500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc

Giới thiệu 500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc 500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc.

Tài liệu môn Toán và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu 500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán học sinh giỏi tại đây

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang ♦♦♦♦♦ Vĩnh Long, Xuân Mậu Tý, 2008 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc ♦♦♦♦♦ 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 a 2 + (1− b) + b 2 + (1− c) + c 2 + (1− a ) ≥ 3 2 . 2 Komal 2. [ Dinu Serbănescu ] Cho a, b, c ∈ (0,1) . Chứng minh rằng abc + (1− a )(1− b)(1− c) < 1 . Junior TST 2002, Romania 3. [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng b+c c +a a +b + + ≥ a + b + c + 3. a b c Gazeta Matematică 4. Nếu phương trình x 4 + ax3 + 2 x 2 + bx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thực, thì a 2 + b2 ≥ 8 . Tournament of the Towns, 1993 5. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x3 + y 3 + z 3 − 3xyz . 6. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng ax + by + cz + 2 ( xy + yz + zx )(ab + bc + ca ) ≤ a + b + c . Ukraine, 2001 7. [ Darij Grinberg] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 2 (b + c) + b 2 (c + a ) + c 2 ( a + b) ≥ 9 . 4 (a + b + c) 8. [ Hojoo Lee ] Cho a, b, c ≥ 0 . Chứng minh rằng a4 + a2b2 + b4 + b4 + b2c2 + c4 + c4 + c2a2 + a4 ≥ a 2a2 + bc + b 2b2 + ca + c 2c2 + ab . Gazeta Matematică 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 2 . Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b . JBMO 2002 Shortlist 10. [ Ioan Tomescu ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng xyz 1 ≤ 4. (1 + 3x)( x + 8 y )( y + 9 z )( z + 6) 7 2 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang Gazeta Matematică 11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 5 (a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 6 (a 3 + b 3 + c3 ) +1 . 12. [ Mircea Lascu ] Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ ℝ , n ≥ 2, a > 0 sao cho x1 + x2 + … + xn = a, x12 + x22 + … + xn2 ≤ a2 . n −1 Chứng minh rằng  2a  xi ∈ 0,  , i = 1, 2,…, n .  n  13. [ Adrian Zahariuc ] Cho a, b, c ∈ (0,1) . Chứng minh rằng b a c b a c + + ≥1 . 4b c − c a 4c a − a b 4a b − b c 14. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≤ 1 . Chứng minh rằng a b c + + ≥ a +b+c . b c a 15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + x ≥ b + y ≥ c + z , a + b + c = x + y + z . Chứng minh rằng ay + bx ≥ ac + xz . 16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1+ 3 6 ≥ . a + b + c ab + bc + ca Junior TST 2003, Romania 17. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 b3 c 3 a 2 b 2 c 2 + + ≥ + + . b2 c2 a 2 b c a JBMO 2002 Shortlist 18. Cho x1 , x2 ,…, xn > 0, n > 3 thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 …xn = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + + … + >1. 1 + x1 + x1 x2 1 + x2 x3 1 + xn + xn x1 Russia, 2004 19. [ Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyz = 1 . Chứng minh rằng 1 a) xyz ≤ , 8 3 b) x + y + z ≤ , 2 3 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 3 c) xy + yz + zx ≤ ≤ x 2 + y 2 + z 2 , 4 1 d) xy + yz + zx ≤ + 2 xyz . 2 20. [ Marius Olteanu ] Cho x1 , x2 ,…, x5 ∈ ℝ sao cho x1 + x2 + … + x5 = 0 . Chứng minh rằng cos x1 + cos x2 + … + cos x5 ≥ 1 . Gazeta Matematică 21. [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = xyz . Chứng minh rằng xy + yz + zx ≥ 3 + x 2 + 1 + y 2 + 1 + z 2 + 1 . 22. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x, y , z > −1 . Chứng minh rằng 1+ x2 1+ y2 1+ z 2 + + ≥2. 1+ y + z 2 1+ z + x2 1+ x + y 2 JBMO, 2003 23. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a2 + b b2 + c c2 + a + + ≥ 2. b+c c+a a +b 24. Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn ñiều kiện a 4 + b 4 + c 4 ≤ 2 (a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≤ 2 (ab + bc + ca ) . Kvant, 1988 25. Cho x1 , x2 ,…, xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 1 + + … + = . x1 +1998 x2 +1998 xn +1998 1998 Chứng minh rằng n x1 x2 …xn ≥ 1998 . n −1 Vietnam, 1998 26. [Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 = xyz . Chứng minh rằng a) xyz ≥ 27, b) xy + yz + zx ≥ 27 , c) x + y + z ≥ 9 , d) xy + yz + zx ≥ 2 ( x + y + z ) + 9 . 27. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 3 . Chứng minh rằng x + y + z ≥ xy + yz + zx . 4 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang Russia 2002 28. [ D. Olteanu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a+b a b+c b c+a c 3 . + . + . ≥ . b + c 2a + b + c c + a 2b + c + a a + b 2c + a + b 4 Gazeta Matematică 29. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c c +a a+b b+c + + ≥ + + . b c a c +b a +c b+a India, 2002 30. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3(ab + bc + ca) a3 b3 c3 . + + ≥ 2 2 2 2 2 2 b − bc + c c − ac + a a − ab + b a +b +c Proposed for the Balkan Mathematical Olympical 31. [ Adrian Zahariuc ] Cho x1 , x2 ,…, xn là các số nguyên ñôi một phân biệt nhau. Chứng minh rằng x12 + x22 + … + xn2 ≥ x1 x2 + x2 x3 … + xn x1 + 2n − 3 . 32. [ Murray Klamkin ] Cho x1 , x2 ,…, xn ≥ 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x1 + x2 + … + xn = 1 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x12 x2 + x22 x3 + … + xn2−1 xn + xn2 x1 . Crux Mathematicorum 33. Cho x1 , x2 ,…, xn > 0 thỏa mãn ñiều kiện xk +1 ≥ x1 + x2 + … + xk với mọi k. Hãy tìm giá trị lớn nhất của hằng số c sao cho x1 + x2 + … + xn ≤ c x1 + x2 + … + xn . IMO Shortlist, 1986 34. Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn ñiều kiện a + x = b + y = c + z = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 + +  ≥ 3 .  ay bz cx  (abc + xyz ) Russia, 2002 35. [ Viorel Vâjâitu, Alexvàru Zaharescu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ab bc ca 1 + + ≤ (a + b + c) . a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 Gazeta Matematică 36. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a 3 (b + c + d ) + b3 (c + d + a) + c 3 (d + a + b) + d 3 (a + b + c) . 37. [ Walther Janous ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 5 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc x x + ( x + y )( x + z ) + Cao Minh Quang y y + ( y + z )( y + x ) + z z + ( z + x)( z + y ) ≤1 . Crux Mathematicorum 38. Cho a1 , a2 ,…, an , n ≥ 2 là n số thực sao cho a1 < a2 < ... < an . Chứng minh rằng a1a24 + a2 a34 + ... + an a14 ≥ a2 a14 + a3a24 + ... + a1an4 . 39. [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  a b+c c +a a +b b c  + + ≥ 4  + + .   b + c c + a a + b  a b c 40. Cho a1 , a2 ,..., an là các số nguyên dương lớn hơn 1. Tồn tại ít nhất một trong các số a1 a1 , a2 a3 ,..., an−1 an , an a1 nhỏ hơn hoặc bằng 3 3. Adapted after a well – known problem 41. [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy + yz + zx + 2 xyz = 1 . Chứng minh rằng 1 a) xyz ≤ , 8 3 b) x + y + z ≥ , 2 c) 1 1 1 + + ≥ 4( x + y + z) , x y z 2 (2 z −1) 1 1 1 , z = max { x, y, z } . d) + + − 4( x + y + z) ≥ x y z z (2 z +1) 42. [ Manlio Marangelli ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 3( x 2 y + y 2 z + z 2 x )( xy 2 + yz 2 + zx 2 ) ≥ xyz ( x + y + z ) . 3 43. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện max {a, b, c} − min {a, b, c} ≤ 1 Chứng minh rằng 1 + a 3 + b3 + c 3 + 6abc ≥ 3a 2b + 3b 2 c + 3c 2 a . 44. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng   1 1 1 a 2  b2  c2  27 + 2 + 2 + 2 +  ≥ 6 (a + b + c ) + +  .     a b c bc  ca  ab   a2 1 45. Cho a0 = , a k+1 = ak + k . Chứng minh rằng 2 n 1 1− < an < 1 . n TST Singapore 46. [ Călin Popa ] Cho a, b, c ∈ (0,1) thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng 6 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a b c 3 1− a 2 1− b2 1− c 2  . + + ≥ + +  b c  1− a 2 1− b 2 1− c 2 4  a 47. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x, y, z ≤ 1 thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 27 + + ≤ . 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 10 48. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 2 x + y + z = 1 . Chứng minh rằng 2 2 (1− x) (1− y ) (1− z ) ≥ 215 xyz ( x + y )( y + z )( z + x) . 49. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = x + y + z +2 . Chứng minh rằng a) xy + yz + zx ≥ 2 ( x + y + z ) , x+ y+ z≤ b) 3 xyz . 2 50. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 2 . Chứng minh rằng x + y + z ≤ xyz + 2 . IMO Shortlist, 1987 51. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ (0,1) và σ là một hoán vị của {1, 2,..., n} . Chứng minh rằng n    xi   n ∑  n    1 1 i=1   1 . ≥ +  ∑ 1− x   ∑ 1− x .x  . n  i=1 i i σ(i )    i=1    n 52. Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện i=1 n ∑ i=1 n xi ≥ (n −1) ∑ i=1 1 ∑ 1+ x = 1 . Chứng minh rằng i 1 . xi Vojtech Jarnik 53. [ Titu Vàreescu ] Cho n > 3 và a1 , a2 ,…, an là các số thực thỏa mãn ñiều kiện n ∑a ≥ n i i=1 n và ∑a 2 i ≥ n 2 . Chứng minh rằng i=1 max {a1 , a2 ,…, an } ≥ 2 . USAMO, 1999 54. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng a −b b−c c − d d −a + + + ≥0. b+c c +d d +a a +b 55. Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng x y + yx >1 . 7 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang France, 1996 56. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 4 (a + b + c −1) . MOSP, 2001 57. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a 2 + b2 + c2 )(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) ≤ abc (ab + bc + ca) . 58. [ D.P.Mavlo ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a + 1)(b +1)(c +1) 1 1 1 a b c . 3+ a +b + c + + + + + + ≥ 3 1 + abc a b c b c a Kvant, 1988 59. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,…, xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 …xn = 1 . Chứng minh rằng n  n 1 n .