160 câu vận dụng cao tổ hợp – xác suất ôn thi THPT môn Toán

Tư duy mở trắc nghiệm toán lý Sưu tầm và tổng hợp 160 CÂU VD TỔ HỢP XÁC SUẤT Môn: Toán (Đề thi có 16 trang) Thời gian làm bài phút (160 câu trắc nghiệm) Họ và tên thí sinh: ……………………………………………. Mã đề thi 142 Câu 1. Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 6. Lập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số đã cho. Tính tổng của tất cả các số lập được. A 12312. B 21321. C 21312. D 12321. Câu 2. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; . . . ; 100}. Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A, mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Xác suất chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân bằng 3 4 2 1 A B C D . . . . 645 645 645 645 Câu 3. Từ hai chữ số 1 và 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số sao cho không có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau? A 55. B 108. C 54. D 110. Câu 4. Một túi đựng 10 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi đó. Xác suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 bằng 2C33 + C34 + C13 C13 C14 2C13 C13 C14 . . A B C310 C310 1 2C33 + C34 . C . D 3 C310 Câu 5. Có 12 người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố định). Chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng. Tính xác suất để 3 người được chọn không có hai người nào đứng cạnh nhau. 7 21 55 6 . . . . A B C D 110 55 126 11 Câu 6. Một tổ học sinh có 6 nam và 3 nữ được yêu cầu xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp sao cho không có 2 bạn nữ nào đứng cạnh nhau là A 9!. B 25200. C 151200. D 86400. Câu 7. Một xưởng sản xuất thực phẩm gồm 4 kỹ sư chế biến thực phẩm, 3 kỹ thuật viên và 13 công nhân. Để đảm bảo sản xuất thực phẩm chống dịch Covid-19, xưởng cần chia thành 3 ca sản xuất theo thời gian liên tiếp nhau sao cho ca 1 có 6 người và2 ca còn lại mỗi ca có7 người. Tính xác suất sao cho mỗi ca có 1 kĩ thuật viên, ít nhất một kĩ sư chế biến thực phẩm 440 41 441 401 A . B . C . D . 3320 230 3230 3320 Câu 8. Kết quả (b; c) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần (trong đó b là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, c là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai) được thay vào x2 + bx + c phương trình = 0 (∗). Xác suất để phương trình (∗) vô nghiệm là x+1 17 1 19 1 C . D . A . B . 36 6 36 2 Câu 9. Tập S gồm các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Xác suất để số được chọn không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau là 13 11 29 97 A . B . C . D . 80 70 140 560 Câu 10. Trang 1/16 − Mã đề 142 Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất sau cho 3 bước quân vua trở về ô xuất phát. 1 1 3 3 A . B . C . D . 32 16 64 32 Câu 11. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có năm chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng abcde trong đó 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ 9. 11 143 3 138 A B C . D . . . 200 10000 7 1420 Câu 12. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số (không nhất thiết khác nhau) được lập từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Chọn ngẫu nhiên một số abc từ S . Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn a ≤ b ≤ c. 9 13 11 1 . . A . B C D . 1 60 60 6 Câu 13. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có mặt 3 chữ số 2, 3 và 4 là 23 4 1 1 A . B . C . D . 378 9 648 2 Câu 14. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; . . . ; 2018} và các số a, b, c thuộc A. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có dạng abc sao cho a < b < c và a + b + c = 2016. A 2026086. B 2027080. C 337681. D 338184. Câu 15. Đề thi trắc nghiệm môn Toán gồm 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0, 2 điểm. Một học sinh không học bài nên mỗi câu trả lời đều chọn ngẫu nhiên một phương án. Xác suất để học sinh đó được đúng 5 điểm là    25  25 25 3 3 25 25 1 · C50 · 4 4 4 4 A . B . 50 50  425  25  425  25 1 3 3 25 1 C · . D C50 · . 4 4 4 4 Câu 16. Trò chơi quay bánh xe số trong chương trình truyền hình "Hãy chọn giá đúng" của kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có 20 nấc điểm: 5, 10, 15, ..., 100 với vạch chia đều nhau và giả sử rằng khả năng chuyển từ nấc điểm đã có tới các nấc điểm còn lại là như nhau. Trong mỗi lượt chơi có 2 người tham gia, mỗi người được quyền chọn quay 1 hoặc 2 lần, và điểm số của người chơi được tính như sau: + Nếu người chơi chọn quay 1 lần thì điểm của người chơi là điểm quay được. + Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được không lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được. + Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được trừ đi 100. Luật chơi quy định, trong mỗi lượt chơi người nào có điểm số cao hơn sẽ thắng cuộc, hòa nhau sẽ chơi lại lượt khác. An và Bình cùng tham gia một lượt chơi, An chơi trước và có điểm số là 75. Tính xác suất để Bình thắng cuộc ngay ở lượt chơi này. 7 19 1 3 A P = . B P = . C P = . D P = . 16 16 40 4 Câu 17. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy? A 80640. B 108864. C 217728. D 145152. Trang 2/16 − Mã đề 142 Câu 18. Xếp 6 chữ số 1, 2, 3, 1, 2 và 4 theo một hàng ngang. Tính xác suất để xảy ra biến cố: “2 chữ số giống nhau thì không xếp cạnh nhau.” 7 8 11 4 A . B . C . D . 15 15 15 15 Câu 19. Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 6. Lập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số đã cho. Tính tổng của tất cả các số lập được. A 12321. B 21312. C 12312. D 21321. Câu 20. Cho tập hợp S = {m ∈ Z| − 10 ≤ m ≤ 100}. Có bao nhiêu tập hợp con của S có số phần tử lớn hơn 2 và các phần tử đó tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 0? A 34. B 32. C 30. D 36. Câu 21. Cho A là tập các số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập A. Tính xác suất lấy được một số lẻ và chia hết cho 9. 1 1 625 1250 . . . B C D A . 9 18 1710 1710 Câu 22. Trong lễ tổng kết năm học 2017 − 2018, lớp 12T nhận được 20 cuốn sách gồm 5 cuốn sách Toán, 7 cuốn sách Vật lí, 8cuốn sách Hoá học, các sách cùng môn học là giống nhau. Số sách này được chia đều cho 10 học sinh trong lớp, mỗi học sinh chỉ nhận được hai cuốn sách khác môn học. Bình và Bảo là 2 trong số 10 học sinh đó. Tính xác suất để 2 cuốn sách mà Bình nhận được giống 2 cuốn sách của Bảo. 12 1 14 17 . . . A B . C D 45 5 45 90 Câu 23. Cho tập hợp S = {1; 2; 3; 4; . . . ; 17} gồm 17 số. Chọn ngẫu nhiên một tập con có ba phần tử của tập S. Tính xác suất để tập hợp được chọn có tổng các phần tử chia hết cho 3. 9 23 27 9 . . . . A B C D 34 68 34 12 Câu 24. Cho tập hợp A = {1; 2; . . . ; 100}. Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử của A. Xác suất để 3 phần tử được chọn lập thành một cấp số cộng bằng 1 1 1 1 A B C D . . . . 11 132 33 66 Câu 25. Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu. Mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng thì được 1 điểm, trả lời sai thì bị trừ 0,5 điểm. Một thí sịnh do không học bài nên làm bài bằng cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương  án 8trả  lời. 2 Xác suất để thí sinh đó làm bài được  số 8 điểm  2không nhỏ hơn 7 là 1 3 7 1 3 109 A C810 . B . C A810 . D . 4 4 10 4 4 262144 Câu 26. Có 10 học sinh lớp A, 8 học sinh lớp B được xếp ngẫu nhiên vào một bản tròn (hai cách xếp được coi là giống nhau nếu cách xếp này là kết quả của cách xếp kia khi ta thực hiện phép quay bàn ở tâm một góc nào đó). Tính xác suất để không có hai học sinh bất kì nào của lớp B đứng cạnh nhau. 10! 9!A810 10!A811 7! A . B . C . D . 18! 17! 18! 17! Câu 27. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có năm chữ số khác nhau đôi một. Xác suất để số được chọn có ba chữ số chẵn và hai chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau? 8 2 58 85 A . B . C . D . 147 75 567 567 Câu 28. Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lấy ngẫu nhiên một số trong tập hợp X. Gọi A là biến cố lấy được số có đúng hai chữ số 1, có đúng hai chữ số 2, bốn chữ số còn lại đôi một khác nhau, đồng thời các chữ số giống nhau không đứng liền kề nhau. Xác suất của biến cố A bằng 5 151200 176400 201600 A . B . C . D . 8 8 9 9 9 98 Trang 3/16 − Mã đề 142 Câu 29. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Gọi P là tích của ba số ở ba lần tung (mỗi số là số chấm trên mặt xuất hiện ở mỗi lần tung), tính xác suất sao cho P không chia hết cho 6. 60 90 82 83 . . . . A B C D 216 216 216 216 Câu 30. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy? A 217728. B 80640. C 145152. D 108864. 11 Câu 31. Giả sử (1 + x + x2 + x3 + · · · + x10 ) = a0 + a1 x + a2 x2 + A3 x3 + · · · + A110 x110 , với 11 a0 , a1 , · · · , a110 là các hệ số. Giá trị của tổng T = C011 a11 − C111 a10 + C211 a9 + · · · + C10 11 a1 − C11 a0 bằng A T = 1. B T = −11. C T = 0. D T = 11. Câu 32. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt được lấy từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 8, 9. Tính xác suất để chọn được số lớn hơn số 2019 và bé hơn số 9102. 31 119 83 119 A B C D . . . . 45 200 120 180 Câu 33. Số cách chia 10 phần quà cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất 2 phần quà là A 30. B 42. C 21. D 15. Câu 34. Ba cầu thủ sút phạt đền 11m, mỗi người sút một lần với xác suất ghi bàn tương ứng là x, y và 0,6 (với x > y). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là 0,336. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn. A P = 0,4245. B P = 0,452. C P = 0,4525. D P = 0,435. Câu 35. Một phiếu điều tra về vấn đề tự học của học sinh gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có bốn lựa chọn để trả lời. Khi tiến hành điều tra, phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu người được hỏi trả lời đủ 10 câu hỏi, mỗi câu chỉ chọn một phương án. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số đó luôn có ít nhất hai phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu hỏi? A 10001. B 1.048.576. C 2.097.152. D 1.048.577. Câu 36. Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu. Mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng thì được 1 điểm, trả lời sai thì bị trừ 0,5 điểm. Một thí sịnh do không học bài nên làm bài bằng cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương đó làm bài được số điểm không nhỏ hơn 7 là  án 8trả  lời. 2 Xác suất để thí 8sinh   2 1 3 1 3 109 7 8 8 A C10 . B A10 . C . D . 4 4 4 4 262144 10 Câu 37. Gọi A là tập các số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy ngẫu nhiên từ tập A một số . Tính xác suất P lấy được số chia hết cho 6. 13 17 2 11 A P = . B P = . C P = . D P = . 60 45 9 45 Câu 38. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 2C0n + 5C1n + 8C2n + · · · + (3n + 2)Cnn = 1600. A 5. B 10. C 7. D 8. Câu 39. Một nhóm gồm 11 học sinh trong đó có An, Bình, Cường tham gia một trò chơi đòi hỏi 11 bạn phải xếp thành một vòng tròn. Tính xác suất để ba bạn An, Bình, Cường không có bạn nào xếp cạnh nhau. 4 11 7 2 B . C . D . A . 15 15 15 3 Câu 40. Cho một đa giác (H) có 60 đỉnh nội tiếp đường tròn (O). Người ta lập một tứ giác lồi tùy ý có bốn đỉnh là các đỉnh của (H). Xác suất để lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của (H) gần với số nào nhất trong các số sau? Trang 4/16 − Mã đề 142 A 85, 40%. B 40, 35%. C 13, 45%. D 80, 70%. Câu 41. Cho đa giác đều 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là 1 1 1 1 . A P = . B P = . C P = D P = . 55 14 220 4 Câu 42. Cho 16 phiếu ghi các số thứ tự từ 1 đến 16. Lấy lần lượt 8 phiếu không hoàn lại, gọi ai là số ghi trên phiếu thứ i lấy được (1 ≤ i ≤ 8). Tính xác suất P để 8 phiếu lấy được thỏa mãn a1 < a2 < · · · < a8 và không có bất kỳ hai phiếu nào có tổng các số bằng 17. 28 38 38 28 A P= 8 . B P= 8 . C P= 8 . D P= 8 . C16 C16 A16 A16 Câu 43. Có 5 học sinh lớp A, 5 học sinh lớp B được xếp ngẫu nhiên vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế (xếp mỗi học sinh một ghế). Tính xác suất để xếp được 2 học sinh bất kì cạnh nhau và đối diện nhau khác lớp. 5! 25 (5!)2 2(5!)2 (5!)2 A B C D . . . . 10! 10! 10! 10! Câu 44. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có mặt chữ số 0 và 1. 41 25 25 10 A . B . C . D . 81 81 1944 27 Câu 45. Từ một hộp có 4 bút bi màu xanh, 5 bút bi màu đen và 6 bút bi màu đỏ, chọn ngẫu nhiên 5 bút. Xác suất để 5 bút được chọn chỉ có đúng hai màu là 118 272 460 119 . . . . A B C D 429 1001 1001 429 Câu 46. Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn 100◦ ? A 2018 · C3895 . B 2018 · C3897 . C C31009 . D 2018 · C2896 . Câu 47. Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được 5 ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng. 3 7 4 1 A . B . C . D . 4 8 5 2 Câu 48. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Thầy lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn. Tính xác suất để sau khi tặng xong mỗi thể loại văn học, âm nhạc, hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn. 113 1 3 115 A P= . B P= . C P= . D P= . 132 2 4 132 Câu 49. Từ các chữ số thuộc tập hợp S = {1, 2, 3, . . . , 8, 9} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số khác nhau sao cho chữ số 1 đứng trước chữ số 2, chữ số 3 đứng trước chữ số 4 và chữ số 5 đứng trước chữ số 6? A 22680. B 45360. C 72576. D 36288. Câu 50. Lớp 10 X có 25 học sinh, chia lớp 10 X thành hai nhóm A và B sao cho mỗi nhóm đều có học sinh nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên hai học sinh từ hai nhóm, mỗi nhóm một học sinh. Tính xác suất để chọn được hai học sinh nữ. Biết rằng, trong nhóm A có đúng 9 học sinh nam và xác suất chọn được hai học sinh nam bằng 0,54. A 0,42. B 0,46. C 0,04. D 0,23. Câu 51. Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn đúng ngẫu nhiên 8 tấm thẻ, tính xác suất để chọn được 5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn trong đó có đúng 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 3. Kết quả đúng là Trang 5/16 − Mã đề 142 308 126 308 84 B C D . . . . 1105 20995 969 1105 Câu 52. Xếp 10 quyển sách tham khảo khác nhau gồm: 1 quyển sách Văn, 3 quyển sách tiếng Anh và 6 quyển sách Toán (trong đó có hai quyển Toán T1 và Toán T2) thành một hàng ngang trên giá sách. Tính xác suất để mỗi quyển sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai quyển sách Toán, đồng thời hai quyển Toán T1 và toán T2 luôn được xếp cạnh nhau. 1 1 1 1 A B C D . . . . 450 210 300 600 Câu 53. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A, tính xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 45. 5 1 53 2 A . B . C . D . 162 36 2268 81 Câu 54. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm 2011 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9? A 102010 − 16153 · 92008 . B 102010 − 16151 · 92008 . C 102010 − 16161 · 92008 . D 102010 − 16148 · 92008 . A Câu 55. Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M . Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng thời thỏa mãn a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 . 37 74 37 35 A . B . C . D . 3402 34020 34020 34020 Câu 56. Trong một hình tứ diện ta tô màu các đỉnh, trung điểm các cạnh, trọng tâm các mặt và trọng tâm tứ diện. Chọn ngẫu nhiên 4 điểm trong các điểm đã tô màu, tính xác suất để 4 điểm được chọn là 4 đỉnh của tứ diện. 245 136 188 1009 A B C D . . . . 273 195 273 1365 Câu 57. Một túi đựng 10 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi đó. Xác suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 bằng 1 2C33 + C34 A . B . 3 C310 2C13 C13 C14 2C33 + C34 + C13 C13 C14 C D . . C310 C310 Câu 58. Gọi S là tập các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ A = {0; 1; 2; . . . ; 9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 7875. 18 4 1 1 A 10 . B . C . D . 4 5 3 · 10 15000 5000 Câu 59. Biết rằng khi khai triển nhị thức Niutơn  n  2  3 √ √ n √ n−1 1 √ n−2 √ n−3 1 1 1 x+ √ = a0 · x + a1 · x ·√ + a2 · x · √ + a3 · x · √ + ··· 4 4 4 24x x x x (với n là số nguyên lớn hơn 1) thì ba số a0 , a1 , a2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Hỏi trong khai triển trên, có bao nhiêu số hạng mà lũy thừa của x là một số nguyên. A 2. B 4. C 1. D 3. Câu 60. Trong trận đấu bóng đá giữa hai đội U23 Việt Nam và U23 Iraq, trọng tài cho đội Iraq được hưởng một quả đá phạt 11m. Cầu thủ sút phạt ngẫu nhiên vào một trong bốn vị trí 1, 2, 3, 4 và thủ môn bay người cản phá ngẫu nhiên đến một trong bốn vị trí đó với xác suất như nhau (thủ môn và cầu thủ sút phạt đều không đoán được ý định của đối phương). Biết nếu cầu thủ sút và thủ môn bay cùng vào vị trí 1 hoặc 2 thì thủ môn cản phá được cú sút đó, nếu cùng vào vị trí 3 hoặc 4 thì xác suất cản phá thành công là 50%. Tính xác suất để cú sút đó không vào lưới. Trang 6/16 − Mã đề 142 4 3 1 2 1 3 1 5 . . . B C . D 8 16 4 16 Câu 61. Cho một đa giác lồi (H) có 30 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đó. Gọi P là xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của (H). Hỏi P gần với số nào nhất trong các số sau? A 0.6294. B 0.4176. C 0.5287. D 0.6792. A Câu 62. Cho khai triển P (x) = (1 + x) (1 + 2x) (1 + 3x) . . . (1 + 2017x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + 1 a2017 x2017 . Tính T = a2 + (12 + 22 + · · · + 20172 ). 2   2 2  2  2 2017 · 2018 2016 · 2017 1 2017 · 2018 1 2016 · 2017 . . . D . A B C 2 2 2 2 2 2 Câu 63. Đội dự tuyển học sinh giỏi Toán của tỉnh A có n học sinh (n ∈ N, n > 4) trong đó có 2 học sinh nữ, tham gia kì thi để chọn đội tuyển chính thức gồm 4 người. Biết xác suất trong đội tuyển chính thức có cả hai học sinh nữ gấp 2 lần xác suất trong đội tuyển chính thức không có học sinh nữ nào. Tìm n. A n = 11. B n = 7. C n = 5. D n = 9. Câu 64. Chọn ngẫu nhiên hai số thực a, b ∈ [0; 1]. Tính xác suất để phương trình 2×3 −3ax2 +b = 0 có tối đa hai nghiệm. 1 2 1 3 A P= . B P= . C P= . D P= . 2 3 4 4 Câu 65. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác nhau chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần? A 84600. B 151200. C 786240. D 907200. Câu 66. Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018, mỗi phòng thi gồm 24 thí sinh xếp vào 24 chiếc bàn khác nhau. Bạn An là một thí sinh dự thi 4 môn (Toán, Văn, Ngoại Ngữ, Khoa học tự nhiên), cả 4 lần thi đều thi tại 1 phòng thi duy nhất. Giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để trong 4 lần thi An có đúng 2 lần ngồi vào cùng 1 vị trí. 23 253 899 253 . . . . A B C D 2304 6912 1152 1152 Câu 67. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần? A 846000. B 786240. C 151200. D 907200. Câu 68. Từ các chữ số {0,1,2,3,4,5,6} viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Xác suất p để viết được số thỏa mãn điều kiện a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 là 4 4 3 5 A p= . B p= . C p= . D p= . 135 85 20 158 Câu 69. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần? A 907200. B 151200. C 786240. D 846000. Câu 70. Từ các chữ số 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt và chia hết cho 3? A 360. B 2520. C 480. D 720. Trang 7/16 − Mã đề 142 Câu 71. Cho đa giác đều 20 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn tạo thành một hình chữ nhật nhưng không phải là hình vuông. 8 12 3 1 A . B . C . D . 969 1615 323 57 Câu 72. Trong một trò chơi tập thể, lớp trưởng cần chia học sinh vào nhóm 1,2,3,4. Để tạo sự thú vị mà không phải bốc thăm, bạn ấy nghĩ ra một cách là cho mỗi người trả lời 3 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 3 đáp án A, B, C. Khi thống kê kết quả trả lời, ai chọn đáp án A hoặc B hoặc C nhiều nhất thì theo thứ tự sẽ được xếp vào nhóm 1,2,3; còn ai chọn đủ cả 3 đáp án thì vào nhóm 4. Biết rằng xác suất chọn câu trả lời của mỗi người cho mỗi câu hỏi là như nhau. Hỏi khẳng định nào sao đây là sai? A Xác suất vào các nhóm 1,2,3 là bằng nhau. B Mỗi thành viên đều sẽ được chia vào một trong bốn nhóm với luật như trên. C Nếu gọi a là xác suất vào nhóm 1 thì 1 − 3a là xác suất vào nhóm 4. D Xác suất vào nhóm 4 là cao nhất. Câu 73. Giải bóng chuyền VTV cup gồm 9 đội bóng trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C và mỗi bảng có 3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt nam ở 3 bảng khác nhau. 3 9 19 53 A . B . C . D . 56 28 28 56 Câu 74. Cho đa giác đều (P ) có 20 đỉnh. Lấy tùy ý 3 đỉnh của (P ), tính xác suất để 3 đỉnh lấy được tạo thành tam giác vuông không có cạnh nào là cạnh của (P ). 7 7 3 5 A . B . C . D . 114 57 38 114 Câu 75. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; . . . ; 100}. Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A, mỗi tập con này gồm có 3 phần tử của A và có tổng bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Xác suất chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân bằng 2 1 3 4 A . B . C . D . 1395 930 645 645 Câu 76. Một con súc sắc không cân đối, có đặc điểm mặt sáu chấm xuất hiện nhiều gấp hai lần các mặt còn lại. Gieo con súc sắc đó hai lần. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện trong hai lần gieo lớn hơn hoặc bằng 11 bằng bao nhiêu? 3 1 8 4 A B C D . . . . 49 12 49 9 Câu 77. Cho tập X = {6, 7, 8, 9}. Gọi E là tập các số tự nhiên khác nhau có 2018 chữ số lập từ các số của tập X. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập E. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 3.         1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 + 2018 . B 1 + 2017 . C 1 + 4035 . D 1 + 4036 . 3 2 3 2 3 2 3 2 Câu 78. Có 60 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 50. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3. 9 11 409 1 A . B . C . D . 89 171 1225 12 Câu 79. Cho đa giác lồi có 10 cạnh, trong đó không có 3 đường chéo nào đồng quy tại một điểm khác đỉnh của đa giác (3 đường chéo nếu đồng quy chỉ có thể đồng quy tại đỉnh của đa giác). Số giao điểm của các đường chéo của đa giác là A 439. B 220. C 216. D 435. Câu 80. Xếp 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ ngồi vào một bàn tròn 10 ghế. Tính xác suất để không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau. 5 1 1 5 A . B . C . D . 42 84 64 48 Trang 8/16 − Mã đề 142 Câu 81. Mỗi bạn An và Bình chọn ngẫu nhiên ba số trong tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Xác suất để trong hai bộ số của An và Bình chọn ra có nhiều nhất một số giống nhau bằng 35 21 17 65 A . B . C . D . 48 40 24 84 Câu 82. Cho khai triển T = (1 + x − x2017 )2018 + (1 − x + x2018 )2017 . Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển bằng A 0. B 4035. C 2017. D 1. Câu 83. Có hai hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang một màu đen hoặc trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng 1 viên bi. Biết tổng số bi trong hai hộp là 20 và xác suất lấy được 2 viên bi đen là 55 . Tính xác suất để lấy được 2 viên bi trắng? 84 3 1 23 13 A . B . C . D . 28 28 84 84 Câu 84. Có 5 học sinh không quen biết nhau cùng đến một cửa hàng kem có 6 quầy phục vụ. Xác suất để có 3 học sinh vào cùng một quầy và 2 học sinh còn lại vào cùng một quầy khác là C3 · C1 · 5! C3 · C1 · 5! C3 · C1 · C1 C3 · C1 · C1 A 5 66 . B 5 56 . C 5 56 5 . D 5 66 5 . 5 6 6 5 Câu 85. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số thỏa mãn số đó có 3 chữ số chẵn và số đứng sau lớn hơn số đứng trước. A 2880. B 140. C 50. D 7200. Câu 86. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập được số các số tự nhiên có 7 chữ số trong đó chữ số 3 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số còn lại có mặt đúng một lần là A 2160. B 840. C 360. D 720. Câu 87. Mồng 3 Mậu Tuất vừa rồi ông Đại Gia đến chúc tết và lì xì cho 3 anh em trai tôi. Trong ví của ông Đại Gia chỉ có 4 tờ mệnh giá 200000 đồng và 5 tờ mệnh giá 100000 đồng được sắp xếp một cách lộn xộn trong ví. Ông gọi 3 anh em tôi đứng xếp hàng có thứ tự, anh Cả đứng trước lì xì trước, anh Hai đứng sau lì xì sau và tôi thằng Út đứng sau cùng nên lì xì sau cùng. Hỏi xác suất p bằng bao nhiêu để tôi nhận tiền lì xì có mệnh giá lớn nhất, biết rằng ông Đại Gia lì xì bằng cách rút ngẫu nhiên cho anh em tôi mỗi người chỉ một tờ giấy tiền trong túi của ông? 1 4 1 25 . . A . B . C D 9 9 21 63 Câu 88. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn trong đó có mặt 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ là 1 250 1 230 B . C . D . A . 2 567 3 567 2 2 Câu 89. Tính tổng S = (C0n ) + (C1n ) + · · · + (Cnn )2 A S = n · Cn2n . B S = n · (Cn2n )2 . C S = (Cn2n )2 . D S = Cn2n . Câu 90. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Rút ngẫu nhiên một số thuộc tập S. Tính xác suất để rút được số mà trong số đó chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước. 3 2 3 11 A B . C D . . . 32 7 16 64 Câu 91. Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển (1 − 2x + 2015×2016 − 2016×2017 + 2017×2018 )60 . A −C360 . B −8 · C360 . C 8 · C360 . D C360 . Câu 92. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . Tại đỉnh A có một con sâu, mỗi lần di chuyển, nó bò theo cạnh của hình hộp chữ nhật và đi đến đỉnh kề với đỉnh nó đang đứng. Tính xác suất sao cho sau 9 lần di chuyển, nó đứng tại đỉnh C 0 . 1640 1862 453 435 A . B . C . D . 2187 2187 6561 6561 Trang 9/16 − Mã đề 142 Câu 93. Cho đa giác đều 100 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác tù. 16 4 8 3 A . B . C . D . 33 11 11 11 Câu 94. Một khối lập phương có độ dài cạnh là 2 cm được chia thành 8 khối lập phương cạnh 1 cm. Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các đỉnh của các khối lập phương cạnh 1 cm? A 2876. B 2898. C 2012. D 2915. Câu 95. Một hộp đựng 26 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 26. Bạn Hải rút ngẫu nghiên cùng một lúc ba tấm thẻ. Hỏi có bao nhiêu cách rút sao cho bất kỳ hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị? A 1350. B 1768. C 1771. D 2024. Câu 96. Khai triển đa thức P (x) = (2x − 1)1000 ta được biểu thức sau P (x) = A1000 x1000 + A999 x999 + · · · + A1 x + A0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A A1000 + A999 + · · · + A1 = 2n . C A1000 + A999 + · · · + A1 = 2n − 1. B A1000 + A999 + · · · + A1 = 1. D A1000 + A999 + · · · + A1 = 0. Câu 97. Một xạ thủ bắn vào một tấm bia biết xác suất bắn trúng vòng tròn 10 là 0,2 ; vòng 9 là 0,25 và vòng 8 là 0,15. Nếu trúng vòng k thì được k điểm. Giả sử xạ thủ đó bắn ba phát súng một cách độc lập. Xạ thủ đạt loại Giỏi nếu anh ta đạt ít nhất 28 điểm. Tính xác suất để xạ thủ này đạt loại Giỏi. A 0,0935. B 0,0365. C 0,0855. D 0,0755. Câu 98. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số và chia hết cho 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau. 369 198 396 512 A B C D . . . . 6250 3125 625 3125 Câu 99. Có 8 bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là 47 49 51 3 . . . A . B C D 256 256 256 16 Câu 100. Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng bao nhiêu? 3 2 7 4 A . B . C . D . 323 969 216 9 Câu 101. Có 6 xe xếp cạnh nhau thành hàng ngang gồm: 1 xe màu xanh, 2 xe màu vàng và 3 xe màu đỏ. Tính xác suất để hai xe cùng màu không xếp cạnh nhau. 1 19 1 1 A . B . C . D . 7 120 6 5 Câu 102. Cho đa giác đều 32 cạnh. Gọi S là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Xác suất để chọn được một hình chữ nhật là 1 1 3 1 A . B . C . D . 261 385 899 341 Câu 103. Cho khai triển (1 + x + x2 + · · · + x14 )15 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a210 x210 . Tính giá trị của S = C015 a0 − C115 a1 + C215 a2 − · · · − C15 15 a15 . 15 A S = 0. B S=2 . C S = 15. D S = 1. Trang 10/16 − Mã đề 142 Câu 104. Bé Minh có một bảng chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ. Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bé minh có tất cả bao nhiêu cách tô màu bảng? A 576. B 4374. C 139968. D 15552. Câu 105. Có 10 quyển sách toán giống nhau, 11 quyển sách lý giống nhau và 9 quyển sách hóa giống nhau. Nhà trường định thưởng sách cho 15 học sinh đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi thử của trường, mỗi học sinh được thưởng 2 cuốn sách khác loại. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách? 6 7 2 3 C94 . C93 . A C15 B C15 C C30 . D C15 C94 . Câu 106. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị? A 32. B 72. C 24. D 36. Câu 107. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy? A 108864. B 80640. C 217728. D 145152. Câu 108. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ các chữ số 1, 2, 3,…,9. Tính tổng các số của X. A 8 399 160. B 4 199 580. C 16 798 320. D 33 596 640. Câu 109. Đề kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu bằng cách lựa chọn ngẫu nhiên đáp án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên. 463 436 436 463 . A 10 . B . C 10 . D 4 4 10 4 104 Câu 110. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số (không nhất thiết khác nhau) được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số abc từ S. Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn a ≤ b ≤ c. 13 9 1 11 B . C . D . A . 60 11 6 60 Câu 111. Gọi S là tập các số có 7 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số chọn được có các chữ số 3, 4, 5 đứng liền nhau và các chữ số 6, 9 đứng liền nhau. 1 1 1 3 A . B . C . D . 135 630 210 700 Câu 112. Từ các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Tính xác suất để viết được số thỏa mãn điều kiện a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 . 4 3 4 5 A P = . B P = . C P = . D P = . 135 20 85 158 Câu 113. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng abcd, trong đó 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 9. A 0,079. B 0,014. C 0,055. D 0,0495. Trang 11/16 − Mã đề 142 Câu 114. Cho đa giác đều 60 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong 60 đỉnh của đa giác là A 48720. B 16420. C 34220. D 24360. Câu 115. Trước kì thi học kì hai lớp 11 tại trường FIVE, giáo viên Toán lớp FIVE A giao cho học sinh đề cương ôn tập gồm có 2n bài toán, n là số nguyên dương lớn hơn 1. Đề thi học kì của lớp FIVE A sẽ gồm 3 bài toán được chọn ngẫu nhiên trong số 2n bài toán đó. Một học sinh muốn không phải thi lại, sẽ phải làm được ít nhất 2 trong số 3 bài toán đó. Học sinh TWO chỉ giải chính xác được đúng 1 nửa số bài trong đề cương trước khi đi thi, nửa còn lại học sinh đó không thể giải được. Tính xác suất để TWO không phải thi lại. 2 3 1 1 A . B . C . D . 3 4 3 2 Câu 116. Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số sao cho trong mỗi số đó có đúng ba chữ số 1, các chữ số còn lại đôi một khác nhau và hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau? A 2530. B 1376. C 2612. D 2400. Câu 117. Có 3 quyển sách Văn học khác nhau, 4 quyển sách Toán học khác nhau và 7 quyển sách Tiếng Anh khác nhau được xếp lên một kệ ngang. Tính xác suất để hai cuốn sách cùng môn không ở cạnh nhau 19 19 5 19 . . . . A B C D 1202 1012 8008 12012 Câu 118. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 106 được thành lập từ hai chữ số 0 và 1. Lấy ngẫu nhiên hai số trong S. Xác suất để lấy được ít nhất một số chia hết cho 3 bằng 4473 2279 53 55 A . B . C . D . 8128 4064 96 96 Câu 119. Từ các số 0, 1, 2, 3, 5, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3. A 36 số. B 144 số. C 108 số. D 228 số. Câu 120. Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 và có 3 chữ số phân biệt? A 180. B 150. C 45. D 99. Câu 121. Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, gọi S là tập hợp các số có 8 chữ số đôi một khác nhau lập từ tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S, xác suất để số được chọn có tổng 4 chữa số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối bằng 1 3 12 4 A . B . C . D . 10 35 245 35 Câu 122. Cho tập hợp A = {1; 2; …; 20}. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 5 số từ tập A sao cho không có hai số nào là hai số tự nhiên liên tiếp? A C515 . B C516 . C C517 . D C518 . Câu 123. Xét một bảng ô vuông 4 × 4 ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số 1 hoặc −1 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách. A 144. B 72. C 90. D 80. Câu 124. Trong các số nguyên từ 100 đến 999, số các số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần (kể từ trái qua phải) bằng A 168. B 120. C 204. D 240. Câu 125. Có 50 học sinh là cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp là anh em sinh đôi (không có anh chị em sinh ba trở lên). Cần chọn ra 5 học sinh trong 50 học sinh trên. Có bao nhiêu cách chọn mà trong nhóm 5 em chọn ra không có cặp anh em sinh đôi nào? A 2049300. B 2049852. C 850668. D 2049576. Trang 12/16 − Mã đề 142 Câu 126. Khai triển P (x) = (1 + 3x)n thành đa thức P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn , (n ∈ N∗ ). Gọi M là số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 , . . . , an . Tính a0 + a1 + a2 + · · · + an − M biết a0 + a1 + a2 + · · · + an = 65536. A 59866. B 58975. C 45124. D 48040 . Câu 127. Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Xác suất để chọn được số tự nhiên có dạng a1 a2 a3 a4 a5 mà a1 ≤ a2 + 1 ≤ a3 − 3 < a4 ≤ a5 + 2 bằng 1001 7 77 1001 . . . . A B C D 45000 5000 1500 30000 Câu 128. Một hộp đựng 26 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 26. Bạn Hải rút ngẫu nhiên cùng một lúc ba tấm thẻ. Hỏi có bao nhiêu cách rút sao cho bất kỳ hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị? A 1350. B 2024. C 1768. D 1771. Câu 129. Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A, B, C. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 9 người đó ngồi trên một hàng ngang có 9 chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh. A 43200. B 90. C 4320. D 720. Câu 130. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có mặt chữ số 0 và 1 là 25 41 10 25 A . B . C . D . 1944 81 27 81 Câu 131. Cho số thựcx > 0.  Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức n 2018Ck−1 1 n+1 k Newton của biểu thức 2x + biết rằng Cnk−2 + 2Ck−1 + C = với k, n là các số n n x k nguyên dương thỏa mãn 2 6 k 6 n. 1008 1009 1007 A C1008 B C1008 C C1007 D C1008 . . . 2016 · 2 2016 · 2 2014 · 2 2016 . Câu 132. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng 1 365 13 14 A . B . C . D . 2 729 27 27 Câu 133. Cho đa giác đều P gồm 16 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh là đỉnh của P . Tính xác suất để tam giác chọn được là tam giác vuông. 6 3 2 1 A . B . C . D . 7 14 3 5 Câu 134. Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O (n ∈ N, n ≥ 2). Gọi S là tập hợp các tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc 3 tập S, biết rằng xác suất chọn một tam giác vuông trong tập S là . Tìm n? 29 A 12. B 15. C 10. D 20. 1 2 2017 2017 2 2018 2018 2 2 2 1 2 Câu 135. Tính tổng S = (C2018 ) + (C2018 ) +…+ (C2018 ) + (C2018 ) 2018 2017 2 1 1 1 2018 2018 2018 1009 2018 2018 A S= C4036 . B S= C4036 . C S= C4036 . D S= C . 2018 2018 2019 2019 2018 Câu 136. Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (n > 4, n ∈ N), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có 4 điểm nào ngoài 4 điểm trong n điểm này đồng phẳng. Tìm n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 201 mặt phẳng phân biệt. A 12. B 6. C 5. D 8. Câu 137. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho Trang 13/16 − Mã đề 142 6. 4 5 1 1 . B . C . D . 9 6 6 3 Câu 138. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là số lẻ bằng 16 40 41 41 A B C D . . . . 648 81 81 81 Câu 139. Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi X là tập các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của của đai giác trên. Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều. 7 14 21 3 . . . . A B C D 816 136 136 17 Câu 140. y Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình chữ nhật ABCD với các điểm A(−2; 0), B(−2; 2), C(4; 2), D(4; 0) (hình vẽ). Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình B C E chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M (x; y) O A D x 1 I mà x + y < 2. 1 3 8 4 A . B . C D . . 3 7 21 7 A Câu 141. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập các số có 5 chữ số khác nhau. Số các số mà tổng các chữ số của nó là số lẻ là A 15120. B 7920. C 66. D 120. Câu 142. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C12n+1 + C32n+1 + · · · + C2n+1 2n+1 = 1024. A n = 10. B n = 11. C n = 5. D n = 9. Câu 143. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; . . . ; 100}. Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A, mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Xác suất chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân bằng 4 2 1 3 A . B . C . D . 645 1395 930 645 Câu 144. Trong một lớp có n hoc sinh gồm 3 bạn Chuyên, Hà, Tĩnh cùng n − 3 học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào dãy ghế được đánh số từ 1 đến n, mỗi học sinh ngồi một ghế thì xác suất để số ghế của Hà bằng trung bình cộng số ghế của Chuyên và số ghế của Tĩnh là 13 . Khi đó n thỏa mãn 675 A n ∈ [25; 29]. B n ∈ [40; 45]. C n ∈ [30; 34]. D n ∈ [35; 39]. Câu 145. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác cân? A 81. B 165. C 45. D 216. Câu 146. Có 60 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 50. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3. 11 9 409 1 A . B . C . D . 171 89 1225 12 Câu 147. Cho tập hợp A = {1; 2; . . . ; 20}. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 5 số từ tập hợp A sao cho không có hai số nào là hai số tự nhiên liên tiếp? A C517 . B C516 . C C518 . D C515 . Trang 14/16 − Mã đề 142 Câu 148. Chia ngẫu nhiên 9 viên bi gồm 4 viên màu đỏ và 5 viên màu xanh có cùng kích thước thành ba phần, mỗi phần 3 viên. Xác xuất để không có phần nào gồm 3 viên cùng màu bằng 3 2 5 9 A . B . C . D . 7 7 14 14 10  1 2 + x thành đa thức a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a9 x9 + a10 x10 , Câu 149. Trong khai triển của 3 3 hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10). 26 29 28 25 A a6 = 210 10 . B a9 = 10 10 . C a8 = 45 10 . D a5 = 252 10 . 3 3 3 3 6 7 2 10 Câu 150. Tìm hệ số của x trong khai triển x(1 − 2x) + x (1 + 3x) . A 16338. B 17682. C −672. D 153538. Câu 151. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lấy ngẫu nhiên một số từ S . Tính xác suất sao cho số lấy được chia hết cho 15. 1 9 8 1 A . B . C . D . 6 112 9 27 Câu 152. Chọn ngẫu nhiên ba số a, b, c trong tập hợp S = {1; 2; 3; · · · ; 20}. Biết xác suất để ba m số tìm được thoả mãn a2 + b2 + c2 chia hết cho 3 bằng , với m, n là các số nguyên dương và n m tối giản. Biểu thức S = m + n bằng phân số n A 58. B 239. C 85. D 127. Câu 153. Cho A là tập các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy một số bất kì của tập hợp A. Tính xác suất để lấy được số lẻ và chia hết cho 9. 625 1 1250 1 A . B . C . D . 1701 18 1701 9 Câu 154. Một túi đựng 10 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi đó. Xác suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 bằng 2C13 C13 C14 2C33 + C34 + C13 C13 C14 . . A B C310 C310 2C33 + C34 1 C D . . 3 C10 3 Câu 155. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số phân biệt được lập từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lấy một số ngẫu nhiên thuộc S. Tính xác suất để lấy được số chẵn và trong mỗi số đó có tổng hai chữ số hàng chục và hàng trăm bằng 5. 1 11 4 16 A . B . C . D . 10 70 45 105 Câu 156. Trên mặt phẳng Oxy ta xét một hình chữ nhật ABCD với các điểm A(−2; 0), B(−2; 2), C(4; 2), D(4; 0). Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh của hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M (x; y) mà x + y < 2. 1 4 3 8 A . B . C . D . 3 7 7 21 Câu 157. Trong kỳ tuyển sinh năm 2017 trường THPT A có 5 học sinh bao gồm 3 nữ, 2 nam cùng đỗ vào khoa B của một trường đại học. Số sinh viên đỗ vào khoa B được chia ngẫu nhiên vào 4 lớp. Tính xác suất để có một lớp có đúng 2 nữ và 1 nam của trương THPT A 3 3 27 27 A . B . C . D . 5 512 512 128 Câu 158. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9. Tính tổng tất cả các số thuộc tập S. A 46666200. B 9333420. C 46666240. D 9333240. Trang 15/16 − Mã đề 142 Câu 159. Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là A 3003. B 2163. C 2170. D 3843. Câu 160. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn chia hết cho 3 bằng 5 16 1 20 A . B . C . D . 9 81 2 81 HẾT Trang 16/16 − Mã đề 142 ĐÁP ÁN MÃ ĐỀ 142 1 C 18 A 35 D 52 B 69 B 86 D 103 C 120 B 137 C 154 B 2 B 19 B 36 C 53 C 70 D 87 B 104 D 121 D 138 D 155 C 3 A 20 A 37 A 54 C 71 A 88 D 105 A 122 B 139 C 156 C 4 A 21 B 38 C 55 C 72 D 89 D 106 B 123 C 140 B 157 D 5 D 22 C 39 C 56 C 73 B 90 C 107 D 124 C 141 B 158 D 6 C 23 B 40 D 57 D 74 B 91 B 108 C 125 B 142 C 7 C 24 D 41 A 58 D 75 D 92 C 109 C 126 C 143 A 8 D 25 D 42 C 59 D 76 C 93 C 110 D 127 A 144 A 9 D 26 B 43 C 60 B 77 C 94 A 111 C 128 B 145 C 10 C 27 D 44 B 61 A 78 C 95 D 112 A 129 A 146 C 11 B 28 D 45 A 62 C 79 B 96 D 113 C 130 D 147 B 12 C 29 D 46 D 63 B 80 A 97 A 114 D 131 A 148 D 13 A 30 C 47 B 64 D 81 D 98 C 115 D 132 C 149 A 14 C 31 B 48 D 65 B 82 D 99 A 116 D 133 A 150 A 15 D 32 A 49 B 66 D 83 B 100 A 117 D 134 B 151 D 16 B 33 D 50 C 67 C 84 C 101 C 118 D 135 C 152 D 17 D 34 B 51 D 68 A 85 B 102 C 119 C 136 B 153 B 159 C 160 D Trang 1/1 − Đáp án mã đề 142 Tư duy mở trắc nghiệm toán lý Sưu tầm và tổng hợp 160 CÂU VD TỔ HỢP XÁC SUẤT Môn: Toán (Đề thi có 61 trang) Thời gian làm bài phút (160 câu trắc nghiệm) Họ và tên thí sinh: .................................................... Mã đề thi 142 Câu 1. Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 6. Lập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số đã cho. Tính tổng của tất cả các số lập được. A. 12312. B. 21321. C. 21312. D. 12321. Lời giải. Xét tập X = {1, 2, 3, 4, 6}. Số các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập X là 5 × 4 × 3 = 60. Do vai trò các chữ số là như nhau, nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số trong tập X tại mỗi hàng 60 = 12. trăm, hàng chục, hàng đơn vị là 5 Tống các số lập được S = (1 + 2 + 3 + 4 + 6) × 12 × 111 = 21312. Chọn đáp án C  Câu 2. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; . . . ; 100}. Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A, mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Xác suất chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân bằng 4 2 1 3 . B. . C. . D. . A. 645 645 645 645 Lời giải. Trước tiên, ta đếm số phần tử của S. Mỗi tập con thuộc S sẽ có dạng {a, b, c}, 0 < a < b < c < 100, a + b + c = 91. Khi đó ta có 91 ≥ a + (a + 1) + (a + 2) nên a ≤ 29.   90 − a và Với mỗi 1 ≤ a ≤ 29, ta có b + c = 91 − a, mà c ≥ b + 1 nên 2b ≤ 90 − a ⇒ b ≤ 2   90 − a − a cách chọn b. b ≥ a + 1 nên có 2   29  X 90 − a Suy ra số tập con của A thuộc S là − a = 645. 2 a=1 Hay số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 645. Tiếp theo, ta sẽ đếm số cấp số nhân trong S. Vì các số hạng của cấp số nhân là số nguyên dương m nên công bội sẽ là số hữu tỷ dương, giả sử số bé nhất của cấp số nhân là a và công bội là , với n a, m, n ∈ Z+ , a  ≤ 30; m > n, ƯCLN(m, n) = 1.  m m2 Khi đó ta có a 1 + + 2 = 91 ⇔ a (m2 + mn + n2 ) = 91n2 . n n . Vì ƯCLN(m, n) = 1 nên ƯCLN (m2 + mn + n2 , n2 ) = 1 nên suy ra a .. n2 . Mà a ≤ 30 nên n2 ≤ 30 ⇒ n ≤ 5. • Với n = 1, ta có a (m2 + m + 1) = 91. Phương trình này có các nghiệm nguyên dương (a; m) ∈ {(1; 9), (7; 3), (13; 2)}, nên có các cấp số nhân (1; 9; 81), (7; 21; 63), (13; 26; 52). • Với n = 2, ta có a (m2 + 2m + 4) = 364, không có nghiệm nguyên dương. • Với n = 3, ta có a (m2 + 3m + 9) = 819, không có nghiệm nguyên dương. • Với n = 4, ta có a (m2 + 4m + 16) = 1456, không có nghiệm nguyên dương. • Với n = 5, ta có a (m2 + 5m + 25) = 2275. Phương trình này có nghiệm nguyên dương (a; m) = (25; 6), ta nhận được cấp số nhân (25; 30; 36). Trang 1/61 − Mã đề 142 Vậy có 4 cấp số nhân trong S. Gọi A là biến cố “chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân” thì n(A) = 4. 4 n(A) = . Suy ra: P(A) = n(Ω) 645 Chọn đáp án B  Câu 3. Từ hai chữ số 1 và 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số sao cho không có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau? A. 55. B. 108. C. 54. D. 110. Lời giải. • Trường hợp 1. Có 8 chữ số 8. Trường hợp này có 1 số. • Trường hợp 2. Có 1 chữ số 1, 7 chữ số 8. Có 8 cách xếp chữ số 1 nên có 8 số. • Trường hợp 3. Có 2 chữ số 1, 6 chữ số 8. Xếp 6 số 8 ta có 1 cách. Từ 6 số 8 ta có có 7 chỗ trống để xếp 2 số 1. Cho nên ta có C27 = 21 số. • Trường hợp 4. Có 3 chữ số 1, 5 chữ số 8. Tương tự trường hợp 3, từ 5 chữ số 8 ta có 6 chỗ trống để xếp 3 chữ số 1. Cho nên ta có C36 = 20 số. • Trường hợp 5. Có 4 chữ số 1, 4 chữ số 8. Từ 4 chữ số 8 ta có 5 chỗ trống để xếp 4 chữ số 1. Cho nên ta có C45 = 5. Vậy có 1 + 8 + 21 + 20 + 5 = 55 số. Chọn đáp án A  Câu 4. Một túi đựng 10 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi đó. Xác suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 bằng 2C33 + C34 + C13 C13 C14 2C13 C13 C14 A. . B. . C310 C310 1 2C33 + C34 D. . C. . 3 C310 Lời giải. Số cách rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi có 10 thẻ là: C310 cách. Trong các số từ 1 đến 10 có ba số chia hết cho 3, bốn số chia cho 3 dư 1, ba số chia cho 3 dư 2. Để tổng các số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 thì ba thẻ đó phải có số được ghi thỏa mãn: • Ba số đều chia hết cho 3. • Ba số đều chia cho 3 dư 1. • Ba số đều chia cho 3 dư 2. • Một số chia hết cho 3, một số chia cho 3 dư 1, một số chia cho 3 dư 2. Do đó số cách rút để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 là C33 + C34 + C33 + C13 C14 C13 cách. 2C33 + C34 + C13 C13 C14 Vậy xác suất cần tìm là . C310  Chọn đáp án A Trang 2/61 − Mã đề 142 Câu 5. Có 12 người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố định). Chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng. Tính xác suất để 3 người được chọn không có hai người nào đứng cạnh nhau. 21 55 6 7 . B. . C. . D. . A. 110 55 126 11 Lời giải. Không gian mẫu Ω có n(Ω) = C312 = 220. Giả sử chọn 3 người có số thứ tự trong hàng lần lượt là a, b, c. Theo giả thiết ta có a < b < c và b − a > 1, c − b > 1 nên a < b − 1 và b < c − 1. Suy ra 1 ≤ a < b − 1 < c − 2 ≤ 10. Đặt a0 = a, b0 = b − 1, c0 = c − 2, ta có 1 ≤ a0 < b0 < c0 = c − 2 ≤ 10. Gọi A là biến cố chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng. Việc chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng tương ứng với việc chọn 3 số a0 , b0 , c0 bất kỳ trong tập hợp {1; 2; 3; . . . ; 10} nên có n(A) = C310 = 120. 120 6 n(A) = = . Vậy P (A) = n(Ω) 220 11 Chọn đáp án D  Câu 6. Một tổ học sinh có 6 nam và 3 nữ được yêu cầu xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp sao cho không có 2 bạn nữ nào đứng cạnh nhau là A. 9!. B. 25200. C. 151200. D. 86400. Lời giải. Coi ghế xếp hàng ngang được đánh theo số thứ tứ từ 1 đến 9 như minh họa. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Số cách chọn có 3 bạn nữ đứng cạnh nhau là 3! · 7!. Xét trường hợp có đúng 2 bạn nữ đứng cạnh nhau. • Chọn hai bạn nữ trong ba bạn nữ để xếp cạnh nhau có C23 cách. • Nếu xếp hai bạn nữ vào vị trí ghế (1; 2) hoặc (8; 9) thì bạn nữ còn lại chỉ được chọn một trong 6 vị trị ghế để không cạnh hai bạn nữ vừa xếp. Do đó số cách xếp để có đúng hai bạn nữ cạnh nhau là 2 · 2! · 6 · 6! = 17280 cách. • Nếu xếp hai bạn nữ vào các vị trí (2; 3) hoặc (3; 4) hoặc (4; 5) hoặc (5; 6) hoặc (6; 7) hoặc (7; 8) thì bạn nữ còn lại chỉ được chọn một trong 5 vị trị ghế để không cạnh hai bạn nữ vừa xếp. Do đó số cách xếp để có đúng hai bạn nữ cạnh nhau là 6 · 2! · 5 · 6! = 43200 cách. Vậy số cách xếp để không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau là 9! − 3! · 7! − C23 · (17280 + 43200) = 151200. Chọn đáp án C  Câu 7. Một xưởng sản xuất thực phẩm gồm 4 kỹ sư chế biến thực phẩm, 3 kỹ thuật viên và 13 công nhân. Để đảm bảo sản xuất thực phẩm chống dịch Covid-19, xưởng cần chia thành 3 ca sản xuất theo thời gian liên tiếp nhau sao cho ca 1 có 6 người và2 ca còn lại mỗi ca có7 người. Tính xác suất sao cho mỗi ca có 1 kĩ thuật viên, ít nhất một kĩ sư chế biến thực phẩm 440 41 441 401 A. . B. . C. . D. . 3320 230 3230 3320 Lời giải. Gọi biến cố cần tính xác suất là biến cố A: “Mỗi ca có 1 kĩ thuật viên, ít nhất một kĩ sư chế biến thực phẩm”. Trang 3/61 − Mã đề 142 • TH1: Ca 1 có 2 kĩ sư Số cách chọn người ca 1 là C13 · C24 · C313 = 5148. Số cách chọn người ca 2 là C12 · C12 · C510 = 1008. Số cách chọn người ca 3 là 1 cách. Suy ra số cách chọn bằng 5148.1008. • TH2: Ca 2 có 2 kĩ sư Số cách chọn người ca 1 là C13 · C14 · C413 = 8580. Số cách chọn người ca 2 là C12 · C12 · C49 = 756. Số cách chọn người ca 3 là 1 cách. Suy ra số cách chọn bằng 8580 · 756. • TH3: Ca 3 có 2 kĩ sư thì cách chọn tương tự TH2 nên ta có số cách chọn bằng 8580 · 756. Vậy xác suất cần tìm là P (A) = 5148 · 1008 + 2 · (8580 · 756) 441 = . 7 7 6 C20 · C14 · C7 3230  Chọn đáp án C Câu 8. Kết quả (b; c) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần (trong đó b là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, c là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai) được thay vào x2 + bx + c phương trình = 0 (∗). Xác suất để phương trình (∗) vô nghiệm là x+1 17 1 19 1 A. . B. . C. . D. . 36 6 36 2 Lời giải. Để phương trình (∗) vô nghiệm thì phương trình x2 + bx + c = 0(∗∗) có 2 trường hợp xảy ra: TH1: PT (∗∗) có nghiệm kép x = −1. Suy ra ( ( ∆ = b2 − 4c = 0 b2 = 4c ⇔ ⇔ b2 = 4b − 4 ⇔ b = 2 ⇒ c = 1 1−b+c=0 c=b−1 ( ⇒ b=2 c = 1. √ TH2: PT (∗∗) vô nghiệm ⇔ ∆ = b2 − 4ac < 0 ⇔ b2 < 4c ⇔ b√ <2 c Vì c là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ 2 nên c ≤ 6 ⇒ b ≤ 2 6. Mà b là số chấm xuất hiện ở lần gieo đầu nên b ∈ {1; 2; 3; 4}. • Với b = 1, ta có: c > 1 ⇒ c ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6} ⇒ có 6 cách chọn c. 4 • Với b = 2, ta có: c > 1 ⇒ c ∈ {2; 3; 4; 5; 6} ⇒ có 5 cách chọn c. • Với b = 3, ta có: c > 9 ⇒ c ∈ {3; 4; 5; 6} ⇒ có 4 cách chọn c. 4 • Với b = 4, ta có: c > 4 ⇒ c ∈ {5; 6} ⇒ có 2 cách chọn c. Do đó có 6 + 5 + 4 + 2 = 17 cách chọn {b; c} để phương trình (∗∗) vô nghiệm. Gieo con súc sắc 2 lần nên số phần tử của không gia mẫu n(Ω) = 6 · 6 = 36. 1 + 17 1 Vậy xác suất để phương trình (∗∗) vô nghiệm là = . 36 2 Chọn đáp án D  Câu 9. Tập S gồm các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Xác suất để số được chọn không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau là 13 11 29 97 A. . B. . C. . D. . 80 70 140 560 Trang 4/61 − Mã đề 142 Lời giải. Số cách lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau thỏa đề bài là A69 − A58 = 53760. Ta có không gian mẫu n(Ω) = 53760. Gọi biến cố A: “Số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau.” TH 1. Số có 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 chữ số lẻ, 3 chữ số chẵn và 2 chữ số chẵn không đứng cạnh nhau. Số cách chọn 3 chữ số lẻ để xếp: A34 . Số cách chọn 3 chữ số chẵn để xếp • có chứa chữ số 0: C24 • không chứa chữ số 0: C34 Như vậy có A34 · C24 (C34 · 3! − C23 · 2!) + A34 · C34 · C34 · 3! = 2592 + 2304 = 4896 cách lập. TH 2. Số có 6 chữ số khác nhau trong đó có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn và 2 chữ số chẵn không đứng cạnh nhau. Số cách chọn 4 chữ số lẻ để xếp A44 . Số cách chọn 2 chữ số chẵn để xếp • có chứa chữ số 0: C14 . • không chứa chữ số 0: C24 . Như vậy có A44 · C14 (C25 · 2! − C14 ) + A44 · C34 · C25 · 2! = 1536 + 2880 = 4416 cách lập. Ta có n(A) = 9312. n(A) 9312 97 Ta có P(A) = = = . n(Ω) 53760 560 Chọn đáp án D  Câu 10. Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất sau cho 3 bước quân vua trở về ô xuất phát. 1 3 3 1 . B. . C. . D. . A. 32 16 64 32 Lời giải. Bước di chuyển đầu tiên của quân vua có 8 cách, bước di chuyển thứ hai của quân vua có 8 cách và bước di chuyển thứ ba của quân vua có 8 cách. Vậy số phần tử của không gian mẫu là n (Ω) = 83 . Gọi A là biến cố: “Sau ba bước quân vua trở về ô xuất phát” Xét hai trường hợp sau: • Trường hợp 1. Trước tiên di chuyển quân vua sang ô đen liền kề có 4 cách, tiếp theo di chuyển quân vua sang ô trắng có chung cạnh hoặc ô đen có chung đỉnh cạnh ô xuất phát của quân vua có 4 cách, cuối cùng di chuyển quân vua về vị trí cũ có 1 cách. Do đó có 4 · 4 · 1 = 16 cách. • Trường hợp 2. Trước tiên di chuyển quân vua sang ô trắng được đánh có chung đỉnhvới cạnh ô quân vua đang đứng có 4 cách, tiếp theo di chuyển quân vua sang ô đen cạnh ô quân vua xuất phát có 2 cách, cuối cùng di chuyển quân vua về vị trí cũ có 1 cách. Do đó có 4 · 2 · 1 = 8 cách. Trang 5/61 − Mã đề 142 Suy ra số các kết quả thuận lợi của biến cố A là n(A) = 16 + 8 = 24 cách. n(A) 24 3 = 3 = . Vậy xác xuất cần tính là P(A) = n (Ω) 8 64 Chọn đáp án C  Câu 11. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có năm chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng abcde trong đó 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ 9. 143 3 138 11 . B. . C. . D. . A. 200 10000 7 1420 Lời giải. • Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử. Ta có n (Ω) = 9 · 104 . • Gọi A là biến cố: “ Lấy được số dạng abcde trong đó 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ 9”. Ta có 1 ≤ a < b + 1 < c + 2 < d + 3 < e + 4 ≤ 13. Suy ra n(A) = C513 . n(A) C513 143 Vậy P (A) = = . = 4 n(Ω) 9 · 10 10000 Chọn đáp án B  Câu 12. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số (không nhất thiết khác nhau) được lập từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Chọn ngẫu nhiên một số abc từ S . Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn a ≤ b ≤ c. 9 13 11 1 A. . B. . C. . D. . 1 60 60 6 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) = 9 · 109 = 900. Gọi biến cố A:“Chọn được một số thỏa mãn a ≤ b ≤ c ”. Vì a ≤ b ≤ c mà a 6= nên trong các chữ số sẽ không có số 0. Trường hợp 1: Số được chọn có 3 chữ số giống nhau có 9 số. Trường hợp 2: Số được chọn tạo bởi hai chữ số khác nhau. Số cách chọn ra 2 chữ số khác nhau từ 9 chữ số trên là C29 . Mỗi bộ 2 chữ số được chọn tạo ra 2 số thỏa mãn yêu cầu. Vậy có 2 · C29 số thảo mãn. Trường hợp 3: Số được chọn tạo bởi ba chữ số khác nhau. Số cách chọn ra 3 chữ số khác nhau từ 9 chữ số trên là C39 . Mỗi bộ 3 chữ số được chọn chỉ tạo ra một số thỏa mãn yêu cầu. Vậy có C39 số thỏa mãn. Vậy n(A) = 9 + 2 · C29 + C39 = 165. 165 11 n(A) = = . Xác suất của biến cố A là P(A) = n(Ω) 900 60 Chọn đáp án C  Câu 13. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có mặt 3 chữ số 2, 3 và 4 là 23 4 1 1 A. . B. . C. . D. . 378 9 648 2 Lời giải. Ta có không gian mẫu n(Ω) = 9A49 = 27216. Gọi biến cố A: “Số được chọn có mặt chữ số 2, 3 và 4”. Vì số cần tìm phải có mặt đủ 3 chữ số 2; 3; 4 nên ta chia các trường hợp sau: Trường hợp 1: a = 2. Các chữ số 3; 4 có A24 = 12 cách chọn vị trí. Hai chữ số còn lại có A27 = 42 cách chọn. Vậy có 12 · 42 = 504 số. Trường hợp 2: a = 3.Tương tự trường hợp 1 ta có 504 số. Trang 6/61 − Mã đề 142 Trường hợp 3: a = 4. Tương tự trường hợp 1 ta có 504 số. Trường hợp 4: a 6= {2; 3; 4; 0} có 6 cách chọn a. Các chữ số 2; 3; 4 có A34 = 24 cách chọn vị trí. Một chữ số còn lại có 6 cách chọn. Vậy có 6 · 24 = 144 số. Do đó n(A) = 504 · 3 + 144 = 1656. Xác suất để số được chọn có mặt chữ số 2, 3 và 4 là P(A) = n(A) 1656 23 = = . n(Ω) 27216 378  Chọn đáp án A Câu 14. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; . . . ; 2018} và các số a, b, c thuộc A. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có dạng abc sao cho a < b < c và a + b + c = 2016. A. 2026086. B. 2027080. C. 337681. D. 338184. Lời giải. Xét phương trình a + b + c = 2016. Phương trình này có C22015 nghiệm (a; b; c). Ta tìm các nghiệm mà có cặp số trùng nhau. • Trường hợp 1. a = b = c ⇒ a = b = c = 2016 = 672, do đó trường hợp này có 1 nghiệm. 3 • Trường hợp 2. Chỉ có 2 số trùng nhau. Nếu a = b thì 2a + c = 2016, suy ra số c nhận các giá trị chẳn là 2; 4; . . . ; 2014 nên có 1007 nghiệm, trừ đi 1 nghiệm (672; 672; 672) ta còn 1006 nghiệm. Xét tương tự nếu b = c, c = a, do đó trường hợp này có 3 × 1006 = 3018 nghiệm. Suy ra, phương trình a + b + c = 2016 có C22015 − 1 − 3018 = 2026086 nghiệm (a; b; c) trong đó 2026086 = 337681 nghiệm ba số a, b, c đôi một khác nhau. Trong số 2026086 nghiệm trên, chỉ có 3! thỏa mãn a < b < c. Vậy có tất cả 337681 số tự nhiên abc thỏa đề bài. Chọn đáp án C  Câu 15. Đề thi trắc nghiệm môn Toán gồm 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0, 2 điểm. Một học sinh không học bài nên mỗi câu trả lời đều chọn ngẫu nhiên một phương án. Xác suất để học sinh đó được đúng 5 điểm là    25  25 25 3 3 25 25 1 · C50 · 4 4 4 4 A. . B. . 50 50  425  25  425  25 1 3 3 25 1 C. · . D. C50 · . 4 4 4 4 Lời giải. Học sinh đó làm đúng được 5 điểm khi làm được đúng 25 câu bất kỳ trong số 50 câu, 25 câu còn lại làm sai. 1 3 Xác suất để học sinh là đúng một câu bất kỳ là , làm sai một câu là . Do đó xác suất để học 4 4  25 1 sinh đó làm đúng 25 câu bất kỳ trong số 50 câu là C25 . 50 · 4  25 3 Xác suất để hoạc sinh đó làm sai 25 câu còn lại là . 4  25  25 1 3 25 Vậy xác suất để học sinh đó làm được đúng 5 điểm là : C50 · . 4 4 Chọn đáp án D  Câu 16. Trò chơi quay bánh xe số trong chương trình truyền hình "Hãy chọn giá đúng" của kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có 20 nấc điểm: 5, 10, 15, ..., 100 với vạch chia đều Trang 7/61 − Mã đề 142 nhau và giả sử rằng khả năng chuyển từ nấc điểm đã có tới các nấc điểm còn lại là như nhau. Trong mỗi lượt chơi có 2 người tham gia, mỗi người được quyền chọn quay 1 hoặc 2 lần, và điểm số của người chơi được tính như sau: + Nếu người chơi chọn quay 1 lần thì điểm của người chơi là điểm quay được. + Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được không lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được. + Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được trừ đi 100. Luật chơi quy định, trong mỗi lượt chơi người nào có điểm số cao hơn sẽ thắng cuộc, hòa nhau sẽ chơi lại lượt khác. An và Bình cùng tham gia một lượt chơi, An chơi trước và có điểm số là 75. Tính xác suất để Bình thắng cuộc ngay ở lượt chơi này. 7 19 1 3 B. P = . C. P = . D. P = . A. P = . 16 16 40 4 Lời giải. Bình có 2 khả năng thắng cuộc: +) Thắng cuộc sau lần quay thứ nhất. Nếu Bình quay vào một trong 5 nấc: 80, 85, 90, 95, 100 thì 1 5 = . sẽ thắng nên xác suất thắng cuộc của Bình trường hợp này là P1 = 20 4 +) Thắng cuộc sau 2 lần quay. Nếu Bình quay lần 1 vào một trong 15 nấc: 5, 10, ..., 75 thì sẽ phải quay thêm lần thứ 2. Ứng với mỗi nấc quay trong lần thứ nhất, Bình cũng có 5 nấc để thắng cuộc 15 × 5 3 trong lần quay thứ 2, vì thế xác suất thắng cuộc của Bình trường hợp này là P2 = = . 20 × 20 16 7 Từ đó, xác suất thắng cuộc của Bình là P = P1 + P2 = . 16 Chọn đáp án B  Câu 17. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy? A. 80640. B. 108864. C. 217728. D. 145152. Lời giải. Xét các trường hợp sau: • Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có 2! · 8! cách. • Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có 2! · A14 · 7! cách. • Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có 2! · A24 · 6! cách. • Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có 2! · A34 · 5! cách. • Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có 2! · A44 · 4! cách. Vậy theo quy tắc cộng có 2!(8! + A14 7! + A24 6! + A34 5! + A44 4!) = 145152 cách. Chọn đáp án D  Câu 18. Xếp 6 chữ số 1, 2, 3, 1, 2 và 4 theo một hàng ngang. Tính xác suất để xảy ra biến cố: “2 chữ số giống nhau thì không xếp cạnh nhau.” 7 8 11 4 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Lời giải. 6! Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = = 180. Gọi A là biến cố: “2 chữ số giống nhau thì 2!2! 5! 5! không xếp cạnh nhau.” Khi đó, n(A) = + − 4! = 96. 2! 2! 96 7 Vậy, xác suất của biến cố A là P (A) = 1 − P (A) = 1 − = . 180 15 Chọn đáp án A  Trang 8/61 − Mã đề 142 Câu 19. Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 6. Lập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số đã cho. Tính tổng của tất cả các số lập được. A. 12321. B. 21312. C. 12312. D. 21321. Lời giải. Xét tập X = {1, 2, 3, 4, 6}. Số các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập X là 5 × 4 × 3 = 60. Do vai trò các chữ số là như nhau, nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số trong tập X tại mỗi hàng 60 = 12. trăm, hàng chục, hàng đơn vị là 5 Tống các số lập được S = (1 + 2 + 3 + 4 + 6) × 12 × 111 = 21312. Chọn đáp án B  Câu 20. Cho tập hợp S = {m ∈ Z| − 10 ≤ m ≤ 100}. Có bao nhiêu tập hợp con của S có số phần tử lớn hơn 2 và các phần tử đó tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 0? A. 34. B. 32. C. 30. D. 36. Lời giải. Giả sử {u1 ; u2 ; ...; un } ⊂ S, n > 2 là một tập hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán. Không mất tính tổng quát giả sử u1 < u2 < ... < un theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng công sai d > 0. Ta có Sn = 0 ⇔ u1 + un = 0, lại có u1 + (n − 1)d = un nên suy ra (n − 1)d = 2un , điều này chứng tỏ d là một ước nguyên dương của 2un và d 6= 2un vì n > 2. Như vậy số tập hợp thỏa YCBT chính là tổng số số các ước thực sự của 2un với un ∈ {1; 2; …; 10}. Bằng cách liệt kê ta có tất cả 34 ước của 2un với un ∈ {1; 2; …; 10}.  Chọn đáp án A Câu 21. Cho A là tập các số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập A. Tính xác suất lấy được một số lẻ và chia hết cho 9. 1 1 625 1250 A. . B. . C. . D. . 9 18 1710 1710 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 9 · 108 . Gọi B là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có các số lẻ có 9 chữ số chia hết cho 9 là 100000017, 100000035, 100000053,. . . , 999999999 lập thành một cấp số cộng với u1 = 100000017 và công sai d = 18. 999999999 − 100000017 + 1 = 50000000. Nên số phần tử của dãy là 18 n(B) 5 · 107 1 Vậy n(B) = 5 · 107 . Xác suất là P(B) = = = . 8 n(Ω) 9 · 10 18 Chọn đáp án B  Câu 22. Trong lễ tổng kết năm học 2017 − 2018, lớp 12T nhận được 20 cuốn sách gồm 5 cuốn sách Toán, 7 cuốn sách Vật lí, 8cuốn sách Hoá học, các sách cùng môn học là giống nhau. Số sách này được chia đều cho 10 học sinh trong lớp, mỗi học sinh chỉ nhận được hai cuốn sách khác môn học. Bình và Bảo là 2 trong số 10 học sinh đó. Tính xác suất để 2 cuốn sách mà Bình nhận được giống 2 cuốn sách của Bảo. 12 1 14 17 A. . B. . C. . D. . 45 5 45 90 Lời giải. Vì mỗi học sinh chỉ nhận được hai cuốn sách khác môn học nên từ 20 quyển sách ta chia ra 10 phần quà. Trong đó mỗi phần quà đó hoặc là gồm 1 cuốn sách Toán và 1 cuốn sách Vật lí (loại 1), hoặc là gồm 1 cuốn sách Toán và 1 cuốn sách Hoá (loại 2), hoặc là gồm 1 cuốn sách Vật lí và 1 cuốn sách Hoá (loại 3). Gọi x, y, z lần lượt là số phần quà loại 1, loại 2 và loại 3. Trang 9/61 − Mã đề 142   x + y = 5   x = 2  Ta có x + z = 7 ⇔ y = 3     z = 5. y+z =8 Số cách chia phần quà cho Bình và Bảo: • Cùng nhận loại 1: có C22 = 1 cách. • Cùng nhận loại 2: có C23 = 3 cách. • Cùng nhận loại 3: có C25 = 10 cách. Gọi biến cố A: “ 2 cuốn sách mà Bình và Bảo nhận được giống nhau ”. Ta có n(Ω) = C210 = 45. Ta có n(A) = 14. n(A) 14 Vậy P(A) = = . n(Ω) 45 Chọn đáp án C  Câu 23. Cho tập hợp S = {1; 2; 3; 4; . . . ; 17} gồm 17 số. Chọn ngẫu nhiên một tập con có ba phần tử của tập S. Tính xác suất để tập hợp được chọn có tổng các phần tử chia hết cho 3. 23 27 9 9 . B. . C. . D. . A. 34 68 34 12 Lời giải. Tập hợp các số từ tập S chia hết cho 3 là {3; 6; 9; 12; 15}. Tập hợp các số từ tập S chia cho 3 dư 1 là {1; 4; 7; 10; 13; 16}. Tập hợp các số từ tập S chia cho 3 dư 2 là {2; 5; 8; 11; 14; 17}. • TH1: Ba số lấy từ tập S đều chia hết cho 3: Có C35 cách chọn. • TH2: Ba số lấy từ tập S đều chia 3 dư 1: Có C36 cách chọn. • TH3: Ba số lấy từ tập S đều chia 3 dư 2: Có C36 cách chọn. • TH4: Một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1, một số chia 3 dư 2: Có C15 · C16 · C16 cách chọn. Vậy số phần tử của biến cố A: “Chọn được ba số có tổng chia hết cho 3” là: n(A) = C35 + C36 + C36 + C15 · C16 · C16 = 230. Số phần tử không gian mẫu là n (Ω) = C317 . 230 23 Xác suất của biến cố A là P(A) = 3 = . C17 68 Chọn đáp án B  Câu 24. Cho tập hợp A = {1; 2; . . . ; 100}. Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử của A. Xác suất để 3 phần tử được chọn lập thành một cấp số cộng bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 11 132 33 66 Lời giải. Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử từ tập A ⇒ Không gian mẫu là |Ω| = C3100 . Gọi biến cố A: “Ba phần tử được chọn lập thành một cấp số cộng”. Cách 1. Giả sử 3 phần tử đó là x; x + d; x + 2d với x, d ∈ N∗ . • Với x = 1 thì ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ 99 ⇒ d ∈ {1; 2; . . . ; 49} ⇒ có 49 bộ ba số thỏa 2 mãn. • Với x = 2 thì ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ 98 ⇒ d ∈ {1; 2; . . . ; 49} ⇒ có 49 bộ ba số thỏa 2 mãn. Trang 10/61 − Mã đề 142 • Với x = 3 thì ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ 97 ⇒ d ∈ {1; 2; . . . ; 48} ⇒ có 48 bộ ba số thỏa 2 mãn. • Với x = 97 thì ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ 3 ⇒ d ∈ {1} ⇒ có 1 bộ ba số thỏa mãn. 2 • Với x = 98 thì ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ 1 ⇒ d ∈ {1} ⇒ có 1 bộ ba số thỏa mãn. 1 ⇒ d ∈ ∅ ⇒ không có bộ ba số thỏa mãn. 2 49(49 + 1) Do đó ta thấy có tất cả 2(49 + 48 + 47 + · · · + 2 + 1) = 2 · = 2450 bộ ba số thỏa mãn. 2 Cách 2. Giả sử 3 phần tử đó là a; b; c với a, b, c ∈ A. Trong tập A có 50 số lẻ, 50 số chẵn Do a, b, c lập thành một CSC nên a + c = 2b là một số chẵn Do đó hai số a, c cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Đồng thời ứng với 1 cách chọn hai số a, c thì xác định được duy nhất 1 số b. Tổng số bộ ba số a, b, c là C250 + C250 = 2450 (bộ ba). 1 2450 Vậy xác suất của biến cố A là P = 3 = . C100 66 Chọn đáp án D  • Với x = 99 thì ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ Câu 25. Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu. Mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng thì được 1 điểm, trả lời sai thì bị trừ 0,5 điểm. Một thí sịnh do không học bài nên làm bài bằng cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương  số  án 8trả  lời. 2 Xác suất để thí sinh đó làm bài được 8 điểm  2không nhỏ hơn 7 là 1 1 3 7 3 109 . C. A810 . A. C810 . B. . D. 4 4 10 4 4 262144 Lời giải. Gọi x là số câu đúng (0 ≤ x ≤ 10), 10 − x là số câu sai. Ta có bất phương trình x+ x − 10 ≥ 7 ⇔ 8 ≤ x ≤ 10. 2 Xác suất để thí sinh đó làm bài được số điểm không nhỏ hơn 7 là  8  2  9  1  10  0 1 3 1 3 1 3 109 8 9 10 C10 + C10 + C10 = 4 4 4 4 4 4 262144 Chọn đáp án D  Câu 26. Có 10 học sinh lớp A, 8 học sinh lớp B được xếp ngẫu nhiên vào một bản tròn (hai cách xếp được coi là giống nhau nếu cách xếp này là kết quả của cách xếp kia khi ta thực hiện phép quay bàn ở tâm một góc nào đó). Tính xác suất để không có hai học sinh bất kì nào của lớp B đứng cạnh nhau. 10! 9!A810 10!A811 7! A. . B. . C. . D. . 18! 17! 18! 17! Lời giải. Để tránh đi các khả năng bị trùng khi ta thực hiện đếm thì ta thực hiện thao tác cố định một học sinh xác đinh ở lớp A tại 1 vị trí. Bây giờ ta chuyển về bài toán: Xếp 9 học sinh lớp A và 8 học sinh lớp B thành một hàng dọc với bạn đứng đầu là một bạn C khác 17 bạn trên. Tính xác suất để không có hai học sinh bất kì nào của lớp B đứng cạnh nhau. Không gian mẫu là |Ω| = 17!. Ta cần đếm số cách xếp để không có hai học sinh bất kì nào của lớp B đứng cạnh nhau, tức là giữa hai học sinh lớp B luôn có ít nhất một học sinh lớp A. Do đó ta thực hiện thuật toán để tính số cách xếp như sau: Trang 11/61 − Mã đề 142 • Chọn 8 vị trí bất kì trong 10 vị trí để xếp các học sinh lớp B và đánh số từ trái qua phải là x1 , x2 , · · · , x8 . Có C810 cách chọn. • Thêm vào ngay bên trái các vị trí xi i = 2, 3, · · · , 8 một vị trí để cho một học sinh của lớp A xếp vào. Có 1 cách thêm. • Xếp 8 học sinh lớp B vào 8 vị trí x1 , x2 , · · · , x8 . Có 8! cách xếp. • Xếp 9 học sinh lớp A vào 9 vị trí còn lại. Có 9! cách xếp. Vậy có 9! · 8! · C810 = 9!A810 cách xếp thỏa mãn hay xác suất cần tìm là Chọn đáp án B 9!A810 . 17!  Câu 27. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có năm chữ số khác nhau đôi một. Xác suất để số được chọn có ba chữ số chẵn và hai chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau? 2 58 85 8 . B. . C. . D. . A. 147 75 567 567 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là n (Ω) = 9 · A49 . Gọi A là biến cố “Số được chọn có ba chữ số chẵn và hai chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau”. Có C35 cách chọn 3 chữ số chẵn. Có A25 cách chọn 2 chữ số lẻ và xếp chúng kề nhau. Có 4! cách xếp sao cho 2 chữ số lẻ đứng kề nhau. Suy ra có C35 · A25 · 4! cách xếp thoả mãn (kể cả chữ số 0 đứng đầu). Ta tính số các số thoả mãn đề mà có số chữ số 0 đứng đầu, ta xét 4 chữ số cuối: Có C24 cách chọn 2 chữ số trong 4 chữ số chẵn. Có C25 cách chọn 2 chữ số lẻ, coi 2 chữ số lẻ là một nhóm ta có số các số là C24 · C25 · 2! · 3!. Suy ra số các số thoả mãn đề bài là: n(A) = C35 · A25 · 4! − C24 · C25 · 2! · 3! = 4080. n(A) 4080 85 P(A) = = = . 4 n (Ω) 9 · A9 567  Chọn đáp án D Câu 28. Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lấy ngẫu nhiên một số trong tập hợp X. Gọi A là biến cố lấy được số có đúng hai chữ số 1, có đúng hai chữ số 2, bốn chữ số còn lại đôi một khác nhau, đồng thời các chữ số giống nhau không đứng liền kề nhau. Xác suất của biến cố A bằng 5 151200 176400 201600 A. . B. . C. . D. . 8 8 9 9 9 98 Lời giải. Ta có n(Ω) = 98 . TH1: Xếp bất kỳ Xếp hai chữ số 1, hai chữ số 2 bất kỳ và 4 chữ số còn lại: Có C28 · C26 · A47 = 352.800 (cách). TH2: Số các cách xếp sao cho không thỏa mãn yêu cầu bài toán Xếp hai chữ số 1 đứng liền nhau: 7 · C26 · A47 cách. Xếp hai chữ số 2 đứng liền nhau: 7 · C26 · A47 cách. Số các cách xếp thuộc cả hai trường hợp trên: + Coi hai chữ số 1 đứng liền nhau là nhóm X, hai chữ số 2 đứng liền nhau là nhóm Y + Xếp X, Y và 4 số còn lại có: C47 · 6! (cách) Vậy số cách xếp không thỏa mãn yêu cầu là: 2 · 7 · C26 · A47 − C47 · 6! = 151200 (cách) 201600 . Vậy n(A) = 352 · 800 − 151 · 200 = 201 · 600 ⇒ p(A) = 98 Chọn đáp án D  Câu 29. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Gọi P là tích của ba số ở ba lần tung (mỗi số là số chấm trên mặt xuất hiện ở mỗi lần tung), tính xác suất sao cho P không chia hết cho 6. Trang 12/61 − Mã đề 142 60 90 82 83 . B. . C. . D. . 216 216 216 216 Lời giải. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất nên không gian mẫu có số phần tử n (Ω) = 63 = 216. Gọi A là biến cố tích 3 số chấm ở 3 lần gieo liên tiếp không chia hết cho 6. Gọi x, y, z là số chấm trên từng lần gieo theo thứ tự. Để thoả điều kiện không chia hết cho 6 thì xảy ra 2 trường hợp sau Trường hợp 1: Cả 3 lần gieo đều không xuất hiện mặt 3 và 6: 43 = 64 khả năng. Trường hợp 2: Cả 3 lần gieo xuất hiện mặt 3 ít nhất một lần, và những lần gieo còn lại không xuất hiện mặt chẵn Cả 3 lần đều ra mặt 3 chấm: x = y = z = 3 có 1 cách chọn Chỉ 2 lần ra mặt 3 chấm, lần còn lại nhận các giá trị: 1 và 5 có: 2 · 3 = 6 cách. Chỉ một lần ra mặt 3 chấm: 3 · 22 = 12 cách. Trường hợp 2 có 12 + 6 + 1 = 19. 83 n(A) = . Do đó n(A) = 64 + 19 = 83. Suy ra P(A) = n (Ω) 216 Chọn đáp án D  A. Câu 30. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy? A. 217728. B. 80640. C. 145152. D. 108864. Lời giải. Có các trường hợp xảy ra như sau: • Hai học sinh lớp A luôn đứng cạnh nhau, các học sinh lớp còn lại xếp tùy ý: 2!8!. • Có đúng một học sinh lớp C đứng giữa hai học sinh lớp A: A14 2!7!. • Có đúng hai học sinh lớp C đứng giữa hai học sinh lớp A: A24 2!6!. • Có đúng ba học sinh lớp C đứng giữa hai học sinh lớp A: A34 2!5!. • Có đúng bốn học sinh lớp C đứng giữa hai học sinh lớp A: A44 2!4!. Vậy có 2!8! + A14 2!7! + A24 2!6! + A34 2!5! + A44 2!4! = 145152 cách xếp hàng thỏa đề bài. Chọn đáp án C  11 Câu 31. Giả sử (1 + x + x2 + x3 + · · · + x10 ) = a0 + a1 x + a2 x2 + A3 x3 + · · · + A110 x110 , với 11 a0 , a1 , · · · , a110 là các hệ số. Giá trị của tổng T = C011 a11 − C111 a10 + C211 a9 + · · · + C10 11 a1 − C11 a0 bằng A. T = 1. B. T = −11. C. T = 0. D. T = 11. Lời giải. 11  1 − x11 2 3 10 11 nên Ta có (1 + x + x + x + · · · + x ) = 1−x
11
1 − x11 = (1 − x)11 a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + a110 x110 . 11 Xét vế trái: (1 − x11 ) = 11 P k Ck11 (−x11 ) . Hệ số của x11 trong khai triển ứng với k = 1, do đó hệ k=0 số của x11 là −C111 = −11. Xét vế phải: (1−x)11 (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + a110 x110 ) = 11 P Ck11 (−x)k (a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a110 x110 ). k=0 11 Hệ số của x11 tương ứng là T = C011 a11 − C111 a10 + C211 a9 + · · · + C10 11 a1 − C11 a0 . Vậy T = −11. Chọn đáp án B  Trang 13/61 − Mã đề 142 Câu 32. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt được lấy từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 8, 9. Tính xác suất để chọn được số lớn hơn số 2019 và bé hơn số 9102. 119 83 119 31 . B. . C. . D. . A. 45 200 120 180 Lời giải. Giả sử số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là abcd. Ta có n (Ω) = 6 · 6 · 5 · 4 = 720. Gọi A là biến cố: “Số được chọn số lớn hơn số 2019 và bé hơn số 9102”. Tính n(A): TH1: a = 2, b = 0, c ≥ 3, d tuỳ ý khác a, b, c suy ra có 1 · 1 · 4 · 4 = 16 số. TH2: a = 2, b > 0 có 1 · 5 · 5 · 4 = 100 số. TH3: a ∈ {3; 4; 8}, b; c; d khác nhau và khác a, có 3 · 6 · 5 · 4 = 360 số. TH4: a = 9; b = 0, c; d khác nhau và khác a; b có 1 · 1 · 5 · 4 = 20 số. Suy ra n(A) = 16 + 360 + 100 + 20 = 496. 31 n(A) = . Vậy P(A) = n (Ω) 45 Chọn đáp án A  Câu 33. Số cách chia 10 phần quà cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất 2 phần quà là A. 30. B. 42. C. 21. D. 15. Lời giải. Ta chia trước mỗi em 1 phần quà. Đặt 7 phần quà theo hàng ngang, giữa các phần quà sẽ có 6 khoảng trắng. Chọn 2 khoảng trắng trong 6 khoảng trắng để chia 9 phần quà còn lại thành 3 phần, mỗi phần có ít nhất 1 phần quà. Vậy có C26 = 15 cách chia. Chọn đáp án D  Câu 34. Ba cầu thủ sút phạt đền 11m, mỗi người sút một lần với xác suất ghi bàn tương ứng là x, y và 0,6 (với x > y). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là 0,336. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn. A. P = 0,4245. B. P = 0,452. C. P = 0,4525. D. P = 0,435. Lời giải. Xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 ⇒ xác suất không cầu thủ nào ghi bàn là (1 − x)(1 − y)(1 − 0,6) = 1 − 0,976 ⇒ (1 − x)(1 − y) = 0,06. (1) xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là 0,336 ⇒ x · y · 0,6 = 0,336 ⇒ xy = 0,56. (2) Từ ( (1),(2) ta có hệ ( ( (1 − x)(1 − y) = 0,06 x + y = 1,5 x = 0,8 ⇔ ⇔ (vì x > y). xy = 0,56 xy = 0,56 y = 0,7 Đúng hai cầu thủ ghi bàn thì có thể xảy ra các trường hợp sau • TH1: Người 1, 2 ghi bàn, người 3 không ghi bàn: P1 = 0,8 · 0,7 · 0, 4 = 0,224. • TH2: Người 1, 3 ghi bàn, người 2 không ghi bàn: P1 = 0,8 · 0,3 · 0,6 = 0,144. • TH3: Người 2, 3 ghi bàn, người 1 không ghi bàn: P1 = 0,2 · 0,7 · 0,6 = 0,084. Vậy xác suất đúng hai cầu thủ ghi bàn là: P = 0,224 + 0,144 + 0,084 = 0,452 Chọn đáp án B  Câu 35. Một phiếu điều tra về vấn đề tự học của học sinh gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có bốn lựa chọn để trả lời. Khi tiến hành điều tra, phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu người được hỏi trả lời đủ 10 câu hỏi, mỗi câu chỉ chọn một phương án. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số đó luôn có ít nhất hai phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu hỏi? A. 10001. B. 1.048.576. C. 2.097.152. D. 1.048.577. Trang 14/61 − Mã đề 142 Lời giải. Số cách tô khác nhau cho 10 câu trắc nghiệm có 4 phương án trả lời là 410 . Như vậy số phiếu tối thiểu để có ít nhất hai phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu hỏi là 410 + 1 = 1.048.577.  Chọn đáp án D Câu 36. Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu. Mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng thì được 1 điểm, trả lời sai thì bị trừ 0,5 điểm. Một thí sịnh do không học bài nên làm bài bằng cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương đó làm bài được số điểm không nhỏ hơn 7 là 8trả  lời. 2 Xác suất để thí 8sinh    án 2 3 1 3 109 7 1 8 8 . B. A10 . C. . D. . A. C10 4 4 4 4 262144 10 Lời giải. Gọi x là số câu đúng (0 ≤ x ≤ 10), 10 − x là số câu sai. Ta có bất phương trình x+ x − 10 ≥ 7 ⇔ 8 ≤ x ≤ 10. 2 Xác suất để thí sinh đó làm bài được số điểm không nhỏ hơn 7 là  8  2  9  1  10  0 1 3 1 3 1 3 109 8 9 10 C10 + C10 + C10 = 4 4 4 4 4 4 262144  Chọn đáp án C Câu 37. Gọi A là tập các số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy ngẫu nhiên từ tập A một số . Tính xác suất P lấy được số chia hết cho 6. 13 17 2 11 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 60 45 9 45 Lời giải. Không gian mẫu là A36 − A25 = 180 Giả sử số có ba chữ số đôi một khác nhau là abc Trường hợp c = 0 có 10 số Trường hợp c = 2 có 10 số Trường hợp c = 4 có 12 số Trường hợp c = 6 có 7 số 13 10 + 10 + 12 + 7 = Vậy P = 180 60  Chọn đáp án A Câu 38. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 2C0n + 5C1n + 8C2n + · · · + (3n + 2)Cnn = 1600. A. 5. B. 10. C. 7. D. 8. Lời giải. Ta có: 2n = C0n + C1n + · · · + Cnn . n! (n − 1)! Ta có: kCkn = k · =n· = nCk−1 n−1 . k!(n − k)! (k − 1)!(n − k)! Suy ra: n n n n n X X X X X k k k k (3k + 2)Cn = 3 kCn + 2 Cn = 3 kCn + 2 Ckn k=0 k=0 n X = 3n k=1 k=0 Ck−1 n−1 + 2 n X k=1 k=0 Ckn = 3n · 2n−1 + 2 · 2n k=0 3n Từ đó ta có: 3n · 2n−1 + 2 · 2n = 1600 ⇔ + 2 − 1600 · 2−n = 0. 2 3x Xét hàm số: f (x) = + 2 − 1600 · 2−x với x ≥ 1. 2 3 Ta có: f 0 (x) = + 1600 · 2−x > 0, ∀x ≥ 1. Do đó, f (x) là hàm đồng biến. 2 Lại có: f (7) = 0 nên x = 7 là nghiệm duy nhất của phương trình f (x) = 0. Vậy n = 7. Chọn đáp án C  Trang 15/61 − Mã đề 142 Câu 39. Một nhóm gồm 11 học sinh trong đó có An, Bình, Cường tham gia một trò chơi đòi hỏi 11 bạn phải xếp thành một vòng tròn. Tính xác suất để ba bạn An, Bình, Cường không có bạn nào xếp cạnh nhau. 11 7 2 4 . B. . C. . D. . A. 15 15 15 3 Lời giải. Ta có n(Ω) = 10!. Số cách xếp chỗ ngồi sao cho cả bạn An, Bình, Cường ngồi cạnh nhau là: 3! · 8!. Số cách xếp sao cho có đúng hai trong ba bạn An, Bình, Cường ngồi cạnh nhau là: 3 (2! · 7 · 8!). 3! · 8! + 3 (2! · 7 · 8!) 7 Vậy xác suất cần tìm bằng 1 − = . 10! 15 Chọn đáp án C  Câu 40. Cho một đa giác (H) có 60 đỉnh nội tiếp đường tròn (O). Người ta lập một tứ giác lồi tùy ý có bốn đỉnh là các đỉnh của (H). Xác suất để lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của (H) gần với số nào nhất trong các số sau? A. 85, 40%. B. 40, 35%. C. 13, 45%. D. 80, 70%. Lời giải. Gọi các đỉnh của đa giác là A1 A2 . . . A60 Ta đi tìm các tứ giác lồi có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác. Ta xét các trường hợp sau: TH1: Tứ giác có một cạnh là cạnh của đa giác • Tứ giác có ba đỉnh A1 A2 A4 , số cách chọn đỉnh còn lại là C154 . • Tứ giác có ba đỉnh A1 A2 A5 , số cách chọn đỉnh còn lại là C153 . . . . • Tứ giác có ba đỉnh A1 A2 A57 , số cách chọn đỉnh còn lại là C11 .
