15 đề thi HSG cấp huyện Toán 7 có lời giải chi tiết

Giới thiệu 15 đề thi HSG cấp huyện Toán 7 có lời giải chi tiết

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc 15 đề thi HSG cấp huyện Toán 7 có lời giải chi tiết.

Tài liệu Học sinh giỏi Toán 7 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi học sinh giỏi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu 15 đề thi HSG cấp huyện Toán 7 có lời giải chi tiết

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 7 tại đây

Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 1 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 MỤC LỤC ĐỀ SỐ 1. HUYỆN ĐỨC PHỔ – NĂM 15 – 16 …………………………………………………………. 2 ĐỀ SỐ 2. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ……………………………………………………………………………. 8 ĐỀ SỐ 3. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ………………………………………………………………………….. 13 ĐỀ SỐ 4. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ………………………………………………………………………….. 17 ĐỀ SỐ 5. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ………………………………………………………………………….. 21 ĐỀ SỐ 6. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ………………………………………………………………………….. 25 ĐỀ SỐ 7. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ………………………………………………………………………….. 30 ĐỀ SỐ 8. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ………………………………………………………………………….. 33 ĐỀ SỐ 9. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ………………………………………………………………………….. 37 ĐỀ SỐ 10. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ………………………………………………………………………… 44 ĐỀ SỐ 11. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ………………………………………………………………………… 50 ĐỀ SỐ 12. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ………………………………………………………………………… 55 ĐỀ SỐ 13. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ………………………………………………………………………… 59 ĐỀ SỐ 14. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ………………………………………………………………………… 64 ĐỀ SỐ 15. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ………………………………………………………………………… 69 1 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 2 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 1. HUYỆN ĐỨC PHỔ – NĂM 15 – 16 Câu 1: (5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức P  a  1 1 1 a , với a  . 2014 2016 2015 b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số 6 x 1 và là một số nguyên. x 1 3 Câu 2: (5 điểm) a) Cho a  2; b  2 . Chứng minh ab  a  b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ với 4 và 5, diện tích hình thứ hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó. Câu 3: (3 điểm) Cho ∆DEF vuông tại D và DF  DE , kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M là trung điểm của EF.  E  F  a) Chứng minh MDH b) Chứng minh EF  DE  DF  DH Câu 4: (2 điểm) Cho các số 0  a1  a2  a 3  ….  a15 . Chứng minh rằng a1  a2  a 3  …  a15 a5  a10  a15 5 Câu 5: (5 điểm)  và ACB  cắt nhau tại I (E, F lần   120 . Các tia phân giác BE, CF của ABC Cho ∆ABC có A   CIN   300 . lượt thuộc các cạnh AC, AB). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho BIM . a) Tính số đo của MIN b) Chứng minh CE + BF < BC ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 2 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 3 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1 NỘI DUNG ĐÁP ÁN a) Tính giá trị biểu thức P  a  Thay a  1 1 1 a , với a  . 2014 2016 2015 1 1 1 1 1    vào biểu thức P  2015 2014 2015 2016 2015 Ta có P  2.5 đ 1 1  2014 2016 P 2016  2014 2  2014.2016 2014.2016 Đặt A  0.5 0.5 0.5 1 1  1007.2016 2030112 b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số 2.5 đ 0.25 1 1 1 1    2014 2015 2015 2016 P P  Điểm 0.75 x 1 6 và là một số nguyên. x 1 3 6 x 1  x 1 3  2 x 1  x 1 1  2(x  1) x 1  2x  2 x 1  2(x  1)  4 4  2 x 1 x 1 0.25 0.25 0.25 0.25 Để A nhận giá trị nguyên thì x  1 là Ư(4) = 1; 2; 4 Suy ra x  0; 2;1; 3; 3; 5 3 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 0.5 Toán Họa tổng hợp Trang 4 [Document title] 2 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 2. a) Cho a  2; b  2 . Chứng minh ab  a  b 0.5 1 1 Từ a  2   a 2 b2 2đ Suy ra 1 1  b 2 0.5 1 1 a b  1 1 a b ab 0.5 0.5 Vậy ab  a  b b) Gọi diện tích ba hình chữ nhật lần lượt là S1, S 2 , S 3 , chiều dài, chiều rộng 3đ 0.5 tương ứng là d1, r1; d2 , r2 ; d3 , r3 theo đề bài ta có: S1 S2  4 S2 7 ;  và d1  d2 ; r1  r2  27; r2  r3 , d3  24 5 S3 8 0.5 0.25 Vì hình thứ nhất và hình thứ hai cùng chiều dài S1 S2  r r r  r2 4 r1 27   1  2  1  3 5 r2 4 5 9 9 0.25 0.25 Suy ra chiều rộng r1  12cm, r2  15cm Vì hình thứ hai và hình thứ ba cùng chiều rộng S2 S3  7d 7 d2 7.24   d2  3   21cm 8 d3 8 8 Vậy diện tích hình thứ hai S 2  d2r2  21.15  315 cm 2 Diện tích hình thứ nhất S1  Diện tích hình thứ ba S 3  4 4 4 S 2  .315  252 cm 2 5 5 8 8 S 2  .315  360 cm 2 7 7 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 5 [Document title] 3đ ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 F K I M H D E 0.5  E  F  a) Chứng minh MDH Vì M là trung điểm của EF suy ra MD  ME  MF   MDE   MDE cân tại M  E  F  cùng phụ với E  Mà HDE 0.25 0.25   MDE   HDE  Ta có MDH 0.25  E  F  Vậy MDH 0.25 b) Chứng minh EF  DE  DF  DH Trên cạnh EF lấy K sao cho EK  ED , trên cạnh DF lấy I sao cho DI  DH Ta có EF  DE  EF  EK  KF 0.25 DF  DH  DF  DI  IF Ta cần chứng minh KF  IF 0.25   EKD  - EK  ED  DEK cân  EDK   KDI   EKD   HDK   900 - EDK   HDK   KDI 5 0.25 0.25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 6 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 - DHK  DIK (c-g-c) 4   DHK   900  KID 0.25 Trong ∆KIF vuông tại I  KF  FI điều phải chứng minh 0.25 Ta có a1  a2  a 3  a 4  a 5  5a5 (2đ) a6  a 7  a 8  a 9  a10  5a10 0.5 a11  a12  a13  a14  a15  5a15 0.5 0.5 Suy ra a1  a2  ........  a15  5(a5  a10  a15 ) Vậy a1  a2  a 3  ...  a15 a5  a10  a15 5 5 0.5 A (5đ) 120° F E I B M N C 0.5 - Vẽ hình đúng, đủ, chính xác. 0.5 . a) Tính số đo của MIN 0.5    Ta có ABC  ACB  180  A  60   0.5 1 1 B  C  300 2 2   1500 BIC   CIN   300  MIN   900 Mà BIM 0.5 0.25 0.25 b) Chứng minh CE  BF  BC   1500  FIB   EIC   300 - BIC 6 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 7 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Suy ra BFI  BMI (g-c-g)  BF  BM 0.5 - CNI  CEI ( g-c-g)  CN  CE 0.5 Do đó CE  BF  BM  CN  BM  MN  NC  BC 0.5 Vậy CE  BF  BC 0.25 0.25 - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 7 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 8 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 2. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Câu 1. 3 3  11 12  1, 5  1  0, 75 a. Thực hiện phép tính: 5 5 5 0,265  0, 5   2, 5   1,25 11 12 3 0, 375  0, 3  b. So sánh: 50  26  1 và 168 . Câu 2. a. Tìm x biết: x  2  3  2x  2x  1 b. Tìm x ; y  Z biết: xy  2x  y  5 c. Tìm x; y; z biết: 2x  3y ; 4y  5z và 4x  3y  5z  7 Câu 3. a. Tìm đa thức bậc hai biết f x   f x  1  x . Từ đó áp dụng tính tổng S  1  2  3  ....  n . b. Cho 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx x y z   Chứng minh:   . a 2b 3c a 2b 3c Câu 4.  Cho tam giác ABC ( BAC  90o ), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a. AE  AF ; ; b. HA là phân giác của MHN c. CM //EH ; BN //FH . ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 8 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 9 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý a. 0,5 điểm Nội dung 3 3 3 3 3 3 3      A = 8 10 11 12  2 3 4 53 5 5 5 5 5 5       100 10 11 12 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 3      3      8 10 11 12   2 3 4  A   1 1 1 1 53 1 1  5     5      10 11 12   2 3 4  100 0.25 165  132  120  110   3   3  1320    66  60  55  5 53    5   100 660 Câu 1 1,5 điểm 3.  263 1320 53 49  5. 100 660  3 5 263 3. 3 3945 3 1881 1320      1749  1225 5 5948 5 29740 3300 b. 1 điểm Ta có: Vậy: a. 1 điểm 50  49  7 ; 50  26  1  7  5  1  13  169  168 3  x  2 ta có: 2  x  2x  3  2x  1  x  2 (loại) 2 Câu 2 Nếu x  4 điểm 3 4 ta có: 2  x  3  2x  2x  1  x  2 5 Vậy: x  6 ; x  b. 1.5 26  25  5 Nếu x  2 ta có: x  2  2x  3  2x  1  x  6 Nếu 9 Điểm 4 5 Ta có: xy  2x  y  5  x (y  2)  (y  2)  3 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 0.25 0.5 0,5 0.25 0.25 0.25 0.25 0. 5 Toán Họa tổng hợp Trang 10 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7  (y  2)(x  1)  3.1  1.3  (1).(3)  (3).(1) điểm c. 1.5 điểm y 2 3 1 1 3 x 1 1 3 3 1 x 2 4 2 0 y 1 1 3 5 0.5 Từ: 2x  3y; 4y  5z  8x  12y  15z  0. 