∏( x + 1) ≥ ∑ xi + ∑  . x   i=1 n n n n i i =1 i=1 i 60. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 1 1 d  a 3 + b3 + c3 + abcd ≥ min   , +  .   4 9 27     Kvant, 1993 61. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ∑ (1+ a ) (1 + b ) (a − c) (b − c) ≥ (1 + a )(1 + b )(1 + c )(a − b) (b − c) (c − a) . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AMM 62. [ Titu Vàreescu, Mircea Lascu ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 và α ≥ 1. Chứng minh rằng xα yα zα 3 + + ≥ . y+z z+x x+ y 2 63. Cho x1, x2 ,…, xn , y1, y2 ,…, yn ∈ ℝ thỏa mãn ñiều kiện x12 + x22 +… + xn2 = y12 + y22 +… + yn2 =1 . Chứng minh rằng  n  2 ( x1 y2 − x2 y1 ) ≤ 2 1− ∑ xi yi  .  i=1  Korea, 2001 64. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho a1 , a2 ,…, an là các số nguyên dương khác nhau từng ñôi một. Chứng minh rằng a12 + a22 + … + an2 ≥ 2n + 1 (a1 + a2 + … + an ) . 3 TST Romania 65. [ Călin Popa ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 8 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc a ( b c 3c + ab ) Cao Minh Quang + b ( c a 3a + bc ) + c ( a b 3b + ca ) ≥ 3 3 . 4 66. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn ñiều kiện (1 + a 2 )(1+ b2 )(1+ c 2 )(1 + d 2 ) = 16 . Chứng minh rằng −3 ≤ ab + bc + cd + da + ac + bd − abcd ≤ 5 . 67. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a 2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca) . APMO, 2004 68. [ Vasile Cirtoale ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện 0 < x ≤ y ≤ z, x + y + z = xyz + 2 . Chứng minh rằng a) (1− xy )(1− yz )(1− zx) ≥ 0 , b) x 2 y ≤ 1, x 3 y 2 ≤ 32 . 27 69. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≥ abc . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất ñẳng thức sau ñây là ñúng 2 3 6 2 3 6 2 3 6 + + ≥ 6, + + ≥ 6, + + ≥ 6 . a b c b c a c a b TST 2001, USA 70. [ Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = xyz . Chứng minh rằng ( x −1)( y −1)( z −1) ≤ 6 3 −10 . 71. [ Marian Tetiva ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 a3 − b3 b3 − c3 c 3 − a3 (a − b) + (b − c ) + (c − a ) + + ≤ . 4 a +b b+c c+a Moldova TST, 2004 72. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a5 − a 2 + 3)(b5 − b2 + 3)(c5 − c 2 + 3) ≥ (a + b + c)3 . USAMO, 2004 73. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện  n  n 1  2  x   k  ∑  = n +1 .  ∑  x  k =1 k  k =1 Chứng minh rằng  n 2   n 1  2  x   > n2 + 4 + . ∑ 2  k =1 k ∑  n (n −1) k =1 xk  74. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 9 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 3 ≥ (1 + a)(1 + b)(1 + c) . 75. [ Titu Vàreescu, Zuming Feng ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 ( 2a + b + c ) (2b + a + c) (2c + b + c) + 2 + 2 ≤8. 2 2 2 2 2a + (b + c) 2b + (a + c) 2c + (a + b) USAMO, 2003 76. Cho x, y là các số thực dương và m, n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng (n −1)(m −1)( x m+n + y m+n ) + (m + n −1)( x m y n + x n y m ) ≥ mn ( x m+n−1 y + y m+n−1 x) . Austrian – Polish Competition, 1995 77. Cho a, b, c, d , e là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abcde = 1 . Chứng minh rằng a + abc b + bcd c + cde d + dea e + eab 10 + + + + ≥ . 1 + ab + abcd 1 + bc + bcde 1 + cd + cdea 1 + de + deab 1 + ea + eabc 3 Crux Mathematicorum  π 78. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c ∈ 0,  . Chứng minh rằng  2  sin a.sin (a − b).sin (a − c ) sin b.sin (b − c ).sin (b − a ) sin c.sin (c − a ).sin (c − b) + + ≥0. sin (b + c ) sin (c + a ) sin (a + b) TST 2003, USA 79. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 4 + b4 + c 4 + a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ≥ a 3b + b3c + c 3a + ab3 + bc3 + ca 3 . KMO Summer Program Test, 2001 80. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu ] Cho a1 , a2 ,…, an > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện a1a2 …an = 1 . Hãy tìm hằng số kn nhỏ nhất sao cho (a 2 1 a1a2 + a2 )(a + a1 ) 2 2 + a2 a3 (a 2 2 + a3 )(a + a2 ) 2 3 + … + (a 2 n an a1 + a1 )(a12 + an ) ≤ kn . 81. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng ax + by + cz + 2 (a 2 + b2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 3 (a + b + c)( x + y + z ) . Kvant, 1989 82. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a b c  b c a 3 + + −1 ≥ 2  + +  .  b c a   a b c  83. [ Walther Janous ] Cho x1 , x2 ,…, xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x1 + x2 + … + xn = 1 . Chứng minh rằng   n   1 + 1  ≥  n − xi  . ∏ ∏   x  i=1  1− x  i=1  n i i Crux Mathematicorum 10 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 84. [ Vasile Cirtoaje, Gheoghe Eckstein ] Cho x1 , x2 ,…, xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 …xn = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + + … + ≤1 . n −1 + x1 n −1 + x2 n −1 + xn TST 1999, Romania 85. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ñiều kiện a2 +b2 +c2 +abc = 4 . Chứng minh rằng 0 ≤ ab + bc + ca − abc ≤ 2 . USAMO, 2001 86. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a +b +c 3 − abc ≤ max 3 {( ) ( 2 a− b , ) ( 2 b− c , c− a ) }. 2 TST 2000, USA 87. [ Kiran Kedlaya ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a + ab + 3 abc 3 a + b a + b + c ≤ a. . . 3 2 3 88. Tìm hằng số k lớn nhất sao cho với bất kì số nguyên dương n không chính phương, ta có (1+ n ) sin (π n ) > k . Vietnamese IMO Training Camp, 1995 3 89. [ Trần Nam Dũng ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa ñiều kiện ( x + y + z ) = 32 xyz . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức x4 + y4 + z 4 4 (x + y + z) . Vietnam, 2004 90. [ George Tsintifas ] Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 4 (a + b) (b + c) (c + d ) (d + a) ≥ 16a 2b2 c 2 d 2 (a + b + c + d ) . Crux Mathematicorum 91. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 và n là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (ab) n 1− ab (bc) n + 1− bc (ca) n + 1− ca . 92. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 3 . + + ≥ 3 a (1 + b) b (1 + c ) c (1 + a ) abc 1 + 3 abc ( ) 93. [Trần Nam Dũng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b2 + c 2 = 9 . Chứng minh rằng 11 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 (a + b + c) − abc ≤ 10 . Vietnam, 2002 94. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng          a + 1 −1b + 1 −1 + b + 1 −1c + 1 −1 + c + 1 −1a + 1 −1 ≥ 3 .             b  c   c  a   a  b  95. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n là số nguyên lớn hơn 2. Tìm số thực lớn nhất mn và số thực nhỏ nhất M n sao cho với các số thực dương bất kì x1 , x2 ,…, xn (xem xn = x0 , xn+1 = x1 ), ta có n mn ≤ ∑ i=1 xi ≤ Mn . xi−1 + 2 (n −1) xi + xi +1 96. [ Vasile Cirtoaje ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 9 + 2 + 2 ≥ . 2 2 2 2 x + xy + y y + yz + z z + zx + x (x + y + z) 2 Gazeta Matematică 97. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 (a3 +1)(b3 +1)(c 3 + 1)(d 3 +1) ≥ (1 + abcd )(1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 )(1 + d 2 ) . Gazeta Matematică 98. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 4 4 (a + b) + (b + c) + (c + a) ≥ 4 4 a + b4 + c4 ) . ( 7 Vietnam TST, 1996 99. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 . + + ≤ + + 1+ a + b 1+ b + c 1+ c + a 2 + a 2 + b 2 + c Bulgaria, 1997 100. [Trần Nam Dũng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 3 + + . a b c Vietnam, 2001 101. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy + yz + zx = 3 . Chứng minh rằng a b c ( y + z)+ ( z + x) + ( x + y) ≥ 3 . b+c c+a a +b 102. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 (b + c − a ) (c + a − b) (a + b − c) 3 + + ≥ . 2 2 2 (b + c) + a 2 (c + a) + b 2 (a + b) + c 2 5 Japan, 1997 12 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 103. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 ,…, an ≥ 0, an = min {a1 , a2 ,…, an } . Chứng minh rằng  a + a2 + … + an−1 n a1n + a2n + … + ann − na1a2 …an ≥ (n −1) 1 − an  .   n −1 104. [ Turkervici ] Cho x, y , z , t là các số thực dương. Chứng minh rằng x 4 + y 4 + z 4 + t 4 + 2 xyzt ≥ x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2t 2 + x 2 z 2 + y 2t 2 . Kvant 105. Cho a1 , a2 ,…, an là các số thực dương. Chứng minh rằng n  n 2 ij  a  ≤ aa . ∑ ∑ i  i=1  i , j=1 i + j −1 i j 106. Cho a1 , a2 ,…, an , b1 , b2 ,…, bn ∈ (1001, 2002) sao cho a12 + a22 + … + an2 = b12 + b22 + … + bn2 . Chứng minh rằng a 3 17 a13 a23 + + … + n ≤ (a12 + a22 + … + an2 ) . b1 b2 bn 10 TST Singapore 107. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng (a 2 + b2 )(b2 + c 2 )(c 2 + a 2 ) ≥ 8(a 2b2 + b2c 2 + c 2 a 2 ) 2 . 108. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abcd = 1 . Chứng minh rằng 1 2 (1 + a ) + 1 2 (1 + b) + 1 2 (1 + c) + 1 2 (1 + d ) ≥1. Gazeta Matematică 109. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 a b c + + ≥ + + . 2 2 2 2 2 2 b +c c +a a +b b+c c +a a +b Gazeta Matematică 110. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n số thực a1 , a2 ,…, an . Chứng minh rằng 2   2  a  ≤ ai + … + a j ) . (  ∑ ∑ i  i∈ℕ*  1≤i≤ j≤n TST 2004, Romania 111. [Trần Nam Dũng ] Cho x1 , x2 ,…, xn ∈ [−1,1] thỏa mãn ñiều kiện x13 + x23 + … + xn3 = 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x1 + x2 + … + xn . 112. [ Gabriel Dospinescu, Călin Popa ] Cho n số thực a1 , a2 ,…, an , n ≥ 2 thỏa mãn ñiều kiện a1a2 …an = 1 . Chứng minh rằng 13 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a12 + a22 + … + an2 − n ≥ 2n n n −1 (a1 + a2 + … + an − n) . n −1 113. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2a 2b 2c + + ≤ 3. a +b b+c c+a Gazeta Matematică 114. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng  1 ( xy + yz + zx)  + 2  ( x + y ) 1 + 2 ( y + z)  9 ≥ . 