Bài giảng cơ bản và nâng cao Toán 10 Đại số 10)

Giới thiệu Bài giảng cơ bản và nâng cao Toán 10 Đại số 10)

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bài giảng cơ bản và nâng cao Toán 10 Đại số 10).

Tài liệu môn Toán 10 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Bài giảng cơ bản và nâng cao Toán 10 Đại số 10)

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 10 tại đây

LỚP TOÁN THẦY CƯ‐ TP HUẾ CS 1: P5, Dãy 14 tập thể xã tắc. Đường Ngô Thời Nhậm CS 2: Trung Tâm Cao Thắng‐ 11 Đống Đa TOÁN 10 TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ‐TP HUẾ (Chiêu sinh thường xuyên, bổ trợ kiến thức kịp thời) BÀI 1. MỆNH ĐỀ A. LÝ THUYẾT 1. Mệnh đề là gì? Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai. Một câu khẳng định đúng gọi là một mệnh đề đúng, một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai. 2. Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P . Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P . Ký hiệu là P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng . Ví dụ: P: “ 3 > 5 ” thì P : “ 3  5 ” 3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo Cho 2 mệnh đề P và Q . Mệnh đề “Nếu P thì Q ” gọi là mệnh đề kéo theo. Ký hiệu là P  Q . Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng Q sai, và đúng trong các trường hợp con lại. Cho mệnh đề P  Q . Khi đó mệnh đề Q  P gọi là mệnh đề đảo của P  Q . 4. Mệnh đề tương đương Cho 2 mệnh đề P và Q . Mệnh đề “ P nếu và chỉ nếu Q ” gọi là mệnh đề tương đương, ký hiệu P  Q . Mệnh đề P  Q đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo P  Q và Q  P đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại. 5. Khái niệm mệnh đề chứa biến Ví dụ: Xét câu sau: “ n chia hết cho 3”, với n là số tự nhiên. 6. Các kí hiệu  và  a) Kí hiệu  Cho mệnh đề chứa biến P( x ) với x  X . Khi đó khẳng định “ Với mọi x thuộc X , P( x ) đúng” (hay “ P( x ) đúng với mọi x thuộc X ”) (1) là một mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu với x0 bất kỳ thuộc X sao cho P( x0 ) là mệnh đề đúng. Mệnh đề (1) được ký hiệu là ” x  X , P( x )” hoặc ” x  X : P( x )” . Kí hiệu  đọc là “với mọi” b) Kí hiệu  Cho mệnh đề chứa biến P( x ) với x  X . Khi đó khẳng định “ Tồn tại x thuộc X , P( x ) đúng” (2) là một mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu có x0 thuộc X sao cho P( x0 ) là mệnh đề đúng. Mệnh đề (2) được ký hiệu là ” x  X , P( x )” hoặc ” x  X : P( x )” . Kí hiệu  đọc là “tồn tại”. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 1 7. Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ,  Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P(x) ” Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P(x) ” Ví dụ: Cho x là số nguyên dương ; P(x) : “ x chia hết cho 6” ; Q(x): “ x chia hết cho 3” Ta có :  P(10) là mệnh đề sai ; Q(6) là mệnh đề đúng  P( x) : “ x không chia hết cho 6”  Mệnh đề kéo theo P(x) Q(x) là mệmh đề đúng.  “x N*, P(x)” đúng có phủ định là “x N*, P(x) ”có tính sai B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết mệnh đề, mệnh đề chứa biến 1. Phương pháp Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. Một câu khẳng định đúng được gọi là một mệnh đề đúng, một câu khẳng định sai được gọi là mệnh đề sai. Câu hỏi, câu cảm tháng hoặc câu chưa xác định được tính đúng sai thì không phải là mệnh đề. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. (1) Ở đây đẹp quá! (2) Phương trình x 2 – 3x + 1 = 0 vô nghiệm (3) 16 không là số nguyên tố (4) Hai phương trình x 2 – 4x + 3 = 0 và x 2 – x + 3 + 1 = 0 có nghiệm chung. (5) Số p có lớn hơn 3 hay không? (6) Italia vô địch Worldcup 2006 (7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. Lời giải Câu (1) và (5) không là mệnh đề(vì là câu cảm thán, câu hỏi) Các câu (3), (4), (6), là những mệnh đề đúng Câu (2) và (7) là những mệnh đề sai. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 2 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề? A. Mùa thu Hà Nội đẹp quá! B. Bạn có đi học không? C. Đề thi môn Toán khó quá! D. Hà Nội là thủ đô của Việt Nam. Hướng dẫn giải Chọn D. Phát biểu ở A, B, C là câu cảm và câu hỏi nên không là mệnh đề. Câu 2. Câu nào sau đây không là mệnh đề? A. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. B. 3  1 . C. 4  5  1 . D. Bạn học giỏi quá! Hướng dẫn giải Chọn D. Vì “Bạn học giỏi quá!” là câu cảm thán không có khẳng định đúng hoặc sai. Câu 3. Cho các phát biểu sau đây: 1. “17 là số nguyên tố” 2. “Tam giác vuông có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền” 3. “Các em C14 hãy cố gắng học tập thật tốt nhé !” 4. “Mọi hình chữ nhật đều nội tiếp được đường tròn” Hỏi có bao nhiêu phát biểu là một đề? A. 4 . C. 2 . B. 3 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn B. Câu 4.  Câu 1 là mệnh đề.  Câu 2 là mệnh đề.  Câu 3 không phải là mệnh đề.  Câu 4 là mệnh đề. Cho các câu sau đây: 1. “Phan-xi-păng là ngọn núi cao nhất Việt Nam”. 2. “  2  9,86 ”. 3. “Mệt quá!”. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 3 4. “Chị ơi, mấy giờ rồi?”. Hỏi có bao nhiêu câu là mệnh đề? A. 1. C. 4 . B. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Mệnh đề là một khẳng định có tính đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai. Do đó 1,2 là mệnh đề và 3,4 không là mệnh đề. Câu 5. Câu nào trong các câu sau không phải là mệnh đề? A.  có phải là một số vô tỷ không?. C. 2 là một số hữu tỷ. B. 2  2  5 . D. 4 2. 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Câu 6. Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề? A. Buồn ngủ quá! B. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau. C. 8 là số chính phương. D. Băng Cốc là thủ đô của Mianma. Lời giải. Chọn A Câu cảm thán không phải là mệnh đề. Câu 7. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là không phải là mệnh đề? a) Huế là một thành phố của Việt Nam. b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. c) Hãy trả lời câu hỏi này! d) 5 + 19 = 24. e) 6 + 81 = 25. f) Bạn có rỗi tối nay không? g) x + 2 = 11. A. 1. B. 2. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 3. D. 4. Trang 4 Lời giải. Chọn C Các câu c), f), g) không phải là mệnh đề Câu 8: Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Hãy đi nhanh lên! b) Hà Nội là thủ đô của Việt Nam. c) 5 + 7 + 4 = 15. d) Năm 2018 là năm nhuận. A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. C. 4. D. 1. Lời giải. Chọn B Câu a) là câu cảm thán không phải là mệnh đề. Câu 9: Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Cố lên, sắp đói rồi! b) Số 15 là số nguyên tố. c) Tổng các góc của một tam giác là 180. d) x là số nguyên dương. A. 3. B. 2. Lời giải. Chọn B Câu a), d) không là mệnh đề. Câu 10: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. Đi ngủ đi! B. Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới. C. Bạn học trường nào? D. Không được làm việc riêng trong giờ học. Lời giải. Chọn B Câu 11: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 5 B. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. C. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. D. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. Lời giải. Chọn D A là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1,3 là số lẻ. B là mệnh đề sai: Ví dụ: 2.3 = 6 là số chẵn nhưng 3 là số lẻ. C là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1,3 là số lẻ. Câu 12: Mệnh đề x  , x 2  2  a  0 với a là số thực cho trước. Tìm a để mệnh đề đúng A. a  2 . B. a  2 . C. a  2 . D. a  2 . Lời giải Chọn A Vì x  , x 2  2  a  0  x 2  2  a  2  a  0  a  2 . Câu 13: Với giá trị nào của x thì ” x 2  1  0, x   ” là mệnh đề đúng. A. x  1 . B. x  1 . C. x  1 . D. x  0 . Lời giải Chọn A B. Không hiểu rõ câu hỏi và tập  . C. Không hiểu rõ câu hỏi và tập  . D. Không biết giải phương trình. Dạng 2: Xét tính đúng sai của mệnh đề 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho mệnh đề chứa biến P  x  :”3x  5  x2 ” với x là số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng: A. P  3 . B. P  4 . C. P 1 . D. P  5 . Hướng dẫn giải Chọn D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 6 P  3 : “3.3  5  32 ”  “14  9” là mệnh đề sai. P  4 : “3.4  5  42 ”  “17  16” là mệnh đề sai. P 1 : “3.1  5  12 ”  “8  1” là mệnh đề sai. P  5 : “3.5  5  52 ”  “20  25” là mệnh đề đúng. Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. x  , x 2  1  x  1 . B. x   , x 2  1  x  1 . C. x  , x  1  x 2  1 . D. x  , x  1  x 2  1 . Hướng dẫn giải Chọn D.  x  1 . Ta xét theo một chiều của mệnh đề ta thấy D đúng. Ta có x   , x 2  1   x  1 Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. 6 2 là số hữu tỷ. B. Phương trình x 2  7 x  2  0 có 2 nghiệm trái dấu. C. 17 là số chẵn. D. Phương trình x 2  x  7  0 có nghiệm. Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình x 2  7 x  2  0 có a.c  1.  2   0 nên nó có 2 nghiệm trái dấu. Vậy mệnh đề ở phương án B là mệnh đề đúng. Các mệnh đề còn lại đều sai. Câu 4: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề đúng? A. Nếu a ³ b thì a2 ³ b2 . B. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. C. Nếu em chăm chỉ thì em thành công. D. Nếu một tam giác có một góc bằng 60 thì tam giác đó đều. Lời giải. Chọn B Mệnh đề A là một mệnh đề sai vì b £ a < 0 thì a2 £ b2 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 7 ïìa = 9 n, n Î   a3 . ïïî9  3 Mệnh đề B là mệnh đề đúng. Vì a  9  ïí Câu C chưa là mệnh đề vì chưa khẳng định được tính đúng, sai. Mệnh đề D là mệnh đề sai vì chưa đủ điều kiện để khẳng định một tam giác là đều. Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. -p < -2  p 2 < 4. B. p < 4  p 2 < 16. C. 23 < 5  2 23 < 2.5. D. 23 < 5  -2 23 > -2.5. Lời giải. Chọn A Xét đáp án A. Ta có: p 2 < 4  p < 2  -2 < p < 2. Suy ra A sai. Câu 6: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề nào đúng? A.  x  , x 2  1  0 . B. x  , x 2  x . C.  r  , r 2  7 . D.  n  , n  4 chia hết cho 4. Lời giải Chọn A A: Đúng vì x2  0 nên x 2  1  0 . B: HS hiểu nhầm mọi số bình phương đều lớn hơn chính nó. C: HS hiểu nhầm Câu 7: 7 . Hỏi trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. "x  , x  3  x 2  9" . B. "x  , x  3  x 2  9" . C. "x  , x 2  9  x  3" . D. "x  , x 2  9  x  3" . Lời giải Chọn A B, C, D sai là không biết mệnh đề kéo theo. Câu 8: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A.  x  sao cho x  1  x . B.  x  sao cho x  x . C.  x   sao cho x - 3  x2 . D.  x   sao cho x2  0 . Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 8 A: Đúng vì VT luôn lớn hơn VP 1 đơn vị. B: HS nhầm trong tập hợp số tự nhiên. C: HS nhầm là tìm được x ở VT để được số chính phương ở VP. D: HS nhầm ở số 0 . . Dạng 3: Phủ định của mệnh đề 1. Phương pháp Cho mệnh đề P . Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P . Ký hiệu là P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng . Cho mệnh đề chứa biến P( x ) với x  X Mệnh đề phủ định của mệnh đề " x  X , P ( x )" là " x  X , P( x )" Mệnh đề phủ định của mệnh đề " x  X , P( x )" là " x  X , P( x )" 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai? P : " Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau" Q : " 6 là số nguyên tố" R : " Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại" S : " 5 > -3 ” K : ” Phương trình x 4 – 2x 2 + 2 = 0 có nghiệm ” H :”  3  12  2 3 ” Lời giải Ta có các mệnh đề phủ định là P : ” Hai đường chéo của hình thoi không vuông góc với nhau”, mệnh đề này sai Q : ” 6 không phải là số nguyên tố”, mệnh đề này đúng R : ” Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng cạnh còn lại”, mệnh đề này sai S : ” 5 £ -3 “, mệnh đề này sai Ví dụ 2: Cho mệnh đề chứa biến ” P ( x ) : x > x 3 ” , xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 9 a) P ( 1 ) æ1ö b) P çç ÷÷ çè 3 ÷ø c) “x Î N , P ( x ) d) $x Î N , P ( x ) Lời giải a) Ta có P ( 1 ) : 1 > 13 đây là mệnh đề sai 3 æ1ö 1 æ1ö b) Ta có P çç ÷÷ : > çç ÷÷÷ đây là mệnh đề đúng çè 3 ø÷ 3 èç 3 ø c) Ta có “x Î N , x > x 3 là mệnh đề sai vì P ( 1 ) là mệnh đề sai d) Ta có $x Î N , x £ x 3 là mệnh đề đúng vì x – x 3 = x ( 1 – x )( 1 + x ) £ 0 với mọi số tự nhiên. Ví dụ 3: Dùng các kí hiệu để viết các câu sau và viết mệnh đề phủ định của nó. a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho sáu b) Với mọi số thực bình phương của nó là một số không âm. c) Có một số nguyên mà bình phương của nó bằng chính nó. d) Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó. Lời giải a) Ta có P : n  N , n  n  1 n  2  6 , mệnh đề phủ định là P : $n Î N , n ( n + 1 )( n + 2 ) 6 . b) Ta có Q : “x Î , x 2 ³ 0 , mệnh đề phủ định là Q : $x Î , x 2 < 0 c) Ta có R : $n Î Z , n 2 = n , mệnh đề phủ định là R : "n Î Z , n 2 ¹ n . d) $ q Î Q, 1 1 > q , mệnh đề phủ định là ” q Î Q, £ q . q q Ví dụ 4: Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm phủ định của nó : a) A : ” “x Î R, x 2 ³ 0 ” b) B: ” Tồn tại số tự nhiên đều là số nguyên tố”. c) C : ” $x Î N , x chia hết cho x + 1 ” d) D: ” “n Î N , n 4 – n 2 + 1 là hợp số ” e) E: ” Tồn tại hình thang là hình vuông “. f) F: ” Tồn tại số thực a sao cho a + 1 + 1 £ 2″ a +1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 10 Lời giải a) Mệnh đề A đúng và A : $x Î R, x 2 < 0 b) Mệnh đề B đúng và B : "Với mọi số tự nhiêu đều không phải là số nguyên tố" c) Mệnh đề C đúng vì cho x  0 và C : " "x Î N , x  ( x + 1 ) " d) Mệnh đề D sai vì với n = 2 ta có n 4 - n 2 + 1 = 13 không phải là hợp số Mệnh đề phủ định là D : " $n Î N , n4 - n2 + 1 là số số nguyên tố" e) Mệnh đề E đúng và E : " Với mọi hình thang đều không là hình vuông ". f) Mệnh đề F đúng và mệnh đề phủ định là F : " Với mọi số thực a thì a + 1 + 1 > 2″ a +1 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho mệnh đề: “ x  , x 2  3 x  5  0 ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là A. x  , x 2  3 x  5  0 . B. x  , x 2  3 x  5  0 . C. x  , x 2  3 x  5  0 . D. x  , x 2  3 x  5  0 . Hướng dẫn giải Chọn B. Chú ý: Phủ định của mệnh đề “ x  , p  x  ” là “ x  , p  x  ”. Câu 2. Cho mệnh đề “Có một học sinh trong lớp C4 không chấp hành luật giao thông”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là A. Không có học sinh nào trong lớp C4 chấp hành luật giao thông. B. Mọi học sinh trong lớp C4 đều chấp hành luật giao thông. C. Có một học sinh trong lớp C4 chấp hành luật giao thông. D. Mọi học sinh trong lớp C4 không chấp hành luật giao thông. Hướng dẫn giải Chọn B. Mệnh đề phủ định là “ Mọi học sinh trong lớp C4 đều chấp hành luật giao thông”. Câu 3. Cho mệnh đề: “ Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: A. “ Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán”. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 11 B. “ Mọi học sinh trong lớp 10A đều không thích học môn Toán”. C. “ Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Văn”. D. “ Có một học sinh trong lớp 10A thích học môn Toán”. Hướng dẫn giải Chọn A. Câu 4. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ 2018 là số tự nhiên chẵn” là A. 2018 là số chẵn. B. 2018 là số nguyên tố. C. 2018 không là số tự nhiên chẵn. D. 2018 là số chính phương. Hướng dẫn giải Chọn C. Câu 5. Mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển” có mệnh đề phủ định là A. Có ít nhất một động vật di chuyển. B. Mọi động vật đều đứng yên. C. Có ít nhất một động vật không di chuyển. D. Mọi động vật đều không di chuyển. Hướng dẫn giải Chọn C. Câu 6: Cho mệnh đề “ x  R, x 2  x  7  0 ”. Hỏi mệnh đề nào là mệnh đề phủ định của mệnh đề trên? A. x  R, x 2  x  7  0 . B. x  R, x 2  x  7  0 . C. x  R, x 2  x  7  0 . D. x  R, x2  x  7  0 . Lời giải Chọn A B : sai là gì không dùng đúng kí hiệu của phủ định. C : sai là gì không dùng đúng . D : sai kí hiệu không tồn tại. Câu 7: Cho mệnh đề: ” x   2 x 2  3 x  5  0″ . Mệnh đề phủ định sẽ là A. ” x   2 x 2  3 x  5  0″ . B. ” x   2 x 2  3 x  5  0″ . C. ” x   2 x 2  3 x  5  0″ . D. ” x   2 x 2  3 x  5  0″ . Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 12 Đáp án A đúng vì phủ định của ” ” là ” ” và phủ định của dấu ”  ” là dấu ”  ” . Đáp án B sai vì học sinh nhầm phủ định của dấu ”  ” là dấu ”  ” . Đáp án C sai vì học sinh không nhớ phủ định của ” ” là “” và phủ định dấu ”  ” là dấu “”. Đáp án D sai vì học sinh không nhớ phủ định của ” ” là ” ” . Câu 8: Mệnh đề phủ định của mệnh đề: x  R, x 2  x  5  0 là A. x  , x 2  x  5  0 . B. x  , x 2  x  5  0 . C. x  , x 2  x  5  0 . D. x  , x 2  x  5  0 . Lời giải Chọn A B: HS quên biến đổi lượng từ. C: HS quên trường hợp dấu bằng. D: HS quên cả đổi lượng từ và dấu bằng. Câu 9: Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  vô nghiệm” là mệnh đề nào sau đây? A. Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có nghiệm. B.. Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có 2 nghiệm phân biệt. C. Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có nghiệm kép. D. Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  không có nghiệm. Lời giải Chọn A Đáp án A đúng vì phủ định vô nghiệm là có nghiệm. Đáp án B sai vì học sinh nhầm phủ định vô nghiệm là phương trình sẽ có 2 nghiệm phân biệt. Đáp án C sai vì học sinh nhầm phủ định vô nghiệm là có 1 nghiệm tức nghiệm kép. Đáp án D sai vì học sinh không hiểu câu hỏi của đề, học sinh nghỉ vô nghiệm là không có nghiệm. Câu 10. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề: x   , x 2  x  5  0 . A. x   , x 2  x  5  0 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B. x   , x 2  x  5  0 . Trang 13 C. x   , x 2  x  5  0 . D. x   , x 2  x  5  0 . Hướng dẫn giải Chọn D. x   , x 2  x  5  0 . Suy ra mệnh đề phủ định là x   , x 2  x  5  0 . Câu 11. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề ” x   : x 2  x ” . A. x   : x 2  x . B. x   : x 2  x . C. x   : x 2  x . D. x   : x 2  x . Hướng dẫn giải Chọn C. Mệnh đề A : ” x   : x 2  x ”  A : ” x   : x 2  x ” . Câu 12. Cho x là số tự nhiên. Phủ định của mệnh đề “ x chẵn, x 2  x là số chẵn” là mệnh đề: A. x lẻ, x 2  x là số lẻ. B. x lẻ, x 2  x là số chẵn. C. x lẻ, x 2  x là số lẻ. D. x chẵn, x 2  x là số lẻ. Hướng dẫn giải Chọn D. Mệnh đề phủ định là “ x lẻ, x 2  x lẻ”. Câu 13. Phủ định của mệnh đề ” x   : 2 x 2  5 x  2  0″ là A. ” x   : 2 x 2  5 x  2  0″ . B. ” x   : 2 x 2  5 x  2  0″ . C. ” x   : 2 x 2  5 x  2  0″ . D. ” x   : 2 x 2  5 x  2  0″ . Hướng dẫn giải Chọn C. Vì phủ định của mệnh đề ” x   : 2 x 2  5 x  2  0″ là ” x   : 2 x 2  5 x  2  0″ . Câu 14. Cho mệnh đề “x   , x 2  x  7  0” . Hỏi mệnh đề nào là mệnh đề phủ định của mệnh đề trên? A. x   , x 2  x  7  0 . B. x   , x 2  x  7  0 . C. x   , x 2  x  7  0 . D. x   , x 2  x  7  0 . Hướng dẫn giải Chọn C. Phủ định của mệnh đề “ x   , x 2  x  7  0” là mệnh đề “ x   , x 2  x  7  0” . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 14 Câu 15. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ x   , x 2  x  13  0 ” là A. “ x  , x 2  x  13  0 ”. B. “ x  , x 2  x  13  0 ”. C. “ x  , x 2  x  13  0 ”. D. “ x  , x 2  x  13  0 ”. Hướng dẫn giải Chọn A. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ x  , x 2  x  13  0 ” là “ x  , x 2  x  13  0 ”. Câu 16. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề P : ” x  ; x 2  x  1  0″ . A. P :” x  ; x 2  x  1  0″ . B. P :” x  ; x 2  x  1  0″ . C. P :” x  ; x 2  x  1  0″ . D. P :” x  ; x 2  x  1  0″ . Hướng dẫn giải Chọn B. Dạng 4: Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo và hai mệnh đề tương đương 1. Phương pháp Cho 2 mệnh đề P và Q . Mệnh đề “Nếu P thì Q ” gọi là mệnh đề kéo theo. Ký hiệu là P  Q . Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng Q sai, và đúng trong các trường hợp con lại. Cho mệnh đề P  Q . Khi đó mệnh đề Q  P gọi là mệnh đề đảo của P  Q . Mệnh đề “ P nếu và chỉ nếu Q ” gọi là mệnh đề tương đương, ký hiệu P  Q . Mệnh đề P  Q đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo P  Q và Q  P đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Phát biểu mệnh đề P  Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó. a) P : ” Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q : ” Tứ giác ABCD AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường” b) P : ” 2 > 9 ” và Q : ” 4 < 3 "  = 2B  " c) P : " Tam giác ABC vuông cân tại A" và Q : " Tam giác ABC có A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 15 d) P : " Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam" và Q : " Ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ" Lời giải a) Mệnh đề P  Q là " Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường", mệnh đề này đúng. Mệnh đề đảo là Q  P : "Nếu tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì ABCD là hình thoi ", mệnh đề này sai. b) Mệnh đề P  Q là " Nếu 2 > 9 thì 4 < 3 ", mệnh đề này đúng vì mệnh đề P sai. Mệnh đề đảo là Q  P : " Nếu 4 < 3 thì 2 > 9 “, mệnh đề này đúng vì mệnh đề Q sai.   c) Mệnh đề P  Q là ” Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì A = 2B “, mệnh đề này đúng Mệnh đề đảo là Q  P : ” Nếu tam giác ABC có A  2B thì nó vuông cân tại A”, mệnh đề này sai d) Mệnh đề P  Q là ” Nếu ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam thì ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ” Mệnh đề đảo là Q  P : ” Nếu ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ thì ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam” Hai mệnh đề trên đều đúng vì mệnh đề P,Q đều đúng Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề P  Q bằng hai cách và và xét tính đúng sai của nó a) P : “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q : ” Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau” b) P : ” Bất phương trình x 2 – 3x > 1 có nghiệm” và Q : ”  1 2  3.  1  1 ” Lời giải a) Ta có mệnh đề P  Q đúng vì mệnh đề P  Q, Q  P đều đúng và được phát biểu bằng hai cách như sau: “Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau” và “Tứ giác ABCD là hình thoi nếu và chỉ nêu tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau” b) Ta có mệnh đề P  Q đúng vì mệnh đề P, Q đều đúng(do đó mệnh đề P  Q, Q  P đều đúng) và được phát biểu bằng hai cách như sau: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 16 ” Bất phương trình x 2 – 3x > 1 có nghiệm khi và chỉ khi ” Bất phương trình x 2 – 3x > 1 có nghiệm nếu và chỉ nếu 2 ( -1 ) – 3. ( -1 ) > 1 ” và 2 ( -1 ) – 3. ( -1 ) > 1 ” 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho định lí “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích chúng bằng nhau”. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích chúng bằng nhau. B. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng có diện tích bằng nhau. C. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện đủ để chúng bằng nhau. D. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích chúng bằng nhau. Hướng dẫn giải Chọn D.  “Hai tam giác bằng nhau” là điều kiện đủ. Câu 2.  “Diện tích bằng nhau” là điều kiện cần. Cho P  Q là mệnh đề đúng. Khẳng định nào sau đây là sai? A. P  Q sai. B. P  Q đúng. C. Q  P sai. D. P  Q sai. Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có P  Q đúng nên P  Q đúng và Q  P đúng. Do đó P  Q đúng và Q  P đúng. Vậy P  Q đúng. Câu 3. Cho P là mệnh đề đúng, Q là mệnh đề sai, chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. P  P . C. P  Q . B. P  Q . D. Q  P . Hướng dẫn giải Chọn C. P là mệnh đề đúng, Q là mệnh đề sai nên mệnh đề P  Q là mệnh đề sai, do đó P  Q là mệnh đề đúng. Câu 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng? A. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a  b chia hết cho c . B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau. C. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 17 D. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5 . Lời giải Chọn C Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3 là mệnh đề đúng. Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lí? A. x  , x 2 chia hết cho 3  x chia hết cho 3 . B. x  , x 2 chia hết cho 6  x chia hết cho 3 . C. x  , x 2 chia hết cho 9  x chia hết cho 9 . D. x  , x chia hết cho 4 và 6  x chia hết cho 12 . Lời giải Chọn D Định lý sẽ là: x  , x chia hết cho 4 và 6  x chia hết cho 12 . Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là định lí? A. x  , x  2  x 2  4 . B. x  , x  2  x 2  4 . C. x  , x 2  4  x  2 . D. Nếu a  b chia hết cho 3 thì a, b đều chia hết cho 3 . Lời giải Chọn B Dạng 5: Mệnh đề với kí hiệu với mọi, tồn tại 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Tìm mệnh đề sai. A. ” x; x 2  2 x  3  0″ . B. ” x; x 2  x ” . C. ” x; x 2  5 x  6  0″ . 1 D. ” x; x  ” . x Lời giải. Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 18 Chọn x  Câu 2: 1  x 2  x . Vậy mệnh đề B sai 2 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. x  , x 2  x  1  0 . B. n  , n  0 . C. n  , x 2  2 . D. x  , 1  0. x Lời giải Chọn A 2 1 3  Chọn A Vì x 2  x  1   x     0, x   . 2 4  Câu 3. Mệnh đề nào sau là mệnh đề sai? A. x   : x 2  0 . B. x   : x  x 2 C. n   : n 2  n . D. n   thì n  2n . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có 0  và 0 2  0 nên mệnh đề x   : x 2  0 là mệnh đề sai. Câu 4. Chọn mệnh đề sai. A. “ x   : x2  0 ”. B. “ n   : n2  n ”. C. “ n   : n  2 n ”. D. “ x   : x  1 ”. Hướng dẫn giải Chọn A. Với x  0   thì x2  0 nên “ x   : x2  0 ” sai. Câu 5. Tìm mệnh đề đúng. A. ” x; x 2  3  0″ B. ” x; x 4  3x 2  2  0″ C. ” x  ; x5  x 2 ” . D. ” n  ;  2n  1  1  4″  2  Lời giải. Chọn C.  2n  1 Câu 6. 2  1  4n 2  4n  4  n 2  n  4; n   . Vậy mệnh đề C đúng Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. n   , n2  11n  2 chia hết cho 11 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B. n   , n2  1 chia hết cho 4 . Trang 19 D. n   , 2 x 2  8  0 . C. Tồn tại số nguyên tố chia hết cho 5 . Hướng dẫn giải Chọn B. + Xét đáp án A. Khi n  3 thì giá trị của  n 2  11n  2  bằng 4411 nên đáp án A đúng + Xét đáp án B. Khi n  2k , k  N  n 2  1  4k 2  1 không chia hết cho 4 , k  N . Khi n  2k  1, k  N  n 2  1   2k  1  1  4k 2  4k  2 không chia hết cho 4 , k  N . 2 + Xét đáp án C. Tồn tại số nguyên tố 5 chia hết cho 5 nên đáp án C đúng + Xét đáp án D. Phương trình 2 x 2  8  0  x 2  4  x  2; x  2  Z nên đáp án D đúng. Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. x    x  1 , 2 B. x  , x  3  x  3 .  x 1 . C. n  , n 2  1 chia hết cho 4 . D. n  , n 2  1 không chia hết cho 3 . Hướng dẫn giải Chọn D. A sai vì với x  1 thì  x  1  x  1 . 2 B sai vì khi x  4  3 nhưng x  4  3 . C sai vì Nếu n  2k  k    thì n2  1  4k 2  1 số này không chia hết cho 4 . Nếu n  2k  1  k    thì n2  1  4k 2  4k  2 số này cũng không chia hết cho 4 . D đúng vì Nếu n  3k  k    thì n2  1  9k 2  1 số này không chia hết cho 3 . Nếu n  3k  1  k  *  lim thì n2  1  9k 2  6k  2 số này không chia hết cho 3 . x  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 20 BÀI 2. TẬP HỢP A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. Khái niệm tập hợp 1. Tập hợp và các phần tử Tập hợp là một khái niệm của toán học, không có định nghĩa. Tập hợp thường được ký hiệu bởi các chữ A, B,…. Phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a  A . Nếu phần tử a không thuộc A ta viết là a  A 2. Cách xác định tập hợp Có 2 cách trình bày tập hợp – Liệt kê các phần tử : VD : A = a; 1; 3; 4; b hoặc N =  0 ; 1; 2 …  – Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp có dạng A   x | x  P( x ) . Ví dụ: A = x N| x lẻ và x < 6  A = 1 ; 3; 5 3. Tập hợp rỗng Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu:  II. Tập hợp con Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là tập hợp con của tập B và viết là A  B A B (  x, xA  xB). Nếu A không phải là tập con của B ta ký hiệu là: A  B Ta có các tính chất sau: a) A  A với mọi tập A b) Nếu A  B và B  C thì A  C c)   A với mọi tập A d) Cho A ≠  có ít nhất 2 tập con là  và A III. Tập hợp bằng nhau Khi tập A  B và B  A ta nói tập A bằng tập B và viết là A  B A  B   x  A  x  B B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tập hợp và các phần tử của tập hợp 1. Phương pháp Cách liệt kê: Ghi tất cả các phần tử của tập hợp Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 21 Cách nêu tính chất đặc trưng: Từ tất cả các phần tử của tậ hợp, nhận biết tính chất đặc trưng và ghi tính chất đặc trưng của các phần tử. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng A = { 0 ; 1; 2; 3; 4 } B = { 0 ; 4; 8; 12;16 } C  1;2; 4;8;16 Lời giải Ta có các tập hợp A, B,C được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là A = {x Î N | x £ 4 } B  {x  N | x  4 và x £ 16} C = {2n | n £ 4 và n Î N } ìï üï x2 + 2 Ví dụ 2: Cho tập hợp A = ï Î Z ïý íx Î Z | ïîï ïïþ x a) Hãy xác định tập A bằng cách liệt kê các phần tử b) Tìm tất cả các tập con của tập hợp A mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3. Lời giải a) Ta có x2 + 2 2 = x + Î Z với x Î Z khi và chỉ khi x là ước của 2 hay x  2; 1; 0;1;2 x x Vậy A = { -2; -1; 0;1;2 } b) Tất cả các tập con của tập hợp A mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3 là Tập không có phần tử nào: Æ Tập có một phần tử: { -2 } , { -1} , { 0 } , {1} , { 2 } Tập có hai phần thử: { -2; -1} , { -2; 0 } , { -2;1}, { -2;2 } , { -1; 0 } { -1;1}, {-1;2 }, { 0;1}, { 0;2 }, {1;2 } . 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào có đúng một phần tử? A.  x; y . B.  x . C.  x;  . D.  . Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 22 Câu 2. Cho tập hợp A   x   | x  5 . Tập hợp A được viết dưới dạng liệt kê các phần tử là A. A  1; 2;3; 4 . B. A 1; 2;3; 4;5 . C. A 0;1; 2;3; 4;5 . D. A 0;1; 2;3; 4 . Lời giải Chọn C Vì x    x  0; x  1; x  2; x  3; x  4; x  5 Câu 3.   Cho tập X  x   |  x 2  4   x  1  0 . Tính tổng S các phần tử của tập X . A. S  4 . B. S  9 . 2 C. S  9 . D. S  1 . Lời giải Chọn D Các phần tử của tập hợp X là các nghiệm thực của phương trình  x 2  4   x  1  0 .  x2  4  0 x   2  Ta có:  x  4   x  1  0   x  1  x 1  0 2 Do đó: S  2   2   1  1 . Câu 4. Tập hợp X  2;5 có bao nhiêu phần tử? A. 4 . C. 2 . B. Vô số. D. 3 . Lời giải Chọn C Câu 5. Liệt kê phân tử của tập hợp B   x   | (2 x 2  x)( x 2  3 x  4)  0 . A. B  1; 0; 4 . B. B  0; 4 .  1  C. B  1; ;0; 4  .  2  D. B  0;1; 4 . Lời giải Chọn B x  0  2 x  1    2 0 x x 2 2 Ta có:  2 x  x  x  3 x  4   0   2  2  x  1  x  3x  4    x  4 x  0 Mà x     x  4 Câu 6.   Cho X  x  R 2 x 2  5 x  3  0 , khẳng định nào sau đây đúng? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 23  3 B. X  1;  .  2 A. X  1 . 3 C. X    . 2 D. X  0 . Lời giải Chọn B x  1  3  X  1;  . 2x  5x  3  0   3 x   2  2 2 Câu 7. Có bao nhiêu cách cho một tập hợp ? A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1 . Lời giải Chọn A Có hai cách cho một tập hợp : +) Cách 1 : Liệt kê . +) Cách 2 : Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử . Câu 8: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng? A.  x  N / x  1 . B.  x  Z / 6 x 2  7 x  1  0 . C.  x  Q / x 2  4 x  2  0 . D.  x  R / x 2  4 x  3  0 . Lời giải Chọn C Câu 9:   Cho hai tập hợp A  x   |  2 x 2  x  3 x 2  4   0 , B   x   | x  4 . Viết lại các tập A và B bằng cách liệt kê các phần tử. 3  A. A   2;  1; 2;  , B  0;1; 2;3 . 2  3  B. A   2;  1; 2;  , B  1; 2;3; 4 . 2  C. A  2; 1; 2 , B  0;1; 2;3 . D. A  2; 1; 2 , B  1; 2;3 . Lời giải Chọn C  x  1      x x 1 2 3 0 2 x  x  3  0    3 Ta có:  2 x 2  x  3 x 2  4   0   2  2  x  2  x  4  0  x  4  x  2  2 Do x    x  2; 1; 2  A  2; 1; 2 B  0;1; 2;3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 24     Câu 10. Tìm số phần tử của tập hợp A  x   /  x  1 x  2  x3  4 x  0 . A. 5 . C. 2 . B. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn D x  1  x 1  0  x  2  3   x  1 x  2   x  4 x   0   x  2  0   x0  x 3  4 x  0  x  2  A  1; 2;0; 2 . Vậy A có 4 phần tử. Câu 11.      Cho tập hợp A  x   | 2 x 2  5 x  2 x 2  16  0 . Tập hợp A được viết dưới dạng liệt kê là 1   A. 4; ;  2; 4  . 2   B. 4;  2 . C. 4 . D. 4;  2; 4 . Lời giải Chọn D  x  2  2  x   1 2 x  5 x  2  0 2 2 Ta có 2 x  5 x  2 x  16  0    2.  x 2  16  0 x  4   x  4    Vì x   nên x  2; 4;  4 . Câu 12.   Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp: X  x   / 2x 2  5 x  2  0 1  B. X    . 2 A. X  0 . C. X  2 .  1 D. X  2;   2 Lời giải Chọn C x  2 Ta có: 2x  5 x  2  0   . Mà x   x  2 . x  1  2 2 Câu 13.   Cho tập X  x   |  x 2  4   x  1  2 x 2  7 x  3  0 . Tính tổng S các phần tử của X. A. S  9 . 2 B. S  5 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. S  6 . D. S  4 . Trang 25 Lời giải Chọn C  x  2 x  1 x  4  0    x  3 . Ta có:  x 2  4   x  1  2 x 2  7 x  3  0   x  1  0  2 x2  7 x  3  0  x  1  2 2 Vì x   nên X  1; 2;3 . Vậy tổng S  1  2  3  6 . Câu 14. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng? A.  x   x 2  5 x  6  0 . B.  x   3 x 2  5 x  2  0 . C.  x   x 2  x  1  0 . D.  x   x 2  5 x  1  0 . Lời giải Chọn C Ta có: x  1 * x2  5x  6  0   . Vậy A  6;1 .  x  6 x  1  2 * 3x 2  5 x  2  0   . Vậy B  1;  . x  2  3 3   1  5 x  2 * x2  x 1  0   . Vì x   nên C   .  1  5 x  2   5  29 x   5  29 5  29  2 ; * x2  5x 1  0   . Vậy D   . 2 2  5  29   x  2  Câu 15. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào rỗng?    A. A  x   x 2  4  0 .   B. B  x   x 2  5  0 .  C. C  x   x 2  x  12  0 .   D. D  x   x 2  2 x  3  0 . Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 26 Ta có :  x  2  A  2. x2  4  0   x  2 x   5  B   5; 5 . x2  5  0    x  5    x  4 x 2  x  12  0    C  4;3. x  3 x 2  2 x  3  0 , phương trình vô nghiệm nên D   . Câu 16. Cho A   x  * , x  10, x  3 . Chọn khẳng định đúng. A. A có 4 phần tử. B. A có 3 phần tử. C. A có 5 phần tử. D. A có 2 phần tử. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có A   x  * , x  10, x  3  3;6;9  A có 3 phần tử. Câu 17.     Tập hợp A  x    x  1 x  2  x3  4 x  0 có bao nhiêu phần tử? A. 1. B. 3 . D. 2 . C. 5 . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có  x  1 x  2   x 3  4 x   0  x  x  1 x  2   x 2  4   0 x  0 x  1    x  1  0   x  2 .  x  2  0  x  0 Vì x    x  0 ; x  1 . Vậy A  0;1  tập A có hai phần tử. Câu 18. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng? A. T1   x   | x 2  3x  4  0 . B. T1   x   | x 2  3  0 C. T1   x   | x 2  2 . D. T1  x   | x 2  1  2 x  5  0 .     Hướng dẫn giải Chọn C. x  2   Vì x 2  2   .  x   2   Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 27 Câu 19. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp: X   x  , x 2  x  1  0 . A. X  0 . B. X  2 . C. X   . D. X  0 . Hướng dẫn giải Chọn C. Trên tập số thực, phương trình x 2  x  1  0 vô nghiệm. Vậy: X   . Câu 20. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X   x   | 2 x 2  5 x  3  0 . 3 B. X    . 2 A. X  1 . C. X  0 .  3 D. X  1;  .  2 Hướng dẫn giải Chọn D. Các phần tử của tập hợp X   x   | 2 x 2  5 x  3  0 là các nghiệm của phương trình x  1 . 2 x2  5x  3  0   x  3  2 Câu 21. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?    A. x   x 2  5 x  6  0 .   B. x   3x 2  5 x  2  0 .   C. x   x 2  x  1  0 .  D. x   x 2  5 x  1  0 . Hướng dẫn giải Chọn C. x2  x 1  0  x  Câu 22. 1  5 nên x   x 2  x  1  0   . 2   Xác định số phần tử của tập hợp X  n   | n 4, n  2017 . A. 505 . B. 503 . C. 504 . D. 502 . Hướng dẫn giải Chọn A. Tập hợp X gồm các phần tử là những số tự nhiên nhỏ hơn 2017 và chia hết cho 4 . Từ 0 đến 2015 có 2016 số tự nhiên, ta thấy cứ 4 số tự nhiên liên tiếp sẽ có duy nhất một số chia hết cho 4 . Suy ra có 504 số tự nhiên chia hết cho 4 từ 0 đến 2015 . Hiển nhiên 2016 4 . Vậy có tất cả 505 số tự nhiên nhỏ hơn 2017 và chia hết cho 4 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 28 Dạng 2: Tập hợp con và hai tập hợp bằng nhau 1. Phương pháp A Ì B  ( "x Î A  x Î B ) Các tính chất: + A Ì A, "A + Æ Ì A, "A + A Ì B, B Ì C  A Ì C  A = B  (A Ì B và B Ì A)  ( "x , x Î A  x Î B ) 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho A = { -4; -2; -1;2; 3; 4 } và B = { x Î Z | x £ 4 } . Tìm tập hợp X sao cho a) X Ì B A b) A Ì X Ì B c) A È X = B với X có đúng bốn phần tử Lời giải ïì x £ 4 ïì -4 £ x £ 4  ïí  x Î { -4; -3; -2; -1; 0;1;2; 3; 4 } Ta có ïí ïï x Î Z ïï x Î Z î î Suy ra B = { -4; -3; -2; -1; 0;1;2; 3; 4 } a) Ta có B A = { -3; 0;1} Suy ra X Ì B A thì các tập hợp X là Æ, { -3 } , { 0 } , {1} , { -3; 0 } , { -3;1} , { 0;1} , { -3; 0;1} b) Ta có { -4; -2; -1;2; 3; 4 } Ì X Ì { -4; -3; -2; -1; 0;1;2; 3; 4 } suy ra tập hợp X là { -4; -2; -1;2; 3; 4 }, { -4; -2; -3; -1;2; 3; 4 }, { -4; -2; -1; 0;2; 3; 4 } { -4; -2; -1;1;2; 3; 4 }, { -4; -2; -3; -1; 0;2; 3; 4 }, { -4; -2; -3; -1;1;2; 3; 4 } { -4; -2; -1; 0;1;2; 3; 4 }, { -4; -3; -2; -1; 0;1;2; 3; 4 } c) Ta có A  X  B với X có đúng bốn phần tử khi đó tập hợp X là 4; 3; 0;1 ,3; 2; 0;1 , 3; 1; 0;1 , 3; 0;1;2 , {-3; 0;1; 3 }, {-3; 0;1; 4 } 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho tập hợp A  a, b, c, d  . Tập A có mấy tập con? A. 15 . B. 12 . C. 16 . D. 10 . Hướng dẫn giải Chọn C. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 29 Số tập hợp con của tập hợp có 4 phần tử là 24  16 tập hợp con. Câu 2. Tập hợp nào sau đây có đúng một tập hợp con? A.  . B. 1 . C.  . D. 1; . Hướng dẫn giải Chọn A.  Đáp án A duy nhất một tập con là  .  Đáp án B còn một tập con nữa là tập  .  Đáp án C có hai tập con là  và  .  Đáp án D có ba tập con  , 1 và 1; . Câu 3. Cho tập hợp P . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? A. P  P . C. P  P . B.   P . D. P  P . Hướng dẫn giải Chọn D. Các đáp án A, B, C đúng. Đáp án D sai. Câu 4. Tập hợp nào sau đây có đúng hai tập hợp con? A.  x;  . B.  x . C.  x; y;  . D.  x; y . Hướng dẫn giải Chọn B. C1: Công thức số tập con của tập hợp có n phần tử là 2 n nên suy ra tập  x có 1 phần tử nên có 21  2 tập con. C2: Liệt kê số tập con ra thì  x có hai tập con là  x và  . Câu 5: Cho tập hợp A . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? A.   A . B. A   A . C. A  A . D. A  A . Lời giải Chọn C Câu 6. Số tập con của tập hợp có n A. 2 n  2 .  n  1, n    B. 2 n1 . phần tử là C. 2 n1 . D. 2 n . Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 30 Số tập con của tập hợp có n bằng 2 n . Câu 7. Cách viết nào sau đây là đúng? A. a   a; b  . B. a   a; b . C. a   a; b . D. a   a; b  . Lời giải Chọn B Câu 8.   Cho tập hợp A  x 2  1 x  * , x 2  5 . Khi đó tập A bằng tập hợp nào sau đây? A. A  1;2;3;4 . B. A  0;2;5 . C. A  2;5 . D. A  0;1;2;3;4;5 . Lời giải Chọn C  x 2  5  5  x  5   x  1; 2   x 2  1  2;5 Ta có:   * *  x    x   Vậy A  2;5 . Câu 9. Cho tập hợp A 1; 2;8 . Tập hợp A có tất cả bao nhiêu tập hợp con? A. 9 . B. 7 . C. 8 . D. 6 . Lời giải Chọn C Cách 1: Tập hợp có n phần tử thì có 2 n tập hợp con. Do đó tập hợp A có tất cả 23  8 tập hợp con. Cách 2: Các tập con của tập A là:  , 1 , 2 , 8 , 1; 2 , 2;8 , 1;8 , 1; 2;8 . Câu 10: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. A  A . B.   A . C. A   . D.    . Lời giải Chọn B. Câu 11: Cho hai tập hợp: X  n   | n là bội số của 4 và 6} và Y  n   | n là bội số của 12}. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? A. X  Y . B. Y  X . C. X  Y . D. n : n  X và n  Y . Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 31 Vì bội số chung nhỏ nhất của 4 và 6 là 12. Câu 12: Cho tập hợp A  1; 2; a , B  1; 2; a; b; x; y . Hỏi có bao nhiêu tập hợp X thỏa A X  B? A. 8 . B. 7 . C. 6 . D. 2n . Lời giải Chọn A 1; 2; a , 1; 2; a; b , 1; 2; a; x , 1; 2; a; y , 1; 2; a; b; x , 1; 2; a; b; y , 1; 2; a; x; y , 1; 2; a; b; x; y . Câu 13: Hai tập hợp nào dưới đây không bằng nhau ? 1 1 1 1 1  A. A   x | x  k , k  , x   và B   ; ;  . 2 8 2 4 8  B. A  3;9; 27;81 và B  3n | n  ,1  n  4 . C. A   x   | 2  x  3 và B  1;0;1; 2;3 . D. A   x   | x  5 và B  0;1; 2; 3; 4 . Lời giải Chọn A 1 1 1 1 1 1  Xét tập hợp A   x | x  k , k  , x   ta có : k   k  3  2k  23  k  3 , 2 8 2 2 2 8  1   1 1 1  suy ra: A   x | x  k , k  , k  3  A   ; ; ;... nên: A  B . 2   8 4 2  Câu 14: Cho tập hợp B   x  * | 3  x  4 . Tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con? A. 16 . C. 8 . B. 12 . D. 4 . Lời giải Chọn A Ta có: B   x  * | 3  x  4  1;2;3; 4 . Vậy tập B có 24  16 . Câu 15. Cho tập hợp A   x; y; z và B   x; y; z; t ; u . Có bao nhiêu tập X thỏa mãn A X  B? A. 16 . B. 4 . C. 8 . D. 2 . Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 32 Có 4 tập hợp X thỏa mãn A  X  B là: X 1   x; y; z ; X 2   x; y; z; t ; X 3   x; y; z; u và X 4   x; y; z; t ; u . Câu 16. Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa mãn 1; 2  X  1; 2;3; 4;5 ? B. 1. A. 8 . C. 3 . D. 6 . Lời giải Chọn A Các 8 tập X thỏa mãn đề bài là: 1; 2 , 1; 2;3 , 1; 2; 4 , 1; 2;5 , 1; 2;3; 4 , 1; 2;3;5 , 1; 2; 4;5 , 1; 2;3; 4;5 . Câu 17: Cho tập hợp A   x; y; z và B   x; y; z; t ; u . Có bao nhiêu tập X thỏa mãn A X  B? A. 16 . C. 8 . B. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn B Có 4 tập hợp X thỏa mãn A  X  B là: X 1   x; y; z ; X 2   x; y; z; t ; X 3   x; y; z; u và X 4   x; y; z; t ; u . Câu 18. Cho tập X có n  1 phần tử ( n   ). Số tập con của X có hai phần tử là A. n  n  1 . B. n  n  1 . 2 C. n  1 . D. n  n  1 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Lấy một phần tử của X , ghép với n phần tử còn lại được n tập con có hai phần tử. Vậy có  n  1 n tập. Nhưng mỗi tập con đó được tính hai lần nên số tập con của X có hai phần tử là n  n  1 . 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 33 BÀI 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I . GIAO CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu C = A Ç B (phần gạch chéo trong hình). Vậy A Ç B = {x | x Î A ; x Î B} ìx Î A ï x Î AÇB ï í ï ï îx Î B II . HỢP CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B Kí hiệu C = A È B (phần gạch chéo trong hình). Vậy A È B = {x | x Î A hoac x Î B } éx Î A x Î AÈB  ê êx Î B ë III . HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu C = A B (phần gạch chéo trong hình 7). Vậy A B = A È B = { x | x Î A ; x Ï B} ìx Î A ï x ÎA B ï í ï ï îx Ï B Khi B Ì A thì A B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu C A B. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Giao và hợp của hai tập hợp 1. Phương pháp Cần nắm chắc các định nghĩa A  B   x | x  A vaø x  B ; A  B   x | x  A hoaëc x  B 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho A  a; b; c và B  a; c; d ; e . Hãy chọn khẳng định đúng. A. A  B  a; c . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B. A  B  a; b; c; d ; e . Trang 34 C. A  B  b . D. A  B  d ; e . Lời giải Chọn A A. Đúng vì a; c vừa thuộc tập A, vừa thuộc tập B. B. HS nhầm là vừa thuộc A hoặc B. C. HS nhầm là thuộc A và không thuộc B. D. HS nhầm là thuộc B và không thuộc A. Câu 2: Cho hai tập hợp A  0; 2;3;5 và B  2;7 . Khi đó A  B A. A  B  2;5 . B. A  B  2 . C. A  B   . D. A  B  0; 2;3;5;7 . Lời giải Chọn B A  B  2 . Câu 3. Cho hai tập hợp X  1;2;4;7;9 và X  1;0;7;10 . Tập hợp X  Y có bao nhiêu phần tử? A. 9 . B. 7 . C. 8 . D. 10 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có X  Y  1;0;1;2;4;7;9;10 . Do đó X  Y có 8 phần tử. Câu 4. Cho A   x   | x  3 , B  0;1;2;3 . Tập A  B bằng A. 1;2;3 . B. 3; 2; 1;0;1;2;3 . C. 0;1;2 . D. 0;1;2;3 . Hướng dẫn giải Chọn D. A   x   | x  3  0; 1; 2; 3  A  B  0; 1; 2; 3 . Câu 5. Cho A , B là hai tập hợp bất kì. Phần gạch sọc trong hình vẽ bên dưới là tập hợp nào sau đây? A A. A  B . B B. B A . C. A B . Hướng dẫn giải D. A  B . Chọn D. Theo biểu đồ Ven thì phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp A  B . Câu 6.      Cho 2 tập hợp A  x   | 2 x  x 2 2 x 2  3x  2  0 , B  n   | 3  n 2  30 , chọn mệnh đề đúng? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 35 A. A  B  2 . B. A  B  5;4 . C. A  B  2;4 . D. A  B  3 . Hướng dẫn giải Chọn A.      Xét tập hợp A  x   | 2 x  x 2 2 x 2  3x  2  0 ta có:  2 x  x 2  2 x 2  3x  2   0 x  0  2 x  x  0 1 x   1  A     2 0; 2;   . 2 2    2 x  3x  2  0 x  2  2 Xét tập hợp B  n   | 3  n 2  30  2;3; 4;5 . Vậy A  B  2 . Câu 7: Cho A  {x   |  2 x – x 2  2 x 2 – 3 x – 2   0} và B  {n  * | 3  n 2  30} . Tìm kết quả phép toán A  B . A. 2; 4 . B. 2 . C. 4;5 . D. 3 . Lời giải Chọn A Câu B, C, D do Hs tính sai phép toán. Câu 8. Cho hai tập hợp A  1; 2; a; b , B  1; x; y với x, y khác a, b, 2,1 . Kết luận nào sau đây đúng? A. A  B  B . C. A  B  A . B. A  B   . D. A  B  1 . Lời giải Chọn D Hai tập hợp A, B có 1 phần tử chung là 1 nên A  B  1 . Câu 9. Cho hai tập hợp X  1;2;4;7;9 và Y  1;0;7;10 . Tập hợp X  Y có bao nhiêu phần tử? A. 9 . B. 7 . C. 8 . D. 10 . Lời giải Chọn C Ta có : X  Y  1;0;1;2;4;7;9;10 nên tập hợp X  Y có 8 phần tử. Câu 10.   Cho các tập hợp sau A  x   |  x  2 x 2  x 2  3 x  2   0 và B  n   | 3  n  n  1  31 . Khi đó A. A  B  2; 4 . B. A  B  4;5 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. A  B  2 . D. A  B  3 . Trang 36 Lời giải Chọn C. Ta có: A  0;1; 2 và B  2;3; 4;5 . Vậy: A  B  2 . Câu 10: Cho hai đa f ( x ) và thức g(x ) . Xét các B = { x Î  | g ( x ) = 0} , C = { x Î  | f ( x ) + g ( x ) = 0 } . 2 2 tập hợp A = { x Î  | f ( x ) = 0} , Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. C = A È B. B. C = A Ç B. C. C = A B. D. C = B A. Lời giải. Chọn B. ìï f ( x ) = 0 Ta có f 2 ( x ) + g2 ( x ) = 0  ïí ïï g ( x ) = 0 î Câu 11: Cho hai tập nên C = { x Î  | f ( x ) = 0, g ( x ) = 0} nên C = A Ç B. hợp H = { x Î  | f ( x ) g ( x ) = 0} . A. H = E Ç F . B. H = E È F . E = { x Î  | f ( x ) = 0} , F = { x Î  | g ( x ) = 0} . Tập hợp Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? C. H = E F . D. H = F E . Lời giải. Chọn B. é f (x ) = 0 Ta có f ( x ) g ( x ) = 0  êê êë g ( x ) = 0 nên H = { x Î  | f ( x ) = 0  g ( x ) = 0} nên H = E È F . Dạng 2: Hiệu và phần bù của hai tập hợp 1. Phương pháp Cần nắm chắc các định nghĩa A B   x | x  A vaø x  B Nếu A  E thì E A  CEA . 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Cho A  2; 4;6;9 và B  1; 2;3; 4 . Tìm A B Lời giải A B  6;9 Ví dụ 2. Cho hai tập hợp A  1; 2; 4;6 , B  1; 2;3; 4;5;6;7;8 . Tìm khi CB A Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 37 CB A  B A  3;5;7;8 . Ví dụ 3.     Cho A  x   mx  3  mx  3 , B  x   x 2  4  0 . Tìm m để B A  B . Lời giải Ta có: x  A  mx  3  0 .  x2 xB   .  x  2  m0   m0   m  0   3  0m 3 3 3 2     m . Ta có: B A  B  B  A     m 2  2 2  3  m  0   m  0   2  3    2    m 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho hai tập hợp A  {2; 4; 6; 9}, B  {1; 2; 3; 4}. Tập hợp A B bằng tập hợp nào sau đây? A. { 2; 4}. B. {1; 3}. C. {6; 9}. D. {6; 9;1; 3}. Lời giải Chọn C Ta có A B  6;9 . Câu 2. Cho hai tập hợp A   10; 4  , B   6;1 . Khi đó C A B là A.  10; 6  . B.  6;1 . C.  10; 6   1; 4  . D. 1; 4  . Lời giải Chọn C C A B  A B   10; 6   1; 4  . Câu 3: Phần tô đậm trong hình vẽ sau biểu diễn tập hợp nào? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 38 A. B A . C. A  B . B. A B . D. A  B . Lời giải Chọn A Câu 4. Cho hai tập hợp A  2; 4;6;9 , B  1; 2;3; 4 . Tập A B bằng tập hợp nào sau đây? A. 2; 4 . B. 1;3 . C. 6;9 . D. 6;9;1;3 . Lời giải Chọn C Ta có: A B   x | x  A; x  B  6;9 . Câu 5. Phần tô đậm trong hình vẽ sau biểu diễn tập hợp nào? A. B A . C. A  B . B. A B . D. A  B . Lời giải Chọn A Câu 6. Cho tập A  0,1, 2,3, 4 , B  2,3, 4,5, 6 . Tập B A bằng A. 5, 6 . B.  5; 6  . C. 0,1 . D. 2,3, 4 . Lời giải Chọn A. Ta có: B A  5, 6 . Câu 7. Cho A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật và C là tập hợp các hình vuông. Khi đó A. B A  C . B. A  B  C . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. A B  C . D. A  B  C . Trang 39 Lời giải Chọn D Theo tính chất của hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông, ta có: C  A và C  B nên B A  C , A B  C là các mệnh đề sai. Vì hình vuông vừa là hình thoi và cũng là hình chữ nhật nên A  B  C là mệnh đề đúng và A  B  C là mệnh đề sai. Câu 8. Cho hai tập hợp M , N , M  N . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M  N  N . B. M N  N . C. M  N  M . D. M N  M . Lời giải Chọn D Theo giả thiết ta có M  N . Ta có sơ đồ Ven Câu 9 . Cho hai tập hợp: A  0;1; 2;3; 4 và B  2; 4; 6;8;10 . Tập A B bằng A. 6;8;10 . B. 0;1;3 . C. 2; 4 . D. 0;1; 2;3; 4; 6;8;10 . Lời giải Chọn B Tập A B  0;1;3 . Câu 10. Cho A : "Tập hợp các học sinh khối 10 học giỏi", B : “Tập hợp các học sinh nữ học giỏi”, C : “Tập hợp các học sinh nam khối 10 học giỏi”. Vậy tập hợp C là: A. A  B . C. A  B . B. B A . D. A B . Lời giải Chọn D Vì tập hợp B có chứa cả các học sinh nữ khối 10 học giỏi nên tập hợp C gồm những phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B . Do đó, C  A B . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 40 Câu 11: Cho các tập hợp A , B , C . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. A   B  C   A   B  C  . B. A   B  C   A   B  C  . C. A  B  C    A B    A C  . D. A  B  C    A B    A C  . Lời giải Chọn D Câu 12. Cho các tập hợp A, B, C được minh họa bằng biểu đồ Ven như hình vẽ. Phần tô màu xám trong hình là biểu diễn của tập hợp nào sau đây? A. A  B  C . B.  AC    A B  . C.  A  B  C . D.  A  B  C . Lời giải Chọn D Phần tô xám trong hình là biểu diễn tập hợp các điểm vừa thuộc A, B mà không thuộc C . Chính là tập  A  B  C . Câu 13: Cho A  {0;1; 2;3; 4} , B  {2;3; 4;5;6} . Tính phép toán  A B    B A . A. 0;1;5;6 . B. 1; 2 . C. 2;3; 4 . D. 5;6 . Lời giải Chọn A Câu 14: Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. A   A  B    A B  . B. B   A  B    A B  . C. B   A  B    A B  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 D. A   A  B    A B  Trang 41 Lời giải Chọn A x  A  B x  A    x   A  B   A B . x  A B x  A  B x   A  B    A B     x  A. x  A B + Học sinh có thể chọn B vì hiểu sai hiệu của hai tập hợp. Giả sử x  A  B x  B    x   A  B   A B . x  A B x  A  B x   A  B    A B     x  B. x  A B + Học sinh có thể chọn C vì hiểu x  A  B x  B    x   A  B   A B . x  A B sai hiệu của hai tập hợp 2 tập hợp x  A  B x   A  B    A B     x  B. x  A B + Học sinh có thể chọn D vì nhầm giữa ký hiệu hợp và giao hai tập hợp. Câu 15: Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. A   B A  . B. B   B A  . C. A   B A  . D. A   B A  B. Lời giải Chọn A x  A x  A  + Chọn đáp án A vì giả sử x  A   B A   . x  B A x  A + Học sinh có thể chọn B vì x  B x  B x  B   B A    x  B A x  B hiểu sai ký hiệu hiệu + Học sinh có thể chọn C vì hiểu sai ký hiệu hợp, trình bài như bài giao hai tập hợp. + Học sinh có thể chọn D vì không nắm rõ ý nghĩa các ký hiệu x  A   B A  x  B A  x  B. x  B  x  B A  x  A   B A  . Câu 16: Cho hai đa thức f (x ) và . g(x ) . ì üï ï f (x ) = 0ïý . B = { x Î  | g ( x ) = 0} , C = ï íx Î  | ï ïï g( x ) ï î þ A. C = A È B. B. C = A Ç B. C. C = A B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Xét các tập hợp A = { x Î  | f ( x ) = 0} , Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? D. C = B A. Trang 42 Lời giải. Chọn C. Ta có ìï f ( x ) = 0 f (x ) = 0  ïí ïï g ( x ) ¹ 0 g(x ) î hay C = { x Î  | f ( x ) = 0, g ( x ) ¹ 0} nên C = A B. Dạng 3: Bài toán sử dụng biểu đồ Ven 1. Phương pháp  Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp · Sử dụng biểu đồ ven để minh họa các tập hợp · Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập được đẳng thức(hoặc phương trình hệ phương trình) từ đó tìm được kết quả bài toán Trong dạng toán này ta kí hiệu n ( X ) là số phần tử của tập X . 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá cầu , 30 em biết chơi cầu lông , 15 em biết chơi cả hai . Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? bao nhiêu em chỉ biết đánh cầu lông?Sĩ số lớp là bao nhiêu? Lời giải Dựa vào biểu đồ ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là 25 25  15  10 30 15 Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là 30 - 15 = 15 Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là 10 + 15 + 15 = 40 Trong số 220 học sinh khối 10 có 163 bạn biết chơi bóng chuyền, 175 bạn biết chơi bóng bàn còn 24 bạn không biết chơi môn bóng nào cả. Tìm số học sinh biết chơi cả 2 môn bóng. Ví dụ 2: Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên. Lời giải Gọi a, b, c theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán; x là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và toán y là số học sịnh chỉ thích hai môn là Sử và toán z là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và Sử Ta có số em thích ít nhất một môn là 45 - 6 = 39 Sựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình ìïa + x + z + 5 = 25 (1) ïï ïïb + y + z + 5 = 18 (2) ïí ïïc + x + y + 5 = 20 (3) ïï ïïî x + y + z + a + b + c + 5 = 39 (4) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có 25(V) 5 20(T) y a z Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 c x b 18(S) Trang 43 a + b + c + 2 ( x + y + z ) + 15 = 63 (5) Từ (4) và (5) ta có a  b  c  2  39  5  a  b  c   15  63  a + b + c = 20 Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên. Ví dụ 3: Trong lớp 10C1 có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh giỏi môn Lý và 11 học sinh giỏi môn Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lý, 6 học sinh vừa giỏi Lý và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó chỉ có 11 học sinh giỏi đúng hai môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp a) Giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa b) Giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc hóa. Lời giải Gọi T , L, H lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán, Lý, Hóa. B là tập hợp học sinh giỏi đúng hai môn. Theo giả thiết ta có n (T ) = 16, n ( L ) = 15, n ( H ) = 11, n ( B ) = 11 16(T) n (T  L ) = 9, n ( L  H ) = 6, n ( H  T ) = 8 và a) Xét tổng n(T  L )  n(L  H )  n( H  T ) thì mỗi phần tử của tập 8(TH) 11(H) 9(LT) 6(LH) 15(L) hợp T Ç L Ç H được tính ba lần do đó ta có n(T Ç L) + n(L Ç H ) + n(H Ç T ) - 3n (T Ç L Ç H ) = n ( B ) 1é n(T Ç L) + n(L Ç H ) + n(H Ç T ) - n ( B ) ùû = 4 Suy ra có 4 học sinh 3ë giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Hay n (T Ç L Ç H ) = b) Xét n (T  L ) + n ( L  T ) thì mỗi phần tử của tập hợp T  L  H được tính hai lần do đó số học sinh chỉ giỏi đúng môn toán là n (T ) - éê n (T  L ) + n ( H  T ) - n (T Ç L Ç H ) ùú = 16 - ( 9 + 8 - 4 ) = 3 ë û Tương tự ta có Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Lý n ( L ) - éê n (T  L ) + n ( L  H ) - n (T Ç L Ç H ) ùú = 15 - ( 9 + 6 - 4 ) = 4 ë û Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Hóa n ( H ) - éê n ( H  T ) + n ( L  H ) - n (T Ç L Ç H ) ùú = 11 - ( 8 + 6 - 4 ) = 1 ë û Suy ra số học sinh giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc hóa là 3 + 4 + 1 = 8 . Ví dụ 4. Trong một khoảng thời gian nhất định, tại một địa phương, Đài khí tượng thủy văn đã thống kê được: Số ngày mưa: 10 ngày; Số ngày có gió: 8 ngày; Số ngày lạnh: 6 ngày; Số ngày mưa và gió: 5 ngày; Số ngày mưa và lạnh : 4 ngày; Số ngày lạnh và có gió: 3 ngày; Số ngày mưa, lạnh và có gió: 1 ngày. Vậy có bao nhiêu ngày thời tiết xấu (Có gió, mưa hay lạnh)? Lời giải Ký hiệu A là tập hợp những ngày mưa, B là tập hợp những ngày có gió, C là tập hợp những ngày lạnh. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 44 Theo giả thiết ta có: n  A   10, n  B   8 , n (C ) = 6, A B 5 10 8 1 3 4 C 6 n(A Ç B ) = 5, n(A Ç C ) = 4, n(B Ç C ) = 3, n(A Ç B Ç C ) = 1 . Để tìm số ngày thời tiết xấu ta sử dụng biểu đồ Ven(hình vẽ). Ta cần tính n(A È B È C ) . Xét tổng n ( A ) + n ( B ) + n (C ) : trong tổng này, mỗi phần tử của A giao B, B giao C, C giao A được tính làm hai lần nên trong tổng n  A   n  B   n  C  ta phải trừ đi tổng n(A Ç B ) + n(B Ç C ) + n(C Ç A) . Trong tổng n ( A ) + n ( B ) + n (C ) được tính n ( A Ç B Ç C ) 3 lần, trong n(A Ç B ) + n(B Ç C ) + n(C Ç A) cũng được tính n  A  B  C  3 lần. Vì vậy n(A È B È C ) = n ( A ) + n ( B ) + n (C ) - n(A Ç B ) - n(B Ç C ) - n(C Ç A) + n ( A Ç B Ç C ) = 10 + 8 + 6 - (5 + 4 + 3) + 1 = 13 Vậy số ngày thời tiết xấu là 13 ngày. Nhận xét: Với A, B,C là các tập bất kì khi đó ta luôn có · n (A È B ) = n (A) + n (B ) - n (A Ç B ) 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Lớp 10A có 51 bạn học sinh trong đó có 31 bạn học tiếng Anh và 27 bạn học tiếng Nhật. Lớp 10A có bao nhiêu bạn học cả tiếng Anh và tiếng Nhật? A. 7 . B. 9 . C. 5 . D. 12 . Lời giải Chọn A Số học sinh học cả tiếng Anh và tiếng Nhật của lớp 10A là 31  27  51  7 bạn. Câu 2. Lớp 10A có 45 học sinh, trong đó có 15 học sinh được xếp loại học lực giỏi, 20 học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, 10 em vừa được xếp loại học lực giỏi , vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc xếp loại hạnh kiểm tốt? A. 10 . B. 35 . C. 25 . D. 45 . Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 45 Gọi A là tập hợp học sinh được xếp loại học lực giỏi . Gọi B là tập hợp học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt . Khi đó A  B là tập hợp học sinh vừa được xếp loại học lực giỏi , vừa có hạnh kiểm tốt . A  B là tập hợp học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc xếp loại hạnh kiểm tốt . Ta có n  A  B   n  A  n  B   n  A  B   15  20  10  25 . Câu 3. Trong số 50 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực giỏi, 25 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa được học sinh giỏi vừa được hạnh kiểm tốt. Khi đó, lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải có học lực giỏi hay hạnh kiểm tốt. A. 20 . B. 30 . C. 35 . D. 25 . Lời giải Chọn B Đề có sự không thống nhất trong diễn đạt nên tôi sửa đề bài toán lại thành: Trong số 50 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực giỏi, 25 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa được xếp loại học lực giỏi vừa được xếp loại hạnh kiểm tốt. Khi đó, lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải có học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt. Từ giả thiết bài toán, ta có: Số các học sinh chỉ có học lực giỏi là: 15  10  5 . Số các học sinh chỉ được xếp loại hạnh kiểm tốt là: 25  10  15 . Tổng số học sinh có học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt là 10  5  15  30 . Vậy có 30 học sinh được khen thưởng. Câu 4: Lớp 10B1 có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hóa, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn của lớp 10B1 là: A. 9. B. 10. C. 18. D. 28. Lời giải. Chọn B. Ta dùng biểu đồ Ven để giải: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 46 Giỏi Toán + Lý Lý Toán 1 2 1 1 Giỏi Lý + Hóa 1 3 1 Giỏi Toán + Hóa Hóa Nhìn vào biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất 1 trong 3 môn là: 1 + 2 +1 + 3 + 1 +1 +1 = 10 Câu 5. Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi hóa, 6 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 5 học sinh giỏi cả Hóa và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 3 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn của lớp 10A là A. 19 . B. 18 . C. 31 . D. 49 . Hướng dẫn giải Chọn B. Theo giả thiết đề bài cho, ta có biểu đồ Ven:  F2 Lý 6 Toán 3 5 4 Hóa Dựa vào biểu đồ Ven, ta có học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn của lớp 10A là Số học sinh giỏi Toán: 6  4  3  13 . Số học sinh giỏi Lý: 6  5  3  14 . Số học sinh giỏi Hóa: 4  5  3  12 . Ta lại có: Số học sinh giỏi cả Toán và Lý: 6 . Số học sinh giỏi cả Toán và Hóa: 4 . Số học sinh giỏi cả Hóa và Lý: 5 . Và số học sinh giỏi cả Toán, Lý và Hóa là 3 . Số học sinh giỏi hơn một môn là 4  6  5  3  18 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 47 Câu 6. Lớp 10 A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hoá, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hoá, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hoá, 1 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hoá. Số học sinh giỏi ít nhất một môn của lớp 10 A là A. 9 . B. 18 . C. 10 . D. 28 . Hướng dẫn giải Chọn C. toán 7 3 lý 1 5 2 4 hóa 6 Số học sinh giỏi toán, lý mà không giỏi hóa: 3  1  2 . Số học sinh giỏi toán, hóa mà không giỏi lý: 4  1  3 . Số học sinh giỏi hóa, lý mà không giỏi toán: 2  1  1 . Số học sinh chỉ giỏi môn lý: 5  2  1  1  1 . Số học sinh chỉ giỏi môn hóa: 6  3  1  1  1 . Số học sinh chỉ giỏi môn toán: 7  3  2  1  1 . Số học sinh giỏi ít nhất một là số học sinh giỏi 1 môn hoặc 2 môn hoặc cả 3 môn: 1  1  1  1  2  3  1  10 . Câu 7: Một lớp có 45 học sinh. Mỗi em đều đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn: bóng đá và bóng chuyền. Có 35 em đăng ký môn bóng đá, 15 em đăng ký môn bóng chuyền. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký chơi cả 2 môn? A. 5. B. 10. C. 30. D. 25. Lời giải Chọn A Đáp án A đúng vì: Gọi A là tập hợp các học sinh đăng ký chơi bóng đá, B là tập hợp các học sinh đăng ký chơi bóng chuyền. Dựa vào biểu đồ Ven, ta có: số học sinh đăng ký cả 2 môn là A  B  A  B  A  B  35  15  45  5 . |A|=35 |B|=15 5 Đáp án B sai vì học sinh tính 45  35  10 . Đáp án C sai vì học sinh tính 45  15  30 . Đáp án D sai vì học sinh tính  35  15 : 2  25 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 48 Câu 8. Trong kì thi đánh giá năng lực lần I năm học 2018 – 2019 của trường THPT Triệu Quang Phục, kết quả có 86 thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán, 61 thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật Lí và 76 thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa Học, 45 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Vật Lí, 21 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Vật Lí và Hóa Học, 32 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Hóa Học, 18 thí sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Vật Lí và Hóa Học. Có 782 thí sinh mà cả ba môn đều không điểm giỏi. Hỏi trường THPT Triệu Quang Phục có bao nhiêu thí sinh tham dự kì thi đánh giá năng lực lần I năm học 2018 – 2019? A. 920. B.912. C.925. D.889. Lời giải Chọn D Ta biểu diễn các tập hợp như trong biểu đồ: Thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán được biểu diễn màu trắng, Thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật Lý được biểu diễn màu tím. Thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa được biểu diễn màu đỏ. Mỗi tập hợp nhỏ bên trong gọi tên như trong hình. Ta có số thí sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Vật Lí và Hóa Học là n  A7   18 . 45 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Vật Lí ta được n  A7   n  A2   45 . 32 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Hóa Học ta được n  A4   n  A7   32 . 21 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Vật Lí và Hóa Học ta được n  A6   n  A7   21 . Số thí sinh đạt điểm giỏi chỉ hai môn là n  A6   n  A4   n  A2    n  A7   n  A2     n  A4   n  A7     n  A6   n  A7    3n  A7   45  21  32  3.18  44 86 thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán ta được n  A2   n  A3   n  A4   n  A7   86 . 61 thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật Lí ta được n  A1   n  A6   n  A7   n  A2   61 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 49 76 thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa Học ta được n  A4   n  A6   n  A7   n  A5   76 . Số thí sinh đạt điểm giỏi chỉ một môn là n  A1   n  A3   n  A5   86  61  76  3n  A7   2  n  A6   n  A4   n  A2    86  61  76  3.18  2.44  81 Số thí sinh đạt điểm giỏi gồm n  A1   n  A2   n  A3   n  A4   n  A5   n  A6   n  A7   n  A1   n  A3   n  A5   n  A6   n  A4   n  A2   n  A7   81  44  18  143 Trường THPT Triệu Quang Phục có số thí sinh tham dự kì thi đánh giá năng lực lần I năm học 2018 – 2019 bao gồm số thí sinh đạt điểm giỏi và số thí sinh không đạt điểm giỏi nên bằng: 782  143  925 thí sinh. Cách 2: Ta có số thí sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Vật Lí và Hóa Học là n  A7   18 . 45 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Vật Lí ta được n  A7   n  A2   45  n  A2   45  18  27 . 32 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Hóa Học ta được n  A4   n  A7   32  n  A4   32  18  14 . 21 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Vật Lí và Hóa Học ta được n  A6   n  A7   21  n  A6   21  18  3 . 86 thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán ta được n  A2   n  A3   n  A4   n  A7   86  n  A3   86  18  27  14  27 . 61 thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật Lí ta được n  A1   n  A6   n  A7   n  A2   61  n  A1   61  18  27  3  13 . 76 thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa Học ta được n  A4   n  A6   n  A7   n  A5   76  n  A5   76  18  3  14  41 . Số thí sinh đạt điểm giỏi gồm n  A1   n  A2   n  A3   n  A4   n  A5   n  A6   n  A7   18  3  14  27  41  27  13  143 . Câu 9. Đầu năm học;thầy chủ nhiệm phát biểu điều tra sở thích về 3 môn Văn;Sử;Địa. Biết rằng mỗi bạn đều thích ít nhất một trong ba môn đó. Kết quả là: Có 4 bạn thích cả ba môn;có 9 bạn thích Văn và Sử;có 5 bạn thích Sử và Địa;có 11 bạn thích Văn và Địa;có 24 bạn thích Văn;có 19 bạn thích Sử và có 22 bạn thích Địa? Hỏi có bao nhiêu bạn không thích Địa? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 50 A. 21 . C. 24 . B. 23 . D. 22 . Lời giải Chọn D Văn 8 Sử 5 7 4 9 10 1 Địa Dựa vào biểu đồ Ven;ta có: - Số học sinh chỉ thích hai môn Văn và Sử là 5 . - Số học sinh chỉ thích hai môn Sử và Địa là 1. - Số học sinh chỉ thích hai môn Văn và Địa là 7 . - Số học sinh chỉ thích một môn Văn là 8 . - Số học sinh chỉ thích một môn Sử là 9 . - Số học sinh chỉ thích một môn Địa là 10 . Do đó;số bạn không thích môn Địa là 9  5  8  22 . Câu 10. Một lớp có 40 học sinh, trong đó có 24 học sinh giỏi Toán, 20 học sinh giỏi Văn và 12 học sinh giỏi không giỏi môn nào trong hai môn Toán và Văn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh giỏi cả hai môn Toán và Văn? A. 8 . B. 4 . C. 16 . D. 18 . Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 51 Gọi a là số học sinh giỏi Văn không giỏi Toán, b là số học sinh giỏi Toán hông giỏi Văn, x là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Văn. a  x  20  Ta có hệ phương trình b  x  24 a  b  x  12  40  Giải hệ ta được a  4, b  8, x  16 Vậy có 16 học sinh giỏi cả hai môn Toán và Văn Câu 11. Người ta phỏng vấn 100 người về ba bộ phim A, B, C đang chiếu thì được kết quả như sau: Bộ phim A : có 28 người đã xem. Bộ phim B : có 26 người đã xem. Bộ phim C : có 14 người đã xem. Có 8 người đã xem hai bộ phim A và B Có 4 người đã xem hai bộ phim B và C Có 3 người đã xem hai bộ phim A và C Có 2 người đã xem cả ba bộ phim A ; B và C . Số người không xem bất cứ phim nào trong cả ba bộ phim A; B; C là A. 55 . B. 45 . C. 32 . D. 51 . Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 52 Số người đã xem phim là: 28  26  14  4  8  3  2  55 . Số người không xem bất cứ phim nào trong cả ba phim là: 100  55  45 . Câu 12. Trong kì thi đánh giá năng lực lần I năm học 2018-2019 của trường THPT Triệu Quang Phục, kết quả có 86 thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán, 61 thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật lí và 76 thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa học, 45 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Vật lí, 21 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Vật lí và Hóa học, 32 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Hóa học, 18 thí sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Vật lí và Hóa học. Có 782 thí sinh mà cả ba môn đều không đạt điểm giỏi. Hỏi trường THPT Triệu Quang Phục có bao nhiêu thí sinh tham dự kì thi đánh giá năng lực lần I năm học 2018-2019? A. 920 . B. 912 . C. 925 . D. 889 . Lời giải Chọn C Ta có biểu đồ Ven: Lí 27 13 Toán 27 18 3 14 41 Hóa 782 Cả trường Số thí sinh đạt điểm giỏi đúng 2 môn Toán và Lí là 45  18  27 . Số thí sinh đạt điểm giỏi đúng 2 môn Toán và Hóa là 32  18  14 . Số thí sinh đạt điểm giỏi đúng 2 môn Lí và Hóa là 21  18  3 . Số thí sinh đạt điểm giỏi đúng 1 môn Toán là 86  18  14  27  27 . Số thí sinh đạt điểm giỏi đúng 1 môn Lí là 61  18  27  3  13 . Số thí sinh đạt điểm giỏi đúng 1 môn Toán là 76  18  14  3  41 . Từ đó ta có số thí sinh tham dự kì thi là 13  3  41  86  782  925 . Câu 13. Học sinh khối 10 năm học 2018 – 2019 của Trường Gia Bình số 1 có 200 học sinh theo khối A1, mỗi học sinh đều giỏi 1 trong 3 môn: Toán, Lí, Anh. Có 59 học sinh giỏi Anh, số học sinh giỏi Toán gấp bốn số học sinh giỏi Lí, có 4 học sinh giỏi Lí và Anh, không có học sinh nào giỏi Lí và Toán, có 5 học sinh giỏi Anh và Toán. Hỏi có bao nhiêu học sinh giỏi Toán? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 53 A. 96 . B. 100 . C. 120 . D. 110 . Lời giải Chọn C Gọi x là số học sinh giỏi Toán. Suy ra số học sinh giỏi Lí là x x ; số học sinh chỉ giỏi duy nhất Lí là  4 ; số học sinh chỉ 4 4 giỏi duy nhất Toán là x  5 . Do đó ta có: 59  x 5  4  x  5  200  x  150  x  120 . 4 4 Vậy có 120 học sinh giỏi Toán. Dạng 4. Chứng minh X  Y . Chứng minh X  Y 1. Phương pháp Chứng minh X  Y   x , x  X  x  Y  Chứng minh X  Y Cách 1: X  Y   x , x  X  x  Y  Cách 2: Chứng minh X  Y và Y  X 2. Ví dụ ïì p ïü ïì 2p ïü Ví dụ 1: Cho các tập hợp A = ï + k p, k Î Z ïý và í + k p, k Î Z ïý , B = ïí ïîï 3 ïþï ïîï 3 ïþï ì 2p k p ü ï ï + , k Î Zï C =ï íý ï ï 2 ï 3 ï î þ a) Chứng minh rằng A  B . b) A Ì C Lời giải a) · Ta có "x Î A  $k0 Î Z : x = x = p + k0 p suy ra 3 p 2p - p + ( k0 + 1 ) p = + ( k0 + 1) p . 3 3 Vì k0  Z  k0  1  Z do đó x Î B suy ra A Ì B (1). · " x Î B  $k 0 Î Z : x = x 2p + k0 p suy ra 3 2      k0  1     k0  1  . 3 3 Vì k0 Î Z  k0 - 1 Î Z do đó x Î A suy ra B Ì A (2). Từ (1) và (2) suy ra A = B . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 54 b) Ta có x  A  k0  Z : x  x =  3  k0 suy ra 2 ( k0 + 1 ) p p 2p 2 ( k 0 + 1 ) p -p + =+ . 3 2 3 2 Vì k0 Î Z  2 ( k0 + 1 ) Î Z do đó x Î C Suy ra A Ì C . Ví dụ 2: Cho A và B là hai tập hợp. Chứng minh rằng a) ( A B ) Ì A b) A Ç ( B A ) = Æ c) A È ( B A ) = A È B Lời giải x  A  xA a) Ta có x , x  A B   x  B Suy ra ( A B ) Ì A ìï x Î A ïï ïìï x Î A b) Ta có x Î A Ç ( B A )  í  ïí x Î B  x Î Æ ïï x Î ( B A ) ïï î x ÏA ï ï î Suy ra A Ç ( B A ) = Æ é x ÎA ê é x ÎA éx Î A c) Ta có x Î A È ( B A )  êê  êê ìïï x Î B  êê  x ÎAÈB x Î (B A) x ÎB ê íï x Ï A ëê ëê êï ëî Ví dụ 3: Cho các tập hợp A, B và C . Chứng minh rằng a) A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) b) A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ) c) A Ç ( B C ) = ( A Ç B ) C Lời giải  xA  xA  a) Ta có x  A   B  C      x  B x  B  C   x  C éì ïx êï ê íï x ï  êê î ì ê ïï x êí ï êëî ïx ÎA éx Î A Ç B ÎB  êê  x Î (A Ç B ) È (A Ç C ) ÎA êë x Î A Ç C ÎC Suy ra A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) . é x ÎA ê é x ÎA ìx Î B b) Ta có x Î A È ( B Ç C )  êê  êê ï ï êë x Î B Ç C êí êëî ïï x Î C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 55 ìï é x ïï ê ïï ê x  ïí ëê ïï é x ïï êê ïïî êë x ÎA ì ÎB ïx Î A È B ï  x Î (A È B ) Ç (A È C ) í ï ÎA ïî x Î A È C ÎC Suy ra A   B  C    A  B    A  C  ìx Î A ï ï ì x ÎA ï ï ï c) Ta có x Î A Ç ( B C )  í ï íx Î B ï ï x Î B C ï ïx Ï C î ï ï î ìï x Î A Ç B  ïí  x Î (A Ç B ) C ïï x Ï C î Suy ra A Ç ( B C ) = ( A Ç B ) C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 56 BÀI 4. CÁC TẬP HỢP SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I.CÁC TẬP HỢP SỐ Đà HỌC 1. Tập hợp các số tự nhiên   = { 0, 1, 2, 3, ...} ; * = { 1, 2, 3, ...}. 2. Tập hợp các số nguyên   = {..., - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Các số - 1, - 2, - 3, ... là các số nguyên âm. Vậy  gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm. 3. Tập hợp các số hữu tỉ  Số hữu tỉ biểu diễn được dưới dạng một phân số Hai phân số a b và c d a , b trong đó a, b Î , b ¹ 0. biểu diễn cùng một số hữu tỉ khi và chỉ khi ad = bc. Số hữu tỉ còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. 4. Tập hợp các số thực  Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ. Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. II . CÁC TẬP HỢP CON THƯỜNG DÙNG CỦA  Một số tập con thường dùng của tập hợp số thực Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Đoạn xR/ a  x  b Khoảng xR/ a < x < b Khoảng xR/ x > a Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Biểu diễn Trang 56 Khoảng  ,b  xR/ x < b Nửa khoảng xR/ a  x < b Nửa khoảng xR/ x  b Nửa khoảng xR/ a  x  Nửa khoảng  a, b xR/ a < x  b B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tìm giao và hợp các khoảng, nửa khoảng, đoạn 1. Phương pháp · Để tìm A Ç B ta làm như sau - Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số - Biểu diễn các tập A, B trên trục số(phần nào không thuộc các tập đó thì gạch bỏ) - Phần không bị gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp A, B · Để tìm A È B ta làm như sau - Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số - Tô đậm các tập A, B trên trục số - Phần tô đậm chính là hợp của hai tập hợp A, B 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho hai tập hợp A   7 ; 3 , B   4 ; 5 . Tìm A  B , A  B Lời giải Ta có: A  B   4 ; 3 , A  B   7 ; 5  4  Ví dụ 2: Cho số thực a  0 . Tìm a  ;9a    ;     a  Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 57 2  a  4 4 .  ;9a    ;      9a    3 a a   2  a  0  3 Vì a  0 nên giá trị của a cần tìm là  2 a0. 3 Ví dụ 3: Tìm điều kiện của m để A  B là một khoảng, biết A   m; m  2  ; B   4;7  . Lời giải m  4  m  2  7 2  m  4 m  4  7  m  2  A  B là một khoảng    5  m  7  2  m  7. 4  m  7  m  2  4  m  5  4  m  m  2  7 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Tập  ; 3   5; 2  bằng A.  5; 3 . B.  ; 5 . C.  ; 2  . D.  3; 2  . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có  ; 3   5; 2    5; 3 . Câu 2. Hình vẽ sau đây là biểu diễn của tập hợp nào?  2  5 A.  ; 2   5;   . B.  ; 2    5;   . C.  ; 2   5;   . D.  ; 2  5;   . Hướng dẫn giải Chọn A. Câu 3. Kết quả của  4;1   2;3 là A.  2;1 B.  4;3 C.  4;2 D. 1;3 Hướng dẫn giải Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 58  4  x  1 Cách 1: Gọi x   4;1   2;3 , ta có:   4  x  3  Chọn B.  2  x  3 Cách 2: Biểu diễn hai tập hợp  4;1 và  2;3 trên trục số rồi tìm hợp của hai tập hợp, Chọn B. Câu 4. Cho hai tập hợp A   2;3 và B  1;   . Tìm A  B . A. A  B   2;   . B. A  B  1;3 . C. A  B  1;3 . D. A  B  1;3 . Hướng dẫn giải Chọn B. Biểu diễn hai tập hợp A và B ta được: Vậy A  B  1;3 . Câu 5. Cho các tập hợp M   3;6 và N   ; 2    3;   . Khi đó M  N là A.  ;  2   3; 6 . B.  ;  2   3;    . C.  3;  2    3; 6 . D.  3;  2    3; 6  . Hướng dẫn giải Chọn C. Biểu diễn trục số: [ 3 ) ( 3 2 ] 6 M   3; 6 và N   ;  2    3;    . Khi đó: M  N   3;  2    3; 6 . Câu 6. Cho A   ; 2 , B   2;   , C   0;3 . Chọn phát biểu sai. A. A  C   0; 2 . B. B  C   0;   . C. A  B   2 . D. B  C   2;3 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: A  B   . Câu 7. Cho A   ; 2 , B  3;   , C   0; 4  . Khi đó tập  A  B   C là Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 59 A.  ; 2   3;   . B.  ; 2   3;   . C. 3;4 . D. 3; 4 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có A  B   ; 2  3;   . Suy ra  A  B   C  3; 4  . Câu 8. Cho A   ;5 , B   0;   . Tìm A  B . A. A  B   0;5 . B. A  B   0;5 . C. A  B   0;5 . D. A  B   ;   . Hướng dẫn giải Chọn C. A  B   0;5 . Câu 9. Cho A  1; 9  , B  3;   , câu nào sau đây đúng? A. A  B  1;   . B. A  B   9;   . C. A  B  1;3 . D. A  B  3;9 . Hướng dẫn giải Chọn D. A  B  1; 9   3;     3; 9  . Câu 10. Cho ba tập hợp: X   4;3 , Y   x   : 2 x  4  0, x  5  , Z   x   :  x  3 x  4   0  . Chọn câu đúng nhất: A. X  Y . B. Z  X . C. Z  X  Y . D. Z  Y . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: Y   x   : 2 x  4  0, x  5    2;5 ; Z  3;4  . 3  X  X  Y  A sai.  3  Y Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 60 4  Z  Z  X  B sai.  4  X 3  Z  Z  Y  D sai.  3  Y X  Y   4;5  3; 4   4;5 . Vậy Z  X  Y Vậy C đúng. Câu 11. Tập hợp nào dưới đây là giao của hai tập hợp A   x   : 1  x  3 , B   x   : x  2 ? B.  0;2 . A.  1; 2  . C.  2;3 . D.  1; 2  . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta viết lại hai tập hợp như sau: A   x   : 1  x  3   1;3 . B   x   : x  2   2; 2  . Suy ra: A  B   1; 2 . Câu 12.   Cho A  1;   , B  x   | x 2  1  0 , C   0; 4  . Tập  A  B   C có bao nhiêu phần tử là số nguyên. A. 3 . C. 0 . B. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn A. Ta có :  A  B   C  1; 4  có 3 phần tử là số nguyên. Câu 13. Cho hai tập hợp A   3;3 và B   0;   . Tìm A  B . A. A  B   3;    . B. A  B   3;    . C. A  B   3;0  . D. A  B   0;3 . Hướng dẫn giải Chọn A. Thực hiện phép hợp trên hai tập hợp A và B ta được: A  B   3;    . Câu 14. Kết quả của phép toán  ;1   1; 2  là A. 1; 2  . B.  ; 2  . C.  1;1 . Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 D.  1;1 . Trang 61 Chọn C. Ta có  ;1   1; 2    1;1 . Câu 15. Cho A   2;   , B   m;   . Điều kiện cần và đủ của m sao cho B là tập con của A là A. m  2 . B. m  2 . C. m  2 . D. m  2 . Hướng dẫn giải Chọn D. 2 ‐∞ B=(m;+∞) +∞ Ta có: B  A khi và chỉ khi x  B  x  A  m  2 . Câu 16. Cho A   ; m  1 ; B   1;   . Điều kiện để  A  B    là A. m  1 . B. m  2 . C. m  0 . D. m  2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có:  A  B     1  m  1  m  2 . Câu 17. m  3  Cho các tập hợp khác rỗng  m  1; và B   ; 3  3;   . Tập hợp các giá trị thực 2   của m để A  B   là A.  ; 2   3;   . B.  2;3 . C.  ; 2   3;5 . D.  ; 9    4;   . Hướng dẫn giải Chọn C. m3  m  1  2 m  5   Để A  B   thì điều kiện là   m  1  3    m  2 .  m  3  m  3  3  2 Vậy m    2   3;5 . Câu 18. Cho hai tập hợp A  1;3 và B   m; m  1 . Tìm tất cả giá trị của tham số m để B  A . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 62 A. m  1 . B. 1  m  2 . C. 1  m  2 . D. m  2 . Hướng dẫn giải Chọn C. m  1 m  1  . Vậy 1  m  2 . Ta có: B  A   m  1  3 m  2 Câu 19. Cho m là một tham số thực và hai tập hợp A  1  2m; m  3 , B   x   | x  8  5m . Tất cả các giá trị m để A  B   là A. m  5 . 6 2 B. m   . 3 C. m  5 . 6 2 5 D.   m  . 3 6 Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có A  1  2m; m  3 , B  8  5m;    . 5  m  m  3  8  5 m 6 m  5   2 5  6 A B           m . 3 6 1  2m  m  3 3m  2 m   2  3 Câu 20. Cho hai tập A   0;5 ; B   2a;3a  1 , với a  1 . Tìm tất cả các giá trị của a để A  B  . 5  a  2 A.  . a   1  3 5  a  2 B.  . a   1  3 1 5 C.   a  . 3 2 1 5 D.   a  . 3 2 Hướng dẫn giải Chọn C. a  1 1    2a  3a  1 a 1    1 5   a 3 A  B     3a  1  0     a . 3  3 2    2a  5 1  a  5 5     a 2 2   Dạng 2: Xác định hiệu và phần bù các khoảng, đoạn, nửa khoảng 1. Phương pháp · Để tìm A B ta làm như sau Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 63 - Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số - Biểu diễn tập A trên trục số(gạch bỏ phần không thuộc tập A ), gạch bỏ phần thuộc tập B trên trục số - Phần không bị gạch bỏ chính là A B . 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho các tập hợp: A = { x Î R |x < 3 } B = { x Î R |1 < x £ 5 } C = { x Î R |- 2 £ x £ 4 } a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn. b) Tìm A È B, A Ç B, A B . c) Tìm ( B È C ) ( A Ç C ) Lời giải a) Ta có: A = ( -¥; 3 ) b) · Biểu diễn trên trục số Suy ra A  B   ;5 B = ( 1;5 ùû 1 ( 1 · Biểu diễn trên trục số / / / / ( 3 ) C = éë -2; 4 ùû . 5 ] 3 5 )///]/// Suy ra A Ç B = ( 1; 3 ) · Biễu diễn trên trục số 1 3 5 ( / / / /)////] Suy ra A B = ( -¥;1 ùû c) Bằng cách biểu diễn trên trục số ta có A  C   2;3 và B È C = éë -2;5 ùû Suy ra ta có ( B È C ) ( A Ç C ) = éë 3;5 ùû Nhận xét: Việc biểu diễn trên trục số để tìm các phép toán tập hợp ta làm trên giấy nháp và trình bày kết quả vào. Ví dụ 2: Xác định các tập số sau và biểu diễn trên trục số: b) ( 0; 3 ) È éë 1; 4 ùû a) ( -4;2 ùû Ç éë 0; 4 ) d)  éë 1; 3 ùû c)  4;3  2;1 Lời giải 0 2 a) Ta có ( -4;2 ùû Ç éë 0; 4 ) = éë 0;2 ùû / / / / /[ ]/ / / / / / Biểu diễn tập đó trên trục số là 0 4 b) Ta có ( 0; 3 ) È éë 1; 4 ùû = ( 0; 4 ùû ////( ]/ / / / / / Trang 64 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Biểu diễn tập đó trên trục số là c) Ta có éë -4; 3 ùû éë -2;1 ùû = éë -4; -2 ) È ( 1; 3 ùû 4 / / /[ Biểu diễn tập đó trên trục số là 2 1 )/ / / /( 3 ]/ / / d) Ta có  1;3   ;1   3;   3 1 )[/ / / /]( Biểu diễn tập đó trên trục số là Ví dụ 3: Cho các tập hợp A = ( -¥; m ) và B = éë 3m - 1; 3m + 3 ùû . Tìm m để b) B  A a) A Ç B = Æ c) A Ì C B d) C A Ç B ¹ Æ m )/ / / / / / / / Lời giải Ta có biểu diễn trên trục số các tập A và B trên hình vẽ a) Ta có A Ç B = Æ  m £ 3m - 1  m ³ Vậy m ³ 3m  1 / / / / /[ 1 2 3m  3 ]/ / / / 1 là giá trị cần tìm. 2 b) Ta có B Ì A  3m + 3 < m  m < Vậy m   3 2 3 là giá trị cần tìm. 2 c) Ta có C B = ( -¥; 3m - 1 ) È ( 3m + 3; +¥ ) Suy ra A Ì C B  m £ 3m - 1  m ³ Vậy m ³ 1 2 1 là giá trị cần tìm. 2 3 d) Ta có C A = éë m; +¥ ) suy ra C A  B    m  3m  3  m   2 Vậy m ³ - 3 là giá trị cần tìm. 2 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1.  Cho tập hợp A   3; 5 . Tập hợp C A bằng  A. ;  3      B. ;  3   D. ;  3   5;   . 5;   . C. ;  3    5;   .      Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133  5;   .  Trang 65 Chọn D.    Ta có C A   A  ;  3   5;   . Câu 2. Phần bù của  2;1 trong  là A.  ;1 . B.  ; 2  1;   . C.  ; 2 . D.  2;   . Hướng dẫn giải Chọn B. C B   B   ; 2  1;   . Câu 3. Tập hợp nào sau đây chỉ gồm các số vô tỷ? A.  * . B.   . C.   . D.  0 . Hướng dẫn giải Chọn B. Tập hợp chỉ gồm các số vô tỷ là   . Câu 4. Cho các tập hợp A   x   | x  3 , B   x   |1  x  5 , C   x   | 2  x  4 . Khi đó B C  AC A.  2;3 . bằng B. 3;5 . C.  ;1 . D.  2;5 . Hướng dẫn giải Chọn B. A   ;3 , B  1;5 , C   2; 4 .  B  C   A  C   1;5   2; 4  ;3   2; 4   2;5  2;3  3;5 . Câu 5. Cho A   ;1 ; B  1;   ; C   0;1 . Câu nào sau đây sai? A.  A  B  C   ;0  1;   . B. A  B  C  1 . C. A  B  C   ;   . D.  A  B  C   . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có A  B  1  A  B  C  1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 66 Câu 6. Cho A   1;3 ; B   2;5  . Tìm mệnh đề sai. A. B A  3;5 . B. A  B   2;3 . C. A B   1; 2 . D. A  B   1;5 . Lời giải Chọn D. Mệnh đề đúng: A  B   1;5 . Câu 7. Cho các tập A   x   | x  1 , B   x   | x  3 . Tập   A  B  là : A.  ; 1  3;   . B.  1;3 . C.  1;3 . D.  ; 1   3;   . Lời giải Chọn A. Ta có : A   1;   ; B   ;3 . Khi đó A  B   1;3    A  B    ; 1  3;   . Câu 8. Cho hai tập hợp A   5  A.  ; 2  .  2    5 2;  và B   ;  . Khi đó  A  B    B A là 2    B.   5 C.  ; . 2    2;  .  5 D.  ; . 2   Hướng dẫn giải Chọn D.  5 Ta có A  B   , B A   ; . 2    5 Do đó  A  B    B A    ;  2   Câu 9. 5 2 A 2   B Cho A   1;3 và B   0;5 . Khi đó  A  B    A B  là A.  1;3 . B.  1;3 . C.  1;3 0 . D.  1;3 . Hướng dẫn giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 67 C1: Ta có: A  B   0;3 và A B   1;0  . Do đó:  A  B    A B    0;3   1;0   1;3 . C2: Ta có:  A  B    A B   A nên  A  B    A B    1;3 . Câu 10. Xác định phần bù của tập hợp  ; 2  trong  ;4  . A.   2; 4  . B.  2; 4 . C.  2; 4  . D.  2; 4 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: C  ;4    ;  2     ; 4    ;  2    2; 4  . Câu 11. Xác định phần bù của tập hợp  ; 10   10;    0 trong  . A.  10; 10  . B.  10; 10 0 . C.  10; 0    0; 10  . D.  10; 0    0; 10  . Hướng dẫn giải Chọn B.   ; 10   10;    0   10; 10 0 . Câu 12. Cho hai tập hợp X , Y thỏa mãn X Y  7;15 và X  Y   1; 2  . Xác định số phần tử là số nguyên của X . A. 2 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D. Do X Y  7;15  7;15  X . Mà X  Y   1; 2    1; 2   X . Suy ra X   1; 2   7;15 . Vậy số phần tử nguyên của tập X là 4 . Câu 13. Cho A   ; 2 và B   0;   . Tìm A B . A. A B   ;0 . B. A B   2;   . C. A B   0; 2 . D. A B   ;0  . Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 68 Chọn A. Biểu diễn hai tập hợp A và B lên trục số ta có kết quả A B   ;0 . Câu 14. Cho hai tập hợp A   x   | 3  x  2 , B   1; 3 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. A  B   1; 2 . B. A B   3; 1 . C. C B   ; 1  3;   . D. A  B  2; 1;0;1; 2 . Hướng dẫn giải Chọn A. A   x   | 3  x  2   3; 2   3; 2   1; 3   1; 2 . Câu 15. Cho A   a; a  1 . Lựa chọn phương án đúng. A. C A   ; a    a  1;   . B. C A   ; a    a  1;   . C. C A   ; a    a  1;   . D. C A   ; a    a  1;   . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có C A   A   ; a    a  1;   . Câu 16. Cho các tập hợp khác rỗng A   ;m  và B   2m  2;2m  2 . Tìm m   để CR A  B   . A. m  2 . B. m  2 . C. m  2 . D. m  2 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: CR A   m;    . Để CR A  B    2m  2  m  m  2 .     Câu 17. Cho A  x   mx  3  mx  3 , B  x   x 2  4  0 . Tìm m để B A  B . A.  3 3 m . 2 2 B. m  3 . 2 C.  3 3 m . 2 2 3 D. m   . 2 Lời giải Chọn C Ta có: x  A  mx  3  0 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 69  x2 xB   .  x  2  m0   m0   m  0   3 3  3 3  2 0m   Ta có: B A  B  B  A     m  2  m .  2 2  3  m  0   m  0   2 3     2    m Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 70 BÀI 5. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Số gần đúng: Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng. 2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối a) Sai số tuyệt đối: Giả sử a là gí trị đúng của một đại lượng và a là giá trị gần đúng của a . Giá trị a  a phản ánh mức độ sai lệch giữa a và a . Ta gọi a  a là sai số tuyệt đối của số gần đúng a và kí hiệu là a , tức là a  a  a Nếu a  a  a  d thì a  d  a  a  d . Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d, và qui ước viết gọn là a  a  d . Như vậy, khi viết a  a  d ta hiểu là số đúng a nằm trong đoạn  a  d ; a  d  . Bởi vậy d càng nhỏ thì độ sai lệch của số gần đúng a so với số đúng a càng ít. Thành thử d được gọi là độ chính xác của số gần đúng. b) Sai số tương đối: Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , kí hiệu  a  a a . Nếu a  a  d thì a  a  a  d . Do đó  a  d d . Nếu càng nhỏ thì độ a a chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn. Ta thường viết  a dưới dạng phần trăm. 3. Qui tròn số gần đúng  Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0.  Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng qui tròn. Ví dụ 1: Nếu quy tròn số 8216,3 đến hàng chục thì chữ số ở hàng quy tròn là 1, chữ số ngay sau đó là 6; do 6  5 nên ta có số quy tròn là 8200 . Ví dụ 2: Nếu quy tròn số 3,654 đến hàng phần trăm (tức chữ số thứ 2 sau dấu phẩy) thì chữ số ngay sau hàng quy tròn là 4; do 4  5 nên số quy tròn là 2,65 . Trong hai ví dụ trên, sai số tuyệt đối là 8216, 4  8220  3,6  5; 3,654  3,65  0, 004  0, 005 Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số qui tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng qui tròn. Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng qui tròn. Chú ý: Cho số gần đúng a với độ chính xác d (tức là a  a  d ). Khi được yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn số a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó. Chẳng hạn: Cho a  1,236  0, 002 và ta phải quy tròn số 1,236 . Ta thấy, 0, 001  0, 002  0, 01 nên Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 71 hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần trăm. Vậy ta phải quy tròn số 1,236 đến hàng phần trăm. Kết quả là a  1,24 4. Chữ số chắc và cách viết chuẩn số gần đúng a) Chữ số chắc: Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a, một chữ số đgl chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó. Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc. Ví dụ: Trong cuộc điều tra dân số , người ta báo cáo số dân của tỉnh A là 1379425 ngöôøi  300 ngöôøi . 100 100  50  300  500  nên chữ số hàng trăm (chữ số 4) không là chữ số chắc, chữ số hàng 2 2 nghìn (chữ số 9) là chữ số chắc. Vậy các chữ số chắc là 1,3,7,9 và các chữ số 4,2,5 đều là không chắc. Vì b) Dạng chuẩn của số gần đúng: Cách viết chuẩn của một số gần đúng là cách viết mà tất cả các chữ số của a là chữ số chắc. Nếu số gần đúng là số thập phân (không nguyên) thì dạng chuẩn là dạng mọi chữ số của nó là chữ số chắc. Ví dụ: Cho một giá trị gần đúng của 5 được viết dưới dạng chuẩn là 2,236 hàng thấp nhất chữ số chắc là hàng phần nghìn nên độ chính xác của nó là   5  2,236 . Ở đây 1 3 .10  0, 0005 . Do đó 2 ta viết 2,236  0,0005  5  2,236  0,0005 . Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10 k , trong đó A là số nguyên, k là hàng thấp nhất có chữ số chắc  k    . (Từ đó, mọi chữ số của A là chữ số chắc) Ví dụ: Số dân của Việt Nam (năm 2005) vào khoảng 83.106 người (83 triệu người). Ở đây, k  6 1 6 .10  500000 . Do đó ta biết được số dân của Việt Nam trong 2 khoảng từ 82,5 triệu người đến 83,5 triệu người. nên độ chính xác của số gần đúng là 5. Kí hiệu khoa học của một số Mỗi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng  .10 n , trong đó 1    10, n   (Quy ước rằng nếu n  m , với m là số nguyên dương thì 10 m  1 ). Dạng như thế được gọi là kí hiệu khoa học 10m của số đó. Người ta thường dùng kí hiệu khoa học để ghi những số rất lớn hoặc rất bé. Số mũ n của 10 trong kí hiệu khoa học của một số cho thấy độ lớn (bé) của số đó. Ví dụ: Khối lượng trái đất viết dưới dạng kí hiệu khoa học là 5,98.1024 kg . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 72 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Biết số gần đúng a, và độ chính xác d . Ước lượng sai số tương đối, các chữ số chắc, viết dưới dạng chuẩn. 1. Phương pháp Ước lượng sai số tương đối:  a  Chữ số chắc: Từ a |a|  d |a| 10n 10n1 d suy ra n và suy ra các chữ số chắc. 2 2 Ví dụ mẫu 1: Biết số gần đúng là 65894256 có độ chính xác d  140 . a) Ước lượng sai số tương đối của số đó b) Viết các chữ số chắc (đáng tin) c) Viết số đó dưới dạng chuẩn Hướng dẫn a) Ước lượng sai số tương đối:  a  b) d 140   0,0000021 , tức không vượt quá 0, 0000021 | a | 65894256 102 103  140  nên chữ số hàng nghìn trở lên là chữ số chắc. Vậy các chữ số chắc là 6,5,8,9,4. 2 2 c) Viết số đó dưới dạng chuẩn là 65894.103 . Ví dụ mẫu 2: Độ dài của cái cầu bến thủy hai (Nghệ An) người ta đo được là 996m  0, 5m . Sai số tương đối tối đa trong phép đo là bao nhiêu. Lời giải Ta có độ dài gần đúng của cầu là a = 996 với độ chính xác d = 0, 5 Vì sai số tuyệt đối Da £ d = 0, 5 nên sai số tương đối da = Da d 0, 5 £ = » 0, 05% a a 996 Vậy sai số tương đối tối đa trong phép đo trên là 0, 05% . Dạng 2. Biết số gần đúng a và sai số tương đối không vượt quá c . Ước lượng sai số tuyệt đối, các chữ số chắc, viết dưới dạng chuẩn. Phương pháp: Ước lượng sai số tuyệt đối a | a | . a | a | .c Ví dụ mẫu 1: Biết số gần đúng 327,5864 có sai số tương đối không vượt quá 1 . 10000 a) Ước lượng sai số tuyệt đối của số đó; Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 73 b) Viết các chữ số chắc; c) Viết số đó dưới dạng chuẩn Hướng dẫn a) Ước lượng sai số tuyệt đối : a ' | a ' | . a  327,5864. 1  0,032 10000 102 101  0,032  nên từ chữ số thập phân chục trở lên là các chữ số 2 2 chắc. Vậy các chữ số chắc là 3,2,7,5. b) Viết các chữ số chắc: c) Viết số đó dưới dạng chuẩn là: 327,6 (do có quy tròn đến hàng phần chục). Ví dụ mẫu 2: Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số gần đúng a, b biết sai số tương đối của chúng. a) a = 123456, da = 0, 2% b) a = 1,24358, da = 0, 5% Lời giải Ta có da = Da  Da = a da a a) Với a = 123456, da = 0, 2% ta có sai số tuyệt đối là Da = 123456.0, 2% = 146, 912 b) Với a = 1,24358, da = 0, 5% ta có sai số tuyệt đối là Da = 1, 24358.0, 5% = 0, 0062179 . Ví dụ mẫu 3: a) Hãy viết giá trị gần đúng của nghìn biết 8 = 2, 8284... . Ước lượng sai số tuyệt đối trong mỗi trường hợp. b) Hãy viết giá trị gần đúng của 3 8 chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần 3 20154 chính xác đến hàng chục và hàng trăm biết 20154 = 25450, 71... . Ước lượng sai số tuyệt đối trong mỗi trường hợp. Lời giải a) Ta có Ta có 8 = 2, 8284... do đó giá trị gần đúng của 8 đến hàng phần trăm là 2, 83 8 - 2, 83 = 2, 83 - 8 £ 2, 83 - 2, 8284 = 0, 0016 Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 2, 83 không vượt quá 0, 0016 . Giá trị gần đúng của Ta có 8 - 2, 828 = 8 đến hàng phần nghìn là 2, 828 8 - 2, 828 £ 2, 8284 - 2, 828 = 0, 0004 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 74 Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 2, 828 không vượt quá 0, 0004 . b) Sử dụng máy tính bỏ túi ta có Do đó giá trị gần đúng của Ta có 3 3 20154 - 25450 = 3 20154 = 25450, 71966... 20154 đến hàng chục là 25450 3 20154 - 25450 £ 25450, 72 - 25450 = 0, 72 Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 25450 không vượt quá 0, 72 . Giá trị gần đúng của Ta có 3 3 20154 đến hàng trăm là 25500 . 20154 - 25500 = 25500 - 3 20154 £ 25500 - 25450, 71 = 49,29 Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 25500 không vượt quá 49, 29 . Dạng 3. Quy tròn số. Ước lượng sai số tuyệt đối, sai số tương đối của số quy tròn Phương pháp: Ví dụ mẫu 1: Biết số a) Quy tròn số 2  1,414213562... 2 đến hàng phần trăm b) Ước lượng sai số tuyệt đối và sai số tương đối mắc phải khi chọn số quy tròn trăm 2 đến hàng phần Hướng dẫn a) Quy tròn số 2 đến hàng phần trăm là 1,41 b) 1, 41  2  1,42  2  1, 41  1, 42  1,41  0, 01 . Vậy sai số tuyệt đối không vượt quá 0, 01  0,007 1,41 Ví dụ mẫu 2: Làm tròn các số sau với độ chính xác cho trước. a) a = 2, 235 với độ chính xác d = 0, 002 b) a = 23748023 với độ chính xác d = 101 Lời giải a) Ta có 0, 001 < 0, 002 < 0, 01 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần trăm Do đó ta phải quy tròn số a = 2,235 đến hàng phần trăm suy ra a » 2,24 . b) Ta có 100 < 101 < 1000 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng nghìn Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 75 Do đó ta phải quy tròn số a = 23748023 đến hàng nghìn suy ra a » 23748000 . Dạng 4. Sai số của tổng, tích và thương Phương pháp Nếu a và b là các số gần đúng với sai số tuyệt đối a và b , và c  a  b; d  a  b . Thế thì c  a  b ; d  a  b Nếu sai số  a ,  b ,  c lần lượt là sai số tuyệt đối của số gần đúng a, b, c và P  a.b; Q  a.b.c; R  a . Thế thì  P   a   b ;  Q   a   b   c ; b Suy ra: P | a | .a  | b | .b ;  R  a  b Q | b.c | .a  | a.c | .b  | a, b | .c ; R  a  b |b| |a| Ví dụ mẫu 1. Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật có cạnh a  5,356m  0,01m , chiều dài là b  15,854m  0,015m . Ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải. Hướng dẫn Chu vi: L  2  a  b  , sai số tuyệt đối không vượt quá L  2  a  b   2.  0, 01  0, 015   0, 05(m ) và ta viết là L  2.5,356  2.15,854  0, 05  42,42  0,05(m ) Diện tích: S  ab , sai số tuyệt 2 S  b.a  a.b  15,854.0,01  5,356.0,015  0,239(m ) đối và không vượt quá ta viết là S  15,854 x 5,356  0,239  84,914  0,239 (m 2 ) Ví dụ mẫu 2. Một ống nước có đường kính d  2  0,05cm , chiều dài h  3000  5cm. Tính thể tích khối nước chứa trong ống và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải   3,14  0, 0016  . Hướng dẫn Thể tích V   R2 h  3,14 x12 x 3000  d v  9420  d v (cm3 ) R  d nên R  d  0, 025(cm); R 2  2 R.R  2.0, 025  0,05(cm 2 ) 2 2 V  R 2 .h.   .h.R2   .R 2 .h  1x 3000 x 0,0016+3,14 x 3000 x 0,05+3,14 x 1 x5=492 (cm 3 ) Sai số tuyệt đối không vượt quá 429 và ta viết V  9420  492(cm3 )  9420  0, 492(lit ) Ví dụ mẫu 3: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23m  0, 01m và chiều rộng là y = 15m  0, 01m . Chứng minh rằng a) Chu vi của ruộng là P = 76m  0, 04m Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 76 b) Diện tích của ruộng là S = 345m  0, 3801m Lời giải a) Giả sử x = 23 + a, y = 15 + b với -0, 01 £ a, b £ 0, 01 Ta có chu vi ruộng là P = 2 ( x + y ) = 2 ( 38 + a + b ) = 76 + 2 ( a + b ) Vì -0, 01 £ a, b £ 0, 01 nên -0, 04 £ 2 ( a + b ) £ 0, 04 Do đó P - 76 = 2 (a + b ) £ 0, 04 Vậy P = 76m  0, 04m b) Diện tích ruộng là S = x .y = ( 23 + a )( 15 + b ) = 345 + 23b + 15a + ab Vì -0, 01 £ a, b £ 0, 01 nên 23b + 15a + ab £ 23.0, 01 + 15.0, 01 + 0, 01.0, 01 hay 23b + 15a + ab £ 0, 3801 suy ra S - 345 £ 0, 3801 Vậy S = 345m  0, 3801m . Dạng 5: Xác định các chữ số chắc của một số gần đúng, dạng chuẩn của chữ số gần đúng và kí hiệu khoa học của một số. 1. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số chắc và viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết a) Số người dân tỉnh Nghệ An là a = 3214056 người với độ chính xác d = 100 người. b) a = 1, 3462 sai số tương đối của a bằng 1% . Lời giải 100 1000 = 50 < 100 < = 500 nên chữ số hàng trăm(số 0) không là số chắc, còn chữ số 2 2 hàng nghìn(số 4) là chữ số chắc. a) Vì Vậy chữ số chắc là 1, 2, 3, 4 . Cách viết dưới dạng chuẩn là 3214.103 . b) Ta có da = Da  Da = da . a = 1%.1, 3462 = 0, 013462 a Suy ra độ chính xác của số gần đúng a không vượt quá 0, 013462 nên ta có thể xem độ chính xác là d = 0, 013462 . 0, 01 0,1 = 0, 005 < 0, 013462 < = 0, 05 nên chữ số hàng phần trăm(số 4) không là số 2 2 chắc, còn chữ số hàng phần chục(số 3) là chữ số chắc. Ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 77 Vậy chữ số chắc là 1 và 3 . Cách viết dưới dạng chuẩn là 1, 3 . Ví dụ 2: Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn a) a = 467346  12 b) b = 2, 4653245  0, 006 Lời giải a) Ta có 10 100 = 5 < 12 < = 50 nên chữ số hàng trăm trở đi là chữ số chữ số chắc do đó số gần 2 2 đúng viết dưới dạng chuẩn là 4673.102 . 0, 01 0,1 = 0, 005 < 0, 006 < = 0, 05 nên chữ số hàng phần chục trở đi là chữ số chữ số 2 2 chắc do đó số gần đúng viết dưới dạng chuẩn là 2, 5 . b) Ta có Ví dụ 3: Các nhà khoa học Mỹ đang nghiên cứu liệu một máy bay có thể có tốc độ gấp bảy lần tốc độ ánh sáng. Với máy bay đó trong một năm(giả sử một năm có 365 ngày) nó bay được bao nhiêu? Biết vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s. Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học. Lời giải Ta có một năm có 365 ngày, một ngày có 24 giờ, một giờ có 60 phút và một phút có 60 giây Vậy một năm có 24.365.60.60 = 31536000 giây. Vì vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s nên trong vòng một năm nó đi được 31536000.300 = 9, 4608.109 km. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Cho số gần đúng a = 23748023 với độ chính xác d = 101 . Hãy viết số quy tròn của số a. A. 23749000. B. 23748000. C. 23746000. D. 23747000. Câu 2. Cho giá trị gần đúng của p là a = 3,141592653589 với độ chính xác 10-10 . Hãy viết số quy tròn của số a. A. a = 3,141592654. B. a = 3,1415926536. C. a = 3,141592653. D. a = 3,1415926535. Câu 3. Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của 3 chính xác đến hàng phần nghìn. A. 1,7320. B. 1,732. C. 1,733. D. 1,731. Câu 4. Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của p 2 chính xác đến hàng phần nghìn. A. 9,873. B. 9,870. C. 9,872. D. 9,871. Câu 5. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 17658 biết a = 17658  16. A. 17700. B. 17800. C. 17500. D. 17600. Câu 6. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 15, 318 biết a = 15, 318  0, 056. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 78 A. 15,3. B. 15,31. C. 15,32. D. 15,4. Câu 7. Đo độ cao một ngọn cây là h = 347,13m  0, 2m. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 347,13. A. 345. B. 347. C. 348. D. 346. Câu 8. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh: a = 12 cm  0, 2 cm; b = 10, 2 cm  0, 2 cm; c = 8 cm  0,1cm. Tính chu vi P của tam giác đã cho. A. P = 30, 2 cm  0, 2 cm. B. P = 30, 2 cm 1 cm. C. P = 30, 2 cm  0,5 cm. D. P = 30, 2 cm  2 cm. Câu 9. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x = 43m  0,5m và chiều dài y = 63m  0, 5m . Tính chu vi P của miếng đất đã cho. A. P = 212m  4m. B. P = 212m  2m. C. P = 212m  0, 5m. D. P = 212m  1m. Câu 10. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23m  0, 01m và chiều rộng là y = 15m  0, 01m . Tính diện tích S của thửa ruộng đã cho. A. S = 345m  0, 001m. B. S = 345m  0, 38m. C. S = 345m  0, 01m. D. S = 345m  0, 3801m. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 79 D. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Độ chính xác d = 101 (hàng trăm), nên ta làm tròn số a = 23748023 đến hàng nghìn, được kết quả là a = 23748000 . Chọn B.  làm tròn số a = 3,141592653589 chính xác đến hàng của d .10 = 10-9 Câu 2. Độ chính xác d = 10-10 ¾¾ (9 chữ số thập phân), kết quả là a = 3,141592654000. Chọn A. MTCT Câu 3. 3 ¾¾ ¾  3 = 1, 7320508076... ¾¾  làm tròn đến hàng phần nghìn ta được kết quả: 1, 732 . Chọn B. MTCT Câu 4. p 2 ¾¾¾  p 2 = 9,8696044011... ¾¾  làm tròn đến hàng phần nghìn ta được kết quả: 9,870. Chọn B. Câu 5. a = 17658  16 ¾¾  d = 16 (hàng chục) ¾¾ làm tròn số a = 17658 đến hàng trăm, kết quả là: 17700. Chọn A. Câu 6. a = 15,318  0, 056 ¾¾  d = 0, 056 ¾¾  làm tròn số a = 15, 318 chính xác đến hàng của d .10 = 0,56 (hàng phần trăm), kết quả là: 15,32. Chọn C.  d = 0, 2 ¾¾  làm tròn số h = 347,13 đến hàng d .10 = 2 (hàng đơn vị), kết Câu 7. h = 347,13m  0, 2m ¾¾ quả là 347. Chọn B. Câu 8. Chu vi tam giác là: P = a + b + c = (12 +10, 2 + 8)  (0, 2 + 0, 2 + 0,1) = 30, 2  0,5. Chọn C. Câu 9. Chu vi của miếng đất là P = 2 [ x + y ] = 2. éë(43  0,5) + (63  0,5)ùû = 2. éë(43 + 63)  (0,5 + 0,5)ûù = 212  2. Chọn B. Câu 10. Diện tích của thửa ruộng là S = xy = (23  0, 01).(15  0, 01) = 23.15  (23.0, 01 + 15.0, 01 + 0, 012 ) = 345  0,3801. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn D. Trang 80 BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NẮM I. Ôn tập về hàm số 1. Hàm số. Tập xác định của hàm số Định nghĩa: Cho D  R, D  . Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x  D với một và chỉ một số , kí hiệu là f ( x ) , số f ( x ) được gọi là giá trị của hàm số f tại x . Kí hiệu: y  f ( x ) .  x được gọi là biến số  D được gọi là tập xác định của hàm số.  T =  y  f ( x ) x  D được gọi là tập giá trị của hàm số. 2. Cách cho hàm số  Cho bằng bảng  Cho bằng biểu đồ  Cho bằng công thức y  f  x  . Tập xác định của hàm số y  f ( x ) ) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f có nghĩa. Chú ý: Trong kí hiệu y  f ( x ) , ta còn gọi x là biến số độc lập, y là biến số phụ thuộc của hàm số f . Biến số độc lập và biến số phụ thuộc của một hàm số có thể được kí hiệu bởi hai chữ cái tùy ý khác nhau. Chẳng hạn, y  x 3  4 x 2  1; và u  t 3  4t 2  1; là hai cách viết biểu thị cùng một hàm số. 3. Đồ thị của hàm số: Đồ thị của hàm số y  f  x  xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M  x; f ( x )  trên mặt phẳng toạ độ với mọi x  D. Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y  f  x  là một đường. Khi đó ta nói y  f  x  là phương trình của đường đó. II. Sự biến thiên của hàm số 1. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K.  Hàm số y  f  x  đồng biến trên K nếu x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  Hàm số y  f  x  nghịch biến trên K nếu x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 81 Nhận xét: Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị hàm số nó đi lên; ngược lại hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị hàm số đi xuống. Chú ý: Nếu f ( x1 )  f ( x2 ) với mọi x1 , x2  K , tức là f ( x )  c, x  K thì ta gọi là hàm số không đổi hay hàm số hằng trên K. 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến, không đổi trên các khoảng nào trong tập xác định. Đối với hàm số cho bằng biểu thức, để khảo sát sự biến thiên của hàm số ta có thể dựa vào định nghĩa hoặc dựa vào nhận xét sau:  y  f  x  đồng biến trên K  x1 , x2  K : x1  x2   f ( x2 )  f ( x1 ) x2  x1 0 y  f  x  nghịch biến trên K  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x2 )  f ( x1 ) x2  x1 0 III. Hàm số chẵn, hàm số lẻ 1. Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  có tập xác định D.  Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với x  D thì –x  D và f  –x   f  x  .  Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với x  D thì –x  D và f  –x   – f  x  . 2. Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ  Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.  Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. 3. Sơ lượt tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị của hàm số y  f ( x ) ; p và q là hai số dương tùy ý. Khi đó  Tịnh tiến lên trên q đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f ( x )  q  Tịnh tiến xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f ( x )  q  Tịnh tiến sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f ( x  p)  Tịnh tiến sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f ( x  p) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 82 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính giá trị của hàm số tại một điểm 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm x 1 . Tìm tọa độ điểm thuộc đồ thị của hàm số và có tung độ bằng 2 . Câu 1. Cho hàm số y  x 1 A.  0; 2  . 1  B.  ; 2  . 3  C.  2; 2  . D.  1; 2  . Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi M 0  x0 ; 2  là điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng 2 . Khi đó: Câu 2. 1 x0  1 1   2  x0  1  2 1  x0   3x0  1  x0   M  ; 2  . 3 x0  1 3  Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số y  A. M  0; 1 . B. M  2;1 . x2 x( x  1) C. M  2;0  . D. M 1;1 . Hướng dẫn giải Chọn C. Thử trực tiếp thấy tọa độ của M  2;0  thỏa mãn phương trình hàm số. Câu 4. 2 x  2  3 khi  Cho hàm số f  x    x 1  x2  2 khi  A. P  3 . x2 . Tính P  f  2   f  2  . x2 C. P  B. P  2 . 7 . 3 D. P  6 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: f  2   f  2   Câu 5. 2 22 3 2   2   2  P  3 . 2 1 2 x  1 khi Đồ thị của hàm số y  f  x    khi 3 A.  0;  3 . B.  3; 7  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x2 x2 đi qua điểm nào sau đây: C. (2;  3) . D.  0;1 . Trang 83 Hướng dẫn giải Chọn D. Thử lần lượt từng phương án A,B,C,D với chú ý về điều kiện ta được: f  0   2.0  1  1  3 , đồ thị không đi qua điểm  0;  3 . f  3  3  7 , đồ thị không đi qua điểm  3; 7  . f  2   2.2  1  5  3 , đồ thị không đi qua điểm  2;  3 . f  0   2.0  1  1 , đồ thị không đi qua điểm  0;1 . Câu 6. 2  x  3 khi 1  x  1 Cho hàm số: f  x    . Giá trị của f  1 ; f 1 lần lượt là 2 khi x  1  x  1 A. 8 và 0 . B. 0 và 8 . C. 0 và 0 . D. 8 và 4 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: f  1  2  1  3  8 ; f 1  12  1  0 . Câu 7. 2 x  1 khi x  3  Cho hàm số y   x  7 . Biết f  x0   5 thì x0 là khi x  3  2 A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1 . Hướng dẫn giải Chọn B. TH1. x0  3 : Với f  x0   5  2 x0  1  5  x0  2 . TH2. x0  3 : Với f  x0   5  Câu 8.  2x  3  x  1 Cho hàm số f  x    3  2  3x  x  2 x0  7  5  x0  3 . 2 khi x0 . Ta có kết quả nào sau đây đúng? khi 2  x  0 1 7 A. f  1  ; f  2   . 3 3 B. f  0   2; f  3  7 . C. f  1 : không xác định; f  3   11 . 24 D. f  1  8; f  3  0 . Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 84 Chọn A. f  1  23 1 2.2  3 7  ; f  2   . 1  2 3 2 1 3 3 Dạng 2: Tìm tập xác định của hàm số 1. Phương pháp  Tìm tập xác định D của hàm số y  f  x  là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa: D   x  R f ( x ) coù nghóa .  Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp: 1) Hàm số y  A( x ) . Khi đó : D   x   | A( x ) xaùc ñònh vaø A(x)  0 B( x ) 2) Hàm số y  2 k A( x ), k   * . Khi đó : D   x   | A( x ) xaùc ñònh vaø A(x)  0 3) Hàm số y  A( x ) 2k B( x ) ,k  *. Khi đó : D   x   | A( x ), B( x ) xaùc ñònh vaø B(x)>0 Chú ý:  Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau.  A  0 A.B  0   . B  0  Nếu y  f ( x ) có tập xác định là D . Khi đó: y  f ( x ) xác định trên tập X  X  D y  f ( x ) xác định trên tập X  f ( x ) xác định với mọi x  X 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1 : Tìm tập xác định của hàm số y  x  1 Hướng dẫn giải Hàm số y  x  1 xác định  x  1  0  x  1 . Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số y  1  2 x  6  x Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 85 1  1  2 x  0 1 x   Hàm số đã cho xác định khi   2  x . 2 6  x  0  x  6  1  Vậy tập xác định của hàm số là D    ;   .  2  Ví dụ 3: Tập xác định của hàm số y  x x2 Hướng dẫn giải x  0 x  0 . Hàm số xác định khi:    x  2  0 x  2 Vậy tập xác định của hàm số D   0;   2 . Ví dụ 4: Tìm tập xác định của hàm số y  1  x 1 . x3 Hướng dẫn giải x  3  0  1 x  3. Điều kiện để hàm số xác định:  x 1  0 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D  1;    3 . Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y   x  2  3 x  m  1 xác định trên tập 1;   ? Lời giải ĐK: x  m 1 m 1  D ;   . 3  3  Để hàm số xác định trên 1;   thì m 1 m 1  ;     1  m 1  3  m  2 . 3  3  1;     Ví dụ 6. Xác định tham số m để hàm số y  3 x  m xác định trên tập 1;   Hướng dẫn: m  Tập xác định của hàm số D   ;   . Do đó hàm số xác định trên tập 1;   khi và chỉ khi 3  1;    D   m3 ;    1  m3  m  3     Ví dụ 7. Xác định tham số m để hàm số y  x 2  m xác định trên tập  ; 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 86 Hướng dẫn: hàm số xác định khi và chỉ khi x 2  m  0  x 2  m (1) m  0 m  0 . (1)   hoaëc  x  ;  m    m ;  x         Vậy tập xác định của hàm số là D   ;  m    m ;       khi m  0 khi m  0 Do đó hàm số xác định trên tập  ; 3 khi và chỉ khi  ; 3  D  m30   m  0   m 9. m 0  m  9 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. 1 Tìm tập xác định D của hàm số f  x   x  1  . x A. D   0 . B. D   1;0 . C. D   1;   0 . D. D   1;   . Hướng dẫn giải Chọn C. x 1  0  x  1  . Vậy tập xác định: D   1;   0 . Điều kiện xác định:  x  0 x  0 Câu 2.  1  Cho hàm số: y   x  1  x2  x0 . Tập xác định của hàm số là tập hợp nào sau đây? x0 A.  2;    . B.  . C.  1 . D.  x   x  1và x  2  . Hướng dẫn giải Chọn B. Với x  0 ta có: y  1 xác định với mọi x  1 nên xác định với mọi x  0 . x 1 Với x  0 ta có: y  x  2 xác định với mọi x  2 nên xác định với mọi x  0 . Vậy tập xác định của hàm số là D   . Câu 3. Tập xác định của hàm số y  x 1 là x 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 87 B. 1; +  . A.  3;    . C.  1; 3   3;    . D.  3 . Hướng dẫn giải Chọn C. Hàm số y  x 1 . x3 x 1  0  x  1 Điều kiện xác định:  .  x  3  0 x  3 Vậy tập xác định của hàm số D   1; 3   3;    . Câu 4. Tập xác định của hàm số y  A.  0; 2; 4 . 2 x là x2  4x B.   0; 4 . C.   0; 4  . D.  0; 4 . Hướng dẫn giải Chọn D. x  0 . Vậy D   0; 4 . Hàm số xác định  x 2  4 x  0   x  4 Câu 5. 1 Tìm tập xác định D của hàm số f  x   x  1  . x A. D   0 . B. D  1;    . C. D   1;0 . D. D   1;    0 . Hướng dẫn giải Chọn D. x 1  0 . Điều kiện:  x  0 Vậy tập xác định của hàm số là D   1;    0 . Câu 6. Tìm tập xác định của hàm số y  4 x 2  4 x  1 . 1  A.  ;   . 2  1  B.  ;  . 2  C.  . D.  . Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện xác định: 4 x 2  4 x  1  0   2 x  1  0 . 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 88 Do đó tập xác định D   . Câu 7. Tập xác định của hàm số f  x   3  x  1 là x 1 A. D  1; 3 . B. D   ;1  3;   . C. D  1;3 . D. D   . Hướng dẫn giải Chọn A. 3  x  0 x  3 Hàm số xác định khi  1 x  3.  x 1  0 x  1 Vậy tập xác định của hàm số là D  1; 3 . Câu 8. Tập hợp nào sau đây là tập xác định của hàm số y  1  5 x  1 7 A.  ;   . 5 2  1 7 B.   ;  .  5 2 x 7  2x  1 7 C.   ;   .  5 2 ?  1 7 D.   ;   5 2 Hướng dẫn giải Chọn D. 1  x  1  5 x  0 1 7  5 Hàm số xác đinh khi và chỉ khi    x . 5 2 7  2 x  0 x  7  2 Câu 9. Tập xác định của hàm số y  A.  3;8  4 . 9  x2 là x2  6x  8 B.  3;3 2 . C.  3;3 2 . D.  ;3 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có 9  x 2  0   3  x  3  x   0  3  x  3 . Hàm số xác định khi và chỉ khi 3  x  3 2 3  x  3 9  x  0   x  4  . Vậy x   3;3 2 .  2 x  2  x  6 x  8  0 x  2  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 89 Câu 10.  3x  8  x khi Tập xác định của hàm số y  f  x     x  7  1 khi A.  . x2 x2 là 8  C.  ;  . 3  B.  2 . D.  7;   . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: 8 • Khi x  2 : y  f  x   3 x  8  x xác định khi 3x  8  0  x  . 3 Suy ra D1   ; 2  . • Khi x  2 : y  f  x   x  7  1 xác định khi x  7  0  x  7 . Suy ra D1   2;   . Vậy TXĐ của hàm số là D  D1  D2   ;     . Câu 11. Tìm tập xác định của hàm số y  x 2  4 x  3  A.  ;1   3;    . x . x3 B.  ;1   3;    . C.  3;    . D. 1;3 . Hướng dẫn giải Chọn A. Hàm số y  x 2  4 x  3  x xác định x3  x2  4x  3  0 x  1 v x  3  x  1 hoặc x  3 .   x  3 x  3  0 Câu 12. Tập xác định của hàm số y  A.  1;3 2 . 3  x  x 1 là x2  5x  6 B.  1; 2 . C.  1;3 . D.  2;3 . Hướng dẫn giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 90 Hàm số y  3  x  x 1 có nghĩa khi x2  5x  6 3  x  0  1  x  3    x   1;3 2 . x 1  0  x  2; x  3  x2  5x  6  0  Câu 13. Tìm tập xác định của hàm số y  2 x 2  5x  2 . 1  A.  ;    2;    . B.  2;    . 2  1  C.  ;  . 2  1  D.  ; 2  . 2  Hướng dẫn giải Chọn A. 1  x Hàm số xác định  2 x 2  5 x  2  0   2.  x  2 Câu 14. Tìm m để hàm số y  x  2m  3 3x  1  xác định trên khoảng  0;1 . xm x  m  5  3 A. m  1;  .  2 B. m   3;0 . C. m   3;0   0;1 .  3 D. m   4; 0  1;  .  2 Hướng dẫn giải Chọn D. *Gọi D là tập xác định của hàm số y  x  2m  3 3x  1 .  xm x  m  5  x  2m  3  0  x  2m  3     x  m . * x  D   x  m  0    x  m  5  0 x  m  5 *Hàm số y  x  2m  3 3x  1  xác định trên khoảng  0;1 xm x  m  5  3 m   2m  3  0 2     3   0;1  D  m  5  1  m  4  m   4;0  1;  .  2 m  0;1  m 1        m  0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 91 Dạng 3: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 1. Phương pháp Cho hàm số f xác định trên K .  y = f(x) đồng biến trên K  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  y = f(x) nghịch biến trên K  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Từ đó, ta có hai cách để xét tính đồng biến nghịch biến: Cách 1: x1 , x2  K : x1  x2 . Xét hiệu số A  f ( x2 )  f ( x1 ) – Nếu A  0 thì hàm số đồng biến – Nếu A  0 thì hàm số nghịch biến Cách 2: x1 , x2  K : x1  x2 . Xét tỉ số A  f ( x2 )  f ( x1 ) x2  x1 – Nếu A  0 thì hàm số đồng biến – Nếu A  0 thì hàm số nghịch biến 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số sau a) y  x 2  4 x  6 treân moãi khoaûng  ;2  ;  2    b) y   x 2  6 x  5 treân moãi khoaûng  ; 3 ;  3;   Hướng dẫn a) Vôùi x1  x2 , ta coù: f ( x2 )  f ( x1 ) A=  x2  x1  4   x2  2    x1  2  x2  x1 Do ñoù:  x1 , x2   ;2  , x1  x2  x1  2; x2  2  x1  2  0, x2  2  0  A  0 Vaäy, haøm soá nghòch bieán treân  ;2   x1 , x2   2;   , x1  x2  x1  2; x2  2  x1  2  0, x2  2  0  A  0 Vaäy, haøm soá ñoàng bieán treân  2;   . Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số sau 3 treân moãi khoaûng  ;1 ; 1;   x 1 x 1 b) y  treân moãi khoaûng  ; 2  ;  2;   2x  4 a) y  Hướng dẫn Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 92 a) Vôùi x1  x2 , ta coù: f ( x2 )  f ( x1 ) 3 A=  x2  x1  x1  1 x2  1 Do ñoù:  x1 , x2   ;1 , x1  x2  x1  1; x2  1  x1  1  0, x2  1  0  A  0 Vaäy, haøm soá nghòch bieán treân  ;1  x1 , x2  1;   , x1  x2  x1  1; x2  1  x1  1  0, x2  1  0  A  0 Vaäy, haøm soá nghòch bieán treân 1;   . Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của hàm số sau a) y  3 x  3; b) y  1 x 1 Hướng dẫn a) Taäp xaùc ñònh:D= x1 , x2   : x1  x2  3 x1  3 x2  3 x1  3  3 x2  3  f ( x1 )  f ( x2 ) Vaäy, haøm soá ñoàng bieán treân  . b) Taäp xaùc ñònh: D=  0;   {1} x1 , x2  D, x1  x2 , ta coù: f ( x2 )  f ( x1 ) 1 A=  x2  x1 x1  1 x2  1    x1  x2  Do ñoù:  x1 , x2   0;1 ,x1  x2  0  x1  1; 0  x2  1  x1  1  0, x2  1  0  A  0 Vaäy, haøm soá nghòch bieán treân  0;1  x1 , x2  1;   , x1  x2  x1  1; x2  1  x1  1  0, x2  1  0  A  0 Vaäy, haøm soá nghòch bieán treân 1;   . Ví dụ 5: Tìm a để hàm số f  x   ax  1  a đồng biến trên  Hướng dẫn giải a  0 Hàm số f  x   ax  1  a đồng biến trên  khi và chỉ khi   0  a 1 1  a  0 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó? A. y  3  x . B. y  3x  1 . C. y  4 . D. y  x 2  2 x  3 . Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 93 y  3x  1 có a  3  0 hàm số đồng biến trên TXĐ. Câu 2: Xét sự biến thiên của hàm số f  x   3 trên khoảng  0;   . Khẳng định nào sau đây x đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;   . B. Hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến trên khoảng  0;   . C. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;   . D. Hàm số không đồng biến, không nghịch biến trên khoảng  0;   . Lời giải Chọn A x1 , x2   0;   : x1  x2 f  x2   f  x1   f  x2   f  x1  3 3 3  x2  x1  3     0 x2 x1 x2 x1 x2  x1 x2 x1 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng  0;   . Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên  ? B. y  2 x . A. y  x . D. y  C. y  2 x . 1 x 2 Lời giải Chọn B Hàm số y  ax  b với a  0 nghịch biến trên  khi và chỉ khi a  0 . Câu 4. Chọn khẳng định đúng ? A. Hàm số y  f ( x) được gọi là nghịch biến trên K nếu x1 ; x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . B. Hàm số y  f ( x) được gọi là đồng biến trên K nếu gọi là đồng biến trên K nếu gọi là đồng biến trên K nếu x1 ; x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . C. Hàm số y  f ( x) được x1 ; x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . D. Hàm số y  f ( x) được x1 ; x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 94 Lí thuyết định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến Câu 5. Tìm m để hàm số y   2m  1 x  7 đồng biến trên  . 1 A. m  . 2 B. m  1 . 2 1 C. m  . 2 D. m   . Lời giải Chọn A hàm số y   2m  1 x  7 đồng biến trên  khi 2m  1  0 . Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y   2m  3 x  m  3 nghịch biến trên . 3 A. m   . 2 3 B. m   . 2 3 C. m   . 2 3 D. m   . 2 Lời giải Chọn D Hàm số y   2m  3 x  m  3 có dạng hàm số bậc nhất. 3 Để hàm số nghịch biến trên   2m  3  0  m   . 2 Câu 7. Tổng tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y  2 x 2   m  1 x  3 nghịch biến trên khoảng 1; 5  là A. 6 . C. 1. B. 3 . D. 15 . Lời giải Chọn A  m 1  ;   . Hàm số y  2 x 2   m  1 x  3 nghịch biến trên khoảng   4  Để hàm số y  2 x 2   m  1 x  3 nghịch biến trên khoảng 1; 5 thì ta phải có m 1 m 1  ;    1 m  3. 4  4  1; 5   Các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y  2 x 2   m  1 x  3 nghịch biến trên khoảng 1; 5  là m  1, m  2, m  3 . Tổng tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y  2 x 2   m  1 x  3 nghịch biến trên khoảng 1; 5  là S  1  2  3  6 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 95 Câu 8. Cho hàm số y   m  2  x  2  m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên  ? A. 2 . C. 4 . B. 3 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn C. m  2  0 Hàm số có dạng y  ax  b , nên để hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi  2  m  0 m  2 . Mặt khác do m   nên m  1; 0; 1; 2 . Vậy có 4 giá trị nguyên của m .  m  2 Câu 9. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y  m  1 . A.  m  2  m  1 . B.  m  2 xm2 xác định trên  1; 2  . xm  m  1 . C.  m  2 D. 1  m  2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Hàm số y  xm2 xác định khi x  m . xm Để hàm số y  xm2 xác định trên  1; 2  khi và chỉ khi xm  m  1 m  2 .  Dạng 4: Dựa vào đồ thị tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;3 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 96 B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2  . D. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;3 . Lời giải Chọn C Trên khoảng  0; 2  , đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến. Câu 2. Cho hàm số y  f  x  có tập xác định là  3;3 và có đồ thị được biểu diễn bởi hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số y  f  x   2018 đồng biến trên các khoảng  3; 1 và 1;3 . B. Hàm số y  f  x   2018 đồng biến trên các khoảng  2;1 và 1;3 . C. Hàm số y  f  x   2018 nghịch biến trên các khoảng  2; 1 và  0;1 . D. Hàm số y  f  x   2018 nghịch biến trên khoảng  3; 2  . Lời giải Chọn A Gọi  C  : y  f  x  ,  C   y  f  x   2018 . Khi tịnh tiến đồ thị  C  theo phương song song trục tung lên phía trên 2018 đơn vị thì được đồ thị  C   . Nên tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f  x  , y  f  x   2018 trong từng khoảng tương ứng không thay đổi. Dựa vào đồ thị ta thấy: Hàm số y  f  x   2018 đồng biến trên các khoảng  3; 1 và 1;3 . Hàm số y  f  x   2018 đồng biến trên các khoảng  2;1 và 1;3 . Hàm số y  f  x   2018 nghịch biến trên các khoảng  2; 1 và  0;1 . Hàm số y  f  x   2018 nghịch biến trên khoảng  3; 2  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 97 Câu 3. Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;3 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2  . D. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;3 . Lời giải Chọn C Trên khoảng  0; 2  , đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến. Câu 4. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Chọn đáp án sai. A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;  . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;1 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng  1;0  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 98 Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số nghịch biến trong các khoảng:  ; 1 và  0;1 . Hàm số đồng biến trong các khoảng:  1;0  và 1;  . Câu 5. Hàm số f  x  có tập xác định  và có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Đồ thị hàm số cắt trục hoành theo một dây cung có độ dài bằng 2 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;5 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;3 . D. f    2019  f  2017 . Lời giải Chọn A Nhìn vào đồ thị hàm số ta có : Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm M 1;0  , N  3;0   MN  2  A đúng. Trên khoảng  0; 2  đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2  và trên khoảng  2;5  đồ thị hàm số đi lên nên hàm số đồng biến trên khoảng  2;5   B sai. Trên khoảng  0; 2  đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2  và trên khoảng  2;3 đồ thị hàm số đi lên nên hàm số đồng biến trên khoảng  2;3  C sai. Ta có : 2019, 2017  2;    và trên khoảng  2;    hàm số đồng biến nên  2019  2017   D sai.   f 2019  f 2017     Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 99 Dạng 5: Xét tính chẵn lẻ của hàm số 1. Phương pháp Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau: – Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không. – Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D). + Nếu f(–x) = f(x), x  D thì f là hàm số chẵn. + Nếu f(–x) = –f(x), x  D thì f là hàm số lẻ. Chú ý:  Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với x  D thì –x  D.  Nếu x  D mà f(–x)   f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau a. f  x   x3 . x2  1 b. f  x   x 2  x . c. f  x   x3  x  1 . d. f  x   x . x 1 Lời giải + Hàm số f  x   x3 có TXĐ D   nên x  D   x  D và f   x    f  x  nên x2  1 hàm số lẻ. + Hàm số f  x   x 2  x có TXĐ D   nên x  D   x  D và f   x   f  x  nên hàm số chẵn. + Hàm số f  x   x3  x  1 có TXĐ D   nên x  D   x  D và  f   x   f  x  f   x    x3  x  1   nên hàm số không chẵn không lẻ.  f   x    f  x  x có TXĐ D   1 . Ta có x  1 D nhưng  x  1 D nên x 1 hàm số không chẵn không lẻ. + Hàm số f  x   Ví dụ 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 100 a) y  20  x 2 , b) y  7 x 4  2 x  1 , c) y d) y  x2  x2 , e) y  x 4  10 , x x4  x  x4  x x 4 Lời giải:  Xét y  20  x 2 có tập xác định D  2 5;2 5  , f   x   20    x   20  x 2  f  x  2 Nên y  20  x 2 là hàm số chẵn.  Xét y  7 x 4  2 x  1 có tập xác định D   , f   x   7   x   2  x  1  f  x  4 Nên y  7 x 4  2 x  1 là hàm số chẵn.   x   10   f x . x 4  10  Xét y  có tập xác định D   0 , f   x     x x 4 Nên y  x 4  10 là hàm số lẻ. x  Xét y  x  2  x  2 có tập xác định D   , f   x    x  2   x  2  f  x  . Nên y  x  2  x  2 là hàm số chẵn.  Xét y  x4  x  x4  x có tập xác định D   ; 1  1;     0 . x 4 x  x  x 4 f x  x  4 4 x  f  x  nên y  x4  x  x4  x là hàm số x 4 chẵn. Ví dụ 3. Cho hàm số y  2016  9 x  2016  9 x . Tính giá trị của biểu thức: x S  f  220  f  221  f  222  f  223  f  220  f  221  f  222  f  223  f  224 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 101  2016 2016  Tập xác định D   ; 0 . 9   9 x  D , ta có  x  D và 2016  9 x  2016  9 x 2016  9 x  2016  9 x    f  x . x x f ( x)  Do đó f  x  là hàm số lẻ, và f  x   f ( x)  0 . S  f  220   f  221  f  222   f  223  f  220   f  221  f  222   f  223  f  224   f  220   f  220   f  221  f  221  f  222   f  222   f  223  f  223  f  224   f  224   Ví dụ 4. 3 7 . 28 Tìm điều kiện của m để hàm số y  x 4  m  m  1 x3  x 2  mx  m 2 là hàm số chẵn. Lời giải Hàm y  x 4  m  m  1 x3  x 2  mx  m 2 có tập xác định là R nên hàm số chẵn khi: m  m  1  0  m  0.  m  0 Vậy m  0 . Ví dụ 5: Tìm m thì hàm số f  x   x 3   m 2  1 x 2  2 x  m  1 là hàm số lẻ. Lời giải Hàm số có tập xác định là D   do đó x  D   x  D . Theo đề bài, ta có f   x    f  x  , x  D nghĩa là  x 3   m 2  1 x 2  2 x  m  1   x 3   m 2  1 x 2  2 x  m  1 , x  D . Điều này xảy ra khi  m 2  1  m 2  1  m  1 . m  1  m  1 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập D . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu f  x  không là hàm số lẻ thì f  x  là hàm số chẵn. B. Nếu f   x    f  x  , x  D thì f  x  là hàm số lẻ. C. Đồ thị hàm số lẻ nhận trục tung làm trục đối xứng. D. Nếu f  x  là hàm số lẻ thì f   x    f  x  , x  D . Lời giải Chọn D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 102 A sai vì có những hàm số không chẵn, không lẻ. B sai vì f  x   0 thì f   x    f  x  nhưng f  x  cũng là hàm số chẵn. C sai vì đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Câu 2. Cho đồ thị hàm số y  f  x  như hình vẽ. Kết luận nào trong các kết luận sau là đúng? A. Đồng biến trên  . B. Hàm số chẵn. C. Hàm số lẻ. D. Cả ba đáp án đếu sai Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy nên hàm số đã cho là hàm số chẵn. Câu 3. Hàm số y  x 4  x 2  3 là A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. B. hàm số không chẵn, không lẻ. C. hàm số lẻ. D. hàm số chẵn. Lời giải Chọn D Đặt f  x   x 4  x 2  3 . Tập xác định D   . Ta có x     x   . f   x     x     x   3  x4  x2  3  f  x . 4 2 Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Câu 4: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? A. g  x   x . C. h  x   x  B. k  x   x 2  x . 1 . x D. f  x   x 2  1  2 . Lời giải Chọn C Câu 5: Cho hàm số y  f  x   3x 4  4 x 2  3 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 103 A. y  f  x  là hàm số chẵn. B. y  f  x  là hàm số lẻ. C. y  f  x  là hàm số không có tính chẵn lẻ. D. y  f  x  là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. Lời giải Chọn A Tập xác định D   . x  D   x  D Ta có  4 2 4 2  f   x   3   x  – 4   x   3  3 x – 4 x  3  f  x  , x  D Do đó hàm số y  f  x  là hàm số chẵn. Câu 6: Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số lẻ: A. y  x3  x . B. y  x 3  1 . C. y  x3  x . D. y  1 x Lời giải Chọn B Hàm số lẻ phải triệt tiêu số hạng tự do Câu 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y  x 2  C. y  1 . x B. y  1 . 4 x3 x . x  2×2  1 4 D. y   2 x  1 2018   2 x  1 2018 . Lời giải Chọn D Đặt y  f  x    2 x  1 2018   2 x  1 2018 . Tập xác định của hàm số y  f  x  là D   . Ta có x     x  . . Lại có: f   x    2   x   1 2018   2   x   1 2018   2 x  1 2018   2 x  1 2018  f  x . Vậy hàm số y  f  x  là số chẵn. Câu 8: Hàm số nào dưới đây là hàm số lẻ? A. y  x  4  x  4 . B. y  3  x  3  x . C. y  x . 2 D. y  x  5x  1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 104 Lời giải Chọn A Xét hàm số y  f  x   x  4  x  4 + TXĐ: D   Ta có x  D   x  D . + f   x    x  4   x  4    x  4  x  4    f  x  với x  D Vậy hàm số y  f  x   x  4  x  4 là hàm số lẻ. Câu 9. Cho hàm số y  f  x   x  2018  x  2018 . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số y  f  x  có tập xác định là R . B. Đồ thị hàm số y  f  x  nhận trục tung làm trục đối xứng. C. Hàm số y  f  x  là hàm số chẵn. D. Đồ thị hàm số y  f  x  nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Lời giải Chọn D Tập xác định của hàm số là  , x   thì  x   ta có: f   x    x  2018   x  2018  x  2018  x  2018  f  x  Hàm số đã cho là hàm số chẵn, đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. Do vậy các phương án A, B, C đều đúng. Đáp án D sai. Câu 10. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = x3 – 2 x . B. y = 3 x 4 + x 2 + 5 . C. y = x +1 . D. y = 2 x 2 + x . Lời giải Chọn B Ta thấy hàm số y = 3 x 4 + x 2 + 5 có tập xác định D =  , 4 2 4 2 f (- x ) = 3 (- x ) + (- x ) + 5 = 3 x 4 + x 2 + 5 = f ( x ) . Vậy hàm số y = 3 x + x + 5 là hàm số chẵn. Câu 11. Cho đồ thị hàm số y  f  x  như hình vẽ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 105 Kết luận nào trong các kết luận sau là đúng: A. Hàm số lẻ. B. Hàm số vừa chẵn vừa lẻ. C. Đồng biến trên  . D. Hàm số chẵn. Lời giải Chọn D. Hàm số xác định với mọi x   và đối xứng nhau qua trục tung nên hàm số đã cho là hàm số chẵn. Câu 12. Đồ thị hàm số nào sau đây có tâm đối xứng? A. y  x 3  x . B. y  x 2 . C. y  x 4  3 x 2  1 . D. y  x . Lời giải Chọn A + Ba hàm số: y  x 2 ; y  x 4  3 x 2  1 ; y  x đều là hàm số chẵn trên  nên đồ thị của chúng nhận trục Oy làm trục đối xứng, đồ thị không có tâm đối xứng. + Hàm số: y  x 3  x có: 3  f ( x)  x  x  f (  x )   f ( x)  y  x 3  x là hàm số lẻ trên  .  3 3  f (  x )  (  x )  (  x)  ( x  x) Nên đồ thị hàm số y  x 3  x nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng. Câu 13. Cho hàm số f  x   x x 2  3; g  x   x  3  x  3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. f  x  là hàm chẵn; g  x  là hàm lẻ. B. Cả f và g  x  là hàm chẵn. C. Cả f  x  và g  x  là hàm lẻ D. f  x  là hàm lẻ; g  x  là hàm chẵn. Lời giải Chọn D Xét f  x   x x 2  3 có TXĐ: D   Ta thấy x   thì  x   và f   x     x  x 2  3   x x2  3   f  x  Vậy nên f  x  là hàm lẻ. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 106 Xét g  x   x  3  x  3 có TXĐ: D   . Ta thấy x   thì  x   và g   x    x  3   x  3    x  3    x  3  x  3  x  3  g  x  Vậy nên g  x  là hàm chẵn. Câu 14: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn? A. y  2  x  2  x . B. y  x  2  x  2 . C. y  x  2  x  2 . D. y  x 4  x  1 . Lời giải Chọn A  Hàm số y  2  x  2  x có tập xác định là D   2; 2 . Suy ra: x  D thì  x  D . Ta có : f   x   2    x   2    x   2  x  2  x  f ( x ) . Vậy hàm số y  2  x  2  x là hàm số chẵn.  Hàm số y  x  2  x  2 có tập xác định là D   2;    . Ta có: 2  D nhưng 2  D nên hàm số trên không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.  Hàm số y  x  2  x  2 có tập xác định là D   . Suy ra: x  D thì  x  D . Ta có : f   x    x  2   x  2  x  2  x  2   f  x  . Vậy hàm số y  x  2  x  2 là hàm số lẻ.  Hàm số y  x 4  x  1 có tập xác định là D   . Suy ra: x  D thì  x  D . Ta có: f 1  3 và f  1  1 . Do f 1  f  1 và f 1   f  1 nên hàm số trên không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ. Câu 15: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. y  2 x . B. y  x 3  x 2 . C. y  x 3  1 . D. y  x  1 . Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 107  Hàm số y  2 x có tập xác định là D   . Ta có: x     x   . Với x    f   x   2 x   f  x  Do đó hàm số y  2 x là hàm số lẻ.  Hàm số y  x3  x 2 và y  x 3  1 không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.  Hàm số y  x  1 là hàm số chẵn. Câu 16. Cho hàm số f  x   x  2  x  2 và g  x   x3  5 x . Khi đó: A. f  x  và g  x  đều là hàm số lẻ. B. f  x  và g  x  đều là hàm số chẵn. C. f  x  lẻ, g  x  chẵn. D. f  x  chẵn, g  x  lẻ. Lời giải Chọn D. Ta có D   khi đó x  D   x  D f   x    x  2   x  2  x  2  x  2  f  x   f  x  là hàm số chẵn g   x    x3  5 x    x3  5 x    f  x   f  x  là hàm số lẻ Câu 17. Nêu tính chẵn, lẻ của hai hàm số f  x   x  2  x  2 , g  x    x ? A. f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm số chẵn. B. f  x  là hàm số lẻ, g  x  là hàm số chẵn. C. f  x  là hàm số lẻ, g  x  là hàm số lẻ. D. f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm số lẻ. Lời giải Chọn B Xét f  x  có TXĐ: D   .  x D  x  D . f x  x  2  x  2    x  2  x  2    f  x . Nên f  x  là hàm số lẻ. Xét g  x  có TXĐ: D   .  x D  x  D . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 108 g  x   x   x  g  x . Nên g  x  là hàm số chẵn. Câu 18: Cho hai hàm số f  x   x  2  x  2 , g  x    x . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm số chẵn. B. f  x  là hàm số lẻ, g  x  là hàm số chẵn. C. f  x  là hàm số lẻ, g  x  là hàm số lẻ. D. f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm số lẻ. Lời giải Chọn B Xét f  x  có TXĐ. D   .  x D  x  D . f x  x  2  x  2    x  2  x  2    f  x . Nên f  x  là hàm số lẻ. Xét g  x  có TXĐ. D   .  x D  x  D . g x   x   x  g  x . Nên g  x  là hàm số chẵn. Câu 19: Cho hai hàm số f  x  đồng biến và g  x  nghịch biến trên khoảng  a; b  . Có thể kết luận gì về chiều biến thiên của hàm số y  f  x   g  x  trên khoảng  a; b  ? A. đồng biến. B. nghịch biến. C. không đổi. D. không kết luận được Lời giải Chọn D Lây hàm số f  x   x và g  x    x trên  0;1 thỏa mãn giả thiết Ta có y  f  x   g  x   x  x  0   không kết luận được tính đơn điệu. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 109 Câu 20: Cho hai hàm số f  x   1 x  1 x và g  x   x 3  4 x . Mệnh đề nào dưới đây x đúng? A. f  x  là hàm số chẵn và g  x  là hàm số lẻ. B. f  x  và g  x  là hàm số chẵn. C. f  x  và g  x  là hàm số lẻ. D. f  x  là hàm số lẻ và g  x  là hàm số chẵn. Lời giải Chọn D Xét hàm số f  x   1 x  1 x có x Tập xác định: D   1;1 0 . Ta có: x  D   x  D và f   x   f  x  1 x  1 x   f  x  . Vậy nên;hàm số x 1 x  1 x là hàm số lẻ. x Xét hàm số có Tập xác định: D   . Ta có: x  D   x  D và g   x     x   4  x  x3  4 x  g  x  . Vậy nên;hàm số 3 g  x   x 3  4 x là hàm số chẵn. Câu 21. Cho hàm số y  f  x  có tập xác định là  5;5 và đồ thị của nó được biểu diễn bởi hình dưới đây. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2; 2  . B. Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 110 C. Hàm số đồng biến trên khoảng  5; 2  và  2;5 . D. Hàm số chẵn. Lời giải Chọn D Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng. Câu 22. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. Hàm số y  x 2  2 x  2 xác định trên  . B. Hàm số y  x3 là hàm số lẻ. C. Hàm số y   x  1 là hàm số chẵn. 2 D. Hàm số y  x2  1 là hàm số chẵn. Lời giải Chọn C Xét hàm số y  f  x    x  1 có tập xác định  . 2 x     x   Ta có   f  x  không là hàm số chẵn. 2  f   x     x  1  f  x  Câu 23. Cho hàm số y  x 4  1 có đồ thị  C  . Khẳng định nào sau đây đúng? A.  C  nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. B.  C  qua A  0; 2  . C.  C  tiếp xúc Ox . D.  C  nhận trục tung làm trục đối xứng. Lời giải Chọn D  C  : y  f  x   x4  1 , TXĐ: D . + x  D   x  D . + f   x   x 4  1  f  x  , x   . Nên y  f  x  là hàm số chẵn, nên  C  nhận trục tung làm trục đối xứng. Câu 24: Cho các khẳng định:  I . Hàm số y  x 4  12 x 2  5 là hàm số chẵn. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 111  II  . Hàm số y x2 là hàm số lẻ. x 1  III  . Hàm số y  20  x  20  x là hàm số chẵn.  IV  . Hàm số y  x  20  x  20 là hàm số lẻ. Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là bao nhiêu? A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn D 4 2 Xét hàm số y  f ( x)  x  12 x  5 . Tập xác định D   . Với mọi x     x   và f ( x)  ( x) 4  12( x) 2  5  x 4  12 x 2  5  f ( x) . Do đó y  f ( x)  x 4  12 x 2  5 là hàm số chẵn. Vậy đúng. Xét hàm số y  f ( x)  x2 . x 1 Tập xác định D   1 . Tồn tại 1 D mà 1  D . x2 Do đó y  f ( x)  không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ. Vậy sai. x 1  Xét hàm số y  f ( x)  20  x  20  x . Tập xác định D   20; 20 . Với mọi x  D   x  D và f ( x)  20  ( x)  20  ( x)  20  x  20  x  f ( x) . Do đó y  f ( x )  20  x  20  x là hàm số chẵn. Vậy đúng.  Xét hàm số y  f ( x)  x  20  x  20 . Tập xác định D   . Với mọi x     x   và f ( x )  (  x )  20  ( x )  20  x  20  x  20    x  20  x  20    f ( x ) Do đó y  f ( x)  x  20  x  20 là hàm số lẻ. Vậy đúng. Câu 25. Hàm số f  x  có tập xác định  và có đồ thị như hình vẽ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 112 Tnh giá trị biểu thức f  A.  2018 .   2018  f  2018 B. 0 .  C. 2018 . Lời giải D. 4036 . Chọn B Dựa vào hình dáng của đồ thị ta thấy rằng hàm số đối xứng qua O(0;0) nên là hàm số lẻ. Suy ra f   x    f  x   f   x   f  x   0 Vì vậy f Câu 26.     2018  f  2018  0 . Hàm số f  x  có tập xác định  và có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây sai ? A. f  1  f 1  1 . B. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng. C. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;5  . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  6;  1 . Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 113 Nhìn đồ thị ta có : f  1  f 1  1 A đúng. Đồ thị không có tâm đối xứng nên B sai. Trên khoảng 1;5  đồ thị hàm số đi lên nên hàm số đồng biến trên khoảng 1;5  C đúng. Trên khoảng  6;  1 đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số nghịch biến trên khoảng  6;  1  D đúng. Câu 27.  x3  6 khi x  2  Cho hàm số f  x    x khi  2  x  2. Khẳng định nào sau đây đúng?  3  x  6 khi x  2 A. Đồ thị hàm số f  x  đối xứng nhau qua gốc tọa độ. B. Đồ thị của hàm số f  x  đối xứng qua trục hoành. C. f  x  là hàm số lẻ. D. f  x  là hàm số chẵn Lời giải Chọn D Hàm số có tập xác định D  . Với x   2; 2  ta có f   x    x  x  f  x  Với x   ; 2    x   2;   ; f   x     x   6   x 3  6  f  x  và ngược lại 3 Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn. Câu 28. Cho hàm số f  x    m 2  3m  4  x 2017  m 2  7 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f là hàm số lẻ trên  . Tính tổng các phần tử của S . A. 0 . B.  3 . C. 7. D. 2 7 . Lời giải Chọn A Tập xác định: D   . Suy ra: x  D thì  x  D . Ta có: f   x     m 2  3m  4  x 2017  m 2  7 . Để f là hàm số lẻ thì x  D , f  x    f   x  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 114   m 2  3m  4  x 2017  m 2  7   m 2  3m  4  x 2017  m 2  7 Câu 29. Tìm tất cả  các  giá trị của   số m 7   7  0.  m 2  7  m   7 . Vậy tổng các phần tử của S là tham để hàm số y  2 x 3  2 m 2  4 x 2   4  m  x  3m  6 là một hàm số lẻ A. m  2 . B. m  2 . C. m  4 . D. m  2 . Lời giải Chọn B   y  f  x   2 x 3  2 m 2  4 x 2   4  m  x  3m  6 . TXĐ: D   Có x     x   Hàm số y  f  x  là hàm số lẻ  f   x    f  x  , x        2 x 3  2 m 2  4 x 2   4  m  x  3m  6   2 x 3  2 m 2  4 x 2   4  m  x  3m  6  , x        2 m 2  4 x 2   3m  6   0, x   Câu 30. Cho hàm số y  f  x   m 2018  x  (m 2  2) 2018  x có đồ thị là (Cm ) ( m là tham (m 2  1) x số). Số giá trị của m để đồ thị (Cm ) nhận trục Oy làm trục đối xứng là A. 0. B. 1. C. 2. Lời giải D. 3. Chọn B m  1 ĐK : m 2  1  0   . m  1 Vì đồ thị (Cm ) nhận trục Oy làm trục đối xứng nên hàm số f  x  là hàm số chẵn, suy ra f  x  f  x . m 2018  x  (m 2  2) 2018  x  2  m  Ta có : f   x   (m 2  1)   x  2  2018  x  m 2018  x m 2  1 x . 2 m  1 2  m  m Đồng nhất, ta được :  2 .  m2  m  2  0    m  2 m  2   m Kết hợp điều kiện, suy ra m  2 thỏa mãn. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 115 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 116 BÀI 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT A. KIẾN THỨC CẦN NẮM I. Ôn tập về hàm số bậc nhất Hàm số bậc nhất y = ax + b  Tập xác định: D = R.  Sự biến thiên:  – Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R. – Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R. Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B. Chú ý: Cho hai đường thẳng : y = ax + b và : y = ax + b  song song với  a = a và b  b.  trùng với  a = a và b = b.  cắt  a  a. II. Hàm số hằng y  b Đồ thị của hàm số y  b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm  0; b  . Đường thẳng này gọi là đường thẳng y  b III. Hàm số y  x 1. TXĐ: D   2. Chiều biến thiên khi x  0 khi x  0 x y x   x 3. Đồ thị B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 1. Phương pháp Cho hàm số y  ax  b,  a  0  - Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R. – Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y   2m  3 x  m  3 nghịch biến trên  Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 117 Hàm số y   2m  3 x  m  3 có dạng hàm số bậc nhất. 3 Để hàm số nghịch biến trên   2m  3  0  m   . 2 Ví dụ 2. Tìm các giá trị của tham số để y   m  1 x  2  m đồng biến trên khoảng  ;   Hướng dẫn giải Hàm số y   m  1 x  2  m có dạng hàm số bậc nhất. Để hàm số đồng biến trên   m  1  0  m  1 . 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Khẳng định nào về hàm số y  3 x  5 là sai: A. Hàm số đồng biến trên  .  5  B. Đồ thị cắt Ox tại   ;0  .  3  C. Đồ thị cắt Oy tại  0;5  . D. Hàm số nghịch biến trên  . Hướng dẫn giải Chọn D. Hàm số y  3 x  5 có hệ số a  3  0 nên đồng biến trên  , suy ra đáp án D sai. Câu 2. Tìm m để hàm số y   3  m  x  2 nghịch biến trên  . A. m  0 . B. m  3 . C. m  3 . D. m  3 . Hướng dẫn giải Chọn C. Hàm số y   3  m  x  2 có dạng hàm số bậc nhất. Để hàm số nghịch biến trên  thì 3  m  0  m  3 . Câu 3. Tìm m để hàm số y   2m  1 x  m  3 đồng biến trên  . A. m  1 . 2 1 B. m  . 2 C. m  3 . D. m  3 . Hướng dẫn giải Chọn A. Khi 2m  1  0  m  1 5  y    0 nên nghịch biến trên  2 2 Vậy hàm số y   2m  1 x  m  3 đồng biến trên  khi và chỉ khi 2m  1  0  m  1 . 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 118 Câu 4. Cho hàm số f  x    m  2  x  1 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên  ?; nghịch biến trên  ? A. Với m  2 thì hàm số đồng biến trên  ; m  2 thì hàm số nghịch biến trên  . B. Với m  2 thì hàm số đồng biến trên  ; m  2 thì hàm số nghịch biến trên  . C. Với m  2 thì hàm số đồng biến trên  ; m  2 thì hàm số nghịch biến trên  . D. Với m  2 thì hàm số đồng biến trên  ; m  2 thì hàm số nghịch biến trên  . Hướng dẫn giải Chọn D. Hàm số f  x    m  2  x  1 đồng biến khi m  2  0  m  2 . Hàm số f  x    m  2  x  1 nghịch biến khi m  2  0  m  2 . Cho hàm số f  x   Câu 5.   7  m x  3 . Có bao nhiêu số tự nhiên m để f  x  đồng biến trên  ? A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. vô số. Hướng dẫn giải Chọn C. Để hàm số f ( x )    7  m x  3 đồng biến trên   7  m  0  m  7 Vậy m  0;1; 2 thỏa mãn m  7 để hàm số f ( x )    7  m x  3 đồng biến trên  . Dạng 2: Đồ thị hàm số bậc nhất 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Hệ số góc của đồ thị hàm số y  2018 x  2019 bằng A.  2019 . 2018 C. 2019 . B. 2018 . D.  2018 . 2019 Hướng dẫn giải Chọn B. Câu 2. Đồ thị của hàm số y  2 1 x  là 3 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 119 y d  1 3 1 A. 1 3 x O 1 2 O d  . x B. y 1 3 1  2 y d  y d  1 3 x O  x O . C. . 1 2 . D. Hướng dẫn giải Chọn C. Từ giả thiết hàm số đồng biến nên loại đáp án A và B. Mặt khác cho x  0 vào y  Câu 3. 2 1 1 x   nên loại đáp án D. 3 3 3 Hàm số y  2 x  1 có đồ thị là hình nào trong các hình sau? y y y x x O -1 Hình 1 A. Hình 2 1 y O -1 x O 1 x O -1 1 -1 Hình 2 Hình 3 B. Hình 4. 1 Hình 4 C. Hình 3. D. Hình 1. Hướng dẫn giải Chọn D. 1  Đồ thị hàm số y  2 x  1 đi qua hai điểm có tọa độ  0; 1 và  ;0  . 2  Do đó chỉ có hình 1 thỏa mãn. Câu 4. Hàm số nào cho dưới đây có đồ thị như hình vẽ bên: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 120 A. y  2 x  2 . B. y  x  2 . C. y   x  2 . D. y  2 x  2 . Lời giải Chọn A. Đồ thị hàm số cắt Ox và Oy lần lượt tạ A 1;0  và B  0; b  . Câu 5. x Đồ thị của hàm số y    2 là hình nào? 2 A. B. C. D. Lời giải Chọn C x Đồ thị hàm số y    2 đi qua A  0; 2  , B  4;0  . Quan sát đồ thị ta được đáp án C thỏa 2 yêu cầu. Câu 6. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 121 A. y  2 x  2 . 1 B. y  2 x  2 .C. y  2 x  1 . D. y   x  1 . 2 Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua 2 điểm A  1;0  , B  0; 2  . Hàm số có dạng 0   a  b a  2 y  ax  b ta được:    y  2x  2 . 2  a.0  b b  2 Câu 7 Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào? . A. y = x – 2 . B. y = –x – 2 . C. y = –2x – 2 . D. y = 2x – 2 . Lời giải Chọn D Giả sử hàm số cần tìm có dạng: y = ax + b (a ¹ 0) . ì ì ï-2 = b ï ïa = 2 .  Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; -2), (1; 0) nên ta có: ï í í ï ï 0 = a +b b = -2 ï ï î î Vậy hàm số cần tìm là y = 2x – 2 . Câu 8: Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số y  3x  1 ? A. M  2;6  . B. N 1; 4  . C. P  0;1 . D. Q  1; 2  . Lời giải Chọn A Ta có 3.2  1  7  6 , do đó M  2;6  không thuộc đồ thị hàm số y  3x  1 . Câu 9: Đường thẳng trong hình bên là đồ thị của một hàm số nào? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 122 A. y  5 x  3 . B. y  x  3 . C. y  3  3x . D. y  3  2 x . Lời giải Chọn D 3  0.x  b  a  2  Gọi y  ax  b . Dựa vào đồ thị có  .  3 b  3 0  2 a  b Câu 10. Đường gấp khúc trong hình vẽ là dạng đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê trong các phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y  x  1 . B. y   x  1 . C. y   x  1 . D. y  1  x . Lời giải Chọn D Đồ thị hàm số đi qua các điểm  0;1 và 1;0  nên chỉ có hàm số y  1  x thỏa mãn. Câu 11. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ? y 1 x O  x  2, khi x  1 . A. y    x, khi x  1  x  2, khi x  1 . B. y    x, khi x  1  x  2, khi x  1 . C. y    x, khi x  1  x, khi x  1 D. y   .   x, khi x  1 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 123 Chọn C Bảng biến thiên: x y ∞ ∞ 1 +∞ +∞ 1 Câu 12. Đồ thị bên là đồ thị của hàm số nào? y 3 1 O A. y  x  1 . x 1 B. y  2 x  1 . C. y  2 x  1 . D. y  x  1 Lời giải Chọn B Đồ thị nhận trục Oy là trục đối xứng nên hàm số tương ứng là hàm chẵn nên loại phương án C, D. Đồ thị hàm số đi qua điểm 1;3 . Thay vào B thấy thỏa mãn nên chọn B. x Đồ thị của hàm số y    2 là hình nào? 2 Câu 13. A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 124 B. C. D. Lời giải Chọn C x Đồ thị hàm số y    2 cắt trục hoành tại điểm  4;0  và cắt trục tung tại điểm  0; 2  2 nên chọn đáp án C. Câu 14. Hình vẽ sau đây là đồ thị hàm số nào? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 125 A. y  1  x . B. y  x  1 . C. y  x  1 . D. y  x . Lời giải Chọn A Nhìn vào đồ thị hàm số đã cho ta thấy: -Đồ thị đi qua điểm A (0;1) nên loại trừ đáp án C, D. -Đồ thị đi qua điểm B(  1; 0) , C(1; 0) nên loại trừ đáp án B. Chọn đáp án A Câu 15. Hàm số nào trong các hàm số dưới đây có đồ thị như hình vẽ? A. y  x  3. B. y  2 x  3. C. y  4 x  6. D. y  4 x  6. Lời giải Chọn B 3  Đồ thị là một đường thẳng qua điểm  0; 3 và  ; 0  2   3  a.0  b a  2   Nên hàm số có dạng: y  ax  b thỏa:  3 b  3 0  2 a  b Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 126 Câu 16. Cho hàm số y  f  x  có tập xác định là  3;3 và có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng  3;1 và 1; 4  . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;1 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng  3; 1 và 1;3  . D. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Lời giải Chọn C +) Dựa vào đồ thị nhận thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng  3; 1 và 1;3  . Câu 17. Hàm số nào trong bốn phương án liệt kê ở A, B, C, D có đồ thị như hình bên A. y = -x + 2 . B. y = 2 x + 1 . C. y = x + 1 . D. y = -x + 1 . Lời giải Chọn D Gọi d : y = ax + b Đồ thị hàm số cắt các trục tọa độ lần lượt tại A(0;1) và B (1;0) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 127 ì ï ïìb = 1 ï A (0;1) Î d  ïìïb = 1  ïí  d : y = -x + 1 . í í ïïîa + b = 0 ïïîa = -1 ï B d 1;0 Î ( ) ï î Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho hai đường thẳng  d1  : y  1 1 x  100 và  d 2  : y   x  100 . Mệnh đề nào sau đây 2 2 đúng? A.  d1  và  d 2  trùng nhau. B.  d1  và  d 2  vuông góc nhau. C.  d1  và  d 2  cắt nhau. D.  d1  và  d 2  song song với nhau. Hướng dẫn giải Chọn C. Cách 1: Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số gốc của  d1  và  d 2  . Khi đó k1  1 1 1 , k2    k1.k2   nên  d1  và  d 2  không vuông góc nhau. 2 2 4 1   1  y  2 x  100  x  y  100 x  0  Xét hệ:   2  y  100  y   1 x  100  1 x  y  100   2 2 Vậy  d1  và  d 2  cắt nhau. Cách 2: Ta thấy Câu 2. 1 1   nên  d1  và  d 2  cắt nhau. 2 2 Biết ba đường thẳng d1 : y  2 x  1 , d 2 : y  8  x , d3 : y   3  2m  x  2 đồng quy. Giá trị của m bằng 3 A. m   . 2 B. m  1 . C. m  1 . 1 D. m  . 2 Hướng dẫn giải Chọn B. + Gọi M là giao điểm của d1 và d 2 .  y  2x 1 2 x  y  1 x  3  M  3;5  .   Xét hệ:  y  8 x x  y  8 y  5 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 128 + M  d3 nên ta có: 5   3  2m  .3  2  5  9  6m  2  6m  6  m  1 . Câu 3. Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y   m 2  3 x  3m  1 song song với đường thẳng y  x  5 ? A. m  2 . C. m  2 . B. m   2 . D. m  2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Đường thẳng y   m 2  3 x  3m  1 song song với đường thẳng y  x  5 khi và chỉ khi m 2  3  1 m2  4 m  2 v m = 2    m  2.    m  2 3m  1  5 3m  6 Câu 4. Các đường thẳng y  5  x  1 ; y  3 x  a ; y  ax  3 đồng quy với giá trị của a là B. 10 . A. 11 . C. 12 . D. 13 . Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi d1 : y  5 x  5 , d 2 : y  3x  a , d3 : y  ax  3  a  3 . Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d 2 : 5 x  5  3 x  a  x  a  5 . 8  a  5 5a  15  ; Giao điểm của d1 và d 2 là A  . 8   8 Đường thẳng d1 , d 2 và d3 đồng qui khi A  d3  a  3 5a  15 a  5  a  13 .  a.  3  a 2  10a  39  0   8 8  a  13 Dạng 4: Xác định hàm số bậc nhất 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Biết đồ thị hàm số y  ax  b đi qua điểm M 1; 4  và có hệ số góc bằng 3 . Tìm a, b. Lời giải Vì y  ax  b có hệ số góc bằng 3 nên a  3 . Mà y  ax  b đi qua M 1; 4  nên y  3 x  b  4  3.1  b  b  7 . Ví dụ 2: Đồ thị hàm số y  ax  b là một đường thẳng đi qua A  3; 4  và song song với đường thẳng y  3x  1 . Tìm a, b. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 129 Lời giải Đường thẳng y  ax  b đi qua A  3; 4  và song song với đường thẳng y  3x  1 ;suy 3a  b  4 b  5   ra a  3 . a  3 b  1  Ví dụ 3: Đồ thị hàm số y  ax  b cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x  3 và đi qua điểm M  2; 4  . Tìm a, b. Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x  3  3a  b  0 . Đồ thị hàm số đi qua điểm M  2; 4   2 a  b  4 . 4  a  3a  b  0  5 . Ta có hệ   2a  b  4 b  12  5 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng y  2 x ? A. y  2 x 5. 2 B. y  1  2 x . C. y  1 x 3. 2 D. y   2 x  2 . Hướng dẫn giải Chọn A. Hai đường thẳng song song khi hai hệ số góc bằng nhau. Câu 2. Hàm số f  x    m  1 x  2m  2 là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi A. m  1 . B. m  1 . C. m  1 . D. m  0 . Hướng dẫn giải Chọn C. Hàm số f  x    m  1 x  2m  2 là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi m  1  0  m  1 . Câu 3. Tìm m để f  x    m  2  x  2m  1 là nhị thức bậc nhất. A. m  2 . m  2  B.  1. m    2 C. m  2 . D. m  2 . Hướng dẫn giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 130 Để f  x    m  2  x  2m  1 là nhị thức bậc nhất thì m  2  0  m  2 . Câu 4. Một hàm số bậc nhất y  f  x  có f  –1  2 và f  2   –3 . Hàm số đó là A. y  –2 x  3 . B. f  x   5 x  1 . 3 C. y  2 x – 3 . D. f  x   5 x  1 . 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Hàm số đã cho có dạng y  f  x   ax  b .  f  –1  2 5 1 a.  –1  b  2    a , b . Ta có  3 3 a.2  b  –3  f  2   –3 Vậy f  x   Câu 5. 5 x  1 . 3 Biết đồ thị hàm số y  ax  b đi qua điểm M 1; 4  và có hệ số góc bằng 3 . Tích P  ab ? A. P  13 . B. P  21 . C. P  4 . D. P  21 . Hướng dẫn giải Chọn D. Vì y  ax  b có hệ số góc bằng 3 nên a  3 . Mà y  ax  b đi qua M 1; 4  nên y  3 x  b  4  3.1  b  b  7 . Do đó P  a.b  3.7  21 . Câu 6. Đồ thị hàm số nào sau đây đi qua 2 điểm A  1; 2  và B  0; 1 . A. y  x  1 . B. y  x  1 . C. y  3 x  1 D. y  3 x  1 . Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi đường thẳng đi qua hai điểm A  1; 2  và B  0; 1 có dạng: y  ax  b  d  . Do A  1; 2  và B  0; 1 thuộc đường thẳng  d  nên a , b là nghiệm của hệ phương trình: 2  a  b a  3 .   1  b b  1 Vậy đồ thị hàm số đi qua hai điểm A  1; 2  và B  0; 1 là y  3 x  1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 131 Câu 7. Đường thẳng y  ax  b có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm A  3;1 là A. y  2 x  1 . B. y  2 x  7 . C. y  2 x  5 . D. y  2 x  5 . Hướng dẫn giải Chọn B. Đường thẳng có hệ số góc bằng 2  a  2  y  2 x  b và đi qua điểm A  3;1 . Nên 1  2.  3  b  b  7 . Vậy hàm số cần tìm là y  2 x  7 . Câu 8. 1 Đường thẳng đi qua điểm M  2;  1 và vuông góc với đường thẳng y   x  5 có 3 phương trình là A. y  3 x  7 . B. y  3 x  5 . C. y  3 x  7 . D. y  3 x  5 . Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi d là đường thẳng cần tìm. 1 Do d vuông góc với đường thẳng y   x  5 nên d : y  3 x  m . 3 Do d đi qua điểm M  2;  1 nên 1  3.2  m  m  7 . Vậy d : y  3 x  7 . Câu 9. Điểm A có hoành độ x A  1 và thuộc đồ thị hàm số y  mx  2m  3 . Tìm m để điểm A nằm trong nửa mặt phẳng tọa độ phía trên trục hoành . A. m  0 . B. m  0 . C. m  1 . D. m  0 . Hướng dẫn giải Chọn C. Từ giả thiết điểm A nằm trong nửa mặt phẳng tọa độ phía trên trục hoành nên y A  0 ta có y A  mx  2m  3  m.1  2m  3  3m  3  0  m  1 . Câu 10. Tìm phương trình đường thẳng d : y  ax  b . Biết đường thẳng d đi qua điểm I 1;3 và tạo với hai tia Ox , Oy một tam giác có diện tích bằng 6 ?    B. y  9  72 x  72  6 . A. y  3 x  6 .  C. y  9  72 x  72  6 . D. y  3 x  6 . Hướng dẫn giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 132 Do đường thẳng d đi qua điểm I 1;3 nên a  b  3  a  3  b .  b  Giao điểm của d và các tia Ox , Oy lần lượt là M   ;0  và N  0; b   a  . 1 1 b b2 Do đó: SOMN  .OM .ON  . . b  . Mà 2 2 a 2a S OMN b  6 2     b 36 12 b  b  6  72  L  .  6  b 2  12 a  b 2  12 3  b   2 b  36  12b  b  6  72 (L) Với b  6  a  3  d : y  3 x  6 . Câu 11. Tìm điểm M  a; b  với a  0 nằm trên  : x  y  1  0 và cách N  1;3 một khoảng bằng 5 . Giá trị của a  b là B. 1 . A. 3 . C. 11 . D. 1 . Hướng dẫn giải Chọn C.  M    M (t;1  t )  MN   1  t ; t  2  . Ta có: MN  5  MN 2   1  t   (2  t ) 2  25 2 t  2  M  2; 1  2t 2  6t  20  0    M  5;6   a  b  11 t  5  M  5;6  Câu 12. Cho hàm số bậc nhất y   m 2  4m  4  x  3m  2 có đồ thị là d  . Tìm số giá trị nguyên dương của m để đường thẳng  d  cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A , B sao cho tam giác OAB là tam giác cân ( O là gốc tọa độ). A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B. Đường thẳng  d  tạo với trục hoành và trục tung một tam giác OAB là tam giác vuông cân  đường thẳng  d  tạo với chiều dương trục hoành bằng 45 hoặc 135  hệ số góc tạo của d  bằng 1 hoặc  m 2  4m  4  1  m 2  4m  3  0 1   2  2  m  4m  5  0  m  4 m  4  1  m  1  .  m  5 m  2  7  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 133 Thử lại: m  5 thì d không đi qua O . Vậy có duy nhất một giá trị m  5 nguyên dương thỏa ycbt. Câu 13. Đường thẳng d : y   m  3 x  2m  1 cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB cân. Khi đó, số giá trị của m thỏa mãn là A. 1 . B. 0 . C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. A  d  Ox nên tọa độ A là nghiệm của hệ: 2m  1   y   m  3 x  2m  1  x   2m  1  ; 0 .  m  3 nên A    m  3    y  0  y  0 B  d  Oy nên tọa độ B là nghiệm của hệ:  y   m  3 x  2m  1  x  0  nên B  0; 2m  1 .   y  2m  1  x  0 Ta có OA  OB   1  2m  1  2m  1  2m  1   1  0  m3  m3  1   2m  1  0 m .   2   m 3 1  m  4, m  2 Nhận xét: Với m  1 thì A  B  O  0; 0  nên không thỏa mãn. 2 Vậy m  4, m  2 . Câu 14: Biết rằng với mọi giá trị thực của tham số m , các đường thẳng d m : y  (m  2) x  2m  3 cùng đi qua một điểm cố định là I ( a; b ) . Tính giá trị của biểu thức: S  a  b A. S  3 . B. S  1 . C. S  1 . D. S  3 . Lời giải Chọn B Ta có phương trình của đường thẳng đã cho: d m : y  (m  2) x  2m  3  ( x  2)m  2 x  3 Vì các đường thẳng d m luôn đi qua điểm I nên ta tìm x để m bị triệt tiêu ⇒ I ( 2; 1)  S  1 ⇒ Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 134 Câu 15. Đồ thị hàm số y  x  2m  1 tạo với hệ trục tọa độ Oxy tam giác có diện tích bằng 25 . 2 Khi đó m bằng A. m  2 ; m  3 . B. m  2 ; m  4 . C. m  2 ; m  3 . D. m  2 . Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi: A , B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số y  x  2m  1 với trục hoành và trục tung Suy ra A  2m  1;0  ; B  0;1  2m  . Theo giả thiết thì tam giác có diện tích bằng 25 là tam giác OAB vuông tại O . 2 1 25 Do đó: SOAB  .OA.OB  2 2  OA.OB  25  2m  1 . 1  2m  25  2m  1 . 2m  1  25  2m  1  5 m  3 2  .   2m  1  25    2m  1  5  m  2 Dạng 4: Bài toán thực tế 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Một giá đỡ được gắn vào bức tường như hình vẽ. Tam giác ABC vuông cân ở đỉnh C . Người ta treo vào điểm A một vật có trọng lượng 10 N . Khi đó lực tác động vào bức tường tại hai điểm B và C có cường độ lần lượt là: B A C A. 10 2 N và 10 N . B. 10 N và 10 N . 10N C. 10 N và 10 2 N . D. 10 2 N và 10 2 N . Hướng dẫn giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 135 Cường độ lực tại C bằng cường độ lực tại A và bằng 10 N . Cường độ lực tại B bằng 10 2 N . Câu 2. Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 800 m2. Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu 3.000.000 đồng trên 100 m2 nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4.000.000 đồng trên 100 m2 Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá 180 . Hãy chọn phương án đúng nhất trong các phương án sau: A. Trồng 600 m2 đậu, 200 m2 cà. B. Trồng 500 m2đậu, 300 m2cà. C. Trồng 400 m2 đậu, 200 m2 cà. D. Trồng 200 m2 đậu, 600 m2 cà. Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi x là số x00 m2 đất trồng đậu, y là số y 00 m2 đất trồng cà. Điều kiện x  0 , y  0 . Số tiền thu được là T  3x  4 y triệu đồng. x  y  8 x  y  8  20 x  30 y  180 2 x  3 y  18   Theo bài ra ta có   x  0 x  0  y  0  y  0 Đồ thị: Dựa đồ thị ta có tọa độ các đỉnh A  0;6  , B  6; 2  , C  8;0  , O  0;0  . Thay vào T  3 x  4 y ta được Tmax  26 triệu khi trồng 600 m2 đậu và 200 m2 cà. Câu 3. Một nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 8 ha trong vụ Đông Xuân. Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Nếu trồng đậu thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất. Biết rằng tổng số công không quá 180 . A. 1 ha đậu và 7 ha cà. B. 6 ha đậu và 2 ha cà. C. 2 ha đậu và 6 ha cà. D. 3 ha đậu và 5 ha cà. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 136 Lời giải Chọn B Gọi diện tích trồng đậu là x , , vậy diện tích trồng cà là 8  x . Số công phải bỏ ra là: 20 x  30  8  x   240  10x . Do tổng số công không quá 180 nên ta có: 240  10 x  180  x  6 . Số tiền thu được là g  x   3x  4  8  x   32  x ; g  x  nghịch biến trên đoạn  6;8 nên max g  x   26 tại x  6 . Vậy cần trồng 6 ha đậu và 2 ha cà.  6;8 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 137 BÀI 3. HÀM SỐ BẬC HAI A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng y  ax 2  bx  c , trong đó a, b, c là những hằng số và a  0 . I. Đồ thị của hàm số bậc hai y  ax 2  bx  c   Tập xác định: D = R  b  b làm trục đối Đồ thị là một parabol có đỉnh I   ;   , nhận đường thẳng x   2a  2a 4a  xứng, hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuông dưới khi a < 0. Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước như sau: -  b  Xác định toạ độ đỉnh I   ;   .  2a 4a  - Xác định trục đối xứng x   - Xác định một số điểm cụ thể của parabol . - Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol. b và hướng bề lõm của parabol. 2a II. Sự biến thiên của hàm số bậc hai Bảng biến thiên: Như vậy:    b  b  Khi a  0 hàm nghịch biến trên khoảng  ;   , đồng biến trên khoảng   :   2a    2a  và có GTNN là  b  khi x   2a 4a   b  b  Khi a  0 hàm đồng biến trên khoảng  ;   , nghịch biến trên khoảng   :   2a    2a  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 138 và có GTLN là b  khi x   2a 4a B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Bảng biến thiên, tính đơn điệu, GTLN và GTNN của hàm số 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  f  x   x 2  3x trên đoạn 0; 2. Lời giải Hàm số y  x 2  3x có a  1  0 nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh x   b 3    0; 2 . 2a 2 9  3 m  min y  f  2    4   . Vậy   M  max y  max  f  0  , f  2   max 0, 2  0  Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  f  x    x 2  4 x  3 trên đoạn  0; 4 . Lời giải Hàm số y   x 2  4 x  3 có a  1  0 nên bề lõm hướng xuống. Hoành độ đỉnh x   b  2   0; 4 . 2a  f  4   29 Ta có    m  min y  f  4   29; M  max y  f  0   3.  f  0   3 Ví dụ 3: Tìm giá trị thực của tham số m  0 để hàm số y  mx 2  2mx  3m  2 có giá trị nhỏ nhất bằng 10 trên . Lời giải Ta có x   b 2m   1 , suy ra y  4 m  2 . 2a 2m Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 10 khi và chỉ khi m 0m0 2 m  0   m  2. 4m  2  10 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 139 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Bảng biến thiên nào dưới đây là của hàm số y   x 2  2 x  1 :  x  1  y  2 A.  x   y  B.  x 1  2 y C. x      y  D. Hướng dẫn giải Chọn C. Xét hàm số y   x 2  2 x  1 có a  1  0 , tọa độ đỉnh I 1; 2  do đó hàm số trên tăng trên khoảng  ;1 và giảm trên khoảng 1;    . Câu 2. Trục đối xứng của parabol y   x 2  5 x  3 là đường thẳng có phương trình A. x  5 . 4 5 B. x   . 2 5 C. x   . 4 D. x  5 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Trục đối xứng của parabol y  ax 2  bx  c là đường thẳng x   Trục đối xứng của parabol y   x 2  5 x  3 là đường thẳng x  Câu 3. b . 2a 5 . 2 Cho hàm số y  x 2  2 x  3 . Chọn câu đúng. A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;   . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 140 C. Hàm số đồng biến trên  . D. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có a  1  0 , b  2 , c  3 nên hàm số có đỉnh là I 1; 2  . Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 và đồng biến trên khoảng 1;   . Câu 4. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f  x   x 2  4 x  5 trên các khoảng  ; 2  và  2;    . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên  ; 2  , đồng biến trên  2;    . B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 2  và  2;    . C. Hàm số đồng biến trên  ; 2  , nghịch biến trên  2;    . D. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2  và  2;    . Hướng dẫn giải Chọn A. f  x   x2  4x  5 TXĐ: D   . Tọa độ đỉnh I  2;1 . Hàm số nghịch biến trên  ; 2  , đồng biến trên  2;    . Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 2  4 x  1 . A. 3 . C. 3 . B. 1. D. 13 . Hướng dẫn giải Chọn A. y  x 2  4 x  1   x  2   3  3 . 2 Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  2 . Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là 3 tại x  2 . Câu 6. Giá trị lớn nhất của hàm số f  x   A. 11 . 8 B. 2 bằng x  5x  9 2 11 . 4 C. 8 . 11 D. 4 . 11 Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 141 Chọn C. 2 5  11 11 8 2 2  Ta có x 2  5 x  9   x       2  2 4 4 x  5 x  9 11 11  4 2 8 5  x x  5 x  9 11 2 2 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f  x   Câu 8. 2 8 bằng . x2  5x  9 11 Hàm số y  x 2  4 x  3 đồng biến trên khoảng nào? A. 1;3 . B.  ; 2  . C.  ;    . D.  2;    . Hướng dẫn giải Chọn D. Trục đối xứng x  2 . Ta có a  1  0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2  và đồng biến trên khoảng  2;    . Câu 9. Cho parabol  P  có phương trình y  3x 2  2 x  4 . Tìm trục đối xứng của parabol 2 A. x   . 3 1 B. x   . 3 C. x  2 . 3 1 D. x  . 3 Hướng dẫn giải Chọn D. + Có a  3 ; b  2 ; c  4 . + Trục đối xứng của parabol là x  Câu 10. b 1  . 2a 3 Cho hàm số y  2 x 2  4 x  3 có đồ thị là parabol  P  . Mệnh đề nào sau đây sai? A.  P  không có giao điểm với trục hoành. B.  P  có đỉnh là S 1;1 . C.  P  có trục đối xứng là đường thẳng y  1 . D.  P  đi qua điểm M  1; 9  . Hướng dẫn giải Chọn C.  P có đỉnh là S 1;1 ; trục đối xứng là đường thẳng x  1 nên C sai. và  P  đi qua điểm M  1; 9   B, D đều đúng. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 142 Xét phương trình 2 x 2  4 x  3  0 vô nghiệm trên  nên  P  không có giao điểm với trục hoành  A đúng. Câu 11. Hàm số y   x 2  2 x  5 đồng biến trên khoảng: A.  1;   . B.  ; 1 . C. 1;   . D.  ;1 . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có đồ thị hàm số là một parabol có hoành độ đỉnh: x   b 1 2a Mà hệ số a  1  0 nên đồ thị hàm số có bề lõm quay xuống Vậy hàm số đồng biến trên  ;1 . Câu 12. Cho hàm số y  x 2  2 x  4 có đồ thị  P  . Tìm mệnh đề sai. A.  P  có đỉnh I 1;3 . B. min y  4, x   0;3 . C.  P  có trục đối xứng x  1 . D. max y  7, x   0;3 . Hướng dẫn giải Chọn B. y 8 (P) x=1 7 6 4 3 I(1; 3) 2 O 1 3 x5 Dựa vào đồ thị của hàm số y  x 2  2 x  4 :  P  , ta nhận thấy:  P có đỉnh I 1;3 nên A đúng. min y  3, x   0;3 , đạt được khi x  1 nên B sai.  P có trục đối xứng x  1 nên C đúng. max y  7, x   0;3 , đạt được khi x  3 nên D đúng. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 143 Câu 13. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên  3; 4  ? A. y  1 2 x  2x 1 . 2 B. y  x 2  7 x  2 . 1 D. y   x 2  x  1 . 2 C. y  3 x  1 . Hướng dẫn giải Chọn A. + Hàm số y  1 2 x  2 x  1 đồng biến trên  2;   nên đồng biến trên  3; 4  . Chọn A 2 7  + Hàm số y  x 2  7 x  2 đồng biến trên  ;   . Loaị B. 2  + Hàm số y  3 x  1 nghịc biến trên  . Loaị C. 1 + Hàm số y   x 2  x  1 đồng biến trên  ;1 . Loaị D. 2 Câu 14. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình bên? x  y  1 1 2   A. y   x 2  5 x  2 . 1 B. y   x 2  x . 2 C. y  x 2  3 x  1 . D. y  1 2 x  x 3. 4 Hướng dẫn giải Chọn B. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị có bề lõm hướng xuống nên loại C, D. 1  1 Đồ thị hàm số y   x 2  x có tọa độ đỉnh I 1;  . 2  2 Câu 16. Bảng biến thiên của hàm số y  2 x 2  4 x  1 là bảng nào sau đây? A. . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B. . Trang 144 C. . D. Hướng dẫn giải Chọn B Do hệ số a  2  0 nên parabol có bề lõm hướng xuống và đỉnh có tọa độ I 1;3 . Câu 17. Tìm m để hàm số y  x 2  2 x  2m  3 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn  2;5 bẳng 3 . A. m  3 . B. m  9 . C. m  1 . D. m  0 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có bảng biến thiên của hàm số y  x 2  2 x  2m  3 trên đoạn  2;5 : Do đó giá trị nhỏ nhất trên đoạn  2;5 của hàm số y  x 2  2 x  2m  3 bằng 2m  3 . Theo giả thiết 2m  3  3  m  3 . Câu 18. 1  Cho hàm số y  x 2  2  m   x  m  m  0  xác định trên  1;1 . Giá trị lớn nhất, giá m  trị nhỏ nhất của hàm số trên  1;1 lần lượt là y1 , y2 thỏa mãn y1  y2  8 . Khi đó giá trị của m bằng A. m  1 . B. m  . C. m  2 . D. m  1 , m  2 . Hướng dẫn giải Chọn A. 1  Đặt y  f  x   x 2  2  m   x  m . m  Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số là x  m  1 2 . m 1  Vì hệ số a  1  0 nên hàm số nghịch biến trên  ; m   . m  Suy ra, hàm số nghịch biến  1;1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 145  y1  f  1  3m  y2  f 1  1  m  2 1. m 2 . m Theo đề bài ta có: y1  y2  8  3m  Câu 19. 2 2  1  1  m   8  m  0   m 2  2m  1  0  m  1 . m m Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 4  4 x3  x 2  10 x  3 trên đoạn  1; 4 là A. ymin   C. ymin  37 , ymax  21 . 4 B. ymax  37 , ymax  21 . 4 37 , ymin  21 . 4 D. ymax  5 , ymin   37 . 4 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có y  x 4  4 x3  x 2  10 x  3  x 4  4 x3  4 x 2  5 x 2  10 x  5  2 2 2 2   x 2  2 x   5  x  1  2   x  1  1  5  x  1  2 .   2 2 Đặt t   x  1 , x   1; 4  t   0;9 . 2 2 2  7  37 y   t  1  5t  2  t 2  7t  3   t    . 4  2 2 37  7  121 Cách 1: Ta có 0   t       y  21 . 4 4  2 Cách 2: Vẽ BBT Vậy ymin   37 , ymax  21 . 4 Dạng 2: Xác định hàm số bậc hai 1. Phương pháp  M  x0 ; y0   (P )  y0  ax02  bx0  c Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 146   b x   0 2a (P) có đỉnh I  x0 ; y0    y     0 4a  (P) nhận x  x0 làm trục đối xứng  x0    (P) có giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) bằng y0   b  x0   hoaëc:  2a  y  ax 2  bx  c 0 0  0 b 2a   y0 4a 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Xác định Parabol y  ax 2  bx  c đạt cực tiểu bằng 4 tại x  2 và đồ thị đi qua A  0;6  Hướng dẫn giải Parabol có đỉnh I  2; 4  và đi qua A  0;6  nên ta có 1   a  2 4a  2b  c  4   1  b  2 . Vậy y  x 2  2 x  6 . c  6 2 c  6  b    2  2a  Ví dụ 2. Parabol y  ax 2  bx  c đi qua A  8;0  và có đỉnh I  6; 12  . Xác định a, b, c Hướng dẫn giải  64a  8b  c  0 a  3   Từ giả thiết ta có hệ 36a  6b  c  12  b  36 . c  96  b   6  2a Ví dụ 3. Tìm các hệ số a, b, c của (P ) : y  ax 2  bx  c,  a  0  a) (P) đi qua A  1; 0  ; B  2; 0  ; C  0; 4  ; b) (P) đi qua A  1; 2  và có đỉnh I 1;2  . Giải a) Ta có: A  1; 0    P   a  b  c  0 B  2; 0    P   4a  2b  c  0 C  0; 4    P   c  4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 147 a  b  c  0 a  2   Giải hệ phương trình: 4a  2b  c  0  b  2 c  4 c  4 Vậy a  2, b  2, c  4 b) Vì (P) đi qua A  1; 2  nên a  b  c  2 Mặt khác, vì (P) có đỉnh là I 1;2  nên I 1;2    P  hay a  b  c  2 Và b  1  2a  b  0 2a a  b  c  2 a  1   Giải hệ phương trình: a  b  c  2  b  2 2a  b  0 c  1 Vậy a  1; b  2; c  1 Ví dụ 4. Tìm các hệ số a, b, c của (P ) : y  ax 2  bx  c,  a  0  a) y nhận giá trị bằng -3 khi x  2 và (P) cắt d : y  x  1 tại hai điểm có hoành độ bằng 0 và bằng 5. b) (P) đi qua hai điểm A  1;6  , B  4;3 và có trục đối xứng là x  2 . Giải a) Theo đề : y nhận giá trị bằng -3 khi x  2 nên 4a  2b  c  3 Gọi (P) cắt d : y  x  1 tại hai điểm M và N. Suy ra: M  0;1 , N 1;6  M  0;1   P   c  1 N 1;6    P   a  b  c  6 4a  2b  c  3 a  7   Giải hệ phương trình: a  b  c  6  b  12 c  1 c  1 Vậy a  7, b  12, c  1 b) (P) đi qua hai điểm A  1;6  , B  4;3 nên A  1;6    P   a  b  c  6 B  4;3   P   16a  4b  c  3 (P) và có trục đối xứng là x  2 nên  b  2  4a  b  0 2a Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 148  3 a  5 a  b  c  6  12   Giải hệ phương trình: 16a  4b  c  3  b   5 4a  b  0  3 c    3 12 Vậy a  ; b   ; c  3. 5 5 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. f  x   3x 2  2 x  5 là tam thức bậc hai. B. f  x   2 x  4 là tam thức bậc hai. C. f  x   3x3  2 x  1 là tam thức bậc hai. D. f  x   x 4  x 2  1 là tam thức bậc hai. Hướng dẫn giải Chọn A. * Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì f  x   3x 2  2 x  5 là tam thức bậc hai. Câu 2. Xác định parabol  P  : y  ax 2  bx  c , a  0 biết  P  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và có giá trị nhỏ nhất bằng 3 1 khi x  4 2 A.  P  : y   x 2  x  1 . B.  P  : y  x 2  x  1 . C.  P  : y  2 x 2  2 x  1 . D.  P  : y  x 2  x  0 . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có  P  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1: Khi x  0 thì y  1  c  1 .  P  có giá trị nhỏ nhất bằng 3 1 khi x  nên: 4 2  1 3 1 3 1 1 1 a  b 1  1  y  2   4  a  1  a b 4 2 4      4 . 2 4    b  1 a  b  0  b  1  b  1  2a 2  2a 2 Vậy  P  : y  x 2  x  1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 149 Câu 3. Đồ thị của hàm số nào sau đây là parabol có đỉnh I  1;3 . A. y  2 x 2  4 x  3 . B. y  x 2  x  1 . C. y  2 x 2  4 x  5 . D. y  2 x 2  2 x  1 . Hướng dẫn giải Chọn C.    b b 2  4ac   b Đỉnh Parabol là I   ;      ;  . 4a   2a 4a   2a Do đó chỉ có đáp án C thoả. Câu 4. Cho parabol  P  : y  ax 2  bx  c có trục đối xứng là đường thẳng x  1 . Khi đó 4a  2b bằng A. 1 . B. 0 . C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Do parabol  P  : y  ax 2  bx  c có trục đối xứng là đường thẳng x  1 nên  b 1 2a  2a  b  2a  b  0  4a  2b  0 . Câu 5. Đồ thị hàm số y  mx 2  2mx  m 2  2  m  0  là parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng y  x  3 thì m nhận giá trị nằm trong khoảng nào dưới đây? A. 1;6  . B.  ;  2  . C.  3;3 . D.  0;   . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có đồ thị hàm số y  mx 2  2mx  m 2  2 là parabol có đỉnh I 1;  m 2  m  2  . m  0  m   3;3 . I  d : y  x  3  m2  m  2  1  3  m2  m  0    m  1 Câu 6. Xác định a , b , c biết Parabol có đồ thị hàm số y  ax 2  bx  c đi qua các điểm M  0;  1 , N 1;  1 , P  1;1 . A. y  x 2  x  1 . B. y  x 2  x  1 . C. y  2 x 2  1 . D. y   x 2  x  1 . Hướng dẫn giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 150 a  1 c  1   Vì M   P  , N   P  , P   P  nên ta có hệ phương trình a  b  c  1  b  1 .  c  1  a  b  c  1 Vậy  P  : y   x 2  x  1 . Câu 7. Tìm parabol  P  : y  ax 2  3x  2 , biết rằng parabol có trục đối xứng x  3. A. y  x 2  3x  2 . C. y  1 2 x  3x  2 . 2 B. y  1 2 x  x2. 2 D. y  1 2 x  3x  2 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Trục đối xứng của  P  có dạng: x 3 1 b  3  3  6a  a  .  3   2a 2 2a Vậy  P  có phương trình: y  Câu 8. 1 2 x  3x  2 . 2 Biết rằng hàm số y  ax 2  bx  c  a  0  đạt cực tiểu bằng 4 tại x  2 và có đồ thị hàm số đi qua điểm A  0;6  . Tính tích P  abc . A. P  6 . B. P  3 . C. P  6 . D. P  3 . 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Nhận xét: Hàm số đi qua điểm A  0;6  ; đạt cực tiểu bằng 4 tại x  2 nên đồ thị hàm số đi qua I  2; 4  và nhận x  2 làm trục đối xứng, hàm số cũng đi qua điểm A  0;6  suy ra: 1  b   2a  2 a  2   4a  2b  c  4  b  2  abc  6 . c  6 c  6     Câu 9. Xác định phương trình của Parabol có đỉnh I  0;  1 và đi qua điểm A  2;3 . A. y   x  1 . 2 B. y  x 2  1 . C. y   x  1 . 2 D. y  x 2  1 . Hướng dẫn giải Chọn D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 151 Parabol  P  có dạng y  ax 2  bx  c  a  0  . Do I   P   c  1 . I  0;  1 là đỉnh của  P   b 0 b0. 2a Lại có A  2;3   P   3  4a  2b  c  a  1 . Nên  P  : y  x 2  1 . Câu 10. Đồ thị dưới đây là của hàm số nào sau đây? A. y   x 2  2 x  3 . B. y  x 2  2 x  2 . C. y  2 x 2  4 x  2 . D. y  x 2  2 x  1 . Hướng dẫn giải Chọn D. Do parabol có bề lõm quay lên nên a  0 , từ đó ta loại A. Trục đối xứng của parabol là x   b  1 nên ta loại B. 2a Khi x  0 thì y  1 nên loại C. Vậy đồ thị trên là của hàm số y  x 2  2 x  1 . Câu 11. Tìm m để Parabol  P  : y  mx 2  2 x  3 có trục đối xứng đi qua điểm A  2;3 . A. m  2 . B. m  1 . C. m  1 . 1 D. m  . 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Với m  0 ta có phương trình y  2 x  3 là phương trình đuồng thẳng nên loại m  0 . Với m  0 . Ta có phương trình của Parabol: Trục đối xứng: x   2 1 x . 2m m Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 152 Trục đối xứng đi qua điểm A  2;3 nên 2  Câu 12. 1 1 m . m 2 Cho parabol  P  : y  ax 2  bx  c,  a  0  có đồ thị như hình bên. Khi đó 2a  b  2c có giá trị là y 1 -1 O 2 3 x -4 A. 9 . C. 6 . B. 9 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn C. Parabol  P  : y  ax 2  bx  c,  a  0  đi qua các điểm A  1; 0  , B 1;  4  , C  3; 0  a  b  c  0 a  1   nên có hệ phương trình: a  b  c  4  b  2 . 9a  3b  c  0 c  3   Khi đó: 2a  b  2c  2.1  2  2  3  6 . Câu 13. Cho hàm số y   x 2  2 x  1 . Chọn câu sai. A. Đồ thị hàm số có trục đối xứng x  1 . B. Hàm số không chẵn, không lẻ. C. Hàm số tăng trên khoảng  ; 1 . D. Đồ thị hàm số nhận I  1; 4  làm đỉnh. Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có a  1 , b  2 , c  1 nên đồ thị có trục đối xứng là x   2  1 và tọa độ 2.  1 đỉnh của parabol là I  1; 2  . Câu 14. Cho parabol y  ax 2  bx  4 có trục đối xứng là đường thẳng x  1 và đi qua điểm 3 A 1;3 . Tổng giá trị a  2b là 1 A.  . 2 B. 1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 1 . 2 D. 1 . Trang 153 Hướng dẫn giải Chọn B. 1 Vì parabol y  ax 2  bx  4 có trục đối xứng là đường thẳng x  và đi qua điểm A 1;3 3 a  b  4  3 a  b  1 a  3  Nên ta có:  b 1    2a  3b  0 b  2   2a  3 Do đó: a  2b  3  4  1 Câu 15. Để đồ thị hàm số y  mx 2  2mx  m2  1  m  0 có đỉnh nằm trên đường thẳng y  x  2 thì m nhận giá trị nằm trong khoảng nào dưới đây? A.  2; 6  . B.  ;  2  . C.  0; 2  . D.  2; 2  . Hướng dẫn giải Chọn D. Đồ thị hàm số y  mx 2  2mx  m2  1  m  0  có đỉnh là I 1;  m 2  m  1 . Để I 1;  m 2  m  1 nằm trên đường thẳng y  x2 thì  m 2  m  1  1 m  0  l  . Vậy m  1   2; 2  .  m2  m  0    m  1  n  Câu 16. Cho parabol  P  : y  ax 2  bx  2. Xác định hệ số a , b biết  P  có đỉnh I  2; 2  . A. a  1 , b  4 . B. a  1 , b  4 . C. a  1 , b  4 . D. a  4 , b  1 . Hướng dẫn giải Chọn C. + Điều kiện: a  0 .  b 2  4a  b  0 a  1  +  P  có đỉnh I  2; 2  nên ta có hệ:  2a .   4a  2b  4 b  4 2  a.22  b.2  2  Câu 17. Parabol  P  : y  2 x 2  ax  b có điểm M 1;3 với tung độ lớn nhất. Khi đó giá trị của b là A. 5 . C. 2 . B. 1 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. Do bề lõm của  P  quay xuống và M có tung độ lớn nhất nên M là đỉnh của  P  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 154 Ta có M 1;3 là đỉnh của parabol nên a  1  a  4 . 4 Suy ra y  2 x 2  4 x  b qua M 1;3 nên b  1 . Câu 18. Xác định các hệ số a và b để Parabol  P  : y  ax 2  4 x  b có đỉnh I  1; 5  . a  3 A.  . b  2 a  3 B.  . b  2 a  2 C.  . b  3 a  2 D.  . b  3 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: xI  1   4  1  a  2. 2a Hơn nữa: I   P  nên 5  a  4  b  b  3. Câu 19. Cho hàm số y  f  x   ax 2  bx  c có đồ thị như hình vẽ. Đặt   b 2  4ac , tìm dấu của a và  . y y  f  x 4 O 1 4 x A. a  0 ,   0 . B. a  0 ,   0 . C. a  0 ,   0 . D. a  0 , ,   0 . Hướng dẫn giải Chọn A. * Đồ thị hàm số là một Parabol quay lên nên a  0 và đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nên   0 . Câu 20. Cho hàm số y  f  x   ax 2  bx  c . Biểu thức f  x  3  3 f  x  2   3 f  x  1 có giá trị bằng A. ax 2  bx  c . B. ax 2  bx  c . C. ax 2  bx  c . D. ax 2  bx  c . Lời giải Chọn D f  x  3  a  x  3  b  x  3  c  ax 2   6a  b  x  9a  3b  c . 2 f  x  2   a  x  2   b  x  2   c  ax 2   4a  b  x  4a  2b  c . 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 155 f  x  1  a  x  1  b  x  1  c  ax 2   2a  b  x  a  b  c . 2  f  x  3  3 f  x  2   3 f  x  1  ax 2  bx  c . Dạng 3: Đồ thị hàm số bậc hai 1. Phương pháp Để vẽ đường parabol y  ax2  bx  c ta có thể thực hiện các bước như sau:  b  – Xác định toạ độ đỉnh I   ;   .  2a 4a  b và hướng bề lõm của parabol. 2a – Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng). – Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol. – Xác định trục đối xứng x   Để vẽ đồ thị hàm số y  ax2  bx  c ta lần lượt làm như sau: Trước hết ta vẽ đồ thị (P ) : y  ax 2  bx  c Ta có: ax 2  bx  c, y  ax  bx  c   2  ax  bx  c , 2  khi ax 2  bx  c  0  khi ax 2  bx  c  0 Vậy đồ thị hàm số y  ax2  bx  c bao gồm hai phần  Phần 1: Chính là đồ thị (P) lấy phần phía trên trục Ox  Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (P) phía dưới trục Ox qua trục Ox. Vẽ đồ thị hàm số (P1 ) và (P2 ) 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho hàm số y  ax 2  bx  c có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng? y x O ` A. a  0, b  0, c  0 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B. a  0, b  0, c  0 . Trang 156 C. a  0, b  0, c  0 . D. a  0, b  0, c  0 . Hướng dẫn giải Chọn A. Parabol có bề lõm quay lên  a  0 loại D. Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c  0 loại B, C. Chọn A. Câu 2. Parabol y   x 2  2 x  3 có phương trình trục đối xứng là A. x  1 . B. x  2 . C. x  1 . D. x  2 . Hướng dẫn giải Chọn C. Parabol y   x 2  2 x  3 có trục đối xứng là đường thẳng x   Câu 3. b  x  1. 2a Cho hàm số: y  x 2  2 x  1 , mệnh đề nào sai: A. Đồ thị hàm số nhận I 1; 2  làm đỉnh. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;   . D. Đồ thị hàm số có trục đối xứng: x  2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x   Câu 4. b  1. 2a Parabol  P  : y  2 x 2  6 x  3 có hoành độ đỉnh là? A. x  3 . B. x  3 . 2 3 C. x   . 2 D. x  3 . Hướng dẫn giải Chọn A. Hoành độ đỉnh của parabol  P  là: x  Câu 5. b 6 3   . 2 a 4 2 Viết phương trình trục đối xứng của đồ thị hàm số y  x 2  2 x  4 . A. x  1 . B. y  1 . C. y  2 . D. x  2 . Hướng dẫn giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 157 Đồ thị hàm số y  ax 2  bx  c với a  0 có trục đối xứng là đường thẳng có phương trình x   b . 2a Vậy đồ thị hàm số y  x 2  2 x  4 có trục đối xứng là đường thẳng có phương trình x 1. Câu 6. Trục đối xứng của parabol y  2 x 2  2 x  1 là đường thẳng có phương trình A. x  1 . B. x  1 . 2 C. x  2 . 1 D. x   . 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Phương trình của trục đối xứng là x   Câu 7. 2 1  . 2.2 2 Tọa độ đỉnh I của parabol y  x 2  2 x  7 là A. I  1; 4  . B. I 1; 6  . C. I 1; 4  . D. I  1; 6  . Hướng dẫn giải Chọn B. Đỉnh I : x  Câu 8. 2  1 , y  12  2.1  7  6 . Vậy I 1; 6  . 2.1 Cho parabol  P  : y  3x 2  2 x  1 . Điểm nào sau đây là đỉnh của  P  ? 1 2 B. I  ;  . 3 3 A. I  0;1 .  1 2  C. I  ;  .  3 3  1 2  D. I  ;  . 3 3  Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: x  Khi x  Câu 9. b 1  nên loại A và C. 2a 3 1 2  y  . Do đó, Chọn B. 3 3 Cho hàm số bậc hai y  ax 2  bx  c  a  0  có đồ thị  P  , đỉnh của  P  được xác định bởi công thức nào?    b A. I   ;  . 4a   2a    b B. I   ;  . 4a   a b   C. I  ; .  a 4a     b D. I   ;  . 2a   2a Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 158 Hướng dẫn giải Chọn A.    b Đỉnh của parabol  P  : y  ax 2  bx  c  a  0  là điểm I   ;  . 4a   2a Câu 10. Cho hàm số y  ax 2  bx  c  a  0  . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Đồ thị của hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x   b . 2a B. Đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.  b  C. Hàm số đồng biến trên khoảng   ;   .  2a  b   D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   . 2a   Hướng dẫn giải Chọn B. Dựa vào sự biến thiên của hàm số y  ax 2  bx  c  a  0  ta thấy các khẳng định A, C, D đúng Khẳng định B sai vì có những hàm số bậc hai không cắt trục hoành như hàm 9 y  2 x 2  3 x  8 Câu 11. Cho hàm số y   m  1 x 2  2  m  2  x  m  3  m  1  P  . Đỉnh của  P  là S  1; 2  thì m bằng bao nhiêu: A. 3 . 2 B. 0 . C. 2 . 3 D. 1 . 3 Hướng dẫn giải Chọn A. Do đỉnh của  P  là S  1; 2  suy ra 1  Câu 12. m2 3 m . 2 m 1 Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào? y 1 O A. y  2 x 2  3 x  1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 x B. y   x 2  3 x  1 . Trang 159 C. y  2 x 2  3 x  1 . D. y  x 2  3 x  1 . Hướng dẫn giải Chọn C. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, phương trình hoành độ giao điểm phải x  1 2 có nghiệm x  1 , ta chỉ có phương trình 2 x  3x  1  0   x  1 2  Câu 13. Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào? y 1 O 1 x A. y  x 2  3 x  1 . B. y  2 x 2  3 x  1 . C. y   x 2  3 x  1 . D. y  2 x 2  3 x  1 . Hướng dẫn giải Chọn B. Vì bề lõm hướng lên trên nên a  0  loại đáp án C, D 1  Đồ thì giao trục Ox tại điểm 1;0  và  ;0   loại A. 2  Câu 14. Cho hàm số y  ax 2  bx  c có đồ thị như hình vẽ, thì dấu các hệ số của nó là A. a  0, b  0, c  0 . B. a  0, b  0, c  0 . C. a  0, b  0, c  0 . D. a  0, b  0, c  0 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 160 Hướng dẫn giải Chọn B. Đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống dưới nên a  0 . Đồ thị cắt chiều dương trục Oy nên c  0 . Trục đối xứng x   Câu 15. b  0 , mà a  0 , nên b  0 . 2a Hàm số y   x 2  2 x  3 có đồ thị là hình nào trong các hình sau? y y 4 4 3 3 1  2 1 O 1 1 1 2 3 4  3  2 1 O x A. 1 1 2 4 x 2 x 3 B. y 6 y 4 5 4 3 3 1 3 2 1 O 1 1 2 3 4 1 x 5 4 3 2 C. D. 1 O 1 1 Hướng dẫn giải Chọn A. Do a  1 nên đồ thị lõm xuống dưới  Loại C.    b Đồ thị có đỉnh I   ;    I 1; 4   2a 4a  Câu 16. Cho hàm số y  ax 2  bx  c có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. a  0, b  0,   0 . B. a  0, b  0,   0 . C. a  0, b  0,   0 . D. a  0, b  0,   0 . Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 161 Chọn B. Quan sát bề lõm của parabol như hình vẽ ta có a  0 loại C. và D. , parabol cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nên   0 . Cho x  0 thì giao của parabol với trục tung Oy là b  0. Câu 17. Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ sau y O x 1 A. y  x 2  3 x  1 . B. y  2 x 2  5 x  1 . C. y  2 x 2  5 x  1 . D. y  2 x 2  5 x . Hướng dẫn giải Chọn B. Do bề lõm parabol hướng xuống nên a  0 và qua A  0;  1 . Câu 18. Cho hàm số y  ax 2  bx  c có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Mệnh nào sau đây đúng? y O x A. a  0 , b  0 , c  0 . B. a  0 , b  0 , c  0 . C. a  0 , b  0 , c  0 . D. a  0 , b  0 , c  0 . Hướng dẫn giải Chọn B. Đồ thị có bề lõm quay lên trên  a  0 . Loại đáp án D. Trục đối xứng x   Câu 19. b  0  a.b  0  b  0 . 2a Cho hàm số y  ax 2  bx  c có đồ thị như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 162 y x y A. a  0 , b  0 , c  0 . B. a  0 , b  0 , c  0 . C. a  0 , b  0 , c  0 . D. a  0 , b  0 , c  0 . Hướng dẫn giải Chọn C. Nhìn vào đồ thị ta có: Bề lõm hướng xuống  a  0 . Hoành độ đỉnh x   b b 0 0 b0 . 2a 2a Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm  c  0 . Do đó: a  0 , b  0 , c  0 . Câu 20. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên? y 2 1 O x 1 2 3 5 2 -3 4 6 A. y   x  2 x  3 . B. y   x 2  4 x  3 . C. y  x 2  4 x  3 . D. y  x 2  2 x  3 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B Dựa vào đồ thị suy ra: a  0 và hoành độ đỉnh là 2. y   x 2  4 x  3  a  1; I  2;1 Câu 21. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 163 y 3 2 1 5 4 3 2 1 1 x 1 2 3 4 5 2 3 A. y  x 2  3 x  3 . B. y   x 2  5 x  3 . C. y   x 2  3 x  3 . D. y   x 2  5 x  3 . Hướng dẫn giải Chọn B. Quan sát đồ thị ta loại A. và D. Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị  P  của  5 13  hàm số y   x 2  5 x  3 với x  0 , tọa độ đỉnh của  P  là  ;  , trục đối xứng là 2 4  x  2,5 . Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của  P  qua trục tung Oy . Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số Câu 22. y   x2  5 x  3 . Đồ thị hàm số y  x 2  6 x  5 . A. có tâm đối xứng I  3; 4  . B. có tâm đối xứng I  3; 4  và trục đối xứng có phương trình x  0 . C. không có trục đối xứng. D. có trục đối xứng là đường thẳng có phương trình x  0 . Hướng dẫn giải Chọn D. 2  y1  x  6 x  5 khi x  0  C1  Ta có: y  x  6 x  5   2  y2  x  6 x  5 khi x  0  C2  2 Đồ thị  C  của hàm số y  x 2  6 x  5 gồm hai phần Phần đồ thị  C1  : là phần đồ thị của hàm số y1  x 2  6 x  5 nằm bên phải trục tung Phần đồ thị  C2  : là phần đồ thị của hàm số y2  x 2  6 x  5 có được bằng cách lấy đối xứng phần đồ thị  C1  qua trục tung Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 164 Ta có đồ thị  C  như hình vẽ  C2   C1  Vậy: đồ thị  C  có trục đối xứng có phương trình x  0 . Câu 23. hàm số y  ax 2  bx  c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? y O 1 x A. a  0 , b  0 , c  0 . B. a  0 , b  0 , c  0 . C. a  0 , b  0 , c  0 . D. a  0 , b  0 , c  0 . Hướng dẫn giải Chọn D. Quan sát đồ thị ta có: Đồ thị quay bề lõm xuống b b  0   0  b  0. xI   2a a dưới nên a 0; có hoành độ đỉnh Lại có: đồ thị cắt Ox tại điểm có tung độ âm nên c  0 . Vậy a  0 , b  0 , c  0 . Câu 24. Cho parabol  P  : y  ax 2  bx  c  a  0  có đồ thị như hình bên. Tìm các giá trị m để phương trình ax 2  bx  c  m có bốn nghiệm phân biệt. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 165 y 4 3 I 2 1 3 2 1 O 1 1 2 3 x 2 3 A. 1  m  3 . B. 0  m  3 . C. 0  m  3 . D. 1  m  3 . Hướng dẫn giải Chọn B.  b 2 b  4a  . Quan sát đồ thị ta có đỉnh của parabol là I  2;3 nên  2a  4a  2b  c  3 3  4a  2b  c b  4a a  1 . Mặt khác  P  cắt trục tung tại  0; 1 nên c  1 . Suy ra   4a  2b  4 b  4  P  : y   x 2  4 x  1 suy ra hàm số y   x 2  4 x  1 có đồ thị là là phần đồ thị phía trên trục hoành của  P  và phần có được do lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành của  P  , như hình vẽ sau: y 4 3 I 2 1 3 2 1 O ym 1 1 2 3 x 2 3 Phương trình ax 2  bx  c  m hay  x 2  4 x  1  m có bốn nghiệm phân biệt khi đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số hàm số y   x 2  4 x  1 tại bốn điểm phân biệt. Suy ra 0  m  3 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 166 Dạng 4: Sự tương giao 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho parabol  P  : y  x 2  2 x  m  1 . Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và trục Ox là x 2  2 x  m  1  0. 1 Để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi 1 có hai    2  m  0 m  2  nghiệm dương   S  2  0  1 m  2. m  1 P  m 1  0  Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y  mx cắt đồ thị hàm số  P  : y  x3  6 x 2  9 x tại ba điểm phân biệt. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của  P  với d là x 3  6 x 2  9 x  mx x  0  x  x2  6x  9  m  0   2  x  6 x  9  m  0. 1 Để  P  cắt d tại ba điểm phân biệt khi và chỉ 1 có hai nghiệm phân biệt khác 0    0 m  0 m  0  2   . 9  m  0 m  9 0  6.0  9  m  0 Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2  5 x  7  2 m  0 có nghiệm thuộc đoạn 1;5 . Lời giải Ta có x 2  5 x  7  2 m  0  x 2  5 x  7  2 m. * Phương trình * là phương trình hoành độ giao điểm của parabol  P  : x 2  5 x  7 và đường thẳng y  2 m (song song hoặc trùng với trục hoành). Ta có bảng biến thiên của hàm số y  x 2  5 x  7 trên 1;5 như sau: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 167 x -¥ 1 +¥ 5 2 5 +¥ +¥ y 7 3 3 4 3  Dựa vào bảng biến ta thấy x  1;5 thì y   ;7  . 4  Do đo để phương trình * có nghiệm x  1;5  3 3 7  2m  7    m   . 4 8 2 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho hàm số y  ax 2  bx  c  a  0  có đồ thị là parabol  P . Xét phương trình ax 2  bx  c  0 1 . Chọn khẳng định sai: A. Số giao điểm của parabol  P  với trục hoành là số nghiệm của phương trình 1 . B. Số nghiệm của phương trình 1 là số giao điểm của parabol  P  với trục hoành. C. Nghiệm của phương trình 1 là giao điểm của parabol  P  với trục hoành. D. Nghiệm của phương trình 1 là hoành độ giao điểm của parabol  P  với trục hoành. Hướng dẫn giải Chọn C. Câu 2. Tọa độ giao điểm của đường thẳng d : y   x  4 và parabol y  x 2  7 x  12 là A.  2;6  và  4;8  . B.  2; 2  và  4;8 . C.  2; 2  và  4;0  . D.  2; 2  và  4;0  . Hướng dẫn giải Chọn D. Phương trình hoành độ giao điểm: x  2  y  2 x 2  7 x  12   x  4  x 2  6 x  8  0   x  4  y  0 Câu 3. Nghiệm của phương trình x 2 – 8 x  5  0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: A. y  x 2 và y  8 x  5 . B. y  x 2 và y  8 x  5 . C. y  x 2 và y  8 x  5 . D. y  x 2 và y  8 x  5 . Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 168 Chọn C. Ta có x 2 – 8 x  5  0  x 2  8 x  5 . Do đó nghiệm của phương trình x 2 – 8 x  5  0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x 2 và y  8 x  5 . Câu 4. Giao điểm của parabol  P  : y  x 2  3x  2 với đường thẳng y  x  1 là A.  1; 2  ;  2;1 . B. 1;0  ;  3; 2  . C.  2;1 ;  0; 1 . D.  0; 1 ;  2; 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và  d  là x  1 . x 2  3x  2  x  1  x 2  4 x  3  0   x  3 Vậy hai giao điểm của  P  và  d  là 1;0  ;  3; 2  . Câu 5. Cho đường thẳng d : y  x  1 và Parabol  P  : y  x 2  x  2 . Biết rằng d cắt  P  tại hai điểm phân biệt A , B . Khi đó diện tích tam giác OAB bằng A. 4 . B. 2 . C. 3 . 2 D. 5 . 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm của d và  P  là x 2  x  2  x  1  x 2  2 x  3  0 . Phương trình này có a  b  c  0 nên có hai nghiệm x1  1 , x2  3 . Suy ra A  1;0  và B  3;4  . Diện tích tam giác OAB bằng Câu 6. 1 3 .1.3  . 2 2 Biết đường thẳng d : y  mx cắt Parabol  P  : y  x 2  x  1 tại hai điểm phân biệt A , B . Khi đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là  1  m m2  m  A. I  ; . 2   2  1  m  m 2  2m  3  B. I  ; . 4  2  1 3 C. I  ;  . 2 4 1 m D. I  ;  . 2 2  Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 169 Chọn A. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và  P  : mx  x 2  x  1  x 2   m  1 x  1  0 Vì hoành độ giao điểm x A , xB là hai nghiệm của phương trình nên ta có tọa độ trung m 1 x A  xB x A  xB     xI  2  xI  2  xI  2  1  m m2  m  điểm I là    I ;   . 2 2   2  y  y A  yB y  m  m  y  m  x A  xB   I  I  I 2 2 2 Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y  2 x  3 cắt parabol y  x 2   m  2  x  m tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía với trục tung Oy. A. m  3 . B. m  3 . C. m  3 . D. m  0 . Hướng dẫn giải Chọn B. Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2   m  2  x  m  2 x  3  x 2  mx  m  3  0 . 1 Để đường thẳng d cắt parabol tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía với trục tung Oy thì   0 m 2  4m  12  0   phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu   c  m  3  0  a  0  m  3 . Câu 8. Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng  10; 4  để đường thẳng d : y    m  1 x  m  2 cắt Parabol  P  : y  x 2  x  2 tại hai điểm phân biệt cùng phía với trục tung? A. 6 . B. 5 . C. 7 . D. 8 . Hướng dẫn giải Chọn A. Xét phương trình:   m  1 x  m  2  x 2  x  2  x 2  x  m  2   m  4  0 Để đường thẳng d cắt Parabol  P  tại hai điểm phân biệt cùng phía với trục tung vậy  m  2 2  4  m  4   0 m 2  8m  20  0, m   0   điều kiện là  P  0 m  4  0 m  4 Vậy trong nửa khoảng  10; 4  có 6 giá trị nguyên m . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 170 Câu 9. Tìm m để Parabol  P  : y  x 2  2  m  1 x  m2  3 cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho x1.x2  1. A. m  2 . B. Không tồn tại m . C. m  2 . D. m  2 . Hướng dẫn giải Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm của  P  với trục hoành: x 2  2  m  1 x  m2  3  0 1 . Parabol  P  cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho x1.x2  1  1 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x1.x2  1    m  12   m2  3  0 m  2    m  2. m  2 m 2  3  1 Câu 10. Cho hai hàm số y1  x 2   m  1 x  m , y2  2 x  m  1 . Khi đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì m có giá trị là A. m  0 . trị nào. B. m  0 . C. m tùy ý. D. không có giá Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: x   m  1 x  m  2 x  m  1  x   m  3 x  1  0 1 . 2 2 Khi đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì pt 1 có hai nghiệm phân biệt     m  3   4  0 luôn đúng m   . 2 Câu 11. Đường thẳng d m :  m  2  x  my  6 luôn đi qua điểm: A.  3; 3 B.  2;1 C. 1; 5  D.  3;1 Hướng dẫn giải Chọn A.  m  2  x  my  6   x  y  m  2 x  6  0   x  y  0 x  3  Phương trình   luôn đúng với mọi m khi  2 x  6  0  y  3 Vậy d m luôn đi qua điểm cố định  3; 3 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 171 Câu 12. Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng y  mx  3  2m cắt parabol y  x 2  3 x  5 tại 2 điểm phân biệt có hoành độ trái dấu. A. m  3 . B. 3  m  4 . C. m  4 . D. m  4 . Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: x 2  3 x  5  mx  3  2m  x 2   m  3 x  2m  8  0 * . Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu khi và chỉ khi phương trình * có hai nghiệm trái dấu  a.c  0  2m  8  0  m  4 . Câu 13. Cho parabol y  ax 2  bx  c  a  0  ,  P  có đồ thị như hình vẽ: y 2 O 2 x Biết đồ thị  P  cắt trục Ox tại các điểm lần lượt có hoành độ là 2 , 2 . Tập nghiệm của bất phương trình y  0 là A.  ;  2   2;    . B.  2; 2  . C.  2; 2 . D.  ;  2    2;    . Hướng dẫn giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy y  0 khi x   2; 2  . Câu 14. Giá trị nào của m thì phương trình  m  3 x 2   m  3 x   m  1  0 1 có hai nghiệm phân biệt? A. m   3 . 3  B. m   ;    1;    3 . 5   3  C. m    ;1 .  5   3  D. m    ;    .  5  Hướng dẫn giải Chọn B. m  3  0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt   2    m  3  4  m  3 m  1  0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 172 m  3  m  3  3 3    2    x    m   ;    1;    3 . 5 5  5m  2m  3  0    x  1 Câu 15. Có bao nhiêu giá trị thực của m để đường thẳng d : y  4 x  2m tiếp xúc với parabol  P  : y   m  2  x 2  2mx  3m  1 A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình hoành độ giao điểm của d và  P  là  m  2  x 2  2mx  3m  1  4 x  2m   m  2 x2  2  m  2 x  m  1  0 . d tiếp xúc với  P   phương trình hoành độ giao điểm của d và  P  có nghiệm kép. m  2  m  2  0 3 m  2  m .   2 2    m  2    m  2  m  1  0 m  3   2 Vậy có 1 giá trị m để đường thẳng d tiếp xúc với  P  . Câu 16. Cho hàm số f  x  xác định trên  có đồ thị như hình vẽ. Phương trình 2 f  x   1  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 1. C. 2 . B. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B. 2 f  x  1  0  f  x   1 . 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 173 Số nghiệm phương trình 1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng y 1 . 2 Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. Câu 17. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình f  x   1  m có bốn nghiệm phân biệt. A. m  1 . B. 1  m  3 . C. 0  m  1 . D. m  3 . Hướng dẫn giải Chọn B. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  x  , suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f  x  1 . x f  x     1 3 0 1 0 0 0 Từ BBT suy ra phương trình f  x   1  m có bốn nghiệm phân biệt khi 1  m  3 . Vậy 1  m  3 . Câu 18. Cho hàm số f  x   ax 2  bx  c đồ thị như hình bên dưới. Hỏi với những giá trị nào của tham số m thì phương trình f  x   1  m có đúng 3 nghiệm phân biệt. y 3 O x 2 -1 A. 2  m  2 . B. m  3 . C. m  3 . D. m  2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 174 Hàm số f  x   ax 2  bx  c có đồ thị là  C  , lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải Oy của  C  qua Oy ta được đồ thị  C   của hàm số y  f  x  . Dựa vào đồ thị, phương trình f  x   1  m   x   m  1 có đúng 3 nghiệm phân biệt khi m 1  3  m  2 . Câu 19. Cho hàm số f  x   ax 2  bx  c đồ thị như hình bên dưới. Hỏi với những giá trị nào của tham số m thì phương trình f  x   1  m có đúng 2 nghiệm phân biệt. y 3 O x 2 -1 m  0 A.  .  m  1 m  0 B.  .  m  1 C. m  1 . D. m  0 . Hướng dẫn giải Chọn B. + Phương trình  f  x   m  1 . + Đồ thị hàm số y  f  x  có dạng: + Dựa vào đồ thị, để phương trình f  x   m  1 có hai nghiệm phân biệt thì: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 175 m  1  1 m  0  m  1  0   m  1 .   Câu 20. Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng  0; 2017 để phương trình x 2  4 x  5  m  0 có hai nghiệm phân biệt? A. 2016 . B. 2008 . C. 2009 . D. 2017 . Hướng dẫn giải Chọn B. PT: x 2  4 x  5  m  0  x 2  4 x  5  m . Số nghiệm phương trình 1  số giao điểm của đồ thị hàm số y  x 2  4 x  5  P  và đường thẳng y  m . Xét hàm số y  x 2  4 x  5  P1  có đồ thị như hình 1. 1 y 2 O 5 5 y y 2 2 O x 5 9 x 5 5 5 9 9 Hình 1. 5 Hình 2. O 5x Hình 3. Xét hàm số y  x 2  4 x  5  P2  là hàm số chẵn nên có đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. Mà y  x 2  4 x  5  x 2  4 x  5 nếu x  0 . Suy ra đồ thị hàm số  P2  gồm hai phần: Phần 1: Giữ nguyên đồ thị hàm số  P1  phần bên phải Oy . Phần 2 : Lấy đối xứng phần 1 qua trục Oy . Ta được đồ thị  P2  như hình 2.  x 2  4 x  5  y  0 . Xét hàm số y  x 2  4 x  5  P  , ta có: y   2 x 4 x 5 y 0          Suy ra đồ thị hàm số  P  gồm hai phần: Phần 1: Giữ nguyên đồ thị hàm số  P2  phần trên Ox . Phần 2 : Lấy đối xứng đồ thị hàm số  P2  phần dưới Ox qua trục Ox . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 176 Ta được đồ thị  P  như hình 3. Quan sát đồ thị hàm số  P  ta có: Để x 2  4 x 5  m 1 có hai nghiệm phân m  9 biệt   . m  0 m    m  10;11;12;...; 2017 . Mà  m   0; 2017  Câu 21. Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng  0; 2017 để phương trình x 2  4 x 5  m  0 có hai nghiệm phân biệt? A. 2016 . B. 2008 . C. 2009 . D. 2017 . Hướng dẫn giải Chọn B. PT: x 2  4 x 5  m  0  x 2  4 x 5  m 1 . Số nghiệm phương trình 1  số giao điểm của đồ thị hàm số y  x 2  4 x  5  P  và đường thẳng y  m . Xét hàm số y  x 2  4 x  5  P1  có đồ thị như hình 1. 1 y 5 2 O 5 y y 2 2 O x 5 9 x 5 5 5 9 9 Hình 1. 5 Hình 2. O 5x Hình 3. Xét hàm số y  x 2  4 x  5  P2  là hàm số chẵn nên có đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. Mà y  x 2  4 x  5  x 2  4 x  5 nếu x  0 . Suy ra đồ thị hàm số  P2  gồm hai phần: Phần 1 : Giữ nguyên đồ thị hàm số  P1  phần bên phải Oy . Phần 2 : Lấy đối xứng phần 1 qua trục Oy . Ta được đồ thị  P2  như hình 2. 2  y  0  x  4 x  5 Xét hàm số y  x  4 x  5  P  , ta có: y   . 2   x  4 x  5   y  0  2 Suy ra đồ thị hàm số  P  gồm hai phần: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 177 Phần 1 : Giữ nguyên đồ thị hàm số  P2  phần trên Ox . Phần 2 : Lấy đối xứng đồ thị hàm số  P2  phần dưới Ox qua trục Ox . Ta được đồ thị  P  như hình 3. Quan sát đồ thị hàm số  P  ta có: Để x 2  4 x 5  m 1 có hai nghiệm phân m  9 biệt   . m  0 m    m  10;11;12;...; 2017 . Mà  m   0; 2017  Dạng 4: Toán thực tế 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P  n   360  10n . Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích để trọng lương cá sau một vụ thu được nhiều nhất? Hướng dẫn giải Trọng lượng cá trên đơn vị diện tích là T   360  10n  n  360n  10n 2  10  n 2  36n  324  324   10  n  18   3240 2  Tmax  3240 khi n  18 . Ví dụ 2: Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol . Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m . Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43m so với mặt đất , người ta thả một sợi dây chạm đất . Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10 m . Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch . Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Phương trình Parabol  P  có dạng y  ax 2  bx  c . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 178 Parabol  P  đi qua điểm A  0;0  , B 162;0  , M 10; 43 nên ta có  c  0 c  0  43 2 3483 43  2  162 a  162 b  c  0  P : y   x  x.   a   1520 760 1520 102 a  10b  c  43   3483  b  760 Do đó chiều cao của cổng là h   b 2  4ac    185, 6 m. 4a 4a 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. 1 Một chiếc cổng hình parabol có phương trình y   x 2 . Biết cổng có chiều rộng d  5 2 mét . Hãy tính chiều cao h của cổng. y O x h 5m A. h  4, 45 mét. B. h  3,125 mét. C. h  4,125 mét. D. h  3, 25 mét. Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi A và B là hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ. 1 Vì cổng hình parabol có phương trình y   x 2 và cổng có chiều rộng d  5 mét nên: 2  5 25   5 25  AB  5 và A   ;   ; B  ;   . 8  8   2 2 Vậy chiều cao của cổng là  Câu 2. 25 25   3,125 mét. 8 8 Một của hàng buôn giày nhập một đôi với giá là 40 đôla. Cửa hàng ước tính rằng nếu đôi giày được bán với giá x đôla thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua 120  x  đôi. Hỏi của hàng bán một đôi giày giá bao nhiêu thì thu được nhiều lãi nhất? A. 80 USD. B. 160 USD. C. 40 USD. D. 240 USD. Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi y là số tiền lãi của cửa hàng bán giày. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 179 Ta có y  120  x  x  40    x 2  160 x  4800    x  80   1600  1600 . 2 Dấu "  " xảy ra  x  80 . Vậy cửa hàng lãi nhiều nhất khi bán đôi giày với giá 80 USD. Câu 3. Dây truyền đỡ trên cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ. Đầu, cuối của dây được gắn vào các điểm A , B trên mỗi trục AA và BB với độ cao 30 m . Chiều dài đoạn AB trên nền cầu bằng 200 m . Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên cầu là OC  5 m . Gọi Q , P , H  , O , I  , J  , K  là các điểm chia đoạn AB thành các phần bằng nhau. Các thanh thẳng đứng nối nền cầu với đáy dây truyền: QQ , PP , HH  , OC , II  , JJ  , KK  gọi là các dây cáp treo. Tính tổng độ dài của các dây cáp treo? B A Q B A. Đáp án khác. Q P K H I C I P H  C  B. 36,87 m . J J K A C. 73, 75 m . D. 78, 75 m . Hướng dẫn giải Chọn D. y B Q P A K I H C 5m y1 B Q P H  O I J y3 y2 J K 30m A x 200m Giả sử Parabol có dạng: y  ax 2  bx  c , a  0 . Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, khi đó parabol đi qua điểm A 100; 30  , và có đỉnh C  0;5  . Đoạn AB chia làm 8 phần, mỗi phần 25 m . 1  30  10000a  100b  c a  400  b  1 2   b  0 Suy ra:   0   P : y  x 5. 400  2a c  5  5  c  Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo bằng OC  2 y1  2 y2  2 y3  1   1   1   5  2 .252  5   2  .502  5   2  .752  5  400 400 400       Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 180  78, 75  m  . Câu 4. Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe hon đa Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 và bán ra với giá là 31 triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm là sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất. A. 30 triệu đồng. B. 29 triệu đồng. C. 30,5 triệu đồng. D. 29,5 triệu đồng. Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi x đồng là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá;  0  x  4  . Khi đó: Lợi nhuận thu được khi bán một chiếc xe là 31  x  27  4  x . Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là 600  200x . Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là f  x    4  x  600  200 x   200 x 2  200 x  2400 . Xét hàm số f  x   200 x 2  200 x  2400 trên đoạn  0; 4 có bảng biến thiên Vậy max f  x   2 450  x  0;4 1 . 2 Vậy giá mới của chiếc xe là 30,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được là cao nhất. Câu 5. Khi quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất. Biết rằng quỹ đạo của quả là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth ,trong đó t là thời gian , kể từ khi quả bóng được đá lên; h là độ cao của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1, 2m . Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6m . Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên. A. y  4,9t 2  12, 2t  1, 2 . B. y  4,9t 2  12, 2t  1, 2 . C. y  4,9t 2  12, 2t  1, 2 . D. y  4,9t 2  12, 2t  1, 2 . Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 181 Chọn B. Tại t  0 ta có y  h  1, 2 ; tại t  1 ta có y  h  8,5 ; tại t  2 , ta có y  h  6 . h 8, 5 h B 6 C O 1 2 t Chọn hệ trục Oth như hình vẽ. Parabol  P  có phương trình: y  at 2  bt  c , với a  0 . Giả sử tại thời điểm t  thì quả bóng đạt độ cao lớn nhất h . Theo bài ra ta có: tại t  0 thì h  1, 2 nên A  0; 1, 2    P  . Tại t  1 thì h  8,5 nên B 1; 8,5    P  . Tại t  2 thì h  6 nên C  2; 6    P  .  c  1, 2 c  1, 2   Vậy ta có hệ:  a  b  c  8,5   a  4,9 . 4a  2b  c  6  b  12, 2   Vậy hàm số Parabol cần tìm có dạng: y  4,9t 2  12, 2t  1, 2 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 182 BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình một ẩn Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f  x   g  x  1 trong đó f  x  và g  x  là những biểu thức của x. Ta gọi f  x  là vế trái, g  x  là vế phải của phương trình 1 . Nếu có số thực x0 sao cho f  x0   g  x0  là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình 1 . Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó . Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm . 2. Điều kiện của một phương trình Khi giải phương trình 1 , ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f  x  và g  x  có nghĩa . Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình . 3. Phương trình nhiều ẩn Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn  2 3 x  2 y  x 2  2 xy  8, 4 x  xy  2 z  3 z  2 xz  y . 2 2 2  3 Phương trình  2  là phương trình hai ẩn ( x và y ), còn  3 là phương trình ba ẩn ( x, y và z ). Khi x  2, y  1 thì hai vế của phương trình  2  có giá trị bằng nhau, ta nói cặp  x; y    2;1 là một nghiệm của phương trình  2  . Tương tự, bộ ba số  x; y; z    1;1; 2  là một nghiệm của phương trình  3 . 4. Phương trình chứa tham số Trong một phương trình , ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 1. Phương trình tương đương Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. 2. Phép biến đổi tương đương Định lí Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 183 Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó. 3. Phương trình hệ quả Nếu mọi nghiệm của phương trình f  x   g  x  đều là nghiệm của phương trình f1  x   g1  x  thì phương trình f1  x   g1  x  được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f  x   g  x  . Ta viết f  x   g  x   f1  x   g1  x  . Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Điều kiện xác định của phương trình 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình 2x 3 5  2 x 1 x 1 2 Lời giải Chọn D Do x 2  1  0, x   nên điều kiện xác định của phương trình là D   . Ví dụ 2. Tìm điều kiện xác định của phương trình x 1  x  2  x  3 Lời giải x 1  0 x  1   Điều kiện xác định của phương trình là:  x  2  0   x  2  x  3 . x  3  0 x  3   Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của phương trình x2  6 4 x 3 Lời giải x  2  0 x  2 Điều kiện xác định của phương trình:   x  3  0 x  3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 184 Ví dụ 4. Cho phương trình x3  1  x  1  1 x 4 2 . Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho. Lời giải  x3  1  0  Điều kiện xác định của phương trình  x  1  0  x  2.  x2  4  0  3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Tìm tập xác định của phương trình A.  1;   . x 1  3 x 5  2017  0 . x C.  1;   0 . B.  1;   0 . D.  1;   . Hướng dẫn giải Chọn C.  x  1  0  x  1  . Điều kiện  x  0 x  0 Tập xác định của phương trình là  1;   0 . Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x  A. x  2 và x  1 3  2x là  x 2x  4 3 . 2 B. 2  x  3 . 2 3   2  x  D.  2.  x  0 C. x  2 và x  0 . Hướng dẫn giải Chọn C. 3  x  3  2 x  0 3 2     2  x  Điều kiện xác định của phương trình là 2 x  4  0   x  2   2  x  0 x  0 x  0    Câu 3. Cho phương trình x 2  1  A. 1;   . 1 . Tập giá trị của x để phương trình xác định là x 1 B.  . C. 1; ) . D.  1 . Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 185 Chọn A. x2  1  Câu 4: 1 xác định  x  1  0  x  1 . x 1 Điều kiện xác định của phương trình A. x   2;8  . x  2  8  x là B. x  8 . C. x  2 . D. x  8 . Lời giải Chọn C ĐK: x  2  0  x  2 Câu 5. Giá trị x  2 là điều kiện của phương trình nào sau đây? A. x  1  2x 1 . x2 B. x  1  x2  0. x C. x  1  x2 . 4 x D. x  1  0. x2 Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình x  1  2 x  1 có điều kiện là x  2  0  x  2 . x2 Phương trình x  1  x  2  0 có điều kiện là x x  2  0  x  2.  x  0 Phương trình x  1  x  2 có điều kiện là 4 x x  2  0 x  2  .  x  4 4  x  0 Phương trình x  Câu 6. 1  0 có điều kiện là x  2  0  x  2 . x2 Điều kiện xác định của phương trình x2 3  là x  2x 5 x 2 A. x   0; 2 . B. x   2;5  0 . C.  2;5 0; 2 . D.  ;5  0; 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 186 Phương trình x2 3  có nghĩa khi x  2x 5 x 2 x  2  0  x  2  2   x  2 x  0   x  0; x  2  x   2;5  0 . 5  x  0 x  5   Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình A. x   4;    . x4 2  là 2 x 1 3 x B. x   4;3 1 . C. x   ;3 . D. x   1 . Hướng dẫn giải Chọn B. x  4  0  x  4 4  x  3  2  . Phương trình đã cho xác định khi  x  1  0   x  1    x  1 3  x  0 x  3   Câu 8. Tập xác định của phương trình x x2 1 3  x  2 là x 1 A. D   2;    . B. D   0;    1 . C. D   0;    . D. D   0;    1; 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện xác định: x  0 x  0  . Vậy đáp án D   0;    1 .  x 1  0 x  1 Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình A. x ³ -5. x+5 = 1 là x-2 ìï x ³-5 . C. ï í ïïî x ¹ 2 ìïx > -5 . B. ï í ïïîx ¹ 2 D. x > 2. Lời giải Chọn C ìï x + 5 ³ 0 ìïï x ³ -5 í . Phương trình xác định khi và chỉ khi ï í ïîï x – 2 ¹ 0 ïîï x ¹ 2 Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình x  2 x  1  1  x là Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 187 A.  1  x  1. 2 B.  1  x  1. 2 1 C. x   . 2 D. x  1. Lời giải Chọn B 1  2 x  1  0 1 x    Điều kiện xác định của phương trình là  2    x 1. 2 1  x  0  x  1 Câu 11. Điều kiện xác định của phương trình A.  2;7  . x2  x2  5 0 ? 7x C.  2;7 . B.  2;   . D.  7;   . Lời giải Chọn A x  2  0 x  2 Điều kiện xác định của phương trình đã cho là:    2 x7. 7  x  0 x  7 Câu 12. Điều kiện xác định của phương trình A. x   4;    . x4 2  là: 2 x 1 3 x B. x   4;3 1 . C. x   ;3 . D. x   1 . Lời giải: Chọn B x  4  0  x  4 4  x  3  2  . Phương trình đã cho xác định khi  x  1  0   x  1    x  1 3  x  0 x  3   Dạng 2: Sử dụng điêu kiện xác định của phương trình để tìm gghiệm của phương trình 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1 : Giải phương trình x ( x 2 -1) x -1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? Lời giải Vì : x ( x -1) 2 ìï x -1 ³ 0 éx ³1 ïï ê ï  êê é x = 0  x = 1 x -1 = 0  í é x = 0 ê ïïê 2 ê ê x = 1 ïïîêë x -1 = 0 êë ë Ví dụ 2 : Giải phương trình 2 x + x – 2 = 2 – x + 2 Lời giải x  2  0 x  2 Vì : Điều kiện của pt    x  2 . Thay x = 2 vào phương trình thấy 2  x  0 x  2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 188 thỏa mãn nên x = 2 là nghiệm phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình x 3 – 4 x 2 + 5x – 2 + x = 2 – x Lời giải Vì: x 3 – 4 x 2 + 5 x – 2 + x = 2 – x  ( x – 2)( x -1) 2 + x = 2 – x . Điều kiện của phương trình: ìïé x – 2 ³ 0 ìïé x ³ 2 ïïê ìï( x – 2)( x -1) 2 ³ 0 ïïê ïí ïíê x = 1  éê x = 2  ïíêë x = 1 ê ïîï2 – x ³ 0 ïï ïë ëx = 1 ïîï2 – x ³ 0 ïîïï x £ 2 Ví dụ 4: Giải phương trình ( x 2 – 3 x + 2 ) x – 3 = 0 Lời giải Vì : ( x 2 – 3x + 2) ìx ³ 3 ï ï ìx – 3 ³ 0 ï ï ï ï ï ïé x = 1 ï 2 é  x=3 x – 3 = 0  í x – 3x + 2 = 0  íê ê ê ï ï ïê ïê x = 2 ï ï = x 3 0 ïë ïê î ïï îë x = 3 é x=2 vào phương trình thì thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn. Nên x = 1 là nghiệm pt + Thay êê ëx =1 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cặp số  x; y  nào sau đây không là nghiệm của phương trình 2 x  3 y  5 ? 5  A.  x; y    ; 0  . 2  B.  x; y   1;  1 .  5 C.  x; y    0;  .  3 D.  x; y    2;  3 . Hướng dẫn giải Chọn C. Thay các bộ số  x; y  vào phương trình, ta thấy bộ số đáp án C không thỏa mãn: 5 2.0  3.  5  5 . 3 Câu 2. Số nghiệm của phương trình 2 x  A. 0 . 1 1   x2  là x 1 x 1 B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. x  0  x  0. Điều kiện: x  1 . Khi đó phương trình đã cho  2 x   x 2    x  2  L  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 189 Câu 3. Số nghiệm của phương trình A. 2 . 1 là: x 3 x  2 x3 C. 1. B. 0 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. Đkxđ: x  3 Với điều kiện x  3 phương trình đã cho trở thành x 1 x  2  3 2 Vậy phương trình không có nghiệm. Câu 4. Tập nghiệm của phương trình x  x  A. S   . x  1 là C. S  0 . B. S   . D. S  1 . Lời giải Chọn B Điều kiện: x  0 . x  x  x  1  x  1 . Vây tập nghiệm của phương trình đã cho là S   . Câu 5. Phương trình nào sau đây nhận 2 làm nghiệm ? A. x 4  4 x 2  3  0. B. x 2  4 x  3  0. C. 1  x  x  1  x  2 . D. x 4  5 x 2  4  0. Lời giải Chọn D  x  1  x2  1  – Xét PT: x 4  4 x 2  3  0   2 x  3 x   3 Vậy x  2 không phải nghiệm của PT đã cho.  x 1 – Xét PT: x 2  4 x  3  0   x  3 Vậy x  2 không phải nghiệm của PT đã cho. – Xét PT: 1  x  x  1  x  2 . Điều kiện 1  x  0  x  1 Vậy x  2 không phải nghiệm của PT đã cho. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 190  x  1  x2  1  – Xét PT: x 4  5 x 2  4  0   2  x  2 x  4 Vậy x  2 là nghiệm của PT đã cho. Câu 6. Phương trình x ( x 2 -1) x -1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B Vì : x ( x -1) 2 ìï x -1 ³ 0 éx ³1 ïï ê x -1 = 0  ïíé x = 0  êê é x = 0  x = 1 ê ïïê 2 ê ê x = 1 ïïîêë x -1 = 0 êë ë Câu 7. Phương trình – x 2 + 6 x – 9 + x 3 = 27 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B Vì -x 2 + 6 x – 9 + x 3 = 27  -( x – 3) 2 = 27 – x 3 Đk : -( x – 3) 2 ³ 0  x = 3 . Thay x = 3 vào phương trình thấy thỏa mãn nên x = 3 là nghiệm pt Câu 8. Phương trình ( x – 3)2 (5 – 3 x ) + 2 x = 3 x – 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B Vì điều kiện của phương trình: : éx = 3 ê 5 êx = êë 3 + Thay ê ìïé 5 ï êx £ ï ì é ï 5 3 ³ 0 x ï éx = 3 ê 3 2 ïïê ì( x – 3) (5 – 3 x) ³ 0 ïïê ê ï ï ï ï í íêë x = 3 íêë x = 3  ê 5 ï ï êx = ïï3 x – 5 ³ 0 ï ï î ê ïï 3 ë î3 x – 5 ³ 0 ïï ïx ³ 5 ï 3 ï î vào phương trình thì thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn. Nên x = 3 là nghiệm pt Câu 9. Phương trình x + x -1 = 1 – x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 191 x 1  0 x  1 Vì : Điều kiện của pt :    x  1 . Thay x = 1 vào phương trình thấy vô 1  x  0 x  1 lí nên pt vô nghiệm. é x=2 + Thay êê vào phương trình thì thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn. Nên x = 1 là nghiệm pt ëx =1 Câu 10. Phương trình ( x 2 – x – 2 ) x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn C Vì : ( x – x – 2) 2 ì x ³ -1 ïïì x + 1 ³ 0 ï ï é x = -1 ï 2 ï ï x + 1 = 0  íé x – x – 2 = 0  ïíé x = -1  ê ê ïïê ïïê ëx = 2 ê ê ïïë x = 2 î ïîïë x + 1 = 0 Dạng 3: Phương trình tương đương, phương trình hệ quả 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Cho phương trình f  x   0 có tập nghiệm S1  m; 2 m  1 và phương trình g  x   0 có tập nghiệm S2  1; 2  . Tìm tất cả các giá trị m để phương trình g  x   0 là phương trình hệ quả của phương trình f  x   0 . A. 1  m  3 . 2 B. 1  m  2 . C. m . . D. 1  m  3 . 2 Lời giải Chọn D Gọi S1 , S2 lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình f  x   0 và g  x   0 . Ta nói phương trình g  x   0 là phương trình hệ quả của phương trình f  x   0 khi S1  S2 . 1  m  2 1  m  2 3  Khi đó ta có   3 1 m . 2 1  2 m  1  2 1  m  2 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình x  1  0 ? A. x  2  0 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B. x  1  0 . Trang 192 D.  x  1 x  2   0 . C. 2 x  2  0 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có x  1  0  2 x  2  0 . Câu 2. Cho phương trình  x 2  1  x –1 x  1  0 . Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho? A. x 2  1  0 . B. x  1  0 . C.  x –1 x  1  0 . D. x  1  0 . Hướng dẫn giải Chọn C. Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Phương trình  x 2  1  x –1 x  1  0 có tập nghiệm S  1;1 . Phương trình  x –1 x  1  0 có tập nghiệm S  1;1 . Câu 3. Phương trình 2 x  3  1 tương đương với phương trình nào dưới đây? A.  x  3 2 x  3  x  3 . B.  x  4  2 x  3  x  4 . C. x 2 x  3  x . D. x  3  2x  3  1 x  3 . Hướng dẫn giải Chọn C. 2x  3  1  x  2 . Xét  x  3 2  x  3 x  3   nên phương trình này không tương 2x  3  x  3   x  3  0 x  2    2 x  3  1 đương với phương trình đã cho. 2  x  3 x  4   nên phương trình này không Xét  x  4  2 x  3  x  4   x  4  0 x 2      2 x  3  1 tương đương với phương trình đã cho. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 193 2  x  3  Xét x 2 x  3  x   x  0  x2   2x  3  1   phương trình tương đương với phương trình đã cho.  x  3 x  3  2x  3  1 x  3    x   nên phương trình này không  2 x  3  1 tương đương với phương trình đã cho. Xét Câu 4: Cho phương trình: x 2  x  0 (1) . Phương trình nào tương đương với phương trình (1) ? A. x  x  1  0 . C. x 2  ( x  1) 2  0 . B. x  1  0 . D. x  0 Lời giải Chọn A x  0 (1)  x 2  x  0    x  1 x  0 Ý A: x  x  1  0   x  1 Câu 5. Phương trình nào dưới đây tương đương với phương trình x 2  3x  0 ? A. x 2  2 x  1  3 x  2 x  1 . B. x 2 x  3  3 x x  3 . C. x 2  3 x  3  3 x  3 x  3 . D. x 2  x  1 1  2x  . x x Lời giải Chọn C Phương trình x 2  3x  0 có tập nghiệm là S  0;3 nên phương trình tương đương cũng phải có tập nghiệm như vậy. Chọn C Chú ý lý thuyết: + Phép biến đổi tương đương cho hai phương trình tương đương + Phép biến đổi cộng hai vế một biểu thức hoặc nhân 2 vế với một biểu thức khác 0 là phép biến đổi tương đương khi chúng không làm thay đổi điều kiện Do đó dựa và điều kiện của các phương trình ta cũng có thể chọn C Câu 6. Phép biến đổi nào sau đây là phép biến đổi tương đương? 