Bài giảng căn bậc hai, căn bậc ba – Nguyễn Tài Chung

1

2020

Bồi dưỡng HSG THCS và ôn thi vào 10 chuyên

=== NGUYỄN TÀI CHUNG ===

30

36

23

9

40

48

17

6

4

5

41
Bài giảng
toán
9
13
43

15

11

37

25

Căn bậc
bậc hai
hai
Căn
14

31

44

22

38

29

33

12

50

24

3

32

7

2

Căn bậc ba

19

45

16

8

27

39
18

10

42

21

46

26

28

20

1

47

34

49

35

p
4=2
Pleiku 07/07/2020

2 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

3 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1 Căn bậc hai, căn bậc ba
1

2

3

4

5

6

Căn bậc hai

5
5

A

Tóm tắt lý thuyết

5

B

Bài tập

5

C

Lời giải

7

Căn bậc hai và đẳng thức

√

A2 = | A |

8

A

Tóm tắt lý thuyết

8

B

Bài tập

8

C

Lời giải

10

Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

11

A

Tóm tắt lý thuyết

11

B

Bài tập

11

C

Lời giải

13

Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

14

A

Tóm tắt lý thuyết

14

B

Bài tập

14

C

Lời giải

18

Bảng căn bậc hai

19

A

Tóm tắt lý thuyết

19

B

Bài tập

19

Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
A

MỤC LỤC

Tóm tắt lý thuyết

20
20

4 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

7

8

B

Bài tập

20

C

Lời giải

22

Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

23

A

Tóm tắt lý thuyết

23

B

Bài tập

23

C

Lời giải

26

Căn bậc ba

27

A

Tóm tắt lý thuyết

27

B

Bài tập

27

C

Lời giải

29

Ôn tập chương I

30

D

Đề bài

30

E

Lời giải

37

MỤC LỤC

5 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

CHƯƠNG

1

CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA
BÀI 1. CĂN BẬC HAI

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Căn bậc hai số học.
 Căn bậc hai của số không âm a là số x sao cho x2 = a.

√
 Số dương a có đúng
hai
căn
bậc
hai
là
hai
số
đối
nhau.
Số
dương
kí
hiệu
là
a, số
√
âm kí hiệu là − a.
√
 Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết: 0 = 0.
√
 Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là
căn bậc hai số học của 0.
√
2
√ √
a = a.
 Với a ≥ 0 thì: a. a =
2. So sánh các căn bậc hai số học. Với a và b không âm, ta có:
√
√
a < b ⇔ a < b. B. BÀI TẬP 1. Bài tập cơ bản Bài 1. Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra các căn bậc hai của chúng: a) 81; b) 225; c) 0, 49; d) 441. Bài 2. Tìm số x không âm, biết: a) √ x = 12; √ d) 3 x = 15; b) e) √ √ x= √ 7; x = 0; c) √ x = −9; √ f ) 3 x = 2. Bài 3. Tìm số x < 0 biết rằng: a) x2 = 100; b) x2 = 5; c) x2 = 6. b) x4 − 100 = 0; c) 4×4 = 25. Bài 4. Tìm x biết: a) x4 − 9 = 0; Bài 5 (Tuyển sinh 10, Đồng√Tháp, √ 2019). 1 Rút gọn biểu thức A = 36 − 4. √ 2 Tìm x biết x = 3. CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 6 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Bài 6 (Thi vào 10 THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định 2019). 3 2019 − . Tìm điều kiện xác định của biểu thức P = √ x−3 x−9 Bài 7. Tìm số x không âm, biết: √ √ √ √ a) x < 3; b) 2x < 8; c) Bài 8. Tìm số tự nhiên x sao cho √ √ √ a) x < 5; b) 2x < 3; c) Bài 9. Với a < 0 thì số nào lớn hơn trong hai số √ − a và √ √ √ 3x < 5. 3x ≤ 5. −3a. Bài 10. Cho số a dương. Chứng minh: √ a) Nếu a > 1 thì a > 1.
√
b) Nếu a < 1 thì a < 1. 2. Bài tập nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi Bài 11. Cho số a dương. Chứng minh: √ a) Nếu a > 1 thì a > a.
√
b) Nếu a < 1 thì a < a. Bài 12. Tính đường chéo của một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 5 mét và chiều dài là 10 mét. Bài 13. Rút gọn biểu thức:  B= √  √  a− a a+ a 1− √ 1+ √ (0 < a 6 = 1) . a+1 a−1 ( x + 1) x + √ Bài 14. Cho biểu thức P = x √
x −x− √ x, với x > 0.

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức P bằng 2.
Bài 15. Cho biểu thức:

P=

1
1
√ −
√
1− a 1+ a



1
√ +1
a



(0 < a 6 = 1). a) Rút gọn biểu thức P. 1 b) Với những giá trị nào của a thì P > .
2

√
Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 5 + 2×2 − 4x + 3.
√
Bài 17. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3 − x2 + 6x + 2017.
CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

7 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
Bài 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
»
A = x2 + y2 − 2xy + 2x − 2y + 5 + 2y2 − 8y + 2019.

Bài 19. Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố thì

√

p là số vô tỉ.

Bài 20. Chứng minh rằng nếu số nguyên dương a không phải là số chính phương thì
số vô tỉ.
Bài 21 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Hà Nội, 2018).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
√
√
P = 1 − x + 1 + x + 2 x.

Bài 22 (Đề thi HSG 9, tỉnh Tiền Giang, năm 2018).
Tính giá trị của biểu thức
p
B = 143 + 153 + 163 + . . . + 243 + 253 .

C. LỜI GIẢI

CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

√

a là

8 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

BÀI 2. CĂN BẬC HAI VÀ ĐẲNG THỨC

√

A2 = | A |

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
√
1. Định lí. Với mọi số thực A, ta có: A2 = | A|.
2. Chú ý.
√
 A xác định (hay có nghĩa) khi và chỉ khi A ≥ 0.
1
 √ có nghĩa khi và chỉ khi A > 0.
A
 Với A ≥ 0 thì:


| X | ≤ A ⇔ − A ≤ X ≤ A; | X | ≥ A ⇔

X≥A
X ≤ − A.

√
 Với mọi số thực a ≥ 0, ta có: ( a)2 = a.

B. BÀI TẬP
1. Bài tập cơ bản
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A =

√

25 +

√

9;

b) B =

»

(1 −

»

(2 −

√

2

√

2

√

5) −

5.

Bài 2 (Đề thi vào 10, Sở giáo»dục Hưng Yên, 2017).
√
√
Rút gọn biểu thức A = 3 + (2 − 3)2 + 6.
Bài 3. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A =

»

(3 −

√

2

7) +

√

7;

b) B =

√

6) −

6.

Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A =
b) B =

√
√

36 − 12x + x2

x2 − 4x + 4, với x > 2.

√

3
4×2 + 12x + 9, với x < − . 2 … 1 1 d) D = x2 + x + + 2 − x, với x ≥ − . 4 2 √ e) E = 25×2 − 60x + 36 + 6x − 2, với x < 1. c) C = Bài 5. Tìm x biết √ x2 − 4x + 4 = 3. CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 9 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 2. Bài tập nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi 1 Bài 6. Với x > 0 và x 6= , rút gọn biểu thức:
2
2 » 2
Q=
8x (1 − 4x + 4×2 ).
2x − 1
Bài 7 (Đề thi vào 10 chuyên toán, Chuyên Hùng Vương Gia Lai, 2016).

