Bài giảng cơ bản và nâng cao Toán 10 Hình học 10)

LỚP TOÁN THẦY CƯ‐ TP HUẾ CS 1: P5, Dãy 14 tập thể xã tắc. Đường Ngô Thời Nhậm CS 2: Trung Tâm Cao Thắng‐ 11 Đống Đa TOÁN 10 TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ‐TP HUẾ (Chiêu sinh thường xuyên, bổ trợ kiến thức kịp thời) CHƯƠNG I. VECTƠ BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Khái niệm vectơ 2. Vec tơ cùng phương, vecto cùng hướng Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.   Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương. 3. Hai vectơ bằng nhau Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài    của AB được kí hiệu là AB , như vậy AB  AB. Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.   Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu   a b  Chú ý. Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho   OA  a. 4. Vectơ – không Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó. Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối  đều là A. Vectơ này được kí hiệu là AA và được gọi là vectơ – không. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xác Định Một Vectơ; Phương, Hướng Của Vectơ; Độ Dài Của Vectơ 1. Phương pháp giải.  Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định nghĩa  Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCDE . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 566   Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là AB, BA . Mà từ bốn đỉnh A, B, C , D của ngũ giác ta có 6 cặp điểm phân biệt do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.   Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba điểm A, B,C phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi AB, AC cùng phương. Lời giải   Nếu A, B,C thẳng hàng suy ra giá của AB, AC đều là đường thẳng đi qua ba điểm A, B,C nên   AB, AC cùng phương.   Ngược lại nếu AB, AC cùng phương khi đó đường thẳng AB và AC song song hoặc trùng nhau. Nhưng hai đường thẳng này cùng đi qua điểm A nên hai đường thẳng AB và AC trùng nhau hay ba điểm A, B,C thẳng hàng. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC ,CA, AB .  a) Xác định các vectơ khác vectơ – không cùng phương với MN có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho.  b) Xác định các vectơ khác vectơ – không cùng hướng với AB có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho.  c) Vẽ các vectơ bằng vectơ NP mà có điểm đầu A, B . Lời giải (Hình 1.4)         a) Các vectơ khác vectơ không cùng phương với MN là NM , AB, BA, AP, PA, BP , PB .  b) Các vectơ khác vectơ – không cùng hướng với AB    là AP, PB, NM . c) Trên tia CB lấy điểm B ‘ sao cho BB ‘ = NP  Khi đó ta có BB ‘ là vectơ có điểm đầu là B và bằng  vectơ NP . A’ N P B’ Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng  NP . Trên đường thẳng đó lấy điểm A ‘ sao cho AA ‘  cùng hướng với NP và AA ‘ = NP .   Khi đó ta có AA ‘ là vectơ có điểm đầu là A và bằng vectơ NP . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A B M C Hình 1.4 Trang 567 Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm đối   xứng với C qua D . Hãy tính độ dài của vectơ sau MD , MN . Lời giải (hình 1.5) Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông MAD ta có N D C O P A M B Hình 1.5 2 æa ö 5a 2 a 5 DM 2 = AM 2 + AD 2 = çç ÷÷ + a 2 =  DM = çè 2 ÷ø 2 4  a 5 Suy ra MD = MD = . 2 Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P . Khi đó tứ giác ADNP là hình vuông và PM = PA + AM = a + a 3a . = 2 2 Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông NPM ta có 2 æ 3a ö 13a 2 a 13  DM = MN 2 = NP 2 + PM 2 = a 2 + çç ÷÷÷ = çè 2 ø 4 2  a 13 Suy ra MN = MN = . 2 Dạng 2: chứng minh hai vectơ bằng nhau. 1. Phương pháp giải.  Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ dài và cùng hướng     hoặc dựa vào nhận xét nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB = DC và AD = BC 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh   rằng MN =QP . Lời giải (hình 1.6) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 568 Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN / /AC và MN = 1 AC (1). 2 A Tương tự QP là đường trung bình của tam giác ADC suy ra D Q P 1 QP / /AC và QP = AC (2). 2 M B C N Từ (1) và (2) suy ra MN / /QP và MN = QP do đó tứ giác Hình 1.6 MNPQ là hình bình hành   Vậy ta có MN =QP Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi I là trung điểm của BC . Dựng điểm B ‘ sao   cho B ‘ B = AG .   a) Chứng minh rằng BI = IC   b) Gọi J là trung điểm của BB ‘ . Chứng minh rằng BJ = IG . Lời giải (hình 1.7)  a) Vì I là trung điểm của BC nên BI = CI và BI cùng    hướng với IC do đó hai vectơ BI , IC bằng nhau hay   BI = IC .   b) Ta có B ‘ B = AG suy ra B ‘ B = AG và BB ‘/ /AG .   Do đó BJ , IG cùng hướng (1). Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên IG = A B’ G J B C I Hình 1.7 1 1 AG , J là trung điểm BB ‘ suy ra BJ = BB ‘ 2 2 Vì vậy BJ = IG (2)   Từ (1) và (2) ta có BJ = IG . Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD . Trên các đoạn thẳng DC , AB theo thứ tự lấy các điểm M , N sao cho DM = BN . Gọi P là giao điểm của AM , DB và Q là giao điểm của CN , DB .     Chứng minh rằng AM = NC và DB = QB . Lời giải (hình 1.8) Ta có DM = BN  AN = MC , mặt khác AN song song với MC do đó tứ giác ANCM là hình bình hành   Suy ra AM = NC . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 N A B Q P D M Hình 1.8 Trang 569 C   Xét tam giác DDMP và DBNQ ta có DM = NB (giả thiết), PDM = QBN (so le trong)       Mặt khác DMP = APB (đối đỉnh) và APQ = NQB (hai góc đồng vị) suy ra DMP = BNQ . Do đó DDMP = DBNQ (c.g.c) suy ra DB = QB .     Dễ thấy DB, QB cùng hướng vì vậy DB = QB . C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là   A. DE. B. DE . C. ED.  D. DE. Lời giải Chọn D Câu 2: Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C ? A. 3. B. 6. C. 4. D. 9. Lời giải Chọn B       Đó là các vectơ: AB, BA, BC , CB, CA, AC. Câu 3: Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác? A. 4. B. 6. C. 8. D. 12. Lời giải Chọn D Xét các vectơ có điểm A là điểm đầu thì có các vectơ thỏa mãn bài toán là    AB, AC , AD   có 3 vectơ. Tương tự cho các điểm còn lại B, C , D. Câu 4: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ. B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ. C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ. D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ. Lời giải Chọn A Vì vectơ – không cùng phương với mọi vectơ. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 570 Câu 5: Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khi đó:   A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB cùng phương với AC.   B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB.   C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB.   D. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là AB  AC. Lời giải Chọn A Câu 6: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?     A. MN và CB. B. AB và MB.   C. MA và MB.   D. AN và CA. Lời giải Chọn B Câu 7: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ – không, cùng phương với  OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A. 4. B. 6. C. 7. D. 9. Lời giải Chọn B       Đó là các vectơ: AB, BA, DE , ED, FC , CF . Câu 8:  Với DE (khác vectơ – không) thì độ dài đoạn ED được gọi là   A. Phương của ED. B. Hướng của ED.   C. Giá của ED. D. Độ dài của ED. Lời giải Chọn D Câu 9: Mệnh đề nào sau đây sai?   A. AA  0.  C. AB  0. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133  B. 0 cùng hướng với mọi vectơ.  D. 0 cùng phương với mọi vectơ. Trang 571 Lời giải Chọn C  Vì có thể xảy ra trường hợp AB  0  A  B. Câu 10: Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau. B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành. C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều. D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau. Lời giải Chọn D Câu 11: Cho bốn điểm phân biệt A, B, C , D và không cùng nằm trên một đường thẳng. Điều   kiện nào trong các đáp án A, B, C, D sau đây là điều kiện cần và đủ để AB  CD ? A. ABCD là hình bình hành. B. ABDC là hình bình hành. C. AC  BD. D. AB  CD. Lời giải Chọn B Ta có:    AB  CD  AB  CD    ABDC là hình bình hành.  AB  CD  AB  CD    Mặt khác, ABDC là hình bình hành    AB  CD .  AB  CD   Do đó, điều kiện cần và đủ để AB  CD là ABDC là hình bình hành.   Câu 12: Cho bốn điểm phân biệt A, B, C , D thỏa mãn AB  CD . Khẳng định nào sau đây sai?     A. AB cùng hướng CD. B. AB cùng phương CD.   C. AB  CD . D. ABCD là hình bình hành. Lời giải Chọn D Phải suy ra ABDC là hình bình hành (nếu A, B, C , D không thẳng hàng) hoặc bốn điểm A, B, C , D thẳng hàng. Câu 13: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?         A. AB  DC. B. OB  DO. C. OA  OC. D. CB  DA. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 572 Lời giải Chọn C Câu 14: Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC , CD, DA. Khẳng định nào sau đây sai?     A. MN  QP. B. QP  MN .   C. MQ  NP.   D. MN  AC . Lời giải Chọn D.  MN  PQ 1 Ta có  (do cùng song song và bằng AC ). 2  MN  PQ Do đó MNPQ là hình bình hành. Câu 15: Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?     A. AC  BD. B. AB  CD.     C. AB  BC . D. Hai vectơ AB, AC cùng hướng. Lời giải Chọn C   Vì AB  BC  AB  BC . Câu 16: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng?     A. OA  OC. B. OB và OD cùng hướng.     C. AC và BD cùng hướng. D. AC  BD . Lời giải Chọn D Câu 17: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Đẳng thức nào sau đây đúng? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 573   A. MA  MB.   B. AB  AC.   C. MN  BC.   D. BC  2 MN . Lời giải Chọn D Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC .   Do đó BC  2 MN   BC  2 MN . Câu 18: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Gọi M là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây đúng?   A. MB  MC.  a 3 B. AM  . 2  C. AM  a.  a 3 D. AM  . 2 Lời giải Chọn D   60 . Đẳng thức nào sau đây đúng? Câu 19: Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD        A. AB  AD. B. BD  a. C. BD  AC. D. BC  DA. Lời giải Chọn B  Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a nên BD  a   BD  a. Câu 20: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai?       A. AB  ED. B. AB  AF . C. OD  BC.   D. OB  OE. Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 574  Câu 21: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ bằng OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. Lời giải Chọn A   Đó là các vectơ: AB, ED . Câu 22: Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây đúng?         A. HA  CD và AD  CH . B. HA  CD và AD  HC .         C. HA  CD và AC  CH . D. HA  CD và AD  HC và   OB  OD . Lời giải Chọn B  chắn nửa đường tròn). Ta có AH  BC và DC  BC (do góc DCB Suy ra AH  DC. Tương tự ta cũng có CH  AD.     Suy ra tứ giác ADCH là hình bình hành. Do đó HA  CD và AD  HC . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 575     Câu 23: Cho AB  0 và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB  CD ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Chọn D.   Ta có AB  CD  AB  CD . Suy ra tập hợp các điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn tâm C , bán kính AB .     Câu 24: Cho AB  0 và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB  CD ? A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số. Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 576 BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Tổng của hai vectơ    Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB = a và    A C được gọi là tổng của hai vectơ a và b. Ta kí hiệu tổng của hai vectơ      a + b . Vậy A C = a + b .   BC = b .   a và b Vectơ là Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ. B C A 2. Quy tắc hình bình hành    Nếu ABCD là hình bình hành thì AB  AD  AC. 3. Tính chất của phép cộng các vectơ    Với ba vectơ a, b , c tùy ý ta có    a + b = b + a (tính chất giao hoán);        (a + b ) + c = a + (b + c ) (tính chất kết hợp);    a + 0 = 0 + a = a (tính chất của vectơ – không). 4. Hiệu của hai vectơ a) Vectơ đối   Cho vectơ a. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của   vectơ a, kí hiệu là  a.     Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của AB là BA, nghĩa là  AB  BA. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 577   Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0. b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ       Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b . Ta gọi hiệu của hai vectơ a và b là vectơ a   b ,         kí hiệu a  b . Như vậy a  b  a   b .      Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có AB  OB  OA. Chú ý 1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ. 2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có    AB  BC  AC (quy tắc ba điểm);    AB  AC  CB (quy tắc trừ). Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ. 5. Áp dụng    a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA  IB  0.     b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA  GB  GC  0. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ. 1. Phương pháp giải. Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ   Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó. Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó. 2. Các ví dụ.  Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC = 300 và BC = a 5 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 578       Tính độ dài của các vectơ AB + BC , AC – BC và AB + AC . Lời giải (hình 1.10) Theo quy tắc ba điểm ta có B D A C    AB + BC = AC  AC Mà sin ABC = BC   a 5  AC = BC .sin ABC = a 5.sin 300 = 2 Hình 1.10    a 5 Do đó AB + BC = AC = AC = 2       AC – BC = AC + CB = AB Ta có AC 2 + AB 2 = BC 2  AB = BC 2 – AC 2 = 5a 2 – 5a 2 a 15 = 4 2    a 15 Vì vậy AC – BC = AB = AB = 2  Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành.    Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AC = AD Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra AD = BC = a 5    Vậy AB + AC = AD = AD = a 5 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ.       a) Tính AB + AD , OA – CB , CD – DA      b) Chứng minh rằng u = MA + MB – MC – MD không phụ thuộc vị trí điểm M . Tính độ dài  vectơ u Lời giải (hình 1.11)    a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC    Suy ra AB + AD = AC = AC . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 579 C’ Áp dụng định lí Pitago ta có AC 2 = AB 2 + BC 2 = 2a 2  AC = 2a   Vậy AB + AD = a 2   + Vì O là tâm của hình vuông nên OA = CO suy ra      OA – CB = CO – CB = BC A O    Vậy OA – CB = BC = a   + Do ABCD là hình vuông nên CD = BA suy ra      CD – DA = BA + AD = BD  Mà BD = BD = B D C Hình 1.11   AB 2 + AD 2 = a 2 suy ra CD – DA = a 2 b) Theo quy tắc phép trừ ta có        u = MA – MC + MB – MD = CA + DB ( ) ( )  Suy ra u không phụ thuộc vị trí điểm M . Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC tại C ‘ .   Khi đó tứ giác ADBC ‘ là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra DB = AC ‘     Do đó u = CA + AC ‘ = CC ‘   Vì vậy u = CC ‘ = BC + BC ‘ = a + a = 2a Dạng 2: chứng minh đẳng thức vectơ. 1. Phương pháp giải.  Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ. Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho năm điểm A, B,C , D, E . Chứng minh rằng Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 580      a) AB + CD + EA = CB + ED       b) AC + CD – EC = AE – DB + CB Lời giải a) Biến đổi vế trái ta có      VT = AC + CB + CD + ED + DA      = CB + ED + AC + CD + DA     = CB + ED + AD + DA ( ( ( ) ) ( ) ( ) )   = CB + ED = VP ĐPCM b) Đẳng thức tương đương với        – CB ) – EC + DB = 0 ( AC- AE)+ (CD     EC + BD – EC + DB = 0    BD + DB = 0 (đúng) ĐPCM. Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng A     a) BA + DA + AC = 0      b) OA + OB + OC + OD = 0     c) MA + MC = MB + MD . B O D C Hình 1.12 Lời giải (Hình 1.12)       a) Ta có BA + DA + AC = -AB – AD + AC    = – AB + AD + AC ( )    Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC suy ra       BA + DA + AC = -AC + AC = 0        b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: OA = CO  OA + OC = OA + AO = 0         Tương tự: OB + OD = 0  OA + OB + OC + OD = 0 .        c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC  BA + DC = BA + AB = 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 581        MA + MC = MB + BA + MD + DC       = MB + MD + BA + DC = MB + MD Cách 2: Đẳng thức tương đương với       MA – MB = MD – MC  BA = CD (đúng do ABCD là hình bình hành) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB . Chứng minh rằng     a) BM + CN + AP = 0      b) AP + AN – AC + BM = 0       c) OA + OB + OC = OM + ON + OP với O là điểm bất kì. Lời giải (Hình 1.13) a) Vì PN , MN là đường trung bình của tam giác ABC nên PN / / BM , MN / / BP suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành    BM  PN   N là trung điểm của AC  CN  NA Do đó theo quy tắc ba điểm ta có       BM + CN + AP = PN + NA + AP    = PA + AP = 0 ( A N P B ) M C Hình 1.13    b) Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có AP + AN = AM , kết hợp với quy tắc trừ           AP + AN – AC + BM = AM – AC + BM = CM + BM    Mà CM + BM = 0 do M là trung điểm của BC .      Vậy AP + AN – AC + BM = 0 . c) Theo quy tắc ba điểm ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 582          OA + OB + OC = OP + PA + OM + MB + ON + NC       = OM + ON + OP + PA + MB + NC       = OM + ON + OP – BM + CN + AP ( ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) )           Theo câu a) ta có BM + CN + AP = 0 suy ra OA + OB + OC = OM + ON + OP . C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho ba điểm A, B , C phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng?       A. AB  AC  BC. B. MP  NM  NP.       C. CA  BA  CB. D. AA  BB  AB. Lời giải Chọn B Xét các đáp án:      Đáp án A. Ta có AB  AC  AD  BC (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy A sai.       Đáp án B. Ta có MP  NM  NM  MP  NP . Vậy B đúng.        Đáp án C. Ta có CA  BA   AC  AB   AD  CB (với D là điểm thỏa mãn  Câu 2: Câu 3:  ABDC là hình bình hành). Vậy C sai.        Đáp án D. Ta có AA  BB  0  0  0  AB . Vậy D sai.      Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định nào sau đây sai?     A. Hai vectơ a, b cùng phương. B. Hai vectơ a, b ngược hướng.     C. Hai vectơ a, b cùng độ dài. D. Hai vectơ a, b chung điểm đầu. Lời giải Chọn D.     Ta có a  b . Do đó, a và b cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau. Cho ba điểm phân biệt A, B , C . Đẳng thức nào sau đây đúng?       A. CA  BA  BC. B. AB  AC  BC.       C. AB  CA  CB. D. AB  BC  CA. Lời giải Chọn C. Xét các đáp án: Câu 4:        Đáp án A. Ta có CA  BA  CA  AB  CB   BC . Vậy A sai.      Đáp án B. Ta có AB  AC  AD  BC (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy B sai.       Đáp án C. Ta có AB  CA  CA  AB  CB . Vậy C đúng.   Cho AB  CD . Khẳng định nào sau đây đúng? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 583   A. AB và CD cùng hướng. C. ABCD là hình bình hành.   B. AB và CD cùng độ dài.    D. AB  DC  0. Lời giải Chọn B.    Ta có AB  CD  DC . Do đó:    AB và CD ngược hướng.    AB và CD cùng độ dài.    ABCD là hình bình hành nếu AB và CD không cùng giá.     AB  CD  0. Câu 5:      Tính tổng MN  PQ  RN  NP  QR .   A. MR. B. MN .  C. PR. Lời giải  D. MP. Chọn B.            Ta có MN  PQ  RN  NP  QR  MN  NP  PQ  QR  RN  MN . Câu 6: Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là:       A. IA  IB. B. IA  IB. C. IA   IB. D. AI  BI . Lời giải Chọn C. Câu 7: Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB ?         A. IA  IB. B. IA  IB  0. C. IA  IB  0. D. IA  IB. Lời giải Chọn B.      Điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB là IA   IB  IA  IB  0 . Câu 8: Cho tam giác ABC cân ở A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?         A. AB  AC. B. HC   HB. C. AB  AC . D. BC  2 HC. Lời giải Chọn A. A B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 H C Trang 584 Tam giác ABC cân ở A , đường cao AH . Do đó, H là trung điểm BC . Ta có:    AB  AC  AB  AC    HC   HB  H là trung điểm BC     .  BC  2 HC Câu 9: Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?       A. AB  BC. B. AB  CD. C. AC  BD.   D. AD  CB . Lời giải Chọn D. A B D C      ABCD là hình vuông  AD  BC  CB  AD  CB . Câu 10: Mệnh đề nào sau đây sai?    A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA  MB  0.     B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA  GB  GC  0.    C. Nếu ABCD là hình bình hành thì CB  CD  CA. D. Nếu ba điểm phân biệt A, B , C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì    AB  BC  AC . Lời giải Chọn D. Với ba điểm phân biệt A, B , C nằm trên một đường thẳng, đẳng thức    AB  BC  AC  AB  BC  AC xảy ra khi B nằm giữa A và C . Câu 11: Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?        A. OA  OB  CD. B. OB  OC  OD  OA.        C. AB  AD  DB. D. BC  BA  DC  DA. Lời giải Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 585 Xét các đáp án:      Đáp án A. Ta có OA  OB  BA  CD . Vậy A đúng.     OB  OC  CB   AD  Đáp án B. Ta có     . Vậy B sai. OD  OA  AD     Đáp án C. Ta có AB  AD  DB. Vậy C đúng.     BC  BA  AC  Đáp án D. Ta có     . Vậy D đúng.  DC  DA  AC Câu 12: Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây đúng?       A. AB  BC  DB. B. AB  BC  BD.       C. AB  BC  CA. D. AB  BC  AC. Lời giải Chọn A.   Do ABCD là hình bình hành nên BC  AD.      Suy ra AB  BC  AB  AD  DB.   Câu 13: Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Tính OB  OC .    A. OB  OC  BC. B.     C. OB  OC  OD  OA. D. Lời giải Chọn B. Ta có     OB – OC = CB = DA    OB  OC  DA.    OB  OC  AB. . Câu 14: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Mệnh đề nào sau đây đúng?      A. AB  BC  CA. B. CA   AB.      D. CA   BC. C. AB  BC  CA  a. Lời giải Chọn C.    Độ dài các cạnh của tam giác là a thì độ dài các vectơ AB  BC  CA  a . Câu 15: Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC. Mệnh đề nào sau đây đúng?        A. AM  MB  BA  0. B. MA  MB  AB. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 586    D. AB  AC  AM . Lời giải    C. MA  MB  MC. Chọn A. Xét các đáp án:      Đáp án A. Ta có AM  MB  BA  0 (theo quy tắc ba điểm).      Đáp án B, C. Ta có MA  MB  2 MN  AC (với điểm N là trung điểm của AB ).     Đáp án D. Ta có AB  AC  2 AM . Câu 16: Cho tam giác ABC với M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB . Khẳng định nào sau đây sai?         A. AB  BC  CA  0. B. AP  BM  CN  0.        C. MN  NP  PM  0. D. PB  MC  MP. Lời giải Chọn D. Xét các đáp án:       Đáp án A. Ta có AB  BC  CA  AA  0.    1  1  1   Đáp án B. Ta có AP  BM  CN  AB  BC  CA 2 2 2 1    1    AB  BC  CA  AA  0. 2 2         Đáp án C. Ta có MN  NP  PM  MM  0. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 587   1  1  1      Đáp án D. Ta có PB  MC  AB  BC  AC  AN  PM   MP. 2 2 2 Câu 17: Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Mệnh đề nào sau đây đúng?     A. AB  BC  AC. B. AB  BC  CA  0.        D. AB  CA  BC. C. AB  BC  CA  BC . Lời giải Chọn B. Đáp án A chỉ đúng khi ba điểm A, B , C thẳng hàng và B nằm giữa A, C . Đáp án B đúng theo quy tắc ba điểm. Câu 18: Cho tam giác ABC có AB  AC và đường cao AH .    A. AB  AC  AH . B.    C. HB  HC  0. D. Lời giải Chọn C. Đẳng thức nào sau đây đúng?     HA  HB  HC  0.   AB  AC. Do ABC cân tại A , AH là đường cao nên H là trung điểm BC . Xét các đáp án:     Đáp án A. Ta có AB  AC  2 AH .         Đáp án B. Ta có HA  HB  HC  HA  0  HA  0.     Đáp án C. Ta có HB  HC  0 (do H là trung điểm BC ).      Đáp án D. Do AB và AC không cùng phương nên AB  AC. Câu 19: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?         A. AH  HB  AH  HC . B. AH  AB  AH  AC.        C. BC  BA  HC  HA. D. AH  AB  AH . Lời giải Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 588 Do ABC cân tại A , AH là đường cao nên H là trung điểm BC . Xét các đáp án:     AH  HB  AB  a   Đáp án A. Ta có      AH  HC  AC  a      AH  HB  AH  HC .     AH  AB  BH  Đáp án B. Ta có      . Do đó B sai.  AH  AC  CH   BH         BC  BA  AC  Đáp án C. Ta có       BC  BA  HC  HA.  HC  HA  AC      Đáp án D. Ta có AB  AH  HB  AH (do ABC vuông cân tại A ). Câu 20: Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA của tam giác ABC. Hỏi vectơ   MP  NP bằng vectơ nào trong các vectơ sau?      A. AP. B. BP. C. MN . D. MB  NB. Lời giải Chọn B.         MP  NP  MP  BM  BP. Ta có NP  BM  Câu 21: Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với  O  tại hai điểm A và B. Mệnh đề nào sau đây đúng?     A. OA  OB. B. AB  OB. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. OA  OB. D. AB   BA. Trang 589 Lời giải Chọn A. Do hai tiếp tuyến song song và A, B là hai tiếp điểm nên AB là đường kính. Do đó O là trung điểm của AB .   Suy ra OA  OB . Câu 22: Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT , MT  ( T và T  là hai tiếp điểm). Khẳng định nào sau đây đúng?     A. MT  MT . B. MT  MT   TT . C. MT  MT . D. OT  OT . Lời giải Chọn C. Do MT , MT  là hai tiếp tuyến ( T và T  là hai tiếp điểm) nên MT  MT  . Câu 23: Cho bốn điểm phân biệt A, B , C , D. Mệnh đề nào sau đây đúng?         A. AB  CD  AD  CB. B. AB  BC  CD  DA.         C. AB  BC  CD  DA. D. AB  AD  CD  CB. Lời giải Chọn A.             Ta có AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB  DB  BD  AD  CB.      Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133    Trang 590  Câu 24: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng CA ?         A. BC  AB. B. OA  OC. C. BA  DA. D. DC  CB. Lời giải Chọn C. Xét các đáp án:        Đáp án A. Ta có BC  AB  AB  BC  AC  CA.        Đáp án B. Ta có OA  OC  OC  OA  AC  CA.        Đáp án C. Ta có BA  DA   AD  AB   AC  CA.         Đáp án D. Ta có DC  CB  DC  BC   CD  CB  CA.     Câu 25: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai?         A. OA  OC  OE  0. B. OA  OC  OB  EB.        C. AB  CD  EF  0. D. BC  EF  AD. Lời giải Chọn D. Ta có           OA  OC  OE  OA  OC  OE  OB  OE  0. Do đo A đúng.          OA  OC  OB  OA  OC  OB        OB  OB  2OB  EB. Do đo B đúng.           AB  CD  EF  AB  CD  EF  AB  BO  EF    Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133  Trang 591        AO  EF  AO  OA  AA  0. Do đó C đúng. Dùng phương pháp loại trừ, suy ra D sai. Câu 26: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Hỏi vectơ   AO  DO bằng vectơ nào trong các vectơ sau?     A. BA. B. BC. C. DC . D. AC . Lời giải Chọn B.           Ta có AO  DO  OA  OD  OD  OA  AD  BC . Câu 27: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Đẳng thức nào sau đây sai?         A. OA  OB  OC  OD  0. B. AC  AB  AD.         D. AB  CD  AB  CB. C. BA  BC  DA  DC . Lời giải Chọn D. Xét các đáp án:           Đáp án A. Ta có OA  OB  OC  OD  OA  OC  OB  OD  0.     Đáp án B. Ta có AB  AD  AC (quy tắc hình bình hành).     BA  BC  BD  BD   Đáp án C. Ta có     .  DA  DC  DB  BD        Đáp án D. Do CD  CB  AB  CD  AB  CB .         Câu 28: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB , BC . Đẳng thức nào sau đây sai?       A. DO  EB  EO. B. OC  EB  EO. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 592       C. OA  OC  OD  OE  OF  0.     D. BE  BF  DO  0. Lời giải Chọn D. Ta có OF , OE lần lượt là đường trung bình của tam giác BCD và ABC .  BEOF là hình bình hành.            BE  BF  BO  BE  BF  DO  BO  DO  OD  OB  BD. Câu 29: Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?         A. GA  GC  GD  BD. B. GA  GC  GD  CD.         C. GA  GC  GD  O. D. GA  GD  GC  CD. Lời giải Chọn A.     Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA  GB  GC  O     GA  GC  GB.         Do đó GA  GC  GD  GB  GD  GD  GB  BD. Câu 30: Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?       A. AC  BD. B. AB  AC  AD  0.         D. BC  BD  AC  AB . C. AB  AD  AB  AD . Lời giải Chọn C. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 593     AB  AD  DB  BD  Ta có     .  AB  AD  AC  AC     Mà BD  AC  AB  AD  AB  AD .   Câu 31: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính AB  AC .   A. AB  AC  a 3.   a 3 . B. AB  AC  2   D. AB  AC  2a 3.   C. AB  AC  2a. Lời giải Chọn A. A B C H Gọi H là trung điểm của BC  AH  BC. Suy ra AH  BC 3 a 3  . 2 2    a 3  a 3. Ta lại có AB  AC  2 AH  2. 2   Câu 32: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB  a . Tính AB  AC .   A. AB  AC  a 2.   a 2 . B. AB  AC  2   D. AB  AC  a.   C. AB  AC  2a. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 594 Chọn A.  AM  Gọi M là trung điểm BC  1 BC. 2    Ta có AB  AC  2 AM  2 AM  BC  a 2.   Câu 33: Cho tam giác ABC vuông cân tại C và AB  2. Tính độ dài của AB  AC.     A. AB  AC  5. B. AB  AC  2 5.     C. AB  AC  3. D. AB  AC  2 3. Lời giải Chọn A. Ta có AB  2  AC  CB  1. Gọi I là trung điểm BC  AI  AC 2  CI 2  5 . 2       5  5. Khi đó AC  AB  2 AI  AC  AB  2 AI  2. 2   Câu 34: Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB  3, AC  4 . Tính CA  AB .     A. CA  AB  2. B. CA  AB  2 13.     C. CA  AB  5. D. CA  AB  13. Lời giải Chọn C. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 595    Ta có CA  AB  CB  CB  AC 2  AB 2  32  42  5 .     120 . Tính AB  AC . Câu 35: Tam giác ABC có AB  AC  a và BAC     A. AB  AC  a 3. B. AB  AC  a.   D. AB  AC  2a.   a C. AB  AC  . 2 Lời giải Chọn B. Gọi M là trung điểm BC  AM  BC. a ABM  a.sin 300  . Trong tam giác vuông AMB , ta có AM  AB.sin  2    Ta có AB  AC  2 AM  2 AM  a.   Câu 36: Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC . Tính CA  HC .   a A. CA  HC  . 2   2 3a . C. CA  HC  3   3a B. CA  HC  . 2   a 7 . D. CA  HC  2 Lời giải Chọn D. Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ACHD là hình bình hành  AHBD là hình chữ nhật. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 596      CA  HC  CA  CH  CD  CD. 3a 2 a 7 Ta có CD  BD  BC  AH  BC   a2  . 4 2 2 2 2 2 Câu 37: Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC  12. Tính độ dài của    vectơ v  GB  GC .     A. v  2. B. v  2 3. C. v  8. D. v  4. Lời giải Chọn D. Gọi M là trung điểm của BC.    1 2 21  BC  4. Ta có GB  GC  2GM  2GM  2. AM  AM   BC   3 3 32 3    Câu 38: Cho hình thoi ABCD có AC  2a và BD  a. Tính AC  BD .     A. AC  BD  3a. B. AC  BD  a 3.   C. AC  BD  a 5.   D. AC  BD  5a. Lời giải Chọn C. Gọi O  AC  BD và M là trung điểm của CD . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 597      Ta có AC  BD  2 OC  OD  2 2OM  4OM 1 a2 2 2  4. CD  2 OD  OC  2  a 2  a 5. 2 4   Câu 39: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB  DA .     A. AB  DA  0. B. AB  DA  a.   C. AB  DA  a 2.   D. AB  DA  2a. Lời giải Chọn C.      Ta có AB  DA  AB  AD  AC  AC  a 2.   Câu 40: Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O. Tính OB  OC .     A. OB  OC  a. B. OB  OC  a 2.   a 2 . D. OB  OC  2   a C. OB  OC  . 2 Lời giải Chọn A. Gọi M là trung điểm của BC .    Ta có OB  OC  2 OM  2OM  AB  a.     Câu 41: Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA  MB  MC  0 . Xác định vị trí điểm M. A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM . B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB. C. M trùng với C. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 598 D. M là trọng tâm tam giác ABC. Lời giải Chọn D. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .     Ta có GA  GB  GC  0  M  G . Câu 42: Cho tam giác ABC. Tập hợp tất cả các điểm     MB  MC  BM  BA là M thỏa mãn đẳng thức A. đường thẳng AB. B. trung trực đoạn BC. C. đường tròn tâm A, bán kính BC. D. đường thẳng qua A và song song với BC. Lời giải Chọn C.       Ta có MB  MC  BM  BA  CB  AM  AM  BC Mà A, B , C cố định  Tập hợp điểm M là đường tròn tâm A , bán kính BC . Câu 43: Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng thức     MA  MB  MC  MD là A. một đường tròn. B. một đường thẳng. C. tập rỗng. D. một đoạn thẳng. Lời giải Chọn C.           MA  MB  MC  MD  MB  MC  MD  MA  CB  AD : vô lí  Không có điểm M thỏa mãn.    Câu 44: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MB  MC  AB . Tìm vị trí điểm M . A. M là trung điểm của AC. B. M là trung điểm của AB. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 599 C. M là trung điểm của BC. ABCM . D. M là điểm thứ tư của hình bình hành Lời giải Chọn A.    Gọi I là trung điểm của BC  MB  MC  2 MI    AB  2MI  M là trung điểm AC.     Câu 45: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA  MB  MC  0 . Mệnh đề nào sau đây sai?    A. MABC là hình bình hành. B. AM  AB  AC.    C. BA  BC  BM .   D. MA  BC . Lời giải Chọn D.          Ta có MA  MB  MC  0  BA  MC  0  MC  AB    MABC là hình bình hành  MA  CB. Do đó D sai. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 600 BÀI 3. TÍCH VECTƠ VỚI MỘT SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa     Cho số k  0 và vectơ a  0. Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k a ,    cùng hướng với a nếu k  0, ngược hướng với a nếu k  0 và có độ dài bằng k . a . 2. Tính chất   Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k , ta có      k a b  k a kb ;       h  k  a  h a  k a ;    h  k a    hk  a ;      1.a  a ,  1 .a   a. 3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có    MA + MB = 2 MI . b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có     GA + GB + GC = 3 MG. 4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương     Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b b  0 cùng phương là có một số k để     a  k b. Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để   AB  k AC. 5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương    Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một  cách duy nhất theo hai vectơ a và  b,    x = h a + k b. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho Trang 601 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số. 1. Phương pháp giải. Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a . điểm M là trung điểm BC . Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng. a) 1   CB  MA 2 c) 1   AB  2 AC 2  1  b) BA  BC 2 c)  3  MA  2,5MB 4 Lời giải (Hình 1.14) 1   CB  CM suy ra theo quy tắc ba điểm ta có 2 a) Do A L 1      CB  MA  CM  MA  CA 2 Vậy K 1   CB  MA  CA  a 2 C 1   BC  BM nên theo quy tắc trừ ta có 2  1     BA  BC  BA  BM  MA 2 N M B H b) Vì Q P Hình 1.14 Theo định lí Pitago ta có 2 a 3 a MA  AB 2  BM 2  a 2     2 2  1  a 3 Vậy BA  BC  MA  2 2 c) Gọi N là trung điểm AB , Q là điểm đối xứng của A qua C và P là đỉnh của hình bình hành AQPN . 1     AB  AN , 2 AC  AQ 2 1      AB  2 AC  AN  AQ  AP 2 Khi đó ta có suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 602 Gọi L là hình chiếu của A lên QN    Vì MN / / AC  ANL  MNB  CAB  600 a 3  AL  a Xét tam giác vuông ANL ta có sin ANL   AL  AN .sin ANL  sin 600  AN 2 4 a  NL  a cos ANL   NL  AN .cos ANL  cos 600  2 4 AN Ta lại có AQ  PN  PL  PN  NL  AQ  NL  2a  a 9a  4 4 Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ALP ta có AP 2  AL2  PL2  Vậy 3a 2 81a 2 21a 2 a 21    AP  16 16 4 2 1   a 21 AB  2 AC  AP  2 2 d) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho MK  3 MA , H thuộc tia MB sao cho 4 MH  2,5MB . Khi đó   3   MA  MK , 2,5MB  MH 4 Do đó     3  MA  2,5MB  MK  MH  HK 4 Ta có MK  3 3 a 3 3 3a a 5a AM  .  , MH  2,5MB  2,5.  4 4 2 8 2 4 Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vuông KMH ta có KH  MH 2  MK 2  Vậy 25a 2 27 a 2 a 127   16 64 8  3  a 127 MA  2,5MB  KH  4 8 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a .      a) Chứng minh rằng u = 4MA – 3MB + MC – 2MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M.  b) Tính độ dài vectơ u Lời giải (Hình 1.15) a) Gọi O là tâm hình vuông. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 603 Theo quy tắc ba điểm ta có          u = 4 ( MO + OA ) – 3 ( MO + OB ) + ( MO + OC ) – 2 ( MO + OD )     = 4OA – 3OB + OC – 2OD A’        Mà OD = -OB , OC = -OA nên u = 3OA – OB  Suy ra u không phụ thuộc vào vị trí điểm M A b) Lấy điểm A ‘ trên tia OA sao cho OA ‘  3OA khi đó       OA ‘ = 3OA do đó u = OA ‘ – OB = BA ‘ D B O Hình 1.15 C Mặt khác BA ‘ = OB 2 + OA ‘2 = OB 2 + 9OA2 = a 5  Suy ra u = a 5 DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ. 1. Phương pháp giải. Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng:  Các tính chất phép toán vectơ  Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ  Tính chất trung điểm:    M là trung điểm đoạn thẳng AB  MA + MB = 0    M là trung điểm đoạn thẳng AB  OA + OB = 2OM (Với O là điểm tuỳ ý)  Tính chất trọng tâm:     G là trọng tâm của tam giác ABC  GA +GB +GC =O     G là trọng tâm của tam giác ABC  OA +OB +OC =OG (Với O là điểm tuỳ ý) 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ .Chứng minh rằng:    a) AC + BD = 2IJ      b) OA + OB + OC + OD = 0      c) MA + MB + MC + MD = 4MO với M là điểm bất kì Lời giải (Hình 1.16) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 604 A B I O D J Hình C 1.16 a) Theo quy tắc ba điểm ta có       AC = AI + IJ = AI + IJ + JC     Tương tự BD = BI + IJ + JD       Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên AI + BI = 0, JC + JD = 0         Vậy AC + BD = ( AI + BI ) + ( JC + JD ) + 2IJ = 2IJ đpcm       b) Theo hệ thức trung điểm ta có OA + OB = 2OI , OC + OD = 2OJ    Mặt khác O là trung điểm IJ nên OI + OJ = 0        Suy ra OA + OB + OC + OD = 2 OI + OJ = 0 đpcm ( )      c) Theo câu b ta có OA + OB + OC + OD = 0 do đó với mọi điểm M thì      OA + OB + OC + OD = 0           OM + MA + OM + MA + OM + MA + OM + MA = 0 ( ) ( ) ( ) ( )       MA + MB + MC + MD = 4MO đpcm Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC và A1B1C 1 có cùng trọng tâm G. Gọi G1 , G2 , G 3 lần lượt là trọng     tâm tam giác BCA1 , ABC 1 , ACB1 . Chứng minh rằng GG1 + GG2 + GG 3 = 0 Lời giải     Vì G1 là trọng tâm tam giác BCA1 nên 3GG1 = GB + GC + GA1 Tương tự G2 , G 3 lần lượt là trọng tâm tam giác ABC 1 , ACB1 suy ra         3GG2 = GA + GB + GC 1 và 3GG 3 = GA + GC + GB1 Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có          GG1 + GG2 + GG3 = 2 (GA + GB + GC ) + (GA1 + GB1 + GC 1 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 605 Mặt khác hai tam giác ABC và A1B1C 1 có cùng trọng tâm G nên        GA + GB + GC = 0 và GA1 + GB1 + GC 1     Suy ra GG1 + GG2 + GG 3 = 0 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng     a) HA + HB + HC = 2HO     b) OA + OB + OC = OH    c) GH + 2GO = 0 Lời giải (Hình 1.17)     a) Dễ thấy HA + HB + HC = 2HO nếu tam giác ABC vuông A Nếu tam giác ABC không vuông gọi D là điểm đối xứng của A qua O khi đó BH / /DC (vì cùng vuông góc với AC) BD / /CH (vì cùng vuông góc với AB) B Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình    bình hành thì HB + HC = HD (1)    Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên HA + HD = 2HO (2)     Từ (1) và (2) suy ra HA + HB + HC = 2HO H O C D Hình 1.17 b) Theo câu a) ta có     HA + HB + HC = 2HO         HO + OA + HO + OB + HO + OC = 2HO ( ) ( ) ( )      OA + OB + OC = OH đpcm     c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OA + OB + OC = 3OG     Mặt khác theo câu b) ta có OA + OB + OC = OH          Suy ra OH = 3OG  (OG + GH ) – 3OG = 0  GH + 2GO = 0 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b và có trọng tâm G. Gọi D, E , F lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC , CA, AB . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 606     Chứng minh rằng a 2 .GD + b 2 .GE + c 2 .GF = 0 Lời giải (hình 1.18) Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho GN = a , GP = b , GQ = c và dựng hình bình hành GPRN     Ta có a 2 .GD + b 2 .GE + c 2 .GF = 0      a.GD.GN + b.GE .GP + c.GF .GQ = 0 (*) E F Ta có a.GD  2 S GBC , b.GE  2 S GCA , c.GF  2 S GAB , mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên S GBC  S GCA  S GAB B P A Q G D R C suy ra a.GD  b.GE  c.GF     Vậy (*)  GN + GP + GQ = 0 N Hình 1.18   Ta có AC  GP  b, PR  BC  a và ACB  GPR (góc có cặp cạnh vuông góc với nhau) Suy ra DACB = DGPR ( c.g .c )    GR = AB = c và PGR = BAC     Ta có QGP + BAC = 1800  QGP + GPR = 1800  Q , G , R thẳng hàng do đó G là trung điểm của QR Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có       GN + GP + GQ = GR + GQ = 0     Vậy a 2 .GD + b 2 .GE + c 2 .GF = 0 . Ví dụ 5: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b . Gọi I là tâm đường tròn     nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng aIA + bIB + cIC = 0 Lời giải Cách 1: (Hình 1.19)Gọi D là chân đường phân giác góc A Do D là đường phân giác giác trong góc A nên ta có  c  DB c =  BD = DC DC b b   c    ID – IB = IC – ID  b    (b + c ) ID = bIB + cIC (1) ( ) A Do I là chân đường phân giác nên ta có : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 I B D Hình 1.19 C Trang 607 ID BD CD BD + CD a = = = = IA BA  CA BA b +c  + CA  (b + c ) ID = -aIA (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh Cách 2: (hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’    Ta có IC = IA ‘ + IB ‘ (*) A Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác trong ta có : B’    IB BA1 c b = =  IB ‘ = – IB (1) I IB ‘ CA1 b c C B  a  Tương tự : IA ‘ = – IA (2) C’ c Hình 1.20 Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có :      a  b  IC = – IA – IB  aIA + bIB + cIC = 0 c c DẠNG 3: Xác định điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước 1. Phương pháp giải.      Ta biến đổi đẳng thức vectơ về dạng AM = a trong đó điểm A và a đã biết. Khi đó tồn tại   duy nhất điểm M sao cho AM = a , để dựng điểm M ta lấy A làm gốc dựng một vectơ bằng  vectơ a suy ra điểm ngọn vectơ này chính là điểm M. Ta biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác 2. Các ví dụ.    Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết 2MA – 3MB = 0 Lời giải (hình 1.21)    Ta có 2MA – 3MB = 0      2MA – 3 ( MA + AB ) = 0    AM = 3AB A B M Hình 1.21 M nằm trên tia AB và AM = 3AB Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm     a) 2MA + MB + MC = 0      b) NA + NB + NC + ND = 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 M , N , P sao cho B K A P M N I G D H Hình 1.22 C Trang 608      c) 3PA + PB + PC + PD = 0 Lời giải (hình 1.22)    a) Gọi I là trung điểm BC suy ra MB + MC = 2MI     Do đó 2MA + MB + MC = 0       2MA + 2MI = 0  MA + MI = 0 Suy ra M là trung điểm AI b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có         NA + NB + NC + ND = 0  2NK + 2NH = 0     NK + NH = 0  N là trung điểm của KH     c) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD khi đó ta có PB + PC + PD = 3PG         Suy ra 3PA + PB + PC + PD = 0  3PA + 3PG = 0     PA  PG  0  P là trung điểm AG . Ví dụ 3: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực a , b thoả mãn a + b ¹ 0. Chứng minh rằng    tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn aIA + b IB = 0.    Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thì aMA + b MB = (a + b )MI . Lời giải        Ta có: aIA + b IB = 0  aIA + b(IA + AB ) = 0        (a + b )IA + b AB = 0.  (a + b )AI = b AB  AI = Vì A, B cố định nên vectơ b  AB. a+b b  AB không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn điều kiện. a+b Từ đó suy ra       aMA + b MB = a(MI + IA) + b(MI + IB )     = (a + b )MI + (aIA + b IB ) = (a + b )MI đpcm. DẠNG 4: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. 1. Phương pháp giải. Sử dụng các tính chất phép toán vectơ, ba quy tắc phép toán vectơ và tính chất trung điểm, trọng tâm trong tam giác. 2. Các ví dụ. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 609     Ví dụ 1: Cho tam giác ABC . Đặt a = AB, b = AC .   1   a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: AM = AB, CN = 2BC 3      b) Hãy phân tích CM , AN , MN qua các véc tơ a và b .   c) Gọi I là điểm thỏa: MI = CM . Chứng minh I , A, N thẳng hàng Lời giải (hình 1.23)    1  1 a) Vì AM = AB suy ra M thuộc cạnh AB và AM = AB ; CN = 2BC , suy ra N thuộc tia 3 3 BC và CN = 2BC . A     1  1  b) Ta có: CM = CA + AM = -AC + AB = a – b 3 3 M           AN = AB + BN = AB + 3BC = AB + 3(AC – AB ) = -2a + 3b B C       1 7 MN = MA + AN = – a – 2a + 3b = – a + 3b . 3 3 N Hình 1.23      1   1 1  1 c) Ta có: AI = AM + MI = AB + CM = a + a – b = – (-2a + 3b) 3 3 3 3  1   AI = – AN  A, I, N thẳng hàng. 3 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 3CM , trên đoạn AM lấy N sao cho 2AN = 5MN . G là trọng tâm tam giác ABC .     a) Phân tích các vectơ AM , BN qua các véc tơ AB và AC     b) Phân tích các vectơ GC , MN qua các véc tơ GA và GB Lời giải (hình 1.24)  3   5  a) Theo giả thiết ta có: BM = BC và AN = AM 4 7 A     3  suy ra AM = AB + BM = AB + BC 4  3   1  3  = AB + AC – AB = AB + AC 4 4 4 ( )     5  BN = BA + AN = -AB + AM 7 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 N B M C Hình 1.24 Trang 610  5 æ 1  3  ö 23  15  = -AB + çç AB + AC ÷÷÷ = – AB + AC 7 çè 4 4 28 28 ø        b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB + GC = 0 suy ra GC = -GA – GB  2  2 æ 1  3  ö Ta có MN = – AM = – çç AB + AC ÷÷÷ ø 7 7è4 4 =- 1   3   GB – GA ) – (GC – GA ) ( 14 14    1   3 GB – GA ) – ( -GA – GB – GA ) ( 14 14 1  1  = GA + GB 2 7 =- Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM , CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB . Phân tích các vectơ      AN , MN , AG qua các véc tơ AB và AC Lời giải (hình 1.25) A     1  Ta có: AN = AC + CN = AC – AB 2    1   1  MN = MA + AN = – AB + AC – AB 3 2    5 = – AB + AC 6 M B G D C N Hình 1.25 Vì G là trọng tâm tam giác MNB     1  æ  1  ö  5   3AG = AM + AN + AB = AB + çç AC – AB ÷÷÷ + AB = AB + AC è ø 3 2 6 nên  5  1  Suy ra AG = AB + AC 18 3 DẠNG 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác cùng trọng tâm 1. Phương pháp giải.  Để chứng minh hai điểm A1 và A2 trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau :   Cách 1: Chứng minh A1A2 = 0.   Cách 2: Chứng minh OA1 = OA2 với O là điểm tuỳ ý.  Để chứng minh hai tam giác ABC và A ‘ B ‘C ‘ cùng trọng tâm ta làm như sau: Cách 1: Chứng minh G là trọng tâm DABC trùng với G ‘ là trọng tâm DA ‘ B ‘C ‘ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 611     Cách 2: Gọi G là trọng tâm DABC (tức ta có GA + GB + GC = 0 ) ta đi chứng minh     GA ‘ + GB ‘ + GC ‘ = 0 2. Các ví dụ.   Ví dụ 1: Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. Lời giải     Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC suy ra AI = ID , CJ = JB         Do đó AB = CD  AI + IJ + JB = CJ + JI + ID      IJ = JI  IJ = 0 hay I trùng với J Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM BN CP . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. = = AB BC CA Lời giải Giả sử       AM = k suy ra AM = kAB ; BN = kBC ; CP = kCA AB Cách 1: Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm DABC và DMNP         Suy ra GA + GB + GC = 0 và G ‘ M + G ‘ N + G ‘ P = 0 (*)       Ta có AM = kAB  AG + GG ‘ + G ‘ M = kAB     Tương tự BG + GG ‘ + G ‘ N = kBC     Và CG + GG ‘ + G ‘ P = kCA Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được           AG + BG + CG + 3GG ‘ + G ‘ M + G ‘ N + G ‘ P = k AB + BC + CA Kết hợp với (*) ta   được GG ‘ = 0 ( ) ( ) ( ) Suy ra điều phải chứng minh     Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA + GB + GC = 0          Ta có: GM + GN + GP = GA + AM + GB + BN + GC + CP           = AM + BN + CP = kAB + kBC + kCA = k (AB + BC + CA) = 0 Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. Ví dụ 3: Cho lục giác ABCDEF . Gọi M , N , P , Q , R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CD , DE , EF , FA . Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 612 Lời giải (hình 1.26) Gọi G là trọng tâm của DMPR suy ra     GM + GP + GR = 0 (*)       Mặt khác 2GM = GA + GB, 2GP = GC + GD, B C N M P A D S Q F E R Hình 1.26             2GR = GE + GF .  2(GM + GP + GR) = GA + GB + GC + GD + GE + GF Kết hợp với (*) ta được        GA + GB + GC + GD + GE + GF = 0         (GA + GF ) + (GB + GC ) + (GD + GE ) = 0      2GS + 2GN + 2GQ = 0      GS + GN + GQ = 0 Suy ra G là trọng tâm của DSNQ . Vậy DMPR và DSNQ có cùng trọng tâm. Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành ABCD và AB ‘C ‘ D ‘ chung đỉnh A. Chứng minh rằng hai tam giác BC ‘ D và B ‘CD ‘ cùng trọng tâm. Lời giải (hình 1.27)     Gọi G là trọng tâm tam giác BC ‘ D suy ra GB + GC ‘ + GD = 0         GB ‘ + GC + GD ‘ + B ‘ B + CC ‘ + DD ‘ = 0 (1) Mặt khác theo quy tắc phép trừ và hình bình hành ta có B C B’ A D C’ D’ Hình 1.27          B ‘ B + CC ‘ + D ‘ D = ( AB – AB ‘ ) + ( AC ‘ – AC ) + ( AD – AD ‘ )       = ( AB + AD ) – AC – ( AB ‘ + AD ‘ ) + AC      = AC – AC – AC ‘ + AC = 0 (2)     Từ (1) và (2) ta có GB ‘ + GC + GD ‘ = 0 hay G là trọng tâm tam giác B ‘CD ‘ DẠNG 6: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trước. 1. Phương pháp giải. Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn mãn điều kiện vectơ ta quy về một trong các dạng sau Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 613   – Nếu MA = MB với A, B phân biệt cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.   – Nếu MC = k . AB với A, B, C phân biệt cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính  bằng k . AB .   – Nếu MA = kBC với A, B, C phân biệt và k là số thực thay đổi thì + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC với k Î R  + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng BC với k > 0  + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng BC với k < 0   - Nếu MA = kBC , B ¹ C với A, B, C thẳng hàng và k thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng BC 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC     a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : 2IA + 3IB + 4IC = 0 .      b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA . Lời giải           a) Ta có: 2IA + 3IB + 4IC = 0  2IA + 3(IA + AB) + 4(IA + AC ) = 0       3AB + 4AC  9IA = -3AB - 4AC  IA =  I tồn tại và duy nhất. 9 b) Với I là điểm được xác định ở câu a, ta có:            2MA + 3MB + 4MC = 9MI + (2IA + 3IB + 4IC ) = 9MI và MB - MA = AB nên        AB | 2MA + 3MB + 4MC |=| MB - MA || 9MI |=| AB | MI = 9 Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính AB . 9 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau :     a) MA + MB = MA + MC      b) MA + MB = k ( MA + 2MB - 3MC ) với k là số H thực thay đổi Lời giải (hình 1.28) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C F A Trang 614 E Hình 1.28 B a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC suy ra       MA + MB = 2ME và MA + MC = 2MF     Khi đó MA + MB = MA + MC    2ME = 2MF  ME = MF Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF         b) Ta có MA + 2MB - 3MC = MA + 2 ( MA + AB ) - 3 ( MA + AC )      = 2AB - 3AC = 2AB - 2AH = 2HB  3  Với H là điểm thỏa mãn AH = AC 2      Suy ra MA + MB = k ( MA + 2MB - 3MC )      2ME = 2kHB  ME = kHB Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua E và song song với HB Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD . Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho     AM = kAB , DN = kDC . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi. Lời giải (hình 1.29) Gọi O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC, ta có         AB = AO + OO ' + O ' B và DC = DO + OO ' + O 'C    Suy ra AB + DC = 2OO ' Tương tự vì O, I lần lượt là trung điểm của AD và MN nên    AM + DN = 2OI A B M O I D N O' C Hình 1.29  1    Do đó OI = ( kAB + kDC ) = kOO ' 2 Vậy khi k thay đổi, tập hợp điểm I là đường thẳng OO' DẠNG 7: Xác định tính chất của hình khi biết một đẳng thức vectơ 1. Phương pháp giải. Phân tính được định tính xuất phát từ các đẳng thức vectơ của giả thiết, lưu ý tới những hệ thức đã biết về trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác và kết quả "      ma + nb = 0  m = n = 0 với a, b là hai vectơ không cùng phương " 2. Các ví dụ. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 615 Ví dụ 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC của tứ giác ABCD . Các đoạn  1   2  thẳng AN và BM cắt nhau tại P. Biết PM = BM ; AP = AN . Chứng minh rằng tứ giác 5 5 ABCD là hình bình hành. Lời giải      Ta có: AB = AM + MB = AM + 5MP     = 5AP - 4AM = 2AN - 2AD    = 2(AD + DN ) - 2AD   = 2DN = DC  ABCD là hình bình hành. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thoả mãn:     a 2GA + b 2GB + c 2GC = 0. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. Lời giải        G là trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB + GC = 0  GA = -GB - GC .     Suy ra a 2GA + b 2GB + c 2GC = 0.       a 2 -GB - GC + b 2GB + cGC = 0.     (b 2 - a 2 )GB + (c 2 - a 2 )GC = 0. ( * ) ( )   Vì GB và GC là hai vecơ không cùng phương, do đó (*) tương đương với: ìïb 2 - a 2 = 0 ïí  a = b = c hay tam giác ABC đều. ïïc 2 - a 2 = 0 î Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AA' và B' , C' là các điểm thay đổi trên CA, AB thoả     mãn AA ' + BB ' + CC ' = 0 . Chứng minh BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC . Lời giải     Giả sử AB ' = mAC , AC ' = nAB      Suy ra BB ' = AB ' - AB = mAC - AB      và CC ' = AC ' - AC = nAB - AC  1   Mặt khác A' là trung điểm của BC nên AA ' = ( AB + AC ) 2     Do đó AA ' + BB ' + CC ' = 0       1   AB + AC + mAC - AB + nAB - AC = 0 2 ( ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 616 æ 1 ö  æ 1 ö   hay çç n - ÷÷÷ AB + çç m - ÷÷÷ AC = 0 è è 2ø 2ø   1 Vì AB , AC không cùng phương suy ra m = n = do đó B', C' lần lượt là trung điểm của CA, 2 AB Vậy BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC . DẠNG 8: Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị liên quan đến độ dài vectơ 1. Phương pháp.  Sử dụng bất đẳng thức cơ bản:   Với mọi vectơ a , b ta luôn có       + a + b £ a + b , dấu bằng xảy ra khi a , b cùng hướng       + a - b ³ a - b , dấu bằng xảy ra khi a , b ngược hướng   Đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của MI với M thay đổi  + Nếu M là điểm thay đổi trên đường thẳng D khi đó MI đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của M lên D .  + Nếu M là điểm thay đổi trên đường tròn (O) khi đó MI đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là  giao điểm của tia OI với đường tròn; MI đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của tia IO với đường tròn 2. Các ví dụ. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau    đạt giá trị nhỏ nhất T = MA + MB - MC Lời giải:     Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì IA + IB - IC = 0       Khi đó : T = MI + IA + MI + IB - MI + IC ( ) ( ) ( )      = MI + IA + IB - IC = MI Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và A ' B 'C ' là các tam giác thay đổi, có trọng tâm G và G' cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng T = AA '+ BB '+ CC ' Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 617 Giải:         Vì GA + GB + GC = 0 và G ' A ' + G ' B ' + G 'C ' = 0 nên        AA ' + BB ' + CC ' = AG + GG ' + G ' A + BG +      + GG ' + G ' B ' + CG + GG ' + G 'C '         = 3GG ' - (GA + GB + GC ) + (G ' A ' + G ' B ' + G 'C ') = 3GG ' Do đó:        AA '+ BB '+ CC ' = AA ' + BB ' + CC ' ³ AA ' + BB ' + CC ' = 3 GG ' = 3GG '    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ AA ', BB ', CC ' cùng hướng Vậy giá trị nhỏ nhất T là 3GG ' C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA  a. Tính 2OA  OB . Câu 1: A. a.   B. 1  2 a. C. a 5. D. 2a 2. Lời giải Chọn C. Gọi C là điểm đối xứng của O qua A  OC  2a. Tam giác OBC vuông tại O, có BC  OB 2  OC 2  a 5.         Ta có 2OA  OB  OC  OB  BC , suy ra 2OA  OB  BC  a 5. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA  a. Khẳng định nào sau đây sai?       A. 3 OA  4 OB  5a. B. 2 OA  3 OB  5a. C. 7 OA  2 OB  5a. D.   11OA  6 OB  5a. Câu 2: Lời giải Chọn C. Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau: D    A đúng, gọi C nằm trên tia đối của tia AO sao cho OC  3 OA  3 OA  OC. Và   nằm trên tia đối của tia BO sao cho OD  4 OB  4 OB  OD. Dựng hình chữ nhật    OCED suy ra OC  OD  OE (quy tắc hình bình hành).      Ta có 3OA  4OB  OC  OD  OE  OE  CD  OC 2  OD 2  5a. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 618      B đúng, vì 2 OA  3 OB  2 OA  3 OB  2a  3a  5a.  C sai, xử lý tương tự như ý đáp án A. Chọn C.      D đúng, vì 11OA  6 OB  11 OA  6 OB  11a  6a  5a. Câu 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , I là trung điểm của AM . Khẳng định nào sau đây đúng?     A. IB  2 IC  IA  0.     C. 2 IB  IC  IA  0.     B. IB  IC  2 IA  0.     D. IB  IC  IA  0. Lời giải Chọn C.    Vì M là trung điểm BC nên IB  IC  2 IM . Mặt khác I là trung điểm AM nên            IA  IM  0. Suy ra IB  IC  2 IA  2 IM  2 IA  2 IM  IA  0.  Câu 4:  Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , I là trung điểm của AM . Khẳng định nào sau đây đúng?  1   A. AI  AB  AC . 4   1   B. AI  AB  AC . 4  1  1  C. AI  AB  AC. 4 2  1  1  D. AI  AB  AC. 4 2    Lời giải Chọn A.    Vì M là trung điểm BC nên AB  AC  2 AM . 1 Mặt khác I là trung điểm AM nên   2 AI  AM .  2      1   Từ 1 ,  2  suy ra AB  AC  4 AI  AI  AB  AC . 4  Câu 5:  Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , G là trọng tâm của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?  2   A. AG  AB  AC . 3  1   B. AG  AB  AC . 3  1  2  C. AG  AB  AC. 3 2  2   D. AI  AB  3 AC. 3     Lời giải Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 619  2  Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG  AM . Vì M là trung điểm của BC nên 3     2 1   1    1   AB  AC  2 AM  AM  AB  AC . Do đó AG  . AB  AC  AB  AC . 2 3 2 3  Câu 6:      Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M , N sao cho        3 AM  2 AB và 3 DN  2 DC. Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC.  1  1  A. MN  AD  BC. 3 3  1  2  B. MN  AD  BC. 3 3  1  2  C. MN  AD  BC. 3 3  2  1  D. MN  AD  BC. 3 3 Lời giải Chọn C.         Ta có MN  MA  AD  DN và MN  MB  BC  CN .        Suy ra 3 MN  MA  AD  DN  2 MB  BC  CN          MA  2 MB  AD  2 BC  DN  2CN .           Theo bài ra, ta có MA  2 MB  0 và DN  2 CN  0.     1  2  Vậy 3 MN  AD  2 BC  MN  AD  BC. 3 3 Câu 7: Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào sau đây sai?         A. MN  MD  CN  DC. B. MN  AB  MD  BN .  1   D. MN  AD  BC . 2  1   C. MN  AB  DC . 2     Lời giải Chọn D.     MA  MD  0 Vì M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC      . Dựa vào đáp án, ta  BN  CN  0 có nhận xét sau: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 620            A đúng, vì MD  CN  DC  MN  MD  DC  CN  MC  CN  MN .             B đúng, vì AB  MD  BN  AB  BN  MD  AN  AM  MN .            C đúng, vì MN  MA  AB  BN và MN  MD  DC  CN . Suy ra              2 MN  MA  MD  AB  DC  BN  CN  0  AB  DC  0  AB  DC  1     MN  AD  BC . 2        D sai, vì theo phân tích ở đáp án C. Chọn D. Câu 8: Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng?  1   A. DM  CD  BC. 2  1   B. DM  CD  BC. 2  1   C. DM  DC  BC. 2  1   D. DM  DC  BC. 2 Lời giải Chọn C.    Xét các đáp án ta thấy bài toán yêu cần phân tích vectơ DM theo hai vectơ DC và BC.    Vì ABCD là hình bình hành nên DB  DA  DC. Vì M là trung điểm AB nên          2 DM  DA  DB  2 DM  2 DA  DC  2 DM   2 BC  DC  1   suy ra DM  DC  BC. 2 Câu 9: Cho tam giác ABC , điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3 AM  AB và N là trung điểm    của AC. Tính MN theo AB và AC.  1  1  A. MN  AC  AB. 2 3  1  1  B. MN  AC  AB. 2 3  1  1  C. MN  AB  AC. 2 3  1  1  D. MN  AC  AB. 2 3 Lời giải Chọn B. Vì N là trung điểm AC nên          2   2 MN  MA  MC  MA  MA  AC.  2 MN  2 MA  AC   AB  AC. 3  1  1  Suy ra MN   AB  AC. 3 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 621 Câu 10: Cho tam giác ABC. Hai điểm M , N chia cạnh BC theo ba phần bằng nhau    BM  MN  NC. Tính AM theo AB và AC.  2  1  A. AM  AB  AC. 3 3  1  2  B. AM  AB  AC. 3 3  2  1  C. AM  AB  AC. 3 3  1  2  D. AM  AB  AC. 3 3 Lời giải Chọn A.     1   1   2  1  Ta có AM  AB  BM  AB  BC  AB  AC  AB  AB  AC. 3 3 3 3    Câu 11: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM và BC.     1  A. AB  AM  BC. 2   1  B. AB  BC  AM . 2   1  C. AB  AM  BC. 2   1  D. AB  BC  AM . 2 Lời giải Chọn C.     1  Ta có AB  AM  MB  AM  BC. 2 Câu 12: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC  2 NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó  1  1  A. AK  AB  AC. 6 4  1  1  B. AK  AB  AC. 4 6  1  1  C. AK  AB  AC. 4 6  1  1  D. AK  AB  AC. 6 4 Lời giải Chọn B.  1   1  1  1   1  1  Ta có AK  AM  AN   AB  AC   AB  AC . 2 22 3 6  4    Câu 13: Cho hình bình hành ABCD. Tính AB theo AC và BD.    1  1  A. AB  AC  BD. 2 2  1  1  B. AB  AC  BD. 2 2   1  C. AB  AM  BC. 2  1   D. AB  AC  BD. 2 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 622 Chọn A.        AB  AC  CB Vì ABCD là hình bình hành nên CB  AD  0. Ta có      AB  AD  DB         1  1   2 AB  AC  DB  CB  AD  AC  DB   AB  AC  BD. 2 2     Câu 14: Cho tam giác ABC và đặt a  BC , b  AC. Cặp vectơ nào sau đây cùng phương?                 A. 2a  b , a  2b . B. 2a  b , a  2b . C. 5a  b , 10 a  2b . D. a  b , a  b .   Lời giải Chọn C.         Dễ thấy 10 a  2b   2 5a  b   hai vectơ 5a  b ,  10a  2b cùng phương.      Câu 15: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA  MB  MC. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Ba điểm C , M , B thẳng hàng. . B. AM là phân giác trong của góc BAC C. A, M và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng.    D. AM  BC  0. Lời giải Chọn C. Gọi I , G lần lượt là trung điểm BC và trọng tâm tam giác ABC. Vì I là trung điểm    BC nên MB  MC  2 MI .      Theo bài ra, ta có MA  MB  MC suy ra MA  2 MI  A, M , I thẳng hàng  G  AI . Do đó, ba điểm A, M , G Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABC  thẳng hàng. Câu 16: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC. Đẳng thức nào sau đây đúng?   A. GA  2 GI .  1  B. IG   IA. 3    D. GB  GC  GA.    C. GB  GC  2 GI . Lời giải Chọn C.    Vì I là trung điểm của BC suy ra IB  IC  0. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 623          GB  GI  IB Ta có      GB  GC   IB  IC  2 GI  2 GI .    GC  GI  IC 0 Câu 17: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây sai?  2  A. GA   AM . 3    C. GA  BG  CG.    B. AB  AC  3 AG.    D. GB  GC  GM . Lời giải Chọn D.       GB  GM  MB Vì M là trung điểm của BC suy ra MB  MC  0. Ta có     GC  GM  MC        GB  GC  MB  MC  2 GM  2 GM .    0 Câu 18: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau đây đúng?    A. AM  MB  MC.   C. MB   MC.   B. MB  MC.   BC D. AM  . 2 Lời giải Chọn C.      Vì M là trung điểm của BC nên MB  MC  0  MB   MC. Câu 19: Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khẳng định nào sau đây sai?   A. AB  2 AM .   C. BC   2 MN .   B. AC  2 NC.  1  D. CN   AC. 2 Lời giải Chọn C. Vì M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC   MN      1 BC. Mà BC , MN là hai vectơ cùng hướng nên BC  2 MN . 2 Câu 20: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây đúng?   2  A. AB  AC  AG. 3    C. CA  CB  CG. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133    B. BA  BC  3BG.     D. AB  AC  BC  0. Trang 624 Lời giải Chọn B.    Gọi E là trung điểm của AC  BA  BC  2 BE. 1 Mà G là trọng tâm của tam giác  3  ABC  BE  BG.  2  2    3  Từ 1 ,  2  suy ra BA  BC  2. BG  3 BG. 2   Câu 21: Cho tam giác đều ABC và điểm I thỏa mãn IA  2 IB. Mệnh đề nào sau đây đúng?      CA  2 CB  CA  2 CB A. CI  B. CI  . . 3 3       CA  2 CB . C. CI   CA  2 CB. D. CI  3 Lời giải Chọn C.       Từ giả thiết IA  2 IB  B là trung điểm của IA  BI  AB; AI  2 AB.             CI  CB  BI Lại có      2CI  CB  CA  BI  AI  CA  CB  AB  2 AB. CI  CA  AI               CA  CB  3 AB  2CI  CA  CB  3 CB  CA   2 CA  4CB  CI   CA  2 CB.   Câu 22: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?           A. 2 MA  MB  3MC  AC  2 BC. B. 2 MA  MB  3MC  2 AC  BC.           C. 2 MA  MB  3MC  2CA  CB. D. 2 MA  MB  3MC  2CB  CA. Lời giải Chọn C.           Ta có 2 MA  MB  3MC  2 MC  2CA  MC  CB  3MC  2CA  CB. Câu 23: Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Mệnh đề nào sau đây sai?    A. AB  AD  2 AO.   1  B. AD  DO   CA. 2   1  C. OA  OB  CB. 2    D. AC  DB  2 AB. Lời giải Chọn C.           Ta có OA  OB   OC  OB  OB  OC  CB (vì OA  OC  0 ). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 625 Câu 24: Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?       A. AC  BD  2 BC. B. AC  BC  AB.       C. AC  BD  2 CD. D. AC  AD  CD. Lời giải Chọn A.           AC  AB  BC Ta có      AC  BD  2 BC   AB  CD  2 BC.     BD  BC  CD 0 Câu 25: Cho hình bình hành ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo. Mệnh đề nào sau đây sai?       A. AB  BC  AC. B. AB  AD  AC.        C. BA  BC  2 BM . D. MA  MB  MC  MD. Lời giải Chọn D.           Ta có MA  MB  MC  MD  MA  MD  MC  MB  DA  BC . Suy ra điều trên   không thể xảy ra vì DA   BC.    Câu 26: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2 MA  MB  CA. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. M trùng A. B. M trùng B. C. M trùng C. D. M là trọng tâm của tam giác ABC. Lời giải Chọn D.        Ta có 2 MA  MB  CA  2MA  MB  CM  MA.         MA  MB   MC  MA  MB  MC  0.   Đẳng thức   suy ra M là trọng tâm của tam giác ABC.     Câu 27: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Đặt GA  a, GB  b . Hãy tìm m, n để có    BC  ma  nb. A. m  1, n  2. B. m  1, n  2. C. m  2, n  1. D. m  2, n  1. Lời giải Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 626             Ta có BC  BG  GC  BG  GA  GB  GA  2GB do GA  GB  GC  0 .     Câu 28: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ    MA  x MB  y MC. Tính giá trị biểu thức P  x  y. A. P  0. C. P   2. B. P  2. D. P  3. Lời giải Chọn B.   Do AB và AC không cùng phương nên tồn tại các số thực x, y sao cho         AM  x AB  y AC , M  AM  x AM  MB  y AM  MC            1  x  y  AM  xMB  yMC   x  y  1 MA  xMB  yMC.    Theo bài ra, ta có MA  xMB  yMC suy ra x  y  1  1  x  y  2. Câu 29: Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k  0. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức     MA  MB  MC  MD  k là A. một đoạn thẳng. B. một đường thẳng. C. một đường tròn. D. một điểm. Lời giải Chọn C.     2 MI  MA  MC Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD, ta có     , M .  2 MI  MB  MD         k Do đó MA  MB  MC  MD  k  2 MI  2 MI  k  4 MI  k  MI  .   4 Vì I là điểm cố định nên tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức   là đường tròn k tâm I , bán kính R  . 4 Câu 30: Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo. Tập hợp các điểm M     thỏa mãn MA  MB  MC  MD là A. trung trực của đoạn thẳng AB. B. trung trực của đoạn thẳng AD. C. đường tròn tâm I , bán kính AC . 2 D. đường tròn tâm I , bán kính AB  BC . 2 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 627 Chọn B.     MA  MB  2 ME Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Khi đó     , M .  MC  MD  2 MF         Do đó MA  MB  MC  MD  2 ME  2 MF  ME  MF .   Vì E , F là hai điểm cố định nên từ đẳng thức   suy ra tập hợp các điểm M là trung trực của đoạn thẳng EF hay chính là trung trực của đoạn thẳng AD. Câu 31: Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm     M thỏa mãn đẳng thức MA  MB  MA  MB là A. đường tròn tâm I , đường kính AB . 2 B. đường tròn đường kính AB. C. đường trung trực của đoạn thẳng AB. D. đường trung trực đoạn thẳng IA. Lời giải Chọn A.    Vì I là trung điểm của AB suy ra MA  MB  2 MI .       AB . Do đó MA  MB  MA  MB  2 MI  BA  MI  2   Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức   là đường tròn tâm I , bán kính Câu 32: Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm     M thỏa mãn đẳng thức 2 MA  MB  MA  2 MB là A. đường trung trực của đoạn thẳng AB. B. đường tròn đường kính AB. C. đường trung trực đoạn thẳng IA. D. đường tròn tâm A, bán kính AB. Lời giải Chọn A.    Chọn điểm E thuộc đoạn AB sao cho EB  2 EA  2 EA  EB  0.    Chọn điểm F thuộc đoạn AB sao cho FA  2 FB  2 FB  FA  0.             Ta có 2 MA  MB  MA  2 MB  2 ME  2 EA  ME  EB  2 MF  2 FB  MF  FA          3 ME  2 EA  EB  3 MF  2 FA  FB  3 ME  3 MF  ME  MF .       0   0 Vì E , F là hai điểm cố định nên từ đẳng thức   suy ra tập hợp các điểm M là trung trực của đoạn thẳng EF . Gọi I là trung điểm của AB suy ra I cũng là trung điểm của Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 628 EF .     Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn 2 MA  MB  MA  2 MB là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Câu 33: Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tập hợp các điểm M thỏa mãn     MA  MB  MA  MC là A. đường trung trực của đoạn BC . C. đường tròn tâm G , bán kính B. đường tròn đường kính BC . a . 3 D. đường trung trực đoạn thẳng AG . Lời giải Chọn A.     MA  MB  2MI Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó     .  MA  MC  2 MJ       Theo bài ra, ta có MA  MB  MA  MC  2 MI  2 MJ  MI  MJ .     Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA  MB  MA  MC là đường trung trực của đoạn thẳng IJ , cũng chính là đường trung trực của đoạn thẳng BC vì IJ là đường trung bình của tam giác ABC. Câu 34: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức      2 MA  3MB  4 MC  MB  MA là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a. a A. R  . 3 a B. R  . 9 a C. R  . 2 a D. R  . 6 Lời giải Chọn B. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có          2 MA  3MB  4 MC  2 MI  IA  3 MI  IB  4 MI  IC .                 Chọn điểm I sao cho 2 IA  3IB  4 IC  0  3 IA  IB  IC  IC  IA  0.       Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên IA  IB  IC  3 IG.           Khi đó 9 IG  IC  IA  0  9 IG  AI  IC  0  9 IG  CA.             Do đó 2 MA  3MB  4 MC  MB  MA  9 MI  2 IA  3IB  4 IC  AB  9 MI  AB. Vì I là điểm cố định thỏa mãn   nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 629 I , bán kính R  AB a  . 9 9    Câu 35: Cho tam giác ABC . Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  3 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Lời giải Chọn D.     Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC nên G cố định duy nhất và GA  GB  GC  0 .         Ta có MA  MB  MC  3  GA  GB  GC  3GM  3  3 GM  3  GM  1 . Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính bằng 1. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 630 BÀI 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Trục và độ dài đại số trên trục a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O  gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e.  Ta kí hiệu trục đó là  O; e  .  e O M  b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục  O; e  . Khi đó có duy nhất một số k sao cho   OM  k e . Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.    c) Cho hai điểm A và B trên trục  O; e  . Khi đó có duy nhất số a sao cho AB  a e . Ta gọi  số a là độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a  AB. Nhận xét.      Nếu AB cùng hướng với e thì AB  AB , còn nếu AB ngược hướng với e thì AB   AB.   Nếu hai điểm A và B trên trục  O; e  có tọa độ lần lượt là a và b thì AB  b  a. 2. Hệ trục tọa độ     a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ  O; i , j  gồm hai trục  O; i  và  O; j  vuông góc với  nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục  O; i  được gọi là trục   hoành và kí hiệu là Ox, trục  O; j  được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ i      và j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và i  j  1. Hệ trục tọa độ  O; i , j  còn được kí hiệu là Oxy. y  j O 1  i O x 1 Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy. b) Tọa độ của vectơ    Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA  u và gọi A1 , A2 lần lượt là hình Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 631    chiếu của vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có OA  OA1  OA2 và cặp số duy nhất         x; y  để OA1  x i , OA2  y j . Như vậy u  x i  y j .  Cặp số  x; y  duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết   u   x; y  hoặc u  x; y  . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của  vectơ u. Như vậy     u   x; y   u  x i  y j Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.   Nếu u   x; y  và u    x; y  thì  x  x   . u  u    y  y Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó. c) Tọa độ của một điểm  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.  Như vậy, cặp số ( x ; y ) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM = ( x ; y ). Khi đó ta viết M ( x ; y ) hoặc M = ( x ; y ). Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M . Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là x M , tung độ của điểm M còn được kí hiệu là y M .    M = ( x ; y )  OM = x i + y j M (x; y) M2  j O  i M1 Chú ý rằng, nếu MM1  Ox, MM 2  Oy thì x  OM 1 , y  OM 2 . d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng Cho hai điểm A  x A ; y A  và B  xB ; yB  . Ta có  AB   xB  xA ; yB  y A  .      3. Tọa độ của các vectơ u  v , u  v , k u Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 632 Ta có các công thức sau:   Cho u   u1 ; u2  , v   v1 ; v2  Khi đó:    u  v   u1  u2 ; v1  v2  ;    u  v   u1  u2 ; v1  v2  ;   k u   k u1 ; k u2  , k  .     Nhận xét. Hai vectơ u   u1 ; u2  , v   v1 ; v2  với v  0 cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u1  k v1 và u2  k v2 . 4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác a) Cho đoạn thẳng AB có A  xA ; y A  , B  xB ; yB  . Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I  xI ; yI  của đoạn thẳng AB là xI  x A  xB y  yB , yI  A . 2 2 b) Cho tam giác ABC có A  x A ; y A  , B  xB ; yB  , C  xC ; yC  . Khi đó tọa độ của trọng tâm G  xG ; yG  của tam giác ABC được tính theo công thức xG  x A  xB  xC y  yB  yC , yG  A . 3 3 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 2: tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng Oxy . 1. Phương pháp.  Để tìm tọa độ của vectơ a ta làm như sau   Dựng vectơ OM = a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox , Oy . Khi đó  a ( a1 ;a2 ) với a1 = OH , a 2 = OK    Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ OA   Nếu biết tọa độ hai điểm A(x A ; y A ), B (x B ; y B ) suy ra tọa độ AB được xác định theo công  thức AB = ( x B - x A ; yB - yA ) Chú ý: OH = OH nếu H nằm trên tia Ox (hoặc Oy ) và OH = -OH nếu H nằm trên tia đối tia Ox (hoặc Oy ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 633 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho điểm M ( x ; y ) . Tìm tọa độ của các điểm a) M 1 đối xứng với M qua trục hoành b) M 2 đối xứng với M qua trục tung c) M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ Lời giải (hình 1.32) y M(x;y) M2 O M3 x M1 Hình 1.32 a) M 1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 ( x ; -y ) b) M 2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M 2 ( -x ; y ) c) M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M 3 ( -x ; -y )   Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), cho hình vuông ABCD tâm I và có A(1; 3) . Biết điểm B       thuộc trục (O; i ) và BC cùng hướng với i . Tìm tọa độ các vectơ AB , BC và AC Lời giải (hình 1.33) y A D O O B Cx Hình 1.33 Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt phẳng tọa độ (hình bên) Vì điểm A(1; 3) suy ra AB = 3, OB = 1 Do đó B ( 1; 0 ) , C ( 4; 0 ) , D ( 4; 3 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 634    Vậy AB ( 0; -3 ) , BC ( 3; 0 ) và AC ( 3; -3 )  = 600 . Biết A trùng Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD với gốc tọa độ O, C thuộc trục Ox và x B ³ 0, yB ³ 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD y B C A I x D Hình 1.34 Lời giải (hình 1.34) Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ Oxy  = a sin 300 = a Gọi I là tâm hình thoi ta có BI = AB sin BAI 2 AI = AB 2 - BI 2 = a 2 - a2 a 3 = 4 2 æ a 3 a ö÷ æ a 3 a ö÷ ; ÷÷ , C (a 3; 0 ) , D çç ; - ÷÷ Suy ra A( 0; 0 ) , B çç 2ø èç 2 2 ø èç 2      Dạng 3: Xác Định Tọa Độ Điểm, Vectơ Liên Quan Đến Biểu Thức Dạng u + v , u - v , k u 1. Phương pháp.      Dùng công thức tính tọa độ của vectơ u + v , u - v , k u      Với u = (x ; y ) ; u ' = (x '; y ') và số thực k, khi đó u  v = (x  x '; y  y ') và k .u = (kx ; ky ) 2. Các ví dụ.    Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho 3 vecto: a = ( 3; 2 ) b = ( - 1;5 ) c = ( - 2; -5 ) Tìm tọa độ của vectơ sau        a) u + 2v với u = 3i - 4 j và v = pi        b) k = 2a + b và l = -a + 2b + 5c Lời giải          a) Ta có u + 2v = 3i - 4 j + pi = ( 3 + p )i - 4 j suy ra u + 2v = ( 3 + p; -4 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 635    b) Ta có 2a = (6; 4) b = (-1; 5) suy ra k = ( 6 - 1; 4 + 5 ) = ( 5; 9 ) ;    -a = (-3; -2), 2b = (-2;10) và 5c = (-10; -25) suy ra  l = ( -3 - 2 - 10; -2 + 10 - 25 ) = ( -15; -17 )     Ví dụ 2: Cho a = (1;2), b = (-3; 4) ; c = (-1; 3) . Tìm tọa độ của vectơ u biết         b) 3u + 2a + 3b = 3c a) 2u - 3a + b = 0 Lời giải      3  1 a) Ta có 2u - 3a + b = 0  u = a - b 2 2  æ3 3 ö Suy ra u = çç + ; 3 - 2 ÷÷÷ = ( 3;1 ) è2 2 ø      2   b) Ta có 3u + 2a + 3b = 3c  u = - a - b + c 3  æ 2 ö æ4 7ö 4 Suy ra u = çç - + 3 - 1; - - 4 + 3 ÷÷÷ = çç ; - ÷÷÷ è 3 ø è3 3ø 3 Ví dụ 3: Cho ba điểm A( -4; 0 ) , B ( 0; 3 ) và C ( 2;1 )    a) Xác định tọa độ vectơ u = 2AB - AC     b) Tìm điểm M sao cho MA + 2MB + 3MC = 0 Lời giải    a) Ta có AB ( 4; 3 ) , AC ( 6; 1 ) suy ra u = ( 2; 5 )    b) Gọi M ( x ; y ) , ta có MA( -4 - x ; -y ) , MB ( -x ; 3 - y ) , MC ( 2 - x ; 1 - y )    Suy ra MA + 2MB + 3MC = ( -6x + 2; -6y + 9 ) ìï 1 ïï x =     ì6 x 2 0 + = ï 3  ïí Do đó MA + 2MB + 3MC = 0  í ïïî -6y + 9 = 0 ïï 3 ïï y = 2 î æ1 3ö Vậy M çç ; ÷÷÷ è3 2ø Dạng 4: Xác Định Tọa Độ Các Điểm Của Một Hình 1. Phương pháp. Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 636 + M là trung điểm đoạn thẳng AB suy ra x M = + G trọng tâm tam giác ABC suy ra xG =   + u ( x ; y ) = u ' ( x '; y ' )  xA + xB y + yB , yM = A 2 2 x A + x B + xC y + yB + yC , yG = A 3 2 ìï x = x ' ïí ïï y = y ' î 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(2;1), B(-1; -2), C (-3;2) . a) Tìm tọa độ trung điểm M sao cho C là trung điểm của đoạn MB b) Xác định trọng tâm tam giác ABC b) Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành Lời giải a) C là trung điểm của MB suy ra xC = và yC = xM + xB  x M = 2xC - x B = -5 2 yM + yB  yM = 2yC - yB = 6 2 Vậy M ( -5; 6 ) b) G là trọng tâm tam giác suy ra xG = x A + x B + xC y + yB + yC 2 -1- 3 2 1-2 + 2 1 = = - và yG = A = = 3 3 3 2 3 3 æ 2 1ö Vậy G çç - ; ÷÷÷ è 3 3ø  c) Gọi D(x ; y )  DC = (-3 - x ;2 - y ) Ta có: ABCD là hình bình hành suy ra   AB = DC  ì ì -3 - x = -3 ï ïx = 0 ï ï  D(0;5) . í í ï ï 2 - y = -3 y =5 ï ï î î Vậy D ( 0; 5 ) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A( 3; -1 ) , B ( -1; 2 ) và I ( 1; -1 ) . Xác định tọa độ các điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa tâm O của hình bình hành ABCD . Lời giải Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 637 xI = x A + x B + xC  xC = 3x I - x A - x B = 1 3 yI = y A + yB + yC  yC = 3yI - yA - yB = -4 2 suy ra C ( 1; -4 ) Tứ giác ABCD là hình bình hành suy ra   ìxD = 5 ïì -1 - 3 = 1 - x D ï AB = DC  íï ï  D(5; -7) í ï ï y D = -7 2 + 1 = -4 - y D ï ï î î Điểm O của hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm AC do đó xO = æ x A + xC y + yC 5 5ö = 2, yO = A = -  O çç 2; - ÷÷÷ ç 2 2 2 2ø è Dạng 5: bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. 1. Phương pháp.        Cho u = (x ; y ) ; u ' = (x '; y ') . Vectơ u ' cùng phương với vectơ u ( u ¹ 0 ) khi và chỉ khi ì ï x ' = kx có số k sao cho ïí ï y ' = ky ï î   x' y' = Chú ý: Nếu xy ¹ 0 ta có u ' cùng phương u  x y     Để phân tích c ( c1 ;c2 ) qua hai vectơ a ( a1 ;a2 ) , b (b1 ;b2 ) không cùng phương, ta giả sử    c = xa + yb . Khi đó ta quy về giải hệ phương trình ìa1x + b1y = c1 ï ï í ï ïa 2x + b2y = c2 î 2. Các ví dụ.    Ví dụ 1: Cho a = (1;2), b = (-3; 0) ; c = (-1; 3)   a) Chứng minh hai vectơ a ; b không cùng phương    b) Phân tích vectơ c qua a ; b Lời giải   -3 0 ¹  a và b không cùng phương 1 2      b) Giả sử c = xa + yb . Ta có xa + yb = ( x - 3y;2x ) a) Ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 638 ì ï ïx = 2  ì x - 3y = -1 ï ï 2  5 ï ï 3 Suy ra í í c = a+ b ïï 2x = 3 ï 5 3 9 ï î y = ï ï î 9     Ví dụ 2: Cho u = ( m 2 + m - 2 ; 4 ) và v = (m;2) . Tìm m để hai vecto u , v cùng phương. Lời giải   + Với m = 0 : Ta có u = (-2; 4) ; v = (0;2)   0 2 ¹ nên hai vectơ u ; v không cùng phương -2 4   + Với m ¹ 0 : Ta có u ; v cùng phương khi và chỉ khi Vì é m = -1 m2 + m - 2 4 =  m 2 - m - 2 = 0  êê m 2 êë m = 2 Vậy với m = -1 và m = 2 là các giá trị cần tìm. Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(6; 3), B(-3;6), C (1; -2) . a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh một tam giác. b) Xác định điểm D trên trục hoành sao cho ba điểm A, B, D thẳng hàng. c) Xác định điểm E trên cạnh BC sao cho BE = 2EC d) Xác định giao điểm hai đường thẳng DE và AC Lời giải     -9 3 ¹ a) Ta có AB ( -9; 3 ) , AC ( -5; -5 ) . Vì suy ra AB và AC không cùng phương -5 -5 Hay A, B, C là ba đỉnh một tam giác. b) D trên trục hoành  D ( x ; 0 )   Ba điểm A, B, D thẳng hàng suy ra AB và AD không cùng phương  x - 6 -3 =  x = 15 Mặt khác AD ( x - 6; -3 ) do đó -9 3 Vậy D ( 15; 0 )   c) Vì E thuộc đoạn BC và BE = 2EC suy ra BE = 2EC   Gọi E ( x ; y ) khi đó BE ( x + 3; y - 6 ) , EC ( 1 - x ; -2 - y ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 639 ì 1 ï ï x =ï ìïï x + 3 = 2 ( 1 - x ) 3 ï Do đó í í ï ï 6 2 2 = y y ( ) 2 ïî ï y= ï ï î 3 æ 1 2ö Vậy E çç - ; ÷÷÷ è 3 3ø d) Gọi I ( x ; y ) là giao điểm của DE và AC.   æ 46 2 ö 3 ( x - 15 ) 3y =  x + 23y - 15 = 0 (1) Do đó DI ( x - 15; y ) , DE çç - ; ÷÷÷ cùng phương suy ra è 3 3ø -46 2   x -6 y -3 =  x - y - 3 = 0 (2) AI ( x - 6; y - 3 ) , AC ( -5; -5 ) cùng phương suy ra -5 -5 Từ (1) và (2) suy ra x = 7 1 và y = 2 2 æ7 1ö Vậy giao điểm hai đường thẳng DE và AC là I çç ; ÷÷÷ è2 2ø C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?   A. a   5;0  , b   4;0  cùng hướng.  d   7;3 . B.   C. u   4; 2  , v   8;3 cùng phương.   D. a   6;3 , b   2;1 ngược hướng.  c   7;3 là vectơ đối của Lời giải Chọn A. Câu 2:  5   Ta có a  b   a, b cùng hướng. 4      Cho a   2; 4  , b   5;3 . Tìm tọa độ của u  2a  b.  A. u   7; 7  .  B. u   9; 11 .  C. u   9; 5  .  D. u   1;5  . Lời giải Chọn B. Câu 3:  2a   4; 8       u  2a  b   4  5; 8  3   9; 11 . Ta có   b   5; 3     Cho a   3; 4  , b   1; 2  . Tìm tọa độ của vectơ a  b. A.  4;6  . B.  2; 2  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C.  4; 6  . D.  3; 8  . Trang 640 Lời giải Chọn B.   Ta có a  b   3   1 ; 4  2    2; 2  . Câu 4:     Cho a   1; 2  , b   5; 7  . Tìm tọa độ của vectơ a  b. A.  6; 9  . B.  4; 5  . C.  6;9  . D.  5; 14  . Lời giải Chọn C.   Ta có a  b   1  5; 2   7     6;9  . Câu 5:    Trong hệ trục tọa độ O; i; j , tọa độ của vectơ i  j là  A.  0;1 .  B. 1; 1 . C.  1;1 . D. 1;1 . Lời giải Chọn D.  i  1;0      i  j  1;1 . Ta có    j   0;1 Câu 6:   Cho u   3; 2  , v  1;6  . Khẳng định nào sau đây là đúng?    A. u  v và a   4; 4  ngược hướng.   B. u , v cùng phương.    C. u  v và b   6; 24  cùng hướng.    D. 2u  v, v cùng phương. Lời giải Chọn C.     Ta có u  v   4; 4  và u  v   2; 8  . Xét tỉ số    4 4    u  v và a   4; 4  không cùng phương. Loại A 4 4 Xét tỉ số   3 2    u , v không cùng phương. Loại B 1 6    2 8 1    0   u  v và b   6; 24  cùng hướng. 6 24 3         Cho u  2i  j và v  i  xj . Xác định x sao cho u và v cùng phương. Xét tỉ số Câu 7: A. x  1 . 1 B. x   . 2 C. x  1 . 4 D. x  2 . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 641 Chọn B.      u   2;  1 u  2i  j  Ta có     .   v  1; x  v  i  xj  Câu 8:   1 x 1 Để u và v cùng phương   x . 2 1 2     Cho a   5; 0  , b   4; x  . Tìm x để hai vectơ a , b cùng phương. A. x  5. B. x  4. C. x  0. D. x  1. Lời giải Chọn C. Câu 9:   Hai vectơ a , b cùng phương  5.x  0.4   x  0.       Cho a   x; 2  , b   5;1 , c   x; 7  . Tìm x biết c  2a  3b . A. x  15. B. x  3. C. x  15. D. x  5. Lời giải Chọn C.  2a   2 x; 4      2a  3b   2 x  15;7  . Ta có   3b   15;3     x  2 x  15 Để c  2a  3b     x  15. 7  7       Câu 10: Cho ba vectơ a   2;1 , b   3; 4  , c   7; 2  . Giá trị của k , h để c  k.a  h.b là A. k  2,5; h  1,3. B. k  4, 6; h  5,1. C. k  4, 4; h  0, 6. D. k  3, 4; h  0, 2. Lời giải Chọn C.  k .a   2k ; k     Ta có   k .a  h.b   2k  3h; k  4h  .   h.b   3h; 4h    7  2k  3h k  4, 4   Theo đề bài: c  k .a  h.b    .  2  k  4h h  0, 6  Câu 11: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A  5; 2  , B 10;8  . Tìm tọa độ của vectơ AB ?  A. AB  15;10  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133  B. AB   2; 4  . Trang 642  C. AB   5;6  .  D. AB   50;16  . Lời giải Chọn C.  Ta có AB   5; 6  . Câu 12: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;3 , B  1; 2  , C  2;1 . Tìm tọa độ của vectơ   AB  AC. A.  5; 3 . B. 1;1 . C.  1; 2  . D.  1;1 . Lời giải Chọn B.   AB   2; 1     AB  AC   2   3 ; 1   2    1;1 . Ta có    AC   3; 2     Cách khác: AB  AC  CB  1;1 . Câu 13: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A  2; 3 , B  4;7  . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. A. I  6; 4  . B. I  2;10  . C. I  3; 2  . D. I  8; 21 . Lời giải Chọn C. 24   xI  2  3   I  3; 2  . Ta có   y  3  7  2  I 2 Câu 14: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A  3;5  , B 1; 2  , C  5; 2  . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ? A. G  3; 3 . 9 9 B. G  ;  . 2 2 C. G  9;9  . D. G  3;3 . Lời giải Chọn D. 3 1 5  3  xG  3   G  3;3 . Ta có  y  5 2  2  3  G 3 Câu 15: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A  6;1 , B  3;5  và trọng tâm G  1;1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 643 Tìm tọa độ đỉnh C ? A. C  6; 3 . B. C  6;3 . C. C  6; 3 . D. C  3;6  . Lời giải Chọn C. Gọi C  x; y  .  6   3  x  1  x  6  3 Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên  .    y  3 1  5  y  1  3 Câu 16: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A  2; 2  , B  3;5  và trọng tâm là gốc tọa độ O  0;0  . Tìm tọa độ đỉnh C ? A. C  1; 7  . B. C  2; 2  . C. C  3; 5 . D. C 1;7  . Lời giải Chọn A. Gọi C  x; y  .  2  3  x 0  x  1  3 Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên    .  y  7 2  5  y  0  3 Câu 17: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1; 1 , N  5; 3 và C thuộc trục Oy , trọng tâm G của tam giác thuộc trục Ox . Tìm tọa độ điểm C. A. C  0; 4. B. C  2; 4. C. C  0; 2. D. C  0; 4. Lời giải Chọn A.  C có hoành độ bằng 0 . Loại B. Vì C thuộc trục Oy  Trọng tâm G thuộc trục Ox   G có tung độ bằng 0. Xét các đáp án còn lại chỉ có y  yB  yC  0. đáp án A thỏa mãn A 3 Câu 18: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C  2; 4  , trọng tâm G  0; 4  và trung điểm cạnh BC là M  2;0  . Tổng hoành độ của điểm A và B là A. 2. B. 2. C. 4. D. 8. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 644 Chọn B.  xB  2 xM  xC  2.2   2   6 Vì M là trung điểm BC nên   B  6; 4  .  yB  2 yM  yC  2.0   4   4  xA  3xG  xB  xC  4  A  4;12  . Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên   y A  3 yG  yB  yC  12 Suy ra xA  xB  2. Câu 19: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A  1;1 , B 1;3 , C  2;0  . Khẳng định nào sau đây sai?   A. AB  2 AC. B. A, B, C thẳng hàng.    D. BA  2CA  0.  2  C. BA  BC. 3 Lời giải Chọn A.   AB   2; 2      AB  2 AC. Ta có    AC   1; 1 Câu 20: Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A  3; 2  , B  7;1 , C  0;1 , D  8; 5  . Khẳng định nào sau đây đúng?   A. AB , CD là hai vectơ đối nhau.   C. AB , CD cùng hướng.   B. AB , CD ngược hướng. D. A, B, C , D thẳng hàng. Lời giải Chọn B.   AB   4;3       CD  2 AB   AB , CD ngược hướng. Ta có   CD   8; 6  Câu 21: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A  1;5  , B  5;5  , C  1;11 . Khẳng định nào sau đây đúng?  B. AB ,  D. AB , A. A, B, C thẳng hàng.   C. AB , AC không cùng phương.  AC cùng phương.  AC cùng hướng. Lời giải Chọn C.   AB   6;0      6.6  0.0   AB , AC không cùng phương. Ta có    AC   0;6  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 645 Câu 22: Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 1;1 , B  2; 1 , C  4;3 , D  3;5  . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Tứ giác ABCD là hình bình hành. B. G  9;7  là trọng tâm tam giác BCD.   C. AB  CD.   D. AC , AD cùng phương. Lời giải Chọn A.   AB  1; 2      AB  DC   ABCD là hình bình hành. Ta có    DC  1; 2  Câu 23: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;1 , B  2; 2  , C  7;7  . Khẳng định nào sau đây đúng? A. G  2; 2  là trọng tâm tam giác ABC. B. B ở giữa hai điểm A và C. C. A ở giữa hai điểm B và C.   D. AB , AC cùng hướng. Lời giải Chọn C.   AB   3; 3     AC  2 AB. Đẳng thức này chứng tỏ A ở giữa hai điểm B Ta có    AC   6;6  và C. Câu 24: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M  3; 4  . Gọi M 1 , M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy. Khẳng định nào đúng? A. OM 1  3. B. OM 2  4.   C. OM 1  OM 2   3; 4  .   D. OM 1  OM 2   3; 4  . Lời giải Chọn D. Từ giả thiết, suy ra M 1   3;0  , M 2   0; 4  . A. Sai vì OM 1  3. B. Sai vì OM 2  4.    C. Sai vì OM 1  OM 2  M 2 M 1   3; 4  . Dùng phương pháp loại trừ ta Chọn D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 646 3  Cách 2. Gọi I là trung điểm M 1M 2   I  ; 2  . 2       3  Ta có OM 1  OM 2  2OI   2. ; 2.  2     3; 4  . 2   Câu 25: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC , điểm C thuộc trục hoành. Khẳng định nào sau đây đúng?  A. AB có tung độ khác 0. B. Hai điểm A, B có tung độ khác nhau. C. C có hoành độ bằng 0. D. xA  xC  xB  0. Lời giải Chọn D. Từ giả thiết suy ra cạnh OC thuộc trục hoành   cạnh AB song song với trục  hoành nên y A  yB   AB   x A  xB ; 0  . Do đó loại A và B. Nếu C có hoành độ bằng 0   C  0;0   O : mâu thuẩn với giả thiết OABC là hình bình hành. Loại C. Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn D. Cách 2. Gọi I là tâm của hình bình hành OABC . Suy ra  x  x y 0  I là trung điểm AC  I A C ; A . 2   2  0  xB 0  y B  I là trung điểm OB  ; I 2  2 Từ đó suy ra  .  x A  xC 0  xB    x A  xC  xB  0. 2 2 Câu 26: Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A  5; 2  , B  5;3 , C  3;3 , D  3; 2  . Khẳng định nào sau đây đúng?   A. AB , CD cùng hướng. B. ABCD là hình chữ nhật.    D. OA  OB  OC. C. I  1;1 là trung điểm AC. Lời giải Chọn B.   AB   0;5        AB  CD suy ra AB , CD ngược hướng. Loại A. Ta có   CD   0; 5  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 647 5  3   x  2  1 Tọa độ trung điểm của AC là  . Loại C.  y  2  3  1  2 2  OA   5; 2        OA  OB   10;1  OC. Loại D. Ta có OC   3;3 ;   OB   5;3 Dùng phương pháp loại trừ ta chọn B. Câu 27: Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A  2;1 , B  2; 1 , C  2; 3 , D  2; 1 . Xét hai mệnh đề:  I  . ABCD là hình bình hành.  II  . AC cắt BD tại M  0; 1 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Chỉ  I  đúng. B. Chỉ  II  đúng. C. Cả  I  và  II  đều đúng. D. Cả  I  và  II  đều sai. Lời giải Chọn C.     AB  DC Ta có AB   0; 2  , DC   0; 2   ABCD là hình bình hành. Khi đó tọa độ trung điểm của AC là  0; 1 và cũng là tọa độ trung điểm của BD. Câu 28: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;1 , B  3; 2  , C  6;5 . Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. A. D  4;3 . B. D  3; 4  . C. D  4; 4  . D. D  8;6  . Lời giải Chọn C.   AB   2;1 . Gọi D  x; y  . Ta có    DC   6  x;5  y    Tứ giác ABCD là hình bình hành  AB  DC 2  6  x x  4      D  4; 4  . 1  5  y y  4 Câu 29: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A  0; 3 , B  2;1 , D  5;5  Tìm tọa độ điểm C để tứ giác ABCD là hình bình hành. A. C  3;1 . B. C  3; 1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. C  7;9  . D. C  7; 9  . Trang 648 Lời giải Chọn C.   AB   2; 4  . Gọi C  x; y  . Ta có    DC   x  5; y  5   Tứ giác ABCD là hình bình hành  AB  DC 2  x  5 x  7      C  7;9  . 4  y  5 y  9 Câu 30: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A  0;3 , D  2;1 và I  1;0  là tâm của hình chữ nhật. Tìm tọa độ tung điểm của cạnh BC. A. 1; 2  . B.  2; 3 . C.  3; 2  . D.  4; 1 . Lời giải Chọn C. Gọi M là tọa độ trung điểm của cạnh AD   M 1; 2  . Gọi N  xN ; yN  là tọa độ trung điểm của cạnh BC. Do I là tâm của hình chữ nhật   I là trung điểm của MN .  xN  2 xI  xM  3   N  3; 2  . Suy ra   yN  2 yI  yM  2 Câu 31: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B  9;7  , C 11; 1 . Gọi M , N lần lượt là  trung điểm của AB, AC. Tìm tọa độ vectơ MN ?     A. MN   2; 8  . B. MN  1; 4  . C. MN  10;6  . D. MN   5;3 . Lời giải Chọn B.  1  1 Ta có MN  BC   2; 8   1; 4  . 2 2 Câu 32: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M  2;3 , N  0; 4  , P  1;6  lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CA, AB . Tìm tọa độ đỉnh A ? A. A 1;5  . B. A  3; 1 . C. A  2; 7  . D. A 1; 10  . Lời giải Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 649 A P N C B M Gọi A  x; y  .   Từ giả thiết, ta suy ra PA  MN . *   Ta có PA   x  1; y  6  và MN   2; 7  .  x  1  2  x  3 Khi đó *       A  3; 1 .  y  6  7  y  1 Câu 33: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; 2  , B  2;3 . Tìm tọa độ đỉểm I sao cho    IA  2IB  0. A. I 1; 2  .  2 B. I  1;  .  5 8  C. I  1;  . 3  D. I  2; 2  . Lời giải Chọn C.   IA  1  x; 2  y  Gọi I  x; y  . Ta có     2 IB   4  2 x;6  2 y   IB   2  x;3  y       IA  2 IB   3  3 x;8  3 y  .  x  1    3  3 x  0  Do đó từ giả thiết IA  2 IB  0    8 . y  8  3 y  0  3 Câu 34: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A  2; 3 , B  3; 4  . Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành sao cho A, B, M thẳng hàng. A. M 1;0  .  5 1 C. M   ;   .  3 3 B. M  4;0  .  17  D. M  ; 0  .  7  Lời giải Chọn D.    M  m;0  . Ta có AB  1;7  và AM   m  2;3 . Điểm M  Ox  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 650   m2 3 17 Để A, B, M thẳng hàng  AB cùng phương với AM   m . 1 7 7 Câu 35: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;0  , B  0;3 và C  3; 5 . Tìm điểm M thuộc    trục hoành sao cho biểu thức P  2MA  3MB  2MC đạt giá trị nhỏ nhất. A. M  4;0  . B. M  4;0  . C. M 16;0  . D. M  16;0  . Lời giải Chọn B.          Ta có 2MA  3MB  2MC  2 MI  IA  3 MI  IB  2 MI  IC , I            MI  2 IA  3IB  2 IC , I .       Chọn điểm I sao cho 2IA  3IB  2IC  0. * Gọi I  x; y  , từ * ta có  x  4  2 1  x   3  0  x   2  3  x   0   I  4; 16  .   y  16  2  0  y   3  2  y   2  5  y   0     Khi đó P  2MA  3MB  2MC  MI  MI . Để P nhỏ nhất  MI nhỏ nhất. Mà M thuộc trục hoành nên MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên trục hoành   M  4;0  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 651 CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 00 ĐẾN 1800 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa Với mỗi góc a (0 0 £ a £ 180 0 ) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho  = a và giả sử điểm M có tọa độ M ( x ; y ). xOM 0 0 y Khi đó ta có định nghĩa: 1 · sin của góc a là y 0 , kí hiệu sin a = y0 ; M y0 · cosin của góc a là x 0 , kí hiệu cos a = x 0 ; · tang của góc a là kí hiệu tan a = y0 ( x 0 ¹ 0 ), x0 a -1 x0 x 1 O y0 ; x0 · cotang của góc a là x0 ( y 0 ¹ 0 ), y0 kí hiệu cot a = x0 . y0 2. Tính chất  = a thì xON  = 180 0 - a. Ta Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM có y M = y N = y0 , x M = -x N = x 0 . Do đó y sin a = sin (180 0 - a ) cos a = - cos (180 0 - a ) y0 N tan a = - tan (180 0 - a ) cot a = - cot (180 0 - a ). x a 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Giá trị a M -x 0 x0 O 00 30 0 450 60 0 90 0 180 0 sin a 0 1 2 2 2 3 2 1 0 cos a 1 3 2 2 2 1 2 0 -1 tan a 0  0 lượng giác 1 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 3 Trang 652  cot a 3 1 1  0 3 Trong bảng kí hiệu "  " để chỉ giá trị lượng giác không xác định. Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác. Chẳng hạn: sin 120 0 = sin (180 0 - 60 0 ) = sin 60 0 = 3 2 cos1350 = cos (180 0 - 450 ) = - cos 450 = - 2 . 2 4. Góc giữa hai vectơ a) Định nghĩa        Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = a và OB = b. Góc    với số đo từ 0 0 đến 180 0 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ AOB           a và b là a, b . Nếu a, b = 90 0 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a ^ b hoặc ( ) ( )   b ^ a.  b  a B  a  b A O b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có     a, b = b, a . ( ) ( ) được 6) B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Dạng 1 : xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt. 1. Phương pháp giải.  Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc  Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt  Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = a 2 sin 900 + b 2 cos 900 + c 2 cos1800 b) B = 3 - sin2 900 + 2 cos2 600 - 3 tan2 450 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 653 c) C = sin2 450 - 2 sin2 500 + 3 cos2 450 - 2 sin2 400 + 4 tan 550. tan 350 Lời giải a) A = a 2 .1 + b 2 .0 + c 2 . ( -1 ) = a 2 - c 2 2 2 b) B = 3 - ( 1 ) 2 æ 2 ÷ö æ 1 ÷ö ç ÷ =1 + 2 ç ÷÷ - 3 ççç çè 2 ÷÷ø èç 2 ø c) C = sin2 450 + 3 cos2 450 - 2 ( sin2 500 + sin2 400 ) + 4 tan 550.cot 550 2 2 æ 2ö æ 2ö 1 3 C = ççç ÷÷÷ + 3 ççç ÷÷÷ - 2 ( sin2 500 + cos2 400 ) + 4 = + - 2 + 4 = 4 çè 2 ÷ø çè 2 ø÷ 2 2 Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = sin2 30 + sin2 150 + sin2 750 + sin2 87 0 b) B = cos 00 + cos 200 + cos 400 + ... + cos1600 + cos1800 c) C = tan 50 tan100 tan150... tan 800 tan 850 Lời giải a) A = ( sin2 30 + sin2 87 0 ) + ( sin2 150 + sin2 750 ) = ( sin2 30 + cos2 30 ) + ( sin2 150 + cos2 150 ) = 1+1 = 2 b) B = ( cos 00 + cos1800 ) + ( cos200 + cos1600 ) + ... + ( cos 800 + cos1000 ) = ( cos 00 - cos 00 ) + ( cos 200 - cos 200 ) + ... + ( cos 800 - cos 800 ) =0 c) C = ( tan 50 tan 850 )( tan 150 tan 750 ) ... ( tan 450 tan 450 ) = ( tan 50 cot 50 )( tan 150 cot 50 ) ... ( tan 450 cot 50 ) =1 Dạng 2 : chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc x, đơn giản biểu thức. 1. Phương pháp giải.  Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản  Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác  Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ . 2. Các ví dụ. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 654 Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) sin 4 x + cos4 x = 1 - 2 sin2 x . cos2 x b) 1 + cot x tan x + 1 = 1 - cot x tan x - 1 c) cos x + sin x = tan 3 x + tan2 x + tan x + 1 3 cos x Lời giải a) sin 4 x + cos4 x = sin 4 x + cos 4 x + 2 sin2 x cos2 x - 2 sin2 x cos2 x 2 = ( sin2 x + cos2 x ) - 2 sin2 x cos2 x = 1 - 2 sin2 x cos2 x 1 + cot x = b) 1 - cot x c) 1 tan x + 1 t anx = t anx = tan x + 1 1 tan x - 1 tan x - 1 1tan x tan x 1+ cos x + sin x 1 sin x = + = tan2 x + 1 + tan x ( tan2 x + 1 ) 3 2 3 cos x cos x cos x = tan 3 x + tan2 x + tan x + 1 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng B B cos 3 cos ( A + C ) 2 2 + . tan B = 2 æ A + C ö÷ æ A + C ö÷ B sin cos çç ÷ sin çç ÷ çè 2 ÷ø çè 2 ÷ø sin 3 Lời giải Vì A + B + C = 1800 nên B B cos 3 cos ( 1800 - B ) 2 2 VT = + . tan B æ 1800 - B ö÷ æ 1800 - B ö÷ sin B ç ç cos ç ÷ sin ç ÷ ÷ø çè 2 2 èç ø÷ sin 3 B B cos 3 2 + 2 - - cos B . tan B = sin2 B + cos2 B + 1 = 2 = VP = B B sin B 2 2 sin cos 2 2 sin 3 Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) A = sin(900 - x ) + cos(1800 - x ) + sin2 x (1 + tan2 x ) - tan2 x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 655 b) B = 1 1 1 . + - 2 sin x 1 + cos x 1 - cos x Lời giải a) A = cos x - cos x + sin2 x . b) B = 1 - tan2 x = 0 2 cos x 1 1 - cos x + 1 + cos x . - 2 sin x ( 1 - cos x )( 1 + cos x ) 1 2 1 2 . . - 2= - 2 2 sin x 1 - cos x sin x sin2 x æ 1 ö = 2 çç 2 - 1 ÷÷÷ = 2 cot2 x çè sin x ø = Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x. P = sin 4 x + 6 cos2 x + 3 cos4 x + cos4 x + 6 sin2 x + 3 sin 4 x Lời giải P = 2 ( 1 - cos2 x ) 2 ( 1 - sin2 x ) + 6 cos2 x + 3 cos4 x + + 6 sin2 x + 3 sin 4 x = 4 cos4 x + 4 cos2 x + 1 + 4 sin 4 x + 4 sin2 x + 1 = ( 2 cos2 x + 1 ) 2 + 2 ( 2 sin2 x + 1 ) = 2 cos2 x + 1 + 2 sin2 x + 1 =3 Vậy P không phụ thuộc vào x . Dạng 3 : xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều kiện. 1. Phương pháp giải.  Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản  Dựa vào dấu của giá trị lượng giác  Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: a) Cho sin a = b) Cho cos a = - 1 với 900 < a < 1800 . Tính cos a và tan a 3 2 . Tính sin a và cot a 3 c) Cho tan g = -2 2 tính giá trị lượng giác còn lại. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 656 a) Vì 900 < a < 1800 nên cos a < 0 mặt khác sin2 a + cos2 a = 1 suy ra cos a = - 1 - sin2 a = - 1 - sin a Do đó tan a = = cos a 1 2 2 =9 3 1 3 =- 1 2 2 2 2 3 b) Vì sin2 a + cos2 a = 1 nên sin a = 1 - cos2 a = 1- 4 5 và = 9 3 2 cos a 2 cot a = = 3 =sin a 5 5 3 - c) Vì tan g = -2 2 < 0  cos a < 0 mặt khác tan2 a + 1 = cos a = - 1 nên cos2 a 1 1 1 ==2 8 +1 3 tan + 1 Ta có tan a = æ 1ö 2 2 sin a  sin a = tan a. cos a = -2 2. çç - ÷÷÷ = çè 3 ø cos a 3 1 cos a 1  cot a = = 3 =sin a 2 2 2 2 3 Ví dụ 2: a) Cho cos a = b) Cho tan a = 3 tan a + 3 cot a với 00 < a < 900 . Tính A = . 4 tan a + cot a 2 . Tính B = sin a - cos a sin a + 3 cos3 a + 2 sin a 3 Lời giải 1 1 +2 2 tan a = tan a + 3 = cos2 a a) Ta có A = = 1 + 2 cos2 a 2 1 1 tan a + 1 tan a + tan a cos2 a tan a + 3 Suy ra A = 1 + 2. 9 17 = 16 8 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 657 sin a cos a tan a ( tan2 a + 1 ) - ( tan2 a + 1 ) 3 3 a a cos cos = b) B = sin 3 a 3 cos 3 a 2 sin a tan 3 a + 3 + 2 tan a ( tan2 a + 1 ) + + cos3 a cos3 a cos 3 a Suy ra B = 2 ( 2 + 1) - ( 2 + 1) 2 2 + 3 + 2 2 ( 2 + 1) = 3 ( 2 -1 ) 3+8 2 Ví dụ 3: Biết sin x + cos x = m a) Tìm sin x cos x và sin 4 x - cos 4 x b) Chứng minh rằng m £ 2 Lời giải 2 a) Ta có ( sin x + cos x ) = sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 1 + 2sin x cos x (*) Mặt khác sin x + cos x = m nên m 2 = 1 + 2 sin a cos a hay sin a cos a = m2 - 1 2 Đặt A = sin 4 x - cos4 x . Ta có A= ( sin2 x + cos2 x )( sin2 x - cos2 x ) 2 = ( sin x + cos x )( sin x - cos x ) 2  A2 = ( sin x + cos x ) ( sin x - cos x ) = ( 1 + 2 sin x cos x )( 1 - 2 sin x cos x ) 2 2 4 æ m 2 - 1 öæ ÷÷ çç 1 - m - 1 ö÷÷ = 3 + 2m - m  A2 = çç 1 + çè 2 ÷øèç 2 ÷ø 4 3 + 2m 2 - m 4 2 Vậy A = b) Ta có 2 sin x cos x £ sin2 x + cos2 x = 1 kết hợp với (*) suy ra 2 ( sin x + cos x ) Vậy m £ £ 2  sin x + cos x £ 2 2 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hai góc a và b với a + b = 90 . Tính giá trị của biểu thức P = sin a cos b + sin b cos a . A. P = 0. B. P = 1. C. P = -1. D. P = 2. Lời giải Chọn B Hai góc a và b phụ nhau nên sin a = cos b ; cos a = sin b . Do đó, P = sin a cos b + sin b cos a = sin 2 a + cos 2 a = 1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 658 Câu 2: Cho hai góc a và b với a + b = 90 . Tính giá trị của biểu thức P = cos a cos b - sin b sin a . A. P = 0. B. P = 1. C. P = -1. D. P = 2. Lời giải Chọn A Hai góc a và b phụ nhau nên sin a = cos b ; cos a = sin b . Do đó, P = cos a cos b - sin b sin a = cos a sin a - cos a sin a = 0 . Câu 3: Cho a là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin a < 0. B. cos a > 0. C. tan a < 0. D. cot a > 0. Lời giải Chọn C Lấy góc a = 1200 sau đó thử ngược Câu 4: Cho hai góc nhọn a và b trong đó a < b . Khẳng định nào sau đây là sai? A. cos a < cos b. B. sin a < sin b. C. cot a > cot b. D. tan a + tan b > 0. Lời giải Chọn A Lấy a = 300 ; b = 600 sau đó thử ngược. Câu 5: Khẳng định nào sau đây sai? A. cos75 > cos 50. B. sin 80 > sin 50. C. tan 45 < tan 60. D. cos 30 = sin 60. Lời giải Chọn A Trong khoảng từ 0 đến 90 , khi giá trị của góc tăng thì giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Câu 6: Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin 90 < sin 100. B. cos 95 > cos100. C. tan 85 < tan 125. D. cos145 > cos125. Lời giải Chọn B Trong khoảng từ 90 đến 180 , khi giá trị của góc tăng thì: – Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 659 - Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Câu 7: Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin 90 < sin 150. B. sin 9015 ¢ < sin 9030 ¢. C. cos 9030 ¢ > cos100. D. cos150 > cos120. Lời giải Chọn C Trong khoảng từ 90 đến 180 , khi giá trị của góc tăng thì: – Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm. – Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Câu 8: Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2 a + sin 2 a = 1? A. cos 2 a a 1 + sin 2 = . 2 2 2 B. cos2 a a 1 + sin 2 = . 3 3 3 C. cos 2 a a 1 + sin 2 = . 4 4 4 D. 5 çççcos2 + sin 2 è 5 æ a a ÷ö ÷ = 5. 5 ÷ø Lời giải Chọn D Từ biểu thức cos2 a + sin 2 a = 1 ta suy ra cos2 a a + sin 2 = 1. 5 5 æ a aö Do đó ta có 5 çççcos 2 + sin 2 ÷÷÷ = 5. è Câu 9: Cho biết sin A. P = a 3 = . 3 5 5ø 5 Giá trị của P = 3 sin 2 105 . 25 B. P = a a + 5 cos 2 3 3 107 . 25 bằng bao nhiêu? C. P = 109 . 25 D. P = 111 . 25 Lời giải Chọn B Ta có biểu thức sin 2 a a a a 16 + cos 2 = 1  cos 2 = 1 – sin 2 = . 3 3 3 3 25 2 Do đó ta có P = 3 sin 2 æ3ö a a 16 107 . + 5 cos 2 = 3. çç ÷÷÷ + 5. = ç è ø 3 3 5 25 25 Câu 10: Cho biết tan a = -3. Giá trị của P = 4 3 A. P = . 6 sin a – 7 cos a 6 cos a + 7 sin a 5 3 bằng bao nhiêu? 4 3 B. P = . C. P = – . 5 3 D. P = – . Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 660 Ta có sin a 6 -7 6 sin a – 7 cos a 6 tan a – 7 5 cos a P= = = = . 6 cos a + 7 sin a 6 + 7 sin a 6 + 7 tan a 3 cos a 2 3 Câu 11: Cho biết cos a = – . Giá trị của P = A. P = – 19 . 13 B. P = cot a + 3 tan a 2 cot a + tan a 19 . 13 bằng bao nhiêu? C. P = 25 . 13 D. P = – 25 . 13 Lời giải Chọn B 5 9 Ta có biểu thức sin 2 a + cos2 a = 1  sin 2 a = 1 – cos2 a = . 2 Ta có æ 2 ö÷ cos a sin a çç- ÷ + 3. 5 +3 cot a + 3 tan a cos 2 a + 3 sin 2 a çè 3 ÷ø 9 19 sin cos a a = = = = . P= 2 2 cot a + tan a 2 cos a + sin a 2 cos 2 a + sin 2 a 13 æ 2 ö÷ 5 2. çç- ÷÷ + sin a cos a çè 3 ø 9 Câu 12: Cho biết cot a = 5. Giá trị của P = 2 cos2 a + 5 sin a cos a + 1 bằng bao nhiêu? A. P = 10 . 26 B. P = 100 . 26 C. P = 50 . 26 D. P = 101 . 26 Lời giải Chọn D æ cos 2 a cos a 1 ö +5 + 2 ÷÷÷ 2 çè sin a sin a sin a ø÷ Ta có P = 2 cos2 a + 5 sin a cos a + 1 = sin 2 a ççç2 = 1 3 cot 2 a + 5 cot a + 1 101 2 2 2 cot a + 5 cot a + 1 + cot a = = . ( ) 1 + cot 2 a cot 2 a + 1 26 Câu 13: Cho biết 3 cos a – sin a = 1 , 0 0 < a < 90 0. Giá trị của tan a bằng 4 3 A. tan a = . 3 4 B. tan a = . 4 5 C. tan a = . 5 4 D. tan a = . Lời giải Chọn A Ta có 3 cos a - sin a = 1  3 cos a = sin a + 1  9 cos2 a = (sin a + 1)2  9 cos 2 a = sin 2 a + 2 sin a + 1  9 (1 - sin 2 a ) = sin 2 a + 2 sin a + 1 é sin a = -1 ê  10 sin a + 2 sin a - 8 = 0  ê 4 . ê sin a = êë 5 2 · sin a = -1 : không thỏa · sin a = mãn vì 0 0 < a < 90 0. 4 3 sin a 4  cos a = ¾¾  tan a = = . 5 5 cos a 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 661 Câu 14: Cho biết 2 cos a + 2 sin a = 2 , 0 0 < a < 90 0. Tính giá trị của cot a. A. cot a = 5 . 4 B. cot a = 3 . 4 2 . 4 C. cot a = D. cot a = 2 . 2 Lời giải Chọn C Ta có 2 cos a + 2 sin a = 2  2 sin a = 2 - 2 cos a  2 sin 2 a = (2 - 2 cos a)2  2 sin 2 a = 4 - 8 cos a + 4 cos 2 a  2 (1 - cos 2 a ) = 4 - 8 cos a + 4 cos 2 a é cos a = 1 ê  6 cos 2 a - 8 cos a + 2 = 0  ê 1. ê cos a = êë 3 · cos a = 1 : không thỏa mãn vì 0 0 < a < 90 0. · cos a = 1 2 2 cos a 2  sin a = ¾¾  cot a = = . 3 3 sin a 4 Câu 15: Cho biết sin a + cos a = a. Tính giá trị của sin a cos a. A. sin a cos a = a2 . C. sin a cos a = B. sin a cos a = 2a. a2 - 1 . 2 D. sin a cos a = a2 - 11 . 2 Lời giải Chọn C Ta có sin a + cos a = a  (sin a + cos a)2 = a2  1 + 2 sin a cos a = a2  sin a cos a = a2 - 1 . 2 1 3 Câu 16: Cho biết cos a + sin a = . Giá trị của P = tan 2 a + cot 2 a bằng bao nhiêu? 5 4 7 4 A. P = . 9 4 B. P = . C. P = . D. P = 11 . 4 Lời giải Chọn B 1 3 2 Ta có cos a + sin a =  (cos a + sin a ) =  1 + 2 sin a cos a = 1 9 1 4  sin a cos a = - . 9 9 2 æ sin a cos a ö÷ Ta có P = tan 2 a + cot 2 a = (tan a + cot a)2 - 2 tan a cot a = ççç + ÷÷ - 2 è cos a sin a ø 2 2 2 æ sin 2 a + cos 2 a ö÷ æ ö÷ æ 9 ö÷ 1 ç- ÷ - 2 = 7 . ÷ - 2 = çç 2 = çç = ÷ ç ÷ çè sin a cos a ø÷ çè 4 ø÷ çè sin a cos a ÷ø 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 662 Câu 17: Cho biết sin a - cos a = 15 . 5 A. P = 1 . 5 Giá trị của P = sin 4 a + cos 4 a bằng bao nhiêu? 17 . 5 B. P = C. P = 19 . 5 21 . 5 D. P = Lời giải Chọn B Ta có sin a - cos a =  1 - 2 sin a cos a = 1 2 5  (sin a - cos a ) = 1 5 1 2  sin a cos a = . 5 5 Ta có P = sin 4 a + cos 4 a = (sin 2 a + cos2 a) - 2 sin 2 a cos2 a 2 2 = 1 - 2 (sin a cos a ) = 17 . 5 Câu 18: Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau đây bằng 120O ?     A. ( MN , NP )   B. ( MO, ON ).   C. ( MN , OP ). D. ( MN , MP ). Lời giải Chọn A       Vẽ NE = MN . Khi đó ( MN , NP ) = ( NE , NP ) P F  = 180 0 - MNP  = 180 0 - 60 0 = 120 0. = PNE ·       O  = 60 0. Vẽ OF = MO . Khi đó ( MO, ON ) = (OF , ON ) = NOF ( ) · Vì ·  = 60 0. Ta có ( MN , MP ) = NMP M N E   MN ^ OP ¾¾  MN , OP = 90 0.         Câu 19: Cho tam giác đều ABC. Tính P = cos ( AB, BC ) + cos ( BC , CA ) + cos (CA, AB ). A. P = 3 2 3 3 . 2 3 2 B. P = . C. P = - . D. P = - 3 3 . 2 Lời giải Chọn C        = 180 - CBA  = 120 0 Vẽ BE = AB . Khi đó ( AB, BC ) = ( BE , BC ) = CBE   1 ¾¾  cos AB, BC = cos120 0 = - . 2 ( ) C     1 Tương tự, ta cũng có cos BC, CA = cos CA, AB = - . 2 ( ) ( Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ) A B E Trang 663       3 2 Vậy cos ( AB, BC ) + cos ( BC , CA ) + cos (CA, AB ) = - .   Câu 20: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH . Tính ( AH , BA ). A. 30 0. B. 60 0. C. 120 0. D. 150 0. Lời giải Chọn D   Vẽ AE = BA . ( Khi đó C    =a AH , AE = HAE ) (hình vẽ) H  = 180 0 - 30 0 = 150 0. = 180 0 - BAH a A B E Câu 21: Tam giác ABC vuông ở A và có góc B = 50 . Hệ thức nào sau đây sai? 0   B. ( BC , AC ) = 40 0.     D. ( AC, CB ) = 40 0. A. ( AB, BC ) = 130 0.   C. ( AB, CB ) = 50 0. Lời giải Chọn D    = 180 0 - 40 0 = 140 0. Vì ( AC, CB ) = 180 0 - ACB   Câu 22: Tam giác ABC vuông ở A và có BC = 2 AC. Tính cos ( AC, CB ).     1 2 A. cos ( AC, CB ) = .   C. cos ( AC, CB ) = 1 2 B. cos ( AC, CB ) = - .   3 . 2 D. cos ( AC, CB ) = - 3 . 2 Lời giải Chọn B   . Xác định được ( AC, CB ) = 180 0 - ACB = Ta có cos ACB C AC 1  = 60 0 = ¾¾  ACB CB 2    = 120 0 ¾¾  AC , CB = 180 0 - ACB ( )   B A 1 2 Vậy cos ( AC, CB ) = cos120 0 = - .       Câu 23: Cho tam giác ABC . Tính tổng ( AB, BC ) + ( BC , CA ) + (CA, AB ). A. 180 . B. 360 . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 270 . D. 120 . Trang 664 Chọn B   ì  ï AB, BC = 180 0 - ABC ï ï ï ï    Ta có ïí BC, CA = 180 0 - BCA ï ï   ï  ï CA, AB = 180 0 - CAB ï ï î ( ( ( ) ) )        + BCA  + CAB  = 540 0 -180 0 = 360 0. ¾¾  AB, BC + BC , CA + CA, AB = 540 0 - ABC ( ) ( ) ( ) ( )     Câu 24: Cho tam giác ABC với A = 60  . Tính tổng ( AB, BC ) + ( BC, CA ). B. 360 . A. 120 . C. 270 . D. 240 . Lời giải Chọn D Ta có    ( AB, BC ) = 180 - ABC    (BC, CA ) = 180 - BCA ìï ïï í ïï ïïî 0 0      + BCA  ¾¾  AB, BC + BC , CA = 360 0 - ABC ( ) ( ( ) ( ) )  = 360 0 -180 0 + 60 0 = 240 0. = 360 0 - 180 0 - BAC ABC có góc       HA, HB + HB, HC + HC , HA . Câu 25: Tam giác ( ) ( ) ( A bằng H. Tính tổng ) B. 180 . A. 360 . và có trực tâm 100  C. 80 . D. 160 . Lời giải Chọn D Ta có    (HA, HB ) = BHA    (HB, HC ) = BHC    (HC, HA ) = CHA ìï ïï ïï ï í ïï ïï ïï î H F I 100 0        + BHC  + CHA  ¾¾  HA , HB + HB, HC + HC , HA = BHA ( ) ( ) ( A ) B  = 2 (180 0 -100 0 ) = 160 0 = 2 BHC C   (do tứ giác HIAF nội tiếp. Cho hình vuông ABCD . Tính cos ( AC , BA ).       Câu 26: Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng ( AB, DC ) + ( AD, CB ) + (CO, DC ). A. 450. B. 4050. C. 3150. D. 2250. Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 665     · Ta có AB, DC cùng hướng nên ( AB, DC ) = 0 0 . · Ta có AD, CB ngược hướng nên ( AD, CB ) = 180 0 . ·  = 1350. Vẽ CE = DC , khi đó (CO, DC ) = (CO, CE ) = OCE D             B A O   C E   Vậy ( AB, DC ) + ( AD, CB ) + (CO, DC ) = 0 0 + 180 0 + 1350 = 3150. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 666 BÀI 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa       Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a.b, được xác định bởi công thức sau:      a.b = a . b cos a, b . ( )     Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước a.b = 0. Chú ý       · Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b = 0  a ^ b.     · Khi a = b tích vô hướng a.a được kí hiệu là a2 và số này được gọi là bình phương vô hướng của  vectơ a. Ta có: 2   2 a = a . a . cos 0 0 = a . 2. Các tính chất của tích vô hướng Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:    Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k ta có:      · a.b = b.a (tính chất giao hoán);     · a (b + c) = a.b + a.c (tính chất phân phối);    · (ka).b = k (a.b) = a. (kb) ; 2 2  · a ³ 0, a = 0  a = 0. Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:   2   2    2  2 2  2  2 · (a + b) = a + 2a.b + b ; · (a - b) = a - 2a.b + b ; 2 · (a + b)(a - b) = a - b . 3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng     Trên mặt phẳng tọa độ (O; i ; j ), cho hai vectơ a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ). Khi đó tích vô hướng a.b là: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 667  a.b = a1b1 + a2 b2 .    Nhận xét. Hai vectơ a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) đều khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1b1 + a2 b2 = 0. 4. Ứng dụng a) Độ dài của vectơ  Độ dài của vectơ a = (a1 ; a2 ) được tính theo công thức:  a = a12 + a22 . b) Góc giữa hai vectơ    Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a = (a1 ; a2 ) và b = (b1 ; b2 ) đều khác 0 thì ta có    a.b a1b1 + a2 b2 cos a; b =   = . 2 a1 + a22 . b12 + b22 a.b ( ) c) Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa hai điểm A ( x A ; y A ) và B ( x B ; y B ) được tính theo công thức: 2 2 AB = ( x B - x A ) + ( y B - y A ) . B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG 1 : Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ. 1. Phương pháp giải.      Dựa vào định nghĩa a.b = a . b cos a;b  Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ ( ) 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a , BC = 2a và G là trọng tâm.     a) Tính các tích vô hướng: BA.BC ; BC .CA       b) Tính giá trị của biểu thức AB.BC + BC .CA + CA.AB       . + GB.GC + GC .GA c) Tính giá trị của biểu thứcGAGB Lời giải (hình 2.2) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 668 C M N G A B P Hình 2.2 a) * Theo định nghĩa tích vô hướng ta có         BA.BC = BA . BC cos BA, BC = 2a 2 cos BA, BC . ( ) ( )    = a =1 Mặt khác cos BA, BC = cosABC 2a 2   Nên BA.BC = a 2        * Ta có BC .CA = -CB.CA = - CB . CA cosACB ( ) Theo định lý Pitago ta có CA = 2 ( 2a ) - a2 = a 3   a 3 = -3a 2 Suy ra BC .CA = -a 3.2a. 2a   b) Cách 1: Vì tam giác ABC vuông tại A nên CA.AB = 0 và từ câu a ta           có AB.BC = -a 2 , BC .CA = -3a 2 . Suy ra AB.BC + BC .CA + CA.AB = -4a 2     Cách 2: Từ AB + BC + CA = 0 và hằng đẳng thức (    AB + BC + CA ) 2       = AB 2 + BC 2 + CA2 + 2 AB.BC + BC .CA + CA.AB Ta có ( )       1 AB.BC + BC .CA + CA.AB = - ( AB 2 + BC 2 + CA2 ) = -4a 2 2     c) Tương tự cách 2 của câu b) vì GA + GB + GC = 0 nên       1 GAGB + GB.GC + GC .GA = - (GA2 + GB 2 + GC 2 ) . 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB 2 æ2 ö 4a 2 Dễ thấy tam giác ABM đều nên GA = çç AM ÷÷÷ = 9 èç 3 ø 2 Theo định lý Pitago ta có: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 669 GB 2 = 4 4 4æ 3a 2 ö÷ 7a 2 BN 2 = ( AB 2 + AN 2 ) = çça 2 + ÷= 9 9 9 çè 4 ÷ø 9 4 4 4æ a 2 ö 13a 2 GC 2 = CP 2 = ( AC 2 + AP 2 ) = çç 3a 2 + ÷÷÷ = 9 9 9 çè 4ø 9       1 æ 4a 2 7a 2 13a 2 ö÷ 4a 2 Suy ra GAGB + GB.GC + GC .GA = - çç + + . ÷=2 çè 9 9 9 ÷ø 3 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ADM . Tính giá trị các biểu thức sau:        a) (AB + AD )(BD + BC ) b) CG . CA + DM ( ) Lời giải (hình 2.3)    a) Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC         Do đó (AB + AD )(BD + BC ) = AC .BD + AC .BC A      = CACB . = CA . CB cosACB     ( AC .BD = 0 vì AC ^ BD ) M B G D  = 450 và theo định lý Pitago ta có : Mặt khác ACB C Hình 2.3 AC = a2 + a2 = a 2     Suy ra (AB + AD )(BD + BC ) = a.a 2 cos 450 = a 2     b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên CG = CD + CA + CM    Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có CA = - AB + AD (     1   1  1  CM = CB + CA = éêCB - AB + AD ùú = - AB + 2AD û 2 2ë 2 ( ) ( ) ( ) và )       ö æ 5  1  Suy ra CG = -AB - AB + AD - AB + 2AD = -çç AB + 2AD ÷÷÷ çè 2 2 ø ( ) ( )        ö æ 1  Ta lại có CA + DM = - AB + AD + AM - AD = - çç AB + 2AD ÷÷÷ çè 2 ø ( )     öæ 1   ö æ 5  Nên CG . CA + DM = çç AB + 2AD ÷÷÷ çç AB + 2AD ÷÷÷ èç 2 øèç 2 ø ( ) = 5 21a 2 AB 2 + 4AD 2 = 4 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 670 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c . M là trung điểm của BC, D là chân đường phân giác trong góc A.   a) Tính AB.AC , rồi suy ra cosA .  2  2 b) Tính AM và AD Lời giải (hình 2.3) a) Ta có     1 é  2  2 ê AB.AC = AB + AC - AB - AC 2 êë ( ) 2 A ù ú úû 1 1é AB 2 + AC 2 - CB 2 ùû = ( c 2 + b 2 - a 2 ) ë 2 2   Mặt khác AB.AC = AB.AC cos A = cb cos A = B DM C Hình 2.3 c2 + b2 - a 2 1 Suy ra ( c 2 + b 2 - a 2 ) = cb cos A hay cos A = 2 2bc  1   b) * Vì M là trung điểm của BC nên AM = ( AB + AC ) 2  2 1   Suy ra AM = AB + AC 4 ( ) 2 =    2 ö 1 çæ  2 çç AB + 2ABAC + AC ÷÷÷ ø 4è   1 Theo câu a) ta có AB.AC = (c 2 + b 2 - a 2 ) nên 2  2 ö 2 (b 2 + c 2 ) - a 2 1æ 1 AM = ççc 2 + 2. ( c 2 + b 2 - a 2 ) + b 2 ÷÷÷ = 4 çè 2 4 ø * Theo tính chất đường phân giác thì BD AB c = = DC AC b  BD  b  DC = DC (*) Suy ra BD = DC c       Mặt khác BD = AD - AB và DC = AC - AD thay vào (*) ta được   b      AD - AB = ( AC - AD )  (b + c )AD = bAB + cAC c  2  2    2 2  (b + c ) AD = (bAB ) + 2bcABAC + ( cAC )  2 1 2  (b + c ) AD = b 2c 2 + 2bc. (c 2 + b 2 - a 2 ) + c 2b 2 2  2 bc  AD = (b + c - a )(b + c + a ) 2 (b + c ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 671  2 Hay AD = 4bc p( p -a ) 2 (b + c ) Nhận xét : Từ câu b) suy ra độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A là la = 2 bc b +c p( p -a ) Dạng 2: chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng. 1. Phương pháp giải.  Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ  2 đẳng thức AB 2 = AB  Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ  Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng. 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý.   Chứng minh rằng : MA.MB = IM 2 - IA2 Lời giải:    2  2 Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là MA.MB = IM - IA   Để làm xuất hiện IM , IA ở VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được         VT = MI + IA . MI + IB = MI + IA . MI - IA ( )( ) ( )( )  2  2 = IM - IA = VP (đpcm) Ví dụ 2: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng:       DA.BC + DB.CA + DC .AB = 0 (*). Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui". Lời giải:       Ta có: DA.BC + DB.CA + DC .AB          = DA. DC - DB + DB. DA - DC + DC . DB - DA             = DA.DC - DA.DB + DB.DA - DB.DC + DC .DB - DC .DA = 0 ( ) ( ) ( ) (đpcm) Gọi H là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh A, B.     Khi đó ta có HA.BC = 0, HC .AB = 0 (1) Từ đẳng thức (*) ta cho điểm D trùng với điểm H ta được Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 672       HA.BC + HB.CA + HC .AB = 0 (2)   Từ (1) (2) ta có HB.CA = 0 suy ra BH vuông góc với AC Hay ba đường cao trong tam giác đồng quy (đpcm). Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt     nhau tại E. Chứng minh rằng : AE .AC + BE .BD = AB 2 Lời giải (hình 2.4)       Ta có VT = AE . AB + BC + BE . BA + AD ( ) ( )         = AE .AB + AE .BC + BE .BA + BE .AD C D E  = 900 , ACB  = 900 Vì AB là đường kính nên ADB     Suy ra AE .BC = 0, BE .AD = 0 A Hình 2.4 B         2 Do đó VT = AE .AB + BE .BA = AB AE + EB = AB = VP (đpcm). ( ) Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC = a ,CA = b , AB = c và I là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng aIA2 + bIB 2 + cIC 2 = abc Lời giải:        Ta có: aIA + bIB + cIC = 0  aIA + bIB + cIC ( ) 2 =0        a 2IA2 + b 2IB 2 + c 2IC 2 + 2abIA.IB + 2bcIB.IC + 2caIC .IA = 0  a 2IA2 + b 2IB 2 + c 2IC 2 + ab ( IA2 + IB 2 - AB 2 ) + + bc ( IB 2 + IC 2 - BC 2 ) + ca ( IA2 + IC 2 - CA2 ) = 0  (a 2 + ab + ca ) IA2 + (b 2 + ba + bc ) IB 2 + + (c 2 + ca + cb ) IC 2 - ( abc 2 + ab 2c + a 2bc ) = 0  (a + b + c ) (a 2IA2 + b 2IB 2 + c 2IC 2 ) = ( a + b + c )abc  a 2IA2 + b 2IB 2 + c 2IC 2 = abc (đpcm) Dạng 3: tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng hoặc tích độ dài. 1. Phương pháp giải. Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau: Cho A, B là các điểm cố định. M là điểm di động Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 673     Nếu AM = k với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính R = k .   Nếu MA.MB = 0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB     Nếu MAa . = 0 với a khác 0 cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và  vuông góc với giá của vectơ a 2. Các ví dụ.   Ví dụ 1. Cho hai điểm A, B cố định có độ dài bằng a, vectơ a khác 0 và số thực k cho trước. Tìm tập hợp điểm M sao cho   3a 2 a) MA.MB = 4   b) MA.MB = MA2 Lời giải: a) Gọi I là trung điểm của AB ta có       3a 2 3a 2 MA.MB =  MI + IA MI + IB = 4 4 ( )(  MI 2 - IA2 = )   3a 2 (Do IB = -IA ) 4 a 2 3a 2 + 4 4  MI = a  MI 2 = Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = a   b) Ta có MA.MB = MA2      MA. MA - MB = 0  ( )    2 MA.MB = MA     MA.BA = 0  MA ^ BA Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A.     Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M sao cho MA + 2MB + 3CB BC = 0 ( Lời giải (hình 2.4)    M Gọi I là điểm xác định bởi IA + 2IB = 0     Khi đó MA + 2MB + 3CB BC = 0 ( )      éê MI + IA + 2 MI + IB ë   MI .BC = BC 2 ( ) ( )  ù .BC = 3BC 2 úû Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B ) A I M' I' C Hình 2.4 Trang 674 Gọi M', I' lần lượt là hình chiếu của M, I lên đường thẳng BC       Theo công thức hình chiếu ta có MI .BC = M ' I '.BC do đó M ' I '.BC = BC 2   Vì BC 2 > 0 nên M ‘ I ‘, BC cùng hướng suy ra   M ‘ I ‘.BC = BC 2  M ‘ I ‘.BC = BC 2  M ‘ I ‘ = BC Do I cố định nên I’ cố định suy ra M’ cố định. Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M’ và vuông góc với BC. Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a và số thực k cho trước.     Tìm tập hợp điểm M sao cho MA.MC + MB.MD = k Lời giải (hình 2.5) A Gọi I là tâm của hình vuông ABCD       Ta có : MA.MC = MI + IA MI + IC ( )( ) I      = MI 2 + MI IC + IA + IA.IC D   2 Hình 2.5 = MI + IA.IC     Tương tự MB.MD = MI 2 + IB.ID         Nên MA.MC + MB.MD = k  2MI 2 + IB.ID + IA.IC = k (  2MI 2 – IB 2 – IA2 = k  MI 2 =  MI 2 =  MI = k + a2 2 k + IA2 = 2 B ) C k + IA2 2 k + a2 2 Nếu k < -a 2 : Tập hợp điểm M là tập rỗng Nếu k = -a 2 thì MI = 0  M º I suy ra tập hợp điểm M là điểm I Nếu k > -a 2 thì MI = k + a2 2 suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = k + a2 2 DẠNG 4: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. 1. Phương pháp giải.    Cho a = (x 1; y1 ), b = (x 2 ; y2 ) . Khi đó Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 675  + Tích vô hướng hai vectơ là a.b = x 1x 2 + y1y2 + Góc của hai vectơ được xác định bởi công thức   x 1x 2 + y1y2 a.b cos(a, b) =   = 2 x 1 + y12 x 22 + y22 a b    Chú ý: a ^ b  a.b = 0  x 1x 2 + y1y2 = 0  Để xác định độ dài một vectơ đoạn thẳng ta sử dụng công thức   + Nếu a = (x ; y ) thì a = x 2 + y 2 + Nếu A(x A ; yA ), B(x B ; yB ) thì AB = (x B – x A )2 + (yB – yA )2 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A( 1; 2 ) , B ( -2; 6 ) , C ( 9; 8 ) . a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b) Tính góc B của tam giác ABC c) Xác định hình chiếu của A lên cạnh BC Lời giải:     a) Ta có AB ( -3; 4 ) , AC ( 8; 6 )  AB. AC = -3.8 + 4.6 = 0   Do đó AB ^ AC hay tam giác ABC vuông tại A.   b) Ta có BC ( 11; 2 ) , BA( 3; -4 )   Suy ra cos B = cos ( BC , BA ) = 11.3 + 2.( -4 ) 2 112 + 22 32 + ( -4 ) = 1 5 c) Gọi H ( x ; y ) là hình chiếu của A lên BC.    Ta có AH ( x – 1; y – 2 ) , BH ( x + 2; y – 6 ) , BC ( 11; 2 )   AH ^ BC  AH .BC = 0  11( x – 1 ) + 2 ( y – 2 ) = 0 Hay 11x + 2y – 15 = 0 (1)   x +2 y -6 =  2x -11y + 70 = 0 (2) Mặt khác BH , BC cùng phương nên 11 2 1 32 Từ (1) và (2) suy ra x = , y = 5 5 æ 1 32 ö Vậy hình chiếu của A lên BC là H çç ; ÷÷÷ è5 5 ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 676 Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có tâm I ( 1;1 ) , đỉnh A ( 3;2 ) và đỉnh B nằm trên trục hoành. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi. Lời giải: Vì B nằm trên trục hoành nên giả sử B ( 0; y ) Vì I là tâm hình thoi ABCD nên I là trung điểm của AC và BD Suy ra C = ( 2x I – x A ;2yI – yA ) = ( -1; 0 ) , D = ( 2x I – x B ;2yI – yB ) = ( 2;2 – y ) 2 Do đó AB = AD  AB 2 = AD 2  9 + ( y – 2 ) = 1 + y 2  y = 3 Vậy B ( 0; 3 ), C ( -1; 0 ), D ( 2; -1 ) Ví dụ 3: Cho ba điểm A(3; 4), B(2;1) và C (-1; -2) . Tìm điểm M trên đường thẳng BC để góc  = 450 AMB Lời giải:    Giả sử M ( x ; y ) suy ra MA( 3 – x ; 4 – y ) , MB ( 2 – x ; 1 – y ) , BC ( -3; -3 )    = 450 suy ra cos AMB  = cos ( MA; BC ) Vì AMB   MABC . -3 ( 3 – x ) – 3 ( 4 – y ) 2  cos 450 =    = 2 2 2 MA . BC (3 -x ) +(4 -y ) 9 + 9 2 2  ( 3 – x ) + ( 4 – y ) = x + y – 7 (*)   Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ MB , BC cùng phương Suy ra 2 -x 1-y =  x = y + 1 thế vào (*) ta được -3 -3 2 2 ( 2 – y ) + ( 4 – y ) = 2y – 6  y 2 – 6y + 8 = 0  y = 2 hoặc y = 4      = cos MA; MB = – 1 + Với y = 2  x = 3 , ta có MA( 0; 2 ) , MB ( -1; -1 )  cos AMB 2 ( )  = 1350 (không thỏa mãn) Khi đó AMB      = cos ( MA; MB ) = 1 + Với y = 4  x = 5 , MA( -2; 0 ) , MB ( -3; -3 )  cos AMB 2  = 450 Khi đó AMB Vậy M ( 5; 4 ) . là điểm cần tìm. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 677 Ví dụ 4: Cho điểm A(2; 1). Lấy điểm B nằm trên trục hoành có hoành độ không âm sao và điểm C trên trục tung có tung độ dương sao cho tam giác ABC vuông tại A . Tìm toạ độ B, C để tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Lời giải: Gọi B  b;0  , C  0; c  với b  0 , c  0 .   Suy ra AB  b  2; 1 , AC  2; c  1 Theo giả thiết ta có tam giác ABC vuông tại A nên   AB. AC  0   b  2  2   1.  c  1  0  c  2b  5 Ta có S ABC  1 1 AB. AC  (b  2) 2  1. 22  (c  1) 2 2 2  (b  2) 2  1  b 2  4b  5 Vì c  0 nên 2b  5  0  0  b  5 2 Xét hàm số y  x 2  4 x  5 với 0  x  5 2 Bảng biến thiên x 5 2 2 0 5 4 5 y 1 Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số y  x 2  4 x  5 với 0  x  5 là y  5 khi x  0 . Do đó diện tích 2 tam giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi b  0 , suy ra c  5 . Vậy B  0;0  , C  0;5  là điểm cần tìm. C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Câu 1.    Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?    A. a.b = a . b .   B. a.b = 0 . C. a.b = -1 .    D. a.b = – a . b . Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 678      Ta có a.b = a . b . cos (a, b) .       Do a và b là hai vectơ cùng hướng nên (a, b) = 0 0 ¾¾  cos (a, b) = 1 .    Vậy a.b = a . b . Câu 2.         Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc a giữa hai vectơ a và b khi a.b = – a . b . A. a = 180 0. B. a = 0 0. C. a = 90 0. D. a = 450. Lời giải Chọn A      Ta có a.b = a . b . cos (a, b) .        Mà theo giả thiết a.b = – a . b , suy ra cos (a, b) = -1 ¾¾  (a, b) = 180 0. Câu 3.      Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = 3, b = 2 và a.b = -3. Xác định góc a giữa hai vectơ   a và b. A. a = 30 0. B. a = 450. C. a = 60 0. D. a = 120 0. Lời giải       a.b   -3   1 Ta có a.b = a . b . cos (a, b) ¾¾  cos (a, b) =   = = – ¾¾  (a, b) = 120 0. 3.2 2 a.b Chọn D Câu 4.      2 5     Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = b = 1 và hai vectơ u = a – 3b và v = a + b vuông   góc với nhau. Xác định góc a giữa hai vectơ a và b. A. a = 90 0. B. a = 180 0. C. a = 60 0. D. a = 450. Lời giải Chọn B   æ2  è5  ö   2 2 5 Ta có u ^ v ¾¾  u.v = 0  çç a – 3b÷÷÷(a + b) = 0  a ç ø 2 13  ab – 3b = 0 5    a = b =1 ¾¾¾¾  ab = -1.  a.b     Suy ra cos (a, b) =   = -1 ¾¾  (a, b) = 180 0. a.b Câu 5.   Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai?   1æ   2  2  2ö A. a.b = çç a + b – a – b ÷÷÷. 2è ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   1æ  2  2   2ö B. a.b = çç a + b – a – b ÷÷÷. 2è ø Trang 679   1æ   2   2ö C. a.b = çç a + b – a – b ÷÷÷. 2è   1æ   2   2ö D. a.b = çç a + b – a – b ÷÷÷. ø 4è ø Lời giải Chọn C Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số 1 2 và 1 4 nên đáp án sai sẽ rơi vào C hoặc D.  2  2  2  2    1æ   2   2ö Ta có a + b – a – b = (a + b) – (a – b) = 4 ab ¾¾  a.b = çç a + b – a – b ÷÷÷. 4è ø  2  2         2 2  · A đúng, vì a + b = a + b = a + b . a + b = a.a + a.b + b.a + b.b = a + b + 2a.b ( ) ( )( )   1æ   2  2  2ö ¾¾  a.b = çç a + b – a – b ÷÷÷. ø 2è ·  2           2 2  B đúng, vì a – b = (a – b) = (a – b). (a – b) = a.a – a.b – b.a + b.b = a + b – 2 a.b 2   1æ  2  2   2ö ¾¾  a.b = çç a + b – a – b ÷÷÷. ø 2è Câu 6.   Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB. AC.   A. AB. AC = 2a 2 .   B. AB. AC = – a2 3 . 2   C. AB. AC = – a2 . 2   a2 . 2   a2 . 2 D. AB. AC = Lời giải Chọn D     Xác định được góc ( AB, AC ) là góc A nên ( AB, AC ) = 60 0.     Do đó AB. AC = AB. AC. cos ( AB, AC ) = a.a. cos 60 0 = a2 . 2   Câu 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.BC.   A. AB.BC = a 2 .   B. AB.BC = a2 3 . 2   C. AB.BC = – a2 . 2 D. AB.BC = Lời giải Chọn C     Xác định được góc ( AB, BC ) là góc ngoài của góc B nên ( AB, BC ) = 120 0.     Do đó AB.BC = AB.BC. cos ( AB, BC ) = a.a. cos120 0 = Câu 8. a2 . 2 Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Mệnh đề nào sau đây là sai?   1 2 A. AB. AC = a2 .   1 2 B. AC.CB = – a2 .   C. GA.GB = a2 . 6   1 2 D. AB. AG = a 2 . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 680 Chọn C Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: ·     Xác định được góc ( AB, AC ) là góc A nên ( AB, AC ) = 60 0.     Do đó AB. AC = AB. AC. cos ( AB, AC ) = a.a. cos 60 0 = a2 ¾¾  2 A đúng.      nên AC , CB = 120 0. · Xác định được góc AC , CB là góc ngoài của góc C (   ) (   Do đó AC.CB = AC.CB. cos ( AC, CB ) = a.a. cos120 0 = · ) a2 ¾¾  B đúng. 2      nên GA , GB = 120 0. Xác định được góc (GA, GB ) là góc AGB ( )     Do đó GA.GB = GA.GB. cos (GA, GB ) = a 3 . a 3 . cos120 0 = – a2 ¾¾  C sai. 6      nên AB, AG = 30 0. · Xác định được góc AB, AG là góc GAB ( )   (   Do đó AB. AG = AB. AG. cos ( AB, AG ) = a. Câu 9. a 3 ) . cos 30 0 = a2 ¾¾  2 D đúng. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH . Mệnh đề nào sau đây là sai?   A. AH . BC = 0.   B. ( AB, HA ) = 150 0.   C. AB. AC = a2 . 2   D. AC.CB = a2 . 2 Lời giải Chọn D     Xác định được góc ( AC, CB ) là góc ngoài của góc A nên ( AC , CB ) = 120 0.     Do đó AC.CB = AC.CB. cos ( AC, CB ) = a.a. cos120 0 = – a2 . 2   Câu 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AC = a. Tính AB.BC.     A. AB.BC = -a2 .   C. AB.BC = – B. AB.BC = a2 .   a2 2 . 2 D. AB.BC = a2 2 . 2 Lời giải Chọn A     Xác định được góc ( AB, BC ) là góc ngoài của góc B nên ( AB, BC ) = 1350.     Do đó AB.BC = AB.BC. cos ( AB, BC ) = a.a 2. cos1350 = -a2 .   Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c, AC = b. Tính BA.BC.   A. BA.BC = b2 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133   B. BA. BC = c2 . Trang 681     C. BA.BC = b2 + c2 . D. BA.BC = b2 – c2 . Lời giải Chọn B     Ta có BA.BC = BA. BC. cos ( BA, BC ) = BA.BC. cos B = c. b2 + c2 . c 2 b + c2 = c2 .   Cách khác. Tam giác ABC vuông tại A suy ra AB ^ AC  AB. AC = 0.       2   Ta có BA.BC = BA. ( BA + AC ) = BA + BA. AC = AB 2 = c2 .   Câu 12. Cho tam giác ABC có AB = 2 cm, BC = 3 cm, CA = 5 cm. Tính CA.CB.     A. CA.CB = 13.   B. CA.CB = 15. C. CA.CB = 17.   D. CA.CB = 19. Lời giải Chọn B Ta có AB + BC = CA  ba điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C.     Khi đó CA.CB = CA.CB. cos (CA, CB ) = 3.5. cos 0 0 = 15.  2     Cách khác. Ta có AB 2 = AB = (CB – CA ) = CB 2 – 2CBCA + CA 2 2   1 1 ¾¾  CBCA = (CB 2 + CA 2 – AB 2 ) = (32 + 52 – 2 2 ) = 15. 2 2    Câu 13. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Tính P = ( AB + AC ).BC. A. P = b2 – c2 . C. P = c 2 + b2 + a 2 . 3 B. P = c 2 + b2 . 2 D. P = c 2 + b2 – a 2 . 2 Lời giải Chọn A        Ta có P = ( AB + AC ).BC = ( AB + AC ). ( BA + AC ).      2  2 = AC + AB . AC – AB = AC – AB = AC 2 – AB 2 = b2 – c2 . ( )( )   Câu 14. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính AM .BC.   b2 – c 2 . 2 B. AM .BC =   c 2 + b2 + a 2 . 3 D. AM .BC = A. AM .BC = C. AM .BC =   c 2 + b2 . 2   c 2 + b2 – a 2 . 2 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 682 Chọn A    Vì M là trung điểm của BC suy ra AB + AC = 2 AM .   Khi đó AM .BC = = 1    1     AB + AC . BC = AB + AC . BA + AC 2 2 ( ) ( )( ) 1     1  2  2 1 b2 – c 2 . AC + AB . AC – AB = AC – AB = ( AC 2 – AB 2 ) = 2 2 2 2 ( )( ( ) ) Câu 15. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng    (OA + OB ). AB = 0 là A. tam giác OAB đều. B. tam giác OAB cân tại O. C. tam giác OAB vuông tại O. D. tam giác OAB vuông cân tại O. Lời giải Chọn B        Ta có (OA + OB ). AB = 0  (OA + OB ). (OB – OA ) = 0  2  2  OB – OA = 0  OB 2 – OA 2 = 0  OB = OA. Câu 16. Cho M , N , P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?              A. MN ( NP + PQ ) = MN .NP + MN .PQ .   B. MP. MN = -MN . MP .     D. ( MN – PQ )( MN + PQ ) = MN 2 – PQ 2 . C. MN .PQ = PQ. MN . Lời giải Chọn B Đáp án A đúng theo tính chất phân phối.     Đáp án B sai. Sửa lại cho đúng MP. MN = MN . MP . Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán. Đáp án D đúng theo tính chất phân phối.   Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB. AC.   A. AB. AC = a2 .   B. AB. AC = a2 2.   C. AB. AC = 2 2 a . 2   1 2 D. AB. AC = a2 . Lời giải Chọn A      = 450 nên AB. AC = AB. AC. cos 450 = a.a 2. Ta có ( AB, AC ) = BAC   2 = a2 . 2  Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính P = AC. (CD + CA ). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 683 A. P = -1. B. P = 3a2 . C. P = -3a2 . D. P = 2a2 . Lời giải Chọn C Từ giả thiết suy ra AC = a 2.           2 Ta có P = AC. (CD + CA ) = AC.CD + AC.CA = -CA.CD – AC   = -CA.CD cos CA, CD – AC 2 = -a 2.a. cos 450 – a 2 ( ) (  ) = -3a2 .   2   Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P = ( AB + AC ). ( BC + BD + BA ). A. P = 2 2a. B. P = 2a2 . C. P = a2 . D. P = -2a2 . Lời giải Chọn D ì ïBD = a 2 ï Ta có ïí          . ï BC + BD + BA = BC + BA + BD = BD + BD = 2 BD ï ï î  (  )        Khi đó P = ( AB + AC ).2 BD = 2 AB.BD + 2 AC.BD = -2 BA.BD + 0   2 = -2. BA. BD cos BA, BD = -2.a.a 2. = -2 a 2 . 2 ( )   Câu 20. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Tính AE . AB.     A. AE . AB = 2a2 . B. AE . AB = 3a2 .   C. AE . AB = 5a2 .   D. AE . AB = 5a2 . Lời giải Chọn A Ta có C là trung điểm của DE nên DE = 2a.          AD. AB + DE . AB Khi đó AE . AB = ( AD + DE ). AB =  0   = DE . AB. cos DE , AB = DE . AB. cos 0 0 = 2 a2 . ( ) Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho   AC . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính MB. MN . 4       A. MB. MN = -4. B. MB. MN = 0. C. MB. MN = 4. AM =   D. MB. MN = 16. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 684 Chọn B   Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ MB, MN theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.     1   1   3  1  · MB = AB – AM = AB – AC = AB – AB + AD = AB – AD. 4 4 4 4 ( )      1   1  1   · MN = AN – AM = AD + DN – AC = AD + DC – AB + AD 4 2 4 ( )  1  1   3  1  = AD + AB – AB + AD = AD + AB. Suy ra: 2 4 4 4 ( )   æ 3  1  öæ 3  1  ö 1    2  2   MB. MN = çç AB – AD ÷÷÷çç AD + AB ÷÷÷ = 3 AB. AD + 3 AB – 3 AD – AD. AB èç 4 øèç 4 ø 16 4 4 ( = ) 1 (0 + 3a2 – 3a2 – 0) = 0 . 16   Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tích AB.BD.     A. AB.BD = 62. B. AB.BD = 64.   C. AB.BD = -62.   D. AB.BD = -64. Lời giải Chọn D   Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ AB, BD theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.            Ta có AB.BD = AB. ( BA + BC ) = AB.BA + AB.BC = -AB. AB + 0 = -AB 2 = -64 .   Câu 23. Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính AB. AC.   A. AB. AC = 24.   B. AB. AC = 26.   C. AB. AC = 28.   D. AB. AC = 32. Lời giải Chọn D   Gọi O = AC Ç BD , giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ AB, AC theo các vectơ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 685 có giá vuông góc với nhau. Ta có          1   1 AB. AC = AO + OB . AC = AO. AC + OB. AC = AC. AC + 0 = AC 2 = 32 . 2 2 ( )  nhọn và diện tích bằng Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm, AD = 12 cm , góc ABC   54 cm 2 . Tính cos AB, BC . ( )   2 7 . 16 B. cos ( AB, BC ) = –   5 7 . 16 D. cos ( AB, BC ) = – A. cos ( AB, BC ) = C. cos ( AB, BC ) =   2 7 . 16   5 7 . 16 Lời giải Chọn D Ta có S ABCD = 2.S DABC = 54  S DABC = 27 cm 2 . Diện tích tam giác ABC là: 1  = 1 . AB. AD. sin ABC . S DABC = . AB. BC. sin ABC 2 2 2.27 9  2.S DABC  sin ABC = = = AB. AD 8.12 16   5 7 ¾¾  cos ABC = 1 – sin 2 ABC = 16  nhọn). (vì ABC    Mặt khác góc giữa hai vectơ AB, BC là góc ngoài của góc ABC   æ è ö ø  Suy ra cos ( AB, BC ) = cos çç180 0 – ABC ÷÷÷ = – cos ABC = – 5 7 . 16 Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = a 2 . Gọi K là trung điểm của cạnh AD.   Tính BK . AC.   A. BK . AC = 0.   B. BK . AC = -a2 2.   C. BK . AC = a2 2.   D. BK . AC = 2a2 . Lời giải Chọn A Ta có AC = BD = AB 2 + AD 2 = 2a2 + a2 = a 3. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 686 Ta có ìï     1  ïïBK = BA + AK = BA + AD 2 í    ïï ïïî AC = AB + AD   æ  1  ö   ¾¾  BK . AC = çç BA + AD ÷÷÷ AB + AD çè ø 2 ( )     1   1   1 = BA. AB + BA. AD + AD. AB + AD. AD = -a 2 + 0 + 0 + a 2 2 2 2 (   ) 2 = 0.  Câu 26. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA ( MB + MC ) = 0 là: A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Lời giải Chọn D    Gọi I là trung điểm BC ¾¾  MB + MC = 2 MI .          Ta có MA ( MB + MC ) = 0  MA.2 MI = 0  MA. MI = 0  MA ^ MI . (*) Biểu thức (*) chứng tỏ MA ^ MI hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI .     Câu 27. Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn MB ( MA + MB + MC ) = 0 với A, B, C là ba đỉnh của tam giác. A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Lời giải Chọn D     Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ¾¾  MA + MB + MC = 3 MG.           Ta có MB ( MA + MB + MC ) = 0  MB.3 MG = 0  MB. MG = 0  MB ^ MG. (*) Biểu thức (*) chứng tỏ MB ^ MG hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BG.   Câu 28. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.BC = 0 là: A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Lời giải Chọn B   Ta có MA. BC = 0  MA ^ BC. Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC. Câu 29. Cho hai điểm A, B cố định có khoảng cách bằng a . Tập hợp các điểm N thỏa mãn   AN . AB = 2 a2 là: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 687 A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Lời giải Chọn B   Gọi C là điểm đối xứng của A qua B . Khi đó AC = 2 AB.    2 Suy ra AB. AC = 2 AB = 2a2 .     Kết hợp với giả thiết, ta có AN . AB = AB. AC       AB AN – AC = 0  AB.CN = 0  CN ^ AB . ( ) Vậy tập hợp các điểm N là đường thẳng qua C và vuông góc với AB.   Câu 30. Cho hai điểm A, B cố định và AB = 8. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA. MB = -16 là: A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Lời giải Chọn A      Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB ¾¾  IA = -IB.        Ta có MA. MB = ( MI + IA )( MI + IB ) = ( MI + IA )( MI – IA )  2  2 AB 2 . = MI – IA = MI 2 – IA 2 = MI 2 4 Theo giả thiết, ta có MI 2 – AB 2 AB 2 82 = -16  MI 2 = -16 = -16 = 0 ¾¾ M º I. 4 4 4 Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A (3; -1), B (2;10 ), C (-4;2 ). Tính tích vô hướng   AB. AC.     A. AB. AC = 40. B. AB. AC = -40.   C. AB. AC = 26.   D. AB. AC = -26. Lời giải Chọn A   Ta có AB = (-1;11), AC = (-7;3) .   Suy ra AB. AC = (-1). (-7 ) + 11.3 = 40. Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (3; -1) và B (2;10 ). Tính tích vô hướng   AO.OB.     A. AO.OB = -4. B. AO.OB = 0.   C. AO.OB = 4.   D. AO.OB = 16. Lời giải Chọn C     Ta có AO = (-3;1), OB = (2;10 ). Suy ra AO.OB = -3.2 + 1.10 = 4. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 688       Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = 4i + 6 j và b = 3i – 7 j. Tính tích vô hướng  a.b.   A. a.b = -30.  B. a.b = 3.  C. a.b = 30. D. a.b = 43. Lời giải Chọn A   Từ giả thiết suy ra a = (4;6 ) và b = (3;-7).  Suy ra a.b = 4.3 + 6. (-7 ) = -30.    Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (-3;2) và b = (-1;-7 ). Tìm tọa độ vectơ c   biết c.a = 9 và c.b = -20.   A. c = (-1;-3).  B. c = (-1;3).  C. c = (1;-3). D. c = (1;3). Lời giải Chọn B  Gọi c = ( x ; y ). Ta có  ìïc.a = 9  ìï-3 x + 2 y = 9 ì ï x = -1 ï  íï  íï ¾¾  c = (-1;3). í  ïïc.b = -20 ïîï-x – 7 y = -20 ï ïy = 3 î ïî    Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (1;2), b = (4;3) và c = (2;3). Tính    P = a. b + c . ( ) A. P = 0. B. P = 18. C. P = 20. D. P = 28. Lời giải Chọn B      Ta có b + c = (6;6 ). Suy ra P = a. (b + c) = 1.6 + 2.6 = 18.   Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (-1;1) và b = (2;0) . Tính cosin của góc   giữa hai vectơ a và b .   A. cos (a, b) = 1 2   B. cos (a, b) = – .   2 . 2 C. cos (a, b) = – 1 2 2 .   1 2 D. cos (a, b) = . Lời giải Chọn B Ta có    -1.2 + 1.0 a.b 2 =cos a, b =   = . 2 2 2 2 2 a.b (-1) + 1 . 2 + 0 ( )   Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (-2;-1) và b = (4;-3) . Tính cosin của góc   giữa hai vectơ a và b . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 689   A. cos (a, b) = – 5 . 5   B. cos (a, b) =   2 5 . 5 C. cos (a, b) = 3 . 2   1 2 D. cos (a, b) = . Lời giải Chọn A    -2.4 + (-1). (-3) a.b 5 Ta có cos a, b =   = =. 5 4 + 1. 16 + 9 a.b ( )   Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (4;3) và b = (1;7) . Tính góc a giữa hai   vectơ a và b . A. a = 90 O. B. a = 60O. C. a = 45O. D. a = 30O. Lời giải Chọn C      a.b 4.1 + 3.7 2 Ta có cos a, b =   = = ¾¾  a, b = 450. 2 16 + 9. 1 + 49 a.b ( ) ( )   Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x = (1;2 ) và y = (-3;-1) . Tính góc a giữa hai   vectơ x và y. A. a = 45O. B. a = 60O. C. a = 90 O. D. a = 135O. Lời giải Chọn D       1. (-3) + 2. (-1) x. y 2 Ta có cos x , y =   = =¾¾  x , y = 1350. 2 1 + 4. 9 + 1 x.y ( ) ( )   Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (2;5) và b = (3;-7) . Tính góc a giữa hai   vectơ a và b . A. a = 30O. B. a = 45O. C. a = 60 O. D. a = 135O. Lời giải Chọn D      2.3 + 5 (-7 ) a.b 2 Ta có cos a, b =   = =¾¾  a, b = 1350. 2 4 + 25. 9 + 49 a.b ( ) ( )  Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a = (9;3) . Vectơ nào sau đây không vuông góc  với vectơ a ?  A. v1 = (1;-3).  B. v2 = (2;-6).  C. v3 = (1;3).  D. v4 = (-1;3). Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 690  Kiểm tra tích vô hướng a.v , nếu đáp án nào cho kết quả khác 0 thì kết luận vectơ đó  không vuông góc với a. Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A (1;2 ), B (-1;1) và C (5;-1) . Tính cosin của góc   giữa hai vectơ AB và AC.   1 2 B. cos ( AB, AC ) =     2 5 D. cos ( AB, AC ) = – A. cos ( AB, AC ) = – .   C. cos ( AB, AC ) = – . 3 . 2 5 . 5 Lời giải Chọn D   Ta có AB = (-2;-1) và AC = (4;-3) .     -2.4 + (-1). (-3) AB. AC 5 Suy ra cos AB, AC =   = =. 5 4 + 1. 16 + 9 AB . AC ( ) Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (6;0 ), B (3;1) và C (-1;-1) . Tính số đo góc B của tam giác đã cho. A. 15O. B. 60O. C. 120O. D. 135O. Lời giải Chọn D   Ta có BA = (3;-1) và BC = (-4;-2) . Suy ra:       3. (-4 ) + (-1). (-2 ) BA. BC 2  = BA, BC = 135O. cos BA, BC =   = =¾¾ B 2 9 + 1. 16 + 4 BA . BC ( ) ( ) Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A (-8;0), B (0;4 ), C (2;0 ) và D (-3;-5). Khẳng định nào sau đây là đúng?  và BCD  phụ nhau. A. Hai góc BAD    là góc nhọn. B. Góc BCD   C. cos ( AB, AD ) = cos (CB, CD ).  và BCD  bù nhau. D. Hai góc BAD Lời giải Chọn D     Ta có AB = (8;4 ), AD = (5;-5), CB = (-2;4 ), CD = (-5;5). Suy ra ì ï ï cos ï ï ï ï í ï ï ïcos ï ï ï î 8.5 + 4. (-5)   ( AB, AD ) =   (CB, CD ) = 2 8 + 4 2 . 52 + 52 (-2 ). (-5) + 4. (-5) 2 2 2 2 +4 . 5 +5 2 = 1 10 =- 1 10      + BCD  = 180 0. ¾¾  cos AB, AD + cos CB, CD = 0  BAD ( ) ( ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 691  1 2      Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i – 5 j và v = ki – 4 j Tìm k để vectơ u  vuông góc với v. A. k = 20. B. k = -20. C. k = -40. D. k = 40. Lời giải Chọn C  ö  æ1 Từ giả thiết suy ra u = ççç ;-5÷÷÷, v = (k ;-4 ). è2 ø   1 2 Yêu cầu bài toán: u ^ v  k + (-5)(-4 ) = 0  k = -40 .  1 2      Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i – 5 j và v = ki – 4 j. Tìm k để vectơ u  và vectơ v có độ dài bằng nhau. A. k = 37 . 4 B. k = 37 . 2 C. k =  37 . 2 5 8 D. k = . Lời giải Chọn C  æ1 ö  Từ giả thiết suy ra u = ççç ;-5÷÷÷, v = (k ;-4 ). è2 ø   1 1 101 và v = k 2 + 16 . Do đó để + 25 = 4 2 Suy ra u = Câu 47.   1 101 37 37 u = v  k 2 + 16 = 101  k 2 + 16 =  k2 = k = . 2 4 4 2      Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (-2;3), b = (4;1) và c = ka + mb với    k , m Î . Biết rằng vectơ c vuông góc với vectơ a + b . Khẳng định nào sau đây đúng? ( A. 2 k = 2m. B. 3k = 2m. ) C. 2 k + 3m = 0. D. 3k + 2m = 0. Lời giải Chọn C Ta có    ì ï c = ka + mb = (-2 k + 4 m ;3k + m ) ï ï . í  ï ï ï îa + b = (2;4 )       Để c ^ (a + b)  c (a + b) = 0  2 (-2 k + 4 m ) + 4 (3k + m ) = 0  2 k + 3m = 0.    Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (-2;3) và b = (4;1) . Tìm vectơ d biết   a.d = 4    và b.d = -2 . æ5 6 ö A. d = ççç ; ÷÷÷. è7 7 ø  æ 5 6ö B. d = ççç- ; ÷÷÷. è 7 7ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133  æ5 è7 6ö 7ø C. d = ççç ;- ÷÷÷.  æ 5 è 7 6ö 7ø D. d = ççç- ;- ÷÷÷. Trang 692 Lời giải Chọn B Câu 49. ìï 5 ï  ìïï-2 x + 3 y = 4 ïïï x = – 7 Gọi d = ( x ; y ) . Từ giả thiết, ta có hệ í í . ïïî 4 x + y = -2 ïï 6 = y ïï 7 ïî      Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ u = (4;1), v = (1;4 ) và a = u + m.v với m Î .  Tìm m để a vuông góc với trục hoành. A. m = 4. B. m = -4. C. m = -2. D. m = 2. Lời giải Chọn B     Ta có a = u + m.v = (4 + m ;1 + 4 m ). Trục hoành có vectơ đơn vị là i = (1;0).   Vectơ a vuông góc với trục hoành  a.i = 0  4 + m = 0  m = -4.   Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = (4;1) và v = (1;4 ). Tìm m để vectơ       a = m.u + v tạo với vectơ b = i + j một góc 450. 1 2 A. m = 4. 1 4 B. m = – . C. m = – . 1 2 D. m = . Lời giải Chọn C Ta có    ìïa = m.u + v = (4 m + 1; m + 4 ) ïï . í   ïïb = i + j = (1;1) ïî   Yêu cầu bài toán  cos (a, b) = cos 450 =  (4 m + 1) + (m + 4 ) 2 2 2 (4 m + 1) + (m + 4 ) = 2 2 5 (m + 1) 2 2  = 2 2 2 2 17m + 16 m + 17 ïìm + 1 ³ 0 1  5 (m + 1) = 17 m 2 + 16m + 17  ïí  m =- . 2 2 4 ïîï25m + 50 m + 25 = 17m + 16 m + 17 Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M (1; – 2 ) và N (- 3; 4 ). A. MN = 4. B. MN = 6. C. MN = 3 6. D. MN = 2 13. Lời giải Chọn D  Ta có MN = (- 4;6) suy ra MN = (- 4 )2 + 6 2 = 42 = 2 13. Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (1;4 ), B (3;2 ), C (5; 4 ) . Tính chu vi P của tam giác đã cho. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 693 A. P = 4 + 2 2. B. P = 4 + 4 2. C. P = 8 + 8 2. D. P = 2 + 2 2. Lời giải Chọn B Ta có  ìï AB = (2; – 2 ) ìïï AB = 2 2 + (- 2 )2 = 2 2 ïï ïï ïï  ï 2 2 íBC = (2;2 )  íïBC = 2 + 2 = 2 2 ïï  ïï ïïCA = (- 4;0 ) ïïCA = – 4 2 + 0 2 = 4 ( ) ïï îï î Vậy chu vi P của tam giác ABC là P = AB + BC + CA = 4 + 4 2.    