5 x y z 4x 3y 5z 4x  3y  5z 7         12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7   8 12 15 2 4 3 2 4 3 12 0.5  x  12  a. 0.5 điểm 0. 5 1 3 1 1 4  ; y  12.  1 ; z  12   8 2 12 15 5 0. 5 Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: f x   ax 2  bx  c (a  0) Ta có : f x  1  a x  1  b x  1  c . 2   1  a    2 a  1   2 f x   f x  1  2ax  a  b  x      b  a  0 1    b   2   Vậy đa thức cần tìm là: f x   Câu 3 1.5 điểm 0.25 1 2 1 x  x  c ( c là hằng số tùy ý). 2 2 Áp dụng: + Với x  1 ta có : 1  f 1  f 0. + Với x  2 ta có : 1  f 2  f 1. 0.25 …………………………………. + Với x  n ta có : n  f n   f n  1.  S  1  2  3    n  f n   f 0  b. 1 điểm 10 n n  1 n2 n  c c  2 2 2 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx    a 2b 3c Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 11 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 2abz  3acy 6bcx  2abz 3acy  6bcx   2 2 a 4b 9c 2 2abz  3acy  6bcx  2abz  3acy  6bcx  0 a 2  4b 2  9c 2  2bz  3cy  0   3cx  az  0  Câu 4 3 điểm z y  (1) 3c 2b 0.25 0.25 x z x y z  (2); Từ (1) và (2) suy ra:   a 3c a 2b 3c 0.25 Hình vẽ 0. 5 đ a. 1 điểm b. 1 điểm c. 1 điểm Vì AB là trung trực của EH nên ta có: AE  AH (1) 0.25 Vì AC là trung trực của HF nên ta có: AH  AF (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra: AE  AF 0. 5   MB là phân giác ngoài Vì M  AB nên MB là phân giác EMH góc M của tam giác MNH 0.25   NC là phân giác ngoài góc Vì N  AC nên NC là phân giác FNH N của tam giác MNH 0.25 Do MB; NC cắt nhau tại A nên HA là phân giác trong góc H của tam . giác MNH hay HA là phân giác của MHN 0.5   HB là phân giác Ta có AH  BC (gt) mà HM là phân giác MHN ngoài góc H của tam giác HMN MB là phân giác ngoài góc M của tam giác HMN (cmt)  NB là 11 0.5 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 0.25 Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 12 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 phân giác trong góc N của tam giác HMN  BN  AC ( Hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau).  BN // HF ( cùng vuông góc với AC) 0.25 0.25 Chứng minh tương tự ta có: EH //CM - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 12 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 13 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 3. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1 ( 2,0 điểm). Tính hợp lý các biểu thức sau: 1 5 1 5 a) 27   13  4 8 4 8 b) 2 c) 1 3 4   2 4 9 22.10  23.6 22.15  24 Bài 2 ( 2,5 điểm). Tìm x biết: a) 3(x  2)  b) x  2 4 5 1 5  7 3 c) (2x  1)7  (2x  1)5 Bài 3 (1,5 điểm): Ba đội cùng chuyển một khối lượng gạch như nhau. Thời gian để đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba làm xong công việc lần lượt là 2 giờ, 3 giờ, 4 giờ. Tính số người tham gia làm việc của mỗi đội, biết rằng số người của đội thứ ba ít hơn số người của đội thứ hai là 5 người. Bài 4 (3,5điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A với AB 3  và BC  15 cm . Tia phân giác góc C cắt AC 4 AB tại D. Kẻ DE  BC (E  BC) a) Chứng minh AC  CE . b) Tính độ dài AB; AC. . c) Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF  AC . Kẻ tia Fx  FA cắt tia DE tại M. Tính DCM Bài 5 (0,5điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức: A = x  x  2 ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 13 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 14 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1 2,0đ Nội dung 1 5 1 5 5 1 1 5 35 a ) 27   13   (27  13 )  14.  4 8 4 8 8 4 4 8 4 b )2 c) 1 1 3 4 1 2 1 2 7   2     2 4 9 4 3 2 3 6 22.10  23.6 23.5  23.6 23 (5  6) 2.11    2 2 4 2 4 2 2 11 2 .15  2 2 .15  2 2 (15  2 ) a) 3(x  2)  2,5đ x 2  0,75 0,75 0,5 2 4 5 3(x  2)  4  3(x  2)  Điểm 2 5 0,25 18 5 0,25 6 5 0,25 x 16 5 x 1 5  7 3 x 1  12 3 0,25 x 1 1  12 hoặc x   12 3 3 0,25 x  0,25 35 37 hoặc x   3 3 0,5 (2x  1)7  (2x  1)5   (2x  1)5 (2x  1)2  1  0 14 0,25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] 2x  1  0   2x  1  1    2x  1  1   3 1,5đ Trang 15 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7  x  1  2   x  1   x  0  Gọi số người tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là x; y; z (giờ). 0,25 0,25 ĐK: x ; y; z  0 Cùng một khối lượng công việc, số người tham gia và thời gian làm việc tỷ lệ lệ nghịch. Theo bài ra ta có: 2x  3y  4z và y – z  5 y z y z 5     60 1 1 1 1 1  3 4 3 4 12 y  20, z  15, x  30 (thoả mãn điều kiện bài toán) 4 0,5 0,25 0,25 Vậy số người tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là 30 người, 20người, 15 người 0,25 Vẽ hình, ghi GT, KL đúng : 0,5đ 3,5đ a) Chứng minh được ACD  ECD ( cạnh huyền- góc nhọn)  AC  CE (hai cạnh tương ứng) 15 1 0,5 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 16 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 b) AB 3 AB AC  (gt )   AC 4 3 4  AB 2 AC 2 AB 2  AC 2 BC 2 152     9 9 16 9  16 25 25 0,25 0,5 AB 2  9.9  81  AB  9cm AC 2  9.16  144  AC  12cm 0,25 c) Kẻ Cy  Fx cắt nhau tại K   900 Ta thấy AC  AF  FK  CK  CE và ACK 0,25 Chứng minh được CEM  CKM ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)   KCM  (hai góc tương ứng)  ECM 0,25   DCE   ECM   1 ACK   1  90  45 Mà DCM 2 2 5 Xét các trường hợp: 0,5đ + TH1 : x  2  A  x  (x  2)  2 +TH2 : 0  x  2  A  x  x  2  2x  2  2 0,25 + TH3 : x  0  A  x  x  2  2  2  Với mọi giá trị của x thì A  2 Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2 khi x  2 0,25 - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 16 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 17 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 4. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Câu 1(5 điểm): a) Cho biểu thức: P  x  4xy  y . Tính giá trị của P với x  1, 5; y  0, 75 b) Rút gọn biểu thức: A 212.35  46.81 2 .3 2 6  8 4.35 Câu 2 (4điểm): a) Tìm x, y, z, biết: 2x  3y; 4y  5z và x  y  z  11 b) Tìm x, biết: x  1  x  2  x  3  4x Câu 3(3 điểm). Cho hàm số: y  f x   4x 3  x a) Tính f 0, f 0, 5 b) Chứng minh: f a   f a . Câu 4: (1,0 điểm): Tìm cặp số nguyên x ; y  biết: x  y  x .y Câu 5: (6 điểm):Cho ABC có góc A  90 . Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN a) Chứng minh rằng: AMC  ABN b) Chứng minh: BN  CM; c) Kẻ AH  BC (H  BC) . Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. Câu 6 : (1 điểm):Cho ba số a, b, c thõa mãn: 0  a  b  1  c  2 và a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của c . ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 17 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 18 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm a) Ta có: x  1, 5  x  1, 5 hoặc x  1, 5 +) Với x  1, 5 và y  0, 75 thì Câu 1 P  1, 5  4.1, 5 0, 75  0, 75  1, 5 1  3  6  0, 75  5,25 (5điểm) +) Với x  1, 5 và y  0, 75 thì 1,5 1,5 P  1, 5  4 1, 5. 0, 75  0, 75  1, 5 1  3  0, 75  6, 75 212.35  212.34 212.34 (3  1) 1  12 5  b) A  = 12 6 6 2 .3  212.35 2 .3 (3  1) 3 22.3  8 4.35 212.35  46.81   a) 2x  3y; 4y  5z   x y y z x y y z  ;    ;  3 2 5 4 15 10 10 8 2 1 x y z x y z 11 1      15 10 8 15  10  8 33 3  x  5; y  Câu 2 10 8 ;z  3 3 1 (4 điểm) b) x  1  x  2  x  3  4x (1) Vì VT  0  4x  0 hay x  0 , do đó: 1 x  1  x  1; x  2  x  2; x  3  x  3 (1)  x  1  x  2  x  3  4x  x  6 a) f 0  0 Câu 3 (3điểm) 1  1 1 1 1 f (0, 5)  4        0  2  2 2 2 1 b) f a   4 a   a  4a 3  a 0,5 3 3 18 1 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 19 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 f (a )   4a 3  a   4a 3  a   0,5  f a   f a  Câu 4 x  y  x .y  xy  x  y  x (y  1)  y  x  (1 điểm) y y 1 vì x  z  y  y  1  y  1  1 y  1  1 y  1 , 0,5 do đó y  1  1  y  2 hoặc y  0 Nếu y  2 thì x  2 Nếu y  0 thì x  0 0,5 Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) và (2;2) Câu 5 (6 điểm) a) Xét AMC và ABN , có: AM  AB ( AMB vuông cân) 1,0 AC  AN ( ACN vuông cân) 0,5   NAC  MAC ) (  90  BAC 0,5 Suy ra AMC ABN (c - g - c) Hình vẽ 0,5 đ b) Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC. Xét KIC và AIN , có:   KCI  (AMC  ABN) ANI   KIC  (đối đỉnh) AIN   NAI   90 , do đó: MC  BN  IKC 19 1 1 0,5 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 20 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 c) Kẻ ME  AH tại E, NF  AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH.     90 ) - Ta có: BAH  MAE  90 (vì MAB     BAH  Lại có MAE  AME  90 , nên AME Xét MAE và ABH , vuông tại E và H, có:   BAH  (chứng minh trên) AME MA  AB Suy ra MAE  ABH (cạnh huyền-góc nhọn) 0,25  ME  AH - Chứng minh tương tự ta có AFN  CHA 0,25  FN  AH Xét MED và NFD , vuông tại E và F, có: ME  NF( AH)   FND  (phụ với MDE  và FDN  , mà MDE   FDN  ) EMD 0,25  MED  NFD  BD  ND Vậy AH đi qua trung điểm của MN. Câu 6 (1 điểm) 0,25 Vì: 0  a  b  1  c  2 nên 0  a b 1 c  2  c  2 c  2 c  2  0  4  3c  6 (vì a  b  c  1 ) Hay 3c  2  c   0,5 2 . 