500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang ♦♦♦♦♦ Vĩnh Long, Xuân Mậu Tý, 2008 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc ♦♦♦♦♦ 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 a 2 + (1− b) + b 2 + (1− c) + c 2 + (1− a ) ≥ 3 2 . 2 Komal 2. [ Dinu Serbănescu ] Cho a, b, c ∈ (0,1) . Chứng minh rằng abc + (1− a )(1− b)(1− c) < 1 . Junior TST 2002, Romania 3. [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng b+c c +a a +b + + ≥ a + b + c + 3. a b c Gazeta Matematică 4. Nếu phương trình x 4 + ax3 + 2 x 2 + bx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thực, thì a 2 + b2 ≥ 8 . Tournament of the Towns, 1993 5. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x3 + y 3 + z 3 − 3xyz . 6. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng ax + by + cz + 2 ( xy + yz + zx )(ab + bc + ca ) ≤ a + b + c . Ukraine, 2001 7. [ Darij Grinberg] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 2 (b + c) + b 2 (c + a ) + c 2 ( a + b) ≥ 9 . 4 (a + b + c) 8. [ Hojoo Lee ] Cho a, b, c ≥ 0 . Chứng minh rằng a4 + a2b2 + b4 + b4 + b2c2 + c4 + c4 + c2a2 + a4 ≥ a 2a2 + bc + b 2b2 + ca + c 2c2 + ab . Gazeta Matematică 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 2 . Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b . JBMO 2002 Shortlist 10. [ Ioan Tomescu ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng xyz 1 ≤ 4. (1 + 3x)( x + 8 y )( y + 9 z )( z + 6) 7 2 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang Gazeta Matematică 11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 5 (a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 6 (a 3 + b 3 + c3 ) +1 . 12. [ Mircea Lascu ] Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ ℝ , n ≥ 2, a > 0 sao cho x1 + x2 + … + xn = a, x12 + x22 + … + xn2 ≤ a2 . n −1 Chứng minh rằng  2a  xi ∈ 0,  , i = 1, 2,…, n .  n  13. [ Adrian Zahariuc ] Cho a, b, c ∈ (0,1) . Chứng minh rằng b a c b a c + + ≥1 . 4b c − c a 4c a − a b 4a b − b c 14. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≤ 1 . Chứng minh rằng a b c + + ≥ a +b+c . b c a 15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + x ≥ b + y ≥ c + z , a + b + c = x + y + z . Chứng minh rằng ay + bx ≥ ac + xz . 16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1+ 3 6 ≥ . a + b + c ab + bc + ca Junior TST 2003, Romania 17. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 b3 c 3 a 2 b 2 c 2 + + ≥ + + . b2 c2 a 2 b c a JBMO 2002 Shortlist 18. Cho x1 , x2 ,…, xn > 0, n > 3 thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 …xn = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + + … + >1. 1 + x1 + x1 x2 1 + x2 x3 1 + xn + xn x1 Russia, 2004 19. [ Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyz = 1 . Chứng minh rằng 1 a) xyz ≤ , 8 3 b) x + y + z ≤ , 2 3 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 3 c) xy + yz + zx ≤ ≤ x 2 + y 2 + z 2 , 4 1 d) xy + yz + zx ≤ + 2 xyz . 2 20. [ Marius Olteanu ] Cho x1 , x2 ,…, x5 ∈ ℝ sao cho x1 + x2 + … + x5 = 0 . Chứng minh rằng cos x1 + cos x2 + … + cos x5 ≥ 1 . Gazeta Matematică 21. [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = xyz . Chứng minh rằng xy + yz + zx ≥ 3 + x 2 + 1 + y 2 + 1 + z 2 + 1 . 22. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x, y , z > −1 . Chứng minh rằng 1+ x2 1+ y2 1+ z 2 + + ≥2. 1+ y + z 2 1+ z + x2 1+ x + y 2 JBMO, 2003 23. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a2 + b b2 + c c2 + a + + ≥ 2. b+c c+a a +b 24. Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn ñiều kiện a 4 + b 4 + c 4 ≤ 2 (a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≤ 2 (ab + bc + ca ) . Kvant, 1988 25. Cho x1 , x2 ,…, xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 1 + + … + = . x1 +1998 x2 +1998 xn +1998 1998 Chứng minh rằng n x1 x2 …xn ≥ 1998 . n −1 Vietnam, 1998 26. [Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 = xyz . Chứng minh rằng a) xyz ≥ 27, b) xy + yz + zx ≥ 27 , c) x + y + z ≥ 9 , d) xy + yz + zx ≥ 2 ( x + y + z ) + 9 . 27. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 3 . Chứng minh rằng x + y + z ≥ xy + yz + zx . 4 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang Russia 2002 28. [ D. Olteanu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a+b a b+c b c+a c 3 . + . + . ≥ . b + c 2a + b + c c + a 2b + c + a a + b 2c + a + b 4 Gazeta Matematică 29. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c c +a a+b b+c + + ≥ + + . b c a c +b a +c b+a India, 2002 30. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3(ab + bc + ca) a3 b3 c3 . + + ≥ 2 2 2 2 2 2 b − bc + c c − ac + a a − ab + b a +b +c Proposed for the Balkan Mathematical Olympical 31. [ Adrian Zahariuc ] Cho x1 , x2 ,…, xn là các số nguyên ñôi một phân biệt nhau. Chứng minh rằng x12 + x22 + … + xn2 ≥ x1 x2 + x2 x3 … + xn x1 + 2n − 3 . 32. [ Murray Klamkin ] Cho x1 , x2 ,…, xn ≥ 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x1 + x2 + … + xn = 1 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x12 x2 + x22 x3 + … + xn2−1 xn + xn2 x1 . Crux Mathematicorum 33. Cho x1 , x2 ,…, xn > 0 thỏa mãn ñiều kiện xk +1 ≥ x1 + x2 + … + xk với mọi k. Hãy tìm giá trị lớn nhất của hằng số c sao cho x1 + x2 + … + xn ≤ c x1 + x2 + … + xn . IMO Shortlist, 1986 34. Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn ñiều kiện a + x = b + y = c + z = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 + +  ≥ 3 .  ay bz cx  (abc + xyz ) Russia, 2002 35. [ Viorel Vâjâitu, Alexvàru Zaharescu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ab bc ca 1 + + ≤ (a + b + c) . a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 Gazeta Matematică 36. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a 3 (b + c + d ) + b3 (c + d + a) + c 3 (d + a + b) + d 3 (a + b + c) . 37. [ Walther Janous ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 5 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc x x + ( x + y )( x + z ) + Cao Minh Quang y y + ( y + z )( y + x ) + z z + ( z + x)( z + y ) ≤1 . Crux Mathematicorum 38. Cho a1 , a2 ,…, an , n ≥ 2 là n số thực sao cho a1 < a2 < ... < an . Chứng minh rằng a1a24 + a2 a34 + ... + an a14 ≥ a2 a14 + a3a24 + ... + a1an4 . 39. [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  a b+c c +a a +b b c  + + ≥ 4  + + .   b + c c + a a + b  a b c 40. Cho a1 , a2 ,..., an là các số nguyên dương lớn hơn 1. Tồn tại ít nhất một trong các số a1 a1 , a2 a3 ,..., an−1 an , an a1 nhỏ hơn hoặc bằng 3 3. Adapted after a well – known problem 41. [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy + yz + zx + 2 xyz = 1 . Chứng minh rằng 1 a) xyz ≤ , 8 3 b) x + y + z ≥ , 2 c) 1 1 1 + + ≥ 4( x + y + z) , x y z 2 (2 z −1) 1 1 1 , z = max { x, y, z } . d) + + − 4( x + y + z) ≥ x y z z (2 z +1) 42. [ Manlio Marangelli ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 3( x 2 y + y 2 z + z 2 x )( xy 2 + yz 2 + zx 2 ) ≥ xyz ( x + y + z ) . 3 43. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện max {a, b, c} − min {a, b, c} ≤ 1 Chứng minh rằng 1 + a 3 + b3 + c 3 + 6abc ≥ 3a 2b + 3b 2 c + 3c 2 a . 44. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng   1 1 1 a 2  b2  c2  27 + 2 + 2 + 2 +  ≥ 6 (a + b + c ) + +  .     a b c bc  ca  ab   a2 1 45. Cho a0 = , a k+1 = ak + k . Chứng minh rằng 2 n 1 1− < an < 1 . n TST Singapore 46. [ Călin Popa ] Cho a, b, c ∈ (0,1) thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng 6 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a b c 3 1− a 2 1− b2 1− c 2  . + + ≥ + +  b c  1− a 2 1− b 2 1− c 2 4  a 47. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x, y, z ≤ 1 thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 27 + + ≤ . 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 10 48. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 2 x + y + z = 1 . Chứng minh rằng 2 2 (1− x) (1− y ) (1− z ) ≥ 215 xyz ( x + y )( y + z )( z + x) . 49. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = x + y + z +2 . Chứng minh rằng a) xy + yz + zx ≥ 2 ( x + y + z ) , x+ y+ z≤ b) 3 xyz . 2 50. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 2 . Chứng minh rằng x + y + z ≤ xyz + 2 . IMO Shortlist, 1987 51. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ (0,1) và σ là một hoán vị của {1, 2,..., n} . Chứng minh rằng n    xi   n ∑  n    1 1 i=1   1 . ≥ +  ∑ 1− x   ∑ 1− x .x  . n  i=1 i i σ(i )    i=1    n 52. Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện i=1 n ∑ i=1 n xi ≥ (n −1) ∑ i=1 1 ∑ 1+ x = 1 . Chứng minh rằng i 1 . xi Vojtech Jarnik 53. [ Titu Vàreescu ] Cho n > 3 và a1 , a2 ,…, an là các số thực thỏa mãn ñiều kiện n ∑a ≥ n i i=1 n và ∑a 2 i ≥ n 2 . Chứng minh rằng i=1 max {a1 , a2 ,…, an } ≥ 2 . USAMO, 1999 54. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng a −b b−c c − d d −a + + + ≥0. b+c c +d d +a a +b 55. Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng x y + yx >1 . 7 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang France, 1996 56. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 4 (a + b + c −1) . MOSP, 2001 57. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a 2 + b2 + c2 )(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) ≤ abc (ab + bc + ca) . 58. [ D.P.Mavlo ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a + 1)(b +1)(c +1) 1 1 1 a b c . 3+ a +b + c + + + + + + ≥ 3 1 + abc a b c b c a Kvant, 1988 59. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,…, xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 …xn = 1 . Chứng minh rằng n  n 1 n .∏( x + 1) ≥ ∑ xi + ∑  . x   i=1 n n n n i i =1 i=1 i 60. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 1 1 d  a 3 + b3 + c3 + abcd ≥ min   , +  .   4 9 27     Kvant, 1993 61. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ∑ (1+ a ) (1 + b ) (a − c) (b − c) ≥ (1 + a )(1 + b )(1 + c )(a − b) (b − c) (c − a) . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AMM 62. [ Titu Vàreescu, Mircea Lascu ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 và α ≥ 1. Chứng minh rằng xα yα zα 3 + + ≥ . y+z z+x x+ y 2 63. Cho x1, x2 ,…, xn , y1, y2 ,…, yn ∈ ℝ thỏa mãn ñiều kiện x12 + x22 +… + xn2 = y12 + y22 +… + yn2 =1 . Chứng minh rằng  n  2 ( x1 y2 − x2 y1 ) ≤ 2 1− ∑ xi yi  .  i=1  Korea, 2001 64. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho a1 , a2 ,…, an là các số nguyên dương khác nhau từng ñôi một. Chứng minh rằng a12 + a22 + … + an2 ≥ 2n + 1 (a1 + a2 + … + an ) . 3 TST Romania 65. [ Călin Popa ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 8 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc a ( b c 3c + ab ) Cao Minh Quang + b ( c a 3a + bc ) + c ( a b 3b + ca ) ≥ 3 3 . 4 66. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn ñiều kiện (1 + a 2 )(1+ b2 )(1+ c 2 )(1 + d 2 ) = 16 . Chứng minh rằng −3 ≤ ab + bc + cd + da + ac + bd − abcd ≤ 5 . 67. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a 2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca) . APMO, 2004 68. [ Vasile Cirtoale ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện 0 < x ≤ y ≤ z, x + y + z = xyz + 2 . Chứng minh rằng a) (1− xy )(1− yz )(1− zx) ≥ 0 , b) x 2 y ≤ 1, x 3 y 2 ≤ 32 . 27 69. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≥ abc . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất ñẳng thức sau ñây là ñúng 2 3 6 2 3 6 2 3 6 + + ≥ 6, + + ≥ 6, + + ≥ 6 . a b c b c a c a b TST 2001, USA 70. [ Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = xyz . Chứng minh rằng ( x −1)( y −1)( z −1) ≤ 6 3 −10 . 71. [ Marian Tetiva ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 a3 − b3 b3 − c3 c 3 − a3 (a − b) + (b − c ) + (c − a ) + + ≤ . 4 a +b b+c c+a Moldova TST, 2004 72. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a5 − a 2 + 3)(b5 − b2 + 3)(c5 − c 2 + 3) ≥ (a + b + c)3 . USAMO, 2004 73. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện  n  n 1  2  x   k  ∑  = n +1 .  ∑  x  k =1 k  k =1 Chứng minh rằng  n 2   n 1  2  x   > n2 + 4 + . ∑ 2  k =1 k ∑  n (n −1) k =1 xk  74. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 9 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 3 ≥ (1 + a)(1 + b)(1 + c) . 75. [ Titu Vàreescu, Zuming Feng ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 ( 2a + b + c ) (2b + a + c) (2c + b + c) + 2 + 2 ≤8. 2 2 2 2 2a + (b + c) 2b + (a + c) 2c + (a + b) USAMO, 2003 76. Cho x, y là các số thực dương và m, n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng (n −1)(m −1)( x m+n + y m+n ) + (m + n −1)( x m y n + x n y m ) ≥ mn ( x m+n−1 y + y m+n−1 x) . Austrian – Polish Competition, 1995 77. Cho a, b, c, d , e là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abcde = 1 . Chứng minh rằng a + abc b + bcd c + cde d + dea e + eab 10 + + + + ≥ . 1 + ab + abcd 1 + bc + bcde 1 + cd + cdea 1 + de + deab 1 + ea + eabc 3 Crux Mathematicorum  π 78. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c ∈ 0,  . Chứng minh rằng  2  sin a.sin (a − b).sin (a − c ) sin b.sin (b − c ).sin (b − a ) sin c.sin (c − a ).sin (c − b) + + ≥0. sin (b + c ) sin (c + a ) sin (a + b) TST 2003, USA 79. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 4 + b4 + c 4 + a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ≥ a 3b + b3c + c 3a + ab3 + bc3 + ca 3 . KMO Summer Program Test, 2001 80. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu ] Cho a1 , a2 ,…, an > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện a1a2 …an = 1 . Hãy tìm hằng số kn nhỏ nhất sao cho (a 2 1 a1a2 + a2 )(a + a1 ) 2 2 + a2 a3 (a 2 2 + a3 )(a + a2 ) 2 3 + … + (a 2 n an a1 + a1 )(a12 + an ) ≤ kn . 81. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng ax + by + cz + 2 (a 2 + b2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 3 (a + b + c)( x + y + z ) . Kvant, 1989 82. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a b c  b c a 3 + + −1 ≥ 2  + +  .  b c a   a b c  83. [ Walther Janous ] Cho x1 , x2 ,…, xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x1 + x2 + … + xn = 1 . Chứng minh rằng   n   1 + 1  ≥  n − xi  . ∏ ∏   x  i=1  1− x  i=1  n i i Crux Mathematicorum 10 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 84. [ Vasile Cirtoaje, Gheoghe Eckstein ] Cho x1 , x2 ,…, xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 …xn = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + + … + ≤1 . n −1 + x1 n −1 + x2 n −1 + xn TST 1999, Romania 85. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ñiều kiện a2 +b2 +c2 +abc = 4 . Chứng minh rằng 0 ≤ ab + bc + ca − abc ≤ 2 . USAMO, 2001 86. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a +b +c 3 − abc ≤ max 3 {( ) ( 2 a− b , ) ( 2 b− c , c− a ) }. 2 TST 2000, USA 87. [ Kiran Kedlaya ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a + ab + 3 abc 3 a + b a + b + c ≤ a. . . 3 2 3 88. Tìm hằng số k lớn nhất sao cho với bất kì số nguyên dương n không chính phương, ta có (1+ n ) sin (π n ) > k . Vietnamese IMO Training Camp, 1995 3 89. [ Trần Nam Dũng ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa ñiều kiện ( x + y + z ) = 32 xyz . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức x4 + y4 + z 4 4 (x + y + z) . Vietnam, 2004 90. [ George Tsintifas ] Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 4 (a + b) (b + c) (c + d ) (d + a) ≥ 16a 2b2 c 2 d 2 (a + b + c + d ) . Crux Mathematicorum 91. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 và n là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (ab) n 1− ab (bc) n + 1− bc (ca) n + 1− ca . 92. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 3 . + + ≥ 3 a (1 + b) b (1 + c ) c (1 + a ) abc 1 + 3 abc ( ) 93. [Trần Nam Dũng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b2 + c 2 = 9 . Chứng minh rằng 11 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 (a + b + c) − abc ≤ 10 . Vietnam, 2002 94. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng          a + 1 −1b + 1 −1 + b + 1 −1c + 1 −1 + c + 1 −1a + 1 −1 ≥ 3 .             b  c   c  a   a  b  95. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n là số nguyên lớn hơn 2. Tìm số thực lớn nhất mn và số thực nhỏ nhất M n sao cho với các số thực dương bất kì x1 , x2 ,…, xn (xem xn = x0 , xn+1 = x1 ), ta có n mn ≤ ∑ i=1 xi ≤ Mn . xi−1 + 2 (n −1) xi + xi +1 96. [ Vasile Cirtoaje ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 9 + 2 + 2 ≥ . 2 2 2 2 x + xy + y y + yz + z z + zx + x (x + y + z) 2 Gazeta Matematică 97. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 (a3 +1)(b3 +1)(c 3 + 1)(d 3 +1) ≥ (1 + abcd )(1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 )(1 + d 2 ) . Gazeta Matematică 98. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 4 4 (a + b) + (b + c) + (c + a) ≥ 4 4 a + b4 + c4 ) . ( 7 Vietnam TST, 1996 99. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 . + + ≤ + + 1+ a + b 1+ b + c 1+ c + a 2 + a 2 + b 2 + c Bulgaria, 1997 100. [Trần Nam Dũng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 3 + + . a b c Vietnam, 2001 101. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy + yz + zx = 3 . Chứng minh rằng a b c ( y + z)+ ( z + x) + ( x + y) ≥ 3 . b+c c+a a +b 102. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 (b + c − a ) (c + a − b) (a + b − c) 3 + + ≥ . 2 2 2 (b + c) + a 2 (c + a) + b 2 (a + b) + c 2 5 Japan, 1997 12 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 103. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 ,…, an ≥ 0, an = min {a1 , a2 ,…, an } . Chứng minh rằng  a + a2 + … + an−1 n a1n + a2n + … + ann − na1a2 …an ≥ (n −1) 1 − an  .   n −1 104. [ Turkervici ] Cho x, y , z , t là các số thực dương. Chứng minh rằng x 4 + y 4 + z 4 + t 4 + 2 xyzt ≥ x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2t 2 + x 2 z 2 + y 2t 2 . Kvant 105. Cho a1 , a2 ,…, an là các số thực dương. Chứng minh rằng n  n 2 ij  a  ≤ aa . ∑ ∑ i  i=1  i , j=1 i + j −1 i j 106. Cho a1 , a2 ,…, an , b1 , b2 ,…, bn ∈ (1001, 2002) sao cho a12 + a22 + … + an2 = b12 + b22 + … + bn2 . Chứng minh rằng a 3 17 a13 a23 + + … + n ≤ (a12 + a22 + … + an2 ) . b1 b2 bn 10 TST Singapore 107. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng (a 2 + b2 )(b2 + c 2 )(c 2 + a 2 ) ≥ 8(a 2b2 + b2c 2 + c 2 a 2 ) 2 . 108. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abcd = 1 . Chứng minh rằng 1 2 (1 + a ) + 1 2 (1 + b) + 1 2 (1 + c) + 1 2 (1 + d ) ≥1. Gazeta Matematică 109. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 a b c + + ≥ + + . 2 2 2 2 2 2 b +c c +a a +b b+c c +a a +b Gazeta Matematică 110. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n số thực a1 , a2 ,…, an . Chứng minh rằng 2   2  a  ≤ ai + … + a j ) . (  ∑ ∑ i  i∈ℕ*  1≤i≤ j≤n TST 2004, Romania 111. [Trần Nam Dũng ] Cho x1 , x2 ,…, xn ∈ [−1,1] thỏa mãn ñiều kiện x13 + x23 + … + xn3 = 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x1 + x2 + … + xn . 112. [ Gabriel Dospinescu, Călin Popa ] Cho n số thực a1 , a2 ,…, an , n ≥ 2 thỏa mãn ñiều kiện a1a2 …an = 1 . Chứng minh rằng 13 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a12 + a22 + … + an2 − n ≥ 2n n n −1 (a1 + a2 + … + an − n) . n −1 113. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2a 2b 2c + + ≤ 3. a +b b+c c+a Gazeta Matematică 114. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng  1 ( xy + yz + zx)  + 2  ( x + y ) 1 + 2 ( y + z)  9 ≥ . 2 ( z + x)  4 1 Iran, 1996 115. [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 ,…, xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện n ∏(3x +1) ≤ 2 n i . i=1 Chứng minh rằng 1 n n ∑ 6 x +1 ≥ 3 . i=1 i 116. [ Suranyi ] Cho a1 , a2 ,…, an là các số thực dương. Chứng minh rằng (n −1)(a1n + a2n + … + ann ) + na1a2 …an ≥ (a1 + a2 + … + an )(a1n−1 + a2n−1 + … + ann−1 ) . Miklos Schweitzer Competition 117. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,…, xn > 0 thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 …xn = 1 . Chứng minh rằng n ∑ (x − x ) ≥ ∑ x 2 i j 1≤i≤ j≤n 2 i −n . i =1 A generazation of Tukervici’s Inequality 118. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a1 , a2 ,…, an < nhỏ nhất của biểu thức n ∑ i=1 1 và a1 + a2 + ... + an = 1, n > 2 . Tìm giá trị n −1 a1a2 …an . 1−(n −1) ai 119. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a1 , a2 ,…, an ∈ [0,1) thỏa mãn ñiều kiện a= a12 + a22 + … + an2 3 ≥ . n 3 Chứng minh rằng a a1 a na . + 2 2 + … + n 2 ≥ 2 1− a1 1− a2 1− an 1− a 2 120. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 14 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang (a + b + c)( x + y + z ) = (a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) = 4 . Chứng minh rằng abcxyz < 1 . 36 121. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 …xn = 1 . Tìm hằng số kn nhỏ nhất sao cho 1 1 1 + + … + ≤ n −1 . 1 + kn x1 1 + kn x2 1 + kn xn Mathlinks Contest 122. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,…, xn > 0, n > 2 thỏa mãn ñiều kiện x12 + x22 + … + xn2 = 1 . Tìm hằng số kn lớn nhất sao cho (1− x1 )(1− x2 )…(1− xn ) ≥ kn x1 x2 …xn . 123. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 3 + 3 + 3 ≥ . a (b + c ) b (c + a ) c (a + b) 2 3 IMO, 1995 124. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng ab bc ca + 5 + 5 ≤ 1. 5 5 a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca 5 IMO Shortlist, 1996 125. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 + ab 2 1 + bc 2 1 + ca 2 18 . + + ≥ 3 3 3 3 c a b a + b3 + c3 Hong Kong, 2000 126. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 2 + 1 2 + 1 2 (a +1) + b + 1 (b +1) + c + 1 (c +1) + a + 1 2 2 2 ≤ 1 . 2 127. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng     a −1 + 1 b −1 + 1 c −1 + 1  ≤ 1 .  b  c  a  IMO, 2000 128. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng a3 b3 c3 3 + + ≥ . (1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + c) (1 + a )(1 + b) 4 IMO Shortlist, 1998 129. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 15 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang ab bc ca 1 + + ≤ . 1+ c 1+ a 1+ b 4 130. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + 2 3abc ≤ 1 . Poland, 1999 131. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh rằng a +b+c + 1 ≥4 3. abc Macedonia, 1999 132. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng ab + c + bc + a + ca + b ≥ 1 + ab + bc + ca . 133. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 (1− a )(1− b)(1− c) . Russia, 1991 134. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b = 1 . Chứng minh rằng a2 b2 1 + ≥ . a +1 b +1 3 Hungary, 1996 135. Cho các số thực x, y . Chứng minh rằng 2 3( x + y + 1) + 1 ≥ 3 xy . Columbia, 2001 136. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3  1 1 a b 2 (a + b) +  ≥ 3 + 3 .  a b  b a Czech and Slovakia, 2000 137. Cho a, b, c ≥ 1 . Chứng minh rằng a −1 + b −1 + c −1 ≤ c (ab + 1) . Hong Kong, 1998 138. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = xyz . Chứng minh rằng 1 1+ x 2 + 1 1+ y 2 + 1 3 ≤ . 2 1+ z 2 Korea, 1998 139. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 2 a + 8bc + b 2 b + 8ca + IMO, 2001 16 c 2 c + 8ab ≥1 . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 140. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c d 2 + + + ≥ . b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + a + 3b a + 2b + 3c 3 IMO Shortlist, 1993 141. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + cd + da = 1 . Chứng minh rằng a3 b3 c3 d3 1 + + + ≥ . b+c +d c +d +a d +a +b a +b+c 3 IMO Shortlist, 1990 142. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 bc ca ab + 2 + 2 ≥1 ≥ 2 + 2 + 2 . 2 a + 2bc b + 2ca c + 2ab a + 2bc b + 2ca c + 2ab Romania, 1997 143. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 b3 c3 + + ≥ a +b +c . bc ca ab Canada, 2002 144. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + 3 + 3 ≤ . 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 3 USA, 1997 145. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a2 + b2 + c2 = 3 . Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ≥ . 1 + ab 1 + bc 1 + ca 2 Belarus, 1999 146. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c a +b b + c + + ≥ + +1. b c a b+c a +b Belarus, 1998 3 147. Cho a, b, c ≥ − , a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 4 a b c 9 + 2 + 2 ≤ . a + 1 b + 1 c + 1 10 2 Poland, 1996 148. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng x9 + y 9 y9 + z9 z 9 + x9 + + ≥2. x6 + x3 y 3 + y 6 y 6 + y 3 z 3 + z 6 z 6 + z 3 z 3 + x 6 Roamania, 1997 149. Cho x ≥ y ≥ z > 0 . Chứng minh rằng 17 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang x2 y y2 z z 2 x + + ≥ x2 + y2 + z 2 . z x y Vietnam, 1991 150. Cho a ≥ b ≥ c > 0 . Chứng minh rằng a 2 − b 2 c 2 − b2 a 2 − c 2 + + ≥ 3a − 4b + c . c a b Ukraine, 1992 151. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( xyz x + y + z + x 2 + y 2 + z 2 (x 2 + y + z )( xy + yz + zx ) 2 2 ) ≤ 3+ 3 9 . Hong Kong, 1997 152. Cho a1 , a2 , …, an > 0 và a1 + a2 + … + an < 1 . Chứng minh rằng a1a2 ...an (1− a1 − a2 − ... − an ) 1 ≤ n+1 . (a1 + a2 + ... + an )(1− a1 )(1− a2 )...(1− an ) n IMO Shortlist, 1998 153. Cho hai số thực a, b , a ≠ 0 . Chứng minh rằng a 2 + b2 + 1 b + ≥ 3. a2 a Austria, 2000 154. Cho a1 , a2 , ..., an > 0 . Chứng minh rằng a2 a2 a12 a22 + + … + n−1 + n ≥ a1 + a2 + … + an . a2 a3 an a1 China, 1984 155. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z ≥ 2 ( xy + yz + zx) . Russia, 2000 156. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz ≥ xy + yz + zx . Chứng minh rằng xyz ≥ 3( x + y + z ) . India, 2001 157. Cho x, y, z > 1 và 1 1 1 + + = 2 . Chứng minh rằng x y z x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 . IMO, 1992 158. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab +bc +ca =1. Chứng minh rằng 3 18 1 1 1 1 + 6b + 3 + 6c + 3 + 6a ≤ . a b c abc 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang IMO Shortlist, 2004 159. Cho x ≥ 2, y ≥ 2, z ≥ 2 . Chứng minh rằng ( x3 + y )( y 3 + z )( z 3 + x) ≥ 125 xyz . Saint Petersburg, 1997 160. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện c 2 + d 2 = (a 2 + b 2 ) . Chứng 3 minh rằng a 3 b3 + ≥ 1. c d Singapore, 2000 161. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c + + ≥1. b + 2c c + 2a a + 2b Czech – Slovak Match, 1999 162. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ab bc ca a b c + + ≥ + + . c (c + a) a (a + b) b (b + c) c + a b + a c + b Moldova, 1999 163. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng a +c b+d c +a d +b + + + ≥ 4. a+b b+c c +d d +a Baltic way, 1995 164. Cho x, y, u , v là các số thực dương. Chứng minh rằng xy + xu + uy + uv xy uv . ≥ + x + y +u +v x+ y u +v Poland, 1993 165. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng    a    1 + 1 + b 1 + c  ≥ 2 1 + a + b + c  . 3  b  c  a   abc  APMO, 1998 166. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện x + y + z =1. Chứng minh rằng x2 y + y 2 z + z 2 x ≤ 4 . 27 Canada, 1999 167. Cho a, b, c, d , e, f là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c + d + e + f = 1, ace + bdf ≥ 1 . 108 Chứng minh rằng 19 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang abc + bcd + cde + def + efa + fab ≤ 1 . 36 Poland, 1998 168. Cho a, b, c ∈ [0,1] . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≤ a 2b + b 2 c + c 2 a + 1 . Italy, 1993 169. Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c ≥ abc . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥ abc . Ireland, 1997 170. Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c ≥ abc . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3abc . BMO, 2001 171. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = xyz . Chứng minh rằng xy + yz + zx ≥ 9 ( x + y + z ) . Belarus, 1996 172. Cho x1 , x2 , x3 , x4 là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 x3 x4 = 1 . Chứng minh rằng    1 1 1 1 x13 + x23 + x33 + x43 ≥ max   x1 + x2 + x3 + x4 , + + +  .  x1 x2 x3 x4      Iran, 1997 173. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 a 3 b3 c 3 (a + b + c ) + + ≥ . x y z 3( x + y + z ) Belarus TST, 2000 174. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 1 + + + =1. 4 4 4 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 4 Chứng minh rằng abcd ≥ 3 . Latvia, 2002 175. Cho x, y, z > 1 . Chứng minh rằng xx 2 +2 yz yy 2 + 2 zx zz 2 +2 xy xy + yz + zx ≥ ( xyz ) Proposed for 1999 USAMO 176. Cho c ≥ b ≥ a ≥ 0 . Chứng minh rằng (a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) ≥ 60abc . Turkey, 1999 20 . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 177. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 ( xy + yz ) . Macedonia, 2000 178. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh rằng a2 b2 c2 3 + + ≥ . 1 + 2bc 1 + 2ca 1 + 2ab 5 Bosnia and Hercegovina, 2002 179. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥ 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + 4 + 4 ≤1. 4 4 4 a+b +c a +b+c a + b4 + c Korea, 1999 180. Cho a > b > c > 0, x > y > z > 0 . Chứng minh rằng a 2 x2 b2 y 2 c2 z 2 3 + + ≥ . (by + cz )(bz + cy ) (cz + ax)(cx + az ) (ax + by )(ay + bx) 4 Korea, 2000 181. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 . Chứng minh rằng a b c 3 + + ≥ . b2 +1 c 2 +1 a 2 + 1 2 Mediterranean, 2003 182. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c + + ≤1. 2a + b 2b + c 2c + a Moldova, 2002 183. Cho α, β , x1 , x2 ,…, xn > 0, x1 + x2 + … + xn = 1 . Chứng minh rằng xn3 x13 x23 1 . + + … + ≥ α x1 + β x2 α x2 + β x3 α xn + β x1 n (α + β ) Moldova TST, 2002 184. Cho a là một số thực dương, x1 , x2 ,…, xn > 0, x1 + x2 + … + xn = 1 . Chứng minh rằng a x1−x2 a x2 −x3 a xn −x1 n2 + + … + ≥ . x1 + x2 x2 + x3 xn + x1 2 Serbia, 1998 185. Cho x, y ∈ [ 0,1] . Chứng minh rằng 1 1+ x 2 + 1 1+ y 2 ≤ 2 . 1 + xy Russia, 2000 21 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 1 1 1 186. Cho x, y , z > 0, xyz = 1, + + > x + y + z, k ∈ N * . Chứng minh rằng x y z 1 1 1 + k + k > xk + y k + z k . k x y z Russia, 1999 187. Cho xn ≥ xn−1 ≥ xn−2 ≥ … ≥ x1 > 0, n ≥ 3 . Chứng minh rằng xn x1 x1 x2 x x + + … + n−1 n ≥ x1 + x2 + … + xn . x2 x3 x1 Saint Petersburg, 2000 188. Cho x1 ,…, x6 ∈ [ 0,1] . Chứng minh rằng x63 3 x13 x23 + + … + ≤ . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 x2 + x3 + … + x6 + 5 x3 + x4 + … + x1 + 5 x1 + x2 + … + x5 + 5 5 Ukraine, 1999 189. Cho a1 , a2 ,…, an > 0 . Chứng minh rằng (a13 +1)(a23 +1)…(an3 +1) ≥ (a12 a2 +1)(a22 a3 +1)…(an2a1 +1) . Czech – Slovak – Polish Match 2001 190. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a. 3 1 + b − c + b. 3 1 + c − a + c. 3 1 + a − b ≤ 1 . Japan, 2005 191. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  a b c 2    + +  ≥ (a + b + c ) 1 + 1 + 1  .  b c a   a b c  Iran, 2005 192. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 1 a+b+c +d + 3+ 3+ 3≥ . 3 a b c d abcd Austria, 2005 193. Cho a, b, c ∈ [0,1] . Chứng minh rằng a b c + + ≤2. bc + 1 ca + 1 ab + 1 Poland, 2005 194. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a b +b c +c a ≤ 1 . 3 Bosnia and Hercegovina, 2005 195. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 22 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang  b c a  1+ a 1+ b 1+ c . + + 2  + +  ≥  a b c  1− a 1− b 1− c Germany, 2005 196. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 4 ( a − b) a2 b2 c 2 . + + ≥ a +b+c + b c a a +b+c Balkan, 2005 197. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 8 . Chứng minh rằng a2 (a 3 + 1)(b +1) 3 + b2 (b 3 + 1)(c + 1) 3 + c2 4 ≥ . (c +1)(a +1) 3 3 3 APMO, 2005 198. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng a b c + 2 + 2 ≤1 . a +2 b +2 c +2 2 Baltic way, 2005 199. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz ≥ 1 . Chứng minh rằng x5 − x 2 y5 − y 2 z5 − z 2 + + ≥0. x5 + y 2 + z 2 y 5 + z 2 + x 2 z 5 + x 2 + y 3 IMO, 2005 200. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  2      a + b + 3 b 2 + a + 3  ≥ 2a + 1 2b + 1         4  4  2  2  Belarusian, 2005 201. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 + + = 1 . Chứng minh rằng a b c (a −1)(b −1)(c −1) ≥ 8 Croatia, 2005 202. Cho x là số thực dương. Chứng minh rằng (2 x) ≥ . n−1 (1 + x) n 1+ x n +1 Russia, 2005 203. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥ 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + + ≤ 1. 1+ a + b 1+ b + c 1+ c + a Romania, 2005 204. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 23 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc a Cao Minh Quang + a (a +1)(b +1) (b +1)(c +1) + 3 ≥ . (c +1)(a + 1) 4 a Czech and Slovak, 2005 1 205. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = . Chứng minh 3 rằng 1 1 1 + 2 + 2 ≤3. a − bc + 1 b − ca + 1 c − ab + 1 2 China, 2005 206. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng ab (1− c ) + bc (1− a ) + ca (1− b) ≤ 2 . 3 Republic of Srpska, 2005 207. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c 3 + + ≥ (a + b + c) . 2 b+c c+a a +b Serbia and Montenegro, 2005 208. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a 4 + b 4 + c 4 = 3 . Chứng minh rằng 1 1 1 + + ≤1 . 4 − ab 4 − bc 4 − ca Moldova, 2005 209. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab +bc +ca =1. Chứng minh rằng 3. 3 3 1 3 + 6 (a + b + c) ≤ . abc abc Slovenia TST, 2005 210. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a, b, c ≥ 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 (2 + abc) + +  ≥ 9 . a b c 211. [ Huỳnh Tấn Châu ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy xy + yz yz + zx zx = 1 . Chứng minh rằng x6 y6 z6 1 + + ≥ . 3 3 3 3 3 3 2 x +y y +z z +x 212. [ ðặng Thanh Hải ] Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng sin x + sin 2 x + sin 3 x < 3 3 . 2 213. [ Ngô Văn Thái ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 . Chứng minh rằng 24 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang x12 + x2 x3 x22 + x3 x4 xn2−1 + xn x1 xn2 + x1 x2 + + … + + ≥n. x1 ( x2 + x3 ) x2 ( x3 + x4 ) xn−1 ( xn + x1 ) xn ( x1 + x2 ) 214. [ Nguyễn Duy Liên ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a, b, c ∈ [1, 2] . Chứng minh rằng 1 a 1 b 1 c (a + b + c) + +  ≤ 10 . 215. [ Lê Thanh Hải ] Cho a, b, c d là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c 2 d 2 a + b + c + d . + + + ≥ 4 b2 c2 d 2 a2 abcd 216. Cho x ∈ [0, 2] . Chứng minh rằng 4 x − x3 + x + x3 ≤ 3 4 3 . 217. Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng 2 sin x + 15 −10 2 cos x ≤ 6 . 218. [ Trần Văn Hạnh ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x2 + y2 + z2 =1, n ≥ 1 . Chứng minh rằng (2n + 1) 2 n 2n +1 x y z + + ≥ . 1 − x 2 n 1 − y 2 n 1− z 2 n 2n 219. [ Kiều Phương Chi ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 1 + 2 + 2 ≤ . 2 2 2 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2 2 220. [ Vũ ðức Cảnh ] Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 = 1 . Chứng minh rằng  (1 + x)1 +   1 1  1 + y )1 +  ≥ 4 + 3 2 . + (   y  x 221. [ Ngô Văn Thái ] Cho a, b, c ∈ (0,1] . Chứng minh rằng 1 1 ≥ + (1− a )(1− b)(1− c) . a +b +c 3 222. [ Nguyễn Văn Thông ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3x 4y 2z + + = 2. x +1 y +1 z + 1 Chứng minh rằng x3 y 4 z 2 ≤ 1 . 89 223. [ Nguyễn Bá Nam ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 3  b + c c + a a + b  + + . a b c  (a3 + b3 + c3 ) a3 + b3 + c3  ≥ 2  25 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 224. Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng (16 cos4 x + 3) 4 + 768 ≥ 2048cos x . 225. [ Lê Quốc Hán ] Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng 8 4 1 (1 + x ) +16 x ≤ ≤ 17 . 2 4 8 + 1 x ( ) 226. [ Nguyễn Lê Dũng ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 + c2 + + ≤3 . a +b b+c c+a a +b+c 227. [ Trần Xuân ðáng ] Cho a, b, c là các số thực dương, n ≥ 2 . Chứng minh rằng n a b c n n +n +n > n −1 . b+c c+a a + b n −1 228. [ Trịnh Bằng Giang ] Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa ñiều kiện x + y + z = 1 , n ≥ 2 . Chứng minh rằng xn y + y n z + z n x ≤ nn n +1 (n + 1) . 229. [ Nguyễn Văn Ngọc ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 4 4 16 xyz ( x + y + z ) ≤ 3 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) . π π 230. [ Nguyễn Bá ðang ] Cho x, y , z ∈  ,  . Chứng minh rằng  6 2  2 sin x − sin y sin y − sin z sin z − sin x  1  + + ≤ 1− .   sin z sin x sin y 2  231. [ Thái Nhật Phượng ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng x2 y2 z2 + + ≥ 3. x + y + y 3 z y + z + z 3 x z + x + x3 y 232. [ Thái Nhật Phượng ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng x2 y 2 y2 z2 z 2 x2 + + ≤1 . x 2 y 2 + x7 + y 7 y 2 z 2 + y 7 + z 7 z 2 x 2 + z 7 + x7 233. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a +b +c =1. Chứng minh rằng a b abc 3 3 + + ≤ 1+ . 4 a + bc b + ca c + ab 234. [ Nguyễn Minh Phương ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 2007 . Chứng minh rằng x 20 y 20 z 20 + 11 + 11 ≥ 3.6699 . 11 y z x 26 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 235. [ Phạm Thị Thanh Quỳnh ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 5b3 − a 3 5c 3 − b3 5a 3 − c 3 + + ≤ a +b+c . ab + 3b 2 bc + 3c 2 ca + 3a 2 236. [ Lê Quang Nẫm ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x, y , z ≥ −1 và x3 + y 3 + z 3 ≥ x 2 + y 2 + z 2 . Chứng minh rằng x5 + y 5 + z 5 ≥ x 2 + y 2 + z 2 . 237. [ Nguyễn ðễ ] Cho α, β , γ ∈ ℝ, sin α + sin β + sin γ ≥ 2 . Chứng minh rằng cos α + cos β + cos γ ≤ 5 . 238. [ Huỳnh Tấn Châu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 6 . Chứng minh rằng a2 + 1 1 1 3 17 . + b2 + + c2 + ≥ 2 b+c c+a a +b 239. [ ðỗ Thanh Hải ] Cho x, y , z , t là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyzt = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 1 4 + 3 + 3 + 3 ≥ . x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx ) z ( xt + ty + yx) t ( xy + yz + zx ) 3 3 240. [ ðỗ Bá Chủ ] Cho a1 , a2 , …, ak > 0, a1 + a2 + … + ak ≥ k ; k , n ≥ 1 . Chứng minh rằng a1n + a2n + … + akn ≤1 . a1n+1 + a2n+1 + … + akn+1 241. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc + a + c = b . Chứng minh rằng 2 2 3 10 − 2 + 2 ≤ . a +1 b +1 c +1 3 2 Vietnam, 1999 242. [ ðặng Thanh Hải ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  a +b b+c c+a c a b   . + + ≥ 2  + +  a + b c a b b+c a + c  243. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab +bc +ca =1. Chứng minh rằng a + b + c + abc ≥ 10 3 . 9 244. [ Phan Hoàng Vinh ] Cho a1 , a2 , …, an ∈ [0,1], n ≥ 2 . Chứng minh rằng a1 a2 an + + … + ≤ n −1 . a2 a3 …an +1 a1a3 …an + 1 a1a2 …an−1 + 1 245. [ ðào Mạnh Thắng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ a 2b 2 c 2 . Chứng minh rằng 27 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc a 2b 2 c (a + b 3 2 2 ) Cao Minh Quang + b 2c 2 a (b + c 3 2 2 ) + c2a2 b (c + a 3 2 2 ) ≥ 3 . 2 246. [ ðỗ Ngọc Ánh ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 6 . Chứng minh rằng  1  1  1  729 . 1 + 3 1 + 3  ≥ 1 + 3  a b  c  512 247. [ Trương Hoàng Hiếu ] Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a 2 + 1 b2 +1 c 2 + 1 7 + + ≤ . b 2 + 1 c 2 + 1 a 2 +1 2 2 248. [ Trần Tuấn Anh ] Cho a, b, c là các số thực dương và k ≥ . Chứng minh rằng 3  k  k  k  a  +  b  +  c  ≥ 3 .  b + c   c + a   a + b  2k 249. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y = 1 . Chứng minh rằng 1 1 + ≥ 4+2 3 . 3 x +y xy 3 250. [ Hồ Quang Vinh ] Cho a, b, c, d là các số thực thỏa ñiều kiện a 2 + b 2 = c + d = 4 . Chứng minh rằng ac + bd + cd ≤ 4 + 4 2 . 251. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho x, y, z với x = max { x, y, z } . Chứng minh rằng x y z + 1+ + 3 1+ ≥ 1+ 2 + 3 2 . y x x 252. Cho a là số thực dương và x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện xy + yz + zx = 1 . Chứng minh rằng a ( x2 + y 2 ) + z 2 ≥ −1 + 1 + 8a . 2 253. [ Triệu Văn Hưng ] Cho a, b, c > 1 . Chứng minh rằng a logb c + blogc a + c loga b ≥ 3 3 abc . 254. [ Phạm Văn Thuận ] Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 = 1 . Chứng minh rằng xy + max { x, y} ≤ 3 3 . 4 255. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a6 b3 c6 1 + + ≥ . 3 3 3 3 3 3 b +c c +a a +b 18 256. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng 28 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang xy yz zx 3 + + ≤ . z + xy x + yz y + zx 2 257. [ Trần Tuấn Anh ] Cho x là các số thực không âm. Chứng minh rằng 2 2 + x ≤ x + 9. x +1 258. Cho a, b là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a > b ≥ 0 . Chứng minh rằng 2a + 32 2 (a − b)(2b + 3) ≥5. 259. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b = 4 . Chứng minh rằng 6 10 2a + 3b + + ≥ 18 . a b 260. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a +b+c =3 . Chứng minh rằng 5 2a + b + 5 2b + c + 5 2c + a ≤ 3 5 3 . 261. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 6 ( x + y + z ) ≥ 432 xy 2 z 3 . 262. Cho a ∈ [0,1] . Chứng minh rằng 13. a 2 − a 4 + 9. a 2 + a 4 ≤ 16 . 263. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng  3a  3b  3c  3d  28561 . 2 + 2 + 2 +  ≥ 2 +  5b 5c  5d  5a  625 264. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c + d ≤ 1 . Chứng minh rằng      1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1  ≥ 94 .  a b  b c  c d  d a  265. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abcd ≥ 16 . Chứng minh rằng      a + 2 + 1 b + 2 + 1 c + 2 + 1 d + 2 + 1  ≥ 2401 .     b c  c d  d a  a b  16 266. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b ≤ 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + 2 + 2 ≥ 20 . 3 a +b a b ab 3 267. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≤ 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 81 + 2 + 2 + + + ≥ . 2 2 2 a +b b +c c +a ab bc ca 2 2 268. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 . Chứng minh rằng 5 (2a + b)(a + c) a + 5 (2b + c)(b + a) b + 5 (2c + a )(c + b) c ≤ 3 5 6 . 29 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 269. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện (a 2 + a + 2)(b +1) (c 2 + 3c) = 64 . 2 Chứng minh rằng a 3b 4c 5 ≤ 1 . 270. [ Trần Hồng Sơn ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≤ 3 . 2 Chứng minh rằng     3 + 1 + 1 3 + 1 + 1 3 + 1 + 1  ≥ 343 .     a b  b c  c a 3 271. Cho a, b, c, m, n, p là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≤1, m + n + p ≤ . 2 Chứng minh rằng   2 1   1 + + 1 + 2 + 1 1 + 2 + 1  ≥ 93 .    a m  b n  c p  272. [ Phùng Văn Sự ] Cho x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng 27 ( x 2 + 3)( y 2 + 3)( z 2 + 3) ≥ 4 (3xy + 3 yz + 3zx) . 2 273. [ Trần Anh ðức ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 + b3 + c 3 a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 9 + 2 + + ≥ . 2abc c + ab a 2 + bc b 2 + ac 2 274. [ Lê Thanh Hải ] Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab = 1 . Chứng minh rằng a3 b3 + ≥1. 1+ b 1+ a 275. [ Dương Châu Dinh ] Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 2 . Chứng minh rằng 2 ( x3 + y 3 + z 3 ) ≤ 2 + ( x 4 + y 4 + z 4 ) . 276. [ Nguyễn Tất Thu ] Cho a, b, c , α là các số thực dương. Chứng minh rằng  α  α  α a 2 + 1  + b 2 + 1  + c 2 + 1  ≥ 3.2α .  ab   bc   ca  277. [ Trần Xuân ðáng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 2 (1 + a + b + c) . 278. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1  + + ≥ x+ y + z +6 . ( xyz + 1) + + +  x y z z y x x z y 279. [ ðàm Văn Nhỉ ] Cho a, b, c, d ∈ [0,1] . Chứng minh rằng a b c d + + + ≤3. bcd + 1 cda + 1 dab + 1 abc + 1 30 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 280. [ Cao Xuân Nam ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca =1. Chứng minh rằng a8 2 2 (a 2 + b ) + b8 2 2 (b2 + c ) + c8 2 2 (c 2 + a ) ≥ 1 . 12 281. [ Trần Hồng Sơn ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≤ 3 . Chứng minh rằng 1 a 3 b3 c 3 1 1 + 2 + 2 + 27  + +  ≥ 84 . 2  ab bc ca  b c a 282. [ Dương Châu Dinh ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 1 1 1 6  2 + 2 + 2  ≤ 1 + + + .  a  b c a b c Chứng minh rằng 1 1 1 1 + + ≤ . 10a + b + c a + 10b + c a + b + 10c 12 283. [ Lê Văn Quang ] Cho a, b, c, d , e, f là các số thực thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + cd + de + ef = 1 . Chứng minh rằng 1 a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 + f 2 ≥ 2 cos π 7 . 284. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a b c 27 . + 3 + 3 ≤ 2 2 2 a + a + 1 b + b +1 c + c +1 31 3 285. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng x+ y+z xy + yz + zx . ≥ 2 2 3 3 x + xy + y + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 286. [ Walther Janous ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 4 + b 4 + 3 ≥ a + b + 3. 3ab +1 3 3ab +1 . . 4 4 287. [ Trần Thị Thuận ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ≥ . a (b + 1) b (c + 1) c (a +1) abc +1 288. Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh rằng 8 ( x 3 + y 3 + z 3 ) ≥ 9 ( x 2 + yz )( y 2 + zx )( z 2 + xy ) . 2 289. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng x2 − z 2 y 2 − x2 z 2 − y 2 + + ≥0. y+z z+x x+ y 31 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 290. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của (x x + y y ). 291. [ Nguyễn Hữu Bằng ] Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 1 1 1 (a + b + c) + +  + a b c 3(a − b)(b − c )(c − a ) abc ≥9. 292. [ Cao Minh Quang ] Cho 10 số thực không âm ai , bi (i = 1, 2,…,5) thỏa mãn ñiều kiện ai2 + bi2 = 1(i = 1, 2,…,5) và a12 + a22 + … + a52 = 1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b1 + b2 + b3 + b4 + b5 . a1 + a2 + a3 + a4 + a5 293. Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh rằng ( x + y )( y + z )( z + x ) 2 ≥ xyz (2 x + y + z )(2 y + z + x )(2 z + x + y )   294. [ Vedula N. Murty ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 a + b + c 1 3 (a + b) (b + c) (c + a ) ≤ . 3 4 abc 295. [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 ,…, xn > 0, x1 + x2 + … + xn = 2n, n ≥ 3 . Chứng minh rằng n n ∑∑ j =1 i=1 i≠ j xj 3 i x +1 ≥ x 296. Cho hàm số f : [1, +∞)  → ℝ, f ( x) = ∫ 1 2n (n −1) 3 . dt . Chứng minh rằng với các số t + 2002t 2002 thực x1 , x2 ,…, xn ≥ 1 , ta có f ( x1 ) + f ( x2 ) + … + f ( xn ) x + x2 + … + xn . ≤ ln 1 n n 297. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ñiều kiện 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 3 . Chứng minh rằng (a − b)(a 2 − 9) + (a − c )(b 2 − 9) + (b − c )(c 2 − 9) ≤ 36 . 298. Cho các số thực a1 , a2 ,…, an . Chứng minh rằng a13 + a23 + … + an3 ≤ a12 + a22 + … + an2 . Nordic, 1990 299. Cho các số thực x1 , x2 ,…, xn (n ≥ 2) thỏa mãn các ñiều kiện x1 + x2 + … + xn ≥ 0 và 3 x12 + x22 + … + xn2 = 1 . ðặt M = max { x1 , x2 ,…, xn } . Chứng minh rằng M≥ 1 n (n −1) . Nordic, 1995 300. Cho a1 , a2 ,…, an (n ≥ 1) là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1  1 1 1  n + 1 + 1 + … + 1  . n  + + … +  ≥  + + … +  1 + an  an  1 + a1 1 + a2 a1 a2 an   a1 a2 ðẳng thức xảy ra khi nào? Nordic, 1999 32 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 301. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với các số thực x1 , x2 ,…, xn , y1 , y2 ,…, yn , ta luôn có bất ñẳng thức x1 x2 …xn + y1 y2 … yn ≤ x12 + y12 + x22 + y22 + … + xn2 + yn2 . Poland, 2002 302. Cho x1 , x2 ,…, xn (n ≥ 3) là các số thực dương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất ñẳng thức sau là ñúng n x x n n n ∑ x +i x ≥ 2 , ∑ x +i x ≥ 2 . i=1 i +1 i =1 i−1 i+2 i −2 (ở ñây ta xem xn+1 = x1 , xn+2 = x2 , x0 = xn , x−1 = xn−1 ) Poland, 2002 303. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng 2 (a 2 + b 2 ) + 2 (b 2 + c 2 ) + 2 (c 2 + a 2 ) ≥ 3(a + b) + 3(b + c) + 3(c + a ) . 2 2 2 Poland, 2004 304. Cho a, b là các số thực dương và các số thực xi , yi ∈ [0,1], i = 1, 2,…, n (n ≥ 1) thỏa mãn các ñiều kiện x1 + x2 + … + xn ≤ a, y1 + y2 + … + yn ≤ b . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn . Poland, 2005 305. Cho các số thực dương x1 , x2 ,…, xn và số thực c > −2 . Chứng minh rằng nếu x12 + cx1 x2 + x22 + x22 + cx2 x3 + x32 + … + xn2 + cxn x1 + x12 = c + 2 ( x1 + x2 + … + xn ) thì c = 2 hoặc x1 = x2 = … = xn . Poland, 2005. 306. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = abc . Chứng minh rằng a 4 + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ≥1 . ab (a 3 + b3 ) bc (b 3 + c3 ) ca (c 3 + a 3 ) Poalnd, 2006 1 ≤ a, b, c ≤ 1 . Chứng minh rằng 2 a +b b+c c +a 2≤ + + ≤ 3. 1+ c 1+ a 1+ b  π 308. Cho a, b ∈ 0,  và n ∈ ℕ . Chứng minh rằng  4  sin n a + sin n b sin n 2a + sin n 2b ≥ . n n (sin a + sin b) (sin 2a + sin 2b) 307. Cho 309. Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng (−a + b + c)(a − b + c) +(a − b + c)(a + b − c) +(a + b − c)(−a + b + c) ≤ abc ( a + b + c ) . Romania TST, 2002 310. Cho a1 , a2 ,…, an (n ≥ 3) là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a12 + a22 + … + an2 = 1 . Chứng minh rằng 2 a a1 a 4 + 2 2 + … + 2 n ≥ a1 a1 + a2 a2 + … + an an . 2 a2 + 1 a3 + 1 a1 + 1 5 Romania TST, 2002 ( ) 33 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 311. Cho các số thực x, y thỏa mãn ñiều kiện 1 ≤ x 2 − xy + y 2 ≤ 2 . Chứng minh rằng 2 a) ≤ x 4 + y 4 ≤ 8 , 9 2 b) x 2 n + y 2 n ≥ n , n ≥ 3 . 3 312. Cho x1 , x2 ,…, xn−1 (n ≥ 3) là các số tự nhiên thỏa mãn ñiều kiện x1 + x2 + … + xn−1 = 2 và x1 + 2 x2 + … + (n −1) xn−1 = 2n − 2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức n−1 F ( x1 , x2 ,…, xn ) = ∑ k (2n − k ) xk . k =1  π 313. [ V. Senderov ] Cho x ∈ 0,  và m, n là các số tự nhiên sao cho n > m . Chứng minh  2  rằng 2 sin n x − cos n x ≤ 3 sin m x − cos m x . 314. [ S. Berlov ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 2 2 2 + + ≥ + + . 1 − a 1− b 1− c 1 + a 1 + b 1 + c  π 315. Cho x ∈ 0,  . Chứng minh rằng  2  sin x ≤ sin x . 316. [ D. Tereshin ] Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng (a + b + c) ≥ 3(a bc + b ca + c ab ) . 2 317. Cho x1 , x2 ,…, xn (n ≥ 4) là các số thực dương. Chứng minh rằng x1 x2 xn−1 xn + + … + + ≥2. xn + x2 x1 + x3 xn−2 + xn xn−1 + x1 Xác ñịnh ñiều kiện xảy ra ñẳng thức khi n = 4 . 318. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3(a + b + c + d ) + 4 (abc + bcd + cda + dab) = 8 . Chứng minh rằng ab + ac + bc + ad + bd + cd ≤ 2 . 319. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x 2 ≤ y + z, y 2 ≤ z + x, z 2 ≤ x + y . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Serbia and Montenegro, 2002 320. Cho a, b, c là các số thực dương và n, k là các số tự nhiên. Chứng minh rằng a n+ k b n+ k c n + k + n + n ≥ ak + bk + ck . n b c a 321. [ R. Sanojevic ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + + ≥ 2. 1 1 1 1 1 1 b+ + c+ + a+ + a 2 b 2 c 2 Serbia and Montenegro, 2004 322. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng xy + yz + zx ≥ 4 ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) + 5 xyz . Serbia and Montenegro, 2006 34 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 323. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng x y z 9 + 2 + 2 ≥ . 2 y +z z +x x +y 4 Serbia and Montenegro, 2006 324. Chứng minh rằng 1 44 tan10 tan 20…t an440 < t an220 30 ' < ( tan10 + tan 20 + ... + t an440 ) . 44 325. Cho a, b, c, d , e, f là các số thực dương. Chứng minh rằng (a + c + e)(b + d + f ) ab cd ef . + + ≤ a +b c+d e+ f a +b+c+d +e+ f Yugolavia, 1985 326. Cho a ≥ 1, b ≥ 1 . Chứng minh rằng  a 2 − b 2 2 ab a2 + b2  + 3 . ≥ a +b 8  8  Yugolavia, 1991 327. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 ( a − b) ( a − b) a 2 + b2 ≤ − ab ≤ . 2 ( a + b) 2 4 ab Yugolavia, 1993 328. Cho các số thực x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Hãy xác ñịnh giá trị lớn nhất của số thực a ñể x12 + x22 + x32 + x42 + x52 ≥ a ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x5 ) . Yugolavia, 1996 329. [ ð. Dugosija ] Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 ít nhất hai trong ba số 2a − , 2b − , 2c − ñều lớn hơn 1. b c a Serbia and Montenegro TST, 2004 330. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c d + + + ≥ 2. b +c c + d d + a a +b Yugolavia TST, 1985 331. Cho a > b > 0 . Chứng minh rằng 2 ( a − b) 8a 2 ( a − b) a +b . − ab < 2 8b Sweden, 1985 <  1 332. Cho x1 , x2 , x3 , x4 ∈ 0,  . Chứng minh rằng  2  x1 x2 x3 x4 x14 + x24 + x34 + x44 . ≤ (1− x1 )(1− x2 )(1− x3 )(1− x4 ) (1− x1 )4 + (1− x2 )4 + (1− x3 )4 + (1− x4 )4 Taiwan, 2002 333. Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x12 + x22 + ... + xn2 = 1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức n xi5 ∑ x + x + ... + x − x . i=1 1 2 n i Turkey TST, 1997 334. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 35 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 1 1 1 1 1 1 −1 −1 + −1 −1 + −1 −1 ≥ 6 . a b b c c a  π 335. Cho x ∈ 0,  , n ∈ ℕ . Chứng minh rằng  2n  s in (n+1) x s in2x s in3x cos x + + ... + <2 2 . sinx sin2x sinnx sin x Ukraina TST, 1999 336. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 2 . Chứng minh rằng 1 1 1 27 + + ≥ . 1 + ab 1 + bc 1 + ca 13 Swiss TST, 2003 337. Cho a1 , a2 ,..., an là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1a2 ...an = 1 . Chứng minh rằng a1 + a2 + ... + an ≤ a1 + a2 + ... + an . 338. Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 1 a 2 + b 2 + c 2 + 4abc ≤ . 2 Italy, 1990 339. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  1 9 1 1  1 1 1 ≤ 2  + + ≤ + + .   a + b b + c c + a  a b c a+b+c Irish, 1998 340. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng 1 2 2 2 2 2 2 ( a − b) + (b − c) + (c − a )  ≤ a 2 + b 2 + c 2 − 3 3 a 2b 2c 2 ≤ (a − b) + (b − c) + (c − a) .  3 Irish, 2005 341. Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng a b c 3 3 abc . + + ≥ 1− a 1− c 1− c 1− 3 abc Irish, 2002 342. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện xyz = −1 . Chứng minh rằng x2 x2 y 2 y2 z 2 z 2 + + + + + . y z x z x y Iran, 2004 343. Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực dương. Chứng minh rằng x 4 + y 4 + z 4 + 3( x + y + z ) ≥ xn3 x + x2 + ... + xn x13 x23 . ... + + + ≥ 1 2 2 2 2 2 2 3 x1 + x1 x2 + x2 x2 + x2 x3 + x3 xn + xn x1 + x1 Hungary – Israel Competition, 2003 344. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c + d = 1 . Chứng minh rằng 1 6 ( a 3 + b3 + c 3 + d 3 ) ≥ (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) + . 8 Hong Kong, 2006 345. Cho a1 , a2 ,..., an+1 (n ≥ 2) là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a2 − a1 = a3 − a2 = ... = an+1 − an . 36 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang Chứng minh rằng 1 1 1 n −1 a1an + a2 an+1 . + 2 + ... + 2 ≤ . 2 2 a2 a3 an a1a2 an an+1 Hong Kong, 2004 346. Cho x, y, z > 0, k > 2, a = x + ky + kz, b = kx + y + kz, c = kx + ky + z . Chứng minh rằng x y z 3 . + + ≥ a b c 2k + 1 Greek TST, 1998 347. Cho x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng x2 − y2 y 2 − z 2 z 2 − x2 + + ≤0. 2 x 2 + 1 2 y 2 + 1 2 z 2 +1 Greek TST, 2005 348. Cho x, y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x 2 + xy + y 2 = 1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K = x 3 y + xy 3 . Greek , 2006 1− γ 2 349. Cho α, β , γ là các số thực thỏa mãn ñiều kiện βγ ≠ 0, ≥ 0 . Chứng minh rằng βγ 10 (α 2 + β 2 + γ 2 − βγ 3 ) ≥ 2αβ + 5αγ . Greek , 2002 350. Cho α, β , x, y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện α + β = 1 . Chứng minh rằng α β  (α x + β y ) +  ≥ 1 .  x y ðẳng thức xảy ra khi nào? Greek , 2001 351. Cho x, y là các số thực dương. Hãy xác ñịnh số k lớn nhất ñể 1 xy ≤ . ( x 2 + y 2 )(3×2 + y 2 ) k Greek , 2000 352. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a < b < c, a + b + c = 6, ab + bc + ca = 9 . Chứng minh rằng 0 < a <1 < b < 3 < c < 4 . Britain, 1995 353. Cho 0 ≤ x, y, z ≤ 1 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức S = x 2 y − y 2 x, P = x 2 y + y 2 z + z 2 x − x 2 z − y 2 x − z 2 y . Britain, 1995 354. Cho a, b, c, d , e là các số thực dương. Chứng minh rằng  4  4  4  4  4  a  +  b  +  c  +  d  +  e  ≥ b + c + d + e + a .  b   c   d   e   a  a b c d e Britain, 1984 355. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x2 + y2 + z2 =1. Chứng minh rằng 1 x 2 yz + xy 2 z + xyz 2 ≤ . 3 Britain, 2004 356. Cho a, b, c, p, q, α ∈ (0,1) . 37 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang α +1 a) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x ) = x α+1 (1− x ) , ∀x ∈ (0,1) . + α cα (1− c) α +1 a α +1 bα+1 (a + b) b) Chứng minh rằng α + α ≥ . α p q ( p + q) Bulgarian, 1984 357. Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 là các số thực dương. Hãy xác ñịnh số C bé nhất ñể 125 C ( x12005 + x22005 + ... + x52005 ) ≥ x1 x2 x3 x4 x5 ( x1125 + x125 2 + ... + x5 ) . 16 Brasil, 2005 358. Cho a, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng a+z a+x a+ y a+ y a+z a+x x +y +z ≤ x+ y+z ≤ x +y +z . a+x a+ y a+ z a+z a+x a+ y 359. Cho n ≥ 2 . Chứng minh rằng 2 3 3 4 4... n n < 2 . Austria, 1990 360. Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng a 6 + b 6 + c 6 + d 6 + 2 ≥ 6abcd . Austria, 2004 361. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng { 2 2 2 } min (a − b) , (b − c) , (c − a ) ≤ a2 + b2 + c2 . 2 Italy, 1992 362. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn các ñiều kiện a 2 ≤ b 2 + c 2 , b 2 ≤ c 2 + a 2 , c 2 ≤ a 2 + b 2 . Chứng minh rằng (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )(a3 + b3 + c3 ) ≥ 4 (a 6 + b6 + c6 ) . Japan, 2001 363. Cho n ≥ 2 . Chứng minh rằng n−1 n 1 ∑ n − k . 2k −1 < 4 . k =1 Japan, 1992 364. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh rằng a b c 3 + 2 + 2 ≥ a a +b b +c c . 2 b +1 c +1 a + 1 4 Mediteranean, 2002 365. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca + 2abc = 1 . Chứng minh rằng 2 (a + b + c) +1 ≥ 32abc . Mediteranean, 2004 366. Cho a, b, c là các số khác 0; x, y, z là các số thực dương thỏa ñiều kiện x + y + z = 3 . Chứng minh rằng 3 1 1 1 x y z + 2+ 2 ≥ + + . 2 2 2 2 a b c 1+ a 1+ b 1+ c 2 Mediteranean, 1999 367. Cho a1 , a2 ,..., an là các số thực dương. Chứng minh rằng ( 38 ) 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 1 1 1 1 + + ... + 1 + a1 1 + a2 1 + an − 1 1 1 1 + + ... + a1 a2 an ≥ 1 . n 368. Cho n ≥ 2 . Chứng minh rằng log 2 3 + log3 4 + ... + log n (n +1) < n + ln n − 0,9 .  3 369. Cho x, y ∈ 1,  . Chứng minh rằng  2  y 3 − 2 x + x 3 − 2 y ≤ x2 + y 2 . Moldova, 2001 370. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 +1 ≥ 4 (ab + bc + ca ) . Moldova, 2002 371. Cho n là một số tự nhiên và x là một số thực. Chứng minh rằng n cos x + cos 2 x + cos 4 x + ... + cos 2n x ≥ . 2 2  π 372. [ V. Yasinsky ] Cho α, β , γ ∈ 0,  . Chứng minh rằng  2  α+β +γ ≥α sin β sin γ sin α . +β +γ sin α sin β sin γ  π 373. [ V. Yasinsky ] Cho α, β , γ ∈ 0,  . Chứng minh rằng  2  sin β + sin γ sin γ + sin α sin α + sin β α+β +γ ≥α +β +γ . 2sin α 2sin β 2sin γ 374. [ M. Kurylo ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng abc (a + b + c ) a6 b6 c6 + + ≥ . 2 2 2 2 2 2 2 b +c c +a a +b 375. [ M. Kurylo ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 a (b +1) yz + 3 b (c + 1) zx + 3 c (a + 1) xy ≤ 3 (a +1)(b +1)(c + 1)( x + 1)( y + 1)( z + 1) . 1 . Chứng minh rằng 3 a +b b+c c +a a + b + c − abc . + + ≤2 1− ab 1− bc 1− ca 1− ab − bc − ca 377. [ O. Kukush, R. Ushakov ] Cho n ≥ 1 . Chứng minh rằng 376. [ V. Brayman ] Cho 0 ≤ a, b, c < 1 + 3 + 5 + ... + 2n −1 < 2 . 378. [ V. Gavran ] Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a 3 b3 c 3 a c b + 2 + 2 ≥ (a + b − c) + (c + a − b ) + (b + c − a ) . 2 b c a c b a 379. [ R. Ushakov ] Cho n ≥ 2, p ≥ 3 . Chứng minh rằng n   1− 1  > p ∏ p  k  p + 1 k =2  380. [ Prymak ] Cho x1 , x2 ,…, xn , y1 , y2 ,…, yn là các số thực dương. Chứng minh rằng 39 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 3 xn3 ( x1 + x2 + … + xn ) x13 x23 . + + … + ≥ y12 y22 yn2 ( y1 + y2 + … + yn )2  π 381. [ D. Mitin ] Cho x, y ∈ 0,  . Chứng minh rằng  2   cos x cos y − 4 1 x+ y  . ≤ 1 + cos   cos x + cos y − 4  cos x + cos y − 4 2 382. [ D. Mitin ] Cho x1 , x2 ,…, xn ≠ 0 , ( x x1 x2 + + … + n = 0 . Chứng minh rằng x2 x3 x1 x1 x2 + x2 x3 + … + xn x1 ≤ max xk − min xk 1≤k ≤n 1≤k ≤n )( x + x 1 2 + … + xn ) . 383. [ V. Yasinskyy ] Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện a + b + c = 2 và ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng 4 max {a, b, c} − min {a, b, c} ≤ . 3 384. [ V. Brayman ] Cho 1 ≤ a, b, c, d ≤ 2 . Chứng minh rằng a b c d 4 ≤ + + + ≤2. 3 b + cd c + da d + ab a + bc 385. [ O. Makarchuk ] Cho a, b, c > 1 thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = abc . Chứng minh rằng (a 2 −1)(b2 −1)(c 2 −1) ≤ 8 . 386. [ V. Yasinskyy ] Cho x, y, z là các số thực thỏa ñiều kiện x + y + z ≤1, x − y + z ≤1, 4x + 2 y + z ≤ 8, 4x − 2 y + z ≤ 8 . Chứng minh rằng x +3 y + z ≤ 7. 387. [ O. Rybak ] Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng b4 c 4 c4 a4 a 4 b4 4 4 a + + + b + + + c + + ≥ a 4 + b 3 c + b 4 + c 3 a + c 4 + a 3b . 2 2 2 2 2 2 388. [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 a b c a 2 + bc b 2 + ca c 2 + ab . + + ≥ + + b + c c + a a + b (a + b)(a + c ) (b + a )(b + c ) (c + a )(c + b) 389. [ Daniel Campos Salas ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c + 1 = 4abc . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 + + ≥3≥ + + . a b c ab bc ca 390. [ Bogdan Enescu ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện cos x + cos y + cos z = 0, cos 3 x + cos 3 y + cos 3 z = 0 . Chứng minh rằng cos 2 x.cos 2 y.cos 2 z ≤ 0 . 391. [ Phạm Hữu ðức ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng b+c c+a a +b a +b +c + + ≥ 6. 3 . a b c abc 392. [ Vasile Cartoaje ] Cho a, b, c, d là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b2 + c2 + d 2 = 4 . Chứng minh rằng 40 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 (4 − ab − bc − cd − da ) ≥ ( ) 2 +1 (4 − a − b − c − d ) . 393. [ Hồ Phú Thái ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c a +b+c + + ≤ . 2 2 2 ab + bc + ca a + 2bc b + 2ca c + 2ab 394. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 ,…, a5 là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1a2 a3a4 a5 = a1 (1 + a2 ) + a2 (1 + a3 ) + … + a5 (1 + a1 ) + 2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 1 1 + + + + . a1 a2 a3 a4 a5 395. Cho x1 , x2 , x3 , x4 là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện x1 + x2 + x3 + x4 = 0, x12 + x22 + x32 + x42 = 1 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x13 + x23 + x33 + x43 . 396. [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng a3 + abc b3 + abc c 3 + abc + + ≥ a 2 + b2 + c2 . b+c c+a a +b 397. [ Titu Andresscu ] Cho ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng 1 cos3 A + cos3 B + cos3 C + cos A cos B cos C ≥ . 2 398. [ Phạm Hữu ðức ] Cho a, b, c là các số thực không âm nhưng không có hai số nào trong ba số ñồng thời bằng 0. Chứng minh rằng a 2 + bc 3 b 2 + ca 3 c 2 + ab 9 3 abc . + + ≥ b2 + c 2 c2 + a2 a2 + b2 a + b + c 399. [ Titu Andresscu ] Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng 3 3(a 2 − ab + b 2 )(b 2 − bc + c 2 )(c 2 − ca + a 2 ) ≥ a 3b3 + b3c 3 + c3 a 3 . 400. [ Darij Grinberg ] Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng A A B B C C 3  A B C cos cot + cos cot + cos cot ≥ cot + cot + cot  .  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 401. [ Marian Tetiva ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 . a) Nếu a ≤ b ≤ 1 ≤ c thì + + ≥ + + a + b b + c c + a a +1 b +1 c +1 1 1 1 1 1 1 b) Nếu a ≤ 1 ≤ b ≤ c thì + + ≤ + + . a + b b + c c + a a +1 b +1 c +1 402. [ Vasile Cartoaje ] Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh rằng 1 5 x 4 ( y + z ) + y 4 ( z + x) + z 4 ( x + y ) ≤ ( x + y + z ) . 12 403. [ Zdravko F. Starc ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) a b2 − b + b c 2 − c + c a 2 − a ≥ 0 . 404. [ Ivan Borsenco ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 (ab + bc + ca) ≤ 3(a 2b + b 2c + c 2 a )(ab 2 + bc 2 + ca 2 ) . 405. [ Nikolai Nikolov ] Cho 0 < y < x < 1, 0 < z < 1 . Chứng minh rằng 41 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang x− y ( x z − y z )(1− x z y z ) > 1− xy . 406. [ Bogdan Enescu ] Cho a, b là hai số thực phân biệt thỏa mãn ñiều kiện a −1 + b +1 = a + b = a −1 + b + 1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a + b . 1 407. [ Iurie Boreico, Marcel Teleucă ] Cho x1 , x2 ,…, xn ≥ . Chứng minh rằng 2 xi n n   4 2x  ∏1 + 3 i  ≥  3  4 ( x1 + x2 )( x2 + x3 )…( xn−1 + xn )( xn + x1 ) . i=1 408. [ Iurie Boreico, Ivan Borsenco ] Cho a, b, c là các số thực dương phân biệt. Chứng minh rằng a 2b + a 2 c + b 2 a + b 2 c + c 2 a + c 2b 16abc ≥ . 2 2 2 2 a + b + c − ab − bc − ca (a + b + c) 409. [ Titu Andreescu ] Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 3(a + b) ≥ 2 ab +1 . Chứng minh rằng 9 (a 3 + b3 ) ≥ a 3b3 + 1 . 410. [ Titu Andreescu ] Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng 3(a 2 − ab + b2 )(c 2 − cd + d 2 ) ≥ 2 (a 2 c 2 − abcd + b 2 d 2 ) . 411. [ Ivan Borsenco ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a) (a 3 + b3 + c3 ) ≥ (a 4 + b 4 + c 4 )(ab + bc + ca ) . 2 b) 9 (a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ (a 5 + b5 + c 5 )(a + b + c ) . 2 3 412. [Titu Andreescu ] Cho a, b là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 9a 2 + 8ab + 7b 2 ≤ 6 . Chứng minh rằng 7a + 5b + 12ab ≤ 9 . 413. [ Phạm Hữu ðức ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  1 1 1 1  1 1 . + + +  ≥  2 a + b + c a + b b + c c + a  ab + bc + ca 2 (a + b 2 + c 2 ) 414. [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 4 (ab + bc + ca) 1 1 1 + 3 + 3 + ≥ ab + bc + ca . 3 a (b + c ) b (c + a ) c (a + b) (a + b)(b + c)(c + a) 415. [ Bin Zhao ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 + + ≤1 . 4a 2 + ab + 4b2 4b 2 + bc + 4c 2 4c 2 + ca + 4a 2 416. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a ≥ 1, a + b + c = 0 . Chứng minh rằng a 4 + b 4 + c 4 − 3abc . 417. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≤ 8 . Chứng minh rằng 1 1 1 + 2 + 2 ≥1 . 2 a − a +1 b − b + 1 c − c + 1 n n 1 418. Cho x1 , x2 ,…, xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện S = ∑ xi = ∑ . Chứng i=1 i=1 xi minh rằng 42 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc n Cao Minh Quang 1 n 1 ∑ n −1 + x ≥ ∑ 1 + S − x i=1 i i=1 . i 1 1 1 419. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ( x + y − z ) + −  = 4 . Hãy  x y z  tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 E ( x, y, z ) = ( x 4 + y 4 + z 4 ) 4 + 4 + 4  .  x y z  420. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng 1 + a 2b 2 1 + b 2 c 2 1 + c 2 a 2 5 + + ≥ . 2 2 2 (a + b) (b + c) (c + a) 2 421. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng a +b b+c c+a + + ≥ 3. b +1 c +1 a +1 422. Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Hãy tìm giá trị lớn nhất của số thực k ñể 3 a 3 + b3 + c3 ≥ k ( a + b + c ) . Iran, 2006 n 423. Cho x1 , x2 ,…, xn là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ∑ x = 1 . Chứng minh rằng i i=1  n  n 1  n2   .  x ≤  i  ∑ ∑  i=1 1 + xi  n +1 i=1 China TST, 2006 424. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng xy yz zx 2 . + + ≤ 2 xy + yz yz + zx zx + xy China TST, 2006 425. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 . Chứng minh rằng 1 1 1 + 2 + 2 ≥ a2 + b2 + c 2 . 2 a b c Romania TST, 2006 426. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  a b c 2 3  a + b b + c c + a   + +  ≥  + + .  b c a  a b  2  c Junior Balkan TST, 2006 427. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a2 b2 c2 + + ≥ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) . b c a Junior Balkan TST, 2006 428. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy + yz + zx = 1 . Chứng minh rằng 2 27 ( x + y )( y + z )( z + x) ≥ x + y + y + z + z + x ≥ 6 3 . 4 Turkey TST, 2006 429. Cho a1 , a2 ,…, an (n ≥ 3) là các số thực. Giả sử rằng ta có ( ) 43 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 (a1 + a2 + … + an ) ≥ 4 (a1a2 + a2 a 3 +… + an a1 ) . a) Tìm tất cả các giá trị của n ñể bất ñẳng thức trên ñúng khi a1 , a2 ,…, an là các số thực dương. b) Tìm tất cả các giá trị của n ñể bất ñẳng thức trên ñúng khi a1 , a2 ,…, an là các số thực bất kì. Italy, 2006 430. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  3  3  3  a + 2b  +  b + 2c  +  c + 2a  ≥ 3 .  a + 2c   b + 2a   c + 2b  MOP, 2004 + 431. Cho k ∈ ℤ , a1 , a2 ,…, an là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1 + a2 + … + an = 1 . Chứng minh rằng n n 1− aik ≥ (n k −1) . ∏ k ai i=1 432. Cho a1 , a2 ,…, an là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a1 + a2 + … + an = 1 . Chứng minh rằng 1 a1a2 + a2 a3 + … + an−1an ≤ . 4 433. Cho a1 , a2 ,…, an (n > 1) là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1a2 …an = 1 . Chứng minh rằng a + a2 + … + an + n 1 1 1 . + + … + ≤ 1 1 + a1 1 + a2 1 + an 4 434. [ Aaron Pixton ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng a b c 5 + + + ≥ (1 + a )(1 + b)(1 + c) . b c a 435. [ Mildorf ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 4a 2 4b 2 4c 2 + + . a +b b+c c +a 1 1 1 436. [ Po – Ru Loh ] Cho a, b, c > 1 thỏa mãn ñiều kiện 2 + 2 + 2 = 1 . Chứng a −1 b −1 c −1 minh rằng 1 1 1 + + ≤1. a +1 b +1 c +1 437. [ Weighao Wu ] Cho x ∈ ℝ . Chứng minh rằng 3 4a 3 + 4b3 + 3 4b3 + 4c 3 + 3 4c3 + 4a 3 ≤ sin x (sin x) cos x < (cos x ) . 438. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1< a 2 2 + b 2 2 + c 2 2 ≤ 3 2 . 2 a +b b +c c +a 439. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 ,..., an (n > 1) là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1a2 …an = 1 . Chứng minh rằng a12 + 1 a 2 +1 a 2 +1 + 2 + … + n ≤ a1 + a2 + … + an . 2 2 2 440. [ Vascile Cartoaje ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 . Chứng minh rằng 44 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a b c 3 + + ≥ . ab +1 bc + 1 ca + 1 2 441. Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện ∑ x −x i j = 1 . Hãy i< j tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 ∑x . i i=1 442. Cho x1 , x2 , x3 , x4 ∈ [−1,1] . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 i=1 i=1 F = ∑ xi −( x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ) +( x1x2 x3 + x1x2 x4 + x1x3 x4 + x2 x3 x4 ) −∏xi . 443. Cho a, b, c ∈ [0,1] . Chứng minh rằng a (1− b)(1− c ) + b (1− c )(1− a ) + c (1− a )(1− b) ≤ 1 + abc . 444. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 a 2 b 2 c 2 3( a + b + c ) + + ≥ . b c a a+b+c 445. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a +b +c =3 . Chứng minh rằng a 2 (b +1) b 2 (c + 1) c 2 (a +1) + + ≥ 2. a + b + ab b + c + ca c + a + ca 446. [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 ,..., xn (n ≥ 2) là n số thực dương thỏa ñiều kiện n xi ∑ x + 2 ≤1 . i=1 i n 1 Chứng minh rằng ∑ x +1 ≥ n (n −1) . n +1 447. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng ab bc ca 1 + 2 + 2 ≤ . 2 3a + 2b + 3 3b + 2c + 3 3c + 2a + 3 12 448. Cho x1 , x2 ,..., x2 n là các số thực thỏa mãn ñiều kiện xi+1 − xi ≤ 1, i = 1, 2,..., 2n −1 . Chứng minh rằng x1 + x2 + ... + x2 n + x1 + x2 + ... + x2 n ≤ n (n +1) . Romania TST, 2000 449. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng i=1 ( i ) 3 a + ab + 3 abc ≤ 4 (a + b + c ) . 450. [ Rumen Kozarev ] Cho x ∈ ℝ . Chứng minh rằng  4 x 2 + x + 2  ≥ 0 . x 2.3x − 2  x + x +1  451. Cho 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2,..., n (n ≥ 2) . Chứng minh rằng  n  2  ( x1 + x2 + ... + xn )− ( x1 x2 + x2 x3 + ... + xn−1 xn + xn x1 ) ≤   . Bulgaria, 1995 452. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng 45 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a 4 + c 4 + a 4 + d 4 + b4 + c 4 + b 4 + d 4 ≥ 2 2 (ad + bc ) . Turkey, 2006 453. [ Phan Thị Mùi ] Cho 1 ≤ a, b ≤ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 2 P= ( a + b) a 3 + b3 454. [ Lê Quang Nẫm ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y )( y + z )( z + x ) ( ) x+ y + y+z + z+x . 455. Cho a, b, c > 1 . Chứng minh rằng a b c + + ≥ 12 . b −1 c −1 a −1 456. [ Nguyễn ðức Tấn ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 b3 c 3 + + ≥ a ac + b ba + c cb . b c a 457. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x3 + y3 + z3 =1 . Chứng minh rằng x2 y2 + + z2 ≥2. 1− x 2 1− y 2 1− z 2 458. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = ab + 2bc + 3ca . 459. [ Thái Nhật Phượng ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 xyz + xy + yz + zx ≤ 1 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức xyz . n 460. [ Minh Trân ] Cho x1 , x2 ,…, xn là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện ∑ x = 1. i i=1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x1 x2 + x2 x3 + … + x n−1 xn . 461. [ Trần Văn Tỏ ] Cho a, b, c ≥ 1 . Chứng minh rằng  1 1 1  a (b + c ) + b (c + a ) + c (a + b) + 2  + + ≥ 9 . 2 2 1 + a 1+ b 1 + c 2  462. [ Tạ Hoàng Thông ] Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa ñiều kiện x 3 + y 3 + z 3 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3( xy + yz + zx)− xyz . 463. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho a1 , a2 ,…, an là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện k k i=1 i=1 ∑ ai ≤ ∑ i (i +1), k = 1, 2,…, n . Chứng minh rằng n 1 ∑a i=1 i ≥ n . n +1 464. [ Tạ Hoàng Thông ] Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa ñiều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ab 2 + bc 2 + ca 2 M= . 2 (ab + bc + ca ) 46 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 465. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Hãy xác ñịnh giá trị lớn nhất của số thực k ñể ta luôn có bất ñẳng thức 1 1 1 + 2 + 2 + 3k ≥ (k +1)(a + b + c ) . 2 a b c Vietnam, 2006 466. Cho x, y, z ∈ [1, 2] . Chứng minh rằng 1 1 1  x z  + +  . ( x + y + z ) + +  ≥ 6  x y z  y + z z + x x + y  y Vietnam TST, 2006 467. [ ðỗ Văn Ta ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥ 1 . Chứng minh rằng a b c 3 . + + ≥ 2 b + ac c + ab a + bc 1 468. Cho ≤ x, y, z ≤ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 2 x+ y y+z z+x . P= + + 1+ z 1+ x 1+ y 469. [ Phạm Hoàng Hà ] Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa ñiều kiện x + y + z = 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x + 1 + 3 y +1 + 4 z +1 . 470. [ Trần Tuấn Anh ] Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ñiều kiện a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 P = a (b − c ) + b (c − a ) + c (a − b) . 471. [ Tạ ðức Hải ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng   1 1 1  + a +c + b +c + a +b ≥9. 4abc  + + 2 2 2  b a c  (a + b) c (b + c) a (c + a) b  472. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = abc . Chứng minh rằng 3 3 bc ca ab a +b+c ≤ + + ≤ . a (1 + bc ) b (1 + ca ) c (1 + ab) 4 4  2  473. [ Trần Tuấn Anh ] Cho x, y ∈ 0,  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  2  x y . P= + 2 1+ y 1+ x2 474. Cho x1 , x2 ,…, x2007 ∈ [−1,1] thỏa mãn ñiều kiện 2007 ∑x 3 i = 0 . Chứng minh rằng i=1 x1 + x2 + … + x2007 ≤ 2007 . 3 ðẳng thức xảy ra khi nào? 475. [ Phạm Hoàng Hà ] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x 2 + y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + x 2 = 2006 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 y2 z2 . H= + + y+ z z+ x x+ y 476. [ Cao Xuân Nam ] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 47 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 8 − x4 8− y4 8− z4 + + ≥0. 4 4 16 + x 16 + y 16 + z 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức xyz . 477. [ Nguyễn Khánh Nguyên ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a 2 + b2 + c2 = 1 . Chứng minh rằng a2 b2 c2 + + ≥1. 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c 478. [ Phan Tiến Thành ] Cho x, y, z ∈ (0,1) thỏa mãn ñiều kiện xyz = (1− x)(1− y )(1− z ) . Chứng minh rằng 3 x2 + y 2 + z 2 ≥ . 4 479. [ Trần Tuấn Anh ] Cho a, b, c ≥ −1, a + b + c = 3 4 −1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 3 + b3 + c 3 . 480. [ Bùi Tuấn Anh ] Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 ab + bc + ca (a + b + c) . P= 2 + a + b2 + c2 abc 481. [ Trần Việt Anh ] Cho n ∈ ℕ . Kí hiệu (2n +1)!! là tích các số nguyên dương lẻ từ 1 ñến 2n +1. Chứng minh rằng n +1 (2n + 1) ≤ (2n + 1)!!π n . 482. [ Ngô Trung Kiên ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca ≤ 3abc . Chứng minh rằng a 4b b 4c c4a + + ≥1. 2a + b 2b + c 2c + a 483. [ Phạm Văn Thuận ] Cho a, b, c, d là các số thực phân biệt thỏa mãn các ñiều kiện a b c d + + + = 4, ac = bd . b c d a Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a b c d abcd + + + − . c d a b (ad + cd )2 484. [ Phạm Kim Hùng ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥ 1 . Chứng minh rằng 1+ a 1+ b 1+ c a +b+c ≥ + + . 1+ b 1+ c 1+ a 485. [ Trần Nam Dũng ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng xyz + 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) + 8 ≥ 5( x + y + z ) . ðẳng thức xảy ra khi nào? 486. [ Trần Nam Dũng ] Cho k ∈ (−1, 2) và a, b, c là ba số thực ñôi một khác nhau. Chứng minh rằng  1 1  9 (2 − k )  a 2 + b 2 + c 2 + k (ab + bc + ca )  1 + + ≥ .    2 2 2 4 (c − a )   (a − b ) (b − c) ðẳng thức xảy ra khi nào? 48 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 487. Cho x1 , x2 ,…, xn > −1 thỏa mãn ñiều kiện x13 + x23 + … + xn3 = 0 . Chứng minh rằng n x1 + x2 + … + xn ≤ . 3 488. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng ( ) ab bc ca +1 + +1 + +1 ≥ 2 a + b + c . c a b 489. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  bc + a   ca + b   ab + c  ≥ abc .   1 + a  1 + b  1 + c  490. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng yz zx xy + + x ( x + y + z ) + 1 y ( x + y + z ) + 1 z ( x + y + z ) +1 ≥ x2 y2 z2 + + . x ( x + y + z ) + 1 y ( x + y + z ) + 1 z ( x + y + z ) +1 491. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng a 3b + b3c + c 3a ≥ a + b + c . 492. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 9 + + ≥ . 1 + xy 1 + yz 1 + zx 10 493. Cho −1 ≤ x, y ≤ 1 . Chứng minh rằng 2  x + y  . 1− x 2 + 1− y 2 ≤ 2 1−   2  494. Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng n+ n n + n n− n n ≤ n n . 495. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab +bc +ca =1. Chứng minh rằng a b c 3 + + ≤ . 2 2 2 a +1 b +1 c +1 2 496. Cho a, b, x, y là các số thực dương, a < b . Chứng minh rằng n ( x a + y a ) ≥ ( xb + y b ) b a . 1 497. Cho 0 < a, b, c ≤ . Chứng minh rằng 2  1  1  1   3 3   −1 −1 −1 ≥  −1 .  a  b  c   a + b + c  498. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a2 +b2 +c2 +d2 =1. Chứng minh rằng (1− a)(1− b)(1− c)(1− d ) ≥ abcd . 499. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c + + ≥ 1. 2 2 2 2 2 2 a + (b + c ) b + (c + a ) c + ( a + b) 500. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a +b + c (a 2 + 2ab) (b2 + 2bc) (c 2 + 2ca) ≥ (a 2 + b2 + c 2 ) a b c . … sẽ tiếp tục cập nhật 49