3 5 4 5  Câu 53. Trong hệ tọa độ (O; i ; j ) , cho vectơ a = – i – j . Độ dài của vectơ a bằng 1 5 A. . 6 5 B. 1. 7 5 C. . D. . Lời giải Chọn B 2 2 æ 3ö æ 4 ö   æ 3 4ö  3 4  Ta có a = – i – j ¾¾  a = çç- ; – ÷÷÷  a = çç- ÷÷÷ + çç- ÷÷÷ = 1. çè 5 5 ø çè 5 ø çè 5 ø 5 5   Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = (3; 4 ) và v = (- 8;6 ) . Khẳng định nào sau đây đúng?        B. u và v cùng phương. A. u = v .  C. u vuông góc với v . D. u = – v . Lời giải Chọn C    Ta có u.v = 3. (- 8) + 4.6 = 0 suy ra u vuông góc với v . æ 3ö Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A (1;2 ), B (- 2; – 4 ), C (0;1) và D ççç-1; ÷÷÷ . Mệnh è 2ø đề nào sau đây đúng?    A. AB cùng phương với CD.   B. AB = CD .   C. AB ^ CD.  D. AB = CD. Lời giải Chọn C   æ 1ö   1 Ta có AB = (- 3;- 6) và CD = ççç-1; ÷÷÷ suy ra AB.CD = (- 3). (-1) + (- 6). = 0. è 2ø 2   Vậy AB vuông góc với CD. Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A (7;-3), B (8;4 ), C (1;5) và D (0;-2 ) . Khẳng Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 694 định nào sau đây đúng?   A. AC ^ CB. B. Tam giác ABC đều. C. Tứ giác ABCD là hình vuông. D. Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn. Lời giải Chọn C  2 2 ìï  ïï AB = (1;7 )  AB = 1 + 7 = 5 2 ïï  ïBC = (-7;1)  BC = 5 2 Ta có ïí  ¾¾  AB = BC = CD = DA = 5 2. ïïCD = (-1; -7 )  CD = 5 2 ïï ïï  ïî DA = (7; -1)  DA = 5 2   Lại có AB.BC = 1(-7) + 7.1 = 0 nên AB ^ BC . Từ đó suy ra ABCD là hình vuông. Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A (-1;1), B (0;2), C (3;1) và D (0;-2). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tứ giác ABCD là hình bình hành. B. Tứ giác ABCD là hình thoi. C. Tứ giác ABCD là hình thang cân. D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn. Lời giải Chọn C Ta có  ìï AB = (1;1)   ïï ¾¾  DC = 3 AB . í  ïï DC = (3;3) ïî Suy ra DC  AB và DC = 3 AB. (1) ìï AD = 12 + 32 = 10 Mặt khác ïïí ¾¾  AD = BC. (2 ) ïïBC = 32 + 12 = 10 ïî Từ (1) và (2) , suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân. Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (-1;1), B (1;3) và C (1;-1) . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn. C. Tam giác ABC cân tại B . D. Tam giác ABC vuông cân tại A . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 695 Chọn D    Ta có AB = (2;2), BC = (0;- 4 ) và AC = (2;- 2). ìï AB = AC = 2 2 Suy ra ïí 2 . Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. 2 2 ïï AB + AC = BC î Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (10;5), B (3;2 ) và C (6;-5) . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC vuông cân tại A . C. Tam giác ABC vuông cân tại B . D. Tam giác ABC có góc A tù. Lời giải Chọn C    Ta có AB = (-7;- 3), BC = (3;-7) và AC = (- 4;-10).   Suy ra AB.BC = (- 7 ).3 + (- 3). (- 7 ) = 0 và AB = BC. Vậy tam giác ABC vuông cân tại B. Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (-2;-1), B (1;-1) và C (-2;2 ) . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC vuông cân tại A . C. Tam giác ABC vuông tại B . D. Tam giác ABC vuông cân tại C . Lời giải Chọn B    Ta có AB = (3;0 ), BC = (- 3;3) và AC = (0;3). ïì AB = AC = 3 Do đó ïí  AB 2 + AC 2 = BC 2 . ïïBC = 3 2 î Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (-2;4 ) và B (8;4 ). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C. A. C (6;0). B. C (0;0 ), C (6;0). C. C (0;0). D. C (-1;0). Lời giải Chọn B  ìïCA = (-2 – c;4 ) ïï . Ta có C Î Ox nên C (c;0) và í ïïCB = (8 – c;4 ) ïî   Tam giác ABC vuông tại C nên CA.CB = 0  (-2 – c). (8 – c) + 4.4 = 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 696 é c = 6  C (6; 0 )  c2 – 6 c = 0  êê . êë c = 0  C (0;0 ) Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1;2 ) và B (-3;1). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A. A. C (0;6 ). B. C (5;0 ). C. C (3;1). D. C (0;-6 ). Lời giải Chọn A  ì ï AB = (-4; -1) ï ï Ta có C Î Oy nên C (0; c) và í  . ï ï ï î AC = (-1; c – 2 )   Tam giác ABC vuông tại A nên AB. AC = 0  (-4 ). (-1) + (-1)(c – 2 ) = 0  c = 6. Vậy C (0;6 ) . Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( –4;0 ), B ( –5;0 ) và C (3;0 ). Tìm điểm M     thuộc trục hoành sao cho MA + MB + MC = 0. A. M ( –2;0 ). B. M (2;0 ). C. M ( –4;0 ). D. M ( –5;0 ). Lời giải Chọn A Ta có M Î Ox nên M ( x ;0 ) và     ìï MA = (-4 – x ;0 ) ïï    ïï   MA + MB + MC = (-6 – 3 x ;0 ). í MB = (-5 – x ;0 ) ¾¾ ïï  ïï MC = (3 – x ;0 ) ïî  Do MA + MB + MC = 0 nên -6 – 3 x = 0  x = -2 ¾¾  M (-2;0 ). Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M ( –2;2 ) và N (1;1). Tìm tọa độ điểm P thuộc trục hoành sao cho ba điểm M , N , P thẳng hàng. A. P (0;4 ). B. P (0; –4 ). C. P ( –4;0). D. P (4;0). Lời giải Chọn D Ta có P Î Ox nên P ( x ;0 ) và Do M , N , P thẳng hàng nên  ì ï MP = ( x + 2; -2 ) ï ï . í  ï ï ï î MN = (3; -1) x + 2 -2 =  x = 4 ¾¾  P (4;0 ). 3 -1 Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm M thuộc trục hoành để khoảng cách từ đó đến điểm N (-1;4 ) bằng 2 5. A. M (1;0 ). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B. M (1;0 ), M (-3;0). Trang 697 C. M (3;0). D. M (1;0), M (3;0). Lời giải Chọn B  Ta có M Î Ox nên M (m ;0) và MN = (-1 – m ;4 ).  Theo giả thiết: MN = 2 5  MN = 2 5  (-1 – m )2 + 4 2 = 2 5 é m = 1 ¾¾  M (1;0 ) 2 .  (1 + m ) + 16 = 20  m 2 + 2m – 3 = 0  êê  M (-3;0 ) ëê m = -3 ¾¾ Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1;3) và B (4;2). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều hai điểm A và B. æ 5 ö A. C ççç- ;0÷÷÷. è 3 ø æ5 ö æ 3 B. C ççç ;0÷÷÷. è3 ø ö æ3 C. C ççç- ;0÷÷÷. è 5 ø ö D. C ççç ;0÷÷÷. è5 ø Lời giải Chọn B Ta có C Î Ox nên C ( x ;0) và  ìï AC = ( x -1; -3) ïï . í  ïïBC = ( x – 4;-2 ) ïî 5 æ5 ö Do CA = CB  CA 2 = CB 2  ( x -1)2 + (-3)2 = ( x – 4 )2 + (-2)2  x = ¾¾  C çç ;0÷÷÷ . çè 3 ø 3 Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (2;2), B (5;- 2). Tìm điểm M thuộc trục  = 90 0 ? hoàng sao cho AMB A. M (0;1). B. M (6;0 ). C. M (1;6 ). D. M (0;6 ). Lời giải Chọn B Ta có M Î Ox nên M (m ;0 ) và  ìï AM = (m – 2; – 2 ) ïï . í  ïïBM = (m – 5;2 ) ïî    = 90 0 suy ra AM .BM = 0 nên (m – 2 )(m – 5) + (- 2 ).2 = 0. Vì AMB é M (1;0 ) ém = 1  m 2 – 7m + 6 = 0  ê ¾¾  êê . êm = 6 ë êë M (6;0 ) Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1;-1) và B (3;2). Tìm M thuộc trục tung sao cho MA 2 + MB 2 nhỏ nhất. A. M (0;1). B. M (0; -1). æ 1ö C. M ççç0; ÷÷÷. è 2ø æ 1ö D. M ççç0;- ÷÷÷. è 2ø Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 698 Chọn C Ta có M Î Oy nên M (0; m ) và  2  ìï MA = (1; -1 – m ) ïï . í  ïï MB = (3;2 – m ) ïî  2 Khi đó MA 2 + MB 2 = MA + MB = 12 + (-1 – m )2 + 32 + (2 – m )2 = 2m 2 – 2m + 15. 2 æ 1ö 29 29 = 2 ççm – ÷÷÷ + ³ ; “m Î . çè 2ø 2 2 Suy ra {MA 2 + MB 2 }min = 29 . 2 Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi m = æ 1ö 1 ¾¾  M çç0; ÷÷÷. èç 2 ø 2 Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A (-2;0 ), B (2;5), C (6;2 ). Tìm tọa độ điểm D. A. D (2; -3). B. D (2;3). C. D (-2; -3). D. D (-2;3). Lời giải Chọn A   Gọi D ( x ; y ). Ta có AD = ( x + 2; y ) và BC = (4;-3) . Vì ABCD là hình bình hành nên   ìx = 2 ïì x + 2 = 4 ï AD = BC ¾¾  ïí  ïí ¾¾  D (2; -3). ï ïîï y = -3 ï y = -3 î Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (1;3), B (-2; 4 ), C (5;3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác đã cho. æ 10 ö A. G ççç2; ÷÷÷. è 3ø æ8 B. G ççç ;è3 10 ö÷ ÷. 3 ÷ø C. G (2;5). æ 4 10 ö÷ ÷. 3 ÷ø D. G ççç ; è3 Lời giải Chọn D 1- 2 + 5 4 ïìï = ïï x G = 3 3 ï . Tọa độ trọng tâm G ( x G ; yG ) là í ïï 3 + 4 + 3 10 = ïï yG = 3 3 ïî Câu 71. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (-4;1), B (2; 4 ), C (2; -2 ). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho. æ1 ö A. I ççç ;1÷÷÷. è4 ø æ 1 ö B. I ççç- ;1÷÷÷. è 4 ø æ 1ö C. I ççç1; ÷÷÷. è 4ø æ 1ö D. I ççç1;- ÷÷÷. è 4ø Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 699 Gọi I ( x ; y ) . Ta có  ì ï AI = ( x + 4; y -1) ï ï  ï ïBI = ( x – 2; y – 4 ). í ï  ï ï CI = ( x – 2; y + 2 ) ï ï î ìïIA 2 = IB 2 ïïîIB 2 = IC 2 Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA = IB = IC  ïí ì 1 ìï( x + 4 )2 + ( y -1)2 = ( x – 2 )2 + ( y – 4 )2 ïìï( x + 4 )2 = ( x – 2 )2 + 9 ïïï x = ï í   4 í í 2 2 2 2 ï ï ïïîï( x – 2 ) + ( y – 4 ) = ( x – 2 ) + ( y + 2 ) îï y = 1 ïîï y = 1 . Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (-3;0), B (3;0 ) và C (2;6). Gọi H (a; b) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a + 6b. A. a + 6b = 5. B. a + 6b = 6. C. a + 6b = 7. D. a + 6b = 8. Lời giải Chọn C Ta có   ìï AH = (a + 3; b) & BC = (-1;6 ) ïï . í   ïïBH = (a – 3; b) & AC = (5;6 ) ïî Từ giả thiết, ta có:   ìï AH . BC = 0 ìï(a + 3). (-1) + b.6 = 0 ìïïa = 2 ï  ïí  ïí ¾¾  a + 6b = 7. í   ïïBH . AC = 0 ïï(a – 3).5 + b.6 = 0 ïïb = 5 î ïî ïî 6 Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (4;3), B (2;7) và C (- 3;- 8). Tìm toạ độ chân đường cao A ‘ kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC. A. A ‘ (1;- 4 ). B. A ‘ (-1;4 ). C. A ‘ (1;4 ). D. A ‘ (4;1). Lời giải Chọn C Gọi A ‘ ( x ; y ) . Ta có Từ giả thiết, ta có  ì ï AA ‘ = ( x – 4; y – 3) ï ï  ï ïBC = (- 5; -15) . í ï  ï ï BA ‘ = ( x – 2; y – 7 ) ï ï î   ì ï ìï AA ‘ ^ BC ï AA ‘. BC = 0 (1) ï .  í   í ï BA ‘ = k BC 2 ( ) ï îB, A ‘, C thang hang ï ï ï î · (1)  – 5 ( x – 4 ) -15 ( y – 3) = 0  x + 3 y = 13. · (2 )  x – 2 y -7 =  3 x – y = -1. -5 -15 ìï x + 3 y = 13 ìï x = 1  íï ¾¾  A ‘ (1;4 ). Giải hệ íï ï ï îï3 x – y = -1 îï y = 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 700 Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (2;4 ), B (-3;1), C (3;-1). Tìm tọa độ chân đường cao A ‘ vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho. æ3 1ö æ 3 A. A ‘ ççç ; ÷÷÷. è5 5ø 1ö æ 3 1ö B. A ‘ ççç- ;- ÷÷÷. è 5 5ø C. A ‘ ççç- ; ÷÷÷. è 5 5ø æ3 1ö D. A ‘ ççç ;- ÷÷÷. è5 5ø Lời giải Chọn D Gọi A ‘ ( x ; y ). Ta có  ì ï AA ‘ = ( x – 2; y – 4 ) ï ï  ï ïBC = (6; -2 ) . í ï  ï ï BA ‘ = ( x + 3; y -1) ï ï î Vì A ‘ là chân đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC nên ì AA ‘ ^ BC ï ï í ï ï îB, C , A ‘ thaúng haøng ì ì 3 ï   ì( x – 2 ).6 + ( y – 4 ). (-2 ) = 0 ïïï ì AA ‘. BC = 0 ïï ïïï x = ï 6 x 2 y = 4 ï ï 5 ï .  í  ï ï í í   í x + 3 y -1 ïïBA ‘ = k BC ïï ï ï 2 x 6 y = 0 1 = ï ï ï î y =ï ï -2 ï î 6 ï ïï 5 ï î ï î Câu 75. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A (-3;-2), B (3;6) và C (11;0 ). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình vuông. A. D (5;- 8). B. D (8;5). C. D (- 5;8). D. D (- 8;5). Lời giải Chọn A    = 90 0. Dễ dàng kiểm tra BA.BC = 0 ¾¾  ABC Gọi I là tâm của hình vuông ABCD. Suy ra I là trung điểm của AC ¾¾  I (4; -1). Gọi D ( x ; y ) , do I cũng là trung điểm của ìx +3 ï ï =4 ï ì ïx = 5 ï 2 BD ¾¾  íï  íï  D (5; – 8). ïï y + 6 ïî y = -8 ï = -1 ï ï ï î 2 Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (2; 4 ) và B (1;1). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B. A. C (4;0 ). B. C (-2;2 ). C. C (4;0 ), C (-2;2 ). D. C (2;0 ). Lời giải Chọn C Gọi C ( x ; y ) . Ta có  ì ï BA = (1;3) ï ï . í  ï = BC x 1; y 1 ï ( ) ï î Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 701 ì ï   ì ï1. ( x -1) + 3. ( y -1) = 0 Tam giác ABC vuông cân tại B  ïíBA.BC = 0  ïí ï ï ï îBA = BC 2 2 2 2 ï ï î1 + 3 = ( x -1) + ( y -1) ïì y = 0 ïì x = 4 – 3 y ïì y = 2 ï ï hay ï . í í í 2 ï ï ï10 y – 20 y = 0 îï x = 4 ïï î î x = -2 Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A (1;-1) và B (3;0). Tìm tọa độ điểm D , biết D có tung độ âm. B. D (2;-3). A. D (0;-1). C. D (2;-3), D (0;1). D. D (-2;-3). Lời giải Chọn B Gọi C = ( x ; y ). Ta có  ì ï AB = (2;1) ï ï . í  ï ï ï îBC = ( x – 3; y ) Vì ABCD là hình vuông nên ta có   ì ï AB ^ BC ï í ï ï î AB = BC ì y = 2 (3 – x ) ìï y = 2 (3 – x ) ìï x = 4 ïì2 ( x – 3) + 1. y = 0 ï ìï x = 2 hoặc ïí . ï  ïí  ïí  ïí í 2 2 2 2 ï ïï5 ( x – 3) = 5 ïï( x – 3) = 1 ïîï y = -2 ïïî y = 2 ï îïï( x – 3) + y = 5 î ï î Với C1 (4;-2) ta tính được đỉnh D1 (2;-3) : thỏa mãn. Với C2 (2;2 ) ta tính được đỉnh D2 (0;1) : không thỏa mãn. Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A (1;2 ), B (-1;3), C (- 2;-1) và D (0; – 2 ). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ABCD là hình vuông. B. ABCD là hình chữ nhật. C. ABCD là hình thoi. D. ABCD là hình bình hành. Lời giải Chọn D Ta có  ì ï AB = (- 2;1) ï   ï ì ïï AB = DC ïï  = ¾¾  ¾¾  ABCD BC 1; 4 ( ) í í   ï ï  = ¹ AB . BC 2 0 ï ï ï î ï DC = (- 2;1) ï ï î là hình hình hành. Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác OAB với A (1;3) và B (4;2) . Tìm tọa độ điểm E là chân đường phân giác trong góc O của tam giác OAB. æ5 5ö æ3 è2 A. E = ççç ; ÷÷÷. è2 2ø C. E = (-2 + 3 2;4 + 2 ). ( 1ö 2ø B. E = ççç ;- ÷÷÷. D. ) E = -2 + 3 2;4 – 2 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 702 Lời giải Chọn D Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có  Vì E nằm giữa hai điểm A, B nên EA = Gọi E ( x ; y ) . Ta có Từ (*) , suy ra EA OA 2 = = . EB OB 2 2  EB. (*) 2  ì ï EA = (1 – x ;3 – y ) ï ï . í  ï EB = x y 4 ;2 ï ( ) ï î ì ï ï 1- x = ï ï ï í ï ï ï 3- y = ï ï î 2 (4 – x ) ìï x = -2 + 3 2 2 ï . í ï 2 y = 4- 2 ï î (2 – y ) 2 Câu 80. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A (2;0 ), B (0;2 ) và C (0;7). Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D của hình thang cân ABCD. A. D (7;0). B. D (7;0 ), D (2;9 ). C. D (0;7 ), D (9;2 ). D. D (9;2). Lời giải Chọn B Để tứ giác ABCD là hình thang cân, ta cần có một cặp cạnh đối song song không bằng nhau và cặp cạnh còn lại có độ dài bằng nhau. Gọi D ( x ; y ).   ì ï AB  CD  Trường hợp 1: ïí  CD = k AB (với k ¹ -1 ) ï ï î AB ¹ CD ì x = -2 k ï . (1)  ( x – 0; y – 7 ) = (-2 k ;2 k )  ï í ï ï î y = 2k + 7 Ta có 2 ìï  ïï AD = ( x – 2; y )  AD = ( x – 2 ) + y 2 2 ¾¾  AD = BC  ( x – 2 ) + y 2 = 25. (2 ) í  ïï ïîBC = (0;5)  BC = 5 Từ (1) và (2) , ta có é k = -1(loaïi) ê ¾¾  D (7;0 ). (-2 k – 2) + (2 k + 7) = 25  êê 7 êë k = – 2 2 2 ì ï AD  BC  Trường hợp 2: ïí . Làm tương tự ta được D = (2;9 ). ï ï î AD ¹ BC Vậy D (7;0) hoặc D (2;9) . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 703 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 704 BÀI 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định lí côsin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c . A Ta có b a 2 = b2 + c2 – 2bc. cos A ; c b2 = c2 + a2 – 2ca. cos B ; c2 = a 2 + b2 – 2ab. cos C. cos A = b2 + c 2 – a 2 ; 2bc cos B = a B Hệ quả c 2 + a 2 – b2 ; 2 ca cos C = C a 2 + b2 – c2 . 2 ab 2. Định lí sin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b , AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại A tiếp. Ta có I a B 3. Độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có m a , mb , m c lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C . Ta có b2 + c 2 a 2 m = – ; 2 4 2 2 2 a c b + m b2 = – ; 2 4 a 2 + b2 c 2 2 mc = – . 2 4 b c a b c = = = 2R sin A sin B sin C C A 2 a ma c b mb B mc a C 4. Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có ● ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB ; ● R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác; ● r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác; ● p= a +b+c 2 là nửa chu vi tam giác; ● S là diện tích tam giác. Khi đó ta có: S= 1 1 1 aha = bhb = chc 2 2 2 1 1 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 abc = 4R = pr = p ( p – a)( p – b)( p – c). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 705 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Dạng 1: xác định các yếu tố trong tam giác. 1. Phương pháp.  Sử dụng định lí côsin và định lí sin  Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác. 2. Các ví dụ. 3 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và cos A = . 5 Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ A. Lời giải 3 Áp dụng định lí côsin ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AB.AC .cos A = 42 + 52 – 2.4.5. = 29 5 Suy ra BC = 29 Vì sin2 A + cos2 A = 1 nên sin A = 9 4 = 25 5 1 1 4 = AB.AC .sin A = .4.5. = 8 (1) 2 2 5 1 – cos2 A = Theo công thức tính diện tích ta có S ABC 1- 1 1 Mặt khác S ABC = a.ha = . 29.ha (2) 2 2 1 16 29 Từ (1) và (2) suy ra . 29.ha = 8  ha = 2 29 16 29 Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là ha = 29  = 300 , B  = 450 . Tính Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết A độ dài trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Lời giải    0 0 0 Ta có C = 180 – A – B = 180 – 30 – 450 = 1050 Theo định lí sin ta có a = 2R sin A = 2.3. sin 300 = 3 , 2 =3 2 2 c = 2R sin C = 2.3.sin 1050 » 5, 796 b = 2R sin B = 2.3.sin 450 = 6. Theo công thức đường trung tuyến ta có m = 2 a 2 (b 2 + c 2 ) – a 2 4 » 2 ( 18 + 5, 7962 ) – 9 4 = 23, 547 Theo công thức tính diện tích tam giác ta có 1 bc sin A 3 2.5, 796 sin 300 S ABC = pr = bc sin A  r = » » 0, 943 2 2p 3 + 3 2 + 5, 796 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Biết 5 13 . 26 Tính độ dài cạnh AC và góc lớn nhất của tam giác ABC . Lời giải (hình 2.7)  = AB = 3, BC = 8, cos AMB Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 706 A B M C Hình 2.7 BC = 8  BM = 4 . Đặt AM = x Theo định lí côsin ta có 2 2 2  = AM + BM – AB cos AMB 2AM .AB Suy ra 5 13 x 2 + 16 – 9 = 26 2.4.x é x = 13 ê  13x – 20 13x + 91 = 0  ê ê x = 7 13 ê ë 13 Theo công thức tính đường trung tuyến ta có 2 ( AB 2 + AC 2 ) – BC 2 AM 2 = 2AB.AC 2 ( 32 + AC 2 ) – 82  AC = 7 . TH1: Nếu x = 13  13 = 4 Ta có BC > AC > AB  góc A lớn nhất. Theo định lí côsin ta có AB 2 + AC 2 – BC 2 9 + 49 – 64 1 = =cos A = 2AB.AC 2.3.7 7 0 Suy ra A » 98 12 ‘ 7 13 49 2 ( 32 + AC 2 ) – 82 397  =  AC = TH2: Nếu x = 13 13 4 13 Ta có BC > AC > AB  góc A lớn nhất. Theo định lí côsin ta có 397 AB 2 + AC 2 – BC 2 9 + 13 – 64 53 cos A = = =2AB .AC 397 5161 2 .3 . 13 Suy ra A » 137 0 32 ‘ Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD = 1 . Giả sử E là trung điểm AB và thỏa mãn  = 1. sin BDE 3 Tính độ dài cạnh AB . Lời giải (hình 2.8) Đặt AB = 2x ( x > 0 )  AE = EB = x . E A B 2  nhọn nên cos BDE  > 0 suy ra Vì góc BDE  =2 2 1 – sin2 BDE 3 Theo định lí Pitago ta có: DE 2 = AD 2 + AE 2 = 1 + x 2  DE =  = cos BDE D 1 + x2 BD 2 = DC 2 + BC 2 = 4x 2 + 1  BD = 4x 2 + 1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C Hình 2.8 Trang 707 Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDE ta có  = cos BDE DE 2 + DB 2 – EB 2 2 2  = 2DE .DB 3 2  4x 4 – 4x 2 + 1 = 0  2x 2 = 1  x = Vậy độ dài cạnh AB là 4x 2 + 2 ( 1 + x 2 )( 4x 2 + 1 ) 2 (Do x > 0 ) 2 2 Dạng 2: giải tam giác. 1. Phương pháp.  Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước.  Trong các bài toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau : biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó; biết một góc và hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh. Để tìm các yếu tố còn lại ta sử dụng định lí côsin và định lí sin ; định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn. 2. Các ví dụ.  = 87 0 . Ví dụ 1: Giải tam giác ABC biết b = 32; c = 45 và A Lời giải Theo định lí côsin ta có a 2 = b 2 + c 2 – 2bc.cos A = 322 + 42 – 2.32.4.sin 87 0 Suy ra a » 53, 8 Theo định lí sin ta có b sin A 32 sin 87 0  » 360 sin B = = B a 53, 8  -B  » 1800 – 87 0 – 360 = 57 0 Suy ra C = 1800 – A  = 600 , B  = 400 và c = 14 . Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết A Lời giải  = 1800 – A  -B  = 1800 – 600 – 400 = 800 Ta có C Theo định lí sin ta có c sin A 14.sin 600 a = =  a » 12, 3 sin C sin 800 c sin B 14.sin 400 b= =  b » 9,1 sin C sin 800 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết a = 2 3, b = 2 2, c = 6 – 2 . Tính góc lớn nhất của tam giác. Lời giải    do đó góc A là lớn nhất. Theo giải thiết ta có c < b < a suy ra C < B < A Theo định lí côsin ta có ( ) 2 8 + 6 - 2 - 122 4-4 3 1 b2 + c2 - a 2 cos A = = = =2bc 2 2.2 2. 6 - 2 8 3-8 ( )  = 1200 Suy ra A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 708 Vậy góc lớn nhất là góc A có số đo là 1200 . Dạng 3: Chứng Minh Đẳng Thức, Bất Đẳng Thức Liên Quan Đến Các Yếu Tố Của Tam Giác, Tứ Giác. 1. Phương pháp giải.  Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia, hai vế cùng bằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng.  Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản, bất đẳng thức cạnh trong tam giác và bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, bunhiacôpxki,…) 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2 A = sin B.sin C . Chứng minh rằng a) a 2 = bc 1 b) cos A ³ 2 Lời giải a b c a) Áp dụng định lí sin ta có sin A = , sin B = , sin C = 2R 2R 2R 2 æ a ö b c Suy ra sin2 A = sin B.sin C  çç ÷÷÷ = .  a 2 = bc đpcm çè 2R ø 2R 2R b) Áp dụng định lí côsin và câu a) ta có b2 + c2 - a 2 b 2 + c 2 - bc 2bc - bc 1 cos A = = ³ = đpcm 2bc 2bc 2bc 2 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng: a) cos A = 2 p(p - a ) bc b) sin A + sin B + sin C = 4 cos A B C cos cos 2 2 2 Lời giải (hình 2.9) a) Trên tia đối của tia AC lấy D thỏa AD = AB = c suy ra tam giác BDA cân tại A và  = 1A . BDA 2 Áp dụng định lý hàm số Côsin cho DABD , ta có:  BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2AB.AD.cos BAD B =2c 2 - 2c 2 .cos(1800 - A) b +c -a ) 2bc c 4c p(p - a ) = (a + b + c)(b + c - a ) = b b =2c 2 (1 + cos A) = 2c 2 (1 + 2 2 2 cp(p - a ) b Gọi I là trung điểm của BD suy ra AI ^ BD . Trong tam giác ADI vuông tại I, ta có BD = 2 cos A  = DI = BD = = cos ADI AD 2 2c I Suy ra D A C Hình 2.9 p(p - a ) . bc Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 709 Vậy cos A = 2 p(p - a ) . bc a b c p (1) + + = 2R 2R 2R R A p(p - a ) B p(p - b) C , tương tự thì cos = và cos = Theo câu a) ta có cos = 2 2 2 bc ca abc kết hợp với công thức S = p ( p - a )( p - b )( p - c ) = 4R A B C p(p - a ) p(p - b) p(p - c) Suy ra 4 cos cos cos = 4 bc ca ab 2 2 2 4p 4 pS p (2) = p(p - a )(p - b)(p - c) = = abc abc R A B C Từ (1) và (2) suy ra sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos 2 2 2 Nhận xét: Từ câu a) và hệ thức lượng giác cơ bản ta suy ra được các công thức b) Từ định lý hàm số sin, ta có: sin A + sin B + sin C = p(p - c) , ab A (p -b)(p -c) A (p -b)(p -c) A p(p -a) sin = ; tan = ; cot = 2 bc 2 p(p -a) 2 (p -b)(p -c) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng: a) cot A = b2 + c2 - a 2 4S b) cot A + cot B + cot C ³ 3 Lời giải: 1 a) Áp dụng định lí côsin và công thức S = bc sin A ta có: 2 cot A = cos A b 2 + c 2 - a 2 b 2 + c 2 - a 2 = = đpcm sin A 2bc sin A 4S b) Theo câu a) tương tự ta có cot B = Suy ra cot A + cot B + cotC = = c2 + a 2 - b2 a 2 + b2 - c2 , cotC = 4S 4S b2 + c2 - a2 c2 + a2 - b2 a2 + b2 - c2 + + 4S 4S 4S a 2 + b2 + c2 4S 3 3 æ 3p - a - b - c ö÷ æpö Theo bất đẳng thức Cauchy ta có ( p - a )( p - b )( p - c ) £ çç ÷ = çç ÷÷ ÷ çè ç 3 ø è 3 ÷ø Mặt khác S = p ( p - a )( p - b )( p - c )  S £ 2 Ta có p = 2 (a + b + c ) 4 £ 3 (a 2 + b 2 + c 2 ) 4 p p3 p2 = 27 3 3 suy ra S £ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 a 2 + b2 + c2 4 3 Trang 710 Do đó cot A + cot B + cotC ³ a 2 + b2 + c2 = a 2 + b2 + c2 4. 4 3 3 đpcm. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là b 2 + c 2 = 5a 2 . Lời giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Khi đó hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi tam giác GBC vuông tại G 2 2 æ 2 ö÷ æ 2 ö÷ 2 2 2 ç ç  GB + GC = BC  ç mb ÷÷ + ç mc ÷÷ = a 2 (*) èç 3 ø èç 3 ø Mặt khác theo công thức đường trung tuyến ta có 2(a 2 + c 2 ) - b 2 2(a 2 + b 2 ) - c 2 mb2 = , mc2 = 4 4 4 Suy ra (*)  ( mb2 + mc2 ) = a 2 9 2 2 é 2 a + c ) - b 2 2 (a 2 + b 2 ) - c 2 ùú 2 4ê ( 2 2 2 2 2 2 2  ê + ú = a  4a + b + c = 9a  b + c = 5a 9 ëê 4 4 ûú (đpcm) Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đường chéo. Chứng minh : AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 + 4EF 2 Lời giải (hình 2.10) Áp dụng công thức đường trung tuyến với tam giác ABC và ADC ta có: AC 2 B AB 2 + BC 2 = 2BE 2 + (1) 2 A AC 2 CD 2 + DA2 = 2DE 2 + (2) E 2 F Từ (1) và (2) suy ra C AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = 2 ( BE 2 + DE 2 ) + AC 2 D Hình 2.10 Mặt khác EF là đường trung tuyến tam giác BDF nên BE + DE 2 = 2EF 2 + 2 BD 2 2 Suy ra AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 + 4EF 2 Dạng 4: Nhận Dạng Tam Giác 1. Phương pháp giải. Sử dụng định lí côsin; sin; công thức đường trung tuyến; công thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết về hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sin C = 2 sin B cos A . Chứng minh minh rằng tam giác ABC cân . Lời giải Áp dụng định lí côsin và sin ta có: c b b2 + c2 - a 2 = 2. . sin C = 2 sin B cos A  2R 2R 2bc 2 2 2 2 c = b +c -a  a = b Suy ra tam giác ABC cân tại đỉnh C. Trang 711 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn sin A = sin B + sin C . Chứng minh rằng tam giác ABC cos B + cosC vuông. Lời giải sin B + sin C  sin A(cos B + cosC ) = sin B + sin C cos B + cosC a c2 + a 2 - b2 a 2 + b2 - c2 b +c ( )=  + 2R 2ca 2ab 2R 2 2 2 2 2 2  b(c + a - b ) + c(a + b - c ) = 2b 2c + 2c 2b Ta có: sin A =  b 3 + c 3 + b 2c + bc 2 - a 2b - a 2c = 0  (b + c)(b 2 + c 2 ) - a 2 (b + c) = 0 b 2 + c 2 = a 2  DABC vuông tại A. Ví dụ 3: Nhận dạng tam giác ABC trong các trường hợp sau: a) a .sin A + b sin B + c sin C = ha + hb + hc b) cos2 A + cos2 B 1 = (cot2 A + cot2 B ) 2 2 2 sin A + sin B Lời giải 1 1 a) Áp dụng công thức diện tích ta có S = bc sin A = aha suy ra 2 2 2S 2S 2S 2S 2S 2S = + + a .sin A + b sin B + c sin C = ha + hb + hc  a . + b. + c. bc ca ab a b c 2 2 2 2 2 2  a + b + c = ab + bc + ca  (a - b ) + (b - c ) + (c - a ) = 0 a =b =c Vậy tam giác ABC đều cos2 A + cos2 B 1 = (cot2 A + cot2 B ) b) Ta có: 2 2 2 sin A + sin B 2 2 2 cos A + cos B + sin A + sin2 B 1  = (cot2 A + 1 + cot2 B + 1) 2 2 2 sin A + sin B 2 1 1 1  2 = ( 2 + 2 )  (sin2 A + sin2 B)2 = 4sin2 A sin2 B 2 sin A + sin B 2 sin A sin B 2 2 æ a ÷ö æ b ÷ö 2 2 ç ç  sin A = sin B  ç ÷÷ = ç ÷÷  a = b  DABC cân tại C. èç 2R ø èç 2R ø C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = 8 . Số đo góc A bằng: A. 30. B. 45. C. 60. Lời giải D. 90. Chọn C Theo định lí hàm cosin, ta có cos A = AB 2 + AC 2 - BC 2 52 + 8 2 - 7 2 1 = = 2 AB. AC 2.5.8 2 . Do đó, A = 60 . Câu 2: Tam giác ABC có AB = 2, AC = 1 và A = 60 . Tính độ dài cạnh BC . A. BC = 1. B. BC = 2. C. BC = 2. Lời giải D. BC = 3. Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 712 Theo định lí hàm cosin, ta có  = 2 2 + 12 - 2.2.1. cos 60 = 3  BC = 3 BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB. AC. cos A Câu 3: . Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3 , cạnh AB = 9 và  = 60 . Tính độ dài cạnh cạnh BC . ACB A. BC = 3 + 3 6. BC = B. BC = 3 6 - 3. C. BC = 3 7. D. 3 + 3 33 . 2 Lời giải Chọn A Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC . ¾¾  MN A là đường trung bình của DABC . ¾¾  MN = M 1 AC . Mà MN = 3 , suy ra AC = 6 . 2 B Theo định lí hàm cosin, ta có C N  AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2. AC. BC. cos ACB  9 2 = 6 2 + BC 2 - 2.6. BC. cos 60  BC = 3 + 3 6 Câu 4: Tam giác ABC có AB = 2, AC = 3 và C = 45 . Tính độ dài cạnh BC . A. BC = 5. B. BC = 6+ 2 . 2 6- 2 . 2 C. BC = D. BC = 6. Lời giải Chọn B Theo định lí hàm cosin, ta có  AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2. AC. BC. cos C  BC = Câu 5: 6+ 2 2 ( 2 ) = ( 3) 2 2 + BC 2 - 2. 3. BC. cos 45 . Tam giác ABC có B = 60, C = 45 và AB = 5 . Tính độ dài cạnh AC . A. AC = 5 6 . 2 B. AC = 5 3. C. AC = 5 2. D. AC = 10. Lời giải Chọn A Theo định lí hàm sin, ta có Câu 6: AB AC 5 AC 5 6 =  =  AC = .   sin 45 sin 60 2 sin C sin B  = 60 . Tính độ dài cạnh AC . Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1 cm và có BAD A. AC = 3. B. AC = 2. C. AC = 2 3. Lời giải Chọn A  = 60  ABC  = 120 . Do ABCD là hình thoi, có BAD Theo định lí hàm cosin, ta có  AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2. AB. BC. cos ABC = 12 + 12 - 2.1.1. cos120 = 3  AC = 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 D. AC = 2. B A C D Trang 713 Câu 7: Tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, AC = 2 7 . Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2 MB . Tính độ dài cạnh AM . A. AM = 4 2. B. AM = 3. C. AM = 2 3. Lời giải D. AM = 3 2. Chọn C Theo định lí hàm cosin, ta có : ( 42 + 62 - 2 7 AB 2 + BC 2 - AC 2 cos B = = 2. AB. BC 2.4.6 1 3  BM = BC = 2 . Do MC = 2 MB ¾¾ ) 2 = 1 . 2 A Theo định lí hàm cosin, ta có  AM 2 = AB 2 + BM 2 - 2. AB. BM . cos B 1 = 4 2 + 2 2 - 2.4.2. = 12  AM = 2 3 2 Câu 8: Tam giác ABC có AB = B C M 6- 2 , BC = 3, CA = 2 2 . Gọi D là chân đường phân giác trong  bằng bao nhiêu độ? góc A . Khi đó góc ADB A. 45. B. 60. C. 75. Lời giải Chọn C Theo định lí hàm cosin, ta có: D. 90. AB 2 + AC 2 - BC 2 1 =2. AB. AC 2  = 120  BAD  = 60  BAC = cos BAC A AB 2 + BC 2 - AC 2 2  = 45 =  ABC 2. AB. BC 2  = 60, ABD  = 45  ADB  = 75 . Trong DABD có BAD = cos ABC Câu 9: B C D Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH = 32 cm . Hai cạnh AB và AC tỉ lệ với 3 và 4 . Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu? A. 38 cm. B. 40 cm. C. 42 cm. D. 45 cm. Lời giải Chọn B Do tam giác ABC vuông tại A , có tỉ lệ 2 cạnh góc vuông AB : AC là 3 : 4 nên AB là cạnh nhỏ nhất trong tam giác. Ta có AB 3 4 =  AC = AB . AC 4 3 Trong DABC có AH là đường cao  1 1 1 1 1 1 1 9 = + = +  2 = +  AB = 40 . 2 2 AH 2 AB 2 AC 2 AB 2 æç 4 32 AB 16 AB 2ö ÷ AB ççè ÷÷ø 3 Câu 10: Tam giác MPQ vuông tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F sao cho các góc  , EPF  , FPQ  MPE bằng nhau. Đặt MP = q, PQ = m, PE = x , PF = y . Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng? A. ME = EF = FQ. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B. ME 2 = q2 + x 2 - xq. Trang 714 C. MF 2 = q2 + y 2 - yq. D. MQ 2 = q2 + m 2 - 2qm. Lời giải Chọn C P M E Q F   = EPF  = FPQ  = MPQ = 30  MPF  = EPQ  = 60 . Ta có MPE 3 Theo định lí hàm cosin, ta có  ME 2 = AM 2 + AE 2 - 2. AM . AE . cos MAE = q2 + x 2 - 2qx . cos 30 = q 2 + x 2 - qx 3  MF 2 = AM 2 + AF 2 - 2 AM . AF . cos MAF = q2 + y 2 - 2qy. cos 60 = q2 + y 2 - qy MQ 2 = MP 2 + PQ 2 = q2 + m 2 .  = 30 . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho Câu 11: Cho góc xOy AB = 1 . Độ dài lớn 3 2 A. . nhất của đoạn OB bằng: B. 3. C. 2 2. D. 2. Lời giải Chọn D Theo định lí hàm sin, ta có: y OB AB AB 1    =  OB = . sin OAB = . sin OAB = 2 sin OAB    sin 30  sin OAB sin AOB sin AOB  = 1  OAB  = 90 . Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi sin OAB Khi đó OB = 2 . B x O A  = 30 . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho Câu 12: Cho góc xOy AB = 1 . Khi OB 3 2 A. . có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng: B. 3. C. 2 2. D. 2. Lời giải Chọn B Theo định lí hàm sin, ta có OB AB AB 1    =  OB = . sin OAB = . sin OAB = 2 sin OAB    sin 30 sin OAB sin AOB sin AOB Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi  = 1  OAB  = 90 . sin OAB Khi đó OB = 2 . y B x O A Tam giác OAB vuông tại A  OA = OB 2 - AB 2 = 2 2 -12 = 3 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 715 Câu 13: Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức  bằng bao nhiêu độ? b (b2 - a2 ) = c (a2 - c2 ) . Khi đó góc BAC A. 30. B. 45. C. 60. Lời giải D. 90. Chọn C = Theo định lí hàm cosin, ta có cos BAC AB 2 + AC 2 - BC 2 c2 + b2 - a2 = 2. AB. AC 2bc . Mà b (b2 - a2 ) = c (a2 - c2 )  b3 - a2 b = a2 c - c3  -a2 (b + c) + (b3 + c3 ) = 0  (b + c)(b2 + c2 - a2 - bc) = 0  b2 + c2 - a2 - bc = 0 (do b > 0, c > 0 )  b2 + c2 – a2 = bc = Khi đó, cos BAC b2 + c 2 – a 2 1  = 60 . =  BAC 2bc 2 Câu 14: Tam giác ABC vuông tại A , có AB = c, AC = b . Gọi  a là độ dài đoạn phân giác trong  . Tính  theo b và c . góc BAC a A.  a = 2bc . b+c B.  a = 2 (b + c) bc C.  a = . 2bc . b+c D.  a = 2 (b + c) bc . Lời giải Chọn A Ta có BC = AB 2 + AC 2 = b2 + c2 .  A Do AD là phân giác trong của BAC  BD = AB c c c b2 + c 2 . DC = . DC = . BC = . AC b b+c b+c Theo định lí hàm cosin, ta có  BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2. AB. AD. cos ABD c2 (b2 + c2 ) 2 (b + c) B D C = c2 + AD 2 – 2c. AD. cos 45 æ 3 c2 (b2 + c2 )ö÷ ç ÷÷ = 0  AD 2 – c 2. AD + 2bc = 0 .  AD 2 – c 2. AD + ççc2 2 2 ÷ çç (b + c) ÷÷ø (b + c) è  AD = 2bc 2bc hay  a = . b+c b+c Câu 15: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 60 0 . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây? A. 61 hải lí. B. 36 hải lí. C. 21 hải lí. D. 18 hải lí. Lời giải Chọn B Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có AB = 40, AC = 30 và  = 60 0. A Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 716 a 2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 30 2 + 40 2 – 2.30.40. cos 60 0 = 900 + 1600 -1200 = 1300. Vậy BC = 1300 » 36 (hải lí). Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí. Câu 16: Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C . Ta  = 450 và CBA  = 70 0 .Vậy sau khi đo đạc và tính toán đo được khoảng cách AB = 40m , CAB được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 53 m . B. 30 m . C. 41, 5 m . D. 41 m . Lời giải Chọn C Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có Vì sin C = sin (a + b ) nên AC = AC AB = sin B sin C AB. sin b 40. sin 70 0 = » 41, 47 m. sin (a + b ) sin 1150 Câu 17: Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ).  = 450 . Biết AH = 4m, HB = 20m, BAC Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 17, 5m . B. 17m . C. 16, 5m . D. 16m . Lời giải Chọn B = Trong tam giác AHB , ta có tan ABH AH 4 1  » 11019 ‘ . = = ¾¾  ABH BH 20 5  = 90 0 – ABH  = 78 0 41’ . Suy ra ABC  = 180 0 – BAC  = 56 019 ‘ . Suy ra ACB (  + ABC ) Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC , ta được  AB CB AB. sin BAC = ¾¾  CB = » 17m.  sin BAC   sin ACB sin ACB Câu 18: Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24 m ,  = 630 , CBD  = 48 0 . CAD Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây? A. 18m . B. 18, 5m . C. 60m . D. 60, 5m . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 717 Chọn D Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có AD AB = . sin b sin D  + b nên D  = a – b = 630 – 48 0 = 150. Ta có a = D Do đó AD = AB. sin b 24. sin 480 = » 68, 91 m. sin (a – b ) sin 150 Trong tam giác vuông ACD, có h = CD = AD. sin a » 61, 4 m. Câu 19: Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5 m . Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 50 0 và 40 0 so với phương nằm ngang. Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 12m . B. 19m . C. 24m . D. 29m . Lời giải Chọn B  = 10 0 và ABD  = 180 0 – BAD  = 180 0 – (50 0 + 90 0 ) = 40 0 . Từ hình vẽ, suy ra BAC (  + ADB ) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC , ta có  5. sin 40 0 BC AC BC. sin ABC = = ¾¾  AC = » 18, 5 m .  sin ABC   sin 10 0 sin BAC sin BAC  Trong tam giác vuông ADC , ta có sin CAD = CD  ¾¾  CD = AC. sin CAD = 11, 9 m. AC Vậy CH = CD + DH = 11, 9 + 7 = 18, 9 m. Câu 20: Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng CD = 60m , giả sử chiều cao của giác kế là OC = 1m .Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhình thấy đỉnh A của  = 60 0 . Chiều cao của tháp. Đọc trên giác kế số đo của góc AOB ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây: A. 40m . B. 114m . C. 105m . D. 110m . A 60° B O 1m D 60m C Lời giải Chọn C = Tam giác OAB vuông tại B, có tan AOB AB  AB = tan 60 0.OB = 60 3 m . OB Vậy chiếu cao của ngọn tháp là h = AB + OC = (60 3 + 1) m. Câu 21: Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30 0 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 150 30 ‘ .Ngọn núi đó có độ cao so Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 718 với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 135m . B. 234m . C. 165m . D. 195m . Lời giải Chọn A  = 60 0 , ABC  = 1050 30 ¢ và c = 70. Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có CAB Khi đó A + B + C = 180 0  C = 180 0 – ( A + B ) = 180 0 -1650 30 ¢ = 14 0 30 ¢. Theo định lí sin, ta có Do đó AC = b = b c b 70 = = hay 0 sin 105 30 ¢ sin 14 0 30 ¢ sin B sin C 70. sin 1050 30 ¢ » 269, 4 m. sin 14 0 30 ¢ Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc 30 0 nên CH = AC 269, 4 = = 134,7 m. Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m. 2 2 Câu 22: Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm và BC = 10cm . Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác bằng: A. 4cm . B. 3cm . C. 7cm . D. 5cm . Lời giải A Chọn D Áp dụng công thức đường trung tuyến m a2 = m a2 = b2 + c 2 a 2 2 4 ta được: B AC 2 + AB 2 BC 2 8 2 + 6 2 10 2 = = 25  ma = 5. 2 4 2 4 C M Câu 23: Tam giác ABC vuông tại A và có AB = AC = a . Tính độ dài đường trung tuyến BM của tam giác đã cho. A. BM = 1, 5a. B. BM = a 2. C. BM = a 3. Lời giải là trung điểm của AC  AM = AC a = . 2 2 Tam giác DBAM vuông tại A 2 C A a2 a 5  BM = AB + AM = a + = . 4 2 2 a 5 . 2 B Chọn D M D. BM = 2 M Câu 24: Tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm và BC = 15 cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác đã cho. A. AM = 15 cm. 2 B. AM = 10 cm. C. AM = 9 cm. D. AM = 13 cm. 2 Lời giải Chọn A b2 + c 2 a 2 Áp dụng hệ thức đường trung tuyến m = ta được: 2 4 A 2 a m a2 = AC 2 + AB 2 BC 2 12 2 + 9 2 152 225 = = . 2 4 2 4 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B M C Trang 719  ma = 15 . 2 Câu 25: Tam giác ABC cân tại C , có AB = 9cm và AC = qua C . Tính độ dài cạnh AD. A. AD = 6 cm. C. AD = 12 cm. 15 cm 2 . Gọi D là điểm đối xứng của B B. AD = 9 cm. D. AD = 12 2 cm. Lời giải Chọn C Ta có: D là điểm đối xứng của B qua C  C là trung điểm của BD.  AC là trung tuyến của tam giác DDAB. D BD = 2 BC = 2 AC = 15. C Theo hệ thức trung tuyến ta có: AC 2 = AB 2 + AD 2 BD 2 BD 2  AD 2 = 2 AC 2 + – AB 2 2 4 2 B A 2 æ15 ö 152  AD 2 = 2. çç ÷÷÷ + – 9 2 = 144  AD = 12. çè 2 ø 2 = Câu 26: Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8 . Gọi M là trung điểm của BC . Biết cos AMB 5 13 và 26 AM > 3 . Tính độ dài cạnh AC . A. AC = 13 . B. AC = 7 . C. AC = 13 . D. AC = 7 . Lời giải Chọn D Ta có: M là trung điểm của BC  BM = = Trong tam giác ABM ta có: cos AMB BC = 4. 2 AM 2 + BM 2 – AB 2 2 AM . BM  + BM 2 – AB 2 = 0.  AM 2 – 2 AM . BM . cos AMB é ê AM = 13 > 3 ( thoaû maõn) 20 13  AM 2 AM + 7 = 0  êê 7 13 13 < 3 (loaïi) ê AM = êë 13  AM = 13.  và AMC  Ta có: AMB là hai góc kề bù.  = - cos AMB  = - 5 13  cos AMC 26 A B M C Trong tam giác DAMC ta có: æ ö  = 13 + 16 - 2. 13.4. çç- 5 13 ÷÷ = 49  AC = 7. AC 2 = AM 2 + CM 2 - 2 AM .CM . cos AMC çç 26 ÷÷ è ø  = 120 0 . Tính độ Câu 27: Tam giác ABC có trọng tâm G . Hai trung tuyến BM = 6 , CN = 9 và BGC dài cạnh AB . A. AB = 11 . B. AB = 13 . C. AB = 2 11 . D. AB = 2 13 . Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 720  và BGN  là hai góc kề bù mà BGC  = 120 0  BGN  = 120 0. Ta có: BGC G là trọng tâm của tam giác DABC ìï ïïBG = 2 BM = 4. ï 3  ïí ïï 1 ïïGN = CN = 3. 3 îï A N M G Trong tam giác DBGN ta có:  BN 2 = GN 2 + BG 2 - 2GN . BG. cos BGN B C 1  BN 2 = 9 + 16 - 2.3.4. = 13  BN = 13. 2 N là trung điểm của AB  AB = 2 BN = 2 13. Câu 28: Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến lần lượt là 9; 12; 15 . Diện tích của tam giác ABC bằng: A. 24 . B. 24 2 . C. 72 . D. 72 2 . Lời giải Chọn C Ta có: ìï 2 b2 + c2 a2 ïïm = - = 81 ïï a ìïa = 2 73 2 4 ìïa2 = 292 ïï ïï ïï 2 2 b2 ï ï 2 a +c 2 ï - = 144  íb = 208  ïíb = 4 13 ímb = ïï ïï ïï 2 4 ïï ïïc2 = 100 ïïc = 10 2 2 2 ïî ïïm 2 = a + b - c = 225 î ïï c 2 4 ïî Ta có: cos A = b2 + c2 - a2 208 + 100 - 292 1 = = 2bc 2.4 13.10 5 13 2 æ 1 ö÷ 18 13 sin A = 1 - cos2 A = 1 - çç ÷ = . çè 5 13 ÷÷ø 65 1 2 1 2 Diện tích tam giác DABC : S DABC = bc sin A = .4 13.10. 18 13 = 72 65 Câu 29: Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Nếu giữa a, b, c có liên hệ b2 + c2 = 2a2 thì độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác tính theo a bằng: A. a 3 2 . B. a 3 . 3 C. 2a 3 . D. 3a 3 . Lời giải Chọn A Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác: ma2 = Mà: b2 + c2 = 2a2  ma2 = b2 + c 2 a 2 2 4 2 a 2 a 2 3a 2 a 3 - =  ma = . 2 4 4 2 Câu 30: Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n . Trong các biểu thức sau, biểu thức nào đúng: A. m 2 + n 2 = 3 (a2 + b2 ) . B. m 2 + n 2 = 2 (a2 + b2 ) . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 721 C. 2 (m 2 + n 2 ) = a2 + b2 . D. 3 (m 2 + n 2 ) = a2 + b2 . Lời giải Chọn B 1 2 Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có: BO = BD = m . 2 BO là trung tuyến của tam giác DABC  BO 2 = BA 2 + BC 2 AC 2 m 2 a 2 + b2 n 2  = -  m 2 + n 2 = 2 (a 2 + b 2 ) 2 4 4 2 4 . Câu 31: Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức a 2 + b2 = 5c 2 . Góc giữa hai trung tuyến AM và BN là góc nào? A. 30 0 . B. 450 . C. 60 0 . D. 90 0 . Lời giải Chọn D Gọi G là trọng tâm tam giác DABC. Ta có: AM 2 = BN 2 = 2 (b2 + c2 ) a2 4 AC 2 + AB 2 BC 2 b2 + c2 a2  AG 2 = AM 2 = = 9 9 9 2 4 2 4 BA 2 + BC 2 AC 2 c2 + a2 b2 1 c 2 + a 2 b2  GN 2 = BN 2 = = 9 18 36 2 4 2 4 Trong tam giác DAGN ta có: 2 (b2 + c2 ) = cos AGN 2 2 2 AG + GN - AN = 2. AG.GN 2. 2 (b + c 2 2 ) - a 2 c 2 + a 2 b2 b2 + - 9 18 36 4 9 2 (b2 + c2 ) 9 - a 2 c 2 + a 2 b2 . 9 18 36 a 2 c 2 + a 2 b2 b2 + - 10c2 - 2 (a2 + b2 ) 9 9 18 36 4 = =0 = 2 (b2 + c2 ) a2 c2 + a 2 b2 2 (b2 + c2 ) a2 c2 + a 2 b2 2. - . - . 36.2. 9 9 18 36 9 9 18 36  = 90 0.  AGN - Câu 32: Tam giác ABC có ba đường trung tuyến m a , mb , m c thỏa mãn 5ma2 = mb2 + m c2 . Khi đó tam giác này là tam giác gì? A. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. B. Tam giác đều. D. Tam giác vuông cân. Lời giải Chọn C Ta có: ì ï b2 + c 2 a 2 ï m a2 = ï ï 2 4 ï ï 2 2 ï b2 ï 2 a +c ímb = ï 2 4 ï ï ï a 2 + b2 c 2 ï 2 ï mc = ï ï 2 4 ï î æ b2 + c 2 Mà: 5ma2 = mb2 + mc2  5 ççç çè 2 - a2 ÷ö a2 + c2 b2 a2 + b2 c2 ÷= - + 4 ÷÷ø 2 4 2 4  10b2 + 10c2 - 5a2 = 2a2 + 2 c2 - b2 + 2 a2 + 2b2 - c2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 722  b2 + c2 = a2  tam giác DABC vuông. Câu 33: Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Gọi m a , mb , m c là độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm. Xét các khẳng định sau: (I ) . m a2 + mb2 + mc2 = 3 2 1 (a + b2 + c2 ) . (II ) . GA 2 + GB 2 + GC 2 = 3 (a2 + b2 + c2 ) . 4 Trong các khẳng định đã cho có A. (I ) đúng. B. Chỉ (II ) đúng. C. Cả hai cùng sai. D. Cả hai cùng đúng. Lời giải Chọn D ì ï b2 + c 2 a 2 ï m a2 = ï ï 2 4 ï ï 2 2 ï 3 a +c b2  m a2 + mb2 + m c2 = (a2 + b2 + c2 ) Ta có: ïímb2 = ï 2 4 4 ï ï ï a 2 + b2 c 2 ï 2 ï m = c ï ï 2 4 ï î 4 4 3 1 GA 2 + GB 2 + GC 2 = (ma2 + mb2 + mc2 ) = . (a2 + b2 + c2 ) = (a2 + b2 + c2 ) . 9 9 4 3 Câu 34: Tam giác ABC có BC = 10 và A = 30 O . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. R = 5 . B. R = 10 . C. R = 10 3 . D. R = 10 3 . Lời giải Chọn B Áp dụng định lí sin, ta có 10 BC BC = 2R  R = = = 10.   2. sin 30 0 sin BAC 2. sin A Câu 35: Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6 và A = 60 . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. R = 3 . B. R = 3 3 . C. R = 3 . D. R = 6 . Lời giải Chọn A  Áp dụng định lí Cosin, ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB. AC. cos BAC = 32 + 6 2 - 2.3.6. cos 60 0 = 27  BC 2 = 27  BC 2 + AB 2 = AC 2 . Suy ra tam giác ABC vuông tại B, do đó bán kính R = AC = 3. 2 Câu 36: Tam giác ABC có BC = 21cm, CA = 17cm, AB = 10cm . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 85 cm . 2 85 C. R = cm . 8 A. R = 7 4 7 D. R = cm 2 B. R = cm . . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 723 Chọn C Đặt p = AB + BC + CA = 24. 2 Áp dụng công thức Hê – rông, ta có p ( p - AB )( p - BC )( p - CA ) = 24. (24 - 21). (24 -17 ). (24 -10 ) = 84 cm 2 . S DABC = Vậy bán kính cần tìm là S DABC = AB. BC.CA AB. BC.CA 21.17.10 85 cm. R= = = 4R 4.S DABC 4.84 8 Câu 37: Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R . Khi đó bán kính R bằng: A. R = C. R = a 3 2 . a 3 . 3 B. R = a 2 . 3 D. R = a 3 4 . Lời giải Chọn C Xét tam giác ABC đều cạnh a, gọi M là trung điểm của BC. 1 2 1 2 Ta có AM ^ BC suy ra S DABC = . AM .BC = . AB 2 - BM 2 .BC = Vậy bán kính cần tính là S DABC = AB. BC.CA AB. BC.CA R= = 4R 4.S DABC Câu 38: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = a2 3 . 4 a3 a2 3 4. 4 = a 3 . 3 12 AB 3 = . Tính bán kính R của cm và AC 4 5 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. R = 3 cm. B. R = 1, 5cm . C. R = 2cm . D. R = 3, 5cm . Lời giải Chọn A Tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH  AB. AC = AH 2 (*). Mặt khác AB 3 3 =  AB = AC AC 4 4 2 æ12 ö 3 8 3 AC 2 = çç ÷÷÷  AC = . ç è5ø 4 5 thế vào (*), ta được 3 8 3 6 3 =  BC = AB 2 + AC 2 = 2 3. 4 5 5 Suy ra AB = . Vậy bán kính cần tìm là R = BC = 3 cm. 2 Câu 39: Cho tam giác ABC có AB = 3 3, BC = 6 3 và CA = 9 . Gọi D là trung điểm BC . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. 9 6 A. R = . B. R = 3 . C. R = 3 3 . 9 2 D. R = . Lời giải Chọn B Vì D là trung điểm của BC  AD 2 = AB 2 + AC 2 BC 2 = 27  AD = 3 3. 2 4 Tam giác ABD có AB = BD = DA = 3 3  tam giác ABD đều. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 724 Nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R = 3 3 AB = .3 3 = 3. 3 3 ' = a . Bán kính Câu 40: Tam giác nhọn ABC có AC = b, BC = a , BB ' là đường cao kẻ từ B và CBB đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC được tính theo a, b và a là: A. R = a 2 + b2 - 2 ab cos a 2 sin a . B. R = a 2 + b2 + 2 ab cos a 2 sin a C. R = a2 + b2 + 2 ab cos a . 2 cos a D. R = a2 + b2 - 2ab sin a . 2 cos a . Lời giải Chọn D ¢ = Xét tam giác BB ¢C vuông tại B ¢, có sin CBB B ¢C  B ¢C = a. sin a. BC Mà AB ¢ + B ¢C = AC  AB ¢ = b - a. sin a và BB ¢2 = a2 . cos2 a. Tam giác ABB ¢ vuông tại B ¢, có AB = BB ¢2 + AB ¢2 = (b - a. sin a )2 + a2 . cos2 a = b2 - 2 ab. sin a + a 2 sin 2 a + a 2 cos 2 a = a2 + b2 - 2 ab sin a . Bán kính đường tròn ngoại tiếp cần tính là AB a2 + b2 - 2 ab sin a . = 2R  R =  2 cos a sin ACB  = 60 . Tính diện tích tam giác ABC . Câu 40: Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC A. S DABC = 9 3 . C. S DABC = 9 . 9 3 2 9 = . 2 B. S DABC = D. S DABC . Lời giải Chọn B 1 2 1 2 Ta có S DABC = . AB. AC. sin A = .3.6. sin 60 0 = 9 3 2 .  = 30, ACB  = 75 . Tính diện tích tam giác ABC . Câu 41: Tam giác ABC có AC = 4, BAC A. S DABC = 8 . C. S DABC = 4 . B. S DABC = 4 3 . D. S DABC = 8 3 . Lời giải Chọn C  = 180 0 - BAC  = 75 = ACB . Ta có ABC (  + ACB ) Suy ra tam giác ABC cân tại A nên AB = AC = 4 . 1 2  = 4. Diện tích tam giác ABC là S DABC = AB. AC sin BAC Câu 42: Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 . Diện tích của tam giác ABC bằng: A. S DABC = 16 . B. S DABC = 48 . C. S DABC = 24 . D. S DABC = 84 . Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 725 Ta có p = 21 + 17 + 10 = 24 . 2 Do đó S = p ( p - a)( p - b)( p - c) = 24 (24 - 21)(24 -17 )(24 -10 ) = 84 .  = 60 . Tính độ dài đường cao h của tam giác. Câu 43: Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC a A. ha = 3 3 . B. ha = 3 . C. ha = 3 . 3 2 D. ha = . Lời giải Chọn C Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB. AC cos A = 27 ¾¾  BC = 3 3 1 1 2 2 1 2S = . BC.ha ¾¾  ha = = 3. 2 BC 9 3 2 Ta có S DABC = . AB. AC. sin A = .3.6. sin 60 0 = Lại có S DABC . .  = 60 . Tính độ dài đường cao h uất phát từ đỉnh A của Câu 44: Tam giác ABC có AC = 4, ACB tam giác. A. h = 2 3 . B. h = 4 3 . Lời giải C. h = 2 . D. h = 4 . Chọn A Gọi H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A . = Tam giác vuông AHC , có sin ACH AH  = 4. 3 = 2 3. ¾¾  AH = AC. sin ACH AC 2 Câu 45: Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 . Gọi B ' là hình chiếu vuông góc của B trên cạnh AC . Tính BB ' . A. BB ' = 8 . C. BB ' = 168 . 17 B. BB ' = 84 . 5 D. BB ' = 84 . 17 Lời giải Chọn C Ta có p = 21 + 17 + 10 = 24 . 2 Suy ra S = p ( p - a)( p - b)( p - c) = 24 (24 - 21)(24 -17 )(24 -10 ) = 84 . 1 2 1 2 Lại có S = b.BB ' ¬¾ 84 = .17.BB ' ¾¾  BB ' = 168 . 17 Câu 46: Tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 18 cm và có diện tích bằng 64 cm 2 . Giá trị sin A ằng: 3 2 4 sin A = . 5 A. sin A = C. 3 8 8 D. sin A = . 9 . B. sin A = . Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 726 1 2 1 2 8 9   64 = .8.18. sin A  sin A = . Ta có S DABC = . AB. AC. sin BAC  = 450 . Khi đó hình bình hành có diện Câu 47: Hình bình hành ABCD có AB = a, BC = a 2 và BAD tích bằng: A. 2a2 . B. a 2 2 . C. a 2 . D. a2 3 . Lời giải Chọn C 1 2 1 2  = .a.a 2. sin 450 = Diện tích tam giác ABD là S DABD = . AB. AD. sin BAD Vậy diện tích hình bình hành ABCD là S ABCD = 2.S DABD = 2. a2 . 2 a2 = a2 . 2 Câu 48: Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC = 30 cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G . Diện tích tam giác GFC bằng: A. 50 cm 2 . C. 75 cm 2 . B. 50 2 cm 2 . D. 15 105 cm 2 . Lời giải Chọn C 1 2 Vì F là trung điểm của AC  FC = AC = 15 cm. Đường thẳng BF cắt CE tại G suy ra G là trọng tâm tam giác ABC. d ( B ;( AC )) BF 1 AB = = 3  d (G ;( AC )) = d ( B ;( AC )) = = 10 cm. Khi đó 3 3 d (G ;( AC )) GF 1 2 1 2 Vậy diện tích tam giác GFC là: S DGFC = .d (G ;( AC )). FC = .10.15 = 75 cm 2 . Câu 49: Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 4 cm có diện tích bằng: A. 13 cm 2 B. 13 2 cm 2 2 C. 12 3 cm D. 15 cm 2 . Lời giải Chọn C Xét tam giác ABC đều, có độ dài cạnh bằng a. Theo định lí sin, ta có BC a = 2R  = 2.4  a = 8. sin 60 0 = 4 3. 0  sin 60 sin BAC 1 2 1 2  = . 4 3 . sin 60 0 = 12 3 cm 2 . Vậy diện tích cần tính là S DABC = . AB. AC. sin BAC ( ) 2 Câu 50: Tam giác ABC có BC = 2 3, AC = 2 AB và độ dài đường cao AH = 2 . Tính độ dài cạnh AB . A. AB = 2 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B. AB = 2 3 . 