCĐ; lim y = 0 ¾¾  y = 0 là TCN; lim + y = -¥ ¾¾ x +¥ lim y = +¥ ¾¾  x =0 x  0- x (-2) là TCĐ. Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng ba đường tiệm cận. Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 45 Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? A. 1. B. 2. C. 3. Lời giải D. 4. Chọn B Từ bảng biến thiên, ta có: lim y = +¥ ¾¾  đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang; x +¥ lim + y = +¥ ¾¾  x = -2 là TCĐ; x (-2) lim y = -¥ ¾¾  x =1 x 1+ là TCĐ. Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng hai đường tiệm cận. Dạng 3: Cho hàm số y  f  x  . Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Câu 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = A. (-2;2) . B. (2;1) . C. (-2;-2) . x -2 . x +2 D. (-2;1) . Lời giải Chọn D TXĐ D =  \ {-2}. Dễ thấy đồ thị hàm số có TCĐ: x = -2 và TCN: y = 1 . Suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận là (-2;1) . Câu 2: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. 2. B. 3. x 2 – 3x – 4 . x 2 -16 C. 0. Lời giải D. 1. Chọn D Xét phương trình x 2 -16 = 0  x = 4 . Ta có: ( x + 1)( x – 4 ) x 2 – 3x – 4 x +1 = lim = lim = ¥  x = -4 là TCĐ; 2 x -4 x -4 ( x + 4 )( x – 4 ) x -4 x + 4 x -16 lim y = lim x -4 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 46 ( x + 1)( x – 4 ) x 2 – 3x – 4 x +1 5 = lim = lim =  x = 4 không là TCĐ. 2 x  x  4 4 x +4 8 x -16 ( x + 4 )( x – 4 ) lim y = lim x4 x4 Vậy đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng. Câu 3: Đồ thị hàm số y = x -2 x2 -9 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? A. 1. B. 2. C. 3. Lời giải D. 4. Chọn C TXĐ: D =  \ {3}. Ta có: lim y = lim- x  3- x 3 x -2 x -2 = -¥; lim+ y = lim+ 2 = +¥ ¾¾ x =3 x 3 x 3 x – 9 x2 -9 lim y = lim- x -3- x -3 là TCĐ; x -2 x -2 = +¥; lim+ y = lim+ 2 = -¥ ¾¾  x = -3 x -3 x -3 x – 9 x2 -9 TCĐ; 1 2 1 2 – 2 – 2 x x = 0; lim y = lim x x = 0 ¾¾  y = 0 là TCN. lim y = lim x -¥ x -¥ x +¥ x +¥ 9 9 1- 2 1- 2 x x Vậy đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận. Câu 4: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng? A. y = 1 x B. y = . 1 . x 4 +1 C. y = 1 . x 2 +1 D. y = 1 . x 2 + x +1 Lời giải Chọn A Nhận thấy các đáp án B, C, D hàm số có TXĐ: D =  nên không có TCĐ. Dùng phương pháp loại trừ thì A đúng. (Thật vậy; hàm số y = Câu 5: 1 x ìï x 2 + 1 ïï ï Đồ thị hàm số y = ïí x ïï 2 x ïï ïî x -1 A. 1. có lim y = lim x 0 + khi x ³ 1 x 0 + 1 x = +¥ ¾¾  x = 0 là TCĐ) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? khi x < 1 B. 2. C. 3. Lời giải D. 4. Chọn A Ta có: lim y = lim- x 1- x 1 2x = -¥ ¾¾  x =1 x -1 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 là TCĐ; 47 lim y = lim x -¥ x -¥ lim y = lim x +¥ x +¥ 2x = 2 ¾¾  y=2 x -1 là TCN; x 2 +1 = 1 ¾¾  y = 1 là TCN. x Vậy đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận. Câu 6: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f ( x ) = 3x + 2 . x +1 A. Đồ thị hàm số f ( x ) có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 3 và không có tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số f ( x ) không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1 . C. Đồ thị hàm số f ( x ) có tất cả hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = -3 , y = 3 và không có tiệm cận đứng. D. Đồ thị hàm số f ( x ) không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = -1 , x = 1 . Lời giải Chọn C TXĐ: D =  ¾¾  đồ thị không có tiệm cận đứng. Ta có xlim -¥ Câu 7: 3x + 2 3x + 2 = -3 ¾¾  y = -3 là TCN; lim = 3 ¾¾  y = 3 là TCN. x +¥ x + 1 x +1 Đồ thị hàm số y = x 2 +1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? x - x -2 2 A. 1. B. 2. C. 4. Lời giải D. 3. Chọn D y = lim Ta có xlim ¥ x ¥ x 2 +1 = 1 ¾¾  y = 1 là TCN. x - x -2 2 éx = 2 Xét phương trình x 2 - x - 2 = 0  êê ë x = -2 . ì ï x 2 +1 ï lim+ y = lim+ 2 = +¥ ï ï x 2 x 2 x - x - 2 ï ï ¾¾  x = 2 là TCĐ; í ï x 2 +1 ï ï lim y = lim- 2 = -¥ ï x  2x 2 x - x - 2 ï ï î ìï x 2 +1 ïï lim y = lim = -¥ 2 + ïïx -2+ x -2 x - x - 2 ïí ¾¾  x = -2 là TCĐ. ïï x 2 +1 y = lim- 2 = +¥ ïïïx lim -2x -2 x - x - 2 ïî LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 48 Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận. Câu 8: x +1 Cho hàm số y = x 2 +1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận ngang, không có tiệm cận đứng. D. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Lời giải Chọn C TXĐ: D =  ¾¾  đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Ta có: x +1 lim y = lim x +¥ x +¥ x 2 +1 x +1 lim y = lim x -¥ x -¥ x 2 +1 æ 1ö x çç1 + ÷÷÷ èç xø = lim x +¥ = lim x -¥ x 1+ 1 x2 æ 1ö x çç1 + ÷÷÷ çè xø 1 x 1+ 2 x = lim x +¥ = lim x -¥ æ 1ö x çç1 + ÷÷÷ èç xø x 1+ 1 x2 = 1 ¾¾  y =1 æ 1ö x çç1 + ÷÷÷ çè xø 1 -x 1 + 2 x là TCN; = -1 ¾¾  y = -1 là TCN. Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng hai tiệm cận ngang. Câu 9: Đồ thị hàm số y = x +1 2 4 x + 2 x +1 A. 1 . có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? B. 2 . C. Lời giải 3. D. 4 . Chọn B Ta có 4 x 2 + 2 x + 1 > 0, “x Î  ¾¾  TXĐ của hàm số D =  . Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. x +1 Xét xlim +¥ lim x -¥ 2 4 x + 2 x +1 x +1 2 4 x + 2x +1 =- = 1 1 ¾¾  y = là TCN; 2 2 1 1 ¾¾  y =2 2 là TCN. Vậy đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận. Câu 10: Đồ thị hàm số y = A. 1 . x +1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? x 2 -1 B. 2 . C. 3 . Lời giải D. 0 . Chọn C TXĐ: D = (-1;1) È (1; +¥) . Ta có: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 49 ì ï x +1 1 ï y = lim+ = lim+ = +¥ ï ïï xlim 1+ x 1 ( x + 1)( x – 1) x 1 x 1 + ( x -1) ï í ¾¾ x =1 ï x +1 1 ï ï = lim= -¥ lim y = limï x 1 ( x + 1)( x – 1) x 1 ï x 1x + 1 ( x -1) ï î  lim y = lim + x (-1) x +1 + x (-1) ( x + 1)( x – 1) = lim + x (-1) 1 ( x – 1) x + 1 là TCĐ; = -¥ ¾¾  x = -1 là TCĐ; 1 1 + 4 3 x +1 x x = lim = 0 ¾¾  y = 0 Là TCN. y = lim 2  xlim +¥ x +¥ x – 1 x +¥ 1 1- 2 x Vậy đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận. Dạng 4: Bài toán tìm tham số m liên quan đến đường tiệm cận Câu 1: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm sô y = mx – 1 2x + m có đường tiệm cận đứng đi qua điểm M (-1; 2 ). A. m=2 . B. m=0 1 2 . C. m = . D. m = 2 . 2 Lời giải Chọn A ì mü TXĐ: D =  \ ïí- ïý . ïîï 2 ïïþ Ta ì mx -1 ï ï lim – y = lim = +¥ ï æç m ö÷ æç m ÷ö 2 x + m ï x ç- ÷÷ x ç- ÷÷ ï ç 2ø çè 2 ø è m ï có ïí ¾¾ x =ï mx -1 2 ï = -¥ lim + y = lim + ï ï æ m ÷ö æ m ÷ö 2 x + m ç ç ï x ç- ÷ x ç- ÷÷ ï çè 2 ø ï î çè 2 ÷ø Do đó ycbt  Câu 2: là TCĐ. m = -1  m = 2 . 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2m 2 x – 5 nhận đường x +3 thẳng y = 8 làm tiệm cận ngang. A. m = 2. B. m = – 2. C. m =  2. Lời giải D. m = 0. Chọn C y = lim Ta có xlim ¥ x ¥ 2m 2 x – 5 = 2m 2 ¾¾  y = 2m 2 là TCN. x -3 Do đó ycbt  2m 2 = 8  m = 2 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 50 Câu 3: Biết rằng đồ thị hàm số y = Tính tổng S = m 2 + n 2 – 2. A. S = 2. B. ( m – 2 n – 3) x + 5 x -m -n S = 0. nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm cận. C. Lời giải S = – 1. D. S = – 1. Chọn B Ta có: lim y = lim x ¥ lim x ¥ + x (n + m ) ( m – 2 n – 3) x + 5 x -m -n = m – 2n – 3 ¾¾  y = m – 2n – 3 là TCN; y = +¥ ¾¾  x = m + n là TCĐ. ìïm + n = 0 Từ giả thiết, ta có íï ìïm = 1  ïí ¾¾  S = m 2 + n 2 – 2 = 0. ï ï = = 2 3 0 1 m n n ï î îï LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 51 BÀI 5. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Hàm số y  ax 2  bx  c  a  0  – Tập xác định:  . Trường hợp a0 Bảng biến thiên y ‐b x ‐∞ y +∞ Đồ thị +∞ 2a ‐ +∞ ‐ 4a 4a a0 ‐∞ y +∞ 2a ‐ ‐ y 4a ‐∞ x 2a ‐b x I ‐b O 4a ‐∞ I ‐b O x 2a    b * Kết luận: Đồ thị hàm số y  ax 2  bx  c là 1 parabol có đỉnh I  ;   ; trục đối xứng là  2a 4a  b . đường thẳng x   2a + Bề lõm hướng lên trên nếu a  0 ; bề lõm hướng xuống dưới nếu a  0 . 2. Hàm số y  ax3  bx2  cx  d  a  0 – Tập xác định:  . – Tính y  tính  của phương trình y  0 . Trường a0 hợp 0 Bảng biến thiên x y  0 có 2 x ‐∞ 1 nghiệm phân biệt x1, x2 . yʹ + ‐ 0 a0 Bảng biến thiên x2 0 y x2 x1 ‐∞ ‐ 0 +∞ + 0 +∞ ‐ CĐ CT CT ‐∞ x yʹ + +∞ CĐ y +∞ ‐∞ Đồ thị Đồ thị y y O O x x 0 Bảng biến thiên x ‐∞ +∞ x ‐∞ y +∞ y +∞ ‐∞ LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 Bảng biến thiên +∞ ‐∞ 53 Đồ thị Đồ thị y y O x O x ax  b ( c  0 và ad  bc  0 ) cx  d  d – Tập xác định:  \    c ad  bc – Ta có: y   cx  d 2 3. Hàm số y  d c a – Tiệm cận ngang: y  c – Tiệm cận đứng: x    d a – Đồ thị nhận giao điểm I   ;  của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.  c c ad  bc  0 ad  bc  0 Bảng biến thiên Bảng biến thiên x ‐∞ +∞ ‐d/c yʹ a +∞ y a y Đồ thị +∞ ‐d/c ‐ ‐ +∞ a c ‐∞ c ‐∞ yʹ + + x c a ‐∞ c Đồ thị y y a/c I I a/c O -d/c x O -d/c x B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1 : Cho đồ thị hàm số. Tìm hàm số Câu 1: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 54 y 2 x 1 O -1 -2 A. y = x 3 – 3 x . B. y = -x 3 + 3 x . C. y = – x 4 + 2 x 2 . D. y = x 4 – 2 x 2 . Lời giải Chọn A Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba nên loại C,D. Hình dáng đồ thị thể hiện a>0 nên chỉ có A phù hợp. Câu 2: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y x O A. y = -x 2 + x -1 . B. y = -x 3 + 3x + 1 . C. y = x 4 – x 2 + 1 . D. y = x 3 – 3 x + 1 . Lời giải Chọn D Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba. Loại đáp án A và C. Hình dáng đồ thị thể hiện a>0 . Câu 3: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 2 x -2 -1 O -2 A. y = -x 3 – 3 x 2 – 2 . B. y = x 3 + 3 x 2 – 2 . C. y = x 3 – 3 x 2 – 2 . D. y = -x 3 + 3x 2 – 2 . Lời giải Chọn B Hình dáng đồ thị thể hiện a>0 . Loại đáp án A,D. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 55 ìx = -1 ï Thấy đồ thị cắt trục hoành tại điểm x =-1 nên thay ïí vào hai đáp án B và C, chỉ có ï ï îy = 0 B thỏa mãn. Câu 4: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 2 x -1 O 1 2 2 2 A. y = ( x +1) (1- x ) . B. y = ( x +1) (1 + x ) . 2 2 C. y = ( x +1) (2 – x ) . D. y = ( x +1) (2 + x ) . Lời giải Chọn C Hình dáng đồ thị thể hiện a<0 . Loại đáp án B,D. Để ý thấy khi x =0 thì y = 2 . Do đó chỉ có đáp án C phù hợp. Câu 5: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 2 1 O A. y = -x 3 + 1 . x =2 x 1 B. y = -x 3 + 3 x + 2 . C. y = -x 3 + 3 x 2 - 3 x + 2 . D. y = - x 3 + 2 . Lời giải Chọn D Để ý thấy khi x =0 thì y = 2 nên ta loại đáp án A. Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số không có cực trị nên ta loại đáp án B vì y ' = -3 x 2 + 3 có hai nghiệm. Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (1;1) , kiểm tra thấy C & D đều thỏa mãn. CASIO x = 2. Xét phương trình hoành độ giao điểm: -x 3 +3x 2 -3x +2 = 0 ¾¾¾  x = 3 2 Î (1;2) . Do đó chỉ có D thỏa Xét phương trình hoành độ giao điểm: -x 3 + 2 = 0 ¾¾ mãn. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 56 Câu 6: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 2 1 x -1 O 1 A. y = -x 4 + 2 x 2 + 2 . B. y = x 4 - 2 x 2 + 2 . C. y = x 4 - 4 x 2 + 2 . D. y = x 4 - 2 x 2 + 3 . Lời giải Chọn B Hình dáng đồ thị thể hiện a>0 . Loại đáp án A. Để ý thấy khi x =0 thì y = 2 nên ta loại đáp án D. Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (1;1) nên chỉ có B thỏa mãn. Câu 7: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 1 -1 O x 1 -1 A. y = x 4 – 2 x 2 – 1 . B. y = -2 x 4 + 4 x 2 – 1 . C. y = -x 4 + 2 x 2 -1 . D. y = -x 4 + 2 x 2 +1 . Lời giải Chọn B Hình dáng đồ thị thể hiện a<0 . Loại A. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 1 nên thể hiện c=-1. Loại D. Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (1;1) nên chỉ có B thỏa mãn. Câu 8: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 57 y 3 x 1 -1 O A. y = -x 4 - 2 x 2 + 3 . B. y = -x 4 - 2 x 2 - 3 . C. y = -x 4 + 2 x 2 + 3 . D. y = x 4 + 2 x 2 + 3 . Lời giải Chọn A Hình dáng đồ thị thể hiện a<0 . Loại D. Dựa vào đồ thị thấy khi x =0 thì y = 3 . Loại B. Hàm số có một cực trị nên a, b cùng dấu. Câu 9: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 1 x O A. y = x 4 + x 2 + 2 . B. y = x 4 - x 2 + 2 . C. y = x 4 - x 2 + 1 . D. y = x 4 + x 2 + 1 . Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị ta thấy khi x =0 thì y = 1 . Loại A, B. Hàm số có một cực trị nên a, b cùng dấu. Câu 10: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 1 2 - A. y = x +1 . 2x +1 B. y = x +3 . 2x +1 1 2 O x C. y = x . 2x +1 D. y = x -1 . 2x +1 Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 58 Chọn C Các chi tiết đồ thị hàm số có TCĐ: x =- 1 2 và TCN: y= 1 2 đều giống nhau. Chỉ có chi tiết đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ là phù hợp cho đáp án C. Cách 2. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định tức y ' > 0 . Kiểm tra ta thấy chỉ có C & D thỏa mãn. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O (0;0 ) nên đáp án C thỏa mãn. Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có bảng biến thiên sau: Đồ thị nào trong các phương án A, B, C, D thể hiện hàm số y = f (x ) ? y y A B 4 2 1 -1 O x 2 x -2 -1 O 1 y y C -1 1 D x 2 O -1 -2 -4 x O 1 -2 Lời giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: ● Khi x  +¥ thì y +¥. Loại C và D. ● Tọa độ các điểm cực trị là (- 1; 2 ) và (1; – 2 ) nên đáp án A là phù hợp. Câu 12: Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 59 y 2 x 1 -1 O -2 A. Hàm số có hệ số a<0 . B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-2; -1) và (1;2) . C. Hàm số không có cực trị. D. Hệ số tự do của hàm số khác 0 . Lời giải Chọn B Hình dáng đồ thị thể hiện a>0 . Do đó A sai. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; -1) và (1;+¥ ) . Do đó B đúng. Hàm số có hai cực trị. Do đó C sai. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên hệ số tự do của hàm số phải bằng 0 . Do đó D sai. Câu 13: Cho các dạng đồ thị (I), (II), (III), (IV) như hình dưới đây: y y y y x x x x Liệt kê tất cả các dạng có thể biểu diễn đồ thị hàm số y = x 3 + bx 2 + cx + d . A. (I). B. (I) và (III). C. (II) và (IV). Lời giải D. (III) và (IV). Chọn B Hàm số y = x 3 + bx 2 + cx + d có hệ số của x 3 dương nên loại (II) và (IV). Xét y ‘ = 3x 2 + 2bx + c có D ‘ y ‘ = b 2 – 3c . Ta chưa xác định được D ‘ y ‘ mang dấu gì nên có thể xảy ra trường hợp (I) và cũng có thể xảy ra trường hợp (III). Câu 14: Cho các dạng đồ thị (I), (II), (III) như hình dưới đây: y y y x x x (I) (II) (III) 3 Liệt kê tất cả các dạng có thể biểu diễn đồ thị hàm số y = x + bx 2 – x + d . A. (I). B. (I) và (II). LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 C. (III). D. (I) và (IIII). 60 Lời giải Chọn A Hàm số y = x 3 + bx 2 – x + d có hệ số của x 3 dương nên loại (II). Xét y ‘ = 3x 2 + 2bx -1 có Câu 15: Biết rằng hàm số D ‘ y ‘ = b 2 + 3 > 0, ” b Î  y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a = / 0) y . Do đó hàm số có hai cực trị. có đồ thị là một trong các dạng dưới đây: y y y x x x (I) x (II) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Đồ thị (I) xảy ra khi a<0 và (III) f '(x ) = 0 B. Đồ thị (II) xảy ra khi a>0 và (IV) có hai nghiệm phân biệt. f ‘(x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt. C. Đồ thị (III) xảy ra khi a>0 và f ‘(x ) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. D. Đồ thị (IV) xảy ra khi a>0 và f ‘(x ) = 0 có có nghiệm kép. Lời giải Chọn C Dạng 2: Cho bảng biến thiên. Yeu cầu tìm hàm số Câu 1: Cho hàm số y = f (x ) có bảng biến thiên như sau: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+¥ ) và nghịch biến trên khoảng (-¥; 0 ) . B. Hàm số có ba điểm cực trị. C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng -3 và giá trị nhỏ nhất bằng -4. D. Hàm số có ba giá trị cực trị. Lời giải Chọn B Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét:  Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1; 0 ) , (1;+¥ ) ; nghịch biến trên các khoảng (-¥; -1) , (0;1) . Do đó A sai.  Hàm số có ba điểm cực trị là x =-1, x = 0, x =1. Do đó B đúng.  Hàm số có GTNN bằng -4 và không có GTLN. Do đó C sai.  Hàm số có đúng hai giá trị cực trị là yCD =-3 và yCT =-4 . (nếu nói đồ thị hàm số thì có ba điểm cực trị). Do đó D sai. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 61 Câu 2: Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên như sau? A. y = -x 3 + 3 x 2 + 9 x – 2 . B. 1 2 y = x 3 – x 2 -3x – . 3 3 C. y = x 3 – 3 x 2 – 9 x – 2 . 1 3 2 3 3 2 D. y =- x + x + 3x + . Lời giải Chọn B Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta thấy: Đây là dạng hàm số bậc 3 có hệ số a>0 . Loại A và D. Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm (- 1;1) nên loại C. Câu 3: Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên như sau? A. y = 2 x 3 – 6 x . B. y = -2 x 3 + 6 x – 8. C. y = -2 x 3 + 6 x . D. y = 2 x 3 – 6 x + 8. Lời giải Chọn A Dựa vào dáng điệu của bảng biến thiên suy ra a>0 . Loại B & C. Thử tại x = 1  y = -4 . Thay vào 2 đáp án còn lại chỉ có A thỏa. Câu 4: Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên như sau sau? A. y = -x 3 + 3 x 2 – 3 x + 1 . B. y = x 3 – x 2 + 2 x .` C. y = x 3 – 3 x 2 + 3 x + 2 . D. y = -x 3 + 3 x 2 – 3 x + 2 . Lời giải Chọn D Dựa vào dáng điệu của bảng biến thiên suy ra a<0 . Loại B & C. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 62 Thử tại x = 1  y = 1 . Thay vào 2 đáp án còn lại chỉ có D thỏa. Câu 5: Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên như sau? A. y = x 4 - 2 x 2 + 1 . B. y = -x 4 + 2 x 2 +1 . C. y = x 4 - 2 x 2 + 2 . D. y = -x 4 + 2 x 2 + 2 . Lời giải Chọn D Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta thấy: Đây là dạng hàm số trùng phương có hệ số a<0 . Loại A và Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm (0; 2 ) nên loại B. Câu 6: C. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên như sau? A. y = -x + 2 . x +1 B. y = - x -2 . x +1 C. y = - x -2 . x -1 D. y = -x + 2 . x -1 Lời giải Chọn B Dựa vào bảng biến thiên, ta có các nhận xét sau: ● Hàm số có TCĐ x =-1; TCN y =-1 . Do đo ta loại phương án C & D. ● Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Thử đáp án A, ta có y ' = - 3 2 < 0 ( x + 1) không thỏa mãn. Câu 7: Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên sau? A. y = x -1 . x -1 B. y = -2x . x -1 C. y = 1-2x . x +1 D. y = 2x -1 . x +1 Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 63 Chọn C Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta thấy Đây là dạng hàm phân thức hữu tỉ, có tiệm cận đứng là x =-1. Loại A và Do đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = -2 . B. Dạng 3: Cho bảng biến thiên, đồ thị hàm số . Tìm các tham số thuộc hàm số y  f  x  Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) = ax 4 + bx 2 có bảng biến thiên như hình vẽ sau: Tính giá trị của a và b. A. a = 1 và b = -2. C. 1 a= 2 và B. a = 2 và b = -3. 3 b=- . 2 D. a= 3 2 và 5 b=- . 2 Lời giải Chọn A Đạo hàm f ' ( x ) = 4ax 3 + 2bx = 2 x (2ax 2 + b). ìï f (1) = a + b = -1 ïìa = 1  íï Từ bảng biến thiên ta có íï . ïï f ' (1) = 2 (2a + b) = 0 ïîïb = -2 î Câu 2: Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? y 2 x 1 -1 O A. a > 0, b > 0, c < 0, d > 0 . B. a < 0, b < 0, c < 0, d < 0 . C. a > 0, b < 0, c < 0, d > 0 . D. a > 0, b > 0, c > 0, d < 0 . Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số thể hiện a>0 ; cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d>0 . Hàm số có ïì x CD + x CT > 0 . (* ) – 1 < x CD < 0, x CT > 1 ¾¾  ïí ïïî x CD . x CT < 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 64 ì b ï a>0 ïï- 2b > 0 ¾¾  < 0 ¾¾ ¾ b < 0 ï 3 a a 2 ï . Ta có y ¢ = 3ax + 2bx + c = 0. Do đó (*) « í ï c a>0 ïï c < 0 ¾¾  < 0 ¾¾ ¾ c < 0 ï a ï 3a î Vậy a > 0, b < 0, c < 0, d > 0. Câu 3: Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? y x -1 1 O A. a < 0, b > 0, c > 0, d > 0. C. a < 0, b < 0, c > 0, d > 0. B. a < 0, b < 0, c < 0, d > 0. D. a < 0, b > 0, c < 0, d > 0. Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số thể hiện a<0 ; cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d>0 . Hàm số có ïì x CD + x CT > 0 x CD > 1, – 1 < x CT < 0 ¾¾  ïí ïïî x CD . x CT < 0 . (* ) ì b ï a<0 ïï- 2b > 0 ¾¾  < 0 ¾¾ ¾ b > 0 ï 3a a 2 ï . Ta có y ¢ = 3ax + 2bx + c = 0. Do đó (*) « í ï c a<0 ïï c < 0 ¾¾  < 0 ¾¾¾ c > 0 ï a ï 3a î Vậy a < 0, b > 0, c > 0, d > 0. Câu 4: Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? y x O A. a > 0, b > 0, c < 0. C. a > 0, b < 0, c > 0. B. a > 0, b < 0, c < 0. D. a < 0, b > 0, c < 0. Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số thể hiện a > 0. a>0 ¾ b < 0. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên ab < 0 ¾¾ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c>0. Vậy a > 0, b < 0, c > 0. Câu 5: Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 65 y x O A. a < 0, b > 0, c > 0. C. a < 0, b < 0, c > 0. B. a < 0, b > 0, c < 0. D. a < 0, b < 0, c < 0. Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số thể hiện a < 0. b > 0. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên ab < 0 ¾¾ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c<0. Vậy a <0, b > 0, c <0 . Câu 6: Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a ¹ 0 ) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? y x O A. a > 0, b ³ 0, c < 0. C. a > 0, b ³ 0, c > 0. B. a > 0, b < 0, c £ 0. D. a < 0, b < 0, c < 0. Lời giải Chọn A Dựa vào dáng điệu đồ thị suy ra a>0 . a>0 ¾  b ³ 0. Hàm số có 1 điểm cực trị nên ab ³ 0 ¾¾ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c<0. Vậy a > 0, b ³ 0, c < 0. Câu 7: Hàm số y = ax + b với a>0 có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? cx + d y O x A. b > 0, c > 0, d < 0. B. b > 0, c < 0, d < 0. C. b < 0, c < 0, d < 0. D. b < 0, c > 0, d < 0. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 66 Lời giải Chọn A Từ đồ thị hàm số, ta thấy b a a>0  x =- < 0 ¾¾ ¾ b > 0. ● Khi y = 0 ¾¾ b d b>0  y = < 0 ¾¾ ¾ d < 0 . ● Khi x = 0 ¾¾ d c d <0 c > 0. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =- > 0 ¾¾¾ Vậy b > 0, c > 0, d < 0. Câu 8: Hàm số y = bx -c (a ¹ 0; a, b, c Î  ) có đồ thị như hình vẽ bên.Mệnh đề nào sau đây là x -a đúng? y O A. a > 0, b > 0, c -ab < 0. C. a > 0, b > 0, c -ab = 0. x B. a > 0, b > 0, c -ab > 0. D. a > 0, b < 0, c -ab < 0. Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =a>0 ; tiệm cận ngang y = b > 0. Mặt khác, ta thấy dạng đồ thị là đường cong đi xuống từ trái sang phải trên các khoảng xác định của nó nên y ¢ = c – ab2 < 0, "x ¹ a ¾¾  c - ab < 0. ( x - a) Vậy a > 0, b > 0, c -ab < 0. Câu 9: Đường cong ở hình bên là đồ thị hàm số y = ax + b với a, b, c, d là các số thực. Mệnh đề cx + d nào sau đây là đúng? y 1 O A. y ¢ < 0, "x ¹ 1. 2 B. y ¢ < 0, "x ¹ 2. x C. y ¢ > 0, “x ¹ 1. D. y ¢ > 0, “x ¹ 2. Lời giải Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 67 Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số y = ax + b nghịch biến trên mỗi khoảng xác định và cx + d đường thẳng x =2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số suy ra y ¢ < 0, "x ¹ 2 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 68 BÀI 6. TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ VÀ TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. TƯƠNG GIAO Xét hai đồ thị (C ) : y = f ( x ) và ( D ) : y = g ( x ) . Phương trình hoành độ giao điểm giữa (C ) và ( D ) là: f ( x ) = g ( x ) . (1 ) Số điểm chung giữa (C ) và ( D ) đúng bằng số nghiệm của phương trình (1 ) . ì ï ï f ( x ) = g( x ) . (C ) và ( D ) được gọi là tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm í ï ï î f '( x ) = g '( x ) II. TIẾP TUYẾN  C  , Giả sử  C  là đồ thị của hàm số y  f  x  và Trên mặt phẳng tọa độ Oxỵ cho đường cong M  x0 ; f  x0   (C ). M  x; f  x    C  . Đường thẳng MM 0 là Kí hiệu là một điểm di chuyển trên C . một cát tuyến của x  x0 thì M  x; f  x   di chuyển trên  C  tới điểm M  x0 ; f  x0   (C ) và MM 0 MT MT ngược lại. Giả sử cát tuyến ó vị trí giới hạn, kí hiệu là 0 thì 0 được gọi là tiếp tuyến Nhận xét rằng khi của  C  tại M0 . Điểm M 0 được gọi là tiếp điểm. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tương giao của hai đồ thị Câu 1: Biết rằng đường thẳng y = -2 x + 2 cắt đồ thị hàm số y = x 3 + x + 2 tại điểm duy nhất có tọa độ ( x 0 ; y 0 ) . Tìm y 0 . A. y0 = 4 . B. y0 = 0 . C. y0 = 2 . D. y0 =-1 . Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm: -2x +2 = x 3 + x +2 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 68  x 3 + 3 x = 0  x = 0 ¾¾ y=2. Câu 2: Cho hàm số y = ( x - 2)( x 2 +1) có đồ thị (C ). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. (C ) không cắt trục hoành. B. (C ) cắt trục hoành tại một điểm. C. (C ) cắt trục hoành tại hai điểm. D. (C ) cắt trục hoành tại ba điểm. Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) với trục hoành: ( x - 2)( x 2 +1) = 0  x - 2 = 0  x = 2. Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm. Câu 3: Biết rằng đồ thị hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 2 x -1 cắt đồ thị hàm số y = x 2 - 3 x + 1 tại hai điểm phân biệt A và B . Tính độ dài đoạn thẳng AB. A. AB=3. B. AB = 2 2. C. AB=2. D. AB=1. Lời giải Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 -3x 2 +2x -1 = x 2 -3x +1 é x = 1  y = -1 2  x 3 - 4 x 2 + 5 x - 2 = 0  ( x - 1) ( x - 2 ) = 0  ê . ê x = 2  y = -1 ë Suy ra Câu 4: A (1; - 1), B (2; - 1) ¾¾  A B = 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = ( x -1)( x 2 + mx + m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. æ 1ö æ 1 ö A. m Î ( 4; +¥ ). B. m Î ççç-¥;- ÷÷÷ È ççç- ;0÷÷÷. è 2ø è 2 ø C. m Î (0; 4 ). æ 1ö æ 1 ö D. m Î ççç-¥;- ÷÷÷ È ççç- ;0÷÷÷ È (4; +¥). è ø è ø 2 2 Lời giải Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm: éx = 1 ( x - 1)( x 2 + m x + m ) = 0  êê . 2 êë x + m x + m = 0 (1) ì ï12 + m.1 + m ¹ 0 Ycbt  Phương trình (1 ) có hai nghiệm phân biệt khác 1  ïí ï 2 ïD = m - 4m > 0 î ìï ém > 4 ïïm ¹ – 1 ê ìï2 m + 1 ¹ 0 êì ïï 2 1 ï ï í í  êïïm ¹ ém > 4 êí ïïm (m – 4 ) > 0 ï 2 ï î êï ïïêê êï îïë m < 0 ëîïm < 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 . 69 Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 - 3 x 2 cắt đường thẳng y = m tại ba điểm phân biệt. A. m Î (- 4;0 ). B. m Î (0; +¥ ). C. D. m Î (-¥ ; - 4 ). m Î (-¥ ; - 4 ) È (0; +¥ ). Lời giải Chọn A é x = 0 ¾¾  yCD = 0  y ' = 0  êê Xét hàm bậc ba y = x 3 - 3 x 2 , có y ' = 3 x 2 - 6 x ¾¾  yCT = -4 êë x = 2 ¾¾ . Dựa vào dáng điệu của đồ thị hàm bậc ba, ta có ycbt  yCT < m < yCD  -4 < m < 0. Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 3 -3x 2 +3m -1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1. A. 1 < m < 5 . B. 1 < m < 5 . C. 2 < m < 7 . D. - 2 < m < 4 . 3 3 3 3 3 Lời giải Chọn B Phương trình  x 3 -3x 2 = 1-3m . Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 3 - 3 x 2 , ta được y 1 O 2 x 3 -2 y = 1 - 3m -4 Dựa vào đồ thị, ta có ycbt  - 4 < 1 - 3m < - 2  1 < m < 5 3 . Chú ý: Sai lầm hay gặp là cho -4 <1-3m <0 . Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2x 3 -3x 2 = 2m +1 có đúng hai nghiệm phân biệt: A. m = - 1 , m =-1. B. m = - 1 , m = - 5 . C. m = 1 , m = 5 . D. m=1, m = - 5 . 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Xét hàm số f (x ) = 2 x 3 - 3 x 2 , có LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 70 é x = 0 ¾¾  yCD = 0 f ' ( x ) = 6 x 2 - 6 x ¾¾ .  f ' ( x ) = 0  êê  yCT = -1 êë x = 1 ¾¾ Dựa vào dạng đặc trưng của đồ thị hàm bậc ba, phương trình đã cho có đúng hai nghiệm é é é 1 2 m + 1 = y CD 2m + 1 = 0 êm = phân biệt khi êê ê ê 2. ê ê 2 m 1 y 2 m 1 1 + = + = CT ë ë êë m = -1 Dạng 2: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên biện luận số nghiệm của phương trình Câu 1: Cho hàm số y = f (x ) thực của tham số m xác định trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị để phương trình f ( x ) + m - 2018 = 0 có duy nhất một nghiệm. y 3 x 1 -1 O -1 A. m = 2015, m = 2019. C. m < 2015, m > 2019. Chọn C Phương trình B. 2015 < m < 2019. D. m £ 2015, m ³ 2019. Lời giải f ( x ) + m - 2018 = 0 ¬¾  f ( x ) = 2018 - m . điểm của đồ thị hàm số y = f (x ) Đây là phương trình hoành độ giao và đường thẳng y = 2018 - m (có phương song song hoặc trùng với trục hoành). é 2018 - m > 3 é m < 2015 Dựa vào đồ thị, ta có ycbt  êê ê . ê ë 2018 - m < -1 ë m > 2019 Câu 2: Cho hàm số y = -x 4 + 2 x 2 có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình -x 4 +2x 2 = m có bốn nghiệm phân biệt. 2 y 1 -1 A. 0 £ m £1. B. 0 < m <1. O y =m 1 x C. m<1. Lời giải D. m>0. Chọn B Phương trình -x 4 +2x 2 = m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = -x 4 + 2 x 2 và đường thẳng y = m (cùng phương với trục hoành). Dựa vào đồ thị ta thấy để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt 0 -1. B. m > 0, m =-1. D. m =-2, m ³-1. Lời giải Chọn C Phương trình f ( x ) – 1 = m ¬¾  f (x ) = m + 1 . đồ thị hàm số y = f (x ) Đây là phương trình hoành độ giao điểm của và đường thẳng y = m + 1 (cùng phương với trục hoành). LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 72 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm khi và chỉ é é m +1 > 0 m > -1 khi êê ê . ê m = -2 + = m 1 1 ë ë Câu 2: Cho hàm số y = f (x ) xác định trên  \ {1} và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như sau: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = f (x ) cắt đường thẳng y = 2m -1 tại hai điểm phân biệt. A. 1£ m < 3 . 2 B. 1 1. Lời giải Chọn D Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng y = 2m + 1 cắt đồ thị hàm số é y = f (x ) tại é 2m + 1 > 3 m >1 hai điểm phân biệt khi và chỉ khi êê ê . ê ë 2 m + 1 < -3 ëm < - 2 Nếu yêu cầu bài toán có duy nhất một nghiệm thực -3 £ 2m +1 £ 3. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 74 Câu 6: Giả sử tồn tại hàm số y = f (x ) xác định trên  \ { 1} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình B. -2 < m < 0 , m=1. A. -2 £ m £ 0. f (x ) = m có bốn nghiệm. C. -2 < m £ 0. D. -2 < m < 0. Lời giải Chọn C Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f (x ) = m có bốn nghiệm khi và chỉ khi -2 < m £ 0. Nhận xét. Học sinh rất dễ sai lầm vì cho rằng -2 < m < 0. Nếu bài toán yêu cầu có hai ém > 1 ém = 1 nghiệm  êê , có ba nghiệm  êê , có năm nghiệm 0 < m <1. ëm < - 2 ë m = -2 Câu 7: Cho hàm số y = f (x ) xác định trên  \ {2 } , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f (x )+ m = 0 có nhiều nghiệm thực nhất. A. m Î (-¥ ; - 1] È [15; +¥ ). B. m Î (-¥; - 15 ) È (1; +¥ ). C. m Î (-¥; - 1) È (15; +¥ ). D. m Î (-¥ ; - 15 ] È [1; +¥ ). Lời giải Chọn C Phương trình f ( x ) + m = 0 ¬¾  f ( x ) = -m . đồ thị hàm số y = f (x ) Đây là phương trình hoành độ giao điểm của và đường thẳng y = -m (cùng phương với trục hoành). Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình đã cho có nhiều nghiệm thực nhất khi é é m < -1 ê . ê m > 15 ë-m < - 15 ë -m > 1 và chỉ khi êê LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 75 Câu 8: Cho hàm số y = f (x ) xác định trên  \ {- 1} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào dưới đây là sai? A. Phương trình é m £ -1 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi êê . f (x ) = m ë3 < m < 4 B. Hàm số đạt cực đại tại x=1. C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;1). D. Đồ thị hàm số y = f (x ) có ba đường tiệm cận. Lời giải Chọn C Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; -1) và (- 1;1) . Vì vậy khẳng đinh C là sai. Dạng 4: Phương trình tiếp tuyến tại điểm Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng K và có đồ thị là đường cong  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M  a; f  a   ,  a  K  . A. y  f   a  x  a   f  a  . B. y  f   a  x  a   f  a  . C. y  f  a  x  a   f   a  . D. y  f   a  x  a   f  a  . Lời giải Chọn A Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M  a; f  a   có dạng y  f  a   f   a  x  a   y  f   a  x  a   f  a  . Câu 2: 3 hàm số y   x  3x  2 có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  tại giao điểm của  C  với trục tung. A. y  3x  2 . B. y  3 x  2 . C. y  2 x  1 . D. y  2 x  1 . Lời giải Chọn B Ta có:  C   Oy  A  0; 2  ; y  0   3 . Tiếp tuyến tại A  0; 2  có dạng: y  3  x  0   2  3x  2 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 76 Câu 3: Gọi M là giao điểm của trục tung với đồ thị hàm số  C  : y  x 2  x  1 . Tiếp tuyến của  C  tại A. y  M có phương trình là 1 x 1 . 2 1 B. y   x  1 . 2 Lời giải C. y   x  1 . D. y  x  1 . Chọn A Ta có y  2x 1 2 x2  x  1 . 1    y 0  2  y0  1 x0  0   Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M  0;1 có dạng y 1 1  x  0  1  y  x  1. 2 2 Dạng 5 : Tiếp tuyến có hệ số góc Câu 1: Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  2 tại điểm A  1; 1 vuông góc với đường thẳng x  2 y  3  0 . Tính a 2  b 2 . A. a 2  b 2  10 . B. a 2  b 2  13 . C. a 2  b2  2 . Lời giải D. a 2  b2  5 . Chọn D Ta có y  4ax 3  2bx  2 x  2ax 2  b  . Đường thẳng x  2 y  3  0 có hệ số góc k  1 . 2 Suy ra f   1  2   2  2a  b   2  2a  b  1 . A  1; 1 thuộc đồ thị hàm số nên a  b  2  1  a  b  1  2a  b  1 a  2 Ta có hệ phương trình:    a 2  b 2  5 . a  b  1 b   3 Câu 2: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  6 x  5 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất có phương trình là A. y  3 x  9 . B. y  3x  3 . C. y  3 x  12 . D. y  3 x  6 . Lời giải Chọn D Ta có: y   3 x 2  6 x  6  3  x  1  3  3 . Dấu "  " xảy ra khi x  1  y  9 . 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 77 Do đó, tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc nhỏ nhất bằng 3 và là tiếp tuyến tại điểm M 1;9 . Phương trình tiếp tuyến là: y  3  x  1  9  y  3 x  6 . Câu 3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  2 x 2  3x  1 song song với đường thẳng y  3 x  1 3 có phương trình là 29 A. y  3 x  . 3 29 C. y  3 x  . 3 B. y  3 x  29 , y  3x  1 . 3 D. y  3 x  1 . Hướng dẫn giải Chọn A Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  3 x  1 nên có hệ số góc k  3 . x  0 2 Ta có y  x  4x  3 nên có phương trình x 2  4 x  3  3   . x  4 + Với x  0  y  1  A  0;1 nên phương trình tiếp tuyến là y  3 x  1 (loại). + Với x  4  y  7 29  7  B  4;  nên có phương trình tiếp tuyến là y  3 x  (thỏa 3 3  3 mãn). Câu 4: 2 x3  x2  4 x  2 , gọi đồ thị của hàm số là  C  . Viết phương trình tiếp Cho hàm số y   3 tuyến của  C  có hệ số góc lớn nhất. A. y  9 25 . x 2 12 B. y  5 x  25 . 12 C. y  9 25 . x 4 12 D. y  7 5 x . 2 12 Lời giải Chọn D Gọi  d  là tiếp tuyến cần tìm phương trình và x0 là hoành độ tiếp điểm của  d  với  C  thì hệ số góc của  d  : k  y '( x0 )  2 x02  2 x0  4  Vậy max k  2 9  1 9 9 1   x0    ; k   x0  . 2  2 2 2 2 9 1 đạt được khi và chỉ khi x0  . 2 2 9 1 25 1 9 Suy ra phương trình tiếp tuyến  d  : y   x    y    x  . 2 2 12 2 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 78 Câu 5: x2 Gọi  C  là đồ thị của hàm số y  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  vuông góc 2 x 4 x 1. 3 3 7 3 1 A.  d  : y   x  , y   x  . 4 2 4 2 3 9 3 1 C.  d  : y  x  , y  x  . 4 2 4 2 với đường thẳng y  3 3 B.  d  : y   x, y   x  1 . 4 4 3 9 3 1 D.  d  : y   x  , y   x  . 4 2 4 2 Lời giải Chọn D Tiếp tuyến  d  của  C  vuông góc đường thẳng y  4 x  1 suy ra phương trình  d  có 3 3 dạng: y   x  m . 4  x02 3   x0  m  2 x 4 có nghiệm x0  d  tiếp xúc  C  tại điểm có hoành độ x0 khi hệ  2 0   x0  4 x0   3  (2  x0 ) 2 4  Câu 6:  x02  4 x0 3 3 9 3 1    x0  6  x0  2   d  : y   x  , y   x  . 2 (2  x0 ) 4 4 2 4 2 3 2 Gọi  Cm  là đồ thị của hàm số y  2x  3(m  1) x  mx  m  1 và  d  là tiếp tuyến của  Cm  tại điểm có hoành độ x  1 . Tìm m để  d  đi qua điểm A  0;8 . A. m  0 . B. m  1 . C. m  2 . Lời giải D. m  3 . Chọn A 2 Ta có y  6x  6(m  1) x  m , suy ra phương trình tiếp tuyến  d  là: y  y '(1)( x  1)  y (1)  12  7m  x  1  3m  4  y  12  7m  x  4m  8 . A(0;8)  ( d )  8  4m  8  m  0 . Câu 7: x2  x  1 có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp x 1 tuyến song song với đường thẳng  : 3 x  4 y  1  0 . Cho hàm số y  3 3 3 x  ; y  x 1. 4 4 4 3 3 C. y  x  9 ; y  x  7 . 4 4 A. y  3 3 5 x 3; y  x  . 4 4 4 3 3 3 5 D. y  x  ; y  x  . 4 4 4 4 Lời giải B. y  Chọn D LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 79 Ta có y  d:y x2  2x . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với  C  ( x  1)2 x02  2 x0 x02  x0  1 ( x  x )  0 ( x0  1) 2 x0  1 Vì d song song với đường thẳng  : y  3 1 x  , nên ta có: 4 4 x02  2 x0 3   x02  2 x0  3  0  x0  1, x0  3 . 2 ( x0  1) 4 Câu 8:  x0  1 phương trình tiếp tuyến: y  3 3 x . 4 4  x0  3  phương trình tiếp tuyến: y  3 5 x . 4 4 4 2 Phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  3x  1 tại các điểm có tung độ bằng 5 là A. y  20 x  35 . B. y  20 x  35 và y  20 x  35 . C. y  20 x  35 và y  20 x  35 . D. y  20 x  35 . Lời giải Chọn C  f   2   20 Ta có y  5  x 4  3 x 2  4  0  x  2   .  f   2   20 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là  y  20  x  2   5  20 x  35 ,  y  20  x  2   5  20 x  35 . Câu 9: Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số y  số góc bằng 2018 ? A. 1. B. 0 . 2x 1 thỏa mãn tiếp tuyến với đồ thị có hệ x 1 C. Vô số. Lời giải D. 2 . Chọn B Tập xác định D   \ 1 . y  1  x  12  0, x  1 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 80 Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm x0 trên đồ thị bằng y  x0   2018  1  x  12  2018 vô nghiệm. Vậy không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số có hệ số góc bằng 2018 . Dạng 6 : Phương trình tiếp tuyến đi qua Câu 1: 2 x3  x2  4 x  2 , gọi đồ thị của hàm số là  C  . Viết phương trình tiếp 3 tuyến của  C  đi qua điểm A  2; 2  . Cho hàm số y   3 1 A. y   x  . 4 2 3 1 3 7 B. y   x  . C. y   x  . 4 2 4 2 Lời giải 3 5 D. y   x  . 4 2 Chọn A Phương trình tiếp tuyến  d  của  C  đi qua A  2; 2  có dạng: y  k  x  2   2 .  x02  k ( x0  2)  2 (1)   2  x0  d  tiếp xúc  C  tại điểm có hoành độ x0 khi hệ  2 có nghiệm   x0  4 x0  k  (2  x0 ) 2 x0 .  x02  x 2  4 x0 3 1  0 ( x0  2)  2  x0  2  y   x  . 2  x0 (2  x0 ) 2 4 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 81 BÀI 1. LŨY THỪA A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. Khái niện lũy thừa 1. Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n là một số nguyên dương, a là một số thực tùy ý. Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a . a n = a. a...a ; a1 = a n thöøa soá a Trong biểu thức a , a được gọi là cơ số, số nguyên n là số mũ Với a ¹ 0 , n = 0 hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của số a là số an xác định bởi: n a 0 = 1; a-n = 1 an . Chú ý: Kí hiệu 0 0 , 0 n ( n nguyên âm) không có nghĩa. Với a ¹ 0 và n nguyên, ta có a n = 1 a- n 2. Phương trình x n  b a) Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất b) Trường hợp n chẵn  Với b  0 , phương trình vô nghiệm  Với b  0 , phương trình có một nghiệm x  0  Với b  0 , phương trình có hai nghiệm đối nhau 3. Căn bậc n a)Khái niệm: Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho bn = a . Ta thừa nhận hai khẳng định sau: Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Căn đó được kí hiệu là n a Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau là n a ( còn gọi là căn bậc số học của a ) và -n a . b) Tính chất căn bậc n: Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có: a na = n (b > 0) ; b b n ab = n a. n b ; n a p = ( n a ) (a > 0) ; p Nếu n n p q = thì n m n m n a = mn a a p = m a q (a > 0) ; Đặc biệt n a = mn a m a,  n le  an    a ,  n chan  4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Cho số thực a dương và r là một số hữu tỉ. Giả sử r = m n , trong đó m là một số nguyên, còn n là m một số nguyên dương. Khi đó, lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi ar = a n = n a m . 4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: ( SGK) II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 83 Cho a, b là những số dương;  ,    a  a   ;  b a .a   a   ;  a a    b b  a   a ;  Nếu a  1 thì a  a      Nếu a  1 thì a  a      B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Tính, rút gọn và biến đổi biểu thức Câu 1: Cho a, b là các số thực dương thỏa a 2b  5 . Tính. K  2a 6b  4 . A. K  226 . B. K  202 . C. K  246 . Lời giải Chọn C D. K  242 . K  2a 6b  4  2  a 2b   4  250  4  246 . 3 Câu 2: Cho biểu thức P  4 x5 , với x  0 . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? 4 A. P  x 5 . B. P  x9 . C. P  x 20 . Lời giải 5 D. P  x 4 . Chọn D 5 Ta có P  4 x5  x 4 . 1 Câu 3: Rút gọn biểu thức P = x 3 . 6 x với x > 0 . A. P  x 2 . 1 B. P  x . C. P  x 8 . Lời giải 2 D. P  x 9 . Chọn B 1 1 1 1 1  6 Ta có P  x 3 . 6 x  x 3 .x 6  x 3 Câu 4: 1  x2  x Cho a là một số dương, biểu thức a 5 6 . 2 3 a 7 6 A. a . viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là? 4 B. a . 6 C. a 3 . Lời giải D. a 7 . Chọn B 2 2 1 2 1  2 Với a  0 , ta có a 3 a  a 3 .a 2  a 3 Câu 5: 7  a6 . Viết biểu thức P  3 x. 4 x ( x  0 ) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ. 5 5 A. P  x 4 . B. P  x12 . 1 C. P  x 7 . Lời giải 1 D. P  x12 . Chọn B 1 1 5  1 3  5 3 Ta có P   x.x 4    x 4   x12 .     Câu 6: Biểu thức Q  x . 3 x . 6 x 5 với  x  0  viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là 2 A. Q  x 3 . 5 B. Q  x 3 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 5 C. Q  x 2 . 7 D. Q  x 3 . 84 Lời giải Chọn B 1 1 5 5 Ta có Q  x 2 .x 3 .x 6  x 3 . Câu 7: Cho biểu thức P  a 7 1 .a 2  a  2 2 A. P  a5 . 7 2 2 với a  0 . Rút gọn biểu thức P được kết quả B. P  a 4 . C. P  a 3 . Lời giải D. P  a . Chọn A Ta có P  a 7 1 .a 2  a  7 2 2 2 2 a3  a5 . a 2  5 Câu 8: Viết biểu thức P  a2 a 2 3 a4 6 ,  a  0  dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. a5 A. P  a . B. P  a5 . C. P  a 4 . Lời giải D. P  a 2 . Chọn B 5 Ta có P  Câu 9: a2 a 2 3 a4 6 a5 4 5  a2 a 2 a 3 a a 5 6 5 4 5 2   2 3 6  a5 . 4 4 m Cho x  0 , y  0 . Viết biểu thức x 5 . 6 x5 x về dạng x và biểu thức y 5 : 6 y 5 y về dạng yn . Tính m  n . A. 11 . 6 8 5 B.  . C.  11 . 6 D. 8 . 5 Lời giải Chọn A Với x  0 , y  0 , ta có 4 5 6 x . x 4 5 1 4 5 4 5 1 1 6 1     4 5 1 x  x .  x5 .x 2   x 5 .x 6 .x12  x 5 6 12  m    . 5 6 12   4 5 5 4 y : y 6 5 4 5 1   6 12 y5 y  5 6 y .y Do đó m  n  1 12  y5 n 4 5 1   . 5 6 12 11 . 6 Câu 10: Cho số thực dương a  0 và khác 1 . Hãy rút gọn biểu thức A. P  1  a . B. P  1 . C. P  a . Lời giải 1 5  1  a3  a2  a2   P 1  7 19   a 4  a 12  a 12    . D. P  1  a . Chọn A LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 85 Ta có: 1 5  1  1 1 5 a3  a2  a 2  a 3  a 2 1  a 2  a 6 1  a    P 1  1 7   1 a . 5 19  127  4 12 6 4 12 a a  a  a  a  a 1  a    23 Câu 11: Cho biểu thức P  x 3 x 2 k x3  x  0  . Xác định k sao cho biểu thức P  x 24 . A. k  2 . k. B. k  6 . C. k  4 . D. Không tồn tại Lời giải Chọn C 3 Ta có: P  x 3 x 2 k x3  x x 2 3 k Yêu cầu bài toán xảy ra khi : 1  x 2k 3 k 5k 3 6k . 5k  3 23   k 4. 6k 24 1  1  Câu 12: Cho x  0 , y  0, x  y và K   x 2  y 2    A. K  2 x . x B. K  x  1 . 2 1  y y   . Xác định mệnh đề đúng. 1  2 x x  C. K  x  1 . Lời giải D. K  x . Chọn D Ta có: 1  1  K   x2  y2    2 1 1 1 1 2 2   12   x  y2 y y 2   x  y    1  2 1 x x     x2   11 Câu 13: Rút gọn biểu thức A  3      2 x. m a 7 .a 3 với a  0 ta được kết quả A  a n , trong đó m , n   * và a 4 . 7 a 5 m là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng? n A. m2  n2  312 . B. m2  n 2  312 . C. m2  n 2  543 . Lời giải Chọn B 11 Ta có: A  3 a 7 .a 3 a 4 . 7 a 5 7  Suy ra m  19 , n  7 11 a 3 .a 3 4 a .a 5  7 19 a7 D. m2  n2  409 . .  m 2  n 2  312 . 7 Câu 14: Rút gọn biểu thức A  3 a 5 .a 3 a 4 . 7 a 2 m với a  0 ta được kết quả A  a n , trong đó m , n  * và m là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng? n A. m2  n2  25 . B. m2  n 2  43 . C. 3m2  2n  2 . D. 2m2  n  15 . Lời giải Chọn D LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 86 7 Ta có: A  3 a 5 .a 3 a 4 . 7 a 2 5  7 a 3 .a 3 a 4 .a 2 7 5 7 2  4 3 7  a3 2 m  2  2m2  n  15 .  a7    n 7  Dạng 2: So sánh đẳng thức và bất đẳng thức đơn giản Câu 1: Cho số thực a  1 và các số thực  ,  . Kết luận nào sau đây đúng? A. a  1,    . B. a  a      . C. 1  0,    . a D. a  1,    . Lời giải Chọn B Câu 2: Cho a  0 , b  0 và x , y là các số thực bất kỳ. Đẳng thức nào sau đúng? A.  a  b  x  a x  b x . x a B.    a x .b  x . b   C. a x  y  a x  a y . D. a x b y   ab  xy . Lời giải Chọn B x ax a Ta có    x  a x .b x . b b Câu 3: Cho các số thực a, b, m, n với  a, b  0 . Tìm mệnh đề sai? m a B.    a m .b m . b A. a 2  a .   C.  a m   a m  n . n D.  ab m  a m .b m . Lời giải Chọn C Câu 4: Cho các số dương a  1 và các số thực  ,  . Đẳng thức nào sau đây là sai? A. a .a   a   . B. a .a   a . C. a  a   . a D.  a   a .  Lời giải Câu 5: Chọn B Cho các số thực a , m , n và a dương. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a m n  a m  n . B. a m  n  am . an C. a m  n  a m  a n . D. a m  n  am . n Lời giải Chọn B Ta có: a m  n  Câu 6: am . an Cho a, b là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai? A.  xy n  x n . y n . B. x m .x n  x m  n . C.  x m   x m.n . n D. x m . y n   xy m  n . Lời giải Chọn D Ta có  xy m  n  x m  n . y m  n . Câu 7: Cho a, b là các số thực dương, m, n là các số thực tùy ý. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 87 A. a m .bm   ab  . 2m C. a m .b n   ab  . mn B. a m .a n  a mn . m b D. a  m bm    . a   Lời giải: Chọn D Câu 8: Mệnh đề nào dưới đây đúng? 5 7 6 3 3 A.      . 4 4 6 6 7 4 4 3 3 B.      . C.      . 2 2 3 3 Lời giải 6 5 2 2 D.      . 3 3 Chọn D Câu 9: Cho  a   2 1 b  2  1 . Kết luận nào sau đây đúng? A. a  b . B. a  b . C. a  b . Lời giải D. a  b . Chọn B Câu 10: Cho x   0;  và m , n là các số thực tùy ý. Khẳng định nào sau đây sai?   3 A. xm  x n  m  n . B. xm  x n  m  n . C.  x m   x m.n . n D. x m n  x m .x m . Lời giải Chọn B Do 3  1 nên với x   0;  thì xm  x n  m  n .   3 Câu 11: Cho a thuộc khoảng  0;  ,  và  là những số thực tuỳ ý. Khẳng định nào sau đây là  e sai? 2 A.  a   a . . b a  a      B. a  a   a   . C. a .a   a   . D. C.    . D.     0 . . Lời giải Chọn D Câu 12: Cho      . Kết luận nào sau đây đúng? A.  .  1 . B.    . Lời giải Chọn B Vì   3,14  0 nên          . Câu 13: Với  là số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai? B. 10   10  .  A. 10   100 . 2  C. 10  10 2 . D. 10   10 . 2 2 Lời giải Chọn D Đáp án D sai do với mọi a  0 và m, n   ta có:  a m    a n   a m.n . n m Khi đó 10   102   102 . 2  Câu 14: Cho các số thực a, b,   a  b  0,  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 88 A.  ab   a .b . a  b   a a C.     . b b B.  a  b   a  b . D.  a   b . Lời giải Chọn A a a 4 5 Câu 15: Cho a, b là các số thực thỏa điều kiện      và b 4  b 3 . Chọn khẳng định đúng 4 5 trong các khẳng định sau? A. a  0 và b  1 . B. a  0 và 0  b  1 . C. a  0 và 0  b  1 . D. a  0 và b  1 . Lời giải Chọn C 3 a 4 a 3 4 Vì       a  0 . 4 5 4 5 Và b 4  b 3  0  b  1. Câu 16: Cho a  1 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng. A. 3 a2 1 a 1 B. a 2017  1 C. a  3  a 2018 1 1 a D. a 3  a 5 Lời giải Chọn C Ta có : a  3  1 a 5  1 a 3  1 a 5 a 3 a 5 luôn đúng với a  1 . Câu 17: Xét a , b là các số thực thỏa mãn ab  0 . Khẳng định nào sau đây sai? A. 3 ab  6 ab . B. 8  ab 8  ab . C. 6 ab  6 a . 6 b . 1 D. 5 ab   ab  5 . Lời giải Chọn C a  0 a  0  . b  0 b  0 Vì ab  0   Với a  0 , b  0 thì 6 a , 6 b vô nghĩa. Nên khẳng định 6 ab  6 a . 