225 bài toán hình học không gian trong các đề thi thử 2016 – Trần Văn Tài

Giới thiệu 225 bài toán hình học không gian trong các đề thi thử 2016 – Trần Văn Tài

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc 225 bài toán hình học không gian trong các đề thi thử 2016 – Trần Văn Tài CHƯƠNG MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU.

225 bài toán hình học không gian trong các đề thi thử 2016 – Trần Văn Tài

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu 225 bài toán hình học không gian trong các đề thi thử 2016 – Trần Văn Tài

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text 225 bài toán hình học không gian trong các đề thi thử 2016 – Trần Văn Tài
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016 BÀI 1 (THPT SỐ 3 BẢO THẮNG – LÀO CAI). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh bằng 4a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đ{y. Góc giữa cạnh SC v| mặt phẳng (ABCD) bằng 600 , M l| trung điểm của BC , N l| điểm thuộc cạnh AD sao cho DN = a . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB và MN. Lời giải. S K A F B H M E N D C ▪ Ta có SA  (ABCD)  AC l| hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD). Suy ra góc giữa cạnh SC v| mặt phẳng (ABCD) là góc SCA . Tam gi{c ABC vuông tại B, theo định lý Pytago ta có: AC 2  AB 2  BC 2  32a 2  AC  4a 2  SA  AC.tan 600  4a 6 1 64a3 6 2 (đvtt) S ABCD  4a.4a  16a  VS . ABCD  .16a .4a 6  3 3 ▪ Gọi E l| trung điểm của đoạn AD , F l| trung điểm của AE  BF // MN nên MN / /(SBF )  d ( MN , SB)  d  MN ,  SBF    d  N ,  SBF   2 Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ AH  BF , H  BF , trong mặt phẳng (SAH) kẻ AK  SH , K  SH  BF  AH  AK  SH . Ta có   BF  ( SAH )  BF  AK . Do   AK  ( SBF )  BF  SA  AK  BF  d  A,  SBF    AK Lại có : 1 1 1 103 4a 618 1 1 1 17 và     AK     2 2 2 2 2 2 2 2 103 AH AB AF 16a AK AS AH 96a d  N ,  SBF   d  A,  SBF    NF 8a 618  2  d  N ,  SBF    . AF 103 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 1 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Vậy VS . ABCD  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 64a3 6 8a 618 và d (MN , SB)  . 103 3 BÀI 2 (THPT BÌNH MINH – NINH BÌNH). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD là hình thoi tâm I v| có cạnh bằng a, góc BAD bằng 600 .Gọi H l| trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 . Tính thể tích của khối chóp S.AHCD v| tính khoảng c{ch từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) . Lời giải. S K B C H I E A ▪ Ta có SH (ABCD) HC l| hình chiếu vuông góc của SC trên (SC ,(ABCD)) (ABCD) Theo giả thiết BAD D 450 SCH 600 BD BAD đều 3 a; AI 4 a ; HD a 3 2 và AC 2AI a 3 Xét SHC vuông c}n tại H , theo định lý Pitago ta có: SH HC IC 2 HI a 4 2 2 a 3 2 2 13 a. 4 1 1 1 39 3 SH .SAHCD SH . AC .HD a 3 3 2 32 ▪ Trong (ABCD) kẻ HE CD và trong (SHE ) kẻ HK Vậy VS .AHCD CD HE CD SH (SH (ABCD )) Từ (1) v| (2) suy ra HK Xét CD (SCD) HED vuông tại E , ta có HE Xét SHE vuông tại H , ta có HK (SHE ) CD d(H,(SCD)) 3 3 a 8 SH .HE SH HE HK (2) HK HD.sin 600 2 SE (1). Ta có: 3 39 2 4 79 a THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 2 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Mà d (B,(SCD )) d (H ,(SCD )) Do AB / /(SCD) Kết luận: VS .AHCD BD HD 4 3 d (B,(SCD )) d(A,(SCD)) CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 4 d (H ,(SCD )) 3 39 d(B,(SCD)) 39 3 a ; d(A,(SCD)) 32 39 79 79 4 HK 3 39 79 a a. a. BÀI 3 (THPT BỐ HẠ). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB  2a, AD  a 3 . Mặt bên SAB l| tam gi{c c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đ{y. Biết đường thẳng SD tạo với mặt đ{y một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA v| BD. Lời giải. S K C B x H I A D Gọi hình chiếu của S trên AB l| H. Ta có SH  AB,(SAB)  ( ABCD)  AB,(SAB)  ( ABCD)  SH  ( ABCD) SH  ( ABCD) , suy ra góc giữa SD v| (ABCD) l| SDH  450 . Khi đó tam gi{c SHD vuông c}n tại H, suy ra SH  HD  2a , 1 4a 3 3 (đvtt) Khi đó thể tích lăng trụ l| VS . ABCD  SH .S ABCD  3 3 Kẻ Ax//BD nên BD//(SAx) m| SA  (SAx)  d (BD,SA)  d (BD,(SAx))  d (B,(SAx))  2d (H,(SAx)) Gọi I, K lần lượt l| hình chiếu của H trên Ax và SI Chứng minh được HK  (SAx) Tính được HK  2a 93 4a 93 .  d (BD,SA)  2d (H, (SAx))  2 HK  31 31 Đặt AD  x( x  0)  AB  3x, AN  2 x, NB  x, DN  x 5, BD  x 10 Xét tam giác BDN có cos BDN  BD 2  DN 2  NB 2 7 2  . 2 BD.DN 10 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 3 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 4 (TRUNG TÂM GDTX-HN CAM RANH (LẦN 1) – KHÁNH HÒA). Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c đều cạnh a, tam gi{c SAC c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, SB tạo với đ{y một góc 300. M l| trung điểm cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB v| AM. Lời giải. S K A C H J x M I B  ( SAC )   ABC   SH  (BAC) Gọi H l| trung điểm cạnh AC, ta có:  ( SAC )  ABC  AC     Theo đề b|i:  SB;  ABC   = SBH  300 ; BH = a 3 1 a a 3  SH  BH .tan 300 = . = 2 2 3 2 a2 3 (đvdt). 4 1 1 a a 2 3 a3 3 (đvtt).  VS . ABC = SH .SABC  . .  3 3 2 4 24 Kẻ tia Bx song song với AM SABC  (SBx) // AM  d(SB;(ABM))  d(AM;(SBx)) Kẻ HI  Bx; HI  AM   J  ; (SHI)  (SBx), (SHI)  (HBx)  SI. Kẻ HK  SI, suy ra d(H;(SBx))  HK. 1 1 1 1 1 52 3a      2    Tam giác vuông SHI: . 2 2 2 2 2 HK HI HS 9a 52  3a   a       4  2 a a 13 2 3  Vì HK= IJ  d(SB;AM)  d(J;(SBx))  IJ  HK  . 3 13 2 13 BÀI 5 (TRUNG TÂM GDTX-HN CAM RANH (LẦN 2) – KHÁNH HÒA). Cho hình chóp tứ gi{c đều S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam gi{c c}n tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y (ABCD), cạnh bên SC hợp với mặt phẳng đ{y một góc 600 . 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 4 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 2. Tính góc hợp bởi giữa mặt bên (SCD) với đ{y. Lời giải. S H A D φ K B 600 C Gọi H l| trung điểm AB. Kẻ SH  AB. Do (SAB)  (ABCD) Nên SH l| đường cao của khối chóp S.ABCD  HC l| hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABCD)   (SC;(ABCD)) = SCH a a 5 HBC vuông tại B: HC= BC 2  HB 2  a 2  ( ) 2  2 2 a 5 a 15 ) tan 600  SHC vuông tại H : SH  HC tan(SHC )  ( 2 2 3 1 1 a 15 a 15 (đvtt)  VSABCD  S ABCD .SH  (a 2 )( ) 3 3 2 6 Ta có SC=SD ( SBC  SAD ).Gọi K l| trung điểm CD a a 5 SK  CD iữa   SKH là góc g HBC vuông tại B: HC= BC 2  HB 2  a 2  ( ) 2  2 2  HK  CD hai mặt phẳng (SCD) v| mặt đ{y(ABCD) Gọi  l| góc giữa hai mặt phẳng (SCD) v| (ABCD) SH  SHK vuông tại H: tan  = HK a 15 2  15 . Từ đó suy ra  ? a 2 BÀI 6 (THPT CHUYÊN BẮC GIANG – BẮC GIANG). Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a, ABC = 1200. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh A’B’, góc giữa đường thẳng AC’ v| mặt phẳng (A’B’C’) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ v| góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) v| (ABC). Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 5 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN A C M K B A’ C’ H B’ Gọi H l| trung điểm của A’B’, vì AH  (A’B’C’) nên góc giữa AC’ v| (A’B’C’) l|  AC ‘, HC ‘  AC ‘ H  600 . A’ B ‘ a  . 2 2 Áp dụng định lí cosin v|o tam gi{c HB’C’ ta có: Ta có: A ‘ B ‘  AB  a, B ‘ C ‘  BC  2a, B ‘ H  a 21 21a 2 HC ‘  HB ‘  B ‘ C ‘  2 HB ‘.B’C’.cos120   HC ‘  4 2 3a 7 AHC ‘ vuông tại H: AH  HC ‘.tan 600  2 1 a2 3 0 Diện tích ABC : SABC  AB.BC.sin120  . 2 2 3a3 21 . Thể tích lăng trụ: VABC . A ‘ B ‘C ‘  AH .SABC  4 Gọi M l| trung điểm AB. Vẽ MK  BC tại K. Ta có: AHB’M l| hình chữ nhật. suy ra B’M  (ABC)  BC  B’M  BC  (B’MK). Suy ra BC  B’K. 2 2 2 0 Vậy góc giữa (BCC’B’) v| (ABC) l|   (MK; KB’)  MKB 3a 7 Ta có: B ‘ M  AH  . 2 a 3 MKB vuông tại K: MK  MB.sin 600  4 B’M MKB ‘ vuông tại M: tan    2 21 MK Vậy góc giữa (BCC’B’) v| (ABC) l|   arctan 2 21 . BÀI 7 (THPT CHUYÊN BẮC NINH). Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đ{y ABC l| tam gi{c đều cạnh a, B’A = B’C = B’C, góc giữa cạnh bên BB’ v| (ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AC, BB’. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 6 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN A’ C’ B’ A K M C H B Gọi H l| hình chiếu vuông góc của B’ trên mặt phẳng (ABC). Góc giữa B’B vằ mặt phẳng (ABC) l| B ‘ BH  600 Vì BA  BB  B ‘ C nên H l| t}m đường tròn ngoại tiếp tam gi{c đều ABC. Gọi M l| trung điểm AC. Vì ABC l| tam gi{c đều nên BM  AC v| H l| trọng t}m ABC . Xét tam giác vuông AMB ta có: a 3 2 a 3  BH  BM  BM  AB.sin 600  3 3 2 Tam gi{c BB’H vuông tại H: BH  BH .tan 600  a a3 3 Vậy VABC . A ‘ B ‘C ‘  BH .SABC  4 Kẻ MK vuông góc với BB’ tại K. Vì AC  B ‘ H , AC  BM nên AC   B ‘ BM   AC  MK .  MK  AC   MK  d  AC , BB ‘ .  MK  BB ‘ Tam giác MKB vuông tại K: MK  BM .sin600  3a  d  AC , BB ‘ . 4 BÀI 8 (THPT CHUYÊN HÙNG VƢƠNG). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông 2 . Gọi M l| trung 5 điểm BC, N l| giao điểm của DM với AC, H l| hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích hình chóp S.ABMN v| khoảng c{ch từ điểm H tới mặt phẳng (SDM). Lời giải. góc với đ{y ABCD. Cạnh bên SC tạo với đ{y ABCD một góc α v| tan   THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 7 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S H K D A N B M C E Vì A l| hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) nên góc giữa SC v| mặt phẳng (ABCD) là  SC ; CA  SCA   . Tam gi{c ADC vuông tại D: AC  AD 2  CD 2  a 5 Tam gi{c SAC vuông tại A: SA  AC.tan   a 2 ABM và MCD vuông cân nên MA  MD  a 2 Theo định lý Pitago đảo, ta có AMD vuông tại M. MN MC 1 1 a 2    MN  MD  ND AD 2 3 3 1 1 5a 2 Ta có: SBMN  SABM  SAMN  AB.BM  AM .MN  2 2 6 1 1 5a 2 5a3 2 Tính thể tích khối chóp: VS . ABMN  SA.S ABMN  a 2.  3 3 6 18 Vẽ AK  SM tại K. Vì DM  AM , DM  SA nên DM   SAM   DM  AK Vì MC // AD nên Suy ra AK   SDM  Hai tam gi{c vuông AHS v| AHB đồng dạng (g.g) nên 2 SH HA SA HS HA  SA  HS 2    .   2  S  SB   HA HB AB HA HB  AB  HB 3 2 Mà S   SDM  nên d  d  H ;  SDM    d  B;  SDM   3 EB BM 1 Gọi giao AD v| DM l| E. Vì BM // AD nên   EA AD 2 1 1 1 Mà E   SDM  nên d  B;  SDM    d  A;  SDM    d  d  A;  SDM    AK 2 3 3 1 1 1 Tam gi{c SAM vuông tại A nên    AK  a AK 2 SA2 AM 2 a Vậy khoảng c{ch từ H đến (SDM) l| . 3 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 8 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 9 (THPT CHUYÊN KHTN – HÀ NỘI (LẦN 2)). Cho lăng trụ tam gi{c đều ABC.A’B’C’ có AB = 2a, góc giữa AB’ v| BC’ bằng 60 0 . Tính thể tích của lăng trụ. Lời giải. A C B C’ A’ B’ 1 1 3 AB. AC.sin A  .2a.2a .  3a 2 . Đặt BB’  x . 2 2 2 Mặt kh{c ta lại có: AB  BB  BA , BC  BB  BC Ta có: SABC  AB.BC x 2  2a 2  AB.BC 4a 2  x 2 1 x 2  2a 2 Với AB, BC  600   2  x  2a 2 2 4a  x 2  V  2 2a. 3a 2  2 6a 3 .    cos AB, BC      Với AB, BC  1200  x  0 (loại). Vậy V  2 6a 3 (đvtt). BÀI 10 (THPT CHUYÊN KHTN – HÀ NỘI (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c c}n tại A trong đó AB  AC  a, BAC  120o ; mặt bên SAB l| tam gi{c đều v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC v| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 9 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S O D I C B H A Gọi H l| trung điểm của AB thì H l| ch}n đường cao hạ từ đỉnh S của hình chóp. Ta có: 1 1 a 3 1 a3 VS . ABC  SH .SABC  . . .a.a.sin1200  3 3 2 2 8 Gọi D l| điểm đối xứng của A qua BC thì D l| t}m đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ABC. Ta có tam gi{c DAB đều v| do đó. DH  AB . Suy ra DH   SAB  . Từ D, dựng đường thẳng  song song với đường thẳng SH thì  l| trục của đường tròn ngoại tiếp đ{y. Gọi I l| t}m tam gi{c đều SAB v| trong mặt phẳng (SHD), dựng đường thẳng d đi qua I v| song song với DH thì d l| trục của đường tròn ngoại tiếp mặt cầu (SAB). Gọi O    d thì O l| t}m mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Ta có: 2 1 a 3  a 39 2 . R  OC  OD  DC   .   a  6 3 2  2 2 BÀI 11 (THPT CHUYÊN LÀO CAI (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) v| mặt phẳng (ABCD) bằng 60o . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. Tính theo a khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA v| BD. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 10 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S I A D M H B N C Gọi N l| trung điểm CD Ta có SH  (ABCD) nên (SHN)  (ABCD) HN // BC  HN  CD. Mà SH  CD nên CD  (SHN) Mà CD  (SCD) nên (SCD)  (SHN) Vậy mặt phẳng (SHN) cùng vuông góc với (ABCD) v| (SCD) (SHN)  (ABCD)  HN; (SHN)  (SCD)  SN  Góc giữa (SCD) v| (ABCD) l| SNH  600 Vì HNCB l| hình chữ nhật nên MN  BC  2a . Tam giác SMN vuông tại M: SM  MN .tan 600  2a 3 1 1 8a3 3 2 (đvtt) VS . ABCD  SM .S ABCD  .2a 3.  2a   3 3 3 ▪ Tính khoảng c{ch: Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD. H l| hình chiếu vuông góc của M trên d. Vẽ MI  SH tại I. Vì AH  (SAH) nên BD // (SAH) Do đó d(BD; SA)  d(BD; (SAH))  d(B; (SAH))  2.d  M ;  SAH   . Vì SM  AH, MH  AH nên (SMH)  AH. Suy ra MI  AH. Mà MI  SH nên MI  (SAH). Suy ra d(M; (SAH))  MI. MA a  Tam gi{c AHM vuông c}n tại H nên MH  2 2 Tam gi{c SMH vuông tại M: 1 1 1 2a 3    MI  2 2 2 MI MH MS 5 4a 3  d  SA; BD   2MI  . 5 BÀI 12 (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN (LẦN 1) – ĐÀ NẴNG). THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 11 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 .Gọi H l| trung điểm cạnh AB; tam gi{c SAB c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y; góc giữa hai mặt phẳng (SAC) v| (ABCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng CH v| SD. Lời giải. Vì H l| trung điểm cạnh đ{y AB của tam gi{c c}n SAB nên SH  AB. Mà (SAB)  (ABCD) nên SH  (ABCD). Vẽ HK  AC tại K. Vì AC  HK, AC  SH nên AC  (SHK). Suy AC  SK. Vì AC   SAC    ABCD  và AC  SK, AC  HK nên góc giữa hai mặt phẳng (SAC) v| (ABCD) là  SK ; HK   SKH  600 AB a  2 2 ABCD l| hình chữ nhật nên AC  BD  AB 2  AD 2  a 3 KH AH  Có AHK ∽ ACB (g.g)  BC AC Tam gi{c SHK vuông tại H: a SH  HK .tan 600  2 1 1 a3 Thể tích khối chóp: VS . ABCD  SH .S ABCD  SH . AB. AD  (đvtt) 3 3 3 Gọi E l| điểm đối xứng với H qua A. Vẽ HF  DE tại F, HI  SF tại I. Vì DE  HF, DE  SH nên DE  (SHF)  DE  HI. Mà HI  SF nên HI  (SED) Vì HE  CD  a , HE // CD nên HEDC là hình bình hành. Suy ra DE // CH  CH // (SDE). Mà SD  (SDE) nên khoảng c{ch giữa CH v| SD bằng d  CH ; SD   d  CH ;  SDE    d  H ;  SDE    HI . H l| trung điểm AB nên AH  3a 2 HF HE HE.DA a 2   HF   Ta có: HFE ∽ DAE (g.g)  DA DE DE 3 1 1 1 a 26    HI  Tam gi{c SHF vuông tại H nên: 2 2 2 HI HS HF 13 a 26 Vậy d  CH ; SD   . 13 Tam gi{c DEA vuông tại A nên DE  AE 2  AD2  THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 12 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 13 (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – KHÁNH HÒA) Cho hình chóp S.ABCD đ{y l| hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, ∆SAB c}n tại S v| nằm trong mặt vuông góc đ{y. Khoảng c{ch từ D đến (SBC) bằng 2a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa 2 đường thẳng SB v| AC theo a. Lời giải. S J A E D H I K B C Vì SAB cân tại S và nằm trong mặt vuông góc mặt đ{y nên khi gọi SI l| đường cao của SAB  SI  (ABCD). Vì AD || BC  AD || (SAB) nên khoảng cách từ D đến (SBC) cũng l| khoảng cách từ A đến (ABCD) .Hạ AJ  SB thì AJ  (ABCD). 2a Đặt SI = h. Ta có : AJ.SB = SI.AB trong đó : AJ = 3 ; SB = V= 2 5 15 h 2  a4  h = 2 a 5 5 a3. Qua B kẻ đường thẳng || AC cắt DA tại E. Khi đó BCAE là hình bình hành: Suy ra d( SB, AC) = d( AC,(SBE)) = d (A,(SBE)). Vì I l| trung điểm AB nên :d(A,(SBE)) = 2d(I,(SBE)). Hạ IK  BE thì theo định lý 3 đường vuông góc  SK  BE. Hạ IH  SK  IH (SBE). Mà d(A,BE) = 2S(ABC)/AC = Vậy IK = 2a 5 5 a 5 5 BÀI 14 (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật. Biết SA vuông góc với mặt phẳng 4 (ABCD), SC hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc α với tan   , AB = 3a và BC = 4a. Tính 5 thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 13 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN ▪ Vì SA l| đường cao của hình chóp S.ABCD nên AC l| hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD). Suy ra góc giữa SC v| (ABCD) l| góc giữa hai đường thẳng SC v| AC v| bằng góc SCA   . Xét  ABD vuông tại B, ta có: AC  AB2  BC 2   3a    4a  2 2  5a . 4 Xét  SAC vuông tại A, ta có: SA  AC.tan   5a.  4a . 5 1 1 Vậy VS . ABCD  .SA.S ABCD  .4a.3a.4a  16a3 (đvtt). 3 3 ▪ Ta có AD // BC nên AD // (SBC). Suy ra d  D;  SBC    d  A;  SBC   .  BC  AB Ta có:   BC   SAB  . Lại có BC   SBC    SBC    SAB  .  BC  SA  SBC    SAB   SB . Từ A kẻ AH  SB. Khi đó d  D;  SBC    d  A;  SBC    AH . Xét SAB vuông tại A, ta có: 1 1 1 1 1 25 12a .   2       2 2 2 2 2 5 AH AB SA  3a   4a  144a Vậy d  D;  SBC    d  A;  SBC    AH  12a . 5 BÀI 15 (THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a , hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm của AD, góc giữa đường thẳng SB v| mặt đ{y bằng 600 . Gọi M là trung điểm của DC. Tính thể tích khối chóp S.ABM v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA và BM. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 14 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S K A B I H E D M C Gọi H l| trung điểm của cạnh AD. Vì HB l| hình chiếu của SB lên đ{y ABCD nên  SB;(ABCD)   SBH  600 . Trong tam giác SBH có SH  BH.tan 600  Vậy VSABM a 15 2 a3 15 1  VS . ABCD  (đvtt) 2 12 ▪ Dựng hình bình h|nh ABME Vì BM // (SAE)  d(SA,BM)  d(M,(SAE))  2d(D,(SAE))  4d(H,(SAE)). Kẻ HI  AE; HK  SI, (I  AE, K SI). Chứng minh HK  (SAE)  d(H,(SAE))  HK. DE. AH a  AE 2 5 1 1 1 304 a 15     HK  . Trong tam giác SHI có 2 2 2 2 HK HI SH 15a 4 19 a 15 Vậy d(SA,BM)  . 19 ▪ Vì  AHI ∽  ADE  HI  BÀI 16 (THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA  AB  a , AC  2a và ASC  ABC  900 . Tính thể tích khối chóp S.ABC v| cosin của góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SBC  . Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 15 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S M A C H B ▪ Kẻ SH vuông góc với AC (H  AC)  SH  (ABC) a 3 a2 3  SC  BC  a 3, SH  , SABC  2 2 3 a 1  VS . ABC  SABC .SH  3 4 ▪ Gọi M l| trung điểm của SB v|  l| góc giữa hai mặt phẳng (SAB) v| (SBC). Ta có: SA  AB  a , SC  BC  a 3 .  AM  SB và CM  SB  cos  cos AMC a 3 a 6  SB  2 2 2 2 AS  2 AB 2  SB 2 10a 2 a 10 AM l| trung tuyến SAB nên: AM 2    AM  4 16 4 2 2 2 a 42 AM  CM  AC 105 Tương tự: CM   cos AMC   4 2. AM .CM 35 105 Vậy: cos  35 ▪ SAC  BAC  SH  BH  BÀI 17 (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU – NGHỆ AN). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi, AB = 2a, BD = AC 3 v| I l| giao điểm của AC v| BD; tam gi{c SAB c}n tại A; hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đ{y trùng với trung điểm H của AI. Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB với CD. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 16 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Vì ABCD l| hình thoi nên I l| trung điểm AC v| BD. Suy ra BD  AC 3     3 . AB 2a   a. Xét ABI vuông tại I, ta có: AB 2  AI 2  BI 2  AI 2  3 AI 2  4 AI 2  AI  2 2 AI a  . Suy ra AH  2 2 Tam gi{c SAB c}n tại A nên SA  AB  2a . Tam gi{c SHA vuông tại H nên: SH  SA2  AH 2  a 15 . 2 1 1 AC.BD  AC 2 . 3  2a 2 3 2 2 1 1 a 15 Thể tích hình chóp: VS . ABCD  SH .S ABCD  . .2a 2 3  a 3 5 (đvtt) 3 3 2 Vì ABCD là hình thoi nên CD // AB, mà AB  (SAB) nên CD // (SAB) Suy ra d  SB; CD   d  CD;  SAB    d  C;  SAB    4d  H ;  SAB   Vì ABCD là hình thoi nên S ABCD  (Vì A  (SAB) và CA  4HA ) Vẽ HJ  AB tại J, HK  SJ tại K. AB  HJ, AB  SH  AB  (SHJ)  AB  HK. Mà HK  HJ nên HK  (SAB). Suy ra d  SB; CD   4 HK . HJ AH BI . AH a 3 .   HJ   BI AB AB 4 1 1 1 a 35 Tam gi{c SHJ vuông tại H nên:    HK  2 2 2 HK HJ SH 14 2a 35 Vậy d  SB; CD   7 Ta có: AHJ ∽ ABI (g.g)  BÀI 18 (THPT CHUYÊN PHÚ YÊN (LẦN 1) – PHÚ YÊN). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 . Cạnh bên SA vuông góc với đ{y, cạnh SC tạo với đ{y góc 30 0. Gọi K l| hình chiếu vuông góc của A trên SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AK, SC. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 17 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S K I D A B C ▪ Tính thể tích: Vì SA vuông góc với đ{y nên góc giữa SC v| (ABCD) l| SCA  300 ABCD l| hình chữ nhật, tam gi{c ABD vuông tại A nên: AC  BD  AB 2  AD 2  a 3 Tam gi{c SAC vuông tại A: SA  AC.tan 300  a . 1 1 a3 2 (đvtt) VS . ABCD  .SA.S ABCD  a.a.a 2  3 3 3 ▪ Tính khoảng c{ch: Vẽ AI  SC tại I. Vì SA  CD, AD  CD nên (SAD)  CD Suy ra AK  CD. Mà AK  SD nên AK  (SCD) Suy ra AK  IK và AK  SC. AK  SC, AI  SC nên (AKI)  SC  SC  IK. IK l| đoạn vuông góc chung của AK v| SC  d  AK , SC   IK . 1 1 1 2a  2  AK 2  2 2 AK SA AD 3 1 1 1 3a 2 2 Tam gi{c SAC vuông tại A:    AI  AI 2 SA2 AC 2 4 a 3 Tam gi{c AIK vuông tại K: IK  AI 2  AK 2  6 a 3 Vậy d  AK , SC   . 6 Tam gi{c SAD vuông tại A: BÀI 19 (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC – HUẾ (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c vuông c}n đỉnh A, AB = a 2 . Gọi I l| trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) l| H thỏa mãn: IA  2IH , góc giữa đường thẳng SC v| mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH). Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 18 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Vì H l| hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) nên góc giữa SC v| (ABC) l|:     SC , HC   SCH  600 . Tam gi{c ABC vuông c}n ở A có I l| trung điểm cạnh huyền BC nên AI  BC và: BC BC  AB 2  2a ; IB  IC  IA  a. 2 IA a Vì IA  2 IH  IH   . 2 2 a 5 Tam gi{c HIC vuông tại I: HC  IH 2  IC 2  2 a 15 Tam gi{c SHC vuông tại H: SH  SC.tan 600  2 3 2 1 1 a 15 1 a 15 VS . ABC  .SH .S ABC  . . . a 2  3 3 2 2 6 Vì BI  AH, BI  SH nên BI  (SAH). BS 1 BI a Mặt kh{c: S   SAH  ; KS   d  K ,  SAH    d  B,  SAH     . 2 2 2 2 BÀI 20 (THPT CHUYÊN SƠN LA – SƠN LA (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD, đ{y ABCD l| hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. H l| trung điểm cạnh AB, SH vuông góc với mặt phẳng đ{y, cạnh bên SA  a 5 . Tính thể tích hình chóp 2 S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng HC v| SD. Lời giải.   THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 19 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN SH  (ABCD). Tam gi{c SHA vuông tại H. SH  SA2  HA2  a 1 2a3 (đvTT). VS . ABCD  S ABCD .SH  3 3 Kẻ đường thẳng Dx HC, kẻ HI  ID (I thuộc Dx), kẻ HK  SI ( K thuộc SI). Khi đó HK  (SID), HC (SID). d(HC,SD) = d(HC,(SID)) = d(H,(SID)) = HK. 4a . (BE  HC tại E) 17 4a 33 Trong tam giác vuông SHI có HK  . 33 HI = d(D,HC) = 2d(B,HC) = 2BE = BÀI 21 (THPT CHUYÊN ĐH SƢ PHẠM HÀ NỘI (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Điểm M thuộc cạnh BC và điểm N thuộc cạnh a CD sao cho CM  DN  . Gọi H là giao điểm của AN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng 3 (ABCD) và SH  a 3 , hãy tính thể tích khối chóp S.AMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SA. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 20 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S K D N H C Ta có S AMN S ABCD  S A B M ABM S ADN 7a 2  S CMN   18 1 7 3a3 Khi đó VS . AMN  .SH .S AMN  3 54 Ta có: AND  DCM (c.g.c) DAN  CDM . Mặt kh{c: DAN  DNA  900 . CDM  DNA  900  AN  DM . Suy ra DM  (SAH). Kẻ HK vuông góc với SA thì HK l| khoảng c{ch giữa SA v| DM. a 10 AD 2 3a 10 Trong tam giác vuông AND, ta có: AN  DA  DN  .  