2 ( z + x)  4 1 Iran, 1996 115. [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 ,…, xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện n ∏(3x +1) ≤ 2 n i . i=1 Chứng minh rằng 1 n n ∑ 6 x +1 ≥ 3 . i=1 i 116. [ Suranyi ] Cho a1 , a2 ,…, an là các số thực dương. Chứng minh rằng (n −1)(a1n + a2n + … + ann ) + na1a2 …an ≥ (a1 + a2 + … + an )(a1n−1 + a2n−1 + … + ann−1 ) . Miklos Schweitzer Competition 117. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,…, xn > 0 thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 …xn = 1 . Chứng minh rằng n ∑ (x − x ) ≥ ∑ x 2 i j 1≤i≤ j≤n 2 i −n . i =1 A generazation of Tukervici’s Inequality 118. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a1 , a2 ,…, an < nhỏ nhất của biểu thức n ∑ i=1 1 và a1 + a2 + ... + an = 1, n > 2 . Tìm giá trị n −1 a1a2 …an . 1−(n −1) ai 119. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a1 , a2 ,…, an ∈ [0,1) thỏa mãn ñiều kiện a= a12 + a22 + … + an2 3 ≥ . n 3 Chứng minh rằng a a1 a na . + 2 2 + … + n 2 ≥ 2 1− a1 1− a2 1− an 1− a 2 120. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 14 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang (a + b + c)( x + y + z ) = (a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) = 4 . Chứng minh rằng abcxyz < 1 . 36 121. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 …xn = 1 . Tìm hằng số kn nhỏ nhất sao cho 1 1 1 + + … + ≤ n −1 . 1 + kn x1 1 + kn x2 1 + kn xn Mathlinks Contest 122. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,…, xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x12 + x22 + … + xn2 = 1 . Tìm hằng số kn lớn nhất sao cho (1− x1 )(1− x2 )…(1− xn ) ≥ kn x1 x2 …xn . 123. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 3 + 3 + 3 ≥ . a (b + c ) b (c + a ) c (a + b) 2 3 IMO, 1995 124. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng ab bc ca + 5 + 5 ≤ 1. 5 5 a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca 5 IMO Shortlist, 1996 125. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 + ab 2 1 + bc 2 1 + ca 2 18 . + + ≥ 3 3 3 3 c a b a + b3 + c3 Hong Kong, 2000 126. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 2 + 1 2 + 1 2 (a +1) + b + 1 (b +1) + c + 1 (c +1) + a + 1 2 2 2 ≤ 1 . 2 127. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng     a −1 + 1 b −1 + 1 c −1 + 1  ≤ 1 .  b  c  a  IMO, 2000 128. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng a3 b3 c3 3 + + ≥ . (1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + c) (1 + a )(1 + b) 4 IMO Shortlist, 1998 129. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 15 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang ab bc ca 1 + + ≤ . 1+ c 1+ a 1+ b 4 130. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + 2 3abc ≤ 1 . Poland, 1999 131. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh rằng a +b+c + 1 ≥4 3. abc Macedonia, 1999 132. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng ab + c + bc + a + ca + b ≥ 1 + ab + bc + ca . 133. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 (1− a )(1− b)(1− c) . Russia, 1991 134. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b = 1 . Chứng minh rằng a2 b2 1 + ≥ . a +1 b +1 3 Hungary, 1996 135. Cho các số thực x, y . Chứng minh rằng 2 3( x + y + 1) + 1 ≥ 3 xy . Columbia, 2001 136. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3  1 1 a b 2 (a + b) +  ≥ 3 + 3 .  a b  b a Czech and Slovakia, 2000 137. Cho a, b, c ≥ 1 . Chứng minh rằng a −1 + b −1 + c −1 ≤ c (ab + 1) . Hong Kong, 1998 138. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = xyz . Chứng minh rằng 1 1+ x 2 + 1 1+ y 2 + 1 3 ≤ . 2 1+ z 2 Korea, 1998 139. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 2 a + 8bc + b 2 b + 8ca + IMO, 2001 16 c 2 c + 8ab ≥1 . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 140. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c d 2 + + + ≥ . b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + a + 3b a + 2b + 3c 3 IMO Shortlist, 1993 141. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + cd + da = 1 . Chứng minh rằng a3 b3 c3 d3 1 + + + ≥ . b+c +d c +d +a d +a +b a +b+c 3 IMO Shortlist, 1990 142. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 bc ca ab + 2 + 2 ≥1 ≥ 2 + 2 + 2 . 2 a + 2bc b + 2ca c + 2ab a + 2bc b + 2ca c + 2ab Romania, 1997 143. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 b3 c3 + + ≥ a +b +c . bc ca ab Canada, 2002 144. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + 3 + 3 ≤ . 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 3 USA, 1997 145. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a2 + b2 + c2 = 3 . Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ≥ . 1 + ab 1 + bc 1 + ca 2 Belarus, 1999 146. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c a +b b + c + + ≥ + +1. b c a b+c a +b Belarus, 1998 3 147. Cho a, b, c ≥ − , a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 4 a b c 9 + 2 + 2 ≤ . a + 1 b + 1 c + 1 10 2 Poland, 1996 148. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng x9 + y 9 y9 + z9 z 9 + x9 + + ≥2. x6 + x3 y 3 + y 6 y 6 + y 3 z 3 + z 6 z 6 + z 3 z 3 + x 6 Roamania, 1997 149. Cho x ≥ y ≥ z > 0 . Chứng minh rằng 17 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang x2 y y2 z z 2 x + + ≥ x2 + y2 + z 2 . z x y Vietnam, 1991 150. Cho a ≥ b ≥ c > 0 . Chứng minh rằng a 2 − b 2 c 2 − b2 a 2 − c 2 + + ≥ 3a − 4b + c . c a b Ukraine, 1992 151. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( xyz x + y + z + x 2 + y 2 + z 2 (x 2 + y + z )( xy + yz + zx ) 2 2 ) ≤ 3+ 3 9 . Hong Kong, 1997 152. Cho a1 , a2 , …, an > 0 và a1 + a2 + … + an < 1 . Chứng minh rằng a1a2 ...an (1− a1 − a2 − ... − an ) 1 ≤ n+1 . (a1 + a2 + ... + an )(1− a1 )(1− a2 )...(1− an ) n IMO Shortlist, 1998 153. Cho hai số thực a, b , a ≠ 0 . Chứng minh rằng a 2 + b2 + 1 b + ≥ 3. a2 a Austria, 2000 154. Cho a1 , a2 , ..., an > 0 . Chứng minh rằng a2 a2 a12 a22 + + … + n−1 + n ≥ a1 + a2 + … + an . a2 a3 an a1 China, 1984 155. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z ≥ 2 ( xy + yz + zx) . Russia, 2000 156. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz ≥ xy + yz + zx . Chứng minh rằng xyz ≥ 3( x + y + z ) . India, 2001 157. Cho x, y, z > 1 và 1 1 1 + + = 2 . Chứng minh rằng x y z x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 . IMO, 1992 158. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab +bc +ca =1. Chứng minh rằng 3 18 1 1 1 1 + 6b + 3 + 6c + 3 + 6a ≤ . a b c abc 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang IMO Shortlist, 2004 159. Cho x ≥ 2, y ≥ 2, z ≥ 2 . Chứng minh rằng ( x3 + y )( y 3 + z )( z 3 + x) ≥ 125 xyz . Saint Petersburg, 1997 160. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện c 2 + d 2 = (a 2 + b 2 ) . Chứng 3 minh rằng a 3 b3 + ≥ 1. c d Singapore, 2000 161. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c + + ≥1. b + 2c c + 2a a + 2b Czech – Slovak Match, 1999 162. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ab bc ca a b c + + ≥ + + . c (c + a) a (a + b) b (b + c) c + a b + a c + b Moldova, 1999 163. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng a +c b+d c +a d +b + + + ≥ 4. a+b b+c c +d d +a Baltic way, 1995 164. Cho x, y, u , v là các số thực dương. Chứng minh rằng xy + xu + uy + uv xy uv . ≥ + x + y +u +v x+ y u +v Poland, 1993 165. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng    a    1 + 1 + b 1 + c  ≥ 2 1 + a + b + c  . 3  b  c  a   abc  APMO, 1998 166. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện x + y + z =1. Chứng minh rằng x2 y + y 2 z + z 2 x ≤ 4 . 27 Canada, 1999 167. Cho a, b, c, d , e, f là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c + d + e + f = 1, ace + bdf ≥ 1 . 108 Chứng minh rằng 19 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang abc + bcd + cde + def + efa + fab ≤ 1 . 36 Poland, 1998 168. Cho a, b, c ∈ [0,1] . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≤ a 2b + b 2 c + c 2 a + 1 . Italy, 1993 169. Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c ≥ abc . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥ abc . Ireland, 1997 170. Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c ≥ abc . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3abc . BMO, 2001 171. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = xyz . Chứng minh rằng xy + yz + zx ≥ 9 ( x + y + z ) . Belarus, 1996 172. Cho x1 , x2 , x3 , x4 là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 x3 x4 = 1 . Chứng minh rằng    1 1 1 1 x13 + x23 + x33 + x43 ≥ max   x1 + x2 + x3 + x4 , + + +  .  x1 x2 x3 x4      Iran, 1997 173. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 a 3 b3 c 3 (a + b + c ) + + ≥ . x y z 3( x + y + z ) Belarus TST, 2000 174. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 1 + + + =1. 4 4 4 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 4 Chứng minh rằng abcd ≥ 3 . Latvia, 2002 175. Cho x, y, z > 1 . Chứng minh rằng xx 2 +2 yz yy 2 + 2 zx zz 2 +2 xy xy + yz + zx ≥ ( xyz ) Proposed for 1999 USAMO 176. Cho c ≥ b ≥ a ≥ 0 . Chứng minh rằng (a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) ≥ 60abc . Turkey, 1999 20 . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 177. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 ( xy + yz ) . Macedonia, 2000 178. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh rằng a2 b2 c2 3 + + ≥ . 1 + 2bc 1 + 2ca 1 + 2ab 5 Bosnia and Hercegovina, 2002 179. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥ 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + 4 + 4 ≤1. 4 4 4 a+b +c a +b+c a + b4 + c Korea, 1999 180. Cho a > b > c > 0, x > y > z > 0 . Chứng minh rằng a 2 x2 b2 y 2 c2 z 2 3 + + ≥ . (by + cz )(bz + cy ) (cz + ax)(cx + az ) (ax + by )(ay + bx) 4 Korea, 2000 181. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 . Chứng minh rằng a b c 3 + + ≥ . b2 +1 c 2 +1 a 2 + 1 2 Mediterranean, 2003 182. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c + + ≤1. 