3 Trang 727 C. AB = 2 hoặc AB = 2 21 . 3 D. AB = 2 hoặc AB = 2 3 3 Lời giải Chọn C Ta có p = AB + BC + CA 2 3 + 3 AB = 2 2 . æ 3 AB + 2 3 öæ ÷÷çç 3 AB - 2 3 öæ ÷÷çç 2 3 - AB öæ ÷÷çç 2 3 + AB ö÷÷ Suy ra S = ççç ÷÷ç ÷÷ç ÷÷ç ÷÷ . èç ÷ç øè 2 2 ÷ç øè 2 ÷ç øè ø÷ 2 1 2 Lại có S = BC. AH = 2 3. æ 3 AB + 2 3 öæ ÷÷çç 3 AB - 2 3 öæ ÷÷çç 2 3 - AB ÷÷öæçç 2 3 + AB ÷÷ö ÷÷ç ÷÷ç ÷÷ç ÷÷ 2 2 2 2 øèç øèç øèç ø Từ đó ta có 2 3 = ççç èç ¬¾ 12 = (9 AB 2 -12)(12 - AB 2 ) 16 é AB = 2 ê ¬¾ ê . ê AB = 2 21 ê 3 ë Câu 51: Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S . Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng: A. 2S . B. 3S . C. 4S . D. 6S . Lời giải Chọn D 1 2 1 2  = .ab. sin ACB . Diện tích tam giác ABC ban đầu là S = . AC.BC. sin ACB Khi tăng cạnh BC lên 2 lần và cạnh AC lên 3 lần thì diện tích tam giác ABC lúc này là 1  = 6. 1 . AC. BC. sin ACB  = 6S . S DABC = . (3 AC ). (2 BC ). sin ACB 2 2 Câu 52: Tam giác ABC có BC = a và CA = b . Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng: A. 60 0 . B. 90 0 . C. 150 0 . D. 120 0 . Lời giải Chọn B 1 2 1 2  = .ab. sin ACB . Diện tích tam giác ABC là S DABC = . AC.BC. sin ACB  £ 1, "C nên suy ra S Vì a, b không đổi và sin ACB DABC £ ab . 2  = 1  ACB  = 90 0. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi sin ACB Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC là S = ab . 2 Câu 53: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM , CN vuông góc với nhau và có BC = 3 , góc  = 30 0 . Tính diện tích tam giác ABC . BAC A. S DABC = 3 3 . B. S DABC = 6 3 . C. S DABC = 9 3 . D. S DABC = 3 3 2 . Lời giải Chọn C Vì BM ^ CN ¾¾  5a 2 = b2 + c2 . (Áp dụng hệ quả đã có trước) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 728 Trong tam giác ABC , ta có a2 = b2 + c2 - 2bc. cos A = 5a2 - 2bc cos A ¾¾  bc = 2a2 . cos A 1 2a2 . sin A = a 2 tan A = 3 3 . 2 cos A 1 2 Khi đó S = bc sin A = .  = 60 0 . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp Câu 54: Tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và BAC tam giác đã cho. A. r = 1 . B. r = 2 . C. r = 3 . D. r = 2 3 . Lời giải Chọn C Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB. AC cos A = 49 ¾¾  BC = 7 . 1 2 1 2 Diện tích S = AB. AC. sin A = .5.8. S p 3 = 10 3 . 2 2S = 3 AB + BC + CA Lại có S = p.r ¾¾ r = = . Câu 55: Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. A. r = 16 . 7 2 B. r = 7 . C. r = . D. r = 8 . Lời giải Chọn C Ta có p = 21 + 17 + 10 = 24 . 2 Suy ra S = 24 (24 - 21)(24 - 17 )(24 - 10) = 84 . S p Lại có S = p.r ¾¾ r = = 84 7 = . 24 2 Câu 56: Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a . A. r = a 3 4 . B. r = a 2 5 . C. r = a 3 6 . D. r = a 5 7 . Lời giải Chọn C Diện tích tam giác đều cạnh a bằng: S = Lại có a2 3 S a 3 S = pr ¾¾ r = = 4 = 3 a p 6 2 a2 3 4 . . Câu 57: Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, BC = 10 cm. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. A. r = 1 cm. C. r = 2 cm. B. r = 2 cm. D. r = 3 cm. Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 729 Dùng Pitago tính được AC = 8 , suy ra p = AB + BC + CA = 12 . 2 1 2 S p  r = = 2 cm. Diện tích tam giác vuông S = AB. AC = 24 .Lại có S = p.r ¾¾ Câu 58: Tam giác ABC vuông cân tại A , có AB = a . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. a 2 A. r = . B. r = a 2 . C. r = a 2+ 2 a 3 . D. r = . Lời giải Chọn C Từ giả thiết, ta có AC = AB = a và BC = a 2 . Suy ra p = æ 2 + 2 ö÷ AB + BC + CA ÷÷ . = a ççç çè 2 ÷ø 2 1 2 Diện tích tam giác vuông S = AB. AC = S p r = = Lại có S = p.r ¾¾ a 2+ 2 a2 2 . . Câu 59: Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R . Gọi r là bán R r bằng: C. 2 -1 . 2 kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Khi đó tỉ số A. 1 + 2 . B. 2+ 2 2 . D. 1+ 2 2 . Lời giải Chọn A Giả sử AC = AB = a ¾¾  BC = a 2 . Suy ra R = Ta có p = BC a 2 = . 2 2 æ 2 + 2 ö÷ AB + BC + CA ÷÷ . = a ççç çè 2 ÷ø 2 1 2 Diện tích tam giác vuông S = AB. AC = S p r = = Lại có S = p.r ¾¾ a 2+ 2 . Vậy Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 a2 2 . R = 1+ 2 r . Trang 730 CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng     Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng D nếu u ¹ 0 và giá của u song song hoặc trùng với D . Nhận xét. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương. 2. Phương trình tham số của đường thẳng  Đường thẳng D đi qua điểm M 0 ( x 0 ; y0 ) và có VTCP u = (a; b) ¾¾  ïì x = x 0 + at phương trình tham số của đường thẳng D có dạng ïí t Î . ïïî y = y 0 + bt  b a Nhận xét. Nếu đường thẳng D có VTCP u = (a; b) thì có hệ số góc k = . 3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng     Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng D nếu n ¹ 0 và n vuông góc với vectơ chỉ phương của D . Nhận xét. ● Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.    n = (b; -a) là một VTPT của D . ● Nếu u = (a; b) là một VTCP của D ¾¾   ● Nếu n = ( A ; B ) là một VTPT của D ¾¾  u = ( B ; - A ) là một VTPCT của D . 4. Phương trình tổng quát của đường thẳng  Đường thẳng D đi qua điểm M 0 ( x 0 ; y0 ) và có VTPT n = ( A ; B ) ¾¾  phương trình tổng quát của đường thẳng D có dạng A (x - x 0 ) + B ( y - y0 ) = 0 hay Ax + By + C = 0 với C = -Ax 0 - By0 . Nhận xét.  A B ● Nếu đường thẳng D có VTPT n = ( A ; B ) thì có hệ số góc k = - . ● Nếu A , B, C đều khác 0 thì ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng x y C C + = 1 với a0 = - , b0 = - . A B a0 bo Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M (a0 ;0 ) và N (0; b0 ). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 731 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là D1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 và D2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 . ìïa x + b1 y + c1 = 0 Tọa độ giao điểm của D1 và D2 là nghiệm của hệ phương trình: ïí 1 . ïïîa2 x + b2 y + c2 = 0 ● Nếu hệ có một nghiệm ( x 0 ; y0 ) thì D1 cắt D2 tại điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ). ● Nếu hệ có vô số nghiệm thì D1 trùng với D2 . ● Nếu hệ vô nghiệm thì D1 và D2 không có điểm chung, hay D1 song song với D2 . Cách 2. Xét tỉ số ● Nếu a1 b c = 1 = 1 a2 b2 c2 thì D1 trùng với D2 . ● Nếu a1 b c = 1 ¹ 1 a2 b2 c2 thì D1 song song D2 . ● Nếu a1 b ¹ 1 thì D1 cắt D2 . a2 b2 6. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng  D1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 có VTPT n1 = (a1 ; b1 ) ;  D2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) . Gọi a là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng D1 và D2 . Khi đó   n1.n2   a1.a2 + b1.b2 cos a = cos n1 , n2 =   = . a12 + b12 . a22 + b22 n1 . n2 ( ) 7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ M 0 ( x 0 ; y0 ) đến đường thẳng D : ax + by + c = 0 được tính theo công thức d ( M 0 , D) = ax 0 + by 0 + c a 2 + b2 . Nhận xét. Cho hai đường thẳng D1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 và D2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là: a1 x + b1 y + c1 2 1 2 1 a +b = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 a2 x + b2 y + c2 a22 + b22 . Trang 732 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Dạng 1: viết phương trình tổng quát của đường thẳng. 1. Phương pháp giải:  Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng D ta cần xác định - Điểm A(x 0 ; y 0 ) Î D  - Một vectơ pháp tuyến n (a;b ) của D Khi đó phương trình tổng quát của D là a ( x - x 0 ) + b ( y - y0 ) = 0 Chú ý:  o Đường thẳng D có phương trình tổng quát là ax + by + c = 0, a 2 + b 2 ¹ 0 nhận n (a;b ) làm vectơ pháp tuyến. o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia. o Phương trình đường thẳng D qua điểm M ( x 0 ; y 0 ) có dạng D : a ( x - x 0 ) + b ( y - y0 ) = 0 với a 2 + b 2 ¹ 0 hoặc ta chia làm hai trường hợp + x = x 0 : nếu đường thẳng song song với trục Oy + y - y 0 = k ( x - x 0 ) : nếu đường thẳng cắt trục Oy o Phương trình đường thẳng đi qua A (a; 0 ), B ( 0;b ) với ab ¹ 0 có dạng x y + =1 a b Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A ( 2; 0 ), B ( 0; 4 ), C (1; 3) . Viết phương trình tổng quát của a) Đường cao AH b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC . c) Đường thẳng AB . d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB . Lời giải  a) Vì AH ^ BC nên BC là vectơ pháp tuyến của AH   Ta có BC ( 1; -1 ) suy ra đường cao AH đi qua A và nhận BC là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là 1. ( x - 2 ) - 1. ( y - 0 ) = 0 hay x - y - 2 = 0 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 733  b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến. Gọi I là trung điểm BC khi đó x I = æ1 7ö x B + xC y + yC 1 7 = , yI = B =  I çç ; ÷÷÷ çè 2 2 ø 2 2 2 2 æ æ 1ö 7ö Suy ra phương trình tổng quát của đường trung trực BC là 1. çç x - ÷÷÷ - 1. çç y - ÷÷ = 0 hay çè çè 2ø 2 ÷ø x -y + 3 = 0 c) Phương trình tổng quát của đường thẳng AB có dạng x y + = 1 hay 2x + y - 4 = 0 . 2 4  d) Cách 1: Đường thẳng AB có VTPT là n ( 2;1 ) do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường  thẳng AB nên nhận n ( 2;1 ) làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là 2. ( x - 1 ) + 1.( y - 3 ) = 0 hay 2x + y - 5 = 0 . Cách 2: Đường thẳng D song song với đường thẳng AB có dạng 2x + y + c = 0 . Điểm C thuộc D suy ra 2.1 + 3 + c = 0  c = -5 . Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát là 2x + y - 5 = 0 . Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : x - 2y + 3 = 0 và điểm M ( -1;2 ) . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng D biết: a) D đi qua điểm M và có hệ số góc k = 3 b) D đi qua M và vuông góc với đường thẳng d c) D đối xứng với đường thẳng d qua M Lời giải: a) Đường thẳng D có hệ số góc k = 3 có phương trình dạng y = 3x + m . Mặt khác M Î D  2 = 3.( -1 ) + m  m = 5 Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng D là y = 3x + 5 hay 3x - y + 5 = 0 . b) Ta có x - 2y + 3 = 0  y = 1 3 1 x + do đó hệ số góc của đường thẳng d là kd = . 2 2 2 Vì D ^ d nên hệ số góc của D là k D thì kd .kD = -1  k D = -2 Do đó D : y = -2x + m , M Î D  2 = -2. ( -1 ) + m  m = -2 Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng D là y = -2x - 2 hay 2x + y + 2 = 0 . c) Cách 1: Ta có -1 - 2.2 + 3 ¹ 0 do đó M Ï d vì vậy đường thẳng D đối xứng với đường thẳng  d qua M sẽ song song với đường thẳng d suy ra đường thẳng D có VTPT là n ( 1; -2 ) . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 734 Ta có A ( 1;2 ) Î d , gọi A ' đối xứng với A qua M khi đó A ' Î D Ta có M là trung điểm của AA ' . ì ï ïï x = x A M ï í ï yA ïïï yM = î + xA' ïì x A ' = 2x M - x A = 2. ( -1 ) - 1 = -3 2 ï  A ' ( -3;2 ) í ï yA ' = 2yM - yA = 2.2 - 2 = 2 + yA ' ï î 2 Vậy phương trình tổng quát đường thẳng D là 1. ( x + 3 ) - 2 ( y - 2 ) = 0 hay x - 2y + 7 = 0 . Cách 2: Gọi A ( x 0 ; y 0 ) là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d , A ' ( x ; y ) là điểm đối xứng với A qua M. x0 + x x0 + x ïìï ïìï ïxM = ï -1 = ïì x 0 = -2 - x 2 2 ï  ïí Khi đó M là trung điểm của AA ' suy ra ï í í ï ï ï y = 4 -y ï y = y0 + y ï 2 = y0 + y îï 0 ï ï M ï ï 2 2 î î Ta có A Î d  x 0 - 2y 0 + 3 = 0 suy ra ( -2 - x ) - 2. ( 4 - y ) + 3 = 0  x - 2y + 7 = 0 Vậy phương trình tổng quát của D đối xứng với đường thẳng d qua M là x - 2y + 7 = 0 . Ví dụ 3: Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x - y = 0 và x + 3y - 8 = 0 , tọa độ một đỉnh của hình bình hành là ( -2;2 ) . Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành. Lời giải Đặt tên hình bình hành là ABCD với A ( -2;2 ) , do tọa độ điểm A không là nghiệm của hai phương trình đường thẳng trên nên ta giả sử BC : x - y = 0 , CD : x + 3y - 8 = 0  Vì AB / /CD nên cạnh AB nhận nCD ( 1; 3 ) làm VTPT do đó có phương trình là 1. ( x + 2 ) + 3. ( y - 2 ) = 0 hay x + 3y - 4 = 0  Tương tự cạnh AD nhận nBC ( 1; -1 ) làm VTPT do đó có phương trình là 1.( x + 2 ) - 1.( y - 2 ) = 0 hay x - y + 4 = 0 Ví dụ 4: Cho điểm M ( 1; 4 ) . Viết phương trình đường thẳng qua M lần lượt cắt hai tia Ox , tia Oy tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất . Lời giải: Giả sử A (a; 0 ), B ( 0;b ) với a > 0, b > 0 . Khi đó đường thẳng đi qua A, B có dạng M Î AB nên x y + = 1 . Do a b 1 4 + =1 a b 1 1 Mặt khác SOAB = OAOB . = ab . 2 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 735 Áp dụng BĐT Côsi ta có 1 = Suy ra SOAB nhỏ nhất khi 1 4 4 + ³2  ab ³ 16  SOAB ³ 8 a b ab 1 4 1 4 = và + = 1 do đó a = 2;b = 8 a b a b Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là x y + = 1 hay 4x + y – 8 = 0 2 8 Dạng 2: xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. 1. Phương pháp giải: Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = 0; d2 : a 2x + b2y + c2 = 0 . ì ïa x + b1y + c1 = 0 Ta xét hệ ïí 1 (I) ïïa2x + b2y + c2 = 0 î + Hệ (I) vô nghiệm suy ra d1 / /d2 . + Hệ (I) vô số nghiệm suy ra d1 º d2 + Hệ (I) có nghiệm duy nhất suy ra d1 và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm. Chú ý: Với trường hợp a 2 .b2 .c2 ¹ 0 khi đó + Nếu a1 b ¹ 1 thì hai đường thẳng cắt nhau. a2 b2 + Nếu a1 b c = 1 ¹ 1 a2 b2 c2 thì hai đường thẳng song song nhau. + Nếu a1 b c = 1 = 1 a2 b2 c2 thì hai đường thẳng trùng nhau. 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau a) D1 : x + y – 2 = 0; D2 : 2x + y – 3 = 0 b) D1 : -x – 2y + 5 = 0; D2 : 2x + 4y – 10 = 0 c) D1 : 2x – 3y + 5 = 0; D2 : x – 5 = 0 d) D1 : 2x + 3y + 4 = 0; D2 : -4x – 6y = 0 Lời giải: a) Ta có 1 1 ¹ suy ra D1 cắt D2 2 1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 736 b) Ta có -1 -2 5 suy ra D1 trùng D2 = = 2 4 -10 c) Ta có 1 0 suy ra D1 cắt D2 ¹ 2 -3 d) Ta có -4 -6 0 = ¹ suy ra D1 / /D2 2 3 4 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC ,CA là AB : 2x – y + 2 = 0 ; BC : 3x + 2y + 1 = 0 ; CA : 3x + y + 3 = 0 . Xác định vị trí tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng D : 3x – y – 2 = 0 Lời giải ìï 2x – y + 2 = 0 ìï x = -1 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ ïí  ïí  A ( -1; 0 ) ïï 3x + y + 3 = 0 ïï y = 0 î î Ta xác định được hai điểm thuộc đường thẳng BC là M ( -1;1 ), N ( 1; -2 )  Đường cao kẻ từ đỉnh A vuông góc với BC nên nhận vectơ MN ( 2; -3 ) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 2 ( x + 1 ) – 3y = 0 hay 2x – 3y + 2 = 0 Ta có 3 -1 ¹ suy ra hai đường thẳng cắt nhau. 2 -3 Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng D1 : (m – 3)x + 2y + m 2 – 1 = 0 và D2 : -x + my + (m – 1)2 = 0 . a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của D1 và D2 trong các trường hợp m = 0, m = 1 b) Tìm m để hai đường thẳng song song với nhau. Lời giải: ì ìï x = 1 ï -3x + 2y – 1 = 0 suy ra D1 cắt D2 tại điểm có tọa độ ( 1;2 ) a) Với m = 0 xét hệ ïí  ïí ï ïï y = 2 ï -x + 1 = 0 î î ì -2x + 2y = 0 ï ïì x = 0 Với m = 1 xét hệ ïí suy ra D1 cắt D2 tại gốc tọa độ  ïí ï ï x y 0 y 0 + = = ï ïî î b) Với m = 0 hoặc m = 1 theo câu a hai đường thẳng cắt nhau nên không thỏa mãn Với m ¹ 0 và m ¹ 1 hai đường thẳng song song khi và chỉ khi m -3 m2 – 1 2 = ¹ m=2 2 -1 m ( m – 1) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 737 Vậy với m = 2 thì hai đường thẳng song song với nhau. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , tìm tọa độ các đỉnh của tam giác trong trường hợp sau a) Biết A ( 2;2 ) và hai đường cao có phương trình d1 : x + y – 2 = 0 ; d2 : 9x – 3y + 4 = 0 . b) Biết A(4; -1) , phương trình đường cao kẻ từ B là D : 2x – 3y = 0 ; phương trình trung tuyến đi qua đỉnh C là D ‘ : 2x + 3y = 0. Lời giải a) Tọa độ điểm A không là nghiệm của phương trình d1, d2 suy ra A Ï d1, A Ï d2 nên ta có thể giả sử B Î d1, C Î d2  Ta có AB đi qua A và vuông góc với d2 nên nhận u ( 3;9 ) làm VTPT nên có phương trình là 3 ( x – 2 ) + 9 ( y – 2 ) = 0 hay 3x + 9y – 24 = 0 ; AC đi qua A và vuông góc với d1 nên nhận  v ( -1;1 ) làm VTPT nên có phương trình là -1. ( x – 2 ) + 1. ( y – 2 ) = 0 hay x – y = 0 B là giao điểm của d1 và AB suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ ìï x + y – 2 = 0 ìï x = -1 ïí  ïí  B ( -1; 3 ) ïï 3x + 9y – 24 = 0 ïï y = 3 î î ìï ïï x = – 2 ìï 9x – 3y + 4 = 0 æ ö 3  C çç – 2 ; – 2 ÷÷  ïí Tương tự tọa độ C là nghiệm của hệ ï í çè 3 3 ÷ø ï ïï x -y = 0 2 ï î = y ïï î 3 æ 2 2ö Vậy A ( 2;2 ) , B ( -1; 3 ) và C çç – ; – ÷÷÷ çè 3 3 ø  b) Ta có AC đi qua A(4; -1) và vuông góc với D nên nhận u ( 3;2 ) làm VTPT nên có phương trình là 3 ( x – 4 ) + 2 ( y + 1 ) = 0 hay 3x + 2y – 10 = 0 ïì 3x + 2y – 10 = 0 ïì x = 6 Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ ïí  ïí  C ( 6; -4 ) ïï 2x + 3y = 0 ïï y = -4 î î æ x + 4 yB – 1 ÷ö ÷ của AB thuộc đường thẳng D ‘ do đó ; Giả sử B ( x B ; yB ) suy ra trung điểm I çç B çè 2 2 ÷÷ø 2. xB + 4 y -1 + 3. B = 0 hay 2x B + 3yB + 5 = 0 (1) 2 2 Mặt khác B Î D suy ra 2x B – 3yB = 0 (2) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 738 æ 5 5ö Từ (1) và (2) suy ra B çç – ; – ÷÷÷ çè 4 6 ø æ 5 5ö Vậy A(4; -1) , B çç – ; – ÷÷÷ và C ( 6; -4 ) . çè 4 6 ø Dạng 3: viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng. 1. Phương pháp giải:  Để viết phương trình tham số của đường thẳng D ta cần xác định – Điểm A(x 0 ; y 0 ) Î D  – Một vectơ chỉ phương u (a;b ) của D ì x = x 0 + at ï Khi đó phương trình tham số của D là ïí , t Î R. ï y = y 0 + bt ï î  Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng D ta cần xác định – Điểm A(x 0 ; y 0 ) Î D  – Một vectơ chỉ phương u (a;b ), ab ¹ 0 của D Phương trình chính tắc của đường thẳng D là x – x0 y – y0 = a b (trường hợp ab = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc) Chú ý: o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT. o Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại   o Nếu D có VTCP u = (a;b ) thì n = (-b; a ) là một VTPT của D . 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho điểm A ( 1; -3 ) và B ( -2; 3 ) . Viết phương trình tham số của đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau:  a) D đi qua A và nhận vectơ n ( 1;2 ) làm vectơ pháp tuyến b) D đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB c) D là đường trung trực của đoạn thẳng AB Lời giải: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 739   a) Vì D nhận vectơ n ( 1;2 ) làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của D là u ( -2;1 ) . ì x = 1 – 2t ï Vậy phương trình tham số của đường thẳng D là D : ïí ï y = -3 + t ï î   b) Ta có AB ( -3;6 ) mà D song song với đường thẳng AB nên nhận u ( -1;2 ) làm VTCP ì x = -t ï Vậy phương trình tham số của đường thẳng D là D : ïí ï y = 2t ï î  c) Vì D là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên nhận AB  3;6  làm VTPT và đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB .   1  Ta có I   ; 0  và  nhận u  1; 2  làm VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng D là  2  ìï ïï x = – 1 – t . D:í 2 ïï y = 2t ïî Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau: a)  đi qua điểm A ( 3; 0 ) và B ( 1; 3 ) ì ï x = 1 – 3t b)  đi qua N ( 3; 4 ) và vuông góc với đường thẳng d ‘ : ïí . ï y = 4 + 5t ï î Lời giải:  a) Đường thẳng  đi qua hai điểm A và B nên nhận AB = ( -2; 3 ) làm vectơ chỉ phương do đó ì x = 3 – 2t ï x -3 y phương trình tham số là ïí ; phương trình chính tắc là = ; phương trình tổng quát ï y = 3t 3 -2 ï î là 3 ( x – 3 ) = -2y hay 3x + 2y – 9 = 0  b) D ^ d ‘ nên VTCP của d ‘ cũng là VTPT của D nên đường thẳng D nhận u ( -3;5 ) làm VTPT và  v ( -5; -3 ) làm VTCP do đó đó phương trình tổng quát là -3 ( x – 3 ) + 5 ( y – 4 ) = 0 hay ì ï x = 3 – 5t x -3 y -4 ; phương trình chính tắc là = 3x – 5y + 11 = 0 ; phương trình tham số là ï í ï y = 4 – 3t -5 -3 ï î Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A ( -2;1 ), B ( 2; 3 ) và C ( 1; -5 ) . a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác. b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 740 c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chân đường phân giác trong góc A và G là trọng tâm của DABC . Lời giải:  ì ï x = 2 -t a) Ta có BC ( -1; -8 ) suy ra đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là ïí ï y = 3 – 8t ï î æ3 ö b) M là trung điểm của BC nên M çç ; -1 ÷÷÷ do đó đường thẳng chứa đường trung tuyến AM nhận çè 2 ø  æ 7 ö AM çç ; -2 ÷÷÷ làm VTCP nên có phương trình là çè 2 ø ì 7 ï ï ï x = -2 + t í 2 ï ï y 1 2 t = ï î c) Gọi D(x D ; y D ) là chân đường phân giác hạ từ A của tam giác ABC  AB  Ta có BD = DC AC Mà AB = AC = 2 ( -2 – 2 ) 2 (1 + 2 ) 2 + ( 3 – 1 ) = 2 5 và 2 + ( -5 – 1 ) = 3 5 suy ra ìï ìï ïï x D – 2 = 2 (1 – x D ) ïï x D = 8    2 AB ï 3 5  D( 8 ; – 1) G æçç 1 ; – 1 ö÷÷ là BD = DC = DC  í  ïí çè 3 3 ÷ø ïï ïï 2 -1 3 5 5 AC ïï yD – 3 = (-5 – yD ) ïï yD = 3 5 î î trọng tâm của tam giác ABC  æ 19  2ö Ta có DG çç – ; – ÷÷÷ suy ra đường thẳng DG nhận u ( 19;2 ) làm VTCP nên có phương trình là çè 15 15 ø ì 1 ï ï x = + 19t ï ï 3 . í ï 1 ï y = – + 2t ï ï î 3 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC biết AB : x + y – 1 = 0 , AC : x – y + 3 = 0 và trọng tâm G ( 1;2 ) . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC. Lời giải: ìx + y – 1 = 0 ì x = -1 ï ï  A ( -1;2 ) Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ ïí ï í ï ï x -y + 3 = 0 y =2 ï ï î î Gọi M ( x ; y ) là trung điểm của BC Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 741     Vì G là trọng tâm nên AG = 2.GM , AG ( 2; 0 ), GM ( x – 1; y – 2 ) suy ra ïìï 2 = 2.(x – 1)  M ( 2;2 ) í ïï 0 = 2.(y – 2) î B ( x B ; yB ) Î AB  x B + yB – 1 = 0  yB = 1 – x B do đó B ( x B ;1 – x B ) C ( xC ; yC ) Î AC  xC – yC + 3 = 0  yC = xC + 3 do đó C ( xC ; xC + 3 ) ìï ïï x = x B + xC ïì x B + xC = 4 ïì x B = 2 M 2  ïí  ïí Mà M là trung điểm của BC nên ta có ï í ïï ïï xC – x B = 0 ïï xC = 2 yB + yC î î ïï yM = î 2  ì x =2 ï . Vậy B ( 2; -1 ), C ( 2;5 )  BC ( 0;6 ) suy ra phương trình đường thẳng BC là ïí ï y = 1 + 6 t ï î Dạng 4. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng. 1. Phương pháp giải. Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau:  ì ï x = x 0 + at x – x0 y – y0 Điểm A thuộc đường thẳng D : ïí ) có dạng , t Î R ( hoặc D : = ï y = y 0 + bt a b ï î A ( x 0 + at; y 0 + bt )  æ -at – c ö÷ Điểm A thuộc đường thẳng D : ax + by + c = 0 (ĐK: a 2 + b 2 ¹ 0 ) có dạng A çç t; ÷÷ çè b ø æ -bt – c ö÷ với b ¹ 0 hoặc A çç ; t ÷÷ với a ¹ 0 çè a ø 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : 3x – 4y – 12 = 0 a) Tìm tọa độ điểm A thuộc D và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn b) Tìm điểm B thuộc D và cách đều hai điểm E ( 5; 0 ) , F ( 3; -2 ) c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M ( 1;2 ) lên đường thẳng D Lời giải:  a) Dễ thấy M ( 0; -3 ) thuộc đường thẳng D và u ( 4; 3 ) là một vectơ chỉ phương của D nên có ì ï x = 4t . phương trình tham số là ïí ï y = -3 + 3t ï î Điểm A thuộc D nên tọa độ của điểm A có dạng A ( 4t; -3 + 3t ) suy ra Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 742 OA = 4  2 ( 4t ) 2 + ( -3 + 3t ) é t =1 ê = 4  25t – 18t – 7 = 0  ê ê t = -7 êë 25 2 æ -28 -96 ö÷ Vậy ta tìm được hai điểm là A1 ( 4; 0 ) và A2 çç ; ÷ çè 25 25 ÷ø b) Vì B Î D nên B ( 4t; -3 + 3t ) Điểm B cách đều hai điểm E ( 5; 0 ) , F ( 3; -2 ) suy ra 2 2 2 2 EB 2 = FB 2  ( 4t – 5 ) + ( 3t – 3 ) = ( 4t – 3 ) + ( 3t – 1 )  t = 6 7 æ 24 3 ö Suy ra B çç ; – ÷÷÷ çè 7 7ø c) Gọi H là hình chiếu của M lên D khi đó H Î D nên H ( 4t; -3 + 3t )   Ta có u ( 4; 3 ) là vectơ chỉ phương của D và vuông góc với HM ( 4t – 1; 3t – 5 ) nên   19 HM .u = 0  4 ( 4t – 1 ) + 3 ( 3t – 5 ) = 0  t = 25 æ 76 18 ö Suy ra H çç ; – ÷÷÷ çè 25 25 ø ì ï x = -1 – t Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng D : x – 2y + 6 = 0 và D ‘ : ïí . ï y =t ï î a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm A ( -1; 0 ) qua đường thẳng D b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với D ‘ qua D Lời giải: a) Gọi H là hình chiếu của A lên D khi đó H ( 2t – 6; t )   Ta có u ( 2;1 ) là vectơ chỉ phương của D và vuông góc với AH ( 2t – 5; t ) nên   AH .u = 0  2 ( 2t – 5 ) + t = 0  t = 2  H ( -2;2 ) A’ là điểm đối xứng với A qua D suy ra H là trung điểm của AA’ do đó ìï x A ‘ = 2x H – x A ìï x A ‘ = -3  ïí íï ïï yA ‘ = 2yH – yA ïï yA ‘ = 4 î î Vậy điểm cần tìm là A ‘ ( -3; 4 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 743 ìï x = -1 – t 5 vào phương trình D ta được -1 – t – 2t + 6 = 0  t = suy ra giao điểm b) Thay ïí ïï y = t 3 î æ 8 5ö của D và D ‘ là K çç – ; ÷÷÷ çè 3 3 ø Dễ thấy điểm A thuộc đường thẳng D ‘ do đó đường thẳng đối xứng với D ‘ qua D đi qua điểm A’ và  æ 1 7 ö 1 ì x = -3 + t ï điểm K do đó nhận A ‘ K = çç ; – ÷÷÷ = ( 1; -7 ) nên có phương trình là ïí çè 3 3 ø 3 ï y = 4 – 7t ï î Nhận xét: Để tìm tọa độ hình chiếu H của A lên D ta có thể làm cách khác như sau: ta có đường thẳng  AH nhận u ( 2;1 ) làm VTPT nên có phương trình là 2x + y + 2 = 0 do đó tọa độ H là nghiệm của hệ ìï x – 2y + 6 = 0 ïí  H ( -2;2 ) ïï 2x + y + 2 = 0 î Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết A ( -1; 4 ), B ( 1; -4 ) , đường thẳng BC đi qua điểm æ7 ö K çç ;2 ÷÷÷ . Tìm toạ độ đỉnh C. è3 ø Lời giải:  æ 4 ö  Ta có BK çç ;6 ÷÷ suy ra đường thẳng BC nhận u ( 2;9 ) làm VTCP nên có phương trình là çè 3 ÷ø ïìï x = 1 + 2t í ïï y = -4 + 9t î C Î BC  C ( 1 + 2t; -4 + 9t )     Tam giác ABC vuông tại A nên AB.AC = 0 , AB ( 2; -8 ), AC ( 2 + 2t; -8 + 9t ) suy ra 2 ( 2 + 2t ) – 8 ( 9t – 8 ) = 0  t = 1 Vậy C ( 3;5 ) æ7 5ö æ 3ö Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD . Biết I çç ; ÷÷ là trung điểm của cạnh CD, D çç 3; ÷÷÷ và đường phân çè 2 2 ÷ø çè 2 ø  giác góc BAC có phương trình là D : x – y + 1 = 0 . Xác định tọa độ đỉnh B. Lời giải: ì xC = 2x I – x D = 4 ï ï æ 7ö Cách 1: Điểm I là trung điểm của CD nên íï  C çç 4; ÷÷÷ 7 ç ï è 2ø y = 2x I – yD = ï ï C î 2 Vì A Î D nên tọa độ điểm A có dạng A (a; a + 1 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 744     Mặt khác ABCD là hình bình hành tương đương với DA, DC không cùng phương và AB = DC   AB = DC  ì xB – a = 4 – 3 ï ìï x B = a + 1 ïï ï  B (a + 1; a + 3 ) í í 7 3 ï ï yB = a + 3 yB – a – 1 = ï ï î ï î 2 2 3 a +1  a -3 2  a ¹ 11 DA, DC không cùng phương khi và chỉ khi ¹ 1 2 2   Đường thẳng D là phân giác góc BAC nhận vectơ u = ( 1;1 ) làm vec tơ chỉ phương nên         AB.u AC .u cos AB; u = cos AC ; u    =   (*) AB u AC u ( ) ( )   æ ö 5 Có AB ( 1;2 ), AC çç 4 – a; – a ÷÷÷ nên çè 2 ø (*)  3 5 = 13 é a =1 – 2a ê 2 2  2a – 13a + 11 = 0  ê 2 ê a = 11 (l ) æ5 ö÷ 2 êë 2 ( 4 – a ) + ççç – a ÷÷ è2 ø Vậy tọa độ điểm B ( 2; 4 ) æ 7ö Cách 2: Ta có C çç 4; ÷÷÷ . çè 2 ø  Đường thẳng d đi qua C vuông góc với D nhận u ( 1;1 ) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là æ 7ö 1. ( x – 4 ) + 1. çç y – ÷÷÷ = 0 hay 2x + 2y – 15 = 0 çè 2ø Tọa độ giao điểm H của D và d là nghiệm của hệ: ìï ïï x = 13 ì x y 1 0 + = æ ö ï ï 4  H çç 13 ; 17 ÷÷  ïí í ÷ ç ï ï 17 è4 4ø ï 2x + 2y – 15 = 0 î ïïï y = 4 î Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua D thì khi đó C’ thuộc đường thẳng chứa cạnh AB và H là trung điểm ì ï ìï xC ‘ = 2x H – xC ïx = 5 æ 5 ÷ö ï của CC’ do đó í  ïí C ‘ 2  C ‘ ççç ; 5 ÷÷ ï ï y = 2yH – yC è2 ø ï ïy = 5 î C’ ï î C’  Suy ra đường thẳng chứa cạnh AB đi qua C’ và nhận DC ( 1;2 ) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 745 ìï ïx = 5 +t là ïí 2 ïï y = 5 + 2t ïî Thay x, y từ phương trình đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trình đường thẳng D ta được 5 3 + t – 5 – 2t + 1 = 0  t = – suy ra A ( 1;2 ) 2 2   ìx – 1 = 1 ìxB = 2 ï ï ABCD là hình bình hành nên AB = DC  ïí B ï í ï ï y -2 = 2 y =4 ï ï î B î B Suy ra B ( 2; 4 ) Chú ý: Bài toán có liên quan đến đường phân giác thì ta thường sử dụng nhận xét ” D là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau D1 và D2 khi đó điểm đối xứng với điểm M Î D1 qua D thuộc D2 ” Ví dụ 5: Cho đường thẳng d : x – 2y – 2 = 0 và 2 điểm A ( 0;1 ) và B ( 3; 4 ) . Tìm tọa độ điểm M   trên d sao cho MA + 2MB là nhỏ nhất. Lời giải:   M Î d  M ( 2t + 2; t ) , MA ( -2t – 2;1 – t ), MB ( 1 – 2t; 4 – t ) do đó   MA + 2MB = ( -6t; -3t + 9 )   Suy ra MA + 2MB = 2 ( -6t ) 2 + ( -3t + 9 ) = æ 3 ö 314 45 çç t – ÷÷ + ³ çè 5 ÷ø 5 314 5   æ 16 3 ö 3 MA + 2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi t = do đó M çç ; ÷÷÷ là điểm cần tìm. çè 5 5 ø 5 Dạng 5. Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. 1.Phương pháp giải. Để tính khoảng cách từ điểm M ( x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng : ax + by + c = 0 ta dùng công thức d(M 0 ,) = ax 0 + by 0 + c a 2 + b2 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho đường thẳng : 5x + 3y – 5 = 0 a) Tính khoảng cách từ điểm A ( -1; 3 ) đến đường thẳng D b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song D và ’: 5x + 3y + 8 = 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 746 Lời giải: a) Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có: d (B, D) = b) Do M ( 1; 0 ) Î nên ta có 5.(-1) + 3.3 – 5 52 + 32 d ( D; D ‘ ) = d(M , D ‘) = = 1 34 5.1 + 3.0 + 8 5 +3 2 2 = 13 34 Ví dụ 2: Cho 3 đường thẳng có phương trình 1: x + y + 3 = 0; 2 : x – y – 4 = 0; 3 : x – 2y = 0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên 3 sao cho khoảng cách từ M đến 1 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến 2 . Lời giải: M Î D3  M ( 2t; t ) Khoảng cách từ M đến 1 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến 2 nên ta có d ( M ; D1 ) = 2d ( M ; D2 )  2t + t + 3 2 2t – t – 4 =2 2 é 3t + 3 = 2 ( t – 4 ) é t = -11  êê  êê 3t + 3 = -2 ( t – 4 ) êë t = 1 ëê Vậy có hai điểm thỏa mãn là M 1 ( -22; -11 ), M 2 ( 2;1 ) Ví dụ 3: Cho ba điểm A ( 2; 0 ), B ( 3; 4 ) và P ( 1;1 ) . Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B Lời giải: Đường thẳng D đi qua P có dạng a ( x – 1 ) + b ( y – 1 ) = 0 (a 2 + b 2 ¹ 0 ) hay ax + by – a – b = 0 D cách đều A và B khi và chỉ khi d ( A; D ) = d ( B; D )  a -b a 2 + b2 = 2a + 3b a 2 + b2 é a – b = 2a + 3b é a = -4b  êê  êê b – a = 2a + 3b êë 3a = -2b ëê + Nếu a = -4b , chọn a = 4, b = -1 suy ra D : 4x – y – 3 = 0 + Nếu 3a = -2b . chọn a = 2, b = -3 suy ra D : 2x – 3y + 1 = 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 747 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán là D1 : 4x – y – 3 = 0 và D2 : 2x – 3y + 1 = 0 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có A(1; -2), B(5; 4), C (-2, 0) . Hãy viết phương trình đường phân giác trong góc A. Lời giải: Cách 1: Dễ dàng viết đường thẳng AB, AC có phương trình AB: 3x – 2y – 7 = 0 , AC: 2x + 3y + 4 = 0 Ta có phương trình đường phân giác góc A là é 3x – 2y – 7 2x + 3y + 4 ê D1 : = é D1 : x – 5y – 11 = 0 ê 13 13  êê ê 3x – 2y – 7 2x + 3y + 4 ê êë D2 : 5x + y – 3 = 0 =ê D2 : êë 13 13 Ta thấy (5 – 5.4 – 11)(-2 – 5.0 – 11) > 0 nên 2 điểm B,C nằm về cùng 1 phía đối với đường thẳng D1 . Vậy D2 : 5x + y – 3 = 0 là phương trình đường phân giác trong cần tìm. Cách 2: Gọi D(x ; y ) là chân đường phân giác hạ từ A của tam giác ABC  AB  Ta có BD = DC AC Mà AB = 2 13, AC = 13 ìï ïï x = 1   ì = x 5 2( 2 x ) ï AB ï 3 suy ra D( 1 ; 4 )  ïí BD = DC  í ï ï = y 4 2(0 y ) 4 AC 3 3 ïï y = îï ïî 3 Ta có phương trình đường phân giác AD: y +2 x -1 = hay 5x + y – 3 = 0 4 1 +2 -1 3 3 Cách 3: Gọi M (x ; y ) thuộc đường thẳng D là đường phân giác góc trong góc A     Ta có (AB, AM ) = (AC , AM )     Do đó cos(AB, AM ) = cos(AC , AM ) (*)    Mà AB = (4; 6) ; AC = (-3;2) ; AM = (x – 1; y + 2) thay vào (*) ta có 4(x – 1) + 6(y + 2) 42 + 62 (x – 1)2 + (y + 2)2 = -3(x – 1) + 2(y + 2) (-3)2 + 22 (x – 1)2 + (y + 2)2  2(x – 1) + 3(y + 2) = -3(x – 1) + 2(y + 2)  5x + y – 3 = 0 Vậy đường phân giác trong góc A có phương trình là: 5x + y – 3 = 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 748 Ví dụ 5: Cho điểm C  2;5 và đường thẳng  : 3 x  4 y  4  0 . Tìm trên  hai điểm A, B đối xứng  5 với nhau qua I  2;  và diện tích tam giác ABC bằng 15 .  2 Lời giải:  Dễ thấy đường thẳng  đi qua M  0;1 và nhận u  4;3 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình  x  4t tham số là   y  1  3t Vì A   nên A  4t;1  3t  , t  R . 4t  xB  2   x  4  4t   5 2 Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua I  2;  suy ra   B  2  yB  4  3t  5  1  3t  yB  2 2 Do đó B  4  4t ; 4  3t  Ta có AB   4  8t    3  6t  Suy ra S ABC  1 1 22 AB.d  C ;    .5 2t  1 .  11 2t  1 2 2 5 2 2  5 2t  1 và d  C ;    3.  2   4.5  4 Diện tích tam giác ABC bằng 15  11 2t  1  15  2t  1   Với t  5  22 5 15 13 2 hoặc t   . t 11 12 11 13  52 50   8 5   A ; , B   ;  11  11 11   11 11  Với t   2  8 5   52 50   A  ; , B  ;  11  11 11   11 11   52 50   8 5   8 5   52 50  Vậy A  ;  , B   ;  hoặc A   ;  , B  ;  .  11 11   11 11   11 11   11 11  Dạng 6: bài toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng. 1.Phương pháp giải:  Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , góc giữa hai đường thẳng D1; D2 có phương trình (D1 ) : a1x + b1y + c1 = 0, (D2 ) : a 2x + b2y + c2 = 0, ( a12 + b12 ¹ 0 ) ( a 22 + b22 ¹ 0 ) được xác định theo công thức: cos ( D1, D2 ) = a1a2 + b1b2 a12 + b12 a22 + b22 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 749  Để xác định góc giữa hai đường thẳng ta chỉ cần biết véc tơ chỉ phương( hoặc vectơ pháp tuyến     ) của chúng cos ( D1, D2 ) = cos u1, u2 = cos n1, n2 . ( ) ( ) 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng trong các trường hợp sau: ìï x = t D2 : ïí (t Î R ) ïï y = 7 – 5t î a) D1 : 3x – 2y + 1 = 0; ì x = 1-t ï b) D1 : ïí (t Î R ) ï ï y = 1 + 2t î ïì x = 2 – 4t ‘ D2 : ïí (t ‘ Î R ) ïï y = 5 – 2t ‘ î Lời giải:   a) n1 ( 3; -2 ), n2 ( 5;1 ) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng D1 và D2 suy ra cos ( D1, D2 ) = 3.5 – 2.1 = 2 do đó ( D1; D2 ) = 450 2 13. 26   b) u1 ( -1;2 ), u2 ( -4; -2 ) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng D1 và D2 suy ra cos ( D1, D2 ) = -1. ( -4 ) + 2. ( -2 ) 17. 8 = 0 do đó ( D1; D2 ) = 900 Ví dụ 2: Tìm m để góc hợp bởi hai đường thẳng 1: 3x – y + 7 = 0 và 2 : mx + y + 1 = 0 một góc bằng 300 Lời giải: Ta có: cos(D1, D2 ) = m 3 -1 ( 3)2 + (-1)2 . m 2 + 12 Theo bài ra góc hợp bởi hai đường thẳng 1, 2 bằng 300 nên cos 300 = m 3 -1 2. m + 1 2  m 3 -1 3 =  2 2. m 2 + 1 3(m 2 + 1) = m 3 – 1 Hay 3(m 2 + 1) = (m 3 – 1)2  3m 2 + 3 = 3m 2 – 2m 3 + 1  m = Vậy m = – 1 3 1 3 là giá trị cần tìm. Ví dụ 3: Cho đường thẳng d : 3x – 2y + 1 = 0 và M ( 1;2 ) . Viết phương trình đường thẳng D đi qua M và tạo với d một góc 45o . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 750 Lời giải. Đường thẳng D đi qua M có dạng D : a ( x – 1 ) + b ( y – 2 ) = 0, a 2 + b 2 ¹ 0 hay ax + by – a – 2b = 0 Theo bài ra D tạo với d một góc 450 nên: cos 450 =  3a + (-2b) 32 + (-2)2 . a 2 + b 2  2 = 2 3a – 2b 13. a 2 + b 2 é a = 5b 26(a 2 + b 2 ) = 2 3a – 2b  5a 2 – 24ab – 5b 2 = 0  êê êë 5a = -b + Nếu a = 5b , chọn a = 5, b = 1 suy ra D : 5x + y – 7 = 0 + Nếu 5a = -b , chọn a = 1, b = -5 suy ra D : x – 5y + 9 = 0 Vậy có 2 đường thẳng thoả mãn D1 : x – 5y + 9 = 0 và D2 : 5x + y – 7 = 0 Ví dụ 4: Cho 2 đường thẳng D1 : 2x – y + 1 = 0; D2 : x + 2y – 7 = 0 . Viết phương trình đường thẳng D qua gốc toạ độ sao cho D tạo với D1 và D2 tam giác cân có đỉnh là giao điểm D1 và D2 . Lời giải: Đường thẳng D qua gốc toạ độ có dạng ax + by = 0 với a 2 + b 2 ¹ 0 Theo giả thiết ta có cos ( D; D1 ) = cos ( D; D2 ) hay 2a – b 5. a 2 + b 2 = é 2a – b = a + 2b é a = 3b  êê  êê b – 2a = a + 2b 5. a 2 + b 2 êë 3a = -b ëê a + 2b + Nếu a = 3b , chọn a = 3, b = 1 suy ra D : 3x + y = 0 + Nếu 3a = -b , chọn a = 1, b = -3 suy ra D : x – 3y = 0 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là D1 : 3x + y = 0 và D2 : x – 3y = 0 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG – VECTƠ PHÁP TUYẾN Câu 1: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox ?  A. u1 = (1;0 ) .  B. u2 = (0; -1).  C. u3 = (-1;1).  D. u4 = (1;1). Lời giải Chọn A.  Trục Ox: y = 0 có VTCP i (1;0) nên một đường thẳng song song với Ox cũng có VTCP là Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 751  i (1;0). Câu 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Oy ?   A. u1 = (1; -1).  B. u2 = (0;1).  C. u3 = (1;0 ). D. u4 = (1;1). Lời giải Chọn B.  Trục Oy: x = 0 có VTCP j (0;1) nên một đường thẳng song song với Oy cũng có VTCP là  j (0;1). Câu 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A (-3;2 ) và B (1; 4 ) ?   A. u1 = (-1;2 ).  B. u2 = (2;1). C. u3 = (-2;6 ).  D. u4 = (1;1). Lời giải Chọn B.   Đường thẳng đi qua hai điểm A (-3;2 ) và B (1; 4) có VTCP là AB = (4; 2) hoặc u (2;1). Câu 4: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O (0;0 ) và điểm M (a; b) ?   A. u1 = (0; a + b).  B. u2 = (a; b). C. u3 = (a; -b).  D. u4 = (-a; b). Lời giải Chọn B.  OM = (a; b ) ¾¾  Câu 5:   đường thẳng OM có VTCP: u = OM = (a; b ). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A (a;0 ) và B (0; b ) ?   A. u1 = (a; -b) . B. u2 = (a; b) .  C. u3 = (b; a ) .  D. u4 = (-b; a ) . Lời giải Chọn A.  AB = (-a; b ) ¾¾   AB = (-a; b) Câu 6: đường thẳng AB có VTCP:   hoặc u = – AB = (a; -b). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường phân giác góc phần tư thứ nhất?  A. u1 = (1;1).  B. u2 = (0; -1).  C. u3 = (1;0 ).  D. u4 = (-1;1). Lời giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 752  Đường phân giác góc phần tư (I): x – y = 0 ¾¾  VTPT: n (1; -1)  ¾¾  VTCP: u (1;1). Câu 7: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox ?   A. n1 = (0;1).  B. n2 = (1;0 ).  C. n3 = (-1;0 ). D. n4 = (1;1). Lời giải Chọn A.  Đường thẳng song song với Ox: y + m = 0 (m = / 0) ¾¾  VTPT: n (0;1). Câu 8: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy ?   A. n1 = (1;1).  B. n2 = (0;1).  C. n3 = (-1;1). D. n4 = (1;0 ). Lời giải Chọn D.  Đường thẳng song song với Oy: x + m = 0 (m = / 0) ¾¾  VTPT: n (1; 0). Câu 9: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A (2;3) và B (4;1) ?   A. n1 = (2; -2 ).  B. n2 = (2; -1).  C. n3 = (1;1). D. n4 = (1; -2 ). Lời giải Chọn C.  AB = (2; -2) ¾¾    đường thẳng AB có VTCP u (1; -1) ¾¾  VTPT n (1;1). Câu 10: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm A ( a; b ) ?    B. n2 = (1;0 ). A. n1 = (-a; b).  D. n4 = (a; b). C. n3 = (b; -a). Lời giải Chọn C.  OA = (a; b ) ¾¾     đường thẳng AB có VTCP u = AB = (a; b) ¾¾  VTPT n (b; -a ). Câu 11: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A (a;0 ) và B (0; b ) ?  A. n1 = (b; -a).   B. n2 = (-b; a).  C. n3 = (b; a). D. n4 = (a; b). Lời giải Chọn C.  AB = (-a; b ) ¾¾    đường thẳng AB có VTCP u = (-a; b ) ¾¾  VTPT n = (b; a ). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 753 Câu 12: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai?  A. n1 = (1;1).   B. n2 = (0;1). C. n3 = (1;0).  D. n4 = (-1;1). Lời giải Chọn A.  Góc phần tư (II): x + y = 0 ¾¾  VTPT n = (1;1).  Câu 13: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u = (2; -1) . Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của d ?  A. n1 = (-1;2 ).   B. n2 = (1; -2 ). C. n3 = (-3;6 ).  D. n4 = (3;6 ). Lời giải Chọn D.    Đường thẳng d có VTCP: u (2; -1) ¾¾  VTPT n (1; 2) hoặc 3n = (3; 6).  Câu 14: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n = (4; -2 ) . Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của d ?  A. u1 = (2; -4 ).   B. u2 = (-2; 4 ). C. u3 = (1;2 ).  D. u4 = (2;1). Lời giải Chọn C.  1 2  Đường thẳng d có VTPT: n (4; -2) ¾¾  VTCP u (2; 4 ) hoặc u = (1; 2).  Câu 15: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u = (3; -4) . Đường thẳng D vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là:  A. n1 = (4; 3).   B. n2 = (-4; -3). C. n3 = (3;4 ).  D. n4 = (3; -4 ). Lời giải Chọn D. ìïud = (3; -4)   ¾¾  nD = ud = (3; -4). íï ï d D ^ ïî  Câu 16: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n = (-2; -5) . Đường thẳng D vuông góc với d có một vectơ chỉ phương là:  A. u1 = (5; -2 ).  B. u2 = (-5;2 ).  C. u3 = (2;5).  D. u4 = (2; -5). Lời giải Chọn C.  ì ïnd = (-2; -5)    ¾¾  uD = nd = (-2; -5) hay chọn -nD = (2;5). íï ï ï îD ^ d Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 754  Câu 17: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u = (3; -4 ) . Đường thẳng D song song với d có một vectơ pháp tuyến là:  A. n1 = (4; 3).  B. n2 = (-4;3).   C. n3 = (3;4 ). D. n4 = (3; -4 ). Lời giải Chọn A.  ì ï    ïíud = (3; -4) ¾¾  uD = ud = (3; -4) ¾¾  nD = (4;3). ï ï îD || d  Câu 18: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n = (-2; -5) . Đường thẳng D song song với d có một vectơ chỉ phương là:  A. u1 = (5; -2 ).  B. u2 = (-5; -2 ).   C. u3 = (2;5). D. u4 = (2; -5). Lời giải Chọn A.  ì ï nd = (-2; -5)    ï ¾¾  nD = ud = (-2; -5) ¾¾  uD = (5; -2). í ïïD || d î Câu 19: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương? A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. Vô số. Lời giải Chọn D.  Câu 20: Đường thẳng d đi qua điểm M (1; -2 ) và có vectơ chỉ phương u = (3;5) có phương trình tham số là: ìï x = 3 + t A. d : ïíï . ï î y = 5 – 2t ì x = 1 + 3t ï B. d : ïíï . ï î y = – 2 + 5t ì x = 1 + 5t ï C. d : ïíï . ï î y = – 2 – 3t ìx = 3 + 2t ï D. d : ïíï . ï îy = 5 + t Lời giải Chọn B. ìïM (1; -2) Î d ì x = 1 + 3t ï ï ¾¾  í d :ï (t Î  ). í ïïud = (3;5) ï î PTTS ïî y = -2 + 5t  Câu 21: Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương u = (-1;2 ) có phương trình tham số là: ïì x = -1 A. d : ïíï . ïî y = 2 ïì x = 2t B. d : ïíï . ïî y = t ïì x = t C. d : ïíï . ïî y = -2 t ïì x = -2 t D. d : ïíï ïî y = t . Lời giải Chọn C. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 755 ì ï ìx = t ï ïO (0;0) Î d ¾¾  í d :ï (t Î ). í ïïud = -u = (1; -2) ï î PTTS îï y = -2t  Câu 22: Đường thẳng d đi qua điểm M (0; – 2 ) và có vectơ chỉ phương u = (3;0 ) có phương trình tham số là: ìï x = 3 + 2t A. d : ïíï ïî y = 0 . ìï x = 0 B. d : ïíï . ïî y = -2 + 3t ìï x = 3 C. d : ïíï . ïî y = -2 t ìï x = 3t D. d : ïíï . ïî y = -2 Lời giải Chọn D. ìïM (0; -2) Î d ìï x = 3t ï ¾¾  í d : ïí  (t Î  ). ï ï ï îud = u = (3; 0) PTTS îï y = -2 ìï x = 2 ïî y = -1 + 6 t Câu 23: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d : ïíï   A. u1 = (6;0 ) . B. u2 = (-6;0 ) .  ?  C. u3 = (2;6 ) . D. u4 = (0;1) . Lời giải Chọn D.   ìx = 2 ï u = (0; 6) = 6 (0;1) ¾¾  VTCP d :ï hay chọn u = (0;1). í ï ï î y = -1 + 6t ì ï ïx = 5 – 1 t 2 3 3t y = + ï î Câu 24: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng D : ïíï ï   æ1 è2 ö ø B. u2 = ççç ;3÷÷÷ . A. u1 = (-1;6 ).  C. u3 = (5; -3) . ?  D. u4 = (-5;3) . Lời giải Chọn A. ìï ïx = 5 – 1 t D : ïí   æ 1 ö 1 2 ¾¾ ïï u = çç- ;3÷÷÷ = (-1;6) çè 2 ø 2 ïî y = -3 + 3t VTCP  hay chọn u (-1; 6). Câu 25: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A (2; -1) và B (2;5) . ìï x = 2 A. ïíï ïî y = -1 + 6 t . ìï x = 2 t . B. ïíï ìï x = 2 + t . C. ïíï ïî y = -6 t ïî y = 5 + 6 t ìï x = 1 D. ïíï ïî y = 2 + 6 t . Lời giải Chọn A. ìï A (2; -1) Î AB ïì x = 2 ï ¾¾  AB : ïí  (t Î  ). í ïïu = AB = (0; 6) îïï y = -1 + 6t ïî AB Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 756 Câu 26: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A ( –1;3) và B (3;1) . ïì x = -1 + 2 t A. ïíï . ïî y = 3 + t ì x = -1 – 2 t ï B. ïíï . ï îy = 3-t ì x = 3 + 2t ï C. ïíï . ì x = -1 – 2 t ï D. ïíï . ï î y = -1 + t ï îy = 3 + t Lời giải Chọn D. ì ï ì x = -1- 2t ï ï A (-1;3) Î AB ¾¾  AB : ï  (t Î  ). í í ï ïï y = 3 + t ïïîu AB = AB = (4; -2) = -2 (-2;1) î Câu 27: Đường thẳng đi qua hai điểm A (1;1) và B (2;2 ) có phương trình tham số là: ïì x = 1 + t . ïî y = 2 + 2 t A. ïíï ìx = 1 + t ï . ï î y = 1 + 2t ìx = 2 + 2t ï . ï îy = 1+ t B. ïíï ìx = t ï . ï îy = t C. ïíï D. ïíï Lời giải Chọn D. ìï A (1;1) Î AB ïì x = 1 + t ï ¾¾  AB : ïí  (t Î  ) í ïïu = AB = (1;1) ïïî y = 1 + t ïî AB ìx = t ï =-1 ¾t¾¾  O (0; 0) Î AB ¾¾  AB : íï (t Î  ). ï ï îy = t Câu 28: Đường thẳng đi qua hai điểm A (3; – 7 ) và B (1; -7 ) có phương trình tham số là: ìï x = t A. ïíï . ïî y = -7 ìï x = t B. ïíï ïî y = -7 – t ì ï x = 3-t C. ïíï . . ì ïx = t D. ïíï . ï î y = 1 – 7t ï îy = 7 Lời giải Chọn A. Ta có: ìï A (3; -7) Î AB ìx = 3 + t ï ï ¾¾  AB : ïí  í ï ïï y = -7 ïïîu AB = AB = (-2; 0) = -2 (1; 0) î ìx = t ï t =-3  AB : ï . ¾¾ ¾  M (0; -7) Î AB ¾¾ í ï ï y = -7 î Câu 29: Phương trình nào dưới đây không phải là phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm O (0;0 ) và M (1; -3) ? ïì x = 1 – t A. ïíï . ïî y = 3t ïì x = 1 + t B. ïíï ïî y = -3 – 3t . ìx = 1 – 2t ï C. ïíï ï î y = -3 + 6 t . ì x = -t ï D. ïíï . ï î y = 3t Lời giải Chọn A. Kiểm tra đường thẳng nào không chứa O (0; 0) ¾¾  loại A. Nếu cần thì có thể kiểm tra đường thẳng nào không chứa điểm M (1; -3). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 757 Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A (2;0 ) ¸ B (0;3) và C (-3; -1) . Đường thẳng đi qua điểm B và song song với AC có phương trình tham số là: ïì x = 5t A. ïíï ïî y = 3 + t . ïì x = 5 B. ïíï ïî y = 1 + 3t . ìx = t ï C. ïíï ï î y = 3 – 5t . ì x = 3 + 5t ï . D. ïíï ï îy = t Lời giải Chọn A. Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC. Ta có ì ï B (0;3) Î d ì x = 5t ï ïí ¾¾  d : ïí  (t Î  )  ï ïï y = 3 + t ï î ï îud = AC = (-5; -1) = -1.(5;1) Câu 31: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A (3;2 ) ¸ P (4;0 ) và Q (0; -2 ) . Đường thẳng đi qua điểm A và song song với PQ có phương trình tham số là: ìï x = 3 + 4 t . A. ïíï ïî y = 2 – 2 t ì ï x = 3 – 2t . B. ïíï ï îy = 2 + t ì ï x = -1 + 2 t . C. ïíï ï îy = t ì ï x = -1 + 2 t . D. ïíï ï î y = -2 + t Lời giải Chọn C. Gọi d là đường thẳng qua A và song song với PQ. Ta có: ìï A (3; 2) Î d ì ï x = 3 + 2t ï  d : ïí  í ïïu = PQ = (-4; -2) = -2 (2;1) ïîï y = 2 + t ïî d ìï x = -1 + 2t t =-2 ¾¾ ¾  M (-1;0) Î d  d : ï (t Î  ). í ï ïy = t î Câu 32: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có đỉnh A ( –2 ;1) và phương ìx = 1 + 4 t ï trình đường thẳng chứa cạnh CD là ïíï ï î y = 3t . Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh AB . ïì x = -2 + 3t A. ïíï . ïî y = -2 – 2 t ïì x = -2 – 4 t B. ïíï . ïî y = 1 – 3t ì x = – 2 – 3t ï C. ïíï . ï î y = 1- 4t ì x = – 2 – 3t ï D. ïíï . ï î y = 1 + 4t Lời giải Chọn B.  ì ì ï x = -2 – 4t ïï A(-2;1) Î AB, uCD = (4;3) ¾¾  AB : ïí (t Î  ). í   ï || 4; 3 AB C D  u = u = ( ) ïï y = 1- 3t ï î AB CD î Câu 33: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (-3;5) và song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. ìï x = -3 + t A. ïíï . ïî y = 5 – t ì ï x = -3 + t B. ïíï . ï îy = 5 + t Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ì ïx = 3 + t C. ïíï . ï î y = -5 + t ì ïx = 5 – t D. ïíï ï î y = -3 + t . Trang 758 Chọn B. ì ï x = -3 + t   d :ï x – y = 0 ¾¾ VTCP : u (1;1) = ud ¾¾ (t Î  ). í ï ï îy = 5+t Góc phần tư (I) : Câu 34: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (4; -7 ) và song song với trục Ox . ïì x = 1 + 4 t A. ïíï . ïî y = -7 t ìï x = 4 B. ïíï ï î y = -7 + t ì x = -7 + t ï C. ïíï . . ï îy = 4 ìx = t ï D. ïíï ï î y = -7 . Lời giải Chọn D. ì x = 4 + t t =-4 ìx = t ï   ï  ud = (1;0) ¾¾ d :ï ¾¾¾  A(0; -7) Î d  d : ï uOx = (1;0) ¾¾ . í í ï ï ï ï î y = -7 î y = -7 Câu 35: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (1; 4 ) , B (3;2 ) và C (7;3). Viết phương trình tham số của đường trung tuyến CM của tam giác. ïì x = 7 A. ïíï ïî y = 3 + 5t . ïì x = 3 – 5t . B. ïíï ìx = 7 + t ï . C. ïíï ïî y = -7 ï îy = 3 ìx = 2 ï D. ïíï ï îy = 3-t . Lời giải Chọn C. ì  ï ï A(1; 4)  M (2;3)  MC = (5;0) = 5 (1; 0)  CM í ï ï î B (3; 2) ì ïx = 7 + t :ï (t Î  ). í ï ï îy = 3 Câu 36: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (2; 4 ) , B (5;0 ) và C (2;1). Trung tuyến BM của tam giác đi qua điểm N có hoành độ bằng 20 thì tung độ bằng: A. -12. B. – 25 . 2 C. -13. D. – 27 . 2 Lời giải Chọn B. ì ï ì x = 5 + 6t æ 5 ö  æ ï 5ö 1 ï A(2; 4) ¾¾  M çç2; ÷÷÷  MB = çç3; – ÷÷÷ = (6; -5) ¾¾  MB : ï . í í ç ç ï ï è ø è ø 2 2 2 ï y = -5t ï î îC (2;1) ì 5 ï ï t= ï ìï = + 20 5 6 t ï ï 2 ï í í Ta có: N (20; yN ) Î BM ¾¾ ï ï 5 = y t 25 ï îï N yN = ï ï 2 ï î Câu 37: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến? A. 1. B. 2. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 4. D. Vô số. Trang 759 Lời giải Chọn D. Câu 38: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d : x – 2 y + 2017 = 0 ?  A. n1 = (0; -2 ) .  B. n2 = (1; -2 ) .  C. n3 = (-2;0 ) .  D. n4 = (2;1) . Lời giải Chọn B.  d : x – 2 y + 2017 = 0 ¾¾  nd = (1; -2). Câu 39: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d : -3 x + y + 2017 = 0 ?  A. n1 = (-3;0 ) .  B. n2 = (-3; -1) .   C. n3 = (6;2 ) . D. n4 = (6; -2 ) . Lời giải Chọn D.  d : -3 x + y + 2017 = 0 ¾ ¾  nd = (-3;1)  hay chọn -2nd = (6; -2). ì ï x = -1 + 2 t Câu 40: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d : ïíï ï îy = 3-t  A. n1 = (2; -1) .  B. n2 = (-1;2 ) . ?  C. n3 = (1; -2 ) .  D. n4 = (1;2 ) . Lời giải Chọn D. ì x = -1 + 2t ï   ¾¾  ud = (2; -1) ¾¾  nd = (1; 2). d :ï í ï ï î y = 3-t Câu 41: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d : 2 x – 3 y + 2018 = 0 ?  A. u1 = (-3; -2 ) .  B. u2 = (2;3) .  C. u3 = (-3;2 ) .  D. u4 = (2; -3) . Lời giải Chọn A.   d : 2 x – 3 y + 2018 = 0 ¾¾  nd = (2; -3) ¾¾  ud = (3; 2)  hay chọn -nd = (-3; -2). Câu 42: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A = (-3;2 ) , B = (-3;3) có một vectơ pháp tuyến là:  A. n1 = (6;5) .  B. n2 = (0;1) .  C. n3 = (-3;5) .  D. n4 = (-1;0 ) . Lời giải Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 760  ì  ï AB = (0;1)  ¾¾  nd = AB = (0;1). Gọi d là trung trực đoạn AB, ta có: íï ï ï îd ^ AB Câu 43: Cho đường thẳng D : x – 3 y – 2 = 0 . Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của D ?  A. n1 = (1; –3) .  B. n2 = ( –2;6 ) .  