2016
Tính giá trị của biểu thức P = 5×3 − 30x + 21
, với
»
»
√
√
x = 3 + 2 2 − 3 − 2 2.

Bài 8 (Đề thi vào 10 chuyên toán, THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai, 2017-2018).
Rút gọn biểu thức:
A=p

2x − 18
p
(với x ≥ 18) .
√
x+6 x−9+ x−6 x−9

√

Bài 9 (Đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn, Vũng Tàu, 2016).
Rút gọn biểu thức
A=

√

x−1−1

2

+

»

√
4x − 3 + 4 x − 1, với x ≥ 1.

Bài 10. Cho x, y, z khác 0 và thỏa mãn: x + y + z = 0. Chứng minh rằng:
1
1
1
1 1 1
+ + .
+ 2+ 2 =
2
x y z
x
y
z
Bài 11. Cho a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn: ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng biểu thức
A=

»

( a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)

là một số hữu tỉ.
Bài 12 (Đề thi HSG 9, tỉnh Đồng Nai, năm 2018).
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ac = 1. Tính giá trị biểu thức
s
P=a

s
s












1 + b2 1 + c2
1 + a2 1 + c2
1 + a2 1 + b2
+b
+c
(1 + a2 )
(1 + b2 )
(1 + c2 )

Bài 13. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Rút gọn biểu thức:
P=

( a + bc)(b + ca)
+
c + ab

CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

(b + ca)(c + ab)
+
a + bc

(c + ab)( a + bc)
.
b + ca

10 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
Bài 14 (Đề thi vào 10, Chuyên Lương Văn Tuỵ, Ninh Bình, 2017).
a) Cho các số hữu tỉ a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 2017. Chứng minh rằng
»
( a2 + 2017) (b2 + 2017) (c2 + 2017)
là một số hữu tỉ.
b) Tìm x, y nguyên dương thoả mãn phương trình 7×2 + 3y2 = 714.
Bài 15. Xét các số dương x, y, z thỏa mãn
thức
Q=p

x
yz(1 +

x2 )

1
1
1
+
+
= 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
xy
yz
xz

+p

y
zx (1 + y2 )

+p

z
xy(1 + z2 )

.

Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
p
p
Q( x ) = x2 − 2x + 1 + x2 + 10x + 25.

Bài 17. Tìm giá trị của x, y để biểu thức:
»
»
M = x2 + 2y2 − 6x + 4y + 11 + x2 + 3y2 + 2x + 6y + 4
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Bài 18 (Đề thi HSG 9, tỉnh Bắc Ninh, năm 2018).
Rút gọn biểu thức
p
p
√
√
x+2 x−1+ x−2 x−1
p
, x ≥ 2.
P=p
√
√
x + 2x − 1 − x − 2x − 1
Bài 19. Cho các số thực a, b thỏa mãn ab 6= 0, a + b 6= 0.
s
1
1
1
1
1 1
a) Chứng minh rằng:
+ 2+
= + −
.
2
2
a b a+b
a
b
( a + b)
s
b) Chứng minh rằng:

a2 + b2 +

a2 b2

( a + b)

2

c) Sử dụng kết quả trên, hãy tính:
Õ

x=

= a+b−

2

ab
.
a+b

2



 + 0, 99…9 , n ≥ 2.
1 + 99…9
| {z }
| {z }
n số 9

n số 9

C. LỜI GIẢI

CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

11 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định lí. Với hai số a và b không âm, ta có:
2. Áp dụng.

√

a.b =

√ √
a. b.

a) Quy tắc khai phương một tích. Muốn khai phương một tích của các số không âm,
ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.
b) Quy tắc nhân các căn bậc hai. Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta
có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.
√
√  √
√ 
a− b
a+ b .
Chú ý. Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: a − b =

B. BÀI TẬP
1. Bài tập cơ bản
Bài 1. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:
√
√
b) 90.6, 4;
a) 45.80;
Bài 2. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:
√ √
√ √
b) 52. 13;
a) 2. 98;
Bài 3. Rút gọn rồi tính:
p
a)
412 − 402 ;

b)

p
21, 82 − 18, 22 ;

Bài 4 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Ninh Bình, 2017).
Rút gọn biểu thức
√ √
√ 
A= 3
12 − 3 .

√
√
√
Bài 5. Rút gọn: A = 2 16 − 6 9 + 36.
Bài 6 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Đắk lắk, 2017).
1 Giải phương trình 5x − 18 = 3x + 24.
√
√
√
2 Rút gọn biểu thức 4x + 9x − 16x với x ≥ 0.
√
3 Tìm x để biểu thức A = 5 − 3x có nghĩa.
Bài 7 (Đề thi vào 10, Sở giáo √
dục Bắc√Giang,
√2017).
Tính giá trị của biểu thức A = 25 + 3 8 − 2 18.
Bài 8. Rút gọn:

CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

c)

√

2500.4, 9.0, 9.

…
c)

c)

2
·
3

…

12
·
25

…

1
.
2

p
√ p
√
9 − 17. 9 + 17.

12 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

√
√
6 + 14
√ ;
a) √
2 3 + 28

√
√
15 + 21
√ .
b) √
3 5 + 63

Bài 9. Cho biểu thức:

√
x + y + 2 xy
1
P= √
: √
√
√ , với x > 0, y > 0 và x 6= y.
x+ y
x− y
a) Rút gọn biểu thức.
b) Tính giá trị biểu thức P tại x = 2019, y = 2017.
√
√ !
√
6− 3 5− 5
2
√
√ .
Bài 10. Rút gọn biểu thức: Q =
+√
: √
5−1
5− 3
2−1
√
2x − x
x
+ √
, với 0 < x 6= 1. Bài 11. Rút gọn biểu thức: M = √ x−1 x−x √ Bài 12. Chứng minh các đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ b: …   p p √ √ √ 2 a) a+ b+ a− b = 2 a+ a −b . b) p a+ √ b− p a− √ …   √ 2 b = 2 a− a −b . (1) (2) √ Bài 13. Chứng minh rằng với x ≥ 0 và y ≥ 0, ta có: x + y ≥ 2 xy. Bài 14 (Thi vào 10 chuyên, THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2018). Rút gọn biểu thức ! 1 1 A = 2 : p√ − p√ ( x > 0).
x+1−1
x+1+1

√
Bài 15. Chứng minh rằng với x < 0 và y < 0, ta có: x + y + 2 xy ≤ 0. 2. Bài tập nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi Bài 16. Cho các biểu thức: A = √ p √ x − 1. x + 4 và A = ( x − 1)( x + 4). a) Tìm x để A có nghĩa. b) Tìm x để B có nghĩa. c) Với giá trị nào của x thì A = B. Bài 17. Rút gọn biểu thức: A = √ 1 5+2 » √ − 9 + 4 5. Bài 18 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Gia Lai, 2017). Phân tích √ √ √ 5x + 7 xy − 6y + x + 2 y thành nhân tử, với x, y là các số không âm.  √  √ √ √ p Bài 19. Rút gọn biểu thức: A = 4 + 15 10 − 6 4 − 15. CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 13 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Bài 20 (Đề thi vào 10 chuyên Thái Nguyên, 2017). p √  √  3− 5 3+ 5 √ √ . Không dùng máy tính cầm tay hãy rút gọn: A = 10 + 2 √ Bài 21. Giả sử | x | > 1. Đặt a = x + x2 − 1.