AH   3 AN 10 1 1 1 3a 13 Trong tam giác vuông SHA, ta có:    HK  2 2 2 HK HA HS 13 3a 13 Vậy d  SA, DM   . 13 2 2 BÀI 22 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH (LẦN 3)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thang vuông ở A và B, AB  BC  a , AD  2a , SA vuông góc với đ{y, SA  2a . Gọi M, N lần lượt l| trung điểm SA, SD. Chứng minh tứ giác BCNM l| hình chữ nhật. Tính thể tích hình chóp S.BCNM v| khoảng c{ch giữa 2 đường thẳng chéo nhau BM v| CD. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 21 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 22 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 23 (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng đ{y, SC tạo với mặt phẳng đ{y một góc 450 v| tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300. Biết độ d|i cạnh AB = 3 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Lời giải. S D A 450 B C THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 23 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 24 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC (LẦN 1)). 3a . Hình chiếu vuông góc H của 2 đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm của đoạn AB . Gọi K l| trung điểm của đoạn AD . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng HK và SD . Lời giải. Cho hình chóp S. ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a, SD  Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , ABC  900 , AB  a, BC  a 3, SA  2a . Chứng minh trung điểm I của cạnh SC l| t}m của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC v| tính diện tích mặt cầu đó theo a. S I A C B Vì SA   ABC   SA  BC Mặt kh{c theo giả thiết AB  BC , nên BC   SAB  v| do đó BC  SB Ta có tam giác SBC vuông đỉnh B; tam giác SAB vuông đỉnh A nên SC IA  IB   IS  IC (*) 2 Vậy điểm I c{ch đều bốn đỉnh của hình chóp, do đó I l| t}m mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp S.ABC THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 24 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Từ (*) ta có b{n kính của mặt cầu l| R  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN SC 2 Ta có AC  AB 2  BC 2  2a SC  SA2  AC 2  2 2a  R  a 2 Diện tích mặt cầu l| 4 R2  8 a2 BÀI 25 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC (LẦN 1)). 3a . Hình chiếu vuông góc H của 2 đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm của đoạn AB . Gọi K l| trung điểm của đoạn AD . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng HK và SD . Lời giải. 3a . Hình chiếu vuông góc H của Cho hình chóp S. ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a, SD  2 đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm của đoạn AB . Gọi K l| trung điểm của đoạn AD . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng HK và SD . Cho hình chóp S. ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a, SD  S F C B E H O Từ D K A giả thiết ta có S.ABCD và Gọi E l| hình chiếu vuông góc của H lên BD, F l| hình chiếu vuông góc của H lên SE Ta có mà suy HF  SE nên BD  SH , BD  HE  BD  (SHE)  BD  HF HF  (SBD)  HF  d (H ,(SBD)) (2) ra SH l| đường cao của hình chóp 3a 2 a 2 )  ( )  a2  a 2 2 1 1 a3 Diện tích của hình vuông ABCD là a 2 , VS . ABCD  SH .S ABCD  a.a 2  3 3 3 Từ giả thiết ta có HK / / BD  HK / /(SBD) SH  SD 2  HD 2  SD 2  ( AH 2  AD 2 )  ( Do vậy: d ( HK , SD)  d ( H ,(SBD)) (1) THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 25 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN a a 2 +) HE  HB.sin HBE  .sin 450  2 4 +) Xét tam giác vuông SHE có: a 2 SH .HE a 4 HF .SE  SH .HE  HF    (3) SE 3 a 2 2 ( )  a2 4 a +) Từ (1), (2), (3) ta có d ( HK , SD)  . 3 a. BÀI 26 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC (LẦN 2)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh bằng 4 . Mặt bên  SAB  nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đ{y l| điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH  2 AH . Góc giữa SC v| mặt phẳng đ{y l| 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ điểm H đến mặt phẳng  SCD  . Lời giải. 8 3 Ta có: HB   HC  42  64 4 13 4 13 4 13   SH  .tan 600  9 3 3 3 S I A B H D K C 1 1 4 13 64 13  VS . ABCD  .S ABCD .SH  42.  3 3 3 3 3 Kẻ HK song song AD ( K  CD )  DC  (SHK )  mp(SCD)  mp(SHK ) Kẻ HI vuông góc với SK  HI  mp(SCD)  d ( H ,(SCD))  HI Trong SHK ta có: 1 1 1 3 1 16    2  2   HI  13 2 2 2 HI SH HK 4 .13 4 13.42  d ( H ,(SCD))  13 . BÀI 27 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC (LẦN 3)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c đều cạnh a Gọi I l| trung điểm cạnh AB .Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đ{y l| trung điểm H của CI , góc giữa đường thẳng SA v| mặt đ{y bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch từ điểm H đến mặt phẳng  SBC  . Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 26 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S A I H B I’ A’ H’ K C E A C H K H’ I B a 3 2 a 7 a 21 Do đó AH  AI 2  IH 2  , suy ra SH  AH .tan 600  . 4 4 1 a3 7 Vậy VS . ABC  SH .S ABC  3 16 Gọi A ‘, H ‘, I ‘ lần lượt l| hình chiếu của A, H , I trên BC; E l| hình chiếu của H trên Ta có CI  AC 2  AI 2  SH’ 1 2 1 4 thì HE  ( SBC )  d  H ;( SBC )   HE . Ta có HH ‘  II ‘  AA ‘  Từ a 3 8 a 21 a 21 1 1 1 , suy ra HE  . Vậy d  H ;(SBC )   .   2 2 2 HE HS HH ‘ 4 29 4 29 BÀI 28 (THPT CHUYÊN HẠ LONG (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c đều cạnh a, mặt bên SAC l| tam gi{c c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC ), đường thẳng SB 0 tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60 . M l| trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SM, AC. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 27 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S C B M I A ▪ Gọi I l| trung điểm của AC. Vì tam gi{c SAC c}n tại S nên SI  AC, (SAC) nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SI l| đường cao của hình chóp. Ta có BI l| hình chiếu của SB nên (ABC), do đó góc giữa SB v| (ABC) bằng góc giữa SB v| BI v| bằng SBI  600 . Xét tam gi{c vuông SIB vuông tại I, ta có: SI  BI .tan 600  a 3 3a . 3 . 2 2 1 1 3a a 2 3 a 3 3 (đvtt). VS . ABC  .SI .SABC  . .  3 3 2 4 8 ▪ V a3 3 3a 13 , d  AM , SC   8 26 BÀI 29 (THPT CHUYÊN HÙNG VƢƠNG – GIA LAI (LẦN 1)). Cho hình chop S.ABC, có đ{y l| tam gi{c vuông c}n tại A. AB=AC=a, trên cạnh BC lấy điểm H sao cho BH  1 BC . SH vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa SA v| mặt 4 phẳng (ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chop S.ABC v| khoảng c{ch giữa AB v| SC. Lời giải. a3 30 a 130 V ; d  AB; SC   24 13 BÀI 30 (THPT CHUYÊN LÀO CAI (LẦN 2)). Cho khối chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật có c{c cạnh AB  2a; AD  a . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM  a , cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc với mặt 2 phẳng (ABCD) v| SH  a . Tính thể tích khối chóp S.HCD v| tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SD v| AC theo a. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 28 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Lời giải. VSHCD 4a 3 2a  ; d  SD; AC   15 3 BÀI 31 (THPT CHUYÊN LONG AN – LONG AN). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đ{y l| trung điểm của cạnh AB; Góc giữa đường thẳng SC v| mặt phẳng đ{y bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| góc giữa hai đường thẳng SB v| AC. Lời giải. . Tính được: Lí luận góc giữa SC v| (ABCD) l| góc S A D H B C Tính được: , BÀI 32 (THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH – YÊN BÁI). Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, ABC  30 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc 0 giữa hai mặt phẳng (SBC) v| (ABC) l| 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch từ trọng t}m G của tam gi{c ABC đến mặt phẳng (SBC) theo a. Lời giải. a3 a 3 V  , d  G,  SBC    8 12 BÀI 32 (THPT ĐA PHÚC – HÀ NỘI (LẦN 1)). Cho hình chóp tam gi{c đều S.ABC có cạnh đ{y bằng a v| cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC v| diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 29 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S M I A C H B +) Từ giả thiết suy ra tam gi{c ABC đều cạnh a v| SH(ABC) với H l| t}m của tam gi{c đều a 3 v| SH l| đường cao của hình chóp S.ABC 3 Từ giả thiết => SA = a 3 => trong tam gi{c vuông SAH vuông tại H có ABC => AH = SH  SA2  AH 2  2 6a . 3 a2 3 1 a3 2  VS . ABC  S ABC .SH  4 3 6 +) SH l| trục của đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ABC, trong mặt phẳng (SAH) kẻ đường trung trực của cạnh SA cắt SH tại I => I l| t}m của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có b{n SM .SA 3 6 kính R = IS. Hai tam gi{c vuông SMI v| SHA đồng dạng => SI   a SH 8 27 +) Diện tích mặt cầu l|: S  4 R2   a 2 . 8 BÀI 33 (THPT ĐA PHÚC – HÀ NỘI (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a, mặt bên SAB l| tam gi{c đều, +) Diện tích tam gi{c ABC bằng: S ABC  SC  SD  a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 30 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Gọi I l| trung điểm của AB; J l| trung điểm của CD từ giả thiết ta có IJ  a ; SI  a 3 2 a 2 a 11 và SJ  SC  JC  3a   4 2 Áp dụng định lý cosin cho tam gi{c SIJ ta có 3a 2 11a 2 2 a   2 2 2 2 IJ  IS  SJ 4 4  a  3 0 cos SIJ   2. IJ . IS 3 a 3 a2 3 2.a. 2 Suy ra, tam giác SIJ là tam giác có SIJ tù. Từ giả thiết tam gi{c SAB đều v| tam gi{c SCD l| c}n đỉnh S. Gọi H l| hình chiếu của S trên 2 2 2   (ABCD), ta có H thuộc IJ v| I nằm giữa HJ tức l| tam gi{c vuông SHI có H  900 ; góc I nhọn v| 3 6 ( SIJ và SIH kề bù)  sin SIH  . 3 3 a 3 6 a 2 Xét tam giác SHI ta có SH  SI sin SIH  .  2 3 2 3 1 1 a 2 a 2 Vậy VS . ABCD  S ABCD .SH  a 2 .  . 3 3 2 6 Từ giả thiết giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) v| (SAD) l| đường thẳng d qua S v| song song với AD. Qua H kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng n|y cắt DA v| CB kéo d|i tại M, N. Theo định lý ba đường vuông góc ta có cos I  cos SIH   cos SIJ  SN  BC , SM  AD  SM  d ; SN  d  MSN là góc giữa hai mặt phẳng. (SBC) và (SAD), MN  AB  a . Xét tam gi{c HSM vuông tại H có a 2 a 2a 2 a 2 a 3 , HM   SM  SH 2  HM 2     SN 2 2 4 4 2 Theo định lý cosin cho tam gi{c SMN c}n tại S có 3a 2 3a 2 a2 2  a SM 2  SN 2  MN 2 1 4 cos MSN   4  22  . 2 3a 3a 2 SM .SN 3 2 4 2 SH  BÀI 34 (THPT BÌNH PHƢỚC – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a. Gọi I l| trung điểm AB, H là giao điểm của BD với IC. C{c mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đ{y. Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA và IC. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 31 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 Ta có VS.ABCD  SH.SABCD , trong đó SABCD  a 2 3 Do (SIC),(SBD) cùng vuông với đ{y suy ra SH  (ABCD) Dựng HE  AB   SHE   AB , suy ra SEH l| góc giữa (SAB) v| (ABCD)  SEH  600 Ta có SH  HE.tan 600  3HE HE HI 1 a    HE  CB IC 3 3 a 3  SH  3 1 1 a 3 2 3a 3 Suy ra VS.ABCD  SH.SABCD  . .a  3 3 3 9 Gọi P l| trung điểm của CD, suy ra AP song song vớiCI  d  SA, CI   d  CI, SAP    d  H, SAP   Dựng HK  AP , suy ra  SHK    SAP  Dựng HF  SK  HF   SPA   d  H, SPA    HF 1 1 1 (1)   2 2 HF HK HS2 1 1 1 1 Dựng DM  AP , ta thấy DM  HK     2 2 2 HK DM DP DA2 a 1 1 1 1 4 1 3 8 Thay vào (1) ta có  .     2  2  2  2  HF  2 2 2 2 HF DP DA HS a a a a 2 2 a . Vậy d SA, CI   2 2 Do SHK vuông tại H  BÀI 35 (THPT BÌNH PHƢỚC – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)). Cho hình lăng trụ tam gi{c đều ABC.A’B’C’ có tất c| c{c cạnh đều bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ v| diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 32 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Thể tích lăng trụ l|: V  AA ‘.SABC  a. a 2 3 a3 3  4 4 Gọi O , O’ lần lượt l| t}m của đường tròn ngoại tiếp ABC , A’B’C’ khi đó t}m của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ l| trung điểm I của OO’. Mặt cầu n|y có bán kính là: R  IA  AO2  OI2  ( a 3 2 a 2 a 21 ) ( )  3 2 6 suy ra diện tích mặt cầu (S) l|: S  4R 2 2  4( a 21 )2  7a 6 3 BÀI 36 (THPT BÌNH PHƢỚC – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đ{y (ABCD), đ{y ABCD l| hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) v| (ABCD) bằng 45 0. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| tính góc giữa đường thẳng SD v| mặt phẳng (SBC). Lời giải. S K H D A B C THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 33 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN – Tính thể tích +) Ta có: AB  AC 2  BC 2  4a +) Mà   SCD  ,  ABCD    SDA  45 0 nên SA = AD = 3a 1 Do đó: VS . ABCD  SA.S ABCD  12a3 (đvtt) 3 – Tính góc< +) Dựng điểm K sao cho SK  AD Gọi H l| hình chiếu vuông góc của D lên CK, khi đó: DK   SBC  . Do đó:  SD,  SBC    DSH DC.DK 12a , SD  SA2  AD 2  3a 2  KC 5 3a 34 SH  SD 2  DH 2  5 SH 17 Do đó:  SD,  SBC    DSH  arccos  arccos  340 27 ' SD 5 +) Mặt kh{c DH  BÀI 37 (THPT BÌNH PHƢỚC – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a, ABC  600 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đ{y v| cạnh bên SC tạo với mặt đ{y một góc 600 . Gọi I l| trung điểm BC, H l| hình chiếu vuông góc của A lên SI. Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ điểm H đế mặt phẳng (SCD) theo a. Lời giải. S K H A D E B I C Do ABC  600 nên tam gi{c ABC đều, suy ra SABCD  a 2 3 và AC  a 2 Mặt kh{c SA  (ABCD)  SCA  600 1 a3  SA  AC.tan 600  a 3  VS.ABCD  SA.SABCD  . 3 2 HS HS.IS AS2 AS2 4 Ta có   2  2  2 2 IS IS IS IA  AS 5 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 34 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 4 2 2  d  H, SCD    d  I, SCD    d  B,  SCD    d  A, SCD   ( vì I l| trung điểm BC v| 5 5 5 AB//(SBC)) Gọi E l| trung điểm CD, K l| hình chiếu của A lên SE, ta có AE  DC  DC  (SAE)  DC  (SAE)  AH  (SCD) 2 2 2 SA.AE 2a 15 . Suy ra d  H, SCD    d  A, SCD    AK   5 5 5 SA 2  AE 2 25 BÀI 38 (THPT BÌNH PHƢỚC – BÌNH PHƢỚC (LẦN 4)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a, mặt bên SAD l| tam gi{c đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, SC  a 6 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng 2 c{ch giữa hai đường thẳng AD, SB theo a. Lời giải. S D C H A B Gọi H l| ch}n đường cao hạ từ S của tam gi{c đều SAD Suy ra: a 3 và SH   ABCD  SH  2 a 3 Trong tam giác vuông HSC có HC  2 2 a 3a 2  a2  2 2 2 DH  DC  CH 4 1 cos HDC   4 a 2 DH .DC 2 2. .a 2  HDC  600 a2 3 Suy ra S ABCD  DA.DC.sin ADC  2 2 1 1a 3 a 3 1 3 VS . ABCD  SH .S ABCD  .  a 3 3 2 2 4 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 35 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Ta có ADC đều cạnh a  CH  AD  CH  BC hay BC   SHC   BC  SC  CSB vuông tại C 1 1 a3 a3 Lại có VD.SBC  VS .BCD  VS . ABCD  .  2 2 4 8 3 1 a 3a3  d  D;  SBC   .SSBC   d  D;  SBC    3 8 8.SSBC 3a 3 a 6 .  1 4 6 a 8. CS .CB 4. .a 2 2 a 6 Vậy d  AD; SB   d  D;  SBC    . 4  d  D;  SBC    3a 3  BÀI 39 (THPT BÌNH PHƢỚC – BÌNH PHƢỚC (LẦN 5)). Cho hình chóp S.ABC có tam gi{c SAB đều cạnh a, tam gi{c ABC c}n tại C. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) l| trung điểm của cạnh AB; góc hợp bởi cạnh SC v| mặt đ{y l| 30 0. 1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 2. Tính khoảng c{ch của hai đường thẳng SA v| BC. Lời giải. Gọi H l| trung điểm cạnh AB ta có SH l| đường cao của hình chóp S.ABC v| CH l| đường cao tam gi{c ABC. Từ giả thiết ta được SCH  300 . Tam gi{c SHC vuông tại H nên SH 3a  tan 300  CH  SH 3  CH 2 V}y, thể tích khối chóp S.ABC l|: 1 1 a3 3 V  SH . AB.CH  (đvtt) 3 2 8 Dựng hình bình h|nh ABCD, khi đó d  BC , SA  d  BC ,( SAD)   d  B,( SAD)   2d  H ,( SAD)  THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 36 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Gọi G, K lần lượt l| hình chiếu của H trên c{c đường thẳng AD v| SG ta có: AD  HG    AD  ( SHG )  HK  AD AD  SH  mà HK  SG nên HK  ( SAD) hay d  H ,  SAD    HK Tam gi{c SHG vuông tại H nên 1 1 1 1 1 1 52 3a       2  HK  2 2 2 2 2 2 HK HG HS HB HC HS 9a 2 13 3a Vậy, d  BC , SA  13 BÀI 40 (THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)). Cho hình chóp S .ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông, cạnh AB a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SD hợp với mặt phẳng ABCD góc bằng 450 . Gọi M l| trung điểm của cạnh CD . Tính theο a thể tích khối chóp S .ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB và AM . Lời giải. S H D A M I B C S ABCD  a 2 ; SA  a 1 VS . ABCD  a3 3 Qua B dựng đường thẳng d song song với AM; Dựng I, H, Chứng minh được AH   SBI  2 d  AM , SB   a 3 BÀI 41 (THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)). Cho hình chóp S .ABC có đ{y ABC l| tam gi{c vuông c}n tại C, BC a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC l| trung điểm H của cạnh AB , biết rằng SH  2a . Tính THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 37 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN theο a thể tích khối chóp S .ABC v| khoảng c{ch từ điểm B đến mặt phẳng MAC , trong đó M l| trung điểm của cạnh SB . Lời giải. S M P A H B I K C 1 1 S ABC  CACB .  a2 2 2 1 1 1 a3 VS .ABC  S ABC .SH  . a 2 .2a  3 3 2 3  Dựng được IP, chứng minh được IP  MAC   Tính đúng d B, MAC    45 a BÀI 42 (THPT ĐỒNG XOÀI (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y l| tam gi{c vuông c}n tại B, BA = a. Tam giác SAC đều v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABC). Gọi M, N lần lượt l| trung điểm của SA, BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng chéo nhau AC, MN theo a. Lời giải. Gọi I l| trung điểm AC, do SAC đều nên SI  ( ABC) . SI  a 6 2 Ta có S ABC  2 a . 2 1 6 Vậy VS . ABC  SI .S ABC  a 3 3 12 Gọi H l| trung điểm AI suy ra MH//SI  MH  ( ABC) , J l| trung điểm AB, K l| hình chiếu vuông góc của H lên MJ tức l| HK  MJ (1). Ta có JN  BI , mà BI / / HJ  JN  HJ  2  SI / / MH , mà SI  JN  JN  MH (3) THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 38 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Từ CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN  2  ,  3  JN   MHJ   HK  HK  JN  4  1 ,  4   HK   MNJ  Do đó d ( AC, MN )  d ( H  AC, MN )  d ( H ,(MJN ))  HK = MH .HJ MH 2  HJ 2 = a 96 32 BÀI 43 (THPT ĐỒNG XOÀI (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh 2a, mặt bên (SAB) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y (ABCD), tam gi{c SAB vuông tại S, SA = a Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AB, SC theo a. Lời giải. + Trong mp(SAB), dựng SH  AB, do (SAB)  (ABCD)  SH  ( ABCD)  SH l| chiều cao khối chóp 1  VS . ABCD  B.h 3 + B= dt ABCD= 4a2 + h = SH SB  AB 2  SA2 = a 3 SB.SA a 3 = 2 AB 3  2a 3 h  SH   VS . ABCD Tính d(AB,SC) Vì AB// DC nên d (AB, SC) = d( AB, (SDC) = d ( A, (SDC) 1 3VA.SDC 3. 2 .VS . ABCD   dtSDC dtSDC Tính dt SDC=? Tam giác SAD vuông tại A nên SD  a 5 Tam giác SBC vuông tại B nên SC  a 7 , DC= 2a  SSDC  19 2 6a 57 a nên d ( A, ( SDC ))  19 2 BÀI 44 (THPT ĐỒNG XOÀI (LẦN 3)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y l| tam gi{c đều cạnh a, SA vuông góc với đ{y v| SB tạo với đ{y một góc 600. M l| trung điểm BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SM, AC theo a. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 39 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S H C A K N M B a2 3 4 Do SA  ( ABC) nên góc giữa SB với đ{y l| SBA  600 + Do ABC l| tam gi{c đều cạnh a nên S ABC  SA  AB tan SBA  a tan 600  a 3 1 a2 3 a3 a 3 3 4 4 + Gọi N l| trung điểm AB, ta được AC // (SMN) Gọi K, H lần lượt l| hình chiếu của A lên MN v| SK, ta có: AH  SK; MK  (SAK )  MK  AH nên AH  ( SMN )  AH  d  A;  SMN    d  AC , SM  VS . ABC  KNA  NAC  600 a a 3 sin 600  2 4 1 1 1 16 1 17 a 51 a 51   2  2  2  2  AH  . Vậy d  AC , SM   2 2 AH AK SA 3a 3a 3a 17 17 AK  AN sin KNA  BÀI 45 (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)). Cho hình chóp tứ gi{c đều S.ABCD có cạnh đ{y bằng a. góc giữa mặt bên v| mặt đ{y bằng 600. M, N lần lượt l| trung điểm cạnh SD v| DC. Tính theo a thể tích khối chóp M.ABC v| khoảng c{ch từ điểm N đến mặt phẳng (MAB). Lời giải. VM . ABC  a3 3  dvtt  24 d  N ,  MAB    2d  O,  MAB    a 2 BÀI 46 (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD, SA ^ (ABCD), đ{y ABCD l| hình thang vuông tại C và D, AD = CD = 2BC = a, góc giữa SA và (SCD) bằng 45 0. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng c{ch giữa hai đường thẳng CD v| SB theo a. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 40 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Lời giải. Kiểm tra cách xác định góc giữa đường thẳng và mp, giữa 2 mặt phẳng. ( (SBC),(SCD)) = 60 0 , cos ( (SBC),(SCD)) = 1 2 BÀI 46 (THPT NGUYỄN HỮU CẢNH – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh 2a. Tam gi{c SAB c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, góc giữa cạnh bên SC v| đ{y bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng BD v| SA. Lời giải. Gọi H l| trung điểm AB-Lập luận SH  ( ABC) -Tính được SH  a 15 4a 3 15 3 Qua A vẽ đường thẳng  / /BD , gọi E l| hình chiếu của H lên  , K l| hình chiếu H lên SE Chứng minh được:d(BD,SA)=d(BD,(S,  ))=2d(H, (S,  ))=2HK Tính được VS . ABC  a 2 2 1 1 1 31 15     HK  a 2 2 2 2 HK SH HE 15a 31 Tam gi{c EAH vuông c}n tại E, HE   d ( BD, SA)  2 15 a 31 BÀI 47 (THPT NGUYỄN HỮU CẢNH – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh bằng 2a . E, F lần lượt l| trung điểm của AB và BC , H l| giao điểm của AF và DE . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) v| góc giữa đường thẳng SA v| mặt phẳng ( ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SH , DF . Lời giải. Do ABCD l| hình vuông cạnh 2a nên S ABCD  4a 2 . SH  ( ABCD)  HA l| hình chiếu vuông góc của SA trên mp  ABCD   SAH  600  SH  AH 3 ABF  DAE  c.g.c   BAF  ADE THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 41 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Mà: AED  ADE  900 Nên BAF  AED  900  AHE  900  DE  AF 2a Trong ADE có: AH .DE  AD. AE  AH  5 1 2a 3 2 8a3 15 Thể tích của khối chóp S. ABCD là: V  . (đvtt) .4a  3 15 5 Trong mp  ABCD  kẻ HK  DF tại K .  d  SH , DF   HK . Trong ADE có: DH .DE  DA2  DH  4a 5 Trong DHF có: HF 2  DF 2  DH 2  5a 2   HK  Có : DF  a 5 16a 2 9a 2 3a   HF  5 5 5 HF .HD 12a 5 12a 5 Vậy d  SH , DF    DF 25 25 BÀI 48 (THPT NGUYỄN HỮU CẢNH – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a; ASC  900 v| hình chiếu của AC . Tính theo a thể tích cũa khối 4 chóp v| khoảng c{ch giữa đường thẳng CD với mặt phẳng (SAB). S lên (ABCD) l| điểm H thuộc đoạn AC sao cho AH  Lời giải. AH  a 2 3a 2 , CH  4 4 a3 6 3a 2 ,V 12 8 CD //  SAB   d  CD;( SAB)   d  C;(SAB)   4d  H ;( SAB)  SAC vuông tại S: SH 2  AH .CH  Trong (ABCD), kẻ HK  AB  AB   SHK    SAB    SHK  Trong (SHK), kẻ HI  SK  HI   SAB  56 3a 2 a 1 1 1 16 8 2  ,      HI  4 HI 2 HK 2 SH 2 a 2 3a 2 3a 2 56 2a 3 d  CD;( SAB )   14 HK  BÀI 49 (THPT HÀ HUY TẬP – KHÁNH HÒA (LẦN 1)). Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD ; c{c đường thẳng SA , AC và CD đôi một vuông góc với nhau ; biết SA  AC  CD  a 2 v| AD  2BC . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoãng cách giư̂a hai đường thẵng SB và CD. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 42 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Gọi I l| trung điểm AD. ACD vuông c}n tại C  CI  AD; CI  AI  Tứ giác ABCI là hình bình hành  AI / / BC; AI  BC    1 AD  2   tứ giác ABCI là hình vuông .  AB  a; AD  2BC  2a v| tứ gi{c ABCD l| hình thang vuông tại A v| B. SABCD  ( AD  BC ). AB 3a2 . Chứng minh: SA  ( ABCD)  2 2  VS . ABCD 1 a3 2  .SABCD .SA  3 2 Chứng tõ: d(SB, CD)  d(CD,( SBI ))  d(C,( SBI ))  d( A,( SBI )) Gọi H l| giao điểm của BI v| AC ; kẻ AK  SH (K  SH ) Chứng tõ d ( A,(SBI ))  AK Tính AK  a 10 5 V}̣y d (SB, CD)  a 10 5 BÀI 50 (THPT HÀ HUY TẬP – KHÁNH HÒA (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a. Gọi I l| trung điểm AB, H l| giao điểm của BD với IC. C{c mặt phẳng (SBD) v| (SIC) cùng vuông góc với đ{y. Góc giữa (SAB) v| (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA v| IC. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 43 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 Ta có VS.ABCD  SH.SABCD , SABCD  a 2 3 Do (SIC),(SBD) cùng vuông với đ{y suy ra SH  (ABCD) Dựng HE  AB   SHE   AB , suy ra SEH l| góc giữa (SAB) v| (ABCD)  SEH  600 Ta có SH  HE.tan 600  3HE HE HI 1 a a 3    HE   SH  CB IC 3 3 3 1 1 a 3 2 3a 3 Suy ra VS.ABCD  SH.SABCD  . .a  3 3 3 9 Gọi P l| trung điểm của CD, suy ra AP song song vớiCI  d  SA, CI   d  CI, SAP    d  H, SAP   Dựng HK  AP , suy ra  SHK    SAP  Dựng HF  SK  HF   SPA   d  H, SPA    HF 1 1 1 (1)   2 2 HF HK HS2 1 1 1 1 Dựng DM  AP , ta thấy DM  HK     2 2 2 HK DM DP DA2 a 1 1 1 1 4 1 3 8 Thay vào (1) ta có  .     2  2  2  2  HF  2 2 2 2 HF DP DA HS a a a a 2 2 a Vậy d SA, CI   . 2 2 Do SHK vuông tại H  BÀI 51 (THPT ANH SƠN II – NGHỆ AN (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, AB  a, AD  2 2a . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mp(ABCD) trùng với trọng t}m tam gi{c BCD. Đường thẳng SA tạo với mp(ABCD) một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AC và SD theo a. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 44 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S M C D H O A B *Gọi H l| trọng t}m tam gi{c BCD. Theo giả thiết ta có SH  ( ABCD) . Gọi O l| giao điểm của 2 1 AC và BD. Ta có CH  CO  AC  a  AH  AC  HC  2a . Cạnh SA tạo với đ{y góc 450, 3 3 suy ra SAH  450 , SH = AH =2a. Diện tích đ{y S ABCD  AB. AD  a.2 2a  2 2a 2 . 1 1 4 2a 3 2 . Vậy thể tích khối chóp S.ABCD l| V  S ABCD .SH  .2 2a .2a  3 3 3 *Gọi M l| trung điểm SB thì mp(ACM) chứa AC v| song song với SD. Do đó d(SD ;AC)= d(SD ; (ACM))= d(D ; (ACM)). Chọn hệ tọa độ Oxyz, với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 2 2a ; 0), C (a; 2 2a;0), S ( 2a 4 2 a 5a 2 2a ; ; 2a), M ( ; ; a) . Từ đó viết phương trình mp(ACM) l| 3 3 6 3 2 2 x  y  2 z  0 . Vậy d ( SD, AC )  d ( D, ( ACM ))  | 2 2a | 2 22a .  11 8 1 2 Chú ý: Cách 2. Dùng phƣơng pháp hình học thuần túy, quy về KC từ một điểm đến một mặt phẳng BÀI 52 (THPT ĐOÀN THỊ ĐIỂM – KHÁNH HÒA). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) l| tam gi{c đều v| vuông góc với đ{y. Gọi H l| trung điểm của AB. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Lời giải. Ta có: (SAB)  (ABCD) THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 45 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN (SAB)  (ABCD) = AB SH  (SAB) SH  AB ( l| đường cao của  SAB đều) Suy ra: SH  (ABCD) a 3 (vì  SAB đều cạnh a) ;SABCD = a2 2 a3 3 1 1 Tính VS.ABCD = Bh = SABCD.SH= 6 3 3 Tính SH = BÀI 53 (THPT ĐOÀN THƢỢNG – HẢI DƢƠNG (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thang với đ{y lớn l| AD và AD  2BC , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tam giác ACD vuông tại C và SA  AC  a 3, CD  a . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB v| CD. Lời giải. Tam gi{c ACD vuông tại C suy ra AD 2  AC 2  CD 2  4a 2  AD  2a, BC  a 1 1 1 Kẻ CE  AD    2 2 CE AC CD 2 a 3  CE  2 Do đó SABCD = (AD  BC).CE 3 3a2 .  2 4 1 1 3 3a2 3 .SABCD .SA  . .a 3  a3 . 3 3 4 4 Gọi I l| trung điểm của AD thi BCDI l| hình bình h|nh  CD // BI  CD // (SBI)  d(SB, CD) = d(CD, (SBI)) = d(D, (SBI)) = d(A; (SBI)) (Do I là trung điễm AD) Gọi H = AC  BI. CD / / BI , AC  CD  AC  BI  BI  (SAC) . Kẻ AK  SH tại K. Kết hợp với AK  BI  AK  (SBI)  d(A, (SBI)) = AK. V}̣y VSABCD = I l| trung điểm của AD suy ra H l| trung điểm của AC  AH  1 a 3 AC  2 2 Tam gi{c SAH vuông tại A  1  1  1  1  4  5  AK = a 15 . 2 2 2 2 2 2 AK SA AH 3a 3a 3a 5 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 46 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016  d(CD; SB) = AK = CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN a 15 . 5 BÀI 54 (THCS, THPT ĐÔNG DU – ĐẮK LẮC (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, mặt bên SAD l| tam gi{c vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) l| điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD. 0 Gọi M l| trung điểm của AB. Biết rằng SA  2a 3 v| đường thẳng SC tạo với đ{y một góc 30 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ M đến mặt phẳng (SBC). Lời giải. Vì SH  ( ABCD) nên SCH   SC , ( ABCD)   300. Trong tam giác vuông SAD ta có SA2  AH .AD 3  12a 2  AD 2  AD  4a; HA  3a; HD  a  SH  HA.HD  a 3  HC  SH .cot 300  3a 4  CD  HC 2  HD2  2 2a. 1 8 6a 3 Suy ra S ABCD  AD.CD  8 2a 2 . Suy ra VS . ABCD  SH .S ABCD  . 3 3 Vì M l| trung điểm AB và AH // (SBC) nên 1 1 d  M , ( SBC )   d  A,( SBC )   d  H , ( SBC )  . (1) 2 2 Kẻ HK  BC tại K, HH '  SK tại H '. Vì BC  (SHK ) nên BC  HH '  HH '  (SBC). (2) Trong tam giác vuông SHK ta có 1 1 1 11 2 6a 2 66     HH '   a. (3) 2 2 2 2 11 HH ' HK HS 24a 11 66 a. Từ (1), (2) và (3) suy ra d  M , ( SBC )   11 BÀI 55 (THCS, THPT ĐÔNG DU – ĐẮK LẮC (LẦN 2)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB  a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đ{y, SC tạo với mặt phẳng đ{y một góc 450 và SC  2a 2 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch từ điểm B đến mặt phẳng  SCD  theo a . THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 47 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Lời giải. 1 + Vẽ hình đúng, nêu được công thức thể tích V  S ABCD .SA 3 v| tính đúng SA  AC  2a . + Tính đúng BC  AC 2  AB 2  a 3 , S ABCD  AB.BC  a 2 3 a3 2 3 . 3 + Gọi H l| hình chiếu của A lên SD. CM được AH   SCD  . v| ĐS đúng V Từ đ}y khẳng định được d  B,  SCD    d  A,  SCD   =AH + Tính được AH theo công thức 1 1 1   2 2 AH AS AD 2 BÀI 56 (THPT ĐỒNG GIA – HẢI DƢƠNG (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y l| tam gi{c vuông tại B, AB = a v| BC = a 3 . Gọi BH l| đường cao của tam gi{c ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng BH v| SC, biết SH  (ABC) v| góc giữa SB với mặt phẳng (ABC) bằng 60 0. Lời giải. 1 1 1 a 3    HB  . Góc giữa SB v| (ABC) l| SBH  600 . 2 2 2 HB BA BC 2 3a Suy ra SH = HB.tan600 = . 2 Ta có a2 3 1 a3 3  VS . ABC  SH .SABC  . 2 3 4 Ta có HB  (SAC) (Vì (SAC)  ( ABC), HB  AC ). Trong mp(SAC), dựng HK  SC . Khi đó HK l| đường vuông góc chung của HB v| SC, hay d(HB; SC) = HK. 3a Ta có HC = BC 2  HB 2  . 2 1 1 1 3a 2 Khi đó    HK  . 2 2 2 HK HS HC 4 3a 2 Vậy d(HB; SC) = 4 Diện tích đ{y: SABC  BÀI 57 (THPT ĐỒNG XOÀI – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, SA ^ ( ABCD) và SA=a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ A đến mặt phẳng (SBM) với M l| trung điểm của CD. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 48 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 2a3 (dvtt) Ta có S ABCD = AB.AD = 2a Do đó: VS . ABCD = .SA.S ABCD = 3 3 Dựng AN ^ BM ( N thuộc BM) v| AH ^ SN (H thuộc SN) Ta có: BM ^ AN, BM ^ SA suy ra: BM ^ AH. Và AH ^ BM, AH ^ SN suy ra: AH ^ (SBM). Do 2 đó d(A,(SBM))=AH Ta có: S ABM = S ABCD - 2S ADM = a 2 1 2a 2 4a AN.BM = a 2 Þ AN = = 2 BM 17 1 1 1 4a Trong tam giác vuông SAN có: = + 2 Þ AH = = d( A,(SBM )) 2 2 AH AN SA 33 S ABM = BÀI 58 (THPT ĐỒNG HẬU – VĨNH PHÚC (LẦN 2)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y l| hình thoi, tam gi{c SAB đều v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABCD). Biết AC = 2a, BD = 4a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AD v| SC. Lời giải. Gọi H l| trung điểm của AB, tam gi{c SAB đều nên SH  AB Mà  SAB    ABCD  , suy ra SH   ABCD  . Gọi O l| giao điểm của AC v| BD, ta có OA  a, OB  2a  AB  OA2  OB2  a 5 3 a 15  2 2 1 1  AC.BD  .2a.4a  4a 2 2 2 Tam gi{c SAB đều cạnh a 5 nên đường cao SH  a 5. Đ{y ABCD l| hình thoi nên có diện tích S ABCD THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 49 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 2a3 15 Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD l| VS . ABCD  .S ABCD .SH  3 3 Ta có AD / / BC  AD / /  SBC  Do đó d  AD; SC   d  AD;( SBC )   d  A;( SBC )   2d  H ;( SBC )  . Gọi K l| hình chiếu của H trên BC, ta có BC  HK và BC  SH nên BC  (SHK ) Gọi I l| hình chiếu của H trên SK, ta có HI  SK và HI  BC nên HI  (SBC). Từ đó suy ra d ( AD; SC )  2d  H ;( SBC )   2 HI Ta có HK  2SHBC SABC SABCD 2a    BC BC 2BC 5 Tam gi{c SHK vuông tại H nên HI  Vậy d  AD; SC   2HI  HS .HK HS  HK 2 2  2a 15 91 4a 15 91 BÀI 59 (THPT ĐỨC THỌ – HÀ TĨNH). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB  a , AD  2a , SA  ( ABCD) và SA  a . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ D đến mặt phẳng (SBM) với M l| trung điểm của CD. Lời giải. Ta có S ABCD = AB.AD = 2a2 1 2a3 (dvtt) Do đó: VS . ABCD = .SA.S ABCD = 3 3 Ta có d(D,(SBM)=d(C,(SBM)= 1/2 d(A,(SBM)) Dựng AN ^ BM ( N thuộc BM) v| AH ^ SN (H thuộc SN) Ta có: BM ^ AN, BM ^ SA suy ra: BM ^ AH. Và AH ^ BM, AH ^ SN suy ra: AH ^ (SBM). Do đó d(A,(SBM))=AH 1 2a 2 4a  Ta có: S ABM  S ABCD  2S ADM  a 2 ; S ABM  AN .BM  a 2  AN  2 BM 17 1 1 1 4a   2  AH  Trong tam giác vuông SAN có: 2 2 AH AN SA 33 2a Suy ra d(D, SBM   33 BÀI 60 (TRUNG TÂM GDTX CAM LÂM – KHÁNH HÒA (LẦN 1)). THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 50 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi t}m O, cạnh a, góc B bằng 60 0 , SA vuông a góc mp (ABCD), SA = , gọi K l| ch}n đường vuông góc hạ từ A xuống SO . 2 1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD 2) Chứng minh AK vuông góc mặt phẳng ( SBD ) Lời giải. Lí luận được  ABC đều a2 3 (đvdt)  S ABC = 4 a2 3 (đvdt)  S ABCD = 2 Ghi được công thức : V S . ABCD = 1 S ABCD . SA 3 a3 3 (đvtt)  V S . ABCD = 12 Chứng minh được : AK  SO BD  (SAO)  AK  BD  AK  (SBD) BÀI 61 (TRUNG TÂM GDTX CAM LÂM – KHÁNH HÒA (LẦN 2)). Cho hình chóp S . ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a 2 , tam giác SAC vuông tại S có SA  a v| nằm trong mặt phẳng vuông góc đ{y. Tính thể tích của khối chóp S . ABCD theo a ; tính cosin của góc giữa đường thẳng SD v| mặt phẳng  SBC  . Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 51 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Gọi H l| hình chiếu của S lên AC thì SH vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Ta có AC  AB 2  2a , tam giác SAC vuông tại S nên ta tính được SC  a 3, SH   1 1 a 3 Thể tích khối chóp S.ABCD là V  .SH .S ABCD  . a 2 3 3 2  2 a 3 . 2 a3 3  . 3 Gọi  l| góc giữa SD v| mặt phẳng  SBC  . Kẻ HI song song với AB (I thuộc BC ), HJ vuông góc SI (J thuộc SI), suy ra HJ   SBC  . Tam giác SHA vuông tại H có SA  a, SH  Suy ra CH  a 3 a nên AH  . 2 2 3a 3 3 2a ; HI  AB   HJ  2 4 4 Suy ra d  D;  SBC    d  A;  SBC    HI .HS HI 2  HS 2  3 5 a 10 AC 4 2 5 d  H ;  SBC    .HJ  a HC 3 5 Lại có SD  SH 2  HO 2  OD 2  a 2 (O l| giao điểm của AC và BD), suy ra sin   d  D;  SBC   SD  2 15  cos   . 5 5 BÀI 62 (TRUNG TÂM GDTX & HN NHA TRANG (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, AB  a, AD  2 2a . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng t}m tam gi{c BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AC và SD theo a. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 52 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Gọi H l| trọng t}m tam gi{c BCD. Theo gt SH  ( ABCD) 2 1 Gọi O  AC  BD  CH  CO  AC  a  AH  AC  HC  2a 3 3 SA tạo với đ{y góc 450 suy ra SAH  450  SH  AH  2a 1 1 4 2 3 V  S ABCD .SH  a.2 2a.2a  a 3 3 3 Gọi E l| điểm trên AB kêó d|i m| AE=a thì DE//AC, nên AC//mp(SDE) Suy ra d(AC, SD) = d(AC, (SDE)) Dựng HK  DE thì SK  DE, từ diện tích tam gi{c ODC 2a 2 3 Trong tam gi{c vuông SHK; Dựng HI  SK thì HI  (SDE) Nên HI l| khoảng c{ch từ H đến (SDE) 1 1 1 11    2 2 2 2 HI HS HK 8a 2a 2 =>d(AC, SD) = d(AC, (SDE))=HI= 11 ta tính được HK= BÀI 62 (TRUNG TÂM GDTX & HN NHA TRANG (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SB = a 3 , gọi M l| trung điểm AD. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SM và AB. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 53 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN SB  AB  3a  a  a 2 , SABCD = a2 1 a 3. 2 + V  SABCD .SA  3 3 + Tính được SA = 2 2 2 2 + Kẻ AH  SM ( H  SM ) (1) SA  (ABCD)  SA  AB , mà AD  AB  AB  (SAD)  AB  AH Từ (1) v| (2)  d(SM, AB ) = AH + 2a 2 a 2 1 1 1 1 4 2  AH   AH  = d(SM,AB)     9 3 AH 2 AS2 AM 2 2a 2 a 2 BÀI 63 (THPT HÀN THUYÊN – BẮC NINH). Cho hình chóp đều S.ABCD, có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a. Góc giữa cạnh bên v| mặt đ{y bằng 600 Tính diện tích tam gi{c SAC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA v| CD . Lời giải. BÀI 64 (THPT HẬU LỘC 2 – THANH HÓA (LẦN 1)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a, mặt bên SAD l| tam gi{c đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, SC  a 6 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng 2 c{ch giữa hai đường thẳng AD, SB theo a. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 54 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S D C H A B Gọi H l| ch}n đường cao hạ từ S của tam gi{c đều SAD Suy ra: a 3 và SH   ABCD  SH  2 a 3 Trong tam giác vuông HSC có HC  2 2 a 3a 2 2 a  DH 2  DC 2  CH 2 4 1 cos HDC   4 a 2 DH .DC 2 2. .a 2 0  HDC  60 a2 3 Suy ra S ABCD  DA.DC.sin ADC  2 2 1 1a 3 a 3 1 3 VS . ABCD  SH .S ABCD  .  a 3 3 2 2 4 Ta có ADC đều cạnh a  CH  AD  CH  BC hay BC   SHC   BC  SC  CSB vuông tại C 1 1 a3 a3 Lại có VD.SBC  VS .BCD  VS . ABCD  .  2 2 4 8 3 1 a 3a3  d  D;  SBC   .SSBC   d  D;  SBC    3 8 8.SSBC 3a 3 a 6  . 1 4 a 6 8. CS .CB 4. .a 2 2 a 6 . Vậy d  AD; SB   d  D;  SBC    4  d  D;  SBC    3a 3  THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 55 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 65 (THPT HOÀNG HOA THÁM (LẦN 1)). Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A/B/C/D/ có đ{y ABCD l| hình vuông với AB = 1 v| AA / = a. Tính thể tích khối tứ diện BDB /C/. Tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng DC/ và AC. Lời giải. VBDC / B /  VD.BB / C / 1 1 a a DC.S BB / C /  .1.  3 3 2 6 / / / DC // AB  ACB  , suy ra : VBDC / B /         d DC / , AC  d DC / , ACB /  d D, ACB / a V DACB /  6 3V / h  DACB S ACB/  = h gọi O l| giao của AC v| BD, tam gi{c ACB / c}n tại B/ , suy ra S ACB /  2a 2  1 . Do đó h = 2 a 2a 2  1 BÀI 66 (THPT HOÀNG HOA THÁM (LẦN 2)). Cho hình chóp S .ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông, cạnh AB a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SD hợp với mặt phẳng ABCD góc bằng 450 . Gọi M l| trung điểm của cạnh CD . Tính theο a thể tích khối chóp S .ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB và AM Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 56 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S H D A M I B C S ABCD  a 2 ; SA  a 1 VS . ABCD  a3 3 Qua B dựng đường thẳng d song song với AM; Dựng I, H, Chứng minh được AH   SBI  2 d  AM , SB   a 3 BÀI 67 (THPT HỒNG LĨNH). Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đ{y l| tam gi{c đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đ{y góc 300. Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ v| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 57 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN +Gọi H l| trung điểm BC => A’H  (ABC) => góc A’AH bằng 300. Ta có:AH = SABC = a 3 ; A’H = AH.tan300 = a/2. 2 a2 3 . 4 a3 3 V = S ABC . A’ H = . 8 + Gọi G l| t}m của tam gi{c ABC, qua G kẻ đt (d) // A’H cắt AA’ tại E + Gọi F l| trung điểm AA’, trong mp(AA’H) kẻ đt trung trực của AA’ cắt (d) tại I => I l| t}m m/c ngoại tiếp tứ diện A’ABC v| b{n kính R = IA. Ta có: Góc AEI bằng 600, EF =1/6.AA’ = a/6. a 3 6 a 3 AF2  FI 2  3 IF = EF.tan600 = R= BÀI 68 (THPT HỒNG QUANG – HẢI DƢƠNG (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a. Gọi M l| trung điểm CD, SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) với H l| giao điểm của AC với BM. Góc giữa (SCD) v| (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AB và SM theo a. Lời giải. VSACD a3 3 a 3  ; d  A,  SCD    9 2 BÀI 69 (THPT HỒNG QUANG – HẢI DƢƠNG (LẦN 2)). Cho hình chóp .S ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a, góc ABC  600 , cạnh bên a 7 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng  ABCD  l| trung điểm cạnh AB. 2 Gọi M l| điểm thuộc cạnh CD sao cho MC  2MD . Tính theo a thể tích của khối chóp .S SC  ABCD v| tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AM v| SB. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 58 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 VSACD  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN a3 3 35 ; cos  AM , SB   6 70 BÀI 70 (THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)). Cho hình chóp S .ABC có đ{y ABC l| tam gi{c vuông c}n tại C, BC a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC l| trung điểm H của cạnh AB , biết rằng SH  2a . Tính theο a thể tích khối chóp S .ABC v| khoảng c{ch từ điểm B đến mặt phẳng MAC , trong đó M l| trung điểm của cạnh SB . Lời giải. VS .ABC    a3 ; d B, MAC 3   45 a BÀI 71 (THPT KẺ SẶT – HẢI DƢƠNG (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh 2a. Tam gi{c SAB c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, góc giữa cạnh bên SC v| đ{y bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng BD v| SA. Lời giải. Gọi H l| trung điểm AB-Lập luận SH  ( ABC) -Tính được SH  a 15 4a 3 15 3 Qua A vẽ đường thẳng  / /BD , gọi E l| hình chiếu của H lên  , K l| hình chiếu H lên SE Chứng minh được:d(BD,SA)=d(BD,(S,  ))=2d(H, (S,  ))=2HK a 2 Tam gi{c EAH vuông c}n tại E, HE  2 1 1 1 31 15     HK  a 2 2 2 2 HK SH HE 15a 31  15  d ( BD, SA)  2 a 31 Tính được VS . ABCD  BÀI 72 (THPT KHÁNH SƠN – KHÁNH HÒA (LẦN 2)). THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 59 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật có BC  3 AB  3a , hai mặt phẳng  SAC  ,  SBD cùng vuông góc với đ{y. Điểm I SC sao cho SC  3IC , đường thẳng qua I v| song song với SB cắt BC tại M . Tính thể tích khối chóp I . AMC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AI , SB theo a biết AI  SC . Lời giải. 1 1 CB 1 Do S AMC  CA.CM .sin ACM  CA. .sin ACM  SCAB 2 2 3 3 S ABCD . Suy ra S AMC  6 – Do AI  SC nên hai tam giác SOC, AIC đồng dạng. Do đó SC AC   SC  a 6  SO  a 6 OC IC 1 – Qua I kẻ đường thẳng song song với SO cắt AC tại điểm H  IH  SO . Từ đó suy ra 3 VI . AMC  a3 15 . 54 Chỉ ra d  SB, AI   d  SB,  IAM    d  B,  IAM    2d  C ,  IAM   3V 1 Chỉ ra VI . AMC  VC .IAM  S IAM .d  C ,  IAM    d  C ,  IAM    I . AMC . 3 S IAM Tính được SB SC IM   3 3 S AM  AB 2  AM 2 AI  AC 2  IC 2 3 70 28 154  sin IAM  28 2a  d  C ,  IAM    . 33 4a  d  SB, IA   33  cos IAM  E I A D O H B M C BÀI 73 (THPT KHÁNH SƠN – KHÁNH HÒA (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB  AC  a , I l| trung điểm của SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  l| trung điểm H của BC , mặt phẳng  SAB  tạo với đ{y 1 góc bằng 60 . Tính điểm I đến mặt phẳng  SAB  theo a . thể tích khối chóp S.ABC v| tính khoảng c{ch từ Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 60 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S I M B H C K A Gọi K l| trung điểm của AB  HK  AB (1) Vì SH   ABC  nên SH  AB (2) Từ (1) v| (2) suy ra  AB  SK Do đó góc giữa  SAB  với đ{y bằng góc giữa SK v| HK v| bằng SKH  60 Ta có SH  HK tan SKH  a 3 2 1 1 1 a3 3 Vậy VS . ABC  S ABC .SH  . AB. AC.SH  3 3 2 12 Vì IH / / SB nên IH / /  SAB  . Do đó d  I ,  SAB    d  H ,  SAB   Từ H kẻ HM  SK tại M  HM   SAB   d  H ,  SAB    HM Ta có a 3 a 3 1 1 1 16 . Vậy d  I ,  SAB       2  HM  2 2 2 4 4 HM HK SH 3a BÀI 74 (THPT KHÓA CHÂU (LẦN 1)). Cho hình chóp đều A.BCD có AB  a 3; BC  a . Gọi M l| trung điểm của CD. Tính thể tích khối chóp A.BCD theo a v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng BM, AD. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 61 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Gọi O l| t}m tam gi{c đều BCD cạnh a. Do A.BCD l| chóp đều nên AO   BCD   AO l| đường cao của hình chóp. Có SBCD  1 a2 3 a 3 BC.BD.sin 60 0  và OB  2 4 3 Trong AOB có: AO  AB 2  BO 2  2a 6 3 1 a3 18 AO.SBCD   ñvtt  3 18 Gọi N, I, J lần lượt l| trung điểm của AC, CO, OM. VA. BCD   Có: AD / / MN  AD / /  BMN   d  BM; AD   d AD;  BMN        d D;  BMN   d C;  BMN   2d I ;  BMN  lại có:   BM  IJ    BM   IJN    BMN    IJN  theo giao tuyến NJ. BM  NI    Trong mp(IJN) kẻ IK  NJ  IK   BMN   d I ;  BMN   IK * Xét IJN có: a 70 1 1 1 16 3 35  2  2  2  2  2  IK  2 35 IK IJ IN a 2a 2a   Vậy d  BM ; AD   2d I ;  BMN   2 a 70 35 BÀI 75 (THPT KINH MÔN – HẢI DƢƠNG (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABC có tam gi{c ABC vuông tại A, AB = AC = a, I l| trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) l| trung điểm H của BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đ{y 1 góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| tính khoảng c{ch từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a. Lời giải. Sj M B H C K A Gọi K l| trung điểm của AB  HK  AB (1) Vì SH   ABC  nên SH  AB (2) Từ (1) v| (2) suy ra  AB  SK THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 62 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Do đó góc giữa  SAB  với đ{y bằng góc giữa SK v| HK v| bằng SKH  60 a 3 . 2 Ta có SH  HK tan SKH  Tam giác ABC vuông cân: S ABC  1 2 a 2 1 1 1 a3 3 Vậy VS . ABC  S ABC .SH  . AB. AC.SH  3 3 2 12 Vì IH / / SB nên IH / /  SAB  . Do đó d  I ,  SAB    d  H ,  SAB   Từ H kẻ HM  SK tại M  HM   SAB   d  H ,  SAB    HM Ta có a 3 a 3 1 1 1 16 . Vậy d  I ,  SAB       2  HM  2 2 2 4 4 HM HK SH 3a BÀI 76 (THPT LẠC LONG QUÂN – KHÁNH HÒA (LẦN 1)). Cho tam gi{c đều ABC cạnh a v| tam gi{c c}n SAB đỉnh S không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi H, K lần lượt l| trung điểm của AB, AC, biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) v| (ABC) là 600 , SA a 21 , SC HK//(SBC) nên d HK, SBC d H, SBC 3VS.HBC S SBC 3VS.ABC 2S SBC Theo định lí Côsin trong tam giác SHC ta có: SC SH2 CH2 2SH.CH.cos600 a 21 6 SB nên ΔSBC c}n tại S. Gọi I l| trung điểm BC SI SC2 d HK, SBC CI2 a 3 3 S SBC 1 SI.BC 2 1 a 3 . .a 2 3 a2 3 6 3a 8 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 63 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 77 (THPT LẠC LONG QUÂN – KHÁNH HÒA (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, SA  a 3 v| SA vuông góc với mặt phẳng đ{y . Biết tam gi{c SAB c}n v| góc giữa SD v| mặt đ{y bằng 30 0. a. Thể tích khối chóp S.ABCD theo a. b. Tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng BD v| SC lời giải. BÀI 78 (THPT LAM KINH (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a. Gọi I l| trung điểm AB, H là giao điểm của BD với IC. C{c mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đ{y. Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA và IC. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 64 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 Ta có VS.ABCD  SH.SABCD , trong đó SABCD  a 2 3 Do (SIC),(SBD) cùng vuông với đ{y suy ra SH  (ABCD) Dựng HE  AB   SHE   AB , suy ra SEH l| góc giữa (SAB) v| (ABCD)  SEH  600 Ta có SH  HE.tan 600  3HE HE HI 1 a    HE  CB IC 3 3 a 3  SH  3 1 1 a 3 2 3a 3 Suy ra VS.ABCD  SH.SABCD  . .a  3 3 3 9 Gọi P l| trung điểm của CD, suy ra AP song song vớiCI  d  SA, CI   d  CI, SAP    d  H, SAP   Dựng HK  AP , suy ra  SHK    SAP  Dựng HF  SK  HF   SPA   d  H, SPA    HF 1 1 1 (1)   2 2 HF HK HS2 1 1 1 1 Dựng DM  AP , ta thấy DM  HK     2 2 2 HK DM DP DA2 a 1 1 1 1 4 1 3 8 Thay vào (1) ta có  .     2  2  2  2  HF  2 2 2 2 HF DP DA HS a a a a 2 2 a Vậy d SA, CI   . 2 2 Do SHK vuông tại H  BÀI 79 (THPT LÊ LỢI – THANH HÓA (LẦN 2)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB  a , SA  mp( ABCD) , SC tạo với mp( ABCD) một góc 450 và SC  2a 2 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch từ trọng t}m G của tam gi{c ABC đến mp  SCD  theo a . Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 65 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN * Vẽ hình đúng, nêu được công thức 1 thể tích V  S ABCD .SA 3 v| tính được SA  AC  2a . BC  AC 2  AB 2  a 3 , S ABCD  AB.BC  a 2 3 Từ đó: V a3 2 3 . 3 * G l| trọng t}m tam gi{c ABC nên GD 2 2   d (G, ( SCD))  .d ( B, ( SCD)) BD 3 3 + Gọi H l| hình chiếu của A lên SD thì AH   SCD  . Vì AB / / mp(SCD) nên d  B,  SCD    d  A,  SCD   =AH + Trong SAD có 2a 21 1 1 1 1 1    2  2  AH  2 2 2 7 AH AS AD 4a 3a 4a 21 2  d (G, ( SCD))  .d ( B, ( SCD)) = 21 3 BÀI 80 (THPT LÊ LỢI – THANH HÓA (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABC có tam gi{c ABC vuông tại A, BC = 2a, Góc ACB  600 . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp(ABC), tam gi{c SAB c}n tại S, tam gi{c SBC vuông tại S. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch từ điểm A tới mp(SBC). Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 66 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S A 600 K H C B 1 a) Gọi H l| trung điểm của cạnh AB, từ gt có SH  ( ABC) . VS . ABC  S ABC .SH . Tam giác ABC 3 vuông tại A có: AB  2a sin 600  3a; AC  2acos600  a 1 3 AB. AC  a 2 2 2 Gọi K l| trung điểm của cạnh BC thì 1 1 1 SK  BC  a; HK  AC  a cos 600  a 2 2 2 3 SH 2  SK 2  KH 2  a 2 4 Nên S ABC   SH  3 1 a . Suy ra VS . ABC  a3 . 2 4 b) Ta có SB  SH 2  HB 2  HC 2  AC 2  AH 2  a 2  SC  SH 2  HC 2  6 a 2 3a 2 7a 2  4 4 3a 2 7a 2 10   a 4 4 2 1 1 6 10 15 2 SB.SC  . a. a a 2 2 2 2 4 3 3 a 3VS . ABC 3  4  a Vậy d ( A;( SBC ))  S SBC 15 2 15 a 4 S SBC  BÀI 81 (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – KHÁNH HÒA). THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 67 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Cho hình chóp đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên với mặt đáy là 600 . Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AE và SC. Lời giải. Gọi H l| ch}n đường cao v| E l| trung điểm của BC. Do S.ABC l| hình chóp đều nên H l| t}m của tam gi{c đều ABC. Suy ra SA,  ABC    SAH  600 . 2 2 a 3 a 3 a2 3 0 . AH  AE  .   SH  AH.tan 60  a . SABC  3 3 2 3 4 1 a3 3 (đvtt)  V  SH.SABC  3 12 Trong mp(ABC), qua C kẻ đường thẳng (d) song song với AE v| gọi F, K lần lượt l| hình chiếu vuông góc của H lên (d) v| SF. Ta có CF  SH , CF  HF , CH   SHF  HK  CF . Mặt khác HK  SF  HK   SCF   d  H, (SCF)   HK AE / / SCF   d  AE,SC   d  AE, SCF    d  H, (SCF)   HK a . Ta có : 2 1 1 1 1 4 5 a 5    2  2  2  HK  2 2 2 HK HS HF a a a 5 a 5 Vậy d  AE,SC   5 HF  EC  BÀI 82 (THPT LƢƠNG THẾ VINH (LẦN 2)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thang vuông tại A và B , tam giác SAC cân tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Biết AB  BC  a, AD  2a, SA  2a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AD và SB . Lời giải. V a 3 14 ; d( AD,SB)  d(AD,(SBC ))  d(A,(SBC ))  2d(I,(SBC)) , với I l| trung điểm AC 4 Kẻ IK  BC, IH  SK  IH  (SBC)  d(I,(SBC)  2IH . Kết quả: d( AD, SB)  THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 a 210 15 Trang 68 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 83 (THPT LƢƠNG TÀI 2 – BẮC NINH (LẦN 3)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đ{y. Góc giữa SC v| mặt đ{y bằng 450 . Gọi E l| trung điểm BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng DE v| SC theo a. Lời giải. S F D A H B I K C E SA   ABCD   AC l| hình chiếu của SC trên (ABCD)  SCA  450 SAC vuông c}n tại A  SA  AC  a 2 1 a3 2 VS . ABCD  SA.S ABCD  3 3 *Tính d(DE,SC) Dựng CI // DE, suy ra DE // ( SCI). Dựng AK  CI cắt DE tại H v| cắt CI tại K Trong (SAK) dựng HF  SK , do CI   SAK   HF   SCI  AK  CD. AI 3a 1 a  , HK  AK  CI 3 5 5 Khi đó d  DE , SC   d  H ,  SCI    HF  SA.HK a 38  SK 19 BÀI 84 (THPT LÝ THÁI TỔ – BẮC NINH (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c vuông tại B v| AB  2, AC  4. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) l| trung điểm H của đoạn thẳng AC. Cạnh bên SA tạo với mặt đ{y một góc 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AB v| SC. Lời giải. S K D E A H C B SH vuông góc (ABC)  góc giữa SA v| (ABC) l|: SAH  60o THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 69 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN  SH  AH.tan SAH  2 3 ABC vuông tại B  BC  AC2  AB2  2 3  SABC  1 AB.BC  2 3 2 1 1 Vậy VS.ABC  SH.SABC  .2 3.2 3  4. 3 3 Dựng hình chữ nhật ABCD  AB // CD  AB // (SCD)  d(AB,SC)  d(AB,(SCD))  d(A,(SCD))  2d(H,(SCD)) (do AC  2HC ) Trong (ABCD), gọi E l| trung điểm CD  HE  CD  CD  (SHE) Trong (SHE), kẻ HK  SE (K SE)  HK  (SCD)  d(H,(SCD))  HK 1 Ta có: HE  AD  3 2 1 1 1 1 1 5 2 15       HK  SHE vuông tại E  2 2 2 5 HK HS HE 12 3 12 4 15  Vậy d(AB,SC)  2HK  5 BÀI 85 (THPT LÝ THƢỜNG KIỆT – BÌNH THUẬN (LẦN 1)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a , hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Góc giữa SD v| mặt đ{y bằng 450 . Tính theο a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AC , SD . Lời giải. a3 3 *) *) Gọi I l| trung điểm SB  SD (IAC)  d(SD, AC )  d( D,( IAC ))  3VIACD a 3  3 SIAC BÀI 86 (THPT LÝ THÁI TỔ – BẮC NINH (LẦN 2)). Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’ B’C’ D’ có đ{y l| hình thoi cạnh a, BAD  120o và AC’  a 5. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’ B’C’ D’ v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AB’ và BD theo a. Lời giải. A’ D’ C’ B’ A D H 120o O B C Gọi O l| t}m hình thoi ABCD. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 70 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Do hình thoi ABCD có BAD  120o  ABC, ACD đều.  AC  a. a2 3 2 Mà ABCD.A’ B’C’ D’ l| lăng trụ đứng. Ta có: SABCD  2SABC   ACC’ vuông tại C  CC’  AC’2  AC2  5a2  a2  2a. a2 3  a3 3. 2 Tứ gi{c AB’C’ D là hình bình hành  AB’ // C’ D  AB’ // (BC’ D).  d(AB’,BD)  d(AB’,(BC’D))  d(A,(BC’D))  d(C,(BC’D)). Vì BD  AC,BD  CC’  BD  (OCC’)  (BC’D)  (OCC’). Trong (OCC’), kẻ CH  OC’ (H  OC’).  CH  (BC’D)  d(C,(BC’D))  CH Vậy VABCD.A’B’C’D’  CC’.SABCD  2a  OCC’ vuông tại C  Vậy d(AB’, BD)  2a 1 1 1 4 1 2a    2  2  CH  2 2 2 CH CO CC’ a 4a 17  17 BÀI 87 (THPT LÝ MARIE CURIE – HÀ NỘI). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y l| hình thang vuông tại A và B , AB  BC  a và AD  2a . Hình chiếu vuông góc của S trên đ{y l| trung điểm H của đoạn AB . Cạnh bên SC tạo với mặt đ{y một góc bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch từ điểm H đến mặt phẳng  SCD  . Lời giải.  SH  ( ABCD)  hc ABCD  SC  HC   SC ,( ABCD)    SC , HC   SCH  600 1 2  S ABCD  ( AD  BC ) AB  S 3a 2 2 a 5 K , 2 A a 15 H SH  HC tan 600  B 2 a 3 15 I  VS . ABCD  (đvtt) 4  Vẽ HM  DC tại M  DC  (SHM ) Vẽ HK  SM tại K  HK  (SCD)  HK  d ( H ,(SCD))  HC  BC 2  BH 2  D 600 C M  Gọi I  AB  DC  BC là đường trung bình của tam giác AID  B là trung điểm AI .  Ta có AC  CD THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 71 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN HM IH 3 3 3a 2    HM  AC  4 4 AC IA 4 1 1 1 3a 65  .    d ( H ,( SCD))  HK  2 2 2 26 HK SH HM  HM / / AC  BÀI 88 (THPT MINHH CHÂU – HƢNG YÊN (LẦN 2)). có đ{y l| hình vuông cạnh a, Cho hình chóp đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm của đoạn . Tính theo a thể tích khối chóp . Hình chiếu vuông góc H của . Gọi l| trung điểm của đoạn v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng và . Lời giải. S F C B E H O Từ D K A giả thiết ta có l| S.ABCD và Gọi E l| hình chiếu vuông góc của H lên BD, F l| hình chiếu vuông góc của H lên SE Ta có mà nên suy ra Diện tích của hình vuông ABCD là đường cao của hình chóp , Từ giả thiết ta có Do vậy: (1) (2) +) +) Xét tam giác vuông SHE có: (3) THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 72 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 +) Từ (1), (2), (3) ta có CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN . BÀI 89 (THPT MINHH CHÂU – HƢNG YÊN (LẦN 3)). Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c vuông c}n đỉnh A, AB  a 2. Gọi I l| trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt đ{y (ABC) l| điểm H thỏa mãn IA  2IH , góc giữa SC v| mặt đ{y (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AC v| SB. Lời giải. S B A Q I 600 P H E C Ta có IA  2 IH  H thuộc tia đối của tia IA v| IA = 2IH BC = AB 2  2a ; AI = a ; IH = AH = AI + IH = Ta có HC  IA a = 2 2 3a 2 a 5 2   0 Vì SH  ( ABC )  ( SC ;( ABC ))  SCH  60 ; SH  HC tan 600  VS . ABC a 15 2 1 1 1 a3 15 2 a 15  SABC .SH  . (a 2)  (đvtt) 3 3 2 2 6 Trong mặt phẳng (ABC) dựng hình vuông ABEC. Khi đó AC//BE nên AC//(SBE) Từ đó suy ra d  AC; SB   d  AC;( SBE )   d  A;  SBE    4d  E;  ABE   Kẻ HP  BE  P  BE  , HQ  SP  Q  SP  ;  BE  SH  BE   SHP   BE  HQ  BE  HP Khi đó   HQ  BE  HQ   SBE   d  H ;  SBE    HQ   HQ  SP THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 73 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 HP  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 a 2 AB  4 4 SHP vuông tại H, HQ  SP nên HQ  Vậy d  AC; SB   SH 2 .HP 2 a 465  2 2 SH  HP 62 2a 465 (đvđd) 31 BÀI 90 (TRANG HỌC TRỰC TUYẾN MOON.VN (ĐỀ SỐ 4)). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình thoi cạnh a 3 , đường chéo AC = 2a . Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) v| SBD) cùng vuông góc với đ{y, v| SC = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, v| chứng minh hai mặt phẳng (SAB), (SBC) vuông góc với nhau. Lời giải. BÀI 91 (TRANG HỌC TRỰC TUYẾN MOON.VN (ĐỀ SỐ 5)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y l| hình thoi cạnh a 3 , đường chéo AC  2a , biết rằng hai mặt phẳng  SAC  và  SBD  cùng vuông góc với đ{y, SC  a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh hai mặt phẳng  SAB  ,  SBC  vuông góc với nhau. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 74 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 4 VSABCD  a3 3 Dựng CK vuông góc với SB lại có SB vuông với AC nên SB vuông (ACK) SI .IB 1 AC (I l| giao điểm 2 đường chéo) 2 SI 2  IB 2 Do đó tam gi{c ACK vuông tại K hay CK vuông với AK nên  SAB    SBC  Khi đó IK  SB  IK  a BÀI 92 (TRANG HỌC TRỰC TUYẾN MOON.VN (ĐỀ SỐ 6)). Cho hình chóp S. ABCD có đ{y l| hình thang c}n, hai đ{y l| BC và AD , biết đường cao của khối chóp là SH  a , với H l| trung điểm AD . Cho biết AD = 2a, AB  BC  CD  a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và khoảng cách từ H tới  SCD  Lời giải. V a3 3 a 21 ; d  H ;  SCD    4 7 BÀI 93 (THPT NGUYỄN CHÍ THANH – KHÁNH HÒA (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật. Tam gi{c SAB đều v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đ{y (ABCD). Biết v| mặt phẳng (ABCD) bằng . Tính theo v| góc tạo bởi đường thẳng SC thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). Lời giải. Gọi H l| trung điểm của AB. Suy ra và . Ta có: . Xét tam gi{c SHC vuông tại H ta có: Vì tam gi{c SAB đều m| nên . Do đó, Vậy, . Suy ra . . Vì nên Gọi I l| hình chiếu của H lên AC v| K l| hình chiếu của H lên SI. Ta có: và Do đó: nên . M|, ta lại có: . . Vì hai tam gi{c SIA v| SBC đồng dạng nên . THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 75 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Suy ra, CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN . Vậy , BÀI 94 (THPT NGUYỄN CHÍ THANH – KHÁNH HÒA (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABC, ABC là tam gi{c đều cạnh bẳng 3a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) l| điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH = 2HB.Góc giữa đường thẳng SC và mặt đ{y bằng 450. Tính th ểtích khối chóp S.ABC theo a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC. Lời giải. ; ; Áp dụng định lí Cosin cho tam giác BCH Tam giác SHC cân tại H ; Lấy điểm D sao cho t ứgiác ABCD là hình thoi ; ; BÀI 95 (TRƢỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ NHA TRANG (LẦN 1)) Cho hình chóp S. ABCD có đ{y l| hình chữ nhật với AB  a, BC  a 3 . Hai mặt phẳng (SAC ) và (SBD) cùng vuông góc với đ{y. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC  3IC. Tính thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 76 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S D A E I O H B M C +) Gọi O  AC  BD , Vì ( SAC )  ( ABCD),( SBD)  ( ABCD)  SO  ( ABCD) . AC  AB 2  BC 2  a 2  3a 2  2a  OC  a. CI CA Do AI  SC  SOC & AIC đồng dạng    SC  a 6 CO CS 1 15 +) SO  SC 2  OC 2  a 5, S ABCD  a.a 3  3a 2  VSABC  SO.S ABCD  a 3 3 3 +) Qua I kẻ đường thẳng song song với SB cắt BC tại M  SB // (AIM)  d ( SB, AI )  d ( SB, ( AIM ))  d ( B, ( AIM ))  Hạ IH  ( ABCD)  IH  +) Ta có : IM  3VI . ABM . SAMI SO 5 a2 3 1 a3 15 , SABM  a  VI . ABM  IH .SABM  3 3 3 3 27 SB SC 2   a ; AM  3 3 3 AB 2  BM 2  a 7 , AI  3 AC 2  CI 2  a 10 3 3 70 154 1 55  sin MAI   S AMI  AM . AI sin MAI  a 2 28 28 2 12  cos MAI   d ( B, ( AIM ))  3VI . ABM 4a 4a   d (SB, AI )  SAMI 33 33 BÀI 96 (TRƢỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ NHA TRANG (LẦN 2)) Cho hình chóp tứ gi{c đều S.ABCD có cạnh đ{y bằng a. Cạnh bên tạo với mặt đ{y một góc 600. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng chéo nhau SA, CD. Lời giải. S A 60o B D H C THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 77 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Gọi H l| t}m của đa gi{c đ{y thì SH vuông góc với mp(ABCD), BH l| hình chiếu của SH lên mp(ABCD). Góc giữa cạnh bên SB với mp(ABCD) l| SBH  60o BH  1 a 2 a 6 . SH  BH tan 60o  BD  2 2 4 S ABCD  a ; thể tích VS . ABCD 2 1 a3 6  S ABCD .SH  3 12 Ta có AB//CD nên d  SA, CD   d CD,  SAB   d C ,  SAB   h 1 a3 6 Và VS . ABC  VS . ABCD  (1) 2 24 7 BH 1 a  a 2 . Gọi N l| trung điểm AB thì BN  a suy ra SN  o 2 cos 60 2 1 7 2 1 7 2 Diện tích tam gi{c SAB: SSAB  SN . AB  a Suy ra VC .SAB  SSAB .h  a .h (2) 2 4 3 12 a 6 a 42 Từ (1) v| (2) suy ra h   14 2 7 SB  BÀI 97 (TRƢỜNG TRUNG CẤP NGHỀ NINH HÒA (LẦN 1)) Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với mặt đ{y, góc giữa đường thẳng SB v| mặt đ{y bằng 30o . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD và khoảng c{ch giữa SD, AC. Lời giải. S H N A D B C *Tính thể tích: Ta có góc SBA là góc giữa SB và (ABCD) bằng 300 Ta có SA  AB.tan 300  2a 3 3 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 78 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 1 2a 3 2 8a 3 3 .4a  VS . ABCD  SA.S ABCD  . 3 3 3 9 * Tính khoảng cách: Kẻ đường thẳng d qua D và song song vớiAC Gọi N là hình chiếu vuông góc của A trên d H là hình chiếu vuông góc của A trên SN SA  DN Ta có suy ra DN  (SAN )  AH  DN NA  DN Do đó d  SD, AC   d  A;  SDN    AH Tam gi{c SAN vuông tại A có đường cao AH nên 1 1 1 1  2  2 suy ra d (SD, AC)  AH  a 2 2 AH SA AN a BÀI 98 (TRƢỜNG TRUNG CẤP NGHỀ NINH HÒA (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABC có c{c cạnh bên SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một v| SA=a, SB=2a, SC=3a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC v| x{c định t}m, b{n kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Lời giải. S M A C K B O 1 1 1 1 *Tính thể tích VSABC  SA.SSBC  SA. SB.SC  a.2a.3a  a3 (đvtt) 3 3 2 6 * Tìm tâm và bán kính Gọi M, K lần lượt l| trung điểm của SA v| BC. Kẻ Kt // SA suy ra Kt  (SBC) Kẻ Mx // SK suy ra Mx  SA Kt cắt Mx tại O. Khi đó O l| t}m mặt cầu ngoại tiếp S.ABC Bán kính R=OS a Có SO2  OK 2  SK 2 mà OK  SM  2 2 2 2 BC a 4a  9a 14a 2 SK   SO 2    2 4 4 4 a 14 R 2 BÀI 99 (THPT NGÔ SĨ LIÊN – BẮC GIANG (LẦN 2)) THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 79 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c vuông tại B, BA  3a , BC  4a và AB vuông góc với mặt phẳng (SBC). Biết SB  2a 3 và góc SBC  300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. Lời giải. A I S B H C 1 AB.SSBC 3 1 1 1  BC.BS .sin 300  .4a.2a 3.  2a 2 3  dvdt  2 2 2 ▪ Ta có AB vuông góc (SBC) (gt) nên VS . ABC  Từ giả thiết ta có: S SBC 1 3 ▪ Hạ BH  SC (H  SC) ta chứng minh được SC  (ABH) Hạ BI  AH (I  AH) Từ hai kết quả trên suy ra BI  (SAC)  BI  d(B;(SAC)) 6a 7 Dựa v|o tam gi{c vuông ABH tính được BI  . 7 Khi đó VS . ABC  .3a.2a 2 3  2a3 3  dvtt  . BÀI 100 (THPT NGỌC TẢO) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a, SD  3a . Hình chiếu vuông góc 2 của S trên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ A đến mặt phẳng (SBD). Lời giải. BÀI 101 (THPT NGUYỄN BÌNH – QUẢNG NINH) Cho hình chóp S.ABC có tam gi{c ABC vuông tại A, AB = AC = a, I l| trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) l| trung điểm H của BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đ{y 1 góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| tính khoảng c{ch từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 80 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Sj M B H C K A Gọi K l| trung điểm của AB  HK  AB (1) Vì SH   ABC  nên SH  AB (2) Từ (1) v| (2) suy ra  AB  SK Do đó góc giữa  SAB  với đ{y bằng góc giữa SK v| HK v| bằng SKH  60 a 3 2 1 1 1 a3 3 Vậy VS . ABC  S ABC .SH  . AB. AC.SH  3 3 2 12 Vì IH / / SB nên IH / /  SAB  . Do đó d  I ,  SAB    d  H ,  SAB   Ta có SH  HK tan SKH  Từ H kẻ HM  SK tại M  HM   SAB   d  H ,  SAB    HM Ta có a 3 a 3 1 1 1 16 . Vậy d  I ,  SAB       2  HM  2 2 2 4 4 HM HK SH 3a BÀI 102 (THPT NGUYỄN HUỆ – KHÁNH HÒA (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB  AC  a , I l| trung điểm của SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  SAB  tạo với đ{y 1 góc bằng 60 . Tính điểm I đến mặt phẳng  SAB  theo a .  ABC  l| trung điểm H của BC , mặt phẳng thể tích khối chóp S.ABC v| tính khoảng c{ch từ Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 81 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Sj M B H C K A Gọi K l| trung điểm của AB  HK  AB (1) Vì SH   ABC  nên SH  AB (2) Từ (1) v| (2) suy ra  AB  SK Do đó góc giữa  SAB  với đ{y bằng góc giữa SK v| HK v| bằng SKH  60 Ta có SH  HK tan SKH  a 3 2 1 1 1 a3 3 Vậy VS . ABC  S ABC .SH  . AB. AC.SH  3 3 2 12 Vì IH / / SB nên IH / /  SAB  . Do đó d  I ,  SAB    d  H ,  SAB   Từ H kẻ HM  SK tại M  HM   SAB   d  H ,  SAB    HM a 3 1 1 1 16 .    2  HM  2 2 2 4 HM HK SH 3a a 3 Vậy d  I ,  SAB    4 Ta có BÀI 103 (THPT NGUYỄN HUỆ – KHÁNH HÒA (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh bằng 2a . E, F lần lượt l| trung điểm của AB và BC , H l| giao điểm của AF và DE . Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) v| góc giữa đường thẳng SA v| mặt phẳng (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SH , DF . Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 82 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Do ABCD là hình vuông cạnh 2a nên SABCD  4a 2 . SH  (ABCD)  HA là hình chiếu vuông góc của SA trên mp  ABCD   SAH  600  SH  AH 3 ABF  DAE  c.g.c   BAF  ADE Mà: AED  ADE  900 Nên BAF  AED  900  AHE  900  DE  AF 2a 5 1 2a 3 2 8a 3 15 .4a  Thể tích của khối chóp S.ABCD là: V  . (đvtt) 3 15 5 Trong ADE có: AH.DE  AD.AE  AH  Trong mp  ABCD  kẻ HK  DF tại K .  d  SH, DF   HK . Trong ADE có: DH.DE  DA2  DH  4a 5 Trong DHF có: HF2  DF2  DH 2  5a 2  Có : DF  a 5 16a 2 9a 2 3a   HF  5 5 5 HF.HD 12a 5 12a 5 Vậy d  SH, DF    DF 25 25 BÀI 104 (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU (LẦN 1))  HK  Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, AB  2a, AD  a , K l| hình chiếu vuông góc của B lên đường chéo AC , c{c điểm H , M lần lượt l| trung điểm của AK và DC, SH vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , góc giữa đường thẳng SB v| mặt phẳng ( ABCD) bằng 450 . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB và MH . Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 83 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S N A a D 450 2a B A H I H K M B I K C D M C Do SH  ( ABCD) nên HB l| hình chiếu của SB lên ( ABCD) Suy ra  SB;(ABCD)    SB; HB   SBH  450  SH  BH 1 2a 2a Xét tam giác vuông ABC ta có: AC  a 5 , HK  AK  , BK  2 5 5 Xét tam giác vuông BKH ta có 4a2 4a2 8a2 2a 2 2a 10    SH  BH   5 5 5 5 5 Thể tích khối chóp S. ABCD là BH 2  BK 2  HK 2  1 1 1 2 a 10 4 a3 10 V  SABCD .SH  AB. AD.SH  .2a.a.  . 3 3 3 5 15 Gọi I l| trung điểm của BK , suy ra tứ gi{c HICM là hình bình hành Suy ra: HI  BC  I l| trực t}m tam gi{c BHC  CI  HB  MH  HB Mà HB l| hình chiếu của SB lên ( ABCD) nên MH  SB . Trong (SHB) , kẻ HN  SB ( N  SB) , ta có:  MH  HB  MH  HN  MH  SH  Suy ra HN l| đoạn vuông góc chung của SB và MH . Suy ra: d  SB, MH   HN Xét tam giác vuông SHB ta có: HN  Vậy d  SB, MH   1 1 1 2a 2 2a 5 SB  HB. 2  2 2 2 2 5 5 2a 5 . 5 BÀI 105 (THPT NGUYỄN SIÊU (LẦN 1)) Cho hình lăng trụ tam gi{c ABC.A’B’C’ biết AB=a, AC=2a và BAC  600 . Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng t}m G của tam gi{c ABC, góc giữa AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo a: 1. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. 2. Khoảng c{ch từ C’ đến mặt phẳng (A’BC). Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 84 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 A’ CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN C’ B’ I A C K G M H B Gọi M l| trung điểm BC, thì G  AM , AG 2  AM 3 A ‘ G  ( ABC ), A’AG  600 1 a2 3 AB. AC.sin 600  Ta có 2 2 Theo đính lí cosin v| công thức trung tuyến ta có BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos600  3a 2 S ABC  AB 2  AC 2 BC 2 7a 2 a 7    AM  2 4 4 2 a 7 a 7 AG   A ‘ G  AG tan 600  3 3 AM 2  a3 7 2 Gọi I  AC ‘ A ‘ C suy ra I l| trung điểm của AC’ Từ đó d (C ‘,( A ‘ BC))  d ( A,( A ‘ BC))  3d (G,( A ‘ BC)) (do AM  3GM ) Trong (ABC) kẻ GH  BC tại H Trong (A’GH) kẻ GK  A ‘ H tại K Ta có GK  ( A ‘ BC)  d (G,( A ‘ BC))  GK Thể tích VABC . A ‘ B ‘C ‘  S ABC . A ‘ G  1 a2 3 1 Ta có SGBC  S ABC  ma SGBC  GH .BC 3 6 2 2SGBC a Suy ra GH   BC 3 Theo hệ hức lương cho tam gi{c vuông a 7 1 1 1 3 9 66    2  2  2  GK  2 2 2 GK A ‘ G GH 7a a 7a 66 3a 7 Vậy d (C ‘, ( A ‘ BC ))  3GK  66 BÀI 106 (THPT NGUYỄN TRÃI – KONTUM (LẦN 1)) THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 85 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Cho hình chóp S.ABCD, đ{y ABCD l| hình chữ nhật có AB= a , BC= a 3 . Cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD), góc giữa đường thẳng SC v| mặt phẳng đ{y (ABCD) bằng 60 0, M là trung điểm của cạnh SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ đỉnh S đến mp(BCM). Lời giải. * Vì SA  (ABCD) nên AC l| hình chiếu của SC trên mp(ABCD) => góc giữa SC v| (ABCD) là góc SCA = 600. * AC 2  AB 2  BC 2  4a 2  AC  2a SA = AC.tan600 = 2a 3 1 Vậy VS . ABCD  S ABCD .SA  2a 3 3 * Mp(BCM) cắt SA tại N => MN // AD // BC Dựng SH  BN tại N, ta có: BC  AB và BC  SA => BC  (SAB) => BC  SH, và vì SH  BN nên SH  (BCM) => SH = d(S,(BCM)) * BN 2  BA2  AN 2  4a 2  BN  2a Hai tam gi{c vuông NAB v| NHS đồng dạng nên : AB BN AB.SN a 3 a 3 . Vậy : d(S,(BCM)) =   SH   SH SN BN 2 2 BÀI 107 (THCS & THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN – PHÚ YÊN (LẦN 1)) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đ{y l| tam gi{c đều cạnh a. hình chiếu vuông góc của A’ trên  ABC  l| trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C v| mặt đ{y bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ v| tính khoảng c{ch từ B đến mặt phẳng (ACC’A’). Lời giải. + Gọi H l| trung điểm của AB, suy ra A ‘ H   ABC  và  A ‘ C,  ABC    A ‘ CH  600 . Do đó A ‘ H  CH .tan 600  3a 2 3a3 3 Thể tích của khối lăng trụ l| VABC . A ‘ B ‘C ‘  A ‘ H .SABC  8 + Gọi I l| hình chiếu vuông góc của của H trên AC; K l| hình chiếu vuông góc của H trên A’I. Suy ra HK  d  H ,  ACC ‘ A ‘  Ta có HI  AH .sin IAH  a 3 1 1 1 3a 13    HK  2 2 2 4 HK HI HA ‘ 26 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 86 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Do đó d  B,  ACC ‘ A ‘   2d  H ,  ACC ‘ A ‘    2 HK  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 3a 13 13 BÀI 107 (THPT NHƢ XUÂN – THANH HÓA (LẦN 2))  Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a, ABC  600 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đ{y v| cạnh bên SC tạo với mặt đ{y một góc 600 . Gọi I l| trung điểm BC, H l| hình chiếu vuông góc của A lên SI. 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2. Tính khoảng c{ch từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a. Lời giải.  a) Do ABC =600 nên tam gi{c ABC đều, suy ra SABCD  a 2 3 và AC  a 2  Mặt kh{c SA  ( ABCD )  SCA  600 1 a3  SA  AC.tan 600  a 3  VS.ABCD  SA.SABCD  . 3 2 HS HS.IS AS2 AS2 4 b) Ta có   2  2  2 2 IS IS IS IA  AS 5 4 2 2  d  H, SCD    d  I, SCD    d  B,  SCD    d  A, SCD   ( vì I l| trung điểm BC v| 5 5 5 AB//(SCD)) Gọi E l| trung điểm CD, K l| hình chiếu của A lên SE, ta có AE  DC  DC  (SAE)  AK  (SCD) 2 2 2 SA.AE 2a 15 Suy ra d  H, SCD    d  A, SCD    AK  .  5 5 5 SA 2  AE 2 25 BÀI 108 (THPT N.TRANG 2) Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh bằng 2a . E, F lần lượt l| trung điểm của AB và BC , H l| giao điểm của AF và DE . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) v| góc giữa đường thẳng SA v| mặt phẳng ( ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SH , DF . THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 87 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Lời giải. Do ABCD là hình vuông cạnh 2a nên S ABCD  4a 2 . SH  ( ABCD)  HA là hình chiếu vuông góc của SA trên mp  ABCD   SAH  600  SH  AH 3 ABF  DAE  c.g.c   BAF  ADE Mà: AED  ADE  900 Nên BAF  AED  900  AHE  900  DE  AF 2a Trong ADE có: AH .DE  AD. AE  AH  5 1 2a 3 2 8a3 15 Thể tích của khối chóp S. ABCD là: V  . (đvtt) .4a  3 15 5 Trong mp  ABCD  kẻ HK  DF tại K .  d  SH , DF   HK . Trong ADE có: DH .DE  DA2  DH  4a 5 Trong DHF có: HF 2  DF 2  DH 2  5a 2   HK  Có : DF  a 5 16a 2 9a 2 3a   HF  5 5 5 HF .HD 12a 5 12a 5 Vậy d  SH , DF    DF 25 25 BÀI 109 (THPT PHAN BỘI CHÂU – KHÁNH HÒA (LẦN 1)) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1;0;0  ; B(0; 2;3) và C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A, B sao cho khoảng c{ch từ C tới (P) bằng 2 . 3 Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 88 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S G H M A B F O N D C Gọi O l| giao điểm của AC và BD. Do ABCD l| hình chữ nhật nên từ giả thuyết suy ra SO  ( ABCD) . AC  AB 2  BC 2  a 5  OC  a 5 a 11  SO  2 2 SABCD  2a2 1 a3 11 (đvtt) VS . ABCD  .SO.S ABCD  3 3 Lấy F l| trung điểm của BC  OF  BC  BC  (SOF ) Trong mặt phẳng (SOF), kẽ OH  SF  OH  (SBC) Ta có: MN // BC  MN //(SBC) d (MN , SG)  d (MN ,(SBC))  d (O,(SBC))  OH Ta có a 165 a 165 1 1 1 . Vậy d  MN , SG    OH    2 2 2 15 15 OH OF OS BÀI 110 (THPT PHAN BỘI CHÂU – KHÁNH HÒA (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SB = a 3 , gọi M l| trung điểm AD. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SM và AB. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 89 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 + Tính được SA = CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN SB  AB  3a  a  a 2 , SABCD = a2 2 2 2 2 1 a 3. 2 + V  SABCD .SA  3 3 + Kẻ AH  SM ( H  SM ) (1) SA  (ABCD)  SA  AB , mà AD  AB  AB  (SAD)  AB  AH Từ (1) v| (2)  d(SM, AB ) = AH 2a 2 a 2 1 1 1 1 4 2  AH  + = d(SM,AB)    2  2  AH  2 2 2 9 3 AH AS AM 2a a BÀI 111 (THPT PHẠM VĂN ĐỒNG – PHÚ YÊN) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đ{y l| trung điểm của AB. Biết AB  a , AC  a 3 ; góc giữa SD v| mặt phẳng đ{y bằng 600 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ điểm C đến mặt phẳng (SBD). Lời giải. ▪ Ta có: AD  a 2 , HD  Vậy VS . ABCD 3a , SH  DH.tan 600 ; S ABCD  a 2 2 2 a3 6  . 2 ▪ Gọi K, I lần lượt l| hình của H trên BD v| SK. Ta có: HK  BH. 2 a  3 6 Trong tam giác vuông SHK ta có: HI  HK .SH HK 2  SH 2 3 ▪ d  C ;  SBD    d  A;  SBD    2 HI  6a . 166  3a 3 166 BÀI 112 (THPT PHAN THÚC TRỰC – NGHỆN AN (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c đều cạnh 3a, hình chiếu của S lên mặt phẳng THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 90 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN (ABC) l| điểm H thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AH. Góc tạo bởi SA v| mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA v| BC. Lời giải. S K A I D H C B 9a 2 3 1 0 Diện tích đ{y l|: dt( ABC ) = AB.AC.Sin60 = 4 2 Vì SH  ( ABC) nên góc tạo bởi SA v| (ABC) l|: SAH  600  SH  AH .tan 600  a 3 . Thể tích khối chóp S.ABC l|: V= 1 9a 3 SH .dt (ABC )  3 4 Kẻ AD BC thì d(SA,BC)=d(BC,(SAD))=d(B,(SAD))=3d(H,(SAD)) Vì AB=3AH Kẻ HI  AD và HK  SI ,do AD  SH nên AD  (SHI )  AD  HK Suy ra: d(H,(SAD)) = HK. Ta có: HI  AH.sin600  a 3 . Trong tam giác SHI , ta có: 2 1 1 1 5 a 15 3a 15 . Vậy d ( SA, BC )     2  HK  2 2 2 HK HI HS 3a 5 5 BÀI 113 (THPT PHÙ CỪ – HƢNG YÊN (LẦN 1) Cho lăng trụ đứng ABCD.A ‘ B ‘C ‘ D ‘ , đ{y ABCD l| hình chữ nhật có AB  a, AD  a 3 .   Biết góc giữa đường thẳng A ‘C v| mặt phẳng ABCD bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A ‘ B ‘C ‘ D ‘ v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng chéo nhau B ‘C và C ‘ D theo a . Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 91 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN   Do ABCD.A ‘ B ‘C ‘ D ‘ l| lăng trụ đứng nên A ‘ A  ABCD .   Suy ra góc giữa A ‘C v| mặt phẳng ABCD là A ‘CA  600 Có AC  AB 2  BC 2  2a  A ‘ A  AC . tan 600  2a 3 ABCD l| hình chữ nhật có AB  a, AD  a 3  S ABCD  AB.AD  a 2 3 Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.A ‘ B ‘C ‘ D ‘ là V  A ‘ AS . ABCD  6a 3 Do C’D//AB’ nên C’D//(AB’C)     Suy ra d C ‘ D, B ‘C  d C ‘ D, A B ‘C   d C ‘, A B ‘C   d B, A B ‘C  Do BC’ giao với mp(AB’C) tại trung điểm của BC’ (vì BCC’B’ l| hình chữ nhật)       Kẻ BH  B ‘ M  BH  AB ‘C  hay d  B,  A B ‘C    BH Kẻ BM  AC  AC  BB ‘ M  AB ‘C  BB ‘ M theo giao tuyến B’M Có 1 1 1 1 1 1 17 2a 51        BH  2 2 2 2 2 2 2 17 BH B ‘B BM B ‘B BC AB 12a   Vậy d C ‘ D, B ‘C  2a 51 17 BÀI 114 (THPT PHÚ RIỀNG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh bằng a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đ{y, góc giữa đường thẳng SC với mặt đ{y bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ O đến mặt phẳng SCD (O là tâm hình vuông ABCD). Lời giải. Gọi H l| trung điểm AB, do tam giác SAB cân tại S nên SH  AB Theo đề ra (SAB)  ( ABCD) nên SH  ( ABCD) Do đó HC l| hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABCD) suy ra  SC , ( ABCD)    SC , HC   SCH  600 Xét tam giác BHC vuông tại H có CH  BH 2  BC 2  a 5 2 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 92 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Xét tam giác vuông tại H có SH=AC.tan600 = CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN a 15 2 Diện tích hình vuông ABCD là : S ABCD  a 2 1 a3 15 suy ra VS . ABCD  SH .S ABCD  (đvtt) 3 6 Ta có OH / / BC  OH / /(SBC)  d (O,(SBC))  d ( H ,(SBC)) Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh SB, ta có HK  SB (1) mặt khác BC  HK (do BC  (SAB) (2) từ (1) và (2) suy ra HK  ( SAB)  d  H ,  SAB    HK a 15 a . 2 2  a 15 .  Xét tam giác HK  8 SH 2  BH 2 15a 2 a 2  4 4 SH .BH BÀI 115 (THPT PHÚ RIỀNG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đ{y l| trung điểm của AB, góc giữa cạnh bên SC v| mặt phẳng đ{y bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng BD v| SA. Lời giải. Gọi H l| trung điểm AB. Có SH  ( ABC) , tính được SH  a 15 4a 3 15 Tính được VS . ABC  3 Qua A vẽ đường thẳng  / /BD , gọi E l| hình chiếu của H lên  , K l| hình chiếu H lên SE Chứng minh được:d(BD,SA)=d(BD,(S,  ))=2d(H, (S,  ))=2HK a 2 2 1 1 1 31 15     HK  a 2 2 2 2 HK SH HE 15a 31 Tam gi{c EAH vuông c}n tại E, HE   d ( BD, SA)  2 15 a 31 BÀI 116 (THPT PHÚ RIỀNG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3)) Cho lăng trụ đứng ACB.A ‘ B ‘ C ‘ có tam gi{c ABC vuông tại B, AB  a, AC  a 5 , góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) v| mp(ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ACB.A ‘ B ‘ C ‘ v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AC và A ‘ B . Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 93 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Ta có:  ABC   ( A ‘ BC )  BC AB  BC; A ‘ B  BC(do BC  ( AA ‘ B ‘ B))    ABC  ,  A ‘ BC     AB, A ‘ B   ABA ‘  600 Xét tam gi{c A’AB có SA=AB.tan600= a 3 Xét tam giác ABC có BC  AC 2  AB  5a 2  a 2  2a 1 Diện tích tam gi{c ABC l| SABC  AB.BC  a 2 2 Thể tich khối lăng trụ V  A ‘ A.SABC  a 3.a 2  3a 3 (đvtt) Kẻ đt (d) đi qua B song song với AC, kẻ AK  (d ) tại K, kẻ AH  A ‘K tại H. khi đó ta có: AC / /(A’BK)  d  AC , A ‘ B   d  AC ,  A ‘ BK   Ta có: BK  AB, BK  A ‘ A  BK   A ‘ AB   BK  AH Lại có: AH  A ‘K  d  A,  A’ AB    AH AK BC AB.BC 2a 5   AK   AB AC AC 5 3a 35 A ‘ A. AK Xét tam gi{c A’AB có AH   21 A ‘ A2  AK 2 3a 35 Vậy d ( AC , A ‘ B)  AH  . 21 Dể thấy KBA  BAC  BÀI 117 (THPT PHÚ XUYÊN B) Cho hình chóp tứ gi{c đều S.ABCD có cạnh đ{y, cạnh bên cùng bằng a. Gọi M l| trung điểm của SC. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ S đến mp(ABM) theo a. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 94 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S M N C B H A D a) 1 Ta có VS . ABCD  S ABCD .SH Vì S.ABCD l| hình chóp tứ gi{c đều có c{c cạnh bên bằng 3 nhau và SH  ( ABCD) . Ta có S ABCD  a 2 Xét tam gi{c SAC vuông tại S nên SH l| trung tuyến v| l| đường cao của tam gi{c nên ta có a 2 1 SH  AC  ( AC 2  2a 2 ) 2 2 1 a 2 a3 2 Vậy: VS . ABCD  .a 2 .  3 2 6 b) Vì M l| trung điểm SC nên mp(ABM) cắt SD tại N l| trung điểm SD. Ta có VS . ABMN  VS . ABN  VS .BMN 1 Mặt kh{c BCD  ABD  VS . ABD  VS .BCD  VS . ABCD 2 VS . ABN SA.SB.SN 1 Xét tỉ số   (vì N l| trung điểm SD) VS . ABD SA.SB.SD 2 VS .BMN SB.SM .SN 1 1 1   .  VS .BCD SB.SC.SD 2 2 4 1 1 VS . ABMN  VS . ABN  VS .BMN  VS . ABD  VS .BCD 2 4 1 1 3 3 a3 2 a3 2  VS . ABDC  VS . ABCD  VS . ABCD  .  4 8 8 8 6 16 Mà ABMN là hình thang cân có AB = a ; 3a 2 a 2 a 11 a a 3 MN  ;AN   đ cao MK    4 16 2 2 4 a a  a 11 3a 2 11 2.  SABMN   . 2 4 16 3VS.ABMN 1 Mà VS.ABMN  SABMN .d  d  3 SABMN THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 95 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 3a 3 2 a 22 . dS, ABM    d  216  11 3a 11 16 BÀI 118 (THPT QUANG HÀ – VĨNH PHÚC (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c vuông tại A, BC  a và góc ACB  300 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đ{y trùng với trung điểm cạnh BC . Tính thể tích của khối chóp S.ABC , biết rằng SA tạo với đ{y một góc 600 . Lời giải. S B H 300 C 600 A Trong tam gi{c ABC vuông tại A, ta có: 1 a 3 a 3 AB  BC.sin 300  a.  , AC  BC.cos300  a. .  2 2 2 2 1 a2 3 Suy ra SABC  AB. AC  2 8 a Gọi H l| trung điểm của BC. Ta có: AH  và SH  ( ABC) . 2 AH l| hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC) nên góc (SA; (ABC))= (SA, AH) = SAH  600 . a 3 Suy ra: SH = tan 600. AH  . 2 1 a3 Vậy VS . ABC  SH .SABC  . 3 16 BÀI 119 (THPT QUỐC OAI – HÀ NỘI (LẦN 1)) THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 96 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, AB  2a; AD  a . Trên cạnh AB lấy a điểm M sao cho AM  , H l| giao điểm của AC và MD. Biết SH vuông góc với mặt phẳng 2 (ABCD) và SH  a . Tính thể tích khối chóp S.ADCM v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SD và AC theo a. Lời giải. Ta có: S ADCM  S ABCD  S BCM  2a 2  3a 2 5a 2  4 4 1 5a 3  VS . ADCM  S ADCM .SH  3 12 Vậy thể tích khối chóp S.ADCM là Ta có:   DM . AC  AM  AD AB  AD 5a3 (đvdt). 12   AM . AB  AM . AD  AD. AB  AD 2 a  .2a  0  0  a 2  0  DM  AC 2 Mặt kh{c SH  AC nên  SHD   AC . Trong (SHD), kẻ HK  SD . Do  SHD   AC nên HK  AC . Vậy HK l| đoạn vuông góc chung của SD v| AC nên d  SD; AC   HK . Vì AM CD nên AMH CDH  HD  4 HM  4 2a 5 DM  . 5 5 Xét tam gi{c vuông SHD có HK l| đường cao: 1 1 1 2a AB CD     HK  . 2 2 2 HK HD HS 3 Vậy khoảng c{ch giữa SD v| AC l| d  SD; AC   HK  2a . 3 BÀI 120 (THPT QUỲNH LƢU 1 – NGHỆ AN (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình thang vuông tại A,D, SA vuông góc với đ{y . SA = AD= a ,AB = 2a . 1. Tính thể tích khối chóp S.ABC . THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 97 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 2. Tính khoảng c{ch giữa AB v| SC . Lời giải. S H A E B D C SA vuông góc với mp đ{y nên SA l| đường cao của khối chóp , SA = a Trong mặt phẳng đ{y từ C kẻ CE // DA , E thuộc AB suy ra CE vuông góc với AB v| CE = DA = a l| đường cao của tam gi{c CAB 1 Diện tích tam gi{c l| S = CE.AB = a2 2 1 Thể tích khối chóp S.ABC l| V = a3 3 Tính khoảng c{ch giữa AB v| SC Ta có AB//DC nên d(AB,SC) = d(AB, SDC ) . Trong mặt phẳng (SAD)từ A kẻ AH vuông góc với SD (1) , H thuộc SD Ta có DC vuông góc với AD , DC vuông góc SA nên DC vuông góc với mp(SAD) suy ra DC vuông góc AH (2) . Từ (1) v| (2) suy ra AH vuông góc với (SDC) AH = d(AB, SDC) = d(AB , SC ) a 1 1 1 2 Trong tam giác vuông SAD ta có .    2  AH = 2 2 2 AH AD SA a 2 BÀI 121 (THPT QUỲNH LƢU 3 – NGHỆ AN (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABC có tam gi{c SAB đều cạnh a, tam gi{c ABC c}n tại C. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) l| trung điểm của cạnh AB; góc hợp bởi cạnh SC v| mặt đ{y l| 30 0. 1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 2. Tính khoảng c{ch của hai đường thẳng SA v| BC. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 98 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Gọi H l| trung điểm cạnh AB ta có SH l| đường cao của hình chóp S.ABC v| CH l| đường cao tam giác ABC. Từ giả thiết ta được SCH  300 . Tam gi{c SHC vuông tại H nên SH 3a  tan 300  CH  SH 3  V}y, thể tích khối chóp S.ABC l|: CH 2 3 1 1 a 3 (đvtt) V  SH . AB.CH  3 2 8 Dựng hình bình h|nh ABCD, khi đó d  BC , SA  d  BC ,( SAD)   d  B,( SAD)   2d  H ,( SAD)  Gọi G, K lần lượt l| hình chiếu của H trên c{c đường thẳng AD v| SG ta có: AD  HG    AD  ( SHG )  HK  AD AD  SH  mà HK  SG nên HK  ( SAD) hay d  H ,  SAD    HK Tam gi{c SHG vuông tại H nên 1 1 1 1 1 1 52 3a       2  HK  2 2 2 2 2 2 HK HG HS HB HC HS 9a 2 13 3a Vậy, d  BC , SA  . 13 BÀI 122 (THPT SỐ 1 BẢO YÊN – LÀO CAI) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a, ABC  600 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đ{y v| cạnh bên SC tạo với mặt đ{y một góc 600 . Gọi I l| trung điểm BC, H l| hình chiếu vuông góc của A lên SI. Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 99 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S K H A D E B C I 3 và AC  a 2 Do ABC  600 nên tam gi{c ABC đều, suy ra SABCD  a 2 Mặt kh{c SA  (ABCD)  SCA  60  SA  AC.tan 60  a 3  VS.ABCD 0 0 1 a3  SA.SABCD  . 3 2 HS HS.IS AS2 AS2 4     2 2 2 2 IS IS IS IA  AS 5 4 2 2  d  H, SCD    d  I, SCD    d  B,  SCD    d  A, SCD   5 5 5 (vì I l| trung điểm BC v| AB//(SBC)) Gọi E l| trung điểm CD, K l| hình chiếu của A lên SE, ta có AE  DC  DC  (SAE)  DC  AK  AK  (SCD) 2 2 2 SA.AE 2a 15 Suy ra d  H, SCD    d  A, SCD    AK  .  5 5 5 SA 2  AE 2 25 Ta có BÀI 123 (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG (LẦN 1)) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, có đ{y l| một tam gi{c đều cạnh bằng 2a . Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm H của cạnh B’C’, K l| điểm trên cạnh AC sao cho CK=2AK và BA ‘  2a 3. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng CC’ và BK theo a . Lời giải. A K C B A’ E I C’ D H B’ THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 100 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Vì BH  (A’B’C’) nên tam giác A’BH vuông tại H Tính được A ‘ H  a 3, BH  3a 4a 2 3 VABC . A ‘ B ‘C ‘  S A ‘ B ‘C ‘ .BH  .3a  3 3.a 3 (đvtt) 4 Qua K kẻ đường thẳng song song với CC’ cắt A’C’ tại I. Ta có CC’ // (KBB’I ) nên d(CC’,KB) = d(C’,( KBB’I))=2 d(H,( KBB’I)). Dựng HD  B’I. Khi đó IB’  (BDH) suy ra (KBB’I)  (BDH) Dựng HE  BD suy ra HE  (KBB’I). a 28 a 21 3a , HD  , HE  . 3 7 22 3a  d(H;( KBB’I))=HE  . 22 3a 22 Vậy d(CC’,KB) = . 11 Tính được B ‘ I  BÀI 124 (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (LẦN 1)) Cho hình chóp S. ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a, SD  3a . Hình chiếu vuông góc H của 2 đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm của đoạn AB . Gọi K l| trung điểm của đoạn AD . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng HK và SD . Lời giải. S F C B H E O A K D Từ giả thiết ta có SH l| đường cao của hình chóp S.ABCD và 3a a SH  SD 2  HD 2  SD 2  ( AH 2  AD 2 )  ( ) 2  ( ) 2  a 2  a 2 2 1 1 a3 Diện tích của hình vuông ABCD là a 2 , VS . ABCD  SH .S ABCD  a.a 2  3 3 3 Từ giả thiết ta có HK / / BD  HK / /(SBD) THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 101 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Do vậy: d ( HK , SD)  d ( H ,(SBD)) (1) Gọi E l| hình chiếu vuông góc của H lên BD, F l| hình chiếu vuông góc của H lên SE Ta có BD  SH , BD  HE  BD  (SHE)  BD  HF mà HF  SE nên suy ra HF  (SBD)  HF  d (H ,(SBD)) (2) a a 2 +) HE  HB.sin HBE  .sin 450  2 4 +) Xét tam giác vuông SHE có: a 2 SH .HE a 4 HF .SE  SH .HE  HF    (3) SE 3 a 2 2 ( )  a2 4 a +) Từ (1), (2), (3) ta có d ( HK , SD)  . 3 a. BÀI 125 (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , ABC  900 , AB  a, BC  a 3, SA  2a . Chứng minh trung điểm I của cạnh SC l| t}m của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC v| tính diện tích mặt cầu đó theo a. Lời giải. S I A C B Vì SA   ABC   SA  BC Mặt kh{c theo giả thiết AB  BC , nên BC   SAB  v| do đó BC  SB Ta có tam giác SBC vuông đỉnh B; tam giác SAB vuông đỉnh A nên SC IA  IB   IS  IC (*) 2 Vậy điểm I c{ch đều bốn đỉnh của hình chóp, do đó I l| t}m mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp S.ABC SC Từ (*) ta có b{n kính của mặt cầu l| R  2 Ta có AC  AB 2  BC 2  2a SC  SA2  AC 2  2 2a  R  a 2 Diện tích mặt cầu l| 4 R2  8 a2 BÀI 126 (THPT TRẦN CAO VÂN – KHÁNH HÒA) THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 102 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thang vuông tại A v| B, AD  2a , AB  BC  a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SD với mặt phẳng (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a v| tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB v| CD. Lời giải. SDA  ( SD, ( ABCD))  600 Suy ra: SA  2a 3 1 1 ( AD  BC ). AB VS . ABCD  SA.S ABCD  SA.  a3 3 3 3 2 Gọi I l| trung điểm của AD  CD / / BI  (SBI )  d (SB, CD)  d (D,(SBI ))  d ( A,(SBI )) Gọi H l| hình chiếu vuông góc của A lên SI Chứng minh được: d ( A,(SBI ))  AH Trong SAI vuông tại A, có: 1 1 1 1 1 13 2a 39  2 2  2 . Suy ra: AH  2 2 2 13 AH SA AI 12a a 12a BÀI 127 (SỞ GD&ĐT THANH HÓA (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD là hình thang cân, AD l| đ{y lớn,AD = 2a, AB = BC = CD = a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) l| điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho HC = 2HA. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA và CD. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 103 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S K A D O H x C B AC  AD 2  CD 2  a 3  HC  2 2a 3 AC  3 3 SH  HC. tan 600  2a Gọi O l| trung điểm của AD, khi đó S ABCD  3S AOB  3a 2 3 . 4 1 Thể tích khối chóp S.ABCD là VS . ABCD  SH .S ABCD 3 2 3 1 3a 3 a 3 (đvtt).  .2a.  3 4 2 Kẻ đường thẳng Ax song song với CD, gọi (P) l| mặt phẳng chứa SA và Ax, khi đó AC //(P) .Suy ra d (CD; SA)  d (CD, (P))  d (C, (P))  3d ( H , (P)) (Do CA = 3HA). Ta có AC CD nên HA  Ax mà SH Ax suy ra Ax  (SAH ) . Từ H kẻ HK  SA ( K  SA) , khi đó Ax  HK  HK  (P) nên HK  d ( H , ( P)) . 1 a 3 1 1 1 13 2a 13 ; AC     2  HK  2 2 2 3 3 HK AH SH 4a 13 6a 13 Vậy d ( SA, CD )  (đvđd) 13 AH  BÀI 128 (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đ{y l| hình thoi cạnh a, góc ACB = 60 , mặt phẳng (A’BD) tạo với đ{y một góc 600 . Tính theo a thể tích khối hộp v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng CD’, BD. Lời giải. 3a3 a 3 d  CD’, DB   V 4 4 BÀI 129 (SỞ GD&ĐT HẢI PHÒNG) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O và SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên cạnh SB lấy điểm M sao cho MB=2MS . Gọi N là trung điểm của CD, góc giữa SN và 0 mặt phẳng (ABCD) bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và cosin góc giữa MN với mặt phẳng (ABCD). Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 104 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 130 (THPT SÔNG LÔ (LẦN 2)) Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD là hình thoi tâm I , BAD 120 . Mặt bên SAB là tam gi{c vuông tại S ; SA a, SB a 3 v| mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đ{y. Tính thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch từ điểm I đến (SCD) theo a. Lời giải. S E A D H I K B C Ta có AB 2 S ABCD Kẻ SH SA2 AB AB. AD.sin120 AB ( H 1 SH 2 SB 2 1 SA2 SH 1 SH .S ABCD 3 SA2 Ta có AH 2a.2a. AB). Do (SAB) 1 SB 2 Do đó VS . ABCD 2a. 3 2a 2 3. 2 ( ABCD) nên SH a 3 . 2 1 a 3 2 . .2a 3 3 2 a . Kẻ IP 2 SH 2 AB ( P ( ABCD). a3. AB) AP AI .sin 30 Do đó H P HI AB. Gọi K l| giao điểm của HI và CD, ta có HK 1 d ( I ;( SCD)) IK 1 Nhận xét d ( I ;( SCD)) d ( H ;(SCD)). 2 d ( H ;( SCD)) HK 2 CD SH CD ( SHK ) ( SHK ) ( SCD). Ta có CD HK Kẻ HE 1 HE 2 SK ( E 1 SH 2 SK ) 1 HK 2 HE HE ( SCD) a d ( H ;( SCD)) 3 . Vậy d ( I ;( SCD)) 5 HE a . 2 2IH d ( I ;( SCD)) a 3 1 HE. 2 a 15 . 10 BÀI 131 (THPT TAM ĐẢO – VĨNH PHÚC (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình chữ nhật với cạnh AB  2a, AD  a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm H của AB, SC tạo với đ{y một góc bằng 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ điểm A tới mặt phẳng (SCD). Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 105 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S K A D I H 0 45 B C ▪ Vì SH l| đường cao của hình chóp S.ABCD nên HC l| hình chiếu của SC trên (ABCD). Do đó góc giữa (SC;(ABCD)) bằng góc giữa (HC;SC) v| bằng SCH  450 . Xét  BHC vuông tại B, ta có: HC  BH 2  BC 2  a 2  a 2  a 2 . Xét  SHC vuông tại H, ta có: SH  HC.tan 450  a 2.1  a 2 . 1 1 1 2a 3 2 Vậy VS . ABCD  SH .S ABCD  .SH.AB.AD  .a 2.2a.a  (đvtt). 3 3 3 3 ▪ Vì AB // CD nên d  A;  SCD    d  H ;  SCD   .  CD  HI Kẻ HI  CD (I l| trung điểm của CD), suy ra ta có:   CD   SHI  CD  SH  SI  HK Kẻ HK  SI, suy ra ta có:      SCD  CD  HK   SHI  Vậy d  A;  SCD    d  H ;  SCD    HK 1 1 1 1 1 3 a 6   2  2  2  2    2 2 HK SH HI 2a a 2a 3 3 2a 2 a 6 , d  A;  SCD    .  3 3 Xét  SHI vuông tại H, ta có: Kết luận: VS . ABCD BÀI 132 (THPT TRẦN BÌNH TRỌNG – KHÁNH HÒA (ĐỀ 1)) Cho hình chóp SABCD có đ{y l| hình chữ nhật, AB= a, AD= 2a. Cạnh bên SA vuông góc vói mặt phẳng đ{y. Góc giữa cạnh SB v| đ{y l| 45 o. a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. b/ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD. Lời giải. a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Chỉ ra góc SBA bằng 45o v| tính được SA= a. 1 1 1 VSABCD  SA.dt(ABCD)  .a.2a 2  a3 3 3 3 b/ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD. Chứng minh được c{c góc SBC = góc SDC = góc SAC = 90o suy ra c{c đỉnh của hình chóp nằm trên mặt cầu đường kính SC. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 106 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 R= SC/2= SA2  AC 2  a 6  VKCau  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 4 pi.R3  8 6 pi.a3 . 3 BÀI 133 (THPT TRẦN BÌNH TRỌNG – KHÁNH HÒA (ĐỀ 2)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) v| (SAD) 0 cùng vuông góc với mặt đ{y, góc giữa cạnh bên SC v| mặt đ{y bằng 60 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ O đến mặt phẳng (SBC), trong đó O l| giao điểm của AC v| BD. Lời giải. S H a A D K I 60° O B C Lập luận suy ra SA  ( ABCD), SCA  600 , SA  a 6 . 1 1 1 V  S ABCD .SA  a 2 .a 6  a3 6 (đvtt) 3 3 3 Gọi I l| trung điểm của AB, kẻ AH vuông góc SA, OI//BC. Dựng IK//AH Suy ra IK vuông góc (SBC). Tính được IK  1 a 42 . AH  2 14 BÀI 134 (THPT THẠCH THÀNH I – THANH HÓA (LẦN 3)) S. ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với Cho hình chóp AB  a, AD  2a, SA   ABCD  , SA  a . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch từ điểm A đến mặt phẳng  SBM  , với M l| trung điểm của cạnh CD . Lời giải. S H A D M E B C 3 1 1 2a . VS . ABCD  .SA.S ABCD  .a.a.2a  3 3 3 Kẻ AE  BM , AH  SE . Suy ra AH   SBM  . THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 107 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 AE  2.S ABM  BM 2a 2 2  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 4a ; 17 a 4 1 1 1 1 17 33 4a  2  2   d ( A,( SBM ))  AH  2 2 2 2 AH SA AE a 16a 16a 33 4a 2  BÀI 135 (THPT THẠCH THÀNH I – THANH HÓA (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA bằng 2a , tam giác ABC vuông ở C có AB  2a, CAB  30 . Gọi H l| hình chiếu vuông của A trên SC. Tính theo a thể tích của khối chóp H . ABC . Tính cô-sin của góc giữa hai mặt phẳng  SAB  ,  SBC  . Lời giải. S K H A B I C Trong mặt phẳng  SAC  , kẻ HI song song với SA thì HI   ABC  . 1 1 a2 3 . AB. AC.sin 30  .2a.a 3.sin 30  2 2 2 HI HC HC.SC AC 2 AC 2 3a 2 3 6 Ta có     2  2   HI  a . 2 2 2 2 SA SC SC SC SA  AC 4a  3a 7 7 2 3 1 1 a 3 6 a 3 Vậy VH . ABC  S ABC .HI  . . . a 3 3 2 7 7 1 (Cách khác: VH . ABC  VB. AHC  S AHC .BC ) 3 Gọi K l| hình chiếu vuông góc của A lên SB . Ta có AH  SC, AH  CB (do CB   SAC  ), suy Ta có CA  AB cos 30  a 3. Do đó S ABC  ra AH   SBC   AH  SB . Lại có: SB  AK , suy ra SB   AHK  . Vậy góc giữa giữa hai mặt phẳng  SAB  ,  SBC  là HKA . a.2 3 1 1 1 1 1 7  2  2 2  AH  ; 2 2 2 AH SA AC 4a 3a 12a 7 1 1 1 1 1 1  2  2  2  2  AK  a 2 . 2 2 AK SA AB 4a 4a 2a Tam giác HKA vuông tại H (vì AH   SBC  ,  SBC   HK ). THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 108 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN a.2 3 AH 7  6  cos HKA  7 . sin HKA   7 AK a 2 7 BÀI 136 (THPT THĂNG LONG –HÀ NỘI (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm SA, I là giao điểm của AC và BD a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Tính thể tích khối tứ diện MBCD. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BM. Lời giải. BÀI 137 (THPT THANH CHƢƠNG I – NGHỆ AN (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) l| điểm H thuộc cạnh BC sao cho HC  2HB , góc giữa SA v| mặt phẳng đ{y (ABC) bằng 450 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SC và AB. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 109 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Áp dụng định lý cosin trong tam gi{c AHB có: 7a 2 a 7 AH  HB  AB  2 HB. AB.cos 60   AH  9 3 Góc giữa đường thẳng SA v| mặt phẳng (ABC) l| SAH  450 . 2 2 2 0 a 7 . 3 1 a3 21 Thể tích của khối chóp S.ABC l| V  SABC . AH  . 3 36 Gọi E l| trung điểm của AB, D l| đỉnh thứ tư của hình bình h|nh ABCD. 3 Ta có: AB CD  d  AB, SC   d  AB, SCD   d  B, SCD   d  H , SCD  . 2 Trong mặt phẳng (ABC), qua H kẻ đường thẳng song song với CE, cắt đường thẳng CD tại F v| AB tại M thì tứ gi{c CEMF l| hình chữ nhật. Kẻ HK vuông góc với SF tại K. CD   SFM   CD  HK , Tam gi{c SAH vuông c}n tại H nên SH  AH  CD  HK    HK   SCD  . SF  HK  2 2 a 3 MF  CE  . 3 3 3 1 1 1 a 210 Tam gi{c SHF vuông tại H:    HK  2 2 2 SH FH HK 30 3 3 a 210 . Do đó: d  AB, SC   d  H , SCD  HK  2 2 20 BÀI 138 (THPT THANH CHƢƠNG III – NGHỆ AN (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB  AC  a , I l| trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  l| trung điểm H của BC, mặt phẳng Ta có: HF  (SAB) tạo với đ{y 1 góc bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC v| tính khoảng c{ch từ điểm I đến mặt phẳng  SAB  theo a . Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 110 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Sj M B H C K A Gọi K l| trung điểm của AB  HK  AB (1) Vì SH   ABC  nên SH  AB (2) Từ (1) v| (2) suy ra  AB  SK Do đó góc giữa  SAB  với đ{y bằng góc giữa SK v| HK v| bằng SKH  60 a 3 2 1 1 1 a3 3 Vậy VS . ABC  S ABC .SH  . AB. AC.SH  3 3 2 12 Vì IH / / SB nên IH / /  SAB  . Do đó d  I ,  SAB    d  H ,  SAB   Ta có SH  HK tan SKH  Từ H kẻ HM  SK tại M  HM   SAB   d  H ,  SAB    HM Ta có 1 1 1 16 a 3 a 3    2  HM  . Vậy d  I ,  SAB    . 2 2 2 4 4 HM HK SH 3a BÀI 139 (THPT THỐNG NHẤT – THANH HÓA (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB  a , AD  2a , SA  (ABCD). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ D đến mặt phẳng (SBM) với M 1 l| trung điểm của CD biết góc giữa SC v| mặt phẳng chứa đ{y l|  với tan   5 Lời giải. Ta có hình chiếu của SC trên mặt phẳng đ{y l| AC vậy góc SCA l| góc giữa SC v| mặt phẳng đ{y  SA  AC tan   a Ta có S ABCD = AB.AD = 2a2 1 2a3 (dvtt) Do đó: VS . ABCD = .SA.S ABCD = 3 3 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 111 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 d(A,(SBM)) 2 Dựng AN ^ BM ( N thuộc BM) v| AH ^ SN (H thuộc SN) Ta có: BM ^ AN, BM ^ SA suy ra: BM ^ AH. Và AH ^ BM, AH ^ SN suy ra: AH ^ (SBM). Do đó d(A,(SBM))=AH 1 2a 2 4a 2 2  Ta có: S ABM  S ABCD  2S ADM  a ; S ABM  AN .BM  a  AN  2 BM 17 1 1 1 4a Trong tam giác vuông SAN có:   2  AH  2 2 AH AN SA 33 2a Suy ra d(D, SBM   33 Ta có d(D,(SBM)=d(C,(SBM)= BÀI 140 (THPT BÌNH GIANG – HẢI DƢƠNG (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a, mặt bên SAD l| tam gi{c đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, SC = a 6 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| 2 khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AD, SB. Lời giải. BÀI 141 (THPT CHUYÊN BÌNH LONG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) v| (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng c{ch từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng a 3 , tính thể tích khối chóp S.ABCD 4 theo a. Lời giải. Từ giả thiết AC = 2a 3 ; BD = 2a v| AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam gi{c ABO vuông tại O v| AO = a 3 ; BO = a , do đó ABD  600 Hay tam gi{c ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) v| (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng l| SO  (ABCD). Do tam gi{c ABD đều nên với H l| trung điểm của AB, K l| trung điểm của HB ta có 1 a 3  OK  AB  AB  (SOK) DH  2 2 Gọi I l| hình chiếu của O lên SK ta có OI  SK; AB  OI  OI  (SAB) , hay OI l| khoảng c{ch từ O đến mặt phẳng (SAB). 1 1 1 a Tam gi{c SOK vuông tại O, OI l| đường cao     SO  2 2 2 OI OK SO 2 2 S Diện tích đ{y S ABCD  4S ABO  2.OA.OB  2 3a ; a đường cao của hình chóp SO  . 2 Thể tích khối chóp S.ABCD: DH  AB và DH = a 3 ; OK // DH và OK  I D A 3a OTOÁN 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN a K H Trang 112 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 VS . ABCD  1 S ABCD .SO  3 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 3a 3 3 BÀI 142 (THPT CHUYÊN BÌNH LONG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB  AC  a , I l| trung điểm của SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  l| trung điểm H của BC , mặt phẳng  SAB  tạo với đ{y 1 góc bằng 60 . Tính điểm I đến mặt phẳng  SAB  theo a . thể tích khối chóp S.ABC v| tính khoảng c{ch từ Lời giải. Sj M B H C K A Gọi K l| trung điểm của AB  HK  AB (1) Vì SH   ABC  nên SH  AB (2) Từ (1) v| (2) suy ra  AB  SK Do đó góc giữa  SAB  với đ{y bằng góc giữa SK v| HK v| bằng SKH  60 a 3 2 1 1 1 a3 3 Vậy VS . ABC  S ABC .SH  . AB. AC.SH  3 3 2 12 Vì IH / / SB nên IH / /  SAB  . Do đó d  I ,  SAB    d  H ,  SAB   Ta có SH  HK tan SKH  Từ H kẻ HM  SK tại M  HM   SAB   d  H ,  SAB    HM Ta có a 3 a 3 1 1 1 16    2  HM  . Vậy d  I ,  SAB    2 2 2 4 4 HM HK SH 3a BÀI 143 (THPT CHUYÊN BÌNH LONG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BD=a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM=2AM. Biết hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) v| mặt bên (SAB) tạo với mặt đ{y một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a v| cosin của góc tạo bới hai đường thẳng OM và SA. Lời giải. Gọi H  AC  DM , Vì  SAC    ABCD  ,  SDM    ABCD   SH   ABCD  THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 113 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Từ H kẻ HK vuông góc với AB SK  AB  SKH  600 chính l| góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) HA AM 1 1 AO Do AM // CD nên suy ra:    AH  AC  HC CD 3 4 2 M| tam gi{c ABD đều, AO l| đường cao 3a a 3 a 3  SH  HK .tan 600  AH   HK  AH sin HAK  4 8 8 2 3 1 1 3a a 3 a 3 Vậy VS . ABCD  SH .S ABCD  . .  3 3 8 2 16 OM .SA Ta có cos  OM ;SA   , Mà ta có: OM . SA  OM .SA  OM  AM  SH  AH   AO.AH  AM .AH  12 AO 2  AM . AH .c os300 2 1  a 3  a a 3 3 a2   .    . 2  2  3 4 2 4 a2 12 4  Vậy cos  OM ; SA   a 13 a 21 273 . 6 8 BÀI 144 (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – ĐÀ NẴNG (LẦN 1)) Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB  a, AD  a 2 . Gọi H là trung điểm cạnh AB; tam giác SAB c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y; góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  ABCD  bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD và khoảng c{ch giữa hai đường thẳng CH và SD. Lời giải. Vì H l| trung điểm của cạnh đ{y AB của tam gi{c SAB c}n nên SH  AB . Mà  SAB    ABCD  nên SH   ABCD  . Vẽ HK  AC tại K. Vì AC  HK ; AC  SH nên AC   SHK  . Suy ra: AC  HK  SAC    ABCD   AC   Vì SK   SAC  ; SK  AC     SAC  ;  ABCD     SK ; HK   SKH  600  HK   ABCD  ; HK  AC  H l| trung điểm của AB nên AB a HA  HB   . 2 2 Tứ gi{c ABCD l| hình chữ nhật nên AC  BD  AB 2  AD 2  a 3. HK AH  Có: AHK ACB  g  g   BC AC THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 114 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016  HK  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN AH .BC a  AC 6 Tam gi{c SHK vuông tại H nên SH  HK .tan 600  a 2 1 1 a a3 .a.a 2  Thể tích khối chóp: VS . ABCD  .SH .S ABCD  . (đvtt) 3 3 2 3 Gọi E l| điểm đối xứng với H qua A. Vẽ HF  DE tại F, HI  SF tại I. DE  HF  Vì  nên DE   SHF   DE  HI , mà HI  SF nên HI   SED  . DE  SH  Vì HE  CD  a, HE CD nên tứ gi{c HEDC l| hình bình h|nh.  DE CH    CH Do DE   SDE  ; CH   SDE    SDE  Do đó: dCH , SD   dCH , SDE   d H , SDE   HI Tam gi{c DEA vuông ở A nên: DE  AD2  AE 2  Ta có: HFE DAE  g  g   Tam gi{c SHF vuông tại H nên: Vậy dCH , SD   HI  3a 2 HF HE HE.DA a 2 .   HF   DA DE DE 3 1 1 1 a 26    HI  2 2 2 HI HS HF 13 a 26 . 13 BÀI 145 (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 6)) Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a . SAB l| tam gi{c c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, góc giữa cạnh SC v| mặt phẳng ( ABCD) bằng 600, cạnh AC  a . M và N lần lượt l| trung điểm cạnh SA và BC . Tính theo a thể tích khối chóp S.BCD v| khoảng c{ch từ điểm M đến mặt phẳng (SND) . Lời giải. 1 V  SH .S BCD (H l| trung điểm của AB) 3 Tam gi{c ABC đều nên: a 3 3a  SH  HC tan 600  2 2 2 1 a 3 S BCD  S ABCD  S ABC  2 4 3 a 3 V 8 d (M,SDN) 1 d (A, DNS ) AI 4  ;   (I l| giao điểm của AB,DN) d (A,SDN) 2 d (H,ADN) HI 3 SH .HK ttrong đó K hình chiếu của H lên DN d (H;SDN)  SH 2  HK 2 2S 3 21 HK  DHN  a. DN 28 HC  THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 115 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 d (M,SDN)  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 93 a. 31 BÀI 146 (THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam gi{c ABC vuông tại B, BAC = 300 , SA = AC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch từ A đến mặt phẳng (SBC). Lời giải. Theo giả thiết, SA AB , BC AB , BC Suy ra, BC (SAB) v| như vậy BC SB AC .cos 300  Ta có, AB 2 SB S S SA ABC SBC  VS .ABC AB 2 1 AB.BC 2 1 SB.BC 2 a 2 a 3 và BC 2 3a 4 2 S AC .sin 300 a 2 a 1 a 7 a 2 2 2 a B 2 3 8 a 2 a A a 7 2 1 a 3 a 2 2 2 1 d (A,(SBC )).S 3 SA VS .ABC 1 SA S 3 a ABC 3 3 24 7 8 d (A,(SBC )) SBC 3VS .ABC S SBC a3 3 8 3 2 24 a 7 a 21 7 BÀI 147 (THPT LÊ HỒNG PHONG) Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt 0 phẳng (ABC), mặt phẳng(SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 .Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch từ A đến mặt phẳng (SBC). Lời giải. S H C A I B a2 3 S ABC  . Gọi I l| trung điểm BC có BC vuông góc cả AI v| SI nên SIA  600 4 3a SA  AI .tan 600  2 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 116 C TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 a3 3 VS . ABC  SA.S ABC  3 8 Vẽ đường cao AH của tam gi{c ASI có AH  BC  AH  ( SBC )  AH  d  A;(SBC ) 3a 4 AH  AI .sin 600  BÀI 148 (THPT LỘC NINH – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh 2a. Tam gi{c SAB c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, góc giữa cạnh bên SC v| đ{y bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng BD v| SA. Lời giải. Gọi H l| trung điểm AB-Lập luận SH  ( ABC) -Tính được SH  a 15 4a 3 15 3 Qua A vẽ đường thẳng  / /BD ,gọi E l| hình chiếu của H lên  ,K l| hình chiếu H lên SE Chứng minh được:d(BD,SA)=d(BD,(S,  ))=2d(H, (S,  ))=2HK Tính được VS . ABC  a 2 2 1 1 1 31 15     HK  a 2 2 2 2 HK SH HE 15a 31 Tam gi{c EAH vuông c}n tại E, HE   d ( BD, SA)  2 15 a 31 BÀI 149 (THPT LỘC NINH – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a. Gọi I l| trung điểm AB, H l| giao điểm của BD với IC. C{c mặt phẳng (SBD) v| (SIC) cùng vuông góc với đ{y. Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA v| IC. Lời giải. Do (SIC),(SBD) cùng vuông với đ{y suy ra SH  (ABCD) Dựng HE  AB   SHE   AB , suy ra SEH l| góc giữa (SAB) v| (ABCD)  SEH  600 Ta có SH  HE.tan 600  3HE THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 117 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN HE HI 1 a a 3    HE   SH  CB IC 3 3 3 SABCD  a 2 1 a 3 2 3a 3 .a  3 3 9 1 3 Suy ra VS.ABCD  SH.SABCD  . Gọi P l| trung điểm của CD, suy ra AP song song vớiCI  d SA,CI   d  CI, SAP    d  H, SAP   Dựng HK  AP , suy ra  SHK    SAP  Dựng HF  SK  HF  SPA   d  H, SPA    HF 1 1 1 (1)   2 2 HF HK HS2 1 1 1 1 Dựng DM  AP , ta thấy DM  HK     2 2 2 HK DM DP DA 2 a 1 1 1 1 4 1 3 8  HF  Thay vào (1) ta có  .        HF2 DP 2 DA 2 HS2 a 2 a 2 a 2 a 2 2 2 a Vậy d  SA,CI   . 2 2 Do SHK vuông tại H  BÀI 150 (THPT LỘC NINH – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình vuông canh a. Mặt bên SAB l| tam gi{c vuông tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng AB l| điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH= 2AH. Goi I l| giao điểm của HC v| BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ I đến mặt phẳng (SCD). Lời giải. a a3 2 1 a 2.a 2  VS . ABCD  SH .S ABCD , SH2=HA.HB=2a2/9  SH  2 VS . ABCD  9 9 3 3 d ( I ,( SCD)) IC IC CD 3 IC 3 13  và và CH2=BH2+BC2= a 2     d ( H ,(SCD)) HC IH BH 2 CH 5 9 1 1 1 11 a 22    2  HM  2 2 2 HM SH HK 2a 11 3a 22 d ( I , ( SCD))  55 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 118 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 151 (THPT LÝ THƢỜNG KIỆT – BÌNH THUẬN (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c đều cạnh a, tam giác SAC c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, SB hợp với đ{y góc 300 . Gọi M l| trung điểm đoạn BC. Tính thể tích khối chóp S. ABM v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB và AM theo a. Lời giải. Gọi G  AM  BI nên G l| trọng t}m của ABC . Dựng Bt AM . Dễ d|ng chỉ ra được: AM  SBt   d AM ,SB   d AM , SBt   dG, SBt  Gọi H l| hình chiếu vuông góc của I trên Bt, K l| vuông góc của I trên SH. Ta chứng minh được IK   SBt   d I , SBt   IK Xét IBH , tính độ d|i IH  BI .sin 600  Xét SIH , tính độ d|i IK  hình chiếu 3a 4 3a 2 13 Do I, G B thẳng h|ng nên dG , SBt  BG 2 2 2 a 13    dG , SBt   .d I, SBt   .IK  d I, SBt  BI 3 3 3 13 a 13 Do đó, ta có: d AM , SB   d G, SBt  . 13 BÀI 152 (THPT NGUYỄN DU – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB  a , AD  2a , SA  ( ABCD) và SA  a . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ D đến mặt phẳng (SBM) với M l| trung điểm của CD. Lời giải. Ta có S ABCD = AB.AD = 2a2 1 2a3 (dvtt) Do đó: VS . ABCD = .SA.S ABCD = 3 3 Ta có d(D,(SBM)=d(C,(SBM)= 1/2 d(A,(SBM)) Dựng AN ^ BM ( N thuộc BM) v| AH ^ SN (H thuộc SN) Ta có: BM ^ AN, BM ^ SA suy ra: BM ^ AH. Và AH ^ BM, AH ^ SN suy ra: AH ^ (SBM). Do đó d(A,(SBM))=AH THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 119 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 2a 2 4a 2  Ta có: S ABM  S ABCD  2S ADM  a ; S ABM  AN .BM  a  AN  2 BM 17 1 1 1 4a Trong tam giác vuông SAN có:   2  AH  2 2 AH AN SA 33 2 Suy ra d(D, SBM   2a 33 BÀI 153 (THPT NGUYỄN DU – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABC có đ{y l| tam gi{c đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) l| điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC v| mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC v| tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA v| BC theo a. Lời giải. Góc SCH l| góc giữa SC v| mặt phẳng (ABC) → góc SCH = 60°. Gọi D l| trung điểm của cạnh AB. Suy ra DA = DB = a/2. Mặt kh{c HA = 2HB → HA = 2a/3 và HB = a/3. Do đó HD = a/2 – a/3 = a/6. CD vuông góc với AB (do ΔABC đều) a 3 a 7 CD = ; CH = CD2  HD2  3 2 a 21 SH = CH.tan 60° = 3 1 1 a 21 a 2 3 a 3 7  VS.ABC = SH.SABC  3 3 3 4 12 Qua A kẻ đường thẳng d // BC; kẻ HN vuông góc với d tại N; kẻ HK vuông góc với SN tại K. Khi đó AN vuông góc với HN, SA → AN vuông góc với (SHN) → AN vuông góc với HK Suy ra HK vuông góc với (SAN) AB do BC // (SAN) → d(BC, SA) = d(B, (SAN)) = d(H, (SAN)) = (3/2).HK. AH SH.HN a 42 a 3  Ta có HN = AH sin HAN = (2a/3).sin 60° = → HK = 12 3 SH 2  HN 2 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 120 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Vậy d(BC, SA) = CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN a 42 8 BÀI 154 (THPT NGUYỄN DU – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3, ĐỀ 01)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a. Gọi I l| trung điểm AB, H là giao điểm của BD với IC. C{c mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đ{y. Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA và IC. Lời giải. 1 Ta có VS.ABCD  SH.SABCD , trong đó SABCD  a 2 3 Do (SIC),(SBD) cùng vuông với đ{y suy ra SH  (ABCD) Dựng HE  AB   SHE   AB , suy ra SEH l| góc giữa (SAB) v| (ABCD)  SEH  600 Ta có SH  HE.tan 600  3HE HE HI 1 a    HE  CB IC 3 3 a 3  SH  3 1 1 a 3 2 3a 3 Suy ra VS.ABCD  SH.SABCD  . .a  3 3 3 9 Gọi P l| trung điểm của CD, suy ra AP song song vớiCI  d  SA, CI   d  CI, SAP    d  H, SAP   Dựng HK  AP , suy ra  SHK    SAP  Dựng HF  SK  HF   SPA   d  H, SPA    HF 1 1 1 (1)   2 2 HF HK HS2 1 1 1 1 Dựng DM  AP , ta thấy DM  HK     2 2 2 HK DM DP DA2 a 1 1 1 1 4 1 3 8 Thay vào (1) ta có  .     2  2  2  2  HF  2 2 2 2 HF DP DA HS a a a a 2 2 a Vậy d SA, CI   . 2 2 Do SHK vuông tại H  THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 121 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 155 (THPT NGUYỄN DU – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3, ĐỀ 01)) Cho hình lăng trụ tam gi{c đều ABC.A’B’C’ có tất c| c{c cạnh đều bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ v| diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a. Lời giải. Thể tích lăng trụ l|: a 2 3 a3 3  4 4 Gọi O , O’ lần lượt l| t}m của đường tròn ngoại tiếp ABC , A’B’C’ khi đó t}m của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ l| trung điểm I của OO’. Mặt cầu n|y có bán kính là: V  AA ‘.SABC  a. R  IA  AO2  OI2  ( a 3 2 a 2 a 21 ) ( )  3 2 6 suy ra diện tích mặt cầu (S) l|: S  4R 2 2  4( a 21 )2  7a 6 3 BÀI 156 (THPT NGUYỄN DU – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3, ĐỀ 02)) Cho hình lăng trụ tam gi{c ABC.A’B’C’, có đ{y ABC l| tam gi{c vuông c}n ở B v| AB = a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết diện tích mặt bên ABB’A’ bằng 3a 2 . 1. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 2. Tính khoảng c{ch từ điểm B đến mp(ACB’). Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 122 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Diện tích tam gi{c ABC l|: 1 1 S  AB.BC  a 2 2 2 Theo gt ta có: A’ H .AB  3a 2  A’ H  3a Thể tích khối lăng trụ đã cho l|: 3 V  S . A’ H  a 3 2 d B;  ACB ‘  2d H ;  ACB ‘  2HK Với K l| trực t}m tam gi{c AEI v| 1 1 1 1 9 a     2  HK  2 2 2 2 3 HK HA HI HE a 2a Vậy d B;  ACB ‘  2HK  . 