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của c là:  2 5 khi đó a  b  3 3 0,5 - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 20 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 21 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 5. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1: (4 điểm) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì: 3n 2  2n 2  3n  2n chia hết cho 10. Bài 2: (3điểm) Cho 2 đa thức : P x   1  x  x 2  x 3  x 4  ...  x 2009  x 2010 và 1 1 Q x   1  x  x 2  x 3  x 4  ...  x 2009  x 2010 . Giá trị của biểu thức P    Q   có dạng  2   2  biểu diễn hữu tỉ là a ; a,b   ; a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a  5 b Bài 3: (3 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d Hãy tìm giá trị của biểu thức: M  a b b c c d d a    c d d a a b b c Bài 4: (4điểm) Cho M  a b c   với a, b, c > 0. a b b c c a a) Chứng minh M  1. b) Chứng tỏ rằng M không phải là số nguyên. Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE  BD . Gọi I là trung điểm của DE. chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng. Bài 6: (2,5 điểm)   100 , tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Chứng minh: Cho ABC cân tại A, có A AD  BD  BC . ——————————————Hết——————————————–Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 21 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 22 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Đáp án  Điểm   1(4điểm) 3n 2  2n 2  3n  2n  3n 2  3n  2n 2  2n  1,0đ  10.3n  5.2n 1,5đ Vì n nguyên dương nên 2n  2  5.2n 10 và 10.3n 10 1,0đ Vậy: 3n 2  2n 2  3n  2n 10 0,5đ 3 5 2009 1 1 1 1 1 1 Đặt A  P    Q    2           …     2   2   2   2   2   2  3 2007 1 1 1 suy ra 4A  10        …     2   2   2  (2) 8 2009 2 (3điểm) ( 1) 1 Từ ( 1) và ( 2) suy ra 3A  8     2  A 1 2009 2 3  22012  1 a  b 3.22009 ( 2 điểm) 3,0đ Ta thấy: 22012  1  41006  1 3 ; 22012 – 1 và 22009 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên 22012 – 1  3a. 3a  22012  1  16503  1 . Vì 16503 có chữ số tận cùng là 6 nên 3a có chữ số tận cùng là 5 suy ra số này chia hết cho 5. 3,5 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên a  5 . Từ 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d 2a  b  c  d a  2b  c  d 1   1= a b a  b  2c  d a  b  c  2d 1  1 c d 3 (3điểm) => => a b c d a b c d a b c d a b c d    a b c d Nếu a  b  c  d  0 thì a  b  c  d , khi đó: M  1  1  1  1  4 22 1,0đ 0,5đ 0,5đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 23 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Nếu a  b  c  d  0 thì a  b   c  d ; b  c   d  a ; c  d   a  b ; d  a   b  c . 1,0đ Khi đó: M  1  1 1  1  4. a) Vì a, b, c  0 nên: => M  a a b b c c  ;  ;  a b a b c b c a b c c a a b c a b c a b c    1 a b b c c a a b c 1,0đ 1,0đ 4 (4điểm) Vậy: M  1 (1)  a b c   b c a   +       b) Mà:  a  b b  c c  a  a  b b  c a  c   a b   b c   c a         = 3    =  a  b a  b  b  c b  c  c  a c  a  1,0đ  b c a   > 1 (tương tự câu a)   Vì  a  b b  c a  c   a b c    2 .   Suy ra: M =  a  b b  c c  a  0,5đ (2) Từ (1) và (2) suy ra: 1  M  2 nên M không phải là số nguyên. 0,5đ Học sinh vẽ hình đúng 5 (3,5 điểm) A D 0,5đ B F I C E 23 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 24 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Kẻ DF //AC (F thuộc BC)   ACB  (2 góc đồng vị) DFB   ACB  (tam giác ABC cân) Mà ABC 1,5đ   ABC   DBF cân tại D DFB DB  DF , mà DF  CE (gt)  DF  CE  IDF  IEC (c-g-c)   EIC  DIF 0,5đ 0,5đ Vậy: 3 điểm B, I, C thẳng hàng (vì 3 điểm D, I, E thẳng hàng) 0,5đ HS vẽ hình đúng A D 6 (2,5 điểm) B E F 0,5đ C Trên cạnh BC lấy 2 điểm E,F sao cho: BE  BA và BF  BD . 0,5đ HS chứng minh được: AD  DE HS chứng minh được: DFE cân tại D Suy ra: DE  DF 0,5đ HS chứng minh được: DFC cân tại F Suy ra: DF  FC . Suy ra: DE  FC 1,0đ Suy ra: AD  BD  BC . – Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 24 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 25 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 6. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1 (4 điểm): a) So sánh hai số: – 5 39 và  – 2 91 b) Chứng minh rằng: Số A  11n 2  122n 1 chia hết cho 133 , với mọi n N Bài 2 (4 điểm): a) Tìm tất cả các cặp số x ; y  thỏa mãn: 2x  y  7  2012  x 3 2013 0 b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1  2  3  . . .  n  aaa Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa 1 số học sinh của lớp 3 1 1 số học sinh của lớp 7A2 và số học sinh của lớp 7A3 đi thi học sinh giỏi cấp huyện 4 5 thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. 7A1 ,   3B   6C . Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có A a) Tính số đo các góc của tam giác ABC. b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC). Chứng minh: AD  BD  CD. Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM  AN  2AB. a) Chứng minh rằng: BM  CN b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: KC  AC ——————————————Hết——————————————–Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 26 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Đáp án Điểm a) So sánh hai số:  – 5 và  – 2 39 91 2,0đ    12513 0,75đ    12813 0,75đ 13 Ta có: (5)39  539   53 13 (2)91  291   27 Ta thấy: 12513  12813  12513  12813  (5)39  (2)91 b) Chứng minh: Số A  11n2  122n1 chia hết cho 133, với mọi n   1 4 điểm   Ta có: A  11n 2  122n 1  112  11n  12  122 n  2,0đ  121.11n  12.144n  (133  12)  11n  12.144n  133.11n  12.11n  12.144n  133.11n  12. 144n  11n 0,5đ 1,0đ  Ta thấy: 133.11n 133 144 n     11n (144  11)  133  12. 144n  11n 133  0,5đ  Do đó suy ra: 133.11n  12. 144n  11n chia hết cho 133 0,5đ n 2 Vậy: số A  11 2n 1  12 chia hết cho 133, với mọi n   a) Tìm tất cả các cặp số (x; y): 2,0đ Ta có: 2012 là số tự nhiên chẵn  (2x  y  7)2012  0 và x  3  0  x  3 2013 0 0,5đ 2 Do đó, từ 2x  y  7   x  3 0 4 điểm 2012 2013 suy ra: 2x – y  7   0 và x  3 0 2012 2013  2x – y  7  0 (1) và x – 3  0 (2) Từ (2)  x  3 26 0,5đ 0,5đ 0,5đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 27 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Từ (1)  y  2x  7  2.3  7  13 Vậy cặp số x ; y  cần tìm là 3; 13 b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a Ta có: 1  2  3  . . .  n  n n  1 2 2,0đ và aaa  a.111  a.3.37 0,5đ Do đó, từ 1  2  3  . . .  n  aaa  n n  1  2.3.37.a  n n  1 chia hết cho số nguyên tố 37 0,5đ  n hoặc n  1 chia hết cho 37 (1) Mặt khác: n(n  1)  aaa  999  n(n  1)  1998  n  45 (2) 2 0,5đ Từ (1) và (2) suy ra hoặc n  37 , hoặc n  1  37 – Với n  37 thì aaa  37.38  703 (không thỏa mãn) 2 – Với n  1  37 thì aaa  36.37  666 (thỏa mãn) 2 0,5đ Vậy n  36 và a  6. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. 4,0đ Gọi tổng số học sinh của 7A1, 7A2 , 7A3 lần lượt là a, b, c (a,b,cN*) 3 1 1 1 Theo bài ra ta có : a  a  b  b  c  c (*) và a  b  c  147 3 4 5 2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c Từ (*)          4 3 4 5 18 16 15 18 16 15 điểm Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có : a b c 147 a b c   3.   = 49 18 16 15 18  16  15 Suy ra : a  54, b  48, c  45 27 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 28 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Vậy tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là 54, 48 và 45. a) Tính số đo các góc của ABC : 2,0đ ˆ Bˆ Cˆ A ˆ  Bˆ  Cˆ 180   3B   6C   A      20 Từ A 6 2 1 6 2 1 9 1,0đ ˆ  6.20  120  A Bˆ  2.20  40 Cˆ  1.20  20 1,0đ ˆ  120; Bˆ  40 ; Cˆ  20 Vậy: A b) Chứng minh AD < BD < CD. 4 2,0đ - Trong ACD có 4 điểm   90; C   20  A   70 A   50 ADC 2 1 1,0đ ˆ  50  AD  BD (1) - Xét  ADB có Bˆ  40  A 1 - Xét  ABC có Bˆ  400 Cˆ  200  AB  AC  AB 2  AC 2 (*) - Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông ADB và ADC có: AB2  AD2  BD2 và AC2  AD2  CD2 2 2 2 1,0đ 2 Do đó, từ (*)  AD  BD  AD  CD  BD2  CD2  BD  CD (2) Từ (1) và (2)  AD  BD  CD a) Chứng minh rằng: BM  CN 1,0đ Theo giả thiết, ta có: 2AB  AB  AB  AB  AM  BM 5 4 điểm AM  AN  AM  AC  CN ABC cân ở A  AB  AC Do đó, từ AM  AN  2AB  BM  CN 28 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 29 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. 