Tương tự với cạnh còn lại. Vậy trường hợp này có 60 C154 + C153 + · · · + C11 = 89100 (tứ giác). TH2: Tứ giác có hai cạnh là hai cạnh của đa giác. Xét hai khả năng xảy ra • Nếu hai cạnh đó là hai cạnh kề nhau khi đó có 60 · C155 ( tứ giác). • Nếu hai cạnh đó không kề nhau, thì mỗi cạnh A1 A2 có C155 cách chọn cạnh còn lại. Do 60 · C155 ( tứ giác). đó có 2 TH3: Tứ giác có 3 cạnh là ba cạnh của tứ giác. Khi đó ta có 60 tứ giác. Vậy số tứ giác lồi có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác là 89100+60· C155 + 60 · C155 +60 = 94110. 2 Số tứ giác có 4 cạnh là đường chéo của đa giác là C460 − 94110 = 393525. Vậy xác suất cần tìm là P (A) = 393525 = 0.807. C460 Chọn đáp án D  Câu 41. Cho đa giác đều 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là 1 1 1 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 55 14 220 4 Lời giải. • Số phần tử của không gian mẫu n (Ω) = C312 = 220. Trang 16/61 − Mã đề 142 • Ta chia 12 đỉnh của đa giác đều thành ba nhóm, cứ 4 đỉnh liền nhau tạo thành một nhóm. Mỗi nhóm ta chọn ra 1 đỉnh sao cho chúng cách đều nhau suy ra có 4 tam giác đều ⇒ n(A) = 4. • Xác suất P (A) = n(A) 4 1 = = . n (Ω) 220 55 Chọn đáp án A  Câu 42. Cho 16 phiếu ghi các số thứ tự từ 1 đến 16. Lấy lần lượt 8 phiếu không hoàn lại, gọi ai là số ghi trên phiếu thứ i lấy được (1 ≤ i ≤ 8). Tính xác suất P để 8 phiếu lấy được thỏa mãn a1 < a2 < · · · < a8 và không có bất kỳ hai phiếu nào có tổng các số bằng 17. 38 38 28 28 B. P = 8 . C. P = 8 . D. P = 8 . A. P = 8 . C16 C16 A16 A16 Lời giải. Ta có |Ω| = A816 . Do 8 phiếu lấy được thỏa mãn điều kiện a1 < a2 < · · · < a8 , nên ta có thể xem 8 phiếu lấy được như là một tập con của tập có 16 phần tử. Gọi S = {1, 2, 3, . . . , 16} và E ⊂ S thỏa mãn yêu cầu bài toán. Từ 1 đến 16 có 8 cặp số có tổng bằng 17 chia thành hai tập tương ứng là M = {1, 2, . . . , 8} và N = {16, 15, . . . , 9}. Nếu E có k phần tử thuộc M thì có Ck8 cách chọn và khi đó E sẽ có tối đa 8 − k phần tử thuộc N nên có 28−k cách chọn, với k ∈ {0, 1, ..., 8}. 38 Vậy số tập hợp E thỏa mãn yêu cầu bài toán là C08 · 28 + C18 · 27 + · · · + C88 · 20 = 3 ⇒ P = 8 . A16 Chọn đáp án C  Câu 43. Có 5 học sinh lớp A, 5 học sinh lớp B được xếp ngẫu nhiên vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế (xếp mỗi học sinh một ghế). Tính xác suất để xếp được 2 học sinh bất kì cạnh nhau và đối diện nhau khác lớp. 25 (5!)2 2(5!)2 (5!)2 5! . B. . C. . D. . A. 10! 10! 10! 10! Lời giải. 1 2 3 4 5 Ta đánh số các ghế như hình vẽ bên. Không gian mẫu là n(Ω) = 10!. Có hai phương án xếp thỏa yêu cầu bài toán. 10 9 8 7 6 • Phương án 1: Ghế lẻ xếp học sinh lớp A, ghế chẵn xếp học sinh lớp B khi đó 2 học sinh ngồi cạnh hoặc đối diện nhau khác lớp có 5!5! cách. • Phương án 2: Đảo lại ghế lẻ xếp học sinh lớp B, ghế chẵn xếp học sinh lớp A khi đó cũng có 5!5! cách. Suy ra số tổng số các phương án thỏa mãn là 2(5!5!) cách. 2(5!5!) 2(5!)2 Vậy xác suất là P = = . 10! 10! Chọn đáp án C  Câu 44. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có mặt chữ số 0 và 1. 41 25 25 10 A. . B. . C. . D. . 81 81 1944 27 Lời giải. Ta có không gian mẫu n (Ω) = 9A59 = 136080. Gọi biến cố A: “Số được chọn có mặt chữ số 0 và 1”. Số cần tìm có dạng là: abcdef (a 6= 0). Trường hợp 1: a = 1. Khi đó số 0 có 5 cách chọn vị trí. Trang 17/61 − Mã đề 142 Các chữ số còn lại có A48 cách chọn Vậy có 5 · A48 = 8400 số. Trường hợp 2: a 6= 1. Khi đó số 1 có 5 cách chọn vị trí. Số 0 có 4 cách chọn vị trí. Các chữ số còn lại có A48 cách chọn Vậy có 5 · 4 · A48 = 33600. Do đó n(A) = 8400 + 33600 = 42000. Xác suất để số được chọn có mặt chữ số 0 và 1 là P(A) = 42000 25 n(A) = = . n (Ω) 136080 81  Chọn đáp án B Câu 45. Từ một hộp có 4 bút bi màu xanh, 5 bút bi màu đen và 6 bút bi màu đỏ, chọn ngẫu nhiên 5 bút. Xác suất để 5 bút được chọn chỉ có đúng hai màu là 118 272 460 119 A. . B. . C. . D. . 429 1001 1001 429 Lời giải. Gọi A là biến cố: “5 bút được chọn có đúng hai màu”. Ta có n (Ω) = C515 . Vì 5 bút được chọn có đúng hai màu nên có 3 trường hợp: TH1: Có đúng hai màu xanh và đen: - Chọn 5 bút trong hai màu xanh, đen (có 9 bút), có C59 cách chọn - Trong C59 cách chọn 5 bút trên, có C55 cách chọn cả 5 bút đều màu đen và không có cách chọn nào để cả 5 bút đều màu xanh. Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu xanh và đen bằng C59 − C55 . TH2: Có đúng hai màu đen và đỏ: - Chọn 5 bút trong hai màu đen, đỏ (có 11 bút), có C511 cách chọn - Trong C511 cách chọn 5 bút trên, có C55 cách chọn cả 5 bút đều màu đen và C56 cách chọn cả 5 bút đều màu đỏ. Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu đỏ và đen bằng C511 − C55 − C56 . TH3: Có đúng hai màu đỏ và xanh: - Chọn 5 bút trong hai màu đỏ, xanh (có 10 bút), có C510 cách chọn - Trong C510 cách chọn 5 bút trên, có C56 cách chọn cả 5 bút đều màu đỏ và không có cách chọn cả 5 bút đều màu xanh. Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu đỏ và xanh bằng C510 − C56 . (C5 − C55 ) + (C511 − C55 − C56 ) + (C510 − C56 ) 118 Vậy P(A) = 9 = . 5 C15 429 Chọn đáp án A  Câu 46. Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn 100◦ ? D. 2018 · C2896 . A. 2018 · C3895 . B. 2018 · C3897 . C. C31009 . Lời giải. Xét đa giác đều A1 A2 · · · A2018 nội tiếp đường tròn (O). Khi đó, cácđỉnh của ◦ đa giác chia đường 180 tròn (O) thành 2018 cung nhỏ bằng nhau, mỗi cung có số đo bằng . 1009 Xét tam giác Ai A1 Aj với 2 ≤ i < j ≤ 2018. Khi đó  ◦ 1 180 A . i A1 Aj = (j − i) · 2 1009 Do đó  ◦ 1 180 10 · 1009 A > 100◦ ⇔ j − i > i A1 Aj > 100 ⇔ (j − i) · 2 1009 9 ⇔ j − i > 1121 ⇔ 2 ≤ i < j − 1121 ≤ 897. (1) ◦ Trang 18/61 − Mã đề 142 ◦ Số tam giác Ai A1 Aj thoản mãn A i A1 Aj > 100 chính bằng số cách chọn cặp (i; j) thỏa (1) và có C2896 cách chọn cặp (i; j). Do đó có tất cả 2018 · C2896 số tam giác thỏa yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án D Câu 47. Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được 5 ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng. 3 7 4 1 A. . B. . C. . D. . 4 8 5 2 Lời giải. Gọi thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván là hai người đã đánh được i ván và gọi Aij , j ∈ {1; 2} là biến cố ở ván thứ i,
người thứ j thắng.
Vậy xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng là: P A(i+1)1 + P A(i+1)1 ∩ A(i+2)1 +
1 1 1 1 1 1 7 P A(i+1)1 ∩ A(i+2)1 ∩ A(i+3)1 = + . + . . = . 2 2 2 2 2 2 8  Chọn đáp án B Câu 48. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Thầy lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn. Tính xác suất để sau khi tặng xong mỗi thể loại văn học, âm nhạc, hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn. 113 1 3 115 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 132 2 4 132 Lời giải. • Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là A612 . • Số cách lấy ra 6 cuốn sách ngẫu nhiên bất kì trong 12 cuốn là C612 . • Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại trong ba loại sách văn học, âm nhạc, hội họa là C67 + C68 + C69 . • Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại văn học, âm nhạc, hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn là C612 − (C67 + C68 + C69 ) . • Số cách tặng sách thỏa đề bài là 6! · [C612 − (C67 + C68 + C69 )] . Vậy xác suất cần tính bằng P= 6! · [C612 − (C67 + C68 + C69 )] 115 = . 6 A12 132  Chọn đáp án D Câu 49. Từ các chữ số thuộc tập hợp S = {1, 2, 3, . . . , 8, 9} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số khác nhau sao cho chữ số 1 đứng trước chữ số 2, chữ số 3 đứng trước chữ số 4 và chữ số 5 đứng trước chữ số 6? A. 22680. B. 45360. C. 72576. D. 36288. Lời giải. • Số các số có chín chữ số khác nhau là 9!. Trong 9! số này, số các số mà chữ số 1 đứng trước chữ số 2 hoặc chữ số 1 đứng sau chữ số 2 là bằng nhau. Do đó, số các số mà chữ số 1 đứng 9! trước chữ số 2 là . 2 • Tương tự, số các số mà chữ số 1 đứng trước chữ số 2 và chữ số 3 đứng trước chữ số 4 là 9! . 4 Trang 19/61 − Mã đề 142 • Số các số cần tìm là 9! = 45360. 8  Chọn đáp án B Câu 50. Lớp 10 X có 25 học sinh, chia lớp 10 X thành hai nhóm A và B sao cho mỗi nhóm đều có học sinh nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên hai học sinh từ hai nhóm, mỗi nhóm một học sinh. Tính xác suất để chọn được hai học sinh nữ. Biết rằng, trong nhóm A có đúng 9 học sinh nam và xác suất chọn được hai học sinh nam bằng 0,54. A. 0,42. B. 0,46. C. 0,04. D. 0,23. Lời giải. A 9 nam B b nữ c nam 25 − 9 − b − c nữ Gọi số học sinh nam ở nhóm B là c (c ∈ N∗ ) và b (b ∈ N∗ ) là số học sinh nữ ở nhóm A. Số phần tử của không gian mẫu là n (Ω) = (9 + b) (c + 25 − 9 − b − c) = (9 + b) (16 − b). Gọi T là biến cố chọn được hai học sinh nam. Suy ra n (T ) = 9c. 3 c 9c = 0,54 ⇔ = . Theo giả thiết suy ra (9 + b) (16 − b) 50 (9 + b) (16 − b)  2 9 + b + 16 − b Do (9 + b) (16 − b) ≤ < 200 nên (9 + b) (16 − b) ∈ {50; 100; 150}. 2 Thử các trường hợp ta chỉ có trường hợp c = 9 và b = 1 hoặc b = 6 thỏa mãn. 6·1 = 0,04. Vậy xác suất chọn được hai học sinh nữ là 150 Chọn đáp án C  Câu 51. Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn đúng ngẫu nhiên 8 tấm thẻ, tính xác suất để chọn được 5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn trong đó có đúng 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 3. Kết quả đúng là 126 308 84 308 . B. . C. . D. . A. 1105 20995 969 1105 Lời giải. Số cách chọn 8 tấm thẻ trong 20 tấm thẻ là |Ω| = C820 = 125970 (cách). Gọi A là biến cố “5 tấm thẻ mang số lẻ, 3 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có đúng 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 3". Nhận xét: Trong 20 tấm thẻ có 10 tấm thẻ mang số chẵn, 10 tấm thẻ mang số lẻ và 6 tấm mang số chia hết cho 3. Để tìm số phần tử của A ta xét bốn trường hợp sau: • TH1: Có 5 tấm thẻ mang số lẻ không chia hết cho 3 và 3 tấm thẻ chẵn chia hết cho 3. Số cách chọn là C57 C33 = 21 (cách chọn). • TH2: Có 4 tấm thẻ mang số lẻ không chia hết cho 3, 1 tấm thẻ lẻ chia hết cho ba, 1 tấm thẻ chẵn không chia hết cho 3 và 2 tấm thẻ chẵn chia hết cho 3. Số cách chọn là C47 C13 C17 C23 = 2205 (cách chọn). • TH3: Có 3 tấm thẻ mang số lẻ không chia hết cho 3, 2 tấm thẻ mang số lẻ chia hết cho 3, 2 tấm thẻ chẵn không chia hết cho 3 và 1 tấm thẻ chẵn chia hết cho 3. Số cách chọn là C37 C23 C27 C13 = 6615 (cách chọn). • TH4: Có 2 tấm thẻ lẻ không chia hết cho 3, 3 tấm thẻ lẻ chia hết cho 3, 3 tấm thẻ chẵn không chia hết cho 3. Số cách chọn là C27 C33 C37 = 735 (cách chọn). Suy ra, số phần tử của biến cố A là |ΩA | = 21 + 2205 + 6615 + 735 = 9576. |ΩA | 9576 84 Vậy xác suất cần tìm là P (A) = = = . |Ω| 125970 1105 Chọn đáp án D  Trang 20/61 − Mã đề 142 Câu 52. Xếp 10 quyển sách tham khảo khác nhau gồm: 1 quyển sách Văn, 3 quyển sách tiếng Anh và 6 quyển sách Toán (trong đó có hai quyển Toán T1 và Toán T2) thành một hàng ngang trên giá sách. Tính xác suất để mỗi quyển sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai quyển sách Toán, đồng thời hai quyển Toán T1 và toán T2 luôn được xếp cạnh nhau. 1 1 1 1 . B. . C. . D. . A. 450 210 300 600 Lời giải. Số phần tử không gian mẫu bằng số cách xếp túy ý 10 cuốn sách thành một hàng ngang: 10! cách. Trước hết ta xếp hai cuốn Toán T1 và Toán T2 đứng cạnh nhau thành một xem như một vị trí kí hiệu là T có 2! cách. Bây giờ xếp T với bốn cuốn sách Toán còn lại có 5! cách xếp. Khi đó 3 cuốn sách tiếng Anh sẽ được xếp vào 3 trong 4 khoảng trống giữa các cuốn sách Toán vừa xếp nên có A34 cách xếp. Cuối cùng quyển sách Văn chỉ có thể xếp vào một trong ba vị trí để thỏa đề bài. Vậy số cách xếp thỏa đề bài bằng 2! · 5! · A34 · 3. Vậy xác suất cần tính bằng P(A) = 1 2! · 5! · A34 · 3 = . 10! 210  Chọn đáp án B Câu 53. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A, tính xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 45. 1 53 2 5 . B. . C. . D. . A. 162 36 2268 81 Lời giải. Ta có n (A) = A810 − A79 . Gọi B là tập hợp các số b có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 45. Khi đó b chia hết cho 5 và 9 (tổng các chữ số chia hết cho 9 và số hàng đơn vị bằng 0 hoặc 5 ). Trường hợp 1: b có hàng đơn vị bằng 0; 7 chữ số còn lại có chữ số 9 và 3 trong 4 bộ số {1; 8}, {2; 7}, {3; 6}, {4; 5}, có 4 · 7! số. Trường hợp 2: b có hàng đơn vị bằng 5; 7 chữ số còn lại có chữ số 4 và 3 trong 4 bộ số {0; 9}, {1; 8}, {2; 7}, {3; 6}. * Không có bộ {0; 9}, có 7! số. * Có bộ {0; 9}, có C23 (7! − 6!) số. ⇒ n(B) = 5 · 7! + C23 (7! − 6!). 5 · 7! + C23 (7! − 6!) 53 ⇒ P(B) = = . 8 7 A10 − A9 2268 Chọn đáp án C  Câu 54. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm 2011 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9? A. 102010 − 16153 · 92008 . B. 102010 − 16151 · 92008 . C. 102010 − 16161 · 92008 . D. 102010 − 16148 · 92008 . Lời giải. Đặt A1 = {0; 9}; A2 = {1}; A3 = {2}; A4 = {3}; A5 = {4}; A6 = {5}; A7 = {6}; A8 = {7}; A9 = {8}. Gọi số cần tìm là n = a1 a2 . . . a2010 a2011 (a1 6= 0). • Xét các số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số – Mỗi vị trí từ a2 đến a2011 đều có 10 cách chọn. – a1 phụ thuộc vào tổng (a2 + a3 + · · · + a2011 ) nên có 1 cách chọn. Vậy có 102010 số. • Xét các số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số nhưng không có mặt chữ số 9. Trang 21/61 − Mã đề 142 – a1 có 8 cách chọn. – Từ a2 đến a2010 , mỗi vị trí đều có 9 cách chọn. – a2011 có 1 cách chọn. Vậy có 8 · 92009 số. • Xét các số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số trong đó có đúng 1 chữ số 9. – Trường hợp a1 = 9 ta có: ∗ Từ a2 đến a2010 , mỗi vị trí đều có 9 cách chọn. ∗ a2011 có 1 cách chọn. Do đó có 92009 số. – Trường hợp a1 6= 9 ta có: ∗ a1 có 8 cách chọn. ∗ Có 2010 cách xếp chữ số 9. ∗ Ở 2008 vị trí còn lại, mỗi vị trí có 9 cách chọn. ∗ Vị trí cuối cùng có 1 cách chọn. Do đó có 8.2010 · 92008 số. Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là
102010 − 8 · 92009 + 92009 + 8 · 2010 · 92008 = 102010 − 16161 · 92008 số. Chọn đáp án C  Câu 55. Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M . Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng thời thỏa mãn a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 . 74 37 35 37 A. . B. . C. . D. . 3402 34020 34020 34020 Lời giải. Gọi A là biến cố “chọn ra được một số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 ”. Khi đó: n(M ) = 9 · A59 (số có sáu chữ số đôi một khác nhau thì a1 có chín cách chọn, a2 a3 a4 a5 a6 là chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử nên có A59 ). • TH1: a6 = 0 thì a1 a2 a3 a4 a5 có C59 cách chọn. • TH2: a6 = 2 thì a1 a2 a3 a4 a5 có C57 cách chọn. • TH3: a6 = 4 thì a1 a2 a3 a4 a5 có C55 cách chọn. ⇒ n(A) = C59 + C57 + C55 = 148 n(A) 148 37 Do đó P(A) = = = . 5 n (Ω) 9 · A9 34020 Chọn đáp án C  Câu 56. Trong một hình tứ diện ta tô màu các đỉnh, trung điểm các cạnh, trọng tâm các mặt và trọng tâm tứ diện. Chọn ngẫu nhiên 4 điểm trong các điểm đã tô màu, tính xác suất để 4 điểm được chọn là 4 đỉnh của tứ diện. 245 136 188 1009 A. . B. . C. . D. . 273 195 273 1365 Lời giải. Có 4 đỉnh, 4 trọng tâm của các mặt, 6 trung điểm của các cạnh và 1 trọng tâm của tứ diện. Vậy để lấy 4 điểm trong các điểm đã tô màu ta có C415 = 1365 cách. Gọi biến cố A: “4 điểm được chọn là 4 đỉnh của tứ diện”. ⇒ A: “4 điểm được chọn không là 4 đỉnh của tứ diện”. Trang 22/61 − Mã đề 142 • Xét trong 1 mặt của tứ diện có 3 đỉnh, 3 trung điểm và 1 trọng tâm của mặt đó. Vậy để lấy 4 điểm thuộc tập trên ta có C47 = 35 cách. Vì có 4 mặt nên ta có 4 × 35 = 140 cách. • Xét mặt phẳng chứa một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện: có 6 mặt và mỗi mặt có 7 điểm. Để lấy 4 điểm thuộc tập trên ta có 6C47 = 210 cách. • Xét mặt phẳng chứa 1 đỉnh và đi qua 2 trung điểm của 2 cạnh không đi qua đỉnh đó: có 12 mặt và mỗi mặt có 5 điểm. Để lấy 4 điểm thuộc tập trên ta có 12C45 = 60 cách. • Xét mặt phẳng đi qua 4 trung điểm của 2 cặp cạnh đối: có 3 mặt và mỗi mặt có 5 điểm. Để lấy 4 điểm thuộc tập trên ta có 3C45 = 15 cách. Vậy xác suất của biến cố A là P(A) = 1 − P(A) = 1 − 425 188 = . 1365 273  Chọn đáp án C Câu 57. Một túi đựng 10 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi đó. Xác suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 bằng 1 2C33 + C34 A. . B. . 3 C310 2C13 C13 C14 2C33 + C34 + C13 C13 C14 C. . D. . C310 C310 Lời giải. Gọi A0 = {3; 6; 9}, A1 = {1; 4; 7; 10}, A2 = {2; 5; 8}. Để ba số nhận được có tổng chia hết cho 3, ta có các trường hợp i) Lấy ba phần tử từ A0 hoặc lấy ba phần tử từ A1 hoặc lấy ba phần tử từ A2 , trường hợp này có 2C33 + C34 cách. ii) Chọn từ mỗi tập A0 , A1 , A2 đúng một phần tử, trường hợp này có C13 C13 C14 cách. 2C33 + C34 + C13 C13 C14 Vậy xác suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 bằng C310 Chọn đáp án D  Câu 58. Gọi S là tập các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ A = {0; 1; 2; . . . ; 9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 7875. 18 4 1 1 B. . C. . D. . A. 10 . 4 5 3 · 10 15000 5000 Lời giải. Ta có 7875 = 33 · 53 · 7. Gọi số cần lập là a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Ta có n(Ω) = 9 · 105 . A: “Chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 7875”. Để có a1 · a2 · · · a6 = 32 · 53 · 7 chỉ có các trường hợp • Trường hợp 1: Lập từ 3; 3; 5; 5; 5; 7 ⇒ có 6! = 60 số. 2! · 3! • Trường hợp 2: Lập từ 9; 1; 5; 5; 5; 7 ⇒ có 6! = 120 số. 3! ⇒ n(A) = 180. Vậy P (A) = Chọn đáp án D 1 . 5000  Câu 59. Biết rằng khi khai triển nhị thức Niutơn  n  2  3 √ √ n √ n−1 1 √ n−2 √ n−3 1 1 1 x+ √ = a0 · x + a1 · x ·√ + a2 · x · √ + a3 · x · √ + ··· 4 4 4 24x x x x Trang 23/61 − Mã đề 142 (với n là số nguyên lớn hơn 1) thì ba số a0 , a1 , a2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Hỏi trong khai triển trên, có bao nhiêu số hạng mà lũy thừa của x là một số nguyên. A. 2. B. 4. C. 1. D. 3. Lời giải. 1 1 Ta có ba số a0 = 1, a1 = C1n , a2 = 2 C2n lập thành một cấp số cộng nên: 2 2 n(n − 1) 1 = n ⇔ n2 − 9n + 8 = 0 ⇔ n = 8. 1 + 2 C2n = C1n ⇔ 1 + 2 8 Vậy số hạng tổng quát có dạng √ k Tk = Ck8 x 1 Ck8 k − 8−k Ck8 3k−8 2 4 = = x x 4 (k = 0, 1, . . . , 8) . √ 8−k 28−k 28−k 28−k 4 x 3k − 8 3k . . = − 2 là số nguyên khi và chỉ khi 3k .. 4 ⇒ k .. 4 ⇒ k ∈ {0; 4; 8}. Vậy có ba số 4 4 hạng mà lũy thừa của x là một số nguyên.  Chọn đáp án D Ta có Câu 60. Trong trận đấu bóng đá giữa hai đội U23 Việt Nam và U23 Iraq, trọng tài cho đội Iraq được hưởng một quả đá phạt 11m. Cầu thủ sút phạt ngẫu nhiên vào một trong bốn vị trí 1, 2, 3, 4 và thủ môn bay người cản phá ngẫu nhiên đến một trong bốn vị trí đó với xác suất như nhau (thủ môn và cầu thủ sút phạt đều không đoán được ý định của đối phương). Biết nếu cầu thủ sút và thủ môn bay cùng vào vị trí 1 hoặc 2 thì thủ môn cản phá được cú sút đó, nếu cùng vào vị trí 3 hoặc 4 thì xác suất cản phá thành công là 50%. Tính xác suất để cú sút đó không vào lưới. 4 3 1 2 1 3 1 5 . B. . C. . D. . 8 16 4 16 Lời giải. Gọi Ai là biến cố cầu thủ sút vào vị trí i; Bi là biến cố thủ môn bay người đến vị trí i (i = 1, 2, 3, 4). 1 Dễ thấy P(Ai ) = P(Bi ) = . Gọi C là biến cố cú sút không vào lưới. Ta có 4 1 3 1 P(C) = P(A1 )P(B1 ) + P(A2 )P(B2 ) + P(A3 )P(B3 ) + P(A4 )P(B4 ) = . 2 2 16 A. Chọn đáp án B  Câu 61. Cho một đa giác lồi (H) có 30 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đó. Gọi P là xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của (H). Hỏi P gần với số nào nhất trong các số sau? A. 0.6294. B. 0.4176. C. 0.5287. D. 0.6792. Lời giải. Số cách chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh trong 30 đỉnh là C430 = 27405. Xét tứ giác lồi A1 Ax Ay Az . Để 4 cạnh là đường chéo thì 3 ≤ x < y − 1 < z − 2 ≤ 27. Như vậy, ta có C325 cách chọn bộ (x; y; z). Suy ra có C325 tứ giác lồi A1 Ax Ay Az . Vậy có 30 × C325 tứ giác lồi có các cạnh là đường chéo. 30 · C325 Tuy nhiên, mỗi tứ giác lồi bị lặp lại 4 lần nên sẽ có = 17250 tứ giác thỏa mãn. Vậy 4 17250 P = ≈ 0.6294 27405  Chọn đáp án A Trang 24/61 − Mã đề 142 Câu 62. Cho khai triển P (x) = (1 + x) (1 + 2x) (1 + 3x) . . . (1 + 2017x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + 1 a2017 x2017 . Tính T = a2 + (12 + 22 + · · · + 20172 ). 2  2 2  2  2  2016 · 2017 1 2017 · 2018 1 2016 · 2017 2017 · 2018 . B. . C. . D. . A. 2 2 2 2 2 2 Lời giải. Ta có: a2 = 1 · (1 + 2 + 3 + · · · + 2017) + 2 · (3 + 4 + · · · + 2017) + · · · + 2015 · (2016 + 2017) + 2016 · 2017 = 1 · 0 + 2 · 1 + 3 · (1 + 2) + · · · + 2016 · (1 + 2 + · · · + 2015) + 2017 · (1 + 2 + · · · + 2016) ⇒ 2a2 = 1 · (1 + 2 + · · · + 2017) + 2 · (1 + 2 + · · · + 2017) + · · · + 2017 · (1 + 2 + · · · + 2017) − (12 + 22 + · · · + 20172 ) . Khi đó, ta có: 2a2 + (12 + 22 + · · · + 20172 ) 1 = T = a2 + (12 + 22 + · · · + 20172 ) = 2 2 1 = · [1 · (1 + 2 + · · · + 2017) + 2 · (1 + 2 + · · · + 2017) + · · · + 2017 · (1 + 2 + · · · + 2017)] = 2  2 1 2017.2018 2017 · 2018 1 2017 · 2018 = · · = . 2 2 2 2 2 Chọn đáp án C  Câu 63. Đội dự tuyển học sinh giỏi Toán của tỉnh A có n học sinh (n ∈ N, n > 4) trong đó có 2 học sinh nữ, tham gia kì thi để chọn đội tuyển chính thức gồm 4 người. Biết xác suất trong đội tuyển chính thức có cả hai học sinh nữ gấp 2 lần xác suất trong đội tuyển chính thức không có học sinh nữ nào. Tìm n. A. n = 11. B. n = 7. C. n = 5. D. n = 9. Câu 64. Chọn ngẫu nhiên hai số thực a, b ∈ [0; 1]. Tính xác suất để phương trình 2×3 −3ax2 +b = 0 có tối đa hai nghiệm. 2 1 3 1 B. P = . C. P = . D. P = . A. P = . 