3 BÀI 157 (THPT NGUYỄN DU – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3, ĐỀ 03)) Cho hình chóp đều A.BCD có AB  a 3; BC  a . Gọi M l| trung điểm của CD. Tính thể tích khối chóp A.BCD theo a v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng BM, AD. Lời giải. Gọi O l| t}m tam gi{c đều BCD cạnh a. Do A.BCD l| chóp đều nên AO   BCD   AO l| đường cao của hình chóp. Có SBCD  1 a2 3 a 3 BC.BD.sin 60 0  và OB  2 4 3 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 123 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Trong AOB có: AO  AB 2  BO 2  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 2a 6 3 1 a3 18 AO.SBCD   ñvtt  3 18 Gọi N, I, J lần lượt l| trung điểm của AC, CO, OM. VA. BCD   Có: AD / / MN  AD / /  BMN   d  BM; AD   d AD;  BMN        d D;  BMN   d C;  BMN   2d I ;  BMN  lại có:   BM  IJ    BM   IJN    BMN    IJN  theo giao tuyến NJ. BM  NI    Trong mp(IJN) kẻ IK  NJ  IK   BMN   d I ;  BMN   IK a 70 1 1 1 16 3 35  IK       35 IK 2 IJ 2 IN 2 a2 2a2 2a2 * Xét IJN có:   Vậy d  BM ; AD   2d I ;  BMN   2 a 70 35 BÀI 158 (THPT NGUYỄN DU – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3, ĐỀ 04)) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đ{y (ABC) l| tam gi{c vuông tại B có AB=a, BC=2a. Cạnh A’C hợp với đ{y một góc 300 . Gọi M l| trung điểm của CC’. Tính thể tích khối chóp M.ABB’A’ v| khoảng c{ch từ A đến mp(MA’B’) theo a. Lời giải. BÀI 159 (THPT NGUYỄN DU – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3, ĐỀ 05)) Cho hình chóp S.ABC, đ{y ABC l| tam gi{c vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt l| hình chiếu vuông góc của điểm A trên c{c cạnh SB v| SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Lời giải. Đặt V1=VS.AMN; V2=VA..BCNM; V=VS.ABC; AM  2 5 a; SM= 4a 5  V1 V  SM 4  SB 5 SM SN SM 1 .  . (1) SB SC SB 2 V 2 V 3 3  1   2   V2  V (2) V 5 V 5 5 3 1 a . 3 a3 . 3  V2  V  SABC .SA  3 3 5 BÀI 160 (THPT NGUYỄN DU – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3, ĐỀ 06)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, SA  a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đ{y. Biết tam gi{c SAB c}n v| góc giữa SD với mặt đ{y bằng 300. 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 2. Tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng BD và SC. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 124 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S H D A E O B C F Do SA   ABCD  và SAB cân nên AB  SA  a 3 Góc giữa SD với mặt đ{y l| góc SDA  300 Trong tam giác SAD có SA SA  AD   3a AD tan 300  S ABCD  AB. AD  3a.a 3  3 3a 2 1 1  VS . ABCD  .SA.S ABCD  .a 3.3 3a 2  3a3 3 3 b. Qua C kẻ đường thẳng song song với BD, cắt AD tại E. Do BD//CE  BD//(SCE) tan 300   d  BD, SC   d  BD,  SCE    d  O,  SCE    Kẻ AF  CE , F  CE  CE   SAF  1 d  A,  SCE   2 Kẻ AH  SF , H  SF  AH  CE  AH   SCE   d  A,  SCE    AH Có AE  2 AD  6a, CE  BD  2 3a 1 1 AE.CD 6a.a 3 AE.CD  AF.CE  AF=   3a 2 2 CE 2a 3 1 1 1 3a Vậy Trong tam giác SAF có:   2  AH  2 2 AH AF SA 2 S ACE  d  BD, SC   1 1 3a d  A,  SCE    AH  2 2 4 BÀI 161 (THPT NGUYỄN DU – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3, ĐỀ 07)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB  a , AD  2a , SA  ( ABCD) và SA  a . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ D đến mặt phẳng (SBM) với M l| trung điểm của CD. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 125 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Ta có S ABCD = AB.AD = 2a2 1 2a3 (dvtt) Do đó: VS . ABCD = .SA.S ABCD = 3 3 Ta có d(D,(SBM)=d(C,(SBM)= 1/2 d(A,(SBM)) Dựng AN ^ BM ( N thuộc BM) v| AH ^ SN (H thuộc SN) Ta có: BM ^ AN, BM ^ SA suy ra: BM ^ AH. Và AH ^ BM, AH ^ SN suy ra: AH ^ (SBM). Do đó d(A,(SBM))=AH 1 2a 2 4a AN .BM  a 2  AN   2 BM 17 1 1 1 4a Trong tam giác vuông SAN có:   2  AH  2 2 AH AN SA 33 Ta có: S ABM  S ABCD  2S ADM  a 2 ; S ABM  2a 33 Suy ra d(D, SBM   BÀI 162 (THPT NGUYỄN DU – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3, ĐỀ 08)) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’ B’C’ D’ có đ{y l| hình thoi cạnh a, BAD  120o và AC’  a 5. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’ B’C’ D’ v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AB’ và BD theo a. Lời giải. A’ D’ C’ B’ A D H 120o O B C Gọi O l| t}m hình thoi ABCD. Do hình thoi ABCD có BAD  120o  ABC, ACD đều.  AC  a. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 126 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN a2 3 2 Mà ABCD.A’ B’C’ D’ l| lăng trụ đứng. Ta có: SABCD  2SABC   ACC’ vuông tại C  CC’  AC’2  AC2  5a2  a2  2a. a2 3  a3 3. 2 Tứ gi{c AB’C’ D là hình bình hành  AB’ // C’ D  AB’ // (BC’ D). Vậy VABCD.A’B’C’D’  CC’.SABCD  2a   d(AB’,BD)  d(AB’,(BC’D))  d(A,(BC’D))  d(C,(BC’D)). Vì BD  AC,BD  CC’  BD  (OCC’)  (BC’D)  (OCC’). Trong (OCC’), kẻ CH  OC’ (H  OC’).  CH  (BC’D)  d(C,(BC’D))  CH OCC’ vuông tại C  Vậy d(AB’, BD)  2a 1 1 1 4 1 2a    2  2  CH  2 2 2 CH CO CC’ a 4a 17  17 BÀI 163 (THPT NGUYỄN DU – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3, ĐỀ 09)) Hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình bình h|nh ABCD. M l| trung điểm của cạnh SD, G l| trọng t}m của tam gi{c ACD. a. Tìm giao tuyến của mp( AMG) và mp(SCD)? b. Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mp(SAC) ? Tính tỉ số IB ? IM Lời giải. a. Chỉ ra M l| một điểm chung của mp(AMG) v| mp(SCD) – Trong (ACD), đường AG cắt CD tại K => K l| điểm chung thứ 2 của mp(AMG) v| mp(SCD) Vì M v| K ph}n biệt => MG l| giao tuyến của mp(AMG) v| mp(SCD) b. Gọi O l| giao điểm của AC v| BD – Chỉ ra BM v| SO c{t nhau tại I trong (BCD) – Chỉ ra I l| giao điểm của BM v| (SAC) – Chie ra I l| trọng t}m tam gi{c SBD=> tỉ số = 2. BÀI 164 (THPT NGUYỄN DU – BÌNH PHƢỚC (LẦN 3, ĐỀ 10)) Cho lăng trụ đứng ABC.A’ B’ C’ , có đ{y ABC l| tam gi{c vuông tại A, AB  a, AC  a 3 , mặt bên BCC ‘B’ là hình vuông, M, N lần lượt l| trung điểm của CC ‘ và B’C’ . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’ B’ C’ và tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng A’ B’ và MN . Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 127 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Ta có BC= BB’=2a 1 . V ABC . A’B ‘C ‘  BB ‘.S ABC  2a. a.a 3  a 3 3 2 gọi P l| trung điểm của A’C’ mp(CA’B’) //mp(PMN) nên suy ra khoảng c{ch d(A’B’;MN)= d(A’B’;(MNP))= d(A’;(MNP))= d(C’;(MNP))= C’H (H l| hình chiếu vuông góc của C’ lên mp(MNP) Cm được H thuộc cạnh PM {p dụng hệ thức lượng trong tam gi{c vuông MPC’ C ‘ M .C ‘ P C’ H  C’ P  C’ M 2 2  a 21 7 BÀI 165 (THPT NGUYỄN VĂN TRỖI) Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c vuông c}n tại A , AB  2 2a . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn IA  2IH . Góc giữa SC v| mặt đ{y (ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH). Lời giải. S K M H C B I A Ta có HC  IC 2  HI 2  4a 2  a 2  a 5 . SC ,  ABC   SCH  600 . Xét SHC có SH  HC.tan 60 0  a 15 S ABC 1 4 15a 3 1 2  AB. AC  4a . Ta có VS . ABC  S ABC .SH  3 3 2 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 128 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BI   SAH   d  B;  SAH    BI  a .Gọi M l| trung điểm SI . Ta có MK / / BI  MK   SAH   d  K ,  SAH    MK  a 2 BÀI 166 (THPT THANH HOA – BÌNH PHƢỚC (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c vuông c}n tại A, AB = a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) l| trung điểm H của BC. Góc giữa đường thẳng SA v| mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AB v| SC. Lời giải. S d I C A K H B Ta có:   SH  ( ABC )  SA,( ABC )  SAH  600  Thể tích khối chóp S.ABC: 1 Ta có: VS . ABC  S ABC .SH (*) 3 Mà: S ABCD  1 a2 AB. AC  2 2 Ta có: AH  1 a 2 BC  2 2 SH  AH .tan 600   a 6 2 1 a3 6 (*)  VS . ABC  S ABC .SH  3 12 Khoảng cách giữa AB và SC Qua C vẽ đường thẳng d song song với AB Dựng HK vuông góc với d tại K Dựng HI vuông góc với SK tại I, ta có:  HI  SK  HI  ( SC , d )   HI  d Ta có: THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 129 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN d ( AB, SC)  d ( AB,(SC, d ))  d (B,(SC, d ))  2d (H ,(SC, d ))  2HI Ta có: 1 1 1 a 42    IH  2 2 2 HI SH HK 14 Vậy: d ( AB, SC )  2 IH  a 42 7 BÀI 167 (THPT THANH HOA – BÌNH PHƢỚC (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình vuông canh a. Tam gi{c SAB vuông tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y; hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng AB l| điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH= 2AH. Goi I l| giao điểm của HC v| BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ I đến mặt phẳng (SCD) theo a. Lời giải. 1 VS . ABCD  SH .S ABCD 3 Ta có SH2=HA.HB=2a2/9  SH  a 2 3 a a3 2 2 (đvtt) VS . ABCD  2.a  9 9 d ( I ,( SCD)) IC IC CD 3 IC 3  và     d ( H ,(SCD)) HC IH BH 2 CH 5 và CH2=BH2+BC2= 13 2 a 9 1 1 1 11 a 22    2  HM  2 2 2 HM SH HK 2a 11 d ( I , ( SCD))  3a 22 55 BÀI 168 (THPT ANH SƠN II –NGHỆ AN (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, AB  a , AD  2 2a . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mp( ABCD) trùng với trọng t}m của tam gi{c BCD . Đường thẳng THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 130 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN SA tạo với mp( ABCD) một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AC và SD theo a . Lời giải. VSABCD  4 2a3 3 d  SD , BC   2 22a 11 BÀI 169 (THPT AN LÃO 2 – BÌNH ĐỊNH ) Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c vuông tại B , BC  a , mặt ( ABC) tạo với đ{y một góc 300 và tam giác ABC có diện tích bằng a2 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC . Lời giải. a3 3 V 36 BÀI 170 (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đ{y ABC l| tam gi{c vuông tại A , AB  a,AC  a 3 v| mặt bên (BB’C’C) l| hình vuông. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AA’ , BC’. Lời giải. V  a3 3;d  A’A,BC’   a 3 2 BÀI 171 (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU – TP HCM (LẦN 1)) Cho hình chóp S. ABCD có đấy ABCD l| hình chữ nhất. Biết SA vuông góc với mặt phẳng 4  ABCD  , SC hợp với mặt phẳng  ABCD  , một góc α với tan   , AB  3a và BC  4a . 5 Tính thể tích của khối chóp S. ABCD v| khoảng c{ch từ điểm D đến mặt phẳng  SBC  . Lời giải. 1 12a VSABCD  S ABCD .SA  16a3 ; d  D,  SBC    3 5 BÀI 172 (THPT CÙ HY CẬN – HÀ TĨNH (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Gọi M l| trung điểm của CD, N l| hình chiếu vuông góc của D trên SM. Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ N đến mặt phẳng (SBC) theo a. Lời giải. VSABCD a3 6  3 d  N ,(SBC )   2a 42 29 BÀI 173 (THPT ĐỘI CẤN (LẦN 1)) THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 131 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, SA  a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đ{y. Biết tam gi{c SAB c}n v| góc giữa SD với mặt đ{y bằng 300 . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. b. Tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng BD và SC . Lời giải. 3a a. VSABCD  3a 3 b. d(BD, SC)  4 BÀI 174 (THPT HÀN THUYÊN – BẮC NINH (LẦN 2)) Cho lăng trụ đứng ABC. A’ B’ C’ , có đ{y ABC l| tam gi{c vuông tại B, AB  2a , Hình chiếu vuông góc của B xuống mặt đ{y (A’B’C’) l| trung điểm H của cạnh A’B’ . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A’ B’ C’ v| tính khoảng c{ch từ C’ đến mặt phẳng (A’BC) .Biết góc giữa đường thẳng BC’ v| mặt phẳng (A’B’C’) bằng 450 Lời giải. VABC . A ‘ B ‘C ‘  2a3 5 d  C ‘, ( A ‘ BC )   a 30 6 BÀI 175 (THPT LÊ LỢI (LẦN 2)) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy (ABC) là tam giác vuông tại B có AB=a, BC=2a. Cạnh A’C hợp với đáy một góc 300 . Gọi M là trung điểm của CC’. Tính thể tích khối chóp M.ABB’A’ và khoảng cách từ A đến mp(MA’B’) theo a. Lời giải. BÀI 176 (THPT MAI THÚC LOAN –HÀ TĨNH (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh bằng a, góc giữa canh bên SD v| mặt đ{y (ABCD) bằng 450. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt đ{y (ABCD) l| điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 2HB, gọi M l| trung điểm AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB v| CM. Lời giải. BÀI 177 (THPT NGHÈN – HÀ TĨNH (LẦN 1)) Cho hình chóp S .ABC có đ{y ABC l| tam gi{c đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đ{y, góc tạo bởi SB v| mặt đ{y bằng 600 , I l| trung điểm cạnh BC, H l| hình chiếu của A lên SI. Tính theo a thể tích khối chóp S .ABC v| khoảng c{ch từ t}m đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến mặt phẳng (ABH). Lời giải. a3 a 6 d  G, (ABC)   V 12 4 BÀI 178 (THPT NGUYỄN KHUYỄN – TP HCM (LẦN 3)) Cho hình chóp S. ABCD có đ{y ABCD là hình thoi với SA  AB  a , góc BAD  1200 , các mặt phẳng  SAC  và  SBD  cùng vuông góc với mặt phẳng tích của khối tứ diện SABC v| góc giữa đường thẳng SB  ABCD  . Tính theo a v| mặt phẳng  SCD  . thể Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 132 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 VSACD  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 3 a ;  SB,  SCD    390 8 BÀI 179 (THPT NGUYỄN SĨ SÁCH – NGHỆ AN (LẦN 2)) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đ{y ABCD l| hình chữ nhật có AB  a; AD  a 3 . Biết góc giữa đường thẳng A’C v| mặt phẳng (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng chéo nhau B’C v| C’D theo a. Lời giải. VABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘  6a3 ; d  C’D;B’C   2a 51 17 BÀI 180 (THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI – HÀ TĨNH (LẦN 1)) Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có AC  a, BC  2a, ACB  1200 v| đường thẳng AC tạo với mp( ABBA) một góc 300 . Gọi M l| trung điểm BB . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho v| khoảng c{ch từ đỉnh A  đến mp( ACM) theo a. Lời giải. VABC .ABC  a 3 105 14 d(A,(ACM))  2 a 1335 89 BÀI 181 (THPT TAM ĐẢO (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB=2a, AD=a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc bằng 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD) Lời giải. V 2 2a3 a 6 ;d A,  SDC   3 3   BÀI 182 (THPT THỪA LƢU – THỪA THIÊN HUẾ (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thang với đ{y lớn l| AD; c{c đường thẳng SA, AC v| CD đôi một vuông góc với nhau SA  AC  CD  a 2; AD  2 BC . Tính thể tích của khối chop S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB v| CD. Lời giải. V a3 2 a 10 ; d  CD; SB   2 5 BÀI 183 (THPT TRẦN HƢNG ĐẠO – ĐĂKNÔNG) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 8a, tam giác ABC đều cạnh bằng 4a; M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SB và BC. Tính theo a thể tích hình chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN). Lời giải. V 32 3a3 8a 17 ;d B,  AMN   3 17   THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 133 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 184 (THPT TRUNG GIÃ (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 3BC = 3 3a,AB  2 2a , tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và góc tạo bởi đường thẳng SA với mặt phẳng (SCD). Lời giải. 8a3 ;a 6 BÀI 185 (THPT ISCHOOL NHA TRANG – KHÁNH HÒA (ĐỀ 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD là hình vuông, BD = 2a; tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SC  a 3 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ điểm C đến mặt phẳng (SAD). Lời giải. S I K A D H B C Goị H l| hình chiếu vuông góc của S trên AC, ta có SH  AC mà (SAC)  (ABCD), (SAC)  (ABCD) = AC do đó SH  (ABCD). Tam gi{c SAC vuông tại S suy ra SA.SC a.a 3 a 3   AC 2a 2 Hình vuông ABCD có BD = 2a suy ra AB = a 2 SA  AC 2  SC2  4a2  3a2  a  SH  1 1 a 3 3a3 Thể tích khối chóp S.ABCD là VS . ABCD  SABCD .SH  .2a2 .  . 3 3 2 3 Gọi K l| hình chiếu vuông góc của H trên AD, I l| hình chiếu vuông góc của H trên SK, ta có  AD  HK  AD  (SHK )  AD  HI mà HI  SK suy ra HI  (SAD), do đó HI  d(H , (SAD)) .   AD  SH AH SA2 a2 1 AH . AC  SA2     suy ra d(C, (SAD))  4d(H , (SAD))  4HI 2 2 AC AC 4a 4 CD a 2  Ta có HK // CD suy ra HK  4 4 1 1 1 4 8 28 a 3    2  2  2  HI  Tam gi{c SHK vuông tại H nên 2 2 2 HI SH HK 3a a 3a 2 7 Vậy khoảng c{ch từ C đến (SAD) l| d (C, (SAD))  2a 3 2a 21  . 7 7 BÀI 186 (THPT ISCHOOL NHA TRANG – KHÁNH HÒA (ĐỀ 2)) THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 134 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đ{y v| cạnh bên SC tạo với mặt đ{y một góc 60 0. Gọi M, N lần lượt l| trung điểm của c{c cạnh bên SA v| SB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ S đến mặt phẳng (DMN). Lời giải. S H M N A D B C  Ta có SA  (ABCD)  AC l| hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD)  SCA  60 0 AC  AD2  CD 2  a 5; SA  AC tan 600  a 15 1 1 2 15a3 VS . ABCD  SABCD .SA  AB. AD.SA  . 3 3 3 Gọi H l| hình chiếu vuông góc của S trên DM , ta có AB  (SAD) mà MN // AB  MN  (SAD)  MN  SH  SH  (DMN)  SH = d(S, (DMN)). SHM ~ DAM  SA.DA SA.DA 2a 15 SH SM .   SH    2 2 2 DM DA DM 31 2 AD  AM Vậy d(S,(DMN)) = 2a 15 . 31 BÀI 187 (THPT VIỆT TRÌ (LẦN 1)) Cho lăng trụ đứng ABC. A’ B’ C’ , có đ{y ABC l| tam gi{c vuông tại A, AB  a, AC  a 3 , mặt bên BCC ‘B’ là hình vuông, M, N lần lượt l| trung điểm của CC ‘ và B’C’ . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A’ B’ C’ v| tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng A’ B’ và MN . Lời giải. a 21 VABC . A ‘ B ‘C ‘  a 3 3 d  A ‘ B ‘, MN   7 BÀI 188 (THPT THUẬN CHÂU – SƠN LA (LẦN 2)) Cho hình chóp có đ{y là hình thoi cạnh . Mặt bên trong mặt phẳng vuông góc với đ{y, cách giữa hai đường thẳng vuông tại . Tính thể tích khối chóp và khoảng theo . Lời giải. Gọi là hình chiếu vuông góc của Xét tam giác l| tam gi{c đều nằm trên ta có l| trung điểm . ta có THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 135 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Xét tam giác Suy ra tam giác ; đều cạnh , suy ra Suy ra thể tích khối chóp Do tam giác Trong mặt phẳng Do đó : Xét tam giác CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN là : l| tam gi{c đều nên kẻ tại ta có vuông tại Vậy: (Có thể tính (Có thể tính khoảng cách cần tìm theo công thức thể tích). BÀI 189 (THPT THUẬN THÀNH 1 – BẮC NINH (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB=a , AD= 2a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ D đến THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 136 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN mặt phẳng (SBM) với M l| trung điểm của CD biết góc giữa SC v| mặt phẳng chứa đ{y l|  với tan   1 . 5 Lời giải. V 2a 3 3 d  D, (SBM)   2a 33 33 BÀI 190 (THPT THUẬN THÀNH 1 – BẮC NINH (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) l| trung điểm H của AB. SC tạo với đ{y một góc 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB, AC. Lời giải. HC l| hình chiếu của SC trên mp(ABCD) nên góc giữa SC v| mp(ABCD) l| SCH . Từ gt suy ra SCH  450 Suy ra SH = HC = a 2 . SABCD  2a 2 2 2a 3 (đvtt). 3 Kẻ đt d đi qua B v| song song với AC. Gọi E l| hình chiếu của H trên đt d. Suy ra AC // (SBE)  d  SB, AC   d  AC,  SBE    d  A, SBE    2d  H,  SBE   Vậy VABCD  (Vì AB = 2HB) Gọi F l| hình chiếu của H trên SE. Khi đó: BE   SHE  , HF  SBE  Suy ra d(H, (SBE)) = HF. BC a  . AC 5 a 22 1 1 1 11 .    2  HF  2 2 2 11 HF HE HS 2a HE  HB.sin EBH  HB.sin BAC  HB. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 137 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Vậy d(SB, AC)  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 2a 22 . 11 BÀI 191 (THPT TĨNH GIA 1 – THANH HÓA (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a v| góc BAD  600 ; C{c mặt phẳng (SAD) v| (SAB) cùng vuông góc với mặt phẳng đ{y (ABCD); Góc tạo bởi SC với mp(ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng NC v| SD với N l| điểm năm trên cạnh AD sao cho DN  2 AN . Lời giải. VSABCD  3a 3 3 ; d  CN , SD   2a . 2 79 BÀI 192 (THPT TÔ VĂN ƠN (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB l| tam gi{c đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi M l| điểm thuộc cạnh SC sao cho MC  2SM . Biết AB  a , BC  a 3 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM. Lời giải. Gọi H l| trung điểm của AB  SH  AB .Do (SAB)  ( ABC ) nên SH  (ABC ) a 3 . AC  BC 2  AB 2  a 2 2 1 1 a3 6 Thể tích khối chóp S.ABC là VS . ABC  SH .S ABC  SH . AB. AC  3 6 12 Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA tại N  AC // MN  AC //(BMN ) Ta có AC  AB  AC  (SAB) mà MN // AC  MN  (SAB)  (SAB)  ( BMN ) Từ A kẻ AK  BN (K  BN )  AK  (BMN )  AK  d ( A,(BMN ))  d ( AC, BM ) MC 2 AN 2 Do    SC 3 SA 3 2 2 a2 3 a2 3  S ABN  S SAB   3 3 4 6 Do SAB l| tam gi{c đều cạnh a nên SH  THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 138 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 BN 2  AN 2  AB2  2 AN . AB cos 600  Vậy d ( AC , BM )  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 2S 7a 2 a 7 a 21 , AK  ABN  .  BN  BN 7 3 9 a 21 . 7 BÀI 193 (THPT TÔ VĂN ƠN (LẦN 2)) Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có c{c cạnh đều bằng a v| BAD  BAA ‘  A ‘ AD =600.Tính thể tích hình hộp v| khoảng c{ch từ B’ đến mặt phẳng (A’AC). Lời giải. + Từ giả thiết b|i to{n , ta có tứ diện A’ABD l| tứ diện đều cạnh bằng a .Nên gọi H l| trọng a 6 tâm tam giác ABD thì A’H = 3 + Thể tích của hình hộp : a 6 a2 3 a3 2 V = A’H .2.SABD = . = 3 2 2 + Ta có : BD  A’H nên BD  AC nên BD  mp(A’AC).Kẽ OK  A’A Thì khoảng c{ch giữa A’A v| BD l| d(A’A;BD) = OK ; (O = AC  BD) a 3 + Tam gi{c A’OA c}n tại O nên OA’ = OA = 2 2a + d(A’A;BD) = OK =. 2 BÀI 194 (THPT TÔN ĐỨC THẮNG (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD đ{y l| hình thang vuông tại A v| D. SA vuông góc với đ{y, o AD=DC=a,AB=2a. Góc giữa SB v| mặt phẳng đ{y bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa BC v| SD. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 139 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S H M A B O D C 1 3a 2 S ABCD  (AB DC).AD  2 2 SA  (ABCD) nên hình chiếu của SB l| AB  (SB,(ABCD))  (SB,AB)  SBA  60O Xét tam giác vuông SAB: SA  SA  AB.tan SBA  2a 3 AB 1 1 3a 2  S ABCD .SA  . .2a 3  a3 3 3 3 2 tan SBA  VABCD Gọi M l| trung đểm AB MB / / DC    DCBM là hình bình hành MB  DC  BC / / DM  (SDM)  BC/ /(SDM)  d (BC,SB)  d (BC,(SDM))  d(C,(SDM)) Gọi O  AC  DM AM / / DC   AM  DC  AD   ADCM là hình vuông  DAM  90O  d (C,(SDM)) OC   1  d (C,(SDM))  d (A,(SDM)) d (A,(SDM)) OA Kẻ AH  SO DM  AC  (SAC)    DM  (SAC)  DM  AH DM  SA  (SAC)  AH  SO  (SDM)    AH  (SDM) AH  DM  (SDM)   d (A,(SDM))  AH AC  a 2 AC a 2 AO   2 2 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 140 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Xét tam gi{c SAO vuông tại A: 1 1 1 1 1 25  2   2  2 2 2 a AH SA AO 12a 12a 2 2 a 12 12a 2 2  AH   AH  25 5 BÀI 195 (THPT TÔN ĐỨC THẮNG (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo AC và BD. 5 a , với M l| trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối 2 chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SM và AC. Lời giải. Biết SA  a 2, AC  2a, SM  S A M D K O H B N C Từ giả thiết SO  ( ABCD)  SO  AC, OA  a , SO  SA2  OA2  a 1 OSM  O :OM  SM 2  SO 2  a 2 Ta có ABC  B : BC  2MO  a, AB  AC 2  BC 2  3a 1 3 3 AB.BC.SO  a 3 3 Gọi N trung điểm BC  MN / / AC  d (SM , AC)  d ( AC,(SMN ))  d (O,(SMN )) OMN  O : OMN  O : OH  MN, SO  MN  MN  ( SOH) SOH  O :OK  SH  OK  (SMN )  OK  d (O,(SMN ) VS . ABCD  AB 3 BC a 3  a, OM   , OH  MN  OH  a 2 2 2 2 4 OS .OH 57 SOH  O : d ( SM , AC )  OK   a 19 OS 2  OH 2 OMN  O : ON  BÀI 196 (THPT TRẦN CAO VÂN – KHÁNH HÒA (LẦN 1)) THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 141 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Cho hình chóp SABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh bằng a, BAD  600 . Hình chiếu của đỉnh S lên (ABCD) l| trọng t}m G của tam gi{c ABD. Cạnh bên SC tạo với đ{y (ABCD) một góc 600 . Tính thể tích khối chóp SABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AB v| SD. Lời giải. S B H C G O D A S ABCD  a2 3 2 SG  2a VSABCD  a3 3 3 Chứng minh AB  SD và d  AB; SD   d  H ; SD   3a 13 13 BÀI 197 (THPT TRẦN PHÚ – HÀ TĨNH (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh a. Gọi I l| trung điểm AB, H l| giao điểm của BD với IC. C{c mặt phẳng (SBD) v| (SIC) cùng vuông góc với đ{y. Góc giữa (SAB) v| (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA v| IC. Lời giải. 1 Ta có VS.ABCD  SH.SABCD , SABCD  a 2 3 Do (SIC),(SBD) cùng vuông với đ{y suy ra SH  (ABCD) Dựng HE  AB   SHE   AB , suy ra SEH l| góc giữa (SAB) v| (ABCD)  SEH  600 Ta có SH  HE.tan 600  3HE HE HI 1 a a 3    HE   SH  CB IC 3 3 3 1 1 a 3 2 3a 3 .a  Suy ra VS.ABCD  SH.SABCD  . 3 3 3 9 Gọi P l| trung điểm của CD, suy ra AP song song vớiCI THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 142 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016  d  SA, CI   d  CI, SAP    d  H, SAP   CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Dựng HK  AP , suy ra  SHK    SAP  Dựng HF  SK  HF   SPA   d  H, SPA    HF 1 1 1 (1)   2 2 HF HK HS2 1 1 1 1 Dựng DM  AP , ta thấy DM  HK     2 2 2 HK DM DP DA2 a 1 1 1 1 4 1 3 8 . Thay vào (1) ta có      2  2  2  2  HF  2 2 2 2 HF DP DA HS a a a a 2 2 a Vậy d SA, CI   . 2 2 Do SHK vuông tại H  BÀI 198 (THPT TRẦN PHÚ – HÀ TĨNH (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a, ABC  600 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đ{y v| cạnh bên SC tạo với mặt đ{y một góc 600 . Gọi I l| trung điểm BC, H l| hình chiếu vuông góc của A lên SI. Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a. Lời giải. S K H A D E B C I Do ABC  600 nên tam gi{c ABC đều, suy ra SABCD  a 2 3 và AC  a 2 Mặt kh{c SA  (ABCD)  SCA  600 1 a3  SA  AC.tan 60  a 3  VS.ABCD  SA.SABCD  . 3 2 2 2 HS HS.IS AS AS 4 Ta có   2  2  2 2 IS IS IS IA  AS 5 4 2 2  d  H, SCD    d  I, SCD    d  B,  SCD    d  A, SCD   ( vì I l| trung điểm BC v| 5 5 5 AB//(SBC)) 0 Gọi E l| trung điểm CD, K l| hình chiếu của A lên SE, ta có AE  DC  DC  (SAE)  DC  (SAE)  AH  (SCD) Suy ra THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 143 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 2 2 2 SA.AE 2a 15 . d  H, SCD    d  A, SCD    AK   2 2 5 5 5 SA  AE 25 BÀI 199 (THPT TRẦN QUANG KHẢI (LẦN 3)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đ{y, tam gi{c SAB c}n tại S và SC tạo với đ{y một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a. Lời giải. Gọi H l| trung điểm AB. Do SAB c}n tại S, suy ra SH  AB, mặt kh{c (SAB)  (ABCD) nên SH  (ABCD) và SCH  600 . Ta có SH  CH . tan 600  CB 2  BH 2 . tan 600  a 15. 4 15 3 1 1 a VS . ABCD  .SH .S ABCD  a 15.4a 2  3 3 3 Qua A vẽ đường thẳng  song song với BD. Gọi E l| hình chiếu vuông góc của H lên  và K l| hình chiếu của H lên SE, khi đó   (SHE)    HK suy ra HK  (S,  ). Mặt kh{c, do BD//(S,  ) nên ta có d  BD; SA  d  BD;  S ,     d  B;  S ,     2d ( H ;( S , ))  2 HK Ta có EAH  DBA  450 nên tam gi{c EAH vuông c}n tại E, suy ra AH a HE.HS 15 HE    HK   a. 2 2 31 2 2 HE  HS Vậy: d  BD;SA   2 465 a 31 BÀI 200 (THPT TRẦN QUÝ CÁP – KHÁNH HÒA (ĐỀ 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh a v| góc BAD  600 . Các mp( SAD) v| (SAB) cùng vuông góc (ABCD). Góc tạo bởi SC và (ABCD) = 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng NC v| SD với N l| điểm nằm trên cạnh AD sao cho DN  2 AN . THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 144 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Lời giải. S H A B 60 O N a 60 G D C x + Ta có : SA  ( ABCD ) + X{c định được góc ABC  600 + Tính được AC  a 3 , BD  a + Tính được SA  AC . tan 600  3a 3 1 1 a2 3 a 3 + V  S ABCD .SA  3a  3 3 2 2 + Kẻ Dx // CN  CN //(SDx) + Kẻ AG  Dx , AH  SG  AH  (SDG) + d CN , SD  d CN , ( SDG)   d N , (SDG)   + Tính được CN  2 2 d  A, ( SDG)  AH 3 3 a 19 3 + Tính được AG  3d  A, CN   3 AN . AC . sin 600 3a 3  CN 2 19 1 1 1 3    AH  3a 2 2 2 79 AH SA AG + Suy ra: d  CN , SD   2a 3 79 BÀI 201 (THPT TRẦN QUÝ CÁP – KHÁNH HÒA (ĐỀ 2)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đ{y v| SA=a. Gọi M, N lần lượt l| trung điểm của SB v| SD; I l| giao điểm của SD v| mặt phẳng (AMN). Chứng minh SD vuông góc với AI v| tính thể tích khối chóp MBAI. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 145 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN S H M I K N A B a O D C Gọi O  BD  CA; K  SO  MN ; I  AK  SC Ta có: BC  SA, BC  AB  BC  (SAB)  BC  AM (1) Hơn nữa: SA =AB nên AM  SB ( đường trung tuyến cũng l| đường cao) (2) Từ (1) v| (2) suy ra  AM  SC (3) Tương tự ta có AN  SC (4) Từ (3) v| (4) suy ra SC  ( AMN )  AI  SC Kẻ IH song song với BC cắt SB tại H. Khi đó IH vuông góc với (AMB). Vậy VABMI  Ta có SABM 1 IH .SABM 3 1 1 1 a2 (đvdt)  S SAB  . a.a  2 2 2 4 Hơn nữa: IH SI SI .SC SA2 a2 1      2 2 2 2 2 BC SC SC SA  AC a  2a 3 1 1  IH  BC  a 3 3 Vậy VABMI 1 a 2 a a3   (đvtt) 3 4 3 36 BÀI 202 (THPT TRẦN VĂN DƢ – QUẢNG NAM (LẦN 1)) Cho hình chóp S .ABC D có đ{y ABC D l| hình chữ nhật, AB a, AD 2 2a . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mp(ABCD) trùng với trọng t}m tam gi{c BCD . Đường thẳng SA tạo với mp(ABCD) một góc 45 . Tính thể tích khối chóp S .ABC D v| khoảng 0 c{ch giữa hai đường thẳng AC và SD theo a . Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 146 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN ( SA, ( ABCD))  ( SA, AH)  SAH  450  SH  AH  2a 1 4 2 3 Thể tích khối chóp S. ABCD là: V  SH .S ABCD  a 3 3 * Gọi M l| trung điểm của SB . Ta có : d (SD; AC )  d (SD;( ACM ))  d (D;( ACM )) Chọn mặt phẳng Oxyz như hình vẽ. Ta có : 2a 4 2a 5a 2 2a A(0; 0; 0),b (a ; 0; 0),D (0; 2 2a ; 0),S ( ; ; 2a ),C (a ; 2 2a ; 0),M ( ; ; a) 3 3 6 3 Mặt phẳng ( ACM ) qua A có VTPT n   AC, AM   (2 2a 2 ; a 2 ;  2a 2 ) Nên : ( ACM ) : 2 2 x  y  2 z  0  d ( SD; AC )  d ( D;( ACM ))  2 22a 11 BÀI 203 (THPT TRẦN CAO VÂN – KHÁNH HÒA) Cho hình chóp SABCD có đ{y ABCD l| hình thoi cạnh bằng a, BAD  600 . Hình chiếu của đỉnh S lên (ABCD) l| trọng t}m G của tam gi{c ABD. Cạnh bên SC tạo với đ{y (ABCD) một góc 600 . Tính thể tích khối chóp SABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AB v| SD. Lời giải. S B H C G D A S ABCD  O a2 3 2 SG  2a VSABCD  a3 3 3 Chứng minh AB  SD và d  AB; SD   d  H ; SD   3a 13 13 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 147 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 204 (THPT TRẦN ĐẠI NGHĨA) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình vuông cạnh 2a, mặt bên (SAB) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đ{y (ABCD), tam gi{c SAB vuông tại S, SA = a Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AB, SC theo a Lời giải. + Trong mp(SAB), dựng SH  AB, do (SAB)  (ABCD)  SH  ( ABCD)  SH l| chiều cao khối chóp 1  VS . ABCD  B.h 3 + B= dt ABCD= 4a2 + h = SH SB  AB 2  SA2 =a 3 SB.SA AB a 3 = 2  VS . ABCD  2a 3 3 h  SH    d(AB,SC) Vì AB// DC nên d (AB, SC)= d( AB, (SDC)) = d ( A, (SDC) 3V  A.SDC dtSDC 1 3. .VS . ABCD  2 dtSDC dt SDC=? tgSAD vuông tại A nên SD  a 5 tgSBC vuông tại B nên SC  a 7 , DC= 2a  dtSDC  19 2 a 2 nên d ( A, ( SDC ))  6a 57 19 BÀI 205 (THPT TRẦN NHÂN TÔNG – QUẢNG NINH (LẦN 1)) Cho hình chóp SABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật.Hai mặt phẳng (SAB) v| (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng AB  a, BC  3a v| góc giữa SC với (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp SABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng CE v| SB trong đó E l| trung điểm của SD. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 148 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 VSABCD  2a3 ; d  CE; SB   CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 2 3a 17 BÀI 206 (THPT TRẦN PHÚ – VĨNH PHÚC) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình bình h|nh SB  a 3 , AB  a, AD  2 a, ABC=1200 . 2 M, N lần lượt l| trung điểm của AB, BC, tam gi{c SMN c}n tại S, SB  SD . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB, AC. Lời giải. S D A M I K H B C N J E Do ABC  1200  BAD  600 Xét tam giác ABD: BD2  AB2  AD2  2 AB.AD.cos600  3a2 3a SB 1 Xét tam gi{c SBD vuông tại S: SD  BD 2  SB 2  . , ta có cosSBD=  2 BD 2 Gọi H l| trung điểm của MN, MN l| đường TB của tam gi{c ABC  BH  Ta có SH 2  SB 2  BH 2  2SB.BH .cos SBH  Ta thấy 1 a 3 BD  4 4 9a 2 16 1 1 1  2  SH  BD 2 SH SB SD 2 Tam gi{c SMN c}n tại S  SH  MN Suy ra SH  ( ABCD) 1 1 a3 3 Vậy VABCD  SH .dt(ABCD)  SH .2dt(BCD)  3 3 4 Dựng HBH ACEB  (SBE) / / AC  d ( AC, SB)  d (O,(SBE))  2d(H,(SBE)) 1 Qua H kẻ IJ  BE ( J  BE, I  AC )  HJ  IJ 2 Ta có IJ.AC  2dt (BCD) Mà AC  BC 2  AB 2  2 BC. AB.cos1200  a 7 , 2dt ( BCD)  a 2 3 nên IJ  a 21 a 21  HJ  7 14 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 149 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 HK  SJ ( K  SJ )  d ( H ,(SBE))  HK , CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 1 1 3a    HK  2 2 2 HK SH HJ 10 3a 5 BÀI 207 (THPT TRẦN THỊ TÂM – QUẢNG TRỊ) Cho hình chóp S.ABC có đ{y l| tam gi{c ABC đều cạnh a, SA = a. Ch}n đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) l| trung điểm cạnh BC. Tính thể tích chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng BC v| SA theo a. Lời giải. Vậy d ( AC , SB)  Gọi H l| trung điểm cạnh BC. Ta có SH l| đường cao của khối chóp S.ABC Xét SHA(vuông tại H), AH  SABC 3a 2 a a 3 , SH  SA2  AH 2  a 2   , 2 4 2 a2 3  4 1 1 a a 2 3 a3 3 Thể tích chóp S.ABC: VS . ABC  SH .SABC  . .  3 3 2 4 24 * Từ H hạ đường vuông góc xuống SA tại K. Ta có HK  SA, HK BC => HK l| khoảng c{ch giữa BC v| SA a 3 1 1 1 16    2 =>HK= 2 2 2 4 HK HS HA 3a a 3 . Vậy khoảng c{ch giữa hai đường thẳng BC v| SA bằng 4 BÀI 208 (THPT TRIỆU SƠN 1 – THANH HÓA (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đ{y (ABCD), đ{y ABCD l| hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) v| (ABCD) bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| tính góc giữa đường thẳng SD v| mặt phẳng (SBC). Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 150 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN – Tính thể tích +) Ta có: AB  AC 2  BC 2  4a +) Mà   SCD  ,  ABCD    SDA  45 0 nên SA = AD = 3a 1 Do đó: VS . ABCD  SA.S ABCD  12a3 (đvtt) 3 – Tính góc< +) Dựng điểm K sao cho SK  AD Gọi H l| hình chiếu vuông góc của D lên CK, khi đó: DK   SBC  . Do đó:  SD,  SBC    DSH DC.DK 12a , SD  SA2  AD 2  3a 2  KC 5 3a 34 SH  SD 2  DH 2  5 SH 17 Do đó:  SD,  SBC    DSH  arccos  arccos  340 27 ' SD 5 +) Mặt kh{c DH  BÀI 209 (THPT DL LÊ THÁNH TÔN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông canh a. Mặt bên SAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng AB là điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH= 2AH. Goi I là giao điểm của HC và BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD). Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 151 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 VS . ABCD  SH .S ABCD 3 a a3 2 a 2 Ta có SH =HA.HB=2a /9  SH  2 VS . ABCD  2.a  (đvtt) 9 9 3 d ( I ,( SCD)) IC IC CD 3 IC 3 13 và và CH2=BH2+BC2= a 2      d ( H ,(SCD)) HC IH BH 2 CH 5 9 2 2 1 1 1 11 a 22    2  HM  2 2 2 HM SH HK 2a 11 3a 22 . d ( I , ( SCD))  55 BÀI 210 (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y l| hình thang vuông tại A v| B. C{c mặt bên  SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng đ{y. Cho  SAB  và AB  2a , AD  a , SA  BC  a , CD  2a 5 . Gọi H l| điểm nằm trên đoạn AD sao cho AH  a . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa 2 đường thẳng BH v| SC theo a. Lời giải. Do  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với đ{y nên SA   ABCD  . AHCB là hình bình hành  CH  AB  2a HD  CD2  CH2  4a  AD  5a . S ABCD  VS.ABCD 1 a  5a  .2a  6a 2  2 1  SA.S ABCD  2a 3 3 Trong mặt phẳng  ABCD  , kẻ CE BH  E  AD  , ta có: 1 d BH,SC  d BH, SCE  d H, SCE  d A, SCE 2 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 152 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Kẻ AF  CE, AJ  SF  AJ   SCE  d A,SCE  AJ Gọi K l| giao điểm của BH v| AF 1 1 1 2a 4a    AK   AF  2 2 2 AK AH AB 5 5 1 1 1 4a    AJ  2 2 2 AJ AS AF 21 1 2a d BH,SC   d A , SCE   2 21 BÀI 211 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật, AB  a, BC  a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đ{y. Góc giữa đường thẳng SC v| mặt phẳng đ{y l| 60 , M l| trung điểm cạnh SD. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ điểm S đến  BCM  . Lời giải. BÀI 212 (THPT ĐĂKMIL - ĐĂKNÔNG) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA và SB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (DMN). Lời giải. V 2 15a3 2a 15 ;d  S,(DMN)   3 31 BÀI 213 (THPT ĐÀO DUY TỪ) Cho hình chop S.ABC D có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đ{y, cạnh SB tạo với mặt phẳng đ{y một góc 600 . Tr}n cạnh SA lấy điểm a 3 M sao cho AM  . Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp 3 S.BCNM. Lời giải. 10a3 3 V 27 BÀI 214 (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA – PHÚ THỌ (LẦN 1)) Cho hình chóp đều S.ABC có c{c cạnh bằng a, góc giữa cạnh bên với mặt đ{y l| 60 ; gọi E l| trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AE và SC. Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 153 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN  SA;  ABCD   SAE  60 AE  a 3 a 3 a 3 ; HE  ; AH  ; SH  a 2 6 3 S ABC  1 a2 3 1 a3 3 AE.BC   VS.ABC  SH.S ABC  . 2 4 3 12 Dựng hình chữ nhật HECF  CF   SHF  . Hạ HK  SF  HK   SCF  . a d AE ,SC   d AE , SCF   d H, SCF   HK  . 5 BÀI 215 (THPT NGUYỄN SĨ SÁCH (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật AB = a, A  a 2 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) l| trọng t}m tam gi{c ABC. Đường thẳng SD tạo với đ{y ABCD một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SC v| MN theo a biết M , N lần lượt l| trung điểm AB v| AD. Lời giải. V 2 6a3 ;d  MN,SC   a 9 BÀI 216 (THPT QUỲNH LƢU 2) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B cạnh AC=2a góc BAC  30 , SA vuông góc với đáy và SA  a . Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa đường thẳng SB và AC. 0 Lời giải. a3 3 a 3 V d  AB, SC   . 6 7 BÀI 217 (THPT TRIỆU SƠN 1 – THANH HÓA (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đ{y (ABCD), đ{y ABCD l| hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) v| (ABCD) bằng 45 0. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| tính góc giữa đường thẳng SD v| mặt phẳng (SBC). Lời giải. 17 ; cos  VS . ABCD  12a3 5 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 154 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN BÀI 218 (TT GDTX&HN VẠN NINH – KHÁNH HÒA (LẦN 1)) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đ{y l| tam gi{c c}n, AB  AC  2a , BAC  1200 . Mặt phẳng (AB’C’)tạo với mặt đ{y góc 600. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ v| khoảng c{ch từ điểm A’ đến mặt phẳng (AB’C’ ) theo a . Lời giải. X{c định góc giữa (AB'C') v| mặt đ{y l| AKA '  AKA '  600 ( với K l| trung điểm của B’C’) Tính A'K = 1 A ' C '  a  AA '  A ' K .tan 600  a 3 2 Tính S A ' B 'C '  a 2 3  VABC . A ' B 'C '  3a 3 Chứng minh: (AA'K)  (AB'C') Trong mặt phẳng (AA'K) dựng A'H vuông góc với AK  A'H  (AB'C')  d(A';(AB'C')) = A'H Tính: A'H = a 3 a 3 Vậy d(A’;(AB'C')) = 2 2 BÀI 219 (TT GDTX&HN VẠN NINH – KHÁNH HÒA (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB  AC  a , I l| trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  l| trung điểm H của BC , mặt phẳng  SAB  tạo với đ{y 1 góc bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC v| tính khoảng c{ch từ điểm I đến mặt phẳng  SAB  theo a . Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 155 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Gọi K l| trung điểm của AB  HK  AB (1) Vì SH   ABC  nên SH  AB (2) Từ (1) v| (2) suy ra  AB  SK Do đó góc giữa  SAB  với đ{y bằng góc giữa SK v| HK v| bằng SKH  60 a 3 2 1 1 1 a3 3 Vậy VS . ABC  S ABC .SH  . AB. AC.SH  3 3 2 12 Vì IH / / SB nên IH / /  SAB  . Do đó d  I ,  SAB    d  H ,  SAB   Ta có SH  HK tan SKH  Từ H kẻ HM  SK tại M  HM   SAB   d  H ,  SAB    HM a 3 1 1 1 16 .    2  HM  2 2 2 4 HM HK SH 3a a 3 Vậy d  I ,  SAB    4 Ta có BÀI 220 (THPT VIỆT TRÌ – PHÚ THỌ (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC , SA  2a , tam giác ABC c}n tại A , BC  2a 2 , 1 cos(ACB)  . Tính thể tích của khối chóp S.ABC , x{c định t}m v| tính diện tích mặt cầu 3 ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Lời giải. 2 2 ; tan C  2 2 ; CM  a 2 ; AM  CM . tan C  4a 3 1 1 8a 3 2 SABC  AM .BC  4a 2 2  VS . ABC  SA.SABC  2 3 3 12 2 4 2  sinA=sin2C = 2sinC.cosC = 2 3 3 9 BC 9a theo định lý sin trong tam gi{c ABC ta có 2 R   sin A 4 sinC= THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 156 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Gọi I l| t}m đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ABC ta có IA=R .Dựng ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt phẳng trung trực SA cắt trục đường tròn tại J khi đó J chính l| t}m mặt cầu ngoại tiếp SABC Gọi r l| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp SABC khi đó r  JA  JB  JS  JC  IA 2  AN 2  a 97 4 Diện tích mặt cầu cần tính l| S N J A C I M S  4 .r 2  97 .a 2 4 B BÀI 221 (THPT VIỆT TRÌ – PHÚ THỌ (LẦN 1)) Cho lăng trụ đứng ABC. A' B' C' , có đ{y ABC l| tam gi{c vuông tại A, AB  a, AC  a 3 , mặt bên BCC 'B' là hình vuông, M, N lần lượt l| trung điểm của CC ' và B'C' . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A' B' C' v| tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng A' B' và MN . Lời giải. Ta có BC= BB’=2a THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 157 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 . V ABC . A'B 'C '  BB '.S ABC  2a. a.a 3  a 3 3 2 gọi P l| trung điểm của A’C’ mp(CA’B’) //mp(PMN) nên suy ra khoảng c{ch d(A’B’;MN)= d(A’B’;(MNP))= d(A’;(MNP))= d(C’;(MNP))= C’H (H l| hình chiếu vuông góc của C’ lên mp(MNP) Cm được H thuộc cạnh PM {p dụng hệ thức lượng trong tam gi{c vuông MPC’ C' H  C ' M .C ' P C' P  C' M 2 2  a 21 7 BÀI 222 (THPT XUÂN TRƢỜNG – NAM ĐỊNH (LẦN 1)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật. Tam gi{c SAB đều v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đ{y (ABCD). Biết SD  2a 3 v| góc tạo bởi đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 300 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). Lời giải. Gọi H l| trung điểm của AB. Suy ra SH  ( ABCD) và SCH  300 . Ta có: SHC  SHD  SC  SD  2a 3 . Xét tam gi{c SHC vuông tại H ta có: SH  SC.sin SCH  SC.sin 300  a 3 HC  SC.cos SCH  SC.cos 300  3a Vì tam gi{c SAB đều m| SH  a 3 nên AB  2a . Suy ra BC  HC 2  BH 2  2a 2 . Do đó, S ABCD  AB.BC  4a 2 2 . 1 4a 3 6 Vậy, VS . ABCD  S ABCD .SH  . 3 3 Vì BA  2 HA nên d  B,  SAC    2d  H ,  SAC   Gọi I l| hình chiếu của H lên AC v| K l| hình chiếu của H lên SI. Ta có: AC  HI và AC  SH nên AC   SHI   AC  HK . M|, ta lại có: HK  SI . Do đó: HK   SAC  . Vì hai tam gi{c SIA v| SBC đồng dạng nên Suy ra, HK  HS .HI HS 2  HI 2  HI AH AH .BC a 6   HI   . BC AC AC 3 a 66 . 11 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 158 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Vậy , d  B,  SAC    2d  H ,  SAC    2 HK  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 2a 66 . 11 BÀI 223 (THPT YÊN LẠC – VĨNH PHÚC (LẦN 1)) Cho lăng trụ tam gi{c ABC.ABC có tất cả c{c cạnh bằng a , góc tạo bởi cạnh bên v| mặt phẳng đ{y bằng 300 . Hình chiếu H của A lên mặt phẳng ( ABC) thuộc đường thẳng BC . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC v| tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AA và BC theo a . Lời giải. a3 3 a 3 V ; d(AA ; BC)  8 4 BÀI 224 (THPT YÊN MỸ - HƢNG YÊN) Cho hình chóp S .ABCD có đ{y ABCD là hình thoi tâm I v| có cạnh bằng a, góc BAD 600 . Gọi H l| trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) biết a 13 . 4 1. Hãy tính thể tích của khối chóp S .ABCD . SH 2. Gọi M l| trung điểm của SB , N thuộc SC sao cho SC = 3SN . Tính tỉ số thể tích khối chóp S .AMN v| khối chóp S.ABCD. 3. Tính khoảng c{ch từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) . Lời giải. a) Ta có SH  ( ABCD)  SH là đường cao của chóp S.ABCD Theo giả thiết hình thoi ABCD có góc A = 600 suy ra tam giác BAD đều BD  a  S ABCD  2S ABD  1 3 Vậy VS . ABCD  SH .S ABCD  a2 3 2 39 3 a 24 THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 159 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 b) VS .AMN SA SM SN . . SA SB SC VS .ABC VSABC VS .ABCD VS .AMN VS .ABCD CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 1 6 1 2 1 12 BÀI 225 (THPT YÊN PHONG SỐ 2 – BẮC NINH (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABC có đ{y ABC l| tam gi{c đều cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt đ{y. Góc giữa đường thẳng SB v| mặt phẳng (ABC) bằng 60 0. 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 2) Tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AC v| SB theo a. Lời giải. S H A C I B + Nêu được góc SBA  600 Tính SA = a 3 + Thể tích khối S.ABC l| 1 a3 V  dt ( ABC ).SA  (đvtt) 3 4 2) Tính khoảng c{ch giữa hai đường thẳng AC v| SB theo a. + Gọi d l| đt qua B v| song song với AC. I l| hình chiếu vuông góc của A trên d, H l| hình chiếu vuông góc của A trên SI + Chứng minh được AH  (SBI) a 15 + Tính đúng AH = 5 a 15 + Kết luận d(AC, SB) = 5 BÀI 226 (THPT YÊN LẠC – VĨNH PHÚC (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông, cạnh AB  2a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABCD  trùng với trọng t}m G của tam gi{c ABC, góc giữa SA v| mặt phẳng  ABCD  bằng 300 . Tính theo a thể tích khối chop S.ABCD v| cosin của góc giữa đường thẳng AC v| mặt phẳng  SAB  . Lời giải. THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 160 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 VSABCD  CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 5 15a3 11 ; cos  AC;  SAB    27 4 BÀI 227 (THPT YÊN THẾ – VĨNH PHÚC (LẦN 2)) Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình thang c}n (BC//AD). Biết đường cao SH bằng a, với H l| trung điểm của AD, AB  BC  CD  2a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB v| AD theo a. Lời giải. VSABCD  a3 3 a 21 ; d  AD; SB   4 7 BÀI 228 (THPT YÊN THẾ – VĨNH PHÚC (LẦN 3)) Trong không gian cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay khi quay đường gấp khúc BCDA quanh trục l| đường thẳng chứa cạnh AB v| thể tích khối trụ đó. Lời giải. S xq  2 a 2 ;V   a3 3 Lời giải. S I B A 600 H M C Ta có ABC và SBC lần lượt l| c{c tam gi{c đều tại A v| S. Gọi M l| trung điểm của BC, suy ra AM  BC, SM  BC . Suy ra ta có    SBC  ,  ABC      SM , AM   SMA  600 . THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 161 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Tam gi{c SHM vuông tại H, ta có: SH  SM .sin 600  a 3 3 3a . .  2 2 4 1 3a a 2 3 a3 3 (đvtt)  . .  ABC 3 4 4 16 a 3 Xét tam gác SMA ta có: SM  AM  và SMA  600 . Suy ra tam giác SAM là tam giác 2 a 3 a 3 đều. Suy ra SA  (với I l| trung điểm của SA)    2 4 a 13 Xét tam gi{c CIA vuông tại I: CI  CA2  IA2  4 2 1 a 39 SSCA  .CI .SA  2 16 a3 3 3. 3V 3V 3a 13 d  B;  SAC    B.SAC  S . ABC  2 16  . S SAC S SAC 13 a 39 16 1 VS . ABC  .SH .S 3 ĐÂY CHỈ LÀ BẢN GIẢI THÔ – VÌ THỜI GIAN QUÁ NGẮN NGỦI NÊN BỘ TÀI LIỆU CHƢA HOÀN THIỆN CHI TIẾT HƠN – ĐÓN CHỜ GIAI ĐOẠN TIẾP THEO… TOBE CONTINES…… - CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 162
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top