6 b là sai. Câu 18: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai? A. 230  320 . B. 0,99  0,99e . C. 23  3 . Lời giải Chọn B Ta có:   e và 0, 999  1 nên 0,99  0,99e , do đó đáp án B sai. a a 5 D. 4 3  4 2 . 4 Câu 19: Cho a, b là các số thực thỏa điều kiện      và b 4  b 3 . Chọn khẳng định đúng 4 5 trong các khẳng định sau? A. a  0 và b  1 . B. a  0 và 0  b  1 . C. a  0 và 0  b  1 . D. a  0 và b  1 . Lời giải Chọn C 3 a 4 a 3 4 Vì       a  0 . 4 5 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 89 4 5 Và b 4  b 3  0  b  1.  Câu 20: Nếu 7  4 3  a1  7  4 3 thì A. a  1 . B. a  1 . C. a  0 . Lời giải D. a  0 . Chọn D Ta có:  7  4 3  7  4 3   1 nên  7  4 3  a 1   74 3  74 3  a 1   74 3  1 (do 7  4 3  1 ).  a  1  1  a  0 Câu 21: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A.  C. 2  2 1 2 1 2017    2 1 2018 . B.   3 1 2018  2 D. 1   2   2 . 3  2018   3 1 2017  2  1   2   . 2017 . Hướng dẫn giải Chọn B 2018 2017 0  3  1  1   3  1   3  1 Ta có  nên B sai.  2018  2017 Câu 22: Tìm khẳng định đúng? A.  2  3  2016 C.   2  3    2 3 2016   2017   2 3 B.  2  3  .  2017 2016 D.  2  3  .   2 3 2016    2 3 2017  . 2017 . Lời giải Chọn A Ta có 0  2  3  1   2  3  2016   2 3 Câu 23: Tìm tập tất cả các giá trị của a để A. a  0 . 21 B. 0  a  1 .  2017 . a5  7 a 2 ? C. a  1 . D. 5 2 a . 21 7 Lời giải Chọn B Ta có 7 a 2  21 a6 . Ta có 21 a5  7 a 2  21 a5  21 a 6 mà 5  6 vậy 0  a  1 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 90 BÀI 2. HÀM SỐ LŨY THỪA A. KIẾN THỨC GIÁO KHOA CẦN NẮM 1.Khái niệm hàm lũy thừa Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng y  x ,   . Chú ý: Tập xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị của  – Với  nguyên dương thì tập xác định là R – Với  nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là  \ 0 – Với  không nguyên thì tập xác định là  0;   Theo định nghĩa, đẳng thức 1 n x = xn 1 chỉ xảy ra nếu x > 0. Do đó, hàm số y = x n không đồng nhất với hàm số y = n x (n Î * ) . Ví dụ y = 3 x là hàm số căn bậc 3, xác định với mọi x Î  ; còn hàm số 1 lũy thừa y = x 3 chỉ xác định khi x > 0 2.Đạo hàm của hàm số lũy thừa ( xa )’ = a.xa-1 vôùi x > 0; (ua )’ = a.ua-1.u ‘,vôùi u > 0 n n x n-1 u’ n u n-1 ‘ ( u) = n n 1 ‘ ( x) = n , vôùi moïi x > 0 neáu n chaün, vôùi moïi x ¹ 0 neáu n leû , vôùi moïi u > 0 neáu n chaün, vôùi moïi u ¹ 0 neáu n leû 3.Khảo sát hàm số lũy thừa Tập xác định của hàm số lũy thừa y  x luôn chứa khoảng  0;   với mọi    . Trong trường hợp tổng quát ta khảo sát hàm số y  x trên khoảng này.   *   2n  1, n     2n, n  * Tập xác định: D   . Sự biến thiên: y  x 2 n  y  2n.x 2 n1 . y  0  x  0 . Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên  0;   . Hàm số nghịch biến trên  ; 0  . LỚP TOAN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 Tập xác định: D   . Sự biến thiên: y  x 2 n 1  y   2n  1 .x 2 n  y  0 x  D .  Hàm số đồng biến trên D . Bảng biến thiên Đồ thị: 91 Đồ thị:    \   2k , k   \   2k  1, k   \ D   \ 0 Tập xác định: . Sự biến thiên: y  x 2 n  y  2n.x 2 n1 . D   \ 0 Tập xác định: . Sự biến thiên: y  x 2 k 1  y   2k  1 .x 2 k  y  0 x  D Giới hạn: lim y  0  y  0 là TCN.  Hàm số nghịch biến trên D . Giới hạn: lim y  0  y  0 là TCN. x   lim y   x 0  x  0 là TCĐ.  y    xlim  0 Bảng biến thiên . x   lim y   x 0  x  0 là TCĐ.  y    xlim  0 Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên  ; 0  . Hàm số nghịch biến trên  0;   . Đồ thị: Đồ thị: LỚP TOAN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 92   Trong giới hạn chương trình ta chỉ khảo sát trên  0;   .  0 D   0;   Tập khảo sát: . Sự biến thiên: y   .x 1  0  hàm số đồng biến trên  0;   .   0 Tập khảo sát: D   0;   . Sự biến thiên: y   .x 1  0  hàm số nghịch biến trên  0;   . Giới hạn: lim x    TCĐ: x  0 . x  0  lim x  0; lim x   x  Giới hạn: x 0 .  Hàm số không có tiệm cận. Bảng biến thiên lim x  0  x   TCN: y  0 Bảng biến thiên Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm A 1;1 . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số 1. Phương pháp Cần nhớ lại: Xét hàm số y   f  x   a Nếu a nguyên dương thì hàm số xác định khi và chỉ khi f  x  xác định. Nếu a nguyên âm hoặc bằng 0 thì hàm số xác định khi và chỉ khi f  x   0 . Nếu a không nguyên thì hàm số xác định khi và chỉ khi f  x   0 . 2. Các ví dụ LỚP TOAN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 93 Câu 1: 1 Tìm tập xác định của hàm số y   x 2  3x  2  3 A.  ;1   2;   . B.  \ 1; 2 . C. y ‘  x 2x 2  2  ln 5 . D.  . Lời giải Chọn A Hàm số lũy thừa có số mũ không nguyên thì điều kiện là cơ số phải dương, nên suy ra 1 x  2  x   ;1   2;   y   x 2  3x  2  3 có điều kiện là x 2  3x  2  0   x  1 Vậy tập xác định của hàm số là D   ;1   2;   . Câu 2: 1 Tìm tập xác định D của hàm số y   2  x  3 . A. D   ; 2 . B. D   2;   . C. D   ; 2  . D. D   ;   . Lời giải Chọn C ĐKXĐ: 2  x  0  x  2 . Suy ra TXĐ: D   ; 2  . Câu 3: Tập xác định của hàm số y   x 2  1 là 3 A.  ; 1 . B. 1;   . C.  0;   . D.  \ 1 . Lời giải Chọn D Điều kiện xác định của hàm số y   x 2  1 là: x 2  1  0  x  1. 3 Vậy tập xác định của hàm số là  \ 1 . Câu 4: Tìm tập xác định của hàm số y   2 x  x 2  A.  ; 0   0;    . 2019 B.  0; 2  . . C.  . D.  ; 0    2;    . Lời giải Chọn B Điều kiện xác định của hàm số là 2 x  x2  0  0  x  2 . Suy ra tập xác định của hàm số đã cho là  0; 2  . Câu 5: 2019 Tập xác định của hàm số y   x 2  4 x  2020 là: A.  ; 0   4;   . B.  ;0    4;   . C.  0; 4  . D. R \ 0; 4 . Lời giải Chọn B 2019 x  4  x   ;0    4;   . x  0 Hàm số y   x 2  4 x  2020 xác định  x 2  4 x  0   LỚP TOAN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 94 Câu 6: Hàm số nào dưới đây có tập xác định không phải là khoảng  0;   ? A. y  x  5 . 1 B. y  x 2 . D. y  x 1,7 . C. y  x 3 . Lời giải Chọn A  Xét hàm số y   f  x  thì tập xác định phụ thuộc vào giá trị của  . Cụ thể: + Nếu  nguyên dương thì hàm số xác định khi và chỉ khi f  x  xác định. + Nếu   0 hoặc  nguyên âm thì hàm số xác định khi và chỉ khi f  x   0 . + Nếu  không nguyên thì hàm số xác định khi và chỉ khi f  x   0 . Vì 5 là số nguyên âm nên tập xác định của hàm số y  x5 là  \ 0 . Câu 7:  Tập xác định của hàm số y  x 2  3 x  2 3 5    x  3 2 là A. D    ;1   2;    \ 3 . B. D    ;    \ 1; 2  . C. D    ;    \ 3 . D. D    ;1   2;    . Lời giải Chọn A  x 2  3x  2  0 3 Hàm số y   x 2  3x  2  5   x  32 xác định khi  x  3  0  x  1     x  2 .  x  3 Vậy D    ;1   2;    \ 3 . Câu 8: Tập xác định của hàm số y   2 x  1 1 A.  ; 2  . 2 2 1 B.  \   .  1 D.  ;   . 1 C.  ;   . 2 2 2   Lời giải Chọn B Hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm nên điều kiện là 2x 1  0  x  1 2 1 Vậy tập xác định là  \   . 2 Câu 9:  Tập xác định D của hàm số y  (3 x  5) 3 là 5 A.  \   . 5 B.  ;   . 3 3 5 C.  ;   .  3  3 D.  ;   . 5  Lời giải Chọn B  Hàm số y  (3 x  5) 3 xác định khi: 3x  5  0  x  Câu 10: Tập xác định của hàm số y   4  3 x  x 2  LỚP TOAN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 2019 5 3 nên tập xác định D   ;   . 3  5 là 95 A.  \ 4;1 . C.  4;1. B. . D.  4;1 . Lờigiải Chọn A Vì y   4  3 x  x 2  2019 là hàm số lũy thừa có số mũ nguyên âm nên điều kiện xác định là x  1 4  3x  x 2  0   .  x  4 Vậy tập xác định của hàm số là D   \ 4;1 . 2 Câu 11: Tập xác định của hàm số y   2 x  x  3 2 e 1 là 3 B.  ;   1;   . A.  \  ;1 . 3  2   3 C.  ;1 .  2 2  D.  .  Lời giải Chọn C 3  ;1  2  + Vì 2e  1 không là số nguyên nên điều kiện là 2 x 2  x  3  0  x   Dạng 2: Tính đạo hàm Câu 1: e Tìm đạo hàm của hàm số y   x 2  1 2 trên  . e B. y   ex  x 2  1 A. y   2 x  x 2  1 2 . C. y   1 e2 . e e 1 e 2 x  1 2 .  2 D. y    x 2  1 2 ln  x 2  1 . Hướng dẫn giải Chọn B  e  e e 2 e Ta có: y     x 2  1 2   .2 x  x 2  1 2  ex  x 2  1 2  ex  x 2  1  Câu 2:  Hàm số y  5 x 4 A. y   5 x 2  1 2 2 .  1 2 1 1 e2 . có đạo hàm là. B. y  2 x x2  1 . C. y  4 x 5 x2  1 . D. y   4x 5 5  x 2  1 3 . Hướng dẫn giải Chọn D Vì Áp dụng công thức  u n   n.u n 1 .u  . Câu 3: Cho f  x   x 2 . 3 x 2 Giá trị của f  1 bằng: A. 2 . B. 8 3. C. 4 . D. 3 . 8 Hướng dẫn giải LỚP TOAN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 96 Chọn B Với x  0 thì f  x   x Câu 4: 2 2 3 8 8 5 8  x 3  f   x   x 3 nên f  1  . 3 3 Tính đạo hàm của hàm số y  1  cos 3x  . 6 A. y ‘  18sin 3x  cos 3x  1 . B. y ‘  18sin 3x 1  cos3x  . C. y ‘  6sin 3x 1  cos3x  . D. y ‘  6sin 3x  cos3x  1 . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có y  1  cos 3x   y  6 1  cos 3x  . 1  cos 3x  ‘ . 6 5  6 1  cos 3x  .3sin 3x  18sin 3x 1  cos 3x  . . 5 Câu 5: 5   Đạo hàm của hàm số y  x 2  x  1 A. y   y  2x 1 3 3  x 2  x  1 2x 1 2 x2  x  1 3 2 . B. y  1 3 là 2 1 2 x  x  1 3 .  3 C. y  8 1 2 x  x  1 3 .  3 D. . Lời giải Chọn A Ta có y  Câu 6: 1 1 1 2 2x  1 x  x  1 3  x 2  x  1  .  2 3 3 3  x 2  x  1 1 Tính đạo hàm của hàm số y   x 2  3 3 . 2 2 A. y   x  x 2  3 3 .  2 1 B. y   x 2  3 3 .  3 3 1 3 1 C. y    x 2  3 ln  x 2  3 . D. y   2 x  x 2  3 3 ln  x 2  3 . Lời giải Chọn A Ta có: y  Câu 7: 2 2   1 2 2 x  3 3  x 2  3  x  x 2  3 3 .  3 3 Cho hàm số y  4 x 2  3 , phương trình y   0 có mấy nghiệm thực: A. 0 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn A Xét hàm số y  4 x 2  3 . LỚP TOAN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 97  1  Ta có: y    x 2  3 4     3 1 2 x  3 4 .2 x   4 1 2 4  x 2  3 3 với x   ;  3    3;   . Ta thấy y  0 với x   ;  3    3;   do đó phương trình y  0 vô nghiệm. Câu 8: 2 Tính đạo hàm của hàm số y   x sin x  3 . 2 3 1 A. y    x sin x  3 . 2 3 1 2 3 1 B. y    x sin x  3 .  sin x  x cos x  . 2 sin x  x cos x . 3 3 x sin x D. y    x sin x  3 .cos x . C. y    Lời giải. Chọn B y  2 1 2 2 1   x sin x  3 .  x sin x    x sin x  3 .  sin x  x cos x  . 3 3 Dạng 3. Sự biến thiên và nhận dạng đồ thị hàm số 1. Phương pháp Lưu ý: Trong dạng bài toán này lưu ý những đặc điểm sau của đồ thị hàm số y  x : Đồ thị luôn đi qua điểm Khi   0 hàm số luôn đồng biến, khi   0 hàm số luôn nghịch biến Đồ thị hàm số không có tiệm cận khi   0 . khi   0 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox , tiệm cận đứng là trục Oy . 2. Các ví dụ Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. Hàm số y  x có tập xác định tùy theo  . B. Đồ thị hàm số y  x với   0 có tiệm cận. C. Hàm số y  x với   0 nghịch biến trên khoảng (0; ) . D. Đồ thị hàm số y  x với   0 có hai tiệm cận. Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số y  x với   0 không có tiệm cận. Câu 2: Đồ thị nào dưới đây KHÔNG là đồ thị của hàm số y  x ? LỚP TOAN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 98 A. . B. C. . D. . Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số y  x không đi qua điểm (0;1) . Câu 3: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị hàm số nào? A. y  x  1 2 1 . C. y  2x . B. y  x 2 . D. y  2x 1 Lời giải Chọn B Nhận thấy đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên loại đáp án C và D Nhận thấy đồ thị hàm số đi qua điểm (4; 2) nên loại đáp án A Câu 4: Hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. LỚP TOAN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 99 A. y  x2 .  B. y  2 x . 1 C. y  x 2 . D. y  log 2 x . Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số đi qua điểm nhận Ox,Oy làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng loại C,D Dùng máy tính kiểm tra đáp án thấy đồ thị đi qua chọn đáp án Câu 5: C. Cho hàm số y  x 2 . Mệnh đề nào sau đây là SAI? A. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;    . C. Hàm số có tập xác định là  0;    . D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. Lời giải Chọn D Tập xác định: D   0;    , suy ra C đúng. Do x  0 nên x 2  0 , suy ra A đúng. Ta có: y   2.x  2 1  0; x  0 , suy ra B đúng. Ta có lim x  2   nên đồ thị hàm số nhận Oy làm tiệm cận đứng, đáp án D đúng. x  0 Câu 6: Cho hàm số y  x 2 , có các khẳng định sau I. Tập xác định của hàm số là D   0;   . II. Hàm số luôn đồng biến với mọi x thuộc tập xác định của nó. III. Hàm số luôn đi qua điểm M 1;1 . IV. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1 . Lời giải Chọn C Do   2 nên hàm số xác định với mọi x  0. Vậy khẳng định I đúng. LỚP TOAN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 100 Do y  2.x 2 1  0 với mọi x  0 nên hàm số đồng biến trên tập xác định. Khẳng định II đúng. Do y 1  1 2  1 nên khẳng định III đúng. Do xlim x 2   và lim x 2  0 nên đồ thì hàm số không có đường tiệm cận. Vậy IV đúng.  x  0 Câu 7:  Cho hàm số y  x 2 có đồ thị. Phương trình tiếp tuyến của tại điểm M0 có hoành độ x0  1 là: A. y   2 x 1 . B. y   2 x  2 C. y   x    1 . 1.   2 2 D. y   x   1 Lời giải Chọn B Tự luận: Ta có: y     2 1  y  1  x 2 2 Với x0  1 thì y0  1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y    x  1 2 2 Trắc nghiệm: Với x0  1 thì y0  1 . Thay vào các đáp án thấy A, D không thỏa mãn nên loại A và D y     2 1 Nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng nên loại đáp án  y  1  x 2 2 2 C. Lưu ý: Có thể dùng CASIO hỗ trợ tính đạo hàm tại x0  1 như sau: Và có kết quả Thấy kết quả không bằng   3,141.. nên loại đáp án Câu 8: C. Cho các hàm số y  x ; y  x  ; y  x có đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng. LỚP TOAN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 101 A.      . B.      . C.      . D.      . Lời giải Chọn D Từ hình vẽ ta thấy hàm số y  x nghịch biến trên  0;    nên   0 . Từ hình vẽ ta thấy hàm số y  x đồng biến trên 1;    và nằm dưới đường thẳng y  x nên 0    1 . Từ hình vẽ ta thấy hàm số y  x đồng biến trên 1;    và nằm trên đường thẳng y  x nên   1 . Vậy      . Câu 9: Cho hàm số y  x  3 khẳng định nào sau đây đúng? A. Đồ thị hàm số cắt trục Ox . B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang. D. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Lời giải Chọn D * TXĐ: D   0;   . * Đồ thị hàm số: Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là trục Oy và một tiệm cận ngang là trục Ox . LỚP TOAN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 102 Đáp án đúng là D. Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên, biết f  x  là một trong 4 hàm số dưới đây. Tìm f  x  . 1  B. f  x   3 x . A. f  x   x 3 . 1 C. f  x   x 3 . D. f  x   x 3 . Lời giải. Chọn A Hàm số có tập xác định là D   0;   , loại đáp án B,D. Hàm số tăng trên D , loại C. Câu 11: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên, biết f  x  là một trong 4 hàm số dưới đây. Tìm f  x  . 1  B. f  x   3 x . A. f  x   x 3 . 1 C. f  x   x 3 . D. f  x   x3 . Lời giải. Chọn C Hàm số có tập xác định là D   0;   , loại đáp án B,D. bx 2 Hàm số giảm trên y   3  a  bx  3 2 , loại A. Câu 12: Cho hàm số f ( x)  (1  x2 )2019 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên R . B. Hàm số đồng biến trên (;0) . C. Hàm số nghịch biến trên (;0) . D. Hàm số nghịch biến trên R . Lời giải Chọn B Đạo hàm: f   x   2019. 1  x 2  LỚP TOAN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 2018 2018 . 1  x 2   2019. 1  x 2  .  2 x  103 Nhận thấy ngay: 2019. 1  x 2  2018  0. Nên ta có thể nhận thấy ngay dấu của đạo hàm cùng dấu với  x  . Ta có bảng biến thiên: Vậy hàm số đồng biến trên  ;0  . LỚP TOAN THẦY CƯ_TP HUẾ. SĐT: 0834 332 133 104 BÀI 3. LOGARIT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. KHÁI NIỆM LOGARIT 1. Định nghĩa: Cho 2 số a, b  0 dương với a khác 1. Số  thỏa mãn đẳnng thức a  b được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiệu log a b a = loga b  aa = b Chú ý Không có logarit của số 0 và số âm vì a luông dương với mọi  Cơ số của logarit phải dương và khác 1 Theo đinh nghĩa logarit ta có các tính chất sau 2. Tính chất Cho hai số dương a và b , a  0 . Ta có các tính chất sau loga 1  0; loga a  1; a loga b  b, b  , b  0; loga  a    ,    Ví dụ. Tính a) 4 log 4 log 3 3 ; c) 2 log2 3 ; d) log 4 e) log 1 2 ; b) 3 2 3 f) log 2 3 1 16 g) (2a) log3 a 1 log 5 +log 3 49 với 0 < a ¹ 1 h) 49 7 II. CÁC QUY TẮC TÍNH LOGARIT 1. Logarit của một tích: Với 0  a  1; b, c  0 ta có loga  bc   loga b  loga c Logarit của một tích bằng tổng các logarit Ví dụ 3: Tính a) log12 6  log12 2 b) log 1 6  log 1 24  log 1 2 2 2 4 9 Chú ý: Công thức trên có thể mở rộng cho tích của n số dương: log a  b1 .b2 ...bn   log a b1  log a b2  ...  log a bn  a, b1 , b2 ,..., bn  0, a  1 2. Logarit của một thương: a > 0; b1> 0; b2> 0, a  1 b  loga  1   loga b  loga b 1 2  b2    Logarit của một thương bằng hiệu các logarit 1 loga     loga b,  0  a  1, b  0  b Ví dụ. Tính LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 105 a) log 25 100  log 25 4 ; b) log 2 20  log 2 6  log 2 15 . c) log 2 5  log 2 10  log 2 25 . d) log 6  log 7  log 14 3 3 3 3. Logarit của một lũy thừa: a > 0; b> 0, a  1 loga  b    loga b Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số loga  n b   loga b n 1 Ví dụ 5. Cho loga b  2;loga c  3 . Hãy tính loga x , biết a) x  a 2b3 a2 b b) x  c) x  a 2 3 bc2 c4 c3 III. ĐỔI CƠ SỐ: Cho a > 0; b > 0; c>0, a  1 , c  1 loga b  logc b ; log c a loga b  1 log a b , b  1; 1 log  b  loga b,   0 a  1 Ví dụ. a) Tính log 36 2  log 1 3 ; b)Cho log 3  a;log 5  b;log 2  c . Tính log 50 7 2 3 63 2 6 V. LOGARIT THẬP PHÂN. LOGARIT TỰ NHIÊN 1. Lôgarit thập phân Lôgarit thập phân là logarit cơ số 10 của một số dương x được gọi là logarit thập phân của x và được kí hiệu là log x hoặc lg . Một ứng dụng quan trong của logarit thập phân trong các bài toán Casio Rõ ràng khi x  10n thì log x  n . Còn với số x  1 tùy ý, viết x trong hệ thập phân thì số các chữ số đứng trước dấu phẩy của x là n  1 , trong đó n là phần nguyên của log x , kí hiệu n  log x  . Thật vậy, vì 10n là số tự nhiên bé nhất có n  1 chữ số nên số các chữ số đứng trước dấu phẩy của x bằng n  1 khi và chỉ khi 10n  x  10n 1 , tức là n  log x  n  1 ; điều này chứng tỏ n  log x  . Ví dụ: Để tìm số các chữ số của 22008 khi viết trong hệ thập phân người ta lấy giá trị gần đúng của log 2 là 0,3010 và ta được 2008.log 2  1   2008.0, 3010  1  605 . Vậy số 22008 có 605 chữ số. 2. Lôgarit tự nhiên: Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e. Kí hiệu log e b  ln b LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 106 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Tính toán về logarit Câu 1: Cho các số thực dương a , b thỏa mãn log 2 a  x , log2 b  y . Tính P  log 2  a 2b3  . A. P  x 2 y 3 B. P  x 2  y 3 C. P  6 xy D. P  2 x  3 y Lời giải Chọn D P  log 2  a 2 b3   log 2 a 2  log 2 b3  2 log 2 a  3log 2 b  2 x  3 y . Câu 2: Cho a, b  0 và a, b  1 , biểu thức P  log a b3 .logb a 4 có giá trị bằng bao nhiêu? A. 18 . B. 24 . C. 12 . D. 6 . Lời giải Chọn B P  log Câu 3: a b3 .log b a 4   6log a b  .  4 log b a   24 .  1  Cho b là số thực dương khác 1 . Tính P  logb  b2 .b 2  .  3 2 A. P  .  5 2 B. P  1 . C. P  . 1 4 D. P  . Lời giải Chọn C  1  5 5 2 5 2 Ta có P  logb  b2 .b 2   log b b 2  log b b  .  Câu 4:  Cho a  0 , a  1 . Biểu thức a log A. 2a . B. 2 . a a2 bằng Chọn D Ta có a log a  a 2log a  a 2 . Giá trị biểu thức A  2log 9 log 5 là: A. A  8 . B. A  15 . C. 2a . Lời giải D. a 2 . C. A  405 . Lời giải D. A  86 . 2 a Câu 5: a 4 2 Chọn B Ta có A  2log 9 log 5  2log 9.2log 5  2log 3.2log 5  3.5  15 . 4 Câu 6: 2 4 2 2 2 1 Cho a  0, a  1 . Tính giá trị của biểu thức P  log a  3  a 3 A. P  9 . B. P  1 .   C. P  1 . Lời giải D. P  9 Chọn A Ta có: Thay số bất kỳ chẳng hạn a  3 có ngay P  9 . LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 107 Câu 7:  1  Cho a  0, a  1 . Tính giá trị của biểu thức P  log 3 a  3  a  A. P  9 . B. P  1. C. P  1 . Lời giải Chọn A D. P  9 .  1   Tự luận : P  log 3 a  3   log 1 a 3  9 log a a  9 a3 a   1   Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, thay a  2 rồi nhập biểu thức log 3 a  3  vào máy a  bấm = ta được kết quả P  9 . Câu 8:  a2  . 2  4  Cho a là số thực dương khác 2 . Tính I  log a  1 2 1 2 A. I  . B. I   . C. I  2 . D. I  2 . Lời giải Chọn C 2  a2  a a I  log a    log a    2 log a    2 . 4 2   2  2  2 2 Câu 9: Cho a là số thực dương và b là số thực khác 0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?  3a 3   3a 3  1 A. log3  2   1  log3 a  2 log3 b . 3  b   3a 3  C. log3  2   1  3log3 a  2 log3 b .  b  B. log3  2   1  3log3 a  2 log3 b .  b   3a 3  D. log3  2   1  3log3 a  2 log3 b .  b  Lời giải Chọn C  3a 3  Ta có log3  2   log3  3a 3   log3 b2  log3 3  log3 a 3  log3 b .  b   log3 3  log 3 a 3  log 3 b  1  3log 3 a  2 log 3 b . Câu 10: Cho log 3  a . Tính log 9000 theo a . A. 6a . B. a 2  3 . C. 3a 2 . Lời giải D. 2a  3 . Chọn D Cách 1: log 9000  log 9  log1000  2 log 3  3  2a  3 . Cách 2: Gán log 3  a . Tính log 9000   2a  3  0 . Câu 11: Cho log6 9  a. Tính log3 2 theo a A. a . 2a B. a2 . a LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 C. a2 . a D. 2a . a 108 Lời giải Chọn D Ta có: log6 9  2 log 2.3 3  a  2 2 2a  log 3 2  1   log 3 2  . log 3 2.3 a a Câu 12: Cho a, b  0 . Rút gọn biểu thức log a b2  log a b4 2 A. 2 log a b B. 0 C. log a b D. 4 log a b Lời giải Chọn D 1 2 Ta có log a b2  log a b4  2 log a b  .4.loga b  4 loga b . 2 Câu 13: Cho loga x  2 , logb x  3 với a , b là các số thực lớn hơn 1 . Tính P  log a x . b2 A. 6 . B. 6 . C. 1 . 6 D. 1 . 6 Lời giải Chọn B Vì a , b là các số thực lớn hơn 1 nên ta có: 3  x  a 2 log a x  2   a 2  b3  a  b3  a  b 2 .   3 log b x  3  x  b P  log a x  log b2 3 x  log b2 1 b2 x  2 log b x  6 . b2 Câu 14: Đặt a  log 2 3 và b  log5 3 . Hãy biểu diễn log 6 45 theo a và b . A. log 6 45  log 6 45  a  2ab ab  b . B. log6 45  2a 2  2ab . ab C. log 6 45  a  2ab ab . D. 2a 2  2ab . ab  b Lời giải Chọn A log 6 45  log 3  5.32  log 3  2.3 1 2 log 3 5  2 a  2ab b  .  1 ab  b log3 2  1 1 a Câu 15: Cho 2 số thực dương a , b thỏa mãn a  b , a  1 , log a b  2 . Tính T  log 2 5 A. T   . 2 5 B. T  . 2 3 C. T  . 3 a b ba . 2 3 D. T   . Lời giải Chọn D 1 2 Ta có: log a b  2  logb a  . LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 109 T  log   3 a b ba  log 3 a b 1 .  a a log 3 b log 3 a b b 1 1 1   a  log 3 a b 3 log a  3 3  3log b b a 2 2 b  log 1  log 3 b a  log 3 b b log 3 a 3 a b a  1 . 1 1 2   . 3 1 3 3 . 3  3.2 2 2 2 Câu 16: Với a  log 2 5 và b  log3 5 , giá trị của log6 5 bằng A. ab ab . B. ab ab . C. 1 ab . D. a  b . Lời giải Chọn A Ta có log 6 5  1 1 1 1 1 ab      log5 6 log5 2  log5 3 1  1 log5 2  log5 3 1  1 a  b a b a b . Câu 17: Biết log  xy 3   1 và log  x 2 y   1 , tìm log  xy  ? 5 3 1 2 A. log  xy   . 3 5 B. log  xy   . C. log  xy   . D. log  xy   1 . Lời giải Chọn A Ta có log  xy 3   1  log  xy   2 log y  1 , log  x 2 y   1  log  xy   log x  1 Vậy log x  2 log y  x  y 2 1 Xét log  xy 3   1  log  y 2 y 3   1  5log y  1  y  10 5  3  Vậy log  xy   log  y 3   log  10 5     3 5 a Câu 18: Tính giá trị của biểu thức P  loga  a10b2   log a    log b b 2 ( với 0  a  1;0  b  1 ). b 2 A. P  2 . B. P  1 .  3  C. P  3 . Lời giải D. P  2 . Chọn B Sử dụng các quy tắc biến đổi logarit P  log a 2  a10b2   log a  a  2    log 3 b b  b 1 .  loga a10  log a b2   2 log a a  log a b   3.  2  logb b . 2  1 1 10  2 log a b  2 1  log a b   6  1. 2  2  Câu 19: Biết log 27 5  a, log8 7  b, log 2 3  c thì log12 35 tính theo a, b, c bằng: A. 3  b  ac  . c2 B. 3b  2ac . c 1 LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 C. 3b  2ac . c2 D. 3  b  ac  . c 1 110 Lời giải Chọn A 1 3 1 3 Ta có: log 27 5  log3 5  a  log3 5  3a , log8 7  log 2 7  b  log2 7  3b . Mà log12 35  log 2  7.5 log 2  3.2 2   log 2 7  log 2 5 log 2 7  log 2 3.log 3 5 3b  c.3a 3  b  ac  .    log 2 3  2 log 2 3  2 c2 c2 Câu 20: Cho a, b  0 , nếu log8 a  log 4 b2  5 và log 4 a 2  log8 b  7 thì giá trị của ab bằng A. 29 . B. 8 . C. 218 . Lời giải D. 2 . Chọn A 1 log a  log 2 b  5 2 6 log 2 a  6 log8 a  log 4 b  5  3 2  a  2 Ta có:  .       2 3 log 4 a  log8 b  7 log 2 b  3 b  2 log a  1 log b  7 2  2 3 Vậy ab  29 . Câu 1: Dạng 2. So sánh hai số logarit Số nào trong các số sau lớn hơn 1 1 8 A. log0,5 . B. log0,2 125 . C. log 1 36 . 1 2 D. log0,5 . 6 Lời giải Chọn A Ta có: log 0,5 1  log 21 2 3  3  1 , log 0,2 125  log51 53  3  1 . 8 log 1 36  log 61 62  2  1 , log 0,5 6 Câu 2: 1  log0,5 0,5  1 . 2 Cho a , b là các số thực, thỏa mãn 0  a  1  b , khẳng định nào sau đây đúng? A. logb a  loga b  0 . B. logb a  1 . C. log a b  0 . D. log a b  log b a  2 . Hướng dẫn giải Chọn A Vì 0  a  1  b nên logb a  logb 1  logb a  0 và log a b  log a 1  loga b  0 . Suy ra : logb a  log a b  0 . Câu 3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a  1, b  1 . Điều kiện nào sau đây cho biết log a b  0 ? LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 111 B.  a  1 b  1  0 A. ab  1 C. b  1 D. ab  1 Lời giải Chọn C a, b  0 hoặc a 2  b 2  14ab . nVậy log 2  a  b   4  log 2 a  log 2 b . Câu 4: Cho các số thực a , b thỏa mãn 1  a  b . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1 1 1 log a b log b a . B. 1 1 1 log b a log a b 1 1  log a b log b a . D. 1 1  1. log a b log b a C. 1  . Lời giải Chọn A Vì 1  a  b nên ta có logb a  logb b  logb a  1 và log a a  log a b  1  log a b . Do đó logb a  1  log a b  Câu 5: 1 1 1 log a b log b a . Cho 0  a  b  1 , mệnh đề nào dưới đây đúng? A. logb a  log a b . B. logb a  loga b . C. log a b  1 . D. log a b  0 . Lời giải Chọn A Do 0  a  1 nên hàm số y  loga x nghịch biến trên  0;   . Đáp án B sai, vì: Với b  1  log a b  loga 1  log a b  0 . Đáp án D sai, vì: Với a  b  log a a  log a b  log a b  1 . Với 0  a  b  1 ta có 0  log a b  1 . Đáp án C sai, vì: Nếu logb a  log a b  1 2  log a b   log a b   1 log a b Đáp án A đúng, vì: Nếu logb a  log a b  Câu 6: (vô lí). 1 2  log a b   log a b   1 log a b Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. log3 5  0 . B. log 2  x2 (luôn đúng). 2016  log 2  x2 2017 . 1 D. log3 4  log 4   . C. log0,3 0,8  0 .  3 Lời giải Chọn C Ta có: log0,3 0,8  0  0,8  0, 30  0,8  1 (sai) Câu 7: Cho các số thực dương a , b với a  1 và log a b  0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 112 0  a, b  1 0  a, b  1 A.  . 0  a  1  b B.  1  a, b 0  b  1  a . C.  1  a, b . 0  a, b  1 D.  . 0  b  1  a Lời giải Chọn B Ta có: Câu 8:  a  1  0  b  a  1 . log a b  0   0  a 1    0  b  a 0  1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. log3   1 . B. ln 3  log3 e . C. log3 5  log7 4 . D. log 1 2  0 . 2 Lời giải Chọn C Ta có: log3 5  log3 3  log3 5  1 log 7 4  log 7 7  log 7 4  1 Vậy: log3 5  log7 4 . Câu 9: Cho a , b là các số thực thỏa mãn 0  a  b  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. logb a  0 . B. m  3 . C. m  2 . D. log a b  1 . Lời giải Chọn B Vì 0  a  b  1 nên  logb a  logb b  1  A sai.   x  2 y  5z  5  0  logb a  log a b  B đúng, C sai.  log a a  log a b  loga b  1  D sai. Câu 10: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện 0  a  b  1 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1  loga b  logb a . B. log a b  1  logb a . C. 1  logb a  log a b . D. log b a  1  log a b . Lời giải Chọn B Do 0  a  1 nên với a  b ta có: 1  loga a  log a b  log a b  1 . Tương tự do 0  b  1 nên với a  b ta có: logb a  logb b  1 . Vậy log a b  1  logb a . Câu 11: Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Nếu 0  a  b thì log e a  log e b . 2 B. Nếu 0  a  b thì log a  log b . 2 C. Nếu 0  a  b thì ln a  ln b . D. Nếu 0  a  b thì log  a  log  b . 4 4 Lời giải LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 113 Chọn D Nếu 0  a  b thì log π a  log π b do 4 Câu 12: Gọi a  3log 4 ; b  3log A. a  1  b . 0,5 Chọn C Ta có a  3log Lại có 3log 0,5 13 0,5 4 0,5 13 log0,5 1 3 log0,5 4 3 4 π 1. 4 , khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? B. b  a  1 . C. a  b  1 . Lời giải 1, b  3 log0,5 13 log0,5 1 3 D. b  1  a .  1 (1) (2) Từ (1) và (2)  b  a  1 Dạng 3 : Đẳng thức logarit Câu 1: Giả sử x, y là các số thực dương. Mệnh đề nào sau đây sai? 1 2 B. log 2 xy   log 2 x  log 2 y  A. log 2 xy  log 2 x  log 2 y x  log 2 x  log 2 y y C. log 2 D. log 2  x  y   log 2 x  log 2 y Lời giải Chọn D Do log 2 x  log 2 y  log 2  xy  . Câu 2: Cho hai số thực dương a và b, với a  1. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? 2 1 2 2 1 2 C. log a  ab    log a b . 2 1 2 1 log a 2  ab   log a b . 4 B. log a  ab   log a b . A. log a  ab   2  2 log a b . D. Lời giải Chọn C 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a b ln a ln b Với a, b  0 và a  1, ta có log a  ab   log a  ab    log a a  log a b   1  log a b    log a b. . 2 Câu 3: Với các số thực dương a , b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ln  ab   ln a  ln b . a b B. ln  ln b  ln a . C. ln  ab   ln a.ln b . D. ln  . Lời giải Chọn A Câu 4: Cho các số thực dương a , b , c khác 1 . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây. A. log a  log a b  log a c . B. log a b  log c a . log c b C. log a  bc   log a b  log a c . D. log a b  log c b log c a b c . Lời giải Chọn B Với các số thực dương a , b , c khác 1 , ta có LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 114 b  log a b  log a c nên A đúng. c log c b nên B sai và D đúng. log a b  log c a log a log a  bc   log a b  log a c Câu 5: nên C đúng. Giả sử ta có hệ thức a 2  b2  7ab  a, b  0  . Hệ thức nào sau đây là đúng? A. 2 log 2  a  b   log 2 a  log 2 b. C. log 2 ab  log 2 a  log 2 b. 3 ab 4 log 2  log 2 a  log 2 b. 6 B. 2 log 2 ab  2  log 2 a  log 2 b  . 3 D. Lời giải Chọn B +) 2 log 2  a  b   log 2 a  log 2 b  log 2  a  b 2  log 2 ab   a  b 2  ab  a 2  b2  ab . 2 +) 2 log 2 Câu 6: ab 2 ab 2 2  log 2 a  log 2 b     ab   a  b   9ab  a  b  7ab . 3 3   Cho a, b là các số thực dương thoả mãn a 2  b2  14ab . Khẳng định nào sau đây là sai? A. ln a  b ln a  ln b .  4 2 B. 2 log 2  a  b   4  log 2 a  log2 b . C. 2 log 4  a  b   4  log 2 a  log 2 b . D. 2 log ab  log a  log b . 4 Lời giải Chọn C ab  ab  4  Ta có a 2  b2  14ab   a  b 2  16ab   Nên ta có ln ab ln a  ln b  ln ab  4 2 vậy A đúng 2 log 2  a  b   log2  a  b 2  log 2 16ab   4  log2 a  log 2 b vậy B đúng 2 log 4  a  b   log 4  a  b   log 4 16ab   2  log 4 a  log 4 b vậy C sai 2 2 log ab  log 2 a  log 2 b 4 vậy D đúng Cách 2:. Câu này ý C sai vì 2 log 4  a  b   4  log4 a  log 4 b  log 4  a  b 2  4 log 4 4  log 4 ab  log 4  a  b   log 4 44  log 4 ab  log 4 64ab   a  b   64ab . 2 Câu 7: 2 Cho các số thực dương a , b thỏa mãn 3log a  2 log b  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng. A. a 3  b2  1 . B. 3a  2b  10 . C. a 3b2  10 . Lời giải D. a 3  b2  10 . Chọn C Ta có: 3log a  2 log b  1  log a 3  log b2  1  log  a 3b2   1  a 3b2  10 . Câu 8: Với các số thực dương a , b bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây sai? LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 115 A. log 2 C. log 9a 2  2  2 log 2 a  3log 2 b . b3 B. ln 9a 2  2 log 3  2 log a  3log b . b3 9a 2  2 ln 3  2 ln a  3ln b . b3 D. log3 9a 2  2  2 log3 a  3log 3 b . b3 Hướngdẫngiải Chọn A. Nhận thấy log 2 9a 2  log 2  9a 2   log 2 b3 b3  log 2 9  log 2 a 2  log 2 b3  2 log 2 3  2 log 2 a  3 log 2 b Vậy B, C, D đúng. Câu 9: Với các số thực dương a , b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a b A. ln  ab   ln a  ln b . B. ln  ln b  ln a . C. ln  ab   ln a.ln b . a b D. ln  ln a ln b . Lời giải Chọn A Câu 10: Cho các số thực dương a , b , c khác 1 . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây. A. log a  log a b  loga c . B. log a b  log c a . log c b C. log a  bc   log a b  loga c . D. log a b  log c b log c a b c . Lời giải Chọn B Với các số thực dương a , b , c khác 1 , ta có b  log a b  log a c nên A đúng. c log c b nên B sai và D đúng. log a b  log c a log a log a  bc   log a b  log a c nên C đúng. Câu 11: Cho P  loga b2 với 0  a  1 và b  0 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 4 A. P  2 log a  b  . B. P  2 log a  b  . 1 2 C. P   log a  b  . 1 2 D. P  loga  b  . Lời giải Chọn D 1 4 1 2 Ta có P  loga b2  2. log a b  log a  b  (Do 0  a  1 và b  0 ). 4 Câu 12: Cho a  0 , b  0 và a 2  b2  7ab . Chọn mệnh đề đúng. A. 2  ln a  ln b   ln  7ab  . ab  C. ln     ln a  ln b  . 3   2 1 1 2 3 D. ln  a  b    ln a  ln b  . 2 B. 3ln  a  b    ln a  ln b  . Lời giải LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 116 Chọn C Với a  0 , b  0 , ta có a 2  b2  7ab   a  b 2  9ab 2 2 ab ab    ab  ln    ln  ab   3   3  ab ab 1  2 ln    ln a  ln b  ln     ln a  ln b  .  3   3  2 Câu 13: Cho các số a, b  0 thỏa mãn a 2  b2  14ab . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. log 2  a  b   4  log2 a  log 2 b . ab   2  log 2 a  log 2 b  .  4  C. log 2  B. log 2  a  b 2  4  log 2 a  log 2 b  . ab 1    log 2 a  log 2 b  .  16  2 D. log 2  Lời giải Chọn A 2 ab   ab .  4  Ta có a 2  b2  14ab  a 2  b2  2ab  16ab   a  b 2  16ab   2 ab  log 2    log 2 ab  2 log 2  a  b   2 log 2 4  log 2 a  log 2 b .  4   log 2  a  b   4  log2 a  log 2 b . Câu 14: Cho log 1  y  x   log4 4 1 1, y với y  0, y  x . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. 3x  4 y . B. x  3 y . 3 4 3 4 C. x  y . D. y  x . Lời giải Chọn C Ta có 1  1   log 4  y  x   log 4 y  1  log 4 y  1  log 4  y  x   log 4 y  log 4 4.  y  x  y 4 3  y  4 y  x  x  y . 4 log 1  y  x   log 4 Câu 15: Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn a 2  b2  8ab , mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 1 C. log(a  b)  (1  log a  log b) . 2 A. log(a  b)  (log a  log b) . B. log(a  b)  1  log a  log b . 1 2 D. log(a  b)   log a  log b . Lời giải Chọn C Ta có a 2  b2  8ab   a  b 2  2ab  8ab   a  b 2  10ab . 1 2 Hay ta có log  a  b 2  log10ab  2 log  a  b   1  log a  log b  log  a  b   1  log a  log b  . Câu 16: Cho log 2  x 2  y 2   1  log 2 xy , với xy  0 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. x  y . B. x  y . C. x  y . D. x  y 2 . Lời giải LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 117 Chọn C Ta có log 2  x 2  y 2   1  log 2 xy  log 2  x 2  y 2   log 2 2 xy  x 2  y 2  2 xy   x  y 2  0  x  y . Câu 17: Cho loga x  2 , logb x  3 với a , b là các số thực lớn hơn 1 . Tính P  log a x . b2 1 6 A. P  6 . 1 6 B. P  . C. P   . D. P  6 . Lời giải Chọn A 3 1 a b2 Cách 1: loga x  2 , logb x  3  x  a  b  a  b  2  2  b 2 . b b 2 3 2 3 Do đó P  log a x  log x  2 logb x  2.3  6 . 1 b2 b2 1 2 1 3 Cách 2: log a x  2  x  a 2  1 . log a x  2 , logb x  3  log x a  , log x b  . Khi đó P  log a x  b 2 1  a log x 2 b 1 1   6 . log x a  2 log x b 1  2. 1 2 3 Câu 18: Với các số thực a , b  0 bất kì, rút gọn biểu thức P  2 log 2 a  log 1 b2 ta được 2 A. P  log2  2ab2  . B. P  log 2  ab 2 . 2 a C. P  log 2   . D. P  log 2  2a  . 2  b  b Lời giải Chọn B Ta có: P  2 log2 a  log 1 b2  log2 a 2  log 2 b2  log2  ab 2 . 2 P  2014 . Câu 19: Với các số thực dương a , b bất kì, đặt 1 2  a10  M   3 5  b  0,3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 A. log M  3log a  log b . B. log M  3log a  log b . C. log M  3log a  2 log b . D. log M  3log a  2 log b . Hướngdẫngiải Chọn A.  a10  M   3 5  b  0,3  a10   5   3  b  0,3  a 3 b 0,5  a 3  1  log M  log  0,5   log a 3  log b 0,5  3log a  log b b 2   Câu 20: Cho a, b  0, a  1, ab  1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai. LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 118 A. log ab a  C. log a 1 . 1  log a b 1 2 B. log a ab  (1  log a b) . a 1  1  log a b  . b 4 2 D. log a ( ab2 )  4(1  log a b) . Lời giải Chọn C log ab a  1 1 1 .   log a ab log a a  log a b 1  log a b log a ab  log a  ab  1 1  (1  log a b) . 2 2 1 log a 2 a 1 1  a 2 1  log a     log a a  log a b   1  log a b  b 2 b 4 4   Câu 21: Cho các số thực dương a, x, y ; a khác 1 . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. log x  log a x . log a 10 B. log x  log a x . log a e C. log x  log a x ln10 . D. log x  log x a . log a Lời giải Chọn A Ta có log x  log a x . log a 10 LƠP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 119 BÀI 4. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. HÀM SỐ MŨ x 1. Định nghĩa: Cho a  0,a  1 . Hàm số y  a được gọi là hàm số mũ cơ số a 2. Đạo hàm của hàm số mũ: Vôùi moïi x  ,0  a  1  e  ‘  e  a  ‘  a .ln a  eu  ‘  u’eu  au  ‘  u’au .ln a x x x x Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm sau: 2 1)y  e4x  x ; 2 2)y  cos2x.ex ; 3. Khảo sát hàm số mũ 3)y  3 x2  2x ; 4)y  ex 2 x y  a x  a  0, a  1 y  ax ,a  1 y  ax ,0  a  1 Tập xác định D = R y’  ax .ln a  0, x lim a x  0; lim a x  ; x x  BBT y’  ax .ln a  0, x lim ax  ; lim a x  0 x x Tiệm cận ngang: trục Ox BBT II. HÀM SỐ LÔGARIT 1. Định nghĩa: Cho a  0, a  1 . Hàm số y  loga x được gọi là hàm số logarit cơ số a LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 120 2. Đạo hàm của hàm số logarit: Với mọi 0  a  1 1 1 ln x  ‘   loga x  ‘  x.ln  a x 1 u’ ln u  ‘  .u’   loga u  ‘  u.ln u a Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm sau 1)y  ln  x  x2  ;   2)y  ln x ; 2x 3)y  log2 ex  1 ; x 4)y  log4  ln(cosx) 4. Sự biến thiên và đồ thị hàm số logarit y  loga x,a  1 y  loga x,0  a  1  Tập xác định D = 0;  y’  1  0, x  0 x.ln a y’   1  0, x  0 x.ln a Hàm số đồng biến trên D Hàm nghịch biến trên D lim y  ; lim y  ; x x0 lim y  ; lim y  ; x x0 Tiệm cận đứng: trục Oy BBT BBT B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1. Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số Câu 1: Tập xác định của hàm số A.    ; 2  y  log 2 10  2 x  là B.  5;   C.  ;10  D.  ;5  Lời giải Chọn D Hàm số xác định  10  2x  0  x  5  D   ;5  LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 121 Câu 2:   Tập xác định của hàm số y  log x  2 x là A. D   2;0  B. 2 D   \ 0 C. D   ; 2    0;   D. D Lời giải Chọn C x  0 . Vậy D   ; 2    0;    x  2 Hàm số đã cho xác định  x  2 x  0   2 Câu 3: Hàm số y  log x 1 x. xác định khi và chỉ khi: x  1 x  2 A.  B. x 1 C. x0 D. x2 D. D   3;1 Lời giải Chọn A x  0 x  0 x  1   Hàm số y  log x 1 x xác định khi  x  1  0   x  1   x  2 x 1  1 x  2   Câu 4: Cho 0  a  1. Tìm mệnh đề đúng trong các mẹnh đề sau A. Tập giá trị của hàm số y  a x là  B. Tập xác định của hàm số y  log a x là C. Tập xác định của hàm số y  a x là D. Tập giá trị của hàm số   y  log a x là  Lời giải Chọn D Hàm số Câu 5: y  log a x có tập giá trị là   Tập xác định của hàm số y  log 2 3  2x  x A. D   1;3 B. 2  là D   0;1 C. D   1;1 Lời giải Chọn D Hàm số đã cho xác định  3  2x  x  0  3  x  1. Vậy 2 Câu 6:   Hàm số y  log 2 4  2  m có tập xác định là A. m  x x 1 4 B. D   3;1 .  thì m0 C. m  1 4 D. m  1 4 Lời giải Chọn D Hàm số có tập xác định là   4x  2x  m  0, x    m  2x  4x  x    Đặt t  2  0  m  t  t x Câu 7: 2 f t  m   t  0   m  max t 0  1 . 4  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  ln x  2mx  4 xác định với mọi x   . 2 A. m   ; 2   2;   B. m   2; 2 C. m   2; 2    2;   D. m   2; 2  Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 122 Chọn D Hàm số xác định với mọi x    x 2  2mx  4  0, x     ‘  m 2  4  0  2  m  2 Dạng 2. Tính đạo hàm và giới hạn Câu 1: Hàm số y  8 A. y  8x 2 x 2  x 1  6 x  3 ln 2 là đạo hàm của hàm số nào sau đây?  x 1 B. y  2x 2  x 1 y  23 x C. 2  3 x 1 D. y  83 x 2  3 x 1 Lời giải Chọn A Câu 2: Đạo hàm của hàm số y  A. y ‘  1   x  1 ln 2 4x x 1 là 2x B. y ‘  1   x  1 ln 2 2x C. y ‘   x 4x D. y ‘   x 2x Lời giải Chọn B y’  Câu 3: 2x   x  1 2x ln 2 1   x  1 ln 2  4x 2x Đạo hàm của hàm số y  x 1 9x 1  2  x  1 ln 3 . 32 x 1  2  x  1 ln 9 C. y ‘  . 3x 1   x  1 ln 3 . 32 x 1  2  x  1 ln 3 D. y ‘  . 3x A. y ‘  B. y ‘  Lời giải Chọn A y’ Câu 4:  x  1  ‘.9 x   9 x  ‘.  x  1  9 2x Tính đạo hàm của hàm số A. y’  1  2x  2  ln 3  9 x  9 x  x  1  ln 9 9 2x  1  2  x  1  ln 3 32 x . y  log 3  2 x  2  . B. y ‘  1 x 1 C. y’  1  x  1 ln 3 D. y ‘  1 2x  2 C. y  2 . (2 x  1) ln 3 D. y   2 . 2x  1 Lời giải Chọn C Ta có y ‘  Câu 5: Cho hàm số A. y    2x  2  ‘  1 .  2x  2  ln 3  x  1 ln 3 y  log3 (2 x  1) , ta có: 1 . 2x 1 B. y  1 . (2 x  1) ln 3 Lời giải Chọn C Câu 6: Đạo hàm của hàm số y 1 là: log 2 x LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 123 A. y   ‘ ln 2 . x ln 2 x B. y  ‘ ln 2 . x ln 2 x C. y   ‘ x ln 2 . log 22 x D. y  ‘ x ln 2 . log 22 x Lời giải Chọn A y Câu 7: ‘  log 2 x   ‘ 2 ln x  ln 2 x ln 2 x Kết quả tính đạo hàm nào sau đây sai?    3 A. 3 x x    10 ln 3 B. 10 x x ln10 C.  log 3 x   1 x ln 3    e D. e 2x 2x Lời giải Chọn D    2e Ta có e Câu 8: 2x , suy ra D sai. f  x   x 2e x . Bất phương trình f   x   0 có tập nghiệm là: Cho hàm số A. 2x  2; 2 B.  ; 2  0;   C.  ;0   2;   D. 0; 2 Lời giải Chọn D f ‘ x  Câu 9: 2x  x2  0  2 x  x2  0  0  x  2 ex Đạo hàm của hàm số y  A. C. 3ln  x  2   x  1 2 x2 ln  x  2  là: x 1 . B. 1 ln  x  2  . x 1 D. x  1  3ln  x  2  .  x  1 3ln  x  2  ln  x  2  .  2 x 1  x  1 2 Lời giải Chọn B y’  Câu 10: 3  x  1 2 ln  x  2   Đạo hàm của hàm số y   2 x  1 ln 1  x  là. 2x 1 . 1 x 2x 1 . 2 ln 1  x   1 x A. 2 ln 1  x   3ln  x  2  1 x2 1 .   2 x 1 x  2 x 1  x  1 B. 2 x ln  x  1 . C. 2x 1  2x . 1 x D. Lời giải Chọn A 2x 1 1  2 ln 1  x   y   2 x  1 .ln 1  x    2 x  1 .  ln 1  x    2.ln 1  x    2 x  1 . 1 x 1  x  Câu 11: Đạo hàm của hàm số  x 1  y  log 2   là:  ln x  LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 124 A. x ln x  1  x . x  x  1 ln 2 B. x ln x  1  x .  x  1 ln x ln 2 C. x ln x  1  x .  x  1 ln 2 D. x ln x  1  x . x  x  1 ln 2.ln x Lời giải Chọn D ‘  x 1     ln x   x ln x  1  x . ‘ Ta có: y  x 1 ln 2 x  x  1 ln 2.ln x ln x Câu 12: Cho hàm số f  x   2 A. x2 a 2  a  0 và f ‘ 1  2ln2. Mệnh đề nào sau đây đúng? B. 0  a 1 C. a 1 D. a  2 Lời giải Chọn A Ta có f ‘  x   2x.2 Câu 13: x2 a ln 2  f ‘ 1  2 ln 2.2a 1  2 ln 2  2a 1  1  a  1 1 . Hệ thức nào sau đây đúng? x Cho hàm số y  ln A. e  y ‘  0 B. e  y ‘  0 y C. e . y ‘  0 y y D. e . y ‘  y 1 x2 Lời giải Chọn A / y’ Ta có 1 1 1 1 1  1      x.   2    , e y  ln e x   y ‘ e y  0 1 x x x  x  x Dạng 3. So sánh, Đẳng thức, bất đẳng thức Câu 1: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?  10    11  2,3 A.   3,1 7,3 2 2,3  12    .  11  2 7 8   . 9 9 B.   C.  2,5  3,1   2,6  3,1 . D.   4,3 . 7,3 Lời giải Chọn A  a, b  1  x x Dùng tính chất:  a  b  a  b x  0  Câu 2:  Nếu 7  4 3 A.  a1  7  4 3 thì a 1 B. a 1 C. a0 D. a0 Lời giải Chọn D  BPT  7  4 3  a 1   74 3  1  a  1  1  a  0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 125 Câu 3:   Cho    với ,   . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A.    B.    C.    D.    Lời giải Chọn A Câu 4: Cho M  log 0,3 0,07; N  log3 0,2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. 0  N  M . B. M  0  N . C. N  0  M . D. M  N  0. Lời giải Chọn B 0  0,3  1  M  log 0,3 0,07  0 0  0,07  1 + Ta có:  3  1  N  log 3 0, 2  0  0  0, 2  1 + Suy ra: M  0  N Câu 5: Mệnh đề nào dưới đây sai? A.  2 1  C.  3 1  2017 2018   2 1    3 1  .  2 B.  1    2   . D. 2018 2017 2 2 1 2019  2   1   2   2018 . 2 3. Lời giải Chọn C  2018  2017 nên  3  1  1  Do  Câu 6:  3 1 2018    3 1 2017 . Cho 0  a  1; ,   . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?  A. a  a a B. a a   a   a  0 C. a   a   D. a   a  Lời giải Chọn D a  Câu 7:  a  Có kết luận gì về a nếu  2a  1   1  2  3   2a  1 1 1  A. a  ; 1    ; 0  C. B.   1  a  ; 1    ; 0   6     1 a  ; 1   0;   2      D. a  ; 2  1; 0  Lời giải Chọn A 1 2 Điều kiện xác định: 2a  1  0  a   .  Ta có: 1   1 2a  1 3 1  2a  1 1   3 2a  1 2a  1 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133    2 0   0 2a  1 a a 1 3 126  1  a  0 Lập bảng xét dấu ta được:  2 .  a 1    Câu 8: Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào sai? A. log 2 5  log 2  B. log   log 2 1 2 1 e C. log 3 1   log 3 1 7 D. log 7 5  1 Lời giải Chọn C 3  1  1 do đó   7  log Ta có: Câu 9: Cho 3 1   log 3 1 7. 0  a  1 , b  1 và M  log a 2 , N  log 2 b . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng? M  0 và N  0 . N  0. A. M  0 và N  0 . B. C. M  0 và N  0 . D. M 0 C. a  1. D. 0  a  1. và Lời giải Chọn D Câu 10: Với những giá trị nào của a thì  a  1 A. 1 a  2. B.  2 3 1   a  1 3 ?  a  2. Lời giải Chọn A  2 1   3  0  a 1  1  1  a  2 . Vì  3  a  1  23  a  1  13     19 Câu 11: 15 5 7 Nếu a < a và logb ( ) 2 + 7 > logb A. a  1, 0  b  1 ( ) 2 + 5 thì: B. 0  a  1, b  1 C. 0  a  1, 0  b  1 D. a  1, b  1 Lời giải Chọn B 19 15 a 5  a 7 vì mũ không là số nguyên nên a  0 . Mặt khác log b Câu 12:   2  7  logb   19 15 nên a  1  0  a  1  5 7 2  5 để có nghĩa thì 1  b  0 và 2  7  2  5 nên b  1 Cho các số thực a,b thỏa mãn a  b  1. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. log a b  logb a B. log a b  logb a C. ln a  ln b D. log 1  ab   0 2 Lời giải Chọn A Cho a  4; b  2 ta có: log a b  1 ;log b a  2 nên A sai. 2 3 Câu 13: Cho a, b là các số thực dương, thỏa mãn A. a  1, 0  b  1 4 1 2  log b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 3 C. 0  a  1, 0  b  1 D. a  1, b  1 a 4  a 3 và log b B. 0  a  1, b  1 Lời giải Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 127 3 4 Mặt khác log b   Ta có a 4  a 3  0  a  1 do Câu 14: 3 4   4 3 1 2  2 1  log b  b  1 do   2 3  3 2 Cho hai số thực a và b sao cho với a nào là đúng? A. a  1; b  1. 5 3 4  a 4 và log b    log b   . Trong các mệnh đề sau mệnh đề 4 5 B. a  1; 0  b  1 . C. 0  a  1; b  1. D. 0  a  1;0  b  1. Lời giải Chọn C 3 4   5  4 4 5  0  a  1 và  Ta có  5  b  1. 4 a  a log b  3   log b  4   4 5 Vậy 0  a  1; b  1. Câu 15: Cho    2 1 a  b 2  1 . Kết luận nào sau đây đúng? a b. A. B. ab. C. a b. D. ab. D. a0 Lời giải Chọn B Câu 16: Do 0  2  1  1 nên hàm số mũ y   2 1  a   2 1  b  2 1 x nghịch biến trên  và ta có:  ab a5  7 a 2 5 2 B. a 21 7 Tìm tập tất cả các giá trị của a để A.  0  a 1 21 C. a 1 Lời giải Chọn A 5 21 Câu 17: 2 a 5  7 a 2  a 21  a 7  0  a  1 1 e B. p  q 2p  q , n  e p  2q , biết m  n. So sánh p và q Cho p, q là các số thực thỏa mãn m    A. pq C. pq D. pq Lời giải Chọn D 1 e Ta có m    Câu 18: Cho 3 A. 2p  q  eq  2p , n  e p  2q . Vì m  n nên q  2p  p  2q  q  p. a  1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? a2 1 a B. a  3  1 1 a C. 5 a3  a D. 1 a 2016  1 a 2017 Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 128 Chọn B a  1  vưới m  n thì a m  a n Do Do  3   5  a Câu 19:  3  1 5 a  1 a5 0  a  1. Khẳng định nào đúng? 1 a  2  3 A. a B. 1 3 2 a a Cho 1 C. a3  a D. 1 a 2017  1 a 2018 Lời giải Chọn A Phương pháp: Xét hàm số có dạng y  a , a  0, a  1: x + Nếu 0  a  1 hàm số nghịch biến trên  ;   + Nếu a  1 : hàm số đồng biến trên  ;   Cách giải: Với 0  a a 2 a 3 a 2 1  a 3  1 a 2  1:  1 a 3 a 2 a 3  0  a  1 (luôn đúng). Vậy phương án A đúng.  1  3 a  1  a  1 (Loại). Vậy phương án B sai. 1 3 1 1 a  a  a 3  a 2  a  1 (Loại). Vậy phương án C sai. 1 1  2018  a 2017  a 2018  a  1 (Loại). Vậy phương án D sai. 2017 a a Câu 20: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Khi x  0 thì log 2 x 2  2 log 2 x. B. Khi 0  a  1 và b  c thì ab  a c . C. Với a  b thì log a b  logb a  1. D. Điều kiện để x 2 có nghĩa là x  0. Lời giải Chọn C Đáp án C sai vì với Câu 21: 1  log a b  logb a  1  log a b ab logb a  1 Cho a là số thực dương khác 1. Xét hai số thực x1 , x2 . Phát biểu nào sau đây đúng? A. Nếu a x1  a x2 thì x1  x2 . B. Nếu a x1  a x2 thì x1  x2 . C. Nếu a x1  a x2 thì  a  1 x1  x2   0. D. Nếu a x1  a x2 thì  a  1 x1  x2   0. Lời giải Chọn C a  1: a x1  a x 2  x1  x 2   a  1 x1  x 2   0.  x x a  1: a 1  a 2  x1  x 2 Dạng 4. GTLN và Gtnn của hàm số Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số A. min y  e. 0;3 B. y   x  2  e x trên  0; 4 . min y  0. C. 0;3 min y  2e 2 . 0;3 D. min y  2e 4 . 