1
1
a) Chứng minh rằng a 6= 0 và x =
a+
.
2
a
b) Tính 4×3 − 3x theo a.
Bài 22. Cho a ≥ 0, b ≥ 0 và a 6= b. Chứng minh rằng:
√
√
√
√
√
a+ b
a− b
2b
2 b
√ − √
√ −
√ .
=√
√
2 a−2 b 2 a+2 b b−a
a− b
Bài 23. Cho biểu thức:
!
√
a
a
√ +
A= √
:
a+ b b−a

√

a
a
√ −
√
√
a + b a + b + 2 ab
√
a + b + 2 ab
.
a) Rút gọn biểu thức A −
b−a
√
√
b) Tính giá trị của A khi a = 7 − 4 3, b = 7 + 4 3.

!

( a > 0, b > 0, a 6= b).

Bài 24 (Đề
HSG p
9, tỉnh Hà Giang, năm 2018).
p thi √
√
Cho x = 4 + 7 − 4 − 7. Tính

2017
4
3
2
A = x − x − x + 2x − 1
.
Bài 25 (Đề thi vào 10, Chuyên Hoàng Lê Kha Tây Ninh, 2017).
Rút gọn biểu thức
√ »
√
√ »
√
K = (2 − 3) 2 + 3 + (2 + 3) 2 − 3.
Bài 26. Rút gọi biểu thức

√
√
x−2 x+3
x−1
1
√
√
A=
+
−√
, với x ≥ 0.
x x+1
x− x+1
x+1

Bài 27. Cho biểu thức:

√
√
√
x+1
x−2
3x − 2 x − 4
√
−√
−√
.
P=
x+ x−2
x+2
x−1

a) Tìm x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P.

√
b) Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị của P khi x = 4 + 2 3.
Bài 28 (Đề thi vào 10, Chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi, 2017).
Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng:
x+y √
x+y √
− xy +
+ xy = | x | + |y| .
2
2
Đẳng thức trên còn đúng hay không trong trường hợp x, y là các số thực âm? Tại sao?

C. LỜI GIẢI
CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

14 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

BÀI 4. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
…
1. Định lí. Với a ≥ 0, b > 0, ta có:

√
a
a
=√ .
b
b

2. Áp dụng.
a
a) Quy tắc khai phương một thương. Muốn khai phương một thương , trong đó
b
a ≥ 0 và b > 0, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b rồi lấy kết quả thứ nhất
chia cho kết quả thứ hai.
b) Quy tắc chia hai căn bậc hai. Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn
bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.

B. BÀI TẬP
1. Bài tập cơ bản
Bài 1. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:
…
…
7
25
b)
2 ;
;
a)
81
144
Bài 2. Tính
√
√ √
√
a) A = 3. 27 − ( 144 : 36);
Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
p
63y3
a) p
( y > 0);
7y
Bài 4. Rút gọn các biểu thức:
√
45mn2
a) √
(m > 0, n > 0);
20m
Bài 5. Tính giá trị biểu thức:
p
√
3− 5
√
a)
;
2

…
c)

4
49
:
.
25 121

√
√
3
52
b) B = √ : √
.
75
117
√

48×3
b) √
( x > 0).
3×5

√
b) √

128a6 b6

p
b)

16a4 b6

( a < 0, b 6= 0). √ 8−3 7 √ . 2 Bài 6 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Khánh Hòa, 2017). Tính giá trị biểu thức … √ » √ 1 5−1 √ − 3 − 2 2. T= +√ 2 10 − 2 Bài 7 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Nghệ an, 2017). CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 15 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 √ √  7+7 √ . a) Tính giá trị của biểu thức A = 1 − 7 2 7  b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức   1 1 x−1 √ − √ P= · √ . 1− x 1+ x x Bài 8. Với x ≥ 0, rút gọn các biểu thức: √ x−4 x+4 √ ; a) x+4 x+4 b) √ 4x − 12 x + 9 √ . 4x + 12 x + 9 Bài 9 (Thi vào 10 THPT Nam Định 2019). √ Lê Hồng Phong,  √ Chuyên  √ a+1 a−1 1 Cho biểu thức P = √ −√ + 4 a . √ với a > 0 và a 6= 1.
a−1
a+1
a a
1 Rút gọn biểu thức P.
2 Tính giá trị của P khi a =

p
√
9 + 4 2.

Bài 10 (Tuyển sinh lớp 10, tỉnh Hải Dương 2019).
Rút gọn biểu thức
√


1
x−1
1
√ −√
√
:
+ 1, với x > 0 và x 6= 1.
A=
x+ x
x+1
x+2 x+1
4
21
√ −√ .
7+2 3− 7
7
√
1
2
x+ x
√ với x ≥ 0; x 6= 1.
−
Bài 12. Cho hai biểu thức A = √
và B =
x−1
x−1
1− x

Bài 11. Rút gọn biểu thức: A = √

3

+

1 Tính giá trị của biểu thức A khi x =

1
.
4

2 Rút gọn biểu thức B.
3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

A
.
B

√
√
x
3
6 x−4
Bài 13. Cho biểu thức A = √
+√
−
( x ≥ 0; x 6= 1).
x−1
x−1
x+1
1 Rút gọn biểu thức A.

√

2 Tính giá trị của biểu thức khi x = 7 − 2 6.
3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Bài 14. Cho biểu thức
√
√
√
√
2 x
x + 1 3 − 11 x
x−3
A= √
+√
+
và B = √
với x ≥ 0 và x 6= 9.
9−x
x+3
x−3
x+1
1 Tính giá trị của biểu thức B tại x = 36.
2 Rút gọn A.
3 Tìm số nguyên x để tích P = A · B là số nguyên.

CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

16 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

2. Bài tập nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi
Bài 15. Rút gọn biểu thức sau:
√
√
√
√
5
5
5− 3
5+ 3
√ −√
√ +√
A= √
+√
.
5+ 3
3−1
5− 3
3+1
√
√
√
√
2+ 3+ 6+ 8+4
√
√
√
Bài 16. Rút gọn: A =
.
2+ 3+ 4
√
√
8 + 15
8 − 15
Bài 17. Rút gọn biểu thức: A =
+
.
2
2
Bài 18 (Đề thi HSG 9, tỉnh Tuyên Quang, năm 2018).
Cho
p
p
√
√
3+ 5+ 3− 5
√
x=
.
2

2018
.
Tính P = 1 + 5×2015 − x2017
√
√
x
10 x
5
Bài 19. Cho A = √
−
−√
.
x − 5 x − 25
x+5
a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của x để A < 0. Bài 20 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Nam Định, 2017). Cho biểu thức √ x+1 1 √ , (với x > 0 và x 6= 1).
P= 2 √ : √
x − x x x+x+ x
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị x sao cho 3P = 1 + x.
Bài 21 (Đề thi vào 10 môn Toán năm học 2018-2019, Bắc Giang).
Cho biểu thức

2
√

 √
a−1
10 − 2 a
6
√
√
+ √
B=
·
(với a > 0, a 6= 1).
a−1 a a−a− a+1
4 a
1 Rút gọn biểu thức B.
2 Đặt C = B a −

√

a + 1 . So sánh C và 1.

Bài 22. Cho biểu thức:

P = a−

√

a−

1
√

a−1

−√

a+

1
√


a−1

, với a ≥ 1.