æ1 è3  ö ø C. n3 = ççç ;-1÷÷÷ . D. n4 = (3;1) . Lời giải Chọn D. ìïn1 (1; -3) = nd ïï    D : x – 3 y – 2 = 0 ¾¾  nd = (1; -3) ¾¾  ïïïn2 (-2; 6) = -2nd . í ïï  æ 1 ö  ïïn3 çç ; -1÷÷ = 1 nd ÷ø 3 ïïî èç 3  Câu 44: Đường thẳng d đi qua điểm A (1; -2 ) và có vectơ pháp tuyến n = (-2;4 ) có phương trình tổng quát là: A. d : x + 2 y + 4 = 0. B. d : x – 2 y – 5 = 0. C. d : -2 x + 4 y = 0. D. d : x – 2 y + 4 = 0. Lời giải Chọn B. ìï A(1; -2) Î d ï ¾¾  d : -2 ( x -1) + 4 ( y + 2) = 0 í ï ï înd = (-2; 4)  d : -2 x + 4 y + 10 = 0  d : x – 2 y – 5 = 0.  Câu 45: Đường thẳng d đi qua điểm M (0; -2 ) và có vectơ chỉ phương u = (3;0 ) có phương trình tổng quát là: A. d : x = 0. B. d : y + 2 = 0. C. d : y – 2 = 0. D. d : x – 2 = 0. Lời giải Chọn B. ì ï ïM (0; -2) Î d ¾¾  d : y + 2 = 0. í ïïud = (3;0) = 3(1;0)  nd = (0;1) î  Câu 46: Đường thẳng d đi qua điểm A (-4;5) và có vectơ pháp tuyến n = (3;2 ) có phương trình tham số là: ïì x = -4 – 2 t A. ïíï . ïî y = 5 + 3t ïì x = -2 t B. ïíï . ïî y = 1 + 3t ïì x = 1 + 2 t C. ïíï . ïî y = 3t ïì x = 5 – 2 t D. ïíï ïî y = -4 + 3t . Lời giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 761 ì ì ï x = -4 – 2t ïï A(-4;5) Î d ¾¾ d :ï (t Î  ). í í  ï 3; 2 n u 2;3 =  = ( ) ( ) ï y = 5 + 3t îï d îï d ìï x = 3 – 5t Câu 47: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng d : ïíï ? ïî y = 1 + 4 t A. 4 x + 5 y + 17 = 0 . B. 4 x – 5 y + 17 = 0 . C. 4 x + 5 y -17 = 0 . D. 4 x – 5 y -17 = 0 . Lời giải Chọn C. ïì x = 3 – 5t ïìï A(3;1) Î d  í ¾¾  d : 4 ( x – 3) + 5( y -1) = 0  d : 4 x + 5 y -17 = 0.  ïî y = 1 + 4t ïîïud = (-5; 4)  nd = (4; 5) Ta có: d : ïíï ìï x = 15 ïî y = 6 + 7 t Câu 48: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng d : ïíï A. x -15 = 0 . B. x + 15 = 0 . C. 6 x -15 y = 0 . ? D. x – y – 9 = 0 . Lời giải Chọn A. ìï A(15;6) Î d ïì x = 15 d : íï  íï  ¾¾  d : x -15 = 0.  ïîï y = 6 + 7t ïîïud = (0;7) = 7 (0;1)  nd = (1;0) Câu 49: Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng d : x – y + 3 = 0 ? ïì x = t A. ïíï ïî y = 3 + t . ìx = t ï B. ïíï ï îy = 3-t . ïì x = 3 . C. ïíï ïî y = t ïì x = 2 + t . D. ïíï ïî y = 1 + t Lời giải Chọn A. ì A(0;3) Î d ïì x = 0  y = 3 ïï ïì x = t d : x – y + 3 = 0  ïí   í ¾¾  d : ïí (t Î  ). ï ï ïï ïud = (1;1) îy = 3+t îïnd = (1; -1) î Câu 50: Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng d : 3 x – 2 y + 6 = 0 ? A. ïìï x = 3t . í ïïî y = 2 t + 3 B. ìï x = t ïï . í ïï y = 3 t + 3 ïî 2 C. ìï x = t ïï . í ïï y = – 3 t + 3 ïî 2 D. ìï x = 2 t ïï . í ïï y = 3 t + 3 ïî 2 Lời giải Chọn B. ìï x = 0  y = 3 d : 3 x – 2 y + 6 = 0  ïí  ïïnd = (3; -2) î Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 762 ì A(0; 3) Î d ï ïìï x = t ï ï ï  í  d : ïí æ 3 ö÷ ¾¾ 3 (t Î  ). ï ï y = 3+ t ud = (2;3) = 2 çç1; ÷÷ ï ï çè 2 ø ï ï 2 î ï î Câu 51: Cho đường thẳng d : 3 x + 5 y + 2018 = 0 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:  A. d có vectơ pháp tuyến n = (3;5) .  B. d có vectơ chỉ phương u = (5; -3) . 5 3 C. d có hệ số góc k = . D. d song song với đường thẳng D : 3 x + 5 y = 0 . Lời giải Chọn C. ìï ìï  ïï  ïï  ïïn = (3; 5) = nd ïïnd = (3;5)  ï ï  íïu = (5; -3) = ud ¾¾  d : 3x + 5 y + 2018 = 0  ïíud = (5; -3) ¾¾ ïï ïï ï ïï 3 ïïk = 5 = / kd ïk d = ïïî 5 3 îïï d : 3 x + 5 y + 2018 = 0  d || D : 3 x + 5 y = 0 ¾¾ D đúng. Câu 52: Đường thẳng d đi qua điểm M (1;2 ) và song song với đường thẳng D : 2 x + 3 y -12 = 0 có phương trình tổng quát là: A. 2 x + 3 y – 8 = 0 . B. 2 x + 3 y + 8 = 0 . C. 4 x + 6 y + 1 = 0 . D. 4 x – 3 y – 8 = 0 . Lời giải Chọn A. ìïM (1; 2) Î d ìïM (1; 2) Î d ïí  íï ïïd || D : 2 x + 3 y -12 = 0 ïïd : 2 x + 3 y + c = 0 (c = / -12) î î  2.1 + 3.2 + c = 0  c = -8. Vậy d : 2 x + 3 y – 8 = 0. Câu 53: Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và song song với đường thẳng D : 6 x – 4 x + 1 = 0 là: A. 3 x – 2 y = 0. B. 4 x + 6 y = 0. C. 3 x + 12 y -1 = 0. D. 6 x – 4 y -1 = 0. Lời giải Chọn A. ì ì ïO (0;0) Î d ï ïíO (0;0) Î d ï ¾¾  6.0 – 4.0 + c = 0  c = 0. í ïïd || D : 6 x – 4 x + 1 = 0 ï / 1) ïd : 6 x – 4 x + c = 0 (c = î î Vậy d : 6 x – 4 y = 0  d : 3x – 2 y = 0. Câu 54: Đường thẳng d đi qua điểm M (-1;2 ) và vuông góc với đường thẳng Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 763 D : 2 x + y – 3 = 0 có phương trình tổng quát là: A. 2 x + y = 0 . B. x – 2 y – 3 = 0 . C. x + y -1 = 0 . D. x – 2 y + 5 = 0 . Lời giải Chọn D. ì ìïM (-1; 2) Î d ïM (-1; 2) Î d ¾¾  íï ¾¾ -1- 2.2 + c = 0  c = 5. íï ïïd ^ D : 2 x + y – 3 = 0 ïïd : x – 2 y + c = 0 î î Vậy d : x – 2 y + 5 = 0. Câu 55: Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm A (4; -3) và song song với đường thẳng ìx = 3 – 2t ï d :ï í ï ï î y = 1 + 3t . A. 3 x + 2 y + 6 = 0 . B. -2 x + 3 y + 17 = 0 . C. 3 x + 2 y – 6 = 0 . D. 3 x – 2 y + 6 = 0 . Lời giải Chọn C. Ta có: ì ï A (4; -3) Î d ï ì A (4; -3) Î d ï ïu = (-2;3)  ï ï í d í  ï ï uD = (-2;3)  nD = (3; 2) ï ï î ï D || d ï î  D : 3( x – 4) + 2 ( y + 3) = 0  D : 3x + 2 y – 6 = 0. Câu 56: Cho tam giác ABC có A (2 ;0 ), B (0 ;3), C ( –3;1) . Đường thẳng d đi qua B và song song với AC có phương trình tổng quát là: A. 5 x – y + 3 = 0 . B. 5 x + y – 3 = 0 . C. x + 5 y – 15 = 0 . D. x – 15 y + 15 = 0 . Lời giải ìï B (0;3) Î d ïï ì  ïïíu = AC = (-5;1)  ïïí B (0;3) Î d AC ïï ï îïnd = (1;5) ïïd || AC ïî  d :1( x – 0) + 5 ( y – 3) = 0  d : x + 5 y -15 = 0. Câu 57: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M (-1;0 ) và vuông góc với ìx = t ï . đường thẳng D : ïíï ï î y = -2 t A. 2 x + y + 2 = 0 . B. 2 x – y + 2 = 0 . C. x – 2 y + 1 = 0 . D. x + 2 y + 1 = 0 . Lời giải Chọn C. ìïM (-1;0) Î d ïï ì ï ï ïM (-1;0) Î d  d :1( x + 1) – 2 ( y – 0) = 0  d : x – 2 y + 1 = 0. íuD = (1; -2)  í  ïï ï îïnd = (1; -2) ï d ^D ï î Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 764 ïì x = 1 – 3t Câu 58: Đường thẳng d đi qua điểm M (-2;1) và vuông góc với đường thẳng D : ïíï có ïî y = -2 + 5t phương trình tham số là: ì ï x = – 2 – 3t . A. ïíï ï î y = 1 + 5t ìï x = -2 + 5t . B. ïíï ïî y = 1 + 3t ìï x = 1 – 3t . C. ïíï ïî y = 2 + 5t ìï x = 1 + 5t . D. ïíï ïî y = 2 + 3t Lời giải Chọn B. ìïM (-2;1) Î d ïï ì ì ï x = -2 + 5t ïu = (-3;5)  ïïM (-2;1) Î d  d : íï (t Î  ). í D í  ïï ï ï y = 1 + 3t nd = (-3; 5)  ud = (5; 3) ï ï î î ïïd ^ D î Câu 59: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A (-1;2 ) và song song với đường thẳng D : 3 x -13 y + 1 = 0 . ì x = -1 + 13t ï A. ïíï . ï î y = 2 + 3t ì x = 1 + 13t ï B. ïíï . ï î y = – 2 + 3t ïì x = -1 -13t C. ïíï . ïî y = 2 + 3t ïì x = 1 + 3t D. ïíï . ïî y = 2 – 13t Lời giải Chọn A. ì ï A(-1; 2) Î d ï ì ï ì ï x = -1 + 13t ïn = (3; -13)  ïï A(-1; 2) Î d  d :ï (t Î  ). í D í í  ï ï 3; 13 13;3 n =  u = ( ) ( ) ïîï y = 2 + 3t ïï ï d d î ïîd || D Câu 60: Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm A (-1;2 ) và vuông góc với đường thẳng D : 2 x – y + 4 = 0 . ì x = -1 + 2 t ï A. ïíï . ï îy = 2 -t ïì x = t B. ïíï ïî y = 4 + 2 t . ïì x = -1 + 2 t C. ïíï . ïî y = 2 + t ïì x = 1 + 2 t D. ïíï . ïî y = 2 – t Lời giải Chọn A. ì A(-1; 2) Î d ï ï ì ï ì ïn = (2; -1)  ïï A(-1; 2) Î d  d : ï ïí x = -1 + 2t (t Î  ). í D í ï ï ïï y = 2 – t ïï ïîud = (2; -1) î ïîd ^ D Câu 61: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M (-2; – 5) và song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. A. x + y – 3 = 0 . B. x – y – 3 = 0 . C. x + y + 3 = 0 . D. 2 x – y -1 = 0 . Lời giải Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 765 ìïM (-2; -5) Î d ïï ì ï(I) : x – y = 0 (D)  ïïM (-2; -5) = 0  -2 – (-5) + c = 0  c = -3. í í ïï ïïd : x – y + c = 0 (c = / 0) î ïïd || D î Vậy d : x – y – 3 = 0. Câu 62: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M (3; -1) và vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai. A. x + y – 4 = 0 . B. x – y – 4 = 0 . C. x + y + 4 = 0 . D. x – y + 4 = 0 . Lời giải Chọn B. ì ï M (3; -1) Î d ï ìM (3; -1) ï ï(II) : x + y = 0 (D)  ï ïí í ïï ï ï îd : x – y + c = 0 ï ïîd ^ D  3 – (-1) + c = 0  c = -4  d : x – y – 4 = 0. Choïn B. Câu 63: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (-4;0 ) và vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai. ìx = t ï A. ïíï ï î y = -4 + t . ïì x = t C. ïíï ïì x = -4 + t B. ïíï . ïî y = 4 + t ïî y = -t ïì x = t D. ïíï . ïî y = 4 – t . Lời giải Chọn C. ì ï x = -4 + t t = 4 ìïM (-4;0) Î d ï ¾¾ A (0; 4) Î d í ï ïï  ï îï y = t í(II) : x + y = 0 (D)  nD = (1;1) ïï ïïd ^ D  ud = (1;1) î ïì x = t  d : ïí (t Î  ). Choïn C. ïïî y = 4 + t Câu 64: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M (-1;2 ) và song song với trục Ox . A. y + 2 = 0 . B. x + 1 = 0 . C. x – 1 = 0 . D. y – 2 = 0 . Lời giải Chọn D. ìïM (-1; 2) Î d ¾¾  d : y = 2. íï ï ïd || Ox : y = 0 î Câu 65: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (6; -10 ) và vuông góc với trục Oy . ì ï x = 10 + t A. ïíï . ï îy = 6 ìï x = 2 + t ïî y = -10 B. d : ïíï . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï x = 6 ïî y = -10 – t C. d : ïíï . ìï x = 6 . ïî y = -10 + t D. d : ïíï Trang 766 Lời giải Chọn B. ìïM (6; -10) Î d ìï x = 6 + t t =-4 ï ¾¾  d : íï ¾¾¾  A(2; -10) Î d í ïïd ^ Oy : x = 0  ud = (1; 0) ïîï y = -10 î ìx = 2 + t ï . Choïn B.  d : íï ï ï y = -10 î Câu 66: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A (3; -1) và B (1;5) là: A. -x + 3 y + 6 = 0. B. 3 x – y + 10 = 0. C. 3 x – y + 6 = 0. D. 3 x + y – 8 = 0. Lời giải Chọn D. ì ï ï A(3; -1) Î AB  í  ï u AB = (-2; 6)  nAB = (3;1) = ï AB ï î  AB : 3( x – 3) + 1( y + 1) = 0  AB : 3 x + y – 8 = 0. Choïn D. Câu 67: Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A ( –2 ;0 ) và B (0 ;3) là: A. 2 x – 3 y + 4 = 0 . B. 3 x – 2 y + 6 = 0 . C. 3 x – 2 y – 6 = 0 . D. 2 x – 3 y – 4 = 0 . Lời giải Chọn B. ìï A(-2;0) Î Ox x y ï ¾¾  AB : + = 1  3 x – 2 y + 6 = 0. í ïï B (0;3) Î Oy 2 3 î Câu 68: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A (2; -1) và B (2;5) là: A. x + y -1 = 0. B. 2 x – 7 y + 9 = 0. C. x + 2 = 0. D. x – 2 = 0. Lời giải Chọn D. ìï A (2; -1) Î AB ï ¾¾  AB : x – 2 = 0.  í  ï ï ï îu AB = AB = (0; 6)  nAB = (1; 0) Câu 69: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A (3; -7 ) và B (1; -7 ) là: A. y – 7 = 0. B. y + 7 = 0. C. x + y + 4 = 0. D. x + y + 6 = 0. Lời giải Chọn B. ìï A (3; -7) Î AB ï ¾¾  AB : y + 7 = 0.  í  ï ï ïu AB = AB = (-4; 0)  nAB = (0;1) î Câu 70: Cho tam giác ABC có A (1;1), B (0; -2 ), C (4;2 ). Lập phương trình đường trung tuyến của tam Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 767 giác ABC kẻ từ A A. x + y – 2 = 0. B. 2 x + y – 3 = 0. C. x + 2 y – 3 = 0. D. x – y = 0. Lời giải Chọn A. Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần viết phương trình đường thẳng AM. Ta có : ì ï  ï B (0; -2)  M (2;0)  u =  AM = (1; -1)  nAM = (1;1)  AM : x + y – 2 = 0. í AM ï ï îC (4; 2) Câu 71: Đường trung trực của đoạn AB với A (1; -4 ) và B (5;2 ) có phương trình là: A. 2 x + 3 y – 3 = 0. B. 3 x + 2 y + 1 = 0. C. 3 x – y + 4 = 0. D. x + y -1 = 0. Lời giải Chọn A. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có ì ï ï A (1; -4) , B (5; 2)  I (3; -1) Î d ¾¾  d : 2 x + 3 y – 3 = 0.  í ïïd ^ AB  n = AB = (4; 6) = 2 (2; 3) d ïî Câu 72: Đường trung trực của đoạn AB với A (4; -1) và B (1; -4 ) có phương trình là: A. x + y = 1. B. x + y = 0. C. y – x = 0. D. x – y = 1. Lời giải Chọn B. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có ì æ ö ï ïï A (4; -1) , B (1; -4)  I çç 5 ; – 5 ÷÷ Î d çè 2 2 ÷ø ïí ¾¾  d : x + y = 0. ï   ï ï ïd ^ AB  nd = AB = (-3; -3) = -3(1;1) î Câu 73: Đường trung trực của đoạn AB với A (1; -4 ) và B (1;2 ) có phương trình là: A. y + 1 = 0. B. x + 1 = 0. C. y -1 = 0. D. x – 4 y = 0. Lời giải Chọn A. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có ì ï ï A (1; -4) , B (1; 2)  I (1; -1) Î d ¾¾  d : y + 1 = 0.  í ïïd ^ AB  n = AB = (0; 6) = 6 (0;1) d ïî Câu 74: Đường trung trực của đoạn AB với A (1; -4 ) và B (3; -4 ) có phương trình là : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 768 A. y + 4 = 0. B. x + y – 2 = 0. C. x – 2 = 0. D. y – 4 = 0. Lời giải Chọn C. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có ì ï ï A (1; -4) , B (3; -4)  I (2; -4) Î d ¾¾  d : x – 2 = 0.  í ïïd ^ AB  n = AB = (2; 0) = 2 (1;0) d ï î Câu 75: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (2; -1), B (4;5) và C (-3;2 ) . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A. A. 7 x + 3 y -11 = 0. B. -3 x + 7 y + 13 = 0. C. 3 x + 7 y + 1 = 0. D. 7 x + 3 y + 13 = 0. Lời giải Chọn A. Gọi hA là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Ta có ìï A (2; -1) Î hA ï   hA : 7 x + 3 y -11 = 0. í ïïh ^ BC  n = BC = (-7; -3) = -(7; 3) A h A ïî Câu 76: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (2; -1), B (4;5) và C (-3;2 ). Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ B. A. 3 x – 5 y -13 = 0. B. 3 x + 5 y – 20 = 0. C. 3 x + 5 y – 37 = 0. D. 5 x – 3 y – 5 = 0. Lời giải Chọn D. Gọi hB là đường cao kẻ từ B của tam giác ABC. Ta có ì ï ï B (4;5) Î hB   hB : 5 x – 3 y – 5 = 0. í ïïh ^ AC  n = AC = (-5;3) = -(5; -3) hB ïî B Câu 77: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (2; -1), B (4;5) và C (-3;2 ). Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ C. A. x + y -1 = 0. B. x + 3 y – 3 = 0. C. 3 x + y + 11 = 0. D. 3 x – y + 11 = 0. Lời giải Chọn B. Gọi hC là đường cao kẻ từ C của tam giác ABC. Ta có ì ï ïC (-3; 2) Î hC   hC : x + 3 y – 3 = 0. í  ï ï ï îhC ^ AB  nhC = AB = (2; 6) = 2 (1;3) Câu 78: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : x – 2 y + 1 = 0 và d2 : -3 x + 6 y -10 = 0 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 769 A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Lời giải Chọn B. ì ïd1 : x – 2 y + 1 = 0 1 -2 1  = = / ¾¾  d1 || d 2 . íï ï d : 3 x + 6 y 10 = 0 3 6 10 ï î 2 Câu 79: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : 3 x – 2 y – 6 = 0 và d2 : 6 x – 2 y – 8 = 0 . A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Lời giải Chọn D.  ì -2 ì ïïï 3 = ïïd1 : 3x – 2 y – 6 = 0  n1 = (3; -2) /  í 6 -2 ¾¾  d1 , d 2 cắt nhau nhưng không vuông góc. í  ï ï  ï îd 2 : 6 x – 2 y – 8 = 0  n2 = (6; -2) ïïîn1 ⋅ n2 = /0 x 3 y 4 Câu 80: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : – = 1 và d2 : 3 x + 4 y -10 = 0 . A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Lời giải Chọn C. ì  æ1 1 ö ï x y ï d1 : – = 1  n1 = çç ; – ÷÷÷   ï ï çè 3 4 ø 3 4  n1 ⋅ n2 = 0  d1 ^ d 2 . í ïï  ïïîd 2 : 3x + 4 y -10 = 0  n2 = (3; 4) ì ìx = -1 + t ï x = 2 – 2t ¢ ï và d 2 : ïí . ï ï ï ï î y = -8 + 4t ¢ î y = -2 – 2t Câu 81: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : ïí A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Lời giải Chọn A. ü ïì x = -1 + t  ïïï d1 : ï  u1 = (1; -2) í ìï 1 -2 ï ïï = ïï ïï î y = -2 – 2t  d1 º d 2 . 4 ý  í -2 ïï ïï ì ï x = 2 – 2t ¢  3 B Î d « t = ï ï 2; 8 , 2; 4 d2 : ï  B Î d u = 1 ( ) 2 2 ( )ï î í ïï y = -8 + 4t ¢ î þïï Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 770 ì ìx = -3 + 4 t ï x = 2 – 2t ¢ ï và d 2 : ïí . ï ï ï ï î y = -8 + 4t ¢ î y = 2 – 6t Câu 82: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : ïí A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Lời giải Chọn B. ì ïü ï x = -3 + 4t  d1 : ï  A (-3; 2) Î d1 , u1 = (2; -3)ïï ïì 2 í -3 = ïïï ïï ï îï y = 2 – 6t 3  d1 || d 2 . ý  í -2 ïï ïï ì x = 1- 2t ¢ ï  ï A d Î / ïï ïî d2 : í  u2 = (-2;3) 2 ï y = 4 + 3t ¢ îï ïþï Câu 83: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ì 3 ï ï x = 3+ t ï ï 2 D1 : ï và D2 í ï 4 ï y = -1 + t ï ï 3 ï î ì 9 ï ï x = + 9t ¢ ï ï 2 :ï . í ï 1 ï y = + 8t ¢ ï ï 3 ï î A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Lời giải Chọn A. ü ï 3 ïìï ï x = 3+ t ï öïï  çæ 3 4 ÷ï ïï 2 D1 : í  A (3; -1) Î D1 , u1 = ç ; ÷÷ï ï ì 4 èç 2 3 øïï ïï 3 ïï y = -1 + 4 t ï ï ï 3 2 ï ï = 3 ïîï ï  D1 º D2 . 8 ýï í9 ï ï ï 9 ïìï ï 1 ¢ x 9 t = + ï ï ïï ï ï A Î D2 « t ¢ =  2 ï ï ï ï 6 D2 : ïí  u2 = (9;8) î ï ïï 1 ï ï ï y = + 8t ¢ ï ï 3 îïï ï þ Câu 84: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ì ïx = 4 + t . D1 : 7 x + 2 y -1 = 0 và D2 : ï í ï ï î y = 1- 5t A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Lời giải Chọn D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 771  D1 : 7 x + 2 y -1 = 0  n1 = (7; 2) ü ï ì 7 2 ï ï ï ï / ï ï5 =   D1 , D2 cắt nhau nhưng không vuông ìï 1 4 x t = + ý í   ï ï ï D2 : í  u2 = (1; -5)  n2 = (5;1)ï ï   n n 0 ⋅ = / ï ï ïîï y = 1- 5t ïþ î 1 2 góc. Câu 85: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ì x = 4 + 2t ï d1 : ï và d2 : 3 x + 2 y -14 = 0 . í ï ï î y = 1 – 3t A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Lời giải Chọn A. üï ì x = 4 + 2t  ï ïï ïìu = u d1 : ï  A(4;1) Î d1 , u1 = (2; -3) í 2 ïý  ïí 1 ïï  d1 º d 2 . î y = 1- 3t ïï ïïî A Î d 2   ï d 2 : 3x + 2 y -14 = 0  n2 = (3; 2)  u2 = (2; -3)ïþ Câu 86: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ì x = 4 + 2t ï d1 : ï và d2 : 5 x + 2 y -14 = 0 . í ï ï î y = 1 – 5t A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Lời giải Chọn B. üï ì x = 4 + 2t  ï   d1 : íï  A(4;1) Î d1 , u1 = (2; -5) ïïï ìïïu1 = u2 ïï  d1 || d 2 . ýí î y = 1- 5t ïï ïïî A Î / d2   ï d 2 : 5 x + 2 y -14 = 0  n2 = (5; 2)  u2 = (2; -5)ïþ ìï x = 2t ¢ ìx = 2 + 3t ï và d 2 : ïí . ïïî y = -2 + 3t ¢ ï ï î y = -2t Câu 87: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : ïí A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Lời giải Chọn C. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 772 ü ìï x = 2 + 3t  ï d1 : íï  u1 = (3; -2) ï ï ïï ïï   î y = -2t ï ý  u1 ⋅ u2 = 0  d1 ^ d 2 . ï ì ¢ ï x = 2t  ï d 2 : íï  u2 = (2;3)ïï ï ¢ ï 2 3 y = + t ï î ï þ ì ïx = 2 + t và d2 ï ï î y = -3 + 2t Câu 88: Cho hai đường thẳng d1 : ïí ìï x = 5 – t1 : ïí ïïî y = -7 + 3t1 . Khẳng định nào sau đây là đúng: A. d1 song song d2 . B. d1 và d2 cắt nhau tại M (1; –3) . C. d1 trùng với d2 . D. d1 và d2 cắt nhau tại M (3; –1) . Lời giải Chọn D. Ta có üï ïì x = 2 + t  d1 : 2 x – y – 7 = 0 ïï d1 : ï í ïï ï ï î y = -3 + 2t ïý ïï ì 5 = x t ï 1  d 2 : 3 x + y – 8 = 0ïï d2 : ï í ï ïïþ ï î y = -7 + 3t1 ìx = 3 ïìd1 : 2 x – y – 7 = 0 ï ï  ïí  d1 Ç d 2 = M (3; -1). í ïïîd 2 : 3x + y – 8 = 0 ïî ï y = -1 ì ïx = 1 – t và d2 : x – 2 y + 1 = 0 . ï î y = 5 + 3t Câu 89: Cho hai đường thẳng d1 : ïí ï Khẳng định nào sau đây là đúng: A. d1 song song d2 . B. d2 song song với trục Ox . æ 1ö æ1 3ö C. d2 cắt trục Oy tại M ççç0; ÷÷÷ . è 2ø D. d1 và d2 cắt nhau tại M ççç ; ÷÷÷ . è8 8ø Lời giải Chọn C. ìï ïï x = 15 ì ì d : 3 x + y 8 = 0 x = t 1 ï ï ï 7 1 d1 : ïí  d1 : 3x + y – 8 = 0  ïí  ïí  A, B, D sai. ïï ï ï = y = + t y + 5 3 d : x – 2 1 0 1 1 î îï 2 ïïï y = 7 ïî Oy Ç d 2 : x – 2 y +1 = 0 « x = 0  y = æ 1ö 1  d 2 Ç Oy = M çç0; ÷÷÷. çè 2 ø 2 Câu 90: Cho bốn điểm A (4; -3) , B (5;1) , C (2;3) và D (-2; 2 ) . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD . A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 773 Lời giải Chọn D.   ì 4 ï ì ï ï 1 = u AB = AB = (1; 4) / ï ï  íï-4 -1  AB, CD í  ïïu = CD = (-4; -1) ï ïïu ⋅ u = ï î CD î AB CD / 0 cắt nhau nhưng không vuông góc. Câu 91: Cho bốn điểm A (1;2 ) , B (4;0 ) , C (1; -3) và D (7; -7 ) . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD . A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Lời giải Chọn B.  ì ïï A (1; 2) Î AB, uAB = AB = (3; -2)  nAB = (2;3)  AB : 2 x + 3 y – 8 = 8 ïìï 3 = -2 ïí  ïí 6 -4  ïïC (1; -3) Î CD, u = CD = (6; -4) ïï CD / AB ï î ïîC Î nên AB || CD. Câu 92: Các cặp đường thẳng nào sau đây vuông góc với nhau? ì ïx = t và d2 : 2 x + y – 1 = 0. ï î y = -1 – 2t A. d1 : ïí ï ìx = t ï . ï ï îy = 0 B. d1 : x – 2 = 0 và d2 : ïí C. d1 : 2 x – y + 3 = 0 và d2 : x – 2 y + 1 = 0. D. d1 : 2 x – y + 3 = 0 và d2 : 4 x – 2 y + 1 = 0. Lời giải Chọn B. ì ìx = t ï ï  ï d1 : íï  u1 = (1; -2) ï   ï  u1 ⋅ u2 = / 0  loại A. (i) í ïïî y = -1- 2t ï   ï ïd 2 : 2 x + y –1 = 0  n2 = (2;1)  u2 = (1; -2) îï  ì ï d1 : x – 2 = 0  n1 = (1;0) ï ï    n1 ⋅ n2 = 0  d1 ^ d 2 . ì (ii) ïí x=t   ï ï ï d2 : d2 : í .  u2 = (1;0)  n2 = (0;1) ï ï ï ïy = 0 ï î î Tương tự, kiểm tra và loại các đáp án C, D. Câu 93: Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng 2 x + 3 y -1 = 0 ? A. 2 x + 3 y + 1 = 0 . B. x – 2 y + 5 = 0 . C. 2 x – 3 y + 3 = 0 . D. 4 x – 6 y – 2 = 0 . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 774 Chọn A. ìd : 2 x + 3 y -1 = 0 ï 2 3 -1  = = /  d || d A . Xét đáp án A: ïí ïd A : 2 x + 3 y +1 = 0 îï 2 3 -1 Để ý rằng một đường thẳng song song với 2 x + 3 y -1 = 0 sẽ có dạng 2 x + 3 y + c = 0 (c = / -1). Do đó kiểm tra chỉ thấy có đáp án A thỏa mãn, các đáp án còn lại không thỏa mãn. Câu 94: Đường thẳng nào sau đây không có điểm chung với đường thẳng x – 3 y + 4 = 0 ? ì ïx = 1 + t . A. ïí ì ïx = 1 – t . B. ïí ï ï î y = 2 + 3t ì ïx = 1 – 3t . C. ïí ï ï î y = 2 + 3t ì ïx = 1 – 3t . D. ïí ï ï îy = 2 + t ï ï îy = 2 -t Lời giải Chọn D.  Kí hiệu d : x – 3 y + 4 = 0  nd = (1; -3). ìx = 1+ t ï     n1 = (1;3)  n1 , n không cùng phương nên loại A. ï 2 3 y t = + ï î (i) Xét đáp án A: d1 : ïí (ii) Xét đáp án B: d 2 : ïí ì ï x = 1- t     n2 = (3;1)  n2 , n không cùng phương nên loại B. ï 2 3 y t = + ï î ì x = 1- 3t ï     n3 = (1;3)  n3 , n không cùng phương nên loại C. ï 2 y t = + ï î (iii) Xét đáp án C: d3 : ïí   ìM (1; 2) Î d 4 ì n4 = n ï ïïì x = 1- 3t ï ï ï d :    d || d 4 . (iv) Xét đáp án D: 4 í í í ïïî y = 2 – t ï ïï /d ïn4 = (1; -3) îM Î î Câu 95: Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng 4 x – 3 y + 1 = 0 ? ì ïx = 4 t A. ïí ï ï î y = -3 – 3t . ì ïx = 4 t B. ïí ï ï î y = -3 + 3t . ì ïx = -4 t C. ïí ï ï î y = -3 – 3t ì ï x = 8t D. ïí . ï ï î y = -3 + t . Lời giải Chọn A.  Kí hiệu d : 4 x – 3 y + 1 = 0  nd = (4; -3). ì ï x = 4t     n1 = (3; 4)  n1 ⋅ nd = 0 = 3 3 y t ï î (i) Xét đáp án A: d1 : ïí ï (ii) Tương tự kiểm tra và loại các đáp án B, C, D. ì ïx = t Câu 96: Đường thẳng nào sau đây có vô số điểm chung với đường thẳng ïí ? ï ï î y = -1 ìx = 0 ï A. ïí ï ï î y = -1 + 2018t ì x = -1 + t ï . . B. ï í ï ï îy = 0 ìx = -1 + 2018t ï . C. ïí ï ï î y = -1 ìx = 1 ï D. ïí ï ï î y = -1 + t . Lời giải Chọn C. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 775 Hai đường thẳng có hai điểm chung thì chúng trùng nhau. Như vậy bài toán trở thành tìm đường thẳng trùng với đường thẳng đã cho lúc đầu. Ta có ì ï A(0; -1) Î d ì ïx = t d :ï ¾¾ ï ¾¾  kiểm tra đường thẳng nào chứa điểm A (0; -1) và có VTCP í í ï ï ï î y = -1 ïud = (1;0) î  cùng phương với ud ¾¾ Chọn C. ìx = -2 + 3t ï Câu 97: Đường thẳng nào sau đây có đúng một điểm chung với đường thẳng ïí ? ï ï î y = 5 – 7t A. 7 x + 3 y -1 = 0. B. 7 x + 3 y + 1 = 0. C. 3 x – 7 y + 2018 = 0. D. 7 x + 3 y + 2018 = 0. Lời giải Chọn C. ì x = -2 + 3t ï ¾¾  d : 7 x + 3 y -1 = 0. ï ï î y = 5 – 7t Ta cần tìm đường thẳng cắt d : ïí d1 : 7 x + 3 y -1 = 0 ¾¾  d1 º d ¾¾  loại A. d 2 : 7 x + 3 y +1 = 0 & d3 : 7 x + 3 y + 2018 = 0 ¾¾  d2 , d3 || d ¾¾  loại B, D. Câu 98: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : 3 x + 4 y + 10 = 0 và d 2 : (2 m – 1) x + m 2 y + 10 = 0 trùng nhau? A. m  2 . B. m = 1 . C. m = 2 . D. m = -2 . Lời giải Chọn C. ìïd 2 : (2m -1) x + m 2 y + 10 = 0 d º d 2m -1 m 2 10 ïí 1 2 ¾¾¾  = = ïïd1 : 3x + 4 y + 10 = 0 3 4 10 î ì2 m – 1 = 3 ï ï  m = 2. Choïn C. í 2 ï ï îm = 4 Câu 99: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng có phương trình d1 : mx + (m – 1) y + 2 m = 0 và d2 : 2 x + y -1 = 0 . Nếu d1 song song d2 thì: A. m = 2. B. m = -1. C. m = -2. D. m = 1. Lời giải Chọn A. ì ïïd1 : mx + (m -1) y + 2m = 0 d1 ||d2 m m -1 2m ¾¾¾  = = / í ï 2 -1 1 ïd 2 : 2 x + y -1 = 0 î ìï-1 = /2 ï  m = 2. Choïn A. í ï ï îm = 2 m – 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 776 ïìx = 2 – 3t cắt nhau. ïïî y = 1 – 4 mt Câu 100: Tìm m để hai đường thẳng d1 : 2 x – 3 y + 4 = 0 và d2 : ïí 1 2 A. m ¹ – . 1 2 B. m ¹ 2. 1 2 C. m ¹ . D. m = . Lời giải Chọn C. ìïd1 : 2 x – 3 y + 4 = 0  ïï ì ï 4m -3 1 d1 Ç d 2 = M ïn1 = (2; -3) ¾¾¾¾ ïí ìï ¾¾   = / m= / . x t 2 3 = ï í ïïd 2 : í ïïn2 = (4m; -3) 2 3 2 î ï ï î y = 1- 4mt ï îï Câu 101: Với giá trị nào của a thì hai đường thẳng ìï x = -1 + at vuông góc với nhau? d1 : 2 x – 4 y + 1 = 0 và d 2 : ïí ïï y = 3 – (a + 1) t î A. a = -2. B. a = 2. D. a = 1 . C. a = -1. Lời giải Chọn D. Ta có ìd1 : 2 x – 4 y + 1 = 0 ï ï ìïn1 = (1; -2) ï   d1 ^ d 2 ï ì ¾¾  íï  ¾¾¾  n1 ⋅ n2 = 0  a + 1- 2a = 0  a = 1. ïï x = -1 + at í ï ï d2 : í ï ïîn2 = (a + 1; a ) ïï y = 3 – (a + 1) t ï ï î î Câu 102: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ìïx = -2 + 2t d1 : ïí và d2 ïïî y = -3t 1 2 A. m = . ïì x = 2 + mt : ïí ïï y = -6 + (1 – 2 m ) t î B. m = -2 . trùng nhau? C. m = 2 . D. m ¹ 2 . Lời giải Chọn C. ü ìï x = -2 + 2t ï  ï d1 : ïí  u1 = (2; -3) ï ì A Î d1 ï ï ïïî y = -3t ï d1 º d2 ï ï ï ¾¾¾  ý í m 1- 2m  m = 2. ï ï = ïìï x = 2 + mt  ï ï ï2 d2 : í  A (2; -6) Î d 2 , u2 = (m;1- 2m)ïï -3 î ïï y = -6 + (1- 2m) t ï î ï þ Câu 103: Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng ìï x = 2 + 2t d1 : ïí và d2 : 4 x – 3 y + m = 0 trùng nhau. ïïî y = 1 + mt A. m = -3 . B. m = 1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 4 3 C. m = . D. m Î Æ . Trang 777 Lời giải Chọn D. üï ì x = 2 + 2t  ï ì A Î d2 ìï5 + m = 0 d1 : íï  A(2;1) Î d1 , u1 = (2; m)ïïï d º d ïïï ï ï 1 2 ï y mt 1 = + í 2 m  í  m Î Æ. ý ¾¾¾ 8 ï î ï ï ï =  ïï ïï ïïm = d 2 : 4 x – 3 y + m = 0  u2 = (3; 4) 3 3 4 î î þï Câu 104: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : 2 x + y + 4 – m = 0 A. m = 1. và d 2 : (m + 3) x + y + 2m -1 = 0 song song? B. m = -1. C. m = 2. D. m = 3. Lời giải Chọn B. ìïd1 : 2 x + y = 0 ¾¾  d1 Ç d 2 = / Æ ¾¾  loại m = 4. ïîïd 2 : 7 x + y + 7 = 0  íï Với m = 4 ¾¾ Với m = / 4 thì ìïd1 : 2 x + y + 4 – m = 0 ìm = -1 m + 3 1 -2 m – 1 ï d1 || d 2 ïí ¾¾¾  = = / ï  m = -1. í ïïd 2 : (m + 3) x + y – 2m -1 = 0 ï / -5 2 1 4 m ïîm = î Câu 105: Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng D1 : 2 x – 3my + 10 = 0 A. 1 < m < 10 . và D2 : mx + 4 y + 1 = 0 cắt nhau. B. m = 1 . C. Không có m . D. Với mọi m . Lời giải Chọn D. é ì D1 : x + 5 = 0 ï êm = 0  ï  m = 0 (thoaû maõn) í ï ïìïD1 : 2 x - 3my + 10 = 0 êê ï îD2 : 4 y + 1 = 0  . í ê ï 2 -3m ï îD2 : mx + 4 y + 1 = 0 D1 ÇD2 = M êm = /  "m = /0 ê / 0 ¾¾¾¾ = m 4 ë Câu 106: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng D1 : mx + y - 19 = 0 A. Với mọi m . và D2 : (m - 1) x + (m + 1) y - 20 = 0 vuông góc? B. m = 2 . C. Không có m . D. m = 1 . Lời giải Chọn C. ìïD1 : mx + y -19 = 0  n1 = (m;1) Ta có : ïí ïïD2 : (m -1) x + (m + 1) y - 20 = 0  n2 = (m -1; m + 1) î D1 ^D1 ¾¾¾  m (m -1) + 1(m + 1) = 0  m Î Æ. Choïn C. Câu 107: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : 3mx + 2 y + 6 = 0 và d2 : (m 2 + 2 ) x + 2 my + 6 = 0 cắt nhau? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 778 A. m ¹ -1 . B. m ¹ 1 . C. m Î  . D. m ¹ 1 và m ¹ -1 . Lời giải Chọn D. Ta có:  ì ïïd1 : 3mx + 2 y + 6 = 0  n1 = (3m; 2) í  ï d : m 2 + 2) x + 2my + 6 = 0  n2 = (m 2 + 2; 2m) ï ï î 2 ( é ì ï ïd1 : y + 3 = 0 ê  m = 0 (thoaû maõn) êm = 0  í ï ï îd 2 : x + y + 3 = 0  êê . m 2 + 2 2m ê d1 Ç d 2 = M  = / m= / 1 / 0 ¾¾¾ ¾ êm = 3m 2 ëê Câu 108: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : 2 x - 3 y -10 = 0 ì x = 2 - 3t ï vuông góc? ï ï î y = 1 - 4 mt và d2 : ïí 9 8 1 2 A. m = . 9 8 B. m = . C. m = - . 5 4 D. m = - . Lời giải Chọn C.  ì ï d1 : 2 x - 3 y -10 = 0  n1 = (2; -3) ï ï 9 d1 ^ d 2 ï ì x = 2 - 3t ¾¾ ¾  2.4m + (-3).(-3) = 0  m = - . í ï  ïïd 2 : ïí 8  n2 = (4m; -3) ï ï y = 1- 4mt ï ï î î Câu 109: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : 4 x - 3 y + 3m = 0 8 3 8 3 A. m = - . ïì x = 1 + 2t trùng nhau? ïïî y = 4 + mt và d2 : ïí 4 3 B. m = . C. m = - . 4 3 D. m = . Lời giải Chọn B.  ì ï d1 : 4 x - 3 y + 3m = 0  n1 = (4; -3) ï ï ì x = 1 + 2t íï  ï ïïd 2 : ï  A(1; 4) Î d 2 , n2 = (m; -2) í ïîï ï y mt = 4 + ï î ìï A Î d1 ìï3m - 8 = 0 ïï ï 8 ¾¾¾  í m -2  íï m= . ïï = ïïm = 8 3 ïî 4 -3 ïî 3 d1 º d 2 Câu 110: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : 3mx + 2 y - 6 = 0 A. m = 1; m = -1. và d2 : (m 2 + 2 ) x + 2my - 3 = 0 song song? B. m Î Æ . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. m = 2 . D. m = -1 . Trang 779 Chọn A. ìïd1 : 3mx + 2 y - 6 = 0  n1 = (3m; 2) Ta có ïí ïïd 2 : (m 2 + 2) x + 2my - 3 = 0  n2 = (m 2 + 2; 2m) ïî é ìd : y - 3 = 0 ê m = 0  íïï 1  m = 0 ( khoâng thoaû maõn ) ê ïïîd 2 : 2 x + 2 y - 3 = 0 . Choïn A.  êê m 2 + 2 2 m -3 ê d1 || d 2 / 0 ¾¾¾  = = /  m = 1 êm = êë 3m 2 -6 Câu 111: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ì ï x = 8 - (m + 1) t d1 : ï í ï ï î y = 10 + t ém = 1 A. êê ë m = -2 . và d2 : mx + 2 y -14 = 0 song song? B. m = 1 . C. m = -2 . D. m Î Æ . Lời giải Chọn A. ïìï ïìï x = 8 - (m + 1) t   A(8;10) Î d1 , n1 = (1; m + 1) ïd : í Ta có: ïí 1 ïïî y = 10 + t ïï ïïd 2 : mx + 2 y -14 = 0  n2 = (m; 2) î ì / d2 AÎ ï ï ï ïïé ìn1 = (1;1) ìï8m + 6 = /0 ïê m = 0  ï ï ém = 1 ï  khoâng thoaû maõn ïïï í d1 || d 2  ï ê /0 ¾¾¾  íê  ím = ê . ïïn2 = (0; 2) ê m = -2 ï ï î ï ï ë ê ï ï = 1 m ê ïî ï 1 m +1 ï êm = / 0 = ï ï ê 2 m ï îë Câu 112: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : (m - 3) x + 2 y + m 2 - 1 = 0 A. m ¹ 1 . và d2 : -x + my + m 2 - 2m +1 = 0 cắt nhau? ïìm ¹ 1 B. ïí . C. m ¹ 2 . ïïîm ¹ 2 ém ¹ 1 D. êê ëm ¹ 2 . Lời giải Chọn B. ìïd1 : (m - 3) x + 2 y + m2 -1 = 0 ï í ïïd : -x + my + m2 - 2m +1 = 0 î 2 é ìd : -3 x + 2 y - 1 = 0 ê m = 0  ïïí 1  thoaû maõn ê ïïîd 2 : -x + 1 = 0 d1 Ç d 2 = M ê ¾¾ ¾¾ ê . /1 ïìïm = m -3 2 ê / 0 = / í êm = ïïîm = /2 êë -1 m Câu 113: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 780 ì x = m + 2t ï D1 : ï í ï y = 1 + (m 2 + 1) t ï î A. Không có m . B. m = 4 3 ïìx = 1 + mt trùng nhau? ïïî y = m + t và D2 : ïí . C. m = 1 . D. m = -3 . Lời giải Chọn C. ïìï ïì x = m + 2t  ïD1 : ïí  A (m;1) Î d1 , u1 = (2; m 2 + 1) ì 2 ï ï ïï A Î d 2 ï y 1 m 1 t = + + ( ) d1 º d 2 ï ï ï î ¾¾¾ í m í 1 ï ìïï x = 1 + mt ïï ï 2 = m2 +1  ï ï ï î  u2 = (m;1) ïïD2 : í . ïïî y = m + t ïî ìïm = 1 + mt ì ì ïm 2 - 1 = 0 ïïï ïïm = 1 + m (1- m) ï  í1 = m + t í   m = 1. í ïï ï(m -1)(m 2 + m + 2) = 0 ïïîm -1 = 0 ïïîm3 + m - 2 = 0 ïïî Câu 114: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng D : 5 x + 2 y -10 = 0 và trục hoành. A. (0;2 ). B. (0;5). C. (2;0 ). D. (-2;0 ). Lời giải Chọn C. ïì y = 0 ïì x = 2  ïí  ïí . Ox Ç D : 5 x + 2 y -10 = 0 ¾¾ ïîï5 x + 2 y -10 = 0 ïîï y = 0 ìïx = 2t và trục tung. ïî y = -5 + 15t Câu 115: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d : ïí ï æ2 ö A. ççç ;0÷÷÷ . è3 ø B. (0; - 5) . C. (0;5) . D. (- 5;0 ) . Lời giải Chọn A. ìï ìï y = 0 ïït = 1 ï ì ïï x = 2t ï ï 3 ï Oy Ç d : í . ¾¾  í x = 2t  íï ï ï ï y t = 5 + 15 ï î ïï y = -5 +15t ïï x = 2 , y = 0 ï î ïïî 3 Câu 116: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 7 x - 3 y + 16 = 0 và x + 10 = 0 . A. (-10; -18 ) . B. (10;18) . C. (-10;18) . D. (10; -18) . Lời giải Chọn A. ïìd1 : 7 x - 3 y + 16 = 0 ï ïì x = -10 ï í . í ïîïd 2 : x + 10 = 0 ïîï y = -18 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 781 Câu 117: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng ìïx = -3 + 4 t d1 : ï và d2 í ïïî y = 2 + 5t A. (1;7 ). ì ïx = 1 + 4t ¢ :ï . í ï ï î y = 7 - 5t ¢ B. (-3;2 ). C. (2; -3). D. (5;1). Lời giải Chọn A. ì ïì x = -3 + 4t ï ïd : íï ïì ï ïì x = 1 1  d1 ï ìï-3 + 4t = 1 + 4t ¢ ìït - t ¢ = 1 ïït = 1 ¾¾¾  íï ïï ïîï y = 2 + 5t ï ï ï ï í í í í ïî y = 7. ï ï2 + 5t = 7 - 5t ¢ ïït + t ¢ = 1 ïï ìï x = 1 + 4t ¢ ï ï î î ï ïïd 2 : í ïîït ¢ = 0 ïïî y = 7 - 5t ¢ ï ï î ïìx = 22 + 2t . Tìm toạ độ giao điểm của hai ïïî y = 55 + 5t Câu 118: Cho hai đường thẳng d1 : 2 x + 3 y -19 = 0 và d2 : ïí đường thẳng đã cho. A. (2;5). B. (10;25). C. (-1;7 ). D. (5;2 ). Lời giải Chọn A. ïìï d1 : 2 x + 3 y -19 = 0 ìï x = 2 ï d1 Ç d 2 ì x = 22 + 2t . ¾¾¾  2 (22 + 2t ) + 3(55 + 5t ) -19 = 0  t = -10  íï ï íï ï ïï d 2 : í ïîï y = 5 ï ï ï î y = 55 + 5t ï î Câu 119: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( –2 ;0 ), B (1; 4 ) và đường thẳng ìïx = -t d :ï . Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và d . í ïïî y = 2 - t A. (2 ; 0 ) . B. ( –2 ;0 ) . C. (0 ; 2 ) . D. (0 ; – 2 ) . Lời giải Chọn B. ìï A( –2;0) , B (1; 4)  AB : 4 x - 3 y + 8 = 0 ïï ìï4 x - 3 y + 8 = 0 ìïï x = 2 AB Ç d . ¾¾¾  ïí í ì x = -t íï ï ïïd : íï ïîï x - y + 2 = 0 ïîï y = 0  d : x- y +2 = 0 ï ï = 2 y t ï ï î î ïì x = -1 + t cắt nhau tại một điểm ïïî y = 3 + 3t Câu 120: Xác định a để hai đường thẳng d1 : ax + 3 y – 4 = 0 và d2 : ïí nằm trên trục hoành. A. a = 1. B. a = -1. C. a = 2. D. a = -2. Lời giải Chọn D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 782 ïì x = -1 + t ïì x = -2 Ox Ç d 2 « ï  ïí  Ox Ç d 2 = A(-2; 0) Î d1 í ï îï y = 3 + 3t = 0 ïïî y = 0  -2a - 4 = 0  a = -2. ïì x = 2 + t ïïî y = 6 + 2t Câu 121: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng d1 : 4 x + 3my – m 2 = 0 và d2 : ïí cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung. A. m = 0 hoặc m = -6 . B. m = 0 hoặc m = 2 . C. m = 0 hoặc m = -2 . D. m = 0 hoặc m = 6 . Lời giải Chọn D. ìï x = 2 + t = 0 ïìï x = 0 Oy Ç d 2 « ï í  Oy Ç d 2 = A(0; 2) Î d1 í ïîï y = 6 + 2t ïîï y = 2 ém = 0  6m - m 2 = 0  ê . êm = 6 ë Câu 122: Cho ba đường thẳng d1 : 3 x – 2 y + 5 = 0 , d2 : 2 x + 4 y – 7 = 0 , d3 : 3 x + 4 y – 1 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của d1 và d2 , và song song với d3 là: A. 24 x + 32 y – 53 = 0 . B. 24 x + 32 y + 53 = 0 . C. 24 x – 32 y + 53 = 0 . D. 24 x – 32 y – 53 = 0 . Lời giải Chọn A. ì 3 ï ï x =ï ì d x y : 3 – 2 + 5 = 0 æ 3 31ö ï ï 8 ïí 1  ïí  d1 Ç d 2 = Açç- ; ÷÷÷. Ta có ç ï ï è 8 16 ø îïd 2 : 2 x + 4 y – 7 = 0 ïï y = 31 ï 16 ïî ìï A Î d ìïï A Î d 9 31 53 ï - + +c = 0  c =- . í í ïïîd || d3 : 3x + 4 y –1 = 0 ï : 3 4 0 1 + + d x y c = c = / 8 4 8 ( ) ïî Vậy d : 3 x + 4 y – 53 = 0  d 3 : 24 x + 32 y - 53 = 0. 8 Câu 123: Lập phương trình của đường thẳng D đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : x + 3 y -1 = 0 , d2 : x - 3 y - 5 = 0 và vuông góc với đường thẳng d3 : 2 x - y + 7 = 0 . A. 3 x + 6 y - 5 = 0 . B. 6 x + 12 y - 5 = 0 . C. 6 x + 12 y + 10 = 0 . D. x + 2 y + 10 = 0 . Lời giải Chọn A. ìï x = 3 ï æ ïïìd1 : x + 3 y -1 = 0 2ö ï í  d1 Ç d 2 = A çç3; - ÷÷÷. í çè ïîïd 2 : x - 3 y - 5 = 0 ïï y = - 2 3ø ïî 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Ta có Trang 783 ìï ìï A Î d æ 2ö 5 ïí A Î d  ïí  3 + 2.çç- ÷÷÷ + c = 0  c = - . çè 3 ø ïïîd ^ d3 : 2 x - y + 7 = 0 ïïîd : x + 2 y + c = 0 3 5 3 Vậy d : x + 2 y - = 0  d : 3x + 6 y - 5 = 0. Câu 124: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình d1 : 3 x - 4 y + 15 = 0 , d2 : 5 x + 2 y - 1 = 0 và d3 : mx - (2 m - 1) y + 9 m - 13 = 0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm. 1 5 A. m = . 1 5 B. m = -5. C. m = - . D. m = 5. Lời giải Chọn D. ïìd1 : 3x - 4 y + 15 = 0 ïïì x = -1 í  d1 Ç d 2 = A(-1; 3) Î d3 ïïî y = 3 ïïîd 2 : 5 x + 2 y -1 = 0 Ta có: ïí  -m - 6m + 3 + 9m -13 = 0  m = 5. Câu 125: Nếu ba đường thẳng d1 : 2 x + y – 4 = 0 , d2 : 5 x – 2 y + 3 = 0 và d3 : mx + 3 y – 2 = 0 đồng quy thì m nhận giá trị nào sau đây? A. 12 . 5 B. - 12 . 5 C. 12. D. -12. Lời giải Chọn D. ì 5 ï ï x= ï ì d : 2 x y – 4 0 + = æ 5 26 ö ï ï 9 1 ï ï  d1 Ç d 2 = Açç ; ÷÷÷ Î d3 í í ï ï èç 9 9 ø 26 ïd 2 : 5 x – 2 y + 3 = 0 ï î y= ï ï 9 ï î  5m 26 + - 2 = 0  m = -12. 9 3 Câu 126: Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng d1 : 3 x – 4 y + 15 = 0 , d2 : 5 x + 2 y – 1 = 0 và d3 : mx – 4 y + 15 = 0 đồng quy? A. m = -5 . B. m = 5 . C. m = 3 . D. m = -3 . Lời giải Chọn C. ï ïíìd1 : 3x – 4 y + 15 = 0  ìïïí x = -1  d Ç d = A(-1;3) Î d 1 2 ïîï y = 3 îïïd 2 : 5 x + 2 y –1 = 0  -m -12 + 15 = 0  m = 3. Câu 127: Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng d1 : 2 x + y – 1 = 0 , d2 : x + 2 y + 1 = 0 và d3 : mx – y – 7 = 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 784 đồng quy? A. m = -6 . B. m = 6 . C. m = -5 . D. m = 5 . Lời giải Chọn B. ìï ìï x = 1 ïd1 : 2 x + y –1 = 0 ï  d1 Ç d 2 = A(1; -1) Î d3  m + 1- 7 = 0  m = 6. í í ïîïd 2 : x + 2 y + 1 = 0 ï ï y = -1 î Câu 128: Đường thẳng d : 51x - 30 y + 11 = 0 đi qua điểm nào sau đây? æ 4ö A. M ççç-1;- ÷÷÷. è 3ø æ 4ö æ 3ö B. N ççç-1; ÷÷÷. è 3ø æ C. P ççç1; ÷÷÷. è 4ø 3ö D. Q ççç-1;- ÷÷÷. è 4ø Lời giải Chọn A. Đặt ì æ ï 4ö f ( M ) = f çç-1; - ÷÷÷ = 0  M Î d ïï ç ï è 3ø ï ï ï æ ï 4 ö÷ ç / 0 N Î / d. f ( x; y ) = 51x - 30 y + 11 ¾¾ ï í f ( N ) = f ççè-1; 3 ø÷÷ = -80 = ï ï ï ï f (P) = /0 ï ï ï ï /0 ï î f (Q ) = ïì x = 1 + 2t ? ïïî y = 3 - t Câu 129: Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d : ïí A. M (2; –1) . B. N ( –7;0 ) . C. P (3;5) . D. Q (3; 2 ) . Lời giải Chọn D. ìï ït = 1 ìï2 = 1 + 2t x = 2, y =-1 d M (2; –1) ¾¾¾¾¾  ïí  ïí / d. 2 (VN )  M Î ïïî-1 = 3 - t ïï îït = 4 ìï-7 = 1 + 2t ìïït = -4 x =-7, y =0 d  ïí í / d. N ( –7;0) ¾¾¾¾¾ (VN )  N Î ïîï0 = 3 - t ïîït = 3 ïì3 = 1 + 2t ìïït = 1 x =3, y =5 d  íï í P (3;5) ¾¾¾¾¾ (VN )  P Î/ d . ïïî5 = 3 - t ïïît = -2 ïìï3 = 1 + 2t x =3, y = 2Îd Q (3; 2) ¾¾¾¾  t = 1  Q Î d. í ïîï2 = 3 - t Câu 130: Đường thẳng 12 x - 7 y + 5 = 0 không đi qua điểm nào sau đây? A. M (1;1) . B. N (-1; -1) . æ 5 ö C. P ççç- ;0÷÷÷ . è 12 ø æ 17 ö D. Q ççç1; ÷÷÷ . è 7ø Lời giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 785 Gọi 12 x - 7 y + 5 = 0 . ìï f ( M (1;1)) = 10 = / 0 M Î /d ïï ïï  í f ( N (-1; -1)) = 0  N Î d . Đặt f ( x; y ) = 12 x - 7 y + 5 ¾¾ ïï ïï f ( P ) = 0, f (Q ) = 0 ïî ìïx = -1 + 2t ? Câu 131: Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng ïí ïïî y = 3 - 5t A. M (-1;3) . B. N (1; - 2 ) . C. P (3;1) . D. Q (- 3;8 ) . Lời giải Chọn C. ìï x = -1 + 2t ìï-1 = -1 + 2t x =-1, y =3 d . M (-1;3) ¾¾¾¾¾  ïí  t = 0  M Î d. ïïî3 = 3 - 5t ïî y = 3 - 5t Gọi d : ïí ï ïì1 = -1 + 2t x =1, y =-2 d  ïí  t = 1  N Î d. N (1; -2) ¾¾¾¾¾ ïïî-2 = 3 - 5t ìït = 2 ïìï3 = -1 + 2t ïï P (3;1) ¾¾¾¾¾ í í  PÎ / d. ïïî1 = 3 - 5t ïït = 2 ïî 5 x = 3, y =1 d ìï-3 = -1 + 2t x =-3, y =8 d  ïí  t = -1  Q Î d . Q (-3;8) ¾¾¾¾¾ ïïî8 = 3 - 5t Câu 132: Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 : 2 x - y - 10 = 0 và d2 : x - 3 y + 9 = 0. A. 30o. B. 45o. C. 60o. D. 135o. Lời giải Chọn B. Ta có  ì ï 2.1 + (-1).(-3) 1 j =( d1 ; d 2 ) ïd1 : 2 x - y -10 = 0  n1 = (2; -1) ¾¾¾¾  cos j = = í  2 2 ï 2 ï 22 + (-1) . 12 + (-3) îd 2 : x - 3 y + 9 = 0  n2 = (1; -3)  j = 45. Câu 133: Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 : 7 x - 3 y + 6 = 0 và d2 : 2 x - 5 y - 4 = 0. A. p . 4 B. p 3 . C. 2p 3 . D. 3p . 4 Lời giải Chọn A. Ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 786 ìïd1 : 7 x - 3 y + 6 = 0  n1 = (7; -3) j= d ; d 14 + 15 1 p ( 1 2) ï ¾¾¾¾  cos j = = j = . í  ïïd 2 : 2 x - 5 y - 4 = 0  n2 = (2; -5) 4 49 9. 4 25 2 + + î Câu 134: Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 : 2 x + 2 3 y + 5 = 0 và d2 : y - 6 = 0. A. 30o. B. 45o. C. 60o. D. 90o. Lời giải Chọn A. Ta có  ì ï 3 ï 3 j =(d1 ; d 2 ) ïíd1 : 2 x + 2 3 y + 5 = 0  n1 = 1; 3 ¾¾¾¾  cos j = =  j = 30. ïïd : y - 6 = 0.  n = (0;1) 2 + + 1 3. 0 1 2 îï 2 ( ) Câu 135: Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 : x + 3 y = 0 và d2 : x + 10 = 0. A. 30o. B. 45o. C. 60o. D. 90o. Lời giải Chọn C. ìïd : x + 3 y = 0  n = 1; 3 1+ 0 ï 1 1 1 j =( d1 ; d 2 ) ¾¾¾¾  cos j = = íï  ïïd : x + 10 = 0  n = (1;0) 2 + + 1 3. 1 0 2 ïî 2 ( )  j = 60. Câu 136: Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ïì x = 10 - 6t . d1 : 6 x - 5 y + 15 = 0 và d2 : ï í ïïî y = 1 + 5t A. 30o. B. 45o. C. 60o. D. 90o. Lời giải Chọn D. ìïd1 : 6 x - 5 y + 15 = 0  n1 = (6; -5) ïï   j =(d1 ; d 2 ) ïí  n1 ⋅ n2 = 0 ¾¾¾¾  j = 90. ì x = 10 - 6t  ïïd 2 : ïïí  n2 = (5; 6) ïîï ïîï y = 1 + 5t Câu 137: Cho đường thẳng d1 : x + 2 y - 7 = 0 và d2 : 2 x - 4 y + 9 = 0 . Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho. 3 5 A. - . B. 2 5 . C. 3 5 . D. 3 5 . Lời giải Chọn C. ìïd1 : x + 2 y - 7 = 0  n1 = (1; 2) 1- 4 3 j =( d1 ; d 2 ) ï = . ¾¾¾¾  cos j = í  ïïd 2 : 2 x - 4 y + 9 = 0  n2 = (1; -2) 5 + + 1 4. 1 4 î Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 787 Câu 138: Cho đường thẳng d1 : x + 2 y - 2 = 0 và d2 : x - y = 0 . Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho. A. 10 . 10 B. 2 . 3 C. 3 . 3 D. 3 . Lời giải Chọn A. ìïd1 : x + 2 y - 2 = 0  n1 = (1; 2) j = d ;d 1- 2 1 ( 1 2) ï = . ¾¾¾¾  cos j = í  ï 1 + 4. 1 + 1 10 ïîd 2 : x - y = 0  n2 = (1; -1) ïìx = 2 + t . Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai ïïî y = 1 - t Câu 139: Cho đường thẳng d1 : 10 x + 5 y -1 = 0 và d2 : ïí đường thẳng đã cho. A. 3 10 . 10 B. 3 5 . C. 10 . 10 D. 3 10 D. 33 . 65 . Lời giải Chọn A.  ì ï d1 : 10 x + 5 y -1 = 0  n1 = (2;1) ï ï 2 +1 3 j =( d1 ; d 2 ) ïí . ¾¾¾ ¾  cos j = = ìx = 2 + t  ïïd 2 : ïïí  n2 = (1;1) 4 +1. 1 + 1 10 ïï ï îï y = 1- t î ìïx = 15 + 12t . ïî y = 1 + 5t Câu 140: Cho đường thẳng d1 : 3 x + 4 y + 1 = 0 và d2 : ïí ï Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho. A. 56 65 . B. - 33 65 . C. 6 . 65 Lời giải Chọn D.  ì ï d1 : 3x + 4 y + 1 = 0  n1 = (3; 4) ï ï 15 - 48 33 j =( d1 ; d 2 ) ïí ¾¾¾¾  cos j = = . ìïï x = 15 +12t  ïïd 2 : í  n2 = (5; -12) 9 + 16. 25 +144 65 ïîï ïîï y = 1 + 5t ìï x = 2 m - 1 + t . ïïî y = m 4 - 1 + 3t Câu 141: Cho đường thẳng d1 : 2 x + 3 y + m 2 -1 = 0 và d2 : ïí Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho. A. 3 130 . B. 2 5 5 C. . 3 5 . 1 2 D. - . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 788 Chọn A. ìïd1 : 2 x + 3 y + m 2 -1 = 0  n1 = (2;3) ïï 6-3 3 j =(d1 ; d 2 ) ï ì ¾¾¾¾  cos j = . = x = 2 m -1 + t í ï  ï ï d n : 3; 1  = 4 9. + + 9 1 130 ( ) ï 2 í 2 4 ï ï ïî ï î y = m -1 + 3t ïìx = 2 + at . Tìm các giá trị của tham số a để ïî y = 1 - 2t Câu 142: Cho hai đường thẳng d1 : 3 x + 4 y + 12 = 0 và d2 : ïí ï 0 d1 và d2 hợp với nhau một góc bằng 45 . A. a = 2 7 7 hoặc a = -14. B. a = hoặc a = 3. 2 C. a = 5 hoặc a = -14. D. a= 2 7 hoặc a = 5. Lời giải Chọn A. Ta có ìïd1 : 3x + 4 y + 12 = 0  n1 = (3; 4) ïï 6 + 4a 1 j =( d1 ; d 2 )= 45 ïí ¾¾¾¾¾  = cos 45 = cos j = ìïï x = 2 + at  ïïd 2 : í  n2 = (2; a) 2 25. a 2 + 4 ïïî ïîï y = 1- 2t é a = -14 ê  25 (a 2 + 4) = 8 (4a 2 + 12a + 9)  7 a 2 + 96a - 28 = 0  ê 2 . êa = êë 7 Câu 143: Đường thẳng D đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : 2 x + y - 3 = 0 và d2 : x - 2 y + 1 = 0 đồng thời tạo với đường thẳng d3 : y -1 = 0 một góc 450 có phương trình: A. D : 2 x + y = 0 hoặc D : x - y -1 = 0 . B. D : x + 2 y = 0 hoặc D : x - 4 y = 0 . C. D : x - y = 0 hoặc D : x + y - 2 = 0 . D. D : 2 x + 1 = 0 hoặc D : x - 3 y = 0 . Lời giải Chọn C. ìx = 1 ïìïd1 : 2 x + y - 3 = 0 ï ï  d1 Ç d 2 = A(1;1) Î D. í í ï ï îy =1 îïd 2 : x - 2 y + 1 = 0 ï   Ta có d 3 : y -1 = 0  n3 = (0;1), gọi nD = (a; b ), j = (D; d 3 ) . Khi đó 1 2 = cos j = éa = b  a = b = 1  D : x + y - 2 = 0  a 2 + b 2 = 2b 2  ê . ê a + b . 0 +1 ë a = -b  a = 1, b = -1  D : x - y = 0 b 2 2 Câu 144: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm A (2 ;0 ) và tạo với trục hoành một góc 45 ? A. Có duy nhất. B. 2 . C. Vô số. D. Không tồn tại. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 789 Chọn B. Cho đường thẳng d và một điểm A. Khi đó. (i) Có duy nhất một đường thẳng đi qua A song song hoặc trùng hoặc vuông góc với d. Có đúng hai đường thẳng đi qua A và tạo với d một góc 0 < a < 90. (ii) Câu 145: Đường thẳng D tạo với đường thẳng d : x + 2 y - 6 = 0 một góc 450 . Tìm hệ số góc k của đường thẳng D . A. k = 1 3 hoặc k = -3. B. k = 1 3 1 3 hoặc k = 3. C. k = - hoặc k = -3. D. k =- 1 3 hoặc k = 3. Lời giải Chọn A.  d : x + 2 y - 6 = 0  nd = (1; 2) , 1 2 a + 2b = cos 45 = 2 a + b2 . 5  a b gọi nD = (a; b)  kD = - . Ta có  5 (a 2 + b 2 ) = 2a 2 + 8ab + 8b 2 é 1 1 ê a = - b  kD =  3a - 8ab - 3b = 0  ê 3 3. ê êë a = 3b  kD = -3 2 2 Câu 146: Biết rằng có đúng hai giá trị của tham số k để đường thẳng d : y = kx tạo với đường thẳng 0 D : y = x một góc 60 . Tổng hai giá trị của k bằng: A. -8. B. -4. C. -1. D. -1. Lời giải Chọn B. ìïd : y = kx  nd = (k ; -1) k +1 1 ï ¾¾  = cos 60 =  k 2 + 1 = 2k 2 + 4k + 2 í 2 ïïD : y = x  nD = (1; -1) 2 k + 1. 2 î sol: k = k1 , k = k2 2  k + 4k + 1 = 0 ¾¾¾¾¾  k1 + k 2 = -4. Câu 147: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng D : ax + by + c = 0 và hai điểm M ( x m ; ym ) , N ( x n ; yn ) không thuộc D . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. M , N khác phía so với D khi (ax m + by m + c). (ax n + by n + c)> 0. B. M , N cùng phía so với D khi (ax m + by m + c). (ax n + by n + c)³ 0. C. M , N khác phía so với D khi (ax m + by m + c). (ax n + by n + c)£ 0. D. M , N cùng phía so với D khi (ax m + by m + c). (ax n + by n + c)> 0. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 790 Chọn D. Câu 148: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 3 x + 4 y – 5 = 0 và hai điểm A (1;3) , B (2; m ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A và B nằm cùng phía đối với d . 1 4 A. m < 0 . B. m > – . 1 4 C. m > -1 . D. m = – . Lời giải Chọn B. A (1;3 ) , B (2; m ) nằm cùng phía với d : 3 x + 4 y – 5 = 0 khi và chỉ khi 1 4 (3xA + 4 y A – 5)(3xB + 4 yB – 5) > 0  10 (1 + 4m) > 0  m > – . Câu 149: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 4 x – 7 y + m = 0 và hai điểm A (1;2 ) , B (- 3; 4 ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để d và đoạn thẳng AB có điểm chung. A. 10 £ m £ 40 . é m > 40 B. êê ë m < 10 C. 10 < m < 40 . . D. m < 10 . Lời giải Chọn A. Đoạn thẳng AB và d : 4 x - 7 y + m = 0 có điểm chung khi và chỉ khi (4 x A - 7 y A + m )(4 xB - 7 yB + m ) £ 0  (m -10)(m - 40) £ 0  10 £ m £ 40. ìï x = 2 + t và hai điểm A (1;2 ) , ïïî y = 1 - 3t Câu 150: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : ïí B (-2; m ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A và B nằm cùng phía đối với d . A. m > 13. B. m ³ 13 . D. m = 13 . C. m < 13. Lời giải Chọn C. ïì x = 2 + t d :ï ¾¾  d : 3x + y - 7 = 0. Khi đó điều kiện bài toán trở thành í ïïî y = 1- 3t (3 x A + y A - 7 )(3 xB + y B - 7 ) > 0  -2 (m -13) > 0  m < 13. ïì x = m + 2t và hai điểm A (1;2 ) , ïïî y = 1 - t Câu 151: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : ïí B (- 3; 4 ) . A. m < 3 . Tìm m để d cắt đoạn thẳng AB . B. m = 3 . C. m > 3 . D. Không tồn tại m . Lời giải Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 791 ïì x = m + 2t d :ï  d : x + 2 y – m – 2 = 0. Đoạn thẳng AB cắt d khi và chỉ khi í ïïî y = 1- t 2 ( x A + 2 y A – m – 2)( xB + 2 yB – m – 2) £ 0  (3 – m) £ 0  m = 3. Câu 152: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (1;3) , B (-2; 4 ) và C (-1;5) . Đường thẳng d : 2 x – 3 y + 6 = 0 cắt cạnh nào của tam giác đã cho? A. Cạnh AC . B. Cạnh AB . C. Cạnh BC . D. Không cạnh nào. Lời giải Chọn D. ì ï f ( A (1;3)) = -1 < 0 ï ï ï ï  í f ( B (-2; 4)) = -10 < 0 ¾¾  d không cắt cạnh nào của tam giác Đặt f ( x; y ) = 2 x - 3 y + 6 ¾¾ ïï ïï f (C (-1;5)) = -11 < 0 ïî ABC . Câu 153: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi hai đường thẳng D1 : x + 2 y - 3 = 0 và D2 : 2 x - y + 3 = 0 . A. 3 x + y = 0 và x - 3 y = 0 . B. 3 x + y = 0 và x + 3 y - 6 = 0 . C. 3 x + y = 0 và -x + 3 y - 6 = 0 . D. 3 x + y + 6 = 0 và x - 3 y - 6 = 0 . Lời giải Chọn C. Điểm M ( x; y ) thuộc đường phân giác của các góc tạo bởi D1 ; D2 khi và chỉ khi d ( M ; D1 ) = d ( M ; D2 )  x + 2 y -3 5 = 2x - y + 3 5 é3 x + y = 0 ê . ê ë x -3y + 6 = 0 Câu 154: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi đường thẳng D : x + y = 0 và trục hoành. A. (1 + 2 ) x + y = 0 ; x - (1 - 2 ) y = 0 . B. (1 + 2 ) x + y = 0 ; x + (1 - 2 ) y = 0 . C. (1 + 2 ) x - y = 0 ; x + (1 - 2 ) y = 0 . D. x + (1 + 2 ) y = 0 ; x + (1 - 2 ) y = 0 . Lời giải Chọn D. Điểm M ( x; y ) thuộc đường phân giác của các góc tạo bởi D; Ox : y = 0 khi và chỉ khi d ( M ; D) = d ( M ; Ox)  ( ( ) ) é ê x + 1+ 2 y = 0 ê . =  ê x + 1- 2 y = 0 2 1 êë x+ y y æ7 ö Câu 155: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ççç ;3÷÷÷ , B (1; 2 ) và C (- 4;3) . è4 ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 792 Phương trình đường phân giác trong của góc A là: B. 4 x - 8 y + 17 = 0. A. 4 x + 2 y -13 = 0. C. 4 x - 2 y - 1 = 0. D. 4 x + 8 y - 31 = 0. Lời giải Chọn B. ì æ7 ö ï ïïï Aççç ;3÷÷÷ , B (1; 2)  AB : 4 x - 3 y + 2 = 0 ï è4 ø . í ïï æ 7 ö ÷ ç A C AC y  = ;3 , 4;3 : 3 0 ï ) çç ÷÷ ( ï ï î è4 ø Suy ra các đường phân giác góc A là: 4x - 3 y + 2 5 = y -3 1 é 4 x + 2 y -13 = 0  f ( x; y ) = 4 x + 2 y -13  êê ë 4 x - 8 y + 17 = 0 ìï f ( B (1; 2)) = -5 < 0 ï  ïí ïï f (C (-4;3)) = -23 < 0 ïî suy ra đường phân giác trong góc A là 4 x - 8 y + 17 = 0. Câu 156: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (1;5) , B (-4; -5) và C (4; - 1) . Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là: A. y + 5 = 0. B. y - 5 = 0. C. x + 1 = 0. D. x - 1 = 0. Lời giải Chọn B. ì ï ï A(1;5) , B (-4; -5)  AB : 2 x - y + 3 = 0 . í ï ï î A(1;5) , C (4; -1)  AC : 2 x + y - 7 = 0 Suy ra các đường phân giác góc A là: 2x - y + 3 5 = 2x + y - 7 5 ï é x -1 = 0  f ( x; y ) = x -1 ì ï f ( B (-4; -5)) = -5 < 0  êê ï í ï f C 4; -1)) = 3 > 0 ï ë y -5 = 0 ï î ( ( suy ra đường phân giác trong góc A là y – 5 = 0. Câu 157: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 3 x – 4 y – 3 = 0 và d2 : 12 x + 5 y -12 = 0 . Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 là: A. 3 x + 11 y – 3 = 0. B. 11x – 3 y -11 = 0. C. 3 x -11 y – 3 = 0. D. 11x + 3 y -11 = 0. Lời giải Chọn B. Các đường phân giác của các góc tạo bởi d1 : 3 x – 4 y – 3 = 0 và d2 : 12 x + 5 y -12 = 0 là: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 793 3x – 4 y – 3 5 = 12 x + 5 y -12 13 é3x + 11y – 3 = 0 ê . ê11x – 3 y -11 = 0 ë Gọi I = d1 Ç d 2  I (1; 0); d : 3 x + 11 y – 3 = 0  M (-10;3) Î d , Gọi H là hình chiếu của M lên d1 . Ta có: IM = 130, MH = -30 -12 – 3 5 = 9, suy ra = sin MIH MH 9  > 52  2MIH  > 90. =  MIH IM 130 Suy ra d : 3x + 11y – 3 = 0 là đường phân giác góc tù, suy ra đường phân giác góc nhọn là 11x – 3 y -11 = 0 . Câu 158: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M ( x 0 ; y 0 ) và đường thẳng D : ax + by + c = 0 . Khoảng cách từ điểm M đến D được tính bằng công thức: A. d ( M , D) = C. d ( M , D) = ax 0 + by 0 2 a +b 2 ax 0 + by 0 + c 2 a +b B. d ( M , D) = . 