0;3 Lời giải Chọn A LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 129 Em có y  e x  x  1 , y  0  x  1   0; 4  . Khi đó y  0   2, y 1   e, y  3   2e 4 . Vậy Câu 2: min y  y 1  e. 0;3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số A. max y  2e B. x 0;1 y  x  e2x trên đoạn  0;1. max y  e 2  1 C. x0;1 max y  e 2 D. x 0;1 max y  1 x 0;1 Lời giải Chọn B Xét hàm số 2x y  x  e 2x trên đoạn  0;1 , ta có y ‘  1  2e  0 x   0;1 . Suy ra hàm số đã cho là hàm số đồng biến trên Câu 3: y  y 1  1  e 2 . 0;1 . Khi đó max 0;1 1;3 là Giá trị lớn nhất của hàm số y   x  2  e trên 2 A. e . B. x 3 0. 4 C. e . D. e . Lời giải Chọn C y  2  x  2  e x   x  2  e x  e x  x 2  2 x  . 2 x  0 3 . Ta có: y 1  3; y  3  e ; y  2   0 . y  0   x  2  Vậy GTLN của hàm số y   x  2  e trên 2 Câu 4: x 1;3 là e3 . 1  Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  x ln x trên đoạn  ; e  lần lượt là  2e  A. M  e, m   C. M   1 1 ln  2e  B. M  e, m   2e 2e 1 ln  2e  , m  e 1 2e D. M  e, m   1 e Lời giải Chọn D 1 1 1  y ‘  1.ln x  x.  ln x  1  0  ln x  1  x    ; e  x e  2e  ln 2  1 1 1  1  1 ; y  e   e; y      M  Maxy  e; m  min y    2e e e  2e  e Ta có y  Câu 5: 1  Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y  x  ln x trên đoạn  2 ; e  lần lượt là e 1 A. 1 và B. 1 và e C. 1  ln 2 và e  1 2 D. 1 và 1  ln 2 2 Lời giải Chọn A 1 x 1 1 1 0  0  x  1 . Ta có y     ln 2; y 1  1; y  e   e  1 x x 2 2  Maxy  e  1; Miny  1 Ta có: y ‘  1 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 130 Câu 6: Giá trị lớn nhất của hàm số A. max y  4  2 ln 2 y  x  2  ln x  trên đoạn  2;3 là B.  2;3 max y  1 C.  2;3 max y  e  2;3 D. max y  2  2 ln 2 2;3 Lời giải Chọn C Xét hàm số: Có y  x  2  ln x  trên  2;3 y ‘  x   2  ln x  1  1  ln x y ‘  x   0  1  ln x  0  ln x  1  x  e   2;3 y (2)  4  2 ln 2; y (e)  e; y (3)  6  3ln 3 Vậy Câu 7: max y  y  e   e  2;3 Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số A. M  e  2 , m  e 2 C. M  e 2 2  2.  1, m  1. y  x 2  2ln x trên  e 1 ; e  là 2 B. M  e  2 , m  1 . 2 D. M  e  2 , m  1 . Lời giải Chọn D ĐKXĐ: x0 y  x 2  2ln x  y  2 x  y  0  Ta có: 2 2 x2  2  x x 2×2  2  0  2 x 2  2  0  x  1  x  1  e 1 ;e  x y 1  1 , y  e   e 2  2 , y  e-1   e 2  2  M  e2  2 , m  1. Câu 8: M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 2  4 ln 1  x  trên đoạn  2;0 Tích M.m là B. 1  4 ln 2. A. 0. C. 4 ln 2  1. D. 4 ln 2. Lời giải Chọn A y  2x  4 2x 2  2x  4  1 x 1 x  x  1   2; 0  Cho y  0  2x  2x  4  0   2  x  2   2; 0  f  1  1  4 ln 2 ; f  2   4  4 ln 3 ; f  0   0  Trong các kết quả trên, số nhỏ nhất là: 1 – 4ln2, số lớn nhất là: 0  Vậy, m  min y  1  4 ln 2 khi x = –1; M  max y  0 khi x = 0  2;0  2;0 Suy ra M.m = 0 Câu 9: Gọi M , tổng N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 2 .e x trên đoạn  1;1 . Tính M N . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 131 M  N  3e . M  N  2e  1 . A. B. M N e. C. M  N  2e  1 . D. Lời giải Chọn B Ta có y  2 xe x  x 2 e  x  xe  x  2  x  . Cho y   0  xe Khi đó x x  0  N  2  x  0    x  2  L  1 y  1  e ; y 1  ; y  0   0 . e Do đó m  Min y  0 tại  1;1 Vậy . x  0 và M  Max y  e tại x  1 .  1;1 M me. Dạng 5. Nhận dạng đồ thị Câu 1: Cho a là số thực dương khác 1. Hình nào sau đây là đồ thị của hàm số mũ A. B. C. D. Lời giải Chọn C Hàm số Câu 2: Biết y y  ax ? y  a x có tập xác định là  và tập giá trị là  0;   (C1), (C2)  3  , y   x ở hình bên x là hai trong bốn đồ thị của các hàm số x 1  1 x  , y  5 , y   3  . Hỏi (C2) là đồ thị của hàm số nào sau đây? 2   LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 132 A. y   3  1  B. y     2 x x C. y5 1 D. y    3 x x Lời giải Chọn A – Ta thấy (C1), (C2) đều có hướng đi lên khi x tăng  (C1), (C2) đồng biến  x   . x  1  – Mà hàm y  a đồng biến khi a  1 , nghịch biến khi 0  a  1 . Do đó ta loại hàm y    và  2 x x 1 y  . 3 – Xét khi x  0 thì (C1) ở trên (C2)  y  C1   y  C2  . Mà 5  x  3 x   C2  : y   3 . x x Câu 3: Đối xứng qua đường thẳng y  x của đồ thị hàm số y  5 2 là đồ thị nào trong các đồ thị có phương trình sau đây? A. y  log 5 x B. y  log 5 x 2 C. y  log 5 x D. 1 y  log5 x 2 Lời giải Chọn A Ta đưa hàm số về dạng: x 2 y5   5 x . Dựa vào lý thuyết “Hai hàm số y  a x , y  log a x có đồ thị đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x” Hoặc thay x = y và y = x ta có x  Câu 4:  5 y  y  log 5 x Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 1 A. y    2 C. x y  log 2 x B. y  x2 D. y  2x Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có tập xác định là  và đồng biến trên  Do đó chỉ có đáp án D thỏa mãn LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 133 Câu 5: Tìm a để hàm số A. a  log a x  0  a  1 có đồ thị là hình bên 2 B. a2 C. a 1 2 D. a 1 2 Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số đi qua điểm  2; 2   log a 2  2  a  2  a  2 Câu 6: Nếu gọi 2  G1  là đồ thị hàm số y  a x và  G 2  là đồ thị hàm số y  loga x với 0  a  1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?  G1  và  G 2  đối xứng với nhau qua trục hoành. B.  G1  và  G 2  đối xứng với nhau qua trục tung. C.  G1  và  G 2  đối xứng với nhau qua đường thẳng y  x D.  G1  và  G 2  đối xứng với nhau qua đường thẳng y   x A. Lời giải Chọn C A  m; n    G1   a m  n  m  log a n  B  n; m    G 2  Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y  x Mọi điểm Do đó Câu 7:  G1  và  G 2  đối xứng nhau qua đường thẳng Cho hai hàm số yx y  a x , y  b x với a, b là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là (C ) và (C ) 1 2 như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 0  a  b 1 B. 0  b 1 a C. Lời giải 0  a 1 b D. 0  b  a 1 Chọn B Câu 8: – Đồ thị hàm số (C1 ) đồng biến nên y ‘  a x ln a  0  a  1 – Đồ thị hàm số (C2 ) nghịch biến nên y ‘  b x ln b  0  0  b  1 . Do đó 0  b  1  a Cho hai hàm số y  log a x, y  logb x có đồ thị  C1  ,  C2  , được vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ. Mệnh đề nào sau đây đúng? LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 134 A. 0  b  a  1. B. 0  b  1  a. C. Lời giải 0  a  b  1. D. 0  a  1  b. Chọn B Câu 9: Ta thấy đồ thị hàm số logb x nghịch biến nên 0  b  1 Ta thấy đồ thị hàm số log a x đồng biến nên a  1 Cho a  0, b  0, b  1. Đồ thị các hàm số y  a x và y  logb x cho như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. a  1; 0  b  1. B. 1  a  0; b  1. C. 0  a  1; 0  b  1. D. a  1; b  1. Lời giải Chọn A Quan sát đồ thị ta thấy. Hàm số y  a x đồng biến  a  0 . Hàm số y  logb x nghịch biến  0  b 1 Câu 10: Cho đồ thị hàm số y  a x và y  logb x như hình vẽ: Khẳng định nào sau đây đúng? LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 135 A. 0  a  1 b 2 0  a  1,0  b  B. 0  a 1 b C. 0  b 1 a D. 1 2 Lời giải Chọn B + Xét hàm số y  a x đi qua  0;1 suy ra đồ thị hàm số (1) là đường nghịch biến, suy ra 0  a  1 . + Xét hàm số y  logb x đi qua (1;0) suy ra đồ thị hàm số (2) là đường đồng biến suy ra b>1. Suy ra Câu 11: 0  a  1  b. Cho 3 số a, b, c  0, a  1, b  1, c  1. Đồ thị các hàm số y  a x , y  a x , y  c x được cho trong hình vẽ dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. bca B. acb C. Lời giải abc D. cab Chọn B Ta có hàm số 10 có b Câu 12: y  b x ; y  c x đồng biến, hàm số y  a x nghịch biến nên a  1; b, c  1 . Thay x  10 , ta  c10  b  c Cho các hàm số y  a x , y  logb x, y  log c x có đồ thị như hình vẽ. Chọn khẳng định đúng. A. c b  a. B. b  a  c. C. a b  c. D. b  c  a. Lời giải: Chọn A Hàm số y  a x đồ thị có dáng đi xuống từ trái sang phải nên nghịch biến trên  do đó 0  a  1 (1). Hai hàm số y  logb x và y  log c x đồ thị có dáng đi lên từ trái sang phải nên đồng biến trên khoảng  0;   do đó b  1  a, c  1  a (2). Quan sát đồ thị ta thấy với 0  x  1 thì logb x  log c x , suy ra c  b . Quan sát đồ thị ta thấy với x  1 thì logb x  log c x , suy ra c  b . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 136 Suy ra 1  b  c (3) Từ (1), (2), (3) suy ra Cách khác: c b  a. a  1 , b  1 , c  1 . Nên a là số nhỏ nhất. Xét đường thẳng y  1 cắt đồ thị hai hàm số y  log b x và y  log c x lần lượt tại các điểm B  b;1 và Dễ thấy C  c;1 (hình vẽ). Dễ thấy Câu 13: c  b vậy c  b  a . Hình vẽ dưới đây vẽ đồ thị của 3 hàm số mũ. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. a  b  c. B. a  c 1 b . C. Lời giải b  c 1 a . D. b  a  c. Chọn B Dựa vào đồ thị ở hình Vẽ đường thẳng cắt đồ thị hàm số với Câu 14: 5 ta thấy đồ thị của hàm số y  b x là nghịch biến nên 0  b  1 . x  1 ta có đường thẳng x  1 cắt đồ thị hàm số y  a x tại điểm có tung độ y  a và y  c x tại điểm có tung độ là y  c . Khi đó điểm giao với y  a x nằm trên điểm giao y  c x nên a  c  1 . Vậy a  c  1  b . Trên hình 2.13, đồ thị của ba hàm số y  a x , y  b x , y  cx (a, b, c là ba số dương khác 1 cho trước) được vẽ trong cùng một mặt phẳng tọa độ. Dựa vào đồ thị và các tính chất của lũy thừa, hãy so sánh ba số a, b và c A. cba B. bca C. a  c  b D. a bc Lời giải Chọn C Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng: Hàm số y  a x là hàm số đồng biến; hàm số y  b x , y  c x là hàm số nghịch biến. Suy ra 0  b  1 1 a  1 và   a  b;c . Gọi B  1; y B  thuộc đồ thị hàm số y  b x  y B  ;   0 c 1 b  LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 137 Và C  1; yC  yB  yC  Câu 15: thuộc đồ thị hàm 1 y  cx  yC  . c số Dựa vào đồ thị, ta có 1 1   c  b. b c Cho a, b, c là ba số thực dương và khác 1. Đồ thị các hàm số y  log a x, y  log b x, y  log c x được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. abc B. cab C. Lời giải cba D. bca Chọn B Hàm số y  log c x nghịch biến  0  c  1, các hàm y  log a x, y  log b x đồng biến nên a; b  1 Chọn x  100  log a 100  log b 100  a  b  c  a  b. Câu 16: Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y  log a x, y  b x , y  c x được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. bca B. abc C. cab D. cba Lời giải Chọn D Hàm số y  c x là hàm nghịch biến nên 0  c  1 . Hàm số y  b x là hàm đồng biến nên b  1 Hàm số y  log a x là hàm đồng biến nên a  1 . Lấy đối xứng đồ thị hàm y  log a x qua đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng toạ độ ta có đồ thị hàm số y  a x tăng nhanh hơn đồ thị hàm số y  b x nên a b LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 138 BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương trình mũ cơ bản Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng a x  b –  a  0; a  1 Nếu b  0 thì phương trình có duy nhất một nghiệm x  log a b ; – Nếu b  0 hoặc b  0 thì phương trình vô nghiệm. 2. Cách giải một số phương trình mũ cơ bản a) Đưa về cùng cơ số a A x   a B x   A  x   B  x  ,  a  0, a  1 b) Phương pháp đặt ẩn phụ  a 2 x   .a x    0 . Đặt t  a x ,  t  0  c) Logarit hóa Nếu phương trình cho ở dạng a f (x ) ì 0 < a ¹1 ï ï ï . =bï íb > 0 ï ï ï f ( x ) = log a b ï î II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Phương trình logarit cơ bản: là phương trình có dạng log a x  b với 0 < a ¹ 1 log a x  b  x  ab 2. Cách giải một số phương trình mũ cơ bản a) Đưa về cùng cơ số a  0, a 1  f ( x )  0 ( hoac g ( x )  0)  log a f  x   log a g  x     f  x   g  x  b) Phương pháp đặt ẩn phụ  log 2a x   .log a x    0 . Đặt t  log a x,  x  0  c) Mũ hóa  f ( x )  0 log a f  x   b   b  f  x   a B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số Câu 1: Phương trình 22 x1  32 có nghiệm là 5 2 A. x  . B. x  2 . 3 2 C. x  . D. x  3 . Lời giải Chọn B Ta có 22 x1  32  2 x  1  5  x  2 . LỚP TOÁN THÀY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 139 Câu 2: 1 Phương trình   7 x2  2 x 3  7 x 1 có bao nhiêu nghiệm?   A. 0 . B. 1 . C. 2 . Lời giải D. 3 . Chọn C 1   7 Câu 3: x2  2 x 3 7 x 1 1   7 x2  2 x  3 1   7  x 1  x2  2 x  3   x  1  x2  x  4  0  x  1  17 2 Phương trình log 2 x  log 2  x  2  có bao nhiêu nghiệm? A. 0 . B. 2 . C. 3 . Lời giải D. 1 . Chọn A log 2 2 log x  log 2  x  2  x  log 2  x  2    2  x  0   x1  1  x2  x  2  x2  x  2  0       x2  2  x  2 . x x   0 0   x  0  Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm. Câu 4: Số nghiệm của phương trình log 3  x 2  4 x   log 1  2 x  3  0 là 3 A. 3 . B. 2 . C. 1 . Lời giải D. 0 . Chọn C  x  0  x  4x  0  x  4    x 0. Điều kiện  x   2 3 0 3    x   2 2 Phương trình đã cho  log 3  x 2  4 x   log 3  2 x  3  x  1  x 2  4 x  2 x  3  x 2  2x  3  0   .  x  3 Kết hợp điều kiện ta được x  1 . x Câu 5: 4 7 3 x1  Tập nghiệm S của phương trình     7 4 1 A. S     . 16  0 là 49 1 1 C.  ;   . B. S  2 .  2 2 2 D. S   ; 2  . 1  2  Lời giải Chọn A x 4 7 Ta có     7 4 Câu 6: 3 x1  16 4 0   49 7   Cho phương trình 7  4 3 x 2  x 1 2 x 1  2 1 4     2 x  1  2  x   . 2 7  2 3  x2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Phương trình có hai nghiệm không dương. B. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu. D. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. LỚP TOÁN THÀY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 140 Lời giải Chọn A Do 7  4 3   2  3  nên phương trình ban đầu tương đương với 2 2  3   2 x 2  x 1   2 3  x2 x  0  2 x2  2 x  2  x  2  2 x2  x  0   . x   1  2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm không dương. Câu 7: Nghiệm của phương trình log 2  x  1  1  log 2  3x  1 là A. x  3 . B. x  2 . C. x  1 . Lời giải D. x  1 . Chọn A  x  1 x 1  0 1   Điều kiện xác định  1 x .  3 1 0   x 3  x   3 Khi đó phương trình trở thành log 2  2 x  2   log 2  3x  1  2 x  2  3x  1   x  3  x  3 . Vậy phương trình có nghiệm x  3 . Câu 8: Số nghiệm thực của phương trình 3log 3  x  1  log 1  x  5   3 là 3 3 A. 3 B. 1 C. 2 Lời giải D. 0 Chọn B Điều kiện: x  5 3log 3  x  1  log 1  x  5   3  3log3  x  1  3log3  x  5  3  log3  x  1  log3  x  5  1 3 3  log 3  x  1 x  5    1   x  1 x  5  3  x2  6x  2  0  x  3  7 Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm x  3  7 Câu 9: Nghiệm của phương trình 2 x 1.4 x 1. A. x  3. 1  16 x là 81 x B. x  1. C. x  4. Lời giải D. x  2. Chọn D 2 x 1.4 x 1. 1 2 x 1 3 x 1  16 x  2 x 1.2  .2    24 x 81 x  x  1  2  x  1  3  x  1  4 x  x  2. Câu 10: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 x A. 1 . B. 1 . 2  2 x 1 .3x 2 2 x  18 bằng C. 2 . Lời giải D. 2 . Chọn C 2 2 x2  2 x Ta có 2 x  2 x 1.3x  2 x  18  6  36  x 2  2 x  2  x 2  2 x  2  0 . Phương trình x 2  2 x  2  0 có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí vi-et tổng hai nghiệm của phương trình là: x1  x2  2 . LỚP TOÁN THÀY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 141 Câu 11: Tổng các nghiệm của phương trình log 3  x  2   log3  x  4 2  0 là S  a  b 2 . Giá trị của biểu thức Q  a.b bằng A. 0. B. 3. C. 9. Lời giải D. 6. Chọn D Điều kiện: 2  x  4 . Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương 2log3  x  2   2log3 x  4  0  log3  x  2  x  4  0   x  2  x  4  1  x  2  x  4   1  x2  6x  7  0 x  3  2   2  x  3  x  2  x  4   1  x  6 x  9  0 So lại điều kiện, ta nhận hai nghiệm x1  3  2; x2  3 Ta được: S  x1  x2  6  2  a  6; b  1 . Vậy Q  a.b  6 . Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Câu 1: Cho phương trình 4 x  2 x1  3  0 . Khi đặt t  2x , ta được phương trình nào dưới đây? A. 2t 2  3  0 . B. t 2  t  3  0 . C. 4t  3  0 . Lời giải D. t 2  2t  3  0 . Chọn D 4 x  2 x 1  3  0   2 x   2.2 x  3  0 2 Đặt t  2x  t  0  . Phương trình trở thành t 2  2t  3  0 Câu 2: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình log 22 x  3log 2 x  2  0 . Tính P  x1  x2 . A. 6 . B. 3 . C. 2 . Lời giải D. 3 . Chọn A log x  1 x  2 log 22 x  3log 2 x  2  0   2 .  1 log 2 x  2  x2  4 Vậy P  x1  x2  2  4  6 . Câu 3: Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình log 22 x  3log 3 x.log 2 3  2  0 A. 20 B. 18 C. 6 Lời giải D. 25 Chọn A  log x  1 log 22 x  3log 3 x.log 2 3  2  0  log 22 x  3log 2 x  2  0   2   log 2 x  2 Câu 4:  x1  2 2 2  x  4  x1  x2  20  2 Phương trình 6 2 x 1  5.6 x 1  1  0 có hai nghiệm x1 , x2 . Khi đó tổng hai nghiệm x1  x2 là. A. 5. B. 3. C. 2. Lời giải D. 1. Chọn D 62 x 1  5.6 x 1  1  0  x 6 x1  2 62 x 5.6   1  0  62 x  5.6 x  6  0   x . 6 6 6 2  3  6 x1 .6 x2  3.2  6 x1  x2  6  x1  x2  1 . Câu 5: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 32 x  2.3x 2  27  0 bằng LỚP TOÁN THÀY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 142 A. 18. B. 27. C. 9. Lời giải D. 3. Chọn D Ta có: 32 x  2.3x  2  27  0  32 x  18.3x  27  0 . Đặt t  3x  t  0  . Phương trình trở thành: t 2  18t  27  0. Nhận thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt t1 ; t2  0 . Khi đó, t1 .t2  27 suy ra 3x .3x  27  3x  x  27  x1  x2  3 . 1 Câu 6: 2 1 2 Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình log 21 x  5 log 3 x  4  0 . Tính T . 3 A. T  4 . B. T  5 . C. T  84 . Lời giải D. T  4 . Chọn C log 3 x  1 x  3 .   x  81 log 3 x  4 Phương trình log 21 x  5log 3 x  4  0  log 32 x  5 log 3 x  4  0   3 Vậy T  3  81  84 . Câu 7: Phương trình 9 x  6 x  22 x1 có bao nhiêu nghiệm âm? A. 3 B. 0 C. 1 Lời giải D. 2 Chọn B 2x x Ta có: 9 x  6 x  22 x1  9 x  6 x  2.4 x        2  0 2 2 3 3  3  x    1 L  2  x  log 3 2 .  x  2  3   2  2  Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm. Câu 8:  Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình 2  3 A. 2. B. 3 .   2  3  x x  4 . Khi đó x12  2 x22 bằng C. 5. Lời giải D. 4. Chọn B 1 Ta có:  2  3  .  2  3   1 . Đặt t   2  3  , t  0   2  3   . x x x x t 1 t Phương trình trở thành: t   4  t 2  4t  1  0  t  2  3 . Với t  2  3   2  3   2  3  x  1 . x Với t  2  3   2  3   2  3   2  3    2  3   x  1 . x 1 x Vậy x12  2 x22  3 . Câu 9: Biết rằng phương trình log 22 x  log 2  2018x   2019  0 có hai nghiệm thực x1 , x2 .Tích x1 x2 bằng A. log 2 2018 B. 0,5 C. 1 D. 2 Lời giải Chọn D LỚP TOÁN THÀY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 143 log 22 x  log 2  2018 x   2019  0 . 1 Điều kiện x  0. Đặt t  log 2 x . Phương trình trở thành t 2  t  log 2 2018  2019  0.  2  Do ac  0 nên phương trình  2  có hai nghiệm t1 , t2 . Khi đó phương trình 1 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn t1  log 2 x1 ; t2  log 2 x2 . Theo Vi-et ta có t1  t2  1 hay log 2  x1 x2   1  x1 x2  2 . Câu 10: Tìm số nghiệm thực của phương trình log 22 x 2  log 4  4 x 2   5  0 . A. 2 B. 4 C. 1 Lời giải D. 3 Chọn B Điều kiện x  0 . 1 2 Phương trình log 22 x 2  log 4  4 x 2   5  0  log 22 x 2  log 2 x 2  6  0  log 2 x 2  1  97 1  97  log 2 x 2  4 4 . Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Câu 11: Cho phương trình log 5  5 x  1 .log 25  5 x 1  5   1 . Khi đặt t  log 5  5 x  1 , ta được phương trình nào dưới đây? A. t 2  1  0 B. t 2  t  2  0 C. t 2  2  0 Lời giải D. 2t 2  2t  1  0 Chọn B log 5  5 x  1 .log 25  5 x 1  5   1 1 TXĐ: D   0;   . Ta có log 25  5 x 1  5   log 5  5.5 x  5   2 Đặt t  log 5  5 x  1  t  0  .  . 1 log 5  5 x  1  1 2 1 2 Phương trình 1 trở thành t.  t  1  1  t 2  t  2  0 . Câu 12: Tích tất cả các nghiệm của phương trình 3x  34 x  30 bằng A. 3 . B. 1 . C. 9 . Lời giải Chọn A 3x  34  x  30  3x  D. 27 . 81  30 . 3x Đặt t  3x  t  0  , phương trình đã cho trở thành: 81  30  t 2  30t  81  0 t t  27  3x  27  x  3  x t  3  3  3  x  1 t Vậy tích tất cả các nghiệm của phương trình là 1.3  3 . Câu 13: Biết phương trình 2 log 2 x  3log x 2  7 có hai nghiệm thực x1  x2 . Tính giá trị của biểu thức T   x1  x2 A. T  64 . B. T  32 . LỚP TOÁN THÀY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 C. T  8 . D. T  16 . 144 Lời giải Chọn D x  0 Điều kiện:  . x  1 Ta có: 2 log 2 x  3log x 2  7  2 log 2 x  3 7 log 2 x log 2 x  3 x  8  2 log 22 x  7 log 2 x  3  0    1 log 2 x  x  2  2  x1  2 ; x2  8  T   x1   x2 2  2 8 .  16 . 2 Câu 14: Phương trình 3.9 x  x 1  10.3x  x 1  3  0 có tổng các nghiệm thực là: A. 2 . B. 0 . C. 1 . Lời giải Chọn D Đặt t  3x  x 1 , điều kiện t  0 . D. 2 . 2 t  3 t  1  3 Khi đó phương trình đã cho có dạng: 3t 2  10t  3  0   x  1  x  2 2 Với t  3  3x  x 1  3  x 2  x  1  1  x 2  x  2  0   1 3 2 x  0  x  1 1 3 Với t   3x  x 1   x 2  x  1  1  x 2  x  0   Tập nghiệm của phương trình là S  2; 1;0;1 nên tổng tất cả các nghiệm thực là 2 . Câu 15: Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 16 x  m.4 x 1  5m2  45  0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A. 13 B. 3 C. 6 Lời giải D. 4 Chọn B Đặt t  4x ,  t  0 . Phương trình trở thành: t 2  4mt  5m2  45  0 . Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt t  0 .  m 2  45  0  3 5  m  3 5  '  0  2     P  0  5m  45  0  m  3  m  3  3  m  3 5 . m  0 4m  0 S  0    Vì m nguyên nên m  4;5;6 . Vậy S có 3 phần tử. Câu 16: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 4 x  m.2 x 1  2m  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  3 ? A. 2 . B. 0 . C. 1 . D. 3 . Lời giải Chọn C Phương trình  4x  2m.2x  2m  0 1 Đặt t  2 x , t  0 phương trình trở thành t 2  2m.t  2m  0  2  . LỚP TOÁN THÀY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 145 Để phương trình 1 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  3 điều kiện là phương trình  2 có hai nghiệm t1 , t2  0 thỏa mãn t1 .t2  2 x1 .2 x2  2 x1  x2  8 suy ra 2m  8  m  4 . Câu 17: Tìm giá trị thực của m để phương trình log 32 x  m log 3 x  2 m  7  0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 x2  81. A. m  4 B. m  44 C. m  81 Lời giải D. m  4 Chọn D Đặt t  log 3 x ta được t 2  mt  2m  7  0 , tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm t1 , t2 t1  t2  log3 x1  log3 x2  log3  x1 x2   log3 81  4 Theo vi-et suy ra t1  t2  m  m  4 Dạng 3. Phương pháp logarit hóa, mũ hóa Câu 1: Số nghiệm của phương trình  x  2  log 0,5  x 2  5 x  6   1  0 là A. 1. B. 0. C. 3. Lời giải D. 2. Chọn D x  3 . x  2 ĐKXĐ: x 2  5 x  6  0   Kết hợp ĐKXĐ ta có:  x  2  log 0,5  x 2  5 x  6   1  0  log 0,5  x 2  5 x  6   1 x  1 .  x 2  5 x  6  0,51  x 2  5 x  4  0   x  4 Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy phương trình đã cho có 2 nghiệm. Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 9  7  2 Câu 2: Tập nghiệm của phương trình log 2  x 2  x  2   1 là A. 0 . B. 0;1 . C. 1;0 . D. 1 . Lời giải Chọn B x  0 . x  1 Ta có: log 2  x 2  x  2   1  x 2  x  2  2   Câu 3: Nghiệm của phương trình log  x  1  2 là A. 5 . B. 21 . C. 101 . Lời giải D. 1025 . Chọn C Điều kiện của phương trình là x  1 . log  x  1  2  x  1  102  x  101 . Vậy x  101 thỏa mãn điều kiện nên phương trình đã cho có nghiệm là x  101 . Câu 4: Tập nghiệm của phương trình log 2 x  log 4 x  log16 x  7 là: A. 16 . B.  2 . C. 4 . D. 2 2 . Lời giải Chọn A LỚP TOÁN THÀY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 146 Điều kiện: x  0 . 1 1 7 log 2 x  log 4 x  log16 x  7  log 2 x  log 2 x  log 2 x  7  log 2 x  7. 2 4 4  log 2 x  4  x  24  x  16 . Câu 5: Tích các nghiệm của phương trình 2 x A. 3log 2 3 . 2 1  32 x  3 bằng B.  log 2 54 . C. 4 . D. 1  log 2 3 . Lời giải Chọn B Ta có: 2 x 2 1  32 x  3  x 2  1   2 x  3  log 2 3  x 2  2 log 2 3.x  1  3log 2 3  0 . Vì ac  0  phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và x1 x2  1  3log 2 3   log 2 2  log 2 27   log 2 54 . Câu 6: x x Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 2 .5 A. 2  log5 2 . 2 2 x B. 2  log5 2 .  1. Khi đó tổng x1  x2 bằng C. 2  log 5 2 . D. 2  log 2 5 . Lời giải 2 x.5 x 2 2 x   1  log 5 2 x.5 x 2 2 x   0  x log 5 2  x 2  2 x  0  x  log 5 2  x  2   0 .  x1  0  .  x2  2  log 5 2 Câu 7: Phương trình 27 x 1 x .2 x  72 có một nghiệm viết dưới dạng x   log a b , với a , b là các số nguyên dương. Tính tổng S  a  b . A. S  4 . B. S  5 . C. S  6 . Lời giải D. S  8 . Chọn B Điều kiện x  0 . x 1 x  x 1  3   x  Phương trình 27 .2  72  3 3 x 3 x  23  x  x .2  3 .2  x 2 3 3 3 x 3 x 2 3  3 x 3 2 23 3 x  23  x x 2 x3 x 3 1   log 3 23 x     x  3  log 3 2   x  3    log 3 2   0 x x x  x  3  x  3 N    .   log 3 2  1  x   log 2 3  N   x a  2 . Vậy tổng S  a  b  5 . Suy ra  b  3 Câu 8: Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log 4  3.2 x  1  x  1 A. 2 . B. 1 . C. 5 . Lời giải D. 6 . Chọn A log 4  3.2 x  1  x  1  3.2 x  1  4 x 1  4 x  12.2 x  4  0 LỚP TOÁN THÀY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 147 Đặt t  2 x  t  0  . Phương trình trở thành: t 2  12t  4  0  t  6  4 2 Với t  6  4 2  2 x  6  4 2  x  log 2  6  4 2  . Với t  6  4 2  2 x  6  4 2  x  log 2  6  4 2  . Tổng các nghiệm là log 2  6  4 2   log 2  6  4 2   log 2 4  2 . Câu 9:   Phương trình log 2 5  2 x  2  x có hai ngiệm x1 , x2 . Tính P  x1  x2  x1 x2 . A. 11 . B. 9 . C. 3 . Lời giải D. 2 . Chọn D Điều kiện: 2x  5 x 2 x log 2  5  2 x   2  x  5  2  2  5  2 x  2x  1 x  0 4   x   x 2  2 4  x  2  P  x1  x2  x1 x2  2 Câu 10: Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log 6  3.4 x  2.9 x   x  1 bằng A. 4 B. 1 C. 0 D. 3 Lời giải Chọn B 2x x 2 2 Phương trình đã cho tương đương 3.4 x  2.9 x  6 x1  3.    6.    2  0 3 3 x 2 Đặt    t ,  t  0  . Khi đó ta có phương trình 3t 2  6t  2  0 3   Hiển nhiên phương trình có 2 nghiệm phân biệt t1 , t2 dương và thỏa mãn x t1 .t2  x 2 2 1 2 2 2    .     x1  x2  1. 3 3 3 3 Dạng 4: Sử Dụng Tính Đơn Điệu Hàm Số Câu 1: Hỏi phương trình 3.2 x  4.3x  5.4 x  6.5x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực? A. 0 . B. 1 . C. 3 . Lời giải D. 2 . Chọn B x x x Ta có: 3.2x  4.3x  5.4 x  6.5x  3    4    5    6  0 . 5 5 5 2 x 3 x 4 x 2 3 4 Xét hàm số f  x   3    4    5    6 , x   . 5 x 5 5 x x 2 2 3 3 4 4 Có f   x   3   ln  4   ln  5   ln  0 , x   nên hàm số f  x  nghịch biến trên 5  5 5 5 5 5 suy ra phương trình f  x   0 có nhiều nhất một nghiệm 1 . Mặt khác f 1 . f  2   .       0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 5  25  125 khoảng 1; 2  .  2 . 8 22 176 LỚP TOÁN THÀY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 148 Từ 1 và  2 suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Câu 2: Số nghiệm của phương trình 2log  x  3  x là: 5 A. 3 . B. 2 . C. 1 . Lời giải D. 0 . Chọn C Điều kiện: x  3 Đặt t  log5  x  3  x  5t  3 , phương trình đã cho trở thành t t t t 2 1 2t  5t  3  2t  3  5t     3.    1 5 5 2 1 Dễ thấy hàm số f  t      3.   nghịch biến trên  và f 1  1 nên phương trình có 5 5 nghiệm duy nhất t  1 . Với t  1 , ta có log5  x  3  1  x  2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2 . Câu 3: Tích tất cả các nghiệm phương trình log5 x log3 x  log5 x  log3 x bằng A. 15 . B. 20 . C. 25 . Lời giải D. 30 . Chọn A Điều kiện x  0. Phương trình log 5 x log 3 x  log 5 x  log 3 x  log5 x  log3 x  1  log3 x  log 5 x  1  1 , ( x  3). log 3 x  1 Hàm số y  log 5 x đồng biến trên  0;   , hàm số y  1  1 nghịch biến trên các log 3 x  1 khoảng  0;3 và  3;   . Do đó phương trình trên có tối đa hai nghiệm, mỗi khoảng có tối đa một nghiệm. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 và 15. LỚP TOÁN THÀY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 149 BÀI 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Bất phương trình mũ cơ bản 2. Cách giai bất phương trình mũ đơn giản a) Đưa về cùng cơ số a f  x a g  x  0  a  1   f  x   g  x     a  1   f  x   g  x   b) Đặt ẩn phụ  a 2 f  x    a f  x     0 . Đặt t  a f  x  ,  t  0  c) Phương pháp logarit hóa a f ( x)  0  a  1   f  x   log a b b   a  1   f  x   log a b  a f (x)  b g (x) a   f   0     f 1 ( x )  g ( x ). lo g ba  a 1 ( x )  g ( x ). lo g ba II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Bất phương pháp logarit cơ bản 2. Cách giải một số bất phương trình logarit đơn giản a) Đưa về cùng cơ số  0  a  1   f  x   g  x  log a f  x   log a g  x     a  1   f  x   g  x   b) Phương pháp mũ hóa LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 148  af (1x )  ab  log a f ( x)  b   0 a 1   0 f ( x )  ab  B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Đưa về cùng cơ số Câu 1: Nghiệm của bất phương trình 3x 2  A. x  4 . 1 là 9 B. x  0 . C. x  0 . Lời giải. D. x  4 . Chọn A 3x  2  Câu 2: 1  3x  2  32  x  2  2  x  4 . 9 1 Tập nghiệm S của bất phương trình   2 x2  4 x  8 là: A. S   ;3 . B. S  1;   . C. S   ;1   3;   . D. S  1;3 . Lời giải Chọn C x2  4 x 1 1 8   Ta có   2 2 . Vậy S   ;1   3;   . Câu 3: 3 Giải bất phương trình   4 x2  4 x 3 1     x 2  4 x  3  x 2  4 x  3  0  x  1  x  3 2 x2 4  1 ta được tập nghiệm T . Tìm T . A. T   2; 2 . B. T   2;   . C. T   ; 2 . D. T   ; 2   2;   Lời giải Chọn A 3 Bất phương trình   4 x2 4  1  x 2  4  0  x   2; 2 Vậy tập nghiệm T   2; 2 . Câu 4: Bất phương trình 2x  4 có tập nghiệm là: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 149 A. T   2;   . B. T   0; 2  . C. T   ; 2  . D. T   . Lời giải Chọn A 2 x  4  2 x  22  x  2 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T   2;   . Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1  x  3  log 1 4 . 2 A. S   3; 7  . B. S  3; 7  . 2 C. S   ; 7  . D. S   7;    . Lời giải Chọn A Ta có: log 1  x  3  log 1 4  0  x  3  4  3  x  7 . 2 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   3; 7  . Câu 6: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 x 2 3 x A. S   ;1   2;   . B. S   ;1 . 4 C. S   \ 1; 2 . D. S   2;   . Lời giải Chọn A Bất phương trình tương đương với 2 x Câu 7: 2 3 x x  2  22   x 2  3 x  2  x 2  3 x  2  0   . x  1 Tập nghiệm S của bất phương trình 5 A. S   ; 2  . x2  1     25  B. S   ;1 . x là C. S  1;   . D. S   2;   . C.  0;16  . D.  4;   . Lời giải Chọn D  1  5x2     25  Câu 8: x  5x 2   5  2  x . 2x Tập nghiệm của bất phương trình 22 x  2x4 là A.  0; 4  . B.  ; 4  . Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 150 Chọn B Ta có 2 2 x  2 x  4  2 x  x  4  x  4 . Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình ln x 2  2ln  4 x  4  là:  4  A.   ;   .  5   4    ;   \ 0 .  3  B.  1;   \ 0 .  4  C.   ;   \ 0 .  5  D. Lời giải Chọn C Đk: 1  x  0 ; ln x 2  2ln  4 x  4   x 2   4 x  4  2 4  x  3  15x2  32 x  16  0   . x   4  5  4  Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm S    ;   \ 0 .  5  Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình log 2 x  log 2 12  3 x  là: A.  0;6  . B.  3;   . C.  ;3 . D.  0;3 . Lời giải Chọn D x  0  Ta có log 2 x  log 2 12  3 x   12  3x  0  0  x  3 .  x  12  3x  Câu 11: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình log 2  2 x  5  log 2  x  1 . Hỏi trong tập S có bao nhiêu phần tử là số nguyên dương bé hơn 10 ? A. 9 . B. 15 . C. 8 . Lời giải D. 10 . Chọn C 2 x  5  0  x  1. Điều kiện:  x 1  0 log 2  2 x  5  log 2  x  1  2 x  5  x  1  x  6 . Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình: S  1;   . Vậy trong tập S có 8 phần tử là số nguyên dương bé hơn 10 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 151 Câu 12: Bất phương trình log 4  x  7   log 2  x  1 có bao nhiêu nghiệm nguyên? B. 1. A. 3 . C. 4 . Lời giải D. 2 . Chọn D Điều kiện x  1 . log 4  x  7   log 2  x  1  x  7  x 2  2 x  1  x 2  x  6  0  3  x  2 . Do điều kiện nên tập nghiệm của bất phương trình là S  0,1 . Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình log e 2 x  log e  9  x  là 3 A.  3;  . 3 B.  3;9  . C.  ;3 . D.  0;3 . Lời giải Chọn C 2 x  0 x  0   log e 2 x  log e  9  x   9  x  0   x  9  3  x  9 . 3 3 2 x  9  x x  3   Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   3;9  . Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình log 4 5  B.  ;1 . 9  A. 1;   . 3  9 x  5  log 4 3  3x  1 là  1  C.   ;1 .  3  Lời giải  1 5 D.   ;  .  3 9 Chọn B 5   x  9 9 x  5  0 5  Điều kiện:  x . 3 x  1  0 1 9  x    3 Ta có: log 4 3  9 x  5   log 4 3  3x  1  9 x  5  3x  1  x  1 . 5  Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là: S   ;1 . 9  Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình: log 2  x  3  log 2 x  2 là LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 152 B.  4;   . A.  3;   . C.  ; 1   4;   . D.  3; 4 . Lời giải Chọn B Điều kiện xác định: x  3 . x  4 log 2  x  3  log 2 x  2  x 2  3x  4   . Vậy tập nghiệm của bpt là S   4;    x  1 . Câu 16: Bất phương trình 2 x 2 3 x  4 A. 2 . 1   2 2 x 10 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương? B. 4 . C. 6 . D. 3 . Lời giải Chọn D 2 Bất phương trình tương đương với 2 x 3 x4  2102 x  x 2  3 x  4  10  2 x  x 2  x  6  0  2  x  3 . Do x  0 nên 0  x  3 . Mà x    nên x  1;2;3 .Vậy có 3 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình A.  ; 5  .  5 3 x 1  5x3 là: B.  ;0  . C.  5;   . D.  0;   . Lời giải Chọn C Ta có:  5 3 x 1 5 x 3 5 x 1 3  5x 3  Câu 18: Tập nghiệm của bất phương trình A. S   ;1 .  x 1  x  3  x  1  3x  9  x  5 . 3 52  x 1  B. S  1;    .  5 2  x 1 là C. S   ;1 . D. S  1;    . Lời giải Chọn A  52  x 1   5 2  x 1   52  x 1   52   x 1  x 1   x  1  x  1 . Vậy S   ;1 . Dạng 2: Phương pháp mũ hóa và logarit hóa Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x  3x1 là: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 153   B.  ;log 2 3  . C.  ;log 2 3 . 3   Lời giải A.  .   D.  log 2 3;   .  3  Chọn B Cách 1: 2 x  3x 1  x  log 2  3x 1   x   x  1 log 2 3  x 1  log 2 3  log 2 3  x log 2 2 log 2 3  log 2 3  x   x  log 2 3 . 2 3 3 log 2 3 x Cách 2: 2  3 x Câu 2: x 1 2     3  x  log 2 3 . 3 3 2 Giải bất phương trình 3x  2 x A. x   0;   . B. x   0;log 2 3 . C. x   0; log 3 2  . D. x   0;1 . Lời giải Chọn C 2 2 Ta có: 3x  2 x  log 3 3x  log 3 2 x  x 2  x log 3 2  0  0  x  log 3 2 . Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trinh 2 x  3x1 là A.  .   B.  ;log 2 3  . C.  ;log 2 3 . 3   Lời giải   D.  log 2 3;   .  3  Chọn B Cách 1: 2 x  3x 1  x  log 2  3x 1   x   x  1 log 2 3  x 1  log 2 3  log 2 3  x log 2 2 log 2 3  log 2 3  x   x  log 2 3 . 2 3 3 log 2 3 x 2 Cách 2: 2 x  3x 1     3  x  log 2 3 . 3 3 x Câu 4: 2 1 Cho hàm số f  x     .5 x . Khẳng định nào sau đây là sai? 2 A. f  x   1  x 2  x log 2 5  0 . B. f  x   1  x  x 2 log 2 5  0 . C. f  x   1  x 2  x log5 2  0 . D. f  x   1   x ln 2  x 2 ln 5  0 . Lời giải Chọn A x  1  x x 2   1  x2 Ta có: f  x   1    .5  1  log 2   .5   0 2  2   LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 154 x 2 1  log 2    log 2 5 x  0   x  x 2 log 2 5  0 nên phương án A sai. 2 Câu 5: Giải bất phương trình log 3  2 x  1  3 A. x  4 . B. x  14 C. x  2 . Lời giải D. 2  x  14 . Chọn B log 3  2 x  1  3  2 x  1  33  x  14 . Câu 6: Giải bất phương trình log3  2 x  1  2 ta được nghiệm là A. 1  x  5. 2 1 B. x  . 5 C. x  5 . D. x  5 . Lời giải Chọn A 2 x  1  0  log3  2 x  1  2   2 x  1  9 Câu 7: 1  x  2.   x  5 Giải bất phương trình log 1 1  x   0 ? 2 A. x  0 . B. x  0 . C. x  0 . Lời giải D. 1  x  0 . Chọn B 1  x  0  x0. log 1 1  x   0   1  x  1 2 Câu 8: Các giá trị x thỏa mãn bất phương trình log 2  3x  1  3 là: A. x  3 . B. 1  x  3. 3 C. x  3 . D. x  10 . 3 Lời giải Chọn A Ta có log 2  3 x  1  3  3x  1  8  x  3 . Câu 9: Bất phương trình log 0,5  2 x  1  0 có tập nghiệm là? 1  A.  ;   2  1  B.  ;   2  LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 C. 1;   1  D.  ;1 2  155 Lời giải Chọn D Điều kiện: 2 x  1  0  x  1 . 2 log 0,5  2 x  1  0  2 x  1  0,50  2 x  2  x  1 . 1  So sánh với điều kiện ta có tập nghiệp của bất phương trình là S   ;1 . 2  Câu 10: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log 2  9  x   3 . A. 7 . B. 6 . C. 8 . Lời giải D. 9 . Chọn C Ta có: log 2  9  x   3  0  9  x  8  1  x  9 . Vì x   x  1; 2;3; 4;5;6;7;8 . Vậy có 8 nghiệm nguyên. Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình log 2  x  1  3 là: A.   ;10  . B. 1;9  . C. 1;10  . D.   ;9  . Lời giải Chọn B Điều kiện: x  1  0  x  1 . Ta có: log 2  x  1  3  x  1  8  x  9 . Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1;9  . Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình log 3  x 2  2   3 là: A. S   ;  5  5;    . B. S   . C. S   . D. P   5;5 . Lời giải Chọn D Ta có: log 3  x 2  2   3  x 2  2  27  x 2  25  5  x  5 . Câu 13: Số nghiệm thực nguyên của bất phương trình log  2 x 2  11x  15   1 là A. 3. B. 4 . C. 5. Lời giải D. 6. Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 156 ĐK: 2 x 2  11x  15  0  x  5 hoặc x  3 . 2 log  2 x 2  11x  15   1  2 x 2  11x  15  10  2 x 2  11x  5  0  Kết hợp điều kiện ta có: 1  x  5. 2 1 5  x  hoặc 3  x  5 . Vậy BPT có 4 nghiệm nguyên là: 2 2 x  1; 2; 4;5 . Câu 14: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: log 1 2   A. S  1; 1  2 . 2  2. x 1  B. S  1; 9  .  C. S  1  2;   . D. S   9;    . Lời giải Chọn B x 1  0 x  1 2   log 1 2   2 1   x 1  8 2 x 1  x  1  4  Câu 15: Bất phương trình max log 3 x, log 1  2 A.  ; 27  . x  1 .  x  9  x   3 có tập nghiệm là  1  C.  ; 27  . 8  B.  8; 27  . D.  27;   . Lời giải Chọn C Điều kiện: x  0 .  max log 3 x, log 1 2   x  27 log 3 x  3  1   x   3  log x  3   1   x  27 . 1 8   x  8  2 1  Vậy tập nghiệm của BPT là:  ; 27  . 8    Câu 16: Tập nghiệm của bất phương trình log 1 log 2  x 2  1  1 là: 2 A. S  1; 5  . C. S    5; 5  .   B. S  ;  5    5;  .   D. S    5; 1  1; 5  . Lời giải Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 157 log 2  x 2  1  0  x 2  1  1  x  ;  2  * ĐKXĐ:  2  x  1  0      2;   . 1  1 Bất phương trình log 1 log 2  x 2  1  1  log2  x 2  1     2   x 2  1  4 2 2    x 2  5  x  ;  5    5;   .   * Kết hợp điều kiện ta được: x  ;  5    5;   . Dạng 3: Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Câu 1: Cho phương trình 32 x 10  6.3x  4  2  0 1 . Nếu đặt t  3x 5  t  0  thì 1 trở thành phương trình nào? A. 9t 2  6t  2  0. 9t 2  2t  2  0. B. t 2  2t  2  0. C. t 2  18t  2  0. D. Lời giải. Chọn B 32 x 10  6.3x  4  2  0  3  2 x  5  2.3x 5  2  0 Vậy khi đặt t  3x 5  t  0  thì 1 trở thành phương trình t 2  2t  2  0. Câu 2: Cho phương trình 25 x 1  26.5 x  1  0 . Đặt t  5 x , t  0 thì phương trình trở thành A. t 2  26t  1  0 . B. 25t 2  26t  0 . C. 25t 2  26t  1  0 . Lời giải D. t 2  26t  0 . Chọn C Ta có 25 x 1  26.5 x  1  0  25.52 x  26.5x  1  0 . Vậy nếu đặt t  5x , t  0 thì phương trình trên trở thành 25t 2  26t  1  0 . Câu 3: Xét bất phương trình 52 x  3.5 x 2  32  0 . Nếu đặt t  5x thì bất phương trình trở thành bất phương trình nào sau đây? A. t 2  3t  32  0 . t 2  75t  32  0 . B. t 2  16t  32  0 . C. t 2  6t  32  0 . D. Lời giải Chọn D 52 x  3.5 x 2  32  0  52 x  3.52.5 x  32  0  52 x  75.5 x  32  0 . Nếu đặt t  5 x  0 thì bất phương trình trở thành bất phương trình t 2  75t  32  0 . Câu 4: Cho phương trình 4 x dưới đây? 2 2 x  2x LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 2  2 x 3  3  0 . Khi đặt t  2 x 2 2 x , ta được phương trình nào 158 A. t 2  8t  3  0 . B. 2t 2  3  0 . Chọn A Phương trình 4 x 2 2 x Kho đó, đặt t  2 x Câu 5: 2  2x 2 x 2  2 x 3 C. t 2  2t  3  0 . Lời giải   3  0  2x 2 2 x  2  23.2 x 2 2 x D. 4t  3  0 . 3 0. , ta được phương trình t 2  8t  3  0 . Khi đặt t  log 5 x thì bất phương trình log 52  5 x   3log 5 x  5  0 trở thành bất phương trình nào sau đây? A. t 2  6t  4  0 . B. t 2  6t  5  0 . C. t 2  4t  4  0 . Lời giải D. t 2  3t  5  0 . Chọn C log 52  5 x   3log x  5  0   log 5 x  1  6 log 5 x  5  0  log52 x  4log5 x  4  0 . 2 3 Với t  log 5 x bất phương trình trở thành: t 2  4t  4  0 . Câu 6: Bất phương trình log 2 x  2019 log x  2018  0 có tập nghiệm là A. S  10;102018  . S  10; 10 2018  . B. S  10; 10 2018  . C. S  1; 2018 . D. Lời giải Chọn A Điều kiện: x  0 . Ta có log 2 x  2019 log x  2018  0  1  log x  2018  10  x  10 2018 . Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S  10;102018  . Câu 7: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log 22 x  8 log 2 x  3  0 A. 5 . B. 1 . C. 7 . Lời giải D. 4 . Chọn A Điều kiện: x  0 . 1 log 22 x  8 log 2 x  3  0  log 22 x  8 log 2 x 2  3  0  log 22 x  4 log 2 x  3  0  1  log 2 x  3  2  x  8 . So với điều kiện ta được 2  x  8 . Câu 8: Tìm tập nghiệm S của phương trình log 22 x  5log 2 x  4  0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 159 A. S   ; 2  16;   . B. S   0; 2  16;   . C. S   ;1   4;   . D. S   2;16 . Lời giải Chọn B ĐK: x  0 Đặt t  log 2 x , t   . t  1 Bất phương trình tương đương t 2  5t  4  0   . t  4  log 2 x  1  0  x  2 .  log 2 x  4  x  16 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình S   0; 2  16;   . Câu 9: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 3x  9.3 x  10 là A. Vô số. B. 2 . C. 0 . Lời giải D. 1. Chọn D 9 Đặt t  3x  t  0  , bất phương trình có dạng t   10  t 2  10t  9  0  1  t  9 . t Khi đó 1  3x  9  0  x  2 . Vậy nghiệm nguyên của phương trình là x  1 . Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình 16 x  5.4 x  4  0 là: A. T   ;1   4;    . B. T   ;1   4;    . C. T   ;0   1;    . D. T   ;0  1;    . Lời giải Chọn D Đặt t  4 x , t  0 . 4x  4 t  4 t  4 x  1    16 x  5.4 x  4  0 trở thành t 2  5.t  4  0   . x t  1 x  0 0  t  1 0  4  1 Vậy T   ;0  1;    . Câu 11: Biết S   a; b  là tập nghiệm của bất phương trình 3.9 x  10.3x  3  0 . Tìm T  b  a . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 160 8 A. T  . 3 B. T  1 . C. T  10 . 3 D. T  2 . Lời giải Chọn D Ta có 3.9 x  10.3x  3  0  3.  3x   10.3x  3  0  2 1 1  3x  3  log 3  x  log 3 3 3 3  1  x  1 . Khi đó bất phương trình có tập nghiệm là S   1;1 , do vậy T  1   1  2 . Câu 12: Nghiệm của bất phương trình 52 A. 0  x  1 . x  5  51 x  5 B. 0  x  1 . Lời giải x là. C. 0  x  1 . D. 0  x  1 . Chọn B Ta có: 52    5 x 2 x  5  51 x  5 x . 5  6.5 x  5  0   5 x x 5 x  1   1 x  0 Câu 13: Bất phương trình 64.9 x  84.12 x  27.16 x  0 có nghiệm là: A. 1  x  2 . B. 9 3 x . 16 4 C. x  1 hoặc x  2 . D. Vô nghiệm. Lời giải Chọn A 2x x 4 4 64.9  84.12  27.16  0  27.    84.    64  0  1  x  2 . 3 3 x x x Câu 14: Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình 9 x  2  m  1 3x  3  2m  0 nghiệm đúng với mọi số thực x .   A. m  5  2 3;  5  2 3 . 3 B. m   . 2 3 C. m   . 2 D. m  2 . Lời giải Chọn C Đặt t  3x , t  0 . Khi đó, bất phương trình trở thành: t 2  2  m  1 t  3  2m  0   t  1 t  3  2m   0  t  3  2m  0  t  3  2m 1 (Do t  0 ). LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 161 Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x   thì 1 phải nghiệm đúng với mọi t   0;    . 3 Điều này tương đương với 3  2m  0  m   . 2 3 Vậy giá trị cần tìm của m là m   . 2 Câu 15: Cho Hàm số f  x   3x  2 7x 2 4 . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai? A. f  x   1   x  2  log 3   x 2  4  log 7  0 . B. f  x   1   x  2  log 0,3 3   x 2  4  log 0,3 7  0 . C. f  x   1   x  2  ln 3   x 2  4  ln 7  0 . D. f  x   1  x  2   x 2  4  log 3 7  0 . Lời giải Chọn B f  x  1  3x  2 7 2 x 4  1  log 0.3 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 3x  2 7 x2  4  log 0,3 1   x  2  log 0,3 3   x 2  4  log 0,3 7  0 . 162 BÀI 1. NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của ). Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F '  x   f  x  với mọi x  K. Định lý 1: Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . Định lý 2: Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x  đều có dạng F  x   C , với C là một hằng số. Hai định lý trên cho thấy: Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì F  x   C , C   là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K . Kí hiệu  f  x dx  F  x   C. Chú ý: Biểu thức f  x  dx chính là vi phân của nguyên hàm F  x  của f  x  , vì dF  x   F '  x  dx  f  x  dx. 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1  f '  x  dx  f  x   C Tính chất 2  kf  x  dx  k  f  x  dx , k là hằng số khác 0. Tính chất 3   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx. 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lý 3: Mọi hàm số f liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 4. Bảng nguyên hàm  0dx  C   x dx  x 1 C  1 1  xdx  ln x  C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133  dx  x  C 1 ( ax  b) 1 C a  1 1 1  (ax  b)dx  a ln ax  b  C   (ax  b) dx  163  e dx  e x x 1 ax b e C a 1  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C 1  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C C e  cos xdx  sin x  C  sin xdx   cos x  C x  a dx  1  cos 2 x 1  sin 2 x  x   a dx  dx  tan x  C 1 2 dx 1 xa  ln  C,  a  0 2 a 2a x  a  xdx   1 dx  2 x  C x 1  sin  ax  b  dx   a cot x  C dx   cot x  C 2 dx  a x   C a ln a 1 1  cos2  ax  b  dx  a tan  ax  b   C ax C ln a x ax  b a 2 x x C 3   2 dx 1 xa   ln  C,  a  0 2 2a x  a x 2 1 ax  b dx  .  ax  b  ax  b  C 3 a 1 1 dx  2. ax  b  C a ax  b II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Phương pháp đổi biến số Định lý 1: Nếu  f (u )du  F (u)  C và u  u( x) có đạo hàm liên tục thì:  f u ( x).u '( x)dx  F u( x)  C Hệ quả: Với u  ax  b  a  0  ta có 1  f  ax  b dx  a F  ax  b   C. 2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: Định lý 2: Nếu hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm liên tục trên K thì:  u  x v '  x  dx  u  x  v  x    u '  x v  x  dx. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Nguyên Hàm Đa Thức Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai? A.  0 dx  C . e x B. 4  x dx  x5 C . 5 C. 1  x dx  ln x  C . D. dx  e x  C . Lời giải Chọn C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 164 Ta có: Câu 2: 1  x dx  ln x  C  C sai. Tìm nguyên hàm F  x     2dx . A. F  x    2 x  C . F  x   2 x2 2 B. F  x   2 x  C . C. F  x   3 3 C . D. C . Lời giải Chọn A Ta có F  x     2 dx   2 x  C . Câu 3: Cho  f  x  dx  F  x   C . Khi đó với a  0 , a , b 1 là hằng số ta có  f  ax  b  dx bằng 1 A.  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C . B.  f  ax  b  dx  a  b F  ax  b   C . C.  f  ax  b  dx  F  ax  b   C . D.  f  ax  b  dx  aF  ax  b   C . Lời giải Chọn A Theo công thức nguyên hàm mở rộng ta có: Câu 4: 1  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C . Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  1 là A. x3  C . B. x3  xC. 3 C. 6x  C . D. x 3  x  C . Lời giải Chọn D x3  x  C  x3  x  C . 3 Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  2 x  5 là Ta có Câu 5:   3x 2  1 dx  3. A. F  x   x3  x 2  5 . B. F  x   x 3  x  C . C. F  x   x 3  x 2  5 x  C . D. F  x   x 3  x 2  C . Lời giải Chọn C Nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  2 x  5 là F  x   x 3  x 2  5 x  C . Câu 6: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 1 1  x 2  là 2 3 x 165 A.  x4  x2  3 C . 3x B. 2  2x  C . x2 C.  x4  x2  3 C . 3x D.  x3 1 x   C . 3 x 3 Lời giải Chọn D 1 1 1 x3 x  1  Ta có   2  x 2   dx    x 2  x 2   dx      C . 3 3 x 3 3 x  Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e.x e  4 là B. e 2 .x e 1  C . A. 101376 . C. x e 1  4x  C . e 1 D. e.x e 1  4x  C . e 1 Lời giải Chọn D Ta có Câu 8:  f  x  dx    e.x e  4  dx  e.x e 1  4x  C . e 1 Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x)   3x  1 ? 5  3x  1 A. F  x   C. F  x   6 18  3x  1 8. B. F  x   . D. F  x   6 18  3x  1 6 2. 18  3x  1 6 6 . Lời giải Chọn D Áp dụng   ax  b  dx   1  ax  b  a  1  1  C với   1 và C là hằng số. Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề. Câu 9: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   5 x 4  6 x 2  1 là A. 20 x3  12 x  C . B. x5  2 x3  x  C . C. 20 x5  12 x3  x  C . D. x4  2x2  2x  C . 4 Lời giải Chọn B Ta có  5x 4  6 x 2  1 dx  x5  2 x3  x  C . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 166 Câu 10: Nguyên hàm của hàm số f  x   x 2018 , ( x  ) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây? x 2019  C , (C  ) . 2019 D. F  x   2018.x 2017  C , (C  ) . A. F  x   2017.x 2018  C , (C  ) . B. F  x   C. F  x   x 2019  C , (C  ) . Lời giải Chọn B x 2019 C . 2019 2018 Ta có:  x dx  Câu 11: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  2 x  3 thỏa mãn F  0   2 , giá trị của F 1 bằng A. 4 . B. 13 . 3 C. 2 . D. 11 . 3 Lời giải Chọn B Ta có: 2  x  2 x  3dx  x3  x 2  3x  C . 3 F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  có F  0   2  C  2 . Vậy F  x   13 x3  x 2  3 x  2  F 1  . 