Hãy rút gọn biểu thức P và chứng minh rằng P ≥ 0.
Bài 23 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Bắc Giang, 2017).
Cho biểu thức
√
√
 √



x x+x+ x
x+3
x−1
1
√
√
√
B=
−
.
x ≥ 0, x 6= 1 x 6=
.
4
x x−1
1 − x 2x + x − 1
Tìm tất cả các giá trị của x để B < 0. CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 17 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Bài 24 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Hà Nội, 2018). Cho hai biểu thức √ √ x+4 3 x+1 2 √ A= √ , B= −√ với x > 0, x 6= 1.
x−1
x+2 x−3
x+3
1 Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
2 Chứng minh B = √

1
.
x−1

3 Tìm tất cả giá trị của x để

A
x
> + 5.
B
4

Bài 25 (Đề thi vào 10, Chuyên Đại Học Vinh, Vòng 1, 2017).
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 5, ab = 2. Tính giá trị của biểu thức
!
!
√
√
√
√
a a+b b √
a a−b b √
√ − ab ·
√ + ab .
A=
√
√
a+ b
a− b
Bài 26 (Thi vào 10, THPT Năng Khiếu, ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh 2017).
Biết a, b là các số dương a 6= b và

√  √
√ 
!  √
2
2
a
a
+
b
b
a
a
−
b
b
( a + 2b) − (2a + b)
:
− 3ab = 3.
a+b
a−b
1 + 2ab
.
a2 + b2
Bài 27 (Đề thi HSG 9, tỉnh Bắc Giang, năm 2018).
Cho biểu thức:
√
√
  √

√
x+1
x−1 3 x+1
x
2
: √
, với x ≥ 0, x 6= 1.
A= √
+√
+
−
1−x
x−1
x+1
x−1 x−1

Tính S =

1 Rút gọn biểu thức A.
2 Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.

√
√
√
7+ 3
7− 3
1
1
Bài 28. Cho a =
,b=
. Tính S = 5 + 5 .
2
2
a
b
Bài 29 (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2014-2015).
Cho các số thực dương a, b với a 6= b. Chứng minh đẳng thức:
√

√
√
( a − b )3
√
√ 3 − b b + 2a a
√
a− b
3a + 3 ab
√
+
= 0.
√
b−a
a a−b b
Bài 30 (Đề thi vào Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai, 2017).
Cho biểu thức
√

 √
a+ a
1
a−1
√
√
P=
+
:
, với a ≥ 0, a 6= 1.
a+1
a a+a+ a+1 a+1
CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

18 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các số tự nhiên a khác 1 sao cho P nhận giá trị là một số nguyên.
Bài 31 (Toán 9 Học kỳ 1 năm học 2017-2018, Đống Đa, Hà Nội).
Cho biểu thức
√
√
√
3x + 9x − 3
x+1
x−2
√
√ , với x ≥ 0, x 6= 1.
P=
−√
+
x+ x−2
x+2 1− x
1 Rút gọn biểu thức P.
2 So sánh P với
3 Tìm x để

√

P với điều kiện

√

P có nghĩa.

1
nguyên.
P

Bài 32. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn b 6= c,
a+b =

√

√

a+

√
a+

b−

√

b 6=

√

c và:

√ 2
c .

√
2
√
√
c
a− c
√
Chứng minh rằng:
√
√ 2 = b − √ c .
b+
b− c
a+

√

a−

Bài 33 (Đề thi HSG 9, tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu, năm 2018).
Cho biểu thức
√
√

 √

1
x − x − 11
x+1 x− x−4
√
√
P = x− √
+
: √
−
.
x−1
x+ x−2
x+2 x+ x−2
với x ≥ 0, x 6= 1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 34. Với số tự nhiên n ≥ 3, đặt:
Sn =

1
1
√

.
√
√  + √
√  +···+
n+ n+1
(2n + 1)
3 1+ 2
5
2+ 3
1



1
Chứng minh Sn < . 2 C. LỜI GIẢI CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 19 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 BÀI 5. BẢNG CĂN BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT B. BÀI TẬP 1. Bài tập cơ bản 2. Bài tập nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 20 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 BÀI 6. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Đưa thừa số ra√ngoài dấu căn. √ Với B ≥ 0, ta có: A2 .B = | A| B, hay: √ √  Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A2 .B = A B. √ √  Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì A2 .B = − A B. 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn. √ √  Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B = A2 .B. √ √  Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì A B = − A2 .B. 3. Trục căn thức ở mẫu. …  Với A, B mà A.B ≥ 0 và B 6= 0, ta có: √ A AB = . B | B| √ A A B .  Với A, B mà B > 0, ta có: √ =
B
B
 Với A ≥ 0 và A 6= B2 , ta có: √

C

C
A±B

=

√

A∓B


.

A − B2

 Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A 6= B, ta có:

√

C
A±

√

C
B

=

√

A∓

√ 
B

A−B

.

B. BÀI TẬP
1. Bài tập cơ bản
Bài 1 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Cần Thơ 2016).
p
√
1
√ + 7 − 4 3.
Rút gọn biểu thức A =
2− 3
Bài 2. Chứng minh:
√ √
√
√
( x y + y x )( x − y)
= x − y, với x > 0 và y > 0.
a)
√
xy
√
√
x3 − 1
b) √
= x + x + 1, với x ≥ 0 và x 6= 1.
x−1
Bài 3. Cho biểu thức:

K=

1
1
√
−√
a−1
a

 √
a+1
: 2
( a > 0, a 6= 1).
a −a
CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

21 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
a) Rút gọn biểu thức K.
√
b) Tìm a để K = 2017.
Bài 4 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Đồng Nai, 2017).
Cho a > 0 và a 6= 4. Rút gọn biểu thức

√
 

√
√
4
a−2
a+2
.
.
−√
a− √
T= √
a+2
a−2
a

Bài 5. Cho biểu thức M =

1
7
√
+
x+2 x−4

 √

x−1
: √
−1 .
x−2

1 Rút gọn M.

√

2 Tính giá trị của M khi x = 7 + 4 3.
3 Tìm x để M < 2. Bài 6. Cho các biểu thức √ √ √ 2 x 7 x+3 x+1 x+7 +√ A= +√ và B = √ 9−x x+3 x−3 3 x ( x > 0; x 6= 9).

1 Tính giá trị của biểu thức B khi x = 25.
2 Rút gọn biểu thức A.
3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A · B.

2. Bài tập nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi
Bài 7 (Đề thi vào 10, Chuyên An Giang, 2017).
13
Cho x = p
√ . Tính giá trị của biểu thức A = x2 − 8x + 15.
19 + 8 3
Bài 8 (HSG Lớp 9 Bến Tre, 2018). Rút gọn biểu thức
√ 
√ 
√ 
√ 
2 3+ 5
2 3− 5
p
p
A= √
√ + √
√ .
2 2+ 3+ 5 2 2− 3− 5
Bài 9. Cho biểu thức:


M=

1
1
√
+
x+1 x−1

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M xác định?
b) Rút gọn biểu thức M.
1
c) Tính giá trị của biểu thức M khi x = .
4
√
d) Với x > 1, tìm giá trị nhỏ nhất của M.
CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA


:

2
√ .
x+ x

22 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
Bài 10 (Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Hưng Yên, 2017).
Cho biểu thức
√
√
2 x−1 2 x+1
− √
, với x ≥ 0, x 6= 1.
P= √
x−1
x+1
a) Rút gọn biểu thức P.
3
b) Tìm các giá trị x để P = .
4

√
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = ( x − 4)( x − 1) P.