2 D. d ( M , D) = . ax 0 + by0 a 2 + b2 . ax 0 + by0 + c a 2 + b2 . Lời giải Chọn C. Câu 159: Khoảng cách từ điểm M (-1;1) đến đường thẳng D : 3 x – 4 y – 3 = 0 bằng: A. 2 . 5 B. 2 . C. 4 . 5 D. 4 . 25 Lời giải Chọn B. d ( M ; D) = -3 – 4 – 3 9 + 16 = 2. Câu 160: Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng x – 3 y + 4 = 0 và 2 x + 3 y -1 = 0 đến đường thẳng D : 3 x + y + 4 = 0 bằng: A. 2 10 . B. 3 10 . 5 C. 10 . 5 D. 2 . Lời giải Chọn C. ïíìï x – 3 y + 4 = 0  ïìïí x = -1  A(-1;1)  d ( A; D) = -3 + 1 + 4 = 2 . ïîï2 x + 3 y -1 = 0 ïîï y = 1 9 +1 10 Câu 161: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (1;2 ), B (0;3) và C (4;0 ) . Chiều Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 794 cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng: A. 1 5 . B. 3 . C. 1 . 25 D. 3 5 . Lời giải Chọn A. ìï A(1; 2) 3 + 8 -12 1 ï  hA = d ( A; BC ) = = . í ïï B (0;3) , C (4;0)  BC : 3x + 4 y -12 = 0 5 9 + 16 î Câu 162: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (3; -4 ), B (1;5) và C (3;1) . Tính diện tích tam giác ABC . A. 10. B. 5. C. 26. D. 2 5. Lời giải Chọn B. Cách 1: ì ï ïï A (3; -4) ìï A (3; -4) ïìï BC = 2 5 ï ï  í BC = 2 5 í í ï ï B (1; 5) , C (3;1) ïï ï BC : 2 x + y – 7 = 0 ïîïïhA = d ( A; BC ) = 5 î ï ï î 1  S ABC = .2 5. 5 = 5. 2 Cách 2: SDABC =   2 1 AB 2 . AC 2 – AB ⋅ AC . 2 ( ) Câu 163: Khoảng cách từ điểm M (0;3) đến đường thẳng D : x cos a + y sin a + 3 (2 – sin a ) = 0 A. 6. B. 6. bằng: C. 3 sin a. D. 3 . cos a + sin a Lời giải Chọn B. d ( M ; D) = 3sin a + 3(2 – sin a ) cos 2 a + sin 2 a = 6. ïì x = 1 + 3t bằng: ïïî y = 2 + 4 t Câu 164: Khoảng cách từ điểm M (2;0 ) đến đường thẳng D : ïí A. 2. B. 2 . 5 C. 10 5 . D. 5 . 2 Lời giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 795 8+0+2 ïì x = 1 + 3t = 2. D : ïí  D : 4 x – 3 y + 2 = 0  d ( M ; D) = ïïî y = 2 + 4t 16 + 9 Câu 165: Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M (15;1) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng ì x = 2 + 3t ï D:ï bằng: í ï ï îy = t A. 10. 1 B. 10 C. . 16 5 D. 5. . Lời giải Chọn A. ìï x = 2 + 3t 15 – 3 – 2 “N ÎD D : ïí  D : x – 3 y – 2 = 0 ¾¾¾  MN min = d ( M ; D) = = 10. ïïî y = t 1+ 9 Câu 166: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A (- 1; 2 ) đến đường thẳng D : mx + y – m + 4 = 0 bằng 2 5 . é m = -2 ê 1 . êm = êë 2 A. m = 2. 1 2 C. m = – . B. ê D. Không tồn tại m . Lời giải Chọn B. d ( A; D) = -m + 2 – m + 4 2 m +1 = 2 5  m – 3 = 5. m2 +1  4m2 + 6m – 4 = 0 é m = -2 ê ê 1 . êm = 2 ëê Câu 167: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng ì ïx = t d1 : ïí và d2 : x – 2 y + m = 0 đến gốc toạ độ bằng 2 . ï ï îy = 2 – t ém = -4 A. êê ëm = 2 . ém = -4 B. êê ëm = -2 ém = 4 C. êê . ëm = 2 . ém = 4 D. êê ëm = -2 . Lời giải Chọn C. ì ïì x = t ï ïìd1 : x + y – 2 = 0 ïïïd1 : íï ïì x = 4 – m  ïí  ïí í ïïî y = 2 – t ï ï ï îïd 2 : x – 2 y + m = 0 ïïî y = m – 2 ï ï îd 2 : x – 2 y + m = 0  M (4 – m; m – 2) = d1 Ç d 2 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 796 2 ém = 2 2 Khi đó: OM = 2  (4 – m) + (m – 2) = 4  m2 – 6m + 8 = 0  êê ëm = 4 . Câu 168: Đường tròn (C ) có tâm là gốc tọa độ O (0;0 ) và tiếp xúc với đường thẳng D : 8 x + 6 y + 100 = 0 . Bán kính R của đường tròn (C ) bằng: A. R = 4 . B. R = 6 . C. R = 8 . D. R = 10 . Lời giải Chọn D. R = d (O; D) = 100 64 + 36 = 10. Câu 169: Đường tròn (C ) có tâm I (-2; -2 ) và tiếp xúc với đường thẳng D : 5 x + 12 y -10 = 0 . Bán kính R của đường tròn (C ) bằng: A. R = 44 . 13 B. R = 24 . 13 C. R = 44 . D. R = 7 13 . Lời giải Chọn A. R = d ( I ; D) = -10 – 24 -10 25 +144 = 44 . 13 Câu 170: Với giá trị nào của m thì đường thẳng D : 2 2 xy + m = 0 tiếp xúc với đường tròn 2 2 (C ) : x 2 + y 2 = 1 ? A. m = 1 . B. m = 0 . C. m = 2 . D. m = 2 . 2 Lời giải Chọn A. (D) tiếp xúc đường tròn ì ï I = O (0;0) m « d ( I ; D) = R  = 1  m =  1. ï 1 = R 1 ï î (C ) : x 2 + y 2 = 1 : ïí Câu 171: Cho đường thẳng d : 21x -11 y -10 = 0. Trong các điểm M (21; -3) , N (0;4 ) , P (-19;5) và Q (1;5) điểm nào gần đường thẳng d nhất? A. M . B. N . C. P . D. Q . Lời giải Chọn D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 797 ìï f ( M (21; -3)) = 464 ïï ïï ï f ( N (0; 4)) = 54 . f ( x; y ) = 21x -11y -10  ïí ïï f ( P (-19;5)) = 464 ïï ïï f Q 1;5 = 44 ïî ( ( )) Câu 172: Cho đường thẳng d : 7 x + 10 y -15 = 0. Trong các điểm M (1; -3) , N (0;4 ) , P (-19;5) và Q (1;5) điểm nào cách xa đường thẳng d nhất? A. M . B. N . C. P . D. Q . Lời giải Chọn C. ìï f ( M (1; -3)) = 38 ïï ïï ï f ( N (0; 4)) = 25 . f ( x; y ) = 7 x + 10 y -15  íï ïï f ( P (-19;5)) = 98 ïï ïï f Q 1;5 = 42 ïî ( ( )) Câu 173: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (2;3) và B (1; 4 ) . Đường thẳng nào sau đây cách đều hai điểm A và B ? A. x – y + 2 = 0. B. x + 2 y = 0. C. 2 x – 2 y + 10 = 0. D. x – y + 100 = 0. Lời giải Đường thẳng cách đều hai điểm A, B thì đường thẳng đó hoặc song song (hoặc trùng) với AB , hoặc đi qua trung điểm I của đoạn AB . Chọn A. ìï æ 3 7 ö ïìï A(2;3) ïïï I ççç ; ÷÷÷ Ta có: í  í è 2 2ø  AB || d : x – y – 2 = 0. ïï B (1; 4) ïï   î ïï AB = (-1;1)  nAB = (1;1) î Câu 174: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A (0;1), B (12;5) và C (-3;0 ). Đường thẳng nào sau đây cách đều ba điểm A, B và C . A. x – 3 y + 4 = 0 . B. -x + y + 10 = 0 . C. x + y = 0 . D. 5 x – y + 1 = 0 . Lời giải Chọn A. Dễ thấy ba điểm A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng cách điều A, B, C khi và chỉ khi chúng song song hoặc trùng với AB .   Ta có: AB = (12; 4)  n AB = (1; -3)  AB || d : x – 3 y + 4 = 0. Câu 175: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (1;1), B (-2; 4 ) và đường thẳng D : mx – y + 3 = 0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để D cách đều hai điểm A , B . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 798 ém = 1 A. êê ëm = -2 . ém = -1 . ëm = 2 ém = -1 . ëm = 1 B. êê ém = 2 D. êê C. êê ëm = -2 . Lời giải Chọn C. ïìï æç 1 5 ö÷ ï I ç- ; ÷ . Gọi I là trung điểm đoạn AB  íï çè 2 2 ÷ø ïï   ïï AB = (-3;3)  nAB = (1;1) î  Khi đó: D : mx – y + 3 = 0 (nD = (m; -1)) cách đều A, B éI Î D é m 5 ém = 1 ê ê- – + 3 = 0  ê m -1  ê 2 2 ê . ê m = -1 ê = ê ë êë 1 êë m = -1 1 Câu 176: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song D1 : 6 x – 8 y + 3 = 0 và D2 : 3 x – 4 y – 6 = 0 bằng: A. 1 . 2 B. 3 . 2 C. 2 . D. 5 . 2 Lời giải Chọn B. ìï A (2; 0) Î D2 12 + 3 3 ïí  d (D1 ; D2 ) = d ( A; D1 ) = = . ïïD2 || D1 : 6 x – 8 y + 3 = 0 2 100 î ì ï x = -2 + t . ï î y = 2 – 7t Câu 177: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d : 7 x + y – 3 = 0 và D :ïí ï A. 3 2 . 2 B. 15 . 9 C. 9 . D. C. 101 . D. 101 . 50 . Lời giải Chọn A. ìï A(-2; 2) Î D, nD = (7;1) ï í ïïd : 7 x + y – 3 = 0  nd = (7;1) î  D  d  d (d ; D) = d ( A; d ) = -14 + 2 – 3 50 = 3 2 . Câu 178: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d1 : 6 x – 8 y -101 = 0 A. 10,1 . và d2 : 3 x – 4 y = 0 bằng: B. 1, 01 . Lời giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 799 ì ï A (4;3) Î d 2 24 – 24 -101 101 ï  d (d1 ; d 2 ) = = = 10,1. í ï 10 100 ï îd 2 || d1 : 6 x – 8 y -101 = 0 Câu 179: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (1;1) , B (4; – 3) và đường thẳng d : x – 2 y -1 = 0 . Tìm điểm M thuộc d có tọa độ nguyên và thỏa mãn khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 6 . A. M (3;7 ). B. M (7;3). C. M (-43; -27 ). æ 27 ö D. M ççç3;- ÷÷÷. è 11 ø Lời giải Chọn B. ìïM Î d : x – 2 y -1 = 0  M ( 2m + 1; m) , m Î  ïí . ïï AB : 4 x + 3 y – 7 = 0 î 6 = d ( M ; AB ) = 8m + 4 + 3m – 7 5 Khi đó ém = 3 ê  11m – 3 = 30  ê  M (7;3). 27 êm = (l) êë 11 ì x = 2 + 2t ï . Tìm ï ï îy = 3 + t Câu 180: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A (0;1) và đường thẳng d : ïí điểm M thuộc d và cách A một khoảng bằng 5 , biết M có hoành độ âm. A. M (4; 4 ). B. é M -4; 4 ) ê ( ê æ 24 2 ö. ê M ç- ; – ÷÷ ê ççè 5 5 ÷ø êë æ 24 2ö C. M ççç- ;- ÷÷÷. è 5 5ø D. M (-4; 4 ). Lời giải Chọn C. ìï x = 2 + 2t  M (2 + 2t ;3 + t ) với 2 + 2t < 0  t < -1. Khi đó M Î d : ïí ïïî y = 3 + t ét = 1 (l ) ê æ 24 2ö 2 2 5 = AM  (2t + 2) + (t + 2) = 25  5t 2 + 12t -17 = 0  ê  M çç- ;; - ÷÷÷. êt = - 17 èç 5 ø 5 5 ëê Câu 181: Biết rằng có đúng hai điểm thuộc trục hoành và cách đường thẳng D : 2 x - y + 5 = 0 một khoảng bằng 2 5 . Tích hoành độ của hai điểm đó bằng: A. - 75 . 4 B. - 25 . 4 C. - 225 . 4 D. Đáp số khác. Lời giải Chọn A. Gọi M ( x;0) Î Ox thì hoành độ của hai điểm đó là nghiệm của phương trình: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 800 d ( M ; D) = 2 5  2x + 5 5 é 5 ê x = = x1 75 ê 2 =2 5ê ¾¾  x1 ⋅ x2 = - . 15 ê 4 ê x = - = x2 êë 2 Câu 182: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (3; - 1) và B (0;3) . Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1 . A. é æ7 ö ê M çç ;0÷÷ ê çè 2 ÷ø. ê ê M (1;0 ) êë B. é æ14 ö ê M çç ;0÷÷ ê èç 3 ø÷ ê . ê æ4 ö ê M çç ;0÷÷ ê èç 3 ø÷ ë C. é æ 7 ö ê M çç- ;0÷÷ ê çè 2 ÷ø. ê ê êë M (-1;0 ) D. é æ 14 ö ê M çç- ;0÷÷ ê èç 3 ø÷ ê . ê æ 4 ö ê M çç- ;0÷÷ ê èç 3 ø÷ ë Lời giải Chọn A. é æ7 ö 7 ê x =  M çç ;0÷÷ ìïM ( x;0) 4x - 9 ï çè 2 ÷ø. ê 2  1 = d ( M ; AB ) = ê í ï 5 AB x y + = : 4 3 9 0 ï ê x = 1  M (1;0) î êë Câu 183: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (3;0 ) và B (0; - 4 ) . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho diện tích tam giác MAB bằng 6. é M (0;0 ) A. êê . êë M (0; -8 ) B. M (0; -8). é M (0;0 ) D. êê . êë M (0;6 ) C. M (6;0 ). Lời giải Chọn A. Ta có ïì AB : 4 x - 3 y -12 = 0 é y = 0  M (0;0) 1 3 y + 12 ïïï  6 = SDMAB = .5.  êê . ï AB = 5 2 5 í =  y M 8 0; 8 ( ) ê ë ïï 3 y + 12 ïïM (0; y )  hM = d ( M ; AB ) = ïî 5 Câu 184: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng D1 : 3 x - 2 y - 6 = 0 và D2 : 3 x - 2 y + 3 = 0 . Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho M cách đều hai đường thẳng đã cho. æ 1ö A. M ççç0; ÷÷÷. è 2ø æ1 ö æ 1 B. M ççç ;0÷÷÷. è2 ø ö C. M ççç- ;0÷÷÷. è 2 ø D. M ( 2;0). Lời giải Chọn B. ì ï 3x - 6 3x + 3 æ1 ö 1 ïM ( x;0)  =  x =  M çç ;0÷÷÷. í ç ï è2 ø 2 13 13 ï îd ( M ; D1 ) = d ( M ; D2 ) Câu 185: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (-2;2 ), B (4; - 6 ) và đường thẳng Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 801 ìx = t ï d : ïí . Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều hai điểm A , B. ï ï î y = 1 + 2t A. M (3;7 ). B. M (- 3; - 5). C. M (2;5). D. M (-2; -3) Lời giải Chọn B. ì ìï x = t ï ï  M (t ;1 + 2t ) ïM Î d : ïí 2 2 2 2 ï ïïî y = 1 + 2t  (t + 2) + (2t -1) = (t - 4) + (2t + 7) í ï ï ï ï îMA = MB  20t + 60 = 0  t = -3  M (-3; -5). Câu 186: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (-1;2 ), B (- 3; 2 ) và đường thẳng d : 2 x - y + 3 = 0 . Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại C. A. C (-2; -1). æ 3 ö B. C ççç- ;0÷÷÷. è 2 ø C. C (- 1;1). D. C (0;3) Lời giải Chọn A. ì ïïM Î d : 2 x - y + 3 = 0  M (m; 2m + 3) 2 2 2 2  (m + 1) + (2m + 1) = (m + 3) + (2m + 1) í ï ïMA = MB î  m = -2  M (-2; -1). Câu 187: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (1;2 ), B (0;3) và đường thẳng d : y = 2 . Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại B. A. C (1;2 ). é C (1;2 ) C. êê . êëC (-1;2 ) B. C (4;2 ). D. C (-1;2 ). Lời giải Chọn C. éC (1; 2) ì ïïC Î d : y = 2  C (c; 2)  2 = c 2 + 1  c = 1  êê . í ïï BA = BC êëC (-1; 2) î Câu 188: Đường thẳng D song song với đường thẳng d : 3 x - 4 y + 1 = 0 và cách d một khoảng bằng 1 có phương trình: A. 3 x - 4 y + 6 = 0 hoặc 3 x - 4 y - 4 = 0 . B. 3 x - 4 y - 6 = 0 hoặc 3 x - 4 y + 4 = 0 . C. 3 x - 4 y + 6 = 0 hoặc 3 x - 4 y + 4 = 0 . D. 3 x - 4 y - 6 = 0 hoặc 3 x - 4 y - 4 = 0 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 802 Lời giải Chọn A. ìïd : 3 x - 4 y + 1 = 0  M (1;1) Î d é c = -4 c -1 ïí  1 = d ( d ; D) = d ( M ; D) = ê . êc = 6 ïïD || d  D : 3 x - 4 y + c = 0 5 ë î Câu 189: Tập hợp các điểm cách đường thẳng D : 3 x - 4 y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây? A. 3 x - 4 y + 8 = 0 hoặc 3 x - 4 y + 12 = 0 . B. 3 x - 4 y - 8 = 0 hoặc 3 x - 4 y + 12 = 0 . C. 3 x - 4 y - 8 = 0 hoặc 3 x - 4 y -12 = 0 . D. 3 x - 4 y + 8 = 0 hoặc 3 x - 4 y -12 = 0 . Lời giải Chọn B. d ( M ( x; y ); D) = 2  3x - 4 y + 2 5 é3x - 4 y +12 = 0 =2ê . ê3x - 4 y - 8 = 0 ë Câu 190: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 5 x + 3 y - 3 = 0 và d2 : 5 x + 3 y + 7 = 0 A. 5 x + 3 y - 2 = 0. song song nhau. Đường thẳng vừa song song và cách đều với d1 , d2 là: B. 5 x + 3 y + 4 = 0. C. 5 x + 3 y + 2 = 0. D. 5 x + 3 y - 4 = 0. Lời giải Chọn C. d ( M ( x; y ); d1 ) = d ( M ( x; y ); d 2 )  5x + 3 y - 3 34 = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 5x + 3 y + 7 34  5 x + 3 y + 2 = 0. Trang 803 BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước Trong mặt phẳng Oxy , đường tròn (C ) tâm I (a; b), bán kính R có phương trình: 2 2 ( x - a ) + ( y - b) = R 2 . Chú ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x 2 + y 2 = R 2 . 2. Nhận xét 2 2 ● Phương trình đường tròn ( x - a) + ( y - b) = R 2 có thể viết dưới dạng x 2 + y 2 - 2 ax - 2by + c = 0 trong đó c = a2 + b2 - R 2 . ● Phương trình x 2 + y 2 - 2 ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C ) khi a2 + b2 - c > 0. Khi đó, đường tròn (C ) có tâm I (a; b), bán kính R = a2 + b2 – c. 3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cho đường tròn (C ) có tâm I (a; b) và bán kính R. Đường thẳng D là tiếp tuyến với (C ) tại điểm M 0 ( x 0 ; y0 ) . Ta có ● M 0 ( x 0 ; y 0 ) thuộc D .  ● IM 0 = ( x 0 – a; y0 – b) là vectơ pháp tuyến của D . I Do đó D có phương trình là ( x 0 – a)( x – x 0 ) + ( y0 – b)( y – y0 ) = 0. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: nhận dạng phương trinh dường tron. Tim tam va ban kinh dường tron. 1. Phương pháp giải. Cách 1: + Đưa phương trình về dạng: (C ) : x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 (1) + Xét dấu biểu thức P = a 2 + b 2 – c Nếu P > 0 thì (1) là phương trình đường tròn (C ) có tâm I (a;b ) và bán kính R= a 2 + b2 – c Nếu P £ 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 804 Cách 2: Đưa phương trình về dạng: (x – a )2 + (y – b )2 = P (2). Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I (a;b ) và bán kính R = P Nếu P £ 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có. a ) x 2 + y 2 + 2x – 4y + 9 = 0 (1) b) x 2 + y 2 – 6x + 4y + 13 = 0 (2) c) 2x 2 + 2y 2 – 6x – 4y – 1 = 0 (3) d ) 2x 2 + y 2 + 2x – 3y + 9 = 0 (4) Lời giải: a) Phương trình (1) có dạng x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 với a = -1; b = 2; c = 9 Ta có a 2 + b 2 – c = 1 + 4 – 9 < 0 Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn. b) Ta có: a 2 + b 2 - c = 9 + 4 - 13 = 0 Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn. 2 æ 2 1 3ö 5 c) Ta có: ( 3 )  x + y - 3x - 2y - = 0  çç x - ÷÷ + ( y - 1 ) = ÷ ç 2 2ø 2 è 2 2 æ3 ö 10 Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm I çç ;1 ÷÷ bán kính R = çè 2 ÷ø 2 d) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x 2 và y 2 khác nhau. Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 + y 2 - 2mx - 4 ( m - 2 ) y + 6 - m = 0 (1) a) Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn. b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m Lời giải: a) Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a 2 + b 2 - c > 0 Với a = m; b = 2 ( m – 2 ) ; c = 6 – m Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 805 ém > 2 2 Hay m 2 + 4 ( m – 2 ) – 6 + m > 0  5m 2 – 15m + 10 > 0  êê êë m < 1 b) Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm I ( m;2 ( m - 2 ) ) và bán kính: R= 5m 2 - 15m + 10 Ví dụ 3: Cho phương trình đường cong (C m ) : x 2 + y 2 + ( m + 2 ) x - ( m + 4 ) y + m + 1 = 0 (2) a) Chứng minh rằng (2) là phương trình một đường tròn b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi c) Chứng minh rằng khi m thay đổi họ các đường tròn (C m ) luôn đi qua hai điểm cố định. Lời giải: 2 æ m + 2 ö÷ æ m + 4 ö÷ (m + 2 ) + 4 >0 a) Ta có a + b – c = çç ÷÷ + çç ÷÷ – m – 1 = 2 ø 2 èç 2 ø èç 2 2 2 2 Suy ra (2) là phương trình đường tròn với mọi m ì m +2 ï ï xI = ï 2 suy ra x I + y I – 1 = 0 b) Đường tròn có tâm I : ï í ï m + 4 ï y = ï ï î I 2 Vậy tập hợp tâm các đường tròn là đường thẳng D : x + y – 1 = 0 c) Gọi M ( x 0 ; y 0 ) là điểm cố định mà họ (C m ) luôn đi qua. Khi đó ta có: xo2 + y02 + ( m + 2 ) x 0 – ( m + 4 ) y 0 + m + 1 = 0, “m  ( x 0 – y0 – 1 ) m + xo2 + y 02 + 2x 0 – 4y0 + 1 = 0, “m ì ì x0 = 1 x 0 = -1 ïì x 0 – y 0 + 1 = 0 ï ï ï ï hoặc ï  í í 2 í 2 ï ïï x 0 + y 0 + 2x 0 – 4y 0 + 1 = 0 ïï y 0 = 0 y =2 ï î 0 î î Vậy có hai điểm cố định mà họ (C m ) luôn đi qua với mọi m là M1 ( -1; 0 ) và M 2 ( 1;2 ) Dạng 2: Viết Phương Trinh Dường Tron 1. Phương pháp giải. Cách 1: + Tìm toạ độ tâm I (a;b ) của đường tròn (C) + Tìm bán kính R của đường tròn (C) + Viết phương trình của (C) theo dạng (x – a )2 + (y – b )2 = R 2 . Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 (Hoặc x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 ). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 806 + Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c. + Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C). Chú ý: * A Î (C )  IA = R * (C ) tiếp xúc với đường thẳng D tại A  IA = d ( I ; D ) = R * (C ) tiếp xúc với hai đường thẳng D1 và D2  d ( I ; D1 ) = d ( I ; D2 ) = R 2. Các ví dụ. Ví dụ 1 : Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau: a) Có tâm I ( 1; -5 ) và đi qua O ( 0; 0 ) . b) Nhận AB làm đường kính với A ( 1;1 ), B ( 7; 5 ) . c) Đi qua ba điểm: M ( -2; 4 ), N ( 5;5 ), P ( 6; -2 ) Lời giải: a) Đường tròn cần tìm có bán kính là OI = 2 ( x – 1) 12 + 52 = 26 nên có phương trình là 2 + ( y + 5 ) = 26 b) Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra I ( 4; 3 ) AI = 2 ( 4 – 1) 2 + ( 3 – 1) = 13 Đường tròn cần tìm có đường kính là AB suy ra nó nhận I ( 4; 3 ) làm tâm và bán kính R = AI = 2 2 13 nên có phương trình là ( x – 4 ) + ( y – 3 ) = 13 c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 . Do đường tròn đi qua ba điểm M , N , P nên ta có hệ phương trình: ïìï 4 + 16 + 4a – 8b + c = 0 ïìïa = 2 ïï ï í 25 + 25 – 10a – 10b + c = 0  ïíb = 1 ïï ïï ïïî 36 + 4 – 12a + 4b + c = 0 ïïîc = -20 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x 2 + y 2 – 4x – 2y – 20 = 0 Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau Gọi I ( x ; y ) và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm ì ï IM 2 = IN 2 nên ta có hệ Vì IM = IN = IP  ïí ï IM 2 = IP 2 ï î Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 807 ìï x + 2 2 + y – 4 2 = x – 5 2 + y – 5 2 ìï x = 2 ) ( ) ( ) ( ) ïï ( ïí  í ïï( x + 2 )2 + ( y – 4 )2 = ( x – 6 )2 + ( y + 2 )2 ïï y = 1 î ïî Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: a) (C) có tâm I ( -1;2 ) và tiếp xúc với đường thẳng D : x – 2y + 7 = 0 b) (C) đi qua A ( 2; -1 ) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Oy c) (C) có tâm nằm trên đường thẳng d : x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d1 : 3x + 4y + 5 = 0 và d2 : 4x – 3y – 5 = 0 Lời giải: a) Bán kính đường tròn (C) chính là khoẳng cách từ I tới đường thẳng D nên R = d (I; D) = -1 – 4 – 7 1+4 = 2 5 2 2 Vậy phương trình đường tròn (C) là : ( x + 1 ) + ( y – 2 ) = 4 5 b) Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của đường tròn có dạng I ( R; -R ) trong đó R là bán kính đường tròn (C). éR = 1 2 2 Ta có: R 2 = IA2  R 2 = ( 2 – R ) + ( -1 + R )  R 2 – 6R + 5 = 0  êê êë R = 5 2 2 Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: ( x – 1 ) + ( y + 1 ) = 1 và 2 (x – 5) 2 + ( y + 5 ) = 25 c) Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K ( 6a + 10; a ) Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d1, d2 nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra 3(6a + 10) + 4a + 5 5 = 4(6a + 10) – 3a – 5 5 éa = 0 ê  22a + 35 = 21a + 35  ê ê a = -70 êë 43 – Với a = 0 thì K ( 10; 0 ) và R = 7 suy ra (C ) : ( x – 10 ) + y 2 = 49 2 2 – Với a = 2 2 æ 10 -70 ö÷ æ æ æ7 ö -70 7 10 ö 70 ö thì K çç ; suy ra (C ) : çç x – ÷÷ + çç y + ÷÷ = çç ÷÷ ÷÷ và R = çè çè çè 43 ø÷ çè 43 43 ø 43 43 43 ÷ø 43 ÷ø Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 808 2 (C ) : ( x – 10 ) 2 2 2 æ æ æ7 ö 10 ö 70 ö + y = 49 và (C ) : çç x – ÷÷÷ + çç y + ÷÷÷ = çç ÷÷÷ çè 43 ø 43 ø èç èç 43 ø 2 Ví dụ 3: Cho hai điểm A ( 8; 0 ) và B ( 0;6 ) . a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB Lời giải: a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của 2 cạnh huyền AB suy ra I ( 4; 3 ) và Bán kính R = IA = (8 – 4) 2 + (0 – 3) = 5 2 2 Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: ( x – 4 ) + ( y – 3 ) = 25 b) Ta có OA = 8; OB = 6; AB = 82 + 62 = 10 1 Mặt khác OAOB . = pr (vì cùng bằng diện tích tam giác ABC ) 2 Suy ra r = OAOB . =2 OA + OB + AB Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là ( 2;2 ) 2 2 Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: ( x – 2 ) + ( y – 2 ) = 4 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = 0 . và d2 : d2 3x – y = 0 . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. 3 Viết phương trình của (C), biết tam giác ABC có diện tích bằng và 2 điểm A có hoành độ dương. d1 A B C Hình 3.1 Lời giải (hình 3.1) ( ) ( ) ( Vì A Î d1  A a; – 3a , a > 0; B, C Î d2  B b; 3b , C c; 3c   Suy ra AB b – a; 3 ( a + b ) , AC c – a; 3 (c + a ) ( ) ( ) ) Tam giác ABC vuông tại B do đó AC là đường kính của đường tròn C.   Do đó AC ^ d1  AC .u1 = 0  -1.( c – a ) + 3. 3 ( a + c ) = 0  2a + c = 0 (1)   AB ^ d2  AB.u2 = 0  1. (b – a ) + 3 (a + b ) = 0  2b + a = 0 (2) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 809 1 1 2 3a Mặt khác S ABC = d ( A;d2 ) .BC  . 2 2 2 (3) 2 (c – b ) 2 + 3 (c – b ) = 3  2a c – b = 1 2 Từ (1), (2) suy ra 2 (c – b ) = -3a thế vào (3) ta được a -3a = 1  a = Do đó b = – 3 3 æ 3 ö æ 2 3 ö 3 2 3 ,c = A ççç ; -1 ÷÷÷, C ççç ; -2 ÷÷÷ ÷ø èç ÷ø 6 3 3 èç 3 æ AC 3 3 ö÷ Suy ra (C) nhận I ççç =1 ; – ÷÷ là trung điểm AC làm tâm và bán kính là R = çè 6 2 ÷ø 2 2 2 æ æ 3 ö÷ 3 ÷ö ç ç ÷÷ + ç x + ÷ = 1 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (C ) : çç x + çè çè 6 ÷ø 2 ÷ø Dạng 3: Vị Trí Tương Đối Của Điểm; Đường Thẳng; Đường Tròn Với Đường Tròn 1. Phương pháp giải.  Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C) Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính IM + Nếu IM < R suy ra M nằm trong đường tròn + Nếu IM = R suy ra M thuộc đường tròn + Nếu IM > R suy ra M nằm ngoài đường tròn  Vị trí tương đối giữa đường thẳng D và đường tròn (C) Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính d ( I ; D ) + Nếu d ( I ; D ) < R suy ra D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt + Nếu d ( I ; D )= R suy ra D tiếp xúc với đường tròn + Nếu d ( I ; D ) > R suy ra D không cắt đường tròn Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng D và đường tròn (C) bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.  Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn (C’) Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm I’, bán kính R’ của đường tròn (C’) và tính II ‘ , R + R ‘, R – R ‘ + Nếu II ‘ > R + R ‘ suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau + Nếu II ‘ = R + R ‘ suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 810 + Nếu II ‘< R - R ' suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau + Nếu II ' = R - R ' suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau + Nếu R - R ' < II ' < R + R ' suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường tròn (C') bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : x - y + 1 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 - 4x + 2y - 4 = 0 a) Chứng minh điểm M ( 2;1 ) nằm trong đường tròn b) Xét vị trí tương đối giữa D và (C ) c) Viết phương trình đường thẳng D ' vuông góc với D và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất. Lời giải: a) Đường tròn (C) có tâm I ( 2; -1 ) và bán kính R = 3 . Ta có IM = 2 (2 - 2) b) Vì d ( I ; D ) = 2 + ( 1 + 1 ) = 2 < 3 = R do đó M nằm trong đường tròn. 2 +1+1 1+1 = 2 2 < 3 = R nên D cắt (C ) tại hai điểm phân biệt. c) Vì D ' vuông góc với D và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất nên D ' vuông góc với D và đi qua tâm I của đường tròn (C).  Do đó D ' nhận vectơ uD = ( 1;1 ) làm vectơ pháp tuyến suy ra D ' : 1( x - 2 ) + 1( y + 1 ) = 0 hay x +y -1 = 0 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là D ' : x + y - 1 = 0 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn (C ) : x 2 + y 2 - 2x - 6y - 15 = 0 và (C ' ) : x 2 + y 2 - 6x - 2y - 3 = 0 a) Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B c) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B và O Lời giải a) Cách 1: (C ) có tâm I ( 1; 3 ) và bán kính R = 5 , (C ) có tâm I ' ( 3;1 ) và bán kính R = II ' = 2 ( 3 - 1) 13 2 + (1 - 3 ) = 2 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 811 Ta thấy R1 - R2 < I 1I 2 < R1 + R2 suy ra hai đường tròn cắt nhau. Cách 2: Xét hệ phương trình 2 2 2 ì ì 2 ï ïí x + y - 2x - 6y - 15 = 0  ïïí x + y - 2x - 6y - 15 = 0 ïï x 2 + y 2 - 6x - 2y - 3 = 0 ïï x -y -3 = 0 î î ïìï é y = -2 2 ì 2 ïìï y 2 - y - 6 = 0 ï ê ïï( y + 3 ) + y - 2 ( y + 3 ) - 6y - 15 = 0 í í  ïí êêë y = 3 ï ï x =y+3 ï x =y+3 îï ï îï ïïîï x = y + 3 Suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm có tọa độ là A ( 1; -2 ) và B ( 6; 3 )  b) Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận AB ( 5;5 ) làm vectơ chỉ phương suy ra phương trình ïì x = 1 + 5t đường thẳng cần tìm là ïí ïï y = -2 + 5t î c) Cách 1: Đường tròn cần tìm (C") có dạng x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 ì 7 ï ï a = ï ì ï 2 ï 1 + 4 - 2a + 4b + c = 0 ï ï ï ï 1 ï ï (C") đi qua ba điểm A, B và O nên ta có hệ í 36 + 9 - 12a - 6b + c = 0  í b = ïï ïï 2 = c 0 ïî ïï c = 0 ï ï ï ï ï î Vậy (C") : x 2 + y 2 - 7x - y = 0 Cách 2: Vì A, B là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C') nên tọa độ đều thỏa mãn phương trình x 2 + y 2 - 2x - 6y - 15 + m ( x 2 + y 2 - 6x - 2y - 3 ) = 0 (*) Tọa độ điểm O thỏa mãn phương trình (*) khi và chỉ khi -15 + m. ( -3 ) = 0  m = -5 Khi đó phương trình (*) trở thành x 2 + y 2 - 7x - y = 0 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x 2 + y 2 - 7x - y = 0 Ví dụ 3: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0 có tâm I và đường thẳng D: 2x + my + 1 - 2 = 0 a) Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B b) Tìm m để diện tích tam giác IAB là lớn nhất Lời giải (hình 3.2) a) Đường tròn (C) có tâm I ( 1; -2 ) , bán kính R = 3 I D cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A H Hình 3.2 B Trang 812 2 - 2m + 1 - 2 d (I ; D) < R  2 + m2 <3  5m 2 + 5m + 17 > 0 (đúng với mọi m) b) Ta có S IAB =   1 9 9 IA.IB.sin AIB = sin AIB £ 2 2 2 Suy max S IAB =   9 khi và chỉ khi sin AIB = 1  AIB = 900 2  3 Gọi H là hình chiếu của I lên D khi đó AIH = 450  IH = IA.cos 450 = 2 Ta có d ( I ; D ) = IH  1 – 2m 2+m 2 = 3 2  m 2 + 8m + 16 = 0  m = -4 Vậy với m = -4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Dạng 4: Viết Phương Trinh Tiếp Tuyến Với Dường Tron 1. Phương pháp giải. Cho đường tròn (C) tâm I (a;b ) , bán kính R  Nếu biết tiếp điểm là M ( x 0 ; y 0 ) thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ  IM ( x 0 – a; y 0 – b ) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là ( x 0 – a )( x – x 0 ) + ( y0 – b )( y – y0 ) = 0  Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng D tiếp xúc đường tròn (C) khi và chỉ khi d ( I ; D ) = R để xác định tiếp tuyến. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm hai điểm A ( 1; -1 ) ; B ( 1; 3 ) a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ B. Lời giải: Đường tròn (C) có tâm I ( 3; -1 ) bán kính R = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 32 + 1 – 6 = 2 . Trang 813 a) Ta có: IA = 2 = R; IB = 2 5 > R suy ra điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm ngoài đường tròn  b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm A nhận IA = ( 2; 0 ) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 2 ( x – 1 ) + 0 ( y + 1 ) = 0 hay x = 1 b) Phương trình đường thẳng D đi qua B có dạng: a ( x – 1 ) + b ( y – 3 ) = 0 (với a 2 + b 2 ¹ 0 ) hay ax + by – a – 3b = 0 Đường thẳng D là tiếp tuyến của đường tròn  d ( I ; D ) = R  3a – b – a – 3b a 2 + b2 é b=0 2 = 2  (a – 2b ) = a 2 + b 2  3b 2 – 4ab = 0  êê êë 3b = 4a + Nếu b = 0 , chọn a = 1 suy ra phương trình tiếp tuyến là x = 1 . + Nếu 3b = 4a , chọn a = 3, b = 4 suy ra phương trình tiếp tuyến là 3x + 4y – 15 = 0 Vậy qua A kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là x = 1 và 3x + 4y – 15 = 0 Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 4x + 4y – 1 = 0 trong trường a) Đường thẳng D vuông góc với đường thẳng D ‘ : 2x + 3y + 4 = 0 b) Đường thẳng D hợp với trục hoành một góc 450 Lời giải: a) Đường tròn (C) có tâm I ( 2; -2 ) , bán kính R = 3  Vì D ^ D ‘ nên D nhận u ( -3;2 ) làm VTPT do đó phương trình có dạng -3x + 2y + c = 0 Đường thẳng D là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi d (I ; D) = 3  -10 + c 13 = 3  c = 10  3 13 Vậy có hai tiếp tuyến là D : -3x + 2y + 10  3 13 = 0 b) Giả sử phương trình đường thẳng D : ax + by + c = 0, a 2 + b 2 ¹ 0 Đường thẳng D là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi d (I;D) = 3  2a – 2b + c a 2 + b2 = 3  ( 2a – 2b + c ) = 9 (a 2 + b 2 ) (*) 2 Đường thẳng D hợp với trục hoành một góc 450 suy ra Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 814 cos ( D;Ox ) = b a 2 + b2  cos 450 = b a 2 + b2  a = b hoặc a = -b TH1: Nếu a = b thay vào (*) ta có 18a 2 = c 2  c = 3 2a , chọn a = b = 1  c = 3 2 suy ra D : x + y  3 2 = 0 2 TH2: Nếu a = -b thay vào (*) ta có 18a = ( 4a + c ) 2 ( ) ( ( ( ) é c = 3 2-4 a ê  ê êë c = – 3 2 + 4 a ) ) Với c = 3 2 – 4 a , chọn a = 1, b = -1, c = 3 2 – 4  D : x – y + 3 2 – 4 = 0 ( ) ( ) Với c = – 3 2 + 4 a , chọn a = 1, b = -1, c = – 3 2 + 4  D : x – y – 3 2 – 4 = 0 Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn là D1,2 : x + y  3 2 = 0, D3 : x – y + 3 2 – 4 = 0 và D4 : x – y – 3 2 – 4 = 0 Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau: (C 1 ) : x 2 + y 2 – 4y – 5 = 0 và (C 2 ) : x 2 + y 2 – 6x + 8y + 16 = 0 Lời giải: Đường tròn (C 1 ) có tâm I 1 ( 0;2 ) bán kính R1 = 3 Đường tròn (C 2 ) có tâm I 2 ( 3; -4 ) bán kính R2 = 3 Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình D : ax + by + c = 0 với a 2 + b 2 ¹ 0 D là tiếp tuyến chung của (C 1 ) ìï 2b + c = 3 a 2 + b 2 ( * ) ìd (I 1, D) = 3 ï ï ï í và (C 2 )  í ïï 3a – 4b + c = 3 a 2 + b 2 ï d (I , D) = 3 ï î 2 ïî é a = 2b ê Suy ra 2b + c = 3a – 4b + c  ê ê c = -3a + 2b êë 2 TH1: Nếu a = 2b chọn a = 2, b = 1 thay vào (*) ta được c = -2  3 5 nên ta có 2 tiếp tuyến là 2x + y – 2  3 5 = 0 TH2: Nếu c = -3a + 2b thay vào (*) ta được 2b – a = 2 a 2 + b 2  a = 0 hoặc 2 3a + 4b = 0 + Với a = 0  c = b , chọn b = c = 1 ta được D : y + 1 = 0 + Với 3a + 4b = 0  c = 3b , chọn a = 4, b = -3, c = -9 ta được D : 4x – 3y – 9 = 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 815 Vậy có 4 tiếp tuyến chung của hai đường tròn là : 2x + y – 2  3 5 = 0, y + 1 = 0, 4x – 3y – 9 = 0 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: 2 2 Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) : ( x – 1) + ( y + 3) = 16 là: A. I (-1;3), R = 4. B. I (1; -3), R = 4. C. I (1; -3), R = 16. D. I (-1;3), R = 16. Lời giải Chọn B Ta có (C ) : ( x -1)2 + ( y + 3)2 = 16 ¾¾  I (1; -3) , R = 16 = 4. Câu 2: 2 Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) : x 2 + ( y + 4 ) = 5 là: A. I (0;-4 ), R = 5. B. I (0; -4 ), R = 5. C. I (0;4 ), R = 5. D. I (0; 4 ), R = 5. Lời giải Chọn A Ta có (C ) : x 2 + ( y + 4)2 = 5 ¾¾  I (0; -4) , R = 5. Câu 3: 2 Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) : ( x + 1) + y 2 = 8 là: A. I (-1;0 ), R = 8. B. I (-1;0 ), R = 64. C. I (-1;0 ), R = 2 2. D. I (1;0), R = 2 2. Lời giải Chọn C Ta có (C ) : ( x + 1)2 + y 2 = 8 ¾¾  I (-1; 0) , R = 8 = 2 2. Câu 4: Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 = 9 là: A. I (0;0 ), R = 9. B. I (0;0 ), R = 81. C. I (1;1), R = 3. D. I (0;0 ), R = 3. Lời giải Chọn D Ta có (C ) : x 2 + y 2 = 9 ¾¾  I (0;0) , R = 9 = 3. Câu 5: Đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 6 x + 2 y + 6 = 0 có tâm I và bán kính R lần lượt là: A. I (3; -1), R = 4. B. I (-3;1), R = 4. C. I (3; -1), R = 2. D. I (-3;1), R = 2. Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 816 Ta có (C ) : x 2 + y 2 – 6 x + 2 y + 6 = 0  a = -6 2 = 3, b = = -1, c = 6 -2 -2 2  I (3; -1) , R = 32 + (-1) – 6 = 2 . Câu 6: Đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 4 x + 6 y – 12 = 0 có tâm I và bán kính R lần lượt là: A. I (2; -3), R = 5. B. I (-2;3), R = 5. C. I (-4;6 ), R = 5. D. I (-2;3), R = 1. Lời giải Chọn A Ta có (C ) : x 2 + y 2 – 4 x + 6 y -12 = 0  a = 2, b = -3, c = -12  I (2; -3), R = 4 + 9 + 12 = 5 . Câu 7: Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 4 x + 2 y – 3 = 0 là: A. I (2;-1), R = 2 2. B. I (-2;1), R = 2 2. C. I (2; -1), R = 8. D. I (-2;1), R = 8. Lời giải Chọn A Ta có (C ) : x 2 + y 2 – 4 x + 2 y – 3 = 0  a = 2, b = -1, c = -3  I (2; -1) , R = 4 + 1 + 3 = 2 2 . Câu 8: Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) : 2 x 2 + 2 y 2 – 8 x + 4 y – 1 = 0 là: A. I (-2;1), R = 21 . 2 B. I (2;-1), R = C. I (4;-2 ), R = 21. 22 . 2 D. I (-4;2 ), R = 19. Lời giải Chọn B ïìïa = 2, b = -1 . 1 ïïc = 2 î 1 2 Ta có (C ) : 2 x 2 + 2 y 2 – 8 x + 4 y -1 = 0  x 2 + y 2 – 4 x + 2 y – = 0  ïí ï  I (2; -1) , R = 4 + 1 + Câu 9: 1 22 = 2 2 . Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) : 16 x 2 + 16 y 2 + 16 x – 8 y – 11 = 0 là: A. I (-8;4 ), R = 91. B. I (8;-4 ), R = 91. C. I (-8;4 ), R = 69. D. I ççç- ; ÷÷÷, R = 1. è 2 4ø æ 1 1ö Lời giải Chọn D 1 2 Ta có (C ) :16 x 2 + 16 y 2 + 16 x – 8 y -11 = 0  x 2 + y 2 + x – y – Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 11 =0 16 Trang 817 æ 1 1ö 1 1 11  I çç- ; ÷÷÷ , R = + + =1. çè 2 4 ø 4 16 16 Câu 10: Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 10 x – 11 = 0 là: A. I (-10;0), R = 111. B. I (-10;0), R = 89. C. I (-5;0 ), R = 6. D. I (5;0 ), R = 6. Lời giải Chọn C Ta có (C ) : x 2 + y 2 –10 x -11 = 0  I (-5;0), R = 25 + 0 + 11 = 6. Câu 11: Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 5 y = 0 là: A. I (0;5), R = 5. æ 5ö B. I (0; -5), R = 5. æ 5 C. I ççç0; ÷÷÷, R = . è 2ø 2 5ö 5 D. I ççç0;- ÷÷÷, R = . è 2ø 2 Lời giải Chọn C æ 5ö 25 5 Ta có (C ) : x 2 + y 2 – 5 y = 0  I ççç0; ÷÷÷ , R = 0 + – 0 = . è 2ø 4 2 2 2 Câu 12: Đường tròn (C ) : ( x -1) + ( y + 2 ) = 25 có dạng khai triển là: A. (C ) : x 2 + y 2 – 2 x + 4 y + 30 = 0. B. (C ) : x 2 + y 2 + 2 x – 4 y – 20 = 0. C. (C ) : x 2 + y 2 – 2 x + 4 y – 20 = 0. D. (C ) : x 2 + y 2 + 2 x – 4 y + 30 = 0. Lời giải Chọn C Ta có (C ) : ( x -1)2 + ( y + 2)2 = 25  x 2 + y 2 – 2 x + 4 y – 20 = 0. Câu 13: Đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 12 x – 14 y + 4 = 0 có dạng tổng quát là: 2 2 A. (C ) : ( x + 6 ) + ( y – 7 ) = 9. 2 2 B. (C ) : ( x + 6 ) + ( y – 7 ) = 81. 2 2 C. (C ) : ( x + 6 ) + ( y – 7 ) = 89. 2 2 D. (C ) : ( x + 6 ) + ( y – 7 ) = 89. Lời giải Chọn B ì ï I (-6;7) Ta có (C ) : x 2 + y 2 +12 x -14 y + 4 = 0  ïí 2 ï ï î R = 36 + 49 – 4 = 9 2  (C ) : ( x + 6) + ( y – 7) = 81. Câu 14: Tâm của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 10 x + 1 = 0 cách trục Oy một khoảng bằng: A. -5 . B. 0 . C. 10 . D. 5 . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 818 Chọn D Ta có (C ) : x 2 + y 2 -10 x +1 = 0  I (5;0)  d [ I ; Oy ] = 5. Câu 15: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 5 x + 7 y – 3 = 0 . Tính khoảng cách từ tâm của (C ) đến trục Ox . A. 5 . B. 7 . C. 3,5 . D. 2,5 . Lời giải Chọn C æ 5 è 2 7ö 2ø 7 2 7 2 Ta có (C ) : x 2 + y 2 + 5 x + 7 y – 3 = 0  I ççç- ; – ÷÷÷  d [ I ; Ox ] = – = . Câu 16: Đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ, bán kính R = 1 có phương trình là: 2 A. x 2 + ( y + 1) = 1. B. x 2 + y 2 = 1. 2 2 C. ( x -1) + ( y – 1) = 1. 2 2 D. ( x + 1) + ( y + 1) = 1. Lời giải Chọn B ì ï I (0;0)  (C ) : x 2 + y 2 = 1. ï R = 1 ï î Ta có (C ) : ïí Câu 17: Đường tròn có tâm I (1;2 ) , bán kính R = 3 có phương trình là: A. x 2 + y 2 + 2 x + 4 y – 4 = 0. B. x 2 + y 2 + 2 x – 4 y – 4 = 0. C. x 2 + y 2 – 2 x + 4 y – 4 = 0. D. x 2 + y 2 – 2 x – 4 y – 4 = 0. Lời giải Chọn A ì ï I (1; 2) 2 2  (C ) : ( x -1) + ( y – 2) = 9  x 2 + y 2 – 2 x – 4 y – 4 = 0. ï R = 3 ï î Ta có (C ) : ïí Câu 18: Đường tròn (C ) có tâm I (1; – 5) và đi qua O (0;0 ) có phương trình là: 2 2 A. ( x + 1) + ( y – 5) = 26. 2 2 B. ( x + 1) + ( y – 5) = 26. 2 2 C. ( x -1) + ( y + 5) = 26. 2 2 D. ( x -1) + ( y + 5) = 26. Lời giải Chọn C ìï I (1; -5) Ta có (C ) : ïí ïï R = OI = 26 î 2 2  (C ) : ( x -1) + ( y + 5) = 26. Câu 19: Đường tròn (C ) có tâm I (- 2;3) và đi qua M (2; -3) có phương trình là: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 819 2 2 A. ( x + 2 ) + ( y – 3) = 52. 2 2 B. ( x – 2 ) + ( y + 3) = 52. C. x 2 + y 2 + 4 x – 6 y – 57 = 0. D. x 2 + y 2 + 4 x – 6 y – 39 = 0. Lời giải Chọn D ì ï ï I (-2;3) 2 2  (C ) : ( x + 2) + ( y – 3) = 52. 2 2 ï R = IM = (2 + 2) + (-3 – 3) = 52 ï ï î Ta có (C ) : ïí (C ) : x 2 + y 2 + 4 x – 6 y – 39 = 0. Câu 20: Đường tròn đường kính AB với A (3; -1), B (1; -5) có phương trình là: 2 2 A. ( x + 2 ) + ( y – 3) = 5. 2 2 B. ( x + 1) + ( y + 2 ) = 17. 2 2 C. ( x – 2 ) + ( y + 3) = 5. 2 2 D. ( x – 2 ) + ( y + 3) = 5. Lời giải Chọn D ì ï ï I (2; -3) 2 2  (C ) : ( x – 2) + ( y + 3) = 5. 1 1 2 2 ï R = AB = (1- 3) + (-5 + 1) = 5 ï ï 2 2 ï î Ta có (C ) : ïí Câu 21: Đường tròn đường kính AB với A (1;1), B (7;5) có phương trình là: A. x 2 + y 2 – 8 x – 6 y + 12 = 0 . B. x 2 + y 2 + 8 x – 6 y – 12 = 0 . C. x 2 + y 2 + 8 x + 6 y + 12 = 0 . D. x 2 + y 2 – 8 x – 6 y – 12 = 0 . Lời giải Chọn A ìï I (4;3) ï 2 2  (C ) : ( x – 4) + ( y – 3) = 13 ïï R = IA = (4 -1)2 + (3 -1)2 = 13 ïî Ta có (C ) : ïí  x 2 + y 2 – 8 x – 6 y + 12 = 0. Câu 22: Đường tròn (C ) có tâm I (2;3) và tiếp xúc với trục Ox có phương trình là: 2 2 A. ( x – 2 ) + ( y – 3) = 9. 2 2 B. ( x – 2 ) + ( y – 3) = 4. 2 2 C. ( x – 2 ) + ( y – 3) = 3. 2 2 D. ( x + 2 ) + ( y + 3) = 9. Lời giải Chọn A ìï I (2;3) Ta có (C ) : ïí ïï R = d [ I ; Ox ] = 3 î 2 2  (C ) : ( x – 2) + ( y – 3) = 9. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 820 Câu 23: Đường tròn (C ) có tâm I (2; -3) và tiếp xúc với trục Oy có phương trình là: 2 2 A. ( x + 2 ) + ( y – 3) = 4. 2 2 B. ( x + 2 ) + ( y – 3) = 9. 2 2 C. ( x – 2 ) + ( y + 3) = 4. 2 2 D. ( x – 2 ) + ( y + 3) = 9. Lời giải Chọn C ì ï I (2; -3) Ta có (C ) : ïí 2 ï ï î R = d [ I ; Oy ] = 2 2  (C ) : ( x – 2) + ( y + 3) = 4. Câu 24: Đường tròn (C ) có tâm I (-2;1) và tiếp xúc với đường thẳng D : 3x – 4 y + 5 = 0 có phương trình là: 1 . 25 2 2 A. ( x + 2 ) + ( y – 1) = 1. 2 2 B. ( x + 2 ) + ( y – 1) = 2 2 C. ( x – 2 ) + ( y + 1) = 1. 2 2 D. ( x + 2 ) + ( y – 1) = 4. Lời giải Chọn A Ta có ìï I (-2;1) ïï 2 2  (C ) : ( x + 2) + ( y -1) = 1. (C ) : ïí -6 – 4 + 5 ïï R = d [ I ; D] = =1 ïîï 9 + 16 Câu 25: Đường tròn (C ) có tâm I (- 1;2 ) và tiếp xúc với đường thẳng D : x – 2 y + 7 = 0 có phương trình là: 2 2 A. ( x + 1) + ( y – 2 ) = 2 2 C. ( x + 1) + ( y – 2) = 4 . 25 2 5 4 5 2 2 B. ( x + 1) + ( y – 2 ) = . 2 2 D. ( x + 1) + ( y – 2 ) = 5. . Lời giải Chọn B Ta có ìï I (-1; 2) ïï 4 2 2 (C ) : ïí -1 – 4 + 7 2  (C ) : ( x + 1) + ( y – 2) = . ïï R = d [ I ; D] = 5 = ïïî 1+ 4 5 Câu 26: Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đi qua ba điểm A (0; 4 ) , B (2; 4 ) , C (4;0) . A. I (0;0) . B. I (1;0) . C. I (3;2) . D. I (1;1) . Lời giải Chọn D Ta có . A, B, C Î (C ) : x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 821 ì16 + 8b + c = 0 ìa = -1 ï ï ï ï ï ï ï  í20 + 4a + 8b + c = 0  ï íb = -1  I (1;1). ï ï ï ï ï + a + c = ï 16 8 0 ï ïc = -8 î î Câu 27: Tìm bán kính R của đường tròn đi qua ba điểm A (0; 4 ) , B (3;4) , C (3;0) . A. R = 5 . B. R = 3 . C. R = 10 . 5 2 D. R = . Lời giải Chọn D Ta có  2 2 ì ï BA = (-3; 0) (3 – 0) + (0 – 4) 5 AC ï ï  BA ^ BC  R = = = . í  ï 2 2 2 ï ï BC = (0; -4) î Câu 28: Đường tròn (C ) đi qua ba điểm A (-3; -1) , B (-1;3) và C (- 2;2 ) có phương trình là: A. x 2 + y 2 – 4 x + 2 y – 20 = 0. B. x 2 + y 2 + 2 x – y – 20 = 0. 2 2 C. ( x + 2 ) + ( y -1) = 25. 2 2 D. ( x – 2 ) + ( y + 1) = 20. Lời giải Chọn A ïìï10 – 6a – 2b + c = 0 ïìïa = -2 ï ï Ta có A, B, C Î (C ) : x + y + 2ax + 2by + c = 0  ïí10 – 2a + 6b + c = 0  ïíb = 1 . ïï ïï ïîï8 – 4a + 4b + c = 0 ïîïc = -20 2 2 Vậy (C ) : x 2 + y 2 – 4 x + 2 y – 20 = 0. Câu 29: Cho tam giác ABC có A (-2; 4 ), B (5;5), C (6; -2 ) . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là: A. x 2 + y 2 – 2 x – y + 20 = 0. 2 2 B. ( x – 2 ) + ( y -1) = 20. C. x 2 + y 2 – 4 x – 2 y + 20 = 0. D. x 2 + y 2 – 4 x – 2 y – 20 = 0. Lời giải Chọn D ì20 – 4a + 8b + c = 0 ï ï ìa = – 2 ï ï ï ï ï ï40 + 12a – 4b + c = 0 î ï ï ï ïc = -20 î Ta có A, B, C Î (C ) : x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0  ïïí50 +10a +10b + c = 0  ïïíb = -1 . Vậy (C ) : x 2 + y 2 – 4 x – 2 y – 20 = 0. Câu 30: Cho tam giác ABC có A (1; -2 ), B (-3;0 ), C (2; -2 ) . Tam giác ABC nội tiếp đường tròn có phương trình là: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 822 A. x 2 + y 2 + 3 x + 8 y + 18 = 0. B. x 2 + y 2 – 3 x – 8 y -18 = 0. C. x 2 + y 2 – 3 x – 8 y + 18 = 0. D. x 2 + y 2 + 3 x + 8 y -18 = 0. Lời giải Chọn B Ta có A, B, C Î (C ) : x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 ì ï5 + 2a – 4b + c = 0 ïì ïa = – 3 ïï ï  í9 – 6a + c = 0 ï . Vậy (C ) : x 2 + y 2 – 3x – 8 y -18 = 0. 2 í ï ï ï ï ï ïb = -4, c = -18 ï î8 + 4a – 4b + c = 0 î Câu 31: Đường tròn (C ) đi qua ba điểm O (0;0 ) , A (8;0 ) và B (0;6 ) có phương trình là: 2 2 A. ( x – 4 ) + ( y – 3) = 25. 2 2 B. ( x + 4 ) + ( y + 3) = 25. 2 2 C. ( x – 4 ) + ( y – 3) = 5. 2 2 D. ( x + 4 ) + ( y + 3) = 5. Lời giải Chọn A ì ï ï I (4;3) 2 2  (C ) : ( x – 4) + ( y – 3) = 25. AB ï 5 = = R ï ï 2 ï î Ta có O (0; 0), A (8; 0) , B (0;6)  OA ^ OB  ïí Câu 32: Đường tròn (C ) đi qua ba điểm O (0;0 ), A (a;0 ), B (0; b) có phương trình là: A. x 2 + y 2 – 2ax – by = 0 . B. x 2 + y 2 – ax – by + xy = 0 . C. x 2 + y 2 – ax – by = 0. D. x 2 – y 2 – ay + by = 0 . Lời giải Chọn C Ta có O (0;0), A(a;0) , B (0; b)  OA ^ OB ïìï æç a b ö÷ ïï I çç ; ÷÷ 2 2 è 2 2ø æ aö æ bö a 2 + b2  ïí  (C ) : çç x – ÷÷÷ + çç y – ÷÷÷ = èç 2 ø èç 2ø 4 AB a 2 + b2 ïïï = ïï R = 2 2 ïî ¾¾ (C ) : x 2 + y 2 – ax – by = 0. Câu 33: Đường tròn (C ) đi qua hai điểm A (1;1) , B (5;3) và có tâm I thuộc trục hoành có phương trình là: 2 A. ( x + 4 ) + y 2 = 10. 2 B. ( x – 4 ) + y 2 = 10. 2 C. ( x – 4 ) + y 2 = 10. 2 D. ( x + 4 ) + y 2 = 10. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 823 Chọn B ì ï a=4 ï ï Ta có I (a;0)  IA = IB = R  R = (a -1) + 1 = (a – 5) + 3  ïí I (4;0) . ï ï 2 ï ï î R = 10 2 2 2 2 2 Vậy đường tròn cần tìm là: ( x – 4)2 + y 2 = 10. Câu 34: Đường tròn (C ) đi qua hai điểm A (1;1) , B (3;5) và có tâm I thuộc trục tung có phương trình là: A. x 2 + y 2 – 8 y + 6 = 0. 2 B. x 2 + ( y – 4 ) = 6. 2 C. x 2 + ( y + 4 ) = 6. D. x 2 + y 2 + 4 y + 6 = 0. Lời giải Chọn B ì ï a=4 ï ï ï Ta có I (0; a)  IA = IB = R  R = 1 + (a -1) = 3 + (a – 5)  í I (0; 4) ï ï 2 ï ï î R = 10 2 2 2 2 2 Vậy đường tròn cần tìm là: x 2 + ( y – 4)2 = 10. Câu 35: Đường tròn (C ) đi qua hai điểm A (-1;2 ), B (-2;3) và có tâm I thuộc đường thẳng D : 3 x – y + 10 = 0. Phương trình của đường tròn (C ) là: 2 2 A. ( x + 3) + ( y – 1) = 5. 2 2 B. ( x – 3) + ( y + 1) = 5. 2 2 C. ( x – 3) + ( y + 1) = 5. 2 2 D. ( x + 3) + ( y -1) = 5. Lời giải Chọn D Ta có : I Î D  I (a;3a +10)  IA = IB = R ì ï a = -3 ï ï  R = (a + 1) + (3a + 8) = (a + 2) + (3a + 7)  ï í I (-3;1). ï ï 2 ï ï îR = 5 2 2 2 2 2 Vậy đường tròn cần tìm là: ( x + 3)2 + ( y -1)2 = 5. Câu 36: Đường tròn (C ) có tâm I thuộc đường thẳng d : x + 3 y + 8 = 0 , đi qua điểm A (-2;1) và tiếp xúc với đường thẳng D :3 x – 4 y + 10 = 0 . Phương trình của đường tròn (C ) là: 2 2 A. ( x – 2 ) + ( y + 2 ) = 25 . 2 2 B. ( x + 5) + ( y + 1) = 16 . 2 2 C. ( x + 2 ) + ( y + 2) = 9 . 2 2 D. ( x -1) + ( y + 3) = 25 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 824 Lời giải Chọn D Dễ thấy A Î D nên tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng qua A vuông góc với D là ìï I (1; -3) ïì4 x + 3 y + 5 = 0 ïïì x = 1 D¢ : 4 x + 3 y + 5 = 0  I = D¢ Ç d : ïí í  ïí . ïïî x + 3 y + 8 = 0 ïïî y = -3 ïïî R = IA = 5 Vậy phương trình đường tròn là: ( x -1)2 + ( y + 3)2 = 25. Câu 37: Đường tròn (C ) có tâm I thuộc đường thẳng d : x + 3 y – 5 = 0 , bán kính R = 2 2 và tiếp xúc với đường thẳng D : x – y -1 = 0 . Phương trình của đường tròn (C ) là: 2 2 2 A. ( x + 1) + ( y – 2 ) = 8 hoặc ( x – 5) + y 2 = 8 . 2 2 2 B. ( x + 1) + ( y – 2 ) = 8 hoặc ( x + 5) + y 2 = 8 . 2 2 2 C. ( x – 1) + ( y + 2 ) = 8 hoặc ( x – 5) + y 2 = 8 . 2 2 2 D. ( x – 1) + ( y + 2 ) = 8 hoặc ( x + 5) + y 2 = 8 . Lời giải Chọn A Ta có I Î d  I (5 – 3a; a)  d [ I ; D] = R = 2 2  4 – 4a 2 é a = 0 é I (5;0) . =2 2 ê  êê ê ë a = 2 êë I (-1; 2) Vậy các phương trình đường tròn là: ( x – 5)2 + y 2 = 8 hoặc ( x + 1)2 + ( y – 2)2 = 8. Câu 38: Đường tròn (C ) có tâm I thuộc đường thẳng d : x + 2 y – 2 = 0 , bán kính R = 5 và tiếp xúc với đường thẳng D :3 x – 4 y -11 = 0 . Biết tâm I có hoành độ dương. Phương trình của đường tròn (C ) là: 2 2 A. ( x + 8) + ( y – 3) = 25 . 2 2 2 2 B. ( x – 2 ) + ( y + 2 ) = 25 hoặc ( x + 8) + ( y – 3) = 25 . 2 2 2 2 C. ( x + 2 ) + ( y – 2 ) = 25 hoặc ( x – 8) + ( y + 3) = 25 . 2 2 D. ( x – 8) + ( y + 3) = 25 . Lời giải Chọn D Ta có I Î d  I (2 – 2a; a) , a < 1  d [ I ; D] = R = 5 .  10a + 5 5 é a = 2 (l ) = 5  êê  I (8; -3) ë a = -3 Vậy phương trình đường tròn là: ( x - 8)2 + ( y + 3)2 = 25. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 825 Câu 39: Đường tròn (C ) có tâm I thuộc đường thẳng d : x + 5 y -12 = 0 và tiếp xúc với hai trục tọa độ có phương trình là: 2 2 A. ( x - 2 ) + ( y - 2 ) = 4 . 2 2 B. ( x - 3) + ( y + 3) = 9 . 2 2 2 2 C. ( x - 2 ) + ( y - 2 ) = 4 hoặc ( x - 3) + ( y + 3) = 9 . 2 2 2 2 D. ( x - 2 ) + ( y - 2 ) = 4 hoặc ( x + 3) + ( y - 3) = 9 . Lời giải Chọn D Ta có I Î d  I (12 - 5a; a )  R = d [ I ; Ox ] = d [ I ; Oy ] = 12 - 5a = a é a = 3  I (-3;3) , R = 3  êê . êë a = 2  I (2; 2) , R = 2 Vậy phương trình các đường tròn là : ( x - 2)2 + ( y - 2)2 = 4 hoặc ( x + 3)2 + ( y - 3)2 = 9. Câu 40: Đường tròn (C ) có tâm I thuộc đường thẳng D : x = 5 và tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : 3 x – y + 3 = 0, d2 : x – 3 y + 9 = 0 có phương trình là: 2 2 2 2 A. ( x - 5) + ( y + 2 ) = 40 hoặc ( x - 5) + ( y - 8) = 10. 2 2 B. ( x - 5) + ( y + 2 ) = 40. 2 2 C. ( x - 5) + ( y - 8) = 10. 2 2 2 2 D. ( x - 5) + ( y - 2 ) = 40 hoặc ( x - 5) + ( y + 8) = 10. Lời giải Chọn A Ta có I Î D  I (5; a)  R = d [ I ; d1 ] = d [ I ; d 2 ] = 18 - a 10 = 14 - 3a 10 é a = 8  I (5;8) , R = 10  êê . êë a = -2  I (5; -2) , R = 2 10 Vậy phương trình các đường tròn: ( x - 5)2 + ( y - 8)2 = 10 hoặc ( x - 5)2 + ( y + 2)2 = 40. Câu 41: Đường tròn (C ) đi qua điểm A (1; -2 ) và tiếp xúc với đường thẳng D : x - y + 1 = 0 tại M (1;2 ) . Phương trình của đường tròn (C ) là: 2 A. ( x - 6) + y 2 = 29. 2 B. ( x - 5) + y 2 = 20. 2 C. ( x - 4 ) + y 2 = 13. 2 D. ( x - 3) + y 2 = 8. Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 826 Ta có Tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng qua M vuông góc với D là D¢ : x + y - 3 = 0  I (a;3 - a). Ta có: R 2 = IA2 = IM 2 = (a -1)2 + (a - 5)2 = (a -1)2 + (a -1)2 ìï I (3;0) 2  a = 3  ïí 2  (C ) : ( x - 3) + y 2 = 8. ïï R = 8 î Câu 42: Đường tròn (C ) đi qua điểm M (2;1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy có phương trình là: 2 2 2 2 A. ( x -1) + ( y -1) = 1 hoặc ( x - 5) + ( y - 5) = 25. 2 2 2 2 B. ( x + 1) + ( y + 1) = 1 hoặc ( x + 5) + ( y + 5) = 25. 2 2 C. ( x - 5) + ( y - 5) = 25. 2 2 D. ( x -1) + ( y -1) = 1. Lời giải Chọn A Vì M (2;1) thuộc góc phần tư (I) nên A(a; a), a > 0. Khi đó: R = a 2 = IM 2 = (a – 2)2 + (a -1)2 é a = 1  I (1;1) , R = 1  (C ) : ( x -1)2 + ( y -1)2 = 1 ê ê . ê a = 5  I (5;5) , R = 5  (C ) : ( x – 5)2 + ( y – 5)2 = 25 ë Câu 43: Đường tròn (C ) đi qua điểm M (2; -1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox , Oy có phương trình là: 2 2 2 2 A. ( x + 1) + ( y -1) = 1 hoặc ( x + 5) + ( y – 5) = 25. 2 2 B. ( x – 1) + ( y + 1) = 1 . 2 2 C. ( x – 5) + ( y + 5) = 25. 2 2 2 2 D. ( x – 1) + ( y + 1) = 1 hoặc ( x – 5) + ( y + 5) = 25. Lời giải Chọn D Vì M (2; -1) thuộc góc phần tư (IV) nên A(a; -a) , a > 0. Khi đó: R = a 2 = IM 2 = (a – 2)2 + (a -1)2 é a = 1  I (1; -1) , R = 1  (C ) : ( x -1)2 + ( y + 1)2 = 1 ê ê . ê a = 5  I (5; -5) , R = 5  (C ) : ( x – 5)2 + ( y + 5)2 = 25 ë Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 827 Câu 44: Đường tròn (C ) đi qua hai điểm A (1;2 ), B (3; 4 ) và tiếp xúc với đường thẳng D : 3 x + y – 3 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C ) , biết tâm của (C ) có tọa độ là những số nguyên. A. x 2 + y 2 – 3 x – 7 y + 12 = 0. B. x 2 + y 2 – 6 x – 4 y + 5 = 0. C. x 2 + y 2 – 8 x – 2 y – 10 = 0. D. x 2 + y 2 – 8 x – 2 y + 7 = 0. Lời giải Chọn D Ta có AB : x – y +1 = 0, đoạn AB có trung điểm M (2;3)  trung trực của đoạn AB là d : x + y – 5 = 0  I (a;5 – a) , a Î . Ta có: R = IA = d [ I ; D] = (a -1)2 + (a – 3)2 = 2a + 2 10  a = 4  I (4;1) , R = 10. Vậy phương trình đường tròn là: ( x – 4)2 + ( y -1)2 = 10  x 2 + y 2 – 8 x – 2 y + 7 = 0. Câu 45: Đường tròn (C ) đi qua hai điểm A ( –1;1) , B (3;3) và tiếp xúc với đường thẳng d : 3 x – 4 y + 8 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C ) , biết tâm của (C ) có hoành độ nhỏ hơn 5. 