3 3 Câu 12: Xét I   x 3  4 x 4  3 dx . Bằng cách đặt: u  4 x 4  3 , khẳng định nào sau đây đúng? 5 A. I  1 u 5du . 16  B. I  1 u 5du . C. I   u 5du . 12  Lời giải D. I  1 5 u du . 4 Chọn A u  4 x 4  3  du  16 x3dx  I  Câu 13: Cho 1 du  x3dx . 16 1 u 5du . 16   2 x  3x  2  6 dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A , B   và C   . Giá trị của 8 biểu thức 12 A  7 B bằng 23 241 A. B. . . 252 252 7 C. 52 . 9 D. 7 . 9 Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 167 Chọn D Đặt t  3 x  2  x  t2 1  dt  dx . 3 3 Ta có: 2 t2 6 2 1 4 2 t8 4 t 7 8 7 7 6 . d  t +2 t d t t t .  .  C  .  3x  2   .  3x  2   C .      9 8 9 7 3 3 9 36 63 Suy ra A  1 4 1 4 7 , B  , 12.  7.  . 36 63 36 63 9 Dạng 2: Nguyên Hàm Phân Thức Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   7 x 6  1 A. x 7  ln x   2 x . x 1 C. x 7  ln x   2 x  C . x 1 1   2 là x x2 1  2x  C . x 1 D. x 7  ln x   2 x  C . x Lời giải B. x 7  ln x  Chọn D  f  x  dx Câu 2:  x 7  ln x  1  2x  C . x Nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln x  2  C . B. 1 là: x2 1 ln x  2  C . 2 C. ln  x  2   C . D. 1 ln  x  2   C . 2 Lời giải Chọn A Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f  x   A.  f  x  dx  2 ln 1  2 x  C . C.  f  x  dx   2 ln 1  2 x  C . 1 là 1  2x 1 B.  f  x  dx  2 ln 1  2 x  C . D.  f  x  dx  ln 1  2 x  C . Lời giải Chọn C Ta có 1 1  1  2 x dx   2 ln 1  2 x  C . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 168 Câu 4: 1 Tìm họ nguyên hàm của hàm số y  1 A.   x  1 C.   x  1 2 dx  2 dx  1 2  x  1 3 1  x  2 . C . 1 C . x 1 1 B.   x  1 D.   x  1 2 1 2 dx   dx  1 C . x 1 2  x  1 3 C . Lời giải Chọn B 1   x  1 Câu 5: dx    x  1 dx    x  1  C  2 2 1 Một nguyên hàm của hàm số f  x   1 C . x 1 x . x 1  f  x  dx  x  ln x  1  1 . C.  f  x  dx  x  ln  x  1 . A. B.  f  x  dx  ln x  1  x  1 . D. x  ln  x  1 . Lời giải Chọn A x  x  1 dx   Vậy Câu 6: x 1 1 1   dx    1   dx  x  ln x  1  C x 1  x 1   f  x  dx  x  ln x  1  1 là một nguyên hàm của f  x  . 1 và F  0   2 thì F 1 bằng. x 1 C. 3 . D. 4 . Lời giải Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x   A. ln 2 . B. 2  ln 2 . Chọn B 1 dx  ln x  1  C mà F  0   2 nên F  x   ln x  1  2 . x 1 Do đó F 1  2  ln 2 . F  x   Câu 7: Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   1  e 1  3 , biết F    là: 2x 1  2  2 1 A. F  x   2 ln 2 x  1  . 2 1 C. F  x   ln 2 x  1  1 . 2 B. F  x   2 ln 2 x  1  1 . D. F  x   ln 2 x  1  1 . 2 Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 169 F  x   1 1 dx  ln 2 x  1  C . 2x 1 2 1 3  e 1   e 1  3 Mà F    1  C   C  1.    ln 2  2 2  2   2  2 Câu 8: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1 A. F  2   ln 3  2 . 2 F  2   2 ln 3  2 . 1 B. F  2   ln 3  2 . 2 1 ; biết F 1  2 . Tính F  2  . 2x 1 C. F  2   ln 3  2 . D. Lời giải Chọn B 1 Ta có F  x   ln 2 x  1  C ; F 1  2  C  2 2 1 1  F  x   ln 2 x  1  2  F  2   ln 3  2 . 2 2 Câu 9: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. x  1 C . x 1 B. 1  1  x  1 2 x2  x  1 . x 1 C . C. x2  ln x  1  C . 2 D. x 2  ln x  1  C . Lời giải: Chọn C Ta có f  x   x2  x  1 1  x x 1 x 1   f  x  dx  x2  ln x  1  C . 2 2x2  7 x  5 dx . x3 A. I  x 2  x  2 ln x  3  C. B. I  x 2  x  2 ln x  3  C. 2 C. I  2 x  x  2 ln x  3  C. D. I  2 x 2  x  2 ln x  3  C. Câu 10: Tính nguyên hàm I   Lời giải Chọn A Ta có: I   2  2x2  7 x  5  2 dx    2 x  1   dx  x  x  2 ln x  2  C . x3  2 x   LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 170 Câu 11: Cho biết 2 x  13  ( x  1)( x  2) dx  a ln x  1  b ln x  2  C . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  2b  8 . B. a  b  8 . C. 2a  b  8 . Hướng dẫn giải D. a  b  8 . Chọn D Ta có 1 1 2 x  13 3   5  ( x  1)( x  2) dx    x  1  x  2  dx  5 x  1 dx  3 x  1 dx  5ln x  1  3ln x  2  C . a  5 Vậy   ab 8. b  3 1 . Biết F  0   0 , 2x 1 b b F 1  a  ln 3 trong đó a , b , c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi c c đó giá trị biểu thức a  b  c bằng. A. 4 . B. 9 . C. 3 . D. 12 . Lời giải Chọn A 1 1   3 Ta có F  x     3 x 2   dx  x  ln 2 x  1  C . 2x 1  2  1 Do F  0   0  C  0  F  x   x3  ln 2 x  1 . 2 1 Vậy F 1  1  ln 3  a  1; b  1; c  2  a  b  c  4 . 2 2 1  Câu 13: Cho hàm số f  x  xác định trên  \   thỏa mãn f   x   và f  0   1 . Giá trị 2x 1 2 Câu 12: F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  của biểu thức f  1  f  3 bằng A. 4  ln15 . B. 3  ln15 . C. 2  ln15 . Lời giải D. ln15 . Chọn C 2 Ta có f  x    f   x  dx   dx   2x 1 1 2. d  2 x  1 2  ln 2 x  1  c . 2x 1 f  0   1  c  1  f  x   ln 2 x  1  1 .  f  1  ln 3  1  f  1  f  3  2  ln15 .   f  3  ln 5  1 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 171 Dạng 3: Nguyên Hàm Căn Thức Câu 1: Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f  x   x  1 trên  0;   . 23 2 x  x  1. 3 1 C. F  x   . 2 x 2 3 x  x 2. 3 1 D. F  x   x. 2 x A. F  x   B. F  x   Hướng dẫn giải Chọn B Ta có : Câu 2:   x  1 dx  2 3 x  xC. 3 Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  x 2018 là x 2019 C. 673 A. x C. 1 x 2019  C . x 673 B. 2 x 3  D. 1 2 x Hướng dẫn giải x 2019 C . 2019  6054 x 2017  C . Chọn B Ta có:  3 Câu 3: x  x 2018  3  1  x 2 x 2019 x 2019 dx    3x 2  x 2018  dx  3.   C  2 x3  C . 3 2019 2019   2 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  3 2 A.  f  x  dx  3 x C.  f  x  dx  3  2 x  3  2x  3  C . 2 2x  3  C . 1 B.  f  x  dx  3  2 x  3 D.  f  x  dx  2x  3  C . 2x  3  C . Lời giải Chọn B Xét I   Đặt   2 x  3 dx . 2 x  3  t  t 2  2 x  3  2tdt  2dx . 1 1 I   t.tdt   t 2 dt  t 3  C  3 3 Câu 4:   3 2 x  3  C   f  x  dx  1  2 x  3 2 x  3  C . 3 Một nguyên hàm của hàm số f  x   1  2 x là: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 172 A.  3  2 x  1 1  2 x . 2 B.  3 3 1  2 x  1  2 x . C.  2 x  1 1  2 x . D. 2 4 1 1  2 x  1  2 x . 3 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có  f  x  dx   1  2 xdx   1 2   f  x  dx   . 2 3 Câu 5: 1  2 x  3 1 1 1  2 xd 1  2 x  , với x  .  2 2 C   1 1  2 x  1  2 x  C 3 Hàm số F  x  nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y  3 x  1 ? 4 3  x  1 3  C . 8 3 C. F  x    x  1 3 x  1  C . 4 A. F  x   43 4  x  1  C . 3 3 3 D. F  x   4  x  1  C . 4 Lời giải B. F  x   Chọn C Ta có: I   3 x  1dx . Đặt: t  3 x  1  t 3  x  1  3t 2 dt  dx . 3 3 3 4  I   t.3t 2 dt   3t 3dt  t 4  C  3  x  1  C   x  1 3 x  1  C . 4 4 4 Vậy F  x   Câu 6: 3  x  1 3 x  1  C . 4 Tìm hàm số F  x  biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x và F 1  1 . 2 x x. 3 1 1 C. F  x    . 2 x2 2 A. F  x   2 1 x x . 3 3 2 5 D. F  x   x x  . 3 3 Lời giải B. F  x   Chọn B Ta có: F  x    x dx 2 2 Đặt t  x suy ra t 2  x và dx  2dt . Khi đó I   t.2tdt  t 3  C  I  x x  C . 3 3 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 173 1 2 1 Vì F 1  1 nên C  .Vậy F  x   x x  . 3 3 3 Câu 7: Tìm hàm số f  x  , biết rằng f   x   4 x  x và f  4   0 . A. f  x   8 x x x 2 40   . 3 2 3 B. f  x   2  1. x C. f  x   8 x x x 2 88   . 3 2 3 D. f  x   2 x2   1. x 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: f  x    f   x  dx  f  4  0  Vậy f  x   Câu 8: 8x x x2  C . 3 2  8 x x x 2 40   . 3 2 3 Tìm một nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  x    40 8.4 4 42  4 x  x dx .  C  0  C   3 2 3  1 . x 1 2 . x 1 B. F  x   4 x  1 . C. F  x   2 x  1 . D. F  x  x 1 . Lời giải Chọn B Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx . Ta có:  f  x  dx   4t 4 2  4t  C  4 x  1  C . dx   dt h '  2    t 49 x 1 Vậy một nguyên hàm của hàm số f  x   Câu 9: 2 là F  x   4 x  1 . x 1 Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   1  m  1 thỏa mãn F  0   0 và 2 x 1 F  3  7 . Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. 2 . B. 3 . C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 174 Chọn B  1  Ta có F  x      m  1 dx  x  1   m  1 x  C .  2 x 1   F  0   0 C  1  0 C  1 Theo giả thiết, ta có  .   C  3m  8 m  3  F  3  7 Vậy F  x   x  1  2 x  1 . Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 4  x 3 là A. 2 9 2 4  x  4  x  3 3 3 3 C . B. 2 4  x 3  C . C. 1 9 4  x  3 3 C . D. C. Lời giải Chọn A 2 3  x 4  x dx  Ta có  2 9 4  x  3 3 1 3 1 1 1 2 3 3 3 2 3 3 2  x  x 4 d 4 4 d 4 . 4   x  x   x   3     3 3  C 3 C . 1 4  x 3   4  x 3  2 nhưng ta Chú ý: Trong lời giải viết dấu “  ” thay cho dấu “  ” vì 1 mượn tạm công thức nguyên hàm của  4  x 3  2 để tính nguyên hàm của Câu 11: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   1 4  x3 . 1 . 2 2x 1 A.  f  x dx  2 2x 1  C . B.  f  x dx  C.  f  x dx  2 2x 1  C . D.  f  x dx   2 x  1 2x 1  C . 1 2x 1 C . Hướng dẫn giải Chọn A 2 x  1  t  2 x  1  t 2  dx  tdt . 1 1 tdt 1 1 1 Khi đó ta có     dt  t  C  2 x  1dx   2x 1  C . 2 t 2 2 2 2 e ln x Câu 12: Với cách đổi biến u  1  3ln x thì tích phân  dx trở thành 1 x 1  3ln x Đặt 2 2 A.   u 2  1 du . 31 2 2 B.   u 2  1 du . 91 2 C. 2  u  1 du . 2 1 2 2 u2 1 D.  du . 91 u Lời giải Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 175 u  1  3ln x  u 2  1  3ln x  ln x  dx 2u u2 1   du . 3 x 3 u2 1 2 ln x 2 2u 3 Khi đó  du    u 2  1 du . dx   91 u 3 1 1 x 1  3ln x 2 e Câu 13: Khi tính nguyên hàm  A.  2u  u 2  4 du . x 3 dx , bằng cách đặt u  x  1 ta được nguyên hàm nào? x 1 B.  u 2  4 du . C.  2  u 2  4 du . D.  u 2  3  du . Lời giải Chọn C dx  2u du . Đặt u  x  1 , u  0 nên u 2  x  1   2 x  u 1 Khi đó  u2 1 3 x3 .2u du   2  u 2  4 du . dx   u x 1 Câu 14: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 thỏa mãn F  5   7 . 2x 1 A. F  x   2 2 x  1 . B. F  x   2 2 x  1  1 . C. F  x   2 x  1  4 . D. F  x   2 x  1  10 . Lời giải Chọn B Ta có  d  2 x  1 2  2 2x 1  C ; dx  2  2x 1 2 2x 1 Do F  5   7 nên 6  C  7  C  1 . Câu 1: Dạng 4. Nguyên hàm của hàm số lượng giác Khẳng định nào sau đây là đúng. x x A.  tan xdx   ln cos x  C. B.  sin dx  2 cos  C . 2 2 x x C.  cot xdx   ln sin x  C. D.  cos dx  2 sin  C . 2 2 Lời giải Chọn A  cos x  ' sin x Xét   ln cos x  C  '     tan x. Suy ra khẳng định A đúng. cos x cos x  Câu 2: 4 Tính tích phân I   cos 2 xdx 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 176 A. I   2 B. I  8  2 1 3 C. I  4 D. I  2 3 Lời giải Chọn A    14 1 1  4  2 Cách giải: I   cos xdx    1  cos 2 x  dx   x  sin 2 x   20 2 2 8 0 0 4 2 Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  1  sin 3 x . sin 2 x  C.  f (x)dx   cot x  cos x  C .  D.  f (x)dx   tan x  cos x  C . A. f (x)dx   cot x  cos x  C . B. f (x)dx   tan x  cos x  C . Lời giải Chọn A 1  sin 3 x 1  sin 2 x dx   sin 2 x dx   sin xdx   cot x  cosx+C Câu 4: Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin 3 x cos x . Tính   I  F    F  0 2 A. I   2 1 B. I  . 4 . C. I  3 . 2 3 D. I  . 4 Lời giải Chọn B  2  1  Ta có I  sin x cos xdx  t 3dt  3 0 Câu 5: 0 1 4 Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  (sin x  cos x) 2 1 A.  f ( x)dx  x  2 cos 2 x  C. C.  f ( x)dx   2 cos 2 x  C. 1 1 B.  f ( x)d x  2 cos 2 x  C. D.  f ( x)d x  x  2 cos 2 x  C. 1 Lời giải Chọn D   sin x  cos x  Câu 6: 2 1 dx    sin 2 x  cos 2 x  2sin x cos x dx   1  sin 2 x dx  x  cos 2 x  C 2 Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? 1 A. f  x   sin 2 x và g  x   cos 2 x . B. f  x   tan 2 x và g  x   . cos 2 x 2 C. f  x   e x và g  x   e x . D. f  x   sin 2 x và g  x   sin 2 x . Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 177 Chọn D   / Vì sin 2 x  2sin x cos x  sin 2 x Dạng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e 2x 1 A.  e 2x dx   e 2x  C. 2 B.  e 2x dx  1 2x e  C. 2 C.  e 2x dx  2e 2x  C. D.  e 2x dx  2e 2x  C. Lời giải Chọn B 1 1 Theo công thức nguyên hàm cơ bản  e ax  b dx  eax  b  C . Suy ra  e 2x dx  e 2x  C . a 2 Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số y  1212x. A.  122x dx  1212 4x ln12  C B.  122x dx  1212x ln12  C 1212x 1 C D.  12 dx  ln12 Lời giải 1212x C C.  12 dx  ln12 2x 2x Chọn D Ta có  1212x dx  Câu 3: 1 1212x 1212x 1 12x 12x 12 d 12x C 12 dx     C    12  12.ln12 ln12 Cho F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. I  e . B. I  1 . e ln x . Tính F (e)  F (1) x C. I  1 . 2 D. I  1 . Lời giải Chọn C ln  x  1 F x    dx   ln  x  d ln  x   ln( x) 2 x 2 1  F( e )  F(1)  2 Câu 4: Biết F làm một nguyên hàm của hàm số f  x   2016e 2016 x và F  0   2018 . Giá trị của F là A. F 1  2016. B. F 1  2016e 2016 . C. F 1  2016e 2016  2. D. F 1  e2016  2017. Lời giải Chọn D F  x    2016e 2016x dx  e 2016x  C  F  0   1  C  2018  C  2017  F  x   e 2016x  2017  F 1  e 2016  2017. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 178 Câu 5: Tìm nguyên hàm I   x ln  x 2  1 x2  1 dx 1 4 B. I  ln 2  x 2  1  C A. I  ln  x 2  1  C 1 2 C. I  ln  x 2  1  C D. I  ln 2  x 2  1  C Lời giải Chọn B   Áp dụng công thức nguyên hàm hợp d ln  x 2  1  I  Câu 6:  2x dx x 1 2  1 1 ln  x 2  1 d ln  x 2  1  .ln 2  x 2  1  C 2 4 Kí hiệu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   nghiệm S của phương trình F  x   ln  e x  1  3 . A. S  3;3 B. S  3 1 , biết F  0    ln 2 . Tìm tập e 1 x C. S   D. S  3 Lời giải Chọn B 1 ex x dx  dx   e x  1   e x  1 dx  x  ln  e  1  C Vì F  0    ln 2  C  0  F  x   x  ln  e x  1 Xét phương trình F  x   ln  e x  1  3  x  3 Dạng 6: Nguyên Hàm Từng Phần Câu 1: Biết F  x    ax  b  .e x là nguyên hàm của hàm số y   2 x  3 .e x . Khi đó a  b là A. 2 B. 3 C. 4 Lời giải D. 5 Chọn A y   2 x  3 e x  F  x     2 x  3 e x dx u  2 x  3  du  2dx   x x  dv  e dx  ve F  x     2 x  3 e x dx   2 x  3 e x   e x 2dx   2 x  3 e x  2e x   2 x  1 e x Khi đó a  b  3 .  Câu 2: 4 Cho tích phân I    x  1 sin 2 xdx. Tìm đẳng thức đúng 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 179    4 4 B. I    x  1 cos 2 x   cos 2 xdx . A. I    x  1 cos 2 x 04   cos 2 xdx . 0 0  1 C. I    x  1 cos 2 x 2   14 4 cos 2 xdx . 0  2 0 1 D. I    x  1 cos 2 x 2  14 4 cos 2 xdx . 0  2 0 Lời giải Chọn C    du  dx u  x  1 1 14   Đặt  ta có I    x  1 cos 2 x 4   cos 2 xdx 1 2 20 dv  sin 2 xdx v   cos 2 x 0 2  Câu 3: Biết rằng  e 2 x cos 3xdx  e2 x  a cos 3x  bsin 3x   c , trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng a + b có giá trị là A.  1 13 B.  5 13 C. 5 13 D. 1 13 Lời giải Chọn C Đặt f  x   e2 x  a cos 3x  bsin 3x   c . Ta có f '  x   2ae2 x cos 3x  3ae2 x sin 3x  2 be2 x sin 3x  3be2 x cos 3x   2a  3b  e 2 x cos 3x   2 b  3a  e2 x sin 3x Để f là một nguyên hàm của hàm số e 2 x cos 3x , điều kiện là  2 a   a  b  2 3 1 5 f '  x   e2 x cos 3x     13  a  b  . 13 2 b  3a  0 b  3  13 Câu 4: Tính nguyên I  hàm  x  2  sin 3xdx   x  2  cos 3x  b sin 3x  C . a Tính M  a  27b . Chọn đáp án đúng: A. 6 B. 14 C. 34 Lời giải D. 22 Chọn A u  x  2 . Ta được Đặt  dv  sin 3xdx du  dx   cos 3x v    3 Do đó: I  Câu 5: x  2 cos 3 x  1 3 cos 3xdx   3 x  2 cos 3x  1 sin 3x  C  a  3;b  1  M  6 3 9 9 Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x sin 2 x là LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 180 1 1 A. F ( x )   x cos 2 x  sin 2 x  C . 2 4 C. F ( x )   x cos 2 x  sin 2 x  C . 1 1 x cos 2 x  sin 2 x  C . 2 4 D. F ( x )  x cos 2 x  sin 2 x  C . B. F ( x)  Lời giải Chọn A Đặt u  x  u  1 x cos 2 x x cos 2 x sin 2 x cos 2 x  dx     C  cos 2 x  I    2 2 2 4 v  x  v   sin 2  2 Câu 6: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x    5 x  1 e x và F  0   3. Tính F 1 . A. F 1  11e  3. B. F 1  e  3. C. F 1  e  7. D. F 1  e  2. Lời giải Chọn C 1 I   (5 x  1)e x dx 0 u  5 x  1  du  5dx, dv  e x dx  v  e x  I  (5 x  1)e x Câu 7: 1 1 x 1   e 5dx  (5 x  1)e x  5e x  e  4  F (1)  F (0)  F (1)  e  7 0 0 0 Tìm  x cos 2xdx. 1 1 x.sin 2x  cos2x  C. 2 4 1 1 C. x.sin 2x  cos2x  C. 2 2 B. x.sin 2x  cos2x  C. A. D. 1 1 x.sin 2x  cos2x  C. 2 4 Lời giải Chọn D du  dx u  x 1 1     x cos 2xdx  x sin x2x   sin 2xdx Đặt  1 2 2 dv  cos2xdx  v  sin 2x  2 1 1  x sin 2x  cos2x  C. 2 4 Câu 8:   x  2  sin 3xdx   A. 14  x  m  cos 3x  1 sin 3x  C . Tính giá trị của n B. 2. p C. 9 Lời giải mn p. D. 10 Chọn A du  dx u  x  2  Đặt   cos 3 x . dv  sin 3xdx v   3  LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 181 Khi đó   x  2  sin 3xdx    x  2  cos 3x  1 sin 3x  C. 3 9 Suy ra m  2, n  3, p  9 Vậy m  n  p  14. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 182 BÀI 2.TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I. TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  . Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  trên  a ; b  . b  f  x  dx  F  x  a b a  F b  F  a Quy ước: a + Nếu a  b thì  f  x  dx  0 a b a + Nếu a  b thì  f  x  dx    f  x  dx a b b b b a a a  f  x  dx   f t  dt   f  u du  ... 2. Tính chất: b b a a  kf  x  dx  k  f  x  dx k   b b b a a a   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx b  a c b a c f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  a  c  b Một số tính chất mở rộng: Nếu f  x   0x   a; b thì: b  f  x dx  0x   a; b a b b a a Nếu: x   a; b  : f  x   g  x    f  x dx   g  x dx . b Nếu: x   a; b  và với hai số M, N ta luôn có: M  f  x   N thì: M  b  a    f  x dx  N  b  a  . a II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN. 1. Phương pháp đổi biến số 1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và   u( x)   . Giả sử có thể viết f ( x)  g(u( x))u ʹ( x), x  [a;b], với g liên tục trên đoạn [ ;  ]. b u( b ) a u( a ) Khi đó, ta có: I   f ( x)dx   g(u)du. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 183 b Bài toán: Tính tích phân I   g u( x) .u( x)dx a Cách giải: Đặt t  u  x   dt  u( x)dx  x  a  t  u( a) u( b ) . Khi đó I   g(t)dt. Đổi cận:   x  b  t  u(b) u( a ) Chú ý: Khi đổi biến ta phải đổi cả cận Dấu hiệu chung: Nếu hàm số chứa căn  đặt t  căn Nếu hàm số chứa mẫu  đặt t  mẫu Nếu hàm số chứa lũy thừa bậc cao  đặt t  biểu thức chứa lũy thừa bậc cao Dấu hiệu cụ thể: Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ I 3 x 2 dx . Đặt t  x  1 1 Có 2 Có (ax  b)n t  ax  b I   x( x  1)2018 dx . 3 Có a f ( x ) t  f ( x) I 4 4 Có t f ( x) f ( x) t  ln x hoặc biểu thức chứa dx và ln x x ln x te 0 1  0 hoặc biểu thức chứa I e tan x  3 dx . cos 2 x Đặt t  x  1 Đặt t  tan x  3 1  3 ln x . ln x .dx . Đặt t  1  3 ln x x e I 1 x x 1 0 ln 3 e 2 x 4 e x  3.dx . Đặt t  4 e x  3 5 Có e x dx 6 Có sin xdx t  cos x I 3 7 Có cos xdx t  sin xdx I   2 sin 3 x cos xdx . Đặt t  sin x e x 0  0  0  8 9 Có Có sin 3 x dx Đặt t  2 cos x  1 2 cos x  1 dx cos 2 x t  tan x dx sin 2 x t  cot x I 4 0  1 1 2 d x  04 (1  tan x) cos 2 x dx cos 4 x Đặt t  tan x  I  4 6  e cot x e cot x dx  4 dx . Đặt t  cot x 2 1  cos 2 x 6 2 sin x 1.2. Phương pháp đổi biến số dạng 2. Đặt x  u  t  b Bài toán 1: Tính I   f(x)dx a Phương pháp: Đặt x  u  t   dx  u ʹ  t  dt Đổi cận: x  a  u   xbu b Suy ra I   f u(t) u ʹ(t )dt a Dấu hiệu LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 Đặt 184 Nếu hàm f  x  có chứa a 2  x 2 thì dx  d  a sin t   a cos t dt đặt x  a sin t   2 2 2 2 2  a  x  a  a sin t  a cos t Nếu hàm f  x  có chứa a 2  x 2 thì đặt  adt dx  d  a tan t   cos 2 t  x  a tan t   a  a 2  x 2  a 2  a 2 tan 2 t   cos t đặt   a cos tdt dx  sin 2 t  x  2 sin t  x 2  a 2  a 2 cos t  sin 2 t đặt dx  d  a cos 2t   2a sin 2tdt  x  a cos 2t   a  x 1  cos 2 t cos 2 t    1  cos 2 t sin 2 t  ax Nếu hàm f  x  có chứa x 2  a 2 thì ax ax Nếu hàm f  x  có chứa thì a Bài toán 2. Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Khi đó ta có b b a a  f  x  dx   f  a  b  x  dx . Chứng minh: Đặt t  a  b  x  dx  dt . Khi đó b  a a b b b a a f  x  dx   f  a  b  t  dt    f  a  b  t  dt   f  a  b  x  dx . a Bài toán 3: Cho hàm số f  x  liên tục và là hàm số lẻ trên   a; a  . Chứng minh rằng:  f  x  dx  0 . a Chứng minh: a 0 a a 0 Ta có: I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . a 0 Xét tích phân: J   f  x  dx , Đặt x  t  dx  dt . a Đổi cận: x   a  t  a ; x  0  t  0 . Mặt khác vì f  x  là hàm số lẻ nên f  t    f  t  . 0 a a Khi đó: J    f  t  dt    f  t  dt    f  x  dx . 0 a 0 a a 0 0 Thay vào ta được: I    f  x  dx   f  x  dx  0 . 2. Phương pháp tích phân từng phần b b Công thức:  udv  uv a   vdu . a b a LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 185 B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Tích Phân Hữu Tỉ 2 Câu 1: Tích phân 2 ò 2 x +1 dx bằng 0 A. 2ln 5 . B. 1 ln 5 . 2 C. ln 5 . D. 4ln 5 Lời giải Chọn C 2 ò 0 Câu 2: 2 2 2 2 dx = ò d (2 x +1) = ln 2 x +1 | = ln 5 . 0 2 x +1 2 x +1 0 Nguyên hàm ò A. ò B. ò C. ò x +3 dx ? x + 3x + 2 2 x +3 dx = 2 ln x +1 - ln x + 2 + C x + 3x + 2 . 2 x +3 dx = - ln x + 1 + 2 ln x + 2 + C . x + 3x + 2 x +3 dx = 2 ln x + 1 + ln x + 2 + C 2 x + 3x + 2 . 2 x +3 dx = ln x + 1 + 2 ln x + 2 + C x + 3x + 2 Lời giải Chọn A æ 2 2 ( x + 2) - ( x + 1) 1 ö÷ x+3 dx dx 2 I =ò 2 dx = ò dx = ò çç dx = ÷ ò ò çè x + 1 x + 2 ø÷ x + 3x + 2 x +1 x+2 ( x + 1)( x + 2) D. ò 2 = 2 ln x +1 - ln x + 2 + C . 2 Câu 3: Cho hàm f ( x) = ( x + 2) có nguyên hàm là hàm F ( x) . Biết F (1) = 6 . Khi đó F ( x) có x3 dạng: 4 2 A. ln x - - 2 + 6 x x . 4 2 ln x - - 2 + 12 x x 4 2 4 2 B. ln x + - 2 + 4 . C. ln x + - 2 + 6 D. x x x x . Lời giải Chọn D 2 x2 + 4x + 4 1 4 4 = + 2 + 3 ( x ¹ 0) 3 3 x x x x x dx dx dx 4 2 f ( x ) dx = ò + 4 ò 2 + 4 ò 3 = ln x - - 2 + C . x x x x x Ta có: f ( x) =  F ( x) = ò ( x + 2) = LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 186 4 2 Mà F (1) = 6  C = 12  F ( x ) = ln x - - 2 + 12 x x . Câu 4: Tìm hàm số f ( x) biết f '( x ) = 4x2 + 4x + 3 và f (0) = 1. Biết f ( x) có dạng: 2 x +1 f ( x) = ax 2 + bx + ln 2 x +1 + c. Tìm tỉ lệ của a :b : c A. a :b : c=1 : 2 :1 . a :b : c=1 : 2 : 2 B. a :b : c=1 :1 :1 . C. a :b : c= 2 : 2 :1 . D. Lời giải Chọn B Ta có f (x)   4x 2  4x  3 2   2 dx=   2 x  1  dx  x  x  ln 2 x  1  c  2x  1 2 x 1   Mà f (0) = 1  c  1  f ( x)  x 2  x  ln 2 x  1  1 . Câu 5: x 3dx 1  ln b Chọn phát biểu đúng 0 x4  1 a A. a :b = 2 :1 . B. a + b = 3 . C. a – b = 1 . đúng Lời giải Chọn A Cho I   1 I  0 1 x 3 dx . Đặt: u  x 4  1  du  4 x 3 dx x4  1 Đổi cận: x  0  u  1; x  1  u  2  I   2 1 1 Câu 6: D. Tất cả đều Một học sinh làm tích phân I = ò 0 2 du 1 1   ln u   ln 2 . 4u 4 1 4 dx theo các bước 1+ x2 Bước 1: Đặt x = tan t , suy ra Bước 2: Đổi x = 1  t = p 4 Bước 3: I = ò 0 p ,x=0t =0 4 2 p 4 p 1 + tan t p p 4 = 0dt = dt = t =2 ò 0 1 + tan t 4 4 0 Các bước làm trên, bước nào bị sai A. Bước 3. B. Bước 2. nào sai C. Bước 1 D. Không bước Lời giải Chọn A p 4 I =ò 0 2 p 4 p 1 + tan t p p dt = ò dt = t 04 = - 0 = . 2 1 + tan t 4 4 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 187 1 Câu 7: Tích phân dx ò 2 x + 5 dx bằng 0 A. 1 7 log . 2 5 B. 1 7 ln . 2 5 C. 1 5 ln . 2 7 D. - 4 35 Lời giải Chọn B Câu 8: Tính tích phân I = ò 2 x ( x + 1) 1 A. 1 2 2 . 3 dt = ln a + b . Khi đó S = a + 2b bằng: 2 B. - . 3 D. - 1 C. 1. Lời giải Chọn C I =ò 1 2 2 x ( x + 1) 1 dx = ò x + 1- x 2 1 2 x ( x + 1) dx = ò 1 2 2 1 1 dx - ò dx 2 1 x ( x + 1) ( x + 1) 2æ 1 2 1 ÷ö x 2 4 1 -2 -1 2 Suy ra I = ò çç + ( x + 1) = ln dx x + 1) dx ( x + 1) = ln ( ÷ ò ÷ ç 1 èx 1 1 x + 1ø x +1 1 3 6 4 1  a = ,b = -  S =1. 3 6 3 Câu 9: Biết ò 1 x 2 + x +1 b dx = a + ln , với a , b là các số nguyên. Tính S = a - 2b. x +1 2 A. S = -2 . B. S = 5 . C. S = 2 . D. S = 10 Lời giải Chọn C 5 ò 3 5 æ x 2 + x +1 1 ö÷ 1 3 dx = ò çç x + dx = x 2 53 + ln ( x + 1) 53 = 8 + ln ÷ ÷ çè x +1 x + 1ø 2 2 3 1 Câu 10: Giá trị tích phân I = ò 0 A. 0. dx bằng x +1 B. 1. C. ln 2 . D. ln 3 2 Lời giải Chọn C. 1 Câu 11: Biết x -5 ò 2 x + 2 dx = a + ln b với a, b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 A. a + b = 9 . 30 9 B. ab = . 8 C. ab = 8 . 81 D. a + b = 7 24 Lời giải Chọn C Phương pháp: Chia tử cho mẫu. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 188 1 Cách giải: ò 1 3 1 1 3 3 æ1 æ1 ö x -5 x + 1- 6 3 ÷ö dx = ò dx = ò çç ÷÷ dx = ççç x - 3ln x + 1 ÷÷÷ ç è 2 x + 1ø è2 ø 2x + 2 2x + 2 1 1 1 1 3 ìï 1 ïïa = 1 1 4 1 2 1 8 8 ï 3 = - 3ln 2 - + 3ln = + 3ln = + ln í  ab = 8 2 6 3 3 3 3 27 ïï 81 ïïb = 27 îï 2 Câu 12: Cho 1 dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a , b, c là các số nguyên. Mệnh đề nào x + 5x + 6 ò 2 1 dưới đây đúng? A. a + b + c = 4 . B. a + b + c = -3 . C. a + b + c = 2 . Lời giải D. a + b + c = 6 Chọn C 2 Ta có ò 1 2 æ 1 1 1 ÷ö x+2 dx = ò çç ÷÷ dx = ln 2 ç è x + 2 x + 3ø x + 5x + 6 x +3 1 2 1 4 3 = ln - ln = 4 ln 2 - ln 3 - ln 5  a + b + c = 2 5 4 1 1   Câu 13: Cho   2  dx  a ln 2  b ln 3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào đúng? x  3x  2  0 A. a  2b  0 . B. a  2b  0 . C. a  b  2 . Lời giải D. a  b  2 . Chọn A Ta có: A  x  2   B  x  1  A  B  x   2 A  B  1 1 A B      x  3 x  2  x  1 x  2  x  1 x  2  x  1 x  2   x  1 x  2  2 Đồng nhất thức ta có hệ phương trình:   A B  0 A 1  2A  B 1 B  1 1 1 1  2   x  3x  2 x  1 x  2 1 1 1 1 1     1   2   dx     dx   ln x  1  ln x  2    ln 2  ln 3   ln1  ln 2  x  3x  2  x 1 x  2  0 0 0  2 ln 2  ln 3  a  2, b  1 Vậy a  2b  0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 189 1 Câu 14: Tích phân I    x  1 0 2 x2  1 dx  a ln b  c , trong đó a ; b ; c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a  b  c . A. 2 . B. 1 . C. 3 . Lời giải D. 0 . Chọn A  x  1 1 I  2 x2  1 0 1 dx   0 1 1 1 2x  1 x2  1  2x  dx    1  2 d  x 2  1  dx   dx   2 2 1 1 x 1 x x    0 0 0 1  1  ln x 2  1 1  ln 2 . 0 a  1 , b  2 , c  1 nên a  b  c  2 . 2 Câu 15: Giả sử tích phân x  ( x  1) 2 dx  a  b ln 3  c ln 2 trong đó a , b , c là các số hữu tỉ. Tính 1 tổng S  a 2  b 2  c 2 . 77 A. . 36 B. 73 . 36 C. 67 . 36 D. 1 . 64 Lời giải Chọn B 2 Ta có 2 2 2 2 x x 1 1 1 1 1 ( x  1)2 dx  1 ( x  1)2 dx 1 ( x  1)2 dx  1 ( x  1) dx  1 ( x  1)2 dx  ln x  1 2 1  1 2 1    ln 3  ln 2 . x 1 1 6 1 Suy ra a   ; b  1 ; c  1 . 6 2 73 2  1 . Vậy S  a  b  c      12   1  36  6 2  2 Dạng 2. Tích phân vô tỉ Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là đúng? dx dx 1 = 2 x + C . B. ò 2 = + C . A. ò x x x ò2 x C. ò dx = ln x + C .D. x +1 dx = 2 x + C Lời giải Chọn A Ta có  dx dx  2  2 x  C nên A đúng. x 2 x LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 190 Câu 2: 3x3 ò 1- x2 dx bằng: A. -( x 2 + 2) 1 - x 2 + C . B. ( x 2 + 1) 1 - x 2 + C . C. -( x 2 - 1) 1 - x 2 + C . D. ( x 2 + 2) 1 - x 2 + C Lời giải Chọn A t = 1 - x 2  dt = - 3x ò ( Câu 3: 3 1- x 1- x2 2 x 1- x 2 dx; x 2 = 1 - t 2 dx = ò -3(1 - t 2 )dt = ò (3t 3 - 3)dt = t 3 - 3t + C ) - 3 1- x 3 2 = 1 - x 2 (1 - x 2 - 3) = -( x 2 + 2) 1 - x 2 . 4 Cho hàm số F ( x) = ò x x 2 + 1dx. Biết F (0) = , khi đó F 2 2 bằng 3 85 A. 3 . B. . C. 19 . D. 10 4 Lời giải Chọn D ( 2 2 ò x x 2 + 1dx = 0 1 2 2 2 ò x 2 + 1d ( x 2 + 1) = 0 1 3 2 2 ( x 2 + 1) 3 = 0 ) 26 3 . 26  F 2 2 - F (0 ) =  F 2 2 = 10 3 ( Câu 4: ) ( ) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 4 + x 3 là A. 2 x 3 + 4 + C . 1 9 (4 + x 3 ) 3 B. 2 9 (4 + x3 ) 3 + C . C. 2 (4 + x 3 ) 3 +C . D. +C Lời giải Chọn B 3 òx 2 4 + x 3 dx = 1 3ò 4 + x 3 .d ( x 3 + 4) = 5 Câu 5: Tính tích phân I=ò 1 S = a 2 + ab + 3b 2 là A. 0. dx x 3x + 1 B. 4. 3 1 (4 + x )2 3 3 2 +C = ta được kết quả C. 1. Lời giải 2 9 (4 + x3 ) 3 +C . I = a ln 3 + b ln 5. Giá trị D. 5 Chọn D LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 191 ìï x = 1  t = 2 Đặt t = 3x + 1  t 2 = 3x + 1  2tdt = 3dx, ï í ïïî x = 5  t = 4 Suy ra 4 4 æ 1 1 ÷ö dt t -1 = ò çç ÷÷dt = ln 2 ç è t - 1 t + 1ø t +1 t -1 2 I = 2ò 2 4 2 ïìa = 2 3 1 = ln - ln = 2 ln 3 - ln 5  ïí S =5 ïïîb = -1 5 3 1 Câu 6: Cho ò 3x + 1 3 A. - x 9 x 2 -1 dx = a + b 2, với a, b là các số hữu tỉ. Khi đó giá trị của a là 26 . 27 B. 26 . 27 C. - 27 . 26 D. - 25 27 Lời giải Chọn B 1 Ta có: ò 3x + 1 3 1 =ò 1 3 9 x -1 1 dx = ò ( ) dx = x 3x - 9 x 2 -1 2 2 9x - 9x +1 1 3 2 1 ò (3x 2 ) - x 9 x 2 - 1 dx 1 3 æ 1 2 9 x - 1d (9 x - 1) = çç x 3 - . çè 18 3 1 3 x dx - ò 18 1 1 ö 26 16 (9 x -1) ÷÷÷ø 1 = 27 - 27 2 2 3 2 3 3 26 -16 . ;b = 27 27 1 Tích phân ò 0 A. 2 2 Suy ra a = Câu 7: 1 x dx 3x + 1 3 . 2 dx bằng B. 2 . 3 C. 1 . 3 D. 4 3 Lời giải Chọn B Đặt 3x + 1 = t  t 2 = 3x + 1  2tdt = 3dx 1 ìïï x = 0  t = 1  Đổi cận: í ïïî x = 1  t = 2 ò0 dx 3x + 1 2 =ò 1 2 2 1 2t 2 2 2 . dt ò dt = t = . t 3 3 3 1 3 1 4 Câu 8: 1 Cho I = ò x 1 + 2 xdx và u = 2 x + 1. Mệnh đề nào dưới đây sai? 2 0 3 A. I = 1 x 2 ( x 2 - 1) dx . 2 ò1 3 1 3 1 æu u ö C. I = çç - ÷÷÷ . 2 çè 5 3 ø÷ 1 5 3 B. I = ò u 2 (u 2 - 1) du . 3 D. I = 1 u 2 (u 2 - 1) du ò 2 1 Lời giải Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 192 u=1 khi x=0 u=3 khi x=4 u= 2x+1  u du=x dx Đổi cận ta có: (u 2 -1) 3 I = ò u2 1 æ u5 u3 ö du= çç - ÷÷÷ 13 2 çè 5 3 ÷ø . 2 1 7 Câu 9: Cho tích phân x3 dx ò 3 0 1+ x = 2 A. 2 . m m , với là một phân số tối giản. Tính m - 7n. n n C. 0 . Lời giải B. 1 . D. 91 Chọn B Đặt t = 3 1 + x 2  t 3 = 1 + x 2  2 xdx = 3t 2 dt  xdx = 7 ò Khi đó 7 Vậy 1 + x2 3 0 x3 dx ò 3 0 1 + x2 4 Câu 10: Tích phân 7 x3 dx = =ò 1 dx bằng 2. A. .xdx = ò 1 + x2 2 3 141 t 3 - 1 3t 2 . dt = ò (t 4 - t ) dt = 2 2 1 20 t m ïìïm = 141 í  m = 7n = 141 - 7.20 = 1 . ïïîn = 20 n 2x + 1 0 3 0 1 ò 2 x2 ìx = 0  t = 1 ï 3t 2 dt và ï í ï 2 ï îx = 7  t = 2 B. 3. C. 2. Lời giải D. 5 Chọn C 4 Ta có ò 0 1 4 2x + 1 dx = 2x + 1 = 2 . 1 Câu 11: Biết I = ò 0 0 x 3x + 1 + 2 x + 1 T = a + b. A. T = -10. . dx = a +b 3 , với a, b là các số thực. Tính tổng 9 B. T = -4. . C. T = 15. . Lời giải D. T = 8. Chọn D Phương pháp giải: Nhân liên hợp với biểu thức mẫu số, đưa về tính tích phân cơ bản Lời giải: 1 Ta có I = ò 0 1 ò 0 x ( 1 x 3x + 1 + 2 x + 1 ) 3x + 1 - 2 x + 1 3x + 1 - 2 x -1 1 =ò LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 ( dx = ò 0 ) ( 3x + 1) - ( 2 x + 1) x ( 3x + 1 + 2 x + 1 2 2 dx ) 3 x + 1 - 2 x + 1 dx. 0 193 æ ö1 3 3 ÷ çç 1 ÷÷ x + x + 3 1 2 1 ( ) ( ) æ2 1 1 3 3ö ç1 = çç . - . ÷÷÷ = çç . (3 x + 1) - . (2 x + 1) ÷÷÷ çè 9 3 3 çç 3 ø0 ÷÷ 2 3 ÷ø 0 ÷ çè 2 2 1 ìïa = 17 1é 1 17 - 9 3 3 3ù . = ê 2 (3 x + 1) - 3 (2 x + 1) ú = 16 - 9 3 + 1 =  ïí ï 9 ëê 9 ûú 0 9 ïîb = -9 ( ) Vậy T = a + b = 17 - 8 = 8. . 1 Câu 12: Biết dx ò = x +1 + x 0 A. T = 7 . 2 3 ( ) a - b với a, b là các số nguyên dương. Tính T = a + b B. T = 10 . C. T = 6 . Lời giải D. T = 8 Chọn B Nhân liên hợp, bỏ mẫu số đưa về tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức cơ bản Ta có 1 ò 0 1 dx x +1 + x 2 3 mặt khác ( 1 x +1 - x =ò ( 0 ) a -b = dx = ò ) ( ) 2 x +1 - 4 3 ( x ) 2 -1 = 2 2 3 ( 0 1 2é 4 3 ù x + 1 - x dx = ê ( x + 1) - x3 ú = úû 0 3 3 ëê ) ïìa = 8 8 - 2  ïí ïïîb = 2 ( ) Vậy T = a + b = 8 + 2 = 10 . 1 Câu 13: Biết xdx ò 2 5x + 4 0 = a a với a, b . là các số nguyên dương và phân thức là tối giản. Tính b b giá trị của biểu T = a 2 + b 2 A. T = 13 . B. T = 26 . C. T = 29 . Lời giải D. T = 34 Chọn B 1 Dùng máy tính bỏ túi tính ò 0 4 Câu 14: Tích phân 1 ò 2x + 1 0 A. 2. xdx 2 5x + 4 = 1  T = 12 + 52 = 26 . 5 dx bằng B. 3. C. 2. Lời giải D. 5 Chọn C 4 Ta có ò 0 1 2x + 1 1 Câu 15: Biết x 0 A.  5 . 4 dx = 2x + 1 = 2 x 2  1 dx  0 a 2 1 với a , b là số tự nhiên. Giá trị a 2  b 2 là b B. 5. C. 2. D. 7. Lời giải Chọn A LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 194 ( ) 2 -1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 Cách 1:  x x  1 dx    x 2  1 2 d  x 2  1   x 2  1 x 2  1  . 3 3 20 0 0 2  a  2 , b  3 . Vậy a 2  b 2  5 . x 2  1  t  x 2  1  t 2  x dx  t dt . Cách 2: Đặt Ta có x  0  t  1 , x  1  t  2 . 1 2 2 2 2 1 t3  a  2, b  3. Khi đó:  x x  1 dx   t dt   3 31 0 1 2 2 Cách 3: dùng MTCT Bước 1: Tính tích phân rồi lưu lại là A. Bước 2: Rút b  a 2 1 . A x 2 1 với Start: 0 , End: 18 , Step: 1. A Được cặp số x  2 , f  x   3 thỏa mãn. Suy ra a  2 , b  3 . Bước 3: MODE 7 nhập f  x   Dạng 3: Tích Phân Lượng Giác p 4 Câu 1: Tính tích phân I = ò cos 2 xdx 0 A. I = p+2 . 8 B. I = p+2 . 4 1 C. I = . 3 Lời giải D. I = 2 3 Chọn A Phương pháp: Biểu thức trong tích phân là hàm lượng giác bậc chẵn, ta thường sử dụng công thức biến đổi lượng giác hạ bậc rồi mới tính tích phân. p 4 Cách giải: I = ò 0 p Câu 2: Cho tích phân p 4 p ö4 p+2 1 1æ 1 cos xdx = ò (1 + cos 2 x) dx = çç x + sin 2 x÷÷÷ = . ø0 2 0 2 çè 2 8 2 cos 2 x ò 1- cos x dx = ap + b với a, b Î Q. Giá tri của P = 1 - a 3 - b 2 là p 2 B. P = -29 . A. P = 9. C. P = -7 . Lời giải D. P = -27 . Chọn C p ò p 2 p p 2 2 é ù cos 2 x 2 cos 2 x - 2 + 1 1 dx = ò dx =ò ê - 2 (1 + cos x )ú dx ê1 - cos x 1 - cos x 1 - cos x ûú p p ë p =ò p 2 dx x 2sin 2 2 p p - 2 ( x + sin x) p = ò 2 p 2 æ xö d çç ÷÷÷ p çè 2 ø x - p + 2 = - cot - p + 2 = 3 - p. x 2p sin 2 2 2 3 Do đó a = -1; b = 3  P = 1 - (-1) - 32 = -7. . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 195 Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x - sin2 x là A. x2 + cos2 x + C . 2 B. x2 1 1 + cos2x + C . C. x 2 + cos2x + C . D. 2 2 2 x2 1 - cos2x + C 2 2 Lời giải Chọn B Câu 4: x2 1 + cos2x + C . 2 2 ò ( x - sin2x )dx = Ta có æpö æp ö Cho F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2 x và F çç ÷÷÷ = 1. Tính F çç ÷÷÷ çè 4 ø çè 6 ø æpö 1 æpö 5 æpö 3 æpö A. F çç ÷÷÷ = . B. F çç ÷÷÷ = 0 . C. F çç ÷÷÷ = . D. F çç ÷÷÷ = çè 6 ø 2 çè 6 ø 4 çè 6 ø 4 çè 6 ø Lời giải Chọn D p 4 ò p 6 p 4 æpö æp ö æpö 1 1 1 3 sin 2 xdx = cos 2 x = = F çç ÷÷÷ - F çç ÷÷÷  F çç ÷÷÷ = 1 - = . ç ç ç p è ø è ø è ø 2 4 4 6 6 4 4 6 p 2 Câu 5: Biết ò cos xdx = a + b 3, với a , b là các số hữu tỉ. Tính T = 2a + 6b. p 3 A. T = 3. . B. T = -1. . C. T = -4. . Lời giải D. T = 2. Chọn B Ta có p 2 p 2 p 3 p 3 ò cos xdx = s inx ì a =1 ï ï 1 = 13 ï í 1  T = -1. . ï 2 b=ï ï 2 î p 4 Câu 6: Tính tích phân I = ò tan 2 x dx . 0 A. I = 1 - p . 4 B. I = 2 . C. I = ln 2 . D. I = p 12 Lời giải Chọn A p 4 p 4 p æ 1 ö p Ta có I = ò tan 2 xdx = ò çç 2 - 1÷÷÷ dx = ( tanx-x ) 40 = 1 - . çè cos x ø 4 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 196 p 2 Câu 7: Kết quả của tích phân æp 1ö được viết ở dạng p çç - ÷÷÷ - 1. Khẳng định çè a b ø ò (2 x -1- sin x) dx 0 nào sau đây là sai? A. a + 2b = 8 . B. a + b = 5 . C. 2a - 3b = 2 . Lời giải D. a - b = 2 Chọn B p 2 p 2 ò (2 x -1 - sin x)dx = ( x - x + cos x) 02 = 0 æp 1ö p2 p - - 1 = p çç - ÷÷÷ - 1 çè 4 2 ø 4 2  a = 4; b = 2  a + b = 6  khẳng định B sai. p 2 Câu 8: æp ö Tính tích phân I = ò sin çç - x÷÷÷ dx çè 4 ø 0 A. I = -1 . C. I = 0 . B. I = 1 . D. I = p 4 Lời giải Chọn C Phương pháp: 1 ò sin (a x + b) dx = - a cos (a x + b) + C p 2 Cách giải: I = ò 0 p æp ö æp ö 2 2 2 sin çç - x÷÷÷ dx = cos çç x÷÷÷ = = 0. çè 4 ç ø è4 ø0 2 2 p 2 1 Câu 9: Cho f là hàm số liên tục thỏa ò 0 A. 1. f ( x ) dx = 7. Tính I = ò cos x. f (sin x)dx 0 B. 9. C. 3. Lời giải D. 7 Chọn D ìï x = 0  t = 0 ï Đặt t = sin x  dt = cos xdx ï í ïït = p  t = 1 ïî 2 p 2 1 0 0 1 Khi đó I = ò cos x. f (sin x) dx = ò f (t ) dt = ò f ( x ) dx = 7 . 0 Dạng 4: Tích Phân Từng Phần Câu 1: 1 Giá trị của  x.e 2 x dx bằng: 0 A. e 1 2 2 B. e2  1 2 C. e2  1 4 D. e2  1 4 Lời giải: Chọn C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 197  du  dx ux e2  1  Đặt   dx     e 2 x . Do đó I  2x dv e dx 2 0 0 2 2 4 0 4   v   1 xe 2 x 1 e2x e2 e2x 1 2  Câu 2: 2 Giá trị của  x cos xdx bằng: 0 A.  2 B. 1  2 C. 1  1 D. 2  1 2 Lời giải: Chọn B    2   du  dx ux   Đặt  . Do đó I  x sin x 2   sin xdx   cos x 2   1  2 2 dv  cos xdx v  sin x   0 0 0 Câu 3: Giá trị của 2  x 2   1 ln xdx bằng: 1 A. 2 ln 2  6 9 B. 6 ln 2  2 9 C. 2 ln 2  6 9 D. 6 ln 2  2 9 Lời giải: Chọn B Đặt   dx du   u  ln x  x   2 3   1 dv x dx  3x x  v    3  Do đó I  Câu 4: Biết e  1  x 3 .   3x ln x 2 2 x 2  3  2 2 ln 2 2 2 ln 2  x 3  dx     x   3 1 1 3 3 9 3 9  1 2 ln x dx   a  b.e 1 , với a , b   . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x2 A. a  b  3 . B. a  b  3 . C. a  b  6 . Lời giải D. a  b  6 . Chọn D Đặt 1  e e du  dx u  ln x e e  2 ln x 1 1    1   1  2 x    2 dx 2   ln x   2 2 dx  2   ln x    2 1   1  x x x  x 1  x  e 1 1 dv  x 2 dx v   1 1 x  Sau khi nhân thêm 2 ta được a  2, b  4  a  b  6 Câu 5: e Giá trị của  ln xdx bằng: 1 B. 2 A. 1 C. 3 Lời giải: D. 4 Chọn A u  ln x  du  dx   Đặt  x . Do đó I  x ln x   dx  e  x  1 1 1 1 dv  dx   v  x LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 e e e 198 Câu 6: e 1  Tích phân I     x  ln xdx có giá trị là: x 1 A. I   e 1 4 2 B. I  e2  3 4 C. I  e2  5 4 D. I  e2  7 4 Lời giải: Chọn C Ta có: e e 1 e e e  x2  1 1 e2  1  e2  5 1  . I     x  ln xdx   ln xdx   x ln xdx   d  ln x    ln x    xdx  1    x 2   x x 2  4 1 4   2 1 2 1 1 1 1 0 e Câu 7: π u  x 2 Tính tích phân I   x 2 cos 2xdx bằng cách đặt  dv  cos 2 xdx 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? π 1 B. I  x 2 sin 2 x π0  2 x sin 2 xdx . π 1 π 1 2 2 π A. I  2 x sin 2 x 0   x sin 2 xdx . 0 1 2 2 π C. I  2 x sin 2 x 0  2 x sin 2 xdx . 0 0 π D. I  x 2 sin 2 x π0   x sin 2 xdx . 0 Lời giải Chọn A du  2 xdx  .  1 dv  cos 2 xdx v  2 sin 2 x u  x 2 Ta có:  π π 1 2 Khi đó: I   x 2 cos 2xdx  x 2 sin 2x π0   x sin 2xdx . 0 0  Câu 8: 2 Tính tích phân I   x cos x dx . 0 A.  2 1 . B.  2 1. C. 1 . D.  2 . Lời giải Chọn A u  x  du  dx  Đặt:  .  dv  cos x dx  v  sin x   2   0 2 I  x sin x 02   sin x dx   x sin x  cos x  2  0 Câu 9: 1 . e Tính I   x ln xdx . 1 1 A. I  . 2 B. I   1 2 e 2 2 . C. I  2 . D. I   1 2 e 1 4 . Lời giải Chọn D Đặt  1 du  x dx u  ln x .   2 dv  xdx  v  x  2 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 199 Khi đó e e  x2  x e2 x2 I   x ln xdx   ln x    dx   2 4  2 1 1 2 1 e e  1 1 Câu 10: Cho biết tích phân I    x  2  ln  x  1 dx  a ln 2  0 e2  1 . 4 7 b trong đó a , b là các số nguyên dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. a  b . B. a  b . C. a  b . Lời giải. Chọn A Đặt D. a  b  3 .  1 u  ln  x  1 du  x  1 dx  .  2 dv   x  2  dx v  x  2 x  2 1 1 1  x 2   1 x2  4x 5 1  3  dx  ln 2    x  3  I     2 x  ln  x  1    dx   1  2 2 x 2 2 1 x  0 0    0 1  5 1  x2 7  ln 2    3x  3 ln  x  1   4 ln 2  . 2 2 2 4 0 Suy ra a  4 , b  4 . Vậy a  b .  Câu 11: Tích phân 4 x  1  cos 2x dx  a  b ln 2 , với a , b là các số thực. Tính 16a  8b 0 A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn A u  x  d u  dx  . Ta có  dx 1 dv  1  cos 2 x v  2 tan x Đặt   I   1  1 1 1  1  1 1 1   ln 2  a  , b   x tan x 4   4 tan xdx   ln cos x 4   ln 0 2 2 8 2 8 2 8 4 2 8 4 0 0 Do đó, 16 a  8b  4 . 4 Câu 12: Biết I   x ln  2 x  1 dx  ln 3  c , trong đó a , b , c là các số nguyên dương và a b 0 tối giản. Tính S  a  b  c. A. S  60. B. S  70. C. S  72. b c là phân số D. S  68. Lời giải Chọn B 4 Ta có I   x ln  2 x  1 dx . 0 Đặt  2 u  ln  2 x  1 du  2 x  1 dx  .  2 v  x dv  xdx  2 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 200 4 I   x ln  2 x  1 dx  x 2 ln  2 x  1 0 2 4 4  0 0 x2 dx 2x  1 4 4 x 1   x2 1  63 1 1 ln 3  3 .  8 ln 9       dx  16 ln 3    x  ln 2 x  1     4 4 8 2 4 4 4 2 x 1     0 0   a  63 63 a   ln 3  c  ln 3  3  b  4  S  70 . 4 b c  3  Câu 13: Biết 4  x ln  x 2   9 dx  a ln 5  b ln 3  c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu 0 thức T  a  b  c là A. T  10 . B. T  9 . C. T  8 . Lời giải D. T  11 . Chọn C Đặt  2x dx  du  2 u  ln x 2  9 x 9    x2  9  dv  xdx  v  2   4 Suy ra  x ln  x 2  9  dx  0   x2  9 ln x 2  9 2  4 4 0 0    x 2 9 . x 2x 9 dx  25 ln 5  9 ln 3  8 . 2 2 Do đó a  25 , b  9 , c  8 nên T  8 . 1 1 0 0 Câu 14: Cho hàm số y  f ( x) thỏa mãn  (3x  1). f ʹ( x) dx  1& 4 f (1)  f (0)  2017. Tính I   f ( x)dx. A. I  2016. B. I  672. C. I  2016. Hướng dẫn D. I  672. Chọn B 1 1 1 Ta có  (3x  1). f ʹ( x) dx   (3x  1) df ( x)  f ( x)(3x  1) 10  3 f ( x)dx 0 0 0 1 1 1 0 0 0  4 f (1)  f (0)  3 f ( x)dx  2017  3 f ( x)dx  1   f ( x)dx  672. Câu 15: Cho 1  f ʹ  x  cos x.dx  1 và f 1 .cos 1  f  0   2018 . Tính 0 A. I  2017 . B. I  2019 . 1 I   f  x  sin x.dx . 0 C. I  2019 . D. I  2017 . Hướng dẫn giải Chọn A + Tính 1  f ʹ  x  cos x.dx theo từng phần, đặt 0 u  cos x du  sin x.dx     dv  f ʹ  x  dx v  f  x  suy ra 1 1 1 1   f ʹ  x  cos x.dx  cos x. f  x    f  x  sin x.dx 0 0 0 1   f  x  sin x.dx  f  1 .cos1  f  0   1  2017 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 201 1 Câu 16: Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  thỏa mãn 2 F 1  F  0   1 và  F  x  dx 10 . 0 1 Tính I    x  1 f  x  dx . 0 A. I  11 . B. I  9 . C. I  9 . Hướng dẫn giải D. I  11 . Chọn C u  x  1  du  1 Đặt    dv  f  x  v  F  x  1 1 1 Khi đó: I    x  1 f  x  dx   x  1 .F  x    F  x  dx  2 F 1  F  0   10  1  10  9 0 0 0 Câu 17: Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x) với F 1  1 , 1  F  x  dx  1 . Tính 0 1 I   xf  x  dx . 0 A. I  0 . B. I  1 . C. I  2 . D. I  2 . Hướng dẫn giải Chọn D u  x Đặt  dv  f  x  dx du  dx .  v  F  x  1 1 0 0 I  xF  x    F  x  dx  F  1   F  x  dx  2 1 0 Câu 18: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 và 1 1 1  x f  x  dx  3 . Tích phân  x f   x  dx bằng 2 3 0 0 A. 3. B. 1. C. 3 . D. 1 . Hướng dẫn giải Chọn D  u  x 3  d u  3 x 2 dx Đặt  1 dv  f   x  dx  v  f  x  1  I   x 3 f   x  dx  x 3 f  x   3  x 2 f  x  dx 1 0 0 0 1  I  f  1  3.  1 . 3 Câu 19: Cho hàm số f x liên tục trên  và f  2   16 , 2  f  x  dx  4 . Tính tích phân 0 1 I   x. f   2 x  dx . 0 A. I  13 . B. I  12 . C. I  20 . Lời giải D. I  7 . Chọn D  d u  dx   . 1 dv  f   2 x  dx v  f  2 x   2 u  x Đặt  LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 202 1 Khi đó, I  x. f  2 x   1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 f  2 x  dx  f  2    f  2 x  dx  8   f  2 x  dx . 2 0 2 20 20 Đặt t  2 x  dt  2dx . Với x  0  t  0 ; x  1  t  2 . Suy ra I  8  2 1 f  t  dt  8  1  7 . 4 0 Dạng 5: Tích Phân Chưa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối Câu 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  a  b  và f  x   0 , x   a; b  . Mệnh đề nào sau đây sai? A. b b  f  x  dx    f  x  dx . a C. B. a b a a b  f  x  dx   f  x  dx . D. b b  f  x  dx   f  x  dx . a a b b a a  f  x  dx   f  x  dx . Hướng dẫn giải Chọn D Do f  x   0 , x   a; b  nên f  x    f  x  , x   a; b  . Vậy b  a Câu 2: b f  x  dx    f  x  dx . a 2 Tích phân I  2  x dx bằng 1 A. 5 B. 2 C. 8 Lời giải D. 4 Chọn A 2 0 2 0 2 1 1 0 1 0 I  2  x dx  2  x dx  2  x dx  2   xdx  2  xdx  5 Câu 3: Tích phân 4  x  2 dx bằng: 0 A. 0 B. 2 C. 8 Lời giải D. 4 C. ln2 Lời giải D. ln6 Chọn D 4  0 Câu 4: 2 4 0 2 x  2 dx    2  x  dx    x  2  dx  4 Tích phân 2 dx  1  1  x bằng 1 A. 2ln3 B. ln3 Chọn D Ta có 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1  1  x dx  1 2  x dx  1 x dx   ln  2  x  1  ln x 1  ln 3  ln 2  ln 6 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 203 Câu 5: Vậy b  a A. I  b f  x  dx    f  x  dx .Tích phân I  a 3 2 B. I  2 x 2  x dx có giá trị là: 1 1 6 C. I   3 2 D. I   1 6 Lời giải Chọn A Ta có: 2 x x  0  x  0x  2. f x Bảng xét dấu: I 2  0  x x 2  x dx  1 Câu 6: 2 1 0 2 1  1  3 1  1  x dx    x 2  x dx   x 3  x 2     x 3  x 2   3 2 3 2 2     0 0 1 2    . 1 Tích phân I   x 3  x 2  x  1 dx có giá trị là: 1 A. I  4 3 B. I  1 2 C. I   4 3 D. I   1 2 Lời giải Chọn A Ta có: 3 2 x  x  x 1  0   x  1 x  1  0  x  1  x  1  2 f  x Bảng xét dấu: I 1  1 Câu 7:  1 dx  4  a ln 2  b ln 5 với a , b   . Tính S  a  b . 1 1 4 1  x 3  x 2  x  1 dx    x 3  x 2  x  1 dx    x 4  x 3  x 2  x   . 4 3 2   1 3 1 1 5 Biết I   2 x2 1 x 1  A. S  9 . B. S  11 . C. S  3 . Lời giải D. S  5 . Chọn D  x  2 khi x  2 Ta có x  2    2  x khi x  2 2 Do đó I   2 x2 1 x 1 2  1 2 2  x  1 x   5 ln x  2 x 5 dx   . 2 x2 1 x 2 5 dx   2 2  x  2  1 x dx . 3 5   dx     2  dx    2   dx x x   1 2 2 5  1   2x  3 ln x  2  4  8 ln 2  3 ln 5 . 2 5 a  8    S ab  5 .  b  3 Câu 8: 2 Tích phân I    x  x  1  dx có giá trị bằng 1 A. I  2 . B. I  0 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 C. I  1 . Lời giải D. I  1 . 204 Chọn B 2 0 1 2 1 1 0 1 Ta có I    x  x  1  dx    1 dx   1  2 x  dx   1 dx  0 Dạng 6: Tích Phân Hàm Hợp Hàm Ẩn Câu 1: Biết f  x  là hàm liên tục trên  và 9  f  x  dx  9 . Khi đó giá trị của 0 A. 27 . B. 3 . 4  f  3x  3  dx là 1 C. 24 . Lời giải D. 0 . Chọn B 4 Gọi I   f  3x  3  dx . 1 1 3 Đặt t  3x  3  dt  3dx  dx  dt . Đổi cận: x  1  t  0; x  4  t  9 . Khi đó: I  Câu 2: Cho 9 1 1 f  t  dt  .9  3 .  30 3 4 1 0 0  f  x  dx  1 . Khi đó I   f  4 x  dx bằng: 1 A. I  4 B. I  2 C. I  1 4 D. I  1 2 Lời giải. Chọn C Cách 1: Đặt t  4 x  dt  4dx 4 Đổi cận: x  0  t  0; x  1  t  4 . Khi đó: I   f  t  dt   . 0 1 4 1 4 Cách 2: Gọi F  x  là 1 nguyên hàm của f  x  . Ta có: 4  f  x  dx  1  F  4   F  0   1 0 1 I   f  4 x  dx  0 Câu 3: 1 1 1 1 F  4 x    F  4   F  0     4 4 4 0 Biết rằng hàm số y  f ( x) liên tục trên R và 9 3  f (x)dx  9 . Tính  f (3x)dx . 0 A. 3  f (3x)dx  9 B. 0 3  f (3x)dx  3 0 C. 0 3  f (3x)dx  3 D. 0 3  f (3x)dx  9 0 Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt 3x  t  3dx  dt . Ta có I  Câu 4: 9 1 1 f (t )dt  .9  3 3 0 3 Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và 1 1  f  x  dx  1 . Tính  f 1  x  dx . 0 A. 1  f 1  x  dx  0 . B. 0 1  f 1  x  dx  2 . 0 0 C. 1  f 1  x  dx  1 . D. 0 1  f 1  x  dx  1 . 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 205 Lời giải Chọn D Đặt t  1  x  dx  dt . Đổi cận: 0 1 t 1 0 1 0 1 0 1 0  f 1  x  dx    f t  dt   f t  dt  1 . Vậy Câu 5: x 5 Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên  và  f  x  dx  a ,  a    . Tích phân 3 2 I   f  2 x  1  dx có giá trị là 1 1 2 A. I  a  1 . B. I  2a  1 . 1 2 C. I  2a . D. I  a . Lời giải Chọn D Đặt t  2 x  1  dt  2dx . Đổi cận: x  1  t  3 ; x  2  t  5 . 5 5 1 1 1 f  t  dt   f  x  d x  a . 2 2 2 3 3 I Câu 6: 4  Cho f  x  dx  5 . Tính I  1 16 1  x 1 A. I  5 . .f  x  dx B. I  10 . 5 2 D. I  3 . 3  C. I  . Lời giải Chọn B Đặt x  t  x  t 2  dx  2tdt . Với x  1  t  1 và x  16  t  4 . 4 4 4 1 1 Khi đó I   . f  t  2tdt  2  f  t  dt  2  f  x  dx  10 . 1 t 1 Câu 7:  Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  và có A.  2 C.  2 0 0 f (3x)dx  9 0 f ( x)dx  1,  f ( x  6)dx  2 . Tính 1 . 3 f (3x)dx  1 . 0 B.  2 D.  2 0 0 f (3x)dx   2 0 f (3x)dx 1 . 3 f (3 x)dx  1 . Lời giải Chọn B 3 3 9 Ta có: 2  0 f ( x  6)dx  0 f ( x  6)d( x  6)  6 f ( x)dx 6 9 9 0 0 6   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  1  2  1 Khi đó: Câu 8: Biết 11  2 0 f (3x)dx  1 2 1 6 1 f (3x)d(3x)   f ( x)dx    0 0 3 3 3  f  x  dx  18 . Tính 1 2    I   x 2  f 3 x 2  1 dx . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 0 206 A. I  5 . B. I  7 . D. I  10 . C. I  8 Lời giải Chọn B Đặt t  3x 2  1 , dt  6 xdx . Đổi cận x  0  t  1 , x  2  t  11  2   2 I   x 2  f 3 x 2  1 dx   2 xdx  0 Câu 9: 0 2  xf  3x 2   1 dx  4  0 Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  và có A. 2  f ( x 2 )dx   1 4 3 . B. 2  f ( x 2 )dx  1 4 3  f ( x)dx  . C. 11 1 1 f  t  dt  4  .18  7 . 6 6 1 1 2 x  x  1 . Tính 2 2  f ( x 2 )dx   1 2 . 3 2  f (x 2 )dx . 1 D. 2 2  f ( x )dx  3 2 1 Lời giải Chọn B 1  f (x)dx  2 x 2  1 2  x  1  f ( x)  x  1  f ( x 2 )  x 2  1 2  x3  4 f ( x )dx    x    3 1 3 2 Câu 10: Cho . 8  f  x  1 dx  10 . Tính 3 A. J  4 . 1 J   f  5 x  4  dx 0 B. J  10 . C. J  32 . D. J  2 . Lời giải Chọn B Đặt t  x  1 . Đổi cận: x  3  t  4 ; x  8  t  9 . Khi đó ta có 9  f t  dt  10 . 