Bài 11 (Đề thi vào 10, Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, 2016 – V1).
Cho biểu thức
√
√
√
2 x
x + 1 3 − 11 x
, với x ≥ 0, x 6= 9.
A= √
+√
+
9−x
x+3
x−3
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để có: A ≥ 0.
Bài 12 (Thi vào 10 chuyên Toán, Chuyên Nguyễn Tất Thành, Kon Tum 2017).
Cho biểu thức
x
x+y
y
+√
− √
M= √
( x > y > 0) .
xy − x
xy + y
xy
a) Rút gọn M.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của N = x2 −

M
, với x > y > 0.
y( x + y)

Bài 13 (Đề thi√HSG 9, Đà Nẵng, năm 2018).
1 + 11
2
√ +
√
Tính A =
2 + 11
18 − 5 11
Bài 14 (Đề thi HSG 9, Đà Nẵng, năm 2018).
Cho biểu thức
√

 √
x+2
x
x−1
1
√
√
√
√ , với x > 0, x 6= 1.
A=
+
+
:
x x−1 x+ x+1 1− x
2 x
2
Rút gọn A và chứng minh A < . 3 C. LỜI GIẢI CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 23 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 BÀI 7. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các công thức sau: √  A2 = | A |. √ √ √  AB = A B (với A ≥ 0 và B ≥ 0). √ … A A = √ (với A ≥ 0 và B > 0).

B
B
√
√
 A2 B = | A| B (với B ≥ 0).
√
√
 A B = A2 B (với A ≥ 0 và B ≥ 0).
√
√
 A B = − A2 B (với A < 0 và B ≥ 0). … A 1 √  = AB (với AB ≥ 0 và B 6= 0). B | B| √ A A B (với B > 0).
 √ =
B
B
√
C
C ( A ∓ B)
 √
=
(với A ≥ 0 và A 6= B2 ).
A − B2
A±B
√
√
C
C ( A ∓ B)
√ =
 √
(với A ≥ 0, B ≥ 0 và A 6= B).
A−B
A± B

B. BÀI TẬP
1. Bài tập cơ bản
Bài 1. Cho b > 0 và b 6= 4.
!
√
√
√
b
b
1
4 b−1
a) Rút gọn biểu thức: B = √
−√
+
: √
.
b−4
b+2
b−2
b+2
√
b) Tính giá trị của biểu thức B tại b = 6 + 4 2.
√
√
x
10 x
5
Bài 2. Cho A = √
−
−√
, với x ≥ 0, x 6= 25.
x − 5 x − 25
x+5
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = 9.
1
c) Tìm x để A < . 3 CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 24 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Bài 3. Cho biểu thức:  √  x 1 1 P= √ +√ + ( x − 4) , với x ≥ 0, x 6= 4. x+2 x−2 x−4 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 2. Bài tập nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi  Bài 4. Cho biểu thức: A = √ √ √  x+2 x−2 x √ : √ − , với x > 0 và x 6= 1.
x−1
x+2 x+1
x+1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.
Bài 5. Cho biểu thức:

√
2( x + 4)
x
8
√
+√
−√
, với x ≥ 0, x 6= 16.
B=
x−3 x−4
x+1
x−4
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên.
Bài 6. Cho biểu thức:

√
√
√
3 x+ x−1
x+1
x+2
√
A=
−√
−√
.
x+ x−2
x+2
x−1
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa và rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x nguyên để A là số nguyên.
Bài 7. Cho biểu thức:
√
√ 
√
 √
2x x + x − x x + x
x−1
x
√
√
·
M=
−
+ √
.
x−1
x x−1
2x + x − 1 2 x − 1
a) Tìm x để M có nghĩa.
b) Rút gọn M.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 8. Rút gọn biểu thức

√
√
√
√
a a−b b a a+b b
A= √
√ + √
√ −
a b−b a a b+b a

…

a
−
b

… !
b
a

√
√ !
√
√
a+ b
a− b
√ +√
√
√
a− b
a+ b

trong đó a, b là các số thực dương phân biệt.
s √
s√
3 3−4
3+4
√
√ .
Bài 9. Rút gọn biểu thức: A =
+
2 3+1
5−2 3
CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

25 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
Bài 10. Cho biểu thức:
Q=

!
√
√
√
x2 x + x2 − x − 1
1
x+3 x−4

·
√
√
−
.
x + 1 ( x 2 − 1)
x+1
x+4

a) Với giá trị nào của x thì Q xác định.
b) Rút gọn Q.

√
c) Tìm giá trị của x để Q = 2012 x − 2012.
Bài 11. Rút gọn biểu thức:
√
√
√
x x − 2x + 28
x−4
x+8
√
√ ( x ≥ 0, x 6= 16) .
A=
−√
+
x−3 x−4
x+1 4− x
Bài 12. Rút gọn biểu thức:
»
i
h»
p
√
2 + 4 − x2
(2 + x )3 − (2 − x )3
√
, với −2 ≤ x ≤ 2.
A=
4 + 4 − x2
Bài 13 (Đề thi HSG 9, tỉnh Vĩnh Long, năm 2018).
√ !3
√ !3
3+ 5
3− 5
a) Tính giá trị của biểu thức A =
+
.
2
2
√
√
x−3 2 x−1
x−2
√
b) Cho biểu thức P = √
− √
+
. Tìm x để P ≥ 2.
x−2
x−1
x−3 x+2
Bài 14 (Đề thi HSG 9, tỉnh Vĩnh Phúc, năm 2018).
Rút gọn biểu thức
√
 √
 √
a + 2018
a − 2018
a+1
√
−
· √ .
P=
a−1
a+2 a+1
2 a
Bài 15 (Đề thi HSG 9, tỉnh Hải Dương, năm 2018).
Cho
√
√
x2 − x
x2 + x
√
√
A=
+
.
x+ x+1 x− x+1
p
√
1
Rút gọn biểu thức B = 1 − 2 · A − 4 x + 1, với 0 ≤ x ≤ .
4
Bài 16 (Đề thi HSG 9, tỉnh Thừa Thiên Huế, năm 2018).
p
√
2×4 − 25×3 + 61×2 − 36x + 6078
48 − 24 3. Tính giá trị của F =
.
2×4 − 25×3 + 61×2 − 36x + 27
√
√ 
 √
 
x x−1 x x+1
3− x
√ −
√
b) Cho biểu thức P =
: 1− √
. Tìm các giá trị của x để
x− x
x+ x
x+1
P < 1. a) Cho x = Bài 17 (Đề thi HSG, Thanh Hóa, năm 2018). Cho biểu thức √ √ √ x−2 x x+1 1 + 2x − 2 x √ + √ P= √ + √ , với x > 0, x 6= 1.
x x−1 x x+x+ x
x2 − x
Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.
CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

26 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
Bài 18 (Đề thi HSG, Thanh Hóa, năm 2018).
Tính giá trị của biểu thức
P=
tại x =

4( x + 1) x2018 − 2×2017 + 2x + 1
2×2 + 3x

3
− √
.
2 3−2 2 3+2

√

1

Bài 19 (Đề thi HSG 9, tỉnh Hà Nam, năm 2018).
Cho biểu thức
√
√
√
√ 

1+2 x
2x + 3 x + 1 2x x + 3x + x
√ :
√
với x ≥ 0; x 6= 1.
+
P=
1−x
(1 + x )(1 − x )
1+x x
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để P có giá trị nguyên.