1,5đ Qua M kẻ ME // AC (E  BC)  ABC cân ở A  BME cân ở M  EM  BM  CN 0,75đ  MEI  NCI (g-c-g)  IM  IN 0,75đ Vậy: BC đi qua trung điểm của MN. c) Chứng minh rằng: KC  AN 1,5đ + K thuộc đường trung trực của MN  KM  KN (1)   ACK  (*) + ABK  ACK (c-g-c)  KB  KC (2); ABK 0,5đ + Kết quả câu c/m câu a) BM  CN (3)   NCK  (**) + Từ (1), (2) và (3)  BMK  CNK (c-c-c)  ABK 0,5đ   NCK   180  90  KC  AN + Từ (*) và (**) ACK 2 0,5đ - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 29 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 30 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 7. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1: (6 điểm) a) Tìm x, biết x  1  2 ; 3 b) Tính giá trị của biểu thức sau: A  2x 2  3x  1 2 với x  1  3x  2 3 Bài 2: (3 điểm) a) Tìm chữ số tận cùng của A biết A  3n 2 – 2n 2  3n – 2n biết n  * b) Tìm các giá trị nguyên của x để x 3 nhận giá trị nguyên. x 2 Bài 3: (4 điểm)   Cho đa thức f x  xác định với mọi x thỏa mãn: x .f x  2  x 2 – 9 .f x . a) Tính f 5. b) Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 3 nghiệm. Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE  AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF  AC . Chứng minh rằng: a) FB  EC b) EF  2AM c) AM  EF . Bài 5: (1 điểm) Cho a, b, c, d là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x a  x b  x  c  x d ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 30 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 31 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài  x 2  a) Ta có x  1    3 x   1 (6đ) Hướng dẫn chấm  2 x  5 1  3   3 2 1  1   x  3 3  5 14 thay vào A ta được A  3 27 1 2 Với x  thay vào A ta được A  3 9 10.3n 10 và 5.2n 10 (do n  * hay n  1 )  A10 Chứng minh A chia hết cho 10 suy ra chữ số tận cùng của A là 0 b) Ta có: x  3 x 2  5 5  1  Z  x  2  U (5)  1; 5 x 2 x 2 x 2  x  1; 3; 3;7 a) Ta có với x  3  f 5  0 b) x  0  f 0  0  x  0 là một nghiệm 3 (4đ) 4.0đ b) Từ câu a) Với x  a) A  3n 2 – 2n 2  3n – 2n  9.3n  3n – 4.2n – 2n  9  1.3n – 4  1.2n  10.3n – 5.2n 2 (3đ) Điểm x  3  f 5  0  x  5 là một nghiệm 2.0đ 1.5đ 1.5đ 2.0đ 2.0đ x  3  f 1  0  x  1 là một nghiệm Vậy f(x) có ít nhất là 3 nghiệm. A E I F B C M 4 (6đ) K a) Chứng minh ABF  AEC (cgc)  FB  EC b) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho AK  2AM . Ta có ABM  KCM  CK //AB   CAB   EAF   CAB   1800  ACK   EAF   ACK EAF và KCA có AE  AB  CK ;   EAF  AF  AC (gt); ACK  EAF  KCA (cgc)  EF  AK  2AM .   AFE  c) Từ EAF  KCA  CAK   FAK   CAK   FAK   900  AFE  AK  EF 31 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 3.0đ 1.5đ 1.5đ Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 32 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Không mất tính tổng quát, giả sửa  b  c  d Áp dụng BĐT a  b  a  b , dấu bằng xảy ra  ab  0 ta có: 5 (1đ) x a  x d  x a  d  x  x a d  x  d a (1) x b  x c  x b  c  x  x b  c  x  c b (2) 1.0đ Suy ra A  c  d  a  b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở (1) và (2) xảy ra  x – a d – x   0 và (x  b)(c  x )  0  a  x  d và b  x  c Do đó min A  c  d  a  b  b  x  c - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 32 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 33 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 8. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1: ( 2,0 điểm) a. Tìm x, y biết: b. Cho 4x 4  và x  y  22 7 y 7 2x  3y  4z x y y z  và  . Tính M  3x  4y  5z 3 4 5 6 Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực hiện tính: a. S  22010  22009  22008...  2  1 b. P  1  1 1 1 1 1  2  1  2  3  1  2  3  4  ...  1  2  3  ...  16  2 3 4 16 Bài 3: ( 2,0 điểm) Tìm x biết: a. 1 2 3 4 5 30 31 . . . . ... .  2x 4 6 8 10 12 62 64 b. 4 5  4 5  4 5  4 5 6 5  6 5  6 5  65  6 5  6 5 .  2x 5 5 5 5 5 3 3 3 2 2 Bài 4: ( 4,0 điểm)    2C  . Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy Cho tam giác ABC có B  90 và B điểm E sao cho BE  BH . Đường thẳng HE cắt AC tại D.   ACB . a. Chứng minh BEH b. Chứng minh DH  DC  DA. c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB ' . Chứng minh AB 'C cân. d. Chứng minh AE  HC . ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 33 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 34 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (2,0 điểm)  28  7x  28  4y 0,25  x y x y   4 7 47 0,25  x y 22    2  x  8; y  14 4 7 11 0,25 x y x y y z y z x y z    ;       3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 (1) 0,25 (1)  2x 3y 4z 2x  3y  4z    30 60 96 30  60  96 0,25 (1)  3x 4y 5z 3x  4y  5z    45 80 120 45  80  120 0,25  2x  3y  4z 3x  4y  5z 2x 3x :  : 30  60  96 45  80  120 30 45 0,25  2x  3y  4z 245 2x  3y  4z 186 . 1M   186 3x  4y  5z 3x  4y  5z 245 0,25 Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực hiện tính: 2S  22011  22010  22009...  22  2 0,25 2S  S  22011  22010  22010  22009  22009  ...  22  22  2  2  1 0,25 S  22011  2.22010  1 0,25 S  22011  22011  1  1 34 0,25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 35 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 P  1 .  .   ...  2 2 3 2 4 2 16 2 0,25  2 3 4 5 17  .    ...  2 2 2 2 2 0,25  1 1  2  3  ...  17  1 2 0,25  1 17.18    1  76 2  2  0,25 Bài 3: ( 2,0 điểm) 1 2 3 4 5 30 31 . . . . ... .  2x 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 26 0,25 1.2.3.4...30.31  2x 1.2.3.4...30.31.230.26 0,25 1  2x 36 2 0,25 x  36 0,25 4.45 6.65 . 5  2x 5 3.3 2.2 0,25 46 66 . 6  2x 6 3 2 0,25 6  6     3  35 6 4 .    2x  2  0,25 212  2x  x  12 0,25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 36 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Bài 4: ( 4,0 điểm) Hình vẽ: Câu a: 0,75 điểm   BEH cân tại B nên E  H 1 0,25  E  H   2E  ABC 1 0,25   2C   BEH   ACB  ABC 0,25 Câu b: 1,25 điểm Chứng tỏ được DHC cân tại D nên DC  DH .   90  C  DAH có: DAH 0,50   90  H   90  C  DHA 2 0,25  DAH cân tại D nên DA  DH . Câu c: 1,0 điểm '  B   2C  ABB ' cân tại A nên B '  A  C  nên 2C  A  C  B 1 1  A   C AB 'C cân tại B’ 1 A 1 D 2 B 1 0,25 H B' C E 0,25 Câu d: 1,0 điểm 0,25 AB  AB '  CB ' 0,25 0,50 BE  BH  B ' H 0,25 0,25 Có: AE  AB  BE HC  CB ' B ' H  AE  HC 0,50 - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 36 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 37 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 9. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 1: Giá trị của x trong biểu thức ( x  1)2  0,25 là: A. 9 1 ; . 4 4 1 9 B.  ;  . 4 4 9 1 C. ;  . 4 4 9 1 D.  ; . 4 4   50 , điểm A nằm trên Oy. Qua A vẽ tia Am . Để Am song song với Ox Câu 2: Cho xOy  là: thì số đo của OAm A. 50 . B. 130 . C. 50 và 130 D. 80 . Câu 3: Cho hàm số y  f x  xác định với mọi x  1 . Biết f n   n  1.f n – 1 và f 1  1 . Giá trị của f(4) là: A. 3. B. 5. C. 6. D. 1.   30 . Phân giác góc C cắt AB tại D. Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB  6 , A Khi đó độ dài đoạn thẳng BD và AD lần lượt là: A. 2; 4 . B. 3; 3. C. 4; 2. D. 1; 5. Câu 5: Cho a 2m   4 . Kết quả của 2a 6m  5 là: A. 123 . B. 133 . C. 123 D. 128 .  =F  . Tia phân giác của góc D cắt EF tại I . Ta có: Câu 6: Cho tam giác DEF có E A. DIE  DIF .   IDF  . B. DE  DF, IDE C. IE  IF ; DI  EF D Cả A, B,C đều đúng Câu 7: Biết a  b  9 . Kết quả của phép tính 0, a(b)  0, b(a ) là: A. 2. B. 1. C. 0,5. D. 1,5 . Câu 8: Cho a  b  6a.b  36 . Giá trị lớn nhất của x  a.b là: 2 A. 6 B.  6 C. 7. D. 5. Câu 9: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN. Biết AC  AB . Khi đó độ dài hai đoạn thẳng BM và CN là: A. BM  CN 37 B. BM  CN C. BM  CN D. BM  CN Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 38 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Câu 10: Điểm thuộc đồ thị hàm số y   2x là : A. M 1; 2 . B. N 1;2 . C. P 0 ; 2 . D. Q 1; 2 Câu 11: Biết rằng lãi suất hàng năm của tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm là một hàm số theo số tiền gửi: i  0, 005p . Nếu tiền gửi là 175000 thì tiền lãi sẽ là: A. 8850 đ B. 8750 đ C. 7850 đ D.7750 đ   20 . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD  BC . Câu 12: Cho tam giác ABC cân tại A A Số đo của góc BDC là: A. 50 B. 70 C. 30 D. 80 II. Phần tự luận (14 điểm) Câu 1.(3 điểm)   a, Chứng tỏ rằng: M  75. 42017  42016  ...  