4 Đặt u  5x  4 . Đổi cận x  0  u  4 ; x  1  u  9 . Khi đó ta có 1 9 0 4 J   f  5 x  4  dx   f  u  du  10 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 207 BÀI 3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Định lý 1: Cho hàm số y  f ( x) liên tục, không âm trên  a; b . Khi đó diện tích S của hình thang b cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành và 2 đường thẳng x  a, x  b là: S   f ( x)dx a 2. Bài toán liên quan Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b , trục b hoành và hai đường thẳng x  a , xb được xác định: S   f ( x) dx a y y  f (x) O a c1 c2 y  f (x)  y  0 (H )  x  a  x  b c3 b x b S   f (x ) dx a Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục trên đoạn  a; b và hai đường thẳng b x  a , x  b được xác định: S   f ( x)  g ( x) dx a y  (C 1 ) : y  f1 ( x )   (C ) : y  f 2 ( x ) (H )  2 x  a x  b  (C 1 ) (C 2 ) b O a c1 c2 x b S   f1 (x )  f2 (x ) dx a Chú ý: - Nếu trên đoạn [a; b ] , hàm số f ( x ) không đổi dấu thì: b  a b f ( x ) dx   f ( x)dx a - Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y ) , x  h( y ) và hai đường thẳng yc, yd d được xác định: S   g ( y )  h( y ) dy c xn Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị (C1 ) : f1 ( x) , (C2 ) : f 2 ( x) là: S   f ( x)  g ( x ) dx . x1 Trong đó: x1 , xn tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình f ( x)  g ( x) LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 208 II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRÒN XOAY 1. Thể tích vật thể Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , ( a  x  b) . Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b ] . (V ) a O b x b x V   S (x )dx a S(x) 2. Thể tích khối tròn xoay Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y  f (x) a O b (C ) : y  f ( x )  b 2 (Ox ) : y  0 Vx     f ( x ) dx  x x  a a  x  b Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y ) , trục hoành và hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d O c x (C): x  g(y)  (Oy): x  0  y  c y  d d Vy    g( y) dy 2 c Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , y  g ( x) và hai đường thẳng x  a , b xb quanh trục Ox: V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx . a LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 209 B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi 1 Đồ Thị Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3x , y  0 , x  0 , x  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 A. S   3x dx . 0 2 2 B. S    32 x dx . C. S    3x dx . 0 0 2 D. S   32 x dx . 0 Lời giải Chọn A Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3x , y  0 , x  0 , x  2 có diện tích là 2 2 0 0 S   3x dx   3x dx 2 Vậy S   3x dx . 0 Câu 2: Cho hàm số f  x  liên tục trên  , diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  được tính theo công thức b A. S    f  x  dx . a b B. S   f  x  dx . a b C. S   f  x dx . a b D. S    f 2  x dx . a Lời giải Chọn B Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường b thẳng x  a, x  b  a  b  được tính theo công thức S   f  x  dx . a Câu 3: Cho hàm số f  x  liên tục và không âm trên đoạn  a ; b , diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x  , các đường thẳng x  a, x  b và trục Ox là b A.   f  x  dx . a B. b  f  x  dx . a b C.    f  x   dx . 2 a b D.  a f  x  dx . Lời giải Chọn B Tổng quát Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  liên tục trên D  a ; b   D  . Diện tích giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  và các đường thẳng x  a, x  b b là S   f  x   g  x  dx . a LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 210 Phương trình trục Ox là y  0 . Do đó áp dụng cho bài toán trên ta có diện tích cần tìm là: b b b a a a S   f  x   0 dx   f  x  dx   f  x  dx . Câu 4: Ký hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành, đường x  a, x  b . Khẳng định nào sau đây là đúng? b A. S   f  x  dx . a C. c b a c B. S   f  x  dx   f  x  dx . c b a c S    f  x  dx   f  x  dx . D. S  c  a b f  x  dx   f  x  dx . c Lời giải Chọn C b c b a a c Ta có diện tích hình phẳng được tính S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . c b a c Do f  x   0, x   a; c  ; f  x   0, x   c; b  nên ta có: S    f  x  dx   f  x  dx . Câu 5: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a ; b và thỏa mãn 0  a f  x  dx  m , b  f  x  dx  n . Diện 0 tích hình phẳng trong hình vẽ bên bằng A. m.n . B. m  n . C. m  n . Lời giải D. n  m . Chọn B 0 b a 0 Ta có: S   f  x  dx   f  x  dx  m  n . Câu 6: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình dưới đây. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 211 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  và trục A. 2 S  0 0 Ox là 2 f  x  dx   f  x  dx . B. S   f  x  dx . 1 1 2 C. S    f  x  dx . 0 2 1 0 D. S   f  x  dx   f  x  dx . 1 Lời giải Chọn D 0 2 1 0 Từ hình vẽ ta có: S   f  x  dx   f  x  dx  Câu 7: Gọi S 0  1 2 f  x  dx   f  x  dx . 0 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  của hàm số y  x 1  x 2 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x  1 . Biết S  a 2  b  a, b   . Tính 1 6 1 2 A. a  b  . B. a  b  . 1 3 C. a  b  . ab. D. ab  0. Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm: x 1  x 2  0  x  0 . 1 1 0 0 Ta có S   x 1  x 2 dx   x 1  x 2 dx .  t .dt  x.dx . Đặt t  1  x 2  t 2  1  x 2 Đổi cận x  0  t  1 và x  1  t  2 . 2 Khi đó S   t 2 .dt  1 2 3 Suy ra a  , b   Câu 8: 1 3 t3 3 2 1  2 1 2 . 3 3 1 3 nên a  b  . Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị  C  là đường cong như hình bên dưới. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 212 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  , trục hoành và hai đường thẳng x  0 , x  2 là A. 1 2  f  x  dx   f  x  dx . 0 2  f  x  dx . B. 1 1 2 0 1 0 C.   f  x  dx   f  x  dx . D. 2  f  x  dx . 0 Lời giải Chọn A Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  , trục hoành và hai đường thẳng 2 1 2 0 0 1 x  0, x 2 là S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . Câu 9: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  và có đồ thị là đường cong như hình bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường thẳng x  0, x  2 là 1 2 0 1 A. S    f ( x)dx   f ( x)dx . C. S  1 2 0 1 B. S   f ( x)dx   f ( x)dx . 2 2 D. S   f ( x)dx .  f ( x)dx . 0 0 Lời giải Chọn B Diện tích 2 S của hình phẳng cần tìm là: S   f  x  dx . 0 Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f  x   0, x   0; 2 có nghiệm duy nhất là x  1 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 213 1 2 0 1 Do đó S   f  x  dx   f  x  dx . Dựa vào đồ thị ta thấy f  x   0, x   0;1 và f  x   0, x  1;2 . 1 2 0 1 Vậy S   f  x  dx   f  x dx . Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  2 x  8 và trục hoành được xác định theo công thức nào dưới đây 2 4 A. S    x 2  2 x  8  dx . B. S    x 2  2 x  8 dx . 4 2 2 4 C. S     x 2  2 x  8  dx . D. S    8  2 x  x 2  dx . 4 2 Lời giải Chọn D 4 x  4 . Do đó: S   x 2  2 x  8 dx .  x  2 2 Ta có: x 2  2 x  8  0   4 4 2 2 Mặt khác, vì x2  2 x  8  0, x   2;4 nên S     x 2  2 x  8 dx    8  2 x  x 2  dx . Câu 11: Cho đồ thị hàm số y  f  x  như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  và trục Ox được tính bởi công thức A. S  3  f  x  dx 3 B. S   f  x  dx . . 3 3 1 3 3 1 C. S   f  x  dx   f  x  dx . 1 3 3 1 D. S   f  x  dx   f  x  dx . Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số ta thấy f  x   0 với x   3;1 , f  x   0 với x  1;3 . 3 1 3 1 3 3 3 1 3 1 Do đó S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 2 ; y  0; x  1; x  2 bằng LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 214 A. 4 . 3 B. 7 . 3 C. 8 . 3 D. 1 . Lời giải Chọn B 2 2 1 1 7 3 Ta có S   x 2 dx   x 2 dx  . Dạng 2: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi 2 Hai Đồ Thị Câu 1: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào sau đây? 2 1 3 A.    x 4  x 2  x  4  dx . 1  2 2 2 1 3 B.    x 4  x 2  x  1 dx .  1 2 1 3 C.   x 4  x 2  x  1 dx . 1  2 2  2 2  2 1 3 D.    x 4  x 2  x  4  dx .  1  2 2  Lời giải Chọn B Từ hình vẽ ta thấy phần diện tích hình phẳng cần tính là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 2 3 2 1 2 hai hàm số: y  f  x   x  ; y  g  x   x 4  x 2  5 2 và hai đường thẳng x  1; x  2 . Ngoài ra ta thấy đường y  f  x  nằm trên đường y  g  x  trên đoạn  1;2 nên ta có diện tích phần gạch chéo trên hình vẽ là: 2 2  3 3 1 5  3  1  S    x     x 4  x 2   dx     x 4  x 2  x  1 dx . 2 2 2 2  2 2  1  1  Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  2 x 2  x  1 và y  x 2  3 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 215 9 2 5 2 A. . B. . C. 4. D. 2. Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị: x  1 2 x2  x  1  x2  3  x2  x  2  0    x  2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số là: 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2  |2 x  x  1  x  3 | dx   |x  x  2 | dx    ( x  x  2)dx  ( Câu 3: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường yx x3 x 2 9   2 x)  3 2 2 2 ; y  x ; x 5 . Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng  H  xung quanh trục Ox là 5 A. V     x  x 2  dx 1 5  0 1  B. V      x  x 2  dx    x 2  x  dx  0 5 5 C. V     x 2  x  dx D. V     x 2  x  dx 0 1 Lời giải Chọn B Bước 1: Tìm cận. x 0 .  x 1 Xét phương trình: x  x  x  0   x  x 1  0   Bước 2: Vẽ hình. Hình phẳng  H  gới hạn bởi các đường y  x ; y  x ; x  5 như hình vẽ. y y=x 5 4 3 y= x 2 1 O x 1 2 3 4 5 Bước 3: Từ hình vẽ ta thấy khi cho hình phẳng  H  quay xung quanh trục Ox ta được 1 5 1 khối tròn xoay với thể tích là V     x  x 2  dx     x 2  x  dx      x  x 2  dx  0 Câu 4: 1 0 5 x 1 2   x  dx  .  Diện tích hình mặt phẳng gạch sọc trong hình vẽ bên bằng LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 216 3 A.  2 x dx . B. 1 3   2  2  dx . 3 x 1 C. Lời giải  2 x  2  dx . D. 1 3  2 x  2  dx . 1 Chọn C Ta thấy diện tích phần gạch sọc giới hạn bởi các đường y  2 x , y  2, x  1, x  3 và trên 1;3 đồ thị hàm số y  2 x nằm phía trên đồ thị hàm số y  2 nên diện tích phần gạch sọc bằng 3  2 x  2  dx 1 Câu 5: Cho hàm số bậc hai y  f  x  và hàm số bậc ba y  g  x  có đồ thị như hình vẽ. Diện tích phần gạch chéo được tính bằng công thức nào sau đây? 1 2 3 1 1 2 3 1 A. S    f  x   g  x dx    g  x   f  x  dx . C. S    g  x   f  x dx    f  x   g  x  dx . 2 B. S    f  x   g  x  dx . 3 1 2 3 1 D. S    g  x   f  x dx    g  x   f  x  dx . Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị ta thấy hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là: x  3; x  1; x  2 . Mặt khác, trên khoảng  3;  1 , đồ thị hàm y  g  x  nằm phía trên đồ thị hàm số y  f  x  ; trên khoảng  1; 2  , đồ thị hàm y  f  x  nằm phía trên đồ thị hàm số y  g  x  nên diện 2 1 2 3 3 1 tích cần tìm là: S    g  x   f  x  dx    g  x   f  x  dx    f  x   g  x  dx . Câu 6: Cho hàm số y  f  x  và y  g  x  có đồ thị giao nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ a và b . Gọi  H  là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số này. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 217 Diện tích của  H  được tính theo công thức b b A. S    f  x   g  x  dx . B. S    g  x   f  x  dx . a a b b C. S    f  x   g  x  dx . D. S     f  x   g  x  dx . a a Lời giải Chọn B b Áp dụng công thức S   f  x   g  x  dx . Quan sát hình vẽ ta thấy g  x   f  x  trên  a, b a b b a a nên S   f  x   g  x  dx    g  x   f  x  dx . Câu 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y   x 2  4 và y   x  2 ? A. 5 . 7 B. 8 . 3 C. 9 . 2 D. 9 . Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:  x  1  x2  4   x  2  x2  x  2  0   . x  2 Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y   x 2  4 và y   x  2 là: 2 S    x 2  4     x  2  dx  1 Câu 8: 2  x3 x 2  9 2 1   x  x  2  dx    3  2  2 x   2 . 1 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  1 và đường thẳng y  x  3 . A. 9 . 2 B. 13 . 3 C. 11 . 3 D. 7 . 2 Lời giải Chọn A LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 218  x  1 . x  2 Xét phương trình: x2  1  x  3  x 2  x  2  0   2 Diện tích hình phẳng là: S   x 2  x  2 dx  1 Câu 9: 2  x 2  x  2  dx  1 9 . 2 Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đường cong y 2  2 y  x  0 và đường thẳng x  y  2  0 . Tính diện tích S của hình  H  . A. S 6. B. S  14 . C. S  17 6 . 1 6 D. S  . Lời giải Chọn D Ta có y 2  2 y  x  0  x   y 2  2 y ; x  y  2  0  x   y  2 . Phương trình tung độ giao điểm của đường cong y 2  2 y  x  0 và đường thẳng x  y  2  0 là: y 1 .  y2  2 y   y  2  y2  3y  2  0   y  2 2 1 6 Diện tích S của hình  H  là S     y 2  2 y     y  2  dy  . 1 Câu 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x ; y  6  x và trục hoành. A. 22 . 3 B. 16 . 3 C. 2 . D. 23 . 3 Lời giải Chọn A Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x  C  với trục hoành là nghiệm của hệ x  0  y  x   C   Ox  O  0;0  .    y  0 y  0 Tọa độ giao điểm của đường thẳng y  6  x    với trục hoành là:     Ox  A  6;6 . Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x  C  và đường thẳng y  6  x    là nghiệm của 6  x  x y  6  x x  4   C     B  4;2  .  hệ    y  x y  2  y  x 4 6 0 4 Diện tích hình phẳng cần tìm là S   x dx   6  x dx  LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 22 . 3 219 Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  x 3  x ; y  2 x và các đường x  1 được xác định bởi công thức: 0 1 1 0 A. S    x3  3x  dx    3x  x3  dx . C. S  x 1; 0 1 1 0 B. S    3x  x3  dx    x3  3x  dx . 1 1 D. S    3x  x3  dx .   3 x  x  dx . 3 1 1 Lời giải Chọn A Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  x 3  x ; y  2 x và các đường x  1 ; x  1 1 là S    x3  x    2 x  1 dx  1 x 3  3x dx . 1 Bảng xét dấu x3  3x -1 x x  3x 3 0 0  0 1 1 0 1  Do đó dựa vào bảng ta có: S    x3  3x  dx    3x  x3  dx . Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y   x 2 và đường thẳng y   x  2 bằng A. 9 . B. 5 . 2 C. 11 . 2 D. 1  2 . 2 2 Lời giải Chọn A  x  1 . Ta có  x 2   x  2   x 2  x  2  0   x  2 Vậy diện tích hình phẳng là 2 S   x3 x 2  2 1   x  x  2  dx    3  2  2 x  2  x 2  x  2 dx  1 2  1 9 9  . 2 2 Câu 13: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  2 x , cung tròn có phương trình y  8  x2 và trục hoành. Tính diện tích  H  tính bởi công thức nào LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 220 A. 2  2 x  8  x 2 dx . B. 0 2 2 C.  2  0 2 2 2 x dx   8  x 2 dx . 2 2 D.  ( 2 x  8  x 2 )dx . ( 2 x  8  x 2 )dx . 0 0 Lời giải Chọn B Gọi S là diện tích hình  H  cần tìm. Phương trình hoành độ giao điểm của parabol y  2 x và cung tròn y  8  x 2 0  x  2 2  0  x  2 2 2x  8  x   2   x  2  x  2.    x  2 x  8  0 x 4    2 2 2 2 0 2 Khi đó: S =  2 x dx   8  x 2 dx . Câu 14: Cho đồ thị hai hàm số y  x 3  3 x 2  x  3 và y   x 2  2 x  1 như hình sau Diện tích phần hình phẳng được gạch sọc tính theo công thức nào dưới đây? 1 A.  x 2 3 1 2 B.  x 3  2 x 2  x  2  dx     x3  2 x 2  x  2  dx . 1  2 x 2  x  2  dx . 1 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 221 1 C.  x 2 3 1 1 2 D.  x  2 x 2  x  2  dx    x3  2 x 2  x  2  dx . 3  2 x 2  x  2  dx . 1 Lời giải Chọn A Chia phần diện tích S cần tính thành 2 phần S 1 và S2 như hình vẽ sau + Phần S 1 : phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số f  x   x3  3x 2  x  3 , g  x    x 2  2 x  1 và các đường thẳng x  1 , x  1 . 1 1 1 1 Dựa vào đồ thị ta có S1    f  x   g  x   dx    x3  2 x 2  x  2  dx . + Phần S2 : phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số f  x   x3  3x 2  x  3 , g  x    x 2  2 x  1 và các đường thẳng x  1 , x  2 . 2 2 1 1 Dựa vào đồ thị ta có S2    g  x   f  x   dx     x3  2 x 2  x  2  dx . 1 2 1 1 Vậy S  S1  S2    x3  2 x 2  x  2  dx     x3  2 x 2  x  2  dx . Câu 15: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ được tính theo công thức nào dưới đây? LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 222 2 A.   2x 2  2 x  4  dx . 1 2   2 x 2 B.   2 x  2  dx . 1 2 C.   2 x  2  dx . D. 1  2 x  4  dx . 2 1 Lời giải Chọn D Gọi S là diện tích cần tìm 2 S  x 2  3   x 2  2 x  1 dx  1 2   2 x 2  2 x  4  dx . 1 Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y  ( x  2) 2 , đường cong y  x 3 và trục hoành bằng A. 11 . 2 B. 73 . C. 7 . 12 D. 5 . 12 2 Lời giải Chọn C Xét phương trình hoành độ giao điểm là:  x  2 2  x 3  x  1 . Gọi S1 là diện tích giới hạn bởi các đường: đường:  y   x  2 2  y  0  x  1; x  2   y  x3  ; S2 y  0  x  0; x  1  là diện tích giới hạn bởi các . Dễ thấy: x3  0 , x   0;1 và  x  2 2  0 , x  1; 2  . 1 2 0 1 1 4 1 3 2 Khi đó diện tích phần tô đậm trong hình là S  S1  S2   x3dx    x  2  dx    7 . 12 1 2 Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y  x 2 và y  6  x 2 bằng LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 223  3x 2  2  2  6  dx . 2 A. . B.  x2    2  6  dx . 2 3 2 3 C. 2  3x 2     6  dx . 2   2 D.   x2    6  dx 2   3 2 3  2 Lời giải Chọn C 1 2 Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol y  x 2 và y  6  x 2 là:  x  2 1 2 3x 2 6  0   x  6  x2  . 2 2 x  2 Lại có 3x 2  6  0, x   2; 2  . 2 Suy ra diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 S  2 2 2  3x 2  1 2 3x 2  6 dx      6  dx . x   6  x 2  dx   2 2 2  2 2  Câu 18: Diện tích phần tô đậm trong hình bên được tính theo công thức nào trong các công thức sau? A. 1   x 3  3 x 2  2 x  dx . B. 0 2 x 3 1 x 3  3 x 2  2 x  dx . B. 0 2   x 3  3 x 2  2 x  dx . D. 0  3 x 2  2 x  dx . 0 Lời giải Chọn B Ta có công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b ; các hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên  a; b là: b S   f  x   g  x  dx . Áp dụng công thức, diện tích phần tô đậm là: a 1 S    x 2  2 x    x3  2 x 2  dx . Với x   0,1 thì x3  2 x 2  x 2  2 x  x 2  2 x   x 3  2 x 2   0 nên 0 1 1 0 0 S    x3  2 x 2  x 2  2 x  dx    x3  3x 2  2 x  dx . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 224 Câu 19: Gọi  H  là phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y  3 x 2 , y  4  x và trục hoành. Diện tích của  H  là bằng bao nhiêu? 11 A. 2 . 9 . 2 B. C. 13 . 2 D. 7 . 2 Lời giải Chọn A  y  3x 2  H  : y  4  x y  0  Xét phương trình hoành độ giao điểm: 4 x  0  x  4 3x 2  0  x  0  x  1 (t / m ) 3x 2  4  x    x  4  Loai   3 1 4 0 1  4 Diện tích hình phẳng S H    3x 2 dx    4  x dx  x3 0   4 x  1  Câu 20: Diện tích miền phẳng giới hạn bởi parabol y  x2 2 x2  11   . 2 1 2 và đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 2 2 thuộc khoảng nào sau đây. 5;6 A.   . B. (4;5) . C. (7;8) . D. (6; 7) . Lời giải Chọn C Phương trình đường tròn tâm O(0; 0) , bán kính 2 2 là : x 2  y 2  8 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 225 Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường tròn : x 2  2  x4  8  x  2 . 4 x2  Vậy diện tích hình phẳng là : S    8  x 2   dx  7, 616518641 . 2  2  Câu 21: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  ln x, y  1 và đường thẳng x 1 bằng 2 A. e . B. e  2 . C. 2e . D. e  2 . Lời giải Chọn D Ta có ln x  1  0  x  e . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  ln x, y  1 và đường thẳng x  1 e e 1 1 e là: S   ln x  1 dx    ln x  1 dx  x  ln x  1 1   dx  1  x 1e  1   e  1  2  e  e  2 e 1 Câu 22: Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  e x , y  0 , thẳng Tìm A. k k xk  0  k  ln 4 chia  H  thành hai phần có diện tích là S1 x  0 , x  ln 4 . Đường và S2 như hình vẽ bên. để S1  2 S2 . 4 ln 2 . 3 8 3 B. k  ln . C. k  ln 2 . D. k  ln 3 . Lời giải Chọn D LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 226 Diện tích hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  e x , y  0 , x  0 , ln 4  e dx  e S x x ln 4 0 0  eln 4  e0  4  1  3 . Ta có S  S1  S 2  S1  1 S1  3 S1 . Suy ra S1  2 2 2 S 2.3   2. 3 3 Vì S1 là phần diện tích được giới hạn bởi các đường y  e x , y  0 , x  0 , k 2  S1   e x dx  e x 0 là x  ln 4 k 0 xk nên  e k  e0  e k  1 . Do đó ek  3  k  ln 3 . Câu 23: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x 3 , y  x 2  4 x  4 và trục Ox được tính theo công thức nào dưới đây? A. 2  x x 3 2  4 x  4  dx . 0 1 2  x dx    x 3 C. 0 1 2  4 x  4  dx 1 2 0 1 B.   x3dx    x 2  4 x  4  dx . 1 2 0 1 D.  x3 dx    x 2  4 x  4  dx . . Lời giải Chọn D Dựa vào hình vẽ ta thấy hình phẳng cần tính diện tích gồm 2 phần: Phần 1: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3 , trục Ox , x  0 , x  1 . Phần 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  4 x  4 , trục Ox , x  1 , x  2 . 1 2 1 2 0 1 0 1 Do đó diện tích cần tính là S   x3 dx   x 2  4 x  4 dx   x3dx    x 2  4 x  4  dx . Câu 24: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  e x 1 , các trục tọa độ và phần đường thẳng y  2  x với x  1 . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành. 1 e2  1 V  . 3 2e2 B. V    5e2  3 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 6e 2 . 1 2 C. V   e 1  e . 1 2 D. V   e2  1 . 2e 2 227 Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong y  e x 1 và đường thẳng y  2  x : e x 1  2  x  x  1 . Đường thẳng y  2  x cắt trục hoành tại x  2. 1 2   5e  1 2 1  x3  2 V     e x 1  dx     2  x  dx   e 2 x  2     2 x  4   0 6e 2  3 1 0 1 2 2 Dạng 3: Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay Dựa Vào Định Nghĩa Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng  P  ,  Q  vuông góc với trục Ox lần lượt tại x  a , x  b  a  b  . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x ,  a  x  b  cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S  x  với y  S  x  là hàm số liên tục trên  a; b . Thể tích V của thể tích đó được tính theo công thức z S(x) O b A. V   S 2  x  dx . a y a b x B. V  π  S 2  x  dx . a b b x C. V  π  S  x  dx . a b D. V   S  x  dx a . Lời giải Chọn D b Theo định nghĩa ta có: V   S  x  dx a Câu 2: Cho phần vật thể   giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x  0 và x  2 . Cắt phần vật thể   bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 228  0  x  2 , ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng tích V của phần vật thể   . 4 V . 3 A. 3 . 3 B. V  C. V  4 3. x 2  x . Tính thể D. V  3. Lời giải Chọn B Diện tích thiết diện: S  x2  2  x  3 . 4 2 2 x2  2  x  3 3 2 3 2 32 3 1 4 3 x  2  x  dx  x  2  x  dx  V   dx   x  x     4 0 4 0 4 4 3 4 0 3 0 . 2 2 Câu 3: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  1 và x  3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1  x  3 thì 3x 2  2 . được thiết diện là hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và A. 32  2 15 . B. 124 . 3  124 . 3 C.  D. 32  2 15  . Lời giải Chọn C 5 124 t3  Thể tích vật thể cần tìm là V   3 x 3 x  2dx   t.tdt  . 1 1 3 31 3 Câu 4: 5 2 Cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 , x   2 , biết rằng thiết diện của vật thể với   mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x   là một đường tròn 2  có bán kính R  cos x . Thể tích của vật thể đó là A. 2 . C.  . Lời giải B.  2 . D. 1. Chọn C Diện tích của đường tròn là S  x    r 2   cos x .   2 2 Vậy thể tích của vật thể là V  S  x dx   cos xdx   .  0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133  0 229 Câu 5: Cho phần vật thể T  giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x  0 và x  2. . Cắt phần vật thể T  bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x  2  , , ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2  x . Tính thể tích V của phần vật thể T  . 4 V . 3 A. 3 . 3 B. V  C. V  4 3. D. V  3. Lời giải Chọn B 2 2 1 3 3 2 3 V   .x. 2  x . .x. 2  xdx  x (2  x)dx   2 2 4 0 3 0 Câu 6: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1  x  3 thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và A. V  32  2 15 B. V  124π 3 C. V  124 3 3x 2  2 D. V  (32  2 15)π Lời giải Chọn C 3 3  3 124 1 . V   3x 3x 2  2dx   3x 2  2  2   3 3 1 1 Câu 7: Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  1; x  1 và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x ( 1  x  1) là một hình tròn có diện tích bằng 3π. Thể tích của vật thể là B. 6 . 2 A. 3 . C. 6. D. 2 . Lời giải Chọn B 1 1 1 1 Có V   S ( x)dx   3 dx  6 . Dạng 4: Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay Khi Quay Hình Phẳng Giới Hạn Bởi 1 Đồ Thị Câu 1: Cho hình  H  giới hạn bởi các đường y   x 2  2 x , trục hoành. Quay hình phẳng  H  quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 496 . A. 15 B. 32 . 15 C. 4 . 3 D. 16 . 15 Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 230 Chọn D x  0 Phương trình hoành độ giao điểm của  H  và trục hoành  x 2  2 x  0   . x  2 Thể tích khối tròn xoay cần tìm là 2  x5 4  16 V      x  2 x  dx    x  4 x  4 x  dx     x 4  x3   . 3  0 15  5 0 0 2 Câu 2: 2 2 2 4 3 2 Cho hình phẳng  H  được giới hạn bởi elip có phương trình x2 y 2   1 . Tính thể tích 25 16 của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng  H  quanh trục Ox . 160 . A. 3 B. 320 . 3 C. 160 . 3 D. 320 . 3 Lời giải Chọn B Elip cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ  5;0  và  5;0  . 5  16 x 2  320 Do đó: V    16  . dx  25  3 5  Câu 3: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x   x 2  4 x  3 , trục hoành và hai đường thẳng x  1; x  3 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng 16 . A. 15 B. 16 . 15 C. 4 . 3 D. 4 . 3 Lời giải Chọn A * Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là: 3 2 3 V     x 2  4 x  3 dx     x 4  5 x3  19 x 2  12 x  9  dx  1 Câu 4: 1 16 . 15 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x3  3x  2 , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  2 . Quay ( H ) xung quanh trục hoành ta được khối nói tròn xoay có thể tích là: 2 V    x  3x  2 dx 2 A. 1 2 2 V   x  3 x  2 dx 2 C. 1 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 2 B. V   x 2  3x  2 dx 1 2   2 D. V    x 2  3x  2 dx 1 231 Lời giải Chọn D  y   x3  3x  2  y0  Thể tích khối tròn xoay khi hình phẳng giới hạn bởi  x 1   x2 2 2 là V      x 2  3x  2  dx = V     x 2  3x  2  dx  Chọn đáp án D 2 1 Câu 5: 2 1 Cho hình phẳng  D  được giới hạn bởi các đường x  0 , x  1 , y  0 và y  2 x  1 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  xung quanh trục Ox được tính theo công thức? 1 A. 1 1 0 0 B. V     2 x  1 dx . C. V    2 x  1 dx . V    2 x  1dx . 0 D. 1 V   2 x  1dx . 0 Lời giải Chọn B 1 Ta có V    0 Câu 6:   1 2 2 x  1 dx    2 x  1 dx . 0 Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x , x  0 , x  1 và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh bởi hình  H  quay quanh trục Ox . π . A. 3 B. π . 2 C. π . D. π. Lời giải Chọn B 1 1 π x2  . Thể tích khối tròn xoay là V    xdx  π 2 0 2 0 Câu 7: Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số π y  tan x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x  quanh trục hoành là 4 A. V  π . 4 B. V  π ln 2 . 2 C. V  π2 . 4 D. V  π . 4 Lời giải Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 232 π 4 π 4 sin x dx   π ln cos x cos x 0 Thể tích khối tròn xoay cần tính là V  π  tan xdx  π  0 Câu 8: π 4 0  π ln 2 . 2 Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Ox . Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V được xác định theo công thức y 3 O 1 3 A. V     f  x   dx 3 2 1 3 C. 3 x V . V   2   f  x   dx B. 3 2 1 2 1  f  x   dx   31 . . D. Lời giải V    f  x   dx 2 1 . Chọn A Đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x  1 , x  3 nên thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D quanh trục Ox được tính theo công 3 thức V     f  x   dx . 2 1 Câu 9: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  xe x , y  0 , x  0 , x  1 xung quanh trục Ox là 1 A. . V   x 2 e 2 x dx . 0 1 B. V    xe x dx . 0 1 C. V    x 2 e 2 x dx . 0 1 D. V    x 2 e x dx 0 Lời giải Chọn C Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y  f  x  , y  0 , x  a , x  b xác định bởi: b V    f 2  x  dx . a 1 Vậy, V    x 2 e 2 x dx . 0 Câu 10: Cho hình phẳng  D  được giới hạn bởi các đường x  0 , x   , y  0 và y   sin x . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  xung quanh trục Ox được tính theo công thức LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 233  A.  V    sin x dx . B. V    sin 2 xdx . 0 0 V  C.      sin x  dx . D. V   sin 2 xdx . 0 0 Lời giải Chọn B  Ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là V    sin 2 xdx . 0 Câu 11: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x.ln x , trục hoành và hai đường thẳng x  1 ; x  2 . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới  H  khi nó quay quanh trục hoành có thể tích V được xác định bởi 2 A. V     x.ln x  dx . B. V    x.ln x  dx . 2 B. V    x.ln x  dx . 2 1 1 2 2 D. V     x.ln x  dx . 2 1 1 Lời giải Chọn A  y  x.ln x  Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới  H  :  y  0 khi nó quay quanh trục hoành có thể  x  1; x  2  2 tích V được xác định bởi V     x.ln x  dx . 2 1 Câu 12: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  3x  x 2 và trục hoành, quanh trục hoành. 81 . A. 10 B. 85 . 10 C. 41 . 7 D. 8 . 7 Lời giải Chọn A x  0 Ta có 3x  x 2  0   . x  3 Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: 3 V     3x  x 0  2 2 3  3x 4 x5  81    dx     9 x  6 x  x  dx    3 x3  . 2 5  0 10  0 3 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 3 4 234 Câu 13: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  cos x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x   2 V bằng bao nhiêu? A. V    1 . . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích C. V     1 . B. V    1 . D. V     1 . Lời giải Chọn D Thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh trục hoành có thể tích là:   2 2 0 0  V    y 2 dx     2  cos x  dx    2 x  sin x  02     1 . Câu 14: Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y  A. a  π . π2 1 , y  0 , x  1 , x  a ,  a  1 . Tìm a để V = 2. x B. a  π . π2 C. a  π2 . π D. a  2 . π Lời giải Chọn A a V  1 1 1 a   dx   ( )      2  a  2  2 x x 1 a 1  , y  0, x  0, x  . Thể tích cos x 3 V của khối tròn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục Ox là. Câu 15: Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  A. V   B. V  2 C. V   3 Lời giải D. V   2 Chọn C  2  3  1  1   V    dx tan x  0  dx       03 = 3 . cos x cos 2 x  0 0 3 Câu 16: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip có x2 y 2 phương trình   1 . V có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây? 25 16 A. 550. B. 400. C. 670. Lời giải D. 335. Chọn A LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 235 Ta có 4 x2 y2  1 y   25  x 2 . 25 16 5 Do elip nhận Ox, Oy làm các trục đối xứng nên thể tích V cần tính bằng 4 lần thể tích 4 25  x 2 , y  0 và các hình sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  5 đường thẳng x  0 , x  5 quay xung quanh Ox . 2 640 4  Ta có V  4    670, 2 . 25  x 2  dx  5 3  0 5 Câu 17: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y  1  x 2 , y  0 quanh trục Ox là V  aπ với a , b là số nguyên. Khi đó a  b bằng b B. 17 . A. 11 . C. 31 . Lời giải D. 25 . Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm 1  x 2  0  x  1 . 1 Ta có V  π  1  x 2  dx  2 1 16π  a  16 , b  15 . 15 Vậy a  b  31 . Dạng 5: Ứng Dụng Tích Phân Trong Vật Lý Câu 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t ) = -5t + 10 , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2m B. 2m C. 10m Lời giải D. 20m Chọn D Xét phương trình -5t + 10 = 0  t = 2. Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2s ô tô dừng hẳn. Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là 2 s= 0 Câu 2: æ 5 ò (-5t + 10)dt = ççç- 2 t è 2 ö2 + 10t ÷÷÷ = 10m. ø÷ 0 Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v phụ thuộc thời gian t có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó ( ) là một phần của đường parabol có đỉnh I 2; 9 với trục đối xứng song song với trục LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 236 tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó. A. s = 26,5 B. s = 24 C. s = 28,5 D. s = 27 Lời giải Chọn C Gọi (P ) : y = ax 2 + bx + c . Vì (P ) qua O (0; 0) và có đỉnh I (2; 9) nên dễ tìm được phương trình là y= -9 2 x + 9x . 4 Ngoài ra tại x = 3 ta có y = 27 4 3 Vậy quãng đuờng cần tìm là: S = ò 0 Câu 3: 4 æ -9 2 ÷÷ödx + 27 dx = 27 (km ) . çç x + 9 x ÷÷ ò 4 çè 4 ø 3 Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h ) phụ thuộc thời gian t (h ) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I (2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 237 A. s = 26, 75 (km ) B. s = 25, 25 (km ) C. s = 24,25 (km ) D. s = 24, 75 (km ) Lời giải Chọn D 3 Tìm được phương trình của vận tốc là v (t ) = - t 2 + 3t + 6 4 3 Vậy S = 3 ò (- 4 t 2 + 3t + 6)dt = 24,75 0 Câu 4: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km / h) phụ thuộc vào thời gian t(h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật chuyển động được trong 3 giờ đó. A. s = 15,50(km) B. s = 23,25(km) C. s = 13, 83(km) D. s = 21,58(km) Lời giải Chọn D Gọi phương trình của parabol v = at 2 + bt + c ta có hệ như sau: ïìï ïìï ïïc = 4 ïïb = 5 ïï ïï í4a + 2b + c = 9  íc = 4 ïï ïï 5 ïï b ïï ïï- = 2 ïïa = 4 î 2a î Với t = 1 ta có v = 31 . 4 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 238 Vậy quãng đường vật chuyển động được là 1 3 æ 5 2 ö÷ 31 259 ç s = ò çç- t + 5t + 4÷÷dt + ò dt = » 21,583 4 12 è 4 ø÷ 0 Câu 5: 1 Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v phụ thuộc vào thời gian t có đồ thị là æ1 ö một phần parabol với đỉnh I çç ; 8÷÷÷ và trục đối xứng song song với trục tung như hình çè 2 ÷ø bên. Tính quảng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy? A. s = 4 B. s = 2,3 C. s = 4,5 D. s = 5,3 Lời giải Chọn C Gọi parabol là (P ) : y = ax 2 + bx + c. Từ hình vẽ ta có (P ) đi qua O (0; 0) , A (1; 0) æ1 ö và điểm I ççç ; 8÷÷÷ . è 2 ÷ø ìï ïï ïìïa = -32 ïïc = 0 ïï Suy ra ï ía + b + c = 0  íb = 32 . ïï ïï ïïa b ïïc = 0 î ïï + + c = 8 î4 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 239 (P ) : y = -32x Vậy 3 4 s= ò (-32x 2 2 + 32x . Quảng đường người đó đi được là ) + 32x dx =4, 5 0 Câu 6: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời 1 2 13 t  t  m/s  , trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc A gian bởi quy luật v  t   100 30 bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a  m/s 2  . Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 25  m/s  . B. 9  m/s  . C. 42  m/s  . D. 15  m/s  . Lời giải Chọn A Ta có vB  t    a.dt  at  C , vB  0   0  C  0  vB  t   at . Quãng đường chất điểm A đi được trong 25 giây là 25 SA   0  1 3 13 2   1 2 13  t  t  t  t  dt    60  30   300  100 25  0 375 . 2 15 Quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây là : S B   at.dt  0 Ta có at 2 2 15 0  225a . 2 375 225a 5  a . 2 2 3 5 Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là vB 15   .15  25  m/s  . 3 Câu 7: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời 1 2 58 gian bởi quy luật v (t ) = t + t (m / s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc 120 45 A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc ( ) bằng a m / s 2 . Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 25 (m / s ) B. 36 (m / s ) C. 30 (m / s ) D. 21 (m / s ) Lời giải Chọn C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 240 Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A thì chất điểm B đi được 15 giây, chất điểm A đi được 18 giây. Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng vB (t ) = ò adt = at + C mà vB (0) = 0 nên vB (t ) = at . Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm B đuổi kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được bằng nhau. Do đó: ò 18 0 æ 1 2 58 ö÷ 15 225 çç ÷÷ dt = ò atdt  225 = a. t + a =2 çè120 0 ÷ 45 ø 2 Vậy, vận tốc của chất điểm B tại thời điểm đuổi kịp A bằng vB (t ) = 2.15 = 30 (m / s ) . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 241 CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC BÀI 1. SỐ PHỨC 1. Số i x 2  1  0  x 2  1 . Với 1  i 2 với i là đơn vị ảo 2. Định nghĩa số phức: Số phức là số có dạng z  a  bi ( a, b   ) , i là đơn vị ảo, tức là i 2  1 a gọi là phần thực của z b gọi là phần ảo của z Tập hợp các số phức kí hiệu là  3. Số phức bằng nhau Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau z1  a1  b1i, z2  a2  b2i a1  a2 z1  z2   b1  b2 4. Biểu diễn hình học số phức Điểm M  a , b  trong hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z  a  bi 5. Mô đun của số phức Cho số phức z  a  bi . Khi đó đại lượng 2 2 a b gọi là môđun của z. Kí hiệu z  a 2  b 2 6. Số phức lien hợp Cho số phức z  a  bi . Khi đó số phức z  a  bi gọi là số phức liên hợp của z. BÀI 2. CỘNG, TRÙ, NHÂN SỐ PHỨC 1. Phép cộng và phép trừ Cho z1  a1  b1i, z2  a2  b2i . Khi đó z1  z2   a1  a2    b1  b2  i z1  z2   a1  a2    b1  b2  i 2. Phép nhân    2 z1. z2  a1  b1i . a2  b2i  a1a2  a1b2i  a2b1i  b1b2i  a1a2  b1b2  ( a1b2  a2b1 )i BÀI 3. PHÉP CHIA SỐ PHỨC 1. Tổng và tích của hai số phức liên hiệp Cho z  a  bi ,  a , b    . Lúc đó z  a  bi ,  a , b    z  z  2 a , z.z  a 2  b2 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 242 2. Phép chia số phức Cho z1  a1  b1i, z2  a2  b2i . Khi đó    a2  b2i    a1a2  b1b2   (a2b1  a1b2 )i 2 2 a2  b2  a2  b2i      a b i a b i z1  1 1  1 1 z2 a2  b2i a2  b2i Dạng 1. Phần Thực – Phần Ảo & Các Phép Toán Câu 1: Phần thực và phần ảo của các số phức (4 – i )  (2  3i ) – (5  i ) là: A. 1 và 1 B. 1 và 2 C. 2 và 1 Lời giải. D. 2 và 3 Chọn A (4 – i )  (2  3i ) – (5  i )   4  2  5    1  3  1 i  1  i Câu 2: 2 5  Phần thực và phần ảo của các số phức  2  3i     i  là: 3 4  8 3 12 1 4 7 A. và B. và C. và  3 4 3 6 3 4 Lời giải. D. 1 9 và 8 2 Chọn C  2  3i    2 5   2  5 4 7  i    2     3   i   i 3  4 3 4 3 4   Câu 3: Phần thực và phần ảo của các số phức (2  3i)(3  i) là: A. -1 và 2 B. 9 và 7 C. 2 và 3 Lời giải. D. 4 và -1 Chọn B (2  3i )(3  i )  6  2i  9i  3i 2   6  3    2  9  i  9  7i Câu 4: Phần thực và phần ảo của các số phức A. 3 6 và  5 5 B. 3 là: 1  2i 1 2 và  5 5 C. 7 6 và 5 5 D. 1 và 3 2 Lời giải. Chọn A 3 1  2i  3  6i 3 6 3     i 1  2i 1  4i 2 5 5 5 Câu 5: Phần thực và phần ảo của các số phức A. 1 và 0 B. 2 và 0 1 i là: 1 i C. 0 và 2 Lời giải. D. 0 và 1 Chọn D LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 243 1  i 1  i 1  i  2i   i 1 i 1  i2 2 Câu 6: Phần thực và phần ảo của các số phức A. b và  a a Chọn A ai b i a Câu 7:  B. ai b i a là: b 2a và  a và C.  a b Lời giải. a  i b  i a   ia i a 2 a D.  2a và b a a  ab b  i a a a Kết quả của phép tính (1  i)2  (1 – i)2 là: A. 1-2i B. 2+i C. 4i Lời giải. D. 5i Chọn C     (1  i )2  (1 – i )2  1  2i  i 2  1  2i  i 2  4i Câu 8: Kết quả của phép tính (2  i)3  (3  i)3 là: A. 6  33i B. 5  27i Chọn D  C. 7  24i Lời giải.   (2  i )3  (3  i )3  8  12i  6i 2  i 3  27  27i  9i 2  i3 D. 16  37i   2  11i  18  26i   16  37i Câu 9: Kết quả của phép tính (2  i)6 là: A. 1  44i B. 117  44i C. 17  24i Lời giải. D. 112  25i C. 250 Lời giải. D. 225 Chọn B 6 (2  i )  2  2  i 3    2  11i 2  117  44i   Câu 10: Kết quả của phép tính (1  i)100 là: A. 225 B. 250 Chọn B 100 (1  i )  1  i 2    50 50 50    2i    2 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 244 Chú ý: i 2 n  1, n   * Câu 11: Cho số phức z  x  yi  x, y    . Phần thực và phần ảo của số phức z 2  2 z  4i là: A. x 2  2 y 2  2 y và 3xy  2 y  3 B. x 2  2 y 2  2 x và 2 xy  2 y  4 C. x 2  y 2  5 x và 2 xy  2 x  1 D. x 2  4 y 2  2 x và 2 xy  y  4 Lời giải. Chọn B   2 2 2 2 z  2 z  4i   x  yi   2  x  yi   4i  x  2 xyi  y  2 x  2 yi  4i    2 2  x  y  2 x  2 xy  2 y  4 i Câu 12: Phân tích a 2  1 tành nhân tử. Chọn đáp án đúng: A.   a  2i  a  2i  B.  a  2i  a  2i  C.  a  i  a  i  D.   a  i  a  i  Lời giải. Chọn C   2 2 2 a  1  0  a  i  0   a  i  a  i   0 Câu 13: Phân tích 2a 2  3 tành nhân tử. Chọn đáp án đúng: A.  C.  2a  3i   2a  3i 2 2a  3i   2a  3i 2   B.  2a  3i D.  2 2a  3i  2a  3i 2  2 2a  3i  Lời giải. Chọn A 2 2a  3  0   2a    3i  2 2 0  2a  3i   2a  3i  0 Câu 14: Phân tích 4a 4  9b 2 tành nhân tử. Chọn đáp án đúng:    C.   2a 2  9bi  2a 2  9bi     D.  2a 2  9bi  2a 2  9bi  A.  2a 2  9b 2i 2a 2  9b 2i B. 2a 2  9b 2i 2a 2  9b 2i Lời giải. Chọn D    2 4 2 2 2 2 4a  9b  2a   9bi   2a  9bi  2a2  9bi   0 Câu 15: Phân tích a 4  16 tành nhân tử. Chọn đáp án đúng: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 245    C.   a 2  4i  a 2  4i     D.  a 4  4i  a 4  4i  A. a 2  4i a 2  4i B. a 2  16i a 2  16i Lời giải. Chọn A    2 4 2 2 2 a  16  a   4i   a  4i  a2  4i  Câu 16: Nếu z  x  yi và a là số thực thì z 2  a 2 bằng: A.  x  ai  y  ai  B.  z  ai  z  ai  C.  y  ai  y  ai  D.  x  y  z  i  Lời giải. Chọn B 2  Ta có z 2  a 2  z 2   ai    z  ai  a  ai  Câu 17: Số phức liên hợp của a  bi là A.   a  bi  C. a   b  i B. a  bi D.  a  bi Lời giải. Chọn B Số phức liên hiệp của a  bi là a   b  i  a  bi Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn: (2  i ) z    z 1 i A. 5 B. 5 2(1  2i ) 1 i  7  8i (1). Tìm C. Lời giải. môđun của số phức 3 D. 3 Chọn B Giả sử z  a  bi (1)  (2  i )( a  bi )   2 a  2bi  ai  bi 2  2(1  2i ) 1 i  7  8i 2(1  2i )(1  i )  7  8i 1  i2  2a  b  3  7 a  3  2a  2bi  ai  bi  1  i  2i  2i 2  7  8i     2b  a  1  8 b  2 Do đó   3  2i  1  i  4  3i    16  9  5 . 2 Câu 19: Tìm phần ảo của số phức z, biết z   2  i  1  2i  A. 7 B. 5 C.  2 Lời giải. D. 2 Chọn C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 246 2 Ta có: z   2  i  1  2i   1  2 2i 1  2i   5  2i  z  5  2i  Phần ảo của số phức z là  2 Dạng 2: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện Câu 1: Tính môđun của số phức z biết: (2 z  1)(1  i )  ( z  1)(1  i )  2  2i (1) A. 2 2 B. 2 3 C. 2 3 D. 2 2 3 Lời giải. Chọn C (1)  (2a  2bi  1))(1  i )  (a  bi  1)(1  i )  2  2i  2a  2ai  2bi  2bi 2  1  i  a  ai  bi  bi 2  1  i  2  2i  3a  3ba  ai  bi  2i  2  2i 1  a  3 a 3 b 2    1 1 2  3 Suy ra . z      a b 2 2 1      9 9 3  b   3 Tìm số phức z biết: z  3z   3  2i   2  i  (1) 2 Câu 2: A. z   11 19  i 2 2 B. z  11 19  i 2 2 C. z   11 19  i 2 2 D. z  11 19  i 2 2 Lời giải. Chọn D Giả sử z=a+bi, ta có: (1)  a  bi  3a  3bi   9  12i  4i 2   2  i    5  12i  .  2  i   4a  2bi  10  24i  5i  12i 2  22  19i  a  11 19 11 19 . Vậy z   i ;b  12 2 2 2 Tìm phần ảo của z biết: z  3z   2  i   2  i  (1) 3 Câu 3: A. -5 B. -10 C. -15 Lời giải. D. 10 Chọn B Giả sử z=a+bi (1)  a  bi  3a  3bi   8  12i  6i 2  i 3   2  i    2  11i  .  2  i   4a  2bi  4  2i  22i  11i 2  20i  15  a  15 ; b  10 . 4 Vậy phần ảo của z bằng -10 Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z 2 - 2 (1 + i ) z + 2i = 0 . Tìm phần thực và phần ảo của LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 1 z 247 A. - 1 1 và  2 2 B. 1 1 và  2 2 C. 1 1 và 2 2 D. - 1 1 và 2 2 Lời giải. Chọn B 1 1 i 2 Ta có: z 2  2 1  i  z  2i  0   z  1  i   0  z  1  i    z Vậy phần thực của Câu 5: 2 2 1 1 1 là và phần ảo là  z 2 2 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2 và z2 là số thuần ảo A. 1 B. 4 C. 3 Lời giải. D. 5 Chọn B Đặt z  a  bi (với a, b   )  z 2  a 2  b 2  2abi 2 2 2 a  b  0 a  1 Từ giả thiết ta có hệ phương trình  2   2 2 b  1 a  b  2 Vậy: z1  1  i, z2  1  i, z3  1  i, z4  1  i Câu 6: 2 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  2  3i  z   4  i  z   1  3i  . Tìm phần thực và phần ảo của z. A. -2 và -5 B. -2 và 5 C. 2 và 5 Lời giải. D. 2 và -5. Chọn B Gọi z  x  yi (với x, y   ) Ta có  2  3i  z   4  i  z   1  3i  2   2  3i  x  yi    4  i  x  yi   8  6i   6 x  4 y    2 x  2 y  i  8  6i 6 x  4 y  8  x  2   2 x  2 y  6  y  5 Vậy phần thực của z là -2 và phần ảo của z là 5 Dạng 3. Biểu diễn số phức Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  1  2i  . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ 2 tọa độ Oxy có tọa độ là: A. M 10; 3 B. M 10; 3 C. M 3; 10  D. M  3; 10  Lời giải. Chọn A Gọi z  x  yi ; x , y  . Từ giả thiết cho ta: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 248 a  bi  1  i a  bi   3  4i  b   2b  a  i  3  4i b  3 a  10    M 10; 3 2b  a  4 b  3 Câu 2: 2 Cho số phức z thỏa mãn z  3  2i 2  3i   1  i   8 . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là: A. M  4; 3 B. M  4; 3 C. M  4; 3  D. M  4; 3 \ Lời giải. Chọn A Ta có z  6  9i  4i  6i 2  t 2  2i  1  8  4  3i  M  4; 3 . Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  3  i  z  2  6i . w  2z  1 trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là: A. M  2; 3 B. M  2; 3 Điểm M biểu diễn số phức C. M 5; 6  D. M  4; 6  Lời giải. Chọn C Gọi z  x  yi ; x , y  . Từ giả thiết cho ta: 1  i a  bi   3  i a  bi   2  6i  4a  2b  2bi  2  6i a  2  b  3 Câu 4:  w  5  6i  M 5; 6  Cho số phức z thỏa mãn z  1  i 3  2i   1 3i . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là:  53 9  A. M  ;    10 10   53 9   53 9  B. M   ;   C. M  ;  10 10    10 10  Lời giải.  53 9  D. M  ;   10 10  Chọn C Ta có z  3  2i  3i  2i 2  Câu 5: 3i 53 9 i M   2 3  1 10 10  53 9   ; .  10 10  Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  1  3i  0 . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là: A. M  2; 1  B. M  2; 1  C. M  1; 2  D. M  2; 1  Lời giải. Chọn B Ta có: z  1  3i 1i  z  2  i  z  2  i  M  2; 1 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 249 Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn Oxy có tọa độ là: A. M  4; 1  z 1i z  1 2 3  i  . Điểm M biểu diễn số phức z B. M  4; 1  C. M  4; 1  trong hệ tọa độ D. M  4; 1  Lời giải. Chọn D Gọi z  a  bi ; a , b  . Từ giả thiết cho ta: a  bi 1i Câu 7:  a  bi  1 2  3  i   a  b    a  b  i  2a  3   2b  1 i  a  4  M  4; 1 b  1 Cho số phức z thỏa mãn 1  2i  z  2  3i  z  2  2i . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là: A. M 1; 1  B. M 1; 1  C. M  1; 1  D. M  1; 1  Lời giải. Chọn B Gọi z  x  yi ; x , y  . Từ giả thiết cho ta: 1  2i  x  yi   2  3i  x  yi   2  2i  3x  5 y     x  y  i  2  2i x  1  M 1; 1 . y  1  Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn 2  i  z  4  3i . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là: A. M 1; 2  B. M 1; 2 C. M  1; 2  D. M  1; 2 Lời giải. Chọn A Ta có z  Câu 9: 4  3i 2i  1  2i  M 1; 2 Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  8  3i . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là: A. M 3; 2 B. M  3; 2  C. M 3; 2  D. M  3; 2 Lời giải. Chọn C Gọi z  a  bi ; a , b  . Từ giả thiết cho ta: 2a  b  8 a  3   M 3; 2 a  3 b  2 a  bi  1  i a  bi   8  3i   Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z  1  i 2  i   8  i . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là: A. M  5; 2  B. M 5; 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 C. M  5; 2 D. M 5; 2 250 Lời giải. Chọn A Ta có z  2  i  2i  i 2  8  i  5  2i  M  5; 2 Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  1  3i  0 . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là: A. M  2; 1  21 2  B. M  ;   C. M  2; 1  5 5 Lời giải.  21 2  ;  D. M   5 5  Chọn C Ta có: z  1  3i 1i  2  i  z  2  i  M  2; 1 . Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  4  3i   2  8i . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là: A. M  4; 3 B. M  4; 3 C. M  4; 3 D. M  4; 3 Lời giải. Chọn D Ta có z  4  3i  8i  6i 2  2  8i  4  3i  M  4; 3     Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn 1  i z  2  i z  1  4i . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là: A. M  4; 3 B. M 3; 4  C. M 3; 4  D. M  4; 3 Lời giải. Chọn C Gọi z  a  bi ; a , b  . Từ giả thiết cho ta:  1  i a  bi   2  i a  bi   1  4i  a  3  M 3; 4 b  4 Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  3  i  z  2  6i . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là: A. M  2; 3 B. M  2; 3  C. M  2; 3  D. M  2; 3 Lời giải. Chọn A Gọi z  a  bi ; a , b  . Từ giả thiết cho ta: i  1 z   3  i  z  2  6i  1  i 1  bi    3  i a  bi   2  6i  4a  2b  2bi  2  6i 4a  2b  2 a  2    z  2  3i  M  2;3 2b  6 b  3 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 251 Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn 2  z  1  3z  i  5  i  . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là: A. M 1; 1 B. M 1;1 C. M 1; 1 D. M  1; 1 Lời giải. Chọn B Gọi z  a  bi ; a , b  . Từ giả thiết cho ta: 2(z  1)  3z  i (5  i )  2(a  bi  1)  3(a  bi )  1  5i  a  1  5(1  b )i  0   a 1  M 1;1 b 1 Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z  2z  3  2i . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là: A. M 1; 2  B. M  1; 2  C. M 1; 2  D. M  1; 2  Lời giải. Chọn C Gọi z  a  bi ; a , b  . Từ giả thiết cho ta:  a  bi   2 a  bi   3  2i  3a  bi  3  2i  a  1 b  2  M 1; 2  Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn  2  3i  z  1  i  z  5  4i . Điểm M biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ Oxy có tọa độ là:   A. M 1; 2  B. M 1; 2   C. M 1; 2   D. M 1; 2  Lời giải. Chọn A Gọi z  x  yi ; x , y  . Từ giả thiết cho ta: (2  3i ).z  (1  i ).z  5  4i  (2  3i ).(x  yi)  (1 i ).(x  yi)  5  4i  3x  4 y  (2 x  y ).i  5  4i   3x  4 y  5 2x  y  4   x 1  z  1  2i  M 1; 2  . y 2 Câu 18: Trên mặt phẳng phức, nếu A(1;2) thì điểm B đối xứng qua trục tung của A là điểm biểu diễn của số phức: A. 2  i B. 2  i C. 1  2i D. 2  i Lời giải. Chọn C Câu 19: Trên mặt phẳng phức, tập hợp các số z  x  yi sao cho z 2 là số thực được biểu diễn bởi: A. Đường có phương trình xy  0 B. Đường có phương trình x  0 C. Đường có phương trình y  0 D. Nửa mặt phẳng bờ là Ox. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 252 Lời giải. Chọn A 2 Ta có z 2   x  yi   x 2  y 2  2 xyi . Như thế, z 2 là số thực khi và chỉ khi xy  0 Câu 20: Cho các số phức z1  1; z2  2  2i, z3  1  3i được biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là M , N , P , các điểm này lần lượt là trung điểm của ba cạnh tam giác EFH. Tọa độ trọng tâm G của tam giác EFH là: A.  2;3 B.  3; 2  2 2 C.  ;  3 3 Lời giải. 2 5 D.  ;   3 3 Chọn D M 1;0  , N  2; 2  , P  1;3 là điểm biểu diễn các số phức trên. Hai tam giác EFH và MNP có 3 trung tuyến trùng nhau từng đôi một nên có cùng trọng tâm G.  1 2 1 2  xG  3  3  2 5   G ;   3 3 y  0  2  3  5  G 3 3 Câu 21: Cho 2 số phức z1  3  4i và z2  7  2i được biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là hai điểm M và N . Đường tròn đường kính MN có phương trình là: A. x  x  3  y  y  4   0 B. x  x  3  y  y  4   0 2 2 2 C.  x  2    y  3  26 2 D.  x  2    y  3  16 Lời giải. Chọn C Trong mặt phẳng oxy 2 điểm M  3; 4  , N  7; 2   Tâm I  2;3 Bán kính R  MN 2  104 2 2 2  26   C  :  x  2    y  3  26 Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M là điểm biểu diễn của số phức z  4  2i . Phương trình đường trung trực của đoạn OM là: A. x  2 y  5  0 B. 2 x  y  5  0 C. x  2 y  5  0 D. 2 x  y  5  0 Lời giải. Chọn B Gọi    là trung trực của đoạn OM       qua trung điểm I của OM  I  2;1 và có vectơ pháp tuyến n  OM   4; 2      : 4  x  2   2  y  1  0  4 x  2 y  10  0  2 x  y  5  0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 253 Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm M , N , P là điểm biểu diễn của 3 số phức: z1  8  3i; z2  1  4i; z3  5  xi . Với giá trị nào của x thì tam giác MNP vuông tại P? A. 1 và 2 B. 0 và 7 C. -1 và -7 Lời giải. D. 3 và 5 Chọn B Ta có 3 điểm M 8; 3 , N 1; 4  , P  5; x     MP   3; x  3 ; NP   4; x  4    Để MNP vuông tại P  MP.NP  0  12   x  3 x  4   0  x  0; x  7 Câu 24: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác MNP có M , N,P là điểm biểu diễn của số phức z1  1  2i; z2  3  i; z3  x  yi và O là trọng tâm. Tọa độ đỉnh P là: B.  2; 3 A.  3; 2  C.  2;1 D. 1; 3 Lời giải. Chọn B  M 1; 2  , N  3;1 , P x p ; y p  O là trọng tâm tam giác MNP  x  x N  xP  3 xO 1  3  x p  0  x p  2 .  M    y M  y N  y P  3 yO 2  1  y p  0  y p  3 Vậy P  2; 3 Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm M , N . là điểm biểu diễn của số phức z1  m  2i; z2  4  2i Nếu MN  5 thì tất cả các giá trị của m là: B. 7 A. 1 và 7 C. -1 và -7 D. 1; 3 Lời giải. Chọn A M  m; 2  , N  4; 2  MN  5  MN 2  25 2 2   4  m   16  25  16  8m  m  25 2  m  8m  7  0  m  1, m  7 Dạng 4. Tập hợp Câu 1: Cho các số phức z thỏa mãn z  1  i  1 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tâm I của đường tròn đó có tọa độ là: A. I 1;1 B. I  0;1 C. I 1; 1 D. I  1; 0  Lời giải. Chọn C Gọi số phức z = x + yi ; x , y Î . Từ giả thiết ta có: 2 2 z  1  i  1   x  1   y  1 i  1   x  1   y  1  1  I 1; 1 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 254 Câu 2: Cho các số phức z thỏa mãn z  1  i  1 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó là A. R  1 B. R  2 C. R  4 Lời giải. D. R  8 Chọn A Gọi số phức z  x  yi ; x , y  . Từ giả thiết ta có:      z 1 i  1 x 1  y 1 i 1 x 1 Câu 3:    y  1 2 2  1 R  1 . Cho các số phức z thỏa mãn zi   2  i   2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tâm I của đường tròn đó là: A. I 1; 2  B. I  1; 2  C. I  1; 2  D. I  1; 2  Lời giải. Chọn A Gọi số phức z  x  yi ; x , y  . Từ giả thiết ta có:      zi  2  i  2   y  2  x  1 i  2  x  1 Câu 4:    y  2 2 2   4  I 1; 2  Cho các số phức z thỏa mãn 2  i  z  1  5 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tâm I của đường tròn đó là: A. I 1; 2  B. I 1; 2  C. I  1; 2  D. I  1; 2  Lời giải. Chọn A Gọi số phức z  x  yi ; x , y  . Từ giả thiết ta có: 2 2 2  i  x  1  yi   5   y  2   x  1 i  5   x  1   y  2   25   1; 2  Câu 5: Cho các số phức z thỏa mãn z  z  3  4 . Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z trong mặt phẳng Oxy là: A. Đường thẳng B. Đường tròn C. E – líp D. Một điểm xác định. Lời giải. Chọn A Gọi số phức z  x  yi ; x , y  . Từ giả thiết ta có: x  yi  x  yi  3  4  Câu 6:  x  3 2 4 x  1 x  5 .  Cho các số phức z thỏa mãn z  z  1  i  2 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 255 A. Đường thẳng định. B. Đường tròn C. E – líp D. Một điểm xác Lời giải. Chọn A Gọi số phức z  x  yi ; x , y  . Từ giả thiết ta có:  1 3 y   2 2 x  yi   x  yi  1  i   2  1   2 y  1 i  2  1   2 y  1  2    1 3  y  2 Câu 7: Cho các số phức z thỏa mãn z  8  4i  6 . Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là: A. Đường thẳng định. B. Đường tròn C. E – líp D. Một điểm xác Lời giải. Chọn B Gọi số phức z  x  yi ; x , y  . Từ giả thiết ta có: 2 2 x  yi  8  4i  6  x  8   y  4  i  6   x  8    y  4   36 Câu 8: Cho các số phức z thỏa mãn phần thực thuộc đoạn  2;1 . Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là: A. Đường thẳng x  2 . B. Đường thẳng x  1 C. Phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x  2 và x  1 . D. Phần mặt phẳng không giới hạn bới hai đường thẳng x  2 và x  1 . Lời giải. Chọn C Câu 9: Cho các số phức z thỏa mãn phần thực thuộc  0;3 và phần ảo thuộc đoạn  2; 4  . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. A. Phần mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng x  3 và x  0 B. Phần mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng y  2 và y  4 C. Miền ngoài của hình chữ nhật có bốn đỉnh là giao của x  0, x  3, y  2, y  4. D. Miền trong của hình chữ nhật có bốn đỉnh là giao của x  0, x  3, y  2, y  4. Lời giải. Chọn D LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 256 0  x  3 Gọi z  x  yi , z , y  . Từ giả thiết ta có  nên suy ra tập hợp các điểm biểu 2  y  4 diễn số phức z là miền trong của hình chữ nhật có bốn đỉnh là giao của x  0, x  3, y  2, y  4. Câu 10: Cho các số phức z thỏa mãn z  1  2i  2. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là: A. Đường tròn  x  1   y  2   4 . 2 2 B. Những điểm nằm trong đường tròn  x  1   y  2   4 2 2 C. Những điểm nằm trong và nằm trên đường tròn  x  1   y  2   4 2 2 D. Những điểm nằm ngoài đường tròn  x  1   y  2   4 2 2 Lời giải. Chọn C 2 2 Gọi z  x  yi , z , y  . Ta có a  bi  1  2i  2   x  1   y  2   4 Câu 11: Cho các số phức z thỏa mãn 2  z  3 . Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là: A. Hình tròn. khăn. B. Hình quạt C. E – líp D. Hình vành Lời giải. Chọn D Gọi z  x  yi ; x , y  . . Từ giả thiết ta có: 2 2 2 2 2  x  y  3  4  x  y  9  Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm O có bán kính lần lượt là 2 và 3. Câu 12: Cho các số phức z thỏa mãn z  1  z  1  2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó là: A. I  1; 0  B. I 1; 0  C. I  0;1 D. I  0; 1 Lời giải. Chọn B Gọi z  x  yi ; x , y  . Từ giả thiết ta có: x  yi 1  x  yi 1  2   x  1 2 y 2   x  1 2 y Câu 13: Cho các số phức z thỏa mãn 2 2 2  2   x  1  y  1  I 1; 0  z z i  3 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tâm I của đường tròn đó là: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 257  9 A. I  0;   8 9  B. I  0;   8  9  C. I  ;0  8  Lời giải.  9  D. I   ;0   8  Chọn A Gọi z  a  bi ; a , b  . Ta có: z z i 2  a b 2 a  b  1 2 2 9 9 9  9 2 2 9 2   I  0;  .  3  a  b  b   0  a  b    2 4 8 64  8  8 Câu 14: Cho các số phức z thỏa mãn z  4i  z  4i  4 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là: 2 A. Đường cong C  : x 2   y  4   4 2 2 B. Đường cong C  : x 2   y  4   x 2   y  4   4 2 C. Đường tròn x 2   y  4  16 2 D. Đường tròn x 2   y  4  16. Lời giải. Chọn B Gọi z  a  bi ; a , b  . Ta có: x  yi  4i  x  yi  4i  4  x 2 2 2 2   y  4  x   y  4  4 Câu 15: Quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức   (1  i 3) z  2 biết số phức z thỏa mãn: z  1  2 (1) . A. Là đường tròn có bán kính 16 C. Là đường tâm I (1,2) B. Là hình tròn tâm I(1,2) D. Là hình tròn bán kính 4 Lời giải. Chọn D Giả sử   a  bi Ta có a  bi  (1  i 3) z  2  z  (1)  a  3  (b  3)i 1 i 3 2  a  2  bi 1 i 3  z 1  a  3  (b  3)i 1 i 3 2 a  3  (b  3i ) 1 i 3 2 2 ( a  3)  (b  3) 2 2 2 2  ( a  3)  (b  3)  16 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 258 Vậy quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình tròn ( x  3) 2  ( y  3) 2  16 (kể cả những điểm nằm trên biên). Câu 16: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u  đường tròn tâm I  a; b  A. 2 . Tính tổng a + b B. 1 z  2  3i là một số thuần ảo. Là một z i C. -2 Lời giải. D. 3 Chọn C Giả sử z  x  yi  x, y    có điểm M  x; y  biểu diễn z trên mặt phẳng (Oxy). Khi đó u  z  2  3i z i  x  2  yi  3i x   y  1 i   x  2   y  3 i   x   y  1 i  2 2 x   y  1 Từ số bằng: x 2  y 2  2 x  2 y  3  2  2 x  y  1 i ; u là số thuần ảo khi và chỉ khi:  x 2  y 2  2 x  2 y  3  0  x  12   y  12  5   2 2 2 x y 1 0       x 2   y  1  0  Kết luận: Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đường tròn tâm I  1; 1 , bán kính R  5 , loại đi điểm  0;1 . Câu 17: Trên mặt phẳng phức, tích phân hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  3 là A. Hình tròn tâm O, bán kính R  3 B. Hình tròn tâm O, bán kính R  3 C. Hình tròn tâm I  0;1 , bán kính R  3 D. Hình tròn tâm I 1;0  , bán kính R  3 Lời giải. Chọn A Đặt z  x  iy  x, y    , M(x,y) là điểm biểu diễn z trên mặt phẳng phức. Giả thiết z  3  x 2  y 2  3  x 2  y 2  9 Câu 18: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn z  2i  1 là A. Hình tròn tâm I  0; 2  , bán kính R  1 B. Hình tròn tâm I  0; 2  , bán kính R  1 C. Hình tròn tâm I  2;0  , bán kính R  1 D. Đường tròn tâm I  0; 2  , bán kính R  1 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 259 Lời giải. Chọn B Đặt z  x  iy  x, y    và M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức 2 2  z  2i  x   y  2i   z  2i  x   y  2  2 Theo giả thiết z  2i  1  x 2   y  2   1 Câu 19: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 z  i  z  z  2i là: A. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 B. Đường tròn tâm I C. Parabol y  x2 4 D. Parabol x  y2 4   3;0 , bán kính R  3 Lời giải. Chọn C Đặt z  x  iy  x, y    và M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức Ta có: 2 z  i  z  z  2i  2 x   y  1 i  2  y  1 i  2 2 x   y  1   y  1 2 2 2 2 2  x  y  2y 1  y  2y 1  x  4y Câu 20: Gọi z  x  yi,  x, y    . Hãy xác định tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z  z  1  i  2 . Chọn đáp án đúng: A. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là hai đường thẳng song song với trục hoành y 1 3 2 B. Tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là một đường parabol y  4 x 2  4 x  2 C. Tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là một đường tròn tâm I 1; 2  , R  4 D. Tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là một hình tròn tâm I 1; 2  , R  4 Lời giải. Chọn A z  z  1  i  2  x  yi  x  yi  1  i  2  1   2 y  1 i  2 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 260 2 2 2  1   2 y  1  2  4 y  4 y  2  0   1 3 y  2   1 3 y   2 Kết luận: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là hai đường thẳng song song với trục hoành y  1 3 2 Câu 21: Gọi z  x  yi,  x, y    . Hãy xác định tập hợp các điểm M biểu diễn số phức 2i.z  1  2 z  3 . Chọn đáp án đúng: A. Tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là một đường tròn tâm I 1; 4  , R  4 B. Tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là một hình tròn tâm I 1; 4  , R  4 C. Tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là một đường parapol y  6 x 2  35 4 D. Tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là một đường đường thẳng y  6 x  35 4 Lời giải. Chọn D   2i.z  1  2 z  3  2i x  yi  1  2 x  yi  3  2 y  1  2 xi  2 x  3  yi   2 y  1 2  4x2  2  x  3 2   y 2  2 y  1  2  4x2  4  x  3   2  y2   y  6x   35 4 Kết luận: Tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là một đường đường thẳng 35 y  6x  4 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 261 BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Phương trình bậc hai với hệ số thực là phương trình có dạng ax 2  bx  c  0, a  0 Cách giải: Tính   b 2  4ac Nếu:   0  giải giống lớp 9  b  i  x  2a Nếu   0 :. khi đó (1) có nghiệm    x  b  i   2a Dạng 1 : Phương trình bậc hai hệ số thực Câu 1. Phương trình x 2  x  1  0 có nghiệm là A. 1  i 3 2 B. 1  i 3 2 C. Cả A và B D. Tất cả đều sai Lời giải Chọn C  1  i 3 x  2 x2  x  1  0    1  i 3 x   2 Câu 2. Nghiệm của phương trình: z 2  4 z  7  0 A. 2  3i B. 2  3i C. 3  3i Lời giải D. 2  3i Chọn A  '  22  7  3  3i 2  các căn bậc hai của  ' là i 3 Vậy nghiệm của phương trình là: z  2  3i, z  2  3i Câu 3. Tìm phương trình bậc hai chứa các nghiệm x1  3  4; x2  3  4i . Chọn đáp án đúng: A. x 2  6 x  25  0 B. x 2  6 x  25  0 C. x 2  6 x  25  0 D. x 2  6 x  25  0 Lời giải Chọn D  x1 x2  25  x 2  6 x  25  0   x1  x2  6 Câu 4. Tìm phương trình bậc hai chứa các nghiệm x1  7  i 3; x2  7  i 3 . Chọn đáp án đúng: A. x 2  2 7 x  10  0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 B. x 2  2 7 x  10  0 262 C. x 2  10 x  2 7  0 D. x 2  2 7 x  10  0 Lời giải Chọn A  x1  x2  2 7  x 2  2 7 x  10  0   x1.x2  10 Câu 5. Tìm tham số m để phương trình số phức z 2  mz  m  1  0 có 2 nghiệm z1 , z2 thõa mãn z12  z22  z1 z2  1 . Chọn đáp án đúng: A. m  1; m  4 B. m  4 C. m  1; m  4 D. m  1 Lời giải Chọn C z 2  mz  m  1  0 z  z  m   1 2  z1 z2  m  1 m  4  N  2  z12  z22  z1 z2  1   z1  z2   2 z1 z2  z1 z2  1  m 2  3  m  1  1  0    m  1 N  Câu 6. Tìm tham số m để phương trình z 2  9mz  2mi  0 có 2 nghiệm z1 , z2 thõa mãn z13  z23  36m  8i . Chọn đáp án đúng: 2 A. m   i 3 B. m  2i 2 C. m  i 3 Lời giải D. m  2i Chọn C  z1  z2  9m    z1 z2  2mi  z13  z23  36m  8i   z1  z2   3 z1 z2  z1  z2   18   3m   3. 2mi  9m   36m  8i 3 3 2 3 2 2 3 3   3m   3. 3m  .2i  3.3m. 2i    2i   0   3m  2i   0  m  i 3 Dạng 2 : Phương trình quy về phương trình bậc hai 2 Câu 1. 4z  i  4z  i   6  0 có tập nghiệm là: Phương trình   5 z i  z i   3   3  3  A. S   i; 4i  B. S   i;4i  C. S   i; 4i  2  2  2  Lời giải Chọn A 3  D. S   i;4i  2   4z  i 3   z i  2 z i 4z  i  4z  i   3   60   2  S   i; 4i    5  z i  z i  2   4z  i  3  z  4i  z  i 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 263 Câu 2. Phương trình  z  i   z 2  2 z  2   0 có bao nhiêu nghiệm phức phân biệt A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải Chọn D  z  i 2  z  i   z  2z  2  0   z  1  i   z  1  i Câu 3. Câu phương trình: ( z 2  3 z  6) 2  2 z ( z 2  3 z  6)  3 z 2  0 Có bao nhiêu nghiệm thực A. 0 B. 2 C. 3 Lời giải D. 4 Chọn B ( z 2  3 z  6) 2  2 z ( z 2  3z  6)  3z 2  0  z  1  5i  z 2  3z  6  z  z2  2z  6  0  2  2   z  3  3  z  3 z  6  3 z  z  6z  6  0 Câu 4. 2 Cho phương trình x  x  1  0 . Tính tổng phần thực của 2 số phức A. 1 B. 2 C. 2 Lời giải Chọn A D. 1 Phương trình có biệt thức   3  3i 2 Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt: x Câu 5. 1  i 3 1 3 1  i 3 1 3 i; x  i     2 2 2 2 2 2 Gọi z  x  yi  x, y    . Câu phương trình ( z  3i )( z 2  2 z  5)  0 . Giá trị x và y là: A.  x; y    0; 3 ,  1; 2  ,  1; 2  B.  x; y    0;3 ,  1;2  , 1;2  C.  x; y    0; 3 , 1;2  , 1; 2  D.  x; y    0;3 , 1; 2  , 1; 2  Lời giải Chọn C  z  3i  z  3i ( z  3i )( z  2 z  5)  0   2   z  1  2i   x; y    0; 3 , 1;2  , 1; 2   z  2z  5  0  z  1  2i 2 Câu 6. Gọi z  x  yi  x, y    . Câu phương trình ( z 2  9)( z 2  z  1)  0 . Giá trị x và y là: 3 1   A.  x; y    0;   ,  ; 2  2 2    3 C.  x; y    0; 1 ,  2;   2   B.  x; y    0; 1 ,  2; 1 1 3 D.  x; y    0; 3 ,  ;   2  2 Lời giải Chọn D LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 264   z  3i   z2  9  0 1 2 2 ( z  9)( z  z  1)  0   2   z   2 z  z 1  0  1   z  2  Câu 7. Cho phương trình A. 2 1 3 3 i   x; y    0; 3 ,  ;   2 2  2 3 i 2 z 3  8  0 1 .Hỏi có bao nhiêu nghiệm thuần ảo B. 0 C. 1 Lời giải D. 3 Chọn B  z  2 1   z  2   z 2  2 z  4   0   2  z  2 z  4  0  * Câu phương trình (*):   12  12i 2 Phương trình (*) có 2 nghiệm phức x  2  i2 3 2  i2 3  1  3i; x   1  3i 2 2 Vậy phương trình (1) có các nghiệm là z  2; x  1  3i; x  1  3i Câu 8. 4 2 Cho phương trình z  z  6  0 .Có bao nhiêu nghiệm thuần thực A. 1 B. 0 C. 2 Lời giải Chọn A t  2 Đặt t  z 2 . Phương trình trở thành: t 2  t  6  0   t  3 D. 3 z  2 + Với t  2 : z 2  2    z   2 z  i 3 + Với t  3 : z 2  3    z  i 3 Vậy phương trình có các nghiệm là: z  2; z   2; z  i 3; z  i 3 Câu 9. Cho phương trình A. 1 z 4  1  0 1 .Tổng các nghiệm thuần ảo B. 0 C. 2 Lời giải D. 3 Chọn B  z2  1 1   z 2  1 z 2  1  0   2  z  1 z  1 +) Với z 2  1    z  1 z  i +) Với z 2  1    z  i LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 265 Vậy phương trình có các nghiệm là z  1; z  1; z  i; z  i 3 Câu 10. Cho phương trình z  i  0 . Tính tổng các phần ảo nghiệm phức của phương trình trên 3 1 A. 2 B. 0 C.  D.  2 2 Lời giải Chọn B z  i Phương trình  z 3  i 3  0   z  i   z 2  iz  1  0   2  z  iz  1  0 * Câu phương trình * :   i 2  4  3 Phương trình (*) có 2 nghiệm phức z  i  3 3 1 i  3 3 1   i; z    i 2 2 2 2 2 2 Vậy phương trình (1) có các nghiệm là: z  i; z  LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 3 1 3 1  i; z    i 2 2 2 2 266 CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN BÀI 1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy. Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy. II – KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 1. Khái niệm về hình đa diện Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.  Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện. 2. Khái niệm về khối đa diện Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện. Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của hình đa diện tương ứng. d Miền ngoài Điểm trong N Điểm ngoài M Ví dụ - Các hình dưới đây là những khối đa diện: - Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 267 Hình b Hình c Hình a Giải thích: Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt; Hình b không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong hình, điểm đó không phải là đỉnh chung của hai đa giác; Hình c không phải là hình đa diện vì tồn tại một cạnh là cạnh chung của bốn đa giác. III – HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 1. Phép dời hình trong không gian Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M ¢ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian. Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.  a) Phép tịnh tiến theo vectơ v , là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ¢ sao cho   MM ¢ = v . Kí hiệu là T v . b) Phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc ( P ) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ( P ) thành điểm M ¢ sao cho ( P ) là mặt phẳng trung trực của MM ¢ . Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) biến hình ( H ) thành chính nó thì ( P ) được gọi là mặt phẳng đối xứng của ( H ) . c) Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M ¢ sao cho O là trung điểm của MM ¢ . Nếu phép đối xứng tâm O biến hình ( H ) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của ( H ) . d) Phép đối xứng qua đường thẳng D là là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng D thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc D thành điểm M ¢ sao cho D là đường trung trực của MM ¢ . Nếu phép đối xứng qua đường thẳng D biến hình ( H ) thành chính nó thì D được gọi là trục đối xứng của ( H ) . Nhận xét  Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.  Phép dời hình biến đa diện ( H ) thành đa diện ( H ¢) , biến đỉnh, cạnh, mặt của ( H ) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của ( H ¢) . Ví dụ:Cho hình lập phương ABCD . A ¢B ¢C ¢D ¢ . Khi đó:  Các hình chóp A . A ¢B ¢C ¢D ¢ và C ¢. A BCD bằng nhau (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp A . A ¢B ¢C ¢D ¢ biến thành hình chóp C ¢. A BCD ).  Các hình lăng trụ ABC . A ¢B ¢C ¢ và AA ¢D ¢. BB ¢C ¢ bằng nhau (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng ( AB ¢C ¢D ) thì hình lăng trụ ABC . A ¢B ¢C ¢ biến thành hình lăng trụ AA ¢D ¢. BB ¢C ¢ ). LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 268 A D C B A D C B O A' B' A' D' B' C' D' C' 2. Hai hình bằng nhau Hai hình được gọi là nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Đặc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này đa diện kia. IV – PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện ( H ) là hợp của hai khối đa diện ( H1 ) và ( H 2 ) sao cho ( H1 ) và ( H 2 ) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể phân chia được khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1 ) và ( H 2 ) . Khi đó ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện ( H1 ) và ( H 2 ) để được khối đa diện ( H ) . Ví dụ 1. Với khối chóp tứ giác S . ABCD , xét hai khối chóp tam giác S . ABC và S . ACD . Ta thấy rằng:  Hai khối chóp S . ABC và S . ACD không có điểm trong chung (tức là không tồn tại điểm trong của khối chóp này là điểm trong của khối chóp kia và ngược lại).  Hợp của hai khối chóp S . ABC và S . ACD chính là khối chóp S . ABCD. Vậy khối chóp S . ABCD được phân chia thành hai khối chóp S . ABC và S . ACD hay hai khối chóp S . ABC và S . ACD được ghép lại thành khối chóp S . ABCD . Ví dụ 2. Cắt khối lăng trụ ABC . A ¢B ¢C ¢ bởi mặt phẳng ( A ¢BC ) . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 269 Khi đó, khối lăng trụ được phân chia thành hai khối đa diện A ¢A BC và A ¢BCC ¢B ¢ . Nếu ta cắt khối chóp A ¢BCC ¢B ¢ bởi mặt phẳng ( A ¢B ¢C ) thì ta chia khối chóp A ¢BCC ¢B ¢ thành hai khối chóp A ¢BCB ¢ và A ¢CC ¢B ¢ . Vậy khối lăng trụ ABC . A ¢B ¢C ¢ được chia thành ba khối tứ diện là A ¢A BC , A ¢BCB ¢ và A ¢CC ¢B ¢ . MỘT SÔ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt. Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh. Kết quả 3: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh. Kết quả 4: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh. Kết quả 5: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh. Kết quả 6: Cho ( H ) là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số mặt của ( H ) là lẻ thì p phải là số chẵn. Chứng minh:Gọi M là số các mặt của khối đa diện ( H ) . Vì mỗi mặt của ( H ) có p cạnh nên M mặt sẽ có bằng C = p. M pM 2 cạnh. Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác nên số cạnh của ( H ) . Vì M lẻ nên p phải là số chẵn. Kết quả 7 (Suy ra từ chứng minh kết quả 6): Cho ( H ) là đa diện có M mặt, mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Khi đó số cạnh của ( H ) là C = pM 2 . Kết quả 8: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn. Chứng minh:Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là C và M . Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là C= 3 M C Î ¾¾¾ M 2 chẵn. Kết quả 9: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện. Kết quả 10: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn. (Tổng quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn). B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho các hình sau: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 270 Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là: A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Hướng dẫn giải Chọn A Câu 2: Cho các hình sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là: A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Hướng dẫn giải Chọn D Câu 3: Cho các hình sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 271 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn C Các hình đa diện là: Hình 1; Hình 3; Hình 4. Câu 4: Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C Vì hình C vi phạm tính chất '' Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác '' . Câu 5: Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt? A. 6. B. 10. C. 11. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn C Câu 6: Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt? A. 8. B. 10. C. 11. D. 12. Hướng dẫn giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 272 Chọn B Câu 7: Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt? A. 11. B. 12. C. 13. D. 14. Hướng dẫn giải Chọn B Câu 8: Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất? A. Khối tứ diện đều. C. Khối lập phương. B. Khối chóp tứ giác. D. Khối 12 mặt đều. Hướng dẫn giải Chọn A Câu 9: Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu cạnh? A. 8. B. 9. C. 12. D. 16. Hướng dẫn giải Chọn D Câu 10: Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh. B. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh. C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt. D. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. Hướng dẫn giải Chọn C Ta thấy các đáp án A, B, D đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 273 Câu 11: Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Đ > 4, M > 4, C > 6. B. Đ > 5, M > 5, C > 7. C. Đ ³ 4, M ³ 4, C ³ 6. D. Đ ³ 5, M ³ 5, C ³ 7. Hướng dẫn giải Chọn C Xét hình đa diện là hình tứ diện thì kết quả về quan hệ số đỉnh và số mặt thỏa mãn đáp án C Câu 12: Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh C của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng. A. 3C = 2 M . B. C = M + 2 . C. M ³ C . D. 3M = 2C . Hướng dẫn giải Chọn D Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M . Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C. Câu 13: Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? A. Tứ diện đều. C. Hình lập phương. B. Bát diện đều. D. Lăng trụ lục giác đều. Hướng dẫn giải Chọn A Câu 14: Gọi n1 , n2 , n3 lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập phương. Mệnh đề nào sau đây là đúng? B. n1 = 0, n2 = 1, n3 = 9. A. n1 = 0, n2 = 0, n3 = 6. C. n1 = 3, n2 = 1, n3 = 9. D. n1 = 0, n2 = 1, n3 = 3. Hướng dẫn giải Chọn C Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện). Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác). Khối lập phương có 9 trục đối xứng (Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ; Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện). Câu 15: Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Hướng dẫn giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 274 Chọn A Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:  2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy.  2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy. Câu 16: Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là: A. 4 mặt phẳng. B. 6 mặt phẳng. C. 8 mặt phẳng. phẳng. D. 10 mặt Hướng dẫn giải Chọn B Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện. Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng. Câu 17: Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Hướng dẫn giải Chọn A Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng (hình vẽ bên dưới). Câu 18: Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 6 mặt phẳng. C. 9 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Hướng dẫn giải Chọn D Hình hộp chữ nhật (không là hình lập phương) có các mặt phẳng đối xứng là các mặt các mặt phẳng trung trực của các cặp cạnh đối. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 275 Câu 19: Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Hướng dẫn giải Chọn D Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm:  2 mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy.  Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên. Câu 20: Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 8 mặt phẳng. B. 9 mặt phẳng. C. 10 mặt phẳng. D. 12 mặt phẳng. Hướng dẫn giải Chọn B Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau). Câu 21: Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là: A. 4 mặt phẳng. B. 9 mặt phẳng. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 276 C. 6 mặt phẳng. D. 12 mặt phẳng. Hướng dẫn giải Chọn B Gọi bát diện đều ABCDEF . Có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng ( ABCD ) , ( BEDF ) , ( AECF ) và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn AB và CD ). Câu 22: Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của một tứ diện? A. 1 mặt phẳng. B. 4 mặt phẳng. C. 7 mặt phẳng. D. Có vô số mặt phẳng. Hướng dẫn giải Chọn C Có 2 loại mặt phẳng thỏa mãn đề bài là: Loại 1: Mặt phẳng qua trung điểm của 3 cạnh bên có chung đỉnh. Có 4 mặt phẳng thỏa mãn loại này (vì có 4 đỉnh) Nhận xét. Loại này ta thấy có 1 điểm nằm khác phía với 3 điểm còn lại. Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm của 4 cạnh ( 4 cạnh này thuộc 2 cặp cạnh, mỗi cặp cạnh là chéo nhau). Có 3 mặt phẳng như thế. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 277 Nhận xét. Loại này ta thấy có 2 điểm nằm khác phía với 2 điểm còn lại. Câu 23: Mặt phẳng ( AB ¢C ¢) chia khối lăng trụ A. B. C. D. ABC . A ¢B ¢C ¢ thành các khối đa diện nào? Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác. Hai khối chóp tam giác. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. Hai khối chóp tứ giác. Hướng dẫn giải Chọn A Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng ( AB ¢C ¢) chia khối lăng trụ chóp tam giác A . A ¢B ¢C ¢ và khối chóp tứ giác ABC . A ¢B ¢C ¢ thành khối A . BCC ¢B ¢. A C B C’ A’ B’ Câu 24: Lắp ghép hai khối đa diện ( H1 ), ( H 2 ) để tạo thành khối đa diện ( H ) , trong đó ( H1 ) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a , ( H 2 ) là khối tứ diện đều cạnh a sao cho một mặt của ( H1 ) trùng với một mặt của ( H 2 ) như hình vẽ. Hỏi khối da diện ( H ) có tất cả bao nhiêu mặt? A. 5. B. 7. C. 8. D. 9. Hướng dẫn giải Chọn A Khối đa diện ( H ) có đúng 5 mặt. Sai lầm hay gặp: Khối chóp tứ giác đều có 5 mặt. Khối tứ diện đều có 4 mặt. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 278 Ghép hai hình lại như hình vẽ ta được khối đa diện ( H ) có 8 mặt. Câu 25: Có thể chia một hình lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau? A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. Hướng dẫn giải Chọn C Lần lượt dùng mặt phẳng ( BDD ¢B ¢) ta chia thành hai khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD . A ¢B ¢D ¢  Với khối và BCD . B ¢C ¢D ¢ . ABD . A ¢B ¢D ¢ ta lần lượt dùng các mặt phẳng ( AB ¢D ¢) và ( AB ¢D ) chia thành ba khối tứ diện bằng nhau.  Tương tự với khối BCD . B ¢C ¢D ¢ . Vậy có tất cả 6 khối tứ diện bằng nhau. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 279 BÀI 2. KHÁI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – KHỐI ĐA DIỆN LỒI Khối đa diện ( H ) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của ( H ) luôn thuộc ( H ) . Khi đó đa diện giới hạn ( H ) được gọi là đa diện lồi. Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. II – KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:  Các mặt là những đa giác đều n cạnh.  Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh. Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {n, p} . Định lí Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là: Loại {3;3} : khối tứ diện đều. Loại {4;3} : khối lập phương. Loại {3;4} : khối bát diện đều. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 280 Loại {5;3} : khối 12 mặt đều. Loại {3;5} : khối 20 mặt đều. Khối tứ diện đều Khối lập phương Khối đa diện đều Bát diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại Tứ diện đều 4 6 4 {3;3} Khối lập phương 8 12 6 {4;3} Bát diện đều 6 12 8 {3;4} Mười hai mặt đều 20 30 12 {5;3} Hai mươi mặt đều 12 30 20 {3;5} Chú ý.Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại {n; p} . Ta có pĐ = 2C = nM ìïn = 3, p = 3 pĐ=2C =nM nM nM ¾¾¾¾¾ C = =6 & Đ= = 4. ïïî M = 4 2 p  Xét tứ diện đều {3;3}  íï ïìn = 4, p = 3 pĐ=2C =nM nM nM ¾¾¾¾¾ C = = 12 & Đ = = 8. ïïî M = 6 2 p  Xét khối lập phương {4;3}  ïí ïìn = 3, p = 4 pĐ=2C =nM nM nM ¾¾¾¾¾ C = = 12 & Đ = = 6. ïïî M = 8 2 p  Xét bát diện đều {3;4 } « ïí  Xét khối mười hai mặt đều LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 281 ìn = 5, p = 3 pĐ=2C =nM ï nM nM ¾¾¾¾¾ C = = 30 & Đ = = 20. ï 2 p ï î M = 12 {5;3}  ïí  Xét khối hai mươi mặt đều ïìn = 3, p = 5 pĐ=2C =nM nM nM ¾¾¾¾¾ C = = 30 & Đ = = 12. ïïî M = 20 2 p {3;5}  ïí B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho các hình khối sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện lồi là A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Hướng dẫn giải Chọn B Áp dụng các tính chất của khối đa diện lồi ( H ) : ” Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của ( H ) luôn thuộc ( H )” . Câu 2: Cho các hình khối sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là: A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 282 Chọn B Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4. Câu 3: Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây? A. Bát diện đều. B. Tứ diện đều. C. Lục giác đều. D. Ngũ giác đều. Hướng dẫn giải Chọn A Câu 4: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình lập phương. B. Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều. C. Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình lập phương. D. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình tứ diện đều. Hướng dẫn giải Chọn B Câu 5: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành A. các đỉnh của một hình tứ diện đều. B. các đỉnh của một hình bát diện đều. C. các đỉnh của một hình mười hai mặt đều. D. các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 283 Hướng dẫn giải Chọn B Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều. B. Tồn tại khối lặng trụ đều là khối đa diện đều. C. Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều. D. Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều. Hướng dẫn giải Chọn D Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác. Câu 7: Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ Khối tứ diện Khối lập đều phương Mệnh đề nào sau đây đúng? Bát diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4. B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh. C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng. D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh. Hướng dẫn giải Chọn B  Khối lập phương có 6 mặt. Do đó A sai. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 284  Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12.  Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng. Do đó C sai.  Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh. Do đó D sai. Câu 8: Mỗi khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn: A. Đ = C – 2 . B. Đ ³ C . C. 3Đ = 2C . D. 3C = 2Đ . Hướng dẫn giải Chọn C Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ. Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3Đ = 2C. Câu 9: Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {4;3} là: A. 4p . B. 8p . C. 12p . D. 10p . Hướng dẫn giải Chọn C Khối đa diện đều loại {4;3} là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng 6.2p = 12p. Câu 10: Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {3;5} là: A. 12p . B. 16p . C. 20p . D. 24p . Hướng dẫn giải Chọn C Khối đa diện đều loại {3;5} là khối hai mươi mặt đều, gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng 20.p = 20p. Câu 11: Tổng độ dài  của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a . A.  = 4a . B.  = 6a . C.  = 6 . D.  = 4 . Hướng dẫn giải Chọn B Tứ diện đều có tất cả 6 cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là 6a . Câu 12: Tổng độ dài  của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2. A.  = 8. B.  = 16. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 C.  = 24. D.  = 60. 285 Hướng dẫn giải Chọn D Khối mười hai mặt đều có 30 cạnh nên có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng  = 30.2 = 60 . Câu 13: Cho hình đa diện đều loại {4;3} cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S = 4 a 2 . B. S = 6 a 2 . C. S = 8 a2 . D. S = 10 a 2 . Hướng dẫn giải Chọn B Đa diện đều loại {4;3} là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh a . Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là Câu 14: S = 6a2 . Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S = 4 3 a2 . B. S = 3 a 2 . C. S = 2 3 a2 . D. S = 8a 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Hình bát diện đều là hình có tám mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều. Gọi S 0 là diện tích tam giác đều cạnh a ¾¾ S0 = Vậy diện tích S cần tính là S = 8.S 0 = 8. a2 3 . 4 a2 3 = 2 3 a2 . 4 Câu 15: Cho hình 20 mặt đều có cạnh bằng 2. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S = 10 3. B. S = 20 3. C. S = 20. D. S = 10. Hướng dẫn giải Chọn B Hình 20 đều là hình có 20 mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều. 2 2. 3 Gọi S 0 là diện tích tam giác đều cạnh bằng 2 ¾¾  S0 = = 3. 4 Vậy diện tích S cần tính là S = 20.S 0 = 20 3 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 286 BÀI 3. KHÁI NIỆM VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – NHẮC LẠI MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau và các mặt bên đều là các hình bình hành. 1. Hình lăng trụ đứng Định nghĩa. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Tính chất. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy. 2. Hình lăng trụ đều Định nghĩa. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Tính chất. Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy. Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. 1. Hình hộp đứng Định nghĩa. Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Tính chất. Hình hộp đứng có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung quanh là 4 hình chữ nhật. 2. Hình hộp chữ nhật Định nghĩa. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Tính chất. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là 6 hình chữ nhật. 3. Hình lập phương Định nghĩa. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật 2 đáy và 4 mặt bên đều là hình vuông Tính chất. Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông. Hình chóp là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh. I – THEÅ TÍCH 1. Công thức tính thể tích khối chóp 1 V = S .h 3 Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp. 2. Công thức tính thể tích khối lăng trụ V = B.h Trong đó: B là diện tích đáy, h là hiều cao khối lăng trụ ● Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c Trong đó: a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật. ● Thể tích khối lập phương: V = a3 Trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương. III – TỈ SỐ THỂ TÍCH Cho khối chóp S . ABC và A ‘ , B ‘ , C ‘ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA , SB , SC ta có V S . A ‘ B ‘C ‘ SA ‘ SB ‘ SC ‘ . . . = V S . ABC SA SB SC LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 287 Phương pháp này được áp dụng khi khối chóp không xác đinh được chiều cao một cách dễ dàng hoặc khối chóp cần tính là một phần nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một số điều kiện sau · Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh. · Đáy hai khối chóp phải là tam giác. · Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng. B. PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Câu 1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a 2. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD. A. V = a3 2 . 6 a3 2 . 4 B. V = C. V = a3 2. D. V = a3 2 . 3 Lời giải Chọn D Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = a2 . Chiều cao khối chóp là SA = a 2. 1 3 Vậy thể tích khối chóp V S . ABCD = S ABCD .SA = Câu 2: a3 2 . 3 Cho khối chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = 40. B. V = 192. C. V = 32. D. V = 24. Lời giải Chọn C Tam giác ABC , có A B 2 + A C 2 = 6 2 + 8 2 = 10 2 = BC 2 ¾¾  tam giác ABC vuông tại A ¾¾  S DABC = 1 AB. AC = 24. 2 1 3 Vậy thể tích khối chóp VS . ABC = S DABC .SA = 32. Câu 3: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a , BC = 2a . Hai mặt bên (SAB) và (SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) , cạnh SA = a 15 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD. A. V = 2a3 15 . 6 B. V = 2a3 15 . 3 C. V = 2a3 15 . D. V = a3 15 . 3 Lời giải Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 288 Vì hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vuông góc với ( ABCD ) , suy ra SA ^ ( ABCD ) . Do đó chiều cao khối chóp là SA = a 15 . Diện tích hình chữ nhật ABCD là S ABCD = AB.BC = 2a2 . 1 3 Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = S ABCD .SA = Câu 4: 2a3 15 . 3 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABCD ) và SC = a 5 . Tính theo a thể tích V khối chóp S . ABCD. A. V = a3 3 . 3 B. V = a3 3 . 6 C. V = a3 3 . D. V = a3 15 . 3 Lời giải Chọn A Đường chéo hình vuông AC = a 2. Xét tam giác SAC , ta có SA = SC 2 – AC 2 = a 3 . Chiều cao khối chóp là SA = a 3 . Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = a2 . 1 3 Vậy thể tích khối chop VS . ABCD = S ABCD .SA = Câu 5: a3 3 . 3 Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a . Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = a3 . B. V = a3 3 2 . C. V = a3 3 . D. V = 2a3 3 . Lời giải Chọn C 1 2 Diện tích tam giác vuông S DABC = BA.BC = LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 a2 . 2 289 Chiều cao khối chóp là SA = 2a . 1 3 Vậy thể tích khối chóp V S . ABC = S ABC .SA = Câu 6: a3 . 3 Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB = BC = 1 , AD = 2 . Cạnh bên SA = 2 và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S . ABCD . A. V = 1 . 3 2 B. V = 1 3 . C. V = . D. V = 2 . Lời giải Chọn A Diện tích hình thang ABCD là æ AD + BC ÷ö 3 S ABCD = çç ÷÷ø. AB = 2 . çè 2 Chiều cao khối chóp là SA = 2 . 1 3 Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = S ABCD .SA = 1. Câu 7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a . Cạnh bên SA 0  vuông góc với đáy, góc SBD = 60 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = a3 . B. V = a3 3 2 . C. V = a3 3 . D. V = 2a3 3 . Lời giải Chọn C Ta có DS A B = DS A D ¾ ¾  SB = SD.  = 600 . Hơn nữa, theo giả thiết SBD Do đó D SBD đều cạnh SB = SD = BD = a 2 . Tam giác vuông SAB , ta có SA = SB2 – AB2 = a . Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = a2 . Vậy V S . ABCD 1 a3 = S ABCD .SA = 3 3 (đvtt). LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 290 Câu 8: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AC = 5a . Đường 0 thẳng SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = 6 2a3 . B. V = 4 2a3 . C. V = 2 2a3 . D. V = 2 a 3 . Lời giải Chọn C S A D C B Trong tam giác vuông ABC , ta có BC = AC 2 – AB 2 = 2 6 a . Vì SA ^ ( ABCD ) nên hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng ( ABCD ) là AB .   . , ( ABCD ) = SB , AB = SBA Do đó 60 0 = SB  =a 3 . Tam giác vuông SAB , có SA = AB. tan SBA Diện tích hình chữ nhật S ABCD = AB.BC = 2 6 a2 . 1 3 Vậy VS . ABCD = S ABCD .SA = 2 2a3 . Câu 9: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng 0 ( ABC ) ; góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = a3 4 . B. V = 3a 3 4 . C. V = a3 2 . D. V = a3 . Lời giải Chọn A S B A C Do SA ^ ( ABCD ) nên ta có   . 60 0 = SB , ( ABC ) = SB , AB = SBA  = a 3. Tam giác vuông SAB , có SA = AB. tan SBA Diện tích tam giác đều ABC là LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 S DABC = a2 3 4 . 291 Vậy V S . ABC = 1 a3 S DABC .SA = . 3 4  0 Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc BAD = 120 . Cạnh bên SA 0 vuông góc với đáy ( ABCD ) và SD tạo với đáy ( ABCD ) một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S . ABCD . V A. V = a3 4 . B. V = 3a 3 4 . C. V = a3 2 . D. V = a3 . Lời giải Chọn C S A D C B   . Do SA ^ ( ABCD ) nên ta có 60 0 = SD , ( ABCD ) = SD , AD = SDA  = a 3. Tam giác vuông SAD , có SA = AD. tan SDA Diện tích hình thoi 2 = a 3. S ABCD = 2S DBAD = AB . AD . sin BAD 2 Vậy thể tích khối chop V S . ABCD 1 a3 = S ABCD .SA = . 3 2 Câu 11: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = AC = a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABC ) . Gọi I là trung điểm của BC , SI tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60 0 . A. V = Tính theo a3 6 4 a thể tích V của khối chóp S . ABC . . B. V = a3 6 . 6 C. V = a3 2 . D. V = a3 6 12 . Lời giải Chọn D S A C I B Vì SA ^ ( ABC ) nên hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng ( ABC ) là AI . Do đó   . 60 o = SI , ( ABC ) = SI , AI = SIA Tam giác ABC vuông tại A , suy ra trung tuyến LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 AI = 1 a 2 BC = 2 2 . 292 Tam giác vuông SAI , có =a 6 SA = AI . tan SIA 2 1 2 Diện tích tam giác vuông S DABC = AB. AC = 1 3 Vậy V S . ABC = SA.S DABC = . a2 . 2 a3 6 . 12 Câu 12: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAB ) một góc bằng 30 0 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = 6 a3 . 18 B. V = 3a3 . C. V = 6 a3 . 3 3a3 . 3 D. V = Lời giải Chọn D ABCD là hình vuông suy ra AB ^ AD . (1) S Vì SA ^ ( ABCD ) ¾¾  SA ^ AD. (2 ) Từ (1) và (2 ) , suy ra AD ^ (SAB ) . A D Khi đó SA là hình chiếu của SD trên mặt phẳng (SAB ) .  . Do đó 30 0 = SD ;(SAB ) = ( SD ; SA ) = DSA Tam giác SAD vuông tại A , có SA = B C AD = a 3.  tan DSA 1 3 Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = S ABCD .SA = a3 3 . 3 Câu 13: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng a 2 2 a , SA vuông góc với đáy và . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. V = a3 . 2 B. V C. V = = a3. 3 a3 . 9 D. V = a3 . 3 Lời giải Chọn D Gọi H là hình chiếu của A trên SB S  AH ^ SB. Ta có H ìïSA ^ ( ABCD )  SA ^ BC ïí  BC ^ (SAB )  AH ^ BC ïï AB ^ BC î Suy ra AH ^ (SBC )  d éë A , (SBC )ùû = AH = Tam giác SAB vuông LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 tại a 2 . 2 A, B A D C có 293 1 1 1 = +  SA = a. AH 2 SA 2 AB 2 Vậy V 1 a3 = .SA .S ABCD = . 3 3 Dạng 2 : Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy Câu 1: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB  a , BC  a 3 . Mặt bên  SAB  là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . 3 A. V = a 6 . 3 B. V = a 6 . 