2 3 4 4 Lời giải. ” x=0 Xét y = 2×3 −3ax2 +b, y 0 = 0 ⇔ 6x(x−a) = 0 ⇔ . b b = a3 x=a 2 Yêu cầu bài toán ⇔ y(0) · y(a) ≥ 0 ⇔ b(b − a3 ) ≥ 0. Mà b ∈ [0; 1] nên b(b − a3 ) ≥ 0 ⇔ b ≥ a3 . b=1 B C 1 Ta thấy việc chọn ngẫu nhiên hai số a, b ∈ [0; 1] chính là việc chọn ngẫu nhiên một điểm M (a; b) khi xét trên hệ trục toạ độ aBb. a Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán. Ta có Ω là tập O −1 1A 2 hợp các điểm M (a; b) sao cho a, b ∈ [0; 1] và chính là các điểm thuộc hình vuông OACB trên hình vẽ, do đó −1 n(Ω) = SOACB = 1. n(A) là tập hợp các điểm thuộc hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đồ thị b = 1, b = a3 , a = 0 (phần gạch chéo trên đồ thị). Xét phương trình hoành độ giao điểm a3 = 1 ⇔ a = 1.  1 Z1 Z1 a4 1 3 3 3 ⇒ n(A) = |1 − a | dx = (1 − a ) dx = a − =1− = . 4 0 4 4 0 0 3 3 Vậy xác suất cần tìm là P = 4 = . 1 4 Chọn đáp án D  Câu 65. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác nhau chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần? Trang 25/61 − Mã đề 142 A. 84600. B. 151200. C. 786240. D. 907200. Lời giải. Có C35 cách sắp xếp ba chữ số 0. Sau khi sắp xếp ba chữ số 0, có A59 cách chọn các chữ số còn lại. Vậy có C35 · A59 = 151200 số. Chọn đáp án B  Câu 66. Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018, mỗi phòng thi gồm 24 thí sinh xếp vào 24 chiếc bàn khác nhau. Bạn An là một thí sinh dự thi 4 môn (Toán, Văn, Ngoại Ngữ, Khoa học tự nhiên), cả 4 lần thi đều thi tại 1 phòng thi duy nhất. Giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để trong 4 lần thi An có đúng 2 lần ngồi vào cùng 1 vị trí. 23 253 899 253 A. . B. . C. . D. . 2304 6912 1152 1152 Lời giải. 1 Xác suất để bạn An ngồi vào một vị trí nào đó là . Xác suất để bạn An ngồi đúng 2 lần vào 1 24  2 1 23 22 253 vị trí là 24 · · · · C24 = . 24 24 24 1152 Chọn đáp án D  Câu 67. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần? A. 846000. B. 786240. C. 151200. D. 907200. Lời giải. Cách 1. Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9) và sắp xếp chúng theo thứ tự có A59 cách. Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí). Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0. Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có C35 cách. Vậy có A59 C35 = 151200 số cần tìm. Cách 2 Gọi số cần tìm có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 . • Chọn vị trí của 3 chữ số 0 trong 7 vị trí (trừ a1 ). Vì giữa 2 chữ số 0 luôn có ít nhất 1 chữ số khác 0 nên chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để điền các số 0, sau đó thêm vào giữa 2 số 0 gần nhau 1 vị trí nữa. Suy ra số cách chọn là C35 = 10. • Chọn các số còn lại, ta chọn bộ 5 chữ số trong 9 chữ số từ 1 đến 9, có A59 cách chọn. Vậy có tất cả 10 · A59 = 151200 số cần tìm. Chọn đáp án C  Câu 68. Từ các chữ số {0,1,2,3,4,5,6} viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Xác suất p để viết được số thỏa mãn điều kiện a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 là 4 4 3 5 A. p = . B. p = . C. p = . D. p = . 135 85 20 158 Lời giải. Các cặp số {a1 , a2 }; {a3 , a4 }; {a5 , a6 } thỏa mãn bài toán a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 là Trường hợp 1: {0, 6}; {1, 5}; {2, 4} Trường hợp 2: {0, 5}; {1, 4}; {2, 3} Trường hợp 3: {1, 6}; {2, 5}; {3, 4} Khi đó không gian mẫu là n (Ω) = 6 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 4320. Số các số thỏa mãn bài toán kể cả trường hợp a1 = 0 khi đó số các số là 3 · (2!)3 · 3!. Khi a1 = 0 khi đó số các số là 2 · (2!)2 · 2!. Suy ra số các số thỏa mãn bài toán là 144 − 16 = 128. 128 4 Do đó p = = . 4320 135 Chọn đáp án A  Trang 26/61 − Mã đề 142 Câu 69. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần? A. 907200. B. 151200. C. 786240. D. 846000. Lời giải. Cách 1. Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9) và sắp xếp chúng theo thứ tự có A59 cách. Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí). Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0. Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có C35 cách. Vậy có A59 C35 = 151200 số cần tìm. Cách 2 Gọi số cần tìm có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 . • Chọn vị trí của 3 chữ số 0 trong 7 vị trí (trừ a1 ). Vì giữa 2 chữ số 0 luôn có ít nhất 1 chữ số khác 0 nên chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để điền các số 0, sau đó thêm vào giữa 2 số 0 gần nhau 1 vị trí nữa. Suy ra số cách chọn là C35 = 10. • Chọn các số còn lại, ta chọn bộ 5 chữ số trong 9 chữ số từ 1 đến 9, có A59 cách chọn. Vậy có tất cả 10 · A59 = 151200 số cần tìm. Chọn đáp án B  Câu 70. Từ các chữ số 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt và chia hết cho 3? A. 360. B. 2520. C. 480. D. 720. Lời giải. Tổng các chữ số trên bằng 34. Để 5 chữ số có tổng chia hết cho 3 ta bỏ đi hai chữ số mà có tổng chia 3 dư 1. Có 6 bộ như vậy: (1; 3), (2; 5), (1; 6), (2; 8), (1; 9), (5; 8). Vậy có tất cả 6 · 5! = 720 số.  Chọn đáp án D Câu 71. Cho đa giác đều 20 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn tạo thành một hình chữ nhật nhưng không phải là hình vuông. 12 3 1 8 . B. . C. . D. . A. 969 1615 323 57 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = C420 = 4845. Gọi A là biến cố “4 đỉnh được chọn là hình chữ nhật nhưng không phải hình vuông”. Một hình chữ nhật được sinh ra bằng cách chọn 2 đường chéo trong 10 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều. Khi đó số hình chữ nhật được tạo thành là C210 = 45. Trong các hình chữ nhật được tạo thành ở trên nếu như hai đường chéo vuông góc sẽ tạo thành hình vuông. Mỗi đường chéo qua tâm của đa giác đều có đúng một đường chéo khác vuông góc 10 với nó nhưng đếm như vậy thì hình vuông tính 2 lần suy ra có = 5 hình vuông. 2 Số phần tử của biến cố A là n(A) = 45 − 5 = 40. 40 8 n(A) Xác suất của biến cố A là P (A) = = = . n(Ω) 4845 969 Chọn đáp án A  Câu 72. Trong một trò chơi tập thể, lớp trưởng cần chia học sinh vào nhóm 1,2,3,4. Để tạo sự thú vị mà không phải bốc thăm, bạn ấy nghĩ ra một cách là cho mỗi người trả lời 3 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 3 đáp án A, B, C. Khi thống kê kết quả trả lời, ai chọn đáp án A hoặc B hoặc C nhiều nhất thì theo thứ tự sẽ được xếp vào nhóm 1,2,3; còn ai chọn đủ cả 3 đáp án thì vào nhóm 4. Biết rằng xác suất chọn câu trả lời của mỗi người cho mỗi câu hỏi là như nhau. Hỏi khẳng định nào sao đây là sai? A. Xác suất vào các nhóm 1,2,3 là bằng nhau. Trang 27/61 − Mã đề 142 B. Mỗi thành viên đều sẽ được chia vào một trong bốn nhóm với luật như trên. C. Nếu gọi a là xác suất vào nhóm 1 thì 1 − 3a là xác suất vào nhóm 4. D. Xác suất vào nhóm 4 là cao nhất. Lời giải. Không gian mẫu là n(Ω) = 3 · 3 = 9. Biến cố A “chọn đáp án A nhiều nhất” có số phần tử là n(A) = 7, tương tự n(B) = 7, n(C) = 7. Biến cố D “chọn đủ cả ba đáp án” có số phần tử là n(D) = 6. 7 7 7 6 Do đó xác suất vào nhóm 1,2,3,4 lần lượt là , , , . 9 9 9 9 Chọn đáp án D  Câu 73. Giải bóng chuyền VTV cup gồm 9 đội bóng trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C và mỗi bảng có 3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt nam ở 3 bảng khác nhau. 9 19 53 3 . B. . C. . D. . A. 56 28 28 56 Lời giải. Số cách bốc thăm mỗi bảng 3 đội là C39 .C36 .C33 cách. Để tính số cách chia mỗi bảng 3 đội sao cho mỗi đội bóng của Việt Nam nằm ở 3 bảng khác nhau ta chia ra hai công đoạn. Công đoạn 1: Chia 6 đội còn lại vào 3 bảng, mỗi bảng hai đội, có C26 .C24 .C22 cách. Công đoạn 2: Chia ba đội của Việt Nam vào 3 bảng có 6 cách. Vậy có 6.C26 .C24 .C22 cách chia thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy xác suất 6.C2 .C2 .C2 9 là P = 3 6 34 32 = C9 .C6 .C3 28 Chọn đáp án B  Câu 74. Cho đa giác đều (P ) có 20 đỉnh. Lấy tùy ý 3 đỉnh của (P ), tính xác suất để 3 đỉnh lấy được tạo thành tam giác vuông không có cạnh nào là cạnh của (P ). 7 3 5 7 . B. . C. . D. . A. 114 57 38 114 Lời giải. Số tam giác tạo thành từ 20 đỉnh là C320 , suy ra n(Ω) = C320 = 1140. Gọi A là biến cố “3 đỉnh lấy được tạo thành tam giác vuông không có cạnh nào là cạnh của (P )”. Số đường chéo của đa giác đều là 10. Mỗi đường chéo là cạnh huyền của tam giác vuông có đỉnh thứ ba là các đỉnh còn lại khác hai đỉnh của đường chéo. Số tam giác vuông là 18 · 10 = 180. Số tam giác vuông có một cạnh là cạnh của đa giác là 4 · 10 = 40. Suy ra số tam giác vuông tạo từ 20 đỉnh của đa giác đều mà không có cạnh nào là cạnh của đa giác là n(A) = 180 − 40 = 140. 140 7 n(A) = = . Vậy P(A) = n(Ω) 1140 57 Chọn đáp án B  Câu 75. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; . . . ; 100}. Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A, mỗi tập con này gồm có 3 phần tử của A và có tổng bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Xác suất chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân bằng 2 1 3 4 . B. . C. . D. . A. 1395 930 645 645 Lời giải. Tính n(Ω): Gọi 3 số lấy ra là (x1 ; x2 ; x3 ). Các số này phân biệt và không xếp vị trí. • Nếu x1( , x2 , x3 bất kỳ (tức là có thể bằng nhau). x1 + x2 + x3 = 91 Ta có Suy ra có C290 bộ nghiệm (có phân biệt vị trí). ∗ x1 ; x2 ; x3 ∈ N Trang 28/61 − Mã đề 142 • Nếu x1 , x2 , x3 có hai số bằng nhau: giả sử x1 = x2 . (Vì tổng 3 số bằng 91(6 .. 3 nên không thể xảy ra x1 = x2 = x3 ) x3 lẻ Có 2×1 + x3 = 91 ⇒ 1 ≤ x3 ≤ 89 (vì 2×1 ≥ 2) 89 − 1 + 1 = 45 số x3 . ⇒ có 2 Suy ra có 45 bộ 3 số có tổng bằng 91, không phân biệt vị trí (trong đó có 2 số bằng nhau) C2 − 45 × 3 ⇒ n(Ω) = 90 = 645. 3! Giả sử(S = {x1 ; x2 ; x3 }. x1 + x3 = 91 − x2 Ta có x1 · x3 = x22 Suy ra phương trình x2 − (91 − x2 )x + x22 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. ⇒ ∆ = (91 + x2 )(91 − 3×2 ) = k 2 , k ∈ N∗ ⇒ 2 ≤ x2 ≤ 30 ⇒ CASIO ⇒ x2 ∈ {9; 21; 26; 30}. Từ đó chọn được 4 phần tử của S để 3 phần tử lập thành cấp số nhân. 4 . ⇒P = 645 Chọn đáp án D  Câu 76. Một con súc sắc không cân đối, có đặc điểm mặt sáu chấm xuất hiện nhiều gấp hai lần các mặt còn lại. Gieo con súc sắc đó hai lần. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện trong hai lần gieo lớn hơn hoặc bằng 11 bằng bao nhiêu? 3 1 8 4 A. . B. . C. . D. . 49 12 49 9 Lời giải. Gọi p là xác suất xuất hiện mặt 1 chấm. Lúc đó xác suất xuất hiện mặt sáu chấm là 2p. 1 Ta có 5p + 2p = 1 hay p = . 7 Gọi A là biến cố tổng số chấm sau hai lần gieo lớn hơn hoặc bằng 11. Các trường hợp có thể xảy ra của A được biểu diễn bằng các bộ số (x; y) trong đó x là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ 1 và y là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ 2; như sau (5; 6), (6; 6), (6; 5). Xác suất của mỗi trường hợp trên lần lượt là 1 2 2 2 2 1 · , p2 = · , p3 = · . 7 7 7 7 7 7 8 Xác suất cần tìm là p = p1 + p2 + p3 = . 49 Chọn đáp án C p1 =  Câu 77. Cho tập X = {6, 7, 8, 9}. Gọi E là tập các số tự nhiên khác nhau có 2018 chữ số lập từ các số của tập X. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập E. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 3.         1 1 1 1 1 1 1 1 A. 1 + 2018 . B. 1 + 2017 . C. 1 + 4035 . D. 1 + 4036 . 3 2 3 2 3 2 3 2 Lời giải. Gọi số tự nhiên có 2018 chữ số lập được từ các số của X là a1 a2 . . . a2018 với ai ∈ X. Ta có a1 a2 . . . a2018 chia hết cho 3 khi và chỉ khi a1 + a2 + · · · + a2018 chia hết cho 3. Với i = 0; 1; 2 và n = 1; 2; . . . ; 2018 đặt S(n, i) = {(a1 , a2 , . . . , an ) | a1 + a2 + · · · + an chia cho 3 dư i} Trang 29/61 − Mã đề 142 và đặt An = S(n, 0), Bn = S(n, 1), Cn = S(n, 2). Ký hiệu |An | là số phần tử của tập An , với n = 1; 2; . . . , 2018. Khi đó ta có • A1 = S(1, 0) = {(ai ) | ai chia hết cho 3} = {(6); (9)} ⇒ |A1 | = 2. • B1 = S(1, 1) = {(ai ) | ai chia cho 3 dư 1} = {(7)} ⇒ |B1 | = 1. • C1 = S(1, 2) = {(ai ) | ai chia cho 3 dư 2} = {(8)} ⇒ |C1 | = 1. Xét phần tử (a1 , a2 , . . . , an , an+1 ) ∈ S(n + 1, 0). • Nếu an+1 = 6 hoặc an+1 = 9 thì (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ S(n, 0). • Nếu an+1 = 7 thì (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ S(n, 1). • Nếu an+1 = 8 thì (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ S(n, 2). Suy ra |An+1 | = 2|An | + |Bn | + |Cn | (1). Tương tự, ta có |Bn+1 | = |An | + 2|Bn | + |Cn | (2). |Cn+1 | = |An | + |Bn | + 2|Cn | (3). Từ (1), (2), (3), ta có |An+1 | + |Bn+1 | + |Cn+1 | = 4 (|An | + |Bn | + |Cn |) . Suy ra |An | + |Bn | + |Cn | = 4n (4) Do đó, số các số tự nhiên khác nhau có 2018 chữ số lập từ các số của tập X là |A2018 | + |B2018 | + |C2018 | = 42018 . Từ (1), (4) suy ra |An+1 | = |An | + 4n ⇒ |An+1 | = |A1 | + (4 + 42 + · · · + 4n ) = |A1 | + 4n+1 − 4 3 Suy ra |An+1 | = 2 + 4n+1 + 2 4n+1 − 4 = . 3 3 42018 + 2 . 3 2018 4 +2   1 1 3 = 1 + 4035 . Vậy xác suất để chọn được số chia hết cho 3 là P(|A2018 |) = 42018 3 2 Chọn đáp án C Do đó, số các số có 2018 chữ số lập từ X mà chia hết cho 3 là |A2018 | =  Câu 78. Có 60 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 50. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3. 9 11 409 1 A. . B. . C. . D. . 89 171 1225 12 Lời giải. Số phần tử không gian mẫu là |Ω| = C350 = 19600. Gọi A là tập các thẻ đánh số a sao cho 1 ≤ a ≤ 50 và a chia hết cho 3. Trang 30/61 − Mã đề 142 Ta có A = {3; 6; . . . ; 48} ⇒ |A| = 16. Gọi B là tập các thẻ đánh số b sao cho 1 ≤ b ≤ 50 và b chia 3 chư 1. Ta có B = {1; 4; . . . ; 49} ⇒ |B| = 17. Gọi C là tập các thẻ đánh số c sao cho 1 ≤ c ≤ 50 và c chia 3 chư 2. Ta có C = {2; 5; . . . ; 59} ⇒ |C| = 17. Với D là biến cố: “Rút ngẫu nhiên 3 thẻ được đánh số từ 1 đến 50 sao cho tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3”. Ta có 4 trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Rút 3 thẻ từ A có C316 cách. Trường hợp 2: Rút 3 thẻ từ từ B có C317 cách. Trường hợp 3: Rút 3 thẻ từ C có C317 cách. Trường hợp 4: Rút mỗi tập 1 thẻ có 16 · 17 · 17 = 4624 cách. Suy ra |D| = 2 · C317 + C1 63 + 4624 = 6544. 6544 409 |D| = = . Vậy xác suất cần tìm là P = |Ω| 19600 1225 Chọn đáp án C  Câu 79. Cho đa giác lồi có 10 cạnh, trong đó không có 3 đường chéo nào đồng quy tại một điểm khác đỉnh của đa giác (3 đường chéo nếu đồng quy chỉ có thể đồng quy tại đỉnh của đa giác). Số giao điểm của các đường chéo của đa giác là A. 439. B. 220. C. 216. D. 435. Lời giải. Cứ hai đường chéo cắt nhau (không trùng với đỉnh) thì 4 đầu mút của chúng tạo thành một tứ giác. Suy ra số giao điểm không trùng với đỉnh của đa giác là số tứ giác được tạo thành từ 10 của đa giác. Vậy số giao điểm của các đường chéo của đa giác là: C410 + 10 = 220.  Chọn đáp án B Câu 80. Xếp 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ ngồi vào một bàn tròn 10 ghế. Tính xác suất để không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau. 5 1 1 5 A. . B. . C. . D. . 42 84 64 48 Lời giải. Chọn một học sinh ngồi cố định vào bàn tròn. Khi đó, có 9! cách sắp xếp các học sinh còn lại vào bàn tròn. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là n (Ω) = 9!. Gọi A là biến cố “không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau”. Với một học sinh nam ngồi cố định vào bàn tròn, khi đó • có 5! cách sắp xếp 5 học sinh nam còn lại vào bàn tròn sao cho có thể linh động chừa khoảng trống để học sinh nữ ngồi. Như vậy có tất cả 6 khoảng trống giữa các học sinh nam, • có A46 cách sắp xếp 4 học sinh nữ vào 6 khoảng trống giữa các học sinh nam. Như thế, số phần tử thuận lợi cho biến cố A là n(A) = 5! × A46 . 5! × A46 5 n(A) = = . Vậy xác suất cần tìm là P(A) = n(Ω) 9! 42 Chọn đáp án A  Câu 81. Mỗi bạn An và Bình chọn ngẫu nhiên ba số trong tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Xác suất để trong hai bộ số của An và Bình chọn ra có nhiều nhất một số giống nhau bằng 35 21 17 65 A. . B. . C. . D. . 48 40 24 84 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là n (Ω) = C93 .C93 = 7056 (cách). Gọi là biến cố: “Hai bộ số của An và Bình chọn ra có nhiều nhất một số giống nhau”. Khi đó xảy ra hai trường hợp. Trang 31/61 − Mã đề 142 TH1: Hai bộ số được chọn, không có số nào giống nhau ⇒ có C93 .C63 = 1680 (cách). TH2: Hai bộ số được chọn, có đúng 1 số giống nhau ⇒ có C93 .3.C62 = 3780 (cách). Suy ra n (A) = 1680 + 3780 = 5460. n (A) 5460 65 Vậy P (A) = = = . n (Ω) 7056 84 Chọn đáp án D  Câu 82. Cho khai triển T = (1 + x − x2017 )2018 + (1 − x + x2018 )2017 . Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển bằng A. 0. B. 4035. C. 2017. D. 1. Lời giải. Trước hết ta xét hệ số của số hạng chứa x trong khai triển (1 + x − x2017 )2018 . Ta có (1 + x − x2017 )2018 = = = 2018 X k=0 2018 X k=0 2018 X Ck2018 (x − x2017 )k Ck2018 xk (1 − x2016 )k · k X Ck2018 · Cik · (−1)2016i · xk+2016i . i=0 k=0 ( 0 ≤ i ≤ k ≤ 2018 Cặp số (k; i) cần tìm thỏa mãn hệ ⇒ k = 1, i = 0. k + 2016i = 1 Vậy hệ số là C12018 · C01 . Tiếp tục ta xét hệ số của số hạng chứa x trong khai triển (1 − x + x2018 )2017 , ta có (1 − x + x 2018 2017 ) = = = 2017 X k=0 2017 X k=0 2017 X k=0 Ck2018 (x2018 − x)k Ck2017 xk (x2017 − 1)k · k X Ck2017 · Cik · (−1)k−i · xk+2017i . i=0 ( 0 ≤ i ≤ k ≤ 2017 Cặp số (k; i) cần tìm thỏa mãn hệ ⇒ k = 1, i = 0. k + 2017i = 1 Vậy hệ số là C12017 · C01 · (−1). Tóm lại hệ số của x là 2018 − 2017 = 1. Chọn đáp án D  Câu 83. Có hai hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang một màu đen hoặc trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng 1 viên bi. Biết tổng số bi trong hai hộp là 20 và xác suất lấy được 2 viên bi đen là 55 . Tính xác suất để lấy được 2 viên bi trắng? 84 3 1 23 13 A. . B. . C. . D. . 28 28 84 84 Lời giải. Gọi hộp 1 có a viên bi trắng, b viên bi đen; hộp 2 có c viên bi trắng, d viên bi đen với a, b, c, d là các số nguyên dương. bd 55 Theo giả thiết, ta có (a + b) + (c + d) = 20 và = . (a + b) · (c + d) 84 Trang 32/61 − Mã đề 142 2 (a + b) + (c + d) ≥ (a + b)(c + d) ⇒ (a + b)(c + d) = 84. Ta có 100 = 2 Khi đó, ta có ( ( ( (a + b) + (c + d) = 20 a + b = 14 a+b=6 ⇒ hoặc (a + b)(c + d) = 84 c+d=6 c + d = 14.  Không giảm tổng quát, xét a + b = 14, c + d = 6. Lại có bd = 55 = 5 · 11, chọn b = 11; d = 5 ⇒ a = 3; c = 1. 3 1 ac = = . Xác suất để lấy được hai viên bi trắng là P = (a + b)(c + d) 84 28 Chọn đáp án B  Câu 84. Có 5 học sinh không quen biết nhau cùng đến một cửa hàng kem có 6 quầy phục vụ. Xác suất để có 3 học sinh vào cùng một quầy và 2 học sinh còn lại vào cùng một quầy khác là C3 · C1 · 5! C3 · C1 · 5! C3 · C1 · C1 C3 · C1 · C1 A. 5 66 . B. 5 56 . C. 5 56 5 . D. 5 66 5 . 5 6 6 5 Lời giải. Mỗi học sinh có 6 cách chọn vào 1 quầy, suy ra n(Ω) = 65 . Gọi A là biến cố: ” 3 học sinh vào cùng một quầy và 2 học sinh còn lại vào cùng một quầy khác”. Số cách chọn 3 học sinh từ 5 học sinh để vào cùng một quầy là C35 . Số cách chọn 1 quầy từ 6 quầy để 3 học sinh trên cùng vào là C16 .  Chọn đáp án C Câu 85. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số thỏa mãn số đó có 3 chữ số chẵn và số đứng sau lớn hơn số đứng trước. A. 2880. B. 140. C. 50. D. 7200. Lời giải. Trường hợp chọn 3 số chẵn và 4 số bất kì còn lại thì số cách sắp xếp số đứng sau lớn hơn số đứng trước là: C35 .C47 = 350 (Vì chỉ có 1 cách sắp xếp theo thứ tự như vậy). Trường hợp số 0 đứng đầu tiên, chọn 2 số chẵn khác và 4 số còn lại sắp theo thứ tự trên thì số cách là: C24 .C47 = 210 Vậy có 350 − 210 = 140 cách.  Chọn đáp án B Câu 86. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập được số các số tự nhiên có 7 chữ số trong đó chữ số 3 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số còn lại có mặt đúng một lần là A. 2160. B. 840. C. 360. D. 720. Lời giải. Gọi số tự nhiên cần tìm có các chữ số tương ứng với 7 ô trống. Có 6 cách xếp chữ số 0, trừ ô đầu tiên. Có C36 cách chọn 3 ô trống còn lại để xếp số 3. Có 3! cách xếp các chữ số còn lại vào 3 ô còn lại. Vậy có: 6.C36 .3! = 720 số.  Chọn đáp án D Câu 87. Mồng 3 Mậu Tuất vừa rồi ông Đại Gia đến chúc tết và lì xì cho 3 anh em trai tôi. Trong ví của ông Đại Gia chỉ có 4 tờ mệnh giá 200000 đồng và 5 tờ mệnh giá 100000 đồng được sắp xếp một cách lộn xộn trong ví. Ông gọi 3 anh em tôi đứng xếp hàng có thứ tự, anh Cả đứng trước lì xì trước, anh Hai đứng sau lì xì sau và tôi thằng Út đứng sau cùng nên lì xì sau cùng. Hỏi xác suất p bằng bao nhiêu để tôi nhận tiền lì xì có mệnh giá lớn nhất, biết rằng ông Đại Gia lì xì bằng cách rút ngẫu nhiên cho anh em tôi mỗi người chỉ một tờ giấy tiền trong túi của ông? 1 4 1 25 A. . B. . C. . D. . 9 9 21 63 Lời giải. Trang 33/61 − Mã đề 142 Khi Út nhận tờ tiền có mệnh giá lớn nhất có các trường hợp sau xảy ra. Trường hợp 1: anh Cả và anh hai nhận mỗi người 100000 đồng, Út nhận 200000 đồng, xác suất 5 4 4 10 của trường hợp này là · · = . 9 8 7 63 Trường hợp 2: anh Cả nhận 100000 đồng và anh hai nhận 200000 đồng, Út nhận 200000 đồng, 5 5 4 3 xác suất của trường hợp này là · · = . 9 8 7 42 Trường hợp 3: anh Cả nhận 200000 đồng và anh hai nhận 100000 đồng, Út nhận 200000 đồng, 4 5 3 5 xác suất của trường hợp này là · · = . 9 8 7 42 4 3 2 5 Trường hợp 4: cả ba người đều nhận 200000 đồng, xác suất của trường hợp này là · · = . 9 8 7 21 10 5 5 5 4 Vậy xác suất để Út nhận tờ tiền có mệnh giá lớn nhất là + + + = . 63 42 42 21 9 Chú ý: Ta có công thức P (ABC) = P (A)P (B|A)P (C|AB), trong đó P (B|A) là xác suất của biến cố B khi A đã xảy ra, P (C|AB) là xác suất của biến cố C khi A và B đã xảy ra.  Chọn đáp án B Câu 88. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn trong đó có mặt 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ là 1 250 1 230 A. . B. . C. . D. . 2 567 3 567 Lời giải. Ta có không gian mẫu n(Ω) = 9A49 = 27216. Gọi biến cố A: “Số được chọn có mặt 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ”. Gọi x = abcde là số cần lập. Trường hợp 1: Có chữ số 0. Chọn chỗ cho chữ số 0 có 4 cách. Chọn một chữ số chẵn có 4 cách. Xếp chữ số chẵn đó có 4 cách. Chọn 3 chữ số lẻ xếp vào 3 chỗ còn lại có A35 = 60 cách. Suy ra số cách chọn trong trường hợp này là 4 · 4 · 4 · 60 = 3840 cách. Trường hợp 2: Không có chữ số 0. Chọn 2 chữ số chẵn có C24 cách. Chọn 3 chữ số lẻ có C35 cách. Xếp 5 chữ có 5! cách. Suy ra có C24 · C35 · 5! = 7200 số. Do đó n(A) = 3840 + 7200 = 11040. n(A) 11040 230 Xác suất để số được chọn có mặt chữ số 2, 3 và 4 là P(A) = = = . n(Ω) 27216 567 Chọn đáp án D  2 2 Câu 89. Tính tổng S = (C0n ) + (C1n ) + · · · + (Cnn )2 A. S = n · Cn2n . B. S = n · (Cn2n )2 . C. S = (Cn2n )2 . Lời giải. Ta có (1 + x)2n = (1 + x)n (x + 1)n . (1) 2n X Hệ số xn trong khai triển (1 + x)2n = (2) Ck2n xk là Cn2n . D. S = Cn2n . k=1 Mặt khác, (1 + x)n (x + 1)n = (C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn )(C0n xn + C1n xn−1 + C2n xn−2 + · · · + Cnn ). Hệ số xn trong khai triển tích trên là (C0n )2 + (C1n )2 + (C2n )2 + · · · + (Cnn )2 . (3) 0 2 1 2 2 2 n 2 n Từ (1), (2), (3) ta có : (Cn ) + (Cn ) + (Cn ) + · · · + (Cn ) = C2n .  Chọn đáp án D Trang 34/61 − Mã đề 142 Câu 90. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Rút ngẫu nhiên một số thuộc tập S. Tính xác suất để rút được số mà trong số đó chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước. 2 3 11 3 . B. . C. . D. . A. 32 7 16 64 Lời giải. Ta có X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Số cách lập số tự nhiên có 3 chữ số từ tập Xlà n(Ω) = 7 × 8 × 8 = 448. Gọi A là biến cố “chọn được chữ số từ tập S mà chữ số đứng sau lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước”. Số abc thỏa đề bài khi: • 1 ≤ a < b < c ≤ 7: có C37 = 35 số. • 1 ≤ a = b < c ≤ 7: có C27 = 21 số. • 1 ≤ a < b = c ≤ 7: có C27 = 21 số. • 1 ≤ a = b = c ≤ 7: có 7 số. Suy ra n(A) = 84. 84 3 Vậy P (A) = = · 448 16 Chọn đáp án C  Câu 91. Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển (1 − 2x + 2015x2016 − 2016x2017 + 2017x2018 )60 . D. C360 . C. 8 · C360 . B. −8 · C360 . A. −C360 . Lời giải. Đặt p(x) = (1−2x+2015x2016 −2016x2017 +2017x2018 )60 ; m(x) = 2015x2016 −2016x2017 +2017x2018 , bậc của m(x) lớn hơn hoặc bằng 2016. Khi đó 59 k k 60−k p(x) = [(1−2x)+m(x)]60 = (1−2x)0 +C59 +. . .+(1−2x)60 60 (1−2x)·(m(x)) +. . .+C60 (1−2x) ·(m(x)) Do đó hệ số của x3 trong khai triển p(x) chính là hệ số của x3 trong khai triển (1 − 2x)60 , ta có kết quả −8 · C360 . Chọn đáp án B  Câu 92. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . Tại đỉnh A có một con sâu, mỗi lần di chuyển, nó bò theo cạnh của hình hộp chữ nhật và đi đến đỉnh kề với đỉnh nó đang đứng. Tính xác suất sao cho sau 9 lần di chuyển, nó đứng tại đỉnh C 0 . 435 1640 1862 453 . B. . C. . D. . A. 2187 2187 6561 6561 Lời giải. • Mỗi lần di chuyển, con sâu có 3 phương án đi nên số phần tử của không gian mẫu là 39 . • Ta gắn tọa độ điểm A(0; 0; 0) và C 0 (1; 1; 1). Mỗi lần di chuyển, tọa độ mà nó đang đứng thay đổi đúng một trong ba thành phần x hoặc y hoặc z và thay đổi từ 0 thành 1 hoặc từ 1 thành 0. • Vì tọa độ ban đầu là (0; 0; 0) và tọa độ kết thúc là (1; 1; 1) nên số lần thay đổi ở mỗi thành phần là số lẻ và tổng số lần thay đổi bằng 9. • Có thể thấy số lần thay đổi ở các thành phần là 1 − 7 − 1; 3 − 3 − 3; 3 − 5 − 1 và các hoán vị của nó. Do đó, số đường đi là 3C79 C12 + C39 C36 + 3!C59 C34 = 4920. Trang 35/61 − Mã đề 142 Vậy xác suất cần tìm là P = 4920 1640 . = 9 3 6561  Chọn đáp án C Câu 93. Cho đa giác đều 100 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác tù. 16 4 8 3 A. . B. . C. . D. . 33 11 11 11 Lời giải. C A Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều 100 đỉnh. 0 0 Xét A là một đỉnh tùy ý của đa giác, kẻ đường kính AA ⇒ A cũng là một đỉnh của đa giác. Đường kính AA0 chia (O) thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra 2 điểm B, C là 2 đỉnh của đa giác và cùng thuộc một nửa B đường tròn, ta được 1 tam giác tù ABC. Khi đó số cách chọn B và C là 2 · C249 . Đa giác có 100 đỉnh nên số đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác là 50. Do đó số cách chọn ra 3 đỉnh để lập thành một tam giác tù là 50 · 2 · Ta có n(Ω) = C3100 . Gọi biến cố E: “chọn được 3 đỉnh lập thành một tam giác tù”. 100 · C249 8 Vậy P(E) = = . 3 C100 11 Chọn đáp án C C249 A0 = 100 · C249 .  Câu 94. Một khối lập phương có độ dài cạnh là 2 cm được chia thành 8 khối lập phương cạnh 1 cm. Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các đỉnh của các khối lập phương cạnh 1 cm? A. 2876. B. 2898. C. 2012. D. 2915. Lời giải. 3 bộ ba điểm bao gồm các Các khối lập phương cạnh 1 cm có tất cả là 27 đỉnh. Vậy có tất cả C27 bộ ba điểm thẳng hàng và không thẳng hàng. + Trên mp(ABCD) có 8 bộ ba điểm thẳng hàng, cùng với hai mp song song với nó thì có 8.3 = 24 bộ ba điểm thẳng hàng. + Tương tự trên mp(ABB 0 A0 ), cùng với hai mp song song với nó thì có 8.3 = 24 bộ ba điểm thẳng hàng, nhưng trên mỗi mặt có ba bộ thẳng hàng được đếm hai lần, nên số bộ ba thẳng hàng trong trường hợp này là: 24 − 3.3 = 15. + Trên mp(BCC 0 B 0 ), cùng với hai mp song song với nó thì có 8.3 = 24 bộ ba điểm thẳng hàng, nhưng trên mỗi mặt có sáu bộ thẳng hàng được đếm hai lần, nên số bộ ba thẳng hàng trong trường hợp này là: 24 − 6.3 = 6. + Có 4 bộ ba thẳng hàng nằm trên bốn đường chéo của khối lập phương có độ dài cạnh là 2 cm. 3 Do đó số các tam giác tạo thành từ các đỉnh của các khối lập phương cạnh 1 cm là C27 − 24 − 15 − 6 − 4 = 2876.  Chọn đáp án A Câu 95. Một hộp đựng 26 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 26. Bạn Hải rút ngẫu nghiên cùng một lúc ba tấm thẻ. Hỏi có bao nhiêu cách rút sao cho bất kỳ hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị? A. 1350. B. 1768. C. 1771. D. 2024. Lời giải. Để rút được bất kỳ hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị thì 3 thẻ rút được phải không có hai thẻ nào là hai số tự nhiên liên tiếp. Số cách rút 3 thẻ bất kì là C326 . Trang 36/61 − Mã đề 142 Số cách rút ra 3 thẻ có đúng hai số tự nhiên liên tiếp được xác định như sau: Chọn 2 số tự nhiên liên tiếp: {1, 2}; {2, 3};. . .; {25, 26}. TH1. Chọn hai thẻ liên tiếp là {1, 2} hoặc {25, 26} có hai cách, thẻ còn lại không được chọn là thẻ số 3 hoặc 24 do đó có 23 cách. Vậy có 2 · 23 = 46 cách. TH2. Chọn hai thẻ là một trong các cặp {2, 3}; {3, 4}; . . .; {24, 25} có 23 cách, chọn thẻ còn lại chỉ có 26 − 4 = 22 cách. Vậy có 23 · 22 = 506 cách. Số cách chọn 3 thẻ trong đó 3 thẻ được đánh số tự nhiên liên tiếp là {1, 2, 3}; {2, 3, 4}; . . .; {24, 25, 26} có 24 cách. Vậy có C326 − 46 − 506 − 24 = 2024 cách chọn bất kỳ hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị.  Chọn đáp án D Câu 96. Khai triển đa thức P (x) = (2x − 1)1000 ta được biểu thức sau P (x) = A1000 x1000 + A999 x999 + · · · + A1 x + A0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. A1000 + A999 + · · · + A1 = 2n . B. A1000 + A999 + · · · + A1 = 1. C. A1000 + A999 + · · · + A1 = 2n − 1. D. A1000 + A999 + · · · + A1 = 0. Lời giải. Ta có P (x) = A1000 x1000 + A999 x999 + · · · + A1 x + A0 . Cho x = 1 ta được P (1) = A1000 + A999 + · · · + A1 + A0 . Mặt khác P (1) = (2 · 1 − 1)1000 = 1. Từ đó suy ra A1000 + A999 + · · · + A1 + A0 = 1 hay A1000 + A999 + · · · + A1 = 1 − A0 . Mà A0 là số hạng không chứa x trong khai triển P (x) = (2x − 1)1000 nên 0 1000 A0 = C1000 = C1000 1000 (2x) (−1) 1000 = 1. Vậy A1000 + A999 + · · · + A1 = 0. Chọn đáp án D  Câu 97. Một xạ thủ bắn vào một tấm bia biết xác suất bắn trúng vòng tròn 10 là 0,2 ; vòng 9 là 0,25 và vòng 8 là 0,15. Nếu trúng vòng k thì được k điểm. Giả sử xạ thủ đó bắn ba phát súng một cách độc lập. Xạ thủ đạt loại Giỏi nếu anh ta đạt ít nhất 28 điểm. Tính xác suất để xạ thủ này đạt loại Giỏi. A. 0,0935. B. 0,0365. C. 0,0855. D. 0,0755. Lời giải. Gọi H là biến cố “Xạ thủ bắn đạt loại Giỏi” và A, B, C, D là các biến cố sau: A là biến cố “Ba viên trúng vòng 10.” B là biến cố “Hai viên trúng vòng 10 và một viên trúng vòng 9”. C là biến cố “Một viên trúng vòng 10 và hai viên trúng vòng 9”. D là biến cố “Hai viên trúng vòng 10 và một viên trúng vòng 8”. Khi đó, A, B, C, D là các biến cố đôi một xung khắc và H = A ∪ B ∪ C ∪ D. Theo quy tắc cộng xác suất P(H) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D). Mặt khác P(A) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008. P(B) = 0,2 · 0,2 · 0,25 + 0,2 · 0,25 · 0,2 + 0,2 · 0,25 · 0,2 = 0,03. P(C) = 0,2 · 0,25 · 0,25 + 0,25 · 0,2 · 0,25 + 0,25 · 0,25 · 0,2 = 0,0375. P(D) = 0,2 · 0,2 · 0,15 + 0,2 · 0,15 · 0,2 + 0,15 · 0,2 · 0,2 = 0,018. Vậy xác suất để xạ thủ này đạt loại Giỏi là P(H) = 0,008 + 0,03 + 0,0375 + 0,018 = 0,0935. Chọn đáp án A  Trang 37/61 − Mã đề 142 Câu 98. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số và chia hết cho 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau. 369 198 396 512 A. . B. . C. . D. . 6250 3125 625 3125 Lời giải. Nhận thấy S = {1000008, 1000017, . . . , 9999990, 9999999} nên số phần tử của S là 9999999 − 1000008 + 1 = 100000. 9 Ta sẽ đếm số các phần tử của S có các chữ số đôi một khác nhau. Tổng của 7 chữ số được sử dụng chia hết cho 9 mà 0 + 1 + 2 + · · · + 9 = 45 chia hết cho 9 nên 3 chữ số không được sử dụng trong các số thoả mãn có tổng chia hết cho 9. Nếu 3 chữ số không được sử dụng là (0; 1; 8), (0; 2; 7), (0; 3; 6), (0; 4; 5) thì mỗi bộ 7 chữ số còn lại sẽ tạo được 7! số có 7 chữ số. Nếu 3 chữ số không được sử dụng là (1; 2; 6), (1; 3; 5), (1; 8; 9), (2; 3; 4), (2; 7; 9), (3; 6; 9), (3, 7, 8), (4; 5; 9), (4; 6; 8), (5; 6; 7) thì mỗi bộ 7 chữ số còn lại sẽ tạo được 6 · 6! số có 7 chữ số. Vậy có tổng cộng 4 · 7! + 10 · 6 · 6! = 63360 số thuộc S có các chữ số khác nhau. 396 63360 = . Suy ra xác suất số nhận được có các chữ số khác nhau là: 100000 625  Chọn đáp án C Câu 99. Có 8 bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là 47 49 51 3 A. . B. . C. . D. . 256 256 256 16 Lời giải. Gọi A là biến cố “không có hai người liền kề cùng đứng”. Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 28 = 256. Rõ ràng nếu nhiều hơn 4 đồng xu ngửa thì biến cố A không xảy ra. Để biến cố A xảy ra ta có các trường hợp sau: • Trường hợp 1: Có nhiều nhất 1 đồng xu ngửa. Kết quả của trường hợp này là 1 + 8 = 9. • Trường hợp 2: Có 2 đồng xu ngửa. 2 đồng xu ngửa kề nhau, có 8 khả năng. Suy ra, số kết quả của trường hợp này là C28 − 8 = 20. • Trường hợp 3: Có 3 đồng xu ngửa. Cả 3 đồng xu ngửa kề nhau, có 8 khả năng. Trong 3 đồng xu ngửa có đúng 2 đồng xu ngửa kề nhau, có 8 · 4 = 32 kết quả. Suy ra, số kết quả của trường hợp này là C38 − 8 − 32 = 16. • Trường hợp 4: Có 4 đồng xu ngửa. Trường hợp này có 2 kết quả thỏa mãn biến cố A xảy ra. Như vậy: n(A) = 9 + 20 + 16 + 2 = 47. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là : P(A) = Chọn đáp án A n(A) 47 = . n(Ω) 256  Câu 100. Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng bao nhiêu? 3 2 7 4 . B. . C. . D. . A. 323 969 216 9 Lời giải. Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O có các đường chéo đi qua tâm. Ngược lại, với mỗi cặp đường chéo lớn ta có các đầu mút của chúng là 4 đỉnh Trang 38/61 − Mã đề 142 của một hình chữ nhật. Suy ra số hình chữ nhật nói trên bằng số cặp đường chéo bằng C210 . Vậy 3 C2 = . xác suất cần tính là P = 10 C420 323 Chọn đáp án A  Câu 101. Có 6 xe xếp cạnh nhau thành hàng ngang gồm: 1 xe màu xanh, 2 xe màu vàng và 3 xe màu đỏ. Tính xác suất để hai xe cùng màu không xếp cạnh nhau. 19 1 1 1 B. . C. . D. . A. . 7 120 6 5 Lời giải. Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử, A là biến cố “Hai xe cùng màu không xếp cạnh nhau”. Ta có n(Ω) = 6!. Giả sử có 6 vị trí xếp lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5, 6. Xếp để hai xe cùng màu không đứng cạnh nhau có các trường hợp sau: • Trường hợp xếp 3 xe đỏ cách đều nhau (vị trí 1, 3, 5 hoặc 2, 4, 6) có 2 · 3! cách. Xếp 2 xe vàng và 1 xe xanh vào 3 vị trí còn lại có 3! cách. • Trường hợp xếp 2 xe đỏ ở vị trí 1 và 6 có A23 cách. Vì hai xe đỏ không được đứng cạnh nhau nên xếp cho xe đỏ còn lại có 2 cách (vị trí 3 hoặc 4). Xếp xe xanh sao cho hai xe vàng không đứng cạnh nhau có 2 cách. Xếp 2 xe vàng vào hai vị trí còn lại có 2! cách. Vậy tổng số cách n(A) 1 xếp là n(A) = 2 · 3! · 3! + A23 · 2 · 2 · 2! = 120. Suy ra P(A) = = . n(Ω) 6 Chọn đáp án C  Câu 102. Cho đa giác đều 32 cạnh. Gọi S là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Xác suất để chọn được một hình chữ nhật là 1 3 1 1 . B. . C. . D. . A. 261 385 899 341 Lời giải. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp đa giác, do đa giác có số đỉnh là số chẳn nên đường nối một đỉnh tùy ý với tâm O sẽ đi qua một đỉnh khác (ta gọi là 2 điểm xuyên tâm đối). Do đa giác có 32 đỉnh nên có 16 cặp điểm xuyên tâm đối hay nói gọn hơn là có 16 đường chéo đi qua tâm O. Với mỗi hai đường chéo qua tâm O ta được 1 hình chữ nhật. Vì có 12 đường chéo nên số hình chữ nhật là: C216 = 120 . Số tứ giác tạo thành: C432 = 35960. 3 Xác suất để chọn được một hình chữ nhật là . 899  Chọn đáp án C Câu 103. Cho khai triển (1 + x + x2 + · · · + x14 )15 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a210 x210 . Tính giá trị của S = C015 a0 − C115 a1 + C215 a2 − · · · − C15 15 a15 . 15 A. S = 0. B. S = 2 . C. S = 15. D. S = 1. Lời giải. Ta có (x − 1)15 = C015 x15 − C115 x14 + C215 x13 − · · · − C15 15 . 15 15 Do đó S là hệ số của x trong khai triển (x − 1) · (1 + x + x2 + · · · + x14 )15 = (x15 − 1)15 . Ta lại có hệ số của x15 trong khai triển (x15 − 1)15 là C14 15 = 15. 1 Do đó S = C15 = 15.  Chọn đáp án C Câu 104. Bé Minh có một bảng chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ. Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bé minh có tất cả bao nhiêu cách tô màu bảng? Trang 39/61 − Mã đề 142 A. 576. Lời giải. B. 4374. C. 139968. 3 2 3 2 1 2 D. 15552. Ta đánh số các ô như hình vẽ. Ta chia quá trình tô màu làm ba bước. • Bước 1: tô màu ô số 1. Ta có C23 = 3 cách chọn hai màu, và C24 = 6 cách tô hai cạnh bằng một màu trong hai màu đã chọn, hai cạnh còn lại sẽ được tô màu còn lại. Vậy có 3 · 6 = 18 cách tô ô số 1. • Bước 2: tô màu các ô số 2. Mỗi một ô số 2 đã được tô một cạnh, có 3 cách chọn cạnh còn lại cung mang màu này và 2 cách chọn màu cho hai cạnh còn lại. Vậy mỗi ô số 2 có 6 cách tô. • Bước 3: tô màu các ô số 3. Các ô số 3 đã được tô hai cạnh. Trong cả hai trường hợp hai cạnh này cùng màu hoặc khác màu ta đều có 2 cách để tô các cạnh còn lại. Vậy có 18 · 63 · 22 = 15552 cách tô bảng đã cho. Chọn đáp án D  Câu 105. Có 10 quyển sách toán giống nhau, 11 quyển sách lý giống nhau và 9 quyển sách hóa giống nhau. Nhà trường định thưởng sách cho 15 học sinh đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi thử của trường, mỗi học sinh được thưởng 2 cuốn sách khác loại. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách? 3 2 7 6 C94 . . D. C15 C. C30 C93 . B. C15 C94 . A. C15 Lời giải. 10 Chọn 10 trong số 15 học sinh để tặng 10 cuốn sách toán trước, có C15 cách. 5 người còn lại, mỗi người (bắt buộc phải) nhận 1 sách lý và 1 sách hóa. Còn lại 6 sách lý và 4 sách hóa để trao cho 6 . Vì vậy, đáp số bài toán là 10 người đầu tiên (mỗi người đã có 1 sách toán), số cách trao là C10 6 4 10 6 C15 C10 = C15 C9 . Chọn đáp án A  Câu 106. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị? A. 32. B. 72. C. 24. D. 36. Lời giải. Gọi a1 a2 a3 a4 a5 a6 là số cần tìm. Ta có a6 ∈ {1; 3; 5} và (a1 + a2 + a3 ) − (a4 + a5 + a6 ) = 1. • Với a6 = 1 thì (a1 + a2 + a3 ) − (a4 + a5 ) = 2, suy ra ( ( a1 , a2 , a3 ∈ {2; 3; 6} a1 , a2 , a3 ∈ {2; 4; 5} hoặc a4 , a5 ∈ {4; 5} a4 , a5 ∈ {3; 6}. • Với a6 = 3 thì (a1 + a2 + a3 ) − (a4 + a5 ) = 4, suy ra ( ( a1 , a2 , a3 ∈ {2; 4; 5} a1 , a2 , a3 ∈ {1; 4; 6} hoặc a4 , a5 ∈ {1; 6} a4 , a5 ∈ {2; 5}. Trang 40/61 − Mã đề 142 • Với a6 = 5 thì (a1 + a2 + a3 ) − (a4 + a5 ) = 6, suy ra ( ( a1 , a2 , a3 ∈ {1; 4; 6} a1 , a2 , a3 ∈ {2; 3; 6} hoặc a4 , a5 ∈ {2; 3}. a4 , a5 ∈ {1; 4} Mỗi trường hợp có 3! · 2! = 12 số thỏa mãn yêu cầu Vậy có tất cả 6 · 12 = 72 số cần tìm. Chọn đáp án B  Câu 107. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy? A. 108864. B. 80640. C. 217728. D. 145152. Lời giải. Có các trường hợp xảy ra như sau: • Hai học sinh lớp A luôn đứng cạnh nhau, các học sinh lớp còn lại xếp tùy ý: 2!8!. • Có đúng một học sinh lớp C đứng giữa hai học sinh lớp A: A14 2!7!. • Có đúng hai học sinh lớp C đứng giữa hai học sinh lớp A: A24 2!6!. • Có đúng ba học sinh lớp C đứng giữa hai học sinh lớp A: A34 2!5!. • Có đúng bốn học sinh lớp C đứng giữa hai học sinh lớp A: A44 2!4!. Vậy có 2!8! + A14 2!7! + A24 2!6! + A34 2!5! + A44 2!4! = 145152 cách xếp hàng thỏa đề bài. Chọn đáp án D  Câu 108. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ các chữ số 1, 2, 3,...,9. Tính tổng các số của X. A. 8 399 160. B. 4 199 580. C. 16 798 320. D. 33 596 640. Lời giải. 1 Áp dụng công thức ta có tổng các số là A49 × 11110 = 16 798 320. 2 Chọn đáp án C  Câu 109. Đề kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu bằng cách lựa chọn ngẫu nhiên đáp án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên. 436 436 463 463 B. . C. 10 . D. . A. 10 . 4 4 10 4 104 Lời giải. Mỗi câu có 4 phương án nên số cách chọn đáp án cho 10 câu hỏi là 410 . Số cách chọn phương án để được 8 điểm (chỉ có 2 câu sai) là C210 · 3 · 3 = 405 (cách). Số cách chọn phương án để được 9 điểm là (chỉ có 1 câu sai) là C110 · 3 = 30 (cách). Chỉ có 1 cách chọn phương án để được 10 điểm. Do đó tổng số cách chọn để được từ 8,0 điểm trở lên là 436 (cách). 436 Vậy xác suất cần tính là 10 . 4 Chọn đáp án C  Câu 110. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số (không nhất thiết khác nhau) được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số abc từ S. Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn a ≤ b ≤ c. 13 9 1 11 A. . B. . C. . D. . 60 11 6 60 Trang 41/61 − Mã đề 142 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu n (Ω) = 9 · 102 = 900. Gọi biến cố A:“Chọn được một số thỏa mãn a ≤ b ≤ c ”. Vì a ≤ b ≤ c mà a 6= 0 nên trong các chữ số sẽ không có số 0. Trường hợp 1: Số được chọn có 3 chữ số giống nhau có 9 số. Trường hợp 2: Số được chọn tạo bởi hai chữ số khác nhau. Số cách chọn ra 2 chữ số khác nhau từ 9 chữ số trên là C29 . Mỗi bộ 2 chữ số được chọn tạo ra 2 số thỏa mãn yêu cầu. Vậy có 2 · C29 số thỏa mãn. Trường hợp 3: Số được chọn tạo bởi ba chữ số khác nhau. Số cách chọn ra 3 chữ số khác nhau từ 9 chữ số trên là: C39 . Mỗi bộ 3 chữ số được chọn chỉ tạo ra một số thỏa mãn yêu cầu. Vậy có C39 số thỏa mãn. Vậy n(A) = 9 + 2 · C29 + C39 = 165 165 11 n(A) = = . Xác suất của biến cố A là P(A) = n (Ω) 900 60 Chọn đáp án D  Câu 111. Gọi S là tập các số có 7 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số chọn được có các chữ số 3, 4, 5 đứng liền nhau và các chữ số 6, 9 đứng liền nhau. 1 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 135 630 210 700 Lời giải. Không gian mẫu là số số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau Ω = 9 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4. Gọi A là biến cố số chọn được thỏa mãn yêu cầu đề bài Số thỏa mãn yêu cầu đề bài bắt buộc phải có 5 chữ số 3, 4, 5, 6, 9 nên cần chọn thêm 2 chữ số từ 5 số còn lại (0, 1, 2, 7, 8) Số cách chọn ra 2 trong 5 chữ số C25 (1) Theo đề ta “buộc” 3 chữ số 3, 4, 5 lại và xem như 1 phần tử có 3! cách, tương tự cũng buộc 2 chữ số 6 và m lại và xem như một phần tử có 2! cách (2) Sau đó hoán vị 4 phần tử gồm 2 phần tử đã chọn ở (1) và 2 phần tử đã chọn ở (2) có 4! cách Tổng cộng có C25 · 3! · 2! · 4! số Nhưng trong cách tính trên vẫn còn số có dạng Oabcdef tức là có số 0 đứng đầu Ta tính số phần tử của trường hợp này tương tự như cách làm trên đối với số có 6 chữ số và chắc chắc số 0 đứng đầu, ta có C14 · 3! · 2! · 3! Vậy ΩA = C25 · 3! · 2! · 4! − C14 · 3! · 2! · 3! ΩA C2 · 3! · 2! · 4! − C14 · 3! · 2! · 3! 1 Xác xuất của biến cố A là: P(A) = = 5 = . Ω 9·9·8·7·6·5·4 210 Chọn đáp án C  Câu 112. Từ các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 . Tính xác suất để viết được số thỏa mãn điều kiện a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 . 4 3 4 5 . B. P = . C. P = . D. P = . A. P = 135 20 85 158 Lời giải. • Số các số gồm 6 chữ số khác nhau từ tập hợp {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}: Chọn a1 6= 0 có 6 cách, sắp xếp các số còn lại có A56 cách nên có tổng số 6 · A56 = 4320 số. • Số các số thỏa mãn điều kiện a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 : Ta có a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 3(a1 + a2 ) là số chia hết cho 3. Mà 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 là số chia hết cho 3 nên chữ số không xuất hiện trong số được lập phải là số chia hết cho 3. Trang 42/61 − Mã đề 142 Trường hợp 1: Chữ số 0 không có mặt trong số được lập. Ta có {a1 , a2 , . . . , a6 } = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Khi đó a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 = 7 nên {{a1 , a2 }, {a3 , a4 }, {a5 , a6 }} = {{1, 6}, {2, 5}, {3, 4}}. Có 3! cách xếp các cặp {1, 6}, {2, 5}, {3, 4} vào các vị trí của các cặp {a1 , a2 }, {a3 , a4 }, {a5 , a6 }, trong mỗi cặp vị trí lại có 2 cách xếp nên có 3! · 23 = 48 số. Trường hợp 2: Chữ số 3 không có mặt trong số được lập. Ta có {a1 ; a2 ; . . . , a6 } = {0; 1; 2; 4; 5; 6}. Khi đó a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 = 6 nên {{a1 , a2 }, {a3 , a4 }, {a5 , a6 } = {{0, 6}, {1, 5}, {2, 4}}. Tương tự như trên nếu coi chữ số 0 như các chữ số khác, ta có 48 cách. Nhưng cần loại các số có số 0 đứng đầu, có dạng 06a3 a4 a5 a6 . Lý luận tương tự, có 2 · 2 · 2 = 8 số như thế. Suy ra trường hợp này, ta có 48 − 8 = 40 số. Trường hợp 3: Chữ số 6 không có mặt trong số được lập. Ta có {a1 ; a2 ; . . . ; a6 } = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Tương tự như trường hợp 2, ta có 48 − 8 = 40 số. Vậy có 48 + 40 + 40 = 128 số thỏa mãn điều kiện a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 . 4 128 = . Xác suất cần tìm là p = 4320 135  Chọn đáp án A Câu 113. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng abcd, trong đó 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 9. A. 0,079. B. 0,014. C. 0,055. D. 0,0495. Lời giải. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có dạng s = abcd, trong đó 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 9, N = {1; 2; 3; . . . , 9}. Ta có các trường hợp • Trường hợp 1. Các số a, b, c, d đôi một phân biệt. Khi đó mỗi số s tương ứng với một tập con có 4 phần tử của N . Do đó ta có C49 = 126 số. • Trường hợp 2. Trong các số a, b, c, d có đúng một cặp số bằng nhau. Ta có C39 cách chọn ra một tập con có 3 phần tử của N , giả sử là {x, y, z} (x < y < z). Với mỗi tập con này, ta có 3 cách tạo ra một phần tử của A là xxyz, xyyz, xyzz. Vậy trong trường hợp này ta có 3C39 = 252 số. • Trường hợp 3. Trong các số a, b, c, d có đúng ba số bằng nhau. Ta có C29 cách chọn ra một tập hợp có hai phần tử của N , giả sử là {x, y} (x < y). Với mỗi tập con này ta có hai cách tạo ra một phần tử của A là xxxy hoặc xyyy. Trong trường hợp này ta có 2C29 = 72 số. • Trường hợp 4. Trong các số a, b, c, d có đúng hai cặp số bằng nhau và hai cặp này khác nhau. Ta có C29 cách chọn ra một tập hợp có hai phần tử của N , giả sử là {x, y} (x < y). Với mỗi tập con này ta có một cách tạo ra một phần tử của A là xxyy. Trong trường hợp này ta có C29 = 36 số. • Trường hợp 5. a = b = c = d. Dễ thấy có 9 số thỏa mãn. Vậy số phần tử của A là 126 + 252 + 72 + 36 + 9 = 495. Suy ra xác suất cần tìm là Chọn đáp án C 495 = 0,055. 9000  Câu 114. Cho đa giác đều 60 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong 60 đỉnh của đa giác là A. 48720. B. 16420. C. 34220. D. 24360. Lời giải. Trang 43/61 − Mã đề 142 1 60 59 2 3 58 4 ... 5 O ... 31 Ta đánh số các đỉnh của đa giác là 1, 2, 3, . . . , 60 theo chiều kim đồng hồ như hình vẽ. Ta sẽ đếm số tam giác tù đỉnh 1. Gọi a, b (2 ≤ a < b ≤ 60) là hai đỉnh còn lại. Tam giác gồm ba đỉnh 1, a, b tù tại đỉnh 1 khi và chỉ khi góc này chắn cung có số đo lớn hơn 180◦ . Điều này tương 360 (b − a) > 180◦ hay b − 30 > a. Ta sẽ đếm số bộ số gồm hai số a và b − 30 thỏa mãn đương 6 2 ≤ a < b − 30 ≤ 30. Có tất cả C229 bộ số như vậy, từ đó có C229 cách chọn ra hai đỉnh a, b. Hoàn toàn tương tự, số các tam giác tù tại các đỉnh 2, 3, . . ., 60 cũng là C229 . Vậy có tất cả 60 · C229 = 24306 tam giác tù. Chọn đáp án D  Câu 115. Trước kì thi học kì hai lớp 11 tại trường FIVE, giáo viên Toán lớp FIVE A giao cho học sinh đề cương ôn tập gồm có 2n bài toán, n là số nguyên dương lớn hơn 1. Đề thi học kì của lớp FIVE A sẽ gồm 3 bài toán được chọn ngẫu nhiên trong số 2n bài toán đó. Một học sinh muốn không phải thi lại, sẽ phải làm được ít nhất 2 trong số 3 bài toán đó. Học sinh TWO chỉ giải chính xác được đúng 1 nửa số bài trong đề cương trước khi đi thi, nửa còn lại học sinh đó không thể giải được. Tính xác suất để TWO không phải thi lại. 3 1 1 2 B. . C. . D. . A. . 3 4 3 2 Lời giải. Gọi B là biến cố “Học sinh TWO làm đúng 2 trong 3 bài toán thi". Gọi C là biến cố “Học sinh TWO làm đúng cả 3 bài toán thi". Gọi A là biến cố “ Học sinh TWO không phải thi lại". Ta có A = B ∪ C và B, C là hai biến cố xung khắc. Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = C32n . • Xét biến cố B. – Chọn 2 bài trong n bài học sinh TWO làm được là C2n . – Chọn 1 bài trong n bài học sinh TWO làm được là C1n . Từ đó suy ra P (B) = C2n · C1n . C32n • Tương tự với biến cố C ta được P (C) = 1 Vậy P (A) = P (B) + P (C) = . 2 Chọn đáp án D C3n . C32n  Câu 116. Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số sao cho trong mỗi số đó có đúng ba chữ số 1, các chữ số còn lại đôi một khác nhau và hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau? Trang 44/61 − Mã đề 142 A. 2530. Lời giải. B. 1376. C. 2612. D. 2400. 5! . 3! Ứng với mỗi hoán vị có 6 vị trí đầu, cuối và xen kẽ giữa hai chữ số lẻ. Do đó có A36 cách sắp xếp ba chữ số chẵn 2; 4; 6 vào trong 6 vị trí đó để được số thỏa mãn đề bài. Vậy số các số thỏa mãn 5! · A36 = 2400. đề bài là 3! Chọn đáp án D  Số hoán vị 5 chữ số lẻ 1; 1; 1; 3; 5 là Câu 117. Có 3 quyển sách Văn học khác nhau, 4 quyển sách Toán học khác nhau và 7 quyển sách Tiếng Anh khác nhau được xếp lên một kệ ngang. Tính xác suất để hai cuốn sách cùng môn không ở cạnh nhau 19 19 5 19 A. . B. . C. . D. . 1202 1012 8008 12012 Lời giải. T.A 1 T.A 2 T.A 3 T.A 4 T.A 5 T.A 6 T.A 7 8 Gọi Ω là biến cố “xếp 14 quyển sách lên kệ sách một cách tùy ý” ⇒ n (Ω) = 14!. A là biến cố “xếp 14 cuốn sách lên kệ sách sao cho hai cuốn sách cùng môn không ở cạnh nhau”. - Xếp 7 quyển sách Tiếng Anh vào kệ có 7! cách. - 7 quyển sách Tiếng Anh tạo ra 8 chỗ trống (gồm 6 chỗ trống ở giữa và 2 chỗ trống trước sau). Đánh số từ 1 đến 8, từ trái sang phải cho các chỗ trống. Khi đó ta xét các trường hợp: TH1: Xếp sách Văn hoặc Toán vào vị trí từ 1 đến 7 có 7! cách. TH2: Xếp sách Văn hoặc Toán vào vị trí từ 2 đến 8 có 7! cách. TH3: Xếp 1 cặp sách Văn – Toán chung vào ngăn 2, các ngăn 3, 4, 5, 6, 7 xếp tùy ý số sách còn lại. Ta có + Số cách chọn 1 cặp sách Văn – Toán: 3 · 4 cách. + Vị trí 2 cuốn sách trong cặp sách: 2! cách. + Xếp các sách còn lại vào các ngăn 3, 4, 5, 6, 7 có 5! cách. Vậy ta có số cách xếp 1 cặp sách Văn – Toán chung vào ngăn 2, các ngăn 3, 4, 5, 6, 7 xếp tùy ý số sách còn lại là 3 · 4 · 2! · 5! cách. Tương tự cho xếp cặp sách Văn – Toán lần lượt vào các ngăn 3, 4, 5, 6, 7. Số trường hợp thuận lợi của biến cố là n(A) = 7!(2 · 7! + 3 · 4 · 2 · 6 · 5!) 19 n(A) = . Vậy P(A) = n (Ω) 12012  Chọn đáp án D Câu 118. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 106 được thành lập từ hai chữ số 0 và 1. Lấy ngẫu nhiên hai số trong S. Xác suất để lấy được ít nhất một số chia hết cho 3 bằng 4473 2279 53 55 . B. . C. . D. . A. 8128 4064 96 96 Lời giải. Số tự nhiên nhỏ hơn 106 có tối đa 6 chữ số. Số các số tự nhiên nhỏ hơn 106 , được lập từ hai chữ số 0 và 1 bằng 2 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 = 64 (số). Suy ra n(S) = 64. Vì số cần lập chia hết cho 3 nên trong cấu tạo số của nó, hoặc không có chữ số 1 nào (là số 0), hoặc có đúng 3 chữ số 1, hoặc có đúng 6 chữ số 1 (là số 111111). Xét số có 3 chữ số, trong đó có ba chữ số 1 và không có chữ số 0. Có thể lập được 1 số như thế. Xét số có 4 chữ số, trong đó có ba chữ số 1 và một chữ số 0. Có thể lập được C23 số như thế. Xét số có 5 chữ số, trong đó có ba chữ số 1 và hai chữ số 0. Có thể lập được C24 số như thế. Xét số có 6 chữ số, trong đó có ba chữ số 1 và ba chữ số 0. Có thể lập được C25 số như thế. Vậy có thể lập được 3 + C23 + C24 + C25 = 22 số chia hết cho 3. Trang 45/61 − Mã đề 142 Lấy 2 số từ S, có C264 cách. Suy ra n(Ω) = C264 = 2016. Gọi A là biến cố: “lấy ngẫu nhiên hai số từ S được ít nhất một số chia hết cho 3”. Ta có n(A) = C222 + C122 · C142 = 1155. n(A) 1155 55 Vậy P(A) = = = . n(Ω) 2016 96 Chọn đáp án D  Câu 119. Từ các số 0, 1, 2, 3, 5, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3. A. 36 số. B. 144 số. C. 108 số. D. 228 số. Lời giải. Gọi x = abcd là số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau lập từ các số 0, 1, 2, 3, 5, 8 và phải có mặt chữ số 3. Có các trường hợp sau: • Trường hợp a = 3, vì x lẻ nên d ∈ {1; 5}, d có 2 cách chon, sau khi chọn a và d thì mỗi cách chọn bc là một chỉnh hợp chập 2 của tập {0, 1, 2, 3, 5, 8} {a; d}, hay bc có A24 = 12 cách chọn. Trường hợp này có 2 · 12 = 24 số. • Trường hợp d = 3, vì a 6= 0 và a 6= d nên a có 4 cách chọn, sau khi chọn a và d thì mỗi cách chọn bc là một chỉnh hợp chập 2 của tập {0, 1, 2, 3, 5, 8} {a; d}, hay bc có A24 = 12 cách chọn. Trường hợp này có 4 · 12 = 48 số. • Trường hợp b = 3, vì x lẻ nên d ∈ {1; 5}, d có 2 cách chon, sau khi chọn b và d, do a 6= 0,a 6= b, a 6= d nên a có 3 cách chọn, sau khi chọn a, b, d thì c có 3 cách chọn. Trường hợp này có 3 · 3 · 2 = 18 số. • Trường hợp c = 3 có 18 số. Vậy có 24 + 48 + 18 + 18 = 108 số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3 được lập từ các số 0, 1, 2, 3, 5, 8.  Chọn đáp án C Câu 120. Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 và có 3 chữ số phân biệt? A. 180. B. 150. C. 45. D. 99. Câu 121. Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, gọi S là tập hợp các số có 8 chữ số đôi một khác nhau lập từ tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S, xác suất để số được chọn có tổng 4 chữa số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối bằng 3 12 4 1 . B. . C. . D. . A. 10 35 245 35 Lời giải. 7·8 Tổng các chữ số của tập S là T = = 28 2 Ta chia tập S thành hai tập B, C mỗi tập 4 phần tử sao cho tổng các phần tử của B, C đều bằng 14 và B ∩ C = ∅ Suy ra B {0; 1; 6; 7} {0; 2; 5; 7} {0; 3; 4; 7} {0; 3; 5; 6} C {2; 3; 4; 5} {1; 3; 4; 6} {1; 2; 5; 6} {1; 2; 4; 7} Trang 46/61 − Mã đề 142 Số các số có 8 chữ số lập từ tập S là 7 · 7! Gọi a1 a2 · · · a8 là số có 8 chữ số thỏa mãn đề bài. TH1 a1 a2 a3 a4 lấy từ các chữ số từ tập C khi đó có: 4 · 4! · 4! số thỏa mãn. TH2 a1 a2 a3 a4 lấy từ các chữ số từ tập B khi đó có: 4 · 3 · 3! · 4! số thỏa mãn. Vậy có 4 · 4! · 4! + 4 · 3! · 4! = 4 · 4!(3! + 4!) số Xác suất để số được chọn có tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối là 4 4 · 4!(3 · 3! + 4!) = . P = 7 · 7! 35 Chọn đáp án D  Câu 122. Cho tập hợp A = {1; 2; ...; 20}. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 5 số từ tập A sao cho không có hai số nào là hai số tự nhiên liên tiếp? A. C515 . B. C516 . C. C517 . D. C518 . Lời giải. Gọi x1 , x2 , x3 , x4 , x5 là 5 số lấy ra từ A = {1; 2; ...; 20} thỏa mãn yêu cầu bài toán, tức x5 > x4 + 1 > x3 + 2 > x2 + 3 > x1 + 4. Đặt y1 = x1 , y2 = x2 − 1, y3 = x3 − 2, y4 = x4 − 3, y5 = x5 − 4. Khi đó số cách lấy 5 số x1 , x2 , x3 , x4 , x5 thỏa mãn ycbt bằng số cách lấy 5 số y1 , y2 , y3 , y4 , y5 thỏa mãn 1 ≤ y1 < y2 < y3 < y4 < y5 ≤ 16, chính là số cách lấy 5 số đôi một khác nhau trong 16 số và bằng C516 .  Chọn đáp án B Câu 123. Xét một bảng ô vuông 4 × 4 ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số 1 hoặc −1 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách. A. 144. B. 72. C. 90. D. 80. Lời giải. Do tổng số trên mỗi hàng và mỗi cột đều có tổng bằng không nên mỗi hàng có hai chữ số 1 và hai chữ số −1. Hàng thứ nhất có 6 cách điền: 1, 1, −1, −1; −1, 1, 1, −1; −1, −1, 1, 1; 1, −1, −1, 1; 1, −1, 1, −1; −1, 1, −1, 1. Ứng với mỗi cách điền số ở hàng thứ nhất, ta có cách điền số ở hàng thứ hai, thứ ba, thứ tư như sau: • TH1: Hàng hai có không có vị trí giống hàng thứ nhất thì có 1 cách điền hàng 2, tương ứng có 6 cách điền hàng 3 và 1 cách điền hàng thứ 4. Vậy có 6.1.6.1 = 36 cách. • TH2: Hàng hai có hai vị trí giống hàng thứ nhất thì có 4 cách điền, tương ứng có 2 cách điền hàng 3 và 1 cách điền hàng thứ 4. Vậy có 6.4.2.1 = 48 cách. • TH3: Hàng hai có bốn vị trí giống hàng thứ nhất thì có 1 cách điền, tương ứng có 1 cách điền hàng 3 và 1 cách điền hàng thứ 4. Vậy có 6.1.1.1 = 6 cách. • Vậy tất cả có 36 + 48 + 6 = 90 cách.  Chọn đáp án C Câu 124. Trong các số nguyên từ 100 đến 999, số các số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần (kể từ trái qua phải) bằng A. 168. B. 120. C. 204. D. 240. Lời giải. Số nguyên cần lập có 3 chữ số đôi một khác nhau. Xét hai trường hợp sau: • Trường hợp 1. Các chữ số tăng dần từ trái qua phải. Khi đó 3 chữ số được chọn từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Với một cách chọn 3 chữ số từ tập này ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự tăng dần. Do đó số các số lập được trong trường hợp này là C39 . • Trường hợp 2. Các chữ số giảm dần từ trái qua phải. Khi đó 3 chữ số được chọn từ tập B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Trang 47/61 − Mã đề 142 Với một cách chọn 3 chữ số từ tập này ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự giảm dần. Do đó số các số lập được trong trường hợp này là: C310 . Vậy số các số cần tìm là C39 + C310 = 204 số. Chọn đáp án C  Câu 125. Có 50 học sinh là cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp là anh em sinh đôi (không có anh chị em sinh ba trở lên). Cần chọn ra 5 học sinh trong 50 học sinh trên. Có bao nhiêu cách chọn mà trong nhóm 5 em chọn ra không có cặp anh em sinh đôi nào? A. 2049300. B. 2049852. C. 850668. D. 2049576. Lời giải. 1. Số cách chọn 5 học sinh trong 50 học sinh là C550 . 2. Gọi A là số cách chọn 5 học sinh mà có hai cặp sinh đôi. ta tính A: - Chọn 2 cặp sinh đôi trong 4 cặp có C24 cách. - Chọn một học sinh trong 46 học sinh còn lại có C146 cách. Vậy A = C24 · C146 . 3. Gọi B là số cách chọn 5 học sinh có đúng một cặp sinh đôi.Ta tính B. - Chọn 1 cặp sinh đôi trong 4 cặp có C14 cách. - Gọi B 0 là số cách chọn 3 học sinh trong 48 học sinh còn lại sao cho không có cặp sinh đôi nào. Khi đó B = C14 B 0 . Ta tính B 0 . + Chọn 3 học sinh trong 48 học sinh có C348 cách. + Chọn 3 học sinh trong 48 học sinh sao cho có đúng một cặp sinh đôi có C13 · C146 . Suy ra B 0 = C348 − C13 · C146 . Vậy B = C14 (C348 − C13 · C146 ). Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là C550 − A − B = C550 − C24 · C146 − C14 (C348 − C13 · C146 ) = 2049852.  Chọn đáp án B Câu 126. Khai triển P (x) = (1 + 3x)n thành đa thức P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn , (n ∈ N∗ ). Gọi M là số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 , . . . , an . Tính a0 + a1 + a2 + · · · + an − M biết a0 + a1 + a2 + · · · + an = 65536. A. 59866. B. 58975. C. 45124. D. 48040 . Lời giải. Ta có a0 + a1 + a2 + · · · + an = 65536 ⇔ P (1) = 65536 ⇔ 4n = 65536 ⇔ n = log4 65536 = 8. 8 X 8 Do đó P (x) = (1 + 3x) = C8k .3k .xk . Như vậy ak = C8k .3k , k = 0, 1, 2, ..., 8. k=0 Giả sử ak ≤ ak+1 . Khi đó, 8! 8! ≤3· k!(8 − k)! (k + 1)!(7 − k)! 23 ⇔ k + 1 ≤ 3(8 − k) ⇔ k ≤ = 5.75 ⇔ k ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}. 4 C8k .3k ≤ C8k+1 .3k+1 ⇔ Suy ra, a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ≤ a5 ≤ a6 và a6 ≥ a7 ≥ a8 . Như thế, M = a6 = C86 .36 = 20412 là số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 , . . . , a8 . Vậy a0 + a1 + a2 + · · · + an − M = 65536 − 20412 = 45124. Chọn đáp án C  Trang 48/61 − Mã đề 142 Câu 127. Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Xác suất để chọn được số tự nhiên có dạng a1 a2 a3 a4 a5 mà a1 ≤ a2 + 1 ≤ a3 − 3 < a4 ≤ a5 + 2 bằng 1001 7 77 1001 A. . B. . C. . D. . 45000 5000 1500 30000 Lời giải. Số các số tự nhiên có 5 chữ số bằng 99999 − 10000 + 1 = 90000 (số). Suy ra n(Ω) = 90000. Gọi A là biến cố: “số chọn được có dạng a1 a2 a3 a4 a5 mà a1 ≤ a2 + 1 ≤ a3 − 3 < a4 ≤ a5 + 2”. Theo giả thiết bài toán, ta có 1 ≤ a1 ≤ a2 + 1 ≤ a3 − 3 < a4 ≤ a5 + 2 ⇔ 1 ≤ a1 < a2 + 2 < a3 − 1 < a4 + 2 < a5 + 5 ≤ 14. Suy ra số cách chọn bộ (a1 , a2 , . . . , a5 ) bằng số cách chọn ra 5 phần tử phân biệt trong 14 phần tử {1; 2; 3; . . . ; 14}. Từ đó n(A) = C514 = 2002. n(A) 2002 1001 Vậy xác suất cần tìm bằng P(A) = = = . n(Ω) 90000 45000 Chọn đáp án A  Câu 128. Một hộp đựng 26 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 26. Bạn Hải rút ngẫu nhiên cùng một lúc ba tấm thẻ. Hỏi có bao nhiêu cách rút sao cho bất kỳ hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị? A. 1350. B. 2024. C. 1768. D. 1771. Lời giải. Số kết quả của không gian mẫu n(Ω) = C326 = 2600. Số cách rút ra ba thẻ, sao cho trong ba thẻ đó luôn có ít nhất hai thẻ mà số ghi trên hai thẻ đó là hai số tự nhiên liên tiếp, ta có các trường hợp • Rút hai thẻ liên tiếp có cặp số là 1; 2, thì thẻ thứ 3 ta có 24 cách rút. • Rút hai thẻ liên tiếp có cặp số là 2; 3, thì thẻ thứ 3 không thể là thẻ có số 1, suy ra có 23 cách rút thẻ thứ 3. • Rút hai thẻ liên tiếp có cặp số là 3; 4, thì thẻ thứ 3 không thể là thẻ có số 2, suy ra có 23 cách rút thẻ thứ 3. • ··· • Rút hai thẻ liên tiếp có cặp số là 24; 25, thì thẻ thứ 3 không thể là thẻ có số 23, suy ra có 23 cách rút thẻ thứ 3. • Rút hai thẻ liên tiếp có cặp số là 25; 26, thì thẻ thứ 3 không thể là thẻ có số 24, suy ra có 23 cách rút thẻ thứ 3. Từ đó suy ra, có 24 + 23 · 24 = 576 cách rút ra ba thẻ sao cho trong ba thẻ luôn có ít nhất hai thẻ mà số ghi trên hai thẻ đó là hai số tự nhiên liên tiếp. Vậy số cách rút ra ba thẻ mà trong hai thẻ bất kỳ lấy ra có hai số tương ứng luôn hơn kém nhau ít nhất hai đơn vị là n(Ω) − 576 = 2024.  Chọn đáp án B Câu 129. Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A, B, C. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 9 người đó ngồi trên một hàng ngang có 9 chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh. A. 43200. B. 90. C. 4320. D. 720. Lời giải. Sắp 6 học sinh thành một hàng ngang, giữa 6 học sinh có 5 khoảng trống, ta chọn 3 khoảng trống và đưa 3 giáo viên vào được cách sắp thỏa yêu cầu bài toán. Vậy tất cả có 6! · A35 = 43200 cách. Chọn đáp án A  Trang 49/61 − Mã đề 142 Câu 130. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có mặt chữ số 0 và 1 là 41 10 25 25 . B. . C. . D. . A. 1944 81 27 81 Lời giải. Ta có không gian mẫu n(Ω) = 9Å59 = 136080. Gọi biến cố A: “Số được chọn có mặt chữ số 0 và 1”. Số cần tìm có dạng là abcdef với a 6= 0. Trường hớp 1: a = 1. Khi đó số 0 có 5cách chọn vị trí. Các chữ số còn lại có A48 cách chọn. Vậy có 5A48 = 8400 số. Trường hợp 2: a 6= 1. Khi đó số 1 có 5 cách chọn vị trí. Số 0có 4 cách chọn vị trí. Các chữ số còn lại có A48 cách chọn. Vậy có 5 · 4 · A48 = 33600. Do đó n(A) = 8400 + 33600 = 42000. 42000 25 n(A) = = . Xác suất để số được chọn có mặt chữ số 0 và 1 là P(A) = n(Ω) 136080 81 Chọn đáp án D  Câu 131. Cho số thựcx > 0.  Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức n 2018Ck−1 1 n+1 k−1 k Newton của biểu thức 2x + biết rằng Ck−2 + 2C + C = với k, n là các số n n n x k nguyên dương thỏa mãn 2 6 k 6 n. 1008 1009 1007 A. C1008 . B. C1008 . C. C1007 . D. C1008 2016 · 2 2016 · 2 2014 · 2 2016 . Lời giải. Ta có 2018Ck−1 n+1 + + = k k−1 2018C n+1 k−1 ⇔ Cn+1 + Ckn+1 = k k−1 2018C n+1 ⇔ Ckn+2 = k ⇔ n = 2016 Ck−2 n 2Cnk−1 Ckn  2016 X 2016 1 1008 2x + Ck2016 22016−k x2016−2k , suy ra hệ số của số hạng không chứa x là C1008 = . 2016 · 2 x k=0 Chọn đáp án A  Câu 132. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng 1 365 13 14 B. . C. . D. . A. . 2 729 27 27 Lời giải. Gọi A là tập tất cả các số nguyên dương đầu tiên, A = {1; 2; 3; . . . ; 26; 27} Chọn hai số khác nhau từ A có n (Ω) = C227 = 351. Tổng hai số là số chẵn khi cả hai số đó đều chẵn hoặc đều lẻ. Do đó • Chọn hai số chẵn khác nhau từ tập A có: C213 = 78. • Chọn hai số lẻ khác nhau từ tập A có: C214 = 91. Trang 50/61 − Mã đề 142 Số cách chọn là 78 + 91 = 169 13 169 = . Xác suất cần tìm là P = 351 27 Chọn đáp án C  Câu 133. Cho đa giác đều P gồm 16 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh là đỉnh của P . Tính xác suất để tam giác chọn được là tam giác vuông. 6 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 7 14 3 5 Lời giải. Ta có số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = C316 = 560. Gọi A là biến cố: “Tam giác được chọn là tam giác vuông” thì n(A) = 16 · (2.16 − 2) = 480. 480 6 n(A) = = . Vậy xác suất cần tìm là: P (A) = n(Ω) 560 7 Chọn đáp án A  Câu 134. Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O (n ∈ N, n ≥ 2). Gọi S là tập hợp các tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc 3 tập S, biết rằng xác suất chọn một tam giác vuông trong tập S là . Tìm n? 29 A. 12. B. 15. C. 10. D. 20. Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu S là số cách chọn 3 trong 2n đỉnh của đa giác H nên bằng C32n . Đa giác đều H có n đường chéo chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp (H). Để chọn ra một tam giác vuông. Đầu tiên ta chọn ra một cạnh huyền trong n đường kính, nên có n cách chọn. Tiếp theo chọn 1 điểm trong 2n − 2 điểm còn lại làm đỉnh góc vuông của tam giác, nên có 2n − 2 cách chọn. Số cách chọn ra một tam giác vuông bằng n · (2n − 2) cách. Xác suất để chọn ra một tam giác vuông là P = Theo giả thiết P = Chọn đáp án B 6n(2n − 2) 3 n · (2n − 2) = = . 3 C2n (2n)(2n − 1)(2n − 2) 2n − 1 3 , suy ra 2n − 1 = 29 hay n = 15. 29  2 2017 2017 2 2018 2018 2 1 2 2 1 2 ) + ) +…+ Câu 135. Tính tổng S = (C2018 (C2018 (C2018 ) + (C2018 ) 2018 2017 2 1 1 1 2018 2018 2018 1009 2018 2018 A. S = C4036 . B. S = C4036 . C. S = C4036 . D. S = C . 2018 2018 2019 2019 2018 Lời giải. 2019
2 1 2 2017 2017 2 2018 2018 2 X k 2 2 k 1 2 S= (C2018 ) + (C2018 ) +. . .+ (C2018 ) + (C2018 ) = C2018 2018 2017 2 1 2018 + 1 − k k=0
k k n! n! 2 Xét số hạng: Cnk = · ·Cnk = ·C k = Cnk−1 ·Cnk . n+1−k n − k + 1 k! (n − k)! (n − k + 1)! (k − 1)! n
2 k Vậy Cnk = Cnk−1 Cnk . n+1−k Suy ra 2018 2018 X X 2018 2018 k−1 k 2019−k k 2019 S= C . C2018 · C2018 = C2018 · C2018 = C4036 = 2019 4036 k=1 k=1 Chọn đáp án C  Câu 136. Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (n > 4, n ∈ N), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có Trang 51/61 − Mã đề 142 4 điểm nào ngoài 4 điểm trong n điểm này đồng phẳng. Tìm n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 201 mặt phẳng phân biệt. A. 12. B. 6. C. 5. D. 8. Lời giải. Cách 1. Số cách chọn 3 điểm trong 2n điểm phân biệt đã cho là C32n . Số cách chọn 3 điểm trong n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng là C3n . Số mặt phẳng được tạo ra từ 2n điểm đã cho là C32n − C3n + 1. Theo giả thiết, ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ C32n − C3n + 1 = 201 2n(2n − 1)(2n − 2) n(n − 1)(n − 2) − = 200 6 6 2n(2n − 1)(2n − 2) n(n − 1)(n − 2) − = 200 6 6 7n3 − 9n2 + 2n − 1200 = 0 (n − 6)(7n2 + 33n + 200) = 0 n = 6. Vậy n = 6 là giá trị cần tìm. Cách 2. Có các trường hợp sau: • n điểm đồng phẳng tạo ra 1 mặt phẳng. • n điểm không đồng phẳng tạo ra C3n mặt phẳng. • 2 điểm trong n điểm đồng phẳng kết hợp với 1 điểm trong n điểm không đồng phẳng tạo ra C2n C1n = n · C2n mặt phẳng. • 1 điểm trong n điểm đồng phẳng kết hợp với 2 điểm trong n điểm không đồng phẳng tạo ra C1n C2n = n · C2n mặt phẳng. Vậy có 1 + C3n + 2nC2n = 201. Giải phương trình này ta tìm được n = 6. Chọn đáp án B  Câu 137. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 6. 4 5 1 1 . B. . C. . D. . 9 6 6 3 Lời giải. Số các số có các số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} là 65 số. Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 65 . A là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 6 ”. . Gọi x = abcde là số chia hết cho 6. Ta có e ∈ {2; 4; 6} và (a + b + c + d + e) .. 3. e có 3 cách chọn. d có 6 cách chọn. c có 6 cách chọn. b có 6cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn trên của d, b, c, e ta xét các trường hợp sau: . . Trường hợp 1: (b + c + d + e) .. 3 ⇒ a .. 3 ⇒ có 2 cách chọn a. A. Trường hợp 2: (b + c + d + e) chia 3 dư 1 ⇒ a chia 3 dư 2 ⇒ có 2 cách chọn a. Trường hợp 3: (b + c + d + e) chia 3 dư 2 ⇒ a chia 3 dư 1 ⇒ có 2 cách chọn a. Như vậy cả 3 tình huống đều có chung kết quả là ứng với ứng với mỗi cách chọn trên của d, b, c, e Trang 52/61 − Mã đề 142 cho ta 2 cách chọn a . Ta có n(A) = 3 · 6 · 6 · 6 · 2 = 1296. 1296 1 Vậy P(A) = 5 = . 6 6 Chọn đáp án C  Câu 138. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là số lẻ bằng 41 16 40 41 . B. . C. . D. . A. 648 81 81 81 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) = 9 · 9 · 8 = 648 A: “Số được chọn có tổng các chữ số là số lẻ”. Trường hợp 1: Số được chọn có 3 chữ số lẻ. Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số lẻ là A35 . Trường hợp 2: Số được chọn gồm có 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ. Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số chẵn và 1 chữ số là số lẻ là C25 · C15 · 3! Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số chẵn và 1 chữ số lẻ có số 0 đứng đầu là C14 · C15 · 2! Vậy nên số số thỏa biến cố A là: C25 · C15 · 3! − C14 · C15 · 2! = 260. Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n(A) = 60 + 260 = 320 n(A) 320 40 Vậy P(A) = = = . n(Ω) 648 81 Chọn đáp án D  Câu 139. Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi X là tập các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của của đai giác trên. Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều. 14 21 3 7 . B. . C. . D. . A. 816 136 136 17 Lời giải. Qua ba đỉnh của đa giác luôn tạo thành một tam giác nên số tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác là n (Ω) = C318 . Có 18 cách chọn một đỉnh của đa giác mỗi đỉnh có 7 cách chọn 2 đỉnh còn lại để được một tam giác cân không đều. Số các tam giác cân không đều là 18.7 = 126. Xác suất cần tìm 128 21 P (A) = 3 = . C18 136  Chọn đáp án C Câu 140. Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình chữ nhật ABCD với các điểm A(−2; 0), B(−2; 2), C(4; 2), D(4; 0) (hình vẽ). Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M (x; y) mà x + y < 2. 1 3 8 4 A. . B. . C. . D. . 3 7 21 7 y B A C E O 1 I D x Lời giải. Trang 53/61 − Mã đề 142 Số các điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật là 7 · 3 = 21 điểm vì ( x ∈ {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4} y ∈ {0; 1; 2}. Để con châu chấu đáp xuống các điểm M (x, y) có x + y ( < 2 thì con châu chấu sẽ nhảy trong khu x ∈ {−2; −1; 0; 1; 2} Nếu x ∈ {−2; −1} vực hình thang BEIA. Để M (x, y) có tọa độ nguyên thì y ∈ {0; 1; 2} thì y ∈ {0; 1; 2} ⇒ có 2 · 3 = 6 điểm. Nếu x = 0 thì y ∈ {0; 1} ⇒ có 2 điểm. Nếu x = 1 ⇒ y = 0 ⇒ có 1 điểm. Suy ra có tất cả 6 + 2 + 1 = 9 điểm thỏa mãn. 9 3 Vậy xác suất cần tính P = = . 21 7 Chọn đáp án B  Câu 141. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập các số có 5 chữ số khác nhau. Số các số mà tổng các chữ số của nó là số lẻ là A. 15120. B. 7920. C. 66. D. 120. Lời giải. • Trường hợp 1: Số cần lập có 4 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ, có: C54 .4!.C51 = 600 (số). • Trường hợp 2: Số cần lập có 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ, có: C52 .A42 .A53 = 7200 (số). • Trường hợp 3: Số cần lập có 5 chữ số lẻ, có: 5! = 120 (số). Vậy theo quy tắc cộng, có: 600 + 7200 + 120 = 7920 (số). Chọn đáp án B  Câu 142. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C12n+1 + C32n+1 + · · · + C2n+1 2n+1 = 1024. A. n = 10. B. n = 11. C. n = 5. D. n = 9. Lời giải. ( 2n 2n+1 (1 + x)2n+1 = C02n+1 x0 + C12n+1 x1 + C22n+1 x2 + C32n+1 x3 + · · · + C2n + C2n+1 2n+1 x 2n+1 x Ta có 2n 2n+1 2n+1 (1 − x)2n+1 = C02n+1 x0 − C12n+1 x1 + C22n+1 x2 − C32n+1 x3 + · · · + C2n − C2n+1 x . 2n+1 x 2n+1 2n+1 3 2n+1 2n+1 1 1 3 Suy ra (1 + x) − (1 − x) = 2(C2n+1 x + C2n+1 x + · · · + C2n+1 x ). 2n+1 2n+1 1 3 n 5 Cho x = 1 ta được 2 − 0 = 2(C2n+1 + C2n+1 + · · · + C2n+1 ) ⇔ 4 = 4 ⇔ n = 5.  Chọn đáp án C Câu 143. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; . . . ; 100}. Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A, mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Xác suất chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân bằng 4 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 645 1395 930 645 Lời giải. Trước tiên, ta đếm số phần tử của S. Mỗi tập con thuộc S sẽ có dạng {a, b, c}, 0 < a < b < c < 100, a + b + c = 91. Khi đó ta có 91 ≥ a + (a + 1) + (a + 2) nên a ≤ 29.   90 − a Với mỗi 1 ≤ a ≤ 29, ta có b + c = 91 − a, mà c ≥ b + 1 nên 2b ≤ 90 − a ⇒ b ≤ và 2   90 − a b ≥ a + 1 nên có − a cách chọn b. 2   29  X 90 − a Suy ra số tập con của A thuộc S là − a = 645. 2 a=1 Trang 54/61 − Mã đề 142 Hay số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 645. Tiếp theo, ta sẽ đếm số cấp số nhân trong S. Vì các số hạng của cấp số nhân là số nguyên dương m nên công bội sẽ là số hữu tỷ dương, giả sử số bé nhất của cấp số nhân là a và công bội là , với n a, m, n ∈ Z+ , a  ≤ 30; m > n, ƯCLN(m, n) = 1.  m m2 Khi đó ta có a 1 + + 2 = 91 ⇔ a (m2 + mn + n2 ) = 91n2 . n n . Vì ƯCLN(m, n) = 1 nên ƯCLN (m2 + mn + n2 , n2 ) = 1 nên suy ra a .. n2 . Mà a ≤ 30 nên n2 ≤ 30 ⇒ n ≤ 5. • Với n = 1, ta có a (m2 + m + 1) = 91. Phương trình này có các nghiệm nguyên dương (a; m) ∈ {(1; 9), (7; 3), (13; 2)}, nên có các cấp số nhân (1; 9; 81), (7; 21; 63), (13; 26; 52). • Với n = 2, ta có a (m2 + 2m + 4) = 364, không có nghiệm nguyên dương. • Với n = 3, ta có a (m2 + 3m + 9) = 819, không có nghiệm nguyên dương. • Với n = 4, ta có a (m2 + 4m + 16) = 1456, không có nghiệm nguyên dương. • Với n = 5, ta có a (m2 + 5m + 25) = 2275. Phương trình này có nghiệm nguyên dương (a; m) = (25; 6), ta nhận được cấp số nhân (25; 30; 36). Vậy có 4 cấp số nhân trong S. Gọi A là biến cố “chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số nhân” thì n(A) = 4. 4 n(A) = . Suy ra: P(A) = n(Ω) 645 Chọn đáp án A  Câu 144. Trong một lớp có n hoc sinh gồm 3 bạn Chuyên, Hà, Tĩnh cùng n − 3 học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào dãy ghế được đánh số từ 1 đến n, mỗi học sinh ngồi một ghế thì xác suất để số ghế của Hà bằng trung bình cộng số ghế của Chuyên và số ghế của Tĩnh là 13 . Khi đó n thỏa mãn 675 A. n ∈ [25; 29]. B. n ∈ [40; 45]. C. n ∈ [30; 34]. D. n ∈ [35; 39]. Lời giải. Số cách sắp xếp tùy ý n học sinh vào n chỗ là n!(cách xếp). Giả sử số ghế của 3 bạn Chuyên, Hà, Tĩnh lần lượt là a, b, c. a+c Khi đó ta có b = hay 2b = a + c. 2 Do đó a, c phải cùng tính chẵn lẻ. TH 1. Nếu n = 2m (n là số chẵn). Nếu a, c cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì Chuyên và Tĩnh có A2n cách xếp, Hà có 1 cách xếp và 2 có (n − 3)! cách xếp các học sinh còn lại. 2(n − 3)!A2n 13 701 2 Do đó ta có = ⇔m= (loại). n! 675 52 TH 2. n = 2m + 1 (n là số lẻ). • Nếu a, c chẵn thì Chuyên và Tĩnh có A2m cách xếp, Hà có 1 cách xếp và có (2m − 2)! cách xếp các học sinh còn lại. • Nếu a, c lẻ thì Chuyên và Tĩnh có A2m+1 cách xếp, Hà có 1 cách xếp và có (2m − 2)! cách xếp các học sinh còn lại. Khi đó
(2m − 2)! A2m + A2m+1 13 m(m − 1) + m(m + 1) = ⇔ ⇔ m = 13 ⇔ n = 27. (2m + 1)! 675 (2m + 1)2m(2m − 1) Trang 55/61 − Mã đề 142  Chọn đáp án A Câu 145. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác cân? A. 81. B. 165. C. 45. D. 216. Lời giải. Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác, thì tất cả phải khác 0 và a, b, c ∈ {1; 2; . . . ; 9}. • Nếu tam giác tạo thành là tam giác đều, có 9 số có tính chất như vậy. • Nếu tam giác tạo thành là cân nhưng không đều. Trong số đó có đúng 2 chữ số khác nhau trong 3 chữ số. Gọi chúng là a và b. Số các cặp (a, b) là 2 · C29 . Nhưng nếu số lớn hơn (chẳng hạn là a) là độ dài cạnh đáy thì a phải thỏa mãn điều kiện b < a < 2b để đảm bảo bất đẳng thức tam giác. Tất cả các cặp không thỏa mãn điều kiện được liệt kê dưới bảng sau (có 20 cặp). a b 9 4, 3, 2, 1 8 4, 3, 2, 1 7 3, 2, 1 6 3, 2, 1 5 2, 1 4 2, 1 3 1 2 1 1 Mặt khác, có C23 số được lập từ một cặp (a, b) cho trước. Suy ra có C23 (2 · C29 − 20) = 156 số. Vậy số các số thỏa mãn là 9 + 156 = 165. Chọn đáp án C  Câu 146. Có 60 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 50. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3. 11 9 409 1 A. . B. . C. . D. . 171 89 1225 12 Lời giải. Số phần tử không gian mẫu: |Ω| = C350 = 19600. Gọi A là tập các thẻ đánh số a sao cho 1 ≤ a ≤ 50 và a chia hết cho 3. A = {3; 6; . . . ; 48} ⇒ |A| = 16 Gọi B là tập các thẻ đánh số b sao cho 1 ≤ b ≤ 50 và b chia 3 dư 1. B = {1; 4; . . . ; 49} ⇒ |B| = 17 Gọi C là tập các thẻ đánh số c sao cho 1 ≤ c ≤ 50 và c chia 3 dư 2. C = {2; 5; . . . ; 59} ⇒ |C| = 17. Với D là biến cố: “Rút ngẫu nhiên 3 thẻ được đánh số từ 1 đến 50 sao cho tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3 ”. Ta có 4 trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Rút 3 thẻ từ A: Có C316 (cách). Trường hợp 2: Rút 3 thẻ từ B: Có C317 (cách). Trường hợp 3: Rút 3 thẻ từ C: Có C317 (cách). Trường hợp 4: Rút mỗi tập 1 thẻ: Có 16 · 17 · 17 = 4624 (cách). Suy ra |D| = 2 · C317 + C316 + 4624 = 6544. 6544 409 |D| = = . Vậy xác suất cần tìm P = |Ω| 19600 1225 Chọn đáp án C  Câu 147. Cho tập hợp A = {1; 2; . . . ; 20}. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 5 số từ tập hợp A sao cho không có hai số nào là hai số tự nhiên liên tiếp? A. C517 . B. C516 . C. C518 . D. C515 . Lời giải. Gọi các số được chọn là a, b, c, d, e thỏa a < b < c < d < e Vì không có 2 số tự nhiên nào liên tiếp nhau nên a < b − 1 < c − 2 < d − 3 < e − 4 Do đó, số cách chọn cần tìm là số cách chọn ra bộ số (a, b − 1, c − 2, d − 3, e − 4) trong 16 số Vậy có C516 cách chọn. Chọn đáp án B  Trang 56/61 − Mã đề 142 Câu 148. Chia ngẫu nhiên 9 viên bi gồm 4 viên màu đỏ và 5 viên màu xanh có cùng kích thước thành ba phần, mỗi phần 3 viên. Xác xuất để không có phần nào gồm 3 viên cùng màu bằng 3 2 5 9 A. . B. . C. . D. . 7 7 14 14 Lời giải. Ta có nhận xét: Xác suất không thay đổi khi ta coi ba phần này có xếp thứ tự 1, 2, 3. Chia ngẫu nhiên 9 viên bi gồm 4 viên màu đỏ và 5 viên màu xanh có cùng kích thước thành ba phần, mỗi phần 3 viên như sau: • Chọn 3 viên cho phần 1: có C39 cách. • Chọn 3 viên cho phần 2: có C36 cách. • Chọn 3 viên lại cho phần 3: có 1 cách. Do đó số phần tử của không gian mẫu là: n (Ω) = C39 · C36 = 1680. Gọi A là biến cố không có phần nào gồm 3 viên cùng màu, khi đó ta chia các viên bi thành 3 bộ như sau: • Bộ 1: 2 đỏ - 1 xanh: có C24 C15 cách chọn. • Bộ 2: 1 đỏ - 2 xanh: có C12 C24 cách chọn. • Bộ 3: gồm các viên bi còn lại (1 đỏ - 2 xanh). Vì bộ 2 và 3 có các viên bi giống nhau để không phân biệt hai bộ này nên có 3! sắp xếp 3 bộ vào 2! 3 phần trên. Do đó n(A) = 3! 2 1 1 2 C C C C = 1080. 2! 4 5 2 4 Vậy xác xuất để không có phần nào gồm 3 viên cùng màu là P(A) = n(A) 1080 9 = = . n (Ω) 1680 14  Chọn đáp án D  10 1 2 + x thành đa thức a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a9 x9 + a10 x10 , 3 3 hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10). 29 28 25 26 B. a9 = 10 10 . C. a8 = 45 10 . D. a5 = 252 10 . A. a6 = 210 10 . 3 3 3 3 Lời giải.  10  10−k  k 10 10 P P 2k 1 2 1 2x k Ta có + x = C10 · = Ck10 · 10 xk . 3 3 3 3 3 k=0 k=0 k 2 Suy ra ak = Ck10 · 10 > 0, ∀k ∈ {1; 2; . . . ; 10}. 3 1 2 19 Xét ak < ak+1 ⇔ Ck10 < 2Ck+1 < ⇔k< . 10 ⇔ 10 − k k+1 3 Vì k ∈ N nên k = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 ⇒ a0 < a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 < a7 . 19 Tương tự ak > ak+1 ⇔ k > ⇒ k = 7; 8; 9 ⇒ a7 > a8 > a9 . 3 Chọn đáp án A  Câu 149. Trong khai triển của Câu 150. Tìm hệ số của x6 trong khai triển x(1 − 2x)7 + x2 (1 + 3x)10 . A. 16338. B. 17682. C. −672. Lời giải. Ta có 7 2 x(1 − 2x) + x (1 + 3x) 10 =x 7 X k=0 Ck7 (−2x)k + x2 10 X l=0 Cl10 (3x)l = 7 X k=0 D. 153538. Ck7 (−2)k · xk+1 + 10 X Cl10 3l · xl+2 . l=0 Trang 57/61 − Mã đề 142 Hệ số của x6 trong 7 X Ck7 (−2)k · xk+1 là C57 (−2)5 . k=0 Hệ số của x6 trong 10 X Cl10 3l · xl+2 là C410 34 . l=0 6 Vậy hệ số của x trong khai triển x(1 − 2x)7 + x2 (1 + 3x)10 là C57 (−2)5 + C410 34 = 16338. Chọn đáp án A  Câu 151. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lấy ngẫu nhiên một số từ S . Tính xác suất sao cho số lấy được chia hết cho 15. 1 9 8 1 A. . B. . C. . D. . 6 112 9 27 Lời giải. Số các số có các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 là 94 số. Lực lượng của không gian mẫu là n(Ω) = 94 . Gọi A là biến cố “Số được chọn chia hết cho 15”. Gọi số có 4 chữ số và chia hết cho 15 có dạng abcd . . Vì abcd .. 15 nên d = 5 và a + b + c + d chia hết cho 3. Suy ra a + b + c chia cho 3 dư 1. Các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9chia thành 3 nhóm: • A = {1, 4, 7}. • B = {2, 5, 8}. • C = {3, 6, 9}. Ta có a có 9 cách chọn, mỗi cách chọn a có 9 cách chọn b, mỗi cách chọn , ab có 3 cách chọn c. (thuộc A = {1, 4, 7} hoặc thuộc B = {2, 5, 8} hoặc thuộc C = {3, 6, 9}) để a + b + c chia 3 dư 1. Vậy số các số chia hết cho 15 là 9 · 9 · 3 = 243 số, suy ra n(A) = 243. 1 243 Vì vậy P(A) = 4 = . 9 27 Chọn đáp án D  Câu 152. Chọn ngẫu nhiên ba số a, b, c trong tập hợp S = {1; 2; 3; · · · ; 20}. Biết xác suất để ba m số tìm được thoả mãn a2 + b2 + c2 chia hết cho 3 bằng , với m, n là các số nguyên dương và n m tối giản. Biểu thức S = m + n bằng phân số n A. 58. B. 239. C. 85. D. 127. Lời giải. Vì số chính phương chia 3 dư 1 hoặc 0 nên a2 + b2 + c2 chia hết cho 3 chỉ có 2 khả năng xảy ra như sau: Trường hợp 1: Cả 3 số a, b, c cùng chia hết cho 3. Trường hợp 2: cả 3 số a, b, c cùng không chia hết cho 3. Trong tập S gồm có 6 số chia hết cho 3 và 14 số không chia hết cho 3. C3 + C3 32 Xác suất để tìm được 3 số thoả mãn yêu cầu bài toán bằng 6 3 14 = . C20 95 Từ đó ta có S = m + n = 32 + 95 = 127. Chọn đáp án D  Câu 153. Cho A là tập các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy một số bất kì của tập hợp A. Tính xác suất để lấy được số lẻ và chia hết cho 9. 625 1 1250 1 A. . B. . C. . D. . 1701 18 1701 9 Lời giải. Trang 58/61 − Mã đề 142 Xét số có dạng a = a1 a2 a3 . . . a7 với a1 6= 0, a1 , a2 , . . . , a7 ∈ {0; 1; 2; . . . ; 9}. Ta sẽ đếm số các số dạng này thỏa mãn a lẻ và chia hết cho 9. Trước hết a7 có 5 cách chọn. Ta chọn các số a2 , a3 , . . . , a6 một cách bất kì, sẽ có 105 cách chọn. Chú ý rằng a chia hết cho 9 khi và chỉ khi S = a1 + a2 + · · · + a7 chia hết cho 9. Mặt khác tổng số dư của tổng a2 + a3 + · · · + a7 khi chia cho 9 thuộc vào tập {0; 1; 2; . . . ; 8}, với mỗi trường hợp đó ta đều có duy nhất một cách chọn a1 ∈ {1; 2; 3; . . . ; 9} sao cho tổng S chia hết cho 9. Do đó số cách số a lẻ chia hết cho 9 là 5 · 105 . 1 5 · 105 6 = . Mà có 9 · 10 số tự nhiên có 7 chữ số nên xác suất cần tìm là 6 9 · 10 18 Chọn đáp án B  Câu 154. Một túi đựng 10 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi đó. Xác suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 bằng 2C13 C13 C14 2C33 + C34 + C13 C13 C14 A. . B. . C310 C310 2C33 + C34 1 C. . D. . 3 C10 3 Lời giải. Gọi A0 = {3; 6; 9}, A1 = {1; 4; 7; 10}, A2 = {2; 5; 8}. Để ba số nhận được có tổng chia hết cho 3, ta có các trường hợp i) Lấy ba phần tử từ A0 hoặc lấy ba phần tử từ A1 hoặc lấy ba phần tử từ A2 , trường hợp này có 2C33 + C34 cách. ii) Chọn từ mỗi tập A0 , A1 , A2 đúng một phần tử, trường hợp này có C13 C13 C14 cách. 2C33 + C34 + C13 C13 C14 Vậy xác suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 bằng C310 Chọn đáp án B  Câu 155. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số phân biệt được lập từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lấy một số ngẫu nhiên thuộc S. Tính xác suất để lấy được số chẵn và trong mỗi số đó có tổng hai chữ số hàng chục và hàng trăm bằng 5. 1 11 4 16 A. . B. . C. . D. . 10 70 45 105 Lời giải. Gọi số có bốn chữ số có dạng a1 a2 a3 a4 . Số phần tử không gian mẫu là |Ω| = 6 · A36 = 720. Gọi A là biến cố: “lấy được số chẵn và trong đó có tổng hai chữ số hàng chục và hàng trăm bằng 5”. • Nếu a1 bất kì. Chọn cặp số (a2 ; a3 ) có tổng là 5 có 3 cách (1; 4), (0; 5), (2; 3). Hoán vị a2 ; a3 có 2 cách. Mỗi cách chọn cặp (a2 ; a3 ) là giảm đi một chữ số chẵn, do đó số cách chọn a4 là 3. Số cách chọn a1 là 4 cách. Do đó ta có số cách chọn là 3 · 2 · 3 · 4 = 72 cách. • Nếu a1 = 0. Chọn cặp số (a2 ; a3 ) có 2 cách (2; 3), (1; 4). Hoán vị a2 , a3 có 2 cách. Mỗi cách chọn cặp (a2 , a3 ) làm giảm đi một chữ số chẵn, do đó có 2 cách chọn a4 . Số chữ số trong trường hợp a1 = 0 là 2 · 2 · 2 = 8 cách. Do đó số chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là n(A) = 72 − 8 = 64. 64 4 n(A) Vậy P(A) = = = . n(Ω) 720 45 Chọn đáp án C  Trang 59/61 − Mã đề 142 Câu 156. Trên mặt phẳng Oxy ta xét một hình chữ nhật ABCD với các điểm A(−2; 0), B(−2; 2), C(4; 2), D(4; 0). Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh của hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M (x; y) mà x + y < 2. 4 3 8 1 B. . C. . D. . A. . 3 7 7 21 Lời giải. y Số điểm có tọa độ nguyên trong hình chữ nhật là: 2 n(Ω) = 7 · 3 = 21. Số điểm M (x; y) có tọa độ nguyên nằm trong hình chữ nhật 1 ABCD và thỏa mãn x + y < 2 là n(A) = 9. 0 3 9 −2 −1 0 1 2 3 4 x = . Vậy xác suất cần tìm P (A) = 21 7 Chọn đáp án C  Câu 157. Trong kỳ tuyển sinh năm 2017 trường THPT A có 5 học sinh bao gồm 3 nữ, 2 nam cùng đỗ vào khoa B của một trường đại học. Số sinh viên đỗ vào khoa B được chia ngẫu nhiên vào 4 lớp. Tính xác suất để có một lớp có đúng 2 nữ và 1 nam của trương THPT A 3 3 27 27 A. . B. . C. . D. . 5 512 512 128 Lời giải. Mỗi cách xếp ngẫu nhiên 5 bạn (trường THPT A) vào 4 lớp của khoa B chính là một kết quả của không gian mẫu Ω. Vậy không gian mẫu có n(Ω) = 45 = 1024 (phần tử). Gọi X : "có một lớp có đúng 2 nữ và 1 nam của trương THPT A" Chọn ra 2 trong 3 nữ, 1 trong 2 nam của trường THPT A thì sẽ có 3 × 2 = 6 (cách). (Còn 2 bạn) Chọn ra 1 trong 4 lớp của khoa B để xếp 3 bạn vừa chọn thì sẽ có C14 = 4 (cách). (Còn 3 lớp) 2 bạn còn lại xếp ngẫu nhiện vào 3 lớp thì sẽ có 32 = 9 (cách). Theo quy tắc nhân ta có 6 × 4 × 9 = 216 (cách). Mỗi cách chọn như trên là một phần tử của X ⇒ n(X) = 216 (phần tử) 216 27 n(X) = = ⇒ P (X) = n(Ω) 1024 128  Chọn đáp án D Câu 158. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9. Tính tổng tất cả các số thuộc tập S. A. 46666200. B. 9333420. C. 46666240. D. 9333240. Lời giải. Số phần tử của S là 5! = 120 số. Trong các số thuộc S thì • Số 5 xuất hiện ở hàng đơn vị là 4! = 24 lần (số các số có dạng abcd5). • Tương tự các chữ số 5; 6; 7; 8; 9 đều xuất hiện 24 lần ở mỗi hàng. Do đó, tổng các số thuộc tập S là 24 · (5 + 6 + 7 + 8 + 9) · (1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) = 9333240. Chọn đáp án D  Câu 159. Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là A. 3003. B. 2163. C. 2170. D. 3843. Lời giải. Số cách chọn 5 viên bi bất kì trong hộp là C515 . Khi chọn bất kỳ thì bao gồm các trường hợp sau: Chỉ có một màu Chỉ có hai màu Có đủ 3 màu Trang 60/61 − Mã đề 142 Xanh Đỏ C56 cách. C55 cách. Xanh - Đỏ Đỏ - Vàng Xanh - Vàng C511 − C56 − C55 cách. C59 − C55 cách. C510 − C56 cách. Suy ra số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán (có đủ ba màu) là   C515 − (C56 + C55 ) − (C511 − C56 − C55 ) + (C59 − C55 ) + (C510 − C56 ) = 2170.  Chọn đáp án C Câu 160. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn chia hết cho 3 bằng 16 1 20 5 B. . C. . D. . A. . 9 81 2 81 Lời giải. Ta có không gian mẫu n(Ω) = 9 · 9 · 8 = 648 số. Gọi biến cố A: “ Số được chọn chia hết cho 3”. Ta có 5 trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Chọn 2 phần tử thuộc S1 và {0} có 4 số. Trường hợp 2: Chọn 1 phần tử thuộc S2 , 1 phần tử thuộc S3 và {0} có 3 · 3 · 2! · 2 = 36 số. Trường hợp 3: Chọn 1 phần tử thuộc S2 , 1 phần tử thuộc S2 và 1 phần tử thuộc S3 có 2·3·3·3! = 108 số. Trường hợp 4: Chọn 3 phần tử thuộc S2 có 3! = 6 số. Trường hợp 5: Chọn 3 phần tử thuộc S3 có 3! = 6 số. Do đó n(A) = 4 + 36 + 108 + 6 + 6 = 160 số. 160 20 n(A) = = . Xác suất để số được chọn chia hết cho ba là P(A) = n(Ω) 648 81 Chọn đáp án D  HẾT Trang 61/61 − Mã đề 142 ĐÁP ÁN MÃ ĐỀ 142 1 C 18 A 35 D 52 B 69 B 86 D 103 C 120 B 137 C 154 B 2 B 19 B 36 C 53 C 70 D 87 B 104 D 121 D 138 D 155 C 3 A 20 A 37 A 54 C 71 A 88 D 105 A 122 B 139 C 156 C 4 A 21 B 38 C 55 C 72 D 89 D 106 B 123 C 140 B 157 D 5 D 22 C 39 C 56 C 73 B 90 C 107 D 124 C 141 B 158 D 6 C 23 B 40 D 57 D 74 B 91 B 108 C 125 B 142 C 7 C 24 D 41 A 58 D 75 D 92 C 109 C 126 C 143 A 8 D 25 D 42 C 59 D 76 C 93 C 110 D 127 A 144 A 9 D 26 B 43 C 60 B 77 C 94 A 111 C 128 B 145 C 10 C 27 D 44 B 61 A 78 C 95 D 112 A 129 A 146 C 11 B 28 D 45 A 62 C 79 B 96 D 113 C 130 D 147 B 12 C 29 D 46 D 63 B 80 A 97 A 114 D 131 A 148 D 13 A 30 C 47 B 64 D 81 D 98 C 115 D 132 C 149 A 14 C 31 B 48 D 65 B 82 D 99 A 116 D 133 A 150 A 15 D 32 A 49 B 66 D 83 B 100 A 117 D 134 B 151 D 16 B 33 D 50 C 67 C 84 C 101 C 118 D 135 C 152 D 17 D 34 B 51 D 68 A 85 B 102 C 119 C 136 B 153 B 159 C 160 D Trang 1/1 − Đáp án mã đề 142