42  4  1  25 chia hết cho 102 b, Cho tích a.b là số chính phương và a, b   1 . Chứng minh rằng a và b đều là số chính phương. Câu 2.(4 điểm) 2.1 Cho đa thức A  2x .(x  3)  x (x  7)  5(x  403) Tính giá trị của A khi x  4 . Tìm x để A  2015 2.2 Học sinh khối 7 của một trường gồm 3 lớp tham gia trồng cây. Lớp 7A trồng toàn bộ 32, 5% số cây. Biết số cây lớp 7B và 7C trồng được theo tỉ lệ 1,5 và 1,2. Hỏi số cây cả 3 lớp trồng được là bao nhiêu, biết số cây của lớp 7A trồng được ít hơn số cây của lớp 7B trồng được là 120 cây. Câu 3.(5 điểm) 1. Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax và By lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên   90 . tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao choCOD a) Chứng minh rằng: AC  BD  CD. AB 2 b) Chứng minh rằng: AC .BD  4 2. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng: 38 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 39 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 2 HA  HB  HC  (AB  AC  BC ) 3 Câu 4.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết : A  7x  5y  2z  3x  xy  yz  zx  2000 ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 39 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 40 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đ. án A C C A B D B A C D B C II. Phần tự luận (14 điểm) Câu 1(4 điểm) Nội dung chính  Điểm  M  75. 42017  42016    42  4  1  25  0,25   25.(4  1) 42017  42016  42  4  1  25      25   4 42017  42016    42  4  1  42017  42016   42  4  1   25        25. 42018  42017    42  4  25 42017  42016    42  4  1  25  25.42018  25  25  25.42018  25.4.42017  100.42017 100 Vậy M 102 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b, Đặt a.b  c 2 (1) Gọi a, c   d nên a  d, c  d 0,25 Hay a  m.d và c  n.d với m, n   1 0,25 Thay vào (1) ta được m.d .b  n 2 .d 2 0,5  m  b  n 2 .d  b  n 2 vì a, b   1  b, d  Và n 2 b  b  n 2 0,5 Thay vào (1) ta có a  d 2  đpcm 2(4 điểm) 40 1. Ta có A  2x 2  6x  x 2  7x  5x  2015  x 2  4x  2015 a, Với x  4 ta được A  2015 1 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 41 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 x  0 b, A  2015  x 2  4x  0  x (x  4)  0   x  4 1 2. Gọi số cây ba lớp trồng lần lượt là a, b, c ( cây, a,b,c N*) Theo đề bài ta có b : c  1, 5 : 1, 2 và b – a  120 1 a  32, 5% a  b  c  Vậy cả 3 lớp trồng được số cây là 2400 cây 3(5 điểm) 1 x y C D A O B 0,25 E A, Vẽ tia CO cắt tia đối của tia By tại điểm E. Chứng minh AOC  BOE g  c  g   AC  BE ;CO  EO Chứng minh DOC  DOE c  g  c   CD  ED Mà ED  EB  BD  AC  BD . 0,25 0,25 0,25 0,25 Từ đó : CD  AC  BD (đpcm) b, Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông BOE và BOD ta có: 2 2 2   OE  OB  EB  OE 2  OD 2  2OB 2  EB 2  DB 2  2  OD  OB 2  DB 2    41 0,5 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 42 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Mà OE 2  OD 2  DE 2 ; Nên DE 2  2OB 2  EB 2  DB 2  2OB 2  EB. DE  BD   DB.(DE  BE ) 0,25  2OB 2  EB.DE  EB.BD  DB.DE  DB.BE  2OB 2  EB.DE  DB.DE   2BD.BE  2OB 2  DE . EB  DB   2BD.BE  2OB 2  DE 2  2BD.BE 0,25 Suy ra 2OB 2  2BD.BE  0  BD.BE  OB 2 Mà BE  AC ;OB  AB . 2 2  AB  AB 2   Vậy AC .BD   (đpcm) 4  2  2. Qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E 0,25 Ta có AHD  HAE (g –c-g) 0,25  AD  HE ; AE  HD (1) 0,25 HBE vuông nên HB  BE (2) 0,25 Tương tự ta có HC  DC (3) Từ 1,2,3 ta có HA  HB  HC  AB  AC (4) Tương tự HA  HB  HC  AB  BC (5) AHD có HA  HD  AD nên HA  AE  AD Từ đó HE  BH HA  HB  HC  BC  AC Từ đó suy ra HA  HB  HC  42 0,25 (6) 2 AB  AC  BC  đpcm 3 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 43 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 4 Ta có 7x  5y  0 ; 2z  3x  0 và xy  yz  zx  2000  0 (2 điểm) Nên A  7x  5y  2z  3x  xy  yz  zx  2000  0 1 Mà A = 0 khi và chỉ khi 7x  5y  2z  3x  xy  yz  zx  2000  0 Có: 7x  5y  0  7x  5y  2z  3x  0  x y  5 7 x z  2 3 xy  yz  zx  2000  0  xy  yz  zx  2000 x  20; y  28; z  30 Từ đó tìm được  x  20; y  28; z  30 1 A  0 , mà A  0  (x , y, z )  (20;28; 30) hoặc (x , y, z )  (20; 28; 30) Vậy min A  0  (x , y, z )  (20;28; 30) hoặc (x , y, z )  (20; 28; 30) - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 43 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 44 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 10. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm). 1 3 2 5 9 a) :     . ; 4  3 9  4 1   1    45  1  1  1    b)       ; 19  2  3  4      c) 5.415.99  4.320.8 9 . 5.210.619  7.229.27 6 Bài 2: (6 điểm) a) Tìm x, biết: 2 x  1 – 3 2x  2 – 4 2x  3  16 ; 1 21 b) Tìm x, biết: 3 : 2x  1  2 22 c) Tìm x, y, z biết: 2x  y 3y  2z  và x  z  2y. 5 15 Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức a c  . b d Chứng minh rằng : a  2c b  d   a  c b  2d . Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD  KA. a. Chứng minh: CD //AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH CDH c. Chứng minh: HMN cân. Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 44 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 45 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm). Giải: a) b) 3 4 2 5 9 :     .  3 9  4 3 4 2 5 9 3 1 9 :      :   3 9  4 4 9 4 0,75đ = 3 9 9 36 .   9 4 1 4 4 0,75đ 1 1 45  1  1  1        19  2  3  4      1 1 1  1     45  1  1  1          19  2  3  4      =  45 1  19 1 1  2 1 4 3 45 26 19   1 19 19 19 1,0đ 1,0đ 5.415.99  4.320.89 c) 5.210.619  7.229.27 6 5.415.99  4.320.89 5.22.15.32.9  22.320.23.9 = 5.210.619  7.229.27 6 5.210.219.319  7.229.33.6  = 45  229.318 5.2  32 29 18 2 .3  5.3  7 10  9 1  15  7 8 01đ 01đ 0,5đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 46 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Bài 2: (6 điểm) Giải: a. Tìm x, biết: 2(x-1)-3(2 x+2)-4(2 x+3)=16 2x  2  6x  6  8x  12  16 0,25đ 12x – 20  16 0,25đ 12x  36 0,50đ x  3 0,50đ 1 21 b. Tìm x, biết: 3 : 2x  1  2 22 Nếu x  1 1 . Ta có: (vì nếu x  thì 2x – 1  0 ) 2 2 0,25đ 1 21 3 : 2x  1  2 22 7 21 : (2x  1)  2 22 2x  1  2x  x 7 21 7 22 11 :    2 22 2 21 3 11 14 1  3 3 14 7 1 :2  (thỏa mãn) 3 3 2 Nếu x  1 . Ta có: 2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 1 21 3 : 2x  1  2 22 7 21 : (1  2x )  2 22 2x  46 11 8 1  3 3 0,25đ 0,25đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 47 [Document title] x ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 8 4 1 : (2)    3 3 2 Vậy x  0,25đ 7 4 hoặc x   3 3 c. Tìm x, y, z biết : 0,25đ 2x  y 3y  2z  và x  z  2y 5 15 Từ x  z  2y ta có: x – 2y  z  0 hay 2x – 4y  2z  0 hay 2x – y – 3y  2z  0 0,25đ hay 2x – y  3y – 2z 0,25đ Vậy nếu: 2x  y 3y  2z  thì: 2x – y  3y – 2z  0 (vì 5  15 ). 5 15 1 Từ 2x – y  0 suy ra: x  y 2 Từ 3y – 2z  0 và x  z  2y  x  z  y  2z  0 hay hay 0,25đ 0,25đ 1 y y – z  0 2 3 2 1 y  z  0 hay y  z suy ra: x  z 2 3 3 0,25đ 0,25đ     1 2 Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là:  x  z ; y  z ; z      3 3        1 3  hoặc  x  y; y  ; z  y   hoặc {x  ; y  2x ; z  3x } |  2 2      Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức 0,5đ a c  . b d Chứng minh rằng : a  2c b  d   a  c b  2d  Ta có: a  2c b  d   a  c b  2d  ab  ad  2cb  2cd  ab  2ad  cb  2cd cb  ad suy ra: 47 a c  b d 0,75đ 0,75đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 48 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD  KA. a. Chứng minh: CD //AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH CDH c. Chứng minh: HMN cân. Giải: B D K M A N H C a/ Chứng minh CD song song với AB. Xét 2 tam giác ABK và DCK có: BK  CK (gt) 0,25đ   CKD  (đối đỉnh) BKA 0,25đ AK  DK (gt) 0,25đ  ABK  DCK (c-g-c) 0,25đ   ACB   90  ACD   ACB   BCD   90   DBK  ; mà ABC  DCK 0,25đ   90  BAC   AB //CD ( AB  AC và CD  AC ).  ACD 0,25đ b. Chứng minh rằng: ABH  CDH Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có: BA  CD (do ABK  DCK ) AH  CH (gt) 48 0,25đ 0,25đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 49 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7  ABH  CDH (c-g-c) 0,50đ c. Chứng minh: HMN cân. Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có:   90  BAC  ; AC cạnh chung: ABC CDA (c-g-c) AB  CD ; ACD 0,25đ   CAD   ACB 0,25đ   NHC  (vì ABH  CDH ) mà: AH  CH (gt) và MHA 0,50đ  AMH  CNH (g-c-g) 0,50đ  MH  NH . Vậy HMN cân tại H 0,50đ Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. Giải: Ta có: abcabc  a.105  b.104  c.103  a.102  b.10  c      0,25đ   a.102 103  1  b.10 103  1  c. 103  1   0,50đ   103  1 a.102  b.10  c  0,50đ     (1000  1) a  102  b.10  c  1001 a.102  b.10  c   0,25đ  11.91 a.102  b.10  c 11 0,25đ Vậy abcabc11 0,25đ Hết - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 49 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 50 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 11. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Câu 1 (2,5 điểm). Tính: a) 7,3.10,5+7,3.15+2,7.10,5+15.2,7    b) 69  210  1210 : 219  27 3  15.49.94  Câu 2 (5 điểm). So sánh A và B trong mỗi trường hợp sau: a) A  2012 1999 ;B 4025 3997 b) A  321 ; B  231 c) A  2011 2011 2011 2011 2012 2012 2012 2012    .....  ;B    .....  1.2 3.4 5.6 1999.2000 1001 1002 1003 2000 Câu 3 (5 điểm). a) Chứng minh rằng: 3x 1  3x 2  3x 3    3x 100 chia hết cho 120 (với x N) b) Cho 3x  2y 2z  4x 4y  3z x y z   . Chứng minh rằng:   4 3 2 2 3 4 c) Cho f(x) là hàm số xác định với mọi x thỏa mãn điều kiện f x 1.x 2   f x 1 .f x 2  và f 2  10 . Tính f 32. Câu 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC có AB  AC . Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD  AB . Gọi I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD. a) Chứng minh AIB  DIC b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC. c) Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AE  1 AD . 2 Câu 5 (2,5 điểm). Cho 100 số hữu tỉ trong đó tích của bất kì ba số nào cũng là một số âm. Chứng minh rằng tất cả 100 số đó đều là số âm. ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 50 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 51 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM CÂU ý Câu 1 a 1,5đ (2,5đ ) b 1đ ĐÁP ÁN ĐIỂM 7,3.10,5+7,3.15+2,7.10,5+15.2,7  10, 5  (7, 3  2, 7)  15.(7, 3  2, 7) 0,5 =10,5.10+15.10 0,5 =105+150=255 0,5 69.2 10    1210 : 219.27 3  15.49.94      39  29  210  220  310 : 219  39  3.5  218  38   2  3 (1  2.3) : 2  3 (2  5)     19 9 18 0,5 0,25 9 0,25 =(2.7) : 7=2 Câu 2 a 2đ 2012 2012 1 1 1999 1999 2012 1999   ;     4025 4024 2 2 3998 3997 4025 3997  (5đ) b 2012 1999  . Vậy A  B 4025 3997   A  321  3. 32 1,5đ 31 10   B  2  2. 2 3 10  3.910 1,5 0,5 0,5 0,5  2.8 10 0,5 Suy ra A  B c 1,5đ A 2011 2011 2011 2011    .....  1.2 3.4 5.6 1999.2000  1 1 1 1 1 1 1    2011.1       ....    2 3 4 5 6 1999 2000   1 1 1   1 1 1 1        ....    2011. 1    ....   2 4 6   3 5 1999 2000      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1    2.     ....    2011. 1       ....     2 3 4 5 6 1999 2000  2000   2 4 6  51 0,25 0,25 0,25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 52 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7  1 1 1 1 1   1 1 1 1    1    ....   2011. 1     ....      2 3 4 1999 2000   2 3 999 1000    1 1 1 1 1    2011.    ....   1999 2000  1001 1002 1003 0,25 0,25  1 1 1 1   B  2012.     .....  2000  1001 1002 1003 0,25 Suy ra A  B 3x 1  3x 2  3x 3   3x 100 a Câu 3 2,5đ       3x 1  3x 2  3x 3  3x 4  3x 5  3x 6  3x 7  3x 8    3 x 97  3x 98  3x 99  3x 100       3x 3  32  33  34  3x 4 3  32  33  34   3x 96 3  32  33  34 (5đ) x 4 x  3 .120  3  x .120    3 x 4  120 3  3 b 1,5đ x 96  3 x 96 .120 120 0,75 0,5 0,5 (đpcm) 3x  2y 2z  4x 4y  3z   . Suy ra: 4 3 2 4(3x  2y ) 3(2z  4x ) 2(4y  3z ) 12x  8y  6z  12x  8y  6z    0 16 9 4 29 Vậy 3x  2y x y  0  3x  2y   (1) 4 2 3 2z  4x x z  0  2z  4x   (2) 3 2 4 Từ (1) và (2) ta được 52  0,75 x y z   2 3 4 0,75 0,25 0,25 0,25 c Vì f x 1.x 2   f x 1 .f x 2  nên 1đ f 4  f 2.2  f 2. f 2  10. 10  100 0,5 f (16)  f (4.4)  f (4) . f (4)  100.100  10000 0,25 f (32)  f (16.2)  f (16).f (2)  10000.10  100000 0,25 Hình vẽ 0,5 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 53 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Câu 4 (5đ) a 1,5đ b 1,5đ Vì I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD 0,25 nên IB  IC , IA  ID 0,5 Lại có AB  CD (gt) 0,25 Do đó AIB  DIC (c.c.c) 0,5  D  AID cân ở I, suy ra DAI 0,5 D  AIB  DIC (câu a), suy ra BAI 0,250 ,5   BAI . Do đó DAI 0,25 Vậy AI là tia phân giác của góc BAC c 1,5đ Kẻ IP  AD , ta có AIE  AIP ( cạnh huyền-góc nhọn)  AE  AP Mà AP  Suy ra AE  a Câu 5 1đ AD (vì P là trung điểm AD) 2 1 AD 2 Trong 100 số đã cho, phải có ít nhất một số âm (vì nếu cả 100 số đều dương thì tích của ba số bất kì không thể là một số âm). 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Ta tách riêng số âm đó ra. Chia 99 số còn lại thành 33 nhóm, mỗi nhóm 3 thừa số. Theo đề bài, mỗi nhóm đều có tích là một số âm nên tích của 33 nhóm 53 0,5 0,25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] (2,5đ ) Trang 54 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 tức là của 99 số là một số âm. Nhân số âm này với số âm đã tách riêng từ đầu ta được tích của 100 số là một số dương b 1,5đ 0,25 Sắp xếp 100 số đã cho theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn a1  a 2  a 3    a100 0,25 Các số này đều khác 0 (vì nếu có 1 thừa số bằng 0 thì tích của nó với hai thừa số khác cũng bằng 0, trái với đề bài). 0,25 Xét tích a98 .a99 .a100  0  a98  0 (vì nếu a98  0 thì a99  0 , a100  0 , tích của ba số này không thể là một số âm). 0,25 Vậy a1, a2 , a 3 , ..., a98 là các số âm. Xét tích a1.a2 .a99  0 mà a1a2  0 nên a99  0 0,25 Xét tích a1.a2 .a100  0 mà a1a2  0 nên a100  0 0,25 Vậy tất cả 100 số đã cho đều là số âm. 0,25 - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 54 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 55 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 12. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1 (5 điểm) 212.35  46.92 a) Thực hiện phép tính: A b) Tính giá trị biểu thức: B  1.2.3  2.3.4  3.4.5  4.5.6    17.18.19   6 22.3  84.35  510.7 3  255.492 125.7 3  59.14 3 c) Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu tăng chữ số hàng trăm thêm n đơn vị đồng thời giảm chữ số hàng chục và giảm chữ số hàng đơn vị đi n đơn vị thì được một số có 3 chữ số gấp n lần số có 3 chữ số ban đầu. Bài 2 (3 điểm) a) Tìm các số x, y, z biết rằng: 3x  4y, 5y  6z và xyz  30 . b) Tìm x biết: x 1 3 3   1, 6  2 4 5 Bài 3 (3 điểm) 1) Cho hàm số y  f x   m – 1 x a) Tìm m biết: f 2 – f  –1  7 b) Cho m  5 . Tìm x biết f 3 – 2x   20 1 3 2) Cho các đơn thức A   x 2 yz2 , B   xy 2z 2 , C  x 3 y 2 4 Chứng minh rằng các đơn thức A, B, C không thể cùng nhận giá trị âm.  cắt AC tại D, phân giác   60 . Phân giác ABC Bài 4 (7 điểm). Cho ABC nhọn có góc A  cắt AB tại E. BD cắt CE tại I. ACB a) Tính số đo góc BIC. b) Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF  BE . Chứng minh CID  CIF . c) Trên tia IF lấy điểm M sao cho IM  IB  IC . Chứng minh BCM là tam giác đều. Bài 5 (2 điểm) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2.22  3.23  4.24    n  2n  2n11 ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 55 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 56 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI Ý NỘI DUNG A 212.35  46.92 2 .3 2 A a 212.34 212.35 510.7 3  255.492  125.7  5 .14 3  1 5 .7 1  7  3  1 5 .7 1  2  6 3  84.35 10 9 9 3  ĐIỂM 212.35  212.34 510.7 3  510.7 4  212.36  212.35 59.7 3  59.23.7 3 0.5 3 3 0.5 3 2 5.(6)  3.4 9 1 10 7 A   6 3 2 4B  1.2.3.4  2.3.4. 5 – 1  3.4.5. 6 – 2    17.18.19. 20 – 16 A 0.5 0.5 0.5 4B  1.2.3.4  2.3.4.5 – 1.2.3.4  3.4.5.6 – 2.3.4.5  17.18.19.20 – 16.17.18.19 0.5 b 1 (5đ) 4B  17.18.19.20 B  17.18.19.5  29070 0.5 0.5 Gọi số có 3 chữ số cầìm tìm là abc (a, b, c là STN có 1 chữ số, a  0 ) 0.25 Theo bài ra ta có: (a  n )(b  n )(c  n )  n.abc  100 a  n   10 b – n   c – n   n 100a  10b  c  c  100a  100n  10b – 10n  c – n  100an  10bn  cn  100 n  1a  10 n – 1b  n – 1c  89n  n  1100a  10b  c   89n  89n n – 1 mà 89; n – 1  1 nên n  n – 1 0.25 Tìm được n  2 Số có 3 chữ số cần tìm là 178 0.25 x y y z x y z  ;     k 4 3 6 5 8 6 5  x  8k , y  6k , z  5k  2 (3đ) a xyz  30  8k .6k .5k  30  240k 3  30  k   x  4, y  3, z  b 56 0.25 x 0.25 0.25 1 2 0.5 5 2 1 3 3 1 3 8 3   1, 6   x      2 4 5 2 4 5 5 0.5 0.25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 57 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7  x 1 3  1 2 4 0.25  x 1 1  2 4 0.5 3 1 ;x  4 4 Vì f (2)  f (1)  7  (m  2)  2  (m  1)  (1)  7 x  1.a 0.5 0.25 0.25 0.5  2m  4  m  1  7  3m  5  7  m  4 Với m  5 ta có hàm số y  f x   4x 0.25 1.b Vì f (3  2x )  20  4(3  2x )  20 3 (3đ) 2  12  8x  20  x  1 Giả sử cả 3 đơn thức A, B, C cùng có giá trị âm  A.B.C có giá trị âm 3 Mặt khác: A. B.C  x 6y 4z 4 8 3 Vì x 6y 4z 4  0  x , y  A.B.C  0  x ; y 8 Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2)  điều giả sử sai. Vậy ba đơn thức A, B, C không thể cùng có giá trị âm. Vẽ hình đúng, ghi đúng giả thiết, kết luận 0.25 0.5 (1) 0.25 0.25 (2) 0.25 0.25 A D E I 4 (7đ) 1 2 2 3 B 1 C F 4 N M 57 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 0.5 Toán Họa tổng hợp Trang 58 [Document title] a b c ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7  ABC   BD là phân giác của góc ABC nên B1  B2  2   C   ACB CE là phân giác của góc ACB nên C 1 2 2    Mà tam giác ABC có A  B  C  1800 suy ra   ACB   180 60  ABC 0.5 0.5   ACB   120  B  C   60  ABC 2 1 0.5   120  BIC 0.5   BIF  BIE  BIF (cgc)  BIE   120  BIE   60  BIE   BIF   60 BIC     Mà BIE  BIF  CIF  180  CIF  60   BIE   600 (đ.