2 2 2 2 A. x  x  2  x  x  2  x  x . 2 2 C. x  x  2  x  x  2  x  x . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B. 2 2 x  x  2 x  x . 2 2 2 2 D. x  x  3  x  x  3  x  x . Trang 194 Lời giải Chọn D * Xét phương án A:  x2  2  0  2 2 2  x  2  0 x x 2  x  x 2     x  0  x  2  x  x   x  1 x  0 2 xx  x  1 2 2 phương trình không có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương. * Xét phương án B: x  0  x  0     x  2  x  1 2 x  x   2  x  1  2  x  x   x  2 2 2 x  x   x  1 2 phương trình không có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương. * Xét phương án C: x  2  x  2  0    x  0  x   x x2  x  x2  x  x   2  x  x   x  1 2 2 x  0 2 xx  x  1 2 phương trình không có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương. * Xét phương án D:  x 2  3  0 x  0 2 2 2 2 x x 3  x  x 3  x  x     2 x  1  x  x x  0 2 xx  x  1 2 phương trình có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi là tương đương. Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: 2 x 2 + mx – 2 = 0 (1) và 2 x 3 + (m + 4 ) x 2 + 2 (m -1) x – 4 = 0 (2) . A. m = 2. 1 2 B. m = 3. C. m = . D. m = -2. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 195 Chọn B Xét phương trình é x = -2 2 x3 + (m + 4) x 2 + 2 (m -1) x – 4 = 0  ( x + 2)(2 x 2 + mx – 2) = 0  ê 2 ê ë 2 x + mx – 2 = 0(1) để hai phương trình trên tương đương thì x = – 2 phải là nghiệm của phương trình (1) từ đó suy ra m = 3. Cách khác : có thể thử ngược đáp án. Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: mx 2 – 2 (m -1) x + m – 2 = 0 (1) và (m – 2 ) x 2 – 3 x + m 2 -15 = 0 (2) . A. m = -5. B. m = -5; m = 4. C. m = 4. D. m = 5. Lời giải Chọn C éx =1 Vì xét phương trình: mx 2 – 2 (m -1) x + m – 2 = 0  ( x -1)(mx – m + 2) = 0  êê ë mx – m + 2 = 0 Để hai phương trình tương đương thì điều kiện cần x = 1 phải là nghiệm của phương trình (2). m  4 Thay x = 1 vào (2) ta được: m 2  m  20  0    m  5 + Với m = 4 : (1)  4 x 2  6 x  2  0 (2)  2 x 2  3x  1  0 suy ra m = 4 thỏa mãn + Với m = -5: (1)  5 x 2  12 x  7  0 (2)  7 x 2  3 x  10  0 suy ra m = -5 (loại) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 196 BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 1. Phương trình bậc nhất Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau (1) Hệ số Kết luận b (1) có nghiệm duy nhất x = – a¹0 a b¹0 (1) vô nghiệm b=0 (1) nghiệm đúng với mọi x a=0 Khi a ¹ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Phương trình bậc hai Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (2 ) D = b2 – 4ac Kết luận D>0 (2) có hai nghiệm phân biệt x1, 2 = D=0 b (2) có nghiệm kép x = – D<0 (2) vô nghiệm -b  D 2a 2a 3. Định lí Vi–ét Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm x1 , x 2 thì b x1 + x 2 = - , a c x1 x 2 = . a Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình x 2 - Sx + P = 0. II – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 197 Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó. 1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1. Giải phương trình x - 3 = 2 x +1. (3) Giải Cách 1 a) Nếu x ³ 3 thì phương trình (3) trở thành x - 3 = 2 x + 1. Từ đó x = - 4. Giá trị x = - 4 không thỏa mãn điều kiện x ³ 3 nên bị loại. 2 3 b) Nếu x < 3 thì phương trình (3) trở thành - x + 3 = 2 x + 1. Từ đó x = . Giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm. Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 . 3 Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả 2 2 (3)  ( x - 3) = (2 x + 1)  x 2 - 6 x + 9 = 4 x 2 + 4 x +1  3 x 2 + 10 x - 8 = 0. 2 3 Phương trình cuối có hai nghiệm là x = - 4 và x = . 2 3 Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là x = . 2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn. Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x - 3 = x - 2. (4) Giải. 3 2 Điều kiện của phương trình (4) là x ³ . Bình phương hai vế của phương trình (4) ta đưa tới phương trình hệ quả (4 )  2 x - 3 = x 2 - 4 x + 4  x 2 - 6 x + 7 = 0. Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3 + 2 và x = 3 - 2. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (4 ), nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị x = 3 - 2 bị loại , còn Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 198 giá trị x = 3 + 2 là nghiệm . Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình (4) là x = 3 + 2. Dạng 1: Phương trình tích 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Giải phương trình  x 2  4 x  3 x  2  0 Hướng dẫn giải x 2  4 x  3 x  2  x  2  x  1  x  2  0   . x  3  x  3    x  2 Vây phương trình đã cho có 2 nghiệm. Ví dụ 2. Giải phương trình  x  2  2 x  7  x 2  4 Hướng dẫn giải 7 2 Điều kiện xác định của phương trình 2 x + 7 ³ 0  x ³ - . Ta có ( x - 2) 2 x + 7 = x 2 - 4  ( x - 2) 2 x + 7 = ( x - 2)( x + 2) éx -2 = 0  ( x - 2 ) éê 2 x + 7 - ( x + 2 )ùú = 0  êê  ë û êë 2 x + 7 - ( x + 2 ) = 0 éx = 2 ê . ê êë 2 x + 7 = x + 2 (1) Giải phương trình ìï x ³ -2 (1) : 2 x + 7 = x + 2  ïí ïï2 x + 7 = ( x + 2 )2 î ì ï ïï x ³ -2 ì ï x ³ -2 ï ï  í 2 íé x = 1  x = 1. ï ï x + 2 x - 3 = 0 ïï ïêê î îïë x = -3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1, x = 2 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho phương trình x3  mx 2  4 x  4m  0 . Tìm m để có đúng hai nghiệm A. m  2 . C. m 2; 2 . B. m  2 . D. m  0 . Hướng dẫn giải Chọn C.  x  2 x3  mx 2  4 x  4m  0  x  x 2  4   m  x 2  4   0   x 2  4   x  m   0   x  m Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 199 Để phương trình có đúng hai nghiệm thì m  2 . Câu 2. Phương trình x 4  5 x 3  8 x 2  10 x  4  0 có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn D. x 4  5 x 3  8 x 2  10 x  4  0   x 2  x  2  x 2  4 x  2   0 Phương trình không có nghiệm nguyên. Câu 3. Phương trình x 4  4 x 2  5  0 có bao nhiêu nghiệm thực? A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B.    Phương trình  x 2  1 x 2  5  0  x 2  1  x  1 . Vậy phương trình có 2 nghiệm thực. Câu 4. Phương trình  x 2  6 x  17  x 2  x 2  6 x có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện: 17  x 2  0   17  x  17 . Ta có:  x 2  6 x  17  x 2  x 2  6 x   x 2  6 x    17  x 2  1  0  x  0 T   x2  6x  0  x  x  6  0     x  6  L  . Vậy phương trình có 3 thực phân  2 2 16  x  0  17  x  1  x  4 T    biệt. Câu 5. Phương trình  x 2  5 x  4  x  3  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện xác định của phương trình là x  3 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 200  x  3   x  1   x  1  Phương trình tương đương với    .  x  3   x  4   x  3  Câu 6. Số nghiệm của phương trình: A. 0 .   x  4  1  x 2  7 x  6   0 là C. 1. B. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện xác định của phương trình x  4 . x  5  x  4 1 Phương trình tương đương với  2   x  1 kết hợp điều kiện suy ra    x 7 x 6 0   x  6 x  5 x  6 .  Dạng 2: Phương trình chứa ẩn trong giá trị tuyệt đối 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Giải phương trình 3x  2  2 x  1 Hướng dẫn giải 1  x  1 2 x  1  0 x  Ta có 3x  2  2 x  1    2 2 2   x  3 2  3 x  2    2 x  1 5 x  8 x  3  0 5   Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x 2  3x  2  x  2 Hướng dẫn giải x  1 3  2 x 2  3x  2  x  2 2x2  4 x  4  0  Phương trình   2 .  2  x  0 2 2 0 x  x   2 x  3x  2   x  2  x 1  3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Phương trình x  2  3x  1 có tổng các nghiệm là A.  1 . 2 B.  1 . 4 C. 1 . 4 D.  3 . 4 Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 201 Chọn C. 1  x  x  2  3x  1  2 . Vậy tổng các nghiệm là 1 . Ta có: x  2  3x  1    4  x  2  1  3x x  3  4 Câu 2. Phương trình x 2  2 x  8  x  2 có số nghiệm là B. 2 . A. 0 . C. 3 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D. x  2  x  2  0  Ta có x  2 x  8  x  2   2   x2  2 x  8  x  2  x  2 x  8     x  2   2  x  2 x  8   x  2 2  x  2  x  2  2   x  2, x  3  x  x  6  0     x  2.  x  2 x2      x 2  3 x  10  0   x  2, x  5 Câu 3. Phương trình 2 x  4  2 x  4  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. vô số. Hướng dẫn giải Chọn D. 2x  4  2x  4  0  2x  4  2x  4  2x  4  0  x  2 . Câu 4. Phương trình x 2  2 x  3  x  5 có tổng các nghiệm nguyên là A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B.  x  3 TH1: x 2  2 x  3  0   . Khi đó phương trình trở thành: x  1  1  33 x  2 . x2  2 x  3  x  5  x2  x  8  0    1  33 x   2 TH2: x 2  2 x  3  0  3  x  1 . Khi đó phương trình trở thành: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 202  x  1  x 2  2 x  3  x  5  x 2  3x  2  0   .  x  2 Vậy tổng các nghiệm nguyên là T  1  2  3 . Câu 5. Tập nghiệm của phương trình: x  2  3x  5 là tập hợp nào sau đây?  7 3 A.   ;   .  4 2 3 7 B.  ;  . 2 4  7 3 C.   ;  .  4 2  3 7 D.   ;  .  2 4 Hướng dẫn giải Chọn B. 3  x  2  x  2  3x  3 x  2  3x  5     x  2  3x  3 x  7  4 3 7 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   ;  . 2 4 Câu 6. Tổng nghiệm bé nhất và lớn nhất của phương trình x  1  3x  3  4  2 x là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: x  1  3x  3  4  2 x   x  1  3x  3    4  2 x  2 2  10 x 2  16 x  10  2 3 x 2  3  16  16 x  4 x 2  6 x 2  1  6  6 x 2  x 2  1  1  x 2  1  x 2  0  1  x  1 . Vậy tổng nghiệm lớn nhất và bé nhất bằng 0 . Câu 8. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình x  2  2 x  2 . A. 1 . 2 B. 2 . 3 C. 6 . D. 20 . 3 Hướng dẫn giải Chọn D. x  6  x  2  2x  4 .  x2  2 x2   x  2  x  2  2 x  4 3  Vậy tổng các nghiệm là Câu 10. 20 . 3 Để giải phương trình x  2  2 x  3 1 , một học sinh đã lập luận như sau: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 203  I  Bình phương 2 vế: 1  x 2  4 x  4  4 x 2  12 x  9  II   3x2  8 x  5  0  III   x  1  x   IV   2  3 . 5 . 3 Vậy 1 có hai nghiệm x1  1 và x2  5 3 Cách giải trên sai từ bước nào? A.  IV  . B.  II  . C.  III  . D.  I  . Hướng dẫn giải Chọn D. Muốn bình phương hai vế của phương trình thì hai vế phải không âm 2 x  3  0  Để giải phương trình này ta áp dụng công thức x  2  2 x  3    x  2  2 x  3   x  2  2 x  3  Hoặc ta giải bằng phương pháp hệ quả thì 1  x 2  4 x  4  4 x 2  12 x  9 Câu 11.  2 . Cho phương trình: x  2  2  x 1 . Tập hợp các nghiệm của phương trình 1 là tập hợp nào sau đây? A.  ; 2 . C.  2;    . B.  . D. 0;1; 2 . Hướng dẫn giải Chọn A. Phương trình x  2  2  x  x  2  0  x  2 . Phương trình có tập nghiệm S   ; 2 . Câu 12. Giải phương trình 1  3x  3x  1  0 . 1  A.  ;   . 3   1  B.   . 2 1  C.  ;  . 3  1  D.  ;   . 3   Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có 1  3x  3x  1  0  1  3x  3x  1  1  3x  0  x  Câu 13. 1 . 3 Phương trình x 2  3 x  3  2 x  5 có tích của tất cả các nghiệm nguyên là A. 4 . B. 1. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 56 . D. 0 . Trang 204 Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình x 2  3 x  3  2 x  5  3 x  3  2 x  5  x 2 * . Điều kiện 2 x  5  x 2  0  1  6  x  1  6 . TH1: 3  x  1  6 . Phương trình *  x 2  x  14  0  x  1  57 . 2 TH2: 1  6  x  3 . Phương trình *  x 2  5 x  4  0  x  1 . Câu 14. Phương trình x 2  2 x  3  x  5 có tổng các nghiệm nguyên là A. 2 . C. 1. B. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D. + Với x  5  0  x  5 ta có VP  0 , VP  0 suy ra phương trình vô nghiệm + Với x  5  0  x  5 Phương trình  x 2  2 x  3   x  5    x 2  2 x  3   x  5  2 2 2 2  1  33 x  x  x  8  0  x  1 2  2  hoặc   1  33  x  2  x  3x  2  0 x   2 2 Tổng các nghiệm bằng 4 . Dạng 3: Phương trình chứa ẩn ở mẫu 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Giải phương trình 2 x + 3 3x = x -1 x -1 Lời giải Điều kiện  2x + x= / 1. Khi đó phương trình 3 ( x -1) 3 3x 3 =  2x =  x = thỏa mãn điều kiện x -1 x - 1 x -1 2 Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x 2 -10 x = x -3 . x 2 - 5x Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 205 ìï x 2 - 5 x = /0 ïï ì 2 /0 2 x -10 x ï ïïí x - 5 x = =    S = Æ. x 3 2 x x 5 ( ) í 2 x - 5x = x - 3 ïïî2 = x - 3 ïïï ïî x ( x - 5) 2 Ví dụ 3. Giải phương trình 1 - 2 10 50 . = x - 2 x + 3 (2 - x )( x + 3) Lời giải é x = 10 (thoaû maõn)  (2 - x )( x + 3) - 2 ( x + 3) = 10 (2 - x ) - 50  x 2 - 7 x - 30 = 0  êê . êë x = -3 (loaïi) 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Gọi n là các số các giá trị của tham số m để phương trình  x  1 mx  2   0 x2 có nghiệm duy nhất. Khi đó n là: A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện: x  2 . Phương trình có nghiệm duy nhất khi xảy ra hai trường hợp: TH 1: tử thức có đúng một nghiệm thỏa điều kiện, suy ra  m  2  0  m  2 . TH 2: tử thức có hai nghiệm và một nghiệm x  2 , suy ra 2m  2  0  m  1 . Vậy n  2 . Câu 2. Tìm phương trình tương đương với phương trình x 2  x  6 x  1 x 2  0 trong các phương trình sau: A. x2  4x  3 0. x4 B. x  2  x  1. D.  x  3  2 C. x 3  1  0 . x . x2 Hướng dẫn giải Chọn C. x Xét phương trình 2  x  6 x  1 x 2  0 1 . ĐK: x  1 và x  2 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 206  x  1  x 1  0  Với điều kiện ở trên, ta có 1   2   x  3 .  x  x  6  0  x  2 Đối chiếu điều kiện, phương trình 1 có nghiệm x  1 . Xét phương trình  x  1 x2  4x  3 .  0  2 . ĐK: x  4 .  2   x 2  4 x  3  0   x4  x  3 Loại A Xét phương trình x  2  x  1 . ĐK: x  0 . Loại B Xét phương trình x3  1  0  x  1 . x . ĐK: x  2 . Loại D x2 Xét phương trình  x  3  2 Đã sửa đáp án C từ x 2  1 thành x 3  1  0 . Câu 3. Cho phương trình: x 2  3x  2   x có nghiệm a . Khi đó a thuộc tập: x 3 1  A.  ;3  . 3   1 1 B.   ;  .  2 2 1  C.  ;1 . 3  D.  . Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện: x  3 .  3  13 x  x  3 x  2  x  x  3 x  3x  2 2  x   0  2 x2  6 x  2  0   . Ta có: x 3 x 3  3  13 x   2 2 2 1 3  13  0 . Vậy nghiệm của phương trình đã cho thuộc tập Ta có:   2 2  1 1  ; .  2 2 Dạng 4: Phương trình chứa ẩn ở trong dấu căn 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Giải phương trình 2 x 2  3x  5  x  1 Lời giải Ta có :  x  1  0  x  1 2 x 2  3x  5  x  1   2  x  2. 2   2    x x 6 0 2 x  3x  5   x  1  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 207 Ví dụ 2. Giải phương trình: x2  2 x ? Hướng dẫn giải x  2  0 x  2  Điều kiện:   x  2. x  2 2  x  0 Thay x  2 vào phương trình ta được 0  0 hay x  2 là nghiệm của phương trình. Ví dụ 3. Giải phương trình A. x  4 . 2 x2  8x  4  x  2 . x  0 B.  . x  4 C. x  4  2 2 . D. x  6 . Hướng dẫn giải Chọn A. x  2 x  2  0    2 x2  8x  4  x  2   2 2   x  0  x  4 . 2 x  8 x  4   x  2   x  4  Ví dụ 4. Giải phương trình: x 2  5 x  2  2 x 2  5 x  10  0 Hướng dẫn giải Điều kiện xác định x 2  5 x  10  0  x   . Khi đó phương trình  x2  5x  10  2 x 2  5 x  10  8  0  x 2  5 x  10  2  x  3   x 2  5 x  10  2  x 2  5 x  6  0   .  x 2  5 x  10  4  x  2 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Số nghiệm nguyên dương của phương trình A. 0 . B. 1. x  1  x  3 là B. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. x  3  x  3 x  3  x 1  x  3     x  2  x  5 . 2   2  x  7 x  10  0  x  5  x  1   x  3  Câu 2. Số các nghiệm nguyên của phương trình x  x  5   2 3 x 2  5 x  2  2 là A. 0 . B. 1. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 2 . D. 3 . Trang 208 Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt t  3 x 2  5x  2  x 2  5 x  t 3  2 .  x  2 . Phương trình đã cho trở thành: t 3  2t  4  0  t  2  x 2  5 x  6  0    x  3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên. Câu 3. Cho phương trình A. 0 . x2  4x  2  x  2 . Số nghiệm của phương trình này là x2 B. 2 . C. 4 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D. ĐKXĐ: x  2 khi đó phương trình trở thành x  1 x2  4 x  2  x  2  x2  5x  4  0   . x  4 Đối chiếu điề kiện suy ra phương trình có một nghiệm x  4 . Câu 5. 3x  7  x  1  2 là Tổng các nghiệm của phương trình A. 2 . C. 2 . B. –1 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A.  x  1 3x  7  x  1  2    3x  7  2  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1   .  2  x  3 x  2x  3  0 3x  7  4  x  1  4 x  1  x  1  2 x  1 Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2 . Câu 6. Số nghiệm nguyên của phương trình: A. 0 . x  3  5  7  x  x là B. 2 . C. 3 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn B. x  3  0 x  3  . + Điều kiện:  7  x  0 x  7 + Thay x lần lượt bằng 3 , 4 , 5 , 6 , 7 vào phương trình ta thấy các số 3 , 7 là nghiệm. + Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 209 Câu 7. Số nghiệm của phương trình: x 2  x  1  x 1 B. 2 . A. 0 . 1  6 là x 1 C. 1. D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn C. x2  x  1  x 1 x 1  0 x  1 1  6   2  x  3. x 1  x  2  x  3 x  x  6  0 Vập phương trình đã cho có một nghiệm x  3 . Câu 8. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm A. 0 . x 1  1  x ? B. vô số. C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C. x  1 Điều kiện xác định:   x  1. x  1 Với x  1 thay vào phương trình thỏa mãn. Vậy phương trình có một nghiệm. Câu 9. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình: x 2  3x  2  1  x là C. 2 . B. 3 . A. 3 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D. 1  x  0  x  1 x 2  3x  2  1  x   2  2  x 1. x  2x  3  0  x  3x  2  1  x Câu 10. Phương trình x 2  4 x  1  x  3 có nghiệm là A. x  1 hoặc x  3 . B. Vô nghiệm. C. x  1 . D. x  3 . Hướng dẫn giải Chọn B. x  3  0 x  3  x2  4 x 1  x  3   2 . 2 x  1 x  4x 1  x  6x  9 Câu 11. Biết phương trình 3x  1  3x 2  7 x  3x  1  0 có một nghiệm có dạng x  a b , c trong đó a , b , c là các số nguyên tố. Tính S  a  b  c . A. S  14 . B. S  21 . C. S  10 . D. S  12 . Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 210 Chọn C. 3x 2  7 x  0 1  x   * Điều kiện:  3 3x  1  0 Với điều kiện trên, phương trình tương đương  2 x  1  3 x 2  7 x    x  3 x  1   0      x 2  3x  1  2 x  1  3x 2  7 x  x 2  3x  1 0 x  3x  1   1 1   x 2  3x  1   0 2  2 x  1  3x  7 x x  3x  1   x2  3x  1  0 x 3 5 3 5 hoặc x  2 2 Theo yêu cầu đề bài ta chọn nghiệm x  3 5 2 Vậy a  3 , b  5 , c  2  S  a  b  c  10 . Câu 12. Phương trình A. 2 . 3 x  5  3 x  6  3 2 x  11 có bao nhiêu nghiệm. C. 1. B. 3 . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn B. 3 x  5  3 x  6  3 2 x  11  x  5  x  6  33 x  5 3 x  6  3  x  5  3 x  6  2 x  11   x  5   3 3 x  5 3 x  6 3 2 x  11  0   x  6  11 x    2 Thử lại ta được các nghiệm đều thỏa mãn Câu 13. Tập nghiệm của phương trình A.  . 4 x  x 2  1  x  x 2  1  2 là 7  B.  ;1 . 2  C. 0 . D. 1 . Hướng dẫn giải Chọn D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 211 Đặt t  4 x  x 2  1, t  0  x  x 2  1  1 t2  t  1  1 1 5 3 2 Ta có pt: t  2  2  t  2t  1  0  t   t 2  t  1  5  2 So sánh với điều kiện t  0 ta tìm được t  1, t  1 5 2 Trường hợp 1: t  1: 4 x  x 2  1  1  x  x 2  1  1 x  1  x 1  x 1  x2 1   2 2 x  2x 1  x 1 Trường hợp 2: t   x  x2 1  1 5 1 5  4 x  x2 1  2 2 73 5 73 5  x  x2 1 2 2  73 5  73 5 x   x  2  2   x   2   7 7  3 5 2  x  x   x 1   2 2   Câu 14. Số nghiệm của phương trình x 2  2 x  8  4 A. 3 .  4  x  x  2  B. 1. là C. 4 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện:  4  x  x  2   0  x   2; 4 . x2  2x  8  4  4  x  x  2   x 2  2 x  8  4   x 2  2 x  8  1 . Đặt t    x 2  2 x  8  , t  0  t 2    x 2  2 x  8   x 2  2 x  8  t 2 . 1  t 2  4t t  0  n   t 2  4t  0      x 2  2 x  8   0    x 2  2 x  8  0 t  4  l   x  2  n   . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.  x  4  n  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 212 Câu 15. Tổng các bình  x  1 x  3  3 phương các nghiệm của phương trình x 2  4 x  5  2  0 là B. 4 . A. 17 . C. 16 . D. 8 . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có  x  1 x  3  3 x 2  4 x  5  2  0  x2  4 x  5  3 x2  4 x  5  4  0  x2  4x  5  1  x2  4x  5  1  x2  4x  4  0  x  2 . Câu 16. Phương trình 3x  2 x  2  1  x  2 có bao nhiêu nghiệm? B. 1. A. 0 . C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn A. x  0 3 x  0   ĐKXĐ: 2 x  2  0   x  1  x  1 . x  1 1  x  0   3x  2 x  2  1  x  2 , ta được: Thay x  1 vào 32 . Vậy phương trình vô nghiệm. Câu 17. x  8  2 x  7  2  x  1  x  7 là Số nghiệm của phương trình A. 2 . B. 3 . D. 1. C. 0 . Hướng dẫn giải Chọn D.   x  7 1  2  x  8  2 x  7  2  x 1 x  7    x  7  3  x  7 3    x  2  x7 3    x  2   x 7 3  x7 3   x 7 3  x7 2   x7 2 0  x7 2 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x  2  x  7  3  0    x  2.  x  2 x  2 Trang 213 Dạng 5: Định lý viet và ứng dụng 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tìm tham số m để phương trình  m  1 x 2  2mx  m  2  0 có hai nghiệm trái dấu Hướng dẫn giải Phương trình  m  1 x 2  2mx  m  2  0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi m  1  0  2  m  1 .   m  1 m  2   0 Ví dụ 2. Cho phương trình mx 2   m 2  3 x  m  0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  13 . 4 Hướng dẫn giải Phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  13 4   m  0 m  0 a  0   2    m 2  3  4m 2  0   m 2  3  2m  m 2  3  2m   0    0   b 13  2 2 4m  13m  12  0  m  3  13    a 4  m 4    m  0 3  m    m   ; 3   1;1  3;    4 .    m  4 m  3  4   m  4  Vậy tổng bình phương các giá trị của m là Ví dụ 3. 265 . 16 Tìm tham số m để phương trình x 2  2mx  m  2  0 có hai nghiệm dương phân biệt Hướng dẫn giải Để phương trình x 2  2mx  m  2  0 có hai nghiệm dương phân biệt   m   1.  m  2   0 m 2  m  2  0    0 m  1 v m  2        S  0   2m  0  m  0  m  2.  m  0 m  2  0  m  2 P  0 m  2     2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 214 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:   0 A.  . P  0   0 B.  . S  0   0 C.  . P  0   0 D.  . S  0 Hướng dẫn giải Chọn A. Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ   0 .  P  0 Câu 2. Biết phương trình ax 2  bx  c  0 , ( a  0) có hai nghiệm x1 , x2 . Khi đó: a   x1  x2   b A.  . x x  a  1 2 c b   x1  x2  a B.  . x x  c  1 2 a b   x1  x2   2a C.  . c x x   1 2 2a b   x1  x2   a D.  . c x x   1 2 a Hướng dẫn giải Chọn D. b   x1  x2   a Theo Hệ thức Viet, ta có  . x x  c  1 2 a Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  7;7  để phương trình mx 2  2  m  2  x  m  1  0 có hai nghiệm phân biệt? A. 14 . B. 8 . C. 7 . D. 15 . Hướng dẫn giải Chọn C. 1 TH1: m  0  4 x  1  0  x   ; phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất nên 4 loại m  0 TH2: m  0 Để mx 2  2  m  2  x  m  1  0 với m   7;7  có hai nghiệm phân biệt thì Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 215 4 2    m  2   m  m  1  0  5m  4  m   đồng thời m   7;7 5 Vậy m  1; 2;3; 4;5;6;7  có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 4. Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình x 2  2mx  m  1  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x12  x22  2 . 1  m  A. 2.  m  0 1 C. m   . 2 B. m  0 . 1  m  D. 2.  m  0 Hướng dẫn giải Chọn A. Phương trình: x 2  2mx  m  1  0 . Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì   0  m 2  m  1  0 , luôn đúng với x   .  x  x  2 m . Khi đó, theo định lí Vi-ét ta có:  1 2  x1 x2   m  1 Ta có: x  x  2   x1  x2  2 1 Câu 5. 2 2 2 1  m   2 x1 x2  2  4m  2m  2  2  2.  m  0 2 Phương trình  m 2  4  x 2  5 x  m  0 có hai nghiệm trái dấu, giá trị m là A. m   ; 2   0; 2 . B. m   ; 2    0; 2  . C. m   2;0    2;   . D. m   2; 2  . Hướng dẫn giải Chọn B Phương trình có hai nghiệm trái dấu   m  2 m 0  m 4 0  m  2 2 hay m   ; 2    0;2  . Câu 6. Tìm m để phương trình x 2  mx  m 2  3  0 có hai nghiệm x1 , x2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng 2 là A. m   0;2 . B. m   3 . C. m   2;0  . D. m  . Hướng dẫn giải Chọn D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 216 Phương trình x 2  mx  m 2  3  0 có hai nghiệm x1 , x2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác với cạnh huyền có độ bài bằng 2 khi và chỉ khi:   m2  4m 2  12  0 3  m 2  4   S  x  x  m  0  1 2  m  0   P  x1.x2  0  2  x1  x2   2 x1 x2  4  x2  x2  4 2  1  3  m  2  3  m  2  m  .  2   2 2  m  2 m  2  m  3  4 Câu 7. Cho hàm số y   x 2  4 x  3 , có đồ thị  P  . Giả sử d là dường thẳng đi qua A  0;  3 và có hệ số góc k . Xác định k sao cho d cắt đồ thị  P  tại 2 điểm phân biệt E , F sao cho OEF vuông tại O ( O là gốc tọa độ). Khi đó  k  1 A.  . k  3  k  1 B.  . k  2 k  1 C.  . k  2 k  1 D.  . k  3 Hướng dẫn giải Chọn D. Phương trình đường thẳng d : y  kx  3 Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và d :  x 2  4 x  3  kx  3   x 2   4  k  x  0  x   x  4  k   0 1 . d cắt đồ thị  P  tại 2 điểm phân biệt khi 1 có 2 nghiệm phân biệt  4  k  0  k  4 . Ta có E  x1; kx1  3 , F  x2 ; kx2  3 với x1 , x2 là nghiệm phương trình 1 . OEF vuông tại   O  OE .OF  0  x1.x2   kx1  3 kx2  3  0  x1.x2 1  k 2   3k  x1  x2   9  0  0. 1  k 2   3k  4  k   9  0 k  1 .  k 2  4k  3  0   k  3 Câu 8. Giả sử phương trình 2 x 2  4mx  1  0 có hai nghiệm x1 , x2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  x1  x2 . A. min T  2 . 3 B. min T  2 . C. min T  2 . D. min T  2 . 2 Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 217 Chọn B. Phương trình 2 x 2  4mx  1  0 có   4m 2  2  0 nên phương trình có hai nghiệm phân 1 biệt x1 , x2 với S  x1  x2  2m , P  x1 x2   . 2 Ta có T 2   x1  x2   S 2  4 P  4m 2  2  2  T  2 . Dấu bằng xảy ra khi m  0 . 2 Vậy min T  2 . Câu 9. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho parabol  P  : y  x 2  4 x  m cắt Ox tại hai điểm phân biệt A , B thỏa mãn OA  3OB . Tính tổng T các phần tử của S . A. T  3 . C. T  B. T  15 . 3 . 2 D. T  9 . Hướng dẫn giải Chọn D. Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và Ox : x 2  4 x  m  0 Để  P  cắt Ox tại hai điểm phân biệt thì có hai nghiệm phân biệt x1 , x2    0 4  m  0    m  4 . Giả sử A  x1;0  , B  x2 ;0  và x1  x2  4 , x1 x2  m . a  0 1  0  x1  3x2 . Ta có OA  3OB  x1  3 x2    x1  3x2  x1  3 m3 Trường hợp 1: x1  3 x2    x2  1  x1  6  m  12 Trường hợp 2: x1  3 x2    x2  2 Vậy S  12  3  9 . Câu 10. Cho hàm số y  x 2  2 x  2 có đồ thị P , và đường thẳng d  có phương trình y  x  m . Tìm m để  d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt A , B sao cho OA2  OB 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 5 A. m   . 2 5 B. m  . 2 C. m  1 . D. m  2 . Hướng dẫn giải Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm: x 2  2 x  2  x  m  x 2  3 x  2  m  0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 218  d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt A , B    0  17  4m  0  m   17 . 4  A  x1; x1  m   OA   x1 ; x1  m   B  x2 ; x2  m   OB   x2 ; x2  m  OA2  OB 2  x12  x22   x1  m    x2  m   2  x1  x2   4 x1 x2  2m  x1  x2   2m 2 2 2 2 2 17 5  15 15   18  4  2  m   6m  2m  2 m  10m  10  2  m     với m   4 2 2 2  2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của OA2  OB 2 là Câu 11. 15 5 khi m   . 2 2 Số giá trị nguyên của tham số m thuộc  5;5 để phương trình x 2  4mx  m2  0 có hai nghiệm âm phân biệt là A. 5 . B. 6 . C. 10 . D. 11 Hướng dẫn giải Chọn A. 3m 2  0   0   Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt   S  0  4m  0  m  0 . m 2  0 P  0   Vậy trong đoạn  5;5 có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 12. Với giá trị nào của m thì phương trình  m  1 x 2  2  m  2  x  m  3  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  x1 x2  1 ? A. 1  m  3 . B. 1  m  2 . C. m  2 . D. m  3 . Hướng dẫn giải Chọn A. Phương  m  1 x 2  2  m  2  x  m  3  0 có hai nghiệm x1 , x2 khi và chỉ khi m 1  m  1 m  1  0   m  1.   2 1  0    0  m  2    m  1 m  3  0 Theo định lí Vi-et ta có: x1  x2  2m  4 m3 , x1 x2  . m 1 m 1 Theo đề ta có: x1  x2  x1 x2  1  2m  4 m  3 2m  6  1   0 1 m  3. m 1 m 1 m 1 Vậy 1  m  3 là giá trị cần tìm. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 219 Câu 13. Cho phương trình  m  5  x 2  2  m  1 x  m  0 1 . Với giá trị nào của m thì 1 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa x1  2  x2 ? A. m  5 . 8 B. m  . 3 C. 8  m 5. 3 D. 8  m5. 3 Hướng dẫn giải Chọn C. m  5 m  5  0  Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt    1  * . 2  m  1  m  m  5   0 m   3  2  m  1  x1  x2   m5 . Khi đó theo định lý Viète, ta có:  m x x  1 2 m5  Với x1  2  x2   x1  2  x2  2   0  x1 x2  2  x1  x2   4  0   Câu 14. 4  m  1 m  40 m5 m5 9m  24 8 8  0   m  5 . Kiểm tra điều kiện * ta được  m  5 . 3 3 m5 Gọi S là tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để đường thẳng  d  : y  mx cắt parabol  P  : y   x 2  2 x  3 tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trung điểm I của đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng    : y  x  3 . Tính tổng tất cả các phần tử của S . A. 2 . B. 1. C. 5 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn D. Phương trình hoành độ giao điểm:  x 2  2 x  3  mx  x 2   m  2  x  3  0 1 . Để  d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt  a  1  0  1 có hai nghiệm phân biệt    m . 2     m  2   12  0 Khi đó  d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt A  x1 ; mx1  , B  x2 ; mx2  , với x1 , x2 là nghiệm phương trình 1 . Theo Viét, có: x1  x2  2  m , x1 x2  3 . 2  x  x mx  mx2   2  m m  2m   ; I là trung điểm AB  I   1 2 ; 1 .   2 2  2   2  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 220 Mà I  : y  x  3   m  1  m1  m 2  2m 2  m   3  m 2  3m  4  0    m1  m2  3 . 2 2  m  4  m2 Dạng 6: Giải và biện luận phương trình 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tìm tham số m để phương trình x 2  2mx  3m  2  0 có nghiệm là Hướng dẫn giải Chọn B. Để phương trình x 2  2mx  3m  2  0 có nghiệm m  1 2    0   m    3m  2   0  m 2  3m  2  0   . m  2 Ví dụ 2. Cho phương trình  m  1 x  1   7 m  5  x  m . Tìm tham số m để phương trình đã cho 2 vô nghiệm là Hướng dẫn giải Ta có:  m  1 x  1   7 m  5  x  m 1 2   m 2  5m  6  x  m  1   m  2  m  3 x  m  1  2 Để phương trình 1 vô nghiệm  phương trình  2  vô nghiệm  m  2  m  3  0 m  2 v m  3   m2 v m3 m  1  0 m  1 Ví dụ 3. Xác định m để phương trình m  x 2  6 x  7 có 4 nghiệm phân biệt. Hướng dẫn giải m  x 2  6 x  7 là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y  m và đồ thị C  : y  x2  6 x  7 . Vẽ  P  : y  x 2  6 x  7 , lấy đối xứng phần phía dưới Ox của  P  lên trên Ox và xóa đi phần phía dưới Ox , ta được đồ thị  C  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 221 Dựa vào đồ thị: phương trình m  x 2  6 x  7 có 4 nghiệm phân biệt khi m   0;16  . Ví dụ 4. Tìm m để phương trình A. 1. x  2  2  x  2  x 2  4  2m  3  0 có nghiệm. B. 3 . D. 2 . C. 0 . Hướng dẫn giải Chọn D. Đặt t  x  2  2  x  t 2  4  2 4  x 2  4  x 2  Phương trình trở thành: t  2 t2  4 , Điều kiện 2  t  2 2 2 t2  4  2m  3  0  t 2  t  2m  1  0 (*) 2 Xét hàm số f  t   t 2  t  1 , có bảng biến thiên x y -∞ - 1 2 2 1 4 5 2 2 +∞ 7+2 2 Phương trình có nghiệm thỏa 2  t  2 2 khi 5  2m  7  2 2  Ví dụ 5. 5 72 2 m 2 2 1   1  Tìm tham số m để phương trình 2  x 2  2   3  x    2m  1  0 có nghiệm x   x  Hướng dẫn giải Điều kiện xác định: x  0 . Đặt t  x  t  2 1 1  t 2  2  x2  2  2  t  2   . x x t  2 Phương trình đã cho trở thành 2  t 2  2   3t  2m  1  0  2t 2  3t  2m  3  0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 222  2t 2  3t  3  2m Xét hàm số y  f  t   2t 2  3t  3 có bảng biến thiên t  2  2m  1 1 m . khi  có nghiệm t thỏa  2 t  2  2m  11 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx  m   m  2  x  m2  2 x có tập nghiệm là  . Tính tổng tất cả các phần tử của S . B. 1. A. 1. C. 2 . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn A. Biến đổi phương trình đã cho thành 0x  m 2  m . m  0 . Phương trình có tập nghiệm là  thì m2  m  0   m  1 Suy ra S  0;1 . Do đó ta có 0  1  1 . Câu 2. Cho phương trình  2  m  x  m2  4 . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có tập nghiệm là  ? A. vô số. B. 2 . C. 1. D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình bậc nhất đã cho có tập nghiệm là  khi và chỉ khi 2  m  0 m  2   m  2.  2 m  4  0 m  2 Vậy có duy nhất một giá trị của tham số m để phương trình đã cho có tập nghiệm là  . Câu 3. Cho phương trình m  3m  1 x  1  3m ( m là tham số). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. m  1 thì phương trình có tập nghiệm là 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133  1   .  m Trang 223 B. m  0 và m  1 thì phương trình có tập nghiệm là 3  1   .  m C. m  0 thì phương trình có tập nghiệm là  . D. m  0 và m  1 thì phương trình vô nghiệm. 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Giải và biện luận phương trình: m  3m  1 x  1  3m như sau: m  0 . + Khi m  3m  1  0   m  1 3  m  0 : phương trình trở thành 0 x  1 . 1 m  : phương trình trở thành 0 x  0 . 3 m  0 1  + Khi m  3m  1  0   1 : phương trình có nghiệm duy nhất x   . m  m  3 Câu 4. Tìm m để phương trình mx 2 – 2  m  1 x  m  1  0 vô nghiệm. A. m  1 . B. m  1 hoặc m  0 . C. m  0 và m  1 . D. m  0 và m  1 . Hướng dẫn giải Chọn A. Xét m  0 phương trình thành 2 x  1  0  x  1 nên ta loại m  0 . 2 Xét m  0 phương trình có biệt thức    m  1  m  m  1  m  1 . 2 Phương trình đã cho vô nghiệm khi   0  m  1 thỏa m  0 . Câu 5. Cho phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  . Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:   0  A.  S  0 . P  0    0 B.  . P  0   0  C.  S  0 . P  0    0  D.  S  0 . P  0  Hướng dẫn giải Chọn C. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 224 Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt thì tổng hai nghiệm âm và tích hai nghiệm dương. Câu 6. Phương trình ax 2  bx  c  0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: A. a  0 và b  0 . a  0 a  0 B.  hoặc  . b  0   0 C. a  b  0 . a  0 D.  .   0 Hướng dẫn giải Chọn B. Nếu a  0 thì phương trình đã cho là PTB2 nên có nghiệm duy nhất khi   0 . Nếu a  0 ta được phương trình bx  c  0 . Phương trình này có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi b  0 . Câu 7. Phương trình x 4  2mx 2   2m  1  0 (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: A. m  1 . 2 B. m  1 và m  1 . 2 C. m   . D. m  1 . Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt t  x 2 , t  0 , khi đó phương trình trở thành: t 2  2mt   2m  1  0 * . Để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi * có hai nghiệm dương phân biệt  m  1  m 2  2m  1  0   0 1     m   m  0     S  0   2m  0 2.  2m  1  0 P  0   1 m  1   m  2  Câu 8. Vậy m   1 và m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tất cả các tham số m để phương 2  trình m2  9 x  m  3 nghiệm đúng với mọi x . A. m  3 . B. m  3 . C. Không tồn tại m . D. m  3 . Hướng dẫn giải Chọn D. m  3  0 Phương trình m2  9 x  m  3 nghiệm đúng với mọi x khi  2  m  3. m  9  0   Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 225 Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đồ thị hàm số y   x 2  2 x  3 và y  x 2  m có điểm chung. 7 A. m   . 2 7 B. m   . 2 7 C. m   . 2 7 D. m   . 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm  x 2  2 x  3  x 2  m  2 x 2  2 x  m  3  0 * có nghiệm khi   2m  7  0  m  Câu 10. 7 . 2 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   10;10 để phương trình m 2  9  x  3m  m  3 có nghiệm duy nhất? A. 2 . B. 21 . C. 19 . D. 18 . Hướng dẫn giải Chọn C.   Phương trình m2  9 x  3m  m  3 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 2  9  0  m  3 . Vì m   10;10 nên m   10;10 3 .   Vậy có 19 giá trị nguyên của m để m2  9 x  3m  m  3 có nghiệm duy nhất. Câu 11. Tìm giá trị của tham số m để phương trình mx  2  m2  m2 x  3m vô nghiệm. A. m  2 . B. m  0 . 1 C. m   . 2 D. m  1 . Hướng dẫn giải Chọn B. mx  2  m2  m2 x  3m   m2  m  x  m2  3m  2 * . Xét m 2  m  0  m  0  m  1 . Với m  0 , *  0 x  2 , phương trình vô nghiệm. Với m  1 , *  0 x  0 , phương trình có vô số nghiệm. Với m  0;1 , *  x  m2  3x  2 m  2  , nên * có nghiệm duy nhất. m2  m m Vậy m  0 thì phương trình đã cho vô nghiệm. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 226 Câu 12. Điều kiện cần và đủ để phương trình mx 2  2  m  1 x  m  0 có hai nghiệm phân biệt là 1 A. m  0 , m   . 2 1 B. m  . 2 1 C. m   . 2 D. m  0 . Hướng dẫn giải Chọn A. m  0 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt    '  0 Ta có:  '   m  1  m 2  2m  1 . 2 m  0 m  0   Hệ có nghiệm:  1.  '  0 m   2 m  0  1 cần tìm. Vậy  m   2 Câu 13. Phương trình  m  1 x 2  3x  1  0 có nghiệm khi và chỉ khi 5 A. m   . 4 m  1. 5 B. m   . 4 5 C. m   . 4 5 D. m   , 4 Hướng dẫn giải Chọn A. 1 Trường hợp 1: Xét m  1 , phương trình có nghiệm x  . 3 Trường hợp 2: Xét m  1 ,   9  4  m  1  4m  5 . Phương trình có nghiệm khi   0 5  4m  5  0  m   . 4 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi m   . 4 Câu 14. Với m bằng bao nhiêu thì phương trình mx  m  1  0 vô nghiệm? A. m  0 . B. m  0 và m  1 . C. m  1 . D. m  1 . Hướng dẫn giải Chọn A. m  0 m  0  Phương trình mx  m  1  0 vô nghiệm khi   m  0. m  1 m  1  0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 227 Câu 15. Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình  m 2  m  x  2 x  m2  1 vô nghiệm? A. 2 . B. Đáp án khác. C. 3 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có  m 2  m  x  2 x  m 2  1   m 2  m  2  x  m 2  1 . 2 m  m  2  0  m  2. Để phương trình vô nghiệm thì  2 m  1  0 Câu 16. Cho phương trình  m 2  1 x  m  1  0 1 . Trong các kết luận sau kết luận nào đúng? A. Với m  1 phương trình 1 có nghiệm duy nhất. B. Với m  1 phương trình 1 có nghiệm duy nhất. C. Với m  1 phương trình 1 có nghiệm duy nhất. D. Cả ba kết luận trên đều đúng. Hướng dẫn giải Chọn C. 1   m2  1 x  m  1 Phương trình 1 có nghiệm duy nhất khi m2  1  m  1 . Câu 17. 1 1   Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  x 2  2   2m  x    1  0 có x  x   nghiệm là 3  A. m   ;   . 4  3 3   B. m   ;     ;   . 4 4   3  C. m   ;   . 4   3 3 D. m    ;  .  4 4 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 1 1 1 1     Ta có  x 2  2   2m  x    1  0   x    2m  x    1  0 x  x x x     Đặt x  1  t , t  2 ta được t 2  2mt  1  0 . x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 228 Phương trình luôn có hai nghiệm t1  0  t2  phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình có ít nhất một nghiệm t sao cho t  2 , hay ít nhất một trong hai số 2;  2 3   f  2  0 m  4  3  4m  0  phải nằm giữa hai nghiệm t1 , t2 ; hay  .   3  4m  0  f  2   0 m   3  4 Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x 2  4 x  6  3m  0 có nghiệm thuộc đoạn  1;3 . A. 2 11 m . 3 3 2 C. 1  m   . 3 B.  11 2 m . 3 3 D.  11  m  1 . 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: x 2  4 x  6  3m  0  3m   x 2  4 x  6 . Số nghiệm của phương trình x 2  4 x  6  3m  0 là số nghiệm của đường thẳng y  3m và parabol y   x 2  4 x  6 . Bảng biến thiên của hàm số y   x 2  4 x  6 trên đoạn  1;3 : Phương trình có nghiệm thuộc đoạn  1;3  11  3m  2   Câu 19. Số giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn 11 2 m . 3 3  10;10 để phương trình x 2  x  m  0 vô nghiệm là A. 21 . B. 9 . C. 20 . D. 10 . Hướng dẫn giải Chọn B. x2  x  m  0 1 2     1  4.1.m  0  1  4m  0  m  . 4 Để phương trình vô nghiệm Vậy số các trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn  10;10 để phương trình x 2  x  m  0 vô nghiệm là m   1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 229 Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x 2  4 x 2  1   m  1  0 có 4 nghiệm phân biệt A. 1. C. 2 . B. 0 . D. Vô số. Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện xác định x   . Đặt t  x 2  1 , t  1 . Phương trình trở thành t 2  1  4t  m  1  0  t 2  4t  m .  2  Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình  2  có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1. Vẽ BBT ta có Dựa BBT ta có 4  m  3 . Vậy không có giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 21. Để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 10 x  2 x 2  8  x 2  5 x  a . Giá trị của tham số a là A. a  1;10  . C. 4  a  B. a  1 . 43 . 4  45  D. a   4;  .  4 Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình đã cho tương đương: 2 x 2  5 x  4  x 2  5 x  a , 1 . Đặt t  x 2  5 x  a . Phương trình 1 trở thành: 2 t  4  a  t ,  2  t  0   t  2a  8 , để phương trình 1 có 4 nghiệm phân biệt thì  2  Phương trình  2      t  2 a  8   3 phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là 2a  8  0  a  4 ,   . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 230  x 2  5 x  a  2a  8  x2  5x  8  a  0  2 Khi đó, thay lại ta có:  2 . Điều kiện để 1 3x  15 x  3a  2a  8 3x  15 x  a  8  0 có 4 nghiệm phân biệt là mỗi phương trình bậc 2 ở trên có 2 nghiệm phân biệt.  1  25  4  8  a   0  a  Vậy    2  2  15  4.3.  a  8   0 a   So với điều kiện   , suy ra 4  a  Câu 22. 7 4  7  a  43 . 4 4 43 4 43 . 4 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên không dương của tham số m để phương trình 2 x  m  x  1 có nghiệm duy nhất? A. 4 . C. 1. B. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B.  x  1  0  x  1  2x  m  x 1   .  2 2  x  4 x  1  m  0 * 2 x  m   x  1 Phương trình có nghiệm duy nhất khi hệ có nghiệm duy nhất. Xét x 2  4 x  1  m  0 ;   3  m TH1:   0  m  3 thì có nghiệm kép x  2  1 . TH2:   0  m  3 thì phương trình có nghiệm duy nhất khi có 2 nghiệm thỏa x1  1  x2   x1  1 x2  1  0  x1 x2   x1  x2   1  0  1  m  4  1  0  m  2 . m không dương nên m  3; 1;0 . Câu 23. Phương trình  m 2  4m  3  x  m 2  3m  2 có nghiệm duy nhất khi: A. m  3 . m  3. B. m  1 và m  3 . C. m  1. D. m  1 hoặc Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình  m 2  4m  3  x  m 2  3m  2 có nghiệm duy nhất m  1 .  m 2  4m  3  0   m  3 Câu 24. Tìm m để phương trình  m  1 x 4  mx 2  m2  1  0 có ba nghiệm phân biệt. A. m  1 . B. m  1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. m  1 . D. m  0 . Trang 231 Hướng dẫn giải Chọn C. + Khi m  1  0  m  1 phương trình cho trở thành:  x 2  0  x  0 Do đó: m  1 không thỏa mãn đề bài. + Khi m  1  0  m  1 Đặt t  x 2  t  0  . Phương trình cho trở thành  m  1 t 2  mt  m2  1  0 1 . Phương trình cho có ba nghiệm phân biệt  1 có hai nghiệm t1 , t2 thoả t1  0  t2 Khi t1  0  m  1 . Do có hai nghiệm phân biệt nên m  1. Với m  1  t2  1 . 2 5  m   Do đó phương trình 1 có nghiệm khi  4 ** m  1 5 Từ * và ** phương trình 1 có nghiệm m   . 4 Câu 25. Có tất cả bao nhiêu giá trị của m để phương trình  x  2  mx  3  0 x 1 có nghiệm duy nhất? B. 2 . A. 0 . D. 1. C. 3 . Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện: x  1 .  x  2  mx  3  0  x 1  x  2 3 x m   x  2  mx  3  0   Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì m  0 hoặc hoặc Câu 26. 3  1  m  3 m 3  2  m  6 m Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x 2  2 x  3  m  0 có nghiệm x   0; 4 . A. m   ;5 . B. m   4; 3 . C. m   4;5 . D. m  3;   Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 232 Chọn C. Cách 1: Phương trình có nghiệm khi   4  m  0  m  4 1 . Khi đó, phương trình có nghiệm x1  1  4  m , x2  1  4  m . 0  x1  4 Để phương trình có nghiệm x   0; 4 thì  0  x2  4    0  1  4  m  4       0  1  4  m  4    4 m 1  4 m 1  m  3    m  5. m  5 4  m  1  4  m  3 4  m  3 4m  3 So với điều kiện 1 , m   4;5 thì phương trình đã cho có nghiệm x   0; 4 . Cách 2: Phương trình đã cho tương đương m  x 2  2 x  3 . Đặt y  f  x   x 2  2 x  3 . Ta có đồ thị hàm số y  f  x  như sau: y 5 1 O 1 4 x 4 Dựa vào đồ thị. Để phương trình y  f  x   x 2  2 x  3  m có nghiệm x   0; 4 thì 4  m  5 Câu 27. Tìm m để phương trình A. m  5 và m  1. 2 2  2  2m  x   x  2m có 2 nghiệm phân biệt. x 1 B. m  5 3 và m  . 2 2 C. m  5 1 và m  . 2 2 D. m  5 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện: x  1 . Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 233  x  2m  x  1  2  2  2m  x   x 2  2mx  x  2m  4  4m  2 x 2  x   2m  3 x  2m  4  0 * . Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình * có hai    2m  32  4  2m  4   0 nghiệm phân biệt khác 1    2  1   2m  3 .  1  2m  4  0 4m2  20m  25  0   4m  6  0   2m  52  0  m      4m  6 m   Câu 28. 5 2. 3 2 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x 2  2 x  3  2m  0 có đúng một nghiệm x   0; 4 . A. 5 . B. 4 . C. 6 . D. 9 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có x 2  2 x  3  2m  0  x 2  2 x  3  2m . Để phương trình đã cho có đúng một nghiệm x   0; 4 thì đường thẳng y  2m cắt đồ thị hàm số y  x 2  2 x  3 trên  0; 4 tại một điểm duy nhất. Lập bảng biến thiên  m  2  2m  4  3 Dựa vào bảng biến thiên ta có:  .   m  5    3 2 m 5  2  2 Vậy các giá trị nguyên của m thỏa mãn là m  2; 1;0;1; 2 Câu 29. Cho phương trình x3   2m  1 x 2   4m  1 x  2m  1  0 . Số các giá trị của m để phương trình có một nghiệm duy nhất? A. 0 . B. vô số. C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C. Tập xác định D   . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 234 Phương trình tương đương với x  1  x  1  x 2  2mx  2m  1  0   2  x  2mx  2m  1  0 * . Ta có, phương trình * có   m 2  2m  1   m  1  0 . 2 Phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm nếu phương trình * có nghiệm kép x  1    0  m  1 . Thay m  1 vào phương trình * , ta được x 2  2 x  1  0  x  1 . Vậy với m  1 thì phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất. Câu 30. Tập hợp các giá trị của m để phương trình 1  A.  ;   . 3   x 1  xm 2m  có nghiệm là x 1 x 1 1  C.  ;   . 3   B. 1;   . 1  D.  ;  . 3  Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện x  1 . Khi đó, ta có x 1  xm 2m 3m  1   x  1  x  m  2m  2 x  3m  1  x  . 2 x 1 x 1 Phương trình đã cho có nghiệm khi Câu 31. 3m  1 1 1  m  . 2 3 Cho hàm số f  x   mx  3  m , với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f  x   0 không có nghiệm thuộc đoạn  0; 2 ? A. vô số B. 5 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có f  x   0  mx  3  m  0  mx  m  3 Với m  0 thì phương trình tương đương: 0  3 . Với m  0 thì phương trình có nghiệm x  m3 m Để phương trình không có nghiệm thuộc đoạn  0; 2 thì Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 235 m 3 m  3 0 0 0  m  3  m  m     3  m  0 m 3  2  m  3  0  m  m Mà m    m  2; 1;1; 2 . Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 32. Tìm các giá trị của m để phương trình 2 x  1  x  m có nghiệm: A. m  2 . B. m  2 . C. m  2 . D. m  2 . Hướng dẫn giải Chọn C. 2 x  1  x  m 1 Phương trình tương đương:  x  m  0  x  m  2  2 2 2  x  2  m  2  x  m  4  0  2  4  x  1  x  2mx  m Phương trình 1 có nghiệm  pt  2  có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng  m .   8  4m Phương trình 1 có nghiệm    0  m  2  x1  2  m  8  4m .   x2  2  m  8  4m  m Vậy m  2 . Câu 33. Cho biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 1   1  a   2  x 2  2   3  x    5m  1  0 có nghiệm là S    ;   , với a , b là các số x   x  b   a nguyên dương và là phân số tối giản. Tính T  a.b b A. T  5 . C. T  11 . B. T  5 . D. T  55 . Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt x  1  t , t  2 khi đó phương trình trở thành 2t 2  3t  5m  3  0 x 1   1  Phương trình 2  x 2  2   3  x    5m  1  0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình x   x  có nghiệm t thỏa mãn t  2 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 236 Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của parabol  P  : y  2t 2  3t  3 và đường thẳng d : y  5m . Xét parabol  P  : y  2t 2  3t  3 ta có bảng biến thiên như sau t y  2t  3t  3 2  2 3 4 11 33  8  2 1   1 Từ bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 5m  1  m   . 5 a  1  1  T  5. Vậy khi m    ;   thì phương trình có nghiệm    5  b  5 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 237 BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn x , y có dạng tổng quát là ax + by = c (1) , trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0. CHÚ Ý a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0 x + 0 y = c. Nếu c ¹ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c=0 thì mọi cặp số ( x 0 ; y0 ) đều là nghiệm. a b b) Khi b ¹ 0, phương trình ax + by = c trở thành y = - x + c b (2 ) Cặp số ( x 0 ; y0 ) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M ( x 0 ; y0 ) thuộc đường thẳng (2). Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ìïa x + b1 y = c1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là ïí 1 ïïîa2 x + b2 y = c2 (3) Trong đó x , y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số. Nếu cặp số ( x 0 ; y0 ) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì ( x 0 ; y0 ) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3). Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó. II – HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ax + by + cz = d , trong đó x , y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0. ìïa1 x + b1 y + c1 z = d1 ï ï Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ïía2 x + b2 y + c2 z = d2 ïï ïïîa3 x + b3 y + c3 z = d3 (4 ) Trong đó x , y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số. Mỗi bộ ba số ( x 0 ; y0 ; z0 ) nghiệm đúng ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 238 Dạng 1: Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. 2 x  4  y Giải hệ phương trình  4 x  2 y  5  0 Lời giải  2 x  4  y 2 x  4  y 2 x  4  y Ta có:  .    4 x  2  2 x  4   5  0  4 x  2 y  5  0  13  0 Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 2: ìï 6 5 ïï + = 3 ïx y Giải hệ phương trình ïí ïï 9 10 ïï - = 1 ïî x y Lời giải Điều kiện: x  0, y  0 .  1 ì 1 6 5 ï 1 1 ï + = 3  6    5    3 ï  ï x y x  3 x 3  x  y ï   . Ta có í  ï 1 1 9 10 y 5   1 1    ï    - =1 ï  10    1 9 ï   x   y 5 ïx y î  y  Vậy y  x  5  3  2 . Ví dụ 3: 1  4 x2  y  5  Giải hệ phương trình   5  2 3  x  2 y Lời giải 1  4  1 1 x2  y  5 x  3   x  2     Ta có:  . y 1  5  2 3 1 1  y  x  2 y mx  y  2m Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình  vô nghiệm 4 x  my  m  6 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 239 Cách 1. Từ phương trình đầu ta có y  mx  2 m  * . Thế * vào phương trình thứ hai ta được: 4 x  m  mx  2m   m  6   4  m 2  x  2m 2  m  6 ** . Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình ** vô nghiệm. 2  4  m  0 vô nghiệm khi và chỉ khi:   m  2 . 2  2m  m  6  0 ** Cách 2. D m 1  4  m2   2  m  2  m  . 4 m Dx  2m 1  2m2  m  6   m  2  2m  3 . m  6 m Dy  m 2m  m 2  2m  m  m  2  . 4 m6 Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi: D  0    Dx  0  m  2 .  D  0  y Ví dụ 4. mx  2 y  1 Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm 2 x  y  2 Lời giải mx  2 y  1 (1)  2 x  y  2 (2) Từ pt  y  2  2 x . Thế vào pt ta được: mx  2(2  2 x )  1  ( m  4) x  5 (3)  m  4 thì pt có nghiệm duy nhất  Hệ đã cho có nghiệm duy nhất. Ví dụ 5. mx  (m  1) y  3m  Tìm m để hệ phương trình:  x  2my  m  2 có nghiệm x  2 y  4  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 240 Lời giải mx  (m  1) y  3m 1  Xét hệ  x  2my  m  2  2  ,   x  2 y  4  3 Trừ theo vế hai phương trình  2  và  3 ta được: 2  m  1 y  2  m  4  Nếu m  1 thì  4  vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. Nếu m  1 thì  4   y  2m 5m  2 , thay vào  3 được x  . 2  m  1 m 1 Thế các giá trị x, y tìm được vào 1 ta được phương trình: m. 5m  2 2m   m  1 .  3m m 1 2  m  1  2m  5m  2    m  1 2  m   6m  m  1 m  1  5m  3m  2  0   m   2 5  2 Ví dụ 6. mx  y  3 Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình  có nghiệm duy nhất  x  my  2m  1  x0 ; y0  thỏa mãn x0 2  y0 2  10 . Lời giải Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m 2  1  0  m  1 . Khi đó 1  x  y  3  mx  y  3  mx mx  y  3   m 1   . 1 m    3 2 1 x m mx m     2 1 x my m    x       1  m 2  y  2m  3 m 1  1   x0  m  1 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:   y  2m  3 0 m 1  m  0 2 2 2 2 2   6 m  8 m  0  (TM ) . x  y  10  1  2 m  3  10. m  1 Nên: 0     0  m  4 3  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 241 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. 2 x   Hệ phương trình  3   x A. x  1 1 ; y . 2 3 3  13 y có nghiệm là 2  12 y 1 1 1 1 B. x   ; y  . C. x  ; y  . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải D. x  1 1 ; y . 2 3 Chọn D. x  0 Điều kiện  . y  0 Đặt a  Vậy nghiệm của hệ là x  Câu 2. a  2 2a  3b  13  .  3a  2b  12 b  3 1 1 và b  thì hệ trở thành y x 1 1 ; y . 2 3  x  my  1 Cho hệ phương trình   I  , m là tham số. Mệnh đề nào sai? mx  y  1 A. Hệ  I  có nghiệm duy nhất m  1 . B. Khi m  1 thì hệ  I  có vô số nghiệm. C. Khi m  1 thì hệ  I  vô nghiệm. D. Hệ  I  có vô số nghiệm. Hướng dẫn giải Chọn D. 1 m   m  1 , A đúng. m 1 1 m Hệ  I  vô số nghiệm    1  m  1 , B đúng. Hệ  I  vô nghiệm m 1 1 m    1  m  1 , C đúng. m 1 D sai. Hệ  I  có nghiệm duy nhất  Câu 3. 2 x  y  m  1 Cho hệ phương trình  . Giá trị m thuộc khoảng nào sau đây để hệ 3x  y  4m  1 phương trình có nghiệm duy nhất  x0 ; y0  thỏa mãn 2 x0  3 y0  1 ? A. m   5; 9  . B. m   5;1 . C. m   0; 3 . D. m   4;1 . Hướng dẫn giải Chọn B. 2 x  y  m  1 x  m  . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất  m; m  1 mà  3x  y  4m  1  y  m 1 2 x0  3 y0  1  2m  3  m  1  1  m  4 . Vậy m   5;1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 242 Câu 4. mx  y  3 Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hệ phương trình  có nghiệm duy 2 x  my  9 nhất  x; y  sao cho biểu thức A  3 x  y nhận giá trị nguyên A. 4. B. 2. C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn B. m 1  m2  2  0 , m   nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất. 2 m 3 1 m 3 Dx   9m  6 .  3m  9 ; Dy  9 m 2 9 Ta có D  Câu 5. 3m  9   x  m 2  2 . Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất là   y  9m  6 m2  2  3  3m  9  9m  6 33  2  2 . Ta có A  3 x  y  2 m 2 m 2 m 2 Để A nguyên thì m2  2 là ước của 33 mà m 2  2  2 nên ta có các trường hợp sau: + TH1: m 2  2  3  m  1 . + TH2: m 2  2  11  m  3 . + TH3: m 2  2  33  m   31 . Vậy có 2 giá trị nguyên dương của m để A nguyên. (m  1) x  y  m  2 có Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hệ phương trình  mx  (m  1) y  2 nghiệm là (2; y0 ) . Tổng các phần tử của tập S bằng A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B Ta có: D    m  1  m  m 2  m  1  0, m   2 Dx    m  1 m  2   2   m 2  3m  4 Dy  2  m  1  m  m  2   m 2  4m  2  Dx m2  3m  4   2 x  D m  m 1 Suy ra với mọi giá trị của m thì hệ có nghiệm duy nhất:  2 D  y  y  m  4m  2  D m2  m  1 Để (2; y0 ) là nghiệm của hệ thì  m  1 m 2  3m  4  2  m2  m  2  0   2 m  m 1 m  2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 243 Vậy S  1; 2 Câu 6. mx  y  2m vô nghiệm khi giá trị m bằng Hệ phương trình  4 x  my  m  6 A. m  2 . B. m  2 . C. m  1 . Lời giải D. m  1 . Chọn B Ta có D  m 1 2m  1 m  4  m 2 ; Dx   2m 2  m  6 ; Dy  m6 m 4 m 4 2m  m 2  2m m6 Xét D  0  4  m 2  0  m  2 Khi m  2  Dx  Dy  0 hệ phương trình có vô số nghiệm Khi m  2  Dx  4  0 hệ phương trình vô nghiệm Câu 7. x  3y  m  Gọi m0 là giá trị của m để hệ phương trình  2 có vô số nghiệm. Khi đó: mx y m     9 1  A. m0   1;   . 2   1 B. m0   0;  .  2 1  C. m0   ; 2  . 2   1  D. m0    ; 0  .  2  Lời giải Chọn B Ta có D  1 3  1  3m . m 1 Để hệ phương trình vô số nghiệm thì D  Dx  Dy  0 Ta có D  0  1  3m  0  m  1 3 1 1 1    x  3y  x  3y  x  3y     1    3 3 3   Thay m  vào hệ phương trình ta có:  3 1 x  y  1  2 1 x  y  1 x  3y  1 3 9 9 3  3  3  Vậy m  1 hệ phương trình vô số nghiệm. 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 244 2 x  y  2  a . Gọi a0 là giá trị của tham số a để tổng bình phương Câu 8. Cho hệ phương trình:  x  2 y  a 1 hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. a0   10; 0  B.  5;8  C. a0   0;5  D. 8;12  Lời giải Chọn C. 5a  x 2 x  y  2  a  4 x  2 y  4  2a  5  Ta có :   3 a x y a x y a     2   1 2 1   y   5 2 2 2 10a 2  10a  25 1 1  1  9 9  5  a  9a 2  x  y     2a  2a  5     2a       25 25 5 5   2  2  10  5  2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  1 . 2 Dạng 2: Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất ba ẩn 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. 2 x  y  z  3  Giải hệ phương trình  x  y  z  3  2 x  2 y  z  2 Lời giải 2 x  y  z  3  x  8     y  1 x  y  z  3 2 x  2 y  z  2  z  12   Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình là  x; y; z    8; 1;12  Ví dụ 2. 2 x  3 y  4  0  Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình 3x  y  1  0 có duy nhất một 2mx  5 y  m  0  nghiệm Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 245 2 x  3 y  4  0 x  1    y  2  m  10 . 3x  y  1  0 2mx  5 y  m  0 2m.2  5.2  m  0   Vậy m  10 . Ví dụ 3. mx  ny  pz  6  Cho  x ; y ; z  là nghiệm của hệ phương trình 2mx  3ny  pz  1  mx  7ny  10 pz  15 biết hệ có nghiệm  x ; y ; z   1; 2;3 . Tìm m, n, p Lời giải mx  ny  pz  6  Hệ phương trình 2mx  3ny  pz  1 có nghiệm mx  7ny  10 pz  15   x ; y ; z   1; 2;3 nên ta có m  1  m  2n  3 p  6   2m  6n  3 p  1  n  1 p 1 m  14n  30 p  15   Vậy S  m  n  p  1  1  1  3 . 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1.  x  2my  z  1 m  0   Khi hệ phương trình 2 x  my  2 z  2 có nghiệm  x; y; z  với  4 , giá trị m   3 x  m  4 y  z  1    T  2017 x  2018 y  2017 z là A. T  2017 . B. T  2018 . C. T  2017 . D. T  2018 . Hướng dẫn giải Chọn C.  x  2my  z  1  Kí hiệu 2 x  my  2 z  2   x   m  4 y  z  1 1  2 .  3 m  0  Do  4 , từ 1 và  3 ta có m   3 x  z  1 .  y  0 Ta có T  2017 x  2018 y  2017 z  2017  x  z   2017 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 246 Dạng 3: Giải và biện luận hệ phương trình bậc cao 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. x  y  1 Giải hệ phương trình:  2 x  2x  2 y  2  0 Lời giải  x  y  1 1  2  x  2 x  2 y  2  0  2 Ta có: 1  y  1  x Thế vào phương trình  2  ;ta được : x 2  2 x  2 1  x   2  0  x 2  4 x  4  0  x  2 Với x  2  y  1 Hệ có 1 nghiệm :  x; y    2; 1 Ví dụ 2. 2  x  xy  2 Giải hệ phương trình:  2 2  2 x  xy  y  9 Lời giải Chọn D  x 2 1  t   2 (1) Đặt y  tx thay vào hệ ta được  2 . 2  x  2  t  t   9 (2) Do t  1 không thỏa mãn nên suy ra t  5 2  t  t2 9   2t 2  11t  5  0   1 . t  1 t 2  2 + Với t  5 thay vào ta được 4 x 2  2 . + Với t  x  2 1 1 thay vào ta được x 2  4   . 2  x  2  1 Vậy x0  2  y0  1  S  x0  y0  3 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 247 Ví dụ 3. ì ï x 2 + xy + y 2 = 3 Giải hệ phương trình ïí ï ï î x + xy + y = -1 Lời giải 2 ì ï ï( x + y ) - xy = 3 Hệ phương trình  í . ï + + = x y xy 1 ( ) ï ï î Đặt S = x + y, P = x. y ( S 2 ³ 4 P) ìï P = S 2 - 3 ïï ìï P = S 2 - 3 ìïS 2 - P = 3  ïí 2  ïíé S = 1 Ta được hệ mới ïí ïîïS + P = -1 ïïS + S - 2 = 0 ïê ïê î ïîïë S = -2 Với S = 1  P = -2 ì x = -2 - y ì y = -1 ï ïì x + y = -2 ï ï ï . Với S = -2  P = 1  ï í 2 í í ïïî x. y = 1 îï x = -1 ï îï x + 2 x + 1 = 0 ï Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (-1; -1) .  xy  3x  2 y  16 Ví dụ 4. Các nghiệm của hệ  2 là 2  x  y  2 x  4 y  33 Hướng dẫn giải  xy  3x  2 y  16 Ta có:  2 1 2  x  y  2 x  4 y  33  xy  2 x  y  2   x  1  y  2  21  x  1 y  2    x  1   y  2   21   2  2  2 2 2  x  1   y  2   38  x  2 x  1   y  4 y  4   38 Đặt ta được hệ phương phương u  x 1 ; v  y2 uv   u  v   21 uv   u  v   21   2 2 2 u  v  38  u  v   2uv  38  P  S  21  P  S  21  2 Đặt S  u  v ; P  uv ta được hệ phương phương  2  S  2 P  38  S  2S  80  0  S  8  S  10  v  .  P  13  P  31  S  8 thì u ; v là nghiệm của phương trình: X 2  8 X  13  0 + Khi   P 13  u  4  3 u  4  3  v  v  4  3 v  4  3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 248 Ví dụ 5.  x  1  4  3   y  2  4  3  x  1  4  3 v   y  2  4  3  x  3  3 v v   y  2  3  S  10 + Khi  thì u ;  P  31  x  3  3 .   y  2  3 v là nghiệm của phương trình: X 2  10 X  31  0  x 2  2 xy  8 x  3 y 2  12 y  9 Giải hệ phương trình  2  x  4 y  18  6 x  7  2 x 3 y  1  0 Hướng dẫn giải  x  7  Điều kiện  1  * y    3  x 2  2 xy  8 x  3 y 2  12 y  9 1 .  2  x  4 y  18  6 x  7  2 x 3 y  1  0  2  Có: 1  x 2  2  y  4  x  3 y 2  12 y  9  0 , ta coi 1 là phương trình bậc hai ẩn x và  x  3 y  9 y là tham số, giải x theo y ta được  , x  y 1 2  y 3 x  9  7    3 . Với x  3 y  9 thì *    1  y   3 y   1  3 Với x  y  1 thì  2  x2  4 x  6  x  7  2 x 3x  2  14  0  x  3x  2   2  2 x7 3  0  x  3x  2  x  2  y 1 .   x  7  3 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. 2 2  x  y  xy  7 Hệ phương trình  2 có tất cả các nghiệm là 2  x  y  xy  3 A.  x; y    1; 2  ;  x; y    2; 1 ;  x; y    1;2  ;  x; y    2; 1 . B.  x; y    1; 2  ;  x; y    2; 1 . C.  x; y   1; 2  ;  x; y    2;1 . D.  x; y    1; 2  ;  x; y    2; 1 ;  x; y   1; 2  ;  x; y    2;1 . Hướng dẫn giải Chọn D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 249 2  x  y 2  9  x  y  3  x 2  y 2  xy  7  x2  y2  5  x  y   2 xy  5     2    2  x  y  xy  3  xy  2  xy  2  xy  2 x  y  3 Với  thì  x; y   1; 2  ;  x; y    2;1 .  xy  2  x  y  3 Với  thì  x; y    1; 2  ;  x; y    2; 1 .  xy  2 Câu 2. 2  x  3 x  y Hệ phương trình  2 có bao nhiêu nghiệm?  y  3 y  x A. 3 . B. 2 . C. 1. Hướng dẫn giải Chọn B. D. 4 .  x 2  3 x  y 1 .  2  y  3 y  x  2  Lấy 1  2 trừ theo vế ta được: y  x x 2  y 2  4 x  4 y   x  y  x  y  4   0   . y  4 x  x2  3x  y  x2  2x  0 x  y  0   . TH1:  x  y  2 y  x y  x  x2  3x  y  x2  4 x  4  0  TH2:   x  y  2. y  4  x y  4  x Vậy hệ có hai nghiệm. Câu 3.  2 x  y 2  5  4 x 2  y 2   6  4 x 2  4 xy  y 2   0  có một nghiệm Hệ phương trình  1 x y 2    3  2x  y   x0 ; y0  . Khi đó P  x0  y02 có giá trị là A. 1. B. 17 . 16 C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn A.  2 x  y 2  5  4 x 2  y 2   6  4 x 2  4 xy  y 2   0 1  . Ta có  1  3  2 2 x  y  2x  y  x  y   x  y  2 x  3 y   0   . 2 x  3 y 1 Với x  y ta có  2   3x   3  3 x 2  3 x  1  0 : phương trình vô nghiệm. x 1  8 x2  12 y 2  20 xy  0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 250 1  y  1 2.  3  8 y2  6 y 1  0   Với 2 x  3 y ta có  2   4 y  2y y  1  4 1 3 Với y   x   P  1 . 2 4 1 3 7 Với y   x   P  . 4 8 16 Câu 4. x  y  2 . Tìm tất cả các giá trị của m để hệ trên có Cho hệ phương trình  2 2 2  x y  xy  4m  2m nghiệm. 1  1   A.   ;1 . B. 1;   . C.  0; 2 . D.  ;   . 2  2   Hướng dẫn giải Chọn A.  x  y  2 x  y  2    2 2 2 2  xy  x  y   4m  2m  x y  xy  4m  2m  x  2  y x  y  2    2 2 2.  2  y  y  4m  2m (*) 2 xy  4m  2m *  2 y 2  4 y  4m2  2m  0 Hệ phương trình có nghiệm  (*) có nghiệm   '  0  4  2.  4m 2  2m   0  8m2  4m  4  0  Câu 5. 1  m  1. 2 2  x  xy  3 Hệ phương trình  2 có nghiệm khi 2  y  xy  m  4 m  1 A.  . B. m  1 . C. m  1 .  m  1 Hướng dẫn giải Chọn A. D. m  1 . 2 2  x  xy  3  x 2  y 2  2 xy  m2  1   x  y   m 2  1 .  2 2  y  xy  m  4 m  1 . Phương trình này có nghiệm khi m 2  1  0    m  1 Câu 6:  x  y  x  y  4 Gọi ( x; y ) là nghiệm dương của hệ phương trình  . Tổng x  y 2 2  x  y  128 bằng. A. 12 . B. 8 . C. 16 . D. 0 . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 251 Chọn C ĐK: x  y  0  x  8 Ta có : x  y  x  y  4  x 2  y 2  8  x   2  y  16 x  64 x  8 Thay y 2  16 x  64 vào PT x 2  y 2  128 ta được PT: x 2  16 x  192  0   .  x  24 x  8 . Vậy x  y  16 Suy ra PT có nghiệm  y  8 Câu 7.  x 3  2019 y  x Hệ phương trình  3 có số nghiệm là:  y  2019 x  y A. 4 . C. 1. B. 6 . D. 3 . Lời giải Chọn D Trừ hai phương trình theo vế ta được: x3  2019 y  y 3  2019 x  x  y 2  1  3    x  y   x 2  xy  y 2  2018  0   x  y    x  y   2018  y 2   0  x  y  2  4   2 1  3  vì biểu thức  x  y   2018  y 2  0, x, y . 2  4    Với y  x ta được: x 3  2020 x  0  x x 2  2020  0  y0 x  0    x  2020  y  2020 .  x   2020  y   2020  Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm.  x  y  xy  3 Câu 8. Giả sử  x; y  là nghiệm của hệ   x  1  y  1  4 Tính x  2 y A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 252  xy  0  . Điều kiện:  x  1 .  y  1   x  y  xy  3  x  y  xy  3  .   x  1  y  1  4  x  y  2 x  y  xy  1  14 a  x  y Đặt   a  2, b  0  ta được hệ phương trình: b  xy a  b  3  2 a  2 a  b  1  14 14  a  0 2  a  2 a   a  3  1  14  2 a 2  5a  10  14  a   2 2 4  a  5a  10   14  a  a  14  a 14    a  6 a 2  2     a  6  b  3. 3a  8a  156  0   a   26   3  a  6  x  y  6 x  y  6 .    b  3  xy  3  xy  9 x  3 x , y là nghiệm của phương trình: X 2  6 X  9  0  X  3   . y  3 Vậy x  2 y  3 . Câu 9: Tìm a để biểu thức F  xy  2( x  y ) đạt giá trị nhỏ nhất, biết ( x; y ) là nghiệm của hệ x  y  a phương trình  2 . 2 2 x  y  6  a A. a  0 . B. a  3 . C. a  1 . D. a  2 . Lời giải Chọn C  x  y  a x  y  a x  y  a   Ta có:  2  2 2 2 2 2  x  y   2 xy  6  a x  y  6  a  xy  a  3 Điều kiện tồn tại x , y :  x  y   4 xy  a 2  4  a 2  3   a 2  4  2  a  2. 2 Khi đó: F  a 2  2a  3   a  1  4  4 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 253  min F  4  a  1(t / m) Do đó chọn đáp án C Câu 10. Gọi  x1; y1  ;  x2 ; y2  là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình  x 2  y 2  xy  x  y  8 . Tính x1  x2 .   xy  3( x  y )  1 A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Lời giải Chọn A 2  x 2  y 2  xy  x  y  8  x  y   3xy  x  y  8 Ta có    xy  3( x  y )  1  xy  3( x  y )  1 x  y  S 2 ; S  4 P , hệ đã cho trở thành Đặt   xy  P S  1 (N )   S  S  3P  8  S  10 S  11  0  S  S  3 1  3S   8  P  2        S  11 3 S  P  1  P  1  3S  P  1  3S  ( L)   P  34 2 2 2 t  1 Với S  1; P  2 ta có x; y là nghiệm của phương trình t 2  t  2  0   t  2 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 2  ;  2;1  x1  x2  1  (2)  2  1  3 , chọn A. 3  x  2 y  x  m Câu 11. Tìm giá trị nguyên dương nhỏ nhất của tham số m để hệ  3 có nghiệm duy  y  2 x  y  m nhất. A. m  2 . C. m  4 . B. m  3 . D. m  1 . Lời giải Chọn B Trừ vế với vế của hai phương trình ta được: x 3  y3  y  x  x  y . Thay y bởi x vào một trong hai phương trình của hệ ta được: m  x 3  3x . Xét hàm số f  x   x 3  3x trên R, ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 254  x  1 f '  x   3x 2  3, f '  x   0   . x  1 Bảng biến thiên x - f'(x) -1 0 + - 0 + + 2 f(x) + 1 -2 - Từ bảng biến thiên suy ra: Phương trình có đúng một nghiệm  m   ; 2    2;   . Chọn B. Câu 12. Cho hệ phương trình 6 x 4  ( x3  x) y 2  ( y  12) x 2  6 . Biết hệ có 2 nghiệm  4 2 2 2 2 5 x  ( x  1) . y  11x  5 là: (x1; y1 ) , (x 2 ; y 2 ). Đặt S = y1  y2 . Khi đó S bằng: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải Chọn D 2 2 2 6 x 4  ( x3  x) y 2  ( y  12) x 2  6 6( x  1)  xy  y ( x  1)  x  Ta có  4  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 x  ( x  1) . y  11x  5 5( x  1)  y ( x  1)  x Dễ thấy x  0 hoặc y  0 đều không là nghiệm của hệ phương trình.  6( x 2  1)2 x 2  1 1  x2 y2  x  y  Với x  0; y  0 ta có: Hệ   2 2 2 2  5( x  1)  ( x  1)  1  x 2 y 2 x2 y2 Đặt u  x2 1 1 ; v . x y Khi đó hệ trở thành: 2 2 2 2 2 2 6u v  u  v 6u v  u  v 6u v  u  v    2 2   2 2 2 2 2 2 2 4 4 5u v  (u  v)  2uv 5u v  u  v 5u v  36u v  2uv Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 255 3  6u 2 v 2  u  v 2 2 u  v  2 6u v  u  v      2uv  1  36u 2 v 2  9uv  2   0   3 3 5uv  36u v  2     uv  1  0; u , v   2  1   1   Giải hệ được  u; v   1;  ;  ;1  . Khi đó y1  2; y2  1 S =  S  y1  y2  3.  2   2   Câu 13. x  y  2 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:  2 có 2 2  x y  xy  4m  2m nghiệm:  1  1   1 B.   ;1 . C.  0;  . D. 1;   A.  1;  .  2   2  2 Lời giải Chọn B x  y  2 x  y  2   2 2 2 2  xy  2m  m  x y  xy  4m  2m 1 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi 4  4  2m 2  m   2m 2  m  1  0    m  1 2 Câu 14.  x 3  y 3  x 2 y  xy 2  x  y  0 Cho hệ phương trình  2 2  2 x  y  9  2 y  x  1  x  4 (1) (2) . Gọi nghiệm dương a c a c  của hệ phương trình là  ;  trong đó ; là các phân số tối giản. Khi đó biểu thức b d b d  P   a  b A. 0 . 2018  c  d  2019 bằng B. 2 . D. 1. C. 1. Lời giải Chọn B Điều kiện xác định: 2 x 2  y  9  0 ; 2 y 2  x  1  0 . Ta có (1)  ( x  y )( x 2  xy  y 2 )  xy ( x  y )  x  y  0  ( x  y )( x 2  y 2  1)  0 x y . Thế x  y vào (2) ta được 2x2  x  9  2x2  x  1  x  4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 (3) Trang 256 Đặt 2x2  x  9  u ; 2 x 2  x  1  v thì u  v  x  4 . Mặt khác u 2  v 2  2( x  4)  2(u  v) . u  v  0 Suy ra (u  v)(u  v  2)  0   u  v  2 Với u  v  0 . Suy ra x  4  0  x  4  (3) vô nghiệm. u  v  x  4  2u  x  6 Với u  v  2 ta có  u  v  2 Khi đó ta được phương trình 2 2 x 2  x  9  x  6  4(2 x 2  x  9)  ( x  6) 2 x  0 .  7 x 2  8 x  0  x(7 x  8)  0   x  8 7  Với x  0  y  0 ; x  8 8 y . 7 7   8 8  Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là  x; y    0;0  ,  ;   .  7 7   Do đó a  8; b  7; c  8; d  7  P  2 Dạng 4: Các bài toán thực tế phương trình, hệ phương trình 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Hiện nay tuổi của mẹ gấp 7 lần tuổi con. Sau 2 năm nữa tuổi của mẹ gấp 5 lần tuổi con. Hỏi mẹ sinh con lúc đó mẹ bao nhiêu tuổi ? Lời giải Gọi x  x   * là tuổi mẹ hiện nay, y  y   * là tuổi con hiện nay.  x  7 y x  7 y  0  x  28 Theo đề bài ta có:  .    x  2  5  y  2  x  5y  8 y  4 Vậy mẹ sinh con năm 28  4  24 tuổi. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 257 Ví dụ 2: Một khách hàng vào cửa hàng bách hóa mua một đồng hồ treo tường, một đôi giày và một máy tính bỏ túi. Đồng hồ và đôi giày giá 420.000 đ; máy tính bỏ túi và đồng hồ giá 570.000 đ; máy tính bỏ túi và đôi giày giá 750.000 đ. Hỏi mỗi thứ giá bao nhiêu? Lời giải Gọi giá của đồng hồ, máy tính bỏ túi và đôi giá lần lượt là x, y, z .  x  z  420.000  Khi đó ta có hệ phương trình  x  y  570.000 . Giải hệ này ta được  y  z  750.000   x  120.000   y  450.000  z  300.000  Ví dụ 3: Cho hai người A và B xuất phát cùng một lúc ngược chiều từ thành phố M và N. Khi họ gặp nhau, người ta nhận thấy A đã đi nhiều hơn B là 6km. Nếu mỗi người tiếp tục đi theo hướng cũ với cùng vận tốc ban đầu thì A sẽ đến N sau 4,5 giờ, còn B đến M sau 8 giờ tính từ thời điểm họ gặp nhau. Gọi v A , vB lần lượt là vận tốc của người A và người B . Tìm vận tốc của mỗi người Lời giải Gọi P là điểm mà hai người A và B gặp nhau. Gọi đoạn MP  x là quãng đường A đi được, NP  y là quảng đường B đi được. Khi họ gặp nhau, người ta nhận thấy A đã đi nhiều hơn B 6km có nghĩa là đoạn MP dài hơn NP là 6km và thời gian đi của hai người cho đến lúc gặp nhau là bằng nhau. Ta có hệ x  y  6  y (1) x v  v B  A Nếu mỗi người tiếp tục đi theo hướng cũ với cùng vận tốc ban đầu thì A sẽ đến N sau 4,5 giờ, còn B đến M sau 8 giờ tính từ thời điểm họ gặp nhau nên ta có hệ: y   4,5  y  4,5v  vA A    x  8vB  x 8  vB Thế vào ta có hệ : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 258 8vB  4,5vA  6  vB  3  8vB  4,5v A  6   8vB 4,5v A   v A  4 v  v  8vB  4,5v A B  S 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Hai bạn Vân và Lan đi mua trái cây. Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17800 . Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18000 . Hỏi giá tiền mỗi quả quýt, quả cam là bao nhiêu? A. Quýt 1400 , cam 800 . B. Quýt 700 , cam 200 . C. Quýt 800 , cam 1400 . D. Quýt 600 , cam 800 . Hướng dẫn giải Chọn C. Cách 1: Gọi số tiền để mua một quả quýt là x đồng ; số tiền để mua một quả cam là y đồng. 10 x  7 y  17 800  x  800  Theo bài ra ta có hệ phương trình:  . 12 x  6 y  18 000  y  1400 Vậy giá tiền mỗi quả quýt là 800 đồng, mỗi quả cam là 1400 đồng. Cách 2: Thử các đáp án, Chọn C. Câu 2. Một xe hơi khởi hành từ Krông Năng đi đến Nha Trang cách nhau 175 km. Khi về xe tăng vận tốc trung bình hơn vận tốc trung bình lúc đi là 20 km/giờ. Biết rằng thời gian dùng để đi và về là 6 giờ; vận tốc trung bình lúc đi là A. 60 km/giờ. B. 45 km/giờ. C. 55 km/giờ. D. 50 km/giờ. Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi x , y  0 lần lượt là vận tốc trung bình lúc đi và vận tốc trung bình lúc về. Theo đề bài ta có hệ phương trình:  y  20  x 1  y  x  20    175 175 . 175 175  x  y 6  x  y  6  2   Thế 1 vào  2  ta được  x  50 175 175 2   6  6 x  230 x  3500  0    x  50 vì x  0 .  x   35 x 20  x 3  Vậy vận tốc lúc đi là 50 km/giờ. Câu 3. Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có 57 chiếc gồm ba loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7, 5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7, 5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe 3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại? A. 18 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 20 xe chở 7, 5 tấn. B. 20 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7, 5 tấn. C. 19 xe chở 3 tấn, 20 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7, 5 tấn. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 259 D. 20 xe chở 3 tấn, 18 xe chở 5 tấn và 19 xe chở 7, 5 tấn. Lời giải Chọn B Gọi x là số xe tải chở 3 tấn, y là số xe tải chở 5 tấn và z là số xe tải chở 7, 5 tấn. Điều kiện: x , y, z nguyên dương. Theo giả thiết của bài toán ta có ì x + y + z = 57 ï ï ï ï í3 x + 5 y + 7, 5 z = 290. ï ï ï ï î22, 5 z = 6 x + 15 y Giải hệ ta được x = 20, y = 19, z = 18. Câu 4: Có ba lớp học sinh 10 A, 10 B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 10 A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? A. 10 A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em. B. 10 A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em. C. 10 A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em. D. 10 A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em. Lời giải Chọn A Gọi số học sinh của lớp 10 A, 10 B, 10C lần lượt là x , y, z. Điều kiện: x , y, z nguyên dương. ì x + y + z = 128 ï ï Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình ïïí3 x + 2 y + 6 z = 476. ï ï ï ï î4 x + 5 y = 375 Giải hệ ta được x = 40, y = 43, z = 45. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 260 CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 1. Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng '' a < b '' hoặc a  b được gọi là bất đẳng thức. 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đề " a  b  c  d " đúng thì ta nói bất đẳng thức c  d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a  b và cũng viết là " a  b  c  d " Nếu bất đẳng thức a  b là hệ quả của bất đẳng thức c  d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a  b  c  d . 3. Tính chất của bất đẳng thức Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a  b ta chỉ cần chứng minh a  b  0 Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung a b  ac bc c0 a  b  ac  bc c0 a  b  ac  bc Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số a  c và c  d  ab  cd a  0; c  0 ab và  ac  bd n  * a  b  a 2 n 1  b 2 n 1 n  * và a  0 a  b  a 2n  b2n a0 ab a  b ab 3a  3b Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều cd Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa Khai căn hai vế của một bất đẳng thức Chú ý Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 261 Ta còn gặp các mệnh đề dạng a  b hoặc a  b Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a  b hoặc a  b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt. II– BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN 1. Bất đẳng thức Cô-si Định lí Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng ab  ab , 2 Đẳng thức a, b  0. ab  1 ab xảy ra khi và chỉ khi a  b . 2 2. Các hệ quả Hệ quả 1 Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2 a 1  2, a a  0. Hệ quả 2 Nếu x, y không âm và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x  y. Hệ quả 3 Nếu x, y không âm và có tích không đổi thì tổng x  y nhỏ nhất khi và chỉ khi x  y. III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Điều kiện Nội dung x  0, x  x, x   x x  a  a  x  a a0 x  a  x  a hoặc xa a  b  ab  a  b Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 262 B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất 1. Phương pháp giải. Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A ³ B ta có thể sử dụng các cách sau:  Ta đi chứng minh A - B ³ 0 . Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích A - B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.  Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng. Ví dụ 1 : Cho hai số thực a, b, c . Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau 2 æ a + b ö÷ b) ab £ çç ÷ çè 2 ÷ø a 2 + b2 a) ab £ 2   c) 3 a 2  b 2  c 2   a  b  c  d)  a  b  c   3  ab  bc  ca  2 2 Lời giải a) Ta có a 2 + b 2 - 2ab = (a - b)2 ³ 0  a 2 + b 2 ³ 2ab . Đẳng thức  a = b . 2 æ a + b ö÷ b) Bất đẳng thức tương đương với çç ÷÷ - ab ³ 0 çè 2 ÷ø  a 2  2ab  b 2  4ab   a  b   0 (đúng) ĐPCM. 2 Đẳng thức xảy ra  a = b   c) BĐT tương đương 3 a 2  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca   a  b    b  c    c  a   0 (đúng) ĐPCM. 2 2 2 Đẳng thức xảy ra  a = b = c d) BĐT tương đương a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca  3  ab  bc  ca   2  a 2  b 2  c 2   2  ab  bc  ca   0   a  b    b  c    c  a   0 (đúng) ĐPCM. 2 2 2 Đẳng thức xảy ra  a = b = c Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng thức khác. Ví dụ 2 : Cho năm số thực a, b, c, d, e . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ³ a(b + c + d + e) . Lời giải Ta có : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 - a(b + c + d + e) = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 263 a2 a2 a2 a2 = ( - ab + b 2 ) + ( - ac + c 2 ) + ( - ad + d 2 ) + ( - ae + e 2 ) 4 4 4 4 a a a a = ( - b)2 + ( - c)2 + ( - d )2 + ( - e)2 ³ 0  đpcm. 2 2 2 2 Đẳng thức xảy ra  b = c = d = e = a . 2 Ví dụ 3 : Cho ab ³ 1 . Chứng minh rằng : 1 1 2 . + 2 ³ a + 1 b + 1 1 + ab 2 Lời giải Ta có 1 1 2 1 1 1 2 + 2 =( 2 )+( 2 ) a + 1 b + 1 1 + ab a + 1 1 + ab b + 1 1 + ab 2 = ab - a 2 ab - b 2 a -b b a a - b b - a + a 2b - b 2a + = ( ) = . 1 + ab (1 + b 2 )(1 + a 2 ) (a 2 + 1)(1 + ab) (b 2 + 1)(1 + ab) 1 + ab 1 + b 2 1 + a 2 = (a - b)2 (ab - 1) a - b (a - b)(ab - 1) . = ³ 0 (Do ab ³ 1) . 1 + ab (1 + b 2 )(1 + a 2 ) (1 + ab)(1 + b 2 )(1 + a 2 ) Nhận xét : Nếu -1 < b £ 1 thì BĐT có chiều ngược lại : 1 1 2 + 2 £ . a + 1 b + 1 1 + ab 2 Ví dụ 4: Cho số thực x . Chứng minh rằng a) x 4 + 3 ³ 4x b) x 4  5  x 2  4 x c) x12  x 4  1  x9  x Lời giải a) Bất đẳng thức tương đương với x 4 - 4x + 3 ³ 0   x  1  x3  x 2  x  3  0   x  1  x 2  2 x  3  0 2 2 2   x  1  x  1  1  0 (đúng với mọi số thực x )   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  1 . b) Bất đẳng thức tương đương với x 4  x 2  4 x  5  0  x 4  2 x 2  1  x 2  4 x  4  0   x 2  1   x  2   0 2   Ta có x 2  1  0,  x  2   0   x 2  1   x  2   0 2 2 2  x2 1  0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x20   2 2 (không xảy ra) Suy ra x 2  1   x  2   0 ĐPCM. 2 2 c) Bất đẳng thức tương đương với x12  x9  x 4  x  1  0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 264   + Với x  1 : Ta có x12  x 9  x 4  x  1  x12  x 4 1  x 5  1  x  Vì x  1 nên 1  x  0, 1  x 5  0 do đó x12  x9  x 4  x  1  0 .     + Với x  1 : Ta có x12  x 9  x 4  x  1  x 9 x3  1  x x3  1  1 Vì x  1 nên x 3 - 1 ³ 0 do đó x 12 - x 9 + x 4 - x + 1 > 0 . Vậy ta có x 12 + x 4 + 1 > x 9 + x . Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng a) a 4 + b 4 – 4ab + 2 ³ 0 2 b) 2 ( a 4 + 1 ) + (b 2 + 1 ) ³ 2 (ab + 1 ) 2 ( c) 3 ( a 2 + b 2 ) – ab + 4 ³ 2 a b 2 + 1 + b a 2 + 1 ) Lời giải a) BĐT tương đương với ( a 4 + b 4 – 2a 2b 2 ) + ( 2a 2b 2 – 4ab + 2 ) ³ 0 2  ( a 2 – b 2 ) + 2 ( ab – 1 ) ³ 0 (đúng) 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 . b) BĐT tương đương với 2 ( a 4 + 1 ) + (b 4 + 2b 2 + 1 ) – 2 ( a 2b 2 + 2ab + 1 ) ³ 0  ( a 4 + b 4 – 2a 2b 2 ) + ( 2a 2 – 4ab + 2b 2 ) + (a 4 – 4a 2 + 1 ) ³ 0  (a 2 – b 2 )2 + 2(a – b)2 + (a 2 – 1)2 ³ 0 (đúng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 . ( ) c) BĐT tương đương với 6 ( a 2 + b 2 ) – 2ab + 8 – 4 a b 2 + 1 + b a 2 + 1 ³ 0  éê a 2 – 4a b 2 + 1 + 4 (b 2 + 1 ) ùú + éê b 2 – 4b a 2 + 1 + 4 (a 2 + 1 ) ùú + ( a 2 – 2ab + b 2 ) ³ 0 ë û ë û (  a – 2 b2 + 1 ) + (b – 2 2 a2 + 1 ) + (a – b ) 2 2 ³ 0 (đúng) Đẳng thức không xảy ra. Ví dụ 6: Cho hai số thực x , y thỏa mãn x ³ y . Chứng minh rằng; a) 4 ( x 3 – y 3 ) ³ ( x – y ) 3 b) x 3 – 3x + 4 ³ y 3 – 3y Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 265 a) Bất đẳng thức tương đương 4 ( x – y ) ( x 2 + xy + y 2 ) – ( x – y ) ³ 0 3 2  ( x – y ) éê 4 ( x 2 + xy + y 2 ) – ( x – y ) ùú ³ 0  ( x – y ) ëé 3x 2 + 3xy + y 2 ûù ³ 0 ë û 2 éæ y ö÷ 3y 2 ùú ê ç  3(x – y ) êçx + ÷ + ³ 0 (đúng với x ³ y ) ĐPCM. 2 ø÷ 4 úú êë çè û Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y . b) Bất đẳng thức tương đương x 3 – y 3 ³ 3x – 3y – 4 Theo câu a) ta có x 3 – y 3 ³ 3 1 ( x – y ) , do đó ta chỉ cần chứng minh 4 3 1 ( x – y ) ³ 3x – 3y – 4 (*), Thật vậy, 4 3 BĐT (*)  ( x – y ) – 12 ( x – y ) + 16 ³ 0 2  ( x – y – 2 ) éê ( x – y ) + 2 ( x – y ) – 8 ùú ³ 0 ë û 2  ( x – y – 2 ) ( x – y + 4 ) ³ 0 (đúng với x ³ y ) Đẳng thức xảy không xảy ra. Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng a Î éë a; b ùû  (a – a )( a – b ) £ 0 (*) a, b, c Î éë a; b ùû  (a – a )(b – a )(c – a ) + ( b – a )( b – b )( b – c ) ³ 0 ( * * ) Ví dụ 1 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca ) . Lời giải Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : a + b > c  ac + bc > c 2 . Tương tự bc + ba > b 2 ; ca + cb > c 2 cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm Nhận xét : * Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c. Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT | a – b |< c rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 266 Ví dụ 2 : Cho a, b, c Î [0;1] . Chứng minh : a 2 + b 2 + c 2 £ 1 + a 2b + b 2c + c 2a Lời giải Cách 1: Vì a, b, c Î [0;1]  (1 - a 2 )(1 - b 2 )(1 - c 2 ) ³ 0  1 + a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 - a 2b 2c 2 ³ a 2 + b 2 + c 2 (*) Ta có : a 2b 2c 2 ³ 0; a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 £ a 2b + b 2c + c 2a nên từ (*) ta suy ra a 2 + b 2 + c 2 £ 1 + a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 £ 1 + a 2b + b 2c + c 2a đpcm. Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a 2 ( 1 - b ) + b 2 ( 1 - c ) + c 2 ( 1 - a ) £ 1 Mà a, b, c Î éë 0;1 ùû  a 2 £ a, b 2 £ b, c 2 £ c do đó a 2 (1 - b ) + b2 (1 - c ) + c2 (1 - a ) £ a (1 - b ) + b (1 - c ) + c (1 - a ) Ta chỉ cần chứng minh a ( 1 - b ) + b ( 1 - c ) + c ( 1 - a ) £ 1 Thật vậy: vì a, b, c Î éë 0;1 ùû nên theo nhận xét ( * * ) ta có abc + ( 1 - a )( 1 - b )( 1 - c ) ³ 0  a + b + c - (ab + bc + ca ) £ 1  a (1 - b ) + b (1 - c ) + c (1 - a ) £ 1 vậy BĐT ban đầu được chứng minh Ví dụ 3 : Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh : 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca ) + abc ³ 0 . Lời giải Vì a 2 + b 2 + c 2 = 1  a, b, c Î [-1;1] nên ta có : (1 + a )(1 + b)(1 + c) ³ 0  1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ³ 0 (*) Mặt khác : (1 + a + b + c)2 ³ 0  1 + a + b + c + ab + bc + ca ³ 0 (**) 2 Cộng (*) và (**) ta có đpcm. Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu a ³ 4, b ³ 5, c ³ 6 và a 2 + b 2 + c 2 = 90 thì a + b + c ³ 16 Lời giải Từ giả thiết ta suy ra a < 9, b < 8, c £ 7 do đó áp dụng ( * ) ta có (a - 4 )(a - 9 ) £ 0, (b - 5 )(b - 8 ) £ 0, (c - 6 )(c - 7 ) £ 0 nhân ra và cộng các BĐT cùng chiều lại ta được: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 267 a 2 + b 2 + c 2 - 13(a + b + c) + 118 £ 0 suy ra a +b +c ³ 1 2 (a + b 2 + c 2 + 118 ) = 16 vì a 2 + b 2 + c 2 = 90 13 vậy a + b + c ³ 16 dấu “=” xảy ra khi a = 4, b = 5, c = 7 Ví dụ 5: Cho ba số a, b, c thuộc éë -1;1 ùû và không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng a 4b 2 + b 4c 2 + c 4a 2 + 3 ³2 a 2012 + b 2012 + c 2012 Lời giải Vì ba số a, b, c thuộc éë -1;1 ùû nên 0 £ a 2 , b 2 , c 2 £ 1 Suy ra (1 - b 2 )(1 + b 2 - a 4 ) ³ 0  a 4 + b 4 - a 4b 2 £ 1 (*) Mặt khác a 4 ³ a 2012 , b 4 ³ b 2012 đúng với mọi a, b thuộc éë -1;1 ùû Suy ra a 4 + b 4 - a 4b 2 ³ a 2012 + b 2012 - a 4b 2 (**) Từ (*) và (**) ta có a 2012 + b 2012 £ a 4b 2 + 1 hay Tương tự ta có b 4c 2 + a 2012 + 1 c 4a 2 + b 2012 + 1 và ³ 1 ³1 a 2012 + b 2012 + c 2012 a 2012 + b 2012 + c 2012 Cộng vế với ta được Hay a 4b 2 + c 2012 + 1 ³1 a 2012 + b 2012 + c 2012 a 4b 2 + b 4c 2 + c 4a 2 + a 2012 + b 2012 + c 2012 + 3 ³3 a 2012 + b 2012 + c 2012 a 4b 2 + b 4c 2 + c 4a 2 + 3 ³ 2 ĐPCM. a 2012 + b 2012 + c 2012 Dạng toán 2: sử dụng bất đẳng thức cauchy(côsi) để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá tri lớn nhất, nhỏ nhất. 1. Phương pháp giải. Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi: * Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm * BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích * Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau * Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng Đối với hai số: x + y ³ 2xy; 2 2 x +y ³ 2 2 (x + y )2 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 ; æ x + y ö÷ xy £ çç ÷ . èç 2 ÷ø Trang 268 3 æ a + b + c ö÷ a 3 + b3 + c3 Đối với ba số: abc £ , abc £ çç ÷ çè 3 3 ø÷ 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi Ví dụ 1: Cho a, b là số dương thỏa mãn a 2 + b 2 = 2 . Chứng minh rằng æ a b öæ a b ö a) çç + ÷÷÷ çç 2 + 2 ÷÷÷ ³ 4 çè b ÷ç b a øè 5 b) (a + b ) ³ 16ab a ÷ø ( 1 + a 2 )( 1 + b 2 ) Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có a b a b a b a b + ³ 2 . = 2, 2 + 2 ³ 2 2 . 2 = b a b a b a b a æ a b öæ a b ö Suy ra çç + ÷÷÷ çç 2 + 2 ÷÷÷ ³ ÷ç b a øè èç b a ø÷ 4 ab 2 ab (1) Mặt khác ta có 2 = a 2 + b 2 ³ 2 a 2b 2 = 2ab  ab £ 1 (1) æ a b öæ a b ö Từ (1) và (2) suy ra çç + ÷÷÷ çç 2 + 2 ÷÷÷ ³ 4 ĐPCM. çè b ÷ç b a øè a ø÷ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 . b) Ta có (a + b ) = ( a 2 + 2ab + b 2 )( a 3 + 3ab 2 + 3a 2b + b 3 ) 5 Áp dụng BĐT côsi ta có a 2 + 2ab + b 2 ³ 2 2ab (a 2 + b 2 ) = 4 ab và (a 3 + 3ab 2 ) + ( 3a 2b + b 3 ) ³ 2 (a 3 + 3ab 2 )( 3a 2b + b 3 ) = 4 Suy ra ( a 2 + 2ab + b 2 )( a 3 + 3ab 2 + 3a 2b + b 3 ) ³ 16ab 5 Do đó (a + b ) ³ 16ab ab ( 1 + b 2 )( a 2 + 1 ) (a 2 + 1 )(b 2 + 1 ) ( 1 + a 2 )( 1 + b 2 ) ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 . Ví dụ 2: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng æ öæ öæ ö 1 1 1 a) çça + ÷÷÷ ççb + ÷÷÷ ççc + ÷÷÷ ³ 8 b øèç c øèç aø èç b) a 2 (1 + b 2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ³ 6abc c) (1 + a )(1 + b)(1 + c ) ³ ( 1 + 3 3 abc ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 269 d) a 2 bc + b 2 ac + c 2 ab £ a 3 + b 3 + c 3 Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có a+ 1 a 1 b 1 c ³2 ,b+ ³2 ,c+ ³2 b b c c a a æ 1 öæ 1 öæ 1ö a b c Suy ra çça + ÷÷÷ ççb + ÷÷÷ ççc + ÷÷÷ ³ 8 . . = 8 ĐPCM. b øèç c øèç aø b c a èç Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có 1 + a 2 ³ 2 a 2 = 2a , tương tự ta có 1 + b 2 ³ 2b, 1 + c 2 ³ 2c Suy ra a 2 (1 + b 2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ³ 2 ( a 2b + b 2c + c 2a ) Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có a 2b + b 2c + c 2a ³ 3 a 2b.b 2c.c 2a = 3abc Suy ra a 2 (1 + b 2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ³ 6abc . ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 . c) Ta có (1 + a )(1 + b)(1 + c) = 1 + ( ab + bc + ca ) + (a + b + c ) + abc Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có ab + bc + ca ³ 3 3 ab.bc.ca = 3 ( 3 abc Suy ra (1 + a )(1 + b)(1 + c) ³ 1 + 3 ( 3 ) 2 3 và a + b + c ³ 3 abc abc ) 2 3 + 3 3 abc + abc = ( 1 + 3 abc ) ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có æ b + c ö÷ 2 æ a + c ö÷ 2 æ a + b ö÷ a 2 bc £ a 2 çç ÷÷, b ac £ b 2 çç ÷÷, c ab £ c 2 çç ÷ çè 2 ø çè 2 ÷ø èç 2 ø Suy ra a 2 bc + b 2 ac + c 2 ab £ a 2b + b 2a + a 2c + c 2a + b 2c + c 2b (1) 2 Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có a 2b £ a 3 + a 3 + b3 2 b3 + b3 + a 3 2 a 3 + a 3 + c3 ,ba £ ,ac £ , 3 3 3 c 2a £ c3 + c3 + a 3 2 b3 + b3 + c3 2 c3 + c3 + b3 ,bc £ ,cb £ 3 3 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 270 Suy ra a 2b + b 2a + a 2c + c 2a + b 2c + c 2b £ 2 ( a 3 + b 3 + c 3 ) (2) Từ (1) và (2) suy ra a 2 bc + b 2 ac + c 2 ab £ a 3 + b 3 + c 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . Ví dụ 3: Cho a, b, c, d là số dương. Chứng minh rằng a) a +b +c +d ³ 4 abcd 4 æa b c d ö b) çç 3 + 3 + 3 + 3 ÷÷÷ ( a + b )(b + c ) ³ 16 çè b c) c a +b +c 3 abc a ø÷ d + 8abc ³ 4. (a + b)(b + c)(c + a ) Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có a + b ³ 2 ab, c + d ³ 2 cd và Suy ra ab . cd = 2 4 abcd ab + cd ³ 2 a +b +c +d 2 ab + 2 cd ³ ³ 4 abcd ĐPCM. 4 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d . b) Áp dụng câu a) ta có a b c d a b c d + 3 + 3 + 3 ³ 44 3 . 3 . 3 . 3 = 3 b c d a b c d a 4 abcd æa b c d ö Suy ra çç 3 + 3 + 3 + 3 ÷÷÷ ( a + b )(c + d ) ³ çè b c a ø÷ d 4 abcd .2 ab .2 cd = 16 ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d . c) Áp dụng câu a) ta có VT = 3. a +b +c 3 3 abc + 8abc (a + b)(b + c)(c + a ) 3 æ a + b + c ö÷ 8 (a + b + c ) 8abc ³ 4 çç 3 = 44 ÷ çè 3 abc ÷ø (a + b)(b + c)(c + a ) 27(a + b)(b + c)(c + a ) 3 4 3 Như vậy ta chỉ cần chứng minh 4 4 8 (a + b + c ) 27(a + b)(b + c)(c + a ) ³4 3  8 (a + b + c ) ³ 27 ( a + b )(b + c )(c + a ) (*) Áp dụng BĐT côsi cho ba số ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 271 3 3 æ (a + b ) + (b + c ) + ( c + a ) ö÷ 8 (a + b + c ) ÷÷ = (a + b )(b + c )(c + a ) £ çççç ÷ø 3 27 è Suy ra BĐT (*) đúng nên BĐT ban đầu đúng. ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . Nhận xét: BĐT câu a) là bất đẳng côsi cho bốn số không âm. Ta có BĐT côsi cho n số không âm như sau: Cho n số không âm ai , i = 1,2,..., n . Khi đó ta có a1 + a2 + ... + an ³ n a1a2 ...an . n Ví dụ 4: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chứng minh rằng a) a 2b + b 2c + c 2a £ 3 b) ab bc ca 3 + + £ 2 2 2 4 3 +c 3 +a 3 +b Lời giải 2 a) Ta có ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 9  a 4 + b 4 + c 4 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2b 2 = 9 (1) Áp dụng BĐT côsi ta có a 4 + b 4 ³ 2a 2b 2 , b 4 + c 4 ³ 2b 2c 2 , c 4 + a 4 ³ 2c 2a 2 Cộng vế với vế lại ta được a 4 + b 4 + c 4 ³ a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 (2) Từ (1) và (2) ta có a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 £ 3 (3) Áp dụng BĐT côsi ta có a 2 + a 2b 2 ³ 2 a 2 .a 2b 2 = 2a 2b , tương tự ta có b 2 + b 2c 2 ³ 2b 2c, c 2 + c 2a 2 ³ 2c 2a Cộng vế với vế ta được a 2 + b 2 + c 2 + a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ³ 2 ( a 2b + b 2c + c 2a ) (4) Từ giả thiết và (3), (4) suy ra a 2b + b 2c + c 2a £ 3 ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 . b) Áp dụng BĐT côsi ta có 3 + a 2 = 3 + ( 3 - b2 - c2 ) = ( 3 - b2 ) + ( 3 - c2 ) ³ 2  bc £ 3 + a2 2 Tương tự ta có bc ( 3 - b 2 )( 3 - c 2 ) = ( 3 - b 2 )( 3 - c 2 ) 1 b2 c2 1 çæ b 2 c 2 ÷ö 1 çæ b 2 c 2 ö÷ £ + = + . ÷ ÷ ç ç 2 3 - c2 3 - b2 4 çè 3 - c 2 3 - b 2 ÷ø 4 çè b 2 + a 2 c 2 + a 2 ÷ø ab 1 æç a 2 b 2 ö÷ ca 1 æç c 2 a 2 ö÷ £ + , £ + ÷ ÷ ç ç 4 çè a 2 + c 2 b 2 + c 2 ÷ø 3 + b 2 4 çè c 2 + b 2 a 2 + b 2 ø÷ 3 + c2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 272 Cộng vế với vế ta được ab bc ca 3 + + £ ĐPCM. 2 2 2 4 3 +c 3 +a 3 +b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 . Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.   Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi. Khi gặp BĐT có dạng x + y + z ³ a + b + c (hoặc xyz ³ abc ), ta thường đi chứng minh x + y ³ 2a (hoặc ab £ x 2 ), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh. Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra(thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên). Ví dụ 1: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng:  a) ab bc ac + + ³ a +b +c c a b b) a b c 1 1 1 + 2 + 2 ³ + + 2 a b c b c a Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có Tương tự ta có ab bc ab bc + ³2 . = 2b c a c a bc ac ac ba + ³ 2c, + ³ 2a . a b b c Cộng vế với vế các BĐT trên ta được æ ab bc ac ö ab bc ac 2 çç + + ÷÷÷ ³ 2 ( a + b + c )  + + ³ a + b + c ĐPCM çè c a b ø c a b Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . b) Áp dụng BĐT côsi ta có Tương tự ta có a 1 a 1 2 + ³2 2. = 2 a b b b a b 1 2 c 1 2 + ³ , 2 + ³ 2 b c a c a c Cộng vế với vế các BĐT trên ta được a b c 1 1 1 2 2 2 a b c 1 1 1 + 2 + 2 + + + ³ + +  2 + 2 + 2 ³ + + ĐPCM. 2 a b c a b c a b c b c a b c a Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . Ví dụ 2: Cho a, b, c dương sao cho a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chứng minh rằng a) a 3b 3 b 3c 3 c 3a 3 + + ³ 3abc c a b b) ab bc ca + + ³ 3. c a b Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 273 Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có Tương tự ta có a 3b 3 b 3c 3 a 3b 3 b 3c 3 + ³2 . = 2b 3ac c a c a b 3c 3 c 3a 3 c 3a 3 a 3b 3 + ³ 2abc 3 , + ³ 2a 3bc a b b c æ a 3b 3 b 3c 3 c 3a 3 ö÷ Cộng vế với vế ta có 2 çç + + ÷÷ ³ 2abc (a 2 + b 2 + c 2 ) çè c  b ø÷ a a 3b 3 b 3c 3 c 3a 3 + + ³ 3abc . ĐPCM c a b Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . 2 æ çè c ö b ÷ø ab bc ca ÷ b) BĐT tương đương với çç + + ÷÷ ³ 9 2 2 a 2 2 2 2 æ ab ö æ bc ö æ ca ö æ ab ö æ bc ö æ ca ö  çç ÷÷ + çç ÷÷ + çç ÷÷ + 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ³ 9  çç ÷÷ + çç ÷÷ + çç ÷÷ ³ 3 çè c ÷ø èç a ø÷ èç b ø÷ èç c ø÷ èç a ø÷ èç b ø÷ 2 2 2 æ ab ö÷ æ bc ö ÷÷ + çç ÷÷÷ ³ 2 çè c ø çè a ø Áp dụng BĐT côsi ta có çç 2 2 æ ö çç ab ÷÷ çè c ÷ø 2 2 æ bc ö . çç ÷÷÷ = 2b 2 çè a ø 2 æ bc ö æ ca ö æ ca ö æ ab ö Tương tự ta có çç ÷÷ + çç ÷÷ ³ 2c 2 , çç ÷÷ + çç ÷÷ ³ 2a 2 çè a ÷ø çè b ÷ø èç b ø÷ èç c ø÷ 2 2 2 æ ab ö æ bc ö æ ca ö Cộng vế với vế và rút gọn ta được çç ÷÷ + çç ÷÷ + çç ÷÷ ³ 3 ĐPCM. çè c ÷ø çè a ø÷ çè b ø÷ Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . Ví dụ 3: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng a) 8 ( a + b )(b + c )(c + a ) £ ( 3 + a )( 3 + b )( 3 + c ) b) ( 3 - 2a )( 3 - 2b )( 3 - 2c ) £ abc Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có 2 2 æ (a + b ) + (b + c ) ÷ö (3 + a ) ÷÷ = (a + b )(b + c ) £ çççç ÷ø 2 4 è 2 Tương tự ta có (b + c )(c + a ) £ (3 + c ) 4 2 , ( c + a )(a + b ) £ 2 (3 + a ) 4 Nhân vế với vế lại ta được ëé ( a + b )(b + c )(c + a ) ùû £ 64 éë ( 3 + a )( 3 + b )( 3 + c ) ùû Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 Trang 274 Suy ra 8 ( a + b )(b + c )( c + a ) £ ( 3 + a )( 3 + b )( 3 + c ) ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . b) * TH1: Với ( 3 - 2a )( 3 - 2b )( 3 - 2c ) £ 0 : BĐT hiển nhiên đúng. * TH2: Với ( 3 - 2a )( 3 - 2b )( 3 - 2c ) > 0 : + Nếu cả ba số ( 3 – 2a ), ( 3 – 2b ), ( 3 – 2c ) đều dương. Áp dụng BĐT côsi ta có 2 æ ( 3 – 2a ) + ( 3 – 2b ) ö÷ 2 ( 3 – 2a )( 3 – 2b ) £ çççç ÷÷÷ = c , tương tự ta có 2 è ø ( 3 – 2b )( 3 – 2c ) £ a 2, ( 3 – 2c )( 3 – 2a ) £ b 2 2 Nhân vế với vế ta được éë ( 3 – 2a )( 3 – 2b )( 3 – 2c ) ùû £ a 2b 2c 2 Hay ( 3 – 2a )( 3 – 2b )( 3 – 2c ) £ abc . + Nếu hai trong ba số ( 3 – 2a ), ( 3 – 2b ), ( 3 – 2c ) âm và một số dương. Không mất tính tổng quát giả sử 3 – 2a < 0, 3 - 2b < 0 suy racó 6 - 2a - 2b < 0  c < 0 (không xảy ra) Vậy BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 . Ví dụ 4: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 a +b +c . + + ³ b +c c +a a +b 2 Lời giải Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có : a2 b +c a2 b + c + ³2 . =a. b +c 4 b +c 4 Tương tự ta có b2 c +a c2 a +b + ³ b; + ³c. c +a 4 a +b 4 Cộng ba BĐT này lại với nhau ta đươc : a2 b2 c2 a +b +c + + + ³ a +b +c b +c c +a a +b 2  a2 b2 c2 a +b +c + + ³ b +c c +a a +b 2 Đẳng thức xảy ra  a = b = c . Lưu ý :Việc ta ghép a2 b +c + và đánh giá như trên là vì những lí do sau: b +c 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 275 Thứ nhất là ta cần làm mất mẫu số ở các đại lượng vế trái (vì vế phải không có phân số), chẳng hạn đại a2 khi đó ta sẽ áp dụng BĐT côsi cho đại lượng đó với một đại lượng chứa b + c . b +c lượng Thứ hai là ta cần lưu ý tới điều kiện xảy ra đẳng thức ở BĐT côsi là khi hai số đó bằng nhau. Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi a = b = c khi đó a2 a = và b + c = 2a do đó ta ghép như trên. b +c 2 Ví dụ 5: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: a) a b +1 b + c +1 c + a +1 ³ 3 2 2 a3 b3 c3 3 + + ³ b+3 c+3 a +3 2 b) Lời giải a a) Đặt P = b +1 + b c +1 + c a +1 Áp dụng BĐT côsi ta có a b +1 + a b +1 + 2a (b + 1 ) 4 ³ 33 a b +1 . a b +1 2a (b + 1 ) . 4 = 3 2a 2 Tương tự ta có b c +1 + b c +1 + 2b ( c + 1 ) 4 ³ 3 2b , 2 c a +1 + c a +1 + 2c ( a + 1 ) 4 ³ 3 2c 2 Cộng vế với vế ba BĐT trên ta được 2P + 2 3 2 (ab + bc + ca + a + b + c ) ³ (a + b + c ) 4 2 P ³ 15 2 2 (ab + bc + ca ) (vì a + b + c = 3 ) 8 8 2 Mặt khác ta có (a + b + c ) ³ 3 ( ab + bc + ca ) (theo ví dụ 1) Do đó ab + bc + ca £ 3 Suy ra  P ³ 15 2 2 3 2 .3 = ĐPCM. 8 8 2 Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 . b) Đặt Q = a3 b3 c3 + + b+3 c+3 a +3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 276 a2 Ta có Q = a (b + 3 ) b2 + b (c + 3 ) c2 + c (a + 3 ) Áp dụng BĐT côsi ta có 4 a (b + 3 ) = 2 4a (b + 3 ) £ 4a + b + 3 Suy ra a2 a (b + 3 ) b2 b (c + 3 ) ³ ³ 4a 2 , tương tự ta có 4a + b + 3 4b 2 , 4b + c + 3 c2 c (a + 3 ) Cộng vế với vế lại ta được Q ³ ³ 4c 2 4c + a + 3 4a 2 4b 2 4c 2 + + =L 4a + b + 3 4b + c + 3 4c + a + 3 Áp dụng BĐT côsi ta có 4a 2 1 4a 2 1 + ( 4a + b + 3 ) ³ 2 . ( 4a + b + 3 ) = a 4a + b + 3 16 4a + b + 3 16 Tương tự ta có 4b 2 1 4c 2 1 + ( 4b + c + 3 ) ³ b, + ( 4c + a + 3 ) ³ c 4b + c + 3 16 4c + a + 3 16 Cộng vế với vế lại ta được L + Vì a + b + c = 3 nên L ³ 1 é 5 (a + b + c ) + 9 ùû ³ a + b + c 16 ë 3 3 suy ra Q ³ ĐPCM 2 2 Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 . Ví dụ 6: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + 2 + 2 + 3 ³ 2 (a + b + c ) . 2 a b c Lời giải 2 2 2 Ta có éë ( a - 1 )(b - 1 ) ùû éë (b - 1 )(c - 1 ) ùû éë ( c - 1 )(a - 1 ) ùû = ( a - 1 ) (b - 1 ) (c - 1 ) ³ 0 Do đó không mất tính tổng quát giả sử (a - 1 )(b - 1) ³ 0  ab + 1 ³ a + b Do đó ta chỉ cần chứng minh   2 (ab + c + 1 ) ³ 2 (a + b + c ) 1 1 1 + 2 + 2 + 3 ³ 2 (ab + c + 1 ) 2 a b c 1 1 1 + 2 + 2 + 1 ³ 2 (ab + c ) 2 a b c Áp dụng BĐT côsi ta có 1 1 2 1 2 + 2 ³ = 2c, 2 + 1 ³ = 2ab (do abc = 1 ) 2 ab c a b c Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 277 Cộng vế với vế ta được 1 1 1 + 2 + 2 + 1 ³ 2 (ab + c ) ĐPCM. 2 a b c Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 . Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 a) f (x ) = ( x - 1) x -2 c) h ( x ) = x + b) g(x ) = 2x + với x > 2 3 với x ³ 2 x d) k ( x ) = 2x + 1 với x > -1 2 ( x + 1) 1 1 với 0 < x £ . 2 2 x Lời giải a) Ta có f (x ) = x 2 - 2x + 1 1 = x -2+ +2 x -2 x -2 Do x > 2 nên x – 2 > 0, x -2 + 1 ³2 x -2 1 > 0 . Áp dụng BĐT côsi ta có x -2 ( x – 2 ). 1 =2 x -2 Suy ra f ( x ) ³ 4 2 1  ( x – 2 ) = 1  x = 1 (loại) hoặc x = 3 (thỏa mãn) x -2 Đẳng thức xảy ra  x – 2 = Vậy min f ( x ) = 4 khi và chỉ khi x = 3 . b) Do x > -1 nên x + 1 > 0 . Áp dụng BĐT côsi ta có g(x ) = ( x + 1 ) + ( x + 1 ) + Đẳng thức xảy ra  x + 1 = 1 2 ( x + 1) 1 – 2 ³ 3 3 ( x + 1 ).( x + 1 ). 1 2 ( x + 1) -2 = 1 3 2 ( x + 1)  ( x + 1 ) = 1  x = 0 (thỏa mãn) Vậy min g ( x ) = 1 khi và chỉ khi x = 0 . æ 3 3x ö÷ x c) Ta có h ( x ) = çç + ÷÷ + çè x Áp dụng BĐT côsi ta có 4 ÷ø 4 3 3x 3 3x + ³2 . =3 x 4 x 4 æ3 Mặt khác x ³ 2 suy ra h ( x ) = çç ç èx + 3x ö÷ x 2 7 ÷÷ + ³ 3 + = 4 ø 4 4 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 278 ì ï ï 3 = 3x Đẳng thức xảy ra  ï íx 4 x =2 ï ï x =2 ï î Vậy min h ( x ) = 7 khi và chỉ khi x = 2 . 2 d) Ta có k ( x ) = x + x + 1 7 + 2 2 8x 8x Áp dụng BĐT côsi ta có x + x + Mặt khác 0 < x £ 1 1 3 ³ 3 3 x .x . 2 = 2 2 8x 8x 1 7 7 3 7  2 ³ suy ra k ( x ) ³ + = 5 2 2 2 2 8x ìï ïï x = 1 8x 2  x = 1 Đẳng thức xảy ra  ï í ïï 1 2 ïï x = î 2 Vậy min k ( x ) = 5 khi và chỉ khi x = 1 . 2 Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa Nhiều khi không dự đoán được dấu bằng xảy ra(để tách ghép cho hợp lí) chúng ta cần đưa tham số vào rồi chọn sau sao cho dấu bằng xảy ra. Ví dụ 1: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của A = ( 1 + 2a )( 1 + 2bc ) Phân tích Rõ ràng ta sẽ đánh giá biểu thức A để làm xuất hiện a 2 + b 2 + c 2 . Trước tiên ta sẽ đánh giá a qua a 2 bởi a 2 + m 2 ³ 2ma  2a £ a2 + m (với m > 0 ) m Do b, c bình đẳng nên dự đoán dấu bằng A đạt giá trị nhỏ nhất khi b = c nên ta đánh giá 2bc £ b 2 + c 2 . æa2 ö + m + 1 ÷÷÷ ( 1 + b 2 + c 2 ) = B . Tiếp tục ta sẽ sử dụng BĐT côsi dưới dạng çè m ø Suy ra A £ çç 2 æ x + y ö÷ xy £ çç ÷ để là xuất hiện a 2 + b 2 + c 2 nên ta sẽ tách như sau çè 2 ø÷ 2 2 2 2 2 1 1 æ (a + m + m ) + ( 1 + b + c ) ö÷÷ B = ( a 2 + m 2 + m )( 1 + b 2 + c 2 ) £ ççç ÷÷ m m çè 2 ø Suy ra A £ 2 1 (m2 + m + 2 ) 4m Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 279 Dấu bằng xảy ra khi a = m, b = c, a 2 + m 2 + m = 1 + b 2 + c 2 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Từ đây ta có m = 2 . Do đó ta có lời giải như sau: 3 Lời giải Áp dụng BĐT côsi ta có a 2 + 4 4 3a 2 2 ³ a  2a £ + và 2bc £ b 2 + c 2 9 3 2 3 æ 3a 2 2 ö + + 1 ÷÷÷ (b 2 + c 2 + 1 ) çè 2 3 ø Suy ra A £ çç Áp dụng BĐT côsi ta có 2 æ 2 10 ö çç a + + b 2 + c 2 + 1 ÷÷÷ æ 3a 2 2 ö÷ 2 æ ö 3 10 3ç 9 ÷÷ = 98 + + 1 ÷ (b + c 2 + 1 ) = çç a 2 + ÷÷ (b 2 + c 2 + 1 ) £ çç ççç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷÷ 3 2è 9ø 2ç 2 27 è 2 ø ÷÷ø ççè ì 2 ï ï a = ï ì ï 3 ï ïï ïïa = 2 b c = ï 98 3 Suy ra A £ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ï ï í í ï ï 10 27 2 2 2 ï ï a + = b +c +1 b =c = ï ï ï ï 9 ï î ï 2 2 2 ï a +b +c = 1 ï ï î Vậy max A = 98 2 khi và chỉ khi a = và b = c = 27 3 5 18 5 . 18 Ví dụ 2: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn 2a + 4b + 3c 2 = 68 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a 2 + b2 + c 3 . Phân tích Ta cần đánh giá biểu thức A qua biểu thức 2a + 4b + 3c 2 . Do đó ta sẽ cho thêm vào các tham số vào và đánh giá như sau ( m, n, p dương) a 2 + m 2 ³ 2am, b 2 + n 2 ³ 2bn và c3 c3 + + 4 p 3 ³ 3pc 2 2 2 Suy ra a 2 + b 2 + c 3 + m 2 + n 2 + 4 p 3 ³ 2am + 2bn + 3pc (*) Để 2am + 2bn + 3pc 2 có thể bội số của 2a + 4b + 3c 2 thì 2m 2n 3p n = = m= =p 2 4 3 2 Mặt khác dấu bằng ở BĐT (*) xảy ra khi a = m, b = n, c = 2p 2 Hay a = m, b = 2m, c = 2m  2m + 4. ( 2m ) + 3 ( 2m ) = 68 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 280  12m 2 + 10m – 68 = 0  m = 2 (nhận) hoặc m = – 17 (loại) 6 Suy ra p = 2, n = 4 do đó ta có lời giải như sau Lời giải Áp dụng bĐT côsi ta có a 2 + 4 ³ 4a, b 2 + 16 ³ 8b và c3 c3 + + 32 ³ 6c 2 2 2 Cộng vế với vế ta được a 2 + b 2 + c 3 + 52 ³ 4a + 8b + 6c 2 , kết hợp với 2a + 4b + 3c 2 = 68 Suy ra a 2 + b 2 + c 3 ³ 84 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2, b = 4, c = 4 Vậy min A = 84  a = 2, b = 4, c = 4 . Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau a) A = x2 – x + 3 b) B = với x < 1 1 - x3 -x 2 + 4x + 21 - -x 2 + 3x + 10 với -2 £ x £ 5 . Lời giải a) Ta có A = x2 - x + 3 ( 1 - x )( x 2 + x + 1 ) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có ( 1 - x )( x 2 + x + 1 ) = Suy ra A ³ 1 2 2 ( 1 - x ). x 2 + x + 1 £ 2 1 2 (1 - x ) + x + x + 1 x 2 - x + 3 = 2 2 2 2 x2 - x + 3 =2 2 x2 - x + 3 2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 ( 1 - x ) = x 2 + x + 1  x 2 + 3x - 1 = 0  x = Vậy min A = 2 2 khi x = x <1 b) Ta có B = -3  13 2 -3  13 2 x + 11 -x 2 + 4x + 21 + -x 2 + 3x + 10 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 = x + 11 (x + 3)(7 - x ) + (x + 2)(5 - x ) Trang 281 Với -2 £ x £ 5 thì x + 11 ; x + 3 ; 7 - x ; x + 2 ; 5 - x là các số không âm nên theo BĐT côsi ta có : 1 (x + 3)(7 - x ) = 2 1 (x + 2)(5 - x ) = Từ (1) và (2) suy ra 2 (2x + 6)(7 - x ) £ 1 æç (2x + 6) + (7 - x ) ö÷ x + 13 (1) ÷÷ = ç 2 ø 2 çè 2 2 (2x + 4)(5 - x ) £ 1 æç (2x + 4) + (5 - x ) ö÷ x + 9 ÷÷ = ç 2 ø 2 çè 2 2 (x + 3)(7 - x ) + (x + 2)(5 - x ) £ x + 11 2 Dấu bằng xảy ra  (1) và (2) đồng thời xảy ra dấu bằng  x = Vậy min B = -2 £ x £ 5 2 x = (2) , từ đó ta có B ³ 2. 1 . 3 1 . 3 Loại 4: Kĩ thuật côsi ngược dấu. Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của P = bc a + 2 bc + ca b + 2 ca + ab c + 2 ab . Lời giải Áp dụng BĐT côsi ta có Tương tự ta có ö÷ 1æ a = çç 1 ÷÷ £ 2 èç a + 2 bc a + 2 bc ø bc ö÷ 1 æç a ÷ çç 1 2è a + b + c ø÷ ö÷ ö÷ 1æ b ab 1æ c £ çç 1 £ çç 1 ÷÷, ÷ 2 èç a + b + c ø c + 2 ab 2 èç a + b + c ÷ø b + 2 ca ca Cộng vế với vế các BĐT trên ta được 1æ a b c ÷ö÷ = 1 P £ çç 3 ç 2è a + b + c a + b + c a + b + c ÷ø Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Vậy min P = 1  a = b = c Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng a) a b c 3 + + ³ . 2 2 2 2 1+b 1+c 1+a b) a2 b2 c2 + + ³1 a + 2b 3 b + 2c 3 c + 2a 3 Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 282 a (1 + b2 - b2 ) a ab 2 ab 2 ab = = a ³ a =a2 2 2 2b 2 1+b 1+b 1+b Tương tự ta có b bc c ca và ³b³c2 2 2 2 1+c 1+a Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: a b c ab + bc + ca ab + bc + ca + + ³ a +b +c = 32 2 2 2 2 1+b 1+c 1+a 2 Mặt khác ta có (a + b + c ) ³ 3 ( ab + bc + ca )  ab + bc + ca £ 3 . Do đó a b c 3 3 + + ³ 3 - = ĐPCM. 2 2 2 2 2 1+b 1+c 1+a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 b) Theo bất đẳng thức Côsi ta có : a ( a + 2b 3 ) - 2ab 3 a2 2ab 3 2b 3 a 2 = ³ a = a . 3 a + 2b 3 a + 2b 3 3 3 ab 6 Tương tự ta có b2 2c 3 b c2 2a 3 c ³ b , ³ c 3 3 b + 2c 3 c + 2a 3 Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: a2 b2 c2 2 + + ³ a + b + c - b 3 a 2 + a 3 c2 + c 3 b2 3 3 3 3 a + 2b b + 2c c + 2a ( 3 3 ) 3 Mặt khác a + b + c = 3 do đó ta chỉ cần chứng minh: b a 2 + c b 2 + a c 2 £ 3 . Thật vậy, theo bất đẳng thức Côsi ta có : 1 2ab + b b 3 a 2 £ b. (a + a + 1 ) = 3 3 3 Tương tự ta có c b 2 £ 2bc + c 3 2 2ca + a ,a c £ 3 3 Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có: b 3 a 2 + c 3 b2 + a 3 c2 £ 3 3 2ab + b 2bc + c 2ca + a 2 1 + + = (ab + bc + ca ) + (a + b + c ) 3 3 3 3 3 3 Từ đó suy ra: b a 2 + c b 2 + a c 2 £ 2 1 .3 + .3 = 3 ĐPCM. 3 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 . Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 283 Chứng minh rằng c b a + + ³1 1 + ab 1 + ac 1 + bc Lời giải Đặt P = c b a + + 1 + ab 1 + ac 1 + bc Áp dụng BĐT côsi ta có (ca )(cb ) c abc abc =c³c=c1 + ab 1 + ab 2 ab Tương tự ta ta có 2 ³c- ca + cb 4 b ba + bc a ab + ac ³b, £a1 + ac 4 1 + bc 4 Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: P ³ a +b +c - ab + bc + ca 2 2 Mặt khác a 2 + b 2 + c 2 = 1  ( a + b + c ) = 1 + 2 (ab + bc + ca ) (*) 2 Hay ab + bc + ca = (a + b + c ) -1 2 2 Suy ra P ³ a + b + c - (a + b + c ) 4 -1 = (a + b + c - 1)(3 - a - b - c) + 1 (1) 4 Từ giả thiết ta có a, b, c Î [0;1]  3 - a - b - c ³ 0 (2) Và từ (*) suy ra a + b + c ³ 1 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra P ³ 1 . ĐPCM Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi trong ba số a, b, c có một số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0. Dạng 3: đặt ẩn phụ trong bất đẳng thức. 1. Phương pháp giải. Điều quan trọng trong kĩ thuật này là phát hiện ra ẩn phụ (ẩn phụ có thể là x = f ( a, b, c ), y = g ( a, b, c ), z = h ( a,b, c ) hoặc là chỉ một ẩn phụ t = f (a;b; c ) ). Ẩn phụ có thể có ngay trong biểu thức của bất đẳng hoặc qua một số phép biến đổi, đánh giá. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho các số dương a, b, c. a) Chứng minh rằng a +b 6b + 8c 3a + 2b + c + + ³7 a +b +c 2a + b b +c Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 284 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a +b b +c c +a . + + a + b + c b + c + 4a c + a + 16b Lời giải a) Đặt x = a + b + c, y = 2a + b, z = b + c Suy ra a = x - z , b = -2x + y + 2z , c = 2x - y - z Bất đẳng thức trở thành  -1 + -x + y + z 4x - 2y + 4z x + y + + ³7 x y z y z 4x 4z x y + + -2 + + + ³7 x x y y z z æ y 4x ö æ z x ö æ 4z y ö  çç + ÷÷÷ + çç + ÷÷÷ + çç + ÷÷÷ ³ 10 (*) y ø çè x z ø çè y zø èç x Áp dụng BĐT côsi ta có y 4x z x 4z y + ³ 4, + ³ 2, + ³4 x y x z y z Suy ra BĐT (*) đúng. ĐPCM. ïìï 2x = y ï Đẳng thức xảy ra  ï í x = z  2x = y = 2z suy ra không tồn tại a, b, c. ïï ïïî 2z = y Dấu đẳng thức không xảy ra. b) Đặt x = a + b + c, y = b + c + 4a, z = c + a + 16b Suy ra a = 21x - 5y - z y -x z -x ,b = ,c = 3 15 15 Khi đó ta có P = P = -6x + 5y + z 4x - y 16x - z + + 15x 3y 15z y 4x z 16x 4 + + + 3x 3y 15y 15z 5 Áp dụng BĐT côsi ta có Suy ra P ³ y 4x 4 z 16y 8 + ³ , + ³ 3x 3y 3 15y 15z 15 4 8 4 16 5b 5c + - = = , đẳng thức xảy ra  4x = 2y = z  a = 3 15 5 15 3 7 Vậy min P = 16 5b 5c khi và chỉ khi a = . = 3 7 15 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 285 Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác có chu vi là 2p . Chứng minh rằng b +c c +a a +b + + p -a p -b p -c a b c + + ³ p -a p -b p -c Lời giải Đặt x = p - a; y = p - b; z = p - c suy ra a = y + z ; b = z + x ; c = x + y . Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên x , y, z dương Bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về dạng: y +z z +x x +y + + ³ x y z 2+ y +z z +x x +y + 2+ + 2+ x y z Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 4 2 + Tương tự ta có 4 2 + æ y +z y + z ö÷ y +z £ çç 2 + +6 ÷÷ + 4 = ç x x ø x è z +x z +x x +y x +y £ + 6, 4 2 + £ +6 y y z z Cộng vế với vế các BĐT trên ta được æ y +z z +x x + y ÷ö y + z z + x x + y ÷÷ £ + 2+ + 2+ + + + 18 4 ççç 2 + çè x y z ÷ø x y z Vì vậy ta chỉ cần chứng minh  ö 1 æy + z z + x x + y y +z z +x x +y + + ³ çç + + + 18 ÷÷÷ x y z 4 çè x y z ø y +z z +x x +y + + ³ 6. x y z æy x ö æy z ö æx z ö y +z z +x x +y + + = çç + ÷÷÷ + çç + ÷÷÷ + çç + ÷÷÷ çè x y ø çè z y ø çè z x ø x y z Ta có Áp dụng BĐT côsi ta có Suy ra y x y x y z x z + ³ 2 . = 2, + ³ 2, + ³ 2 x y x y z y z x y +z z +x x +y + + ³ 6 . ĐPCM. x y z Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác đều. Nhận xét : Đối với BĐT có giả thiết a, b, c là ba cạnh của tam giác thì ta thực hiện phép đặt ẩn phụ x = a +b -c a -b + c -a + b + c ,y = ,z = thì khi đó a = y + z ; b = z + x ; c = x + y và 2 2 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 286 x , y, z dương. Ta chuyển về bài toán với giả thiết x , y, z dương không còn ràng buộc là ba cạnh của tam giác. Ví dụ 3: Cho x , y, z là số dương. Chứng minh rằng x 3 + 2y 3 + 3z 3 ³ 3 1590 (x + y + z ) 1331 Lời giải 3 3 3 æ ö æ ö æ ö x y z Ta có BĐT  çç ÷÷÷ + 2 çç ÷÷÷ + 3 çç ÷÷÷ ³ çè x + y + z ø çè x + y + z ø èç x + y + z ø Đặt a = x y z ,b = ,c =  a, b, c dương và a + b + c = 1 x +y +z x +y +z x +y +z BĐT trở thành a 3 + 2b 3 + 3c 3 ³ 1590 1331 Áp dụng BĐT côsi ta có 3 3 3 3 3 3 æ6ö æ6ö æ3ö æ3ö æ2ö æ2ö 18 18 18 a + çç ÷÷ + çç ÷÷ ³ a , 2b 3 + 2 çç ÷÷ + 2 çç ÷÷ ³ b , 3c 3 + 3 çç ÷÷ + 3 çç ÷÷ ³ c ÷ ÷ ÷ ÷ çè 11 ÷ø çè 11 ÷ø ç ç ç ç 11 11 11 è 11 ø è 11 ø è 11 ø è 11 ø 3 Cộng vế với vế các BĐT trên ta được a 3 + 2b 3 + 3c 3 + 588 18 18 ³ (a + b + c ) = 1331 11 11 Suy ra a 3 + 2b 3 + 3c 3 ³ 1590 . 1331 Nhận xét: Phương pháp đặt ẩn phụ trên được áp dụng khi BĐT là đồng bậc(Người ta gọi là phương pháp chuẩn hóa) Ví dụ 4: Cho x , y, z là số dương thỏa mãn x + y + z £ Chứng minh rằng x + y + z + 3 2 1 1 1 15 + + ³ . x y z 2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 1 1 1 1 1 1 1 9 và x + y + z ³ 3 3 xyz nên + + ³ + + ³ 33 x y z x +y +z x y z xyz Suy ra x + y + z + 1 1 1 9 + + ³ x +y +z + x y z x +y +z Đặt t = x + y + z  0 < t £ 3 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 287 Khi đó ta chỉ cần chứng minh x + y + z + 9 9 15 =t+ ³ x +y +z t 2 Áp dụng BĐT côsi ta có t+ 9 9 27 9 27 15 =t+ + ³ 2 t. + = ĐPCM. t 4t 4t 4t 3 2 4. 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 . 2 Ví dụ 5: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn biểu thức P = a + b + c + 4 3 abc 1 1 1 + + = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của a +2 b +2 c +2 . Lời giải Ta có 1 1 1 + + = 1  4 = abc + ab + bc + ca a +2 b +2 c +2 2 Áp dụng BĐT côsi ta có ab + bc + ca ³ 3 3 (abc ) 2 Suy ra 4 = abc + ab + bc + ca ³ abc + 3 3 (abc ) = t 3 + 3t 2 , với t = 3 abc . 2  t 3 + 3t 2 - 4 £ 0  ( t - 1 )( t + 2 ) £ 0  t £ 1 Cũng theo BĐT côsi ta có P = a +b +c + Suy ra P ³ 3t + 4 3 abc ³ 3 3 abc + 3 abc 4 æç 3ö 1 = ç 3t + ÷÷ + çè t t ÷ø t Áp dụng BĐT côsi ta có 3t + Do đó P ³ 3t + 4 3 3 1 ³ 2 3t . = 6 , mặt khác t £ 1  ³ 1 t t t 4 ³ 7 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 1 hay a = b = c = 1 t Vậy min P = 7  a = b = c = 1 æ 1 öæ 1 öæ 1ö Ví dụ 6: Cho x , y, z dương thỏa mãn çç 1 + ÷÷ çç 1 + ÷÷ çç 1 + ÷÷ = 8 . ÷ç ÷ç ÷ ç è Tìm giá trị lớn nhất của P = x øè y øè zø x 2 + y 2 + z 2 + 14xyz 2 4 ( x + y + z ) + 15xyz Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 288 Lời giải æ 1 öæ 1 öæ 1ö Ta có çç 1 + ÷÷ çç 1 + ÷÷ çç 1 + ÷÷ = 8  8xyz = 1 + x + y + z + xy + yz + zx + xyz ÷ç ÷ç ÷ ç è x øè y øè zø 2  x 2 + y 2 + z 2 + 14xyz = ( x + y + z ) + 2 ( x + y + z ) + 2 ( 1 ) æ Áp dụng BĐT côsi ta có: 8 = çç 1 + ç è 1 öæ ÷÷ çç 1 + 1 öæ ÷÷ çç 1 + 1 ö÷÷ ³ ÷ x øèç y ÷øèç z ÷ø 8 xyz  xyz ³ 1 (2) 2 Từ (1) và (2) ta có P ( x + y + z ) + 2 ( x + y + z ) + 2 t 2 + 2t + 2 với x + y + z £ = 2 4t 2 + 15 4 ( x + y + z ) + 15 = t > 0. 2 (t – 3 ) t 2 + 2t + 2 1 -t 2 + 6t – 9 Xét = =- 2 £0 2 2 3 4t + 15 12t + 45 12t + 45 Suy ra t 2 + 2t + 2 1 1 £ do đó P £ 2 3 3 4t + 15 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 3 hay x = y = z = 1 Vậy max P = 1 khi và chỉ khi x = y = z = 1 3 Dạng 4: sử dụng bất đẳng thức phụ. 1. Phương pháp giải. Điều quan trọng dạng toán này là cần phát hiện ra được bất đẳng thức phụ. Bất đẳng thức phụ có thể là những BĐT cơ bản đã có hoặc là chúng ta từ đặc điểm của BĐT cần chứng minh chúng ta dự đoán và đưa ra BĐT phụ từ đó vận dụng vào bài toán. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng: a) b) a b c a +b +c + 3 + 3 ³ 3 abc b c a 1 a + b + abc 3 3 + 1 b + c + abc 3 3 + 1 c + a + abc 3 3 £ 1 abc Lời giải Trước tiên ta chứng minh a 3 + b 3 ³ a 2b + b 2a . BĐT tương đương với a 3 + b 3 – a 2b – b 2a ³ 0  a 2 (a – b) + b 2 (b – a ) ³ 0  (a – b)2 (a + b) ³ 0 (đúng với mọi a > 0, b > 0 )  a 3 + b 3 ³ a 2b + b 2a . Đẳng thức xảy ra khi a = b . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 289 a) Ta có a 3 + b 3 ³ a 2b + b 2a  Hoàn toàn tương tự ta có b 1 1 1 c 1 1 1 + 2 ³ 2 + , 3 + 2 ³ 2 + 3 bc a ac c b c c a Cộng vế với vế rút gọn ta được Hay a 1 1 1 + 2 ³ 2 + 3 ab b a b a b c 1 1 1 + 3 + 3 ³ + + 3 a b c b c a a b c a +b +c , đẳng thức xảy ra khi a = b = c . + 3 + 3 ³ 3 abc b c a b) Theo bài toán trên ta có : a 3 + b 3 ³ a 2b + b 2a = ab(a + b)  a 3 + b 3 + abc ³ ab(a + b + c)  Tương tự : 1 b + c + abc 3 3 £ 1 a + b + abc 3 3 £ 1 c = ab(a + b + c) abc(a + b + c) a 1 b ; 3 £ 3 abc(a + b + c) c + a + abc abc(a + b + c) Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . Ví dụ 2: Cho a, b là các số thực. Chứng minh rằng: 2 a) 3(a + b + 1) + 1 ³ 3ab . 6 b) 64a 3b 3 (a 2 + b 2 )2 £ ( a + b ) Lời giải 2 æ a + b ö÷ 3 ÷÷ nên ta chứng minh 3(a + b + 1)2 + 1 ³ (a + b)2 (*) 4 è 2 ø a) Áp dụng bất đẳng thức ab £ çç ç Thật vậy : (*)  12(a + b)2 + 24(a + b) + 16 ³ 3(a + b )2  9(a + b)2 + 24(a + b) + 16 ³ 0  (3a + 3b + 4)2 ³ 0 (đúng) ĐPCM 2 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = – . b) Dễ thấy bất đẳng thức đúng khi ab £ 0 . 2 æ a + b ÷ö ÷ ta có è 2 ÷ø Xét ab > 0 . Áp dụng BĐT ab £ çç ç 2 2 æ a + b ö÷ é 2ab + (a 2 + b 2 ) ù 6 2 2 ù2 ç é ú = (a + b ) 64a b (a + b ) = 16ab ë 2ab(a + b ) û £ 16 ç ÷ ê çè 2 ø÷ ëê 2 ûú 3 3 2 2 2 6 Suy ra 64a 3b 3 (a 2 + b 2 )2 £ ( a + b ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 290 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b . Ví dụ 3: Cho a là số dương và b là số thực thỏa mãn a 2 + b 2 = 5 . 2a 3 + a + 1 – 2b . a2 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = Lời giải Áp dụng bất đẳng thức ( a 2 + b 2 )( c 2 + d 2 ) ³ (ac + bd ) (*), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 ad = bc . Ta có ( a 2 + b 2 ) ( 1 + 4 ) = 25 ³ ( a + 2b )  a + 2b £ 5 2 Suy ra -2b ³ a – 5 Do đó P = 2a 3 + a + 1 2a 3 + a + 1 1 1 2 b ³ + a – 5 = 3a + + 2 – 5 (1) 2 2 a a a a Áp dụng BĐT côsi ta có a + Do đó 3a + 1 1 ³ 2, a + a + 2 ³ 3 a a 1 1 + 2 ³ 5 (2) a a Từ (1) và (2) suy sa P ³ 0 . Đẳng thức xảy ra khi a = 1, b = 2 . Vậy min P = 0  a = 1, b = 2 . Nhận xét: Bất đẳng thức (*) là bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số. Ta có thể tổng quát bất đẳng thức Cho 2n số a1, a2 ,.., an , b1, b2 ,…, bn . Khi đó ta có bất đẳng thức (a1b1 + a2b2 + … + anbn )2 £ (a12 + a22 + … + an2 )(b12 + b22 + … + bn2 ) . Ví dụ 4: Cho a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng a) a 3 b3 c3 + + ³3 bc ca ab b) 1 1 1 + 2 + 2 ³ a 2 + b2 + c2 2 a b c Lời giải a) Áp dụng BĐT a 2 + b 2 + c 2 ³ ab + bc + ca này hai lần ta có : a 4 + b 4 + c 4 = (a 2 )2 + (b 2 )2 + (c 2 )2 ³ a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca )2 ³ ³ ab.bc + bc.ca + ca.ab = abc(a + b + c) = 3abc (vì a + b + c = 3 ) a 4 + b4 + c4 a 3 b3 c3 ³ 3 hay + + ³ 3 ĐPCM. abc bc ca ab Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Suy ra Trang 291 Đẳng thức xảy ra  a = b = c b) Áp dụng a 2 + b 2 + c 2 ³ ab + bc + ca ta có Do đó ta cần chứng minh 1 1 1 1 1 1 3 + 2 + 2 ³ + + = 2 ab bc ca abc a b c 3 ³ a 2 + b 2 + c 2  abc (a 2 + b 2 + c 2 ) £ 3 (*) abc 2 Lại áp dụng (a + b + c ) ³ 3 ( ab + bc + ca ) (ví dụ 1) ta có 2 2 (ab + bc + ca ) ³ 3abc ( a + b + c )  abc £ (ab + bc + ca ) 9 (**) 3 æ a + b + c ÷ö Áp dụng bất đẳng thức abc £ çç ÷÷ và (**) ta có 3 èç ø (ab + bc + ca ) (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 abc (a 2 + b 2 + c 2 ) £ 9 3 2 ö æ 1 çç (a + b + c ) ÷÷ ÷÷ = 3 £ ç ÷÷ 9 ççè 3 ø Vậy BĐT (*) đúng nên BĐT ban đầu đúng. ĐPCM.. Đẳng thức xảy ra  a = b = c . Ví dụ 5: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng a) 1 1 1 1 1 1 1 + + £ ( + + ) 2a + b + c 2a + 2b + c a + b + 2c 4 a b c b) 1 1 1 1 1 1 + + ³ + + a + 3b b + 3c c + 3a 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c lời giải Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực không âm ta có: a + b ³ 2 ab üïï 1 1 1 ï 1 1 1 ýï  (a + b)(a + b ) ³ 2 ab .2 ab = 4 + ³2 ï a b ab ïïþ Suy ra 1 1 4 (*). Đẳng thức xảy ra  a = b . + ³ a b a +b a) Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 = £ ( + )£ ( + + ) 2a + b + c (a + b) + (a + c) 4 a + b a + c 16 a b c Tương tự ta có 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 £ ( + + ); £ ( + + ) a + 2b + c 16 a b c a + b + 2c 16 a b c Cộng ba BĐT trên ta có được đpcm. Đẳng thức xảy ra  a = b = c . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 292 b) Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 1 4 2 . + ³ = a + 3b a + b + 2c 2a + 4b + 2c a + 2b + c Tương tự 1 1 2 1 1 2 + ³ ; + ³ b + 3c 2a + b + c a + b + 2c c + 3a a + 2b + c 2a + b + c Cộng ba BĐT trên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra  a = b = c . Ví dụ 6: Cho a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a) a b c 3 + + £ . 1+a 1+b 1 +c 4 b) 1 1 1 1 + + + ³ 30 2 2 ab bc ca a +b +c 2 Lời giải Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có : a + b + c ³ 3 3 abc üïï 1 1 1 1 ï 3 =9 1 1 1 1 ýï  (a + b + c)( + + ) ³ 3 abc .3 3 a b c + + ³33 abc ïï a b c abc ïþ Suy ra 1 1 1 9 (*) . Đẳng thức xảy ra  a = b = c . + + ³ a b c a +b +c a) Ta có BĐT  a +1-1 b +1-1 c +1-1 3 + + £ a +1 b +1 c +1 4 1 1 1 3 1 1 1 9  3 -( + + )£  + + ³ . a +1 b +1 c +1 4 a +1 b +1 c +1 4 Áp dụng BĐT (*) ta có 1 1 1 9 9 + + ³ = đpcm. a +1 b +1 c +1 a +b +c + 3 4 Đẳng thức xảy ra  a = b = c = b) Áp dụng BĐT (*) ta có :  1 . 3 1 1 1 9 + + ³ ab bc ca ab + bc + ca 1 1 1 1 1 9 + + + ³ 2 + 2 2 2 2 ab bc ca ab + bc + ca a +b +c a +b +c 2 = 1 1 1 7 + + + 2 2 ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca a +b +c 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 293 Mặt khác : ab + bc + ca £ 1 1 7 (a + b + c)2 =  ³ 21 3 3 ab + bc + ca 1 1 1 9 + + ³ 2 =9 2 2 2 2 ab + bc + ca ab + bc + ca a +b +c a + b + c + 2(ab + bc + ca ) 2 Suy ra : 1 1 1 1 + + + ³ 9 + 21 = 30 đpcm. 2 2 ab bc ca a +b +c 2 Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 . 3 Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thuộc éë 0;1 ùû thỏa mãn 1 2 3 6 + 4 + 4 = . 7 4a + 5 4b + 5 4c + 5 4 Tìm giá trị lớn nhất của P = ab 2c 3 Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức sau Với x , y thuộc [0,1] , ta luôn có 1 1 2 + 4 £ 2 2 (*) 4x + 5 4y + 5 4x y + 5 4 Thật vậy, BĐT (*)  ( 2x 4 + 2y 4 + 5 )( 4x 2y 2 + 5 ) £ ( 4x 4 + 5 )( 4y 4 + 5 )  8x 4y 4 – 10x 2y 2 + ( x 4 + y 4 )( 5 – 4x 2y 2 ) ³ 0  (5 – 4x 2y 2 )(x 2 – y 2 )2 ³ 0 (đúng với x , y Î [0,1] ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y . Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 1 2 2 2 4 + 4 + 4 £ 2 2 + 2 2 £ (1) 4a + 5 4b + 5 4c + 5 4a c + 5 4b c + 5 4abc 2 + 5 Suy ra Và 4 1 1 + £ 4b + 5 7 Suy ra 1 1 2 1 1 2 + 4 £ 2 2 , 4 + 4 £ 2 2 4a + 5 4c + 5 4a c + 5 4b + 5 4c + 5 4b c + 5 4 4 2 4. b 2 2 , +5 1 1 + £ c +5 7 4 1 1 2 + 4 + £ 4b + 5 4c + 5 7 Ta lại có 2 4 4 + 4abc 2 + 5 4. 4 bc 2 4. b 2 4. c +5 4. 2 3 ab c 2 2 +5 2 + 4. 8 £ +5 2 2 2 c 2 2 £ +5 4. 4 bc 2 (2) +5 (3) +5 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 294 Từ (1), (2) và (3) ta có 1 2 3 2 + 4 + 4 + £ 4a + 5 4b + 5 4c + 5 7 8 Kết hợp giả thiết suy ra 2 3 4. ab c 2 ³ +5 4. 2 3 ab c 2 +5 8 2  ab 2c 3 £ 7 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = Vậy max P = 8 4 4 1 2 1 khi và chỉ khi a = b = c = 16 4 1 . 2 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? a  b A.   a  c  b  d. c  d a  b B.   a  c  b  d. c  d a  b C.   a  d  b  c. c  d a  b  0 D.   a  c  b  d. c  d  0 Lời giải Chọn C a  b a  b a  b    a  d  b  c. Ta có  c  d  c   d  d   c Câu 2: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai? a  b bc A.  a . 2 a  c a  b B.   a  c  b  a. a  c C. a  b  a  c  b  c. D. a  b  c  a  c  b. Lời giải Chọn D Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: a  b bc  a  a  b  c  2a  b  c  a    A đúng.   2 a  c a  b  a  a  b  c  a  c  b  a   B đúng.   a  c  C đúng.  a  b  a    c   b    c   a  c  b  c  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 295  a  b   a   b  c  a  c  b   D sai. Câu 3: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? a  b A.   ac  cd . c  d a  b B.   ac  cd . c  d 0  a  b  ac  bd . C.  0  c  d a  b  ac  bd . D.  c  d Lời giải Chọn C 0  a  b Ta có   ac  bd . 0  c  d Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? A. a  b  ac  bc. B. a  b  ac  bc. C. c  a  b  ac  bc. a  b  ac  bc. D.  c  0 Lời giải Chọn D Xét bất phương trình a  b   .  c  0  a  b  ac  bc Khi nhân cả hai vế của   với c, ta được  .  c  0   a  b  ac  bc Câu 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? 0  a  b a b   . A.  c d 0  c  d a  b  0 a b   . B.  c d c  d  0 a  b a b   . C.  c d c  d a  b  0 a d   . D.  b c c  d  0 Lời giải Chọn D Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: 0  a  b 0  a  b a b      A sai. 1 1  Chưa đủ dữ kiện để so sánh ,  c d 0  c  d 0  d  c Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 296 a  b  0 a  b  0 a b   1 1  Chưa đủ dữ kiện để so sánh ,     B sai. c  d  0 c d   d  c  0 a  b a b       C sai vì chưa thiếu điều kiện a, b, c, d . c d c  d a 1 a  b  0 a d a d  b      1      D đúng. b c b c c  d  0 1  d  c Câu 6: Nếu a  2c  b  2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. 3a  3b. C. 2a  2b. B. a 2  b 2 . D. 1 1  . a b Lời giải Chọn C Từ giả thiết, ta có a  2c  b  2c  a  b  2a  2b. Câu 7: Nếu a  b  a và b  a  b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. ab  0. và b  0. B. b  a. C. a  b  0. a0 D. Lời giải Chọn A a  b  a b  0 a  0 Từ giả thiết, ta có     ab  0. b  a  b  a  0 b  0 Câu 8: Nếu 0  a  1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. 1  a. a B. a  1 . a C. a  a . D. a 3  a 2 . Lời giải Chọn A Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:     1 a 1 a  a 1 1 a a 1  a   0   a , a   0;1   A đúng. a a a a  a 1 a 2  1  a  1 a  1 1    0  a  , a   0;1   B sai. a a a a  a a  a   a  1  0  a  a , a   0;1   C sai. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 297  a 3  a 2  a 2  a  1  0  a 3  a 2 , a   0;1   D sai. Câu 9: Cho hai số thực dương a, b . Bất đẳng thức nào sau đây đúng? a2 1  . 4 a 1 2 đúng. A. B. ab 1  . ab  1 2 a2  1 1  . a2  2 2 C. D. Tất cả đều Lời giải Chọn C Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: a 2  1  1 2a 2  a 4  1 1 a2 a2  4  0,       a      A sai. 4 4 4 a 1 2 a 1 2 2  a  1 2  a  1 2   2 ab  1 1 ab 1 2 ab  ab  1 ab     0  , a, b  0   B sai. 2  ab  1 2  ab  1 ab  1 2 ab  1 2  a 1 1 2 a 1  a   a2  2 2 2  a2  2 2 2 2  2   a2  1  1 2  a2  2 2 0 a2  1 1  , a  C a2  2 2 đúng. Câu 10: Cho a, b  0 và x  A. x  y. 1 a 1 b ,y  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 1 a  a 1  b  b2 B. x  y. C. x  y. D. Không so sánh được. Lời giải Chọn B Giả sử x  y  1 a 1 b   1  a  1  b  b 2   1  b  1  a  a 2  2 2 1 a  a 1 b  b  1  b  b 2  a  ab  ab 2  1  a  a 2  b  ab  a 2 b  b 2  ab 2  a 2  a 2 b   a 2  b 2   ab  a  b   0   a  b  a  b  ab   0 luôn đúng với mọi a  b  0 . Vậy x  y. x  1  Dấu ”  ” xảy ra   2  x  1  2. Vậy m  2 2  1.  x  1  x  1 Câu 11: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f  x   Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x2  5 x2  4 . Trang 298 A. m  2. 5 C. m  . 2 B. m  1. D. Không tồn tại m. Lời giải Chọn C Sai lầm thường gặp Ta có f  x   x2  4  1 x 4 2 1  x2  4  Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi x 4 2 2 x 2  4. 1 x2  4  1 x 4 2  2.  x2   3 . x 4 2 Vậy hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất. Lời giải đúng Đặt t  x 2  4  t  2 . Lúc đó : f ( x ) = g (t ) = t 2 +1 1 t 1 3t 5 = t + = + + ³ (do t ³ 2 ) t t  4 t  4 2 ³2 ³ 3 2 ì t 1 ï ï = 5 5 ï Vậy g (t ) ³  Min g (t ) = khi í 4 t  t = 2  x = 0 ï 2 2 ï ï ît ³ 2 Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f  x   A. m  0. x2  2 x  2 với x  1. x 1 B. m  1. C. m  2. D. m  2. Lời giải Chọn C. x 2  2 x  1  1  x  1  1 1   x 1 . Ta có f  x   x 1 x 1 x 1 2 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x  1  1 2 x 1  x  1 . 1  2. x 1  x  1  Dấu ”  ” xảy ra   1  x  0. Vậy m  2.  x  1  x  1 Câu 13: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f  x   A. m  4. B. m  18. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133  x  2  x  8  x với x  0. C. m  16. D. m  6. Trang 299 Lời giải Chọn B. Ta có f  x    x  2  x  8  x  x 2  10 x  16 16  x   10. x x Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x  16 16  2 x.  8  f  x   18. x x x  0  Dấu ”  ” xảy ra   16  x  4. Vậy m  18.  x  x Câu 14: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f  x   A. m  2. B. m  4. 4 x với 1  x  0.  x 1 x C. m  6. D. m  8. Lời giải Chọn D. Ta có f  x   4  Vì x   0;1  f  x  4  4 1  x  4 4 4x x x x  4     . x 1 x x x 1 x x 1 x x  0 nên theo bất đẳng thức Côsi, ta có 1 x 4 1  x  x  4 1  x  x x 2 .  4  f  x   8. 1 x 1 x x 1  x  0 2  Dấu ”  ” xảy ra   4 1  x  x  x  . Vậy m  8. 3   1 x  x Câu 15: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f  x   A. m  2. B. m  4. 1 1 với 0  x  1.  x 1 x C. m  8. D. m  16. Lời giải Chọn B. Cách 1. Theo bất đẳng thức Côsi, ta có Mặt khác x 1  x    x  1  x 4 2  1 1 1 1  2 .  x 1 x x 1 x 1 1   x 1  x    4 2 2 x 1  x  1 x 1  x  .  2  f  x   4. 1  x  0 1 Dấu ”  ” xảy ra    x  . Vậy m  4. 2 x  1  x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 300 Cách 2. Ta có f  x   x 1 1 1 x  x 1 x  x 1 x       2. x 1 x x x 1 x 1 x Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 1 x x 1 x x .  2  2  f  x   4. x 1 x x 1 x 1  x  0 1  Dấu ”  ” xảy ra   x 1 x  x  . 2 1  x  x Câu 16: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f  x   1 A. m  . 2 x 2  32 với x  2. 4  x  2 7 B. m  . 2 C. m  4. D. m  8. Lời giải Chọn C. Ta có f  x   x 2  32 x 2  4  36 x  2 9 x2 9       1. 4  x  2 4  x  2 4 x2 4 x2 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x2 9 x2 9 .  2  3  f  x   3  1  4. 4 x2 4 x2 x  2  Dấu ”  ” xảy ra   x  2 9  x  8. Vậy m  4.  4  x  2 Câu 17: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f  x   A. m  2. 2 x3  4 với x  0. x B. m  4. C. m  6. D. m  10. Lời giải Chọn C. Ta có f  x   2 x3  4 4 2 2  2×2   2×2   . x x x x Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 2 x 2  2 2 2 2   3 3 2 x 2 . .  3 3 8  6. x x x x x  0  Dấu ”  ” xảy ra   2 2  x  1. Vậy m  6. 2 x  x Câu 18: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f  x   Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x4  3 với x  0. x Trang 301 A. m  4. B. m  6. C. m  13 . 2 D. m  19 . 2 Lời giải Chọn A. Ta có f  x   x4  3 3 1 1 1  x3   x3    . x x x x x Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x3  1 1 1 1 1 1    4 4 x3 . . .  4  f  x   4. x x x x x x x  0  Dấu ”  ” xảy ra   3 1  x  1. Vậy m  4.  x  x  1 3 Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f  x    6 x  3 5 x  2  với x    ;   2 2 Câu 19: A. M  0. B. M  24. C. M  27. D. M  30. Lời giải Chọn C. Áp dụng bất đẳng thức hệ quả của Côsi ab  f  x   3  2 x  1 5  2 x   3.  a  b 4  2x  1  5  2x 2 2 , ta được  27  f  x   27. 4 5  1   x  Dấu ”  ” xảy ra   2 2  x  1. Vậy M  27. 2 x  1  5  2 x Câu 20: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f  x   A. M  0. x 1 với x  1. x 1 B. M  . 2 C. M  1. D. M  2. Lời giải Chọn B. Ta có f  x   x 1 x 1   x x 11 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có   x 1 x 1 x 1  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2  2 1 . 1  2   2 x  1 .1  2 x  1. Trang 302   f  x  x 1 1  . 2 x 1 2 1 Dấu ”  ” xảy ra  x  2. Vậy M  . 2 Câu 21: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f  x   1 A. M  . 4 x với x  0. x 4 1 B. M  . 2 2 C. M  1. D. M  2. Lời giải Chọn A. Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x 2  4  2 x 2 .4  4 x   f  x  x 1 1  . Dấu ”  ” xảy ra  x  2. Vậy M  . 4x 4 4 Câu 22: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f  x   1 B. M  . 4 A. M  0. x  x  1 2 với x  0. 1 C. M  . 2 D. M  1. Lời giải Chọn B. Ta có f  x   x  x  1 2  x . x  2x  1 2  x2  2 x  1  4 x Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x 2  1  2 x 2 .1  2 x    f  x  Câu 23: x 1 1  . Dấu ”  ” xảy ra  x  1. Vậy M  . 4x 4 4 Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của hàm số f  x   x  3  x  6 A. m  2, M  3 B. m  3, M  3 2. C. m  2, M  3 2. D. m  3, M  3. Lời giải Chọn B. x  3  0 Hàm số xác định khi   3  x  6 nên TXĐ D   3;6. 6  x  0 Ta có f 2  x   9  2  x  3 6  x  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 303  Vì  3  x  6  x   0, x    3;6 nên suy ra f 2  x   9   f  x   3. Dấu ”  ” xảy ra  x  3 hoặc x  6. Vậy m  3.  Lại có 2  3  x  6  x   3  x  6  x  9 nên suy ra f 2  x   18   f  x   3 2. 3 Dấu ”  ” xảy ra  x  3  6  x  x  . Vậy M  3 2. 2 Vậy m  3, M  3 2. Câu 24: Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của hàm số f  x   2 x  4  8  x A. m  0, M  4 5. B. m  2, M  4. C. m  2, M  2 5. D. m  0, M  2 2. Lời giải Chọn C. x  4  0 Hàm số xác định khi   4  x  8 nên TXĐ D   4;8. 8  x  0  Ta có f 2  x   3x  8  4  x  4 8  x   3  x  4   4  x  4 8  x   4.  x  4  0  f  x   4. Vì  , x   4;8 nên suy ra f 2  x   4  4 8 0 x x        Dấu ”  ” xảy ra  x  4. Vậy m  2.  Với x   4;8 , áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 4 16  x4  2 5 5  x  4. 16 8 x  4  . 1 5 5 44 4  x 8 x  2 5 5 8  x  . 4 4 8 x  .  2 x 5  x  Lấy 1   2  theo vế, ta được Suy ra 8 x4 4 8 x 5 Dấu ”  ” xảy ra  x  8 x4 4 8 x 8 5 4 f  x 5  x 4 44   x  8. 5 5  8  f  x   2 5. 36 . Vậy M  2 5. 5 Vậy m  2, M  2 5. m của hàm số f  x   7  2 x  3 x  4 Câu 25: Tìm giá trị nhỏ nhất Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 304 A. m  3. B. m  10. C. m  2 3. D. m  87 . 3 Lời giải Chọn D. 7  2 x  0 4 7  4 7 Hàm số xác định khi     x  nên TXĐ D    ;  . 3 2  3 2 3x  4  0 Ta có y 2   x  11  2  7  2 x  3x  4  2  7  2x  2  7  2 x  3x  4   3x  4 1 3  7  2 x  3x  4    3x  4   2  7  2 x  3x  4   29 . 3 3 x  4  0 29 87  4 7 Vì  , x    ;  nên suy ra f 2  x     f  x  . 3 3  3 2   7  2 x  3 x  4   0 4 87 Dấu ”  ” xảy ra  x   . Vậy m  . 3 3 2 Câu 26: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f  x   x  8  x . A. M  1. B. M  2. D. M  4. C. M  2 2. Lời giải Chọn D.  Ta có f 2  x   x  8  x 2  2  x2  2 x 8  x2  8  x2  8  2 x 8  x2 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 2 x 8  x 2  x 2   8  x2  2 8   f 2  x   8  2 x 8  x 2  8  8  16   f  x   4.   2  2 2 8 x x    Dấu ”  ” xảy ra    x  2. Vậy M  4. 2 2 x 8  x  8  Câu 27: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  xy  3 . Tập giá trị của biểu thức S  x  y là: A.  0;3 . B.  0; 2 . C.  2; 2 . D. 2; 2 . Lời giải Chọn C. Ta có x 2  y 2  xy  3   x  y   3  xy  2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133  x  y 4 2 . Trang 305 Suy ra  x  y   4  2  x  y  2. 2 Câu 28: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  xy  1 . Tập giá trị của biểu thức P  xy là:  1 A.  0;  .  3  1 D.  1;  .  3 1  C.  ;1 . 3  B.  1;1 . Lời giải Chọn D. 1 2  2 2  x  y  xy  1  1  3 xy   x  y   0  xy  3 . Ta có   x 2  y 2  xy  1  1  xy   x  y 2  0  xy  1  Câu 29: Cho hai số thực x, y thỏa mãn  x  y   4 xy  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 S  x  y là: A. 3 2. D.  3 2 . C. 8 . B. 1. Lời giải Chọn B. Với mọi x, y ta có  x  y   4 xy . 2 Suy ra  x  y    x  y    x  y   4 xy  2 hay  x  y    x  y   2  x  y  1. 3 2 3 3 2 Câu 30: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  x  y  xy . Tập giá trị của biểu thức S  x  y là: A.  0;   . B.  ;0 . C.  4;   . D.  0; 4 . Lời giải Chọn D. Ta có x 2  y 2  x  y  xy  x  y  x 2  y 2  xy   x  y   3 xy   x  y   2 Suy ra x  y  2 3 1 2 2  x  y   x  y . 4 4 1 2  x  y   0  x  y  4. 4 Câu 31: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  3  x  y   4  0 . Tập giá trị của biểu thức S  x  y là: A. 2; 4 . B.  0; 4 . C.  0; 2 . D.  2; 4 . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 306 Chọn D. Từ giả thiết, ta có 3  x  y   4  x 2  y 2   x  y 2 2   x  y   6  x  y   8  0  2  x  y  4. 2 Câu 32: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x  y  1 . Giá trị nhỏ nhất của S  B. 5 . A. 4 . 1 4  là: x y C. 9 . D. 2 . Lời giải Chọn C. Ta có 1 4 1 4 1 4 4x y 4x y   1.      x  y      5    52 .  9. x y y x y x x y x y 1 2 Dấu ”  ” xảy ra khi x  ; y  . 3 3 Câu 33: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x 2 y  xy 2  x  y  3 xy . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  x  y là: A. 1. C. 3 . B. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn D. Từ giả thiết, ta có xy  x  y   x  y  3xy . * Vì x  0, y  0 nên x  y  0 . Do đó *  x  y  1 1 4  3 3 x y x y  x  y  1 2   x  y   3 x  y   4  0    x y4 . x  y  4 Câu 34: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x 4  y 4  1  xy  2 . Giá trị nhỏ nhất và giá trị xy lớn nhất của biểu thức P  xy lần lượt là: A. 1 và 1. 2 B. 0 và 1. C. 1 và 1 . 4 D. 1 và 2 . Lời giải Chọn A. Ta có x 4  y 4  2 x 2 y 2 , kết hợp với giả thiết ta được xy  2  2 x 2 y 2  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 . xy Trang 307 1 Đặt xy  t  0 , ta được t  2  2t 2   2t 3  t 2   2t  1  0 t   t  1 t  1 2t  1  0   t  1 2t  1  0  Câu 35: Cho a A. 3 hai số thực thuộc a,b 1  t  1. 2 khoảng  0;1 và thỏa mãn  b3   a  b   ab  a  1 b  1  0 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  ab bằng 1 . 9 B. 1 . 4 C. 1 . 3 D. 1 . Lời giải Chọn A a Giả thiết  a ● 3 3  b3   a  b   b3   a  b  ab ab  1  a 1  b  . *  a 2 b2       a  b   2 ab .2 ab  4ab. 1 a   b ● 1  a 1  b   1   a  b   ab  1  2 ab  ab.  2  Từ 1 ,  2  và kết hợp với * , ta được 1 4ab  1  2 ab  ab  3ab  2 ab  1  0  0  ab  . 9 Câu 36: Cho hai số thực x, y thuộc đoạn  0;1 và thỏa mãn x  y  4 xy. Tập giá trị của biểu thức P  xy là: A.  0;1 .  1 B.  0;  .  4  1 C.  0;  .  3 1 1 D.  ;  .  4 3 Lời giải Chọn D 1 Ta có 4 xy  x  y  2 xy  xy  . 4 Do x, y   0;1 , suy ra 1  x 1  y   0  1   x  y   xy  0 . * 1 Kết hợp * và giả thiết, ta được 1  4 xy  xy  0  xy  . 3 Câu 37: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x  2 y  xy  0 . Giá trị nhỏ nhất của S  x  2 y là A. 2 . C. 8 . B. 4 . D. 1 . 4 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 308 Chọn C 1 1  x  2y Từ giả thiết, ta có x  2 y  xy  .x.2 y  . 2 2 4 2   x  2 y   x  2 y   8  0  x  2 y  8 . Câu 38: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x  y  xy  7 . Giá trị nhỏ nhất của S  x  2 y là: A. 8 . B. 5 . D. 11 . C. 7 . Lời giải Chọn B Từ giả thiết x  y  xy  7  2  x  1 y  1  16. 1 x  2y  2  Ta có 16  2  x  1 y  1   x  1 2 y  2     2   2 x  2y  5 2   x  2 y  3  64    x  2y  5 .  x  2 y  11 Câu 39: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 x  3 y  7 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  y  xy là: A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 2 . Lời giải Chọn B. Ta có 6  x  1 y  1   2 x  2  3 y  3   2 x  2  3 y  3 4 2   7  5 4 2  36 . Suy ra x  y  xy  5 . Câu 40: Cho hai số thực x, y không âm và thỏa mãn x   2 y  12 . Giá trị lớn nhất của P  xy là: A. 13 . 4 C. 8 . B. 4 . D. 13 . Lời giải Chọn C Từ giả thiết, ta có 16   x 2  4   2 y  4 x  2 y  2 4 x.2 y . Suy ra xy  8 . Dấu ”  ” xảy ra khi x  2; y  4. Câu 41: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x  y và xy  1000 Biết biểu thức F  x2  y 2 đạt giá x y x  a a 2  b2 trị nhỏ nhất khi  . Tính P  1000 y  b Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 309 A. P  2. B. P  3. C. P  4. D. P  5. Lời giải Chọn C x 2  y 2 x 2  2 xy  y 2  2 xy  x  y   2.1000 2.1000 .    x y Ta có F  x y x y x y x y 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có F  x  y  2.1000 2 x y  x  y . 2.1000  40 5. x y  xy  1000   xy  1000 Dấu ”  ” xảy ra   .  2.1000 x y 0    x y 20 5      x y  ab  1000 a 2  b2 2 Vậy Fmin  4 5 khi   a 2  b 2   a  b   2ab  4000   4. 1000 a  b  20 5 Câu 42: Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x  y  3 Tìm giá trị nhỏ nhất Fmin của biểu thức F  x  y  1 1  x 2y 1 A. Fmin  4 . 2 B. Fmin  3 2. 1 C. Fmin  4 . 3 2 D. Fmin  4 . 3 Lời giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực dương, ta có x 1 x 1 1 y 2 y 2  2 .  2.  1 và   2 .  2. 2 2x 2 2x 2 y 2 y 4 Khi đó F  x  y  1 2 x y x 1   y 2 3 1           1 2  4 . 2x y 2 2  2 2x   2 y  2 x  y  3 x  1 1  . Vậy Fmin  4 . Dấu ”  ” xảy ra   x 1 y 2   2 y  2  2  2x ; 2  y  Câu 43: Cho x  8 y  0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x  A. 3, B. 6. C. 8. 1 là y  x  8y D. 9. Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 310 Ta có F  x  1 1   x  8y  8y  . y  x  8y y  x  8y Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có F  3 3  x  8 y  .8 y. 1  3 3 8  6. y  x  8y x  8 1   Dấu ”  ” xảy ra  x  8 y  8 y  1. y  x  8y  y  2 Câu 44: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  y  1  2   x  2  y  3 . Tập giá trị của biểu thức S  x  y là: A.  1;7  . B. 3;7 . C. 3;7   1 . D.  7;7 . Lời giải Chọn C x  2 Điều kiện:  , suy ra x  y  1  0 .  y  3 ● Ta có x  y  1  2  x2  y3   2 x2 2 y3  Suy ra x  y  1  . 4 x2 4 y3 x y9   2 2 2 x y9  x y 7. 2 ● Lại có x  y  1  2  x2  y3      x  y  1  4 x  y  1  2 x  2 y  3  4  x  y  1 2 x  y 1  0 x  y 1  0  x  y  1 2   . Suy ra  x  y  1  4  x  y  1   x  y 1   x  y 1   x  y   Câu 45: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a  0, b  0 và f  x  =ax 2  bx  c  0 với mọi x   Tìm giá trị nhỏ nhất Fmin của biểu thức F  A. Fmin  1. B. Fmin  2. 4a  c b C. Fmin  3. D. Fmin  5. Lời giải Chọn B a  0 Do hàm số f  x   ax 2  bx  c  0, x       4ac  b 2 . 0    Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 311 4a  c 2 4ac 2 b 2 2b     2. b b b b Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có F  c  4a  b  c  4a. Dấu ”  ” xảy ra khi  2 b  4ac Câu 46: Cho ba số thực a , b, c không âm và thỏa mãn a 2  b 2  c 2  abc  4 . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S  a 2  b 2  c 2 lần lượt là: A. 1 và 3 . C. 2 và 3 . B. 2 và 4 . D. 3 và 4 . Lời giải Chọn D Từ giả thiết suy ra a 2  b 2  c 2  4. Ta có 4  a 2  b 2  c 2  abc  a 2  b 2  c 2  a 2 b 2 c 2 . a Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có Từ đó suy ra 4  a  b  c  2 2 2 a 2 2  b2  c 2  27  b2  c 2  3  a 2 b2 c2 . 3 hay 27 Câu 47: Cho ba số thực dương x, y, z . Biểu thức P  S3  4  S  3  S  4. 27 1 2 x y z x  y2  z2     có giá trị  2 yz zx xy nhỏ nhất bằng: A. 11 . 2 B. 5 . 2 C. 9 . 2 D. 9 . Lời giải Chọn C. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có x2  y z y z x z x y   3. 3 x 2 . .  3; y 2    3; z 2    3. zx xy zx xy yz xy yz zx  x y z  Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên, ta được x 2  y 2  z 2  2      9 .  yz zx xy  Suy ra P  9 9 . Khi x  y  z  1 thì P  . 2 2 Câu 48: Cho ba số thực dương x , y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  3 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  x3  y 3  z 3  3 A. 12 .  3  x  3 y  3 z bằng: B. 3 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 5 . D. 11 . 2 Trang 312 Lời giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có x3  3 x  3 x  3 x  4 x hay x3  3 3 x  4 x . Tương tự: y 3  3 3 y  4 y và z 3  3 3 z  4 z . Suy ra P  x3  y 3  z 3  3   x  3 y  3 z  4  x  y  z   12. 3 Khi x  y  z  1 thì P  12. Câu 49: Cho ba số thực dương x, y , z thỏa mãn điều kiện x  y  z  2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  y  y  z  z  x bằng: A. 3. B. 3 . 3 C. 2 3 . D. 1 . Lời giải Chọn C Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có  x  y . Suy ra 4  3 x y  x  y . 2 4  3 4 3;  y  z .  y  z . 4  3 4  3 yz 2  z  x. 4 3 và  z  x. 2 4 3. 4  x  y  z  2  4. 3 Do đó P  x  y  y  z  z  x  2 3. Khi x  y  z  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 4  3 zx 2 thì P  2 3. 3 Trang 313 BÀI 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 1. Bất phương trình một ẩn Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f (x ) < g(x ) ( f ( x ) £ g ( x )) (1) trong đó f ( x ) và g ( x ) là những biểu thức của x . Ta gọi f ( x ) và g ( x ) lần lượt là vế trái của bất phương trình (1). Số thực x 0 sao cho f (x0 ) < g(x0 ) ( f ( x 0 ) £ g ( x 0 )) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1). Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. Chú ý: Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g ( x ) > f ( x ) ( g ( x ) ³ f ( x )). 2. Điều kiện của một bất phương trình Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f ( x ) và g ( x ) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1). 3. Bất phương trình chứa tham số Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó. II – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng. Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm. III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Bất phương trình tương đương Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu ”  ” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó. Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu ”  ” để chỉ sự tương đương đó. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 314 2. Phép biến đổi tương đương Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương. 3. Cộng (trừ) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P (x ) < Q (x )  P (x ) + f (x ) < Q (x ) + f (x ) 4. Nhân (chia) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P ( x ) < Q ( x )  P ( x ). f ( x ) < Q ( x ). f ( x ), f ( x ) > 0, “x P ( x ) < Q ( x )  P ( x ). f ( x ) > Q ( x ). f ( x ), f ( x ) < 0, "x 5. Bình phương Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương. P ( x ) < Q ( x )  P 2 ( x ) < Q 2 ( x ), P ( x ) ³ 0, Q ( x ) ³ 0, "x 6. Chú ý Trong quá trình biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý những điều sau 1) Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới. 2) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P ( x ) < Q ( x ) với biểu thức f ( x ) ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của f ( x ). Nếu f ( x ) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình. 3) Khi giải bất phương trình P ( x ) < Q ( x ) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp a) P ( x ), Q ( x ) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình. b) P ( x ), Q ( x ) cùng có giá trị âm ta viết P ( x ) < Q ( x )  -Q ( x ) < - P ( x ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 315 rồi bình phương hai vế bất phương trình mới. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Điều kiện xác định của bất phương trình 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 1 3  x 1 x  2 Lời giải x  1 x 1  0 . Điều kiện của bất phương trình là:   x  2  0  x  2 Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của của bất phương trình Lời giải  x  4  x  1  3  0   x  4  x  2   Điều kiện xác định của BPT :  . 2  x  0 x  2 x  2  Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x - m - 6 - 2 x có tập xác định là một đoạn trên trục số. Lời giải ìx - m ³ 0 ìx ³ m ï ï Hàm số xác định khi ïí . ï í ï ï6 - 2 x ³ 0 î ï ïx £ 3 î  Nếu m = 3 thì tập xác định của hàm số là D = {3}.  Nếu m > 3 thì tập xác định của hàm số là D = Æ.  Nếu m < 3 thì tập xác định của hàm số là D = [m ;3]. 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 2 - x + x < 2 + 1 - 2 x . A. x Î . æ 1ù C. x Î ççç-¥; ú . è 2ú B. x Î (-¥;2 ]. û é1 ëê 2 ù úû D. x Î ê ;2 ú . Lời giải Chọn C. ïì x £ 2 1 x£ . ïï x £ 1 2 2 îï ï ìï2 - x ³ 0 Bất phương trình xác định khi ïí  ïí ïïî1 - 2 x ³ 0 Câu 2: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình x + Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x -1 x +5 > 2- 4- x. Trang 316 A. x Î [-5;4 ]. B. x Î (-5;4 ]. C. x Î [ 4; +¥). D. x Î (-¥; -5). Lời giải Chọn B. ïì x + 5 > 0 ïìï x > -5 í  -5 < x £ 4. ïîï4 - x ³ 0 ïîï x £ 4 Bất phương trình xác định khi ïí Câu 3: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình x +1 2 ( x - 2) < x + 1. A. x Î [-1; +¥). B. x Î (-1; +¥). C. x Î [-1; +¥) {2}. D. x Î (-1; +¥) {2}. Lời giải Chọn C. ìï x + 1 ³ 0 ìï x + 1 ³ 0 ìï x ³ -1 ïï 2 ï  ïí  ïí . Bất phương trình xác định khi í( x - 2) ïï ïîï x - 2 ¹ 0 ïîï x ¹ 2 ïïî x - 2 ¹ 0 Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m - 2 x - x + 1 có tập xác định là một đoạn trên trục số. A. m < -2. 