2 2 A. ( x – 3) + ( y + 2 ) = 25. 2 2 B. ( x + 3) + ( y – 2 ) = 5. 2 2 C. ( x + 5) + ( y + 2 ) = 5. 2 2 D. ( x – 5) + ( y – 2 ) = 25 . Lời giải Chọn A Ta có AB : x – 2 y + 5 = 0, đoạn AB có trung điểm M (1; 2)  trung trực của đoạn AB là d : 2 x + y – 4 = 0  I (a; 4 – 2a) , a < 5. Ta có 2 2 R = IA = d [ I ; D] = (a + 1) + (2a - 3) = 11a - 8 5  a = 3  I (3; -2) , R = 5. Vậy phương trình đường tròn là: ( x - 3)2 + ( y + 2)2 = 25. Câu 46: Cho phương trình x 2 + y 2 - 2 ax - 2by + c = 0 (1) . Điều kiện để (1) là phương trình đường tròn là: A. a 2 - b2 > c . B. a2 + b2 > c . C. a2 + b2 < c . D. a 2 - b2 < c . Lời giải Chọn B Câu 47: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 828 A. 4 x 2 + y 2 -10 x - 6 y - 2 = 0. B. x 2 + y 2 - 2 x - 8 y + 20 = 0. C. x 2 + 2 y 2 - 4 x - 8 y + 1 = 0. D. x 2 + y 2 - 4 x + 6 y -12 = 0. Lời giải Chọn D Xét phương trình dạng : x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0, lần lượt tính các hệ số a, b, c và kiểm tra điều kiện a 2 + b2 - c > 0. x 2 + y 2 – 4 x + 6 y – 12 = 0  a = 2, b = -3, c = -12  a 2 + b 2 – c > 0. Các phương trình 4 x 2 + y 2 -10 x – 6 y – 2 = 0, x 2 + 2 y 2 – 4 x – 8 y + 1 = 0 không có dạng đã nêu loại các đáp án A và C. Đáp án x 2 + y 2 – 2 x – 8 y + 20 = 0 không thỏa mãn điều kiện a 2 + b2 – c > 0. Câu 48: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn? A. x 2 + y 2 + 2 x – 4 y + 9 = 0. B. x 2 + y 2 – 6 x + 4 y + 13 = 0. C. 2 x 2 + 2 y 2 – 8 x – 4 y – 6 = 0. D. 5 x 2 + 4 y 2 + x – 4 y + 1 = 0. Lời giải Chọn D Ta có Loại các đáp án D vì không có dạng x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0. Xét đáp án A : x 2 + y 2 + 2 x – 4 y + 9 = 0  a = -1, b = 2, c = -9  a 2 + b 2 – c < 0  loại A. Xét đáp án B : x 2 + y 2 - 6 x + 4 y + 13 = 0  a = 3, b = -2, c = 13  a 2 + b 2 - c < 0  loại B. Xét đáp án D : ïìïa = 2 ï 2 2 2 x + 2 y - 8x - 4 y - 6 = 0  x + y - 4 x - 2 y - 3 = 0  ï íb = 1  a + b - c > 0. ïï ïïîc = -3 2 2 2 2 Câu 49: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn? A. x 2 + y 2 – x – y + 9 = 0 . B. x 2 + y 2 – x = 0 . C. x 2 + y 2 – 2 xy – 1 = 0. D. x 2 – y 2 – 2 x + 3 y -1 = 0. Lời giải Chọn B Loại các đáp án C và D vì không có dạng x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0. 1 2 1 2 Xét đáp án A : x 2 + y 2 – x – y + 9 = 0  a = , b = , c = 9  a 2 + b 2 – c < 0  loại A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 829 1 2 Xét đáp án B : x 2 + y 2 - x = 0  a = , b = c = 0  a 2 + b 2 - c > 0 . Câu 50: Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của đường tròn? A. x 2 + y 2 – x + y + 4 = 0. B. x 2 + y 2 – 100 y + 1 = 0. C. x 2 + y 2 – 2 = 0. D. x 2 + y 2 – y = 0. Lời giải Chọn A 1 2 1 2 Xét A : x 2 + y 2 – x + y + 4 = 0  a = , b = – , c = 4  a 2 + b2 – c < 0 . Các đáp án còn lại các hệ số a, b, c thỏa mãn a 2 + b2 - c > 0. Câu 51: Cho phương trình x 2 + y 2 + 2 mx + 2 (m – 1) y + 2 m 2 = 0 (1) . Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn. 1 2 1 2 A. m < . B. m £ . C. m > 1 . D. m = 1 . Lời giải Chọn A Ta có: x 2 + y 2 + 2mx + 2 (m –1) y + 2m2 = 0 ìïa = -m ïï 1  ïíb = 1- m  a 2 + b 2 – c > 0  -2m + 1 > 0  m < . ïï 2 ïïîc = 2m 2 Câu 52: Cho phương trình x 2 + y 2 - 2 mx - 4 (m - 2 ) y + 6 - m = 0 (1) . Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn. A. m Î . B. m Î (-¥;1) È (2; +¥ ). C. m Î (-¥;1] È [2; +¥ ). D. m Î ççç-¥; ÷÷÷ È (2; +¥). è 3ø æ 1ö Lời giải Chọn B ìa = m ï ï ï Ta có: x + y - 2mx - 4 (m - 2) y + 6 - m = 0  ïíb = 2 (m - 2)  a 2 + b 2 - c > 0 ï ï ï ï îc = 6 – m 2 2 ém < 1  5m 2 -15m + 10 > 0  ê . êm > 2 ë Câu 53: Cho phương trình x 2 + y 2 – 2 x + 2 my + 10 = 0 (1) . Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 830 A. Không có. B. 6 . C. 7 . D. 8 . Lời giải Chọn C ïìïa = 1 ï Ta có: x + y – 2 x + 2my + 10 = 0  ïíb = -m  a 2 + b 2 – c > 0  m2 – 9 > 0 ïï ïïîc = 10 2 2 é m < -3 ê  m = 4;5¼;10. êm > 3 ë Câu 54: Cho phương trình x 2 + y 2 – 8 x + 10 y + m = 0 (1) . Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn có bán kính bằng 7 . A. m = 4 . B. m = 8 . C. m = –8 . D. m = – 4 . Lời giải Chọn C ìïa = 4 ï Ta có x + y – 8 x + 10 y + m = 0  ïïíb = -5  a 2 + b2 – c = R 2 = 49  m = -8. ïï ïïîc = m 2 2 Câu 55: Cho phương trình x 2 + y 2 – 2 (m + 1) x + 4 y – 1 = 0 (1) . Với giá trị nào của m để (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất? A. m = 2. B. m = -1. C. m = 1. D. m = -2. Lời giải Chọn B ìïa = m + 1 ïï Ta có: x + y – 2 (m + 1) x + 4 y -1 = 0  ïíb = -2 ïï ïïîc = -1 2 2 2  R 2 = a 2 + b 2 – c = (m + 1) + 5  Rmin = 5  m = -1. 2 2 Câu 56: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C ) : ( x + 2 ) + ( y + 2 ) = 25 tại điểm M (2;1) là: A. d : – y + 1 = 0. B. d : 4 x + 3 y + 14 = 0. C. d : 3 x – 4 y – 2 = 0. D. d : 4 x + 3 y -11 = 0. Lời giải Chọn D   Đường tròn (C) có tâm I (-2; -2) nên tiếp tuyến tại M có VTPT là n = IM = (4;3) , nên có phương trình là: 4 ( x – 2) + 3( y -1) = 0  4 x + 3 y -11 = 0. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 831 2 2 Câu 57: Cho đường tròn (C ) : ( x -1) + ( y + 2 ) = 8 . Viết phương trình tiếp tuyến d của (C ) tại điểm A (3; – 4 ) . A. d : x + y + 1 = 0. B. d : x – 2 y -11 = 0. C. d : x – y – 7 = 0. D. d : x – y + 7 = 0. Lời giải Chọn C   Đường tròn (C) có tâm I (1; -2) nên tiếp tuyến tại A có VTPT là n = IA = (2; -2) = 2 (1; -1), Nên có phương trình là: 1.( x – 3) -1.( y + 4) = 0  x – y – 7 = 0. Câu 58: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 3 x – y = 0 tại điểm N (1; – 1) là: A. d : x + 3 y – 2 = 0. B. d : x – 3 y + 4 = 0. C. d : x – 3 y – 4 = 0. D. d : x + 3 y + 2 = 0. Lời giải Chọn D Đường tròn (C) có tâm æ 3 1ö I çç ; ÷÷÷ çè 2 2 ø nên tiếp tuyến tại N có VTPT là   æ 1 3 ö 1 n = IN = çç- ; – ÷÷÷ = – (1;3) , çè 2 2 ø 2 Nên có phương trình là: 1( x -1) + 3( y +1) = 0  x + 3 y + 2 = 0. 2 2 Câu 59: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) : ( x – 3) + ( y + 1) = 5 , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 2 x + y + 7 = 0 . A. 2 x + y + 1 = 0 hoặc 2 x + y -1 = 0. B. 2 x + y = 0 hoặc 2 x + y -10 = 0. C. 2 x + y + 10 = 0 hoặc 2 x + y -10 = 0. D. 2 x + y = 0 hoặc 2 x + y + 10 = 0. Lời giải Chọn B / 7 ). Đường tròn (C) có tâm I (3; -1), R = 5 và tiếp tuyến có dạng D : 2 x + y + c = 0 (c = Ta có R = d [ I ; D]  éc = 0 = 5ê . ê 5 ëc = -10 c+5 Câu 60: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 4 x + 4 y – 17 = 0 , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 3 x – 4 y – 2018 = 0 . A. 3 x – 4 y + 23 = 0 hoặc 3 x – 4 y – 27 = 0. B. 3 x – 4 y + 23 = 0 hoặc 3 x – 4 y + 27 = 0. C. 3 x – 4 y – 23 = 0 hoặc 3 x – 4 y + 27 = 0. D. 3 x – 4 y – 23 = 0 hoặc 3 x – 4 y – 27 = 0. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 832 Chọn A / -2018). Đường tròn (C) có tâm I (-2; -2) , R = 5 và tiếp tuyến có dạng D : 3x – 4 y + c = 0 (c = Ta có R = d [ I ; D]  é c = 23 =5 ê . ê ë c = -27 c+2 5 2 2 Câu 61: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) : ( x – 2 ) + ( y -1) = 25 , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4 x + 3 y + 14 = 0 . A. 4 x + 3 y + 14 = 0 hoặc 4 x + 3 y – 36 = 0. B. 4 x + 3 y + 14 = 0. C. 4 x + 3 y – 36 = 0. D. 4 x + 3 y -14 = 0 hoặc 4 x + 3 y – 36 = 0. Lời giải Chọn C / 14). Đường tròn (C) có tâm I (2;1), R = 5 và tiếp tuyến có dạng D : 4 x + 3 y + c = 0 (c = Ta có R = d [ I ; D]  c + 11 5 é c = 14 (l ) = 5  êê . ë c = -36 2 2 Câu 62: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) : ( x – 2 ) + ( y + 4 ) = 25 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3 x – 4 y + 5 = 0 . A. 4 x – 3 y + 5 = 0 hoặc 4 x – 3 y – 45 = 0. B. 4 x + 3 y + 5 = 0 hoặc 4 x + 3 y + 3 = 0. C. 4 x + 3 y + 29 = 0. D. 4 x + 3 y + 29 = 0 hoặc 4 x + 3 y – 21 = 0. Lời giải Chọn D Đường tròn (C) có tâm I (2; -4), R = 5 và tiếp tuyến có dạng D : 4 x + 3 y + c = 0. Ta có R = d [ I ; D]  c-4 5 é c = 29 . =5 ê ê ë c = -21 Câu 63: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 4 x – 2 y – 8 = 0 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 2 x – 3 y + 2018 = 0 . A. 3 x + 2 y -17 = 0 hoặc 3 x + 2 y – 9 = 0. B. 3 x + 2 y + 17 = 0 hoặc 3 x + 2 y + 9 = 0. C. 3 x + 2 y + 17 = 0 hoặc 3 x + 2 y – 9 = 0. D. 3 x + 2 y -17 = 0 hoặc 3 x + 2 y + 9 = 0. Lời giải Chọn C Đường tròn (C) có tâm I (-2;1), R = 13 và tiếp tuyến có dạng D : 3x + 2 y + c = 0. Ta có R = d [ I ; D]  é c = 17 = 13  ê . ê 13 ë c = -9 c-4 Câu 64: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 4 x – 4 y + 4 = 0 , biết tiếp tuyến Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 833 vuông góc với trục hoành. A. x = 0 . B. y = 0 hoặc y – 4 = 0 . C. x = 0 hoặc x – 4 = 0 D. y = 0 . Lời giải Chọn C Đường tròn (C) có tâm I (2; 2) , R = 2 và tiếp tuyến có dạng D : x + c = 0. éc = 0 Ta có R = d [ I ; D]  c + 2 = 2  êê ë c = -4 . 2 2 Câu 65: Viết phương trình tiếp tuyến D của đường tròn (C ) : ( x – 1) + ( y + 2 ) = 8 , biết tiếp tuyến đi qua điểm A (5; -2 ) . A. D : x – 5 = 0 . B. D : x + y – 3 = 0 hoặc D : x – y – 7 = 0 . C. D : x – 5 = 0 hoặc D : x + y – 3 = 0 . D. D : y + 2 = 0 hoặc D : x – y – 7 = 0 . Lời giải Chọn B Đường tròn (C) có tâm I (1; -2) , R = 2 2 và tiếp tuyến có dạng D : ax + by – 5a + 2b = 0 (a 2 + b 2 = / 0). Ta có: d [ I ; D] = R  éa = b  a = b = 1 . = 2 2  a 2 – b2 = 0  ê ê a +b ë a = -b  a = 1, b = -1 4a 2 2 Câu 66: Viết phương trình tiếp tuyến D của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 4 x – 4 y + 4 = 0 , biết tiếp tuyến đi qua điểm B (4;6 ) . A. D : x – 4 = 0 hoặc D : 3 x + 4 y – 36 = 0 . B. D : x – 4 = 0 hoặc D : y – 6 = 0 . C. D : y – 6 = 0 hoặc D : 3 x + 4 y – 36 = 0 . D. D : x – 4 = 0 hoặc D : 3 x – 4 y + 12 = 0 . Lời giải Chọn D Đường tròn (C) có tâm I (2; 2) , R = 2 và tiếp tuyến có dạng D : ax + by – 4a – 6b = 0 (a 2 + b 2 = / 0). Ta có: d [ I ; D] = R  éb = 0  a = 1, b = 0 = 2  b (3b + 4a ) = 0  ê . ê a +b ë3b = -4a  a = 3, b = -4 2a + 4b 2 2 2 2 Câu 67: Cho đường tròn (C ) : ( x + 1) + ( y – 1) = 25 và điểm M (9; -4 ) . Gọi D là tiếp tuyến của (C ) , biết D đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P (6;5) đến D bằng: A. 3 . B. 3 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 4 . D. 5 . Trang 834 Lời giải Chọn B / 0). Đường tròn (C) có tâm I (-1;1), R = 5 và tiếp tuyến có dạng D : ax + by – 9a + 4b = 0 (ab = Ta có: d [ I ; D] = R  10a – 5b a 2 + b2 = 5  a (3a – 4b) = 0  3a = 4b  a = 4, b = 3  D : 4 x + 3 y – 24 = 0. Suy ra d [ P; D] = 24 + 15 – 24 5 = 3. Câu 68: Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 2 x + 4 y – 11 = 0 ? A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn A Đường tròn (C) có tâm I (1; -2) , R = 4  OI = 5 < R  không có tiếp tuyến nào của đường tròn kẻ từ O. 2 2 Câu 69: Cho đường tròn (C ) 🙁 x - 3) + ( y + 3) = 1 . Qua điểm M (4 ; - 3) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C ) ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Chọn C Ta có Vì M Î (C ) nên có đúng 1 tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ M . Câu 70: Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm N (-2 ;0 ) tiếp xúc với đường tròn 2 2 (C ) 🙁 x - 2 ) + ( y + 3) = 4 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Chọn C Đường tròn (C) có tâm I (2; -3), R = 2  IN = 16 + 9 = 5 > R  có đúng hai tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ N . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 835 BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1 F2 = 2c (c > 0 ) . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a ( a không đổi và a > c > 0 ) là một y B2 đường Elip. ● F1 , F2 là hai tiêu điểm. M A1 ● F1 F2 = 2c là tiêu cự của Elip. F1 x 2 y2 + = 1 với a2 = b2 + c2 . a 2 b2 Do đó điểm M ( x 0 ; y0 ) Î ( E )  F2 B1 2. Phương trình chính tắc của Elip (E ) : O A2 x Hình 3.3 x 02 y02 + = 1 và x 0 £ a , y0 £ b . a 2 b2 3. Tính chất và hình dạng của Elip ● Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn), Oy (chứa trục bé). ● Tâm đối xứng O . ● Tọa độ các đỉnh A1 (-a;0 ), A2 (a;0 ), B1 (0; -b), B2 (0; b) . ● Độ dài trục lớn 2a . Độ dài trục bé 2b . ● Tiêu điểm F1 (-c;0 ), F2 (c;0 ) . ● Tiêu cự 2c . B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Dạng 1. Xác định các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc của elip. 1.Phương pháp giải. Từ phương trình chính tắc ta xác định các đại lượng a, b và b 2 = a 2 – c 2 ta tìm được c elip từ đó ta suy ra được các yếu tố cần tìm. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1. Xác định các đỉnh, độ dài trục, tiêu cự, tiêu điểm , tâm sai của elip có phương trình sau: a) x 2 y2 + =1 4 1 b) 4x 2 + 25y 2 = 100 Lời giải: a) Từ phương trình của (E) ta có a = 2, b = 1  c = a 2 – b2 = 3. Suy ra tọa độ các đỉnh là A1 ( -2; 0 ) ; A2 ( 2; 0 ) ; B1 ( 0; -1 ) ; B2 ( 0;1 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 836 Độ dài trục lớn A1A2 = 4 , độ dài trục bé B1B2 = 2 ( ) Tiêu cự F1F2 = 2c = 2 3 , tiêu điểm là F1 – 3; 0 ; F2 Tâm sai của (E) là e = ( ) 3; 0 , c 3 = a 2 b) Ta có 4x 2 + 25y 2 = 100  x 2 y2 + = 1 suy ra a = 5; b = 2  c = 25 4 a 2 – b2 = 21 Do đó tọa độ các đỉnh là A1 ( -5; 0 ) ; A2 ( 5; 0 ) ; B1 ( 0; -2 ) ; B2 ( 0; -2 ) Độ dài trục lớn A1A2 = 10 , độ dài trục bé B1B2 = 4 ( ) Tiêu cự F1F2 = 2c = 2 21 , tiêu điểm là F1 – 21; 0 ; F2 Tâm sai của (E) là e = ( ) 21; 0 , c 21 = a 5 Dạng 2. Viết phương trình chính tắc của đường elip. 1. Phương pháp giải. Để viết phương trình chính tắc của elip ta làm như sau: + Gọi phương trình chính tắc elip là x 2 y2 + = 1(a > b > 0 ) a 2 b2 + Từ giả thiết của bài toán ta thiết lập các phương trình, hệ phương trình từ giải thiết của bài toán để tìm các đại lượng a, b của elip từ đó viết được phương trình chính tắc của nó. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: a) (E) có độ dài trục lớn là 6 và tâm sai e = 2 3 æ 4 10 ö ; -1 ÷÷÷ b) (E)có tọa độ một đỉnh là 0; 5 và đi qua điểm M ççç ÷ø çè 5 ( ( ) ) c) (E) có tiêu điểm thứ nhất – 3; 0 và đi qua điểm M (1; 4 33 ). 5 d) Hình chữ nhật cơ sở của (E) có một cạnh nằm trên đường thẳng y + 2 = 0 và có diện tích bằng 48. e) (E) có tâm sai bằng 5 và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20. 3 Lời giải: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 837 Phương trình chính tắc của (E) có dạng: x 2 y2 + = 1(a > b > 0 ) a 2 b2 a) (E) có độ dài trục lớn là 6 suy ra 2a = 6  a = 3 , Tâm sai e = 2 nên 3 2 c =  c = 2, b 2 = a 2 – c 2 = 5 3 a Vậy phương trình chính tắc (E) là x 2 y2 + =1 9 5 ( ) b) (E) có một đỉnh có tọa độ là 0; 5 nằm trên trục tung nên b = tắc của (E) có dạng: x 2 y2 + =1 a> 5 a2 ( 5 do đó phương trình chính ) 5 . æ 4 10 ö 160 1 ; -1 ÷÷÷ nên Mặt khác (E) đi qua điểm M ççç + = 1  a2 = 8 2 ÷ çè 5 5 25a ø Vậy phương trình chính tắc (E) là x 2 y2 + =1 8 5 c) (E) có tiêu điểm F1(- 3; 0) nên c = Mặt khác M (1; 3 suy ra a 2 = b 2 + c 2 = b 2 + 3 (1) 4 33 1 528 ) Î (E )  2 + = 1 (2) 5 a 25b 2 Thế (1) vào (2) ta được 1 528 + = 1  25b 4 – 478b 2 – 1584 = 0  b 2 = 22  a 2 = 25 b + 3 25b 2 2 Vậy phương trình chính tắc (E) là x2 y2 + =1 25 22 d) (E) có hình chữ nhật cơ sở có một cạnh nằm trên đường thẳng y + 2 = 0 suy ra b = 2 Mặt khác hình chữ nhật cơ sở diện tích bằng 48 nên 2a.2b = 48  b = 6 Vậy phương trình chính tắc (E) là e) (E) có tâm sai bằng 5 suy ra 3 x 2 y2 + =1 36 4 a 2 – b2 5 = hay 4a 2 = 9b 2 (3) a 3 Hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20 suy ra 4 ( a + b ) = 20 (4). Từ (3) và (4) suy ra a = 3, b = 2 Vậy phương trình chính tắc (E) là x 2 y2 + =1 9 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 838 Dạng 3. Xác định điểm nằm trên đường elip thỏa mãn điều kiện cho trước. 1. Phương pháp giải. Để xác định tọa độ điểm M thuộc elip có phương trình chính tắc là (E ) : x 2 y2 + = 1 (a > b > 0 ) ta làm như sau a 2 b2 x M2 yM2 + = 1 ta thu được phương trình thứ nhất. a2 b2  Giả sử M ( x M ; yM ) , điểm M Î ( E )   Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn x M , yM ta tìm được tọa độ của điểm M 2. Các ví dụ: Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho elip (E): x 2 y2 + = 1 có tiêu điểm F1 và F2 . 25 9 Tìm điểm M trên (E) sao cho a) Điểm M có tung gấp ba lần hoành độ b) MF1 = 2MF2  c) F1MF2 = 600 d) Diện tích tam giác DOAM lớn nhất với A ( 1;1 ) Lời giải Giả sử M ( x M ; yM ) Î ( E ) suy ra x M 2 yM 2 + = 1 (*) 25 9 a) Điểm M có tung gấp ba lần hoành độ do đó yM = 3x M thay vào (*) ta được 2 ( 3x M ) x M2 5 + = 1  26x M2 = 25  x M =  25 9 26 æ 5 æ 15 ö÷ 5 15 ö÷ Vậy có hai điểm thỏa mãn là M 1 çç ; ;÷÷ và M 2 çç ÷÷ çè 26 26 ø çè 26 26 ø b) Từ phương trình (E) có a 2 = 25, b 2 = 9 nên a = 5, b = 3, c = a 2 – b2 = 4 Theo công thức tính bán kính qua tiêu điểm ta có : MF1 = a + c 4 c 4 x M = 5 + x M và MF2 = a – x M = 5 – x M a 5 a 5 æ ö 4 4 25 Theo giải thiết MF1 = 2MF2 suy ra 5 + x M = 2 çç 5 – x M ÷÷÷  x M = ç 12 5 5 è ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 839 Thay vào (*) ta có : y2 25 119 + M = 1  yM =  144 9 4 æ 25 119 ÷ö æ 25 119 ö÷ ÷÷ và M 2 çç ; ÷÷ Vậy có hai điểm M thỏa mãn là: M 1 ççç ; ç çè 12 çè 12 4 ÷ø 4 ÷ø   c) Ta có F1 ( -4; 0 ), F2 ( 4; 0 )  MF1 ( x M + 4; yM ), MF2 ( x M – 4; yM )    MF .MF2 x M2 + yM2 – 16  = Vì F1MF2 = 600 nên cos 600 =  1  æ öæ ö MF1 . MF2 çç 5 + 4 x ÷÷ çç 5 – 4 x ÷÷ M M ÷øèç ÷ø çè 5 5 1æ 16 ö  x M2 + yM2 – 16 = çç 25 – x M2 ÷÷÷ ç 2è 25 ø Suy ra x M2 y 2 57 yM2 57 yM2 3 3 = + M = 1  yM =  thế vào (*) ta được và 25 66 33 66 33 9 4 xM =  5 13 4 æ 5 13 3 3 ö÷ ÷÷ , ; Vậy có bốn điểm thỏa mãn là M 1 ççç çè 4 4 ÷ø æ 5 13 3 3 ö÷ æ 5 13 æ 5 13 3 3 ö÷ 3 3 ö÷ ÷÷, M 3 çç ÷÷ và M 4 çç ÷÷ M 2 ççç ; ; ; çç 4 çç 4 4 ÷ø 4 ÷ø 4 4 ÷ø èç è è   d) Ta có OA ( 1;1 ) nên đường thẳng đi qua hai điểm O, A nhận n ( -1;1 ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là -x + y = 0 -x M + yM 1 1 1 SOAM = OAd = -x M + yM . ( M ;OA ) = 2 2 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bnhiacốpxki ta có SOAM = æ x 2 y 2 ö 34 x y 1 1 -5. M + 3. M £ .34. çç M + M ÷÷÷ = çè 25 2 5 3 2 9 ÷ø 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi – ì ìï 25 ï ï ïï x M = xM = ï ï ï 34 hoặc í í ï ïï 9 ï yM = ï ïï yM = ï ï ïî î 34 xM y = M kết hợp với (*) ta được 25 9 25 9 34 34 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 840 æ 25 æ 25 9 ö÷ 9 ÷ö Vậy có hai điểm M 1 çç ;; ÷÷ và M 2 çç ÷÷ thỏa mãn yêu cầu bài toán çè 34 çè 34 ø 34 34 ø x 2 y2 + = 1 và C ( 2; 0 ) . Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng nhau qua 4 1 trục hoành và tam giác ABC đều. Ví dụ 2: Cho elip (E) : Lời giải Giả sử A ( x 0 ; y 0 ) . Vì A, B đối xứng nhau qua trục hoành nên B ( x 0 ; -y 0 ) với y 0 > 0 . x 02 y 02 x 02 2 + = 1  y0 = 1 Vì A Î ( E ) nên (1) 4 1 4 2 2 2 Vì tam giác ABC đều nên AB 2 = AC 2  ( -2y0 ) = ( 2 – x 0 ) + ( -y0 )  3y 02 = 4 – 4x 0 + x 02 (2) Thay (1) vào (2) ta có éx = 2 æ ê 0 x 02 ÷ö 2 2 ç 3 ç 1 – ÷÷ = 4 – 4x 0 + x 0  7x 0 – 16x 0 + 4 = 0  ê çè êx0 = 2 4 ÷ø êë 7 + Nếu x 0 = 2 thay vào (1) ta có y0 = 0 . Trường hợp này loại vì A º C + Nếu x 0 = 4 3 2 thay vào (1) ta có y 0 =  7 7 æ 2 4 3 ö÷ æ 2 4 3 ö÷ æ 2 4 3 ö÷ æ 2 4 3 ö÷ ÷÷ , B çç ; ÷÷ hoặc A çç ; ÷÷ , B çç ; ÷ Vậy A ççç ; çç 7 çç 7 çç 7 7 ÷÷ . çè 7 7 ÷ø 7 ÷ø 7 ÷ø è è è ø C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Elip ( E ) : x 2 y2 + = 1 có độ dài trục lớn bằng: 25 9 A. 5. B. 10. C. 25. D. 50. Lời giải Chọn B Gọi phương trình của Elip là 2 2 25 9 ïìa 2 = 25 ì ïa = 5 ï ¾¾  A1 A2 = 2.5 = 10. í ïïb = 3 î îïb = 9 Xét ( E ) : x + y = 1  ïí ï Câu 2: x2 y2 + = 1, có độ dài trục lớn A1 A2 = 2a. a 2 b2 2 Elip ( E ) : 4 x 2 + 16 y 2 = 1 có độ dài trục lớn bằng: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 841 B. 4. A. 2. C. 1. D. 1 . 2 Lời giải Chọn C Gọi phương trình của Elip là x2 y2 + = 1, có độ dài trục lớn A1 A2 = 2a. a 2 b2 ìï 2 1 ïïa = 1 1 x2 y2 ï 4  a = ¾¾  A1 A2 = 2. = 1. Xét ( E ) : 4 x + 16 y = 1  + = 1  íï ïï 2 1 1 1 2 2 ïïb = 4 16 16 ïî 2 Câu 3: 2 Elip ( E ) : x 2 + 5 y 2 = 25 có độ dài trục lớn bằng: A. 1. B. 2. C. 5. D. 10. Lời giải Chọn D Gọi phương trình của Elip là x2 y2 + = 1, có độ dài trục lớn A1 A2 = 2a. a 2 b2 2 2 ì ïa 2 = 25 Xét ( E ) : x 2 + 5 y 2 = 25  x + y = 1  íï 2  a = 5 ¾¾  A1 A2 = 2.5 = 10. ï 25 Câu 4: Elip ( E ) : 5 ïb = 5 î x2 y2 + = 1 có độ dài trục bé bằng: 100 64 A. 8. B. 10. C. 16. D. 20. Lời giải Chọn C Gọi phương trình của Elip là x2 y2 + = 1, có độ dài trục bé B1 B2 = 2b. a 2 b2 2 2 ìïa 2 = 100 Xét ( E ) : x + y = 1  íï 2  b = 8 ¾¾  B1 B2 = 2.8 = 16. ï 100 Câu 5: Elip ( E ) : A. 5. 64 îïb = 64 x2 + y 2 = 4 có tổng độ dài trục lớn và trục bé bằng: 16 B. 10. C. 20. D. 40. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 842 Chọn C x 2 y2 + = 1, có độ dài trục lớn A1 A2 = 2a và độ dài trục bé là a 2 b2 Gọi phương trình của Elip là B1 B2 = 2b. Khi đó, xét ( E ) : x2 x 2 y2 + y2 = 4  + = 1. 16 64 4 ìïa 2 = 64 ïìa = 8  ïí ¾¾  A1 A2 + B1 B2 = 2.8 + 2.2 = 20.  ïí 2 ïïîb = 2 ïïb = 4 î Câu 6: Elip ( E ) : x 2 y2 + = 1 có tiêu cự bằng: 25 16 A. 3. B. 6. C. 9. D. 18. Lời giải Chọn B x 2 y2 + = 1, có tiêu cự là 2c. a 2 b2 Gọi phương trình của Elip là 2 2 ìïa 2 = 25 25 16 2 ïîb = 16 Xét ( E ) : x + y = 1  ïí ï Câu 7: Elip ( E ) :  c 2 = a 2 – b2 = 9  c = 3 ¾¾  2 c = 6. x 2 y2 + = 1 có tiêu cự bằng: 9 4 A. 5. B. 5. C. 10. D. 2 5. Lời giải Chọn D Gọi phương trình của Elip là 2 2 ìïa 2 = 9 9 4 2 ïîb = 4 Xét ( E ) : x + y = 1  ïí ï Câu 8: Elip ( E ) : A. p + q . x2 y2 + = 1, có tiêu cự là 2c. a 2 b2  c 2 = a 2 – b2 = 5  c = 5 ¾¾  2 c = 2 5. Chọn D. x 2 y2 + = 1 , với p > q > 0 có tiêu cự bằng: p2 q2 B. p – q . C. p2 – q2 . D. 2 p 2 – q 2 . Lời giải Chọn D Gọi phương trình của Elip là x2 y2 + = 1, có tiêu cự là 2c. a 2 b2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 843 2 2 ì ïa 2 = p 2  c2 = p2 – q2  c = 2 2 ï = b q ï î Xét ( E ) : x 2 + y 2 = 1  ïí p Câu 9: Elip ( E ) : q  2c = 2 p2 – q2 . p 2 – q 2 ¾¾ x2 y2 + = 1 có một đỉnh nằm trên trục lớn là: 100 36 A. (100;0 ) . B. (-100;0 ) . C. (0;10 ) . D. (-10;0 ) . Lời giải Chọn D Gọi M là điểm nằm trên trục lớn của ( E )  M Î Ox  M (m ;0 ). 2 é M (10;0 ) é m = 10 Mặt khác M Î ( E ) suy ra m = 1  m 2 = 10 2  êê .  êê 100 ë m = -10 ê M (-10;0 ) ë Câu 10: Elip ( E ) : x 2 y2 + = 1 có một đỉnh nằm trên trục bé là: 16 12 A. (4;0 ) . C. (0;2 3 ) . B. (0;12 ) . D. (4;0 ) . Lời giải Chọn C Gọi N là điểm nằm trên trục bé của ( E )  N Î Oy  N (0; n ). Mặt khác N Î ( E ) suy ra Câu 11: Elip ( E ) : n2 = 1  n2 = 2 3 12 ( ) 2 ( ( ) é én = 2 3 ê N 0;2 3 .  êê ê ê ëê n = – 2 3 êë N 0; – 2 3 ) x 2 y2 + = 1 có một tiêu điểm là: 9 6 B. (0 ; 6 ). A. (0;3). C. (- 3;0). D. (3;0 ). Lời giải Chọn C Gọi phương trình của ( E ) là 2 2 9 6 ìïa 2 = 9 Xét ( E ) : x + y = 1  ïí ï 2 îïb = 6 x 2 y2 + = 1, có tọa độ tiêu điểm F ( c;0 ). a 2 b2  c 2 = a 2 – b2 = 3  c = 3. Vậy tiêu điểm của Elip là F1 ( 3;0), F2 (- 3;0). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 844 Câu 12: Cặp điểm nào là các tiêu điểm của elip ( E ) : x 2 y2 + =1 ? 5 4 A. F1 (-1;0 ) và F2 (1;0 ) . B. F1 (-3;0 ) và F2 (3;0 ) . C. F1 (0; -1) và F2 (0;1) . D. F1 (-2;0 ) và F2 (2;0 ) . Lời giải Chọn A Gọi phương trình của ( E ) là 2 2 ìïa 2 = 5 5 4 2 ïîb = 4 Xét ( E ) : x + y = 1  ïí ï x 2 y2 + = 1, có tọa độ tiêu điểm F ( c;0 ). a 2 b2  c 2 = a 2 – b2 = 1  c = 1. Vậy tiêu điểm của Elip là F1 (1;0 ), F2 (-1;0 ). Câu 13: Elip ( E ) : x 2 y2 + = 1 . Tỉ số e của tiêu cự và độ dài trục lớn của elip bằng: 16 9 B. e = A. e = 1. 7 . 4 3 4 C. e = . 5 4 D. e = . Lời giải Chọn B 2 2 16 9 ìa 2 = 16 ï ìa 2 = 16 ï ìa = 4 ï c 7 ï  ï ¾¾  e= = . í 2 í 2 ï ï ï a 4 c = 7 b = 9 c = 7 ï ï îï î î Xét ( E ) : x + y = 1  íï Câu 14: Elip ( E ) : x 2 y2 + = 1 . Tỉ số f của độ dài trục lớn và tiêu cự của elip bằng: 9 4 3 2 A. f = . B. f = 3 5 . 2 3 C. f = . D. f = 5 . 3 Lời giải Chọn B 2 2 9 4 ìïa 2 = 9 ìïa 2 = 9 ìïa = 3 ï .  ï í 2 í 2 ï ï 4 5 b = c = ï ï ïîc = 5 î î Xét ( E ) : x + y = 1  ïí ï Vậy tỉ số f cần tính là f = Câu 15: Elip ( E ) : 2a 3 . = 2c 5 x 2 y2 + = 1 . Tỉ số k của tiêu cự và độ dài trục bé của elip bằng: 16 8 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 845 A. k = 8 . B. k = 8 . C. k = 1 . D. k = -1 . Lời giải Chọn C 2 2 16 8 ì ïb = 2 2 ïïb2 = 8 ì .  ï í 2 í 2 ï ïb = 8 ïc = 8 ïïîc = 2 2 î î ì ïa 2 = 16 Xét ( E ) : x + y = 1  ïí ï Vậy tỉ số k cần tính là k = Câu 16: Cho elip ( E ) : 2c 2 2 = = 1. Chọn C. 2b 2 2 x 2 y2 + = 1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 25 9 A. ( E ) có các tiêu điểm F1 (-4;0 ) và F2 (4;0 ). B. ( E ) có tỉ số c 4 = . a 5 C. ( E ) có đỉnh A1 (-5;0 ). D. ( E ) có độ dài trục nhỏ bằng 3. Lời giải Chọn D ì ï a=5 ï ï x 2 y2 x 2 y2 ï  íb = 3 Ta có ( E ) : + = 1  ( E ) : 2 + 2 = 1 ¾¾ ï 25 9 5 3 ï 2 2 2 2 ï ï ï îc = a – b = 5 – 3 = 4 Do đó, độ dài trục nhỏ của ( E ) là 6. Câu 17: Cho elip ( E ) : x 2 + 4 y 2 = 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Elip có tiêu cự bằng 3. B. Elip có trục nhỏ bằng 2. æ 2 ö÷÷ ÷÷. ø C. Elip có một tiêu điểm là F ççç0; çè 3 D. Elip có trục lớn bằng 4. Lời giải Chọn A Ta có ( E ) : x 2 + 4 y 2 = 1  ( E ) : x2 y2 + 2 2 1 æ 1 ö÷ çç ÷ çè 2 ÷ø ìa =1 ï ï ï ï 1 ï ïb = = 1 ¾¾  íï 2 ï ï ï 3 ï c = a 2 – b2 = ï ï 2 ï î Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 . Trang 846 Do đó:  ( E ) có tiêu cự F1 F2 = 2 c = 3 .  ( E ) có trục nhỏ bằng 1, trục lớn bằng 2. æ 3 ö æ 3 ö ÷÷ ÷÷ ç ç  ( E ) có tiêu điểm là F1 ççç 2 ;0÷÷ và F2 ççç 2 ;0÷÷ . è ø è ø Câu 18: Cho elip ( E ) : 4 x 2 + 9 y 2 = 36 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. ( E ) có trục lớn bằng 6. B. ( E ) có trục nhỏ bằng 4. C. ( E ) có tiêu cự bằng 5. D. ( E ) có tỉ số c 5 = . a 3 ì ï a=3 ï ï x 2 y2  ïíb = 2 Ta có ( E ) : 4 x + 9 y = 36  ( E ) : 2 + 2 = 1 ¾¾ . ï 3 2 ï 2 2 ï ï ï îc = a – b = 5 2 2 Do đó, ( E ) có tiêu cự bằng 2 5 . Câu 19: Phương trình của elip ( E ) có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là: A. 9 x 2 + 16 y 2 = 144. C. B. 9 x 2 + 16 y 2 = 1. x 2 y2 + = 1. 9 16 D. x2 y2 + = 1. 64 36 Lời giải Chọn A Xét đáp án A. Ta có ( E ) : 9 x 2 + 16 y 2 = 144  ( E ) : ì ïa = 4 x 2 y2 . + 2 = 1 ¾¾  íï 2 ï 4 3 ï îb = 3 Do đó ( E ) có độ dài trục lớn là 8, độ dài trục nhỏ là 6. Câu 20: Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10. A. x 2 y2 + = 1. 25 9 B. x2 y2 + = 1. 100 81 C. x 2 y2 = 1. 25 16 D. x 2 y2 + = 1. 25 16 Lời giải Chọn D ïì F1 F2 = 6 = 2 c ïìc = 3  ïí  b = a 2 – c2 = 4 . ï A A = = a a = 10 2 5 ïî ï 1 2 î Elip ( E ) có ïí ï Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 847 Do đó, phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + =1 . 25 16 Câu 21: Elip có độ dài trục lớn là 10 và có một tiêu điểm F (-3;0 ) . Phương trình chính tắc của elip là: A. x2 y2 + = 1. 25 9 B. x2 y2 + = 1. 100 16 C. x2 y2 + = 1. 100 81 D. x2 y2 + = 1. 25 16 Lời giải Chọn D  2a = 10  a = 5 . Elip ( E ) có độ dài trục lớn là 10 ¾¾ Elip ( E ) có một tiêu điểm F (-3;0 ) ¾¾ c = 3 . Khi đó, b = a2 – c2 = 4 . Phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + =1 . 25 16 Câu 22: Elip có độ dài trục nhỏ là 4 6 và có một tiêu điểm F (5;0) . Phương trình chính tắc của elip là: A. x2 y2 + = 1. 121 96 B. x2 y2 + = 1. 101 96 C. x 2 y2 + = 1. 49 24 D. x2 y2 + = 1. 29 24 Lời giải Chọn C Elip ( E ) có độ dài trục nhỏ là 4 6 ¾¾  2b = 4 6  b = 2 6 . Elip ( E ) có một tiêu điểm F (5;0 ) ¾¾  c = 5 . Khi đó, a = b2 + c 2 = 7 . Phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + =1 . 49 24 Câu 23: Elip có một đỉnh là A (5;0) và có một tiêu điểm F1 (-4;0 ) . Phương trình chính tắc của elip là: A. x2 y2 + = 1. 25 16 B. x 2 y2 + = 1. 5 4 C. x 2 y2 + = 1. 25 9 D. x y + = 1. 5 4 Lời giải Chọn C Elip ( E ) có một đỉnh là A (5;0 ) Î Ox ¾¾ a = 5 . Elip ( E ) có một tiêu điểm F (-4;0 ) ¾¾ c = 4 . Khi đó, b = a 2 – c2 = 3 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 848 Phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + =1 . 25 9 Câu 24: Elip có hai đỉnh là (-3;0 ); (3;0 ) và có hai tiêu điểm là (-1;0 ); (1;0 ) . Phương trình chính tắc của elip là: A. x2 y2 + = 1. 9 1 B. x 2 y2 + = 1. 8 9 C. x2 y2 + = 1. 9 8 D. x2 y2 + = 1. 1 9 Lời giải Chọn C Elip ( E ) có hai đỉnh là (-3;0 ) Î Ox và (3;0 ) Î Ox ¾¾ a = 3 . Elip ( E ) có hai tiêu điểm là F1 (-1;0 ) và F2 (1;0 ) ¾¾ c =1 . Khi đó, b = a2 – c2 = 2 2 . Phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + =1 . 9 8 Câu 25: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4 3 . A. x 2 y2 = 1. + 16 4 B. x 2 y2 + = 1. 36 9 C. x2 y2 + = 1. 36 24 D. x 2 y2 = 1. + 24 16 Lời giải Chọn A Elip ( E ) có trục lớn gấp đôi trục bé  A1 A2 = 2 B1 B2  2a = 2.2b  a = 2b . Elip ( E ) có tiêu cự bằng 4 3 ¾¾  2c = 4 3  c = 2 3 . Ta có a2 = b2 + c2  (2b) = b2 + (2 3 )  b = 2 . Khi đó, a = 2b = 4 . 2 2 Phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + =1 . 16 4 Câu 26: Lập phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị. A. x 2 y2 + = 1. 64 60 B. x 2 y2 + = 1. 25 9 C. x2 y2 + = 1. 100 64 D. x2 y2 + = 1. 9 1 Lời giải Chọn C  2 a – 2b = 4 . Elip ( E ) có độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị ¾¾  2b – 2c = 4 . Elip ( E ) có độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị ¾¾ Ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 849 ì ïa – b = 2 ì ïìa – b = 2 ïìa = b + 2 ïï ïìa = 10 ïïa = b + 2 ï  ïí 2   ïí 2  ïí íb – c = 2 í 2 2 2 2 ï ï ï ï ïb = 8 ï 2 2 2 îïa = b + (b – 2 ) îï(b + 2 ) = 2b – 4 b + 4 îïb – 8b = 0 ïî ï ï îa = b + c Phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x2 y2 + =1. 100 64 Câu 27: Lập phương trình chính tắc của elip biết tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64 . A. x2 y2 + = 1. 12 8 B. x 2 y2 + = 1. 8 12 C. x 2 y2 + = 1. 12 4 D. 2, x 2 y2 + = 1. 8 4 Lời giải Chọn A  Elip ( E ) có tỉ số độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng 2 ¾¾ 2b b 2 = 2 c= . 2c 2 Mặt khác, (2 a )2 + (2 c)2 = 64  a 2 + c 2 = 16 . Ta có ìï ìï 2 1 2 ïï c = b 2 ïa + b = 16 ì 2 ïa = 12 2 ïïï ïï 2 . í  ïí 2 í 2 2 ï ï ï + = a c 16 3 ï ïa 2 – b2 = 0 îïb = 8 ï ï ï ï 2 ïî ïïîa 2 = b2 + c2 Phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + =1 . 12 8 Câu 28: Elip có một tiêu điểm F (-2;0 ) và tích độ dài trục lớn với trục bé bằng 12 5 . Phương trình chính tắc của elip là: A. x 2 y2 + = 1. 9 5 B. x 2 y2 + = 1. 36 20 C. x2 y2 + = 1. 144 5 D. x 2 y2 + = 1. 45 16 Lời giải Chọn A Elip ( E ) có một tiêu điểm F (-2;0 ) ¾¾ c = 2 . Elip ( E ) có tích độ dài trục lớn với trục bé bằng 12 5 ¾¾  2a.2b = 12 5  ab = 3 5 . ìï ïïa = 3 5 ïï b ïìïab = 3 5 ïìa = 3 . Ta có í 2 2 2  íï  íï 2 ïïçæ 3 5 ÷ö ïïb = 5 ïïa – b = c 2 î î ÷ ïç ÷ -b = 4 ïç ïïèç b ø÷ î Phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + =1 . 9 5 Câu 29: Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 12 . 13 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 850 A. x 2 y2 + = 1. 26 25 B. x2 y2 + = 1. 169 25 x 2 y2 + = 1. 52 25 C. D. x2 y2 + = 1. 169 5 Lời giải Chọn B  2a = 26  a = 13 . Elip ( E ) có độ dài trục lớn bằng 26 ¾¾ Elip ( E ) có tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 12 2c 12 12 ¾¾  =  c = a = 12 . 13 2a 13 13 Do đó, b = a2 – c2 = 5 . Phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x2 y2 + =1. 169 25 Câu 30: Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng A. 1 . 3 x 2 y2 + = 1. 9 8 B. x 2 y2 + = 1. 9 5 C. x 2 y2 + = 1. 6 5 D. x 2 y2 + = 1. 9 3 Lời giải Chọn A  2a = 6  a = 3 . Elip ( E ) có độ dài trục lớn bằng 6 ¾¾ Elip ( E ) có tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 1 2c 1 1 ¾¾  =  c = a =1. 3 2a 3 3 Do đó, b = a2 – c2 = 2 2 . Phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + =1 . 9 8 Câu 31: Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ bằng 12 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng A. x 2 y2 + = 1. 36 25 4 . 5 B. x 2 y2 + = 1. 25 36 C. x 2 y2 + = 1. 64 36 D. x2 y2 + = 1. 100 36 Lời giải Chọn D Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 Độ dài trục nhỏ của Elip là 12 suy ra 2b = 12  b = 6. Tiêu cự của Elip là 2c, độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 4 c 4 =  c = a. 5 a 5 Trang 851 Mặt khác a2 – b2 = c2  a2 – 6 2 = 16 2 9 a  a2 = 36  a2 = 100. 25 25 Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : x2 y2 + = 1. 100 36 Câu 32: Elip có tổng độ dài hai trục bằng 18 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 3 . 5 Phương trình chính tắc của elip là: A. x 2 y2 + = 1. 25 16 B. x 2 y2 + = 1. 5 4 C. x 2 y2 + = 1. 25 9 D. x 2 y2 + = 1. 9 4 Lời giải Chọn A Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 Tổng độ dài hai trục của Elip là 2a + 2b = 18  a + b = 9  b = 9 – a. Tiêu cự của Elip là 2c, độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số c 3 3 =  c = a. a 5 5 Mà a2 – b2 = c2 suy ra: 2 a 2 – (9 – a) = 9 2 a  a = 5 ( a = 45 loại vì b = 9 – 45 = – 36 < 0 ) 25 Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : x 2 y2 + = 1. 25 16 Câu 33: Elip có tổng độ dài hai trục bằng 10 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 5 . 3 Phương trình chính tắc của elip là: A. x 2 y2 + = 1. 25 16 B. x 2 y2 + = 1. 5 4 C. x 2 y2 + = 1. 25 9 D. x 2 y2 + = 1. 9 4 Lời giải Chọn D Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 Tổng độ dài hai trục của Elip là .. Tiêu cự của Elip là 2c, độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số 2 c 5 5 = c= a. a 3 3 5 9 Mà a2 – b2 = c2 suy ra a2 -(5 – a) = a2  a = 3 ( a = 15 loại vì b = 5 -15 = -10 < 0 ) Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : x 2 y2 + = 1. 9 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 852 Câu 34: Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A (7;0) và B (0;3) . A. x 2 y2 + = 1. 40 9 B. x 2 y2 + = 1. 16 9 C. x 2 y2 + = 1. 9 49 D. x 2 y2 + = 1. 49 9 D. x 2 y2 =1. 25 9 Lời giải Chọn D Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 Elip đi qua điểm A (7;0 ) suy ra 72 = 1  a2 = 49. a2 Elip đi qua điểm B (0;3) suy ra 32 = 1  b2 = 9. b2 Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : x 2 y2 + = 1. 49 9 æ 12 ö Câu 35: Elip đi qua các điểm M (0;3) và N ççç3;- ÷÷÷ có phương trình chính tắc là: è 5ø A. x 2 y2 + =1. 16 9 B. x 2 y2 + =1. 25 9 C. x 2 y2 + =1. 9 25 Lời giải Chọn B Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : Elip đi qua điểm M (0;3) suy ra x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 0 2 32 + = 1  b2 = 9. a 2 b2 2 æ 12 ö÷ ç2 ççè 5 ÷÷ø æ ö÷ 12 3 9 144 1 ç Elip đi qua điểm N çç3;- ÷÷ suy ra 2 + 2 = 1  2 = 1 – . 2  a2 = 25. è 5ø a b a 25 b Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : x 2 y2 + = 1. 25 9 æ 3 ö÷÷ ÷÷ ø Câu 36: Elip đi qua các điểm A (0;1) và N ççç1; çè 2 A. x 2 y2 + = 1. 16 4 B. có phương trình chính tắc là: x 2 y2 + = 1. 8 4 C. x 2 y2 + = 1. 4 1 D. x 2 y2 + = 1. 2 1 Lời giải Chọn C Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 Trang 853 Elip đi qua điểm A (0;1) suy ra 0 2 12 + = 1  b2 = 1. a 2 b2 2 æ 3 ö÷÷ ÷÷ø Elip đi qua điểm N ççç1; çè 2 suy ra Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : æ 3 ö÷ çç ÷ çç 2 ÷÷ 2 è ø 1 1 3 1 + = 1  2 = 1 – . 2  a 2 = 4. 4 b a2 b2 a x 2 y2 + = 1. 4 1 Câu 37: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm M (2; -2 ) . A. x 2 y2 + = 1. 20 5 B. x 2 y2 + = 1. 36 9 C. x 2 y2 + = 1. 24 6 D. x 2 y2 + = 1. 16 4 Lời giải Chọn A x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : Elip có độ dài trục lớn gấp đôi trục bé suy ra 2a = 2.2b  a = 2b. 2 Elip đi qua điểm M (2; – 2 ) suy ra 2 2 (- 2 ) 1 1 1 + 2 =1  2 + 2 = . 2 a b a b 4 ìa 2 = 4 b2 ìa = 2b ï ï ì ï ï ïa2 = 20 ï ï . Do đó, ta có hệ phương trình í 1 1 1  ïí 1 í 2 1 1 ï ï ï + 2 = + 2 = b =5 ï ï ï 2 î 2 ïa ï 4 b b 4 î ï î 4b Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : x 2 y2 + = 1. 20 5 Câu 38: Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua A (5;0 ) . A. x 2 y2 =1. 25 16 B. x 2 y2 + =1 . 25 16 C. x2 y2 + =1 . 25 9 D. x 2 y2 + =1. 100 81 Lời giải Chọn B Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 Elip có tiêu cự bằng 6 suy ra 2c = 6  c = 3  a2 – b2 = c2 = 9. Elip đi qua điểm A (5;0) suy ra 52 0 2 + = 1  a2 = 25. a 2 b2 ìïa 2 – b 2 = 9 ìïa 2 = 25 Do đó, ta có hệ phương trình ïí 2  ïí 2 . ïïa = 25 î Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : ïïb = 16 î x 2 y2 + = 1. 25 16 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 854 Câu 39: Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 2 3 và đi qua A (2;1) . x 2 y2 = 1. + 6 3 A. B. x 2 y2 + = 1. 8 2 C. x 2 y2 + = 1. 8 5 D. x 2 y2 = 1. + 9 4 Lời giải Chọn A Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 Elip có tiêu cự bằng 2 3 suy ra 2c = 2 3  c = 3  a2 – b2 = c2 = 3 (1). Elip đi qua điểm A (2;1) suy ra 2 2 12 4 1 + 2 = 1  2 + 2 = 1 (2). 2 a b a b ìa 2 = b2 + 3 ìa2 – b2 = 3 ï ï ì ì ï ï ïa 2 = b2 + 3 ïa 2 = 6 ï ï ï í 4 ï  . Từ (1), (2 ) suy ra í 4 1 í 4 í 1 ïï + = 1 ïï + 2 = 1 ïî b – 2b2 – 3 = 0 ïî b2 = 3 ï ï 2 2 2 ï ï b ï îa ï îb + 3 b Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : x 2 y2 + = 1. 6 3 Câu 40: Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M A. ( ). 15; -1 x 2 y2 + = 1. 12 4 B. x 2 y2 + = 1. 16 4 C. x 2 y2 + = 1. 18 4 D. x 2 y2 + = 1. 20 4 Lời giải Chọn D Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 Elip có tiêu cự bằng 8 suy ra 2c = 8  c = 4  a2 – b2 = c2 = 16 (1). Elip đi qua điểm M ( 15;-1) suy ra ( 15 a 2 ) 2 2 + (-1) b 2 =1  15 1 + = 1 (2). a 2 b2 ìa 2 = b2 + 16 ìa 2 – b2 = 16 ï ï ìïa2 = b2 + 16 ìïa2 = 20 ïï ïï  í 15 ï ï . Từ (1), (2 ) suy ra í15 1 í í 2 1 ïï + = 1 ïï ïïb = 4 + 2 = 1 ïïîb4 = 16 2 î 2 2 ï b ï îa ï îï b + 16 b Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : x 2 y2 + = 1. 20 4 æ 5ö Câu 41: Elip qua điểm M ççç2; ÷÷÷ và có một tiêu điểm F (-2;0 ) . Phương trình chính tắc của elip là: è 3ø A. x 2 y2 + =1. 9 5 B. x 2 y2 + =1. 9 4 C. x 2 y2 + =1. 25 16 D. x 2 y2 + =1. 25 9 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 855 Chọn A Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 Elip có một tiêu điểm là F (- 2;0 ) suy ra c = 2  a2 = b2 + c2 = b2 + 4 (1). 2 æ 5 ö÷ çç ÷ çè 3 ø÷ æ 5 ö÷ 2 4 25 ç Elip đi qua điểm M çç2; ÷÷ suy ra 2 + 2 = 1  2 + 2 = 1 (2). è 3ø a b a 9b 2 2 ìa2 = b2 + 4 ì 2 ï ì ïïa = b + 4 ïa2 = 9 ïï ï í 4 ï . Từ (1), (2 ) suy ra í 4 25 í 2 25 ïï + + 2 =1 ï =1 ï ï ïîb = 5 2 ïïî a 2 9b2 ï b + 4 9 b ï î Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : x 2 y2 + = 1. 9 5 Câu 42: Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm F1 (-2;0 ), F2 (2;0 ) và đi qua điểm M (2;3) là: A. x 2 y2 + = 1. 16 12 B. x 2 y2 + = 1. 16 9 C. x 2 y2 + = 1. 16 4 D. x 2 y2 + = 1. 16 8 Lời giải Chọn A Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 Elip có hai tiêu điểm là F1 (- 2;0 ), F2 (2;0 )  c = 2  a2 = b2 + c2 = b2 + 4 (1). Elip đi qua điểm M (2;3) suy ra 2 2 32 4 9 + = 1  2 + 2 = 1 (2). a 2 b2 a b ì ìïa2 = b2 + 4 ïa 2 = b2 + 4 ì ì ï ïï ïa2 = b2 + 4 ïïa2 = 16 ï í 4 ï  . Từ (1), (2 ) suy ra í 4 9 í 4 í 9 ï + = 1 ïï ïb – 4b2 – 36 = 0 ïïb2 = 12 + 2 =1 ï ï 2 î î 2 2 ï ï b ïî a ï îb + 4 b Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : x 2 y2 + = 1. 16 12 Câu 43: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A (6;0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng A. x 2 y2 + = 1. 36 27 1 2 . B. x 2 y2 + = 1. 6 3 C. x 2 y2 + = 1. 36 18 D. x 2 y2 + = 1. 6 2 Lời giải Chọn A Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 Trang 856 Elip đi qua điểm A (6;0) suy ra 62 02 + = 1  a2 = 36. a 2 b2 1 2 Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng Kết hợp với điều kiện b2 = a2 – c2 , ta được b2 = a2 Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : 2c 1 c 1 a2 =  =  c2 = . 2a 2 a 2 4 suy ra a2 3 2 3 = a = .36 = 27. 4 4 4 x 2 y2 + = 1. 36 27 æ 5ö Câu 44: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm N ççç2;- ÷÷÷ và tỉ số của tiêu cự với è 3ø độ dài trục lớn bằng A. 2 . 3 x 2 y2 + = 1. 9 4 B. x 2 y2 + = 1. 9 5 C. x 2 y2 + = 1. 9 6 D. x 2 y2 + = 1. 9 3 Lời giải Chọn B x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : 2 æ 5 ö÷ çç- ÷ çè 3 ø÷ æ ö÷ 5 2 4 25 ç Elip đi qua điểm N çç2; – ÷÷ suy ra 2 + 2 = 1  2 + 2 = 1 è ø a b a 9b 3 2 Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng (1). 2 2c 2 4 c 2 =  =  c2 = a2 . suy ra 3 2a 3 9 a 3 4 9 5 9 Kết hợp với điều kiện b2 = a2 – c2 , ta được b2 = a2 – a2 = a2  9b2 = 5a2 ì4 25 ì4 (2). ì9 25 ï ï ï ï + = 1 ïï 2 + 2 = 1 ïï 2 = 1  ía  ía Từ (1), (2 ) suy ra ïí a2 9b2 5a ï ï ï 2 2 ï 2 ï 2 ï 2 ï9b = 5a ï î ìa2 = 9 ï ï . í 2 ï b =5 2 ï î = 9 b 5 a ï ï î ï9b = 5a ï î Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : x 2 y2 + = 1. 9 5 Câu 45: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A (2; 3 ) và tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng A. x 2 y2 + = 1. 16 4 2 3 . B. x 2 y2 + = 1. 4 3 C. x 2 y2 + = 1. 3 4 D. x 2 y2 + = 1. 4 16 Lời giải Chọn A Gọi phương trình chính tắc của Elip là ( E ) : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x 2 y2 + = 1, với a > b > 0. a 2 b2 Trang 857 ( ) 3 22 Elip đi qua điểm A (2; 3 ) suy ra 2 + 2 a b Tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng 2 =1  2 3 4 3 + =1 a 2 b2 suy ra (1). 2a 2 3 =  c2 = a 2 . 2c 4 3 3 4 Kết hợp với điều kiện b2 = a2 – c2 , ta được b2 = a2 – a2 = a2  a 2 = 4 b2 4 (2). ì ì ì ìa 2 = 16 ïï 42 + 32 = 1 ïï 4 2 + 32 = 1 ïï 42 = 1 ï ï ï ï  í 4b  íb ï . Từ (1), (2 ) suy ra í a b b í 2 ïï 2 ï ï ï 2 ïa2 = 4b2 ïa 2 = 4 b2 ïîb = 4 = a 4 b ï ï ï ï ï ï î î î Vậy phương trình cần tìm là ( E ) : Câu 46: Cho elip ( E ) : x 2 y2 + = 1. 16 4 x 2 y2 + = 1 với a > b > 0. Gọi 2c là tiêu cự của ( E ) . Trong các mệnh đề sau, a 2 b2 mệnh đề nào đúng? A. c2 = a2 + b2 . B. b2 = a2 + c2 . C. a2 = b2 + c2 . D. c = a + b. Lời giải Chọn C Ta có c 2 = a 2 – b2 ¬¾ a 2 = b2 + c 2 . Câu 47: Cho elip có hai tiêu điểm F1 , F2 và có độ dài trục lớn bằng 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? B. 2a > F1 F2 . A. 2a = F1 F2 . C. 2a < F1 F2 . D. 4 a = F1 F2 . Lời giải Chọn B Ta có a > c ¬¾ 2a > 2c ¬¾  2a > F1 F2 . Câu 48: Cho elip ( E ) : x 2 y2 + = 1 . Hai điểm A, B là hai đỉnh của elip lần lượt nằm trên hai trục 25 9 Ox , Oy . Khi đó độ dài đoạn thẳng AB bằng: A. 34. B. 34. C. 5. D. 136. Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 858 a = 5 Ta có a 2 = 25 ¾¾ b = 3 và b2 = 9 ¾¾ Tam giác OAB vuông, có AB = OA2 + OB 2 = 34. Vậy AB = 34 . Câu 49: Một elip ( E ) có trục lớn dài gấp 3 lần trục nhỏ. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng: 1 3 B. e = A. e = . 2 . 3 C. e = 3 . 3 D. e = 2 2 . 3 Lời giải Chọn D . Ta có A1 A2 = 3B1 B2 ¾¾  a = 3b ¾¾  a 2 = 9b 2 = 9 (a 2 – c 2 ) ¾¾  9c 2 = 8 a 2 ¾¾  c2 8 c 2 2 = ¾¾  = . 2 9 a 3 a Vậy e = 2 2 . 3 Câu 50: Một elip ( E ) có khoảng cách giữa hai đỉnh kế tiếp nhau gấp 3 2 lần tiêu cự của nó. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng: A. e = 2 5 5 . 5 B. e = . C. e = 3 . 5 D. e = 2 . 5 Lời giải Chọn A 3 2 Ta có AB = F1 F2 ¾¾  a 2 + b 2 = 3c Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 859 ¾¾  a 2 + b 2 = 9c 2 ¾¾  a 2 + ( a 2 – c 2 ) = 9c 2 ¾¾  2a 2 = 10c 2 ¾¾  c2 1 c 5 = ¾¾  = . 2 a 5 a 5 Vậy e = 5 . 5 Câu 51: Cho điểm M (2;3) nằm trên đường elip ( E ) có phương trình chính tắc: x 2 y2 + = 1 . Trong a 2 b2 các điểm sau đây điểm nào không nằm trên ( E ) : A. M 1 (-2;3). B. M 2 (2;-3). C. M 3 (-2; -3). D. M 4 (3;2 ). Lời giải Chọn D Ta có điểm M đối xứng qua Ox có tọa độ là (2; -3). Điểm M đối xứng qua Oy có tọa độ là (-2;3). Điểm M đối xứng qua gốc tọa độ O có tọa độ là (-2; -3). Câu 52: Cho elip ( E ) : x 2 y2 + = 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? a 2 b2 A. ( E ) không có trục đối xứng. B. ( E ) có một trục đối xứng là trục hoành. C. ( E ) có hai trục đối xứng là trục hoành và trục tung. D. ( E ) có vô số trục đối xứng. Lời giải Chọn C Ta có ( E ) có hai trục đối xứng là trục hoành và trục tung. Câu 53: Cho elip ( E ) : x 2 y2 + = 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? a 2 b2 A. ( E ) không có tâm đối xứng. B. ( E ) có đúng một tâm đối xứng. C. ( E ) có hai tâm đối xứng . D. ( E ) có vô số tâm đối xứng. Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 860 Ta có ( E ) có đúng một tâm đối xứng là gốc tọa độ O . Câu 54: Elip ( E ) có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của ( E ) bằng: A. e = 1 . B. e = 2 . C. e = 1 2 . 1 3 D. e = . Lời giải Chọn C Ta có B1 B2 = F1 F2 ¬¾ b = c ¾¾  b 2 = c 2 ¾¾  (a 2 – c 2 ) = c 2 ¾¾  c2 1 c 1 = ¾¾  = . 2 a 2 a 2 1 Vậy e = 2 . Câu 55: Elip ( E ) có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của ( E ) bằng: A. e = 1 . B. e = 2 . C. e = 1 2 . 1 3 D. e = . Lời giải Chọn C FF 0 Ta có F  OB1 = 1 2 ¾¾ b = c 1 B1 F2 = 90 ¾¾ 2 ¾¾  b 2 = c 2 ¾¾  (a 2 – c 2 ) = c 2 ¾¾  c2 1 c 1 = ¾¾  = . 2 a 2 a 2 Vậy e = 1 2 . Câu 56: Elip ( E ) có độ dài trục lớn bằng 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của elip cùng nằm trên một đường tròn. Độ dài trục nhỏ của ( E ) bằng: A. 2. B. 4. C. 8. D. 16. Lời giải Chọn B Ta có A1 A2 = 4 2 ¾¾ a = 2 2 Và bốn điểm F1 , B1 , F2 , B2 cùng nằm trên một đường tròn Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 861 ¾¾  b = c ¾¾  b2 = c2 ¾¾  b 2 = a 2 – b 2 ¾¾ b = a 2 = 2. Vậy độ dài trục nhỏ của ( E ) là 4. Câu 57: Cho elip ( E ) : x 2 y2 + = 1 và M là một điểm tùy ý trên ( E ) . Khi đó: 16 9 A. 3 £ OM £ 4. B. 4 £ OM £ 5. C. OM ³ 5. D. OM £ 3. Lời giải Chọn A  a = 4 và b2 = 9 ¾¾  b = 3. Ta có a 2 = 16 ¾¾ Mà OB £ OM £ OA ¬¾ 3 £ OM £ 4. Câu 58: Cho elip ( E ) : x2 y2 + = 1 và điểm M nằm trên ( E ) . Nếu M có hoành độ bằng -13 thì 169 144 khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng: A. 10 và 6. B. 8 và 18. C. 13  5 . D. 13  10 . Lời giải Chọn B Ta có a 2 = 169 ¾¾  a = 13 , b2 = 144 ¾¾  b = 12 và c 2 = a 2 – b 2 = 5 Tọa độ hai tiêu điểm F1 (-5; 0), F2 (5; 0) M có hoành độ bằng -13 ¾¾  y = 0, M (-13; 0). ¾¾  MF1 = 8, MF2 = 18. Câu 59: Cho elip ( E ) : x 2 y2 + = 1 và điểm M nằm trên ( E ) . Nếu M có hoành độ bằng 1 thì 16 12 khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng: A. 3,5 và 4,5 . B. 3 và 5 . C. 4  2 . D. 4  2 . 2 Lời giải Chọn A  a = 4 , b 2 = 12 ¾¾ Ta có a 2 = 16 ¾¾  b = 2 3 và c 2 = a 2 – b 2 = 2 Tọa độ hai tiêu điểm F1 (-2; 0) , F2 (2; 0) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 862 M y= có hoành độ bằng 1 ¾¾ 3 5 . 2 æ 3 5 ÷ö ÷÷÷. ø Do tính đối xứng của ( E ) nên chọn M ççç1; çè 2 9 7 ¾¾  MF1 = , MF2 = . 2 2 Câu 60: Cho elip có phương trình 16 x 2 + 25 y 2 = 100 . Tính tổng khoảng cách từ điểm M thuộc elip có hoành độ bằng 2 đến hai tiêu điểm. A. 3. B. 2 2. C. 5 . D. 4 3. Lời giải Chọn C Ta có 16 x 2 + 25 y 2 = 100 ¬¾ a2 = x2 y2 + =1 25 4 4 25 5 b = 2 ¾¾  a = , b 2 = 4 ¾¾ 4 2 MF1 + MF2 = 2a = 5. Câu 61: Cho elip ( E ) : x2 y2 + = 1 . Qua một tiêu điểm của ( E ) dựng đường thẳng song song với 100 36 trục Oy và cắt ( E ) tại hai điểm M và N . Tính độ dài MN . A. 48 . 5 B. 36 . 5 C. 25 . D. 25 . 2 Lời giải Chọn A 2 2 ì ïa 2 = 100 Xét ( E ) : x + y = 1  ïí 2  c 2 = a 2 – b2 = 100 – 36 = 64. ï 100 36 ï îb = 36 Khi đó, Elip có tiêu điểm là F1 (- 8;0)  đường thẳng d // Oy và đi qua F1 là x = – 8. Giao điểm của d và ( E ) là nghiệm của hệ phương trình ïïì x = – 8 ïïì x = – 8 ï 2 ï 2  íx í 24 . y ïï + = 1 ïï y =  ïïî100 36 ïî 5 æ 24 ö æ 24 ö 48 Vậy tọa độ hai điểm M ççç- 8; ÷÷÷, N ççç- 8;- ÷÷÷  MN = è è 5ø 5ø 5 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 863 Câu 62: Cho ( E ) : x 2 y2 + = 1 . Một đường thẳng đi qua điểm A (2;2 ) và song song với trục hoành 20 16 cắt ( E ) tại hai điểm phân biệt M và N . Tính độ dài MN . A. 3 5. B. 15 2. C. 2 15. D. 5 3. Lời giải Chọn C Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (2;2) và song song trục hoành có phương trình là y = 2. ìy = 2 ì ì ïïì x 2 y 2 ï ïï ï ïy = 2 ìy = 2 ï ïM 15;2 ï + = 1 ï ï ï ï ï é 2 2  íx í 2  íê x = 15  í Ta có d Ç ( E )  í 20 16 2 ïï ïï + = 1 ï ï ï ïïê ïïN – 15;2 îx = 15 ï ïîï y = 2 ï î ï 20 16 x = 15 î ê ï îë ( ( ) ) Vậy độ dài đoạn thẳng MN = 2 15. Câu 63: Dây cung của elip ( E ) : x 2 y2 + = 1 (0 < b < a) vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ a 2 b2 dài bằng: A. 2c2 . a B. 2b2 . a C. 2a2 . c D. a2 . c Lời giải Chọn B Hai tiêu điểm có tọa độ lần lượt là F1 (- c;0 ), F2 (c;0 ). Đường thẳng chứa dây cung vuông góc với trục lớn (trục hoành ) tại tiêu điểm F có phương trình là D : x = c. Suy ra 2 ì x =c ì 2 ìx = c ï ïìï x = c ï ïï x + y = 1 ï ï ï ï ï ï ï 2 2 2 2 2 4 í D Ç (E )  í a  í c2 y 2 í b a c b ( ) b ï y =  b2 2 ï ï ï 1 + = y = = ïï x = c ï ï ï 2 ï ï b2 a ï ïa îï îï î a2 a2 ï î æ b2 ö÷ æ b2 ö 2b2 ÷÷, N ççc; - ÷÷÷  MN = . çè a ø÷ a ø÷ a Vậy tọa độ giao điểm của D và ( E ) là M çççc; è Câu 64: Đường thẳng d : 3 x + 4 y -12 = 0 cắt elip ( E ) : x 2 y2 + = 1 tại hai điểm phân biệt M và N . 16 9 Khi đó độ dài đoạn thẳng MN bằng: A. 3. B. 4. C. 5. D. 25. Lời giải Chọn C Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và ( E ) là nghiệm của hệ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 864 ì ï ï y = 3 - 3x ì 3x ï ï y = 3ìï3 x + 4 y -12 = 0 ïï ìï 4 ï ïï ïï ïï y = 3 - 3 x ï 4 2 ï í . 4  ïíé íx2 y2 í æ ö 0 x = ïï + ïï 2 çç3 - 3 x ÷÷ ïï 2 ï =1 ï ê ÷ ïî ïï x ïx - 4 x = 0 ï èç 4ø 9 ï16 ïê + = 1 ïî ï ïîë x = 4 ï 9 ï î16 ì ï M (0;3) Vậy tọa độ giao điểm là ïí  MN = 5. ï ï îN (4;0 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 865