12 3 C. V = 2 a 6 . 4 12 D. V = a3 6 . 6 Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm của AB , suy ra SH ^ AB . Do (SAB ) ^ ( ABC ) theo giao tuyến AB nên SH ^ ( ABC ) . Tam giác SAB là đều cạnh AB = a nên SH = a 3 . 2 Tam giác vuông ABC , có AC = BC – AB = a 2 . 2 1 2 2 Diện tích tam giác vuông S DABC = AB. AC = 1 3 Vậy VS . ABC = S DABC .SH = Câu 2: a2 2 2 . a3 6 . 12 Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA = 2 a . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = a 3 15 12 . B. V = a3 15 . 6 C. V = 2a3 . D. V = 2a3 3 . Lời giải Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 294 Gọi I là trung điểm của AB . Tam giác SAB cân tại S và có I là trung điểm AB nên SI ^ AB . Do (SAB) ^ ( ABCD) theo giao tuyến AB nên SI ^ ( ABCD) . Tam giác vuông SIA , có 2 æ AB ö÷ a 15 SI = SA 2 – IA 2 = SA 2 – çç = . çè 2 ÷÷ø 2 Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = a2 . 1 3 Vậy VS . ABCD = S ABCD .SI = Câu 3: a3 15 . 6 Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC = 2 a , AB = SA = a . Tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ( ABC ) . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = a3 4 . B. V = 3a 3 4 . C. V = a3 . D. V = 2a3 3 . Lời giải Chọn A Kẻ SH ^ AC . Do (SAC) ^ ( ABC) theo giao tuyến AC nên SH ^ ( ABC) . Trong tam giác vuông SAC , ta có SC = AC 2 -SA 2 = a 3 , SH = SA.SC a 3 = . AC 2 Tam giác vuông ABC , có BC = AC 2 – AB2 = a 3 . Diện tích tam giác ABC là Vậy V S . ABC Câu 4: = S DABC = 1 a2 3 AB . BC = 2 2 . 1 a3 S DABC .SH = . 3 4 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của S trên AB là điểm H thỏa AH = 2 BH . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = a3 2 . 6 B. V = a3 2 . 3 C. V = a3 3 . 9 D. V = a3 2 . 9 Lời giải Chọn C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 295 2 3 2 3 Trong tam giác vuông SAB , ta có SA 2 = AH . AB = AB. AB = a2 ; SH = SA 2 – AH 2 = a 2 . 3 Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = a2 . 1 3 Vậy VS . ABCD = S ABCD .SH = Câu 5: a3 2 . 9 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3 , tam giác SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng 0 (SBC ) một góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V 1 = 6 . B. V = 6 . 6 . 3 C. V = D. V = 3 . Lời giải Chọn C Kẻ SH ^ BC . Vì (SBC ) ^ ( ABCD ) theo giao tuyến BC nên SH ^ ( ABCD ). ìïDC ^ BC   .  DC ^ (SBC ) . Do đó 60 0 = SD , (SBC ) = SD , SC = DSC Ta có ïí ïïîDC ^ SH Từ DC ^ (SBC ) ¾¾  DC ^ SC . Tam SC = giác DC  tan DSC vuông S có SCD , =1. Tam giác vuông SBC , có C 2 SH = D 2 SB.SC BC – SC .SC 6 = = . BC BC 3 Diện tích hình vuông ABCD H là A B S ABCD = 3. 1 3 Vậy V S . ABCD = S ABCD .SH = 6 . 3 Dạng 3: Khối chóp đều Câu 1: Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. V = 13 a 3 . 12 B. V = 11 a 3 . 12 C. V = 11 a3 . 6 D. V = 11 a 3 . 4 Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 296 Chọn B Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì S . ABC là khối chóp đều nên suy ra SI ^ ( ABC ). 2 3 Gọi M là trung điểm của BC  AI = AM = a 3 . 3 2 Diện tích tam giác ABC là S DABC = a2 3 . 4 1 3 Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = S DABC .SI = Câu 2: 2 æ a 3 ö÷ ÷÷ = a 33 . ÷ø 3 Tam giác SAI vuông tại I , có SI = SA 2 – SI 2 = (2a) -ççç çè 3 11 a3 . 12 a 21 Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng . Tính theo a thể 6 tích V của khối chóp đã cho. A. V = a3 3 . 8 B. V = a3 3 12 . C. V = a3 3 24 . D. V = a3 3 . 6 Lời giải Chọn C Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Vì S . ABC là khối chóp đều nên suy ra SI ^ ( ABC ). 2 3 Gọi M là trung điểm của BC  AI = AM = a 3 . 3 2 2 æ a 21 ö÷ æ a 3 ö÷ ÷÷ – çç ÷÷ = a . Tam giác SAI vuông tại I , có SI = SA 2 – AI 2 ççç çè 6 ÷ø ççè 3 ÷ø 2 Diện tích tam giác ABC là S DABC = 1 3 a2 3 . 4 Vậy thể tích khối chóp V S . ABC = S DABC .SI = LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 a3 3 24 297 Câu 3: Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABCD . A. V = a3 6 . 6 B. V = a3 6 2 . C. V = a3 6 . 3 D. V = a3 3 60 0 . . Lời giải Chọn A Gọi O = AC Ç BD. Do S . ABCD là hình chóp đều nên SO ^ ( ABCD ) . Suy ra OB là hình chiếu của SB trên ( ABCD ) .   . Khi đó 60 0 = SB , ( ABCD ) = SB , OB = SBO =a 6. SO = OB . tan SBO 2 Tam giác vuông SOB , có Diện tích hình vuông ABC là S ABCD = AB 2 = a2 . a3 6 . 6 1 3 Vậy V S . ABCD = S ABCD .SO = Câu 4: Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = a3 3 24 . B. V = a3 3 . 8 C. V = a3 8 . D. V = a3 3 12 60 0 . . Lời giải Chọn A Gọi E , F lần lượt là trung điểm BC , BA và O = AE Ç CF . Do S . ABC là hình chóp đều nên SO ^ ( ABC ) . Khi S đó  . 60 = ( SBC ), ( ABC ) = SE , OE = SEO 0 Tam giác vuông SOE , có  = AE . tan 60 0 = a 3 . 3 = SO = OE . tan SEO 3 6 . Diện tích tam giác đều S DABC = a2 3 4 ABC là C A F O E B . 1 3 Vậy VS . ABC = S DABC .SO = a3 3 . 24 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 298 Dạng 4: Khối chóp có hình chiếu lên mặt phẳng đáy Câu 1: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a . Cạnh bên SA = a 2 , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = a3 6 12 . B. V = a3 6 4 . C. V = 2a3 6 12 . D. V = a3 6 . 6 Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm AC . Theo giả thiết, ta có SM ^ ( ABC)  SM ^ AC. Tam giác vuông ABC , có AC = AB 2 = a 2. Tam giác vuông SMA , có 2 æ AC ö÷ a 6 SM = SA 2 – AM 2 = SA 2 – çç . = çè 2 ÷ø÷ 2 Diện tích tam giác vuông cân ABC là S DABC = 1 3 Vậy V S . ABC = S DABC .SM = Câu 2: a2 . 2 a3 6 . 12 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm H của cạnh AB , góc giữa SC và mặt đáy bằng 30 0 . A. V = Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD . 15 . 6 B. V = 15 . 18 1 3 C. V = . D. V = 5 . 6 Lời giải Chọn B S D A H B C Vì SH ^ ( ABCD ) nên hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng đáy ( ABCD ) là HC .   . Do đó 30 0 = SC , ( ABCD ) = SC , HC = SCH LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 299 Tam giác vuông BCH , có HC = BC 2 + BH 2 = = Tam giác vuông SHC , có SH = HC. tan SCH 5 . 2 15 . 6 Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = 1 . 1 3 15 . 18 Vậy VS . ABCD = S ABCD .SH = Câu 3: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của cạnh BC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC ) bằng A. V = a3 3 . 8 60 0 . Tính theo B. V = a thể tích V của khối chóp S . ABC . 3a 3 3 . 8 C. V = a3 3 4 . D. V = a3 3 . 3 Lời giải Chọn A S C B H A Vì SH ^ ( ABC ) nên hình chiếu vuông góc của SA trên mặt đáy ( ABC ) là HA . Do đó   . 60 0 = SA , ( ABC ) = SA , HA = SAH Tam giác ABC đều cạnh a nên AH = a 3 2 . = Tam giác vuông SHA , có SH = AH . tan SAH Diện tích tam giác đều ABC là 1 3 Vậy VS . ABC = S DABC .SH = S DABC = a2 3 4 3a . 2 . a3 3 . 8 Dạng 5: Một số dạng khác Câu 1: Cho hình chóp S . ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S , SB = 2 a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3 a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . A. V = 2a3 . B. V = 4a3 . C. V = 6a3 D. V = 12 a 3 . Lời giải Chọn A Ta chọn (SBC) làm mặt đáy ¾¾  chiều cao khối chóp là d éë A, (SBC )ùû = 3a. 1 2 Tam giác SBC vuông cân tại S nên S DSBC = SB 2 = 2 a2 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 300 1 3 Vậy thể tích khối chóp V = S DSBC .d éë A, (SBC )ùû = 2a3 . Câu 2: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng chiều cao h của hình chóp đã cho. A. h = a 3 . 6 B. h= a 3 . 2 C. h = a 3 . 3 a3 . Tính D. h = a 3. Lời giải Chọn D Xét hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a  SDABC = a2 3 . 1 3 h = Thể tích khối chóp VS . ABC = S DABC .h ¾¾ Câu 3: 3.VS . ABC 3a3 = 2 = a 3. S DABC a 3 Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 6a, AC = 7a và A D = 4 a. Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh Tính thể tích V của tứ diện AMNP . BC , CD , BD . 7 2 A. V = a3 . B. V C. V = = 14 a 3 . 28 3 a. 3 D. V = 7a3. Lời giải Chọn D Do AB , AC V ABCD = và AD đôi một vuông góc với nhau nên 1 1 AB. AC. AD = .6 a.7 a.4 a = 28a3 . 6 6 1 4 D M 1 = V ABCD = 7 a 3 . 4 Suy ra V AMNP P B Dễ thấy S DMNP = S DBCD . Câu 4: A N C Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD . Tính thể tích V của khối chóp A.GBC . A. V = 3. B. V = 4. C. V = 6. D. V = 5. Lời giải Chọn B 1 3 Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên S DGBC = S DDBC . 1 3 1 3 Suy ra V A .GBC = V ABCD = .12 = 4. Dạng 6. Thể tích lăng trụ đứng, lăng trụ đều Câu 1: Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng A. V = a 3 3 6 . B. V = a 3 12 3 . C. V = a 3 3 2 . a. D. V = a3 3 . 4 Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 301 Chọn C Xét khối lăng trụ tam giác đều Diện tích tam giác đều cạnh là a a S= 2 3 4 Chiều cao của lăng trụ h = AA ‘ = a. Vậy thể tích khối lăng V ABC . A ¢B ¢C ¢ = S .h = a 3 3 4 có tất cả các cạnh bằng A BC . A ¢ B ¢C ¢ . a. C’ A’ B’ trụ là C A . B Câu 2: Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng mặt bên bằng 3 a 2 . A. V = a3 3 . 6 B. V a3 3 . 12 = C. V = a và tổng diện tích các a3 2 . 3 D. V = a3 3 . 4 Lời giải Chọn D Xét khối lăng trụ A BC . A ¢ B ¢C ¢ có đáy A BC là tam giác đều và AA ¢ ^ ( ABC). Diện tích xung quanh lăng trụ là S xq = 3.S ABB ¢A ¢ Diện tích tam giác Vậy thể A BC tích V ABC . A ¢B ¢C ¢ = S DABC . AA ¢ = Câu 3: là S DABC khối B’ a2 3 = . 4 lăng trụ C’ A’  3a2 = 3. ( AA ¢. AB )  3a2 = 3. ( AA ¢.a)  AA ¢ = a. C A là a3 3 . 4 Cho khối lăng trụ đứng B A BC . A ¢B ¢C ¢ có BB ¢ = a , đáy A BC là tam giác vuông cân tại B và AC = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V = a3 . 6 B. V = a3 . 3 C. V = a3 . 2 D. V = a3. Lời giải Chọn C Tam giác A BC vuông cân tại B , suy ra BA = BC = AC 2 = a  S DABC = C’ A’ a2 . 2 B’ Vậy thể tích khối lăng trụ V = S DABC . BB ¢ = 3 a . 2 A C B Câu 4: Cho lăng trụ đứng A BC . A ‘ B ‘ C ‘ có đáy A BC là tam giác với AB = a 0  , AC = 2 a , BAC = 120 , AA ‘ = 2a 5 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 302 A. V = 4 a3 5 . B. V = a3 15 . C. V = a3 15 . 3 D. V = 4 a3 5 . 3 Lời giải Chọn B Diện tích tam giác A BC là S DABC = 2 1 =a 3 AB. AC . sin BAC 2 2 . Vậy thể tích khối lăng trụ VABC. A ‘ B ‘C ‘ = SDABC . AA ‘ = a3 15. Câu 5: Tính thể tích V của khối lập phương A. V B. V = a3. ABCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘, 3 = 3 6a . 4 biết AC ‘ = a 3. 1 3 C. V = 3 3a3 . D. V = a3 . Lời giải Chọn A Đặt cạnh của khối lập phương là x ( x > 0). Tam giác vuông 2 A CC ‘ , B’ A’ có D 2 AC ‘ = AC + CC ‘  x 3 = a 3  x = a. Vậy thể tích khối lập phương V Câu 6: C’ D’ Suy ra CC ‘ = x ; AC = x 2 . B A = a3. C Cho hình lăng trụ đứng A BCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có đáy là hình vuông cạnh 2a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho theo a , biết A ‘ B = 3a . A. V = 4 5a 3 . 3 B. V = 4 5a3 . C. V = 2 5a3 . D. V = 12 a 3 . Lời giải Chọn B Do A BCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ là lăng trụ đứng nên AA ‘ ^ AB . Xét tam giác vuông A ‘ AB , ta có A ‘ A = A ‘ B2 – AB2 = a 5 . Diện tích hình vuông A BCD C’ D’ B’ A’ C D là S ABCD = AB 2 = 4a2 . A B Vậy VABCD. A ‘ B ‘C ‘ D ‘ = S ABCD . A ‘ A = 4 5a3 . Câu 7: Cho hình hộp chữ nhật A BCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có thể tích khối hộp đã cho. A. V = a3 10 . B. V = AB = a 2 a3 2 . 3 , AD = a 2 , AB ‘ = a 5 . Tính theo C. V = a3 2 . a D. V = 2a3 2 . Lời giải Chọn D Trong tam giác vuông ABB ‘ , có BB ‘ = AB ‘2 – AB2 = 2a . Diện tích hình chữ nhật A BCD LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 là S ABCD = AB. AD = a2 2 . 303 Vậy VABCD. A ‘ B ‘C ‘ D ‘ = S ABCD .BB ‘ = 2a3 2. Câu 8: Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là 10cm 2 , 20cm 2 , 32cm 2 . Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật đã cho. A. V B. V = 80cm 3 . C. V = 160cm 3 . D. V = 40cm 3 . = 64 cm 3 . Lời giải Chọn A C’ D’ B’ A’ D C B A Xét hình hộp chữ nhật có đáy A BCD . A ¢ B ¢C ¢D ¢ A BCD là hình chữ nhật. ì ïS ABCD = 10 cm 2 ì AB. AD = 10 ï ï ï ï ï ï 2 Theo bài ra, ta có íS ABB ¢A ¢ = 20 cm  ïí AB. AA ¢ = 20 . ïï ï ï ïS ADD ¢A ¢ = 30 cm 2 ï ï î AA ¢. AD = 32 ï î 2 Nhân vế theo vế, ta được ( AA ¢. AB. AD ) = 6400  AA ¢. AB. AD = 80. Vậy V ABCD. A ‘ B ‘C ‘ D ‘ = AA ¢. AB. AD = 80 cm 3 . Câu 9: Cho lăng trụ đứng A BC . A ‘ B ‘ C ‘ có đáy A BC là tam giác vuông tại B và BA = BC = 1 . Cạnh A ‘ B tạo với mặt đáy ( ABC ) góc 60 0 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V = 3 . B. V = 3 . 6 C. V = 3 2 1 2 . D. V = . Lời giải Chọn C Vì A BC . A ‘ B ‘ C ‘ là lăng trụ đứng nên AA ‘ ^ ( ABC ) , suy ra hình chiếu vuông góc của A ‘ B trên mặt đáy ( ABC ) là AB .   Do đó 60 0 = A ‘ B, ( ABC ) = A ‘ B, AB = A ‘ BA . Tam B’ giác vuông A ‘ AB , ta có  AA ‘ = AB. tan A ‘ BA = 3. Diện S DABC C’ A’ tích tam giác = S DABC . AA ‘ = A BC là B 1 1 = BA. BC = . 2 2 Vậy V C A 3 . 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 304 Dạng 7. Thể tích lăng trụ xiên Câu 1: Cho hình hộp A BCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có tất cả các cạnh đều bằng 2a , đáy A BCD là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A ‘ trên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. Tính theo a thể tích V của khối hộp đã cho. A. V = 4 a3 2 . 3 B. V 8a3 3 = . C. V = 8a3 . D. V = 4 a3 2 . Lời giải Chọn D Gọi O là tâm của hình vuông suy ra A ‘ O ^ ( ABCD) . Tam giác vuông A ‘ OA A BCD , C’ B’ D’ A’ , có A ‘ O = AA ‘2 – AO2 = 4a2 – 2a2 = a 2 B . Diện tích hình vuông S ABCD = 4a2 . A Vậy V ABCD. A ‘ B ‘C ‘ D ‘ = SDABCD . A ‘ O = 4a3 2. Câu 2: O C D Cho lăng trụ A BCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có đáy A BCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên A A ‘ = a , hình chiếu vuông góc của A ‘ trên mặt phẳng ( ABCD) trùng với trung điểm H của AB . Tính theo A. V = a 3 3 6 thể tích a . V của khối lăng trụ đã cho. B. V a3 3 2 = . C. V = a3 . D. V = a3 3 . Lời giải Chọn B Theo giả thiết, ta có A ‘ H ^ AB . Tam giác vuông A ‘ HA , A’H = a 3 AA ‘ – AH = 2 2 2 D’ A’ . B Diện tích hình vuông S ABCD = a2 . Vậy V ABCD . A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ = S ABCD . A ‘ H Câu 3: C’ B’ có = a H 3 3 2 C D A . Cho hình lăng trụ A BC . A ‘ B ‘ C ‘ có đáy A BC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2 a . Hình chiếu vuông góc của A ‘ trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của cạnh AB và A ‘ A = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V = a3 3 . B. V = a3 6 . 6 C. V = a3 6 2 . D. V = 2a3 2 . Lời giải Chọn C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 305 Từ giả thiết suy ra BA = BC = a 2. Tam giác vuông A ‘ HA , A ‘H = a 6 AA ‘ – AH = . 2 Diện tích S DABC B’ 2 tam giác là A BC A 1 = BA. BC = a 2 . 2 Vậy V Câu 4: 2 C’ A’ có = S DABC . A ‘ H = C H B a 3 6 2 . Cho lăng trụ A BC . A ‘ B ‘ C ‘ có đáy A BC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ‘ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC , biết A. V A ‘O = a . = a 3 12 3 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. . B. V = a3 3 4 . C. V = a3 4 . D. V = a3 6 . Lời giải Chọn A Diện tích tam giác đều S DABC = Vậy thể tích khối lăng trụ V Câu 5: a2 3 4 = S DABC . A ‘ O = B. V = = 6a3. A ‘O = a . a3 3 . 4 A BC . A ¢ B ¢C ¢ Tính thể tích V của khối lăng trụ A. V . Chiều cao khối lăng trụ 5a 3 . 2 biết thể tích khối chóp C. V A . BCB ¢C ¢ D. V = 4a3 . bằng 2a3 . = 3a3 . Lời giải Chọn D 1 3 Ta có thể tích khối chóp V A . A ¢B ¢C ¢ = V ABC . A ¢B ¢C ¢ . 2 3 3 2 3 2 Suy ra V A . BCB ¢C ¢ = V ABC . A ¢B ¢C ¢ ¾¾ V ABC . A ¢B ¢C ¢ = V A . BCB ¢C ¢ = .2 a3 = 3a3 . Câu 6: Cho hình lăng trụ A BC . A ‘ B ‘ C ‘ có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2 . Hình chiếu vuông góc của A ‘ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của BC . Góc tạo bởi cạnh bên AA ‘ với mặt đáy là A. V =3. 4 5 0 . Tính thể tích khối trụ A BC . A ‘ B ‘ C ‘ B. V =1. C. V = 6 . 8 . D. V = 6 24 . Lời giải Chọn A LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 306 Tam giác A BC đều cạnh bằng 2 nên AH = 3 . Vì A ‘ H ^ ( ABC) nên hình A’ chiếu vuông góc của AA ‘ trên mặt đáy ( ABC ) là A H . Do đó    450 = AA ‘, ( ABC ) = AA ‘, AH = A ‘ AH . B’ C’ A Suy ra tam giác A ‘ HA vuông cân tại H nên A ‘ H = HA = 3 . Diện tích tam giác đều A BC là C H B SDABC = 3 . Vậy V = S DABC . A ‘ H = 3. Câu 7: Tính thể tích V của một khối lăng trụ biết đáy có diện tích S = 10 cm 2 , cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0 và độ dài cạnh bên bằng 10cm. A. V = 100cm 3 . B. V = 50 3cm 3 . C. V = 5 0 c m 3 D. V = 100 3cm 3 . . Lời giải Chọn B Xét khối lăng trụ A BC . A ¢B ¢C ¢ có đáy là tam giác A BC . Gọi H là hình chiếu của A ¢ trên A’ mặt phẳng ( ABC )  A ¢H ^ ( ABC ). Suy ra AH là hình chiếu của trên mặt phẳng ( ABC ). Do đó AA ¢   ¢, ( ABC ) = ( ¢AH . 60 0 = AA AA ¢, AH ) = A Tam giác A ¢AH vuông tại H , có  ¢AH = 5 3. A ¢H = AA ¢.sin A B’ C’ A B H C Vậy V = SDABC . A ¢H = 50 3 cm 3 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 307 CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ KHỐI TRỤ BÀI 1. MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA MẶT NÓN Cho đường thẳng D . Xét một đường thẳng d p 2 cắt D tại O tạo thành một góc a với 0 < a < . Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng d như thế khi quay quanh D gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản hơn là mặt nón). ● D gọi là trục của mặt nón. ● d gọi là đường sinh của mặt nón. ● O gọi là đỉnh của mặt nón. ● Góc 2 a gọi là góc ở đỉnh của mặt nón. II. HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN 1. Hình nón Cho mặt nón N với trục D , đỉnh O , góc ở đỉnh 2 a . Gọi ( P ) là mặt phẳng vuông góc với D tại điểm I khác O . Mặt phẳng ( P ) cắt mặt nón theo một đường tròn (C ) có tâm I . Lại gọi ( P ') là mặt phẳng vuông góc với D tại O . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 308 ● Phần của mặt nón N giới hạn bởi hai mặt phẳng ( P ) và ( P ') cùng với hình tròn xác định bởi (C ) được gọi là hình nón. ● O gọi là đỉnh của hình nón. ● Đường tròn (C ) gọi là đường tròn đáy của hình nón. ● Với mỗi điểm M nằm trên đường tròn (C ) , đoạn thẳng OM gọi là đường sinh của hình nón. ● Đoạn thẳng O I gọi là trục của hình nón, độ dài O I gọi là chiều cao của hình nón (đó chính là khoảng cách từ đỉnh O đến mặt đáy.) 2. Khối nón Một hình nón chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài của nó. Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón. III. KHÁI NIỆM VỀ DIỆN TÍCH HÌNH NÓN VÀ THỂ TÍCH KHỐI NÓN Một hình chóp gọi là nội tiếp một hình nón nếu: ● Đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón. ● Đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón. 1. Định nghĩa Diện tích xung quanh của hình nón là giới hạn của diện tích xung quanh của một hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn. Thể tích của khối nón là giới hạn của thể tích của khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh tăng lên vô hạn. 2. Định lí 1 Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy R và đường sinh  là Sxq = pR . 3. Định lí 2 Thể tích của khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h là 1 V = pR2h . 3 B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Hình nón có đường sinh  = 2a và hợp với đáy góc a = 6 0 0 . Diện tích toàn phần của hình nón bằng: A. 4 p a 2 . B. 3 p a 2 . C. 2 p a 2 . D. p a 2 . Lời giải Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 309 Theo giả thiết, ta có 0  S A =  = 2 a và SAO = 60 . Suy ra R = OA = S A . co s 6 0 0 = a . Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = p R l + p R 2 = 3 p a 2 (đvdt). Câu 2: Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a 2 , góc ở đỉnh bằng quanh của hình nón bằng: A. 4 p a 2 . B. 3 p a 2 . C. 2 p a 2 . 600 . Diện tích xung D. pa2. Lời giải Chọn A Theo giả thiết, ta có  = 300 . OA = a 2 và OSA Suy ra độ dài đường sinh:  = SA = OA = 2a 2. sin 300 Vậy diện tích xung quanh bằng: S xq = pR  = 4pa2 (đvdt). Câu 3: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , A B = a và AC =a 3 . Độ dài đường sinh  của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng: A.  = a. B.  = a 2. C.  = a 3. D.  = 2 a. Lời giải Chọn D Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là AC =a 3 và chiều cao hình nón là LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 AB = a . 310 Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:  = BC = AB 2 + AC 2 = 2a. Câu 4: Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là: (1+ 2) pa 2 A. 2 (1+ 2) pa và 2pa3 . 12 B. 2pa2 và 2 2pa3 . 4 và 2pa3 . 4 D. 2pa2 và 2 2pa3 . 12 2 C. 2 Lời giải Chọn A Gọi S, O SAB . là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón, thiết diện qua đỉnh là tam giác Theo bài ra ta có tam giác S A B vuông cân tại S nên AB =SB 2 =a 2 , SO = Suy ra h = SO = SB 2 a 2 = . 2 2 a 2 , l = S A = a và 2 SB 2 = 2 R  R = SB 2 2a . = 2 2 (1+ 2 ) pa 2 Diện tích toàn phần của hình nón: Stp = pR  + pR 2 = 1 3 Thể tích khối nón là: V = p R 2 h = Câu 5: 2 (đvdt). 2 pa3 (đvtt). 12 Cạnh bên của một hình nón bằng 2a . Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 1 2 0  . Diện tích toàn phần của hình nón là: 2 A. p (3+ 3) . 2 B. 2pa (3 + 3) . C. 6pa2 . 2 D. pa (3 +2 3) . Lời giải Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 311 Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là S A B . Theo giả thiết, ta có SA = 2 a  = 60 . và ASO Trong tam giác SA O vuông tại O , ta có OA =SA.sin60=a 3. Vậy diện tích toàn phần: ( 2 ) Stp = pR +pR2 = p.OA.SA +p(OA) = pa2 3 +2 3 (đvdt). Câu 6: Cho mặt cầu tâm O , bán kính R = a . Một hình nón có đỉnh là S ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng S O tại H sao cho SH = A.  = a. 3a . Độ dài đường sinh  của hình nón bằng: 2 B.  = a 2. C.  = a 3. D.  = 2 a. Lời giải Chọn C Gọi S ' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón. 2 Tam giác SAS ' vuông tại A và có đường cao AH nên SA =SH.SS ' SA =a 3. Câu 7: Cho hình nón có đỉnh S , đường cao S O = h , đường sinh S A . Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S , đáy là hình vuông ABCD cạnh a . Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng: A. h 2 . 2a B. a 2 . 2h C. a 2 . h D. h 2 . a Lời giải Chọn C . Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc ASO LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 312 Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra OA = a 2 . 2 Trong tam giác vuông SOA , ta có  = OA = a 2 . tan ASO SO 2h Câu 8: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O ) và (O') , chiều cao R 3 và bán kính đáy R . Một hình nón có đỉnh là O' và đáy là hình tròn (O; R ) . Tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng: A. 2 . B. 2. C. 3. D. 3 . Lời giải Chọn C Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq (T ) = 2 p R .h = 2 p R . R 3 = 2 3p R 2 (đvdt). Kẻ đường sinh O ' M của hình nón, suy ra  = O ' M = OO '2 + OM 2 = 3 R 2 + R 2 = 2 R . Diện tích xung quanh của hình nón: S xq(N ) = p R  = p R.2 R = 2p R 2 (đvdt). Vậy Câu 9: S xq (T ) S xq (N ) = 3. Một hình nón có đường cao bằng 9cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5cm . Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là: A. 27 500 . B. 81 500 . C. 27 125 . D. 81 125 . Lời giải Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 313 Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có SH = 9cm , OS = OA = 5cm . Suy ra OH = 4cm và AH = OA 2 -OH 2 = 3cm. 1 3 Thể tích khối nón V n = p AH 2 .SH = 27 p (đvtt). 4 3 Thể tích khối cầu V c = p.SO 3 = Suy ra 500 p 3 (đvtt). Vn 81 = . V c 500 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 314 BÀI 2. MẶT TRỤ_HÌNH TRỤ_ KHỐI TRỤ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẰM I. MẶT TRỤ TRÒN XOAY Cho hai đường thẳng  và D sao cho  song song với D và d [ , D] = R . Khi ta quay  quanh trục D một góc 360 0 thì  tạo thành một mặt trụ tròn xoay (T ) (hoặc đơn giản hơn là mặt trụ). ● D gọi là trục của mặt trụ (T ) . ●  gọi là đường sinh của mặt trụ (T ) . ● R gọi là bán kính của mặt trụ (T ) . II. HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY 1. Định nghĩa hình trụ Cắt mặt trụ (T ) trục D , bán kính R bởi hai mặt phẳng ( P ) và ( P ') cùng vuông góc với D , ta được giao tuyến là hai đường tròn (C ) và (C ') . ●Phần của mặt trụ (T ) nằm giữa ( P ) và ( P ') cùng với hai hình tròn xác định bởi (C ) và (C ') gọi là hình trụ. ● Hai đường tròn (C ) và (C ') gọi là hai đường tròn đáy của hình trụ. ● OO ' gọi là trục của hình trụ. ● Độ dài OO ' gọi là chiều cao của hình trụ. ● Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ. ● Với mỗi điểm M Î (C ) , có một điểm M ' Î (C ') sao cho MM '  OO ' . Các đoạn thẳng như MM ' gọi là đường sinh của hình trụ. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 315 2. Nhận xét Các đuờng sinh của hình trụ đều bằng nhau và bằng với trục của hình trụ. Các thiết diện qua trục của hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau. Thiết diện vuông góc vơi trục của hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy. Nếu một điểm M di động trong không gian có hình chiếu vuông góc M ' lên một mặt phẳng (a ) và M' di động trên môt đường tròn (C ) cố định thì M thuộc một mặt trụ cố định (T ) chứa (C ) và có trục vuông góc (a ) . 3. Khối trụ Định nghĩa. Hình trụ cùng với phần bên trong nó được gọi là khối trụ. III. DIỆN TÍCH HÌNH TRỤ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRỤ Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính R và chiều cao h là: S xq = 2 p Rh . Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện tích hai đáy của nó. Thể tích của khối trụ có bán kính R và chiều cao h là: V = p R 2 h . B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Xét các mệnh đề (I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng D cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ. (II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ. Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả (I) và (II). D. Không có mệnh đề đúng. Lời giải Chọn C Hiển nhiên (I) đúng. Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ). Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB . Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng. Câu 2: Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng Thể tích khối trụ bằng: A. pa3 . B. pa 3 . 2 C. pa 3 . 3 D. a . pa3 . 4 Lời giải Chọn D Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = a . a 2 Bán kính đáy R = . Do đó thể tích khối trụ V = R 2 p.h = Câu 3: pa 3 (đvtt). 4 Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là: LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 316 A. 2 ( 3 + 1) p R 2 và 2 3p R 2 . B. 2 3p R 2 và 2 ( 3 + 1) p R 2 . C. 2 3p R 2 và 2p R 2 . D. 2 3p R 2 và 2 3p R 2 + R 2 . Lời giải Chọn B Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq = 2 p R . R 3 = 2 3p R 2 (đvdt). Diện tích toàn phần của hình trụ: S tp = S xq + 2.S day = 2 3p R 2 + 2 (p R 2 ) = 2 Câu 4: ( ) 3 +1 pR 2 (đvdt). Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằn 2R . Diện tích toàn phần của khối trụ bằng: A. 4 p R 2 . B. 6p R 2 . C. 8p R 2 . D. 2p R 2 . Lời giải Chọn B Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = 2 R . Diện tích toàn phần là: S tp = 2 p R ( R + h ) = 6 p R 2 (đvdt). Câu 5: Một hình trụ có bán kính đáy R = 70cm , chiều cao hình trụ h = 20cm . Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu? A. 80cm. B. 100cm. C. 100 2cm. D. 140cm. Lời giải Chọn B Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO ' của hình trụ. Dựng đường sinh AA ' , ta có ì CD ^ AA ' ï ï  CD ^ ( AA ' D )  CD ^ A ' D . í ï ï îCD ^ AD Suy ra A ' C là đường kính đáy nên A ' C = 2 R = 140cm. Xét tam giác vuông AA ' C , ta có AC = AA '2 + A ' C 2 = 100 2cm. Suy ra cạnh hình vuông bằng 100cm. Câu 6: Bán kính đáy hình trụ bằng 4cm , chiều cao bằng 6cm . Độ dài đường chéo của thiết diện LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 317 qua trục bằng: A. 10cm. B. 6cm. C. 5cm. D. 8cm. Lời giải Chọn A Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ. Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8cm và 6cm . Do đó độ đài đường chéo: 8 2 + 6 2 = 10cm. Câu 7: Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng: A. 2p . B. 3p . C. 4p . D. 8p . Lời giải Chọn C A M D B N C Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h = AB = 1 , bán kính đáy R = AD =1 . 2 Do đó diện tích toàn phần: S tp = 2 p Rh + 2 p R 2 = 4 p. Câu 8: Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a ( a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng: A. a3 . p B. pa3 . C. a3 . 2p D. 2pa3 . Lời giải Chọn A Gọi bán kính đáy là R . a p Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2p R = 2 a  R = . Suy ra hình trụ này có đường cao h = a. 2 æaö a Vậy thê tích khối trụ V = p R 2 h = p ççç ÷÷÷ a = (đvtt). èp ø Câu 9: 3 p Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a ( a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng: A. a . p B. a 2 . C. a 2p . D. 2 pa . Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 318 Chọn C Gọi bán kính đáy là R . Từ giả thiết suy ra h = 2a và chu vi đáy bằng Do đó 2 p R = a  R = a . a . 2p Câu 10: Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm ´240cm , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây): ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V 2 là thể tích của thùng gò được V1 bằng: V2 theo cách 2. Khi đó tỉ số A. 1 2 . B. 1 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C Công thức thể tích khối trụ V = p R 2 h . ● Ở cách 1, suy ra h = 50cm và 2 p R1 = 240  R1 = 120 . p ● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có h = 50cm và 2p R 2 = 120  R 2 = é æ 60 ö2 ù ëê ûú 2 æ120 ö÷ ÷ .50 è p ÷ø Do đó V1 = p. ççç (đvtt). 60 . p Do đó V 2 = 2 ´ êêp. ççç ÷÷÷ .50úú (đvtt). èpø Suy ra V1 = 2. V2 Câu 11: Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng: A. h = R . B. h = 2 R . C. h = 3 R . D. h = 2 R . Lời giải Chọn A Công thức tính thể tích V = p R 2 h , suy ra h = LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 V . pR 2 319 Hộp sữa chỉ kín một đáy nên diện tích tôn cần dùng là: 2V + pR 2 . R S tp = S xq + S day = 2 p Rh + p R 2 = Xét hàm f ( R ) = 2V + pR 2 R trên (0;+¥) , ta được min f ( R ) đạt tại R = h. (0;+¥) Câu 12: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O ) và (O ') , chiều cao 2R và bán kính đáy R . Một mặt phẳng (a ) đi qua trung điểm của OO ' và tọa với OO ' một góc 30 . Hỏi (a ) cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu? A. 2R 3 . B. 4R 3 3 . C. 2R 2 3 . D. 2R . 3 Lời giải Chọn C Hình vẽ, kết hợp với giả thiết ta có:  = 30 0 . OA = OB = R , OO ' = 2 R và IMO Trong tam giác vuông MOI , ta có OI = MO. tan 30 0 = R 3 . Trong tam giác vuông AIO , ta có 2 æRö R 2 IA = OA 2 -OI 2 = R 2 -çç ÷÷÷ = . çè 3 ø÷ 3 Suy ra AB = 2 IA = 2R 2 3 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 320 BÀI 3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA 1. Mặt cầu Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R . Kí hiệu: S (O; R ) = { M OM = R } . 2. Khối cầu Mặt cầu S (O ; R ) cùng với các điểm nằm bên trong nó được gọi là một khối cầu tâm O , bán kính R . Kí hiệu: B (O; R ) = { M OM £ R }. Nếu OA, OB là hai bán kính của mặt cầu sao cho A, O, B thẳng hàng thì đoạn thẳng AB gọi là đường kính của mặt cầu.  = 90 0 là Định lí. Cho hai điểm cố định A, B . Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho AMB mặt cầu đường kính AB . ● A Î S (O; R )  OA = R . ● OA1 < R  A1 nằm trong mặt cầu. ● OA2 > R  A2 nằm ngoài mặt cầu. II. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Định nghĩa: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của một hình đa diện ( H ) gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ( H ) và khi đó ( H ) được gọi là nội tiếp mặt cầu đó. Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó là một đa giác nội tiếp một đường tròn. Mọi tứ diện đều có mặt cầu ngoại tiếp. LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 321 III. MẶT CẦU NỘI TIẾP HÌNH CHÓP 1. Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu nằm bên trong hình chóp và tiếp xúc với với tất các mặt của hình chóp. 2. Tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cách đều tất cả các mặt của hình chóp. IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt cầu S (O ; R ) và mặt phẳng ( P ) , gọi d là khoảng cách từ O đến ( P ) và H là hình chiếu vuông góc của O trên ( P ) . Khi đó ● Nếu d < R thì mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu S (O ; R ) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng ( P ) có tâm là H và có bán kính r = R 2 - d 2 . Khi d = 0 thì mặt phẳng ( P ) đi qua tâm O của mặt cầu, mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng kính; giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường tròn có tâm O và bán kính R, đường tròn đó gọi là đường tròn lớn của mặt cầu. ●Nếu d = R thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu S (O ; R ) có một điểm chung duy nhất H . Khi đó ta nói ( P ) tiếp xúc với S (O ; R ) tại H và ( P ) gọi là tiếp diện của mặt cầu, H gọi là tiếp điểm. Chú ý. Cho H là một điểm thuộc mặt cầu S (O; R ) và mặt phẳng ( P ) qua H . Thế thì: ( P ) tiếp xúc với S (O; R )  OH ^ ( P ). ●Nếu d > R thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu S (O ; R ) không có điểm chung. V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG Cho mặt cầu S (O ; R ) và đường thẳng D . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên D và d = OH là khoảng cách từ O đến D . Khi đó ● Nếu d < R thì D cắt S (O ; R ) tại hai điểm A, B và H là trung điểm của AB . ● Nếu d = R thì D và S (O ; R ) chỉ có một điểm chung H , trong trường hợp này D gọi là tiếp tuyến của mặt cầu S (O ; R ) hay D tiếp xúc với S (O ; R ) và H là tiếp điểm. ● Nếu d > R thì D và S (O ; R ) không có điểm chung. VI. DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 322 Gọi R là bán kính của mặt cầu thì ● Diện tích mặt cầu: S = 4 p R 2 . 4 3 ● Thể tích khối cầu: V = p R 3 . B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho mặt cầu S (O ; R ) và một điểm A , biết OA = 2 R . Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S ) tại B . Khi đó độ dài đoạn AB bằng: A. R . B. R 2 . C. R 2 . D. R 3 . Lời giải Chọn D Vì AB tiếp xúc với (S ) tại B nên AB ^ OB . Suy ra AB = OA 2 – OB 2 = 4 R 2 – R 2 = R 3. Câu 2: Cho mặt cầu S (O ; R ) và một điểm A , biết OA = 2 R . Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S ) tại B và C sao cho BC = R 3 . Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng: A. R . B. R 2 . C. R 2 . D. R 3 . Lời giải Chọn B Gọi H là hình chiếu của O lên BC . Ta có OB = OC = R , suy ra H là trung điểm của BC nên HC = CD R 3 = . 2 2 R 2 Suy ra OH = OC 2 – HC 2 = . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 323 Câu 3: R Cho mặt cầu S (O ; R ) và mặt phẳng (a ) . Biết khoảng cách từ O đến (a ) bằng . Khi đó 2 thiết diện tạo bởi mặt phẳng (a ) với S (O ; R ) là một đường tròn có đường kính bằng: A. R . B. R 3 . C. R 2 . D. R 3 . 2 Lời giải Chọn B Gọi H là hình chiếu của O xuống (a) . R Ta có d éëO, (a )ùû = OH = < R nên (a) cắt S (O ; R ) theo đường tròn C ( H ; r ) . 2 Bán kính đường tròn C ( H ; r ) là r = R 2 -OH 2 = R 3 . 2 Suy ra đường kính bằng R 3. Câu 4: Cho mặt cầu tâm I bán kính R = 2, 6cm . Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng 2, 4cm . Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là: A. 1, 2cm . B. 1, 3cm . C. 1cm . D. 1, 4cm . Lời giải Chọn C Mặt phẳng cắt mặt cầu S ( I ;2, 6cm ) theo một đường tròn ( H ; r ) . Vậy r = R 2 - IH 2 = (2, 6 )2 - (2, 4 )2 = 1cm . Câu 5: Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p . Một mặt phẳng (a ) cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là A. p . p p 2 . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (a ) bằng: B. 1 . p C. 2p . p D. p . 2p Lời giải Chọn D LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 324 Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu. Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R . Theo giả thiết, ta có p R 2 = p  R = Suy ra d = R 2 - r 2 = Câu 6: p p p và pr 2 =  r = . p 2 2p p . 2p Một hình cầu có bán kính là 2m , một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là 2, 4pm . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là: A. 1, 6m . B. 1, 5m . C. 1, 4m . D. 1,7m . Lời giải Chọn A Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d , ta có d 2 = R 2 - r 2 . Theo giả thiết R = 2m và 2 pr = 2, 4 pm  r = 2, 4 p = 1, 2m . 2p Vậy d = R 2 - r 2 = 1, 6m . Câu 7: Cho mặt cầu S (O ; R ) , A là một điểm ở trên mặt cầu (S ) và ( P ) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và ( P ) bằng 60 0. Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng: A. p R 2 . B. pR 2 . 2 C. pR 2 . 4 D. pR 2 . 8 Lời giải Chọn C Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên ( P ) thì ● H là tâm của đường tròn giao tuyến của ( P ) và (S ) . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 325  , ( P ) = ( OA, AH ) = 600. ● OA Bán kính của đường tròn giao tuyến: r = HA = OA. cos 60 0 = 2 R 2 . æR ö pR Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: pr 2 = p ççç ÷÷÷ = . 2 è2ø Câu 8: 4 Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a . Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là: A. a 2 . 2 B. 3a. C. a 6 . 2 D. a 6. Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm AC , suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi I là trung điểm SC , suy ra IM  SA nên IM ^ ( ABC ) . Do đó IM là trục của DABC , suy ra IA = IB = IC. (1) Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS = IC = IA . (2 ) Từ (1) và (2 ) , ta có IS = IA = IB = IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . Vậy bán kính R = IS = Câu 9: SC SA 2 + AC 2 a 6 = = . 2 2 2 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA = a 6 và vuông góc với đáy ( ABCD ) . Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD ta được: A. a 2 2. B. 8pa2 . C. 2a2 . D. 2pa2 . Lời giải Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 326 Gọi O = AC Ç BD , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD . Gọi I là trung điểm SC , suy ra IO  SA  IO ^ ( ABCD ). Do đó IO là trục của hình vuông ABCD , suy ra IA = IB = IC = ID. (1) Tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên IS = IC = IA . (2 ) Từ (1) và (2 ) , ta có: R = IA = IB = IC = ID = IS = SC = a 2. 2 Vậy diện tích mặt cầu S = 4 p R 2 = 8pa2 (đvdt). Câu 10: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a , OB = 2a , OC = 3a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O. ABC là: A. a 3 B. 3a . 2 C. a 6 . 2 D. a 14 . 2 Lời giải Chọn D Gọi M là trung điểm BC , suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp DOBC. Kẻ Mx ^ (OBC ) (như hình vẽ). Suy ra Mx là trục của DOBC . Trong mặt phẳng (OA, Mx ) , kẻ trung trực d của đoạn thẳng OA cắt Mx tại I . Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Bán kính mặt cầu: R = IO = IM 2 + OM 2 = LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 a 14 . 2 327 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. Vecto trong không gian: 1. Định nghĩa Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai đầu. Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng. (D3) 2. Vecto đồng phẳng     a. Định nghĩa: Ba vecto a , b , c khác 0 gọi là đồng c (D2) b phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. a Chú ý: (D1)  n vecto khác 0 gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. (Δ3) Các giá của các vecto đồng phẳng có thể P là các đường thẳng chéo nhau. (Δ2) (Δ1)  b. Điều kiện để ba vecto khác 0 đồng phẳng: Định lý 1:       a , b , c đồng phẳng  m , n  R : a  mb  nc c. Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng:     Định lý 2: Cho ba vecto e1 , e2 , e3 không đồng phẳng. Bất kỳ một vecto a nào trong không gian cũng có thể phân tích theo ba vecto đó, nghĩa là có một bộ ba số thực  x1 , x2 , x3  duy nhất sao cho:     a  x1 e1  x2 e2  x3 e3     Chú ý: Cho ba vecto a , b , c khác 0 :    a , b , c đồng phẳng nếu có ba số thực m, n, p không đồng thời bằng 0 sao cho:    ma  nb  pc  0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 328        a , b , c không đồng phẳng nếu từ ma  nb  pc  0  m  n  p  0 II. Tọa độ của vecto: Trong không gian xét hệ trục Oxyz , có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông  góc với mặt phẳng Oxyz tại O . Các vectơ đơn vị trên từng trục Ox, Oy , Oz lần lượt là i   1; 0 ; 0  ,   j   0 ; 0 ; 1 , k   0 ; 0 ; 1  .      1. Nếu a  a1 i  a2 j  a3 k thì a   a1 ; a2 ; a3  .     2. M( x M ; y M ; z M )  OM  x M i  y M j  z M k 3.Cho A  x A ; y A ; z A  và B  x B ; y B ; z B  tacó:  AB  ( x B  x A ; y B  y A ; z B  z A ) và AB  (xB  xA )2  (yB  y A )2  (zB  z A )2 .  x A  xB y A  y B z A  z B ; ; 2 2 2  4. M là trung điểm AB thì M   .  III. Tọa độ của véctơ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .      1. a  (a1 ; a2 ; a3 )  a  a1 i  a2 j  a3 k   2. Cho a  (a1 ; a2 ; a3 ) và b  (b1 ; b2 ; b3 ) ta có a1  b1    a  b  a2  b2 a  b 3  3   a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 )  k.a  ( ka1 ; ka2 ; ka3 )      a.b  a . b cos(a;b)  a1b1  a2 b2  a3 b3  a  a12  a22  a32   cos  cos(a,b)  a1 .b1  a2 .b2  a3 .b3 a12  a22  a32 . b12  b22  b32    a và b vuông góc  a.b  0  a .b  a .b  a .b  0 1 1 2 2 3 3 a1  kb1      a và b cùngphương  k  R : a  kb  a2  kb2 a  kb 3  3 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 329 III. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng:   Tích có hướng của a  (a1 ; a2 ; a3 ) và b  (b1 ; b2 ; b3 ) là:   aa aa aa   a,b    2 3 ; 3 1 ; 1 2   (a b  a b ; a b  a b ; a b  a b ) 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1   bb bb bb   2 3 3 1 1 2  1. Tính chất:        a,b   a ,  a,b   b            a,b   a b sin(a,b)       a và b cùng phương   a,b   0         a , b , c đồng phẳng   a,b  .c  0   2. Các ứng dụng tích có hướng: 1   [ AB, AC] 2 1    Thểtích tứ diệnVABCD= [ AB, AC].AD 6 Diện tích tam giác: SABC  Thể tích khối hộp:    VABCDA’B’C’D’ = [ AB, AD].AAʹ IV. Phương trình mặt cầu 1. Mặt cầu (S) tâm I  a; b; c  bán kính R có phưong trình là:  x  a   y  b   z  c  2 2 2  R2 . 2. Phương trình: x 2  y 2  z 2  2 ax  2 by  2cz  d  0 với a 2  b 2  c 2  d  0 là phương trình mặt cầu tâm I  a;b;c  , bán kính R  A 2  B 2  C 2  D . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1: Các dạng toán mở đầu về hệ tọa độ oxyz Câu 1:    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto a 1; 2;3 ; b  2; 2; 1 ; c  4; 0; 4  .     Tọa độ của vecto d  a  b  2c là     A. d  7; 0; 4  B. d  7; 0; 4  C. d  7; 0; 4  D. d  7;0; 4  Lời giải Chọn B     Ta có: d  a  b  2c  1  2  2.4; 2  2  2.0;3  1  2.( 4)    7; 0; 4  . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 330 Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm có tọa độ là A. 1; 2; 3 A 1;1;  1 B.  1;  2; 3 và B  2;3; 2   . Vectơ AB C.  3;5;1 D.  3; 4;1 Lời giải Chọn A  AB   xB  x A ; yB  y A ; z B  z A   1; 2;3 Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A  3; 4  và B  5; 6  . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là A. 1;5 . B.  4;1 . C.  5;1 . D.  8; 2  . Lời giải Chọn A x x 3  5  1 x  A B   I 2 2 Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Khi đó ta có:   y  y A  yB  4  6  5  I 2 2  I 1;5 . Câu 4:  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a   2;1; 2  và vectơ     b  1;0;2  . Tìm tọa độ vectơ c là tích có hướng của a và b .   A. c   2;6; 1 . B. c   4;6; 1 .   C. c   4; 6; 1 . D. c   2; 6; 1 . Lời giải Chọn D Áp dụng công thức tính tích có hướng trong hệ trục tọa độ Oxyz ta được:    c   a , b    2;  6;  1 Vậy chọn đáp án D Câu 5:      Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho a  i  2 j  3k . Tọa độ của vectơ a là:     A. a  1; 2; 3 . B. a  2; 3; 1 . C. a  3; 2; 1 . D. a  2; 1; 3 . Lời giải Chọn A       +) Ta có a  xi  y j  zk  a  x; y; z  nên a  1; 2; 3 . Do đó Chọn A LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 331 Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2; 4;3 và B  2; 2;9  . Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là A.  0;3;3 . B.  4; 2;12  . C.  2; 1; 6  .  3 3 D.  0; ;  .  2 2 Lời giải Chọn C x A  xB 2  2   xI  2  2  2  y  yB 4  2  Gọi I là trung điểm của đoạn AB . Ta có  yI  A   1  I  2; 1;6  . 2 2  z A  zB 3  9   zI  2  2  6  Câu 7:        Cho a  (2;1;3), b  (4; 3;5), c  ( 2;4;6) . Tọa độ của vectơ u  a  2b  c là B. (12; 9;7) A. (10;9;6) C. (10; 9;6) D. (12; 9;6) Lời giải Chọn B     Ta có: u  a  2b  c   2  8  2;1  6  4;3  10  6   12; 9;7  . Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2;1; 3 và B 1;0; 2  . Độ dài đoạn thẳng AB . A. 3 3 Chọn C  AB  AB  Câu 9: C. 11 Lời giải B. 11  3   1 2 2 D. 27  12  11   Trong không gian Oxyz , cho a  1; 2; 3 , b   2; 4;6  . Khẳng định nào sau đây là đúng?   A. a  2b .   B. b  2a . Chọn B   C. a  2b . Lời giải    D. b  2a .  Ta có 2  2.1; 4  2.2;6  2.  3 suy ra b  2a . Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A  0; 2; 1 , B  5; 4; 2  , C  1; 0;5  . Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là: A.  1;1;1 . B.  6; 6; 6  . C.   3; 3; 3  . D.  2; 2; 2  . Lời giải Chọn D LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 332 0  5 1   xG  3  240  Ta có tọa độ trọng tâm tam giác ABC là  yG   G (2; 2; 2) . 3  1  2  5   zG  3    Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a   3; 2;1 , b   2; 0;1 . Độ dài   của vectơ a  b bằng A. 2 . B. 1 . C. Lời giải 2. D. 3 . Chọn D     Ta có a  b  1; 2; 2   a  b  1  4  4  3 .  Câu 12: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2; 1 , B vectơ A B 1;3;1  . Xác định tọa độ B . A. B  2;5;0  . B. B  0; 1; 2  . C. B  0;1;2  . D. B  2; 5;0  Lời giải. Chọn A Câu 13: Trong không gian Oxyz cho điểm A  2;1; 3  . Hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox có tọa độ là: A.  0;1; 0  . B.  2; 0; 0  . C.  0; 0; 3  . D.  0;1; 3  . Lờigiải Chọn B Chiếu vuông góc một điểm bất kỳ lên trục Ox khi đó giữ nguyên hoành độ còn tung độ và cao độ bằng 0 . Vậy hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox có tọa độ là:  2; 0; 0  .      Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a  i  2 j  3k . Tìm tọa độ của a . A.  2;  1;  3 B.  3; 2;  1 C.  2;  3;  1 D.  1; 2;  3 Lời giải Chọn D      a  i  2 j  3k  a  1; 2; 3 Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  3 ; 2 ;  1 . Hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục Oz là điểm: A. M 3  3 ; 0 ; 0  . B. M 4  0 ; 2 ; 0  . C. M 1  0 ; 0 ;  1 . D. M 2  3 ; 2 ; 0  . Lời giải Chọn C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 333 Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 và B 1; 4;3 . Độ dài đoạn thẳng AB là A. 2 13 . B. 6. C. 3 . Lời giải D. 2 3 Chọn A  Ta có: AB  0;6; 4  Suy ra AB  02  62  42  2 13 .  Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  0;1;  1  , B  2;3; 2  . Vectơ AB có tọa độ là A.  2; 2;3 . B. 1; 2;3 . C.  3;5;1 . D.  3; 4;1 . Lời giải Chọn A  Hai điểm A  0;1;  1 , B  2;3; 2  . Vectơ AB có tọa độ là  2; 2;3  . Câu 18: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A(-1; 2; -3) , B (1;0; 2) , C ( x; y; -2) thẳng hàng. Khi đó x + y bằng A. x + y = 1 . C. x + y = - B. x + y = 17 . 11 . 5 D. x + y = 11 . 5 Lời giải Chọn A   Có AB = (2; - 2;5) , AC = ( x + 1; y - 2;1) .   A, B, C thẳng hàng  AB , AC cùng phương ìï 3 ïx = x +1 y - 2 1 ï 5  = =  ïí  x + y =1. 8 2 5 ï -2 ïï y = ïïî 5 Câu 19:      u u Tìm tọa độ véctơ biết rằng a  0 và a  1;  2;1 .  A. u   3;  8;2 .  C. u   1;2; 1 .  B. u  1;  2;8 .  D. u   6;  4;  6  . Lời giải Chọn C      Ta có u  a  0  u  a   1;2;  1 .    Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a   m;1;0  , b   2; m  1;1 , c  1; m  1;1 .    Tìm m để ba vectơ a , b , c đồng phẳng 3 1 B. m  . C. m  1. D. m   . A. m  2. 2 2 Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 334 Chọn D      Ta có:  a; b   1; m; m2  m  2    a; b  .c  2m  1         1 Ba véctơ a , b , a ,b , c đồng phẳng   a; b  .c  0  2m  1  0  m   . 2   Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a   2; m  1;3 , b  1; 2; 2n  . Tìm   m , n để các vectơ a , b cùng hướng. 3 A. m  7 ; n   . 4 4 C. m  7 ; n   . 3 B. m  1 ; n  0 . D. m  4 ; n  3 . Lời giải Chọn A 2  k        Hai vectơ a , b cùng hướng  a , b cùng phương  a  kb   m  1  3k 3  2k .n   k  2   m  7 .  3 n    4 Câu 22: Cho điểm M 1; 2; 3 , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng  Oxy  là điểm A. M ' 1; 2;0  . B. M ' 1;0; 3 . C. M '  0; 2; 3 . D. M ' 1; 2;3 . Lời giải Chọn A Tọa độ hình chiếu vuông góc M ' của M 1; 2; 3 lên mặt phẳng  Oxy  có dạng M ' 1; 2;0  . Câu 23: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , hình chiếu của điểm M 1; 3; 5 trên mặt phẳng  Oyz  có toạ độ là A.  0; 3;5  . B.  0; 3;0  . C. 1; 3;0  D.  0; 3; 5  . Lời giải Chọn D Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên  Oyz  .  Oyz  có phương trình: x  0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 335 x  1 t  Đường thẳng d qua M 1; 3; 5 và vuông góc với  Oyz  có phương trình:  y  3  z  5  Ta có  Oyz   d  H  nên toạ độ H thoả mãn hệ: x  1 t  y  3  y  3     z  5    z  5 x  0  x  0  H  0; 3; 5  . Câu 24: Trong ABC không gian Oxyz cho tam giác    A  2, 4, 3  ; AB   3, 1,1 ; AC   2, 6,6  . Tìm tọa độ vector trung tuyến AM A.  1,7, 7  . B.  1, 7,7  . 1 7 7 C.  , ,   . 2 2 2 biết  1 7 7 D.   ,  ,   2 2 2 . Lời giải Chọn D  1     1 7 7  AM  AB  AC  AM    ,  ,  2  2 2 2   Câu 25: Trong ABC : không gian Oxyz cho tam giác    A  2, 4, 3  ; AB   3, 1,1 ; AC   2, 6,6  . Tìm tọa độ vector trung tuyến AM  5 5 2 A.   ,  ,  .  3 3 3 5 5 2 B.  , ,   . 3 3 3 7 1 2 C.  ,  ,  . 3 3 3 biết  8 D.  1, 3,   . 3  Lời giải Chọn B  x  x A  3   AB  y  y A  1  B  1; 3; 2  ; z  z  1 A  1 5  x  3  2  1  4   3  1 5   G y   4  3  2  3 3  1 2   z  3  3  2  3   3   x  xA  2   AC  y  y A  6  C  4; 2; 3  z  z  6 A  Câu 26: Trong ABC không gian Oxyz cho tam giác biết   A  2, 4, 3  ; AB   3, 1,1 ; AC   2, 6,6  . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành A.  7,1, 2  . B.  1, 3, 4  . C.  7  ,1, 2  . D.  1, 3, 4  . Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 336 Chọn C     ABCD là hình bình hành  AD  BC  AC  AB  x  xA  2  3    y  y A  6  1  D  7; 1; 2  z  z  6  1 A  Câu 27: Cho ba điểm A  3,1,0  ; B  2,1, 1 ; C  x , y , 1 . Tìm tọa độ của C để ABC là tam giác đều: A.  3, 2, 1 . B.  3,0, 1 . C.  3, 2,1 ;  3,0, 1 . D.  3, 2, 1 ;  3,0, 1 . Lời giải Chọn D Tam giác ABC đều  1 2 2 2  AC  AB  x  y  6 x  2 y  9  0   2 2  BC  AB  x  y  4 x  2 y  3  0  2    1 : 2 x  6  0  x  3  y Hai điểm C  3; 2; 1 ; C ʹ  3; 0; 1 2  2y  0  y  2  y  0 Câu 28: Cho ba điểm A  3,1,0  ; B  2,1, 1 ; C  x , y , 1 . Tìm tọa độ của C để tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A     A. 4,1  2 ; 4,1  2 . B.  4,1 . C.  2,1 . D.  2, 1 . Lời giải Chọn B      AB  AC  AB. AC  0 Tam giác ABC vuông cân tại A    2 2  AC  AB  AB  AC   AB   1,0,1  1  AB2  2; AC   x  3, y  1, 1 1  x  3   0  y  1  1  0  x  4   2 2 2 2  x  y  6 x  2 y  9  0  x  3    y  1  1  2 x  4   C  4;1 y  1 Câu 29: Cho ba điểm A  3,1,0  ; B  2,1, 1 ; C  x , y , 1 . Tính x và y để A, B, C thẳng hàng: A. x  2, y  1 . B. x  2, y  1 . C. x  2, y  1 . D. x  1, y  2 . Lời giải Chọn A   A, B, C thẳng thàng  AB cùng phương với AC LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 337  1  y  1   0  x  3   0 a1b2  a2 b1  0 x  2    a2 b3  a3 b2  0  0  1   1 y  1  0   y  1 a b  a b  0   3 1 1 3 1  x  3    1 1  0  2 Câu 30: Cho ba điểm A  3,1,0  ; B  2,1, 1 ; C  x , y , 1 . Tính x , y để G  2, 1,   là trọng 3  tâm tam giác ABC A. x  2, y  1 . B. x  2, y  1 . C. x  2, y  1 . D. x  1, y  5 . Lời giải Chọn D   3  2  x  3.2  6 x  1  1  1  y  3  1  3    y  5  0  1  1  3   2   2  3    Câu 31: Cho ba điểm A  2, 1,1 ; B  3, 2, 1 ; C  1, 3, 4  . Tìm điểm N trên x ' Ox cách đều A và B . A.  4,0,0  . B.  4,0,0  . C.  1,0,0  . D.  2,0,0  . Lời giải Chọn A Gọi N  x ,0,0  trên x ʹ Ox. Ta có AN 2  BN 2   x  2    1   1   x  3    2   12  x  4  N  4,0,0  2 2 2 2 2 Câu 32: Cho ba điểm A  2, 1,1 ; B  3, 2, 1 ; C  1, 3, 4  . Tìm điểm E trên mặt phẳng  xOy  cách đều A, B, C .  14 26  A.  , ,0  .  3 3   7 13  B.  , ,0  . 3 3   26 14  C.  ,  ,0  . 3   3  26 14  D.  , ,0  .  3 3  Lời giải Chọn D Gọi E  x , y ,0  trên mặt phẳng  xOy  . Ta có: EA  EB  EC 2 2 2 2 2 2   AE2  BE2  x  2    y  1   1   x  3    y  2   1  2   2 2 2 2 2 2 2  AE  CE  x  2    y  1   1   x  1   y  3    4  26  x  x  y  4 3     x  4 y  10  y  14  E  26 , 14 ,0   3  3 3  LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 338   Câu 33: Tính góc của hai vectơ a   4, 2, 4  ; b  2 2 , 2 2 ,0  A. 600 . B. 1350 .  C. 300 . D. 1200 . Lời giải Chọn B   8 2  4 2  0  2 cos  a; b      a; b   1350 2     36. 16         Câu 34: Cho hai vectơ V  ma  2b và W  mb  a với a   2,1,  1 và b   1,  2,1 . Định m   để V và W vuông góc. A. 3  7 . B. 3  7 . C. 9  79 . D. 9  79 . Lời giải Chọn D       V vuông góc W  ma  2b mb  a  0  2 2  Với a  6; b  6; a.b  1 1  m 2    1  18m  2  0  m  9  79 Dạng 2: Các bài toán cơ bản về phương trình mặt cầu Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  4  0 .Tính bán kính R của ( S ). A. 1. B. 9 . C. 2 . Lời giải D. 3 . Chọn D Giả sử phương trình mặt cầu (S ) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (a 2  b2  c 2  d  0) Ta có: a  2, b  1, c  0, d  4  Bán kính R  a 2  b 2  c 2  d  3 . Câu 2: 2 2 2 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) 🙁 x - 3) + ( y + 1) + ( z -1) = 4 . Tâm của ( S ) có tọa độ là A. (-3;1; -1) . B. (3; -1;1) . C. (3; -1; -1) . D. (3;1; -1) . Lời giải Chọn B Tâm của ( S ) có tọa độ là (3; -1;1) . Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu? A. x 2  y 2  z 2  2 x  4 z  1  0 B. x 2  z 2  3x  2 y  4 z  1  0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 339 C. x 2  y 2  z 2  2 xy  4 y  4 z  1  0 D. x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  4 z  8  0 Lời giải Chọn A Đáp án B vì không có số hạng y 2 . Đáp án C loại vì có số hạng 2xy . Đáp án D loại vì a 2  b 2  c 2  d  1  1  4  8  2  0 . Đáp án A thỏa mãn vì a 2  b 2  c 2  d  1  0  4  1  6  0 . Câu 4: Trong không gian Oxyz , có tất cả bao nhiêu giá nguyên của m để x 2  y 2  z 2  2  m  2  x  2  m  1 z  3m 2  5  0 là phương trình một mặt cầu? B. 6 A. 4 C. 5 D. 7 Lời giải Chọn D Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi  m  2    m  1 2 2  3m 2  5  0  m 2  2m  10  0  1  11  m  1  11 Theo bài ra m    m  2;  1;0;1; 2;3; 4  có 7 giá trị của m nguyên thỏa mãn bài toán. Câu 5: Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm I 1; 2; 1 và tiếp xúc với mặt phẳng  P  : x  2 y 2 z  8  0 có phương trình là : A.  x  1   y  2    z  1  3 B.  x  1   y  2    z  1  3 C.  x  1   y  2    z  1  9 D.  x  1   y  2    z  1  9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn C Khoảng cách từ tâm I 1; 2; 1 đến mặt phẳng  P  có phương trình là : d ( I ;  P )  1  2.2  2  8 12   2    2  2 2 3 Đây là bán kính mặt cầu. Vậy chọn C  x  1   y  2    z  1 2 Câu 6: 2 2 9 Trong không gian với hệ trục tọ độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 , B  5; 4;  1 . Phương trình mặt cầu đường kính AB là LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 340 A.  x  3   y  3   z  1  36 . B.  x  3   y  3   z  1  9 . C.  x  3   y  3   z  1  6 . D.  x  3   y  3   z  1  9 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải. Chọn B Tọa độ tâm mặt cầu là I  3; 3;1 , bán kính R  IA  3 . Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I 1;  4;3 và đi qua điểm A  5;  3;2 . A.  x  1   y  4    z  3   18 . B.  x  1   y  4    z  3   16 . C.  x  1   y  4    z  3   16 . D.  x  1   y  4    z  3   18 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn D Mặt cầu có tâm I 1;  4;3 và đi qua điểm A  5;  3;2 nên có bán kính R  IA  3 2 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:  x  1   y  4    z  3   18 . 2 Câu 8: Với giá trị nào của m thì mặt phẳng S  : x 2 2 2  P  : 2x  y  z  5  0 tiếp xúc với mặt cầu  y 2  z 2  2 mx  2  2  m  y  4 mz  5m 2  1  0 ? B. m  1  m  3 . A. m  3 . C. m  1 .  m  1 D.  m  3 Lời giải Chọn A a  m; b  m  2; c  2 m; d  5 m 2  1. Tâm I  m , m  2, 2m   R 2  m 2   m  2   4 m 2  5m 2  1  m 2  4 m  3  0 2  m  1  m  3.  P  tiếp xúc  S khi: d  I, P  3m  3 6  R  m 2  4 m3  m2  2m  3  0  m  3  m  1 (loại)  m  3 . Câu 9: Với giá trị nào của m thì mặt phẳng  Q  : x  y  z  3  0 cắt mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2  m  1 x  2 my  2 mz  2 m 2  9  0 ? A. 4  m  5 . B. m  4  m  5 . C. m  5 .  m  4 D.  . m  5 Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 341 Chọn D a  m  1; b   m; c  m; d  2 m 2  9. Tâm I  m  1, m, m  R2   m  1  m2  m2  2 m2  9  m2  2m  8  0 2  m  4  m  2.  P  cắt  S  khi: d  I , P  R  m4 3  m2  2m  8  m  4  m  5 . Câu 10: Mặt phẳng  P  : 2 x  4 y  4 z  5  0 và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2z  3  0 . A. Tiếp xúc. B. Không cắt nhau. D.  P  qua tâm  S  C. Cắt nhau. Lời giải Chọn C   a  1; b  2; c   1; d  3  R  3. Tâm I  1, 2, 1 d  I , P  11  R  3   P  cắt  S . 6 Câu 11: Xét vị trí tương đối của mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  6 x  4 y  8 z  13  0 và mặt phẳng Q  : x  2 y  2 z  5  0. A. Cắt nhau. B. Tiếp xúc. C.  Q  là mặt phẳng đối xứng của  S  . D. Không cắt nhau Lời giải Chọn B a  3; b  2; c  4; d  13  R  4. Tâm I  3,2, 4  d  I , P  12  4  R   P  tiếp xúc  S . 3 Câu 12: Với giá trị nào của m thì mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  4 x  2 my  4 mz  4 m 2  3 m  2  0 tiếp xúc trục z ʹ Oz . A. -2. B. 2. C. 2 . 3 D.  2 3 Lời giải Chọn D S có tâm I  2, m, 2m , bán kính R  m 2  3m  2 , m  1  m  2 Hình chiếu A của I trên z’Oz là tiếp điểm của  S và z’Oz  A  0,0, 2m  Ta có: d  I , z ʹ Oz   AI  4  m2  R  m2  3m  2 2  4  m 2  m 2  3m  2  m   . 3 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 342 Câu 13: Tính bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  3  0 và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  2  0 A. 5. B. 1. C. 7. Lời giải D. 7 S có tâm I  2,1, 3 , bán kính R  4  d  I , P   3  IH , IH   P   r 2  R 2  IH 2  16  9  7  r  7 . Câu 14: Viết phương trình mặt cầu  S  tâm I  2,1, 1 qua A  4,3, 2  . A. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  35  0 . B. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  35  0 . C. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  35  0 . D. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  35  0 Lời giải Chọn B M  x , y , z    S   IM 2  IA 2   x  2    y  1    z  1    4  2    3  1    2  1  . 2 2 2 2 2 2  x 2  y 2  4 x  2 y  2 z  35  0 Câu 15: Viết phương trình mặt cầu  S  tâm E  1, 2, 4  qua gốc O . A. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  8 z  42  0 . B. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  8 z  21  0 . C. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  8 z  42  0 . D. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  8 z  0 Lời giải Chọn D M  x , y , z    S   EM 2  OE 2   x  1   y  2    z  4   1  4  16 . 2 2 2  x2  y 2  z2  2x  4 y  8z  0 Câu 16: Viết phương trình mặt cầu S tâm I  1, 2, 3  tiếp xúc với mặt phẳng  P  : 4x  2y  4z  3  0 . 31  0. 4 25 0. C. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  4 A. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  B. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  31  0 . D. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  25  0 Lời giải Chọn A Bán kính R  d  I , P   2 2 2 5 25   S  :  x  1   y  2    y  3   2 4 31  x2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z   0 . 4 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 343 BÀI 2. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa: Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2+C2 > 0 đuợc gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng Phương trình mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2+C2 > 0. Có véctơ pháp tuyến là  n  ( A ; B;C )    Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ n  ( A ; B;C ) , n  0 làm vectơ pháp tuyến có dạng (P): A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.   Nếu (P) có cặp vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) b  (b1 ; b2 ; b3 ) không cùng phương,có giá song song hoặc nằm   trên (P).Thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định n   a,b   1. Các trường hợp riêng của mặt phẳng: Trong không gian Oxyz cho mp(  ) : Ax + By + Cz + D = 0, với A2+B2+C2 > 0 Khi đó: D = 0 khi và chỉ khi (  ) đi qua gốc tọa độ. A=0, B  0 , C  0 , D  0 Khi và chỉ khi ( ) song song với trục Ox A=0, B = 0, C  0 , D  0 Khi và chỉ khi ( ) song song mp (Oxy ) A, B, C, D  0 . Đặt a   D D D x y z , b ,c Khi đó ( ):    1 A B C a b c 2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho (  ): Ax+By+Cz+D=0 và (  ’):A’x+B’y+C’z+D’=0  ABʹ  Aʹ B  (  ) cắt (  ’)   BCʹ  BʹC CBʹ  Cʹ B   ABʹ  Aʹ B  (  ) // (  ’)   BCʹ  BʹC và ADʹ  Aʹ D CBʹ  Cʹ B   ABʹ  Aʹ B   BCʹ  BʹC (  ) ≡ (  ’)   CBʹ  Cʹ B  ADʹ  Aʹ D Đặc biệt   (  )  (  ’)  n1 .n2  0  A.Aʹ  B.Bʹ  C.Cʹ  0 3. Góc giữa hai mặt phẳng: Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  00    900  . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SDDT: 0834 332 133 344  P  : Ax  By  Cz  D  0 và Q  : Aʹ x  Bʹ y  Cʹ z  Dʹ  0   nP .nQ   cos = cos(nP ,nQ )     nP . nQ A.Aʹ  B.Bʹ C.Cʹ A2  B2  C 2 . Aʹ2  Bʹ 2  Cʹ2 B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Phương trình tổng quát của mặt phẳng   a   3,1, 1 b  1, 2,1 phương , là:. A. x  4 y  7 z  16  0 .   qua điểm B  3, 4, 5 và có cặp vectơ chỉ B. x  4 y  7 z  16  0 . C. x  4 y  7 z  16  0 . D. x  4 y  7 z  16  0 . Lời giải Chọn C    Vectơ pháp tuyến của   là n   a, b    1, 4, 7  có thể thay thế bởi n  1, 4, 7  Phương trình   có dạng x  4 y  7 z  D  0. B     3  16  35  D  0  D  16   : Câu 2: x  4 y  7 z  16  0 . Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A. x  y  2  0 . B. x  y  2  0 . A  3, 1, 2  B  4, 2, 1 C  2,0, 2 , , là: C. x  y  2  0 . D. x  y  2  0 . Lời giải Chọn A     AB  1, 1, 3 , AC   1,1, 0  ;  AB, AC    3,3, 0  : Chọn n  1,1, 0  làm vectơ pháp tuyến:phương trình  ABC  có dạng x  y  D  0 Qua A  3  1  D  0  D  2 Phương trình  ABC  : x  y  2  0 . Câu 3: A  2, 1,3 B  3,1, 2  Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua , và song song với  a   3, 1, 4  vectơ là: A. 9 x  y  7 z  40  0 . B. 9 x  y  7 z  40  0 . C. 9 x  y  7 z  40  0 . D. 9 x  y  7 z  40  0 . Lời giải Chọn B     AB  1, 2, 1 ;  AB, a   n   9,1, 7  .Chọn n   9, 1, 7  làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng phải tìm có dạng: 9 x  y  7 z  D  0 Qua A nên 9.2  ( 1)  7.3  D  0  D  40 Phương trình cần tìm là: 9 x  y  7 z  40  0 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SDDT: 0834 332 133 345 Câu 4: Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A  4, 1,1 , B  3,1, 1 và song song với trục Ox là: A. y  z  2  0 . B. y  z  2  0 . C. y  z  0 . D. y  z  0 . Lời giải Câu 5: Chọn C   AB   1, 2, 2  : vectơ chỉ phương của trục Ox: i  1, 0, 0  .     AB, i    0, 2, 2  :Chọn n   0,1,1 làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng   cần tìm có dạng y  z  D  0, qua A nên: 1  1  D  0  D  0  Viết phương trình của mặt phẳng  P  qua điểm H  2, 2, 2  và nhận OH làm vectơ pháp tuyến. A.  P  : x  y  z  6 . B.  P  : x  y  4 . C.  P  : y  z  4 . D. Ba câu A, B và C đúng. Lời giải Chọn A  OH   2; 2; 2  suy ra phương trình mặt phẳng  P : 2  x  2  2  y  2  2  z  2  0   P : x  y  z  6 . Câu 6: Cho tứ diện ABCD có A  3, 2,1 , B  4,0,3 , C 1, 4, 3 , D  2,3,5 . Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là: A. 12 x  10 y  21z  35  0 . B. 12 x  10 y  21z  35  0 . C. 12 x  10 y  21z  35  0 . D. 12 x  10 y  21z  35  0 . Lời giải Chọn C     AC   2, 6, 4  ; BD   6,3, 2  ;  AC , BD    24, 20, 42  . Có thể chọn  n  12, 10, 21 làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng. Phương trình mặt phẳng này có dạng 12 x  10 y  21z  D  0 .Điểm A thuộc mặt phẳng nên: 12.3  10(2)  21.1  D  0  D  35 Phương trình cần tìm: 12 x  10 y  21z  35  0 , Câu 7: Cho vectơ chỉ phương điểm A  4,3, 2  , B  1, 2,1 , C  2, 2, 1 . Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là: A. x  4 y  2 z  4  0 . B. x  4 y  2 z  4  0 . C. x  4 y  2 z  4  0 . D. x  4 y  2 z  4  0 . Lời giải Chọn C   BC   1, 4, 2  . Chọn n  1, 4, 2  làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với BC có dạng x  4 y  2 z  D  0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SDDT: 0834 332 133 346 Chứa A nên 4  4.3  2.2  D  0  D  4 Vậy: x  4 y  2 z  4  0 . Câu 8: Cho hai mặt phẳng điểm A 1, 4, 4 , B  3, 2,6 . Phương trình tổng quát của mặt phẳng trung trực của đoạn AB là: A. x  3 y  z  4  0 . B. x  3 y  z  4  0 . C. x  3 y  z  4  0 . D. x  3 y  z  4  0 . Lời giải Chọn D Gọi I là trung điểm của AB: I  2, 1,5 .   AB   2, 6, 2  .Chọn n  1,3,1 làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB có dạng x  3 y  z  D  0 I thuộc mặt phẳng này: 2  3( 1)  5  D  0  D  4 . Phương trình cần tìm: x  3 y  z  4  0 . Câu 9: Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua điểm M  3,0, 1 và vuông góc với hai mặt phẳng x  2 y  z  1  0 và 2 x  y  z  2  0 là: A. x  3 y  5 z  8  0 . B. x  3 y  5 z  8  0 . C. x  3 y  5 z  8  0 D. x  3 y  5 z  8  0 . Lời giải Chọn A   a  1, 2, 1 ; b   2, 1,1 là hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cho trước.    Chọn n   a, b   1, 3, 5  làm vectơ pháp tuyến,ta có mặt phẳng có dạng x  3 y  5z  D  0 . Qua M nên: 3  3.0  5.( 1)  D  0  D  8 Phương trình mặt phẳng cần tìm là: x  3 y  5 z  8  0 Câu 10: Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua hai điểm A  2, 1,1 , B  2,1, 1 và vuông góc với mặt phẳng 3x  2 y  z  5  0 là: A. x  5 y  7 z  1  0 . B. x  5 y  7 z  1  0 . C. x  5 y  7 z  0 . D. x  5 y  7 z  0 . Lời giải Chọn C   AB   4, 2, 2  ; vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng 3 x  2 y  z  5  0 :      n   3, 2, 1 ;  AB, n   n   2, 10, 14  .chọn b  1, 5, 7  làm vectơ pháp tuyến.có mặt phẳng x  5 y  7 z  D  0 A thuộc mặt phẳng này: 2  5.9  1)  7.1  D  0  D  0 Vậy x  5 y  7 z  0 là mặt phẳng cần tìm. Câu 11: Cho hai mặt phẳng   : x  5 y  z  1  0,    : 2x  y  z  4  0 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SDDT: 0834 332 133 347 Gọi  là góc nhọn tạo bởi   và    thì giá trị đúng của cos  là: A. 5 . 6 5 . 6 B. C. 6 . 5 D. 5 . 5 Lời giải Chọn B    có vectơ pháp tuyến a  1,5, 2      có vectơ pháp tuyến b   2, 1,1 cos   1.2  5  1   2  .1 1  5   2  . 2   1  1 2 2 2 2 2 2  5 6 Câu 12: Ba mặt phẳng x  2 y  z  6  0, 2 x  y  3 z  13  0,3 x  2 y  3 z  16  0 cắt nhau tại điểm A . Tọa độ của A là: A. A 1, 2,3 . B. A 1, 2,3 . C. A  1, 2,3 . D. A  1, 2, 3 . Lời giải Chọn D Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình:  x  2 y  z  6  0 1  2 x  y  3z  13  0  2   3x  2 y  3z  16  0  3 Giải (1),(2) tính x,y theo z được x   z  4; y  z  5. Thế vào phương trình (3) được z  3, từ đó có x  1, y  2 Vậy A  1, 2, 3 .  Câu 13: Cho hai điểm A 1, 4,5 , B  2,3, 4  và vectơ a   2, 3, 1 . Mặt phẳng    chứa hai  điểm A, B và song song với vectơ a có phương trình: A. 34 x  21 y  5 z  25  0 . B. 34 x  21 y  5 z  25  0 . C. 34 x  21 y  5 z  25  0 . D. 34 x  21 y  5 z  25  0 . Lời giải Chọn C   A 1, 4,5  ; B  2,3, 4   AB   3, 7, 9  ; a   2, 3, 1   AB và a sẽ là cặp vectơ chỉ phương của       AB, a    34, 21, 5    Chọn n   34, 21, 5  làm vectơ pháp tuyến của    Phương trình mặt phẳng    có dạng 34 x  21 y  5 z  D  0 Điểm A      34  84  25  D  0  D  25 Phương trình    : 34 x  21 y  5 z  25  0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SDDT: 0834 332 133 348 Câu 14: Cho hai điểm C  1, 4, 2  , D  2, 5,1 .Mặt phẳng chứa đường thẳng CD và song song với Oz có phương trình: A. 3 x  y  1  0 . B. 3 x  y  1  0 . C. x  3 y  1  0 . D. x  3 y  1  0 . Lời giải Chọn B C  1, 4, 2 ; D  2, 5,1    CD   3, 9,3 cùng phương với vectơ a  1, 3,1  Trục Oz có vectơ chỉ phương k   0, 0,1     a, k    3, 1, 0  cùng phương với vectơ n   3,1, 0     Chọn n   3,1, 0  làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa CD và song song với trục Oz. Phương trình mặt phẳng này có dạng: 3 x  y  D  0 Mặt phẳng qua C  3  4  D  0  D  1 Phương trình mặt phẳng cần tìm: 3 x  y  1  0 Câu 15: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  qua M  2,  3, 1  và vuông góc với đường thẳng  D  qua hai điểm A  3,  4, 5  ; B   1, 2, 6  . A. 4 x  6 y  z  11  0 . B. 4 x  6 y  z  11  0 . C. 4 x  6 y  z  25  0 . D. 4 x  6 y  z  25  0 . Lời giải Chọn D  Pháp vecto của  P  : AB   4,6,1   P  :  x  2  4    y  3  6   z  1  0  4 x  6 y  z  25  0 phẳng  P  qua  A(  2, 3, 5); B   4,  2, 3  và có một vectơ chỉ phương a   2,  3, 4  . Câu 16: Viết phương trình tổng quát của mặt A. 9 x  3 y  z  4  0 . B. 9 x  3 y  z  4  0 . C. 13 x  2 y  8 z  72  0 . D. 13 x  2 y  8 z  72  0 . hai điểm Lời giải Chọn C     Pháp vecto của (P): AB   2, 5, 2   n   a , AB   2  13, 2, 8  0.     P  :  x  2  13   y  3  2    z  5  8   0  13 x  2 y  8 z  72  0 Câu 17: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  qua M   2, 1, 3  và song song với mặt phẳng  Q  : 2 x  5 y  3 z  7  0. A. 2 x  5 y  3 z  8  0 . B. 2 x  5 y  3 z  7  0 . C. 2 x  5 y  3 z  18  0 . D. 2 x  5 y  3 z  8  0 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SDDT: 0834 332 133 349 Lời giải Chọn D  P  : 2 x  5 y  3z  D  0 qua M  2,1, 3   D  8   P  : 2x  5 y  3z  8  0 Câu 18: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  qua hai điểm E  3,  2, 4  ; F  1, 3, 6  và song song với trục y ʹ Oy A. x  y  z  7  0 . B. x  z  7  0 . C. x  y  z  7  0 . D. x  z  7  0 . Lời giải Chọn B   P  / / y ʹ Oy  ecto chỉ phương của  P  là: e2   0,1,0      Vecto chỉ phương thứ hai EF   2, 5, 2   n   e , EF   2  1,0,1     P  :  x  3  .1   y  2  .0   z  4  .1  x  z  7  0 2 Câu 19: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  qua M   3, 5, 2  và vuông góc với x ʹ Ox A. x  3  0 . B. x  3  0 . C. x  y  3  0 . D. x  y  3  0 . Lời giải Chọn B    P   x ʹ Ox tại A  3,0,0   n  e1  1,0,0  A  3,0,0    P    P  :  x  3  .1  y.0  z.0  0  x  3  0 Câu 20: Cho tứ diện ABCD có A  5,1,3 , B 1,6, 2  , C  5,0, 4  , D  4,0,6  . Mặt phẳng chứa BC và song song với AD có phương trình: A. 8 x  7 y  5 z  60  0 . B. 8 x  7 y  5 z  60  0 . C. 8 x  7 y  5 z  60  0 . D. 8 x  7 y  5 z  60  0 . Lời giải Chọn B A  5,1,3 , B 1,6, 2  , C  5,0, 4  , D  4,0,6    BC   4, 6, 2  ; AD   1, 1,3     BC , AD    16, 14, 10  cùng phương với n   8, 7,5     Chọn n làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD. Phương trình  P  có dạng: 8 x  7 y  5 z  D  0 Điểm B   P   8  42  10  D  0  D  60 Phương trình  P  : 8 x  7 y  5 z  60  0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SDDT: 0834 332 133 350 Câu 21: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  qua hai điểm M  2,  4, 1  ; N  3,  2,  4  và vuông góc với mặt phẳng (Q): 3 x  4 y  2 z  5  0. A. 16 x  13 y  2 z  82  0 . B. 16 x  13 y  2 z  82  0 . C. 16 x  13 y  2 z  82  0 . D. 16 x  13 y  2 z  82  0 . Lời giải Chọn C   Cặp vecto chỉ phương của  P  : MN   1, 2, 5  ; nQ   3, 4, 2      Pháp vecto của  P  : n   MN , nQ    16, 13, 2      P  :  x  2  16   y  4  13    z  1 2   0  16 x  13 y  2 z  82  0 Câu 22: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  qua E   4, 1,  2  và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 2 x  3 y  5 z  4  0; (R): x  4 y  2 z  3  0. A. 14 x  9 y  11z  43  0 . B. 14 x  9 y  11z  43  0 . C. 14 x  9 y  11z  43  0 . D. 14 x  9 y  11z  43  0 . Lời giải Chọn D   Cặp vecto chỉ phương của  P  : a   2, 3, 5  ; b   1,4, 2     Pháp vecto của  P  : n   a , b    14,9,11     P  :  x  4  14    y  1 9   z  2  11  0  14 x  9 y  11z  43  0 Câu 23: Cho tứ giác ABCD có A  0,1, 1 ; B  1,1, 2  ; C  1, 1,0  ;  0,0,1 . Gọi H , I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C , D trên ba trục Ox, Oy , Oz . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  HIK  . A. x  y  z  1  0 . B. x  y  z  1  0 . C. x  y  z  1  0 . D. x  y  z  1  0 . Lời giải Chọn B H  1,0,0  ; I  0, 1,0  ; K  0,0,1   HIK  : x y z    1  x  y  z 1  0 1 1 1 Câu 24: Cho mặt phẳng  P  : 3 x  4 y  2 z  5  0 . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng   đối xứng của  P  qua trục y ‘ Oy : A. 3 x  4 y  2 z  5  0 . B. 3 x  4 y  2 z  5  0 . C. 3 x  4 y  2 z  5  0 . D. 3 x  4 y  2 z  5  0 . Lời giải LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SDDT: 0834 332 133 351 Chọn D Gọi E  x , y , z     là điểm đối xứng của M  xM , y M , z M    P  qua trục y ʹ Oy : xM   x; y M  y; z M   z  3   x   4 y  2   z   5  0    : 3 x  4 y  2 z  5  0 Câu 25: Cho điểm M  1, 4, 2  và mặt phẳng  P  : x  y  5 z  14  0 . Tính khoảng cách từ M đến ( P) . A. 2 3 . B. 4 3 . C. 6 3 . D. 3 3 . Lời giải Chọn D d M, P  1  4  5  2   14 1  1  25  27 3 3 3 3 Câu 26: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng Q  : 2 x  4 y  4 z  3  0 và cách điểm A  2, 3, 4  một khoảng bằng 3 : A. 2 x  4 y  4 z  14  0 . B. 2 x  4 y  4 z  50  0 . C. 2 x  4 y  4 z  14  0; 2 x  4 y  4 z  50  0 . D. 2 x  4 y  4  14  0; 2 x  4 y  4 z  50  0 . Lời giải Chọn C  P  / / Q  : 2x  4 y  4z  3  0   P  : 2x  4 y  4z  D  0 d  A, P   3  4  12  16  D D  32  3  D  14  D  50 6 4  16  16   P  : 2 x  4 y  4 z  14  0;  P ʹ  : 2 x  4 y  4 z  50  0 Câu 27: Viết phương trình Q  : 3x  2 y  6 z  5  0 tổng  quát của mặt phẳng  P  cách mặt phẳng một khoảng bằng 4 : A. 3 x  2 y  6 z  23  0; 3 x  2 y  6 z  33  0 . B. 3 x  2 y  6 z  23  0; 3 x  2 y  6 z  33  0 . C. 3 x  2 y  6 z  23  0; 3 x  2 y  6 z  33  0 . D. 3 x  2 y  6 z  23  0; 3 x  2 y  6 z  33  0 . Lời giải Chọn A  P  / / Q  : 3x  2 y  6 z  5  0; M  x , y , z    P   d  M , Q   4  3x  2 y  6 z  5  3  3 x  2 y  6 z  5  28 9  4  36  3 x  2 y  6 z  23  0; 3 x  2 y  6 z  33  0 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SDDT: 0834 332 133 352 Câu 28: Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng sau song song:  P  : ( m  2)x  3my  6 z  6  0; Q  : ( m  1)x  2 y  (3  m)z  5  0 A. 2. B. 3. D. 1 . C. 0. Lời giải Chọn D A1 B2  A2 B1   m  2  2   m  1 3m  3m2  m  4  0  m  1, m  B1C2  B2C1  3m  3  m   2.6  3m2  9m  12  0  m  1, m  4 4 3 C1 A2  C1 A1  6  m  1   3  m  m  2   m2  m  0  m  1, m  0 Với m  1 thoả cả 3 điều trên   P  / /  Q  Câu 29: Giá trị m thỏa mãn điều kiện nào để hai mặt phẳng  P  : mx   m  2  y  2 1  m  z  2  0 ; Q  :  m  2  x  3 y  1  m  z  3  0 cắt nhau? A. m  1 . B. m  1 và m  4 . C. m  4 . D. m  4 . Lời giải Chọn B  m  3    m  2  m  2   0  (P) cắt (Q)   m  2  1  m   6  1  m   0   2  1  m  m  2    1  m   0  m 2  3m  4  0    1  m  m  4   0  m  1& m  4   1  m  m  4   0 Câu 30: Với giá trị nào của m và n thì hai mặt phẳng sau song song:  P  : x  my  z  2  0; Q  : 2 x  y  4nz  3  0 1 1 ; n . 2 2 1 1 C. m  ; n   . 4 4 1 1 B. m   ; n  . 2 2 1 1 D. m  ; n   . 2 2 A. m  Lời giải Chọn D Để hai mặt phẳng song song chắc chắn n  0 nên:  P  / / Q   21  m1   41n  23  m  21 ; n   21 Câu 31: Hai mặt phẳng góc bằng: A. 45o .  P  : 4x  2y  4z  5  0 và B. 30 o . Q  : x 3 y 3 2 0 C. 60o . tạo với nhau một D. 90o . Lời giải Chọn A LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SDDT: 0834 332 133 353 cos   4 32 3 6 6 2    45o 2  Câu 32: Cho hai mặt phẳng  P  : mx   m  1 y  z  3  0 và  Q  :  m  1 x  my  z  5  0 . Với giá trị nào của m thì  P  và  Q  vuông góc? A. 1  3 . B. 1  3 . C.   1 1 3 . 2 D. 1  3 . Lời giải Chọn C  P   Q   m  m  1   m  1 m  1  0  2m2  2m  1  0  m  1 3 2 Câu 33: Cho hai mặt phẳng  P  : mx   m  1 y  z  3  0 và  Q  :  m  1 x  my  z  5  0 . Với giá trị nào của m thì  P  và  Q  tạo với nhau một góc 60o ? A. -1. B. 2. C. 1 và 2. D. -1 và 2. Lời giải Chọn D cos 60  2m2  2m  1 o m2   m  1  1. 2  m  1 2   m2  1 1 2  4 m 2  3m  2  2 m 2  2 m  2  m 2  m  2  0  m  1  m  2 Câu 34: Tìm tập hợp các điểm A. 3 x  2 y  z  4  0 . M  x, y , z  A  2, 1, 3  B  4, 3,1 sao cho MA 2  MB2  4 với ; B. 3 x  2 y  z  4  0 . C. 3 x  2 y  z  5  0 . D. 3 x  2 y  z  5  0 . Lời giải Chọn B MA2  MB2  4   x  3    y  1   z  3  2 2 2   x  4    y  3    z  1  4 2 2 2  3x  2 y  z  4  0 Câu 35: Tìm tập hợp các điểm M cách đều hai mặt phẳng:  P  : 2 x  y  2 z  9  0; Q  : 4 x  2 y  4 z  3  0 A. 2 x  y  2 z  2  0 . B. 2 x  y  2 z  2  0 . C. 6 x  3 y  6 z  5  0 . D. 8 x  4 y  8 z  15  0 . Lời giải Chọn D LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SDDT: 0834 332 133 354 d  M , P   d  M , Q    8 x  4 y  8 z  15  0 2x  y  2z  9 4x  2 y  4z  3  3 6 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SDDT: 0834 332 133 355 BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa:  Phương trình ttham số của đường thẳng  đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương a  (a1 ; a2 ; a3 ) ,   a0 x  x0  a1t   y  y0  a2t (t  R) z  z  a t 0 3  Nếu a1, a2, a3 đều khác không.Phương trình đường thẳng  viết dưới dạng chính tắc như sau: x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3 1. Vị Trí tương đối của hai đường thẳng: Chương trình cơ bản 1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng Chương trình nâng cao 1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng  x  xʹo  aʹ1tʹ  dʹ :  y  yʹo  aʹ2 tʹ  ʹ ʹ  z  zo  a3tʹ  qua Movà d’có vtcp uʹ đi qua Mo’   u , uʹ cùng phương   u  kuʹ d // d’   M0  dʹ   u  kuʹ d ≡ d’   M0  dʹ   u , uʹ Không cùng phương  x  xo  a1t  d :  y  y o  a2 t z  z  a t 0 3   x  xo  a1t  d :  y  y o  a2 t z  z  a t 0 3   vtcp u đi   x  xʹo  aʹ1tʹ  dʹ :  y  yʹo  aʹ2 tʹ  ʹ ʹ  z  zo  a3tʹ  vtcp u đi qua Movà d’có vtcp uʹ đi qua Mo’  xo  a1t  xʹo  aʹ1tʹ  ʹ ʹ  yo  a2 t  yo  a2 tʹ  ʹ ʹ  z0  a3t  zo  a3tʹ    [u,uʹ]=0 //    M o  dʹ    [u,uʹ]=0 ≡    M0  dʹ   u,uʹ   0   cắt      u,uʹ  .Mo Mʹ0  0      chéo  u,uʹ  .M0 Mʹ0  0   d chéo d’Hệ Ptrình vô nghiệm d cắt d’ Hệ Ptrình có một nghiệm 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp 1 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 Phương pháp 2 356 Trong Kg Oxyz cho   : Ax  By  Cz  D  0  x  xo  a1t  và d :  y  yo  a2 t z  z  a t 0 3  Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  d qua M có vtcp a  (a1 ; a2 ; a3 )  và   : Ax  By  Cz  D  0 có vtpt n  ( A; B;C)  cắt  a.n  0 Phương trình A  x0  a1t   B  y0  a2 t   C  z0  a3 t   D  0 P.trình vô nghiệm thì d // P.trình có một nghiệm thì d cắt P. trình cóvôsốnghiệm thìd thuộc Đặc biệt :   ( d )  (  )  a,n cùng phưong   a.n  0 //    M  ( )   a.n  0 nằm trên mp    M  ( ) 3. Khoảng cách : Khoảng cách từ M0 đến mặt phẳng : Ax+By+Cz+D=0 cho bởi côngthức d( M 0 , )  Ax0  By0  Cz0  D A 2  B2  C 2 Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng Phương pháp 1: Lập ptmp(  ) đi qua M và vuông góc với d. Tìm tọa độ giao điểm H của mp(  ) và d d =MH Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng Phương pháp 2: Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau Phương pháp 1:  d đi qua M; cóvtcp a  (a1 ; a2 ; a3 ) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau Phương pháp 2:  d đi qua M; cóvtcp a  (a1 ; a2 ; a3 ) d’qua M’; vtcp aʹ  (aʹ1 ; aʹ2 ; aʹ3 ) d’qua M’; vtcp aʹ  (aʹ1 ; aʹ2 ; aʹ3 )  Lập ptmp(  ) chứa d và song song với d’ d= d)   [M0 M ,u] d( M ,  )   u     [a,aʹ].MMʹ Vhop d(  , ʹ)     Sday [a,aʹ] 4. Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng  đi qua M có VTCP a  (a1 ; a2 ; a3 )  đi qua M’ có VTCP aʹ  (aʹ1 ; aʹ2 ; aʹ3 ) LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 357   a.aʹ   a1 .aʹ1  a2 .aʹ2  a3 .aʹ3 cos  cos(a,aʹ)     a . aʹ a12  a22  a32 . aʹ12  aʹ22  aʹ32 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng   đi qua M0 có VTCP a , mp có VTPT n  ( A; B;C) Gọi j là góc hợp bởi và mp   sin  cos(a,n)  Aa1 +Ba2 +Ca3 A 2  B2  C 2 . a12  a22  a32 B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho E (-1;0;2) và F (2;1;-5) . Phương trình đường thẳng EF là x 1  3 x 1 C.  1 A. y z2  1 7 y z2  1 3 x 1 y z  2   3 1 7 x 1 y z  2 D.   1 1 3 B. Lời giải Chọn B  Ta có: EF  (3;1; 7) . Đường thẳng EF đi qua điểm E ( 1; 0; 2) và có VTCP   x 1 y z  2 u  EF  (3;1; 7) có phương trình:   . 3 1 7 Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  đi qua điểm M  2;0; 1 và có một vectơ  chỉ phương a   4; 6;2  .Phương trình tham số của  là  x  2  4t  A.  y  6t .  z  1  2t   x  2  2t  B.  y  3t .  z  1  t   x  4  2t  C.  y  6 . z  2  t   x  2  2t  D.  y  3t . z  1 t  Lời giải Chọn B  a   4; 6;2  2  2; 3;1 \  Do đó đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là u   2; 3;1 . Vậy phương trình tham  x  2  2t   số của  đi qua M  2;0; 1 và có một vectơ chỉ phương là u   2; 3;1 là:  y  3t .  z  1  t  Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 1;  2; 1 , N  0; 1; 3  . Phương trình đường thẳng qua hai điểm M , N là LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 358 x 1 y  2 z 1 .   3 2 1 x y 1 z  3   C. . 1 3 2 x 1 y  3 z  2 .   1 1 2 x y 1 z  3  D.  . 1 1 2 A. B. Lời giải Chọn C  MN   1; 3; 2  .  Đường thẳng MN qua N nhận MN   1; 3; 2  làm vectơ chỉ phương có phương trình x y 1 z  3 .   1 3 2 Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số trục Oz là A. z  0 . x  0  B.  y  t . z  0  x  t  C.  y  0 . z  0  x  0  D.  y  0 . z  t  Lời giải Chọn D  Trục Oz đi qua gốc tọa độ O  0;0;0 và nhận vectơ đơn vị k   0;0;1 làm vectơ chỉ x  0  phương nên có phương trình tham số  y  0 . z  t  Câu 5: Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M  2;0; 1  và có véctơ chỉ phương a   2; 3;1 là  x  4  2t  A.  y   6 . z  2  t   x  2  2t  B.  y   3t . z  1 t   x  2  4t  C.  y   6t .  z  1  2t   x  2  2t  D.  y   3t .  z  1  t  Lời giải Chọn D Theo lý thuyết về dường thẳng trong không gian Oxyz, ta có phương trình tham số của  đường thẳng đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  và có véctơ chỉ phương a   a1 ; a2 ; a3  là  x  x0  a1t   y  y0  a2t ,  t    . z  z  a t 0 3  Do đó, đáp án D đúng. Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2 ; 3  , B  3; 4 ;1 , C  5; 2 ;  4  . Đường thẳng di qua A và song song với đường thẳng BC có phương trình LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 359 x  2 y 1 z  3 .   8 2 5 x  2 y 1 z  3 C.   . 8 2 5 x2  8 x2 D.  8 A. B. y 1  2 y 1  2 z 3 . 5 z 3 . 5 Lời giải Chọn A  BC   8;  2;  5  là vectơ chỉ phương của đường thẳng qua A và song song với đường thẳng BC . Câu 7:  x  2  2t  Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình tham số  y  3t ; t    z  3  5t  . Khi đó, phương trình chính tắc của d là x2 y z3 x2 y z 3     A. . B. . 2 3 5 2 5 3 C. x  2  y  z  3 . D. x  2  y  z  3 . Lời giải Chọn A  x  2  2t  Ta có phương trình đường thẳng d:  y  3t đi qua điểm A(2;0;  3) và có vectơ chỉ   z  3  5t  x2 y z3 phương u  (2;  3;5) nên có phương trình chính tắc là .   3 2 5 Câu 8: Trong không gian tọa độ Oxyz , đường thẳng d đi qua điểm I 1; 2;3  và nhận  u   4; 5;6  là vectơ chỉ phương có phương trình tham số là  x  1  4t  A.  y  2  5t .  z  3  6t  x  4  t  B.  y  5  2t .   z  6  3t x  4  t  C.  y  5  2t .  z  6  3t  Lời giải  x  1  4t  D.  y  2  5t .  z  3  6t  Chọn D  Đường thẳng d đi qua điểm I 1; 2;3  và nhận u   4; 5;6  là vectơ chỉ phương có  x  1  4t  phương trình tham số là  y  2  5t .  z  3  6t  Câu 9: x 1 y  2 z  2   . Phương trình nào sau 1 3 2 đây là phương là phương trình tham số của d ? Trong hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng d : LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 360 x  1  A.  y  2  t .  z  2  3t  x  1 t  B.  y  2  2t .  z  1  3t  x  1 t  C.  y  2  2t .   z  2  3t Lời giải x  1  D.  y  2  t . z  1 t  Chọn C  Đường thẳng d có một VTCP u 1; 2;3 và đi qua M 1; 2; 2  . x  1 t  Vậy đường thẳng d có phương trình tham số là  y  2  2t .   z  2  3t Câu 10: Trong không gian tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A 1; 2;5 và B  3;1;1 ? x 3  1 x 1 C.  2 A. y 1 z 1  . 5 2 y  2 z 5 .  3 4 x 1 y  2 z  5 .   2 1 5 x 1 y  2 z  5 D. .   2 3 4 Lời giải B. Chọn C  + Ta có AB   2;3; 4 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB , từ đáp án ta loại đáp án A và đáp án B. + Đáp án C thỏa mãn đi qua điểm A 1; 2;5 nên đáp án C là đáp án đúng. + Thay tọa độ điểm A 1; 2;5 vào đáp án D: 1  1 2  2 5  5 nên loại đáp án   4 2 3 D. Câu 11: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua điểm E  2, 4, 3  và song song với đường thẳng MN với M  3, 2, 5  ; N  1, 1, 2  .  x  3  2m  A.  y  2  3m ; m   .  z  5  3m   x  1  2t  B.  y  1  3t ; t   .  z  2  3t   x  2  2n  C.  y  4  3n ; n   .  z  3  3n  D. Hai câu A và B Lời giải Chọn C  Một vectơ chỉ phương của  d  : MN   2, 3, 3     2,3, 3  LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 361  x  2  2n    d   y  3n  4 ; n    z  3  3n  Câu 12: Phương trình tham số đường thẳng qua I  1, 5, 2  và song song với trục x ʹ Ox là x  t  1  ;t  . A.  y  5 z  2   x  m  B.  y  5m ; m   .  z  2m   x  2t  C.  y  10t ; t   .  z  4t  D. Cả A và C Lời giải Chọn A   D  / / x ʹ Ox  Vectơ chỉ phương của  D  : e1  1,0,0  x  t  1    D y  5 ; t   z  2  Câu 13: Viết phương trình tham số của đường thẳng  D  qua E  2, 1, 3  và vuông góc với hai đường thẳng  D1  : x 1 z2  y 1  ; 3 2  D  : 2x  2 y3  2  z. 4  x  2  7t  A.  y  t  1 ; t   .  z  3  10t   x  2  7t  B.  y  1  t ; t   .  z  3  10t   x  2  8t  C.  y  7t  1 ; t   .  z  3  10t   x  2  9m  D.  y  7 m  1 ; m   .  z  10 m  3  Lời giải Chọn D   Hai vectơ chỉ phương của  D1  và  D2  : a   3,1, 2  ; b   2,4, 1    Một vectơ chỉ phương của  D  : c   a , b    9,7,10      D  : x  2  9t ; y  7 t  1; z  10t  1; t   Câu 14: Cho tam giác ABC có A  1, 2, 3  ; B  2, 1, 4  ; C  3, 2, 5  . Viết phương trình tham số của trung tuyến AM:  x  1  3t  A.  y  2  7t ; t   .  z  15t  3   x  1  3m  B.  y  2  7 m ; m   .  z  3  15m   x  1  3cos t  C.  y  2  7 cos t ; t   .  z  15cos t  3  D. Hai câu A và LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 B. 362 Lời giải Chọn A 5 3 9 Trung điểm M của BC: M  ,  ,  2 2 2   3 7 15  1 Một vecto chỉ phương của AM: AM   ,  ,    3, 7,15  2 2 2  2  AM : x  1  3t ; y  2  7t ; z  15t  3; t  Câu 15: Cho tam giác ABC có A  1, 2, 3  ; B  2, 1, 4  ; C  3, 2, 5  . Viết phương trình chính tắc của cạnh AB. y2 z3 . A. x  1   7 3 2y z3 C. x  1  .  3 7 B. x  2  y 1 z 4 .  7 3 D. Ba câu A, B và C đúng. Lời giải Chọn D Một vecto chỉ phương của AB:  AB   1, 3,7  y2 z3 y 1 z 4   hay x  2  3 3 7 7 2y z3  hay x  1  3 7  AB : x  1  Câu 16: Hai đường thẳng A. Song Song.  D  : x 2 1  y  3  z 3 2 ;  d  : x 3 2  B. Trùng nhau. y 1 z  4  2 4 . C. Chéo nhau. Lời giải D. Cắt nhau. Chọn C  A  1, 3, 2    D  và  D  có vecto chỉ phương a   2,1, 3   B  2,1, 4    d  và  d  có vecto chỉ phương b   3,2,4      AB   3, 4, 6    a , b  . AB   2,1,1 .  3, 4, 6   4  0     D  và  d  chéo nhau. Câu 17: Hai dường thẳng  D  : x  2t  3; y  t  1; z  3t  2;  d  : x  4t  1; y  2t  5; z  6t  1; t   A. Song song. B. Chéo nhau. Chọn A C. Cắt nhau. Lời giải D. Trùng nhau.   D  qua M  3,1, 2  và có vecto chỉ phương a   2,1, 3    d  qua M  1, 5,1 và có vecto chỉ phương b   4, 2,6   2  2,1,3 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 363    a và b cùng phương   D  và  d  cùng phương.   MN   4, 6, 3  không cùng phương với a   D  / /  d  Câu 18: Đường thẳng  D  : A. Song song. x 1 z2 và mặt phẳng  P  : x  2 y  4 z  23  0 :  1 y  2 3 B. Vuông góc. C. Cắt nhau. D. chứa . Lời giải Chọn C   D  có vecto chỉ phương a   2, 1,3   P có pháp vecto: n  1, 2, 4    a.n  2.1  1.2  3  4   12  0   D  và  P cắt nhau. Chú ý: nếu đòi hỏi hính tọa độ giao điểm thì viết phương trình tham số của  d  : x  2t  1; y  1  t ; z  3t  2 . Tọa độ giao điểm M  1, 2, 5  . Thay x , y , z vào phương trình  P  ta có t  1  Câu 19: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau song song? y3 y 1  D  : x 2 1  m  mz 12 ;  d  : x  3  3  z 2 2 A. 0. B. 2. C. m  0, m  2 . D. 6. Lời giải Chọn D   D  qua  1,3,1 và có vecto chỉ phương a   2, m, m  2  ; m  0 và m  2   d  qua B  3, 1, 2  và có vecto chỉ phương b  1, 3, 2   D  / /  d   2  m3  m 2 2 và A   d   m  6  x  3  4t  Câu 20: Với giá trị nào của m và n thì đường thẳng  D  :  y  1  4t  t    song song với mặt z  t  3  phẳng  P  :  m  1 x  2 y  4 z  n  9  0 ? A. m  4; n  14 . B. m  4; n  10 . C. m  3; n  11 . D. m  4; n  14 . Lời giải Chọn D  D  qua A  3,1, 3   và có vecto chỉ phương a   4, 4,1 Vecto pháp tuyến của  P  :  m  1, 2, 4   a.n  0 m  4 m  4   D  P    3 m  n  2 n  14  A   P  LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 364 Câu 21: Với giá trị nào của m thì đường thẳng  D  : phẳng  P  : x  3 y  2 z  2 A. 1 . B. 5 . x 1 y  3 z 1 vuông góc với mặt   2 m m2 C. 6 . Lời giải D. 7 . Chọn C  Vecto chỉ phương của  D  : a   2, m, m  2   Vecto pháp tuyến của  P  : n   1, 3, 2     D    P   a và n cùng phương: 2  m3  m 2 2  m  6 Câu 22: Tính góc của hai đường thẳng  D  : x 1 y  3 z  2 và   2 4 4  d  : x  3  2t ; y  2t  4; z  2  t    . A. 750 . B. 600 . Chọn D C. 300 . Lời giải  D. 450 .   D  và  d  có vec-tơ chỉ phương a   2, 4, 4  ; b   2,2,0   cos   2.2  4.2  4.0 6.2 2  2    450 . 2  x  2t  3   y  3t  2  z  4t  6  x  5  t ‘   y  1  4t ‘  z  20  t ‘ và ( d 2 ) :  cắt nhau tại C . Câu 23: Hai đương thẳng ( d1 ) : Tọa độ điểm C là: A. C (3, 7,18) . B. C (3,7,18) . C. C (3, 7, 18) . D. C ( 3,7,18) . Lời giải Chọn B  2t  3  5  t ‘  Hệ phương trình 3t  2  1  4t ‘ có nghiệm t  3, t ‘  2 .  4t  6  20  t ‘  Từ đó có C (3, 7,18) . Câu 24: Cho hai đường thẳng:  d1  : x 7 y 3 z 9  x  3 y 1 z 1     và  d 2  :  . 1 2 2 3 1  1 Chọn câu trả lời đúng: A.  d1  và  d 2  cắt nhau. B.  d1  và  d 2  vuông góc nhau. C.  d1  và  d 2  trùng nhau. D.  d1  và  d 2  chéo nhau. Lời giải Chọn D Phương trình  d1    d1  cho A  7, 3, 7  và vectơ chỉ phương của  d1  : LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 365  a  1,2, 1 . Phương trình  d 2  cho B  3,1,1   d 2  và vectơ chỉ phương của  d 2  :  b   7, 2,3 .     a, b    8, 4,16  ; AB   4, 2, 8 .       a, b  . AB  32  8  128  0   d1  và  d 2  chéo nhau.   Câu 25: Cho điểm A  3, 2,1 và đương thẳng  d  : d  x y   z  3 .Mặt phẳng   chứa điểm A và 2 4 có phương trình tổng quát là: A. 14 x  15 y  8 z  24  0. . B. 14 x  5 y  8 z  24  0. . C. 14 x  5 y  8 z  24  0. . D. 14 x  5 y  8 z  24  0 . Lời giải Chọn D Phương trình  d  cho B  0, 0, 3   d  và vectơ chỉ phương của  d  :  a   2, 4,1 .    AB   3, 2, 4  ;  AB, a   14, 5, 8  Gọi M  x , y, z     , BM   x, y, z  3 .     AB, a  .BM  0  14 x  5 y  8 z  24  0 là phương trình của   .    x  1  2t  Câu 26: Cho đường thẳng  d  :  y  2  t và điểm I  2, 1, 3  .Điểm K đối xứng với điểm I qua  z  3t  đường thẳng  d  có tọa độ: A. K  4, 3, 3  . . B. K  4,3, 3  . . C. K  4,  3, 3  . . D. K  4, 3, 3  . Lời giải Chọn D d   có vectơ chỉ phương a   2, 1,3 .Xét mặt phẳng   : 2 x  y  3 z  D  0 . I    nên D  14   : 2 x  y  3 z  14  0. Thế x , y , z theo t t  1   d  cắt   tại M  3,1, 3  . M là trung điểm của IK nên K  4, 3, 3  vào phương trình   được Câu 27: Cho ba điểm A  1, 2, 3  , B  2,1,1 , C  5, 0, 0  .Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tọa độ điểm H là:  4 5 7  A. H  , ,  . 3 3 3   4 5 7  C. H  , ,  .  3 3 3 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133  4 5 7  B. H  , ,  .  3 3 2   4 5 7  D. H  , ,  .  3 3 3 366 Lời giải Chọn D  x  1  t  Đương thẳng AB có phương trình tham số  y  2  t  z  3  2t  Gọi   là mặt phẳng chứa C và vuông góc với AB. Phương trình   có dạng: x  2 y  2z  D  0 . C     D  5 . Phương trình   : x  y  2 z  5  0 . Thế x , y , z theo t từ phương trình tham số của AB được t   1 3  H có tọa độ:  4 5 7  H , , .  3 3 3 . Câu 28: Cho điểm A  2, 3, 5  và mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  z  17  0. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua  P  .Tọa độ điểm A’ là:  12 18 34  A. A ‘  , ,  .  7 7 7   12 18 34  C. A ‘  ,  ,   . 7 7  7  12 18 34  B. A ‘  ,  ,  . 7 7  7  12 18 34  D. A ‘   , ,   . 7   7 7 Lời giải Chọn A  x  2  2t  Phương trình tham số của đường thẳng  d  qua A vuông góc với  P  :  y  3  3t .Thế z  5  t  x , y , z theo t vào phương trình của  P  được t   1 . 14 1 vào phương trình của  d  được guao điểm I của  d  và  P  : 14  26 39 69  I  , , .  14 14 14  I là trung điểm của AA’ nên:. Thế t    12 18 34   A’ , ,   7 7 7 . Câu 29: Cho ba điểm A  4, 4, 0  , B  2, 0, 4  , C 1, 2, 1 .Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là A. 13 . B. 17 . C. 26 . D. 19 Lời giải Chọn A LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 367    CA   5, 2,1 ; CB  1, 2,5 ; AB   6, 4, 4  .   CA, CB  2 36  169  16    Khoảng cách cần tìm bằng:   13. . AB 2 944 (d1 ) : x  3 y 1 z 1 x 7 y 3 z 9   , (d 2 ) :   7 1 2 3 1 2 Câu 30: Cho hai đường thẳng: và mặt phẳng ( ) : x  y  z  3  0 . Hình chiếu của ( d 2 ) theo phương của ( d1 ) lên mặt phẳng ( ) có phương trình tổng quát:  2 x  y  4 z  53  0 A.  .. x  y  z  3  0  2 x  y  4 z  53  0 C.  .. x  y  z  3  0  2 x  y  4 z  53  0 B.  .. x  y  z  3  0  2 x  y  4 z  53  0 D.  . x  y  z  3  0 Lời giải Chọn C   Vectơ chỉ phương của ( d1 ) : a  ( 7, 2, 3). Vectơ chỉ phương của ( d 2 ) : b  (1, 2, 1). Phương trình của mặt phẳng chứa ( d 2 ) và có phương của ( d1 ) có dạng: 2x  y  4z  D  0 . Điểm A(7,3,9) thuộc mặt phẳng này  D  53 . Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng ( ) là hình chiếu của ( d 2 ) theo phương  2 x  y  4 z  53  0 của ( d1 ) lên ( ) :  x  y  z  3  0 Câu 31: Hai đường thẳng  d1  : Tọa độ của A là: A. A  3, 2,1 . . x  5 y 1 z  7 x  3 y  2 z 1     và  d 2  : cắt nhau tạiA. 2 3 6 14 5 2 B. A  3, 2,1 . . C. A  3, 2, 1 . . D. A  3, 2,1 . Lời giải Chọn B  d1   x  3  14t ‘  x  5  2t   có dạng tham số:  y  1  3t ;  d 2  có dạng tham số:  y  2  5t ‘   z  1  2t ‘   z  7  6t 5  2t  3  14t ‘  Hệ phương trình: 1  3t  2  5t ‘ có nghiệm t   1 , t ‘  0 7  6t  1  2t ‘    d1  cắt  d 2  tại A  3, 2,1 . Câu 32: Cho hai đường thẳng Tọa độ của A là: A. A(3, 2,1). . x 1 y  2 z x 3 y  2 z     và d2 (d 2 ) : cắt nhau tạiA. 1 2 14 4 4 2 B. A(3, 2,1). . C. A(3, 2, 1). . D. A( 3, 2,1). Lời giải Chọn C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 368 Dễ thấy  d1  / /  d 2  . A 1, 2, 0    d1  ; B  2, 2, 0    d 2  .   a  1, 2, 2 là vectơ chỉ phương của  d1  ; AB  1,0,0      AB, a   (0, 2, 2)  n   0,1,1 .   Phương trình mặt phẳng chứa  d1  và  d 2  có dạng y  z  D  0 ,cho qua A được D  2 . Vậy y  z  2  0 . LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 369