C. LỜI GIẢI

CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

27 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

BÀI 8. CĂN BẬC BA
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa. Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a, khi đó, ta kí hiệu: x =
2. Tính chất.
√
√
√
√

3
3
3
3
a = a;
a3 = a;
a < b ⇔ 3 a < b; √ … 3 √ √ √ a 3 3 3 3 a =√ ab = a b; ( b 6 = 0). 3 b b √ 3 a. B. BÀI TẬP 1. Bài tập cơ bản Bài 1. Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hãy tính: … √ √ √ 8 3 3 3 . 8; 3 −27; 0; − 125 Bài 2. Tìm x biết: √ a) 3 x = 4; b) √ 3 1 x=− ; 3 c) √ 3 x − 2 = 1. Bài 3. So sánh: √ a) 7 và 3 345; √ √ b) 2 3 6 và 3 3 2. √ √ Bài 4. Cho a < 0. Hỏi số nào lớn hơn trong hai số: 3 4a và 3 5a. 2. Bài tập nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi Bài 5. Rút gọn biểu thức: p 3 x5 ( x4 − 3×3 + 3×2 − x ). Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đó đã xác định): a) A = √ 3 c) B a+b a−b √ √ −√ ; 3 3 3 a− b a+ b = √ 3 2 √ 3 a− b ; √ a+b 3 √ − ab √ 3 3 a+ b ! : a− √ 3 √ 3 √ 3 a −1 − a 5 √ √ b) C = √ −√ ; 3 3 3 2 3 a − a4 a + a −1 √ √ p √ 3 x −2 3 x − y x 3 + y3 d) D = » : √ √ . 3 2 x x − y y 2 ( x − xy) √ 3 a7 Bài 7. Cho biểu thức: 8−x √ : A= 2+ 3 x √ 3 2+ 2+ x2 √ 3 ! x  + √ 3 √ √  3 23 x x2 − 4 √ x+ √ · √ . 3 3 x−2 x2 + 2 3 x Với x 6= 8, x 6= −8, x 6= 0. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào x. CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 28 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Bài 8 (Đề thi vào 10, Chuyên Lương Văn Tuỵ, Ninh Bình, 2017). Cho √ √ √ 3 a a+1 5 a+2 +√ + ( a ≥ 0, a 6= 4). P= √ 4−a a+2 a−2 a) Rút gọn biểu thức P; √ 84 + 9 √ 84 . 9 √ Bài 9. Hãy tìm một đa thức bậc ba, hệ số nguyên nhận 3 −5 làm nghiệm. … 3 Bài 10. Hãy tìm một đa thức bậc ba, hệ số nguyên nhận 3 làm nghiệm. 2 √ 3 Bài 11. Hãy tìm một đa thức bậc ba, hệ số nguyên nhận 2 − 1 làm nghiệm. p p √ √ 3 3 Bài 12. Chứng minh rằng 5+2− 5 − 2 là số nguyên. … … 3 5 3 5 25 64 25 64 Bài 13. Chứng minh rằng + + + − + = 1. 2 4 27 2 4 27 Bài 14 (Malaysia National Olympiad 2010). Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên m, n (n 6= 0) sao cho »√ »√ m 3 3 = 50 + 7 − 50 − 7. n q q » » 3 2 4 2 Bài 15. Cho x, y thỏa mãn: x + x y + y2 + 3 y4 x2 = a. Chứng minh rằng: b) Tính giá trị biểu thức P khi a = 3 1+ √ 3 x2 + » 3 3 1− y2 = √ 3 a2 . 1 1 1 + + = 1 thì x y z » √ √ √ 3 3 ax2 + by2 + cz2 = 3 a + b + 3 c. Bài 16. Chứng minh rằng nếu ax3 = by3 = cz3 và Bài 17. Hãy tính A = 2×3 + 2×2 + 1, với:  √ 1  3 23 + 513 x= + 3 4 Bài 18. Cho f ( x ) = 2×3 − 21x − 29 x=
2018 3 23 − 3 √  513 4 − 1 . . Tính f ( x ) tại … 7+ 49 + 8 3 … 7− 49 . 8 Bài 19. Tính x + y biết rằng x và y thỏa mãn:    » p x + x2 + 2017 y + y2 + 2017 = 2017. CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 29 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 » » p p Bài 20. Cho x, y thỏa mãn: x = 3 y − y2 + 1 + 3 y + y2 + 1. Tính giá trị biểu thức: x4 + x3 y + 3×2 + xy − 2y2 + 1. Bài 21 (Đề thi HSG 9, tỉnh Quảng Ninh, năm 2018). Rút gọn biểu thức » √ p √ √ √ 3 3 2 + 7 + 2 10 + 3 3 4 − 3 3 2 − 1 √ √ . 5+ 2+1 Bài 22 (Đề thi HSG 9, tỉnh Thái Bình, năm 2018). p √ √ 3 ( 5 − 1) 16 + 8 5 Cho x = p √ √ . Tính giá trị biểu thức A = (77×2 + 35x + 646)2017 . 3 10 + 6 3 − 3 √ √ Bài 23. Hãy tìm một đa thức bậc ba, có hệ số nguyên nhận và số 1 − 3 2 + 3 4 làm nghiệm. √ √ Bài 24. Tìm đa thức không đồng nhất không, bậc nhỏ nhất có hệ số nguyên nhận 1 − 3 2 + 3 4 làm nghiệm. C. LỜI GIẢI CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 30 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 ÔN TẬP CHƯƠNG I D. ĐỀ BÀI Bài 1 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Bình Thuận, 2017). Cho biểu thức: √ √ √ √ A = 2 5 + 3 45 − 500, B = 20. Tính tích A.B? Bài 2. Thực hiện phép tính a) √ √ 7√ 12 − 2 48 + 75. 5 b) … 3+ √ 2 p √ 2 + 6 − 4 2. Bài 3. 1) Thực hiện các phép tính: √ A = 2 50 − 2) Tìm x biết rằng √ √ 9x − 27 + … 128 + 8 √ 1 ; 2 B= √ 2 5+1 −√ 2 5−1 . x − 3 = 16. 3√ 4x − 8 = 1. 2 Bài 5 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Long An, 2017). Bài 4. Tìm x biết √ 25x − 50 + √ x−2− √ √ √ a) Rút gọn: 3 75 − 12 3 + 12. √ √ x−2 x+1 x+x √ − √ . b) Rút gọn: N = x−1 x √ c) Giải phương trình: 4×2 − 12x + 9 = 9. Bài 6 (Thi vào 10 THPT…Chuyên Hưng Yên 2019). …  √ 2 √ 1 Rút gọn biểu thức A = 2 2 − 5 + 20 + 20 . 5 Bài 7 (Đề thi vào 10, Sở GD-ĐT Bắc Ninh, 2017). Rút gọn biểu thức 1 1 x−2 √ −√ +√ , với x > 0.
P=
x+2 x
x
x+2
Bài 8 (Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Gia Lai, 2017).
Rút gọn biểu thức
√  
 √

√
x
x
1
P= √
+√
.
x− √
, với x > 0, x 6= 1.
x+1
x−1
x
Bài 9 (Tuyển sinh 10, Hải Phòng 2019).
Cho hai biểu thức
√
√ 
√ √
A= 3
3 − 3 12 + 2 27
√  
√ 

x+ x
x− x
B = 1+ √
· 1− √
(với x > 0, x 6= 1).
x+1
x−1
CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

31 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
1 Rút gọn biểu thức A và B.
2 Tìm các giá trị của x sao cho A · B ≤ 0.