1 2 B. m > 2. C. m > – . D. m > -2. Lời giải Chọn D. ìï m ïìm – 2 x ³ 0 ïï x £ Hàm số xác định khi ïí í 2 . ï ï ïî x + 1 ³ 0 ïï x ³ -1 î  Nếu m = -1  m = -2 thì tập xác định của hàm số là D = {-1}. 2  Nếu m < -1  m < -2 thì tập xác định của hàm số là D = Æ. 2  Nếu é mù m > -1  m > -2 thì tập xác định của hàm số là D = ê-1; ú . êë 2 úû 2 Dạng 2. Cặp bất phương trình tương đương 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Bất phương trình 2 x + A. 2 x < 5. 3 3 <5+ 2x - 4 2x - 4 B. x < tương đương với: 5 và x ¹ 2 . 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 317 5 2 C. x < . D. Tất cả đều đúng. Lời giải Chọn B. Điều kiện: x ¹ 2. Bất phương trình tương đương với: 2 x < 5  x < ta có x < 5 2 kết hợp với điều kiện 5 và x ¹ 2 . 2 Ví dụ 3: Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương? A. x - 2 £ 0 và x 2 ( x - 2) £ 0. B. x - 2 < 0 và x 2 ( x - 2) > 0. C. x – 2 < 0 và x 2 ( x - 2) < 0. D. x - 2 ³ 0 và x 2 ( x - 2) ³ 0. Lời giải Chọn A. Ta xét từng bất phương trình trong đáp án A: x - 2 £ 0  x £ 2. x 2 ( x - 2 ) £ 0  x £ 2. Cả hai bất phương trình có cùng tập nghiệm nên chúng tương đương. Ví dụ 4: Với giá trị nào của a thì hai bất phương trình (a + 1) x - a + 2 > 0 và (a – 1) x – a + 3 > 0 tương đương: A. a = 1. B. a = 5. C. a = -1. D. a = 2. Lời giải Chọn B. Phương pháp trắc nghiệm: Thay lần lượt từng đáp án vào hai phương trình. ì ï 1 ï(a + 1) x – a + 2 > 0 ¾¾  2 x +1 > 0 « x > 2 . Không thỏa. ● Thay a = 1 , ta được ïí ï ï  0x + 2 > 0 « x Î  ï ï î(a – 1) x – a + 3 > 0 ¾¾ ìï 1 ïï(a + 1) x – a + 2 > 0 ¾¾  6x -3 > 0 « x > ï 2. ï ● Thay a = 5 , ta được í ïï 1  4x -2 > 0 « x > ïï(a – 1) x – a + 3 > 0 ¾¾ 2 îï 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Bất phương trình 2 x + A. 2 x < 3. 3 3 <3+ 2x - 4 2x - 4 B. x < tương đương với 3 và x ¹ 2 . 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 318 3 2 C. x < . D. Tất cả đều đúng. Lời giải Chọn D. Điều kiện: x ¹ 2 . Bất phương trình tương đương với: 2x < 3  x < Câu 2: 3 (thỏa mãn điều kiện). 2 Bất phương trình 2 x -1 ³ 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây? A. 2 x - 1 + 1 1 ³ . x -3 x -3 B. 2 x -1 - C. (2 x -1) x - 2018 ³ x - 2018. D. 1 1 ³. x +3 x +3 2 x -1 x - 2018 ³ 1 x - 2018 . Lời giải Chọn B. Nếu ta cộng 1 vào hai vế bất phương trình 2 x -1 ³ 0 thì điều kiện của bất phương x -3 trình sẽ thay đổi suy ra đáp án A sai. Tương tự nếu ta nhân hoặc chia hai vế bất phương trình đã cho với x - 2018 thì điều kiện của bất phương trình ban đầu cũng sẽ thay đổi suy ra đáp án C và D sai. Câu 3: Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x + 5 > 0 ? A. ( x – 1)2 ( x + 5) > 0. B. x 2 ( x + 5) > 0. C. x + 5 ( x + 5) > 0. D. x + 5 ( x – 5) > 0. Lời giải Chọn C. Bất phương trình x + 5 > 0  x > -5. ïì x ¹ 1 . Đáp án A sai. ïïî x > -5 Bất phương trình ( x – 1)2 ( x + 5) > 0  ïí ì ïx ¹ 0 . Đáp án B sai. ï ï î x > -5 Bất phương trình x 2 ( x + 5) > 0  ïí Bất phương trình x + 5 ( x + 5) > 0  x > -5. Câu 4: Bất phương trình ( x + 1) x £ 0 tương đương với A. x ( x + 1)2 £ 0 . B. ( x + 1) x < 0 C. ( x + 1)2 x £ 0. 2 D. ( x + 1) x <0 Lời giải Chọn C. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 319 Bất phương trình ( x + 1) x £ 0 có điều kiện x ³ 0  ( x + 1) x £ 0  x = 0. é x = -1 . Đáp án A sai. ëx = 0 Ta có: x ( x + 1)2 £ 0  x ( x + 1)2 = 0  êê Ta có: ( x + 1) x < 0 vô nghiệm vì từ điều kiện x ³ 0  ( x + 1) x ³ 0 . Đáp án B sai. Ta có: ( x + 1)2 x £ 0  x = 0. Câu 5: Bất phương trình x -1 ³ x tương đương với A. (1- 2 x ) x -1 ³ x (1- 2 x ). B. (2 x +1) x -1 ³ x (2 x +1). C. (1 - x 2 ) x - 1 ³ x (1 - x 2 ). D. x x - 1 £ x 2 . Lời giải Chọn B. ïì x ³ 1 ïì x ³ 1  ïí 2  x Î Æ. ïîï x -1 ³ x 2 ïîï x - x + 1 £ 0 Bất phương trình x -1 ³ x ¾¾  ïí ìï x ³ 1 ìï x ³ 1  ïí 2  x ³ 1. Đáp án A sai. ïï x -1 £ x ïïî x - x + 1 ³ 0 î Ta có: (1 - 2 x ) x -1 ³ x (1 - 2 x ) ïí ìï x ³ 1 ìï x ³ 1 ïí 2  x Î Æ. ïï x -1 ³ x ïïî x - x + 1 £ 0 î Ta có: (2 x + 1) x -1³x (2 x + 1)ïí Câu 6: Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình (m + 2) x £ m + 1 và 3m ( x -1) £ -x -1 tương đương: A. m = -3. B. m = -2. C. m = -1. D. m = 3. Lời giải Chọn D. Viết lại (m + 2 ) x £ m + 1 (1) và (3m + 1) x £ 3m -1 (2 ). ì -x £ -2 « x ³ 2 ïïï(m + 2 ) x £ m + 1 ¾¾ ● Thay m = -3 , ta được í 5 . Không thỏa mãn. -8 x £ -10 « x ³ ïïï(3m + 1) x £ 3m -1 ¾¾ 4 ïî ● Thay m = -2 thì hệ số của x ở (1) bằng 0 , hệ số của x ở (2) khác 0 . Không thỏa mãn. ● Thay m = -1 thì hệ số của x ở (1) dương, hệ số của x ở (2 ) âm. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều. Không thỏa. Đến đây dùng phương pháp loại trừ thì chỉ còn đáp án D. ìï 4  5x £ 4 « x £ ïïï(m + 2 ) x £ m + 1 ¾¾ 5 . ● Thay m = 3 , ta được ïí ïï 4 3 m + 1 x £ 3 m 1 ¾¾  10 x £ 8 « x £ ( ) ïï 5 ïî Câu 7: Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình (m + 3) x ³ 3m - 6 và (2m -1) x £ m + 2 tương Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 320 đương: A. m = 1. m = 0 hoặc m = 4. B. m = 0. C. m = 4. D. Lời giải Chọn B. Thay m = 1 , thì hệ số của x ở (1) dương, hệ số của x ở (2 ) dương. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều. Không thỏa. ì ï(m + 3) x ³ 3m - 6 ¾¾  3 x ³ -6 « x ³ -2 . Ta thấy thỏa mãn nhưng chưa Thay m = 0 , ta được ïí ïï(2m -1) x £ m + 2 ¾¾ -x £ 2 « x ³ -2 ï î đủ kết luận là đáp án B vì trong đáp án D cũng có m = 0 . Ta thử tiếp m = 4 . Thay m = 4 , thì hệ số của x ở (1) dương, hệ số của x ở (2 ) dương. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều. Không thỏa mãn. Vậy với m = 0 thỏa mãn. Dạng 3. Bất phương trình bậc nhất một ẩn 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x  5 x  3  3 2 Lời giải Bất phương trình đã cho  2  2 x  5   3  x  3   4 x  10  3x  9  x  1 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1;   . Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2  x  3x  1  6 có tập nghiệm là Lời giải 2  x  7  3x  Ta có : 2  x  3x  1  6  2  x  7  3 x   2  x  7  3 x 7  3 x  0  5  x  x 2 5   2   4 x  9 9 9    x   x  . 4 4 x  7    7 3  x  3 Ví dụ 3: Bất phương trình 4 m 2 (2 x -1) ³ (4 m 2 + 5m + 9 ) x -12 m nghiệm đúng với mọi x khi A. m = -1. 9 4 B. m = . C. m = 1. 9 4 D. m = - . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 321 Chọn B. Bất phương trình tương đương với (4 m 2 - 5m - 9 ) x ³ 4 m 2 -12 m . ïìïm ¹ -1 ïï m ¹ 9 ïî 4 Dễ dàng thấy nếu 4 m 2 - 5m - 9 ¹ 0  ïí thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng với mọi x Î  . Với m = -1 bất phương trình trở thành 0 x ³ 16 : vô nghiệm. Với m = 9 4 bất phương trình trở thành 0 x ³ - 27 : nghiệm đúng với 4 mọi x Î  . 9 4 Vậy giá trị cần tìm là m = . Ví dụ 4: Bất phương trình m 2 ( x -1) ³ 9 x + 3m nghiệm đúng với mọi x khi A. m = 1. B. m = -3. C. m = Æ. D. m = -1. Lời giải Chọn B. Bất phương trình tương đương với (m 2 - 9 ) x ³ m 2 + 3m. Dễ dàng thấy nếu m 2 - 9 ¹ 0  m ¹ 3 thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng "x Î  Với m = 3 bất phương trình trở thành 0 x > 18 : vô nghiệm Với m = -3 bất phương trình trở thành 0 x ³ 0 : nghiệm đúng với mọi x Î . Vậy giá trị cần tìm là m = -3. 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Bất phương trình ax + b > 0 vô nghiệm khi: ïìa ¹ 0 A. ïí . ïïîb = 0 ïìa > 0 B. ïí . ìa = 0 ï C. ïí . ïïîb > 0 ï ï îb ¹ 0 ìa = 0 ï D. ïí . ï ï îb £ 0 Lời giải Chọn D. æ b è a ö ø Nếu a > 0 thì ax + b > 0  x > – b a nên S = ççç- ; +¥÷÷÷ ¹ Æ . Nếu a < 0 thì ax + b > 0  x < - b a æ bö nên S = ççç-¥;- ÷÷÷ ¹ Æ . è aø Nếu a = 0 thì ax + b > 0 có dạng 0 x + b > 0 Với b > 0 thì S = . Với b £ 0 thì S = Æ. Câu 2: Bất phương trình ax + b > 0 có tập nghiệm là  khi: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 322 ìa = 0 ï A. ïí . ïìa > 0 B. ïí . ï ï îb > 0 ìa = 0 ï C. ïí . ïïîb > 0 ìa = 0 ï D. ïí . ï ï îb ¹ 0 ï ï îb £ 0 Lời giải Chọn A. æ b è a ö ø Nếu a > 0 thì ax + b > 0  x > – b a nên S = ççç- ; +¥÷÷÷ ¹ Æ . Nếu a < 0 thì ax + b > 0  x < - b a nên S = ççç-¥;- ÷÷÷ ¹ Æ . æ è bö aø Nếu a = 0 thì ax + b > 0 có dạng 0 x + b > 0 Với b £ 0 thì S = Æ. Với b > 0 thì S = . Câu 3: Bất phương trình ax + b £ 0 vô nghiệm khi: ìïa = 0 A. ïí . ìïa > 0 B. ïí . ïïîb > 0 ìïa = 0 C. ïí . ïïîb > 0 ìïa = 0 D. ïí . ïïîb ¹ 0 ïïîb £ 0 Lời giải Chọn A. æ è bù a ûú Nếu a > 0 thì ax + b £ 0  x £ – b a nên S = ççç-¥;- ú ¹ Æ . Nếu a < 0 thì ax + b £ 0  x ³ - b a nên S = ê- ; +¥÷÷÷ ¹ Æ . é b êë a ö ø Nếu a = 0 thì ax + b £ 0 có dạng 0 x + b £ 0 Với b £ 0 thì S = . Với b > 0 thì S = Æ. Câu 4: Tập nghiệm S của bất phương trình 5 x -1 ³ A. S = . B. S = (-¥;2). 2x +3 5 là: æ 5 è 2 ö ø C. S = ççç- ; +¥÷÷÷. é 20 ö ; +¥÷÷÷. êë 23 ø D. S = ê Lời giải Chọn D. Bất phương trình 5 x -1 ³ Câu 5: Bất phương trình A. 4. 2x 20 + 3  25 x – 5 ³ 2 x + 15  23 x ³ 20  x ³ . 5 23 3x + 5 x +2 -1 £ +x 2 3 có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn -10 ? B. 5. C. 9. D. 10. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 323 Chọn B. Bất phương trình 3x + 5 x +2 -1 £ + x  9 x + 15 – 6 £ 2 x + 4 + 6 x  x £ -5. 2 3 Vì x Î , -10 < x £ -5 nên có 5 nghiệm nguyên Câu 6: Tập nghiệm S của bất phương trình (1 - 2 ) x < 3 - 2 2 là: A. S = (-¥;1 - 2 ). B. S = (1 - 2; +¥). C. S = . D. S = Æ. Lời giải Chọn B. (1- 2 ) = 2 Bất phương trình (1 - 2 ) x < 3 - 2 2  x > Câu 7: 3-2 2 1- 2 1- 2 = 1 – 2. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x (2 – x ) ³ x (7 – x ) – 6 ( x -1) trên đoạn [-10;10 ] bằng: A. 5. B. 6. C. 21. D. 40. Lời giải Chọn D. Bất phương trình x (2 – x ) ³ x (7 – x ) – 6 ( x -1) [ ]  2 x – x 2 ³ 7 x – x 2 – 6 x + 6  x ³ 6 ¾¾¾¾  x Î {6;7;8;9;10} . x Î x Î -10;10 Câu 8: Bất phương trình (2 x -1)( x + 3) – 3x + 1 £ ( x -1)( x + 3) + x 2 – 5 có tập nghiệm æ è 2ö 3ø A. S = ççç-¥;- ÷÷÷. é 2 êë 3 ö ø B. S = ê- ; +¥÷÷÷. C. S = . D. S = Æ. Lời giải Chọn D. 2 Bất phương trình (2x -1)( x +3) -3x +1£( x -1)( x +3) +x -5 S =Æ. tương đương với 2x 2 + 5x -3 -3x +1 £ x 2 + 2x -3 + x 2 -5  0.x £-6  x ÎÆ ¾¾ Câu 9: Tập nghiệm S của bất phương trình 5 ( x + 1) – x (7 – x ) > -2 x là: A. S = . æ 5 è 2 ö ø B. S = ççç- ; +¥÷÷÷. æ 5ö C. S = ççç-¥; ÷÷÷. è 2ø D. S = Æ. Lời giải Chọn A. Bất phương trình 5 ( x + 1) – x (7 – x ) > -2 x tương đương với: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 324 5 x + 5 – 7 x + x 2 > -2 x  x 2 + 5 > 0  x Î  ¾¾  S = . Câu 10: Tập nghiệm S của bất phương trình ( x – 1)2 + ( x – 3)2 + 15 < x 2 + ( x - 4 )2 là: A. S = (-¥;0). B. S = (0; +¥). C. S = . D. S = Æ. Lời giải Chọn D. Bất phương trình tương đương x 2 - 2 x + 1 + x 2 - 6 x + 9 + 15 < x 2 + x 2 - 8 x + 16  0. x < -9 : vô nghiệm ¾¾ S = Æ . Câu 11: Tập nghiệm S của bất phương trình x + x < (2 x + 3)( x -1) là: A. S = (-¥;3). B. S = (3; +¥). C. S = [3; +¥). D. S = (-¥;3]. Lời giải Chọn B. Điều kiện: x ³ 0. Bất phương trình tương đương x + x < 2 x - 2 x + 3 x - 3  -x < -3  x > 3 ¾¾  S = (3; +¥) Câu 12: Tập nghiệm S của bất phương trình x + x – 2 £ 2 + x – 2 là: A. S = Æ. B. S = (-¥;2 ]. C. S = {2}. D. S = [2; +¥). Lời giải Chọn C. Điều kiện: x ³ 2. Bất phương trình tương đương x £ 2 ¾¾ x =2 . Câu 13: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình A. 15 . B. 11 . x -2 x -4 £ 4 x -4 bằng: C. 26 . D. 0 . Lời giải Chọn B. Điều kiện: x > 4. Bất phương trình tương đương : x – 2 £ 4  x £ 6  4 < x £ 6, x Î   x = 5; x = 6 ¾¾  S = 5 + 6 = 11. Câu 14: Tập nghiệm S của bất phương trình ( x - 3) x - 2 ³ 0 là: A. S = [3; +¥) . B. S = (3; +¥) . C. S = {2} È [3; +¥) . D. S = {2} È (3; +¥) . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 325 Chọn C. Điều kiện: x ³ 2. é x -2 = 0 éx = 2 Bất phương trình tương đương với êê ê . ê ëx ³ 3 êë x - 3 ³ 0 Câu 15: Bất phương trình (m -1) x > 3 vô nghiệm khi A. m ¹ 1. B. m < 1. C. m = 1. D. m > 1. Lời giải Chọn C. Rõ ràng nếu m ¹ 1 bất phương trình luôn có nghiệm. Xét m = 1 bất phương trình trở thành 0 x > 3 : vô nghiệm. Câu 16: Bất phương trình (m 2 – 3m ) x + m < 2 - 2 x vô nghiệm khi A. m ¹ 1. B. m ¹ 2. C. m = 1, m = 2. D. m Î . Lời giải Chọn C. Bất phương trình tương đương với (m 2 - 3m + 2 ) x < 2 - m . ìm ¹ 1 ï ï ï îm ¹ 2 Rõ ràng nếu m 2 - 3m + 2 ¹ 0  ïí bất phương trình luôn có nghiệm. Với m = 1 bất phương trình trở thành 0 x < 1 : vô nghiệm. Với m = 2 bất phương trình trở thành 0 x < 0 : vô nghiệm. Câu 17: Tập nghiệm S của bất phương trình ( x + 3 ) ³ ( x - 3 ) + 2 là: 2 é 3 ÷ö ; +¥÷÷. ÷ø êë 6 A. S = êê æ 3 ö÷ ; +¥÷÷. ÷ø çè 6 B. S = ççç 2 æ C. S = ççç-¥; çè 3 ùú . 6 úúû æ D. S = ççç-¥; çè 3 ÷÷ö ÷. 6 ÷ø Lời giải Chọn A. Bất phương trình ( x + 3 ) ³ ( x - 3 ) + 2 tương đương với: 2 2 é 3 ö÷ 3 ¾¾  S = êê ; +¥÷÷. ÷ø 6 êë 6 x 2 + 2 3x + 3 ³ x 2 - 2 3x + 3 + 2  4 3x ³ 2  x ³ Câu 18: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình (m 2 - m ) x < m vô nghiệm. A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 326 ïì m ¹ 1 ïïîm ¹ 0 Rõ ràng nếu m 2 - m ¹ 0  ïí bất phương trình luôn có nghiệm. Với m = 1 bất phương trình trở thành 0 x < 1 : nghiệm đúng với mọi x Î  . Với m = 0 bất phương trình trở thành 0 x < 0 : vô nghiệm Câu 19: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (m 2 - m ) x + m < 6 x - 2 vô nghiệm. Tổng các phần tử trong S bằng: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B. Bất phương trình tương đương với (m 2 - m - 6 ) x < -2 - m . ïìm ¹ -2 ïïî m ¹ 3 Rõ ràng nếu m 2 - m - 6 ¹ 0  ïí bất phương trình luôn có nghiệm. Với m = -2 bất phương trình trở thành 0 x < 0 : vô nghiệm. Với m = 3 bất phương trình trở thành 0 x < -5 : vô nghiệm. -2 + 3 = 1. Suy ra S = {-2;3} ¾¾ Câu 20: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình mx - 2 £ x - m vô nghiệm. A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Chọn A. Bất phương trình tương đương với (m -1) x £ 2 - m. Rõ ràng nếu m ¹ 1 bất phương trình luôn có nghiệm. Xét m = 1 bất phương trình trở thành 0 x £ 1 : nghiệm đúng với mọi x . Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 21: Bất phương trình (m 2 + 9 ) x + 3 ³ m (1 - 6 x ) nghiệm đúng với mọi x khi A. m ¹ 3. B. m = 3. C. m ¹ -3. D. m = -3. Lời giải Chọn D. Bất phương trình tương đương với (m + 3)2 x ³ m - 3 . Với m = -3 bất phương trình trở thành 0 x ³ -6 : nghiệm đúng với mọi x Î  . Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình ( x + m ) m + x > 3 x + 4 có tập nghiệm là (-m – 2; +¥) . A. m = 2. B. m ¹ 2. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. m > 2. D. m < 2. Trang 327 Lời giải Chọn C. Để ý rằng, bất phương trình ax + b > 0 (hoặc < 0, ³ 0, £ 0 ) ● Vô nghiệm (S = Æ) hoặc có tập nghiệm là S =  thì chỉ xét riêng a = 0. ● Có tập nghiệm là một tập con của  thì chỉ xét a > 0 hoặc a < 0. Bất phương trình viết lại (m - 2) x > 4 – m 2 . Xét m – 2 > 0 « m > 2 , bất phương trình  x > 4 -m2 = -m – 2  S = (-m – 2; +¥) . m -2 Câu 23: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình m ( x – m ) ³ x -1 có tập nghiệm là (-¥; m + 1] . A. m = 1. B. m > 1. C. m < 1. D. m ³ 1. Lời giải Chọn C. Bất phương trình viết lại (m -1) x ³ m 2 -1 . Xét m -1 > 0 « m > 1 , bất phương trình  x ³ m 2 -1 = m + 1 ¾¾  S = [ m + 1; +¥) . m -1 Xét m -1 < 0 « m < 1 , bất phương trình  x £ m 2 -1 = m + 1 ¾¾  S = (-¥; m + 1] . m -1 Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m ( x -1) < 2 x - 3 có nghiệm. A. m ¹ 2 . B. m > 2 . C. m = 2 . D. m < 2 . Lời giải Chọn A. Bất phương trình viết lại (m - 2) x < m - 3 . ● Rõ ràng m - 2 ¹ 0 « m ¹ 2 thì bất phương trình có nghiệm. ● Xét m - 2 = 0 « m = 2 , bất phương trình trở thành 0 x < -1 (vô lí). Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ¹ 2 . Câu 25: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m ( x -1) < 3 - x có nghiệm. A. m ¹ 1 . B. m = 1 . C. m Î  . D. m ¹ 3 . Lời giải Chọn C. Bất phương trình viết lại (m + 1) x < m + 3 . Rõ ràng m + 1 ¹ 0 thì bất phương trình có nghiệm. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 328 Xét m + 1 = 0 « m = -1 , bất phương trình trở thành 0 x < 2 (luôn đúng với mọi x ). Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi m . Câu 26: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (m 2 + m - 6 ) x ³ m + 1 có nghiệm. A. m ¹ 2 . B. m ¹ 2 và m ¹ 3 . C. m Î  . D. m ¹ 3 . Lời giải Chọn A. Rõ ràng m 2 + m - 6 ¹ 0 thì bất phương trình có nghiệm. ém = 2 ¾¾  0 x ³ 3 ¾¾ S = Æ Xét m 2 + m - 6 = 0 « êê  0 x ³ -2 ¾¾ S =  êëm = -3 ¾¾ . Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm khi m ¹ 2 . Câu 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m 2 x -1 < mx + m có nghiệm. B. m = 0 . A. m = 1. C. m = 0; m = 1. D. m Î  . Lời giải Chọn D. Bất phương trình viết lại (m 2 - m ) x < m + 1 . Rõ ràng m 2 - m ¹ 0 thì bất phương trình có nghiệm. ém = 0 ¾¾  0 x < 1 ¾¾ S =  Xét m 2 - m = 0 « êê  0 x < 2 ¾¾ S =  êëm = 1 ¾¾ . Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm với mọi m Î  . Câu 28: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình mx + 6 < 2 x + 3m với m < 2 . Hỏi tập hợp nào sau đây là phần bù của tập S ? A. (3;+¥) . B. [3;+¥) . C. (-¥;3) . D. (-¥;3] . Lời giải Chọn D. Bất phương trình tương đương với (m - 2) x < 3m - 6. Với m < 2 , bất phương trình tương đương với x > 3m – 6 = 3 ¾¾  S = (3; +¥) m -2 Suy ra phần bù của S là (-¥;3]. Câu 29: Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình m (2 x -1) ³ 2 x + 1 có tập nghiệm là [1; +¥). A. m = 3 B. m = 1 C. m = -1 D. m = -2. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 329 Chọn A. Bất phương trình tương đương với (2m – 2) x ³ m + 1. · Với m = 1 , bất phương trình trở thành 0 x ³ 2 : vô nghiệm. Do đó m = 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. · Với m > 1 , bất phương trình tương đương với x ³ Do đó yêu cầu bài toán  · m +1 = 1  m = 3 : thỏa 2m – 2 é m +1 ö m +1 ¾¾ S = ê ; +¥÷÷÷. êë 2 m – 2 ø 2m – 2 mãn m > 1 . Với m < 1 , bất phương trình tương đương với x £ æ m +1 m +1 ù ú : không ¾¾  S = çç-¥; ç è 2m - 2 2m - 2 ûú thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy m = 3 là giá trị cần tìm. Câu 30: Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 x - m < 3 ( x -1) có tập nghiệm là (4; +¥). A. m ¹ 1. B. m = 1. C. m = -1. D. m > 1. Lời giải Chọn C. Bất phương trình tương đương với 2 x – m < 3 x - 3  x > 3 – m. Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (3 – m; +¥) Để bất phương trình trên có tập nghiệm là (4;+¥) thì 3 – m = 4  m = -1. Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình mx + 4 > 0 nghiệm đúng với mọi x <8. é 1 1ù êë 2 2 úû æ é 1 êë 2 1ù B. m Î ççç-¥; ú . è 2 úû A. m Î ê- ; ú . ö ø C. m Î ê- ; +¥÷÷÷. é 1 ö æ 1ù D. m Î ê- ;0÷÷÷ È ççç0; ú . êë 2 ø è 2 úû Lời giải Chọn A. Yêu cầu bài toán tương đương với f ( x ) = mx + 4 > 0, “x Î (-8;8)  đồ thị của hàm số y = f ( x ) trên khoảng (-8;8) nằm phía trên trục hoành  hai đầu mút của đoạn thẳng đó đều nằm phía trên trục hoành ì ï ïm £ 1 ïìï f (-8) ³ 0 ìïï-8m + 4 ³ 0 ï ï 2  -1 £m £ 1 í í  ïí ï ï ï m + ³ 8 4 0 2 2 f ³ 8 0 ( ) îï ïïm ³ – 1 îï ï 2 ï î Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 . Trang 330 Câu 32: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình m 2 ( x – 2) – mx + x + 5 < 0 nghiệm đúng với mọi x Î [-2018;2 ] . 7 2 A. m < . 7 2 7 2 B. m = . C. m > . D. m Î  . Lời giải Chọn C. x < Cách 1. Bất phương trình  (m 2 - m + 1) x < 2m 2 - 5 ¾¾ æ 2 m 2 - 5 ö÷ ÷ ¾¾  S = çç-¥; 2 çè m - m + 1÷÷ø 2m 2 - 5 m 2 - m +1 2 æ 1ö 3 (vì m 2 - m + 1 = çççm - ÷÷÷ + > 0, “m Î  ) è æ Yêu cầu bài toán  [-2018;2 ] Ì ççç-¥; çè 2ø 4 2 m 2 – 5 ö÷ 2m 2 – 5 7 ÷« 2 < 2 «m> ÷ 2 2 m – m + 1÷ø m – m +1 . Cách 2. Ta có (m 2 – m + 1) x < 2 m 2 - 5  (m 2 - m + 1) x - 2m 2 + 5 < 0 . Hàm số bậc nhất y = (m 2 - m + 1) x - 2 m 2 + 5 có hệ số m 2 - m + 1 > 0 nên đồng biến. 7 2 Do đó yêu cầu bài toán  y (2 ) < 0  (m 2 - m + 1).2 - 2m 2 + 5 < 0  m > . Câu 33: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình m 2 ( x – 2) + m + x ³ 0 có nghiệm x Î [-1;2 ] . A. m ³ -2 . B. m = -2 . C. m ³ -1 . D. m £ -2 . Lời giải Chọn A. x ³ Bất phương trình  (m 2 + 1) x ³ 2m 2 – m ¾¾ é 2m 2 – m ö 2m 2 – m ê 2 S ; +¥÷÷÷. ¾¾  = 2 ê ÷ø m +1 ë m +1 é 2m 2 – m ö 2m 2 – m ; +¥÷÷÷ ¹ Ƭ¾  2 £ 2 « m ³ -2. ÷ø m +1 ë m +1 Yêu cầu bài toán  [-1;2 ] Ç êê 2 Dạng 4. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3x  1  2 x  7 Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình:  . 4 x  3  2 x  19 Lời giải 3 x  1  2 x  7 x  6 x  6    x  8. Ta có   4 x  3  2 x  19 2 x  16 x  8 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 331 Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình: ì 2 x -1 ï ï < -x + 1 ï ï 3 ï í ï 4 - 3x ï < 3- x ï ï ï î 2 l Lời giải Ta có ì 2 x -1 ï ï ì > -x + 1 ì ï ïï ïx > 4 ì 2 x – 1 > -3 x + 3 ï 5x > 4 ï 4 ïí 3 ï ï í í ï 5 x> í ïï 4 – 3 x ï ï ï 5 ï4 – 3 x < 6 - 2 x ï-x < 2 ïï x > -2 î î < 3- x ï î ï ï î 2 . ì ï( x - 3)2 ³ x 2 + 7 x + 1 Ví dụ 3: Tìm m để hệ bất phương trình ïí có nghiệm duy nhất. ï ï î2m £ 8 + 5 x Lời giải Bất phương 2 trình ( x - 3) ³ x 2 + 7 x + 1 « x 2 - 6 x + 9 ³ x 2 + 7 x + 1 « x £ 8 13 æ 8ù ¾¾  S1 = çç-¥; ú . èç 13 úû Bất phương trình 2m £ 8 + 5 x  x ³ é 2m - 8 ö 2m - 8 ; +¥÷÷÷ . ¾¾ S2 = ê êë 5 ø 5 Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất  S1 Ç S 2 là tập hợp có đúng một phần tử  8 2m - 8 72 = m= . 13 5 13 ì2 x - 1 > 0 ï Ví dụ 4: Tìm m để hệ bất phương trình ïí có nghiệm ï ï îx – m < 2 Lời giải æ1 è2 ö ø Bất phương trình 2 x - 1 > 0 có tập nghiệm S1 = ççç ; +¥÷÷÷. Bất phương trình x – m < 2 có tập nghiệm S 2 = (-¥; m + 2). 1 2 3 2 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi S1 Ç S 2 ¹Æ  m + 2 >  m > – . ìmx £ m – 3 ï Ví dụ 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình ïí có nghiệm duy ï ï î(m + 3) x ³ m – 9 nhất. Lời giải Giả sử hệ có nghiệm duy nhất thì m -3 m -9 =  m = 1. m m +3 ì ï x £ -2 Thử lại với m = 1 , hệ bất phương trình trở thành ïí  x = -2 . ï ï î x ³ -2 Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 332 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: ì ï2 – x > 0 Tập nghiệm S của hệ bất phương trình ïí ï ï î2 x + 1 < x - 2 A. S = (-¥;-3). B. S = (-¥;2). là: C. S = (-3;2). D. S = (-3; +¥). Lời giải Chọn A. ì ï2 - x > 0 Ta có ïí ì ì ï2 > x ïx < 2 ï ï  x < -3. í í ï ï ï x + < x x < 2 1 2 3 ï ï ï x < -3 î î î Câu 2: Tập nghiệm S của hệ bất phương trình æ 1ö A. S = ççç-¥;- ÷÷÷. è 4ø B. S = (1; +¥). ì x -1 ï ï < -x + 1 ï ï 2 ï í ï 5-2x ï 3+ x > ï ï 2 ï î là: æ 1 ö è 4 ø C. S = ççç- ;1÷÷÷. D. S = Æ. Lời giải Chọn C. Ta có Câu 3: ìï x -1 ïï ìï x < 1 < -x + 1 ì ï ï x - 1 < -2 x + 2 ì ï3 x < 3 ïïí 2  ïí ï  ïí í 1. ïï4 x > -1 ïïï x > ïïï3 + x > 5 – 2 x îïï6 + 2 x > 5 – 2 x î 4 î 2 îïï Tập nghiệm S của hệ bất phương trình æ è là: æ 2012 2018 ö÷ ; ÷. è 8 3 ø÷ B. S = ççç A. S = Æ. C. S = ççç-¥; ì 2 x -1 < -x + 2017 ï ï ï í 2018 - 2 x ï 3+ x > ï ï 2 î 2012 ö÷ ÷. 8 ÷ø æ 2018 ö ; +¥÷÷÷. è 3 ø D. S = ççç Lời giải Chọn B. Ta có Câu 4: ì ï ï x > 2018 ìï2 x -1 < -x + 2017 ïï ïìï3 x < 2018 ïìï3 x > 2018 ïïï 3 í í í 2018 – 2 x  í ï ï ï ï x x x 6 + 6 > 2018 2 8 > 2012 2012 x 3 + 3 > ï îï îï ïx > ï ï 2 î ï 8 ï î  2018 2012 1 ï B. ïí . ï ï î x ³ -1 ì2( x – 1) < 1 ï C. ïí . ï ï î x £ -1 ì2( x - 1) < 1 ï D. ïí . ï ï î x £ -1 Lời giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 333 ïì2 ( x -1) < 1 ïïì2 x < 3 é 3 3ö Ta có ïí í  -1 £ x < ¾¾  S = ê-1; ÷÷÷. Chọn A. ïï x ³ -1 î ïïî x ³ -1 ìï êë 2 2ø 3 ïx > ïì2 ( x – 1) > 1 ìïï2 x > 3 æ3 ö 3 Ta có ïí í  ïí  S = çç ; +¥÷÷÷. B sai. 2  x > ¾¾ ç ïï x ³ -1 î ïïî x ³ -1 ïï ï î x ³ -1 ìï è2 2 ø 3 ìï2 ( x – 1) < 1 ìï2 x < 3 ïx < Ta có íï  íï  íï  S = (-¥; -1]. C sai. 2  x £ -1 ¾¾ ïï x £ -1 î ïîï x £ -1 ïï ïî x £ -1 ìï 3 ïx > ïì2 ( x – 1) > 1 ìïï2 x > 3 Ta có íï í  íï  S = Æ. D sai. 2  x Î Æ ¾¾ ïï x £ -1 î Câu 5: ïïî x £ -1 ïï ï î x £ -1 ì ï2 ( x -1) < x + 3 Tập nghiệm S của bất phương trình ïí là: ï ï î2 x £ 3 ( x + 1) A. S = (-3;5). B. S = (-3;5]. C. S = [-3;5). D. S = [-3;5]. Lời giải Chọn C. ìï2 ( x -1) < x + 3 ïì2 x - 2 < x + 3 ìx < 5 ï  ïí Ta có ïí ï  -3 £ x < 5 ¾¾  S = [-3;5). í ïï2 x £ 3 ( x + 1) ï ï £ + x x 2 3 3 ï ï î î x ³ -3 î Câu 6: ì x -1 < 2 x - 3 ï ï ï ï 5 - 3x £ x - 3 có tập nghiệm là một đoạn [ a; b] . Hỏi a + b Biết rằng bất phương trình ïí ï 2 ï ï ï ï î3 x £ x + 5 bằng: A. 11 . 2 B. 8. C. 9 . 2 D. 47 . 10 Lời giải Chọn D. Bất phương trình Suy ra a + b = Câu 7: ìx > 2 ï ï ïìï x -1 < 2 x - 3 ïìï2 < x ï ï 11 11 5 ïï ïï ï  £x £ í5 - 3 x £ 2 x - 6  í11 £ 5 x  ï x ³ ïï ï í 5 5 2 ï ïï ïîï3 x £ x + 5 ïî ï2 x £ 5 ï 5 ïx £ ï ï 2 ï î 11 5 47 + = . 5 2 10 Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình A. Vô số. . B. 4 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ì 5 ï ï 6x + > 4x + 7 ï ï 7 ï í ï 8x + 3 ï < 2 x + 25 ï ï ï î 2 C. 8. là: D. 0. Trang 334 Lời giải Chọn C. ì ï42 x + 5 > 28 x + 49 ì ï14 x > 44 ï í ï 8 x + 3 < 4 x + 50 ï ï4 x < 47 î î Bất phương trình  ïí ï ìï ïï x > 44 ï 14  44 < x < 47 ¾¾¾ x Î  ïí  x Î {4;5;6;7;8;9;10;11}. ïï 47 14 4 ïï x < 4 îï Câu 8: ì5 x - 2 < 4 x + 5 ï Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình ïí 2 bằng: 2 ï ï îx < ( x + 2) A. 21. B. 27. C. 28. D. 29. Lời giải Chọn A. ìï5 x - 2 < 4 x + 5 ìï x < 7 ìï x < 7 ï ï í í 2 2 ïï-4 x < 4 î ïï-x < 1 îïï x < x + 4 x + 4 î Bất phương trình  ïí ïì x < 7 x Î  ïí  -1 < x < 7 ¾¾¾  x Î {0;1;2;3;4;5;6}. ïïî x > -1 Suy ra tổng bằng 21 . ìï(1 – x ) £ 8 – 4 x + x 2 ï Cho bất phương trình ïí . Tổng nghiệm nguyên lớn nhất và ïï( x + 2 )3 < x 3 + 6 x 2 + 13 x + 9 ïî 2 Câu 9: nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình bằng: A. 2. B. 3. C. 6. D. 7. Lời giải Chọn B. ìï1 - 2 x + x 2 £ 8 - 4 x + x 2 ïï x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 < x 3 + 6 x 2 + 13 x + 9 î Bất phương trình  ïí ìï 7 ì ïì1 - 2 x £ 8 - 4 x ï2 x £ 7 ïï x £ 7 x Î  íï  íï í  x Î {0;1;2;3}. 2  -1 < x £ ¾¾¾ ï ï ï 2 ï12 x + 8 < 13 x + 9 îï-x < 1 ïï x > -1 î î Suy ra tổng cần tính là 0 + 3 = 3 . Câu 10: Hệ bất phương trình A. m > -11. ìï3 ( x – 6 ) < -3 ïï í5x + m ïï >7 ïïî 2 có nghiệm khi và chỉ khi: B. m ³-11. C. m < -11. D. m £-11. Lời giải Chọn A. Bất phương trình 3( x - 6) < -3 có tập nghiệm S1 = (-¥;5). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 335 Bất phương trình æ14 - m ö 5x + m ; +¥÷÷÷. > 7 có tập nghiệm S 2 = çç çè 5 ø 2 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi S1 Ç S 2 ¹Æ  14 – m < 5  m > -11. 5 ìï x 2 -1 £ 0 Câu 11: Hệ bất phương trình ïí có nghiệm khi và chỉ khi: ïïî x – m > 0 A. m > 1. B. m = 1. C. m < 1. D. m ¹ 1. Lời giải Chọn C. Bất phương trình x 2 -1 £ 0 có tập nghiệm S1 = [-1;1] . Bất phương trình x - m > 0 có tập nghiệm S 2 = (m; +¥) . Hệ có nghiệm  S1  S 2 ¹ Æ  m < 1 . ìï x - 2 ³ 0 Câu 12: Hệ bất phương trình ïí 2 ïï(m + 1) x < 4 î A. m > 1. có nghiệm khi và chỉ khi: B. m < 1. C. m < -1. D. -1 < m < 1. Lời giải Chọn D. Bất phương trình x - 2 ³ x ³ 2 có tập nghiệm S1 = [2; +¥) . Bất phương trình (m 2 + 1) x < 4  x < æ è Suy ra S 2 = ççç-¥; 4 m 2 +1 (do m 2 + 1 > 0 ). 4 ö÷ ÷. m + 1÷ø 2 Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi S1 Ç S 2 ¹ Ƭ¾ Giải bất phương trình 4 >2 m +1 2 4 > 2  4 > 2 (m 2 + 1)  2 > 2 m 2  m 2 < 1  -1 < m < 1 . m 2 +1 ìï m (mx -1) < 2 Câu 13: Hệ bất phương trình ïí có nghiệm khi và chỉ khi: ïïm (mx - 2 ) ³ 2 m + 1 î 1 3 A. m < . 1 3 B. 0 ¹ m < . C. m ¹ 0. D. m < 0. Lời giải Chọn B. ì ï m x m< . 2 2 3 m m là giá trị cần tìm. ìï2 x -1 ³ 3 Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình ïí có nghiệm ïïî x - m £ 0 duy nhất. A. m > 2 . B. m = 2 . C. m £ 2 . D. m ³ 2 . Lời giải Chọn B.  S1 = [ 2; +¥). Bất phương trình 2 x -1 ³ 3 « x ³ 2 ¾¾  S 2 = (-¥; m ] . Bất phương trình x – m £ 0 « x £ m ¾¾ Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất  S1 Ç S 2 là tập hợp có đúng một phần tử  2 = m. ì ïm 2 x ³ 6 – x Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình ïí ï ï î3 x – 1 £ x + 5 có nghiệm duy nhất. A. m = 1 . B. m = -1 . C. m = 1 . D. m ³ 1 . Lời giải Chọn C. Bất phương trình m 2 x ³ 6 – x « (m 2 + 1) x ³ 6 « x ³ é 6 ö 6 ¾¾  S1 = ê 2 ; +¥÷÷÷. êë m + 1 ø m 2 +1  S 2 = (-¥;3] . Bất phương trình 3 x -1 £ x + 5 « x £ 3 ¾¾ Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất  S1 Ç S 2 là tập hợp có đúng một phần tử  6 = 3  m 2 = 1  m = 1. m +1 2 ì ï2 m ( x + 1) ³ x + 3 Câu 16: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình ïí có nghiệm duy ï ï î4 mx + 3 ³ 4 x nhất. 5 2 A. m = . 3 4 B. m = . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 3 4 5 2 C. m = ; m = . D. m = -1. Trang 337 Lời giải Chọn B. ì ï(2m -1) x ³ 3 – 2m . Hệ bất phương trình tương đương với ïí ï ï î(4 m – 4 ) x ³ -3 Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì 3 5 3 – 2m -3  8m 2 – 26m + 15 = 0  m = hoặc m = . = 2m -1 4 m – 4 4 2 Thử lại · Với 3 m= 4 · Với m = ì æ 3 ÷ö ï 3 ïç ìï x ³ 3 -1÷ x ³ 3 ïç ï  x = 3 : thỏa mãn. , hệ trở thành íçè 2 ÷ø 2  íï ï ï îïï x £ 3 ï ³ x 3 ï î 5 , hệ trở 2 Vậy m = ì ï 4 x ³ -2 1 thành ïí  x ³ – : không thỏa mãn. 3 4 ï ï î 6 x ³ -3 là giá trị cần tìm. ì3 x + 4 > x + 9 ï Câu 17: Hệ bất phương trình ïí ï ï î1 – 2 x £ m – 3 x + 1 5 2 A. m > . 2 vô nghiệm khi và chỉ khi: 5 2 5 2 B. m ³ . 5 2 C. m < . D. m £ . Lời giải Chọn D. æ5 è2 5 2 ö ø  S1 = çç ; +¥÷÷÷. Bất phương trình 3 x + 4 > x + 9 « 2 x > 5 « x > ¾¾ ç  S 2 = (-¥; m ] . Bất phương trình 1 – 2 x £ m – 3 x + 1 « x £ m ¾¾ 5 2 Để hệ bất phương trình vô nghiệm  S1 Ç S 2 = Æ  m £ . ì2 x + 7 ³ 8 x + 1 ï Câu 18: Hệ bất phương trình ïí vô nghiệm khi và chỉ khi: ï ï îm + 5 < 2 x A. m > -3. B. m ³ -3. C. m < -3. D. m £ -3. Lời giải Chọn B.  S1 = (-¥;1]. Bất phương trình 2 x + 7 ³ 8 x + 1 « -6 x ³ -6 « x £ 1 ¾¾ Bất phương trình m + 5 < 2 x « x > æm +5 ö m +5 ¾¾  S 2 = çç ; +¥÷÷÷ . ç è 2 ø 2 Để hệ bất phương trình vô nghiệm  S1 Ç S 2 = Æ  1 £ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 m +5  m ³ -3. 2 Trang 338 ìï( x – 3)2 ³ x 2 + 7 x + 1 Câu 19: Hệ bất phương trình ïí vô nghiệm khi và chỉ khi: ïï2m £ 8 + 5 x î A. m > 72 . 13 B. m ³ 72 . 13 C. m < 72 . 13 D. m £ 72 . 13 Lời giải Chọn A. Bất phương trình ( x - 3)2 ³ x 2 + 7 x + 1 « x 2 - 6 x + 9 ³ x 2 + 7 x + 1 « -6 x + 9 ³ 7 x + 1 « 8 ³ 13 x « x £ æ 8 8ù ¾¾  S1 = çç-¥; ú . èç 13 13 úû Bất phương trình 2m £ 8 + 5 x « 2m - 8 £ 5 x « x ³ é 2m - 8 ö 2m - 8 ; +¥÷÷÷ . ¾¾ S2 = ê êë 5 ø 5 Để hệ bất phương trình vô nghiệm  S1 Ç S 2 = Æ  8 2m - 8 72 < m> . 13 5 13 ìï3 x + 5 ³ x -1 ïï 2 2 Câu 20: Hệ bất phương trình ïí( x + 2) £ ( x -1) + 9 vô nghiệm khi và chỉ khi: ïï ïïmx + 1 > (m – 2 ) x + m î A. m > 3. B. m ³ 3. C. m < 3. D. m £ 3. Lời giải Chọn B.  S1 = [-3; +¥). Bất phương trình 3 x + 5 ³ x -1 « 2 x ³ -6 « x ³ -3 ¾¾ Bất phương trình ( x + 2 )2 £ ( x - 1)2 + 9 « x 2 + 4 x + 4 £ x 2 - 2 x + 1 + 9 « 4 x + 4 £ -2 x + 1 + 9 « 6 x £ 6 « x £ 1 ¾¾  S 2 = (-¥;1]. Suy ra S1 Ç S 2 = [-3;1] . Bất phương trình mx + 1 > (m – 2) x + m « mx + 1 > mx – 2 x + m « 1 > -2 x + m « 2 x > m – 1 « x > æ m -1 ö m -1 ¾¾  S 3 = çç ; +¥÷÷÷. ç è ø 2 2 Để hệ bất phương trình vô nghiệm  (S1 Ç S 2 ) Ç S 3 = Æ  m -1 ³ 1  m ³ 3. 2 ìï2 ( x – 3) < 5 ( x - 4 ) Câu 21: Hệ bất phương trình ïí vô nghiệm khi và chỉ khi: ïïmx + 1 £ x -1 î A. m > 1. B. m ³ 1. C. m < 1. D. m £ 1. Lời giải Chọn B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 339 Bất phương trình 2 ( x - 3) < 5 ( x - 4 ) « x > æ14 ö 14 ¾¾  S1 = çç ; +¥÷÷÷ . çè 3 ø 3 Bất phương trình mx + 1 £ x -1 « (m -1) x £ -2 . (*)  hệ vô nghiệm.  Với m = 1 , khi đó (*) trở thành 0 x £ -2 : vô nghiệm ¾¾ ¾¾  trong trường hợp này ta chọn m = 1 .  Với m > 1 , ta có (*) « x £ ¾¾  hệ bất  æ -2 -2 ù ú ¾¾  S 2 = çç-¥; èç m -1 m -1 úû phương trình vô nghiệm  S1 Ç S 2 = Æ  -2 14 £ m -1 3 14 (m -1) -6 4 £  -6 £ 14 (m -1)  m ³ (do với m > 1  m – 1 > 0 ). 3 (m -1) 3 (m -1) 7 ¾¾  trong trường hợp này ta chọn m > 1 .  Với m < 1 , ta có (*) « x ³ é -2 ö -2 ; +¥÷÷÷ . ¾¾ S2 = ê ê ø m -1 ë m -1 Khi đó S1 Ç S 2 luôn luôn khác rỗng nên m < 1 không thỏa mãn. Vậy m ³ 1 thì hệ bất phương trình vô nghiệm. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 340 BÀI 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 1. Nhị thức bậc nhất Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f ( x ) = ax + b trong đó a, b là hai số đã cho, a ¹ 0. 2. Dấu của nhị thức bậc nhất Định lí æ b ö Nhị thức f ( x ) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng ççç- ; +¥÷÷÷, è a ø æ bö trái dấu với hệ số a khi x lấy giá trị trong khoảng ççç-¥;- ÷÷÷. è -¥ x f ( x ) = ax + b aø - trái dấu với a b a +¥ 0 cùng dấu với a Minh họa bằng đồ thị II – XÉT DẤU TÍCH, THƯƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT Giả sử f ( x ) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f ( x ) ta suy ra được dấu của f ( x ). Trường hợp f ( x ) là một thương cũng được xét tương tự. III – ÁP DỤNG VÀO GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH Giải bất phương trình f ( x ) > 0 thực chất là xét xem biểu thức f ( x ) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết f ( x ) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x ), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f ( x ). 1. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Ví dụ. Giải bất phương trình 1 ³ 1. 1- x Giải. Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 341 1 1 x ³1  -1 ³ 0  ³0 1- x 1- x 1- x Xét dấu biểu thức f ( x ) = x 1- x Ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là 0 £ x < 1. 2. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ. Giải bất phương trình - 2 x + 1 + x - 3 < 5. Giải. Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có neu - 2 x + 1 ³ 0 ïì- 2 x + 1 - 2 x + 1 = íï ï ï î-(- 2 x + 1) neu - 2 x + 1 < 0. Do đó, ta xét phương trình trong hai khoảng a) Với x £ 1 2 ìï 1 ìï 1 ïx £ ïx £ ta có hệ bất phương trình ïí hay ïí 2 2 . ïï ïï ïïî(- 2 x + 1) + x - 3 < 5 ïî- x < 7 1 2 Hệ này có nghiệm là -7 < x £ . b) Với x > 1 ta có hệ bất phương trình 2 Hệ này có nghiệm là ìï ì 1 ï ïï x > 1 ï ïx > . 2 hay 2 í í ïï ï ï ïïî(2 x -1) + x – 3 < 5 ï îx < 3 1 < x < 3. 2 æ æ1 ö 1ù Tổng hợp lại tập nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng ççç-7; ú và ççç ;3÷÷÷. è2 ø è 2 úû Kết luận. Bất phương trình đã cho có nghiệm là - 7 < x < 3. Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng f ( x ) £ a và f ( x ) ³ a với a > 0 đã cho. Ta có f (x ) £ a  – a £ f (x ) £ a (a > 0 ) f (x ) ³ a  f (x ) £ – a hoặc f ( x ) ³ a Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 342 B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1. Xét dấu nhị thức bậc nhất 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho biểu thức f ( x ) = 1 . 3x – 6 A. x Î (-¥;2 ]. Tập hợp tất cả các giá trị của x để f ( x ) £ 0 là B. x Î (-¥;2). C. x Î (2; +¥). D. x Î [2; +¥). Lời giải Chọn B Ta có f  x   0  1  0  3 x  6  0  x  2 . vậy x   ; 2  3x  6 Ví dụ 2: Cho biểu thức f ( x ) = ( x + 5)(3 – x ). Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình f ( x ) £ 0 là A. x Î (-¥;5) È (3; +¥). B. x Î (3; +¥). C. x Î (- 5;3). D. x Î (-¥;- 5] È [3; +¥). Lời giải Chọn D Ta có f  x   0   x  5 3  x   0  x  5; x  3 . Bảng xét dấu x -5 -¥ x +5 – 3- x + f (x ) – + 0 0 +¥ 3 + + 0 – + 0 – Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) £ 0  x Î (-¥; – 5 ] È [3; + ¥). Ví dụ 3: Cho biểu thức f ( x ) = ( x + 3)(2 – x ) x -1 . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình f ( x ) > 0 là A. x Î (-¥;- 3) È (1; +¥). B. x Î (- 3;1) È (2; +¥). C. x Î (- 3;1) È (1;2). D. x Î (-¥;- 3) È (1;2). Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 343 Chọn D Phương trình x  3  0  x  3 ; 2  x  0  x  2 và x  1  0  x  1 . Bảng xét dấu x -¥ -3 x +3 – 2-x 1 + + + + + x -1 – – f (x ) + 0 0 +¥ 2 + 0 + 0 + – – + 0 – Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) > 0  x Î (-¥; – 3) È (1;2 ). Ví dụ 4: Cho biểu thức f ( x ) = (4 x – 8)(2 + x ) 4-x . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình f ( x ) ³ 0 là A. x Î (-¥;-2 ] È [2;4 ). B. x Î (3; +¥). C. x Î (- 2;4 ). D. x Î (- 2;2) È (4; +¥). Lời giải Chọn A Phương trình 4 x  8  0  x  2 ; 2  x  0  x  2 ; 4  x  0  x  4 . Bảng xét dấu x -¥ -2 4x -8 – x +2 – 4-x + f (x ) + 2 + + + + + + + – 0 0 +¥ 4 – 0 0 + 0 – Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) ³ 0  x Î x Î (-¥;-2 ] È [2; 4 ). 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho biểu thức f ( x ) = 2 x – 4. Tập hợp tất cả các giá trị của x để f ( x ) ³ 0 là Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 344 é1 êë 2 ö ø B. x Î ê ; +¥÷÷÷. A. x Î [2; +¥). C. x Î (-¥;2 ]. D. x Î (2; +¥). Lời giải Chọn A Ta có f  x   0  2 x  4  0  x  2  x   2;    . Câu 2: Cho biểu thức f ( x ) = x ( x – 2)(3 – x ). Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình f ( x ) < 0 là A. x Î (0;2) È (3; +¥). B. x Î (-¥;0) È (3; +¥). C. x Î (-¥;0 ] È (2; +¥). D. x Î (-¥;0) È (2;3). Lời giải Chọn A Ta có f  x   0  x  x  2  3  x   0  x  0; x  2; x  3 . Bảng xét dấu -¥ x 0 0 + x - x -2 - - 3- x + + f (x ) + 0 - +¥ 3 2 0 0 + + + + + 0 - + 0 - Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) < 0  x Î (0; 2) È (3; + ¥ ) Câu 3: Cho biểu thức f ( x ) = 9 x 2 -1. Tập hợp tất cả các giá trị của x để f ( x ) < 0 là é 1 1ù êë 3 3 úû æ æ 1ù 1ö æ1 ö B. x Î ççç-¥;- ÷÷÷ È ççç ; +¥÷÷÷. è ø 3ø è3 A. x Î ê- ; ú . é1 ö C. x Î ççç-¥;- ú È ê ; +¥÷÷÷. è ø 3 ûú ëê 3 æ 1 1ö D. x Î ççç- ; ÷÷÷. è 3 3ø Lời giải Chọn D 1 1 Ta có f  x   0  9 x 2  1  0   3 x  1 3 x  1  0  x  ; x   . 3 3 Bảng xét dấu Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 345 -¥ x - 1 3 1 3 3x -1 - 3x +1 - 0 + f (x ) + 0 - +¥ + 0 - + + 0 æ 1 1ö Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) < 0  x Î ççç- ; ÷÷÷. è 3 3ø Câu 4: Cho biểu thức f ( x ) = (2 x -1)( x 3 -1). Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình f ( x ) ³ 0 là é1 ù êë 2 úû æ æ 1ö B. x Î ççç-¥;- ÷÷÷ È (1; +¥). è 2ø A. x Î ê ;1ú . 1ù æ1 ö D. x Î ççç ;1÷÷÷. è2 ø C. x Î ççç-¥; ú È [1; +¥). è 2 úû Lời giải Chọn C Ta có  2 x  1  x 3  1  0   2 x  1 x  1  x 2  x  1  0 2 1 1 3  Phương trình 2 x  1  0  x  ; x  1  0  x  1 và x 2  x  1   x     0 2 2 4  Bảng xét dấu x 1 2 -¥ 2 x -1 - x -1 - - x 2 + x +1 + - f (x ) + 0 0 +¥ 1 + + 0 + 0 - æ è + + 1ù 2 úû Dựa vào bảng xét dấu, suy ra f ( x ) ³ 0  x Î ççç-¥; ú È [1; +¥). Câu 5: Cho biểu thức f ( x ) = x ( x - 3) ( x - 5)(1 - x ) . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình f ( x ) ³ 0 là Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 346 A. x Î (-¥;0 ] È (3; +¥). B. x Î (-¥;0 ] È (1;5). C. x Î [0;1) È [3;5). D. x Î (-¥;0) È (1;5). Lời giải Chọn C Ta có x  0 ; x  3  0  x  3 ; x  5  0  x  5 và 1  x  0  x  1 . Bảng xét dấu -¥ x 0 3 1 + + - - - x -5 - - 1- x + f (x ) - x - x -3 0 0 +¥ 5 + + + + - - + + - - - + - + - 0 0 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) ³ 0  x Î [0;1) È [3;5). Câu 6: Cho biểu thức f ( x ) = 4 x -12 . x 2 - 4x Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình f ( x ) £ 0 là A. x Î (0;3] È (4; +¥). B. x Î (-¥;0 ] È [3;4 ). C. x Î (-¥;0) È [3;4 ). D. x Î (-¥;0) È (3;4 ). Lời giải Chọn B Ta có f ( x ) = 4 x - 12 4 x - 12 = . x 2 - 4x x (x - 4) Phương trình 4 x -12 = 0  x = 3; x = 0 và x - 4 = 0  x = 4. Bảng xét dấu x -¥ 0 4 x -12 - x - x -4 - 3 + + + + + - - - 0 +¥ 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 0 0 + Trang 347 f (x ) + - 0 + - Dựa vào bảng xét dấu, suy ra f ( x ) £ 0  x Î (-¥;0 ) È [3; 4 ). Câu 7: Cho biểu thức f ( x ) = 2-x + 2. x +1 Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình f ( x ) < 0 là A. x Î (-¥;-1). B. x Î (-1; +¥). C. x Î (- 4;-1). D. x Î (-¥;- 4 ) È (-1; +¥). Lời giải Chọn C Ta có f ( x ) = 2 - x + 2 ( x + 1) x + 4 2-x . +2 = = x +1 x +1 x +1 Phương trình x + 4 = 0  x = - 4 và x + 1 = 0  x = -1. Bảng xét dấu -¥ x -4 x +4 - x +1 - f (x ) + 0 + + + 0 - 0 +¥ -1 + - Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) < 0  x Î (- 4; -1). Câu 8: Cho biểu thức f ( x ) = 1 - 2-x . 3x - 2 Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình f ( x ) £ 0 là æ2 ö B. x Î ççç-¥; ÷÷÷ È (1; +¥). è 3ø æ æ2 ù D. x Î (-¥;1) È ççç ; +¥÷÷÷. A. x Î ççç ;1÷÷÷. è3 ø 2ö æ2 è3 C. x Î ççç ;1ú . è 3 úû ö ø Lời giải Chọn C Ta có f ( x ) = 1 - 2-x 3x - 2 - 2 + x 4 x - 4 = = . 3x - 2 3x - 2 3x - 2 2 3 Phương trình 4 x - 4 = 0  x = 1 và 3 x - 2 = 0  x = . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 348 Bảng xét dấu 2 3 -¥ x 4x -4 - 3x - 2 - f (x ) + +¥ 1 + 0 - + 0 + + 0 - æ2 ù è 3 úû Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) £ 0  x Î ççç ;1ú . Câu 9: Cho biểu thức f ( x ) = -4 3 . 3x +1 2 - x Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình f ( x ) > 0 là æ 11 1ö æ 11ù æ 1 A. x Î ççç- ;- ÷÷÷ È [2; +¥). è 5 3ø æ 11 1ö æ 11ö æ 1 B. x Î ççç- ;- ÷÷÷ È (2; +¥). è 5 3ø ö C. x Î ççç-¥; – ú È ççç- ;2÷÷÷. è 5 ûú è 3 ø ö D. x Î ççç-¥;- ÷÷÷ È ççç- ;2÷÷÷. è 5ø è 3 ø Lời giải Chọn B Ta có f ( x ) = – 4 3 3 4 5 x + 11 = = . x – 2 3 x + 1 ( x – 2 )(3 x + 1) 3x +1 2 – x 11 5 1 3 Phương trình 5 x + 11 = 0  x = – ; x – 2 = 0  x = 2 và 3 x + 1 = 0  x = – . Bảng xét dấu x -¥ – 5 x + 11 – x -2 11 5 – 1 3 + + – – – 3x +1 – – f (x ) – 0 0 +¥ 2 0 + + 0 + + + – + æ 11 1 ö Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) > 0  x Î ççç- ;- ÷÷÷ È (2; +¥). è 1 x 5 3ø 2 3 . x +4 x +3 Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 349 Câu 10: Cho biểu thức f ( x ) = + phương trình f ( x ) < 0 là æ 11ù æ 1 æ 11 1ö æ 11ö æ 1 B. x Î ççç- ;- ÷÷÷ È (2; +¥). è 5 3ø A. x Î (-12;-4 ) È (-3;0). ö C. x Î ççç-¥; - ú È ççç- ;2÷÷÷. è 5 úû è 3 ø ö D. x Î ççç-¥;- ÷÷÷ È ççç- ;2÷÷÷. è 5ø è 3 ø Lời giải Chọn A 1 x Ta có f ( x ) = + 2 3 x + 12 <0  < 0. x +4 x +3 x ( x + 3)( x + 4 ) Phương trình x + 12 = 0  x = -12; x + 3 = 0  x = - 3 và x + 4 = 0  x = - 4. Bảng xét dấu x -¥ -4 -12 x +12 - x -3 + + + - - - - x +3 - - - x +4 - - f (x ) + 0 0 0 - +¥ 0 + + 0 + + + + + + - + 0 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) < 0  x Î (-12; - 4 ) È (- 3;0 ). Câu 11: Cho biểu thức f ( x ) = ( x - 3)( x + 2) x 2 -1 . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của x thỏa mãn bất phương trình f ( x ) < 1 ? B. 2. A. 1. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn C Ta có 1 - f ( x ) = 1 - ( x - 3)( x + 2 ) 2 x -1 = 1- x2 - x -6 x +5 = . x 2 -1 ( x - 1)( x + 1) Phương trình x + 5 = 0  x = - 5; x -1 = 0  x = 1 và x + 1 = 0  x = -1. Bảng xét dấu x x +5 -5 -¥ - 0 -1 + Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 +¥ 1 + + Trang 350 x -1 - - x +1 - - 1- f (x ) - - 0 + 0 0 + + + - + Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng 1 - f ( x ) > 0  x Î (- 5; -1) È (1; + ¥). Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên âm của x thỏa mãn yêu cầu bài toán. Dạng 2. Bất phương trình tích 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình ( x + 3)( x -1) £ 0 là A. 1. B. – 4. C. -5. D. 4. Lời giải Chọn C Đặt f ( x ) = ( x + 3)( x – 1) Phương trình x + 3 = 0  x = – 3 và x -1 = 0  x = 1. Ta có bảng xét dấu x x3 x 1 f  x   3    0 0 1    0 0    Từ bảng xét dấu ta có ( x + 3)( x – 1) £ 0  – 3 £ x £ 1  x Î [-3;1]. Suy ra các nghiệm nguyên của bất phương trình là -3, – 2, -1, 0,1. Suy ra tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình bằng – 5. Ví dụ 2: Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x ( x – 2)( x + 1) > 0 là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn B Đặt f ( x ) = x ( x – 2 )( x + 1). Phương trình x = 0; x – 2 = 0  x = 2 và x + 1 = 0  x = -1. Ta có bảng xét dấu Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 351 -¥ -1 0 +¥ 2 x – –   + 0 + x  0 + x -2  0 – + + x +1 + 0 – 0 0 – + f (x ) Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f ( x ) > 0  x Î (-1;0 ) È (2; + ¥). Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 3. 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình (2 x + 8)(1 – x ) > 0 có dạng (a; b). Khi đó b – a bằng A. 3. hạn. B. 5. C. 9. D. không giới Lời giải Chọn B Đặt f ( x ) = (2 x + 8 )(1 – x ) Phương trình 2 x + 8 = 0  x = – 4 và 1 – x = 0  x = 1. Ta có bảng xét dấu -¥ x -4 1 +¥ 2x + 8 – 1- x + f (x ) – 0 0 + + + 0 + 0 – – Từ bảng xét dấu ta có f ( x ) > 0  – 4 < x < 1  x Î (-4;1). Khi đó b = 1, a = - 4  b - a = 5. Câu 2: Tập nghiệm S = (- 4;5) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 352 A. ( x + 4 )( x + 5) < 0. B. ( x + 4 )(5 x - 25) < 0. C. ( x + 4 )(5 x - 25) ³ 0. D. ( x - 4 )( x - 5) < 0. Lời giải Chọn B Phương trình x + 4 = 0  x = - 4 và x + 5 = 0  x = - 5. Phương trình x - 4 = 0  x = 4 và 5x - 25 = 0  x - 5 = 0  x = 5. Ta có bảng xét dấu -¥ x -5 -4 4 5 +¥ + + + + + + + + + x +5 - x +4 - - x -4 - - - x -5 - - - ( x + 4 )( x + 5) + ( x + 4 )( x - 5) ( x - 4 )( x - 5) 0 0 0 - - 0 + + + + 0 - - + + 0 + 0 - 0 + + 0 + 0 + Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S = (- 4;5) là nghiệm của bất phương trình ( x + 4 )(5 x - 25) < 0. Câu 3: Tập nghiệm S = [0;5] là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây? A. x ( x - 5) < 0. B. x ( x - 5) £ 0. C. x ( x - 5) ³ 0. D. x ( x - 5) > 0. Lời giải Chọn B Đặt f ( x ) = x ( x – 5). Phương trình x = 0 và x – 5 = 0  x = 5. Ta có bảng xét dấu -¥ x 0 5 +¥ x – x -5 – f (x ) + 0 + – 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 – + 0 + 0 + Trang 353 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng x Î [0;5 ]  f ( x ) £ 0  x ( x – 5) £ 0. Câu 4: Tập nghiệm S = (-¥;3) È (5;7) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây? A. ( x + 3)( x – 5)(14 – 2 x ) £ 0. B. ( x – 3)( x – 5)(14 – 2 x ) > 0. C. ( x – 3)( x – 5)(14 – 2 x ) < 0. D. ( x + 3)( x - 5)(14 - 2 x ) < 0. Lời giải Chọn C Phương trình x + 3 = 0  x = - 3; x - 3 = 0  x = 3. Và x - 5 = 0  x = 5; 14 - 2 x = 0  x = 7. Ta có bảng xét dấu 3  x - x +3 x -3 x -5 14 - 2x + 0 0 + + + + + + + - - - + + + 0 + 0 + + 0 - +¥ 7 + - + ( x - 3)( x - 5)(14 - 2 x ) 5 - + ( x + 3)( x - 5)(14 - 2 x ) 3 0 - 0 0 + 0 + 0 - Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S = (-¥;3) È (5;7 ) là tập nghiệm của bất phương trình ( x - 3)( x - 5)(14 - 2 x ) > 0. Câu 5: Hỏi bất phương trình (2 – x )( x + 1)(3 – x ) £ 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương? A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Lời giải Chọn D Đặt f ( x ) = (2 – x )( x + 1)(3 – x ) Phương trình 2 – x = 0  x = 2; x + 1 = 0  x = -1 và 3 – x = 0  x = 3. Ta có bảng xét dấu -¥ x 2-x -1 3 2 +¥ + Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 + 0 – – Trang 354 x +1 – 3- x + f (x ) – 0 + + + + + 0 0 + – + 0 – Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) £ 0  x Î (-¥; -1] È [2;3 ]. Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên dương. Câu 6: Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình (3 x – 6)( x – 2)( x + 2)( x -1) > 0 là A. – 9. B. – 6. C. – 4. D. 8. Lời giải Chọn A 2 Bất phương trình (3x – 6)( x – 2)( x + 2)( x -1) > 0  3( x – 2) ( x + 2)( x -1) > 0 ìx ¹ 2 ï 2 Vì ( x – 2) > 0, “x ¹ 2 nên bất phương trình trở thành ïí . ï( x + 2 )( x – 1) > 0 ï î Đặt f ( x ) = ( x + 2 )( x – 1). Phương trình x + 2 = 0  x = – 2 và x -1 = 0  x = 1. Ta có bảng xét dấu -2 -¥ +¥ 1 x x +2 – x -1 – f (x ) + 0 + + 0 – 0 0 – + + Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) > 0  x Î (-¥; – 2 ) È (1; + ¥). Kết hợp với điều kiện x ¹ 2, ta được  x Î (-¥; – 2 ) È (1;2 ) È (2; + ¥). Do đó, nghiệm nguyên âm lớn nhất của bất phương trình là -3 và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình là 3. Vậy tích cần tính là (- 3).3 = – 9. Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x (4 – x )(3 – x )(3 + x ) > 0 là A. Một khoảng B. Hợp của hai khoảng. C. Hợp của ba khoảng. D. Toàn trục số. Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 355 Đặt f ( x ) = 2 x (4 – x )(3 – x )(3 + x ). Phương trình 2 x = 0  x = 0; 4 – x = 0  x = 4; Và 3 – x = 0  x = 3; 3 + x = 0  x = – 3. Ta có bảng xét dấu -3 -¥ 0 3 +¥ 4 x + + + + + + + + + x +3 – 2x – – 3- x – – – 4-x – – – f (x ) + 0 0 0 – + 0 – 0 0 – 0 + 0 + éx > 4 ê ê Từ bảng xét dấu ta có f ( x ) > 0  ê0 < x < 3  x Î (-¥;- 3) È (0;3) È (4; + ¥). ê x < -3 ë Suy ra tập nghiệm bất phương trình là hợp của ba khoảng. Câu 8: Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình ( x -1) x ( x + 2) ³ 0 là B. x = 0. A. x = - 2. C. x = 1. D. x = 2. Lời giải Chọn C ì ì ï x -1 ³ 0 ïx ³ 1 ï . í ï ï x x + 2 ³ 0 ) ï ( ïx ( x + 2) ³ 0 î î Bất phương trình ( x -1) x ( x + 2 ) ³ 0  ïí Đặt f ( x ) = x ( x + 2 ). Phương trình x = 0 và x + 2 = 0  x = - 2. Bảng xét dấu x -¥ -2 +¥ 0 x - x +2 - 0 + f (x ) + 0 - 0 - + + 0 éx ³ 0 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) ³ 0  êê ëx £ -2 + . Kết hợp với điều kiện x ³ 1, ta được tập nghiệm S = [1; + ¥ ). Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là x = 1. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 356 Dạng 3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3 <1 2-x Ví dụ 1: Bất phương trình có tập nghiệm là A. S = (-1;2). B. S = [-1;2). C. S = (-¥;-1) È (2; +¥). D. S = (-¥;-1] È [2; +¥). Lời giải Chọn C Bất phương trình Đặt f ( x ) = x +1 . 2-x 3 3 x +1 <1  -1 < 0  < 0. 2-x 2-x 2-x Ta có x + 1 = 0  x = -1 và 2 - x = 0  x = 2. Bảng xét dấu -¥ x -1 +¥ 2 2-x + + x +1 - 0 + + f (x ) - 0 + - 0 é x < -1 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) < 0  êê ëx > 2 – . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (-¥; -1) È (2; + ¥). Ví dụ 2: Bất phương trình 3 5 ³ 1- x 2 x +1 có tập nghiệm là æ 1ö é 2 ö A. S = ççç-¥;- ÷÷÷ È êê ;1÷÷÷. è 2 ø ë 11 ø æ 1ù é2 ö C. S = ççç-¥;- úú È êê ;1÷÷÷. è 2 û ë 11 ø æ 1 2ö B. S = ççç- ; ÷÷÷ È (1; +¥). è 2 11ø æ 1ö æ 2 ö D. S = ççç-¥;- ÷÷÷ È ççç ;1÷÷÷. è 2 ø è11 ø Lời giải Chọn A Bất phương trình 3 5 11x – 2 ³  ³ 0. 1- x 2 x +1 (1 – x )(2 x + 1) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 357 Đặt f ( x ) = 11x – 2 . (1 – x )(2 x + 1) Ta có 11x – 2 = 0  x = 2 ; 11 ì1 – x = 0  x = 1 ï ï ï í 1. ï 2 x +1 = 0  x = ï ï 2 î Bảng xét dấu -¥ x – 1 2 2 11 +¥ 1 + + 11x – 2 – – 1- x + + + 2 x +1 – + + + f (x ) + + – 0 – 0 0 0 – é 1 êx < ê 2 . Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) ³ 0  ê ê2 ê £ x <1 êë 11 1  2   Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;     ;1 . 2  11   Ví dụ 3: Bất phương trình æ è 2x 1 £2 x + 1 x -1 có tập nghiệm là 1ù 3û A. S = ççç-1; úú È (1; +¥). B. S = (-¥;-1] È (1; +¥). æ 1ö C. S = ççç-1; ÷÷÷ È (1; +¥). D. S = (-¥;-1] È ççç ;1÷÷÷. è æ1 ö è3 ø 3ø Lời giải Chọn C Bất phương trình Đặt f ( x ) = 2x 1 1- 3x £2  £ 0. x + 1 x -1 ( x -1)( x + 1) 1- 3x . ( x -1)( x + 1) ìx -1 = 0  x = 1 1 ï . Ta có 1 - 3 x = 0  x = ; ïíï 3 ï î x + 1 = 0  x = -1 Bảng xét dấu x -¥ 1 3 -1 1- 3x + + x -1 - - Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 0 +¥ 1 - - - 0 + Trang 358 x +1 - f (x ) + + 0 0 - Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng + + + - é 1 ê-1 < x £ f (x ) £ 0  ê 3. ê êë x > 1 æ è 1ù 3û Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ççç-1; úú È (1; +¥). 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Bất phương trình æ 1 2-x ³0 2x +1 có tập nghiệm là é 1 êë 2 ö A. S = ççç- ;2÷÷÷. è 2 ø ù úû æ 1 è 2 ù úû æ1 ö D. S = ççç ;2÷÷÷. è2 ø C. S = ççç- ;2ú . B. S = ê- ;2 ú . Lời giải Chọn C Ta có Đặt f ( x ) = 2-x . 2 x +1 1 2 Ta có 2 – x = 0  x = 2 và 2 x + 1 = 0  x = – . Bảng xét dấu x -¥ – 2-x + 2 x +1 – f (x ) – 1 2 +¥ 2 + 0 + 0 – + + 0 – 1 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng f ( x ) ³ 0  – < x £ 2. æ 1 è 2 ù úû Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ççç- ;2 ú . Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình (3 - x )( x - 2) x +1 £ 0 là A. S = (-1;2 ] È [3; +¥). B. S = (-¥;1) È [2;3]. C. S = [-1;2 ] È [3; +¥). D. S = (-1;2) È (3; +¥). Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 359 Đặt f ( x ) = (3 - x )( x - 2) x +1 ì3 - x = 0  x = 3 ï . Ta có ïí ; x +1 = 0  x = -1. ï ï îx - 2 = 0  x = 2 Bảng xét dấu x -¥ -1 3- x + + x -2 - - x +1 - f (x ) + 0 + 0 + - +¥ 3 2 0 + + + + + 0 - é-1 < x £ 2 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) £ 0  êê ëx ³ 3 0 - . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (-1;2 ] È [3; + ¥ ). Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình x 2 + x -3 ³ 1 là x2 -4 A. S = (-¥;-2) È (-1;2). B. S = (-2;1] È (2; +¥). C. S = [-2;1) È (2; +¥) D. S = (-2;1] È [2; +¥). Lời giải Chọn B Bất phương trình Đặt f ( x ) = x2 + x -3 x2 + x -3 x +1 ³1  -1 ³ 0  ³ 0. 2 x -4 x2 -4 ( x - 2 )( x + 2 ) x +1 . x ( 2 )( x + 2 ) éx = -2 Ta có x + 1 = 0  x = -1 và ( x - 2 )( x + 2 ) = 0  êê ëx = 2 . Bảng xét dấu x -¥ -2 -1 +¥ 2 x +1 - - x -2 - - - x +2 - + + + f (x ) - - + 0 + + 0 0 é- 2 < x £ -1 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) ³ 0  êê ëx > 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 + 0 + . Trang 360 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (- 2; -1] È (2; + ¥ ). Câu 4: Bất phương trình 1 2 3 + < x x +4 x +3 có tập nghiệm là A. S = (-¥;-12) È (- 4;3) È (0; +¥). B. S = [-12;- 4 ) È (- 3;0). C. S = (-¥;-12) È [- 4;3] È (0; +¥). D. S = (-12;- 4 ) È (-3;0). Lời giải Chọn D Bất phương trình Đặt f ( x ) = 1 2 3 x + 12 + <  < 0. x x +4 x +3 x ( x + 3)( x + 4 ) x + 12 . x ( x + 3)( x + 4 ) ìx + 3 = 0  x = -3 ï Ta có x + 12 = 0  x = -12; ïí . ï ï îx + 4 = 0  x = - 4 Bảng xét dấu x -¥ -12 x +12 - x -4 -3 + + + - - - - x +3 - - - x +4 - - f (x ) + 0 0 0 - +¥ 0 + 0 + + + + + + + - + 0 é-12 < x < - 4 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) < 0  êê ë- 3 < x < 0 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (-12; - 4 ) È (- 3;0 ). Câu 5: Bất phương trình 1 1 < x + 1 ( x - 1)2 có tập nghiệm S là A. T = (-¥;-1) È (0;1) È [1;3]. B. T = [-1;0) È (-3; +¥). C. T = (-¥;-1) È (0;1) È (1;3). D. T = (-1;0 ] È (- 3; +¥). Lời giải Chọn C Bất phương trình 1 1 1 1 <  < 0. 2 x + 1 ( x - 1) x + 1 ( x - 1)2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 361 ïì x ¹ 1 ïï x ( x - 3) ( x -1) - ( x + 1) 2  <0  < 0  í x ( x - 3) (vì ( x -1) > 0, “x Î  ). 2 2 ï <0 ( x + 1)( x -1) ( x + 1)( x -1) ïï 2 ïî x + 1 Đặt f ( x ) = x ( x - 3) x +1 . Ta có x - 3 = 0  x = 3 và x + 1 = 0  x = -1. Bảng xét dấu -¥ x -1 0 + 0 x - - x -3 - - - x +1 - + + f (x ) - 0 + +¥ 3 0 - + 0 + 0 - é x < -1 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) < 0  êê ë0 < x < 3 - . Kết hợp với điều kiện x ¹ 1, ta được tập nghiệm S = (-¥; -1) È (0;1) È (1;3). Câu 6: Bất phương trình x +4 2 4x < 2 x - 9 x + 3 3x - x 2 có nghiệm nguyên lớn nhất là B. x = 1. A. x = 2. C. x = - 2. D. x = -1. Lời giải Chọn A Bất phương trình tương đương với x (x + 4) x ( x - 3)( x + 3) Đặt f ( x ) = - 2 x ( x - 3) x ( x - 3)( x + 3) 3 x + 22 . ( x - 3)( x + 3) <- 4 x ( x + 3) x ( x - 3)( x + 3)  Ta có 3 x + 22 = 0  x = - 3 x + 22 ( x - 3)( x + 3) < 0. ìx - 3 = 0  x = 3 22 ï ;ï . í 3 ï ï îx + 3 = 0  x = -3 Bảng xét dấu x -¥ - 3 x + 22 - x -3 - x +3 - 22 3 0 0 -3 + + - - - + Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 +¥ 3 + 0 + + Trang 362 f (x ) + - 0 0 - æ è Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) < 0  x Î ççç-¥;- + 22 ö÷ ÷ È (- 3;3). 3 ø÷ Vậy nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là x = 2. Dạng 4. Bất phương trình chứa trị tuyệt đối 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Nghiệm của bất phương trình 2 x - 3 £ 1 là A. 1 £ x £ 3. B. -1 £ x £ 1. C. 1 £ x £ 2. D. -1 £ x £ 2. Lời giải Chọn C Ta có 2 x - 3 £ 1  -1 £ 2 x - 3 £ 1  2 £ 2 x £ 4  1 £ x £ 2. Ví dụ 2: Bất phương trình 1 - 3 x > 2 có nghiệm là æ 1ö A. ççç-¥;- ÷÷÷ È (1; +¥). è 3ø æ 1ö C. ççç-¥;- ÷÷÷. B. (1; +¥). è 3ø æ 1ö D. ççç-¥; ÷÷÷. è 3ø Lời giải Chọn C é 1 é-1 > 3 x êx < ê ê 3. ê3 x > 3 ê ë1 – 3 x < - 2 ë êë x > 1 é1 – 3 x > 2 Ta có 1 – 3 x > 2  êê æ 1ö Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ççç-¥;- ÷÷÷ È (1; +¥). è 3ø Ví dụ 3: Bất phương trình: 3 x – 3 £ 2 x + 1 có nghiệm là A. [ 4; +¥). é2 æ 2ù B. ççç-¥; úú . è ù D. (-¥;4 ]. C. êê ;4 úú . ë5 û 5û Lời giải Chọn C 2 2 2 2 Ta có 3x – 3 £ 2 x + 1  3x – 3 £ 2 x + 1  (3x – 3) -(2 x + 1) £ 0  (3 x – 3 – 2 x – 1)(3 x – 3 + 2 x + 1) £ 0  ( x – 4 )(5 x – 2 ) £ 0  é2 2 £ x £ 4. 5 ù Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = êê ;4 úú . ë5 û Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 363 Ví dụ 4: Tập nghiệm của bất phương trình æ 1 è 2 x -1 x +2 < 1 là ö ø æ 1 è 2 ö ø A. S = ççç- ; +¥÷÷÷. B. S = (-¥;- 2 ) È ççç- ; +¥÷÷÷. æ 1ö C. S = ççç-¥;- ÷÷÷ È (2; +¥). æ 1ö D. S = ççç- 2;- ÷÷÷. è 2ø è 2ø Lời giải Chọn B Điều kiện: x + 2 ¹ 0  x ¹ - 2. TH1. Với x -1 ³ 0  x ³ 1, ta có x -1 x +2 x -1 3 <1  > 0  x > – 2. x +2 x +2 <1  Kết hợp với điều kiện x ³ 1, ta được tập nghiệm S 1 = (1; +¥). TH2. Với x -1 < 0  x < 1, ta có x -1 x +2 <1  é 1 êx > 1- x 2 x +1 <1  >0 ê 2. ê x +2 x +2 êë x < - 2 æ 1 è 2 ö ø Kết hợp với điều kiện x < 1, ta được tập nghiệm là S 2 = (-¥;- 2) È ççç- ; +¥÷÷÷. æ 1 è 2 ö ø Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 È S 2 = (-¥;- 2) È ççç- ; +¥÷÷÷. Ví dụ 5: Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x + 12 ³ 2 x - 4 là A. 5. B. 19 C. 11. D. 16. Lời giải Chọn B TH1. Với 2 x - 4 ³ 0  x ³ 2, ta có x + 12 ³ 2 x - 4  x + 12 ³ 2 x - 4  x £ 16. Kết hợp với điều kiện x ³ 2, ta được tập nghiệm S 1 = [2;16 ]. 8 3 TH2. Với 2 x - 4 < 0  x < 2, ta có x + 12 ³ - 2 x + 4  3 x ³ - 8  x ³ - . é 8 ë 3 ö ø Kết hợp với điều kiện x < 2, ta được tập nghiệm S 2 = êê- ;2÷÷÷. é 8 ù Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 È S 2 = êê- ;16 úú . ë 3 û Vậy số nghiệm nguyên x thỏa mãn bất phương trình là 19. 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tất cả các giá trị của x thoả mãn x -1 < 1 là A. - 2 < x < 2. B. 0 < x < 1. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. x < 2. D. 0 < x < 2. Trang 364 Lời giải Chọn D Ta có x - 1 < 1  -1 < x - 1 < 1  0 < x < 2. Câu 2: Bất phương trình 3 x - 4 £ 2 có nghiệm là æ 2ù A. ççç-¥; ú È [2; +¥). è 3 úû é2 êë 3 æ 2ù C. ççç-¥; ú . ù úû B. ê ;2ú . D. [2; +¥). 3 úû è Lời giải Chọn B 2 3 Ta có 3 x - 4 £ 2  - 2 £ 3 x - 4 ³ 2  2 £ 3 x £ 6  £ x £ 2. Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình x - 3 > -1 là A. (3; +¥). B. (-¥;3). C. (- 3;3). D. . Lời giải Chọn D Vì x – 3 ³ 0, “x Î  nên suy ra x – 3 > -1, “x Î . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = . Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình 5 x – 4 ³ 6 có dạng S = (-¥; a ] È [b; +¥). Tính tổng P = 5a + b. A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn C éx ³ 2 é5 x ³ 10 ê ê ê 2. ê5 x £ – 2 ê 5 x 4 6 £ x £ë ë 5 ëê é5 x – 4 ³ 6 Cách 1. Bất phương trình 5 x – 4 ³ 6  êê Cách 2. TH1. Với 5 x – 4 ³ 0, bất phương trình 5 x – 4 ³ 6  5 x – 4 ³ 6  x ³ 2. 2 5 TH2. Với 5 x – 4 < 0, bất phương trình 5 x - 4 ³ 6  - 5 x + 4 ³ 6  5 x £ - 2  x £ - . æ è 2ù 5 úû Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S = ççç-¥;- ú È [2; +¥). ì ï 2 ïa = æ 2ö Mặt khác S = (-¥; a ] È [b; +¥) suy ra ïí 5  5a + b = 5. ççç- ÷÷÷ + 2 = 0. ï ï ï îb = 2 Câu 5: è 5ø Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình A. 1. B. 2. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 4. 2-x ³2? x +1 D. 3. Trang 365 Lời giải Chọn C Điều kiện: x + 1 ¹ 0  x ¹ -1. é2- x é2- x é 3x ê ê ê³2 -2 ³ 0 ³0 ê x +1 ê x +1 ê x +1 2-x ³2  ê ê ê Bất phương trình ê2- x ê2- x ê4 + x x +1 ê £ -2 ê +2 £ 0 ê £0 êë x + 1 êë x + 1 êë x + 1 Giải (1), ta có bất phương trình (1)  (1) (2 ) x £ 0  -1 < x £ 0. x +1 Giải (2 ), ta có bất phương trình (2 )  - 4 £ x < -1. Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S = [- 4; -1) È (-1;0 ]. Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên x cần tìm là x = {- 4; - 3; - 2;0}. Câu 6: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 1 £ x - 2 £ 4 là A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. Lời giải Chọn C ì- 4 £ x - 2 £ 4 é- 2 £ x £ 6 ìï x - 2 £ 4 ïïï ê ï ï ê  íé x - 2 ³ 1  êéx ³ 3 Bất phương trình 1 £ x - 2 £ 4  í ê ïï x - 2 ³ 1 ïïê êêx £ 1 î ïïîêë x - 2 £ -1 ëê ë Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S = [- 2;1] È [3;6 ]. Vậy số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình là 8. Câu 7: Bất phương trình x - 3 > 2 x + 4 có nghiệm là æ 1ö A. ççç- 7; ÷÷÷. è 3ø æ 1ö B. ççç7; – ÷÷÷. è 3ø æ 1ö C. ççç-7;- ÷÷÷. D. (-¥;-7) È ççç- ; +¥÷÷÷. è æ 1 è 3 3ø ö ø Lời giải Chọn C 2 2 2 2 Ta có x – 3 > 2 x + 4  x – 3 > 2 x + 4  ( x – 3) -(2 x + 4 ) > 0 1  ( x – 3 – 2 x – 4 )( x – 3 + 2 x + 4 ) > 0  (- x – 7 )(3 x + 1) > 0  – 7 < x < - . 3 æ 1ö Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ççç-7; - ÷÷÷. è Câu 8: 3ø Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x trong [- 2017;2017] thỏa mãn bất phương trình Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 366 2 x +1 < 3x ? A. 2016. B. 2017. C. 4032. D. 4034. Lời giải Chọn A 1 2 TH1. Với 2 x + 1 ³ 0  x ³ - , khi đó 2 x + 1 < 3 x  2 x + 1 < 3 x  x > 1. Kết hợp với điều kiện x ³ – 1 suy ra S 1 = (1; +¥). 2 1 2 1 5 TH2. Với 2 x + 1 < 0  x < - , khi đó 2 x + 1 < 3 x  - 2 x -1 < 3 x  x > – . Kết hợp với điều kiện x < - 1 suy ra S 2 = Æ. 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S 1 È S 2 = (1; +¥). Câu 9: Bất phương trình 3 x - 4 ³ x - 3 có nghiệm là é1 7ù êë 2 4 úû æ 7ù A. ççç-¥; ú . é1 ëê 2 ö ø C. ê ; +¥÷÷÷. B. ê ; ú . 4 úû è D. . Lời giải Chọn B é 1 êx ³ é3 x - 4 ³ x - 3 é2 x ³ 1 ê 2 ê ê . Ta có 3 x - 4 ³ x - 3  êê ê ë3 x - 4 £ -( x - 3) ë 4 x £ 7 êê x £ 7 êë 4 é1 7 ù êë 2 4 úû Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ê ; ú . Câu 10: Nghiệm của bất phương trình x +2 -x x £ 2 là A. (0;1]. B. (-¥; - 2 ) È (1; +¥). C. (-¥;0) È [1; +¥). D. [0;1]. Lời giải Chọn C Điều kiện: x ¹ 0. TH1. Với x + 2 ³ 0  x ³ - 2, ta có x +2 -x x £2  éx ³ 1 x +2-x 1- x £2  £0  ê . ê x x ëx < 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 367 Kết hợp với điều kiện x ³ - 2, ta được tập nghiệm S1 = (- 2;0 ) È [1; + ¥). x +2 -x TH2. Với x + 2 < 0  x < - 2, ta có - x £2  -x -2 - x 2x + 2 £2 £2 x x éx > 0 ê x +1 x +1 2 x +1 £1  1+ ³0 ³0ê 1. êx £ x x x êë 2 æ è 1ù 2 úû Kết hợp với điều kiện x < - 2, ta được tập nghiệm là S 2 = ççç-¥;- ú . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S 1 È S 2 = (-¥;0 ) È [1; + ¥). Câu 11: Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x + 2 + -2 x + 1 £ x + 1 là A. 3. B. 5. C. 2. D. 0. Lời giải Chọn D Ta có Xét bất phương trình x + 2 + - 2 x + 1 £ x + 1 (*). Bảng xét dấu x 1 2 -2 -¥ +¥ x +2 - 0 + | + -2 x +1 + | + 0 - 1 2 TH1. Với x < - 2, khi đó (*)  (- x - 2) + (- 2 x + 1) £ x + 1  - 2 £ 4 x  x ³ - . Kết hợp với điều kiện x < - 2, ta được tập nghiệm S1 = Æ. 1 2 TH2. Với - 2 £ x < - , khi đó (*)  x + 2 - 2 x + 1 £ x + 1  2 x ³ 2  x ³ 1. 1 2 Kết hợp với điều kiện - 2 £ x < , ta được tập nghiệm S 2 = Æ. 1 2 TH3. Với x ³ , khi đó (*)  x + 2 - (-2 x + 1) £ x + 1  2 x £ 0  x £ 0. 1 2 Kết hợp với điều kiện x ³ , ta được tập nghiệm S 3 = Æ. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 È S 2 È S 3 = Æ. Câu 12: Bất phương trình x + 2 - x -1 < x A. (- 2; +¥). 3 có tập nghiệm là 2 æ 1 ö B. ççç- ; +¥÷÷÷. è 2 ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 æ 3 ö C. ççç- ; +¥÷÷÷. è 2 ø æ9 ö D. ççç ; +¥÷÷÷. è2 ø Trang 368 Lời giải Chọn D Xét bất phương trình x + 2 - x -1 £ x - 3 2 (*). Lập bảng xét dấu -¥ x -2 x +2 - x -1 - +¥ 1 + 0 + + 0 - 3 2 3 2 TH1. Với x < - 2, khi đó (*)  - x - 2 + x -1 < x -  x > – . Kết hợp với điều kiện x < - 2, ta được tập nghiệm S1 = Æ. 3 2 5 2 TH2. Với - 2 £ x < 1, khi đó (*)  x + 2 + x -1 < x -  x < - . Kết hợp với điều kiện - 2 £ x < 1, ta được tập nghiệm S 2 = Æ. 3 2 9 2 TH3. Với x ³ 1, khi đó (*)  x + 2 - x + 1 < x -  x > . æ9 è2 ö ø Kết hợp với điều kiện x ³ 1, ta được tập nghiệm S 3 = ççç ; +¥÷÷÷. æ9 è2 ö ø Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 È S 2 È S 3 = ççç ; +¥÷÷÷. Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình x + 1 – x – 2 ³ 3 là A. [-1;2 ]. B. [2; +¥). C. (-¥;-1). D. (- 2;1). Lời giải Chọn B Xét bất phương trình x + 1 – x – 2 ³ 3 (*). Bảng xét dấu x -¥ -1 2 +¥ x +1 – 0 x -2 – | + – | + 0 + TH1. Với x < -1, khi đó (*)  - x - 1 + x - 2 ³ 3  - 3 ³ 3 (vô lý) suy ra S1 = Æ. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 369 TH2. Với -1 £ x < 2, khi đó (*)  x + 1 + x - 2 ³ 3  2 x ³ 4  x ³ 2. Kết hợp với điều kiện -1 £ x < 2, ta được tập nghiệm S 2 = Æ. TH3. Với x ³ 2, khi đó (*)  x + 1 - x + 2 ³ 3  3 ³ 3 (luôn đúng). Kết hợp với điều kiện x ³ 2, ta được tập nghiệm S 3 = [2; + ¥). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S 1 È S 2 È S 3 = [2; + ¥). -5 10 < là x +2 x -1 Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình A. một khoảng. B. hai khoảng. C. ba khoảng. D. toàn trục số. Lời giải Chọn C ïì x ¹ - 2 Điều kiện: ïí . ïïî x ¹ 1 Bất phương trình -5 10 1 2 <  <  x -1 - 2 x + 2 < 0 x +2 x -1 x +2 x -1 (*). Bảng xét dấu: x -2 -¥ +¥ 1 x -1 - | - 0 + x +2 - 0 + | + TH1. Với x < - 2, khi đó (*)  - x + 1 + 2 ( x + 2 ) < 0  x < - 5. Kết hợp với điều kiện x < - 2, ta được tập nghiệm S 1 = (-¥; - 5). TH2. Với - 2 < x < 1, khi đó (*)  - x + 1 - 2 ( x + 2 ) < 0  3 x > – 3  x > -1. Kết hợp với điều kiện – 2 < x < 1, ta được tập nghiệm S 2 = (-1;1). TH3. Với x > 1 khi đó (*)  x – 1 – 2 ( x + 2 ) < 0  x > – 5. Kết hợp với điều kiện x > 1, ta được tập nghiệm S 3 = (1; + ¥ ). Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = S1 È S 2 È S 3 = (-¥; – 5) È (-1;1) È ( 1; +¥). Câu 15: Số nghiệm nguyên của bất phương trình A. 1. B. 2. 2 -3 x 1+ x £ 1 là C. 0. D. 3. Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 370 Điều kiện: x + 1 ¹ 0  x ¹ -1. TH1. Với x ³ 0, ta có 2 -3 x 1+ x £1  2 – 3x 2 – 3x 1 3 £ 1  -1 £ £1  £ x £ . x +1 x +1 4 2 é1 3ù êë 4 2 úû Kết hợp với điều kiện x ³ 0, ta được tập nghiệm S1 = ê ; ú . TH2. Với x < 0, ta có 2 -3 x 1+ x £1  2 + 3x 2 + 3x 3 1 £ 1  -1 £ £1  - £ x £ - . x +1 x +1 4 2 é 3 êë 4 1ù 2 ûú Kết hợp với điều kiện x < 0, ta được tập nghiệm S 2 = ê- ;- ú . é1 3ù ëê 4 2 úû é 3 êë 4 1ù 2 ûú Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 È S 2 = ê ; ú È ê- ;- ú . Vậy số nghiệm nguyên x cần tìm là 1 ( x = 1). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 371 BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax  by  c (ax  by  c, ax  by  c; ax  by  c ) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số. II – BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó. Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax  by  c như sau Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng  : ax  by  c Bước 2. Lấy một điểm M 0  x0 ; y0  không thuộc  Bước 3. Tính ax0  by0 và so sánh ax0  by0 với c Bước 4. Kết luận Nếu ax0  by0  c thì nửa mặt phẳng bờ  chứa M 0 là miền nghiệm của ax0  by0  c Nếu ax0  by0  c thì nửa mặt phẳng bờ  không chứa M 0 là miền nghiệm của ax0  by0  c Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax0  by0  c bỏ đi đường thẳng ax  by  c là miền nghiệm của bất phương trình  x0  by0  c Ví dụ. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2 x  y  3 Giải Vẽ đường thẳng  : 2 x  y  3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 372 Lấy gốc tọa độ O (0; 0) ta thấy O   và có 2.0  0  3 nên nửa mặt phẳng bờ  chứa gốc tọa độ 0 là miền nghiệm của bất phương trình đã cho . III – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Tương tự hệ bất phương trình một ẩn Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 3 x  y  6  x  y  4 Ví dụ 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình  x  0  y  0 Giải. Vẽ các đường thẳng d1 : 3 x  y  6 d2 : x  y  4 d 2 : x  0 (Oy ) d 2 : y  0 (Ox) Vì điểm M 0 (1;1) có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ  d1   d 2   d3   d 4  không chứa điểm M 0 Miền không bị tô đậm trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho. IV – ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 373 B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? A. 2 x  5 y  3z  0 . B. 3x 2  2 x  4  0 . C. 2 x 2  5 y  3 . D. 2 x  3 y  5 . Hướng dẫn giải Chọn D. Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ 2. Cặp số  1;  1 là nghiệm của bất phương trình A. x  4 y  1 . B. x  y  2  0 . C.  x  y  0 . D.  x  3 y  1  0 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: 1  4  1  3  1 . 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? A. 2 x 2  3 y  0 B. x 2  y 2  2 C. x  y 2  0 D. x  y  0 Lời giải Chọn D Theo định nghĩa thì x + y ³ 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Các bất phương trình còn lại là bất phương trình bậc hai. Câu 2. Cho bất phương trình 2 x  3 y  6  0 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Bất phương trình (1) chỉ có một nghiệm duy nhất. B. Bất phương trình (1) vô nghiệm. C. Bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm. D. Bất phương trình (1) có tập nghiệm là  . Lời giải Chọn C Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d ) : 2 x + 3 y - 6 = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn điểm O (0;0) không thuộc đường thẳng đó. Ta thấy ( x; y ) = (0;0) là nghiệm của bất phương Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 374 trình đã cho. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ (d ) chứa điểm O (0;0) kể cả (d ) . Vậy bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm. Câu 3. Miền nghiệm của bất phương trình: 3 x  2( y  3)  4( x  1)  y  3 là nửa mặt phẳng chứa điểm: A. (3; 0) B. (3;1) C. (2;1) D. (0;0) Lời giải Chọn C Ta có 3x + 2( y + 3) ³ 4 ( x +1) - y + 3  - x + 3 y -1 ³ 0 . Vì -2 + 3.1-1 > 0 là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ (2;1) . Câu 4. Miền nghiệm của bất phương trình: 3( x  1)  4( y  2)  5 x  3 là nửa mặt phẳng chứa điểm: A. (0; 0) B. ( 4; 2) C. ( 2; 2) D. (5;3) Lời giải Chọn A Ta có 3( x -1) + 4( y – 2) < 5 x - 3  - 2 x + 4 y - 8 < 0 . Vì -2.0 + 4.0 - 8 < 0 là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ (0;0) . Câu 5. Miền nghiệm của bất phương trình  x  2  2( y  2)  2(1  x ) là nửa mặt phẳng không chứa điểm nào trong các điểm sau? A. (0; 0) B. (1;1) C. (4; 2) D. (1; 1) Lời giải Chọn C Ta có -x + 2 + 2 ( y - 2) < 2 (1 - x )  x + 2 y < 4 . Vì -4 + 2.2 < 4 là mệnh đề sai nên (-4;2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Câu 6. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không thuộc nghiệm của bất phương trình: x  4 y  5  0 A. (5; 0) B. ( 2;1) C. (0;0) D. (1; 3) Lời giải Chọn A Vì -5 - 4.0 + 5 > 0 là mệnh đề sai nên (-5;0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Câu 7. Điểm A( 1;3) là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình: A. 3 x  2 y  4  0 B. x  3 y  0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 3 x  y  0 D. 2 x  y  4  0 Trang 375 Lời giải Chọn A Vì -3.(-1) + 2.3 – 4 > 0 là mệnh đề đúng nên A(-1;3) là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình -3x + 2 y – 4 > 0 . Câu 8. Cặp số (2;3) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây? A. 2 x  3 y  1  0 . B. x  y  0 . C. 4 x  3 y . D. x  3 y  7  0 . Lời giải Chọn B Vì 2 – 3 < 0 là mệnh đề đúng nên cặp số (2;3) là nghiệm của bất phương trình x – y < 0 . Câu 9. Miền nghiệm của bất phương trình x  y  2 là phần tô đậm trong hình vẽ của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau? y y 2 2 2 2 x x O O A. B. y y 2 2 2 x 2 x O O C. D. Lời giải Chọn A Đường thẳng D : x + y - 2 = 0 đi qua hai điểm A (2;0), B (0;2) và cặp số (0;0) thỏa mãn bất Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 376 phương trình x - y £ 2 nên Hình 1 biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + y £ 2 . Câu 10. Phần tô đậm trong hình vẽ sau, biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau? y 3 x 2 O -3 A. 2 x  y  3 B. 2 x  y  3 C. x  2 y  3 D. x  2 y  3 Lời giải Chọn B æ3 ö Đường thẳng đi qua hai điểm A ççç ;0÷÷÷ và B (0;-3) nên có phương trình 2 x - y = 3 . è2 ø Mặt khác, cặp số (0;0) không thỏa mãn bất phương trình 2 x - y > 3 nên phần tô đậm ở hình trên biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2 x – y > 3 . Dạng 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. x  3y  2  0 . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của Cho hệ bất phương trình  2 x  y  1  0 hệ bất phương trình? B. N ( 1;1) A. M (0;1) C. P (1;3) D. Q ( 1;0) Lời giải Chọn B Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. ïì0 + 3.1- 2 ³ 0 . ïïî2.0 + 1 + 1 £ 0 Với M (0;1)  ïí Bất phương trình thứ hai sai nên A sai. ïì-1 + 3.1- 2 ³ 0 : Đúng. Chọn B. ïï2.(-1) + 1 + 1 £ 0 î Với N ( –1;1)  ïí Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 377 Câu 2. 2 x  5 y  1  0  Cho hệ bất phương trình  2 x  y  5  0 . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm  x  y 1  0  của hệ bất phương trình? A. O (0; 0) C. N (0; 2) B. M (1; 0) D. P (0; 2) Lời giải Chọn C Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. ì2.0 – 5.0 -1 > 0 ï ï Với O (0;0)  ïïí2.0 + 0 + 5 > 0 . Bất phương trình thứ nhất và thứ ba sai nên A sai. ï ï ï ï î0 + 0 + 1 < 0 ì2.1- 5.0 -1 > 0 ï ï Với M (1;0)  ïïí2.1 + 0 + 5 > 0 . Bất phương trình thứ ba sai nên B sai. ï ï ï ï î1 + 0 + 1 < 0 ìï2.0 - 5.(-3) -1 > 0 ïï Với N (0; -3)  ïí2.0 + (-2) + 5 > 0 : Đúng. Chọn ïï ïï0 + (-2) + 1 < 0 î Câu 3. C. x y  2  3 1  0  chứa điểm nào trong các điểm sau đây? Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x  0  1 3y x   2 2 2  A. O (0; 0) B. M (2;1) C. N (1;1) D. P (5;1) Lời giải Chọn B Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. ìï 0 0 ïï + -1 ³ 0 ïï 2 3 Với O (0;0)  ïí0 ³ 0 . Bất phương trình thứ nhất sai nên A sai. ïï ïï 1 3.0 £2 ïï0 + 2 2 ïî ìï 2 1 ïï + -1 ³ 0 ïï 2 3 Với M (2;1)  ïí2 ³ 0 : Đúng. Chọn ïï ïï 1 3.1 £2 ïï2 + 2 2 ïî Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B. Trang 378 Câu 4. 3 x  y  9 x  y  3  chứa điểm nào trong các điểm sau đây? Miền nghiệm của hệ bất phương trình  2 y  8  x  y  6 A. O (0; 0) B. M (1; 2) C. N (2;1) D. P (8; 4) Lời giải Chọn D Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. Câu 5. Điểm M (0; 3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trìnhnào sau đây? 2 x  y  3 A.  2 x  5 y  12 x  8 2 x  y  3 B.  C. 2 x  5 y  12 x  8 2 x  y  3  2 x  5 y  12 x  8 2 x  y  3 D.  2 x  5 y  12 x  8 Lời giải Chọn A Thay tọa độ M (0; -3) lần lượt vào từng hệ bất phương trình. Câu 6. x  y  2  0 . Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc miền Cho hệ bất phương trình  2 x  3 y  2  0 nghiệm của hệ bất phương trình? A. O (0; 0) B. M (1;1) C. N ( 1;1) D. P (1; 1) Lời giải Chọn C Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. Câu 7. x  2 y  0  Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x  3 y  2 là phần không tô đậm của hình vẽ nào y  x  3  trong các hình vẽ sau? A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B. Trang 379 C. D. Lời giải Chọn A Chọn điểm M (0;1) thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn. Câu 8. x  y 1  0  Miền nghiệm của hệ bất phương trình  y  2 là phần không tô đậm của hình vẽ nào  x  2 y  3  trong các hình vẽ sau? y y 2 2 1 1 1 -3 x O -3 x 1 x O A. B. y y 2 2 1 1 1 -3 1 x O -3 C. O D. Lời giải Chọn B Chọn điểm M (0; 4) thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 380 Câu 9. Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây , biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau? Lời giải Chọn B x  y  0 A.  2 x  y  1 x  y  0 B.  2 x  y  1 x  y  0 C.  2 x  y  1 Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án x  y  0 D.  2 x  y  1 A. Chọn điểm M (1;0) thử vào các hệ bất phương trình. ïì1- 0 > 0 Xét đáp án B, ta có ïí : Đúng và miền nghiệm không chứa biên. ïïî2.1- 0 > 1 Câu 10. Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây , biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau? y 1 x -2 2 x  2 y  0 A.   x  3 y  2 x  2 y  0 B.   x  3 y  2 x  2 y  0 C.   x  3 y  2 x  2 y  0 D.   x  3 y  2 Lời giải Chọn D Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A và M (0;1) thử vào các hệ bất phương trình. C. Chọn điểm ïì0 – 2.1 > 0 : Sai. Xét đáp án B, ta có ïí ïïî0 + 3.1 < -2 Dạng 3. Bài toán tối ưu 1. Phương pháp Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T ( x, y )  ax  by với ( x; y ) nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước. Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm S là đa giác. Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với ( x; y ) là tọa độ của các đỉnh của đa giác. Bước 3: Kết luận: · Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 381 · Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1.  y  2x  2  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  y  x trên miền xác định bởi hệ 2 y  x  4 là  x y 5  A. min F  1 khi x  2 , y  3 . B. min F  2 khi x  0 , y  2 . C. min F  3 khi x  1 , y  4 . D. min F  0 khi x  0 , y  0 . Hướng dẫn giải Chọn A.  y  2x  2  Miền nghiệm của hệ  2 y  x  4 là miền trong của tam giác ABC kể cả biên  x y 5  Ta thấy F  y  x đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A , B , C . Tại A  0; 2  thì F  2 . Tại B 1; 4  thì F  3 Tại A  2; 3 thì F  1. Vậy min F  1 khi x  2 , y  3 . Ví dụ 2 : Giá trị nhỏ nhất Fmin 0  x  10 0  y  9  của biểu thức F ( x; y )  4 x  3 y trên miền xác định bởi hệ  2 x  y  14 2 x  5 y  30 là Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 382 A. Fmin  23 B. Fmin  26 C. Fmim  32 D. Fmin  67 Lời giải Chọn C Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng d1 : 2 x + y -14 = 0, d2 : 2 x + 5 y - 30 = 0, D : y = 9, D ' : x = 10. y 14 d1 B 9 6 C d2 ' 4 A D 2 O 5 5 7 10 x 2 Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ. æ5 ö Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là A (5; 4 ), B ççç ;9÷÷÷, C (10;9 ), D (10;2). è2 ø ì F (5;4 ) = 32 ï ï ï ï æ5 ö ï ï ï F çç ;9÷÷ = 37 Ta có íï çè 2 ø÷ ¾¾  Fmin = 32. ï ï F (10;9 ) = 67 ï ï ï ï ï ï î F (10;2 ) = 46 Ví dụ 3: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. ● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu; ● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất? A. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo. B. 6 lít nước cam và 5 lít nước táo. C. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo. D. 4 lít nước cam và 6 lít nước táo. Lời giải Chọn C Giả sử x , y lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội cần pha chế. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 383 Suy ra 30 x + 10 y là số gam đường cần dùng; x+y là số lít nước cần dùng; x + 4 y là số gam hương liệu cần dùng. ìï x ³ 0 ìï x ³ 0 ïï ïï ïï y ³ 0 ïï y ³ 0 ïï ï Theo giả thiết ta có í30 x + 10 y £ 210  ïí3 x + y £ 21 . ïï ïï ïï x + y £ 9 ïï x + y £ 9 ïï ïï ïî x + 4 y £ 24 ïî x + 4 y £ 24 (*) Số điểm thưởng nhận được sẽ là P = 60 x + 80 y. Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với x , y thỏa mãn (*) . Ví dụ 4 : Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm ● Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn; ● Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn. Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất? A. 30 kg loại I và 40 kg loại II. B. 20 kg loại I và 40 kg loại II. C. 30 kg loại I và 20 kg loại II. D. 25 kg loại I và 45 kg loại II. Lời giải Chọn B Gọi x ³ 0, y ³ 0 (kg) lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất. Khi đó, tổng số nguyên liệu sử dụng: 2 x + 4 y £ 200. Tổng số giờ làm việc: 30 x + 15 y £ 1200. Lợi nhuận tạo thành: L = 40 x + 30 y . Thực chất của bài toán này là phải tìm x ³ 0, y ³ 0 thoả mãn hệ ì 2 x + 4 y £ 200 ï ï í ï 30 ï î x + 15 y £ 1200 sao cho L = 40 x + 30 y đạt giá trị lớn nhất. Vi dụ 5: Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm I và II . Mỗi sản phẩm I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm II bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm I thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm II thì Chiến phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là. A. 32 triệu đồng. B. 35 triệu đồng. C. 14 triệu đồng. D. 30 triệu đồng. Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 384 Chọn A. Gọi x , y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện x , y nguyên dương. 3 x  2 y  180  x  6 y  220  Ta có hệ bất phương trình sau:  x  0  y  0 Miền nghiệm của hệ trên là y 90 B C x O A Tiền lãi trong một tháng của xưởng là T  0,5 x  0, 4 y . Ta thấy T đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm A , B , C . Vì C có tọa độ không nguyên nên loại. Tại A  60; 0  thì T  30 triệu đồng. Tại B  40; 30  thì T  32 triệu đồng. Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng. 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. 2 x  y  2 x  2 y  2  tại điểm M có toạ độ Biểu thức F ( x; y )  y  x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện  5   x y   x  0 là: A. (4;1) 8 7 B.  ;   3 3 2 2 C.  ;   3 3 D. (5;0) Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 385 Vẽ các đường thẳng :  d1  : y  2 x  2 1 x 1 2  d3  : y  5  x  d2  : y  Khi đó miền nghiệm của hệ là miền trong của tam giác ABC 7 8 2 2 Tọa độ các đỉnh: A  ;  ; B  4;1 ; C  ;    3 3 3 3  2 2  4  Fmin  3 Ta có : F  4;1  3; F  ;    3 3 3 Câu 2.  x  2 y  100  0 2 x  y  80  0  Cho x, y thoả mãn hệ  Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức x  0  y  0 P  ( x; y )  40000 x  30000 y A. Pmax  2000000 B. Pmax  2400000 C. Pmax  1800000 D. Pmax  1600000 Lời giải Chọn A Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng d1 : x + 2 y -100 = 0, d2 : 2 x + y - 80 = 0. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 386 y 80 A 50 B 40 100 C O 20 x 40 d1 d2 Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ. Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là O (0;0 ), A (0;50 ), B (20; 40 ), C (40;0 ). Ta có Câu 3. ì ï P (0;0 ) = 0 ï ï ï ï ïP (0;50 ) = 1500000 ¾¾  Pmax = 2000000. í ï P (20;40 ) = 2000000 ï ï ï ï ï îP (40;0 ) = 1600000 Giá trị lớn nhất Fmax A. Fmax  6 0  y  4 x  0  của biểu thức F ( x; y )  x  2 y trên miền xác định bởi hệ  là 1 0 x y      x  2 y  10  0 B. Fmax  8 C. Fmax  10 D. Fmax  12 Lời giải Chọn C Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng d1 : x - y -1 = 0, d2 : x + 2 y -10 = 0, D : y = 4. y d1 5 4 3 C D B d2 A -1 O 1 2 4 x 10 Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ. Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là O (0;0), A (1;0), B (4;3), C (2;4 ), D (0;4 ). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 387 Ta có Câu 4. ì ï F (0;0 ) = 0 ï ï ï ï F (1;0 ) = 1 ï ï ï F (4;3) = 10 ¾¾  Fmax = 10. í ï ï ï F (2;4 ) = 10 ï ï ï ï ï î F (0;4 ) = 8 Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin A và B đã thu được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A lẫn B và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B . Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A . Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng. A. 600 đơn vị Vitamin A , 400 đơn vị Vitamin B B. 600 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B C. 500 đơn vị Vitamin A , 500 đơn vị Vitamin B D. 100 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B Lời giải Chọn D Gọi x ³ 0, y ³ 0 lần lượt là số đơn vị vitamin A và B để một người cần dùng trong một ngày. Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B nên ta có: 400 £ x + y £ 1000. Hàng ngày, tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên ta có: x £ 600, y £ 500. Mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên ta có: 0, 5 x £ y £ 3 x . Số tiền cần dùng mỗi ngày là: T ( x , y ) = 9 x + 7, 5 y. Bài toán trở thành: Tìm x ³ 0, y ³ 0 thỏa mãn hệ ïìï0 £ x £ 600, 0 £ y £ 500 ïï để T ( x , y ) = 9 x + 7, 5 y đạt giá trị nhỏ nhất. í400 £ x + y £ 1000 ïï ïïî0, 5 x £ y £ 3 x Câu 5. Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng và đựng "Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau. Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm. Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 388 Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất? A. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm. B. Cắt theo cách một 150 tấm, cắt theo cách hai 100 tấm. C. Cắt theo cách một 50 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm. D. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 200 tấm. Lời giải Chọn A Gọi x ³ 0, y ³ 0 lần lượt là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai. ì ï ï3 x + 2 y ³ 900 Bài toán đưa đến tìm x ³ 0, y ³ 0 thoả mãn hệ ïïíx + 3 y ³ 1000 sao cho L = x + y nhỏ nhất. ï ï ï6 x + y = 900 ï î Câu 6. Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm A và sản phẩm B trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phẩm A lãi 4 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 1 giờ, máy  trong 2 giờ và máy MI trong 3 giờ. Để sản xuất ra một tấn sản phẩm B lãi được 3 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 6 giờ, máy  trong 3 giờ và máy MI trong 2 giờ. Biết rằng máy I chỉ hoạt động không quá 36 giờ, máy hai hoạt động không quá 23 giờ và máy MI hoạt động không quá 27 giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy để tiền lãi được nhiều nhất. A. Sản xuất 9 tấn sản phẩm A và không sản xuất sản phẩm B B. Sản xuất 7 tấn sản phẩm A và 3 tấn sản phẩm B C. Sản xuất 10 49 tấn sản phẩm A và tấn sản phẩm B 3 9 D. Sản xuất 6 tấn sản phẩm B và không sản xuất sản phẩm A Lời giải Chọn B Gọi x ³ 0, y ³ 0 là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm A và sản phẩm B. Ta có: x + 6 y là thời gian hoạt động của máy I . 2x + 3y là thời gian hoạt động của máy II . 3x + 2 y là thời gian hoạt động của máy III . Số tiền lãi của nhà máy: T = 4 x + 3 y . ì x + 6 y £ 36 ï ï Bài toán trở thành: Tìm x ³ 0, y ³ 0 thỏa mãn ïïí2 x + 3 y £ 23 để T = 4 x + 3 y đạt giá trị lớn ï ï ï ï î3 x + 2 y £ 27 nhất. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 389 Câu 7. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1, 6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x , y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm x , y để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn? A. x  0,3 và y  1,1 . B. x  0,3 và y  0, 7 . C. x  0, 6 và y  0, 7 . D. x  1, 6 và y  0, 2 . Hướng dẫn giải Chọn A. 0  x  1, 6 . Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là 160.x  110. y với x , y thỏa mãn:  0  y  1,1 Số đơn vị protein gia đình có là 0,8.x  0, 6. y  0,9  8 x  6 y  9  d1  . Số đơn vị lipit gia đình có là 0, 2.x  0, 4. y  0, 4  x  2 y  2  d2  . 0  x  1, 6 0  y  1,1  Bài toán trở thành: Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình  sao cho 8 x  6 y  9  x  2 y  2 T  160.x  110. y nhỏ nhất. x 1,6 y 2 D y 1,1 A 1 C O B 1 2 x x  2y  2 8x  6y  9 Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm A 1,6;1,1 ; B 1,6;0, 2  ; C  0, 6;0,7  ; D  0,3;1,1 . Nhận xét: T  A  377 nghìn, T  B   278 nghìn, T  C   173 nghìn, T  D   169 nghìn. Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì x  0, 6 và y  0, 7 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 390 BÀI 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1. Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f ( x ) = ax 2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a ¹ 0. 2. Dấu của tam thức bậc hai Người ta đã chứng minh được định lí về dấu tam thức bậc hai sau đây Định lý Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0), D = b2 - 4 ac. Nếu D < 0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x Î . b Nếu D = 0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = - . 2a Nếu D > 0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x 2 , trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x 2 trong đó x1 , x 2 ( x1 < x 2 ) là hai nghiệm của f ( x ). Chú ý 2 Trong định lí trên, có thể thay biệt thức D = b2 - 4ac bằng biệt thức thu gọn D¢ = (b¢) - ac. Minh họa hình học Định lí về dấu của tam thức bậc hai có minh họa hình học sau II – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1. Bất phương trình bậc hai Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 391 Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax 2 + bx + c < 0 (hoặc ax 2 + bx + c £ 0, ax 2 + bx + c > 0, ax 2 + bx + c ³ 0 ), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a ¹ 0. 2. Giải bất phương trình bậc hai Giải bất phương trình bậc hai ax 2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f ( x ) = ax 2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a < 0 ) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0 ). B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1. Xét dấu của tam thức bậc hai áp dụng vào giải bất phương trình bậc hai đơn giản 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tam thức bậc hai f ( x ) = x 2 + ( 5 -1) x – 5 nhận giá trị dương khi và chỉ khi A. x Î (- 5;1). B. x Î (- 5; +¥). C. x Î (-¥;- 5 ) È (1; +¥). D. x Î (-¥;1). Lời giải Chọn C éx = 1 Ta có f ( x ) = 0  êê êë x = – 5 . Bảng xét dấu: Dựa vào bảng xét dấu f ( x ) > 0  x Î (-¥;- 5 ) È (1; +¥). Ví dụ 2: Tam thức bậc hai f ( x ) = -x 2 + 3 x – 2 nhận giá trị không âm khi và chỉ khi A. x Î (-¥;1) È (2; +¥ ) . B. x Î [1;2 ] . C. x Î (-¥;1] È [2; +¥ ) . D. x Î (1;2 ) . ` Lời giải Chọn B éx =1 Ta có f ( x) = 0  êê ëx = 2 . Bảng xét dấu Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 392 Dựa vào bảng xét dấu f ( x) ³ 0 1 £ x £ 2 . Ví dụ 3: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 2 – ( 2 + 1) x + 1 < 0 là: æ 2 ö A. ççç ;1÷÷÷÷. B. Æ. é 2 ù C. êê ;1úú . æ 2 ö÷ D. çç-¥ ; ÷÷ È (1; +¥). ç ÷ çè 2 êë 2 ø÷ çè úû 2 ÷ø Lời giải Chọn C Ta có f ( x) = 2 x - ( 2 é êx = 2 2 +1 x +1 = 0  ê 2 . ê êx =1 ë ) Bảng xét dấu 2 < x <1. 2 Dựa vào bảng xét dấu f ( x) < 0  Ví dụ 4: Tập nghiệm của bất phương trình 6 x 2 + x -1 £ 0 là A. ê- ; ú . é 1 1ù êë 2 3 úû æ 1 1ö B. ççç- ; ÷÷÷ . æ ö 1 ö æ1 C. ççç-¥;- ÷÷÷ È ççç ; +¥÷÷÷ . æ ö 1 ù é1 D. ççç-¥;- ú È ê ; +¥÷÷÷ . è è 2 3ø 2 ø è3 ø è 2 úû êë 3 ø Lời giải Chọn A Ta có é 1 êx = ê 3 f ( x ) = 6 x + x -1 = 0  ê ê 1 êx = êë 2 2 . Bảng xét dấu Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 393 1 2 1 3 Dựa vào bảng xét dấu f ( x ) £ 0 - £ x £ . 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0). Điều kiện để f ( x ) > 0, “x Î  là ïìa > 0 A. ïí . ïïîD £ 0 ïìa > 0 B. ïí . ïìa > 0 C. ïí . ïïîD ³ 0 ïïîD < 0 ïìa < 0 D. ïí . ïïîD > 0 Lời giải Chọn C f ( x ) > 0, “x Î  khi a > 0 và D < 0 . Câu 2: Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) . Điều kiện để f ( x ) ³ 0, "x Î  là ïìa > 0 . A. ïí ïïîD £ 0 ïìa > 0 B. ïí ïìa > 0 C. ïí ïïîD ³ 0 ïïîD < 0 ïìa < 0 D. ïí . ïïîD > 0 Lời giải Chọn A f ( x ) ³ 0, “x Î  khi a > 0 và D £ 0 . Câu 3: Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) . Điều kiện để f ( x ) < 0, "x Î  là ïìa < 0 . A. ïí ïïîD £ 0 ïìa < 0 B. ïí ïìa > 0 C. ïí ïïîD = 0 ïïîD < 0 ïìa < 0 D. ïí . ïïîD < 0 Lời giải Chọn D f ( x ) < 0, "x Î  khi a < 0 và D < 0 . Câu 4: Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0 ) . Điều kiện để f ( x ) £ 0 , "x Î  là ìa < 0 ï A. ïí . ï ï îD £ 0 ïìa < 0 B. ïí ìa > 0 ï C. ïí ïïîD ³ 0 ï ï îD < 0 ìa < 0 ï D. ïí . ï ï îD > 0 Lời giải Chọn A f ( x ) £ 0, “x Î  khi a < 0 và D £ 0 . Câu 5: Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0 ) có D = b2 - 4ac < 0 . Khi đó mệnh đề nào đúng? A. f ( x ) > 0 , “x Î  . B. f ( x ) < 0 , "x Î  . C. f ( x ) không đổi dấu. D. Tồn tại x để f ( x ) = 0 . Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 394 Vì D < 0 và a ¹ 0 nên f ( x ) không đổi dấu trên  . Câu 6: Tam thức bậc hai f ( x ) = 2 x 2 + 2 x + 5 nhận giá trị dương khi và chỉ khi A. x Î (0; +¥ ). B. x Î (-2; +¥ ). C. x Î . D. x Î (-¥;2 ). Lời giải Chọn C ìa = 2 > 0 ï Ta có ïí ï ï îD ‘ = 1 – 2.5 = -9 < 0 Câu 7:  f ( x ) > 0, “x Î . Số giá trị nguyên của x để tam thức f ( x ) = 2 x 2 – 7 x – 9 nhận giá trị âm là A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn B Ta có é x = -1 ê f ( x) = 0  ê 9 . êx = êë 2 Bảng xét dấu 9 2 Dựa vào bảng xét dấu f ( x) < 0 -1 < x < . Mà x nguyên nên x Î {0;1; 2;3; 4} . Câu 8: Tam thức bậc hai f ( x ) = x 2 + (1 - 3 ) x - 8 - 5 3 : A. Dương với mọi x Î  . B. Âm với mọi x Î  . C. Âm với mọi x Î (-2 - 3;1 + 2 3 ) . D. Âm với mọi x Î (-¥;1) . Lời giải Chọn B é x = -2 - 3 Ta có f ( x) = 0  êê êë x = 1 + 2 3 . Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu f ( x) < 0 - 2 - 3 < x < 1 + 2 3 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 395 Câu 9: Tam thức bậc hai f ( x ) = (1 - 2 ) x 2 + (5 - 4 2 ) x - 3 2 + 6 A. Dương với mọi x Î  . B. Dương với mọi x Î (-3; 2 ) . C. Dương với mọi x Î (-4; 2 ) . D. Âm với mọi x Î  . Lời giải Chọn B é x = -3 Ta có f ( x ) = 0  êê êë x = 2 . Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu f ( x ) > 0 - 3 < x < 2 . Câu 10: Cho f ( x ) = x 2 - 4 x + 3 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng là: A. f ( x ) < 0, "x Î (-¥;1] È [3; +¥ ) B. f ( x ) £ 0, "x Î [ 1;3 ] C. f ( x ) ³ 0, "x Î (-¥;1) È (3; +¥ ) D. f ( x ) > 0, “x Î [ 1;3 ] Lời giải Chọn B éx = 3 Ta có f ( x) = 0  êê ëx = 1 . Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu f ( x) £ 0 1 £ x £ 3 . Câu 11: Dấu của tam thức bậc 2: f ( x ) = – x 2 + 5 x – 6 được xác định như sau: A. f ( x ) < 0 với 2 < x < 3 và f ( x ) > 0 với x < 2 hoặc x > 3 . B. f ( x ) < 0 với –3 < x < –2 và f ( x ) > 0 với x < –3 hoặc x > –2 . C. f ( x ) > 0 với 2 < x < 3 và f ( x ) < 0 với x < 2 hoặc x > 3 . D. f ( x ) > 0 với –3 < x < –2 và f ( x ) < 0 với x < –3 hoặc x > –2 . Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 396 éx = 3 Ta có f ( x) = 0  êê ëx = 2 . Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu ta được f ( x) > 0 với 2 < x < 3 và f ( x) < 0 với x < 2 hoặc x > 3 . Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình: 2 x 2 – 7 x – 15 ³ 0 là: æ 3ù A. ççç–¥; – ú È [5; +¥) . è 2 úû é 3 êë 2 ù úû é3 êë 2 ö ø é êë 3ù 2 úû C. (-¥;-5] È ê ; +¥÷÷÷ . D. ê-5; ú . B. ê – ;5ú . Lời giải Chọn A éx = 5 ê 3. êx = êë 2 Ta có 2 x 2 – 7 x – 15 = 0  ê Bảng xét dấu x  5 . Dựa vào bảng xét dấu 2 x – 7 x –15  0   x   3 2  2 Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình: – x 2 + 6 x + 7 ³ 0 là: A. (-¥; -1] È [7; +¥ ) . B. [-1;7 ] . C. (-¥; -7 ] È [1; +¥) . D. [-7;1] . Lời giải Chọn B éx = 7 Ta có – x 2 + 6 x + 7 = 0  êê ë x = -1 . Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu – x 2  6 x  7  0  1  x  7. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 397 Câu 14: Tìm tập nghiệm của bất phương trình -2 x 2 + 3 x – 7 ³ 0. A. S = 0. B. S = {0 }. C. S = Æ. D. S = . Lời giải Chọn C Ta có –2 x 2 + 3x – 7 = 0 vô nghiệm. Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu 2 x 2  3 x  7  0  x   . Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình x 2 – 3x + 2 < 0 là: A. (-¥;1) È (2; +¥ ). B. (2; +¥ ). C. (1;2 ). D. (-¥;1). Lời giải Chọn C éx = 2 Ta có f ( x ) = x 2 - 3x + 2 = 0  êê ëx =1 . Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu f ( x) < 0 1 < x < 2 . Câu 16: Tập nghiệm của bất phương trình -x 2 + 5x - 4 < 0 là A. [1; 4 ] . B. (1; 4 ) . C. (-¥;1) È (4; +¥ ) . D. (-¥;1] È [ 4; +¥ ) . Lời giải Chọn C éx = 4 Ta có f ( x ) = -x 2 + 5 x - 4 = 0  êê ëx =1 . Bảng xét dấu Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 398 éx <1 Dựa vào bảng xét dấu f ( x ) < 0  êê ëx > 4 . Câu 17: Số thực dương lớn nhất thỏa mãn x 2 – x -12 £ 0 là ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn D éx = 4 Ta có f ( x) = x 2 – x -12 = 0  êê ë x = -3 . Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu f ( x) £ 0  – 3 £ x £ 4 . Suy ra số thực dương lớn nhất thỏa x 2 – x -12 £ 0 là 4 . Câu 18: Cho bất phương trình x 2 – 8 x + 7 ³ 0 . Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình. A. (-¥; 0 ]. B. [8; +¥). C. (-¥;1]. D. [6; +¥ ). Lời giải Chọn D éx =1 Ta có f ( x ) = x 2 – 8 x + 7 = 0  êê ëx = 7 . Bảng xét dấu éx £1 Dựa vào bảng xét dấu f ( x ) ³ 0  êê ëx ³ 7 . Tập nghiệm của bất phương trình là S = (-¥;1] È[7; +¥) . Vì 13 Î [6; +¥) 2 và 13 ÏS 2 nên [6;+¥) thỏa yêu cầu bài toán. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 399 Dạng 2. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình tích 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Biểu thức (3x 2 -10 x + 3)(4 x – 5) âm khi và chỉ khi æ 5ö æ A. x Î ççç-¥; ÷÷÷. è 4ø 1ö æ 5 ö æ1 5 ö æ1 ö B. x Î ççç-¥; ÷÷÷ È ççç ;3÷÷÷. C. x Î ççç ; ÷÷÷ È (3; +¥). D. x Î ççç ;3÷÷÷. è è3 4 ø è3 ø 3ø è 4 ø Lời giải Chọn B Đặt f ( x ) = (3 x 2 -10 x + 3)(4 x – 5) éx =3 ê 1 êx = 3 ëê Phương trình 3 x 2 -10 x + 3 = 0  ê 5 4 và 4 x – 5 = 0  x = . Lập bảng xét dấu x 1 3 -¥ 3 x 2 -10 x + 3 + 4x -5 – f (x ) – 5 4 0 – 0 +¥ 3 – – 0 + + 0 – 0 + + 0 + æ 1ö æ 5 ö Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f ( x ) < 0  x Î ççç-¥; ÷÷÷ È ççç ;3÷÷÷. è 3ø è 4 ø Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình x 3 + 3 x 2 - 6 x - 8 ³ 0 là A. x Î [- 4; -1] È [2; +¥). B. x Î (- 4;-1) È (2; +¥). C. x Î [-1; +¥). D. x Î (-¥;- 4 ] È [-1;2 ]. Lời giải Chọn A Bất phương trình x 3 + 3 x 2 - 6 x - 8 ³ 0  ( x - 2 )( x 2 + 5 x + 4 ) ³ 0. éx = -4 Phương trình x 2 + 5 x + 4 = 0  êê ë x = -1 và x - 2 = 0  x = 2. Lập bảng xét dấu x -¥ -4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 -1 2 +¥ Trang 400 x 2 + 5x + 4 + x -2 - ( x - 2 )( x 2 + 5 x + 4 ) - 0 - 0 - + 0 0 + + - 0 + - 0 + Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng ( x - 2 )( x 2 + 5 x + 4 ) ³ 0  x Î [- 4; -1] È [2; +¥). 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Giải bất phương trình x ( x + 5) £ 2 ( x 2 + 2). A. x £ 1. C. x Î (-¥;1] È [ 4; +¥). B. 1 £ x £ 4. D. x ³ 4. Lời giải Chọn C Bất phương trình x ( x + 5) £ 2 ( x 2 + 2 )  x 2 + 5 x £ 2 x 2 + 4  x 2 - 5 x + 4 ³ 0 éx = 1 Xét phương trình x 2 - 5 x + 4 = 0  ( x -1)( x - 4 ) = 0  êê ëx = 4 . Lập bảng xét dấu -¥ x 1 + x 2 - 5x + 4 0 +¥ 4 - 0 + Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x 2 - 5 x + 4 ³ 0  x Î (-¥;1] È [ 4; +¥). Câu 2: Biểu thức (4 - x 2 )( x 2 + 2 x - 3)( x 2 + 5x + 9) âm khi A. x Î (1;2) . B. x Î (-3; -2) È (1;2) . C. x ³ 4. D. x Î (-¥; -3) È (-2;1) È (2; +¥) . Lời giải Chọn D Đặt f ( x ) = (4 - x 2 )( x 2 + 2 x - 3)( x 2 + 5 x + 9 ) éx = 2 Phương trình 4 - x 2 = 0  êê ë x = -2 . éx = 1 Phương trình x 2 + 2 x - 3 = 0  êê ë x = -3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 . Trang 401 2 æ 5 ö 11 Ta có x 2 + 5 x + 9 = ççç x + ÷÷÷ + > 0  x 2 + 5 x + 9 = 0  x Î Æ. Lập bảng xét dấu: è 2ø -3 -¥ x 4 4-x2 – x 2 + 2x -3 + x 2 + 5x + 9 + f (x ) – -2 0 +¥ 2 + 0 + – – 0 + + + + + + 0 – 0 1 + 0 + 0 – 0 0 – – é x < -3 ê Dựa vào bảng xét dấu ta thấy (4 - x )( x + 2 x - 3)( x + 5 x + 9) < 0  êê-2 < x < 1 êx > 2 ë 2 2 2  x Î (-¥;-3) È (-2;1) È (2; +¥). Dạng 3. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tập nghiệm S của bất phương trình x -7 >0 4 x 2 – 19 x + 12 æ 3ö A. S = ççç-¥; ÷÷÷ È (4;7 ). è æ3 là æ3 ö æ3 ö B. S = ççç ;4÷÷÷ È (7; +¥). è4 ø 4ø ö C. S = ççç ;4÷÷÷ È (4; +¥). è4 ø D. S = ççç ;7÷÷÷ È (7; +¥). è4 ø Lời giải Chọn B ïìï x ¹ 4 . ïï x ¹ 3 4 îï Điều kiện: 4 x 2 -19 x + 12 ¹ 0  ( x – 4 )(4 x – 3) ¹ 0  ïí éx = 4 ê 3. êx = êë 4 Phương trình x – 7 = 0  x = 7 và 4 x 2 -19 x + 12 = 0  ê Bảng xét dấu: x -¥ 3 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 4 7 +¥ Trang 402 x -7 – – – 4 x 2 -19 x + 12 + – + f (x ) – + – Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình + 0 + + 0 é3 ê  ê 4 x 2 – 19 x + 12 êë x > 7 æ3 ö Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ççç ;4÷÷÷ È (7; +¥). è4 ø Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn A. 0. B. 2. x +3 1 2x < 2 x - 4 x + 2 2x - x 2 C. 1. ? D. 3. Lời giải Chọn C Điều kiện: ìï x 2 - 4 ¹ 0 ïï ïí x + 2 ¹ 0  ïìïí x ¹ 0 . ïï ïx ¹  2 ïïî2 x - x 2 ¹ 0 îï Bất phương trình: x +3 1 2x x +3 1 2x 2x + 9 <  2 + <0  2 < 0. x 2 - 4 x + 2 2x - x 2 x - 4 x + 2 x 2 - 2x x -4 Bảng xét dấu: - -¥ x 2x + 9 - x2 -4 + f (x ) - 9 2 0 0 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy -2 +¥ 2 + + + + - + + - + æ 2x + 9 9ö < 0  x Î çç-¥; - ÷÷÷ È (- 2;2). 2 ç è 2ø x -4 Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x ( x = 1) thỏa mãn yêu cầu. 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Biểu thức f ( x ) = æ 3 ö A. x Î ççç- ; +¥÷÷÷. è 11 ø 11x + 3 nhận giá trị dương khi và chỉ khi - x 2 + 5x - 7 æ 3 ö B. x Î ççç- ;5÷÷÷. è 11 ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 æ 3ö C. x Î ççç-¥;- ÷÷÷. è 11ø æ 3ö D. x Î ççç-5;- ÷÷÷. è 11ø Trang 403 Lời giải Chọn C 2 æ 5ö 3 Ta có - x 2 + 5 x - 7 = -( x 2 - 5 x + 7 ) = -ççç x - ÷÷÷ - < 0, "x Î . è 2ø 4 Do đó, bất phương trình f ( x ) > 0  11x + 3 < 0  x < - Câu 2: Tập nghiệm S của bất phương trình æ 3 3ö  x Î çç-¥; - ÷÷÷. çè 11 11ø -2x 2 + 7x + 7 £ -1 là x 2 - 3 x -10 A. Hai khoảng. B. Một khoảng và một đoạn. C. Hai khoảng và một đoạn. D. Ba khoảng. Lời giải Chọn C ïì x ¹ - 2 . ïïî x ¹ 5 Điều kiện: x 2 - 3 x -10 ¹ 0  ( x + 2 )( x - 5) ¹ 0  ïí Bất phương trình -2x 2 + 7x + 7 -2 x 2 + 7 x + 7 - x 2 + 4x -3 £ -1  2 +1 £ 0  2 £0 2 x - 3 x -10 x - 3 x -10 x - 3 x -10 (*). Bảng xét dấu -¥ x -2 -x2 + 4x -3 - - x 2 - 3 x -10 + - f (x ) - + 0 + 0 - 0 - 0 +¥ 5 3 1 - - - + + - Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình (*)  x Î (-¥;- 2) È [1;3] È (5; +¥). Câu 3: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình A. 0. B. 2. C. 1. x4 -x2 £0? x + 5x + 6 2 D. 3. Lời giải Chọn D Bất phương trình x 2 ( x 2 -1) x4 -x2 £ 0  £0 x 2 + 5x + 6 x 2 + 5x + 6 (*). Vì x 2 ³ 0, "x Î  nên bất phương trình Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 404 éx 2 = 0 éx = 0 ê ê 2 ê ê . (*)  ê x -1 x 2 -1 ê = £0 f x ( ) £ 0 2 ê x 2 + 5x + 6 ê + + x 5 x 6 ë ë éx = 1 Phương trình x 2 -1 = 0  êê ë x = -1 éx = -2 và x 2 + 5 x + 6 = 0  êê ë x = -3 . Bảng xét dấu -¥ x -3 -2 -1 x 2 -1 + + + x 2 + 5x + 6 + - + f (x ) + - + +¥ 1 0 - 0 + 0 - + + 0 + Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f ( x ) £ 0  x Î (- 3;- 2) È [-1;1] Kết hợp với x Î , ta được x = {-1;0;1}. Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên cần tìm. Dạng 4. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập xác định của hàm số 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 x 2 - 5x + 2. Lời giải Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 2 x 2 - 5 x + 2 ³ 0. Phương trình éx = 2 ê 2 x - 5 x + 2 = 0  ( x - 2 )(2 x -1) = 0  ê 1. êx = êë 2 2 Bảng xét dấu: x 2 x 2 - 5x + 2 1 2 -¥ + 0 +¥ 2 - 0 + æ è 1ù 2 úû Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2 x 2 - 5 x + 2 ³ 0  x Î ççç-¥; ú È [2; +¥). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 405 æ 1ù Vậy tập xác định của hàm số là D = ççç-¥; ú È [2; +¥). è 2 úû 3- x Ví dụ 2: Tìm tập xác định D của hàm số y = 4 - 3x - x 2 . Lời giải Hàm số xác định khi và chỉ khi 4 - 3x - x 2 > 0. éx = 1 Phương trình 4 – 3 x – x 2 = 0  ( x -1)( x + 4 ) = 0  êê ëx = -4 . Bảng xét dấu: -¥ x -4 4 – 3x – x 2 + 0 – +¥ 1 0 – Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 4 – 3 x – x 2 > 0  x Î (- 4;1). Vậy tập xác định của hàm số là D = (- 4;1). Ví dụ 2: Tìm tập xác đinh D của hàm số y = x 2 + x – 6 + 1 x +4 . Lời giải ì ïx 2 + x – 6 ³ 0 Hàm số xác định khi và chỉ khi ïí . ï ï îx + 4 > 0 éx = 2 Phương trình x 2 + x – 6 = 0  êê ë x = -3 và x + 4 = 0  x = – 4. Bảng xét dấu x -¥ -4 x2 + x -6 + x +4 – -3 + 0 + 0 +¥ 2 – + 0 + + ì ïx 2 + x – 6 ³ 0  x Î (- 4; – 3] È [ 2; + ¥). Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ïí ï ï îx + 4 > 0 Vậy tập xác định của hàm số là D = (- 4;- 3] È [2; + ¥). 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Giá trị nguyên dương lớn nhất để hàm số y = 5 – 4 x – x 2 xác định là Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 406 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn A Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 5 – 4 x – x 2 ³ 0. éx = 1 Phương trình 5 – 4 x – x 2 = 0  ( x -1)( x + 5) = 0  êê ë x = -5 . Bảng xét dấu -5 -¥ x 5 – 4x – x 2 0 – +¥ 1 + 0 – Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 5 – 4 x – x 2 ³ 0  x Î [- 5;1]. Vậy nghiệm dương lớn nhất để hàm số xác định là x = 1. Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số y = (2 – 5 ) x + (15 – 7 5 ) x + 25 -10 2 B. D = (-¥;1). A. D = . 5. D. D = éëê- 5; 5 ùúû . C. D = [- 5;1]. Lời giải Chọn D Hàm số xác định khi và chỉ khi (2 – 5 ) x 2 + (15 – 7 5 ) x + 25 -10 5 ³ 0. Phương trình (2 – 5 ) x + (15 – 7 5 ) x + 25 -10 2 éx = – 5 5 = 0  ( x + 5) x – 5 = 0  êê . êë x = 5 ( ) Bảng xét dấu (2 – 5 ) x + (15 – 7 5 ) x + 25 -10 2 -5 -¥ x 5 0 – +¥ 5 + 0 – Dựa vào bảng xét dấu ta thấy (2 – 5 ) x 2 + (15 – 7 5 ) x + 25 -10 5 ³ 0  x Î éëê- 5; 5 ùúû . Vậy tâp xác định của hàm số là D = éëê- 5; 5 ùúû . Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số y = x 2 -1 3x 2 – 4 x + 1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 . Trang 407 ì 1ü A. D =  ïí1; ïý. æ1 ö B. D = ççç ;1÷÷÷. è3 ø ï ï 3ï ï î þ æ 1ö æ C. D = ççç-¥; ÷÷÷ È (1; +¥). è 3ø 1ù D. D = ççç-¥; ú È [1; +¥). è 3ú û Lời giải Chọn C Hàm số xác định khi và chỉ khi 3 x 2 – 4 x + 1 > 0. éx = 1 ê 1. êx = êë 3 Phương trình 3 x 2 – 4 x + 1 = 0  ( x -1)(3 x -1) = 0  ê Bảng xét dấu 1 3 -¥ x + 3x 2 – 4 x +1 0 +¥ 1 + 0 – æ 1ö Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 3 x 2 – 4 x + 1 > 0  x Î ççç-¥; ÷÷÷ È (1; +¥). è æ 3ø 1ö Vậy tập xác định của hàm số là D = ççç-¥; ÷÷÷ È (1; +¥). è 3ø Câu 4: Tìm tập xác định D của hàm số y = x 2 + 2 x + 3 + é5 ëê 2 ö ø A. D = ê ; +¥÷÷÷. æ 5ù 1 5-2x . æ5 ö æ C. D = ççç ; +¥÷÷÷. è2 ø B. D = ççç-¥; ú . è 2ú û 5ö D. D = ççç-¥; ÷÷÷. è 2ø Lời giải Chọn D ì ïx 2 + 2 x + 3 ³ 0 Hàm số xác định khi và chỉ khi ïí . ï ï î5 – 2 x > 0 5 2 Phương trình x 2 + 2 x + 3 = 0  x Î Æ và 5 – 2 x = 0  x = . Bảng xét dấu x 5 2 -¥ x 2 + 2x + 3 + 5 – 2x + +¥ + 0 – ì æ ïx 2 + 2 x + 3 ³ 0 5ö  x Î çç -¥; ÷÷÷. Dựa vào bảng xét dấu ta thấy ïí ç ïï5 – 2 x > 0 î Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 è 2ø Trang 408 æ 5ö Vậy tập xác định của hàm số là D = ççç -¥; ÷÷÷. è 2ø Câu 5: 3 – 3x -1. – x – 2 x + 15 Tìm tập xác định D của hàm số f ( x ) = 2 A. D = [ 4; +¥). B. D = (-5;-3] È (3;4 ]. C. D = (-¥;-5). D. D = (- 5;3) È (3;4 ]. Lời giải Chọn B Hàm số xác định  3 – 3x x 2 – x – 12 -1 ³ 0  f ( x ) = ³ 0. – x – 2 x + 15 – x 2 – 2 x + 15 2 éx = 4 Phương trình x 2 – x -12 = 0  êê é x = -5 ë x = -3 và -x 2 – 2 x + 15 = 0  êê ëx = 3 . Bảng xét dấu x -5 -¥ -3 x 2 – x -12 + + – x 2 – 2 x + 15 – + f (x ) – + 0 0 3 +¥ 4 – – + – – + + 0 – 0 – 3 – 3x Dựa vào bảng xét dấu ta thấy -x 2 – 2 x + 15 -1 ³ 0  x Î (-5; -3] È (3;4 ]. Vậy tập xác định của hàm số là D = (-5; -3] È (3;4 ]. Câu 6: x 2 + 5x + 4 Tìm tập xác định D của hàm số y = . 2 2 x + 3x +1 æ 1 è 2 ö ø æ 1ö B. D = (-¥;-4 ] È ççç-1; – ÷÷÷. A. D = [-4;-1) È ççç- ; +¥÷÷÷. æ 1 è 2 è ö ø 2ø é 1ö D. D = ê-4;- ÷÷÷. C. D = (-¥;-4 ] È ççç- ; +¥÷÷÷. êë 2ø Lời giải Chọn C Hàm số xác định khi và chỉ khi f ( x ) = x 2 + 5x + 4 ³ 0. 2 x 2 + 3x +1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 409 é x = -1 Phương trình x 2 + 5 x + 4 = 0  êê ëx = -4 é x = -1 ê 1. êx = êë 2 và 2 x 2 + 3 x + 1 = 0  ê Bảng xét dấu x -¥ -4 x 2 + 5x + 4 + 2 x 2 + 3x +1 + f (x ) + 0 0 -1 – 1 2 +¥ + + + – + – – + 0 – æ 1 x 2 + 5x + 4 ö Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 2 x 2 + 3 x + 1 ³ 0  x Î (-¥;-4 ] È çççè- 2 ; +¥÷÷ø÷. æ 1 è 2 ö ø Vậy tập xác định của hàm số là D = (-¥;-4 ] È ççç- ; +¥÷÷÷. Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số f ( x ) = x 2 + x – 12 – 2 2 . A. D = (- 5;4 ]. B. D = (-¥;-5) È (4; +¥). C. D = (-¥; – 4 ] È [3; +¥). D. D = (-¥;- 5] È [ 4; +¥). Lời giải Chọn B ìï 2 Hàm số xác định khi và chỉ khi ïí 2x + x -12 – 2 2 ³ 0 . ïï x + x – 12 ³ 0 ïî ì ï x 2 + x -12 ³ 8 ï  x 2 + x -12 ³ 8  x 2 + x – 20 ³ 0. í 2 ï x + x 12 ³ 0 ï î é x = -5 . ëx = 4 Phương trình x 2 + x – 20 = 0  ( x + 5)( x – 4 ) = 0  êê Bảng xét dấu x x 2 + x – 20 -5 -¥ + 0 +¥ 4 – 0 + Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x 2 + x – 20 ³ 0  x Î (-¥;- 5] È [ 4; +¥). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 410 Vậy tập xác định của hàm số là D = (-¥;-5] È [ 4; +¥). Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai Vô nghiệm – có nghiệm – có hai nghiệm phân biệt 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Câu 1: Phương trình x 2 -(m + 1) x + 1 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi A. m > 1. B. – 3 < m < 1. C. m £ - 3 hoặc m ³ 1. D. - 3 £ m £ 1. Lời giải Chọn B 2 Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi Dx < 0  (m + 1) - 4 < 0  m 2 + 2m - 3 < 0  (m -1)(m + 3) < 0  - 3 < m < 1 . Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (m - 2) x 2 + 2 (2m - 3) x + 5m - 6 = 0 vô nghiệm? A. m < 0. é m>3 C. êê . B. m > 2. ëm < 1 ïìm ¹ 2 D. ïí ïïî1 < m < 3 . Lời giải Chọn C Xét phương trình (m - 2) x 2 + 2 (2m - 3) x + 5m - 6 = 0 (*). TH1. Với m - 2 = 0  m = 2, khi đó (*)  2 x + 4 = 0  x = - 2. Suy ra với m = 2 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = - 2. Do đó m = 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. TH2. Với m - 2 ¹ 0  m ¹ 2, khi đó để phương trình (*) vô nghiệm  D x¢ < 0  (2m - 3) - (m - 2 )(5m - 6 ) < 0  4 m 2 -12 m + 9 - (5m 2 -16 m + 12 ) < 0 2 ém > 3  – m 2 + 4m – 3 < 0  m 2 - 4m + 3 > 0  ê . ê ëm < 1 é m >3 Do đó, với êê thì phương trình (*) vô nghiệm. ëm < 1 é m >3 là giá trị cần tìm. Kết hợp hai TH, ta được êê ëm < 1 Câu 3: Phương trình x 2 + 2(m + 2) x - 2 m - 1 = 0 ( m là tham số) có nghiệm khi Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 411 é m = -1 A. êê . é é m < -5 C. êê . B. - 5 £ m £ -1. ë m = -5 m £ -5 D. êê . ë m > -1 ë m ³ -1 Lời giải Chọn D 2 Xét phương trình x 2 + 2 (m + 2) x – 2m -1 = 0, có D¢x = (m + 2) + 2m + 1. Yêu cầu bài toán  D ¢x ³ 0  m 2 + 4 m + 4 + 2 m + 1 ³ 0  m 2 + 6 m + 5 ³ 0 é m ³ -1  (m + 1)(m + 5) ³ 0  ê êm £ – 5 ë Câu 4: là giá trị cần tìm. Tìm các giá trị của m để phương trình (m – 5) x 2 – 4 mx + m – 2 = 0 có nghiệm. A. m ¹ 5. B. 10 – £ m £ 1. 3 C. é 10 êm £ ê 3. ê êë m ³ 1 D. é 10 êm £ ê 3 . ê êë1 £ m ¹ 5 Lời giải Chọn C Xét phương trình (m – 5) x 2 – 4mx + m – 2 = 0 (*). TH1. Với m – 5 = 0  m = 5, khi đó (*)  – 20 x + 3 = 0  x = Suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 3 . 20 3 . 20 TH2. Với m – 5 ¹ 0  m ¹ 5, khi đó để phương trình (*) có nghiệm  D x¢ ³ 0  (- 2 m ) – (m – 5)(m – 2 ) ³ 0  4 m 2 – (m 2 – 7m + 10 ) ³ 0 2 ém ³ 1 ê  3m + 7 m – 10 ³ 0  (m – 1)(3m + 10 ) ³ 0  ê 10 . êm £ êë 3 2 Do đó, với é5 ¹ m ³ 1 ê ê 10 êm £ êë 3 thì phương trình (*) có nghiệm. Kết hợp hai TH, ta được Câu 5: ém ³ 1 ê ê 10 êm £ êë 3 là giá trị cần tìm. Tìm tất cả các giá trị của tham số m (m -1) x 2 + (3m – 2) x + 3 – 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt? A. m  1 B. 2 < m < 6. sao C. - 1 < m < 6. cho phương trình D. - 1 < m < 2. Lời giải Chọn A Kiểm tra với m = 1 không thỏa mãn ycbt. Do đó Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 412 ìa = m -1 ¹ 0 ï Yêu cầu bài toán  ïí 2 ï ï îD x = (3m - 2 ) - 4 (m -1)(3 - 2m ) > 0 ìïm ¹ 1 ìïm ¹ 1  ïí 2 ï í 2 2 ïï9 m -12m + 4 – 4 (-2 m + 5m – 3) > 0 ïï î17 m – 32 m + 16 > 0 î ìïa = 17 > 0 Ta có ïí 2 îïïDm¢ = 16 -17.16 = -16 < 0 (*). suy ra 17m 2 - 32m + 16 > 0, “m Î . Do đó, hệ bất phương trình (*)  m ¹ 1 . 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình sau vô nghiệm (2m 2 +1) x 2 – 4mx + 2 = 0. A. m Î . 3 5 B. m > 3. C. – < m < 3. 3 5 D. m > – . Lời giải Chọn A ìïa = 2 m 2 + 1 ¹ 0 Yêu cầu bài toán  ïí ïïD ¢x = 4 m 2 – 2 (2 m 2 + 1) = – 2 < 0 ïî , "m Î . Vậy phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m Î . Câu 2: Phương trình mx 2 - 2mx + 4 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi A. 0 < m < 4. é m <0 B. êê . C. 0 £ m £ 4. ëm > 4 D. 0 £ m < 4. Lời giải Chọn D Xét phương trình mx 2 - 2mx + 4 = 0 (*). TH1. Với m = 0, khi đó phương trình (*)  4 = 0 (vô lý). Suy ra với m = 0 thì phương trình (*) vô nghiệm. TH2. Với m ¹ 0, khi đó để phương trình (*) vô nghiệm  D ¢x < 0  m 2 - 4 m < 0  m (m - 4 ) < 0  0 < m < 4 Kết hợp hai TH, ta được 0 £ m < 4 là giá trị cần tìm. Câu 3: Phương trình (m 2 - 4 ) x 2 + 2 (m - 2) x + 3 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi A. m ³ 0. B. m =  2. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 é m ³2 C. êê . ëm < - 4 é m ³2 D. êê . ëm £ - 4 Trang 413 Lời giải Chọn C Xét phương trình (m 2 - 4 ) x 2 + 2 (m - 2 ) x + 3 = 0 ém = 2 TH1. Với m 2 - 4 = 0  êê ëm = - 2 (*). . · Khi m = 2  (*)  3 = 0 (vô lý). 3 · Khi m = - 2  (*)  - 8 x + 3 = 0  x = . 8 Suy ra với m = 2 thỏa mãn yêu cầu của bài toán. ì ïm ¹ 2 , ï ï îm ¹ - 2 TH2. Với m 2 - 4 ¹ 0  ïí khi đó để phương trình (*) vô nghiệm  D ¢x < 0  (m - 2) - 3 (m 2 - 4 ) < 0  m 2 - 4 m + 4 - 3m 2 + 12 < 0  - 2m 2 - 4 m + 16 < 0 2 ém > 2  m 2 + 2 m – 8 > 0  (m – 2 )(m + 4 ) > 0  ê . êm < - 4 ë é m>2 Suy ra với êê ëm < - 4 thỏa mãn yêu cầu của bài toán. é m ³2 Kết hợp hai TH, ta được êê ëm < - 4 Câu 4: là giá trị cần tìm. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị 2 x + 2 (m + 2 ) x + 3 + 4 m + m 2 = 0 có nghiệm? nguyên của m để phương trình 2 A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn A 2 Xét 2 x 2 + 2 (m + 2) x + 3 + 4 m + m 2 = 0, có D¢x = (m + 2 ) - 2 (m 2 + 4 m + 3). Yêu cầu bài toán  D ¢x ³ 0  m 2 + 4 m + 4 - 2 m 2 - 8m - 6 ³ 0  - m 2 - 4 m - 2 ³ 0 2  m 2 + 4 m + 2 £ 0  (m + 2 ) £ 2  - 2 - 2 £ m £ - 2 + 2. Kết hợp với m Î , ta được m = {- 3;- 2;-1} là các giá trị cần tìm. Câu 5: Tìm tất cả giá trị thực của tham (m -1) x 2 - 2 (m + 3) x - m + 2 = 0 có nghiệm. A. m ÎÆ. B. m Î . số m sao C. -1 < m < 3. cho phương trình D. - 2 < m < 2. Lời giải Chọn B Xét phương trình (m -1) x 2 - 2 (m + 3) x - m + 2 = 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 (*). Trang 414 1 8 TH1. Với m -1 = 0  m = 1, khi đó (*)  - 2.4 x -1 + 2 = 0  x = . 1 8 Suy ra với m = 1 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = . TH2. Với m -1 ¹ 0  m ¹ 1, khi đó để phương trình (*) có nghiệm  D ¢x ³ 0  (m + 3) -(m -1)(2 - m ) ³ 0  m 2 + 6m + 9 -(- m 2 + 3m - 2) ³ 0 2 2 æ 3ö 79  2 m 2 + 3m + 11 ³ 0  2 ççm + ÷÷÷ + ³ 0, "m Î  çè 4ø 8 suy ra D ¢x ³ 0, "m Î . Do đó, với m ¹ 1 thì phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt. Kết hợp hai TH, ta được m Î  là giá trị cần tìm. Câu 6: 1 3 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x 2 + (m + 1) x + m - = 0 có nghiệm? A. m Î . 3 4 B. m > 1. C. – < m < 1. 3 4 D. m > – . Lời giải Chọn A æ 1ö 7 1 Xét x 2 + (m + 1) x + m – = 0, có Dx = (m + 1) – 4 çççm – ÷÷÷ = m 2 – 2m + . è 3ø 3 3 2 ïìa = 1 > 0 ï Ta có ïí ïïDm¢ = 1 – 7 = – 4 < 0 ïî 3 3 7 3 suy ra m 2 - 2 m + > 0, “m Î   Dx > 0, “m Î . Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m Î . Câu 7: Phương trình (m -1) x 2 – 2 x + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi B. m Î (- 2; 2 ). A. m Î  {0}. C. ( ) D. m Î – 2 ; 2 {1}. m Î éê- 2 ; 2 ùú {1}. ë û Lời giải Chọn C ìa = m -1 ¹ 0 ï Yêu cầu bài toán  ïí ï 2 ïD¢x = (-1) – (m -1)(m + 1) > 0 î ìïm ¹ 1 ìïm ¹ 1 ìïm ¹ 1  íï  íï 2  ïí  m Î – 2; 2 {1}. 2 ïîï1 – m + 1 > 0 ïîïm < 2 ïï- 2 < m < 2 î ( ) Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt  m Î (- 2; 2 ) {1}. Câu 8: Giá trị nào của m thì phương trình (m – 3) x 2 + (m + 3) x – (m + 1)= 0 có hai nghiệm phân Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 415 biệt? æ 3ö æ 3 ö A. m Î ççç-¥;- ÷÷÷ È (1; +¥) {3}. è 5ø æ 3 B. m Î ççç- ;1÷÷÷. è 5 ø ö C. m Î ççç- ; +¥÷÷÷. è 5 ø D. m Î  {3}. Lời giải Chọn C ìa = m - 3 ¹ 0 ï Yêu cầu bài toán  ïí 2 ï ï îD x = (m + 3) + 4 (m - 3)(m + 1) > 0 ìïm ¹ 3 ì ïm ¹ 3 ï ï í 2 í 2 2 ïm + 6 m + 9 + 4 (m – 2 m – 3) > 0 ïïî5m – 2 m – 3 > 0 ï î ì m ¹3 ï ï ï ìm ¹ 3 ï ï æ ém > 1 3ö  íï ï  m Î çç-¥; – ÷÷÷ È (1; +¥) {3} íê ç ï ï ê è m 1 5 m + 3 > 0 5ø )( ) 3 ï( ï î êm < ï ï 5 îïëê là giá trị cần tìm. Dạng 6. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tìm m để phương trình x 2 - mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. A. m > 6. B. m < 6. C. 6 > m > 0. D. m > 0. Lời giải Chọn A Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi ìD > 0 ìïïm 2 – 4 (m + 3) > 0 ï ï ïï ïìm 2 – 4 m -12 > 0 ï ï  m > 6. íS > 0  í x1 + x 2 = m > 0  íï ï ïï ïïîm > 0 ï ï ï > P 0 = + > x x m 3 0 ïî ïî 1 2 Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình (m – 2) x 2 – 2mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. A. 2 < m < 6. B. m < -3 hoặc 2 < m < 6. C. m < 0 hoặc - 3 < m < 6. D. -3 < m < 6. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 416 Chọn B ì m -2 ¹ 0 ï ï ïï 2 ìïa ¹ 0 m - (m - 2 )(m + 3) > 0 ï ï ï ï ï ï é2 < m < 6 ¢ D > 0 ï  í 2m > 0 ê . Yêu cầu bài toán  ïí êm < - 3 ï ï S >0 ï ï ë m -2 ï ï ï ï ï ï m +3 ï îP > 0 ï >0 ï ï ïm – 2 î Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để x 2 + 2 (m + 1) x + 9m – 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt. A. m < 6. B. 5 < m <1 9 hoặc m > 6. C. m > 1. D. 1 < m < 6. Lời giải Chọn B Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi 2 ì ïìïD ¢ > 0 ïïï(m + 1) – (9 m – 5) > 0 ìïm 2 – 7 m + 6 > 0 ém > 6 ïï ê ïï ïï . í  ê5 íS < 0  í- 2 (m + 1) < 0 5 ï ï ï ê < m <1 ïïP > 0 ïï ïïm > ê 9 9 m 5 0 > 9 ë ïî ï î ïïî Câu 4: Phương trình x 2 -(3m – 2) x + 2m 2 – 5m – 2 = 0 có hai nghiệm không âm khi é2 êë 3 é 5 + 41 ö÷ ; +¥÷÷. ÷ø ë 4 ö ø A. m Î ê ; +¥÷÷÷. B. m Î êê ê é 2 5 + 41 ù ú. 4 úûú æ D. m Î ççç-¥; çè C. m Î êê ; ëê 3 5 – 41 úù . 4 úúû Lời giải Chọn B Phương trình đã cho có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi 2 2 ìï ïïìD > 0 ïï(3m – 2 ) – 4 (2 m – 5m – 2 ) > 0 ïïì3m – 2 ³ 0 ï ï 5 + 41 ïï .  ïím 2 + 8m + 12 ³ 0  m ³ íS ³ 0  ïí3m – 2 ³ 0 ïï ïï ïï 4 2 ïïîP ³ 0 ïï2 m 2 – 5m – 2 ³ 0 ï ïî2 m – 5m – 2 ³ 0 ïî Câu 5: Phương trình 2 x 2 -(m 2 – m +1) x + 2m 2 – 3m – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi 5 2 5 2 A. m < -1 hoặc m > . B. – 1 < m < . 5 2 5 2 C. m £ -1 hoặc m ³ . D. - 1 £ m £ . Lời giải Chọn B Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 417 5 ac < 0  2. (2 m 2 - 3m - 5) < 0  -1 < m < . 2 Câu 6: Phương trình (m 2 - 3m + 2) x 2 - 2m 2 x - 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi A. m Î (1;2). ìm ¹ 1 ï B. m Î (-¥;1) È (2; +¥). C. ïí . ï ï îm ¹ 2 D. m ÎÆ. Lời giải Chọn B Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ém > 2 ac < 0  (m 2 - 3m + 2 ). (- 5) < 0  m 2 - 3m + 2 > 0  ê . ê ëm < 1 Câu 7: Giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 - 2 (m -1) x + m 2 - 2m = 0 có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn là A. 0 < m < 2. B. 0 < m < 1. C. 1 < m < 2. é m >1 D. êê . ëm < 0 Lời giải Chọn B Phương trình x 2 - 2 (m -1) x + m 2 - 2m = 0  x 2 - 2mx + m 2 + 2 x - 2m = 0 ïì x = m 2  ( x - m ) + 2 ( x - m ) = 0  ( x - m )( x - m + 2 ) = 0  ïí 1 . ïïî x 2 = m - 2 ìï x1 ¹ x 2  0 0 2 2 Với m Î (0;2) suy ra ïí 1 , theo bài ra, ta có x 2 > x1  x 2 > x1  x 22 – x12 > 0 ïïî x 2 < 0  ( x 2 - x1 )( x 2 + x1 ) > 0  (m – 2 – m )(m – 2 + m ) > 0  2m – 2 < 0  m < 1. Kết hợp với (I), ta được 0 < m < 1 là giá trị cần tìm. Câu 8: Với giá trị nào của m thì phương trình (m -1) x 2 - 2 (m - 2) x + m - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thỏa mãn điều kiện x1 + x 2 + x1 x 2 < 1 ? A. 1 < m < 2. B. 1 < m < 3. C. m > 2. D. m > 3. Lời giải Chọn B Xét phương trình (m -1) x 2 – 2 (m – 2) x + m – 3 = 0 (*), có a + b + c = 0. éx = 1 Suy ra phương trình (*)  ( x -1) éë(m -1) x – m + 3ùû = 0  êê . ë(m -1) x = m – 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 418 ìm – 1 ¹ 0 ï ï Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt  ïí m – 3 ï ¹1 ï ï m -1 î  m ¹1 Khi đó, gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình (*) suy ra Theo bài ra, ta có x1 + x 2 + x1 x 2 = (I). 2m – 4 ïìï ïï x1 + x 2 = m -1 ïí . ïï m -3 ïï x1 x 2 = m -1 ïî 3m – 7 2m – 6 <1  < 0  1 < m < 3. m -1 m -1 Kết hợp với (I), ta được 1 < m < 3 là giá trị cần tìm. Câu 9: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (m + 1) x 2 - 2mx + m - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 khác 0 thỏa mãn A. m < 2  m > 6. 1 1 + <3 ? x1 x 2 B. -2 < m ¹ -1 < 2  m > 6. C. 2 < m < 6. D. -2 < m < 6. Lời giải Chọn B Xét phương trình (m + 1) x 2 - 2mx + m - 2 = 0 (*), có D¢ = m + 2. Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi ìïa ¹ 0 ìïm + 1 ¹ 0 ï ì ïm ¹ {-1;2} ï ïï ï ¢ íD > 0  ï ím + 2 > 0  ï í ï ï ï ï ï ïîm > – 2 ïï ï îïm – 2 ¹ 0 îP ¹ 0 (I). Khi đó, gọi x1 , x 2 là nghiệm của phương trình (*) suy ra Theo bài ra, ta có ìï ïï x1 + x 2 = 2 m m +1 ïïí . ïï m -2 x x = ïï 1 2 m +1 ïî ém > 6 x + x2 1 1 2m m -6 + = 1 = <3  >0 ê . êm < 2 x1 x 2 x1 x 2 m -2 m -2 ë ém > 6 Kết hợp với (I), ta được êê ë m Î (- 2; -1) È (-1;2 ) là giá trị cần tìm. Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 -(m -1) x + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 khác 0 thỏa mãn 1 1 + > 1. x12 x 22 æ è 11 ö 10 ø A. m Î (-¥;-2) È (-2;-1) È (7; +¥). B. m Î (-¥;-2) È ççç-2;- ÷÷÷. C. m Î (-¥;-2) È (-2;-1). D. m Î (7; +¥). Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 419 Đặt f ( x ) = x 2 -(m -1) x + m + 2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi: ìïé m > 7 ìïD > 0 ì ïm 2 – 6 m – 7 > 0 ï ïêê ïí ï í ï íë m < -1. ïï f (0 ) ¹ 0 ï ï ïm + 2 ¹ 0 ï î î ï ï îm ¹ - 2 (*) ïì x + x = m - 1 . Gọi x1 , x 2 là nghiệm của phương trình đã cho. Theo Viet, ta có ïí 1 2 ïïî x1 x 2 = m + 2 2 Yêu cầu bài toán ( x + x 2 ) - 2 x1 x 2 x12 + x 22 1 1 + > 1  >1  1 >1 2 2 2 2 2 x1 x 2 x1 . x 2 ( x1 x 2 ) ìm ¹ – 2 ï ï (m -1) – 2 (m + 2 ) 8m + 7 (*) ï > 1  < 0  í 7 ¾¾- 2 ¹ m < -1. 2 2 ï < m (m + 2 ) (m + 2 ) ï ï 2  î 8 Dạng 7. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tam thức f ( x ) = 3 x 2 + 2 (2m -1) x + m + 4 dương với mọi x khi: A. -1 < m < 11 . 4 B. - 11 < m < 1. 4 C. - 11 £ m £ 1. 4 é m < -1 ê 11 . êm > êë 4 D. ê Lời giải Chọn A Tam thức f ( x) có a = 3 > 0 . Do đó f ( x) > 0, “x khi 2 D ‘ = (2m -1) – 3(m + 4) = 4m 2 – 7m -11 < 0  -1 < x < Câu 2: 11 . 4 Tam thức f ( x ) = -2 x 2 + (m - 2) x - m + 4 không dương với mọi x khi: A. m Î  {6}. B. m ÎÆ. C. m = 6. D. m Î . Lời giải Chọn C Tam thức f ( x) có a = -2 < 0 . Do đó f ( x) £ 0, "x (không dương) khi 2 D = (m - 2) + 8 (-m + 4) = m 2 -12m + 36 £ 0  m = 6 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 420 Câu 3: Tam thức f ( x ) = –2 x 2 + (m + 2) x + m – 4 âm với mọi x khi: A. m < -14 hoặc m > 2 . B. -14 £ m £ 2 . C. -2 < m < 14 . D. -14 < m < 2 . Lời giải Chọn D Tam thức f ( x) có a = -2 < 0 . Do đó f ( x) < 0, "x khi 2 D = (m + 2) + 8(m - 4) = m 2 + 12m - 28 £ 0 -14 < m < 2 . Câu 4: Tam thức f ( x ) = x 2 -(m + 2) x + 8m + 1 không âm với mọi x khi: A. m > 28. B. 0 £ m £ 28. C. m < 1. D. 0 < m < 28. Lời giải Chọn B Tam thức f ( x) có a = 1 > 0 nên f ( x) ³ 0, “x (không âm) khi 2 D = (m + 2) – 4 (8m + 1) = m 2 – 28m £ 0  0 £ m £ 28 . Câu 5: Bất phương trình x 2 – mx – m ³ 0 có nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi: A. m £ -4 hoặc m ³ 0 . B. -4 < m < 0 . C. m < -4 hoặc m > 0 . D. -4 £ m £ 0 . Lời giải Chọn D Tam thức f ( x ) = x 2 – mx – m có hệ số a = 1 > 0 nên bất phương trình f ( x) ³ 0 nghiệm đúng Câu 6: với mọi “x khi và chỉ khi D = m 2 + 4m £ 0  -4 £ m £ 0 . Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình -x 2 + (2m -1) x + m < 0 có tập nghiệm là  . 1 2 A. m = . 1 2 B. m = - . C. m Î . D. Không tồn tại m. Lời giải Chọn D Tam thức f ( x ) = -x 2 + (2m -1) x + m có hệ số a = -1 < 0 nên bất phương trình f ( x) < 0 có tập nghiệm là  khi D = (2 m - 1)2 + 4 m = 4 m 2 + 1 < 0  m Î Æ . Câu 7: Bất phương trình x 2 -(m + 2) x + m + 2 £ 0 vô nghiệm khi và chỉ khi: A. m Î (-¥;-2 ] È [2; +¥) . B. m Î (-¥;-2) È (2; +¥) .C. m Î [-2;2 ] . D. m Î (-2;2) . Lời giải Chọn D Bất phương trình f ( x ) = x 2 -(m + 2) x + m + 2 £ 0 khi và chỉ khi f ( x) > 0 nghiệm đúng với Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 421 mọi x . Tam thức f ( x ) = x 2 -(m + 2) x + m + 2 có hệ số a = 1 > 0 nên f ( x) > 0 nghiệm đúng với mọi x Câu 8: khi D = (m + 2)2 – 4 (m + 2) = m 2 – 4 < 0  -2 < m < 2 . Tam thức f ( x ) = (m 2 + 2) x 2 - 2 (m +1) x +1 dương với mọi x khi: 1 2 1 2 A. m < . 1 2 B. m £ . 1 2 C. m > . D. m ³ . Lời giải Chọn A f ( x) Tam thức có hệ số a = m 2 + 2 > 0, “x nên D¢ = (m + 1) – (m 2 + 2) = 2m -1 < 0  m < 2 Câu 9: f ( x) dương với mọi x khi 1 . 2 Tam thức f ( x ) = (m - 4 ) x 2 + (2m - 8) x + m - 5 không dương với mọi x khi: A. m £ 4. B. m ³ 4. C. m < 4. D. m > 4 . Lời giải Chọn A  Với m = 4 , ta có f ( x ) = -1 < 0 : đúng với mọi x .  Với m ¹ 4 , yêu cầu bài toán  (m - 4 ) x 2 + (2m - 8) x + m - 5 £ 0, "x Î  m -4 < 0 ïì ìïa < 0 ì ï m<4  ïí  ïí ï m <4. í 2 ï ïD £ 0 îï ïm - 4 £ 0 î ï(m - 4 ) -(m - 4 )(m - 5) £ 0 ï î Kết hợp hai trường hợp ta được m £ 4 là giá trị cần tìm. Câu 10: Tam thức f ( x ) = mx 2 - mx + m + 3 âm với mọi x khi: A. m Î (-¥;-4 ] . B. m Î (-¥; -4 ) . C. m Î (-¥;-4 ] È [0; +¥) . D. m Î (-¥;-4 ] È (0; +¥) . Lời giải Chọn B  Với m = 0 thay vào ta được f ( x ) = 3 < 0 ( vô lý ) suy ra m = 0 không thỏa mãn.  Với m ¹ 0 , yêu cầu bài toán ìm < 0 ï ïï ìï ìï m <0 m < 0 ìï m <0 ï ï ï í í 2 í ï í é m < - 4  m < -4 2 ï ïD < 0 ï ï-3m - 12 m < 0 ï î ïm - 4 m (m + 3) < 0 ï î ïêê î ï îïë m > 0 . Câu 11: Tam thức f ( x ) = (m + 2) x 2 + 2 (m + 2) x + m + 3 không âm với mọi x khi: A. m ³-2. B. m £-2. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. m > -2. D. m < -2. Trang 422 Lời giải Chọn A  Với m = -2 , tam thức bậc hai trở thành 1 > 0 : đúng với mọi x .  Với m ¹ -2 , yêu cầu bài toán  (m + 2) x 2 + 2 (m + 2) x + m + 3 ³ 0, “x Î  ìïm + 2 > 0 ìm + 2 > 0 ïìa > 0 ï  ïí  ïí ï  m > -2 . í 2 ï ï ï-m – 2 £ 0 îïD ‘ £ 0 ïî(m + 2) – (m + 2)(m + 3) £ 0 ï î Kết hợp hai trường hợp ta được m ³ -2 là giá trị cần tìm. Câu 12: Bất phương trình (3m + 1) x 2 -(3m + 1) x + m + 4 ³ 0 có nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi: 1 3 1 3 A. m > – . B. m ³ – . C. m > 0. D. m > 15. Lời giải Chọn B Xét bất phương trình (3m + 1) x 2 -(3m + 1) x + m + 4 ³ 0. (*) 1 3 1 3 TH1. Với 3m + 1 = 0  m = – , bất phương trình (*) trở thành 4 – ³ 0 (luôn đúng). 1 3 TH2. Với 3m + 1 ¹ 0  m ¹ – , bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x ì ïì3m + 1 > 0 ï3m + 1 > 0 ïìa > 0 1  ïí  íï  ïí 2  m >- . 2 ïîïD¢ £ 0 ïï(3m + 1) – 4 (3m + 1)(m + 4 ) £ 0 îïï3m + 46m + 15 ³ 0 3 î 1 3 Kết hợp hai trường hợp, ta được m ³ – là giá trị cần tìm. Câu 13: Tìm (2 m A. 2 tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình – 3m – 2) x + 2 (m – 2) x -1 £ 0 có tập nghiệm là  . 2 1 £ m < 2. 3 B. 1 £ m £ 2. 3 1 3 C. m ³ . D. m £ 2. Lời giải Chọn B Xét 2 m 2 - 3m - 2 = 0  m = -  Khi m = - 1 2 hoặc m = 2 1 1 thì bất phương trình trở thành -5 x -1 £ 0  x ³ - : không nghiệm đúng 5 2 với mọi x .  Khi m = 2 thì bất phương trình trở thành -1 £ 0 : nghiệm đúng với mọi x . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 423 ì ï 1 ïm ¹ 2 2  Khi ïí 2 thì yêu cầu bài toán  (2 m - 3m - 2 ) x + 2 (m - 2 ) x - 1 £ 0, "x Î  ï ï ï îm ¹ 2 ìï 1 ï £m £2 2 ïìïD ' £ 0 ìïï3m - 7 m + 2 £ 0 ïïï 3 1 í í 2 í  £m <2. ï ï ï a < 0 3 ïî ïî2 m - 3m - 2 < 0 ïï- 1 < m < 2 ïîï 2 Kết hợp hai trường hợp ta được 1 £m £2 3 là giá trị cần tìm. Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (m 2 - 4 ) x 2 + (m - 2) x +1 < 0 vô nghiệm. æ 10 ù æ 10 ö æ A. m Î ççç-¥;- ú È [2; +¥). è 3 úû 10 ù B. m Î ççç-¥;- ú È (2; +¥). è 3 úû C. m Î ççç-¥;- ÷÷÷ È (2; +¥). è 3ø D. m Î [2; +¥). Lời giải Chọn A  Xét m 2 - 4 = 0  m = 2. 1 4 Với m = -2 , bất phương trình trở thành -4 x + 1 < 0  x > : không thỏa mãn. Với m = 2 , bất phương trình trở thành 1 < 0 : vô nghiệm. Do đó m = 2 thỏa mãn.  Xét m 2 - 4 ¹ 0  m ¹ 2 . Yêu cầu bài toán  (m 2 - 4 ) x 2 + (m - 2 ) x + 1 ³ 0, "x Î  é 10 ì 2 ìïm 2 - 4 > 0 êm £ ïïm – 4 > 0 ï ê í   3. í ïïD = (m – 2 )2 – 4 (m 2 – 4 ) £ 0 ïï-3m 2 – 4 m + 20 £ 0 ê î êë m > 2 ïî Kết hợp hai trường hợp, ta được m £ – 10 3 hoặc m ³ 2 . Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) = (m + 4 ) x 2 – (m – 4 ) x – 2 m + 1 xác định với mọi x Î  . A. m £ 0. B. – 20 £ m £ 0. 9 C. m ³ – 20 . 9 D. m > 0. Lời giải Chọn D f ( x ) xác định với mọi x Î   f ( x ) ³ 0, “x Î . 9 8 TH1: m = -4 thì f ( x ) = 8 x + 9 ³ 0  x ³ – ¾¾  m = -4 không thỏa. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 424 ìïm > -4 ìïa > 0 20  ïí 2  – £ m £ 0. 9 ïïîD £ 0 ïïî9 m + 20 m £ 0 TH2: m ¹ -4 , yêu cầu bài toán  ïí Câu 16: Hàm số y = (m + 1) x 2 – 2 (m + 1) x + 4 A. -1 £ m £ 3. có tập xác định là D =  khi B. -1 < m < 3. C. -1 < m £ 3. D. m > -1. Lời giải Yêu cầu bài toán  f ( x ) = (m + 1) x 2 – 2 (m + 1) x + 4 ³ 0, “x Î . (1) thì f ( x ) = 4 > 0, “x Î  : thỏa mãn. · m = -1 · m ¹ -1 , ìïm > -1 ïìm + 1 > 0 ïìïm > -1 í 2  ïí  -1 < m £ 3. ïîïD ' £ 0 ïîïm - 2 m - 3 £ 0 ïîï-1 £ m £ 3 khi đó (1)  ïí Kết hợp hai trường hợp ta được -1 £ m £ 3. Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để biểu thức f ( x ) = -x 2 + 4 (m + 1) x + 1 - 4 m 2 -4 x 2 + 5 x - 2 luôn dương. 5 8 5 8 A. m ³ - . 5 8 B. m < - . C. m < . 5 8 D. m ³ . Lời giải Chọn B 2 æ 5ö 7 Ta có -4 x 2 + 5 x - 2 = -ççç2 x - ÷÷÷ - < 0 với mọi x Î  . è Do đó f ( x ) = 4ø 16 -x 2 + 4 (m + 1) x + 1 - 4 m 2 -4 x 2 + 5 x - 2 > 0, “x Î   -x 2 + 4 (m + 1) x + 1 – 4 m 2 < 0, "x Î  ïìa = -1 < 0 5  ïí  8m + 5 < 0  m < ïïD ' = 4 (m + 1)2 + (1 - 4 m 2 ) < 0 8 ïî . Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình -2 x 2 + 2 (m - 2) x + m - 2 < 0 có nghiệm. A. m Î . B. m Î (-¥;0) È (2; +¥). C. m Î (-¥;0 ] È [2; +¥). D. m Î [0;2 ]. Lời giải Chọn A Đặt f ( x ) = -2 x 2 + 2 (m - 2) x + m - 2 và D ' = (m - 2 )2 + 2 (m - 2 ) = m 2 - 2 m. a =-2<0  f ( x ) < 0, "x Î  ¾¾  bất phương · D ' < 0 ¾¾¾¾  f (x ) = 0 · D ' = 0 ¾¾ tại x = trình có nghiệm. m -2 , còn ngoài ra thì f ( x ) < 0 nên bất phương trình có 2 nghiệm. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 425  f (x ) = 0 · D ' > 0 ¾¾ có hai nghiệm phân biệt x1 < x 2 . Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm x Î (-¥; x1 ) È ( x 2 ; +¥). Vậy cả ba trường hợp ta thấy bất phương trình đều có nghiệm. Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình -2 x 2 + 2 (m - 2) x + m - 2 ³ 0 có nghiệm. B. m Î (-¥;0) È (2; +¥). C. m Î (-¥;0 ] È [2; +¥). D. m Î [0;2 ]. A. m Î . Lời giải Chọn C Đặt f ( x ) = -2 x 2 + 2 (m - 2) x + m - 2 và D ' = (m - 2 )2 + 2 (m - 2 ) = m 2 - 2 m. a =-2 <0  f ( x ) < 0, "x Î  ¾¾  bất phương · D ' < 0 ¾¾¾¾ trình vô nghiệm. Do đó trường hợp này không có m thỏa mãn. é b ê m = 0 ¾¾  f ( x ) = 0 khi x = - = -1 ê a 2 · D' = 0  ê , ê b  f ( x ) = 0 khi x = - = 0 ê m = 2 ¾¾ êë 2a còn ngoài ra thì f ( x ) < 0 nên bất phương trình vô nghiệm. Do đó trường hợp này có m = 0 hoặc m = 2 thỏa mãn. ém < 0 · D' > 0  ê ¾¾  f (x ) = 0 êm > 2 ë có hai nghiệm phân biệt x1 < x 2 . Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm x Î [ x1 ; x 2 ]. Do đó trường hợp này có m < 0 hoặc m > 2 thỏa mãn. Hợp các trường hợp ta được m Î (-¥;0 ] È [2; +¥) thỏa mãn. Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình mx 2 + 2 (m + 1) x + m – 2 > 0 có nghiệm. A. m Î  . æ 1ö æ 1 B. m Î ççç-¥;- ÷÷÷. è 4ø ö C. m Î ççç- ; +¥÷÷÷. è 4 ø D. m Î  {0}. Lời giải Chọn C Đặt f ( x ) = mx 2 + 2 (m + 1) x + m – 2 và D ‘ = (m + 1)2 – m (m – 2 ) = 4 m + 1.  · m = 0 ¾¾ bất phương trình trở thành 2 x – 2 > 0  x > 1. Do đó m = 0 thỏa mãn. · m > 0 , ta biện luận các trường hợp như câu. Do đó m > 0 thỏa mãn. · m < 0 , yêu 1 4  f (x ) = 0 cầu bài toán  D ' > 0  m > – ¾¾ có hai nghiệm phân biệt x1 < x 2 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 426 Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm x Î ( x1 ; x 2 ). 1 4 1 4 Do đó - < m < 0 thỏa mãn. Hợp các trường hợp ta được m > – . Dạng 8. Hệ bất phương trình bậc hai 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: ïì2 – x ³ 0 Tập nghiệm S của hệ bất phương trình ïí 2 ïïî x – 4 x + 3 < 0 A. S = [1;2). B. S = [1;3). là: C. S = (1;2 ]. D. S = [2;3). Lời giải Chọn C Tập nghiệm của 2 - x ³ 0 là S1 = (-¥;2 ]. Tập nghiệm của x 2 - 4 x + 3 < 0 là S1 = (1;3). Vậy tập nghiệm của hệ là S = S1 Ç S 2 = (1;2 ]. ì ïx - 2 x - 3 > 0 . Tìm x thỏa mãn hệ bất phương trình ïí 2 2 Câu 2: ï ï îx – 11x + 28 ³ 0 A. x > 3. B. 3 < x £ 7. C. 4 £ x £ 7. D. 3 < x £ 4. Lời giải Chọn D Tập nghiệm của x 2 - 2 x - 3 > 0 là S1 = (-¥; -1) È (3; +¥). Tập nghiệm của x 2 – 11x + 28 ³ 0 là S 2 = (-¥;4 ] È [7; +¥). Vậy tập nghiệm của hệ là S = S1 Ç S 2 = (-¥; -1) È (3;4 ] È [7; +¥). ì ïx – 4 x + 3 > 0 Tập nghiệm S của hệ bất phương trình ïí 2 là: 2 Câu 3: ï ï îx – 6 x + 8 > 0 A. S = (-¥;1) È (3; +¥). B. S = (-¥;1) È (4; +¥). C. S = (-¥;2) È (3; +¥). D. S = (1; 4 ). Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 427 Tập nghiệm của x 2 – 4 x + 3 > 0 là S1 = (-¥;1)  (3; +¥) . Tập nghiệm của x 2 – 6 x + 8 > 0 là S 2 = (-¥;2)  (4; +¥) . Vậy tập nghiệm của hệ là S = S1  S 2 = (-¥;1)  (4; +¥) . ì ïx – 3x + 2 £ 0 Tập nghiệm S của hệ bất phương trình ïí 2 là: 2 Câu 4: ï ï îx – 1 £ 0 A. S = 1. B. S = {1}. C. S = [1;2 ]. D. S = [-1;1]. C. x ÎÆ. D. x £ . Lời giải Chọn B Tập nghiệm của x 2 – 3 x + 2 £ 0 là S1 = [1;2 ] . Tập nghiệm của x 2 – 1 £ 0 là S 2 = [-1;1] . Vậy tập nghiệm của hệ là S = S1  S 2 = {1} . ì ï3 x – 4 x + 1 > 0 . Giải hệ bất phương trình ïí 2 2 Câu 5: ï ï î3 x – 5 x + 2 £ 0 A. x ³ 1. 1 3 B. x £ . 2 3 Lời giải Chọn C æ 1ö Tập nghiệm của 3 x 2 – 4 x + 1 > 0 là S1 = ççç-¥; ÷÷÷ È (1; +¥). è 3ø é2 ù êë 3 úû Tập nghiệm của 3 x 2 – 5 x + 2 £ 0 là S 2 = ê ;1ú . Vậy tập nghiệm của hệ là S = S1 Ç S 2 = Æ. Câu 6: ìï-2 x 2 – 5 x + 4 < 0 Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn ïí 2 ? ïï-x - 3 x + 10 > 0 î A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn C æ Tập nghiệm của -2 x 2 – 5 x + 4 < 0 là S1 = ççç-¥; èç ö -5 - 57 ö÷÷ çæ -5 + 57 ; +¥÷÷÷. ÷÷ È çç 4 4 ø çè ø÷ Tập nghiệm của -x 2 - 3 x + 10 > 0 là S 2 = (-5;2). æ Vậy tập nghiệm của hệ là S = S1 Ç S 2 = ççç-5; èç -5 – 57 ÷÷ö çæ -5 + 57 ÷÷ö ;2÷. ÷÷ È çç ÷ø 4 4 ø çè Do đó các giá trị nguyên của x thuộc tập S là {-4;1}. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 428 Câu 7: ìï x 2 – 9 < 0 Hệ bất phương trình ïí 2 ïï( x - 1)(3 x + 7 x + 4) ³ 0 î có nghiệm là: A. -1 £ x < 2. B. -3 < x £ - 4 3 4 hoặc -1 £ x £ 1. 3 4 3 C. - £ x £ -1 hay 1 £ x £ 3. D. - £ x £ -1 hoặc 1 £ x < 3. Lời giải Chọn D Tập nghiệm của x 2 - 9 < 0 là S1 = (-3;3). é -4 ù ; -1ú  [1; +¥). êë 3 ûú Tập nghiệm của ( x - 1)(3 x 2 + 7 x + 4) ³ 0 là S 2 = ê é -4 ù ; -1ú  [1;3). êë 3 ûú Vậy tập nghiệm của hệ là S = S1  S 2 = ê Câu 8: ì ïx 2 - 7 x + 6 < 0 Tập nghiệm của hệ bất phương trình ïí là: ï ï î 2 x -1 < 3 A. (1;2 ). B. [1;2 ]. C. (–¥;1) È (2; +¥). D. Æ. Lời giải Chọn C Tập nghiệm của x 2 - 7 x + 6 < 0 là S1 = (1;6). Tập nghiệm của 2 x - 1 < 3 là S 2 = (-1;2). Vậy tập nghiệm của hệ là S = S1  S 2 = (1;2). Câu 9: Hệ bất phương trình nào sau đây vô nghiệm? ìïx 2 - 2 x - 3 > 0 . A. ïí 2 ì ïx 2 – 2 x – 3 < 0 . B. ïí 2 ìïx 2 - 2 x - 3 > 0 . C. ïí 2 ì ïx 2 – 2 x – 3 < 0 . D. ïí 2 ïï-2 x + x - 1 < 0 î ï ï î-2 x + x - 1 > 0 ïï2 x + x + 1 > 0 î ï ï î2 x – x + 1 > 0 Lời giải Chọn B Đáp án A. Tập nghiệm của x 2 – 2 x – 3 > 0 là S1 = (-¥; -1) È (3; +¥). Tập nghiệm của -2 x 2 + x -1 < 0 là S 2 = . Vậy tập nghiệm của hệ là S = S1 Ç S 2 = (-¥; -1) È (3; +¥). Đáp án B. Tập nghiệm của x 2 - 2 x - 3 < 0 là S1 = (-1;3). Tập nghiệm của -2 x 2 + x -1 > 0 là S 2 = Æ. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 429 Vậy tập nghiệm của hệ là S = S1 Ç S 2 = Æ. Đáp án C. Tập nghiệm của x 2 – 2 x – 3 > 0 là S1 = (-¥; -1) È (3; +¥). Tập nghiệm của 2 x 2 + x + 1 > 0 là S 2 = . Vậy tập nghiệm của hệ là S = S1 Ç S 2 = (-¥; -1) È (3; +¥). Đáp án D. Tập nghiệm của x 2 – 2 x – 3 < 0 là S1 = (-1;3). Tập nghiệm của 2 x 2 - x + 1 > 0 là S 2 = . Vậy tập nghiệm của hệ là S = S1 Ç S 2 = (-1;3). ì ï x2 + 4x + 3 ³ 0 ï ï Câu 10: Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình ïíï2 x 2 – x – 10 £ 0 là: ï 2 ï ï î2 x – 5 x + 3 > 0 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn B Tập nghiệm của x 2 + 4 x + 3 ³ 0 là S1 = (-¥; -3]  [-1; +¥). é êë 5ù 2 úû Tập nghiệm của 2 x 2 – x – 10 £ 0 là S 2 = ê-2; ú . æ3 è2 ö ø Tập nghiệm của 2 x 2 – 5x + 3 > 0 là S 3 = (-¥;1)  ççç ; +¥÷÷÷. æ3 5ù è 2 2 úû Vậy tập nghiệm của hệ là S = S1  S 2  S 3 = [-1;1)  ççç ; ú . Suy ra nghiệm nguyên là {-1;0;2}. ìï2 x + m < 0 Câu 11: Hệ bất phương trình ïí 2 (1) vô nghiệm khi và chỉ khi: ïï3x - x - 4 £ 0 (2) î 8 3 A. m > – . B. m < 2 . C. m ³ 2 . 8 3 D. m ³ - . Lời giải Chọn C Bất phương trình 1  1  x  4 . Suy ra S1   1; 4  3  3 Bất phương trình  2   x   m . Suy ra S 2   ;  m  . 2  2 Để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi S1  S 2     Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 m  1  m  2. 2 Trang 430 ìï x 2 -1 £ 0 (1) Câu 12: Hệ bất phương trình ïí có nghiệm khi: ïï x - m > 0 (2) î A. m > 1. B. m = 1. C. m < 1. D. m ¹ 1. Lời giải Chọn C Bất phương trình 1  1  x  1. Suy ra S1   1;1 . Bất phương trình  2   x  m. Suy ra S2   m;   . Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi S1  S2    m  1. ìï( x + 3)(4 - x ) > 0 (1) Câu 13: Hệ bất phương trình ïí có nghiệm khi và chỉ khi: ïï x < m -1(2) î A. m < 5. B. m > -2. C. m = 5. D. m > 5. Lời giải Chọn B Bất phương trình 1  3  x  4. Suy ra S1   3; 4  . Bất phương trình có S2   ; m  1 . Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi S1  S2    m  1  3  m  2. Câu 14: Tìm m để -9 < A. -3 < m < 6. 3 x 2 + mx - 6 < 6 nghiệm đúng với "x Î  . x 2 - x +1 B. -3 £ m £ 6. C. m < -3. D. m > 6. Lời giải Chọn A Bất phương trình đã cho tương tương với -9 ( x 2 – x + 1) < 3 x 2 + mx - 6 < 6 ( x 2 - x + 1) (do x 2 - x + 1 > 0 “x Î  ) ìï12 x 2 + (m – 9 ) x + 3 > 0 (1)  ïí 2 ïï3 x – (m + 6 ) x + 12 > 0 (2 ) ïî Yêu cầu  (1) và (2) nghiệm đúng “x Î  2 ì ïïìD(1) < 0 ïï(m - 9 ) -144 < 0 í  ïí  -3 < m < 6 . ïïD(2) < 0 ïï(m + 6 )2 -144 < 0 ïî ïî Câu 15: Xác định m để với mọi x ta có -1 £ 5 3 A. - £ m < 1. x 2 + 5x + m < 7. 2 x 2 - 3x + 2 5 3 B. 1 < m £ . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 5 3 C. m £ - . D. m < 1. Trang 431 Lời giải Chọn A Bất phương trình tương đương ìï 3 x 2 + 2 x + 2 + m ïï ³0 ìï3 x 2 + 2 x + 2 + m ³ 0 (1) ïï 2 x 2 - 3 x + 2 .  ïí 2 í 2 ïï13 x - 26 x + 14 - m ïï13 x - 26 x + 14 - m > 0 (2) ï î ïï >0 2 x 2 – 3x + 2 ïî Yêu cầu  (1) và (2) nghiệm đúng “x Î  ì ïì2 2 – 4.3(2 + m) £ 0 ïïD(1) £ 0 í  ïí 2  ïïD(2) < 0 ïï26 - 4.13(14 - m ) < 0 ï î ïî ìï x -1 > 0 Câu 16: Hệ bất phương trình ïí 2 ïïî x – 2mx + 1 £ 0 A. m > 1. -5 ïìï ïm ³ 3 . í ïï îïm < 1 có nghiệm khi và chỉ khi: B. m = 1. C. m < 1. D. m ¹ 1. Lời giải Chọn C Bất phương trình x - 1 > 0  x > 1 . Suy ra S1 = (1; +¥) . Bất phương trình x 2 – 2mx + 1 £ 0  x 2 – 2mx + m 2 £ m 2 -1  ( x – m)2 £ m 2 -1 ém ³ 1 )  – m 2 -1 £ x – m £ m 2 -1 (điều kiện: m 2 -1 ³ 0  ê ê ë m £ -1  m – m 2 – 1 £ x £ m + m 2 -1 . Suy ra S 2 = éêm – m 2 -1; m + m 2 -1ùú . ë û Để hệ có nghiệm  m + m2 -1 > 1  1  m  0  m  1  2  2 1 0 m     m  1  m  1  m -1 > 1- m     m 1  1  m  0  m  1    m 2  1  1  m 2   m  1  Đối chiếu điều kiện, ta được m > 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. ìï x – 2 x + 1 – m £ 0 (1) Câu 17: Tìm m để hệ ïí 2 có nghiệm. 2 ïï x – (2 m + 1) x + m + m £ 0 (2 ) ïî 2 A. 0 < m < 3+ 5 . 2 B. 0 £ m £ 3+ 5 . 2 C. 0 £ m < 3+ 5 . 2 D. 0 < m £ 3+ 5 . 2 Lời giải Chọn B Điều kiện để (1) có nghiệm là D ' = m ³ 0 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 432 Khi đó (1) có tập nghiệm S1 = éêë1 - m ;1 + m ùúû . Ta thấy (2) có tập nghiệm S 2 = [m ; m + 1] . ì ïm £ 1 + m 3+ 5  0£m £ . ï1 - m £ m + 1 2 ï î Hệ có nghiệm  S1 Ç S 2 ¹ Æ  ïí ì ï x 2 - 3x - 4 £ 0 (1) Câu 18: Tìm m sao cho hệ bất phương trình ïí có nghiệm. ï ï î(m -1) x - 2 ³ 0 (2) 3 2 3 2 B. m ³ . A. -1 £ m £ . C. m ÎÆ. D. m ³-1. Lời giải Chọn B Bất phương trình 1  1  x  4. Suy ra S1   1; 4 . Giải bất phương trình (2) Với m  1  0  m  1 thì bất phương trình (2) trở thành 0 x  2 : vô nghiệm. Với m  1  0  m  1 thì bất phương trình (2) tương đương với x  Suy ra S2   2 ;   .Hệ bất phương trình có nghiệm khi  m 1  2 . m 1 2 3 4m . m 1 2 Với m  1  0  m  1 thì bất phương trình (2) tương đương với x  2 . m 1 Suy ra S2   ; 2  . m  1  Hệ bất phương trình có nghiệm khi 2  1  m  1 (không thỏa) m 1 3 2 Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ³ . ìï x 2 + 10 x + 16 £ 0 (1) Câu 19: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình ïí vô ïïmx ³ 3m +1(2) î nghiệm. 1 5 A. m > – . 1 4 1 11 B. m > . C. m > – . D. m > 1 . 32 Lời giải Chọn C Bất phương trình 1  8  x  2. Suy ra S1   8; 2 . Giải bất phương trình (2) Với m  0 thì bất phương trình (2) trở thành 0 x  1: vô nghiệm. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 433 Với m  0 thì bất phương trình (2) tương đương với x  3m  1 . m Suy ra S2   3m  1 ;   .  m  Hệ bất phương trình vô nghiệm khi 3m  1 1  2  m   . m 5 Với m  0 thì bất phương trình (2) tương đương với x  3m  1 . m Suy ra S2   ; 3m  1  .Hệ bất phương trình vô nghiệm khi  m  3m  1 1  8  m  m 11 1 11 Để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m > – . ìï x 2 – 2(a + 1) x + a 2 + 1 £ 0 (2) Câu 20: Cho hệ bất phương trình ïí 2 . Để hệ bất phương trình có nghiệm, ïï x – 6 x + 5 £ 0 (1) ïî giá trị thích hợp của tham số a là: A. 0 £ a £ 2 . B. 0 £ a £ 4 . C. 2 £ a £ 4 . D. 0 £ a £ 8 . Lời giải Chọn A Bất phương trình 1  1  x  5. Suy ra S1  1;5 . Ta thấy (2) có tập nghiệm S 2 = éêë a + 1- 2a ; a + 1 + 2a ùúû . ì ïa + 1 + 2a ³ 1  0£a£2. ïa + 1- 2a £ 5 ï î Hệ có nghiệm  S1 Ç S2 ¹ Æ  ïí Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 434 CHƯƠNG V. THỐNG KÊ BÀI 1. BẢNG PHÂN BỐ TẦNG SỐ, TẦN SUẤT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ÔN TẬP 1. Số liệu thống kê · Thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích và xử lý số liệu. · Dấu hiệu (điều tra) là một vấn đề hay hiện tượng nào đó mà người điều tra quan tâm tìm hiểu. Mỗi đối tượng điều tra gọi là một đơn vị điều tra. Mỗi đơn vị điều tra có một số liệu, số liệu đó gọi là giá trị của dấu hiệu trên đơn vị điều tra đó. · Một tập con hữu hạn các đơn vị điều tra được gọi là một mẫu. Số phần tử của một mẫu được gọi là kích thước mẫu. Các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu được gọi là một mẫu số liệu (mỗi giá trị như thế còn gọi là một số liệu của mẫu). · Nếu thực hiện điều tra trên trên mọi đơn vị điều tra thì đó là điều tra toàn bộ. Nếu chỉ điều tra trên một mẫu thì đó là điều tra mẫu. 2. Tần số Tần số của giá trị xi là số lần lặp lại của giá trị xi trong mẫu số liệu. II. Tần suất Tần suất fi của giá trị xi là tỷ số giữa tần số ni và kích thước mẫu N hay fi = ni . N Người ta thường viết tần suất dưới dạng phần trăm. Bảng phân bố tần số – tần suất. · Bảng phân bố tần số (gọi tắt là bảng tần số) được trình bày như sau: Bảng ngang Giá trị (x) Tần số (n) x1 n1 x2 n2 x3 n3 .. .. xm nm m N= å ni i =1 Bảng dọc Giá trị (x) x1 x2 x3 .. xm Tần số (n) n1 n2 n3 nm Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 435 Cộng m N= å ni i =1 Trên hàng tần số, người ta dành một ô để ghi kích thước mẫu N hàng tổng các tần số (tức N m = å ni ). i =1 · Bảng phân bố tần suất (gọi tắt là bảng tần suất) được trình bày như sau: Bảng ngang Giá trị (x) Tần suất (%) x1 f1 x2 f2 x3 f3 .. .. xm fm 100% Bảng dọc Giá trị (x) x1 x2 x3 .. xm Cộng Tần suất (n) f1 f2 f3 fm 100% · Bảng phân bố tần số – tần suất (gọi tắt là bảng tần số – tần suất). Bảng dọc Giá trị (x) Tần số (n) x1 n1 x2 n2 x3 n3 .. .. xm xm m N= å ni i =1 Tần suất % f1 f2 f3 .. fm Bảng dọc Giá trị (x) x1 x2 x3 .. xm Cộng Tần số (n) Tần suất (n) n1 f1 n2 f2 n3 f3 .. .. nm fm m 100% N= å ni i =1 III. Bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp. Nếu kích thước mẫu số liệu khá lớn, thì người ta thường chia số liệu thành nhiều lớp dưới dạng é a;b ù hay é a;b ) (thường có độ dài các lớp bằng nhau). Khi đó tần số của lớp é a;b ù là số giá trị ë û ë ë û Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 436 n trong đó n x i Î éë a;b ùû (hay x i Î éë a;b ) ) xuất hiện trong lớp đó. Tần suất của lớp éë a;b ùû là f = N là tần số của lớp éë a;b ùû và N là kích thước mẫu. – Bảng phân bố tần suất ghép lớp được xác định tương tự như trên. a +b – Giá trị đại diện của lớp éë a;b ùû là c = 2 Bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp Lớp giá trị (x) Tần số (n)  x1 , x2   x2 , x3   x3 , x4  n1 Tần suất (n) f1 n2 f2 n3 f3 .. .. nm .. fm m 100%  xk , xm  Cộng N= å ni i =1 B. CÂU HỎI TRẮC NGHIÊM Câu 1: Để điều tra số con trong mỗi gia đình của một chung cư gồm 100 gia đình, người ta chọn ra 20 gia đình ở tầng 1 và thu được mẫu số liệu sau đây. 32413511231213411235 Dấu hiệu ở đây là gì? A. Số gia đình ở tầng 1. C. Số tầng ở trong khu chung cư. B. Số người trong mỗi gia đình. D. Số con trong mỗi gia đình. Lời giải Chọn D. Dấu hiệu là: Số con trong mỗi gia đình. Câu 2: Điểm kiểm tra học kì môn Toán của các học sinh lớp 10A cho ở bảng dưới đây. Điểm 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số 1 2 5 8 6 10 7 2 Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh? A. 40. B. 39. được. C. 41. D. Không tính Lời giải Chọn C. Số học sinh lớp 10A là: 1  2  5  8  6  10  7  2  41 (học sinh) Câu 3: Điều tra thời gian hoàn thành một sản phẩm của 20 công nhân, người ta thu được mẫu số liệu sau (thời gian tính bằng phút). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 437 Kích thước mẫu là bao nhiêu? B. 20 . A. 10 . Câu 4: Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: C. 200 . D. 300 . Lời giải Chọn B Ta có 20 số liệu thống kê nên ta có kích thước mẫu là 20. Điểm thi học kì I của lớp 10A được ghi lại trong bảng sau. Số các giá trị khác nhau của dấu hiệu trong bảng trên là. B. 13 . C. 12 . D. 11 . A. 14 . Lời giải Chọn B Nhìn vào bảng ta thấy có 13 giá trị khác nhau. Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành được cho bằng bảng phân bố tần số ghép lớp như sau. Hỏi số lá có chiều dài từ 30cm đến 50cm chiếm bao nhiêu phần trăm? A. 50 0 0 . B. 56 0 0 . C. 56, 7 0 0 . D. 57 0 0 . Lời giải Chọn C 24 100 Ta có tần suất của lớp 30; 40  là  40 . 60 10 100 Tần suất của lớp  40;50  là  16, 7 . 60 Vậy số lá có chiều dài từ 30cm đến 50cm chiếm 40 0 0  16, 7 0 0  56, 7 0 0 . Thống kê điểm môn Toán trong một kì thi của 500 em học sinh ở một trường phổ thông thấy số bài được điểm 9 chiếm tỉ lệ 4, 0 0 0 . Hỏi tần số của giá trị xi  9 là bao nhiêu? A. 10 . B. 20 . C. 30 . D. 40 . Lời giải Chọn B 4  500  20 . Ta có tần số của giá trị xi  9 là ni  100 Thống kê về điểm thi môn Toán trong một kì thi của 450 em học sinh trong một kì thi ở một trường phổ thông. Người ta thấy có 99 bài được điểm 7 . Hỏi tần suất của giá trị xi  7 là bao nhiêu? A. 7 0 0 . B. 22 0 0 . C. 45 0 0 . D. 50 0 0 . Lời giải Chọn B 99 100 0 0  22 0 0 Ta có tần suất của giá trị xi  7 là fi  450 Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch ở một nông trường được thống kê như bảng sau. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 438 Tần suất ghép lớp của lớp 100;110  là. A. 20 0 0 . B. 40 0 0 . C. 60 0 0 . D. 80 0 0 . Lời giải Chọn A 6 100 0 0  20 0 0 . 30 Tuổi thọ của 30 bóng đèn được thắp thử được thống kê theo bảng sau. Hãy điền số thích hợp vào dấu ô chứa dấu   . Ta có tần suất ghép lớp của lớp 100;110  là Câu 9: A. 3 . B. 6 . C. 9 . D. 12 . Lời giải Chọn D Ta có tần số của giá trị 1170 là 30  40 0 0  12 . 100 0 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 439 BÀI 2. BIỂU ĐỒ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. BIỂU ĐỒ TẦN SUẤT HÌNH CỘT VÀ ĐƯỜNG GẤP KHÚC TẦN SUẤT 1. Biểu đồ tần suất hình cột 2. Đường gấp khúc tần suất II. BIỂU ĐỒ HÌNH QUẠT Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 440 Bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp có thể miêu tả bằng biểu đồ hình quát Hình 36b miêu tả bảng 6. B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Bảng phân bố tần số sau đây ghi lại số vé không bán được trong 40 buổi chiếu phim: Lớp [0;5); [5;10) [10;15) [15;20) [20;25) [25;30) Cộng Tần số 3 4 2 20 5 6 40 Ta vẽ biểu đồ tần suất hình cột với 6 cột hình chữ nhật, các đáy tương ứng là [0;5);[5;10);[10;15);[15;20);[20;25);[25;30). Mỗi lớp trên trục Ox dài 5cm, 1% trên trục Oy dài 1cm. Hỏi cột cao nhất có diện tích là: A. 25 B. 50 C. 62,5 D. 250 Lời giải Chọn D Cột cao nhất là cột có đáy[15;20), có tần suất là 50%  diện tích cột có đáy [15;20)là 50.5=250 Câu 2: Với mỗi tỉnh người ta ghi lại số phần trăm những trẻ mới sinh có khối lượng dưới 2500g. Sau đây là kết quả khảo sát ở 43 tỉnh trong một năm ( đơn vị %) 5,1 5,2 5,2 5,8 6,4 7,3 6,5 6,9 6,6 6,5 6,8 5,2 5,1 6,0 4,6 6,9 7,4 7,7 6,4 7,4 6,9 5,4 7,0 7,9 6,8 8,1 7,6 8,0 8,7 5,9 5,2 6,8 7,7 7,1 6,2 5,4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 441 7,6 7,0 7,1 7,4 8,6 6,7 7,9 Ta vẽ biểu đồ tần số hình cột với 5 cột hình chữ nhật, các đáy tương ứng là [4,5;5,5);[5,5;6,5);[6,5;7,5);[7,5;8,5);[8,5;9,5). Hỏi cột nào có chiều cao lớn nhất A. [4,5;5,5) B. [5,5;6,5) C. [6,5;7,5) D. [7,5;8,5) Lời giải Chọn C Từ dãy số liệu ta có bảng phân bố tần số -tần suất ghép lớp như sau: Lớp [4,5;5,5) [5,5;6,5) [6,5;7,5) [7,5;8,5) [8,5;9,5) Cộng Tấn số 9 6 17 8 3 43 Tần suất (%) 20,93 13,95 39,53 18,60 6,98 100 (%) Nhìn vào bảng ta thấy hình chữ nhật đáy [6,5;7,5) có chiều cao 17 là lớn nhất Câu 3: Chọn 36 học sinh nam của một trường THPT và đo chiều cao của họ ta thu được mẫu số liệu sau ( đơn vị centimet): 160 161 161 162 162 162 163 163 163 164 164 164 164 165 165 165 165 165 166 166 166 166 167 167 168 168 168 168 169 169 170 171 171 172 172 174 Ta vẽ biểu đồ hình quạt với 5 lớp: [159,5;162,5); [162,5;165,5); [165,5;168,5); [168,5;171,5); [171,5;174,5) Hình quạt nào có diện tích lớn nhất? A. [159,5;162,5) B. [162,5;165,5) C. [165,5;168,5) D. [168,5;171,5) Lời giải Chọn B Ta có bảng phân bố tần số ghép lớp như sau Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 442 Lớp Tần số [159,5;162,5) 6 [162,5;165,5) 12 [165,5;168,5) 10 [168,5;171,5) 5 [171,5;174,5) 3 Cộng 36 Từ đó ta thấy lớp [162,5;165,5) có tần số 12 là cao nhất, nên có diện tích lớn nhất Câu 4: Cơ cấu quản lý kinh doanh điện nông thôn thể hiện qua biểu đồ hình quạt như hình vẽ. Cơ cấu quản lý điện nào lớn nhất? A. Quản lý điện xã thôn. B. EVN Trực tiếp quản lý B. HTX dịch vụ điện năng D. DNNN, BQL điện huyện, tỉnh Lời giải Chọn A Câu 5: Biểu đồ hình quạt của thống kê giá trị xuất khẩu của nước ta về dầu hỏa là 800 triệu USD. Hỏi giá trị xuất khẩu của than đá là bao nhiêu triệu USD Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 443 A. 100 B. 200 C. 250 D. 400 Lời giải Chọn D Dựa vào biểu đồ ta thấy dầu hỏa chiếm 50%. Vậy tổng giá trị xuất khẩu của tất cả 4 mặt hàng là: 800:50%=1600 (triệu USD) Dựa vào biểu đồ, ta thấy than đá chiếm 25%. Vậy giá trị xuất khẩu về than đá của nước ta là: 1600.25%=400 ( triệu USD) Câu 6: Cho biểu tần suất hình cột của thống kê nhiệt độ thành phố vinh từ năm 1961 đến 1990 (30 năm) như hình vẽ. Hỏi Lớp nhiệt độ [17;19) chiếm bao nhiêu %? A. 16,7 % B. 43,3% C. 36,7% D. 3,3% Lời giải Chọn B Câu 7: Cho biểu đồ đường gấp khúc tần suất của thống kê chiều dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành như hình vẽ. Hỏi tần suất phần trăm của lớp [20;30) là? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 444 A. 13,3% B. 30% C. 40% D. 16,7% Lời giải Chọn B Giá trị đại diện của lớp [20;30) là 25, nhìn vào biểu đồ ta thấy lớp [20;30) chiếm 30% Câu 8: Cho biểu đồ hình quạt về cơ cấu giá trị sản xuất công nghiệp trong nước năm 1999, phân theo thành phần Kinh tế. Hỏi khu vực doanh nghiệp nhà nước chiếm bao nhiêu %? A. 22% B. 38,1 C. 39,9% D. Đáp án khác Lời giải Chọn A Câu 9: Cho biểu đồ đường gấp khúc tần suất của thống kê khối lượng 30 củ khoai tấy được thu hoạch ở nông trường T ( đơn vị gam). Hỏi lớp [90;100) có tần suất bao nhiêu %? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 445 A. 10% B. 20% C. 40% D. 30% Lời giải Chọn C Giá trị đại diện của lớp [90;100) là 95, dựa vào biểu đồ ta thấy lớp [90;100) có tần suất 40% Câu 10: Bảng cơ cấu giá trị sản xuất công nghiệp trong nước năm 2000 phân theo ngành kinh tế (%) như sau Các thành phần kinh tế Tỉ trọng (%) Khu vực doanh nghiệp nhà nước 23,5% Khu vực ngoài quốc doanh 32,2 % Khu vực đầu tư nước ngoài 44,3% Cộng 100% Nếu vẽ biểu đồ hình quạt thì khu vực có diện tích lớn nhất là: A. Khu vực doanh nghiệp nhà nước B. Khu vực ngoài quốc doanh C. Khu vực đầu tư nước ngoài D. Không có khu vực nào cả Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 446 BÀI 3. SỐ TRUNG BÌNH. SỐ TRUNG VỊ. MỐT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG (HAY SỐ TRUNG BÌNH) k  Với mẫu số liệu kích thước N là { x 1, x 2 ,…, x N } : x = åx i = i =1 N x 1 + x 2 + … + x k N k  Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số: x = ån x i i i =1 N = n1x 1 + n2x 2 + … + nk x k N  Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số ghép lớp: N ån c i i x = i =1 N = n1c1 + n2c2 + … + nkck (ci là giá trị đại diện của lớp thứ i) N II. SỐ TRUNG VỊ Giả sử ta có một mẫu gồm N số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm (hoặc không tăng). Khi đó số trung vị Me là: – Số đứng giữa N 1 nếu N lẻ; 2 – Trung bình cộng của hai số đứng giữa (số thứ N N và + 1 ) nếu N chẵn. 2 2 III. MỐT Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là MO . Chú ý: – Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. – Nếu các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch quá lớn thì dùng số trung vị làm đại diện cho các số liệu của mẫu. – Nếu quan tâm đến giá trị có tần số lớn nhất thì dùng mốt làm đại diện. Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho bảng thống số liệu thông kê điểm kiểm tra 1 tiết môn Toán của 40 học sinh như sau: Số trung vị  M e  và mốt  M 0  của bảng số liệu thống kê trên là A. M e  8; M 0  40 . B. M e  6; M 0  18 . C. M e  6; M 0  6 . D. M e  7; M 0  6 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 447 Lời giải Chọn C Theo công thức trung vị đối với N chẵn thì ta có: Số đứng vị trí N N là 6 và số đứng vị trí  1 là 6 . 2 2 Vậy số trung vị M e  6 . M 0  6 do số điểm 6 có tần suất suất hiện nhiều nhất là 18 lần. Câu 2: Bạn An đạt được điểm môn Toán như sau: điểm hệ số 1: 7; 9; 8; 8; 8 , điểm hệ số 2 : 7; 8; 8 , điểm thi học kỳ (hệ số 3 ): 8 . Điểm trung bình môn Toán của An là A.  8,1 . B.  7, 6 . C.  7,9 . D.  7, 7 . Lời giải Chọn C Điểm trung bình môn toán của An là: Câu 3: 7  9  8  8  8  7.2  8.2  8.2  8.3 55   7,9 . 11111 2  2  2  3 7 Số trung bình của dãy số liệu 1; 1; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 9 gần đúng với giá trị nào nhất trong các giá trị sau? A. 5,14 . C. 5 . B. 5,15 . D. 6 Lời giải Chọn A Số trung bình của dãy số liệu 1; 1; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 9 là xTB  Câu 4: 1  1  2  3  3  4  5  5  6  7  8  9  9  9 36  5,142857 .  14 7 Thời gian chạy 50m của 20 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây: Thời gian (giây) 8,3 8,4 8,5 8,7 8,8 Tần số 2 3 9 5 1 Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là: A. 8,54. B. 4. C. 8,50. D. 8,53 Lời giải Chọn D x  8,3.2  8, 4.3  8,5.9  8, 7.5  8,8.1  8,53 . 20 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 448 Câu 5: Điểm kiểm tra của 24 học sinh được ghi lại trong bảng sau: 7 2 3 5 8 2 8 5 8 4 9 6 6 1 9 3 6 7 3 6 6 7 2 9 Tìm mốt của điểm điều tra A. 2. B. 7. C. 6. D. 9 Lời giải Chọn C Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tần số 1 3 3 1 2 5 3 3 3 N=24 Ta thấy điểm 6 có tần số lớn nhất nên M 0  6 . Câu 6: Cho bảng phân bố tần số khối lượng 30 quả trứng gà của một rổ trúng gà: Khối lượng (g) Tần số 25 3 30 5 35 10 40 6 45 4 50 2 Cộng 30 Số trung vị là A. 37,5. B. 40. C. 35. D. 75 Lời giải Chọn C Ta thấy N chẵn nên số trung vị là: M e  35  35  35 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 449 Câu 7: Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Hóa (thang điểm 20).Kết quả như sau: Điểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 Số trung bình cộng là A. x  15, 20 . B. x  15, 21 . C. x  15, 23 . D. x  15, 25 Lời giải Câu 8: Chọn C  9.1  10.1  11.3  12.5  13.8  14.13  15.19  16.24  17.14  18.10  19.2   15, 23 . x 100 Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Hóa (thang điểm 20).Kết quả như sau: Điểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 Số trung vị là: A. M e  15 . B. M e  15,50 . C. M e  16 . D. M e  16,5 Lời giải Chọn B 15  16  15,5 . 2 Bảng phân bố tần số- tần suất ghép lớp điểm thi của 32 học sinh trong kì thi Tiếng Anh (thang điểm 100) như sau: Ta thấy N=100 chăn nên số trung vị là: M e  Câu 9: Tần suất fi Đại diện ci ni ci ni ci2 13 45 180 8100 6 19 55 330 18150 60;70 10 31 65 650 42250 70;80 6 19 75 450 33750 80;90 4 13 85 340 28900 90;100 2 6 95 190 18050 N 32 100% 2140 149200 Lớp điểm Tần số ni  40;50 4 50;60 % Số điểm trung bình là: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 450 A. x  66,88 . B. x  68, 68 . C. x  88, 66 . D. x  68,88 Lời giải Chọn A 4.45  6.55  10.65  6.75  4.85  2.95  ni ci  2140  66,88 .  66,88 hoặc tính x  32 32 N Câu 10: Để được cấp chứng chỉ A – Anh văn của một trung tâm ngoại ngữ,học viên phải trải qua 6 lần kiểm tra trắc nghiệm,thang điểm mỗi lần kiểm tra là 100,và phải đạt điểm trung bình từ 70 điểm trở lên.Qua 5 lần thi Minh đạt điểm trung bình là 64,5 điểm.Hỏi trong lần kiểm tra cuối cùng Minh phải đạt ít nhất là bao nhiêu điểm để được cấp chứng chỉ? x A. 97,5. B. 92,5. C. 95,5. D. 97,8 Lời giải Chọn A Gọi x là số điểm trong lần kiểm tra cuối mà Minh cần đạt được để được cấp chứng chỉ.Ta có số điểm qua 5 lần thi của Minh là 64,5.5=322,5 suy ra: x  322,5  70  x  70.6  322,5  97,5 6 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 451 BÀI 4. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. PHƯƠNG SAI Để đo mức độ chênh lệch (độ phân tán) giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số trung bình ta dùng phương sai s 2 và độ lệch chuẩn s = s2 .  Với mẫu số liệu kích thước N là { x 1, x 2 ,…, x N } : 1 s = N 2 2 ö 1 N 2 1 æç N å (x i – x ) = N å x i – N 2 ççè å x i ÷÷÷÷ø i =1 i =1 i =1 2 2 = x – (x ) N 2  Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất: 1 s = N 2 1 å ni (x i – x ) = N i =1 k 2 k = å f (x i i 2 ö 1 æç k n x ç n x ÷÷÷ å 2 çå i i ÷ ø N è i =1 i =1 2 k æ k ö = å fi x i2 – ççç å fi x i ÷÷÷ è ø÷ k -x )2 i =1 2 i i i =1 i =1  Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: 1 s = N 2 1 å ni (ci – x ) = N i =1 k 2 k = å f (c i i 2 ö 1 æ k å n c – N 2 çççè å nici ÷÷÷÷ø i =1 i =1 2 k k æ ö = å fici2 – ççç å fici ÷÷÷ è i =1 ø÷ i =1 k -x )2 i =1 2 i i (ci, ni, fi là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ I; N là số các số liệu thống kê N = n1 + n2 + … + nk ) II. ĐỘ LỆCH CHUẨN Chú ý: Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng lớn. B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Nếu đơn vị của số liệu là kg thì đơn vị của phương sai là ? A. kg B. kg2 C. Không có đơn vị D. kg3 Lời giải Chọn B Theo định nghĩa phương sai:Giả sử ta có một mẫu số liệu kích thước N là {x1 ,.. x N } , Phương sai của mẫu số liệu này,kí hiệu là s2 ,được tính bởi công thức sau: s2 = 1 N 2 N å( x i – x ) . Do đó nếu đơn vị của mẫu là kg thì đơn vị của phương sai là kg2 i =1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 452 Câu 2: Cho bảng phân bố tần số ghép lớp: Mệnh đề đúng là: A .Giá trị trung tâm của lớp [50;53) là 52 B. Tần số của lớp [58;60) là 95 C. Tần số của lớp [52;54 ) là 35 D. Số 50 không phụ thuộc vào lớp [54;56) Lời giải Chọn D Câu 3: Dựa vào định nghĩa tần số và giá trị trung tâm ta loại A,B,C.Do đó ta chọn D Chọn đáp án đúng trong những đáp án sau: Độ lệch chuẩn là gì ? A. Bình phương của phương sai B. Một nửa của phương sai C. Căn bậc hai của phương sai D. Căn bậc ba của phương sai Lời giải Chọn C Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn Câu 4: Điều tra về một khối 10 ta có kết quả như sau: ? Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là ? A. 156,5 B. 157, 5 C. 157 D. 158 Lời giải Chọn C Ta gọi trung điểm của x 4 = Câu 5: 156 + 158 = 157 giá trị đại diện của nhóm thứ 4 2 Cho dãy số liệu thống kê 1, 2,3, 4, 5, 6,7, 8 Độ lệch chuẩn của dãy số liệu thống kê gần bằng ? A. 2.30 B. 3.30 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 4.30 D. 5.30 Trang 453 Lời giải Chọn A x= 1 (1.1 + 2.1 + 3.1 + 4.1 + 5.1 + 6.1 + 7.1 + 8.1) = 4, 5 8 s2 = 1é 1.(1 – 4, 5)2 + 1.(2 – 4, 5)2 +¼+ 1.(8 – 4, 5)2 ùûú = 5, 25 8 ëê  s = s2 » 2,30 Câu 6: Tỉ số giữa tần số và kích thước mẫu người ta gọi là ? A. Mốt B. Phương sai C. Tần suất D. Trung vị Lời giải Chọn C Câu 7: Tần số là tỉ số giữa tần số và kích thước mẫu Cho dãy số liệu thống kê 10,8, 6, 2, 4 Độ lệch chuẩn của mẫu là? A. 2.8 B. 8 C. 6 D. 2.4 Lời giải Chọn A 1 x = (10.1 + 8.1 + 6.1 + 2.1 + 4.1) = 6 5 s2 = 1é 1.(10 – 6) 2 + 1.(8 – 6) 2 + 1.(6 – 6) 2 + 1.(2 – 6)2 + 1.(4 – 6)2 ùûú = 8 5 ëê  s = s2 » 2,8 Câu 8: Cho bảng số liệu ghi lại điểm của 40 học sinh bài kiểm tra một tiết môn Toán Mốt của bảng số liệu trên là ? A. M 0 = 40 B. M 0 = 18 C. M 0 = 6 D. M 0 = 7 Lời giải Chọn C Câu 9: Mốt của dấu hiệu là gía trị có tần số lớn nhất 100 hoc sinh tham dự giải toán ( thang điểm là ). Kết quả được cho trong bảng sau: Trung bình cộng của bảng số liệu trên là ? A. 15 B. 15, 23 C. 15.5 D. 16 Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 454 x= 1 (9.1 + 10.1 + 11.3 + 12.5 +¼+ 19.2) = 15, 23 100 Câu 10: Điều tra về học sinh khối 10 ta có kết quả sau: Độ lệch chuẩn là ? A. 0.78 B. 1.28 C. 2.17 D. 1.73 Lời giải Chọn C x= 1 (5.151 + 18.153 + 40.155 + 26.157 + 8.159 + 3.161) = 155, 46 100 s2 = 1 6 2 å ni (ci – x ) » 4,71 100 i =1  s = s2 » 2,17 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 455 CHƯƠNG 6. CUNG LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯƠNG GIÁC BÀI 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẰM I – KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương. + A – Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B. Với hai điểm A , B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy D M O C  đều được kí hiệu là AB . 2. Góc lượng giác  Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CD Một điểm M chuyển động trên đường  tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác CD nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC , tia cuối là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC , OD ). 3. Đường tròn lượng giác Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1 . Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A (1;0 ), A ‘ (-1;0 ), B (0;1), B ‘ (0; -1). + Ta lấy A (1;0 ) làm điểm gốc của đường tròn đó. O Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A ). II – SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1. Độ và radian a) Đơn vị radian Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad. b) Quan hệ giữa độ và radian 10 = p rad 180 0 æ180 ö÷ ÷ . è p ÷ø và 1rad = ççç c) Độ dài của một cung tròn Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 456 Trên đường tròn bán kính R , cung nửa đường tròn có số đo là p rad và có độ dài là p R . Vậy cung có số đo a rad của đường tròn bán kính R có độ dài  = Ra. 2. Số đo của một cung lượng giác  Số đo của một cung lượng giác AM ( A ¹ M ) là một số thực âm hay dương.   Kí hiệu số đo của cung AM là sđ AM . Ghi nhớ Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2p. Ta viết  sđ A M = a + k 2p, k Î . trong đó a là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A , điểm cuối là M . 3. Số đo của một góc lượng giác  Số đo của góc lượng giác (OA , OC ) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng. Chú ý Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại. 4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Chọn điểm gốc A (1;0 ) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo a trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của  cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ AM = a. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng toán 1 : xác định các yếu tố liên quan đến cung và góc lượng giác. 1. Phương pháp Ngoài việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, công thức tính độ dài cung tròn khi biết số đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chúng ta cần lưu ý đến kết quả sau: Nếu một góc(cung) lượng giác có số đo a 0 (hay a rad ) thì mọi góc(cung) lượng giác cùng tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với nó có số đo dạng dạng a 0 + k 3600 (hay a + k 2p rad , k Î Z ), mỗi góc(cung) ứng với mỗi giá trị của k . Từ đó hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 720 , 6000 , – 37 0 45 ‘ 30 ” . b) Đổi số đo của các góc sau ra độ: 5p 3p , ,- 4 . 18 5 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 457 a) Vì 10 = p p 2p p 10p rad nên 720 = 72. = , 6000 = 600. = , 180 180 5 180 3 0 0 0 æ 45 ö æ 30 ö÷ æ 4531 ö÷ 4531 p . -37 45 ‘ 30 ” = -37 – çç ÷÷ – çç » 0, 6587 ÷ = çç ÷ = çè 60 ÷ø çè 60.60 ø÷ çè 120 ø÷ 120 180 0 0 0 0 0 æ 180 ö÷ 5p æç 5p 180 ö÷ 3p çæ 3p 180 ö÷ =ç . =ç . b) Vì 1 rad = çç ÷ = 50o , ÷ = 108o , ÷ nên ÷ ç çè 5 p ø÷ çè p ÷ø 18 5 è 18 p ø 0 0 æ 180 ö÷ æ 720 ö÷ -4 = – çç 4. ÷ = – çç ÷ » -22600 48 ‘ . çè p ÷ø çè p ÷ø Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính 36m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là a) 3p 4 b) 510 c) 1 3 Lời giải Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có l = Ra = a) Ta có l = Ra = 36. b) Ta có l = pa .R nên 180 3p = 27 p » 84, 8m 4 pa p51 51p .R = .36 = » 32, 04m 180 180 5 c) Ta có l = Ra = 36. 1 = 12m 3 Ví dụ 3: Cho hình vuông A0A1A2A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp theo chiều þ þ ( ngược chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo của các cung lượng giác A0Ai , AA i j i, j = 0,1, 2, 3, 4, i ¹ j ). A1 A0 Lời giải þ  = 0 Ta có AOA nên sđ A A = k 2p , k Î Z 0 0 0 0 O A2 A3 þ  p p = nên sđ A0A1 = + k 2p , k Î Z AOA 0 1 2 2 þ  AOA = p nên sđ A0A1 = p + k 2p , k Î Z 0 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 458 þ  p 3p p AOA = nên sđ A0A3 = 2p – + k 2p = + k 2p , k Î Z 0 3 2 2 2 þ Như vậy sđ A0Ai = ip + k 2p , i = 0,1, 2, 3 , k Î Z 2 þ þ þ Theo hệ thức salơ ta có sđ AA =sđ A0Aj – sđ A0Ai + k 2p = ( j – i ) . i j p + k 2p , k Î Z . 2 Ví dụ 4: Tìm số đo a của góc lượng giác (Ou,Ov ) với 0 £ a £ 2p , biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là: a) 33p 4 b) – 291983p 3 c) 30 Lời giải a) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo là Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £ - 33p + k 2p, k Î Z 4 33p 33 + k 2p £ 2p, k Î Z  0 £ + k 2 £ 2, k Î Z 4 4 33 25 £ k £ – , k Î Z  k = -4 8 8 Suy ra a = 33p p + ( -4 ) .2p = 4 4 b) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo là Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £ –  291983p + k 2p, k Î Z 3 291983p 291983 + k 2p £ 2p, k Î Z  0 £ + k 2 £ 2, k Î Z 3 3 291983 291989 £k £ ,k ÎZ k = 6 6 Suy ra a = – 291983p p + 48664.2p = 3 3 c) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo là 30 + k 2p, k Î Z Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £ 30 + k 2p £ 2p, k Î Z  0 £ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 15 + k £ 1, k Î Z p Trang 459 - 15 p – 15 £k £ , k Î Z  k = -4 p p Suy ra a = 30 + ( -4 ) .2p = 30 – 8p » 4, 867 . 29p 22 6p 41p p Vi dụ 5: Cho góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo – . Trong các số , ; – ; ; 7 7 7 7 7 những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho? Lời giải Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p do đó Vì – 29p çæ p ö÷ – ç – ÷÷ = ( -2 ) .2p , çè 7 ø 7 – 22 æç p ö÷ – ç – ÷ = -3 p , 7 çè 7 ÷ø 6p æç p ö÷ – ç – ÷÷ = p çè 7 ø 7 và 41p æç p ö÷ 29p 41p là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia ; – ç – ÷÷ = 3.2p nên các số çè 7 ø 7 7 7 cuối với góc đã cho. Ví dụ 6: Cho sđ (Ou, Ov ) = a và sđ (Ou ‘, Ov ‘ ) = b . Chứng minh rằng hai góc hình học uOv, u ‘Ov ‘ bằng nhau khi và chỉ khi hoặc b – a = k 2p hoặc b + a = k 2p với k Î Z . Lời giải Ta có sđ (Ou, Ov ) = a và sđ (Ou ‘, Ov ‘ ) = b suy ra tồn tại a0 , p < a0 £ p , f0 , p < b0 £ p và số nguyên k 0 , l 0 sao cho a = a 0 + k 0 2p, b = b0 + l 0 2p .   Khi đó a0 là số đo của uOv và b0 là số đo của u 'Ov ' . é a = b0 Hai góc hình học uOv, u 'Ov ' bằng nhau khi và chỉ khi a0 = b0  êê 0 êë a0 = -b0  b - a = k 2p hoặc b + a = k 2p với k Î Z . C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' đường tròn định hướng '' ? A. Mỗi đường tròn là một đường tròn định hướng. B. Mỗi đường tròn đã chọn một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng. C. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng. D. Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng. Lời giải Chọn D Dựa vào SGK cơ bản trang 134 ở dòng 2. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 460 Câu 2: Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là: A. Luôn cùng chiều quay kim đồng hồ. B. Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ. C. Có thể cùng chiều quay kim đồng hồ mà cũng có thể là ngược chiều quay kim đồng hồ. D. Không cùng chiều quay kim đồng hồ và cũng không ngược chiều quay kim đồng hồ. Lời giải Chọn B Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng 6, ta chọn B. Câu 3: Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác AB xác định: A. Một góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB . B. Hai góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB . C. Bốn góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB . D. Vô số góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB . Lời giải Chọn D Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng cuối, ta chọn D. Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' góc lượng giác '' ? A. Trên đường tròn tâm O bán kính R = 1 , góc hình học AOB là góc lượng giác. B. Trên đường tròn tâm O bán kính R = 1 , góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm cuối B là góc lượng giác. C. Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB là góc lượng giác. D. Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm cuối B là góc lượng giác. Lời giải Chọn D Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' đường tròn lượng giác '' ? A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác. B. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1 là một đường tròn lượng giác. C. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1 , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác. D. Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R = 1 , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác. Lời giải Chọn D Câu 4: Câu 5: Câu 6: Câu 7: þ Trên đường tròn cung có số đo 1 rad là? A. Cung có độ dài bằng 1. B. Cung tương 0 ứng với góc ở tâm 60 . C. Cung có độ dài bằng đường kính. D. Cung có độ dài bằng nửa đường kính. Lời giải Chọn D Cung có độ dài bằng bán kính (nửa đường kính) thì có số đó bằng 1 rad. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. p rad = 10. B. p rad = 600. C. p rad = 1800. D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 461 0 æ180 ö÷ p rad = çç . çè p ÷÷ø Lời giải Chọn C p rad tướng ứng với 1800 . Câu 8: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 1 rad = 10. B. 1 rad = 60 0. C. 1 rad = 1800. D. 0 æ180 ö÷ 1 rad = çç . çè p ø÷÷ Lời giải Chọn D Ta có p rad tướng ứng với 1800 . Suy ra 1 rad tương ứng với x 0 . Vậy x = Câu 9: 180.1 . p Nếu một cung tròn có số đo là a0 thì số đo radian của nó là: B. A. 180 pa. 180 p . a C. ap . 180 D. p . 180a D. 60 . ap D. 7 . 18p Lời giải Chọn C Áp dụng công thức a = a.p với a tính bằng radian, a tính bằng độ. 180 Câu 10: Nếu một cung tròn có số đo là 3a0 thì số đo radian của nó là: A. ap . 60 B. ap . 180 C. 180 . ap Lời giải Chọn A Áp dụng công thức a = a.p với a tính bằng radian, a tính bằng độ. 180 Trong trường hợp này là 3a ¾¾ a = 3a.p ap . = 180 60 Câu 11: Đổi số đo của góc 700 sang đơn vị radian. A. 70 . p B. 7 . 18 C. 7p . 18 Lời giải Chọn C Cách 1. Áp dụng công thức a = Ta có a = a.p 180 với a tính bằng radian, a tính bằng độ. a.p 70 p 7 p . = = 180 180 18 Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm shift mode 4 để chuyển về chế độ rad. Bước 2. Bấm 70 shift DRG 1 = Câu 12: Đổi số đo của góc 1080 sang đơn vị radian. A. 3p . 5 B. p . 10 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 3p . 2 D. p . 4 Trang 462 Lời giải Câu 13: Chọn A Tương tự như câu trên. Đổi số đo của góc 450 32 ' sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần nghìn. A. 0,7947. B. 0,7948. C. 0,795. D. 0,794. Lời giải Chọn C Áp dụng công thức a = a.p 180 với a tính bằng radian, a tính bằng độ. æ è Trước tiên ta đổi 450 32 ' = ççç45 + 0 32 ö÷ ÷ 60 ø÷ . æ ö çç45 + 32 ÷÷.p çè 60 ø÷ Áp dụng công thức, ta được a = = 0,7947065861. 180 Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm shift mode 4 để chuyển về chế độ rad. Bước 2. Bấm 450320  shift DRG 1 = Câu 14: Đổi số đo của góc 400 25' sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần trăm. A. 0,705. B. 0,70. C. 0,7054. D. 0,71. Lời giải Chọn D Cách 1. Áp dụng công thức a = æ è Trước tiên ta đổi 40 0 25' = ççç40 + a.p 180 với a tính bằng radian, a tính bằng độ. 0 25 ö÷ ÷ 60 ø÷ . æ ö çç40 + 25 ÷÷.p çè 97p 60 ø÷ = = 0,705403906. Áp dụng công thức, ta được a = 180 432 Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm shift mode 4 để chuyển về chế độ rad. Bước 2. Bấm 400 250  shift DRG 1 = Câu 15: Đổi số đo của góc -1250 45¢ sang đơn vị radian. A. - 503p . 720 B. 503p . 720 C. 251p . 360 D. - 251p . 360 Lời giải Chọn A Tương tự như câu trên. Câu 16: Đổi số đo của góc A. 150. p rad sang đơn vị độ, phút, giây. 12 B. 100. C. 6 0. D. 50. Lời giải Chọn A 0 Cách 1. Từ công thức a = æ a.180 ö÷ a.p ¾¾  a = çç çè p ÷ø÷ 180 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 với a tính bằng radian, a tính bằng độ. Trang 463 0 0 æ a.180 ö æp ö ç .180 ÷÷ ÷÷ ççç 12 ÷ = 150 . =ç è p ø÷ ÷÷ Ta có a = ççç è p ø÷ Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây. Bước 2. Bấm (shift  12 ) shift DRG 2 = Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ. Câu 17: Đổi số đo của góc - 3p rad 16 A. 330 45'. sang đơn vị độ, phút, giây. B. -290 30 '. Lời giải C. -330 45'. D. -320 55. Chọn C 0 0 æ a.180 ö æ 3p ö çç - .180 ÷÷ 0 ÷÷ æ 135 ö÷ çç 16 ÷÷ = çç=ç = -330 45'. ÷ çè 4 ÷ø è ø p ÷÷ Ta có a = ççç è p ÷ø Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây. Bước 2. Bấm (shift 3 16 ) shift DRG 2 = Câu 18: Đổi số đo của góc -5 rad sang đơn vị độ, phút, giây. A. -286 0 44 ' 28''. B. -286 0 28 ' 44 ''. C. -2860. Lời giải Chọn B 0 æ a.180 ö D. 286 0 28 ' 44 ''. 0 æ -5.180 ö ÷÷ = çç ÷ = -286 0 28 ' 44 ''. Cách 1. Ta có a = ççç çè p ø÷÷ è p ø÷ Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây. Bước 2. Bấm 5 shift DRG 2 = Câu 19: Đổi số đo của góc A. 420 97 ¢18¢¢. 3 rad sang đơn vị độ, phút, giây. 4 B. 420 58¢. C. 420 97 ¢. D. 420 58¢18¢¢. Lời giải Chọn D Tương tự như câu trên. Câu 20: Đổi số đo của góc -2 rad sang đơn vị độ, phút, giây. A. -114 0 59 ¢15¢¢. B. -114 0 35¢. Lời giải C. -114 0 35¢29 ¢¢. D. -114 0 59 ¢. Chọn C Tương tự như câu trên. Câu 21: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Số đo của cung tròn tỉ lệ với độ dài cung đó. B. Độ dài của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó. C. Số đo của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó. D. Độ dài của cung tròn tỉ lệ nghịch với số đo của cung đó. Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 464 Từ công thức  = Ra ¾¾   và a tỷ lệ nhau. Câu 22: Tính độ dài  của cung trên đường tròn có bán kính bằng 20cm và số đo A.  = 3, 93cm. B.  = 2, 94cm. Lời giải C.  = 3, 39cm. p . 16 D.  = 1, 49cm. Chọn A Áp dụng công thức  = R a = 20. p » 3, 93cm. 16 Câu 23: Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo 1,5 và bán kính bằng 20 cm . A. 30 cm . B. 40 cm . C. 20 cm . D. 60 cm . Lời giải Chọn A Ta có  = a R = 1, 5.20 = 30 cm. Câu 24: Một đường tròn có đường kính bằng 20 cm . Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo 350 (lấy 2 chữ số thập phân). A. 6, 01cm . B. 6,11cm . C. 6, 21cm . D. 6, 31cm . Lời giải Chọn B Cung có số đo 350 thì có số đó radian là a = Bán kính đường tròn R = Suy ra  = a R = 20 = 10 cm. 2 7p .10 » 6,11 cm. 36 Câu 25: Tính số đo cung có độ dài của cung bằng A. 1,5rad . ap 35p 7 p . = = 180 180 36 40 cm 3 B. 0, 67rad . Lời giải trên đường tròn có bán kính 20 cm . C. 800 . D. 880 . Chọn B 40  2 Ta có  = a R  a = = 3 = » 0, 67 rad. R 20 3 Câu 26: Một cung tròn có độ dài bằng 2 lần bán kính. Số đo radian của cung tròn đó là A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B  = aR  a =  2R = = 2 rad. R R Câu 27: Trên đường tròn bán kính R , cung tròn có độ dài bằng đo (tính bằng radian) là: A. p / 2 . B. p / 3 . 1 độ dài nửa đường tròn thì có số 6 C. p / 4 . D. p / 6 . Lời giải Chọn D 1 pR  p = . Ta có  = a R  a = = 6 R R 6 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 465 Câu 28: Một cung có độ dài 10 cm , có số đo bằng radian là 2,5 thì đường tròn của cung đó có bán kính là: A. 2, 5cm . B. 3, 5cm . C. 4cm . D. 4, 5cm . Lời giải Chọn C. Ta có l = R a  R = 10 l = =4. a 2, 5 Câu 29: Bánh xe đạp của người đi xe đạp quay được 2 vòng trong 5 giây. Hỏi trong 2 giây, bánh xe quay được 1 góc bao nhiêu? A. 8 p. 5 B. 5 p. 8 C. 3 p. 5 D. 5 p. 3 Lời giải Chọn A. Trong 2 giây bánh xe đạp quay được 2.2 4 = 5 5 vòng tức là quay được cung có độ dài là 4 8 l = .2p R = p R . 5 5 8 pR l 8 Ta có l = R a  a = = 5 = p. R R 5 Câu 30: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là: A. 300. B. 400. C. 500. D. 600. Lời giải Chọn C. 72 răng có chiều dài là 2p R nên 10 răng có chiều dài l = 10.2 p R 5p = R 72 18 . 5 5 180. p pR 180 a l 5 18 = 50 0 . = = p mà a = Theo công thức l = R a  a = = 18 R R 18 p p Cách khác: 72 răng tương ứng với 360 0 nên 10 răng tương ứng với 10.360 = 50 0 . 72 Câu 31: Cho góc lượng giác (Ox , Oy ) = 22 0 30 '+ k 360 0. Với giá trị k bằng bao nhiêu thì góc (Ox , Oy ) = 1822 0 30 ' ? A. k Î Æ. B. k = 3. C. k = –5. D. k = 5. Lời giải Chọn D.  22 0 30 '+ k.360 0 = 1822 0 30 ' ¾¾  k = 5. Theo đề (Ox , Oy ) = 1822 0 30 ' ¾¾ p 2 Câu 32: Cho góc lượng giác a = + k 2p . Tìm k để 10 p < a < 11p. A. k = 4. B. k = 5. C. k = 6. D. k = 7. Lời giải Chọn B. Ta có 10p < a < 11p ¾¾  19p 21p < k 2p < ¾¾  k = 5. 2 2 Câu 33: Một chiếc đồng hồ, có kim chỉ giờ OG chỉ số 9 và kim phút OP chỉ số 12 . Số đo của góc lượng giác (OG , OP ) là Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 466 A. p + k 2 p, k Î  . 2 B. - 270 0 + k 360 0 , k Î . C. 270 0 + k 360 0 , k Î  . D. 9p + k 2 p, k Î  . 10 Lời giải Chọn A. Góc lượng giác (OG, OP ) chiếm 1 1 đường tròn. Số đo là .2 p + k 2 p , k Î  . 4 4 Câu 34: Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 450 . Gọi N là điểm đối xứng với M qua trục Ox , số đo cung lượng giác AN bằng A. - 450 . B. 3150 . C. 450 hoặc 3150 . D. - 450 + k 360 0 , k Î  . Lời giải Chọn D.  = 450 , N là điểm đối xứng với M qua trục Ox Vì số đo cung AM bằng 450 nên AOM  = 450 . Do đó số đo cung AN bằng 45o nên số đo cung lượng giác AN có số đo nên AON là - 45o + k 360 o , k Î  . Câu 35: Trên đường tròn với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 60 0 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy , số đo cung AN là: A. 120 o . B. - 240 0 . C. - 120 0 hoặc 240 0 . D. 120 0 + k 360 0 , k Î  . Lời giải Chọn A.   = 60 0 Ta có AOM = 60 0 , MON  = 120 0 . Khi đó số đo cung AN bằng 1200 . Nên AON Câu 36: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 750 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ O , số đo cung lượng giác AN bằng: A. 2550 . B. - 1050 . C. - 1050 hoặc 2550 . D. - 1050 + k 360 0 , k Î  . Lời giải Chọn D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 467  = 750 , MON  = 180 0 Ta có AOM Nên cung lượng giác AN có số đo bằng -1050 + k 360 0 , k Î  . Câu 37: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): a = - 5p p , b= 6 3 Các cung nào có điểm cuối trùng nhau? A. a và b ; g và d . B. b và g ; a và d . C. a, b, g . D. b, g, d . , g= 25p 19p , d= 3 6 . Lời giải Chọn B. Cách 1. Ta có d - a = 4 p  hai cung a và d có điểm cuối trùng nhau. Và g - b = 8p  hai cung b và g có điểm cuối trùng nhau. Cách 2. Gọi A, B, C, D là điểm cuối của các cung a, b, g, d Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có B º C, A º D. Câu 38: Các cặp góc lượng giác sau ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối. Hãy nêu kết quả SAI trong các kết quả sau đây: A. p 3 và - 35p 3 . B. p 10 và 152 p 5 . C. - p 3 và 155p 3 . D. p 7 và 281p 7 . Lời giải Chọn B. Cặp góc lượng giác a và b ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối. a-b . 2p p 152 p 5 = - 303 Ï  . Dễ thấy, ở đáp án B vì k = 10 2p 20 Khi đó a = b + k 2 p , k Î  hay k = Câu 39: Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành tam giác đều? A. k 2p 3 . B. k p . C. kp . 2 D. kp 3 . Lời giải Chọn A. Tam giác đều có góc ở đỉnh là 60 o nên góc ở tâm là 120o tương ứng k 2p 3 . Câu 40: Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành hình vuông? A. kp . 2 B. k p . C. k 2p 3 . D. kp 3 . Lời giải Chọn A. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 468  là 45o nên góc ở tâm là 90 o tương ứng kp . Hình vuông CDEF có góc DCE 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 469 BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC MỘT CUNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG a 1. Định nghĩa    Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ A M (còn viết A M ) · Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin của a và kí hiệu là sin a. sin a = OK . · Hoành độ x = OH của điểm M gọi là côsin của a y B M K A x A' và kí hiệu là cos a. O H cos a = OH . · sin a Nếu cos a ¹ 0, tỉ số gọi là tang của cos a tan a = · a B' và kí hiệu là tan a (người ta còn dùng kí hiệu tg a ) sin a . cos a cos a Nếu sin a ¹ 0, tỉ số gọi là côtang của sin a ) cot a = a và kí hiệu là cot a (người ta còn dùng kí hiệu cotg a cos a . sin a Các giá trị sin a, cos a, tan a, cot a được gọi là các giá trị lượng giác của cung a. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin 2. Hệ quả 1) sin a và cos a xác định với mọi a Î . Hơn nữa, ta có sin (a + k 2p ) = sin a, "k Î ; cos (a + k 2p ) = cos a, "k Î . 2) Vì -1 £ OK £ 1; - 1 £ OH £ 1 nên ta có -1 £ sin a £ 1 -1 £ cos a £ 1. 3) Với mọi m Î  mà -1 £ m £1 đều tồn tại a và b sao cho sin a = m và cos b = m. 4) tan a xác định với mọi a ¹ p + k p (k Î  ). 2 5) cot a xác định với mọi a ¹ k p (k Î  ). 6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc đường tròn lượng giác. a  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM = a trên Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 470 Góc phần tư I II III IV cos a + - - + sin a + + - - tan a + - + - cot a + - + - Giá trị lượng giác 3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt a 0 p 6 p 4 p 3 p 2 sin a 0 1 2 2 2 3 2 1 cos a 1 3 2 2 2 1 2 0 tan a 0 cot a Không xác định 1 3 3 1 1 3 1 3 Không xác định 0 II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG 1. Ý nghĩa hình học của tan a Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A . Gọi T là giao điểm của OM với trục t ' At.  tan a được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT trên trục t 'At. Trục t 'At được gọi là trục tang. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 471 y t M A x O T t' 2. Ý nghĩa hình học của cot a Từ B vẽ tiếp tuyến s 'Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại B . Gọi S là giao điểm của OM với trục s 'Bs  cot a được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ BS trên trục s 'Bs Trục s 'Bs được gọi là trục côtang. y s' S s B M x O III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 1. Công thức lượng giác cơ bản Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau sin 2 a + cos2 a = 1 1 + tan 2 a = 1 p , a ¹ + k p, k Î  2 cos a 2 1 + cot 2 a = 1 , a ¹ kp, k Î  sin 2 a tan a.cot a = 1, a ¹ kp , k Î 2 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 1) Cung đối nhau: a và -a cos (-a ) = cos a sin (-a ) = - sin a tan (-a ) = - tan a cot (-a ) = - cot a 2) Cung bù nhau: a và p-a Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 472 sin (p - a ) = sin a cos (p - a ) = - cos a tan (p - a ) = - tan a cot (p - a ) = - cot a 3) Cung hơn kém p : a và (a + p ) sin (a + p ) = - sin a cos (a + p ) = - cos a tan (a + p ) = tan a cot (a + p ) = cot a 4) Cung phụ nhau: a æp ö và ççç - a÷÷÷ è2 ø æp ö sin çç - a÷÷÷ = cos a çè 2 ø æp ö cos çç - a÷÷÷ = sin a çè 2 ø æp ö tan çç - a÷÷÷ = cot a çè 2 ø æp ö cot çç - a÷÷÷ = tan a çè 2 ø B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng toán 1: biểu diễn góc và cung lượng giác. 1. Phương pháp giải. Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau  Góc a và góc a + k 2p, k Î Z có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.  k 2p ( với k là số m nguyên và m là số nguyên dương) là m. Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng a + lượt cho k từ 0 tới ( m - 1) rồi biểu diễn các góc đó. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau: a) p 4 b) - 11p 2 c) 1200 d) -7650 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 473 p 1 a) Ta có 4 = . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau. 2p 8 Khi đó điểm M 1 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo b) Ta có - - y B M2 p . 4 13p p = - + ( -3 ) .2p do đó điểm biểu diễn bởi góc 2 2 A' p 11p trùng với góc - và là điểm B ' . 2 2 M1 A O x M3 B' 120 1 c) Ta có = . Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau. 360 3 Khi đó điểm M 2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 1200 . d) Ta có -7650 = -450 + ( -2 ) .3600 do đó điểm biểu diễn bởi góc -7650 trùng với góc -450 . 45 1 = . Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm ) 360 8  Khi đó điểm M 3 (điểm chính giữa cung nhỏ AB ' ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo -7650 . Ví dụ 2 : Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là số nguyên tùy ý). x2 = x 1 = kp ; p + kp ; 3 x3 = - p + kp 3 Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào? Lời giải  Ta có x 1 = k 2p do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x 1 = k p 2 Với k = 0  x 1 = 0 được biểu diễn bởi điêm A k = 1  x 1 = p được biểu diễn bởi A '  x2 = p 2k p do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có + 3 2 số đo dạng x 2 = p + kp 3 y p k = 0  x 2 = được biểu diễn bởi M 1 3 k =1x = 4p được biểu diễn bởi M 2 3 B M4 A' M1 A O Trang 474 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 M2 B' M3 x  x3 = - p k 2p p do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x 3 = - + k p + 3 3 2 k = 0  x3 = k = 1  x6 =  p được biểu diễn bởi M 3 3 2p được biểu diễn bởi M 4 . 3 Do các góc lượng giác x 1, x 2 , x 3 được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều AM 1M 4A ' M 2M 3 nên các góc lượng giác đó có thể viết dưới dạng một công thức duy nhất là x = kp . 3 Dạng toán 2 : xác định giá trị của biểu thức chứa góc đặc biệt, góc liên quan đặc biệt và dấu của giá trị lượng giác của góc lượng giác. 1. Phương pháp giải.  Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác  Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt  Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt  Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = sin b) B = 7p 5p 7p + cos 9p + tan(- ) + cot 6 4 2 1 2 sin 2550 cos(-188) + tan 368 2 cos 638 + cos 98 c) C = sin2 25 + sin2 45 + sin2 60 + sin2 65 d) D = tan2 p 3p 5p . tan . tan 8 8 8 Lời giải æ æ æp ö pö pö a) Ta có A = sin çç p + ÷÷÷ + cos ( p + 4.2p ) - tan çç p + ÷÷÷ + cot çç + 3p ÷÷÷ çè 2 6ø 4ø èç èç ø  A = - sin p p p 1 5 + cos p - tan + cot = - - 1 - 1 + 0 = 6 4 2 2 2 b) Ta có B = 2 sin ( 300 + 7.360 ) cos(8 0 + 180) 1 + tan ( 8 0 + 360 ) 2 cos ( -900 + 8 0 + 2.360 ) + cos ( 900 + 8 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 475 1 2. ( - cos 8 0 ) 2 sin 300 ( - cos 8 0 ) 1 1 2 B = + = + = tan 8 0 2 cos ( 8 0 - 900 ) - sin 8 0 tan 8 0 2 cos ( 900 - 80 ) - sin 8 0 1 cos 8 0 1 cos 8 0 = = =0 tan 8 0 2 sin 8 0 - sin 8 0 tan 8 0 sin 8 0 c) Vì 250 + 650 = 900  sin 650 = cos 250 do đó 2 0 C = ( sin 25 + cos 25 ) 2 2 Suy ra C = 2 æ 2 ö÷ æ 1 ö÷ ç ç ÷ +ç ÷ + sin 45 + sin 60 = 1 + çç çè 2 ÷ø çè 2 ø÷÷ 2 2 7 . 4 æ æ pö p 3p ö é 5p ù d) D = - çç tan . tan ÷÷ . ê tan çç - ÷÷ tan ú ÷ ÷ çè ç 8 8 ø êë 8 úû è 8ø Mà æ pö 3p 5p p 3p p p 5p p p + = ,- + =  tan = cot , tan = cot çç - ÷÷÷ çè 8 ø 8 8 2 8 8 2 8 8 8 æ æ p ö æ p öù p pö é Nên D = - çç tan .cot ÷÷ . ê tan çç - ÷÷ cot çç - ÷÷ ú = -1 . ÷ çè çè 8 ÷ø çè 8 ÷ø úû 8 8 ø êë Ví dụ 2: Cho p < a < p . Xác định dấu của các biểu thức sau: 2 æp ö a) sin çç + a ÷÷÷ çè 2 ø æ 3p ö b) tan çç - a ÷÷÷ çè 2 ø æ p ö c) cos çç - + a ÷÷ . tan ( p - a ) ÷ø çè 2 d) sin 14p .cot ( p + a ) 9 Lời giải a) Ta có æp ö p p 3p suy ra sin çç + a ÷÷ < 0 -a > -p  0 > – a > – suy ra tan çç – a ÷÷÷ < 0 çè 2 2 2 2 ø æ p ö p p p < a < p  0 < - + a < suy ra cos çç - + a ÷÷ > 0 ÷ø çè 2 2 2 2 Và 0 < p - a < p suy ra tan ( p + a ) > 0 2 æ p ö Vậy cos çç – + a ÷÷÷ . tan ( p + a ) > 0 . çè 2 ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 476 d) Ta có 3p 14p 14p < < 2p  sin < 0. 2 9 9 3p p 0 . 9 Dạng toán 3 : chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x , đơn giản biểu thức. 1. Phương pháp giải. Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng tính chất của giá trị lượng giác để biến đổi + Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác. + Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) cos4 x + 2 sin2 x = 1 + sin4 x b) sin x + cos x = cot3 x + cot2 x + cot x + 1 3 sin x c) cot2 x – cot2 y cos2 x – cos2 y = cot2 x .cot2 y cos2 x .cos2 y d) æ æp ö pö sin 4 x + 4 cos2 x + cos 4 x + 4 sin2 x = 3 tan çç x + ÷÷ tan çç – x ÷÷÷ çè çè 6 3 ÷ø ø Lời giải 2 a) Đẳng thức tương đương với cos4 x = 1 – 2 sin2 x + ( sin2 x ) 2  cos 4 x = ( 1 – sin2 x ) (*) Mà sin2 x + cos2 x = 1  cos2 x = 1 – sin2 x 2 Do đó (*)  cos4 x = ( cos2 x ) (đúng) ĐPCM. b) Ta có VT = sin x + cos x 1 cos x = + 3 2 sin x sin x sin 3 x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 477 Mà cot2 x + 1 = 1 sin x và tan x = nên 2 cos x sin x VT = cot2 x + 1 + cot x ( cot2 x + 1 ) = cot3 x + cot2 x + cot x + 1 = VP ĐPCM. c) Ta có VT = cot2 x – cot2 y 1 1 = = tan2 y – tan2 x 2 2 2 2 cot x .cot y cot y cot x æ 1 ö æ 1 ö 1 1 cos2 x – cos2 y = çç 2 – 1 ÷÷÷ – çç 2 – 1 ÷÷÷ = = = VP ĐPCM. èç cos y ø çè cos x ø cos2 y cos2 x cos2 x .cos2 y d) VT = = sin 4 x + 4 ( 1 – sin2 x ) + cos4 x + 4 ( 1 – cos2 x ) 2 ( sin2 x ) – 4 sin2 x + 4 + 2 ( cos2 x ) – 4 cos2 x + 4 = 2 ( sin2 x – 2 ) + 2 ( cos2 x – 2 ) = ( 2 – sin2 x ) + ( 2 – cos2 x ) = 4 – ( sin2 x + cos2 x ) = 3 æ ö p æp ö æ pö æp pö Mặt khác vì çç x + ÷÷ + çç – x ÷÷÷ =  tan çç – x ÷÷÷ = cot çç x + ÷÷ nên çè çè 6 çè 3 ÷ø çè 6 3 ÷ø ø 2 ø æ pö æ pö VP = 3 tan çç x + ÷÷÷ cot çç x + ÷÷÷ = 3  VT = VP ĐPCM. 3 ø èç 3ø èç Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng B B cos3 2 2 = tan A.cot(B + C ) æ A + 2B + C ö÷ æ A + 2B + C ÷ö ç ç cos ç ÷÷ sin ç ÷÷ 2 2 èç ø èç ø sin 3 Lời giải Vì A + B + C = p nên B B cos 3 2 2 = – æç sin2 B + cos2 B ö÷÷ = -1 VT = = çç æ p B ö÷ æ p B ö÷ B B 2 2 ÷ø è ç ç cos ç + ÷ sin ç + ÷ – sin cos çè 2 çè 2 2 ÷ø 2 ÷ø 2 2 sin 3 B 2 cos 3 B 2 sin 3 VP = tan A.cot ( p – A ) = tan A.( – cot A ) = -1 Suy ra VT = VP . ĐPCM Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) æ 3p ö æ 3p ö a) A = cos(5p – x ) – sin çç + x ÷÷÷ + tan çç – x ÷÷÷ + cot(3p – x ) è 2 ø è 2 ø b) B = sin(900 + x ) – cos(450 – x ) + cot(1080 – x ) + tan(630 – x ) cos(450 – x ) + sin(x – 630) – tan(810 + x ) – tan(810 – x ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 478 c) C = 2- 1 1 1 với p < x < 2p . + sin ( x + 2013p ) 1 + cos x 1 - cos x Lời giải a) Ta có cos(5p - x ) = cos ( p - x + 2.2p ) = cos ( p - x ) = - cos x æ 3p ö æ ö æp ö p sin çç + x ÷÷÷ = sin çç p + + x ÷÷÷ = - sin çç + x ÷÷÷ = - cos x è 2 ø è ø è2 ø 2 æ 3p ö æ ö æp ö p tan çç - x ÷÷÷ = tan çç p + - x ÷÷÷ = tan çç - x ÷÷÷ = cot x è 2 ø è ø è ø 2 2 cot(3p - x ) = cot ( -x ) = - cot x Suy ra A = - cos x - ( - cos x ) + cot x + ( - cot x ) = 0 b) Ta có sin(900 + x ) = sin ( 1800 + 2.3600 + x ) = sin ( 1800 + x ) = - sin x cos ( 4500 - x ) = cos ( 900 + 3600 - x ) = cos ( 900 - x ) = sin x cot(1080 - x ) = cot(3.360 - x ) = cot ( -x ) = - cot x tan(630 - x ) = tan(3.180 + 900 - x ) = tan(900 - x ) = cot x sin(x - 630) = sin ( x - 2.3600 + 900 ) = sin ( x + 900 ) = cos x tan(810 + x ) = tan(4.180 + 900 + x ) = tan(900 + x ) = - cot x tan(810 - x ) = tan(4.180 + 900 - x ) = tan(90 - x ) = cot x Vậy B = - sin x - sin x - cot x + cot x -2 sin x = sin x + cos x - ( - cot x ) - cot x sin x + cos x c) Ta có sin ( x + 2013p ) = sin ( x + p + 1006.2p ) = sin ( x + p ) = - sin x nên C = 2+ = 1 1 - cos x + 1 + cos x . sin x ( 1 - cos x )( 1 + cos x ) 2+ 1 2 1 2 . = 2+ . = 2 sin x 1 - cos x sin x sin2 x æ 1 2 ççç 1 + sin x sin x èç ö÷ ÷÷÷ ø Vì p < x < 2p  sin x < 0 nên C = æ 1 ö÷ 2 çç 1 ÷ = - 2 cot2 x çè sin2 x ÷ø Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 479 a) A = sin 6 x + cos6 x + 2 sin 4 x + cos4 x + 1 b) B = 1 + cot x 2 + 2 cot2 x 1 - cot x ( tan x - 1 ) ( tan2 x + 1 ) c) C = sin 4 x + 6 cos2 x + 3 cos 4 x + cos4 x + 6 sin2 x + 3 sin 4 x Lời giải 2 a) Ta có Ta có sin 4 a + cos 4 a = ( sin2 a + cos2 a ) - 2 sin 2 a cos2 a = 1 - 2 sin2 a cos2 a 3 3 sin 6 a + cos6 a = ( sin2 a ) + ( cos2 a ) = ( sin2 a + cos2 a )( sin 4 a + cos 4 a - sin2 a cos2 a ) = sin4 a + cos4 a - sin2 a cos2 a = 1 - 2 sin2 a cos2 a - sin2 a cos2 a = 1 - 3 sin2 a cos2 a Do đó A = 3 ( 1 - sin2 a cos2 a ) 1 - 3 sin2 a cos2 a + 2 3 = = 2 2 2 2 2 1 - 2 sin a cos a + 1 2 ( 1 - sin a cos a ) Vậy A không phụ thuộc vào x . 2 cos2 x 1 2+ tan x sin2 x b) Ta có B = 1 1 1( tan x - 1 ) 2 tan x sin x 1+ = 2 2 tan x + 1 2 ( sin x + cos x ) tan x + 1 - 2 = =1 tan x - 1 tan x - 1 tan x - 1 Vậy B không phụ thuộc vào x . c) C = 2 ( 1 - cos2 x ) + 6 cos2 x + 3 cos 4 x + = 4 cos4 x + 4 cos2 x + 1 + 4 sin 4 x + 4 sin2 x + 1 = ( 2 cos2 x + 1 ) 2 + 2 ( 1 - sin2 x ) + 6 sin2 x + 3 sin 4 x 2 ( 2 sin2 x + 1 ) = 2 cos2 x + 1 + 2 sin2 x + 1 =3 Vậy C không phụ thuộc vào x . Dạng toán 4 : tính giá trị của một biểu thức lượng giác khi biết một giá trị lượng giác. 1. Phương pháp giải.  Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 480  Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại sô. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc a biết: a) sin a = 1 và 900 < a < 1800 . 3 b) cos a = - c) tan a = -2 2 và 0 < a < p 2 3p và p < a < . 2 3 d) cot a = - 2 và p 3p 0 và tan a = -2 2 < 0 nên cos a < 0 Vì vậy cos a = Ta có tan a = 1 3 æ 1ö 2 2 sin a  sin a = tan a.cos a = -2 2. çç - ÷÷÷ = . cos a 3 èç 3 ø d) Vì cot a = - 2 nên tan a = 1 1 =. cot a 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 481 Ta có cot2 a + 1 = Do 1 1 1 1 1  sin2 a = = =  sin a =  2 2 2 3 sin a cot a + 1 3 - 2 +1 ( ) p 3p 0 2 2 3 . 3 Do đó sin a = Ta có cot a = cos a 3 6  cos a = cot a.sin a = – 2. =sin a 3 3 Ví dụ 2: a) Tính giá trị lượng giác còn lại của góc a biết sin a = b) Cho 3 sin 4 a – cos4 a = 1 và tan a + cot a < 0 5 1 . Tính A = 2 sin 4 a - cos 4 a . 2 Lời giải a) Ta có cot2 a + 1 = 1 1 = = 25  cot2 a = 24 hay cot a = 2 6 2 2 sin a æ 1 ö÷ çç ÷ çè 5 ø÷ Vì tan a , cot a cùng dấu và tan a + cot a < 0 nên tan a < 0, cot a < 0 Do đó cot a = -2 6 . Ta lại có tan a = cot a = 1 1 =. cot a 2 6 cos a 1 -2 6  cos a = cot a sin a = -2 6. = sin a 5 5 b) Ta có 3 sin 4 a - cos4 a = 2 1 1  3 sin 4 a - ( 1 - sin2 a ) = 2 2  6 sin 4 a - 2 ( 1 - 2 sin2 a + sin 4 a ) = 1  4 sin 4 a + 4 sin2 a - 3 = 0  ( 2 sin2 a - 1 )( 2 sin2 a + 3 ) = 0  2 sin2 a - 1 = 0 (Do 2 sin2 a + 3 > 0 ) Suy ra sin2 a = 1 . 2 Ta lại có cos2 a = 1 – sin2 a = 1 2 1 1 = 2 2 2 æ1ö æ1ö 1 Suy ra A = 2 çç ÷÷ – çç ÷÷ = çè 2 ÷ø çè 2 ø÷ 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 482 Ví dụ 3: a) Cho cos a = 2 tan a + 3 cot a . Tính A = . tan a + cot a 3 b) Cho tan a = 3 . Tính B = c) Cho cot a = sin a – cos a sin a + 3 cos3 a + 2 sin a 3 5 . Tính C = sin2 a – sin a cos a + cos2 a Lời giải 1 1 +2 2 tan a = tan a + 3 = cos2 a a) Ta có A = = 1 + 2 cos2 a 2 1 1 tan a + 1 tan a + tan a cos2 a tan a + 3 Suy ra A = 1 + 2. 4 17 = 9 9 sin a cos a tan a ( tan2 a + 1 ) – ( tan2 a + 1 ) 3 cos a cos3 a b) B = = sin 3 a 3 cos 3 a 2 sin a tan 3 a + 3 + 2 tan a ( tan2 a + 1 ) + + cos3 a cos3 a cos 3 a Suy ra B = 3 ( 9 + 1) – ( 9 + 1) 27 + 3 + 2.3 ( 9 + 1 ) c) Ta có C = sin2 a. = = 2 9 2 æ ö sin2 a – sin a cos a + cos2 a 2 çç 1 – cos a + cos a ÷÷ sin = a çè sin a sin2 a sin2 a ÷ø 1 1 ( 1 – cot a + cot2 a ) = 2 1 + cot a 1+ 5 ( ) 2 (1 – ) 5+5 = 6- 5 6 Ví dụ 4: Biết sin x + cos x = m a) Tìm sin x cos x và sin 4 x – cos4 x b) Chứng minh rằng m £ 2 Lời giải 2 a) Ta có ( sin x + cos x ) = sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x = 1 + 2 sin x cos x (*) Mặt khác sin x + cos x = m nên m 2 = 1 + 2 sin a cos a hay sin a cos a = m2 – 1 2 Đặt A = sin 4 x – cos4 x . Ta có A= ( sin2 x + cos2 x )( sin2 x – cos2 x ) = ( sin x + cos x )( sin x – cos x ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 483 2 2  A2 = ( sin x + cos x ) ( sin x – cos x ) = ( 1 + 2 sin x cos x )( 1 – 2 sin x cos x ) æ m 2 – 1 öæ m 2 – 1 ö÷ 3 + 2m 2 – m 4  A2 = çç 1 + ÷÷÷ çç 1 ÷= 2 øèç 2 ÷ø 4 èç 3 + 2m 2 – m 4 2 Vậy A = b) Ta có 2 sin x cos x £ sin2 x + cos2 x = 1 kết hợp với (*) suy ra 2 ( sin x + cos x ) Vậy m £ £ 2  sin x + cos x £ 2 2 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho a thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây. B. cos a < 0. A. sin a > 0. C. tan a < 0. D. cot a < 0. Lời giải a thuộc góc phần tư thứ nhất Câu 2: ìsin a > 0 ï ï ï ïcos a > 0  íï ¾¾  ï tan a > 0 ï ï ï ïcot a > 0 ï î Chọn A. Cho a thuộc góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây. B. sin a < 0; cos a < 0. C. sin a > 0; cos a < 0. A. sin a > 0; cos a > 0. D. sin a < 0; cos a > 0. Lời giải a ì ïsin a > 0 ¾¾  ï îcos a < 0 thuộc góc phần tư thứ hai  ïí ï Câu 3: Cho sai ? a Chọn C. thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là A. sin a > 0. B. cos a < 0. C. tan a > 0. D. cot a > 0. Lời giải a thuộc góc phần tư thứ hai Câu 4: ìsin a < 0 ï ï ï ïcos a < 0  íï ¾¾  ï tan a > 0 ï ï ï ï ï îcot a > 0 Chọn A. Cho a thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 484 đúng ? B. cos a > 0. A. sin a > 0. C. tan a > 0. D. cot a > 0. Lời giải a thuộc góc phần tư thứ hai Câu 5: ìsin a < 0 ï ï ï ïcos a > 0  ïí ¾¾  ï tan a < 0 ï ï ï ïcot a < 0 ï î Chọn B. Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu sin a, cos a cùng dấu? B. Thứ IV. A. Thứ II. C. Thứ II hoặc IV. D. Thứ I hoặc III. Lời giải Chọn D. Câu 6: Điểm cuối của góc lượng giác A. Thứ I. a ở góc phần tư thứ mấy nếu sin a, tana trái dấu? B. Thứ II hoặc IV. C. Thứ II hoặc III. D. Thứ I hoặc IV. Lời giải Chọn C. Câu 7: Điểm cuối của góc lượng giác A. Thứ II. a ở góc phần tư thứ mấy nếu cos a = 1 - sin 2 a . B. Thứ I hoặc II. C. Thứ II hoặc III. D. Thứ I hoặc IV. Lời giải Ta có cos a = 1 - sin 2 a  cos a = cos2 a  cos a = cos a  cos a. Đẳng thức cos a  cos a ¾¾  cos a ³ 0 ¾¾  điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ I hoặc IV. Chọn D. Câu 8: Điểm cuối của góc lượng giác A. Thứ III. a ở góc phần tư thứ mấy nếu sin 2 a = sin a. B. Thứ I hoặc III. C. Thứ I hoặc II. D. Thứ III hoặc IV. Lời giải Ta có sin 2 a = sin a  sin a = sin a. Đẳng thức sin a = sin a ¾¾  sin a ³ 0 ¾¾  điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ I hoặc II. Chọn C. Câu 9: Cho 2 p < a < 5p . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 A. tan a > 0; cot a > 0. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B. tan a < 0; cot a < 0. Trang 485 D. tan a < 0; cot a > 0. C. tan a > 0; cot a < 0. Lời giải Ta có 2 p < a < 5p ¾¾  điểm cuối cung 2 a-p thuộc góc phần tư thứ I ìtan a > 0 ï ¾¾ ï . Chọn A. í ï ï îcot a > 0 Câu 10: Cho 0 < a < p . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 A. sin (a - p ) ³ 0. B. sin (a - p ) £ 0. C. sin (a - p ) < 0. D. sin (a - p ) < 0. Lời giải Ta có 0 0. è ø æ pö B. cot ççça + ÷÷÷ ³ 0. è ø 2 C. tan (a + p ) < 0. 2 D. tan (a + p ) > 0. Lời giải Ta có æ ïìï p p p pö  cot çça + ÷÷÷ < 0 ïï0 < a <  < a + < p ¾¾ ç è 2 2 2 2ø ïí . ïï p 3p ïï0 < a <  p < a + p < ¾¾  tan (a + p ) > 0 2 2 ïî Chọn D. Câu 12: Cho p < a < p. Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương? 2 æp ö B. cot ççç - a÷÷÷. è2 ø A. sin (p + a ). C. cos (-a ). D. tan (p + a ). Lời giải Ta có æp ö sin (p + a ) = - sin a; cot çç - a÷÷÷ = sin a; cos (-a ) = cos a; tan (p + a ) = tan a. çè 2 ø ì sin a > 0 ï ï p ï ï  Chọn B. Do < a < p  ícos a < 0 ¾¾ ï 2 ï ï < a tan 0 ï î Câu 13: Cho p < a < 3p . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 486 æ 3p ö B. tan ççç - a÷÷÷ > 0. è2 ø æ 3p ö D. tan ççç – a÷÷÷ ³ 0. è2 ø A. tan ççç – a÷÷÷ < 0. è2 ø C. tan ççç - a÷÷÷ £ 0. è2 ø æ 3p ö æ 3p ö Lời giải Chọn B. Ta có ì æ 3p ö ï ï sin çç - a÷÷÷ > 0 ï ç ï è ø æ 3p ö 2 3p 3p p p 0. ç ïï æ 3p è2 ø ö 2 2 2 ïïcos çç – a÷÷÷ > 0 ç è ø 2 ïî æ p ö Câu 14: Cho p < a < p . Xác định dấu của biểu thức M = cos ççç- + a÷÷÷. tan (p - a). è 2 2 B. M > 0. A. M ³ 0. ø C. M £ 0. D. M < 0. Lời giải Chọn B. Ta có æ p ö ïìï p p p < a < p  0 < - + a < ¾¾  cos çç- + a÷÷÷ > 0 ç ïïï 2 è ø 2 2 2 í ïï p p ïï < a < p  0 < p - a < ¾¾  tan (p - a ) > 0 2 ïî 2 ¾¾  M > 0. æp ö Câu 15: Cho p < a < 3p . Xác định dấu của biểu thức M = sin ççç - a÷÷÷. cot (p + a). è2 ø 2 B. M > 0. A. M ³ 0. C. M £ 0. D. M < 0. Lời giải Chọn D. Ta có ìï æp ö ïïp < a < 3p  - 3p < -a < -p  -p < p - a < - p ¾¾  sin çç - a÷÷÷ < 0 ïï èç 2 ø 2 2 2 2 í ïï 3p 5p ïïp < a <  2p < p + a < ¾¾  cot (p + a ) > 0 2 2 ïî ¾¾ M <0 . ép êë 4 ù úû Câu 16: Tính giá trị của cos ê + (2 k +1) pú . ép êë 4 ù úû ép ëê 4 ù úû A. cos ê + (2 k + 1) p ú = - 3 . 2 1 2 C. cos ê + (2k +1) pú = - . ép ëê 4 ù úû ép ëê 4 ù úû B. cos ê + (2 k + 1) p ú = D. cos ê + (2 k + 1) p ú = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 . 2 3 . 2 Trang 487 Lời giải Chọn B. ép ëê 4 ù úû æ 5p ö 5p + 2 k p÷÷÷ = cos è4 ø 4 Ta có cos ê + (2 k + 1) p ú = cos ççç æ pö p 2 . = cos ççp + ÷÷÷ = - cos = çè 4ø 4 2 ép êë 3 ù úû Câu 17: Tính giá trị của cos ê + (2 k +1) pú . ép ëê 3 ù úû ép êë 3 ù úû A. cos ê + (2 k + 1) p ú = - 3 . 2 1 2 C. cos ê + (2k +1) pú = - . ép ëê 3 ù úû ép ëê 3 ù úû 1 2 B. cos ê + (2k +1) pú = . D. cos ê + (2 k + 1) p ú = 3 . 2 Lời giải Chọn C. ép ù æp ö æp ö p 1 Ta có cos ê + (2 k + 1) p ú = cos ççç + p + k 2p÷÷÷ = cos ççç + p÷÷÷ = - cos = - . êë 3 úû è3 ø è3 ø 3 2 Câu 18: Tính giá trị biểu thức P = sin 2 10O + sin 2 20O + sin 2 30O +... + sin 2 80O. A. P = 0. B. P = 2. C. P = 4. D. P = 8. Lời giải Do 10O + 80O = 20O + 70O = 30O + 60O = 40O + 50O = 90O nên các cung lượng giác tương ứng đôi một phụ nhau. Áp dụng công thức sin (90O - x ) = cosx , ta được P = (sin 2 10O + cos 2 10O ) + (sin 2 20O + cos 2 20O ) + (sin 2 30O + cos 2 30O ) + (sin 2 40O + cos 2 40O ) = 1 +1 +1 +1 = 4. Chọn C. Câu 19: Tính giá trị biểu thức P = tan 10. tan 20. tan 30..... tan 80. A. P = 0. B. P = 1. C. P = 4. D. P = 8. Lời giải Áp dụng công thức tan x . tan (90 - x ) = tan x . cot x = 1. Do đó P = 1. Chọn B. Câu 20: Tính giá trị biểu thức P = tan10 tan 20 tan 30... tan 890. A. P = 0. B. P = 1. C. P = 2. D. P = 3. Lời giải Áp dụng công thức tan x . tan (90 - x ) = tan x . cot x = 1. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 488 Do đó P = 1. Chọn B. Câu 21: Với góc a bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin a + cos a = 1. B. sin 2 a + cos2 a = 1. C. sin 3 a + cos3 a = 1. D. sin 4 a + cos4 a = 1. Lời giải Chọn B. Câu 22: Với góc a bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin 2a2 + cos2 2a = 1. B. sin (a 2 ) + cos (a 2 ) = 1. C. sin 2 a + cos 2 (180 - a ) = 1. D. sin 2 a - cos 2 (180 - a ) = 1. Lời giải Chọn C. Ta có cos (180 - a ) = - cos a ¾¾  cos 2 (180  - a ) = cos 2 a. Do đó sin 2 a + cos 2 (180 - a ) = sin 2 a + cos 2 a = 1. Câu 23: Mệnh đề nào sau đây là sai? A. -1 £ sin a £ 1; -1 £ cos a £ 1. C. cot a = B. tan a = cos a (sin a ¹ 0 ). sin a sin a (cos a ¹ 0). cos a D. sin 2 (2018a ) + cos 2 (2018a ) = 2018. Lời giải Chọn D. Vì sin 2 (2018a ) + cos 2 (2018a ) = 1. Câu 24: Mệnh đề nào sau đây là sai? A. 1 + tan 2 a = 1 . sin 2 a B. 1 + cot 2 a = 1 . cos 2 a C. tan a + cot a = 2. D. tan a. cot a = 1. C. x ¹ p + k p. D. x ¹ k p. Lời giải Chọn C. Câu 25: Để tan x có nghĩa khi A. x =  p . 2 B. x = 0. 2 Lời giải Chọn C. Câu 26: Điều kiện trong đẳng thức tan a. cot a = 1 là A. a ¹ k p , k Î . 2 B. a ¹ p + k p, k Î . 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 489 D. a ¹ p + k 2 p, k Î . C. a ¹ k p, k Î . 2 Lời giải æ p ö÷ p p cot çç x ¹ k p ¬¾ x ¹ + k p. Chọn D. ÷ có nghĩa khi x çè 2018 2018 2018 ÷ø æ æ pö pö Câu 27: Điều kiện để biểu thức P = tan ççça + ÷÷÷ + cot ççça - ÷÷÷ xác định là è 3ø è 6ø p 6 B. a ¹ p 6 D. a ¹ - + k 2p, k Î . A. a ¹ + k 2 p, k Î . 2p + k p, k Î . 3 p 3 C. a ¹ + k p, k Î . Lời giải Chọn A. Ta có tan a. cot a = 1  sin a cos a . =1 . cos a sin a ìï p ìïcos a ¹ 0 ïïa ¹ + k p p Đẳng thức xác định khi ïí í  a ¹ k , (k Î  ). 2 ïïîsin a ¹ 0 ïï îïa ¹ k p 2 Câu 28: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. sin 600 < sin1500. B. cos300 < cos600. C. tan 450 < tan 600. D. cot 600 > cot 2400. Lời giải Chọn C. ì p p ï ï a + ¹ + kp ï p ï 3 2  a ¹ + k p (k Î ). Biểu thức xác định khi ïí ï p 6 ï a – ¹ kp ï ï 6 ï î Câu 29: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. tan 45 > tan 46. B. cos142 > cos143. C. sin 9013¢ < sin 9014 ¢. D. cot 128 > cot 126. Lời giải Dùng MTCT kiểm tra từng đáp án. Chọn C. Câu 30: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 490 æp ö æp ö A. cos ççç – a÷÷÷ = sin a. è2 ø B. sin (p + a ) = sin a. C. cos ççç + a÷÷÷ = sin a. è2 ø D. tan (p + 2a ) = cot (2a ). Lời giải Chọn B. Trong khoảng giá trị từ 90 đến 180 , khi giá trị góc tăng thì giá trị cos của góc tương ứng giảm. Câu 31: Với mọi số thực a æ 9p ö , ta có sin ççç + a÷÷÷ bằng è2 ø B. cos a. A. – sin a. C. sin a. D. -cos a. Lời giải æ 9p ö æ p ö æp ö Ta có sin ççç + a÷÷÷ = sin ççç4 p + + a÷÷÷ = sin ççç + a÷÷÷ = cos a. Chọn B. è2 ø è ø è2 ø 2 æ 1 Câu 32: Cho cos a = . Khi đó sin ççça è 3 3p ö÷ ÷ bằng 2 ÷ø 2 3 1 3 A. – . 1 3 B. – . C. . D. C. tan a. D. – cot a. 2 . 3 Lời giải Chọn C. æ æ ö æ 3p ö p pö 1 Ta có sin ççça – ÷÷÷ = sin ççça + – 2p÷÷÷ = sin ççça + ÷÷÷ = cos a = . è è ø è 2ø 2 2ø 3 Câu 33: Với mọi a Î  thì tan (2017p + a ) bằng A. – tan a. B. cot a. Lời giải Chọn C. Ta có tan (2017 p + a ) = tan a. æ pö Câu 34: Đơn giản biểu thức A = cos ççça – ÷÷÷ + sin(a – p) , ta được è A. A = cos a + sin a. 2ø B. A = 2 sin a. C. A = sin a – cos a. D. A = 0. Lời giải Chọn D. æ æp ö pö Ta có A = cos ççça – ÷÷÷ + sin (a – p ) = cos ççç – a÷÷÷ – sin (p – a) = sin a – sin a = 0. è 2ø è2 ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 491 æp ö æp ö Câu 35: Rút gọn biểu thức S = cos ççç – x ÷÷÷ sin (p – x ) – sin ççç – x ÷÷÷ cos (p – x ) ta được è2 ø è2 ø B. S = sin 2 x – cos2 x. A. S = 0. C. S = 2 sin x cos x . D. S = 1. Lời giải Chọn D. æp ö æp ö Ta có S = cos ççç – x ÷÷÷. sin (p – x ) – sin ççç – x ÷÷÷. cos (p – x ) è2 ø è2 ø = sin x . sin x – cos x . (- cos x ) = sin 2 x + cos 2 x = 1. æp ö æp ö Câu 36: Cho P = sin (p + a ). cos (p – a ) và Q = sin ççç – a÷÷÷.cos ççç + a÷÷÷. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? è2 ø è2 ø A. P + Q = 0. B. P + Q = -1. C. P + Q = 1. D. P + Q = 2. Lời giải Chọn A. Ta có P = sin (p + a ). cos (p – a ) = – sin a. (- cos a ) = sin a. cos a. æp ö æp ö Và Q = sin ççç – a÷÷÷. cos ççç + a÷÷÷ = cos a. (- sin a) = – sin a. cos a. è2 ø è2 ø Khi đó P + Q = sin a. cos a – sin a. cos a = 0. 2 2 é æp ù é æ 3p ù ö ö Câu 37: Biểu thức lượng giác êêsin ççç – x ÷÷÷ + sin (10p + x )úú + êêcos ççç – x ÷÷÷ + cos (8p – x )úú có giá trị bằng? è ø è ø 2 2 ë û ë û A. 1. C. 1 . B. 2. 2 D. 3 . 4 Lời giải Chọn B. æp ö Ta có sin ççç – x ÷÷÷ = cos x ; sin (10 p + x ) = sin x . è2 ø æ 3p ö æ ö p æp ö Và cos ççç – x ÷÷÷ = cos ççç2p – – x ÷÷÷ = cos ççç + x ÷÷÷ = – sin x ; cos (8p – x ) = cos x . è2 ø è ø è2 ø 2 é æ ù ö 2 é æ ù ö p 3p Khi đó êêsin ççç – x ÷÷÷ + sin (10p + x )úú + êêcos ççç – x ÷÷÷ + cos (8p – x )úú è ø è ø 2 2 ë û ë û 2 2 2 = (cos x + sin x ) + (cos x – sin x ) = cos2 x + 2. sin x. cos x + sin 2 x + cos2 x – 2. sin x. cos x + sin 2 x = 2. é Câu 38: Giá trị biểu thức P = êê tan ë 2 2 æ 7p öù é 13p ù 17p + tan çç – x ÷÷÷ú + ê cot + cot (7p – x )ú bằng çè 2 êë úû øúû 4 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 492 A. 1 . sin 2 x B. 1 . cos 2 x C. 2 . sin 2 x D. 2 . cos 2 x Lời giải Chọn C. Ta có tan Và cot æ 7p ö æp ö 17 p p = tan çç + 4 p÷÷÷ = tan = 1 và tan çç – x ÷÷÷ = cot x . ç ç è ø è ø 4 4 4 2 æp ö 13p p = cot çç + 3p÷÷÷ = cot = 1; cot (7p – x ) = – cot x . ç è ø 4 4 4 Suy ra P = (1 + cot x )2 + (1 – cot x )2 = 2 + 2 cot 2 x = æ pö 2 Câu 39: Biết rằng sin ççç x – ÷÷÷ + sin è ø A. 1. 2 . sin 2 x æ pö 13p = sin çç x + ÷÷÷ thì giá trị đúng của cos x là çè 2 2ø C. 1 . B. -1. D. – 1 . 2 2 Lời giải Chọn C. æ pö æp ö æ pö Ta có sin ççç x – ÷÷÷ = – sin ççç – x ÷÷÷ = – cos x và sin ççç x + ÷÷÷ = cos x. è è2 ø è 2ø 2ø Kết hợp với giá trị sin æ pö æp ö 13p p = sin çç + 6p÷÷÷ = sin = 1. ç è2 ø 2 2 13p æ pö 1 = sin çç x + ÷÷÷  – cos x + 1 = cos x  cos x = . Suy ra sin ççç x – ÷÷÷ + sin çè è 2ø 2 2ø 2 æ pö Câu 40: Nếu cot1, 25. tan (4p +1, 25) – sin ççç x + ÷÷÷.cos (6p – x ) = 0 thì tan x bằng è 2ø B. -1. A. 1. C. 0. D. Một giá trị khác. Lời giải Chọn C. Ta có tan (4 p + 1, 25) = tan 1, 25 suy ra cot 1, 25. tan 1, 25 = 1 æ pö Và sin ççç x + ÷÷÷ = cos x ; cos (6p – x ) = cos ( x – 6p ) = cos x. è 2ø æ pö Khi đó cot 1, 25. tan (4 p + 1, 25) – sin ççç x + ÷÷÷. cos (6p – x ) = 1 – cos2 x = 0  sin x = 0. è Mặt khác tan x = 2ø sin x ¾¾  tan x = 0. cos x Câu 41: Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC , mệnh đề nào sau đây đúng: A. sin ( A + C ) = – sin B. B. cos ( A + C ) = – cos B. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 493 C. tan ( A + C ) = tan B. D. cot ( A + C ) = cot B. Lời giải Chọn B. Vì A, B, C là ba góc của một tam giác suy ra A +C = p – B. Khi đó sin ( A + C ) = sin (p – B ) = sin B ; cos ( A + C ) = cos (p – B ) = – cos B. tan ( A + C ) = tan (p – B ) = – tan B ; cot ( A + C ) = cot (p – B ) = – cot B. Câu 42: Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, khi đó A. sin C = – sin ( A + B ). B. cos C = cos ( A + B ). C. tan C = tan ( A + B ). D. cot C = cot ( A + B ). Lời giải Chọn D. Vì A, B, C là các góc của tam giác ABC nên C = 180 o – ( A + B ). Do đó C và A + B là 2 góc bù nhau  sin C = sin ( A + B ); cos C = – cos ( A + B ). Và tan C = – tan ( A + B ); cot C = cot ( A + B ). Câu 43: Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là sai? A. sin A + C = cos B . B. cos A + C = sin B . C. sin ( A + B ) = sin C . D. cos ( A + B ) = cos C . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D. Ta có A + B +C = p  A + B = p -C Do đó cos ( A + B ) = cos (p – C ) = – cos C . Câu 44: A, B, C là ba góc của một tam giác. Hãy tìm hệ thức sai: A. sin A = – sin (2 A + B + C ). B. sin A = – cos 3 A + B + C . C. cos C = sin A + B + 3C . D. sin C = sin ( A + B + 2C ). 2 2 Lời giải A, B, C là ba góc của một tam giác  A + B + C = 180 0  A + B = 180 0 -C. Ta có sin ( A + B + 2C ) = sin (180 0 – C + 2C ) = sin (180 0 + C ) = – sin C. Chọn D. Câu 45: Cho góc a thỏa mãn sin a = 12 13 và p < a < p . Tính cos a. 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 494 A. cos a = 1 . 13 B. cos a = 5 . 13 C. cos a = - 5 . 13 D. cos a = - 1 . 13 Lời giải Chọn D. ì 5 ï ï cos a =  1 - sin 2 a =  ï 5 ï 13 ¾¾  cos a = - . Ta có ïí ï p 13 ï 1 ¾¾  P = tan a – 1. 4 2 ìï ïïsin a =  1 – cos2 a =  4 4 4 1 ï 5 ¾¾  sin a = ¾¾  tan a = ¾¾ P = . Theo giả thiết: ïí ïï p p 5 3 3 ïï < a < 2 îï 4 Câu 57: Cho góc A. P = a æ æ pö pö thỏa mãn p < a < 2 p và tan ççça+ ÷÷÷ = 1 . Tính P= cos ççça - ÷÷÷ + sin a . è è ø 4 6ø 2 3 . 2 B. P = 6 +3 2 . 4 C. P = - 3 . 2 D. P = 6 -3 2 . 4 Lời giải Chọn C. Ta có ì p p 9p 3p ï ï < a < 2 p ¬¾  0. Tính P = sin 3 a + cos3 a. 49 ⋅ 25 7 5 C. P = ⋅ 1 9 D. P = ⋅ Lời giải Chọn A. Áp dụng a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab (a + b) , ta có 3 P = sin 3 a + cos3 a = (sin a + cos a ) – 3 sin a cos a (sin a + cos a ). Ta có (sin a + cos a )2 = sin 2 a + 2 sin a cos a + cos2 a = 1 + 24 49 = 25 25 . 7 5 Vì sin a + cos a > 0 nên ta chọn sin a + cos a = . ì 7 ï ï sin a + cos a = 3 ï æ7 ö 12 7 91 ï 5 . Thay ïí vào P , ta được P = ççç ÷÷÷ – 3. . = ï è5ø 12 25 5 125 ï sin a cos a = ï ï 25 ï î Câu 67: Cho góc A. P = a thỏa mãn 0 < a < p và sin a + cos a = 4 3 . 2 B. P = 1 ⋅ 5 . Tính P = sin a - cos a. 2 C. P = - 1 ⋅ 2 2 D. P = - 3 . 2 Lời giải Chọn D. Ta có (sin a - cos a) + (sin a + cos a) = 2 (sin 2 a + cos2 a) = 2 . 2 2 Suy ra (sin a - cos a )2 = 2 - (sin a + cos a )2 = 2 - 5 = 3 . 4 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 501 Do 0 < a < p suy ra sin a < cos a nên sin a - cos a < 0 . Vậy P = 4 Câu 68: Cho góc a 3 . 2 thỏa mãn sin a + cos a = m. . Tính P = sin a - cos a . A. P = 2 - m. B. P = 2 - m 2 . C. P = m 2 - 2. D. P = 2 - m 2 . Lời giải Chọn D. Ta có (sin a - cos a) + (sin a + cos a) = 2 (sin 2 a + cos2 a) = 2 . 2 2  P = sin a - cos a = 2 - m 2 . Suy ra (sin a - cos a )2 = 2 - (sin a + cos a )2 = 2 - m 2 ¾¾ Câu 69: Cho góc a thỏa mãn tan a + cot a = 2. Tính P = tan 2 a + cot 2 a. A. P = 1. B. P = 2. C. P = 3. D. P = 4. Lời giải Chọn B. Ta có P = tan 2 a + cot 2 a = (tan a + cot a )2 - 2 tan a. cot a = 2 2 - 2.1 = 2. Câu 70: Cho góc a thỏa mãn tan a + cot a = 5. Tính P = tan 3 a + cot 3 a. A. P = 100. B. P = 110. C. P = 112. D. P = 115. Lời giải Chọn B. Ta có P = tan 3 a + cot 3 a = (tan a + cot a )3 - 3 tan a cot a (tan a + cot a ) Câu 71: Cho góc a thỏa mãn sin a + cos a = A. P = 12. = 53 - 3.5 = 110 . 2 . Tính P = tan 2 a + cot 2 a. 2 B. P = 14. C. P = 16. D. P = 18. Lời giải 2 1 1 2  (sin a + cos a ) =  sin a cos a = - . 2 2 4 Ta có sin a + cos a = Chọn B. 2 2 2 2 2 sin 2 a cos 2 a sin 4 a + cos 4 a (sin a + cos a ) - 2 sin a. cos a 1 - 2 (sin a cos a ) = = = 14. Khi đó P = 2 + 2 = 2 cos a sin a sin 2 a. cos2 a sin 2 a. cos2 a (sin a co s a) 2 Câu 72: Cho góc A. P = 1. a thỏa mãn p < a < p và tan a - cot a = 1 . Tính P = tan a + cot a. 2 B. P = -1. C. P = - 5. D. P = 5. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 502 Chọn C. Ta có tan a - cot a = 1  tan a - 1 5 1 . = 1  tan 2 a - tan a -1 = 0  tan a = tan a 2 1- 5 1 ¾¾  cot a = = Do p < a < p suy ra tan a < 0 nên tan a = tan a 2 2 Thay tan a = 2 1- 5 . 1- 5 2 2 1- 5 + = - 5. và cot a = vào P , ta được P = 2 2 1- 5 1- 5 Câu 73: Cho góc a thỏa mãn 3 cos a + 2 sin a = 2 và sin a < 0 . Tính sin a. 5 13 7 13 A. sin a = - . B. sin a = - . 9 13 C. sin a = - . D. sin a = - 12 . 13 Lời giải Chọn A. Ta có 3 cos a + 2 sin a = 2  (3 cos a + 2 sin a )2 = 4  9 cos2 a + 12 cos a. sin a + 4 sin 2 a = 4  5 cos 2 a + 12 cos a. sin a = 0 é cos a = 0  cos a (5 cos a + 12 sin a ) = 0  ê . ê5 cos a + 12 sin a = 0 ë · cosa = 0  sin a = 1 : loại (vì sin a < 0 ). ì ï ïsin a = - 5 ì ï5 cos a + 12 sin a = 0 ï ï 13 ï . ï · 5cosa + 12 sin a = 0 , ta có hệ phương trình í í ïï ï 3 cos a 2 sin a 2 12 + = î ïïcos a = ï 13 ï î Câu 74: Cho góc a thỏa mãn p 0 nên tan = -1 + 2 8 8 Vậy cot suy ra 2 5p = 1- 2 8 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A = sin 220 30 ‘ cos 2020 30 ‘ b) B = 4 sin 4 p p + 2 cos 16 8 p 2p – sin 5 15 c) C = p 2p cos – cos 5 15 sin d) D = sin p 5p 7p – sin + sin 9 9 9 Lời giải a) Cách 1: Ta có cos 2020 30 ‘ = cos ( 1800 + 220 30 ‘ ) = – cos 220 30 ‘ 1 2 Do đó A = – sin 220 30 ‘ cos 220 30 ‘ = – sin 450 = 2 4 Cách 2: A = = 1é 1 sin ( 220 30 ‘+ 2020 30 ‘ ) + sin ( 220 30 ‘- 2020 30 ‘ ) ùû = éë sin 2250 + sin ( -1800 ) ùû ë 2 2 1é 1 2 sin ( 1800 + 450 ) – sin1800 ùû = – sin 450 = ë 2 2 4 2 2 æ é æ p öù pö p p b) B = çç 2 sin2 ÷÷ + 2 cos = ê 1 – cos çç 2. ÷÷ ú + 2 cos ÷ ÷ çè ç êë 16 ø 8 8 è 16 ø úû p p p = 1 – 2 cos + cos2 + 2 cos = 1 + 8 8 8 1 + cos Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 p 2 1+ 4 = 1+ 2 = 6+ 2 2 4 Trang 511 Chương 6. Cung lượng giác và công thức lượng giác 1 æ p 2p ö÷ 1 æ p 2p ö 2p p p 2 cos çç + ÷ sin çç – ÷÷÷ – sin cos ÷ ç ç 2 è 5 15 ø 2 è 5 15 ø 5 15 = 6 = – cot p = – 3 c) C = =æ ö æ ö 2p 1 p 2p ÷ 1 p 2p ÷ 6 p p -2 sin çç + cos – cos sin ÷ sin çç ÷ 5 15 2 èç 5 15 ÷ø 2 èç 5 15 ø÷ 6 sin æ p 7p ö 5p 4p p 5p 4p 5p d) D = çç sin + sin ÷÷÷ – sin = 2 sin .cos – sin = sin – sin =0 çè 9 9 ø 9 9 3 9 9 9 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A = 1 + cos 2900 1 b) B = ( 1 + tan 200 )( 1 + tan 250 ) 3 sin 2500 c) C = tan 90 – tan 27 0 – tan 630 + tan 810 d) D = sin2 p 2p p 2p + sin2 + sin sin 9 9 9 9 Lời giải a) Ta có cos 2900 = cos ( 1800 + 900 + 200 ) = – cos ( 900 + 200 ) = sin 200 sin 2500 = sin ( 1800 + 900 – 200 ) = – sin ( 900 – 200 ) = – cos 200 1 C = sin 200 =4 1 3 cos 200 = 3 sin 200 – sin 200 3 sin 200.cos 200 sin 600 cos 200 – cos 600 sin 200 3 sin 40 0 = 3 1 cos 200 – sin 200 2 =4 2 0 3.2.sin 20 .cos 200 4 sin 400 3 sin 40 0 = 4 3 3 0 0 0 0 0 æ sin 200 öæ ÷÷çç 1 + sin 25 ö÷÷ = sin 20 + cos 20 . sin 25 + cos 25 b) Cách 1: Ta có B = çç 1 + cos 200 ÷øèç cos 250 ÷ø cos 200 cos 250 èç sin 200 cos 450 + cos 200 sin 450 sin 250 cos 450 + cos 250 sin 450 . 2. cos 200 cos 250 = 2. =2 sin 650 sin 700 =2 cos 200 cos 250 Cách 2: Ta có tan 450 = tan ( 200 + 500 ) = Suy ra 1 = tan 200 + tan 250 1 – tan 200 tan 250 tan 200 + tan 250  tan 200 + tan 250 + tan 200 tan 250 = 1 1 – tan 200 tan 250  ( 1 + tan 200 )( 1 + tan 250 ) = 2 . Vậy B = 2 c) C = tan 90 + tan 810 – ( tan 27 0 + tan 630 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 512 Chương 6. Cung lượng giác và công thức lượng