đ)  CIF   CID   60 CID 0.5  CID  CIF (gcg) Trên đoạn IM lấy điểm N sao cho IB  IN  NM  IC   120  BIN đều  BN  BI và BNM 0.5 0.5  BNM  BIC (cgc)  B    BM  BC và B BCM đều 2 4 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Đặt S  2.22  3.23  4.24    n.2n    S  2S  S  2.23  3.24  4.25   n  2n 1  2.22  3.23  4.24   n.2n 5 (2đ)  S  n  2n 1  23  23  24   2n 1  2n 3 4 Đặt T  2  2   2  S  n.2 n 1 3 n1 2 2 n1 2 n   2  (n  1).2 0.5 0.5 . Tính được T  2T  T  2 3  n1 2 3 0.5 n 1 (n  1)  2n1  2n11  n  1  210  n  210  1  1025 0.5 - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 58 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 59 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 13. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Câu 1. (1,5 điểm)  1 1   0, 4  2  2   0,25   9 11  3 5  : 2014 a) M     7 7 1 2015  1, 4   1  0, 875  0, 7    9 11 6 b) Tìm x, biết: x 2  x  1  x 2  2 . Câu 2. (2,5 điểm) a) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: a  b c b  c a c  a b   . c a b  b  a  c Hãy tính giá trị của biểu thức B  1  1  1   .   a  c  b   b) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5 : 6 : 7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4 : 5 : 6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. Câu 3. (2,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  2x  2  2x  2013 với x là số nguyên. b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x  y  z  xyz .   60 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông Câu 4. (3,0 điểm) Cho xAy góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay , Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . Chứng minh : a ) K là trung điểm của AC. b ) KMC là tam giác đều. c) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM Câu 5. (1,0 điểm). Cho ba số dương 0  a  b  c  1 chứng minh rằng: a b c   2 bc  1 ac  1 ab  1 ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 59 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 60 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm  1 1   0, 4  2  2   0,25    : 2014 9 11 3 5 1) Ta có: M      7 7 1 2015  1, 4   1  0, 875  0, 7    9 11 6 2 2    2    5 9 11   7 7 7     5 9 11 1 1 1     3 4 5  : 2014  7 7 7  2015    6 8 10   1 1  2    1    5 9 11      1 1 1    7       5 9 11 Câu 1 (1,5 điểm)  1 1 1           3 4 5   2014 : 7  1 1 1  2015     2  3 4 5   2 2  2014     : 0  7 7  2015 0.25đ 0.25đ 0.25đ 2) vì x 2  | x  1 | 0 nên (1)  x 2  | x  1 | x 2  2 hay x - 1  2 0.25đ +)  x  3 0.25đ +)  x  1 0.25đ 1) +Nếu a  b  c  0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: a  b  c b  c  a c  a b a  b  c  b  c  a  c  a b    1 c a b a b c Câu 2 (2,5 điểm) a b c b c a c  a b mà 1  1  1  2 c a b  a b b c c a   2 c a b  b  a  c  b  a   c  a  b  c   8 Vậy B  1  1  1       b      c  a  c  b   a    60 0.25đ 0.25đ 0.25đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 61 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 +Nếu a  b  c  0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: a b c b  c a c  a b a  b c  b  c a  c  a b    0 c a b a b c mà  0.25đ a b c b c a c  a b 1  1  1  1 c a b 0.25đ a b b c c a   1 c a b  b  a  c  b  a  c  a  b  c   1 Vậy B  1  1  1      c  b    a  c  b   a     0.25đ 2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c Ta có: 0,25đ a b c a b c x 5x 6x x 7x     a  ;b   ;c  (1) 5 6 7 18 18 18 18 3 18 Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có: 0,25đ a ' b ' c ' a ' b ' c ' x 4x 5x x 6x     a' ;b '   ;c '  (2) 4 5 6 15 15 15 15 3 15 So sánh (1) và (2) ta có: a  a  ; b  b ; c  c nên lớp 7C nhận nhiều 0,25đ hơn lúc đầu. Vây: c '– c  4 hay 6x 7x x  4  4  x  360 15 18 90 0,25đ Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói. 1) Ta có: A  2x  2  2x  2013  | 2x  2 |  | 2013  2x | 0,25đ 0,25đ  2x  2  2013  2x  2015 Câu 3 (2,0 điểm) Dấu “=” xảy ra khi (2x  2)(2013  2x )  0  1  x  Vậy Min A  2015 khi 1  x  61 2013 , x  2 2013 2 0,25đ 0,25đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 62 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử 1  x  y  z Theo bài ra 1  1 1 1 1 1 1 3    2  2  2  2 yz yx zx x x x x 0,25đ  x2  3  x  1 Thay vào đầu bài ta có 1  y  z  yz  y  yz  1  z  0  y(1  z )  (1  z )  2  0 0,25đ  (y  1)(z  1)  2 TH1: y  1  1  y  2 và z  1  2  z  3 0,25đ TH2: y  1  2  y  3 và z  1  1  z  2 Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1, 2, 3);(1, 3,2) 0,25đ Vẽ hình , GT _ KL x z C B 0,25đ K A Câu 4 (3,0 điểm) H M  y    ACB   MAC  và BK là đường cao a, ABC cân tại B do CAB  BK là đường trung tuyến K là trung điểm của AC 0,5đ 0,25đ b, ABH  BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )  BH  AK ( hai cạnh t. ý ) mà AK   BH  1 AC 2 1 AC 2 Ta có : BH  CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK  BH  62 0,25đ 1 AC  CM  CK  MKC là tam giác cân ( 1 ) 2 0,25đ 0,25đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 63 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7   90 và ACB   30 Mặt khác MCB 0,25đ   60 (2)  MCK Từ (1) và (2)  MKC là tam giác đều   30  AB  2BK  2.2  4 cm c) Vì ABK vuông tại K mà KAB 0,25đ Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có: AK  AB 2  BK 2  16  4  12 0,25đ Mà KC  1 AC  KC  AK  12 2 KCM đều  KC  KM  12 0,25đ Theo phần b) AB  BC  4 AH  BK  2 HM  BC ( HBCM là hình chữ nhật) 0,25đ  AM  AH  HM  6 Câu 5 (1 điểm) Vì 0  a  b  c  1 nên: (a  1)(b  1)  0  ab  1  a  b  a a Tương tự:  bc  1 b  c Do đó: Mà 1 1 c c    (1) ab  1 a  b ab  1 a  b b b (2) ;  ac  1 a  c 0,25đ (3) a b c a b c      bc  1 ac  1 ab  1 b  c a  c a  b 0,25đ (4) 2(a  b  c) a b c 2a 2b 2c        2 (5) b c a c a b a b c a b c a b c a b c Từ (4) và (5) suy ra: a b c   2 bc  1 ac  1 ab  1 (đpcm) 0,25đ 0,25đ - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 63 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 64 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 14. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Câu 1: (4,0 điểm) 7 3 3  2  7  9   3    .5    :      5   4  16  1. Thực hiện phép tính: A  . 27.52  512 2. Cho x  16 y  25 z  9   và 2x 3  1  15 . Tính B  x  y  z . 9 16 25 Câu 2: (4,0 điểm) 1. Tìm x, y biết: x x  y   3 3 và y x  y    . 10 50  1 2. Tìm x biết: x  3x    0.  2  Câu 3: (5,0 điểm) 1. Tìm số tự nhiên n để phân số 7n  8 có giá trị lớn nhất. 2n  3 2. Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết rằng, p x  5 với mọi x nguyên. Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5. The link ed image cannot be displayed. The file may hav e been mov ed, renamed, or deleted. Verify that the link points to the correct file and location. 3. Gọi a, b,c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: Câu 4: (5,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D (D khác B, C). Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt AB tại M. Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt đường thẳng AC tại N, MN cắt BC tại I. 1. Chứng minh DM = EN. 2. Chứng minh IM = IN, BC < MN. 3. Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại I. Chứng minh rằng BMO  CNO . Từ đó suy ra điểm O cố định. Câu 5: (2,0 đ) Cho các số thực dương a và b thỏa mãn a 100  b 100  a 101  b101  a 102  b 102 Hãy tính giá trị của biểu thức: P  a 2014  b 2015 . ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 64 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 65 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung 7 1. A  3 3  2  7  9   3    .5    :      5   4  16  7 2 2 .5  512 7  3  2     .5   9 : 3   5   4 16  7 Điểm 2 7 2 .5  2 .2 2 7  2  12 7 2 7 2 2 .5  2 .2   5 2,0   1. 