Bài 10 (Toán 9 kỳ 1, Chu Văn An, Tây Hồ, Hà Nội, 2018-2019).
Giải các phương trình sau:

√
1

√
3

…
2√
1√
x−2
2
x − 2−
9x − 18 + 6
= −4.
3
3
81
p
√
√
4
x − 2 x − 1 = x − 1.

6x − 2 = 4.
9×2 + 12x + 4 = 4x.

Bài 11 (Thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Hòa Bình, 2016 – 2017).
Rút gọn các biểu thức sau:
q
√
√
»
√
√
x y−y x
x−y
A = 6 + 2 5 − 29 − 12 5;
B=
+√
√
√ .
xy
x− y

Bài 12. Cho biểu thức P =

√

  √
4 x
8x
2
x−1
√ +
√ −√
với x > 0, x 6= 4, x 6= 9.
:
2+ x 4−x
x−2 x
x

1 Rút gọn P.
2 Tính giá trị của P khi x = 25.
3 Với x > 9, tìm giá trị nhỏ nhất của P.

√

s √
√
2
5 3+3 5
√ ·
√
√ .
Bài 13. Rút gọn biểu thức: A = √
3+ 5
5 3−3 5
√
√
√
x+1
x+2
x−8
√
Bài 14. Cho hai biểu thức A = √
và B = √
+
với x ≥ 0, x 6= 4,
x−2
x−3
x−5 x+6
x 6= 9.
1 Tính giá trị biểu thức A khi x =

1
.
4

2 Rút gọn biểu thức B.
3 Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để B < A. Bài 15 (Đề thi HSG 9, tỉnh Quảng Trị, năm 2018). Rút gọn biểu thức » » √ √ P = 109 − 36 7 + 109 + 36 7. Bài 16 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Quãng Ngãi, 2017). Cho a là số thực dương lớn hơn 1 và » » p p 2 x = a + a − 1 + a − a2 − 1. Tính giá trị biểu thức P = x3 − 2×2 − 2 ( a + 1) x + 4a + 2021. CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 32 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Bài 17. Rút gọn biểu thức: … … q q q » » » » √ √ √ √ A = 2 + 3. 2 + 2 + 3. 2 + 2 + 2 + 3. 2 − 2 + 2 + 3. Bài 18. Rút gọn biểu thức sau: √   x−3 x 1 6 · √ A= +√ , với 0 < x 6= 9. x−9 x+3 x Bài 19 (Đề thi vào lớp 10 chuyên của Tp Hồ Chí Minh năm học 2013-2014). Rút gọn biểu thức sau:  √  √ x x+3 3 +√ A= √ · , với x ≥ 0, x 6= 9. x+9 x+3 x−3  Bài 20. Cho biểu thức P = √    2 2 a+1 1 √ +1 . 2− √ . Tìm giá trị của a để P = . 2 a−1 a+1 Bài 21 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Lâm Đồng, 2017). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x− √ 1 x − 2017 + . 4 2×2 + 4 1 1 √ − √ , với 0 ≤ x 6= 1. Bài 22. Cho biểu thức A = − 2 1−x 1− x 1+ x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x sao cho A = −2. √ Bài 23. Rút gọn biểu thức: A = √ a ab − b √ +√ ! b ab − a  √ √  a b − b a , với a > 0, b > 0 và

a 6= b.
Bài 24. Với x > 0, cho hai biểu thức:
√
√
√
2+ x
x−1 2 x+1
√ .
A= √
, B= √
+
x
x
x+ x
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 64.
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm x để

A
3
> .
B
2

Bài 25 (Đề thi vào 10, Chuyên Bắc Ninh, 2017).
Cho các biểu thức
√
√
√
2x − 3 x − 2
x3 − x + 2x − 2
√
√
P=
, Q=
, với x ≥ 0; x 6= 4.
x−2
x+2
CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

33 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
1 Rút gọn các biểu thức P và Q.
2 Tìm tất cả giá trị của x để P = Q.

Bài 26 (Đề thi HSG 9, tỉnh Lâm Đồng, năm 2018).
Rút gọn biểu thức
»
√
√
√
6 + 8 + 12 + 24.
Bài 27 (Đề thi HSG 9, tỉnh Kon Tum, năm 2018).
Rút gọn biểu thức
√
√
4− 5
4+ 5
p
p
P= √
√ +√
√ .
2+ 3+ 5
2− 3− 5
Bài 28. Cho biểu thức:

√
√
√
2 x + 13
x−2 2 x−1
√
A=
+√
− √
(với x ≥ 0) .
x+5 x+6
x+2
x+3
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
c) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên.
Bài 29 (Đề thi HSG 9, tỉnh Phú Yên, năm 2018).
Tính giá trị của
√
√
2− 3
2+ 3
p2
p2
P=
√ +
√ .
4+2 3
4−2 3
1+
1−
2
2
√
√
a−2
3a + 9a − 3
1
√
Bài 30. Cho biểu thức: P =
−√
+√
− 1.
a+ a−2
a−1
a+2
a) Rút gọn P.
b) Tìm a nguyên để biểu thức P nguyên.
Bài 31. Cho biểu thức
A=

!
√
x + 9x − 1
1
1
1
√
−√
−√
:
(với x ≥ 0, x 6= 1).
x−1
x+ x−2
x−1
x+2

1 Rút gọn biểu thức A.
2 Tìm số tự nhiên x để

1
là số tự nhiên.
A

Bài 32 (Thi vào 10 chuyên toán, THTH, ĐHSP Tp HCM năm học 2013-2014).
Cho biểu thức:
√
√
3x + 5 x − 11
x−2
2
√
P=
−√
+√
− 1, với x ≥ 0 và x 6= 1.
x+ x−2
x−1
x+2
a) Rút gọn P.
CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

34 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
b) Tìm x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 33. Cho biểu thức:
√  √  √
√ 
√
√
√ √
a + 2a − 3b + 3b 2 a − 3b − 2 2a
2 a
√
√
M=
.
a 2 + 3ab
a) Tìm điều kiện của a, b để M xác định và rút gọn M.
√
√
11 8
.
b) Tính giá trị của M khi a = 1 + 3 2, b = 10 +
3
Bài 34. Cho biểu thức:
P=

!
√
x+8
x−1
√
+
:
3 + x − 1 10 − x

!
√
1
3 x−1+1
√
−√
.
x−3 x−1−1
x−1

a) Rút gọn P.
s
b) Tính giá trị của P khi x =

4

s
√
√
3+2 2
2
4 3−2
√ −
√ .
3−2 2
3+2 2

Bài 35. Cho biểu thức:



M=

2


3

 2019
1
1

+
·
.
2
2 
 √
 √
2 x+1
2 x−1  x+1
√
√
1+
1+
3
3

Tìm x để M có nghĩa, khi đó hãy rút gọn biểu thức M và tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài 36 (Thi vào 10 chuyên toán, Chuyên Trần
Rút gọn biểu thức:
 √
x
x−3
√
A= √
−
−
x−2 x+2 x+4

Phú – Hải Phòng, 2013-2014).