2a + b 2b + c 2c + a Moldova, 2002 183. Cho α, β , x1 , x2 ,…, xn > 0, x1 + x2 + … + xn = 1 . Chứng minh rằng xn3 x13 x23 1 . + + … + ≥ α x1 + β x2 α x2 + β x3 α xn + β x1 n (α + β ) Moldova TST, 2002 184. Cho a là một số thực dương, x1 , x2 ,…, xn > 0, x1 + x2 + … + xn = 1 . Chứng minh rằng a x1−x2 a x2 −x3 a xn −x1 n2 + + … + ≥ . x1 + x2 x2 + x3 xn + x1 2 Serbia, 1998 185. Cho x, y ∈ [ 0,1] . Chứng minh rằng 1 1+ x 2 + 1 1+ y 2 ≤ 2 . 1 + xy Russia, 2000 21 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 1 1 1 186. Cho x, y , z > 0, xyz = 1, + + > x + y + z, k ∈ N * . Chứng minh rằng x y z 1 1 1 + k + k > xk + y k + z k . k x y z Russia, 1999 187. Cho xn ≥ xn−1 ≥ xn−2 ≥ … ≥ x1 > 0, n ≥ 3 . Chứng minh rằng xn x1 x1 x2 x x + + … + n−1 n ≥ x1 + x2 + … + xn . x2 x3 x1 Saint Petersburg, 2000 188. Cho x1 ,…, x6 ∈ [ 0,1] . Chứng minh rằng x63 3 x13 x23 + + … + ≤ . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 x2 + x3 + … + x6 + 5 x3 + x4 + … + x1 + 5 x1 + x2 + … + x5 + 5 5 Ukraine, 1999 189. Cho a1 , a2 ,…, an > 0 . Chứng minh rằng (a13 +1)(a23 +1)…(an3 +1) ≥ (a12 a2 +1)(a22 a3 +1)…(an2a1 +1) . Czech – Slovak – Polish Match 2001 190. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a. 3 1 + b − c + b. 3 1 + c − a + c. 3 1 + a − b ≤ 1 . Japan, 2005 191. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  a b c 2    + +  ≥ (a + b + c ) 1 + 1 + 1  .  b c a   a b c  Iran, 2005 192. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 1 a+b+c +d + 3+ 3+ 3≥ . 3 a b c d abcd Austria, 2005 193. Cho a, b, c ∈ [0,1] . Chứng minh rằng a b c + + ≤2. bc + 1 ca + 1 ab + 1 Poland, 2005 194. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a b +b c +c a ≤ 1 . 3 Bosnia and Hercegovina, 2005 195. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 22 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang  b c a  1+ a 1+ b 1+ c . + + 2  + +  ≥  a b c  1− a 1− b 1− c Germany, 2005 196. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 4 ( a − b) a2 b2 c 2 . + + ≥ a +b+c + b c a a +b+c Balkan, 2005 197. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 8 . Chứng minh rằng a2 (a 3 + 1)(b +1) 3 + b2 (b 3 + 1)(c + 1) 3 + c2 4 ≥ . (c +1)(a +1) 3 3 3 APMO, 2005 198. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng a b c + 2 + 2 ≤1 . a +2 b +2 c +2 2 Baltic way, 2005 199. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz ≥ 1 . Chứng minh rằng x5 − x 2 y5 − y 2 z5 − z 2 + + ≥0. x5 + y 2 + z 2 y 5 + z 2 + x 2 z 5 + x 2 + y 3 IMO, 2005 200. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  2      a + b + 3 b 2 + a + 3  ≥ 2a + 1 2b + 1         4  4  2  2  Belarusian, 2005 201. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 + + = 1 . Chứng minh rằng a b c (a −1)(b −1)(c −1) ≥ 8 Croatia, 2005 202. Cho x là số thực dương. Chứng minh rằng (2 x) ≥ . n−1 (1 + x) n 1+ x n +1 Russia, 2005 203. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥ 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + + ≤ 1. 1+ a + b 1+ b + c 1+ c + a Romania, 2005 204. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 23 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc a Cao Minh Quang + a (a +1)(b +1) (b +1)(c +1) + 3 ≥ . (c +1)(a + 1) 4 a Czech and Slovak, 2005 1 205. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = . Chứng minh 3 rằng 1 1 1 + 2 + 2 ≤3. a − bc + 1 b − ca + 1 c − ab + 1 2 China, 2005 206. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng ab (1− c ) + bc (1− a ) + ca (1− b) ≤ 2 . 3 Republic of Srpska, 2005 207. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c 3 + + ≥ (a + b + c) . 2 b+c c+a a +b Serbia and Montenegro, 2005 208. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a 4 + b 4 + c 4 = 3 . Chứng minh rằng 1 1 1 + + ≤1 . 4 − ab 4 − bc 4 − ca Moldova, 2005 209. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab +bc +ca =1. Chứng minh rằng 3. 3 3 1 3 + 6 (a + b + c) ≤ . abc abc Slovenia TST, 2005 210. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a, b, c ≥ 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 (2 + abc) + +  ≥ 9 . a b c 211. [ Huỳnh Tấn Châu ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy xy + yz yz + zx zx = 1 . Chứng minh rằng x6 y6 z6 1 + + ≥ . 3 3 3 3 3 3 2 x +y y +z z +x 212. [ ðặng Thanh Hải ] Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng sin x + sin 2 x + sin 3 x < 3 3 . 2 213. [ Ngô Văn Thái ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 . Chứng minh rằng 24 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang x12 + x2 x3 x22 + x3 x4 xn2−1 + xn x1 xn2 + x1 x2 + + … + + ≥n. x1 ( x2 + x3 ) x2 ( x3 + x4 ) xn−1 ( xn + x1 ) xn ( x1 + x2 ) 214. [ Nguyễn Duy Liên ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a, b, c ∈ [1, 2] . Chứng minh rằng 1 a 1 b 1 c (a + b + c) + +  ≤ 10 . 215. [ Lê Thanh Hải ] Cho a, b, c d là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c 2 d 2 a + b + c + d . + + + ≥ 4 b2 c2 d 2 a2 abcd 216. Cho x ∈ [0, 2] . Chứng minh rằng 4 x − x3 + x + x3 ≤ 3 4 3 . 217. Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng 2 sin x + 15 −10 2 cos x ≤ 6 . 218. [ Trần Văn Hạnh ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x2 + y2 + z2 =1, n ≥ 1 . Chứng minh rằng (2n + 1) 2 n 2n +1 x y z + + ≥ . 1 − x 2 n 1 − y 2 n 1− z 2 n 2n 219. [ Kiều Phương Chi ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 1 + 2 + 2 ≤ . 2 2 2 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2 2 220. [ Vũ ðức Cảnh ] Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 = 1 . Chứng minh rằng  (1 + x)1 +   1 1  1 + y )1 +  ≥ 4 + 3 2 . + (   y  x 221. [ Ngô Văn Thái ] Cho a, b, c ∈ (0,1] . Chứng minh rằng 1 1 ≥ + (1− a )(1− b)(1− c) . a +b +c 3 222. [ Nguyễn Văn Thông ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3x 4y 2z + + = 2. x +1 y +1 z + 1 Chứng minh rằng x3 y 4 z 2 ≤ 1 . 89 223. [ Nguyễn Bá Nam ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 3  b + c c + a a + b  + + . a b c  (a3 + b3 + c3 ) a3 + b3 + c3  ≥ 2  25 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 224. Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng (16 cos4 x + 3) 4 + 768 ≥ 2048cos x . 225. [ Lê Quốc Hán ] Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng 8 4 1 (1 + x ) +16 x ≤ ≤ 17 . 2 4 8 + 1 x ( ) 226. [ Nguyễn Lê Dũng ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 + c2 + + ≤3 . a +b b+c c+a a +b+c 227. [ Trần Xuân ðáng ] Cho a, b, c là các số thực dương, n ≥ 2 . Chứng minh rằng n a b c n n +n +n > n −1 . b+c c+a a + b n −1 228. [ Trịnh Bằng Giang ] Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa ñiều kiện x + y + z = 1 , n ≥ 2 . Chứng minh rằng xn y + y n z + z n x ≤ nn n +1 (n + 1) . 229. [ Nguyễn Văn Ngọc ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 4 4 16 xyz ( x + y + z ) ≤ 3 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) . π π 230. [ Nguyễn Bá ðang ] Cho x, y , z ∈  ,  . Chứng minh rằng  6 2  2 sin x − sin y sin y − sin z sin z − sin x  1  + + ≤ 1− .   sin z sin x sin y 2  231. [ Thái Nhật Phượng ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng x2 y2 z2 + + ≥ 3. x + y + y 3 z y + z + z 3 x z + x + x3 y 232. [ Thái Nhật Phượng ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng x2 y 2 y2 z2 z 2 x2 + + ≤1 . x 2 y 2 + x7 + y 7 y 2 z 2 + y 7 + z 7 z 2 x 2 + z 7 + x7 233. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a +b +c =1. Chứng minh rằng a b abc 3 3 + + ≤ 1+ . 4 a + bc b + ca c + ab 234. [ Nguyễn Minh Phương ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 2007 . Chứng minh rằng x 20 y 20 z 20 + 11 + 11 ≥ 3.6699 . 11 y z x 26 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 235. [ Phạm Thị Thanh Quỳnh ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 5b3 − a 3 5c 3 − b3 5a 3 − c 3 + + ≤ a +b+c . ab + 3b 2 bc + 3c 2 ca + 3a 2 236. [ Lê Quang Nẫm ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x, y , z ≥ −1 và x3 + y 3 + z 3 ≥ x 2 + y 2 + z 2 . Chứng minh rằng x5 + y 5 + z 5 ≥ x 2 + y 2 + z 2 . 237. [ Nguyễn ðễ ] Cho α, β , γ ∈ ℝ, sin α + sin β + sin γ ≥ 2 . Chứng minh rằng cos α + cos β + cos γ ≤ 5 . 238. [ Huỳnh Tấn Châu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 6 . Chứng minh rằng a2 + 1 1 1 3 17 . + b2 + + c2 + ≥ 2 b+c c+a a +b 239. [ ðỗ Thanh Hải ] Cho x, y , z , t là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyzt = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 1 4 + 3 + 3 + 3 ≥ . x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx ) z ( xt + ty + yx) t ( xy + yz + zx ) 3 3 240. [ ðỗ Bá Chủ ] Cho a1 , a2 , …, ak > 0, a1 + a2 + … + ak ≥ k ; k , n ≥ 1 . Chứng minh rằng a1n + a2n + … + akn ≤1 . a1n+1 + a2n+1 + … + akn+1 241. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc + a + c = b . Chứng minh rằng 2 2 3 10 − 2 + 2 ≤ . a +1 b +1 c +1 3 2 Vietnam, 1999 242. [ ðặng Thanh Hải ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  a +b b+c c+a c a b   . + + ≥ 2  + +  a + b c a b b+c a + c  243. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab +bc +ca =1. Chứng minh rằng a + b + c + abc ≥ 10 3 . 9 244. [ Phan Hoàng Vinh ] Cho a1 , a2 , …, an ∈ [0,1], n ≥ 2 . Chứng minh rằng a1 a2 an + + … + ≤ n −1 . a2 a3 …an +1 a1a3 …an + 1 a1a2 …an−1 + 1 245. [ ðào Mạnh Thắng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ a 2b 2 c 2 . Chứng minh rằng 27 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc a 2b 2 c (a + b 3 2 2 ) Cao Minh Quang + b 2c 2 a (b + c 3 2 2 ) + c2a2 b (c + a 3 2 2 ) ≥ 3 . 2 246. [ ðỗ Ngọc Ánh ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 6 . Chứng minh rằng  1  1  1  729 . 1 + 3 1 + 3  ≥ 1 + 3  a b  c  512 247. [ Trương Hoàng Hiếu ] Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a 2 + 1 b2 +1 c 2 + 1 7 + + ≤ . b 2 + 1 c 2 + 1 a 2 +1 2 2 248. [ Trần Tuấn Anh ] Cho a, b, c là các số thực dương và k ≥ . Chứng minh rằng 3  k  k  k  a  +  b  +  c  ≥ 3 .  b + c   c + a   a + b  2k 249. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y = 1 . Chứng minh rằng 1 1 + ≥ 4+2 3 . 3 x +y xy 3 250. [ Hồ Quang Vinh ] Cho a, b, c, d là các số thực thỏa ñiều kiện a 2 + b 2 = c + d = 4 . Chứng minh rằng ac + bd + cd ≤ 4 + 4 2 . 251. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho x, y, z với x = max { x, y, z } . Chứng minh rằng x y z + 1+ + 3 1+ ≥ 1+ 2 + 3 2 . y x x 252. Cho a là số thực dương và x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện xy + yz + zx = 1 . Chứng minh rằng a ( x2 + y 2 ) + z 2 ≥ −1 + 1 + 8a . 2 253. [ Triệu Văn Hưng ] Cho a, b, c > 1 . Chứng minh rằng a logb c + blogc a + c loga b ≥ 3 3 abc . 254. [ Phạm Văn Thuận ] Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 = 1 . Chứng minh rằng xy + max { x, y} ≤ 3 3 . 4 255. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a6 b3 c6 1 + + ≥ . 3 3 3 3 3 3 b +c c +a a +b 18 256. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng 28 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang xy yz zx 3 + + ≤ . z + xy x + yz y + zx 2 257. [ Trần Tuấn Anh ] Cho x là các số thực không âm. Chứng minh rằng 2 2 + x ≤ x + 9. x +1 258. Cho a, b là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a > b ≥ 0 . Chứng minh rằng 2a + 32 2 (a − b)(2b + 3) ≥5. 259. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b = 4 . Chứng minh rằng 6 10 2a + 3b + + ≥ 18 . a b 260. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a +b+c =3 . Chứng minh rằng 5 2a + b + 5 2b + c + 5 2c + a ≤ 3 5 3 . 261. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 6 ( x + y + z ) ≥ 432 xy 2 z 3 . 262. Cho a ∈ [0,1] . Chứng minh rằng 13. a 2 − a 4 + 9. a 2 + a 4 ≤ 16 . 263. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng  3a  3b  3c  3d  28561 . 2 + 2 + 2 +  ≥ 2 +  5b 5c  5d  5a  625 264. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c + d ≤ 1 . Chứng minh rằng      1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1  ≥ 94 .  a b  b c  c d  d a  265. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abcd ≥ 16 . Chứng minh rằng      a + 2 + 1 b + 2 + 1 c + 2 + 1 d + 2 + 1  ≥ 2401 .     b c  c d  d a  a b  16 266. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b ≤ 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + 2 + 2 ≥ 20 . 3 a +b a b ab 3 267. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≤ 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 81 + 2 + 2 + + + ≥ . 2 2 2 a +b b +c c +a ab bc ca 2 2 268. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 . Chứng minh rằng 5 (2a + b)(a + c) a + 5 (2b + c)(b + a) b + 5 (2c + a )(c + b) c ≤ 3 5 6 . 29 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 269. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện (a 2 + a + 2)(b +1) (c 2 + 3c) = 64 . 2 Chứng minh rằng a 3b 4c 5 ≤ 1 . 270. [ Trần Hồng Sơn ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≤ 3 . 2 Chứng minh rằng     3 + 1 + 1 3 + 1 + 1 3 + 1 + 1  ≥ 343 .     a b  b c  c a 3 271. Cho a, b, c, m, n, p là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≤1, m + n + p ≤ . 2 Chứng minh rằng   2 1   1 + + 1 + 2 + 1 1 + 2 + 1  ≥ 93 .    a m  b n  c p  272. [ Phùng Văn Sự ] Cho x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng 27 ( x 2 + 3)( y 2 + 3)( z 2 + 3) ≥ 4 (3xy + 3 yz + 3zx) . 2 273. [ Trần Anh ðức ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 + b3 + c 3 a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 9 + 2 + + ≥ . 2abc c + ab a 2 + bc b 2 + ac 2 274. [ Lê Thanh Hải ] Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab = 1 . Chứng minh rằng a3 b3 + ≥1. 1+ b 1+ a 275. [ Dương Châu Dinh ] Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 2 . Chứng minh rằng 2 ( x3 + y 3 + z 3 ) ≤ 2 + ( x 4 + y 4 + z 4 ) . 276. [ Nguyễn Tất Thu ] Cho a, b, c , α là các số thực dương. Chứng minh rằng  α  α  α a 2 + 1  + b 2 + 1  + c 2 + 1  ≥ 3.2α .  ab   bc   ca  277. [ Trần Xuân ðáng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 2 (1 + a + b + c) . 278. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1  + + ≥ x+ y + z +6 . ( xyz + 1) + + +  x y z z y x x z y 279. [ ðàm Văn Nhỉ ] Cho a, b, c, d ∈ [0,1] . Chứng minh rằng a b c d + + + ≤3. bcd + 1 cda + 1 dab + 1 abc + 1 30 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 280. [ Cao Xuân Nam ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca =1. Chứng minh rằng a8 2 2 (a 2 + b ) + b8 2 2 (b2 + c ) + c8 2 2 (c 2 + a ) ≥ 1 . 12 281. [ Trần Hồng Sơn ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≤ 3 . Chứng minh rằng 1 a 3 b3 c 3 1 1 + 2 + 2 + 27  + +  ≥ 84 . 2  ab bc ca  b c a 282. [ Dương Châu Dinh ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 1 1 1 6  2 + 2 + 2  ≤ 1 + + + .  a  b c a b c Chứng minh rằng 1 1 1 1 + + ≤ . 10a + b + c a + 10b + c a + b + 10c 12 283. [ Lê Văn Quang ] Cho a, b, c, d , e, f là các số thực thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + cd + de + ef = 1 . Chứng minh rằng 1 a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 + f 2 ≥ 2 cos π 7 . 284. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a b c 27 . + 3 + 3 ≤ 2 2 2 a + a + 1 b + b +1 c + c +1 31 3 285. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng x+ y+z xy + yz + zx . ≥ 2 2 3 3 x + xy + y + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 286. [ Walther Janous ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 4 + b 4 + 3 ≥ a + b + 3. 3ab +1 3 3ab +1 . . 4 4 287. [ Trần Thị Thuận ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ≥ . a (b + 1) b (c + 1) c (a +1) abc +1 288. Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh rằng 8 ( x 3 + y 3 + z 3 ) ≥ 9 ( x 2 + yz )( y 2 + zx )( z 2 + xy ) . 2 289. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng x2 − z 2 y 2 − x2 z 2 − y 2 + + ≥0. y+z z+x x+ y 31 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 290. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của (x x + y y ). 291. [ Nguyễn Hữu Bằng ] Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 1 1 1 (a + b + c) + +  + a b c 3(a − b)(b − c )(c − a ) abc ≥9. 292. [ Cao Minh Quang ] Cho 10 số thực không âm ai , bi (i = 1, 2,…,5) thỏa mãn ñiều kiện ai2 + bi2 = 1(i = 1, 2,…,5) và a12 + a22 + … + a52 = 1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b1 + b2 + b3 + b4 + b5 . a1 + a2 + a3 + a4 + a5 293. Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh rằng ( x + y )( y + z )( z + x ) 2 ≥ xyz (2 x + y + z )(2 y + z + x )(2 z + x + y )   294. [ Vedula N. Murty ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 a + b + c 1 3 (a + b) (b + c) (c + a ) ≤ . 3 4 abc 295. [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 ,…, xn > 0, x1 + x2 + … + xn = 2n, n ≥ 3 . Chứng minh rằng n n ∑∑ j =1 i=1 i≠ j xj 3 i x +1 ≥ x 296. Cho hàm số f : [1, +∞)  → ℝ, f ( x) = ∫ 1 2n (n −1) 3 . dt . Chứng minh rằng với các số t + 2002t 2002 thực x1 , x2 ,…, xn ≥ 1 , ta có f ( x1 ) + f ( x2 ) + … + f ( xn ) x + x2 + … + xn . ≤ ln 1 n n 297. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ñiều kiện 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 3 . Chứng minh rằng (a − b)(a 2 − 9) + (a − c )(b 2 − 9) + (b − c )(c 2 − 9) ≤ 36 . 298. Cho các số thực a1 , a2 ,…, an . Chứng minh rằng a13 + a23 + … + an3 ≤ a12 + a22 + … + an2 . Nordic, 1990 299. Cho các số thực x1 , x2 ,…, xn (n ≥ 2) thỏa mãn các ñiều kiện x1 + x2 + … + xn ≥ 0 và 3 x12 + x22 + … + xn2 = 1 . ðặt M = max { x1 , x2 ,…, xn } . Chứng minh rằng M≥ 1 n (n −1) . Nordic, 1995 300. Cho a1 , a2 ,…, an (n ≥ 1) là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1  1 1 1  n + 1 + 1 + … + 1  . n  + + … +  ≥  + + … +  1 + an  an  1 + a1 1 + a2 a1 a2 an   a1 a2 ðẳng thức xảy ra khi nào? Nordic, 1999 32 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 301. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với các số thực x1 , x2 ,…, xn , y1 , y2 ,…, yn , ta luôn có bất ñẳng thức x1 x2 …xn + y1 y2 … yn ≤ x12 + y12 + x22 + y22 + … + xn2 + yn2 . Poland, 2002 302. Cho x1 , x2 ,…, xn (n ≥ 3) là các số thực dương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất ñẳng thức sau là ñúng n x x n n n ∑ x +i x ≥ 2 , ∑ x +i x ≥ 2 . i=1 i +1 i =1 i−1 i+2 i −2 (ở ñây ta xem xn+1 = x1 , xn+2 = x2 , x0 = xn , x−1 = xn−1 ) Poland, 2002 303. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng 2 (a 2 + b 2 ) + 2 (b 2 + c 2 ) + 2 (c 2 + a 2 ) ≥ 3(a + b) + 3(b + c) + 3(c + a ) . 2 2 2 Poland, 2004 304. Cho a, b là các số thực dương và các số thực xi , yi ∈ [0,1], i = 1, 2,…, n (n ≥ 1) thỏa mãn các ñiều kiện x1 + x2 + … + xn ≤ a, y1 + y2 + … + yn ≤ b . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn . Poland, 2005 305. Cho các số thực dương x1 , x2 ,…, xn và số thực c > −2 . Chứng minh rằng nếu x12 + cx1 x2 + x22 + x22 + cx2 x3 + x32 + … + xn2 + cxn x1 + x12 = c + 2 ( x1 + x2 + … + xn ) thì c = 2 hoặc x1 = x2 = … = xn . Poland, 2005. 306. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = abc . Chứng minh rằng a 4 + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ≥1 . ab (a 3 + b3 ) bc (b 3 + c3 ) ca (c 3 + a 3 ) Poalnd, 2006 1 ≤ a, b, c ≤ 1 . Chứng minh rằng 2 a +b b+c c +a 2≤ + + ≤ 3. 1+ c 1+ a 1+ b  π 308. Cho a, b ∈ 0,  và n ∈ ℕ . Chứng minh rằng  4  sin n a + sin n b sin n 2a + sin n 2b ≥ . n n (sin a + sin b) (sin 2a + sin 2b) 307. Cho 309. Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng (−a + b + c)(a − b + c) +(a − b + c)(a + b − c) +(a + b − c)(−a + b + c) ≤ abc ( a + b + c ) . Romania TST, 2002 310. Cho a1 , a2 ,…, an (n ≥ 3) là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a12 + a22 + … + an2 = 1 . Chứng minh rằng 2 a a1 a 4 + 2 2 + … + 2 n ≥ a1 a1 + a2 a2 + … + an an . 2 a2 + 1 a3 + 1 a1 + 1 5 Romania TST, 2002 ( ) 33 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 311. Cho các số thực x, y thỏa mãn ñiều kiện 1 ≤ x 2 − xy + y 2 ≤ 2 . Chứng minh rằng 2 a) ≤ x 4 + y 4 ≤ 8 , 9 2 b) x 2 n + y 2 n ≥ n , n ≥ 3 . 3 312. Cho x1 , x2 ,…, xn−1 (n ≥ 3) là các số tự nhiên thỏa mãn ñiều kiện x1 + x2 + … + xn−1 = 2 và x1 + 2 x2 + … + (n −1) xn−1 = 2n − 2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức n−1 F ( x1 , x2 ,…, xn ) = ∑ k (2n − k ) xk . k =1  π 313. [ V. Senderov ] Cho x ∈ 0,  và m, n là các số tự nhiên sao cho n > m . Chứng minh  2  rằng 2 sin n x − cos n x ≤ 3 sin m x − cos m x . 314. [ S. Berlov ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 2 2 2 + + ≥ + + . 1 − a 1− b 1− c 1 + a 1 + b 1 + c  π 315. Cho x ∈ 0,  . Chứng minh rằng  2  sin x ≤ sin x . 316. [ D. Tereshin ] Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng (a + b + c) ≥ 3(a bc + b ca + c ab ) . 2 317. Cho x1 , x2 ,…, xn (n ≥ 4) là các số thực dương. Chứng minh rằng x1 x2 xn−1 xn + + … + + ≥2. xn + x2 x1 + x3 xn−2 + xn xn−1 + x1 Xác ñịnh ñiều kiện xảy ra ñẳng thức khi n = 4 . 318. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3(a + b + c + d ) + 4 (abc + bcd + cda + dab) = 8 . Chứng minh rằng ab + ac + bc + ad + bd + cd ≤ 2 . 319. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x 2 ≤ y + z, y 2 ≤ z + x, z 2 ≤ x + y . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Serbia and Montenegro, 2002 320. Cho a, b, c là các số thực dương và n, k là các số tự nhiên. Chứng minh rằng a n+ k b n+ k c n + k + n + n ≥ ak + bk + ck . n b c a 321. [ R. Sanojevic ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + + ≥ 2. 1 1 1 1 1 1 b+ + c+ + a+ + a 2 b 2 c 2 Serbia and Montenegro, 2004 322. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng xy + yz + zx ≥ 4 ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) + 5 xyz . Serbia and Montenegro, 2006 34 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 323. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng x y z 9 + 2 + 2 ≥ . 2 y +z z +x x +y 4 Serbia and Montenegro, 2006 324. Chứng minh rằng 1 44 tan10 tan 20…t an440 < t an220 30 ' < ( tan10 + tan 20 + ... + t an440 ) . 44 325. Cho a, b, c, d , e, f là các số thực dương. Chứng minh rằng (a + c + e)(b + d + f ) ab cd ef . + + ≤ a +b c+d e+ f a +b+c+d +e+ f Yugolavia, 1985 326. Cho a ≥ 1, b ≥ 1 . Chứng minh rằng  a 2 − b 2 2 ab a2 + b2  + 3 . ≥ a +b 8  8  Yugolavia, 1991 327. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 ( a − b) ( a − b) a 2 + b2 ≤ − ab ≤ . 2 ( a + b) 2 4 ab Yugolavia, 1993 328. Cho các số thực x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Hãy xác ñịnh giá trị lớn nhất của số thực a ñể x12 + x22 + x32 + x42 + x52 ≥ a ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x5 ) . Yugolavia, 1996 329. [ ð. Dugosija ] Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 ít nhất hai trong ba số 2a − , 2b − , 2c − ñều lớn hơn 1. b c a Serbia and Montenegro TST, 2004 330. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c d + + + ≥ 2. b +c c + d d + a a +b Yugolavia TST, 1985 331. Cho a > b > 0 . Chứng minh rằng 2 ( a − b) 8a 2 ( a − b) a +b . − ab < 2 8b Sweden, 1985 <  1 332. Cho x1 , x2 , x3 , x4 ∈ 0,  . Chứng minh rằng  2  x1 x2 x3 x4 x14 + x24 + x34 + x44 . ≤ (1− x1 )(1− x2 )(1− x3 )(1− x4 ) (1− x1 )4 + (1− x2 )4 + (1− x3 )4 + (1− x4 )4 Taiwan, 2002 333. Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x12 + x22 + ... + xn2 = 1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức n xi5 ∑ x + x + ... + x − x . i=1 1 2 n i Turkey TST, 1997 334. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 35 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 1 1 1 1 1 1 −1 −1 + −1 −1 + −1 −1 ≥ 6 . a b b c c a  π 335. Cho x ∈ 0,  , n ∈ ℕ . Chứng minh rằng  2n  s in (n+1) x s in2x s in3x cos x + + ... + <2 2 . sinx sin2x sinnx sin x Ukraina TST, 1999 336. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 2 . Chứng minh rằng 1 1 1 27 + + ≥ . 1 + ab 1 + bc 1 + ca 13 Swiss TST, 2003 337. Cho a1 , a2 ,..., an là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1a2 ...an = 1 . Chứng minh rằng a1 + a2 + ... + an ≤ a1 + a2 + ... + an . 338. Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 1 a 2 + b 2 + c 2 + 4abc ≤ . 2 Italy, 1990 339. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  1 9 1 1  1 1 1 ≤ 2  + + ≤ + + .   a + b b + c c + a  a b c a+b+c Irish, 1998 340. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng 1 2 2 2 2 2 2 ( a − b) + (b − c) + (c − a )  ≤ a 2 + b 2 + c 2 − 3 3 a 2b 2c 2 ≤ (a − b) + (b − c) + (c − a) .  3 Irish, 2005 341. Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng a b c 3 3 abc . + + ≥ 1− a 1− c 1− c 1− 3 abc Irish, 2002 342. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện xyz = −1 . Chứng minh rằng x2 x2 y 2 y2 z 2 z 2 + + + + + . y z x z x y Iran, 2004 343. Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực dương. Chứng minh rằng x 4 + y 4 + z 4 + 3( x + y + z ) ≥ xn3 x + x2 + ... + xn x13 x23 . ... + + + ≥ 1 2 2 2 2 2 2 3 x1 + x1 x2 + x2 x2 + x2 x3 + x3 xn + xn x1 + x1 Hungary – Israel Competition, 2003 344. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c + d = 1 . Chứng minh rằng 1 6 ( a 3 + b3 + c 3 + d 3 ) ≥ (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) + . 8 Hong Kong, 2006 345. Cho a1 , a2 ,..., an+1 (n ≥ 2) là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a2 − a1 = a3 − a2 = ... = an+1 − an . 36 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang Chứng minh rằng 1 1 1 n −1 a1an + a2 an+1 . + 2 + ... + 2 ≤ . 2 2 a2 a3 an a1a2 an an+1 Hong Kong, 2004 346. Cho x, y, z > 0, k > 2, a = x + ky + kz, b = kx + y + kz, c = kx + ky + z . Chứng minh rằng x y z 3 . + + ≥ a b c 2k + 1 Greek TST, 1998 347. Cho x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng x2 − y2 y 2 − z 2 z 2 − x2 + + ≤0. 2 x 2 + 1 2 y 2 + 1 2 z 2 +1 Greek TST, 2005 348. Cho x, y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x 2 + xy + y 2 = 1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K = x 3 y + xy 3 . Greek , 2006 1− γ 2 349. Cho α, β , γ là các số thực thỏa mãn ñiều kiện βγ ≠ 0, ≥ 0 . Chứng minh rằng βγ 10 (α 2 + β 2 + γ 2 − βγ 3 ) ≥ 2αβ + 5αγ . Greek , 2002 350. Cho α, β , x, y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện α + β = 1 . Chứng minh rằng α β  (α x + β y ) +  ≥ 1 .  x y ðẳng thức xảy ra khi nào? Greek , 2001 351. Cho x, y là các số thực dương. Hãy xác ñịnh số k lớn nhất ñể 1 xy ≤ . ( x 2 + y 2 )(3×2 + y 2 ) k Greek , 2000 352. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a < b < c, a + b + c = 6, ab + bc + ca = 9 . Chứng minh rằng 0 < a <1 < b < 3 < c < 4 . Britain, 1995 353. Cho 0 ≤ x, y, z ≤ 1 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức S = x 2 y − y 2 x, P = x 2 y + y 2 z + z 2 x − x 2 z − y 2 x − z 2 y . Britain, 1995 354. Cho a, b, c, d , e là các số thực dương. Chứng minh rằng  4  4  4  4  4  a  +  b  +  c  +  d  +  e  ≥ b + c + d + e + a .  b   c   d   e   a  a b c d e Britain, 1984 355. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x2 + y2 + z2 =1. Chứng minh rằng 1 x 2 yz + xy 2 z + xyz 2 ≤ . 3 Britain, 2004 356. Cho a, b, c, p, q, α ∈ (0,1) . 37 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang α +1 a) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x ) = x α+1 (1− x ) , ∀x ∈ (0,1) . + α cα (1− c) α +1 a α +1 bα+1 (a + b) b) Chứng minh rằng α + α ≥ . α p q ( p + q) Bulgarian, 1984 357. Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 là các số thực dương. Hãy xác ñịnh số C bé nhất ñể 125 C ( x12005 + x22005 + ... + x52005 ) ≥ x1 x2 x3 x4 x5 ( x1125 + x125 2 + ... + x5 ) . 16 Brasil, 2005 358. Cho a, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng a+z a+x a+ y a+ y a+z a+x x +y +z ≤ x+ y+z ≤ x +y +z . a+x a+ y a+ z a+z a+x a+ y 359. Cho n ≥ 2 . Chứng minh rằng 2 3 3 4 4... n n < 2 . Austria, 1990 360. Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng a 6 + b 6 + c 6 + d 6 + 2 ≥ 6abcd . Austria, 2004 361. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng { 2 2 2 } min (a − b) , (b − c) , (c − a ) ≤ a2 + b2 + c2 . 2 Italy, 1992 362. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn các ñiều kiện a 2 ≤ b 2 + c 2 , b 2 ≤ c 2 + a 2 , c 2 ≤ a 2 + b 2 . Chứng minh rằng (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )(a3 + b3 + c3 ) ≥ 4 (a 6 + b6 + c6 ) . Japan, 2001 363. Cho n ≥ 2 . Chứng minh rằng n−1 n 1 ∑ n − k . 2k −1 < 4 . k =1 Japan, 1992 364. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh rằng a b c 3 + 2 + 2 ≥ a a +b b +c c . 2 b +1 c +1 a + 1 4 Mediteranean, 2002 365. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca + 2abc = 1 . Chứng minh rằng 2 (a + b + c) +1 ≥ 32abc . Mediteranean, 2004 366. Cho a, b, c là các số khác 0; x, y, z là các số thực dương thỏa ñiều kiện x + y + z = 3 . Chứng minh rằng 3 1 1 1 x y z + 2+ 2 ≥ + + . 2 2 2 2 a b c 1+ a 1+ b 1+ c 2 Mediteranean, 1999 367. Cho a1 , a2 ,..., an là các số thực dương. Chứng minh rằng ( 38 ) 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 1 1 1 1 + + ... + 1 + a1 1 + a2 1 + an − 1 1 1 1 + + ... + a1 a2 an ≥ 1 . n 368. Cho n ≥ 2 . Chứng minh rằng log 2 3 + log3 4 + ... + log n (n +1) < n + ln n − 0,9 .  3 369. Cho x, y ∈ 1,  . Chứng minh rằng  2  y 3 − 2 x + x 3 − 2 y ≤ x2 + y 2 . Moldova, 2001 370. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 +1 ≥ 4 (ab + bc + ca ) . Moldova, 2002 371. Cho n là một số tự nhiên và x là một số thực. Chứng minh rằng n cos x + cos 2 x + cos 4 x + ... + cos 2n x ≥ . 2 2  π 372. [ V. Yasinsky ] Cho α, β , γ ∈ 0,  . Chứng minh rằng  2  α+β +γ ≥α sin β sin γ sin α . +β +γ sin α sin β sin γ  π 373. [ V. Yasinsky ] Cho α, β , γ ∈ 0,  . Chứng minh rằng  2  sin β + sin γ sin γ + sin α sin α + sin β α+β +γ ≥α +β +γ . 2sin α 2sin β 2sin γ 374. [ M. Kurylo ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng abc (a + b + c ) a6 b6 c6 + + ≥ . 2 2 2 2 2 2 2 b +c c +a a +b 375. [ M. Kurylo ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 a (b +1) yz + 3 b (c + 1) zx + 3 c (a + 1) xy ≤ 3 (a +1)(b +1)(c + 1)( x + 1)( y + 1)( z + 1) . 1 . Chứng minh rằng 3 a +b b+c c +a a + b + c − abc . + + ≤2 1− ab 1− bc 1− ca 1− ab − bc − ca 377. [ O. Kukush, R. Ushakov ] Cho n ≥ 1 . Chứng minh rằng 376. [ V. Brayman ] Cho 0 ≤ a, b, c < 1 + 3 + 5 + ... + 2n −1 < 2 . 378. [ V. Gavran ] Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a 3 b3 c 3 a c b + 2 + 2 ≥ (a + b − c) + (c + a − b ) + (b + c − a ) . 2 b c a c b a 379. [ R. Ushakov ] Cho n ≥ 2, p ≥ 3 . Chứng minh rằng n   1− 1  > p ∏ p  k  p + 1 k =2  380. [ Prymak ] Cho x1 , x2 ,…, xn , y1 , y2 ,…, yn là các số thực dương. Chứng minh rằng 39 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 3 xn3 ( x1 + x2 + … + xn ) x13 x23 . + + … + ≥ y12 y22 yn2 ( y1 + y2 + … + yn )2  π 381. [ D. Mitin ] Cho x, y ∈ 0,  . Chứng minh rằng  2   cos x cos y − 4 1 x+ y  . ≤ 1 + cos   cos x + cos y − 4  cos x + cos y − 4 2 382. [ D. Mitin ] Cho x1 , x2 ,…, xn ≠ 0 , ( x x1 x2 + + … + n = 0 . Chứng minh rằng x2 x3 x1 x1 x2 + x2 x3 + … + xn x1 ≤ max xk − min xk 1≤k ≤n 1≤k ≤n )( x + x 1 2 + … + xn ) . 383. [ V. Yasinskyy ] Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện a + b + c = 2 và ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng 4 max {a, b, c} − min {a, b, c} ≤ . 3 384. [ V. Brayman ] Cho 1 ≤ a, b, c, d ≤ 2 . Chứng minh rằng a b c d 4 ≤ + + + ≤2. 3 b + cd c + da d + ab a + bc 385. [ O. Makarchuk ] Cho a, b, c > 1 thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = abc . Chứng minh rằng (a 2 −1)(b2 −1)(c 2 −1) ≤ 8 . 386. [ V. Yasinskyy ] Cho x, y, z là các số thực thỏa ñiều kiện x + y + z ≤1, x − y + z ≤1, 4x + 2 y + z ≤ 8, 4x − 2 y + z ≤ 8 . Chứng minh rằng x +3 y + z ≤ 7. 387. [ O. Rybak ] Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng b4 c 4 c4 a4 a 4 b4 4 4 a + + + b + + + c + + ≥ a 4 + b 3 c + b 4 + c 3 a + c 4 + a 3b . 2 2 2 2 2 2 388. [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 a b c a 2 + bc b 2 + ca c 2 + ab . + + ≥ + + b + c c + a a + b (a + b)(a + c ) (b + a )(b + c ) (c + a )(c + b) 389. [ Daniel Campos Salas ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c + 1 = 4abc . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 + + ≥3≥ + + . a b c ab bc ca 390. [ Bogdan Enescu ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện cos x + cos y + cos z = 0, cos 3 x + cos 3 y + cos 3 z = 0 . Chứng minh rằng cos 2 x.cos 2 y.cos 2 z ≤ 0 . 391. [ Phạm Hữu ðức ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng b+c c+a a +b a +b +c + + ≥ 6. 3 . a b c abc 392. [ Vasile Cartoaje ] Cho a, b, c, d là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b2 + c2 + d 2 = 4 . Chứng minh rằng 40 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 (4 − ab − bc − cd − da ) ≥ ( ) 2 +1 (4 − a − b − c − d ) . 393. [ Hồ Phú Thái ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c a +b+c + + ≤ . 2 2 2 ab + bc + ca a + 2bc b + 2ca c + 2ab 394. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 ,…, a5 là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1a2 a3a4 a5 = a1 (1 + a2 ) + a2 (1 + a3 ) + … + a5 (1 + a1 ) + 2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 1 1 + + + + . a1 a2 a3 a4 a5 395. Cho x1 , x2 , x3 , x4 là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện x1 + x2 + x3 + x4 = 0, x12 + x22 + x32 + x42 = 1 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x13 + x23 + x33 + x43 . 396. [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng a3 + abc b3 + abc c 3 + abc + + ≥ a 2 + b2 + c2 . b+c c+a a +b 397. [ Titu Andresscu ] Cho ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng 1 cos3 A + cos3 B + cos3 C + cos A cos B cos C ≥ . 2 398. [ Phạm Hữu ðức ] Cho a, b, c là các số thực không âm nhưng không có hai số nào trong ba số ñồng thời bằng 0. Chứng minh rằng a 2 + bc 3 b 2 + ca 3 c 2 + ab 9 3 abc . + + ≥ b2 + c 2 c2 + a2 a2 + b2 a + b + c 399. [ Titu Andresscu ] Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng 3 3(a 2 − ab + b 2 )(b 2 − bc + c 2 )(c 2 − ca + a 2 ) ≥ a 3b3 + b3c 3 + c3 a 3 . 400. [ Darij Grinberg ] Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng A A B B C C 3  A B C cos cot + cos cot + cos cot ≥ cot + cot + cot  .  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 401. [ Marian Tetiva ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 . a) Nếu a ≤ b ≤ 1 ≤ c thì + + ≥ + + a + b b + c c + a a +1 b +1 c +1 1 1 1 1 1 1 b) Nếu a ≤ 1 ≤ b ≤ c thì + + ≤ + + . a + b b + c c + a a +1 b +1 c +1 402. [ Vasile Cartoaje ] Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh rằng 1 5 x 4 ( y + z ) + y 4 ( z + x) + z 4 ( x + y ) ≤ ( x + y + z ) . 12 403. [ Zdravko F. Starc ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) a b2 − b + b c 2 − c + c a 2 − a ≥ 0 . 404. [ Ivan Borsenco ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 (ab + bc + ca) ≤ 3(a 2b + b 2c + c 2 a )(ab 2 + bc 2 + ca 2 ) . 405. [ Nikolai Nikolov ] Cho 0 < y < x < 1, 0 < z < 1 . Chứng minh rằng 41 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang x− y ( x z − y z )(1− x z y z ) > 1− xy . 406. [ Bogdan Enescu ] Cho a, b là hai số thực phân biệt thỏa mãn ñiều kiện a −1 + b +1 = a + b = a −1 + b + 1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a + b . 1 407. [ Iurie Boreico, Marcel Teleucă ] Cho x1 , x2 ,…, xn ≥ . Chứng minh rằng 2 xi n n   4 2x  ∏1 + 3 i  ≥  3  4 ( x1 + x2 )( x2 + x3 )…( xn−1 + xn )( xn + x1 ) . i=1 408. [ Iurie Boreico, Ivan Borsenco ] Cho a, b, c là các số thực dương phân biệt. Chứng minh rằng a 2b + a 2 c + b 2 a + b 2 c + c 2 a + c 2b 16abc ≥ . 2 2 2 2 a + b + c − ab − bc − ca (a + b + c) 409. [ Titu Andreescu ] Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 3(a + b) ≥ 2 ab +1 . Chứng minh rằng 9 (a 3 + b3 ) ≥ a 3b3 + 1 . 410. [ Titu Andreescu ] Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng 3(a 2 − ab + b2 )(c 2 − cd + d 2 ) ≥ 2 (a 2 c 2 − abcd + b 2 d 2 ) . 411. [ Ivan Borsenco ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a) (a 3 + b3 + c3 ) ≥ (a 4 + b 4 + c 4 )(ab + bc + ca ) . 2 b) 9 (a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ (a 5 + b5 + c 5 )(a + b + c ) . 2 3 412. [Titu Andreescu ] Cho a, b là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 9a 2 + 8ab + 7b 2 ≤ 6 . Chứng minh rằng 7a + 5b + 12ab ≤ 9 . 413. [ Phạm Hữu ðức ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  1 1 1 1  1 1 . + + +  ≥  2 a + b + c a + b b + c c + a  ab + bc + ca 2 (a + b 2 + c 2 ) 414. [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 4 (ab + bc + ca) 1 1 1 + 3 + 3 + ≥ ab + bc + ca . 3 a (b + c ) b (c + a ) c (a + b) (a + b)(b + c)(c + a) 415. [ Bin Zhao ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 + + ≤1 . 4a 2 + ab + 4b2 4b 2 + bc + 4c 2 4c 2 + ca + 4a 2 416. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a ≥ 1, a + b + c = 0 . Chứng minh rằng a 4 + b 4 + c 4 − 3abc . 417. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≤ 8 . Chứng minh rằng 1 1 1 + 2 + 2 ≥1 . 2 a − a +1 b − b + 1 c − c + 1 n n 1 418. Cho x1 , x2 ,…, xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện S = ∑ xi = ∑ . Chứng i=1 i=1 xi minh rằng 42 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc n Cao Minh Quang 1 n 1 ∑ n −1 + x ≥ ∑ 1 + S − x i=1 i i=1 . i 1 1 1 419. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ( x + y − z ) + −  = 4 . Hãy  x y z  tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 E ( x, y, z ) = ( x 4 + y 4 + z 4 ) 4 + 4 + 4  .  x y z  420. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng 1 + a 2b 2 1 + b 2 c 2 1 + c 2 a 2 5 + + ≥ . 2 2 2 (a + b) (b + c) (c + a) 2 421. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng a +b b+c c+a + + ≥ 3. b +1 c +1 a +1 422. Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Hãy tìm giá trị lớn nhất của số thực k ñể 3 a 3 + b3 + c3 ≥ k ( a + b + c ) . Iran, 2006 n 423. Cho x1 , x2 ,…, xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ∑ x = 1 . Chứng minh rằng i i=1  n  n 1  n2   .  x ≤  i  ∑ ∑  i=1 1 + xi  n +1 i=1 China TST, 2006 424. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng xy yz zx 2 . + + ≤ 2 xy + yz yz + zx zx + xy China TST, 2006 425. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 . Chứng minh rằng 1 1 1 + 2 + 2 ≥ a2 + b2 + c 2 . 2 a b c Romania TST, 2006 426. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  a b c 2 3  a + b b + c c + a   + +  ≥  + + .  b c a  a b  2  c Junior Balkan TST, 2006 427. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a2 b2 c2 + + ≥ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) . b c a Junior Balkan TST, 2006 428. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy + yz + zx = 1 . Chứng minh rằng 2 27 ( x + y )( y + z )( z + x) ≥ x + y + y + z + z + x ≥ 6 3 . 4 Turkey TST, 2006 429. Cho a1 , a2 ,…, an (n ≥ 3) là các số thực. Giả sử rằng ta có ( ) 43 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 (a1 + a2 + … + an ) ≥ 4 (a1a2 + a2 a 3 +… + an a1 ) . a) Tìm tất cả các giá trị của n ñể bất ñẳng thức trên ñúng khi a1 , a2 ,…, an là các số thực dương. b) Tìm tất cả các giá trị của n ñể bất ñẳng thức trên ñúng khi a1 , a2 ,…, an là các số thực bất kì. Italy, 2006 430. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  3  3  3  a + 2b  +  b + 2c  +  c + 2a  ≥ 3 .  a + 2c   b + 2a   c + 2b  MOP, 2004 + 431. Cho k ∈ ℤ , a1 , a2 ,…, an là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1 + a2 + … + an = 1 . Chứng minh rằng n n 1− aik ≥ (n k −1) . ∏ k ai i=1 432. Cho a1 , a2 ,…, an là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a1 + a2 + … + an = 1 . Chứng minh rằng 1 a1a2 + a2 a3 + … + an−1an ≤ . 4 433. Cho a1 , a2 ,…, an (n > 1) là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1a2 …an = 1 . Chứng minh rằng a + a2 + … + an + n 1 1 1 . + + … + ≤ 1 1 + a1 1 + a2 1 + an 4 434. [ Aaron Pixton ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng a b c 5 + + + ≥ (1 + a )(1 + b)(1 + c) . b c a 435. [ Mildorf ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 4a 2 4b 2 4c 2 + + . a +b b+c c +a 1 1 1 436. [ Po – Ru Loh ] Cho a, b, c > 1 thỏa mãn ñiều kiện 2 + 2 + 2 = 1 . Chứng a −1 b −1 c −1 minh rằng 1 1 1 + + ≤1. a +1 b +1 c +1 437. [ Weighao Wu ] Cho x ∈ ℝ . Chứng minh rằng 3 4a 3 + 4b3 + 3 4b3 + 4c 3 + 3 4c3 + 4a 3 ≤ sin x (sin x) cos x < (cos x ) . 438. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1< a 2 2 + b 2 2 + c 2 2 ≤ 3 2 . 2 a +b b +c c +a 439. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 ,..., an (n > 1) là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1a2 …an = 1 . Chứng minh rằng a12 + 1 a 2 +1 a 2 +1 + 2 + … + n ≤ a1 + a2 + … + an . 2 2 2 440. [ Vascile Cartoaje ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 . Chứng minh rằng 44 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a b c 3 + + ≥ . ab +1 bc + 1 ca + 1 2 441. Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện ∑ x −x i j = 1 . Hãy i< j tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 ∑x . i i=1 442. Cho x1 , x2 , x3 , x4 ∈ [−1,1] . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 i=1 i=1 F = ∑ xi −( x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ) +( x1x2 x3 + x1x2 x4 + x1x3 x4 + x2 x3 x4 ) −∏xi . 443. Cho a, b, c ∈ [0,1] . Chứng minh rằng a (1− b)(1− c ) + b (1− c )(1− a ) + c (1− a )(1− b) ≤ 1 + abc . 444. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 a 2 b 2 c 2 3( a + b + c ) + + ≥ . b c a a+b+c 445. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a +b +c =3 . Chứng minh rằng a 2 (b +1) b 2 (c + 1) c 2 (a +1) + + ≥ 2. a + b + ab b + c + ca c + a + ca 446. [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 ,..., xn (n ≥ 2) là n số thực dương thỏa ñiều kiện n xi ∑ x + 2 ≤1 . i=1 i n 1 Chứng minh rằng ∑ x +1 ≥ n (n −1) . n +1 447. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng ab bc ca 1 + 2 + 2 ≤ . 2 3a + 2b + 3 3b + 2c + 3 3c + 2a + 3 12 448. Cho x1 , x2 ,..., x2 n là các số thực thỏa mãn ñiều kiện xi+1 − xi ≤ 1, i = 1, 2,..., 2n −1 . Chứng minh rằng x1 + x2 + ... + x2 n + x1 + x2 + ... + x2 n ≤ n (n +1) . Romania TST, 2000 449. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng i=1 ( i ) 3 a + ab + 3 abc ≤ 4 (a + b + c ) . 450. [ Rumen Kozarev ] Cho x ∈ ℝ . Chứng minh rằng  4 x 2 + x + 2  ≥ 0 . x 2.3x − 2  x + x +1  451. Cho 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2,..., n (n ≥ 2) . Chứng minh rằng  n  2  ( x1 + x2 + ... + xn )− ( x1 x2 + x2 x3 + ... + xn−1 xn + xn x1 ) ≤   . Bulgaria, 1995 452. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng 45 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a 4 + c 4 + a 4 + d 4 + b4 + c 4 + b 4 + d 4 ≥ 2 2 (ad + bc ) . Turkey, 2006 453. [ Phan Thị Mùi ] Cho 1 ≤ a, b ≤ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 2 P= ( a + b) a 3 + b3 454. [ Lê Quang Nẫm ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y )( y + z )( z + x ) ( ) x+ y + y+z + z+x . 455. Cho a, b, c > 1 . Chứng minh rằng a b c + + ≥ 12 . b −1 c −1 a −1 456. [ Nguyễn ðức Tấn ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 b3 c 3 + + ≥ a ac + b ba + c cb . b c a 457. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x3 + y3 + z3 =1 . Chứng minh rằng x2 y2 + + z2 ≥2. 1− x 2 1− y 2 1− z 2 458. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = ab + 2bc + 3ca . 459. [ Thái Nhật Phượng ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 xyz + xy + yz + zx ≤ 1 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức xyz . n 460. [ Minh Trân ] Cho x1 , x2 ,…, xn là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện ∑ x = 1. i i=1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x1 x2 + x2 x3 + … + x n−1 xn . 461. [ Trần Văn Tỏ ] Cho a, b, c ≥ 1 . Chứng minh rằng  1 1 1  a (b + c ) + b (c + a ) + c (a + b) + 2  + + ≥ 9 . 2 2 1 + a 1+ b 1 + c 2  462. [ Tạ Hoàng Thông ] Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa ñiều kiện x 3 + y 3 + z 3 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3( xy + yz + zx)− xyz . 463. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho a1 , a2 ,…, an là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện k k i=1 i=1 ∑ ai ≤ ∑ i (i +1), k = 1, 2,…, n . Chứng minh rằng n 1 ∑a i=1 i ≥ n . n +1 464. [ Tạ Hoàng Thông ] Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ab 2 + bc 2 + ca 2 M= . 2 (ab + bc + ca ) 46 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 465. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Hãy xác ñịnh giá trị lớn nhất của số thực k ñể ta luôn có bất ñẳng thức 1 1 1 + 2 + 2 + 3k ≥ (k +1)(a + b + c ) . 2 a b c Vietnam, 2006 466. Cho x, y, z ∈ [1, 2] . Chứng minh rằng 1 1 1  x z  + +  . ( x + y + z ) + +  ≥ 6  x y z  y + z z + x x + y  y Vietnam TST, 2006 467. [ ðỗ Văn Ta ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥ 1 . Chứng minh rằng a b c 3 . + + ≥ 2 b + ac c + ab a + bc 1 468. Cho ≤ x, y, z ≤ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 2 x+ y y+z z+x . P= + + 1+ z 1+ x 1+ y 469. [ Phạm Hoàng Hà ] Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa ñiều kiện x + y + z = 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x + 1 + 3 y +1 + 4 z +1 . 470. [ Trần Tuấn Anh ] Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ñiều kiện a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 P = a (b − c ) + b (c − a ) + c (a − b) . 471. [ Tạ ðức Hải ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng   1 1 1  + a +c + b +c + a +b ≥9. 4abc  + + 2 2 2  b a c  (a + b) c (b + c) a (c + a) b  472. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = abc . Chứng minh rằng 3 3 bc ca ab a +b+c ≤ + + ≤ . a (1 + bc ) b (1 + ca ) c (1 + ab) 4 4  2  473. [ Trần Tuấn Anh ] Cho x, y ∈ 0,  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  2  x y . P= + 2 1+ y 1+ x2 474. Cho x1 , x2 ,…, x2007 ∈ [−1,1] thỏa mãn ñiều kiện 2007 ∑x 3 i = 0 . Chứng minh rằng i=1 x1 + x2 + … + x2007 ≤ 2007 . 3 ðẳng thức xảy ra khi nào? 475. [ Phạm Hoàng Hà ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + x 2 = 2006 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 y2 z2 . H= + + y+ z z+ x x+ y 476. [ Cao Xuân Nam ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 47 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 8 − x4 8− y4 8− z4 + + ≥0. 4 4 16 + x 16 + y 16 + z 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức xyz . 477. [ Nguyễn Khánh Nguyên ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b2 + c2 = 1 . Chứng minh rằng a2 b2 c2 + + ≥1. 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c 478. [ Phan Tiến Thành ] Cho x, y, z ∈ (0,1) thỏa mãn ñiều kiện xyz = (1− x)(1− y )(1− z ) . Chứng minh rằng 3 x2 + y 2 + z 2 ≥ . 4 479. [ Trần Tuấn Anh ] Cho a, b, c ≥ −1, a + b + c = 3 4 −1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 3 + b3 + c 3 . 480. [ Bùi Tuấn Anh ] Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 ab + bc + ca (a + b + c) . P= 2 + a + b2 + c2 abc 481. [ Trần Việt Anh ] Cho n ∈ ℕ . Kí hiệu (2n +1)!! là tích các số nguyên dương lẻ từ 1 ñến 2n +1. Chứng minh rằng n +1 (2n + 1) ≤ (2n + 1)!!π n . 482. [ Ngô Trung Kiên ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca ≤ 3abc . Chứng minh rằng a 4b b 4c c4a + + ≥1. 2a + b 2b + c 2c + a 483. [ Phạm Văn Thuận ] Cho a, b, c, d là các số thực phân biệt thỏa mãn các ñiều kiện a b c d + + + = 4, ac = bd . b c d a Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a b c d abcd + + + − . c d a b (ad + cd )2 484. [ Phạm Kim Hùng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥ 1 . Chứng minh rằng 1+ a 1+ b 1+ c a +b+c ≥ + + . 1+ b 1+ c 1+ a 485. [ Trần Nam Dũng ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng xyz + 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) + 8 ≥ 5( x + y + z ) . ðẳng thức xảy ra khi nào? 486. [ Trần Nam Dũng ] Cho k ∈ (−1, 2) và a, b, c là ba số thực ñôi một khác nhau. Chứng minh rằng  1 1  9 (2 − k )  a 2 + b 2 + c 2 + k (ab + bc + ca )  1 + + ≥ .    2 2 2 4 (c − a )   (a − b ) (b − c) ðẳng thức xảy ra khi nào? 48 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 487. Cho x1 , x2 ,…, xn > −1 thỏa mãn ñiều kiện x13 + x23 + … + xn3 = 0 . Chứng minh rằng n x1 + x2 + … + xn ≤ . 3 488. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng ( ) ab bc ca +1 + +1 + +1 ≥ 2 a + b + c . c a b 489. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  bc + a   ca + b   ab + c  ≥ abc .   1 + a  1 + b  1 + c  490. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng yz zx xy + + x ( x + y + z ) + 1 y ( x + y + z ) + 1 z ( x + y + z ) +1 ≥ x2 y2 z2 + + . x ( x + y + z ) + 1 y ( x + y + z ) + 1 z ( x + y + z ) +1 491. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng a 3b + b3c + c 3a ≥ a + b + c . 492. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 9 + + ≥ . 1 + xy 1 + yz 1 + zx 10 493. Cho −1 ≤ x, y ≤ 1 . Chứng minh rằng 2  x + y  . 1− x 2 + 1− y 2 ≤ 2 1−   2  494. Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng n+ n n + n n− n n ≤ n n . 495. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab +bc +ca =1. Chứng minh rằng a b c 3 + + ≤ . 2 2 2 a +1 b +1 c +1 2 496. Cho a, b, x, y là các số thực dương, a < b . Chứng minh rằng n ( x a + y a ) ≥ ( xb + y b ) b a . 1 497. Cho 0 < a, b, c ≤ . Chứng minh rằng 2  1  1  1   3 3   −1 −1 −1 ≥  −1 .  a  b  c   a + b + c  498. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a2 +b2 +c2 +d2 =1. Chứng minh rằng (1− a)(1− b)(1− c)(1− d ) ≥ abcd . 499. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c + + ≥ 1. 2 2 2 2 2 2 a + (b + c ) b + (c + a ) c + ( a + b) 500. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a +b + c (a 2 + 2ab) (b2 + 2bc) (c 2 + 2ca) ≥ (a 2 + b2 + c 2 ) a b c . … sẽ tiếp tục cập nhật 49
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top