2  2 26 2  3 3 3 2 7 2 2 2. Ta có: 2x 3  1  15  2x 3  16  x 3  8  x 3  23  x  2. 1 Suy ra: 0,5 18 y  25 z  9   9 16 25 (4,0đ) Do đó, ta có: 0,25 18 y  25   y  25  32  y  57. 9 16 0,5 18 z  9   z  9  50  z  41. 9 25 0,5 Vậy B  x  y  z  2  57  41  100. 0,25 1. Trừ từng vế hai đẳng thức đã cho ta được: 2  3 2 3  3  9 x x  y   y x  y       x  y x  y    x  y      5  10  50  25 0,75 3 Suy ra: x  y   . 5 0,25 Thay x  y  2 3 1 1 vào hai đẳng thức đã cho ta được x  ; y   . 5 2 10 Thay x  y   (4,0đ) 3 1 1 vào hai đẳng thức đã cho ta được x   ; y  . 5 2 10  1 1 2. Từ x  3x    0 suy ra x – 3 và x  cùng dấu. 2  2  Dễ thấy x  3  x    65 0,5 0,5 0,25 1 nên ta có: 2 1 cùng dương  x  3  0  x  3 2 1 1 1 x – 3 và x  cùng âm  x   0  x   2 2 2 x – 3 và x  Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 0,5 0,5 0,5 Toán Họa tổng hợp Trang 66 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Vậy x  3 hoặc x   1. Ta có: 1 2 0,25 7n  8 2 7n  8 7 2n  3  5 7 5     . 2n  3 2 2 2n  3 2 2n  3 2 2n  3 Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 3 (5,0đ) 5 2 2n  3 0,75 lớn nhất. 0,25 Từ đó suy ra: n  2. 0,75 Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 khi n  2. 0,25 2. Vì p x  5 với mọi x nguyên nên p 0  d  5 0,25 p(1)  a  b  c  d  5 (1) 0,25 p(1)  a  b  c  d  5 (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra 2(b  d ) 5 và 2(a  c) 5 0,25 Vì 2 b  d  5 , mà 2; 5  1 nên b  d  5  b  5 0,25 p 2  8a  4b  2c  d  5 mà d  5; b  5 nên 8a  2c  5. 0,25 0,25 Kết hợp với 2(a  c ) 5  6a  5  a  5 vì 6; 5  1 . Từ đó suy ra c  5 0,25 Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5. 3. Vì a  b  c nên Tương tự, ta có: a a a a 1  . b c b c b c a b b b b 1  . c a c a c a b c c c c 1  . a b a b a b c Từ (1), (2) và (3) suy ra: (1) 0,25 (2) 0,25 (3) a b c 2a  2b  2c     2. b c c a a b a b c 0,25 0,25 66 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 67 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 A M B I C E D N O 1.   ACB ; Tam giác ABC cân tại A nên ABC 4 (5,0đ)   ACB  ; (đối đỉnh) NCE 0,75 Do đó: MDB  NEC (g.c.g )  DM  EN . 0,75 2. Ta có MDI  NEI (g.c.g )  MI  NI 0,5 Vì BD  CE nên BC  DE . Lại có DI  MI , IE  IN nên DE  DI  IE  MI  IN  MN 0,75 Suy ra BC  MN . 0,25 3) Ta chứng minh được:   ACO . ABO  ACO(c.g.c)  OC  OB, ABO 0,75 MIO  NIO(c.g.c)  OM  ON . 5 (2,0đ) Ta lại có: BM  CN . Do đó BMO  CNO(c.c.c) 0,5   NCO  , Mà: MBO   ACO  suy ra NCO   ACO  , mà đây là hai góc  MBO kề bù nên CO  AN. 0,5 Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường vuông góc với AC tại C nên O cố dịnh. 0,25     Ta có đẳng thức: a 102  b 102  a 101  b 101 a  b   ab a 100  b 100 với mọi a, b. 0,5 Kết hợp với: a 100  b 100  a 101  b101  a 102  b 102 0,5 67 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 68 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Suy ra: 1  a  b   ab  a  1b  1  0. a  1  1  b100  1  b 101  1  b102  b  1   100 101 102 b  1  1  a  1  a  1  a  a  1 0,5 0,5 Do đó P  a 2014  b 2015  12014  12015  2. - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 68 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 69 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 ĐỀ SỐ 15. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1: (4,0 điểm). a) Tính giá trị biểu thức b) Rút gọn biểu thức:  1   1 1 A = 2  3, 5 : 4  3  +7,5   6 7   3 2.8 4.27 2  4.69 B= 7 7 2 .6  27.40.94   c) Tìm đa thức M biết rằng: M  5x 2  2xy  6x 2  9xy  y 2 . Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn 2x  5 2012  3y  4 2014  0. Bài 2: (4,0 điểm). a) Tìm x : 1 1 1  x  2 5 3 b) Tìm x, y, z biết: 2x  3y; 4y  5z và x  y  z  11 n 1 c) Tìm x, biết : x  2 n 11  x  2 (Với n là số tự nhiên) Bài 3: (4,0 điểm). a) Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường cao tương ứng lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm. b) Tìm x, y nguyên biết : 2xy  x  y  2   60 ). Hai phân giác AD và CE của Bài 4: (6,0 điểm). Cho tam giác ABC ( AB  AC , B ABC cắt nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác AI tại H, cắt AB ở P, cắt AC ở K.  a) Tính AIC b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4 cm. c) Chứng minh IDE cân. Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh rằng 10 là số vô tỉ. ------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 69 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 70 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Điểm Câu a: (1 điểm)  1   1 1 A  2  3, 5 : 4  3   7, 5   6 7   3 0.5 đ  7 7   25 22  15     :      3 2   6 7  2  35 43 15 :  6 42 2  245 15 490 645 155     43 2 86 86 86 0,5đ Câu b: ( 1 điểm) 2.84.272  4.69 B= 7 7 2 .6  27.40.94 Bài 1 (4,0đ) = . 213.36  211.39 214.37  210.38.5  .3 . 2 11 = 0,5đ 6 2   3.5 2 .3 . 2  3 210 7 4 0.5 3 = 2 3 Câu c: (2 điểm)   M  5x 2  2xy  6x 2  9xy  y 2   M  6x 2  9xy  y 2  5x 2  2xy 0.5  0,5  M  6x 2  9xy  y 2  5x 2  2xy  x 2  11xy  y 2 Ta có 2x  5 2012  3y  4 2014 0 0.25 2012    2x  5  0 2012 2014    2x  5  3y  4  0 Ta có :  2014  3y  4  0    Mà 2x  5 2012 70  3y  4 2014  0  2x  5 2012 0.5  3y  4 2014 0 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 71 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7   1 2012    x  2  2 x  5  0    2 . Vậy =>    2014   1 3y  4  0   y  1     3   2   1  x 2   2   1  y  1   3   0.25 2 5 5  4   4  25 110 16 1159    Vậy M     11          2  2  3   3  4 3 9 36 1 1 1  x  2 5 3 x 2. x 1 1 1   5 2 3 0,25đ 1 1  5 6 (1,0đ) TH1: x  1 1 1  x  5 6 30 0,25đ TH2: x  1 1 1 1 11  x    5 6 6 5 30 0,25đ Vậy x   1 11 ;x   30 30 Ta có : 2x  3y suy ra 4y  5z suy ra b. (1,5đ) Vậy x y x y  hay  3 2 15 10 0.25đ y z y z  hay  5 4 10 8 x y z   15 10 8 0.5đ Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau x y z 11 1 x y z   = =  15 10 8 15  10  8 33 3 Suy ra x  5, y  71 0,25đ 10 8 ,z  3 3 0.5đ 0.25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 72 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 (x  2)n 1  (x  2)n 11 0.25 (x  2)n 1  (x  2)n 11  0 (x  2)n 1 1  (x  2)10   0   c 1,5 điểm (x  2)n1  0 suy ra x  2 TH 1: 0.5 10 TH2: 1  (x  2)  0 (x  2)10  1 0.25  x  2  1 suy ra x  1  x  2  1 suy ra x  3 Vậy x  2; x  1; x  3 0.5 Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0) Theo bài ra ta có : x  y  z  13 0,25 đ và 2x  3y  4z  2S ABC a (2.0đ) Bài 3 (4.0đ) b. (2,0đ) x y z   6 4 3 Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau 13 x y z x y z  1   = 6 4 3 6  4  3 13 suy ra x  6; y  4 ; z  3 KL: 2xy – x – y  2 4xy  2x  2y  4 Suy ra 0,75 0.25 2x 2y  1  2y  1  5 0,5 đ 2y  12x  1  5 0,5 đ HS xét 4 trường hợp tìm ra  x, y   1; 3;3;1; 2; 0; 0; 2 ( Mỗi trường hợp đúng cho 0.25 đ)   Vậy  x , y   1; 3; 3;1; 2; 0; 0; 2 72 0,75 đ 1đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 73 ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Bài 4 (6.0đ) 1 (2.0đ)   BCA   120   60 suy ra BAC a/ Ta có ABC 0.5đ   1 BAC   suy ra IAC AD là phân giác của BAC 2 0.5đ   1 BCA   suy ra ICA CE là phân giác của ACB 2   ICA   1  120  60 Suy ra IAC 2   120 Vây AIC 0.5đ 0.25đ 0.25đ b/ Xét AHP và AHK có   KAH  ( AH là phân giác của BAC  ) PAH 0.5 đ AH chung 2 (2đ) c   KHA   90 PHA Suy ra AHP AHK (g-c-g) suy ra PH  KH ( 2 cạnh tương ứng). Vậy HK  3cm 0,5 đ Vì AHK vuông ở H theo định lý Pitago ta có 0.5 AK 2  AH 2  HK 2  42  32  25 0.25 Suy ra AK  5 cm 0.25   120 Vì AIC (2.0đ) 73 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! Toán Họa tổng hợp Trang 74 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7   DIC   60 Do đó AIE 0,25 đ Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF  AE 0,5 đ Xét EAI và FAI có AE  AF   FAI  EAI AI chung Vậy EAI  FAI (c-g-c) suy ra IE  IF (hai cạnh tương ứng) (1) 0.25   AIF   60 suy ra FIC   AIC   AIF   60 AIE Xét DIC và FIC có   FIC   60 ; Cạnh IC chung; DIC   FCI  DIC 0.5 0.25 Suy ra DIC  FIC ( g-c-g) Suy ra ID  IF (hai cạnh tương ứng) (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra IDE cân tại I Bài 5 (2,0đ) Giả sử 10  10 là số hữu tỷ a ( a,b là số tự nhiên , b khác 0 ; a;b   1 ) b a2  10 Suy ra a 2  10b 2 2 b a  2  a 2  4  10b2  4  b2  2  b  2 Vậy (a; b)  1 trái giả sử. Nên 10 là số vô tỷ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ – Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 74 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top