√
√

7 x + 10
x+7
√
√
.
:
x x−8
x+2 x+4

Bài 37 (Đề thi vào lớp 10 chuyên toán của tỉnh Yên Bái).
Cho biểu thức:
P=

√
√ 
!
√
( a − 1)
a− b
3 a
3a
1
√
√ +√
√
√
− √
:
.
a + ab + b a a − b b
a− b
a + ab + b

a) Tìm điều kiện của a, b để P có nghĩa rồi rút gọn P.
b) Tìm số nguyên dương a để Q = P(3a + 5) nhận giá trị nguyên.
Bài 38. Tìm x, y, z biết

√

x+1+

p

y−3+

√

z−1 =

1
( x + y + z ).
2

Bài 39 (Đề thi HSG 9, tỉnh Lào Cai, năm 2018).
Cho
√
√
x+ x
x−1
x2 + x
√
P( x ) =
+ √
−√
, với x > 0.
x− x+1
x
x+1
CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

35 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
a) Rút bọn biểu thức P( x ).

√
7 x
.
b) Với x > 0 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P( x )
Bài 40 (Đề thi HSG9, Đà Nẵng, năm
√ 2018).
 √
x+2
x
x−1
1
√
√
√
√ , với x > 0, x 6= 1. Rút gọn
Cho biểu thức A =
:
+
+
x x−1 x+ x+1 1− x
2 x
2
A và chứng minh A < . 3 Bài 41 (Đề thi HSG 9, tỉnh Ninh Bình, năm 2018). Cho biểu thức √ √ √ a + 1 a a − 1 a2 − a a + a − 1 √ + √ √ M= √ + , với a > 0, a 6= 1.
a
a− a
a−a a
a) Rút gọn M.
b) Chứng minh rằng M > 4.
c) Tìm các giá trị của a để biểu thức N =

9
có giá trị nguyên.
M

Bài 42 (Đề thi HSG 9, tỉnh Quảng Bình, năm 2018).
a) Rút gọn biểu thức
P=

! 
√
√
√
√ 
3x + 16x − 7
x+1
x+7
x
√
−√
−√
: 2− √
,
x+2 x−3
x+3
x−1
x−1

với x > 0, x 6= 1, x 6= 4.
b) Cho a = p

13

√ . Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức:
19 + 8 3
a4 − 6a3 − 2a2 + 18a + 23
A=
.
a2 − 8a + 15

Bài 43 (Đề HSG9, Quảng Nam, 2017-2018).
Cho biểu thức
x+8
1
√
A= √
+
+
x x+8 x−2 x+4

p

√
x+4−4 x
, với 0 ≤ x ≤ 4.
x−4

Rút gọn biểu thức A. Tìm các số nguyên x để A là số nguyên.
Bài 44 (Đề thi HSG 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm 2018).


√
√
√
x−3
x x−3
x+3 2
√
√ − √
1. Cho biểu thức C =
+
với x ≥ 0, x 6= 9.
x−2 x−3 3− x
x+1
a) Rút gọn biểu thức C.
b) Tìm x để biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất.
CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

36 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679
2. Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗ thì
D=

1
2
3
1
+
+
+···+
< 1. 2 4 2 4 2 4 1+1 +1 1+2 +2 1+3 +3 1 + n2 + n4 Bài 45 (Đề thi HSG 9, tỉnh Sơn La, năm 2018). √ √ x2 + x 2x + x √ 1) Cho biểu thức P = − √ +1 x− x+1 x a) Rút gọn P. b) Biết 0 < x < 1, hãy so sánh P với | P|. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 2) Cho f ( x ) = 2×3 − 21x − 29 Bài 46. Tìm số x nguyên để Bài 47. Tìm số x nguyên để √ √
2018 . Tính f ( x ) tại x = 3 … 7+ 49 + 8 3 … 7− 49 . 8 x2 + x + 3 là số hữu tỉ. x2 + x + 13 là số hữu tỉ. Bài 48 (Đề thi HSG 9, tỉnh Hưng Yên, năm 2018). 1 1 1 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện + = . Chứng minh rằng a b 2018 √ √ √ a + b = a − 2018 + b − 2018. Bài 49 (Đề thi HSG 9, tỉnh Kiên Giang, năm 2018). Rút gọn biểu thức sau … … … … 1 1 1 1 1 1 1 1 + . X = 1+ 2 + 2 + 1+ 2 + 2 + 1+ 2 + 2 +···+ 1+ 2 1 2 2 3 3 4 2017 20182 Bài 50 (Đề thi vào 10, Chuyên Hưng Yên Vòng 2, 2016). 1 Đặt a = √ 2, b = √ 3 2. Chứng minh: 1 1 a b − = a + b + + + 1. a−b b b a 2 Cho x = p √ 3 28 + 1 − p √ 3 28 − 1 + 2. Tính giá trị của biểu thức P = x3 − 6×2 + 21x + 2016. Bài 51 (HSG 9-Tỉnh Hải Dương – 2019). √ √ √ √ y x 3 z √ √ 1 Cho P = √ +√ +√ và xyz = 9. Tính 10P − 1. √ yz + y + 1 xy + x + 3 xz + 3 z + 3 √ 2 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: x + y + z + xyz = 4. Chứng minh rằng » » » √ x (4 − y)(4 − z) + y(4 − z)(4 − x ) + z(4 − x )(4 − y) = 8 + xyz. CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 37 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Bài 52 (Đề thi vào 10, Chuyên Lương Văn Tuỵ, Ninh Bình, 2017). Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 2018. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a b c √ √ √ P= + + . a + 2018a + bc b + 2018b + ca c + 2018c + ab Bài 53. Cho x, y, z là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn: » p p 3 3 (y − z) 1 − x3 + (z − x ) 3 1 − y3 + ( x − y) 1 − z3 = 0. Chứng minh rằng: (1 − x3 )(1 − y3 )(1 − z3 ) = (1 − xyz)3 . Bài 54 (Đề thi HSG 9, tỉnh Lâm Đồng, năm 2018). Cho a > 0, b > 0. Chứng minh

√

…
a

a
−1
b



≥

√

… !
b
b 1−
.
a

Bài 55. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m, n ta có:
m √
1
√
− 2 ≥
√ .
n
2
n
3+ 2

(1)

Bài 56 (Đề thi vào 10 chuyên Thái Nguyên, 2017).
√
Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu an là số nguyên gần n nhất. Ví dụ: a1 = 1, a2 = 1,
a3 = 2, a4 = 2, a5 = 2, a6 = 2, a7 = 3. Tính giá trị của tổng
S=

1
1
1
1
1
+ + +···+
+
.
a1 a2 a3
a2017 a2018

Bài 57 (Thi vào 10 chuyên Toán, Chuyên Nguyễn Tất Thành, Kon
√
√Tum 2017).
Xét 2020 số thực x1 , x2 , . . . , x2020 chỉ nhận một trong hai giá trị 2 − 3 và 2 + 3. Hỏi biểu
1010

thức ∑ x2k−1 x2k có thể nhận bao nhiêu giá trị nguyên khác nhau?
k =1

√
√
Bài 58. Tìm một đa thức bậc bốn, hệ số nguyên nhận 1 + 2 + 3 làm một trong các nghiệm
của nó.
√
√
Bài 59. Tìm một đa thức bậc sáu với hệ số nguyên nhận 2 + 3 3 là nghiệm.
√
Bài 60. Cho trước số hữu tỉ m sao cho 3 m là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để
√
√
3
a m2 + b 3 m + c = 0.
(1)
√
√
Bài 61. Chứng minh rằng nếu u, v ∈ Q và s = u 3 3 + v 3 9 ∈ Q thì u = v = 0.

E. LỜI GIẢI

CHƯƠNG 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA