5 chủ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Lê Văn Hưng

Giới thiệu 5 chủ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Lê Văn Hưng

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc 5 chủ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Lê Văn Hưng.

Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán và hướng dẫn giải các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Tài liệu 5 chủ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Lê Văn Hưng

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán nhé.

Text 5 chủ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Lê Văn Hưng
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS …. Ths: LÊ VĂN HƯNG LUYỆN TẬP SÂU VÀ CÓ CHỦ ĐÍCH 5 CHỦ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀ 50 ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN A 1 E F H I O D B 1 2 C K CẬP NHẬT – CHỌN LỌC – BÁM SÁT NỘI DUNG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT THÀNH PHỐ HÀ NỘI √ Bám sát đề thi nhất √ Phương pháp tư duy hay nhất √ Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập nhất HÀ NỘI, 20 – 7 – 2018 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội MỤC LỤC Lời nói đầu 5 Minh họa cấu trúc đề thi vào 10 Hà Nội 6 CHỦ ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ BÀI TOÁN PHỤ A. Lý thuyết. 1. Các công thức biến đổi căn thức …………………………………………………. 7 2. Cách xác định nhanh điều kiện của biểu thức ……………………………….. 7 3. Các bước rút gọn một biểu thức …………………………………………………. 9 B. Các dạng bài tập và phương pháp giải. Các bài toán rút gọn căn thức chứa số. Dạng 1. Tính giá trị cuả biểu thức A khi x = x0 …………………………………. 11 Dạng 2. Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức ………………… 12 Dạng 3. So sánh biểu thức A với k hoặc ………………………………………….. 13 Dạng 4. Tìm giá trị nguyên để của x để biểu A có giá trị nguyên ………… 14 Dạng 5. Tìm giá trị của x để biểu A có giá trị nguyên ………………………… 15 Dạng 6. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức A ……… 16 Dạng 7. Chứng minh biểu thức A luôn luôn âm hoặc luôn luôn dương …. 18 Dạng 8. Chứng minh biểu thức thỏa mãn với điều kiện nào đó …………… 19 C. Luyện tập bài tập nhiều ý hỏi. D. Một số câu về rút gọn và câu hỏi phụ đề tuyển sinh Hà Nội. CHỦ ĐỀ II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phần I: Giải và biện luận hệ phương trình A. Lý thuyết. 1. Hệ phương trình cơ bản …………………………………………………………….. 27 2. Hệ phương trình không cơ bản …………………………………………………… 27 3. Hệ phương trình chứa tham tham số …………………………………………… 27 B. Các dạng bài tập và phương pháp giải. Dạng 1. Giải hệ phương trình cơ bản …………………………………………….. 28 Dạng 2. Giải hệ phương trình không cơ bản …………………………………….. 29 Dạng 3. Giải hệ phương trình chứa tham tham số ……………………………. 31 C. Giới thiệu một câu về giải hệ phương trình của đề thi chính thức Hà Nội. Phần II: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 1 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội A. Lý thuyết. 1. Phương pháp chung ………………………………………………………………….. 36 B. Các dạng bài tập và phương pháp giải. Dạng 1. Tìm các chữ số tự nhiên ……………………………………………………. 36 Dạng 2. Tính tuổi ………………………………………………………………………… 37 Dạng 3. Hình học ………………………………………………………………………… 37 Dạng 4. Toán liên quan đến tỉ số phần trăm …………………………………….. 38 Dạng 5. Toán làm chung công việc …………………………………………………. 40 Dạng 6. Bài toán liên quan đến sự thay đổi của tích …………………………. 44 Dạng 7. Toán chuyển động ……………………………………………………………. 45 C. Bài tập trắc nghiệm. D. Một số câu giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình của đề chính thức Hà Nội. CHỦ ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐƯỜNG THẲNG – PARABOL A. Lý thuyết. 1. Hàm số y = ax + b (a 6= 0) ……………………………………………………………. 55 2. Hàm số y = ax2 (a 6= 0) ……………………………………………………………….. 55 3. Phương trình bậc hai một ẩn …………………………………………………….. 56 4. Hệ thức vi – ét và ứng dụng ………………………………………………………. 56 5. Phương trình quy về phương trình bậc hai ………………………………….. 57 6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình ……………………………………. 57 B. Các dạng bài tập và phương pháp giải. Dạng 1. Tính giá trị của hàm số y = f (x) = ax2 tại x = x0 ……………………. 58 Dạng 2. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số ……………….. 58 Dạng 3. Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) = ax2 (a 6= 0) …………………………………. 59 Dạng 4. Xác định tham số ……………………………………………………………. 59 Dạng 5. Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng ………………. 59 Dạng 6. Xác định hệ số a, b, c của phương trình bậc hai …………………… 59 Dạng 7. Giải phương trình bậc hai …………………………………………………. 59 Dạng 8. Giải và biện luận phương trình bậc hai ……………………………….. 59 Dạng 9. Giải hệ phương trình hai ẩn gồm một ẩn ……………………………. 59 Dạng 10. Giải hệ phương trình có hai ẩn số ……………………………………. 60 Dạng 11. Hệ thức vi – ét và ứng dụng ……………………………………………. 60 Dạng 12. Giải và biện luận phương trình trùng phương ……………………. 62 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 2 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Dạng 13. Giải một số phương trình, hệ phương trình ……………………….. 62 Dạng 14. Giải bài toán bằng cách lập phương trình …………………………. 62 Tổng hợp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình. Dạng 15. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc ………… 67 Dạng 16. Tìm điểm cố định của đường thẳng phụ thuộc tham số ………. 68 Dạng 17. Tìm tham số m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến ………. 68 C. Luyện tập tổng hợp. D. Giới thiệu một số câu về phương trình bậc hai trong đề tuyển sinh Hà Nội. CHỦ ĐỀ IV: HÌNH HỌC A. Kiến thức cần nhớ lớp 7 ……………………………………………………………… 74 B. Kiến thức cần nhớ lớp 8 ……………………………………………………………… 75 C. Kiến thức lớp 9 ………………………………………………………………………….. 76 D. Các dạng cơ bản ………………………………………………………………………… 86 E. Phương tích giải các bài toán khó …………………………………………………. 93 F. Kĩ thuật tư duy các dạng hay hỏi …………………………………………………. 104 G. Một số đề thi chính thức Hà Nội …………………………………………………. 103 H. Các bài hình học để luyện tập phản xạ theo mô hình ……………………… 108 CHỦ ĐỀ V: BÀI TOÁN MIN – MAX, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC A. Lý thuyết. 1. Bất đẳng thức Cô – si ………………………………………………………………. 113 2. Một số bổ đề thường dùng ……………………………………………………….. 113 3. Giải phương trình chứa căn thức ……………………………………………….. 114 B. Các dạng bài tập và phương pháp giải. Bài toán Min – Max. Dạng 1. Kĩ thuật chọn điểm rơi …………………………………………………….. 114 Dạng 2. Kĩ thuật khai thác giả thiết ………………………………………………. 116 Dạng 3. Kĩ thuật Cô – si ngược dấu ………………………………………………. 117 Giải phương trình chứa căn thức. Dạng 1. Sử dụng biến đổi đại số ……………………………………………………. 120 Dạng 2. Đặt ẩn phụ …………………………………………………………………….. 121 Dạng 3. Đánh giá ………………………………………………………………………… 123 C. Luyện tập sâu và có chủ đích. ĐỀ MINH HỌA “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 3 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Luyện tập bộ 10 đề do thầy Lê Văn Hưng sưu tầm biên soạn ……………. 130 Luyện tập bộ 30 đề của thầy LÊ ĐỨC THUẬN chủ biên …………………… 140 Luyện tập bộ 10 đề thi thử không chuyên và đề chuyên ……………………. 170 Tài liệu này sẽ liên tục được chỉnh sửa và cập nhật . “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 4 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội LỜI NÓI ĐẦU Với mong muốn tổng hợp những nội dung hay và bám sát theo đề thi tuyển sinh vào 10 môn toán THPT, giải quyết được tất cả các bài toán trên lớp cho các em học sinh, tôi đã sưu tầm và biên soạn tài liệu này để giúp các em học sinh khối 9 có cái nhìn tổng quan về nội dung cần học. Tài liệu này được siêu tầm trên nhiều nguồn, nhiều cuốn sách với sự trân trọng như của thầy “LÊ ĐỨC THUẬN”, …, các đề thi của các trường trong cả nước và được viết lại với ý tưởng của tôi. Tài liệu tổng hợp này có phân ra các chủ đề trọng tâm có cơ sở lý thuyết, phân dạng bài tập rõ ràng và cụ thể, có các ví dụ mẫu minh họa với các cách giải theo mô hình tư duy. Đặc biệt là 50 đề luyện tập sẽ giúp các em nâng cao kĩ năng và tốc độ làm bài. Dù đã rất cố gắng kiểm soát nội dung bài viết của tài liệu nhưng cũng không thể tránh được những sai sót vì thế rất mong nhận được sự góp ý chân thành của bạn đọc. Tài liệu sẽ luôn được cập nhật và chỉnh sửa để trở nên hay hơn nữa. Xin chân thành cảm ơn!!! Ý tưởng & biên soạn LÊ VĂN HƯNG “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 5 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội MINH HỌA CẤU TRÚC ĐỀ THI VÀO 10 HÀ NỘI DỰA TRÊN ĐỀ TUYỂN SINH Bài I. (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức (1,0 điểm). b) Tìm giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện (0,5 điểm). c) Bài toán phụ (0,5 điểm). Bài II. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình. Bài III. (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (1,0 điểm). 2) (1,0 điểm) a) Bài toán đường thẳng, parabol, phương trình bậc hai … (0,5 điểm). b) Bài toán đường thẳng, parabol, phương trình bậc hai … (0,5 điểm). Bài IV. (3,5 điểm) Hình học tổng hợp. 1) Chứng minh tứ giác nội tiếp (hoặc chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn) (1,0 điểm). 2) Tam giác đồng dạng, …, hệ thức lượng trong tam giác (1,0 điểm). 3) Câu hỏi vận dụng (1,0 điểm). 4) Câu hỏi vận dụng cao (0,5 điểm). Chú ý: Chứng minh phần nào thì có hình vẽ đúng phần đó mới có điểm. Bài V. (0,5 điểm) Vận dụng cao. 1) Bài toán Min – Max (bất đẳng thức). 2) Giải phương trình chứa căn thức. 3) Giải hệ phương trình nâng cao. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 6 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO 10 CHỦ ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC BÀI TOÁN PHỤ A. LÝ THUYẾT 1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC   √ A nếu A ≥ 0 . 1. A2 =| A |= −A nếu A < 0 √ √ √ 2. rAB = √ A. B (với A ≥ 0; B ≥ 0). A A (với A ≥ 0; B > 0). 3. =√ B √ √B 4. A2 B =| A | B (với B ≥ 0). √ √ 5. A B = A2 B (với A ≥ 0; B ≥ 0). √ √ 2 6. A (với A < 0; B ≥ 0). r B=− A B √ 1 A = 7. AB (với A.B ≥ 0; B 6= 0). B |B √| A A B 8. √ = (với B > 0). B  B  √ C A ∓ B C 9. √ = (với A ≥ 0 và A 6= B 2 ). 2 A− B A±B √ √  C A∓ B C √ = (với A ≥ 0; B ≥ 0; A 6= B). 10. √ A−B A ± B √ 3 √ 3 11. 3 A = A3 = A. 2. XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC √ √ • A ⇒ ĐKXĐ: A ≥ 0. Ví dụ: x − 2018 ⇒ ĐKXĐ: x ≥ 2018. x+2 A ⇒ ĐKXĐ: B 6= 0. Ví dụ: ⇒ ĐKXĐ: x 6= 3. • B x−3 A x+2 • √ ⇒ ĐKXĐ: B > 0. Ví dụ: √ ⇒ ĐKXĐ: x > 3. x−3 B  √ √ x ≥ 0 A x ⇒ ĐKXĐ: ⇔ x > 3. • √ ⇒ ĐKXĐ: A ≥ 0; B > 0. Ví dụ: √ x > 3 x−3 B     A ≤ 0 x − 1 ≤ 0    r r      B<0  x+2<0 x < −2 A x−1     • ⇒ ĐKXĐ:  . Ví dụ: ⇒ ĐKXĐ: ⇔ .     B x+2 x≥1  A≥0  x−1≥0   B > 0 x + 2 > 0   √ x > a x>2 2 . • Cho a > 0 ta có x2 > a ⇔  √ . Ví dụ: x > 4 ⇒  x<− a x < −2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 7 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội √ √ • Cho a > 0 ta có x2 < a ⇔ − a < x < a. Ví dụ: x2 < 4 ⇔ −2 < x < 2. Chú ý 1: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. • Dạng tổng quát 1: |A(x)| = k ⇔ A(x) = ±k với k là hằng số. • Dạng tổng quát 2: |A(x)| = |B(x)| ⇔ A(x) = ±B(x). • Dạng tổng quát 3: |A(x)| = B(x) Trường hợp 1: Nếu A(x) ≥ 0 thì phương trình trở thành A(x) = B(x). Trường hợp 2: Nếu A(x) < 0 thì phương trình trở thành A(x) = −B(x). Chú ý 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. • Dạng tổng quát 1: |f (x)| < g(x) ⇔ −g(x) < f (x) < g(x). Đặc biệt với hằng số k > 0 thì |f (x)| <  k ⇔ −k < f (x) < k. • Dạng tổng quát 2: |A(x)| > g(x) ⇔  f (x) > g(x) . f (x) < −g(x)  f (x) > k . Đặc biệt với hằng số k > 0 thì |f (x)| > k ⇔  f (x) < −k • Dạng tổng quát 3: +) |f (x)| < |g(x)| ⇔ [f (x)]2 < [g(x)]2 . +) |f (x)| > |g(x)| ⇔ [f (x)]2 > [g(x)]2 . Chú ý 3: Bất đẳng thức Cô – si cho hai số a, b không âm ta có: √ a + b ≥ 2 ab Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b. Chú ý: Với hai số a, b bất kỳ ta luôn có: a2 + b2 ≥ 2ab Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b. 1 Ví dụ: Cho x ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + . x Hướng dẫn r 1 1 Vì x ≥ 1 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có A = x + ≥ 2 x. = 2. x x 1 Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x = ⇔ x = 1. x Vậy Amin = 2 ⇔ x = 1. 1 Ví dụ: Cho x ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x + . x Hướng dẫn “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 8 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội r 1 1 Cách giải sai: Vì x ≥ 2 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có B = x + ≥ 2 x. = 2. x x 1 Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x = ⇔ x = 1 (không thỏa mãn vì x ≥ 2). x Vậy Bmin = 2 ⇔ x = 1. Gợi ý cách giải đúng:  nx = 1 1 x. Dự đoán Bmin đạt được tại x = 2. Ta có B = nx + + x − nx. Dấu ” = ” xảy ra khi  x=2 x r   x 1 4 1 x 1 3x + + . Áp dụng bất đẳng thức Cô – si + ≥ 2 . = 1. Do đó ta có A = 4 4 x x x 4 x x 1 Dấu ” = ” xảy ra ⇔ = ⇔ x = 2 (vì x ≥ 2). 4 x 5 Vậy Bmin = ⇔ x = 2. 2 1 Ví dụ: Cho x ≥ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + . x Hướng dẫn  1 8x x 1 10 Tương tự ta có C = x + = + + ≥ . Dấu ” = ” xảy ra khi x = 3. x 9 9 x 3 x + 12 . Với x ≥ 0. Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = √ x+2  Hướng dẫn √ 16 Gợi ý: D = ( x + 2) + √ − 4 ≥ 4. Dấu ” = ” xảy ra khi x = 4. x+2 . 3. Các bước rút gọn một biểu thức Bước 1: Tìm điều kiện xác định. Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử. Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho cho nhân tử chung của tử và mẫu. Bước 4: Khi nào phân số tối giản thành việc  thì  rút gọn.  √ ta đã hoàn√ x+2 x−2 x+1 √ √ Ví dụ: Rút gọn biểu thức A = − . √ − x+1 . x−1 x+2 x+1 x Hướng dẫn  x > 0 Điều kiện: . x 6= 1  √   √ √ √  x+2 x−2 x+1 x(1 − x) √ √ A= √ − √ . √ + 2 x   x √  ( √x + 1) √ ( x − 1)( √x + 1) √  ( x + 2)( x − 1) ( x − 2)( x + 1) x+1+ x−x √ √ √ A= √ − √ . 2 ( x − 1) 2 ( x + 1) ( x − 1)( x + 1)   √ x √ √ x+ x−2 x− x−2 x+1 √ √ √ A= √ − √ . 2 2 ( x + 1) ( x − 1) ( x − 1)( x + 1) x “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 9 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội  √  √ √ x+1 x+ x−2−x+ x+2 √ √ √ . A= 2 ( x+   x √1) ( x −1) √ 2 x x+1 √ √ A= √ . ( x + 1)2 ( x − 1) x 2 A= . x−1 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Các bài toán rút gọn, tính giá trị của biểu thức chứa số Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức. p √ a) A = 6 − 2 5 p √ c) C = 19 − 8 3 p √ 4 − 12. p p √ √ d) D = 5 − 2 6 − 4 + 12. b) B = Hướng dẫn q√ p √ √ √ a) A = 6 − 2 5 = ( 5 − 1)2 = | 5 − 1| = 5 − 1. q√ p p √ √ √ √ b) B = 4 − 12 = 4 − 2 3 = ( 3 − 1)2 = | 3 − 1| = 3 − 1. q√ p √ √ √ c) C = 19 − 8 3 = ( 3 − 4)2 = | 3 − 4| = 4 − 3. q√ q√ p p √ √ √ √ √ √ 2 d) D = 5 − 2 6 − 4 + 12 = ( 3 − 2) − ( 3 + 1)2 = | 3 − 2| − | 3 + 1| √ √ √ √ = 3 − 2 − 3 − 1 = −1 − 2. Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức. p √ a) A = 4 + 2 3 p √ c) C = 9 − 4 5 p √ 8 − 2 15. p p √ √ d) D = 7 + 13 − 7 − 13. b) B = Ví dụ 3: biểu pRút gọn p thức.√ √ 6+2 5 5−2 6 3 4 1 √ √ +√ √ +√ √ . a) A = √ + √ b) B = √ 5+1 3− 2 5− 2 6+ 2 6+ 5 1 1 1 1 √ +√ √ +√ √ + … + √ √ c) C = √ . 1 + 2 2 + 3 3 + 4 99 + 100 p p √ √ 3 3 d) D = 5 2 + 7 − 5 2 − 7. Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức. p p √ √ a) A = 3 − 2 2 − 6 − 4 2 √ √ p √ c) C = 14 + 6 5 − 21 Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức. p p √ √ a) A = 4 − 2 3 + 4 + 2 3 p p √ √ 3 3 c) C = 5 2 + 7 − 5 2 − 7 Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức. p p √ √ a) A = 7 − 4 3 − 7 + 4 3 p p √ √ 3 3 c) C = 20 + 14 2 + 20 − 14 2 p p √ √ 9 +√ 4 5 −√ 9 − 4 √ 5. 3 + 3 5 − 2 − 10 √ d) D = . 6+2 5 r q p √ √ b) B = 5 − 3 − 29 − 12 5. p p √ √ 3 3 d) D = 2 + 5 + 2 − 5. b) B = q p √ √ b) B = 5 − 13 + 4 3 + 3 + 13 + 4 3. p p √ √ 3 3 d) D = 9 + 4 5 + 9 − 4 5. q p Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 10 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H p p √ √ 11 + 6 2 + 11 − 6 2 p p √ √ c) 3 − 2 2 − 6 − 4 2 a) TS 10 – Hà Nội p p √ √ b) q 41 − 12 5 − 41 + 12 5. p √ √ √ d) 5 − 3 − 29 − 12 5. Các bài toán rút gọn chứa ẩn và bài toán phụ Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC A KHI x = x0 Phương pháp: Rút gọn giá trị của biến (nếu cần) sau đó thay vào biểu thức đã cho rồi thay vào biểu thức đã cho rồi tính kết quả. Ví dụ: Cho biểu thức A = 2x+ | x − 4 |. a) Rút gọn A. b) Tính giá của A khi x = 3. Hướng dẫn  2x + x − 4 nếu x ≥ 4 Ta có A = 2x+ | x − 4 |= 2x − (x − 4) nếu x < 4  3x − 4 nếu x ≥ 4 =  x + 4 nếu x < 4 Khi x = 3 < 4 thì giá trị của A √ là: A = 3 + 4√= 7. √ x−1 2 x 2−5 x . −√ + Ví dụ: Cho biểu thức A = √ 4−x x+2 x−2 a) Rút gọn A. 2 √ . b) Tính giá trị của A biết x = 2−   √ √ 3 x+2 x−2 4x √ − . Ví dụ: Cho biểu thức A = : x−1 (x − 1)2 x−2 x+1 a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A biết |x −  5| = 4. √ √ √ √  2 xy x+ y 2 x Ví dụ: Cho biểu thức A = − √ .√ √ √ . x−y 2 x−2 y x− y a) Rút gọn A. x 4 b) Tính giá trị của A biết = . y  9    x2 − 2x 2x2 1 2 Ví dụ: Cho biểu thức A = + . 1− − 2 . 2x2 + 8 x3 − 2x2 + 4x − 8 x x a) Rút gọn A. p √ b) Tính giá trị của A biết x = 4 − 2 √ 3. 1 x− x 1 −√ . Ví dụ: Cho biểu thức A = +√ x−9 x+3 x−3 a) Rút gọn A. p √ b) Tính giá trị của A biết x = 11 − 6 2. 1 1 c) Tính giá trị của A biết x = √ −√ . 3−1 3 +r 1 r  2 2 √ d) Tính giá trị của A biết x = 2 − √ . 3+1 3−1 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 11 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Dạng 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp: • Nếu bài toán yêu cầu tìm x để A = k thì ta biến đổi A − k = 0 tính kết quả, kết hợp với điều kiện để kết luận. • Nếu bài toán yêu cầu tìm x để A > k (≥, ≤, < k). Ta đi đánh giá dựa vào điều kiện hoặc đi xét hiệu A − k > 0 với điều kiện của đề√bài để tìm x. 1 2− x √ với x ≥ 0, x 6= 4. Tìm x để A = − . Ví dụ: Cho biểu thức A = 2 2+ x Hướng dẫn √ √ √ √ 1 1 2− x √ = − ⇔ 2 x − 4 = x + 2 ⇔ x = 6 ⇔ x = 36 (thỏa mãn điều kiện). Ta có A = − ⇔ 2 2 2+ x    2 1 2 1 √ : −√ . − Ví dụ: Cho biểu thức A = √ x−4 x+2 x+4 x+4 x−2 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = 0. √ √ √ √ x−2 x x x x+2 Ví dụ: Cho biểu thức P = √ +√ − với x ≥ 0; x 6= 4. và Q = √ x−4 x−2 x+2 x−2 a) Rút gọn P . b) Tìm x sao cho P = 2. 1 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ với x ≥ 0, x 6= 9. Tìm x để A > 1. x−3 Hướng dẫn √ √ 1 1 1− x+3 x−4 Ta có A > 1 ⇔ √ >1⇔ √ −1>0⇔ √ >0⇔ √ <0 x−3   x−3 x−3 x−3   √ x − 4 > 0 x > 16  √      x−3<0 x<9      ⇔ 9 < x < 16 (thỏa mãn điều kiện). ⇔ ⇔  √     x < 16 x−4<0  √  x>9  x−3>0 √ 3 x−5 3 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ với x ≥ 0. Tìm x để A < . 2 2 x+1 Hướng dẫn √ √ 3 3 x−5 3 3 x−5 3 −13 √ Cách 1: Ta có A < ⇔ √ < ⇔ √ − <0⇔ < 0 luôn đúng với 2 2 2 2 x+1 2 x+1 2 (2 x + 1) x ≥ 0. 3 Vậy A < với x ≥ 0. 2 √ 3 3 x−5 3 −13 √ Cách 2: Xét hiệu A − = √ − = <0 2 2 x+1 2 2 (2 x + 1) 3 Vậy A < với x ≥ 0. 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 12 Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Ths: Lê Văn Hưng   √  √ x 3 x−3 √ . : √ − x+3 x+3 x  3 1 √ √ + √ x+3 x x−9 x  x2 − 2x 2x2 + 2x2 + 8 x3 − 2x2 + 4x − 8 Ví dụ: Cho biểu thức A = TS 10 - Hà Nội a) Rút gọn A. b) Tìm x để A > 1. Ví dụ: Cho biểu thức A =    1 2 . 1− − 2 . x x a) Rút gọn A. 1 b) Giải bất phương trình A > . 3 √ √ √ √ x x x+2 x−2 x Ví dụ: Cho biểu thức P = √ và Q = √ +√ − với x ≥ 0; x 6= 4. x−4 x−2 x+2 x−2 a) Rút gọn P . 1 b) Biết M = P : Q. Tìm giá trị của x để M 2 < . 4 √ √ x−1 x− x+2 √ Ví dụ: Cho biểu thức A = √ và B = với x > 0, x 6= 1, x 6= 4. x −p2 x − px − 2 √ √ a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 27 + 10 2 − 18 + 8 2 + 8. B b) Rút gọn biểu thức P = . A √ 3 c) Tìm giá trị nguyên của x để P x ≥ − . 2 Dạng 3: SO SÁNH BIỂU THỨC A VỚI k HOẶC BIỂU THỨC B (k LÀ HẰNG SỐ) Phương pháp: Nếu đề bài yêu cầu so sánh biểu thức A với hằng số k hay biểu thức khác là B thì ta đi xét hiệu A − k, A − B và xét√dấu biểu thức √ này rồi kết luận. √ x+9 x x+5 x 2 x − và B = với x ≥ 0, x 6= 9 và x 6= 25. Ví dụ: Cho biểu thức A = √ x−9 x − 25 x−3 a) Rút gọn A. A b) Hãy so sánh P = với 1. B Hướng dẫn √ x a) A = √ . x+3 √ √ √ A x+5 x x x−5 b) Ta có: P = =√ : =√ . B √ x + 3 x − 25 x+3 x−5 −8 Xét hiệu: P − 1 = √ −1= √ < 0 với x ≥ 0, x 6= 9 và x 6= 25. x+3 √x + 3 √ √ x+3 2 x+1 2 x−9 √ √ với x ≥ 0, x 6= 4 và x 6= 9. −√ − Ví dụ: Cho biểu thức A = x−5 x+6 x−2 3− x a) Rút gọn A. b) Hãy so sánh A với 1. √ √ √ 3x + 9x − 3 x+1 x−2 √ √ với x ≥ 0, x 6= 1. Ví dụ: Cho biểu thức A = −√ + x+ x−2 x−2 1− x a) Rút gọn A. 1 b) Hãy so sánh A với . 2     √ √ 1 2 x x+ x 1 √ √ √ Ví dụ: Cho biểu thức A = √ − √ : + x−1 x x−x+ x−1 x x+x+ x+1 x+1 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 13 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội với x ≥ 0, x 6= 1. a) Rút gọn A. b) Hãy so sánh A với 1 . 3     √ √ √ 6 x+1 x−1 x √ √ Ví dụ: Cho biểu thức A = 2 − √ : +√ . 2 x−3 (2 x − 3)( x + 1) x+1 a) Rút gọn A. 3 b) Hãy so sánh A với . 2 Dạng 4: TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA x ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Phương pháp: Biến đổi biểu thức về dạng phân thức có tử là số nguyên, lí luận chặt chẽ để rồi chỉ ra mẫu phải thuộc ước tự nhiêncủa tử và kết luận.  6 1 5 6 :√ Ví dụ: Cho biểu thức A = √ +√ − . x+3 x−3 9−x x+2 a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Hướng dẫn a) Điều đó ta có √ kiện: x ≥ 0;√x 6= 9. Khi √ ( x − 3) + 5( x + 3) + 6 x + 2 √ √ . A= 6 ( √x + 3)( x −√3) 6 x + 18 x+2 √ A= √ . ( x +√3)( x − 3) √ 6 x+2 6( x + 3) √ . A= √ 6 (√ x + 3)( x − 3) x+2 A= √ . x−3 √ √ 5 x+2 x−3+5 b) Ta có A = √ = √ =1+ √ . x−3 x−3 x−3 √ √ 5 A có giá trị nguyên ⇔ √ có giá trị nguyên ⇔ x − 3 ∈Ư(5) ⇔ x − 3 ∈ {±1; ±5}. x−3 √ Ta biết rằng khi x là số nguyên thì x hoặc là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc là số vô √ 5 tỉ (nếu x không là số chính phương). Để √ là số nguyên thì x không thể là số vô tỉ, do đó x−3 √ √ x là số nguyên, suy ra x − 3 là ước tự nhiên của 5. Ta có bảng sau. √ x − 3 1 -1 √ x 4 2 x 16 4 5 -5 8 -2 . 64 ||    √  1 x−1 1 √ Ví dụ: Cho biểu thức A = x + √ . −√ . x x− x+1 x+1 a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.  √ 3 x x+1 1 x √ + √ −√ √ . Ví dụ: Cho biểu thức A = √ + . x x− x x x−1 x+ x+1 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 14 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị của x để A ≥ 10. c) Tìm các giá trị nguyên của x√để A có giá trị  nguyên.  √ √ 1 x+2 x x+2 +√ với x ≥ 0, x 6= 4. : và B = Ví dụ: Cho biểu thức A = √ x−4 x−4 x−2 x−2 a) Rút gọn B. b) Tìm các giá trị nguyên của x√để P = A(B −  2) √ có giá trị nguyên.  √ x+2 x 1 x+2 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ và B = +√ : với x ≥ 0, x 6= 4. x−4 x−4 x−2 x−2 a) Rút gọn B. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P = A(B − 2) có giá trị nguyên. Dạng 5: TÌM GIÁ TRỊ CỦA x ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Phương pháp: Cách 1: Dựa vào điều đánh giá biểu thức để tìm ra khoảng biểu thức nằm trong, biện luận biểu thức nguyên nên ta chỉ ra được các giá trị nguyên thuộc khoảng đó, với mỗi giá trị của biểu thức ta sẽ tìm ra được các nghiệm của biến tương ứng. Cách 2: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, biến đổi suy ra một vế chỉ còn chứa căn thức bậc hai, dựa vào căn thức để giải bất phương trình để tương ứng, tìm khoảng tham số nằm trong rồi giải với các tham số tương ứng để tìm ra các nghiệm của biến tương ứng. 7 với x ≥ 0. Tìm các giá trị của x để A có giá trị nguyên. Ví dụ: A = √ x+3 Cách 1: Với x ≥ 0 ta có A > 0. 7 7 ≤ . •A= √ 3 x+3 Mà A ∈ Z ⇒ A ∈ {1; 2}. Với A = 1 ⇔ x = 16 (thỏa mãn). 1 Với A = 2 ⇔ x = (thỏa mãn). 4 7 Cách 2: Đặt A = √ = n với n ∈ Z. x+3 √ √ 7 − 3n 7 − 3n 7 7 A= √ =n⇔ x= . Vì x ≥ 0 nên ≥0⇔0 0. Khi √ đó ta có x x+1+x A= √ √ :√ √ . x( √x + 1) √ x( √ x + 1) x x( x + 1) .√ . A= √ √ x(√ x + 1) x + 1 + x x A= √ . x+1+x √ x 1 b) Ta có: A = √ = √ . 1 x+1+x 1+ √ + x x r √ √ 1 1 Xét biểu thức ở mẫu: 1 + √ + x ≥ 2 x. √ + 1 = 3 (áp dụng cô si). x x “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 17 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội √ 1 1 1 Ta có A ≤ . Do đó maxA = khi x = √ ⇔ x = 1. 3 3 √  √ √ √x x x−6 x x − 36 x √ √ Ví dụ: Cho biểu thức A = . √ − . x − 36 x + 6 x 2( x − 3)(x − 2 x + 3) a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị lớn nhất của A. Hướng dẫn 6 √ với điều kiện x > 0; x 6= 9; x 6= 36. x−2 x+3 √ 6 6 b) A = √ ≤ = 3 vì ( x + 1)2 ≥ 0. 2 2 ( x + 1) + 2 Suy ra maxA = 3 khi x = 1. √ √ √ 2 x+3 3 x−2 15 x − 11 √ Ví dụ: Cho biểu thức A = √ + √ − . x+3 x−1 x+2 x−3 a) Rút gọn A. a) A = b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Hướng dẫn √ 5 x−2 với điều kiện x ≥ 0; x 6= 1. a) A = √ x + 3 √ √ 5 x + 15 − 17 17 17 2 √ b) A = =5− √ ≥5− ⇒ A ≥ − vì x ≥ 0. 3 3 x+3 x+3 2 Suy ra minA = − khi x = 0. 3 √ √ √ x+ x+4 3x − 4 x+1 x−1 √ − √ √ với x > 0, x 6= 4. Ví dụ: Cho biểu thức A = √ và B = + x − 2 x − 2 x x 2 − x √ x+1 a) Chứng minh B = √ . x−2 √ √ √ √ b) Tính giá trị của A khi x + x + 1 + (2 5 − 1) x = 3x − 2 x − 4 + 3. A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = . B Dạng 7: CHỨNG MINH BIỂU THỨC LUÔN LUÔN ÂM HOẶC LUÔN LUÔN DƯƠNG VỚI MỌI GIÁ TRỊ CỦA ẨN Phương pháp: • Để chứng minh biểu thức A > 0 ta chỉ ra A = A21 + k với (k là hằng số dương). 2 • Để chứng minh biểu thức  A < 0 ta chỉ ra A = A 1 − k với (k là hằng số dương). 1 x+2 2 − √ :√ . Ví dụ: Cho biểu thức A = √ x+1 x x+1 x a) Rút gọn A. b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn âm với mọi giá trị của x làm A xác định. Hướng dẫn a) Điều kiện √ x > 0. Khi đó ta có (x − x + 1) − (x + 2) 2 √ A= √ :√ . ( x + 1)(x − x + 1) x “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 18 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội √ √ x −( x + 1) √ . . A= √ ( x +√ 1)(x − x + 1) 2 − x √ A= . 2(x − x + 1) √ b) Ta có: x > 0 nên − x < 0. 2  √ √ 3 1 x− x+1= + > 0. x− 2 4 Do đó A < 0 với mọi x > 0. √ 1 1 x x+x Ví dụ: Cho biểu thức A = √ . √ +√ √ + √ x+1 x−1+ x x−1− x a) Rút gọn A. b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn không âm với mọi giá trị của x làm A xác định. Hướng dẫn a) Điều kiện x ≥ 1. Khi đó ta có √ A = x − 2 x − 1. √ √ √ b) Ta có: A = x − 2 x − 1 = (x − 1) − 2 x − 1 + 1 = ( x − 1 − 1)2 ≥ 0. Vậy A luôn luôn không âm với mọi x ≥ 1. Dạng 8: CHỨNG MINH BIỂU THỨC THỎA MÃN VỚI ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ Phương pháp: Vận dụng linh √ hoạt các kiến thức √ đã học. √ x−2 x−1 7 x−9 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ (với x > 0, x 6= 9). và B = √ − x−9 x x−3 a) Rút gọn biểu thức B. 1 1 b) Tính giá trị của A khi x = √ −√ . 2−1 2+1 A c) Cho biểu thức P = . Hãy tìm các giá trị của m để có x thỏa mãn P = m. B Hướng dẫn √ x−2 a) B = √ . x+3 √ √ √ 1 1 2+1 2−1 2−2 b) x = √ −√ = − = 2 thay vào A = . 2−1 2−1 2 2 −√ 1 2+1 A x+3 c) P = = √ với điều kiện x > 0, x 6= 4, x 6= 9. B x√ P = m ⇔ (m − 1) x = 3 (1) Nếu m = 1 thì phương trình (1) vô nghiệm. √ 3 Nếu m 6= 1 thì từ (1) ⇒ x = . m √ √− 1 √ Do x > 0, x 6= 4, x 6= 9 ⇒ x> 0, x 6= 2, x 6= 3.  3  > 0   m>1      m 3− 1  5 Để có x thỏa mãn P = m ⇔ 6= 2 ⇔ m 6=   m−1 2    3     m 6= 2 6= 3 m−1 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 19 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội 5 (Thỏa mãn yêu cầu bài toán). 2 √ √ √ x−2 x−1 7 x−9 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ và B = √ − với x > 0, x 6= 9. x−9 x x−3 a) Rút gọn A. p √ b) Tìm giá trị của A khi x = 4 − 2 3. A c) Tìm x để biểu thức =1. B A d) Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn = m. B √ √ x2 − x 2x + x 2(x − 1) √ Ví dụ: Cho biểu thức A = − √ + √ . x+ x+1 x x−1 a) Rút gọn A. Vậy m > 1, m 6= 2, m 6= b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. √ 2 x nhận giá trị là số nguyên. c) Tìm x để biểu thức Q = A √  √  √ √ x x+3 3 3 x+2 2 x √ + : √ . Ví dụ: Cho biểu thức A = √ − + √ x−4 x+2 2− x x−2 2 x−x a) Rút gọn A. √ b) Tính giá trị của A khi x = 9 − 4 5. √ c) Tìm x sao cho A.(x − 1) = 3 √ x. √ √ 7 x+3 2 x x+1 x+7 Ví dụ: Cho biểu thức A = +√ +√ và B = √ (ĐKXĐ: x > 0, x 6= 9). x+3 x−3 3 x √ 9−x 3 x . a) Chứng minh rằng A = √ x+3 b) So sánh A với 3. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức√P = A.B. √ √ x−2 x 1 + 2x − 2 x x+1 √ + √ Ví dụ: Cho biểu thức A = √ + √ (với x > 0, x 6= 1). x x−1 x x+x+ x x2 − x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên. Hướng dẫn √ x+2 √ . x+ x+1 √ √ b) Cách 1: Với √ x > 0, x 6= 1√⇒ x + x + 1 > x + 1 > 1. x+2 x+2 1 √ Vậy 0 < A = <√ =1+ √ < 2. x+ x+1 x+1 √x + 1 x+2 √ Vì A nguyên nên A = 1 ⇔ = 1 ⇔ x = 1 (thỏa mãn). x+ x+1 Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị của A là một số nguyên. a) A = Cách 2: √ Dùng miền giá trị √ x+2 √ A= ⇔ Ax + (A − 1) x + A − 2 = 0 x+ x+1 √ Trường hợp 1: A = 0 ⇒ x = −2 ⇒ x ∈ ∅ Trường hợp 2: A 6= 0 ⇒ ∆ = (A − 1)2 − 4A(A − 2) = −3A2 + 6A + 1 ≥ 0 ⇔ A2 − 2A − "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 1 ≤0⇔ 3 20 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội 4 4 ⇔ (A − 1)2 ≤ ⇒ A ∈ {1; 2} do A ∈ Z và A > 0. 3 3 Với A = 1 ⇒ x = 1 (loại). √ √ √ √ x+2 √ Với A = 2 ⇒ = 2 ⇔ 2x + x = 0 ⇔ x(2 x + 1) = 0 ⇔ x = 0 (loại). x+ x+1  √  √ √ x+1 x 1 x− x và B = √ + . √ (với x ≥ 0, x 6= 1). Ví dụ: Cho biểu thức A = √ x−1 x−1 x−1 2 x+1 a) Rút gọn biểu thức B. √ b) Tính giá trị của A khi x = 5 + 2 6. A2 − 2A + 1 ≤ c) Với x ∈ N và x 6= 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A.B. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 21 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội C. LUYỆN TẬP BÀI TẬP GỒM NHIỀU Ý HỎI Bài I. Cho biểu thức:   √  √ √ x−1 2−2 x x+2 2 √ √ + √ : với x ≥ 0, x 6= 1 − A= x−1 x x+x− x−1 x+ x−2 x−1 . √ x−1 1. Chứng minh A = √ . x+1 2. Tính giá trị của A khi: √ a) x = 6 − 4 2. p √ √  1 p 9 + 80 − 9 − 80 . b) x = 4 p p √ √ 3 3 c) x = 10 + 6 3 + 10 − 6 3. 1 1 1 √ +√ √ + … + √ √ . d) x = 1+ 3 3+ 5 √ 79 + 81 e) x là nghiệm của phương trình 2×2 − 3x − 5 = x − 1. f) x là nghiệm của phương trình |2x − 6| = 3x + 1. √ √ g) x là giá trị của biểu thức M = x (1 − x) đạt giá trị lớn nhất. 3. Tìm x để: 1 a) A = ; 6 4. So sánh : b) |A| = A; c) A2 + A ≤ 0. √ x−3 a) A với 1. b) A với biểu thức N = √ . 2 x 2 5. Tìm x nguyên dương để biểu thức nhận giá trị nguyên. A 6. Tìm x thực để A nhận giá trị nguyên. 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: √ a) P = A (x − x − 2). A √ b) Q = với 0 ≤ x < 4. −x + 3 x − 2 √ x c) R = với x > 1. A 8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A b) C = √ . với x > 1. √  √x + 7 √ √ 9. Tìm x thỏa mãn A ( x + 1) − 2 6 − 1 x = 2x − 2 x − 5 + 1. a) B = 2 − A; Bài II. Cho biểu thức:     √ √ √ 2x + 1 x 1+x x √ 2−2 x √ √ √ − x + √ B= − . với x > 0, x 6= 1 x x−1 x+ x+1 1+ x x . √ x−3 x+2 √ 1. Chứng minh B = . x 2. Tính giá trị của B khi: “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 22 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội √ a) x = 7 − 48. p p √ √ b) x = 11 + 6 2 + 11 − 6 2. p p √ √ 3 3 c) x = 5 2 + 7 − 5 2 − 7. 1 1 1 √ +√ √ + … + √ √ d) x = . 1+ 4 4+ 7 √ 97 + 100 e) x là nghiệm của phương trình x2 − x + 2 = x. f) x là nghiệm của phương trình |x − 1| = |2x − 5|. √ g) x là giá trị của biểu thức P = x − 4 x + 6 đạt giá trị nhỏ nhất. 3. Tìm x để: √ 3 x−4 b) B + √ ≤ 0. x a) B = 0; 4. So sánh : √ a) B với −2. b) B với biểu thức C = x − 3x . x 5. Tìm x để B nhận giá trị nguyên. √ 6. Xét dấu biểu thức T = B ( x − 1). 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: √ a) B. b) D = B x. B c) E = √ . x 8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: √ b) Q = 1 − B x. √ √ √ √ 9. Tìm x thỏa mãn B x + 2 3 + 3 x = 3x − 4 x + 1 + 10. a) G = −3 − B; Bài III. Cho biểu thức:   √  √ √ x+2 x 2x 2 x+2 x−1 √ √ − √ B= + : với x > 0, x 6= 4, x 6= 9 x+4 x+4 4−x x−2 x x+ x . x . x−3 2. Tính giá trị của C khi: √ a) x = 6 − 2 8. p p √ √ b) x = 11 + 3 8 + 11 − 3 8. p p √ √ 3 3 c) x = 14 2 + 20 − 14 2 − 20 − 1. 1 1 1 √ +√ √ + … + √ √ . d) x = 1+ 5 5+ 9 77 + 81 √ e) x là nghiệm của phương trình x2 − x = x − 1. 1. Chứng minh C = √ f) x là nghiệm của phương trình |x − 3| = 3. √ g) x là giá trị của biểu thức M = −x + 3 x + 5 đạt giá trị lớn nhất. 3. Tìm x để: a) C 2 ≤ 0; b) |C| = −C. 4. So sánh C với biểu thức D = √ x khi x > 9. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 23 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội 2C 5. Tìm x để E = √ nhận giá trị nguyên. x 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) Biểu thức C với x > 9. C b) I = − √ với 0 < x < 9, x 6= 4. x x C 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = √ . x − 1 + C √ √ √ x − 3C = 3x − 2 x − 1 + 2. 8. Tìm x thỏa mãn 2 2 + C "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 24 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội D. MỘT SỐ CÂU VỀ RÚT GỌN VÀ CÂU HỎI PHỤ TRONG ĐỀ TUYỂN SINH HÀ NỘI Ví dụ : (TS 10 - √ THPT Hà Nội, năm học 2012 - 2013) x+4 . Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36. 1) Cho biểu thức A = √ x+ 2 √  x x + 16 4 2) Rút gọn biểu thức B = √ :√ +√ với x ≥ 0, x 6= 16. x+4 x−4 x+2 3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên x để giá trị của biểu thức B(A − 1) là số nguyên. Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội, √ √ năm học√2013 - 2014) x−1 2 x+1 2+ x √ . và B = √ + Với x > 0, cho hai biểu thức A = √ x x x+ x 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64. 2) Rút gọn biểu thức B. 3 A > . 3) Tìm x để B 2 Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà √Nội, năm học 2014 – 2015) x+1 1) Tính giá trị của biểu thức A = √ khi x = 9. x−1  √  x−2 1 x+1 √ +√ 2) Cho biểu thức P = với x > 0 và x 6= 1. .√ x+2 x x+2 x−1 √ x+1 a) Chứng minh P = √ . x √ b) Tìm các giá trị của x để 2P = 2 x + 5. Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội,√năm học 2015 – 2016) √ x+3 x−1 5 x−2 Cho hai biểu thức A = √ và B = √ + với x > 0, x 6= 4. x−4 x−2 x+2 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 2) Rút gọn biểu thức B. A đạt giá trị nhỏ nhất. B Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm – 2017) √ học 2016 √ 7 x 2 x − 24 Cho hai biểu thức A = √ và B = √ + với x ≥ 0, x 6= 9. x−9 x+8 x−3 1) Tính giá trị của biểu √ thức A khi x = 25. x+8 . 2) Chứng minh B = √ x+3 3) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên. 3) Tìm giá trị của x để biểu thức P = Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017√- 2018) √ x+2 3 20 − 2 x Cho hai biểu thức A = √ và B = √ + với x ≥ 0, x 6= 25. x − 25 x−5 x+5 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 1 2) Chứng minh B = √ . x−5 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 25 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A = B|x − 4|. Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm √ học 2018 – 2019) √ x+4 3 x+1 2 √ và B = −√ với x ≥ 0, x 6= 1. Cho hai biểu thức A = √ x−1 x+2 x−3 x+1 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 1 . 2) Chứng minh B = √ x−1 A x 3) Tìm tất cả các giá trị của x để ≥ + 5. B 4 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 26 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội CHỦ ĐỀ II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN I: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. LÝ THUYẾT 1. Hệ phương trình cơ bản   ax + by = c Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn a0 x + b 0 y = c 0 (I) • Cặp số (x0 ; y0 ) là một nghiệm của hệ (I) nếu hai phương trình của hệ có chung một nghiệm (x0 ; y0 ). • Nếu hệ (I) không có nghiệm thì ta kết luận hệ (I) vô nghiệm. • Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó. • Tập nghiệm của hệ phương trình (I) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng (d1 ): ax + by = c và (d2 ): a0 x + b0 y = c0 . Khi đó: +) Nếu (d1 ) cắt (d2 ) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất. +) Nếu (d1 ) // (d2 ) thì hệ (I) vô nghiệm. +) Nếu (d1 ) trùng (d2 ) thì hệ (I) có vô số nghiệm. • Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. 2. Giải hệ phương trình không cơ bản Phương pháp đặt ẩn phụ: Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa. Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn nếu có. Bước 3: Giải hệ theo các ẩn đã đặt. Bước 4: Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm. 3. Giải và biện luận hệ phương trình cơ bản Phương pháp: • Từ một phương trình rút y theo x rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình ax = b. • Biện luận: b thay vào biểu thức để tìm y, khi đó hệ có duy nhất nghiệm. a +) Nếu a = 0 thì ta có 0.x = b +) Nếu a 6= 0 thì x = Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm. Nếu b 6= 0 thì hệ vô nghiệm. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 27 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Dạng 1. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương pháp: Sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. • Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Phương pháp: Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn. Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Chú ý: Ở bước 1 ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế  x − 2y = −1  2x + 3y = 5 Hướng dẫn  x − 2y = −1  2x + 3y = 5 (1) . Từ phương trình (1) ⇒ x = y − 1 thế vào phương trình (2) (2) ta được 2(y − 1) + 3y = 5 ⇔ y =1 ⇒ x = 1. x = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm . y = 1 Ví  dụ: Giải hệ phương trình sau phương pháp thế  bằng  x−y =3 5x√3 + y = 2√2 1) 2) 3x − 4y = 4  −x + 4y = 10  √  x 2 − √3y = 1 2x + 3y = 4 4) 5) √ √  x + 3y = 2 6x + 9y = 1  √ 5x − 4y = 3  3x − √2y = −1 7) 8) √ √ 7x − 9y = 8  2 2 + 3y = 0   2x + y = 7 √ √ x 6 − y 2 = 2   x − 2y = 3 6) −2x + 4y = −6   x + √2y = 1 9) √ .  2x − 3y = 4 3) • Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Phương pháp: Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau. Bước 2: Cộng hay trừ vế với vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới một ẩn. Bước 3: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ và giữ nguyên phương trình kia. Ví  dụ: Giải hệ phương trình sau bằngphương pháp cộng đại số x+y =2  x − 2y = 6 a) b) . 2x − y = 1 2x + 3y = 5 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 28 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Hướng dẫn     3x = 3  x=1 x = 1 a) Cộng từng vế của hai phương trình của hệ ta có: ⇔ ⇔ . 2x − y = 1 2x − y = 1 y = 1  x = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm . y = 1       x − 2y = 6 2x − 4y = 12  −7y = 7  y = −1 y = −1 b) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2x + 3y = 5  2x + 3y = 5 2x + 3y = 5 2x + 3y = 5  x=4  x = −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm .  y=4 Ví  dụ: Giải hệ phương trình sau  bằng phương pháp cộng đại số  x−y =2 2x + 3y = 2 −4x + y = −12 1) 2) 3) 2x + y = 4  x + 2y = 3  x−y =2    √  x − 2y = 3 2x + 3y = 4 x 2 − √3y = 1 6) 5) 4) √ √ −2x + 4y = −6 6x + 9y = 1  x + 3y = 2  √  5x − 4y = 3  3x − √2y = −1  x + √2y = 1 7) 8) 9) √ √ √ 7x − 9y = 8  2 2 + 3y = 0  2x − 3y = 4 Ví  dụ: Giải các hệ phương trình sau y x + y y x   +  = = 0, 1 2 3 2 5 2) 1) x + 9 8  y − x − y = 0, 1  =  y+4 4 5 2 Dạng 2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CƠ BẢN  2x + y = 7 3) . x−y =2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ: Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa. Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn nếu có. Bước 3: Giải hệ theo các ẩn đã đặt. Bước 4: Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm. Ví  dụ: Giải hệ phương trình sau  1 1   3√x + 2018 + 2(y + 2020) = 13 + = −1 x + 1 y − 2 a) b) √ 3 2   5 x + 2018 − 3(y + 2020) = 9  − =7 x+1 y−2 Hướng dẫn a) Điều kiện: x 6= −1; y 6= 2. Đặt   a + b = −1 1 1 = a; = b. Khi đó hệ trên trở thành . Giải phương trình cơ bản 3a − 2b = 7 x+1 y−2 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 29 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội  a=1 này ta được . b = −2   1  x = 0  =1 x + 1 ⇔ . Trở lại ẩn x; y ta có 2 y = 1   = −2 2 y−2  x = 0 . Vậy hệ phương trình có nghiệm y = 1 2 b) Điều kiện: x ≥ −2018. Đặt √ x + 2018 = a; (y + 2020) = b. Khi đó hệ trên trở thành cơ bản này ta được  3a + 2b = 13  5a − 3b = 9 . Giải phương trình  a = 3 . b = 2   √x + 2018 = 3 x = −2009 Trở lại ẩn x; y ta có ⇔ .  (y + 2020) = 2 y = −2018  x = −2009 Vậy hệ phương trình có nghiệm . y = −2018 Ví  dụ: Giải hệ phương trình sau   x+2 2 1 1   2 2 2  (x − 2x) + 4(x − 2x) = 0 x+ =− + =6 1 y−2 y 2 2) 1) x + 3) 1 3 1 1 7 5 3    + =  2x − = − − =3 x y − 1 2 y 2  x√+ 1 y − 2 y  8  1 4 y − 15 2    =1 =5 + 3 2x − 1 − √  + = y+1 |2y − 1| +2 5 x−3 4) √ 5) 6) xx−−19 y 30 2y 4 1     2x − 1 + √  =5 + =3 + =2 y+1 x−1 y+2 x − 3 |2y − 1| Ví  dụ: Giải hệ phương trình sau   1 6 y 1 1 3 5x     + =   − = −1 + = 27 2 y x+y x+1 y−3 2) 2x − 3) 1) 3x 4y 1 1 2x 3y     − = −1   − =0 − =4 x y  2x − y x + y  x+1 y−3 7 2x 3 3 2y y       + =2 + = 27 − = −1 x + 2 y x + 4 2y − 3 x + 2 y + 1 4) 5) 6) 4 1 5 2x 6y x 2 5       − = − =4 − =− x+2 y 2 x + 4 2y − 3 3 x + 2 y + 1   3x 2 √ √ √ √     + =4 3x − 1 − 2y + 1 = 1 x−2+ y−3=3 x+1 y+4 7) 8) 9) √ √ 2x 5 2 3x − 1 + 3√2y + 1 = 12 2 x − 2 − 3√y − 3 = −4   − =9 x+1 y+4    2x + 3y − 1 105 81 12    2(x2 − 2x) + √y + 1 = 0  + =8 = x+y x−y x−y+2 13 10) 11) 12) 54 42  3(x2 − 2x) − 3√y + 1 = −7   + =4 2x + 3y + 2 = 0 x+y x−y “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 30 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H 5 4 + = x + y − 1 xy − 2x − 3 13) 3 1   − =  x + y − 1 xy − 2x − 3 1 9  x+y+ = y x 15) 4y 4  x + y − = x x2  x + y + x2 + y 2 + xy = 4 18)  x + +y + xy = 2    5 2 7 5 TS 10 – Hà Nội   5|x − 1| − 3|y + 2| = 7 p √ 2 4×2 − 8x + 4 + 5 y 2 + 4y + 4 = 13   1 1 1 4    x+y+ + =4  − =1 2y x − 2y x y 17) 16) x + 20 3 1 1   2 2 x + y +  + =1 + =4 x2 y 2 x + 2y x − 2y   x + y + xy = 7  x3 + y 3 = 8 2 19) 20) . 5  x + y + 2xy = 2  xy(x + y) = 2 Dạng 3. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 14) Phương pháp: • Từ một phương trình rút y theo x rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình ax = b. • Biện luận: b thay vào biểu thức để tìm y, khi đó hệ có duy nhất nghiệm. a +) Nếu a = 0 thì ta có 0.x = b +) Nếu a 6= 0 thì x = Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm. Nếu b 6= 0 thì hệ vô nghiệm. Ví  dụ: Giải và biện luận hệ  mx − y = 2m 1) x − my = m + 1  mx + y = 3m − 1 4)  x + my = m + 1   x + my = 3m 7) mx − y = m2 − 2  (m + 1)x − y = m + 1 10)  x + (m − 1)y = 2 phương trình sau   2x + my = 5√2 2) mx + 2y = 2m + 1  mx + 4y = 10 − m 5)  x + my = 4  x − my = 1 + m2 8) mx + y = 1 + m2   mx − y = 2m 3) 4x − my = m + 6  (m − 1)x − my = 3m − 1 6)  2x − y = m + 5   2x − y = 3 + 2m 9) mx + y = (m + 1)2 Ví dụ: Tìm giá trị của m ∈ Z để hệ phương trình sau có nghiệm (x; y) với x, y ∈ Z  (m + 1)x − my = 5 . x + my = m2 + 4m Hướng dẫn  (m + 1)x − my = 5 x + my = m2 + 4m (1) . (2) “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 31 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Từ (2) suy ra x = m2 + 4m − my 3 2 Thay vào (1) (3)  ta được m(m + 2)y = m + 5m + 4m − 5 m=0 • Nếu  thì phương trình (3) vô nghiệm. m = −2  m 6= 0 m2 + 4m + 5 m3 + 5m2 + 4m − 5 . Từ đó ta được x = . • Nếu  . Khi đó y = m(m + 2) m+2 m 6= −2 Trướ hết ta tìm m ∈ Z để x ∈ Z. m2 + 4m + 5 1 x= =m+2+ . Để x ∈ Z thì m + 2 ∈ Ư(1). m+2 m+2 Suy ra m + 2 = ±1 ⇒ m = −3; m = −1. 1 Với m = −3 ⇒ y = ∈ / Z. 3 Với m = −1 ⇒ y = 5 ∈ Z. Vậy với m = −1 thì hệ có nghiệm nguyên (2; 5).  mx + 4y = 10 − m Ví dụ: Cho hệ phương trình  x + my = 2m + 1 a) Xác định các giá trị nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x > 0, y > 0. b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên dương. Hướng dẫn a) Điều kiện hệ có nghiệm duy nhất là m 6= ±2. 8−m  x = 2+m. Khi đó hệ có nghiệm 5  y = 2+m   8−m  x > 0  >0 Điều kiện ⇔ 2 +5 m ⇔ −2 < m < 8. y > 0   >0 2+m Với m ∈ Z ⇒ m ∈ {−1; 0; 1; 2; 3; …; 7}. b) m = {−1; 3}.   x + my = 2 Ví dụ: Cho hệ phương trình mx − 2y = 1 a) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x > 0, y < 0. b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên. Hướng dẫn   1 a) Với m = 0 thì hệ có nghiệm 2; thỏa mãn đề bài. 2  m+4  x = m2 + 2 Với m 6= 0 khi đó hệ có nghiệm duy nhất 2m −1  y = 2 m +2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 32 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội  m+4   >0 1 m2 + 2 ⇔ −4 < m < . Vì m ∈ Z nên m ∈ {−3; −2; −1; 0}. Ta có: ⇔ 2m −1 y < 0  2  <0 m2 + 2 Vậy với m ∈ Z nên m ∈ {−3; −2; −1; 0} thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x > 0; y < 0.  x > 0 b) Theo ý a) m = 0 không thỏa mãn.  m+4  x = m2 + 2 Với m 6= 0 khi đó hệ có nghiệm duy nhất 2m −1  y = 2 m +2 .. 2 Trước hết tìm m ∈ Z để x ∈ Z thì m + 4 . m + 2 . . ⇒ m2 + 4m .. m2 + 2 ⇒ 4m − 2 .. m2 + 2 . . ⇒ 4(m + 4) − (4m − 2) .. m2 + 2 ⇒ 18 .. m2 + 2 mà m2 + 2 > 2 nên m2 + 2 ∈ {3; 6; 9; 18} ⇒ m2 ∈ {1; 4; 7; 16}. Vì m ∈ Z nên m ∈ {±1; ±2; ±4}. Thử trực tiếp để x ∈ Z và y ∈ Z thì  chỉ có m = −1 thỏa mãn.  x − 2y = 3 − m Ví dụ: Cho hệ phương trình 2x + y = 3(m + 2) a) Giải hệ phương trình khi m = −1. b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho S = x2 + y 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn   x − 2y = 3  x=2 a) Khi m = −1 thì hệ phương trình có dạng ⇔ 2x + y = 3 y = −1  x = m + 3 b) Hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.  y=m 2  9 9 3 2 2 2 2 2 + ≥ . • Ta có S = x + y = (m + 3) + m = 2m + 6m + 9 = 2. m + 2 2 2 9 3 Vậy S nhỏ nhất bằng khi m = − . 2 2   mx − y = 3 Ví dụ: Cho hệ phương trình sau 2x + my = 9 a) Giải hệ phương trình khi m = 1. b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức P = 3x − y nhận giá trị nguyên. Hướng dẫn   x−y =3 x = 4 a) Khi m = 1 thì hệ phương trình có dạng ⇔ 2x + y = 9 y = 1 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 33 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội  3m + 9  x = m2 + 2 b) Hệ phương trình luôn có nghiệm 9m − 6 với mọi giá trị của m.  y = m2 + 2 33 • Xét A = 3x − y = 2 . m +2 Để A ∈ Z ⇔ m2 + 2 ∈ Ư(33) mà m2 + 2 ≥ 2; m ∈ Z. Suy ra: m ∈ {−3; −1; 1; 3}.  (m + 1)x − y = m + 1 Ví dụ: Cho hệ phương trình sau  x + (m − 1)y = 2 a) Giải hệ phương trình khi m = 2. b) Giải và biện luận hệ phương trình. c) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y có giá trị nguyên. d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn    x = 5 3x − y = 3 4 ⇔ a) Khi m = 2 thì hệ phương trình có dạng 3  x−y =2 y = 4 b) • Với m = 0 ⇒ hệ phương trình vô nghiệm.  2  x = m + 1 m2 . • Với m 6= 0 ⇒ hệ có nghiệm duy nhất m  y = +1  m2 2  x = m + 1 m2 . c) • Với m 6= 0 thì hệ có nghiệm duy nhất m  y = +1 m2 m2 + 1 • Để ∈ Z ⇒ m = ±1. m2 m2 + 1 m + 1 Thử lại với m = ±1 thì , ∈ Z. m2 m2 Vậy với m = ±1 thì hệ có nghiệm duy nhât với x, y ∈ Z.  (x; y) 2  x = m + 1 m2 . d) • Với m 6= 0 thì hệ có nghiệm duy nhất m  y = +1 m2 m2 + 1 m + 1 7 (m + 4)2 7 • Xét x + y = + = + ≥ . m2 m2 8 8m2 8 7 Vậy với m = −4 thì x + y đạt giá trị nhỏ nhất bằng . 8   x + 2y = 3 (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của Ví dụ: Cho hệ phương trình sau x + my = 1 m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x, y là các số nguyên. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 34 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội C. MỘT SỐ CÂU GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐỀ THI TUYỂN SINH HÀ NỘI. Ví dụ: Ví dụ: Ví dụ: Ví dụ: Ví dụ: Ví dụ: Ví dụ: Ví dụ:  2 1   + =2 y . (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2012 – 2013) x 6 2   − =1 x y  2 1  + =2  |x| |y| (Biên soạn) . 6 2   − =1 |x| |y|  3(x + 1) + 2(x + 2y) = 4 (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2013 – 2014) .  4(x + y) − (x + 2y) = 9  4 1   + =5 x+y y−1 (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2014 – 2015) . 2 1   − = −1 x + y y − 1  2(x + y) + √x + 1 = 4 (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2015 – 2016) . √ (x + y) − 3 x + 1 = −5  3x 2   − =4 x − 1 y + 2 (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2016 – 2017) 1 2x   + =5 x − 1 y + 2 √x + 2√y − 1 = 5 (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017 – 2018) . 4√x − √y − 1 = 2  4x − |y + 2| = 3 . (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2018 – 2019) x + 2|y + 2| = 3 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 35 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. LÝ THUYẾT 1. Phương pháp Các bước thực hiện Bước 1: Lập hệ phương trình. • Chọn ẩn và đặt điều kiện, chọn đơn vị cho ẩn. (chọn ẩn là các đại lượng cần tìm). • Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. • Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập. Bước 3: Kểm tra xem các nghiệm của phương trình có thỏa mãn điều kiện đặt ra và trả lời. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1. TÌM CÁC CHỮ SỐ TỰ NHIÊN Phương pháp: • ab = 10.a + b (a, b ∈ N, 0 < a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9) • abc = 100.a + 10.b + c (a, b, c ∈ N, 0 < a ≤ 9, 0 ≤ b, c ≤ 9) a • Tỉ số của hai số a và b (b 6= 0) là b • Tổng hai số x và y là x + y • Tổng bình phương hai số x và y là x2 + y 2 1 1 • Tổng nghịc đảo của hai số x và y là + . x y Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 7, nếu lấy số đã cho chia cho số viết theo th tự ngược lại ta được thương là 3 và số dư là 5. Gọi chữ số cần tìm có dạng: ab điều kiện: Hướng dẫn  ∗    a, b ∈ Z a = 1, ..., 9    b = 1, ..., 9 Vì hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 7 nên: a − b = 7 (1) Vì lấy số đã cho chia cho số viết theo th tự ngược lại ta được thương là 3 và số dư là 5 nên: ab = 3ba + 5 ⇔ 7a − 29b = 5 (2)    a−b=7 a = 9 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ 7a − 29b = 5 b = 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 36 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Ví dụ 2: Tìm một có hai chữ số, biết rằng tổng của các chữ số của số đó đều bằng 9 2 và viết các chữ số đó theo thứu tự ngược lại thì được một số bằng số ban đầu. 9 Hướng dẫn  ∗    a, b ∈ Z Gọi chữ số cần tìm có dạng: ab điều kiện: a = 1, ..., 9    b = 1, ..., 9 Vì tổng của các chữ số của số đó đều bằng 9 nên: a + b = 9 (1) 2 Vì viết các chữ số đó theo thứu tự ngược lại thì được một số bằng số ban đầu nên: 9 88 2 11 ba = ab ⇔ a − b = 0 (2) 9 9 9    a+b=9 a = 8 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 11 ⇔  a − 88 b = 0 b = 1 9 9 Dạng 2. TÍNH TUỔI Ví dụ 1: Hai năm trước đây tuổi của anh gấp đôi tuổi của em, còn tám năm trước đây, tuổi của anh gấp 5 lần tuổi của em. Hỏi hiện nay anh và em là bao nhiêu tuổi. Hướng dẫn Gọi tuổi của anh hiện nay là x và tuổi của em hiện nay là y điều kiện: x, y ∈ N, x, y > 8 Vì Hai năm trước đây tuổi của anh gấp đôi tuổi của em nên: x − 2 = 2.(y − 1) ⇔ x − 2y = −2 (1) Vì còn tám năm trước đây, tuổi của anh gấp 5 lần tuổi của em nên: x − 8 = 5.(y − 8) ⇔ x − 5y = −32 (2)   x − 2y = −2 x = 18 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  x − 5y = 32 y = 10 Vậy tuổi anh là 18 và tuổi em là 10. Ví dụ 2: Bảy năm trước, tuổi của mẹ bằng 5 lần tuổi của con cộng thêm 4, năm nay tuổi mẹ vừa bằng đúng 3 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi. Hướng dẫn Gọi tuổi của mẹ hiện nay là x và tuổi của con hiện nay là y điều kiện: x, y ∈ N, x > y > 7 Vì Bảy năm trước, tuổi của mẹ bằng 5 lần tuổi của con cộng thêm 4 nên: x − 7 = 5.(y − 7) + 4 ⇔ x − 5y = −38 (1) Vì năm nay tuổi mẹ vừa bằng đúng 3 lầntuổi con nên: x − 8= 5.(y − 8) ⇔ x = 3y (2) x − 5y = −38 x = 24 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  x = 3y y=8 Vậy tuổi mẹ là 24 và tuổi con là 8. Dạng 3. HÌNH HỌC “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 37 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Phương pháp: • Định lí Py-ta-go: ∆ABC vuông tại A ⇔ AB 2 + AC 2 = BC 2 • Chu vi và diện tích của hình chữ nhật lần lượt là Cchu vi = 2(a + b), S = a.b với a, b lần lượt là chiều dai và chiều rộng. • Diện tích hình thang S = (a + b).h hoặc S = m.h với a, b là độ dài hai đáy, h là đường cao, m 2 là độ dài đường trung bình. Ví dụ 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 5m. Nếu giảm chiều rộng đi 4m và giảm chiều dài đi 5m thì diện tích mảnh đất giảm đi 180m2 . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. Hướng dẫn Gọi chiều dài mảnh đất là x (mét) x > 4 Gọi chiều rộng mảnh đất là y (mét) y > 5 Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng 5m nên: x − y = 5 (1) Nếu giảm chiều rộng đi 4m và giảm chiều dài đi 5m thì: x.y − (x − 5)(y − 4)180 ⇔ x + 5y = 200 (2)  x−y =5 x = 25 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ x + 5y = 200 y = 20 Vậy chiều dài mảnh đất là 25m và chiều rộng mảnh đất là 20m. Ví dụ 2: Một hình thang có diện tích 140cm2 , chiều cao là 8cm. Tính độ dài các đáy của hình thang, biết rằng chúng hơn kém nhau 15cm Hướng dẫn Gọi đáy lớn của hình thang là x và đáy nhỏ của hình thang là y điều kiện: x, y ∈ N, x > y > 7 (x + y).8 Vì hình thang có diện tích 140cm2 , chiều cao là 8cm nên: = 140 ⇔ 8x + 8y = 280 (1) 2 Vì độ dài các đáy của hình than hơn kémnhau 15cm nên: x − y = 15 (2) x = 30 8x + 8y = 280 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ y=5  x − y = 15 Vậy độ dài đáy lớn là 30cm và độ dài đáy nhỏ là 5cm. Dạng 4. TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ PHẦN TRĂM. Phương pháp: • Khối lượng công việc = Năng suất . Thời gian. • Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian. • Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất. Ví dụ 1: Hai tổ sản xuất được giao làm 800 sản phẩm trong một thời gian quy định. Nhờ tăng năng suất lao động, tổ I vượt mức 10 phần trăm, tổ II vượt mức 20 phần trăm nên cả hai tổ đã làm được 910 sản phẩm. Tính số phản phẩm phải làm theo kế hoạch. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 38 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Hướng dẫn Gọi số sản phẩm tổ I và tổ II làm theo kế hoạch lần lượt là x, y (x, y ∈ N∗ , x, y < 800) Cả hai tổ theo kế hoạch là 800 sản phẩm ta có: x + y = 800 (1) 10 x, tổ II vượt mức 20 phần trăm là Nhờ tăng năng suất, tổ I làm vượt mức 10 phần trăm là 100 20 y. Cả hai tổ làm được 910 sản phẩm ta có: 100     10 20 10 20 x y x+ x + y+ y = 910 ⇔ x+ y = 910 − 800 ⇔ + = 110 ⇔ x + 2y = 1100 100 100 100 100 10 5 (2)    x + y = 800 x = 500 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ x + 2y = 1100 y = 300 (thỏa mãn) Vậy số sản phẩm tổ I là 500 và tổ II là 300. Ví dụ 2: Hai trường A và B có 420 em học sinh đỗ vào lớp 10 đạt tỷ lệ 84 phần trăm, Riêng trường A tỷ lệ 80 phần trăm, riêng trường B tỷ lệ đỗ 90 phần trăm. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường. Hướng dẫn Gọi số học sinh dự thi của trường A và B lần lượt là x, y (x, y ∈ N∗ , x, y < 800) 100 (1) ta có: x + y = 420. 84 10 Nhờ tăng năng suất, tổ I làm vượt mức 10 phần trăm là x, tổ II vượt mức 20 phần trăm là 100 20 y. Cả hai tổ làm được 910 sản phẩm ta có: 100 80 90 x+ y = 420 (2) 100 100     x + y = 420. 100 x = 500 (thỏa mãn) 84 ⇔ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 80 90  y = 300 (thỏa mãn)  x+ y = 420 100 100 Vậy số sản phẩm tổ I là 500 và tổ II là 300. Ví dụ 3: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15 phần trăm và tổ II vượt mức 10 phần trăm so với tháng thứ nhất. Vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy. Hướng dẫn   x = 400 (thỏa mãn)  x + y = 900. Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. 115 ⇔ 110 y = 500 (thỏa mãn)  x+ y = 1010 100 100 Ví dụ 4: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất được 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18 phần trăm và tổ II đã vượt "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 39 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội mức 21 phần trăm. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch. Hướng dẫn   x = 200 (thỏa mãn)  x + y = 600. ⇔ . Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. y = 400 (thỏa mãn)  18 x + 21 y = 120 100 100 Dạng 5. TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC Phương pháp: • Coi toàn bộ công việc là 1. • Năng suất = 1 : Thời gian. • Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung. Ví dụ 1: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 6 giờ xong. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 2 giờ, sau đó người thứ hai làm một mình trong 3 giờ thì cả 2 hai người làm được công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao nhiêu giờ 5 xong công việc? Hướng dẫn Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (giờ, x, y > 6) +) Trong 1 giờ 1 Người thứ nhất làm được (công việc) x 1 Người thứ hai làm được (công việc) y 1 Cả hai người làm được (công việc) 6 1 1 1 ⇒ + = (1) x y 6 2 Trong 2 giờ người thứ nhất làm được (công việc) x 3 Trong 3 giờ người thứ hai làm được (công việc) y 2 Cả hai người làm được (công việc) 5 2 3 2 ⇒ + = (2) x y 5   1 1 1   + =  y 6 ⇔ x = 10 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: x 2 3 2 y = 15 (thỏa mãn)   + = x y 5 Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc là 10 giờ người thứ hai làm một mình xong công việc là 15 giờ. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 40 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Ví dụ 2: Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 7 giờ 12 phút. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 5 giờ, người thứ hai làm một mình trong 6 3 giờ thì cả hai người hoàn thành được công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì 4 hoàn thành công việc sau bao lâu? Hướng dẫn Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (giờ, x, 36 y> ) 5 +) Trong 1 giờ 1 Người thứ nhất làm được (công việc) x 1 Người thứ hai làm được (công việc) y 1 1 Cả hai người làm được + (công việc) x y 5 1 1 1 36 = (1) Đổi 7h120 = h ⇒ + = 36 5 x y 36 5 5 Trong 5 giờ người thứ nhất làm được (công việc) x 6 Trong 6 giờ người thứ hai làm được (công việc) y 3 Cả hai người làm được (công việc) 4 5 6 3 ⇒ + = (2) x y 4   1 1 5   + = x = (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: x5 y6 36 ⇔ 3  y = (thỏa mãn)  + = x y 4 Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc là . giờ người thứ hai làm một mình xong công việc là / giờ. Ví dụ 3: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút bể sẽ đầy. Nếu 2 mở vòi I trong 10 phút và vòi II trong 12 phút thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy 15 một mình thì sau bao lâu đầy bể? Hướng dẫn 4 1 1 Đổi 1h200 = h và 100 = h, 120 = h 3 6 5 Gọi thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ, x, y > 0) 1 1 +) Trong 1 giờ: Vòi I chảy được (bể), vòi II chảy được (bể) x y 1 1 3 Cả hai vòi chảy được + = (bể) (1) x y 4 1 1 1 1 (bể), trong 120 = h vòi II chảy được (bể) +) Trong 100 = h vòi I chảy được 6 6x 5 5y “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 41 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội 1 2 1 + = (bể) (2) 6x 5y 15   1 1 3   x = 2 (thỏa mãn) + = x y 4 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 1 2 ⇔ 1  y = 4 (thỏa mãn)  + = 6x 5y 15 Vậy vòi thứ I chảy một mình đầy bể là 2 giờ, vòi thứ II chảy một mình đầy bể là 4 giờ. Cả hai vòi chảy được Ví dụ 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 55 phút bể sẽ đầy. Nếu chảy một mình thì vòi I chảy nhanh hơn vòi II là 2 giờ. Hỏi thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể? Hướng dẫn 1 1 4 Đổi 1h200 = h và 100 = h, 120 = h 3 6 5 Gọi thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ, x, y > 0) 1 1 +) Trong 1 giờ: Vòi I chảy được (bể), vòi II chảy được (bể) x y 1 1 3 Cả hai vòi chảy được + = (bể) (1) x y 4 1 1 1 1 0 (bể), trong 120 = h vòi II chảy được (bể) +) Trong 10 = h vòi I chảy được 6 6x 5 5y 1 1 2 Cả hai vòi chảy được + = (bể) (2) 6x 5y 15   1 1 3    + = x y 4 ⇔ x = 2 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 1 2 1  y = 4 (thỏa mãn)  + = 6x 5y 15 Vậy vòi thứ I chảy một mình đầy bể là 2 giờ, vòi thứ II chảy một mình đầy bể là 4 giờ. Ví dụ 5: Cho ba vòi A, B, C cùng chảy vào một bể. Vòi A và vòi B chảy đầy bể trong 71 phút. Vòi A và vòi C chảy đầy bể trong 63 phút. Vòi C và vòi B chảy đầy bể trong 56 phút. a) Hỏi mỗi vòi chảy sau bao lâu thì đầy bể? Cả ba vòi cùng mở một lúc thì sau bao lâu đầy bể. b) Biết vòi C chảy 10 lít ít hơn mỗi phút so với vời A và vời C. Tính sức chứa của bề và sức chảy của mồi vòi. Hướng dẫn 1 Gọi thời gian vòi A chảy một mình đầy bể là x (mỗi phút chảy đầy bể là ). x 1 Thời gian vòi B chảy một mình đầy bể là y (mỗi phút chảy đầy bể là ). y 1 Thời gian vòi C chảy một mình đầy bể z (mỗi phút chảy đầy bể là ). z 1 1 +) Trong 1 phút: Vòi A chảy được (bể), vòi B chảy được (bể) x y 1 1 1 (bể) (1) Cả hai vòi chảy được + = x y 72 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 42 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội 1 1 +) Trong 1 phút vòi A chảy được (bể), vòi C chảy được (bể) x z 1 1 1 Cả hai vòi chảy được + = (bể) (2) x z 63 1 1 +) Trong 1 phút vòi C chảy được (bể), vòi B chảy được (bể) z y 1 1 1 Cả hai vòi chảy được + = (bể) (3) z y 56 1 1  1  + =   x = 168 (thỏa mãn)     72  x y 1 1 1 ⇔ y = 126 (thỏa mãn) Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình sau: + =   x z 63     z = 504 (thỏa mãn)  1 + 1 = 1 5 z y 56 Vậy thời gian vòi A chảy một mình đầy bể là 168. Thời gian vòi B chảy một mình đầy bể là 126 phút. 504 phút. Thời gian vòi C chảy một mình đầy bể 5 5+4+3 12 Nếu ba vòi cùng mở một lúc thì mỗi phút đầy bể là = . 504 504 504 Vậy ba vòi cùng chảy đầy bể sau phút. 12 5 b)Gọi dung tích của bể là t phút thì mỗi phút vòi C chảy được .t lít, vòi A và B chảy được   504   4 5 3 4 3 + .t lít. Theo đề bài ta có phương trình: .t + 10 = + .t ⇒ t = 2520 (lít). 5 504 504 5 504 3.2520 = 15 (lít/p). Sức chảy vòi A là: 504 4.2520 Sức chảy vòi B là: = 20 (lít/p). 504 5.2520 Sức chảy vòi C là: = 25 (lít/p). 504 Ví dụ 6: Hai công nhân cùng làm một công việc trong 18h thì xong. Nếu người thứ nhất là 6h và người thứ hai làm 12h thì chỉ hoàn thành 50 phần trăm công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu. Hướng dẫn   1 1 1   + = .  y 18 ⇔ x = 36 (thỏa mãn) Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. 6x 12 50  y = 36 (thỏa mãn)  + = x y 100 Ví dụ 7: Hai vòi nước chảy cùng vào một bể không có nước thì sau 1h 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi I chảy trong 15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ II chảy trong 20 phút 1 thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể. 5 Hướng dẫn   1 1 2    + = . x = 15 (thỏa mãn) x y 3 ⇔ 4 Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. 1 1 1 5    +  y = (thỏa mãn) = 4x 3y 5 2 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 43 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Ví dụ 8: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất là một mình trong 15 giờ rồi người thứ hai làm tiếp 6 giờ thì hoàn thành được 75 phần trăm công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình hoàn thành trong bao lâu. Hướng dẫn   1 1 1  x = 24 (thỏa mãn)  + = . x y 16 Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. 15 6 75 ⇔   y = 48 (thỏa mãn)  + = x y 100 Ví dụ 9: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó. Hướng dẫn   1 1 1  + = . x = 15 (thỏa mãn)  x y 6  ⇔ Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. 1 1 10 y = 10 (thỏa mãn)  2. + =1 + x y x Ví dụ 10: Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai chỉ làm 3 được công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong thời gian bao lâu hoàn thành công 4 việc đó. Hướng dẫn   5 1 1  x = 12 (thỏa mãn)  + = . x y 36 Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. 5 6 3 ⇔  y = 18 (thỏa mãn)  + = x y 4 Ví dụ 11: Hai vòi nước cùng chày thì sao 5h50 phút sẽ đầy bể. Nếu để hai vòi cùng chảy trong 5 giờ rồi khóa vòi thứ nhất lại thì vòi thứ hai phải chảy trong 2 giờ nữa mới đầy bể. Tính xem nếu để mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu sẽ đầy bể. Hướng dẫn   1 1 6  + = .  x = 10 (thỏa mãn)  x y  35 Gợi ý hệ phương trình biểu diễn các đại lượng là. ⇔ . 1 1 2  y = 14 (thỏa mãn) 5. + + =1 x y y Dạng 6. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ THAY ĐỔI CỦA TÍCH Ví dụ 1: Trong một ngôi trường có một số ghế băng, mỗi ghế băng quy định một số người như nhau. Nếu bớt hai ghế băng và mỗi ghế băng thêm một người thì thêm được 8 chỗ. Nếu thêm 3 ghế băng và mỗi ghế băng ngồi rút 1 người thì giảm 8 chỗ. Tính số ghế băng trong hội trường và số người theo quy định ngồi trong mỗi ghế. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 44 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Hướng dẫn Gọi số ghế băng trong hội trường là x (cái, x > 0) Số người quy định ngồi trên mỗi ghế băng là y (người y > 0) Số chỗ ngồi quy định trong hội trường là x.y (chỗ) +) Nếu bớt hai ghế băng và mỗi ghế băng thêm một người thì thêm được 8 chỗ thì (x − 2)(y + 1) = xy + 8 ⇔ x − 2y = 10 (1) +) Nếu thêm 3 ghế băng và mỗi ghế băng ngồi rút 1 người thì giảm 8 chỗ thì (x + 3)(y − 1) = xy + 8 ⇔ x − 3y = 5 (2)  x − 2y = 10  x = 5 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  x − 3y = 5 y = 20 (thỏa mãn) Vậy số ghế băng là 20 cái, mỗi ghế quy định ngồi 5 người. Ví dụ 2: Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km và thời gian ô tô đi hết quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Hướng dẫn Gọi số ghế băng trong hội trường là x (cái, x > 0) Số người quy định ngồi trên mỗi ghế băng là y (người y > 0) Số chỗ ngồi quy định trong hội trường là x.y (chỗ) +) Nếu bớt hai ghế băng và mỗi ghế băng thêm một người thì thêm được 8 chỗ thì (x − 2)(y + 1) = xy + 8 ⇔ x − 2y = 10 (1) +) Nếu thêm 3 ghế băng và mỗi ghế băng ngồi rút 1 người thì giảm 8 chỗ thì (x + 3)(y − 1) = xy + 8 ⇔ x − 3y = 5 (2)  x − 2y = 10 x = 20 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  x − 3y = 5  y = 5 (thỏa mãn) Vậy số ghế băng là 20 cái, mỗi ghế quy định ngồi 5 người. Dạng 7. TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Phương pháp: S = v.t. Trong đó: +) S là quãng đường (m, km). +) v là vận tốc (m/s, km/h). +) t là thời gian (s, phút, h). • Nếu chuyển động trong dòng chảy thì: +) Vxuôi = Vriêng + Vdòng nước . +) Vxuôi = Vriêng − Vdòng nước . Ví dụ 1: Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50km/giờ, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/giờ. Biết quãng đường tổng cộng dài 165km và thời gian ô tô đi “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 45 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi quãng đường. Hướng dẫn Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là x (giờ, x > 0). Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là y (giờ, y > 0). Độ dài quãng đường AB là 50x (km). Độ dài quãng đường BC là 45y (km). Vì quãng đường tổng cộng dài 165km nên ta có phương trình: 50x + 45y = 165 ⇔ 10x + 9y = 33 (1) Thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút nên ta 1 có phương trình: x + = y (2) 2   10x + 9y = 33 x = 3 (thỏa mãn) 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  y =x+ 1  y = 2 (thỏa mãn) 2 3 Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là (giờ), thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là 2 2 (giờ). Ví dụ 2: Quãng đường AB dài 650km. Hai ô tô khởi hành từ A đến B đi ngược chiều nhau. Nếu cùng khởi hành thì sau 10 giờ chúng gặp nhau và nếu xe đi từ B khởi hành trước xe kia 4 giờ 20 phút thì hai xe gặp nhau sau khi xe đi từ A khởi hành được 8 giờ. Tính vận tốc mỗi xe. Hướng dẫn Gọi vận tốc ô tô đi trên quãng đường từ A đến B là x (km, x > 0). Gọi vận tốc ô tô đi trên quãng đường từ B đến A là y (km, y > 0). Độ dài quãng đường AB là 50x (km). Độ dài quãng đường BC là 45y (km). Vì quãng đường tổng cộng dài 165km nên ta có phương trình: 50x + 45y = 165 ⇔ 10x + 9y = 33 (1) Thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút nên ta 1 có phương trình: x + = y (2) 2   x = 3 (thỏa mãn) 10x + 9y = 33 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  y = 2 (thỏa mãn)  y =x+ 1 2 3 Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là (giờ), thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là 2 2 (giờ). Ví dụ 3: Một ca nô chạy xuôi dòng một khúc sông dài 60km, sau đó chạy ngược dòng 48km trên khúc sông đó thì hết 6h giờ. Nếu ca nô ấy chạy xuôi dòng 40km và ngược dòng 80km trên khúc sông đó thì hết 7 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và dòng nước. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 46 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/giờ, x > 0). Gọi vận tốc riêng của dòng nước là y (km/giờ, y > 0). Vận tốc ca nô chạy xuôi dòng là x + y (km/giờ). Vận tốc ca nô chạy ngược dòng là x − y (km/giờ). 60 h Thời gian ca nô chạy xuôi dòng 60km là x+y 48 Thời gian ca nô chạy ngược dòng 48km là h x−y 60 48 10 8 Ta có phương trình: + =6⇔ + = 1 (1) x+y x−y x+y x−y 40 80 Tương tự ta có phương trình: + = 7 (2) x + y x −y   10 + 8 = 1 x = 18 (thỏa mãn)  x + y x − y ⇔ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: 40 80  y = 2 (thỏa mãn)   + =7 x+y x−y Vậy vận tốc riêng của ca nô là 18 (km/h), vận tốc riêng của dòng nước là 2 (km/h). Ví dụ 4: Một chiếc thuyền xuôi, ngược trên một khúc sông dài 40km hết 4 giờ 30 phút. Cho thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km. Tính vận tốc của dòng nước. Ví dụ 5: Tìm vận tốc và chiều dài của một 1 đoàn tàu hỏa biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây. Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho tới khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây. Hướng dẫn Gọi vận tốc của tàu khi vào sân ga là x (m/s, x > 0). Gọi chiều dài của đoàn tàu là y (m, y > 0). Tàu chạy ngang văn phòng ga mất 7 giây nên y = 7x (1) Khi đầu máy bắt đầu và sân ga dài 378m, cho tới khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây ta có phương trình: y + 378 = 25x (2)    x = 21 (thỏa mãn)  y = 7x Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ y = 147 (thỏa mãn) y + 378 = 25x Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21 (m/s), chiều dài của đoàn tàu là 147 (m). Ví dụ 6: Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên một khúc sông dài 40km hết 4 giờ 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km. Tính vận tốc dòng nước. Hướng dẫn “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 47 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Gọi vận tốc riêng của thuyền lúc nước yên lặng là x (km/giờ, x > 0). Gọi vận tốc riêng của dòng nước là y (km/giờ, y > 0). Vận tốc thuyền chạy xuôi dòng là x + y (km/giờ). Vận tốc thuyền chạy ngược dòng là x − y (km/giờ). 40 h Thời gian thuyền chạy xuôi dòng 40km là x+y 40 Thời gian thuyền chạy ngược dòng 40km là h x−y 40 40 9 Ta có phương trình: + = (1) x+y x−y 2 4 5 = (2) Tương tự ta có phương trình: x+y x −y  40 40 9   x = 18 (thỏa mãn) + = Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: x + y5 x − y4 2 ⇔   y = 2 (thỏa mãn)  = x+y x−y Vậy vận tốc riêng của thuyền là 18 (km/h), vận tốc riêng của dòng nước là 2 (km/h). Ví dụ 7: Trên một đường tròn chu vi 1, 2m, ta lấy một điểm A cố định. Hai điểm M , N chạy trên đường tròn, cùng khởi hành từ A với vận tốc không đổi. Nếu chúng di chuyển trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây. Nếu di chuyển cùng chiều thì điểm M sẽ vượt điểm N đúng một vòng sau 60 giây. Tìm vận tốc mỗi điểm M , N ? Hướng dẫn Gọi vận tốc của điểm M là x (m/s, x > 0). Gọi vận tốc của điểm N là y (m/s, y > 0). Khi chúng di chuyển trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây Ta có phương trình: 15x + 15y = 1, 2 (1) Khi chúng di chuyền cùng chiều thì điểm M sẽ vượt điểm N đúng một vòng sau 60 giây ta có phương trình: 60x − 60y = 1, 2 (2)   15x + 15y = 1, 2 x = 0, 05 (thỏa mãn) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ 60x − 60y = 1, 2 y = 0, 03 (thỏa mãn) Vậy vận tốc của điểm M là 0, 05 (m/s), vận tốc của điểm N là 0, 03 (m/s). Ví dụ 8: Một chiếc xe máy và ô tô đi từ A đến B với vận tốc khác nhau. Vận tốc xe máy là 62km/giờ, còn vận tộc ô tô là 55km/giờ. Để hai xe đến đích cùng một lúc người ta 2 đã cho ô tô chạy trước một thời gian. Nhưng vì một lí do đặc biệt nên khi chạy được 3 quãng đường ô tô buộc phải chạy với vận tốc 27, 5km/giờ. Vì vậy khi còn cách B 124km thì xe máy đuổi kịp ô tô. Tính quãng đường từ A đến B. Hướng dẫn Gọi khoảng cách AB là x (km, x > 0). Gọi thời gian dự định ô tô đi trước xe máy là y (h, y > 0). “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 48 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội x x  +y =  x = 514 (thỏa mãn) 62 55 x 2 ⇔ Ta có hệ phương trình sau: x − 124 y = 1 94 (thỏa mãn)  x − 124  3 3  + =y+ 1705 65 27, 5 62 94 Vậy khoảng cách AB là 514 (km), thời gian dự định ô tô đi trước xe máy là 1 (h). 1705 Ví dụ 9: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120km.     Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10km nên đến B trước ô tô thứ hai là 0, 4 giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô. Hướng dẫn Gọi khoảng cách AB là x (km, x > 0). xe máy là y (h, y > 0). x x  +y =  x = 514 (thỏa mãn) 62 55 x ⇔ − 124 y = 1 94 (thỏa mãn) x − 124 3 =y+ 1705 27, 5 62 94 Vậy khoảng cách AB là 514 (km), thời gian dự định ô tô đi trước xe máy là 1 (h). 1705 Ví dụ 10: Một ca nô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu ca nô tăng Gọi thời gian dự định ô tô đi trước     Ta có hệ phương trình sau: 2 x   3 + 65 vận tốc thêm 3km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ. Nếu ca nô giảm vận tốc đi 3km/h thì thời gian tăng 3 gờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ca nô. Hướng dẫn Gọi vận tốc dự định của ca nô là x (km/h; x > 3). Gọi thời gian dự định của canô là y (giờ; y > 0).  (x + 3)(y − 2) = xy. x = 15 (thỏa mãn) Ta có hệ phương trình sau: ⇔  (x − 3)(y + 3) = xy y = 12 (thỏa mãn) Vậy vận tốc dự định của ca nô là 15km/h. Thời gian dự định của ca nô là 12 giờ. Ví dụ 11: Một ca nô chạy trên sông trong 8 giờ xuôi dòng được 81km và ngược dòng 105km. Một lần khác, ca nô chạy trên sông trong 4 giờ xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. (Biết vận tốc riêng của ca nô, vận tốc dòng nước không đổi). Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h; x > 0). Vận tốc dòng nước là y (km/h;  x > y > 0).  81 105   x = 24 (thỏa mãn) + = 8. x + y x − y Ta có hệ phương trình sau: ⇔ 54 42   y = 3 (thỏa mãn)  + =4 x+y x−y “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 49 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Vậy vận tốc dự định của ca nô là 24km/h. vận tốc dòng nước là 3km/h. Ví dụ 12: Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu đi với vận tốc 45km/h sẽ tới B chậm mất nửa giờ. Nếu đi với vận tốc 60km/h sẽ tới B sớm 45 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định. Hướng dẫn Gọi quãng đường AB là x (km; x > 0). Thời gian dự định đi từ AếnB là y (h;   y > 0).  1   . x = 225 (thỏa mãn) x = 45. y + 2  ⇔ Ta có hệ phương trình sau: 3  y = 4, 5 (thỏa mãn)    x = 60. y − 4 Vậy quãng đường AB là 225 (km). Thời gian dự định đi từ A đến B hết 4, 5 giờ. Ví dụ 13: Một ca nô xuôi dòng 81km và ngược dòng 42km mất 5 giờ. Một lần khác, ca nô xuôi dòng 9km và ngược dòng 7km thì mất 40 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. (Biết vận tốc riêng của ca nô, vận tốc của dòng nước không đổi). Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h; x > 0). Vận tốc dòng nước là y (km/h;  x > y > 0).  81 42   x = 24 (thỏa mãn) + = 5. x + y x − y Ta có hệ phương trình sau: 9 7 2 ⇔  y = 3 (thỏa mãn)  + = x+y x−y 3 Vậy vận tốc dự định của ca nô là 24km/h. vận tốc dòng nước là 3km/h. Ví dụ 14: Một ô tô đi từ Hà Nội và dự định đến Huế lúc 20h 30 phút. Nếu xe đi với vận tốc 45km/h thì sẽ đến Huế chậm hơn so với dự định là 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 60km/h thì sẽ đến Huế sớm hơn 2 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường Hà Nội – Huế và thời gian xe xuất phát từ Hà Nội. Hướng dẫn Gọi quãng đường Hà Nội – Huế là x (km; x > 0). Thời gian ô tô dự định đi lày (giờ; y > 0).  x = 60.(y − 2). x = 720 (thỏa mãn) Ta có hệ phương trình sau: ⇔  x = 45.(y + 2)  y = 14 (thỏa mãn) “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 50 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Vậy quãng đường Hà Nội – Huế là 720km. Thời gian xe xuất phát từ Hà Nội là 20h30 phút − 14h = 6h30 phút. Ví dụ 15: Hai địa điểm A và B cách nhau 36km. Cùng lúc đó một xe tải khởi hành từ A chạy về B và một xe con chạy từ B về A. Sau khi gặp nhau xe tải chạy tiếp 5 giờ nữa thì đến B và xe con chạy tiếp 3 giờ 12 phút thì tới A. Tính vận tốc mỗi xe. Hướng dẫn Gọi vận tốc xe tải là x (km/h; x > 0). vận tốc xe con là x (km/h; y> 0). 16    = 360. 5x +  x = 40 (thỏa mãn)  5y 16 ⇔ Ta có hệ phương trình sau: y y = 50 (thỏa mãn)  5x    5 = x y Vậy vận tốc xe tải là 40 (km/h). vận tốc xe con là 50 (km/h). Ví dụ 16: Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc của dòng nước) và một ca nô cùng dời bến A để xuôi dòng. Ca nô xuôi dòng được 144km thì quay trở về bến A ngay, cả đi lẫn về hết 21 giờ. Trên đường ca nô trở về bến A khi còn cách bến A là 36km thì gặp bè nứa nói trên. Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước. Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h; x > 3). Vận tốc dòng nước là y (km/h;  x > y > 0).  144 144  x = 14 (thỏa mãn)  + = 21 x+y x−y ⇔ Ta có hệ phương trình sau: 144 144 − 36 36  y = 3 (thỏa mãn)   + = x+y x−y y Vậy vận tốc dự định của ca nô là 14km/h. vận tốc dòng nước là 2km/h. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài 1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682. A. 75. B. 85. C. 95. D. 65. Bài 2. Có hai số tự nhiên, biết rằng tổng của hai chữ số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đó. A. 30, 35. B. 25, 34. C. 30, 34. D. 25, 35. Bài 3. Cho môt số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số bằng 10, tích của hai số đó bằng 12. Tìm số đã cho. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 51 Ths: Lê Văn Hưng A. 26. Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H B. 27. C. 28. TS 10 – Hà Nội D. 29. Bài 4. Một hình chữ nhật có chu vi là 280m. Nếu giảm chiều dài của hình chữ nật đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích nó tăng thêm 144m2 . Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là. A. 45, 86. B. 45, 68. C. 54, 68. D. 54, 86. Bài 5. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 320m. Nếu chiều dài của hình chữ nật tăng đi 10m và giảm chiều rộng thêm 5m thì diện tích nó tăng thêm 50m2 . Tính diện tích của khu vườn ban đầu. A. 3000m2 . B. 6000m2 . C. 9000m2 . D. 10000m2 . Bài 6. Một hình chữ nhật có chu vi là 160m và có diện tích 1500m2 . Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là. A. 20, 75. B. 25, 60. C. 10, 150. D. 30, 50. Bài 7. Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340m. ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích sân trường. A. 3000m2 . B. 4000m2 . C. 6000m2 . D. 7000m2 . Bài 8. Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm2 . Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm2 . Tình hai cạnh góc vuông của tam giác. A. 20cm, 25cm. B. 25cm, 25cm. C. 20cm, 20cm. D. 30cm, 35cm. Bài 9. Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm2 . Tìm độ dài các cạnh góc vuông. A. 3cm, 4cm. B. 3cm, 4cm hoặc 4cm, 3cm. C. 4cm, 5cm hoặc 5cm, 4cm. D. 5cm, 4cm. Bài 10. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu 3 mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được bể nước. Hỏi vòi một và vòi hai 4 theo thứ tứ chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể? A. 12h, 8h. B. 8h, 12h. C. 9h, 15h . D. 15, 9h. Bài 11. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu để vòi thứ nhất chảy một mình trong 10 phút và vòi thứ hai chảy một mình trong 12 phút thì chỉ 2 được thể tích của bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể? 15 A. Vòi một chảy đầy bể sau 2h, vòi hai chảy đầy bể sau 8h. B. Vòi một chảy đầy bể sau 8h, vòi hai chảy đầy bể sau 2h. C. Vòi một chảy đầy bể sau 4h, vòi hai chảy đầy bể sau 2h. D. Vòi một chảy đầy bể sau 2h, vòi hai chảy đầy bể sau 4h. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 52 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Bài 12. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa có nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy đầy bể? A. Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 425h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h.. B. Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 72h.. C. Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 524h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h.. D. Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h.. – – – – – – – – – – HẾT- – – – – – – – – – ĐÁP ÁN 1 A 3 C 5 B 7 D 9 B 11 D 2 B 4 D 6 D 8 A 10 A 12 D “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 53 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội MỘT SỐ ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2011 – 2012) Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2012 – 2013) 12 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì Hai người cùng làm chung một công việc trong 15 thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc? Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2013 – 2014) Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2014 – 2015) Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2015 – 2016) Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ. Ví dụ : (THI THỬ 10 – THPT Hà Nội, năm học 2015 – 2016) Hai khối 8 và 9 của một trường THCS có 420 học sinh có học lực trên trung bình đạt tỉ lệ 84%. Khối 8 đạt tỉ lệ 80% là học sinh trên trung bình, khối 9 đạt 90%. Tính số học sinh của mỗi khối. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2016 – 2017) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m2 . Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017 – 2018) Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2018 – 2019) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 54 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội CHỦ ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐƯỜNG THẲNG – PARABOL A. LÝ THUYẾT 1. Hàm số y = ax + b (a 6= 0) • Hàm số bậc nhất y = ax + b, a 6= 0 +) Đồng biến trên R khi a > 0. +) nghịch biến trên R khi a < 0. • Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng. +) Với b = 0 khi đó đường thẳng đi qua các điểm (0; 0) và (1; a).   b +) Với b 6= 0 khi đó đường thẳng cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại các điểm − ; 0 và a (0; b). • Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b, a 6= 0 +) Nếu a > 0 góc tạo bởi trục Ox và d là góc nhọn α và a = tanα. +) Nếu a < 0 góc tạo bởi trục Ox và d là góc tù α và a = −tan(1800 − α). • Vị trí tươngđối của hai đường thẳng d:y = ax + b và d0 :y = a0 x + b0 a = a0 +) d ≡ d0 ⇔ .  b = b0  a = a0 +) d//d0 ⇔ .  b 6= b0 +) d cắt d0 ⇔ a 6= a0 . +) d⊥d0 ⇔ a.a0 = −1. Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB với A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) là AB = p (xB − xA )2 + (yB − yA )2 . 2. Hàm số y = ax2 (a 6= 0) • Hàm số này có tập xác định ∀x ∈ R. • Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0. • Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0. • Nếu a > 0 thì y > 0 ∀x 6= 0. +) y = 0 khi x = 0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0. • Nếu a < 0 thì y < 0 ∀x 6= 0. +) y = 0 khi x = 0. Giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0. ∗ Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 6= 0) • Đồ thị hàm số y = ax2 (a 6= 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O. • Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 55 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội • Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. 3. Phương trình bậc hai một ẩn Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 trong đó: x là ẩn số; a, b, c (a 6= 0) là các hệ số. • Công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Xét phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) và biết thức ∆ = b2 − 4ac. √ √ −b − ∆ −b + ∆ ; x2 = . • Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 2a 2a −b • Nếu ∆ = 0 thì phương trình nghiệm kép: x1 = x2 = . 2a • Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm kép. Chú ý: Nếu a.c < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) có b = 2b0 và biết thức√∆0 = b02 − ac. √ −b0 − ∆0 −b0 + ∆0 ; x2 = . • Nếu ∆0 > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = a a 0 −b • Nếu ∆0 = 0 thì phương trình nghiệm kép: x1 = x2 = . a • Nếu ∆0 < 0 thì phương trình vô nghiệm kép. 4. Hệ thức VI - ÉT và ứng dụng  x 1 + x 2 = − b a • Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) thì:  x .x = c 1 2 a • Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là c x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = . a • Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) có a − b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là c x1 = −1, còn nghiệm kia là x2 = − . a • Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 − Sx + P = 0. Điều kiện để có hai số đó là S 2 − 4P ≥ 0 hay (∆ ≥ 0). Chú ý: Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai • Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c  < 0.  ∆≥0 • Phương trình có hai nghiệm cùng dấu ⇔ . P = c > 0 a   ∆≥0    c P = >0 . • Phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương ⇔ a    S = − b > 0 a   ∆≥0    c P = >0 . • Phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm ⇔ a    S = − b < 0 a • Phương trình có hai nghiệm trái dấu, mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 56 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội   a.c < 0 . S = − b < 0 a 5. Phương trình quy về phương trình bậc hai ⇔ a) Phương trình trùng phương Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a 6= 0) (1) Phương pháp giải: Đặt t = x2 = t ≥ 0 đưa về phương trình at2 + bt + c = 0 (2) . b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Kiểm tra nghiệm với điều kiện rồi kết luận. b) Phương trình tích Bước 1: Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0. Bước 2: Giải phương trình tích. 6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình Bước 1: Lập hệ phương trình. • Chọn ẩn và đặt điều kiện, chọn đơn vị cho ẩn. (chọn ẩn là các đại lượng cần tìm). • Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. • Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập. Bước 3: Kểm tra xem các nghiệm của phương trình có thỏa mãn điều kiện đặt ra và trả lời. Kiến thức cần nhớ 1: S = v.t. Trong đó: +) S là quãng đường (m, km). +) v là vận tốc (m/s, km/h). +) t là thời gian (s, phút, h). • Nếu chuyển động trong dòng chảy thì: +) Vxuôi = Vriêng + Vdòng nước . +) Vngược = Vriêng − Vdòng nước . Kiến thức cần nhớ 2 • Khối lượng công việc = Năng suất × Thời gian. • Năng suất = Khối lượng công việc ÷ Thời gian. • Thời gian = Khối lượng công việc ÷ Năng suất. Kiến thức cần nhớ 3 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 57 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Coi toàn bộ công việc là 1. • Năng suất = 1 ÷ Thời gian. • Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung. Kiến thức cần nhớ 4 • Biểu diễn: ab = 10.a + b a, b ∈ N, (0 < a ≤ 9, 0 < b ≤ 9). abc = 100.a + 10.b + c a, b ∈ N, (0 < a ≤ 9, 0 < b, c ≤ 9). a • Tỉ số của hai số a và b b 6= 0 là . b • Tổng của hai số a, b là: a + b. • Tổng bình phương hai số a, b là: a2 + b2 . 1 1 • Tổng nghịch đảo hai số a, b là: + . a b Kiến thức cần nhớ 5 • Định lí Py-ta-go. • Diện tích hình chữ nhật. • Diện tích hình thang. • Tinh chu vi của các hình. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f (x) = ax2 (a 6= 0) TẠI x = x0 1 Ví dụ 1: Cho Parabol y = x2 . Xác định giá trị m để các điểm sau đây thuộc Parabol. 3 1 m a) A(3; m) b) B(−3; m) c) C(m; ) d) C(m; ). 3 3 Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị là Parabol (P ). Biết điểm A nằm trên (P ) có hoành độ 1 bằng − . Hãy tính tung độ của điềm A. 2 Dạng 2. XÁC ĐỊNH TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ y = ax2 (a 6= 0) 2 Ví dụ 1: Cho hàm số y = (3m − 2)x2 . Với m 6= . 3 a) Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến khi x > 0. b) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến khi x > 0. √ Ví dụ 2: Cho hàm số y = ( m + 2 − 3)x2 . a) Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến khi x > 0. b) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến khi x > 0. Ví dụ 3: Cho hàm số y = (m2 − 2m + 3)x2 . Chứng minh rằng khi x > 0 thì hàm số đông biến. Ví dụ 4: Cho hàm số y = f (x) = 2×2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khi: a) 0 ≤ x ≤ 3 b) −3 ≤ −1. Ví dụ 5: Cho hàm số y = f (x) = (m2 + m + 1)x2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khi: a) Chứng minh rằng khi x < 0 thì hàm số nghịch biến. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 58 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội b) Với m = −2, tìm các giá trị nguyên của x để f (x) < 100. Dạng 3. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax2 (a 6= 0) Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1 1 b) y = x.|x| a) y = x2 2 2 Dạng 4. XÁC ĐỊNH THAM SỐ 1 c) y = − x2 3 1 d) y = x.|x|. 3 Ví dụ 1: Xác định hệ số a của hàm số y = ax2 . Biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(10; 30). Ví dụ 2: Cho hàm số y = (k + 2)x2 có đồ thị cắt đường thẳng y − 2x + 3 = 0. Tại điểm M (1; m). Hãy xác định k và m. Ví dụ 3: Cho hàm số y = ax2 + b. Tìm a, b biết rằng đồ thị hàm số đã cho song song với đường 1 thẳng y = −3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol (P ): y = x2 có hoành độ bằng −2. 2 Dạng 5. TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ 1: Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 2x2 − 1 = m. Ví dụ 2: Cho Parabol (P ): y = x2 và đường thẳng (d): y = −x + 2. a) Vẽ (P ) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ. b) Tìm tọa độ giao điểm A; B của (P ) và (d) bằng phép tính. c) Tính diện tích ∆AOB (đơn vị trên hai trục là cm). Dạng 6. XÁC ĐỊNH HỆ SỐ a, b, c CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI y = ax2 + bx + c (a 6= 0) Ví dụ 1: Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + bx + c = 0 và chỉ rõ các hệ số a, b, c. a) 2x2 − 3x = 4 + 3x √ √ c) 2x2 + 2(3x − 1) = 1 + 2. b) x2 + 3x = mx + m m là hằng số. Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có các hệ số hữu tỉ có một nghiệm là √ 2 + 1. Xác định các hệ số của phương trình. Dạng 7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) x2 − 2 = 0 b) x2 − 2x = 0 c) 2x2 + 4 = 0 d) x2 − 2x + 1 = 0. e) 2x2 + 5x + 3 = 0 f) x2 − x − 12 = 0 g) x2 − 3(x − 1)2 = 0 h) x2 + 6x − 16 = 0. i) 2x2 − 6x + 1 = 0. Dạng 8. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) x2 − 5x − 12 = 0 √ √ √ b) x2 + ( 3 + 2)x + 6 = 0 c) x2 2x 2x + 7 + = . 2 3 6 Ví dụ 2: Giải và biện luận các phương trình sau: a) x2 − 4x + m + 1 = 0 b) (m + 1)x2 − 2(m + 1)x + m − 3 = 0. Dạng 9. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 59 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:   TS 10 - Hà Nội 2x − y = 3 x2 − 3xy + y 2 + 2x + 3y − 2 = 0   2x + y = m Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm . x2 − xy + y 2 = 7 Dạng 10. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ HAI ẨN SỐ Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x2 y 4 − 16xy 3 + 68y 2 − 4xy + x2 = 0. Ví dụ 2: Với mỗi cặp (x; y) thỏa mãn x2 − x2 y − y + 8x + 7 = 0. Hãy tìm cặp nghiệm mà y lớn nhất. Dạng 11. HỆ THỨC VI - ÉT VÀ ỨNG DỤNG Ví dụ 1: Cho phương trình 2x2 + 2x + m = 0. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có 1 1 + = 3. hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 Ví dụ 2: Cho phương trình (m + 2)x2 − (2m − 1)x − 3 + m = 0. a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với mọi m. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Khi đó hãy tìm m để nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Ví dụ 3: Cho phương trình 2x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm cùng dương. Ví dụ 4: Cho phương trình 2x2 − 2mx + m + 6 = 0. Biện luận dấu các nghiệm của phương trình này. Ví dụ 5: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 + 2 = 0. a) Giải phương trình khi m = 1. b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x21 + x22 = 10. Ví dụ 6: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + 2m = 0. a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình chứng tỏ x1 + x2 − x1 x2 không phụ thuộc vào giá trị của m. Ví dụ 7: Tìm tọa độ điểm A và B của đồ thị hàm số y = 2x + 3 và y = x2 . Gọi D và C lần lợt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD. Ví dụ 8: Cho phương trình x2 − 2(m + 2)x + m + 1 = 0. a) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x1 (1 − 2x2 ) + x2 (1 − 2x1 ) = m2 . Ví dụ 9: Cho phương trình x2 − (2m + 2)x + 2m − 4 = 0 với x là ẩn và m là tham số. a) Giải phương trình khi m = 1. b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình đã cho có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại. c) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 60 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội d) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Hãy Tìm m để: i) x21 + x22 = 13 ii) 2x1 + 3x2 = 3 iii) |x1 + x2 | = 4 iv) |x1 | + |x2 | = 5 v) Nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia. e) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc vào m. f) Tìm các giá trị của m để phương trình: i) Có hai nghiệm trái dấu; ii) Có hai nghiệm cùng âm; iii) Có hai nghiệm cùng dương; iv) Có hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương; v) Có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2 . g) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Xét biểu thức A = x21 + x22 − 4x1 x2 + 4: i) Tính giá trị của biểu thức A theo m; ii) Tìm các giá trị của m để A = 41; iii) Tìm các giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất. h) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. √ Tìm các giá trị của m để x1 , x2 là độ dài 205 . hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 2 k) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Với m 6= 2 lập phương trình bậc hai có hai 1 1 nghiệm là và có tham số m. x1 x2 Ví dụ 10: Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m2 − 3 = 0 với x là ẩn và m là tham số. a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình đã cho có một nghiệm x = −2. Tìm nghiệm còn lại. c) Tìm các giá trị của m để phương trình: i) Có hai nghiệm phân biệt. Tìm các nghiệm đó; ii) Có nghiệm kép. Tìm nghiệm với m vừa tìm được; iii) Vô nghiệm. d) Trong trường hợp phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Tìm các giá trị của m để: i) x21 + x22 = 8 ii) 2x1 − 3x2 = 8 iii) |x1 − x2 | = 4 iv) |x1 | + |x2 | = 3. e) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: i) x1 , x2 trái dấu ii) x1 , x2 cùng dương iii) x1 , x2 cùng âm iv) x21 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 61 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội g) Trong trường hợp phương trình đã cho có các nghiệm phân biệt x1 , x2 . Hãy: i) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 độc lập với m. ii) Tìm các giá trị của m để (2x1 − 3)(2x2 − 3) > 1. iii) Với m 6= 0 và m 6= 3. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là y1 = x1 + 1 . x1 Dạng 12. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG 1 và x2 y2 = x2 + Ví dụ 1: Giải các phương trình sau. a) x4 − 29×2 + 100 = 0. b) x4 + 5×2 + 4 = 0. 5 4 + 2 = 2. b) 2 x +4 x +5 Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để phương trình x4 − 6×2 + m − 1 = 0 có 4 nghiệm. Dạng 13. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 1: Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ. a) (x2 + 5x)2 − 2(x2 + 5x) = 24. b) (x2 − 6x)2 − 2(x − 3)2 = 81. 3x x2 + x − 5 + 2 + 4 = 0. c) x x +x−5 d) (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = 40. e) (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = 24. f) 2×4 + 3×3 − 16×2 + 3x + 2 = 0. g) 2×4 − 21×3 + 74×2 − 105x + 50 = 0. h) (x + 4)2 + (x + 2)2 = 82. i) (x − 2)6 + (x − 4)6 = 64. 4x 5x 3 k) 2 + 2 =− . x + x + 3 x − 5x + 3 2 x2 − 13x + 15 x2 − 15x + 15 1 n) 2 + 2 =− . x − 14x + 15 x − 16x + 15 12 x2 − 10x + 15 4x m) 2 = 2 . x − 6x + 15 x − 12x + 15 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau. √ a) 2x − 1 = 8 − x. √ √ b) 15 − x + 3 − x = 6. √ c) x2 − x + x2 − x + 24 = 18. √ √ √ d) 2 − x + 2 + x + 4 − x2 = 2. Dạng 14. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH • TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Ví dụ 1: Hai ô tô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 560 km. Vận tốc ô tô (II) hơn vận tốc ô tô (I) là 10 km/h nên đã đến sớm hơn ô tô (I) là 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 62 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Ví dụ 2: Một người đi xe đạp từ A đến B dài 30 km. Khi đi từ B về A người đó chọn đi con đường khác dài hơn 6 km và đi với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 kmgiờ, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính vận tốc lúc đi. Ví dụ 3: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 120 km. Cả đi lẫn về mất 6 giờ 45 phút. Tính vận tốc tàu thủy khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 kmgiờ. Ví dụ 4: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến sông B cách nhau 24 km, cũng từ A về B một chiếc bè trôi với vận tốc dòng nước là 4 kmgiờ. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. Ví dụ 5: Một ô tô đự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đã định. Khi đi được nửa quãng đường xe bị chắn bởi xe hỏa mất 3 phút. Vì vậy để đến B đúng hạn xe phải tăng tốc thêm 2 kmgiờ trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định. Ví dụ 6: Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc của dòng nước) và một ca nô cùng dời bến A để xuôi dòng sông. Ca nô xuôi dòng được 144 km thì quay trở về bến A ngay, cả đi lẫn về hết 21 giờ. Trên đường ca nô trở về bến A, khi còn cách bến A là 36 km thì gặp bè nứa nói trên. Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước. • TOÁN CÔNG VIỆC LIÊN QUAN ĐẾN NĂNG SUẤT VÀ THỜI GIAN Ví dụ 1: Một công nhân dự định làm 70 sản phẩm trong thời gian quy định. Nhưng do áp dụng kĩ thuật nên đã tăng năng suất thêm 5 sản phẩm mỗi giờ. Do đó không những hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 40 phút mà còn vượt mức 10 sản phẩm. Tính năng suất dự định. Ví dụ 2: Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong thời gian quy định. Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm. Vì vậy mặc dù người đó đã làm mỗi giờ thêm 1 sản phẩm, song thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm hơn so với dự định 12 phút. Tính năng suất dự kiến, biết rằng mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm. Ví dụ 3: Một tổ có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự định. Nếu tăng năng suất lên 10 sản phẩm thì tổ đó hoàn thành sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày. Tính năng suất dự kiến. Ví dụ 4: Một nhóm thợ phải thực hiện kế hoạch sản xuất 3000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng mức đề ra, những ngày còn lại họ đã vượt mức mỗi ngày 10 sản phẩm, nên đã hoàn thành sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm. • TOÁN CÔNG VIỆC LIÊN QUAN ĐẾN LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG Ví dụ 1: Hai công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 6 giờ 40 phút. Nếu họ làm riêng thì công nhân (I) hoàn thành công việc đó ít hơn công nhân (II) 3 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi công nhân phải làm trong bao lâu xong công việc. Ví dụ 2: Hai vòi cùng chảy vào môt bể thì đầy sau 7 giờ 12 phút. Nếu mỗi vòi chảy riêng mà đầy bể thì tổng thời gian là 30 giờ. Mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể trong thời gian là bao lâu? “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 63 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội • TOÁN VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ Ví dụ 1: Tìm hai số biết rằng tổng của hai chữ số đó bằng 17 đơn vị. Nếu số thứu nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị. Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và dư là 3. Còn nếu đem số đó chia cho tích các chữ số của nó thì được thương là 3 và dư là 5. Ví dụ 3: Lấy một số tự nhiên có hai chữ số chia chữ số đó viết bởi hai chữ số có thứ tự ngược lại thì được thương là 4 và dư là 5. Nếu lấy số đó trừ đi 9 thì được một số bằng tổng bình phương các chữ số đó. Tìm số tự nhiên đó. Ví dụ 4: Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số đó nó nhỏ hơn số đó 6 lần. Nếu thêm 25 vào tích của 2 chữ số dó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho. • TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC Ví dụ 1: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2010 – 2011) Một mảnh đất hình chũ nhật có độ dài đường chéo là 13 m và chiều dài hơn chiều rộng 7 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng cm2 . Tính chu vi hình chữ nhật. 2 chiều dài, diện tích hình chữ nhật là 5400 3 LUYỆN TẬP TỔNG HỢP PHẦN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH HOẶC PHƯƠNG TRÌNH CỦA CÁC TRƯỜNG THCS HÀ NỘI 2018 Ví dụ 1: Hai vòi nước cùng chảy vào môt bể không có nước thì sau 4 giờ sẽ đầy bể. Nếu để vòi 2 1 chảy riêng trong 1 giờ rồi khóa lại và mở tiếp vòi hai trong 40 phút thì cả hai vòi chảy được bể. 9 Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng đầy bể. Ví dụ 2: Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe lửa gặp nhau tại ga cách Hà Nội 300km. Tìm vận tốc của mỗi xe, biết rằng quãng đường sắt Hà Nội – Huế là 645km. Ví dụ 3: Quãng đường AB dài 120km. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là 10km/h nên xe máy thứ nhất đến B sớm hơn xe máy thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Ví dụ 4: Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước sau 2 giờ 24 phút thì đầy bể. Nếu chỉ 3 mở vòi một trong 2 giờ sau đo khóa vòi một và chỉ mở vòi hai trong 1 giờ 30 phút thì được bể. 4 Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu sẽ đầy bể? “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 64 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Ví dụ 5: Trong đợt thi đua cuối năm, hai đội công nhân làm được 1020 sản phẩm chất lượng loại A đạt tỉ lệ 85%. Riêng đội 1 tỉ lệ sản phẩm loại A là 90%, riêng đội 2 tỉ lệ sản phẩm loại A là 78%. Tính số sản phẩm mỗi đội đã làm được. Ví dụ 6: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi quanh vườn (thuộc đất của mảnh vườn) rộng 2m, diện tích còn lại để trồng trọt là 4256m2 . Tính kích thước của mảnh vườn lúc đầu. Ví dụ 7: Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 80km với vận tốc dự định. Thực tế trên nửa quãng đường đầu ô tô đi với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định 6km/h. Trong nửa quãng đường sau ô tô đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định 12km/h. Biết rằng ô tô đến B đúng thời gian dự định. Tính vận tốc dự định của ô tô. Ví dụ 8: Quãng đường từ Hà Nội đi Ninh Bình dài 100km. Cùng một lúc, một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Ninh Bình và một xe ô tô khởi hành từ Ninh Bình đi Hà Nội. Sau khi hai xe gặp nhau, xe máy đi 1 giờ 30 phút nữa mới đến Ninh Bình. Biết vận tốc hai xe không đổi trên suốt quãng đường đi và vận tốc xe máy kém vận tốc xe ô tô là 20km/h. Tính vận tốc mỗi xe. Ví dụ 9: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 320m2. Nếu tăng chiều rộng thêm 10m và giảm chiều dài đi 16m thì diện tích mảnh vườn không thay đổi. Tính kích thước của mảnh đất ban đầu. Ví dụ 10: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24km. Cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại điểm C cách A là 8km. Tính vận tốc thực của ca nô. Ví dụ 11: Quãng đường từ A đến B dài 90km. Một người đi xe đạp từ A đến B. Khi đến B người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến khi trở về A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B. Ví dụ 12: Quãng đường AB dài 50km. Một người dự định đi xa đạp từ A đến B với vận tốc không đổi. Khi đi được 2 giờ, người ấy dừng lại 30 phút để nghỉ. Muốn đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đó. Ví dụ 13: Một xe máy khởi hành từ A đến B dài 60km, 30 phút sau một ô tô cũng khởi hành từ A đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 10km/h nên cả hai xe đến B cùng một lúc. Tính vận tốc của mỗi xe? Ví dụ 14: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Ví dụ 15: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 65 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội riêng trong 3 giờ rồi người thứ hai làm tiếp trong 6 giờ thì họ làm được 25% khối lượng công việc. Hỏi nếu mỗi người thợ làm một mình thì hoàn thành công việc đó trong bao lâu? Ví dụ 16: Đội tình nguyện trường ARCHIMEDES ACADEMY tham gia quét dọn đường phố. Theo kế hoạch, đội phải quét 75km đường trong một số tuần lễ. Vì các em học sinh tham giá nhiệt tình và năng nổ nên mỗi tuần quét đều dọn vượt mức 5km so với kế hoạch, kết quả là đã quét dọn được 80km đường và hoàn thành sớm hơn 1 tuần. Hỏi theo kế hoạch, đội tình nguyện của trường ARCHIMEDES ACADEMY phải quét dọn bao nhiêu km đường mỗi tuần? Ví dụ 17: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. Ví dụ 18: Một ô tô đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến B sớm hơn dự định là 2 giờ. Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thì sẽ đến B chậm hơn dự định 1 giờ. Tính khoảng cách AB , vận tốc và thời gian dự định của ô tô. Ví dụ 19: Để hoàn thành một công việc theo dự định, cần một số công nhân làm trong một số ngày nhất định . Nếu bớt đi 2 công nhân thì phải mất thêm 3 ngày mới có thể hoàn thành công việc . Nếu tăng thêm 5 công nhân thì công việc hoàn thành sớm được 4 ngày . Hỏi theo dự định, cần bao nhiêu công nhân và làm bao nhiêu ngày . Ví dụ 20: Một ca nô xuôi dòng một quãng đường dài 12km rồi ngược quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng quãng sông ấy, ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km thì hết 1 giờ 20 phút. Biết rằng vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước là không đổi, tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước. Ví dụ 21: Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết cạnh góc vuông lớn dài hơn cạnh góc vuông bé là 7cm. Độ dài cạnh huyền là 13cm. Ví dụ 22: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong 1 giờ 12 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi 7 bể. Hỏi mỗi vòi chảy một thứ nhất chảy trong 30 phút và vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được 12 mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể? Ví dụ 23: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất được giao làm 600 sản phẩm. Nhờ tăng năng suất lao động tổ 1 làm vượt mức 10% và tổ 2 làm vượt mức 20% so với kế hoạch của mỗi tổ nên cả hai tổ làm được 685 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ làm theo kế hoạch. Ví dụ 24: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ thì đầy bể. Nếu để 3 vòi I chảy riêng trong 4 giờ rồi khóa lại và mở tiếp vòi II trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được bể. 10 Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng đầy bể. Ví dụ 25: Cho số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số của nó bằng 5; bình phương chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị. Tìm số đó. Ví dụ 26: Hai xe máy khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120km. Mỗi giờ xe máy thứ nhất chạy nhanh hơn xe máy thứ hai là 10km nên xe máy thứ nhất đến B trước xe “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 66 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội máy thứ hai là 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe máy. 3 Ví dụ 27: Cho tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3m và cạnh 4 đáy giảm đi 2m thì diện tích của tam giác đó tăng thêm Tính cạnh đáy và chiều cao của tam giác đã cho. Ví dụ 28: Theo kế hoạch, một xưởng máy phải sản xuất 400 sản phẩm trong một thời gian đã định. Do cải tiến kĩ thuật nên trong thực tế mỗi ngày xưởng máy làm thêm được 10 sản phẩm. Vì thế đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày mà còn làm thêm được 20 sản phẩm nữa. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm. Ví dụ 29: Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A đi đến B. Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc của xe khách là 20km/h. Do đó nó đến B trước xe khách 50 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường AB dài 100km. Ví dụ 30: Một công nhân dự định làm 33 sản phẩm trong thời gian đã định. Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 62 sản phẩm. Do vậy mặc dù người đó đã làm tăng mỗi giờ 3 sản phẩm song vẫn hoàn thành chậm hơn dự định 1 giờ 30 phút. Tính năng suất dự định. Ví dụ 31: Một người đi xe máy từ thành phố A đến thành phố B với một vận tốc định trước. 1 Hai thành phố cách nhau 150km. Sau khi đi được quãng đường thì người đó tăng vận tốc thêm 5 10km/h trên toàn bộ quãng đường còn lại. Tính vận tốc định trước ban đầu và thời gian di chuyển của người đó biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 36 phút. Ví dụ 32: Một xe ô tô cần chạy quãng đường 80km trong thời gian đã dự định. Vì trời mưa nên một phần tư quãng đường đầu xe phải chạy chậm hơn vận tốc dự định là 15km/h nên quãng đường còn lại xe phải chạy nhanh hơn vân tốc dự định là 10km/h. Tính thời gian dự định của xe ô tô đó? Ví dụ 33: (Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2013). Trên quãng đường AB dài 210 m, tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành từ A đến B và một ôt ô khởi hành từ B đi về A. Sau khi gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A. Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô. Ví dụ 34: (Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2015). Quãng đường AB dài 120 3 km. lúc 7h sang một xe máy đi từ A đến B. Đi được xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi 4 đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng ngày. 3 1 Giả sử vận tốc xe máy trên quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe máy trên quãng đường 4 4 sau cũng không đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ? Dạng 15. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC NGHIỆM KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO THAM SỐ PHƯƠNG PHÁP: Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số (giả sử tham số là m), ta thực hiện theo các bước sau: “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 67 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ⇔ TS 10 – Hà Nội   a 6= 0 ∆ ≥ 0  x + x = f (m) 1 2 Bước 2: Áp dụng định lí Vi – ét, ta được: .  x1 .x2 = g(m) . (I) Bước 3: Khử m từ hệ (I) ta được hệ thức cần tìm. Ví dụ: Cho phương trình (m − 1)x2 − 2(m − 4)x + m − 5 = 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m. Dạng 16. TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG PHỤ THUỘC THAM SỐ PHƯƠNG PHÁP: Cho đường thẳng d: y = ax + b phụ thuộc vào tham số m. Bước 1: Gọi M (x0 ; y0 ) là điểm cố định của d ⇒ y0 = ax0 + b ∀m. Bước 2: Biến đổi y0 = ax0 +b về dạng A(x0 ; y0 )m+B(x0 ; y0 ) = 0 hoặc A(x0 ; y0 )m2 +B(x0 ; y0 )m+ C(x0 ; y0 ) = 0. Bước 3: Điều kiện để • A(x  0 ; y0 )m + B(x0 ; y0 ) = 0 ∀m.  A(x ; y ) = 0 0 0 ⇔ B(x0 ; y0 ) = 0 2 • A(x  0 ; y0 )m + B(x0 ; y0 )m + C(x0 ; y0 ) = 0 ∀m.    A(x0 ; y0 ) = 0 ⇔ B(x0 ; y0 ) = 0    C(x0 ; y0 ) = 0 Bước 4: Tìm (x0 ; y0 ) và kết luận. Ví dụ: Cho đường thẳng d: y = (m + 1)x − 2m với m là tham số. Tìm điểm cố định mà d luôn đi qua với mọi m. Hướng dẫn Gọi M (x0 ; y0 ) ∈ d ⇒ y0 = (m + 1)x0 − 2m ⇔ m(x0 − 2) + (x0 − y0 ) = 0 (∗). Để mọi m khi (∗) đúng với mọi m tức là:  d đi qua M với x = 2 x −2 = 0 0 0 ⇔ .  y0 = 2 x 0 − y 0 = 0 Vậy d luôn đi qua điểm M (2; 2) cố định với mọi m. Ví dụ: Cho đường thẳng d: y = (2m + 1)x + m − 2 với m là tham số. Tìm điểm cố định mà d luôn đi qua với mọi m. Dạng 17. TÌM THAM SỐ m SAO CHO KHOẢNG CÁCH TỪ GỐC TỌA ĐỘ ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC LÀ LỚN NHẤT HOẶC NHỎ NHẤT “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 68 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội PHƯƠNG PHÁP: Cho đường thẳng d: y = ax+b phụ thuộc vào tham số m. Tìm m để khoảng cách từ O đến d là lớn nhất. Cách 1: Phương pháp hình học. Bước 1: Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox và Oy, H là hình chiếu vuông góc của O trên d. 1 1 1 = + . 2 2 OH OA OB 2 Bước 3: Tìm điều kiện của m để OH đạt giá trị lớn nhất. Bước 2: Khoảng cách từ O đến d tính bởi công thức Cách 2: Phương pháp điểm cố định. Bước 1: Tìm điểm cố định I mà d luôn đi qua. Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d ⇒ OH ≤ OI =cost. Bước 3: Ta có OHmax = OI ⇔ d là đường thẳng qua I và vuông góc với OI. Từ đó ta tìm được tham số m. Ví dụ: Cho đường thẳng d: y = mx − 2m − 1 với m là tham số. Tìm m sao khoảng cách từ O đến d đạt giá trị: a) Lớn nhất. b) Nhỏ nhất. Hướng dẫn a) Cách 1: Trường hợp 1: Nếu m = 0 ⇒ d: y = −1 ⇒ khoảng cách từ O đếnd bằng 1.  2m + 1 ; 0 và B (0; −2m − 1). Trường hợp 2: Nếu m 6= 0 ⇒ d cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại A m Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d. 1 1 (2m + 1)2 1 2 = + ta được OH = . Từ OH 2 OA2 OB 2 m2 + 1 2 √ (m − 2) Mà: OH 2 − 5 = − 2 ≤ 0 ⇒ OH ≤ 5 ∀m 6= 0. m +1 √ Kết hợp với trường hợp 1 và 2 ta được OHmax = 5 ⇔ m = 2. Cách 2: Gọi I là điểm cố định của d ⇒ I(2; −1). Với mỗi m. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d. √ ⇒ OH ≤ OI = 5, ∀m. √ Từ đó OHmax = 5 ⇔ d⊥OI. Tìm được m = 2. b) Khoảng cách từ O đến d nhỏ nhất bằng O ⇔ O ∈ d. Ta tìm được m = 3. Ví dụ: Cho đường thẳng d: y = (m + 1)x + m + 2 với m là tham số. Tìm m sao khoảng cách từ O đến d đạt giá trị: a) Lớn nhất. b) Nhỏ nhất. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 69 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội C. LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: y = (m − 2)x + m + 3 và parabol (P ): y = mx2 với x là ẩn, m là tham số. 1) Với m = 1 hãy: a) Vẽ (P ) và d trên cùng trục tọa độ Oxy. b) Tính diện tích ∆ABC với A, B là các giao điểm của d và (P ). 2) Tìm giá trị của m để: a) d đi qua C(1; 1); b) Ba đường thẳng d1 : y = 2x + 3, d2 : y = −x + 1 và d đồng quy; c) d tạo với đường thẳng y = 2 một góc 1200 d) d song song với đường thẳng ∆, biết ∆ đi qua D(1; 2) và vuông góc với đường thẳng ∆0 : 2x − y + 3 = 0; e) (P ) đi qua điểm cố định của d; f) d cắt trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2|m − 2|; g) Khoảng cách từ O(0; 0) đến d lớn nhất. 3) Viết phương trình đường thẳng d3 song song với d1 : y = 2x + 3. 4) Chứng minh với m 6= 0, d luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt. 5) Gọi A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ) các giao điểm của d và (P ). Hãy tìm: a) Hệ thức độc lập giữa xA và xB ; b) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2A + x2B + 2018. 6) Gọi A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ) các giao điểm của d và (P ). Hãy tìm m để: a) A và B nằm về hai phía của trục tung; b) A và B nằm về cùng của đường thẳng x = 1; c) xA và xB thỏa mãn hệ thức xA = 2xB ; d) AB song song với đường thẳng d4 : y = x + 2018. Tính diện tích tam giác OAB với m vừa tìm được. Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: y = (3 − m)x − m và parabol (P ): y = −2×2 với x là ẩn, m là tham số. 1) Với m = −2 hãy: a) Vẽ (P ) và d trên cùng trục tọa độ Oxy. b) Tính diện tích ∆ABC với A, B là các giao điểm của d và (P ). 2) Tìm giá trị của m để: a) d đi qua C(1; 1) và d song song với d1 : y = 2x + 3; b) d tạo với đường thẳng Ox một góc 450 ; “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 70 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội c) d cắt trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2; d) Khoảng cách từ O(0; 0) đến d lớn nhất. 3) Viết phương trình đường thẳng d3 vuông góc với d1 : y = 2x + 3 và đi qua điểm cố định của d. 4) Chứng minh với m 6= 0, d luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt. 5) Gọi A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ) các giao điểm của d và (P ). a) Hãy tìm hệ thức độc lập giữa xA và xB ; 1 1 b) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 + 2 ; xA xB c) Hãy tìm m để A và B có hoành độ âm; 3 d) Hãy tìm m để (2x2A + mxA )(2x2B + mxB ) = . 2 1 Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: y = 3x + 2m − 5 và parabol (P ): y = x2 với x là ẩn, m là tham 2 số. 1 hãy: 2 a) Vẽ (P ) và d trên cùng trục tọa độ Oxy. 1) Với m = b) Tính diện tích ∆ABC với A, B là các giao điểm của d và (P ). 2) Tìm giá trị của m để: a) (P ) và d tiếp xúc nhau; b) Tìm m để d luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt; 2 c) Giao điểm của d1 : y = x − 1, d2 : y = x + 2 thuộc d; 3 d) Khoảng cách từ O(0; 0) đến d nhỏ nhất. 3) Tím giá trị tan của góc tạo bởi d với tia Ox. 4) Viết phương trình đường thẳng d3 vuông góc với mọi đường thẳng d và đi qua điểm cố định của đường thẳng d4 : y = (m − 2)x + m. 5) Trong trường hợp d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt. Gọi A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ) là tọa độ giao điểm. a) Tìm m để yA + yB = 0; b) Tìm m để biểu thức P = x2A + x2B + (xA .xB )2 đạt giá trị nhỏ nhất; m2 x2 + 6xA − 4m c) Hãy tìm m để Q = 2 + B đạt giá trị nhỏ nhất (với m 6= 0). xA + 6B − 4m m2 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 71 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội D. MỘT SỐ CÂU VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG ĐỀ TUYỂN SINH HÀ NỘI Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2011 – 2012) Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2012 – 2013) 12 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì Hai người cùng làm chung một công việc trong 15 thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc? Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2013 – 2014) Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2014 – 2015) Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2015 – 2016) Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ. Ví dụ : (THI THỬ 10 – THPT Hà Nội, năm học 2015 – 2016) Hai khối 8 và 9 của một trường THCS có 420 học sinh có học lực trên trung bình đạt tỉ lệ 84%. Khối 8 đạt tỉ lệ 80% là học sinh trên trung bình, khối 9 đạt 90%. Tính số học sinh của mỗi khối. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2016 – 2017) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m2 . Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017 – 2018) Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2018 – 2019) “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 72 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2010 – 2011) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = −x + 6 và parabol (P ): y = x2 . a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P ). b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P ). Tính diện tích tam giác OAB. Ví dụ : (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2012 – 2013) Cho phương trình x2 − (4m − 1)x + 3m2 − 2m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x21 + x22 = 7. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2013 – 2014) 1 1 Cho parabol (P ): y = x2 và đường thẳng d: y = mx − m2 + m + 1. 2 2 a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P ). b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho |x1 −x2 | = 2. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2015 – 2016) Cho (P ): y = x2 và (d): y = mx + 1. a. Tìm điểm cố định của (d). b. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A và B nằm khác phía trục tung. c. Tìm m để diện tích tam giác OAB = 2. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2016 – 2017) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 3x + m2 ˘1 và parabol (P ): y = x2 . a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1 và x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để (x1 + 1)(x2 + 1) = 1. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017 – 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 5. a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0; 5) với mọi giá trị của m. b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P ): y = x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 , x2 (với x1 < x2 ) sao cho |x1 | > |x2 |. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2018 – 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 3 và parabol (P ): y = x2 . a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P ) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 73 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội CHỦ ĐỀ IV: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN TỔNG QUAN KIẾN THỨC HÌNH I. Kiến thức lớp 7 cần nhớ 1. Để chứng  minh a//b ta có: a⊥c Cách 1: ⇒ a//b.  b⊥c  a//c Cách 2: ⇒ a//b.  b//c Cách 3: Chứng minh hai góc ở hai vị trí so le trong hoặc đồng vị hoặc trong cùng phía bù nhau. 2. Để chứng  minh a⊥b ta có: a//c Cách 1: ⇒ a⊥b.  b⊥c cb) = 900 . Cách 2: Chứng minh góc giữa chúng bằng 900 tức là (a; 3. Để chứng minh hai tam giác thường bằng nhau ta có: Cách 1: c – c – c. Cách 2: c – g – c. Cách 3: g – c – g. 4. Để chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau ta có: Cách 1: c – c – c. Cách 2: c – g – c. Cách 3: g – c – g. Cách 4: Cạnh huyền – góc nhọn. Cách 5: Cạnh huyền – góc vuông. 5. Định lý Py-ta-go • Nếu AB 2 + AC 2 = BC 2 thì ∆ABC là vuông tại A. • Nếu ∆ABC là vuông tại A thì AB 2 + AC 2 = BC 2 . 6. Chứng minh ∆ABC cân tại A Cách 1: Chứng minh AB = AC thì ∆ABC là cân tại A. b=C b thì ∆ABC là cân tại A. Cách 2: Chứng minh B 7. Chứng minh ∆ABC đều Cách 1: Chứng minh AB = BC = AC thì ∆ABC là đều. b=B b=C b thì ∆ABC là đều. Cách 2: Chứng minh A Cách 3: Chứng minh ∆ABC cân và có một góc bằng 600 thì ∆ABC là đều. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 74 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội 8. Trong một tam giác cân đường đương giác cũng là đường cao, cũng là đường trung tuyến, cũng là đường trung trực 9. Giao điểm của ba đường trung tuyến là trọng tâm của tam giác 10. Giao điểm của ba đường cao là trực tâm của tam giác 11. Giao điểm của ba đường phân giác cách đều ba cạnh của tam giác 12. Đường thẳng trung trực là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó II. Kiến thức lớp 8 cần nhớ 1. Tính chất, dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông 2. Định lí ta – lét thuận và đảo, hệ quả A B0 C0 A a A C0 B B B0 C B0 C C0 B C   ∆ABC AB 0 AC 0 AB 0 AC 0 BB 0 C 0C Định lí ta – lét: ⇒ = ; = ; ⇒ = . B 0 C 0 //BC AB AC BB 0 CC 0 AB AC   ∆ABC 0 0 Định lí ta – lét đảo: AB 0 AC 0 ⇒ B C //BC.  = B 0 B C 0 C  ∆ABC AB 0 AC 0 B0C 0 ⇒ = = . Hệ quả của định lí ta – lét: B 0 C 0 //BC AB AC BC Chú ý: Hệ quả vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. 3. Cách chứng mình hai tam giác đồng dạng Cách 1: c – c – c. Cách 2: c – g – c. Cách 3: g – g. 4. Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng 5. Trong một tam giác vuông đường trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền và ngược lại “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 75 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội III. Kiến thức lớp 9 cần nhớ. “GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN” Nội dụng kiến thức cần biết của học kì I. 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông. Cho ∆ABC vuông tại A có các giả thiết như hình vẽ như hình vẽ. A c b h b0 c0 B H a α C (1) b2 = a.b0 ; c2 = a.c0 . (2) h2 = b0 .c0 . (3) ah = bc. 1 1 1 (4) 2 = 2 + 2 . h b c (5) Từ hệ thứ (1) suy ra định lí Py-ta-go a2 = b2 + c2 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn. cạnh đối cạnh kề (1) sinα = (2) cosα = . cạnh huyền cạnh huyền cạnh đối cạnh kề (3) tanα = (4) cotα = . cạnh kề cạnh đối 3. Một số tính chất của các tỉ số lượng giác. • Nếu α + β = 900 thì: • sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cotβ; cotα = tanβ. • Nếu 00 < α < 900 thì: • 0 < sinα < 1; 0 < cosα < 1; sin2 α + cos2 α = 1. sinα cosα tanα = ; cotα = ; tanα.cotα = 1. cosα sinα • Nếu α tăng thì sinα tăng, tanα tăng còn cosα giảm, cotα giảm. 4. Các hệ thức về cạnh trong tam giác vuông. • b = a.sinB; b = a.cosC; b = a.tanB; b = a.cotC. • c = a.sinC; c = a.cosB; c = a.tanC; c = a.cotB. Chú ý: Với các góc nhọn α, β thì ta có: • sinα < sinβ; tanα < tanβ. • cosα > cosβ; cotα > cotβ. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 76 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội • sinα < tanα; cosα < cotα. 5. Cực trị hình học. • Vận dụng tính chất đường xiên và đường vuông góc M H ≤ M N . Dấu ” = ” xảy ra khi N ≡ H. M d H N • Vận dụng định lí đường kính và dây AB ≤ 2R. Dấu ” = ” xảy ra khi A, O, B thẳng hàng. B A R O • Vận dụng các bất đẳng thức đại số: √ +) a + b ≥ 2 ab dấu ” = ” xảy ra khi a = b.  2 a+b dấu ” = ” xảy ra khi a = b. +) a.b ≤ 2 +) Bất đẳng thức tam giác (quy tắc ba điểm). +) Quan hệ đường kính và dây cung. +) Quan hệ đường vuông góc và đường xiên. Ví dụ: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 10cm. Một dây CD = 8cm, có hai đầu mút di chuyển trên nửa đường tròn. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và B trên đường thẳng CD. Xác định vị trí của CD để diện tích tứ giác ABF E lớn nhất. Ví dụ: Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính AB = 2R. Lấy điểm I trong đoạn OA sao cho OI = x (0 < x < R). Qua I vẽ đường thẳng d vuông góc với AB và cắt nửa đường tròn tâm O tại M . Xác định x để chu vi tam giác IM O lớn nhất. Ví dụ: Cho điểm A và đường tròn (O; R) cố định (OA > R). Tìm điểm M thuộc (O) sao cho AM lớn nhất, AM nhỏ nhất. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 77 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Ví dụ: Cho nửa đường tròn tâm (O; R), đường kính AB. Từ điểm M bất kỳ thuộc đường tròn, kẻ M N vuông góc với AB (N ∈ AB; M khác A; khác B). Từ N kẻ N D và N E lần lượt vuông góc với AM và BM (D ∈ AM , E ∈ BM ). a) Tứ giác DM EN là hình gì? Chứng minh. b) Chứng minh DM.AM = EM.BM . c) Gọi O0 là tâm đường tròn đường kính N B. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O0 ). d) Gọi I là điểm đối xứng với N qua D. Gọi K là điểm đối xứng với N qua E. Xác định vị trí điểm M trên nửa đường tròn (O) để tứ giác AIKB có chu vi lớn nhất. 6. Tiếp tuyến của đường tròn. a) Định nghĩa Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó. b) Định lí 1 Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. c) Định lí 2 Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. d) Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: • Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. • Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tia tiếp tuyến. • Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. 7. Các bước của phương pháp chứng minh đi qua một điểm cố định. Bước 1: Xác định rõ các yếu tố cố định đã biết. Bước 2: Xác định tứ giác nội tiếp liên quan đến điểm cố định. Bước 3: Chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định. Các ví dụ điểm đi qua đường tròn cố định: Ví dụ: Cho đường tròn (O) và dây BC cố định (BC không đi qua (O)). Lấy điểm A thuộc (O) sao cho A và (O) thuộc cùng một phía so với BC. Lấy điểm M là trung điểm của AB, vẽ M H vuông góc với AC tại H. Chứng minh H luôn nằm trên một đường tròn cố định. Ví dụ: Cho A, B nằm ngoài đường tròn (O; R) cố định (đường thẳng AB không có điểm chung với (O)). Lấy điểm M bất kì trên (O), gọi G là trọng tâm ∆M AB. Chứng minh G chạy trên một đường tròn cố định khi M di động trên (O). Các ví dụ điểm đi qua đường thẳng cố định: Ví dụ: Cho đường tròn (O) và điểm A cố định thuộc (O). Vẽ tiếp tuyến d tại A của (O). Lấy M bất kỳ thuộc d, gọi N là trung điểm của đoạn OM . Chứng minh rằng khi M di động trên d thì “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 78 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội N chạy trên một đường cố định. Ví dụ: Họ đường tròn (O) bán kính R và một đường thẳng d cắt (O) tại C, D. Một điểm M di động trên d sao cho M C > M D và ở ngoài đường tròn (O). Qua M kẻ hai tiếp tuyến M A, M B (A, B là tiếp điểm). Chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định. Ví dụ: Cho đoạn thẳng AC cố định, điểm B cố định nằm giữa A và C. Đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua A và B. Gọi P Q là đường kính của đường tròn (O), P Q vuông góc AB, (P thuộc cung lớn AB). Gọi CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I. Chứng minh QI luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn (O) thay đổi. Ví dụ: Cho đường tròn tâm (O) và hai điểm A, B cố định thuộc đường tròn đó (AB không phải là đường kính). Gọi M là trung điểm của cung nhỏ kAB. Trên đoạn AB lấy hai điểm C, D phân biệt và không nằm trên đường tròn. Các đường thẳng M C, M D cắt đường tròn đã cho tương ứng tại E, F khác M . 1) Chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F nằm trên một đường tròn. 2) Gọi O2 , O2 tương ứng là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE và BDF . Chứng minh rằng khi C, D thay đổi trên đoạn AB các đường thẳng AO1 và BO2 luôn cắt nhau tại một điểm cố định. Ví dụ: Cho tam giác ABC và điểm D di chuyển trên cạnh BC (D khác B và C)Đường tròn (O1 ) đi qua D và tiếp xúc AB tại B. Đường tròn (O2 ) đi qua D và tiếp xúc AC tại C. Gọi E là giao điểm thứ hai của (O1 ) và (O2 ). a) Chứng minh rằng khi D di động trên đoạn BC thì đường thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định b) Kết quả trên còn đúng không trong trường hợp D di động ở ngoài đoạn BC. Ví dụ: Cho góc vuông xAy, điểm B cố định trên Ay, điểm C di chuyển trên Ax. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, BC theo thứ tự ở M , N . Chứng minh rằng đường thẳng M N luôn đi qua một điểm cố định. Ví dụ: Cho đường tròn tâm O, dây AB. Điểm M di chuyển trên cung lớn AB. Các đường cao AE, BF của tam giác ABM cắt nhau ở H. Đường tròn tâm H bán kính HM cắt M A, M B theo thứ tự ở C, D. a) Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định. b) Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ H và vuông góc với CD cũng đi qua một điểm cố định. Ví dụ: Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ấy. Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với M qua BC. Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đường tròn (O) thì DE luôn đi qua một điểm cố định. Ví dụ: Cho đường tròn tâm (O). Từ điểm A cố định ở ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O) (B, C tiếp điểm). Lấy điểm M trên cung nhỏ BC. Gọi D, E, F thứ tự là hình chiếu từ M đến BC, “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 79 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội AC, AB. Gọi M B cắt DF tại P , M C cắt DE tại Q. Chứng minh đường thẳng nối giao điểm của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác M P F và M QE luôn đi qua một điểm cố định. Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M , N thứ tự là các điểm di động trên các đường thẳng AB, AC sao cho trung điểm I của M N nằm trên cạnh BC. Chứng minh rằng đường tròn qua 3 điểm A, M , N luôn đi qua một điểm cố định khác A. Ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I là điểm chính giữa của BC không chứa A. Vẽ đường tròn (O1 ) đi qua I và tiếp xúc với AB tại B, vẽ đường tròn (O2 ) đi qua I và tiếp xúc với AC tại C. Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1 ), (O2 ). a) Chứng minh rằng ba điểm B, K, C thẳng hàng. b) Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho BD = CE. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua một điểm cố định khác A. Ví dụ: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, điểm C cố định trên đường kính ấy (C khác (O)). Điểm M chuyển động trên đường tròn. Đường vuông góc với AB tại C cắt M A, M B theo thứ tự ở E, F . Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua qua một điểm cố định khác A. Ví dụ: Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Lấy điểm E trên dây cung AB (E khác A và B). Qua E vẽ dây cung CD của đường tròn (O). Trên hai tia DA, DB lấy hai điểm P , Q đối xứng qua E. Chứng minh rằng đường tròn (I) tiếp xúc với P Q tại E và đi qua C luôn đi qua một điểm cố định khi E di động trên dây cung AB. Nội dung kiến thức cần biết của học kì II. 1. Góc ở tâm A B O a) Định nghĩa Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn. b) Tính chất d [ =sđAB. • AOB d) Bài tập áp dụng 2. Liên hệ giữa cung và dây “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 80 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội D C O B A a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. Định lí: • Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì chia đôi dây căng cung. Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâ thi đi qua điểm chính giữa cung căng dây đó. • Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại. 3. Góc nội tiếp M O B A a) Định nghĩa Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. b) Tính chất 1 d • AM B = sđAB. 2 Ví dụ 1: Trong đường tròn (O) có dây AC và BD vuông góc với nhau tại I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh IM ⊥AD. Ví dụ 2: Cho ∆ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm M nằm trên cung BC. Chứng minh rằng AM = BM + CM . Ví dụ 3: Trong đường tròn (O); (O0 ) cắt nhau tại A, B. Trên AB lấy điểm I. Qua I kẻ dây M N của đường tròn (O), kẻ dây CD của đường tròn (O0 ). Chứng minh IM.IN = IC.ID. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 81 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Ví dụ 4: Cho ∆ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại F , cắt đường tòn tại E. Chứng minh : a) ∆BEC cân. = ABC [ + ACB. [ b) BEC c) AB.AC = AE.AF . d) AF 2 = AB.AC − BF.CF . Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn (O). Chứng minh AB.CD+AD.BC = AC.BD. 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung a) Định nghĩa y A B x O Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và một cạnh là tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn đó. d cung [ và BAy [ là hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (BAx [ = 1 sđAB Trong hình trên BAx 2 d cung nhỏ ). [ = 1 sđAB lớn và BAy 2 b) Định lí Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo góc của cung bị chắn. c) Hệ quả Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn a) Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 82 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội C M A D B O AM C Có đỉnh M nằm bên trong đường tròn (O). Định lí: Số đo góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. b) Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn M M M C C C D A A O B O A O D AM C Có đỉnh M nằm bên ngoài đường tròn (O). Định lí: Số đo góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. 6. Cung chứa góc a. Bài toán quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB và góc α (00 < α < 1800 ) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn AM B = α là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB. Chú ý: • Hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB là hai cùng tròn đối xứng nhau qua AB. • Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích. • Khi α = 900 thì quỹ tích các điểm nhìn đoạn AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB. b) Cách giải bài toán quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất (τ ) là một hình H nào đó ta phải chứng minh hai phần: "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 83 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Phần thuận: Mọi điểm có tính chất (τ ) đều thuộc hình H. Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất (τ ). Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm M có tính chất (τ ) là hình H. c) Dạng bài quỹ tích Dạng 1. Quỹ tích là cung chứa góc α Phương pháp: +) Tìm đoạn thẳng cố định trong hình vẽ. +) Nối điểm phải tìm quỹ tích với hai đầu của đoạn thẳng cố định đó, xác định góc α tạo thành. +) Khẳng định điểm phải tìm quỹ tích thuộc cung chứa góc α vẽ trên đoạn thẳng cố định. Ví dụ 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB cố định. Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn. Ở phía ngoài ∆ABC vẽ ∆BCD vuông cân tại C. Tìm quỹ tích điểm D. d = 1280 . Lấy Ví dụ 2: trên đường tròn (O; R) lấy hai điểm B, C cố định sao cho số đo cung sđBC điểm A di động trên cung lớn BC. Gọi M là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của ∆ABC. Chứng minh rằng M nằm trên một cung tròn cố định. 7. Tứ giác nội tiếp a) Định nghĩa Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp. b) Tính chất • Trong một tứ giác nội tiếp thì hai góc đối có tổng bằng 1800 . • Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. c) Dấu hiệu • Tổng hai góc đối của một tứ giác bằng 1800 thì tứ giác nội tiếp đường tròn. • Nếu tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau thì bốn đỉnh của tứ giác ấy cùng thuộc một đường tròn. d. Vận dụng Phương pháp: Để chứng minh một tứ giác nội tiếp (hay 4 điểm cùng thuộc một đường tròn) ta cần: (1) Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó. (2) Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800 (3) Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau. (4) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn. b+ C b=B b+D b thì tứ giác ABCD Cụ thể: Cho tam giác ABCD. Nếu các bạn chứng minh được A cũng nội tiếp trong một đường tròn. Đây có thể nói là một trường hợp đặc biệt của trường hợp thứ 2. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 84 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội (5) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn. (6) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Chú ý: Các bạn có thể chứng minh tứ giác ABCD là một trong những hình đặc biệt sau: Tứ giác ABCD là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông. b = 600 . Các đường phân giác trong BB1 , CC1 của tam Ví dụ: Cho tam giác nhọn ABC có A giác ABC cắt nhau tại I. 1. Chứng minh tứ giác AB1 IC1 nội tiếp. 2. Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1 I. Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp. Ví dụ: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O; R). Hạ đường cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M , N . Chứng minh rằng: 1. Bốn điểm A,E, D, B nằm trên một đường tròn. 2. M N//DE. 3. ED⊥OC. 4. Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 85 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội C. CÁC DẠNG CƠ BẢN. • Bài toán liên quan đến chứng minh. • Bài toán liên quan đến tính toán. • Bài toán liên quan đến quỹ tích. • Bài toán liên quan đến dựng hình. • Bài toán liên quan đến cực trị hình học. Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến M A, M B đến (O) (A, B là tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến M N P (M N < M P ) đến (O). Gọi K là trung điểm của N P . 1. Chứng minh rằng M , A, K, O, B cùng thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh rằng tia KM là tia phân giác của góc AKB. 3. Gọi Q là giao điểm thứ hai của đường thẳng BK với đường tròn (O). Chứng minh AQ//N P . 4. Chứng minh rằng M A2 = M H.M O = M N.M P . 5. Chứng minh rằng tứ giác N HOP là tứ giác nội tiếp. 6. Gọi E là giao điểm của AB và KO. Chứng minh rằng: AB 2 = 4.HE.HF (H là giao điểm của AB và N P ). 7. Chứng minh rằng tứ giác KEM H là tứ giác nội tiếp. Từ đó chứng tỏ rằng OK.OE không đổi. 8. Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng M O với đường tròn (O). Chứng minh rằng: I là tâm đường tròn nội tiếp ∆M AB. 9. Chứng minh rằng: KE và KF là phân giác trong và phân giác ngoài của góc AKB. Từ đó suy ra: AE.BF = AF.BE. 10. Tìm vị trí của cát tuyến M N P để diện tích tam giác M QP đạt giá trị lớn nhất. 11. Chứng minh khi cát tuyến M N P quay quanh M thì trọng tâm G của ∆N AP luôn chạy trên một đường tròn cố định và khi cát tuyến M N P cố định, điểm M di chuyển trên tia đối của N P , chứng minh đường AB đi qua một điểm cố định. 12. Giả sử M O = 2R. Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi hai bán kính OA, OB và cung nhỏ AB. Hướng dẫn 1. Chứng minh rằng M , A, K, O, B cùng thuộc một đường tròn. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 86 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H A TS 10 - Hà Nội P K N O M B Vì M A là tiếp tuyến của (O) ⇒ M A⊥OA tại A ⇒ ∆M OA vuông tại A ⇒ A ∈ (M O) (1) Vì M B là tiếp tuyến của (O) ⇒ M B⊥OB tại B ⇒ ∆M OB vuông tại B ⇒ B ∈ (M O) (2) +) Ta có K là trung điểm của N P ⇒ đường thẳng OK⊥N P Vì M , N , K thẳng hàng ⇒ OK⊥M K ⇒ M OK = 900 ⇒ K ∈ (M O) (3) Từ (1) (2) và (3) ⇒ A, B, C cùng ∈ (M O) ⇒ 5 điểm M , A, K, O, B cùng thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh rằng tia KM là tia phân giác của góc AKB. A P K N O M B Xét đường tròn đường kính (M O) ở câu 1 d và AOM d = 1 sđAM = 1 sđAM +) Ta có: AKM 2 2 = AOM ⇒ AKM (4) 1 d và BOM d = 1 sđBM = sđBM +) Ta có: BKM 2 2 = BOM ⇒ BKM (5) Mà N A, M B là tiếp tuyến của (O): "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 87 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội [ ⇒ AOM = BOM (6) OM là phân giác của góc AOB = BKM ⇒ M K là phân giác của góc AKB (đpcm). +) Từ (4), (5) và (6) ⇒ AKM 3. Gọi Q là giao điểm thứ hai của đường thẳng BK với đường tròn (O). Chứng minh AQ//N P . Q A P K N O M B [ =N Ta sẽ chứng minh: AQB KB d (7) [ = 1 sđAB +) Trong đường tròn (O): AQB 2 1 d +) Trong đường tròn (M O): N KB = M KB = M OB (vì cùng = sđM B) 2 1[ [ = AOB (vì M O là phân giác của góc AOB) 2 1 d d (8) [ =sđAB) (vì AOB = sđAB 2 [ =N Từ (7) và (8): ⇒ AQB KB, mà hai góc này ở vị trí đồng vị ⇒ AQ//N P (đpcm). 4. Chứng minh rằng M A2 = M H.M O = M N.M P . A P K O N H M Ta chứng minh M A2 = M H.M O Xét ∆M AO vuông tại A và có chiều cao AH⊥M O ⇒ Theo hệ thức lượng ta có M A2 = M H.M O (đpcm) (9) "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 88 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Ta chứng minh M A2 = M N.M P Xét ∆M AN và ∆M P A c chung (I) +) M 1 +) M AN = sđAN (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) 2 1 +) M P A = N P A = sđAN 2 ⇒M AN = M P A (II) MP MA = ⇒ M A2 = M N.M P (đpcm) (10) Từ (I) và (II) ⇒ ∆M AN ∼ ∆M P A ⇒ MN MA Từ (9) và (10) ⇒ M A2 = M H.M O = M N.M P (đpcm). 5. Chứng minh rằng tứ giác M N OP là tứ giác nội tiếp. Q A P K N H M Theo câu 4 ta có M H.M O = M N.M P ⇒ O B MH MN = MP MO Xét ∆M HN và ∆M P O có: c chung (1 cặp góc đồng vị) +) M MH MN = (hai cặp cạnh kề nhau tương ứng tỉ lệ) +) MP MO ⇒ ∆M HN ∼ ∆M P O ⇒ M HN = M P O (11) Mặt khác M HN + N HO = 1800 (12) Từ (11) và (12) ⇒ M PO + N HO = 1800 , Vậy tứ giác N HOP là tứ giác nội tiếp. 6. Gọi E là giao điểm của AB và KO. Chứng minh rằng: AB 2 = 4.HE.HF (H là giao điểm của AB và N P ). "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 89 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội E P A K F O N H M B  2 AB 2 AB Gợi ý: = HE.HF ⇔ = AH 2 = HE.HF 4 2 Trong đó ∆M AO: AH 2 = HM.M O HE HM = ⇒ ∆HM F ∼ ∆HEO HM.M O = HE.HF ⇒ HF HO +) Chứng minh AH 2 = HM.HO Xét ∆M AO vuông tại A, có chiều cao AH. Theo hệ thức cơ bản trong tam giác vuông ta có: AH 2 = HM.HO AB AB 2 2 Mặt khác: AH = ⇒ AH = ⇒ AB 2 = 4.AH 2 = 4.HM.HO (12) 2 4 Từ (11) và (12): để chứng minh (11) ta phải chứng minh: HM HE HM.HO = HE.HF ⇔ = HF HO (vì cùng phụ góc M Xét hai tam giác vuông ∆HM F và ∆HEO: có HM F = HEO OE) HM HE ⇒ ∆HM F ∼ ∆HEO ⇒ = (đpcm) HF HO 7. Chứng minh rằng tứ giác KEM H là tứ giác nội tiếp. Từ đó chứng tỏ rằng OK.OE không đổi. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 90 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội E P A K F O N H M B = EHM = 900 cùng nhìn đoạn EM ⇒ KEM H là tứ giác Ta có M K⊥EK, EH⊥M H và EKM nội tiếp. Dùng kết quả ở câu 5 ta có OK.OE = OH.OM = OA2 = R2 không đổi. Từ OK.OE = R2 = ON 2 = OP 2 ⇒ EN O = 900 . (đpcm). 8. Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng M O với đường tròn (O). Chứng minh rằng: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác M AB. A O I M B [ = IAB [ ⇒ AI là phân giác AM Vì M O là trung trực của AB nên IA = IB. ⇒ IAM B. 9. Chứng minh rằng: KE và KF là phân giác trong và phân giác ngoài của góc AKB. Từ đó suy ra: AE.BF = AF.BE. với KE⊥KF nên KE là phân giác góc ngoài tại đỉnh Từ câu 2 ta có KF là phân giác góc AKB, K. Dùng tính chất đường phân giác với AKB ⇒ AE.BF = AF.BE. 10. Tìm vị trí của cát tuyến M N P để diện tích tam giác M QP đạt giá trị lớn nhất. Chú ý: Do P , Q thay đổi nên ∆M QP có độ dài cả ba cạnh đều thay đổi gây khó khăn do đó cần đưa về tam giác chứa nhiều yếu tố cố định hơn. Từ câu 3 ⇒ AQ//M P ⇒ SQM P = SAM P . 1 Kẻ P J⊥M A ta có SQM P = AM.P J. Do AM không đổi ⇒ SQM P max ⇔ P Jmax . 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 91 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Vì P J ≤ P A ≤ P 0 A ⇔ P ≡ P 0 (P 0 đối xứng với A qua O). Vậy SM QP max ⇔ P = P 0 . 11. Chứng minh khi cát tuyến M N P quay quanh M thì trọng tâm G của ∆N AP luôn chạy trên một đường tròn cố định và khi cát tuyến M N P cố định, điểm M di chuyển trên tia đối của N P , chứng minh đường AB đi qua một điểm cố định. 2 AL = ⇒ L cố định. Gọi S là trung điểm OM , từ G kẻ GL//KS. Vì AS cố định và AS 3   1 1 2 Lại có LG = SK = OM không đổi. Bởi vậy G luôn chạy trên đường tròn L; OM . 3 3 3 Do OK.OE không đổi ⇒ E thuộc đường OK cố định trên đó E cách O cố định một đoạn OE = R2 OK không đổi. Vậy E là điểm cố định mà AB luôn đi qua. 12. Giả sử M O = 2R. Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi hai bán kính OA, OB và cung nhỏ AB. [ = 1200 . Từ M O = 2R ta tính được M OA = 600 ⇒ AOB 2 πR . Diện tích hình quạt cần tính là S = 3 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn tại các điểm tại M , N , P . Chứng minh rằng: 1. Tứ giác BF EC và AEDB nội tiếp. 2. AE.AC = AF.AB. 3. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EF D. [ = 300 . Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi hai bán kính OB, OC và cung nhỏ BC. 4. Khi BAC 5. BC là phân giác của góc HN M , từ đó suy ra H, M đối xứng nhau qua BC. 6. P N//EF , AO⊥EF . 7. Gọi I là trung điểm BC, K đối xứng H qua I. Chứng minh K thuộc (O). 8. BM KC là hình thang cân. 9. P N < 2AH. 10. AI cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm ∆ABC. 11. Tìm điều kiện của góc B và C để OH//BC. 12. Khi A di chuyển trên cung lớn BC. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp AF E không đổi. Chứng minh H luôn thuộc một đường cố định, d Chứng minh EF có độ dài không đổi, suy ra vị trí điểm A để diện 13. Khi A di chuyển trên BC. tích ∆AEF lớn nhất. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 92 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội E. PHƯƠNG TÍCH GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÓ 1. Bổ đề số 1 B A M C D Nếu ABCD ⇒ M A.M B = M C.M D hay ∆M AC ∼ ∆M DB (g-g) hay ∆M AD ∼ ∆M CB (g-g). B A M C D • Nếu M A.M B = M C.M D ⇔ MA MC = ⇔ ∆M AC ∼ ∆M DB (c-g-c) thì tứ giác ABCD MD MB nội tiếp. Kết luận: ABCD nội tiếp ⇔ M A.M B = M C.M D. Mở rộng bổ đề 1. C B A D O E "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 93 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Chứng minh: AB.AC = d2 − R2 Theo bổ đề 1: AB.AC = AD.AE = (d − R)(d + R) = d2 − R2 (d là khoảng cách từ A cho tới O). Bài toán ứng dụng: Chứng minh AB.AC không đổi. 2. Bổ đề 2. Cho đường tròn (O), tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Chứng minh AB 2 = AC.AD. B O A C D ∆ACB ∼ ∆ABD (g - g). Ứng dụng: AB là tiếp tuyến của ∆BCD ⇔ AB 2 = AC.AD ⇔ ∆ACB ∼ ∆ABD (c - g - c). b ⇒ AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD. [ = D. ⇒ ABC Từ bổ đề 1 và bổ đề 2 ta có M A.M B = M C.M D = M T 2 = d2 − R2 . T C D R d M A B Tương tự trường hợp hai dây cung cắt nhau cùng nằm trong một đường tròn cũng xảy ra hai chiều cách chứng minh tương tự các phần trên. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 94 Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Ths: Lê Văn Hưng TS 10 - Hà Nội Q D A M D O A M B C P C B • ACBD nội tiếp ⇔ M A.M B = M C.M D. MA MC = = M A.M B = M C.M D. Chứng minh: ∆M CA ∼ ∆M BD ⇔ MB MD • Vậy ACBD nội tiếp ⇔ P A.P D = P C.P B, QA.QC = QD.QB, M A.M B = M C.M D. 3. Bổ đề 3. A E F B H D C Trong ∆ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. • Chứng minh được các tứ giác loại 1 AF HE, ... và tứ giác loại 2 ABDE, ... nội tiếp. • Chứng minh được H là tâm nội tiếp ∆DEF . • Chứng minh được AF.AB = AH.AD = AE.AC và HA.HD = HE.HB = HC.HF . • Chứng minh được DB.DC = DH.DA ⇔ ∆BDH ∼ ∆ADC quan trọng nhất. 4. Đường tròn Euler "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 95 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội A E F H B C D • Đường tròn đi qua 9 điểm như hình vẽ trên được gọi là đường tròn Euler. Chú ý: Khi đi thi đề chỉ hỏi chứng minh 4 điểm trong 9 điểm cùng thuộc một đường tròn. 5. Điểm đối xứng với trực tâm qua cạnh của tam giác Cho ∆ABC, ba đường cao AD, BE, CF đồng qui tại H. Cách hỏi 1: Kẻ AD cắt (ABC) tại K thì H và K đối xứng nhau qua BC. Cách hỏi 2: Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC thì K ∈ (ABC). A E F H O D B C K Chứng minh: "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 96 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội A 1 E F H O D B 1 2 C K Cách hỏi 1: H và K đối xứng nhau qua BC. c1 = C c2 ⇒ BC là phân giác của HCK mà BC⊥HK. • ∆HCK là ∆ cân. Vì C • ∆BHC = ∆BKC ⇒ (BHC) và (BKC) có bán kính bằng nhau hơn nữa (BHC), (CHA), (AHB), (BKC), (ABC) cũng có bán kính bằng nhau. Cách hỏi 2: Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC thì K ∈ (ABC). + BAC [ = 1800 ⇔ BHC + BAC [ = 1800 ⇔ Ta có K ∈ (ABC) ⇔ ABKC nội tiếp ⇔ BKC + BAC [ = 1800 . EHF 6. Đường thẳng Euler H, G, O Cho ∆ABC, ba đường cao AD, BE, CF đồng qui tại H. Kẻ đường kính AK. Ta chứng minh được BHCK là hình bình hành vì CK//BE, BK//CF . Nối HK cắt BC tại M thì AH = 2OM . 1 AG AG 2 Chứng minh được G là trọng tâm ∆ABC vì OM = AH theo định lí ta-lét =2⇒ = . 2 GM AM 3 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 97 Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Ths: Lê Văn Hưng TS 10 - Hà Nội A E H F G D B O C M K 7. Tính chất phân giác Cho ∆ABC có đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. DB AB EB Ta có = = ⇔ DB.EC = DC.EB. DC AC EC C0 A E B D C Chú ý: Trong ∆ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kẻ EF cắt BC tại I, cắt AD tại K. Thì DK, ID là đường phân giác trong và phân giác ngoài. Khi đó ta có: F K.IE = IF.KE. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 98 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội A K F E H I B C D Ba điều cần chú ý: • Ta có I là tâm nội tiếp ∆ABC. • BI, BK là đường phân giác trong và phân giác ngoài. • IH.AK = AI.HK. B A I O H K C 8. 5 điểm cùng thuộc một đường tròn • A, B, M , O, C cùng thuộc một đường tròn. • BM A = AM C. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 99 Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Ths: Lê Văn Hưng B TS 10 - Hà Nội E M D O A C 9. Định lí ta - lét Cho ∆ABC, M ∈ AB, N ∈ AC và M N//BC. Lấy E thuộc cạnh BC, AE cắt M N tại D. Ta có E là trung điểm BC ⇔ D là trung điểm MN. A N M D B E C MD AD ND = = . BE AE EC 10. Khoảng cách đến ba cạnh của tam giác • Vẽ M D⊥BC, M E⊥AC, M F ⊥AB. B F O A D M E C "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 100 Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Ths: Lê Văn Hưng • M D2 = M E.M F ⇔ TS 10 - Hà Nội MF MD = ⇔ ∆M DE ∼ ∆M F D (g - g) (Dựa vào tứ giác nội tiếp ME MD M DCE và M DBF ). 2 • M E.M Fmax ⇔ M Dmax ⇔ M là điểm chính giữa cung BC. 11. Chứng minh vuông góc A x D E O B C F • AO⊥ED. [ = ACB [ = AED ⇒ ED//Ax ⇒ Ax⊥AO ⇒ Kẻ Ax là tiếp tuyến của đường tròn. Khi đó xAB AO⊥ED . A I O B C M • M B = M C = M I. = BAM + ABI. [ • BIM • Chứng minh (BIC) có tâm thuộc (ABC) chính điểm là M vì M B = M C = M I. [ cắt (O) tại M , trên AM lấy điểm I sao cho M B = M I thì ta chứng • Đường phân giác BAC minh được I là tâm nội tiếp ∆ABC. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 101 Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Ths: Lê Văn Hưng TS 10 - Hà Nội A O B C H M K = OAC. [ • BAH [ và HAO có chung đường phân giác AM . • BAC 12. Độ dài dây và số đo cung O R A √ • AB = R 1 ⇔ √ • AB = R 2 ⇔ √ • AB = R 3 ⇔ √ • AB = R 4 ⇔ H B d = 600 . sđAB d = 900 . sđAB d = 1200 . sđAB d = 1800 . sđAB Chú ý: OA = 2R "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 102 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội B R 2R A O C Cho OA = 2R thì ta được. [ = • ∆ABC là tam giác đều (vì sinBAO R 1 [ = 300 ). = ⇒ BAO 2R 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 103 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội F. KĨ THUẬT PHƯƠNG PHÁP TƯ DUY HÌNH HỌC CỰC HAY!!! Dạng 1. Chứng minh tích, tỉ số, tam giác đồng dạng. AE AC = ⇔ ∆ACF ∼ ∆AEC. Tư duy 1: AE.AF = AC 2 ⇔ AF AC AC AE Tư duy 2: AE.AF = AC 2 ⇔ = ⇔ AE.AF = AC 2 = CM.CN ⇔ ∆ACM ∼ ∆AN C. AF AC Khi đó sẽ xuất hiện dạng ∆1 ∼ ∆3 và ∆2 ∼ ∆3 ⇒ ∆1 ∼ ∆3 . Dạng 2. BM.BI + CM.CA = AB 2 + AC 2 (∗) Tư duy 1: BM.BI = AB 2 (1) và CM.CA = AC 2 (2) Cộng vế với vế của (1) với (2) ⇒ (∗) (Nếu thế thì AB, AC phải là cạnh chung của 1 cặp tam giác đồng dạng). 2 2 2 2  Tư duy 2: AB + AC = BC nên (∗) ⇔ BM.BI + CM.CA = BC . Khi đó khả năng  BM.BI = k.BC 2 (với 0 < k < 1) CM.CA = (1 − k)BC 2 Khi đó cộng vế với vế ⇒ (∗). Thì BC phải là cạnh chung của một cặp tam giác đồng dạng. Tư duy 3: BN + N C = BC nên (∗) ⇔ BM.BI + CM.CA = BC.(BN + N C) = BC.BN + BC.N C. Khi xuất hiện hai cặp tam giác đồng dạng. Dạng 3. Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta thường chứng minh 3 đường thẳng ấy hoặc là 3 đường cao hoặc là 3 đường trung tuyến hoặc là 3 đường phân giác của một tam giác. Dạng 4. Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng được chứng minh một trong ba điều tương đương sau: • AB + BC = AC (khi đó BC thuộc đoạn thẳng AC). [ = 1800 . • Một trong ba điểm ấy là đỉnh một góc bằng 1800 chẳng hạn như ABC • Một trong ba điểm ấy là điểm chung của hai đoạn thẳng song song chẳng hạn AB//BC. • Một trong ba điểm ấy là điểm chung của hai đoạn thẳng cùng tạo với đường thẳng ∆ có sẵn một góc bằng nhau chẳng hạn (AB; ∆) = (AC; ∆). Dạng 5. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích M I.M K.M P đạt giá trị lớn nhất. Tư duy: M I.M K.M P = M P 3 ⇔ M I.M K = M P 2 thì thường M P là cạnh chung của hai tam giác ∆M P I và ∆M P K. Dạng 6. Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆AEF luôn thuộc một đường thẳng cố định. Nếu (∆) là đường thẳng cố định chứa tâm của đường tròn biến thiên có các đặc điểm sau: Tư duy 1: Nếu đường tròn có hai điểm cố định thì (∆) là trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm cố định ấy. Tư duy 2: Nếu đường tròn có một điểm cố định thì (∆) là đường thẳng đi qua điểm đó và • hoặc là (∆)⊥(∆0 ). • hoặc là (∆)//(∆0 ). "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 104 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội • hoặc là (∆) tạo với (∆0 ) một góc không đổi (trong đó (∆) là một đường thẳng cố định có sẵn). √ √ √ Dạng 7. Chứng minh S1 + S2 = S ta có các cách sau: √ √ √ Tư duy 1: S1 + S2 = S ⇔ h1 + h2 = h với h1 , h2 , h3 là các đường cao tương ứng. √ √ √ Tư duy 2: S1 + S2 = S ⇔ a1 + a2 = a với a1 , a2 , a là các cạnh ứng với đường cao tương ứng. √ √ √ Tư duy 3: S1 + S2 = S ⇔ r r S1 S2 + = 1. Thường đẳng thức về tỷ số diện tích tam S S giác là đẳng thức về tỉ số các cạnh tương ứng trong các cặp tam giác đồng dạng. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 105 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội G. MỘT SỐ CÂU HÌNH TRONG ĐỀ TUYỂN SINH HÀ NỘI Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2011 - 2012) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 , d2 lần lượt tại M, N . 1) Chứng minh AM EI là tứ giác nội tiếp. [I = EBI [ và góc M 2) Chứng minh góc EN IN = 900 . 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI. 4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác M IN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2012 - 2013) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB. 1)Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp. = ACK. 2) Chứng minh ACM 3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM . Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C. 4) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho AP.M B = R. Chứng minh đường hai điểm P , C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và MA thẳng P B đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2013 - 2014) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (O) (M , N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O). 1) Chứng minh tứ giác AM ON nội tiếp. 2) Chứng minh AN 2 = AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm. 3) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng N I cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T . Chứng minh M T //AC. 4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2014 - 2015) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính M N của đường tròn (O; R) "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 106 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt các đường thẳng AM , AN lần lượt tại các điểm Q, P . 1) Chứng minh tứ giác AM BN là hình chữ nhật. 2) Chứng minh bốn điểm M , N , P , Q cùng thuộc một đường tròn. 3) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt P Q tại điểm F . Chứng minh F là trung điểm của BP và M E//N F . 4) Khi đường kính M N quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính M N để tứ giác M N P Q có diện tích nhỏ nhất. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2015 - 2016) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính M N của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt các đường thẳng AM , AN lần lượt tại các điểm Q, P . 1) Chứng minh tứ giác AM BN là hình chữ nhật. 2) Chứng minh bốn điểm M , N , P , Q cùng thuộc một đường tròn. 3) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt P Q tại điểm F . Chứng minh F là trung điểm của BP và M E//N F . 4) Khi đường kính M N quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính M N để tứ giác M N P Q có diện tích nhỏ nhất. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2016 - 2017) Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (với B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn thẳng CO lây điểm I (I 6= C, I 6= O). Đường thẳng AI cắt (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm của DE. 1) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn. BD AB = . 2) Chứng minh AE BE 3) Đường thẳng d đi qua E song song với AO, d cắt BC tại điểm K. Chứng minh HK//DC. 4) Tia CD cắt AO tại điểm P , tia EO cắt BP tại F . Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2017 - 2018) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây M N cắt cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K. 1. Chứng minh bốn điểm C, N , K, I cùng thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh N B 2 = N K.N M . 3. Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi. 4. Gọi P , Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác M BK, tam giác M CK và E là trung điểm của đoạn P Q. Vẽ đường kính N D của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm D, E, K "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 107 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội thẳng hàng. Hướng dẫn 1. Chứng minh bốn điểm C, N , K, I cùng thuộc một đường tròn. A M O H I B C K N d = BM d (M là điểm nằm chính giữa AB) d Xét (O) có AM (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) ⇒ AN B = BCM [ [ (chứng minh trên) Xét tứ giác CN KI có IN K = ICK Mà C và N là hai đỉnh kề nhau ⇒ tứ giác CN KI là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) Suy ra 4 điểm C, N , K, I cùng thuộc một đường tròn (đpcm). 2. Chứng minh N B 2 = N K.N M . A M O H I B C K N d =N d d Xét (O) có BN C (do N là điểm chính giữa BC) ⇒ BM N =N BC (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) Xét ∆N BK và ∆N M B có: BN M chung, N BK = N M B (chứng minh trên). Suy ra ∆N BK ∼ ∆N M B (g - g) NB NK ⇒ = ⇔ N B 2 = N B.N K (đpcm). NM NB 3. Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 108 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội A M I O H B C K N c [ = IN [ Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác CN KI có IKC C (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IC) d [ = AN Xét đường tròn (O) có ABC C (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC) [ = IKC [ (= AN ⇒ ABC C) Mà hai góc này ở vị trí đồng vị ⇒ IK//HB (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song) Chứng minh tương tự ta được BK//HI d =N d Xét (O) có BN C (N là điểm chính giữa cung BC) = CAN (2 góc nội tiếp chắn hai cùng bằng nhau) ⇒ BAN [ ⇒ AN là phân giác của góc BAC. [ Chứng minh tương tự ta được CM là phân giác của góc ACB. Mà AN ∩ CM = {I}} là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC [ ⇒ BI là phân giác của góc ABC Xét tứ giác BHIK có HI//BK, BH//KI nên tứ giác BHIK là hình bình hành Suy ra tứ giác BHIK là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi). Mà BI là phân giác HBK 4. Gọi P , Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác M BK, tam giác M CK và E là trung điểm của đoạn P Q. Vẽ đường kính N D của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng. D A Q M P I O H B E C K N Do N BK = BM K ⇒ BN là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆BM K Ta có BD⊥BN (N BD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 109 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ⇒ B ∈ BD và trung trực BK Chứng minh tương tự ta được Q ∈ CD và trung trực KC Ta chứng minh được ∆BP K, ∆QKC, ∆BDC cân ⇒P BK = P KB = QCK (hai góc đồng vị) P BK = QKC ⇒ QK//DP (hai góc đồng vị) P KB = DCK ⇒ QK//DP Suy ra tứ giác DQKH là hình bình bành ⇒ P Q cắt DK tại trung điểm của mỗi đường Mà E là trung điểm P Q ⇒ E là trung điểm của DK Vậy D, E, K thẳng hàng. Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2018 - 2019) Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC và SD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. 1. Chứng minh năm điểm điểm C, D, H, O, S cùng thuộc một đường tròn đường kính SO. [ 2. Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo CSD. 3. Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC. 4. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định. Ví dụ: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB cố định, dây CD di động vuông góc với AB tại H nằm giữa A và O, lấy điểm F thuộc cung AC nhỏ, DF cắt dây CD tại E, AF cắt tia DC tại I, 1. Chứng minh rằng các điểm A, H, E, F cùng thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh rằng: HA.HB = HE.HI. 3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác IF E cắt AE tại M . Chứng minh M thuộc đường tròn (O; R). 4. Tìm vị trí điểm H trên OA để chu vi tam giác OHD lớn nhất. Ví dụ: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy điểm M bất kỳ, vẽ M I vuông góc với AB, M K vuông góc với AC (∈ AB, K ∈ AC). "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 110 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội 1. Chứng minh rằng các điểm A, I, M , K cùng thuộc một đường tròn. 2. Vẽ M P vuông góc với BC (P ∈ BC). Chứng minh rằng: M PK = M BC. 3. Chứng minh M I.M K = M P 2 . 4. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích M I.M K.M P đạt giá trị lớn nhất. Ví dụ: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy điểm I thuộc dây BC sao cho IB < IC. Kẻ đường thẳng d vuông góc với OI tại I, đường thẳng d cắt các tia AB, AC lần lượt tại E và F . 1) Chứng minh các tứ giác OIBE, OIF C là các tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh: ∆OEF là tam giác cân. 3) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA, nó cắt tia AB, AC lần lượt tại P và Q. Tìm vị trí của A để diện tích ∆AP Q nhỏ nhất. H. CÁC BÀI HÌNH HỌC ĐỂ LUYỆN TẬP PHẢN XẠ THEO MÔ HÌNH Ví dụ: Cho đường tròn (O; R) đường kính BC, A là điểm nằm trên tia đối của tia BC. Vẽ tiếp tuyến AD (D là tiếp điểm) và dây DE song song với BC, M là giao điểm của AE với đường tròn 1 1 1 + = . (Gợi ý Chứng minh (O; R), N là điểm chính giữa của AB và DM . Chứng minh: AB AC AN AN 2 = N M.N D = N B.N C.) Ví dụ: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) dựng các tiếp tuyến M A, M B và cát tuyến M CD với đường tròn (A, B là các tiếp điểm, M C < M D). Gọi E là trung điểm của CD. 1) Chứng minh 5 điểm M, A, E, O, B cùng thuộc đường tròn. 2) Chứng minh: M C.M D = M B 2 . 3) Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA, nó cắt AB tại F . Chứng minh tứ giác BCF E là tứ giác nội tiếp. 1 1 2 + = . (Gợi ý: Chứng minh MC MD MH M A2 = M H.M E và M A2 = M D.M C ⇒ M H.M E = M C.M D ⇔ 2M H.M E = 2M C.M D ⇔ 4) Gọi H là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: M H.(M E + ED + M E − EC) = 2M C.M D ⇔ M H.(M D + M C) = M C.M D). Ví dụ: Cho đường tròn (O; R) với dây AB < 2R cố định. Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn, M và N lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ AC. Gọi I là giao của BN và CM . Dây M N cắt AB và AC lần lượt tại H và K. Chứng minh rằng: 1) Tứ giác BM HI nội tiếp. 2) N I.N B = N H.N M . 3) KH là phân giác của góc AKI, IA là phân giác cuả KIH. 4) Khi điểm C di động trên cung lớn AB và thỏa mãn điều kiện đề bài thì tổng 2 bán kính của 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác N AH và N BH có giá trị không đổi. Ví dụ: Cho đường tròn (O) có BC là dây cung cố định nhỏ hơn đường kính, A là điểm di động trên cung lớn BC (A không trùng B và C). Gọi AD, BE, CF là các đường cao của ∆ABC, EF cắt "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 111 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội BC tại M . Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB tại P và cắt AC tại Q. 1) Chứng minh tứ giác BP CQ nội tiếp. 2) Chứng minh tam giác DF P cân tại D. 3) Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M F.M E = M D.M N . 4) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác M P Q luôn đi qua một điểm cố định khi A di động trên cung lớn BC. Ví dụ: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ các tiếp tuyến M A, M B với (O) (A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến M CD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D), OM cắt AB và (O) lần lượt tại H và I. Chứng minh: 1) Chứng minh tứ giác M AOB nội tiếp và đường tròn này đi qua trung điểm E của CD. 2) Chứng minh: OH.OM + M C.M D = M O2 . 3) Chứng minh CI là phân giác góc M CH. 4) Cho các điểm M , C, D cố định, đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn qua C, D. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OHE luôn đi qua một điểm cố định. Ví dụ: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF của nửa đường tròn (O) (với F là tiếp điểm), tia AF cắt tiếp tuyến Bx của nửa đường 4R . tròn tại D. Cho biết AF = 3 1) Chứng minh tứ giác OBDF nội tiếp. Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBDF . 2) Tính côsin góc DAB. BD DM 3) Kẻ OM ⊥BC (M ∈ AD). Chứng minh − =1 DM AM 4) Tính diện tích phần hình tứ giác OBDM ở bên ngoài nửa đường tròn (O) theo R. Ví dụ: Cho tam giác ABC có hai đường cao BE, CF , cắt nhau tại H. Gọi E 0 là điểm đối xứng H qua AC, F 0 là điểm đối xứng H qua AB. Chứng minh: 1) Tứ giác BCE 0 F 0 nội tiếp đường tròn (O) 2) Tứ giác AE 0 CF 0 nội tiếp. Từ đó suy ra A nằm trên (O). 3) AO⊥EF . 4) Khi A chạy trên (O) thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi. Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AM = 2R. 1) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành. 2) Gọi N là điểm đối xứng của M qua AB. Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp được trong một đường tròn. 3) Gọi E là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng. √ 4) Giả sử AB = R 3. Tính diện tích phần chung của đưòng tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN . "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 112 Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Ths: Lê Văn Hưng TS 10 - Hà Nội CHỦ ĐỀ V: BÀI TOÁN MIN - MAX, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC A. LÝ THUYẾT 1. Bất đẳng thức Cô - si • Bất đẳng thức Cô - si cho hai số a, b không âm ta có: √ a + b ≥ 2 ab Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b. Chú ý: Với hai số a, b bất kỳ ta luôn có: a2 + b2 ≥ 2ab Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b. • Bất đẳng thức Cô - si cho ba số a, b và c không âm ta có: √ a + b + c ≥ 3 3 abc Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b = c. Chú ý: Đây là bất đẳng thức nằm ngoài chương trình, SGK hiện hành nếu muốn áp dụng học sinh cần chứng minh trước khi hoặc sau khi sử dụng như một bổ đề. 2. Một số bổ đề thường dùng khác Bổ đề 1. Với mọi số thực a, b ta luôn có. +) (a + b)2 ≥ 4ab +) a2 + b2 ≥ (a + b)2 2 Dấu ” = ” xảy ra a = b. Bổ đề 2. Với mọi số thực a, b, c ta luôn có. (a + b + c)2 +) a + b + c ≥ ≥ ab + bc + ca 3 2 2 2 Dấu ” = ” xảy ra a = b = c. Bổ đề 3. Với mọi số thực dương a, b ta luôn có. 1 1 4 + ≥ a b a+b Dấu ” = ” xảy ra a = b. Bổ đề 4. Với mọi số thực không âm a, b ta luôn có. √ a+b≤ √ a+ p √ b ≤ 2(a + b) "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 113 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Dấu ” = ” xảy ra a = b. Bổ đề 5. Với ba số thực không âm a, b và c ta luôn có. √ a+b+c≤ p √ √ √ a + b + c ≤ 3(a + b + c) Dấu ” = ” xảy ra a = b = c. Chú ý: Với mỗi bất đẳng thức trên, ta cần nhớ và vận dụng linh hoạt cả hai chiều xuôi và chiều ngược của nó. 3. Giải phương trình chứa căn thức PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số. Cách 2: Đặt ẩn phụ. Cách 3: Đánh giá. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MIN -MAX Dạng 1: Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô - si. Phương pháp: Dự đoán trước dấu bằng (tức điểm rơi) của bài toán, từ đó điều chỉnh hệ số để đảm bảo việc dấu bằng luôn xảy ra. Ví dụ: Cho các số x ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức 2 A=x+ . x Ví dụ: Cho các số x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức xy x y xy x y . b) B = + + 2 . a) A = + + 2 2 y x x +y y x x + xy + y 2 (x − y)2 6xy (x + y + 1)2 xy + x + y c) C = + . d) D = + . 2 xy (x + y) xy + x + y (x + y + 1)2 Hướng dẫn a) Ta có A = A=t+ x2 + y 2 xy x2 + y 2 + 2 . Đặt t = ≥ 2 (cô si). xy x + y2 xy 1 với t ≥ 2. t  nt = 1 1 t. Dự đoán Amin đạt được tại t = 2. Ta có B = nt + + x − nt. Dấu ” = ” xảy ra khi  t=2 t r   3t t 1 4 1 t 1 Do đó ta có A = + + . Áp dụng bất đẳng thức Cô – si + ≥ 2 . = 1. 4 4 t t t 4 t t 1 Dấu ” = ” xảy ra ⇔ = ⇔ t = 2 (vì t ≥ 2). 4 t 5 Vậy Amin = ⇔ t = 2 ⇔ x = y. 2 Ví dụ: Cho các số x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 114 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H 2xy x y + + 2 . y x x + y2 (x − y)2 4xy c) C = + . xy (x + y)2 a) A = TS 10 – Hà Nội xy x y + + 2 . y x x − xy + y 2 xy + 2(x + y) (x + y + 2)2 + d) D = . xy + 2(x + y) (x + y + 2)2 b) B = Hướng dẫn a) Ta có A = 2xy x2 + y 2 x2 + y 2 + 2 ≥ 2 (cô si). . Đặt t = xy x + y2 xy 2 với t ≥ 2. t   2 t t 2 Từ A = t + = + + ≥ 3. t 2 2 t Vậy Amin = 3 ⇔ t = 2 ⇔ x = y. A=t+ Ví dụ: Cho các số x, y > 0 thỏa mãn x + y ≤1. Tìmgiá  trị nhỏ  nhất của các biểu thức 1 1 1 1 b) B = x + y+ . a) A = x + y + + . x y x y  2  2 1 1 1 1 2 2 c) C = x + y + 2 + 2 . d) D = x + + y+ . x y x y Hướng dẫn   1 1 a) Ta có A = 4x + + 4y + − 3(x + y) ≥ 5. x y 1 Vậy Amin = 5 ⇔ x = y = . 2 Ví dụ: Cho các số x, y > 0 thỏa mãn x + y ≤2. Tìmgiá  trị nhỏ  nhất của các biểu thức 2 2 2 2 a) A = x + y + + . b) B = x + y+ . x y x y  2  2 4 2 4 2 2 2 c) C = x + y + 2 + 2 . + y+ . d) D = x + x y x y   Hướng dẫn   2 2 a) Ta có A = 2x + + 2y + − (x + y) ≥ 6. x y Vậy Amin = 6 ⇔ x = y = 1.   Ví dụ: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh: √ √ √ √ a) x + y + z ≤ 3; √ √ √ b) x + 2y + y + 2z + z + 2x ≤ 3; √ √ √ √ c) 3 xy + 3 yz + 3 zx ≤ 3 3; √ √ √ √ d) 3 x + 3 y + 3 z ≤ 3 9; √ √ √ √ e) 3 x + y + 3 y + z + 3 z + x ≤ 3 18. Hướng dẫn √ √ 3x 1 a) Ta có x = √ ≥ √ (3x + 1). 3 2 3 √ 1 1 √ Tương tự y =≥ √ (3y + 1); z =≥ √ (3z + 1). 2 3 2 3 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 115 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội √ √ √ 1 √ x + y + z ≤ 3. Dấu ” = ” xả ra ⇔ x = y = z = . 3 1 Vậy Amin = 5 ⇔ t = 2 ⇔ x = y = . 2 p x + 2y + 1 b) Áp dụng cô si ta có: (x + 2y).1 ≤ . 2 p y + 2z + 1 p z + 2x + 1 Tương tự (y + 2z).1 ≤ ; (z + 2x).1 ≤ 2 2 √ √ √ 3(x + y + z) + 3 1 = 3. Dấu ” = ” xảy ra ⇔ x = y = z = . Vậy x + 2y + y + 2z + z + 2x ≤ 2 3 √ 3 3x.3y.1 3x + 3y + 1 √ √ √ c) Ta có 3 xy = . 3 3 9 3 9 √ √ Tương tự 3 yz; 3 zx. √ √ 1 √ √ Vậy 3 xy + 3 yz + 3 zx ≤ 3 3. Dấu ” = ” xảy ra ⇔ x = y = z = . 3 Ví dụ: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh: √ √ √ √ a) x + y + z ≤ 3; √ √ √ √ b) x + 2y + y + 2z + z + 2x ≤ 3 3; √ √ √ c) 3 xy + 3 yz + 3 zx ≤ 3; √ √ √ d) 3 x + 3 y + 3 z ≤ 3; √ √ √ √ e) 3 x + y + 3 y + z + 3 z + x ≤ 3 3 2. Do đó Dạng 2: Kĩ thuật khai thác giả thiết. Phương pháp: Sử dụng những phép biến đổi tương đương (ẩn phụ, tách phép chia, chia…), hoặc sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức. √ √ Ví dụ: Cho các số x, y và thỏa mãn x + 2 − y 3 = y + 2 − x3 . a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 + 7 y 2 + 7 + . ii) B = y+3 x+3 x y b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = 2 + 2 . x +4 y +4 i) A = x2 + 2xy − 2y 2 + 2y + 10 Hướng dẫn Điều kiện: x ≥ −2, y ≥ −2. Trục căn thức ở mẫu ta  có  x−y 1 2 2 2 2 √ + (x − y)(x + xy + y ) ⇔ (x − y) √ + (x + xy + y ) = 0 √ √ x+2+ y+2 x+2+ y+2 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y. 1 Vì √ + (x2 + xy + y 2 ) > 0, ∀x, y ≥ −2. √ x+2+ y+2 a) i) Ta có A = x2 + 2x + 10 = (x + 1)2 + 9 ≥ 9, ∀x ≥ −2. Vậy Amin = 9 ⇔ x = y = −1.  2(x2 + 7 16 ii) B = =2 x+3+ − 6 ≥ 4. Dấu ” = ” xảy ra ⇔ (x + 3)2 = 16 ⇔ x = 1 x+3 x+3 ⇒ y = 1. Vậy Bmin = 4 ⇔ x = y = 1. 2x b) C = 2 . x +4 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 116 Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Ths: Lê Văn Hưng TS 10 – Hà Nội x2 + 4 x 2 1 = = + . C 2x 2 x 1 1 ≥2⇔0 0 ⇒ C 2 1 1 Nếu −2 < x < 0 ⇒ ≤ 2 ⇔ − ≤ x < 0. C 2 1 1 Vậy Cmax = ⇔ x = y = 2 , Cmin = − ⇔ x = y = −2. 2 √2 √ Ví dụ: Cho các số x, y thỏa mãn x + 2 − y 3 = y + 2 − x3 . Xét a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 + 5 y 2 + 5 + . ii) B = y+2 x+2 x y b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = 2 + 2 . x +9 y +9 Ví dụ: Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn 2(x + y + z) + xy + yz + zx = 9xyz. Chứng minh: 1 1 1 + 2 + 2 ≥ 3. 2 x y z Ví dụ: Cho các số x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1 thỏa mãn x + y + z = 4. Tìm giá trị lớn nhất và i) A = x2 − xy + y 2 + 2x + 2018 giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y 2 + z 2 . √ √ Ví dụ: Cho số thực x, y thỏa mãn x − x + 1 = y + 1 − y. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 2017. Ví dụ: Cho các số thực x > 0, y > 0 thỏa mãn xy + 4 ≤ 2y. x2 + 2y 2 a) Tìm giá trị nhỏ nhất A = . xy b) Tìm trị lớn nhất của biểu thức: xy xy C = . i) B = 2 x + 2y 2 (x + y)2 Ví dụ: Cho các số thực x > 0, y > 0 thỏa mãn xy + 9 ≤ 3x. x2 + y 2 a) Tìm giá trị nhỏ nhất A = . xy b) Tìm trị lớn nhất của biểu thức: xy xy i) B = 2 C= . 2 x +y (x + 4y)2 Dạng 3: Kĩ thuật “Cô – si ngược dấu”. Phương pháp: Sử dụng những phép biến đổi tương đương (như thêm bớt hoặc tách ghép…) để đưa bài toán từ “trạng thái ngược dấu” về “trạng thái xuôi dấu”. Ví dụ: Cho các số a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh: a3 b3 c3 3 a b c 3 a) 2 + + ≥ . b) + + ≥ . 2 2 2 2 2 2 2 2 a +b b +c c +a 2 1+b 1+c 1+a 2 1 1 1 3 a+1 b+1 c+1 c) 2 + + ≥ . d) + + ≥ 3. a + 1 b2 + 1 c 2 + 1 2 1 + b 2 1 + c 2 1 + a2 a b c 3 e) 3 + 3 + 3 ≥ . b + ab c + bc a + ca 2 Hướng dẫn 3 2 a ab b b3 c c3 a = a − ≥ a − . Tương tự ≥ b − , ≥ c − . a2 + b 2 a2 + b 2 2 b2 + c 2 2 c 2 + a2 2 a3 b3 c3 3 a+b+c 3 Do đó 2 + + ≥ ≥ = . Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b = c = 1. 2 2 2 2 2 a +b b +c c +a 2 2 2 a) Ta có “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 117 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội b c a ab2 ab bc ca = a − ≥ a − . Tương tự ≥b− , ≥c− . 2 2 2 2 1+b 1+b 2 1+c 2 1+a 2 3 (a + b + c)2 ab + bc + ca ≥ . Do ab + bc + ca ≤ = 3. VT =a+b+c− 2 2 2 Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b = c = 1. a2 a 1 b 1 c 1 =1− 2 ≥ 1 − . Tương tự 2 ≥1− , 2 ≥1− . c) Ta có 2 a +1 a +1 2 b +1 2 c +1 2 a+b+c 3 VT ≥3− = . Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b = c = 1. 2 2 a+1 (a + 1)b2 (a + 1)b d) Ta có 2 =a+1− 2 ≥a+1− . b +1 b +1 2 b+1 (b + 1)c c + 1 (c + 1)a Tương tự 2 ≥b+1− , 2 ≥c+1− . c +1 2 a +1 2 a + b + c ab + bc + ca VT ≥3+ − = 3. 2 2 2 (a + b + c) Vì ab + bc + ca ≤ = a + b + c = 3. 3 Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b = c = 1. a 1 b 1 1 p = − ≥ − e) Ta có 3 √ . b + ab b a + b2 b 2 a b 1 1 c 1 1 Tương tự 3 ≥ − √ , 3 ≥ − √ . c + bc c 2 b a + ca a 2 c 1 1 1 1 1 1 VT ≥ + + − − p√ − p√ . a b c 2a 2 c b 2 1 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức cô si p√ ≤ + và ≥ 2 − a. 4a 4 a 2 a 1 1 1 1 1 3a 1 3 1 5 3a Do đó − ≥ − − = − ≥ (2 − a) − = − . a 2a a 4a 4 4 4 4 4 4 4 15 3 3 Suy ra V T ≥ − (a + b + c) = . 4 4 2 Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b = c = 1. b) Ta có Ví dụ: Cho các số a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh: b3 c3 1 a b c 1 a3 + + ≥ . b) + + ≥ . a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a +b b +c c +a 2 1 + 9b 1 + 9c 1 + 9a 2 1 1 1 3 a+1 b+1 c+1 c) 2 + + ≥ . d) + + ≥ 2. 9a + 1 9b2 + 1 9c2 + 1 2 1 + 9b2 1 + 9c2 1 + 9a2 Ví dụ: Cho các số dương a, b, c có thỏa mãn a.b.c = 1. Chứng minh: a+b+c≥ a+1 b+1 c+1 + + b+1 c+1 a+1 . Hướng dẫn Ta có a + 1 − a+1 (a + 1)b = . b+1 b+1 (a + 1)b (b + 1)c (b + 1)a + + ≥ 3. b+1 c+1 a+1 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số hạng ở VT với abc = 1. Ta được điều cần chứng minh. Ta đưa bài toán về chứng minh Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b = c = 1. Ví dụ: Cho các số dương a, b, c có thỏa mãn a.b.c = 1. Chứng minh: “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 118 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H a+b+c≥ TS 10 – Hà Nội a+2 b+2 c+2 + + b+2 c+2 a+2 . “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 119 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Dạng 1: Sử dụng biến đổi đại số. Phương pháp: • Thêm bớt hạng tử. • Nâng lên lũy thừa cả hai vế. • Phép nhân liên hợp. … Từ đó các phép biến đổi đại số đó ta đi giải phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải. Ví s dụ: Giải phương trình r 1 2 2 1 1 2 a) x + x − − x2 − x + = (3×3 − x2 + 6x − 2) (1). 3 9 3 9 3 s r 1 1 1 b) x2 − + x2 + x + = (2×3 + x2 + 2x + 1). 4 4 2 Hướng dẫn 1 a) Điều kiện: V P ≥ 0 ⇔ x ≥ . 3 v s u 2 u 2 1 1 1 t 2 (1) ⇔ x + x − − x− = (3x − 1)(x2 + 2) 3 9 3 3 r 2 1 1 ⇔ x2 − x − = (3x − 1)(x2 + 2) 3 9 3 s 2 1 1 ⇔ x− = (3x − 1)(x2 + 2) 3 3 1 1 ⇔ x − = (3x − 1)(x2 + 2) 3 3 1 ⇔x= .  3 1 Vậy S = . 3 Ví dụ: Giải phương trình √ √ a) 3x + 1 − 6 − x + 3×2 − 14x − 8 = 0 (*). √ b) 3 5x + 2 = x2 + 2. p p √ √ √ c) x + 2x − 5 − 2 + x − 3 2x − 5 + 2 = 2 2. Hướng dẫn 1 a) Điều kiện: − ≤ x ≤ 6. 3   √ √ (∗) ⇔ 3x +1 − 4 + 1 − 6 − x 3×2 − 14x − 5 =0 3 1 ⇔ (x − 5) √ +√ + (3x + 1) = 0 6−x+1 3x + 1 + 4 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 120 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội   3 1 1 +√ + (3x + 1) > 0 Với − ≤ x ≤ 6 thì √ 3 6−x+1 3x + 1 + 4 Vậy S = {5}. Ví dụ: Giải phương trình √ √ a) 3 x2 − 1 + x = x3 − 2. √ b) x2 − 2x + 17 − 5|x − 1| = 4 (**). Hướng dẫn p (x − 1)2 + 16 − 5|x − 1| = 4 √ Sử dụng bất đẳng thức a2 + b2 ≤ |a| + |b| nên p (x − 1)2 + 16 − 5|x − 1| ≤ |x − 1| + 4 = 4 − |x − 1| b) (∗∗) ⇔ Do đó 4 ≤ 4 − 4|x − 1| ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 Vậy S = {1}. Dạng 2: Đặt ẩn phụ. Phương pháp: Đặt một ẩn, hai hoặc ba biểu thức phực tạp bằng ẩn mới (gọi là ẩn phụ) và giải phương trình thu được sau đó tìm nghiệm. Loại 1: Sử dụng một ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình √ √ √ a) x4 + x2 + 1 + 3(x2 + 1) = 3 3x. √ √ b) 2×2 + 1 − x + 2x 1 − x2 = 1. Hướng dẫn a) Với x = 0 không là nghiệm của phương trình trên. Với x 6= 0 ta chia haivế củaphương trình cho x ta được r √ √ 1 1 1 x2 + 2 + 1 + 3 x + = 3 3. Đặt t = x + ≥ 2 (cô si). x x x  √ √ t≤3 Phương trình trở thành: t2 − 1 = 3(3 − t) ⇔ ⇔ t = 2 (thỏa mãn). t2 − 9t + 14 = 0 1 Với t = 2 ⇔ x + = 2 ⇔ x = 1. x Vậy S = {1}. Loại 2: Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình √ √ a) 4×2 + 5x + 1 − 2 x2 − x + 1 = 9x − 3. √ √ b) x2 + 3 + 10 − x2 = 5. Hướng dẫn “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 121 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội √  4×2 + 5x + 1 = a . Điều kiện: a > 0, b > 0. a) Đặt √  2 x2 − x + 1 = b 2 2 Phương trình trên trở   thành: a − b = a − b ⇔ (a − b)(a + b − 1) = 0 a=b 4×2 + 5x + 1 = 4×2 − 4x + 1 ⇔ ⇔ √ √ 4×2 + 5x + 1 + 2 x2 − x + 1 = 1 a+b=1  1 x= ⇔ √ 3 √ 4×2 + 5x + 1 = 1 − 2 x2 − x + 1 vô nghiệm   1 . Vậy S = 3 Loại 3: Sử dụng cả ẩn phụ và ẩn chính để đưa về hệ phương trình đối xứng Ví dụ: Giải phương trình √ a) x3 + 1 = 2 2x + 1. √ b) x3 − 3 3 3x + 2 = 2. Hướng dẫn √ √ a) Phương trình ⇔ x3 + 2x = 2x − 1 + 2 3 2x − 1. Đặt t = 3 2x − 1. Ta được x3 + 2x = t3 + 2t ⇔ (x − t)(x2 + xt + t2 ) + 2(x − t) = 0 ⇔ (x − t)(x2 + xt + t2 + 2) = 0  2 t 3t2 2 2 + + 2 > 0. Vì x + xt + t + 2 = x + 2 4  x=1 √   −1 + 5 x = 1 x= Nên x = t ⇔ (x − 1)(x2 + x − 1) = 0 ⇔  ⇔ .  2√ x2 + x − 1 = 0  −1 − 5 x= 2 ( √ ) √ −1 + 5 −1 − 5 ; . Vậy S = 1; 2 2  Loại 4: Sử dụng cả ẩn phụ và ẩn chính để đưa về phương trình bậc hai một ẩn Ví dụ: Giải phương trình √ a) 2×2 + 3x + 7 = (x + 5) 2×2 + 1 √ b) x2 + 3x + 5 = (x + 3) x2 + 5  √  √ c) x+1+1 x + 1 + 2x − 5 = x. Hướng dẫn √ √ a) Phương trình 2×2 + 1 − (x + 5) 2×2 + 1 + 3x + 6 = 0. Đặt t = 2 x2 + 1 (t > 1). Phương trình trở thành: t2 − (x + 5)t + 3x + 6 = 0. ∆ = [−(x + 5)]2 − 4(3x + 6) = (x − 1)2 ≥ 0 ∀x. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 122 Ths: Lê Văn Hưng  Do đó  t=3 Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội . t=x+2 Với t = 3 ⇔ x = ±2. Với t = x + 2 ⇔ x = 2 ± √  Vậy S = ±2; 2 ± 7 . p√ 7. Dạng 3: Đánh giá.   f (x) ≥ m f (x) = m Phương pháp: Phương trình f (x) = g(x) nếu luôn có ⇔ .  g(x) ≤ m  g(x) = m Ví dụ: Giải phương trình. √ √ 2 + 6x + 7 + a) 3x 5×2 + 10x + 14 = 4 − 2x − x2 . √ √ √ 2 2 b) √ + x = x + 9. x+1 √ √ c) 13 x2 − x4 + 9 x2 + x4 = 16. Hướng dẫn p p 2+4+ 3(x + 1) 5(x + 1)2 + 9 = 5 − (x + 1)2 a) Phương trình ⇔  V T ≥ 5 Ta có: ⇔ V T = V P = 5. V P ≤ 5 Dấu ” = ”(xả ra √ ⇔ x)+ 1 = 0 ⇔ x = −1. 21 + 41 Vậy S = . 2 b) Điều kiện: x ≥ 0. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2 )(x2 + y 2 ). b a Dấu ” = ” xảy ra khi = . x y !2 ” √  √ 2 #  √ 2  √ 2 2 1 x √ + x ≤ (2 2) + x + 1 + √ = x + 9. x+1 x+1 x+1 √ 2 2 1 1 =√ ⇔x= . Dấu ” = ” xảy ra ⇔ √ 7 x+1 x+1   1 Vậy S = . 7 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 123 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội C. LUYỆN TẬP SÂU VÀ CÓ CHỦ ĐÍCH Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2018 – 2019) √ √ √ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 − x + 1 + x + 2 x Hướng dẫn Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 1. √ √ √ Với a, b ≥ 0 ta có: ( a + b)2 = a + 2 ab + b ≥ a + b √ √ √ ⇒ a + b ≥ a + b. Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0. √ √ √ √ √ √ Áp dụng vào bài toán ta có: 1 − x + x ≥ 1 − x + x = 1, 1 + x + x ≥ 1 + 0 = 1 ⇒ P ≥ 1 + 1 = 2. Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2 khi x = 0. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017 – 2018) Cho các số a, b, c thỏa mãn a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1 và ab + bc + ca = 9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2 Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có √ a2 + b2 ≥ 2 a2 b2 = 2ab √ b2 + c2 ≥ 2 b2 c2 = 2bc √ c2 + a2 ≥ 2 c2 a2 = 2ca ⇒ 2(a2 + b2 + c2 ) ≥ 2(ab + bc + ca) ⇒P ≥9 Vậy M inP = 9 ⇔              a2 = b 2 b2 = c 2 c 2 = a2 ⇔a=b=c= √ 3. ab + bc + ca = 9 Ta có a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1nên      (a − 1)(b − 1) ≥ 0 ab − a − b + 1 ≥ 0 (b − 1)(c − 1) ≥ 0 ⇔    bc − b − c + 1 ≥ 0 ⇒ ab + bc + ca − 2(a + b + c) + 3 ≥ 0    (c − 1)(a − 1) ≥ 0 ca − c − a + 1 ≥ 0 ab + bc + ca + 3 ⇔ a+b+c≤ ⇔ (a + b + c)2 ≤ 36 vì a + b + c ≥ 3 2 ⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ≤ 36 ⇔ a2 + b2 + c2 ≤ 36 − 2(ab + bc + ca) ⇔ P ≤ 18 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 124 Ths: Lê Văn Hưng Vậy M axP = 18 ⇔ Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H   (a − 1)(b − 1) ≥ 0      (b − 1)(c − 1) ≥ 0  (c − 1)(a − 1) ≥ 0      a2 + b2 + c2 = 18 √ 3. Vậy M inP = 9 ⇔ a = b = c =    a = b = 1, c = 4 M axP = 18 ⇔ ⇔ TS 10 – Hà Nội    a = b = 1, c = 4 a = 4, b = c = 1    a = c = 1, b = 4 a = 4, b = c = 1    a = c = 1, b = 4 Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2016 – 2017) √ √ Với các số thực x, y thỏa mãn x − x + 6 = y + 6 − y. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2015 – 2016) Với các số thực a, b thỏa mãn a2 + b2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = ab . a+b+2 Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2014 – 2015) Với a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √ √ Q = 2a + bc + 2b + ac + 2c + ab. Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2013 – 2014) Với a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ca = 6abc. Chứng minh 1 1 1 + 2 + 2 ≥ 3. 2 a b c Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2012 – 2013) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + y 2 M= . xy Ví dụ: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P = 1 1 + x y  p 1 + x2 y 2 . Hướng dẫn s r   p 1 1 p 2 1 1 15 2 2 2 2 + 1+x y ≥ √ 1+x y =2 + xy = 2 xy + + Ta có P = x y xy xy 16xy 16xy r 1 15 ≥2 + (áp dụng Cô si) 2 4.(4xy) r 1 15 ≥2 + vì (4xy ≤ (x + y)2 ) 2 2 4(x + y) r 1 15 + vì (x + y ≤ 1) ≥ 4 √2 = 17 √ 1 Vậy M inP = 17 ⇔ x = y = . 2  “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 125 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội Ví dụ: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + 2y + 3z ≥ 20 9 4 3 + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + z + + x 2y z Hướng dẫn 9 4 3 3 1 9 1 4 3 + = x+ + y+ + z+ + Ta có A = x + y + z + + x 2y z 4 x 2 2y 4 z Áp dụng Cô si ta có: 3 3 +) x + ≥ 3 4 x 1 9 +) y + ≥3 2 2y 1 4 +) z + ≥ 2 4 z 1 1 3 Và x + y + z = (x + 2y + 3z) ≥ 5 4 2 4 Suy ra A ≥ 13  1 1 3 x+ y+ z 4 2 4  Vậy M inP = 13 ⇔ x = 2, y = 3, z = 4. Ví dụ: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = abc a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 2 + 2 + 2 . a + ab b + ac c + ab Hướng dẫn a b c Ta có A = 2 + 2 + 2 a + ab b + ac c + ab 1 1 1 + = + ac bc ab b+ a+ c+ b a c 1 1 1 ≤ √ + √ + √ 2 bc 2 ac 2 ba 1  ≤  1 1 1 1 1 1 4 + + + + + b c a c b a 1  =  1 1 1 2 + + a b c a b c 2 2 2 Mà + + = 1 nên 2 ≥ + + bc ac ab a b c 1 P ≤ dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3. 2 1 Vậy M inP = ⇔ a = b = c = 3. 2 √ Ví dụ: Cho các số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ 2 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 thức A = + . a b Hướng dẫn Ta có: (a + b)2 − 4ab = (a − b)2 ≥ 0 ⇒ (a + b)2 ≥ 4ab ⇔ (a + b) 4 4 ≥ ⇔A≥ ab (a + b) (a + b) “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 126 Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Ths: Lê Văn Hưng TS 10 – Hà Nội   (a − b)2 = 0 √ √ 4 4 √ ≥ . Dấu ” = ” xảy ra ⇔ Mà a + b ≤ 2 2 ⇒ √ ⇔ a = b = 2. a + b = 2 2 (a + b) 2 2 √ Vậy MinP = 2. √ √ Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 − x x + x + y − y + 1. Hướng dẫn Điều kiện: y ≥ 0.    2 √ √ √ ( y − 1)2 3y y 3 y−1 2 3 √ 1 2 2 √ + − + = x− + y− + ≥ . Ta có: A = x − x( y − 1) + 4 4 2 4 2 4 3 3 3  1  x = − 3 Dấu ” = ” xảy ra ⇔ 1 .   y= 9 2 Vậy MinP = . 3 Ví dụ: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: 2 ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). Hướng dẫn Ta có (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ 0 ⇔ 2 (a2 + b2 + c2 ) ≥ 2 (ab + bc + ca) ⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (1) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có: a2 < a.(b + c) ⇒ a2 < ab + ac. Tương tự: b2 < ab + bc; c2 < ac + bc. Suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. √ Ví dụ: Giải phương trình: 10 x3 + 1 = 3(x2 + 2). Hướng dẫn Điều kiện: x ≥ −1 (1). Đặt a = √ x + 1 và b = √ x2 − x + 1, (a ≥ 0; b ≥ 0) (2) ⇒ a2 + b2 = x2 + 2. Khi đó phương trình đã cho trở thành: 10.ab = 3.(a2 + b2 ) ⇔ (a − 3b)(3a − b) = 0 √ √ • Nếu a = 3b thì từ (2) ⇒ x + 1 = 3 x2 − x + 1 phương trình này vô nghiệm.  x = 5 + √33 √ √ 1 • Nếu b = 3a thì từ (2) ⇒ 3 x + 1 = x2 − x + 1 ⇔ x2 − 10x − 8 = 0 ⇔ √ thỏa mãn x2 = 5 − 33 (1).  x = 5 + √33 1 Vậy phương trình có hai nghiệm là: √ . x2 = 5 − 33  x3 + 1 = 2y Ví dụ: Giải hệ phương trình: . y 3 + 1 = 2x "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 127 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Hướng dẫn Lấy phương trình trên trừ dưới. Ví dụ: Cho các số a, b, c ∈ [0; 1]. Chứng minh rằng: a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ 1. Hướng dẫn Vì b, c ∈ [0; 1] ⇒ a2 ≤ b c3 ≤ c. Do đó a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ a + b + c − ab − bc − ca (1) Mặt khác a + b2 + c3 − ab − bc − ca = (a − 1)(b − 1)(c − 1) − abc + 1 (2) Vì a, b, c ∈ [0; 1] nên a + b2 + c3 − ab − bc − ca = (a − 1)(b − 1)(c − 1) − abc + 1 ≤ 0; −abc ≤ 0 Do đó từ (2) ⇒ a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ 1 (3) Từ (1) và (3) ⇒ a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ 1 1 a+b p ≥ với a, b là các số dương. Ví dụ: Chứng minh rằng: p 2 a(3a + b) + b(3b + a)  p √  Ví dụ: Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: x + x2 + 2011 y + y 2 + 2011 = 2011. Tính: x + y. Ví dụ: Cho x > 0, y > 0 và x + y ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 6 8 3x + 2y + + . x y   x+a+b+c=7 Ví dụ: Các số thực x, a, b, c thay đổi thỏa mãn hệ . Tìm giá trị x2 + a2 + b2 + c2 = 13 lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x. √ Ví dụ: Tìm x, y thoả mãn 5x − 2 x(2 + y) + y 2 + 1 = 0. a b c + + < 2. a+b b+c c+a Ví dụ: Cho x, y là hai số thực thoả mãn: (x + y)2 + 7(x + y) + y 2 + 10 = 0. Tìm giá trị Ví dụ: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 1 < lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 1. x4 + 2x2 + 2 Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = . x2 + 1 Ví dụ: Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân biệt: x3 − 2mx2 + (m2 + 1)x − m = 0. Ví dụ: Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = abc. Tìm giá trị lớn a b c nhất của biểu thức P = 2 + 2 + 2 . a + bc b + ca c + ab Ví dụ: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất a3 + b 3 b 3 + c 3 c 3 + a3 của biểu thức M = 2 + + . a + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a2 Hướng dẫn a3 + b3 a3 b3 a(a2 + b2 ) − ab2 b(a2 + b2 ) − ba2 ab2 ba2 = + = + = a + b − − . a2 + b2 a2 + b 2 a2 + b 2 a2 + b 2 a2 + b 2 a2 + b2 a2 + b2 Áp dụng cô si. b a a+b b3 + c 3 b + c c 3 + a3 c+a 2(a + b + c) ≥a+b− − = . Tương tự 2 ≥ ; 2 ≥ ⇒M ≥ = 6. 2 2 2 2 2 b +c 2 c +a 2 2 Ta có "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 128 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Dấu ” = ” xảy ra khi a = b = c = 2. Ví dụ: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = a + b + c + ab + bc + ca. Hướng dẫn Cách 1: Ta có  2 2   a + b ≥ 2ab b2 + c2 ≥ 2bc ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca = 3.    c2 + a2 ≥ 2ca √ √ √ √ 2 2 Mặt khác a + b + c ≤ 12 + 12 + 12 . a2 +  b + c = 3 3 = 3.  a=b=c    Vậy A ≤ 3 + 3 = 6. Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a2 + b2 + c2 = 3 ⇔ a = b = c = 1.     1=1=1 a b c Vậy giá trị lớn nhất của A = 6 ⇔ a = b = c = 1. Cách 2: a2 + b2 + c2 = 3 ⇔ (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = 3. t2 − 3 . Đặt t = a + b + c, |t| ≤ 3 ⇒ ab + bc + ca = 2 2 t −3 1 1 1 ⇒A=t+ = (t + 1)2 − 2, |t| ≤ 3 ⇔ |t| + 1 ≤ 4 ⇔ (t + 1)2 ≤ 8 ⇔ (t + 1)2 − 2 ≤ 6. 2 2 2 2 Vậy giá trị lớn nhất của A = 6 ⇔ a = b = c = 1. Ví dụ: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất √ √ √ và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3a + 1 + 3b + 1 + 3c + 1. Hướng dẫn √ 3a + 5 1p 1 4 + 3a + 1 • Áp dụng bất đẳng thức cô - si 3a + 1 = = . 4(3a + 1) ≤ . 2 2 2 4 √ 3b + 5 √ 3c + 5 Tương tự: 3b + 1 ≥ , 3c + 1 ≥ . 4 4 3(a + b + c) + 15 Do đó A = = 6. 4 Vậy Amin = 6 ⇔ a = b = c = 1. • Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c. Do a + b + c = 3 nên a ≥ 1. p √  √ Ta có 3b + 1 + 3c + 1 = 3a + 3b + 2 + 2 (3b + 1)(3c + 1) ≥ 3(3 − a) + 4 = 13 − 3a do đó b, c ≥ 0. Khi đó A ≥ p √ √ 3a + 1 + 13 − 3a ⇒ A2 ≥ 14 + 2 (3a + 1)(13 − 3a). Ta chứng minh được (3a + 1)(13 − 3a) ≥ 40 với 1 ≤ a ≤ 3. √ √ ⇒ A2 ≥ 14 + 4 10 ⇒ A ≥ 2 + 10. Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = 3, b = c = 0. √ Vậy Amax = 2 + 10 ⇔ a = 3, b = c = 0. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 129 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội BỘ 10 ĐỀ DO Ths: LÊ VĂN HƯNG BIÊN SOẠN - 2018 ĐỀ 1: Ths: LÊ VĂN HƯNG - 2018 Bài I (2, 0 điểm). √    √ √ 2 x−1 x + 1 2x + 4 x − 5 : 1− √ +√ − Cho biểu thức A = √ x−1 x+1 x−1 x−1 1) Tìm điều kiện xác định của A và rút gọn A. √ 2) Tìm giá trị của x biết A = 1 − x. 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Trong một phòng họp có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 5 người thì 9 người không có chỗ. Nếu xếp ghế 6 người thì thừa 1 ghế. Hỏi trong phòng học có bao nhiêu ghế và có bao nhiêu người dự họp. Bài III (2, 0 điểm).  |x + 2020| + 2√x + y + 2019 = 3 . 1) Giải hệ phương trình 5|x + 2020| − √x + y + 2019 = 4 2) Cho parabol (P ): y = 21 x2 và đường thẳng (d): y = mx + 2. a) Chứng minh (P ) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. b) Giả sử (P ) và (d) cắt nhau tại hai điểm A(x1 ; y1 ) và B(x2 ; y2 ). Tìm m thỏa mãn biểu thức x21 + x22 + y1 + y2 = 4. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H (HB < R). Gọi M là điểm bất kì nằm trên cung nhỏ AC, tia AM cắt đường thẳng CD tại N , M B cắt CD tại E. 1) Chứng minh rằng các tứ giác AM EH và M N BH là các tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh: M N.N A = N C.N D = N E.N H. 3) Nối BN cắt (O) tại K (K 6= B). Đường thẳng KH cắt (O) tại điểm thứ hai là F . Chứng minh ba điểm A, E, K thẳng hàng và ∆AM F cân. 4) Gọi Q là trung điểm của M A, I là hình chiếu của Q trên M C. Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì I luôn thuộc một đường tròn cố định. 5 Bài VI (0, 5 điểm). Cho a, b là các số thực và a + b + ab = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 P = a2 + b 2 . "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 130 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 2: Ths: LÊ VĂN HƯNG - 2018 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ x+4 x x −x − 2 x − 7 √ −√ + với x ≥ 0, x 6= 4. và B = Cho biểu thức A = √ x+2 x−2 x−4 x+2 1) Tính giá trị của B tại |x − 10| = |2x − 14|. 2) Rút gọn biểu thức A. A . B Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = Hai học sinh lớp 9A và 9B có tổng cộng 94 học sinh, biết rằng 25% số học sinh 9A và 20% số học sinh lớp 9B đạt loại giỏi. Tổng số học sinh giỏi của hai lớp là 21. Tính số học sinh của mỗi lớp. Bài III (2, 0 điểm). 1 2 + =3 y x+y 1) Giải hệ phương trình x − . 1 2   − =4 x−y x+y 2) Cho parabol (P ): y = −x2 và đường thẳng (d): y = (m − 1)x − 2.    a) Tìm giá trị của tham số m để d và (P ) tiếp xúc nhau. b) Tìm các giá trị của m để (P ) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB (AC < BC). Trên dây BC lấy điêm H (H khác C và B). AH cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Kẻ HQ vuông góc với AB (với Q thuộc AB). 1) Chứng minh rằng tứ giác BDHQ nội tiếp. 2) Biết CQ cắt (O) tại điểm thứ hai là F . Chứng minh DF//HQ. 3) Chứng minh H cách đều các đường thẳng CD, CQ và DQ. 4) Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của F trên AC và CB. Chứng minh M N , AB, DF đồng quy. Bài VI (0, 5 điểm). Cho các số thực a > 0, b > 0, c > 0 và ab + bc + ca = 3. Tìm giá trị giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a b c + + . 3 3 1 + 2b 1 + 2c 1 + 2a3 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 131 Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Ths: Lê Văn Hưng TS 10 – Hà Nội ĐỀ 3: Ths: LÊ VĂN HƯNG – 2018 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 25 − x x+3 x−5 x−5 x √ −√ +√ với x ≥ 0, x 6= 9, x 6= 25. − 1 và B = Cho biểu thức A = x − 25 x + 2 x − 15 x+5 x−3 p √ 1) Tính giá trị của A tại x = 6 + 4 2. 2) Rút gọn biểu thức P = A : B. 3) Tìm giá trị của x để biểu thức P có giá trị là một số nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai học sinh lớp 9A và 9B có tổng cộng 94 học sinh, biết rằng 25% số học sinh 9A và 20% số học sinh lớp 9B đạt loại giỏi. Tổng số học sinh giỏi của hai lớp là 21. Tính số học sinh của mỗi lớp. Bài III (2, 0 điểm).   −x − √2y = √3 1) Giải hệ phương trình √ √ .  2x + 2y = − 6 2) Cho parabol (P ): y = x2 và đường thẳng (d): y = (2m − 6)x − m + 13. a) Tìm giá trị của tham số m để d và (P ) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của d và (P ). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x1 x2 − x21 − x22 + 2. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không có điểm chung sao cho khoảng cách từ O đến d không quá 2R. Qua điểm M trên d, vẽ các tiếp tuyến M A, M B tới (O) với A, B là các tiếp điểm. Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên d. Vẽ dây AB cắt OH ở K và cắt OM tại I. Tia OM cắt (O) tại E. 1) Chứng minh rằng 4 điểm M , A, O, B thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh: OK.OH = OI.OM . 3) Tìm vị trí điểm M trên d để OAEB là hình thoi. 4) Khi M di chuyển trên d, chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. Bài VI (0, 5 điểm). Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh rằng: P = a b c 3 + + ≤ . 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 132 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 4: Ths: Lê Văn Hưng – 2018 Bài I (2, 0 điểm). 1) Cho biểu thức A = 1 1 3 +√ với x ≥ 0, x 6= 1. Tìm các giá trị của x để A = . x−1 2 x+1 1 . Tìm x để B < 0. x+1 x + 12 3) Cho biết C = √ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của C. ( x − 1) Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. 2) Đặt B = A : √ Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm quy định. Vì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0, 7 tấn hàng nữa. Tính số xe của đội lúc đầu. Bài III (2, 0 điểm).   x + 2y = 5 1) Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mx + y = 4 mãn x = |y|. 2) Cho phương trình x2 − 2mx + m2 − 1 = 0. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 đối nhau. b) Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị của m để x1 x2 + = 2. x2 x1 Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định. Lấy điểm A ở chính giữa cung BC nhỏ và điểm M trên cung BC lớn sao cho M C ≥ M B. Đường M A cắt tiếp tuyến qua C của (O) và BC lần lượt tại Q, I. Đường M B cắt CA tại P . 1) Chứng minh tứ giác P QCM nội tiếp và P Q song song với BC. 1 1 1 2) Tiếp tuyến tại A cắt tiếp tuyến tại C ở N . Chứng minh: + = . CI CQ CN 3) Chứng minh: M B.M C = IB.IC + IM 2 . 4) Khi điểm M di động và thỏa mãn giả thiết đề bài, hãy tìm vị trí của M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác M BI có độ dài lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 1 1 + + . a3 b 3 c 3 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 133 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 5: Ths: Lê Văn Hưng - 2018 Bài I (2.0 điểm).   √  √ √ 2 x−1 2 x x 3x + 2 √ + : √ − 1 với x ≥ 0, x 6= 4. −√ Cho biểu thức A = x−4 x+2 2− x x−2 1) Rút gọn biểu thức A.  2) Tính giá trị của biểu thức khi |x − 18| = x. 3) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A đạt giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc chiếc ca nô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3 km/h. Sau khi đến B, ca nô qua ngay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách B là 32 km. Tính vận tốc của ca nô. Bài III (2,0 điểm). 1) Giải hệ phương trình   (x − 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y − 1) .  (4x + 1)(3y − 6) = (6x − 1)(2y + 3) 2) Cho phương trình parabol (P ) y = x2 và đường thẳng d: y = mx − m + 1. a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm với mọi giá trị của m. b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất biểu 2x1 x2 + 3 . thức T = 2 x1 + x22 + 2(x1 x2 + 1) Bài IV (3.5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm C di động trên nửa đường tròn (C khác A và B). Qua C vẽ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Gọi E, F là hình chiếu của A, B xuống d và H là chân vuông góc hạ từ C xuống AB. a) Chứng minh tứ giác ABCO nội tiếp và AC là phân giác của góc EAH. b) Chứng minh AC//HF . c) Chứng minh (AE + BF ) không đổi khi C di động trên nửa đường tròn tâm O. d) Tìm vị trí của C trên nửa đường tròn tâm O để tích AE.BF đạt giá trị lớn nhất. Bài V (0.5 điểm). Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a3 + b3 + 6ab ≤ 8. Chứng minh rằng: P = a = 2b + 2 3 + ≥ 8. a b "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 134 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 6: Ths: Lê Văn Hưng - 2018 Bài I (2.0 điểm).   √ √ 8x 2 x−1 4 x √ −√ + với x > 0, x 6= 4, x 6= 9. : Cho biểu thức A = √ x+2 4−x x√ −2 x x 1) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 5 − 2 6.  2) Hãy so sánh A với 1. 3) Tìm giá trị của x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Người ta cần chở một số lượng hàng. Nếu xếp vào mỗi xe 15 tấn thì còn thừa lại 5 tấn, nếu xếp vào mỗi xe 17 tấn thì còn có thể chở thêm 9 tấn nữa. Hỏi có bao nhiêu xe tham gia chở hàng. Bài III (2.0 điểm).  √ 1   2 x − √ = 1 y 1) Giải hệ phương trình . √ 2   2 x + = 5 √  y 2) Cho phương trình parabol (P ) y = x2 và đường thẳng d đi qua điểm M (0; −1) có hệ số góc là k. a) Viết phương trình đường thẳng d và chứng minh với mọi giá trị của k thì d luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A, B. b) Gọi hoành độ A, B lần lượt là x1 , x2 . Chứng minh rằng |x1 − x2 | ≥ 2. Bài IV (3.5 điểm). Cho ∆ABC có ba góc không tù nội tiếp đường tròn (O; R). Kẻ đường cao AK cắt đường tròn tại F , đường cao BI cắt đường tròn tại E. a) Chứng minh các điểm A, I, K, B cùng thuộc một đường tròn và CE = CF . b) Chứng minh BC là trung trực của HF . 1 c) Gọi J là trung điểm của BC. Chứng minh OJ = AH. 2 d) Kẻ đường cao CD. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp ∆AEF . Bài V (0.5 điểm). Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn ab = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 3 6 + + . a b 2a + 3b “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 135 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 7: Ths: Lê Văn Hưng – 2018 Bài I (2.0 điểm). √ √ √ 3 x−2 2 x+3 15 x − 11 √ √ − √ với x ≥ 0, x 6= 1. + Cho biểu thức A = x+2 x−3 1− x 3+ x 1) Rút gọn A. 1 2) Tìm x để A = . 2 3) Tìm x để A nhận giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Trong một buổi liên hoan văn nghệ, một lớp có 26 khách mời đến giao lưu. Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê thêm một dãy ghế nữa và mỗi dãy xếp thêm hai chỗ ngồi. Biết mỗi dãy đều có số người ngồi như nhau và ngồi không quá năm người. Hỏi lớp học lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế? Bài III (2,0 điểm). 1) Giải hệ phương trình   x + y = 2 .  x2 − 2y = 4 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M (1; 2) và đường thẳng d: y = −3x + 1. a) Viết phương trình đường thẳng d0 đi qua M và song song với d. b) Cho parabol (P ): y = mx2 (m 6= 0). Tìm các giá trị của tham số m để d và (P ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B cùng nằm phía đối với trục tung. Bài IV (3.5 điểm). Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB lấy điểm C nằm giữa O và B. Lấy điểm D trên đường tròn tâm O sao cho AD = BC. kẻ CH vuông góc với AD (H thuộc AD) tia phân giác của DAB cắt đường tròn tâm O tại E (E khác A) và cắt CH tại F . DF cắt (O) tại điểm N khác D. 1) CH song song với BD. 2) Tứ giác AF CN nội tiếp. 3) Ba điểm N , C, E thẳng hàng. 4) Kẻ CK song song với AD (K thuộc DN ). Chứng minh tứ giác ADCK là hình bình hành kẻ CK song song với AD (K thuộc DN ). Chứng minh tứ giác ADCK là hình bình hành. Bài V (0.5 điểm). Cho a và b là hai số thực thỏa mãn √ a + 1 − b3 = √ b + 1 − a3 . Chứng minh rằng: P = a2 − ab + b2 + 2a + 2018. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 136 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 8: Ths: Lê Văn Hưng – 2018 Bài I (2.0 điểm).  Cho hai biểu thức A = x + 2018 và B =  √ √ x+2 x−2 x+1 √ − với x > 0, x 6= 1. . √ x−1 x+2 x+1 x √ 1) Rút gọn B. 2) Tìm x để B > 0. 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A + B. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai trường A và trường B có 420 học sinh thi đỗ vào lớp 10, đạt tỉ lệ 84%. Riêng trường A có tỉ lệ đỗ là 80%, riêng trường B có tỉ lệ đỗ là 90%. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường. Bài III (2.0 điểm).  1 4   − =1 y x−y . 1) Giải hệ phương trình x +   6 + 3 =6 x+y x−y 1 2) Cho phương trình parabol (P ) y = − x2 và đường thẳng d: y = mx − 2m − 1. 4 a) Tìm giá trị của tham số m sao cho d tiếp xúc với (P ). b) Chứng tỏ d luôn luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P ). Bài IV (3.5 điểm). Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Đường cao BE kéo dài cắt đường tròn (O) tại điểm K Kẻ KD vuông góc với BC tại D. 1) Chứng minh 4 điểm K, E, D, C cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh KB là phân giác của góc AKD. 3) DE kéo dài cắt AB tại I. Chứng minh KI⊥AB. 4) Đường thẳng qua E vuông góc với OA cắt AB tại H. Chứng minh CH//KI. Bài V(0.5 điểm). Cho a ≥ 2017 và b ≥ 2018. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: √ √ a − 2017 b − 2018 P = + . a+1 b+2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 137 Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Ths: Lê Văn Hưng TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 9: Ths: Lê Văn Hưng - 2018 Bài I (2.0 điểm). √ √ √ 2 x 2+5 x x x+1 và B = √ +√ + với x ≥ 0, x 6= 4.. Cho hai biểu thức A = √ 4−x x−2 x−2 x+2 √ 1) Tính giá trị của A tại x = 4 − 2 3. √ 2) Rút gon B. 3) Tìm giá trị của x để biểu thức P = A : B có giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 400 sản phẩm. Tháng sau do cải tiến kỹ thuật nên tổ I 20 %, do đó tổng sản phẩm tháng sau của hai tổ sản xuất vượt mức 10%, tổ II sản xuất vượt mức 3 tăng thêm 35 sản phẩm so với tháng trước. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm. Bài III (2.0 điểm).   3√x − 2 + 2√y + 1 = 13 . √ √  2 x − 2 − y + 1 = 4 1 2) Cho phương trình parabol (P ) y = x2 và đường thẳng d: y = −mx + 2. 2 a) Chứng minh d và (P ) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. 1) Giải hệ phương trình b) Tìm m để AB nhỏ nhất. Tính diện tích ∆AOB với mọi m vừa tìm được. Bài IV (3.5 điểm). Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý (M khac A và B), tia AM cắt d tại N . Gọi C là trung điểm của AM , tia CO cắt d tại D. 1) Chứng minh rằng tứ giác OBN C nội tiếp. 2) Chứng minh rằng N O⊥AD. 3) Chứng minh rằng CA.CN = CO.CD. 4) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN ) đạt giá trị nhỏ nhất. Bài V (0.5 điểm). Cho x > 0, y > 0, c > 0 và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 1 1 1 + 2 + 2 . 2 2 + 2y + 3 y + 2z + 3 z + 2×2 + 3 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 138 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 10: Ths: Lê Văn Hưng – 2018 Bài I (2.0 điểm).  √ (1 − x)2 x−2 x+2 √ . − với x ≥ 0, x 6= 1. Cho biểu thức A = x−1 2 x+2 x+1 √ 1) Chứng minh rằng A = −x + x. √ 2) Tìm giá trị của x để A > 0. 3) Tìm giá trị lớn nhất của A. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể. Nếu để vòi I chảy một mình trong 10 phút rồi khóa lại, tiếp tục mở vòi II chảy trong 12 phút thì cả hai vòi chảy 2 bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. được 15 Bài III (2.0 điểm).  3 1   − =4 1 y+2 1) Giải hệ phương trình x − .   2 − 1 =1 x−1 y+2 2) Cho phương trình parabol (P ) y = x2 và đường thẳng d: y = 2mx − 2m + 3. a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, thì đường thẳng d luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt. b) Gọi y1 , y2 là tung độ các giao điểm của d và (P ). Tìm các giá trị của tham số m để y1 + y2 < 9. Bài IV (3.5 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) (AB < CD). Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; DP cắt AB tại E và cắt CB tại K; CP cắt AB tại F và cắt DA tại I. 1) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp được và IK//AB. 2) Chứng minh: AP 2 = P E.P D = P F.P C 3) Chứng minh: AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AED. 4) Gọi R1 , R2 là các bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AED và BED. Chứng minh: √ R1 + R2 = 4R2 − P A2 . Bài V (0.5 điểm). Cho x > 0, b > 0 và x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3×2 + 4 2 + y 2 P = + . 4x y2 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 139 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội LUYỆN BỘ ĐỀ GỒM 30 ĐỀ CỦA THẦY “LÊ ĐỨC THUẬN” CHỦ BIÊN ĐỀ SỐ 1 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ √ x + 1 3 − 11 x x−3 2 x và B = √ +√ + với x ≥ 0; x 6= 9. Cho biểu thức A = √ 9−x x+3 x−3 x+1 2 2 1) Tính giá trị của B khi x = √ −√ . 2−1 2+1 2) Rút gọn biểu thức A. 3) Tìm số nguyên x để P = A.B là số nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một đội công nhân theo kế hoạch phải trồng 75 héc ta rừng trong một số tuần lễ. Do mỗi tuần trồng vượt mức 5 héc ta so với kế hoạch nên đã trồng được 80 héc ta và hoàn thành sớm hơn 1 tuần. Hỏi theo kế hoạch mỗi tuần đội công nhân đó trồng bao nhiêu héc ta rừng? Bài III (2, 0 điểm).  8 1  + =5  x − 3 2|y| − 3 1) Giải hệ phương trình 1 4   + =3 x − 3 2|y| − 3 2). Cho parapol x2 − 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0. a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh √ huyền bằng 5. Bài IV (3, 5 điểm). Cho điểm C nằm trên nửa đường tròn (O; R), đường kính AB sao cho cung AC lớn hơn cung BC (C 6= B). Đường thẳng vuông góc với đường kính AB tại O cắt dây AC tại D. 1) Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp một đường tròn. 2) Chứng minh AD.AC = AO.AB. 3) Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng đi qua D và song song với AB tại điểm E. Tứ giác OEDA là hình gì?. 4) Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Hãy tìm vị trí điểm C để HD⊥AC. Bài V (0, 5 điểm). Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x2 + y 2 = 1. Tìm giá trị nhỏ 1 1 nhất của biểu thức P = x + + y + . x y “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 140 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 2 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ x+3 2 x+1 2 x−9 √ √ với x ≥ 0; x 6= 4; x 6= 9. −√ − Cho biểu thức A = x−5 x+6 x−2 3− x 1) Rút gọn A. 2) Tìm x để A < 1. 3) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một ca nô đi xuôi dòng từ A đến B cách nhau 40 km sau đó đi ngược dòng từ B về A. Cho biết thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 20 phút, vận tốc dòng nước là 3 km/giờ và vận tốc riêng của ca nô không đổi. Tính vận tốc riêng của ca nô. Bài III (2, 0 điểm). 0, 5 0, 3 − =3 2x − 1 y − 3 . 1) Giải hệ phương trình 2 1, 5   − = 1, 5 2x − 1 y − 3 2 2). Cho parapol (m + 1)x − 2(m − 1)x + m − 3 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình.    a) Có đúng một nghiệm. b) Có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1 .x2 > 0 và x1 = 2×2 . Bài IV (3, 5 điểm). [ = 600 , M là điểm tùy ý trên cạnh AC. Vẽ đường tròn Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC tâm O đường kính M C cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại N , AN cắt (O) tại D. Lấy I đối xứng với M qua A. Lấy K đối xứng với M qua E. 1) Chứng minh tứ giác BAN C nội tiếp. 2) Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCD. 3) Tìm vị trí của M trên AC để M BKC là hình thoi. 4) Tìm vị trí điểm M để đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính nhỏ nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho ba số thực  dương a, b, cthỏa mãn điều kiện a + b ≤ c. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 1 của biểu thức P = (a2 + b2 + c2 ) + 2+ 2 . 2 a b c “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 141 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 3 Bài I (2, 0 điểm). √ x− x+3 x+2 1 √ − √ và B = với x ≥ 0; x 6= 1. Cho biểu thức A = √ x−1 x x−1 x + x + 1! √ ! √ 5+ 5 5− 5 √ √ −1 . 1) Tính giá trị của B khi x = 1 − 1+ 5 1− 5 2) Rút gọn A. A . Tìm x để P ≤ 1. 3) Cho biết P = 1−B Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Cho một số có hai chữ số. Biết rằng tổng của chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đươn vị là 12. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì sẽ được một số mới lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị. Tìm số ban đầu. Bài III (2, 0 điểm). √ 1) Giải phương trình 2x − 5 + 3 2x − 1 = 0 2). Cho đường thẳng d: y = mx + m + 1 và parabol (P ): y = x2 . Tìm các giá trị của m để d cắt (P ) tại hai điểm có hoành độ là x1 , x2 thỏa mãn điều kiện. a) |x1 − x2 | = 4; b) |x1 | + |x2 | = 4. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng d không đi qua O, cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (C ∈ d và CB < CA), kẻ hai tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (M thuộc cung nhỏ AB). Gọi H là trung điểm của AB, OH cắt CN tại K. 1) Chứng minh KN.KC = KH.KO. 2) Chứng minh năm điểm M , H, O, N , C cùng thuộc một đường tròn. 3) Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I. Chứng minh điểm I cách đều các đường thẳng CM , CN , M N . 4) Một đường thẳng đi qua O và song song với M N cắt CM và CN lần lượt tại E và F . Xác định vị trí điểm C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho ba số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a + 2b ≤ 8. Tìm giá trị nhỏ nhất 4 9 của biểu thức P = 2a + 3b + + . a b "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 142 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 4 Bài I (2, 0 điểm). √  √ √ x x x−1 x+1 √ : − với x > 0; x 6= 4. Cho biểu thức A = x−4 x+4 x+4 (4 − x)2 1) Rút gọn A. √ 2) Tính giá trị của A tại x = 4 + 2 3. 1 3) Tìm x để A ≥ . 4 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 90 m. Nếu giảm chiều rộng đi 4 m và giảm chiều dài đi 20% thì chu vi mảnh đất giảm đi 18 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Bài III (2, 0 điểm).  3√3x − 2 − 2√1 − y = 4 . 1) Giải hệ phương trình √  2 3x − 2 + √1 − y = 5 2). Cho phương trình x2 − 2x − 2m = 0. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn (1 + x21 ) (1 + x22 ) = 5. 1 1 b) Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 viết phương trình bậc hai nhận và làm x1 + 1 x2 + 1 nghiệm. Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, đường cao AI và BN cắt nhau tại H, CH cắt AB tại M . 1) Chứng minh tứ giác AM HN nội tiếp. 2) Chứng minh điểm H cách đều các đường thẳng N M , N I. [ Cho biết BAC [ = 450 , S∆ABC = 100 cm2 . tính diện tích 3) Chứng minh M N = BC.cosBAC. tam giác AN M . 4) Gọi E là trung điểm BC, AE cắt OH tại G. Cho B, C cố định và A di chuyển trên cung lớn BC, hỏi G di chuyển trên đường nào? Bài V (0, 5 điểm). Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện 2a + b ≤ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất 3 2 của biểu thức P = 16a2 + 2b2 + + . a b “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 143 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 5 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ x+9 x x+5 x 2 x − và B = với x ≥ 0; x 6= 9; x 6= 25. Cho biểu thức A = √ x−9 x − 25 x−3 1) Rút gọn các biểu thức A và B. A 2) Với x 6= 0, đặt P = . Hãy so sánh P với 1. B 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P . Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất phải làm được 900 chi tiết máy trong một thời gian quy định. Do cải tiến kĩ thuật nên tổ một vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 10% so với kế hoạch. Vì vậy hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ sản xuất phải làm bao nhiêu chi tiết máy? Bài III (2, 0 điểm).   x − my = 2 1) Cho hệ phương trình . Chứng minh hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) mx + 2y = 1 với mọi tham số m. Tìm m để nghiệm (x; y) thỏa mãn 3x + 2y ≥ 0. 2) Cho đường thẳng d: y = mx − m + 1 và parabol (P ): y = x2 . a) Chứng minh d và (P ) luôn có điểm chung với mọi m. Với giá trị nào của m thì d và (P ) tiếp xúc nhau? Khi đó tìm tọa độ tiếp điểm. b) Gọi x1 , x2 là hoành độ các giao điểm của d và (P ). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 2×1 x2 + 3 . của biểu thức A = 2 x1 + x22 + 2×1 x2 + 2 Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) đường kình AB cố định. Điểm I nằm giữa A và O. Dây CD vuông góc với AB tại I. Gọi M là điểm tùy ý thuộc cung lớn CD (M không trùng với C, D và B). Dây AM cắt CD tại K. 1) Chứng minh tứ giác IKM B nội tiếp. 2) Chứng minh AD2 = AK.AM . 3) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm E ngoại tiếp tam giác CKM . 4) Xác định vị trí của điểm M sao cho độ dài DE là nhỏ nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 2xy − 4 = x + y. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 của biểu thức P = xy + 2 + 2 . x y “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 144 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 6 Bài I (2, 0 điểm).   √ 1 a−2 1 +√ . √ với a > 0; a 6= 4. Cho biểu thức A = √ a+2 a−2 a 1) Rút gọn các biểu thức A. 1 2) Tìm a để A > . 3 9 3) Tìm tất cả các giá trị thực của a để B = A. 2 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Tính chu vi của một hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng mỗi chiều của hình chữ nhật thêm 4 m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 80 m2 . Nếu giảm chiều rộng 2 m và tăng chiều dài 5 m thì diện tích hình chữ nhật bằng diện tích ban đầu. Bài III (2, 0 điểm). √ 1) Giải phương trình 4x − 3 5x − 1 + 1 = 0. 1 2) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): y = 2x − m + 1 và parabol (P ): y = x2 . 2 a) (d) đi qua điểm A(−1; 3). Vẽ (d) và (P ) ứng với giá trị vừa tìm được của m. b) (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1 ; y1 ) và (x2 ; y2 ) sao cho x1 x2 (y1 + y2 ) + 48 = 0. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = R. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ của (O) (P , Q là các tiếp điểm). Lấy M thuộc (O) sao cho P Q song song với AQ. Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM và (O). Tia P N cắt đường thẳng AQ tại K. 1) Chứng minh tứ giác AP OQ nội tiếp. 2) Chứng minh KA2 = KN.KP . 3) Kẻ đường kính QS của (O). Chứng minh tia N S là tia phân giác của góc P N M . 4) Gọi G là giao điểm của hai đường thẳng AO và P K. Tính độ dài đoạn thẳng AG theo R. Bài V (0, 5 điểm). Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện ab + 4 ≤ 2b. Tìm giá trị lớn nhất của ab biểu thức P = 2 . a + 2b2 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 145 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 7 Bài I (2, 0 điểm). √ x 1 2 và B = với x ≥ 0; x 6= 4. +√ Cho biểu thức A = √ x−4 x−2 x−2 1 1 1) Tìm x biết rằng A = √ +√ . 3+2 3−2 A 2) Rút gọn các biểu thức B. Tính P = . B√ √ √ √ 3)Tìm x thỏa mãn P ( x + 1) − x + 2 x − 1 = 2x − 2 2x + 4. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hạng chục lớn hơn hàng đơn vị là 2, nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó tăng thêm 630 đơn vị. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho phương trình x4 − 2mx2 + (m2 − 1) = 0. a) Giải phương trình khi m = 3. b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt. 1 2) Cho đường thẳng (d): y = x − m + 1 và parabol (P ): y = x2 . Tìm m để (d) cắt (P ) tại hai điểm 2 phân biệt A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ) sao cho y1 + y2 = 4 (x1 + x2 ) và một trong hai giao điểm có hoành độ lớn hơn 1. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn tâm O, điểm M cố định ngoài (O), kẻ hai tiếp tuyến M A, M B với (O) (A, B là tiếp điểm). Trên cung nhỏ AB lấy điểm N và từ N kẻ tiếp tuyến với (O) cắt M A, M B lần lượt tại E và F . 1) Chứng minh tứ giác AON E nội tiếp. 2) Chứng minh chu vi tam giác M EF và độ lớn góc EOF không phụ thuộc vị trí điểm N . [ = 1200 , tính tỉ số EF . 3) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của OE và OF với AB. Cho AOB IK 4) Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt M A, M B lần lượt tại C và D. Tìm vị trí điểm N để (EC + F D) có độ dài nhỏ nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ a b c nhất của biểu thức P = + + . 2 2 1 + 9b 1 + 9c 1 + 9a2 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 146 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 8 Bài I (2, 0 điểm).   √ √ √ 15 − x 2 x+1 1− x √ và B = :√ với x ≥ 0; x 6= 25. +√ Cho biểu thức A = x − 25 1+ x x+5 x−5 √ 1) Tính giá trị của A khi x = 6 − 2 5. 2) Rút gọn các biểu thức B. 3) Tìm x để phương trình A − B = x có nghiệm. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Trên quãng đường AB, hai ô tô khởi hành cùng một thời điểm từ hai bến A và B đi ngược chiều nhau. Hai xe gặp nhau sau 3 giờ. Biết rằng sau khi gặp nhau, mỗi xe tiếp tục đi hết quãng đường còn lại. Xe khởi hành từ A đến B muộn hơn xe khởi hành từ B đến A là 2 giờ 30 phút. Hỏi mỗi xe đi quãng đường AB hết mấy giờ? Bài III (2, 0 điểm).   x(y + 3) + 2y = xy + 33 1) Giải hệ phương trình . (x + 1)(y − 2) = xy − 10 2) Cho phương trình x2 − mx − 4 = 0. a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 (x1 + x2 ) + 7 . A= x21 + x22 Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định thỏa mãn OA = 2R. Một đường kính BC quay quanh O sao cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA ở P (khác A). Đường thẳng AB, AC cắt (O) ở điểm thứ hai là D và E. Nối DE cắt OA ở K. Chứng minh. 1) Các tam giác OP B, AOC đồng dạng và bốn điểm P , E, C, K cùng nằm trên một đường tròn. 2) AK.AP = AE.AC. 3) Đường thẳng DE đi qua một điểm cố định. 4) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua điểm cố định F từ đó suy ra vị trí của CB để diện tích tứ giác ABP C lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a2 + b2 ≤ 16. Tìm giá trị lớn nhất p p của biểu thức P = a b (a + 8b) + b (b + 8a). “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 147 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 9 Bài I (2, 0 điểm).     √ √ √ 1 x+1 9 x+6 2 x √ + − 3 với x ≥ 0; x 6= . : Cho biểu thức A = 1 − √ 9x − 1 9 3 x+1 3 x+1 1) Rút gọn các biểu thức A. 6 2) Tìm x để A = . 5 3) Với m > 1, chứng tỏ có hai giá trị của x sao cho A = m. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu chảy một mình để đầy bể thì vòi I cần nhiều thời gian hơn vòi II là 5 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho phương trình x2 − 2mx + (m2 − m) = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 sao cho 3×1 + 2×2 = 6.  2x + my = 1 . 2) Cho hệ phương trình mx + 2y = 1 a) Tìm số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên. b) Chứng minh rằng khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M (x; y) luôn luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Bài IV (3, 5 điểm). Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ tiếp tuyến M A, M B với (O) (A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến M CD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D), OM cắt AB và O lần lượt tại H và I. 1) Chứng minh tứ giác M AOB nội tiếp và đường tròn này đi qua trung điểm E của CD. 2) Chứng minh OH.OM + M C.M D = R2 . 3) Chứng minh CI là phân giác góc M CH. 4) Cho các điểm M , C, D cố định, (O) thay đổi nhưng luôn qua C, D. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OHE luôn qua một điểm cố định. Bài V (0, 5 điểm). Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1. √ √ √ Chứng minh a2 + 1 + b2 + 1 + c2 + 1 ≤ 2 (a + b + c). “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 148 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 10 Bài I (2, 0 điểm). √ p √ √  1 p x−1 với x ≥ 0. Tính giá trị của A khi x = 6+4 2+ 6−4 2 . 1) Cho biểu thức A = √ 2 √x + 1 x+3 5 4 √ + 2) Cho biểu thức B = √ với x ≥ 0, x 6= 1. Rút gọn B. − x+1 1− x x−1 3) Tìm các số hữu tỉ x để P = A.B có giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Trong hội trường có một số ghế băng, mỗi ghế băng quy định số người ngồi như nhau. Nếu bớt 2 ghế băng và mỗi ghế băng ngồi thêm 1 người thì thêm được 8 chỗ. Nếu thêm 3 ghế băng và mỗi ghế ngồi rút đi 1 người thì giảm 8 chỗ. Tính số ghế băng trong hội trường. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho phương trình x2 − 2mx + 2(m − 2) = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt  đối lớn hơn nghiệm dương. (m − 1)x + y = 2 2) Cho hệ phương trình .  mx + y = m + 1 a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y ≤ 3. b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x + y = −4. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB, Ax, By là hai tiếp tuyến của (O) tại các tiếp điểm A, B. Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa các tia Ax, By), tiếp tuyến M của (O) cắt Ax, By lần lượt tại C và D. 1) Chứng minh tứ giác AOM C nội tiếp. √ 2) Với BD = R 3 hãy tính AM . 3) Nối OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F , kẻ M N ⊥AB (N ∈ AB). Chứng minh đường tròn ngoai tiếp tam giác N EF luôn đi qua một điểm cố định. 4) Tìm vị trí điểm M trên nửa đường tròn để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEF D có độ dài nhỏ nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho a, b là các số dương. Chứng minh p a+b 1 p ≥ . 2 a(3a + b) + b(3b + a) “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 149 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 11 Bài I (2, 0 điểm). 1) Cho biểu thức A = 1 1 3 +√ với x ≥ 0, x 6= 1. Tìm các giá trị của x để A = . x−1 2 x+1 1 . Tìm x để B < 0. x+1 x + 12 3) Cho biết C = √ . Tìm giá trị nhỏ nhất của C. ( x − 1) .B Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. 2) Đặt B = A : √ Hai anh Hưng và Hiếu góp vốn cùng kinh doanh. Anh Hưng góp 13 triệu đồng, anh Hiếu góp 15 triệu đồng. Sau một thời gian kinh doanh lãi được 7 triệu đồng (lãi chia theo tỷ lệ góp vốn). Tính số tiền lãi mà mỗi anh được hưởng. Bài III (2, 0 điểm).   x + 2y = 5 1) Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mx + y = 4 mãn x = |y|. 2) Cho phương trình x2 − 2mx + m2 − 1 = 0. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x1 = 3x2 . 1 1 và . b) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x1 x2 Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định. Lấy điểm A ở chính giữa cung BC nhỏ và điểm M trên cung BC lớn sao cho M C ≥ M B. Đường M A cắt tiếp tuyến qua C của (O) và BC lần lượt tại Q, I. Đường M B cắt CA tại P . 1) Chứng minh tứ giác P QCM nội tiếp và P Q song song với BC. 1 1 1 2) Tiếp tuyến tại A cắt tiếp tuyến tại C ở N . Chứng minh: + = . CI CQ CN 3) Chứng minh: M B.M C = IB.IC + IM 2 . 4) Khi điểm M di động và thỏa mãn giả thiết đề bài, hãy tìm vị trí của M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác M BI có độ dài lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu a b c thức P = √ +√ +√ . a + bc b + ca c + ab "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 150 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 12 Bài I (2, 0 điểm). √ 1 x x+2 √ √ với x ≥ 0, x 6= 1. Rút gọn A. + + 1) Cho biểu thức A = √ x√ x − 1 x + x + 1 1 − x A x−1 2) Cho biểu thức B = . Hãy tìm P = . 2 B √ 1 3) Tìm giá trị của m để > m + x nghiệm đúng ∀x > 1. P Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ đầy bể. Người ta mở cả hai vòi trong 4 giờ rồi khóa vòi II lại và để vòi I chảy tiếp 14 giờ nữa thì mới đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu mới đầy bể. Bài III (2, 0 điểm).  8 4   +p =9 √ 2 x +1 y2 + 7 1) Giải hệ phương trình 1 3. 1   −p = √ 2 4 x +1 y2 + 7 2) Cho đường thẳng (d): y = (m − 3)x + m − 2. a) Tìm m để khoảng cách từ điểm I(−1; 0) đến (d) là lớn nhất. b) Tìm m để d cắt (P ): y = x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x21 = 4×2 . Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) có dây AB cố định và , C là điểm di động trên cung lớn AB. Gọi M , N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AC và AB. Gọi I là giao điểm của BM và CN . Dây M N cắt AC và AB lần lượt tại H và K. 1) Chứng minh tứ giác BN KI nội tiếp. 2) Chứng minh N M.N H = N C.N I. 3) Giả sử AI cắt (O) tại E, N E cắt CB tại F . Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng. 4) Xác định vị trí điểm C để chu vi tứ giác AIBN lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho các số thực x, y không âm và thỏa mãn điều kiện x2 + y 2 ≤ 2. Hãy tìm giá p p trị lớn nhất của biểu thức P = x(29x + 3y) + y(29y + 3x). “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 151 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 13 Bài I (2, 0 điểm). √ x 1 x+2 1 và B = +√ với x > 0; x 6= 4. +√ Cho biểu thức A = √ x−4 x x−2 x+2 A 1) Rút gọn B và tính P = . B 2) Tìm x để B = |B|. √ √ 3) Tìm x thỏa mãn: xP ≤ 10 x − 29 − x − 25. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một ca nô xuôi dòng 45 km rồi ngược dòng 18 km. Biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn vạn tốc ngược dòng là 6 km/giờ. Thời gian đi xuôi nhiều hơn thời gian đi ngược là 1 giờ. Tính vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của ca nô biết rằng vận tốc ca nô đi ngược dòng lớn hơn 10 km/giờ. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho phương trình x2 − 2(m2 − m + 2)x + m2 = 0. 1 với m 6= 0 và parabol (P ): y = x2 . 2) Cho đường thẳng d: y = −mx + 2m2 a) Chứng minh d luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt với mọi m 6= 0. b) Gọi A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ) là các giao điểm của d và (P ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = y12 + y22 . Bài IV (3, 5 điểm). Trên đường tròn (O; R) có đường kính AB, lấy hai điểm M , E theo thứ tự A, M , E, B (hai điểm M , E khác hai điểm A, B), AM cắt BE tại C, AE cắt M B tại D. 1) Chứng minh tứ giác M CED nội tiếp. 2) Chứng minh rằng khi M và E di động thì BE.BC + AM.AC không đổi. 3) Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD. = 450 và BAE [ = 300 . Tính diện tích tam giác ABC. 4) Cho biết BAM 1 1 1 Bài V (0, 5 điểm). Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của a b 2 √ √ 1 biểu thức P = a + b − . a+b “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 152 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 14 Bài I (2, 0 điểm). √ x+2 x+1 x √ √ và B = với x ≥ 0. Cho biểu thức A = x− x+1 √ x x+1 2−1 1) Tính giá trị của A tại x = √ . 2+1 1−A . Tìm x để (x − 1)P = −9. 2) Cho biết P = B 1 3) Tìm x để P > . 2 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một ô tô và một xe máy đi từ A đến B cách nhau 120 km. Ô tô khởi hành sau xe máy 30 phút và đi với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy là 24 km/giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết xe ô tô đến sớm hơn xe máy là 20 phút. Bài III (2, 0 điểm).   2|x + 1| − 5y = 3 . 1) Giải hệ phương trình |x + 1| + 2y = − 3 5 2) Cho đường thẳng d: y = (m − 1)x − m + 2 và parabol (P ): y = x2 . 2 a) Tìm điểm cố định mà d luôn đi qua với mọi m. b) Tìm m để d cắt (P ) tại hai điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho A = x21 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) và dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB tại K (D thuộc cung nhỏ AB). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung nhỏ M C nhở hơn cung M B. Dây DM cắt AB tại F . Tia CM cắt đường thẳng AB tại E. 1) Chứng minh tứ giác CKF M là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh KE.KF = KC.KD. 3) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AE tại I. Chứng minh IE = IF . FB KF 4) Chứng minh = . EB KA 3 Bài V (0, 5 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c ≤ . Tìm giá trị nhỏ 2 1 1 1 nhất của biểu thức P = + + . a b c “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 153 Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Ths: Lê Văn Hưng TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 15 Bài I (2, 0 điểm). √ √ x x 1 √ . và B = Với x > 0, cho biểu thức A = √ + √ x x+ x √x + 1 4− 7 1) Tính giá trị của A tại x = . 2 1 2) Tìm x để B = . 3 3) Tính giá trị biểu thức P = A : B. Tìm x thỏa mãn:  √ √ √ P x+ 2 5−1 x = 3x − 2 x − 4 + 3 √ . Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Trong đợt tổng kết quý I hai tổ sản xuất đã làm được 630 sản phẩm đạt 63% theo kế hoạch. Riêng tổ I sản xuất đạt tỉ lệ 57% theo kế hoạch, tổ II sản xuất đạt tỉ lệ 67% theo kế hoạch. Hỏi theo kế hoạch quý I mỗi tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho phương trình x4 − 2mx2 + (m2 − 1) = 0. Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. 2) Cho đường thẳng d: y = 4x − 2 và parabol (P ): y = 2×2 . a) Chứng minh d tiếp xúc với (P ) tại A(1; 2). b) Viết phương trình đường thẳng d0 có hệ số góc m đi qua A(1; 2). Chứng minh d0 luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt với mọi m 6= 4 và tìm m để một trong hai giao điểm đó có hoành độ lớn hơn 3. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và đường kính AB. Dây M N vuông góc với AB tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia đối N M lấy điểm C sao cho đoạn thẳng AC cắt (O) tại điểm K (K 6= A), hai dây M N và BK cắt nhau tại E. 1) Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp. = KBC. 2) Kéo dài AE cắt (O) tại I. Chứng minh KAE 3) Chứng minh AE.AI + BE.BK = 4R2 . 4) Giả sử KE = KC, Chứng minh OK//M N và KM 2 + KN 2 = 4R2 . Bài V (0, 5 điểm). Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 2 của biểu thức P = 4xy + 2 + . 2 x +y xy “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 154 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 16 Bài I (2, 0 điểm).  Cho biểu thức A =    √ √ 2 x x+ x 1 1 √ √ √ √ − √ : + với x ≥ 0, x−1 x x−x+ x−1 x x+x+ x+1 x+1 x 6= 1. 1) Rút gọn A. 1 2) Tìm x để A < . 2 √ 3) Tìm m để phương trình ( x + 1) A = m − x. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong 18 ngày xong cong việc. Nếu đội I làm 6 ngày, sau đó đội II làm tiếp 8 ngày nữa thì được 40% công việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong công việc. Bài III (2, 0 điểm).   mx + y = 2 1) Cho hệ phương trình . 4x + my = 4 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x > 0, y > 0. 1 1 2) Cho hai đường thẳng d1 : y = x + m + và d2 : y = −2x − 6m + 5. 3 3 a) Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau tại một điểm và điểm đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định. b) Tìm m để giao điểm M của d1 và d2 nằm trên parabol (P ): y = 9×2 . Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và I là điểm đối xứng với A qua O. Trên cạnh AB lấy điểm M và trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN . 1) Chứng minh IM = IN và BI = CI. 2) Gọi E là giao điểm của M N và AI. Chứng minh EA.EI = EM.EN . 3) Gọi K là giao điểm của M N với BC. Chứng minh M K = N K. 4) Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AN M nằm trên một đoạn thẳng cố định khi M chạy trên cạnh AB. Bài V (0, 5 điểm). Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 của biểu thức P = a2 + b2 + 2 + 2 . a b “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 155 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 17 Bài I (2, 0 điểm). √ √ 1 x+2 x+3 x và B = √ với x ≥ 0, x 6= 25. +√ Cho hai biểu thức A = x − 25 x +√5 x−5 23(5 − 2) √ . 1) Tính giá trị của B tại x = 5+ 2 4 A = . 2) Rút gọn A và tìm x để B 7 A 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = . B Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Lớp 9A được phân công trồng 480 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số học sinh, nhưng khi lao động có 8 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 3 cây mới xong. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu bạn học sinh. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho phương trình x3 + mx − (m + 1) = 0. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm không phụ thuộc vào m. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có đúng một nghiệm âm. 2) Cho đường thẳng d1 : y = x + m và parabol (P ): y = x2 . a) Tìm các giá trị của m để d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt. √ b) Khi d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A và B, tìm m để AB = 3 2. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) có dây AB cố định và M là điểm di động trên cung lớn AB. Từ M vẽ M H vuông góc với AB. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên M A, M B. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với EF , đường này cắt AB tại D. 1) Chứng minh đường thẳng M D đi qua một điểm cố định. M A2 AH AD 2) Chứng minh = . . 2 MB BD BH 3) Gọi I là điểm đối xứng của H qua AM và K là điểm đối xứng của H qua BM . Đường thẳng IK cắt HM , BM lần lượt tại B 0 , A0 . Chứng minh 5 điểm M , B 0 , H, B, K cùng thuộc một đường tròn. 4) Chứng minh BB 0 , AA0 và M H đồng quy tại một điểm. Bài V (0, 5 điểm). Cho x > 0, y > 0 và thỏa mãn điều kiện x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của  2  2 1 1 biểu thức P = x + + y+ . x y “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 156 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 18 Bài I (2, 0 điểm). √ 6 2 2 x √ với x ≥ 0, x 6= 9. và B = −√ Cho hai biểu thức A = x−9 x+3 x−3 x 1) Rút gọn A. √ 2 x+1 B 2) Tìm x để A = với P = . 2 A 3) So sánh A và A2 . Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian quy định. Nếu tăng vận tốc thêm 10 km/giờ thì đến B sớm hơn quy định 2 giờ. Nếu giảm vận tốc 10 km/giờ thì đến B chậm hơn quy định 3 giờ. Tính quãng đường AB. Bài III (2, 0 điểm). √ 1) Cho phương trình 2x −  4 x + m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.  mx − 2y = 2m 2) Cho hệ phương trình . −2x + y = m + 1 a) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho. b) Khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y), tìm các giá trị nguyên của m để biểu thức x−y có giá trị là số nguyên. m+2 Bài IV (3, 5 điểm). d = α (00 < x < 900 ) cố định. Đường tròn (O) tiếp xúc với Ax, Ay lần lượt tại K, Cho góc xAy L. Tiếp tuyến của (O) tại E thuộc cung nhỏ KL cắt Ax, Ay theo thứ tự tại N , M . Đường KL cắt OM tại P , cắt ON tại Q. 1) Khi E di động, chứng minh M ON có độ lớn không đổi. 2) Chứng minh các đường thẳng M Q, N P , OE cùng đi qua một điểm. 3) Chứng minh KQ.P L = EM.EN . 4) Chứng minh khi E di động thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M ON thuộc một đường cố định. Bài V (0, 5 điểm). Cho x > 0, y > 0, z và thỏa mãn điều kiện x + y + x = giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y 2 + z 2 . 9 − (xy + yz + zx). Tìm 4 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 157 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 19 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 3x + 3 x x+1 2 x −√ − với x ≥ 0, x 6= 9. và B = √ Cho biểu thức A = √ x+3 x−3√ x−9 x−3 1) Tính giá trị của Q tại x = 4 − 2 3. A 2) Rút gọn A và tính P = . B 4x + 7 3) Cho biểu thức Q = xP + √ . Tìm giá trị nhỏ nhất của Q x+3 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1 cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ tăng thêm 13 cm2 . Nếu giảm chiều dài đi 2 cm, chiều rộng đi 1 cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm 15 cm2 . Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho. Bài III (2, 0 điểm).   x + my = m + 1 1) Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) mx + y = 3m − 1 sao cho tích của x và y có giá trị nhỏ nhất. 2) Cho đường thẳng d: y = (m − 1)x + m1 + 1 và parabol (P ): y = x2 . a) Chứng minh d luôn cắt (P ) tại ha điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. b) Gọi x1 , x2 là hoành độ các giao điểm của d và (P ). Tìm các giá trị của tham số m biết rằng √ |x1 | + |x2 | = 2 2. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc nhau. Trên đoạn OB lấy điểm M (khác điểm O). Tiam CM cắt (O) tại điểm thứ hai N . Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến qua N của (O) tại điểm P . 1) Chứng minh tứ giác OM N P nội tiếp. 2) Chứng minh tứ giác CM P O là hình bình hành. 3) Chứng minh tích CM.CN không phụ thuộc vào trí điểm M . 4) Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác CN D đi chuyển trên cung tròn cố định khi M di chuyển trên đoạn OB. Bài V (0, 5 điểm). Giải phương trình x(3 − √ √ √ 3x − 1) = 3×2 + 2x − 1 − x x + 1 + 1. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 158 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 20 Bài I (2, 0 điểm).  √    1 1 2 x √ − : √ + với x > 0, x 6= 1. Cho biểu thức A = √ x−1 x− x x+1 x−1 1) Rút gọn A. 2) Tìm x để a < 2. 3) Chứng minh với mọi giá m 6= 0, luôn có một giá trị của x thỏa mãn A = m. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. 4 Cho một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3 m và cạnh đáy giảm 3 đi 2 m thì diện tích tam giác đó tăng thêm 9 m2 . Tính độ dài cạnh đáy và chiều cao của tam giác đã cho. Bài III (2, 0 điểm). 1) Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d: y = (x2 + 1)x + 2. Gọi A, B lần lượt là gaio điểm của d với Ox và Oy. 1 . 2 b) Tìm m để khoảng cách từ O đến d là lớn nhất. a) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 2) Cho phương trình x2 − 2mx + m2 − m + 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 sao cho M = x21 + x22 có giá trị nhỏ nhất. Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB (AB < AC). Trên dây CB lấy điểm H (khác C và B). AH cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Kẻ HQ vuông góc với AB (Q thuộc AB). Đường thẳng CQ cắt (O) tại F . 1) Chứng minh tứ giác ACHQ nội tiếp. 2) Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của F trên AC, CB. Chứng minh M N , AB, DF đồng quy. 3) Giả sử (O) và AB cố định, C di động trên (O), điểm Q cố định và H luôn là giao điểm của đường vuông góc với AB tại Q với CB. Gọi E là giao điểm của đường AC và QH. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE thuộc một đường cố định. 4) Tiếp tuyến tại C cắt đường thẳng HQ ở I, đường OI cắt CD ở K. Chứng minh OK.OI = R2 và CD luôn đi qua một điểm cố định. r Bài V (0, 5 điểm). Giải phương trình 4x2 − 2x + 1 = 4x3 − x2 + 8x − 2. 4 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 159 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 21 Bài I (2, 0 điểm). √ 1 x x+3 1 √ với x ≥ 0, x 6= 4. +√ − và B = Cho biểu thức A = √ x−2 x+2 4−x 2− x 1) Rút gọn A. B 2) Cho biết A = 3. Tính giá trị của biểu thức P = . 2A√ √ √ √ 3) Tìm x để A ( x − 2) + 5 x = x + 4 + x + 16 + 9 − x. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Có một khu vườn hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh thêm 4 m thì diện tích khu vườn tăng 216 m2 , còn nếu chiều rộng tăng thêm 2 m, chiều dài giảm đi 5 m thì diện tích sẽ giảm đi 50 m2 . Tính độ dài các cạnh của khu vườn đó. Bài III (2, 0 điểm). 1 1 1) Cho đường thẳng d: y = −mx − m2 + m + 1 và parabol (P ): y = x2 . 2 2 a) Tìm m để d cắt (P ) tại hai điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho |x1 − x2 | = 5. b) Tìm m để d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt nằm ở bên trái trục tung. 2) Cho phương trình x2 − (2m + 1)x + (m + 1) = 0. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Tìm m để phương trình có một nghiệm không nhỏ hơn 2. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) có dây BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Gọi AD, BE, CF là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC, I là trung điểm của BC. 1) Chứng minh bốn điểm A, F , H, E cùng nằm trên một đường tròn và 4 điểm B, C, E, F cũng nằm trên một đường tròn. 2) Khi cung nhỏ BC có số đo bằng 900 , tính độ dài dây cung BC và diện tích tam giác OBC. 3) Đường thẳng qua E và vuông góc với EI cắt BC tại P . Chứng minh P E 2 = P B.P C. 4) Tìm vị trí của điểm A để tam giác có diện tích nhỏ nhất. s AEH r 1 1 1 Bài V (0, 5 điểm). Giải phương trình x2 + x2 + x + − = (2x3 + x2 + 2x + 1). 4 4 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 160 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 22 Bài I (2, 0 điểm).   √ √ x+3 1 x 3+ x và B = :√ với x > 0, x 6= 9. +√ Cho hai biểu thức A = √ x−9 x x+3 x−3 36 36 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = √ −√ . 3−1 3+1 2) Rút gọn B. 3 3) Tìm x để A.B > . 2 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai người thợ cung làm một công việc trong 15 giờ thì xong việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ rồi người thứ hai làm một mình trong 5 giờ thì được 25% công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc? Bài III (2, 0 điểm).   x + my = 1 1) Cho hệ phương trình . mx − y = −m a) Chứng minh hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m. b) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) sao cho x < 1 và y < 1. 2) Cho đường thẳng d: y = −mx + m + 1 và parabol (P ): y = x2 . Tìm các giá tị của m để d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành đọ x1 , x2 sao cho x21 + x2x < 2. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi C là điểm chỉnh giữa cung AB. Điểm M thuộc cung AC. Hạ M H⊥AB tại H, AC cắt M H tại K, M B cắt AC tại E. Hạ EI⊥AB tại I. 1) Chứng minh BHKC và AM EI là các tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh AK.AC = AM 2 và AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tếp ∆M KC. 3) Cho R = 3cm. Tính giá trị của tổng AE.AC + BE.BM . 4) Chứng minh khi M chuyển động trên cung AC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆IM C luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài V (0, 5 điểm). Giải phương trình x2 + √ √ 2x + 1 + x − 3 = 5x. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 161 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 23 Bài I (2, 0 điểm).   √ √ √ 15 − x 1 x 2 x √ và B = :√ với x ≥ 0, x 6= 25. +√ Cho hai biểu thức A = x− 25 3+ x x+3 x−3 p p √ √ 3 3 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 5 − 2. 5 + 2. 2) Rút gọn B. 3) Đặt P = A + B. Tìm x để P đạt giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một đội xe theo kế hoạch phải chuyển xong 200 tấn than trong một thời gian quy định, mỗi ngày chuyển được một khối lượng than như nhau. Nhờ được bổ sung thêm xe, thực tế mỗi ngày đội chuyển thêm được 5 tấn so với quy định mà còn chuyển vượt mức 25 tấn. Tính khối lượng than mà đội xe phải chuyển trong một ngày theo kế hoạch. Bài III (2, 0 điểm).  2√x + 1 − 3√y − 2 = 5 . 1) Giải hệ phương trình √ 4 x + 1 + √y − 2 = 17 2) Cho phương trình x2 + (m + 2)x − m − 4 = 0 (với m là tham số). a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi giá trị của m. b) Tìm tất cả các giá trị của m để x1 < 0 ≤ x2 . Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) với dây AB cố định khác đường kính, C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn. M và N lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM . Dây M N cắt AB và AC lần lượt tại H và K. 1) Chứng minh BM HI là các tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh M K.M N = M I.M C. 3) Chứng minh tam giác AKI cân tại K và tứ giác AHIK là hình thoi. 4) Chứng minh khi điểm C di động trên cung lớn AB và thỏa mãn điều kiện của đề bài, tổng hai bán kính của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác N AH và tam giác N BH có giá trị không đổi. 2 √ √ Bài V (0, 5 điểm). Giải phương trình x + 2 − 1 = 3x − 8 x + 2 + 11. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 162 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 24 Bài I (2, 0 điểm).   √ √ √ 15 − x 2 x+1 1− x √ và B = :√ với x ≥ 0, x 6= 25. +√ Cho hai biểu thức A = x − 25 1+ x x+5 x−5 √ 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 − 12. 2) Rút gọn B. 3) Đặt P = B − A. Tìm x để P nhận giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một công nhân phải làm xong 120 sản phẩm trong thời gian quy định. Sau khi làm được hai giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác kĩ thuật nên mỗi giờ làm thêm được 3 sản phẩm. Vì vậy, người đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn quy định 1 giờ 36 phút. Tính số sản phẩm người đó dự kiến làm trong mỗi giờ. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho phương trình x2 − 2x + m − 3 = 0 với m là tham số. a) Giải phương trình khi m = 3. b) Tìm giá trị của m đẻ phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x21 − 2x2 + x1 x2 = −12. x2 và đường thẳng d đi qua điểm I (0; 2) có hệ số góc m. 2 a) Chứng minh d luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A, B. 2) Cho parabol (P ): y = b) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên Ox. Chứng minh tam giác IHK vuông tại I. Bài IV (3, 5 điểm). Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là trung điểm của OA và lấy điểm N bất kì thuộc (O) (N không trùng với A và B). Đường thẳng đi qua N và vuông góc với M N cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt tại C và D. 1) Chứng minh CAM N là các tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh AC.BD có giá trị không phụ thuộc vào trí của điểm N . 3) Gọi giao điểm của AD và BC là K. Qua K kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt AB và CD lần lượt tại E, F . Chứng minh KE = KF . 4) Xác định vị trí điểm N trên (O) sao cho diện tích tam giác CM D đạt giá trị nhỏ nhất. √ 2x2 + 4 3 Bài V (0, 5 điểm). Giải phương trình x + 1 = . 5 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 163 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ SỐ 25 Bài I (2, 0 điểm). √ √ 5 4 x−1 x+3 √ + và B = √ − với x ≥ 0, x 6= 1. Cho hai biểu thức A = √ x+1 xp + 1 1 − xp x − 1 √ √ 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 6 − 4 2 + 6 + 4 2. 2) Rút gọn B. 3) Đặt P = A.B. Tìm x hữu tỉ để P có giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Nhà máy luyện thép hiện đã có sẵn hai loại thép chứa 10% cacbon và loại thép chứa 20% cacbon. Giả sử quá trình luyện thép các nguyên liệu được dùng không bị hao hụt, hãy tính khối lượng thép mỗi loại cần dùng để tạo ra 1.000 tấn thép chứa 16% cacbon từ hai loại thép trên. Bài III (2, 0 điểm).  mx + y = m + 1 1) Giải hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x + my = 2m (x; y). Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc tham số m. 2) Cho phương trình x2 − mx − 4 = 0 (với m là tham số). a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 . b) Chứng minh (x21 + x22 ) + 16 (x1 + x2 ) + 56 ≥ 0 với mọi m. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) với dây BC < 2R cố định. Kẻ đường kính BM , điểm A bất kỳ trên tia CB (CA > CB). Gọi E là giao điểm AM với (O), gọi K là giao điểm của OA với (O0 ) ngoại tiếp tam giác ABM . Gọi K là giao điểm của OA với CE. 1) Chứng minh BKHC là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh các tam giác AEK và AHM đồng dạng. 0 M có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm A. 3) Chứng minh AO 4) Xác định vị trí A để AO + 4HO có giá trị nhỏ nhất. √ √ Bài V (0, 5 điểm). Giải phương trình x2 − x − 2 + x2 − 7x + 14 = 2. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 164 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 26 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 36 x+3 x−3 7 x−2 và B = √ −√ − với x ≥ 0, x 6= 9. Cho hai biểu thức A = √ 2 x+1 x−3 x+3 x−9 1) Rút gọn B. 2) Tìm x để A = B. 3) Tìm x để A nhận giá trị là số nguyên dương. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một mảnh vườn hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó. Bài III (2, 0 điểm). 2 2 và √ . 1) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là √ 3+2 3−2 2) Trên ệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P ): y = x2 và đường thẳng d: y = 2x + (m2 + 1) với m là tham số. a) Khi m = √ 3, chứng tỏ d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A, B. Từ đó tính diện tích tam giác OAB (với O là gốc tọa độ). b) Với giá trị nào của m thì d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt M , N sao cho khoảng cách từ M đến trục Oy gấp 2 lần khoảng cách từ N đến trục Oy. Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Đường cao AD, BE cắt nhau tại H, kéo dài BE cắt đường tròn (O; R) tại F . 1) Chứng minh CDHE là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh tam giác AHF cân. 3) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh M E là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE. √ 4) Cho BC cố định và BC = R 3. Xác định vị trí của A trên (O) để DH.DA lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện √ √ x + 2 − y 3 = y + 2 − x3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 2xy − 2y 2 + 2y + 10. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 165 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 27 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 10 − 5 x x x−1 x+2 √ và B = √ √ − √ + với x ≥ 0, x 6= 4, x 6= 9. Cho hai biểu thức A = 1+ x x − 2 √3 − x x − 5 x + 6 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 − 2 2. √ 2) Rút gọn B. 3) Tìm giá trị nhỏ của biểu thức P = A : B. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai địa điểm A và B cách nhau 84 km. Một ô tô khi khởi hành từ A và đi thẳng đến B với vận tốc không đổi. Trên quãng đường từ B về A, vận tốc của ô tô tăng thêm 20 km/giờ. Tính vận tốc lúc đi của ô tô, biết tổng thời gian cả đi và về của ô tô đó là 3 giờ 30 phút. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho phương trình x3 − mx − 2(m − 4) = 0. Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 sao cho: x21 + x22 + x23 + x1 x2 x3 = 25 . 2) Cho parabol (P ): y = x2 và đường thẳng d: y = mx + 2. a) Với m = −1 vẽ d và (P ) trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của (P ) và d. b) Tìm các giá trị của m để d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho x1 − 2×2 = 5. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng d. Qua M kẻ hai tiếp tuyến M A, M B tới đường tròn. Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng d. 1) Chứng minh năm điểm M , A, O, B, H cùng thuộc một đường tròn. 2) Gọi K và I lần lượt là giao điểm của OH và OM với AB. Chứng minh OK.OH = OI.OM 3) Gọi E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác M AB. Giả sử R = 64cm và AM B = 600 , tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác M BA và diện tích viên giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB. 4) Tìm vị trí điểm M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho biết a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá lớn nhất của biểu thức A = a2 + b 2 + c 2 . “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 166 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 28 Bài I (2, 0 điểm). √ √ 2x + 6 x + 7 1 x x+1 √ √ và B = −√ với x ≥ 0. Cho hai biểu thức A = x+2 x+1 x x+1 x+1   p √ √ 1 p 1) Rút gọn A và tìm A khi x = 19 + 8 8 + 19 − 8 3 . 2 2) Rút gọn M = A.B. Tìm x để M > 2. 3) Tìm các số hữu tỉ x để M là số nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nếu mỗi ngày họ làm được 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 4 ngày. Nếu mỗi ngày họ làm ít đi 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch chậm hơn thời hạn 5 ngày. Tính thời gian và số sản phẩm phải làm theo kế hoạch. Bài III (2, 0 điểm).  2x + my = 1 1) Giải hệ phương trình . mx + 2y = 1 a) Chứng minh khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M (x; y) luôn chạy trên một đường thẳng cố định. √ 2 . b) Tìm m để điểm M thuộc đường tròn tâm O là gốc tọa độ và bán kính bằng 2 2) Cho phương trình bậc hai x2 − 2mx + 2m − 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cung dương. Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn thẳng AD. KẺ M N vuông góc với AB tại N , M P vuông góc với AC tại P . Kẻ N H vuông góc với DP tại H. 1) Chứng minh các điểm A, N , M , H, P cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh DM.DA = DH.DP . 3) Chứng minh ba điểm B, M , H thẳng hàng. 4) Tìm vị trí của điểm M để độ dài đoạn thẳng HN đạt giá trị√lớn nhất. 2x + 3 2x − 1 + 1 √ Bài V (0, 5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = . x + 2 2x − 1 + 1 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 167 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 29 Bài I (2, 0 điểm).  Cho hai biểu thức A = 1 2 √ −√ x+3 x √  : x−2 √ với x > 0, x 6= 4. x+3 x 1) Rút gọn A. 2) Tìm x để A √ = 3. x+3 3) Đặt B = A. √ . Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên. x+2 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một người đi xe đạp từ điểm A đến địa điểm B cách nhau 30 km. Khi đi từ B về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6 km. Vì vận tốc lúc về lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 km/giờ nên thời gian về vẫn ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi. Bài III (2, 0 điểm). 1) Cho ba đường thẳng: d1 : y = x + 1, d2 : y = 2x − 1, d3 : y = (m2 + 1)x − m2 + m − 1. Tìm m để ba đường thẳng đồng quy. 2) Cho phương trình x2 − 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0 (với m là tham số). a) Giải phương trình khi m = 3. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Khi đó, xét dấu của hai nghiệm. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) có dây cung AB cố định. Gọi K là điểm chính giữa cung nhỏ AB kẻ đường kính IK cắt AB tại N . Lấy điểm M bất kì trên cung lớn AB, M K cắt AB tịa D. Hai đường thẳng IM và AB cắt nhau tại C. 1) Chứng minh M N KC là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh IM.IC = IN.KI. 3) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng ID và CK, chứng minh E thuộc (O) và N C là phân giác của góc M N E. 4) Xác định vị trí của điểm M trên cung lớn AB để tích DM.DK đạt giá trị lớn. Bài V (0, 5 điểm). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc và a2 = bc. Chứng √ minh a = 0 hoặc |a| ≥ 3. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 168 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ SỐ 30 Bài I (2, 0 điểm).   √ √ √ 2 x−1 x − 15 x+1 và B = √ + với x ≥ 0, x 6= 25. :√ Cho các biểu thức A = √ x+1 x − 5√ 25 − x x−5 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 − 2 2. 2) Rút gọn B. 3) Đặt P = A + B. Tìm x để P đạt giá trị nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai địa điểm A và B cách nhau 120 km. Một ô tô khởi hành từ A và đi đến B với vận tốc không đổi. Trên quãng đường từ B về A, vận tốc của ô tô tăng thêm 20 km/giờ nên thời gian về rút ngắn hơn so với thời gian đi 18 phút. Hỏi vận tốc của ô tô lúc đi từ A đến B là bao nhiêu. Bài III (2, 0 điểm). √ 1) Giải phương trình 3x − 4 − 3x − 2 = 0. 1 2) Cho parabpl (P ): y = x2 và đường thẳng d: y = mx + 2. 2 1 a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P ) khi m = . 2 √ b) Chứng minh d luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt với mọi m và |x1 − x2 | ≥ 4 2 với x1 , x2 là hoành độ các giao điểm. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) và điểm M ở ngoài (O). Vẽ tiếp tuyến M A tới (O) (A là tiếp điểm). Gọi E là trung điểm đoạn AM và các điểm I, H theo thứ tự là hình chiếu của E và A xuống OM . Qua M vẽ cát tuyến M BC tới (O) (M A < M C và tia M C ở giữa hai tia M O, M A). 1) Chứng minh các tam giác M BH và M OC đồng giác. Từ đó suy ra tứ giác BCOH nội tiếp được. = AHC. 2) Chứng minh AHB 3) Vẽ tiếp tuyến IK tới (O). Chứng minh tam giác M KH vuông. 4) Cho biết BC = BM và D trung điểm đoạn M C. Chứng minh M C là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ODH. Bài V (0, 5 điểm). Cho các số x, y, z không âm và x + y + z ≤ 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 2 thức. M= p p √ x2 + 4xy + y 2 + y 2 + 4yz + z 2 + z 2 + 4zx + x2 . "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 169 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội MỘT SỐ ĐỀ ĐỀ THI THỬ NĂM 2018 ĐỀ 1: (TRƯỜNG THCS THỰC NGHIỆM - HÀ NỘI NĂM 2018) Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 4 x−1 x x−1 x x+1 √ + √ − √ và Q = √ với x > 0; x 6= 1. Cho biểu thức P = x− x x+ x x x+1 a) Tính giá trị của Q khi x = 25. b) Rút gọn biểu thức A = P.Q. √ c) Tìm các giá trị của x để A x < 8. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một ô tô di chuyển từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến B sớm hơn dự định là 2 giờ. Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thì đến B chậm hơn dự định là 1. Tính khảng cách AB, vận tốc và thời gian dự định của ô tố. Bài III (2, 0 điểm). √ 1 +2 y−3=7 x+2 a) Giải hệ phương trình √ 2   − 3 y − 3 = −7 x + 2 (m + 1)x − y = 3 b). Cho hệ phương trình  mx + y = m    Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện 2x + y > 0. Bài IV (3, 5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tòn tâm O bán kính R. Đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Kéo dài BE cắt đường tròn (O) tại F . a) Chứng minh tứ giác CHDE là tứ giác nội tiếp. b) Kéo dài AD cắt (O) tại N . Chứng minh ∆AHF cân và C là điểm chính giữa cung N F . c) Gọi M là trung điểm AB. Chứng minh M E là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆CDE. √ d) Cho điểm B, C cố định và BC = R 3. Hãy xác định vị trí điểm A trên (O; R) để DH.DA lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 3. Tìm giá trị x z y lớn nhất của biểu thức P = √ +p +√ . x2 + 3 z2 + 3 y2 + 3 Hướng dẫn Bài V (2, 0s điểm). Ta có   r x x2 x x 1 x x √ = = ≤ + (áp dụng cô si ở mẫu). (x + y)(x + z) (x + y) (x + z) 2 x+y x+z x2 + 3   y 1 y y Tương tự: p ≤ + . 2 y+z z+y y2 + 3 “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 170 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội   1 z z √ ≤ + . z2 + 3  2 y + z z + x  1 x x y y z z 1 3 ⇒P ≤ + + + + + = .3 = 2 x+y x+z y+z z+y y+z z+x 2 2 Dấu ” = ” xảy ra ⇔ x = y = z = 1. z “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 171 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ 2: SƯU TẦM VÀ BIÊN SOẠN 2018 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ 8 x 2 x+3 3 x √ + + với x ≥ 0; x 6= 4. và Q = 2 − √ Cho biểu thức P = √ x+2 2− x x−4 x+2 1) Tính giá trị của Q khi x = 100. 2) Rút gọn biểu thức A = P.Q. 3) Tìm các giá trị nhỏ nhất của √ A. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một nhóm gồm 15 học sinh (cả nam và nữ) tham gia buổi lao động trồng cây. Các bạn nam trồng được 30 cây, các bạn nữ trồng được 36 cây. Mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau và mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây. Bài III (2, 0 điểm).  1 x  x 2 + + 2 = 3 y y 1) Giải hệ phương trình x 1   x+ + =3 y y 1 1 2). Cho parapol (P ): y = mx − m2 + m + 1 và đường thẳng (d): y = x2 . 2 2 a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P ). b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho |x1 − x2 | = 2. Bài IV (3, 5 điểm). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến M A, M B với đường tròn ( A, B là các tiếp điểm). Lấy điểm C trên cung nhỏ AC ( C không trùng với A và B ). Từ điểm C kẻ CD vuông góc với AB, CE vuông góc với M A, CF vuông góc với M B (D ∈ AB, E ∈ M A, F ∈ M B). Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF . Chứng minh rằng: 1) Tứ giác ADCE nội tiếp một đường tròn. 2) Hai tam giác CDE và CF D đồng dạng. [. 3) Tia đối của CD là tia phân giác của góc ECF 4) Đường thẳng IK song song với đường thẳng AB. Bài V (0, 5 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị 1 1 1 1 nhỏ nhất của biểu thức P = 2 + + + . 2 2 a +b +c ab bc ca Hướng dẫn Bài II (2, 0 điểm). Gọi số học sinh nam là x (x ∈ N ∗ ; x < 15) ⇒ Số học sinh nữ là 15 − x. 30 36 Mỗi bạn nam trồng được (cây), mỗi bạn nữ trồng được (cây). x 15 − x "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 172 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Vì mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây nên ta có phương trình: 36 30 − = 1. x 15 − x Giải phương trình được: x1 = 75 (loại); x2 = 6 (nhận). Vậy nhóm có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ. "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 173 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 3: TRƯỜNG THPT THĂNG LONG 2018 Bài I (2, 0 điểm). √ √ √ x3 − x + 2x − 2 2x − 3 x − 2 √ √ và B = với x ≥ 0; x 6= 4. Cho biểu thức A = x−2 x+2 √ 1) Tính giá trị của A khi x = 4 − 2 3. 2) Tính giá trị của x để B = A + 1. 3) Tìm các giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = B − A. Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian xác định. Nếu chạy với vận tốc 35 km/giờ thì đến B chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/giờ thì đến B sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đi ban đầu. Bài III (2, 0 điểm).  2y x+3   + =8 3 y−2 1) Giải hệ phương trình 3y x+3  2 + = 13 3 y−2 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d1 ): y = −mx + m + 1 và (d2 ): y = 5 1 x−1− m m với m là tham số khác 0. a) Chứng minh rằng (d1 ) và (d2 ) luôn vuông góc với nhau với mọi giá trị của tham số m 6= 0. b) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d1 ) luôn đi qua. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng luôn thuộc một đường cố định. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) bán kính R. Điểm A thuộc đường tròn, BC là một đường kính (A 6= B, A 6= C). Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi E, M lần lượt là trung điểm của AB, AH và P là giao điểm của OE với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R). 1) Chứng minh rằng: AB 2 = BH.BC. 2) Chứng minh: P B là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3) Chứng minh ba điểm P , M , Q thẳng hàng. 4) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng P A với tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Khi A thay đổi trên đường tròn (O). Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng OP + OQ. Bài V (0, 5 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x ≤ 1, y ≤ 1, z ≤ 1 và 3 x + y + z = . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y 2 + z 2 . 2 "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 174 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 4: TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HÀ NỘI - Amsterdam 25/03/2018 Bài I (2, 0 điểm).  √  √ 8x x − 1 8x x + 1 2x + 1 1 1 x−2 √ và B = √ − √ : với x > 0; x 6= ; x 6= . Cho biểu thức A = 2x − 1 2 4 2+ x 2x − x√ 2 x + x √ 5 2−1 1) Chứng minh khi x = 3 + 2 2 thì A = . 7 2) Rút gọn biểu thức B. x−2 A = √ . 3) Tìm các giá trị của x để biểu thức B 4 x Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một phòng họp có 180 ghế và được chia thành các dãy có số ghế ở mỗi dãy đều bằng nhau. Nếu kê thêm cho mỗi dãy 5 ghế và bớt đi 3 dãy thì số ghế trong phòng không thay đổi. Hỏi ban đầu số ghế trong phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy. Bài III (2, 0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P ): y = x2 và đường thẳng (d): y = (m − 2)x + 3 với m là tham số. 1) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d) luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. 2) Gọi x1 , x2 là hoành độ các giao điểm A, B của (d) và (P ) với x1 < 0 < x2 . Xét các điểm A(x1 ); x21 ), B(x2 ; x22 ), C(x1 ; 0), D(x2 ; 0). Tìm tất cả các giá trị của m để hai tam giác AOC và BOD có diện tích bằng nhau. Bài IV (3, 5 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB = R. Trên đoạn OA lấy điểm I (I 6= A và O). Từ I Vẽ tia Ix vuông góc với AB cắt (O; R) tại C. Lấy điểm E tùy ý trên cung nhỏ BC (E 6= B và C). Nối AE cắt CI tại F . Gọi D là giao điểm của tia BC với tiếp tuyến tại A của (O; R). 1) Chứng minh rằng: BEF I là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh: AE.AF = CB.CD. 3) Tia BE cắt tia CI tại K. Giả sử I và F lần lượt là trung điểm của AO và BC. Chứng minh ∆AIF ∼ ∆KIB từ đó tính độ dài đoạn IK theo R. 4) Khi I là trung điểm của OA và E chạy trên cung nhỏ BC. Tìm vị trí điểm E để biểu thức EB + EC đạt giá trị lớn nhất. Bài V (0, 5 điểm). Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1. Chứng minh: 1 1 4ab 4bc 4ca 1 + + + + + ≥ 9. 2a − 1 2b − 1 2c − 1 1 + ab 1 + bc 1 + ca "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 175 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 5: THPT Nguyễn Tất Thành - 2018 Bài I (2, 0 điểm).   √  √ √ √ x x+3 x+2 x+2 √ + √ : √ + Cho biểu thức A = 1 − √ x+1 x−2 3− x x−5 x+6 1) Tìm điều kiện xác định của A và rút gọn A. √ 18 2) Tìm giá trị của x biết A = x − . 5 Bài II (1, 0 điểm). Cho phương trình (m − 1)x2 − 2mx + m − 2 = 0 ẩn x. Tìm m để phương trình √ có một nghiệm x = − 2. Tìm nghiệm còn lại. Bài III (1, 0 điểm). Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P ) và đường thẳng d có phương trình y = mx−1. Tìm m để (d) và (P ): 1) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 2) Tiếp xúc nhau. 3) Không có điểm chung nào. Bài IV (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Trong một phòng họp ghế được xếp theo hàng và số ghế mỗi hàng là bằng nhau. Nếu kê bớt đi hai hàng và mỗi hàng bớt đi hai ghế thì tổng số ghế trong phòng họp đó giảm đi 80 ghế so với ban đầu. Nếu xếp thêm một hàng và mỗi hàng xếp thêm hai ghế thì tổng số ghế trong phòng họp đó tăng thêm 68 ghế so với ban đầu. Tính số hàng ghế và số ghế trong phòng họp đó lúc ban đầu. Bài V (3, 5 điểm). CHo đường tròn (O; R). Qua điểm A cố định nằm ngoài đường tròn kẻ đường thẳng d vuông góc với OA. Từ điểm B bất kì trên đường thẳng d (B không trùng với A), kẻ các tiếp tuyến BA và BC với (O; R) (D, C là các tiếp điểm). Dây CD cắt OB tại N , cắt OA tại P . 1) Chứng minh rằng các tứ giác OCBD và BN P A là các tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh: OA.OP = OB.ON = R2 . = 300 và R = 6cm. Tính diện tích tứ giác BCOD và diện tích hình được giới hạn 3) Cho CBO bởi cung nhỏ DC và dây DC. 4) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AO với đường tròn (O) ((O) nằm giữa A và E). Khi B di chuyển trên đường thẳng d chứng minh trọng taam G của tam giác ACE thuộc một đường tròn cố định. Bài VI (1, 0 điểm). 1) Cho a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S= √ √ √ a2 + 4ab + b2 + b2 + 4bc + c2 + c2 + 4ca + a2 . √ 2) Giải phương trình: 5 x3 + 8 = 2(x2 − x + 6). "Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 176 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 6: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 2018 (Vòng 1 đợt 1) Bài I (3, 0 điểm). 1) Giải phương trình. x2 + 1 + √ x2 + x + 2 = 2x + √ 3x + 1. 2) Giải hệ phương trình.   x2 + 4y 2 = 5 5x + 10y + 4x2 y + 8y 2 x = 27 . Bài II (3, 0 điểm). 1) Tìm tất cả các ước số nguyên dương phân biệt của số n = (420)4 . 2) Với a, b, c > 0 và min(ab, bc, ca ≥ 1). Chứng minh rằng: 2 !  2 !  2 !  b + c c + a a + b 1+ 1+ . (1 + a2 )(1 + b2 )(1 + c2 ) ≤ 1 + 2 2 2 Bài III (3, 0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O với BA > BC. Phân giác ngoài góc ABC cắt đường thẳng qua A song song với BC tại P . 1) Chứng minh AP = AB. 2) Tiếp tuyến qua A của (O) cắt P B tại Q. BP cắt (O) tại M khác B. Chứng minh rằng: M A2 = M Q.M P . [ 3) Gọi R đối xứng với Q qua AC. Chứng minh góc AP R = CP B. Bài IV (1, 0 điểm). Giả sử số nguyên dương n có tính chất: có tồn tại một cách sắp xếp a1 , a2 , . . . , a2 n của 2n số 1, 1, 2, 2, . . . , n, n sao cho với mỗi k = 1, 2, . . . , n luôn tồn tại đúng k số xếp giữa hai số k. Chứng minh rằng n2 + n chia hết cho 4. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 177 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ 7: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội – 2018 (Vòng 2 đợt 1) Bài I (3, 0 điểm). 1) Giải hệ phương trình.   xy(x + y) = 2 y 3 + y + 6 = 7×3 + x . 2) Với a, b, c là các số thực bất kỳ, chứng minh bất biểu thức. Q= c b a c b a . + . + . . a−b c−b b−c a−c c−a b−a nhận giá trị nguyên. Bài II (3, 0 điểm). 1) Xét các số nguyên tố n1 < n2 < n3 < ... < n31 . Giả sử n41 + n42 + ... + n431 chia hết cho 30. Chứng minh trong dãy số tồn tại 3 số nguyên tố liên tiếp. 2) Với x, y, z là các số thực thỏa mãn x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y 2 + z 2 . Bài III (3, 0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC và P là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. D, E, F lần lượt là hình chiếu của P lên BC, CA, AB. (I) là đường tròn ngoại tiếp ∆DEF . 1) Giả sử (I) cắt AB tại K khác F . Trung trực của DE cắt DK tại G. Chứng minh rằng G luôn nằm trên một đường thẳng d cố định khi P thay đổi. 2) Lấy J thuộc d sao cho IJ//BP . Chứng minh rằng IJ và BC cắt nhau trên đường tròn (I). Bài IV (1, 0 điểm). Chứng minh rằng với hợp số n > 4 không tồn tại một cách sắp xếp a1 , a2 , … an của các số 1, 2, … n sao cho các số a1 , a1 a2 , a1 a2 a3 , … a1 a2 …an có số dư đôi một phân biệt khi chia cho n. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 178 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ 8: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội – 03 – 03 – 2018 Bài I (3, 0 điểm). 1) Giải phương trình. √ √ x2 + 8x + 6 + x2 − 1 = 2x + 2. 2) Giải hệ phương trình.  x2 − y 2 + 3 = 4x + 2y  x2 + xy + y 2 = 3 . Bài II (3, 0 điểm). 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 − 2xy − x + y + 3 = 0 2) Với các só thực dương a, thỏa mãn a + b = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= √ b a +√ . 2 4−a 4 − b2 Bài III (3, 0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC với E, F làn lượt là hình chiếu vuông góc của B C lên cạnh CA, AB. Gọi M , N và Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BE, CF , CA và AB. Đường thẳng M N cắ CA, AB lần lượt tại K, L. KC LF = . KE LB 2) Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp tam giác AKL nằm trên đường thẳng P Q. 1) Chứng minh rằng Bài IV (1, 0 điểm). Cho 9 nguyên dương, mỗi số chỉ có các ước nguyên tố 2, 3, 5. Chứng minh rằng trong 9 số này luôn tồn tại hai số mà tích của chúng bằng bình phương của một số nguyên. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 179 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ 9: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội – 07 – 04 – 2018 (Toán chung đợt 3) Bài I (3, 0 điểm). 1) Giải phương trình. √ √ √ x + 2(x + 2x + 1) = x + 2 + x 2x + 1. 2) Giải hệ phương trình.   x3 + 2xy = 3 . x3 + 3x = 4y 3 Bài II (3, 0 điểm). 1) Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho 2p2 + 1 là số nguyên tố. 2) Cho các số a, b thỏa mãn a2 − b2 = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 2a − b. Bài III (3, 0 điểm). [ Gọi O và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Cho tam giác nhọn ABC có BAC. 1) Chứng minh BCHO là tứ giác nội tiếp. √ 2) Chứng minh BH − HC = 3HO. Bài IV (1, 0 điểm). Xếp 2018 quả bóng được đánh số từ 1 đến 2018 lên một đường tròn. Với hai quả bóng bất kì được xếp kề nhau, ta tính hiệu của hai số ghi trên hai quả bóng (lấy số lớn trừ số bé). Gọi S là tổng tất các hiệu đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của S. “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 180 Ths: Lê Văn Hưng Phone: 0165.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 – Hà Nội ĐỀ 10: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội – 08 – 04 – 2018 (Toán chuyên đợt 3) Bài I (3, 0 điểm). 1) Giải phương trình. √ √ √ x + 1 + 2 4 − x − 4 + 3x − x2 = 3x − 7. 2) Giải hệ phương trình.   x3 − 9y 3 = 18 . xy(x − y) = 6 Bài II (3, 0 điểm). 1) Tìm tất cả các số nguyên dương m (m > 1) sao cho tồn tại số nguyên n để n2 +2 và (n+1)2 +2 đều chia hết cho m. 2) Cho các số a, b, c thỏa mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Chứng minh rằng a+b+c> √ a+ √ √ b+ c Bài III (3, 0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB với AD > BC. Gọi (ω) là đường tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại O. Gọi E là giao điểm của đường thẳng OD và (ω) (E khác và đường thẳng BD. O) và I là giao điểm của đường phân giác COD 1) Chứng minh BCIF là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp ∆OCE. Bài IV (1, 0 điểm). Xét tập S = {1, 2, 3, …, 9, 10, 11}. Chứng minh rằng với mọi cách chia tập S thành hai tập con thì luôn tồn tại ba phần tử a, b, c thuộc cùng một tập con sao cho a + b = c. “KIẾN THỨC CỦA CHÚNG TA CHÍNH LÀ CÁI MIỆNG GIẾNG MIỆNG GIẾNG CÀNG TO THÌ ĐÀO GIẾNG ĐƯỢC CÀNG SÂU”. —– CHÚC CÁC EM ÔN THI TỐT —– TÀI LIỆU SẼ LUÔN ĐƯỢC CẬP NHẬT VÀ CHỈNH SỬA ĐỂ PHÙ HỢP VỚI CÁC NĂM —– TO BE CONTINUED —– “Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học” 181
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top